ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this✝ : Nonempty ↑s
f : ↥(affineSpan 𝕜 s) ≃ₜ ↥(map φ.toAffineMap (affineSpan 𝕜 s)) := (isometryEquivMap φ (affineSpan 𝕜 s)).toHomeomorph
this : ⇑φ.toAffineMap ∘ Subtype.val ∘ ⇑f.symm = Subtype.val

⊢ intrinsicInterior 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicInterior 𝕜 s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/TypesFiltered.lean
J : Type v
inst✝² : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J
inst✝ : HasColimit F
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j

⊢ (equivShrink (Quot F)) (Quot.mk (Quot.Rel F) ⟨i, xi⟩) = (equivShrink (Quot F)) (Quot.mk (Quot.Rel F) ⟨j, xj⟩) ↔ FilteredColimit.Rel F ⟨i, xi⟩ ⟨j, xj⟩
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
p : α → Prop
x : α
hx : ¬p x
this : Fintype α

⊢ Nat.card { x // p x } < Nat.card α
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
h : a ∈ nonunits α

⊢ ∃ I, I.IsMaximal ∧ a ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
h : a ∈ nonunits α
this : Ideal.span {a} ≠ ⊤

⊢ ∃ I, I.IsMaximal ∧ a ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
h : a ∈ nonunits α
this : Ideal.span {a} ≠ ⊤
I : Ideal α
Imax : I.IsMaximal
H : Ideal.span {a} ≤ I

⊢ ∃ I, I.IsMaximal ∧ a ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
h : a ∈ nonunits α
this : Ideal.span {a} ≠ ⊤
I : Ideal α
Imax : I.IsMaximal
H : Ideal.span {a} ≤ I

⊢ a ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
h : a ∈ nonunits α
this : Ideal.span {a} ≠ ⊤
I : Ideal α
Imax : I.IsMaximal
H : Ideal.span {a} ≤ I

⊢ a ∈ Ideal.span {a}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
h : a ∈ nonunits α
this : Ideal.span {a} ≠ ⊤
I : Ideal α
Imax : I.IsMaximal
H : Ideal.span {a} ≤ I

⊢ a ∈ {a}
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ
hz : 0 ≤ z

⊢ z = ↑‖z‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℝ
hz : 0 ≤ ↑z

⊢ ↑z = ↑‖↑z‖
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0

⊢ padicValRat p (q * r) = padicValRat p q + padicValRat p r
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
this : q * r = q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)

⊢ padicValRat p (q * r) = padicValRat p q + padicValRat p r
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
this : q * r = q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0

⊢ padicValRat p (q * r) = padicValRat p q + padicValRat p r
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
this : q * r = q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0
hr' : r.num /. ↑r.den ≠ 0

⊢ padicValRat p (q * r) = padicValRat p q + padicValRat p r
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
this : q * r = q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0
hr' : r.num /. ↑r.den ≠ 0
hp' : _root_.Prime ↑p

⊢ padicValRat p (q * r) = padicValRat p q + padicValRat p r
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
this : q * r = q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0
hr' : r.num /. ↑r.den ≠ 0
hp' : _root_.Prime ↑p

⊢ ↑((multiplicity (↑p) (q.num * r.num)).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) (↑q.den * ↑r.den)).get ⋯) = padicValRat p q + padicValRat p r
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
this : q * r = q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0
hr' : r.num /. ↑r.den ≠ 0
hp' : _root_.Prime ↑p

⊢ ↑((multiplicity (↑p) (q.num * r.num)).get ⋯) - ↑((multiplicity (↑p) (↑q.den * ↑r.den)).get ⋯) = ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity ↑p ↑q.den).get ⋯) + (↑((multiplicity (↑p) r.num).get ⋯) - ↑((multiplicity ↑p ↑r.den).get ⋯))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
this : q * r = q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hq' : q.num /. ↑q.den ≠ 0
hr' : r.num /. ↑r.den ≠ 0
hp' : _root_.Prime ↑p

⊢ ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) + ↑((multiplicity (↑p) r.num).get ⋯) - (↑((multiplicity ↑p ↑q.den).get ⋯) + ↑((multiplicity ↑p ↑r.den).get ⋯)) = ↑((multiplicity (↑p) q.num).get ⋯) - ↑((multiplicity ↑p ↑q.den).get ⋯) + (↑((multiplicity (↑p) r.num).get ⋯) - ↑((multiplicity ↑p ↑r.den).get ⋯))
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s : Finset ι
f : ι → α
a : α

⊢ (s.sup fun b => a \ f b) = a \ s.inf f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
h : 𝔖.Nonempty
h' : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis p s

⊢ (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => UniformOnFun.gen 𝔖 Si.1 (s Si.2)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
h : 𝔖.Nonempty
h' : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis p s

⊢ (⨅ i ∈ 𝔖, 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => UniformOnFun.gen 𝔖 Si.1 (s Si.2)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M
p : (m : M) → m ∈ closure s → Prop
one : p 1 ⋯
mul_right : ∀ (x : M) (hx : x ∈ closure s) (y : M) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y) ⋯
x : M
h : x ∈ closure s
m : Mᵐᵒᵖ
hm : m ∈ closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)

⊢ MulOpposite.unop m ∈ closure s
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M
p : (m : M) → m ∈ closure s → Prop
one : p 1 ⋯
mul_right : ∀ (x : M) (hx : x ∈ closure s) (y : M) (hy : y ∈ s), p x hx → p (x * y) ⋯
x : M
h : x ∈ closure s

⊢ { unop' := x } ∈ closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/StructuredArrow.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6221, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6225, u_3} D'
W : MorphismProperty C
X : C
P : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q → Prop
hP₀ : P (StructuredArrow.mk (𝟙 (W.Q.obj X)))
hP₁ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₁), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ W.Q.map f))
hP₂ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₂), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom W.Q W w hw).inv))
g : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q
X₀ : Paths (LocQuiver W) := { obj := X }

⊢ P g
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/StructuredArrow.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
D' : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6221, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6225, u_3} D'
W : MorphismProperty C
X : C
P : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q → Prop
hP₀ : P (StructuredArrow.mk (𝟙 (W.Q.obj X)))
hP₁ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (f : Y₁ ⟶ Y₂) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₁), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ W.Q.map f))
hP₂ : ∀ ⦃Y₁ Y₂ : C⦄ (w : Y₁ ⟶ Y₂) (hw : W w) (φ : W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y₂), P (StructuredArrow.mk φ) → P (StructuredArrow.mk (φ ≫ (isoOfHom W.Q W w hw).inv))
g : StructuredArrow (W.Q.obj X) W.Q
X₀ : Paths (LocQuiver W) := { obj := X }

⊢ ∀ ⦃Y₀ : Paths (LocQuiver W)⦄ (f : X₀ ⟶ Y₀), P (StructuredArrow.mk ((Quotient.functor (relations W)).map f))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char

⊢ { s := { data := l.reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len l } } = { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hi : i ∈ s

⊢ Lagrange.basis s v i = C (nodalWeight s v i) * (nodal s v / (X - C (v i)))
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
d : n → α
M : Matrix m n α
i : m
j : n

⊢ (M * diagonal d) i j = M i j * d j
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
d : n → α
M : Matrix m n α
i : m
j : n

⊢ (M * (diagonal d)ᵀ) i j = M i j * d j
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]

⊢ a.re * b.imK + a.imI * b.imJ - a.imJ * b.imI + a.imK * b.re = a.re * b.imK + a.imI * b.imJ - a.imJ * b.imI + a.imK * b.re
-- Mathlib/Algebra/Ring/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommSemiring α
a✝ b✝ c a b : α

⊢ (a + b) * (a + b) = a * a + 2 * a * b + b * b
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : Measurable Y
hs : MeasurableSet s

⊢ (fun a => (((condDistrib Y X μ) (X a)) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(Y ⁻¹' s).indicator fun ω => 1|MeasurableSpace.comap X mβ]
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : Measurable Y
hs : MeasurableSet s

⊢ Integrable ((Y ⁻¹' s).indicator fun ω => 1) μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : Measurable Y
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 < ⊤ → IntegrableOn (fun a => (((condDistrib Y X μ) (X a)) s).toReal) s_1 μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : Measurable Y
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 < ⊤ → ∫ (x : α) in s_1, (((condDistrib Y X μ) (X x)) s).toReal ∂μ = ∫ (x : α) in s_1, (Y ⁻¹' s).indicator (fun ω => 1) x ∂μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
hX : Measurable X
hY : Measurable Y
hs : MeasurableSet s

⊢ AEStronglyMeasurable' (MeasurableSpace.comap X mβ) (fun a => (((condDistrib Y X μ) (X a)) s).toReal) μ
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hf : StrictMono f

⊢ { ofColex := image f s } ≤ { ofColex := image f t } ↔ { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
-- Mathlib/Topology/Covering.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMap f
e₁ e₂ : E
he : f e₁ = f e₂
hne : e₁ ≠ e₂
left✝ : DiscreteTopology ↑(f ⁻¹' {f e₁})
t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f
he₁ : f e₁ ∈ t.baseSet
he₂ : f e₂ ∈ t.baseSet

⊢ ∃ s₁ s₂, IsOpen s₁ ∧ IsOpen s₂ ∧ e₁ ∈ s₁ ∧ e₂ ∈ s₂ ∧ Disjoint s₁ s₂
-- Mathlib/Topology/Covering.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMap f
e₁ e₂ : E
he : f e₁ = f e₂
hne : e₁ ≠ e₂
left✝ : DiscreteTopology ↑(f ⁻¹' {f e₁})
t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f
he₁ : e₁ ∈ t.source
he₂ : e₂ ∈ t.source

⊢ ∃ s₁ s₂, IsOpen s₁ ∧ IsOpen s₂ ∧ e₁ ∈ s₁ ∧ e₂ ∈ s₂ ∧ Disjoint s₁ s₂
-- Mathlib/Topology/Covering.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMap f
e₁ e₂ : E
he : f e₁ = f e₂
hne : e₁ ≠ e₂
left✝ : DiscreteTopology ↑(f ⁻¹' {f e₁})
t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f
he₁ : e₁ ∈ t.source
he₂ : e₂ ∈ t.source

⊢ IsOpen (t.source ∩ Prod.snd ∘ ↑t ⁻¹' {(↑t e₁).2})
-- Mathlib/Topology/Covering.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMap f
e₁ e₂ : E
he : f e₁ = f e₂
hne : e₁ ≠ e₂
left✝ : DiscreteTopology ↑(f ⁻¹' {f e₁})
t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f
he₁ : e₁ ∈ t.source
he₂ : e₂ ∈ t.source

⊢ IsOpen (t.source ∩ Prod.snd ∘ ↑t ⁻¹' {(↑t e₂).2})
-- Mathlib/Topology/Covering.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMap f
e₁ e₂ : E
he : f e₁ = f e₂
hne : e₁ ≠ e₂
left✝ : DiscreteTopology ↑(f ⁻¹' {f e₁})
t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f
he₁ : e₁ ∈ t.source
he₂ : e₂ ∈ t.source
x : E
h₁ : x ∈ t.source ∩ Prod.snd ∘ ↑t ⁻¹' {(↑t e₁).2}
h₂ : x ∈ t.source ∩ Prod.snd ∘ ↑t ⁻¹' {(↑t e₂).2}

⊢ ↑t.toPartialHomeomorph e₁ = ↑t.toPartialHomeomorph e₂
-- Mathlib/Topology/Covering.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMap f
e₁ e₂ : E
he : f e₁ = f e₂
hne : e₁ ≠ e₂
left✝ : DiscreteTopology ↑(f ⁻¹' {f e₁})
t : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f e₁})) f
he₁ : e₁ ∈ t.source
he₂ : e₂ ∈ t.source
x : E
h₁ : x ∈ t.source ∩ Prod.snd ∘ ↑t ⁻¹' {(↑t e₁).2}
h₂ : x ∈ t.source ∩ Prod.snd ∘ ↑t ⁻¹' {(↑t e₂).2}

⊢ (↑t.toPartialHomeomorph e₁).1 = (↑t.toPartialHomeomorph e₂).1
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ

⊢ ∑ w : { w // w ≠ w₀ }, (logEmbedding K) x w = -↑w₀.mult * Real.log (w₀ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x))
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
h : Real.log (∏ w : InfinitePlace K, w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) ^ w.mult) = Real.log ↑|(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x)|

⊢ ∑ w : { w // w ≠ w₀ }, (logEmbedding K) x w = -↑w₀.mult * Real.log (w₀ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x))
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
h : ∑ i : InfinitePlace K, Real.log (i ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) ^ i.mult) = 0

⊢ ∑ w : { w // w ≠ w₀ }, (logEmbedding K) x w = -↑w₀.mult * Real.log (w₀ ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x))
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (𝓞 K)ˣ
h : Real.log (∏ w : InfinitePlace K, w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) ^ w.mult) = 0

⊢ ∀ x_1 ∈ univ, x_1 ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x) ^ x_1.mult ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.207600, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : Cocycle K F 1
β : Cochain K G 0
eq : δ 0 1 β + (↑α).comp (Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0

⊢ Cochain.ofHom (lift φ α β eq) = liftCochain φ (↑α) β ⋯
-- Mathlib/Data/Multiset/FinsetOps.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s t : Multiset α
x✝ : s ≤ t ∧ a ∈ t
l : s ≤ t
m : a ∈ t
h : a ∉ s

⊢ ndinsert a s ≤ t
-- Mathlib/Data/Multiset/FinsetOps.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s t : Multiset α
x✝ : s ≤ t ∧ a ∈ t
l : s ≤ t
m : a ∈ t
h : a ∉ s

⊢ s ≤ t
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ

⊢ ⌊√↑a⌋₊ = a.sqrt
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ

⊢ ↑a.sqrt ≤ √↑a ∧ √↑a < ↑a.sqrt + 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/ComplexShape.lean
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
j : ι
hj : ¬c.Rel (c.prev j) j
k : ι
hk' : c.Rel k j

⊢ c.Rel (c.prev j) j
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M

⊢ ‖S.normedMk m‖ = sInf ((fun m_1 => ‖m + m_1‖) '' ↑S.normedMk.ker)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
Y : C
j✝ : J

⊢ ((leftDistributor X f ⊗ asIso (𝟙 Y)) ≪≫ rightDistributor (fun j => X ⊗ f j) Y).hom ≫ biproduct.π (fun j => (X ⊗ f j) ⊗ Y) j✝ = (α_ X (⨁ f) Y ≪≫ (asIso (𝟙 X) ⊗ rightDistributor f Y) ≪≫ (leftDistributor X fun j => f j ⊗ Y) ≪≫ biproduct.mapIso fun j => (α_ X (f j) Y).symm).hom ≫ biproduct.π (fun j => (X ⊗ f j) ⊗ Y) j✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
Y : C
j✝ : J

⊢ ∑ x : J, (X ◁ biproduct.π f x ⊗ 𝟙 Y) ≫ (biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) x ⊗ 𝟙 Y) ≫ biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j✝ ▷ Y = ∑ x : J, (α_ X (⨁ f) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ biproduct.π f x ▷ Y ≫ biproduct.ι (fun j => f j ⊗ Y) x) ≫ X ◁ biproduct.π (fun j => f j ⊗ Y) j✝ ≫ (α_ X (f j✝) Y).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
Y : C
j✝ : J

⊢ ∑ x : J, ((𝟙 X ⊗ biproduct.π f x) ⊗ 𝟙 Y) ≫ (biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) x ⊗ 𝟙 Y) ≫ (biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j✝ ⊗ 𝟙 Y) = ∑ x : J, (α_ X (⨁ f) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ (biproduct.π f x ⊗ 𝟙 Y) ≫ biproduct.ι (fun j => f j ⊗ Y) x) ≫ (𝟙 X ⊗ biproduct.π (fun j => f j ⊗ Y) j✝) ≫ (α_ X (f j✝) Y).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
Y : C
j✝ : J

⊢ (∑ x : J, if h : x = j✝ then (𝟙 X ⊗ biproduct.π f x) ≫ eqToHom ⋯ ⊗ 𝟙 Y else (𝟙 X ⊗ biproduct.π f x) ≫ 0 ⊗ 𝟙 Y) = ∑ x : J, if h : x = j✝ then (α_ X (⨁ f) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ (biproduct.π f x ⊗ 𝟙 Y) ≫ eqToHom ⋯) ≫ (α_ X (f j✝) Y).inv else (α_ X (⨁ f) Y).hom ≫ (𝟙 X ⊗ (biproduct.π f x ⊗ 𝟙 Y) ≫ 0) ≫ (α_ X (f j✝) Y).inv
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1

⊢ 0 ≤ logb b x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1

⊢ x ≤ 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasureCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ✝ η : Kernel α β
κ : Kernel Unit β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set (Unit × β)
hs : MeasurableSet s

⊢ (dirac () ⊗ₘ κ) s = (map (Prod.mk ()) (κ ())) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.306779, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.306786, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsVanKampenColimit c₁
t₂ : IsVanKampenColimit c₂
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C
c : Cocone F
α : F ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α

⊢ Nonempty (IsColimit c) ↔ ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.306779, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.306786, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsVanKampenColimit c₁
t₂ : IsVanKampenColimit c₂
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C
c : Cocone F
α : F ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α

⊢ Nonempty (IsColimit c) → ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.306779, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.306786, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsVanKampenColimit c₁
t₂ : IsVanKampenColimit c₂
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C
c : Cocone F
α : F ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α
Hc : IsColimit c
j : Fin (n + 1)

⊢ IsPullback (c.ι.app { as := j }) (α.app { as := j }) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app { as := j })
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.306779, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.306786, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsVanKampenColimit c₁
t₂ : IsVanKampenColimit c₂
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
F : Discrete (Fin (n + 1)) ⥤ C
c : Cocone F
α : F ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α
Hc : IsColimit c
j : Fin (n + 1)
t₂' : ∀ (j : Discrete WalkingPair), IsPullback ((BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (Sigma.desc fun b => c.ι.app { as := b.succ })).ι.app j) ((mapPair (α.app { as := 0 }) (Sigma.desc fun b => α.app { as := b.succ } ≫ c₁.inj b)).app j) i (c₂.ι.app j)

⊢ IsPullback (c.ι.app { as := j }) (α.app { as := j }) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app { as := j })