ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : ∀ (s t : R), s • x + t • y = 0 → s = 0 ∧ t = 0
g : Fin (Nat.succ 0).succ → R
hg : g 0 • x + g 1 • y = 0

⊢ ∀ (i : Fin (Nat.succ 0).succ), g i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : ∀ (s t : R), s • x + t • y = 0 → s = 0 ∧ t = 0
g : Fin (Nat.succ 0).succ → R
hg : g 0 • x + g 1 • y = 0

⊢ g ⟨0, ⋯⟩ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ x y : M
h : ∀ (s t : R), s • x + t • y = 0 → s = 0 ∧ t = 0
g : Fin (Nat.succ 0).succ → R
hg : g 0 • x + g 1 • y = 0

⊢ g ⟨1, ⋯⟩ = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v m n : ℤ

⊢ ¬Even n ↔ n % 2 = 1
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/W.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f' : P.drop.B a ⟹ α
f : P.last.B a → P.W α

⊢ P.wDest' (P.wMk a f' f) = ⟨a, splitFun f' f⟩
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : T2Space A
inst✝⁴ : NonUnitalRing A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Module 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h✝ : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(quasispectrum 𝕜 a)
s : Set 𝕜
hs : CompactSpace ↑s
_inst : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
φ ψ : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜 →⋆ₙₐ[𝕜] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 } = ψ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 }

⊢ φ = ψ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : T2Space A
inst✝⁴ : NonUnitalRing A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Module 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h✝ : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(quasispectrum 𝕜 a)
s : Set 𝕜
hs : CompactSpace ↑s
_inst : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
φ ψ : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜 →⋆ₙₐ[𝕜] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 } = ψ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 }

⊢ Set.EqOn (⇑φ) (⇑ψ) (closure ↑(adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id h0}))
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : T2Space A
inst✝⁴ : NonUnitalRing A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Module 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h✝ : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(quasispectrum 𝕜 a)
s : Set 𝕜
hs : CompactSpace ↑s
_inst : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
φ ψ : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜 →⋆ₙₐ[𝕜] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 } = ψ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 }
f : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜
hf : f ∈ ↑(adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id h0})

⊢ φ f = ψ f
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : T2Space A
inst✝⁴ : NonUnitalRing A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Module 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h✝ : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(quasispectrum 𝕜 a)
s : Set 𝕜
hs : CompactSpace ↑s
_inst : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
φ ψ : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜 →⋆ₙₐ[𝕜] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 } = ψ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 }
f : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜
hf : f ∈ ↑(adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id h0})

⊢ f ∈ NonUnitalStarAlgHom.equalizer φ ψ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : T2Space A
inst✝⁴ : NonUnitalRing A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Module 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h✝ : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(quasispectrum 𝕜 a)
s : Set 𝕜
hs : CompactSpace ↑s
_inst : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
φ ψ : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜 →⋆ₙₐ[𝕜] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 } = ψ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 }
f : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜
hf : f ∈ ↑(adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id h0})

⊢ {ContinuousMapZero.id h0} ⊆ ↑(NonUnitalStarAlgHom.equalizer φ ψ)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : T2Space A
inst✝⁴ : NonUnitalRing A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Module 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
h✝ : ∀ (a : A), CompactSpace ↑(quasispectrum 𝕜 a)
s : Set 𝕜
hs : CompactSpace ↑s
_inst : Zero ↑s
h0 : ↑0 = 0
φ ψ : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜 →⋆ₙₐ[𝕜] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 } = ψ { toContinuousMap := ContinuousMap.restrict s (ContinuousMap.id 𝕜), map_zero' := h0 }
f : ContinuousMapZero (↑s) 𝕜
hf : f ∈ ↑(adjoin 𝕜 {ContinuousMapZero.id h0})

⊢ ContinuousMapZero.id h0 ∈ ↑(NonUnitalStarAlgHom.equalizer φ ψ)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a

⊢ SpectrumRestricts (a ^ 2) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a

⊢ ∀ x ∈ (fun x => id x ^ 2) '' σ ℝ a, 0 ≤ x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
x : ℝ

⊢ 0 ≤ (fun x => id x ^ 2) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NNNorm 𝕜
E : Type u_2
inst✝ : SMul 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞

⊢ egauge 𝕜 s x < r ↔ ∃ c, x ∈ c • s ∧ ↑‖c‖₊ < r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
n : ℕ

⊢ (C a * X ^ n).leadingCoeff = a
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : NumDenSameDeg 𝒜 x
h : f.num = 0

⊢ mk f = 0
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : NumDenSameDeg 𝒜 x
h : f.num = 0

⊢ (mk f).val = val 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
s : ι → Set α
t : Set ι
ht : t.Countable
this : Countable ↑t

⊢ ae (μ.restrict (⋃ i ∈ t, s i)) = ⨆ i ∈ t, ae (μ.restrict (s i))
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R✝
inst✝¹³ : NonUnitalRing A✝
inst✝¹² : Module R✝ A✝
inst✝¹¹ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Nontrivial S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A

⊢ 0 ∈ spectrum R ↑a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R✝
inst✝¹³ : NonUnitalRing A✝
inst✝¹² : Module R✝ A✝
inst✝¹¹ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Nontrivial S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A

⊢ ¬IsUnit ↑a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R✝
inst✝¹³ : NonUnitalRing A✝
inst✝¹² : Module R✝ A✝
inst✝¹¹ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Nontrivial S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
u : (Unitization S A)ˣ
hu : ↑u = ↑a

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L
hx : x ∈ I

⊢ f x ∈ map f I
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L
hx : x ∈ I

⊢ f x ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L
hx : x ∈ I

⊢ x ∈ ↑(lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule ∧ ↑f x = f x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f✝ : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
f : C(α, β)

⊢ Tendsto F p (𝓝 f) ↔ ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f✝ : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
f : C(α, β)

⊢ (∀ (K : Set α), IsCompact K → ∀ (U : Set β), IsOpen U → MapsTo (⇑f) K U → ∀ᶠ (a : ι) in p, MapsTo (⇑(F a)) K U) ↔ ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x

⊢ Associated p q
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x

⊢ ∀ {p : R}, Irreducible p → Associated p ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p

⊢ Associated p ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
n : ℕ
hn : Associated (ϖ ^ n) p

⊢ Associated p ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
n : ℕ
hn : Associated (ϖ ^ n) p
this : Irreducible (ϖ ^ n)

⊢ Associated p ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
n : ℕ
hn : Associated (ϖ ^ n) p
this : Irreducible (ϖ ^ n)
H : n < 1

⊢ Associated p ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
hn : Associated (ϖ ^ 1) p
this : Irreducible (ϖ ^ 1)

⊢ Associated p ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
hR : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (ϖ ^ n) x
p : R
hp : Irreducible p
n : ℕ
hn : Associated (ϖ ^ n) p
this : Irreducible (ϖ ^ n)
H : 1 < n

⊢ Associated p ϖ
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Set β)
h_pi : IsPiSystem S
f : α → β
s : Set β
hs_mem : s ∈ S
t : Set β
ht_mem : t ∈ S
hst : (f ⁻¹' s ∩ f ⁻¹' t).Nonempty

⊢ f ⁻¹' s ∩ f ⁻¹' t ∈ {s | ∃ t ∈ S, f ⁻¹' t = s}
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Set β)
h_pi : IsPiSystem S
f : α → β
s : Set β
hs_mem : s ∈ S
t : Set β
ht_mem : t ∈ S
hst : (f ⁻¹' (s ∩ t)).Nonempty

⊢ f ⁻¹' (s ∩ t) ∈ {s | ∃ t ∈ S, f ⁻¹' t = s}
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Basic.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
x : E

⊢ ↑f (c - x) = ↑f (c + x)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m✝ n✝ : ℤ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
mn : m < n

⊢ 1 / a ^ n < 1 / a ^ m
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R

⊢ BddBelow (Set.range (seminormFromConst_seq c f x))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R

⊢ 0 ∈ lowerBounds (Set.range (seminormFromConst_seq c f x))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
n : ℕ

⊢ 0 ≤ seminormFromConst_seq c f x n
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α
hs : f.IsCycleOn s

⊢ s.Countable
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
t : Set α
a b x y : α
hs : f.IsCycleOn ∅

⊢ ∅.Countable
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a✝ b x y : α
hs : f.IsCycleOn s
a : α
ha : a ∈ s

⊢ s.Countable
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹² : CommRing K
inst✝¹¹ : CommRing L
inst✝¹⁰ : CommRing M
inst✝⁹ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁸ : ExpChar K p
inst✝⁷ : ExpChar L p
inst✝⁶ : ExpChar M p
inst✝⁵ : ExpChar N p
inst✝⁴ : PerfectRing M p
inst✝³ : IsPRadical i p
inst✝² : PerfectRing N p
inst✝¹ : IsPRadical j p
inst✝ : PerfectRing L p
x : L

⊢ (lift j i p) ((lift i j p) x) = x
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : PosMulReflectLE α
a0 : 0 < a

⊢ a * b ≤ a ↔ a * b ≤ a * 1
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S

⊢ { toFun := map f, map_zero' := ⋯ }.toFun 1 = 1
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S

⊢ map f ⊤ = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

⊢ toIocMod hp a b = b ↔ b ∈ Set.Ioc a (a + p)
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

⊢ ∃ z, b = b + z • p
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β

⊢ image2 f s t = (f '' s).seq t
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
t : p → Set α
x : α

⊢ (x ∈ if h : p then t h else ∅) ↔ ∃ (h : p), x ∈ t h
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
t : p → Set α
x : α

⊢ (∀ (h : p), x ∈ t h) ∧ p ↔ ∃ (h : p), x ∈ t h
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
c : β

⊢ Integrable (fun x => c) μ ↔ c = 0 ∨ μ univ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
c : β
this : AEStronglyMeasurable (fun x => c) μ

⊢ Integrable (fun x => c) μ ↔ c = 0 ∨ μ univ < ⊤
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}
a : Ordinal.{max u u_1}
h : ∀ (i : ι), f i a = a
l : List ι

⊢ List.foldr f a l ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : a * b = 1

⊢ b = 1 / a
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h : a ⋖ b

⊢ Iio b = Iic a
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
K : Type u_1
L : Type ?u.592984
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hpq : q ∣ p

⊢ (algHomOfDvd hpq) (root p) = root q
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
c : Cardinal.{u_3}

⊢ toPartENat c < ↑n ↔ c < ↑n
-- Mathlib/Data/NNRat/Lemmas.lean
p q✝ q : ℚ

⊢ q⁻¹.toNNRat = q.toNNRat⁻¹
-- Mathlib/Data/NNRat/Lemmas.lean
p q✝ q : ℚ
hq : q ≤ 0

⊢ q⁻¹.toNNRat = q.toNNRat⁻¹
-- Mathlib/Data/NNRat/Lemmas.lean
p q✝ q : ℚ
hq : 0 ≤ q

⊢ q⁻¹.toNNRat = q.toNNRat⁻¹
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (0 < n) = true

⊢ 0 < e
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (0 < n) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d

⊢ 0 < e
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (0 < n) = true
pos_invOf_d : 0 < ⅟↑d
pos_n : 0 < ↑n

⊢ 0 < e
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

⊢ W.φ 2 = C X * W.ψ₂ ^ 2 - C W.Ψ₃
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : Γ.rightOp.obj X ⟶ op (CommRingCat.of R)
U : (Opens ↑↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op (CommRingCat.of R))).toPresheafedSpace)ᵒᵖ

⊢ toOpen R (unop U) ≫ ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.c.app U = f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : Γ.rightOp.obj X ⟶ op (CommRingCat.of R)
U : (Opens ↑↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op (CommRingCat.of R))).toPresheafedSpace)ᵒᵖ

⊢ (locallyRingedSpaceAdjunction.counit.app (op (CommRingCat.of R))).unop ≫ ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.c.app (op ⊤) ≫ ((pushforward CommRingCat ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.base).obj X.presheaf).map (homOfLE ⋯).op = f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : Γ.rightOp.obj X ⟶ op (CommRingCat.of R)
U : (Opens ↑↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op (CommRingCat.of R))).toPresheafedSpace)ᵒᵖ

⊢ (locallyRingedSpaceAdjunction.counit.app (op (CommRingCat.of R))).unop ≫ Γ.map ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).op ≫ ((pushforward CommRingCat ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.base).obj X.presheaf).map (homOfLE ⋯).op = f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : Γ.rightOp.obj X ⟶ op (CommRingCat.of R)
U : (Opens ↑↑(Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op (CommRingCat.of R))).toPresheafedSpace)ᵒᵖ

⊢ f.unop ≫ ((pushforward CommRingCat ((locallyRingedSpaceAdjunction.homEquiv X (op (CommRingCat.of R))) f).val.base).obj X.presheaf).map (homOfLE ⋯).op = f.unop ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/SheafHom.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
hG : IsSheaf J G

⊢ IsSheaf J (presheafHom F G)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/SheafHom.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
hG : IsSheaf J G

⊢ Presieve.IsSheaf J (presheafHom F G)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/SheafHom.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
hG : IsSheaf J G
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X

⊢ Presieve.IsSheafFor (presheafHom F G) S.arrows
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : TopologicalSpace β
f g : α → β
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
f' : α → β
hf'_meas : StronglyMeasurable f'
hff' : f =ᶠ[ae μ] f'

⊢ AEStronglyMeasurable' m g μ