ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a : Ordinal.{u_1}

⊢ nfp (fun x => a * x) 0 = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a : Ordinal.{u_1}

⊢ ∀ (n : ℕ), (fun x => a * x)^[n] 0 ≤ 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ
hn : (fun x => a * x)^[n] 0 ≤ 0

⊢ (fun x => a * x)^[n + 1] 0 ≤ 0
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : List α → List α
n : ℕ
l : List α

⊢ modifyNthTail g n (modifyNthTail f n l) = modifyNthTail (g ∘ f) n l
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : List α → List α
n : ℕ
l : List α

⊢ modifyNthTail (fun l => modifyNthTail g 0 (f l)) n l = modifyNthTail (g ∘ f) n l
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤
hb : b ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤

⊢ Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (a, b)) (𝓝 (a * b))
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤
hb : b ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤
ht : ∀ (b : ℝ≥0∞), b ≠ 0 → Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (⊤, b)) (𝓝 ⊤)

⊢ Tendsto (fun p => p.1 * p.2) (𝓝 (a, b)) (𝓝 (a * b))
-- Mathlib/Order/Category/Lat.lean
α β : Lat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget Lat).obj α

⊢ ({ toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
-- Mathlib/Order/Category/Lat.lean
α β : Lat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget Lat).obj β

⊢ ({ toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
c d : ℝ
hcd : c ≤ d

⊢ (fun t => rexp (-d * t)) =O[atTop] fun t => rexp (-c * t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
c d : ℝ
hcd : c ≤ d

⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖rexp (-d * x)‖ ≤ rexp (-c * x)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
c d : ℝ
hcd : c ≤ d
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ ‖rexp (-d * t)‖ ≤ rexp (-c * t)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ₁ θ₂ : Angle

⊢ (θ₁ + θ₂).cos = θ₁.cos * θ₂.cos - θ₁.sin * θ₂.sin
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ₁ : Angle
x✝ : ℝ

⊢ (θ₁ + ↑x✝).cos = θ₁.cos * (↑x✝).cos - θ₁.sin * (↑x✝).sin
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝¹ x✝ : ℝ

⊢ (↑x✝ + ↑x✝¹).cos = (↑x✝).cos * (↑x✝¹).cos - (↑x✝).sin * (↑x✝¹).sin
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : Ring α
h : Periodic f c
n : ℕ

⊢ f (x - ↑n * c) = f x
-- Mathlib/Algebra/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p : P
h : p -ᵥ p₁ = p -ᵥ p₂

⊢ p₁ = p₂
-- Mathlib/Algebra/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p : P
h : p -ᵥ p₁ = p -ᵥ p₂

⊢ p -ᵥ p₂ +ᵥ p₁ = p -ᵥ p₂ +ᵥ p₂
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x y : EReal
h1 : x ≠ ⊥ ∨ y ≠ ⊥
h2 : x ≠ ⊤ ∨ y ≠ ⊤

⊢ -(x - y) = -x + y
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
f : MonoidAlgebra R M

⊢ f ∈ adjoin R (⇑(of R M) '' ↑f.support)
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
f : MonoidAlgebra R M

⊢ span R (⇑(of R M) '' ↑f.support) ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (⇑(of R M) '' ↑f.support))
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
f : MonoidAlgebra R M

⊢ ⇑(of R M) '' ↑f.support ⊆ ↑(Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (⇑(of R M) '' ↑f.support)))
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
s : Set X
hs : IsOpen s

⊢ IsOpen (mk ⁻¹' (mk '' s))
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/RestrictScalars.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p : Submodule R M

⊢ restrictScalars S p = ⊥ ↔ p = ⊥
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
s : Set β
c : γ
f : β × γ → α

⊢ ∏' (x : ↑(s ×ˢ {c})), f ↑x = ∏' (b : ↑s), f (↑b, c)
-- Mathlib/Topology/NhdsSet.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
h : IsClosed t

⊢ 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ (t ∩ s) ⊔ 𝓟 tᶜ
-- Mathlib/Topology/NhdsSet.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
h : IsClosed t

⊢ 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ (s ∩ t) ⊔ 𝓟 tᶜ
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

⊢ P3 x₁ x₂ y₁ y₂ ↔ P3 y₁ y₂ x₁ x₂
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

⊢ ⟦x₂ * y₁⟧ + ⟦x₁ * y₂⟧ < ⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ ↔ ⟦y₁ * x₂⟧ + ⟦y₂ * x₁⟧ < ⟦y₁ * x₁⟧ + ⟦y₂ * x₂⟧
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
π : α → Type u_6
inst✝¹ : (x : α) → CommMonoid (π x)
inst✝ : (x : α) → TopologicalSpace (π x)
f : ι → (x : α) → π x
g : (x : α) → π x

⊢ HasProd f g ↔ ∀ (x : α), HasProd (fun i => f i x) (g x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Order/Lattice.lean
M : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → M
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : MeasurableSup₂ α
f : ℕ → δ → α
n : ℕ
hf : ∀ k ≤ n, Measurable (f k)

⊢ Measurable ((range (n + 1)).sup' ⋯ f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Order/Lattice.lean
M : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → M
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : MeasurableSup₂ α
f : ℕ → δ → α
n : ℕ
hf : ∀ k < n.succ, Measurable (f k)

⊢ Measurable ((range (n + 1)).sup' ⋯ f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Order/Lattice.lean
M : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace M
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → M
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : MeasurableSup₂ α
f : ℕ → δ → α
n : ℕ
hf : ∀ k < n.succ, Measurable (f k)

⊢ ∀ n_1 ∈ range (n + 1), Measurable (f n_1)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/Monoid.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁸ : DivInvMonoid G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
f : M → G
s : Set M
x : M
n : ℕ∞
c : G
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s x

⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => f x / c) s x
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N
hf : f 0 = 0
a : α
b : M
a' : α

⊢ (mapRange f hf (single a b)) a' = (single a (f b)) a'
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/AE.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : t =ᶠ[ae μ] univ

⊢ s ∩ t =ᶠ[ae μ] s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/AE.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : t =ᶠ[ae μ] univ

⊢ s = s ∩ univ
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H

⊢ IsTopologicalBasis {s | IsClopen s}
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
x : H
U : Set H
memU : x ∈ U
hU : IsOpen U

⊢ ∃ v ∈ {s | IsClopen s}, x ∈ v ∧ v ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
x : H
U : Set H
memU : x ∈ U
hU : IsOpen U
s : Set H
comp : IsCompact s
xs : x ∈ interior s
sU : s ⊆ U

⊢ ∃ v ∈ {s | IsClopen s}, x ∈ v ∧ v ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
x : H
U : Set H
memU : x ∈ U
hU : IsOpen U
s : Set H
comp : IsCompact s
xs : x ∈ interior s
sU : s ⊆ U
u : Set ↑s := Subtype.val ⁻¹' interior s

⊢ ∃ v ∈ {s | IsClopen s}, x ∈ v ∧ v ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
x : H
U : Set H
memU : x ∈ U
hU : IsOpen U
s : Set H
comp : IsCompact s
xs : x ∈ interior s
sU : s ⊆ U
u : Set ↑s := Subtype.val ⁻¹' interior s
u_open_in_s : IsOpen u

⊢ ∃ v ∈ {s | IsClopen s}, x ∈ v ∧ v ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
U : Set H
hU : IsOpen U
s : Set H
comp : IsCompact s
sU : s ⊆ U
u : Set ↑s := Subtype.val ⁻¹' interior s
u_open_in_s : IsOpen u
x : { x // x ∈ s }
memU : ↑x ∈ U
xs : ↑x ∈ interior s

⊢ ∃ v ∈ {s | IsClopen s}, ↑x ∈ v ∧ v ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
U : Set H
hU : IsOpen U
s : Set H
comp : IsCompact s
sU : s ⊆ U
u : Set ↑s := Subtype.val ⁻¹' interior s
u_open_in_s : IsOpen u
x : { x // x ∈ s }
memU : ↑x ∈ U
xs : ↑x ∈ interior s
this : CompactSpace ↑s

⊢ ∃ v ∈ {s | IsClopen s}, ↑x ∈ v ∧ v ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
U : Set H
hU : IsOpen U
s : Set H
comp : IsCompact s
sU : s ⊆ U
u : Set ↑s := Subtype.val ⁻¹' interior s
u_open_in_s : IsOpen u
x : { x // x ∈ s }
memU : ↑x ∈ U
xs : ↑x ∈ interior s
this : CompactSpace ↑s
V : Set ↑s
VisClopen : IsClopen V
Vx : x ∈ V
V_sub : V ⊆ u

⊢ ∃ v ∈ {s | IsClopen s}, ↑x ∈ v ∧ v ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
H : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : LocallyCompactSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace H
U : Set H
hU : IsOpen U
s : Set H
comp : IsCompact s
sU : s ⊆ U
u : Set ↑s := Subtype.val ⁻¹' interior s
u_open_in_s : IsOpen u
x : { x // x ∈ s }
memU : ↑x ∈ U
xs : ↑x ∈ interior s
this : CompactSpace ↑s
V : Set ↑s
VisClopen : IsClopen V
Vx : x ∈ V
V_sub : V ⊆ u
VisClopen' : IsClopen (Subtype.val '' V)

⊢ ∃ v ∈ {s | IsClopen s}, ↑x ∈ v ∧ v ⊆ U
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplexSymmetry.lean
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁷ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁶ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝⁵ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝⁴ : K.HasTotal c
inst✝³ : K.flip.HasTotal c
inst✝² : DecidableEq J
inst✝¹ : TotalComplexShapeSymmetry c₂ c₁ c
inst✝ : TotalComplexShapeSymmetrySymmetry c₁ c₂ c
j : J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j

⊢ K.flip.flip.ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ (K.flip.totalFlipIso c).hom.f j = K.flip.flip.ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ (K.totalFlipIso c).symm.hom.f j
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplexSymmetry.lean
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁷ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁶ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝⁵ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝⁴ : K.HasTotal c
inst✝³ : K.flip.HasTotal c
inst✝² : DecidableEq J
inst✝¹ : TotalComplexShapeSymmetry c₂ c₁ c
inst✝ : TotalComplexShapeSymmetrySymmetry c₁ c₂ c
j : J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j

⊢ c₂.σ c₁ c i₂ i₁ • K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j ⋯ = K.flip.flip.ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ (K.totalFlipIso c).inv.f j
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplexSymmetry.lean
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁸ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁷ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁶ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝⁵ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝⁴ : K.HasTotal c
inst✝³ : K.flip.HasTotal c
inst✝² : DecidableEq J
inst✝¹ : TotalComplexShapeSymmetry c₂ c₁ c
inst✝ : TotalComplexShapeSymmetrySymmetry c₁ c₂ c
j : J
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c (i₁, i₂) = j

⊢ c₂.σ c₁ c i₂ i₁ • K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j ⋯ = K.ιTotal c i₁ i₂ j h ≫ (K.totalFlipIso c).inv.f j
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : Set α
hs : IsClopen s
h : ¬(s = ∅ ∨ s = univ)
h2 : sᶜ = ∅

⊢ s = univ
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : Set α

⊢ s = ∅ ∨ s = univ → IsClopen s
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Equivs.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R

⊢ (ι (Q c₁ c₂)) (1, 0) * (ι (Q c₁ c₂)) (1, 0) = c₁ • 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Equivs.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R

⊢ (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))) (c₁ * ((1, 0).1 * (1, 0).1) + c₂ * ((1, 0).2 * (1, 0).2)) = (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))) c₁
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Equivs.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R

⊢ (ι (Q c₁ c₂)) (0, 1) * (ι (Q c₁ c₂)) (0, 1) = c₂ • 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Equivs.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R

⊢ (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))) (c₁ * ((0, 1).1 * (0, 1).1) + c₂ * ((0, 1).2 * (0, 1).2)) = (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))) c₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Equivs.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R

⊢ (ι (Q c₁ c₂)) (0, 1) * (ι (Q c₁ c₂)) (1, 0) = -((ι (Q c₁ c₂)) (1, 0) * (ι (Q c₁ c₂)) (0, 1))
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Equivs.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R

⊢ (algebraMap R (CliffordAlgebra (Q c₁ c₂))) ((Q c₁ c₂) ((0, 1) + (1, 0)) - (Q c₁ c₂) (0, 1) - (Q c₁ c₂) (1, 0)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Congruence/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c d : RingCon R

⊢ c ⊔ d = ringConGen fun x y => c x y ∨ d x y
-- Mathlib/RingTheory/Congruence/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c d : RingCon R

⊢ c ⊔ d = sInf {s | ∀ (x y : R), c x y ∨ d x y → s x y}
-- Mathlib/RingTheory/Congruence/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c d : RingCon R

⊢ {x | c ≤ x ∧ d ≤ x} = {s | ∀ (x y : R), c x y ∨ d x y → s x y}
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p✝ : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p✝
a : α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p

⊢ filter p {a} = if p a then {a} else ∅
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h₁ : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P

⊢ (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).toProperty.RespectsIso
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h₁ : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P

⊢ ∀ {X Y Z : Scheme} (e : X ≅ Y) (f : Y ⟶ Z) [inst : IsAffine Z], sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f → sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (e.hom ≫ f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h₁ : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P

⊢ ∀ {X Y Z : Scheme} (e : Y ≅ Z) (f : X ⟶ Y) [h : IsAffine Y], sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f → sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (f ≫ e.hom)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsNoetherianRing R₁
I : Ideal R₁

⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑↑I
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsNoetherianRing R₁
I : Ideal R₁

⊢ ∀ J ≤ ↑I, (↑J).FG
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsNoetherianRing R₁
I : Ideal R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : J ≤ ↑I

⊢ (↑J).FG
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsNoetherianRing R₁
I J : Ideal R₁
hJ : ↑J ≤ ↑I

⊢ (↑↑J).FG
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
f : Y → Z

⊢ (Inducing fun x' => (x, f x')) ↔ Inducing f
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Pointwise.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
R' : Type u_5
M' : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'
r : R'
n : M'
hr : r ∈ ↑(Ideal.span s)
hn : n ∈ N

⊢ r • n ∈ s • N
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Pointwise.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
R' : Type u_5
M' : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'
r✝ : R'
n : M'
hn : n ∈ N
r : R'
h : r ∈ s

⊢ r • n ∈ s • N
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Pointwise.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
R' : Type u_5
M' : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'
r : R'
n : M'
hn : n ∈ N

⊢ 0 • n ∈ s • N
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Pointwise.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
R' : Type u_5
M' : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'
r : R'
n : M'
hn : n ∈ N
x✝ : R'
hx✝ : x✝ ∈ span R' s
y✝ : R'
hy✝ : y✝ ∈ span R' s
ihr : x✝ • n ∈ s • N
ihs : y✝ • n ∈ s • N

⊢ (x✝ + y✝) • n ∈ s • N
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Pointwise.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : DistribMulAction S M
sR : Set R
s✝ : Set S
N✝ : Submodule R M
R' : Type u_5
M' : Type u_6
inst✝² : CommSemiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
s : Set R'
N : Submodule R' M'
r✝ : R'
n : M'
hn : n ∈ N
r r' : R'
hr : r' ∈ span R' s
hr' : r' • n ∈ s • N

⊢ (r • r') • n ∈ s • N
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₗ[R] B
a : A
r : R

⊢ f ((algebraMap R A) r * a) = (algebraMap R B) r * f a
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsorBases.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V

⊢ (interior ((convexHull ℝ) s)).Nonempty ↔ affineSpan ℝ s = ⊤
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsorBases.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤

⊢ (interior ((convexHull ℝ) s)).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsorBases.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤
t : Set V
hts : t ⊆ s
b : AffineBasis ↑t ℝ V
hb : ⇑b = Subtype.val

⊢ (interior ((convexHull ℝ) s)).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsorBases.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤
t : Set V
hts : t ⊆ s
b : AffineBasis ↑t ℝ V
hb : ⇑b = Subtype.val

⊢ (interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsorBases.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
h : affineSpan ℝ s = ⊤
t : Finset V
hts : ↑t ⊆ s
b : AffineBasis ↑↑t ℝ V
hb : ⇑b = Subtype.val

⊢ (interior ((convexHull ℝ) (range ⇑b))).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hc : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹
F : ℂ → E := fun z => (z - c) • f z

⊢ DifferentiableOn ℂ (update f c (limUnder (𝓝[≠] c) f)) s
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hc : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹
F : ℂ → E := fun z => (z - c) • f z

⊢ DifferentiableOn ℂ F (s \ {c}) ∧ ContinuousAt F c