ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l : Line α ι
i : ι
a x : α
C : (ι → α) → κ

⊢ (∃ c, ∀ (x : Unit → α), (C fun i => (l.idxFun i).getD (x ())) = c) ↔ ∃ c, ∀ (x : α), (C fun i => (l.idxFun i).getD x) = c
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s✝ : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
g : γ → α
s : Finset γ
H : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, g x = g y → x = y

⊢ fold op b f (image g s) = fold op b (f ∘ g) s
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
u v : PrimeMultiset

⊢ u.prod ∣ v.prod ↔ u ≤ v
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
u v : PrimeMultiset
h : u.prod.factorMultiset ≤ v ↔ u.prod ∣ v.prod := PNat.factorMultiset_le_iff'

⊢ u.prod ∣ v.prod ↔ u ≤ v
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
u v : PrimeMultiset
h : u ≤ v ↔ u.prod ∣ v.prod

⊢ u.prod ∣ v.prod ↔ u ≤ v
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝³ : K.HasHomology j
inst✝² : L.HasHomology j
inst✝¹ : (K.sc' i j k).HasHomology
inst✝ : (L.sc' i j k).HasHomology

⊢ QuasiIsoAt f j ↔ ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor' C c i j k).map f)
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝³ : K.HasHomology j
inst✝² : L.HasHomology j
inst✝¹ : (K.sc' i j k).HasHomology
inst✝ : (L.sc' i j k).HasHomology

⊢ ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor C c j).map f) ↔ ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor' C c i j k).map f)
-- Mathlib/Logic/Function/Iterate.lean
α : Type u
β : Type v
f g : α → α
h : Commute f g
n : ℕ

⊢ (f ∘ g)^[n] = f^[n] ∘ g^[n]
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f g : R[X]
fg : f.leadingCoeff * g.leadingCoeff ≠ 0

⊢ reflect (f * g).natDegree (f * g) = reflect f.natDegree f * reflect g.natDegree g
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
n' a : ℤ
γ : Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn : n + a = n'
x : Rˣ

⊢ (x • γ).leftUnshift n hn = x • γ.leftUnshift n hn
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
a g : ℝ≥0
h : ι → ℝ≥0
H : ∀ (j : ι), g * h j ≤ a

⊢ g * iSup h ≤ a
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
a g : ℝ≥0
h : ι → ℝ≥0
H : ∀ (j : ι), g * h j ≤ a

⊢ ⨆ i, g * h i ≤ a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f

⊢ StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f.symm
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ f.symm (a • x + b • y) < a • f.symm x + b • f.symm y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'

⊢ f.symm (a • x + b • y) < a • f.symm x + b • f.symm y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'

⊢ f.symm (a • x + b • y) < a • f.symm x + b • f.symm y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'

⊢ f.symm (a • x + b • y) < a • f.symm x + b • f.symm y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'

⊢ f.symm (a • f x' + b • f y') < a • x' + b • y'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'

⊢ a • f x' + b • f y' < f (a • x' + b • y')
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasureCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ✝ η : Kernel α β
μ ν : Measure α
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : SFinite ν
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ

⊢ (μ + ν) ⊗ₘ κ = μ ⊗ₘ κ + ν ⊗ₘ κ
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasureCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ✝ : Measure α
κ✝ η : Kernel α β
μ ν : Measure α
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : SFinite ν
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ

⊢ (Kernel.const Unit μ ⊗ₖ Kernel.prodMkLeft Unit κ + Kernel.const Unit ν ⊗ₖ Kernel.prodMkLeft Unit κ) () = μ ⊗ₘ κ + ν ⊗ₘ κ
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R

⊢ IsWeightedHomogeneous w ((weightedHomogeneousComponent w n) φ) n
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s t : Multiset α
h : s ≤ t

⊢ countP p s ≤ countP p t
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁷ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁵ : S₁.HasHomology
inst✝⁴ : S₂.HasHomology
inst✝³ : (S₁.map F).HasHomology
inst✝² : (S₂.map F).HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂

⊢ F.map (homologyMap φ) ≫ (S₂.mapHomologyIso F).inv = (S₁.mapHomologyIso F).inv ≫ homologyMap (F.mapShortComplex.map φ)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
i : ℕ
x : X i
hx : ⟨i, x⟩.fst ≤ 0
j : ℕ
y : X j
hy : ⟨j, y⟩.fst ≤ 0

⊢ inductiveLimitDist f ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ = dist (leRecOn hx (fun {k} => f k) ⟨i, x⟩.snd) (leRecOn hy (fun {k} => f k) ⟨j, y⟩.snd)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
j : ℕ
y : X j
hy : ⟨j, y⟩.fst ≤ 0
x : X 0
hx : ⟨0, x⟩.fst ≤ 0

⊢ inductiveLimitDist f ⟨0, x⟩ ⟨j, y⟩ = dist (leRecOn hx (fun {k} => f k) ⟨0, x⟩.snd) (leRecOn hy (fun {k} => f k) ⟨j, y⟩.snd)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : ℕ → Type u
inst✝ : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
f : (n : ℕ) → X n → X (n + 1)
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
x : X 0
hx : ⟨0, x⟩.fst ≤ 0
y : X 0
hy : ⟨0, y⟩.fst ≤ 0

⊢ inductiveLimitDist f ⟨0, x⟩ ⟨0, y⟩ = dist (leRecOn hx (fun {k} => f k) ⟨0, x⟩.snd) (leRecOn hy (fun {k} => f k) ⟨0, y⟩.snd)
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
c : Sigma β
l : List (Sigma β)
h : (c :: l).NodupKeys

⊢ { entries := c :: l, nodupKeys := h } = insert c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := ⋯ }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Reflexive.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
A✝ B✝ : C
f✝ g✝ : A✝ ⟶ B✝
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : HasReflexiveCoequalizers C
A B : C
f g : A ⟶ B
r : B ⟶ A
rf : r ≫ f = 𝟙 B
rg : r ≫ g = 𝟙 B

⊢ HasCoequalizer f g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Reflexive.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
A✝ B✝ : C
f✝ g✝ : A✝ ⟶ B✝
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : HasReflexiveCoequalizers C
A B : C
f g : A ⟶ B
r : B ⟶ A
rf : r ≫ f = 𝟙 B
rg : r ≫ g = 𝟙 B
this : IsReflexivePair f g := IsReflexivePair.mk' r rf rg

⊢ HasCoequalizer f g
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ E

⊢ ‖∫ (x : X), f x ∂μ‖ ≤ (μ Set.univ).toReal * ‖f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ E

⊢ ∫ (x : X), ‖f x‖ ∂μ ≤ ∫ (x : X), ‖f‖ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ E

⊢ Integrable (fun x => ‖f x‖) μ
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R

⊢ (monomial (Finsupp.single n e + s)) a = X n ^ e * (monomial s) a
-- Mathlib/Topology/Category/LightProfinite/Sequence.lean

⊢ ClosedEmbedding ⇑natUnionInftyEmbedding
-- Mathlib/Topology/Category/LightProfinite/Sequence.lean

⊢ Function.Injective ⇑natUnionInftyEmbedding
-- Mathlib/Topology/Category/LightProfinite/Sequence.lean

⊢ IsClosedMap ⇑natUnionInftyEmbedding
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x : ℝ*

⊢ x⁻¹⁻¹.Infinitesimal ∧ x⁻¹⁻¹ < 0 ↔ x.Infinitesimal ∧ x < 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : WithLp p (α × β)

⊢ edist ((WithLp.equiv p (α × β)) x) ((WithLp.equiv p (α × β)) y) ≤ ↑1 * edist x y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
hp : Fact (1 ≤ ⊤)
x y : WithLp ⊤ (α × β)

⊢ edist ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) x) ((WithLp.equiv ⊤ (α × β)) y) ≤ ↑1 * edist x y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : WithLp p (α × β)
h : 1 ≤ p.toReal

⊢ edist ((WithLp.equiv p (α × β)) x) ((WithLp.equiv p (α × β)) y) ≤ ↑1 * edist x y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R

⊢ Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆) = C 0 * Y ^ 3 + C 1 * Y ^ 2 + C (C 0 * X ^ 3 + C 0 * X ^ 2 + C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y + C (C (-1) * X ^ 3 + C (-W.a₂) * X ^ 2 + C (-W.a₄) * X + C (-W.a₆))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R

⊢ Y ^ 2 + (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃)) * Y - (C X ^ 3 + C (C W.a₂) * C X ^ 2 + C (C W.a₄) * C X + C (C W.a₆)) = 0 * Y ^ 3 + 1 * Y ^ 2 + (0 * C X ^ 3 + 0 * C X ^ 2 + C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃)) * Y + (-1 * C X ^ 3 + -C (C W.a₂) * C X ^ 2 + -C (C W.a₄) * C X + -C (C W.a₆))
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
a : α
ha : a ∈ s
has : ∀ b ∈ s, b ≤ a → b = a

⊢ s.erase a ⊓ Ici a = s
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

⊢ (fun n => (∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range n, truncation (X i) ↑i) a) - ↑n * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] Nat.cast
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
A : Tendsto (fun i => ∫ (a : Ω), truncation (X i) (↑i) a) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))

⊢ (fun n => (∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range n, truncation (X i) ↑i) a) - ↑n * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] Nat.cast
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
A : Tendsto (fun i => ∫ (a : Ω), truncation (X i) (↑i) a) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))

⊢ (fun n => (∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range n, truncation (X i) ↑i) a) - ↑n * ∫ (a : Ω), X 0 a) = fun n => ∑ i ∈ range n, ((∫ (a : Ω), truncation (X i) (↑i) a) - ∫ (a : Ω), X 0 a)
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
A : Tendsto (fun i => ∫ (a : Ω), truncation (X i) (↑i) a) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
n : ℕ

⊢ (∫ (a : Ω), (∑ i ∈ range n, truncation (X i) ↑i) a) - ↑n * ∫ (a : Ω), X 0 a = ∑ i ∈ range n, ((∫ (a : Ω), truncation (X i) (↑i) a) - ∫ (a : Ω), X 0 a)
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
A : Tendsto (fun i => ∫ (a : Ω), truncation (X i) (↑i) a) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
n : ℕ

⊢ ∫ (a : Ω), ∑ c ∈ range n, truncation (X c) (↑c) a = ∑ x ∈ range n, ∫ (a : Ω), truncation (X x) (↑x) a
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
A : Tendsto (fun i => ∫ (a : Ω), truncation (X i) (↑i) a) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
n i : ℕ
x✝ : i ∈ range n

⊢ Integrable (truncation (X i) ↑i) ℙ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
f g : ↥(simpleFunc G p μ)

⊢ ↑↑↑f ≤ᶠ[ae μ] ↑↑↑g ↔ f ≤ g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : ℤ
g : SL(2, ℤ)
j : Fin 2

⊢ ↑(T ^ n * g) 1 j = ↑g 1 j
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
i : ι

⊢ MeasurableSet s ↔ MeasurableSet s ∧ MeasurableSet s
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
r : R

⊢ (optionEquivRight R S₁) (C r) = C (Polynomial.C r)
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
ha : a ∈ s

⊢ a ^ 0 ∈ s ^ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
ha : a ∈ s

⊢ 1 ∈ s ^ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n✝ : ℕ
ha : a ∈ s
n : ℕ

⊢ a ^ (n + 1) ∈ s ^ (n + 1)
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n✝ : ℕ
ha : a ∈ s
n : ℕ

⊢ a ^ n * a ∈ s ^ (n + 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Localization.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝ : Category.{u_3, u_2} A
G : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj : G ⊣ sheafToPresheaf J A
P₁ P₂ : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P₁ ⟶ P₂

⊢ J.W f ↔ IsIso (G.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Localization.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝ : Category.{u_3, u_2} A
G : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj : G ⊣ sheafToPresheaf J A
P₁ P₂ : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P₁ ⟶ P₂

⊢ LeftBousfield.W (fun x => x ∈ Set.range (sheafToPresheaf J A).obj) f ↔ IsIso (G.map f)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s : Set β
t : Set γ
hf : Surjective f
hg : SurjOn g s t

⊢ SurjOn (g ∘ f) (f ⁻¹' s) t
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
𝕜 : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
c : 𝕜

⊢ mellin (fun t => c • f t) s = c • mellin f s
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
κ : ι✝ → Sort w'
inst✝² : Frame α
s t : Set α
a b : α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → α
hf : Monotone f
hg : Monotone g

⊢ ⨆ i, f i ⊓ g i = (⨆ i, f i) ⊓ ⨆ i, g i
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
κ : ι✝ → Sort w'
inst✝² : Frame α
s t : Set α
a b : α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → α
hf : Monotone f
hg : Monotone g

⊢ (⨆ i, f i) ⊓ ⨆ i, g i ≤ ⨆ i, f i ⊓ g i
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
κ : ι✝ → Sort w'
inst✝² : Frame α
s t : Set α
a b : α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → α
hf : Monotone f
hg : Monotone g

⊢ ⨆ i, f i.1 ⊓ g i.2 ≤ ⨆ i, f i ⊓ g i
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
κ : ι✝ → Sort w'
inst✝² : Frame α
s t : Set α
a b : α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → α
hf : Monotone f
hg : Monotone g
i : ι × ι

⊢ ∃ i', f i.1 ⊓ g i.2 ≤ f i' ⊓ g i'
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
κ : ι✝ → Sort w'
inst✝² : Frame α
s t : Set α
a b : α
ι : Type u_1
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → α
hf : Monotone f
hg : Monotone g
i : ι × ι
j : ι
h₁ : i.1 ≤ j
h₂ : i.2 ≤ j

⊢ ∃ i', f i.1 ⊓ g i.2 ≤ f i' ⊓ g i'
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x : ℝ*

⊢ x.InfiniteNeg ↔ x⁻¹.Infinitesimal ∧ x⁻¹ < 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
J : Type
inst✝¹ : Fintype J
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
T : C
g : (j : J) → f j ⟶ T
j : J

⊢ ι f j ≫ desc g = ι f j ≫ ∑ j : J, π f j ≫ g j
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ

⊢ (1 - X ^ 2) * U R n = X * T R (n + 1) - T R (n + 2)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α

⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ V ∈ 𝓤 α, ball x V ⊆ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

⊢ AEMeasurable (fun b => ⨆ i, f i b) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : BorelSpace α
inst✝⁷ : TopologicalSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : BorelSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
ι : Sort u_5
μ : Measure δ
inst✝ : Countable ι
f : ι → δ → α
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ

⊢ (fun b => ⨆ i, f i b) =ᶠ[ae μ] fun b => ⨆ i, AEMeasurable.mk (f i) ⋯ b
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ

⊢ (e.trans (PartialEquiv.refl β)).source = e.source
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Mono (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)

⊢ Mono (app' φ 1 ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Mono (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)
ψ : mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) ⟶ mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) := homMk₃ (𝟙 ((mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)).obj' 0 ⋯)) (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) ⋯ ⋯ ⋯

⊢ Mono (app' φ 1 ⋯)