ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Fintype/Pi.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq (ι → α)
s : Finset α
f : ι → α
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι

⊢ s.piDiag ι ⊆ Fintype.piFinset fun x => s
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq m
i✝ : n
j✝ : m

⊢ Mᵀ.updateColumn i b i✝ j✝ = (M.updateRow i b)ᵀ i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq m
i✝ : n
j✝ : m

⊢ (if j✝ = i then b i✝ else Mᵀ i✝ j✝) = if j✝ = i then b i✝ else M j✝ i✝
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d✝ n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
d : ℕ
h1 : n * k < n * d
h2 : n * d < n * (k + 1)

⊢ False
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d✝ n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
d : ℕ
h1 : n * k < n * d
h2 : n * d < n * (k + 1)
this : k < d

⊢ False
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d✝ n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
d : ℕ
h1 : n * k < n * d
h2 : n * d < n * (k + 1)
this✝ : k < d
this : d < k + 1

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ (s ∩ t).ncard + (s \ t).ncard = s.ncard
-- Mathlib/Order/Ideal.lean
P : Type u_1
inst✝¹ : LE P
inst✝ : OrderTop P
I : Ideal P
h : ⊤ ∈ I
x✝ : P

⊢ x✝ ∈ ↑I ↔ x✝ ∈ ↑⊤
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hm : f.Monic
hs : Splits (RingHom.id F) f
h : f.natSepDegree = 1

⊢ ∃ m y, m ≠ 0 ∧ f = (X - C y) ^ m
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hm : f.Monic
hs : Splits (RingHom.id F) f
h : f.natSepDegree = 1
h1 : f = (Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots).prod

⊢ ∃ m y, m ≠ 0 ∧ f = (X - C y) ^ m
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hm : f.Monic
hs : Splits (RingHom.id F) f
h : f.natSepDegree = 1
h1 : f = (Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots).prod
h2 : (f.aroots F).toFinset.card = f.natSepDegree

⊢ ∃ m y, m ≠ 0 ∧ f = (X - C y) ^ m
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hm : f.Monic
hs : Splits (RingHom.id F) f
h : f.natSepDegree = 1
h1 : f = (Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots).prod
h2 : Multiset.card f.roots ≠ 0 ∧ ∃ a, f.roots = Multiset.card f.roots • {a}

⊢ ∃ m y, m ≠ 0 ∧ f = (X - C y) ^ m
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hm : f.Monic
hs : Splits (RingHom.id F) f
h : f.natSepDegree = 1
h1 : f = (Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots).prod
h2 : Multiset.card f.roots ≠ 0
y : F
h3 : f.roots = Multiset.card f.roots • {y}

⊢ ∃ m y, m ≠ 0 ∧ f = (X - C y) ^ m
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x

⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y + g y) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x
h : DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y + g y) x

⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
h'f : 0 ≤ f

⊢ ∫ (x : α), truncation f A x ∂μ = ∫ (y : ℝ) in 0 ..A, y ∂Measure.map f μ
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
m : M
s : ↥S

⊢ 1 • mk m s = mk m s
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
m : M
s : ↥S

⊢ IsLocalization.mk' T 1 1 • mk m s = mk m s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
x : ℝ
h : |x| < 1
n : ℕ
F : ℝ → ℝ := fun x => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)
F' : ℝ → ℝ := fun x => -x ^ n / (1 - x)

⊢ |∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)| ≤ |x| ^ (n + 1) / (1 - |x|)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
x : ℝ
h : |x| < 1
n : ℕ
F : ℝ → ℝ := fun x => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)
F' : ℝ → ℝ := fun x => -x ^ n / (1 - x)
A : ∀ y ∈ Set.Ioo (-1) 1, HasDerivAt F (F' y) y

⊢ |∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)| ≤ |x| ^ (n + 1) / (1 - |x|)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
x : ℝ
h : |x| < 1
n : ℕ
F : ℝ → ℝ := fun x => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)
F' : ℝ → ℝ := fun x => -x ^ n / (1 - x)
A : ∀ y ∈ Set.Ioo (-1) 1, HasDerivAt F (F' y) y
B : ∀ y ∈ Set.Icc (-|x|) |x|, |F' y| ≤ |x| ^ n / (1 - |x|)

⊢ |∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)| ≤ |x| ^ (n + 1) / (1 - |x|)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
x : ℝ
h : |x| < 1
n : ℕ
F : ℝ → ℝ := fun x => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)
F' : ℝ → ℝ := fun x => -x ^ n / (1 - x)
A : ∀ y ∈ Set.Ioo (-1) 1, HasDerivAt F (F' y) y
B : ∀ y ∈ Set.Icc (-|x|) |x|, |F' y| ≤ |x| ^ n / (1 - |x|)
C : ‖F x - F 0‖ ≤ |x| ^ n / (1 - |x|) * ‖x - 0‖

⊢ |∑ i ∈ Finset.range n, x ^ (i + 1) / (↑i + 1) + log (1 - x)| ≤ |x| ^ (n + 1) / (1 - |x|)
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α 1

⊢ v.toList = [v.head]
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α 1

⊢ (v.head ::ᵥ v.tail).toList = [(v.head ::ᵥ v.tail).head]
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β ι : Type u
c : ι → Cardinal.{v}

⊢ lift.{w, max v u} (prod c) = prod fun i => lift.{w, v} (c i)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β ι : Type u
c : ι → Type v

⊢ lift.{w, max v u} (prod fun i => #(c i)) = prod fun i => lift.{w, v} ((fun i => #(c i)) i)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β ι : Type u
c : ι → Type v

⊢ #(ULift.{w, max u v} ((i : ι) → c i)) = #((i : ι) → ULift.{w, v} (c i))
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α✝
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α✝
a b : α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α

⊢ ¬BddAbove s ↔ ∀ (x : α), ∃ y ∈ s, x < y
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u✝ v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ u : Finset α

⊢ s₁ ⊆ s₂ → s₁ ⊆ u → s₁ ⊆ s₂ ∩ u
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Biproducts.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : Fan f
x y : ↑s.pt

⊢ (fun x j => (s.π.app { as := j }) x) (x + y) = (fun x j => (s.π.app { as := j }) x) x + (fun x j => (s.π.app { as := j }) x) y
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Biproducts.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : Fan f
x y : ↑s.pt

⊢ (fun j => (s.π.app { as := j }) x + (s.π.app { as := j }) y) = (fun j => (s.π.app { as := j }) x) + fun j => (s.π.app { as := j }) y
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Biproducts.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : Fan f
r : R
x : ↑s.pt

⊢ { toFun := fun x j => (s.π.app { as := j }) x, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun x j => (s.π.app { as := j }) x, map_add' := ⋯ }.toFun x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Biproducts.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
J : Type w
f : J → ModuleCat R
s : Fan f
r : R
x : ↑s.pt

⊢ (fun j => r • (s.π.app { as := j }) x) = (RingHom.id R) r • fun j => (s.π.app { as := j }) x
-- Mathlib/Order/LatticeIntervals.lean
α : Type u_1
a : α
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : BoundedOrder α
x y : ↑(Iic a)

⊢ IsCompl x y ↔ Disjoint ↑x ↑y ∧ ↑x ⊔ ↑y = a
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
s : Set (α → Prop)
a : α

⊢ sSup s a ↔ ∃ r ∈ s, r a
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
α : Type u_9
s : Set (α → Prop)
a : α

⊢ ⨆ f, ↑f a ↔ ∃ r ∈ s, r a
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α

⊢ ∃! k, 0 ≤ g - k • a ∧ g - k • a < a
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Lax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : LaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b

⊢ (λ_ (F.map f)).hom = F.mapId a ▷ F.map f ≫ F.mapComp (𝟙 a) f ≫ F.map₂ (λ_ f).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Lax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : LaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b

⊢ (F.map₂Iso (λ_ f)).inv = (λ_ (F.map f)).inv ≫ F.mapId a ▷ F.map f ≫ F.mapComp (𝟙 a) f
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
f : R

⊢ Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M) ↔ Module.support R M ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus {f}
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
f : R

⊢ (∀ (m : M), ∃ r ∈ Submonoid.powers f, r • m = 0) ↔ Module.support R M ⊆ PrimeSpectrum.zeroLocus {f}
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
i : ℕ

⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x => 0) s x = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps

⊢ sx₁.circumcenter = sx₂.circumcenter
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
sx₁ sx₂ : Simplex ℝ P n
hsx₁ : Set.range sx₁.points ⊆ ps
hsx₂ : Set.range sx₂.points ⊆ ps
r : P
hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = r

⊢ sx₁.circumcenter = sx₂.circumcenter
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : u.r = 0

⊢ x✝.reduce.IsReduced
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : u.r = 0

⊢ u.finish.IsReduced
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0

⊢ x✝.reduce.IsReduced
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
this : sizeOf u.step < sizeOf u

⊢ x✝.reduce.IsReduced
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
this : sizeOf u.step < sizeOf u

⊢ u.step.reduce.IsReduced
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ

⊢ (W.map f).φ n = Polynomial.map (mapRingHom f) (W.φ n)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ

⊢ C X * Polynomial.map (mapRingHom f) (W.ψ n) ^ 2 - Polynomial.map (mapRingHom f) (W.ψ (n + 1)) * Polynomial.map (mapRingHom f) (W.ψ (n - 1)) = Polynomial.map (mapRingHom f) (C X * W.ψ n ^ 2 - W.ψ (n + 1) * W.ψ (n - 1))
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
hf : BddBelow (range f)

⊢ Iic (⨅ i, f i) = ⋂ i, Iic (f i)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
hf : BddBelow (range f)

⊢ Iic (⨅ i, f i) ⊆ ⋂ i, Iic (f i)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
hf : BddBelow (range f)

⊢ ⋂ i, Iic (f i) ⊆ Iic (⨅ i, f i)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ b ∈ Ioc a b ↔ a < b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

⊢ μ[f|m] ≤ᶠ[ae μ] μ[g|m]
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a✝ b✝ c d a b : α
n : ℕ

⊢ (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x

⊢ WithTop.map (fun x => ↑x) ⋯.order - ↑(Exists.choose hf) = ⊤ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
h : ⋯.order = ⊤

⊢ WithTop.map (fun x => ↑x) ⋯.order - ↑(Exists.choose hf) = ⊤ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
h : ¬⋯.order = ⊤

⊢ WithTop.map (fun x => ↑x) ⋯.order - ↑(Exists.choose hf) = ⊤ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ (Icc a b).Nonempty ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
x : α
y : β

⊢ y ∈ ω f ϕ {x} ↔ MapClusterPt y f fun t => ϕ t x
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f

⊢ ⊤ * f = ⊤
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s : Set α

⊢ s ∈ ⊤ * f → s ∈ ⊤
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s : Set α

⊢ (∃ t₂ ∈ f, univ * t₂ ⊆ s) → s = univ
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s t : Set α
ht : t ∈ f
hs : univ * t ⊆ s

⊢ s = univ
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
f✝¹ : α✝ → β✝
E I✝ s : Set α✝
M✝ : Matroid α✝
N : Matroid β✝
f✝ : α✝ ≃ β✝
α : Type u_3
β : Type u_4
M : Matroid α
f : α ≃ β
I X : Set β

⊢ (M.mapEquiv f).Basis I X ↔ M.Basis (⇑f.symm '' I) (⇑f.symm '' X)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
f✝¹ : α✝ → β✝
E I✝ s : Set α✝
M✝ : Matroid α✝
N : Matroid β✝
f✝ : α✝ ≃ β✝
α : Type u_3
β : Type u_4
M : Matroid α
f : α ≃ β
I X : Set β

⊢ (∃ I₀ X₀, M.Basis I₀ X₀ ∧ I = ⇑f '' I₀ ∧ X = ⇑f '' X₀) ↔ M.Basis (⇑f.symm '' I) (⇑f.symm '' X)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F

⊢ SameRay ℝ x y ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ ‖x‖⁻¹ • x = ‖y‖⁻¹ • y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
y : F

⊢ SameRay ℝ 0 y ↔ 0 = 0 ∨ y = 0 ∨ ‖0‖⁻¹ • 0 = ‖y‖⁻¹ • y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0

⊢ SameRay ℝ x y ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ ‖x‖⁻¹ • x = ‖y‖⁻¹ • y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
hx : x ≠ 0

⊢ SameRay ℝ x 0 ↔ x = 0 ∨ 0 = 0 ∨ ‖x‖⁻¹ • x = ‖0‖⁻¹ • 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ SameRay ℝ x y ↔ x = 0 ∨ y = 0 ∨ ‖x‖⁻¹ • x = ‖y‖⁻¹ • y
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
f : α →o β
g : β →o γ
hfc : ∀ (c : Chain α), f (ωSup c) = ωSup (c.map f)
hgc : ∀ (c : Chain β), g (ωSup c) = ωSup (c.map g)
c✝ : Chain α

⊢ g (f (ωSup c✝)) = ωSup (c✝.map (g.comp f))
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R

⊢ IsRadical 0 ↔ IsReduced R
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R

⊢ IsRadical 0 ↔ ∀ (x : R) (x_1 : ℕ), 0 ∣ x ^ x_1 → 0 ∣ x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ (setToL1 hT') f = c • (setToL1 hT) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ setToL1 hT' = c • setToL1 hT
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ (c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ c • (setToL1 hT) ↑f = (setToL1SCLM α E μ hT') f
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
m : ℕ
hm : finrank K V ≤ m

⊢ LinearMap.ker (f ^ m) = LinearMap.ker (f ^ finrank K V)
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
m : ℕ
hm : finrank K V ≤ m
k : ℕ
h_k_le : k ≤ finrank K V
hk : LinearMap.ker (f ^ k) = LinearMap.ker (f ^ k.succ)

⊢ LinearMap.ker (f ^ m) = LinearMap.ker (f ^ finrank K V)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a

⊢ ¬Irreducible a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a

⊢ ¬¬IsUnit a ∨ ¬∀ (a_1 b : Cardinal.{u}), a = a_1 * b → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
h : ∀ (a_1 b : Cardinal.{u}), a = a_1 * b → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b

⊢ False