ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
i : ι
x : X
t : Finset ι
ht : ∀ (j : ι), WellOrderingRel j i → (f j) x ≠ 0 → j ∈ t
j : ι
hj : ¬(f j) x = 0

⊢ WellOrderingRel j i → j ∈ t
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' m₁ m₂ mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
hm₁ : m₁ ≤ mΩ
hm₂ : m₂ ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

⊢ CondIndep m' m₁ m₂ hm' μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' m₁ m₂ mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
hm₁ : m₁ ≤ mΩ
hm₂ : m₂ ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

⊢ (∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ {s | MeasurableSet s} → t2 ∈ {s | MeasurableSet s} → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']) ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' m₁ m₂ mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
hm₁ : m₁ ≤ mΩ
hm₂ : m₂ ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

⊢ ∀ s ∈ {s | MeasurableSet s}, MeasurableSet s
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ ∃ z, z ^ n = x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
n : ℕ
hn : 0 < n
this : (X ^ n - C x).degree ≠ 0

⊢ ∃ z, z ^ n = x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
n : ℕ
hn : 0 < n
this : (X ^ n - C x).degree ≠ 0
z : k
hz : (X ^ n - C x).IsRoot z

⊢ ∃ z, z ^ n = x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
n : ℕ
hn : 0 < n
this : (X ^ n - C x).degree ≠ 0
z : k
hz : (X ^ n - C x).IsRoot z

⊢ z ^ n = x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
x : k
n : ℕ
hn : 0 < n
this : (X ^ n - C x).degree ≠ 0
z : k
hz : z ^ n - x = 0

⊢ z ^ n = x
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝
hsc : autoParam sᶜ.Finite _auto✝

⊢ s.ncard + sᶜ.ncard = Nat.card α
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R

⊢ coeffs 1 = {1}
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R

⊢ {1} ⊆ coeffs 1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R

⊢ ∃ a ∈ support 1, coeff a 1 = 1
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
c : Chain α

⊢ ⊤ (ωSup c) = ωSup (c.map ⊤)
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
c : Chain α

⊢ ∀ (c_1 : β), ⊤ (ωSup c) ≤ c_1 ↔ ωSup (c.map ⊤) ≤ c_1
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β
c : Chain α
z : β

⊢ ⊤ (ωSup c) ≤ z ↔ ωSup (c.map ⊤) ≤ z
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasureProd.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β

⊢ (μ.prod ν).map ⋯ = ν.prod μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasureProd.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β

⊢ ↑((μ.prod ν).map ⋯) = ↑(ν.prod μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f p μ

⊢ Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f p μ
this : ∀ (x : α), ‖RCLike.re (f x)‖ ≤ 1 * ‖f x‖

⊢ Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f p μ
this : ∀ (x : α), ‖RCLike.re (f x)‖ ≤ 1 * ‖f x‖

⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => RCLike.re (f x)) μ
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α

⊢ Ico a b \ Ico c b = Ico a (min b c)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α

⊢ MeasurableSet (range Sum.inr)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α

⊢ MeasurableSet (Sum.inr '' univ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

⊢ LinearIndependent R v
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R

⊢ ∀ (l : ι →₀ R), (Finsupp.total ι N R v) l = 0 → l = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0
a : Π₀ (i : ι), ↥(p i) := (mapRange.linearMap fun i => LinearMap.toSpanSingleton R ↥(p i) ⟨v i, ⋯⟩) l.toDFinsupp

⊢ l = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0
a : Π₀ (i : ι), ↥(p i) := (mapRange.linearMap fun i => LinearMap.toSpanSingleton R ↥(p i) ⟨v i, ⋯⟩) l.toDFinsupp
ha : a = 0

⊢ l = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0
a : Π₀ (i : ι), ↥(p i) := (mapRange.linearMap fun i => LinearMap.toSpanSingleton R ↥(p i) ⟨v i, ⋯⟩) l.toDFinsupp
ha : a = 0
i : ι

⊢ l i = 0 i
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0
a : Π₀ (i : ι), ↥(p i) := (mapRange.linearMap fun i => LinearMap.toSpanSingleton R ↥(p i) ⟨v i, ⋯⟩) l.toDFinsupp
ha : a = 0
i : ι

⊢ (fun c => c • v i) (l i) = (fun c => c • v i) (0 i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0
a : Π₀ (i : ι), ↥(p i) := (mapRange.linearMap fun i => LinearMap.toSpanSingleton R ↥(p i) ⟨v i, ⋯⟩) l.toDFinsupp
ha : a = 0
i : ι
this : l i • v i = ↑(a i)

⊢ (fun c => c • v i) (l i) = (fun c => c • v i) (0 i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
p : ι → Submodule R N
hp : Independent p
v : ι → N
hv : ∀ (i : ι), v i ∈ p i
hv' : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
x✝¹ : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
x✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι N R v) l = 0
a : Π₀ (i : ι), ↥(p i) := (mapRange.linearMap fun i => LinearMap.toSpanSingleton R ↥(p i) ⟨v i, ⋯⟩) l.toDFinsupp
ha : a = 0
i : ι
this : l i = 0 ∨ v i = 0

⊢ (fun c => c • v i) (l i) = (fun c => c • v i) (0 i)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbsoluteValue.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
h : abv.IsAdmissible
A : Fin (h.card ε ^ Fintype.card ι).succ → ι → R
e : ι ≃ Fin (Fintype.card ι) := Fintype.equivFin ι

⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : ι), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbsoluteValue.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
h✝ : abv.IsAdmissible
A : Fin (h✝.card ε ^ Fintype.card ι).succ → ι → R
e : ι ≃ Fin (Fintype.card ι) := Fintype.equivFin ι
i₀ i₁ : Fin (h✝.card ε ^ Fintype.card ι).succ
ne : i₀ ≠ i₁
h : ∀ (k : Fin (Fintype.card ι)), ↑(abv (A i₁ (e.symm k) % b - A i₀ (e.symm k) % b)) < abv b • ε

⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ ∀ (k : ι), ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbsoluteValue.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
h✝ : abv.IsAdmissible
A : Fin (h✝.card ε ^ Fintype.card ι).succ → ι → R
e : ι ≃ Fin (Fintype.card ι) := Fintype.equivFin ι
i₀ i₁ : Fin (h✝.card ε ^ Fintype.card ι).succ
ne : i₀ ≠ i₁
h : ∀ (k : Fin (Fintype.card ι)), ↑(abv (A i₁ (e.symm k) % b - A i₀ (e.symm k) % b)) < abv b • ε
k : ι

⊢ ↑(abv (A i₁ k % b - A i₀ k % b)) < abv b • ε
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t t' : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)

⊢ (vanishingIdeal (t ∪ t')).toIdeal = (vanishingIdeal t ⊓ vanishingIdeal t').toIdeal
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n : ℕ

⊢ ‖x‖ ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ ↑n ≤ x.valuation
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n : ℕ

⊢ ↑p ^ (-x.valuation) ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ ↑n ≤ x.valuation
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n k : ℕ

⊢ ↑p ^ (-↑k) ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ ↑n ≤ ↑k
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n k : ℕ

⊢ (↑p ^ k)⁻¹ ≤ (↑p ^ n)⁻¹ ↔ n ≤ k
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n k : ℕ
aux : ∀ (m : ℕ), 0 < ↑p ^ m

⊢ (↑p ^ k)⁻¹ ≤ (↑p ^ n)⁻¹ ↔ n ≤ k
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n k : ℕ
aux : ∀ (m : ℕ), 0 < ↑p ^ m

⊢ ↑p ^ n ≤ ↑p ^ k ↔ n ≤ k
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n k : ℕ
aux : ∀ (m : ℕ), 0 < ↑p ^ m
this : p ^ n ≤ p ^ k ↔ n ≤ k

⊢ ↑p ^ n ≤ ↑p ^ k ↔ n ≤ k
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
n k : ℕ
aux : ∀ (m : ℕ), 0 < ↑p ^ m
this : p ^ n ≤ p ^ k ↔ n ≤ k

⊢ ↑p ^ n ≤ ↑p ^ k ↔ p ^ n ≤ p ^ k
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ‖f p‖ < 1
s : Finset ℕ

⊢ (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter Nat.Prime s, (1 - f p)⁻¹)
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ‖f p‖ < 1
s : Finset ℕ
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n

⊢ (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter Nat.Prime s, (1 - f p)⁻¹)
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ‖f p‖ < 1
s : Finset ℕ
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
H₁ : ∏ p ∈ filter Nat.Prime s, ∑' (n : ℕ), f (p ^ n) = ∏ p ∈ filter Nat.Prime s, (1 - f p)⁻¹

⊢ (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter Nat.Prime s, (1 - f p)⁻¹)
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ‖f p‖ < 1
s : Finset ℕ
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
H₁ : ∏ p ∈ filter Nat.Prime s, ∑' (n : ℕ), f (p ^ n) = ∏ p ∈ filter Nat.Prime s, (1 - f p)⁻¹
H₂ : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → Summable fun n => ‖f (p ^ n)‖

⊢ (Summable fun m => ‖f ↑m‖) ∧ HasSum (fun m => f ↑m) (∏ p ∈ filter Nat.Prime s, (1 - f p)⁻¹)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
i j : ι
h : i ≠ j
x : E i
y : E j

⊢ 1 ≤ dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
i j : ι
h : i ≠ j
x : E i
y : E j

⊢ 1 ≤ dist x ⋯.some + 1 + dist ⋯.some y
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : Disjoint a b

⊢ a ∆ b = a ⊔ b
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α

⊢ ¬1 - ↑K = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S✝ : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S✝
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ : M →ₗ[R] M₂
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
S : Submodule R M
S' : Submodule R M₂

⊢ ↑(Submodule.map (f.coprod g) (S.prod S')) = ↑(Submodule.map f S ⊔ Submodule.map g S')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S✝ : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S✝
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ : M →ₗ[R] M₂
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
S : Submodule R M
S' : Submodule R M₂

⊢ (fun a => f a.1 + g a.2) '' ↑(S.prod S') = ⇑f '' ↑S + ⇑g '' ↑S'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S✝ : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S✝
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ : M →ₗ[R] M₂
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
S : Submodule R M
S' : Submodule R M₂

⊢ (fun a => f a.1 + g a.2) '' ↑(S.prod S') = Set.image2 (fun a b => f a + g b) ↑S ↑S'
-- Mathlib/Dynamics/Newton.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : (aeval x) P = 0

⊢ IsFixedPt P.newtonMap x
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α

⊢ x - 1 / 2 < ↑(round x)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α

⊢ x + 1 / 2 - 1 < ↑⌊x + 1 / 2⌋
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIcoMod hp a (b + p) = toIcoMod hp a b
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : a ≤ b

⊢ a ⇔ b = b ⇨ a
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : CommRing A

⊢ (rescale (-1)) X = -X
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ cosh x ^ 2 - sinh x ^ 2 = 1
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ ↑(cosh x ^ 2 - sinh x ^ 2) = ↑1
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
x : DirectSum ι G
i j : ι
hij : i ≤ j
hx : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i

⊢ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) x = (f i j hij) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) x)
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
x : DirectSum ι G
i j : ι
hij : i ≤ j
hx : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i

⊢ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) (DFinsupp.sum x DFinsupp.single) = (f i j hij) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) (DFinsupp.sum x DFinsupp.single))
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
x : DirectSum ι G
i j : ι
hij : i ≤ j
hx : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i

⊢ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) (∑ i ∈ DFinsupp.support x, DFinsupp.single i (x i)) = (f i j hij) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) (∑ i ∈ DFinsupp.support x, DFinsupp.single i (x i)))
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
x : DirectSum ι G
i j : ι
hij : i ≤ j
hx : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i

⊢ ∑ x_1 ∈ DFinsupp.support x, (DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) (DFinsupp.single x_1 (x x_1)) = ∑ x_1 ∈ DFinsupp.support x, (f i j hij) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) (DFinsupp.single x_1 (x x_1)))
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
x : DirectSum ι G
i j : ι
hij : i ≤ j
hx : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i
k : ι
hk : k ∈ DFinsupp.support x

⊢ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) (DFinsupp.single k (x k)) = (f i j hij) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) (DFinsupp.single k (x k)))
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : InjOn fa s
hf : InjOn f (fa '' s)
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
H : fb (f x) = fb (f y)

⊢ f x = f y
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : InjOn fa s
hf : InjOn f (fa '' s)
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
H : f (fa x) = f (fa y)

⊢ f x = f y
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Multiset β
b : β
this : DecidableEq α := Classical.decEq α

⊢ count b (s.sup f) = s.sup fun a => count b (f a)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Multiset β
b : β
this : DecidableEq α := Classical.decEq α

⊢ count b (∅.sup f) = ∅.sup fun a => count b (f a)