ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
d : (i : o) → m' i → α
i : o
k k' : m' i

⊢ (if h : i = i then of (fun i_1 j => if i_1 = j then d i i_1 else 0) k (cast ⋯ k') else 0) = of (fun i j => if i = j then d i.fst i.snd else 0) ⟨i, k⟩ ⟨i, k'⟩
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
d : (i : o) → m' i → α
i : o
k : m' i
j : o
k' : m' j
hij : i ≠ j

⊢ (if h : i = j then of (fun i_1 j => if i_1 = j then d i i_1 else 0) k (cast ⋯ k') else 0) = of (fun i j => if i = j then d i.fst i.snd else 0) ⟨i, k⟩ ⟨j, k'⟩
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSpace Ω'
ν : ProbabilityMeasure Ω
f : Ω → Ω'
f_aemble : AEMeasurable f ↑ν
A : Set Ω'
A_mble : MeasurableSet A

⊢ (ν.map f_aemble) A = ν (f ⁻¹' A)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSpace Ω'
ν : ProbabilityMeasure Ω
f : Ω → Ω'
f_aemble : AEMeasurable f ↑ν
A : Set Ω'
A_mble : MeasurableSet A
this : ↑(ν.map f_aemble) A = ↑ν (f ⁻¹' A)

⊢ (ν.map f_aemble) A = ν (f ⁻¹' A)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : f ≈ 0

⊢ (f * g).norm = f.norm * g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : f ≈ 0
hg : f * g ≈ 0

⊢ (f * g).norm = f.norm * g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0

⊢ (f * g).norm = f.norm * g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf✝ : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
hf : f * g ≈ 0

⊢ (f * g).norm = f.norm * g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : ¬f * g ≈ 0

⊢ padicNorm p (↑(f * g) (stationaryPoint hfg)) = padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) * padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : ¬f * g ≈ 0

⊢ padicNorm p (↑(f * g) (max (stationaryPoint hfg) (max ?neg.v2✝ ?neg.v3✝))) = padicNorm p (↑f (max ?neg.v1✝ (max (stationaryPoint hf) ?neg.v3✝))) * padicNorm p (↑g (max ?neg.v1✝ (max ?neg.v2✝ (stationaryPoint hg))))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
hfg : ¬f * g ≈ 0

⊢ ℕ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source

⊢ map (↑(f.extend I).symm) (𝓝[range ↑I] ↑(f.extend I) y) = 𝓝 y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Algebra.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
A B : T.Algebra
f : A ⟶ B
inst✝ : IsIso f.f

⊢ T.map (inv f.f) ≫ A.a = B.a ≫ inv f.f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Algebra.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
A B : T.Algebra
f : A ⟶ B
inst✝ : IsIso f.f

⊢ T.map (inv f.f) ≫ T.map f.f ≫ B.a = B.a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E✝ : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E✝
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E✝ → G
C : ℝ
s : Set E✝
x✝ y✝ : E✝
f' g' : E✝ → E✝ →L[𝕜] G
φ : E✝ →L[𝕜] G
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E → G
hf : Differentiable 𝕜 f
hf' : ∀ (x : E), fderiv 𝕜 f x = 0
x y : E
A : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 E

⊢ f x = f y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
h : cos x = 1
n : ℤ
hn : ↑n * π = x
hn0 : n % 2 = 0

⊢ ↑(n / 2) * (2 * π) = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
h : cos x = 1
n : ℤ
hn : ↑n * π = x
hn1 : n % 2 = 1

⊢ ↑(n / 2) * (2 * π) = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
h : cos x = 1
n : ℤ
hn : ↑(n / 2) * (2 * π) + π = x
hn1 : n % 2 = 1

⊢ ↑(n / 2) * (2 * π) = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
n : ℤ
h : -1 = 1
hn : ↑(n / 2) * (2 * π) + π = x
hn1 : n % 2 = 1

⊢ ↑(n / 2) * (2 * π) = x
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
f : α → γ
g : β → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) = f x
hg : ContinuousAt g b

⊢ di.extend f b = g b
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
f : α → γ
g : β → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) = f x
hg : ContinuousAt g b
s : Set γ
hs : s ∈ 𝓝 (g b)

⊢ f ⁻¹' s ∈ comap i (𝓝 b)
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
f : α → γ
g : β → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) = f x
hg : ContinuousAt g b
s : Set γ
hs : s ∈ 𝓝 (g b)

⊢ ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) ∈ s
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
g : β → γ
di : DenseInducing i
hg : ContinuousAt g b
s : Set γ
hs : s ∈ 𝓝 (g b)

⊢ ∀ᶠ (x : α) in comap i (𝓝 b), g (i x) ∈ s
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g✝ : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
b : β
g : β → γ
di : DenseInducing i
hg : ContinuousAt g b
s : Set γ
hs : s ∈ 𝓝 (g b)

⊢ ∀ (x : β), s (g x) → ∀ (a : α), i a = x → g (i a) ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean

⊢ StrictConcaveOn ℝ (Icc (-(π / 2)) (π / 2)) cos
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
x : ℝ
hx : x ∈ interior (Icc (-(π / 2)) (π / 2))

⊢ deriv^[2] cos x < 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)

⊢ deriv^[2] cos x < 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v m n : ℤ

⊢ Even (m * n) ↔ Even m ∨ Even n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
hj : j = 0

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j

⊢ X.map (SimplexCategory.δ j).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i).op = X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ (j.pred ⋯)).op
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
R : ℝ
f : X → ℝ
hR : 0 ≤ R
hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} μ
hμ : μ {x | R < f x} ≠ 0

⊢ (μ {x | R < f x}).toReal * R < ∫ (x : X) in {x | R < f x}, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
R : ℝ
f : X → ℝ
hR : 0 ≤ R
hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} μ
hμ : μ {x | R < f x} ≠ 0
this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} μ

⊢ (μ {x | R < f x}).toReal * R < ∫ (x : X) in {x | R < f x}, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
R : ℝ
f : X → ℝ
hR : 0 ≤ R
hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} μ
hμ : μ {x | R < f x} ≠ 0
this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} μ

⊢ 0 < μ ((support fun a => f a - R) ∩ {x | R < f x})
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
R : ℝ
f : X → ℝ
hR : 0 ≤ R
hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} μ
hμ : μ {x | R < f x} ≠ 0
this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} μ

⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict {x | R < f x})] fun a => f a - R
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
R : ℝ
f : X → ℝ
hR : 0 ≤ R
hfint : IntegrableOn f {x | R < f x} μ
hμ : μ {x | R < f x} ≠ 0
this : IntegrableOn (fun x => R) {x | R < f x} μ

⊢ IntegrableOn (fun a => f a - R) {x | R < f x} μ
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
n₁ : ℕ
c₁ : Composition n₁
i₁ i₂ : Fin c₁.length
hi : ↑i₁ = ↑i₂

⊢ i₁ = i₂
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
I : HomogeneousIdeal 𝒜
t : (Set (ProjectiveSpectrum 𝒜))ᵒᵈ

⊢ (fun I => zeroLocus 𝒜 ↑I) I ≤ t ↔ I ≤ (fun t => vanishingIdeal t) t
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α

⊢ { ofColex := s } < { ofColex := {a} } ↔ ∀ b ∈ s, b < a
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α

⊢ (∀ b ∈ s, b ≤ a ∧ (a ∈ s → b = a)) ∧ s ≠ {a} ↔ ∀ b ∈ s, b < a
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
b✝ b : α
hb : b ∈ s
h : (∀ b_1 ∈ s, b_1 ≤ b ∧ (b ∈ s → b_1 = b)) ∧ s ≠ {b}

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
t u : Finset α
a b : α
h : ∀ b ∈ {a}, b < a

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
l : Line α ι
l' : Line α ι'
x : α

⊢ (fun x i => ((l.prod l').idxFun i).getD x) x = Sum.elim ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) ((fun x i => (l'.idxFun i).getD x) x)
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i✝ : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
l : Line α ι
l' : Line α ι'
x : α
i : ι ⊕ ι'

⊢ (fun x i => ((l.prod l').idxFun i).getD x) x i = Sum.elim ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) ((fun x i => (l'.idxFun i).getD x) x) i
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i✝ : ι
b : B
a : F
i : ι

⊢ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source ∈ ⋃ i, ⋃ s, ⋃ (_ : IsOpen s), {(Z.localTrivAsPartialEquiv i).source ∩ ↑(Z.localTrivAsPartialEquiv i) ⁻¹' s}
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i✝ : ι
b : B
a : F
i : ι

⊢ ∃ i_1 i_2, IsOpen i_2 ∧ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source = (Z.localTrivAsPartialEquiv i_1).source ∩ ↑(Z.localTrivAsPartialEquiv i_1) ⁻¹' i_2
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i✝ : ι
b : B
a : F
i : ι

⊢ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source = (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source ∩ ↑(Z.localTrivAsPartialEquiv i) ⁻¹' Z.baseSet i ×ˢ univ
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i✝ : ι
b : B
a : F
i : ι
p : Z.TotalSpace

⊢ p ∈ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source ↔ p ∈ (Z.localTrivAsPartialEquiv i).source ∩ ↑(Z.localTrivAsPartialEquiv i) ⁻¹' Z.baseSet i ×ˢ univ
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Cast.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing K
inst✝ : CharZero K
a : ℕ

⊢ ↑(a.choose 2) = ↑a * (↑a - 1) / 2
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R

⊢ Multiset.card (nthRoots n a) ≤ n
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Slope.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → E
a b : k
h : a ≠ b

⊢ slope (fun x => (x - a) • f x) a b = f b
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Differentials/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S : Cᵒᵖ ⥤ CommRingCat
F : C ⥤ D
S' R : Dᵒᵖ ⥤ CommRingCat
M N : PresheafOfModules (R ⋙ forget₂ CommRingCat RingCat)
φ : S ⟶ F.op ⋙ R
φ' : S' ⟶ R
d : M.Derivation φ
X : Dᵒᵖ

⊢ d.d 1 = 0
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ 2 < s.ncard ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, ∃ c ∈ s, a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k

⊢ yn a1 n ∣ t
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
this : yn a1 n ∣ k * xn a1 n ^ (k - 1)

⊢ yn a1 n ∣ t
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
this : yn a1 n ∣ k * xn a1 n ^ (k - 1)

⊢ yn a1 n ∣ n * k
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → δ
g : δ → β
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ

⊢ Integrable g (Measure.map f μ) ↔ Integrable (g ∘ f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → δ
g : δ → β
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ

⊢ Memℒp g 1 (Measure.map f μ) ↔ Memℒp (g ∘ f) 1 μ
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : ℤ → G

⊢ Multipliable f ↔ (Multipliable fun n => f ↑n) ∧ Multipliable fun n => f (-↑n)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : CompleteSpace G
f : ℤ → G
p : Multipliable f

⊢ Injective fun n => -↑n
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
ha : ¬IsUnit a
ha0 : a ≠ 0

⊢ multiplicity a a = 1
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : α
ha : ¬IsUnit a
ha0 : a ≠ 0

⊢ multiplicity a a = ↑1
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
hln : l ≤ n
k : ℕ
hk : k ∈ Ico n m

⊢ ¬decide (k < l) = true
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
hln : l ≤ n
k : ℕ
hk : k ∈ Ico n m

⊢ n ≤ k
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α

⊢ findIdx p xs < xs.length ↔ ∃ x ∈ xs, p x = true
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α

⊢ xs.length ≤ findIdx p xs ↔ ¬∃ x ∈ xs, p x = true
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
this : findIdx p xs = xs.length ↔ findIdx p xs ≤ xs.length ∧ xs.length ≤ findIdx p xs

⊢ xs.length ≤ findIdx p xs ↔ ¬∃ x ∈ xs, p x = true
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
this : findIdx p xs = xs.length ↔ xs.length ≤ findIdx p xs

⊢ xs.length ≤ findIdx p xs ↔ ¬∃ x ∈ xs, p x = true
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
this : findIdx p xs = xs.length ↔ xs.length ≤ findIdx p xs

⊢ (∀ x ∈ xs, ¬p x = true) ↔ ∀ (x : α), ¬(x ∈ xs ∧ p x = true)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
f : M →ₗ[R] M'
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
hf_inj : Disjoint (span R s) (ker f)

⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(⇑f '' s)) => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
f : M →ₗ[R] M'
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
hf_inj : Disjoint (span R (Set.range Subtype.val)) (ker f)

⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(⇑f '' s)) => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
f : M →ₗ[R] M'
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
hf_inj : Disjoint (span R (Set.range Subtype.val)) (ker f)

⊢ Set.range (⇑f ∘ fun x => ↑x) = ⇑f '' s
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
n : ℕ

⊢ M.toAddSubmonoid ^ n ≤ (M ^ n).toAddSubmonoid
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A

⊢ M.toAddSubmonoid ^ 0 ≤ (M ^ 0).toAddSubmonoid
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ M.toAddSubmonoid ^ n ≤ (M ^ n).toAddSubmonoid
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R
ha : a = fun i => b.repr (b i * x)

⊢ (1 ⊗ₜ[R] x * f.sum fun i y => y ⊗ₜ[R] b i) = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => (a i).support, (b.repr (f.sum fun i y => (a i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R
ha : a = fun i => b.repr (b i * x)

⊢ ∑ i ∈ f.support, 1 ⊗ₜ[R] x * f i ⊗ₜ[R] b i = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => (a i).support, (b.repr (f.sum fun i y => (a i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)

⊢ ∑ i ∈ f.support, 1 ⊗ₜ[R] x * f i ⊗ₜ[R] b i = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => ((fun i => b.repr (b i * x)) i).support, (b.repr (f.sum fun i y => ((fun i => b.repr (b i * x)) i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)

⊢ ∑ i ∈ f.support, f i ⊗ₜ[R] (Finsupp.total I S R ⇑b) (a i) = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => ((fun i => b.repr (b i * x)) i).support, (b.repr (f.sum fun i y => ((fun i => b.repr (b i * x)) i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)

⊢ ∑ x ∈ f.support, ∑ x_1 ∈ (a x).support, ((a x) x_1 • f x) ⊗ₜ[R] b x_1 = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => ((fun i => b.repr (b i * x)) i).support, (b.repr (f.sum fun i y => ((fun i => b.repr (b i * x)) i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k