ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Invariance.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α α
μ : Measure α
hκ : κ.Invariant μ

⊢ κ ∘ₖ const α μ = const α μ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}

⊢ (⨆ i, f i) + c = ⨆ i, f i + c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}
this : ∀ (i : ι), f i + c ≤ (⨆ i, f i) + c

⊢ (⨆ i, f i) + c = ⨆ i, f i + c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}
this : ∀ (i : ι), f i + c ≤ (⨆ i, f i) + c

⊢ (⨆ i, f i) + c ≤ ⨆ i, f i + c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}
this : ∀ (i : ι), f i + c ≤ (⨆ i, f i) + c
bdd : BddAbove (range fun x => f x + c)

⊢ (⨆ i, f i) + c ≤ ⨆ i, f i + c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}
this : ∀ (i : ι), f i + c ≤ (⨆ i, f i) + c
bdd : BddAbove (range fun x => f x + c)
hs : ⨆ i, f i < ℵ₀

⊢ (⨆ i, f i) + c ≤ ⨆ i, f i + c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}
this : ∀ (i : ι), f i + c ≤ (⨆ i, f i) + c
bdd : BddAbove (range fun x => f x + c)
hs : ℵ₀ ≤ ⨆ i, f i

⊢ (⨆ i, f i) + c ≤ ⨆ i, f i + c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}
this : ∀ (i : ι), f i + c ≤ (⨆ i, f i) + c
bdd : BddAbove (range fun x => f x + c)
hs : ℵ₀ ≤ ⨆ i, f i

⊢ ⨆ i, f i ≤ ⨆ i, f i + c ∧ c ≤ ⨆ i, f i + c
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul A B a0 b0
x✝¹ x✝ : G
ha : x✝¹ ∈ A
hb : x✝ ∈ B
k : x✝¹ ≠ a0 ∨ x✝ ≠ b0

⊢ x✝¹ * x✝ ≠ a0 * b0
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul A B a0 b0
x✝¹ x✝ : G
ha : x✝¹ ∈ A
hb : x✝ ∈ B
k : x✝¹ * x✝ = a0 * b0

⊢ x✝¹ = a0 ∧ x✝ = b0
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame

⊢ y < -x ↔ x < -y
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ

⊢ EMetric.diam (Ioo a b) = ENNReal.ofReal (b - a)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : b ≤ a

⊢ EMetric.diam (Ioo a b) = ENNReal.ofReal (b - a)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : a < b

⊢ EMetric.diam (Ioo a b) = ENNReal.ofReal (b - a)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
h : ∀ (v : E), ⟪x, v⟫_𝕜 = ⟪y, v⟫_𝕜

⊢ x = y
-- Mathlib/Topology/Bornology/BoundedOperation.lean
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Add R
inst✝ : BoundedAdd R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C

⊢ ∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f + g) x) ((f + g) y) ≤ C
-- Mathlib/Topology/Bornology/BoundedOperation.lean
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Add R
inst✝ : BoundedAdd R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
C : ℝ
hC : ∀ ⦃x : R⦄, x ∈ Set.range f + Set.range g → ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ Set.range f + Set.range g → dist x y ≤ C

⊢ ∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f + g) x) ((f + g) y) ≤ C
-- Mathlib/Topology/Bornology/BoundedOperation.lean
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Add R
inst✝ : BoundedAdd R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
C : ℝ
hC : ∀ ⦃x : R⦄, x ∈ Set.range f + Set.range g → ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ Set.range f + Set.range g → dist x y ≤ C

⊢ ∀ (x y : X), dist ((f + g) x) ((f + g) y) ≤ C
-- Mathlib/Topology/Bornology/BoundedOperation.lean
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Add R
inst✝ : BoundedAdd R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
C : ℝ
hC : ∀ ⦃x : R⦄, x ∈ Set.range f + Set.range g → ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ Set.range f + Set.range g → dist x y ≤ C
x y : X

⊢ dist ((f + g) x) ((f + g) y) ≤ C
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : MulOneClass M
inst✝ : ContinuousMul M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 1

⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ 1 ∈ V ∧ ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v * w ∈ s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : MulOneClass M
inst✝ : ContinuousMul M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 1
this : (fun a => a.1 * a.2) ⁻¹' s ∈ 𝓝 (1, 1)

⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ 1 ∈ V ∧ ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v * w ∈ s
-- Mathlib/Order/PartialSups.lean
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
f g : ℕ → α
h : partialSups f ≤ partialSups g

⊢ ⨆ n, f n ≤ ⨆ n, g n
-- Mathlib/Order/PartialSups.lean
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
f g : ℕ → α
h : partialSups f ≤ partialSups g

⊢ ⨆ n, (partialSups f) n ≤ ⨆ n, (partialSups g) n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
v✝ : α → M
v' : α' → M'
inst✝ : Unique α
l : α →₀ R
v : α → M

⊢ (Finsupp.total α M R v) l = l default • v default
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
i : V

⊢ (adjMatrix α G * adjMatrix α G) i i = ↑(G.degree i)
-- Mathlib/Order/Max.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a b : α

⊢ ¬IsMin a ↔ ∃ b, b < a
-- Mathlib/Algebra/Group/Prod.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : Monoid α

⊢ (fun x => (↑x, op ↑x⁻¹)) 1 = 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Prod.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : Monoid α
x y : αˣ

⊢ { toFun := fun x => (↑x, op ↑x⁻¹), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => (↑x, op ↑x⁻¹), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => (↑x, op ↑x⁻¹), map_one' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
φ : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
d : Fin N →₀ ℕ
hd : coeff d (((finSuccEquiv R N) φ).coeff i) ≠ 0

⊢ (weight 1) d = j
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
φ : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
d : Fin N →₀ ℕ
hd : coeff (cons i d) φ ≠ 0

⊢ (weight 1) d = j
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
φ : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
d : Fin N →₀ ℕ
hd : coeff (cons i d) φ ≠ 0
h' : (weight 1) (cons i d) = i + j

⊢ (weight 1) d = j
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ N : ℕ
φ : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
d : Fin N →₀ ℕ
hd : coeff (cons i d) φ ≠ 0
h' : (d.sum fun x e => e) = j

⊢ (d.sum fun i c => c) = j
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf : Integrable f μ
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫ (x : α) in s, (μ[f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf : Integrable f μ
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫ (x : α) in s, ↑↑(condexpL1 hm μ f) x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝¹ : R1Space α
inst✝ : BorelSpace α
A : Set α
hA : MeasurableSet A
h'A : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
K : Set α
hKA : K ⊆ A
hK : IsCompact K
hμK : μ A < μ K + ε

⊢ μ A < μ (closure K) + ε
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝⁵ : SetLike σ A
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝³ : GradedRing 𝒜
b : A
n i : ι
inst✝² : Sub ι
inst✝¹ : OrderedSub ι
inst✝ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : i ≤ n
a : ↥(𝒜 i)

⊢ ↑(((decompose 𝒜) (↑a * b)) n) = ↑a * ↑(((decompose 𝒜) b) (n - i))
-- Mathlib/Order/CompleteSublattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
a b : ↥L

⊢ Disjoint a b ↔ Disjoint ↑a ↑b
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/GaloisObjects.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F✝ : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F✝
A B : C
inst✝¹ : IsGalois A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ : Aut B
F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C
a : ↑(F.obj A)

⊢ ∃ a, autMap f a = σ
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/GaloisObjects.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F✝ : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F✝
A B : C
inst✝¹ : IsGalois A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ : Aut B
F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C
a a' : ↑(F.obj A)
ha' : F.map f a' = F.map σ.hom (F.map f a)

⊢ ∃ a, autMap f a = σ
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/GaloisObjects.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F✝ : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F✝
A B : C
inst✝¹ : IsGalois A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ : Aut B
F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C
a a' : ↑(F.obj A)
ha' : F.map f a' = F.map σ.hom (F.map f a)
τ : Aut A
hτ : F.map τ.hom a = a'

⊢ ∃ a, autMap f a = σ
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/GaloisObjects.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F✝ : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F✝
A B : C
inst✝¹ : IsGalois A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ : Aut B
F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C
a a' : ↑(F.obj A)
ha' : F.map f a' = F.map σ.hom (F.map f a)
τ : Aut A
hτ : F.map τ.hom a = a'

⊢ autMap f τ = σ
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/GaloisObjects.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F✝ : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F✝
A B : C
inst✝¹ : IsGalois A
inst✝ : IsGalois B
f : A ⟶ B
σ : Aut B
F : C ⥤ FintypeCat := GaloisCategory.getFiberFunctor C
a a' : ↑(F.obj A)
ha' : F.map f a' = F.map σ.hom (F.map f a)
τ : Aut A
hτ : F.map τ.hom a = a'

⊢ (fun f_1 => F.map f_1.hom (F.map f a)) (autMap f τ) = (fun f_1 => F.map f_1.hom (F.map f a)) σ
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
x : E
hf : ContinuousAt f x

⊢ oscillation f x = 0
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
x : E
hf : ContinuousWithinAt f univ x

⊢ oscillation f x = 0
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S✝ : Set (Set α)
f : ι → Set α
S : Set (Set α)

⊢ closure (⋃₀ S) = ⋃ s ∈ S, closure s
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
X A : C
inst✝¹ : IsConnected A
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
inst✝ : Mono u
a : ↑(F.obj A)
h : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
x : ↑(F.obj X)

⊢ F.map (CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProdProj u x) a = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
X A : C
inst✝¹ : IsConnected A
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
inst✝ : Mono u
a : ↑(F.obj A)
h : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
x : ↑(F.obj X)

⊢ F.map (Pi.π (fun x => X) x) (CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X) = x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b c : Ordinal.{u_1}
h₁ : a < ω ^ b
h₂ : ω ^ b ≤ c

⊢ a + c = c
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace X
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : MulAction G X
inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G
inst✝⁸ : BaireSpace X
inst✝⁷ : T2Space X
inst✝⁶ : ContinuousSMul G X
inst✝⁵ : IsPretransitive G X
H : Type u_3
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : BaireSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : ContinuousMul H
f : G →* H
hf : Surjective ⇑f
h'f : Continuous ⇑f
A : MulAction G H := MulAction.compHom H f

⊢ IsOpenMap ⇑f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace X
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : MulAction G X
inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G
inst✝⁸ : BaireSpace X
inst✝⁷ : T2Space X
inst✝⁶ : ContinuousSMul G X
inst✝⁵ : IsPretransitive G X
H : Type u_3
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : BaireSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : ContinuousMul H
f : G →* H
hf : Surjective ⇑f
h'f : Continuous ⇑f
A : MulAction G H := MulAction.compHom H f
this : ContinuousSMul G H

⊢ IsOpenMap ⇑f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace X
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : MulAction G X
inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G
inst✝⁸ : BaireSpace X
inst✝⁷ : T2Space X
inst✝⁶ : ContinuousSMul G X
inst✝⁵ : IsPretransitive G X
H : Type u_3
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : BaireSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : ContinuousMul H
f : G →* H
hf : Surjective ⇑f
h'f : Continuous ⇑f
A : MulAction G H := MulAction.compHom H f
this✝ : ContinuousSMul G H
this : IsPretransitive G H

⊢ IsOpenMap ⇑f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace X
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : MulAction G X
inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G
inst✝⁸ : BaireSpace X
inst✝⁷ : T2Space X
inst✝⁶ : ContinuousSMul G X
inst✝⁵ : IsPretransitive G X
H : Type u_3
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : BaireSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : ContinuousMul H
f : G →* H
hf : Surjective ⇑f
h'f : Continuous ⇑f
A : MulAction G H := MulAction.compHom H f
this✝¹ : ContinuousSMul G H
this✝ : IsPretransitive G H
this : ⇑f = fun g => g • 1

⊢ IsOpenMap ⇑f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace G
inst✝¹³ : TopologicalSpace X
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : MulAction G X
inst✝⁹ : SigmaCompactSpace G
inst✝⁸ : BaireSpace X
inst✝⁷ : T2Space X
inst✝⁶ : ContinuousSMul G X
inst✝⁵ : IsPretransitive G X
H : Type u_3
inst✝⁴ : Group H
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : BaireSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : ContinuousMul H
f : G →* H
hf : Surjective ⇑f
h'f : Continuous ⇑f
A : MulAction G H := MulAction.compHom H f
this✝¹ : ContinuousSMul G H
this✝ : IsPretransitive G H
this : ⇑f = fun g => g • 1

⊢ IsOpenMap fun g => g • 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : δ < 1
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card

⊢ |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : δ < 1
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2

⊢ |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2

⊢ |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs : ∅ ⊆ s₁
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑∅.card

⊢ |↑(edgeDensity r ∅ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty

⊢ |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht : ∅ ⊆ t₁
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑∅.card

⊢ |↑(edgeDensity r s₂ ∅) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty

⊢ |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)

⊢ ↑|edgeDensity r s₂ t₂ - edgeDensity r s₁ t₁| ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)

⊢ ↑(1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)

⊢ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
h₁ : s₁.Nonempty

⊢ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑s₁.card ≤ ↑s₂.card
ht₂ : (1 - δ) * ↑t₁.card ≤ ↑t₂.card
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
h₁ : s₁.Nonempty
h₂ : t₁.Nonempty

⊢ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ReflectsPrecoherent.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Precoherent D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
B₁ B₂ : C
f : B₂ ⟶ B₁
α : Type
x✝¹ : Finite α
X₁ : α → C
π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁
x✝ : EffectiveEpiFamily X₁ π₁

⊢ ∃ β, ∃ (_ : Finite β), ∃ X₂ π₂, EffectiveEpiFamily X₂ π₂ ∧ ∃ i ι, ∀ (b : β), ι b ≫ π₁ (i b) = π₂ b ≫ f