ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integers.lean
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝³ : CommRing O
inst✝² : Algebra O R
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x y : O
h : x ∣ y
z : O
hz : y = x * z

⊢ v ((algebraMap O R) y) ≤ v ((algebraMap O R) x)
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integers.lean
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝³ : CommRing O
inst✝² : Algebra O R
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x y : O
h : x ∣ y
z : O
hz : y = x * z

⊢ v ((algebraMap O R) x) * v ((algebraMap O R) z) ≤ v ((algebraMap O R) x) * 1
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
g : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o₁) ℤ
hg : g ∈ range (π C fun x => ord I x < o₁)

⊢ (πs C o₁) g ∈ smaller C o₂
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
g : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o₁) ℤ
hg : g ∈ range (π C fun x => ord I x < o₁)

⊢ ∃ x ∈ range (π C fun x => ord I x < o₂), (πs C o₂) x = (πs C o₁) g
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
g : LocallyConstant ↑(π C fun x => ord I x < o₁) ℤ
hg : g ∈ range (π C fun x => ord I x < o₁)

⊢ (πs' C h) g ∈ range (π C fun x => ord I x < o₂) ∧ (πs C o₂) ((πs' C h) g) = (πs C o₁) g
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Colon.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N✝ N₁ N₂ P P₁ P₂ N : Submodule R M

⊢ Module.annihilator R (M ⧸ N) = N.colon ⊤
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddMonoid G
p : k[G] → Prop
f : k[G]
hM : ∀ (g : G), p ((of k G) (Multiplicative.ofAdd g))
hadd : ∀ (f g : k[G]), p f → p g → p (f + g)
hsmul : ∀ (r : k) (f : k[G]), p f → p (r • f)

⊢ p f
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddMonoid G
p : k[G] → Prop
f : k[G]
hM : ∀ (g : G), p ((of k G) (Multiplicative.ofAdd g))
hadd : ∀ (f g : k[G]), p f → p g → p (f + g)
hsmul : ∀ (r : k) (f : k[G]), p f → p (r • f)

⊢ p 0
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddMonoid G
p : k[G] → Prop
f : k[G]
hM : ∀ (g : G), p ((of k G) (Multiplicative.ofAdd g))
hadd : ∀ (f g : k[G]), p f → p g → p (f + g)
hsmul : ∀ (r : k) (f : k[G]), p f → p (r • f)
g : G
r : k

⊢ p (Finsupp.single g r)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))

⊢ Nonempty (P (StructuredArrow.mk (g ≫ Final.homToLift F Y)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))

⊢ ∀ {j₁ j₂ : StructuredArrow X F}, (j₁ ⟶ j₂) → P j₁ → P j₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Final
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
X Y : D
f g : X ⟶ Y
P : StructuredArrow X F → Prop := fun h => ∃ Z q₁ q₂, h.hom ≫ F.map q₁ = f ≫ Final.homToLift F Y ≫ F.map q₂
h₀ : P (StructuredArrow.mk (f ≫ Final.homToLift F Y))

⊢ ∀ {j₁ j₂ : StructuredArrow X F}, (j₁ ⟶ j₂) → P j₂ → P j₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{w, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁶ : Category.{w', u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A A' B B' : C
inst✝⁵ : HasBinaryProduct A B
inst✝⁴ : HasBinaryProduct A' B'
inst✝³ : HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)
inst✝² : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝¹ : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A)) (G.obj (F.obj B))
inst✝ : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A) ((F ⋙ G).obj B)
f : A ⟶ A'
g : B ⟶ B'

⊢ F.map (prod.map f g) ≫ prodComparison F A' B' = prodComparison F A B ≫ prod.map (F.map f) (F.map g)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
n : ℕ
h : n ≤ [].length

⊢ [].rotate' n = drop n [] ++ take n []
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
h : 0 ≤ l.length

⊢ l.rotate' 0 = drop 0 l ++ take 0 l
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
a : α
l : List α
n : ℕ
h : n + 1 ≤ (a :: l).length

⊢ (a :: l).rotate' (n + 1) = drop (n + 1) (a :: l) ++ take (n + 1) (a :: l)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
a : α
l : List α
n : ℕ
h : n + 1 ≤ (a :: l).length
hnl : n ≤ l.length

⊢ (a :: l).rotate' (n + 1) = drop (n + 1) (a :: l) ++ take (n + 1) (a :: l)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
a : α
l : List α
n : ℕ
h : n + 1 ≤ (a :: l).length
hnl : n ≤ l.length
hnl' : n ≤ (l ++ [a]).length

⊢ (a :: l).rotate' (n + 1) = drop (n + 1) (a :: l) ++ take (n + 1) (a :: l)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
a : α
l : List α
n : ℕ
h : n + 1 ≤ (a :: l).length
hnl : n ≤ l.length
hnl' : n ≤ (l ++ [a]).length

⊢ drop n l ++ [a] ++ take n l = drop n l ++ a :: take n l
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))

⊢ p ∈ x.lifts ↔ (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) p).sum = x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
a b₁ b₂ x z y : α
h : G.Adj x y
w : G.Walk y z

⊢ (Walk.boxProdRight G a (cons' x y z h w)).ofBoxProdRight = cons' x y z h w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
a b₁ b₂ x z y : α
h : G.Adj x y
w : G.Walk y z

⊢ cons ⋯ (Walk.boxProdRight G a w).ofBoxProdRight = cons' x y z h w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
a b₁ b₂ x z y : α
h : G.Adj x y
w : G.Walk y z

⊢ G.Adj (a, x).2 ((G.boxProdRight G a).toHom y).2 ∧ (a, x).1 = ((G.boxProdRight G a).toHom y).1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ count s = ∑' (i : ↑s), 1
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ

⊢ 1 ≤ ENNReal.ofReal p ↔ 1 ≤ p
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ

⊢ dist (f n) a ≤ C * r ^ n / (1 - r)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
this : HasSum (fun n => C * r ^ n) (C / (1 - r))

⊢ dist (f n) a ≤ C * r ^ n / (1 - r)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
this : HasSum (fun n => C * r ^ n) (C / (1 - r))

⊢ C * r ^ n / (1 - r) = ∑' (m : ℕ), C * r ^ (n + m)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
this : HasSum (fun n => C * r ^ n) (C / (1 - r))

⊢ C / (1 - r) * r ^ n = ∑' (m : ℕ), r ^ n * (C * r ^ m)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
r C : ℝ
hr : r < 1
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ
this : HasSum (fun n => C * r ^ n) (C / (1 - r))

⊢ r ^ n * (C / (1 - r)) = ∑' (m : ℕ), r ^ n * (C * r ^ m)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α✝
g g₁ g₂ : Filter β
m : α✝ → β
m' : β → γ
s✝ : Set α✝
t✝ : Set β
α : Type u_2
s : Set α
t : Set ↑s

⊢ 𝓟 t = comap Subtype.val (𝓟 (Subtype.val '' t))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
i : ℕ

⊢ (p.append q).getVert i = if i < p.length then p.getVert i else q.getVert (i - p.length)
-- Mathlib/Data/Finset/PImage.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq β
f g : α →. β
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (f x).Dom
inst✝ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
t : Finset α
b : β
h₂ : ∀ x ∈ t, f x = g x
y : β

⊢ y ∈ pimage f t ↔ y ∈ pimage g t
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
h₂ : d₂ ≠ 0

⊢ divNat n₁ d₁ = divNat n₂ d₂ ↔ n₁ * d₂ = n₂ * d₁
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
h₂ : d₂ ≠ 0

⊢ ↑(divNat n₁ d₁) = ↑(divNat n₂ d₂) ↔ n₁ * d₂ = n₂ * d₁
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
h₂ : d₂ ≠ 0

⊢ ↑n₁ * ↑d₂ = ↑n₂ * ↑d₁ ↔ n₁ * d₂ = n₂ * d₁
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
ha : ¬Polynomial.eval a F = 0

⊢ ∃ z, Polynomial.eval z F = 0 ∧ ‖z - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ∧ ‖Polynomial.eval z (Polynomial.derivative F)‖ = ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ∧ ∀ (z' : ℤ_[p]), Polynomial.eval z' F = 0 → ‖z' - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ → z' = z
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A✝ : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : AddMonoidWithOne B
inst✝² : FunLike F ℕ A✝
inst✝¹ : AddMonoidWithOne A✝
A : Type u_6
inst✝ : AddMonoidWithOne A

⊢ ∀ (n : ℕ), n • 1 = ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A✝ : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝³ : AddMonoidWithOne B
inst✝² : FunLike F ℕ A✝
inst✝¹ : AddMonoidWithOne A✝
A : Type u_6
inst✝ : AddMonoidWithOne A
f : ℕ →+ A := { toFun := fun n => n • 1, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }

⊢ ∀ (n : ℕ), n • 1 = ↑n
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : PerfectField E
eq : perfectClosure F E = ⊥
p : ℕ := ringExpChar F

⊢ PerfectField F
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : PerfectField E
eq : perfectClosure F E = ⊥
p : ℕ := ringExpChar F
this : ExpChar E p

⊢ PerfectField F
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : PerfectField E
eq : perfectClosure F E = ⊥
p : ℕ := ringExpChar F
this✝ : ExpChar E p
this : PerfectRing F p

⊢ PerfectField F
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/BigOperators.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : ι → ℕ
x : ℕ

⊢ (∏ i : ι, s i).Coprime x ↔ ∀ (i : ι), (s i).Coprime x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/SatisfiesM.lean
m : Type u_1 → Type u_2
ρ α✝ : Type u_1
p : α✝ → Prop
x : ReaderT ρ m α✝
inst✝ : Monad m
a : ReaderT ρ m { a // p a }

⊢ Subtype.val <$> a = x ↔ ∀ (x_1 : ρ), Subtype.val <$> a x_1 = x x_1
-- Mathlib/Order/InitialSeg.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : r ≺i r

⊢ False
-- Mathlib/Order/InitialSeg.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : r ≺i r
h : r (f.toRelEmbedding f.top) f.top

⊢ False
-- Mathlib/Order/InitialSeg.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : r ≺i r
h : r f.top f.top

⊢ False
-- Mathlib/Order/Heyting/Hom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : HeytingAlgebra α
inst✝² : HeytingAlgebra β
inst✝¹ : HeytingAlgebra γ
inst✝ : HeytingAlgebra δ
f f₁ f₂ : HeytingHom α β
g g₁ g₂ : HeytingHom β γ
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α

⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ (a \ b) \ (a \ c) ≤ c \ b
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ≤ a ⊔ (b ⊔ c)
-- Mathlib/GroupTheory/Coprod/Basic.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
K : Type u_3
inst✝ : Group K
f : G ∗ H →* K

⊢ f.range = (f.comp inl).range ⊔ (f.comp inr).range
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E

⊢ ‖x⋆ * x‖ = ‖x⋆‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : Multiset ℕ+
h : ∀ p ∈ v, p.Prime

⊢ (ofPNatMultiset v h).toPNatMultiset.prod = v.prod
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : ker f = ⊥

⊢ ∃ K > 0, AntilipschitzWith K ⇑f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : ker f = ⊥
h✝ : Subsingleton E

⊢ ∃ K > 0, AntilipschitzWith K ⇑f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] F
hf : ker f = ⊥
h✝ : Nontrivial E

⊢ ∃ K > 0, AntilipschitzWith K ⇑f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s

⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun x => c) s x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : ℝ → E
a✝ b✝ c d : ℝ
μ✝ ν : Measure ℝ
f : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ι a b))

⊢ IntervalIntegrable (fun t => ‖f t‖) μ a b ↔ IntervalIntegrable f μ a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ : ℝ → E
a✝ b✝ c d : ℝ
μ✝ ν : Measure ℝ
f : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ι a b))

⊢ Integrable (fun t => ‖f t‖) (μ.restrict (Ι a b)) ↔ Integrable f (μ.restrict (Ι a b))
-- Mathlib/Order/Monotone/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
h₁ : StrictMonoOn f (Iic a)
h₂ : StrictMonoOn f (Ici a)

⊢ StrictMono f
-- Mathlib/Order/Monotone/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
h₁ : StrictMonoOn f (Iic a)
h₂ : StrictMonoOn f (Ici a)

⊢ StrictMonoOn f (Iic a ∪ Ici a)
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Mul M
inst✝³ : Finite M
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal

⊢ commProb (G ⧸ H) ≤ commProb G * ↑(Nat.card ↥H)
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Mul M
inst✝³ : Finite M
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal

⊢ Nat.card (ConjClasses (G ⧸ H)) ≤ Nat.card (ConjClasses G)
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Mul M
inst✝³ : Finite M
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal

⊢ ↑(Nat.card G) ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Mul M
inst✝³ : Finite M
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal

⊢ 0 < ↑(Nat.card (G ⧸ H))
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Bornology α

⊢ cobounded α = ⊥ ↔ BoundedSpace α
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ cosh (2 * x) = cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ ↑(cosh (2 * x)) = ↑(cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x₁ x₂ : R
y₁ y₂ : ↥M

⊢ (mk' S x₁ y₁ + mk' S x₂ y₂) * (algebraMap R S) ↑(y₁ * y₂) = (algebraMap R S) (x₁ * ↑y₂ + x₂ * ↑y₁)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x₁ x₂ : R
y₁ y₂ : ↥M

⊢ (algebraMap R S) (↑y₁ * ↑(y₁ * y₂) * x₂) + (algebraMap R S) (↑(y₁ * y₂) * x₁) * (algebraMap R S) ↑y₂ = (algebraMap R S) (x₁ * ↑y₂ + x₂ * ↑y₁) * (algebraMap R S) ↑y₁ * (algebraMap R S) ↑y₂
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x₁ x₂ : R
y₁ y₂ : ↥M

⊢ (algebraMap R S) ↑y₁ * ((algebraMap R S) ↑y₁ * (algebraMap R S) ↑y₂) * (algebraMap R S) x₂ + (algebraMap R S) ↑y₁ * (algebraMap R S) ↑y₂ * (algebraMap R S) x₁ * (algebraMap R S) ↑y₂ = ((algebraMap R S) x₁ * (algebraMap R S) ↑y₂ + (algebraMap R S) x₂ * (algebraMap R S) ↑y₁) * (algebraMap R S) ↑y₁ * (algebraMap R S) ↑y₂
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
s : ℂ

⊢ LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) s ↔ 1 < s.re
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
s : ℂ
H : LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) s

⊢ 1 < s.re
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
s : ℂ
n : ℕ
x✝ : n ≠ 0

⊢ Complex.abs ↑(μ n) ≤ 1
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a✝ a' : α
b✝ b' : β
c✝ c' : γ
d d' : δ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f₁ : α → β → β'
f₂ : α → γ → γ'
g' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' (f₁ a b) (f₂ a c)
a : α
ha : a ∈ s
b : β
hb : b ∈ t
c : γ
hc : c ∈ u

⊢ g' (f₁ a b) (f₂ a c) ∈ image2 g' (image2 f₁ s t) (image2 f₂ s u)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hq : q.Monic

⊢ p * q %ₘ q = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hq : q.Monic

⊢ q ∣ p * q
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}
o : Ordinal.{u}

⊢ enumOrd S o = sInf (S ∩ {b | ∀ c < o, enumOrd S c < b})
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}
o : Ordinal.{u}

⊢ sInf (S ∩ Ici (o.blsub fun a x => enumOrd S a)) = sInf (S ∩ {b | ∀ c < o, enumOrd S c < b})
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}
o x✝ : Ordinal.{u}

⊢ x✝ ∈ Ici (o.blsub fun a x => enumOrd S a) ↔ x✝ ∈ {b | ∀ c < o, enumOrd S c < b}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
r : S

⊢ (X + C r).leadingCoeff = 1
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
hpr : p x < r

⊢ Absorbent 𝕜 (p.ball x r)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
hpr : p x < r
y : E
hy : y ∈ p.ball 0 (r - p x)

⊢ y ∈ p.ball x r
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
hpr : p x < r
y : E
hy : p y < r - p x

⊢ y ∈ p.ball x r
-- Mathlib/Topology/DiscreteQuotient.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝ : CompactSpace X

⊢ Injective (finsetClopens X)
-- Mathlib/Topology/DiscreteQuotient.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝ : CompactSpace X

⊢ Injective (((image fun t => t.carrier) ∘ Finset.toSet) ∘ finsetClopens X)
-- Mathlib/Topology/DiscreteQuotient.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
inst✝ : CompactSpace X

⊢ Injective fun x => match x with | { toSetoid := f, isOpen_setOf_rel := isOpen_setOf_rel } => f.classes