ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.337009, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.hom = app₃.hom ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯

⊢ g.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.inv = app₂.inv ≫ f.map' 2 3 ⋯ ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.337009, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 4
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ≅ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ≅ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ≅ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ≅ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ≅ g.obj' 4 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁.hom = app₀.hom ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂.hom = app₁.hom ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃.hom = app₂.hom ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.hom = app₃.hom ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯

⊢ g.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄.inv = app₃.inv ≫ f.map' 3 4 ⋯ ⋯
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
S : Multiset α

⊢ S.toFinset.prod id ∣ S.prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
S : Multiset α

⊢ (map id S.toFinset.val).prod ∣ S.prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
S : Multiset α

⊢ map id S.toFinset.val ≤ S
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : a * b ≤ c * d

⊢ min a b ≤ max c d
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : a * b ≤ c * d

⊢ (a ≤ c ∨ a ≤ d) ∨ b ≤ c ∨ b ≤ d
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : (c < a ∧ d < a) ∧ c < b ∧ d < b

⊢ c * d < a * b
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
q n : ℕ
x y : R
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)

⊢ (x - y) ^ q ^ n = x ^ q ^ n - y ^ q ^ n
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)

⊢ HasFiniteIntegral f ((κ ⊗ₖ η) a) ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) (η (a, x))) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)

⊢ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)) (η (a, x))) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a) ↔ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) (η (a, x))) ∧ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)

⊢ (∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)) (η (a, x))) ↔ ∀ᵐ (x : β) ∂κ a, HasFiniteIntegral (fun y => f (x, y)) (η (a, x))
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → E
h1f : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)

⊢ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖AEStronglyMeasurable.mk f h1f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a) ↔ HasFiniteIntegral (fun x => ∫ (y : γ), ‖f (x, y)‖ ∂η (a, x)) (κ a)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set (OuterMeasure α)
s : Set α
hm : m.Nonempty

⊢ (restrict s) (sInf m) = sInf (⇑(restrict s) '' m)
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0

⊢ x⁻¹⁻¹ = 1 * x⁻¹⁻¹
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0

⊢ 1 * x⁻¹⁻¹ = x * x⁻¹ * x⁻¹⁻¹
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0

⊢ x * x⁻¹ * x⁻¹⁻¹ = x
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0

⊢ x⁻¹.fst ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionSemiring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
hx : x.fst ≠ 0

⊢ x.fst⁻¹ ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
hg : AnalyticAt 𝕜 g z₀

⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = g z) ∨ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ g z
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β

⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : β) in 𝓝[s] b, dist (f x) (f b) < ε
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop

⊢ ℵ₀ < univ.{u, v}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{max (u + 1) v}
h : c < univ.{u, v}

⊢ 2 ^ c < univ.{u, v}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u}
h : lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}

⊢ 2 ^ lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u}
h : lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}

⊢ lift.{max (u + 1) v, u} (2 ^ c) < univ.{u, v}
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/InjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasInjectiveResolutions C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0

⊢ (injectiveResolutions C).map f ≫ J.iso.hom = I.iso.hom ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℕ)).map φ
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/InjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasInjectiveResolutions C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0

⊢ Homotopy (desc f (injectiveResolution Y) (injectiveResolution X) ≫ ((injectiveResolution Y).homotopyEquiv J).hom) (((injectiveResolution X).homotopyEquiv I).hom ≫ φ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t → f x = 0
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict t)

⊢ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t → f x = 0
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict t)
this : ∫ (x : X) in t, AEStronglyMeasurable.mk f hf x ∂μ = 0

⊢ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t → f x = 0
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict t)
this : ∫ (x : X) in t, AEStronglyMeasurable.mk f hf x ∂μ = 0

⊢ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in t, AEStronglyMeasurable.mk f hf x ∂μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Free R M'
inst✝ : Module.Free R M₁

⊢ Module.rank R (M × M') = lift.{v', v} (Module.rank R M) + lift.{v, v'} (Module.rank R M')
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : IsTerminal X
f : X ⟶ Y

⊢ Mono f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : IsTerminal X
f : X ⟶ Y
this : IsSplitMono f

⊢ Mono f
-- Mathlib/ModelTheory/Basic.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
a₁✝ a₂✝ : M ≃[L] N
h : a₁✝.toEmbedding = a₂✝.toEmbedding

⊢ a₁✝ = a₂✝
-- Mathlib/ModelTheory/Basic.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
a₁✝ a₂✝ : M ≃[L] N
h : a₁✝.toEmbedding = a₂✝.toEmbedding

⊢ (fun f => ⇑f) a₁✝ = (fun f => ⇑f) a₂✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (colim ⋙ G).map f ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) Y✝).hom = ((fun F => preservesColimitIso G F) X✝).hom ≫ ((whiskeringRight J C D).obj G ⋙ colim).map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ ((fun F => preservesColimitIso G F) X✝).inv ≫ (colim ⋙ G).map f = ((whiskeringRight J C D).obj G ⋙ colim).map f ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) Y✝).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ ∀ (j : J), colimit.ι (((whiskeringRight J C D).obj G).obj X✝) j ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) X✝).inv ≫ (colim ⋙ G).map f = colimit.ι (((whiskeringRight J C D).obj G).obj X✝) j ≫ ((whiskeringRight J C D).obj G ⋙ colim).map f ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) Y✝).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J

⊢ colimit.ι (X✝ ⋙ G) j ≫ (preservesColimitIso G X✝).inv ≫ G.map (colimMap f) = (whiskerRight f G).app j ≫ colimit.ι (Y✝ ⋙ G) j ≫ (preservesColimitIso G Y✝).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J

⊢ G.map (colimit.ι X✝ j ≫ colimMap f) = G.map (f.app j ≫ colimit.ι Y✝ j)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S T : Subsemigroup M

⊢ ∀ {x : M}, x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S T : Subsemigroup M
this : T ≤ S ⊔ T

⊢ ∀ {x : M}, x ∈ T → x ∈ S ⊔ T
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Roth.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ

⊢ (fun N => ↑(rothNumberNat N)) =o[atTop] fun N => ↑N
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Roth.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε : ℝ

⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∃ a, ∀ b ≥ a, ↑(rothNumberNat b) ≤ c * ↑b
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Roth.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n✝ : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : n ≥ cornersTheoremBound (ε / 3)

⊢ ↑(rothNumberNat n) ≤ ε * ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Roth.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n✝ : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : n ≥ cornersTheoremBound (ε / 3)
A : Finset ℕ
hs₁ : A ⊆ range n
hs₂ : A.card = rothNumberNat n
hs₃ : ThreeAPFree ↑A

⊢ ↑(rothNumberNat n) ≤ ε * ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Roth.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n✝ : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : n ≥ cornersTheoremBound (ε / 3)
A : Finset ℕ
hs₁ : A ⊆ range n
hs₂ : A.card = rothNumberNat n
hs₃ : ThreeAPFree ↑A

⊢ ¬ε * ↑n < ↑A.card
-- Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁶ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace T
inst✝⁴ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : MulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
x : α
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : c ≠ 0

⊢ c • s ∈ 𝓝 (c • x)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁶ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace T
inst✝⁴ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : MulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
x : α
hs : ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ x ∈ t
hc : c ≠ 0

⊢ ∃ t ⊆ c • s, IsOpen t ∧ c • x ∈ t
-- Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝⁶ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace T
inst✝⁴ : MulAction Γ T
G₀ : Type u_6
inst✝³ : GroupWithZero G₀
inst✝² : MulAction G₀ α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ α
c : G₀
s : Set α
x : α
hc : c ≠ 0
U : Set α
hs' : U ⊆ s
hU : IsOpen U
hU' : x ∈ U

⊢ ∃ t ⊆ c • s, IsOpen t ∧ c • x ∈ t
-- Mathlib/Data/W/Basic.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : Type u_3
fγ : (a : α) × (β a → γ) → γ
fγ_injective : Function.Injective fγ
a₁ : α
f₁ : β a₁ → WType β
a₂ : α
f₂ : β a₂ → WType β
h : elim γ fγ (mk a₁ f₁) = elim γ fγ (mk a₂ f₂)

⊢ mk a₁ f₁ = mk a₂ f₂
-- Mathlib/Data/W/Basic.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : Type u_3
fγ : (a : α) × (β a → γ) → γ
fγ_injective : Function.Injective fγ
a₁ : α
f₁ f₂ : β a₁ → WType β
h✝ : elim γ fγ (mk a₁ f₁) = elim γ fγ (mk a₁ f₂)
h : HEq (fun b => elim γ fγ (f₁ b)) fun b => elim γ fγ (f₂ b)

⊢ mk a₁ f₁ = mk a₁ f₂
-- Mathlib/Data/W/Basic.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : Type u_3
fγ : (a : α) × (β a → γ) → γ
fγ_injective : Function.Injective fγ
a₁ : α
f₁ f₂ : β a₁ → WType β
h✝ : elim γ fγ (mk a₁ f₁) = elim γ fγ (mk a₁ f₂)
h : HEq (fun b => elim γ fγ (f₁ b)) fun b => elim γ fγ (f₂ b)
x : β a₁

⊢ f₁ x = f₂ x
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n

⊢ qrSign m n = qrSign n m
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
inst✝ : Nonempty α

⊢ #(List α) = max #α ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
inst✝ : Nonempty α
h✝ : Finite α

⊢ #(List α) = max #α ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
inst✝ : Nonempty α
h✝ : Infinite α

⊢ #(List α) = max #α ℵ₀
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
x y n : ℕ
hx : x < 2 ^ n
hy : y < 2 ^ n

⊢ bitwise f x y < 2 ^ n
-- Mathlib/Algebra/Homology/ExactSequence.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n
S : ComposableArrows C (n + 2)
hS : S.Exact

⊢ S.δlast.Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/ExactSequence.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n
S : ComposableArrows C (n + 2)
hS : S.δlast.Exact ∧ (mk₂ (S.map' n (n + 1) ⋯ ⋯) (S.map' (n + 1) (n + 2) ⋯ ⋯)).Exact

⊢ S.δlast.Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)

⊢ (nullHomotopicMap fun i j => dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0).f k₀ = h k₀ k₁ r₁₀ ≫ D.d k₁ k₀
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)

⊢ (dite (c.Rel k₁ k₀) (h k₀ k₁) fun x => 0) ≫ D.d k₁ k₀ = h k₀ k₁ r₁₀ ≫ D.d k₁ k₀
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
I : Set ι
hI : I.Countable
f : ι → Set X
hf : ∀ i ∈ I, IsOpen (f i)

⊢ ∀ t ∈ f '' I, IsOpen t
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
I : Set ι
hI : I.Countable
f : ι → Set X
hf : ∀ i ∈ I, IsOpen (f i)

⊢ ⋂ i ∈ I, f i = ⋂₀ (f '' I)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M

⊢ baseChange A (span R s) = span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M

⊢ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' ↑(span R s)) = span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M

⊢ ⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' ↑(span R s) ⊆ ↑(span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M
m : M
hm : m ∈ span R s

⊢ ((TensorProduct.mk R A M) 1) m ∈ ↑(span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M
m : M
hm : m ∈ span R s

⊢ ∀ x ∈ s, 1 ⊗ₜ[R] x ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M
m : M
hm : m ∈ span R s

⊢ 1 ⊗ₜ[R] 0 ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M
m : M
hm : m ∈ span R s

⊢ ∀ (x y : M), 1 ⊗ₜ[R] x ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s) → 1 ⊗ₜ[R] y ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s) → 1 ⊗ₜ[R] (x + y) ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
s : Set M
m : M
hm : m ∈ span R s

⊢ ∀ (a : R) (x : M), 1 ⊗ₜ[R] x ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s) → 1 ⊗ₜ[R] (a • x) ∈ span A (⇑((TensorProduct.mk R A M) 1) '' s)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean

⊢ -π < π / 2 ∧ π / 2 ≤ π
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Acyclic.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree

⊢ G.edgeFinset.card + 1 = Fintype.card V
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Acyclic.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this : Nonempty V

⊢ G.edgeFinset.card + 1 = Fintype.card V
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
t : Set ι
s : ι → Set β
w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤
x : β

⊢ ∃ i ∈ t, x ∈ s i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
t : Set ι
s : ι → Set β
w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤
x : β
p : x ∈ ⊤

⊢ ∃ i ∈ t, x ∈ s i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
t : Set ι
s : ι → Set β
w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤
x : β
p : ∃ i, x ∈ ⋃ (_ : i ∈ t), s i

⊢ ∃ i ∈ t, x ∈ s i