ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : ChartedSpace H M
inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²² : TopologicalSpace M'
inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
f✝ f₁ : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
f : E → E'
x : E

⊢ ContMDiffAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f x ↔ ContDiffAt 𝕜 n f x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x✝ y : α
m n : ℕ
x : α

⊢ x ∈ ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), ptsOfPeriod f n ↔ x ∈ periodicPts f
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s

⊢ IsTopologicalBasis (s \ {∅})
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s

⊢ ∀ t₁ ∈ s \ {∅}, ∀ t₂ ∈ s \ {∅}, ∀ x ∈ t₁ ∩ t₂, ∃ t₃ ∈ s \ {∅}, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s

⊢ t = generateFrom (s \ {∅})
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂(κ + η) a, x ∈ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ → ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal * κ.rnDeriv η a x = 0 x
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ MeasurableSet {x | ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal * κ.rnDeriv η a x = 0 x}
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ Measurable fun b => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal * κ.rnDeriv η a b
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal * κ.rnDeriv η a x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂(κ + η) a, x ∈ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ → ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) - ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) * κ.rnDeriv η a x = 0 x
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
x : γ
hx : x ∈ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ

⊢ ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) - ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) * κ.rnDeriv η a x = 0 x
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
x : γ
hx : κ.rnDerivAux (κ + η) a x < 1

⊢ ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) - ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) * κ.rnDeriv η a x = 0 x
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
x : γ
hx : κ.rnDerivAux (κ + η) a x < 1

⊢ ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) - ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x) * (ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x) / ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x)) = 0 x
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
x : γ
hx : κ.rnDerivAux (κ + η) a x < 1

⊢ 1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x ≠ 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
x : γ
hx : κ.rnDerivAux (κ + η) a x < 1

⊢ 0 ≤ 1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
x : γ
hx : κ.rnDerivAux (κ + η) a x < 1

⊢ 0 < 1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplexSymmetry.lean
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝² : K.HasTotal c
inst✝¹ : K.flip.HasTotal c
inst✝ : DecidableEq J
j j' : J

⊢ (K.totalFlipIso c).hom.f j ≫ K.D₁ c j j' = K.flip.D₂ c j j' ≫ (K.totalFlipIso c).hom.f j'
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V

⊢ ⟪(o.rotation ↑(π / 2)) x, x⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}

⊢ x ∈ D f K
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}

⊢ ∀ (i : ℕ), x ∈ ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ i)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ

⊢ x ∈ ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e

⊢ x ∈ ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)

⊢ x ∈ ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R

⊢ x ∈ ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
x : ℝ
hx : x ∈ {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K}
e : ℕ
this : 0 < (1 / 2) ^ e
R : ℝ
R_pos : R > 0
hR : ∀ r ∈ Ioo 0 R, x ∈ A f (derivWithin f (Ici x) x) r ((1 / 2) ^ e)
n : ℕ
hn : (1 / 2) ^ n < R

⊢ ∃ i, ∀ i_1 ≥ i, ∀ i_3 ≥ i, ∃ i, ∃ (_ : i ∈ K), x ∈ A f i ((1 / 2) ^ i_1) ((1 / 2) ^ e) ∧ x ∈ A f i ((1 / 2) ^ i_3) ((1 / 2) ^ e)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
w : InfinitePlace K

⊢ (Finset.filter (fun φ => mk φ = w) Finset.univ).card = w.mult
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
w : InfinitePlace K

⊢ (Finset.filter (fun x => x = w.embedding ∨ x = star w.embedding) Finset.univ).card = w.mult
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
w : InfinitePlace K

⊢ ({w.embedding} ∪ {ComplexEmbedding.conjugate w.embedding}).card = if w.IsReal then 1 else 2
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ
h : n < k

⊢ (ascPochhammer ℕ k).smeval (-↑n) = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommSemiring S
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : NonUnitalSemiring A
inst✝¹¹ : Module R A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra S B
inst✝⁶ : Algebra S R
inst✝⁵ : DistribMulAction S A
inst✝⁴ : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : Algebra R C
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F (Unitization R A) C
inst✝ : AlgHomClass F R (Unitization R A) C
φ ψ : F
h : ∀ (a : A), φ ↑a = ψ ↑a
r : R

⊢ φ ((algebraMap R (Unitization R A)) r) = ψ ((algebraMap R (Unitization R A)) r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
inst✝ : RCLike 𝕜
r : 𝕜
f : ℝ → 𝕜

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x * r ∂μ = (∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) * r
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b

⊢ b = 0 ∨ a ^ ω ≤ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : a = 0

⊢ b = 0 ∨ a ^ ω ≤ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : 0 < a

⊢ b = 0 ∨ a ^ ω ≤ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : 0 < a

⊢ ¬b = 0 → a ^ ω ≤ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : 0 < a
hb : ¬b = 0

⊢ a ^ ω ≤ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : 0 < a
hb : ¬b = 0

⊢ nfp (fun x => a * x) 1 ≤ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u}
hab : a * b = b
ha : 0 < a
hb : 1 ≤ b

⊢ nfp (fun x => a * x) 1 ≤ b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
n m : Nat
l : List α
h : n < m
i : Nat

⊢ (drop m (l.set n a))[i]? = (drop m l)[i]?
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ

⊢ μ (ball x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ
this : ball 0 (r * s) = r • ball 0 s

⊢ μ (ball x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 s)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
hn : 2 < n
h : ↑n ≠ 0

⊢ 0 < (W.preΨ' n).natDegree
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
hn : 2 < n
h : ↑n ≠ 0

⊢ 2 ≤ n ^ 2 - if Even n then 4 else 1
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d

⊢ (g • w).prod = (of i) g * w.prod
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u✝ : Multiset α
a b : α
s t u : Multiset α

⊢ s + (t ∪ u) = s + t ∪ (s + u)
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁸ : Field F
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : Algebra F K
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Field K₁
inst✝¹³ : Field K₂
inst✝¹² : Field K₃
inst✝¹¹ : Algebra F K₁
inst✝¹⁰ : Algebra F K₂
inst✝⁹ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
E : Type u_6
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra E K₁
inst✝⁵ : Algebra E K₂
inst✝⁴ : Algebra E K₃
inst✝³ : IsScalarTower F E K₁
inst✝² : IsScalarTower F E K₂
inst✝¹ : IsScalarTower F E K₃
inst✝ : Normal F E
x✝ : E

⊢ (algebraMap E K₃) (((χ.trans ω).restrictNormal E) x✝) = (algebraMap E K₃) (((χ.restrictNormal E).trans (ω.restrictNormal E)) x✝)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NoAtoms μ✝
h : s.Countable
μ : Measure α
inst✝ : NoAtoms μ

⊢ μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NoAtoms μ✝
h : s.Countable
μ : Measure α
inst✝ : NoAtoms μ

⊢ ∀ i ∈ s, μ {i} = 0
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
hl : l.Nodup
n : ℕ

⊢ l.rotate n = l ↔ n % l.length = 0 ∨ l = []
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

⊢ 𝓚 ‖x + y + z‖ * 𝓚 ‖x + y + z‖ - 𝓚 ‖x + y - z‖ * 𝓚 ‖x + y - z‖ + I * 𝓚 ‖I • (x + y) + z‖ * 𝓚 ‖I • (x + y) + z‖ - I * 𝓚 ‖I • (x + y) - z‖ * 𝓚 ‖I • (x + y) - z‖ = 𝓚 ‖x + z‖ * 𝓚 ‖x + z‖ - 𝓚 ‖x - z‖ * 𝓚 ‖x - z‖ + I * 𝓚 ‖I • x + z‖ * 𝓚 ‖I • x + z‖ - I * 𝓚 ‖I • x - z‖ * 𝓚 ‖I • x - z‖ + (𝓚 ‖y + z‖ * 𝓚 ‖y + z‖ - 𝓚 ‖y - z‖ * 𝓚 ‖y - z‖ + I * 𝓚 ‖I • y + z‖ * 𝓚 ‖I • y + z‖ - I * 𝓚 ‖I • y - z‖ * 𝓚 ‖I • y - z‖)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

⊢ 𝓚 (‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + (y - z)‖ * ‖x + (y - z)‖) + I * 𝓚 (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ - ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖) = 𝓚 (‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖) + I * 𝓚 (‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖ - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖) + (𝓚 (‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖) + I * 𝓚 (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ - ‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

⊢ 𝓚 (‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + (y - z)‖ * ‖x + (y - z)‖) + I * 𝓚 (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ - ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖) = 𝓚 (‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖) + 𝓚 (‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖) + (I * 𝓚 (‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖ - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖) + I * 𝓚 (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ - ‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

⊢ 𝓚 (‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + (y - z)‖ * ‖x + (y - z)‖) + I * 𝓚 (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ - ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖) = 𝓚 (‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖ + (‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖)) + I * 𝓚 (‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖ - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖ + (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ - ‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖))
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
v : Fin n → α
i : Fin n

⊢ vecAlt0 ⋯ (vecAppend ⋯ v v) i = (v ∘ fun n_1 => n_1 + n_1) i
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
v : Fin n → α
i : Fin n

⊢ (if h : ↑i + ↑i < n then v ⟨↑i + ↑i, ⋯⟩ else v ⟨↑i + ↑i - n, ⋯⟩) = v (i + i)
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
r✝ r : List (List α)
l : List α
ih : sublistsAux a r = r.bind fun l => [l, a :: l]

⊢ sublistsAux a (r ++ [l]) = (r ++ [l]).bind fun l => [l, a :: l]
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
r✝ r : List (List α)
l : List α
ih : sublistsAux a r = r.bind fun l => [l, a :: l]

⊢ foldl (fun r l => r ++ [l, a :: l]) (foldl (fun r l => r ++ [l, a :: l]) [] r) [l] = sublistsAux a r ++ [l, a :: l]
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
r : R
x y : S
this : SMulZeroClass R S := inferInstance

⊢ (y𝖣r • x) = r • y𝖣x
-- Mathlib/ModelTheory/Algebra/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Add R
inst✝⁴ : Mul R
inst✝³ : Neg R
inst✝² : One R
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : CompatibleRing R
x : ring.Term α
v : α → R

⊢ Term.realize v (-x) = -Term.realize v x
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/RightDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ

⊢ whiskerRight (rightDerivedToHomotopyCategory (𝟙 F)) (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n) = 𝟙 (F.rightDerived n)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/RightDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ

⊢ 𝟙 (F.rightDerivedToHomotopyCategory ⋙ HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n) = 𝟙 (F.rightDerived n)
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f g : 𝓢(E, F)
x : E

⊢ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f + ⇑g) x‖ ≤ ‖x‖ ^ k * (‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ + ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑g) x‖)
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f g : 𝓢(E, F)
x : E

⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f + ⇑g) x‖ ≤ ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ + ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑g) x‖
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f g : 𝓢(E, F)
x : E

⊢ ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x + iteratedFDeriv ℝ n (⇑g) x‖ ≤ ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ + ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑g) x‖
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
U : Set ↑(colimit F)

⊢ IsOpen U ↔ ∀ (j : J), IsOpen (⇑(colimit.ι F j) ⁻¹' U)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι✝ : Type u_1
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝³ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α✝ → β✝
x✝ y✝ z : α✝
s : Set α✝
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (α i)
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
hf : ∀ (i : ι), Isometry (f i)
x y : (i : ι) → α i

⊢ edist ((fun g i => f i (g i)) x) ((fun g i => f i (g i)) y) = edist x y
-- Mathlib/Data/PNat/Interval.lean
a b : ℕ+

⊢ (Icc a b).card = ↑b + 1 - ↑a
-- Mathlib/Data/PNat/Interval.lean
a b : ℕ+

⊢ (Icc a b).card = (Icc ↑a ↑b).card
-- Mathlib/Data/PNat/Interval.lean
a b : ℕ+

⊢ (Icc a b).card = (map (Embedding.subtype fun n => 0 < n) (Icc a b)).card