ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
i : ι

⊢ comap (⇑(p i)) (𝓝 0) = 𝓝 0
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H✝ : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x y✝ : G
n m : ℕ
H : Type u_6
inst✝ : Monoid H
y : H

⊢ orderOf x = orderOf y ↔ ∀ (n : ℕ), x ^ n = 1 ↔ y ^ n = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : Fintype β
s : Finset α
hs : s.Nontrivial

⊢ ↑s • Set.univ = Set.univ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ₁ θ₂ : Real.Angle
x : V

⊢ (o.rotation θ₁) ((o.rotation θ₂) x) = (o.rotation (θ₁ + θ₂)) x
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ₁ θ₂ : Real.Angle
x : V

⊢ (θ₁.cos * θ₂.cos) • x + (θ₁.cos * θ₂.sin) • o.rightAngleRotation x + ((θ₁.sin * θ₂.cos) • o.rightAngleRotation x + -((θ₁.sin * θ₂.sin) • x)) = (θ₁.cos * θ₂.cos) • x - (θ₁.sin * θ₂.sin) • x + ((θ₁.sin * θ₂.cos) • o.rightAngleRotation x + (θ₁.cos * θ₂.sin) • o.rightAngleRotation x)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p₁ p₂ p₃ : P
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
h₃ : p₃ ∈ s
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
h₁₃ : p₁ ≠ p₃
h₂₃ : p₂ ≠ p₃

⊢ AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃]
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p₁ p₂ p₃ : P
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
h₃ : p₃ ∈ s
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
h₁₃ : p₁ ≠ p₃
h₂₃ : p₂ ≠ p₃

⊢ Set.range ![p₁, p₂, p₃] ⊆ s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p₁ p₂ p₃ : P
h₁ : p₁ ∈ s
h₂ : p₂ ∈ s
h₃ : p₃ ∈ s
h₁₂ : p₁ ≠ p₂
h₁₃ : p₁ ≠ p₃
h₂₃ : p₂ ≠ p₃

⊢ Function.Injective ![p₁, p₂, p₃]
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ IsNowhereDense ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α

⊢ OpensMeasurableSpace α ↔ ∀ (s : Set α), IsOpen s → MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
h : OpensMeasurableSpace α
s : Set α
hs : IsOpen s

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
I : Set ι
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
hs : s.Nonempty

⊢ (⨅ i ∈ I, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i ∈ I, (m i) (t n)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
a : α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
h : a ∈ l₁

⊢ (l₁ ++ l₂).erase a = l₁.erase a ++ l₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
a : α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
h : a ∈ l₁

⊢ eraseP (fun x => a == x) (l₁ ++ l₂) = eraseP (fun x => a == x) l₁ ++ l₂
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hQ : Q ≠ 0

⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop (𝓝 0) ↔ P.degree < Q.degree
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hQ : Q ≠ 0
h : Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop (𝓝 0)

⊢ P.degree < Q.degree
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
H : Valid' o₁ (Ordnode.node s l x r) o₂

⊢ Valid' (↑(l.findMin' x)) (l.node' x r).eraseMin o₂ ∧ (l.node' x r).size = (l.node' x r).eraseMin.size + 1
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
H : Valid' o₁ (Ordnode.node s l x r) o₂
this : Valid' o₂ (r.dual.node' x l.dual).eraseMax ↑(findMax' x l.dual) ∧ (r.dual.node' x l.dual).size = (r.dual.node' x l.dual).eraseMax.size + 1

⊢ Valid' (↑(l.findMin' x)) (l.node' x r).eraseMin o₂ ∧ (l.node' x r).size = (l.node' x r).eraseMin.size + 1
-- Mathlib/Data/Int/Cast/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R

⊢ ↑1 = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : Collinear R {x, y, z}

⊢ Wbtw R x y z ∨ Wbtw R y z x ∨ Wbtw R z x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : ∃ v, ∀ p ∈ {x, y, z}, ∃ r, p = r • v +ᵥ x

⊢ Wbtw R x y z ∨ Wbtw R y z x ∨ Wbtw R z x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
v : V
h : ∀ p ∈ {x, y, z}, ∃ r, p = r • v +ᵥ x

⊢ Wbtw R x y z ∨ Wbtw R y z x ∨ Wbtw R z x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
v : V
h : ∀ (p : P), p = x ∨ p = y ∨ p = z → ∃ r, p = r • v +ᵥ x

⊢ Wbtw R x y z ∨ Wbtw R y z x ∨ Wbtw R z x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
ty tz : R
h : ∀ (p : P), p = x ∨ p = ty • v +ᵥ x ∨ p = tz • v +ᵥ x → ∃ r, p = r • v +ᵥ x

⊢ Wbtw R x (ty • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R (ty • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) x ∨ Wbtw R (tz • v +ᵥ x) x (ty • v +ᵥ x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
ty tz : R
h : ∀ (p : P), p = x ∨ p = ty • v +ᵥ x ∨ p = tz • v +ᵥ x → ∃ r, p = r • v +ᵥ x
hy0 : ty < 0

⊢ Wbtw R x (ty • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R (ty • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) x ∨ Wbtw R (tz • v +ᵥ x) x (ty • v +ᵥ x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
tz : R
h : ∀ (p : P), p = x ∨ p = 0 • v +ᵥ x ∨ p = tz • v +ᵥ x → ∃ r, p = r • v +ᵥ x

⊢ Wbtw R x (0 • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R (0 • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) x ∨ Wbtw R (tz • v +ᵥ x) x (0 • v +ᵥ x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
ty tz : R
h : ∀ (p : P), p = x ∨ p = ty • v +ᵥ x ∨ p = tz • v +ᵥ x → ∃ r, p = r • v +ᵥ x
hy0 : 0 < ty

⊢ Wbtw R x (ty • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) ∨ Wbtw R (ty • v +ᵥ x) (tz • v +ᵥ x) x ∨ Wbtw R (tz • v +ᵥ x) x (ty • v +ᵥ x)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α → Finset β
h : (range f).Finite

⊢ (⋃ a, ↑(f a)).Finite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α → Finset β
h : (range f).Finite

⊢ (⋃ x ∈ range f, ↑x).Finite
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Semiring S
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R₁
inst✝³ : CommSemiring R₂
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R₁ A
inst✝ : Algebra R₂ A
I J : Ideal R
h : I ≤ J
x✝ : R

⊢ x✝ ∈ comap (Quotient.mk I) (map (Quotient.mk I) J) ↔ x✝ ∈ J
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne α
p : PosNum

⊢ ↑(↑p + ↑p) = ↑p + ↑p
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne α
p : PosNum

⊢ ↑(↑p + ↑p + 1) = ↑p + ↑p + 1
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
h : ∀ (x : X), f x ~ᵢ g x

⊢ Continuous f ↔ Continuous g
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
h : ∀ (x : X), f x ~ᵢ g x

⊢ Continuous (SeparationQuotient.mk ∘ f) ↔ Continuous (SeparationQuotient.mk ∘ g)
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)

⊢ IsProperMap f
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)

⊢ Continuous f ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
𝒰 : Ultrafilter X
y : Y
h : Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y)

⊢ ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Continuous (g ∘ f) ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Z⦄, Tendsto (g ∘ f) (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, (g ∘ f) x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
𝒰 : Ultrafilter X
y : Y
h : Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y)

⊢ ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : Continuous (g ∘ f) ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Z⦄, Tendsto (g ∘ f) (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, (g ∘ f) x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
𝒰 : Ultrafilter X
y : Y
h : Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y)
x : X
hx : ↑𝒰 ≤ 𝓝 x

⊢ ∃ x, ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c✝ d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
c : R
n : ℕ

⊢ (C c * X ^ n).support.card ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c✝ d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
c : R
n : ℕ

⊢ (C c * X ^ n).support.card ≤ {n}.card
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L✝.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.RightFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L

⊢ (L.map φ.f).op ≫ (inv (L.map φ.s)).op = (L.map φ.f).op ≫ inv (L.map φ.s).op
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
hf1 : IsUnit ((expand R p) f)

⊢ IsUnit f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
hf1 : IsUnit ((expand R p) f)
hf2 : (expand R p) f = C (((expand R p) f).coeff 0)

⊢ IsUnit f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
hf1 : IsUnit ((expand R p) f)
hf2 : (expand R p) f = C (f.coeff 0)

⊢ IsUnit f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
hf1 : IsUnit (f.coeff 0)
hf2 : (expand R p) f = C (f.coeff 0)

⊢ IsUnit f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
hf1 : IsUnit (f.coeff 0)
hf2 : f = C (f.coeff 0)

⊢ IsUnit f
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ

⊢ stereoInvFun hv w ≠ ⟨v, ⋯⟩
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ

⊢ ↑(stereoInvFun hv w) ≠ ↑⟨v, ⋯⟩
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ

⊢ ⟪↑(stereoInvFun hv w), v⟫_ℝ < 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : ↥(Submodule.span ℝ {v})ᗮ

⊢ ‖↑(stereoInvFun hv w)‖ = 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]

⊢ C ((Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (mk W) Y)) - (C p + C q * Y) * (C p + C q * (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃))) = W.polynomial * C q ^ 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]

⊢ C (p ^ 2 - p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃) - q ^ 2 * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) - (C p + C q * Y) * (C p + C q * (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃))) = (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) * C q ^ 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]

⊢ C p ^ 2 - C p * C q * (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃)) - C q ^ 2 * (C X ^ 3 + C (C W.a₂) * C X ^ 2 + C (C W.a₄) * C X + C (C W.a₆)) - (C p + C q * Y) * (C p + C q * (-Y - (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃)))) = (Y ^ 2 + (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃)) * Y - (C X ^ 3 + C (C W.a₂) * C X ^ 2 + C (C W.a₄) * C X + C (C W.a₆))) * C q ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hR : 0 < ringChar R
φ : AddChar R ℂ
a : R

⊢ ((↑(starRingEnd ℂ)).compAddChar φ) a = φ⁻¹ a
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hR : 0 < ringChar R
φ : AddChar R ℂ
a : R

⊢ (starRingEnd ℂ) (φ a) = (φ a)⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
hR : 0 < ringChar R
φ : AddChar R ℂ
a : R
H : ‖↑⋯.unit‖ = 1

⊢ (starRingEnd ℂ) (φ a) = (φ a)⁻¹
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι✝ : Sort x
κ : ι✝ → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
ι : Sort x
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
hf : ∀ (i : ι) (hi : p i), u (l (f i hi)) = f i hi

⊢ l (⨅ i, ⨅ (hi : p i), f i hi) = ⨅ i, ⨅ (hi : p i), l (f i hi)
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι✝ : Sort x
κ : ι✝ → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
ι : Sort x
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
hf : ∀ (i : ι) (hi : p i), u (l (f i hi)) = f i hi

⊢ l (⨅ x, f ↑x ⋯) = ⨅ x, l (f ↑x ⋯)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx1 : 0 < x
hx2 : x < 1
hz : z < 0

⊢ 1 < x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx1 : 0 < x
hx2 : x < 1
hz : z < 0

⊢ 1 = x ^ 0
-- Mathlib/Algebra/Field/Subfield.lean
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
s : Set K
p : K → Prop
x : K
h : x ∈ closure s
mem : ∀ x ∈ s, p x
one : p 1
add : ∀ (x y : K), p x → p y → p (x + y)
neg : ∀ (x : K), p x → p (-x)
inv : ∀ (x : K), p x → p x⁻¹
mul : ∀ (x y : K), p x → p y → p (x * y)

⊢ p x
-- Mathlib/Algebra/Field/Subfield.lean
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
s : Set K
p : K → Prop
x : K
h : x ∈ closure s
mem : ∀ x ∈ s, p x
one : p 1
add : ∀ (x y : K), p x → p y → p (x + y)
neg : ∀ (x : K), p x → p (-x)
inv : ∀ (x : K), p x → p x⁻¹
mul : ∀ (x y : K), p x → p y → p (x * y)
this : Subfield K := { carrier := p, mul_mem' := ⋯, one_mem' := one, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, neg_mem' := ⋯, inv_mem' := inv }

⊢ p x
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
a b : α
h : ⟦a⟧ = ⟦b⟧

⊢ ⟦a⟧ = ⟦b⟧
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
H : Subgroup G
a b : α
h : a ≈ b

⊢ a ≈ b
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ b \ (a ⊓ b) = a ∆ b
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a \ (b ⊔ a ⊓ b) ⊔ b \ (a ⊔ a ⊓ b) = a ∆ b
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ

⊢ (fun x => x ^ p / x ^ q) =ᶠ[atTop] fun x => x ^ (↑p - ↑q)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ

⊢ ∀ (x : 𝕜), 0 < x → (fun x => x ^ p / x ^ q) x = (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
x : 𝕜
hx : 0 < x

⊢ (fun x => x ^ p / x ^ q) x = (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K : Multicofork I
a : I.L

⊢ I.fst a ≫ K.π (I.fstFrom a) = I.snd a ≫ K.π (I.sndFrom a)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β

⊢ ⇑e.symm '' t ⊆ s ↔ t ⊆ ⇑e '' s
-- Mathlib/Topology/Baire/Lemmas.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
S : Set (Set X)
ho : ∀ s ∈ S, IsOpen s
hS : S.Countable
hd : ∀ s ∈ S, Dense s

⊢ Dense (⋂₀ S)
-- Mathlib/Topology/Baire/Lemmas.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
S : Set (Set X)
ho : ∀ s ∈ S, IsOpen s
hS : S.Countable
hd : ∀ s ∈ S, Dense s
h : S = ∅

⊢ Dense (⋂₀ S)
-- Mathlib/Topology/Baire/Lemmas.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
S : Set (Set X)
ho : ∀ s ∈ S, IsOpen s
hS : S.Countable
hd : ∀ s ∈ S, Dense s
h : S.Nonempty

⊢ Dense (⋂₀ S)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : 0 < P.degree

⊢ Tendsto (fun x => |eval x P|) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : 0 < P.degree
hP : 0 ≤ P.leadingCoeff

⊢ Tendsto (fun x => |eval x P|) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : 0 < P.degree
hP : P.leadingCoeff ≤ 0

⊢ Tendsto (fun x => |eval x P|) atTop atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hs : MeasurableSet s

⊢ LocallyIntegrable (fun x => f ↑x) (comap Subtype.val μ) ↔ LocallyIntegrableOn f s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hs : MeasurableSet s

⊢ LocallyIntegrable (fun x => f ↑x) (comap Subtype.val μ) ↔ ∀ (x : { a // a ∈ s }), IntegrableAtFilter f (Filter.map Subtype.val (𝓝 x)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : T2Space β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ

⊢ IsClopenable s ↔ MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : T2Space β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : IsClopenable s

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : T2Space β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : PolishSpace γ
hs : IsClopenable s
inst✝ : BorelSpace γ
this✝ : MeasurableSpace γ := borel γ

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : T2Space β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : PolishSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
this✝ : MeasurableSpace γ := borel γ
t' : TopologicalSpace γ
t't : t' ≤ tγ
t'_polish : PolishSpace γ
left✝ : IsClosed s
s_open : IsOpen s

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : T2Space β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
tγ : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : PolishSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
this✝ : MeasurableSpace γ := borel γ
t' : TopologicalSpace γ
t't : t' ≤ tγ
t'_polish : PolishSpace γ
left✝ : IsClosed s
s_open : IsOpen s

⊢ PolishSpace γ