ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0

⊢ Normal F E
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E

⊢ IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E
this : FiniteDimensional F E

⊢ IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E
this : FiniteDimensional F E
hx : IsIntegral F x

⊢ IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E
this : FiniteDimensional F E
hx : IsIntegral F x
L : Type u_1 := (p * minpoly F x).SplittingField

⊢ IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E
this : FiniteDimensional F E
hx : IsIntegral F x
L : Type u_1 := (p * minpoly F x).SplittingField
hL : Splits (algebraMap F (p * minpoly F x).SplittingField) p ∧ Splits (algebraMap F (p * minpoly F x).SplittingField) (minpoly F x)

⊢ IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F E) (minpoly F x)
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p
hp : p ≠ 0
x : E
this : FiniteDimensional F E
hx : IsIntegral F x
L : Type u_1 := (p * minpoly F x).SplittingField

⊢ Polynomial.map (algebraMap F (p * minpoly F x).SplittingField) (p * minpoly F x) ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f f'✝ : M →ₗ[R] M'
g g'✝ : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
f' : M' →ₗ[R] M''
g' : M'' →ₗ[R] M'
h : B.IsAdjointPair B' f g
h' : B'.IsAdjointPair B'' f' g'
x : M
y : M''

⊢ (B'' ((f' ∘ₗ f) x)) y = (B x) ((g ∘ₗ g') y)
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b : EReal

⊢ (a * b)⁻¹ = a⁻¹ * b⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ (ENNReal.ofReal x).log = ↑(Real.log x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ ¬x ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z m : ℤ
hm : b - a = m • p

⊢ z • b - z • a = m • z • p
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Floor.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ

⊢ pure (IntCast.intCast (n - 1)) ≤ 𝓝[≤] (↑n - 1)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Floor.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ

⊢ pure (IntCast.intCast (n - 1)) ≤ 𝓝[≤] ↑(n - 1)
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f✝ : α → β
f : β → ↑(Ioo a b)

⊢ Tendsto f l atBot ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[>] a)
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f✝ : α → β
f : β → ↑(Ioo a b)

⊢ Tendsto (Subtype.val ∘ f) l (𝓝[>] a) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[>] a)
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsLowerSet α
s : Set α

⊢ IsOpen s ↔ IsLowerSet s
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β α : Type u

⊢ Infinite α ↔ ℵ₀ ≤ #α
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
l₁ l₂ l : List α

⊢ l₁ ++ l ~ l₂ ++ l ↔ l₁ ~ l₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
l₁ l₂ l : List α
p : l₁ ++ l ~ l₂ ++ l

⊢ l₁ ~ l₂
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α

⊢ 𝓝 a ⊓ 𝓟 (s ∪ t) = 𝓝 a ⊓ 𝓟 s ⊔ 𝓝 a ⊓ 𝓟 t
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : DivisionMonoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a : α
n : ℤ
h : Even n

⊢ (-1) ^ n = 1
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
h : x ^ 2 ≤ y

⊢ |x| ≤ √y
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
h : x ^ 2 ≤ y

⊢ √(x ^ 2) ≤ √y
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
s t : Multiset α
hs : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ ∅
ht : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ ∅

⊢ card s = n → card t = n → ((map f s).prod = (map f t).prod ↔ s.prod = t.prod)
-- Mathlib/Algebra/Order/Chebyshev.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Perm ι
f g : ι → α

⊢ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, f i ≤ ↑s.card * ∑ x ∈ s, f x * f x
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
s t : Finset α
a b : α

⊢ IsUnit s ↔ ∃ a, s = {a}
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
a : Bool
m : ℤ
b : Bool
n : ℤ

⊢ bitwise f (bit a m) (bit b n) = bit (f a b) (bitwise f m n)
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
a b : Bool
m n : ℕ

⊢ (bif f false false then -[Nat.bitwise (fun x y => !f x y) (Nat.bit a m) (Nat.bit b n)+1] else ↑(Nat.bitwise f (Nat.bit a m) (Nat.bit b n))) = bit (f a b) (bif f false false then -[Nat.bitwise (fun x y => !f x y) m n+1] else ↑(Nat.bitwise f m n))
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
a b : Bool
m n : ℕ

⊢ (bif f false true then -[Nat.bitwise (fun x y => !f x !y) (Nat.bit a m) (Nat.bit (!b) n)+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f x !y) (Nat.bit a m) (Nat.bit (!b) n))) = bit (f a b) (bif f false true then -[Nat.bitwise (fun x y => !f x !y) m n+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f x !y) m n))
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
a b : Bool
m n : ℕ

⊢ (bif f true false then -[Nat.bitwise (fun x y => !f (!x) y) (Nat.bit (!a) m) (Nat.bit b n)+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f (!x) y) (Nat.bit (!a) m) (Nat.bit b n))) = bit (f a b) (bif f true false then -[Nat.bitwise (fun x y => !f (!x) y) m n+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f (!x) y) m n))
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
a b : Bool
m n : ℕ

⊢ (bif f true true then -[Nat.bitwise (fun x y => !f (!x) !y) (Nat.bit (!a) m) (Nat.bit (!b) n)+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f (!x) !y) (Nat.bit (!a) m) (Nat.bit (!b) n))) = bit (f a b) (bif f true true then -[Nat.bitwise (fun x y => !f (!x) !y) m n+1] else ↑(Nat.bitwise (fun x y => f (!x) !y) m n))
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
hln : l ≤ n
k : ℕ
hk : k ∈ Ico n m

⊢ decide (l ≤ k) = true
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
hln : l ≤ n
k : ℕ
hk : k ∈ Ico n m

⊢ l ≤ k
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
s : Set ℝ≥0
hs : ¬BddAbove s

⊢ sSup s = 0
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
s : Set ℝ≥0
hs : ¬BddAbove (toReal '' s)

⊢ sSup s = 0
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
s : Set ℝ≥0
hs : ¬BddAbove (toReal '' s)

⊢ sSup (toReal '' s) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ

⊢ (1 - X ^ 2) * derivative (T R (n + 1)) = (↑n + 1) * (T R n - X * T R (n + 1))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
H₁ : (1 - X ^ 2) * U R n = X * T R (n + 1) - T R (n + 2)

⊢ (1 - X ^ 2) * derivative (T R (n + 1)) = (↑n + 1) * (T R n - X * T R (n + 1))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
H₁ : (1 - X ^ 2) * U R n = X * T R (n + 1) - T R (n + 2)
H₂ : derivative (T R (n + 1)) = ↑(n + 1) * U R (n + 1 - 1)

⊢ (1 - X ^ 2) * derivative (T R (n + 1)) = (↑n + 1) * (T R n - X * T R (n + 1))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
H₁ : (1 - X ^ 2) * U R n = X * T R (n + 1) - T R (n + 2)
H₂ : derivative (T R (n + 1)) = ↑(n + 1) * U R (n + 1 - 1)
h₁ : T R (n + 2) = 2 * X * T R (n + 1) - T R n

⊢ (1 - X ^ 2) * derivative (T R (n + 1)) = (↑n + 1) * (T R n - X * T R (n + 1))
-- Mathlib/Order/Hom/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Lattice β
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : BoundedOrder β
f✝ f : α ≃o β
a✝ : ComplementedLattice α

⊢ ComplementedLattice β
-- Mathlib/Order/Hom/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Lattice β
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : BoundedOrder β
f✝ f : α ≃o β
a✝ : ComplementedLattice β

⊢ ComplementedLattice α
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B

⊢ factorThruImage g ≫ (imageUnopOp g).inv = (image.ι g.unop).op
-- Mathlib/Data/Int/Sqrt.lean
n : ℤ

⊢ sqrt (n * n) = ↑n.natAbs
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Ker.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹⁴ : Semiring R
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : Semiring R₃
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁸ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R M₁
p : Submodule R M
q : Submodule R M₁
f : M →ₗ[R] M₁
hf : ∀ x ∈ p, f x ∈ q

⊢ ker (f.restrict hf) = ker (f.domRestrict p)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a✝ : ℝ
absorbs : Absorbent ℝ s
a : ℝ
x✝ : E

⊢ x✝ ∈ {x | gauge s x < a} ↔ x✝ ∈ ⋃ r ∈ Ioo 0 a, r • s
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
k : ℕ
x✝ : k + 2 ≠ 0
m : ℕ := (k + 2).minFac
this : (k + 2) / m < k + 2

⊢ (k + 2).primeFactorsList.prod = k + 2
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
k : ℕ
x✝ : k + 2 ≠ 0
m : ℕ := (k + 2).minFac
this : (k + 2) / m < k + 2
h₁ : (k + 2) / m ≠ 0

⊢ (k + 2).primeFactorsList.prod = k + 2
-- Mathlib/Data/W/Cardinal.lean
α : Type u
β : α → Type v
κ : Cardinal.{max u v}
hκ : (sum fun a => κ ^ lift.{u, v} #(β a)) ≤ κ

⊢ #(WType β) ≤ κ
-- Mathlib/Data/W/Cardinal.lean
α : Type u
β : α → Type v
γ : Type (max u v)
hκ : (sum fun a => #γ ^ lift.{u, v} #(β a)) ≤ #γ

⊢ #(WType β) ≤ #γ
-- Mathlib/Data/W/Cardinal.lean
α : Type u
β : α → Type v
γ : Type (max u v)
hκ : (sum fun a => #γ ^ lift.{max u v, v} #(β a)) ≤ #γ

⊢ #(WType β) ≤ #γ
-- Mathlib/Data/W/Cardinal.lean
α : Type u
β : α → Type v
γ : Type (max u v)
hκ : (sum fun a => lift.{v, max v u} #γ ^ lift.{max u v, v} #(β a)) ≤ #γ

⊢ #(WType β) ≤ #γ
-- Mathlib/Data/W/Cardinal.lean
α : Type u
β : α → Type v
γ : Type (max u v)
hκ : Nonempty ((i : α) × (β i → γ) ↪ γ)

⊢ #(WType β) ≤ #γ
-- Mathlib/Data/W/Cardinal.lean
α : Type u
β : α → Type v
γ : Type (max u v)
hκ : (i : α) × (β i → γ) ↪ γ

⊢ #(WType β) ≤ #γ
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝ : S.HasHomology

⊢ S.leftRightHomologyComparison = S.leftHomologyIso.hom ≫ S.rightHomologyIso.inv
-- Mathlib/Data/Multiset/FinsetOps.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t u : Multiset α

⊢ s ≤ t.ndinter u ↔ s ≤ t ∧ s ⊆ u
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
ι : Type u_1
f : ι → R[X]
m : Multiset ι
hm : m.Nodup

⊢ { val := m, nodup := hm }.prod f ≠ 0 → ({ val := m, nodup := hm }.prod f).roots = { val := m, nodup := hm }.val.bind fun i => (f i).roots
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
a : ℕ
l : List ℕ
x : Γ'
h : x ∈ trList (a :: l)

⊢ x ≠ Γ'.consₗ
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
a : ℕ
l : List ℕ
x : Γ'
h : x ∈ trNat a ∨ x = Γ'.cons ∨ x ∈ trList l

⊢ x ≠ Γ'.consₗ
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ

⊢ count p n = (filter p (range n)).card
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ

⊢ (List.filter (fun b => decide (p b)) (List.range n)).length = (filter p (range n)).card
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
f : G →* N

⊢ Injective ⇑f.rangeRestrict ↔ Injective ⇑f
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η

⊢ MeasurableSet {a | κ a ⟂ₘ η a}
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η

⊢ MeasurableSet {a | (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0}
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace X
f : X → Y
a : X
b : Y

⊢ Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 b) ↔ ∀ (u : ℕ → X), Tendsto u atTop (𝓝 a) → Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 b)
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace X
f : X → Y
a : X
b : Y
h : ∀ (u : ℕ → X), Tendsto u atTop (𝓝 a) → Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 b)

⊢ ∀ (ib : Set Y), b ∉ ib ∧ IsClosed ib → ∃ ia, (a ∉ ia ∧ IsClosed ia) ∧ ∀ x ∈ iaᶜ, f x ∈ ibᶜ
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace X
f : X → Y
a : X
b : Y
h : ∀ (u : ℕ → X), Tendsto u atTop (𝓝 a) → Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 b)
s : Set Y
hbs : b ∉ s
hsc : IsClosed s

⊢ ∃ ia, (a ∉ ia ∧ IsClosed ia) ∧ ∀ x ∈ iaᶜ, f x ∈ sᶜ
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace X
f : X → Y
a : X
b : Y
h : ∀ (u : ℕ → X), Tendsto u atTop (𝓝 a) → Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 b)
s : Set Y
hbs : b ∉ s
hsc : IsClosed s

⊢ a ∈ closure (f ⁻¹' s) → b ∈ s
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace X
f : X → Y
a : X
b : Y
h : ∀ (u : ℕ → X), Tendsto u atTop (𝓝 a) → Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 b)
s : Set Y
hbs : b ∉ s
hsc : IsClosed s

⊢ a ∈ seqClosure (f ⁻¹' s) → b ∈ s
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace X
f : X → Y
a : X
b : Y
h : ∀ (u : ℕ → X), Tendsto u atTop (𝓝 a) → Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 b)
s : Set Y
hbs : b ∉ s
hsc : IsClosed s
u : ℕ → X
hus : ∀ (n : ℕ), u n ∈ f ⁻¹' s
hu : Tendsto u atTop (𝓝 a)

⊢ b ∈ s
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
p : ℕ
hp : 1 < p

⊢ ‖f p‖ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
p : ℕ
hp : 1 < p

⊢ Summable fun n => f p ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
p : ℕ
hp : 1 < p

⊢ Summable fun n => f (p ^ n)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s t : Set α
S : Set (Set α)
hs : t ∈ S
h : s ∩ ⋃₀ S = ∅

⊢ s ∩ t ⊆ s ∩ ⋃₀ S
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
x : E

⊢ (k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c) ((fun x => k • x +ᵥ c) x) = x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
p : P

⊢ (fun x => k • x +ᵥ c) ((k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c) p) = p
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
x y : E

⊢ edist ({ toFun := fun x => k • x +ᵥ c, invFun := k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x) ({ toFun := fun x => k • x +ᵥ c, invFun := k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y) = ↑‖k‖₊ * edist x y
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
x y : E

⊢ edist (k • x) (k • y) = ↑‖k‖₊ * edist x y
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₃
σ : R →+* S
F : Type u_17
inst✝¹ : FunLike F M M₃
inst✝ : SemilinearMapClass F σ M M₃
f g : F
h : ↑f = ↑g

⊢ f = g
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₃
σ : R →+* S
F : Type u_17
inst✝¹ : FunLike F M M₃
inst✝ : SemilinearMapClass F σ M M₃
f g : F
h : ↑f = ↑g

⊢ ∀ (x : M), f x = g x
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₃
σ : R →+* S
F : Type u_17
inst✝¹ : FunLike F M M₃
inst✝ : SemilinearMapClass F σ M M₃
f g : F
h : ↑f = ↑g
m : M

⊢ f m = g m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
s : SignedMeasure α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA₁ : MeasurableSet A
hB₁ : MeasurableSet B
hA₂ : ↑s A ≤ 0
hB₂ : ↑s B ≤ 0
hAB : ↑s (A ∪ B) = 0

⊢ ↑s A = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
s : SignedMeasure α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA₁ : MeasurableSet A
hB₁ : MeasurableSet B
hA₂ : ↑s A ≤ 0
hB₂ : ↑s B ≤ 0
hAB : ↑s A + ↑s B = 0

⊢ ↑s A = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α
f✝ : α → β
n : ℕ
s : Finset α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq β
y : β

⊢ (filter (fun x => f x = y) s).card ≠ 0 ↔ y ∈ image f s
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β

⊢ ¬MonotoneOn f s ∧ ¬AntitoneOn f s ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, ∃ c ∈ s, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)