ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set (β × ℝ)
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ s} ∂ν a = (κ a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set (β × ℝ)
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ ∅} ∂ν a = (κ a) ∅
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set (β × ℝ)
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ t ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) {s | MeasurableSet s} {t | MeasurableSet t}, ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ t} ∂ν a = (κ a) t
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set (β × ℝ)
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ (t : Set (β × ℝ)), MeasurableSet t → ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ t} ∂ν a = (κ a) t → ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ tᶜ} ∂ν a = (κ a) tᶜ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set (β × ℝ)
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ (f_1 : ℕ → Set (β × ℝ)), Pairwise (Disjoint on f_1) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f_1 i)) → (∀ (i : ℕ), ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ f_1 i} ∂ν a = (κ a) (f_1 i)) → ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) {y | (b, y) ∈ ⋃ i, f_1 i} ∂ν a = (κ a) (⋃ i, f_1 i)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c g h✝ x : G₀
h : a * b = 1

⊢ a⁻¹ = b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K

⊢ MeasurableSet {x | DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ K}
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K

⊢ MeasurableSet (⋂ e, ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
K : Set (E →L[𝕜] F)
hK : IsComplete K
b✝⁵ b✝⁴ b✝³ : ℕ
b✝² : b✝³ ≥ b✝⁴
b✝¹ : ℕ
b✝ : b✝¹ ≥ b✝⁴

⊢ MeasurableSet (B f K ((1 / 2) ^ b✝³) ((1 / 2) ^ b✝¹) ((1 / 2) ^ b✝⁵))
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α

⊢ a ⩿ b ↔ a ⋖ b ∨ a = b
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : NonAssocRing R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ

⊢ choose 0 (n + 1) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
n : ℤ

⊢ (T ^ n • z).im = z.im
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
s : Set ℝ≥0

⊢ ↑(sSup s) = sSup (toReal '' s)
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ

⊢ ↑(sSup ∅) = sSup (toReal '' ∅)
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
s : Set ℝ≥0
hs : s.Nonempty

⊢ ↑(sSup s) = sSup (toReal '' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
s : Submodule R M
lt : finrank R ↥s < finrank R M

⊢ s < ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
s : Submodule R M
lt : finrank R ↥s < finrank R ↥⊤

⊢ s < ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ (∃ r, 0 < r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ (∃ r, 0 < r ∧ x = r • y) ↔ SameRay R y x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ (∃ r, 0 < r ∧ r • y = x) ↔ SameRay R y x
-- Mathlib/Algebra/Module/GradedModule.lean
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Gmodule A M
a b : ⨁ (i : ιA), A i
c : ⨁ (i : ιB), M i

⊢ (a * b) • c = a • b • c
-- Mathlib/Algebra/Module/GradedModule.lean
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Gmodule A M
a b : ⨁ (i : ιA), A i
c : ⨁ (i : ιB), M i

⊢ (compHom (smulAddMonoidHom A M)).comp (mulHom A) = ((compHom flipHom) ((compHom (smulAddMonoidHom A M).flip).comp (smulAddMonoidHom A M))).flip
-- Mathlib/Algebra/Module/GradedModule.lean
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Gmodule A M
a b : ⨁ (i : ιA), A i
c : ⨁ (i : ιB), M i
ai : ιA
ax : A ai
bi : ιA
bx : A bi
ci : ιB
cx : M ci

⊢ (((((((compHom (smulAddMonoidHom A M)).comp (mulHom A)).comp (of A ai)) ax).comp (of A bi)) bx).comp (of M ci)) cx = (((((((compHom flipHom) ((compHom (smulAddMonoidHom A M).flip).comp (smulAddMonoidHom A M))).flip.comp (of A ai)) ax).comp (of A bi)) bx).comp (of M ci)) cx
-- Mathlib/Algebra/Module/GradedModule.lean
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Gmodule A M
a b : ⨁ (i : ιA), A i
c : ⨁ (i : ιB), M i
ai : ιA
ax : A ai
bi : ιA
bx : A bi
ci : ιB
cx : M ci

⊢ ((smulAddMonoidHom A M) (((mulHom A) ((of A ai) ax)) ((of A bi) bx))) ((of M ci) cx) = ((smulAddMonoidHom A M) ((of A ai) ax)) (((smulAddMonoidHom A M) ((of A bi) bx)) ((of M ci) cx))
-- Mathlib/Algebra/Module/GradedModule.lean
ιA : Type u_1
ιB : Type u_2
A : ιA → Type u_3
M : ιB → Type u_4
inst✝⁷ : AddMonoid ιA
inst✝⁶ : VAdd ιA ιB
inst✝⁵ : (i : ιA) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁴ : (i : ιB) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : DecidableEq ιA
inst✝² : DecidableEq ιB
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Gmodule A M
a b : ⨁ (i : ιA), A i
c : ⨁ (i : ιB), M i
ai : ιA
ax : A ai
bi : ιA
bx : A bi
ci : ιB
cx : M ci

⊢ (of M (ai + bi +ᵥ ci)) (GSMul.smul (GMul.mul ax bx) cx) = (of M (ai +ᵥ (bi +ᵥ ci))) (GSMul.smul ax (GSMul.smul bx cx))
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
i : ℕ
h : i < (ofFn f).length

⊢ (ofFn f)[i] = f ⟨i, ⋯⟩
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f : β → E
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a : α
g : α → β → ℝ≥0
hg : Measurable (Function.uncurry g)

⊢ ∫ (b : β), f b ∂(κ.withDensity fun a b => ↑(g a b)) a = ∫ (b : β), g a b • f b ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f : β → E
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a : α
g : α → β → ℝ≥0
hg : Measurable (Function.uncurry g)

⊢ Measurable (g a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f : β → E
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a : α
g : α → β → ℝ≥0
hg : Measurable (Function.uncurry g)

⊢ Measurable (Function.uncurry fun a b => ↑(g a b))
-- Mathlib/Order/Birkhoff.lean
α : Type u_1
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidablePred SupIrred
a b : α

⊢ (if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) (a ⊓ b) = (if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) a ∩ (if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) b
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
f : NormedAddGroupHom V₂ V₃
x✝ : V₁

⊢ (f.comp 0) x✝ = 0 x✝
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : o.card < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c.ord, f i hi b < c.ord
a : Ordinal.{u}

⊢ lift.{u, u} o.card < c
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Set α
x a : α
x✝ : x ∈ op a • s
b : α
hb : b ∈ s
Eq : (fun x => op a • x) b = x

⊢ x * a⁻¹ ∈ s
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β

⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
x : β
hx : x ∈ s

⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
x : β
hx : x ∈ s
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : ∀ {a b : α}, edist a b < ε → (a, b) ∈ u

⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
x : β
hx : x ∈ s
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : ∀ {a b : α}, edist a b < ε → (a, b) ∈ u
t : Set β
ht : t ∈ 𝓝[s] x
Ht : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, edist (f y) (F n y) < ε

⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsScott α
s : Set α
a : α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsScott β
f : α → β

⊢ ScottContinuous f ↔ Continuous f
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsScott α
s : Set α
a : α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsScott β
f : α → β
h : ScottContinuous f
u : Set β
hu : IsOpen u

⊢ IsOpen (f ⁻¹' u)
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : IsScott α
s : Set α
a : α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : IsScott β
f : α → β

⊢ Continuous f → ScottContinuous f
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
L R : List PGame

⊢ -ofLists L R = ofLists (List.map (fun x => -x) R) (List.map (fun x => -x) L)
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
L R : List PGame

⊢ (HEq (fun j => -R[↑j.down]) fun i => -R[↑i.down]) ∧ HEq (fun i => -L[↑i.down]) fun j => -L[↑j.down]
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.52660, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.52667, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.52674, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.52726, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ'✝ : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ✝ ⟶ G.op ⋙ ℱ'✝.val
ℱ ℱ' : SheafOfTypes K
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.val.obj (op X)

⊢ (appHom i.hom X ≫ appHom i.inv X) x = 𝟙 (ℱ.val.obj (op X)) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.52660, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.52667, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.52674, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.52726, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ'✝ : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ✝ ⟶ G.op ⋙ ℱ'✝.val
ℱ ℱ' : SheafOfTypes K
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.val.obj (op X)

⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ (f : G.obj Y ⟶ X), ℱ.val.map f.op ((appHom i.hom X ≫ appHom i.inv X) x) = ℱ.val.map f.op (𝟙 (ℱ.val.obj (op X)) x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.52660, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.52667, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.52674, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.52726, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ'✝ : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ✝ ⟶ G.op ⋙ ℱ'✝.val
ℱ ℱ' : SheafOfTypes K
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ'.val.obj (op X)

⊢ (appHom i.inv X ≫ appHom i.hom X) x = 𝟙 (ℱ'.val.obj (op X)) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.52660, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.52667, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.52674, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.52726, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ'✝ : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ✝ ⟶ G.op ⋙ ℱ'✝.val
ℱ ℱ' : SheafOfTypes K
i : G.op ⋙ ℱ.val ≅ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ'.val.obj (op X)

⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ (f : G.obj Y ⟶ X), ℱ'.val.map f.op ((appHom i.inv X ≫ appHom i.hom X) x) = ℱ'.val.map f.op (𝟙 (ℱ'.val.obj (op X)) x)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c x : ℕ

⊢ x ∈ Ico a.succ b ↔ x ∈ Ioo a b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane

⊢ log (1 + z) = z * ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, (1 + t • z)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane

⊢ log (1 + z) = log (1 + z) - log 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
nz : NeZero n
a : ZMod n
na : NeZero a

⊢ (-a).val = n - a.val
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z

⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r

⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r

⊢ ¬(norm ∘ f) w < (norm ∘ f) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r

⊢ ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * ‖f z‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r

⊢ ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * r * (‖f z‖ / r)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r

⊢ ‖∮ (ζ : ℂ) in C(z, r), (ζ - z)⁻¹ • f ζ‖ < 2 * π * r * (‖f z‖ / r)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r

⊢ ContinuousOn (fun ζ => (ζ - z)⁻¹ • f ζ) (sphere z r)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r

⊢ ∀ z_1 ∈ sphere z r, ‖(z_1 - z)⁻¹ • f z_1‖ ≤ ‖f z‖ / r
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r

⊢ ‖(w - z)⁻¹ • f w‖ < ‖f z‖ / r
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℂ → F
z w : ℂ
r : ℝ := dist w z
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z r)
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z r) z
hw : w ∈ closedBall z r
hw_lt : ‖f w‖ < ‖f z‖
hr : 0 < r
hsub : sphere z r ⊆ closedBall z r

⊢ ‖f w‖ / abs (w - z) < ‖f z‖ / r
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/Finite.lean
R S T : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
hf : f.Finite
hg : g.Finite

⊢ (g.comp f).Finite
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x

⊢ LiftPropWithinAt P g (s ∩ t) x ↔ LiftPropWithinAt P g s x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x

⊢ ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' (s ∩ t) =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H x) x)] ↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s