ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₁
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring S₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁶ : Module S₁ N₂
inst✝⁵ : Module S₂ N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : Matrix n m N₂
i : n
j : m

⊢ ∑ i_1 : n, ∑ j_1 : m, σ₂ ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1 j_1) •> σ₁ ((LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1 i_1) •> f i_1 j_1 = f i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₁
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring S₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁶ : Module S₁ N₂
inst✝⁵ : Module S₂ N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : Matrix n m N₂
i : n
j : m
this : ∑ i' : n, ∑ j' : m, (if i = i' then 1 else 0) •> (if j = j' then 1 else 0) •> f i' j' = f i j

⊢ ∑ i_1 : n, ∑ j_1 : m, σ₂ ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1 j_1) •> σ₁ ((LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1 i_1) •> f i_1 j_1 = f i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₁
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring S₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁶ : Module S₁ N₂
inst✝⁵ : Module S₂ N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : Matrix n m N₂
i : n
j : m
this : ∑ i' : n, ∑ j' : m, (if i = i' then 1 else 0) •> (if j = j' then 1 else 0) •> f i' j' = f i j

⊢ ∑ i_1 : n, ∑ j_1 : m, σ₂ ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1 j_1) •> σ₁ ((LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1 i_1) •> f i_1 j_1 = ∑ i' : n, ∑ j' : m, (if i = i' then 1 else 0) •> (if j = j' then 1 else 0) •> f i' j'
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α

⊢ ContinuousWithinAt f (Iio x) x ↔ leftLim f x = f x
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x = ⊥

⊢ ContinuousWithinAt f (Iio x) x ↔ leftLim f x = f x
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥

⊢ ContinuousWithinAt f (Iio x) x ↔ leftLim f x = f x
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
this : (𝓝[<] x).NeBot

⊢ ContinuousWithinAt f (Iio x) x ↔ leftLim f x = f x
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
this : (𝓝[<] x).NeBot
h : leftLim f x = f x

⊢ ContinuousWithinAt f (Iio x) x
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
this✝ : (𝓝[<] x).NeBot
h : leftLim f x = f x
this : Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (leftLim f x))

⊢ ContinuousWithinAt f (Iio x) x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
a : R
hp0 : 0 < p.degree

⊢ (p - C a).degree = p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
a : R
hp0 : 0 < p.degree

⊢ (p + C (-a)).degree = p.degree
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P

⊢ dist a b + dist b c = dist a c ↔ Wbtw ℝ a b c
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
this : dist (a -ᵥ a) (b -ᵥ a) + dist (b -ᵥ a) (c -ᵥ a) = dist (a -ᵥ a) (c -ᵥ a) ↔ b -ᵥ a ∈ [a -ᵥ a-[ℝ]c -ᵥ a]

⊢ dist a b + dist b c = dist a c ↔ Wbtw ℝ a b c
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c : P
this : dist a b + dist b c = dist a c ↔ b -ᵥ a ∈ (fun x => x -ᵥ a) '' affineSegment ℝ a c

⊢ dist a b + dist b c = dist a c ↔ Wbtw ℝ a b c
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ d n
hd : tsum d ≠ ⊤

⊢ CauchySeq f
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ (fun i => ↑(d i)) n
hd : ∑' (i : ℕ), ↑(d i) ≠ ⊤

⊢ CauchySeq f
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : ℕ → α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ (fun i => ↑(d i)) n
hd : Summable d

⊢ CauchySeq f
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n : ℕ
i j : Fin (n + 1)
hi : i ≠ Fin.last n
hj : j ≠ i

⊢ (finSuccEquiv' i) j = some ((i.castLT ⋯).predAbove j)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n : ℕ
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ Fin.last n
j : Fin n
hj : i.succAbove j ≠ i

⊢ (finSuccEquiv' i) (i.succAbove j) = some ((i.castLT ⋯).predAbove (i.succAbove j))
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n : ℕ
j i : Fin n
hi : i.castSucc ≠ Fin.last n
hj : i.castSucc.succAbove j ≠ i.castSucc

⊢ (finSuccEquiv' i.castSucc) (i.castSucc.succAbove j) = some ((i.castSucc.castLT ⋯).predAbove (i.castSucc.succAbove j))
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
b : P
hb : b ∈ I ⊔ J

⊢ IsInteger R ((aI * aJ) • b)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
bI : P
hbI : bI ∈ I
bJ : P
hbJ : bJ ∈ J
hb : bI + bJ ∈ I ⊔ J

⊢ IsInteger R ((aI * aJ) • (bI + bJ))
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
bI : P
hbI : bI ∈ I
bJ : P
hbJ : bJ ∈ J
hb : bI + bJ ∈ I ⊔ J

⊢ IsInteger R ((aI * aJ) • bI + (aI * aJ) • bJ)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
bI : P
hbI : bI ∈ I
bJ : P
hbJ : bJ ∈ J
hb : bI + bJ ∈ I ⊔ J

⊢ IsInteger R ((aI * aJ) • bI)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
bI : P
hbI : bI ∈ I
bJ : P
hbJ : bJ ∈ J
hb : bI + bJ ∈ I ⊔ J

⊢ IsInteger R ((aI * aJ) • bJ)
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
b : β
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, b ≤ u x) → b ≤ limsup u f
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
b : β
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

⊢ ¬b ≤ limsup u f → ∀ᶠ (x : α) in f, ¬b ≤ u x
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
b : β
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

⊢ limsup u f < b → ∀ᶠ (x : α) in f, u x < b
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ

⊢ ↑r = 0 ↔ r = 0
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x : ZFSet
h : ∅ ∉ x
y : ZFSet
yx : y ∈ x

⊢ ↑(map (fun y => Classical.epsilon fun z => z ∈ y) x) ′ ↑y ∈ ↑y
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x : ZFSet
h : ∅ ∉ x
y : ZFSet
yx : y ∈ x

⊢ (Classical.epsilon fun z => z ∈ y) ∈ y
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → AddSubmonoid N
h : Function.Injective ⇑(sumAddHom fun i => (p i).subtype)

⊢ Independent p
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → AddSubmonoid N
h : Function.Injective ⇑(sumAddHom fun i => (p i).subtype)

⊢ Independent (⇑AddSubmonoid.toNatSubmodule ∘ p)
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
h : (Ioi a).Nonempty

⊢ closure (Ioi a) = Ici a
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
h : (Ioi a).Nonempty

⊢ closure (Ioi a) ⊆ Ici a
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
h : (Ioi a).Nonempty

⊢ Ici a ⊆ closure (Ioi a)
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
w : Word H
h : (lift f) w.prod = 1

⊢ w = Word.empty
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
w : Word H
h : (lift f) w.prod = 1
hnotempty : ¬w = Word.empty

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝³ : Monoid N
hnontriv : Nontrivial ι
G : Type u_4
inst✝² : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
hcard : 3 ≤ #ι ∨ ∃ i, 3 ≤ #(H i)
α : Type u_6
inst✝ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise fun i j => Disjoint (X i) (X j)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
i j : ι
w : NeWord H i j
h : (lift f) w.toWord.prod = 1
hnotempty : ¬w.toWord = Word.empty

⊢ False
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 7
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r

⊢ jacobiSymNat a b = r
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 7
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r

⊢ jacobiSym (↑a) b = jacobiSym (↑a / 2) b
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 7
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r

⊢ b % 2 = 1
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 7
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r

⊢ 2 ∣ 8
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
r : R
h : ∀ (k : ℕ), eval r ((hasseDeriv k) f) = 0

⊢ f = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
r : R
h : ∀ (k : ℕ), eval r ((hasseDeriv k) f) = 0

⊢ (taylor r) f = (taylor r) 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
r : R
h : ∀ (k : ℕ), eval r ((hasseDeriv k) f) = 0

⊢ (taylor r) f = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
r : R
h : ∀ (k : ℕ), eval r ((hasseDeriv k) f) = 0
k : ℕ

⊢ ((taylor r) f).coeff k = coeff 0 k
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R

⊢ (X ^ p - C y).roots = p • {(frobeniusEquiv R p).symm y}
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R
H : (X ^ p ^ 1 - C y).roots = p ^ 1 • {(iterateFrobeniusEquiv R p 1).symm y}

⊢ (X ^ p - C y).roots = p • {(frobeniusEquiv R p).symm y}
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
ha : a ≠ 0

⊢ a * b = a ↔ b = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r

⊢ Integrable (fun x => (1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-r / 2)) μ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r

⊢ Integrable (fun x => (1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-r / 2)) μ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r

⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => (1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-r / 2)) μ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r
x : E

⊢ ‖(1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-r / 2)‖ ≤ 2 ^ (r / 2) * (1 + ‖x‖) ^ (-r)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
r : ℝ
hnr : ↑(finrank ℝ E) < r
hr : 0 < r
x : E

⊢ 0 < (1 + ‖x‖ ^ 2) ^ (-r / 2)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Angle.lean
a x y : ℂ
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1

⊢ angle x y ≤ π / 2 * ‖x - y‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/Angle.lean
a x y : ℂ
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1

⊢ 2 / π * angle x y ≤ ‖x - y‖
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean

⊢ prod 0 = 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ κ.mutuallySingularSetSlice η a
hs' : ∀ x ∈ s, 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x

⊢ ((κ.singularPart η) a) s = (κ a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ κ.mutuallySingularSetSlice η a
hs' : ∀ x ∈ s, 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x

⊢ ∫⁻ (b : γ) in s, ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal * κ.rnDeriv η a b ∂(κ + η) a = (κ a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ κ.mutuallySingularSetSlice η a
hs' : ∀ x ∈ s, 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x

⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal - ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal * κ.rnDeriv η a x)
-- Mathlib/Order/Closure.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : SemilatticeSup α
c : ClosureOperator α
x y : α

⊢ c (x ⊔ c y) = c (x ⊔ y)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f : Function.End α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hf : f ^ p ^ n = 1

⊢ Fintype.card α ≡ Fintype.card ↑(fixedPoints f) [MOD p]
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f : Function.End α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hf : f ^ p ^ n = 1
σ : α ≃ α := { toFun := f, invFun := f ^ (p ^ n - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }

⊢ Fintype.card α ≡ Fintype.card ↑(fixedPoints f) [MOD p]
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f : Function.End α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hf : f ^ p ^ n = 1
σ : α ≃ α := { toFun := f, invFun := f ^ (p ^ n - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
hσ : σ ^ p ^ n = 1

⊢ Fintype.card α ≡ Fintype.card ↑(fixedPoints f) [MOD p]
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f : Function.End α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hf : f ^ p ^ n = 1
σ : α ≃ α := { toFun := f, invFun := f ^ (p ^ n - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
hσ : σ ^ p ^ n = 1

⊢ Fintype.card ↑(fixedPoints f) = (support σ)ᶜ.card
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f : Function.End α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hf : f ^ p ^ n = 1
σ : α ≃ α := { toFun := f, invFun := f ^ (p ^ n - 1), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
hσ : σ ^ p ^ n = 1

⊢ fixedPoints f = ↑(support σ)ᶜ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ (x ^ (↑n)⁻¹) ^ n = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ ↑n ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hM : Disjoint ↑M ↑I

⊢ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I) = I
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hM : Disjoint ↑M ↑I

⊢ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I) ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hM : Disjoint ↑M ↑I
a : R
ha : a ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I)

⊢ a ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hM : Disjoint ↑M ↑I
a : R
ha : a ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I)
b : ↥I
s : ↥M
h : (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) ↑(b, s).2 = (algebraMap R S) ↑(b, s).1

⊢ a ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hM : Disjoint ↑M ↑I
a : R
ha : a ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I)
b : ↥I
s : ↥M
h : (algebraMap R S) (↑s * a) = (algebraMap R S) ↑b

⊢ a ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hM : Disjoint ↑M ↑I
a : R
ha : a ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I)
b : ↥I
s : ↥M
h : (algebraMap R S) (↑s * a) = (algebraMap R S) ↑b
c : ↥M
hc : ↑c * (↑s * a) = ↑c * ↑b

⊢ a ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hM : Disjoint ↑M ↑I
a : R
ha : a ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) (Ideal.map (algebraMap R S) I)
b : ↥I
s : ↥M
h : (algebraMap R S) (↑s * a) = (algebraMap R S) ↑b
c : ↥M
hc : ↑c * (↑s * a) = ↑c * ↑b
this : ↑c * ↑s * a ∈ I

⊢ a ∈ I
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0

⊢ ∫ (x : ℝ), gaussianPDFReal μ v x = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
h : ∫⁻ (x : ℝ), ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x) = 1

⊢ ∫ (x : ℝ), gaussianPDFReal μ v x = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
h : ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ), gaussianPDFReal μ v x) = ENNReal.ofReal 1

⊢ ∫ (x : ℝ), gaussianPDFReal μ v x = 1