ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
a : α

⊢ ∫⁻ (x : α) in {a}, f x ∂μ = f a * μ {a}
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
X Y : D
f : X ⟶ Y

⊢ F.map (F.inv.map f) = F.asEquivalence.counit.app X ≫ f ≫ F.asEquivalence.counitInv.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
X Y : D
f : X ⟶ Y

⊢ F.map (F.inv.map f) = (F.asEquivalence.inverse ⋙ F.asEquivalence.functor).map f
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
I : Ideal C(X, R)
x : X

⊢ x ∈ setOfIdeal I ↔ ∃ f ∈ I, f x ≠ 0
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
I : Ideal C(X, R)
x : X

⊢ (¬∀ f ∈ I, f x = 0) ↔ ∃ f ∈ I, f x ≠ 0
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
I : Ideal C(X, R)
x : X

⊢ (∃ f ∈ I, f x ≠ 0) ↔ ∃ f ∈ I, f x ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m n : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : Integrable f' volume
hbot : Tendsto f atBot (𝓝 m)
htop : Tendsto f atTop (𝓝 n)

⊢ ∫ (x : ℝ), f' x = n - m
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m n : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
hf' : Integrable f' volume
hbot : Tendsto f atBot (𝓝 m)
htop : Tendsto f atTop (𝓝 n)

⊢ f 0 - m + (n - f 0) = n - m
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/Order.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
x y : α
inst✝² : BEq α
inst✝¹ : LawfulBEq α
inst✝ : BEqCmp cmp

⊢ cmp x y = Ordering.eq ↔ x = y
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
w x y z : R

⊢ span {w, x} * span {y, z} = span {w * y, w * z, x * y, x * z}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : Y.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z

⊢ (pullback f g).OpenCover
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : Y.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z

⊢ ∀ (i : 𝒰.J), pullback.map f (𝒰.map i ≫ g) f g (𝟙 X) (𝒰.map i) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (pullbackSymmetry f (𝒰.map i ≫ g)).hom ≫ ((openCoverOfLeft 𝒰 g f).pushforwardIso (pullbackSymmetry g f).hom).map ((Equiv.refl 𝒰.J) i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : Y.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : 𝒰.J

⊢ pullback.map f (𝒰.map i ≫ g) f g (𝟙 X) (𝒰.map i) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (pullbackSymmetry f (𝒰.map i ≫ g)).hom ≫ pullback.map (𝒰.map i ≫ g) f g f (𝒰.map i) (𝟙 X) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ ≫ (pullbackSymmetry g f).hom
-- Mathlib/Data/Quot.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s : Setoid α
x : Quotient s
y : α

⊢ x = ⟦y⟧ ↔ x.out ≈ y
-- Mathlib/Data/Quot.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s : Setoid α
x : Quotient s
y : α

⊢ x = ⟦y⟧ ↔ ⟦x.out⟧ = ⟦y⟧
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
s : Set α
a : α
t : Set α

⊢ t ∈ 𝒫 insert a s ↔ t ∈ 𝒫 s ∪ insert a '' 𝒫 s
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
s : Set α
a : α
t : Set α

⊢ t ⊆ insert a s ↔ t ⊆ s ∨ ∃ x ⊆ s, insert a x = t
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0

⊢ chainTopCoeff α β + 1 = Nat.find ⋯
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : SMulCommClass R A A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : NonUnitalSemiring B
inst✝² : Module R B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
inst✝ : IsScalarTower R B B
x y z : A ⊗[R] B

⊢ (mul ((mul x) y)) z = (mul x) ((mul y) z)
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : SMulCommClass R A A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : NonUnitalSemiring B
inst✝² : Module R B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
inst✝ : IsScalarTower R B B
x y z : A ⊗[R] B

⊢ (LinearMap.llcomp R (A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B →ₗ[R] A ⊗[R] B)) mul ∘ₗ mul = (((LinearMap.llcomp R (A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B →ₗ[R] A ⊗[R] B →ₗ[R] A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B →ₗ[R] A ⊗[R] B →ₗ[R] A ⊗[R] B)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B) (A ⊗[R] B →ₗ[R] A ⊗[R] B)) mul.flip ∘ₗ mul)).flip
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
x : Unitization 𝕜 A

⊢ (x.fst + 0, (lift (NonUnitalAlgHom.Lmul 𝕜 A)).toRingHom x) = (x.fst, (algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
x : Unitization 𝕜 A

⊢ (x.fst, (lift (NonUnitalAlgHom.Lmul 𝕜 A)).toRingHom x) = (x.fst, (algebraMap 𝕜 (A →L[𝕜] A)) x.fst + (mul 𝕜 A) x.snd)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x : K
hx : x ≠ 0

⊢ spanSingleton R₁⁰ x * (spanSingleton R₁⁰ x)⁻¹ = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A

⊢ Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I) = LinearMap.range (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A

⊢ (Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I)).carrier = (LinearMap.range (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A

⊢ (Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I)).carrier ≤ (LinearMap.range (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal A

⊢ (LinearMap.range (LinearMap.rTensor B (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier ≤ (Submodule.restrictScalars R (map includeLeft I)).carrier
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Defs.lean
n a : ℕ
a1 : a ≠ 1
j : ℕ
hp : Prime (a * j)

⊢ a * j = a
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Defs.lean
n a : ℕ
a1 : a ≠ 1
left✝ : Prime a
hp : Prime (a * 1)

⊢ a * 1 = a
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Defs.lean
n j : ℕ
left✝ : Prime j
a1 : 1 ≠ 1
hp : Prime (1 * j)

⊢ 1 * j = 1
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnected.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ↪o β
he : (range ⇑e).OrdConnected
x y : α

⊢ ⇑e '' Icc x y = Icc (e x) (e y)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v w : V
hvw : G.Adj v w
a : V
ha : a ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).verts
b : V
hb : b ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).verts

⊢ (G.subgraphOfAdj hvw).coe.Reachable ⟨a, ha⟩ ⟨b, hb⟩
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
v w : V
hvw : G.Adj v w
a : V
ha✝ : a ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).verts
b : V
hb✝ : b ∈ (G.subgraphOfAdj hvw).verts
ha : a = v ∨ a = w
hb : b = v ∨ b = w

⊢ (G.subgraphOfAdj hvw).coe.Reachable ⟨a, ha✝⟩ ⟨b, hb✝⟩
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
x : α

⊢ x ∈ ↑f.extendDomain.support → x ∈ {x | P x}
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
x : α

⊢ (∃ a ∈ f.support, ↑a = x) → x ∈ {x | P x}
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
f : Subtype P →₀ M
x : Subtype P

⊢ ↑x ∈ {x | P x}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
ι : Type v
f : ι → Cardinal.{w}
hf : BddAbove (range f)
t : Cardinal.{max u w}

⊢ lift.{u, w} (iSup f) ≤ t ↔ ∀ (i : ι), lift.{u, w} (f i) ≤ t
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
ι : Type v
f : ι → Cardinal.{w}
hf : BddAbove (range f)
t : Cardinal.{max u w}

⊢ ⨆ i, lift.{u, w} (f i) ≤ t ↔ ∀ (i : ι), lift.{u, w} (f i) ≤ t
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
R : Type u_1
inst✝ : SMul R (FractionRing K[X])
c : R
toFractionRing✝ : FractionRing K[X]

⊢ (c • { toFractionRing := toFractionRing✝ }).toFractionRing = c • { toFractionRing := toFractionRing✝ }.toFractionRing
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A B : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : FormallyUnramified R A
e : A ≃ₐ[R] B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[R] C
e' : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂

⊢ f₁ = f₂
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A B : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : FormallyUnramified R A
e : A ≃ₐ[R] B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[R] C
e' : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂

⊢ (f₁.comp ↑e).comp ↑e.symm = (f₂.comp ↑e).comp ↑e.symm
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A B : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : FormallyUnramified R A
e : A ≃ₐ[R] B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[R] C
e' : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂

⊢ f₁.comp ↑e = f₂.comp ↑e
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A B : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : FormallyUnramified R A
e : A ≃ₐ[R] B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f₁ f₂ : B →ₐ[R] C
e' : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₁ = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f₂

⊢ (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp (f₁.comp ↑e) = (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp (f₂.comp ↑e)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
h : g.comp f = 0
v : V₁

⊢ f v ∈ g.ker
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
h : g.comp f = 0
v w : V₁

⊢ (fun v => ⟨f v, ⋯⟩) (v + w) = (fun v => ⟨f v, ⋯⟩) v + (fun v => ⟨f v, ⋯⟩) w
-- Mathlib/Data/Real/Pi/Bounds.lean

⊢ π < 3.1416
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
hg : ∀ i ∈ s, 0 < g i
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hj : j ∈ s

⊢ g⁻¹ j < g⁻¹ i → f j ≤ f i ↔ g i < g j → f j ≤ f i
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
fst✝¹ : α
snd✝¹ : β
fst✝ : α
snd✝ : β

⊢ (fst✝¹, snd✝¹) ⩿ (fst✝, snd✝) ↔ (fst✝¹, snd✝¹).1 ⩿ (fst✝, snd✝).1 ∧ (fst✝¹, snd✝¹).2 = (fst✝, snd✝).2 ∨ (fst✝¹, snd✝¹).2 ⩿ (fst✝, snd✝).2 ∧ (fst✝¹, snd✝¹).1 = (fst✝, snd✝).1
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M✝
s : Set M✝
inst✝³ : AddZeroClass A✝
t : Set A✝
M : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike A M
inst✝ : SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S

⊢ x ^ 0 ∈ S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M✝
s : Set M✝
inst✝³ : AddZeroClass A✝
t : Set A✝
M : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike A M
inst✝ : SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S

⊢ 1 ∈ S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M✝
s : Set M✝
inst✝³ : AddZeroClass A✝
t : Set A✝
M : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike A M
inst✝ : SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
n : ℕ

⊢ x ^ (n + 1) ∈ S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M✝
s : Set M✝
inst✝³ : AddZeroClass A✝
t : Set A✝
M : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SetLike A M
inst✝ : SubmonoidClass A M
S : A
x : M
hx : x ∈ S
n : ℕ

⊢ x ^ n * x ∈ S
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
f : R[X]
inst✝¹ : CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : eval₂ i a f = 0
inst✝ : Algebra R S
hfx : (aeval a) f = 0
r : R

⊢ (of (C r * X - 1)) r * root (C r * X - 1) = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
hst : s ⊆ t
hsn : s.card ≤ n
hnt : n ≤ t.card

⊢ ∃ u, s ⊆ u ∧ u ⊆ t ∧ u.card = n
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α × β → M

⊢ mulSupport (curry f) = Prod.fst '' mulSupport f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
IH : (⇑derivative)^[n] (p * q) = ∑ k ∈ range n.succ, n.choose k • ((⇑derivative)^[n - k] p * (⇑derivative)^[k] q)

⊢ (⇑derivative)^[n + 1] (p * q) = ∑ k ∈ range (n + 1).succ, (n + 1).choose k • ((⇑derivative)^[n + 1 - k] p * (⇑derivative)^[k] q)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
IH : (⇑derivative)^[n] (p * q) = ∑ k ∈ range n.succ, n.choose k • ((⇑derivative)^[n - k] p * (⇑derivative)^[k] q)

⊢ ∑ k ∈ range n.succ, n.choose k • ((⇑derivative)^[n - k + 1] p * (⇑derivative)^[k] q) + ∑ k ∈ range n.succ, n.choose k • ((⇑derivative)^[n - k] p * (⇑derivative)^[k + 1] q) = ∑ k ∈ range n.succ, n.choose k.succ • ((⇑derivative)^[n - k] p * (⇑derivative)^[k + 1] q) + 1 • ((⇑derivative)^[n + 1] p * (⇑derivative)^[0] q) + ∑ k ∈ range n.succ, n.choose k • ((⇑derivative)^[n - k] p * (⇑derivative)^[k + 1] q)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring k
inst✝⁵ : Monoid G
inst✝⁴ : Monoid H
A : Type u₃
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra k A
B : Type u_3
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra k B
F : G →* A
f : MonoidAlgebra k G

⊢ ((lift k G A) F) f = sum f fun a b => b • F a
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ_[p]

⊢ ↑(padicNormE (q + r)) ≤ max ↑(padicNormE q) ↑(padicNormE r)
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

⊢ (∀ (a : Set (Submodule R M)), a.Nonempty → ∃ M' ∈ a, ∀ I ∈ a, ¬I < M') ↔ IsArtinian R M
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ

⊢ Memℒp (f - g) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ f g : α → E
hf : Memℒp f p μ
hg : Memℒp g p μ

⊢ Memℒp (f + -g) p μ
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroupWithOne R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : NeZero 1
inst✝ : Nontrivial R
m n : ℤ

⊢ 0 < ↑n ↔ 0 < n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Truncated.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : TruncatedWittVector p n R

⊢ WittVector.truncateFun n x.out = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ Real.cos θ.toReal = θ.cos
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
T : ℝ

⊢ Periodic (fun x => expMapCircle (2 * π / T * x)) T
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean

⊢ Periodic (fun x => expMapCircle (2 * π / 0 * x)) 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
T : ℝ
hT : T ≠ 0

⊢ Periodic (fun x => expMapCircle (2 * π / T * x)) T
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ b

⊢ a ∣ b - c ↔ a ∣ c
-- Mathlib/RingTheory/EuclideanDomain.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hp : p ≠ 0

⊢ p / GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/EuclideanDomain.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hp : p ≠ 0
r : R
hr : p = GCDMonoid.gcd p q * r

⊢ p / GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/EuclideanDomain.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hp : p ≠ 0
r : R
hr : p = GCDMonoid.gcd p q * r
pq0 : GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
r0 : r ≠ 0

⊢ p / GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/EuclideanDomain.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hp : p ≠ 0
r : R
hr : p = GCDMonoid.gcd p q * r
pq0 : GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
r0 : r ≠ 0

⊢ GCDMonoid.gcd p q * r / GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/EuclideanDomain.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : GCDMonoid R
p✝ q✝ p q : R
hp : p ≠ 0
r : R
hr : p = GCDMonoid.gcd p q * r
pq0 : GCDMonoid.gcd p q ≠ 0
r0 : r ≠ 0

⊢ r ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Curry.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
x m : Fin 0 → G

⊢ (curry0 𝕜 G (f x)) m = f m
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)

⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n Φ P' s ↔ ∀ (i : ι), HasFTaylorSeriesUpToOn n (fun x => Φ x i) (fun x m => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousMultilinearMap (P' x m)) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
x✝¹ : E
x✝ : ℕ

⊢ P' x✝¹ x✝ = ContinuousMultilinearMap.pi fun i => (ContinuousLinearMap.proj i).compContinuousMultilinearMap (P' x✝¹ x✝)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
pn : xz a1 n * xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 n = 1 := pell_eqz a1 n

⊢ ↑(xn a1 n * xn a1 n) - ↑(Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
pn : xz a1 n * xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * yz a1 n * yz a1 n = 1 := pell_eqz a1 n
h : ↑(xn a1 n * xn a1 n) - ↑(Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = 1
hl : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n ≤ xn a1 n * xn a1 n

⊢ ↑(xn a1 n * xn a1 n - Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n) = ↑1