ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
h₁ : Integrable f μ
h₂ : Integrable f ν

⊢ ↑(nndist (∫ (x : α), f x ∂μ) (∫ (x : α), f x ∂(μ + ν))) ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
h₁ : Integrable f μ
h₂ : Integrable f ν

⊢ ↑‖∫ (x : α), f x ∂ν‖₊ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
x : E
S : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection S

⊢ ‖x‖ ^ 2 = ‖↑((orthogonalProjection S) x) + ↑((orthogonalProjection Sᗮ) x)‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
x : E
S : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection S

⊢ ‖↑((orthogonalProjection S) x) + ↑((orthogonalProjection Sᗮ) x)‖ * ‖↑((orthogonalProjection S) x) + ↑((orthogonalProjection Sᗮ) x)‖ = ‖(orthogonalProjection S) x‖ * ‖(orthogonalProjection S) x‖ + ‖(orthogonalProjection Sᗮ) x‖ * ‖(orthogonalProjection Sᗮ) x‖
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.101327, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
S₁ S₂ : Split C
Φ : S₁ ⟶ S₂
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j

⊢ (S₁.s.cofan (op [i])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [i])) ≫ ((alternatingFaceMapComplex C).obj S₁.X).d i j ≫ ((alternatingFaceMapComplex C).map Φ.F).f j ≫ S₂.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) = ((S₁.s.cofan (op [i])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [i])) ≫ K[S₁.X].d i j ≫ S₁.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j]))) ≫ Φ.f j
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.101327, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
S₁ S₂ : Split C
Φ : S₁ ⟶ S₂
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j

⊢ (S₁.s.cofan (op [i])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [i])) ≫ ((alternatingFaceMapComplex C).obj S₁.X).d i j ≫ ((alternatingFaceMapComplex C).map Φ.F).f j ≫ S₂.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) = (S₁.s.cofan (op [i])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [i])) ≫ K[S₁.X].d i j ≫ S₁.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) ≫ Φ.f j
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.101327, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
S₁ S₂ : Split C
Φ : S₁ ⟶ S₂
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j

⊢ ((alternatingFaceMapComplex C).map Φ.F).f j ≫ S₂.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) = S₁.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) ≫ Φ.f j
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.101327, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
S₁ S₂ : Split C
Φ : S₁ ⟶ S₂
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j

⊢ ∀ (A : Splitting.IndexSet (op [j])), (S₁.s.cofan (op [j])).inj A ≫ ((alternatingFaceMapComplex C).map Φ.F).f j ≫ S₂.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) = (S₁.s.cofan (op [j])).inj A ≫ S₁.s.πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [j])) ≫ Φ.f j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : Semiring R₁
inst✝¹⁷ : Semiring S₁
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring S₂
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁹ : Module R N₂
inst✝⁸ : Module S₁ N₂
inst✝⁷ : Module S₂ N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : (n → R₁) →ₛₗ[σ₁] (m → R₂) →ₛₗ[σ₂] N₂

⊢ toLinearMap₂'Aux σ₁ σ₂ ((toMatrix₂Aux R (fun i => (stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1) fun j => (stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) f) = f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : Semiring R₁
inst✝¹⁷ : Semiring S₁
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring S₂
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁹ : Module R N₂
inst✝⁸ : Module S₁ N₂
inst✝⁷ : Module S₂ N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : (n → R₁) →ₛₗ[σ₁] (m → R₂) →ₛₗ[σ₂] N₂
i : n
j : m

⊢ ((toLinearMap₂'Aux σ₁ σ₂ ((toMatrix₂Aux R (fun i => (stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1) fun j => (stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) f)) ((Pi.basisFun R₁ n) i)) ((Pi.basisFun R₂ m) j) = (f ((Pi.basisFun R₁ n) i)) ((Pi.basisFun R₂ m) j)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/ProjIcc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ x : α
hx : x ∈ Icc a b
y : α
hy : y ∈ Icc a b
hxy : x < y

⊢ projIcc a b h x < projIcc a b h y
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α

⊢ insert a s ∪ t = s ∪ insert a t
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s

⊢ κ.compProdFun η a s = ∑' (n : ℕ), κ.compProdFun (η.seq n) a s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (b : β), (Measure.sum fun n => (η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a = ∑' (n : ℕ), ∫⁻ (b : β), ((η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
this : ∫⁻ (b : β), (Measure.sum fun n => (η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a = ∫⁻ (b : β), ∑' (n : ℕ), ((η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a

⊢ ∫⁻ (b : β), (Measure.sum fun n => (η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a = ∑' (n : ℕ), ∫⁻ (b : β), ((η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s
this : ∫⁻ (b : β), (Measure.sum fun n => (η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a = ∫⁻ (b : β), ∑' (n : ℕ), ((η.seq n) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a

⊢ ∀ (i : ℕ), AEMeasurable (fun b => ((η.seq i) (a, b)) {c | (b, c) ∈ s}) (κ a)
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
x : A

⊢ x ∈ NonUnitalAlgebra.adjoin R (∅ ∪ star ∅) ↔ x = 0
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
r : F

⊢ ↑(C r) = HahnSeries.C r
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
r : F

⊢ (ofPowerSeries ℤ F) ((PowerSeries.C F) r) = HahnSeries.C r
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1

⊢ t • x ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G

⊢ IsComplement {g} S ↔ S = univ
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
h : IsComplement {g} S
x : G
x✝ : x ∈ ⊤

⊢ x ∈ S
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
z : G
h : IsComplement {z} S
y : G
property✝ : y ∈ S
hy : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) (⟨z, ⋯⟩, ⟨y, property✝⟩) = z * x

⊢ x ∈ S
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν

⊢ μ.rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] 0 ↔ μ ⟂ₘ ν
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a b c x✝¹ : R
x✝ : c ∣ 0
H : c ∣ x✝¹

⊢ c ∣ gcd 0 x✝¹
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a✝ b✝ c a b : R
x✝ : a ≠ 0
IH : c ∣ b % a → c ∣ a → c ∣ gcd (b % a) a
ca : c ∣ a
cb : c ∣ b

⊢ c ∣ gcd a b
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
a✝ b✝ c a b : R
x✝ : a ≠ 0
IH : c ∣ b % a → c ∣ a → c ∣ gcd (b % a) a
ca : c ∣ a
cb : c ∣ b

⊢ c ∣ gcd (b % a) a
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'

⊢ F.Initial
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'

⊢ ∀ (d : D), IsCofiltered (CostructuredArrow F d)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ
h : (ENNReal.ofReal a).toReal = a

⊢ 0 ≤ (ENNReal.ofReal a).toReal
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
h : fract a = b

⊢ 0 ≤ fract a ∧ fract a < 1 ∧ ∃ z, a - fract a = ↑z
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ a b : α
h₀ : 0 ≤ b
h₁ : b < 1
z : ℤ
hz : a - b = ↑z

⊢ fract a = b
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ a b : α
h₀ : 0 ≤ b
h₁ : b < 1
z : ℤ
hz : a - b = ↑z

⊢ a - b ≤ a ∧ a < a - b + 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x y a : ℝ
ha : 0 < a

⊢ AntitoneOn (fun x => log x / x ^ a) {x | rexp (1 / a) ≤ x}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x y a : ℝ
ha : 0 < a

⊢ ∀ ⦃a_1 : ℝ⦄, rexp (1 / a) ≤ a_1 → ∀ ⦃b : ℝ⦄, rexp (1 / a) ≤ b → a_1 ≤ b → log b / b ^ a ≤ log a_1 / a_1 ^ a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y

⊢ log y / y ^ a ≤ log x / x ^ a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x

⊢ log y / y ^ a ≤ log x / x ^ a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y

⊢ log y / y ^ a ≤ log x / x ^ a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x

⊢ log y / y ^ a ≤ log x / x ^ a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y

⊢ log y / y ^ a ≤ log x / x ^ a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y

⊢ log (y ^ 1) / y ^ a ≤ log x / x ^ a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y

⊢ log (y ^ 1) / y ^ a ≤ log (x ^ 1) / x ^ a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y

⊢ log (y ^ a) / y ^ a ≤ log (x ^ a) / x ^ a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y

⊢ x ^ a ∈ {x | rexp 1 ≤ x}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y

⊢ y ^ a ∈ {x | rexp 1 ≤ x}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝¹ y✝ a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hex : rexp (1 / a) ≤ x
y : ℝ
x✝ : rexp (1 / a) ≤ y
hxy : x ≤ y
x_pos : 0 < x
y_pos : 0 < y
x_nonneg : 0 ≤ x
y_nonneg : 0 ≤ y

⊢ x ^ a ≤ y ^ a
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/PerpBisector.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ : P

⊢ midpoint ℝ p₁ p₂ ∈ perpBisector p₁ p₂
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2

⊢ discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean

⊢ bitwise or = lor
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n : ℤ

⊢ bitwise or m n = m.lor n
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n : ℕ

⊢ Nat.bitwise (fun x y => !(x || !y)) m n = Nat.bitwise (fun a b => a && !b) n m
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n : ℕ

⊢ Nat.bitwise (fun x y => !(!x || y)) m n = Nat.bitwise (fun a b => a && !b) m n
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n : ℕ

⊢ Nat.bitwise (fun x y => !(!x || !y)) m n = m &&& n
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.95502, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.96011, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
s : ↑(F.op ⋙ yoneda.obj X).sections
j j' : J
f : j ⟶ j'

⊢ F.map f ≫ ↑s (op j') = ↑s (op j) ≫ 𝟙 X
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.95502, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.96011, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
s : ↑(F.op ⋙ yoneda.obj X).sections
j j' : J
f : j ⟶ j'

⊢ F.map f ≫ ↑s (op j') = ↑s (op j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.95502, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.96011, u_2} C
F : J ⥤ C
X : C
τ : F ⟶ (const J).obj X
j j' : Jᵒᵖ
f : j ⟶ j'

⊢ (F.op ⋙ yoneda.obj X).map f ((fun j => τ.app (unop j)) j) = (fun j => τ.app (unop j)) j'
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n r : ℕ
hr : r ≤ n / 2

⊢ n.choose r ≤ n.choose (n / 2)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
inst✝ : IsDomain R
ζ : R
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n

⊢ (nthRootsFinset n R).card = n
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor [] r it

⊢ ValidFor [] r it.prev
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor [] r it

⊢ ValidFor [] r { s := { data := r }, i := 0 }
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α✝ → β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : EMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
x y : α
h : f x = f y

⊢ x = y
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
t✝ t₁ t₂ : TopologicalSpace α✝
t' : TopologicalSpace β✝
f : α✝ → β✝
g : β✝ → α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
e : α ≃ β
t : TopologicalSpace α
U : Set β

⊢ IsOpen U ↔ IsOpen U
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
t✝ t₁ t₂ : TopologicalSpace α✝
t' : TopologicalSpace β✝
f : α✝ → β✝
g : β✝ → α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
e : α ≃ β
t : TopologicalSpace α
U : Set β

⊢ (∃ t_1, IsOpen t_1 ∧ ⇑e.symm ⁻¹' t_1 = U) ↔ IsOpen (⇑e ⁻¹' U)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℝ[X]
hp : Irreducible p

⊢ p.degree ≤ 2
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℝ[X]
hp : Irreducible p
z : ℂ
hz : (aeval z) p = 0

⊢ p.degree ≤ 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'
this : Module ℝ (α → F') := Pi.module α (fun x => F') ℝ

⊢ μ[-f|m] =ᶠ[ae μ] -μ[f|m]
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i

⊢ ((gradedMul R 𝒜 ℬ) 1) x = x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/AsymptoticEquivalent.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α

⊢ u ~[l] u
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/AsymptoticEquivalent.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α

⊢ 0 =o[l] u
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝¹ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝ : FinitaryExtensive C
Y X : C
c : Cocone (pair X Y)
hc : IsColimit c

⊢ IsVanKampenColimit c
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hp : p.IsMaximal
hQ : Subsingleton (S ⧸ P)

⊢ inertiaDeg f p P = 0
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hp : p.IsMaximal
hQ : Subsingleton (S ⧸ P)
this : P = ⊤

⊢ inertiaDeg f p P = 0
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
hp : p.IsMaximal
hQ : Subsingleton (S ⧸ ⊤)

⊢ inertiaDeg f p ⊤ = 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0

⊢ (f =o[l] fun x => c • f' x) ↔ f =o[l] f'
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0

⊢ (f =o[l] fun x => c • f' x) ↔ f =o[l] f'
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0

⊢ (f =o[l] fun x => ‖c • f' x‖) ↔ f =o[l] f'