ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Homology/SingleHomology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C

⊢ (singleObjHomologySelfIso c j A).hom ≫ (singleObjOpcyclesSelfIso c j A).hom = ((single C c j).obj A).homologyι j
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

⊢ W.Nonsingular x y ↔ (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.Nonsingular 0 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

⊢ (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.a₆ = 0 ∧ (2 * y + W.a₁ * x + W.a₃ ≠ 0 ∨ -(W.a₁ * y - (3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄)) ≠ 0) ↔ (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.a₆ = 0 ∧ (1 ^ 3 * (W.a₃ + { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r * W.a₁ + 2 * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t) ≠ 0 ∨ 1 ^ 4 * (W.a₄ - { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.s * W.a₃ + 2 * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r * W.a₂ - ({ u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t + { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.s) * W.a₁ + 3 * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r ^ 2 - 2 * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.s * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t) ≠ 0)
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/Images.lean
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : ↑(image f)

⊢ (F'.e ≫ F'.m) ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => f x_1 = ↑x) ⋯) = (ι f) x
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/Images.lean
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : ↑(image f)

⊢ ↑x = (ι f) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
u : Mˣ
n : ℕ

⊢ ↑(u ^ ↑n) = ↑u ^ ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
u : Mˣ
k : ℕ

⊢ ↑(u ^ -[k+1]) = ↑u ^ -[k+1]
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : SetLike S R
hSR : NonUnitalSubsemiringClass S R
s : S

⊢ (unitization s).range = subalgebraOfSubsemiring (Subsemiring.closure ↑s)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : SetLike S R
hSR : NonUnitalSubsemiringClass S R
s : S
this : SMulMemClass S ℕ R

⊢ (unitization s).range = subalgebraOfSubsemiring (Subsemiring.closure ↑s)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ κ : Kernel α β
h : IsSFiniteKernel κ
a : α

⊢ (Measure.sum fun n => (κ.seq n) a) = κ a
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_open : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ

⊢ Subsingleton ι
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_open : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i : ι

⊢ IsClosed (s i)
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_open : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i : ι

⊢ IsOpen (⋃ i_1, s i_1 \ s i)
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_open : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i j : ι

⊢ IsOpen (s j \ s i)
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_open : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i : ι

⊢ IsOpen (s i \ s i)
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_nonempty : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_open : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
h_Union : ⋃ i, s i = univ
i j : ι
h_ne : i ≠ j

⊢ IsOpen (s j \ s i)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f✝ : Perm α
inst✝ : DecidablePred p
a : α
f : Perm (Subtype p)
x : α
h : p x

⊢ p x ↔ p ((ofSubtype f) x)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
f✝ : Perm α
inst✝ : DecidablePred p
a : α
f : Perm (Subtype p)
x : α
h : ¬p x

⊢ p x ↔ p ((ofSubtype f) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : Set P

⊢ affineSpan k s₁ ∥ affineSpan k s₂ ↔ vectorSpan k s₁ = vectorSpan k s₂ ∧ (s₁ = ∅ ↔ s₂ = ∅)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : Set P

⊢ affineSpan k s₁ ∥ affineSpan k s₂ ↔ (affineSpan k s₁).direction = (affineSpan k s₂).direction ∧ (affineSpan k s₁ = ⊥ ↔ affineSpan k s₂ = ⊥)
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)

⊢ ∑ x ∈ Finset.Ico a b, f ↑x ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, f x
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : MonotoneOn f (Icc ↑a ↑b)

⊢ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, -f x ≤ ∑ x ∈ Finset.Ico a b, -f ↑x
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Functor.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A B : C

⊢ F.map ((exp.coev A).app B) ≫ (expComparison F A).app (A ⨯ B) = (exp.coev (F.obj A)).app (F.obj B) ≫ (exp (F.obj A)).map (inv (prodComparison F A B))
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Functor.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A B : C
e_1✝ : (F.obj ((𝟭 C).obj B) ⟶ (F ⋙ exp (F.obj A)).obj (A ⨯ B)) = (F.obj ((𝟭 C).obj B) ⟶ (F ⋙ exp (F.obj A)).obj ((prod.functor.obj A).obj B))
e_4✝ : (prod.functor.obj (F.obj A) ⋙ exp (F.obj A)).obj (F.obj B) = (prod.functor.obj (F.obj A) ⋙ exp (F.obj A)).obj (F.obj ((𝟭 C).obj B))
e_5✝ : (F.obj A ⟹ F.obj (A ⨯ B)) = (F.obj A ⟹ (prod.functor.obj A ⋙ F).obj ((𝟭 C).obj B))
e_6✝ : (prod.functor.obj (F.obj A)).obj (F.obj B) = (prod.functor.obj (F.obj A)).obj (F.obj ((𝟭 C).obj B))
e_7✝ : F.obj (A ⨯ B) = (prod.functor.obj A ⋙ F).obj ((𝟭 C).obj B)

⊢ inv (prodComparison F A B) = (prodComparisonNatIso F A).inv.app ((𝟭 C).obj B)
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Functor.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A B : C
e_1✝ : (F.obj ((𝟭 C).obj B) ⟶ (F ⋙ exp (F.obj A)).obj (A ⨯ B)) = (F.obj ((𝟭 C).obj B) ⟶ (F ⋙ exp (F.obj A)).obj ((prod.functor.obj A).obj B))
e_4✝ : (prod.functor.obj (F.obj A) ⋙ exp (F.obj A)).obj (F.obj B) = (prod.functor.obj (F.obj A) ⋙ exp (F.obj A)).obj (F.obj ((𝟭 C).obj B))
e_5✝ : (F.obj A ⟹ F.obj (A ⨯ B)) = (F.obj A ⟹ (prod.functor.obj A ⋙ F).obj ((𝟭 C).obj B))
e_6✝ : (prod.functor.obj (F.obj A)).obj (F.obj B) = (prod.functor.obj (F.obj A)).obj (F.obj ((𝟭 C).obj B))
e_7✝ : F.obj (A ⨯ B) = (prod.functor.obj A ⋙ F).obj ((𝟭 C).obj B)

⊢ prodComparison F A B ≫ (prodComparisonNatIso F A).inv.app ((𝟭 C).obj B) = 𝟙 (F.obj (A ⨯ B))
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
x : List α

⊢ x ∈ M.accepts ↔ M.eval x ∈ M.accept
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
α : Type u_1
i : Fin (n + 1)
x : α
p : Fin n → α

⊢ i.insertNth x p ∘ rev = i.rev.insertNth x (p ∘ rev)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
α : Type u_1
i : Fin (n + 1)
x✝ : α
p : Fin n → α
x : Fin (n + 1)

⊢ (i.insertNth x✝ p ∘ rev) x = i.rev.insertNth x✝ (p ∘ rev) x
-- Mathlib/Data/Finsupp/Interval.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f✝ g✝ : ι →₀ α
i✝ : ι
a : α
f g : ι →₀ α
i : ι

⊢ i ∈ f.support ∪ g.support ↔ (fun i => Icc (f i) (g i)) i ≠ 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Interval.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f✝ g✝ : ι →₀ α
i✝ : ι
a : α
f g : ι →₀ α
i : ι

⊢ f i = 0 ∧ g i = 0 ↔ (fun i => Icc (f i) (g i)) i = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b

⊢ dist a p * dist b p = |dist b q ^ 2 - dist p q ^ 2|
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p

⊢ dist a p * dist b p = |dist b q ^ 2 - dist p q ^ 2|
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q

⊢ dist a p * dist b p = |dist b q ^ 2 - dist p q ^ 2|
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q
h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q

⊢ dist a p * dist b p = |dist b q ^ 2 - dist p q ^ 2|
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q
h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q
h : ∀ (r : P), b -ᵥ r = m -ᵥ r + (m -ᵥ a)

⊢ dist a p * dist b p = |dist b q ^ 2 - dist p q ^ 2|
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k • (a -ᵥ p)
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q
h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q
h : ∀ (r : P), b -ᵥ r = m -ᵥ r + (m -ᵥ a)

⊢ ‖a -ᵥ p‖ * ‖b -ᵥ p‖ = |‖b -ᵥ q‖ ^ 2 - ‖p -ᵥ q‖ ^ 2|
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
hq : dist a q = dist b q
m : P := midpoint ℝ a b
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ m -ᵥ p + (m -ᵥ a) = k • (m -ᵥ p - (m -ᵥ a))
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q
h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q
h : ∀ (r : P), b -ᵥ r = m -ᵥ r + (m -ᵥ a)

⊢ ‖m -ᵥ p - (m -ᵥ a)‖ * ‖m -ᵥ p + (m -ᵥ a)‖ = |‖m -ᵥ q + (m -ᵥ a)‖ ^ 2 - ‖m -ᵥ q - (m -ᵥ p)‖ ^ 2|
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b p q : P
m : P := midpoint ℝ a b
hq : ‖m -ᵥ q - (m -ᵥ a)‖ = ‖m -ᵥ q + (m -ᵥ a)‖
hp : ∃ k, k ≠ 1 ∧ m -ᵥ p + (m -ᵥ a) = k • (m -ᵥ p - (m -ᵥ a))
h1 : m -ᵥ p - (m -ᵥ a) = a -ᵥ p
h2 : m -ᵥ q - (m -ᵥ p) = p -ᵥ q
h3 : m -ᵥ q - (m -ᵥ a) = a -ᵥ q
h : ∀ (r : P), b -ᵥ r = m -ᵥ r + (m -ᵥ a)

⊢ ‖m -ᵥ p - (m -ᵥ a)‖ * ‖m -ᵥ p + (m -ᵥ a)‖ = |‖m -ᵥ q + (m -ᵥ a)‖ ^ 2 - ‖m -ᵥ q - (m -ᵥ p)‖ ^ 2|
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
hs : s ⊆ f.source

⊢ map (↑(f.extend I)) (𝓝[s] y) = 𝓝[↑(f.extend I) '' s] ↑(f.extend I) y
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
hs : s ⊆ f.source

⊢ s ⊆ (f.extend I).source
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLinearOrder β
f g : α →o β
hf : Continuous f
hg : Continuous g

⊢ Continuous (f ⊓ g)
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLinearOrder β
f g : α →o β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
c : Chain α
z : β

⊢ (f ⊓ g) (ωSup c) ≤ z ↔ ωSup (c.map (f ⊓ g)) ≤ z
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLinearOrder β
f g : α →o β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
c : Chain α
z : β

⊢ (∀ (x x_1 : ℕ), f (c x_1) ≤ z ∨ g (c x) ≤ z) ↔ ∀ (i : ℕ), f (c i) ≤ z ∨ g (c i) ≤ z
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0

⊢ o % b ^ log b o < o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0

⊢ o % 0 ^ log 0 o < o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ o % b ^ log b o < o
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
a : T
p : T[X]
ha : a ≠ 0

⊢ (C a * p).aroots S = p.aroots S
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
a : T
p : T[X]
ha : a ≠ 0

⊢ (algebraMap T S) a ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
a : T
p : T[X]
ha : a ≠ 0

⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap T S)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f✝ : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β → γ
h : UniformContinuous₂ f
x : α

⊢ UniformContinuousOn (↿f) (univ ×ˢ univ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
P : SL(2, R) → Prop
a b c d : R
hdet : a * d - b * c = 1

⊢ !![a, b; c, d].det = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
P : SL(2, R) → Prop
h : ∀ (a b c d : R) (hdet : a * d - b * c = 1), P ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩
m : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R
hm : m.det = 1

⊢ P ⟨m, hm⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
P : SL(2, R) → Prop
h : ∀ (a b c d : R) (hdet : a * d - b * c = 1), P ⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩
m : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R
hm : m.det = 1

⊢ m = !![m 0 0, m 0 1; m 1 0, m 1 1]
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ Function.Periodic tan ↑π
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P

⊢ (pointReflection (midpoint R x y)) x = y
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Identities.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R

⊢ eval (x + y) f = ((f.sum fun e a => a * x ^ e) + f.sum fun e a => a * ↑e * x ^ (e - 1) * y) + f.sum fun e a => a * ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Identities.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R

⊢ (f.sum fun e a => a * (x ^ e + ↑e * x ^ (e - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2)) = ((f.sum fun e a => a * x ^ e) + f.sum fun e a => a * ↑e * x ^ (e - 1) * y) + f.sum fun e a => a * ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : DivisionRing γ
inst✝² : Module γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ

⊢ ∑' (i : β), g • f i = g • ∑' (i : β), f i
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : DivisionRing γ
inst✝² : Module γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α

⊢ ∑' (i : β), 0 • f i = 0 • ∑' (i : β), f i
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : DivisionRing γ
inst✝² : Module γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hg : g ≠ 0

⊢ ∑' (i : β), g • f i = g • ∑' (i : β), f i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F

⊢ normSq x = 0 ↔ ⟪x, x⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
x : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ init n (x ^ m) = init n (init n x ^ m)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
V : Type u
x : { adj // (∀ (x y : V), adj x y = adj y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj x x = true }
v w : V

⊢ (fun v w => ↑x v w = true) v w → (fun v w => ↑x v w = true) w v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
V : Type u
x : { adj // (∀ (x y : V), adj x y = adj y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj x x = true }
v : V

⊢ ¬(fun v w => ↑x v w = true) v v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
V : Type u
adj : V → V → Bool
property✝¹ : (∀ (x y : V), adj x y = adj y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj x x = true
adj' : V → V → Bool
property✝ : (∀ (x y : V), adj' x y = adj' y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj' x x = true
h : (fun v w => adj v w = true) = fun v w => adj' v w = true

⊢ adj = adj'
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
V : Type u
adj : V → V → Bool
property✝¹ : (∀ (x y : V), adj x y = adj y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj x x = true
adj' : V → V → Bool
property✝ : (∀ (x y : V), adj' x y = adj' y x) ∧ ∀ (x : V), ¬adj' x x = true
h : (fun v w => adj v w = true) = fun v w => adj' v w = true
v w : V

⊢ adj v w = adj' v w
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Polish.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s : Set α
t : TopologicalSpace α
t_le : t ≤ inst✝
t_polish : PolishSpace α
h : IsClosed s
h' : IsOpen s

⊢ IsClopenable sᶜ
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Monoidal.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : MonoidalCategory C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝⁴ : Closed A
inst✝³ : Closed B
A₁ A₂ A₃ : C
inst✝² : Closed A₁
inst✝¹ : Closed A₂
inst✝ : Closed A₃
f : A₁ ⟶ A₂
g : A₂ ⟶ A₃

⊢ pre (f ≫ g) = pre g ≫ pre f
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x => F⟮α + x • β⟯

⊢ ∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x => F⟮α + x • β⟯
x y : F
hneq : x ≠ y
heq : f x = f y

⊢ ∃ γ, F⟮α, β⟯ = F⟮γ⟯
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x => F⟮α + x • β⟯
x y : F
hneq : x ≠ y
heq : f x = f y

⊢ F⟮α, β⟯ = F⟮α + x • β⟯
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x => F⟮α + x • β⟯
x y : F
hneq : x ≠ y
heq : f x = f y

⊢ F⟮α, β⟯ ≤ F⟮α + x • β⟯
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Infinite F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
ϕ : F →+* E
α β : E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
f : F → IntermediateField F E := fun x => F⟮α + x • β⟯
x y : F
hneq : x ≠ y
heq : f x = f y

⊢ F⟮α + x • β⟯ ≤ F⟮α, β⟯
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ

⊢ normSq (exp ℝ q) = normSq (exp ℝ q.re • (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im))
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ

⊢ normSq (exp ℝ q.re • (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im)) = exp ℝ q.re ^ 2 * normSq (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ

⊢ normSq (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im) = Real.cos ‖q.im‖ ^ 2 + Real.sin ‖q.im‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
hv : ‖q.im‖ = 0

⊢ normSq (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im) = Real.cos ‖q.im‖ ^ 2 + Real.sin ‖q.im‖ ^ 2