ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯

⊢ IsOpen ((s ∩ (a.pretrivializationAt z.proj).baseSet) ×ˢ univ)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯

⊢ ↑e z ∈ (s ∩ (a.pretrivializationAt z.proj).baseSet) ×ˢ univ
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯

⊢ (↑e z).1 ∈ s ∩ (a.pretrivializationAt z.proj).baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯

⊢ z.proj ∈ s ∩ (a.pretrivializationAt z.proj).baseSet
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X✝ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
E : B → Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : TotalSpace F E → X
s : Set B
hs : IsOpen s
hf : ∀ b ∈ s, ContinuousOn (f ∘ ↑(a.pretrivializationAt b).symm) ((s ∩ (a.pretrivializationAt b).baseSet) ×ˢ univ)
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
z : TotalSpace F E
hz : z ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
e : Trivialization F TotalSpace.proj := a.trivializationOfMemPretrivializationAtlas ⋯

⊢ z ∈ e.source
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (Set α)

⊢ ⋂₀ s = ⋂ i, ↑i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SpecialLinearGroup n R
hA : A ∈ center (SpecialLinearGroup n R)
i : n

⊢ (scalar n) (↑A i i) = ↑A
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SpecialLinearGroup n R
hA : A ∈ center (SpecialLinearGroup n R)
i : n
r : R
hr : (scalar n) r = ↑A

⊢ (scalar n) (↑A i i) = ↑A
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
hc : Multiset.card m = n + 1
a : α
h : a ∈ m

⊢ Multiset.card (m.erase a) = n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S

⊢ (CoordinateRing.basis W) 0 = 1
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
f g : Filter α
s✝ t : Set α
s : Set (Set α)
hfin : s.Finite

⊢ ⋂₀ s ∈ f ↔ ∀ U ∈ s, U ∈ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K✝ : Multifork I
inst✝¹ : HasProduct I.left
inst✝ : HasProduct I.right
K : Multifork I

⊢ ∀ ⦃X Y : WalkingParallelPair⦄ (f : X ⟶ Y), ((Functor.const WalkingParallelPair).obj K.pt).map f ≫ (fun x => match x with | WalkingParallelPair.zero => Pi.lift K.ι | WalkingParallelPair.one => Pi.lift K.ι ≫ I.fstPiMap) Y = (fun x => match x with | WalkingParallelPair.zero => Pi.lift K.ι | WalkingParallelPair.one => Pi.lift K.ι ≫ I.fstPiMap) X ≫ (parallelPair I.fstPiMap I.sndPiMap).map f
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α

⊢ s.encard = 2 ↔ ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = 2

⊢ ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = 2
x : α
hx : x ∈ s

⊢ ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
x : α
h : ∃ x_1, s \ {x} = {x_1}
hx : x ∈ s

⊢ ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : α
h : s \ {x} = {y}

⊢ ∃ x y, x ≠ y ∧ s = {x, y}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : α
h : s \ {x} = {y}

⊢ s = {x, y}
-- Mathlib/Tactic/Abel.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
l : ℕ
r : α
tl : ℕ
zl : ℤ
tr t : α
prl₁ : l = tl
prl₂ : ↑tl = zl
prr : r = tr
prt : smulg zl tr = t

⊢ smul l r = t
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s

⊢ ∃ i, 0 < (f i) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners ℝ E H✝
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H✝ M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
H : ∀ (i : ι), (f i) x = 0

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H✝
I : ModelWithCorners ℝ E H✝
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H✝ M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
f : SmoothPartitionOfUnity ι I M s
n : ℕ∞
x : M
hx : x ∈ s
h : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0
H : ∀ (i : ι), (f i) x = 0
this : ∑ᶠ (i : ι), (f i) x = 1

⊢ False
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α
x : WithTop α

⊢ x ∈ range some ↔ x ∈ Iio ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : Integrable f μ
g : α → β
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤

⊢ Integrable (fun x => f x • g x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ
g : α → β
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤

⊢ Memℒp (fun x => f x • g x) 1 μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ
g : α → β
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤

⊢ eLpNorm (fun x => f x • g x) 1 μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ
g : α → β
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
h : 1 / 1 = 1 / 1 + 1 / ⊤

⊢ eLpNorm (fun x => f x • g x) 1 μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ
g : α → β
g_aestronglyMeasurable : AEStronglyMeasurable g μ
ess_sup_g : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) μ ≠ ⊤
h : 1 / 1 = 1 / 1 + 1 / ⊤
hg' : eLpNorm g ⊤ μ ≠ ⊤

⊢ eLpNorm (fun x => f x • g x) 1 μ < ⊤
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
n : ℕ
hdeg : n < f.natDegree
a✝ : Nontrivial R

⊢ h.modByMonicHom (h.root ^ n) = X ^ n
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
n : ℕ
hdeg : n < f.natDegree
a✝ : Nontrivial R

⊢ ↑n < f.degree
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
hdeg : f.degree ≤ ↑n

⊢ f.natDegree ≤ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
F : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup F
g : ℝ → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0

⊢ Integrable (fun x => g (x * R)) volume ↔ Integrable g volume
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s

⊢ μ (frontier s) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hspan : affineSpan ℝ s ≠ ⊤

⊢ μ (frontier s) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hspan : affineSpan ℝ s = ⊤

⊢ μ (frontier s) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hspan : (interior s).Nonempty

⊢ μ (frontier s) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s

⊢ μ (frontier s) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s

⊢ ∀ (t : Set E), Convex ℝ t → x ∈ interior t → Bornology.IsBounded t → μ (frontier t) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : Bornology.IsBounded s

⊢ μ (frontier s) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤

⊢ μ (frontier s) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤

⊢ μ (closure s) ≤ μ (interior s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
d : ℕ := finrank ℝ E

⊢ μ (closure s) ≤ μ (interior s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
d : ℕ := finrank ℝ E
this : ∀ (r : ℝ≥0), 1 < r → μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)

⊢ μ (closure s) ≤ μ (interior s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
d : ℕ := finrank ℝ E
this✝ : ∀ (r : ℝ≥0), 1 < r → μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)
this : ∀ᶠ (r : ℝ≥0) in 𝓝[>] 1, μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)

⊢ μ (closure s) ≤ μ (interior s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
d : ℕ := finrank ℝ E
this✝ : ∀ (r : ℝ≥0), 1 < r → μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)
this : ∀ᶠ (r : ℝ≥0) in 𝓝[>] 1, μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)

⊢ Tendsto (fun c => ↑(c ^ d) * μ (interior s)) (𝓝[>] 1) (𝓝 (μ (interior s)))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Measure.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s✝ : Set E
hs✝ : Convex ℝ s✝
x : E
hx✝ : x ∈ interior s✝
s : Set E
hs : Convex ℝ s
hx : x ∈ interior s
hb : μ (interior s) ≠ ⊤
d : ℕ := finrank ℝ E
this✝ : ∀ (r : ℝ≥0), 1 < r → μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)
this : ∀ᶠ (r : ℝ≥0) in 𝓝[>] 1, μ (closure s) ≤ ↑(r ^ d) * μ (interior s)

⊢ ((fun x => x * μ (interior s)) ∘ ENNReal.ofNNReal ∘ fun a => a ^ d) 1 = μ (interior s)
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ

⊢ (χ ^ p) ↑x = χ ↑x
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
hχ : χ.IsQuadratic
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R' p
x : Rˣ

⊢ χ ↑x ^ p = χ ↑x
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B C✝ A C : Finset α

⊢ (A * C).card * ∅.card ≤ (A * ∅).card * (∅ * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty

⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅

⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U ∈ B.powerset.erase ∅
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card

⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card

⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card

⊢ ↑((A * C).card * B.card) ≤ ↑((A * B).card * (B * C).card)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card

⊢ ↑(A * C).card * ↑B.card ≤ ↑(A * B).card * ↑(B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card

⊢ ↑(A * C).card ≤ ↑(A * B).card * ↑(B * C).card / ↑B.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card

⊢ ↑(A * C).card ≤ ↑(B * A).card / ↑B.card * ↑(B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card

⊢ ↑(U * (A * C)).card ≤ ↑(B * A).card / ↑B.card * ↑(B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card

⊢ ↑(U * (A * C)).card ≤ ↑(U * A).card / ↑U.card * ↑(U * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card

⊢ ↑(U * A * C).card ≤ ↑(U * A).card * ↑(U * C).card / ↑U.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
hB : B.Nonempty
hB' : B ∈ B.powerset.erase ∅
U : Finset α
hU : U.Nonempty ∧ U ⊆ B
hUA : ∀ x' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(U * A).card / ↑U.card ≤ ↑(x' * A).card / ↑x'.card

⊢ ↑(U * A * C).card * ↑U.card ≤ ↑(U * A).card * ↑(U * C).card
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s✝ t : Set α
f✝ g : α → G
a : α
s : Set α
f : α → G

⊢ sᶜ.mulIndicator f = f / s.mulIndicator f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0

⊢ (C b).degree < (C a * X).degree
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i

⊢ X.map (SimplexCategory.δ i.succ) ≫ X.map (SimplexCategory.σ j.castSucc) = X.map (SimplexCategory.σ j) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i)
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

⊢ P4 x₁ x₂ y ↔ P4 (-x₂) (-x₁) y
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : LinearOrder Γ
inst✝ : LocallyFiniteOrder Γ
f : Γ → R
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0

⊢ ∃ x, x ∈ {x | ∀ ⦃a : Γ⦄, a ∈ Function.support f → x ≤ a}
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : LinearOrder Γ
inst✝ : LocallyFiniteOrder Γ
f : Γ → R
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0

⊢ n ∈ {x | ∀ ⦃a : Γ⦄, a ∈ Function.support f → x ≤ a}
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : LinearOrder Γ
inst✝ : LocallyFiniteOrder Γ
f : Γ → R
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
m : Γ
hm : m ∈ Function.support f

⊢ n ≤ m