ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝³ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
h : x' ∈ polar 𝕜 (closedBall 0 r)

⊢ x' ∈ closedBall 0 r⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝³ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
h : x' ∈ polar 𝕜 (closedBall 0 r)

⊢ ‖x'‖ ≤ r⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜✝ : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜✝
E✝ : Type u_2
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E✝
inst✝³ : NormedSpace 𝕜✝ E✝
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
hr : 0 < r
x' : Dual 𝕜 E
h : x' ∈ polar 𝕜 (closedBall 0 r)
z : E
x✝ : z ∈ ball 0 r

⊢ ‖x' z‖ ≤ r⁻¹ * ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K

⊢ (Summable fun n => ξ ^ n) ↔ ‖ξ‖ < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : Summable fun n => ξ ^ n

⊢ ‖ξ‖ < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : Summable fun n => ξ ^ n
k : ℕ
hk : dist (ξ ^ k) 0 < 1

⊢ ‖ξ‖ < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : Summable fun n => ξ ^ n
k : ℕ
hk : ‖ξ‖ ^ k < 1

⊢ ‖ξ‖ < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : Summable fun n => ξ ^ n
k : ℕ
hk : ‖ξ‖ ^ k < 1 ^ k

⊢ ‖ξ‖ < 1
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x : α
y : β

⊢ (x, y) ∈ s ×ˢ (t ∩ t') ↔ (x, y) ∈ s ×ˢ t ∩ s ×ˢ t'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g✝ : β → α
g : E → β
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
hfg : EqOn f g s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • g x + b • g y < g (a • x + b • y)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E

⊢ 𝓕 (𝓕⁻ f) = 𝓕⁻ (𝓕 f)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E

⊢ 𝓕 (𝓕⁻ f) = 𝓕 fun x => 𝓕 f (-x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
p : ℝ × ℝ
hp_fst : p.1 < 0

⊢ (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (log x.1 * x.2) * cos (x.2 * π)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
p : ℝ × ℝ
hp_fst : p.1 < 0

⊢ ∀ᶠ (x : ℝ × ℝ) in 𝓝 p, x.1 < 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E

⊢ HasFDerivWithinAt f f' (s \ {y}) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
-- Mathlib/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l : List α
hR : Symmetric R
hl : Pairwise R l

⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ l → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ l → a ≠ b → R a b
-- Mathlib/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l : List α
hR : Symmetric R
hl : Pairwise R l

⊢ Symmetric fun x y => x ≠ y → R x y
-- Mathlib/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l : List α
hR : Symmetric R
hl : Pairwise R l

⊢ ∀ (x : α), x ∈ l → x ≠ x → R x x
-- Mathlib/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l : List α
hR : Symmetric R
hl : Pairwise R l

⊢ Pairwise (fun x y => x ≠ y → R x y) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
r : ℝ
hf' : UniformCauchySeqOn f' l (Metric.ball x r)
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasDerivAt (f n) (f' n y) y
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)

⊢ UniformCauchySeqOn f l (Metric.ball x r)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
r : ℝ
hf' : UniformCauchySeqOn f' l (Metric.ball x r)
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n y)) y

⊢ UniformCauchySeqOn f l (Metric.ball x r)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
r : ℝ
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓟 (Metric.ball x r))
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n y)) y

⊢ UniformCauchySeqOn f l (Metric.ball x r)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
r : ℝ
hf'✝ : UniformCauchySeqOnFilter f' l (𝓟 (Metric.ball x r))
hfg : Cauchy (map (fun n => f n x) l)
hf : ∀ (n : ι), ∀ y ∈ Metric.ball x r, HasFDerivAt (f n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n y)) y
hf' : UniformCauchySeqOn (fun n z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)) l (Metric.ball x r)

⊢ UniformCauchySeqOn f l (Metric.ball x r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0

⊢ (r • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • ν.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0

⊢ μ.withDensity ((r • ν).rnDeriv μ) = μ.withDensity (r • ν.rnDeriv μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0

⊢ AEMeasurable ((r • ν).rnDeriv μ) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0

⊢ AEMeasurable (r • ν.rnDeriv μ) μ
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k

⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Subsingleton α

⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α

⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0

⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
h : a * b = c ^ 0

⊢ ∃ d, Associated (d ^ 0) a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0

⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc : c ∣ a * b

⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₁ * d₂

⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₁ * d₂

⊢ Associated (d₁ ^ k) a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₁ * d₂
h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0
a' : α
ha' : a = d₁ ^ k * a'

⊢ Associated (d₁ ^ k) a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : b * a = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₂ * d₁
h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0
a' : α
ha' : a = d₁ ^ k * a'

⊢ Associated (d₁ ^ k) a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd b a)
k : ℕ
h : b * a = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₂ * d₁
h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0
a' : α
ha' : a = d₁ ^ k * a'

⊢ Associated (d₁ ^ k) a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd b a)
k : ℕ
h : b * a = c ^ k
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₂ * d₁
h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0
a' : α
ha' : a = d₁ ^ k * a'
h0₂ : d₂ ^ k ≠ 0
b' : α
hb' : b = d₂ ^ k * b'

⊢ Associated (d₁ ^ k) a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd b a)
k : ℕ
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₂ * d₁
h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0
a' : α
ha' : a = d₁ ^ k * a'
h0₂ : d₂ ^ k ≠ 0
b' : α
h : d₂ ^ k * b' * (d₁ ^ k * a') = d₂ ^ k * d₁ ^ k
hb' : b = d₂ ^ k * b'

⊢ Associated (d₁ ^ k) a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd b a)
k : ℕ
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₂ * d₁
h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0
a' : α
ha' : a = d₁ ^ k * a'
h0₂ : d₂ ^ k ≠ 0
b' : α
h : d₂ ^ k * b' * (d₁ ^ k * a') = d₂ ^ k * d₁ ^ k
hb' : b = d₂ ^ k * b'
h' : a' * b' = 1

⊢ Associated (d₁ ^ k) a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c : α
hab : IsUnit (gcd b a)
k : ℕ
h✝ : Nontrivial α
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hk : k > 0
hc✝ : c ∣ a * b
d₁ d₂ : α
hd₁ : d₁ ∣ a
hd₂ : d₂ ∣ b
hc : c = d₂ * d₁
h0₁ : d₁ ^ k ≠ 0
a' : α
ha' : a = d₁ ^ k * a'
h0₂ : d₂ ^ k ≠ 0
b' : α
h : d₂ ^ k * b' * (d₁ ^ k * a') = d₂ ^ k * d₁ ^ k
hb' : b = d₂ ^ k * b'
h' : a' * b' = 1

⊢ d₁ ^ k * ↑(Units.mkOfMulEqOne a' b' h') = a
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
a a✝ : α

⊢ (toFinsupp {a}) a✝ = (Finsupp.single a 1) a✝
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E

⊢ infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : infEdist x s < ENNReal.ofReal δ

⊢ infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s

⊢ infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s

⊢ infEdist x (thickening δ s) ≤ infEdist x s - ENNReal.ofReal δ
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s

⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : ℝ≥0∞
h : edist x z < r

⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < ↑r

⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < ↑r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < ↑r
hr : 0 < ↑r - δ

⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < ↑r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ

⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < ↑r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y✝ z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
y : E
hxy : dist x y < ↑r - δ
hyz : dist y z < δ

⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < ↑r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y✝ z✝ : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
y : E
hxy : dist x y < ↑r - δ
hyz : dist y z < δ

⊢ ENNReal.ofReal (↑r - δ) + ENNReal.ofReal δ ≤ ↑r
-- Mathlib/Algebra/Homology/SingleHomology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A : C

⊢ (singleObjCyclesSelfIso c j A).hom ≫ (singleObjHomologySelfIso c j A).inv = ((single C c j).obj A).homologyπ j
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
h : id ≤ f
n : ℕ

⊢ id ≤ f^[n]
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hA : A.Nonempty
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hG : P.IsUniform G ε

⊢ ∑ i ∈ P.nonUniforms G ε, ↑i.1.card * ↑i.2.card < ε * (↑A.card + ↑P.parts.card) ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hA : A.Nonempty
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hG : P.IsUniform G ε

⊢ ∀ x ∈ P.nonUniforms G ε, ↑x.1.card * ↑x.2.card ≤ ↑(A.card / P.parts.card + 1) ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v s t : Finset α
hA : A.Nonempty
hε : 0 < ε
hP : P.IsEquipartition
hG : P.IsUniform G ε

⊢ ↑(P.parts.card * (P.parts.card - 1)) * ε * ↑(A.card / P.parts.card + 1) ^ 2 < ε * (↑A.card + ↑P.parts.card) ^ 2
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
s : Set ι
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : (i : ι) → α i

⊢ (∀ i ∈ univ, x✝ i ∈ if i ∈ s then t i else univ) ↔ ∀ i ∈ s, x✝ i ∈ t i
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
s : Set ι
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : (i : ι) → α i

⊢ ∀ (a : ι), (a ∈ univ → x✝ a ∈ if a ∈ s then t a else univ) ↔ a ∈ s → x✝ a ∈ t a
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : (s ∩ t).Finite

⊢ s.encard < t.encard ↔ (s \ t).encard < (t \ s).encard
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j

⊢ IsLimit (ShortComplex.π₁.mapCone (KernelFork.ofι (S.mapNatTrans (natTransHomologyι C c i)) ⋯))
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j

⊢ IsLimit (ShortComplex.π₂.mapCone (KernelFork.ofι (S.mapNatTrans (natTransHomologyι C c i)) ⋯))
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j

⊢ IsLimit (ShortComplex.π₃.mapCone (KernelFork.ofι (S.mapNatTrans (natTransHomologyι C c i)) ⋯))
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j

⊢ IsColimit (ShortComplex.π₁.mapCocone (CokernelCofork.ofπ (S.mapNatTrans (natTransHomologyπ C c j)) ⋯))
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j

⊢ IsColimit (ShortComplex.π₂.mapCocone (CokernelCofork.ofπ (S.mapNatTrans (natTransHomologyπ C c j)) ⋯))
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j

⊢ IsColimit (ShortComplex.π₃.mapCocone (CokernelCofork.ofπ (S.mapNatTrans (natTransHomologyπ C c j)) ⋯))
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j

⊢ ((opcyclesFunctor C c i).mapShortComplex.obj S).Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
this : Epi S.g

⊢ ((opcyclesFunctor C c i).mapShortComplex.obj S).Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j

⊢ ((cyclesFunctor C c j).mapShortComplex.obj S).Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
this : Mono S.f

⊢ ((cyclesFunctor C c j).mapShortComplex.obj S).Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j

⊢ Epi ((opcyclesFunctor C c i).mapShortComplex.obj S).g
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
this : Epi S.g

⊢ Epi ((opcyclesFunctor C c i).mapShortComplex.obj S).g
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j

⊢ Mono ((cyclesFunctor C c j).mapShortComplex.obj S).f
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.76393, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
this : Mono S.f

⊢ Mono ((cyclesFunctor C c j).mapShortComplex.obj S).f
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R

⊢ wittAdd p 0 = X (0, 0) + X (1, 0)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R

⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittAdd p 0) = (map (Int.castRingHom ℚ)) (X (0, 0) + X (1, 0))