ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Finset M
hs : LinearIndependent R Subtype.val

⊢ s = (↑s).toFinset
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t s : Set α

⊢ 𝓟 s ⊓ 𝓟 sᶜ = ⊥
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t s : Set α

⊢ 𝓟 s ⊔ 𝓟 sᶜ = ⊤
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b : Ordinal.{u_1}

⊢ 0 ^ succ b = 0 ^ b * 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a b : Ordinal.{u_1}
h : ¬a = 0

⊢ a ^ succ b = a ^ b * a
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
r C : ℝ≥0∞
hr : r < 1
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

⊢ edist (f 0) a ≤ C / (1 - r)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : (↑η - 1) * λ ∣ (↑η - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ 2 ∣ S.a + ↑η * S.b

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : β
hx : x ≠ 0

⊢ ¬(const abv x).LimZero
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
x y : α
S U Z : Set α

⊢ IsGenericPoint x S ↔ ∀ (y : α), x ⤳ y ↔ y ∈ S
-- Mathlib/Order/OrderIsoNat.lean
α : Type u_1
s✝ : Set ℕ
inst✝ : Infinite ↑s✝
s t : Set α
e : ℕ → α
he : ∀ (n : ℕ), e n ∈ s ∪ t

⊢ ∃ g, (∀ (n : ℕ), e (g n) ∈ s) ∨ ∀ (n : ℕ), e (g n) ∈ t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T25Space X
x y : X
h : Disjoint ((𝓝 x).lift' closure) ((𝓝 y).lift' closure)
hxy : x = y

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convergence.lean
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s

⊢ abscissaOfAbsConv f ≤ ↑s.re
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convergence.lean
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s

⊢ Real.toEReal '' {x | LSeriesSummable f ↑x} ∈ {x | ↑s.re ∈ x}
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convergence.lean
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : LSeriesSummable f s

⊢ LSeriesSummable f ↑s.re
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : (x : α) → OmegaCompletePartialOrder (β x)
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
f : γ → (x : α) → β x
hf : ∀ (x : α), Continuous' fun g => f g x
c : Chain γ
a : α

⊢ { toFun := f, monotone' := ⋯ } (ωSup c) a = ωSup (c.map { toFun := f, monotone' := ⋯ }) a
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P ≃ₗ[R] Q
f✝ : N ≃ₗ[R] P
m : M
n✝ : N
p : P
x : M ⊗[R] N
y : N ⊗[R] M
f : M ≃ₗ[R] M
n : ℕ

⊢ rTensor N f ^ n = rTensor N (f ^ n)
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α

⊢ x ∈ s.offDiag ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ s ∧ x.1 ≠ x.2
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
i : Fin (n + 1)
s : Sym α (n - ↑i)
hx : a ∉ s

⊢ count a ↑(fill a i s) = ↑i
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
ha : s ⊆ Ioi a
hs : s.Nonempty → ∃ b > a, Ioo a b ⊆ s
h : (⇑ofDual ⁻¹' s).Nonempty

⊢ ∃ a_1 < toDual a, Ioo a_1 (toDual a) ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ

⊢ toLaurent (X ^ n) = T ↑n
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : a ∉ s

⊢ ⋃ x ∈ s, Ici x = Ioi a
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : a ∉ s
x : α
hx : x ∈ s

⊢ Ici x ⊆ Ioi a
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_not_mem : a ∉ s
x : α
hx : x ∈ Ioi a

⊢ x ∈ ⋃ i ∈ s, Ici i
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hf : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
h'f : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x

⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f₁ f' s x v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hf : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
h'f : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x

⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0] fun t => f (x + t • v)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hf : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
h'f : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
A : Continuous fun t => x + t • v

⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0] fun t => f (x + t • v)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

⊢ ∑ s : Finset α, ↑((𝒜 ∪ ℬ).truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) + ∑ s : Finset α, ↑((𝒜 ⊻ ℬ).truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) = ∑ s : Finset α, ↑(𝒜.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) + ∑ s : Finset α, ↑(ℬ.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
s : Finset α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

⊢ ∀ s ∈ univ, ↑((𝒜 ∪ ℬ).truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) + ↑((𝒜 ⊻ ℬ).truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(𝒜.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) + ↑(ℬ.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card))
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ

⊢ sinh ((dist a b + dist b c) / 2) = (dist ↑a ↑b * dist (↑c) ((starRingEnd ℂ) ↑b) + dist ↑b ↑c * dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b)) / (2 * √(a.im * c.im) * dist (↑b) ((starRingEnd ℂ) ↑b))
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ

⊢ dist ↑a ↑b * dist (↑b) ((starRingEnd ℂ) ↑c) / (2 * √(a.im * b.im) * (2 * √(b.im * c.im))) + dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b) * dist ↑b ↑c / (2 * √(a.im * b.im) * (2 * √(b.im * c.im))) = (dist ↑a ↑b * dist (↑c) ((starRingEnd ℂ) ↑b) + dist ↑b ↑c * dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b)) / (2 * √(a.im * c.im) * dist (↑b) ((starRingEnd ℂ) ↑b))
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ

⊢ (dist ↑a ↑b * dist (↑c) ((starRingEnd ℂ) ↑b) + dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b) * dist ↑b ↑c) / (2 * 2 * (√(a.im * b.im) * √(b.im * c.im))) = (dist ↑a ↑b * dist (↑c) ((starRingEnd ℂ) ↑b) + dist (↑a) ((starRingEnd ℂ) ↑b) * dist ↑b ↑c) / (2 * 2 * (√(a.im * c.im) * b.im))
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
a b c : ℍ

⊢ √(a.im * b.im) * √(b.im * c.im) = √(a.im * c.im) * b.im
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l

⊢ (J l R).det * (J l R).det = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l

⊢ (-1) ^ (Fintype.card l + Fintype.card l) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l

⊢ Even (Fintype.card l + Fintype.card l)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S

⊢ ‖-x‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S

⊢ sInf (norm '' {m | ↑m = -x}) = sInf (norm '' {m | ↑m = x})
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S
r : ℝ

⊢ r ∈ norm '' {m | ↑m = -x} ↔ r ∈ norm '' {m | ↑m = x}
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
p : ℕ

⊢ (a * b).factorization p = (a.factorization + b.factorization) p
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
inst✝ : SemilatticeSup β
l : Filter α
f₁ f₂ g₁ g₂ : α → β
hf : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[l] g₂

⊢ f₁ ⊔ g₁ ≤ᶠ[l] f₂ ⊔ g₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f μ
ha : Tendsto a l atBot
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioc (a i) (b i)

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f μ
ha : Tendsto a l atBot
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioc (a i) (b i)
hφ : AECover μ l φ

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f μ
ha : Tendsto a l atBot
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioc (a i) (b i)
hφ : AECover μ l φ

⊢ (fun i => ∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂μ) =ᶠ[l] fun i => ∫ (x : ℝ) in a i..b i, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f μ
ha : Tendsto a l atBot
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Ioc (a i) (b i)
hφ : AECover μ l φ
i : ι
hai : a i ≤ 0
hbi : 0 ≤ b i

⊢ ∫ (x : ℝ) in φ i, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a i..b i, f x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
a✝ : ℕ

⊢ log (x ^ Int.negSucc a✝) = ↑(Int.negSucc a✝) * log x
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]

⊢ eval₂ (PowerSeries.C R) PowerSeries.X φ = ↑φ
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]

⊢ eval₂ (PowerSeries.C R) PowerSeries.X φ = ↑(eval₂ C X φ)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]

⊢ ∑ i ∈ Finset.range (φ.natDegree + 1), (PowerSeries.C R) (φ.coeff i) * PowerSeries.X ^ i = ∑ x ∈ Finset.range (φ.natDegree + 1), coeToPowerSeries.ringHom (C (φ.coeff x) * X ^ x)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]

⊢ ∀ x ∈ Finset.range (φ.natDegree + 1), (PowerSeries.C R) (φ.coeff x) * PowerSeries.X ^ x = coeToPowerSeries.ringHom (C (φ.coeff x) * X ^ x)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
x✝ : ℕ
a✝ : x✝ ∈ Finset.range (φ.natDegree + 1)

⊢ (PowerSeries.C R) (φ.coeff x✝) * PowerSeries.X ^ x✝ = coeToPowerSeries.ringHom (C (φ.coeff x✝) * X ^ x✝)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected

⊢ H.Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
this : Nonempty α

⊢ H.Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
this✝ : Nonempty α
this : Nonempty β

⊢ H.Connected
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
t₀ t₁ : ℝ

⊢ range ⇑(γ.truncate t₀ t₁) ⊆ range ⇑γ
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
t₀ t₁ : ℝ

⊢ range ⇑(γ.truncate t₀ t₁) ⊆ range γ.extend
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
t₀ t₁ : ℝ

⊢ ∀ (x : ℝ) (h : x ∈ I), (γ.truncate t₀ t₁) ⟨x, h⟩ ∈ range γ.extend
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
t₀ t₁ x : ℝ
_hx : x ∈ I

⊢ (γ.truncate t₀ t₁) ⟨x, _hx⟩ ∈ range γ.extend
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : A.IsSymm
k : ℤ

⊢ (A ^ k).IsSymm
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
p : ℝ
hp : p ≠ 0

⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ (p - 1) • f (x ^ p)) (Ioi 0) volume ↔ IntegrableOn f (Ioi 0) volume
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → X → α
x₀ : X
hα : (𝓤 α).HasBasis p s

⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s k
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → X → α
x₀ : X
hα : (𝓤 α).HasBasis p s

⊢ (∀ (i : κ), p i → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α (s i)}) ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s k
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y

⊢ TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y
h_non : (Ico x y).Nonempty

⊢ TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y
h_non : (Ico x y).Nonempty
z : α
z_mem : z ∈ Ico x y
hz : ∀ x_1 ∈ Ico x y, ¬z < x_1

⊢ TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y
h_non : (Ico x y).Nonempty
z : α
z_mem : z ∈ Ico x y
hz : ∀ x_1 ∈ Ico x y, ¬z < x_1
z_card : (Ico x z).card < (Ico x y).card

⊢ TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
x y : α
hxy : x < y
h_non : (Ico x y).Nonempty
z : α
z_mem : z ∈ Ico x y
hz : ∀ x_1 ∈ Ico x y, ¬z < x_1
z_card : (Ico x z).card < (Ico x y).card
hzy : z ⋖ y

⊢ TransGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ ∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) (s.indicator fun x => c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ ∀ ⦃f g : α → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (support f) (support g) → Measurable f → Measurable g → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) f → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) g → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) (f + g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ ∀ ⦃f : ℕ → α → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) (f n)) → (fun f => ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ) fun x => ⨆ n, f n x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ

⊢ ‖fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s x‖
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsDomain k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
this✝ : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
this : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p

⊢ (succNthDefiningPoly p n a₁ a₂ bs).degree = ↑p
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsDomain k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
this✝ : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
this : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p

⊢ (C (a₁.coeff (n + 1) * (bs 0 ^ p) ^ p ^ (n + 1) + nthRemainder p n (fun v => bs v ^ p) (truncateFun (n + 1) a₁) - a₂.coeff (n + 1) * bs 0 ^ p ^ (n + 1) - nthRemainder p n bs (truncateFun (n + 1) a₂))).degree < (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsDomain k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
this✝ : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
this : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p

⊢ 0 < (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsDomain k
n : ℕ
a₁ a₂ : 𝕎 k
bs : Fin (n + 1) → k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
this✝ : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p
this : (X ^ p * C (a₁.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)) - X * C (a₂.coeff 0 ^ p ^ (n + 1))).degree = ↑p

⊢ 0 < ↑p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1

⊢ HasSum (fun k => 2 * (1 / (2 * ↑k + 1)) * (1 / (2 * a + 1)) ^ (2 * k + 1)) (log (1 + a⁻¹))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1

⊢ log (1 + a⁻¹) = log (1 + 1 / (2 * a + 1)) - log (1 - 1 / (2 * a + 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0

⊢ log (1 + a⁻¹) = log (1 + 1 / (2 * a + 1)) - log (1 - 1 / (2 * a + 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0

⊢ log (1 + a⁻¹) = log (1 + 1 / (2 * a + 1)) - log (1 - 1 / (2 * a + 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0

⊢ log (1 + a⁻¹) = log ((1 + 1 / (2 * a + 1)) / (1 - 1 / (2 * a + 1)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0

⊢ 1 + 1 / (2 * a + 1) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
a : ℝ
h : 0 < a
h₁ : |1 / (2 * a + 1)| < 1
h₂ : 2 * a + 1 ≠ 0
h₃ : a ≠ 0

⊢ 1 - 1 / (2 * a + 1) ≠ 0