ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).InnerRegularWRT p MeasurableSet
hs : univ ⊆ ⋃ n, s n
hmono : Monotone s
F : Set α
hF : MeasurableSet F
r : ℝ≥0∞
hr : r < ⨆ n, μ (F ∩ s n)
hBU : ⋃ n, F ∩ s n = F
this : μ F = ⨆ n, μ (F ∩ s n)
n : ℕ
hn : r < (μ.restrict (s n)) F
K : Set α
KF : K ⊆ F
hKp : p K
hK : r < (μ.restrict (s n)) K

⊢ ∃ K ⊆ F, p K ∧ r < μ K
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
a b : α

⊢ 𝓝 a ×ˢ 𝓝 b = (𝓤 α).lift fun s => (𝓤 α).lift' fun t => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ {y | (b, y) ∈ t}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
a b : α

⊢ ((𝓤 α).lift fun s => (𝓤 α).lift' fun t => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ ball b t) = (𝓤 α).lift fun s => (𝓤 α).lift' fun t => {y | (y, a) ∈ s} ×ˢ {y | (b, y) ∈ t}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
a b : α

⊢ Monotone fun s => {y | (y, a) ∈ s}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
a b : α

⊢ Monotone (ball b)
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module.Finite A (A ⊗[R] M)
inst✝ : Module.Free A (A ⊗[R] M)
x : ι → A

⊢ Polynomial.map (MvPolynomial.aeval x).toRingHom (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = ((tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ) ((basis A b).repr.symm (Finsupp.equivFunOnFinite.symm x))).charpoly
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module.Finite A (A ⊗[R] M)
inst✝ : Module.Free A (A ⊗[R] M)
x : ι → A

⊢ Polynomial.map (MvPolynomial.aeval x).toRingHom (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = Polynomial.map ((MvPolynomial.eval x).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R A))) (φ.polyCharpolyAux b bₘ)
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module.Finite A (A ⊗[R] M)
inst✝ : Module.Free A (A ⊗[R] M)
x : ι → A

⊢ (MvPolynomial.aeval x).toRingHom = (MvPolynomial.eval x).comp (MvPolynomial.map (algebraMap R A))
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
β : ι → Type u_6
β₁ : ι → Type u_7
β₂ : ι → Type u_8
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (β₁ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (β₂ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (β i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (β₁ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (β₂ i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → β₁ i →ₗ[R] β₂ i
h : (i : ι) → β₂ i →ₗ[R] N
l : Π₀ (i : ι), β₁ i

⊢ ((lsum ℕ) h) ((mapRange.linearMap f) l) = ((lsum ℕ) fun i => h i ∘ₗ f i) l
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
F : Set (Set E)
hF : F.Nonempty
hA : ∀ B ∈ F, IsExtreme 𝕜 A B

⊢ IsExtreme 𝕜 A (⋂ B ∈ F, B)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
F : Set (Set E)
hF : F.Nonempty
hA : ∀ B ∈ F, IsExtreme 𝕜 A B
this : Nonempty ↑F

⊢ IsExtreme 𝕜 A (⋂ B ∈ F, B)
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
s : Set β

⊢ BddBelow (⇑e ⁻¹' s) ↔ BddBelow s
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
f : α → β
a : α
b : β
h : ¬∃ a ∈ s, f a = b

⊢ invFunOn f s b = Classical.choice inst✝
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z : ℂ

⊢ abs z ≤ |z.re| + |z.im|
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : M

⊢ (ι R) x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basis.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra R S
b : Basis ι R S
x : S
hx : x ≠ 0
i : ι

⊢ ↑((basisSpanSingleton b hx) i) = x * b i
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h : Perm α

⊢ f⁻¹.Disjoint g ↔ f.Disjoint g
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f⁻¹.Disjoint g

⊢ f.Disjoint g
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
h : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
x : ℝ
xs : x ∈ s
y : ℝ
ys : y ∈ s

⊢ eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
h : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
x : ℝ
xs : x ∈ s
y : ℝ
ys : y ∈ s
xy : x ≤ y

⊢ eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
h : ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → x ≤ y → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
x : ℝ
xs : x ∈ s
y : ℝ
ys : y ∈ s
yx : y ≤ x

⊢ eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (↑l * (y - x))
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
hc : c ≠ 0

⊢ a / c / (b / c) = a / b
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ s₃✝ : Finmap β
s₁ s₂ s₃ : AList β

⊢ ⟦s₁⟧ ∪ ⟦s₂⟧ ∪ ⟦s₃⟧ = ⟦s₁⟧ ∪ (⟦s₂⟧ ∪ ⟦s₃⟧)
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hab : AddLECancellable (a - b)
h₁ : b ≤ a
h₂ : c ≤ a
h₃ : a - b = a - c

⊢ b = c
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hab : AddLECancellable (a - b)
h₁ : b ≤ a
h₂ : c ≤ a
h₃ : a - b = a - c

⊢ a - b + b = a - b + c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ✝ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
f : α → β
h : NeZero (Measure.map f μ)

⊢ AEMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ✝ ν : Measure α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
f : α → β
h : NeZero (Measure.map f μ)
h' : ¬AEMeasurable f μ

⊢ False
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Pullbacks.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝¹ : HasColimit (pair Y Z)
inst✝ : HasColimit (parallelPair (f ≫ coprod.inl) (g ≫ coprod.inr))
ι₁ : Y ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inl
ι₂ : Z ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inr
c : Y ⨿ Z ⟶ coequalizer (f ≫ ι₁) (g ≫ ι₂) := coequalizer.π (f ≫ ι₁) (g ≫ ι₂)

⊢ f ≫ ι₁ ≫ c = g ≫ ι₂ ≫ c
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Pullbacks.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝¹ : HasColimit (pair Y Z)
inst✝ : HasColimit (parallelPair (f ≫ coprod.inl) (g ≫ coprod.inr))
ι₁ : Y ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inl
ι₂ : Z ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inr
c : Y ⨿ Z ⟶ coequalizer (f ≫ ι₁) (g ≫ ι₂) := coequalizer.π (f ≫ ι₁) (g ≫ ι₂)
s : PushoutCocone f g

⊢ (f ≫ ι₁) ≫ coprod.desc (s.ι.app WalkingSpan.left) (s.ι.app WalkingSpan.right) = (g ≫ ι₂) ≫ coprod.desc (s.ι.app WalkingSpan.left) (s.ι.app WalkingSpan.right)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Pullbacks.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝¹ : HasColimit (pair Y Z)
inst✝ : HasColimit (parallelPair (f ≫ coprod.inl) (g ≫ coprod.inr))
ι₁ : Y ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inl
ι₂ : Z ⟶ Y ⨿ Z := coprod.inr
c : Y ⨿ Z ⟶ coequalizer (f ≫ ι₁) (g ≫ ι₂) := coequalizer.π (f ≫ ι₁) (g ≫ ι₂)
s : PushoutCocone f g

⊢ f ≫ (BinaryCofan.mk (s.ι.app WalkingSpan.left) (s.ι.app WalkingSpan.right)).ι.app { as := WalkingPair.left } = g ≫ (BinaryCofan.mk (s.ι.app WalkingSpan.left) (s.ι.app WalkingSpan.right)).ι.app { as := WalkingPair.right }
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝³ : AddMonoid α
inst✝² : Neg β
inst✝¹ : Group γ
inst✝ : DistribMulAction γ α
h : Antiperiodic f c
a : γ

⊢ Antiperiodic (fun x => f (a⁻¹ • x)) (a • c)
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
s : Finset α

⊢ s.powerset ⊻ s.powerset = s.powerset
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : μ s ≠ ⊤
f : α → ℝ≥0∞
M : ℝ≥0
hM : ∀ x ∈ s, f x ≤ ↑M

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : μ s ≠ ⊤
f : α → ℝ≥0∞
M : ℝ≥0
hM : ∀ x ∈ s, f x ≤ ↑M

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑M ∂μ < ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq κ
b₁ : Basis ι R M
b₂ : Basis ι' R M
b₃ : Basis κ R N
A : Matrix ι' κ R

⊢ b₁.toMatrix ⇑b₂ * A = (toMatrix b₃ b₁) ((toLin b₃ b₂) A)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝³ : Fintype ι'
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq κ
b₁ : Basis ι R M
b₂ : Basis ι' R M
b₃ : Basis κ R N
A : Matrix ι' κ R
this : b₁.toMatrix ⇑b₂ * (toMatrix b₃ b₂) ((toLin b₃ b₂) A) = (toMatrix b₃ b₁) ((toLin b₃ b₂) A)

⊢ b₁.toMatrix ⇑b₂ * A = (toMatrix b₃ b₁) ((toLin b₃ b₂) A)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
x✝ : ℤ

⊢ x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Ioo a b ↔ x✝ ∈ Ioo ⌊a⌋ ⌈b⌉
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Subsingleton α
a : Associates α
this : Subsingleton (Associates α)

⊢ a.factors = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]
n : ℕ

⊢ normSq ↑n = ↑n ^ 2
-- Mathlib/Data/Finset/Sort.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : k ≤ s.card
a : Fin k

⊢ (s.orderEmbOfCardLe h) a ∈ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P

⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range p)
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s : Finset α
f : α ≃ β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p

⊢ map f.toEmbedding (filter p s) = filter (p ∘ ⇑f.symm) (map f.toEmbedding s)
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : s ≤ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
h_fin : μ s ≠ ⊤

⊢ s =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ] univ
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : s ≤ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
h_fin : μ (f ⁻¹' s) ≠ ⊤

⊢ s =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ] univ
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : s ≤ᶠ[ae μ] f ⁻¹' s
h_fin : μ (f ⁻¹' s) ≠ ⊤

⊢ f ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] s
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f✝ : ℕ → α
a : α
f : ℕ → ℝ≥0

⊢ (¬Summable fun i => ↑(f i)) ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, (fun i => ↑(f i)) i) atTop atTop
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
v : V
h : v ∈ e

⊢ Sym2.Mem.other h ≠ v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
e : Sym2 V
v : V
h : v ∈ e
he : s(Sym2.Mem.other h, v) ∈ G.edgeSet

⊢ Sym2.Mem.other h ≠ v
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α

⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Tendsto (f (a, t)) atBot (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α

⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Tendsto (fun q => f (a, t) (-q)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α

⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Tendsto (fun n => f (a, t) (-↑n)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
ι : Type u_3
f : ι → R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (∀ (i : ι), ContinuousOn (f i) (spectrum R a)) _auto✝
i : ι

⊢ cfc (f i) a = (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict (f i), continuous_toFun := ⋯ }
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
w : #α < #β
w' : Infinite α

⊢ ∃ a, Infinite ↑(f ⁻¹' {a})
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
w : #α < #β
w' : ℵ₀ ≤ #α

⊢ ∃ a, ℵ₀ ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
w : #α < #β
w' : ℵ₀ ≤ #α
a : α
ha : #α < #↑(f ⁻¹' {a})

⊢ ∃ a, ℵ₀ ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2

⊢ [].permutations = [[]]
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ StrictMonoOn (fun x => 1 - ε x) (Set.Ioi 1)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ StrictMonoOn (fun x => 1 + -ε x) (Set.Ioi 1)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R

⊢ r ∈ {r | ∀ (hr : IsUnit r), ¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • a))} ↔ r ∈ spectrum R a ∪ {r | ¬IsUnit r}
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R

⊢ (∀ (hr : IsUnit r), ¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • a))) ↔ IsUnit r → ¬IsUnit ((algebraMap R A) r - a)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
hr : IsUnit r

⊢ ¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • a)) ↔ ¬IsUnit ((algebraMap R A) r - a)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
hr : IsUnit r

⊢ IsUnit (1 - hr.unit⁻¹ • a) ↔ IsUnit (r • 1 - a)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial R

⊢ (p %ₘ q).degree ≤ q.degree
-- Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
p : P
g : Dual R N
q : Q
m : M
n : N

⊢ (((TensorProduct.mk R M N).compr₂ (TensorProduct.map ((dualTensorHom R M P) (f ⊗ₜ[R] p)) ((dualTensorHom R N Q) (g ⊗ₜ[R] q)))) m) n = (((TensorProduct.mk R M N).compr₂ ((dualTensorHom R (M ⊗[R] N) (P ⊗[R] Q)) ((dualDistrib R M N) (f ⊗ₜ[R] g) ⊗ₜ[R] p ⊗ₜ[R] q))) m) n
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
n : ℕ
f : R[A]

⊢ (f ^ n).support.sup degb ≤ n • f.support.sup degb
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
n : ℕ
f : R[A]

⊢ (List.replicate n f).prod.support.sup degb ≤ (List.replicate n (f.support.sup degb)).sum
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
n : ℕ
f : R[A]

⊢ (List.map (fun f => f.support.sup degb) (List.replicate n f)).sum = (List.replicate n (f.support.sup degb)).sum
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix n p R

⊢ Aᴴ * A * B = 0 ↔ A * B = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix n p R
h : Aᴴ * A * B = 0

⊢ A * B = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix n p R
h : Bᴴ * (Aᴴ * A * B) = Bᴴ * 0

⊢ A * B = 0
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
m : ℕ

⊢ m ∈ factoredNumbers s ↔ m ≠ 0 ∧ ∀ p ≤ m, Prime p → p ∣ m → p ∈ s