ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ θ.toReal = 0 ↔ θ = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ θ.toReal = toReal 0 ↔ θ = 0
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
Xs Ys : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), M.closure (Xs i) = M.closure (Ys i)

⊢ M.closure (⋃ i, Xs i) = M.closure (⋃ i, Ys i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDense.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
hx : x ∈ closure (Set.range e)

⊢ Tendsto (fun N => ↑(nearestPt e N) x) atTop (𝓝 x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDense.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
hx : x ∈ closure (Set.range e)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε

⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ x_1 ∈ Set.Ici ia, ↑(nearestPt e x_1) x ∈ ball x ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDense.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
hx : x ∈ closure (Set.range e)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
N : ℕ
hN : edist x (e N) < ε

⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ x_1 ∈ Set.Ici ia, ↑(nearestPt e x_1) x ∈ ball x ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDense.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
hx : x ∈ closure (Set.range e)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
N : ℕ
hN : edist (e N) x < ε

⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ x_1 ∈ Set.Ici ia, ↑(nearestPt e x_1) x ∈ ball x ε
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Pochhammer.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : n ≠ 0

⊢ eval 0 (descPochhammer R n) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

⊢ μ (s ∆ t) = μ (s \ t) + μ (t \ s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι'
inst✝ : IsEmpty ι
b : Basis ι R M

⊢ b.det = AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty 1
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
h : ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a < b
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → α := fun n => Nat.recOn n ⋯.choose fun x a => ⋯.choose

⊢ s.Infinite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
h : ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a < b
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → α := fun n => Nat.recOn n ⋯.choose fun x a => ⋯.choose
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s

⊢ s.Infinite
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s : Set (Set A)

⊢ zeroLocus 𝒜 (⋃ s' ∈ s, s') = ⋂ s' ∈ s, zeroLocus 𝒜 s'
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p₁ p₂ : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
h₁ : HasFPowerSeriesAt f p₁ x
h₂ : HasFPowerSeriesAt f p₂ x

⊢ HasFPowerSeriesAt 0 (p₁ - p₂) ?m.1179749
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R

⊢ IsCoprime I J ↔ Codisjoint I J
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R

⊢ (∃ a b, a * I + b * J = 1) ↔ I ⊔ J = ⊤
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞

⊢ infEdist x s < r ↔ ∃ y ∈ s, edist x y < r
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x y : ℝ*
hx : x.Infinitesimal
hy : y.Infinitesimal

⊢ (x + y).Infinitesimal
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
e : K ≃ₐ[F] E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F K
x✝ : E

⊢ IsSeparable F x✝
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing F
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
e : K ≃ₐ[F] E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F K
x✝ : E

⊢ (minpoly F (e.symm x✝)).Separable
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U

⊢ ∃ δ > 0, cthickening δ K ⊆ U ∧ TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ✝ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hKδ : cthickening δ K ⊆ U

⊢ ∃ δ > 0, cthickening δ K ⊆ U ∧ TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l : List α
h : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l

⊢ l.prev (l.next x hx) ⋯ = x
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
n : ℕ
hn : n < l.length
hx : l.nthLe n hn ∈ l

⊢ l.prev (l.next (l.nthLe n hn) hx) ⋯ = l.nthLe n hn
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
n : ℕ
hn : n < l.length
hx : l.nthLe n hn ∈ l

⊢ l.nthLe ((n + 1 + (l.length - 1)) % l.length) ⋯ = l.nthLe n hn
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : CommSemiring S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
inst✝¹⁷ : Semiring A
inst✝¹⁶ : Algebra R A
inst✝¹⁵ : Algebra S A
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R S A
inst✝¹³ : Semiring B
inst✝¹² : Algebra R B
inst✝¹¹ : Algebra S B
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R S B
inst✝⁹ : Semiring C
inst✝⁸ : Algebra R C
inst✝⁷ : Algebra S C
inst✝⁶ : IsScalarTower R S C
inst✝⁵ : Semiring D
inst✝⁴ : Algebra R D
inst✝³ : Semiring E
inst✝² : Algebra R E
inst✝¹ : Semiring F
inst✝ : Algebra R F
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D

⊢ (map f g).range = (includeLeft.comp f).range ⊔ (includeRight.comp g).range
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : CommSemiring S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
inst✝¹⁷ : Semiring A
inst✝¹⁶ : Algebra R A
inst✝¹⁵ : Algebra S A
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R S A
inst✝¹³ : Semiring B
inst✝¹² : Algebra R B
inst✝¹¹ : Algebra S B
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R S B
inst✝⁹ : Semiring C
inst✝⁸ : Algebra R C
inst✝⁷ : Algebra S C
inst✝⁶ : IsScalarTower R S C
inst✝⁵ : Semiring D
inst✝⁴ : Algebra R D
inst✝³ : Semiring E
inst✝² : Algebra R E
inst✝¹ : Semiring F
inst✝ : Algebra R F
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D

⊢ (map f g).range ≤ (includeLeft.comp f).range ⊔ (includeRight.comp g).range
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : CommSemiring S
inst✝¹⁸ : Algebra R S
inst✝¹⁷ : Semiring A
inst✝¹⁶ : Algebra R A
inst✝¹⁵ : Algebra S A
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R S A
inst✝¹³ : Semiring B
inst✝¹² : Algebra R B
inst✝¹¹ : Algebra S B
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R S B
inst✝⁹ : Semiring C
inst✝⁸ : Algebra R C
inst✝⁷ : Algebra S C
inst✝⁶ : IsScalarTower R S C
inst✝⁵ : Semiring D
inst✝⁴ : Algebra R D
inst✝³ : Semiring E
inst✝² : Algebra R E
inst✝¹ : Semiring F
inst✝ : Algebra R F
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D

⊢ (includeLeft.comp f).range ⊔ (includeRight.comp g).range ≤ (map f g).range
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
n : ℕ

⊢ ⌊a - ↑n⌋ = ⌊a⌋ - ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean

⊢ volume {x | Liouville x} = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hf : S.f = 0
inst✝ : S.HasHomology

⊢ S.cycles ≅ S.homology
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hf : S.f = 0
inst✝ : S.HasHomology
this : IsIso S.homologyπ

⊢ S.cycles ≅ S.homology
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : Multiset α
s : Finset α

⊢ m.toFinset ⊆ s → m.prod = ∏ i ∈ s, i ^ Multiset.count i m
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : Multiset α
s : Finset α
l : List α

⊢ Multiset.toFinset (Quot.mk Setoid.r l) ⊆ s → Multiset.prod (Quot.mk Setoid.r l) = ∏ i ∈ s, i ^ Multiset.count i (Quot.mk Setoid.r l)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : Multiset α
s : Finset α
l : List α

⊢ (↑l).toFinset ⊆ s → l.prod = ∏ x ∈ s, x ^ List.count x l
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝ : NoMaxOrder α
a b x : α

⊢ Ioc a b ∈ 𝓝 x ↔ x ∈ Ioo a b
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/IsometricSMul.lean
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G X
inst✝³ : IsometricSMul G X
inst✝² : PseudoEMetricSpace G
inst✝¹ : IsometricSMul G G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b c : G

⊢ edist (a / b) (a / c) = edist b c
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S
x y : S

⊢ P.σ x • y = x * y
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
a x✝ y✝ : α
h : a ∈ s(x✝, y✝)

⊢ s(a, Mem.other' h) = s(x✝, y✝)
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
a x✝ y✝ : α
h : a ∈ s(x✝, y✝)
h' : a = x✝ ∨ a = y✝

⊢ s(a, Mem.other' h) = s(x✝, y✝)
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Lemmas.lean
K : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring K
q : ℚ≥0
z : ℤ
hq : ↑q.num ≠ 0

⊢ ↑(q ^ z) = ↑q ^ z
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Lemmas.lean
K : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring K
q : ℚ≥0
hq : ↑q.num ≠ 0
n : ℕ

⊢ ↑(q ^ ↑n) = ↑q ^ ↑n
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Lemmas.lean
K : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring K
q : ℚ≥0
hq : ↑q.num ≠ 0
n : ℕ

⊢ ↑(q ^ (-↑n)) = ↑q ^ (-↑n)
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I✝ X R J I E : Set α

⊢ uniqueBaseOn (I ∩ E) E = uniqueBaseOn I E
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I✝ X R J I E : Set α

⊢ ∀ I_1 ⊆ E, I_1 ⊆ I ∧ I_1 ⊆ E ↔ I_1 ⊆ I
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
o : Ordinal.{u_1}

⊢ ℵ₀ ≤ aleph' o ↔ ω ≤ o
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s : Set α
inst✝ : TopologicalSpace α

⊢ DiscreteTopology α ↔ ∀ (x : α), {x} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : f.Disjoint g

⊢ (f * g).cycleFactorsFinset = f.cycleFactorsFinset ∪ g.cycleFactorsFinset
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f g : Perm α
h : f.Disjoint g

⊢ (∀ f_1 ∈ f.cycleFactorsFinset ∪ g.cycleFactorsFinset, f_1.IsCycle) ∧ ∃ (h : (↑(f.cycleFactorsFinset ∪ g.cycleFactorsFinset)).Pairwise Disjoint), (f.cycleFactorsFinset ∪ g.cycleFactorsFinset).noncommProd id ⋯ = f * g
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
ifp_succ_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n

⊢ 1 ≤ ifp_succ_n.b
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)

⊢ 1 ≤ (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).b
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)

⊢ 1 ≤ ifp_n.fr⁻¹
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
stream_nth_fr_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹)

⊢ ifp_n.fr ≤ 1
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0

⊢ p.count (a * b).factors = p.count a.factors ∨ p.count (a * b).factors = p.count b.factors
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0

⊢ p.count a.factors + p.count b.factors = p.count a.factors ∨ p.count a.factors + p.count b.factors = p.count b.factors
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
ha0 : p.count a.factors = 0

⊢ p.count a.factors + p.count b.factors = p.count a.factors ∨ p.count a.factors + p.count b.factors = p.count b.factors
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hb0 : p.count b.factors = 0

⊢ p.count a.factors + p.count b.factors = p.count a.factors ∨ p.count a.factors + p.count b.factors = p.count b.factors
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
f : ℕ → ℕ
hf : Nat.Primrec f

⊢ Partrec ↑f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : MulActionWithZero 𝕜 E
x y : E

⊢ 1 • x + 0 • y = x
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s✝ t : Multiset α
a✝ : α
s : Multiset α
a : α
l : List α
this : l <+~ a :: l ∧ ¬l ~ a :: l

⊢ Quot.mk Setoid.r l < a ::ₘ Quot.mk Setoid.r l
-- Mathlib/ModelTheory/Complexity.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P✝ : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P✝
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
inst✝ : Nonempty M
P : {m : ℕ} → L.BoundedFormula α m → Prop
φ : L.BoundedFormula α n
hqf : ∀ {m : ℕ} {ψ : L.BoundedFormula α m}, ψ.IsQF → P ψ
hall : ∀ {m : ℕ} {ψ : L.BoundedFormula α (m + 1)}, P ψ → P (∀'ψ)
hex : ∀ {m : ℕ} {φ : L.BoundedFormula α (m + 1)}, P φ → P (∃'φ)
hse : ∀ {m : ℕ} {φ₁ φ₂ : L.BoundedFormula α m}, ∅.SemanticallyEquivalent φ₁ φ₂ → (P φ₁ ↔ P φ₂)

⊢ P φ
-- Mathlib/ModelTheory/Complexity.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P✝ : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P✝
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M
inst✝ : Nonempty M
P : {m : ℕ} → L.BoundedFormula α m → Prop
φ : L.BoundedFormula α n
hqf : ∀ {m : ℕ} {ψ : L.BoundedFormula α m}, ψ.IsQF → P ψ
hall : ∀ {m : ℕ} {ψ : L.BoundedFormula α (m + 1)}, P ψ → P (∀'ψ)
hex : ∀ {m : ℕ} {φ : L.BoundedFormula α (m + 1)}, P φ → P (∃'φ)
hse : ∀ {m : ℕ} {φ₁ φ₂ : L.BoundedFormula α m}, ∅.SemanticallyEquivalent φ₁ φ₂ → (P φ₁ ↔ P φ₂)

⊢ ∀ {m : ℕ} {φ : L.BoundedFormula α m}, φ.IsPrenex → P φ
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
this : -2 = ↑(-2)

⊢ legendreSym p (-2) = χ₈' ↑p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : WithBot ℕ
f : R[X]

⊢ f ∈ degreeLE R n ↔ f.degree ≤ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : WithBot ℕ
f : R[X]

⊢ (∀ (i : ℕ), ↑i > n → (lcoeff R i) f = 0) ↔ ∀ (m : ℕ), n < ↑m → f.coeff m = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)

⊢ ∫ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) - g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a = ∫ (x : β), F (∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) - ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x)) ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)

⊢ (fun x => F (∫ (y : γ), f (x, y) - g (x, y) ∂η (a, x))) =ᶠ[ae (κ a)] fun x => F (∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) - ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x))
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : β × γ → E
F : E → E'
hf : Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a)
hg : Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a)
a✝ : β
h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) (η (a, a✝))
h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) (η (a, a✝))

⊢ F (∫ (y : γ), f (a✝, y) - g (a✝, y) ∂η (a, a✝)) = F (∫ (y : γ), f (a✝, y) ∂η (a, a✝) - ∫ (y : γ), g (a✝, y) ∂η (a, a✝))
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Induced.lean
C : Type u_4
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_4} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
X : C

⊢ (zero F s i).inv.app (F.obj X) = F.map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X) ≫ (i 0).inv.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Induced.lean
C : Type u_4
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_4} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
X : C
h : whiskerLeft F (zero F s i).inv = (i 0 ≪≫ isoWhiskerRight (shiftFunctorZero C A) F ≪≫ F.leftUnitor ≪≫ F.rightUnitor.symm).inv

⊢ (zero F s i).inv.app (F.obj X) = F.map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X) ≫ (i 0).inv.app X
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
P : (H → H') → Set H → H → Prop
f : M → M'

⊢ LiftProp P f ↔ Continuous f ∧ ∀ (x : M), P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))

⊢ ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm f)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] ↑↑f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))

⊢ ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (lpTrimToLpMeasSubgroup F p μ hm f)) =ᶠ[ae μ] ↑↑f
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Action.lean
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s t : Set α

⊢ c • s ≤ᶠ[ae μ] c • t ↔ s ≤ᶠ[ae μ] t