ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
h₀ : 0 ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
this : edist 0 (↑(approxOn f hf s 0 h₀ n) x) ≤ edist 0 (f x) + edist 0 (f x)

⊢ ‖↑(approxOn f hf s 0 h₀ n) x‖ ≤ ‖f x‖ + ‖f x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
h₀ : 0 ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
x : β
n : ℕ
this : ↑‖↑(approxOn f hf s 0 h₀ n) x‖₊ ≤ ↑‖f x‖₊ + ↑‖f x‖₊

⊢ ‖↑(approxOn f hf s 0 h₀ n) x‖ ≤ ‖f x‖ + ‖f x‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f : ℝ → ℝ
hA' : IsSelfAdjoint A

⊢ cfc f A = hA.cfc f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f : ℝ → ℝ
hA' : IsSelfAdjoint A
this : cfcHom hA' = hA.cfcAux

⊢ cfc f A = hA.cfc f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f : ℝ → ℝ
hA' : IsSelfAdjoint A
this : cfcHom hA' = hA.cfcAux

⊢ hA.cfcAux { toFun := (spectrum ℝ A).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } = hA.cfc f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x

⊢ Module.rank R ↥(span R s) = #↑s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x

⊢ Module.rank R ↥(span R (range Subtype.val)) = #↑(range Subtype.val)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hp₁ : p₁ ∉ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s

⊢ AffineIndependent k ![p₁, p₂, p₃]
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hp₁ : p₁ ∉ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s

⊢ AffineIndependent k (![p₁, p₂, p₃] ∘ ⇑(Equiv.swap 0 2))
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : AffineSubspace k P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hp₁ : p₁ ∉ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s

⊢ ![p₁, p₂, p₃] ∘ ⇑(Equiv.swap 0 2) = ![p₃, p₂, p₁]
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F), Tendsto u atTop (𝓝 x) → Tendsto (⇑g ∘ u) atTop (𝓝 y) → y = g x

⊢ Continuous ⇑g
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F), Tendsto u atTop (𝓝 x) → Tendsto (⇑g ∘ u) atTop (𝓝 y) → y = g x

⊢ IsSeqClosed ↑g.graph
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F), Tendsto u atTop (𝓝 x) → Tendsto (⇑g ∘ u) atTop (𝓝 y) → y = g x
φ : ℕ → E × F
x : E
y : F
hφg : ∀ (n : ℕ), φ n ∈ ↑g.graph
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 (x, y))

⊢ (x, y) ∈ ↑g.graph
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F), Tendsto u atTop (𝓝 x) → Tendsto (⇑g ∘ u) atTop (𝓝 y) → y = g x
φ : ℕ → E × F
x : E
y : F
hφg : ∀ (n : ℕ), φ n ∈ ↑g.graph
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 (x, y))

⊢ Tendsto (⇑g ∘ Prod.fst ∘ φ) atTop (𝓝 y)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F), Tendsto u atTop (𝓝 x) → Tendsto (⇑g ∘ u) atTop (𝓝 y) → y = g x
φ : ℕ → E × F
x : E
y : F
hφg : ∀ (n : ℕ), φ n ∈ ↑g.graph
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 (x, y))
this : ⇑g ∘ Prod.fst ∘ φ = Prod.snd ∘ φ

⊢ Tendsto (⇑g ∘ Prod.fst ∘ φ) atTop (𝓝 y)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : ∀ (u : ℕ → E) (x : E) (y : F), Tendsto u atTop (𝓝 x) → Tendsto (⇑g ∘ u) atTop (𝓝 y) → y = g x
φ : ℕ → E × F
x : E
y : F
hφg : ∀ (n : ℕ), φ n ∈ ↑g.graph
hφ : Tendsto φ atTop (𝓝 (x, y))
this : ⇑g ∘ Prod.fst ∘ φ = Prod.snd ∘ φ

⊢ Tendsto (Prod.snd ∘ φ) atTop (𝓝 y)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

⊢ 2⁻¹ + 2⁻¹ = 1
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List (List α)

⊢ L.reverse.join = (map reverse L).join.reverse
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B

⊢ B ∩ X ⊆ I
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean

⊢ I⁻¹ = -I
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)

⊢ ∃ A x, IsGalois A
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
A : C
f : A ⟶ X
a : ↑(F.obj A)
h1 : IsGalois A
right✝ : F.map f a = x

⊢ ∃ A x, IsGalois A
-- Mathlib/Topology/Order/T5.lean
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
ha : a ∈ s

⊢ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ ∈ 𝓝[≥] a
-- Mathlib/Topology/Order/T5.lean
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
ha : a ∈ s
hmem : tᶜ ∈ 𝓝[≥] a

⊢ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ ∈ 𝓝[≥] a
-- Mathlib/Topology/Order/T5.lean
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b✝ c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
ha : a ∈ s
hmem : tᶜ ∈ 𝓝[≥] a
b : X
hab : a ≤ b
hmem' : Icc a b ∈ 𝓝[≥] a
hsub : Icc a b ⊆ tᶜ

⊢ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ ∈ 𝓝[≥] a
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E

⊢ (o.kahler (φ x)) (φ y) = (o.kahler x) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V) = ↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ (mk K K V).compr₂ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V)) = (mk K K V).compr₂ (↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ ((mk K K V).compr₂ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V))) 1 = ((mk K K V).compr₂ (↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V))) 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ ∀ (i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)), (((mk K K V).compr₂ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V))) 1) ((Basis.ofVectorSpace K V) i) = (((mk K K V).compr₂ (↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V))) 1) ((Basis.ofVectorSpace K V) i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ (((mk K K V).compr₂ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V))) 1) ((Basis.ofVectorSpace K V) j) = (((mk K K V).compr₂ (↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V))) 1) ((Basis.ofVectorSpace K V) j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V) ∘ₗ ↑(TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ∘ₗ LinearMap.rTensor V (coevaluation K V)) (1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j) = (↑(TensorProduct.rid K V).symm ∘ₗ ↑(TensorProduct.lid K V)) (1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) ((TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ((LinearMap.rTensor V (coevaluation K V)) (1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j))) = (TensorProduct.rid K V).symm ((TensorProduct.lid K V) (1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) ((TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ((LinearMap.rTensor V (coevaluation K V)) (1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j))) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) ((TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) ((∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord i) ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j)) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) (∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (TensorProduct.assoc K V (Module.Dual K V) V) (((Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x) ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j)) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) (∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ ∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (LinearMap.lTensor V (contractLeft K V)) ((Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) j) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ ∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] ((Basis.ofVectorSpace K V).coord x) ((Basis.ofVectorSpace K V) j) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ (∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), if j = x then (Basis.ofVectorSpace K V) x ⊗ₜ[K] 1 else 0) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ (if j ∈ Finset.univ then (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1 else 0) = (Basis.ofVectorSpace K V) j ⊗ₜ[K] 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
X₁ X₂ : C

⊢ binaryBiproductTriangle X₁ X₂ ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
X₁ X₂ Y : C
g : X₁ ⟶ Y
h : Y ⟶ X₂
mem : Triangle.mk g h 0 ∈ distinguishedTriangles

⊢ binaryBiproductTriangle X₁ X₂ ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
X₁ X₂ Y : C
g : X₁ ⟶ Y
h : Y ⟶ X₂
mem : Triangle.mk g h 0 ∈ distinguishedTriangles
e : (Triangle.mk g h 0).obj₂ ≅ (Triangle.mk g h 0).obj₁ ⊞ (Triangle.mk g h 0).obj₃
he₁ : (Triangle.mk g h 0).mor₁ ≫ e.hom = biprod.inl
he₂ : (Triangle.mk g h 0).mor₂ = e.hom ≫ biprod.snd

⊢ binaryBiproductTriangle X₁ X₂ ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
X₁ X₂ Y : C
g : X₁ ⟶ Y
h : Y ⟶ X₂
mem : Triangle.mk g h 0 ∈ distinguishedTriangles
e : (Triangle.mk g h 0).obj₂ ≅ (Triangle.mk g h 0).obj₁ ⊞ (Triangle.mk g h 0).obj₃
he₁ : g ≫ e.hom = biprod.inl
he₂ : h = e.hom ≫ biprod.snd

⊢ binaryBiproductTriangle X₁ X₂ ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
X₁ X₂ Y : C
g : X₁ ⟶ Y
h : Y ⟶ X₂
mem : Triangle.mk g h 0 ∈ distinguishedTriangles
e : (Triangle.mk g h 0).obj₂ ≅ (Triangle.mk g h 0).obj₁ ⊞ (Triangle.mk g h 0).obj₃
he₁ : g ≫ e.hom = biprod.inl
he₂ : h = e.hom ≫ biprod.snd

⊢ Triangle.mk g h 0 ≅ binaryBiproductTriangle X₁ X₂
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
hi : 3 ≤ n
this : 0 < n

⊢ n < n !
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
hi : 3 ≤ n
this : 0 < n
hn : 1 < n.pred

⊢ n < n !
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
hi : 3 ≤ n
this : 0 < n
hn : 1 < n.pred

⊢ n.pred.succ < (n.pred + 1) * n.pred !
-- Mathlib/Data/Semiquot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
p : q.IsPure

⊢ q.get p ∈ q
-- Mathlib/Data/Semiquot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
p : q.IsPure
a : α
h : a ∈ q

⊢ q.get p ∈ q
-- Mathlib/Data/Semiquot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
p : q.IsPure
a : α
h : a ∈ q

⊢ q.liftOn id p ∈ q
-- Mathlib/Data/Semiquot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
p : q.IsPure
a : α
h : a ∈ q

⊢ id a ∈ q
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}

⊢ 1 < o.card ↔ 1 < o
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Linearity.lean
f g : ℕ → ℂ
s a b : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
hg : LSeriesHasSum g s b

⊢ LSeriesHasSum (f + g) s (a + b)
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pb : PowerBasis R S
I : Ideal R
g : R[X]

⊢ (pb.quotientEquivQuotientMinpolyMap I).symm ((Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R pb.gen)})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) g)) = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (algebraMap R S) I)) ((aeval pb.gen) g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Square.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
sq sq₁ sq₂ : Square C
h : sq₁.IsPushout
e : sq₁ ≅ sq₂

⊢ sq₂.IsPushout
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Square.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
sq sq₁ sq₂ : Square C
h : sq₁.IsPushout
e : sq₁ ≅ sq₂

⊢ sq₁.f₁₂ ≫ (evaluation₂.mapIso e).hom = (evaluation₁.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₁₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Square.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
sq sq₁ sq₂ : Square C
h : sq₁.IsPushout
e : sq₁ ≅ sq₂

⊢ sq₁.f₁₃ ≫ (evaluation₃.mapIso e).hom = (evaluation₁.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₁₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Square.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
sq sq₁ sq₂ : Square C
h : sq₁.IsPushout
e : sq₁ ≅ sq₂

⊢ sq₁.f₂₄ ≫ (evaluation₄.mapIso e).hom = (evaluation₂.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₂₄
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Square.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
sq sq₁ sq₂ : Square C
h : sq₁.IsPushout
e : sq₁ ≅ sq₂

⊢ sq₁.f₃₄ ≫ (evaluation₄.mapIso e).hom = (evaluation₃.mapIso e).hom ≫ sq₂.f₃₄
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Ico a (a + p)

⊢ liftIco p a f ↑x = f x
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Ico a (a + p)
this : (equivIco p a) ↑x = ⟨x, hx⟩

⊢ liftIco p a f ↑x = f x
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
inst✝ : Archimedean 𝕜
f : 𝕜 → B
x : 𝕜
hx : x ∈ Ico a (a + p)
this : (equivIco p a) ↑x = ⟨x, hx⟩

⊢ (Ico a (a + p)).restrict f ⟨x, hx⟩ = f x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x✝ y✝ : ℝ
hb : 1 < b
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x < y

⊢ logb b y < logb b x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x✝ y✝ : ℝ
hb : 1 < b
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x < y

⊢ logb b |y| < logb b |x|
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x✝ y✝ : ℝ
hb : 1 < b
x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ
hy : y < 0
hxy : x < y

⊢ |y| < |x|