ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l

⊢ ‖p.changeOriginSeriesTerm k l s hs‖ = ‖p (k + l)‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : NormOneClass A
φ : A →ₐ[𝕜] 𝕜
x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ≥ 0
h : ∀ (x : A), ‖φ.toContinuousLinearMap x‖ ≤ x✝¹ * ‖x‖

⊢ 1 ≤ x✝¹
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
s : Set α
t : Set β
hu : ↑u ⊆ image2 f s t

⊢ ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ u ⊆ image₂ f s' t'
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
s : Set α
t : Set β
hu : ∃ s', ↑s' ⊆ s ×ˢ t ∧ image (fun x => f x.1 x.2) s' = u

⊢ ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ u ⊆ image₂ f s' t'
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
s : Set α
t : Set β
u : Finset (α × β)
hu : ↑u ⊆ s ×ˢ t

⊢ ∃ s' t', ↑s' ⊆ s ∧ ↑t' ⊆ t ∧ image (fun x => f x.1 x.2) u ⊆ image₂ f s' t'
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝² : NonUnitalRing R
inst✝¹ : PartialOrder R
inst✝ : StarRing R
h_add : ∀ {x y : R}, x ≤ y → ∀ (z : R), z + x ≤ z + y
h_nonneg_iff : ∀ (x : R), 0 ≤ x ↔ x ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
x y : R
this : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ x ≤ y ↔ ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), y = x + p
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : s ∈ 𝓝 0

⊢ Tendsto (gauge s) (𝓝 0) (𝓝[≥] 0)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : s ∈ 𝓝 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, gauge s x ∈ Icc 0 ε
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
ε : ℝ
hs : ε • s ∈ 𝓝 0
hε : 0 < ε

⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 0, gauge s x ∈ Icc 0 ε
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
ε : ℝ
hs : ε • s ∈ 𝓝 0
hε : 0 < ε
x : E
hx : x ∈ ε • s

⊢ gauge s x ∈ Icc 0 ε
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : String
n : Nat

⊢ (s.drop n).data = List.drop n s.data
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x y : ℂ
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0

⊢ (x * y).arg = x.arg + y.arg ↔ x.arg + y.arg ∈ Ioc (-π) π
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M

⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ t) ∩ range ↑I = ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
M : T.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M

⊢ (φ ⇔ ∀'liftAt 1 n φ).Realize v xs
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀ : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero M₀
r : M₀

⊢ r ∉ nonZeroDivisorsRight M₀ ↔ {s | r * s = 0 ∧ s ≠ 0}.Nonempty
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R

⊢ A.det = ∑ j : Fin n.succ, (-1) ^ ↑j * A 0 j * (A.submatrix Fin.succ j.succAbove).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R

⊢ ∑ i : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i * Aᵀ i 0 * (Aᵀ.submatrix i.succAbove Fin.succ).det = ∑ j : Fin n.succ, (-1) ^ ↑j * A 0 j * (A.submatrix Fin.succ j.succAbove).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
x✝ : i ∈ univ

⊢ (-1) ^ ↑i * Aᵀ i 0 * (Aᵀ.submatrix i.succAbove Fin.succ).det = (-1) ^ ↑i * A 0 i * (A.submatrix Fin.succ i.succAbove).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
x✝ : i ∈ univ

⊢ (-1) ^ ↑i * Aᵀ i 0 * (Aᵀ.submatrix i.succAbove Fin.succ)ᵀ.det = (-1) ^ ↑i * A 0 i * (A.submatrix Fin.succ i.succAbove).det
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (bit false n).fastFibAux = let p := n.fastFibAux; (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (if false = true then ((binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 ^ 2 + (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 ^ 2, (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 * (2 * (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 + (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2)) else ((binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 * (2 * (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 - (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1), (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 ^ 2 + (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 ^ 2)) = let p := binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n; (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u s : Set α

⊢ sᶜ ∪ s = univ
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M'

⊢ (iso S f).symm m = LocalizedModule.mk ⋯.choose.1 ⋯.choose.2
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M'

⊢ (iso S f) ((iso S f).symm m) = (iso S f) (LocalizedModule.mk ⋯.choose.1 ⋯.choose.2)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M'

⊢ m = (iso S f) (LocalizedModule.mk ⋯.choose.1 ⋯.choose.2)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M'

⊢ m = fromLocalizedModule' S f (LocalizedModule.mk ⋯.choose.1 ⋯.choose.2)
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p

⊢ ((expand R p) f).roots = p • Multiset.map (⇑(frobeniusEquiv R p).symm) f.roots
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p

⊢ p • Multiset.map (⇑(frobeniusEquiv R p ^ 1).symm) f.roots = p • Multiset.map (⇑(frobeniusEquiv R p).symm) f.roots
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b x : α

⊢ x ∈ ↑(s ∆ t) ↔ x ∈ ↑s ∆ ↑t
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A

⊢ ℑ ∘ₗ (selfAdjoint.submodule ℝ A).subtype = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
x✝ : ℕ

⊢ x✝ ∈ Nat.cast ⁻¹' Ico a b ↔ x✝ ∈ Ico ⌈a⌉₊ ⌈b⌉₊
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
t : Set 𝕜
h : Dense t

⊢ range (deriv f) ⊆ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
t : Set 𝕜
h : Dense t

⊢ range (derivWithin f univ) ⊆ closure ↑(Submodule.span 𝕜 (f '' t))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
t : Set 𝕜
h : Dense t

⊢ univ ⊆ closure (univ ∩ t)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra ℂ A
inst✝¹ : StarModule ℂ A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A

⊢ IsSelfAdjoint a ↔ IsStarNormal a ∧ SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra ℂ A
inst✝¹ : StarModule ℂ A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
x : ℂ
hx : x ∈ σ ℂ a

⊢ (algebraMap ℝ ℂ) (Complex.reCLM x) = x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra ℂ A
inst✝¹ : StarModule ℂ A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A

⊢ IsStarNormal a ∧ SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM → IsSelfAdjoint a
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
b : β

⊢ nndist (f b) (g b) ≤ nndist f g
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
b : β

⊢ edist (f b) (g b) ≤ edist f g
-- Mathlib/Algebra/Order/EuclideanAbsoluteValue.lean
x y : ℤ

⊢ |x| < |y| ↔ x.natAbs < y.natAbs
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ Set.univ) ρ

⊢ ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ Set.univ, f x ∂ρ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ Set.univ) ρ

⊢ ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst = ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in Set.univ, f (b, ω) ∂ρ.condKernel b ∂ρ.fst
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a r : ℝ

⊢ volume (Metric.ball a r) = ofReal (2 * r)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Skyscraper.lean
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} C
inst✝ : HasTerminal C
A a b : C
f : a ⟶ b
U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V

⊢ (skyscraperPresheaf p₀ a).map i ≫ (fun U => if h : p₀ ∈ unop U then eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj U)) V = (fun U => if h : p₀ ∈ unop U then eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj U)) U ≫ (skyscraperPresheaf p₀ b).map i
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Skyscraper.lean
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} C
inst✝ : HasTerminal C
A a b : C
f : a ⟶ b
U V : (Opens ↑X)ᵒᵖ
i : U ⟶ V

⊢ ((if h : p₀ ∈ unop V then eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from (if p₀ ∈ unop U then a else ⊤_ C)) ≫ if h : p₀ ∈ unop V then eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj V)) = (if h : p₀ ∈ unop U then eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj U)) ≫ if h : p₀ ∈ unop V then eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from (if p₀ ∈ unop U then b else ⊤_ C)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
x : R

⊢ (C x).roots = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hg : Memℒp g p μ
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g

⊢ UnifTight ((fun x => g) + fun n => f n - g) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hg : Memℒp g p μ
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g

⊢ UnifTight (fun x => g) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : ℕ → α → β
g : α → β
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ℕ), Memℒp (f n) p μ
hg : Memℒp g p μ
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)
this : f = (fun x => g) + fun n => f n - g

⊢ UnifTight (fun n => f n - g) p μ
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
l : List α

⊢ (a :: l).sublists' = l.sublists' ++ map (cons a) l.sublists'
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

⊢ ‖inclusionInDoubleDual 𝕜 E‖ ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

⊢ ‖ContinuousLinearMap.id 𝕜 (Dual 𝕜 E)‖ ≤ 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
this : ∀ (a : ↥s) (b : V), (_root_.orthogonalProjection s.direction) b = 0 → (reflection s) ((reflection s) (b +ᵥ ↑a)) = b +ᵥ ↑a

⊢ (reflection s) ((reflection s) p) = p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
this : ∀ (a : ↥s) (b : V), (_root_.orthogonalProjection s.direction) b = 0 → (reflection s) ((reflection s) (b +ᵥ ↑a)) = b +ᵥ ↑a

⊢ (reflection s) ((reflection s) (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p) +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p))) = p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p) +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ

⊢ Odd (m * n) ↔ Odd m ∧ Odd n
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
j k : ι
inst✝ : K.HasHomology j
h : K.d (c.prev j) j = 0

⊢ IsIso (K.pOpcycles j)
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Ring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsAlgClosed E
x : L

⊢ (algebraMap K E) ((norm K) x) = ∏ σ : L →ₐ[K] E, σ x
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Ring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsAlgClosed E
x : L
hx : IsIntegral K x

⊢ (algebraMap K E) ((norm K) x) = ∏ σ : L →ₐ[K] E, σ x
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Ring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsAlgClosed E
x : L
hx : IsIntegral K x

⊢ (∏ σ : ↥K⟮x⟯ →ₐ[K] E, σ (adjoin.powerBasis hx).gen) ^ finrank (↥K⟮x⟯) L = ∏ σ : L →ₐ[K] E, σ x
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Ring S
inst✝¹⁰ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsAlgClosed E
x : L
hx : IsIntegral K x

⊢ IsSeparable K (adjoin.powerBasis hx).gen
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m

⊢ xz a1 (m - n) = xz a1 m * xz a1 n - ↑(Pell.d a1) * yz a1 m * yz a1 n
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m

⊢ xz a1 (m - n) = xz a1 m * xz a1 n + ↑(Pell.d a1) * yz a1 m * -yz a1 n
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ c
H : a ∣ b + c

⊢ a ∣ b
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.54457, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.54461, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''

⊢ mn + a = a''