ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/DoubleCoset.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : Quotient ↑H.toSubmonoid ↑K

⊢ ¬Disjoint (doset (Quotient.out' a) ↑H ↑K) (doset (Quotient.out' b) ↑H ↑K) → a = b
-- Mathlib/GroupTheory/DoubleCoset.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : Quotient ↑H.toSubmonoid ↑K
h : ¬Disjoint (doset (Quotient.out' a) ↑H ↑K) (doset (Quotient.out' b) ↑H ↑K)

⊢ a = b
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
a b x✝ : ℝ≥0

⊢ nndist a b ≤ x✝ ↔ max (a - b) (b - a) ≤ x✝
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
a b x✝ : ℝ≥0

⊢ nndist a b ≤ x✝ ↔ a ≤ x✝ + b ∧ b ≤ x✝ + a
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
F : Type u_1
inst✝² : Norm F
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F

⊢ (fun s => riemannZeta s - 1 / (s - 1)) =O[𝓝 1] fun x => 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0

⊢ I ≤ J⁻¹ ↔ J ≤ I⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n✝ n : ℕ

⊢ Fintype.card (Composition n) = 2 ^ (n - 1)
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n✝ n : ℕ

⊢ Fintype.card (Composition n) = Fintype.card (CompositionAsSet n)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H

⊢ Tendsto (fun a => a⁻¹) (𝓟 (Iic a)) (𝓟 (Ici a⁻¹))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
A : Comon_ C

⊢ (F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) ≫ (F.map A.counit ≫ F.η) ▷ F.obj A.X = (λ_ (F.obj A.X)).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
A : Comon_ C

⊢ (F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) ≫ F.obj A.X ◁ (F.map A.counit ≫ F.η) = (ρ_ (F.obj A.X)).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
A : Comon_ C

⊢ (F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) ≫ F.obj A.X ◁ (F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) = (F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) ≫ (F.map A.comul ≫ F.δ A.X A.X) ▷ F.obj A.X ≫ (α_ (F.obj A.X) (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
X✝ Y✝ : Comon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ F.map f.hom ≫ F.map Y✝.counit ≫ F.η = F.map X✝.counit ≫ F.η
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : OplaxMonoidalFunctor C D
X✝ Y✝ : Comon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ F.map f.hom ≫ F.map Y✝.comul ≫ F.δ Y✝.X Y✝.X = (F.map X✝.comul ≫ F.δ X✝.X X✝.X) ≫ (F.map f.hom ⊗ F.map f.hom)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
l : ℝ
hl : 1 < l
h : Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) atTop (𝓝 l)

⊢ ¬Summable f
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
l : ℝ
hl : 1 < l
h : Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) atTop (𝓝 l)
key : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0

⊢ ¬Summable f
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
l : ℝ
hl : 1 < l
h : Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) atTop (𝓝 l)
key : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0
r : ℝ
hr₀ : 1 < r
hr₁ : r < l

⊢ ¬Summable f
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
l : ℝ
hl : 1 < l
h : Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) atTop (𝓝 l)
key : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0
r : ℝ
hr₀ : 1 < r
hr₁ : r < l

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r * ‖f n‖ ≤ ‖f (n + 1)‖
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
l : ℝ
hl : 1 < l
h : Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) atTop (𝓝 l)
key : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f n‖ ≠ 0
r : ℝ
hr₀ : 1 < r
hr₁ : r < l
a✝¹ : ℕ
a✝ : r ≤ ‖f (a✝¹ + 1)‖ / ‖f a✝¹‖
h₁ : ‖f a✝¹‖ ≠ 0

⊢ r * ‖f a✝¹‖ ≤ ‖f (a✝¹ + 1)‖
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
H : ∀ (a b : α), ∃ m, ∀ (c : α), r c a ∨ r c b → r c m
a : α

⊢ Unbounded r (s ∩ {b | ¬r b a}) ↔ Unbounded r s
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A

⊢ x ∈ LinearMap.ker (dZero A) ↔ x ∈ A.ρ.invariants
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A

⊢ (∀ (a : G), (dZero A) x a = 0 a) ↔ ∀ (g : G), (A.ρ g) x - x = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
b0 : b ≠ 0

⊢ b * a / b = a
-- Mathlib/Algebra/Ring/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝² : MulZeroClass α
P Q : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b : α

⊢ ((if P then a else 0) * if Q then b else 0) = if P ∧ Q then a * b else 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
ha : DifferentiableWithinAt 𝕜 a s x

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => a x ^ 0) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
ha : DifferentiableWithinAt 𝕜 a s x
n : ℕ

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => a x ^ (n + 1)) s x
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : P.Ring

⊢ (f.toAlgHom.toLinearMap - g.toAlgHom.toLinearMap) x ∈ Submodule.restrictScalars R P'.ker
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ
a : Cardinal.{u}

⊢ ↑n ≤ lift.{v, u} a ↔ ↑n ≤ a
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ

⊢ IsOpenMap f ↔ ∀ (b : β), IsOpenMap fun x => f (x, b)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ

⊢ (∀ (y : β) (x : α), 𝓝 (f (x, y)) ≤ map (f ∘ fun a => (a, y)) (𝓝 x)) ↔ ∀ (b : β) (x : α), 𝓝 (f (x, b)) ≤ map (fun x => f (x, b)) (𝓝 x)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
B : FilterBasis α

⊢ generate B.sets = B.filter
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
B : FilterBasis α

⊢ generate B.sets ≤ B.filter
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
B : FilterBasis α

⊢ B.filter ≤ generate B.sets
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
r : ℝ
z : K

⊢ (starRingEnd K) (r • z) = r • (starRingEnd K) z
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0

⊢ ↑(q + r) = ↑q + ↑r
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0

⊢ ↑(q.num * r.den + q.den * r.num) / ↑(q.den * r.den) = (↑q.num * ↑r.den + ↑q.den * ↑r.num) / (↑q.den * ↑r.den)
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0

⊢ ↑(q.den * r.den) ≠ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
s₁ s₂ : Finset α
a : α
h : a ∈ s₁

⊢ s₁ ∩ insert a s₂ = insert a (s₁ ∩ s₂)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

⊢ (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).hom ≫ Scheme.Hom.app hU.fromSpec U = (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

⊢ Scheme.Hom.app (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)) ⊤ ≫ (Spec (X.presheaf.obj (op (⋯.functor.obj ⊤)))).presheaf.map ((Opens.map (inv (ΓSpec.adjunction.unit.app ↑U)).val.base).map (eqToHom ⋯).op.unop).op ≫ Scheme.Hom.app (Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)) ((Opens.map (inv (ΓSpec.adjunction.unit.app ↑U)).val.base).obj ((Opens.map U.ι.val.base).obj U)) = (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : UnitAddCircle

⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun t => F_int 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1

⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if ↑a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)

⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if ↑a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t - if 1 - a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)

⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if ↑a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t - if 1 - a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0

⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0
hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)

⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0
hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)

⊢ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-min p q * t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0
hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
this : (fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =ᶠ[atTop] fun t => (F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) + F_nat 0 (1 - a) t

⊢ (fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-min p q * t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0
hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
this : (fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =ᶠ[atTop] fun t => (F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) + F_nat 0 (1 - a) t

⊢ min p q ≤ p
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Ico 0 1
p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
q : ℝ
hq : 0 < q
ha' : ↑a = 0 ↔ a = 0
hq' : (fun t => F_nat 0 (1 - a) t) =O[atTop] fun t => rexp (-q * t)
this : (fun t => F_int 0 (↑a) t - if a = 0 then 1 else 0) =ᶠ[atTop] fun t => (F_nat 0 a t - if a = 0 then 1 else 0) + F_nat 0 (1 - a) t

⊢ min p q ≤ q
-- Mathlib/Logic/Encodable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Encodable α
inst✝ : Inhabited α
r : β → β → Prop
f : α → β
hf : Directed r f
a : α

⊢ r (f a) (f (Directed.sequence f hf (encode a + 1)))
-- Mathlib/Logic/Encodable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Encodable α
inst✝ : Inhabited α
r : β → β → Prop
f : α → β
hf : Directed r f
a : α

⊢ r (f a) (f (Classical.choose ⋯))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hy : 0 < y

⊢ x ≤ logb b y ↔ y ≤ b ^ x
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
S : ι → Subring R
x : R

⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e
he : OrthogonalIdempotents e

⊢ (1 - ∑ i : I, e i) * ∑ i : I, e i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e
he : OrthogonalIdempotents e

⊢ (∑ i : I, e i) * (1 - ∑ i : I, e i) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e
he : OrthogonalIdempotents e

⊢ ∑ i : Option I, i.elim (1 - ∑ i : I, e i) e = 1
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝¹ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he✝ : CompleteOrthogonalIdempotents e
he : OrthogonalIdempotents e

⊢ none.elim (1 - ∑ i : I, e i) e + ∑ i : I, (some i).elim (1 - ∑ i : I, e i) e = 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
s : Set β
f : ↑s → α
θ : Cardinal.{u}
hθ : θ ≤ #↑s
h₁ : ℵ₀ ≤ θ
h₂ : #α < θ.ord.cof

⊢ ∃ a t, ∃ (h : t ⊆ s), θ ≤ #↑t ∧ ∀ ⦃x : β⦄ (hx : x ∈ t), f ⟨x, ⋯⟩ = a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
s : Set β
f : ↑s → α
θ : Cardinal.{u}
hθ : θ ≤ #↑s
h₁ : ℵ₀ ≤ θ
h₂ : #α < θ.ord.cof
a : α
ha : θ ≤ #↑(f ⁻¹' {a})

⊢ ∃ a t, ∃ (h : t ⊆ s), θ ≤ #↑t ∧ ∀ ⦃x : β⦄ (hx : x ∈ t), f ⟨x, ⋯⟩ = a
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝ : IsDedekindDomain S
hp0 : map f p ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥

⊢ ramificationIdx f p P = Multiset.count P (factors (map f p))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤

⊢ eLpNorm (fun x => c) p μ < ⊤ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hp : 0 < p.toReal

⊢ eLpNorm (fun x => c) p μ < ⊤ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hp : 0 < p.toReal
hμ : ¬μ = 0
hc : ¬c = 0

⊢ eLpNorm (fun x => c) p μ < ⊤ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hp : 0 < p.toReal
hμ : ¬μ = 0
hc : ¬c = 0

⊢ ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal) < ⊤ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hp : 0 < p.toReal
hμ : ¬μ = 0
hc : ¬c = 0
hμ_top : ¬μ Set.univ = ⊤

⊢ ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal) < ⊤ ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hp : 0 < p.toReal
hμ : ¬μ = 0
hc : ¬c = 0
hμ_top : ¬μ Set.univ = ⊤

⊢ ↑‖c‖₊ < ⊤ ∧ μ Set.univ ^ (1 / p.toReal) < ⊤ ∨ ↑‖c‖₊ = 0 ∨ μ Set.univ ^ (1 / p.toReal) = 0 ↔ c = 0 ∨ μ Set.univ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
c : F
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hp : 0 < p.toReal
hμ : ¬μ = 0
hc : ¬c = 0
hμ_top : ¬μ Set.univ = ⊤

⊢ μ Set.univ ^ p.toReal⁻¹ < ⊤
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ f^[n] x ≤ g^[n] x ↔ f x ≤ g x
-- Mathlib/Data/List/Range.lean
α : Type u
l : List α

⊢ l.enum.unzip = (range l.length, l)
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
n m m' : ℕ
h : m ^^^ n = m' ^^^ n

⊢ m = m'
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
i : ℕ
w : i < l.length
h : optParam (0 < l.length) ⋯

⊢ l[i] ≤ maximum_of_length_pos h
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
i : ℕ
w : i < l.length
h : optParam (0 < l.length) ⋯

⊢ l[i] ∈ l
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z x y : ℝ

⊢ |x ^ y| ≤ |x| ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z x y : ℝ
hx : 0 ≤ x

⊢ |x ^ y| ≤ |x| ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z x y : ℝ
hx : x < 0

⊢ |x ^ y| ≤ |x| ^ y
-- Mathlib/Topology/Sets/Closeds.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T1Space α
s : Closeds α

⊢ IsAtom s ↔ ∃ x, s = singleton x
-- Mathlib/Topology/Compactification/OnePoint.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
h : ∞ ∈ s

⊢ IsOpen s ↔ IsCompact (some ⁻¹' s)ᶜ ∧ IsOpen (some ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : StronglyMeasurable f

⊢ HasFiniteIntegral f (μ.prod ν) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) ν) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y)‖ ∂ν) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : StronglyMeasurable f

⊢ ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), ↑‖f (x, y)‖₊ ∂ν ∂μ < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∫⁻ (a : β), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂ν < ⊤) ∧ ∫⁻ (a : α), ↑‖∫ (y : β), ‖f (a, y)‖ ∂ν‖₊ ∂μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : StronglyMeasurable f
this : ∀ (x : α), ∀ᵐ (y : β) ∂ν, 0 ≤ ‖f (x, y)‖

⊢ ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), ↑‖f (x, y)‖₊ ∂ν ∂μ < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∫⁻ (a : β), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂ν < ⊤) ∧ ∫⁻ (a : α), ↑‖∫ (y : β), ‖f (a, y)‖ ∂ν‖₊ ∂μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
f : α × β → E
h1f : StronglyMeasurable f
this : ∀ (x : α), ∀ᵐ (y : β) ∂ν, 0 ≤ ‖f (x, y)‖

⊢ ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), ↑‖f (x, y)‖₊ ∂ν ∂μ < ⊤ ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∫⁻ (a : β), ↑‖f (x, a)‖₊ ∂ν < ⊤) ∧ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (∫⁻ (a_1 : β), ↑‖f (a, a_1)‖₊ ∂ν).toReal ∂μ < ⊤