ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)

⊢ ∑ x : Perm ιa × Perm ιb, Perm.sign (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) x) • domDomCongr (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) x) (a.domCoprod b) = ∑ x : Perm ιa × Perm ιb, Perm.sign σ • (domDomCongrEquiv σ) (Perm.sign x.1 • Perm.sign x.2 • (domDomCongr x.1 a).domCoprod (domDomCongr x.2 b))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
al : Perm ιa
ar : Perm ιb

⊢ Perm.sign (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (al, ar)) • domDomCongr (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (al, ar)) (a.domCoprod b) = Perm.sign σ • (domDomCongrEquiv σ) (Perm.sign al • Perm.sign ar • (domDomCongr al a).domCoprod (domDomCongr ar b))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₁
b : MultilinearMap R' (fun x => Mᵢ) N₂
σ✝ : Quotient (QuotientGroup.leftRel (Perm.sumCongrHom ιa ιb).range)
σ : Perm (ιa ⊕ ιb)
al : Perm ιa
ar : Perm ιb

⊢ Perm.sign (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (al, ar)) • domDomCongr (σ * (Perm.sumCongrHom ιa ιb) (al, ar)) (a.domCoprod b) = Perm.sign σ • Perm.sign al • Perm.sign ar • domDomCongr σ ((domDomCongr al a).domCoprod (domDomCongr ar b))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n

⊢ dist x y = dist y x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂

⊢ (-φ₁).τ₁ = S₁.f ≫ (-h.h₁) + -h.h₀ + (-φ₂).τ₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂

⊢ -φ₂.τ₁ + -(S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀) = -S₁.f ≫ h.h₁ + -h.h₀ + -φ₂.τ₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂

⊢ (-φ₁).τ₂ = S₁.g ≫ (-h.h₂) + (-h.h₁) ≫ S₂.f + (-φ₂).τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂

⊢ -φ₂.τ₂ + -(S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f) = -S₁.g ≫ h.h₂ + -h.h₁ ≫ S₂.f + -φ₂.τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂

⊢ (-φ₁).τ₃ = -h.h₃ + (-h.h₂) ≫ S₂.g + (-φ₂).τ₃
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.102700, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂

⊢ -(h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃) = -h.h₃ + -h.h₂ ≫ S₂.g + -φ₂.τ₃
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α

⊢ M ∈ Set.range ⇑(scalar n) ↔ ∀ (i j : n), Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
x✝ : M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
i j : n
r : α
hr : (scalar n) r = M

⊢ Commute ((scalar n) r) (stdBasisMatrix i j 1)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
x✝ : M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
i j : n
r : α
hr : (scalar n) r = M

⊢ r • stdBasisMatrix i j 1 = MulOpposite.op r • stdBasisMatrix i j 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
n : Int

⊢ mkRat n 0 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
x : K

⊢ (mixedEmbedding K) x ∈ convexBodyLT K f ↔ ∀ (w : InfinitePlace K), w x < ↑(f w)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E

⊢ IsClosed ((dualPairing 𝕜 E).flip.polar s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E

⊢ IsClosed (⋂ x ∈ s, {y | ‖((dualPairing 𝕜 E) y) x‖ ≤ 1})
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
z : E
x✝ : z ∈ s

⊢ IsClosed {y | ‖((dualPairing 𝕜 E) y) z‖ ≤ 1}
-- Mathlib/Logic/IsEmpty.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Type u_4

⊢ IsEmpty (ULift.{u_5, u_4} α) ↔ IsEmpty α
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α

⊢ fract a = 0 ∨ fract a = a + 1 - ↑⌈a⌉
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a = 0

⊢ fract a = 0 ∨ fract a = a + 1 - ↑⌈a⌉
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0

⊢ fract a = 0 ∨ fract a = a + 1 - ↑⌈a⌉
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0

⊢ fract a = a + 1 - ↑⌈a⌉
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0

⊢ ↑⌈a⌉ = ↑⌊a⌋ + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0

⊢ ⌈a⌉ = ⌊a⌋ + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0

⊢ ↑(⌊a⌋ + 1) - 1 < a ∧ a ≤ ↑(⌊a⌋ + 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0

⊢ ↑(⌊a⌋ + 1) - 1 < a
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
ha : fract a ≠ 0

⊢ 0 < fract a
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
α₁ : Type u
α₂ : Type v
β₁ : Type w
β₂ : Type x
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
m₁ : α₁ → β₁
m₂ : α₂ → β₂
s : Set (β₁ × β₂)
hs : (fun p => (m₁ p.1, m₂ p.2)) ⁻¹' s ∈ f₁ ×ˢ f₂
s₁ : Set α₁
hs₁ : s₁ ∈ f₁
s₂ : Set α₂
hs₂ : s₂ ∈ f₂
h : s₁ ×ˢ s₂ ⊆ (fun p => (m₁ p.1, m₂ p.2)) ⁻¹' s

⊢ (m₁ '' s₁) ×ˢ (m₂ '' s₂) ⊆ s
-- Mathlib/Data/Semiquot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
s : Set α
h : q.s ⊆ s

⊢ s ∪ q.s = s
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0

⊢ x = ↑(unitCoeff hx) * ↑p ^ x.valuation.natAbs
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0

⊢ (fun a => ↑a) x = (fun a => ↑a) (↑(unitCoeff hx) * ↑p ^ x.valuation.natAbs)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : x ≠ 0
repr : ↑x = ↑↑(unitCoeff hx) * ↑p ^ x.valuation

⊢ ↑p ^ x.valuation.natAbs = ↑p ^ x.valuation
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F

⊢ 0 ∈ lifts 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F

⊢ (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) 0).sum = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F

⊢ [].sum = 0
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

⊢ s ∈ coclosedCompact X ↔ ∃ t, IsClosed t ∧ IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ s
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β

⊢ LiftRel R s t.think ↔ LiftRel R s t
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.think.destruct ↔ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n k : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n + k ≤ m → p m = 0
x✝ : ℕ
hm : n ≤ x✝

⊢ n + k ≤ k + x✝
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n k : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n + k ≤ m → p m = 0
x✝ : ℕ
hm : n ≤ x✝

⊢ k + n ≤ k + x✝
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' Icc b c = Icc (b - a) (c - a)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
h : a ≠ 0
g : G₀

⊢ (fun g => a * g) (a⁻¹ * g) = g
-- Mathlib/Topology/UnitInterval.lean
t : ↑I

⊢ 1 / 2 ≤ ↑(σ t) ↔ ↑t ≤ 1 / 2
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Linear.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : LinearWeights R L M
χ✝ : L → R
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : Weight R L M

⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Linear.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : LinearWeights R L M
χ✝ : L → R
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : Weight R L M
hχ : Nontrivial ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)

⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Linear.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : LinearWeights R L M
χ✝ : L → R
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : Weight R L M
hχ : Nontrivial ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)
m : M
property✝ : m ∈ ↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)
hm₁ : ⟨m, property✝⟩ ∈ ↑(maxTrivSubmodule R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ))
hm₂ : ⟨⟨m, property✝⟩, hm₁⟩ ≠ 0

⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Linear.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : LinearWeights R L M
χ✝ : L → R
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : Weight R L M
hχ : Nontrivial ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)
m : M
property✝ : m ∈ ↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)
hm₁✝ : ⟨m, property✝⟩ ∈ ↑(maxTrivSubmodule R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ))
hm₂ : ⟨⟨m, property✝⟩, hm₁✝⟩ ≠ 0
hm₁ : ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m

⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j : 𝒰.J

⊢ t 𝒰 f g i j ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) ≫ pullback.snd (𝒰.map j ≫ f) g = pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hst : s =ᶠ[ae μ] t

⊢ s.indicator f =ᶠ[ae μ] t.indicator f
-- Mathlib/CategoryTheory/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
se : SplitEpi f
F : C ⥤ D

⊢ F.map se.section_ ≫ F.map f = 𝟙 (F.obj Y)
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop

⊢ Function.Surjective ⇑(mkAlgHom S s)
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop

⊢ Function.Surjective fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n : ℕ
l : List ℕ
h₁ : l.prod = n
h₂ : ∀ p ∈ l, Prime p

⊢ l ~ n.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n : ℕ
l : List ℕ
h₁ : l.prod = n
h₂ : ∀ p ∈ l, Prime p

⊢ l.prod = n.primeFactorsList.prod
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n : ℕ
l : List ℕ
h₁ : l.prod = n
h₂ : ∀ p ∈ l, Prime p

⊢ ∀ p ∈ l, _root_.Prime p
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n : ℕ
l : List ℕ
h₁ : l.prod = n
h₂ : ∀ p ∈ l, Prime p

⊢ ∀ p ∈ n.primeFactorsList, _root_.Prime p
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : (ZMod p)ˣ

⊢ a ^ (p - 1) = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ

⊢ Tendsto (fun x => rexp (f x)) l atTop ↔ Tendsto f l atTop
-- Mathlib/Order/Filter/EventuallyConst.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : α → β
p : α → Prop

⊢ EventuallyConst p l ↔ (p =ᶠ[l] fun x => False) ∨ p =ᶠ[l] fun x => True
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ≫ (Multicoequalizer.isoCoequalizer D.diagram).inv) x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ≫ (Multicoequalizer.isoCoequalizer D.diagram).inv) y

⊢ EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 y

⊢ EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 y
diagram : WalkingParallelPair ⥤ Type u := parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ⋙ forget TopCat

⊢ EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 y
diagram : WalkingParallelPair ⥤ Type u := parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ⋙ forget TopCat
this : colimit.ι diagram one x = colimit.ι diagram one y

⊢ EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 y
diagram : WalkingParallelPair ⥤ Type u := parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ⋙ forget TopCat
this✝ : colimit.ι diagram one x = colimit.ι diagram one y
this : (colimit.ι diagram one ≫ colim.map (diagramIsoParallelPair diagram).hom ≫ (colimit.isoColimitCocone (Types.coequalizerColimit (diagram.map WalkingParallelPairHom.left) (diagram.map WalkingParallelPairHom.right))).hom) x = (colimit.ι diagram one ≫ colim.map (diagramIsoParallelPair diagram).hom ≫ (colimit.isoColimitCocone (Types.coequalizerColimit (diagram.map WalkingParallelPairHom.left) (diagram.map WalkingParallelPairHom.right))).hom) y

⊢ EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
x y : ↑(∐ D.U)
h : (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 x = (coequalizer.π D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap).1 y
diagram : WalkingParallelPair ⥤ Type u := parallelPair D.diagram.fstSigmaMap D.diagram.sndSigmaMap ⋙ forget TopCat
this✝ : colimit.ι diagram one x = colimit.ι diagram one y
this : (Types.coequalizerColimit (diagram.map WalkingParallelPairHom.left) (diagram.map WalkingParallelPairHom.right)).cocone.ι.app one x = (Types.coequalizerColimit (diagram.map WalkingParallelPairHom.left) (diagram.map WalkingParallelPairHom.right)).cocone.ι.app one y

⊢ EqvGen (Types.CoequalizerRel ⇑D.diagram.fstSigmaMap ⇑D.diagram.sndSigmaMap) x y
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a * g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a * g⁻¹)
n : ℤ

⊢ P (g ^ n)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a * g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a * g⁻¹)

⊢ P (g ^ 0)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a * g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a * g⁻¹)
n : ℕ
ih : P (g ^ ↑n)

⊢ P (g ^ (↑n + 1))
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
g : G
P : G → Prop
h_one : P 1
h_mul : ∀ (a : G), P a → P (a * g)
h_inv : ∀ (a : G), P a → P (a * g⁻¹)
n : ℕ
ih : P (g ^ (-↑n))

⊢ P (g ^ (-↑n - 1))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AsSubring.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
S : Submonoid A
hS✝ : S ≤ A⁰
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
hS : S ≤ A⁰
s : ↥S

⊢ IsUnit ((algebraMap A K) ↑s)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
f : ((k : K) → Option (Γ k)) → (k : K) → Option (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n : ℕ

⊢ ListBlank.modifyNth (fun a => (a.1, f a.2)) n (addBottom L) = addBottom (ListBlank.modifyNth f n L)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
f : ((k : K) → Option (Γ k)) → (k : K) → Option (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n✝ : ℕ

⊢ ListBlank.cons (true, L.head) (ListBlank.modifyNth (fun a => (a.1, f a.2)) n✝ (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } L.tail)) = ListBlank.cons (true, L.head) (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.modifyNth f n✝ L.tail))
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
f : ((k : K) → Option (Γ k)) → (k : K) → Option (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n✝ : ℕ

⊢ ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } (ListBlank.modifyNth f n✝ L.tail) = ListBlank.modifyNth (fun a => (a.1, f a.2)) n✝ (ListBlank.map { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ } L.tail)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
f : ((k : K) → Option (Γ k)) → (k : K) → Option (Γ k)
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n✝ : ℕ

⊢ ∀ (x : (k : K) → Option (Γ k)), { f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ }.f (f x) = (({ f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ }.f x).1, f ({ f := Prod.mk false, map_pt' := ⋯ }.f x).2)
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r p : ℝ≥0
h : p ≠ 0

⊢ r ≤ p⁻¹ ↔ r * p ≤ 1
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf : Function.Surjective ⇑f
tG : IsTorsion G
h : H
g : G
hg : f g = h

⊢ IsOfFinOrder (f g)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt ℝ n f x
hg : ContDiffAt ℝ n g x
hne : f x ≠ g x

⊢ ContDiffAt ℝ n (fun y => ‖f y - g y‖) x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ sinh (x + y) = sinh x * cosh y + cosh x * sinh y
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ (cexp x - cexp (-x)) * (cexp y + cexp (-y)) + (cexp x + cexp (-x)) * (cexp y - cexp (-y)) = 2 * (cexp x * cexp y - cexp (-x) * cexp (-y))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Independence.lean
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V
u v : ℙ K V

⊢ Independent ![u, v] ↔ u ≠ v