ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : AEMeasurable X μ
hs : MeasurableSet s

⊢ Integrable (fun a => (((condDistrib Y X μ) (X a)) s).toReal) μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : AEMeasurable X μ
hs : MeasurableSet s

⊢ AEMeasurable (fun a => ((condDistrib Y X μ) (X a)) s) μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : AEMeasurable X μ
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (x : α), ((condDistrib Y X μ) (X x)) s ∂μ ≠ ⊤
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
b : β
x y : α

⊢ b ∈ map f s(x, y) ↔ ∃ a ∈ s(x, y), f a = b
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
b : β
x y : α

⊢ b = f x ∨ b = f y ↔ f x = b ∨ f y = b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s t : Set α
f : α → E
x : α

⊢ ‖(s.indicator f - t.indicator f) x‖ = ‖(s ∆ t).indicator f x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h✝ : d₁ ≤ d₂
s : Set X
h : d₁ < d₂

⊢ μH[d₂] s ≤ μH[d₁] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h✝ : d₁ ≤ d₂
s : Set X
h : d₁ < d₂
hs : μH[d₂] s = 0

⊢ μH[d₂] s ≤ μH[d₁] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h✝ : d₁ ≤ d₂
s : Set X
h : d₁ < d₂
hs : μH[d₁] s = ⊤

⊢ μH[d₂] s ≤ μH[d₁] s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ

⊢ (WeierstrassCurve.expDegree (2 * (m + 3)) = 2 * WeierstrassCurve.expDegree (m + 2) + WeierstrassCurve.expDegree (m + 3) + WeierstrassCurve.expDegree (m + 5) ∧ WeierstrassCurve.expDegree (2 * (m + 3)) = WeierstrassCurve.expDegree (m + 1) + WeierstrassCurve.expDegree (m + 3) + 2 * WeierstrassCurve.expDegree (m + 4)) ∧ (WeierstrassCurve.expDegree (2 * (m + 2) + 1) = WeierstrassCurve.expDegree (m + 4) + 3 * WeierstrassCurve.expDegree (m + 2) + if Even m then 2 * 3 else 0) ∧ WeierstrassCurve.expDegree (2 * (m + 2) + 1) = WeierstrassCurve.expDegree (m + 1) + 3 * WeierstrassCurve.expDegree (m + 3) + if Even m then 0 else 2 * 3
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ

⊢ (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (2 * m + 6)) = 2 * (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 2))) + 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 3)) + 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 5)) ∧ 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (2 * m + 6)) = 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 1)) + 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 3)) + 2 * (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 4)))) ∧ (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (2 * m + 4 + 1)) = 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 4)) + 3 * (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 2))) + 2 * if Even m then 6 else 0) ∧ 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (2 * m + 4 + 1)) = 2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 1)) + 3 * (2 * ↑(WeierstrassCurve.expDegree (m + 3))) + 2 * if Even m then 0 else 6
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ

⊢ ((↑(2 * m + 6) ^ 2 - if Even (2 * m + 6) then 4 else 1) = 2 * (↑(m + 2) ^ 2 - if Even (m + 2) then 4 else 1) + (↑(m + 3) ^ 2 - if Even (m + 3) then 4 else 1) + (↑(m + 5) ^ 2 - if Even (m + 5) then 4 else 1) ∧ (↑(2 * m + 6) ^ 2 - if Even (2 * m + 6) then 4 else 1) = (↑(m + 1) ^ 2 - if Even (m + 1) then 4 else 1) + (↑(m + 3) ^ 2 - if Even (m + 3) then 4 else 1) + 2 * (↑(m + 4) ^ 2 - if Even (m + 4) then 4 else 1)) ∧ ((↑(2 * m + 4 + 1) ^ 2 - if Even (2 * m + 4 + 1) then 4 else 1) = (↑(m + 4) ^ 2 - if Even (m + 4) then 4 else 1) + 3 * (↑(m + 2) ^ 2 - if Even (m + 2) then 4 else 1) + 2 * if Even m then 6 else 0) ∧ (↑(2 * m + 4 + 1) ^ 2 - if Even (2 * m + 4 + 1) then 4 else 1) = (↑(m + 1) ^ 2 - if Even (m + 1) then 4 else 1) + 3 * (↑(m + 3) ^ 2 - if Even (m + 3) then 4 else 1) + 2 * if Even m then 0 else 6
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ

⊢ ((2 * ↑m + 6) ^ 2 - 4 = 2 * ((↑m + 2) ^ 2 - if Even m then 4 else 1) + ((↑m + 3) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) + ((↑m + 5) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) ∧ (2 * ↑m + 6) ^ 2 - 4 = ((↑m + 1) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) + ((↑m + 3) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) + 2 * ((↑m + 4) ^ 2 - if Even m then 4 else 1)) ∧ ((2 * ↑m + 4 + 1) ^ 2 - 1 = ((↑m + 4) ^ 2 - if Even m then 4 else 1) + 3 * ((↑m + 2) ^ 2 - if Even m then 4 else 1) + 2 * if Even m then 6 else 0) ∧ (2 * ↑m + 4 + 1) ^ 2 - 1 = ((↑m + 1) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) + 3 * ((↑m + 3) ^ 2 - if Even m then 1 else 4) + 2 * if Even m then 0 else 6
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsColimit (span f g) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPushout (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)

⊢ ((Cocones.precompose (spanCompIso F f g).inv).obj (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯))).pt ≅ H.cocone.pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsColimit (span f g) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPushout (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)

⊢ ((Cocones.precompose (spanCompIso F f g).inv).obj (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯))).ι.app WalkingCospan.left ≫ ?refine_1.hom = H.cocone.ι.app WalkingCospan.left
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : ReflectsColimit (span f g) F
e : f ≫ h = g ≫ i
H : IsPushout (F.map f) (F.map g) (F.map h) (F.map i)

⊢ ((Cocones.precompose (spanCompIso F f g).inv).obj (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯))).ι.app WalkingCospan.right ≫ ?refine_1.hom = H.cocone.ι.app WalkingCospan.right
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ Ico a b ⊆ Icc a b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ Set.Ico a b ⊆ Set.Icc a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : α → E
f : α → ℝ≥0∞
g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
hfg : Integrable (fun x => (f x).toReal • g x) μ

⊢ (μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal • g x) = (μ.withDensity f).withDensityᵥ g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : α → E
f : α → ℝ≥0∞
g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hflt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
hfg : Integrable (fun x => (f x).toReal • g x) μ

⊢ (μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal • g x) = μ.withDensityᵥ ((fun x => (f x).toNNReal) • g)
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r : ℝ
n : ℕ

⊢ r.toNNReal ≤ ↑n ↔ r ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Finite
hs : ∀ i ∈ t, (s i).Finite
he : ∀ i ∉ t, s i = ∅

⊢ (⋃ i, s i).Finite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Finite
hs : ∀ i ∈ t, (s i).Finite
he : ∀ i ∉ t, s i = ∅

⊢ ⋃ i, s i ⊆ ⋃ i ∈ t, s i
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Finite
hs : ∀ i ∈ t, (s i).Finite
he : ∀ i ∉ t, s i = ∅
i : ι
x : α
hx : x ∈ s i

⊢ x ∈ ⋃ i ∈ t, s i
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t : Set α
a b : α
f : α ↪ β

⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique (⇑f '' s) ↔ G.IsClique s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t : Set α
a b : α
f : α ↪ β

⊢ (s.Subsingleton ∨ ∃ s_1, G.IsClique s_1 ∧ ⇑f '' s_1 = ⇑f '' s) ↔ G.IsClique s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t : Set α
a b : α
f : α ↪ β
hs : s.Subsingleton

⊢ (s.Subsingleton ∨ ∃ s_1, G.IsClique s_1 ∧ ⇑f '' s_1 = ⇑f '' s) ↔ G.IsClique s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t : Set α
a b : α
f : α ↪ β
hs : s.Nontrivial

⊢ (s.Subsingleton ∨ ∃ s_1, G.IsClique s_1 ∧ ⇑f '' s_1 = ⇑f '' s) ↔ G.IsClique s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E

⊢ ball 1 δ / {x} = ball x⁻¹ δ
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_mem : a ∈ s

⊢ ⋃ x ∈ s, Ici x = Ici a
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_mem : a ∈ s
x : α
hx : x ∈ s

⊢ Ici x ⊆ Ici a
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
a_glb : IsGLB s a
a_mem : a ∈ s
x : α
hx : x ∈ Ici a

⊢ x ∈ ⋃ i ∈ s, Ici i
-- Mathlib/CategoryTheory/Products/Bifunctor.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C × D ⥤ E
X X' : C
f : X ⟶ X'
Y Y' : D
g : Y ⟶ Y'

⊢ F.map (𝟙 X, g) ≫ F.map (f, 𝟙 Y') = F.map (f, g)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Function.Injective v
f : ι ≃ ↑(Set.range v) := Equiv.ofInjective v hv

⊢ Orthonormal 𝕜 Subtype.val ↔ Orthonormal 𝕜 v
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Function.Injective v
f : ι ≃ ↑(Set.range v) := Equiv.ofInjective v hv
h : Orthonormal 𝕜 v

⊢ Orthonormal 𝕜 Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Function.Injective v
f : ι ≃ ↑(Set.range v) := Equiv.ofInjective v hv
h : Orthonormal 𝕜 v

⊢ Orthonormal 𝕜 (v ∘ ⇑(Equiv.ofInjective v hv).symm)
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ

⊢ (-↑x).abs = (↑x).abs
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ

⊢ ThreeAPFree ↑(sphere n d k)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
f : (Fin n → ℕ) →+ EuclideanSpace ℝ (Fin n) := { toFun := fun f => Nat.cast ∘ f, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }

⊢ ThreeAPFree ↑(sphere n d k)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
f : (Fin n → ℕ) →+ EuclideanSpace ℝ (Fin n) := { toFun := fun f => Nat.cast ∘ f, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }

⊢ ThreeAPFree (⇑f '' ↑(sphere n d k))
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
f : (Fin n → ℕ) →+ EuclideanSpace ℝ (Fin n) := { toFun := fun f => Nat.cast ∘ f, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x : Fin n → ℕ

⊢ x ∈ ↑(sphere n d k) → x ∈ ⇑f ⁻¹' Metric.sphere 0 √↑k
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
f : (Fin n → ℕ) →+ EuclideanSpace ℝ (Fin n) := { toFun := fun f => Nat.cast ∘ f, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x : Fin n → ℕ

⊢ x ∈ ↑(sphere n d k) → ‖f x‖ = √↑k
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Basic.lean
X Y : TopCat
f : ↑X ≃ₜ ↑Y
x✝ : (forget TopCat).obj X

⊢ (f.toContinuousMap ≫ f.symm.toContinuousMap) x✝ = (𝟙 X) x✝
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Basic.lean
X Y : TopCat
f : ↑X ≃ₜ ↑Y
x✝ : (forget TopCat).obj Y

⊢ (f.symm.toContinuousMap ≫ f.toContinuousMap) x✝ = (𝟙 Y) x✝
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∀ x ∈ s, p x

⊢ ∏ x ∈ Finset.subtype p s, f ↑x = ∏ x ∈ s, f x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : ∀ x ∈ s, p x

⊢ ∀ x ∈ s, p x
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T : Triangle Cᵒᵖ

⊢ T ∈ distinguishedTriangles C ↔ T.rotate ∈ distinguishedTriangles C
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T : Triangle Cᵒᵖ

⊢ Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles ↔ (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T.rotate)).rotate ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h₁ : I₁ ≤ I
h₂ : I₂ ≤ I

⊢ ⁅comap I.incl I₁, comap I.incl I₂⁆ = comap I.incl ⁅I₁, I₂⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h₁ : I₁ ≤ I
h₂ : I₂ ≤ I

⊢ comap I.incl ⁅I ⊓ I₁, I ⊓ I₂⁆ = comap I.incl ⁅I₁, I₂⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h₁ : I ⊓ I₁ = I₁
h₂ : I ⊓ I₂ = I₂

⊢ comap I.incl ⁅I ⊓ I₁, I ⊓ I₂⁆ = comap I.incl ⁅I₁, I₂⁆
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivAt h₂ h₂' (h x)
hh : HasDerivAt h h' x
hy : y = h x

⊢ HasDerivAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') x
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b

⊢ factors' a = factors' b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
h : a ~ᵤ 0

⊢ factors' a = factors' 0
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
hb : b ≠ 0

⊢ factors' a = factors' b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
hb : b ≠ 0
ha : a ≠ 0

⊢ factors' a = factors' b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
hb : b ≠ 0
ha : a ≠ 0

⊢ Rel Associated (factors a) (factors b)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n : ℕ
t : L[[α]].Term (β ⊕ Fin n)
v : β → M
xs : Fin n → M

⊢ realize (Sum.elim (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) xs) (constantsVarsEquivLeft t) = realize (Sum.elim v xs) t
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n : ℕ
t : L[[α]].Term (β ⊕ Fin n)
v : β → M
xs : Fin n → M

⊢ realize (Sum.elim (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) xs ∘ ⇑(Equiv.sumAssoc α β (Fin n)).symm) t.constantsToVars = realize (Sum.elim v xs) t
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n : ℕ
t : L[[α]].Term (β ⊕ Fin n)
v : β → M
xs : Fin n → M

⊢ realize (Sum.elim (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) xs ∘ ⇑(Equiv.sumAssoc α β (Fin n)).symm) t.constantsToVars = realize (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) (Sum.elim v xs)) t.constantsToVars
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
I : Type u
X : I → TopCat
x : (i : I) → ↑(π.obj (X i))

⊢ (Path.Homotopic.pi fun i => ⟦Path.refl (x i).as⟧) = 𝟙 ({ obj := fun g => { as := fun i => (g i).as }, map := fun {X_1 Y} p => Path.Homotopic.pi p }.obj x)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
I : Type u
X : I → TopCat
x : (i : I) → ↑(π.obj (X i))

⊢ ⟦Path.pi fun i => Path.refl (x i).as⟧ = 𝟙 { as := fun i => (x i).as }
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
ha : Even a
hb : Odd b

⊢ Odd (a - b)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
ha : Even a
hb : Odd b

⊢ Odd (a + -b)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I

⊢ M.Basis I {x | M.Basis I (insert x I)}
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e✝ : α
hI : M.Indep I
e : α
he : e ∈ I

⊢ M.Basis I (insert e I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e✝ : α
hI : M.Indep I
e : α
he : e ∈ {x | M.Basis I (insert x I)} \ I
hu : M.Indep (insert e I)

⊢ e ∈ I
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
v : E
s : Set ℝ

⊢ μH[1] ((fun r => r • v) '' s) = ‖v‖₊ • μH[1] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
s : Set ℝ

⊢ μH[1] ((fun r => r • 0) '' s) = ‖0‖₊ • μH[1] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
v : E
s : Set ℝ
hv : v ≠ 0

⊢ μH[1] ((fun r => r • v) '' s) = ‖v‖₊ • μH[1] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
v : E
s : Set ℝ
hv : v ≠ 0
hn : ‖v‖ ≠ 0

⊢ μH[1] ((fun r => r • v) '' s) = ‖v‖₊ • μH[1] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
v : E
s : Set ℝ
hv : v ≠ 0
hn : ‖v‖ ≠ 0

⊢ μH[1] ((fun x => ‖v‖ • x) '' (⇑(LinearMap.toSpanSingleton ℝ E (‖v‖⁻¹ • v)) '' s)) = ‖v‖₊ • μH[1] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁹ : EMetricSpace X
inst✝⁸ : EMetricSpace Y
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : BorelSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : BorelSpace Y
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
v : E
s : Set ℝ
hv : v ≠ 0
hn : ‖v‖ ≠ 0
iso_smul : Isometry ⇑(LinearMap.toSpanSingleton ℝ E (‖v‖⁻¹ • v))

⊢ μH[1] ((fun x => ‖v‖ • x) '' (⇑(LinearMap.toSpanSingleton ℝ E (‖v‖⁻¹ • v)) '' s)) = ‖v‖₊ • μH[1] s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected

⊢ G.Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
this : Nonempty α

⊢ G.Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
h : (G □ H).Connected
this✝ : Nonempty α
this : Nonempty β

⊢ G.Connected
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ

⊢ f ∈ s.finsuppAntidiag n ↔ s.sum ⇑f = n ∧ f.support ⊆ s