ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
this : ∀ (M : Type ?u.7851) (N : Type ?u.7850) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ Ico a b * Ioc c d ⊆ Ioo (a * c) (b * d)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α
this : ∀ (M : Type ?u.7851) (N : Type ?u.7850) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
y : α
hya : a ≤ y
hyb : y < b
z : α
hzc : c < z
hzd : z ≤ d

⊢ (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ioo (a * c) (b * d)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : Group G

⊢ ∀ (L : List G), L.reverse.prod = (map (fun x => x⁻¹) L).prod⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk u v

⊢ p.reverse.IsPath ↔ p.IsPath
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w u v : V
p : G.Walk u v
h : p.reverse.IsPath

⊢ p = p.reverse.reverse
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G
f : G →* N
hf : Injective ⇑f

⊢ map f (H ⊓ K) = map f H ⊓ map f K
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G
f : G →* N
hf : Injective ⇑f

⊢ ↑(map f (H ⊓ K)) = ↑(map f H ⊓ map f K)
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ

⊢ r⁻¹.sign = r.sign
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
hn : r < 0

⊢ r⁻¹.sign = r.sign
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean

⊢ 0⁻¹.sign = sign 0
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
hp : 0 < r

⊢ r⁻¹.sign = r.sign
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ

⊢ q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
hqd : ↑q.den ≠ 0

⊢ q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0

⊢ q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0

⊢ (q.num * ↑r.den + r.num * ↑q.den) /. (↑q.den * ↑r.den) = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
-- Mathlib/RingTheory/Prime.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder α
p : α
hp : Prime p

⊢ Prime |p|
-- Mathlib/RingTheory/Prime.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder α
p : α
hp : Prime p
h : |p| = p

⊢ Prime p
-- Mathlib/RingTheory/Prime.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder α
p : α
hp : Prime p
h : |p| = -p

⊢ Prime (-p)
-- Mathlib/NumberTheory/FunctionField.lean
Fq F : Type
inst✝² : Field Fq
inst✝¹ : Field F
inst✝ : DecidableEq (RatFunc Fq)

⊢ inftyValuationDef Fq RatFunc.X = ↑(Multiplicative.ofAdd 1)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3

⊢ W'.dblY P = W'.dblU P ^ 3
-- Mathlib/Data/Finsupp/Weight.lean
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M

⊢ degree 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
J : Type v
inst✝⁴ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i : ι

⊢ { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (𝟙 i) = 𝟙 ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
J : Type v
inst✝⁴ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i : ι

⊢ ∀ (x : ↑({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)), ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (𝟙 i)) x = (𝟙 ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
J : Type v
inst✝⁴ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i : ι
x : ↑({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)

⊢ ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (𝟙 i)) x = (𝟙 ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj i)) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
J : Type v
inst✝⁴ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
X✝ Y✝ Z✝ : ι
hij : X✝ ⟶ Y✝
hjk : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (hij ≫ hjk) = { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hij ≫ { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hjk
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
J : Type v
inst✝⁴ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
X✝ Y✝ Z✝ : ι
hij : X✝ ⟶ Y✝
hjk : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ ∀ (x : ↑({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj X✝)), ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (hij ≫ hjk)) x = ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hij ≫ { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hjk) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁵ : Ring R
J : Type v
inst✝⁴ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
X✝ Y✝ Z✝ : ι
hij : X✝ ⟶ Y✝
hjk : Y✝ ⟶ Z✝
x : ↑({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.obj X✝)

⊢ ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hij ≫ { obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map hjk) x = ({ obj := fun i => of R (G i), map := fun {X Y} hij => f X Y ⋯ }.map (hij ≫ hjk)) x
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z

⊢ (pullbackIsoProdSubtype f g).hom ≫ pullbackSnd f g = pullback.snd f g
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1

⊢ ⊤ * a = if a = 0 then 0 else ⊤
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x y : E
hy : y ∈ p.closedBall 0 r
hx : (fun x => a • x) y = x

⊢ x ∈ p.closedBall 0 r
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x y : E
hy : y ∈ p.closedBall 0 r
hx : (fun x => a • x) y = x

⊢ ‖a‖ * p y ≤ r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_add : ∀ (p q : R[T;T⁻¹]), M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T : ∀ (n : ℤ) (a : R), M (C a * T n)

⊢ M p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_add : ∀ (p q : R[T;T⁻¹]), M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T : ∀ (n : ℤ) (a : R), M (C a * T n)
a : R

⊢ M (C a)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_add : ∀ (p q : R[T;T⁻¹]), M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T : ∀ (n : ℤ) (a : R), M (C a * T n)
a : R

⊢ C a = C a * T 0
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : IsAtomic α
inst✝ : OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
a : α

⊢ IsAtom (l a) ↔ IsAtom a
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : IsAtomic α
inst✝ : OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
a : α
hla : IsAtom (l a)

⊢ IsAtom a
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : IsAtomic α
inst✝ : OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
a : α
hla : IsAtom (l a)
a' : α
ha' : IsAtom a'
hab' : a' ≤ u (l a)

⊢ IsAtom a
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : IsAtomic α
inst✝ : OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
a : α
hla : IsAtom (l a)
a' : α
ha' : IsAtom a'
hab' : a' ≤ u (l a)
this : l a' = l a

⊢ IsAtom a
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PartialOrder β
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : IsAtomic α
inst✝ : OrderBot β
l : α → β
u : β → α
gi : GaloisInsertion l u
hbot : u ⊥ = ⊥
h_atom : ∀ (a : α), IsAtom a → u (l a) = a
a : α
hla : IsAtom (l a)
a' : α
ha' : IsAtom a'
hab' : a' ≤ u (l a)
this : l a' = l a
haa' : a = a'

⊢ IsAtom a
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α

⊢ card {a} = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1

⊢ |log x * x| < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : 0 < 1 / x

⊢ |log x * x| < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : log (1 / x) ≤ 1 / x - 1

⊢ |log x * x| < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : log (1 / x) < 1 / x

⊢ |log x * x| < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : -log x * x < 1

⊢ |log x * x| < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : -log x * x < 1
aux : 0 ≤ -log x * x

⊢ |log x * x| < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
this : |log x * x| < 1
aux : 0 ≤ -log x * x

⊢ |log x * x| < 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a : α

⊢ filter (fun x => x == a) l = replicate (count a l) a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a : α

⊢ True ∧ ∀ (b : α), b ∈ l ∧ b = a → b = a
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

⊢ d * (n / d) < n ↔ ¬d ∣ n
-- Mathlib/Data/PNat/Interval.lean
a b : ℕ+

⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioo a b) = ↑b - ↑a - 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hs : {i₂, i₃}ᶜ = {i₁}
he : univ.erase i₁ = {i₂, i₃}

⊢ altitude t i₁ = mongePlane t i₂ i₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
hs : {i₂, i₃}ᶜ = {i₁}
he : univ.erase i₁ = {i₂, i₃}

⊢ mk' (t.points i₁) (Submodule.span ℝ ((fun x => t.points i₂ -ᵥ x) '' (t.points '' ({i₂, i₃} \ {i₂}))))ᗮ ⊓ affineSpan ℝ (Set.range t.points) = mk' (t.points i₁) (Submodule.span ℝ {t.points i₂ -ᵥ t.points i₃})ᗮ ⊓ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Instances.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
x : ↑(Ioo 0 1)

⊢ 1 - ↑x < 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : PositiveCompacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty

⊢ 0 < sInf (Finset.card '' {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : PositiveCompacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty

⊢ ¬∃ x ∈ {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}, x.card = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : PositiveCompacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty

⊢ ∃ n, n ∈ Finset.card '' {t | ↑K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p

⊢ Memℓp (f + g) p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f 0
hg : Memℓp g 0

⊢ Memℓp (f + g) 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ⊤
hg : Memℓp g ⊤

⊢ Memℓp (f + g) ⊤
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
hp : 0 < p.toReal

⊢ Memℓp (f + g) p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
hp : 0 < p.toReal

⊢ Summable fun i => ‖(f + g) i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ := if p.toReal < 1 then 1 else 2 ^ (p.toReal - 1)

⊢ Summable fun i => ‖(f + g) i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ := if p.toReal < 1 then 1 else 2 ^ (p.toReal - 1)

⊢ ∀ (b : α), 0 ≤ ‖(f + g) b‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ := if p.toReal < 1 then 1 else 2 ^ (p.toReal - 1)
i : α

⊢ ‖(f + g) i‖ ^ p.toReal ≤ C * (‖f i‖ ^ p.toReal + ‖g i‖ ^ p.toReal)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
g : β → γ

⊢ mapDomain (g ∘ f) v = mapDomain g (mapDomain f v)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
g : β → γ

⊢ ∀ (a : β), single (g a) 0 = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
g : β → γ

⊢ ∀ (a : β) (b₁ b₂ : M), single (g a) (b₁ + b₂) = single (g a) b₁ + single (g a) b₂
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
g : β → γ

⊢ (v.sum fun a b => (single (f a) b).sum fun a => single (g a)) = mapDomain (g ∘ f) v
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
g : β → γ
x✝¹ : α
x✝ : x✝¹ ∈ v.support

⊢ single (g (f x✝¹)) 0 = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den : Nat
den_nz : den ≠ 0

⊢ normalize num den den_nz = { num := num / ↑(num.natAbs.gcd den), den := den / num.natAbs.gcd den, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X✝ : Scheme
U✝ : X✝.Opens
s : Type u_1
X : Scheme
U : s → X.Opens
hU : ⨆ i, U i = ⊤
x : ↑↑X.toPresheafedSpace

⊢ x ∈ Set.range ⇑((fun i => (U i).ι) ((fun x => ⋯.choose) x)).val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X✝ : Scheme
U✝ : X✝.Opens
s : Type u_1
X : Scheme
U : s → X.Opens
hU : ⨆ i, U i = ⊤
x : ↑↑X.toPresheafedSpace

⊢ x ∈ ↑(U ((fun x => ⋯.choose) x))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X✝ : Scheme
U✝ : X✝.Opens
s : Type u_1
X : Scheme
U : s → X.Opens
hU : ⨆ i, U i = ⊤
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
this : x ∈ ⨆ i, U i

⊢ x ∈ ↑(U ((fun x => ⋯.choose) x))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/PerpBisector.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P

⊢ c ∈ perpBisector p₁ p₂ ↔ ⟪(Equiv.pointReflection c) p₁ -ᵥ p₂, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/PerpBisector.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P

⊢ 2⁻¹ * ⟪c -ᵥ p₁ + (c -ᵥ p₂), p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0 ↔ ⟪c -ᵥ p₁ + (c -ᵥ p₂), p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Deprecated/Group.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Group β
f✝ : α → β
hf✝ : IsGroupHom f✝
f : α → β
hf : IsGroupHom f
h : Function.Injective f
x✝ : α

⊢ f x✝ = 1 → x✝ = 1
-- Mathlib/Deprecated/Group.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Group β
f✝ : α → β
hf✝ : IsGroupHom f✝
f : α → β
hf : IsGroupHom f
h : Function.Injective f
x✝ : α

⊢ f x✝ = f 1 → x✝ = 1
-- Mathlib/Deprecated/Group.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Group β
f✝ : α → β
hf✝ : IsGroupHom f✝
f : α → β
hf : IsGroupHom f
h : ∀ (a : α), f a = 1 → a = 1
x y : α
hxy : f x = f y

⊢ f (x / y) = 1
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
n : γ → δ
m' : β' → α' → δ
n₁ : β → β'
n₂ : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), n (m a b) = m' (n₁ b) (n₂ a)

⊢ map n (map₂ m f g) = map₂ m' (map n₁ g) (map n₂ f)
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
n : γ → δ
m' : β' → α' → δ
n₁ : β → β'
n₂ : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), n (m a b) = m' (n₁ b) (n₂ a)

⊢ map n (map₂ (fun a b => m b a) g f) = map₂ m' (map n₁ g) (map n₂ f)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
c : Char
l r : List Char

⊢ (if h : { byteIdx := utf8Len (c :: l) } = 0 then none else let_fun this := ⋯; let pos := { data := (c :: l).reverse ++ r }.prev { byteIdx := utf8Len (c :: l) }; if p ({ data := (c :: l).reverse ++ r }.get pos) = true then some pos else { data := (c :: l).reverse ++ r }.revFindAux p pos) = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (match !p c with | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l | false => c :: l).tail?
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
c : Char
l r : List Char

⊢ (let_fun this := ⋯; let pos := { data := (c :: l).reverse ++ r }.prev { byteIdx := utf8Len (c :: l) }; if p ({ data := (c :: l).reverse ++ r }.get pos) = true then some pos else { data := (c :: l).reverse ++ r }.revFindAux p pos) = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (match !p c with | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l | false => c :: l).tail?
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
c : Char
l r : List Char
h1 : { data := l.reverse ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l.reverse } = (c :: r).headD default

⊢ (let_fun this := ⋯; let pos := { data := (c :: l).reverse ++ r }.prev { byteIdx := utf8Len (c :: l) }; if p ({ data := (c :: l).reverse ++ r }.get pos) = true then some pos else { data := (c :: l).reverse ++ r }.revFindAux p pos) = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (match !p c with | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l | false => c :: l).tail?
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
c : Char
l r : List Char
h1 : { data := l.reverse ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l.reverse } = (c :: r).headD default
h2 : { data := l.reverse ++ c :: r }.prev { byteIdx := utf8Len l.reverse + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l.reverse }

⊢ (let_fun this := ⋯; let pos := { data := (c :: l).reverse ++ r }.prev { byteIdx := utf8Len (c :: l) }; if p ({ data := (c :: l).reverse ++ r }.get pos) = true then some pos else { data := (c :: l).reverse ++ r }.revFindAux p pos) = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (match !p c with | true => List.dropWhile (fun x => !p x) l | false => c :: l).tail?