ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set X
x : ↑S

⊢ 𝓝[≠] x = ⊥ ↔ 𝓝[≠] ↑x ⊓ 𝓟 S = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ

⊢ (coeff R n) f.derivativeFun = (coeff R (n + 1)) f * (↑n + 1)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens

⊢ f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U = U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : X.Opens

⊢ ↑(f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U) = ↑U
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ

⊢ UniformContinuous fun x => f x ^ ↑n
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ

⊢ UniformContinuous fun x => f x ^ n
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ

⊢ UniformContinuous fun x => f x ^ Int.negSucc n
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
n : ℕ

⊢ UniformContinuous fun x => (f x ^ (n + 1))⁻¹
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
n : Nat
l : List α

⊢ (l.set n a)[n]? = (fun x => a) <$> l[n]?
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • x + b • y ∈ interior (⇑f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • f x + b • f y ∈ interior s
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : α
h : a < b

⊢ a ::ₘ Ioo a b = Ico a b
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → β
t : Set α
h : InjOn f s
hst : t ⊆ s

⊢ f '' (s \ t) = f '' s \ f '' t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ (setToL1 ⋯) f = c • (setToL1 hT) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ setToL1 ⋯ = c • setToL1 hT
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ (c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ ((c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ)) f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ c • (setToL1 hT) ↑f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ (⇑f)^[n] x = x + ↑n * ↑m ↔ f x = x + ↑m
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsPreconnected s
P : α → α → Prop
h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y ∧ P y x
h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
Q : ↑s → ↑s → Prop := fun a b => P ↑a ↑b

⊢ Q ⟨x, hx⟩ ⟨y, hy⟩
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsPreconnected s
P : α → α → Prop
h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y ∧ P y x
h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
Q : ↑s → ↑s → Prop := fun a b => P ↑a ↑b
this : PreconnectedSpace ↑s

⊢ Q ⟨x, hx⟩ ⟨y, hy⟩
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsPreconnected s
P : α → α → Prop
h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y ∧ P y x
h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
Q : ↑s → ↑s → Prop := fun a b => P ↑a ↑b
this : PreconnectedSpace ↑s

⊢ ∀ (x : { x // x ∈ s }), ∀ᶠ (y : { x // x ∈ s }) in 𝓝 x, Q x y ∧ Q y x
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsPreconnected s
P : α → α → Prop
h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y ∧ P y x
h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
Q : ↑s → ↑s → Prop := fun a b => P ↑a ↑b
this : PreconnectedSpace ↑s

⊢ Transitive Q
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K

⊢ minpoly ℤ μ ∣ X ^ n - 1
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
h : IsPrimitiveRoot μ 0

⊢ minpoly ℤ μ ∣ X ^ 0 - 1
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
h0 : n > 0

⊢ minpoly ℤ μ ∣ X ^ n - 1
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
h0 : n > 0

⊢ (Polynomial.aeval μ) (X ^ n - 1) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n p : ℕ
pp : Prime p

⊢ p.properDivisors = {1}
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
inst✝ : IsTrans α R
hl : Chain R a l₂
h : l₁ <+ l₂

⊢ Chain R a l₁
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
inst✝ : IsTrans α R
hl : Pairwise R (a :: l₂)
h : l₁ <+ l₂

⊢ Pairwise R (a :: l₁)
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P : Karoubi C

⊢ (eqToHom ⋯).f = P.p ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₄ p₅ p₆

⊢ AffineIndependent ℝ ![p₁, p₂, p₃] ↔ AffineIndependent ℝ ![p₄, p₅, p₆]
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ

⊢ (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b

⊢ (↑a * ↑b) ^ 0 = ↑a ^ 0 * ↑b ^ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0

⊢ (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
b : ℝ
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha : 0 ≤ 0

⊢ (↑0 * ↑b) ^ r = ↑0 ^ r * ↑b ^ r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a

⊢ (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
hb : 0 ≤ 0

⊢ (↑a * ↑0) ^ r = ↑a ^ r * ↑0 ^ r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
hb' : 0 < b

⊢ (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
hb' : 0 < b
ha'' : ↑a ≠ 0

⊢ (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
r : ℂ
hr : r ≠ 0
ha' : 0 < a
hb' : 0 < b
ha'' : ↑a ≠ 0
hb'' : ↑b ≠ 0

⊢ (↑a * ↑b) ^ r = ↑a ^ r * ↑b ^ r
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (n + 1 - 0) ^ 0 ≤ n.descFactorial 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ (n + 1 - (k + 1)) ^ (k + 1) ≤ n.descFactorial (k + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ (n - k) * (n - k) ^ k ≤ (n - k) * n.descFactorial k
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ (n - k) ^ k ≤ n.descFactorial k
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
p : MvPolynomial σ R

⊢ p.totalDegree = 0 ↔ p.IsHomogeneous 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Infinite R
h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M

⊢ Module.rank R M = #M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Infinite R
h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M
this : Infinite M

⊢ Module.rank R M = #M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Infinite R
h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M
this : Infinite M
h : lift.{max u v, v} #M = lift.{v, max u v} #(ChooseBasisIndex R M →₀ R)

⊢ Module.rank R M = #M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Infinite R
h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M
this : Infinite M
h : lift.{max u v, v} #M = max (lift.{max u v, v} (Module.rank R M)) (lift.{v, u} #R)

⊢ Module.rank R M = #M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : StrongRankCondition R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Free R M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Free R M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Free R M₁
inst✝ : Infinite R
h_lt : lift.{v, u} #R < lift.{u, v} #M
this : Infinite M
h : lift.{max u v, v} #M = max (lift.{max u v, v} (Module.rank R M)) (lift.{v, u} #R)

⊢ ¬lift.{v, u} #R = lift.{max u v, v} #M
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : EMetricSpace γ
s : Set γ
hs : IsCompact s

⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s = closure t
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : EMetricSpace γ
s : Set γ
hs : IsCompact s
t : Set γ
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
hsub : s ⊆ closure t

⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ s = closure t
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+

⊢ m.gcd n = n.gcd m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+

⊢ ↑(m.gcd n) = ↑(n.gcd m)
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+

⊢ (↑m).gcd ↑n = (↑n).gcd ↑m
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S

⊢ smeval 0 x = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting

⊢ 2 * s.card ≤ Fintype.card α
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f✝ g : 𝕜 → F
c : 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s

⊢ iteratedDerivWithin n (fun z => c * f z) s x = c * iteratedDerivWithin n f s x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V' : Type u_3
G' : SimpleGraph V'
h : ∀ (n : ℕ), G'.Colorable n → G.Colorable n

⊢ ⨅ n ∈ setOf G.Colorable, ↑n ≤ ⨅ n ∈ setOf G'.Colorable, ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V' : Type u_3
G' : SimpleGraph V'
h : ∀ (n : ℕ), G'.Colorable n → G.Colorable n

⊢ ∀ (i : ℕ), G'.Colorable i → ⨅ n, ⨅ (_ : G.Colorable n), ↑n ≤ ↑i
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V' : Type u_3
G' : SimpleGraph V'
h : ∀ (n : ℕ), G'.Colorable n → G.Colorable n
m : ℕ
hc : G'.Colorable m
this : G.Colorable m

⊢ ⨅ n, ⨅ (_ : G.Colorable n), ↑n ≤ ↑m
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V' : Type u_3
G' : SimpleGraph V'
h : ∀ (n : ℕ), G'.Colorable n → G.Colorable n
m : ℕ
hc : G'.Colorable m
this : G.chromaticNumber ≤ ↑m

⊢ ⨅ n, ⨅ (_ : G.Colorable n), ↑n ≤ ↑m
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
x : ℝ

⊢ (↑(projIcc 0 1 ⋯ x)).smoothTransition = x.smoothTransition
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
x✝ x : ℝ
hx : x < 0

⊢ x.smoothTransition = smoothTransition 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
x✝ x : ℝ
hx : 1 < x

⊢ x.smoothTransition = smoothTransition 1
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
S : Finset Λ'
c : Code
k : Cont'
Hk : codeSupp c k ⊆ S

⊢ Λ'.Supports S (trNormal c k)
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
n : ℤ

⊢ Function.Commute ⇑f fun x => ↑n + x
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
φ ψ : R⟦X⟧
this : antidiagonal 1 = {(0, 1), (1, 0)}

⊢ (coeff R 1) (φ * ψ) = (coeff R 1) φ * (constantCoeff R) ψ + (coeff R 1) ψ * (constantCoeff R) φ
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
φ ψ : R⟦X⟧
this : antidiagonal 1 = {(0, 1), (1, 0)}

⊢ (0, 1) ∉ {(1, 0)}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
y₁ y₂ : β

⊢ edist ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y₁)) ((WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y₂)) = edist y₁ y₂
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ : Finset α
u✝ v✝ a b : α
inst✝ : DecidableEq α
u v : α
s : Finset α
h : filter (fun x => compress u v x ∉ 𝓒 u v s) (𝓒 u v s) = ∅

⊢ 𝓒 u v (𝓒 u v s) = 𝓒 u v s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ : Finset α
u✝ v✝ a b : α
inst✝ : DecidableEq α
u v : α
s : Finset α
h : filter (fun x => compress u v x ∉ 𝓒 u v s) (𝓒 u v s) = ∅

⊢ filter (fun x => compress u v x ∈ 𝓒 u v s) (𝓒 u v s) ∪ filter (fun x => compress u v x ∉ 𝓒 u v s) (𝓒 u v s) = 𝓒 u v s
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : G
q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)
k : ℤ

⊢ (H.quotientEquivSigmaZMod g) (g ^ k • Quotient.out' q) = ⟨q, ↑k⟩
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ

⊢ wittPolynomial p R n = ∑ i ∈ range (n + 1), C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n - i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
n : ℕ

⊢ ∀ x ∈ range (n + 1), (monomial (single x (p ^ (n - x)))) (↑p ^ x) = C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (n - x)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
n i : ℕ

⊢ (monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i) = C (↑p ^ i) * X i ^ p ^ (n - i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
n i : ℕ

⊢ X i ^ 0 = 1
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
e : α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂
hxB₁ : e ∈ B₁
hxB₂ : e ∉ B₂

⊢ ∃ y, (y ∈ B₂ ∧ y ∉ B₁) ∧ M.Base (insert y (B₁ \ {e}))
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ

⊢ (q - r).num * ↑q.den * ↑r.den = (q.num * ↑r.den - r.num * ↑q.den) * ↑(q - r).den
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp' : p ≠ 2
n : ℕ
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a

⊢ Irreducible (X ^ p ^ n - C a)
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp' : p ≠ 2
n : ℕ
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a

⊢ ∀ (p_1 : ℕ), Nat.Prime p_1 → p_1 ∣ p ^ n → ∀ (b : K), b ^ p_1 ≠ a
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp' : p ≠ 2
n : ℕ
a : K
ha : ∀ (b : K), b ^ p ≠ a
q : ℕ
hq : Nat.Prime q
hq' : q ∣ p ^ n

⊢ ∀ (b : K), b ^ q ≠ a
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p q : ℕ
hp0 : p = 0

⊢ ∑ a ∈ Ico 1 (p / 2).succ, a * q / p = (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p q : ℕ
hp0 : ¬p = 0
x : ℕ
hx : x ∈ Ico 1 (p / 2).succ

⊢ x * q / p ≤ p / 2 * q / p
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p q : ℕ
hp0 : ¬p = 0
x : ℕ
hx : x ∈ Ico 1 (p / 2).succ
this : x ≤ p / 2

⊢ x * q / p ≤ p / 2 * q / p
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p q : ℕ
hp0 : ¬p = 0

⊢ ∑ a ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (filter (fun x => x * p ≤ a * q) (Ico 1 (q / 2).succ)).card = (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p q : ℕ
hp0 : ¬p = 0

⊢ ((Ico 1 (p / 2).succ).sigma fun a => filter (fun x => x * p ≤ a * q) (Ico 1 (q / 2).succ)).card = (filter (fun x => x.2 * p ≤ x.1 * q) (Ico 1 (p / 2).succ ×ˢ Ico 1 (q / 2).succ)).card
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Algebra.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
r : AdicCauchySequence I R
x : AdicCauchySequence I M

⊢ ↑r n • Submodule.Quotient.mk (↑x n) = ↑r m • Submodule.Quotient.mk (↑x m)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : H × E
q : TM

⊢ p ∈ (chartAt (ModelProd H E) q).target ↔ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target