ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : Subsingleton E
f : E → F
x : E

⊢ HasFDerivWithinAt f 0 {x} x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Metric.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
k : ℕ
h : G.edist u v = ↑k

⊢ ↑k ≠ ⊤
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f g : C(α, β)
ι : Type u_5
S : ι → Set α
φ : (i : ι) → C(↑(S i), β)
hφ : ∀ (i j : ι) (x : α) (hxi : x ∈ S i) (hxj : x ∈ S j), (φ i) ⟨x, hxi⟩ = (φ j) ⟨x, hxj⟩
hS : ∀ (x : α), ∃ i, S i ∈ 𝓝 x
i : ι
a✝ : ↑(S i)

⊢ (restrict (S i) (liftCover S φ hφ hS)) a✝ = (φ i) a✝
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hfN : ∀ (ω : Ω), a ≤ f N ω
hfzero : 0 ≤ f 0
hab : a < b

⊢ (b - a) * ∫ (x : Ω), ↑(upcrossingsBefore a b f N x) ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range N, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hfN : ∀ (ω : Ω), a ≤ f N ω
hfzero : 0 ≤ f 0
hab : a < b

⊢ ∫ (a_1 : Ω), (b - a) * ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1) ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range N, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hfN : ∀ (ω : Ω), a ≤ f N ω
hfzero : 0 ≤ f 0
hab : a < b

⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a_1 => (b - a) * ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hfN : ∀ (ω : Ω), a ≤ f N ω
hfzero : 0 ≤ f 0
hab : a < b

⊢ (fun a_1 => (b - a) * ↑(upcrossingsBefore a b f N a_1)) ≤ᶠ[ae μ] ∑ k ∈ Finset.range N, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Decomposition.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
x : M
i j : ι
hxi : x ∈ ℳ i
hxj : x ∈ ℳ j
hx : x ≠ 0

⊢ i = j
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Decomposition.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
x : M
i j : ι
hxi : x ∈ ℳ i
hxj : x ∈ ℳ j
hx : i ≠ j

⊢ x = 0
-- Mathlib/Data/List/ReduceOption.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)

⊢ l.length = l.reduceOption.length + (filter Option.isNone l).length
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/ChebyshevMarkov.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞

⊢ ε ^ p.toReal * μ {x | ε ≤ ↑‖f x‖₊} ≤ eLpNorm f p μ ^ p.toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/ChebyshevMarkov.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞

⊢ (fun x => ε ≤ ↑‖f x‖₊) = fun x => ε ^ p.toReal ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/ChebyshevMarkov.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : AEStronglyMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
x : α

⊢ ε ≤ ↑‖f x‖₊ ↔ ε ^ p.toReal ≤ ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

⊢ o.oangle x y = 0 ↔ SameRay ℝ x y
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

⊢ 0 ≤ (↑⟪x, y⟫_ℝ + (o.areaForm x) y • I).re ∧ (↑⟪x, y⟫_ℝ + (o.areaForm x) y • I).im = 0 ↔ SameRay ℝ x y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

⊢ log (1 + z * I) + -log (1 - z * I) = log ((1 + z * I) / (1 - z * I))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0

⊢ log (1 + z * I) + -log (1 - z * I) = log ((1 + z * I) / (1 - z * I))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 + -(z * I)).arg ≠ π ∧ 1 + -(z * I) ≠ 0

⊢ log (1 + z * I) + -log (1 - z * I) = log ((1 + z * I) / (1 - z * I))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0

⊢ log (1 + z * I) + -log (1 - z * I) = log ((1 + z * I) / (1 - z * I))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0

⊢ (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0
b₁ : (1 + z * I).arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)

⊢ (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0
b₁ : (1 + z * I).arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
b₂ : (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)

⊢ (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0
b₁ : (1 + z * I).arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
b₂ : (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
c₁ : -(π / 2) + -(π / 2) < (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg

⊢ (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
z₁ : (1 + z * I).arg ≠ π ∧ 1 + z * I ≠ 0
z₂ : (1 - z * I).arg ≠ π ∧ 1 - z * I ≠ 0
b₁ : (1 + z * I).arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
b₂ : (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
c₁ : -(π / 2) + -(π / 2) < (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg
c₂ : (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg < π / 2 + π / 2

⊢ (1 + z * I).arg + (1 - z * I)⁻¹.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
Y : Opens ↑X
R : Presieve Y

⊢ presieveOfCoveringAux (coveringOfPresieve Y R) Y = R
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
Y : Opens ↑X
R : Presieve Y
Z : Opens ↑X

⊢ presieveOfCoveringAux (coveringOfPresieve Y R) Y = R
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
Y : Opens ↑X
R : Presieve Y
Z : Opens ↑X
f : Z ⟶ Y

⊢ f ∈ presieveOfCoveringAux (coveringOfPresieve Y R) Y ↔ f ∈ R
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
a : ℤ
m n : ℕ

⊢ a.gcd (↑m * ↑n) ≠ 1 ↔ a.gcd ↑m ≠ 1 ∨ a.gcd ↑n ≠ 1
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B✝ : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B✝
inst✝⁴ : Algebra A B✝
x✝ : B✝
inst✝³ : Nontrivial B✝
B : Type u_4
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
S : Subalgebra A B
x : B
int : IsIntegral (↥S) x

⊢ 2 ≤ (minpoly (↥S) x).natDegree ↔ x ∉ S
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B✝ : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B✝
inst✝⁴ : Algebra A B✝
x✝ : B✝
inst✝³ : Nontrivial B✝
B : Type u_4
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Nontrivial B
S : Subalgebra A B
x : B
int : IsIntegral (↥S) x

⊢ x ∈ (algebraMap (↥S) B).range ↔ x ∈ S
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c

⊢ IsVanKampenColimit c
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n

⊢ IsVanKampenColimit c
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n

⊢ IsVanKampenColimit (Cocone.whisker (Discrete.equivalence e).symm.functor c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n

⊢ IsColimit (Cocone.whisker (Discrete.equivalence e).symm.functor c)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a✝ o✝ : Ordinal.{u}
f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o✝ → Ordinal.{u}
a o o' : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}
hg : o.IsFundamentalSequence o' g
i : Ordinal.{u}
hi : i < o'

⊢ g i hi < o
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a✝ o✝ : Ordinal.{u}
f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o✝ → Ordinal.{u}
a o o' : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}
hg : o.IsFundamentalSequence o' g
i : Ordinal.{u}
hi : i < o'

⊢ g i hi < o'.blsub g
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a✝ o✝ : Ordinal.{u}
f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o✝ → Ordinal.{u}
a o o' : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}
hg : o.IsFundamentalSequence o' g

⊢ a.IsFundamentalSequence o' fun i hi => f (g i hi) ⋯
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a✝ o✝ : Ordinal.{u}
f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o✝ → Ordinal.{u}
a o o' : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}
hg : o.IsFundamentalSequence o' g

⊢ o' ≤ a.cof.ord
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a✝ o✝ : Ordinal.{u}
f✝ : (b : Ordinal.{u}) → b < o✝ → Ordinal.{u}
a o o' : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
g : (b : Ordinal.{u}) → b < o' → Ordinal.{u}
hg : o.IsFundamentalSequence o' g

⊢ (o'.blsub fun i hi => f (g i hi) ⋯) = a
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
α : Type u_1
L : List (List α)
c : Composition L.join.length
h : map length L = c.blocks

⊢ L.join.splitWrtComposition c = L
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIcoMod hp (-a) b = p - toIocMod hp a (-b)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c

⊢ dist (inversion c R x) y * dist x c = dist x (inversion c R y) * dist y c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c

⊢ dist (inversion c 0 x) y * dist x c = dist x (inversion c 0 y) * dist y c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hR : R ≠ 0

⊢ dist (inversion c R x) y * dist x c = dist x (inversion c R y) * dist y c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hR : R ≠ 0
hy' : inversion c R y ≠ c

⊢ dist (inversion c R x) y * dist x c = dist x (inversion c R y) * dist y c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hR : R ≠ 0
hy' : inversion c R y ≠ c

⊢ dist (inversion c R x) (inversion c R (inversion c R y)) * dist x c = dist x (inversion c R y) * dist y c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hR : R ≠ 0
hy' : inversion c R y ≠ c

⊢ R ^ 2 / (dist x c * (R ^ 2 / dist y c)) * dist x (inversion c R y) * dist x c = dist x (inversion c R y) * dist y c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ
hx : x ≠ c
hy : y ≠ c
hR : R ≠ 0
hy' : inversion c R y ≠ c
this : dist x c ≠ 0

⊢ R ^ 2 / (dist x c * (R ^ 2 / dist y c)) * dist x (inversion c R y) * dist x c = dist x (inversion c R y) * dist y c
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f✝ : ι✝ → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}

⊢ Independent f ↔ ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f✝ : ι✝ → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι

⊢ Disjoint (f i) (sSup (f '' {j | j ≠ i}))
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f✝ : ι✝ → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι

⊢ ∀ (i_1 : Finset α), ↑i_1 ⊆ f '' {j | j ≠ i} → Disjoint (f i) (i_1.sup id)
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f✝ : ι✝ → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s✝ : Set α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}

⊢ Disjoint (f i) (s.sup id)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfHasFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
X Y Z : C

⊢ (α_ X Y Z).hom ≫ (coprod.braiding X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (α_ Y Z X).hom = (coprod.braiding X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (coprod.braiding X Z).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfHasFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
X Y Z : C

⊢ coprod.desc (coprod.desc coprod.inl (coprod.inl ≫ coprod.inr)) (coprod.inr ≫ coprod.inr) ≫ coprod.desc coprod.inr coprod.inl ≫ coprod.desc (coprod.desc coprod.inl (coprod.inl ≫ coprod.inr)) (coprod.inr ≫ coprod.inr) = coprod.map (coprod.desc coprod.inr coprod.inl) (𝟙 Z) ≫ coprod.desc (coprod.desc coprod.inl (coprod.inl ≫ coprod.inr)) (coprod.inr ≫ coprod.inr) ≫ coprod.map (𝟙 Y) (coprod.desc coprod.inr coprod.inl)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfHasFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
X Y Z : C

⊢ (α_ X Y Z).inv ≫ (coprod.braiding (X ⊗ Y) Z).hom ≫ (α_ Z X Y).inv = X ◁ (coprod.braiding Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (coprod.braiding X Z).hom ▷ Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfHasFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
X Y Z : C

⊢ coprod.desc (coprod.inl ≫ coprod.inl) (coprod.desc (coprod.inr ≫ coprod.inl) coprod.inr) ≫ coprod.desc coprod.inr coprod.inl ≫ coprod.desc (coprod.inl ≫ coprod.inl) (coprod.desc (coprod.inr ≫ coprod.inl) coprod.inr) = coprod.map (𝟙 X) (coprod.desc coprod.inr coprod.inl) ≫ coprod.desc (coprod.inl ≫ coprod.inl) (coprod.desc (coprod.inr ≫ coprod.inl) coprod.inr) ≫ coprod.map (coprod.desc coprod.inr coprod.inl) (𝟙 Y)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
ho : OrthocentricSystem s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p

⊢ affineSpan ℝ (Set.range p) = affineSpan ℝ s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
ho : OrthocentricSystem s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
ha : AffineIndependent ℝ p

⊢ affineSpan ℝ (Set.range p) = affineSpan ℝ s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
ha : AffineIndependent ℝ p
t : Triangle ℝ P
left✝ : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)

⊢ affineSpan ℝ (Set.range p) = affineSpan ℝ s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
ha : AffineIndependent ℝ p
t : Triangle ℝ P
left✝ : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hs : affineSpan ℝ s = affineSpan ℝ (Set.range t.points)

⊢ affineSpan ℝ (Set.range p) = affineSpan ℝ s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
ha : AffineIndependent ℝ p
t : Triangle ℝ P
left✝ : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hs : affineSpan ℝ s = affineSpan ℝ (Set.range t.points)

⊢ (affineSpan ℝ (Set.range p)).direction = (affineSpan ℝ s).direction
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
ha : AffineIndependent ℝ p
t : Triangle ℝ P
left✝ : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hs : affineSpan ℝ s = affineSpan ℝ (Set.range t.points)
hfd this : FiniteDimensional ℝ ↥(affineSpan ℝ s).direction

⊢ (affineSpan ℝ (Set.range p)).direction = (affineSpan ℝ s).direction
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
ha : AffineIndependent ℝ p
t : Triangle ℝ P
left✝ : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hts : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hs : affineSpan ℝ s = affineSpan ℝ (Set.range t.points)
hfd this : FiniteDimensional ℝ ↥(affineSpan ℝ s).direction

⊢ finrank ℝ ↥(affineSpan ℝ (Set.range p)).direction = finrank ℝ ↥(affineSpan ℝ s).direction
-- Mathlib/Order/InitialSeg.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≼i s
h : ¬∃ b, ∀ (x : β), s x b ↔ ∃ y, f y = x
b x : β
x✝¹ : ∀ (y : β), s y x → Acc s y
IH : ∀ (y : β), s y x → ∃ a, f a = y
hn : ∀ (x_1 : α), ¬f x_1 = x
y : β
x✝ : ∃ y_1, f y_1 = y
a : α
e : f a = y

⊢ s (f a) x
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
hs : IsIntegral R s
p : R[X]

⊢ p ∈ RingHom.ker (Polynomial.aeval s).toRingHom ↔ p ∈ Ideal.span {minpoly R s}
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : R⟦X⟧
n : ℕ

⊢ (coeff R n) (f * g).derivativeFun = (coeff R n) (f • g.derivativeFun + g • f.derivativeFun)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : R⟦X⟧
n : ℕ
h₁ : n < n + 1

⊢ (coeff R n) (f * g).derivativeFun = (coeff R n) (f • g.derivativeFun + g • f.derivativeFun)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : R⟦X⟧
n : ℕ
h₁ : n < n + 1
h₂ : n < n + 1 + 1

⊢ (coeff R n) (f * g).derivativeFun = (coeff R n) (f • g.derivativeFun + g • f.derivativeFun)
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝¹⁰ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁶ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝² : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x : DirectSum ι G
H : Submodule.Quotient.mk x = 0
ind i j : ι
hij : i ≤ j
y : G i
k : ι
hik : i ≤ k
hjk : j ≤ k
x✝ : (DirectSum.lof R ι G i) y - (DirectSum.lof R ι G j) ((f i j hij) y) ∈ {a | ∃ i j, ∃ (H : i ≤ j), ∃ x, (DirectSum.lof R ι G i) x - (DirectSum.lof R ι G j) ((f i j H) x) = a}

⊢ (DirectSum.toModule R ι (G k) fun i => totalize G f i k) ((DirectSum.lof R ι G i) y - (DirectSum.lof R ι G j) ((f i j hij) y)) = 0