ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
j : J

⊢ ι f j ≫ (isoCoproduct f).hom = ι f j ≫ desc (Sigma.ι f)
-- Mathlib/Topology/Algebra/MulAction.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : AddTorsor G P
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : PreconnectedSpace G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : ContinuousVAdd G P

⊢ IsPreconnected Set.univ
-- Mathlib/Topology/Algebra/MulAction.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : AddTorsor G P
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : PreconnectedSpace G
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : ContinuousVAdd G P

⊢ Set.univ = ⇑(Equiv.vaddConst (Classical.arbitrary P)) '' Set.univ
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1

⊢ a • balancedHull 𝕜 s ⊆ balancedHull 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1

⊢ ∀ (x : E), (∃ i, ∃ (_ : ‖i‖ ≤ 1), x ∈ a • i • s) → ∃ i, ∃ (_ : ‖i‖ ≤ 1), x ∈ i • s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x : E
r : 𝕜
hr : ‖r‖ ≤ 1
hx : x ∈ a • r • s

⊢ ∃ i, ∃ (_ : ‖i‖ ≤ 1), x ∈ i • s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ s : Set E
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x : E
r : 𝕜
hr : ‖r‖ ≤ 1
hx : x ∈ (a • r) • s

⊢ ∃ i, ∃ (_ : ‖i‖ ≤ 1), x ∈ i • s
-- Mathlib/Probability/Distributions/Poisson.lean
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝

⊢ HasSum (fun n => rexp (-↑r✝) * ↑r✝ ^ n / ↑n !) 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Poisson.lean
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝

⊢ HasSum (fun i => rexp r * (rexp (-↑r✝) * ↑r✝ ^ i / ↑i !)) (rexp r * 1)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Poisson.lean
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝

⊢ HasSum (fun i => rexp r * (rexp (-↑r✝) * ↑r✝ ^ i / ↑i !)) (rexp r)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Poisson.lean
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝
this : (fun i => rexp r * (rexp (-r) * r ^ i / ↑i !)) = fun i => r ^ i / ↑i !

⊢ HasSum (fun i => rexp r * (rexp (-↑r✝) * ↑r✝ ^ i / ↑i !)) (rexp r)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Poisson.lean
r✝ : ℝ≥0
r : ℝ := ↑r✝
this : (fun i => rexp r * (rexp (-r) * r ^ i / ↑i !)) = fun i => r ^ i / ↑i !

⊢ HasSum (fun i => r ^ i / ↑i !) (NormedSpace.exp ℝ r)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x y : α

⊢ (y :: l).formPerm x = y ↔ (y :: l).formPerm x = (y :: l).formPerm ((y :: l).getLast ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight

⊢ Q.actLeft ≫ f.inv = X.X ◁ f.inv ≫ P.actLeft
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight

⊢ Q.actRight ≫ f.inv = f.inv ▷ Y.X ≫ P.actRight
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight

⊢ f.hom ≫ f.inv = 𝟙 P.X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
X Y : Mon_ C
P Q : Bimod X Y
f : P.X ≅ Q.X
f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft
f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight

⊢ f.inv ≫ f.hom = 𝟙 Q.X
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{u}

⊢ ℵ₀ < lift.{v, u} c ↔ ℵ₀ < c
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n : ℕ
S : Set (Vector3 ℕ n.succ)
d : Dioph S
f : Vector3 ℕ n → ℕ
df : DiophFn f
v : Fin2 n → ℕ

⊢ ((f v ::ₒ v) ∘ none :: some) ∈ S ↔ v ∈ {v | (f v :: v) ∈ S}
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n : ℕ
S : Set (Vector3 ℕ n.succ)
d : Dioph S
f : Vector3 ℕ n → ℕ
df : DiophFn f
v : Fin2 n → ℕ

⊢ ((f v ::ₒ v) ∘ none :: some) = f v :: v
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r✝ : List Char
it : Iterator
n : Nat
a : Char
r : List Char
h : ValidFor l (a :: r) it
hn : n + 1 ≤ (a :: r).length

⊢ ValidFor ((List.take (n + 1) (a :: r)).reverse ++ l) (List.drop (n + 1) (a :: r)) (it.next.nextn n)
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
x : M

⊢ (h.lift g) (f x) = g x
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module S N
inst✝⁶ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : IsScalarTower R S Q
g : M →ₗ[R] Q
x : M
hF : ∀ (s : S) (m : M), (h.lift g) (s • f m) = s • g m

⊢ (h.lift g) (f x) = g x
-- Mathlib/Logic/Equiv/Defs.lean
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α' : Type u_1
β' : Type u_2
e : α' ≃ β'

⊢ e.permCongr (Equiv.refl α') = Equiv.refl β'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I✝ : Ideal R
hf : Function.Bijective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsMaximal

⊢ (map f I).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I✝ : Ideal R
hf : Function.Bijective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsMaximal
h : map f I = ⊤

⊢ I = ⊤
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MatrixExponential.lean
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : DecidableEq m
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : DecidableEq n
inst✝⁷ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝⁶ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝² : TopologicalRing 𝔸
inst✝¹ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
v : m → Matrix n n 𝔸

⊢ exp 𝕂 (blockDiagonal v) = blockDiagonal (exp 𝕂 v)
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : DivInvMonoid G✝
a✝ b : G✝
G : Type u_2
inst✝ : SubNegMonoid G
a : G
n : ℕ

⊢ Int.negSucc n • a = -((n + 1) • a)
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : DivInvMonoid G✝
a✝ b : G✝
G : Type u_2
inst✝ : SubNegMonoid G
a : G
n : ℕ

⊢ Int.negSucc n • a = -(↑(n + 1) • a)
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i j k : ℤ

⊢ (i * j).gcd (k * j) = i.gcd k * j.natAbs
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i j k : ℤ

⊢ (i.natAbs * j.natAbs).gcd (k.natAbs * j.natAbs) = i.natAbs.gcd k.natAbs * j.natAbs
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
r : R
a : ⨂[R]^n M

⊢ (cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul a (algebraMap₀ r)) = r • a
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/ConformalLinearMap.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField R
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace R M
inst✝³ : NormedSpace R N
inst✝² : NormedSpace R G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup M'
inst✝ : NormedSpace R M'
f : M →L[R] N
g : N →L[R] G
c✝ c : R
hc : c ≠ 0
li : M' →ₗᵢ[R] N

⊢ Injective ⇑(c • li.toContinuousLinearMap)
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
b : Bool
n : ℤ

⊢ (bit b n).bodd = b
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
b : Bool
n : ℤ

⊢ (2 * n + bif b then 1 else 0).bodd = b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → count x l₁ ≤ count x l₂

⊢ l₁ ++ l₂.diff l₁ ~ l₂
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : Submodule.span F (Set.range v) = ⊤

⊢ Submodule.span F (Set.range fun x => v x ^ q ^ n) = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : Submodule.span F (Set.range v) = ⊤

⊢ Submodule.span F (Set.range fun x => v x ^ q ^ n) = Submodule.span F ↑(MonoidHom.mrange (powMonoidHom (q ^ n)))
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : Submodule.span F (Set.range v) = ⊤

⊢ Set.range (DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n)) ⊆ ↑(Submodule.span F (Set.range (DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n) ∘ v)))
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : Submodule.span F (Set.range v) = ⊤

⊢ DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n) '' Set.univ ⊆ ↑(Submodule.span F (DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n) '' Set.range v))
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
h : Submodule.span F (Set.range v) = ⊤
this : ExpChar E q

⊢ DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n) '' Set.univ ⊆ ↑(Submodule.span F (DivisionSemiring.toSemiring.8 (q ^ n) '' Set.range v))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : G → E
f'✝ g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
f : ℝ → F
f' : F
x : ℝ
hf : HasDerivAt f f' x

⊢ HasDerivAt (fun x => ‖f x‖ ^ 2) (2 * ⟪f x, f'⟫_ℝ) x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Identities.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p

⊢ (↑p).coeff 0 = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Identities.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p

⊢ ¬0 = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
S : Submodule R M
inst✝ : Module.Finite R ↥S

⊢ finrank R ↥S = 0 ↔ S = ⊥
-- Mathlib/Order/Category/NonemptyFinLinOrd.lean
A B : NonemptyFinLinOrd
f : A ⟶ B

⊢ Mono f ↔ Function.Injective ⇑f
-- Mathlib/Order/Category/NonemptyFinLinOrd.lean
A B : NonemptyFinLinOrd
f : A ⟶ B

⊢ Mono f → Function.Injective ⇑f
-- Mathlib/Order/Category/NonemptyFinLinOrd.lean
A B : NonemptyFinLinOrd
f : A ⟶ B
a✝ : Mono f
a₁ a₂ : ↑A
h : f a₁ = f a₂
X : NonemptyFinLinOrd := of (ULift.{u, 0} (Fin 1))
g₁ : X ⟶ A := { toFun := fun x => a₁, monotone' := ⋯ }
g₂ : X ⟶ A := { toFun := fun x => a₂, monotone' := ⋯ }
eq : g₁ ≫ f = g₂ ≫ f

⊢ g₁ { down := 0 } = g₂ { down := 0 }
-- Mathlib/Order/Category/NonemptyFinLinOrd.lean
A B : NonemptyFinLinOrd
f : A ⟶ B
a✝ : Mono f
a₁ a₂ : ↑A
h : f a₁ = f a₂
X : NonemptyFinLinOrd := of (ULift.{u, 0} (Fin 1))
g₁ : X ⟶ A := { toFun := fun x => a₁, monotone' := ⋯ }
g₂ : X ⟶ A := { toFun := fun x => a₂, monotone' := ⋯ }
eq : g₁ = g₂

⊢ g₁ { down := 0 } = g₂ { down := 0 }
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h : HasStrictDerivAt f f' x

⊢ HasStrictFDerivAt f (f' • 1) x
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
ha : 1 < a
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0

⊢ 1 < a ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n✝ m : ℕ
ha : 1 < a
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0

⊢ 1 < a * a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : PosSMulMono α γ
a : α
ha : 0 ≤ a
b₁ b₂ : β
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, True
smul : α → β → True
hb : f b₁ ≤ f b₂

⊢ a • f b₁ ≤ a • f b₂
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLinearOrder γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
f : α → γ

⊢ LowerSemicontinuousOn f s ↔ ∀ x ∈ s, f x ≤ liminf f (𝓝[s] x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.283606, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.283613, u_2} D
X Y : C
inst✝ : HasInitial C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c

⊢ IsPullback (initial.to ((pair X Y).obj { as := WalkingPair.left })) (initial.to ((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right })) c.inl c.inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.283606, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.283613, u_2} D
X Y : C
inst✝ : HasInitial C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c

⊢ mapPair (initial.to X) (𝟙 Y) ≫ c.ι = (BinaryCofan.mk (initial.to Y) (𝟙 Y)).ι ≫ (Functor.const (Discrete WalkingPair)).map c.inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.283606, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.283613, u_2} D
X Y : C
inst✝ : HasInitial C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c

⊢ IsColimit (BinaryCofan.mk (initial.to Y) (𝟙 Y))
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder Γ
V : Type u_3
inst✝² : Zero V
inst✝¹ : SMulZeroClass R V
inst✝ : Zero Γ
r : R
x : HahnSeries Γ V
h : r • x ≠ 0

⊢ ¬(r • x).order < x.order
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder Γ
V : Type u_3
inst✝² : Zero V
inst✝¹ : SMulZeroClass R V
inst✝ : Zero Γ
r : R
x : HahnSeries Γ V
h : r • x ≠ 0
hx : x ≠ 0

⊢ ¬(r • x).order < x.order
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder Γ
V : Type u_3
inst✝² : Zero V
inst✝¹ : SMulZeroClass R V
inst✝ : Zero Γ
r : R
x : HahnSeries Γ V
h : r • x ≠ 0
hx : x ≠ 0

⊢ ¬⋯.min ⋯ < ⋯.min ⋯
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/CompareExp.lean
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ

⊢ (fun z => (z.im ^ n) ^ 2) = fun z => z.im ^ (2 * n)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/CompareExp.lean
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
n : ℕ

⊢ (fun z => Real.exp z.re) = fun z => Real.exp z.re ^ 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData

⊢ (leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.homologyData.left S₁.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData h₁) ≫ leftHomologyMap' φ h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.homologyData.left S₂.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.leftHomologyData h₂
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
n : ℕ

⊢ (Λ * ↑ζ) n = log n
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
n : ℕ

⊢ Real.log ↑n = log n
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f : X ≅ Y
g g' : Y ⟶ Z

⊢ f.hom ≫ g = f.hom ≫ g' ↔ g = g'
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
a : α
x : Quotient G α

⊢ a ∈ x.orbit ↔ Quotient.mk'' a = x
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
a a✝ : α

⊢ a ∈ orbit (Quotient.mk'' a✝) ↔ Quotient.mk'' a = Quotient.mk'' a✝
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
a a✝ : α

⊢ a ∈ orbit (Quotient.mk'' a✝) ↔ Setoid.r a a✝
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h1 : Nat.Prime (orderOf σ)
h2 : σ.support.card < 2 * orderOf σ

⊢ σ.IsCycle
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h1 : Nat.Prime (orderOf σ)
h2 : σ.support.card < 2 * orderOf σ
n : ℕ
hn : σ.cycleType = Multiset.replicate (n + 1) (orderOf σ)

⊢ σ.IsCycle
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h1 : Nat.Prime (orderOf σ)
n : ℕ
h2 : n = 0
hn : σ.cycleType = Multiset.replicate (n + 1) (orderOf σ)

⊢ σ.IsCycle
-- Mathlib/Algebra/Module/Equiv/Basic.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
f : m → n
hf : Surjective f

⊢ Injective ⇑(funLeft R M f)
-- Mathlib/Algebra/Module/Equiv/Basic.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
f : m → n
hf : Surjective f
g : n → m
hg : Function.RightInverse g f

⊢ Injective ⇑(funLeft R M f)
-- Mathlib/Algebra/Module/Equiv/Basic.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
f : m → n
hf : Surjective f
g : n → m
hg : Function.RightInverse g f

⊢ LeftInverse ⇑(funLeft R M g) ⇑(funLeft R M f)
-- Mathlib/Algebra/Module/Equiv/Basic.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : Type u_17
n : Type u_18
p : Type u_19
f : m → n
hf : Surjective f
g : n → m
hg : Function.RightInverse g f
x : n → M

⊢ (funLeft R M g) ((funLeft R M f) x) = x
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α

⊢ Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) ↔ Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a x✝ : α

⊢ a ≤ x✝ ↔ ¬x✝ < a
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

⊢ ↑p ^ (n + 1) * wittMul p (n + 1) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + (remainder p n - wittPolyProdRemainder p (n + 1))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

⊢ wittPolyProd p (n + 1) = -(↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1)) * (↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + ↑p ^ (n + 1) * X (1, n + 1) * (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1)) + remainder p n
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C

⊢ IsDetector (op G) ↔ IsCodetector G
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
R S : CommRingCat
f : R ⟶ S
inst✝ : IsIso f

⊢ Scheme.Spec.map (inv f).op = inv (Scheme.Spec.map f.op)
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
la : Filter α
lb : Filter β

⊢ sᶜ ∈ la.coprod lb ↔ (Prod.fst '' s)ᶜ ∈ la ∧ (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ lb
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n k : ℕ
ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) = 2 * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)

⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * (k + 1) + 1) = 2 * ∏ i ∈ Finset.range (k + 1), (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n k : ℕ
ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) = 2 * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)

⊢ (sin 0 ^ (2 * k + 1 + 1) * cos 0 - sin π ^ (2 * k + 1 + 1) * cos π) / (↑(2 * k + 1) + 2) + (↑(2 * k + 1) + 1) / (↑(2 * k + 1) + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) = (2 * ↑k + 2) / (2 * ↑k + 3) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n k : ℕ
ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) = 2 * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 2) / (2 * ↑i + 3)

⊢ (sin 0 ^ (2 * k + 1 + 1) * cos 0 - sin π ^ (2 * k + 1 + 1) * cos π) / ↑(2 * k + 1 + 2) + ↑(2 * k + 1 + 1) / ↑(2 * k + 1 + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1) = ↑(2 * k + 2) / ↑(2 * k + 3) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k + 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Nondegenerate.lean
m : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m m A
hM : M.det ≠ 0
v : m → A
hv : v ᵥ* M = 0
w : m → A

⊢ v ⬝ᵥ M *ᵥ w = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ↥(Lp E p μ)
C : ℝ≥0
hfC : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑↑f x‖ ≤ ↑C

⊢ ‖f‖ ≤ ↑(measureUnivNNReal μ) ^ p.toReal⁻¹ * ↑C