ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
y : H
z : E
hz : z ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source)

⊢ ↑I (e (↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph e h).symm (↑I.symm z))) = z
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
y : H
z : E
hz : z ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source)

⊢ ↑I (↑I.symm z) = z
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H M
inst✝¹³ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁷ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝³ : TopologicalSpace M''
inst✝² : ChartedSpace H'' M''
e✝ : PartialHomeomorph M H
e'✝ : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n✝ : ℕ∞
inst✝¹ : Nonempty M
e : M → H
h : OpenEmbedding e
inst✝ : Nonempty M'
e' : M' → H'
h' : OpenEmbedding e'
n : WithTop ℕ
this : SmoothManifoldWithCorners I M
x : M
y : H
z : E
hz : z ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (e ⁻¹' (extChartAt I y).source)

⊢ ↑I.symm z ∈ range e
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝² : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace β
f : α → β
inst✝ : T2Space β
hf : UniformContinuous f
a : α

⊢ pkg.extend f (pkg.coe a) = f a
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝² : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝¹ : UniformSpace β
f : α → β
inst✝ : T2Space β
hf : UniformContinuous f
a : α

⊢ ⋯.extend f (pkg.coe a) = f a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u✝ : Set E
ι : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 A
A' : Type u_4
inst✝³ : NormedCommRing A'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : NormOneClass A'
u : Finset ι
f : ι → E → A'
N : ℕ∞
hf : ∀ i ∈ u, ContDiff 𝕜 N (f i)
x : E
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N

⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun x => ∏ j ∈ u, f j x) x‖ ≤ ∑ p ∈ u.sym n, ↑(↑p).multinomial * ∏ j ∈ u, ‖iteratedFDeriv 𝕜 (Multiset.count j ↑p) (f j) x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G

⊢ condexpIndL1 hm μ s x = condexpIndL1Fin hm hs hμs x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : Set (UniformSpace α)
u₂ : UniformSpace β
u : UniformSpace α
h₁ : u ∈ u₁
hf : UniformContinuous f

⊢ Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : Set (UniformSpace α)
u₂ : UniformSpace β
u : UniformSpace α
h₁ : u ∈ u₁
hf : UniformContinuous f

⊢ Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (⨅ i, 𝓤 α) (𝓤 β)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α

⊢ (𝓤 α).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {p | dist p.1 p.2 < ε}
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd : l₁.NodupKeys

⊢ Pairwise (fun a_1 b_1 => ∀ c ∈ if a = a_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none, ∀ d ∈ if a = b_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none, a_1 = b_1 ∧ c = d) l₁
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd : l₁.NodupKeys

⊢ ∀ {a_1 b_1 : Sigma β}, a_1.fst ≠ b_1.fst → ∀ c ∈ if a = a_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none, ∀ d ∈ if a = b_1.fst then some ⟨a, b⟩ else none, a_1 = b_1 ∧ c = d
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd : l₁.NodupKeys
x y : Sigma β
h : x.fst ≠ y.fst
h_2 : a = x.fst
h_1 : a = y.fst

⊢ x = y ∧ ⟨a, b⟩ = ⟨a, b⟩
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L →ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ

⊢ minpoly K σ.toLinearMap = X ^ orderOf σ - C 1
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L →ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
this : orderOf σ = orderOf ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit)

⊢ minpoly K σ.toLinearMap = X ^ orderOf σ - C 1
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L →ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
this : orderOf σ = orderOf ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit)

⊢ minpoly K σ.toLinearMap = minpoly K ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit).toLinearMap
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L →ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ
this : orderOf σ = orderOf ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit)

⊢ IsOfFinOrder ((AlgEquiv.algHomUnitsEquiv K L) hσ.unit)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsCoseparating 𝒢
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0

⊢ ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0 ≫ h
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
𝒢 : Set C
h𝒢 : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), (∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = 0) → f = 0
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = g ≫ h

⊢ ∀ G ∈ 𝒢, ∀ (h : Y ⟶ G), (f - g) ≫ h = 0
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α

⊢ ↑(⨆ i, f i) = ⋃ i, ↑(f i)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
η : Type u_5
s : η → Set E
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ (i : η), Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x

⊢ Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x : α

⊢ (f.cycleOf x) (f x) = f (f x)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
p : G.Walk u✝ v✝
hnp : ¬p.Nil
u v w : V
huv : G.Adj u v
q : G.Walk v w

⊢ (notNilRec (fun {u v w} x q => q) (cons huv q) ⋯).support = (cons huv q).support.tail
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : NullMeasurableSet s μ
r : ℝ

⊢ NullMeasurableSet (r • s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hs : NullMeasurableSet ∅ μ

⊢ NullMeasurableSet (r • ∅) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : NullMeasurableSet s μ
r : ℝ
hs' : s.Nonempty

⊢ NullMeasurableSet (r • s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : NullMeasurableSet s μ
hs' : s.Nonempty

⊢ NullMeasurableSet (0 • s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : NullMeasurableSet s μ
r : ℝ
hs' : s.Nonempty
hr : r ≠ 0

⊢ NullMeasurableSet (r • s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
r : ℝ
hs' : s.Nonempty
hr : r ≠ 0
t : Set E
ht : MeasurableSet t
hst : s =ᶠ[ae μ] t

⊢ NullMeasurableSet (r • s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
r : ℝ
hs' : s.Nonempty
hr : r ≠ 0
t : Set E
ht : MeasurableSet t
hst : s =ᶠ[ae μ] t

⊢ r • s =ᶠ[ae μ] r • t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
r : ℝ
hs' : s.Nonempty
hr : r ≠ 0
t : Set E
ht : MeasurableSet t
hst : μ (symmDiff s t) = 0

⊢ μ (symmDiff (r • s) (r • t)) = 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ

⊢ IsIntegralCurveOn γ v s ↔ IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v {t | t + dt ∈ s}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v {t | t + dt ∈ s}

⊢ IsIntegralCurveOn γ v s
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v {t | t + dt ∈ s}

⊢ γ = (γ ∘ fun x => x + dt) ∘ fun x => x + -dt
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v {t | t + dt ∈ s}

⊢ s = {t | t + -dt ∈ {t | t + dt ∈ s}}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α✝
α : Type u_3

⊢ univ.ncard = Nat.card α
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α✝
α : Type u_3
h : Finite α

⊢ univ.ncard = Nat.card α
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α✝
α : Type u_3
h : Infinite α

⊢ univ.ncard = Nat.card α
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α✝
α : Type u_3
h : Infinite α

⊢ univ.Infinite
-- Mathlib/Data/Nat/Periodic.lean
a : ℕ

⊢ Periodic a.Coprime a
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0

⊢ HasDerivAt (fun x => √x * log x) ((2 + log x) / (2 * √x)) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0

⊢ (2 + log x) / (2 * √x) = 1 / (2 * √x) * log x + √x * x⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Monoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

⊢ BijOn (fun x => x + d) (Ici a) (Ici (a + d))
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Monoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d x✝ : M
h : x✝ ∈ Ici (a + d)

⊢ x✝ ∈ (fun x => x + d) '' Ici a
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Monoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c✝ d c : M
h : a + d + c ∈ Ici (a + d)

⊢ a + d + c ∈ (fun x => x + d) '' Ici a
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Monoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c✝ d c : M
h : a ≤ a + c

⊢ a + d + c ∈ (fun x => x + d) '' Ici a
-- Mathlib/Topology/NhdsSet.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s✝ t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
s t : Set X

⊢ t ∈ 𝓝ˢ s ↔ ∃ i, (IsOpen i ∧ s ⊆ i) ∧ i ⊆ t
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α

⊢ M✶.Dep I ↔ (∀ (B : Set α), M.Base B → (I ∩ B).Nonempty) ∧ I ⊆ M.E
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : Cospherical ps

⊢ ∃ r, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : ∃ center ∈ s, ∃ radius, ∀ p ∈ ps, dist p center = radius

⊢ ∃ r, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
c : P
hc : c ∈ s
r : ℝ
hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r

⊢ ∃ r, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
c : P
hc : c ∈ s
r : ℝ
hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r

⊢ ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
c : P
hc : c ∈ s
r : ℝ
hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r
sx : Simplex ℝ P n
hsxps : Set.range sx.points ⊆ ps

⊢ sx.circumradius = r
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
c : P
hc : c ∈ s
r : ℝ
hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r
sx : Simplex ℝ P n
hsxps : Set.range sx.points ⊆ ps
hsx : affineSpan ℝ (Set.range sx.points) = s

⊢ sx.circumradius = r
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
c : P
hc✝ : c ∈ s
r : ℝ
hcr : ∀ p ∈ ps, dist p c = r
sx : Simplex ℝ P n
hsxps : Set.range sx.points ⊆ ps
hsx : affineSpan ℝ (Set.range sx.points) = s
hc : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range sx.points)

⊢ sx.circumradius = r
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K

⊢ insepDegree F F = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r

⊢ (1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-r / 2) = 2 ^ (r / 2) * ((√2 * √(1 + ‖x‖ ^ 2)) ^ r)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r

⊢ 1 + ‖x‖ ≤ √2 * √(1 + ‖x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r

⊢ 2 ^ (r / 2) * ((1 + ‖x‖) ^ r)⁻¹ = 2 ^ (r / 2) * (1 + ‖x‖) ^ (-r)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r

⊢ 0 ≤ 1 + ‖x‖
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
f₁ : ι → κ
f₂ : (i : ι) → σ i → τ (f₁ i)
h : Injective f₁

⊢ OpenEmbedding (Sigma.map f₁ f₂) ↔ ∀ (i : ι), OpenEmbedding (f₂ i)
-- Mathlib/Data/Finset/Density.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊂ t

⊢ 0 < ↑(Fintype.card α)
-- Mathlib/Data/Finset/Density.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊂ t
h✝ : IsEmpty α

⊢ 0 < ↑(Fintype.card α)
-- Mathlib/Data/Finset/Density.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
h : s ⊂ t
h✝ : Nonempty α

⊢ 0 < ↑(Fintype.card α)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E ≃ₗ[ℝ] E
s : Set E

⊢ μ (⇑f ⁻¹' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det ↑f.symm| * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E ≃ₗ[ℝ] E
s : Set E
A : LinearMap.det ↑f ≠ 0

⊢ μ (⇑f ⁻¹' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det ↑f.symm| * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E ≃ₗ[ℝ] E
s : Set E
A : LinearMap.det ↑f ≠ 0

⊢ LinearMap.det ↑f.symm = (LinearMap.det ↑f)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α

⊢ |a| ^ 2 = a ^ 2
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
n m : ℕ
h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a
h_lt : n < m

⊢ IsMax (succ^[n] a)