ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f' g'
c : ℝ
cpos : 0 < c

⊢ IsBigOWith c l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f' g'
c : ℝ
cpos : 0 < c
c' : ℝ
c'pos : c' > 0
hc' : IsBigOWith c' l k₁ k₂

⊢ IsBigOWith c l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Sum/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β

⊢ x.getRight? = none ↔ x.isLeft = true
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

⊢ (p - 1) * padicValNat p n ! = n - (p.digits n).sum
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

⊢ (p - 1) * ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (log p n).succ.succ, n / p ^ i = n - (p.digits n).sum
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

⊢ (p - 1) * ∑ i ∈ Finset.Ico (0 + 1) (log p n).succ.succ, n / p ^ i = n - (p.digits n).sum
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a : ZNum

⊢ ↑(0 + a) = ↑0 + ↑a
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
b : ZNum

⊢ ↑(b + 0) = ↑b + ↑0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum

⊢ ↑(pos a + neg b) = ↑(pos a) + ↑(neg b)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum

⊢ ↑b + -↑a = -↑a + ↑b
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum

⊢ ↑↑b + ↑(-↑a) = ↑(-↑a + ↑b)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
a b : PosNum

⊢ -↑(a + b) = -↑a + -↑b
-- Mathlib/RingTheory/NormTrace.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Module.Free A B
inst✝ : Module.Finite A B
a : A
x : B

⊢ ∃ r, (norm A) (1 + a • x) = 1 + (trace A B) x * a + r * a ^ 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasureProd.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β

⊢ (μ.prod ν).map ⋯ = μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasureProd.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β

⊢ ↑((μ.prod ν).map ⋯) = ↑μ
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
s✝ : Finset ι
f : ι → Set α
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
hs : (s.sup f).PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ i ∈ s, (f i).PartiallyWellOrderedOn r

⊢ ((cons a s ha).sup f).PartiallyWellOrderedOn r ↔ ∀ i ∈ cons a s ha, (f i).PartiallyWellOrderedOn r
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree

⊢ σ ((aeval a) p) = (fun x => eval x p) '' σ a
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)

⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod

⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0

⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0
lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0

⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0
lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0
lead_unit : IsUnit ↑((Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 (C k - p).leadingCoeff lead_ne))

⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : k ∈ σ ((aeval a) p)
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0
lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0
lead_unit : IsUnit ↑((Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 (C k - p).leadingCoeff lead_ne))
p_a_eq : (aeval a) (C k - p) = ↑ₐ k - (aeval a) p

⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hk : ¬(IsUnit (↑ₐ (C k - p).leadingCoeff) ∧ IsUnit ((aeval a) (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod))
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0
lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0
lead_unit : IsUnit ↑((Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 (C k - p).leadingCoeff lead_ne))
p_a_eq : (aeval a) (C k - p) = ↑ₐ k - (aeval a) p

⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0
lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0
lead_unit : IsUnit ↑((Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 (C k - p).leadingCoeff lead_ne))
p_a_eq : (aeval a) (C k - p) = ↑ₐ k - (aeval a) p
hk : ∃ k_1 ∈ σ a, eval k_1 (C k - p) = 0

⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hdeg : 0 < p.degree
k : 𝕜
hprod : C k - p = C (C k - p).leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) (C k - p).roots).prod
h_ne : C k - p ≠ 0
lead_ne : (C k - p).leadingCoeff ≠ 0
lead_unit : IsUnit ↑((Units.map ↑↑ₐ) (Units.mk0 (C k - p).leadingCoeff lead_ne))
p_a_eq : (aeval a) (C k - p) = ↑ₐ k - (aeval a) p
r : 𝕜
r_mem : r ∈ σ a
r_ev : eval r (C k - p) = 0

⊢ k ∈ (fun x => eval x p) '' σ a
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
p : ℕ
inst✝¹⁰ : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : CharP R p
P : Type u₃
inst✝⁷ : CommSemiring P
inst✝⁶ : CharP P p
inst✝⁵ : PerfectRing P p
S : Type u₂
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : CharP S p
Q : Type u₄
inst✝² : CommSemiring Q
inst✝¹ : CharP Q p
inst✝ : PerfectRing Q p
φ : R →+* S
f : Ring.Perfection R p

⊢ (Perfection.coeff S p 0) ((map p ⋯ ⋯ φ) f) = (Perfection.coeff S p 0) ((Perfection.map p φ) f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MetrizableSpace X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : C(X, E)
s : ι → Compacts X
hf : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal
hs : ⋃ i, ↑(s i) = univ

⊢ Integrable (⇑f) μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝ : DecidableEq M₁
f : M₁ →ₗ[R] M₁
k i : n

⊢ (toMatrixAlgEquiv v₁.reindexRange) f ⟨v₁ k, ⋯⟩ ⟨v₁ i, ⋯⟩ = (toMatrixAlgEquiv v₁) f k i
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α

⊢ x ∈ closedBall y ε ↔ y ∈ closedBall x ε
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr

⊢ (k ≠ 0 → R' < (ω ^ a0.repr) ^ succ ↑k) ∧ (ω ^ a0.repr) ^ ↑k * (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr) + R' = (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr + ↑m) ^ succ ↑k
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
No : (a0.oadd n a').NF

⊢ (k ≠ 0 → R' < (ω ^ a0.repr) ^ succ ↑k) ∧ (ω ^ a0.repr) ^ ↑k * (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr) + R' = (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr + ↑m) ^ succ ↑k
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R

⊢ (k + 1 ≠ 0 → R' < (ω ^ a0.repr) ^ succ ↑(k + 1)) ∧ (ω ^ a0.repr) ^ ↑(k + 1) * (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr) + R' = (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr + ↑m) ^ succ ↑(k + 1)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'

⊢ (k + 1 ≠ 0 → R' < (ω ^ a0.repr) ^ succ ↑(k + 1)) ∧ (ω ^ a0.repr) ^ ↑(k + 1) * (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr) + R' = (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr + ↑m) ^ succ ↑(k + 1)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k

⊢ (k + 1 ≠ 0 → R' < (ω ^ a0.repr) ^ succ ↑(k + 1)) ∧ (ω ^ a0.repr) ^ ↑(k + 1) * (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr) + R' = (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr + ↑m) ^ succ ↑(k + 1)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)

⊢ (ω ^ a0.repr) ^ ↑(k + 1) * (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr) + R' = (ω ^ a0.repr * ↑↑n + a'.repr + ↑m) ^ succ ↑(k + 1)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
a0 a' : ONote
N0 : a0.NF
Na' : a'.NF
m : ℕ
d : ω ∣ a'.repr
e0 : a0.repr ≠ 0
h : a'.repr + ↑m < ω ^ a0.repr
n : ℕ+
No : (a0.oadd n a').NF
k : ℕ
R' : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) (k + 1) m).repr
R : Ordinal.{0} := (opowAux 0 a0 (a0.oadd n a' * ↑m) k m).repr
ω0 : Ordinal.{0} := ω ^ a0.repr
α' : Ordinal.{0} := ω0 * ↑↑n + a'.repr
IH : (k ≠ 0 → R < ω0 ^ succ ↑k) ∧ ω0 ^ ↑k * α' + R = (α' + ↑m) ^ succ ↑k
RR : R' = ω0 ^ ↑k * (α' * ↑m) + R
α0 : 0 < α'
ω00 : 0 < ω0 ^ ↑k
Rl : R < ω ^ (a0.repr * succ ↑k)

⊢ ω0 ^ succ ↑k * α' + (ω0 ^ ↑k * α' * ↑m + R) = (ω0 ^ ↑k * α' + R) * α' + (ω0 ^ ↑k * α' + R) * ↑m
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsLindelof s

⊢ s.Countable
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsLindelof s
this : ∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x

⊢ s.Countable
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsLindelof s
this : ∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x
t : Set X
ht : t.Countable
left✝ : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hssubt : s ⊆ ⋃ x ∈ t, {x}

⊢ s.Countable
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
inst✝ : DiscreteTopology X
hs : IsLindelof s
this : ∀ (x : X), {x} ∈ 𝓝 x
t : Set X
ht : t.Countable
left✝ : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hssubt : s ⊆ t

⊢ s.Countable
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
this : Fintype α

⊢ 1 < Nat.card α ↔ Nontrivial α
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : Module R X
n : ℕ
x : OreLocalization S X
inst : Module ℕ (OreLocalization S X) := instModuleOfIsScalarTower

⊢ n • x = n • x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t✝ u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s t : Set H
x : H
f : H → H'
hu : s =ᶠ[𝓝 x] t

⊢ P f s x ↔ P f t x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t✝ u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s t : Set H
x : H
f : H → H'
hu : s =ᶠ[𝓝 x] t
o : Set H
host : o ⊆ {x | (fun x => x ∈ s ↔ x ∈ t) x}
ho : IsOpen o
hxo : x ∈ o

⊢ P f s x ↔ P f t x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t✝ u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s t : Set H
x : H
f : H → H'
hu : s =ᶠ[𝓝 x] t
o : Set H
ho : IsOpen o
hxo : x ∈ o
host : s ∩ o = t ∩ o

⊢ P f s x ↔ P f t x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : G.Adj v w
v✝ : V
hv : v✝ ∈ (G.subgraphOfAdj h).verts

⊢ ∃! w_1, (G.subgraphOfAdj h).Adj v✝ w_1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
h : G.Adj v w
v✝ : V
hv : v✝ = v ∨ v✝ = w

⊢ ∃! w_1, (G.subgraphOfAdj h).Adj v✝ w_1
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p : FractionRing K[X]
h : { toFractionRing := p } ≠ 0

⊢ { toFractionRing := p } * { toFractionRing := p }⁻¹ = 1
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p : FractionRing K[X]
h : { toFractionRing := p } ≠ 0
this : p ≠ 0

⊢ { toFractionRing := p } * { toFractionRing := p }⁻¹ = 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Limits.lean
ι : Type u
f : ι → Scheme
i j : ι
h : i ≠ j
U : (∐ f).Opens
hU : U ≤ Scheme.Hom.opensRange (Sigma.ι f i)
hU' : U ≤ Scheme.Hom.opensRange (Sigma.ι f j)
x : ↑↑(f i).toPresheafedSpace
hx : (Sigma.ι f i).val.base x ∈ ↑U
y : ↑↑(f j).toPresheafedSpace
hy : (Sigma.ι f j).val.base y = (Sigma.ι f i).val.base x

⊢ (Sigma.ι f i).val.base x ∈ ↑⊥
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Limits.lean
ι : Type u
f : ι → Scheme
i : ι
U : (∐ f).Opens
hU : U ≤ Scheme.Hom.opensRange (Sigma.ι f i)
x : ↑↑(f i).toPresheafedSpace
hx : (Sigma.ι f i).val.base x ∈ ↑U
h : i ≠ i
hU' : U ≤ Scheme.Hom.opensRange (Sigma.ι f i)
hy : (Sigma.ι f i).val.base x = (Sigma.ι f i).val.base x

⊢ (Sigma.ι f i).val.base x ∈ ↑⊥
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M

⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M

⊢ x ∈ ⨆ i, S i → ∃ i, x ∈ S i
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M

⊢ x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i)) → ∃ i, x ∈ S i
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))

⊢ ∀ (x y : M), (∃ i, x ∈ S i) → (∃ i, y ∈ S i) → ∃ i, x * y ∈ S i
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x✝ : M
hx : x✝ ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))
x y : M
i : ι
hi : x ∈ S i
j : ι
hj : y ∈ S j
k : ι
hki : S i ≤ S k
hkj : S j ≤ S k

⊢ ∃ i, x * y ∈ S i
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
l : List α

⊢ filterMap f l = l.bind fun a => (f a).toList
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
a : α
l : List α
ih : filterMap f l = l.bind fun a => (f a).toList

⊢ (match f a with | none => filterMap f l | some b => b :: filterMap f l) = (f a).toList ++ l.bind fun a => (f a).toList
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.63038, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
φ : S₁ ⟶ S₂
hf₁ : S₁.f = 0
c₁ : KernelFork S₁.g
hc₁ : IsLimit c₁
hf₂ : S₂.f = 0
c₂ : KernelFork S₂.g
hc₂ : IsLimit c₂
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
comm : Fork.ι c₁ ≫ φ.τ₂ = f ≫ Fork.ι c₂

⊢ φ.τ₂ ≫ (RightHomologyData.ofIsLimitKernelFork S₂ hf₂ c₂ hc₂).g' = (RightHomologyData.ofIsLimitKernelFork S₁ hf₁ c₁ hc₁).g' ≫ φ.τ₃
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
L L' : E →L[𝕜] F
f : ↥(Lp E p μ)

⊢ (compLpL p μ (L + L')) f = (compLpL p μ L + compLpL p μ L') f
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ θ.sin = 0 ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ θ.sin = sin 0 ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ θ = 0 ∨ θ + 0 = ↑π ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)

⊢ (s.mongePlane i₁ i₂).direction = (Submodule.span ℝ {s.points i₁ -ᵥ s.points i₂})ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y

⊢ Continuous f ↔ ∀ (x : X) (g : Ultrafilter X), ↑g ≤ 𝓝 x → Tendsto f (↑g) (𝓝 (f x))
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteSemilatticeInf α
s t : Set α
b : α

⊢ IsGLB s (sInf s)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z : ℝ≥0∞
h1 : y ≠ 0
h2 : y ≠ ⊤

⊢ x * y⁻¹ ≤ z ↔ x ≤ z * y
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
g : α → β
hf : TendstoUniformlyOn F f p s
hfg : EqOn f g s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β

⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (g x, F n x) ∈ u
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : Limits.IsInitial X
M : PresheafOfModules R
c₁ c₂ : Cᵒᵖ
f : c₁ ⟶ c₂
r : ↑(R.obj X)
m : ↑((ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c₁))).obj (M.obj c₁))

⊢ { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯ }.toFun (r • m) = (RingHom.id ↑(R.obj X)) r • { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯ }.toFun m