ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => (L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => (L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
hK' : IsCompact K'

⊢ G → ℝ
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁶ : CompleteSpace F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiff 𝕜 1 g
x₀ : G
fin_dim : FiniteDimensional 𝕜 G
this : ProperSpace G
L' : E →L[𝕜] (G →L[𝕜] E') →L[𝕜] G →L[𝕜] F := precompR G L
h1 : ∀ᶠ (x : G) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (fun t => (L (f t)) (g (x - t))) μ
h2 : ∀ (x : G), AEStronglyMeasurable (fun t => (L' (f t)) (fderiv 𝕜 g (x - t))) μ
h3 : ∀ (x t : G), HasFDerivAt (fun x => g (x - t)) (fderiv 𝕜 g (x - t)) x
K' : Set G := -tsupport (fderiv 𝕜 g) + closedBall x₀ 1
hK' : IsCompact K'

⊢ Integrable (fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) μ
-- Mathlib/Order/CompleteSublattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L✝ : CompleteSublattice α
L : CompleteSublattice β
s : Set α
hs : s ⊆ { carrier := ⇑f ⁻¹' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier

⊢ sSup s ∈ { carrier := ⇑f ⁻¹' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier
-- Mathlib/Order/CompleteSublattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L✝ : CompleteSublattice α
L : CompleteSublattice β
s : Set α
hs : s ⊆ { carrier := ⇑f ⁻¹' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier

⊢ sInf s ∈ { carrier := ⇑f ⁻¹' ↑L, supClosed' := ⋯, infClosed' := ⋯ }.carrier
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)

⊢ HasSum (fun i => ↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) (b.repr.symm f)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)

⊢ (fun i => ↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) = fun b_1 => b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) b_1)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)
i : ι

⊢ ↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i = b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) i)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)
i : ι

⊢ b.repr (↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) = b.repr (b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) i))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)
i : ι
this : NormedSpace 𝕜 ↥(lp (fun _i => 𝕜) 2) := inferInstance

⊢ b.repr (↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) = b.repr (b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) i))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)
i : ι
this✝ : NormedSpace 𝕜 ↥(lp (fun _i => 𝕜) 2) := inferInstance
this : lp.single 2 i (↑f i * 1) = ↑f i • lp.single 2 i 1

⊢ b.repr (↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) = b.repr (b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) i))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)
i : ι
this✝ : NormedSpace 𝕜 ↥(lp (fun _i => 𝕜) 2) := inferInstance
this : lp.single 2 i (↑f i) = ↑f i • lp.single 2 i 1

⊢ b.repr (↑f i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) = b.repr (b.repr.symm.toContinuousLinearEquiv ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) i))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
f : ↥(lp (fun i => 𝕜) 2)
i : ι
this✝ : NormedSpace 𝕜 ↥(lp (fun _i => 𝕜) 2) := inferInstance
this : lp.single 2 i (↑f i) = ↑f i • lp.single 2 i 1

⊢ lp.single 2 i (↑f i) = b.repr (b.repr.symm ((fun i => lp.single 2 i (↑f i)) i))
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c : Ordinal.{u}
f : (c : Ordinal.{u}) → c < a ♯ b → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{u}} (hi : i < a ♯ b) (hj : j < a ♯ b), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj

⊢ (a ♯ b).blsub f = max (a.blsub fun a' ha' => f (a' ♯ b) ⋯) (b.blsub fun b' hb' => f (a ♯ b') ⋯)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c : Ordinal.{u}
f : (c : Ordinal.{u}) → c < a ♯ b → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{u}} (hi : i < a ♯ b) (hj : j < a ♯ b), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj

⊢ ∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < a ♯ b), f i h < max (a.blsub fun a' ha' => f (a' ♯ b) ⋯) (b.blsub fun b' hb' => f (a ♯ b') ⋯)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c : Ordinal.{u}
f : (c : Ordinal.{u}) → c < a ♯ b → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{u}} (hi : i < a ♯ b) (hj : j < a ♯ b), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj

⊢ (a.blsub fun a' ha' => f (a' ♯ b) ⋯) ≤ (a ♯ b).blsub f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c : Ordinal.{u}
f : (c : Ordinal.{u}) → c < a ♯ b → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{u}} (hi : i < a ♯ b) (hj : j < a ♯ b), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj

⊢ (b.blsub fun b' hb' => f (a ♯ b') ⋯) ≤ (a ♯ b).blsub f
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f

⊢ 0 < minimalPeriod f x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
a0 : a ≠ 0
n : ℤ

⊢ (C a * T n).support = {n}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
a0 : a ≠ 0
n : ℤ

⊢ (Finsupp.single n a).support = {n}
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α

⊢ ∀ {a₁ b₁ a₂ b₂ : α}, Icc a₁ b₁ ∩ Icc a₂ b₂ = Icc (max a₁ a₂) (min b₁ b₂)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s

⊢ AnalyticWithinOn 𝕜 f s ↔ AnalyticOn 𝕜 f s
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s

⊢ AnalyticWithinOn 𝕜 f s → AnalyticOn 𝕜 f s
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s
hf : AnalyticWithinOn 𝕜 f s
x : E
m : x ∈ s

⊢ AnalyticAt 𝕜 f x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s
hf : AnalyticWithinOn 𝕜 f s
x : E
m : x ∈ s
r : ℝ
r0 : r > 0
rs : Metric.ball x r ⊆ s

⊢ AnalyticAt 𝕜 f x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
hs : IsOpen s
hf : AnalyticWithinOn 𝕜 f s
x : E
m : x ∈ s
r : ℝ
r0 : r > 0
rs : Metric.ball x r ⊆ s
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
t : ℝ≥0∞
fp : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x t

⊢ AnalyticAt 𝕜 f x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ ⟶ Δ'

⊢ ((N₁ ⋙ Γ₂).obj X).X.map θ ≫ (fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) Δ' = (fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) Δ ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X.map θ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ ⟶ Δ'

⊢ ∀ (A : Splitting.IndexSet Δ), ((Γ₀.splitting K[X]).cofan Δ).inj A ≫ ((N₁ ⋙ Γ₂).obj X).X.map θ ≫ (fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) Δ' = ((Γ₀.splitting K[X]).cofan Δ).inj A ≫ (fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) Δ ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X.map θ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ ⟶ Δ'
A : Splitting.IndexSet Δ

⊢ ((Γ₀.splitting K[X]).cofan Δ).inj A ≫ (Γ₀.obj K[X]).map θ ≫ (fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) Δ' = ((Γ₀.splitting K[X]).cofan Δ).inj A ≫ (fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) Δ ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X.map θ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ ⟶ Δ'
A : Splitting.IndexSet Δ

⊢ Γ₀.Obj.Termwise.mapMono K[X] (image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫ PInfty.f (unop (A.pull θ).fst).len ≫ X.map (A.pull θ).e.op = PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X.map θ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ ⟶ Δ'
A : Splitting.IndexSet Δ

⊢ PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map (image.ι (θ.unop ≫ A.e)).op ≫ X.map (A.pull θ).e.op = PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op ≫ X.map θ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ ⟶ Δ'
A : Splitting.IndexSet Δ

⊢ PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map ((image.ι (θ.unop ≫ A.e)).op ≫ (A.pull θ).e.op) = PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map (A.e.op ≫ θ)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ ⟶ Δ'
A : Splitting.IndexSet Δ

⊢ (image.ι (θ.unop ≫ A.e)).op ≫ (A.pull θ).e.op = A.e.op ≫ θ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
θ : Δ ⟶ Δ'
A : Splitting.IndexSet Δ

⊢ ((A.pull θ).e ≫ image.ι (θ.unop ≫ A.e)).op = A.e.op ≫ θ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C

⊢ { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ } = ((N₁ ⋙ Γ₂).obj X).p ≫ { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ } ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).p
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C

⊢ ∀ (n : ℕ), (Γ₀.splitting K[X]).φ { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ } n = (Γ₀.splitting K[X]).φ (((N₁ ⋙ Γ₂).obj X).p ≫ { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ } ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).p) n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C
n : ℕ

⊢ ((Γ₀.splitting K[X]).ι n ≫ (Γ₀.splitting K[X]).desc (op [n]) fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) = (Γ₀.splitting K[X]).ι n ≫ ((Γ₀.splitting K[X]).desc (op [n]) fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ ((Γ₀.splitting K[X]).cofan (op [n])).inj A) ≫ ((Γ₀.splitting K[X]).desc (op [n]) fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) ≫ 𝟙 (X _[n])
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y

⊢ ((N₁ ⋙ Γ₂).map f ≫ (fun X => { f := { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ }, comm := ⋯ }) Y).f = ((fun X => { f := { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ }, comm := ⋯ }) X ≫ (toKaroubi (SimplicialObject C)).map f).f
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y

⊢ ∀ (n : ℕ), (Γ₀.splitting K[X]).φ ((N₁ ⋙ Γ₂).map f ≫ (fun X => { f := { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ }, comm := ⋯ }) Y).f n = (Γ₀.splitting K[X]).φ ((fun X => { f := { app := fun Δ => (Γ₀.splitting K[X]).desc Δ fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op, naturality := ⋯ }, comm := ⋯ }) X ≫ (toKaroubi (SimplicialObject C)).map f).f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.26563, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
n : ℕ

⊢ ((Γ₀.splitting K[X]).ι n ≫ ((Γ₀.splitting K[X]).desc (op [n]) fun A => (PInfty.f (unop A.fst).len ≫ f.app A.fst) ≫ ((Γ₀.splitting K[Y]).cofan (op [n])).inj A) ≫ (Γ₀.splitting K[Y]).desc (op [n]) fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ Y.map A.e.op) = (Γ₀.splitting K[X]).ι n ≫ ((Γ₀.splitting K[X]).desc (op [n]) fun A => PInfty.f (unop A.fst).len ≫ X.map A.e.op) ≫ f.app (op [n])
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/PerpBisector.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ : P

⊢ (perpBisector p₁ p₂).direction = (Submodule.span ℝ {p₂ -ᵥ p₁})ᗮ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/PerpBisector.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ : P

⊢ LinearMap.ker ((innerₛₗ ℝ) (p₂ -ᵥ p₁)) = (Submodule.span ℝ {p₂ -ᵥ p₁})ᗮ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/PerpBisector.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ : P
x : V

⊢ x ∈ LinearMap.ker ((innerₛₗ ℝ) (p₂ -ᵥ p₁)) ↔ x ∈ (Submodule.span ℝ {p₂ -ᵥ p₁})ᗮ
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
p : ℝ
hp : p ≠ 0

⊢ (deriv fun z => z ^ p * (1 - ε z)) =Θ[atTop] fun z => z ^ (p - 1)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t✝ A B : Set β
a : α
x✝ : β
s t : Set α
x : αᵐᵒᵖ

⊢ x • s ∩ t ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a ∈ s ∧ b ∈ t) ∧ a⁻¹ * b = unop x
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t✝ A B : Set β
a : α
x✝ : β
s t : Set α
x : αᵐᵒᵖ

⊢ (x • s ∩ t).Nonempty ↔ ∃ a b, (a ∈ s ∧ b ∈ t) ∧ a⁻¹ * b = unop x
-- Mathlib/Control/Basic.lean
α β γ : Type u
F : Type u → Type v
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : LawfulApplicative F
f : β → γ
x : F (α → β)
y : F α

⊢ (f <$> Seq.seq x fun x => y) = Seq.seq ((fun x => f ∘ x) <$> x) fun x => y
-- Mathlib/Control/Basic.lean
α β γ : Type u
F : Type u → Type v
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : LawfulApplicative F
f : β → γ
x : F (α → β)
y : F α

⊢ (Seq.seq (pure f) fun x_1 => Seq.seq x fun x => y) = Seq.seq (Seq.seq (pure fun x => f ∘ x) fun x_1 => x) fun x => y
-- Mathlib/Order/InitialSeg.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t✝ : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder γ t
f : r ≺i s
g : s ≺i t
h : r ≺i t

⊢ t h.top g.top
-- Mathlib/Order/InitialSeg.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t✝ : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder γ t
f : r ≺i s
g : s ≺i t
h : r ≺i t

⊢ t (f.trans g).top g.top
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F

⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ * ‖⟪y, x⟫_𝕜‖ ≤ re ⟪x, x⟫_𝕜 * re ⟪y, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
y : F

⊢ ‖⟪0, y⟫_𝕜‖ * ‖⟪y, 0⟫_𝕜‖ ≤ re ⟪0, 0⟫_𝕜 * re ⟪y, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
hx : x ≠ 0

⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ * ‖⟪y, x⟫_𝕜‖ ≤ re ⟪x, x⟫_𝕜 * re ⟪y, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Uniform.lean
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕
C : ℝ
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
x y : E

⊢ dist (f x) (f y) ≤ C * dist x y
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F ⋙ forget MonCat).map f ⟨j₁, x⟩.snd = (F ⋙ forget MonCat).map g ⟨j₃, x'⟩.snd

⊢ colimitMulAux F ⟨j₁, x⟩ ⟨j₂, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₃, x'⟩ ⟨j₂, y⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'

⊢ colimitMulAux F ⟨j₁, x⟩ ⟨j₂, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₃, x'⟩ ⟨j₂, y⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β

⊢ colimitMulAux F ⟨j₁, x⟩ ⟨j₂, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₃, x'⟩ ⟨j₂, y⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
x : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
y : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
x' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, x⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, x'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) x = (F.map g) x'
s : J
α : IsFiltered.max j₁ j₂ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₃ j₂ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.leftToMax j₁ j₂ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.rightToMax j₁ j₂ ≫ α = IsFiltered.rightToMax j₃ j₂ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.leftToMax j₃ j₂ ≫ γ = g ≫ β

⊢ ∃ k f g, (F.map f) ⟨IsFiltered.max ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₁, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₁, x⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd = (F.map g) ⟨IsFiltered.max ⟨j₃, x'⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₃, x'⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₃, x'⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₃, x'⟩.fst ⟨j₂, y⟩.fst)) ⟨j₂, y⟩.snd⟩.snd