ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U✝ : Set M
hU : IsOpen U✝
hSig : IsSigmaCompact U✝
hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U✝ → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
meas_U : MeasurableSet U✝
U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }
this : SigmaCompactSpace ↥U

⊢ LocallyIntegrable (fun x => f ↑x) (Measure.comap Subtype.val μ)
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U✝ : Set M
hU : IsOpen U✝
hSig : IsSigmaCompact U✝
hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U✝ → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
meas_U : MeasurableSet U✝
U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }
this : SigmaCompactSpace ↥U
g : ↥U → ℝ
g_smth : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g
g_supp : HasCompactSupport g

⊢ ∫ (x : ↥U), g x • f ↑x ∂Measure.comap Subtype.val μ = 0
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U✝ : Set M
hU : IsOpen U✝
hSig : IsSigmaCompact U✝
hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ
meas_U : MeasurableSet U✝
U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }
this : SigmaCompactSpace ↥U
g : ↥U → ℝ
g_smth : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g
g_supp : HasCompactSupport g
h : ∫ (x : M), Function.extend Subtype.val g 0 x • f x ∂μ = 0

⊢ ∫ (x : ↥U), g x • f ↑x ∂Measure.comap Subtype.val μ = 0
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U✝ : Set M
hU : IsOpen U✝
hSig : IsSigmaCompact U✝
hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ
meas_U : MeasurableSet U✝
U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }
this : SigmaCompactSpace ↥U
g : ↥U → ℝ
g_smth : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g
g_supp : HasCompactSupport g
h : ∫ (x : M) in ↑U, Function.extend Subtype.val g 0 x • f x ∂μ = 0

⊢ ∫ (x : ↥U), g x • f ↑x ∂Measure.comap Subtype.val μ = 0
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U✝ : Set M
hU : IsOpen U✝
hSig : IsSigmaCompact U✝
hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ
meas_U : MeasurableSet U✝
U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }
this : SigmaCompactSpace ↥U
g : ↥U → ℝ
g_smth : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g
g_supp : HasCompactSupport g
h : ∫ (x : M), Function.extend Subtype.val g 0 x • f x ∂μ = 0
x : M
hx : x ∉ ↑U

⊢ Function.extend Subtype.val g 0 x • f x = 0
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U✝ : Set M
hU : IsOpen U✝
hSig : IsSigmaCompact U✝
hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ
meas_U : MeasurableSet U✝
U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }
this : SigmaCompactSpace ↥U
g : ↥U → ℝ
g_smth : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g
g_supp : HasCompactSupport g
h : ∫ (x : M), Function.extend Subtype.val g 0 x • f x ∂μ = 0
x : M
hx : x ∉ ↑U

⊢ 0 x • f x = 0
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U✝ : Set M
hU : IsOpen U✝
hSig : IsSigmaCompact U✝
hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ
meas_U : MeasurableSet U✝
U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }
this : SigmaCompactSpace ↥U
g : ↥U → ℝ
g_smth : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g
g_supp : HasCompactSupport g
h : ∫ (x : M), Function.extend Subtype.val g 0 x • f x ∂μ = 0
x : M
hx : x ∉ ↑U

⊢ (∃ a, ↑a = x) → x ∈ ↑U
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂

⊢ ∀ {ι : Type u_1} [inst : _root_.Finite ι] (W : ι → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂

⊢ ∀ {α β : Type u_1}, α ≃ β → (∀ (W : α → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)) → ∀ (W : β → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂

⊢ ∀ (W : PEmpty.{u_1 + 1} → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂

⊢ ∀ {α : Type u_1} [inst : Fintype α], (∀ (W : α → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)) → ∀ (W : Option α → Subspace K V₁), dualAnnihilator (⨅ i, W i) = ⨆ i, dualAnnihilator (W i)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β
hf : f.NeBot
s : Set α
hs : m '' s ∈ f

⊢ (comap m f ⊓ 𝓟 s).NeBot
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β
hf : f.NeBot
s : Set α
hs : m '' s ∈ f

⊢ sᶜ ∉ comap m f
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
f : Filter β
m : α → β
hf : f.NeBot
s : Set α
hs : m '' s ∈ f
t : Set β
ht : t ∈ f
hts : m ⁻¹' t ⊆ sᶜ

⊢ False
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
f : Filter β
m : α → β
hf : f.NeBot
s : Set α
hs : m '' s ∈ f
t : Set β
ht : t ∈ f
hts : m ⁻¹' t ⊆ sᶜ
x : α
hxs : x ∈ s
hxt : m x ∈ t

⊢ False
-- Mathlib/Data/PNat/Basic.lean
n : ℕ+

⊢ 1 + n.natPred = ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n k : ℕ

⊢ (m * n).lcm (k * n) = m.lcm k * n
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
A : C
f₁ f₂ : A ⟶ S.cycles
h : f₁ ≫ S.iCycles = f₂ ≫ S.iCycles

⊢ f₁ = f₂
-- Mathlib/Topology/Category/CompHausLike/Limits.lean
P : TopCat → Prop
α : Type w
inst✝¹ : Finite α
X : α → CompHausLike P
inst✝ : HasExplicitFiniteCoproduct X
a : α
x y : (forget (CompHausLike P)).obj (X a)
hxy : (ι X a) x = (ι X a) y

⊢ x = y
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β✝ γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (Option α ⊕ β)
pe : ∀ (v : Option α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
x✝ : {v | ∃ x, x ::ₒ v ∈ S} v
x : ℕ
hx : x ::ₒ v ∈ S
t : β → ℕ
ht : p (x ::ₒ v ⊗ t) = 0

⊢ (Poly.map (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some) p) (v ⊗ x ::ₒ t) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β✝ γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (Option α ⊕ β)
pe : ∀ (v : Option α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
x✝ : {v | ∃ x, x ::ₒ v ∈ S} v
x : ℕ
hx : x ::ₒ v ∈ S
t : β → ℕ
ht : p (x ::ₒ v ⊗ t) = 0

⊢ p ((v ⊗ x ::ₒ t) ∘ (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some)) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β✝ γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (Option α ⊕ β)
pe : ∀ (v : Option α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
x✝ : {v | ∃ x, x ::ₒ v ∈ S} v
x : ℕ
hx : x ::ₒ v ∈ S
t : β → ℕ
ht : p (x ::ₒ v ⊗ t) = 0

⊢ p (x ::ₒ v ⊗ t) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β✝ γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (Option α ⊕ β)
pe : ∀ (v : Option α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
x✝ : ∃ t, (Poly.map (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some) p) (v ⊗ t) = 0
t : Option β → ℕ
ht : (Poly.map (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some) p) (v ⊗ t) = 0

⊢ p (t none ::ₒ v ⊗ t ∘ some) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β✝ γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (Option α ⊕ β)
pe : ∀ (v : Option α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ
x✝ : ∃ t, (Poly.map (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some) p) (v ⊗ t) = 0
t : Option β → ℕ
ht : p ((v ⊗ t) ∘ (inr none ::ₒ inl ⊗ inr ∘ some)) = 0

⊢ p (t none ::ₒ v ⊗ t ∘ some) = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : x < -1

⊢ 2 * arctan x = arctan (2 * x / (1 - x ^ 2)) - π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : x < -1

⊢ arctan ((x + x) / (1 - x * x)) - π = arctan (2 * x / (1 - x ^ 2)) - π
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ a ∈ l, p a
hf : ∀ (a : α) (ha : p a) (b : α) (hb : p b), f a ha = f b hb → a = b
h : l.Nodup

⊢ (List.pmap f l H).Nodup
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ a ∈ l, p a
hf : ∀ (a : α) (ha : p a) (b : α) (hb : p b), f a ha = f b hb → a = b
h : l.Nodup

⊢ (map (fun x => f ↑x ⋯) l.attach).Nodup
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs✝ : s.Finite
ht✝ : t.Finite
inst✝ : DecidableEq α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
h : (s ∆ t).Finite
a✝ : α

⊢ a✝ ∈ h.toFinset ↔ a✝ ∈ hs.toFinset ∆ ht.toFinset
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
hsplit : Splits i p
hp : ¬map i p = 0

⊢ (map i p).natDegree = Multiset.card (map i p).roots
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
hsplit : Splits i p
hp : ¬map i p = 0
q : L[X]
he : (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = map i p
hd : Multiset.card (map i p).roots + q.natDegree = (map i p).natDegree
hr : q.roots = 0

⊢ (map i p).natDegree = Multiset.card (map i p).roots
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
hp : ¬map i p = 0
q : L[X]
hsplit : Splits (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q)
he : (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = map i p
hd : Multiset.card (map i p).roots + q.natDegree = (map i p).natDegree
hr : q.roots = 0

⊢ (map i p).natDegree = Multiset.card (map i p).roots
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
q : L[X]
hp : ¬(Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = 0
hsplit : Splits (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q)
he : (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = map i p
hd : Multiset.card (map i p).roots + q.natDegree = (map i p).natDegree
hr : q.roots = 0

⊢ (map i p).natDegree = Multiset.card (map i p).roots
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
q : L[X]
hp : ¬(Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = 0
hsplit : Splits (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q)
he : (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = map i p
hd : Multiset.card (map i p).roots + q.natDegree = (map i p).natDegree
hr : q.roots = 0
hq : q ≠ 0

⊢ (map i p).natDegree = Multiset.card (map i p).roots
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
q : L[X]
hp : ¬(Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = 0
hsplit : Splits (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q)
he : (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = map i p
hd : Multiset.card (map i p).roots + q.natDegree = (map i p).natDegree
hr : q.roots = 0
hq : q ≠ 0

⊢ q.natDegree = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
q : L[X]
hp : ¬(Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = 0
hsplit : Splits (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q)
he : (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = map i p
hd : Multiset.card (map i p).roots + q.natDegree = (map i p).natDegree
hr : q.roots = 0
hq : q ≠ 0
h : ¬q.natDegree = 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
q : L[X]
hp : ¬(Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = 0
hsplit : Splits (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q)
he : (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = map i p
hd : Multiset.card (map i p).roots + q.natDegree = (map i p).natDegree
hr : q.roots = 0
hq : q ≠ 0
h : ¬q.natDegree = 0
h' : (map (RingHom.id L) q).natDegree ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
q : L[X]
hp : ¬(Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = 0
hsplit : Splits (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q)
he : (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = map i p
hd : Multiset.card (map i p).roots + q.natDegree = (map i p).natDegree
hr : q.roots = 0
hq : q ≠ 0
h : ¬q.natDegree = 0
h' : (map (RingHom.id L) q).natDegree ≠ 0
this : (map (RingHom.id L) q).roots ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
q : L[X]
hp : ¬(Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = 0
hsplit : Splits (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q)
he : (Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q = map i p
hd : Multiset.card (map i p).roots + q.natDegree = (map i p).natDegree
hr : q.roots = 0
hq : q ≠ 0
h : ¬q.natDegree = 0
h' : (map (RingHom.id L) q).natDegree ≠ 0

⊢ map (RingHom.id L) ((Multiset.map (fun a => X - C a) (map i p).roots).prod * q) ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'

⊢ map f I ⊔ map f f.ker = map f I
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ
h : n < l.length

⊢ (l.rotate n).head? = l[n]?
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
h : M ≅[L] N

⊢ M ⊨ T ↔ N ⊨ T
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : Disjoint a b

⊢ (a ⊔ b) \ a = b
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/InfiniteSum.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ℕ → E
g : ℕ → ℝ
hg : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ range n, g i
hf : ∀ (i : ℕ), ‖f i‖ ≤ g i

⊢ CauchySeq fun n => ∑ i ∈ range n, f i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/InfiniteSum.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ℕ → E
g : ℕ → ℝ
hg : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ range n, g i
hf : ∀ (i : ℕ), ‖f i‖ ≤ g i
ε : ℝ
hε : ε > 0

⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (∑ i ∈ range n, f i) (∑ i ∈ range N, f i) < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/InfiniteSum.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ℕ → E
g : ℕ → ℝ
hg✝ : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ range n, g i
hf : ∀ (i : ℕ), ‖f i‖ ≤ g i
ε : ℝ
hε : ε > 0
N : ℕ
hg : ∀ n ≥ N, dist (∑ i ∈ range n, g i) (∑ i ∈ range N, g i) < ε
n : ℕ
hn : n ≥ N

⊢ dist (∑ i ∈ range n, f i) (∑ i ∈ range N, f i) < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/InfiniteSum.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ℕ → E
g : ℕ → ℝ
hg✝ : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ range n, g i
hf : ∀ (i : ℕ), ‖f i‖ ≤ g i
ε : ℝ
hε : ε > 0
N n : ℕ
hn : n ≥ N
hg : dist (∑ i ∈ range n, g i) (∑ i ∈ range N, g i) < ε

⊢ dist (∑ i ∈ range n, f i) (∑ i ∈ range N, f i) < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/InfiniteSum.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ℕ → E
g : ℕ → ℝ
hg✝ : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ range n, g i
hf : ∀ (i : ℕ), ‖f i‖ ≤ g i
ε : ℝ
hε : ε > 0
N n : ℕ
hn : n ≥ N
hg : ‖∑ k ∈ Ico N n, g k‖ < ε

⊢ ‖∑ k ∈ Ico N n, f k‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x - g x) s x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H

⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E) n (↑I) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, E) (↑I x)) ∘ ↑I ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H

⊢ ↑I ∘ ↑I.symm =ᶠ[nhdsWithin (↑I x) (range ↑I)] id