ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝² : G.IsCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
W : C
i : G.obj W ⟶ X
V₁ : C
iVW : V₁ ⟶ W
iV₁Y₁ : V₁ ⟶ Y₁
e₁ : G.map iV₁Y₁ = G.map iVW ≫ i ≫ f₁
V₂ : C
iV₂V₁ : V₂ ⟶ V₁
iV₂Y₂ : V₂ ⟶ Y₂
e₂ : G.map iV₂Y₂ = G.map iV₂V₁ ≫ G.map iVW ≫ i ≫ f₂
V₃ : C
iV₃ : V₃ ⟶ V₂
e₄ : iV₃ ≫ iV₂V₁ ≫ iV₁Y₁ ≫ g₁ = iV₃ ≫ iV₂Y₂ ≫ g₂

⊢ ℱ.val.map (G.map iV₃).op (ℱ.val.map (G.map iV₂V₁).op (ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₁.op (x g₁ hg₁))))) = ℱ.val.map (G.map iV₃).op (ℱ.val.map (G.map iV₂V₁).op (ℱ.val.map (G.map iVW).op (ℱ.val.map i.op (ℱ.val.map f₂.op (x g₂ hg₂)))))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.131985, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝³ : Category.{?u.132037, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝² : G.IsCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : C
X : D
f₁ : X ⟶ G.obj Y₁
f₂ : X ⟶ G.obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
eq : f₁ ≫ G.map g₁ = f₂ ≫ G.map g₂
W : C
i : G.obj W ⟶ X
V₁ : C
iVW : V₁ ⟶ W
iV₁Y₁ : V₁ ⟶ Y₁
e₁ : G.map iV₁Y₁ = G.map iVW ≫ i ≫ f₁
V₂ : C
iV₂V₁ : V₂ ⟶ V₁
iV₂Y₂ : V₂ ⟶ Y₂
e₂ : G.map iV₂Y₂ = G.map iV₂V₁ ≫ G.map iVW ≫ i ≫ f₂
V₃ : C
iV₃ : V₃ ⟶ V₂
e₄ : iV₃ ≫ iV₂V₁ ≫ iV₁Y₁ ≫ g₁ = iV₃ ≫ iV₂Y₂ ≫ g₂

⊢ ℱ.val.map (G.map (iV₃ ≫ iV₂V₁ ≫ iV₁Y₁)).op (x g₁ hg₁) = ℱ.val.map (G.map (iV₃ ≫ iV₂Y₂)).op (x g₂ hg₂)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Nat/Gcd.lean
m n a : Nat
cmn : m.Coprime n
dvd : a ∣ m

⊢ (m / a).Coprime n
-- Mathlib/GroupTheory/FiniteAbelian.lean
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
hG : AddGroup.FG G

⊢ ∃ n ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)), ∃ e, Nonempty (G ≃+ (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i))
-- Mathlib/GroupTheory/FiniteAbelian.lean
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
hG : AddGroup.FG G
n : ℕ
ι : Type
fι : Fintype ι
p : ι → ℤ
hp : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
e : ι → ℕ
f : G ≃ₗ[ℤ] (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}

⊢ ∃ n ι x p, ∃ (_ : ∀ (i : ι), Nat.Prime (p i)), ∃ e, Nonempty (G ≃+ (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ZMod (p i ^ e i))
-- Mathlib/GroupTheory/FiniteAbelian.lean
G : Type u
inst✝ : AddCommGroup G
hG : AddGroup.FG G
n : ℕ
ι : Type
fι : Fintype ι
p : ι → ℤ
hp : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
e : ι → ℕ
f : G ≃ₗ[ℤ] (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}

⊢ G ≃+ (Fin n →₀ ℤ) × ⨁ (i : ι), ZMod ((fun i => (p i).natAbs) i ^ e i)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
m : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hmn : ↑m < n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 (insert x s)

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (iteratedDerivWithin m f s) s x
-- Mathlib/Data/List/ProdSigma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ : List α
l₂ : List β
a : α
b : β

⊢ (a, b) ∈ l₁ ×ˢ l₂ ↔ a ∈ l₁ ∧ b ∈ l₂
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
h : a ∈ s
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ (s \ {a}).ncard + 1 = s.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α
h : a ∈ s
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ ↑(s \ {a}).ncard + 1 = ↑s.ncard
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
s : Set α
c : Cardinal.{u}

⊢ #{ t // t ⊆ s ∧ #↑t ≤ c } ≤ max #↑s ℵ₀ ^ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
s : Set α
c : Cardinal.{u}

⊢ #{ t // t ⊆ s ∧ #↑t ≤ c } ≤ #{ t // #↑t ≤ c }
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
s : Set α
c : Cardinal.{u}
t : Set α
left✝ : t ⊆ s
h2t : #↑t ≤ c

⊢ { toFun := fun t => Subtype.val ⁻¹' ↑t, inj' := ⋯ } ⟨t, ⋯⟩ ∈ fun t => Quot.lift ((fun α β => Nonempty (α ↪ β)) ↑t) ⋯ c
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
I : Ideal A
inst✝ : Algebra R A
a₁✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I
a : R
a₂✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I
b : R
hab : (algebraMap (R ⧸ comap (algebraMap R A) I) (A ⧸ I)) (Quot.mk Setoid.r a) = (algebraMap (R ⧸ comap (algebraMap R A) I) (A ⧸ I)) (Quot.mk Setoid.r b)

⊢ Quot.mk Setoid.r a = Quot.mk Setoid.r b
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
I : Ideal A
inst✝ : Algebra R A
a₁✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I
a : R
a₂✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I
b : R
hab : (algebraMap R A) a - (algebraMap R A) b ∈ I

⊢ Quot.mk Setoid.r a = Quot.mk Setoid.r b
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
I : Ideal A
inst✝ : Algebra R A
a₁✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I
a : R
a₂✝ : R ⧸ comap (algebraMap R A) I
b : R
hab : (algebraMap R A) (a - b) ∈ I

⊢ Quot.mk Setoid.r a = Quot.mk Setoid.r b
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℤ

⊢ padicNorm p ↑m = 1 ↔ ¬↑p ∣ m
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℤ

⊢ padicNorm p ↑m = 1 ↔ ¬↑(p ^ 1) ∣ m
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℤ

⊢ padicNorm p ↑m = 1 ↔ (↑p)⁻¹ < padicNorm p ↑m
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
α : Type u_6
l : Filter α
f : α → Z
z : Z
hz : z ∈ e.source

⊢ Tendsto f l (𝓝 z) ↔ Tendsto (proj ∘ f) l (𝓝 (proj z)) ∧ Tendsto (fun x => (↑e (f x)).2) l (𝓝 (↑e z).2)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
α : Type u_6
l : Filter α
f : α → Z
z : Z
hz : z ∈ e.source

⊢ ((Tendsto (fun n => ((↑e ∘ f) n).1) l (𝓝 (proj z)) ∧ Tendsto (fun n => ((↑e ∘ f) n).2) l (𝓝 (↑e z).2)) ∧ ∀ᶠ (a : α) in l, f a ∈ e.source) ↔ Tendsto (proj ∘ f) l (𝓝 (proj z)) ∧ Tendsto (fun x => (↑e (f x)).2) l (𝓝 (↑e z).2)
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝¹ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
inst✝ : Unique I

⊢ CompleteOrthogonalIdempotents e ↔ e default = 1
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝¹ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
inst✝ : Unique I

⊢ ((∀ (i : I), IsIdempotentElem (e i)) ∧ ∀ (i j : I), i ≠ j → e i * e j = 0) ∧ ∑ i : I, e i = 1 ↔ e default = 1
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝¹ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
inst✝ : Unique I

⊢ e default = 1 → IsIdempotentElem (e default)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M₂

⊢ LieSubmodule.map e.toLieModuleHom (weightSpace M χ) = weightSpace M₂ χ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
Q : AffineSubspace 𝕜 E
x : E
hx : x ∈ ↑Q
y : E
hy : y ∈ ↑Q
a b : 𝕜
x✝¹ : 0 ≤ a
x✝ : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ a • x + b • y ∈ ↑Q
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s✝ : Set G
g : G
h : Gᵐᵒᵖ
s : Set G

⊢ (fun y => h • y) '' ((fun x => g * x) ⁻¹' s) = (fun x => g * x) ⁻¹' ((fun y => h • y) '' s)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ∣ b

⊢ (b / a) ^ c = b ^ c / a ^ c
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ∣ b

⊢ (b / a) ^ 0 = b ^ 0 / a ^ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ∣ b
hc : c > 0

⊢ (b / a) ^ c = b ^ c / a ^ c
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hc : c > 0
h : 0 ∣ b

⊢ (b / 0) ^ c = b ^ c / 0 ^ c
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ∣ b
hc : c > 0
ha : a > 0

⊢ (b / a) ^ c = b ^ c / a ^ c
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ∣ b
hc : c > 0
ha : a > 0

⊢ b ^ c = a ^ c * (b / a) ^ c
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
f : (i : ι) → κ i → α

⊢ l (⨆ i, ⨆ j, f i j) = ⨆ i, ⨆ j, l (f i j)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α

⊢ Ici a * Ioi b ⊆ Ioi (a * b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
this : ∀ (M : Type ?u.12705) (N : Type ?u.12704) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ Ici a * Ioi b ⊆ Ioi (a * b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
this : ∀ (M : Type ?u.12705) (N : Type ?u.12704) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
y : α
hya : y ∈ Ici a
z : α
hzb : z ∈ Ioi b

⊢ (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ioi (a * b)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Single.lean
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
j : ι
A : V
φ : A ⟶ K.X j
hφ : ∀ (k : ι), c.Rel j k → φ ≫ K.d j k = 0

⊢ (if hi : j = j then (singleObjXIsoOfEq c j A j hi).hom ≫ φ ≫ 𝟙 (K.X j) else 0) = (singleObjXSelf c j A).hom ≫ φ
-- Mathlib/Algebra/Homology/Single.lean
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
inst✝¹ : HasZeroObject V
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
j : ι
A : V
φ : A ⟶ K.X j
hφ : ∀ (k : ι), c.Rel j k → φ ≫ K.d j k = 0

⊢ (singleObjXIsoOfEq c j A j ⋯).hom ≫ φ = (singleObjXSelf c j A).hom ≫ φ
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
h : ∀ (ε : α), 1 < ε → a < b * ε
h₁ : b < a

⊢ a < a
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AtPrime.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
J : Ideal P
hJ : J.IsPrime
f : R →+* P
h : I.primeCompl ≤ Submonoid.comap f J.primeCompl
x : R
hx : x ∈ Ideal.comap f J

⊢ x ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AtPrime.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
J : Ideal P
hJ : J.IsPrime
f : R →+* P
h : I.primeCompl ≤ Submonoid.comap f J.primeCompl
x : R
hx : x ∉ I

⊢ x ∉ Ideal.comap f J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J K : FractionalIdeal S P

⊢ I * J ≤ K ↔ ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J, i * j ∈ K
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J K : FractionalIdeal S P

⊢ ⟨↑I * ↑J, ⋯⟩ ≤ K ↔ ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J, i * j ∈ K
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Cast.lean
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v v' w : U
p : Path u v
p' : Path u v'
e : v ⟶ w
e' : v' ⟶ w
h : p.cons e = p'.cons e'

⊢ Hom.cast ⋯ ⋯ e = e'
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Cast.lean
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v v' w : U
p : Path u v
p' : Path u v'
e : v ⟶ w
e' : v' ⟶ w
h : p.cons e = p'.cons e'

⊢ HEq e e'
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α

⊢ a < ↑⌊a⌋ + 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
X : C
f : X ⟶ B
fs : (j : J) → X ⟶ objs j
w : ∀ (j : J), fs j ≫ arrows j = f
j : J

⊢ lift f fs w ≫ π arrows j = fs j
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : Ring A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Algebra ℝ A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A

⊢ 0 ≤ a ↔ IsSelfAdjoint a ∧ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : Ring A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Algebra ℝ A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A

⊢ IsSelfAdjoint a ∧ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal → 0 ≤ a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : Ring A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Algebra ℝ A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal

⊢ 0 ≤ a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : Ring A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Algebra ℝ A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
ha₁ : IsSelfAdjoint (x ^ 2)
ha₂ : SpectrumRestricts (x ^ 2) ⇑ContinuousMap.realToNNReal

⊢ 0 ≤ x ^ 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0

⊢ o.oangle x (-y) + o.oangle y (-z) + o.oangle z (-x) = ↑π
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥

⊢ f.closure.inverse.graph = f.inverse.graph.topologicalClosure
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥

⊢ Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph.topologicalClosure = (Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph).topologicalClosure
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥

⊢ ↑(Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph.topologicalClosure) = ↑(Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph).topologicalClosure
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥

⊢ (fun a => a.swap) '' _root_.closure ↑f.graph = _root_.closure ((fun a => a.swap) '' ↑f.graph)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥

⊢ _root_.closure (Prod.swap '' ↑f.graph) ⊆ Prod.swap '' _root_.closure ↑f.graph
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
h1 : ⇑(LinearEquiv.prodComm R E F).toEquiv '' ↑f.graph = ⇑(LinearEquiv.prodComm R E F).toEquiv.symm ⁻¹' ↑f.graph

⊢ _root_.closure (Prod.swap '' ↑f.graph) ⊆ Prod.swap '' _root_.closure ↑f.graph
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
h1 : ⇑(LinearEquiv.prodComm R E F).toEquiv '' ↑f.graph = ⇑(LinearEquiv.prodComm R E F).toEquiv.symm ⁻¹' ↑f.graph
h2 : ⇑(LinearEquiv.prodComm R E F).toEquiv '' _root_.closure ↑f.graph = ⇑(LinearEquiv.prodComm R E F).toEquiv.symm ⁻¹' _root_.closure ↑f.graph

⊢ _root_.closure (Prod.swap '' ↑f.graph) ⊆ Prod.swap '' _root_.closure ↑f.graph
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
h1 : (fun a => a.swap) '' ↑f.graph = ⇑↑(LinearEquiv.prodComm R E F).symm ⁻¹' ↑f.graph
h2 : (fun a => a.swap) '' _root_.closure ↑f.graph = ⇑↑(LinearEquiv.prodComm R E F).symm ⁻¹' _root_.closure ↑f.graph

⊢ _root_.closure (Prod.swap '' ↑f.graph) ⊆ Prod.swap '' _root_.closure ↑f.graph
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥
hf' : f.IsClosable
hcf : LinearMap.ker f.closure.toFun = ⊥
h1 : (fun a => a.swap) '' ↑f.graph = ⇑↑(LinearEquiv.prodComm R E F).symm ⁻¹' ↑f.graph
h2 : (fun a => a.swap) '' _root_.closure ↑f.graph = ⇑↑(LinearEquiv.prodComm R E F).symm ⁻¹' _root_.closure ↑f.graph

⊢ _root_.closure (⇑↑(LinearEquiv.prodComm R E F).symm ⁻¹' ↑f.graph) ⊆ ⇑↑(LinearEquiv.prodComm R E F).symm ⁻¹' _root_.closure ↑f.graph
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α

⊢ s * ↑(lowerClosure t) = ↑(lowerClosure (s * t))
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α

⊢ ⋃ a ∈ s, a • ↑(lowerClosure t) = ⋃ i ∈ s, ↑(i • lowerClosure t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C

⊢ (shiftFunctor C (0 + a)).obj X = (shiftFunctor C a).obj X
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C

⊢ (shiftFunctorAdd C 0 a).hom.app X = eqToHom ⋯ ≫ (shiftFunctor C a).map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ

⊢ (-1).val = n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ

⊢ ↑(-1) = n