ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f'✝ : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f' : α → E' × F'

⊢ (fun x => (f' x).1) =O[l] f'
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/LIntegral.lean
G : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → ℝ≥0∞
g : G

⊢ ∫⁻ (x : G), f (x / g) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α

⊢ a ∈ ⨅ i, ⨅ j, f i j ↔ ∃ i j, a ∈ f i j
-- Mathlib/Data/Set/Equitable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : OrderedSemiring β
s : Set α
hs : s.Subsingleton
f : α → β
i j : α
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s

⊢ f j ≤ f j + 1
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩

⊢ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
g2 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩

⊢ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
g2 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩
h5 : g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ = ⟨finRotate 5, ⋯⟩

⊢ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
g2 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩
h5 : g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ = ⟨finRotate 5, ⋯⟩

⊢ normalClosure {⟨finRotate 5, ⋯⟩} ≤ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩}
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
g2 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩
h5 : g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ = ⟨finRotate 5, ⋯⟩

⊢ {⟨finRotate 5, ⋯⟩} ⊆ ↑(normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩})
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
g2 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩
h5 : g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ = ⟨finRotate 5, ⋯⟩

⊢ g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ ∈ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩}
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g1 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 2 * swap 0 1, ⋯⟩
g2 : ↥(alternatingGroup (Fin 5)) := ⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩
h5 : g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ = ⟨finRotate 5, ⋯⟩
h : g2 ∈ normalClosure {g2}

⊢ g1 * g2 * g1⁻¹ * g2⁻¹ ∈ normalClosure {⟨swap 0 4 * swap 1 3, ⋯⟩}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.degree < Q.degree
hP : ¬P = 0

⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.natDegree < Q.natDegree
hP : ¬P = 0

⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.natDegree < Q.natDegree
hP : ¬P = 0

⊢ Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.natDegree < Q.natDegree
hP : ¬P = 0

⊢ Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop (𝓝 (?neg✝ * 0))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.natDegree < Q.natDegree
hP : ¬P = 0

⊢ 𝕜
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : P.natDegree < Q.natDegree
hP : ¬P = 0

⊢ ↑P.natDegree - ↑Q.natDegree < 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ θ.toReal ≤ π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝ : ℝ

⊢ (↑x✝).toReal ≤ π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝ : ℝ

⊢ π = -π + 2 * π
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' f'' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x
hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, f'' x ≤ 0

⊢ ConcaveOn ℝ D f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' f'' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x
hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, f'' x ≤ 0
this : EqOn (deriv f) f' (interior D)

⊢ ConcaveOn ℝ D f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' f'' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x
hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, f'' x ≤ 0
this : EqOn (deriv f) f' (interior D)

⊢ DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior D)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' f'' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f' (f'' x) (interior D) x
hf''₀ : ∀ x ∈ interior D, f'' x ≤ 0
this : EqOn (deriv f) f' (interior D)

⊢ ∀ x ∈ interior D, deriv^[2] f x ≤ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l

⊢ (J l R)⁻¹ = -J l R
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l

⊢ J l R * -J l R = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l

⊢ - -1 = 1
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
s : Multiset α

⊢ s.lcm = 0 ↔ 0 ∈ s
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : Nontrivial α

⊢ lcm 0 = 0 ↔ 0 ∈ 0
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
a : α
s : Multiset α
ihs : s.lcm = 0 ↔ 0 ∈ s

⊢ (a ::ₘ s).lcm = 0 ↔ 0 ∈ a ::ₘ s
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : ℍ → ℂ
A : SL(2, ℤ)
x : ℂ

⊢ Function.const ℍ x ∣[0] A = Function.const ℍ x
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : ℍ → ℂ
A : SL(2, ℤ)
x : ℂ
this : (↑↑↑A).det = 1

⊢ Function.const ℍ x ∣[0] A = Function.const ℍ x
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : ℍ → ℂ
A : SL(2, ℤ)
x : ℂ
this : (↑↑↑A).det = 1
x✝ : ℍ

⊢ (Function.const ℍ x ∣[0] A) x✝ = Function.const ℍ x x✝
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f : ℍ → ℂ
A : SL(2, ℤ)
x : ℂ
this : (↑↑↑A).det = 1
x✝ : ℍ

⊢ Function.const ℍ x (↑A • x✝) * ↑1 ^ (-1) * denom (↑A) x✝ ^ (-0) = Function.const ℍ x x✝
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : Filter (α → β)
a : α

⊢ f.seq (pure a) = map (fun g => g a) f
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : Filter (α → β)
a : α
s : Set (α → β)
hs : s ∈ f

⊢ (fun g => g a) '' s ∈ f.seq (pure a)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : Filter (α → β)
a : α
s : Set (α → β)
hs : s ∈ f
t : Set α
ht : t ∈ pure a

⊢ s.seq t ∈ map (fun g => g a) f
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Submodule.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
n : ↥N

⊢ N.lTensorOne' (1 ⊗ₜ[R] n) = n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : ℕ
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x₀
hmn : m + ↑i ≤ n

⊢ ContDiffAt 𝕜 m (iteratedFDeriv 𝕜 i f) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : ℕ
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x₀
hmn : m + ↑i ≤ n

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ) univ x₀
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Arsinh.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ cosh (arsinh x) = √(1 + x ^ 2)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
b : β i
j✝ j : ι

⊢ (update i f 0) j = (erase i f) j
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
b : β i
j : ι

⊢ (update i f 0) i = (erase i f) i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
f : Π₀ (i : ι), β i
b : β i
j✝ j : ι
hi : i ≠ j

⊢ (update i f 0) j = (erase i f) j
-- Mathlib/Data/Fintype/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
k : β
b : α → β

⊢ image (fun i => b ↑i) univ = (image b univ).erase k
-- Mathlib/Data/Fintype/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
k : β
b : α → β

⊢ image (fun i => b ↑i) univ ⊆ (image b univ).erase k
-- Mathlib/Data/Fintype/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
k : β
b : α → β

⊢ (image b univ).erase k ⊆ image (fun i => b ↑i) univ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
n : ℕ

⊢ lift.{v, u} a ≤ ↑n ↔ a ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α

⊢ s.sym2 = ∅ ↔ s = ∅
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Completion.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : Completion α

⊢ dist x y = dist y x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Completion.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : Completion α

⊢ IsClosed {x | dist x.1 x.2 = dist x.2 x.1}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Completion.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : Completion α

⊢ ∀ (a b : α), dist (↑α a) (↑α b) = dist (↑α b) (↑α a)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
fst✝¹ : Perm { a // p a }
snd✝¹ : Perm { a // ¬p a }
fst✝ : Perm { a // p a }
snd✝ : Perm { a // ¬p a }
h : (subtypeCongrHom p) (fst✝¹, snd✝¹) = (subtypeCongrHom p) (fst✝, snd✝)

⊢ (fst✝¹, snd✝¹) = (fst✝, snd✝)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
fst✝¹ : Perm { a // p a }
snd✝¹ : Perm { a // ¬p a }
fst✝ : Perm { a // p a }
snd✝ : Perm { a // ¬p a }
h : (subtypeCongrHom p) (fst✝¹, snd✝¹) = (subtypeCongrHom p) (fst✝, snd✝)

⊢ fst✝¹ = fst✝ ∧ snd✝¹ = snd✝
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≤ 2

⊢ Principal (fun x x_1 => x * x_1) o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
o : Ordinal.{u_1}
ho✝ : o ≤ 2
ho : o < 2

⊢ Principal (fun x x_1 => x * x_1) o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
ho : 2 ≤ 2

⊢ Principal (fun x x_1 => x * x_1) 2
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K

⊢ f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K
key : derivative ((X - C a) * (f /ₘ (X - C a))) = derivative (f - f %ₘ (X - C a))

⊢ f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K
key : derivative ((X - C a) * (f /ₘ (X - C a))) = derivative (f - C (eval a f))

⊢ f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K
key : (1 - derivative (C a)) * (f /ₘ (X - C a)) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f - derivative (C (eval a f))

⊢ f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K
key : f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f - derivative (C (eval a f))

⊢ f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : K[X]
a : K
key : f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f

⊢ f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : AddCommGroup β
inst✝ : Module α β
a : α
s : Set α
t : Set β

⊢ -s • t = -(s • t)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Ring α
inst✝¹ : AddCommGroup β
inst✝ : Module α β
a : α
s : Set α
t : Set β

⊢ Neg.neg '' s • t = Neg.neg '' (s • t)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ

⊢ π₁.iUnion = ∅ ↔ π₁ = ⊥
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
P : Sort v
p q : K[X]
f : K[X] → K[X] → P
f0 : ∀ (p : K[X]), f p 0 = f 0 1
H : ∀ {p q a : K[X]}, q ≠ 0 → a ≠ 0 → f (a * p) (a * q) = f p q

⊢ ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q).liftOn' f H = f p q
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Defs.lean
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
P : Sort v
p q : K[X]
f : K[X] → K[X] → P
f0 : ∀ (p : K[X]), f p 0 = f 0 1
H : ∀ {p q a : K[X]}, q ≠ 0 → a ≠ 0 → f (a * p) (a * q) = f p q

⊢ ∀ {p q p' q' : K[X]}, q ≠ 0 → q' ≠ 0 → q' * p = q * p' → f p q = f p' q'
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
hx : x ∈ f.graph

⊢ x ∈ g.graph
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
hx : ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2

⊢ ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑g y = x.2
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2

⊢ ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑g y = x.2
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2

⊢ ↑⟨↑y, ⋯⟩ = x.1 ∧ ↑g ⟨↑y, ⋯⟩ = x.2
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2

⊢ ↑g ⟨x.1, ⋯⟩ = x.2
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2

⊢ ↑g ⟨x.1, ⋯⟩ = ↑f y
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f ≤ g
x : E × F
y : ↥f.domain
hx : ↑y = x.1 ∧ ↑f y = x.2

⊢ ↑y = ↑⟨x.1, ⋯⟩
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g

⊢ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p2 𝒰 f g = s.snd
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g

⊢ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p2 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.snd
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g

⊢ ∀ (b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R), Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p2 𝒰 f g = Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.snd
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R

⊢ Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p2 𝒰 f g = Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.snd
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R

⊢ ((𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).glueMorphisms (fun i => ((pullbackSymmetry s.fst (𝒰.map i)).hom ≫ pullback.map (𝒰.map i) s.fst (𝒰.map i ≫ f) g (𝟙 (𝒰.obj i)) s.snd f ⋯ ⋯) ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i) ⋯) ≫ p2 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ s.snd
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R

⊢ (((pullbackSymmetry s.fst (𝒰.map b)).hom ≫ pullback.map (𝒰.map b) s.fst (𝒰.map b ≫ f) g (𝟙 (𝒰.obj b)) s.snd f ⋯ ⋯) ≫ (gluing 𝒰 f g).ι b) ≫ p2 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ s.snd
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsReduced Y
U : X.Opens

⊢ _root_.IsReduced ↑Γ(X, U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsReduced Y
U : X.Opens
this : U = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U

⊢ _root_.IsReduced ↑Γ(X, U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsReduced Y
U : X.Opens
this : U = f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U

⊢ _root_.IsReduced ↑Γ(X, f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
s : ℝ
hs : 1 < s

⊢ ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s - 1 / (s - 1) = 1 - s * term_tsum s
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
s : ℝ
hs : 1 < s

⊢ ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s - 1 / (s - 1) = 1 - s * (1 / (s - 1) - 1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s)
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
S : Set (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R S = ⊤

⊢ adjoin R (⋃ f ∈ S, ⇑(of R M) '' ↑f.support) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
S : Set (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R S = ⊤

⊢ ⊤ ≤ adjoin R (⋃ f ∈ S, ⇑(of R M) '' ↑f.support)
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
S : Set (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R S = ⊤

⊢ S ⊆ ↑(adjoin R (⋃ f ∈ S, ⇑(of R M) '' ↑f.support))
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Monoid M
S : Set (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R S = ⊤
f : MonoidAlgebra R M
hf : f ∈ S

⊢ f ∈ ↑(adjoin R (⋃ f ∈ S, ⇑(of R M) '' ↑f.support))