ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Finite ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
this : Fintype ↑w := Fintype.ofFinite ↑w
t : Finset ι
v' : ↑↑t → M := fun x => v ↑x
i' : LinearIndependent (ι := ↑↑t) R v'

⊢ t.card ≤ Fintype.card ↑w
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Finite ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
this : Fintype ↑w := Fintype.ofFinite ↑w
t : Finset ι
v' : ↑↑t → M := fun x => v ↑x
i' : LinearIndependent (ι := ↑↑t) R v'
s' : range v' ≤ ↑(span R w)

⊢ t.card ≤ Fintype.card ↑w
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α

⊢ EqvGen.Setoid Setoid.r ≤ r
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : Setoid α

⊢ sInf {s | ∀ ⦃x y : α⦄, Setoid.r x y → s.Rel x y} ≤ r
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R

⊢ lift.{v', v} (Module.rank R M) + lift.{v, v'} (Module.rank R M') ≤ Module.rank R (M × M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R

⊢ lift.{v', v} (Module.rank R M) = Module.rank R ((M × M') ⧸ ker (LinearMap.fst R M M'))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R

⊢ lift.{v, v'} (Module.rank R M') = Module.rank R ↥(ker (LinearMap.fst R M M'))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
T : Subring R
p : (↥T)[X]
n : ℕ

⊢ (ofSubring T p).coeff n = ↑(p.coeff n)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
T : Subring R
p : (↥T)[X]
n : ℕ

⊢ p.coeff n = 0 → 0 = ↑(p.coeff n)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
T : Subring R
p : (↥T)[X]
n : ℕ
h : p.coeff n = 0

⊢ 0 = ↑(p.coeff n)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)

⊢ HomogeneousLocalization.mk z ∈ carrier x ↔ ↑z.num ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)

⊢ ↑z.num ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal ↔ ↑z.num ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)

⊢ (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal.IsPrime
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)

⊢ Disjoint ↑(Submonoid.powers f) ↑(↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)

⊢ IsUnit (IsLocalization.mk' (Localization (Submonoid.powers f)) 1 ⟨↑z.den, ⋯⟩)
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
n : ℕ
h0 : n ≠ 0
h2 : Even n
h1 : n ≠ 1

⊢ reciprocalFactors n = 3 :: reciprocalFactors (n / 2)
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
h : a • b < 0
ha : 0 ≤ a

⊢ a • b < a • 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
g : β × γ → ℝ≥0∞
hg : Measurable g

⊢ ∫⁻ (c : β × γ), g c ∂(κ ×ₖ η) a = ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (c : γ), g (b, c) ∂η a ∂κ a
-- Mathlib/Algebra/Star/StarAlgHom.lean
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
A✝ : Type u_3
B : Type u_4
C : Type u_5
D : Type u_6
inst✝¹⁸ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁷ : Semiring A✝
inst✝¹⁶ : Algebra R✝ A✝
inst✝¹⁵ : Star A✝
inst✝¹⁴ : Semiring B
inst✝¹³ : Algebra R✝ B
inst✝¹² : Star B
inst✝¹¹ : Semiring C
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ C
inst✝⁹ : Star C
inst✝⁸ : Semiring D
inst✝⁷ : Algebra R✝ D
inst✝⁶ : Star D
R : Type u_7
A : Type u_8
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : StarMul A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : StarModule R A

⊢ ∀ (x : R), (↑↑{ toFun := ⇑(algebraMap R A), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }.toRingHom).toFun (star x) = star ((↑↑{ toFun := ⇑(algebraMap R A), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }.toRingHom).toFun x)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0

⊢ ∃ m b, a = ↑p ^ m * ↑b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
h₁ : b.coeff 0 ≠ 0
h₂ : a = ↑p ^ m * b

⊢ ∃ m b, a = ↑p ^ m * ↑b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α

⊢ count ∅ = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Size.lean
m : ℕ

⊢ shiftLeft' true m 0 + 1 = (m + 1) * 2 ^ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Size.lean
m k : ℕ

⊢ shiftLeft' true m (k + 1) + 1 = (m + 1) * 2 ^ (k + 1)
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Degree.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
k : K

⊢ (C k).intDegree = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : List Char
i b e n : Nat

⊢ go₁ s { byteIdx := i + n } { byteIdx := b + n } { byteIdx := e + n } = go₁ s { byteIdx := i } { byteIdx := b } { byteIdx := e }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : List Char
i b e n : Nat

⊢ ∀ (c : Char) (cs : List Char), go₂ (c :: cs) { byteIdx := b + n } { byteIdx := e + n } = go₂ (c :: cs) { byteIdx := b } { byteIdx := e }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : List Char
i b e n : Nat

⊢ ∀ (c : Char) (cs : List Char) (i : Pos), ¬i = { byteIdx := b } → go₁ cs { byteIdx := i.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := b + n } { byteIdx := e + n } = go₁ cs (i + c) { byteIdx := b } { byteIdx := e } → (if { byteIdx := i.byteIdx + n } = { byteIdx := b + n } then go₂ (c :: cs) { byteIdx := i.byteIdx + n } { byteIdx := e + n } else go₁ cs ({ byteIdx := i.byteIdx + n } + c) { byteIdx := b + n } { byteIdx := e + n }) = if i = { byteIdx := b } then go₂ (c :: cs) i { byteIdx := e } else go₁ cs (i + c) { byteIdx := b } { byteIdx := e }
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
x : X
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Nonempty N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)

⊢ (⟦p⟧)⁻¹ = ⟦symmAt i p⟧
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
x : X
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Nonempty N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)

⊢ (⟦p⟧)⁻¹ = ⟦fromLoop (Classical.arbitrary N) (Path.symm (toLoop (Classical.arbitrary N) p))⟧
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
x : X
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Nonempty N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)

⊢ (loopHomeo (Classical.arbitrary N)).symm (Path.symm ((loopHomeo (Classical.arbitrary N)).toEquiv p)) ≈ fromLoop (Classical.arbitrary N) (Path.symm (toLoop (Classical.arbitrary N) p))
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
f : A →ₙₐ[R] B

⊢ ↑(NonUnitalSubalgebra.map f ⊥) = ↑⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)
f : (i : ι) → α i

⊢ (univ.pi fun i => Ioi (f i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] Ici f
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)
f : (i : ι) → α i

⊢ (univ.pi fun i => Ioi (f i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] univ.pi fun i => Ici (f i)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a < b

⊢ insert b (Ioo a b) = Ioc a b
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x‖ * ‖x‖ - ‖y‖ * ‖y‖) / 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x‖ * ‖x‖ + 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x‖ * ‖x‖ - ‖y‖ * ‖y‖) / 2
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o : ONote
h : o.fundamentalSequence = Sum.inl none

⊢ o.fastGrowing = Nat.succ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝³ : (i : ι✝) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι✝) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι✝
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n✝ : ℕ∞
x : (i : ι✝) → E i
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
n : ℕ
e : Fin (n + 1) ↪ ι
j : Fin (n + 1)
h'k : e j ∈ Set.range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
hj : j ≠ 0

⊢ (((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨e j, h'k⟩).succ = e.toEquivRange.symm ⟨e j, ⋯⟩
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝³ : (i : ι✝) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι✝) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι✝
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n✝ : ℕ∞
x : (i : ι✝) → E i
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
n : ℕ
e : Fin (n + 1) ↪ ι
j : Fin (n + 1)
h'k : e j ∈ Set.range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
hj : j ≠ 0

⊢ (((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨e j, h'k⟩).succ = j
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
inst✝³ : (i : ι✝) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι✝) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹ : Fintype ι✝
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n✝ : ℕ∞
x : (i : ι✝) → E i
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
n : ℕ
e : Fin (n + 1) ↪ ι
j : Fin (n + 1)
h'k : e j ∈ Set.range ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst
hj : j ≠ 0
this : e j = ((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst (j.pred hj)

⊢ (((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst.toEquivRange.symm ⟨((Equiv.embeddingFinSucc n ι) e).fst (j.pred hj), ⋯⟩).succ = j
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → α
head✝ : α
l : List α
m : Nat

⊢ (modifyNth f 0 (head✝ :: l))[m + 1]? = (fun a => if 0 = m + 1 then f a else a) <$> (head✝ :: l)[m + 1]?
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
a : α
l : List α
m : Nat

⊢ (modifyNth f (n + 1) (a :: l))[m + 1]? = (fun a => if n + 1 = m + 1 then f a else a) <$> (a :: l)[m + 1]?
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
a : α
l : List α
m : Nat

⊢ (modifyNth f n l)[m]? = Option.map (fun a => if n = m then f a else a) l[m]?
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
a : α
l : List α
m : Nat

⊢ (fun a => if n = m then f a else a) <$> l[m]? = Option.map (fun a => if n = m then f a else a) l[m]?
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x y : ℂ
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0

⊢ log (x * y) = log x + log y ↔ x.arg + y.arg ∈ Set.Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x y : ℂ
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0

⊢ (log (x * y)).re = (log x + log y).re ∧ (log (x * y)).im = (log x + log y).im ↔ (x * y).arg = x.arg + y.arg
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α
hs : s.WellFoundedOn r
ht : t.WellFoundedOn r

⊢ (s ∪ t).WellFoundedOn r
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α
hs : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s
ht : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ t

⊢ ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α
hs : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s
ht : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ t
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t

⊢ False
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α
hs : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s
ht : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ t
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (n : ℕ), f (g n) ∈ s

⊢ False
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α
hs : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s
ht : ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ t
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s ∪ t
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (n : ℕ), f (g n) ∈ t

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/EuclideanDist.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ

⊢ IsCompact (closedBall x r)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/EuclideanDist.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E
r : ℝ

⊢ IsCompact (⇑toEuclidean.symm '' Metric.closedBall (toEuclidean x) r)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/AE.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
M : Type u_4
inst✝ : One M
f : α → M
s : Set α

⊢ s.mulIndicator f =ᶠ[ae μ] 1 ↔ μ (s ∩ Function.mulSupport f) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/AE.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
M : Type u_4
inst✝ : One M
f : α → M
s : Set α

⊢ μ {a | a ∈ s ∧ ¬f a = 1} = 0 ↔ μ (s ∩ Function.mulSupport f) = 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α

⊢ map singleton ⟦l⟧ ≤ powerset ⟦l⟧
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α

⊢ List.map singleton l <+~ List.map ofList l.sublists
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α

⊢ List.map (ofList ∘ pure) l <+~ List.map ofList l.sublists
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α

⊢ List.map ofList (List.map pure l) <+~ List.map ofList l.sublists
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : LinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
i : ι
i_s : i ∈ s
b : β
hb : ∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a

⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup' hs fun i => F i a
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : LinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
i : ι
i_s : i ∈ s
b : β
hb : ∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a

⊢ ∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in Filter.map (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : LinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
i : ι
i_s : i ∈ s
b : β
hb : ∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a
c : β
hc : ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x c

⊢ ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x c
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : LinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
i : ι
i_s : i ∈ s
b : β
hb : ∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a
c : β
hc : ∀ᶠ (a : α) in f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s.sup' hs fun i => F i a) c

⊢ ∀ᶠ (a : α) in f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (F i a) c
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : LinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
i : ι
i_s : i ∈ s
b : β
hb : ∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a
c : β
hc : ∀ᶠ (a : α) in f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s.sup' hs fun i => F i a) c
a : α
h : (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s.sup' hs fun i => F i a) c

⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (F i a) c
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : LinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
i : ι
i_s : i ∈ s
b : β
hb : ∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a
c : β
hc : ∀ᶠ (a : α) in f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s.sup' hs fun i => F i a) c
a : α
h : ∀ b ∈ s, F b a ≤ c

⊢ F i a ≤ c
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Finset.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
f g : ι → R
s t : Finset ι
h0 : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
h1 : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i

⊢ ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Finset.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
f g : ι → R
s t : Finset ι
h0 : ∀ i ∈ ∅, 0 ≤ f i
h1 : ∀ i ∈ ∅, f i ≤ g i

⊢ ∏ i ∈ ∅, f i ≤ ∏ i ∈ ∅, g i
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Finset.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
f g : ι → R
s✝ t : Finset ι
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, 0 ≤ f i) → (∀ i ∈ s, f i ≤ g i) → ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ s, g i
h0 : ∀ i ∈ cons a s has, 0 ≤ f i
h1 : ∀ i ∈ cons a s has, f i ≤ g i

⊢ ∏ i ∈ cons a s has, f i ≤ ∏ i ∈ cons a s has, g i
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

⊢ Ioo (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map (Embedding.inl.trans toLex.toEmbedding) (Ioo a₁ a₂)
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

⊢ Ioo (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inl (Ioo a₁ a₂))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : ℝ
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ c * ‖↑↑g x‖

⊢ ‖f‖ ≤ c * ‖g‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : ℝ
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ c * ‖↑↑g x‖
hc : 0 ≤ c

⊢ ‖f‖ ≤ c * ‖g‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : ℝ
f : ↥(Lp E p μ)
g : ↥(Lp F p μ)
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ c * ‖↑↑g x‖
hc : c < 0

⊢ ‖f‖ ≤ c * ‖g‖
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f✝ g : Filter α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : IsDirected β fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ℕ → β
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop f

⊢ BddAbove (range f)
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f✝ g : Filter α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : IsDirected β fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ℕ → β
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) cofinite f

⊢ BddAbove (range f)