ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
z✝ : 𝕜
hx : ↑z✝ ≠ ↑a

⊢ Filter.map (⇑(equivIco p a) ∘ QuotientAddGroup.mk) (𝓝 z✝) ≤ 𝓝 ((equivIco p a) ↑z✝)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

⊢ MeasurableSet (limsup s atTop)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
i j : ι
hij : i ≠ j
a : (fun _i => 𝕜) i
b : (fun _i => 𝕜) j

⊢ ⟪((fun i => LinearIsometry.toSpanSingleton 𝕜 E ⋯) i) a, ((fun i => LinearIsometry.toSpanSingleton 𝕜 E ⋯) j) b⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜

⊢ ↑(((decompose 𝒜) 0) 0) = 0
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜

⊢ ↑(0 0) = 0
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
x✝¹ x✝ : A

⊢ ↑(((decompose 𝒜) (x✝¹ + x✝)) 0) = ↑(((decompose 𝒜) x✝¹) 0) + ↑(((decompose 𝒜) x✝) 0)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
x✝¹ x✝ : A

⊢ ↑(((decompose 𝒜) x✝¹ + (decompose 𝒜) x✝) 0) = ↑(((decompose 𝒜) x✝¹) 0) + ↑(((decompose 𝒜) x✝) 0)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜

⊢ ∀ (x y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
x : A

⊢ { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (0 * x) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun 0 * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun x
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜

⊢ ∀ {i : ι} (m : ↥(𝒜 i)) (y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (↑m * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun ↑m * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜

⊢ ∀ (m m' : A), (∀ (y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (m * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun m * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y) → (∀ (y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (m' * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun m' * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y) → ∀ (y : A), { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun ((m + m') * y) = { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun (m + m') * { toFun := fun a => ↑(((decompose 𝒜) a) 0), map_one' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K

⊢ ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
this : IsBigOWith ((fun a => ↑a) K) (𝓝 (x, x)) (fun x => f x.1 - f x.2 - f' (x.1 - x.2) + f' (x.1 - x.2)) fun p => p.1 - p.2

⊢ ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
this : ∀ᶠ (x : E × E) in 𝓝 (x, x), ‖f x.1 - f x.2‖ ≤ ↑K * ‖x.1 - x.2‖

⊢ ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
K : ℝ≥0
hK : ‖f'‖₊ < K
this : ∀ᶠ (x : E × E) in 𝓝 (x, x), ‖f x.1 - f x.2‖ ≤ ↑K * ‖x.1 - x.2‖
U : Set E
Uo : IsOpen U
xU : x ∈ U
hU : U ×ˢ U ⊆ {x | (fun x => ‖f x.1 - f x.2‖ ≤ ↑K * ‖x.1 - x.2‖) x}

⊢ ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
i j : n

⊢ (toMatrix v₁ v₁) id i j = 1 i j
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α

⊢ IsComplete s ↔ ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ↑l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
H : ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ↑l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s

⊢ ∃ x ∈ s, ClusterPt x l
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
H : ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ↑l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot

⊢ ∃ x ∈ s, ClusterPt x l
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
H : ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ↑l ≤ 𝓟 s → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 s
this : l.NeBot
x : α
hxs : x ∈ s
hxl : ↑(Ultrafilter.of l) ≤ 𝓝 x

⊢ ∃ x ∈ s, ClusterPt x l
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpOrder.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f g : ↥(Lp E p μ)

⊢ ↑↑f ≤ᶠ[ae μ] ↑↑g ↔ f ≤ g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹¹ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
M : Type u_5
G : Type u_6
G₀ : Type u_7
inst✝⁸ : Monoid M
inst✝⁷ : MulAction M β
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul M β
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G β
inst✝³ : ContinuousConstSMul G β
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : MulAction G₀ β
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ β
c : G
h : AEStronglyMeasurable (fun x => c • f x) μ

⊢ AEStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
π : ι → Type u_4
inst✝ : Unique ι
m : (i : ι) → MeasurableSpace (π i)
μ : (i : ι) → Measure (π i)
e : ((i : ι) → π i) ≃ᵐ π default := MeasurableEquiv.piUnique π

⊢ Measure.map (⇑e) (Measure.pi μ) = μ default
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
π : ι → Type u_4
inst✝ : Unique ι
m : (i : ι) → MeasurableSpace (π i)
μ : (i : ι) → Measure (π i)
e : ((i : ι) → π i) ≃ᵐ π default := MeasurableEquiv.piUnique π
this : (piPremeasure fun i => (μ i).toOuterMeasure) = ⇑(Measure.map (⇑e.symm) (μ default))

⊢ Measure.map (⇑e) (Measure.pi μ) = μ default
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
f : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
h_m : m ∈ f.support

⊢ m i ≤ degreeOf i f
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
f : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
h_m : m ∈ f.support

⊢ m i ≤ f.support.sup fun m => m i
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableRel r
inst✝ : DecidableEq α
L : List α
a b : α

⊢ count a (orderedInsert r b L) = count a L + if a = b then 1 else 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Logic.lean
α : Sort u_1
a : α
motive : (a' : α) → a = a' → Sort u_2
x : motive a ⋯
β : Sort u_2
y : β

⊢ HEq (⋯ ▸ x) y ↔ HEq x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε

⊢ μ {a | ε ≤ f a} < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε

⊢ {a | ε ≤ f a} ⊆ {x | ε ≤ ‖f x‖}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : α
hx : x ∈ {a | ε ≤ f a}

⊢ x ∈ {x | ε ≤ ‖f x‖}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : α
hx : ε ≤ f x

⊢ ε ≤ |f x|
-- Mathlib/Control/Traversable/Lemmas.lean
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f✝ : β → γ
x : t β
f : β → γ
x✝ : t β

⊢ traverse (pure ∘ f) x✝ = (pure ∘ map f) x✝
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ a : α
z : ℤ

⊢ ⌊a - ↑z⌋ = ⌊a + ↑(-z)⌋
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
i j x : α

⊢ (swap i j) x = update (update id j i) i j x
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
f : G ⧸ H → G
hf : ∀ (q : G ⧸ H), ↑(f q) = q
q : G ⧸ H

⊢ ↑((toEquiv ⋯) q) = f q
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
f : G ⧸ H → G
hf : ∀ (q : G ⧸ H), ↑(f q) = q
q : G ⧸ H

⊢ (toEquiv ⋯) q = ⟨f q, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
h : s.OrdConnected

⊢ (toNNReal '' s).OrdConnected
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
h : s.OrdConnected
x : ℝ
hx : x ∈ s
y : ℝ
hy : y ∈ s
z : ℝ≥0
hz : z ∈ Icc x.toNNReal y.toNNReal

⊢ z ∈ toNNReal '' s
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
h : s.OrdConnected
x : ℝ
hx : x ∈ s
y : ℝ
hy : y ∈ s
z : ℝ≥0
hz : z ∈ Icc x.toNNReal y.toNNReal
hy₀ : y ≤ 0

⊢ z ∈ toNNReal '' s
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
h : s.OrdConnected
x : ℝ
hx : x ∈ s
y : ℝ
hy : y ∈ s
z : ℝ≥0
hz : z ∈ Icc x.toNNReal y.toNNReal
hy₀ : 0 ≤ y

⊢ z ∈ toNNReal '' s
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
neg_trans : ∀ {x y z : α}, R x z → R x y ∨ R y z
a : α
l : List α

⊢ (∀ (b : α), b ∈ pwFilter R l → R a b) ↔ ∀ (b : α), b ∈ l → R a b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
neg_trans : ∀ {x y z : α}, R x z → R x y ∨ R y z
a : α
l : List α

⊢ (∀ (b : α), b ∈ pwFilter R l → R a b) → ∀ (b : α), b ∈ l → R a b
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α

⊢ (freeOn E).Basis I X ↔ I = X ∧ X ⊆ E
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α

⊢ I = X ∧ X ⊆ E → (freeOn E).Basis I X
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I R J : Set α
hIE : I ⊆ E

⊢ (freeOn E).Basis I I
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

⊢ 0 < ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ

⊢ 0 < ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ

⊢ 0 < μ ((Function.support fun x => rexp (t * X x)) ∩ Set.univ)
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ

⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict Set.univ)] fun x => rexp (t * X x)
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hμ : μ ≠ 0
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
this : ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ = ∫ (x : Ω) in Set.univ, rexp (t * X x) ∂μ

⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (t * X x)) Set.univ μ
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LE G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d

⊢ a • c < b • d
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LE G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d

⊢ b • c < b • d
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LE G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d

⊢ ¬b • d ≤ b • c
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LE G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d
hbdc : b • d ≤ b • c

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LE G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c < d
hbdc : b • d ≤ b • c
h : d ≤ c

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LE G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b
h₂ : c ≤ d ∧ ¬d ≤ c
hbdc : b • d ≤ b • c
h : d ≤ c

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
n : R[X]
d : ↥R[X]⁰

⊢ (map φ hφ) { toFractionRing := Localization.mk n d } = { toFractionRing := Localization.mk (φ n) ⟨φ ↑d, ⋯⟩ }
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
n : R[X]
d : ↥R[X]⁰

⊢ (if h : φ ↑d ∈ S[X]⁰ then { toFractionRing := Localization.mk (φ n) ⟨φ ↑d, h⟩ } else 0) = { toFractionRing := Localization.mk (φ n) ⟨φ ↑d, ⋯⟩ }
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
h : x ≠ y
s : Set X

⊢ 𝓝[s \ {y}] x = 𝓝[s] x
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
h : x ≠ y
s : Set X

⊢ {y}ᶜ ∈ 𝓝[s] x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

⊢ ContDiffOn 𝕜 0 f s ↔ ContinuousOn f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s

⊢ ContDiffOn 𝕜 0 f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0

⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
this : ↑m = 0

⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
this : ↑m = 0

⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn 0 f p u
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
this : ↑m = 0

⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn 0 f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) (insert x s)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
H : ContinuousOn f s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ 0
this : ↑m = 0

⊢ ContinuousOn f (insert x s) ∧ ∀ x_1 ∈ insert x s, (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s x_1 0).uncurry0 = f x_1
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ

⊢ Squarefree n ↔ n.minSqFac = none
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
this : n.MinSqFacProp n.minSqFac

⊢ Squarefree n ↔ n.minSqFac = none
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤
r : ℝ

⊢ ∏ i ∈ s, f i ^ r = (∏ i ∈ s, f i) ^ r
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r r' : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : PartialOrder γ
f g : β → γ
hf : StrictMono f
hg : StrictMono g
hfg : range f = range g
b : β
H : ∀ a < b, f a = g a

⊢ f b ≤ g b