ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/CoherenceLemmas.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C

⊢ (λ_ X).inv ⊗ 𝟙 Y = (λ_ (X ⊗ Y)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X Y).inv
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : Nonempty β
U : β → Set (α × α)
hU : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s
f : β → α
hf : ∀ ⦃N m n : β⦄, N ≤ m → N ≤ n → (f m, f n) ∈ U N
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α

⊢ s ∈ map (Prod.map f f) atTop
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : Nonempty β
U : β → Set (α × α)
hU : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s
f : β → α
hf : ∀ ⦃N m n : β⦄, N ≤ m → N ≤ n → (f m, f n) ∈ U N
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α

⊢ ∃ a, ∀ b ≥ a, b ∈ Prod.map f f ⁻¹' s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : Nonempty β
U : β → Set (α × α)
hU : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ n, U n ⊆ s
f : β → α
hf : ∀ ⦃N m n : β⦄, N ≤ m → N ≤ n → (f m, f n) ∈ U N
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
N : β
hN : U N ⊆ s
m n : β
hmn : (m, n) ≥ (N, N)

⊢ (m, n) ∈ Prod.map f f ⁻¹' s
-- Mathlib/Algebra/Homology/ImageToKernel.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
A B C : V
f : A ⟶ B
inst✝² : HasImage f
g : B ⟶ C
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : ConcreteCategory V
w : f ≫ g = 0
x : (forget V).obj (Subobject.underlying.obj (imageSubobject f))

⊢ (kernelSubobject g).arrow ((imageToKernel f g w) x) = (imageSubobject f).arrow x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
x y : α
hy : (swap x (f x) * f) y ≠ y

⊢ f y ≠ y ∧ y ≠ x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
x y : α
hy : (if f y = x then f x else if y = x then x else f y) ≠ y

⊢ f y ≠ y ∧ y ≠ x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Implicit.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented
y : ↥(LinearMap.ker f')

⊢ ↑(implicitToPartialHomeomorphOfComplemented f f' hf hf' hker) (↑y + a) = (f (↑y + a), y)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ

⊢ n.descFactorial 0 = 0 ↔ n < 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ n.descFactorial k.succ = 0 ↔ n < k.succ
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ n ≤ k → n ≠ k → n ≤ k
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i →+ β₂ i
f₂ : (i : ι) → β i →+ β₁ i

⊢ (addMonoidHom fun i => (f i).comp (f₂ i)) = (addMonoidHom f).comp (addMonoidHom f₂)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i →+ β₂ i
f₂ : (i : ι) → β i →+ β₁ i

⊢ ∀ (i : ι), (fun i x => (f i) x) i 0 = 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i →+ β₂ i
f₂ : (i : ι) → β i →+ β₁ i

⊢ ∀ (i : ι), (fun i x => (f₂ i) x) i 0 = 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i →+ β₂ i
f₂ : (i : ι) → β i →+ β₁ i

⊢ ∀ (i : ι), ((fun i x => (f i) x) i ∘ (fun i x => (f₂ i) x) i) 0 = 0
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : α
hx : x ∈ sᶜ

⊢ (Set.sumCompl s).symm ↑⟨x, hx⟩ = Sum.inr ⟨x, hx⟩
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
w : #α < #β
w' : ℵ₀ ≤ #α

⊢ ∃ a, #α < #↑(f ⁻¹' {a})
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
w : #α < #β
w' : ℵ₀ ≤ #α

⊢ ∃ a, succ #α ≤ #↑(f ⁻¹' {a})
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝³ : Field R
p q : R[X]
inst✝² : Field k
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : DecidableEq k
f : R →+* k
x : R[X]

⊢ EuclideanDomain.gcd (map f 0) (map f x) = map f (EuclideanDomain.gcd 0 x)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝³ : Field R
p q : R[X]
inst✝² : Field k
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : DecidableEq k
f : R →+* k
x y : R[X]
x✝ : x ≠ 0
ih : EuclideanDomain.gcd (map f (y % x)) (map f x) = map f (EuclideanDomain.gcd (y % x) x)

⊢ EuclideanDomain.gcd (map f x) (map f y) = map f (EuclideanDomain.gcd x y)
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
P : Sylow p G
x✝ : G

⊢ x✝ ∈ stabilizer G P ↔ x✝ ∈ (↑P).normalizer
-- Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ

⊢ martingalePart (f + g) ℱ μ n =ᶠ[ae μ] f n
-- Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hh : h = predictablePart (f + g) ℱ μ - g

⊢ martingalePart (f + g) ℱ μ n =ᶠ[ae μ] f n
-- Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hh : h = predictablePart (f + g) ℱ μ - g
hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)

⊢ martingalePart (f + g) ℱ μ n =ᶠ[ae μ] f n
-- Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hh : h = predictablePart (f + g) ℱ μ - g
hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)
hhmgle : Martingale h ℱ μ

⊢ martingalePart (f + g) ℱ μ n =ᶠ[ae μ] f n
-- Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hh : h = predictablePart (f + g) ℱ μ - g
hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)
hhmgle : Martingale h ℱ μ

⊢ f n - martingalePart (f + g) ℱ μ n =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hh : h = predictablePart (f + g) ℱ μ - g
hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)
hhmgle : Martingale h ℱ μ
ω : Ω
hω : h n ω = h 0 ω

⊢ (f n - martingalePart (f + g) ℱ μ n) ω = 0 ω
-- Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hh : h = predictablePart (f + g) ℱ μ - g
hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)
hhmgle : Martingale h ℱ μ
ω : Ω
hω : (f - martingalePart (f + g) ℱ μ) n ω = (f - martingalePart (f + g) ℱ μ) 0 ω

⊢ (f n - martingalePart (f + g) ℱ μ n) ω = 0 ω
-- Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hh : h = predictablePart (f + g) ℱ μ - g
hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)
hhmgle : Martingale h ℱ μ
ω : Ω
hω : (f n - martingalePart (f + g) ℱ μ n) ω = (f - martingalePart (f + g) ℱ μ) 0 ω

⊢ (f n - martingalePart (f + g) ℱ μ n) ω = 0 ω
-- Mathlib/Probability/Martingale/Centering.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
h : ℕ → Ω → E := f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hhdef : h = f - martingalePart (f + g) ℱ μ
hh : h = predictablePart (f + g) ℱ μ - g
hhpred : Adapted ℱ fun n => h (n + 1)
hhmgle : Martingale h ℱ μ
ω : Ω
hω : (f n - martingalePart (f + g) ℱ μ n) ω = (f - martingalePart (f + g) ℱ μ) 0 ω

⊢ (f 0 - ((f + g) 0 - predictablePart (f + g) ℱ μ 0)) ω = 0 ω
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
S : Set (Set α)
x y : α
H : ∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s
s : Set α

⊢ MeasurableSet s → (x ∈ s ↔ y ∈ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
S : Set (Set α)
x y : α
H : ∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s
s : Set α

⊢ ∀ t ∈ S, x ∈ t ↔ y ∈ t
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
S : Set (Set α)
x y : α
H : ∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s
s : Set α

⊢ x ∈ ∅ ↔ y ∈ ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
S : Set (Set α)
x y : α
H : ∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s
s : Set α

⊢ ∀ (t : Set α), (x ∈ t ↔ y ∈ t) → (x ∈ tᶜ ↔ y ∈ tᶜ)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
S : Set (Set α)
x y : α
H : ∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s
s : Set α

⊢ ∀ (f : ℕ → Set α), (∀ (n : ℕ), x ∈ f n ↔ y ∈ f n) → (x ∈ ⋃ i, f i ↔ y ∈ ⋃ i, f i)
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g✝ : Y → Z
g : Z → W
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g

⊢ IsProperMap (Prod.map f g)
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g✝ : Y → Z
g : Z → W
hf : Continuous f ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, f x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
hg : Continuous g ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter Z⦄ ⦃y : W⦄, Tendsto g (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, g x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x

⊢ Continuous (Prod.map f g) ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter (X × Z)⦄ ⦃y : Y × W⦄, Tendsto (Prod.map f g) (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, Prod.map f g x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : α → E

⊢ ∫ (z : α × β), f z.1 ∂μ.prod ν = (ν univ).toReal • ∫ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : α → E

⊢ ∫ (z : β × α), f z.swap.1 ∂ν.prod μ = (ν univ).toReal • ∫ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
h : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) a
ι : Type (u + 1) := { c // ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) c }
f : ι → Cardinal.{u} := Subtype.val
hι : Nonempty ι
c : Cardinal.{u}
hc : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) c
h_1 : (j : ι) → Quotient.out (f ⟨c, hc⟩) ↪ Quotient.out (f j)

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
h : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) a
ι : Type (u + 1) := { c // ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) c }
f : ι → Cardinal.{u} := Subtype.val
hι : Nonempty ι
c : Cardinal.{u}
hc : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) c
h_1 : (j : ι) → Quotient.out (f ⟨c, hc⟩) ↪ Quotient.out (f j)
j : Cardinal.{u}
h' : j < c
hj : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) j

⊢ Quotient.liftOn₂ c j (fun α β => Nonempty (α ↪ β)) instLE.proof_1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
h : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) a
ι : Type (u + 1) := { c // ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) c }
f : ι → Cardinal.{u} := Subtype.val
hι : Nonempty ι
c : Cardinal.{u}
hc : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) c
h_1 : (j : ι) → Quotient.out (f ⟨c, hc⟩) ↪ Quotient.out (f j)
j : Cardinal.{u}
h' : j < c
hj : ¬Acc (fun x x_1 => x < x_1) j
this : #(Quotient.out (f ⟨c, hc⟩)) ≤ #(Quotient.out (f ⟨j, hj⟩))

⊢ Quotient.liftOn₂ c j (fun α β => Nonempty (α ↪ β)) instLE.proof_1
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Hom.lean
M : Type u_1
inst✝²⁴ : Monoid M
N : Type u_2
inst✝²³ : Monoid N
P : Type u_3
inst✝²² : Monoid P
φ : M →* N
φ' : N →* M
ψ : N →* P
χ : M →* P
A : Type u_4
inst✝²¹ : AddMonoid A
inst✝²⁰ : DistribMulAction M A
B : Type u_5
inst✝¹⁹ : AddMonoid B
inst✝¹⁸ : DistribMulAction N B
B₁ : Type u_6
inst✝¹⁷ : AddMonoid B₁
inst✝¹⁶ : DistribMulAction M B₁
C : Type u_7
inst✝¹⁵ : AddMonoid C
inst✝¹⁴ : DistribMulAction P C
A' : Type u_8
inst✝¹³ : AddGroup A'
inst✝¹² : DistribMulAction M A'
B' : Type u_9
inst✝¹¹ : AddGroup B'
inst✝¹⁰ : DistribMulAction N B'
R : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : MulSemiringAction M R
R' : Type u_11
inst✝⁷ : Ring R'
inst✝⁶ : MulSemiringAction M R'
S : Type u_12
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : MulSemiringAction N S
S' : Type u_13
inst✝³ : Ring S'
inst✝² : MulSemiringAction N S'
T : Type u_14
inst✝¹ : Semiring T
inst✝ : MulSemiringAction P T
f : R →ₑ+*[φ] S
x : R

⊢ ((MulSemiringActionHom.id N).comp f) x = f x
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SeminormedAddCommGroup G
x₀ : G
R : ℝ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, g x = g x₀
h2 : ∀ (t : G), (L (f t)) (g (x₀ - t)) = (L (f t)) (g x₀)

⊢ (f ⋆[L, μ] g) x₀ = ∫ (t : G), (L (f t)) (g x₀) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.withDensity f)
f' : α → ℝ≥0∞ := AEMeasurable.mk f hf

⊢ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.withDensity f)
f' : α → ℝ≥0∞ := AEMeasurable.mk f hf
this : μ.withDensity f = μ.withDensity f'

⊢ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/NielsenSchreier.lean
G : Type u
inst✝³ : Groupoid G
inst✝² : IsFreeGroupoid G
T : WideSubquiver (Symmetrify (Generators G))
inst✝¹ : Arborescence (WideSubquiver.toType (Symmetrify (Generators G)) T)
X : Type u
inst✝ : Group X
f : ↑(wideSubquiverEquivSetTotal (wideSubquiverSymmetrify T))ᶜ → X
f' : Labelling (Generators G) X := fun a b e => if h : e ∈ wideSubquiverSymmetrify T a b then 1 else f ⟨{ left := a, right := b, hom := e }, h⟩

⊢ ∃! F, ∀ (a : ↑(wideSubquiverEquivSetTotal (wideSubquiverSymmetrify T))ᶜ), F ((fun e => loopOfHom T (of (↑e).hom)) a) = f a
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/NielsenSchreier.lean
G : Type u
inst✝³ : Groupoid G
inst✝² : IsFreeGroupoid G
T : WideSubquiver (Symmetrify (Generators G))
inst✝¹ : Arborescence (WideSubquiver.toType (Symmetrify (Generators G)) T)
X : Type u
inst✝ : Group X
f : ↑(wideSubquiverEquivSetTotal (wideSubquiverSymmetrify T))ᶜ → X
f' : Labelling (Generators G) X := fun a b e => if h : e ∈ wideSubquiverSymmetrify T a b then 1 else f ⟨{ left := a, right := b, hom := e }, h⟩
F' : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X
hF' : ∀ (a b : Generators G) (g : a ⟶ b), F'.map (of g) = f' g
uF' : ∀ (y : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X), (fun F => ∀ (a b : Generators G) (g : a ⟶ b), F.map (of g) = f' g) y → y = F'

⊢ ∃! F, ∀ (a : ↑(wideSubquiverEquivSetTotal (wideSubquiverSymmetrify T))ᶜ), F ((fun e => loopOfHom T (of (↑e).hom)) a) = f a
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/LeftInvariantDerivation.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : ChartedSpace H G
inst✝³ : Monoid G
inst✝² : SmoothMul I G
g h✝ : G
M : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
x : M
r : 𝕜
X Y : LeftInvariantDerivation I G
f f' : C^⊤⟮I, G; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
h : G

⊢ ((X f).comp (𝑳 I g)) h = (X (f.comp (𝑳 I g))) h
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α

⊢ SecondCountableTopology α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s

⊢ SecondCountableTopology α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
t : ℕ → Set (α × α)
hto : ∀ (i : ℕ), t i ∈ (𝓤 α).sets ∧ IsOpen (t i) ∧ SymmetricRel (t i)
h_basis : (𝓤 α).HasAntitoneBasis t

⊢ SecondCountableTopology α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
t : ℕ → Set (α × α)
h_basis : (𝓤 α).HasAntitoneBasis t
ht_mem : ∀ (i : ℕ), t i ∈ (𝓤 α).sets
hto : ∀ (i : ℕ), IsOpen (t i)
hts : ∀ (i : ℕ), SymmetricRel (t i)

⊢ SecondCountableTopology α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
t : ℕ → Set (α × α)
h_basis : (𝓤 α).HasAntitoneBasis t
ht_mem : ∀ (i : ℕ), t i ∈ (𝓤 α).sets
hto : ∀ (i : ℕ), IsOpen (t i)
hts : ∀ (i : ℕ), SymmetricRel (t i)

⊢ toTopologicalSpace = generateFrom (⋃ x ∈ s, range fun k => ball x (t k))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
t : ℕ → Set (α × α)
h_basis : (𝓤 α).HasAntitoneBasis t
ht_mem : ∀ (i : ℕ), t i ∈ (𝓤 α).sets
hto : ∀ (i : ℕ), IsOpen (t i)
hts : ∀ (i : ℕ), SymmetricRel (t i)

⊢ ∀ u ∈ ⋃ x ∈ s, range fun k => ball x (t k), IsOpen u
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : (𝓤 α).IsCountablyGenerated
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
t : ℕ → Set (α × α)
h_basis : (𝓤 α).HasAntitoneBasis t
ht_mem : ∀ (i : ℕ), t i ∈ (𝓤 α).sets
hto : ∀ (i : ℕ), IsOpen (t i)
hts : ∀ (i : ℕ), SymmetricRel (t i)

⊢ ∀ (a : α) (u : Set α), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ ⋃ x ∈ s, range fun k => ball x (t k), a ∈ v ∧ v ⊆ u
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α →ₛ ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α

⊢ f.lintegral (Measure.sum μ) = ∑' (i : ι), f.lintegral (μ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
f : α →ₛ ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α

⊢ ∑' (x : { x // x ∈ f.range }) (i : ι), ↑x * (μ i) (↑f ⁻¹' {↑x}) = ∑' (i : ι) (x : { x // x ∈ f.range }), ↑x * (μ i) (↑f ⁻¹' {↑x})
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Unique αˣ
M : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : Unique Mˣ
p q : M
pp : Prime p
qp : Prime q

⊢ p ∣ q ↔ p = q
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
heI : e ∉ I

⊢ e ∈ M.closure I ↔ M.Dep (insert e I)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
f g : ι → M₀
x : ι
hfg : x ∈ support fun x => f x * g x
hg : g x = 0

⊢ (fun x => f x * g x) x = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E

⊢ ↑univUnitBall.symm 0 = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Quasiconvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → β
inst✝ : LinearOrder β
hf : QuasilinearOn 𝕜 s f

⊢ MonotoneOn f s ∨ AntitoneOn f s