ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Hom/Open.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β →CO γ
f₁ f₂ : α →CO β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α

⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v w : V
s t : Set V
sconn : (induce s G).Connected
tconn : (induce t G).Connected
hv : v ∈ s
hw : w ∈ t
ha : G.Adj v w

⊢ (induce (s ∪ t) G).Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v w : V
s t : Set V
sconn : (⊤.induce s).Connected
tconn : (⊤.induce t).Connected
hv : v ∈ s
hw : w ∈ t
ha : G.Adj v w

⊢ (⊤.induce (s ∪ t)).Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v w : V
s t : Set V
sconn : (⊤.induce s).Connected
tconn : (⊤.induce t).Connected
hv : v ∈ s
hw : w ∈ t
ha : G.Adj v w

⊢ ⊤.induce {v, w} ⊔ ⊤.induce s ⊔ ⊤.induce t ≤ ⊤.induce (s ∪ t)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v w : V
s t : Set V
sconn : (⊤.induce s).Connected
tconn : (⊤.induce t).Connected
hv : v ∈ s
hw : w ∈ t
ha : G.Adj v w

⊢ (⊤.induce {v, w} ⊔ ⊤.induce s ⊔ ⊤.induce t).verts = (⊤.induce (s ∪ t)).verts
-- Mathlib/CategoryTheory/CommSq.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g

⊢ sq.HasLift ↔ ⋯.HasLift
-- Mathlib/CategoryTheory/CommSq.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g

⊢ Nonempty sq.LiftStruct ↔ Nonempty ⋯.LiftStruct
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s

⊢ centroid k s p = centroid k univ fun x => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x => Exists.choose ⋯

⊢ centroid k s p = centroid k univ fun x => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x

⊢ centroid k s p = centroid k univ fun x => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x
f' : ↑ps → ι := fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩

⊢ centroid k s p = centroid k univ fun x => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x
f' : ↑ps → ι := fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩
hf' : ∀ (x : ↑ps), f' x ∈ s ∧ p (f' x) = ↑x

⊢ centroid k s p = centroid k univ fun x => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x
f' : ↑ps → ι := fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩
hf' : ∀ (x : ↑ps), f' x ∈ s ∧ p (f' x) = ↑x
hf'i : Function.Injective f'

⊢ centroid k s p = centroid k univ fun x => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x
f' : ↑ps → ι := fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩
hf' : ∀ (x : ↑ps), f' x ∈ s ∧ p (f' x) = ↑x
hf'i : Function.Injective f'
f'e : ↑ps ↪ ι := { toFun := f', inj' := hf'i }
hu : map f'e univ = s

⊢ centroid k s p = centroid k univ fun x => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x
f' : ↑ps → ι := fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩
hf' : ∀ (x : ↑ps), f' x ∈ s ∧ p (f' x) = ↑x
hf'i : Function.Injective f'
f'e : ↑ps ↪ ι := { toFun := f', inj' := hf'i }
hu : map f'e univ = s

⊢ centroid k univ (p ∘ ⇑f'e) = centroid k univ fun x => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
hi : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, p i = p j → i = j
ps : Set P
inst✝ : Fintype ↑ps
hps : ps = p '' ↑s
f : ↑(p '' ↑s) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(p '' ↑s)), f x ∈ s ∧ p (f x) = ↑x
f' : ↑ps → ι := fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩
hf' : ∀ (x : ↑ps), f' x ∈ s ∧ p (f' x) = ↑x
hf'i : Function.Injective f'
f'e : ↑ps ↪ ι := { toFun := f', inj' := hf'i }
hu : map f'e univ = s
x : ↑ps

⊢ p (f' x) = ↑x
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p q : α → Prop
a' : α

⊢ (∃ a, p a ∧ a' = a) ↔ p a'
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/List.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
M : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝² : MonoidWithZero M₀
l✝ : List M₀
inst✝¹ : Nontrivial M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
a : M₀
l : List M₀

⊢ (a :: l).prod = 0 ↔ 0 ∈ a :: l
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α

⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {b | |b| < ε}
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f

⊢ ∀ (g : Subobject X), (pullback f).obj ((map f).obj g) = g
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α

⊢ (∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n) → Archimedean α
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α

⊢ (∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n) → ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
h✝ : ∀ (x : α), ∃ n, x < ↑n
x : α
n : ℤ
h : x < ↑n

⊢ ↑n ≤ ↑n.toNat
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : 2 ≤ n

⊢ clog b n = clog b ((n + b - 1) / b) + 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/BilinearForm.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R₁
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
inst✝¹ : Fintype n
b : Basis n R₃ M₃
J J₃ A A' : Matrix n n R₃
inst✝ : DecidableEq n

⊢ A ∈ selfAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSelfAdjoint A
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
a b : α
ha : ¬IsUnit a
hb : b ≠ 0

⊢ Finite a b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : WfDvdMonoid α
a : α
ha : ¬IsUnit a
n : ℕ
c : α
ndvd : ¬a ∣ c
hb : a ^ n * c ≠ 0

⊢ Finite a (a ^ n * c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X Y : T

⊢ map (𝟙 Y) = 𝟭 (Under Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X Y : T

⊢ ∀ (X : Under Y), (map (𝟙 Y)).obj X = (𝟭 (Under Y)).obj X
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X Y : T

⊢ autoParam (∀ (X Y_1 : Under Y) (f : X ⟶ Y_1), (map (𝟙 Y)).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 (Under Y)).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
R : CommRingCat
f : ↑Γ(Spec R, ⊤)

⊢ (Spec R).basicOpen f = PrimeSpectrum.basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso R).hom f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
R : CommRingCat
f : ↑Γ(Spec R, ⊤)

⊢ f = (Scheme.ΓSpecIso R).inv ((Scheme.ΓSpecIso R).hom f)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ e.target

⊢ LiftPropWithinAt Q (↑e.symm) e.target x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
hG : G.LocalInvariantProp G Q
hQ : ∀ (y : H), Q id univ y
he : e ∈ maximalAtlas M G
x : H
hx : x ∈ e.target

⊢ e.target ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
this : NormedSpace ℝ G := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 G
g : ℝ → E := ⇑(AffineMap.lineMap x y)

⊢ ‖f y - f x‖ ≤ C * ‖y - x‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
this : NormedSpace ℝ G := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 G
g : ℝ → E := ⇑(AffineMap.lineMap x y)
segm : MapsTo g (Icc 0 1) s

⊢ ‖f y - f x‖ ≤ C * ‖y - x‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
this : NormedSpace ℝ G := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 G
g : ℝ → E := ⇑(AffineMap.lineMap x y)
segm : MapsTo g (Icc 0 1) s
hD : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) (Icc 0 1) t

⊢ ‖f y - f x‖ ≤ C * ‖y - x‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound✝ : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖ ≤ C
hs : Convex ℝ s
xs : x ∈ s
ys : y ∈ s
this : NormedSpace ℝ G := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 G
g : ℝ → E := ⇑(AffineMap.lineMap x y)
segm : MapsTo g (Icc 0 1) s
hD : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt (f ∘ g) ((f' (g t)) (y - x)) (Icc 0 1) t
bound : ∀ t ∈ Ico 0 1, ‖(f' (g t)) (y - x)‖ ≤ C * ‖y - x‖

⊢ ‖f y - f x‖ ≤ C * ‖y - x‖
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : ClosedEmbedding f
s : Set Y
hs : s ⊆ range f

⊢ IsClosed s ↔ IsClosed (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ

⊢ ‖↑p ^ n‖ = ↑p ^ (-n)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean

⊢ @product = @productTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β

⊢ l₁.product l₂ = l₁.productTR l₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β

⊢ (l₁.bind fun a => map (Prod.mk a) l₂) = (foldl (fun acc a => foldl (fun acc b => acc.push (a, b)) acc l₂) #[] l₁).data
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β

⊢ (l₁.bind fun a => map (Prod.mk a) l₂) = #[].data ++ l₁.bind ?h.h.h.h.G
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β

⊢ α → List (α × β)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β

⊢ ∀ (acc : Array (α × β)) (a : α), (foldl (fun acc b => acc.push (a, b)) acc l₂).data = acc.data ++ ?h.h.h.h.G a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_2
β : Type u_1
l₁ : List α
l₂ : List β
acc✝ : Array (α × β)
a✝ : α

⊢ (foldl (fun acc b => acc.push (a✝, b)) acc✝ l₂).data = acc✝.data ++ map (Prod.mk a✝) l₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M

⊢ ⊤.dualAnnihilator = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M

⊢ ⊤.dualAnnihilator ≤ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
v : Module.Dual R M

⊢ v ∈ ⊤.dualAnnihilator → v ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
v : Module.Dual R M

⊢ (∀ (w : M), v w = 0) → v = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

⊢ (mkMetric m).trim = mkMetric m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

⊢ ⨆ i, (mkMetric'.pre (fun s => m (diam s)) (↑i)⁻¹).trim = ⨆ n, mkMetric'.pre (fun s => m (diam s)) (↑n)⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
n : ℕ

⊢ (mkMetric'.pre (fun s => m (diam s)) (↑n)⁻¹).trim = mkMetric'.pre (fun s => m (diam s)) (↑n)⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
n : ℕ
s : Set X

⊢ m (diam (closure s)) = m (diam s)
-- Mathlib/Data/Vector3.lean
α : Type u_1
m n : ℕ
f : Vector3 α 0 → Prop
x✝ : Exists f
v : Vector3 α 0
fv : f v

⊢ f []
-- Mathlib/Data/Vector3.lean
α : Type u_1
m n : ℕ
f : Vector3 α 0 → Prop
x✝ : Exists f
v : Vector3 α 0
fv : f v

⊢ f v
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C

⊢ HasBiproduct F
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C

⊢ ∑ j : Fin n, (Biproducts.bicone F).π j ≫ (Biproducts.bicone F).ι j = 𝟙 (Biproducts.bicone F).pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C

⊢ (∑ j : Fin n, (Biproducts.bicone F).π j ≫ (Biproducts.bicone F).ι j).f = (𝟙 (Biproducts.bicone F).pt).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
j : Fin n

⊢ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ (∑ j : Fin n, (Biproducts.bicone F).π j ≫ (Biproducts.bicone F).ι j).f = biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ (𝟙 (Biproducts.bicone F).pt).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
j : Fin n

⊢ ∑ j_1 : Fin n, biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j_1 ≫ (F j_1).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j_1 = (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
j : Fin n

⊢ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j ≫ (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j = (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
j : Fin n

⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ j → biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) b ≫ (F b).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) b = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
n : ℕ
F : Fin n → Karoubi C
j : Fin n

⊢ j ∉ Finset.univ → biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j ≫ (F j).p ≫ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁸ : Semiring α
inst✝⁷ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝⁶ : IsRightCancelAdd α
inst✝⁵ : NoZeroDivisors α
inst✝⁴ : ZeroLEOneClass α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1

⊢ a * a + b * b = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
hlt : x < y

⊢ tan x < tan y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
hlt : x < y

⊢ 0 < sin (y - x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/RiemannZeta.lean
s : ℂ

⊢ completedRiemannZeta (1 - s) = completedRiemannZeta s
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X✝¹ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹
inst✝² : TopologicalSpace Y
s t : Set X✝¹
X✝ : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X✝ i)
X : ι → Type u_3
inst✝ : (d : ι) → TopologicalSpace (X d)

⊢ (Filter.coprodᵢ fun d => cocompact (X d)) = cocompact ((d : ι) → X d)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X✝¹ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹
inst✝² : TopologicalSpace Y
s t : Set X✝¹
X✝ : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X✝ i)
X : ι → Type u_3
inst✝ : (d : ι) → TopologicalSpace (X d)

⊢ cocompact ((d : ι) → X d) ≤ Filter.coprodᵢ fun d => cocompact (X d)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X✝¹ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹
inst✝² : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X✝¹
X✝ : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X✝ i)
X : ι → Type u_3
inst✝ : (d : ι) → TopologicalSpace (X d)
s : Set ((i : ι) → X i)
H : sᶜ ∈ Filter.coprodᵢ fun d => cocompact (X d)

⊢ sᶜ ∈ cocompact ((d : ι) → X d)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X✝¹ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹
inst✝² : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X✝¹
X✝ : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X✝ i)
X : ι → Type u_3
inst✝ : (d : ι) → TopologicalSpace (X d)
s : Set ((i : ι) → X i)
H : ∀ (i : ι), ∃ t, IsCompact t ∧ s ⊆ eval i ⁻¹' t

⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ s ⊆ t
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X✝¹ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝¹
inst✝² : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X✝¹
X✝ : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (X✝ i)
X : ι → Type u_3
inst✝ : (d : ι) → TopologicalSpace (X d)
s : Set ((i : ι) → X i)
K : (i : ι) → Set (X i)
hKc : ∀ (i : ι), IsCompact (K i)
htK : ∀ (i : ι), s ⊆ eval i ⁻¹' K i

⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ s ⊆ t
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁

⊢ ∠ p₃ p₁ p₂ = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length

⊢ l.set n a = take n l ++ a :: drop (n + 1) l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
n : Nat
α : Sort u_1
m : Nat
f : Fin (n + 1) → α → α
x : α
h : m + 1 ≤ n + 1

⊢ foldr.loop (n + 1) f ⟨m + 1, h⟩ x = f 0 (foldr.loop n (fun i => f i.succ) ⟨m, ⋯⟩ x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0

⊢ 0 ^ ↑n = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0

⊢ n ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
x✝ : -[n+1] ≠ 0

⊢ 0 ^ -[n+1] = 0