ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
y : M
hy : y ∈ W
b₁ : (B x) y = 0

⊢ B.IsOrtho x y
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2

⊢ hζ.toInteger - 1 ∣ ↑↑↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2
this : NumberField K

⊢ hζ.toInteger - 1 ∣ ↑↑↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2
this : NumberField K
H : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ 0 - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ 0

⊢ hζ.toInteger - 1 ∣ ↑↑↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2
this : NumberField K
H : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p ^ 1

⊢ hζ.toInteger - 1 ∣ ↑↑↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2
this : NumberField K
H : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p ^ 1

⊢ ↑↑p ^ 1 ∣ ↑↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : ¬p ^ (k + 1) = 2
this : NumberField K
H : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p ^ 1

⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
h0 : p ∅
hU : q U
hμU : μ U ≠ ⊤
hε : ε ≠ 0

⊢ ∃ K ⊆ U, p K ∧ μ U < μ K + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
h0 : p ∅
hU : q U
hμU : μ U ≠ ⊤
hε : ε ≠ 0
h₀ : μ U = 0

⊢ ∃ K ⊆ U, p K ∧ μ U < μ K + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
h0 : p ∅
hU : q U
hμU : μ U ≠ ⊤
hε : ε ≠ 0
h₀ : μ U ≠ 0

⊢ ∃ K ⊆ U, p K ∧ μ U < μ K + ε
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j
c : R

⊢ (A.updateColumn i fun k => A k i + c • A k j).det = A.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j
c : R

⊢ (Aᵀ.updateRow i fun k => A k i + c • A k j).det = Aᵀ.det
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c : C
γ : c ⟶ c
hγ : γ ∈ S.arrows c c

⊢ 𝟙 c ∈ S.arrows c c
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c : C
γ : c ⟶ c
hγ : γ ∈ S.arrows c c

⊢ 𝟙 c = γ ≫ Groupoid.inv γ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
n : ℕ
x : ↑(Ioi 0)

⊢ (volumeIoiPow n) (Iio x) = ENNReal.ofReal (↑x ^ (n + 1) / (↑n + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
n : ℕ
x : ↑(Ioi 0)
hr₀ : 0 ≤ ↑x

⊢ (volumeIoiPow n) (Iio x) = ENNReal.ofReal (↑x ^ (n + 1) / (↑n + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
n : ℕ
x : ↑(Ioi 0)
hr₀ : 0 ≤ ↑x

⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in 0 ..↑x, x ^ n) = ENNReal.ofReal (↑x ^ (n + 1) / (↑n + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
n : ℕ
x : ↑(Ioi 0)
hr₀ : 0 ≤ ↑x

⊢ 0 ≤ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 ↑x))] fun x => x ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
h : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hp : p ≠ 2
ha0 : ↑a ≠ 0

⊢ legendreSym p a = (-1) ^ (filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
h : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha0 : ↑a ≠ 0
hp : Odd p

⊢ legendreSym p a = (-1) ^ (filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
h : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha0 : ↑a ≠ 0
hp : Odd p
this : ↑(legendreSym p a) = ↑((-1) ^ (filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card)

⊢ legendreSym p a = (-1) ^ (filter (fun x => p / 2 < (↑a * ↑x).val) (Ico 1 (p / 2).succ)).card
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D

⊢ e.unit.app (e.inverse.obj Y) = e.inverse.map (e.counitInv.app Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D

⊢ 𝟙 (e.inverse.obj Y) = 𝟙 (e.inverse.obj ((𝟭 D).obj Y))
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)

⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ a * b

⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a

⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
h3 : d₁ ^ k ∣ a

⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b c d₁ d₂ : α
ha : a ≠ 0
hab : IsUnit (gcd a b)
k : ℕ
h : a * b = c ^ k
hc : c = d₁ * d₂
hd₁ : d₁ ∣ a
h1 : IsUnit (gcd (d₁ ^ k) b)
h2 : d₁ ^ k ∣ b * a
h3 : d₁ ^ k ∣ a
h4 : d₁ ^ k ≠ 0

⊢ d₁ ^ k ≠ 0 ∧ d₁ ^ k ∣ a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/GroupRingAction.lean
M : Type u_1
inst✝⁶ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : MulSemiringAction M S
G : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulSemiringAction G S
g : G
f : S[X]
x : S

⊢ eval x (g • f) = g • eval (g⁻¹ • x) f
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
hf : Measurable f
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

⊢ ((κ.map f hf) a) s = (κ a) (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R

⊢ ⇑(monomial R 0) = ⇑(C R)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
x : ↑X
hx : x ∈ iSup U

⊢ ∃ U_1 f, (Sieve.generate (presieveOfCovering U)).arrows f ∧ x ∈ U_1
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
x : ↑X
hx : x ∈ iSup U
i : ι
hxi : x ∈ U i

⊢ ∃ U_1 f, (Sieve.generate (presieveOfCovering U)).arrows f ∧ x ∈ U_1
-- Mathlib/Algebra/Order/AbsoluteValue.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : OrderedRing S
abv : AbsoluteValue R S
a b : R

⊢ abv a ≤ abv (a - b) + abv b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (x, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
this : (fun p => p.1 ^ p.2) = toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (x, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
this : (fun p => p.1 ^ p.2) = toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)

⊢ ContinuousAt (toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)) (x, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
this : (fun p => p.1 ^ p.2) = toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (↑(x, y).1, (x, y).2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ≥0
y : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 0 < y
this : (fun p => p.1 ^ p.2) = toNNReal ∘ (fun p => p.1 ^ p.2) ∘ fun p => (↑p.1, p.2)

⊢ ContinuousAt (fun p => (↑p.1, p.2)) (x, y)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
n : ℕ
ha : 0 ≤ 0

⊢ ⌊0⌋₊ = 0
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot

⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atBot ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atBot ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atTop
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

⊢ s.toFinset ⊂ t.toFinset ↔ s ⊂ t
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

⊢ s ⊆ t ∧ ¬t ⊆ s ↔ s ⊂ t
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasLeftDual X
inst✝ : HasLeftDual Y
f : X ⟶ Y
g : ᘁX ⟶ Z

⊢ ((λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (ᘁX ◁ f) ▷ ᘁY ≫ (α_ (ᘁX) Y ᘁY).hom ≫ ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ ᘁX).hom) ≫ g = 𝟙 ᘁY ⊗≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ⊗≫ ᘁX ◁ f ▷ ᘁY ⊗≫ (ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ g ▷ 𝟙_ C) ⊗≫ 𝟙 Z
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasLeftDual X
inst✝ : HasLeftDual Y
f : X ⟶ Y
g : ᘁX ⟶ Z

⊢ 𝟙 ᘁY ⊗≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ⊗≫ ᘁX ◁ f ▷ ᘁY ⊗≫ (ᘁX ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ g ▷ 𝟙_ C) ⊗≫ 𝟙 Z = (λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (g ⊗ f) ▷ ᘁY ≫ (α_ Z Y ᘁY).hom ≫ Z ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ Z).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasLeftDual X
inst✝ : HasLeftDual Y
f : X ⟶ Y
g : ᘁX ⟶ Z

⊢ 𝟙 ᘁY ⊗≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ⊗≫ ᘁX ◁ f ▷ ᘁY ⊗≫ (g ▷ (Y ⊗ ᘁY) ≫ Z ◁ ε_ (ᘁY) Y) ⊗≫ 𝟙 Z = (λ_ ᘁY).inv ≫ η_ (ᘁX) X ▷ ᘁY ≫ (ᘁX ◁ f ≫ g ▷ Y) ▷ ᘁY ≫ (α_ Z Y ᘁY).hom ≫ Z ◁ ε_ (ᘁY) Y ≫ (ρ_ Z).hom
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
h : b ≤ a

⊢ a - b + c = a + c - b
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β

⊢ s.ncard = 1 ↔ ∃ a, s = {a}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s.ncard = 1

⊢ ∃ a, s = {a}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s.ncard = 1
hft : Fintype ↑s

⊢ ∃ a, s = {a}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hft : Fintype ↑s
h : ∃ a, s.toFinset = {a}

⊢ ∃ a, s = {a}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hft : Fintype ↑s
h : ∃ a, s.toFinset = {a}
a : α
ha : s.toFinset = {a}

⊢ s = {a}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hft : Fintype ↑s
h : ∃ a, s.toFinset = {a}
a : α
ha : s.toFinset = {a}

⊢ ∀ (x : α), x ∈ s ↔ x = a
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hft : Fintype ↑s
h : ∃ a, s.toFinset = {a}
a : α
ha : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ s ↔ a_1 = a

⊢ ∀ (x : α), x ∈ s ↔ x = a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
s : Set β

⊢ eLpNorm (fun x => κ.densityProcess ν n a x s) 1 (ν a) ≤ (ν a) univ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
x : γ

⊢ ‖κ.densityProcess ν n a x s‖ ≤ 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
s : Set β

⊢ (ν a) univ ^ (ENNReal.toReal 1)⁻¹ * ENNReal.ofReal 1 ≤ (ν a) univ
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
a : α
b : β
l : List (α × β)

⊢ ((a, b) :: l).unzip = (map Prod.fst ((a, b) :: l), map Prod.snd ((a, b) :: l))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/AdjointAction.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y z : L

⊢ (__spread✝⁻⁰.toFun ⁅x, y⁆) z = ⁅__spread✝⁻⁰.toFun x, __spread✝⁻⁰.toFun y⁆ z
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/AdjointAction.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y z : L

⊢ -⁅z, ⁅x, y⁆⁆ = -⁅-⁅z, y⁆, x⁆ - -⁅-⁅z, x⁆, y⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/AdjointAction.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y z : L

⊢ -(⁅⁅z, x⁆, y⁆ + -⁅⁅z, y⁆, x⁆) = - -⁅⁅z, y⁆, x⁆ - - -⁅⁅z, x⁆, y⁆
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
x✝¹ : Fintype { i // N i ≠ ⊥ } := hN.fintype
x✝ : Fintype ↑{i | N i ≠ ⊥} := hN.fintype

⊢ (trace R M) f = ∑ i ∈ hN.toFinset, (trace R ↥(N i)) (f.restrict ⋯)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
x✝¹ : Fintype { i // N i ≠ ⊥ } := hN.fintype
x✝ : Fintype ↑{i | N i ≠ ⊥} := hN.fintype

⊢ ∑ i : { i // N i ≠ ⊥ }, (trace R ↥(N ↑i)) (f.restrict ⋯) = ∑ i : { x // x ∈ hN.toFinset }, (trace R ↥(N ↑i)) (f.restrict ⋯)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
hN : {i | N i ≠ ⊥}.Finite
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
x✝¹ : Fintype { i // N i ≠ ⊥ } := hN.fintype
x✝ : Fintype ↑{i | N i ≠ ⊥} := hN.fintype

⊢ ∀ (i : { i // N i ≠ ⊥ }), MapsTo ⇑f ↑(N ↑i) ↑(N ↑i)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
z : ℍ

⊢ 0 < (-↑z)⁻¹.im
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : β → α
p : β → Prop

⊢ ⨆ i, f i = (⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) ⊔ ⨆ i, ⨆ (_ : ¬p i), f i
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
hs : s ∈ 𝔖
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β

⊢ UniformOnFun.gen 𝔖 s V ∈ 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
hs : s ∈ 𝔖
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β

⊢ UniformOnFun.gen 𝔖 s V ∈ ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ V ∈ 𝓤 β, 𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔖 s V)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : StrictOrderedSemiring R
a x y : R
n m : ℕ
h : 1 < a
hm : 1 < m

⊢ a < a ^ m
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E

⊢ Convex 𝕜 s ↔ s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x : E

⊢ (s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s) → ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
h : s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • x + b • y ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
h : s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hy : x ∈ s

⊢ a • x + b • x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
h : s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → a • x + b • y ∈ s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hxy : x ≠ y

⊢ a • x + b • y ∈ s
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
hb : Sum.inl b ∈ f a

⊢ b ∈ f.fix a
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
b : β
a : α
hb : Sum.inl b ∈ f a

⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : ↑(map f I) = ⇑f '' ↑I

⊢ comap f (map f I) = I ⊔ f.ker
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ Summable (f_int k a t)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ Summable fun a_1 => ‖f_int k a t a_1‖
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
k : ℕ
a t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ ∀ (n : ℤ), ‖f_int k a t n‖ = ‖(fun t_1 => Int.rec (f_nat k a t) (f_nat k (1 - a) t) t_1) n‖
-- Mathlib/CategoryTheory/SmallObject/Iteration.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.7462, u_1} C
Φ : C ⥤ C
ε : 𝟭 C ⟶ Φ
J : Type u
inst✝² : LinearOrder J
inst✝¹ : IsWellOrder J fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderBot J
j : J
F : { i // i ≤ j } ⥤ C
i : J
hi : i ≤ j
k₁ k₂ : { k // k < i }
φ : k₁ ⟶ k₂

⊢ ⋯.functor.obj k₁ ≤ ⋯.functor.obj k₂
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
n : ℕ

⊢ 0 < powHalf n
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
n : ℕ

⊢ ∃ i, 0 ≤ (powHalf n).moveLeft i
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α✝ : Sort u
β✝ : α✝ → Sort v
α' : Sort w
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α✝) → β✝ a
a✝ : α✝
b : β✝ a✝
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Sort u_1
a : α
v w : β a
f : (a : α) → β a

⊢ update (update f a v) a w = update f a w
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α✝ : Sort u
β✝ : α✝ → Sort v
α' : Sort w
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α✝) → β✝ a
a✝ : α✝
b✝ : β✝ a✝
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Sort u_1
a : α
v w : β a
f : (a : α) → β a
b : α

⊢ update (update f a v) a w b = update f a w b
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Whiskering.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} A
B : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
F✝ G H : A ⥤ B
η : F✝ ⟶ G
γ : G ⟶ H
inst✝⁴ : J.HasSheafCompose F✝
inst✝³ : J.HasSheafCompose G
inst✝² : J.HasSheafCompose H
inst✝¹ : ConcreteCategory A
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget A)
F : Sheaf J A
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J.sieves X
x y : (forget A).obj (F.val.obj (Opposite.op X))
h : ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ X), S.arrows f → (F.val.map f.op) x = (F.val.map f.op) y

⊢ x = y
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hx : ‖x‖ < r

⊢ Absorbent 𝕜 (Metric.ball x r)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hx : ‖x‖ < r

⊢ Absorbent 𝕜 ((normSeminorm 𝕜 E).ball x r)
-- Mathlib/Topology/Order/NhdsSet.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a < b

⊢ 𝓝ˢ (Ioc a b) = 𝓝 b ⊔ 𝓟 (Ioo a b)