ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁸ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁷ : AddGroup ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : MeasurableSingletonClass ι
inst✝¹ : SecondCountableTopology ι
inst✝ : MeasurableSub₂ ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j}

⊢ MeasurableSet ({ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j})
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁸ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁷ : AddGroup ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : MeasurableSingletonClass ι
inst✝¹ : SecondCountableTopology ι
inst✝ : MeasurableSub₂ ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j}

⊢ MeasurableSet {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁸ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁷ : AddGroup ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : MeasurableSingletonClass ι
inst✝¹ : SecondCountableTopology ι
inst✝ : MeasurableSub₂ ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j}

⊢ Measurable fun x => min (τ x) j
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁸ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁷ : AddGroup ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : OrderTopology ι
inst✝² : MeasurableSingletonClass ι
inst✝¹ : SecondCountableTopology ι
inst✝ : MeasurableSub₂ ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω = π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j = min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j} ∩ {ω | π ω ≤ j}

⊢ Measurable fun x => min (π x) j
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G

⊢ a = b / c ↔ c * a = b
-- Mathlib/Tactic/ComputeDegree.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
f g : R[X]

⊢ (f + g).coeff n = f.coeff n + g.coeff n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ

⊢ (fun t => inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun t => ‖t‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P

⊢ (mapBilinear R M N M N).compr₂ (trace R (M ⊗[R] N)) = (lsmul R R).compl₁₂ (trace R M) (trace R N)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P

⊢ ((mapBilinear R M N M N).compr₂ (trace R (M ⊗[R] N))).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N) = ((lsmul R R).compl₁₂ (trace R M) (trace R N)).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : Module.Dual R M
m : M
g : Module.Dual R N
n : N

⊢ ((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (((mapBilinear R M N M N).compr₂ (trace R (M ⊗[R] N))).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N))) f) m)) g) n = ((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (((lsmul R R).compl₁₂ (trace R M) (trace R N)).compl₁₂ (dualTensorHom R M M) (dualTensorHom R N N))) f) m)) g) n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ✝ ν : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
μ : Measure α
f : α → β

⊢ AEMeasurable f (μ.restrict s) ↔ AEMeasurable (f ∘ Subtype.val) (Measure.comap Subtype.val μ)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeSup α
inst✝⁴ : OrderTop α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a✝ b✝ b a : α

⊢ (if h : a ≤ b then (filter (fun b => a ≤ b) {b}).sup' ⋯ fun x => x else ⊤) = if a ≤ b then b else ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.108266, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.108270, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.108274, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂

⊢ F.map f ≫ (fun X => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))) X₂ = (fun X => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X)))) X₁ ≫ (L ⋙ L.pointwiseLeftKanExtension F).map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.108266, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.108270, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.108274, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂

⊢ F.map f ≫ colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X₂) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₂))) = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X₂) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₁) ≫ L.map f))
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.108266, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.108270, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.108274, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂

⊢ F.map f ≫ colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X₂) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₂))) = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X₂) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (L.map f))
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.108266, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.108270, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.108274, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
φ : CostructuredArrow.mk (L.map f) ⟶ CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₂)) := CostructuredArrow.homMk f ⋯

⊢ F.map f ≫ colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X₂) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (𝟙 (L.obj X₂))) = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L (L.obj X₂) ⋙ F) (CostructuredArrow.mk (L.map f))
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
this : ∀ (t : Set β), IsOpen (s.restrict f ⁻¹' t) ↔ ∃ u, IsOpen u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s

⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (t : Set β), IsOpen t → ∃ u, IsOpen u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
this : ∀ (t : Set β), IsOpen (s.restrict f ⁻¹' t) ↔ ∃ u, IsOpen u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s

⊢ (∀ (s_1 : Set β), IsOpen s_1 → IsOpen (s.restrict f ⁻¹' s_1)) ↔ ∀ (t : Set β), IsOpen t → ∃ u, IsOpen u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
hs : s.Infinite
k : ℕ
this : Infinite ↑s

⊢ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ t.ncard = k
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
hs : s.Infinite
this : Infinite ↑s
t' : Finset ↑s

⊢ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ t.ncard = t'.card
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
hs : s.Infinite
this : Infinite ↑s
t' : Finset ↑s

⊢ (Subtype.val '' ↑t').ncard = t'.card
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
hs : s.Infinite
this : Infinite ↑s
t' : Finset ↑s

⊢ (↑t').ncard = t'.card
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m✝ n✝ k✝ : ℕ
p q : ℕ → Prop
n m k : ℕ
motive : (m : ℕ) → n ≤ m → Sort u_1
refl : motive n ⋯
le_succ_of_le : ⦃k : ℕ⦄ → (h : n ≤ k) → motive k h → motive (k + 1) ⋯
hnm : n ≤ m
hmk : m ≤ k

⊢ leRec refl le_succ_of_le ⋯ = leRec (leRec refl (fun x h => le_succ_of_le h) hnm) (fun x h => le_succ_of_le ⋯) hmk
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
L : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : EquivLike L E F
inst✝ : LinearEquivClass L 𝕜 E F
f : L
s : Set E
b : F

⊢ b ∈ ⇑f '' extremePoints 𝕜 s ↔ b ∈ extremePoints 𝕜 (⇑f '' s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
L : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : EquivLike L E F
inst✝ : LinearEquivClass L 𝕜 E F
f : L
s : Set E
a : E

⊢ f a ∈ ⇑f '' extremePoints 𝕜 s ↔ f a ∈ extremePoints 𝕜 (⇑f '' s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
L : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : EquivLike L E F
inst✝ : LinearEquivClass L 𝕜 E F
f : L
s : Set E
a : E
this : ∀ (x y : E), ⇑f '' openSegment 𝕜 x y = openSegment 𝕜 (f x) (f y)

⊢ f a ∈ ⇑f '' extremePoints 𝕜 s ↔ f a ∈ extremePoints 𝕜 (⇑f '' s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β

⊢ ∀ (x y : α), infEdist x s ≤ infEdist y s + 1 * edist x y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R

⊢ (map W' f).toJacobian.polynomialZ = (MvPolynomial.map f) W'.polynomialZ
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
f : α → β
h : f 0 = 0
d : n → α
i✝ j✝ : n

⊢ (diagonal d).map f i✝ j✝ = diagonal (fun m => f (d m)) i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
f : α → β
h : f 0 = 0
d : n → α
i✝ j✝ : n

⊢ f (if i✝ = j✝ then d i✝ else 0) = if i✝ = j✝ then f (d i✝) else 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ a * b < ℵ₀ ↔ a < ℵ₀ ∧ b < ℵ₀
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/ClosedImmersion.lean
X Y : Scheme
inst✝¹ : IsAffine X
inst✝ : IsAffine Y
f : X ⟶ Y
h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Γ.map f.op)

⊢ IsClosedImmersion f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/ClosedImmersion.lean
X Y : Scheme
inst✝¹ : IsAffine X
inst✝ : IsAffine Y
f : X ⟶ Y
h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Γ.map f.op)

⊢ IsClosedImmersion (Spec.map (Scheme.Γ.map f.op))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/ClosedImmersion.lean
X Y : Scheme
inst✝¹ : IsAffine X
inst✝ : IsAffine Y
f : X ⟶ Y
h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Γ.map f.op)

⊢ Function.Surjective ⇑(Scheme.Γ.map f.op)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : IsCyclotomicExtension {1} A B
x : B

⊢ x ∈ ⊥
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
head✝ : α
tail✝ : List α

⊢ [].isPerm (head✝ :: tail✝) = true ↔ [] ~ head✝ :: tail✝
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α

⊢ (a :: l₁).isPerm l₂ = true ↔ a :: l₁ ~ l₂
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α

⊢ ⊤ ≤ 𝓟 univ
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
hr : Transitive r

⊢ ReflTransGen r = ReflGen r
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y : C
g : Y ⟶ X
inst✝ : Mono g
f₂ : Subobject Y

⊢ ∀ (f₁ : Subobject Y), (map g).obj (f₁ ⊓ f₂) = (map g).obj f₁ ⊓ (map g).obj f₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y : C
g : Y ⟶ X
inst✝ : Mono g
f₂ : Subobject Y

⊢ ∀ (a : MonoOver Y), (map g).obj (Quotient.mk'' a ⊓ f₂) = (map g).obj (Quotient.mk'' a) ⊓ (map g).obj f₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y : C
g : Y ⟶ X
inst✝ : Mono g
f₂ : Subobject Y
f₁ : MonoOver Y

⊢ (map g).obj (Quotient.mk'' f₁ ⊓ f₂) = (map g).obj (Quotient.mk'' f₁) ⊓ (map g).obj f₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y : C
g : Y ⟶ X
inst✝ : Mono g
f₂ : Subobject Y
f₁ : MonoOver Y

⊢ (map (f₁.arrow ≫ g)).obj ((pullback f₁.arrow).obj f₂) = (map ((MonoOver.map g).obj f₁).arrow).obj ((pullback ((MonoOver.map g).obj f₁).arrow).obj ((map g).obj f₂))
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y : C
g : Y ⟶ X
inst✝ : Mono g
f₂ : Subobject Y
f₁ : MonoOver Y

⊢ (map (f₁.arrow ≫ g)).obj ((pullback f₁.arrow).obj f₂) = (map (f₁.arrow ≫ g)).obj ((pullback (f₁.arrow ≫ g)).obj ((map g).obj f₂))
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
n : ℕ
F : L.Functions n
x : Fin n → Σˣ f
i j : ι
hi : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))
hj : j ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))
k : ι
ik : i ≤ k
jk : j ≤ k

⊢ (f i k ik) (funMap F (unify f x i hi)) = (f j k jk) (funMap F (unify f x j hj))
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
x : L

⊢ φ.nilRank ≤ (charpoly (φ x)).natTrailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
x : L

⊢ (φ.polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff (charpoly (φ x)).natTrailingDegree ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
x : L
h : (MvPolynomial.eval ⇑((chooseBasis R L).repr x)) ((φ.polyCharpoly (chooseBasis R L)).coeff (charpoly (φ x)).natTrailingDegree) = (MvPolynomial.eval ⇑((chooseBasis R L).repr x)) 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
x : L
h : (charpoly (φ x)).coeff (charpoly (φ x)).natTrailingDegree = 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
x : L
h : (charpoly (φ x)).coeff (charpoly (φ x)).natTrailingDegree = 0

⊢ charpoly (φ x) ≠ 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source

⊢ (f.extend I).target ∈ 𝓝[range ↑I] ↑(f.extend I) y
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source

⊢ ↑(f.extend I) '' (f.extend I).source ∈ map (↑(f.extend I)) (𝓝 y)
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
h : IsAdjoinRootMonic S f
hirr : Irreducible f
q : R[X]
hq : f = minpoly R h.root * q

⊢ Associated f (minpoly R h.root)
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
h : IsAdjoinRootMonic S f
hirr : Irreducible f
q : R[X]
hq : f = minpoly R h.root * q

⊢ minpoly R h.root = minpoly R h.root * 1
-- Mathlib/Tactic/CongrExclamation.lean
x : Prop
p : x = x → Prop
h : ∀ (he : x ↔ x), p ⋯

⊢ p ⋯
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ

⊢ ∀ t ∈ Icc a b, dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (f t)) (v t (f t)) ≤ 0

⊢ ∀ t ∈ Icc a b, dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (f t)) (v t (f t)) ≤ 0
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (g t)) (v t (g t)) ≤ 0

⊢ ∀ t ∈ Icc a b, dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Ici t) t
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (v t (g t)) (Ici t) t
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : dist (f a) (g a) ≤ δ
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (f t)) (v t (f t)) ≤ 0
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (v t (g t)) (v t (g t)) ≤ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Icc a b

⊢ dist (f t) (g t) ≤ δ * rexp (↑K * (t - a))