ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A✝ : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : AddMonoidWithOne B
inst✝⁴ : FunLike F ℕ A✝
inst✝³ : AddMonoidWithOne A✝
A : Type u_6
inst✝² : AddMonoidWithOne A
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AddMonoidHomClass F A B
f : F
h : f 1 = 1
n : ℕ

⊢ f ↑(n + 1) = ↑(n + 1)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/ListOfFn.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a✝ : α
m n✝ : ℕ
a : α
n : ℕ
f : Fin n → Set α

⊢ a ∈ (List.ofFn f).prod ↔ ∃ l', (List.map (fun x => ↑x.snd) l').prod = a ∧ List.map Sigma.fst l' = List.ofFn f
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/ListOfFn.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a✝ : α
m n✝ : ℕ
a : α
n : ℕ
f : Fin n → Set α

⊢ (∃ f_1, (List.ofFn fun i => ↑(f_1 i)).prod = a) ↔ ∃ x, (List.ofFn fun x_1 => ↑(x x_1).snd).prod = a ∧ (fun x_1 => (x x_1).fst) = f
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
inst✝ : Nontrivial A
r : R

⊢ spectrum R ((algebraMap R A) r) = {r}
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
inst✝ : Nontrivial A
r : R
hp : p 0

⊢ spectrum R ((algebraMap R A) r) = {r}
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
inst✝ : Nontrivial A
r : R
hp : p 0

⊢ (fun x => r) '' spectrum R 0 = {r}
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean
n : ℕ
a b : Fin n

⊢ Fintype.card ↑(Set.Iio b) = ↑b
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
n : ℕ
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

⊢ Set.InjOn (fun x => ζ ^ x) ↑(range n)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 0

⊢ Set.InjOn (fun x => ζ ^ x) ↑(range 0)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
n : ℕ
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n > 0

⊢ Set.InjOn (fun x => ζ ^ x) ↑(range n)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
n : ℕ
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n > 0
i : ℕ
hi : i ∈ ↑(range n)
j : ℕ
hj : j ∈ ↑(range n)
e : (fun x => ζ ^ x) i = (fun x => ζ ^ x) j

⊢ i = j
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
n : ℕ
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n > 0
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < n
e : (fun x => ζ ^ x) i = (fun x => ζ ^ x) j

⊢ i = j
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
n : ℕ
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n > 0
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < n
e : (fun x => ζ ^ x) i = (fun x => ζ ^ x) j
this : ⋯.unit ^ i = ⋯.unit ^ j

⊢ i = j
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ✝ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ✝ k
n : ℕ
ζ : M
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n > 0
i : ℕ
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < n
e : (fun x => ζ ^ x) i = (fun x => ζ ^ x) j
this : i % orderOf ({ toFun := Units.val, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } ⋯.unit) = j % orderOf ({ toFun := Units.val, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } ⋯.unit)

⊢ i = j
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
β : Type u_7
inst✝ : Group β
f g : α → β

⊢ f / g =ᶠ[ae μ] 1 ↔ f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
β : Type u_7
inst✝ : Group β
f g : α → β
h : f / g =ᶠ[ae μ] 1
x : α
hx : (f / g) x = 1 x

⊢ f x = g x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
β : Type u_7
inst✝ : Group β
f g : α → β
h : f =ᶠ[ae μ] g
x : α
hx : f x = g x

⊢ (f / g) x = 1 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R

⊢ HasSum (fun n => ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - (c + w))⁻¹ • f z)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
hR : 0 < R

⊢ HasSum (fun n => ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - (c + w))⁻¹ • f z)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
hR : 0 < R
hwR : Complex.abs w / R ∈ Ico 0 1

⊢ HasSum (fun n => ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - (c + w))⁻¹ • f z)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
hR : 0 < R
hwR : Complex.abs w / R ∈ Ico 0 1
n : ℕ

⊢ AEStronglyMeasurable (fun θ => deriv (circleMap c R) θ • (fun z => (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) (circleMap c R θ)) (volume.restrict (Ι 0 (2 * π)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
hR : 0 < R
hwR : Complex.abs w / R ∈ Ico 0 1
n : ℕ

⊢ ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ι 0 (2 * π) → ‖deriv (circleMap c R) t • (fun z => (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) (circleMap c R t)‖ ≤ (fun n θ => ‖f (circleMap c R θ)‖ * (Complex.abs w / R) ^ n) n t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
hR : 0 < R
hwR : Complex.abs w / R ∈ Ico 0 1

⊢ ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ι 0 (2 * π) → Summable fun n => (fun n θ => ‖f (circleMap c R θ)‖ * (Complex.abs w / R) ^ n) n t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
hR : 0 < R
hwR : Complex.abs w / R ∈ Ico 0 1

⊢ IntervalIntegrable (fun t => ∑' (n : ℕ), (fun n θ => ‖f (circleMap c R θ)‖ * (Complex.abs w / R) ^ n) n t) volume 0 (2 * π)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
w : ℂ
hf : CircleIntegrable f c R
hw : Complex.abs w < R
hR : 0 < R
hwR : Complex.abs w / R ∈ Ico 0 1

⊢ ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ι 0 (2 * π) → HasSum (fun n => deriv (circleMap c R) t • (fun z => (w / (z - c)) ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) (circleMap c R t)) (deriv (circleMap c R) t • (fun z => (z - (c + w))⁻¹ • f z) (circleMap c R t))
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
h : x ≠ y

⊢ ∃ f, f x ≠ f y
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : TopologicalSpace V
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : SeparatingDual R V
x y : V
h : x ≠ y
f : V →L[R] R
hf : f (x - y) ≠ 0

⊢ ∃ f, f x ≠ f y
-- Mathlib/Computability/Language.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m✝ : Language α
a b x : List α
l m : Language α

⊢ (l * m).reverse = m.reverse * l.reverse
-- Mathlib/Computability/Language.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m✝ : Language α
a b x : List α
l m : Language α

⊢ image2 (fun a b => b.reverse ++ a.reverse) l m = image2 (fun a b => a.reverse ++ b.reverse) m l
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FinitePresentation
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FinitePresentation
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯

⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FinitePresentation
this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FinitePresentation
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'

⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
this✝³ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝² : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝¹ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this✝ : IsScalarTower R R' S'
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S
hgsurj : Function.Surjective ⇑g
hgker : (ker g.toRingHom).FG
MX : Submonoid (MvPolynomial (Fin n) R) := Algebra.algebraMapSubmonoid (MvPolynomial (Fin n) R) M
this : IsLocalization MX (MvPolynomial (Fin n) R')

⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
this✝⁴ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝³ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝² : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this✝¹ : IsScalarTower R R' S'
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S
hgsurj : Function.Surjective ⇑g
hgker : (ker g.toRingHom).FG
MX : Submonoid (MvPolynomial (Fin n) R) := Algebra.algebraMapSubmonoid (MvPolynomial (Fin n) R) M
this✝ : IsLocalization MX (MvPolynomial (Fin n) R')
this : IsScalarTower R S S'

⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
this✝⁵ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝⁴ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝³ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this✝² : IsScalarTower R R' S'
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S
hgsurj : Function.Surjective ⇑g
hgker : (ker g.toRingHom).FG
MX : Submonoid (MvPolynomial (Fin n) R) := Algebra.algebraMapSubmonoid (MvPolynomial (Fin n) R) M
this✝¹ : IsLocalization MX (MvPolynomial (Fin n) R')
this✝ : IsScalarTower R S S'
this : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) S'
g' : MvPolynomial (Fin n) R' →ₐ[R'] S' := IsLocalization.mapₐ M R' (MvPolynomial (Fin n) R') S' g
k : ↥(ker g) →ₛₗ[id (MvPolynomial (Fin n) R)] ↥(ker g') := AlgHom.toKerIsLocalization M R' (MvPolynomial (Fin n) R') S' g

⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
this✝⁶ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝⁵ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝⁴ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this✝³ : IsScalarTower R R' S'
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S
hgsurj : Function.Surjective ⇑g
hgker : (ker g.toRingHom).FG
MX : Submonoid (MvPolynomial (Fin n) R) := Algebra.algebraMapSubmonoid (MvPolynomial (Fin n) R) M
this✝² : IsLocalization MX (MvPolynomial (Fin n) R')
this✝¹ : IsScalarTower R S S'
this✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) S'
g' : MvPolynomial (Fin n) R' →ₐ[R'] S' := IsLocalization.mapₐ M R' (MvPolynomial (Fin n) R') S' g
k : ↥(ker g) →ₛₗ[id (MvPolynomial (Fin n) R)] ↥(ker g') := AlgHom.toKerIsLocalization M R' (MvPolynomial (Fin n) R') S' g
this : IsLocalizedModule MX k

⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
this✝⁷ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝⁶ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝⁵ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this✝⁴ : IsScalarTower R R' S'
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] S
hgsurj : Function.Surjective ⇑g
hgker : (ker g.toRingHom).FG
MX : Submonoid (MvPolynomial (Fin n) R) := Algebra.algebraMapSubmonoid (MvPolynomial (Fin n) R) M
this✝³ : IsLocalization MX (MvPolynomial (Fin n) R')
this✝² : IsScalarTower R S S'
this✝¹ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) S'
g' : MvPolynomial (Fin n) R' →ₐ[R'] S' := IsLocalization.mapₐ M R' (MvPolynomial (Fin n) R') S' g
k : ↥(ker g) →ₛₗ[id (MvPolynomial (Fin n) R)] ↥(ker g') := AlgHom.toKerIsLocalization M R' (MvPolynomial (Fin n) R') S' g
this✝ : IsLocalizedModule MX k
this : Module.Finite (MvPolynomial (Fin n) R) ↥(ker g)

⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FinitePresentation
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R₁ : Type u_4
M₁ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_6
K : Type u_7
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
r : S
x y : M

⊢ (B (r • x)) y = r • (B x) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Circulant.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddGroup n
v w : n → α
i j : n

⊢ (circulant v * circulant w) i j = circulant (circulant v *ᵥ w) i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Circulant.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddGroup n
v w : n → α
i j : n

⊢ ∑ x : n, v (i - x) * w (x - j) = ∑ x : n, v (i - j - x) * w x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Circulant.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddGroup n
v w : n → α
i j : n

⊢ ∀ (x : n), v (i - x) * w (x - j) = v (i - j - (Equiv.subRight j) x) * w ((Equiv.subRight j) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Circulant.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : AddGroup n
v w : n → α
i j x : n

⊢ v (i - x) * w (x - j) = v (i - j - (Equiv.subRight j) x) * w ((Equiv.subRight j) x)
-- Mathlib/Order/Filter/CountableInter.lean
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi

⊢ ⋂ i, ⋂ (h : i ∈ S), s i h ≤ᶠ[l] ⋂ i, ⋂ (h : i ∈ S), t i h
-- Mathlib/Order/Filter/CountableInter.lean
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi

⊢ ⋂ x, s ↑x ⋯ ≤ᶠ[l] ⋂ x, t ↑x ⋯
-- Mathlib/Order/Filter/CountableInter.lean
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
s t : (i : ι) → i ∈ S → Set α
h : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), s i hi ≤ᶠ[l] t i hi
this : Encodable ↑S

⊢ ⋂ x, s ↑x ⋯ ≤ᶠ[l] ⋂ x, t ↑x ⋯
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (limitProcess f ℱ μ ω))
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

⊢ injectiveSeminorm ≤ projectiveSeminorm
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

⊢ sSup {p | ∃ G x x_1, p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)} ≤ projectiveSeminorm
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

⊢ {p | ∃ G x x_1, p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)}.Nonempty
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

⊢ ∀ b ∈ {p | ∃ G x x_1, p = (normSeminorm 𝕜 (ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G →L[𝕜] G)).comp (toDualContinuousMultilinearMap G)}, b ≤ projectiveSeminorm
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : ∃ i, IntegrableOn f (s i) μ
S : Set X := ⋂ i, s i
hSm : MeasurableSet S

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))