ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
s : (x : B) → E x
x₀ : B

⊢ ContMDiffAt IB 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E x₀) (TotalSpace.mk' F x (s x))).2) x₀ → ContMDiffAt IB IB n (fun x => x) x₀
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
s : (x : B) → E x
x₀ : B
a✝ : ContMDiffAt IB 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E x₀) (TotalSpace.mk' F x (s x))).2) x₀

⊢ ContMDiffAt IB IB n (fun x => x) x₀
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
h : 0 < x
h₁ : 0 < y

⊢ log x ≤ log y ↔ x ≤ y
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ∉ s → f a = 1

⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ insert a s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ∉ s → f a = 1
x : α
hx : x ∈ mulSupport f

⊢ x ∈ insert a s → x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
b : α
s t : Set α
x : α
hx : x ∈ mulSupport f
h : x ∉ s → f x = 1

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ∉ s → f a = 1
x : α
hx : x ∈ mulSupport f
hxs : x ∈ s

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∈ s

⊢ (insert a s \ {b}).ncard = s.ncard
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ Integrable (fun x => rexp (-b * x ^ 2)) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
h : CountablyGenerated α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α

⊢ generateFrom (⋃ n, countablePartition α n) = m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : RCLike α
inst✝ : RCLike β
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian
i : n

⊢ ↑(re (A i i)) = A i i
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n✝ : ℕ
x✝¹ x✝ : List α
h : x✝¹ <+ x✝
n : ℕ

⊢ drop (n + 1) x✝¹ <+ drop (n + 1) x✝
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n✝ : ℕ
x✝¹ x✝ : List α
h : x✝¹ <+ x✝
n : ℕ

⊢ drop n x✝¹.tail <+ drop n x✝.tail
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Nat/Gcd.lean
m n k : Nat
x✝ : m.Coprime k ∧ n.Coprime k
h : m.Coprime k
right✝ : n.Coprime k

⊢ (m * n).Coprime k
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V

⊢ sin (angle x y) = 1 ↔ angle x y = π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : sin (angle x y) = 1

⊢ angle x y = π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : sin (angle x y) = 1

⊢ √(1 - 1 ^ 2) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹⁴ : Semiring R
inst✝¹³ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁' i)
M₁'' : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁'' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (M₁'' i)
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
hf : ∀ (i : ι), Surjective ⇑(f i)
g₁ g₂ : MultilinearMap R M₁' M₂
h : (fun g => g.compLinearMap f) g₁ = (fun g => g.compLinearMap f) g₂
x : (i : ι) → M₁' i

⊢ g₁ x = g₂ x
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a

⊢ Ioo (pred a) b = Ico a b
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A

⊢ bernoulli' 0 = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A

⊢ 1 - ∑ k ∈ range 0, ↑(Nat.choose 0 k) / (↑0 - ↑k + 1) * bernoulli' k = 1
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsSymm α r
s t : Multiset α
x : α
inst✝ : DecidablePred (r x)
h : Rel r s t

⊢ countP (r x) s = countP (r x) t
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsSymm α r
x : α
inst✝ : DecidablePred (r x)
t : Multiset α
h : Rel r 0 t

⊢ countP (r x) 0 = countP (r x) t
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsSymm α r
x : α
inst✝ : DecidablePred (r x)
y : α
s : Multiset α
ih : ∀ {t : Multiset α}, Rel r s t → countP (r x) s = countP (r x) t
t : Multiset α
h : Rel r (y ::ₘ s) t

⊢ countP (r x) (y ::ₘ s) = countP (r x) t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
p : R[X]

⊢ p.coeff 0 = (aeval 0) p
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 c)

⊢ HasStrictDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) (-c) a
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Boundary.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
j : ι
hj : e.BoundaryLE j
inst✝ : e.IsTruncGE

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Boundary.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
j : ι
hj : e.BoundaryLE j
inst✝ : e.IsTruncGE
k : ι
hk : e.f k = c'.next (e.f j)

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x1 x2 y : ℕ × K
H : R K p x1 x2
n : ℕ
x : K

⊢ R K p ((n, x).1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] (n, x).2 * (⇑(frobenius K p))^[(n, x).1] y.2) ((n + 1, (frobenius K p) x).1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] (n + 1, (frobenius K p) x).2 * (⇑(frobenius K p))^[(n + 1, (frobenius K p) x).1] y.2)
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x1 x2 y : ℕ × K
H : R K p x1 x2
n : ℕ
x : K

⊢ R K p ((n, x).1 + y.1, (⇑(frobenius K p))^[y.1] (n, x).2 * (⇑(frobenius K p))^[(n, x).1] y.2) ((n + y.1).succ, (frobenius K p) ((⇑(frobenius K p))^[y.1] x * (⇑(frobenius K p))^[n] y.2))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
I : Finset ι
κ : ι → Kernel α β
a : α

⊢ (∑ i ∈ I, κ i) a = ∑ i ∈ I, (κ i) a
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Ideal.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C

⊢ prodComparison (reflector i) A B ≫ (bijection i A B ((reflector i).obj (A ⨯ B))) (𝟙 ((reflector i).obj (A ⨯ B))) = 𝟙 ((reflector i).obj (A ⨯ B))
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Ideal.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C

⊢ (bijection i A B ((reflector i).obj (A ⨯ B))) (𝟙 ((reflector i).obj (A ⨯ B))) ≫ prodComparison (reflector i) A B = 𝟙 ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)
-- Mathlib/Data/Finsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq N
inst✝³ : Zero M
inst✝² : DecidableEq P
inst✝¹ : Zero P
inst✝ : Zero N
F : M → N → P
F0 : F 0 0 = 0
f : α →₀ M
g₁ g₂ : α →₀ N
hF : ∀ (f : M), Function.Injective fun g => F f g
a✝ : α

⊢ a✝ ∈ (zipWith F F0 f g₁).neLocus (zipWith F F0 f g₂) ↔ a✝ ∈ g₁.neLocus g₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
hc : IsColimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ Y := hc.coconePointUniqueUpToIso (ofId f hf)

⊢ IsIso (Cofork.π c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
hc : IsColimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ Y := hc.coconePointUniqueUpToIso (ofId f hf)
eq : Cofork.π c ≫ e.hom = 𝟙 Y

⊢ IsIso (Cofork.π c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
hc : IsColimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ Y := hc.coconePointUniqueUpToIso (ofId f hf)
eq : Cofork.π c ≫ e.hom = 𝟙 Y
this : IsIso (Cofork.π c ≫ e.hom)

⊢ IsIso (Cofork.π c)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.RightHomologyData

⊢ (S.rightHomologyIso.symm ≪≫ h.rightHomologyIso).hom ≫ h.ι = (S.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι) ≫ h.opcyclesIso.hom
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
this : 0 ∈ (univBall c r).source

⊢ ↑(univBall c r).symm c = 0
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hx : liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤

⊢ ∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hx : liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤
h : ¬∃ R, ∃ᶠ (n : ι) in l, x n < R

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hx : liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤
h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x_1 ≤ x x_2

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hx : liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤
h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x_1 ≤ x x_2
r : ℝ≥0

⊢ ∀ᶠ (n : ℝ≥0∞) in map (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l, ↑r ≤ n
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hx : liminf (fun n => ↑(Real.nnabs (x n))) l ≠ ⊤
h : ∀ (x_1 : ℝ), ∀ᶠ (x_2 : ι) in l, x_1 ≤ x x_2
r : ℝ≥0

⊢ ∀ᶠ (a : ι) in l, r ≤ Real.nnabs (x a)
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂

⊢ q.k * q.i = -c₁ • q.j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final/ParallelPair.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
h₁ : ∀ (Z : C), Nonempty (X ⟶ Z)
h₂ : ∀ ⦃Z : C⦄ (i j : X ⟶ Z), ∃ a, i = f ≫ a ∧ j = g ≫ a
Z : C
a : Y ⟶ Z
f₁ : mk (f ≫ a) ⟶ mk a := homMk left ⋯
f₂ : mk (g ≫ a) ⟶ mk a := homMk right ⋯

⊢ Zigzag (mk (f ≫ a)) (mk (g ≫ a))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re

⊢ ∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
nv : ∀ {b : ℂ}, 0 < b.re → b ≠ 0

⊢ ∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
nv : ∀ {b : ℂ}, 0 < b.re → b ≠ 0

⊢ ContinuousOn (fun {b} => ∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2)) {c | 0 < c.re}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
nv : ∀ {b : ℂ}, 0 < b.re → b ≠ 0

⊢ ContinuousOn (fun {b} => (↑π / b) ^ (1 / 2)) {c | 0 < c.re}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
nv : ∀ {b : ℂ}, 0 < b.re → b ≠ 0

⊢ ∫ (x : ℝ), cexp (-1 * ↑x ^ 2) = (↑π / 1) ^ (1 / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
nv : ∀ {b : ℂ}, 0 < b.re → b ≠ 0
c : ℂ
hc : c ∈ {c | 0 < c.re}

⊢ ((fun {b} => ∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2)) ^ 2) c = ((fun {b} => (↑π / b) ^ (1 / 2)) ^ 2) c
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
nv : ∀ {b : ℂ}, 0 < b.re → b ≠ 0
c : ℂ
hc : c ∈ {c | 0 < c.re}

⊢ (↑π / c) ^ (1 / 2) ≠ 0
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : CompactSpace β
v : Set β
hv₁ : IsOpen v
hv₂ : ω f ϕ s ⊆ v

⊢ ∀ᶠ (t : τ) in f, MapsTo (ϕ t) s v
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : CompactSpace β
v : Set β
hv₁ : IsOpen v
hv₂ : ω f ϕ s ⊆ v
u : Set τ
hu_mem : u ∈ f
hu : closure (image2 ϕ u s) ⊆ v

⊢ ∀ᶠ (t : τ) in f, MapsTo (ϕ t) s v
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : CompactSpace β
v : Set β
hv₁ : IsOpen v
hv₂ : ω f ϕ s ⊆ v
u : Set τ
hu_mem : u ∈ f
hu : closure (image2 ϕ u s) ⊆ v
t : τ
ht : t ∈ u
x : α
hx : x ∈ s

⊢ ϕ t x ∈ v
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b : Associates α

⊢ a ≤ b * a
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b : Associates α

⊢ a ≤ a * b
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
x : E

⊢ gaugeRescale s s x = x
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s

⊢ gaugeRescale s s 0 = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
x : E
hx : x ≠ 0

⊢ gaugeRescale s s x = x
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
s : Set E
hsa : Absorbent ℝ s
hsb : IsVonNBounded ℝ s
x : E
hx : x ≠ 0

⊢ gauge s x ≠ 0
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set α

⊢ (range f)ᶜ ⊆ kernImage f s
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set α

⊢ kernImage f ∅ ⊆ kernImage f s
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
_l : List α

⊢ countP p (Quot.mk Setoid.r _l) = 0 ↔ ∀ a ∈ Quot.mk Setoid.r _l, ¬p a
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s

⊢ vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x => p -ᵥ x) '' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s

⊢ Submodule.span k (s -ᵥ s) = Submodule.span k ((fun x => p -ᵥ x) '' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s

⊢ Submodule.span k (s -ᵥ s) ≤ Submodule.span k ((fun x => p -ᵥ x) '' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s

⊢ (fun x => p -ᵥ x) '' s ⊆ s -ᵥ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/ExpLog.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
r : ℝ
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
hr : 0 < r
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝

⊢ log (r • a) = (algebraMap ℝ A) (Real.log r) + log a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/ExpLog.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : PartialOrder A
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalRing A
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
r : ℝ
a : A
ha₂ : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, 0 < x
hr : 0 < r
ha₁ : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
this : ∀ x ∈ spectrum ℝ a, x ≠ 0

⊢ log (r • a) = (algebraMap ℝ A) (Real.log r) + log a
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing Rₘ
inst✝⁷ : CommRing Sₘ
inst✝⁶ : Algebra R Rₘ
inst✝⁵ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁴ : Algebra S Sₘ
i : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝³ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝² : Algebra R Sₘ
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝ : IsScalarTower R S Sₘ
x : R

⊢ (algebraMap Rₘ Sₘ) ((algebraMap R Rₘ) x) = (algebraMap S Sₘ) ((algebraMap R S) x)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Away/Basic.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S✝
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
e : R
he : IsIdempotentElem e
H : RingHom.ker (algebraMap R S) = Ideal.span {1 - e}
H' : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
r : ↥(Submonoid.powers e)

⊢ IsUnit ((algebraMap R S) ↑r)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Away/Basic.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S✝
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
e : R
he : IsIdempotentElem e
H : RingHom.ker (algebraMap R S) = Ideal.span {1 - e}
H' : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
r : ↥(Submonoid.powers e)
this : (algebraMap R S) e = 1

⊢ IsUnit ((algebraMap R S) ↑r)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Away/Basic.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S✝
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
e : R
he : IsIdempotentElem e
H : RingHom.ker (algebraMap R S) = Ideal.span {1 - e}
H' : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
x y : R
h : (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y

⊢ ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Away/Basic.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S✝
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
e : R
he : IsIdempotentElem e
H : RingHom.ker (algebraMap R S) = Ideal.span {1 - e}
H' : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
x y : R
h : 1 - e ∣ x - y

⊢ ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Away/Basic.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S✝
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
e : R
he : IsIdempotentElem e
H : RingHom.ker (algebraMap R S) = Ideal.span {1 - e}
H' : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
x y k : R
hk : x - y = (1 - e) * k

⊢ ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Away/Basic.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
M : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S✝
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
e : R
he : IsIdempotentElem e
H : RingHom.ker (algebraMap R S) = Ideal.span {1 - e}
H' : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)
x y k : R
hk : x - y = (1 - e) * k

⊢ ↑⟨e, ⋯⟩ * x = ↑⟨e, ⋯⟩ * y