ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a✝ : Unit
r r' : ℚ
hrr' : r ≤ r'
a : α
h1 : Monotone fun r => preCDF ρ r a
h2 : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1
h_ne_top : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≠ ⊤

⊢ (preCDF ρ r a).toReal ≤ (preCDF ρ r' a).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a✝ : Unit
r r' : ℚ
hrr' : r ≤ r'
a : α
h1 : Monotone fun r => preCDF ρ r a
h2 : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1
h_ne_top : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≠ ⊤

⊢ preCDF ρ r a ≤ preCDF ρ r' a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
q : ℚ

⊢ ∀ᵐ (c : α) ∂(Kernel.const Unit ρ.fst) a, (preCDF ρ q (a, c).2).toReal ≤ 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
q : ℚ

⊢ ∀ᵐ (c : α) ∂ρ.fst, (preCDF ρ q c).toReal ≤ 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a✝ : Unit
q : ℚ
a : α
ha : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1

⊢ (preCDF ρ q a).toReal ≤ 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a✝ : Unit
q : ℚ
a : α
ha : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1

⊢ preCDF ρ q a ≤ ENNReal.ofReal 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot

⊢ Tendsto (fun m => ∫ (c : α), (preCDF ρ (s m) (a, c).2).toReal ∂(Kernel.const Unit ρ.fst) a) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot

⊢ Tendsto (fun m => ((ρ.IicSnd ↑(s m)) univ).toReal) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot
h : Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) univ) atBot (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun m => ((ρ.IicSnd ↑(s m)) univ).toReal) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot
h : Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) univ) atBot (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun m => ((ρ.IicSnd ↑(s m)) univ).toReal) atTop (𝓝 (ENNReal.toReal 0))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Antitone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atBot
h : Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) univ) atBot (𝓝 0)
h0 : Tendsto ENNReal.toReal (𝓝 0) (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun m => ((ρ.IicSnd ↑(s m)) univ).toReal) atTop (𝓝 (ENNReal.toReal 0))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop

⊢ Tendsto (fun m => ∫ (c : α), (preCDF ρ (s m) (a, c).2).toReal ∂(Kernel.const Unit ρ.fst) a) atTop (𝓝 (((Kernel.const Unit ρ.fst) a) univ).toReal)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop

⊢ Tendsto (fun m => ((ρ.IicSnd ↑(s m)) univ).toReal) atTop (𝓝 (ρ.fst univ).toReal)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop
h : Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) univ) atTop (𝓝 (ρ.fst univ))

⊢ Tendsto (fun m => ((ρ.IicSnd ↑(s m)) univ).toReal) atTop (𝓝 (ρ.fst univ).toReal)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : ℕ → ℚ
x✝ : Monotone s
hs_tendsto : Tendsto s atTop atTop
h : Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) univ) atTop (𝓝 (ρ.fst univ))
h0 : Tendsto ENNReal.toReal (𝓝 (ρ.fst univ)) (𝓝 (ρ.fst univ).toReal)

⊢ Tendsto (fun m => ((ρ.IicSnd ↑(s m)) univ).toReal) atTop (𝓝 (ρ.fst univ).toReal)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
a : Unit
s : Set α
hs : MeasurableSet s
q : ℚ

⊢ ∫ (c : α) in s, (preCDF ρ q (a, c).2).toReal ∂(Kernel.const Unit ρ.fst) a = (((Kernel.const Unit ρ) a) (s ×ˢ Iic ↑q)).toReal
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α

⊢ (𝓝 a).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {b | |b - a| < ε}
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α

⊢ (⨅ r, ⨅ (_ : r > 0), 𝓟 {b | |b - a| < r}).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {b | |b - a| < ε}
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
inst✝ : NoMaxOrder α
a x : α
hx : x > 0
y : α
hy : y > 0

⊢ ∃ k > 0, {b | |b - a| < k} ⊆ {b | |b - a| < x} ∧ {b | |b - a| < k} ⊆ {b | |b - a| < y}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source
e : PartialEquiv M E := f.extend I

⊢ map (↑e) (𝓝[s] y) = 𝓝[↑e '' (e.source ∩ s)] ↑e y
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
f : Γ → Γ
n : ℕ
IH : ∀ (L R : ListBlank Γ), write (f (R.nth n)) ((move Dir.right)^[n] (mk' L R)) = (move Dir.right)^[n] (mk' L (ListBlank.modifyNth f n R))
L R : ListBlank Γ

⊢ write (f (R.nth (n + 1))) ((move Dir.right)^[n + 1] (mk' L R)) = (move Dir.right)^[n + 1] (mk' L (ListBlank.modifyNth f (n + 1) R))
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β

⊢ 1 < card α ↔ Nontrivial α
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : Set (NonUnitalStarSubalgebra R A)
x : A

⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n m : ℕ
h : n ≠ m

⊢ (Disjoint on MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i) n m
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n m : ℕ
h : n ≠ m

⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n ∩ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i m = ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n m : ℕ
h✝ : n ≠ m
h : n < m

⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n ∩ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i m = ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n m : ℕ
h✝ : n ≠ m
h : n > m

⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n ∩ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i m = ∅
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)

⊢ s ∈ f ×ˢ 𝓟 t ↔ {a | ∀ b ∈ t, (a, b) ∈ s} ∈ f
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)

⊢ (∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ 𝓟 t, t₁ ×ˢ t₂ ⊆ s) ↔ ∃ t_1 ∈ f, t_1 ⊆ {a | ∀ b ∈ t, (a, b) ∈ s}
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
u : Set α

⊢ (∃ t₂ ∈ 𝓟 t, u ×ˢ t₂ ⊆ s) → u ⊆ {a | ∀ b ∈ t, (a, b) ∈ s}
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
u : Set α
h : u ⊆ {a | ∀ b ∈ t, (a, b) ∈ s}

⊢ u ×ˢ t ⊆ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set Cᵒᵖ

⊢ IsCodetecting 𝒢.unop ↔ IsDetecting 𝒢
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
n' a : ℤ
γ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn : n' + a = n
x : R

⊢ (rightShiftLinearEquiv R K L n a n' hn).symm (x • γ) = x • γ.rightUnshift n hn
-- Mathlib/Algebra/Free.lean
α : Type u
β : Type v
x✝ x y : FreeMagma α
hx : (toFreeSemigroup x).length = x.length
hy : (toFreeSemigroup y).length = y.length

⊢ (toFreeSemigroup (x * y)).length = (x * y).length
-- Mathlib/Algebra/Free.lean
α : Type u
β : Type v
x✝ x y : FreeMagma α
hx : (toFreeSemigroup x).length = x.length
hy : (toFreeSemigroup y).length = y.length

⊢ x.length + y.length = (x * y).length
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
f' : S →ₗ[R] M

⊢ map f g ∘ₗ rTensor N f' = map (f ∘ₗ f') g
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
boxes : Finset (WithBot (Box ι))
le_of_mem : ∀ J ∈ boxes, J ≤ ↑I
pairwise_disjoint : (↑boxes).Pairwise Disjoint

⊢ ⋃ J, ⋃ (_ : ↑J ∈ boxes), ↑J = ⋃ J ∈ boxes, ↑J
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
s : Set E
x : E

⊢ x ∈ cthickening (ε + δ) s → x ∈ cthickening ε (cthickening δ s)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
s : Set E
x : E

⊢ infEdist x s ≤ ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ → infEdist x s - ENNReal.ofReal δ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
lbot : ¬IsBot l

⊢ IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
lbot : ¬IsBot l
l' : R
hl' : l' < l

⊢ IsCobounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) F
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
lbot : ¬IsBot l
l' : R
hl' : l' < l
u : R
hu : ∀ᶠ (x : R) in F, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x u

⊢ l' ≤ u
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
lbot : ¬IsBot l
l' : R
hl' : l' < l
u : R
hu : ∀ᶠ (x : R) in F, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x u
key : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x ∧ x ≤ u

⊢ l' ≤ u
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
F : Filter R
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : LinearOrder S
l : R
freq_ge : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x
lbot : ¬IsBot l
l' : R
hl' : l' < l
u : R
hu : ∀ᶠ (x : R) in F, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x u
key : ∃ᶠ (x : R) in F, l ≤ x ∧ x ≤ u
w : R
l_le_w : l ≤ w
w_le_u : w ≤ u

⊢ l' ≤ u
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f✝ f : R[X]

⊢ eval₂ (of f) (root f) f = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ι → α → M
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, AEMeasurable (f i) μ

⊢ AEMeasurable (fun a => ∏ i ∈ s, f i a) μ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

⊢ W.ΨSq 0 = 0
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α

⊢ a ∈ exterior s ↔ ∀ (U : Set α), IsOpen U → s ⊆ U → a ∈ U
-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
hM : Finite R M
g₁ g₂ : M →ₗ[R] N
h : f ∘ₗ g₁ = f ∘ₗ g₂

⊢ ∃ s, s • g₁ = s • g₂
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a✝ b c n a : ℕ

⊢ image (fun x => x % a) (Ico n (n + a)) = range a
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c n : ℕ

⊢ image (fun x => x % 0) (Ico n (n + 0)) = range 0
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0

⊢ image (fun x => x % a) (Ico n (n + a)) = range a
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ

⊢ i ∈ image (fun x => x % a) (Ico n (n + a)) ↔ i ∈ range a
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ

⊢ (∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i) ↔ i < a
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ
hia : i < a

⊢ ∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ
hia : i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n

⊢ ∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ
hia : i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n
hi : i < n % a

⊢ ∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a✝ b c n a : ℕ
ha : a ≠ 0
i : ℕ
hia : i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n
hi : n % a ≤ i

⊢ ∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : 1 < x

⊢ 2 * arctan x = arctan (2 * x / (1 - x ^ 2)) + π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h : 1 < x

⊢ arctan ((x + x) / (1 - x * x)) + π = arctan (2 * x / (1 - x ^ 2)) + π
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

⊢ 0 ≤ projectiveSeminormAux p
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

⊢ 0 ≤ (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))

⊢ ∀ x ∈ List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p, 0 ≤ x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : ℝ

⊢ a ∈ List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p → 0 ≤ a
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : ℝ

⊢ ∀ (x : 𝕜) (x_1 : (i : ι) → E i), (x, x_1) ∈ p → ‖x‖ * ∏ x : ι, ‖x_1 x‖ = a → 0 ≤ a
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : ℝ
x : 𝕜
m : (i : ι) → E i
a✝ : (x, m) ∈ p
h : ‖x‖ * ∏ x : ι, ‖m x‖ = a

⊢ 0 ≤ ‖x‖ * ∏ x : ι, ‖m x‖
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ

⊢ |z.arg| ≤ π / 2 ↔ 0 ≤ z.re
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s : ι → Set Ω
β : Type u_6
γ : Type u_7
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
f : Ω → β
g : Ω → γ
μ : Measure Ω

⊢ IndepFun f g μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCancelCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
c : E

⊢ StrictConvexOn 𝕜 ((fun z => c + z) ⁻¹' s) (f ∘ fun z => z + c)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v

⊢ #↑{f | Surjective f} = 0 ↔ #α < #β ∨ #α ≠ 0 ∧ #β = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsColimit t.toCocone

⊢ t.snd = ht.desc (BinaryCofan.mk 0 (𝟙 Y))
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsColimit t.toCocone

⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), t.toCocone.ι.app j ≫ t.snd = (BinaryCofan.mk 0 (𝟙 Y)).ι.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
f g : Arrow C
inst✝³ : HasImage f.hom
inst✝² : HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
inst✝¹ : HasImageMap sq
inst✝ : HasImageMap (𝟙 f)

⊢ HasImageMap.imageMap (𝟙 f) = imageMapId f
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H : Type u_5
inst✝ : Group H
f : G ≃* H
sg : Subgroup H

⊢ Subgroup.comap (↑f.symm) (Subgroup.comap (↑f) sg) = sg
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H : Type u_5
inst✝ : Group H
f : G ≃* H
sh : Subgroup G

⊢ Subgroup.comap (↑f) (Subgroup.comap (↑f.symm) sh) = sh
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H : Type u_5
inst✝ : Group H
f : G ≃* H
sg1 sg2 : Subgroup H
h : { toFun := Subgroup.comap ↑f, invFun := Subgroup.comap ↑f.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } sg1 ≤ { toFun := Subgroup.comap ↑f, invFun := Subgroup.comap ↑f.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } sg2

⊢ sg1 ≤ sg2
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
n : ℕ
h0 : n ≠ 0

⊢ Squarefree n ↔ n.primeFactorsList.Nodup
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
n : ℕ
h0 : n ≠ 0

⊢ (↑n.primeFactorsList).Nodup ↔ n.primeFactorsList.Nodup
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
α β : F ⟶ G

⊢ T.map (α.f + β.f) ≫ G.a = F.a ≫ (α.f + β.f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra

⊢ T.map 0 ≫ G.a = F.a ≫ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
n : ℕ
α : F ⟶ G

⊢ T.map (n • α.f) ≫ G.a = F.a ≫ (n • α.f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
α : F ⟶ G

⊢ T.map (-α.f) ≫ G.a = F.a ≫ (-α.f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/EilenbergMoore.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
T : Monad C
inst✝ : T.Additive
F G : T.Algebra
α β : F ⟶ G

⊢ T.map (α.f - β.f) ≫ G.a = F.a ≫ (α.f - β.f)