ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Kleitman.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)

⊢ IsLowerSet ↑(f' i)ᶜ
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Kleitman.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)

⊢ 2 ^ Fintype.card α * Fintype.card (Finset α) + 2 * ((s.biUnion f').card * (f' i)ᶜ.card) ≤ 2 * 2 ^ Fintype.card α * (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Kleitman.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)

⊢ 2 ^ Fintype.card α * (2 ^ Fintype.card α + (s.biUnion f').card) ≤ 2 ^ Fintype.card α * (2 * (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card)))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Kleitman.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)

⊢ 2 ^ Fintype.card α + (s.biUnion f').card ≤ 2 * (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Kleitman.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nonempty α
this : DecidableEq ι
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
ih : ∀ (f : ι → Finset (Finset α)), (∀ i ∈ s, (↑(f i)).Intersecting) → s.card ≤ Fintype.card α → (s.biUnion f).card ≤ 2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)
f : ι → Finset (Finset α)
hf : ∀ i_1 ∈ cons i s hi, (↑(f i_1)).Intersecting
hs : (cons i s hi).card ≤ Fintype.card α
f' : ι → Finset (Finset α) := fun j => if hj : j ∈ cons i s hi then ⋯.choose else ∅
hf₁ : ∀ j ∈ cons i s hi, f j ⊆ f' j ∧ 2 * (f' j).card = 2 ^ Fintype.card α ∧ (↑(f' j)).Intersecting
hf₂ : ∀ j ∈ cons i s hi, IsUpperSet ↑(f' j)

⊢ 2 ^ Fintype.card α + (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - s.card)) ≤ 2 * (2 ^ Fintype.card α - 2 ^ (Fintype.card α - (cons i s hi).card))
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ

⊢ (bit b n).div2 = n
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1

⊢ (1 - x) * ∑' (i : ℕ), x ^ i = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this : HasSum (fun i => (1 - x) * x ^ i) ((1 - x) * ∑' (b : ℕ), x ^ b)

⊢ (1 - x) * ∑' (i : ℕ), x ^ i = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this : HasSum (fun i => (1 - x) * x ^ i) ((1 - x) * ∑' (b : ℕ), x ^ b)

⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (1 - x) * x ^ i) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this✝ : HasSum (fun i => (1 - x) * x ^ i) ((1 - x) * ∑' (b : ℕ), x ^ b)
this : Tendsto (fun n => 1 - x ^ n) atTop (𝓝 1)

⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (1 - x) * x ^ i) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this✝ : HasSum (fun i => (1 - x) * x ^ i) ((1 - x) * ∑' (b : ℕ), x ^ b)
this : Tendsto (fun n => 1 - x ^ n) atTop (𝓝 1)
x✝ : ℕ

⊢ 1 - x ^ x✝ = ∑ i ∈ Finset.range x✝, (1 - x) * x ^ i
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : String

⊢ s.get 0 = s.data.headD default
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
i j : J
f : i ⟶ j
x✝ : F.toEventualRanges.obj j
x : F.obj j
hx : x ∈ F.eventualRange j

⊢ ∃ a, F.toEventualRanges.map f a = ⟨x, hx⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
i j : J
f : i ⟶ j
x✝ : F.toEventualRanges.obj j
y : F.obj i
hy : y ∈ F.eventualRange i
hx : F.map f y ∈ F.eventualRange j

⊢ ∃ a, F.toEventualRanges.map f a = ⟨F.map f y, hx⟩
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : Set α
t : ι → Set β

⊢ image2 f s (⋃ i, t i) = ⋃ i, image2 f s (t i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
b : P
pred : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred pred

⊢ (((Finset.subtype pred s).weightedVSubOfPoint (fun i => p ↑i) b) fun i => w ↑i) = ((filter pred s).weightedVSubOfPoint p b) w
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftedHom.lean
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.48420, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{?u.48427, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddMonoid M
inst✝⁴ : HasShift C M
inst✝³ : HasShift D M
inst✝² : HasShift E M
X Y Z T : C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (a : M), (shiftFunctor C a).PreservesZeroMorphisms
a : M
β : ShiftedHom X Y a
b c : M
h : b + a = c

⊢ β.comp 0 h = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
z : ℝ

⊢ z + 2 * π = z + ↑1 * (2 * π)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
a x b c : E

⊢ a + x ∈ openSegment 𝕜 (a + b) (a + c) ↔ x ∈ openSegment 𝕜 b c
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α✝ α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ

⊢ ∃ β t sgn g, (∀ (b : β), g b ∈ s) ∧ t.card = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs ∧ ∀ a ∈ s, (∑ b ∈ t, if g b = a then ↑(sgn b) else 0) = f a
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α✝ α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ

⊢ (univ.sigma fun a => range (f ↑a).natAbs).card = ∑ a ∈ s, (f a).natAbs
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α✝ α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ

⊢ ∀ a ∈ s, (∑ b ∈ univ.sigma fun a => range (f ↑a).natAbs, if (fun a => ↑a.fst) b = a then ↑((fun a => sign (f ↑a.fst)) b) else 0) = f a
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : ℝ → E
w : ℝ

⊢ 𝓕 f w = ∫ (v : ℝ), Complex.exp (↑(-2 * π * v * w) * Complex.I) • f v
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
I : Type u_1
Y : I → C
Z X : C
g : Z ⟶ X

⊢ (ofObjects Y X).arrows g ↔ ∃ i, Nonempty (Z ⟶ Y i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝ : GaloisCategory C
X : C
F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C

⊢ ∃ ι f g x, (∀ (i : ι), IsConnected (f i)) ∧ Finite ι
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ToNat.lean
α : Type u
c✝ d : Cardinal.{u}
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c

⊢ ↑(toNat c) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1

⊢ p.leadingCoeff = 0 ↔ p.degree = ⊥
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
f₂ : (i : ι) → β i → β₁ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
hf₂ : ∀ (i : ι), f₂ i 0 = 0
h : ∀ (i : ι), (f i ∘ f₂ i) 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β i
i✝ : ι

⊢ (mapRange (fun i => f i ∘ f₂ i) h g) i✝ = (mapRange f hf (mapRange f₂ hf₂ g)) i✝
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
f₂ : (i : ι) → β i → β₁ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
hf₂ : ∀ (i : ι), f₂ i 0 = 0
h : ∀ (i : ι), (f i ∘ f₂ i) 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β i
i✝ : ι

⊢ (f i✝ ∘ f₂ i✝) (g i✝) = f i✝ (f₂ i✝ (g i✝))
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
α : Type u_4
f : α → M

⊢ mrange (FreeMonoid.lift f) = closure (Set.range f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq0_lt : 0 < q

⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = eLpNorm' f q μ ^ q
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq0_lt : 0 < q

⊢ q ≠ 0
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j x : Fin n
y : Fin (n + 1)
h : x.castSucc < y
h' : optParam (y.succAbove x ≠ last n) ⋯

⊢ (y.succAbove x).castPred h' = x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hf : f 0 = 0

⊢ seminormFromConst_seq c f 0 = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hf : f 0 = 0

⊢ (fun n => f (0 * c ^ n) / f c ^ n) = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hf : f 0 = 0
n : ℕ

⊢ f (0 * c ^ n) / f c ^ n = 0 n
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
x y : ℕ

⊢ ↑(x.gcd y) = ↑x * x.gcdA y + ↑y * x.gcdB y
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
x y : ℕ
this : Nat.P x y (x.xgcdAux 1 0 y 0 1)

⊢ ↑(x.gcd y) = ↑x * x.gcdA y + ↑y * x.gcdB y
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f

⊢ {i | (f i).Nonempty}.Finite
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Mul α
e : m ≃ n
M : Matrix m n α

⊢ M.submatrix id ⇑e * Mᵀ.submatrix (⇑e) id = M * Mᵀ
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
s n : Nat

⊢ (range' s (n + 1)).reverse = map (fun x => s + (n + 1) - 1 - x) (range (n + 1))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
s n : Nat

⊢ [s + n].reverse ++ (range' s n).reverse = (s + n - 0) :: map ((fun x => s + n - x) ∘ succ) (range n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]

⊢ f.eraseLead.natDegree ≤ f.natDegree - 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
h : f.eraseLead.natDegree < f.natDegree

⊢ f.eraseLead.natDegree ≤ f.natDegree - 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
h : f.eraseLead = 0

⊢ f.eraseLead.natDegree ≤ f.natDegree - 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n : ℤ
x : R
h : a < 0

⊢ ↑a ≤ -1
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b n : ℤ
x : R
h : a < 0

⊢ a ≤ -1
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
f : α → β → β
xs : t α
x : β

⊢ foldr f x xs = (Foldr.ofFreeMonoid f) (FreeMonoid.ofList (toList xs)) x
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
s : Set α
t : Set β

⊢ Tendsto f (𝓟 s) (𝓟 t) ↔ ∀ a ∈ s, f a ∈ t
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h' : Finite R N
hN : IsTorsion R N

⊢ ∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : ι), R ⧸ span R {p i ^ e i})
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h' : Finite R N
hN : IsTorsion R N
I : Type u
fI : Fintype I
w✝ : DecidableEq I
p : I → R
hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)
e : I → ℕ
h : DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R N (p i ^ e i)

⊢ ∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : ι), R ⧸ span R {p i ^ e i})
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h' : Finite R N
hN : IsTorsion R N
I : Type u
fI : Fintype I
w✝ : DecidableEq I
p : I → R
hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)
e : I → ℕ
h : DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R N (p i ^ e i)
this : Fintype I

⊢ ∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : ι), R ⧸ span R {p i ^ e i})
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h' : Finite R N
hN : IsTorsion R N
I : Type u
fI : Fintype I
w✝ : DecidableEq I
p : I → R
hp : ∀ (i : I), Irreducible (p i)
e : I → ℕ
h : DirectSum.IsInternal fun i => torsionBy R N (p i ^ e i)
this✝ : Fintype I
this : ∀ (i : I), ∃ d k, Nonempty (↥(torsionBy R N (p i ^ e i)) ≃ₗ[R] ⨁ (j : Fin d), R ⧸ span R {p i ^ k j})

⊢ ∃ ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)), ∃ e, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : ι), R ⧸ span R {p i ^ e i})
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α

⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂Measure.sum μ = ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ i
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α

⊢ ⨆ x, ⨆ s, ∑ i ∈ s, (↑x).lintegral (μ i) = ⨆ s, ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α

⊢ ⨆ j, ⨆ i, ∑ i_1 ∈ j, (↑i).lintegral (μ i_1) = ⨆ s, ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α

⊢ (fun j => ⨆ i, ∑ i_1 ∈ j, (↑i).lintegral (μ i_1)) = fun s => ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
s : Finset ι

⊢ ⨆ i, ∑ i_1 ∈ s, (↑i).lintegral (μ i_1) = ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α

⊢ ⨆ i, ∑ i_1 ∈ ∅, (↑i).lintegral (μ i_1) = ∑ i ∈ ∅, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
hs : ⨆ i, ∑ i_1 ∈ s, (↑i).lintegral (μ i_1) = ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)

⊢ ⨆ i_1, ∑ i ∈ insert i s, (↑i_1).lintegral (μ i) = ∑ i ∈ insert i s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
hs : ⨆ i, ∑ i_1 ∈ s, (↑i).lintegral (μ i_1) = ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)

⊢ ⨆ i_1, (↑i_1).lintegral (μ i) + ∑ i ∈ s, (↑i_1).lintegral (μ i) = (⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)) + ⨆ i, ∑ i_1 ∈ s, (↑i).lintegral (μ i_1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
hs : ⨆ i, ∑ i_1 ∈ s, (↑i).lintegral (μ i_1) = ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)

⊢ ∀ (i_1 j : { i // ↑i ≤ fun a => f a }), ∃ k, (↑i_1).lintegral (μ i) + ∑ i ∈ s, (↑j).lintegral (μ i) ≤ (↑k).lintegral (μ i) + ∑ i ∈ s, (↑k).lintegral (μ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α
i : ι
s : Finset ι
hi : i ∉ s
hs : ⨆ i, ∑ i_1 ∈ s, (↑i).lintegral (μ i_1) = ∑ i ∈ s, ⨆ x, (↑x).lintegral (μ i)
φ ψ : { i // ↑i ≤ fun a => f a }

⊢ ∃ k, (↑φ).lintegral (μ i) + ∑ i ∈ s, (↑ψ).lintegral (μ i) ≤ (↑k).lintegral (μ i) + ∑ i ∈ s, (↑k).lintegral (μ i)
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : Irreducible f

⊢ f.natSepDegree ∣ f.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : Irreducible f
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q

⊢ f.natSepDegree ∣ f.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : Irreducible f
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
hf : HasSeparableContraction q f

⊢ f.natSepDegree ∣ f.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : Irreducible f
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
hf : HasSeparableContraction q f

⊢ hf.degree ∣ f.natDegree
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P' Q' : Fin 3 → R
u v : Rˣ

⊢ W'.add ((fun m => m • P') u) ((fun m => m • Q') v) ≈ W'.add P' Q'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0

⊢ u ∈ comap (gauge s) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr₀ : r > 0
hr : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • u

⊢ u ∈ comap (gauge s) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr₀ : r > 0
hr : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • u
x : E
hx : gauge s x < r⁻¹

⊢ x ∈ u
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr₀ : r > 0
hr : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • u
c : ℝ
hc₀ : 0 < c
hcr : c < r⁻¹
y : E
hy : y ∈ s
hx : gauge s ((fun x => c • x) y) < r⁻¹

⊢ (fun x => c • x) y ∈ u
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr₀ : r > 0
hr : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • u
c : ℝ
hc₀ : 0 < c
hcr : c < r⁻¹
y : E
hy : y ∈ s
hx : gauge s ((fun x => c • x) y) < r⁻¹
hrc : r < c⁻¹

⊢ (fun x => c • x) y ∈ u
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace E
ha : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 0
r : ℝ
hr₀ : r > 0
hr : ∀ (c : ℝ), r ≤ ‖c‖ → s ⊆ c • u
c : ℝ
hc₀ : 0 < c
hcr : c < r⁻¹
hrc : r < c⁻¹
z : E
hz : z ∈ u
hy : (fun x => c⁻¹ • x) z ∈ s
hx : gauge s ((fun x => c • x) ((fun x => c⁻¹ • x) z)) < r⁻¹

⊢ (fun x => c • x) ((fun x => c⁻¹ • x) z) ∈ u
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (β i)
x y : PiLp ⊤ β

⊢ dist x y = ⨆ i, dist (x i) (y i)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
b0 : a * b ≠ 0

⊢ a ≤ a * b