ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/StarSubalgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : StarRing A
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A
inst✝¹⁰ : ContinuousStar A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : StarRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : T2Space B
F : Type u_4
a : A
inst✝² : FunLike F (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
φ ψ : F
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩
this : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R {a}).topologicalClosure) B
x : ↥(adjoin R {a})

⊢ φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x)
-- Mathlib/Topology/Algebra/StarSubalgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : StarRing A
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A
inst✝¹⁰ : ContinuousStar A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : StarRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : T2Space B
F : Type u_4
a : A
inst✝² : FunLike F (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
φ ψ : F
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩
this : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R {a}).topologicalClosure) B
x : ↥(adjoin R {a})

⊢ ∀ (x : A) (h : x ∈ {a}), φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) ⟨x, ⋯⟩) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) ⟨x, ⋯⟩)
-- Mathlib/Topology/Algebra/StarSubalgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : StarRing A
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A
inst✝¹⁰ : ContinuousStar A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : StarRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : T2Space B
F : Type u_4
a : A
inst✝² : FunLike F (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
φ ψ : F
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩
this : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R {a}).topologicalClosure) B
x : ↥(adjoin R {a})

⊢ ∀ (r : R), φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) ((algebraMap R ↥(adjoin R {a})) r)) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) ((algebraMap R ↥(adjoin R {a})) r))
-- Mathlib/Topology/Algebra/StarSubalgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : StarRing A
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A
inst✝¹⁰ : ContinuousStar A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : StarRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : T2Space B
F : Type u_4
a : A
inst✝² : FunLike F (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
φ ψ : F
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩
this : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R {a}).topologicalClosure) B
x : ↥(adjoin R {a})

⊢ ∀ (x y : ↥(adjoin R {a})), φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) → φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) y) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) y) → φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) (x + y)) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) (x + y))
-- Mathlib/Topology/Algebra/StarSubalgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : StarRing A
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A
inst✝¹⁰ : ContinuousStar A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : StarRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : T2Space B
F : Type u_4
a : A
inst✝² : FunLike F (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
φ ψ : F
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩
this : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R {a}).topologicalClosure) B
x : ↥(adjoin R {a})

⊢ ∀ (x y : ↥(adjoin R {a})), φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) → φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) y) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) y) → φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) (x * y)) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) (x * y))
-- Mathlib/Topology/Algebra/StarSubalgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : StarRing A
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A
inst✝¹⁰ : ContinuousStar A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : StarRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : T2Space B
F : Type u_4
a : A
inst✝² : FunLike F (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
φ ψ : F
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩
this : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R {a}).topologicalClosure) B
x : ↥(adjoin R {a})

⊢ ∀ (x : ↥(adjoin R {a})), φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) x) → φ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) (star x)) = ψ ((StarSubalgebra.inclusion ⋯) (star x))
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
b : Associates α

⊢ ∀ (a_1 : α), a ∣ Associates.out ⟦a_1⟧ ↔ Associates.mk a ≤ ⟦a_1⟧
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hf : IsUnit f

⊢ X.basicOpen f = U
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hf : IsUnit f

⊢ X.basicOpen f ≤ U
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hf : IsUnit f

⊢ U ≤ X.basicOpen f
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hf : IsUnit f
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ ↑U

⊢ x ∈ ↑(X.basicOpen f)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
hf : IsUnit f
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ ↑U

⊢ IsUnit ((X.presheaf.germ ⟨x, hx⟩) f)
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
H : IsTotallySeparated s
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : IsPreconnected t
x : α
x_in : x ∈ t
y : α
y_in : y ∈ t

⊢ x = y
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v s : Set α
H : IsTotallySeparated s
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : IsPreconnected t
x : α
x_in : x ∈ t
y : α
y_in : y ∈ t
h : ¬x = y

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u✝ v✝ s : Set α
H : IsTotallySeparated s
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : IsPreconnected t
x : α
x_in : x ∈ t
y : α
y_in : y ∈ t
h : ¬x = y
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hxu : x ∈ u
hyv : y ∈ v
hs : s ⊆ u ∪ v
huv : Disjoint u v

⊢ t ∩ (u ∩ v) = ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasureProd.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β

⊢ prod 0 ν = 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : G

⊢ (A.leftRegularHomEquiv.symm x).hom (Finsupp.single g 1) = (A.ρ g) x
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : G

⊢ 0 • (A.ρ g) x = 0
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L

⊢ ∃ y, i y.2 = x ^ p ^ y.1
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
h : i y = x ^ p ^ n

⊢ ∃ y, i y.2 = x ^ p ^ y.1
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc0 : ¬c = 0

⊢ a / c + b / c ≤ (a + b) / c
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc0 : ¬c = 0

⊢ a / c + b / c ≤ a / c + b / c + if c ≤ a % c + b % c then 1 else 0
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α

⊢ IsBounded ∅
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α

⊢ univ ∈ cobounded α
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : PosMulReflectLT α
a0 : 0 < a

⊢ a * b < a ↔ a * b < a * 1
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H✝ : IsCoprime x y
a b : R
H : a * x + b * y = 1

⊢ b * y + a * x = 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
x✝¹ : α
x✝ : γ

⊢ κ.rnDeriv η x✝¹ x✝ = ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) x✝¹ x✝) / ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) x✝¹ x✝)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

⊢ a / b = ⊤ ↔ a ≠ 0 ∧ b = 0 ∨ a = ⊤ ∧ b ≠ ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Finite β

⊢ closure {σ | σ.IsCycle} = ⊤
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
h : a ∈ s

⊢ s ∩ insert a t = insert a (s ∩ t)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
p q : Perm α
x : α

⊢ x ∈ {x | (p * q) x ≠ x} → x ∈ {x | p x ≠ x} ∪ {x | q x ≠ x}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
p q : Perm α
x : α

⊢ ¬p (q x) = x → ¬p x = x ∨ ¬q x = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Nonempty ι

⊢ f 0 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Nonempty ι
i : ι
h✝ : i ∈ univ

⊢ f 0 = 0
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
f : CauSeq ℂ ⇑abs'

⊢ (cauSeqIm f).lim = f.lim.im
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
f : CauSeq ℂ ⇑abs'

⊢ (cauSeqIm f).lim = (↑(cauSeqRe f).lim + ↑(cauSeqIm f).lim * I).im
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hA1 : A.card ≤ 1
hB1 : B.card ≤ 1

⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueMul A B a b
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hA1 : ∀ {a b : G}, a ∈ A → b ∈ A → a = b
hB1 : ∀ {a b : G}, a ∈ B → b ∈ B → a = b

⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueMul A B a b
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₁ : ¬p₂ = p₁
hp₃ : ¬p₂ = p₃
hs : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃

⊢ dist p₂ p ≤ max (dist p₁ p) (dist p₃ p)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C

⊢ S.v₁₂.τ₃ ≫ S.v₂₃.τ₃ = 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V

⊢ ((of R).symm (x • y)).support ⊆ x.support +ᵥ ((of R).symm y).support
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V

⊢ x.support.IsPWO
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V

⊢ ((of R).symm y).support.IsPWO
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V

⊢ ∀ x_1 ∈ ((of R).symm (x • y)).support, x_1 ∈ {a | (VAddAntidiagonal ?m.199459 ?m.199460 a).Nonempty}
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
x✝ : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
x : Γ'
hx : x ∈ ((of R).symm (x✝ • y)).support

⊢ x ∈ {a | (VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a).Nonempty}
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
x✝ : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
x : Γ'
hx : x ∉ {a | (VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ a).Nonempty}

⊢ x ∉ ((of R).symm (x✝ • y)).support
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
x✝ : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
x : Γ'
hx : VAddAntidiagonal ⋯ ⋯ x = ∅

⊢ x ∉ ((of R).symm (x✝ • y)).support
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u✝ : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
u : Multiset ι
x : ι → 𝔸'
l : List ι

⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (Multiset.map x ⟦l⟧).prod) (Multiset.map (fun i => (Multiset.map x (Multiset.erase ⟦l⟧ i)).prod • proj i) ⟦l⟧).sum x
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α

⊢ ((toFinsupp s).sum fun x => id) = card s
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
x : X
F : Filter ι
u : ι → X

⊢ MapClusterPt x F u ↔ ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ᶠ (a : ι) in F, u a ∈ s
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
x : X
F : Filter ι
u : ι → X

⊢ (∀ {p : X → Prop}, (∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x) → ∃ᶠ (a : ι) in F, p (u a)) ↔ ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ᶠ (a : ι) in F, u a ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hg : UniformConcaveOn s ψ g

⊢ UniformConcaveOn s (φ + ψ) (f + g)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
hg : UniformConcaveOn s ψ g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ a • (f + g) x + b • (f + g) y + a * b * (φ + ψ) ‖x - y‖ ≤ (f + g) (a • x + b • y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : ¬MeasurableSet s
x : G

⊢ condexpIndL1 hm μ s x = 0
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b b' : β a

⊢ (insert a b (singleton a b')).entries = (singleton a b).entries
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ

⊢ 0 ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.im
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ

⊢ 0 ≤ arg 0 ↔ 0 ≤ im 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
h₀ : z ≠ 0

⊢ 0 ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.im
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
σ : α → Type u_8
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (σ a)

⊢ (l₁.sigma l₂).length = (map (fun a => (l₂ a).length) l₁).sum
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasProjectiveResolutions C
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f

⊢ (projectiveResolutions C).map f ≫ Q.iso.hom = P.iso.hom ≫ (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.down ℕ)).map φ
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/TerminatedStable.lean
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n

⊢ g.convs' m = g.convs' n
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Triangulated.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.342, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃

⊢ f ≫ g = 𝟙 X₁ ≫ f ≫ g
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Triangulated.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.342, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃

⊢ (f ≫ g) ≫ 𝟙 X₃ = f ≫ g
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ

⊢ ↑r < 1 ↔ r < 1
-- Mathlib/RingTheory/Fintype.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : DecidableEq R
h : Fintype.card R ≤ 2

⊢ univ = {0, 1}
-- Mathlib/RingTheory/Fintype.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : DecidableEq R
h : Fintype.card R ≤ 2
h✝ : Subsingleton R

⊢ univ = {0, 1}
-- Mathlib/RingTheory/Fintype.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : DecidableEq R
h : Fintype.card R ≤ 2
h✝ : Nontrivial R

⊢ univ = {0, 1}
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Covering.lean
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.4270
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
u : U

⊢ φ.symmetrify.star u = ⇑(Quiver.symmetrifyStar (φ.obj u)).symm ∘ Sum.map (φ.star u) (φ.costar u) ∘ ⇑(Quiver.symmetrifyStar u)
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Covering.lean
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.4270
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
u : U

⊢ ⇑(Quiver.symmetrifyStar (φ.obj u)) ∘ φ.symmetrify.star u = Sum.map (φ.star u) (φ.costar u) ∘ ⇑(Quiver.symmetrifyStar u)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E

⊢ Memℒp (fun x => c) ⊤ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E

⊢ eLpNorm (fun x => c) ⊤ μ < ⊤
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
x : M

⊢ x ∈ (closure L).toFun s ↔ ∃ t, Term.realize Subtype.val t = x
-- Mathlib/Order/Filter/EventuallyConst.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝ : α → β
f : ℕ → α

⊢ EventuallyConst f atTop ↔ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f (m + 1) = f m
-- Mathlib/Order/Filter/EventuallyConst.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝ : α → β
f : ℕ → α

⊢ (∃ i, ∀ (j : ℕ), i ≤ j → f j = f i) ↔ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f (m + 1) = f m
-- Mathlib/Order/Filter/EventuallyConst.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝ : α → β
f : ℕ → α
n : ℕ
h : ∀ (j : ℕ), n ≤ j → f j = f n
m : ℕ
hm : n ≤ m

⊢ f (m + 1) = f m
-- Mathlib/Order/Filter/EventuallyConst.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝ : α → β
f : ℕ → α
n : ℕ
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f (m + 1) = f m
m : ℕ
hm : n ≤ m

⊢ f m = f n
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
a : R
ha : ¬IsUnit a

⊢ (↑{ toFun := fun a => f (χ a), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun a = 0
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves

⊢ ⟦x.mulOption y i j⟧ = ⟦y.mulOption x j i⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves

⊢ ⟦x.moveLeft i * y⟧ + ⟦x * y.moveLeft j⟧ - ⟦x.moveLeft i * y.moveLeft j⟧ = ⟦y.moveLeft j * x⟧ + ⟦y * x.moveLeft i⟧ - ⟦y.moveLeft j * x.moveLeft i⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x y : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves

⊢ ⟦x * y.moveLeft j⟧ + ⟦x.moveLeft i * y⟧ - ⟦x.moveLeft i * y.moveLeft j⟧ = ⟦y.moveLeft j * x⟧ + ⟦y * x.moveLeft i⟧ - ⟦y.moveLeft j * x.moveLeft i⟧