ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.87374, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : Localization W ⥤ E
h : Q W ⋙ F₁ = Q W ⋙ F₂
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
this : IsIso ((Q W).map f.s)

⊢ eqToHom ⋯ ≫ F₁.map (𝟙 ((Q W).obj Y)) = eqToHom ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.87374, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F₁ F₂ : Localization W ⥤ E
h : Q W ⋙ F₁ = Q W ⋙ F₂
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
this : IsIso ((Q W).map f.s)

⊢ eqToHom ⋯ ≫ F₁.map (𝟙 Y) = eqToHom ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν

⊢ (fun x => ((μ.tilted f).rnDeriv ν x).toReal) =ᶠ[ae ν] fun x => (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
x : α
hx : (μ.tilted f).rnDeriv ν x = ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv ν x

⊢ ((μ.tilted f).rnDeriv ν x).toReal = (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
x : α
hx : (μ.tilted f).rnDeriv ν x = ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv ν x

⊢ (ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv ν x).toReal = (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * (μ.rnDeriv ν x).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hfν : AEMeasurable f ν
x : α
hx : (μ.tilted f).rnDeriv ν x = ENNReal.ofReal (rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) * μ.rnDeriv ν x

⊢ 0 ≤ rexp (f x) / ∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ ∨ (μ.rnDeriv ν x).toReal = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n✝ : ℕ
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ

⊢ ∏ i ∈ n.divisorsAntidiagonal, f i.1 i.2 = ∏ i ∈ n.divisors, f i (n / i)
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n✝ : ℕ
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ

⊢ ∏ x ∈ n.divisors, f ({ toFun := fun d => (d, n / d), inj' := ⋯ } x).1 ({ toFun := fun d => (d, n / d), inj' := ⋯ } x).2 = ∏ i ∈ n.divisors, f i (n / i)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ Set.uIcc a b = Set.Icc a b ∪ Set.Icc b a
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E

⊢ (extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) x).target = ((extChartAt IB x.proj).target ∩ ↑(extChartAt IB x.proj).symm ⁻¹' (trivializationAt F E x.proj).baseSet) ×ˢ univ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E

⊢ ((extChartAt IB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F)).target ∩ ↑((extChartAt IB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F)).symm ⁻¹' (trivializationAt F E x.proj).baseSet ×ˢ univ = (extChartAt IB x.proj).target ×ˢ univ ∩ (↑(extChartAt IB x.proj).symm ⁻¹' (trivializationAt F E x.proj).baseSet) ×ˢ univ
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hpos : 0 < r
hr : ∀ (x : E), x ≠ 1 → r ≤ ‖x‖
x y : E
hne : x ≠ y

⊢ (fun x x_1 => r ≤ dist x x_1) x y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hpos : 0 < r
hr : ∀ (x : E), x ≠ 1 → r ≤ ‖x‖
x y : E
hne : x ≠ y

⊢ r ≤ ‖x / y‖
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
f✝ f g : R[X]
I : Ideal R

⊢ (quotEquivQuotMap f I).symm ((Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) g)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (of f) I)) ((mk f) g)
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α

⊢ { ofColex := s } ≤ { ofColex := {a} } ↔ ∀ b ∈ s, b ≤ a ∧ (a ∈ s → b = a)
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α

⊢ (∀ ⦃a_1 : α⦄, a_1 ∈ s → ¬a_1 = a → a ∉ s ∧ a_1 ≤ a) ↔ ∀ b ∈ s, b ≤ a ∧ (a ∈ s → b = a)
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b✝ b : α
x✝ : b ∈ s

⊢ ¬b = a → a ∉ s ∧ b ≤ a ↔ b ≤ a ∧ (a ∈ s → b = a)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i j✝ : Fin n✝
n : ℕ
j : Fin n

⊢ succAbove 1 j.succ = j.succ.succ
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i j✝ : Fin n✝
n : ℕ
j : Fin n
this : (succ 0).succAbove j.succ = (succAbove 0 j).succ

⊢ succAbove 1 j.succ = j.succ.succ
-- Mathlib/Data/TypeVec.lean
n n✝ : ℕ
a✝ : Fin2 n✝
i_ih : ∀ {α : TypeVec.{u_1} n✝} {x y : α a✝}, ofRepeat (α.repeatEq a✝ (prod.mk a✝ x y)) ↔ x = y
α : TypeVec.{u_1} (n✝ + 1)
x y : α a✝.fs

⊢ ofRepeat (α.repeatEq a✝.fs (prod.mk a✝.fs x y)) ↔ x = y
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x

⊢ ∃ r < ↑n, x = ζ ^ r ∨ x = -ζ ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
r : ℕ
hr : x = (-ζ) ^ r

⊢ ∃ r < ↑n, x = ζ ^ r ∨ x = -ζ ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
r : ℕ
hr : x = (-ζ) ^ r

⊢ x = ζ ^ (r % ↑n) ∨ x = -ζ ^ (r % ↑n)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
r : ℕ
hr : x = (-ζ) ^ r

⊢ (-ζ) ^ r = ζ ^ r ∨ (-ζ) ^ r = -ζ ^ r
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
n₀ : ℕ

⊢ F.submodule = Submodule.span (↥(reesAlgebra I)) (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n₀), ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)) ↔ ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
n₀ : ℕ

⊢ (∀ (i : ℕ), ⇑(single R i) '' ↑(F.N i) ⊆ ↑(Submodule.span (↥(reesAlgebra I)) (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n₀), ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)))) ↔ ∀ n ≥ n₀, I • F.N n = F.N (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
n₀ : ℕ

⊢ Submodule.span (↥(reesAlgebra I)) (⋃ i, ⋃ (_ : i ≤ n₀), ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)) ≤ Submodule.span (↥(reesAlgebra I)) (⋃ i, ⇑(single R i) '' ↑(F.N i))
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame

⊢ x ≤ 0 ↔ ∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ⧏ 0
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame

⊢ ((∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ⧏ 0) ∧ ∀ (j : RightMoves 0), x ⧏ moveRight 0 j) ↔ ∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ⧏ 0
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝² : CompleteLattice α
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : CompleteLattice γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
l u : α → β → γ
l₁ u₁ : β → γ → α
l₂ u₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (l₁ b) (swap u b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l₂ a) (u a)

⊢ sInf (image2 u s t) = u (sInf s) (sInf t)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Basic.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : CommSemiring F
inst✝¹ : Semiring E
inst✝ : Algebra F E
b : F →ₗ[F] E
hb : Function.Injective ⇑b
x y : F
e : (algebraMap F E) x = (algebraMap F E) y

⊢ b x = b y
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b c d : α
h : b ≠ 0

⊢ (a + b) / b = a / b + 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝¹ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝ : Fintype ι
f : ι → 𝕜

⊢ f ∈ stdSimplex 𝕜 ι ↔ f ∈ (⋂ x, {f | 0 ≤ f x}) ∩ {f | ∑ x : ι, f x = 1}
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f < g
gh : g ≈ h

⊢ (h - f).Pos
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f < g
gh : g ≈ h

⊢ h - f = g - f + -(g - h)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M✝ : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M✝
inst✝ : Module R M✝
inst : IsNoetherianRing R
I : Ideal R[X]
M : Submodule R R := ⋯.min (Set.range I.leadingCoeffNth) ⋯
hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth
N : ℕ
HN : I.leadingCoeffNth N = M
s : Finset R[X]
hs : Submodule.span R ↑s = I.degreeLE ↑N
k : ℕ
h : N < k
x : R
hx : x ∈ I.leadingCoeffNth k
hxm : x ∉ M
this : IsNoetherian R R

⊢ ¬M < I.leadingCoeffNth k
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M✝ : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M✝
inst✝ : Module R M✝
inst : IsNoetherianRing R
I : Ideal R[X]
M : Submodule R R := ⋯.min (Set.range I.leadingCoeffNth) ⋯
hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth
N : ℕ
HN : I.leadingCoeffNth N = M
s : Finset R[X]
hs : Submodule.span R ↑s = I.degreeLE ↑N
k : ℕ
h : N < k
x : R
hx : x ∈ I.leadingCoeffNth k
hxm : x ∉ M
this : IsNoetherian R R

⊢ I.leadingCoeffNth k ∈ Set.range I.leadingCoeffNth
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M✝ : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M✝
inst✝ : Module R M✝
inst : IsNoetherianRing R
I : Ideal R[X]
M : Submodule R R := ⋯.min (Set.range I.leadingCoeffNth) ⋯
hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth
N : ℕ
HN : I.leadingCoeffNth N = M
s : Finset R[X]
hs : Submodule.span R ↑s = I.degreeLE ↑N
hm2 : ∀ (k : ℕ), I.leadingCoeffNth k ≤ M
hs2 : ∀ {x : R[X]}, x ∈ I.degreeLE ↑N → x ∈ Ideal.span ↑s
this : Submodule.span R[X] ↑s = Ideal.span ↑s
p : R[X]
hp : p ∈ I
k : ℕ
hn : p.natDegree = k

⊢ p ∈ Ideal.span ↑s
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M✝ : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M✝
inst✝ : Module R M✝
inst : IsNoetherianRing R
I : Ideal R[X]
M : Submodule R R := ⋯.min (Set.range I.leadingCoeffNth) ⋯
hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth
N : ℕ
HN : I.leadingCoeffNth N = M
s : Finset R[X]
hs : Submodule.span R ↑s = I.degreeLE ↑N
hm2 : ∀ (k : ℕ), I.leadingCoeffNth k ≤ M
hs2 : ∀ {x : R[X]}, x ∈ I.degreeLE ↑N → x ∈ Ideal.span ↑s
this : Submodule.span R[X] ↑s = Ideal.span ↑s
k : ℕ
ih : ∀ m < k, ∀ ⦃p : R[X]⦄, p ∈ I → p.natDegree = m → p ∈ Ideal.span ↑s
p : R[X]
hp : p ∈ I
hn : p.natDegree = k

⊢ p ∈ Ideal.span ↑s
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M✝ : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M✝
inst✝ : Module R M✝
inst : IsNoetherianRing R
I : Ideal R[X]
M : Submodule R R := ⋯.min (Set.range I.leadingCoeffNth) ⋯
hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth
N : ℕ
HN : I.leadingCoeffNth N = M
s : Finset R[X]
hs : Submodule.span R ↑s = I.degreeLE ↑N
hm2 : ∀ (k : ℕ), I.leadingCoeffNth k ≤ M
hs2 : ∀ {x : R[X]}, x ∈ I.degreeLE ↑N → x ∈ Ideal.span ↑s
this : Submodule.span R[X] ↑s = Ideal.span ↑s
k : ℕ
ih : ∀ m < k, ∀ ⦃p : R[X]⦄, p ∈ I → p.natDegree = m → p ∈ Ideal.span ↑s
p : R[X]
hp : p ∈ I
hn : p.natDegree = k
h : k ≤ N

⊢ p ∈ Ideal.span ↑s
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M✝ : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M✝
inst✝ : Module R M✝
inst : IsNoetherianRing R
I : Ideal R[X]
M : Submodule R R := ⋯.min (Set.range I.leadingCoeffNth) ⋯
hm : M ∈ Set.range I.leadingCoeffNth
N : ℕ
HN : I.leadingCoeffNth N = M
s : Finset R[X]
hs : Submodule.span R ↑s = I.degreeLE ↑N
hm2 : ∀ (k : ℕ), I.leadingCoeffNth k ≤ M
hs2 : ∀ {x : R[X]}, x ∈ I.degreeLE ↑N → x ∈ Ideal.span ↑s
this : Submodule.span R[X] ↑s = Ideal.span ↑s
k : ℕ
ih : ∀ m < k, ∀ ⦃p : R[X]⦄, p ∈ I → p.natDegree = m → p ∈ Ideal.span ↑s
p : R[X]
hp : p ∈ I
hn : p.natDegree = k
h : N < k

⊢ p ∈ Ideal.span ↑s
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝⁷ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x✝ : α
s t : Set α
y✝ z : β
γ : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder γ
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : OrderTopology γ
δ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderTopology δ
ι : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace ι
f : α → β
g : ι → α
y : α
x : ι
hf : UpperSemicontinuousAt f (g x)
hg : ContinuousAt g x
hy : g x = y

⊢ UpperSemicontinuousAt (fun x => f (g x)) x
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c a : α
u : αˣ

⊢ a * (↑u * ↑u⁻¹) = a
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/MetricSeparated.lean
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s✝ t✝ : Set X
x y : X
ι : Type u_2
I : Set ι
hI : I.Finite
s : Set X
t : ι → Set X

⊢ IsMetricSeparated s (⋃ i ∈ I, t i) ↔ ∀ i ∈ I, IsMetricSeparated s (t i)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f₁ g₁ f₂ g₂ : C ⟶ D
h₁ : Homotopy f₁ g₁
h₂ : Homotopy f₂ g₂
i j : ι
hij : ¬c.Rel j i

⊢ (h₁.hom + h₂.hom) i j = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f₁ g₁ f₂ g₂ : C ⟶ D
h₁ : Homotopy f₁ g₁
h₂ : Homotopy f₂ g₂
i : ι

⊢ (f₁ + f₂).f i = (dNext i) (h₁.hom + h₂.hom) + (prevD i) (h₁.hom + h₂.hom) + (g₁ + g₂).f i
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f₁ g₁ f₂ g₂ : C ⟶ D
h₁ : Homotopy f₁ g₁
h₂ : Homotopy f₂ g₂
i : ι

⊢ (dNext i) h₁.hom + (prevD i) h₁.hom + g₁.f i + ((dNext i) h₂.hom + (prevD i) h₂.hom + g₂.f i) = (dNext i) h₁.hom + (dNext i) h₂.hom + ((prevD i) h₁.hom + (prevD i) h₂.hom) + (g₁.f i + g₂.f i)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p f' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f f' s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n

⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p f' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f f' s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n

⊢ s ∈ 𝓝[insert x s] x ∧ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p f' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : HasFTaylorSeriesUpToOn n f f' s
x : E
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n

⊢ ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p s
-- Mathlib/GroupTheory/Commensurable.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : ConjAct G

⊢ Commensurable (g • H) H ↔ Commensurable H (g⁻¹ • H)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c : ℝ

⊢ integral I l (fun x => c • f x) vol = c • integral I l f vol
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F

⊢ integral I l (fun x => 0 • f x) vol = 0 • integral I l f vol
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c : ℝ
hc : c ≠ 0

⊢ integral I l (fun x => c • f x) vol = c • integral I l f vol
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/GaloisObjects.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F✝ : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F✝
A B : C
inst✝¹ : IsConnected A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ τ : Aut A
F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C
a : ↑(F.obj A)

⊢ autMap f (σ * τ) = autMap f σ * autMap f τ
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/GaloisObjects.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F✝ : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F✝
A B : C
inst✝¹ : IsConnected A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ τ : Aut A
F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C
a : ↑(F.obj A)

⊢ (fun f_1 => F.map f_1.hom (F.map f a)) (autMap f (σ * τ)) = (fun f_1 => F.map f_1.hom (F.map f a)) (autMap f σ * autMap f τ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
inst✝⁷ : MeasurableSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

⊢ ∀ᶠ (g : G) in 𝓝 1, μ (g • k \ k) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
inst✝⁷ : MeasurableSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
U : Set G
hUk : k ⊆ U
hU : IsOpen U
hμUk : μ U < μ k + ε

⊢ ∀ᶠ (g : G) in 𝓝 1, μ (g • k \ k) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
inst✝⁷ : MeasurableSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
U : Set G
hUk : k ⊆ U
hU : IsOpen U
hμUk : μ U < μ k + ε
V : Set G
hV1 : V ∈ 𝓝 1
hVkU : V * k ⊆ U

⊢ ∀ᶠ (g : G) in 𝓝 1, μ (g • k \ k) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace G
inst✝⁷ : MeasurableSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
k : Set G
hk : IsCompact k
h'k : IsClosed k
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
U : Set G
hUk : k ⊆ U
hU : IsOpen U
hμUk : μ U < μ k + ε
V : Set G
hV1 : V ∈ 𝓝 1
hVkU : V * k ⊆ U
g : G
hg : g ∈ V

⊢ μ (g • k \ k) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h : a < b

⊢ a + (b - a) / 2 < b
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
b : EReal
h : b ≤ 0
a a' : EReal
h' : a ≤ a'

⊢ a' * b⁻¹ ≤ a * b⁻¹
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
b : EReal
h : b ≤ 0
a a' : EReal
h' : a ≤ a'

⊢ a * (-b)⁻¹ ≤ a' * (-b)⁻¹
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
b : EReal
h : b ≤ 0
a a' : EReal
h' : a ≤ a'
this : 0 ≤ -b

⊢ a * (-b)⁻¹ ≤ a' * (-b)⁻¹
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y a b : ℝ

⊢ 0 < a → 0 < b → 0 < a * b
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y b : ℝ
a : CauSeq ℚ abs

⊢ 0 < mk a → 0 < b → 0 < mk a * b
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
a b : CauSeq ℚ abs

⊢ 0 < mk a → 0 < mk b → 0 < mk a * mk b