ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M
f : Fin (n + 1) → M → N
h : ∀ (x : Fin (n + 1)), f x 0 = 0

⊢ (cons i σ).sum f = f 0 i + σ.sum (Fin.tail f)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M
f : Fin (n + 1) → M → N
h : ∀ (x : Fin (n + 1)), f x 0 = 0

⊢ ∑ i_1 : Fin (n + 1), f i_1 ((cons i σ) i_1) = f 0 i + ∑ i : Fin n, Fin.tail f i (σ i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M
f : Fin (n + 1) → M → N
h : ∀ (x : Fin (n + 1)), f x 0 = 0

⊢ f 0 i + ∑ x : Fin n, f x.succ (σ x) = f 0 i + ∑ i : Fin n, Fin.tail f i (σ i)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]

⊢ f.degree = ⊥ ↔ f = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
h : f.degree = ⊥

⊢ f = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
h : f.support.sup WithBot.some = ⊥

⊢ f = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
h : f.support.sup WithBot.some = ⊥
n : ℤ

⊢ f n = 0 n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
h : f.support.sup WithBot.some = ⊥
n : ℤ
f0 : ¬f n = 0 n

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
n : ℤ
f0 : ¬f n = 0 n
h : ∀ (s : ℤ), ¬f s = 0 → False

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/AsymptoticEquivalent.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α

⊢ u ~[l] v ↔ ∃ φ, ∃ (_ : Tendsto φ l (𝓝 1)), u =ᶠ[l] φ * v
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/AsymptoticEquivalent.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedField β
t u v w : α → β
l : Filter α

⊢ (∃ φ, Tendsto φ l (𝓝 0) ∧ u - v =ᶠ[l] φ * v) ↔ ∃ φ, ∃ (_ : Tendsto φ l (𝓝 1)), u =ᶠ[l] φ * v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E → F
v : E
inst✝ : SecondCountableTopologyEither E F
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜
this✝ : BorelSpace 𝕜
g : E → 𝕜 → F := fun x t => f (x + t • v)
hg : Continuous (Function.uncurry g)

⊢ StronglyMeasurable fun x => lineDeriv 𝕜 f x v
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module A M'
inst✝⁶ : IsLocalization S A
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M''
inst✝² : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
R' : Type u_6
inst✝¹ : CommSemiring R'
inst✝ : Algebra R R'

⊢ IsLocalizedModule S (Algebra.ofId R R').toLinearMap ↔ IsLocalization S R'
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module A M'
inst✝⁶ : IsLocalization S A
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M''
inst✝² : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
R' : Type u_6
inst✝¹ : CommSemiring R'
inst✝ : Algebra R R'

⊢ S = Algebra.algebraMapSubmonoid R S
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
inst✝ : CompleteSpace α

⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Injective f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
inst✝ : CompleteSpace α
u : ℕ → ℝ≥0∞
upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
hu : Tendsto u atTop (nhds 0)

⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Injective f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
inst✝ : CompleteSpace α
u : ℕ → ℝ≥0∞
upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
hu : Tendsto u atTop (nhds 0)
upos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n

⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Injective f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
inst✝ : CompleteSpace α
u : ℕ → ℝ≥0∞
upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
hu : Tendsto u atTop (nhds 0)
upos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
P : Type u_1 := { E // Perfect E ∧ E.Nonempty }

⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Injective f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
inst✝ : CompleteSpace α
u : ℕ → ℝ≥0∞
upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
hu : Tendsto u atTop (nhds 0)
upos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
P : Type u_1 := { E // Perfect E ∧ E.Nonempty }
C0 C1 : {C : Set α} → Perfect C → C.Nonempty → {ε : ℝ≥0∞} → 0 < ε → Set α
h0 : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Perfect (C0 hC hnonempty hε) ∧ (C0 hC hnonempty hε).Nonempty ∧ C0 hC hnonempty hε ⊆ C ∧ EMetric.diam (C0 hC hnonempty hε) ≤ ε
h1 : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Perfect (C1 hC hnonempty hε) ∧ (C1 hC hnonempty hε).Nonempty ∧ C1 hC hnonempty hε ⊆ C ∧ EMetric.diam (C1 hC hnonempty hε) ≤ ε
hdisj : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Disjoint (C0 hC hnonempty hε) (C1 hC hnonempty hε)

⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Injective f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
inst✝ : CompleteSpace α
u : ℕ → ℝ≥0∞
upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
hu : Tendsto u atTop (nhds 0)
upos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
P : Type u_1 := { E // Perfect E ∧ E.Nonempty }
C0 C1 : {C : Set α} → Perfect C → C.Nonempty → {ε : ℝ≥0∞} → 0 < ε → Set α
h0 : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Perfect (C0 hC hnonempty hε) ∧ (C0 hC hnonempty hε).Nonempty ∧ C0 hC hnonempty hε ⊆ C ∧ EMetric.diam (C0 hC hnonempty hε) ≤ ε
h1 : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Perfect (C1 hC hnonempty hε) ∧ (C1 hC hnonempty hε).Nonempty ∧ C1 hC hnonempty hε ⊆ C ∧ EMetric.diam (C1 hC hnonempty hε) ≤ ε
hdisj : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Disjoint (C0 hC hnonempty hε) (C1 hC hnonempty hε)
DP : List Bool → P := fun l => List.rec ⟨C, ⋯⟩ (fun a l ih => Bool.casesOn (motive := fun t => a = t → P) a (fun h => ⟨C0 ⋯ ⋯ ⋯, ⋯⟩) (fun h => ⟨C1 ⋯ ⋯ ⋯, ⋯⟩) ⋯) l
D : List Bool → Set α := fun l => ↑(DP l)
hanti : ClosureAntitone D
hdiam : VanishingDiam D
hdisj' : CantorScheme.Disjoint D

⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Injective f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
inst✝ : CompleteSpace α
u : ℕ → ℝ≥0∞
upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
hu : Tendsto u atTop (nhds 0)
upos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
P : Type u_1 := { E // Perfect E ∧ E.Nonempty }
C0 C1 : {C : Set α} → Perfect C → C.Nonempty → {ε : ℝ≥0∞} → 0 < ε → Set α
h0 : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Perfect (C0 hC hnonempty hε) ∧ (C0 hC hnonempty hε).Nonempty ∧ C0 hC hnonempty hε ⊆ C ∧ EMetric.diam (C0 hC hnonempty hε) ≤ ε
h1 : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Perfect (C1 hC hnonempty hε) ∧ (C1 hC hnonempty hε).Nonempty ∧ C1 hC hnonempty hε ⊆ C ∧ EMetric.diam (C1 hC hnonempty hε) ≤ ε
hdisj : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Disjoint (C0 hC hnonempty hε) (C1 hC hnonempty hε)
DP : List Bool → P := fun l => List.rec ⟨C, ⋯⟩ (fun a l ih => Bool.casesOn (motive := fun t => a = t → P) a (fun h => ⟨C0 ⋯ ⋯ ⋯, ⋯⟩) (fun h => ⟨C1 ⋯ ⋯ ⋯, ⋯⟩) ⋯) l
D : List Bool → Set α := fun l => ↑(DP l)
hanti : ClosureAntitone D
hdiam : VanishingDiam D
hdisj' : CantorScheme.Disjoint D
hdom : ∀ {x : ℕ → Bool}, x ∈ (inducedMap D).fst

⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Injective f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
hnonempty : C.Nonempty
inst✝ : CompleteSpace α
u : ℕ → ℝ≥0∞
upos' : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
hu : Tendsto u atTop (nhds 0)
upos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
P : Type u_1 := { E // Perfect E ∧ E.Nonempty }
C0 C1 : {C : Set α} → Perfect C → C.Nonempty → {ε : ℝ≥0∞} → 0 < ε → Set α
h0 : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Perfect (C0 hC hnonempty hε) ∧ (C0 hC hnonempty hε).Nonempty ∧ C0 hC hnonempty hε ⊆ C ∧ EMetric.diam (C0 hC hnonempty hε) ≤ ε
h1 : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Perfect (C1 hC hnonempty hε) ∧ (C1 hC hnonempty hε).Nonempty ∧ C1 hC hnonempty hε ⊆ C ∧ EMetric.diam (C1 hC hnonempty hε) ≤ ε
hdisj : ∀ {C : Set α} (hC : Perfect C) (hnonempty : C.Nonempty) {ε : ℝ≥0∞} (hε : 0 < ε), Disjoint (C0 hC hnonempty hε) (C1 hC hnonempty hε)
DP : List Bool → P := fun l => List.rec ⟨C, ⋯⟩ (fun a l ih => Bool.casesOn (motive := fun t => a = t → P) a (fun h => ⟨C0 ⋯ ⋯ ⋯, ⋯⟩) (fun h => ⟨C1 ⋯ ⋯ ⋯, ⋯⟩) ⋯) l
D : List Bool → Set α := fun l => ↑(DP l)
hanti : ClosureAntitone D
hdiam : VanishingDiam D
hdisj' : CantorScheme.Disjoint D
hdom : ∀ {x : ℕ → Bool}, x ∈ (inducedMap D).fst
x y : ℕ → Bool
hxy : (fun x => (inducedMap D).snd ⟨x, ⋯⟩) x = (fun x => (inducedMap D).snd ⟨x, ⋯⟩) y

⊢ x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.23191, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.23198, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
hc : IsUniversalColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)

⊢ Nonempty (IsColimit c'')
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.23191, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.23198, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
hc : IsUniversalColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)
this : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι

⊢ Nonempty (IsColimit c'')
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.23191, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.23198, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
hc : IsUniversalColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)
this : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι

⊢ ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.23191, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.23198, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
hc : IsUniversalColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)
this : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι
j : J

⊢ IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.23191, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.23198, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
hc : IsUniversalColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)
this : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι
j : J

⊢ IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j ≫ 𝟙 (F.obj j)) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.23191, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.23198, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
hc : IsUniversalColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)
this✝ : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι
j : J
this : IsIso e.inv.hom

⊢ IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j ≫ 𝟙 (F.obj j)) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app j)
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u s : Set α
h : a ∈ t
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ insert a s \ t ↔ x✝ ∈ s \ t
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Iic

⊢ Indep (limsup s atTop) (limsup s atTop) κ μα
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Iic
hnsp : ∀ (i : ι), BddAbove (ns i)

⊢ Indep (limsup s atTop) (limsup s atTop) κ μα
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Iic
hnsp : ∀ (i : ι), BddAbove (ns i)

⊢ ∀ (t : Set ι), BddAbove t → tᶜ ∈ atTop
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Iic
hnsp : ∀ (i : ι), BddAbove (ns i)

⊢ Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
ns : ι → Set ι := Set.Iic
hnsp : ∀ (i : ι), BddAbove (ns i)

⊢ ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
C : Set (ℕ →. ℕ)
f g : ℕ →. ℕ
hf : Nat.Partrec f
hg : Nat.Partrec g
fC : f ∈ C
w✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C
h : Computable fun a => decide ((fun c => c.eval ∈ C) a)

⊢ g ∈ C
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
C : Set (ℕ →. ℕ)
f g : ℕ →. ℕ
hf : Nat.Partrec f
hg : Nat.Partrec g
fC : f ∈ C
w✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C
h : Computable fun a => decide ((fun c => c.eval ∈ C) a)
c : Code
e : c.eval = fun b => bif decide ((fun c => c.eval ∈ C) (c, b).1) then (fun a b => g (a, b).2) (c, b).1 (c, b).2 else (fun a b => f (a, b).2) (c, b).1 (c, b).2

⊢ g ∈ C
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
C : Set (ℕ →. ℕ)
f g : ℕ →. ℕ
hf : Nat.Partrec f
hg : Nat.Partrec g
fC : f ∈ C
w✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C
h : Computable fun a => decide ((fun c => c.eval ∈ C) a)
c : Code
e : c.eval = fun b => if c.eval ∈ C then g b else f b

⊢ g ∈ C
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t

⊢ Convex 𝕜 (s + t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E
t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t

⊢ Convex 𝕜 ((fun x => x.1 + x.2) '' s ×ˢ t)
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N

⊢ IsSimpleModule R ↥m ↔ IsAtom m
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N

⊢ IsSimpleModule R ↥m ↔ IsSimpleOrder ↑(Set.Iic m)
-- Mathlib/RingTheory/FreeCommRing.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeCommRing α
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hxs : x.IsSupported s

⊢ (map Subtype.val) ((restriction s) x) = x
-- Mathlib/RingTheory/FreeCommRing.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeCommRing α
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hxs : x.IsSupported s

⊢ (map Subtype.val) ((restriction s) 1) = 1
-- Mathlib/RingTheory/FreeCommRing.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeCommRing α
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hxs : x.IsSupported s

⊢ (map Subtype.val) ((restriction s) (-1)) = -1
-- Mathlib/RingTheory/FreeCommRing.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeCommRing α
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hxs : x.IsSupported s

⊢ ∀ z ∈ of '' s, ∀ (n : FreeCommRing α), (map Subtype.val) ((restriction s) n) = n → (map Subtype.val) ((restriction s) (z * n)) = z * n
-- Mathlib/RingTheory/FreeCommRing.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeCommRing α
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hxs : x.IsSupported s

⊢ ∀ {x y : FreeCommRing α}, (map Subtype.val) ((restriction s) x) = x → (map Subtype.val) ((restriction s) y) = y → (map Subtype.val) ((restriction s) (x + y)) = x + y
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n₁ n₂ d₁ d₂ : ℤ
hn₁ : n₁ ≠ 0
hn₂ : n₂ ≠ 0
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0

⊢ padicValRat p (n₁ /. d₁) ≤ padicValRat p (n₂ /. d₂) ↔ ∀ (n : ℕ), ↑p ^ n ∣ n₁ * d₂ → ↑p ^ n ∣ n₂ * d₁
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n₁ n₂ d₁ d₂ : ℤ
hn₁ : n₁ ≠ 0
hn₂ : n₂ ≠ 0
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0
hf1 : multiplicity.Finite (↑p) (n₁ * d₂)

⊢ padicValRat p (n₁ /. d₁) ≤ padicValRat p (n₂ /. d₂) ↔ ∀ (n : ℕ), ↑p ^ n ∣ n₁ * d₂ → ↑p ^ n ∣ n₂ * d₁
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n₁ n₂ d₁ d₂ : ℤ
hn₁ : n₁ ≠ 0
hn₂ : n₂ ≠ 0
hd₁ : d₁ ≠ 0
hd₂ : d₂ ≠ 0
hf1 : multiplicity.Finite (↑p) (n₁ * d₂)
hf2 : multiplicity.Finite (↑p) (n₂ * d₁)

⊢ padicValRat p (n₁ /. d₁) ≤ padicValRat p (n₂ /. d₂) ↔ ∀ (n : ℕ), ↑p ^ n ∣ n₁ * d₂ → ↑p ^ n ∣ n₂ * d₁
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∈ closedBall 0 (1 - D)

⊢ (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] φ) x = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∈ closedBall 0 (1 - D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 1

⊢ (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] φ) x = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∈ closedBall 0 (1 - D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 1
Bx : φ x = 1

⊢ (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] φ) x = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∈ closedBall 0 (1 - D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 1
Bx : φ x = 1
B' : ∀ y ∈ ball x D, φ y = φ x

⊢ (w D ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] φ) x = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
hx : x ∈ closedBall 0 (1 - D)
B : ∀ y ∈ ball x D, φ y = 1
Bx : φ x = 1
B' : ∀ y ∈ ball x D, φ y = φ x

⊢ ∫ (t : E), ((lsmul ℝ ℝ) (w D t)) (φ x) ∂μ = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
a b : ℝ
nb ne : ℕ
pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : IsInt (a ^ Int.negOfNat nb) (Int.negOfNat ne)

⊢ IsInt (a ^ b) (Int.negOfNat ne)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.35536, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData

⊢ IsZero (CokernelCofork.ofπ h.π ⋯).pt
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.35536, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
h : S.LeftHomologyData
this : S.HasHomology

⊢ IsZero (CokernelCofork.ofπ h.π ⋯).pt