ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/ExtendFrom.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B

⊢ ContinuousWithinAt φ B x
-- Mathlib/Topology/ExtendFrom.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B

⊢ ∀ V' ∈ 𝓝 (φ x), IsClosed V' → φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝[B] x
-- Mathlib/Topology/ExtendFrom.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'

⊢ φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝[B] x
-- Mathlib/Topology/ExtendFrom.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'

⊢ φ ⁻¹' V' ∈ 𝓝[B] x
-- Mathlib/Topology/ExtendFrom.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'

⊢ ∀ y ∈ V ∩ B, φ y ∈ V'
-- Mathlib/Topology/ExtendFrom.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
y : X
hyV : y ∈ V
hyB : y ∈ B

⊢ φ y ∈ V'
-- Mathlib/Topology/ExtendFrom.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
y : X
hyV : y ∈ V
hyB : y ∈ B
this : (𝓝[A] y).NeBot

⊢ φ y ∈ V'
-- Mathlib/Topology/ExtendFrom.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
y : X
hyV : y ∈ V
hyB : y ∈ B
this : (𝓝[A] y).NeBot
limy : Tendsto f (𝓝[A] y) (𝓝 (φ y))

⊢ φ y ∈ V'
-- Mathlib/Topology/ExtendFrom.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
y : X
hyV : y ∈ V
hyB : y ∈ B
this : (𝓝[A] y).NeBot
limy : Tendsto f (𝓝[A] y) (𝓝 (φ y))
hVy : V ∈ 𝓝 y

⊢ φ y ∈ V'
-- Mathlib/Topology/ExtendFrom.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A B : Set X
hB : B ⊆ closure A
hf : ∀ x ∈ B, ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)
φ : X → Y := extendFrom A f
x : X
x_in : x ∈ B
V' : Set Y
V'_in : V' ∈ 𝓝 (φ x)
V'_closed : IsClosed V'
V : Set X
V_in : V ∈ 𝓝 x
V_op : IsOpen V
hV : V ∩ A ⊆ f ⁻¹' V'
y : X
hyV : y ∈ V
hyB : y ∈ B
this✝ : (𝓝[A] y).NeBot
limy : Tendsto f (𝓝[A] y) (𝓝 (φ y))
hVy : V ∈ 𝓝 y
this : V ∩ A ∈ 𝓝[A] y

⊢ φ y ∈ V'
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x = (b ^ 2 - a ^ 2) / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
this : ∫ (x : ℝ) in a..b, x ^ 1 = (b ^ (1 + 1) - a ^ (1 + 1)) / (↑1 + 1)

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x = (b ^ 2 - a ^ 2) / 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] E'
x : E
y : E'

⊢ ⟪f x, y⟫_𝕜 = ⟪x, f.symm y⟫_𝕜
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
n : ℕ
v : Fin n → V

⊢ LinearIndependent K (Fin.snoc v x) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m✝ n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x : α✝ (last n✝)
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.castSucc
i : Fin n✝
y✝ : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n✝)
n m : ℕ
α : Type u_1
xs : Fin n → α
y : α
ys : Fin m → α

⊢ append xs (cons y ys) = append (snoc xs y) ys ∘ cast ⋯
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m✝ n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x : α✝ (last n✝)
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.castSucc
i : Fin n✝
y✝ : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n✝)
n m : ℕ
α : Type u_1
xs : Fin n → α
y : α
ys : Fin m → α

⊢ append xs (cons y ys) = (append xs (cons y ys) ∘ cast ⋯) ∘ cast ⋯
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m✝ n✝ a b c d m n : ℕ
hm1 : m % 2 = 1
hn1 : n % 2 = 1
hm0 : 0 < m
hn0 : 0 < n

⊢ 2 * (m * n / 2) = 2 * (m * (n / 2) + m / 2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
ha : μ {a} ≠ ⊤
hb : μ {b} ≠ ⊤

⊢ IntegrableOn f (Icc a b) μ ↔ IntegrableOn f (Ioo a b) μ
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : hl₁.IsPreservedBy F
inst✝ : hl₂.IsPreservedBy F
γ : LeftHomologyMapData φ hl₁ hl₂

⊢ F.map (cyclesMap' φ hl₁ hl₂) = cyclesMap' (F.mapShortComplex.map φ) (hl₁.map F) (hl₂.map F)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
v : HeightOneSpectrum R
hv : v ∈ {v | v.maxPowDividing I ≠ 1}
h_zero : ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
v : HeightOneSpectrum R
hv : v ∈ {v | v.maxPowDividing I ≠ 1}
h_zero : ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = 0
hv' : v.maxPowDividing I = 1

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β

⊢ IsCauSeq abv (-f) ↔ IsCauSeq abv f
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕂
inst✝³ : Ring 𝔸
inst✝² : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝ : TopologicalRing 𝔸

⊢ exp 𝕂 0 = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α

⊢ _root_.Disjoint (s.erase a) t ↔ _root_.Disjoint s (t.erase a)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : n ≠ 0
x : ℝ

⊢ HasDerivAt (fun y => ↑T / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑y) ((fourier (-n)) ↑x) x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : n ≠ 0
x : ℝ

⊢ (fun y => ↑T / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (fourier (-n)) ↑y) = fun x => (fourier (-n)) ↑x / (-2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : n ≠ 0
x : ℝ

⊢ (fourier (-n)) ↑x = -2 * ↑π * I * ↑n / ↑T * (fourier (-n)) ↑x / (-2 * ↑π * I * ↑n / ↑T)
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
f : Y ⟶ X

⊢ α.hom ≫ f = 𝟙 X ↔ f = α.inv
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y

⊢ f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a

⊢ f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t

⊢ f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t

⊢ f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t) ∨ StrictAntiOn f (Icc s t)

⊢ f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t) ∨ StrictAntiOn f (Icc s t)
this : StrictAntiOn f (Icc s t) → False

⊢ f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
this : StrictAntiOn f (Icc s t) → False
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)

⊢ f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
this : StrictAntiOn f (Icc s t) → False
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)
hsx : s ≤ x

⊢ f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
this : StrictAntiOn f (Icc s t) → False
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)
hsx : s ≤ x
hyt : y ≤ t

⊢ f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)
hsx : s ≤ x
hyt : y ≤ t
this : Icc x y ⊆ Icc s t

⊢ f x < f y
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
f : α → δ
hf_c : Continuous f
hf_i : Injective f
a b : α
hab : a < b
hf_mono : StrictMonoOn f (Icc a b)
x y : α
hxy : x < y
s : α := min a x
t : α := max b y
hsa : s ≤ a
hbt : b ≤ t
hst : s ≤ t
hf_mono_st : StrictMonoOn f (Icc s t)
hsx : s ≤ x
hyt : y ≤ t
this : StrictMonoOn f (Icc x y)

⊢ f x < f y
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.42329, u_1} C₁
inst✝² : Category.{?u.42333, u_2} C₂
inst✝¹ : Category.{?u.42337, u_3} C₃
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
inst✝ : ∀ (X : GradedObject I C₁) (Y : GradedObject J C₂), (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p
X₁ X₂ : GradedObject I C₁
φ : X₁ ⟶ X₂
Y₁ Y₂ : GradedObject J C₂
ψ : Y₁ ⟶ Y₂

⊢ mapMap (((mapBifunctor F I J).map (𝟙 X₁)).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor F I J).obj X₁).map ψ) p ≫ mapMap (((mapBifunctor F I J).map φ).app Y₂ ≫ ((mapBifunctor F I J).obj X₂).map (𝟙 Y₂)) p = mapMap (((mapBifunctor F I J).map φ).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor F I J).obj X₂).map (𝟙 Y₁)) p ≫ mapMap (((mapBifunctor F I J).map (𝟙 X₂)).app Y₁ ≫ ((mapBifunctor F I J).obj X₂).map ψ) p
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
hc : c ≠ 0

⊢ a / c * (c / b) = a / b
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
i : ι

⊢ (b.toBasis.repr x) i = b.repr x i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E
i : ι

⊢ b.repr.toLinearEquiv x i = b.repr x i
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s✝ t : Set E
x : E
s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : y ∈ balancedCore 𝕜 s

⊢ (fun x => a • x) y ∈ balancedCore 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s✝ t : Set E
x : E
s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
hy : ∃ t, Balanced 𝕜 t ∧ t ⊆ s ∧ y ∈ t

⊢ (fun x => a • x) y ∈ balancedCore 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s✝ t✝ : Set E
x : E
s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
y : E
t : Set E
ht1 : Balanced 𝕜 t
ht2 : t ⊆ s
hy : y ∈ t

⊢ (fun x => a • x) y ∈ balancedCore 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, IsBigOWith (C i) l (A i) g

⊢ IsBigOWith (∑ i ∈ s, C i) l (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) g
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ ∅, IsBigOWith (C i) l (A i) g

⊢ IsBigOWith (∑ i ∈ ∅, C i) l (fun x => ∑ i ∈ ∅, A i x) g
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s✝ : Finset ι
i : ι
s : Finset ι
is : i ∉ s
IH : (∀ i ∈ s, IsBigOWith (C i) l (A i) g) → IsBigOWith (∑ i ∈ s, C i) l (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) g
h : ∀ i_1 ∈ insert i s, IsBigOWith (C i_1) l (A i_1) g

⊢ IsBigOWith (∑ i ∈ insert i s, C i) l (fun x => ∑ i ∈ insert i s, A i x) g
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b a : α

⊢ ￢￢a ⊔ ∂ a = a
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b a : α

⊢ ￢￢a ≤ a
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M

⊢ ∃ a, (mk I M) a = x
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : AdicCompletion I M
a : ℕ → M
ha : ∀ (n : ℕ), Submodule.Quotient.mk (a n) = ↑x n

⊢ ∃ a, (mk I M) a = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsHaarMeasure
hG : LocallyCompactSpace G

⊢ μ.haarScalarFactor μ = 1