ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
hc : {i₁, i₂}.card = 2
W : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (s.points '' {i₁, i₂})
h_faces : ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection W) s.circumcenter) = ↑((s.face hc).orthogonalProjectionSpan s.circumcenter)

⊢ ∑ x : Fin (n + 1), ((if x ∈ {i₁, i₂} then ((↑2)⁻¹ + (↑2)⁻¹) • (s.pointsWithCircumcenter (pointIndex x) -ᵥ Classical.choice ⋯) else 0) - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 • (s.pointsWithCircumcenter (pointIndex x) -ᵥ Classical.choice ⋯) else 0) = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
hc : {i₁, i₂}.card = 2
W : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (s.points '' {i₁, i₂})
h_faces : ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection W) s.circumcenter) = ↑((s.face hc).orthogonalProjectionSpan s.circumcenter)

⊢ ∑ x : Fin (n + 1), ((if x ∈ {i₁, i₂} then ((↑2)⁻¹ + (↑2)⁻¹) • (s.pointsWithCircumcenter (pointIndex x) -ᵥ Classical.choice ⋯) else ∑ _x ∈ ?m.329271, 0) - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 • (s.pointsWithCircumcenter (pointIndex x) -ᵥ Classical.choice ⋯) else ∑ _x ∈ ?m.329271, 0) = ∑ _x ∈ ?m.329271, 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
hc : {i₁, i₂}.card = 2
W : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (s.points '' {i₁, i₂})
h_faces : ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection W) s.circumcenter) = ↑((s.face hc).orthogonalProjectionSpan s.circumcenter)

⊢ Type ?u.329268
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i₁ i₂ : Fin (n + 1)
h : i₁ ≠ i₂
hc : {i₁, i₂}.card = 2
W : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (s.points '' {i₁, i₂})
h_faces : ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection W) s.circumcenter) = ↑((s.face hc).orthogonalProjectionSpan s.circumcenter)

⊢ Finset ?m.329269
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
f : R →+* S
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)
hUV : V.carrier ⊆ ⇑(PrimeSpectrum.comap f) ⁻¹' U.carrier
a b : R
hb : ∀ x ∈ U, b ∈ x.asIdeal.primeCompl
p : ↥(unop (op V))

⊢ ↑((comap f U V hUV) (const R a b U hb)) p = ↑(const S (f a) (f b) V ⋯) p
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
f : R →+* S
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)
hUV : V.carrier ⊆ ⇑(PrimeSpectrum.comap f) ⁻¹' U.carrier
a b : R
hb : ∀ x ∈ U, b ∈ x.asIdeal.primeCompl
p : ↥(unop (op V))

⊢ (Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap f) ↑p).asIdeal (↑p).asIdeal f ⋯) (IsLocalization.mk' (Localizations R ↑⟨(PrimeSpectrum.comap f) ↑p, ⋯⟩) a ⟨b, ⋯⟩) = IsLocalization.mk' (Localizations S ↑p) (f a) ⟨f b, ⋯⟩
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
f : R →+* S
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)
hUV : V.carrier ⊆ ⇑(PrimeSpectrum.comap f) ⁻¹' U.carrier
a b : R
hb : ∀ x ∈ U, b ∈ x.asIdeal.primeCompl
p : ↥(unop (op V))

⊢ IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime (↑p).asIdeal) (f a) ⟨f ↑⟨b, ⋯⟩, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localizations S ↑p) (f a) ⟨f b, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/GradedMonoid.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : SetLike S R
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid ι
A : ι → S
inst✝ : GradedMonoid A
n : ℕ
i : Fin n → ι
r : Fin n → R
h : ∀ (j : Fin n), r j ∈ A (i j)

⊢ (List.ofFn r).prod ∈ A (List.ofFn i).sum
-- Mathlib/Algebra/GradedMonoid.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝³ : SetLike S R
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid ι
A : ι → S
inst✝ : GradedMonoid A
n : ℕ
i : Fin n → ι
r : Fin n → R
h : ∀ (j : Fin n), r j ∈ A (i j)

⊢ (List.map r (List.finRange n)).prod ∈ A (List.map i (List.finRange n)).sum
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
F' : Type u_3 := UniformSpace.Completion F
e : F →L[𝕜] F' := UniformSpace.Completion.toComplL

⊢ EqOn f 0 U
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
F' : Type u_3 := UniformSpace.Completion F
e : F →L[𝕜] F' := UniformSpace.Completion.toComplL
this : AnalyticOn 𝕜 (⇑e ∘ f) U

⊢ EqOn f 0 U
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
F' : Type u_3 := UniformSpace.Completion F
e : F →L[𝕜] F' := UniformSpace.Completion.toComplL
this : AnalyticOn 𝕜 (⇑e ∘ f) U
A : EqOn (⇑e ∘ f) 0 U

⊢ EqOn f 0 U
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
F' : Type u_3 := UniformSpace.Completion F
e : F →L[𝕜] F' := UniformSpace.Completion.toComplL
this✝ : AnalyticOn 𝕜 (⇑e ∘ f) U
A : EqOn (⇑e ∘ f) 0 U
z : E
hz : z ∈ U
this : e (f z) = e 0

⊢ f z = 0 z
-- Mathlib/Data/Option/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p : α → Prop
f✝ : (a : α) → p a → β
x✝ : Option α
f : α → Option β
x : Option α

⊢ (x.pbind fun a x => f a) = x.bind f
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
x y : Fin (n + 1)
h : x ≠ y

⊢ ∃ z, y.succAbove z = x
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
x y : Fin (n + 1)
h : x ≠ y
hxy : x < y

⊢ ∃ z, y.succAbove z = x
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
x y : Fin (n + 1)
h : x ≠ y
hyx : y < x

⊢ ∃ z, y.succAbove z = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Dirac.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a✝ : α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s

⊢ (dirac a) s = s.indicator 1 a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Dirac.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a✝ : α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s

⊢ (dirac a) s ≤ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
h : n ≠ 0
a✝ : ℕ

⊢ a✝ ∈ filter (fun x => x ∣ n) (range n) ↔ a✝ ∈ n.properDivisors
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
h : n ≠ 0
a✝ : ℕ

⊢ a✝ ∣ n → a✝ < n → 1 ≤ a✝
-- Mathlib/Logic/Function/Iterate.lean
α : Type u
β : Type v
f g : α → α
h : Commute f g
n✝ : ℕ
x : α
hx : f x = g x
n : ℕ
ihn : f^[n] x = g^[n] x

⊢ f^[n.succ] x = g^[n.succ] x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
hs : MeasurableSet s

⊢ ((κ ⊗ₖ η) a) s = 0 ↔ (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) =ᶠ[ae (κ a)] 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
hs : MeasurableSet s

⊢ (fun b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s}) =ᶠ[ae (κ a)] 0 ↔ (fun b => (η (a, b)) (Prod.mk b ⁻¹' s)) =ᶠ[ae (κ a)] 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ a : α
hs : MeasurableSet s

⊢ Measurable fun b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ s}
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter β
h : Filter γ

⊢ map (⇑(Equiv.prodAssoc α β γ).symm) (f ×ˢ g ×ˢ h) = (f ×ˢ g) ×ˢ h
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α✝
inst✝² : Fintype β
α : Type u_4
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p

⊢ (∃! a, p a) ↔ (filter p univ).card = 1
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α✝
inst✝² : Fintype β
α : Type u_4
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p

⊢ (∃! a, p a) ↔ ∃ a, filter p univ = {a}
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α✝
inst✝² : Fintype β
α : Type u_4
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x : α

⊢ ((fun a => p a) x ∧ ∀ (y : α), (fun a => p a) y → y = x) ↔ filter p univ = {x}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
q : ℝ≥0∞

⊢ Memℒp (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
q : ℝ≥0∞

⊢ eLpNorm (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
q : ℝ≥0∞
q_top : ¬q = ⊤
q_zero : ¬q = 0

⊢ eLpNorm (fun x => ‖f x‖ ^ q.toReal) (p / q) μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
q : ℝ≥0∞
q_top : ¬q = ⊤
q_zero : ¬q = 0

⊢ eLpNorm f (p / q * ENNReal.ofReal q.toReal) μ ^ q.toReal < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
q : ℝ≥0∞
q_top : ¬q = ⊤
q_zero : ¬q = 0

⊢ eLpNorm f (p / q * ENNReal.ofReal q.toReal) μ ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q✝ : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
q : ℝ≥0∞
q_top : ¬q = ⊤
q_zero : ¬q = 0

⊢ eLpNorm f p μ ≠ ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝⁶ : SmallCategory J
inst✝⁵ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
inst✝³ : HasColimitsOfShape J C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape (J × K) C
inst✝ : HasColimitsOfShape (K × J) C
k : K
j : J

⊢ colimit.ι (F.obj j) k ≫ colimit.ι (F ⋙ colim) j ≫ (((colimitUncurryIsoColimitCompColim F).inv ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (NatIso.ofComponents (fun x => Iso.refl ((F.obj x.2).obj x.1)) ⋯)).inv) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (uncurryObjFlip F)).inv) ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F.flip).hom = colimit.ι (F.flip.obj k) j ≫ colimit.ι (F.flip ⋙ colim) k
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝⁶ : SmallCategory J
inst✝⁵ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
inst✝³ : HasColimitsOfShape J C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape (J × K) C
inst✝ : HasColimitsOfShape (K × J) C
k : K
j : J

⊢ (((colimit.ι (F.obj j) k ≫ colimit.ι (F ⋙ colim) j ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F).inv) ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (NatIso.ofComponents (fun x => Iso.refl ((F.obj x.2).obj x.1)) ⋯)).inv) ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (uncurryObjFlip F)).inv) ≫ (colimitUncurryIsoColimitCompColim F.flip).hom = colimit.ι (F.flip.obj k) j ≫ colimit.ι (F.flip ⋙ colim) k
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F✝ : ι → α → β
f✝ : α → β
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F : ι → α → β
f : α → β
p : Filter ι
s : Set α

⊢ TendstoUniformlyOn F f p s ↔ Tendsto (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) (p ×ˢ 𝓟 s) (𝓤 β)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ

⊢ ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ

⊢ variance X ℙ = (∫ (a : Ω), (X ^ 2) a) - (∫ (a : Ω), X a) ^ 2
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ

⊢ ((∫ (a : Ω), (X ^ 2) a) + ∫ (a : Ω), ((fun x => ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) a) - ∫ (a : Ω), (2 * X * fun x => ∫ (x : Ω), X x) a = (∫ (a : Ω), (X ^ 2) a) - (∫ (a : Ω), X a) ^ 2
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ

⊢ Integrable (X ^ 2) ℙ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ

⊢ Integrable ((fun x => ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ

⊢ Integrable (X ^ 2 + (fun x => ∫ (x : Ω), X x) ^ 2) ℙ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ

⊢ Integrable (2 * X * fun x => ∫ (x : Ω), X x) ℙ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ

⊢ (∫ (a : Ω), X a ^ 2) + (∫ (x : Ω), X x) ^ 2 - (2 * ∫ (x : Ω), X x) * ∫ (x : Ω), X x = (∫ (a : Ω), X a ^ 2) - (∫ (x : Ω), X x) ^ 2
-- Mathlib/Data/Option/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
p✝ : α✝ → Prop
f✝ : (a : α✝) → p✝ a → β✝
x✝ : Option α✝
α β γ : Type u_5
x : Option α
g : α → Option β
p : β → Prop
f : (b : β) → p b → γ
H : ∀ (a : β), a ∈ x >>= g → p a
H' : ∀ (a : α) (b : β), b ∈ g a → b ∈ x >>= g

⊢ pmap f (x >>= g) H = do let a ← x pmap f (g a) ⋯
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
h : a ≤ n + n

⊢ n * n + a < n.succ * n.succ
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
h : a ≤ n + n

⊢ n * n + a < (n * n + (n + n)).succ
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Nontrivial M

⊢ (associatedPrimes R M).Nonempty
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Nontrivial M
x : M
hx : x ≠ 0

⊢ (associatedPrimes R M).Nonempty
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Nontrivial M
x : M
hx : x ≠ 0
P : Ideal R
hP : IsAssociatedPrime P M
right✝ : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P

⊢ (associatedPrimes R M).Nonempty
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
x✝ : ∃ n y, minpoly F x = (expand F (q ^ n)) (X - C y)
n : ℕ
y : F
h : minpoly F x = (expand F (q ^ n)) (X - C y)

⊢ (minpoly F x).natSepDegree = 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
a : ZMod (n + 1)

⊢ a.val = 0 ↔ a = 0
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
a : ZMod (n + 1)

⊢ a.val = 0 ↔ ↑a = ↑0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪x, b i⟫_𝕜 = ⟪y, b i⟫_𝕜

⊢ x = y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪x, b i⟫_𝕜 = ⟪y, b i⟫_𝕜
i : ι

⊢ ⟪b i, x⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪x, b i⟫_𝕜 = ⟪y, b i⟫_𝕜
i : ι

⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪x, b i⟫_𝕜 = ⟪b i, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
x y : E
b : Basis ι 𝕜 E
h : ∀ (i : ι), ⟪x, b i⟫_𝕜 = ⟪y, b i⟫_𝕜
i : ι

⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪x, b i⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) ⟪y, b i⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : LinearOrder E
s : Set E
f : E → β
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x < y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y

⊢ ConvexOn 𝕜 s f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : LinearOrder E
s : Set E
f : E → β
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x < y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
-- Mathlib/CategoryTheory/Conj.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} D
F✝ F : C ⥤ D
X Y : C
α : X ≅ Y
f : Aut X

⊢ (F.mapIso (α.conjAut f)).hom = ((F.mapIso α).conjAut (F.mapIso f)).hom
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : ContDiffAt 𝕜 (↑n) f x

⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, ContDiffAt 𝕜 (↑n) f y
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : 1 ≤ x
n : ℕ

⊢ 1 ≤ x ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : 1 ≤ x
n : ℕ

⊢ 1 ≤ x ^ n * x
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ

⊢ Primrec (Function.uncurry f) ↔ Primrec₂ f
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ

⊢ (Primrec fun p => f p.1 p.2) ↔ Primrec₂ f
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/ToTensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r : R

⊢ toTensorAlgebra (DirectSum.GAlgebra.toFun r) = (algebraMap R (TensorAlgebra R M)) r
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.85033, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : W.HasLeftCalculusOfFractions
E : Type u_3
inst✝ : Category.{u_5, u_3} E
F : C ⥤ E
hF : W.IsInvertedBy F
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ Hom.map ((Q W).map f) F hF = 𝟙 (F.obj X) ≫ F.map f ≫ 𝟙 (F.obj Y)
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
hs : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) n.bitIndices

⊢ Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (bit b n).bitIndices
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
hs : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) n.bitIndices

⊢ List.Pairwise (fun a b => a < b) n.bitIndices
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l r₁ r₂ : ℕ
h₁ : r₁ ≤ r₂
h₂ : l + r₂ ≤ 1 ∨ r₂ ≤ delta * l
H : BalancedSz l r₁

⊢ BalancedSz l r₂
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l r₁ r₂ : ℕ
h₁ : r₁ ≤ r₂
h₂ : l + r₂ ≤ 1 ∨ r₂ ≤ delta * l
H : BalancedSz l r₁
h : ¬l + r₂ ≤ 1

⊢ l ≤ delta * r₂ ∧ r₂ ≤ delta * l
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l r₁ r₂ : ℕ
h₁ : r₁ ≤ r₂
h₂ : l + r₂ ≤ 1 ∨ r₂ ≤ delta * l
H : BalancedSz l r₁
h : ¬l + r₂ ≤ 1

⊢ l ≤ delta * r₂
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A B : IndexSet Δ
h : B ≠ A

⊢ ((s.cofan Δ).inj A ≫ s.desc Δ fun B_1 => if h : B_1 = B then eqToHom ⋯ else 0) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E✝ : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
E : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : β → E
μ : Measure β
hf : Memℒp f p μ
hp_ne_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E

⊢ ∃ g, eLpNorm (f - ↑g) p μ < ε ∧ Memℒp (↑g) p μ