ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Intersectivity.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0∞
inst✝ : Infinite ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hr₀ : r ≠ 0
hr : ∀ (i : ι), r ≤ μ (s i)
t : Set ℕ
ht : t.Infinite
h : ∀ ⦃u : Set ℕ⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s ((Infinite.natEmbedding ι) n))
u : Set ι
hut : u ⊆ ⇑(Infinite.natEmbedding ι) '' t
hu : u.Finite
i : ι
hi : i ∈ u

⊢ ⋂ n ∈ ⇑(Infinite.natEmbedding ι) ⁻¹' u, s ((Infinite.natEmbedding ι) n) ⊆ s i
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Intersectivity.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0∞
inst✝ : Infinite ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hr₀ : r ≠ 0
hr : ∀ (i : ι), r ≤ μ (s i)
t : Set ℕ
ht : t.Infinite
h : ∀ ⦃u : Set ℕ⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s ((Infinite.natEmbedding ι) n))
u : Set ι
hut : u ⊆ ⇑(Infinite.natEmbedding ι) '' t
hu : u.Finite
n : ℕ
hi : (Infinite.natEmbedding ι) n ∈ u

⊢ ⋂ n ∈ ⇑(Infinite.natEmbedding ι) ⁻¹' u, s ((Infinite.natEmbedding ι) n) ⊆ s ((Infinite.natEmbedding ι) n)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V

⊢ -(o.rotation ↑(-π / 2)) x = (o.rotation ↑(π / 2)) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι

⊢ cylinder s univ = univ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projection.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
φ : ↥p →ₗ[R] F
ψ : ↥q →ₗ[R] F
χ : E →ₗ[R] F
hφ : ∀ (u : ↥p), φ u = χ ↑u
hψ : ∀ (u : ↥q), ψ u = χ ↑u
x : E

⊢ (ofIsCompl h φ ψ) x = χ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projection.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
φ : ↥p →ₗ[R] F
ψ : ↥q →ₗ[R] F
χ : E →ₗ[R] F
hφ : ∀ (u : ↥p), φ u = χ ↑u
hψ : ∀ (u : ↥q), ψ u = χ ↑u
w✝¹ : ↥p
w✝ : ↥q
right✝ : ∀ (r : ↥p) (s : ↥q), ↑r + ↑s = ↑w✝¹ + ↑w✝ → r = w✝¹ ∧ s = w✝

⊢ (ofIsCompl h φ ψ) (↑w✝¹ + ↑w✝) = χ (↑w✝¹ + ↑w✝)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C

⊢ IsSeparator G ↔ (preadditiveCoyoneda.obj (op G)).Faithful
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C

⊢ (preadditiveCoyoneda.obj (op G) ⋙ forget AddCommGrp).Faithful ↔ (preadditiveCoyoneda.obj (op G)).Faithful
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace α
S : Set ι
pt : Finset ι
hpt : ↑pt ⊆ S
ft : ι → Set α
ht_m : ∀ x ∈ pt, ft x ∈ (fun n => {s | MeasurableSet s}) x

⊢ MeasurableSet (⋂ x ∈ pt, ft x)
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace α
S : Set ι
pt : Finset ι
hpt : ↑pt ⊆ S
ft : ι → Set α
ht_m : ∀ x ∈ pt, ft x ∈ (fun n => {s | MeasurableSet s}) x
i : ι
hi : i ∈ pt

⊢ MeasurableSet (ft i)
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace α
S : Set ι
pt : Finset ι
hpt : ↑pt ⊆ S
ft : ι → Set α
ht_m : ∀ x ∈ pt, ft x ∈ (fun n => {s | MeasurableSet s}) x
i : ι
hi : i ∈ pt
hi' : i ∈ S

⊢ m i ≤ ⨆ i ∈ S, m i
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : p ≤ i
hp : p ≠ 0
hi : optParam (i ≠ 0) ⋯

⊢ (p.pred hp).predAbove i = i.pred hi
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k✝ G✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing k✝
inst✝⁶ : Monoid G✝
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : Monoid G
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Module k W
ρ : G →* V →ₗ[k] V
σ : G →* W →ₗ[k] W
f : V →ₗ[k] W
w : ∀ (g : G), f ∘ₗ ρ g = σ g ∘ₗ f
r : MonoidAlgebra k G
x : V

⊢ f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) r) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) r) (f x)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k✝ G✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing k✝
inst✝⁶ : Monoid G✝
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : Monoid G
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Module k W
ρ : G →* V →ₗ[k] V
σ : G →* W →ₗ[k] W
f : V →ₗ[k] W
w : ∀ (g : G), f ∘ₗ ρ g = σ g ∘ₗ f
r : MonoidAlgebra k G
x : V

⊢ ∀ (g : G), f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) ((MonoidAlgebra.of k G) g)) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) ((MonoidAlgebra.of k G) g)) (f x)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k✝ G✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing k✝
inst✝⁶ : Monoid G✝
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : Monoid G
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Module k W
ρ : G →* V →ₗ[k] V
σ : G →* W →ₗ[k] W
f : V →ₗ[k] W
w : ∀ (g : G), f ∘ₗ ρ g = σ g ∘ₗ f
r : MonoidAlgebra k G
x : V

⊢ ∀ (f_1 g : MonoidAlgebra k G), f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) f_1) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) f_1) (f x) → f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) g) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) g) (f x) → f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) (f_1 + g)) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) (f_1 + g)) (f x)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k✝ G✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing k✝
inst✝⁶ : Monoid G✝
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : Monoid G
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup W
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Module k W
ρ : G →* V →ₗ[k] V
σ : G →* W →ₗ[k] W
f : V →ₗ[k] W
w : ∀ (g : G), f ∘ₗ ρ g = σ g ∘ₗ f
r : MonoidAlgebra k G
x : V

⊢ ∀ (r : k) (f_1 : MonoidAlgebra k G), f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) f_1) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) f_1) (f x) → f ((((MonoidAlgebra.lift k G (V →ₗ[k] V)) ρ) (r • f_1)) x) = (((MonoidAlgebra.lift k G (W →ₗ[k] W)) σ) (r • f_1)) (f x)
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
l' : List (Multiset α)
H : ∀ ⦃x : Multiset α × Multiset α⦄, x ∈ l'.revzip → x.1 + x.2 = ↑l

⊢ l'.revzip = List.map (fun x => (x, ↑l - x)) l'
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
l' : List (Multiset α)
H : ∀ ⦃x : Multiset α × Multiset α⦄, x ∈ l'.revzip → x.1 + x.2 = ↑l
this : Forall₂ (fun p s => p = (s, ↑l - s)) l'.revzip (List.map Prod.fst l'.revzip)

⊢ l'.revzip = List.map (fun x => (x, ↑l - x)) l'
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
l' : List (Multiset α)
H : ∀ ⦃x : Multiset α × Multiset α⦄, x ∈ l'.revzip → x.1 + x.2 = ↑l
this : Forall₂ (fun p s => p = (s, ↑l - s)) l'.revzip (List.map Prod.fst l'.revzip)

⊢ Forall₂ (fun a c => a = (c, ↑l - c)) l'.revzip l'
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
hw : w ≠ 1

⊢ ∃ i, cs.IsRightDescent w i
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
hw : w ≠ 1

⊢ ∃ i, cs.IsLeftDescent w⁻¹ i
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
hw : w ≠ 1

⊢ w⁻¹ ≠ 1
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s t : Seq α

⊢ (corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (cons a s, t)).destruct = some (a, corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (s, t))
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s t : Seq α

⊢ omap (corec fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (match (cons a s, t).1.destruct with | none => match (cons a s, t).2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a_1, s₁') => some (a_1, s₁', (cons a s, t).2)) = some (a, corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (s, t))
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s t : Seq α

⊢ (match match (cons a s).destruct with | none => match t.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', t) with | none => none | some (a, b) => some (a, corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) b)) = some (a, corec (fun x => match x.1.destruct with | none => match x.2.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, nil, b) | some (a, s₁') => some (a, s₁', x.2)) (s, t))
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ

⊢ |(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)| = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α

⊢ ⋃ n, Ioc (a + ↑n) (a + ↑n + 1) = univ
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
s : Finset α
f g : α → β
comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)
comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)
comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)

⊢ s.noncommProd (f * g) ⋯ = s.noncommProd f comm_ff * s.noncommProd g comm_gg
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
f g : α → β
comm_ff : (↑∅).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)
comm_gg : (↑∅).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)
comm_gf : (↑∅).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)

⊢ ∅.noncommProd (f * g) ⋯ = ∅.noncommProd f comm_ff * ∅.noncommProd g comm_gg
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
f g : α → β
x : α
s : Finset α
hnmem : x ∉ s
ih : ∀ (comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)) (comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)) (comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)), s.noncommProd (f * g) ⋯ = s.noncommProd f comm_ff * s.noncommProd g comm_gg
comm_ff : (↑(cons x s hnmem)).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)
comm_gg : (↑(cons x s hnmem)).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)
comm_gf : (↑(cons x s hnmem)).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)

⊢ (cons x s hnmem).noncommProd (f * g) ⋯ = (cons x s hnmem).noncommProd f comm_ff * (cons x s hnmem).noncommProd g comm_gg
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : FunLike F β γ
f g : α → β
x : α
s : Finset α
hnmem : x ∉ s
ih : ∀ (comm_ff : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)) (comm_gg : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)) (comm_gf : (↑s).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)), s.noncommProd (f * g) ⋯ = s.noncommProd f comm_ff * s.noncommProd g comm_gg
comm_ff : (↑(cons x s hnmem)).Pairwise fun x y => Commute (f x) (f y)
comm_gg : (↑(cons x s hnmem)).Pairwise fun x y => Commute (g x) (g y)
comm_gf : (↑(cons x s hnmem)).Pairwise fun x y => Commute (g x) (f y)
y : α
hy : y ∈ s

⊢ Commute (g x) (f y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ

⊢ ((μ.withDensity f).withDensity fun x => (f x)⁻¹) ≤ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ

⊢ μ.withDensity (f * fun x => (f x)⁻¹) ≤ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ

⊢ (f * fun x => (f x)⁻¹) ≤ᶠ[ae μ] 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
x : α

⊢ (f * fun x => (f x)⁻¹) x ≤ 1 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
x : α

⊢ f x * (f x)⁻¹ ≤ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
x : α
hx_top : ¬f x = ⊤
hx_zero : ¬f x = 0

⊢ f x * (f x)⁻¹ ≤ 1
-- Mathlib/SetTheory/Game/Ordinal.lean
a b : Ordinal.{u}

⊢ a.toPGame + b.toPGame ≈ (a ♯ b).toPGame
-- Mathlib/SetTheory/Game/Ordinal.lean
a b : Ordinal.{u}
i : (a.toPGame + b.toPGame).LeftMoves

⊢ (a.toPGame + b.toPGame).moveLeft i ⧏ (a ♯ b).toPGame
-- Mathlib/SetTheory/Game/Ordinal.lean
a b : Ordinal.{u}
i : (a ♯ b).toPGame.LeftMoves

⊢ (a ♯ b).toPGame.moveLeft i ⧏ a.toPGame + b.toPGame
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
N k : ℕ

⊢ (N.smoothNumbersUpTo k).card + (N.roughNumbersUpTo k).card = N
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
N k : ℕ

⊢ (Finset.filter (fun x => x ∈ k.smoothNumbers ∨ x ≠ 0 ∧ x ∉ k.smoothNumbers) (Finset.range N.succ)).card = N
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
N k : ℕ

⊢ (Finset.filter (fun x => x ≠ 0) (Finset.range N.succ)).card = N
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
N k : ℕ

⊢ (Finset.range N.succ).card - 1 = N
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β✝ : Type u_7
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β✝
T✝ T' : Set α → β✝
C✝ C' : ℝ
β : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup β
T : Set α → β
C : ℝ
m : MeasurableSpace α
hT : DominatedFinMeasAdditive 0 T C
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ 0 s = 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x x' : M
h : x' ∈ (extChartAt I x).source

⊢ x' ∈ (chartAt H x).source
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A

⊢ FiniteType S A
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤

⊢ FiniteType S A
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A

⊢ b ∈ adjoin S ↑s
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A
le : adjoin R ↑s ≤ Subalgebra.restrictScalars R (adjoin S ↑s)

⊢ b ∈ adjoin S ↑s
-- Mathlib/Topology/Instances/Real.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
q : ℚ
x : ℝ
hx : x ∈ {r | ↑q ≤ r}
t : Set ℝ
ht : t ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ t
p : ℚ
h₁ : x < ↑p
h₂ : ↑p < x + ε

⊢ ↑p ∈ ball x ε
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y l₁ u₁ : ι → ℝ
h₁ : ∀ (i : ι), l₁ i < u₁ i
l₂ u₂ : ι → ℝ
h₂ : ∀ (i : ι), l₂ i < u₂ i
h : ↑{ lower := l₁, upper := u₁, lower_lt_upper := h₁ } = ↑{ lower := l₂, upper := u₂, lower_lt_upper := h₂ }

⊢ { lower := l₁, upper := u₁, lower_lt_upper := h₁ } = { lower := l₂, upper := u₂, lower_lt_upper := h₂ }
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y l₁ u₁ : ι → ℝ
h₁ : ∀ (i : ι), l₁ i < u₁ i
l₂ u₂ : ι → ℝ
h₂ : ∀ (i : ι), l₂ i < u₂ i
h : (l₂ ≤ l₁ ∧ u₁ ≤ u₂) ∧ l₁ ≤ l₂ ∧ u₂ ≤ u₁

⊢ { lower := l₁, upper := u₁, lower_lt_upper := h₁ } = { lower := l₂, upper := u₂, lower_lt_upper := h₂ }
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y l₁ u₁ : ι → ℝ
h₁ : ∀ (i : ι), l₁ i < u₁ i
l₂ u₂ : ι → ℝ
h₂ : ∀ (i : ι), l₂ i < u₂ i
h : (l₂ ≤ l₁ ∧ u₁ ≤ u₂) ∧ l₁ ≤ l₂ ∧ u₂ ≤ u₁

⊢ l₁ = l₂
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y l₁ u₁ : ι → ℝ
h₁ : ∀ (i : ι), l₁ i < u₁ i
l₂ u₂ : ι → ℝ
h₂ : ∀ (i : ι), l₂ i < u₂ i
h : (l₂ ≤ l₁ ∧ u₁ ≤ u₂) ∧ l₁ ≤ l₂ ∧ u₂ ≤ u₁

⊢ u₁ = u₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
X : Subobject B
h₁ : mk f ≤ mk g
h₂ : mk g ≤ X

⊢ ofMkLEMk f g h₁ ≫ ofMkLE g X h₂ = ofMkLE f X ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
X : Subobject B
h₁ : mk f ≤ mk g
h₂ : mk g ≤ X

⊢ (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) = (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map ⋯.hom
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Archimedean R
p : R → Prop
h : ∀ᶠ (x : R) in atTop, p x

⊢ ∀ᶠ (n : ℚ) in atTop, p ↑n
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField R
inst✝ : Archimedean R
p : R → Prop
h : ∀ᶠ (x : R) in atTop, p x

⊢ ∀ᶠ (n : ℚ) in Filter.comap Rat.cast atTop, p ↑n
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
hle : ‖x‖ ≤ ‖y‖
h : re ⟪x, y⟫_𝕜 = ‖y‖ ^ 2

⊢ x = y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
hle : ‖x‖ ≤ ‖y‖
h : re ⟪x, y⟫_𝕜 = ‖y‖ ^ 2

⊢ re ⟪x - y, x - y⟫_𝕜 ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
hle : ‖x‖ ≤ ‖y‖
h : re ⟪x, y⟫_𝕜 = ‖y‖ ^ 2
H₁ : ‖x‖ ^ 2 ≤ ‖y‖ ^ 2

⊢ re ⟪x - y, x - y⟫_𝕜 ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
hle : ‖x‖ ≤ ‖y‖
h : re ⟪x, y⟫_𝕜 = ‖y‖ ^ 2
H₁ : ‖x‖ ^ 2 ≤ ‖y‖ ^ 2
H₂ : re ⟪y, x⟫_𝕜 = ‖y‖ ^ 2

⊢ re ⟪x - y, x - y⟫_𝕜 ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty

⊢ (⋂₀ ↑F).Nonempty
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Matrix.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
τ : Type u_9
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁸ : DecidableEq ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq κ
inst✝¹⁶ : DecidableEq τ
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype κ
inst✝¹³ : Fintype τ
inst✝¹² : Finite ι'
inst✝¹¹ : Finite κ'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bP : Basis τ R P
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
A : Matrix ι' ι R
B : Matrix κ' κ R

⊢ (toLin (bM.tensorProduct bN) (bM'.tensorProduct bN')) (kroneckerMap (fun x x_1 => x * x_1) A B) = TensorProduct.map ((toLin bM bM') A) ((toLin bN bN') B)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
n : ℕ
hint : ∀ k < n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))

⊢ ∑ k ∈ Finset.range n, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a 0 ..a n, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
n : ℕ
hint : ∀ k < n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))

⊢ ∑ k ∈ Finset.Ico 0 n, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a 0 ..a n, f x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F

⊢ ↑(normSq x) = ⟪x, x⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F

⊢ re ↑(normSq x) = re ⟪x, x⟫_𝕜 ∧ im ↑(normSq x) = im ⟪x, x⟫_𝕜
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s : Multiset ℕ
n : ℕ

⊢ s.prod % n = (map (fun x => x % n) s).prod % n
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I : Ideal α

⊢ ¬I.IsPrime ↔ I = ⊤ ∨ ∃ x, ∃ (_ : x ∉ I), ∃ y, ∃ (_ : y ∉ I), x * y ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I : Ideal α

⊢ (I = ⊤ ∨ ∃ x x_1, ∃ (_ : x * x_1 ∈ I), x ∉ I ∧ x_1 ∉ I) ↔ I = ⊤ ∨ ∃ x, ∃ (_ : x ∉ I), ∃ y, ∃ (_ : y ∉ I), x * y ∈ I