ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/IrreducibleRing.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : (nilradical R).IsPrime
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hm : f.Monic
R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R
ψ : R' →+* S := Ideal.Quotient.lift (nilradical R) φ ⋯
ι : R →+* R' := algebraMap R R'
hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)
a b : R[X]
h : f = a * b
hb : IsUnit (Polynomial.map ι b)
hn : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (b.coeff i)
hc : 1 - a.coeff f.natDegree * b.coeff 0 = ∑ x ∈ Finset.range f.natDegree, a.coeff x * b.coeff (f.natDegree - x)

⊢ IsUnit (-(a.coeff f.natDegree * b.coeff 0))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/IrreducibleRing.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : (nilradical R).IsPrime
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
hm : f.Monic
R' : Type u_1 := R ⧸ nilradical R
ψ : R' →+* S := Ideal.Quotient.lift (nilradical R) φ ⋯
ι : R →+* R' := algebraMap R R'
hi : Irreducible (Polynomial.map ι f)
a b : R[X]
h : f = a * b
hb : IsUnit (Polynomial.map ι b)
hn : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (b.coeff i)
hc : 1 - a.coeff f.natDegree * b.coeff 0 = ∑ x ∈ Finset.range f.natDegree, a.coeff x * b.coeff (f.natDegree - x)

⊢ IsUnit (∑ x ∈ Finset.range f.natDegree, a.coeff x * b.coeff (f.natDegree - x) - 1)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n

⊢ eval 0 ((⇑derivative)^[ν] (bernsteinPolynomial R n ν)) ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n

⊢ ¬eval (↑(n - (ν - 1))) (ascPochhammer R ν) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n

⊢ ¬↑(eval (n - (ν - 1)) (ascPochhammer ℕ ν)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n

⊢ ¬eval (n - (ν - 1)) (ascPochhammer ℕ ν) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n

⊢ 0 < eval (n - (ν - 1)) (ascPochhammer ℕ ν)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
h : 0 ≤ n

⊢ 0 < eval (n - (0 - 1)) (ascPochhammer ℕ 0)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharZero R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
h' : ν > 0

⊢ 0 < eval (n - (ν - 1)) (ascPochhammer ℕ ν)
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ : E
α : ↥(solvableByRad F E)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hα : P (α ^ n)
p : F[X] := minpoly F (α ^ n)
hp : p.comp (X ^ n) ≠ 0

⊢ P α
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ : E
α : ↥(solvableByRad F E)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hα : P (α ^ n)
p : F[X] := minpoly F (α ^ n)
hp : p.comp (X ^ n) ≠ 0

⊢ Fact (Splits (algebraMap F ?q.SplittingField) (minpoly F α))
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ : E
α : ↥(solvableByRad F E)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hα : P (α ^ n)
p : F[X] := minpoly F (α ^ n)
hp : p.comp (X ^ n) ≠ 0

⊢ IsSolvable ?q.Gal
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ : E
α : ↥(solvableByRad F E)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hα : P (α ^ n)
p : F[X] := minpoly F (α ^ n)
hp : p.comp (X ^ n) ≠ 0

⊢ F[X]
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α

⊢ ofFn f = [] ↔ n = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
a✝ : Nontrivial A

⊢ pb.minpolyGen.Monic
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
a✝ : Nontrivial A

⊢ (∑ i : Fin pb.dim, C ((pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) i) * X ^ ↑i).degree < (X ^ pb.dim).degree
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
a✝ : Nontrivial A

⊢ (∑ i : Fin pb.dim, C ((pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) i) * X ^ ↑i).degree < ↑pb.dim
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≤ b / c

⊢ a * c ≤ b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≤ b / c

⊢ a * c⁻¹⁻¹ ≤ b
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f✝ : β → α
inst✝ : DecidableEq β
s₁ s₂ : Finset β
h₁ : s₁.Nonempty
h₂ : s₂.Nonempty
f : β → α
a : α

⊢ (s₁ ∪ s₂).sup' ⋯ f ≤ a ↔ s₁.sup' h₁ f ⊔ s₂.sup' h₂ f ≤ a
-- Mathlib/Data/Finsupp/Interval.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f g : ι →₀ α

⊢ (Ioc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B A : Matrix n n α
b : n → α
h : IsUnit A.det

⊢ A.det • A⁻¹ *ᵥ b = A.cramer b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
m : MeasurableSpace α
f : α → β

⊢ HasFiniteIntegral f 0
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
h2 : |↑b - ↑a| < ↑m

⊢ Int.ofNat a = Int.ofNat b
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d : ℕ
h : a ≡ b [MOD m]
h2 : |↑b - ↑a| < ↑m

⊢ Int.ofNat b - Int.ofNat a = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R

⊢ W.Nonsingular ![X, Y, 1] ↔ W.toAffine.Nonsingular X Y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R

⊢ W.Equation ![X, Y, 1] ∧ (W.a₁ * ![X, Y, 1] 1 * ![X, Y, 1] 2 ≠ 3 * ![X, Y, 1] 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * ![X, Y, 1] 0 * ![X, Y, 1] 2 + W.a₄ * ![X, Y, 1] 2 ^ 2 ∨ ![X, Y, 1] 1 * ![X, Y, 1] 2 ≠ -![X, Y, 1] 1 * ![X, Y, 1] 2 - W.a₁ * ![X, Y, 1] 0 * ![X, Y, 1] 2 - W.a₃ * ![X, Y, 1] 2 ^ 2 ∨ ![X, Y, 1] 1 ^ 2 + W.a₁ * ![X, Y, 1] 0 * ![X, Y, 1] 1 + 2 * W.a₃ * ![X, Y, 1] 1 * ![X, Y, 1] 2 ≠ W.a₂ * ![X, Y, 1] 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * ![X, Y, 1] 0 * ![X, Y, 1] 2 + 3 * W.a₆ * ![X, Y, 1] 2 ^ 2) ↔ W.toAffine.Nonsingular X Y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R

⊢ W.Equation ![X, Y, 1] ∧ (W.a₁ * Y * 1 ≠ 3 * X ^ 2 + 2 * W.a₂ * X * 1 + W.a₄ * 1 ^ 2 ∨ Y * 1 ≠ -Y * 1 - W.a₁ * X * 1 - W.a₃ * 1 ^ 2 ∨ Y ^ 2 + W.a₁ * X * Y + 2 * W.a₃ * Y * 1 ≠ W.a₂ * X ^ 2 + 2 * W.a₄ * X * 1 + 3 * W.a₆ * 1 ^ 2) ↔ W.toAffine.Nonsingular X Y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R

⊢ Y ^ 2 + W.toAffine.a₁ * X * Y + W.toAffine.a₃ * Y = X ^ 3 + W.toAffine.a₂ * X ^ 2 + W.toAffine.a₄ * X + W.toAffine.a₆ → W.toAffine.a₁ * Y = 3 * X ^ 2 + 2 * W.toAffine.a₂ * X + W.toAffine.a₄ → Y = -Y - W.toAffine.a₁ * X - W.toAffine.a₃ → Y ^ 2 + W.a₁ * X * Y + 2 * W.a₃ * Y = W.a₂ * X ^ 2 + 2 * W.a₄ * X + 3 * W.a₆
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R
h : Y ^ 2 + W.toAffine.a₁ * X * Y + W.toAffine.a₃ * Y = X ^ 3 + W.toAffine.a₂ * X ^ 2 + W.toAffine.a₄ * X + W.toAffine.a₆
hX : W.toAffine.a₁ * Y = 3 * X ^ 2 + 2 * W.toAffine.a₂ * X + W.toAffine.a₄
hY : Y = -Y - W.toAffine.a₁ * X - W.toAffine.a₃

⊢ Y ^ 2 + W.a₁ * X * Y + 2 * W.a₃ * Y = W.a₂ * X ^ 2 + 2 * W.a₄ * X + 3 * W.a₆
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
B : FilterBasis α
this : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun s => 𝓟 ↑s
U : Set α

⊢ U ∈ B.filter ↔ U ∈ ⨅ s, 𝓟 ↑s
-- Mathlib/Data/Matrix/Kronecker.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype m'
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring β
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring γ
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : Module R β
inst✝ : Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
h_comm : ∀ (a b : α) (a' b' : β), (f (a * b)) (a' * b') = (f a) a' * (f b) b'
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
A' : Matrix l' m' β
B' : Matrix m' n' β
i : l
i' : l'
j : n
j' : n'

⊢ ((kroneckerMapBilinear f) (A * B)) (A' * B') (i, i') (j, j') = (((kroneckerMapBilinear f) A) A' * ((kroneckerMapBilinear f) B) B') (i, i') (j, j')
-- Mathlib/Data/Matrix/Kronecker.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype m'
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring β
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring γ
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : Module R β
inst✝ : Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
h_comm : ∀ (a b : α) (a' b' : β), (f (a * b)) (a' * b') = (f a) a' * (f b) b'
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α
A' : Matrix l' m' β
B' : Matrix m' n' β
i : l
i' : l'
j : n
j' : n'

⊢ (f (∑ j_1 : m, A i j_1 * B j_1 j)) (∑ j : m', A' i' j * B' j j') = ∑ x : m, ∑ x_1 : m', (f (A i x)) (A' i' x_1) * (f (B x j)) (B' x_1 j')
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : F → β
s : Set F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
g : E →ₗ[𝕜] F
x : E
hx : x ∈ ⇑g ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑g ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ f (g (a • x + b • y)) = f (a • g x + b • g y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hm : Monotone s

⊢ Tendsto (⇑μ ∘ s) atTop (𝓝 (μ (⋃ n, s n)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hm : Monotone s

⊢ Tendsto (⇑μ ∘ s) atTop (𝓝 (⨆ i, μ (s i)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, 1 ∂μ = μ s
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i : ℕ
h : i < l.length

⊢ l[i]?.isSome = true
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i : ℕ
h : i < l.length

⊢ l[i] = l[i]?.get ⋯
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
ι' : Type v
f : ι → Ordinal.{max (max u v) w}
g : ι' → Ordinal.{max (max u v) w}
h : range f ⊆ range g

⊢ range (succ ∘ f) ⊆ range (succ ∘ g)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
s : ℂ

⊢ IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) T volume ↔ IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) T volume
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
s : ℂ
this : AEStronglyMeasurable (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (volume.restrict T)

⊢ IntegrableOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) T volume ↔ IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) T volume
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
s : ℂ
this : AEStronglyMeasurable (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (volume.restrict T)

⊢ IntegrableOn (fun a => ‖↑a ^ (s - 1) • f a‖) T volume ↔ IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) T volume
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
T : Set ℝ
hT : T ⊆ Ioi 0
hT' : MeasurableSet T
hfc : AEStronglyMeasurable f (volume.restrict (Ioi 0))
s : ℂ
this : AEStronglyMeasurable (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f t) (volume.restrict T)
t : ℝ
ht : t ∈ T

⊢ ‖↑t ^ (s - 1) • f t‖ = t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
L R : C ⥤ C
adj : L ⊣ R
α : 𝟭 C ⟶ L
c : C

⊢ 𝟙 (R.obj c) ≫ (𝟙 (R.obj c) ≫ (𝟙 (R.obj c) ≫ α.app (R.obj c) ≫ 𝟙 (L.obj (R.obj c))) ≫ adj.counit.app c) ≫ 𝟙 c = α.app (R.obj c) ≫ adj.counit.app c
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
h : x ≤ y

⊢ √x ≤ √y
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
h : x ≤ y

⊢ x.toNNReal ≤ y.toNNReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/InfiniteSum.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, ‖f i‖ ≤ g i

⊢ CauchySeq fun s => ∑ i ∈ s, f i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/InfiniteSum.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, ‖f i‖ ≤ g i
ε : ℝ
hε : ε > 0

⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, f i‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/InfiniteSum.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ᶠ (i : ι) in cofinite, ‖f i‖ ≤ g i
ε : ℝ
hε : ε > 0
s : Finset ι
hs : ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, g i‖ < ε

⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset ι), Disjoint t s → ‖∑ i ∈ t, f i‖ < ε
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
n : ℤ
d : ℕ

⊢ n % ↑d = n - ↑d * ⌊↑n / ↑d⌋
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
p : l₁ ~ l₂
l : List (Sigma β)

⊢ l₁.kunion l ~ l₂.kunion l
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁸ : CommSemiring K
inst✝⁷ : CommSemiring L
inst✝⁶ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : PerfectRing M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : PerfectRing L p
x : L

⊢ liftAux i i p x = x
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝ : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
S : Finset Λ
q₁ q₂ : Stmt₂
h : q₁ ∈ stmts₁ q₂
hs : SupportsStmt S q₂

⊢ SupportsStmt S q₁
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
a : R
n : ℕ

⊢ RingQuot.npow r n { toQuot := Quot.mk (Rel r) a } = { toQuot := Quot.mk (Rel r) (a ^ n) }
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ = W.negY x₂ y₂

⊢ W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w w₁✝ w₂✝ : ι → k
p : ι → V
s : Finset V
hp : AffineIndependent k Subtype.val
w₁ w₂ : V → k
hw : ∑ i ∈ s, w₁ i = ∑ i ∈ s, w₂ i
hwp : ∑ i ∈ s, w₁ i • i = ∑ i ∈ s, w₂ i • i

⊢ ∀ i ∈ s, w₁ i = w₂ i
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f : β → σ
g : α → β
hf : Primrec f
hg : Primrec g
n : ℕ

⊢ (Nat.casesOn (encode (decode n)) 0 fun n => encode (Option.map f (decode (encode (Option.map g (decode n))).pred))) = encode (Option.map (fun a => f (g a)) (decode n))
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I : ι → Ideal R

⊢ ker (Pi.ringHom fun i => Quotient.mk (I i)) = ⨅ i, I i
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : OrderTopology ι
inst✝³ : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝² : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
inst✝¹ : Filter.atTop.IsCountablyGenerated
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hin : i ≤ n

⊢ μ[f n|hτ.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x = i})] f i
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : OrderTopology ι
inst✝³ : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝² : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
inst✝¹ : Filter.atTop.IsCountablyGenerated
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hin : i ≤ n

⊢ μ[f n|hτ.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x = i})] μ[f n|↑ℱ i]
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : TopologicalSpace ι
inst✝⁴ : OrderTopology ι
inst✝³ : FirstCountableTopology ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝² : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i n : ι
inst✝¹ : Filter.atTop.IsCountablyGenerated
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hin : i ≤ n
t : Set Ω

⊢ MeasurableSet ({x | τ x = i} ∩ t) ↔ MeasurableSet ({x | τ x = i} ∩ t)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ

⊢ ∃ q, (of v).dens n = ↑q
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
a✝ b : ℚ
nth_cont_eq : (of v).conts n = Pair.map Rat.cast { a := a✝, b := b }

⊢ ∃ q, (of v).dens n = ↑q
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
a✝ b : ℚ
nth_cont_eq : (of v).conts n = Pair.map Rat.cast { a := a✝, b := b }

⊢ (of v).dens n = ↑b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u}
hb₁ : b ≠ 1
hb : Principal (fun x x_1 => x + x_1) b

⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) (a * b)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
b : Ordinal.{u}
hb₁ : b ≠ 1
hb : Principal (fun x x_1 => x + x_1) b

⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) (0 * b)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u}
hb₁ : b ≠ 1
hb : Principal (fun x x_1 => x + x_1) b
h✝ : 0 < a

⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) (a * b)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h✝ : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0

⊢ 1 ≤ ‖id 𝕜 E‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h✝ : F →SL[σ₂₃] G
x✝ : E
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : E
hx : ‖x‖ ≠ 0
this : ‖(id 𝕜 E) x‖ / ‖x‖ ≤ ‖id 𝕜 E‖

⊢ 1 ≤ ‖id 𝕜 E‖
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞

⊢ k ≤ s.encard → ∃ t ⊆ s, t.encard = k
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞
n : ℕ
IH : ↑n ≤ s.encard → ∃ t ⊆ s, t.encard = ↑n
hle : ↑n.succ ≤ s.encard

⊢ ∃ t ⊆ s, t.encard = ↑n.succ
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞

⊢ (∀ (n : ℕ), ↑n ≤ s.encard → ∃ t ⊆ s, t.encard = ↑n) → ⊤ ≤ s.encard → ∃ t ⊆ s, t.encard = ⊤
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ∞

⊢ (∀ (n : ℕ), ↑n ≤ s.encard → ∃ t ⊆ s, t.encard = ↑n) → s.Infinite → ∃ t ⊆ s, t.Infinite
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/InjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
Y Z : C
f : Z ⟶ Y
I : InjectiveResolution Y
J : InjectiveResolution Z

⊢ J.cocomplex.d 0 1 ≫ descFOne f I J = descFZero f I J ≫ I.cocomplex.d 0 1
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
c : Chain α
x : α
h : ∀ (i : ℕ), c i ≤ x ∨ x ≤ c i
this : ¬∀ (i : ℕ), c i ≤ x

⊢ ∃ i, ¬c i ≤ x
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
c : Chain α
x : α
h : ∀ (i : ℕ), c i ≤ x ∨ x ≤ c i
this : ∃ x_1, ¬c x_1 ≤ x

⊢ ∃ i, ¬c i ≤ x