ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B

⊢ adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = ((adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (L₃.map (G₂.map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ G₂.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (L₃.map (G₂.map (R₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))))) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj (H₁.obj b)))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (H₁.obj b)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B

⊢ adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b)) ≫ (L₂ ⋙ H₂).map ((adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b)) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (H₁.obj b)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B

⊢ adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ (R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map ((L₂ ⋙ H₂).map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b)) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj b)))) ≫ R₃.map ((L₂ ⋙ H₂).map (R₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (H₁.obj b)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B

⊢ adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map ((L₂ ⋙ H₂).map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b)) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj b)))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (H₁.obj (L₁.obj (R₁.obj b))) ≫ (𝟭 D).map (H₁.map (adj₁.counit.app b))))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B

⊢ adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (L₂.map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (L₂.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (H₁.obj (L₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B

⊢ adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (L₂.map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (L₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ (𝟭 D).map (α.app (R₁.obj b)))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B

⊢ adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (L₂.map (adj₂.unit.app (G₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (adj₂.counit.app (L₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G₁ : A ⥤ C
G₂ : C ⥤ E
H₁ : B ⥤ D
H₂ : D ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
L₃ : E ⥤ F
R₃ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : G₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : G₂ ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H₂
b : B

⊢ adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b))) = adj₃.unit.app (G₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (β.app (G₁.obj (R₁.obj b))) ≫ (R₃.map (H₂.map (𝟙 (L₂.obj (G₁.obj (R₁.obj b))))) ≫ R₃.map (H₂.map (α.app (R₁.obj b)))) ≫ R₃.map (H₂.map (H₁.map (adj₁.counit.app b)))
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : G

⊢ g ^ n = g ^ (n % exponent G + exponent G * (n / exponent G))
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
g : G

⊢ g ^ (n % exponent G + exponent G * (n / exponent G)) = g ^ (n % exponent G)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : ZeroHom N P
f₂ : ZeroHom M N

⊢ (⇑f ∘ ⇑f₂) 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ χ₃ : ↥H → R
hχ : χ₁ + χ₂ = χ₃
x : ↥(rootSpace H χ₁)
y : ↥(rootSpace H χ₂)

⊢ ↑((rootSpaceProduct R L H χ₁ χ₂ χ₃ hχ) (x ⊗ₜ[R] y)) = ⁅↑x, ↑y⁆
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a₁ b₁ a₂ b₂ : α

⊢ [a₁, b₁].Perm [a₂, b₂] → a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂ ∨ a₁ = b₂ ∧ b₁ = a₂
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a₁ b₁ a₂ b₂ : α

⊢ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂ ∨ ¬a₁ = a₂ ∧ b₁ = a₂ ∧ b₂ = a₁ → a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂ ∨ a₁ = b₂ ∧ b₁ = a₂
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a₁ b₁ a₂ b₂ : α
h₁ : a₁ = b₂
h₂ : b₁ = a₂

⊢ [b₂, a₂].Perm [a₂, b₂]
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ ↪ τ
φ : MvPolynomial σ R
d : σ →₀ ℕ

⊢ coeff (embDomain f d) ((rename ⇑f) φ) = coeff d φ
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
h : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (aeval h.gen) p = 0

⊢ ↑h.dim ≤ p.degree
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
h : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (aeval h.gen) p = 0

⊢ ↑h.dim ≤ ↑p.natDegree
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ

⊢ μ.toFinite = 0 ↔ μ = 0
-- Mathlib/Order/Filter/EventuallyConst.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : α → β
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
h : l.HasBasis p s

⊢ (∃ i, p i ∧ (f '' s i).Subsingleton) ↔ ∃ i, p i ∧ ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s i, f x = f y
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s✝ t : Set α
x✝ y z : α
s : Set α
x : αᵒᵈ

⊢ (x ∈ range fun x => ⋯.some) ↔ x ∈ ⇑ofDual ⁻¹' range fun x => ⋯.some
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s✝ t : Set α
x✝ y z : α
s : Set α
x : αᵒᵈ

⊢ (∃ a, ∃ (h : a ∈ s), ⋯.some = x) ↔ ∃ a, ∃ (h : a ∈ s), ⋯.some = ofDual x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Cones.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F✝ F : J ⥤ C

⊢ ((fun c => ⟨op c.pt, c.π⟩) ≫ fun c => { pt := unop c.fst, π := c.snd }) = 𝟙 (Cone F)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Cones.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F✝ F : J ⥤ C
X : Cone F

⊢ ((fun c => ⟨op c.pt, c.π⟩) ≫ fun c => { pt := unop c.fst, π := c.snd }) X = 𝟙 (Cone F) X
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Cones.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F✝ F : J ⥤ C

⊢ ((fun c => { pt := unop c.fst, π := c.snd }) ≫ fun c => ⟨op c.pt, c.π⟩) = 𝟙 ((X : Cᵒᵖ) × F.cones.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Cones.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F✝ F : J ⥤ C
X : (X : Cᵒᵖ) × F.cones.obj X

⊢ ((fun c => { pt := unop c.fst, π := c.snd }) ≫ fun c => ⟨op c.pt, c.π⟩) X = 𝟙 ((X : Cᵒᵖ) × F.cones.obj X) X
-- Mathlib/Data/Complex/Order.lean
z w : ℂ

⊢ ¬z ≤ w ↔ w.re < z.re ∨ z.im ≠ w.im
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
U : Ultrafilter M
U_idem : U * U = U
s₀ : Set M
sU : s₀ ∈ U

⊢ ∃ a, FP a ⊆ s₀
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
U : Ultrafilter M
U_idem : U * U = U
s₀ : Set M
sU : s₀ ∈ U
exists_elem : ∀ {s : Set M}, s ∈ U → (s ∩ {m | ∀ᶠ (m' : M) in ↑U, m * m' ∈ s}).Nonempty

⊢ ∃ a, FP a ⊆ s₀
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
U : Ultrafilter M
U_idem : U * U = U
s₀ : Set M
sU : s₀ ∈ U
exists_elem : ∀ {s : Set M}, s ∈ U → (s ∩ {m | ∀ᶠ (m' : M) in ↑U, m * m' ∈ s}).Nonempty
elem : { s // s ∈ U } → M := fun p => ⋯.some

⊢ ∃ a, FP a ⊆ s₀
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
U : Ultrafilter M
U_idem : U * U = U
s₀ : Set M
sU : s₀ ∈ U
exists_elem : ∀ {s : Set M}, s ∈ U → (s ∩ {m | ∀ᶠ (m' : M) in ↑U, m * m' ∈ s}).Nonempty
elem : { s // s ∈ U } → M := fun p => ⋯.some
succ : { s // s ∈ U } → { s // s ∈ U } := fun p => ⟨↑p ∩ {m | elem p * m ∈ ↑p}, ⋯⟩

⊢ ∃ a, FP a ⊆ s₀
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
U : Ultrafilter M
U_idem : U * U = U
s₀ : Set M
sU : s₀ ∈ U
exists_elem : ∀ {s : Set M}, s ∈ U → (s ∩ {m | ∀ᶠ (m' : M) in ↑U, m * m' ∈ s}).Nonempty
elem : { s // s ∈ U } → M := fun p => ⋯.some
succ : { s // s ∈ U } → { s // s ∈ U } := fun p => ⟨↑p ∩ {m | elem p * m ∈ ↑p}, ⋯⟩

⊢ FP (Stream'.corec elem succ ⟨s₀, sU⟩) ⊆ s₀
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Center.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f.f
U : C

⊢ inv f.f ▷ U ≫ (X.snd.β U).hom = (Y.snd.β U).hom ≫ U ◁ inv f.f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Lattice.lean
α : Type u
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : FinCategory J
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderTop α
x y z : α
f : x ⟶ z
g : y ⟶ z

⊢ limit (cospan f g) = Finset.univ.inf (cospan f g).obj
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Lattice.lean
α : Type u
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : FinCategory J
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderTop α
x y z : α
f : x ⟶ z
g : y ⟶ z

⊢ z ⊓ (x ⊓ (y ⊓ ⊤)) = z ⊓ (x ⊓ y)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ k < n, u (k + 1) < c * u k

⊢ u n < c ^ n * u 0
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ k < n, u (k + 1) < c * u k

⊢ u 0 ≤ c ^ 0 * u 0
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
u : ℕ → ℝ
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ k < n, u (k + 1) < c * u k

⊢ ∀ k < n, c * (c ^ k * u 0) ≤ c ^ (k + 1) * u 0
-- Mathlib/Algebra/CharP/CharAndCard.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hR : ringChar R ≠ 0

⊢ IsUnit ↑p ↔ ¬p ∣ ringChar R
-- Mathlib/Algebra/CharP/CharAndCard.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hR : ringChar R ≠ 0
hch : ↑(ringChar R) = 0

⊢ IsUnit ↑p ↔ ¬p ∣ ringChar R
-- Mathlib/Algebra/CharP/CharAndCard.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hR : ringChar R ≠ 0
hch : ↑(ringChar R) = 0
hp : Nat.Prime p

⊢ IsUnit ↑p ↔ ¬p ∣ ringChar R
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E

⊢ ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap ∈ Lp E p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x‖ ≤ ‖f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α →ᵇ E
x : α
a✝ : ↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x = f.toContinuousMap x

⊢ ‖↑(ContinuousMap.toAEEqFun μ f.toContinuousMap) x‖ ≤ ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius

⊢ Summable fun n => ‖p n‖₊ * r ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius

⊢ Summable fun a => ↑(‖p a‖₊ * r ^ a)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
h : ↑r < p.radius

⊢ Summable fun a => ‖p a‖ * ↑r ^ a
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''

⊢ ∃ C > 0, ∀ ⦃x : α⦄, g'' x ≠ 0 → ‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : IsBigOWith C cofinite f g''

⊢ ∃ C > 0, ∀ ⦃x : α⦄, g'' x ≠ 0 → ‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : {x | ¬‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖}.Finite

⊢ ∃ C > 0, ∀ ⦃x : α⦄, g'' x ≠ 0 → ‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : {x | ¬‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖}.Finite
C' : ℝ
hC' : ∀ i ∈ Finset.image (fun x => ‖f x‖ / ‖g'' x‖) hC.toFinset, i ≤ C'

⊢ ∃ C > 0, ∀ ⦃x : α⦄, g'' x ≠ 0 → ‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : {x | ¬‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖}.Finite
C' : ℝ
hC' : ∀ i ∈ Finset.image (fun x => ‖f x‖ / ‖g'' x‖) hC.toFinset, i ≤ C'
this : ∀ (x : α), C * ‖g'' x‖ < ‖f x‖ → ‖f x‖ / ‖g'' x‖ ≤ C'

⊢ ∃ C > 0, ∀ ⦃x : α⦄, g'' x ≠ 0 → ‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : {x | ¬‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖}.Finite
C' : ℝ
hC' : ∀ i ∈ Finset.image (fun x => ‖f x‖ / ‖g'' x‖) hC.toFinset, i ≤ C'
this : ∀ (x : α), C * ‖g'' x‖ < ‖f x‖ → ‖f x‖ / ‖g'' x‖ ≤ C'
x : α
h₀ : g'' x ≠ 0

⊢ ‖f x‖ ≤ max C C' * ‖g'' x‖