ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ y✝ : α

⊢ (∃ a b, (a ∈ s ∧ b ∈ s) ∧ s(a, b) = s(x✝, y✝)) ∧ s(x✝, y✝).IsDiag ↔ ∃ a b, (a ∈ s ∧ a = b) ∧ s(a, b) = s(x✝, y✝)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
m n✝ : ℕ

⊢ ↑(-1) = n✝ + 1
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
m n✝ : ℕ

⊢ n✝ + 1 < n✝ + 1 + 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
X✝ Y✝ Z✝ : CommRingCatᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ { obj := fun R => sheafedSpaceObj (unop R), map := fun {X Y} f => sheafedSpaceMap f.unop }.map (f ≫ g) = { obj := fun R => sheafedSpaceObj (unop R), map := fun {X Y} f => sheafedSpaceMap f.unop }.map f ≫ { obj := fun R => sheafedSpaceObj (unop R), map := fun {X Y} f => sheafedSpaceMap f.unop }.map g
-- Mathlib/Data/Finset/Density.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α

⊢ (s ∩ t).dens + (s \ t).dens = s.dens
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
r : β
s : Set α
f : α →ₛ β
hs : MeasurableSet s

⊢ r ∈ (f.restrict s).range ↔ r = 0 ∧ s ≠ univ ∨ r ∈ ↑f '' s
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝⁴ : DecidableEq o
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : (i : o) → DecidableEq (m' i)
inst✝ : One α

⊢ (blockDiagonal' fun i => diagonal fun x => 1) = diagonal fun x => 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
s : Finset β
hf : mulSupport f ⊆ ↑s

⊢ ∏' (b : β), f b = ∏ b ∈ s, f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
y : β

⊢ μ.prod (dirac y) = map (fun x => (x, y)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
y : β

⊢ (sum fun i => (sFiniteSeq μ i).prod (dirac y)) = sum fun i => map (fun x => (x, y)) (sFiniteSeq μ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
y : β
i : ℕ

⊢ (sFiniteSeq μ i).prod (dirac y) = map (fun x => (x, y)) (sFiniteSeq μ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
y : β
i : ℕ
s : Set α
t : Set β
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

⊢ (map (fun x => (x, y)) (sFiniteSeq μ i)) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq μ i) s * (dirac y) t
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.18500
s✝ t s : Finset α

⊢ Multiset.map val (powersetCard 1 s).val = Multiset.map val (map { toFun := singleton, inj' := ⋯ } s).val
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a : α

⊢ IsUpperSet s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Ici a ⊆ s
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
k : ℕ

⊢ multichoose 2 k = ↑k + 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y

⊢ (f x - f a) / (x - a) < (f y - f a) / (y - a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x < a

⊢ (f x - f a) / (x - a) < (f y - f a) / (y - a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x < y
hxa : x > a

⊢ (f x - f a) / (x - a) < (f y - f a) / (y - a)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s

⊢ atTop = generate (Ici '' s)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s
x : α

⊢ ∃ y ∈ s, x ≤ y
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s
x y : α
hy : y ∈ s
hy' : x < y

⊢ ∃ y ∈ s, x ≤ y
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
h : a < b
s : Set α

⊢ [s ∈ 𝓝[≤] b, s ∈ 𝓝[Icc a b] b, s ∈ 𝓝[Ioc a b] b, ∃ l ∈ Ico a b, Ioc l b ⊆ s, ∃ l ∈ Iio b, Ioc l b ⊆ s].TFAE
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
e : toKaroubi (ChainComplex C ℕ) ⋙ Γ₂ ⋙ N₂ ≅ toKaroubi (ChainComplex C ℕ) ⋙ 𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ)) := N₂Γ₂ToKaroubiIso ≪≫ N₁Γ₀

⊢ whiskerLeft (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)) N₂Γ₂.hom = N₂Γ₂ToKaroubiIso.hom ≫ N₁Γ₀.hom
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
e : toKaroubi (ChainComplex C ℕ) ⋙ Γ₂ ⋙ N₂ ≅ toKaroubi (ChainComplex C ℕ) ⋙ 𝟭 (Karoubi (ChainComplex C ℕ)) := N₂Γ₂ToKaroubiIso ≪≫ N₁Γ₀
h : ((whiskeringLeft (ChainComplex C ℕ) (Karoubi (ChainComplex C ℕ)) (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (toKaroubi (ChainComplex C ℕ))).map (((whiskeringLeft (ChainComplex C ℕ) (Karoubi (ChainComplex C ℕ)) (Karoubi (ChainComplex C ℕ))).obj (toKaroubi (ChainComplex C ℕ))).preimage e.hom) = e.hom

⊢ whiskerLeft (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)) N₂Γ₂.hom = N₂Γ₂ToKaroubiIso.hom ≫ N₁Γ₀.hom
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
z✝ y x✝ : ℝ
x z : ℂ
hz : ‖z‖ ≤ 1

⊢ cexp (x + z) - cexp x - z * cexp x = cexp x * (cexp z - 1 - z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
z✝ y x✝ : ℝ
x z : ℂ
hz : ‖z‖ ≤ 1

⊢ cexp x * cexp z - cexp x - z * cexp x = cexp x * (cexp z - 1 - z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hb : 1 < b
h : 0 < x
h₁ : 0 < y

⊢ logb b x ≤ logb b y ↔ x ≤ y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
a : α
σ : Perm β
x✝¹ : α × β
a' : α
b : β
hab : (prodExtendRight a σ) (a', b) ≠ (a', b)
x✝ : (prodExtendRight a σ) ((prodExtendRight a σ) (a', b)) ≠ (prodExtendRight a σ) (a', b)

⊢ (fun ab x => ab.2) ((prodExtendRight a σ) (a', b)) x✝ = σ ((fun ab x => ab.2) (a', b) hab)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
a : α
σ : Perm β
x✝¹ x✝ : α × β
a₁ : α
b₁ : β
hab₁ : (prodExtendRight a σ) (a₁, b₁) ≠ (a₁, b₁)
a₂ : α
b₂ : β
hab₂ : (prodExtendRight a σ) (a₂, b₂) ≠ (a₂, b₂)
h : (fun ab x => ab.2) (a₁, b₁) hab₁ = (fun ab x => ab.2) (a₂, b₂) hab₂

⊢ (a₁, b₁) = (a₂, b₂)
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CharZero α
m n : ℕ

⊢ ↑n < 1 ↔ n = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

⊢ ∃ q, ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - q) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
x : ℚ_[p]
hx : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε

⊢ ∃ q, ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - q) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
x : ℚ_[p]
hx : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N

⊢ padicNormE (↑f i - x) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
x : ℚ_[p]
hx : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε
ε : ℚ
hε : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (x - ↑f i) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N

⊢ padicNormE (x - ↑f i) < ε
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MStructure.lean
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q

⊢ IsLprojection X (P + Q - P * Q)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MStructure.lean
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q

⊢ P + Q - P * Q = 1 - (1 - P) * (1 - Q)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : (p * p.mirror).leadingCoeff = (q * q.mirror).leadingCoeff

⊢ q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x

⊢ q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : eval 1 (p * p.mirror) = eval 1 (q * q.mirror)

⊢ q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : eval 1 (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w) ^ 2 = eval 1 (trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z) ^ 2

⊢ q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : (↑u + ↑v + ↑w) ^ 2 = (↑x + ↑v + ↑z) ^ 2

⊢ q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : (↑v + (↑w + ↑u)) ^ 2 = (↑v + (↑z + ↑x)) ^ 2

⊢ q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : 2 * ↑w * ↑u + 2 * ↑v * (↑w + ↑u) = 2 * ↑z * ↑x + 2 * ↑v * (↑z + ↑x)

⊢ q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : ↑w + ↑u = ↑z + ↑x

⊢ q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : ↑w = ↑z ∧ ↑u = ↑x ∨ ↑w = ↑x ∧ ↑u = ↑z

⊢ q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w x z : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑v ↑z
h : p * p.mirror = q * q.mirror
hmul : ↑w * ↑u = ↑z * ↑x
hadd : w = z ∧ u = x ∨ w = x ∧ u = z

⊢ q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.697927) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ 0 ≤ cfc f a ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, 0 ≤ f x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ (∀ (a_1 : ↑(spectrum R a)), 0 a_1 ≤ { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } a_1) ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, 0 ≤ f x
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
hz : ‖z‖ = 1

⊢ (starRingEnd K) z * z = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r✝ p : R[X]
n d : ℕ
r : R

⊢ (p * (monomial n) r).coeff (d + n) = p.coeff d * r
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
B₂ F₂ : BilinForm R M
e : M' ≃ₗ[R] M
f : Module.End R M

⊢ B₂.IsPairSelfAdjoint F₂ f ↔ (B₂.comp ↑e ↑e).IsPairSelfAdjoint (F₂.comp ↑e ↑e) (e.symm.conj f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
B₂ F₂ : BilinForm R M
e : M' ≃ₗ[R] M
f : Module.End R M
hₗ : (F₂.comp ↑e ↑e).compLeft (e.symm.conj f) = (F₂.compLeft f).comp ↑e ↑e

⊢ B₂.IsPairSelfAdjoint F₂ f ↔ (B₂.comp ↑e ↑e).IsPairSelfAdjoint (F₂.comp ↑e ↑e) (e.symm.conj f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
B₂ F₂ : BilinForm R M
e : M' ≃ₗ[R] M
f : Module.End R M
hₗ : (F₂.comp ↑e ↑e).compLeft (e.symm.conj f) = (F₂.compLeft f).comp ↑e ↑e
hᵣ : (B₂.comp ↑e ↑e).compRight (e.symm.conj f) = (B₂.compRight f).comp ↑e ↑e

⊢ B₂.IsPairSelfAdjoint F₂ f ↔ (B₂.comp ↑e ↑e).IsPairSelfAdjoint (F₂.comp ↑e ↑e) (e.symm.conj f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
B₂ F₂ : BilinForm R M
e : M' ≃ₗ[R] M
f : Module.End R M
hₗ : (F₂.comp ↑e ↑e).compLeft (e.symm.conj f) = (F₂.compLeft f).comp ↑e ↑e
hᵣ : (B₂.comp ↑e ↑e).compRight (e.symm.conj f) = (B₂.compRight f).comp ↑e ↑e
he : Function.Surjective ⇑↑e

⊢ B₂.IsPairSelfAdjoint F₂ f ↔ (B₂.comp ↑e ↑e).IsPairSelfAdjoint (F₂.comp ↑e ↑e) (e.symm.conj f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
B₂ F₂ : BilinForm R M
e : M' ≃ₗ[R] M
f : Module.End R M
hₗ : (F₂.comp ↑e ↑e).compLeft (e.symm.conj f) = (F₂.compLeft f).comp ↑e ↑e
hᵣ : (B₂.comp ↑e ↑e).compRight (e.symm.conj f) = (B₂.compRight f).comp ↑e ↑e
he : Function.Surjective ⇑↑e

⊢ B₂.IsAdjointPair F₂ f f ↔ (B₂.comp ↑e ↑e).IsAdjointPair (F₂.comp ↑e ↑e) (e.symm.conj f) (e.symm.conj f)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y✝ : E
x y : Set E

⊢ ↑1 * EMetric.diam x + ↑1 * EMetric.diam y = EMetric.diam x + EMetric.diam y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : P →ₗ[R] M

⊢ (trace R P) (g ∘ₗ f ∘ₗ h) = (trace R N) (f ∘ₗ h ∘ₗ g)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
S : Submodule R M
y : M
hy : y ∈ S

⊢ (f.domRestrict S) ⟨y, hy⟩ ∈ range f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Seminorm.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
x y : R
r : ℝ
inst✝ : Ring R
p : RingSeminorm R
hp : p 1 ≤ 1

⊢ p 1 = 1 ↔ p ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Seminorm.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
x y : R
r : ℝ
inst✝ : Ring R
p : RingSeminorm R
hp : p 1 ≤ 1
h : p ≠ 0

⊢ p 1 = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Seminorm.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
x y : R
r : ℝ
inst✝ : Ring R
p : RingSeminorm R
hp : p 1 ≤ 1
h : p ≠ 0
hp0 : p 1 = 0

⊢ p 1 = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Seminorm.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
x y : R
r : ℝ
inst✝ : Ring R
p : RingSeminorm R
hp : p 1 ≤ 1
h : p ≠ 0
hp0 : 0 < p 1

⊢ p 1 = 1
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
c : α → β
h : ∀ (a b : α), c a = c b
this : (fun x => (c x.1, c x.2)) ⁻¹' idRel = univ

⊢ 𝓤 α ≤ comap (fun x => (c x.1, c x.2)) (𝓟 idRel)
-- Mathlib/Topology/Order/Lattice.lean
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousWithinAt (f i) t x

⊢ ContinuousWithinAt (s.sup' hne f) t x