ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p

⊢ x ^ p = x
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
x : ZMod p
h : x ^ Fintype.card (ZMod p) = x

⊢ x ^ p = x
-- Mathlib/Algebra/Ring/Hom/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring β
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring γ
g✝ : β →ₙ+* γ
f : α →ₙ+* β
g : β →ₙ+* γ
f₁ f₂ : α →ₙ+* β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : α

⊢ g (f₁ x) = g (f₂ x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z : ℂ
hz : z ≠ 0
w : ℂ

⊢ abs (z ^ w) = abs z ^ w.re / rexp (z.arg * w.im)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E

⊢ LpAddConst 0 = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E

⊢ 0 ∉ Set.Ioo 0 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
h : 0 ∈ Set.Ioo 0 1

⊢ False
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean

⊢ bitwise and = land
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n : ℤ

⊢ bitwise and m n = m.land n
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n : ℕ

⊢ ↑(Nat.bitwise (fun x y => !x && y) m n) = -[m+1].land (ofNat n)
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n : ℕ

⊢ -[Nat.bitwise (fun x y => !(!x && !y)) m n+1] = -[m+1].land -[n+1]
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A

⊢ comap (↑(opLinearEquiv R).symm) 1 = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ → δ
hg : Continuous (uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ

⊢ ↑(comp₂ g hg f₁ f₂) =ᶠ[ae μ] fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ → δ
hg : Continuous (uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ

⊢ ↑(mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) ⋯) =ᶠ[ae μ] fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)
-- Mathlib/Tactic/ComputeDegree.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m : WithBot ℕ
p : R[X]
h_deg_le : p.degree ≤ m
coeff_ne_zero : p.coeff (WithBot.unbot' 0 m) ≠ 0

⊢ p.degree = m
-- Mathlib/Tactic/ComputeDegree.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
h_deg_le : p.degree ≤ ⊥
coeff_ne_zero : p.coeff (WithBot.unbot' 0 ⊥) ≠ 0

⊢ p.degree = ⊥
-- Mathlib/Tactic/ComputeDegree.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m : WithBot ℕ
p : R[X]
h_deg_le : p.degree ≤ m
coeff_ne_zero : p.coeff (WithBot.unbot' 0 m) ≠ 0
hh : m ≠ ⊥

⊢ p.degree = m
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α

⊢ mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦(P F).wMk a f' f⟧
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
this : mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦wrepr ((P F).wMk a f' f)⟧

⊢ mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦(P F).wMk a f' f⟧
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α
this : mk (abs ⟨a, (P F).appendContents f' fun x => ⟦f x⟧⟩) = ⟦wrepr ((P F).wMk a f' f)⟧

⊢ Setoid.r (wrepr ((P F).wMk a f' f)) ((P F).wMk a f' f)
-- Mathlib/RingTheory/EssentialFiniteness.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ

⊢ ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • t ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ
-- Mathlib/RingTheory/EssentialFiniteness.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ

⊢ ∀ x ∈ τ, ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • x ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ
-- Mathlib/RingTheory/EssentialFiniteness.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ

⊢ ∀ (r : S), ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • (algebraMap S T) r ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ
-- Mathlib/RingTheory/EssentialFiniteness.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ

⊢ ∀ (x y : T), (∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • x ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ) → (∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ) → ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • (x + y) ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ
-- Mathlib/RingTheory/EssentialFiniteness.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ

⊢ ∀ (x y : T), (∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • x ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ) → (∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ) → ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • (x * y) ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : LocallyCompactSpace α
inst✝¹ : CompactSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β → γ
x : α
U : Set α
hxU : U ∈ 𝓝 x
h : ContinuousOn (↿f) (U ×ˢ univ)

⊢ TendstoUniformly f (f x) (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : LocallyCompactSpace α
inst✝¹ : CompactSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β → γ
x : α
U : Set α
hxU : U ∈ 𝓝 x
h : ContinuousOn (↿f) (U ×ˢ univ)
K : Set α
hxK : K ∈ 𝓝 x
hKU : K ⊆ U
hK : IsCompact K

⊢ TendstoUniformly f (f x) (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : LocallyCompactSpace α
inst✝¹ : CompactSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β → γ
x : α
U : Set α
hxU : U ∈ 𝓝 x
h : ContinuousOn (↿f) (U ×ˢ univ)
K : Set α
hxK : K ∈ 𝓝 x
hKU : K ⊆ U
hK : IsCompact K
this : UniformContinuousOn (↿f) (K ×ˢ univ)

⊢ TendstoUniformly f (f x) (𝓝 x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/RCLike.lean
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
hf : ContDiff 𝕂 1 f
x : E'

⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f t
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/RCLike.lean
n : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
hf✝ : ContDiff 𝕂 1 f
x : E'
K : ℝ≥0
t : Set E'
ht : t ∈ 𝓝 ?m.51584
hf : LipschitzOnWith K f t

⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith K f t
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ L (fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L 1) s / L 1 s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
x✝ : n ≠ 0

⊢ ↑(Λ n) = ((fun n => 1 ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) n
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ (closure s).Nonempty ↔ s.Nonempty
-- Mathlib/RingTheory/MatrixAlgebra.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : A ⊗[R] Matrix n n R

⊢ invFun R A n ((toFunAlgHom R A n) M) = M
-- Mathlib/Order/Chain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
hs₁ : IsChain r s
hs₂ : ¬IsMaxChain r s

⊢ SuperChain r s (SuccChain r s)
-- Mathlib/Order/Chain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
hs₁ : IsChain r s
hs₂ : IsChain r s → ∃ x, IsChain r x ∧ s ⊆ x ∧ ¬s = x

⊢ SuperChain r s (SuccChain r s)
-- Mathlib/Order/Chain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t✝ : Set α
a b x y : α
hs₁ : IsChain r s
hs₂ : IsChain r s → ∃ x, IsChain r x ∧ s ⊆ x ∧ ¬s = x
t : Set α
ht : IsChain r t
hst : s ⊆ t ∧ ¬s = t

⊢ SuperChain r s (SuccChain r s)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean

⊢ ↑(π / 2) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean

⊢ π / 2 ≠ 0
-- Mathlib/Order/Interval/Set/UnorderedInterval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c d x a b : α

⊢ Ι a b = Ι b a
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype o
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Field R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
A : Matrix m n R
x : n → R

⊢ x ∈ LinearMap.ker (Aᴴ * A).mulVecLin ↔ x ∈ LinearMap.ker A.mulVecLin
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyCompactSpace H

⊢ LocallyCompactSpace M
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyCompactSpace H
this : ∀ (x : M), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (↑(chartAt H x) x) ∧ IsCompact s ∧ s ⊆ (chartAt H x).target) fun s => ↑(chartAt H x).symm '' s

⊢ LocallyCompactSpace M
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyCompactSpace H
this : ∀ (x : M), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (↑(chartAt H x) x) ∧ IsCompact s ∧ s ⊆ (chartAt H x).target) fun s => ↑(chartAt H x).symm '' s

⊢ ∀ (x : M) (i : Set H), i ∈ 𝓝 (↑(chartAt H x) x) ∧ IsCompact i ∧ i ⊆ (chartAt H x).target → IsCompact (↑(chartAt H x).symm '' i)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : LocallyCompactSpace H
this : ∀ (x : M), (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (↑(chartAt H x) x) ∧ IsCompact s ∧ s ⊆ (chartAt H x).target) fun s => ↑(chartAt H x).symm '' s
x : M
s : Set H
left✝ : s ∈ 𝓝 (↑(chartAt H x) x)
h₂ : IsCompact s
h₃ : s ⊆ (chartAt H x).target

⊢ IsCompact (↑(chartAt H x).symm '' s)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : G → E
f'✝ g'✝ : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
f g : ℝ → E
f' g' : E
x : ℝ

⊢ HasDerivAt f f' x → HasDerivAt g g' x → HasDerivAt (fun t => ⟪f t, g t⟫_𝕜) (⟪f x, g'⟫_𝕜 + ⟪f', g x⟫_𝕜) x
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/NatCast.lean
α : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ 0 ≤ 2
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/NatCast.lean
α : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ 0 ≤ 1 + 1
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset α

⊢ Finset.subtype p s = ∅ ↔ ∀ (x : α), p x → x ∉ s
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P
f : M →ₗ[R'] N
g : N →ₗ[R'] P

⊢ map (g ∘ₗ f) = (map g).comp (map f)
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P
f : M →ₗ[R'] N
g : N →ₗ[R'] P

⊢ ∀ (m : M), (map (g ∘ₗ f)) (inr m) = ((map g).comp (map f)) (inr m)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr

⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ ω = (ω ^ e.repr) ^ ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF

⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ ω = (ω ^ e.repr) ^ ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this : ω ^ e.repr ≤ (e.oadd n a).repr

⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ ω = (ω ^ e.repr) ^ ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr

⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ ω = (ω ^ e.repr) ^ ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr

⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ ω ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr

⊢ ∀ b' < ω, (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ b' ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω

⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ b ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : (e.oadd n a).repr < ω ^ succ e.repr

⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ b ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr

⊢ (ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr) ^ b ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr

⊢ (ω ^ succ e.repr) ^ b ≤ (ω ^ e.repr) ^ ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr

⊢ ω ^ (succ e.repr * b) ≤ ω ^ (e.repr * ω)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr

⊢ succ e.repr * b ≤ e.repr * ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h✝ : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr
h : ω ≤ e.repr

⊢ succ e.repr * b ≤ e.repr * ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e a : ONote
Ne : e.NF
Na : a.NF
e0 : e.repr ≠ 0
n : ℕ+
h✝ : a.repr < ω ^ e.repr
No : (e.oadd n a).NF
this✝ : ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr
b : Ordinal.{0}
l : b < ω
this : ω ^ e.repr * ↑↑n + a.repr < ω ^ succ e.repr
h : e.repr < ω

⊢ succ e.repr * b ≤ e.repr * ω
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
i : ι

⊢ aeSeqSet hf p ⊆ {x | ∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
i : ι

⊢ {x | ∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x}ᶜ ⊆ toMeasurable μ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x) ∧ p x fun n => f n x}ᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x✝ : α
hx : x✝ ∈ aeSeqSet hf p
i : ι
x : α
h : x ∈ {x | (∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x) ∧ p x fun n => f n x}

⊢ x ∈ {x | ∀ (i : ι), f i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x}
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝¹ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
inst✝ : NoZeroDivisors S

⊢ ψ.Even ∨ ψ.Odd
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝¹ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
inst✝ : NoZeroDivisors S

⊢ ψ (-1) ^ 2 = 1
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n : ℤ
h : a * b ∣ c

⊢ b ∣ c / a
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
b c d m n : ℤ
h : 0 * b ∣ c

⊢ b ∣ c / 0
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n : ℤ
h : a * b ∣ c
ha : a ≠ 0

⊢ b ∣ c / a
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
n : ℕ

⊢ 0 < fib n ↔ 0 < n
-- Mathlib/ModelTheory/Basic.lean
L : Language
L' : Language
c f₁ f₂ : Type u
r₁ r₂ : Type v

⊢ (Language.mk₂ c f₁ f₂ r₁ r₂).card = lift.{v, u} #c + lift.{v, u} #f₁ + lift.{v, u} #f₂ + lift.{u, v} #r₁ + lift.{u, v} #r₂
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s✝ t u : Set α
a b : α
s : Set ι
h : InjOn f s

⊢ (f '' s).Pairwise r ↔ s.Pairwise (r on f)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Dilation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g✝ : G
x✝ y z : α
s : Set α
g : β →ᵈ γ
f₁ f₂ : α →ᵈ β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : α

⊢ g (f₁ x) = g (f₂ x)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K

⊢ J / spanSingleton R₁⁰ d = spanSingleton R₁⁰ d⁻¹ * J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K

⊢ J / spanSingleton R₁⁰ d = 1 / spanSingleton R₁⁰ d * J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K
hd : ¬d = 0

⊢ J / spanSingleton R₁⁰ d = 1 / spanSingleton R₁⁰ d * J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K
hd : ¬d = 0
h_spand : spanSingleton R₁⁰ d ≠ 0

⊢ J / spanSingleton R₁⁰ d = 1 / spanSingleton R₁⁰ d * J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K
hd : ¬d = 0
h_spand : spanSingleton R₁⁰ d ≠ 0

⊢ J / spanSingleton R₁⁰ d ≤ 1 / spanSingleton R₁⁰ d * J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
d : K
hd : ¬d = 0
h_spand : spanSingleton R₁⁰ d ≠ 0

⊢ 1 / spanSingleton R₁⁰ d * J ≤ J / spanSingleton R₁⁰ d