ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Primrec₂ G
a : α
n : ℕ

⊢ Nat.rec (some (z a)) (fun n_1 n_ih => Nat.rec (some (s a)) (fun n_2 n_ih => Nat.rec (some (l a)) (fun n_3 n_ih => Nat.rec (some (r a)) (fun n_4 n_ih => G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))), n_4, n_4.div2.div2)) n_3) n_2) n_1) (List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))).length = some (F a (ofNat Code (n + 1 + 1 + 1 + 1)))
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
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pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Primrec₂ G
a : α
n : ℕ

⊢ Nat.rec (some (z a)) (fun n_1 n_ih => Nat.rec (some (s a)) (fun n_2 n_ih => Nat.rec (some (l a)) (fun n_3 n_ih => Nat.rec (some (r a)) (fun n_4 n_ih => G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 1 + 1 + 1 + 1))), n_4, n_4.div2.div2)) n_3) n_2) n_1) (n + 1 + 1 + 1 + 1) = some (F a (ofNat Code (n + 1 + 1 + 1 + 1)))
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
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s : α → σ
hs : Primrec s
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r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Primrec₂ G
a : α
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2

⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4)))
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
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s : α → σ
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pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Primrec₂ G
a : α
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4

⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4)))
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Primrec₂ G
a : α
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
m1 : (unpair m).1 < n + 4

⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4)))
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
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hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
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hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Primrec₂ G
a : α
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
m1 : (unpair m).1 < n + 4
m2 : (unpair m).2 < n + 4

⊢ G₁ ((a, List.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))), n, m) = some (F a (ofNat Code (n + 4)))
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Primrec₂ G
a : α
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
m1 : (unpair m).1 < n + 4
m2 : (unpair m).2 < n + 4

⊢ ((Option.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))[m]?).bind fun a_1 => (Option.map (fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))[(unpair m).1]?).bind fun a_2 => Option.map ((fun s₂ => bif n.bodd then bif n.div2.bodd then rf a (ofNat Code m, a_1) else pc a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, a_2, s₂) else bif n.div2.bodd then co a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, a_2, s₂) else pr a (ofNat Code (unpair m).1, ofNat Code (unpair m).2, a_2, s₂)) ∘ fun n => F a (ofNat Code n)) (List.range (n + 4))[(unpair m).2]?) = some (F a (ofNat Code (n + 4)))
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Primrec c
z : α → σ
hz : Primrec z
s : α → σ
hs : Primrec s
l : α → σ
hl : Primrec l
r : α → σ
hr : Primrec r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Primrec₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Primrec₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Primrec₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Primrec₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ := fun p => (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s => (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ => Option.map (fun s₂ => bif p.2.1.bodd then bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s) else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂) else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)) (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
this✝ : Primrec G₁
G : α → List σ → Option σ := fun a IH => Nat.casesOn IH.length (some (z a)) fun n => Nat.casesOn n (some (s a)) fun n => Nat.casesOn n (some (l a)) fun n => Nat.casesOn n (some (r a)) fun n => G₁ ((a, IH), n, n.div2.div2)
this : Primrec₂ G
a : α
n : ℕ
m : ℕ := n.div2.div2
hm : m < n + 4
m1 : (unpair m).1 < n + 4
m2 : (unpair m).2 < n + 4

⊢ (bif n.bodd then bif n.div2.bodd then rf a (ofNat Code n.div2.div2, F a (ofNat Code n.div2.div2)) else pc a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1, ofNat Code (unpair n.div2.div2).2, F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1), F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).2)) else bif n.div2.bodd then co a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1, ofNat Code (unpair n.div2.div2).2, F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1), F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).2)) else pr a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1, ofNat Code (unpair n.div2.div2).2, F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).1), F a (ofNat Code (unpair n.div2.div2).2))) = F a (ofNat Code (n + 4))
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ

⊢ Ioc b (b + 1) = {b + 1}
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : i < c.length

⊢ c.sizeUpTo i < c.sizeUpTo (i + 1)
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : i < c.length

⊢ c.sizeUpTo i < c.sizeUpTo i + c.blocks[i]
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K✝
inst✝¹¹ : Algebra F K✝
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Field K₁
inst✝⁸ : Field K₂
inst✝⁷ : Field K₃
inst✝⁶ : Algebra F K₁
inst✝⁵ : Algebra F K₂
inst✝⁴ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
K : Type u_6
L : Type u_7
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Normal K L
x y : L
hy : IsAlgebraic K y
h_ev : (Polynomial.aeval x) (minpoly K y) = 0

⊢ ∃ σ, σ x = y
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K✝
inst✝¹¹ : Algebra F K✝
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Field K₁
inst✝⁸ : Field K₂
inst✝⁷ : Field K₃
inst✝⁶ : Algebra F K₁
inst✝⁵ : Algebra F K₂
inst✝⁴ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
K : Type u_6
L : Type u_7
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Normal K L
x y : L
hy : IsAlgebraic K y
h_ev : (Polynomial.aeval x) (minpoly K y) = 0
hx : IsAlgebraic K x

⊢ ∃ σ, σ x = y
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K✝
inst✝¹¹ : Algebra F K✝
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Field K₁
inst✝⁸ : Field K₂
inst✝⁷ : Field K₃
inst✝⁶ : Algebra F K₁
inst✝⁵ : Algebra F K₂
inst✝⁴ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
K : Type u_6
L : Type u_7
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Normal K L
x y : L
hy : IsAlgebraic K y
h_ev : (Polynomial.aeval x) (minpoly K y) = 0
hx : IsAlgebraic K x
f : ↥K⟮x⟯ ≃ₐ[K] ↥K⟮y⟯ := algEquiv hx ⋯

⊢ ∃ σ, σ x = y
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K✝
inst✝¹¹ : Algebra F K✝
K₁ : Type u_3
K₂ : Type u_4
K₃ : Type u_5
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Field K₁
inst✝⁸ : Field K₂
inst✝⁷ : Field K₃
inst✝⁶ : Algebra F K₁
inst✝⁵ : Algebra F K₂
inst✝⁴ : Algebra F K₃
ϕ : K₁ →ₐ[F] K₂
χ : K₁ ≃ₐ[F] K₂
ψ : K₂ →ₐ[F] K₃
ω : K₂ ≃ₐ[F] K₃
K : Type u_6
L : Type u_7
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Normal K L
x y : L
hy : IsAlgebraic K y
h_ev : (Polynomial.aeval x) (minpoly K y) = 0
hx : IsAlgebraic K x
f : ↥K⟮x⟯ ≃ₐ[K] ↥K⟮y⟯ := algEquiv hx ⋯
hxy : (f.liftNormal L) ((algebraMap (↥K⟮x⟯) L) (AdjoinSimple.gen K x)) = y

⊢ ∃ σ, σ x = y
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, J i ⊔ I = ⊤

⊢ (∏ i ∈ s, J i) ⊔ I = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/ConjAct.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝ : Group G
g h : G

⊢ g ∈ orbit (ConjAct G) h ↔ IsConj g h
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/ConjAct.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
G₀ : Type u_4
R : Type u_5
K : Type u_6
inst✝ : Group G
g h : G

⊢ (∃ x, x • h = g) ↔ ∃ c, c * h * c⁻¹ = g
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ

⊢ (descPochhammer ℤ n).smeval r = (ascPochhammer ℕ n).smeval (r - ↑n + 1)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0∞
h : ∑' (i : α), f i ≠ ⊤

⊢ (support f).Countable
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
h : ∑' (i : α), (fun i => ↑(f i)) i ≠ ⊤

⊢ (support fun i => ↑(f i)).Countable
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
P : α → Prop
s : Set α

⊢ {x | ↑x ∈ s}.ncard = (s ∩ setOf P).ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
P : α → Prop
s : Set α

⊢ s ∩ setOf P = (fun a => ↑a) '' {x | ↑x ∈ s}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
P : α → Prop
s : Set α
x : α

⊢ x ∈ s ∩ setOf P ↔ x ∈ (fun a => ↑a) '' {x | ↑x ∈ s}
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ

⊢ (Primrec₂ fun a n => Option.map (f a) (decode n)) ↔ Primrec₂ f
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ

⊢ (Primrec₂ fun a n => (decode n).bind (some ∘ f a)) ↔ Primrec₂ f
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

⊢ Set.InjOn ⇑f ↑p ↔ Set.SurjOn ⇑f ↑p ↑p
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

⊢ Injective ((↑p).restrict ⇑f) ↔ Surjective (Set.MapsTo.restrict (⇑f) (↑p) (↑p) h)
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

⊢ Injective ⇑(f.domRestrict p) ↔ Surjective ⇑(f.restrict h)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I

⊢ (∀ i ∈ t, IsRelPrime (s i) x) → IsRelPrime (∏ i ∈ t, s i) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C

⊢ (shiftFunctorAdd' C a 0 a ⋯).hom.app X = (shiftFunctorZero C A).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X)
-- Mathlib/FieldTheory/SplittingField/Construction.lean
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]
hf : f.natDegree ≠ 0

⊢ (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * f.removeFactor = map (AdjoinRoot.of f.factor) f
-- Mathlib/FieldTheory/SplittingField/Construction.lean
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]
hf : f.natDegree ≠ 0
g : K[X]
hg : f = f.factor * g

⊢ (X - C (AdjoinRoot.root f.factor)) * f.removeFactor = map (AdjoinRoot.of f.factor) f
-- Mathlib/FieldTheory/SplittingField/Construction.lean
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]
hf : f.natDegree ≠ 0
g : K[X]
hg : f = f.factor * g

⊢ (map (AdjoinRoot.of f.factor) f).IsRoot (AdjoinRoot.root f.factor)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/CoherenceLemmas.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
W X Y Z : C

⊢ (α_ W (X ⊗ Y) Z).inv ≫ ((α_ W X Y).inv ⊗ 𝟙 Z) ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom = (𝟙 W ⊗ (α_ X Y Z).hom) ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).inv
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : SeminormedAddCommGroup α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : DecidableEq n
v : n → α

⊢ ‖diagonal v‖₊ = ‖v‖₊
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : SeminormedAddCommGroup α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : DecidableEq n
v : n → α

⊢ (Finset.univ.sup fun b => Finset.univ.sup fun b_1 => ‖diagonal v b b_1‖₊) = Finset.univ.sup fun b => ‖v b‖₊
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : SeminormedAddCommGroup α
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
inst✝ : DecidableEq n
v : n → α
i : n

⊢ (Finset.univ.sup fun b => ‖diagonal v i b‖₊) = ‖v i‖₊