ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Mono (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)
ψ : mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) ⟶ mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) := homMk₃ (𝟙 ((mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)).obj' 0 ⋯)) (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) ⋯ ⋯ ⋯

⊢ (ShortComplex.mk ((mk₂ ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₂ ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯) ⋯).Exact
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Mono (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)
ψ : mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) ⟶ mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) := homMk₃ (𝟙 ((mk₃ 0 (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)).obj' 0 ⋯)) (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) ⋯ ⋯ ⋯

⊢ Mono (ShortComplex.mk ((mk₂ ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₂ ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₃ 0 (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯) ⋯).g
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
m : M

⊢ CompleteLattice.IsCompactElement (lieSpan R L {m})
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
m : M

⊢ ∀ (s : Set (LieSubmodule R L M)), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → lieSpan R L {m} ≤ sSup s → ∃ x ∈ s, lieSpan R L {m} ≤ x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s✝ : Set M
m : M
s : Set (LieSubmodule R L M)
hne : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hsup : lieSpan R L {m} ≤ sSup s

⊢ ∃ x ∈ s, lieSpan R L {m} ≤ x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s✝ : Set M
m : M
s : Set (LieSubmodule R L M)
hne : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hsup : m ∈ ↑(sSup s)

⊢ ∃ x ∈ s, lieSpan R L {m} ≤ x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s✝ : Set M
m : M
s : Set (LieSubmodule R L M)
hne : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hsup : m ∈ ↑(sSup s)

⊢ ↑(sSup s) = ⋃ N ∈ s, ↑N
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s✝ : Set M
m : M
s : Set (LieSubmodule R L M)
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hsup : m ∈ ↑(sSup s)
hne : Nonempty ↑s

⊢ ↑(sSup s) = ⋃ N ∈ s, ↑N
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s✝ : Set M
m : M
s : Set (LieSubmodule R L M)
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hsup : m ∈ ↑(sSup s)
hne : Nonempty ↑s
this : ↑(⨆ x, ↑↑x) = ⋃ i, ↑↑↑i

⊢ ↑(sSup s) = ⋃ N ∈ s, ↑N
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s✝ : Set M
m : M
s : Set (LieSubmodule R L M)
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hsup : m ∈ ↑(sSup s)
hne : Nonempty ↑s
this : ↑(⨆ i, ↑i) = ⋃ i ∈ s, ↑i

⊢ ↑(sSup s) = ⋃ N ∈ s, ↑N
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f✝ g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
f : X → α
hf : ∀ (x y : X), (x ~ᵢ y) → f x = f y
s : Set (SeparationQuotient X)
l : Filter α

⊢ Tendsto (lift f hf) (𝓝[s] mk x) l ↔ Tendsto f (𝓝[mk ⁻¹' s] x) l
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : TopologicalSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace δ
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β
inst✝⁹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁸ : BorelSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : PseudoMetrizableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : SecondCountableTopologyEither β γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : PseudoMetrizableSpace δ
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace δ
inst✝ : SecondCountableTopology δ
g : β → γ → δ
hg : Measurable (uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ

⊢ ↑(comp₂Measurable g hg f₁ f₂) =ᶠ[ae μ] fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : TopologicalSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace δ
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β
inst✝⁹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁸ : BorelSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : PseudoMetrizableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : SecondCountableTopologyEither β γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : PseudoMetrizableSpace δ
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace δ
inst✝ : SecondCountableTopology δ
g : β → γ → δ
hg : Measurable (uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ

⊢ ↑(mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) ⋯) =ᶠ[ae μ] fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z w : ℂ
h : z.re = w.re

⊢ edist z w = edist z.im w.im
-- Mathlib/Control/Traversable/Equiv.lean
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
x : t' α

⊢ Equiv.traverse eqv pure x = x
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Induction.lean
a b m n✝ p : ℕ
P : ℕ → Prop
zero : P 0
one : P 1
prime : ∀ (p : ℕ), Prime p → P p
composite : ∀ (a : ℕ), 2 ≤ a → P a → ∀ (b : ℕ), 2 ≤ b → P b → P (a * b)
n : ℕ

⊢ P n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Induction.lean
a b m n✝ p : ℕ
P : ℕ → Prop
zero : P 0
one : P 1
prime : ∀ (p : ℕ), Prime p → P p
composite : ∀ (a : ℕ), 2 ≤ a → P a → ∀ (b : ℕ), 2 ≤ b → P b → P (a * b)
n : ℕ

⊢ ∀ (p a : ℕ), Prime p → P a → P (p * a)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α✝ : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
α : Type u
a : Set α
h : a.Finite

⊢ {b | b ⊆ a}.Finite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α✝ : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
α : Type u
a : Set α
h : a.Finite

⊢ {b | b ⊆ a} = ↑(Finset.map Finset.coeEmb.toEmbedding h.toFinset.powerset)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α✝ : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
α : Type u
a : Set α
h : a.Finite
s : Set α

⊢ s ∈ {b | b ⊆ a} ↔ s ∈ ↑(Finset.map Finset.coeEmb.toEmbedding h.toFinset.powerset)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : a < b

⊢ (interior (Icc a b)).Nonempty
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ a + b ≤ a - c + (b + c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a b c d : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ b + a ≤ b + c + (a - c)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

⊢ constantCoeff (wittSub p n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

⊢ constantCoeff (X 0 - X 1) = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
m : M

⊢ ‖inr m‖₊ = ‖m‖₊
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset β
h : s.Nonempty
f : β → α

⊢ ↑(s.sup f) = s.sup (WithBot.some ∘ f)
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
x : Lifts F E K
s : E
h1 : IsIntegral (↥x.carrier) s
h2 : Splits x.emb.toRingHom (minpoly (↥x.carrier) s)
I2 : (minpoly (↥x.carrier) s).degree ≠ 0
this✝ : Algebra (↥x.carrier) K := x.emb.toAlgebra
carrier : IntermediateField F E := restrictScalars F (↥x.carrier)⟮s⟯
this : Algebra ↥x.carrier ↥carrier := (↥x.carrier)⟮s⟯.algebra

⊢ rootOfSplits x.emb.toRingHom h2 I2 ∈ (minpoly (↥x.carrier) s).aroots K
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
x : Lifts F E K
s : E
h1 : IsIntegral (↥x.carrier) s
h2 : Splits x.emb.toRingHom (minpoly (↥x.carrier) s)
I2 : (minpoly (↥x.carrier) s).degree ≠ 0
this✝ : Algebra (↥x.carrier) K := x.emb.toAlgebra
carrier : IntermediateField F E := restrictScalars F (↥x.carrier)⟮s⟯
this : Algebra ↥x.carrier ↥carrier := (↥x.carrier)⟮s⟯.algebra

⊢ (aeval (rootOfSplits x.emb.toRingHom h2 I2)) (minpoly (↥x.carrier) s) = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z x : ℝ

⊢ 0 ≤ 0 ^ x
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n✝ n : ℕ

⊢ ∃ k, Xor' (n = 2 * k) (n = 2 * k + 1)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n k : ℕ

⊢ Xor' (k + k = 2 * k) (k + k = 2 * k + 1)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n k : ℕ

⊢ Xor' (2 * k + 1 = 2 * k) (2 * k + 1 = 2 * k + 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∑' (a : α), f a * μ {a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞

⊢ ∑' (i : α), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ {i} • dirac i = ∑' (a : α), f a * μ {a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → ℝ≥0∞
a : α

⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ {a} • dirac a = f a * μ {a}
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Option.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s : Finset (Option α)

⊢ ∏ x ∈ eraseNone s, f x = ∏ x ∈ s, Option.elim' 1 f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'

⊢ μ[f|m] =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpL1 hm μ f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'

⊢ (if Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpL1 hm μ f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
hfi : ¬Integrable f μ

⊢ (if Integrable f μ then if StronglyMeasurable f then f else AEStronglyMeasurable'.mk ↑↑(condexpL1 hm μ f) ⋯ else 0) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpL1 hm μ f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
f : α → F'
hfi : ¬Integrable f μ

⊢ 0 =ᶠ[ae μ] ↑↑0
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ b ⇨ b ⇨ a = b ⇨ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ ν✝ : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
f : α → E
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν

⊢ ⨍ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ((μ univ).toReal / ((μ univ).toReal + (ν univ).toReal)) • ⨍ (x : α), f x ∂μ + ((ν univ).toReal / ((μ univ).toReal + (ν univ).toReal)) • ⨍ (x : α), f x ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ ν✝ : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
f : α → E
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν

⊢ ⨍ (x : α), f x ∂(μ + ν) = (μ univ + ν univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.LeftHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃

⊢ (ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).f' = φ.τ₁ ≫ h.f'
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a : α
ha : MeasurableSet {a}

⊢ count {a} = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a : α
ha : MeasurableSet {a}

⊢ ↑{a}.toFinset.card = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : SMul α β
s s₁ s₂ t u : Finset β
a : α
b x : β

⊢ x ∈ a • s ↔ ∃ y ∈ s, a • y = x
-- Mathlib/Computability/Language.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
l : Language α

⊢ l∗.reverse = l.reverse∗
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set 𝕜
hs : 0 ∉ s
r : ℝ
c : 𝕜
hc : c ∈ s

⊢ c • sphere 0 r = sphere 0 (‖c‖ * r)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set 𝕜
hs : 0 ∉ s
r : ℝ
x✝ : E

⊢ x✝ ∈ ⋃ c ∈ s, sphere 0 (‖c‖ * r) ↔ x✝ ∈ (fun x => ‖x‖) ⁻¹' ((fun x => ‖x‖ * r) '' s)
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
n m m' : ℕ
h : n ^^^ m = n ^^^ m'

⊢ m = m'
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
cs₁ cs₂ : List Char

⊢ utf8Len (cs₁ ++ cs₂) = utf8Len cs₁ + utf8Len cs₂
-- Mathlib/Topology/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
y : Scott α

⊢ IsOpen (notBelow y)
-- Mathlib/Topology/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
y : Scott α
h : Monotone (notBelow y)

⊢ IsOpen (notBelow y)
-- Mathlib/Topology/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
y : Scott α
h : Monotone (notBelow y)
c : Chain α
z : Prop

⊢ { toFun := fun x => x ∈ notBelow y, monotone' := h } (ωSup c) ≤ z ↔ ωSup (c.map { toFun := fun x => x ∈ notBelow y, monotone' := h }) ≤ z
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ → σ
g : α → List σ → Option σ
hg : Primrec₂ g
H : ∀ (a : α) (n : ℕ), g a (List.map (f a) (List.range n)) = some (f a n)
this : Primrec₂ fun a n => List.map (f a) (List.range n)
a : α
n : ℕ

⊢ (List.map (f (a, n).1) (List.range (a, n).2.succ)).get? (a, n).2 = some (f a n)
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ → σ
g : α → List σ → Option σ
hg : Primrec₂ g
H : ∀ (a : α) (n : ℕ), g a (List.map (f a) (List.range n)) = some (f a n)
a : α
n : ℕ
IH : Nat.rec (some []) (fun n IH => (a, n, IH).2.2.bind fun b => Option.map (fun b_1 => (((a, n, IH), b), b_1).1.2 ++ [(((a, n, IH), b), b_1).2]) (g ((a, n, IH), b).1.1 ((a, n, IH), b).2)) n = some (List.map (f a) (List.range n))

⊢ Nat.rec (some []) (fun n IH => (a, n, IH).2.2.bind fun b => Option.map (fun b_1 => (((a, n, IH), b), b_1).1.2 ++ [(((a, n, IH), b), b_1).2]) (g ((a, n, IH), b).1.1 ((a, n, IH), b).2)) (n + 1) = some (List.map (f a) (List.range (n + 1)))
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r : Rel α β
s : Rel β γ
x : γ
z : α

⊢ (r • s).inv x z ↔ (s.inv • r.inv) x z
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M'✝
inst✝⁵ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : FiniteDimensional K V
ι : Type u_10
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι K V
x : V
i : ι

⊢ ((B.dualBasis hB b).repr x) i = (B x) (b i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/RestrictScalars.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p : Submodule R M

⊢ restrictScalars S p = ⊤ ↔ p = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty
n : ℕ

⊢ σ (a ^ n) = (fun x => x ^ n) '' σ a
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α

⊢ closedBall x ε \ sphere x ε = ball x ε
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
x : ↥U

⊢ toOpen R U ≫ (structureSheaf R).presheaf.germ x = toStalk R ↑x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
x : ↥U

⊢ toOpen R ⊤ ≫ germ (structureSheaf R).val ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x) = toStalk R ↑x
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedRing 𝕝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a✝ b✝ : 𝕜
inst✝ : SMulCommClass 𝕝 𝕜 E
hs : Balanced 𝕝 s
a : 𝕜
b : 𝕝
ha : a • x ∈ s
hba : ‖b‖ ≤ ‖a‖

⊢ b • x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedRing 𝕝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a b✝ : 𝕜
inst✝ : SMulCommClass 𝕝 𝕜 E
hs : Balanced 𝕝 s
b : 𝕝
ha : 0 • x ∈ s
hba : ‖b‖ ≤ ‖0‖

⊢ b • x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedRing 𝕝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a✝ b✝ : 𝕜
inst✝ : SMulCommClass 𝕝 𝕜 E
hs : Balanced 𝕝 s
a : 𝕜
b : 𝕝
ha : a • x ∈ s
hba : ‖b‖ ≤ ‖a‖
ha₀ : a ≠ 0

⊢ b • x ∈ s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
ho : o ≠ 0
hbo : b ≤ o

⊢ log b (o % b ^ log b o) < log b o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
ho : o ≠ 0
hbo : b ≤ o
h : o % b ^ log b o = 0

⊢ log b (o % b ^ log b o) < log b o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
ho : o ≠ 0
hbo : b ≤ o
h : o % b ^ log b o ≠ 0

⊢ log b (o % b ^ log b o) < log b o
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
f g : Filter α
m : α → β
s : Set α
hsf : s ∈ f
hsg : s ∈ g
hm : InjOn m s

⊢ map m f = map m g ↔ f = g
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G

⊢ orderOf x ≤ 2
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h : |x| ≠ 1

⊢ orderOf x ≤ 2
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedRing G
a x : G
h : |x| = 1

⊢ orderOf x ≤ 2