ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
h : μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
z : α

⊢ z ∈ ↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y} → z ∈ {a | ¬↑f a = ↑g a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
h : μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
z : α

⊢ ↑f z = x ∧ ↑g z = y → ¬↑f z = ↑g z
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
h✝ : μ {a | ¬↑f a = ↑g a} = 0
x y : E
hxy : x ≠ y
z : α
h : ↑f z = x ∧ ↑g z = y

⊢ ¬↑f z = ↑g z
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a : α

⊢ p a ≤ 1
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
a b : α

⊢ (if b = a then p a else 0) ≤ p b
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s

⊢ ∃ m, m • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
a : R
ha : a ∈ ↑M
e : ⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)

⊢ ∃ m, m • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) M) S'
x : S
s : Finset S'
hx : (algebraMap S S') x ∈ Algebra.adjoin R ↑s
a : R
ha : a ∈ ↑M
e : ⟨(algebraMap R S) a, ⋯⟩ • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)

⊢ ⟨a, ha⟩ • x ∈ Algebra.adjoin R ↑(finsetIntegerMultiple (Submonoid.map (algebraMap R S) M) s)
-- Mathlib/Data/Array/ExtractLemmas.lean
α : Type u
i✝ : Nat
a b : Array α
i j : Nat
h : a.size ≤ i

⊢ (a ++ b).extract i j = b.extract (i - a.size) (j - a.size)
-- Mathlib/Data/Array/ExtractLemmas.lean
α : Type u
i✝ : Nat
a b : Array α
i j : Nat
h : a.size ≤ i

⊢ ((a ++ b).extract i j).size = (b.extract (i - a.size) (j - a.size)).size
-- Mathlib/Data/Array/ExtractLemmas.lean
α : Type u
i✝ : Nat
a b : Array α
i j : Nat
h : a.size ≤ i

⊢ ∀ (i_1 : Nat) (hi₁ : i_1 < ((a ++ b).extract i j).size) (hi₂ : i_1 < (b.extract (i - a.size) (j - a.size)).size), ((a ++ b).extract i j)[i_1] = (b.extract (i - a.size) (j - a.size))[i_1]
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n

⊢ (-a).val = (-a).val % n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n

⊢ (-a).val + a.val ≡ n - a.val + a.val [MOD n]
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R

⊢ (p.scaleRoots s).natDegree = p.natDegree
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
f : α → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂ν = ∑' (g : G), ∫⁻ (x : α) in g • s, f x ∂ν
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
f : (i : ι) → G i →* K
k : H →* K
hf : ∀ (i : ι), (f i).comp (φ i) = k
i : ι
g : G i

⊢ ((con φ).lift (Coprod.lift (CoprodI.lift f) k) ⋯) (((con φ).mk'.comp (inl.comp CoprodI.of)) g) = (f i) g
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k

⊢ spanEval k ≠ ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k

⊢ ¬∃ l ∈ Finsupp.supported (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) Set.univ, (Finsupp.total (MonicIrreducible k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (evalXSelf k)) l = 1
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
v : MonicIrreducible k →₀ MvPolynomial (MonicIrreducible k) k
left✝ : v ∈ Finsupp.supported (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) Set.univ
hv : (toSplittingField k v.support) ((Finsupp.total (MonicIrreducible k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (evalXSelf k)) v) = (toSplittingField k v.support) 1

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
v : MonicIrreducible k →₀ MvPolynomial (MonicIrreducible k) k
left✝ : v ∈ Finsupp.supported (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) Set.univ
hv : 0 = 1

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
v : MonicIrreducible k →₀ MvPolynomial (MonicIrreducible k) k
left✝ : v ∈ Finsupp.supported (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) Set.univ
hv : ∑ x ∈ v.support, (toSplittingField k v.support) (v x • evalXSelf k x) = 1

⊢ ∀ x ∈ v.support, (toSplittingField k v.support) (v x • evalXSelf k x) = 0
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
v : MonicIrreducible k →₀ MvPolynomial (MonicIrreducible k) k
left✝ : v ∈ Finsupp.supported (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) (MvPolynomial (MonicIrreducible k) k) Set.univ
hv : ∑ x ∈ v.support, (toSplittingField k v.support) (v x • evalXSelf k x) = 1
j : MonicIrreducible k
hj : j ∈ v.support

⊢ (toSplittingField k v.support) (v j • evalXSelf k j) = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
x : S₁

⊢ (optionEquivLeft R S₁) (X (Option.some x)) = Polynomial.C (X x)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p a b : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
dvd : p ∣ b

⊢ padicValNat p (b / p) = padicValNat p b - 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ.withDensity f = ∫⁻ (x : α) in s, (f * g) x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : TaggedPrepartition I
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
hπi : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition

⊢ integralSum f vol (π.biUnionPrepartition πi) = integralSum f vol π
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : TaggedPrepartition I
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
hπi : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes

⊢ ∑ J' ∈ (πi J).boxes, (vol J') (f ((π.biUnionPrepartition πi).tag J')) = (vol J) (f (π.tag J))
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝ : HasKernels V
i j : ι
r : c.Rel i j

⊢ kernelSubobject (C.dFrom i) = kernelSubobject (C.d i j)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝ : HasKernels V
i j : ι
r : c.Rel i j

⊢ kernelSubobject (C.d i j ≫ (C.xNextIso r).inv) = kernelSubobject (C.d i j)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f

⊢ (isoRestrict f).hom ≫ Y.ofRestrict ⋯ = f
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
x : (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ

⊢ (((isoRestrict f).hom ≫ Y.ofRestrict ⋯).c ≫ whiskerRight (eqToHom ⋯) X.presheaf).app x = f.c.app x
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
x : (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ

⊢ (((isoRestrict f).hom ≫ Y.ofRestrict ⋯).c ≫ 𝟙 ((Opens.map ((isoRestrict f).hom ≫ Y.ofRestrict ⋯).base).op ⋙ X.presheaf)).app x = f.c.app x
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
x : (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ

⊢ f.c.app x ≫ X.presheaf.map ((Opens.map f.base).op.map (⋯.adjunction.counit.app (unop x)).op ≫ (eqToIso ⋯).hom) = f.c.app x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
L : F
r ε δ : ℝ
h : ε ≤ δ
x r' : ℝ
r'r : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r

⊢ x ∈ A f L r δ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
L : F
r ε δ : ℝ
h : ε ≤ δ
x r' : ℝ
r'r : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
y : ℝ
hy : y ∈ Icc x (x + r')
z : ℝ
hz : z ∈ Icc x (x + r')

⊢ 0 ≤ r
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
hd : Disjoint s1 s2

⊢ Disjoint ↑(affineSpan k (p '' s1)) ↑(affineSpan k (p '' s2))
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
hd : Disjoint s1 s2
p0 : P
hp0s1 : p0 ∈ ↑(affineSpan k (p '' s1))
hp0s2 : p0 ∈ ↑(affineSpan k (p '' s2))

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Nontrivial k
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Set ι
hd : Disjoint s1 s2
p0 : P
hp0s1 : p0 ∈ ↑(affineSpan k (p '' s1))
hp0s2 : p0 ∈ ↑(affineSpan k (p '' s2))
i : ι
hi : i ∈ s1 ∩ s2

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef

⊢ hA.sqrt * hA.sqrt = A
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'

⊢ lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(LinearMap.range f)) ≤ lift.{v', v} (Module.rank R M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'

⊢ lift.{v, v'} (⨆ ι, #↑↑ι) ≤ lift.{v', v} (⨆ ι, #↑↑ι)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'

⊢ ⨆ i, lift.{v, v'} #↑↑i ≤ lift.{v', v} (⨆ ι, #↑↑ι)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'

⊢ ∀ (i : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }), lift.{v, v'} #↑↑i ≤ lift.{v', v} (⨆ ι, #↑↑ι)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
s : Set ↥(LinearMap.range f)
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

⊢ lift.{v, v'} #↑↑⟨s, li⟩ ≤ lift.{v', v} (⨆ ι, #↑↑ι)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
s : Set ↥(LinearMap.range f)
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

⊢ lift.{v, v'} #↑↑⟨s, li⟩ ≤ ?h.mk.b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
s : Set ↥(LinearMap.range f)
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

⊢ ?h.mk.b ≤ lift.{v', v} (⨆ ι, #↑↑ι)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
s : Set ↥(LinearMap.range f)
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

⊢ Cardinal.{max v' v}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R

⊢ W.Equation P ↔ P 1 ^ 2 * P 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 * P 2 + W.a₃ * P 1 * P 2 ^ 2 = P 0 ^ 3 + W.a₂ * P 0 ^ 2 * P 2 + W.a₄ * P 0 * P 2 ^ 2 + W.a₆ * P 2 ^ 3
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α

⊢ a ≤ c / b ↔ a * b ≤ c
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
hF : Presieve.IsSheaf J F
U : C
S : Sieve U
hS : S ∈ J.sieves U
x : Presieve.FamilyOfElements (sheafify J G).toPresheaf S.arrows
hx : x.Compatible
S' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)
W : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C
i₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi
i₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U
hi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)
h₁ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), (fun Y f h => ((fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)) Y f h).arrows) (W V i hi) (i₂ V i hi) ⋯ (i₁ V i hi)
h₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i

⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
hF : Presieve.IsSheaf J F
U : C
S : Sieve U
hS : S ∈ J.sieves U
x : Presieve.FamilyOfElements (sheafify J G).toPresheaf S.arrows
hx : x.Compatible
S' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)
W : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C
i₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi
i₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U
hi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)
h₁ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯) ∈ G.obj (op V)
h₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i

⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
hF : Presieve.IsSheaf J F
U : C
S : Sieve U
hS : S ∈ J.sieves U
x : Presieve.FamilyOfElements (sheafify J G).toPresheaf S.arrows
hx : x.Compatible
S' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)
W : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C
i₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi
i₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U
hi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)
h₁ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯) ∈ G.obj (op V)
h₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i
x'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows := fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯)
H : ∀ (s : (sheafify J G).toPresheaf.obj (op U)), x.IsAmalgamation s ↔ x''.IsAmalgamation ↑s

⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
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C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
hF : Presieve.IsSheaf J F
U : C
S : Sieve U
hS : S ∈ J.sieves U
x : Presieve.FamilyOfElements (sheafify J G).toPresheaf S.arrows
hx : x.Compatible
S' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)
W : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C
i₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi
i₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U
hi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)
h₁ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯) ∈ G.obj (op V)
h₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i
x'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows := fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯)
H : ∀ (s : (sheafify J G).toPresheaf.obj (op U)), x.IsAmalgamation s ↔ x''.IsAmalgamation ↑s
this : x''.Compatible

⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
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C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
hF : Presieve.IsSheaf J F
U : C
S : Sieve U
hS : S ∈ J.sieves U
x : Presieve.FamilyOfElements (sheafify J G).toPresheaf S.arrows
hx : x.Compatible
S' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)
W : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C
i₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi
i₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U
hi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)
h₁ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯) ∈ G.obj (op V)
h₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i
x'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows := fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯)
H : ∀ (s : (sheafify J G).toPresheaf.obj (op U)), x.IsAmalgamation s ↔ x''.IsAmalgamation ↑s
this : x''.Compatible
t : F.obj (op U)
ht : x''.IsAmalgamation t
ht' : ∀ (y : F.obj (op U)), (fun t => x''.IsAmalgamation t) y → y = t

⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
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C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
hF : Presieve.IsSheaf J F
U : C
S : Sieve U
hS : S ∈ J.sieves U
x : Presieve.FamilyOfElements (sheafify J G).toPresheaf S.arrows
hx : x.Compatible
S' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)
W : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C
i₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi
i₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U
hi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)
h₁ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯) ∈ G.obj (op V)
h₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i
x'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows := fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯)
H : ∀ (s : (sheafify J G).toPresheaf.obj (op U)), x.IsAmalgamation s ↔ x''.IsAmalgamation ↑s
this : x''.Compatible
t : F.obj (op U)
ht : x''.IsAmalgamation t
ht' : ∀ (y : F.obj (op U)), (fun t => x''.IsAmalgamation t) y → y = t

⊢ t ∈ (sheafify J G).obj (op U)
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C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
hF : Presieve.IsSheaf J F
U : C
S : Sieve U
hS : S ∈ J.sieves U
x : Presieve.FamilyOfElements (sheafify J G).toPresheaf S.arrows
hx : x.Compatible
S' : Sieve U := Sieve.bind S.arrows fun Y f hf => G.sieveOfSection ↑(x f hf)
W : (V : C) → (i : V ⟶ U) → S'.arrows i → C
i₁ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → V ⟶ W V i hi
i₂ : (V : C) → (i : V ⟶ U) → (hi : S'.arrows i) → W V i hi ⟶ U
hi₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), S.arrows (i₂ V i hi)
h₁ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯) ∈ G.obj (op V)
h₂ : ∀ (V : C) (i : V ⟶ U) (hi : S'.arrows i), i₁ V i hi ≫ i₂ V i hi = i
x'' : Presieve.FamilyOfElements F S'.arrows := fun V i hi => F.map (i₁ V i hi).op ↑(x (i₂ V i hi) ⋯)
H : ∀ (s : (sheafify J G).toPresheaf.obj (op U)), x.IsAmalgamation s ↔ x''.IsAmalgamation ↑s
this : x''.Compatible
t : F.obj (op U)
ht : x''.IsAmalgamation t
ht' : ∀ (y : F.obj (op U)), (fun t => x''.IsAmalgamation t) y → y = t

⊢ (Sieve.bind S.arrows fun V i hi => G.sieveOfSection ↑(x i hi)) ≤ G.sieveOfSection t