ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w✝ w₁✝ w₂✝ : ι → k
p✝ : ι → V
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

⊢ (s.weightedVSub p) w ∈ vectorSpan k {(affineCombination k s p) w₁, (affineCombination k s p) w₂} ↔ ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₁ i - w₂ i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
w✝ w₁✝ w₂✝ : ι → k
p✝ : ι → V
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1

⊢ (∃ r, r • ((affineCombination k s p) w₁ -ᵥ (affineCombination k s p) w₂) = (s.weightedVSub p) w) ↔ ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₁ i - w₂ i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
a : A
m : M
hm : m ∈ p

⊢ a ⊗ₜ[R] m ∈ baseChange A p
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
a : A
m : M
hm : m ∈ p

⊢ a • 1 ⊗ₜ[R] m ∈ baseChange A p
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
s : ↥M

⊢ mk' S 0 s = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/ContinuousAffineMap.lean
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : P →ᴬ[R] Q
h₁ : f.contLinear = 0 ↔ f.linear = 0
h₂ : ∀ (q : Q), f = const R P q ↔ f.toAffineMap = AffineMap.const R P q

⊢ f.linear = 0 ↔ ∃ q, f.toAffineMap = AffineMap.const R P q
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M i)
N : Type u₁
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
φ : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
ψ ψ' : (⨁ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i

⊢ DFinsupp.equivFunOnFintype.symm (Pi.single i m) = (lof R ι M i) m
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝⁶ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M i)
N : Type u₁
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
φ : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
ψ ψ' : (⨁ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i

⊢ DFinsupp.single i m = (lof R ι M i) m
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ✝
X✝ : α → β
Y : α → Ω✝
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω✝
t : Set β
f✝ : β × Ω✝ → F✝
Ω : Type u_5
F : Type u_6
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → β
μ : Measure Ω
inst✝ : TopologicalSpace F
f : Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ

⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ)
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ✝
X✝ : α → β
Y : α → Ω✝
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω✝
t : Set β
f✝ : β × Ω✝ → F✝
Ω : Type u_5
F : Type u_6
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → β
μ : Measure Ω
inst✝ : TopologicalSpace F
f : Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ

⊢ (fun x => f x.2) =ᶠ[ae (Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ)] fun x => AEStronglyMeasurable.mk f hf x.2
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ✝
X✝ : α → β
Y : α → Ω✝
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω✝
t : Set β
f✝ : β × Ω✝ → F✝
Ω : Type u_5
F : Type u_6
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → β
μ : Measure Ω
inst✝ : TopologicalSpace F
f : Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ

⊢ Measure.QuasiMeasurePreserving Prod.snd (Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ) μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ✝
X✝ : α → β
Y : α → Ω✝
mβ : MeasurableSpace β
s✝ : Set Ω✝
t : Set β
f✝ : β × Ω✝ → F✝
Ω : Type u_5
F : Type u_6
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → β
μ : Measure Ω
inst✝ : TopologicalSpace F
f : Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0

⊢ (Measure.map Prod.snd (Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ)) s = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ✝
X✝ : α → β
Y : α → Ω✝
mβ : MeasurableSpace β
s✝ : Set Ω✝
t : Set β
f✝ : β × Ω✝ → F✝
Ω : Type u_5
F : Type u_6
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → β
μ : Measure Ω
inst✝ : TopologicalSpace F
f : Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0

⊢ (Measure.map (fun ω => (X ω, ω)) μ) (Prod.snd ⁻¹' s) = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω✝ : Type u_3
F✝ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F✝
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ✝
X✝ : α → β
Y : α → Ω✝
mβ : MeasurableSpace β
s✝ : Set Ω✝
t : Set β
f✝ : β × Ω✝ → F✝
Ω : Type u_5
F : Type u_6
mΩ : MeasurableSpace Ω
X : Ω → β
μ : Measure Ω
inst✝ : TopologicalSpace F
f : Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0

⊢ Measurable Prod.snd
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/FunctorGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.2905, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
n : ℕ
i : [n] ⟶ [n + 1]
inst✝ : Mono i
hi : Isδ₀ i

⊢ i = SimplexCategory.δ 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/FunctorGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.2905, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
n : ℕ
j : Fin (n + 2)
inst✝ : Mono (SimplexCategory.δ j)
hi : Isδ₀ (SimplexCategory.δ j)

⊢ SimplexCategory.δ j = SimplexCategory.δ 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/FunctorGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.2905, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory
n : ℕ
j : Fin (n + 2)
inst✝ : Mono (SimplexCategory.δ j)
hi : j = 0

⊢ SimplexCategory.δ j = SimplexCategory.δ 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y

⊢ extensionToFun i f h x = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y

⊢ extensionToFun i f h x = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 : (extendIdealTo i f h y) (r - snd i x) = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨(r - snd i x) • y, ⋯⟩

⊢ extensionToFun i f h x = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 : (extendIdealTo i f h y) r = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)

⊢ extensionToFun i f h x = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 : (extendIdealTo i f h y) r = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)

⊢ ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap (fst i x) + (extendIdealTo i f h y) (snd i x) = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a, ha⟩ + (extendIdealTo i f h y) r
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 : (extendIdealTo i f h y) r = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)

⊢ ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap (fst i x) + (extendIdealTo i f h y) (snd i x) = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨a + (r • y - snd i x • y), ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 : (extendIdealTo i f h y) r = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)

⊢ ↑(fst i x) = a + (r • y - snd i x • y)
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 : (extendIdealTo i f h y) r = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)

⊢ ↑(fst i x) = ↑x - snd i x • y
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}

⊢ 1 ≤ o ↔ 0 < o
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R₁
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : FiniteDimensional K V
ι✝ : Type u_10
inst✝³ : DecidableEq ι✝
inst✝² : Finite ι✝
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
ι : Type u_11
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι K V
i : ι

⊢ (B.dualBasis hB (B.flip.dualBasis ⋯ b)) i = b i
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R₁
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : FiniteDimensional K V
ι✝ : Type u_10
inst✝³ : DecidableEq ι✝
inst✝² : Finite ι✝
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
ι : Type u_11
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι K V
i j : ι

⊢ (B ((B.dualBasis hB (B.flip.dualBasis ⋯ b)) i)) ((B.flip.dualBasis ⋯ b) j) = (B (b i)) ((B.flip.dualBasis ⋯ b) j)
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
f : R[X]
h : IsAdjoinRoot S f
x : S

⊢ (lift (algebraMap R S) h.root ⋯ h) x = x
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsIntegralClosure A R B
x y : B
hx : IsIntegral R x
hy : IsIntegral R y

⊢ (algebraMap A B) (mk' A (x + y) ⋯) = (algebraMap A B) (mk' A x hx + mk' A y hy)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = a + c
ha : a < ℵ₀

⊢ b = c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = a + c
ha : a < ℵ₀
hb : ℵ₀ ≤ b

⊢ b = c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b c : Cardinal.{u_1}
h : a + b = a + c
ha : a < ℵ₀
hb : b < ℵ₀

⊢ b = c
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : PartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source

⊢ P (↑e' ∘ f) s x ↔ P f s x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : PartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
h2f : f ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝[s] x

⊢ P (↑e' ∘ f) s x ↔ P f s x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
s✝ t u : Set H
x✝ : H
hG : G.LocalInvariantProp G' P
s : Set H
x : H
f : H → H'
e' : PartialHomeomorph H' H'
he' : e' ∈ G'
hfs : ContinuousWithinAt f s x
hxe' : f x ∈ e'.source
h2f : f ⁻¹' e'.source ∈ 𝓝[s] x
h3f : ↑e' ∘ f ⁻¹' e'.symm.source ∈ 𝓝[s] x

⊢ P (↑e' ∘ f) s x ↔ P f s x
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b c a : α

⊢ ￢⊥ ≤ a ↔ ⊤ ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.97033, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
i j : ℤ
hij : i + 1 = j

⊢ homotopyCofiber.d φ i j ≫ (Cochain.ofHoms (homotopyCofiber.sndX φ)).v j j ⋯ = homotopyCofiber.fstX φ i j hij ≫ φ.f j + (Cochain.ofHoms (homotopyCofiber.sndX φ)).v i i ⋯ ≫ G.d i j
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.97033, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
i j : ℤ
hij : i + 1 = j

⊢ homotopyCofiber.d φ i j ≫ homotopyCofiber.sndX φ j = homotopyCofiber.fstX φ i j hij ≫ φ.f j + homotopyCofiber.sndX φ i ≫ G.d i j
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), F a ≤ f i a
h0 : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
h_exists : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 l)

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafOneHypercover.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : J.IsGeneratedByOneHypercovers
P : Cᵒᵖ ⥤ A

⊢ IsSheaf J P ↔ ∀ ⦃X : C⦄ (E : J.OneHypercover X), Nonempty (IsLimit (E.multifork P))
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ n • r ∈ zmultiples p ↔ ∃ k, r - ↑k • (p / ↑n) ∈ zmultiples p
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ (∃ k, r - ↑k • (p / ↑n) ∈ zmultiples p) ↔ ∃ k, r - ↑k • (p / ↑n) ∈ zmultiples p
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedRing α
a : α

⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Ioo (a + ↑n) (a + ↑n + 1))
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → ℝ≥0∞

⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ Iic ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ≤ ε
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → ℝ≥0∞

⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ Iic ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ≤ ε
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃

⊢ (toMatrixAlgEquiv v₁) id = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
n : ℕ
a : R
p : R[ℕ]

⊢ ({ toFinsupp := p } * C a).coeff n = { toFinsupp := p }.coeff n * a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
n : ℕ
a : R
p : R[ℕ]

⊢ (p * Finsupp.single 0 a) n = p n * a
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
r : R
hr : r * x.leadingCoeff = 1
hx : ¬x = 0

⊢ 0 < (1 - (single (-x.order)) r * x).orderTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
r : R
hr : r * x.leadingCoeff = 1
hx : ¬x = 0
hrz : r ≠ 0

⊢ 0 < (1 - (single (-x.order)) r * x).orderTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
r : R
hr : r * x.leadingCoeff = 1
hx : ¬x = 0
hrz : r ≠ 0

⊢ 0 ≤ min (orderTop 1) ((single (-x.order)) r * x).orderTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
r : R
hr : r * x.leadingCoeff = 1
hx : ¬x = 0
hrz : r ≠ 0
h : 0 = (1 - (single (-x.order)) r * x).orderTop

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ

⊢ volume (Icc a b) = ∏ i : ι, ofReal (b i - a i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ι → ℝ

⊢ ∏ i : ι, volume (Icc (a i) (b i)) = ∏ i : ι, ofReal (b i - a i)