ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : BinomialRing R
r s : R
k : ℕ
h : Commute r s

⊢ ∑ ij ∈ antidiagonal k, ↑(k.choose ij.1) * ((descPochhammer ℤ ij.1).smeval r * (descPochhammer ℤ ij.2).smeval s) = ∑ x ∈ antidiagonal k, k.factorial • (choose r x.1 * choose s x.2)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : BinomialRing R
r s : R
k : ℕ
h : Commute r s

⊢ ∀ x ∈ antidiagonal k, ↑(k.choose x.1) * ((descPochhammer ℤ x.1).smeval r * (descPochhammer ℤ x.2).smeval s) = k.factorial • (choose r x.1 * choose s x.2)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : BinomialRing R
r s : R
k : ℕ
h : Commute r s
x : ℕ × ℕ
hx : x ∈ antidiagonal k

⊢ ↑(k.choose x.1) * ((descPochhammer ℤ x.1).smeval r * (descPochhammer ℤ x.2).smeval s) = k.factorial • (choose r x.1 * choose s x.2)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : BinomialRing R
r s : R
k : ℕ
h : Commute r s
x : ℕ × ℕ
hx : x ∈ antidiagonal k

⊢ ↑(k.choose x.1) * ((descPochhammer ℤ x.1).smeval r * (descPochhammer ℤ x.2).smeval s) = ↑(k.choose x.1) * ↑x.1.factorial * (choose r x.1 * x.2.factorial • choose s x.2)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
v : V

⊢ v ∈ (mk' p direction).direction ↔ v ∈ direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P
direction : Submodule k V
v : V

⊢ (∃ p1 ∈ mk' p direction, ∃ p2 ∈ mk' p direction, v = p1 -ᵥ p2) ↔ v ∈ direction
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
R' : Set α
M : Matroid α
h : R ⊆ R'

⊢ M ↾ R ≤r M ↾ R'
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
R' : Set α
M : Matroid α
h : R ⊆ R'

⊢ M ↾ R' ↾ R ≤r M ↾ R'
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Implicit.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented

⊢ HasStrictFDerivAt (implicitFunctionOfComplemented f f' hf hf' hker (f a)) (LinearMap.ker f').subtypeL 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Implicit.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented

⊢ 0 = (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).rightFun (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).pt
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Implicit.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented

⊢ (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).rightDeriv.comp (LinearMap.ker f').subtypeL = ContinuousLinearMap.id 𝕜 ↥(LinearMap.ker f')
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Implicit.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented

⊢ (implicitFunctionDataOfComplemented f f' hf hf' hker).leftDeriv.comp (LinearMap.ker f').subtypeL = 0
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α

⊢ rtakeWhile p (l ++ [x]) = if p x = true then rtakeWhile p l ++ [x] else []
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α

⊢ (match p x with | true => x :: takeWhile p l.reverse | false => []).reverse = if p x = true then (takeWhile p l.reverse).reverse ++ [x] else []
-- Mathlib/CategoryTheory/EqToHom.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
H : D ⥤ E
hobj : ∀ (X : C), F.obj X = G.obj X
hmap : ∀ {X Y : C} (f : X ⟶ Y), HEq (F.map f) (G.map f)

⊢ HEq ((F ⋙ H).map f) ((G ⋙ H).map f)
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝³ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : Algebra K F
x : L
hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)

⊢ (algebraMap K F) ((Algebra.trace K ↥K⟮x⟯) (gen K x)) = ((minpoly K x).aroots F).sum
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝³ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : Algebra K F
x : L
hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
injKxL : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥K⟮x⟯) L)

⊢ (algebraMap K F) ((Algebra.trace K ↥K⟮x⟯) (gen K x)) = ((minpoly K x).aroots F).sum
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝³ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : Algebra K F
x : L
hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
injKxL : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥K⟮x⟯) L)
hx : IsIntegral K x

⊢ (algebraMap K F) ((Algebra.trace K ↥K⟮x⟯) (gen K x)) = ((minpoly K x).aroots F).sum
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝³ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : Algebra K F
x : L
hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
injKxL : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥K⟮x⟯) L)
hx : IsIntegral K x

⊢ Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y : Set α
hX : M.Dep X
R : Set α
hXE : autoParam (X ⊆ (M ↾ R).E) _auto✝

⊢ (M ↾ R).Dep X
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y : ℝ≥0∞
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
this : Tendsto (fun x_1 => x_1 * x) (𝓝[<] 1) (𝓝 (1 * x))

⊢ x ≤ y
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y : ℝ≥0∞
h : ∀ a < 1, a * x ≤ y
this : Tendsto (fun x_1 => x_1 * x) (𝓝[<] 1) (𝓝 x)

⊢ x ≤ y
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n k : ℕ
h : k < (l.rotate n).length

⊢ (l.rotate n)[k] = l[(k + n) % l.length]
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n k : ℕ
h : k < (l.rotate n).length

⊢ k < l.length
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰X : X.OpenCover
𝒰Y : Y.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z

⊢ (pullback f g).OpenCover
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰X : X.OpenCover
𝒰Y : Y.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z

⊢ ∀ (i : 𝒰X.J × 𝒰Y.J), pullback.map (𝒰X.map i.1 ≫ f) (𝒰Y.map i.2 ≫ g) f g (𝒰X.map i.1) (𝒰Y.map i.2) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (Iso.refl ((fun ij => pullback (𝒰X.map ij.1 ≫ f) (𝒰Y.map ij.2 ≫ g)) i)).hom ≫ ((openCoverOfLeft 𝒰X f g).bind fun x => openCoverOfRight 𝒰Y (𝒰X.map x ≫ f) g).map ((Equiv.sigmaEquivProd 𝒰X.J 𝒰Y.J).symm i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰X : X.OpenCover
𝒰Y : Y.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : 𝒰X.J
j : 𝒰Y.J

⊢ pullback.map (𝒰X.map (i, j).1 ≫ f) (𝒰Y.map (i, j).2 ≫ g) f g (𝒰X.map (i, j).1) (𝒰Y.map (i, j).2) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (Iso.refl ((fun ij => pullback (𝒰X.map ij.1 ≫ f) (𝒰Y.map ij.2 ≫ g)) (i, j))).hom ≫ ((openCoverOfLeft 𝒰X f g).bind fun x => openCoverOfRight 𝒰Y (𝒰X.map x ≫ f) g).map ((Equiv.sigmaEquivProd 𝒰X.J 𝒰Y.J).symm (i, j))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f

⊢ IsZero Y ↔ f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f

⊢ 𝟙 Y = 0 ↔ f = 0
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Defs.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
s : R

⊢ (xgcd 0 s).1 = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.41001, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.41005, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.41009, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.41013, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
iso : (a : A) → F.functor a ≅ G.functor a
comm : ∀ (n a a' : A) (ha' : n + a = a'), (F.shiftIso n a a' ha').hom ≫ (iso a).hom = whiskerRight (iso a').hom (shiftFunctor D n) ≫ (G.shiftIso n a a' ha').hom
n a a' : A
ha' : n + a = a'

⊢ (G.shiftIso n a a' ha').hom ≫ (iso a).inv = whiskerRight (iso a').inv (shiftFunctor D n) ≫ (F.shiftIso n a a' ha').hom
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s : Multiset α
a : α

⊢ ∀ (a_1 : α) (s : Multiset α), (s.lcm ∣ a ↔ ∀ b ∈ s, b ∣ a) → ((a_1 ::ₘ s).lcm ∣ a ↔ ∀ b ∈ a_1 ::ₘ s, b ∣ a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν✝
μ : Measure α
ν : Measure β
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : generateFrom C = inst✝⁶
hD : generateFrom D = inst✝⁴
h2C : IsPiSystem C
h2D : IsPiSystem D
h3C : μ.FiniteSpanningSetsIn C
h3D : ν.FiniteSpanningSetsIn D
μν : Measure (α × β)
h₁ : ∀ s ∈ C, ∀ t ∈ D, μν (s ×ˢ t) = μ s * ν t

⊢ μ.prod ν = μν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν✝
μ : Measure α
ν : Measure β
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : generateFrom C = inst✝⁶
hD : generateFrom D = inst✝⁴
h2C : IsPiSystem C
h2D : IsPiSystem D
h3C : μ.FiniteSpanningSetsIn C
h3D : ν.FiniteSpanningSetsIn D
μν : Measure (α × β)
h₁ : ∀ s ∈ C, ∀ t ∈ D, μν (s ×ˢ t) = μ s * ν t

⊢ ∀ s ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D, (μ.prod ν) s = μν s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν✝
μ : Measure α
ν : Measure β
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : generateFrom C = inst✝⁶
hD : generateFrom D = inst✝⁴
h2C : IsPiSystem C
h2D : IsPiSystem D
h3C : μ.FiniteSpanningSetsIn C
h3D : ν.FiniteSpanningSetsIn D
μν : Measure (α × β)
h₁ : ∀ s ∈ C, ∀ t ∈ D, μν (s ×ˢ t) = μ s * ν t
s : Set α
hs : s ∈ C
t : Set β
ht : t ∈ D

⊢ (μ.prod ν) ((fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t) = μν ((fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν✝
μ : Measure α
ν : Measure β
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : generateFrom C = inst✝⁶
hD : generateFrom D = inst✝⁴
h2C : IsPiSystem C
h2D : IsPiSystem D
h3C : μ.FiniteSpanningSetsIn C
h3D : ν.FiniteSpanningSetsIn D
μν : Measure (α × β)
h₁ : ∀ s ∈ C, ∀ t ∈ D, μν (s ×ˢ t) = μ s * ν t
s : Set α
hs : s ∈ C
t : Set β
ht : t ∈ D
this : SigmaFinite ν

⊢ (μ.prod ν) ((fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t) = μν ((fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s t)
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
n : α → Filter α
ι : α → Sort u_1
p : (a : α) → ι a → Prop
s : (a : α) → ι a → Set α
hb : ∀ (a : α), (n a).HasBasis (p a) (s a)
hpure : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → a ∈ s a i
hopen : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → ∀ᶠ (x : α) in n a, s a i ∈ n x
a : α
t : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.mkOfNhds n

⊢ 𝓝 a = n a
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
n : α → Filter α
ι : α → Sort u_1
p : (a : α) → ι a → Prop
s : (a : α) → ι a → Set α
hb : ∀ (a : α), (n a).HasBasis (p a) (s a)
hpure : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → a ∈ s a i
hopen : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → ∀ᶠ (x : α) in n a, s a i ∈ n x
a : α
t : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.mkOfNhds n

⊢ 𝓝 a ≤ n a
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
n : α → Filter α
ι : α → Sort u_1
p : (a : α) → ι a → Prop
s : (a : α) → ι a → Set α
hb : ∀ (a : α), (n a).HasBasis (p a) (s a)
hpure : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → a ∈ s a i
hopen : ∀ (a : α) (i : ι a), p a i → ∀ᶠ (x : α) in n a, s a i ∈ n x
a : α
t : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.mkOfNhds n

⊢ n a ≤ 𝓝 a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean

⊢ fastGrowingε₀ 2 = 2048
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset (α × β)
f : α × β → M
this : ∀ (a : α), ∏ i ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s), f (a, i) = (Finset.filter (fun x => x.1 = a) s).prod f

⊢ ∏ᶠ (ab : α × β) (_ : ab ∈ s), f ab = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (_ : b ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s)), f (a, b)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset (α × β)
f : α × β → M
this : ∀ (a : α), ∏ i ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s), f (a, i) = (Finset.filter (fun x => x.1 = a) s).prod f

⊢ ∏ i ∈ s, f i = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (_ : b ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s)), f (a, b)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset (α × β)
f : α × β → M
this : ∀ (a : α), ∏ i ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s), f (a, i) = (Finset.filter (fun x => x.1 = a) s).prod f

⊢ ∏ i ∈ s, f i = ∏ᶠ (a : α), (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s).prod f
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset (α × β)
f : α × β → M
this : ∀ (a : α), ∏ i ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s), f (a, i) = (Finset.filter (fun x => x.1 = a) s).prod f

⊢ ∀ i ∈ s, i.1 ∈ Finset.image Prod.fst s
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset (α × β)
f : α × β → M
this : ∀ (a : α), ∏ i ∈ Finset.image Prod.snd (Finset.filter (fun ab => ab.1 = a) s), f (a, i) = (Finset.filter (fun x => x.1 = a) s).prod f

⊢ ∀ i ∈ s, ∃ a ∈ s, a.1 = i.1
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.2224, u_1} D
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ ⊤ f
-- Mathlib/Algebra/Lie/UniversalEnveloping.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
A : Type u₃
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
g : UniversalEnvelopingAlgebra R L →ₐ[R] A

⊢ ⇑g ∘ ⇑(ι R) = ⇑f ↔ g = (lift R) f
-- Mathlib/Algebra/Lie/UniversalEnveloping.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
A : Type u₃
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
g : UniversalEnvelopingAlgebra R L →ₐ[R] A

⊢ ⇑g ∘ ⇑(ι R) = ⇑f ↔ (lift R).symm g = f
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₁ π₂ : Prepartition I
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion

⊢ ∑ J ∈ π₁.boxes, integral J l f vol = ∑ J ∈ π₂.boxes, integral J l f vol
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₁ π₂ : Prepartition I
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion

⊢ Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₁) (𝓝 (∑ J ∈ π₂.boxes, integral J l f vol))
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₁ π₂ : Prepartition I
hU : π₁.iUnion = π₂.iUnion

⊢ Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₂) (𝓝 (∑ J ∈ π₂.boxes, integral J l f vol))
-- Mathlib/Order/Heyting/Regular.lean
α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α

⊢ IsRegular ⊤
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α

⊢ TotallyDisconnectedSpace ↑s ↔ IsTotallyDisconnected s
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : SecondCountableTopology V
μ : Measure V
hf : Integrable f μ
hf' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) μ
w : W

⊢ fderiv ℝ (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w = fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : Star α
inst✝ : Star β
A : Matrix n n α
h : Aᵀ.IsHermitian

⊢ A.IsHermitian
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : Star α
inst✝ : Star β
A : Matrix n n α
h : Aᵀ.IsHermitian

⊢ Aᵀᵀ.IsHermitian
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)

⊢ Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤ ↔ M = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)
H : Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤

⊢ ⊤ ≤ M
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)
H : Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤

⊢ Submodule.map (Submodule.subtype (maximalIdeal R)) ⊤ ≤ Submodule.map (Submodule.subtype (maximalIdeal R)) M
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)
H : Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤

⊢ maximalIdeal R ≤ Submodule.map (Submodule.subtype (maximalIdeal R)) M
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R
M : Submodule R ↥(maximalIdeal R)
H : Submodule.map (maximalIdeal R).toCotangent M = ⊤

⊢ maximalIdeal R ≤ Submodule.map (Submodule.subtype (maximalIdeal R)) M ⊔ maximalIdeal R • maximalIdeal R
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : α

⊢ (Iio a).card = (Iic a).card - 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n

⊢ ↑a.valMinAbs.natAbs = if a.val ≤ n / 2 then a else -a
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
this : ↑a.val - ↑n ≤ 0

⊢ ↑a.valMinAbs.natAbs = if a.val ≤ n / 2 then a else -a
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ZMod n
this : ↑a.val - ↑n ≤ 0

⊢ ↑(if a.val ≤ n / 2 then ↑a.val else ↑a.val - ↑n).natAbs = if a.val ≤ n / 2 then a else -a
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ

⊢ CompleteSpace (SeparationQuotient α) ↔ CompleteSpace α
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
K : CompactExhaustion X
s : Set X
hs : IsCompact s

⊢ ∃ n, s ⊆ interior (K n)
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
K : CompactExhaustion X
s : Set X
hs : IsCompact s

⊢ s ⊆ ⋃ i, (interior ∘ ⇑K) i
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
K : CompactExhaustion X
s : Set X
hs : IsCompact s

⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (interior ∘ ⇑K)