ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure ℝ
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝¹ : OrderTopology E
inst✝ : SecondCountableTopology E
u : ℝ → E
a b : ℝ
hu : MonotoneOn u [[a, b]]

⊢ IntegrableOn u (Ι a b) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ↥(Lp ℝ 1 μ)

⊢ integral f = ‖Lp.posPart f‖ - ‖Lp.negPart f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ↥(Lp ℝ 1 μ)

⊢ Continuous integral
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ↥(Lp ℝ 1 μ)

⊢ Continuous fun x => ‖Lp.posPart x‖ - ‖Lp.negPart x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ↥(Lp ℝ 1 μ)

⊢ ∀ (a : { x // x ∈ ↑(simpleFunc ℝ 1 μ) }), (fun f => integral f = ‖Lp.posPart f‖ - ‖Lp.negPart f‖) ↑a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f✝ g✝ : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → A
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : ContinuousOn g [[a, b]]

⊢ IntervalIntegrable (fun x => f x * g x) μ a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f✝ g✝ : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → A
hf : IntegrableOn f (Ι a b) μ
hg : ContinuousOn g [[a, b]]

⊢ IntegrableOn (fun x => f x * g x) (Ι a b) μ
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M₂
inst✝ : Module R M₃
σ : R →+* S
f g : M →ₑ+[↑σ] M₂
h : ↑f = ↑g
m : M

⊢ f m = g m
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/AffineMap.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
a b : E
L : Filter 𝕜
s : Set 𝕜
x : 𝕜

⊢ HasStrictDerivAt (⇑f) (f.linear 1) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/AffineMap.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 →ᵃ[𝕜] E
a b : E
L : Filter 𝕜
s : Set 𝕜
x : 𝕜

⊢ HasStrictDerivAt (⇑f.linear + fun x => f 0) (f.linear 1) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/MulAction.lean
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : SMul M X
inst✝ : ContinuousSMul M X
f : Y → M
g : Y → X
b : Y
s : Set Y
k : Set M
u : Set X
hk : IsCompact k
hu : IsCompact u

⊢ IsCompact (k • u)
-- Mathlib/Topology/Algebra/MulAction.lean
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : SMul M X
inst✝ : ContinuousSMul M X
f : Y → M
g : Y → X
b : Y
s : Set Y
k : Set M
u : Set X
hk : IsCompact k
hu : IsCompact u

⊢ IsCompact ((fun x => x.1 • x.2) '' k ×ˢ u)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x : α

⊢ ∑ i ∈ range 2, x ^ i = x + 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 G
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' G'
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
c : R
x : M
y : F

⊢ (f (c • x)) y = ρ₁₂ c • (f x) y
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi₂ : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i
n : ℕ
hn : ¬restrict s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k < n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)

⊢ 0 < ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
i j : ι
hij : ¬c.Rel j i

⊢ (dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0) = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)
i j : ι
hij : ¬c.Rel j i

⊢ ∀ (h_1 : c.Rel j i), h i j h_1 = 0
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
x : Filter α
y : ι → Filter β

⊢ Tendsto f x (⨅ i, y i) ↔ ∀ (i : ι), Tendsto f x (y i)
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R

⊢ (∀ n > 0, ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R

⊢ (∀ n > 0, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f n) ↔ ∀ n > 0, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R

⊢ ∀ (a : ℕ), a > 0 → ∑ x ∈ a.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f a ↔ a > 0 → ∑ x ∈ a.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * g x.2 = f a
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f g : ℕ → R
a : ℕ
x✝ : a > 0
x : ℕ × ℕ
_hx : x ∈ a.divisorsAntidiagonal

⊢ μ x.1 • g x.2 = ↑(μ x.1) * g x.2
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/End.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : Injective ⇑(f' ^ n)

⊢ Injective ⇑f'
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/End.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : Injective (⇑(f' ^ n.pred) ∘ ⇑f')

⊢ Injective ⇑f'
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
n m : ℕ

⊢ n ^^^ m = 0 ↔ n = m
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty

⊢ ∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
ν : Measure α
hν : IsFiniteMeasure ν
hμν : μ ≪ ν

⊢ ∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
ν : Measure α
hν : IsFiniteMeasure ν
hμν : μ ≪ ν
t : Set (α × ℝ)
t_count : t.Countable
ts : ∀ p ∈ t, p.1 ∈ s
tr : ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
tν : ν (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0
tdisj : t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2

⊢ ∃ t, t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) = 0 ∧ t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle

⊢ ContinuousOn (sinKernel a) (Ioi 0)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ

⊢ ContinuousOn (sinKernel ↑a) (Ioi 0)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ

⊢ ContinuousOn (fun x => ↑(sinKernel (↑a) x)) (Ioi 0)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ

⊢ ContinuousOn (fun x => jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x) / (-2 * ↑π)) (Ioi 0)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

⊢ ContinuousAt (fun x => jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x)) x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
h : ContinuousAt (fun p => jacobiTheta₂' p.1 p.2) (↑a, I * ↑x)

⊢ ContinuousAt (fun x => jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x)) x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E

⊢ ⊥ᗮ = ⊤
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E

⊢ ⊤ ≤ ⊤ᗮᗮ
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R⟦X⟧ˣ

⊢ (d⁄dX R) ↑f⁻¹ = -↑f⁻¹ ^ 2 * (d⁄dX R) ↑f
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R⟦X⟧ˣ

⊢ ↑f⁻¹ * ↑f = 1
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Bilinear.lean
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Submodule R M
n : N

⊢ map₂ f s (span R {n}) = map (f.flip n) s
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
a : ⨂[R]^n M

⊢ (cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul GradedMonoid.GOne.one a) = a
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
a : ⨂[R]^n M

⊢ (cast R M ⋯) (mulEquiv ((tprod R) Fin.elim0 ⊗ₜ[R] a)) = a
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/TensorProduct.lean
R : Type u
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
S : Type ?u.139799
inst✝¹³ : Semiring S
inst✝¹² : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁴ : Module R M₁'
inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
x : M₁'
i : ι₂
y : M₂ i

⊢ (directSumRight R M₁' M₂) (x ⊗ₜ[R] (lof R ι₂ M₂ i) y) = (lof R ι₂ (fun i => M₁' ⊗[R] M₂ i) i) (x ⊗ₜ[R] y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/TensorProduct.lean
R : Type u
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
S : Type ?u.139799
inst✝¹³ : Semiring S
inst✝¹² : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁴ : Module R M₁'
inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
x : M₁'
i : ι₂
y : M₂ i

⊢ (DFinsupp.mapRange.linearEquiv fun x => TensorProduct.comm R (M₂ x) M₁') ((directSumLeft R M₂ M₁') ((lof R ι₂ M₂ i) y ⊗ₜ[R] x)) = (lof R ι₂ (fun i => M₁' ⊗[R] M₂ i) i) (x ⊗ₜ[R] y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/TensorProduct.lean
R : Type u
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
S : Type ?u.139799
inst✝¹³ : Semiring S
inst✝¹² : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁴ : Module R M₁'
inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
x : M₁'
i : ι₂
y : M₂ i

⊢ (DFinsupp.mapRange.linearEquiv fun x => TensorProduct.comm R (M₂ x) M₁') ((lof R ι₂ (fun i => M₂ i ⊗[R] M₁') i) (y ⊗ₜ[R] x)) = (lof R ι₂ (fun i => M₁' ⊗[R] M₂ i) i) (x ⊗ₜ[R] y)
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
mono_iff : ∀ {a b : α}, f a ≤ f b ↔ a ≤ b
x✝ : WithBot α

⊢ map f ⊥ ≤ map f x✝ ↔ ⊥ ≤ x✝
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a✝ b : α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
mono_iff : ∀ {a b : α}, f a ≤ f b ↔ a ≤ b
a : α

⊢ map f ↑a ≤ map f ⊥ ↔ ↑a ≤ ⊥
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
mono_iff : ∀ {a b : α}, f a ≤ f b ↔ a ≤ b
a b : α

⊢ map f ↑a ≤ map f ↑b ↔ ↑a ≤ ↑b
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Defs.lean
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b c : α
inst✝ : Invertible c

⊢ a * c = b ↔ a = b * ⅟c
-- Mathlib/Order/Interval/Set/ProjIcc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α

⊢ projIci a x = ⟨a, ⋯⟩ ↔ x ≤ a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Polynomial.lean
p : ℝ[X]

⊢ ∑ x ∈ p.roots.toFinset, (Multiset.count x p.roots - 1 + 1) = ∑ x ∈ p.roots.toFinset, (rootMultiplicity x p - 1) + p.roots.toFinset.card
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Polynomial.lean
p : ℝ[X]

⊢ ∑ x ∈ p.roots.toFinset, rootMultiplicity x (derivative p) + (((derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset).card + 1) ≤ ∑ x ∈ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + (∑ x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Polynomial.lean
p : ℝ[X]

⊢ ∑ x ∈ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + (((derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset).card + 1) ≤ ∑ x ∈ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + (∑ x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Polynomial.lean
p : ℝ[X]

⊢ ∑ x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset, 1 ≤ ∑ x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Polynomial.lean
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset

⊢ 0 < Multiset.count x (derivative p).roots
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Polynomial.lean
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset

⊢ x ∈ (derivative p).roots.toFinset
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Polynomial.lean
p : ℝ[X]

⊢ ∑ x ∈ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + (∑ x ∈ (derivative p).roots.toFinset \ p.roots.toFinset, Multiset.count x (derivative p).roots + 1) = Multiset.card (derivative p).roots + 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Polynomial.lean
p : ℝ[X]

⊢ ∀ x ∈ p.roots.toFinset ∪ (derivative p).roots.toFinset, x ∉ (derivative p).roots.toFinset → Multiset.count x (derivative p).roots = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Polynomial.lean
p : ℝ[X]
x : ℝ
a✝ : x ∈ p.roots.toFinset ∪ (derivative p).roots.toFinset
hx₂ : x ∉ (derivative p).roots.toFinset

⊢ Multiset.count x (derivative p).roots = 0
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
h : H
w : NormalWord d

⊢ (base φ) h • w = h • w
-- Mathlib/LinearAlgebra/InvariantBasisNumber.lean
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : StrongRankCondition R
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
f : (α →₀ R) →ₗ[R] β →₀ R
i : Injective ⇑f
P : (β →₀ R) ≃ₗ[R] β → R := Finsupp.linearEquivFunOnFinite R R β
Q : (α → R) ≃ₗ[R] α →₀ R := (Finsupp.linearEquivFunOnFinite R R α).symm

⊢ Fintype.card α ≤ Fintype.card β
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
hs : TotallyBounded s
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0

⊢ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
hs : ∀ d ∈ 𝓤 α, ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ d}
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0

⊢ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y ε
-- Mathlib/Topology/Bornology/Absorbs.lean
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : Bornology G₀
inst✝ : MulAction G₀ α
s t u : Set α
S : Set (Set α)
a : G₀
ha : a ≠ 0

⊢ s ⊆ a • univ
-- Mathlib/Topology/Bornology/Absorbs.lean
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : Bornology G₀
inst✝ : MulAction G₀ α
s t u : Set α
S : Set (Set α)
a : G₀
ha : a ≠ 0

⊢ s ⊆ univ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
hs₁ : StarConvex ℝ 0 s
hs₂ : Absorbs ℝ s {x}
hx : x ∉ s

⊢ x ∉ 1 • s
-- Mathlib/Deprecated/Group.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : MulOneClass α
inst✝ : Group β
f : α → β
hf : IsMulHom f

⊢ f 1 * f 1 = f 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ f ↔ Differentiable 𝕜 f ∧ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => fderiv 𝕜 f y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ f univ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f univ ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fun y => fderivWithin 𝕜 f univ y) univ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/FractionalIdeal.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
x : K

⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(basisOfFractionalIdeal K I)) ↔ x ∈ ↑↑I
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/FractionalIdeal.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
x : K

⊢ x ∈ LinearMap.range (↑ℤ (↑↑I).subtype) ↔ x ∈ ↑↑I
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K

⊢ im 1 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : AEMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ

⊢ essSup g (Measure.map f μ) = essSup (g ∘ f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : AEMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ

⊢ essSup (AEMeasurable.mk g hg ∘ f) μ = essSup (g ∘ f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : AEMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ

⊢ AEMeasurable.mk g hg ∘ f =ᶠ[ae μ] g ∘ f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : AEMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
h_eq : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g (f x) = AEMeasurable.mk g hg (f x)

⊢ AEMeasurable.mk g hg ∘ f =ᶠ[ae μ] g ∘ f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : AEMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
h_eq : (fun x => g (f x)) =ᶠ[ae μ] fun x => AEMeasurable.mk g hg (f x)

⊢ AEMeasurable.mk g hg ∘ f =ᶠ[ae μ] g ∘ f