ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hgm : Measurable g
hgf : g ≤ f
hint : ∀ (s : Set α), ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ

⊢ μ.withDensity g = μ.withDensity f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hgm : Measurable g
hgf : g ≤ f
hint : ∀ (s : Set α), ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (μ.withDensity g) s = (μ.withDensity f) s
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z w : K

⊢ re (z / w) = re z * re w / normSq w + im z * im w / normSq w
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
n : ℕ

⊢ schnirelmannDensity A * ↑n ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A

⊢ schnirelmannDensity A * ↑0 ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 0)).card
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ schnirelmannDensity A * ↑n ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hij : i ≠ j

⊢ Lagrange.basis {i, j} v i = basisDivisor (v i) (v j)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ

⊢ p.closedBall 0 r = ⇑p ⁻¹' Metric.closedBall 0 r
-- Mathlib/Topology/Order/Monotone.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : CompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
ι : Sort u_4
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iSup g)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥

⊢ f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i)
-- Mathlib/Topology/Order/Monotone.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : CompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
ι : Sort u_4
f : α → β
g : ι → α
Cf : ContinuousAt f (iSup g)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥

⊢ sSup (range (f ∘ g)) = sSup (range fun i => f (g i))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Mon_ C
Z : C
f : Z ⟶ M.X

⊢ (M.one ⊗ f) ≫ M.mul = (λ_ Z).hom ≫ f
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
x : S
inst✝ : Invertible x
p : R[X]
hp : p ≠ 0
hp' : (aeval x) p = 0

⊢ (aeval ⅟x) p.reverse = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
x : M

⊢ (b.reindex e).sumCoords x = b.sumCoords x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
x : M

⊢ ((Finsupp.mapDomain (⇑e) (b.repr x)).sum fun x => id) = (b.repr x).sum fun x => id
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ ∃ M, 0 < M ∧ eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hM : eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

⊢ ∃ M, 0 < M ∧ eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hM : eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
x : α

⊢ ‖{x | max M 1 ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖ ≤ ‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hM : eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
x : α

⊢ {x | max M 1 ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖) x ≤ {x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator (fun a => ‖f a‖) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hM : eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
x✝ x : α
hx : x ∈ {x | max M 1 ≤ ↑‖f x‖₊}

⊢ x ∈ {x | M ≤ ↑‖f x‖₊}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hM : eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
x✝ x : α
hx : max M 1 ≤ ↑‖f x‖₊

⊢ x ∈ {x | M ≤ ↑‖f x‖₊}
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Equiv.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : AddCommMonoid M₃
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
e✝ : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
h : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
p q : Submodule R M
inst✝ : Module R₂ M₂
e : ↥p ≃ₛₗ[σ₁₂] ↥⊥

⊢ p = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Equiv.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : AddCommMonoid M₃
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
e✝ : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
h : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
p q : Submodule R M
inst✝ : Module R₂ M₂
e : ↥p ≃ₛₗ[σ₁₂] ↥⊥
b : M
hb : b ∈ p

⊢ b = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Equiv.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : AddCommMonoid M₃
module_M : Module R M
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₁] M
e✝ : M ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
h : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
p q : Submodule R M
inst✝ : Module R₂ M₂
e : ↥p ≃ₛₗ[σ₁₂] ↥⊥
b : M
hb : b ∈ p

⊢ e ⟨b, hb⟩ = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜

⊢ lineDeriv 𝕜 f x (c • v) = c • lineDeriv 𝕜 f x v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F

⊢ lineDeriv 𝕜 f x (0 • v) = 0 • lineDeriv 𝕜 f x v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
hc : c ≠ 0

⊢ lineDeriv 𝕜 f x (c • v) = c • lineDeriv 𝕜 f x v
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K

⊢ ‖(starRingEnd K) z‖ = ‖z‖
-- Mathlib/Algebra/Lie/Sl2.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f

⊢ f ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Sl2.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
this : h ≠ 0

⊢ f ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Sl2.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
this : f = 0

⊢ h = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R M

⊢ ⨆ i ∈ s, comap (⨆ i ∈ s, p i).subtype (p i) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : ↥(⨆ i ∈ s, p i)
x : M
hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, p i
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤

⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ ⨆ i ∈ s, comap (⨆ i ∈ s, p i).subtype (p i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : ↥(⨆ i ∈ s, p i)
x : M
hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, p i
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤

⊢ x ∈ map (⨆ i ∈ s, p i).subtype (⨆ i ∈ s, comap (⨆ i ∈ s, p i).subtype (p i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : ↥(⨆ i ∈ s, p i)
x : M
hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, p i
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤

⊢ ∀ i ∈ s, map (⨆ i ∈ s, p i).subtype (comap (⨆ i ∈ s, p i).subtype (p i)) = p i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : ↥(⨆ i ∈ s, p i)
x : M
hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, p i
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ map (⨆ i ∈ s, p i).subtype (comap (⨆ i ∈ s, p i).subtype (p i)) = p i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
ι : Type u_9
s : Set ι
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : ↥(⨆ i ∈ s, p i)
x : M
hx : x ∈ ⨆ i ∈ s, p i
x✝ : ⟨x, hx⟩ ∈ ⊤
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ p i ≤ ⨆ i ∈ s, p i
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y : T
f : X ⟶ Y

⊢ map f ⋙ forget X = forget Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y : T
f : X ⟶ Y

⊢ ∀ (X_1 : Under Y), (map f ⋙ forget X).obj X_1 = (forget Y).obj X_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y : T
f : X ⟶ Y

⊢ autoParam (∀ (X_1 Y_1 : Under Y) (f_1 : X_1 ⟶ Y_1), (map f ⋙ forget X).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ (forget Y).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : Nontrivial k
a b : G
h : (of k G) a = (of k G) b

⊢ a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.50538, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.50590, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
Y : C
f : op X ⟶ op (G.obj Y)
a✝ : ℱ.obj (op X)

⊢ (appHom α X ≫ ℱ'.val.map f) a✝ = (ℱ.map f ≫ α.app (op Y)) a✝
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
ys₁ ys₂ : List β

⊢ (↑(suffixLevenshtein C xs ys₂)).minimum ≤ ↑(levenshtein C xs (ys₁ ++ ys₂))
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ℕ

⊢ ↑↑n = ↑n
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
h : s.Nonempty
x : β

⊢ h.some ∈ s ∧ ⊤ h.some x
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M

⊢ N.FG ↔ ∃ n s, span R (range s) = N
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M

⊢ (∃ S, S.Finite ∧ span R S = N) ↔ ∃ n s, span R (range s) = N
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S✝ : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : DecidableEq ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
S : ι → Submodule R N

⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i = LinearMap.range (((lsum ℕ) fun i => (S i).subtype) ∘ₗ filterLinearMap R (fun i => ↥(S i)) p)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S✝ : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : DecidableEq ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
S : ι → Submodule R N

⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i ≤ LinearMap.range (((lsum ℕ) fun i => (S i).subtype) ∘ₗ filterLinearMap R (fun i => ↥(S i)) p)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S✝ : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : DecidableEq ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
S : ι → Submodule R N

⊢ LinearMap.range (((lsum ℕ) fun i => (S i).subtype) ∘ₗ filterLinearMap R (fun i => ↥(S i)) p) ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), S i
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
IH : n < a ^ n

⊢ n + 1 < a ^ (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
IH : n < a ^ n
this : a ^ n + a ^ n ≤ a ^ n * a

⊢ n + 1 < a ^ (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
IH : n < a ^ n
this : a ^ n + a ^ n ≤ a ^ n * a

⊢ n + 1 < a ^ n * a
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
IH : n < a ^ n
this : a ^ n + a ^ n ≤ a ^ n * a

⊢ n + 1 < a ^ n + a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

⊢ toIocDiv hp (a + m • p) b = toIocDiv hp a b - m
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

⊢ b - (toIocDiv hp a b - m) • p ∈ Set.Ioc (a + m • p) (a + m • p + p)
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

⊢ b - toIocDiv hp a b • p + m • p ∈ Set.Ioc (a + m • p) (a + p + m • p)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L

⊢ Codisjoint N N' ↔ Codisjoint ↑N ↑N'
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
n : ℕ∞

⊢ ContDiff ℝ n expNegInvGlue
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.Full
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.EffectivelyEnough
inst✝ : Preregular D
X : C
S : Sieve X

⊢ S ∈ (regularTopology C).sieves X ↔ S ∈ (F.inducedTopology (regularTopology D)).sieves X
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.Full
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.EffectivelyEnough
inst✝ : Preregular D
X : C
S : Sieve X
this : Preregular C

⊢ S ∈ (regularTopology C).sieves X ↔ S ∈ (F.inducedTopology (regularTopology D)).sieves X
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.Full
inst✝² : F.Faithful
inst✝¹ : F.EffectivelyEnough
inst✝ : Preregular D
X : C
S : Sieve X
this : Preregular C

⊢ S ∈ (regularTopology C).sieves X ↔ ∃ Y π, EffectiveEpi π ∧ S.arrows π
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Epi (f ≫ g)
Z : C
a b : Z✝ ⟶ Z
w : f ≫ g ≫ a = f ≫ g ≫ b

⊢ a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Epi (f ≫ g)
Z : C
a b : Z✝ ⟶ Z
w : (f ≫ g) ≫ a = (f ≫ g) ≫ b

⊢ a = b
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set ℝ
h : Bornology.IsBounded s

⊢ EMetric.diam s = ENNReal.ofReal (sSup s - sInf s)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
h : Bornology.IsBounded ∅

⊢ EMetric.diam ∅ = ENNReal.ofReal (sSup ∅ - sInf ∅)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set ℝ
h : Bornology.IsBounded s
hne : s.Nonempty

⊢ EMetric.diam s = ENNReal.ofReal (sSup s - sInf s)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set ℝ
h : Bornology.IsBounded s
hne : s.Nonempty
x : ℝ
hx : x ∈ s
y : ℝ
hy : y ∈ s

⊢ dist x y ≤ sSup s - sInf s
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
s : Set ℝ
h : Bornology.IsBounded s
hne : s.Nonempty

⊢ ENNReal.ofReal (sSup s - sInf s) ≤ EMetric.diam s
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ha : Irreducible a

⊢ normalizedFactors a = {normalize a}
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ha : Irreducible a
p : α
a_assoc : a ~ᵤ p
hp : normalizedFactors a = {p}

⊢ normalizedFactors a = {normalize a}
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ha : Irreducible a
p : α
a_assoc : a ~ᵤ p
hp : normalizedFactors a = {p}
p_mem : p ∈ normalizedFactors a

⊢ normalizedFactors a = {normalize a}
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
ha : Irreducible a
p : α
a_assoc : a ~ᵤ p
hp : normalizedFactors a = {p}
p_mem : p ∈ normalizedFactors a

⊢ normalize a = p
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : CompositionAsSet n

⊢ c.boundary ⟨0, ⋯⟩ = 0
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : CompositionAsSet n

⊢ c.boundaries.min' ⋯ = 0
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R

⊢ IsCoprime (z * y + x) y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

⊢ W.Φ 0 = 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → Char → α
s : String
a : α

⊢ foldl f a s = List.foldl f a s.data
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : Group H
g : G
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : ∀ (g : G), g ^ n = 1

⊢ IsOfFinOrder g
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁹ : StrictConvexSpace ℝ V
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝³ : MetricSpace PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor E PE
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
r : ℝ
f : PF → PE
x y z : PE
hxy : dist x y = r * dist x z
hyz : dist y z = (1 - r) * dist x z

⊢ y = (AffineMap.lineMap x z) r