ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
A B : TopCat
x₀ : ↑(π.obj A)
x₁ : ↑(π.obj B)
y₀ : ↑(π.obj A)
y₁ : ↑(π.obj B)
f₀ : (x₀, x₁).1 ⟶ (y₀, y₁).1
f₁ : (x₀, x₁).2 ⟶ (y₀, y₁).2
this : Path.Homotopic.projLeft ((prodToProdTop A B).map (f₀, f₁)) = f₀ ∧ Path.Homotopic.projRight ((prodToProdTop A B).map (f₀, f₁)) = f₁

⊢ HEq ((prodToProdTop A B ⋙ (projLeft A B).prod' (projRight A B)).map (f₀, f₁)) ((𝟭 (↑(π.obj A) × ↑(π.obj B))).map (f₀, f₁))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
A B : TopCat

⊢ (projLeft A B).prod' (projRight A B) ⋙ prodToProdTop A B = 𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
A B : TopCat

⊢ ∀ (X : ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))), ((projLeft A B).prod' (projRight A B) ⋙ prodToProdTop A B).obj X = (𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))).obj X
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
A B : TopCat

⊢ ∀ (X Y : ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))) (f : X ⟶ Y), HEq (((projLeft A B).prod' (projRight A B) ⋙ prodToProdTop A B).map f) ((𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))).map f)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
A B : TopCat
x₀ : ↑A
x₁ : ↑B
y₀ : ↑A
y₁ : ↑B
f : { as := (x₀, x₁) } ⟶ { as := (y₀, y₁) }

⊢ HEq (((projLeft A B).prod' (projRight A B) ⋙ prodToProdTop A B).map f) ((𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))).map f)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
A B : TopCat
x₀ : ↑A
x₁ : ↑B
y₀ : ↑A
y₁ : ↑B
f : { as := (x₀, x₁) } ⟶ { as := (y₀, y₁) }
this : Path.Homotopic.prod (Path.Homotopic.projLeft f) (Path.Homotopic.projRight f) = f

⊢ HEq (((projLeft A B).prod' (projRight A B) ⋙ prodToProdTop A B).map f) ((𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of (↑A × ↑B)))).map f)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
A B : TopCat
x₀ : ↑A
x₁ : ↑B
y₀ : ↑A
y₁ : ↑B
f : { as := (x₀, x₁) } ⟶ { as := (y₀, y₁) }
this : Path.Homotopic.prod (Path.Homotopic.projLeft f) (Path.Homotopic.projRight f) = f

⊢ (prodToProdTop A B).map (Path.Homotopic.projLeft f, Path.Homotopic.projRight f) = f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g s

⊢ iteratedDerivWithin n (f + g) s x = iteratedDerivWithin n f s x + iteratedDerivWithin n g s x
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0

⊢ a / b < 1 ↔ b < a
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : l.Nodup
h' : a ∈ l

⊢ (List.insert a l).Nodup
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : l.Nodup
h' : a ∈ l

⊢ l.Nodup
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : l.Nodup
h' : a ∉ l

⊢ (List.insert a l).Nodup
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : l.Nodup
h' : a ∉ l

⊢ a ∉ l ∧ l.Nodup
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Bilinear.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : IsScalarTower R A A
a b x✝ : A

⊢ (mulLeft R (a * b)) x✝ = (mulLeft R a ∘ₗ mulLeft R b) x✝
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : Subsingleton ι

⊢ iIndepFun m f κ μ
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : Subsingleton ι
s : Finset ι
f' : (i : ι) → Set (β i)
hf' : ∀ i ∈ s, MeasurableSet (f' i)

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ s, f i ⁻¹' f' i) = ∏ i ∈ s, (κ a) (f i ⁻¹' f' i)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : Subsingleton ι
f' : (i : ι) → Set (β i)
hf' : ∀ i ∈ ∅, MeasurableSet (f' i)

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ ∅, f i ⁻¹' f' i) = ∏ i ∈ ∅, (κ a) (f i ⁻¹' f' i)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : Subsingleton ι
s : Finset ι
f' : (i : ι) → Set (β i)
hf' : ∀ i ∈ s, MeasurableSet (f' i)
x : ι
hx : x ∈ s

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ s, f i ⁻¹' f' i) = ∏ i ∈ s, (κ a) (f i ⁻¹' f' i)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M

⊢ 𝓝 a * 𝓝 b ≤ 𝓝 (a * b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M

⊢ map (Function.uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 (a, b)) ≤ 𝓝 (a * b)
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α

⊢ map reverse l.tails = l.reverse.inits.reverse
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α

⊢ map reverse (map reverse l.reverse.inits).reverse = l.reverse.inits.reverse
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
f' g' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
s : Set E
c : ℂ
hf : HasFDerivAt f f' x
hg : HasFDerivAt g g' x
h0 : f x ∈ slitPlane

⊢ HasFDerivAt (fun x => f x ^ g x) ((g x * f x ^ (g x - 1)) • f' + (f x ^ g x * Complex.log (f x)) • g') x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
a : α
h : IsRatStieltjesPoint f a
q : ℚ

⊢ toRatCDF f a q = f a q
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/DerivabilityStructure/Constructor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{?u.1506, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.1510, u_2} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
inst✝⁶ : Φ.IsLocalizedEquivalence
inst✝⁵ : W₁.IsMultiplicative
inst✝⁴ : ∀ (X₂ : C₂), IsConnected (Φ.RightResolution X₂)
inst✝³ : Φ.arrow.HasRightResolutions
inst✝² : W₂.ContainsIdentities
D : Type u_3
inst✝¹ : Category.{?u.2123, u_3} D
L : C₂ ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W₂
X₂ : C₂
X₃ : D
y : L.obj X₂ ⟶ X₃
R R' : Φ.RightResolution X₂
φ : R ⟶ R'

⊢ L.map (Φ.functor.map φ.f) ≫ (isoOfHom L W₂ R'.w ⋯).inv ≫ y = (isoOfHom L W₂ R.w ⋯).inv ≫ y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Integrable f μ

⊢ Integrable (fun x => RCLike.re (f x)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ

⊢ Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) 1 μ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ

⊢ (W.preΨ' n).coeff ((n ^ 2 - if Even n then 4 else 1) / 2) = ↑(if Even n then n / 2 else n)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ

⊢ ↑(if Even n then n / 2 else n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Biproducts.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
X Y : C
inst✝² : HasBinaryBiproduct X Y
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct (F.obj X) (F.obj Y)
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms

⊢ F.biprodComparison' X Y ≫ F.biprodComparison X Y = 𝟙 (F.obj X ⊞ F.obj Y)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c✝ d : G
n : ℤ
a b c : G

⊢ a * c / (b * c) = a / b
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c✝ d : G
n : ℤ
a b c : G

⊢ a * c / c / b = a / b
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.76698, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting

⊢ S.g ≫ s.s = 𝟙 S.X₂ - s.r ≫ S.f
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α

⊢ s.encard = 1 ↔ ∃ x, s = {x}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = 1

⊢ ∃ x, s = {x}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = 1
x : α
hx : x ∈ s

⊢ ∃ x, s = {x}
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ
h : p.IsConjExponent q

⊢ (ENNReal.ofReal p)⁻¹ + (ENNReal.ofReal q)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
a : α
n : ℕ

⊢ toMultiset (single a n) = n • {a}
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
a : α
n : ℕ

⊢ 0 • {a} = 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → β → α
hA : UniformEquicontinuous (u ∘ Subtype.val)
hu : Continuous u

⊢ UniformEquicontinuous (u ∘ Subtype.val)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → β → α
hA : UniformEquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) univ
hu : Continuous u

⊢ UniformEquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) univ
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ ⊤
h : a.toNNReal < b.toNNReal

⊢ a < b
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
Q : AffineSubspace k P
p₀ p₁ : P
c : k
h₀ : p₀ ∈ Q
h₁ : p₁ ∈ Q

⊢ (lineMap p₀ p₁) c ∈ Q
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
Q : AffineSubspace k P
p₀ p₁ : P
c : k
h₀ : p₀ ∈ Q
h₁ : p₁ ∈ Q

⊢ c • (p₁ -ᵥ p₀) +ᵥ p₀ ∈ Q
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : MapsTo f s t
f_inj : InjOn f s

⊢ s.encard ≤ t.encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : MapsTo f s t
f_inj : InjOn f s

⊢ (f '' s).encard ≤ t.encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : MapsTo f s t
f_inj : InjOn f s

⊢ f '' s ⊆ t
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
i : σ

⊢ IsWeightedHomogeneous w (X i) (w i)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
i : σ

⊢ (weight w) (Finsupp.single i 1) = w i
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
A : Matrix m n α

⊢ ‖A‖ ≤ r ↔ ∀ (i : m) (j : n), ‖A i j‖ ≤ r
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hS : S ∈ rightTransversals ↑H
g : G

⊢ (g * (↑(toFun hS g))⁻¹)⁻¹ = ↑(toFun hS g) * g⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z : ℝ
n✝ : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
n : ℕ

⊢ x ^ (y + ↑n) = x ^ y * x ^ n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/NatAntidiagonal.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → M

⊢ ∏ p ∈ antidiagonal n, f p.swap = ∏ p ∈ antidiagonal n, f p
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/NatAntidiagonal.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → M

⊢ ∏ x ∈ antidiagonal n, f ({ toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ } x).swap = ∏ p ∈ antidiagonal n, f p
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ x ⊓ y ⊓ z ⊔ x ⊓ y \ z = x ⊓ (y ⊓ z) ⊔ x ⊓ y \ z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ x ⊓ (y ⊓ z) ⊔ x ⊓ y \ z = x ⊓ (y ⊓ z ⊔ y \ z)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ x ⊓ (y ⊓ z ⊔ y \ z) = x ⊓ y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ x ⊓ x ⊓ (y ⊓ z ⊓ y \ z) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝
inst✝ : NonAssocSemiring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R

⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝
inst✝ : NonAssocSemiring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R

⊢ x ∈ ⨆ i, S i → ∃ i, x ∈ S i
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝
inst✝ : NonAssocSemiring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
U : Subsemiring R := Subsemiring.mk' (⋃ i, ↑(S i)) (⨆ i, (S i).toSubmonoid) ⋯ (⨆ i, (S i).toAddSubmonoid) ⋯

⊢ x ∈ ⨆ i, S i → ∃ i, x ∈ S i
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S✝
inst✝ : NonAssocSemiring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subsemiring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
U : Subsemiring R := Subsemiring.mk' (⋃ i, ↑(S i)) (⨆ i, (S i).toSubmonoid) ⋯ (⨆ i, (S i).toAddSubmonoid) ⋯

⊢ ⨆ i, S i ≤ U
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u w}
H : IsNormal f
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
g : (a : Ordinal.{u}) → a < type r → Ordinal.{max u v}
h : type r ≠ 0

⊢ f ((type r).bsup g) = (type r).bsup fun a h => f (g a h)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u w}
H : IsNormal f
o : Ordinal.{u}
α : Type u
r : α → α → Prop
x✝ : IsWellOrder α r
g : (a : Ordinal.{u}) → a < type r → Ordinal.{max u v}
h : type r ≠ 0
this : Nonempty α

⊢ f ((type r).bsup g) = (type r).bsup fun a h => f (g a h)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x✝ y✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hab : a ≠ b
x : α
hx : x ∈ {a, b}
y : α
hy : y ∈ {a, b}

⊢ (swap a b).SameCycle x y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x✝ y✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
hab : a ≠ b
x : α
hx : x = a ∨ x = b
y : α
hy : y = a ∨ y = b

⊢ (swap a b).SameCycle x y
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b : R
h : gcd a b = 0

⊢ a = 0 ∧ b = 0
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R

⊢ gcd 0 0 = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ g : Perm α
ht : g.IsThreeCycle

⊢ _root_.orderOf g = 3
-- Mathlib/RingTheory/SurjectiveOnStalks.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S

⊢ f.SurjectiveOnStalks ↔ ∀ (I : Ideal S) (x : I.IsMaximal), Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap f I) I f ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/SurjectiveOnStalks.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
H : ∀ (I : Ideal S) (x : I.IsMaximal), Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap f I) I f ⋯)
I : Ideal S
hI : I.IsPrime

⊢ Function.Surjective ⇑(Localization.localRingHom (Ideal.comap f I) I f ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/SurjectiveOnStalks.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
I : Ideal S
hI : I.IsPrime
H : ∀ (I : Ideal S), I.IsMaximal → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x

⊢ ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
-- Mathlib/RingTheory/SurjectiveOnStalks.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
I : Ideal S
hI : I.IsPrime
H : ∀ (I : Ideal S), I.IsMaximal → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
s : S

⊢ ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
-- Mathlib/RingTheory/SurjectiveOnStalks.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
I : Ideal S
hI : I.IsPrime
H : ∀ (I : Ideal S), I.IsMaximal → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
s : S
M : Ideal S
hM : M.IsMaximal
hIM : I ≤ M

⊢ ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
d x y : ℤ

⊢ IsPell { re := x, im := y } ↔ { re := x, im := y } * star { re := x, im := y } = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
d x y : ℤ

⊢ x * x - y * (d * y) = 1 ↔ x * x + -(y * (d * y)) = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Set α
x a : α
x✝ : x ∈ a • s
b : α
hb : b ∈ s
Eq : (fun x => a • x) b = x

⊢ a⁻¹ * x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ

⊢ C a * X ^ (n + 1) = (monomial (n + 1)) a
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

⊢ ∃ j g, LocallyConstant.map (fun a b => if a = b then 0 else 1) f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
val✝ : Fintype α

⊢ ∃ j g, LocallyConstant.map (fun a b => if a = b then 0 else 1) f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
val✝ : Fintype α
ι : α → α → Fin 2 := fun x y => if x = y then 0 else 1
ff : α → LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2) := (LocallyConstant.map ι f).flip

⊢ ∃ j g, LocallyConstant.map (fun a b => if a = b then 0 else 1) f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
val✝ : Fintype α
ι : α → α → Fin 2 := fun x y => if x = y then 0 else 1
ff : α → LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2) := (LocallyConstant.map ι f).flip
hff : ∀ (a : α), ∃ j g, ff a = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g

⊢ ∃ j g, LocallyConstant.map (fun a b => if a = b then 0 else 1) f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
val✝ : Fintype α
ι : α → α → Fin 2 := fun x y => if x = y then 0 else 1
ff : α → LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2) := (LocallyConstant.map ι f).flip
j : α → J
g : (a : α) → LocallyConstant (↑(F.obj (j a)).toTop) (Fin 2)
h : ∀ (a : α), ff a = LocallyConstant.comap (C.π.app (j a)) (g a)
G : Finset J := Finset.image j Finset.univ

⊢ ∃ j g, LocallyConstant.map (fun a b => if a = b then 0 else 1) f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
val✝ : Fintype α
ι : α → α → Fin 2 := fun x y => if x = y then 0 else 1
ff : α → LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2) := (LocallyConstant.map ι f).flip
j : α → J
g : (a : α) → LocallyConstant (↑(F.obj (j a)).toTop) (Fin 2)
h : ∀ (a : α), ff a = LocallyConstant.comap (C.π.app (j a)) (g a)
G : Finset J := Finset.image j Finset.univ
j0 : J
hj0 : ∀ {X : J}, X ∈ G → Nonempty (j0 ⟶ X)

⊢ ∃ j g, LocallyConstant.map (fun a b => if a = b then 0 else 1) f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g