ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

⊢ Ico a a = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x y : ℝ

⊢ AntitoneOn (fun x => log x / √x) {x | rexp 2 ≤ x}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x y : ℝ

⊢ AntitoneOn (fun x => log x / x ^ (1 / 2)) {x | rexp 2 ≤ x}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x y x✝ : ℝ

⊢ 2 = 1 / (1 / 2)
-- Mathlib/Order/OrdContinuous.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
f : α → β
hf : LeftOrdContinuous f
x y : α

⊢ IsLUB (f '' {x, y}) (f x ⊔ f y)
-- Mathlib/Order/FixedPoints.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
p : α → Prop
step : ∀ (a : α), p a → a ≤ lfp f → p (f a)
hSup : ∀ (s : Set α), (∀ a ∈ s, p a) → p (sSup s)
s : Set α := {a | a ≤ lfp f ∧ p a}

⊢ p (lfp f)
-- Mathlib/Order/FixedPoints.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
p : α → Prop
step : ∀ (a : α), p a → a ≤ lfp f → p (f a)
s : Set α := {a | a ≤ lfp f ∧ p a}
hSup : p (sSup s)

⊢ p (lfp f)
-- Mathlib/Order/FixedPoints.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
p : α → Prop
step : ∀ (a : α), p a → a ≤ lfp f → p (f a)
s : Set α := {a | a ≤ lfp f ∧ p a}
hSup : p (sSup s)

⊢ sSup s = lfp f
-- Mathlib/Order/FixedPoints.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
p : α → Prop
step : ∀ (a : α), p a → a ≤ lfp f → p (f a)
s : Set α := {a | a ≤ lfp f ∧ p a}
hSup : p (sSup s)
h : sSup s ≤ lfp f

⊢ sSup s = lfp f
-- Mathlib/Order/FixedPoints.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
p : α → Prop
step : ∀ (a : α), p a → a ≤ lfp f → p (f a)
s : Set α := {a | a ≤ lfp f ∧ p a}
hSup : p (sSup s)
h : sSup s ≤ lfp f
hmem : f (sSup s) ∈ s

⊢ sSup s = lfp f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix p n R

⊢ B * (Aᴴ * A) = 0 ↔ B * Aᴴ = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ

⊢ b ≤ ⌊a + ↑n⌋₊ ↔ b ≤ ⌊a⌋₊ + n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ

⊢ ↑b ≤ a + ↑n ↔ b ≤ ⌊a⌋₊ + n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
hb : n ≤ b

⊢ ↑b ≤ a + ↑n ↔ b ≤ ⌊a⌋₊ + n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n✝ : ℕ
ha : 0 ≤ a
n b : ℕ
hb : b ≤ n

⊢ ↑b ≤ a + ↑n ↔ b ≤ ⌊a⌋₊ + n
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
q : α → Prop
inst✝ : DecidablePred q
s : Multiset α

⊢ countP p (filter q s) = countP (fun a => p a ∧ q a) s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
𝕜₄ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
inst✝³¹ : AddCommGroup E
inst✝³⁰ : AddCommGroup F
inst✝²⁹ : AddCommGroup G
inst✝²⁸ : AddCommGroup H
inst✝²⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₄
inst✝²³ : Module 𝕜 E
inst✝²² : Module 𝕜₂ F
inst✝²¹ : Module 𝕜₃ G
inst✝²⁰ : Module 𝕜₄ H
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
inst✝¹⁵ : TopologicalAddGroup G
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup H
inst✝¹³ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝¹² : ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹⁰ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
f g : E →SL[σ₁₄] H

⊢ (fun L => (↑e₄₃).comp (L.comp ↑e₁₂.symm)) (f + g) = (fun L => (↑e₄₃).comp (L.comp ↑e₁₂.symm)) f + (fun L => (↑e₄₃).comp (L.comp ↑e₁₂.symm)) g
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
𝕜₄ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
inst✝³¹ : AddCommGroup E
inst✝³⁰ : AddCommGroup F
inst✝²⁹ : AddCommGroup G
inst✝²⁸ : AddCommGroup H
inst✝²⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₄
inst✝²³ : Module 𝕜 E
inst✝²² : Module 𝕜₂ F
inst✝²¹ : Module 𝕜₃ G
inst✝²⁰ : Module 𝕜₄ H
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace F
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H
inst✝¹⁵ : TopologicalAddGroup G
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup H
inst✝¹³ : ContinuousConstSMul 𝕜₃ G
inst✝¹² : ContinuousConstSMul 𝕜₄ H
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
σ₃₄ : 𝕜₃ →+* 𝕜₄
σ₄₃ : 𝕜₄ →+* 𝕜₃
σ₂₄ : 𝕜₂ →+* 𝕜₄
σ₁₄ : 𝕜 →+* 𝕜₄
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹⁰ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ₃₄ σ₄₃
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ₄₃ σ₃₄
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₄ σ₂₄
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₂₄ σ₄₃ σ₂₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₄ σ₁₄
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₂₃ σ₃₄ σ₂₄
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₄ σ₁₄
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₁
e₁₂ : E ≃SL[σ₁₂] F
e₄₃ : H ≃SL[σ₄₃] G
t : 𝕜₄
f : E →SL[σ₁₄] H

⊢ { toFun := fun L => (↑e₄₃).comp (L.comp ↑e₁₂.symm), map_add' := ⋯ }.toFun (t • f) = σ₄₃ t • { toFun := fun L => (↑e₄₃).comp (L.comp ↑e₁₂.symm), map_add' := ⋯ }.toFun f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/IsometricSMul.lean
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝² : DivInvMonoid M
inst✝¹ : PseudoMetricSpace M
inst✝ : IsometricSMul Mᵐᵒᵖ M
a b c : M

⊢ nndist (a / c) (b / c) = nndist a b
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)

⊢ 0 < s.circumradius
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)

⊢ 0 ≠ s.circumradius
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius
hr : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), dist (s.points i) s.circumcenter = s.circumradius

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius
hr : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), s.points i = s.circumcenter

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius
hr : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), s.points i = s.circumcenter
h01 : s.points 0 ≠ s.points 1

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Hamiltonian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a

⊢ p.IsHamiltonianCycle ↔ p.IsCycle ∧ ∀ (a_1 : α), List.count a_1 p.support.tail = 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den : Nat
nz : den ≠ 0
c : num.natAbs.Coprime den

⊢ { num := num, den := den, den_nz := nz, reduced := c } = num /. ↑den
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosDef

⊢ M.PosSemidef
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
M : Matrix n n R
hM : M.PosDef

⊢ ∀ (x : n → R), 0 ≤ star x ⬝ᵥ M *ᵥ x
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsDomain B
I J J' : Submodule B L

⊢ I ≤ (J * J')ᵛ ↔ I * J ≤ J'ᵛ
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x : PartENat
n : ℕ
hx : x ≠ ⊤

⊢ x < ↑n.succ ↔ x ≤ ↑n
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
x : ↑C
i : I

⊢ ↑((ProjRestricts C h ∘ ProjRestrict C K) x) i = ↑(ProjRestrict C J x) i
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
h : ∀ (i : I), J i → K i
x : ↑C
i : I

⊢ (if J i then if K i then ↑x i else false else false) = if J i then ↑x i else false
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
x : C

⊢ adj1.unit.app x ≫ (adj1.rightAdjointUniq adj2).hom.app (F.obj x) = adj2.unit.app x
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
x : C

⊢ adj1.unit.app x ≫ adj2.unit.app (G.obj (F.obj x)) ≫ G'.map (adj1.counit.app (F.obj x)) = adj2.unit.app x
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
x : C

⊢ adj2.unit.app x ≫ G'.map (F.map (adj1.unit.app x) ≫ adj1.counit.app (F.obj x)) = adj2.unit.app x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ rexp (x + y) = rexp x * rexp y
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialSet.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 4)
h₀ : 0 < i
hₙ : i < Fin.last (n + 3)
k : ℕ
h : k < n + 2

⊢ Set.range ⇑(asOrderHom (standardSimplex.triangle ⟨k, ⋯⟩ ⟨k + 1, ⋯⟩ ⟨k + 2, ⋯⟩ ⋯ ⋯)) ∪ {i} ≠ Set.univ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialSet.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 4)
h₀ : 0 < i
hₙ : i < Fin.last (n + 3)
k : ℕ
h : k < n + 2

⊢ ∃ x, ¬i = x ∧ ∀ (x_1 : Fin (2 + 1)), ¬(Hom.toOrderHom ({ toFun := ULift.down, invFun := ULift.up, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm (Hom.mk { toFun := ![⟨k, ⋯⟩, ⟨k + 1, ⋯⟩, ⟨k + 2, ⋯⟩], monotone' := ⋯ })).down) x_1 = x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hpl : 0 < p.degree

⊢ ¬IsUnit p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hpl : 0 < p.degree
h✝ : Subsingleton R

⊢ ¬IsUnit p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hpl : 0 < p.degree
h✝ : Nontrivial R

⊢ ¬IsUnit p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hpl : 0 < p.degree
h✝ : Nontrivial R
h : IsUnit p

⊢ False
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool

⊢ bitwise f 0 0 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Defs.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
n : N
m : M

⊢ ((↑(P.reflection i).dualMap ∘ₗ P.toLin.flip) n) m = ((P.toLin.flip ∘ₗ ↑(P.coreflection i)) n) m
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)

⊢ finrank 𝕜 (X ⟶ X) = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0

⊢ finrank 𝕜 (X ⟶ X) = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0

⊢ ∀ (w : X ⟶ X), ∃ c, c • 𝟙 X = w
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X

⊢ ∃ c, c • 𝟙 X = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this : Nontrivial (End X)

⊢ ∃ c, c • 𝟙 X = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this✝ : Nontrivial (End X)
this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)

⊢ ∃ c, c • 𝟙 X = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this✝ : Nontrivial (End X)
this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)
c : 𝕜
nu : c ∈ spectrum 𝕜 (End.of f)

⊢ ∃ c, c • 𝟙 X = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this✝ : Nontrivial (End X)
this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)
c : 𝕜
nu : c ∈ spectrum 𝕜 (End.of f)

⊢ c • 𝟙 X = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Linear 𝕜 C
X : C
isIso_iff_nonzero : ∀ (f : X ⟶ X), IsIso f ↔ f ≠ 0
I : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
id_nonzero : 𝟙 X ≠ 0
f : X ⟶ X
this✝ : Nontrivial (End X)
this : FiniteDimensional 𝕜 (End X)
c : 𝕜
nu : End.of f = c • 1

⊢ c • 𝟙 X = f
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α✝ → β✝
s✝ t : Set α✝
α : Type u_6
β : Type u_7
f : α → β
s : Set α

⊢ f '' s = ∅ ↔ s = ∅
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α✝ → β✝
s✝ t : Set α✝
α : Type u_6
β : Type u_7
f : α → β
s : Set α

⊢ (∀ (x : β), x ∉ f '' s) ↔ ∀ (x : α), x ∉ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ

⊢ ⨆ i, ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
this : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))

⊢ ⨆ i, ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
this : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
w : ℝ≥0∞
hw : w < ∫⁻ (x : α), f x ∂μ

⊢ ∃ i, w < ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
this : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
w : ℝ≥0∞
hw : w < ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
m : ℝ≥0∞
hm₁ : w < m
hm₂ : m < ∫⁻ (x : α), f x ∂μ

⊢ ∃ i, w < ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ l φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
this : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))
w : ℝ≥0∞
hw : w < ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
m : ℝ≥0∞
hm₁ : w < m
hm₂ : m < ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
i : ι
hi : m ≤ ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ

⊢ ∃ i, w < ∫⁻ (x : α) in φ i, f x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ

⊢ ⟪r • x, x⟫_ℝ = r * (‖x‖ * ‖x‖)
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ 1 < s.ncard ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, a ≠ b) ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ρ.fst s = ρ (Prod.fst ⁻¹' s)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I

⊢ M.Basis I (insert e I) ↔ e ∈ M.closure I
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ

⊢ map₂ m (pure a) g = map (m a) g
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ

⊢ map ((fun p => m p.1 p.2) ∘ Prod.mk a) g = map (m a) g
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
B : Set α
f : α → ℝ≥0∞
A : Set α
hB : MeasurableSet B

⊢ ∫⁻ (x : α) in A ∩ B, f x ∂μ + ∫⁻ (x : α) in A \ B, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in A, f x ∂μ
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
n : ℕ
f : Vector ℕ n →. ℕ
g : Vector ℕ (n + 1) →. ℕ
hf : Partrec' f
hg : Partrec' g
v : Vector ℕ n

⊢ (mOfFn fun i => Fin.cases f (fun i v => ↑(some (v.get i))) i v) >>= g = (f v).bind fun a => g (a ::ᵥ v)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : SeminormedAddCommGroup W
f : V → W
M : ℝ
h : ∀ (x : V), ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖
x : V

⊢ M ≤ max M 1
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
k : ℕ

⊢ descFactorial 0 (k + 1) = 0
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
h : IsClosed (range f)
s : Set X
hs : IsClosed s

⊢ IsClosed (f '' s)
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
h : IsClosed (range f)
t : Set Y
ht : IsClosed t
hs : IsClosed (f ⁻¹' t)

⊢ IsClosed (f '' (f ⁻¹' t))
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
h : IsClosed (range f)
t : Set Y
ht : IsClosed t
hs : IsClosed (f ⁻¹' t)

⊢ IsClosed (t ∩ range f)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a b c p q✝ q : ℚ

⊢ |q| = ↑q.num.natAbs /. ↑q.den
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a b c p q✝ q : ℚ
hq : q ≤ 0

⊢ |q| = ↑q.num.natAbs /. ↑q.den
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a b c p q✝ q : ℚ
hq : 0 ≤ q

⊢ |q| = ↑q.num.natAbs /. ↑q.den
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i j k : Fin 2
hjk : 0 ≤ k
hij : 0 ≤ 0

⊢ map f 0 k ⋯ = map f 0 0 hij ≫ map f 0 k hjk
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i j k : Fin 2
hjk : 1 ≤ k
hij : 0 ≤ 1

⊢ map f 0 k ⋯ = map f 0 1 hij ≫ map f 1 k hjk
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i j : Fin 2
hij : 0 ≤ 1
hjk : 1 ≤ 1

⊢ map f 0 1 ⋯ = map f 0 1 hij ≫ map f 1 1 hjk
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i j k : Fin 2
hjk : j ≤ k
hij : 1 ≤ j

⊢ map f 1 k ⋯ = map f 1 j hij ≫ map f j k hjk