ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)

⊢ Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a • b)) • f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) = g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
H₁ : ∀ (a : α), π (a • b) = π b

⊢ Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), g (Quotient.mk' (a • b)) • f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b) = g (Quotient.mk'' b) • Quotient.lift (fun b => ∑' (a : α), f (a • b)) ⋯ (Quotient.mk'' b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R✝ : Type u_7
R₂ : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M : Type u_11
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : T2Space M
R : Type u_12
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : ContinuousConstSMul R M
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
f : β → M
g : Quotient (orbitRel α β) → R
x : Quotient (orbitRel α β)
b : β
π : β → Quotient (orbitRel α β) := Quotient.mk (orbitRel α β)
H₁ : ∀ (a : α), π (a • b) = π b

⊢ ∑' (a : α), g (π b) • f (a • b) = g (π b) • ∑' (a : α), f (a • b)
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R

⊢ (x ◃⁻¹ x) ◃ y = x ◃ y
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R
h : (op x ◃ op x) ◃⁻¹ op y = op x ◃⁻¹ op y

⊢ (x ◃⁻¹ x) ◃ y = x ◃ y
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : x' ≤ x

⊢ (x.insertLeft x').Numeric
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : (∀ (i : x'.LeftMoves), x'.moveLeft i < x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), x' < x.moveRight j

⊢ (x.insertLeft x').Numeric
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x' : PGame
x'_num : x'.Numeric
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
h : (∀ (i : x'.LeftMoves), x'.moveLeft i < mk xl xr xL xR) ∧ ∀ (j : (mk xl xr xL xR).RightMoves), x' < (mk xl xr xL xR).moveRight j
x_num : match mk xl xr xL xR with | mk α β L R => (∀ (i : α) (j : β), L i < R j) ∧ (∀ (i : α), (L i).Numeric) ∧ ∀ (j : β), (R j).Numeric

⊢ match (mk xl xr xL xR).insertLeft x' with | mk α β L R => (∀ (i : α) (j : β), L i < R j) ∧ (∀ (i : α), (L i).Numeric) ∧ ∀ (j : β), (R j).Numeric
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x' : PGame
x'_num : x'.Numeric
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
h : (∀ (i : x'.LeftMoves), x'.moveLeft i < mk xl xr xL xR) ∧ ∀ (j : (mk xl xr xL xR).RightMoves), x' < (mk xl xr xL xR).moveRight j
x_num : (∀ (i : xl) (j : xr), xL i < xR j) ∧ (∀ (i : xl), (xL i).Numeric) ∧ ∀ (j : xr), (xR j).Numeric

⊢ ((∀ (a : xl) (j : xr), xL a < xR j) ∧ ∀ (j : xr), x' < xR j) ∧ ((∀ (a : xl), (xL a).Numeric) ∧ x'.Numeric) ∧ ∀ (j : xr), (xR j).Numeric
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → F
u : Fˣ

⊢ toAffine W ((fun m => m • Q) u) = toAffine W Q
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Identities.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R

⊢ (x * ↑p).coeff 0 = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
s✝ s t : Set (Sym2 V)
v w : V

⊢ (fromEdgeSet (s ∪ t)).Adj v w ↔ (fromEdgeSet s ⊔ fromEdgeSet t).Adj v w
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
g : M₂ →ₗ[R] M
x✝ : ι → M₂

⊢ (compLinearMap 0 g) x✝ = 0 x✝
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
p : ZFSet → Prop
x y : ZFSet

⊢ Hereditarily p x ↔ p x ∧ ∀ y ∈ x, Hereditarily p y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : LinearOrderedField R
x : V → R

⊢ (((toLinearMap₂' R) (lapMatrix R G)) x) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Adj i j → x i = x j
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
hn : Squarefree n

⊢ ∏ p ∈ n.primeFactors, p = n
-- Mathlib/Data/Nat/ChineseRemainder.lean
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l l' : List ι
hl : l.Perm l'
hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0
co : List.Pairwise (Coprime on s) l

⊢ ↑(chineseRemainderOfList a s l co) = ↑(chineseRemainderOfList a s l' ⋯)
-- Mathlib/Data/Nat/ChineseRemainder.lean
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l l' : List ι
hl : l.Perm l'
hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0
co : List.Pairwise (Coprime on s) l
z : { k // ∀ i ∈ l', k ≡ a i [MOD s i] } := chineseRemainderOfList a s l' ⋯

⊢ ↑(chineseRemainderOfList a s l co) = ↑(chineseRemainderOfList a s l' ⋯)
-- Mathlib/Data/Nat/ChineseRemainder.lean
ι : Type u_1
a s : ι → ℕ
l l' : List ι
hl : l.Perm l'
hs : ∀ i ∈ l, s i ≠ 0
co : List.Pairwise (Coprime on s) l
z : { k // ∀ i ∈ l', k ≡ a i [MOD s i] } := chineseRemainderOfList a s l' ⋯
hlp : (List.map s l).prod = (List.map s l').prod

⊢ ↑(chineseRemainderOfList a s l co) = ↑(chineseRemainderOfList a s l' ⋯)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f : ι → ℝ≥0
n : ℕ

⊢ ↑(∑ x ∈ s, f x) ^ (n + 1) / ↑s.card ^ n ≤ ↑(∑ x ∈ s, f x ^ (n + 1))
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} E
inst✝ : L.IsLocalization W
F : C ⥤ E
F' : D ⥤ E
h : Lifting L W F F'
X : C

⊢ (liftNatTrans L W F F F' F' (𝟙 F)).app (L.obj X) = (𝟙 F').app (L.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_6, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} E
inst✝ : L.IsLocalization W
F : C ⥤ E
F' : D ⥤ E
h : Lifting L W F F'
X : C

⊢ 𝟙 ((L ⋙ F').obj X) = 𝟙 (F'.obj (L.obj X))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
n : ℤ

⊢ ‖x‖ < ↑p ^ n ↔ ‖x‖ ≤ ↑p ^ (n - 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : 𝓝[s \ {x}] x = ⊥

⊢ derivWithin f s x = 0
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
q : ℚ≥0

⊢ ↑q * ↑q.den = ↑q.num
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
q : ℚ≥0

⊢ ↑q * ↑↑(↑q).den = ↑(↑q).num
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G

⊢ IsPGroup p G ↔ ∃ n, Nat.card G = p ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0

⊢ IsPGroup p G ↔ ∃ n, Nat.card G = p ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G

⊢ ∃ n, Nat.card G = p ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G

⊢ ∀ q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList, q = p
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList

⊢ q = p
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
hq1 : Nat.Prime q
hq2 : q ∣ Nat.card G

⊢ q = p
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
hq1 : Nat.Prime q
hq2 : q ∣ Nat.card G
this : Fact (Nat.Prime q)

⊢ q = p
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
hq1 : Nat.Prime q
hq2 : q ∣ Nat.card G
this : Fact (Nat.Prime q)
g : G
hg : orderOf g = q

⊢ q = p
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite G
hG : Nat.card G ≠ 0
h : IsPGroup p G
q : ℕ
hq : q ∈ (Nat.card G).primeFactorsList
hq1 : Nat.Prime q
hq2 : q ∣ Nat.card G
this : Fact (Nat.Prime q)
g : G
hg : orderOf g = q
k : ℕ
hk : orderOf g = p ^ k

⊢ q = p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Ring S
r : S

⊢ (X - C r).leadingCoeff = 1
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s t : Set α
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
y : α
hy : y ∈ Icc a b ∩ t

⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s t : Set α
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
y : α
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
h : x ≤ y

⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s t : Set α
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
y : α
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
h : y ≤ x

⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α

⊢ LipschitzWith 1 negPart
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f : (x : α) → p x → β
g : (x : α) → ¬p x → β
x : { x // x ∈ filter p s }

⊢ p ↑x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f : (x : α) → p x → β
g : (x : α) → ¬p x → β
x : { x // x ∈ filter (fun x => ¬p x) s }

⊢ ¬p ↑x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f : (x : α) → p x → β
g : (x : α) → ¬p x → β

⊢ (∏ x ∈ s, if hx : p x then f x hx else g x hx) = (∏ x ∈ (filter p s).attach, f ↑x ⋯) * ∏ x ∈ (filter (fun x => ¬p x) s).attach, g ↑x ⋯
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
m n : ℕ

⊢ x ^ m * x ^ n * p.smeval x = x ^ m * (x ^ n * p.smeval x)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}

⊢ a / 1 = a
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
a b : ℝ≥0
h : a < b

⊢ a / b < 1
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
a b : ℝ≥0
h : a < b

⊢ b ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
p : α
hp : p ≠ 0

⊢ (span {p}).IsPrime ↔ Prime p
-- Mathlib/Data/List/Lattice.lean
α : Type u_1
l l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l₁ l₂ : List α

⊢ (b :: l₁).bagInter l₂ <+ b :: l₁
-- Mathlib/Data/List/Lattice.lean
α : Type u_1
l l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l₁ l₂ : List α
h : b ∈ l₂

⊢ b :: l₁.bagInter (l₂.erase b) <+ b :: l₁
-- Mathlib/Data/List/Lattice.lean
α : Type u_1
l l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
l₁ l₂ : List α
h : ¬b ∈ l₂

⊢ l₁.bagInter l₂ <+ b :: l₁
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
f : σ → τ
h : Injective f

⊢ ((rename f) p).degrees = Multiset.map f p.degrees
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.degree < P.degree
hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0

⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop atBot
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.degree < P.degree
hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0
hQ : Q ≠ 0

⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop atBot
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0
hQ : Q ≠ 0

⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop atBot
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0
hQ : Q ≠ 0

⊢ Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop atBot
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0
hQ : Q ≠ 0

⊢ Tendsto (fun x => x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hneg : P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff < 0
hQ : Q ≠ 0

⊢ 0 < ↑P.natDegree - ↑Q.natDegree
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ a ∈ Icc a b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : L ≤ separableClosure F E
x : ↥L

⊢ IsSeparable F x
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α

⊢ image (fun x => c + x) (Ioo a b) = Ioo (c + a) (c + b)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
b p : ℕ
hp : p ∈ b.primeFactorsList
h₁✝ h₂ : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p) := { out := h₂ }

⊢ legendreSym p a = legendreSym p (a % ↑b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hf : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hu : Tendsto u lt la
hv : Tendsto v lt la

⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in v t..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hns : μ s ≠ 0
hnt : μ s ≠ ⊤
hu : IsUniform X s ℙ μ
A : Set E
hA : MeasurableSet A

⊢ ℙ (X ⁻¹' A) = μ (s ∩ A) / μ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/PerfectPairing.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R M
x✝ : N

⊢ x✝ ∈ (map e.flip p).dualCoannihilator ↔ x✝ ∈ map e.symm p.dualAnnihilator
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : I ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I

⊢ ((colimitCoyonedaHomIsoLimit' D F).hom ≫ limit.π (D ⋙ F ⋙ uliftFunctor.{u₁, u₂}) i) f = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : I ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I

⊢ ((colimitHomIsoLimitYoneda' (D.op ⋙ coyoneda) F).hom ≫ limit.π ((D.op ⋙ coyoneda).rightOp ⋙ yoneda.obj F) i ≫ (isoWhiskerLeft (D ⋙ Prod.sectl C F) (coyonedaLemma C)).hom.app i) f = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : I ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I

⊢ ((coyoneda.map (colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).op).app F ≫ (isoWhiskerLeft (D ⋙ Prod.sectl C F) (coyonedaLemma C)).hom.app i) f = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : I ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I

⊢ Equiv.ulift.symm (coyonedaEquiv (colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i) ≫ f)) = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
D : I ⥤ C
F : C ⥤ Type u₂
inst✝¹ : HasColimit (D.op ⋙ coyoneda)
inst✝ : HasLimitsOfShape I (Type (max u₁ u₂))
f : colimit (D.op ⋙ coyoneda) ⟶ F
i : I

⊢ Equiv.ulift.symm (f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i)))) = { down := f.app (D.obj i) ((colimit.ι (D.op ⋙ coyoneda) (op i)).app (D.obj i) (𝟙 (D.obj i))) }
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b✝ : α
f : β → α
a b : β

⊢ ⨆ x ∈ {a, b}, f x = f a ⊔ f b
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/TFAE.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R

⊢ [DiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime, Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1, ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/TFAE.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1

⊢ [DiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime, Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1, ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/TFAE.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1

⊢ [DiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime, Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1, ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/TFAE.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this✝ : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1
this : maximalIdeal R ≠ ⊥

⊢ [DiscreteValuationRing R, ValuationRing R, IsDedekindDomain R, IsIntegrallyClosed R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime, Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R), finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1, ∀ (I : Ideal R), I ≠ ⊥ → ∃ n, I = maximalIdeal R ^ n].TFAE
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/TFAE.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this✝ : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1
this : maximalIdeal R ≠ ⊥

⊢ DiscreteValuationRing R ↔ IsPrincipalIdealRing R
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/TFAE.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R K
inst✝³ : IsFractionRing R K
inst✝² : IsNoetherianRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsDomain R
h : ¬IsField R
this✝ : finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) = 1 ↔ finrank (ResidueField R) (CotangentSpace R) ≤ 1
this : maximalIdeal R ≠ ⊥

⊢ (∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) ↔ ∀ (P : Ideal R), P ≠ ⊥ → P.IsPrime → P = maximalIdeal R
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Set α → Filter β
hg : ∀ (s t : Set α), g (s ∩ t) = g s ⊓ g t

⊢ (iInf f).lift g = ⨅ i, (f i).lift g