ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f ⊥
this : Continuous eval

⊢ chaar K₀ ⊥ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f ⊥
this : Continuous eval

⊢ chaar K₀ ∈ eval ⁻¹' {0}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f ⊥
this : Continuous eval

⊢ clPrehaar ↑K₀ ⊤ ⊆ eval ⁻¹' {0}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f ⊥
this : Continuous eval

⊢ closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' {0}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f ⊥
this : Continuous eval

⊢ prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U} ⊆ eval ⁻¹' {0}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f ⊥
this : Continuous eval

⊢ IsClosed (eval ⁻¹' {0})
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ

⊢ ((expSeries ℝ ℍ (2 * n + 1)) fun x => q) = ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / ‖q‖) • q
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ

⊢ (↑(2 * n + 1)!)⁻¹ • q ^ (2 * n + 1) = ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / ‖q‖) • q
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
n : ℕ
hq : re 0 = 0

⊢ (↑(2 * n + 1)!)⁻¹ • 0 ^ (2 * n + 1) = ((-1) ^ n * ‖0‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / ‖0‖) • 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq0 : q ≠ 0

⊢ (↑(2 * n + 1)!)⁻¹ • q ^ (2 * n + 1) = ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / ‖q‖) • q
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq0 : q ≠ 0
hq2 : q ^ 2 = -↑(normSq q)

⊢ (↑(2 * n + 1)!)⁻¹ • q ^ (2 * n + 1) = ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / ‖q‖) • q
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq0 : q ≠ 0
hq2 : q ^ 2 = -↑(normSq q)
hqn : ‖q‖ ≠ 0

⊢ (↑(2 * n + 1)!)⁻¹ • q ^ (2 * n + 1) = ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / ‖q‖) • q
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq0 : q ≠ 0
hq2 : q ^ 2 = -↑(normSq q)
hqn : ‖q‖ ≠ 0
k : ℝ := ↑(2 * n + 1)!

⊢ (↑(2 * n + 1)!)⁻¹ • q ^ (2 * n + 1) = ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / ‖q‖) • q
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq0 : q ≠ 0
hq2 : q ^ 2 = -↑(normSq q)
hqn : ‖q‖ ≠ 0
k : ℝ := ↑(2 * n + 1)!

⊢ k⁻¹ • ((-↑(normSq q)) ^ n * q) = k⁻¹ • ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n)) • q
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ
hq : q.re = 0
n : ℕ
hq0 : q ≠ 0
hq2 : q ^ 2 = -↑(normSq q)
hqn : ‖q‖ ≠ 0
k : ℝ := ↑(2 * n + 1)!

⊢ k⁻¹ • ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n)) • q = ((-1) ^ n * ‖q‖ ^ (2 * n + 1) / k / ‖q‖) • q
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Symmetric.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : Type u_3
m : Type u_4
R : Type u_5
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
hA : A.IsSymm
hBC : Bᵀ = C
hD : D.IsSymm
hCB : Cᵀ = B

⊢ (Matrix.fromBlocks A B C D)ᵀ = Matrix.fromBlocks A B C D
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char

⊢ { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.next { byteIdx := utf8Len m } = { byteIdx := utf8Len m }
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝² : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
A : Type u
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Nontrivial A
a b : ℕ
h : a.Coprime b

⊢ IsCoprime ↑a ↑b
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
a : (i : ι) → π i

⊢ I.pi s ∈ 𝓝 a ↔ ∀ i ∈ I, s i ∈ 𝓝 (a i)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α

⊢ ⋃ i, ⋃ (hi : p i), Ioc a (f i hi) = Ioi a ↔ ∀ (x : α), a < x → ∃ i, ∃ (hi : p i), x ≤ f i hi
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a

⊢ ↑a ≤ ↑a ^ 2 - (↑a - 1) ^ 2 - 1
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a

⊢ 1 < ↑a
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a y k : ℕ
hy0 : y ≠ 0
hk0 : k ≠ 0
hyk : y ^ k < a
hya : y < a

⊢ 1 < a
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
x : K

⊢ extension (↑K x) = v x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
x : K

⊢ Tendsto (⇑v) (Filter.comap (↑K) (𝓝 (↑K x))) (𝓝 (v x))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
hv : Valued K Γ₀
x : K

⊢ Tendsto (⇑v) (𝓝 x) (𝓝 (v x))
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
ht_pos : 0 < t

⊢ (μ {ω | ε ≤ X ω}).toReal ≤ rexp (-t * ε) * mgf X μ t
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist t u ≠ ⊤

⊢ hausdorffDist s u ≤ hausdorffDist s t + hausdorffDist t u
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist u t ≠ ⊤

⊢ hausdorffDist s u ≤ hausdorffDist s t + hausdorffDist t u
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist u t ≠ ⊤
I : hausdorffDist u s ≤ hausdorffDist u t + hausdorffDist t s

⊢ hausdorffDist s u ≤ hausdorffDist s t + hausdorffDist t u
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ cosh (2 * x) = cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²³ : CommSemiring A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Module A M'
inst✝²⁰ : IsLocalization S A
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module R M'
inst✝¹⁷ : Module R M''
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝¹ : M →ₗ[R] M''
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type ?u.1107598
N' : Type ?u.1107601
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup N'
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Module R N'
g✝ : N →ₗ[R] N'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
inst✝⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝⁷ : Module R M₀
inst✝⁶ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
x : LocalizedModule S M₀

⊢ ((map S f₀ f₁) g ∘ₗ ↑(iso S f₀)) x = (↑(iso S f₁) ∘ₗ (map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) x
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²³ : CommSemiring A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Module A M'
inst✝²⁰ : IsLocalization S A
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module R M'
inst✝¹⁷ : Module R M''
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝¹ : M →ₗ[R] M''
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type ?u.1107598
N' : Type ?u.1107601
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup N'
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Module R N'
g✝ : N →ₗ[R] N'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
inst✝⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝⁷ : Module R M₀
inst✝⁶ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
x : LocalizedModule S M₀
m : M₀
s : ↥S

⊢ ((algebraMap R (Module.End R M₁')) ↑s) (((map S f₀ f₁) g ∘ₗ ↑(iso S f₀)) (LocalizedModule.mk m s)) = ((algebraMap R (Module.End R M₁')) ↑s) ((↑(iso S f₁) ∘ₗ (map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m s))
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²³ : CommSemiring A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Module A M'
inst✝²⁰ : IsLocalization S A
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module R M'
inst✝¹⁷ : Module R M''
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝¹ : M →ₗ[R] M''
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type ?u.1107598
N' : Type ?u.1107601
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup N'
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Module R N'
g✝ : N →ₗ[R] N'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
inst✝⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝⁷ : Module R M₀
inst✝⁶ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
x : LocalizedModule S M₀
m : M₀
s : ↥S

⊢ ((map S f₀ f₁) g ∘ₗ ↑(iso S f₀)) (LocalizedModule.mk m 1) = (↑(iso S f₁) ∘ₗ (map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m 1)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²³ : CommSemiring A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Module A M'
inst✝²⁰ : IsLocalization S A
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module R M'
inst✝¹⁷ : Module R M''
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝¹ : M →ₗ[R] M''
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type ?u.1107598
N' : Type ?u.1107601
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup N'
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Module R N'
g✝ : N →ₗ[R] N'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
inst✝⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝⁷ : Module R M₀
inst✝⁶ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
x : LocalizedModule S M₀
m : M₀
s : ↥S

⊢ f₁ (g m) = fromLocalizedModule' S f₁ (((map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m 1))
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
hφ : φ.IsSymmetric
f : R →+* S
e : Perm σ

⊢ (rename ⇑e) ((MvPolynomial.map f) φ) = (MvPolynomial.map f) φ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
z : at x

⊢ (stalkToFiberRingHom 𝒜 x) (homogeneousLocalizationToStalk 𝒜 x z) = z
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
z : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x.asHomogeneousIdeal.toIdeal.primeCompl

⊢ (stalkToFiberRingHom 𝒜 x) (homogeneousLocalizationToStalk 𝒜 x (Quotient.mk'' z)) = Quotient.mk'' z
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
inst✝² : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction₂ X Y
F : C ⥤ D
hF : W.IsInvertedBy F
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : F.Additive

⊢ φ.add.map F hF = φ.fst.map F hF + φ.snd.map F hF
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
inst✝² : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction₂ X Y
F : C ⥤ D
hF : W.IsInvertedBy F
inst✝¹ : Preadditive D
inst✝ : F.Additive
this : IsIso (F.map φ.s)

⊢ φ.add.map F hF = φ.fst.map F hF + φ.snd.map F hF
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommGroup α
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformGroup α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝¹ : CompleteSpace α
inst✝ : T2Space α
f : β → α
hf : Multipliable f
s : Finset β

⊢ (∏ x ∈ s, f x) * ∏' (x : { x // x ∉ s }), f ↑x = ∏' (x : β), f x
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommGroup α
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformGroup α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝¹ : CompleteSpace α
inst✝ : T2Space α
f : β → α
hf : Multipliable f
s : Finset β

⊢ (∏ x ∈ s, f x) * ∏' (x : { x // x ∉ s }), f ↑x = (∏' (x : ↑↑s), f ↑x) * ∏' (x : ↑(↑s)ᶜ), f ↑x
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommGroup α
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformGroup α
f✝ g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝¹ : CompleteSpace α
inst✝ : T2Space α
f : β → α
hf : Multipliable f
s : Finset β

⊢ ∏' (x : { x // x ∉ s }), f ↑x = ∏' (x : ↑(↑s)ᶜ), f ↑x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/PullbackCone.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
t : PushoutCocone f g
W : C
k l : t.pt ⟶ W
h₀ : t.inl ≫ k = t.inl ≫ l
h₁ : t.inr ≫ k = t.inr ≫ l

⊢ t.ι.app none ≫ k = t.ι.app none ≫ l
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative

⊢ (f * g).IsMultiplicative
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative

⊢ ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → (f * g) (m * n) = (f * g) m * (f * g) n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative

⊢ ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → ∑ x ∈ (m * n).divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2 = (∑ x ∈ m.divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2) * ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

⊢ ∑ x ∈ (m * n).divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2 = (∑ x ∈ m.divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2) * ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

⊢ ∑ x ∈ (m * n).divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2 = ∑ x ∈ m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal, f x.1.1 * g x.1.2 * (f x.2.1 * g x.2.2)
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

⊢ ∑ x ∈ m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal, f x.1.1 * g x.1.2 * (f x.2.1 * g x.2.2) = ∑ x ∈ (m * n).divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

⊢ ∀ a ∈ m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal, (match a with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)) ∈ (m * n).divisorsAntidiagonal
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

⊢ Set.InjOn (fun x => match x with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)) ↑(m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal)
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

⊢ Set.SurjOn (fun x => match x with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)) ↑(m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal) ↑(m * n).divisorsAntidiagonal
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

⊢ ∀ a ∈ m.divisorsAntidiagonal ×ˢ n.divisorsAntidiagonal, f a.1.1 * g a.1.2 * (f a.2.1 * g a.2.2) = f (match a with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)).1 * g (match a with | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)).2
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S

⊢ absNorm (span {r}) = ((Algebra.norm ℤ) r).natAbs
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S

⊢ absNorm (span {r}) = (LinearMap.det ((Algebra.lmul ℤ S) r)).natAbs
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S
hr : ¬r = 0

⊢ absNorm (span {r}) = (LinearMap.det ((Algebra.lmul ℤ S) r)).natAbs
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S
hr : ¬r = 0
this : Fintype (S ⧸ span {r}) := (span {r}).fintypeQuotientOfFreeOfNeBot ⋯

⊢ absNorm (span {r}) = (LinearMap.det ((Algebra.lmul ℤ S) r)).natAbs
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S
hr : ¬r = 0
this : Fintype (S ⧸ span {r}) := (span {r}).fintypeQuotientOfFreeOfNeBot ⋯
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S

⊢ absNorm (span {r}) = (LinearMap.det ((Algebra.lmul ℤ S) r)).natAbs
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S
hr : ¬r = 0
this : Fintype (S ⧸ span {r}) := (span {r}).fintypeQuotientOfFreeOfNeBot ⋯
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S

⊢ (LinearMap.det (↑ℤ (Submodule.subtype (span {r})) ∘ₗ (↑(b.equiv (basisSpanSingleton b hr) (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S)))).toIntLinearMap)).natAbs = (LinearMap.det ((Algebra.lmul ℤ S) r)).natAbs
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S
hr : ¬r = 0
this : Fintype (S ⧸ span {r}) := (span {r}).fintypeQuotientOfFreeOfNeBot ⋯
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S

⊢ ↑ℤ (Submodule.subtype (span {r})) ∘ₗ (↑(b.equiv (basisSpanSingleton b hr) (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S)))).toIntLinearMap = (Algebra.lmul ℤ S) r
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S
hr : ¬r = 0
this : Fintype (S ⧸ span {r}) := (span {r}).fintypeQuotientOfFreeOfNeBot ⋯
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S) ℤ S := Module.Free.chooseBasis ℤ S
i : Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S

⊢ (↑ℤ (Submodule.subtype (span {r})) ∘ₗ (↑(b.equiv (basisSpanSingleton b hr) (Equiv.refl (Module.Free.ChooseBasisIndex ℤ S)))).toIntLinearMap) (b i) = ((Algebra.lmul ℤ S) r) (b i)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
r : ℝ

⊢ edist x y < ENNReal.ofReal r ↔ dist x y < r
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
r : Finset (γ × α)
s : Finset γ
t : γ → Finset α
h : ∀ (p : γ × α), p ∈ r ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t p.1
f : γ × α → β

⊢ ∏ p ∈ r, f p = ∏ c ∈ s, ∏ a ∈ t c, f (c, a)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
r : Finset (γ × α)
s : Finset γ
t : γ → Finset α
h : ∀ (p : γ × α), p ∈ r ↔ p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ t p.1
f : γ × α → β

⊢ ∏ p ∈ r, f p = ∏ x ∈ s.sigma t, f (x.fst, x.snd)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
h : a ≤ b

⊢ ⌊a⌋₊ ≤ ⌊b⌋₊
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
h : a ≤ b
ha : a ≤ 0

⊢ ⌊a⌋₊ ≤ ⌊b⌋₊
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
h : a ≤ b
ha : 0 ≤ a

⊢ ⌊a⌋₊ ≤ ⌊b⌋₊
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : DivisionRing R
p q : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S

⊢ (map f p).leadingCoeff = f p.leadingCoeff
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
i : ι := Classical.arbitrary ι

⊢ p.basisSets.Nonempty
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
i : ι := Classical.arbitrary ι

⊢ (p i).ball 0 1 ∈ p.basisSets
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D
R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : R₁ ⟶ R₂
β : R₂ ⟶ R₃

⊢ (conjugateEquiv adj₂ adj₃).symm β ≫ (conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α = (conjugateEquiv adj₁ adj₃).symm (α ≫ β)