ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

⊢ ∫⁻ (x_1 : α) in t, ↑‖↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

⊢ μ (s ∩ t) * ↑‖x‖₊ ≤ μ s * ↑‖x‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : RCLike 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

⊢ s ∩ t ⊆ s
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ b ∆ (c ∆ d) = a ∆ c ∆ (b ∆ d)
-- Mathlib/Topology/Compactification/OnePoint.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
h : ∞ ∈ s
this : ∞ ∉ sᶜ

⊢ IsClosed s ↔ IsClosed (some ⁻¹' s)
-- Mathlib/Algebra/Regular/SMul.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
h : a * b = 1

⊢ IsSMulRegular M 1
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hg : GrowsPolynomially g

⊢ GrowsPolynomially fun x => f x / g x
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hg : GrowsPolynomially g
this : (fun x => f x / g x) = fun x => f x * (g x)⁻¹

⊢ GrowsPolynomially fun x => f x / g x
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hg : GrowsPolynomially g
this : (fun x => f x / g x) = fun x => f x * (g x)⁻¹

⊢ GrowsPolynomially fun x => f x * (g x)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
support✝ : Finset ℕ
toFun✝ : ℕ → R
mem_support_toFun✝ : ∀ (a : ℕ), a ∈ support✝ ↔ toFun✝ a ≠ 0

⊢ { toFinsupp := Finsupp.erase n { support := support✝, toFun := toFun✝, mem_support_toFun := mem_support_toFun✝ } } = erase n { toFinsupp := { support := support✝, toFun := toFun✝, mem_support_toFun := mem_support_toFun✝ } }
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x y : R

⊢ (algebraMap R T) x = (algebraMap R T) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x y : R

⊢ (∃ c, ↑c * (algebraMap R S) x = ↑c * (algebraMap R S) y) → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x y : R
z : ↥N
eq₁ : ↑z * (algebraMap R S) x = ↑z * (algebraMap R S) y

⊢ ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x y : R
z : ↥N
eq₁ : ↑z * (algebraMap R S) x = ↑z * (algebraMap R S) y
z' : R
s : ↥M
eq₂ : ↑z * (algebraMap R S) ↑(z', s).2 = (algebraMap R S) (z', s).1

⊢ ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
x y : R
z : ↥N
eq₁ : ↑z * (algebraMap R S) x = ↑z * (algebraMap R S) y
z' : R
s : ↥M
eq₂ : ↑z * (algebraMap R S) ↑s = (algebraMap R S) z'

⊢ (algebraMap R S) (x * z') = (algebraMap R S) (y * z')
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
m : M
t : ↥S

⊢ (divBy s) (((algebraMap R (Module.End R (LocalizedModule S M))) ↑s) (mk m t)) = mk m t
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
m : M
t : ↥S

⊢ (↑s • mk m t).liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯ = mk m t
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
m : M
t : ↥S

⊢ (mk ((IsLocalization.sec S (↑(algebraMap R (Localization S)).toMonoidWithZeroHom ↑s)).1 • m) ((IsLocalization.sec S (↑(algebraMap R (Localization S)).toMonoidWithZeroHom ↑s)).2 * t)).liftOn (fun p => mk p.1 (p.2 * s)) ⋯ = mk m t
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
m : M
t : ↥S

⊢ ↑(algebraMap R (Localization S)).toMonoidWithZeroHom ↑s • mk m (t * s) = mk m t
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s : ↥S
p : LocalizedModule S M
m : M
t : ↥S

⊢ mk (↑s • m) (t * s) = mk m t
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
h : a ∉ s
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ (insert a s).ncard = s.ncard + 1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
x✝ : ℕ

⊢ 1 x✝ = δ x✝
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P

⊢ y ∈ {y | s.SOppSide x y} ↔ y ∈ Set.image2 (fun t q => t • (x -ᵥ p) +ᵥ q) (Set.Iio 0) ↑s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P

⊢ s.SOppSide x y ↔ ∃ a < 0, ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(simpleFunc E p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p μ) (hg : Memℒp (↑g) p μ), Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
f : ↥(simpleFunc E p μ)

⊢ P f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(simpleFunc E p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p μ) (hg : Memℒp (↑g) p μ), Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)
f : ↥(simpleFunc E p μ)

⊢ ∀ (f : α →ₛ E) (hf : Memℒp (↑f) p μ), P (toLp f hf)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(simpleFunc E p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p μ) (hg : Memℒp (↑g) p μ), Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)

⊢ ∀ (f : α →ₛ E) (hf : Memℒp (↑f) p μ), P (toLp f hf)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(simpleFunc E p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p μ) (hg : Memℒp (↑g) p μ), Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)

⊢ ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hf : Memℒp (↑(SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0))) p μ), P (toLp (SimpleFunc.piecewise s hs (SimpleFunc.const α c) (SimpleFunc.const α 0)) hf)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(simpleFunc E p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P (indicatorConst p hs ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄ (hf : Memℒp (↑f) p μ) (hg : Memℒp (↑g) p μ), Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → P (toLp f hf) → P (toLp g hg) → P (toLp f hf + toLp g hg)

⊢ ∀ ⦃f g : α →ₛ E⦄, Disjoint (support ↑f) (support ↑g) → (∀ (hf : Memℒp (↑f) p μ), P (toLp f hf)) → (∀ (hf : Memℒp (↑g) p μ), P (toLp g hf)) → ∀ (hf : Memℒp (↑(f + g)) p μ), P (toLp (f + g) hf)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ filter p s = filter p t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, p a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : t ∈ 𝓝 x

⊢ HasFDerivWithinAt f f' (s ∩ t) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/LinearMap.lean
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝¹⁰ : Ring K
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V'
inst✝⁴ : Module K V'
inst✝³ : AddCommGroup V''
inst✝² : Module K V''
inst✝¹ : AddCommGroup V'₁
inst✝ : Module K V'₁
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V'₁

⊢ (f ∘ₗ g).rank ≤ g.rank
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : Embedding ⇑g

⊢ Embedding ⇑(pullback.fst f g)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : Embedding ⇑g

⊢ ⇑(pullback.fst f g) = ⇑(homeoOfIso (asIso (pullback.fst f (𝟙 S)))) ∘ ⇑(pullback.map f g f (𝟙 S) (𝟙 X) g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : Embedding ⇑g

⊢ ⇑(pullback.fst f g) = ⇑(pullback.map f g f (𝟙 S) (𝟙 X) g (𝟙 S) ⋯ ⋯ ≫ (asIso (pullback.fst f (𝟙 S))).hom)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m₁ m₂ : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
hle : m₁ ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] m₂

⊢ mkMetric m₁ ≤ mkMetric m₂
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a : EReal
h : a ≤ 0

⊢ a⁻¹ ≤ 0
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
x y : ℝ≥0
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
a : ℝ≥0
ha : a < x

⊢ a ≤ y
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
x y : ℝ≥0
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
a : ℝ≥0
ha : a < x
hx : x ≠ 0

⊢ a ≤ y
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
x y : ℝ≥0
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
a : ℝ≥0
ha : a < x
hx : x ≠ 0
hx' : x⁻¹ ≠ 0

⊢ a ≤ y
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
x y : ℝ≥0
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
a : ℝ≥0
ha : a < x
hx : x ≠ 0
hx' : x⁻¹ ≠ 0
this : a * x⁻¹ < 1

⊢ a ≤ y
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
x y : ℝ≥0
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
a : ℝ≥0
ha : a < x
hx : x ≠ 0
hx' : x⁻¹ ≠ 0
this✝ : a * x⁻¹ < 1
this : a * x⁻¹ * x ≤ y

⊢ a ≤ y
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v✝ : VectorMeasure α M
w✝ : VectorMeasure α N
R : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : DistribMulAction R M
inst✝ : ContinuousConstSMul R M
r : R
v : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
h : v ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑w s = 0

⊢ ↑(r • v) s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → E

⊢ eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ eLpNorm f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → E
x : α

⊢ ‖s.indicator f x‖ ≤ ‖f x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → E
x : α

⊢ ‖s.indicator f x‖₊ ≤ ‖f x‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → E
x : α

⊢ s.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ≤ ‖f x‖₊
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α

⊢ s ⊂ t ↔ ∃ a ∉ s, insert a s ⊆ t
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α

⊢ (s ⊆ t ∧ ∃ a ∈ t, a ∉ s) ↔ ∃ a ∉ s, a ∈ t ∧ s ⊆ t
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
k : 𝓞 K
hk : S.a + ↑η ^ 2 * S.b = λ ^ 2 * k

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
k : 𝓞 K
hk : S.a + ↑η ^ 2 * S.b = λ ^ 2 * k
k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = λ ^ 2 * k'

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
k : 𝓞 K
hk : S.a + ↑η ^ 2 * S.b = λ ^ 2 * k
k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = λ ^ 2 * k'

⊢ S.b = λ * ((k - k') * -↑η)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
k k' : 𝓞 K
hk : λ * (S.b * (↑η + 1) + λ * k') = λ * (λ * k)
hk' : S.a + S.b = λ ^ 2 * k'

⊢ S.b = λ * ((k - k') * -↑η)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
k k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = λ ^ 2 * k'
hk : S.b * (↑η + 1) + λ * k' = λ * k

⊢ S.b = λ * ((k - k') * -↑η)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
k k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = λ ^ 2 * k'
hk : (S.b * (↑η + 1) + λ * k') * -↑η = λ * k * -↑η

⊢ S.b = λ * ((k - k') * -↑η)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
k k' : 𝓞 K
hk' : S.a + S.b = λ ^ 2 * k'
hk : S.b = λ * k * -↑η + ↑η * λ * k'

⊢ S.b = λ * ((k - k') * -↑η)
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Contractible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(Y, Z)
g : C(X, Y)
y : Z
hy : f.Homotopic (const Y y)

⊢ (f.comp g).Nullhomotopic
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Contractible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(Y, Z)
g : C(X, Y)
y : Z
hy : f.Homotopic (const Y y)

⊢ (f.comp g).Homotopic (const X y)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shatter.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
inst✝ : Fintype α

⊢ 𝒜.Shatters univ ↔ 𝒜 = univ
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shatter.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
inst✝ : Fintype α

⊢ image (fun t => univ ∩ t) 𝒜 = univ ↔ 𝒜 = univ
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/CyclotomicCharacter.lean
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n✝ n : ℕ+
hn : Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L) = ↑n
g : L ≃+* L
t : Lˣ
ht : t ∈ rootsOfUnity n L

⊢ g ↑t = ↑t ^ (↑((ModularCyclotomicCharacter L hn) g)).val
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/CyclotomicCharacter.lean
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n✝ n : ℕ+
hn : Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L) = ↑n
g : L ≃+* L
t : Lˣ
ht : t ∈ rootsOfUnity n L

⊢ ↑t ^ (toFun n g).val = ↑t ^ (↑((ModularCyclotomicCharacter L hn) g)).val
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/CyclotomicCharacter.lean
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n✝ n : ℕ+
hn : Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L) = ↑n
g : L ≃+* L
t : Lˣ
ht : t ∈ rootsOfUnity n L

⊢ (toFun n g).val = (↑((ModularCyclotomicCharacter L hn) g)).val
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
d : DynkinSystem α

⊢ d.Has univ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
q n : ℕ
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
hnm : c.Rel (n + 1) n

⊢ f.app (op [n]) ≫ hσ' q n (n + 1) hnm = hσ' q n (n + 1) hnm ≫ f.app (op [n + 1])
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
q n : ℕ
X Y : SimplicialObject C
f : X ⟶ Y
hnm : c.Rel (n + 1) n

⊢ f.app (op [n]) ≫ hσ q n = hσ q n ≫ f.app (op [n + 1])
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M × N

⊢ mulSupport f = (mulSupport fun x => (f x).1) ∪ mulSupport fun x => (f x).2
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b d y : α
x : WithBot α

⊢ unbot' d x = y ↔ x = ↑y ∨ x = ⊥ ∧ y = d
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
e : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)

⊢ mergeSort r (a :: b :: l) ~ a :: b :: l
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
e : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
h₁ : l₁.length < (a :: b :: l).length
h₂ : l₂.length < (a :: b :: l).length

⊢ mergeSort r (a :: b :: l) ~ a :: b :: l