ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u v : E
hvm : v ∈ K
hvo : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0
hvs : orthogonalProjectionFn K u - v ∈ K
huo : ⟪u - orthogonalProjectionFn K u, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0

⊢ ⟪orthogonalProjectionFn K u - v, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u v : E
hvm : v ∈ K
hvo : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0
hvs : orthogonalProjectionFn K u - v ∈ K
huo : ⟪u - orthogonalProjectionFn K u, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
huv : ⟪u - v, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0

⊢ ⟪orthogonalProjectionFn K u - v, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u v : E
hvm : v ∈ K
hvo : ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w⟫_𝕜 = 0
hvs : orthogonalProjectionFn K u - v ∈ K
huo : ⟪u - orthogonalProjectionFn K u, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
huv : ⟪u - v, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
houv : ⟪u - v - (u - orthogonalProjectionFn K u), orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0

⊢ ⟪orthogonalProjectionFn K u - v, orthogonalProjectionFn K u - v⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C

⊢ F.εIso.inv.app ((F.obj n).obj X) = (F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C

⊢ 𝟙 ((F.obj (𝟙_ M)).obj ((F.obj n).obj X)) = ((F.μ n (𝟙_ M)).app X ≫ (F.map (ρ_ n).hom).app X) ≫ F.ε.app ((F.obj n).obj X)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : a < b

⊢ (interior (Ico a b)).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
a b : ℝ
hab : ¬a < b

⊢ UniqueDiffOn ℝ (Ico a b)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t

⊢ 0 • x ∈ span R (s • t)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t

⊢ 0 ∈ span R (s • t)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t
c₁ c₂ : S
ih₁ : c₁ • x ∈ span R (s • t)
ih₂ : c₂ • x ∈ span R (s • t)

⊢ (c₁ + c₂) • x ∈ span R (s • t)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t
c₁ c₂ : S
ih₁ : c₁ • x ∈ span R (s • t)
ih₂ : c₂ • x ∈ span R (s • t)

⊢ c₁ • x + c₂ • x ∈ span R (s • t)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t
b : R
c : S
hc : c • x ∈ span R (s • t)

⊢ (b • c) • x ∈ span R (s • t)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
t : Set A
k : S
hks : k ∈ span R s
x : A
hx : x ∈ t
b : R
c : S
hc : c • x ∈ span R (s • t)

⊢ b • c • x ∈ span R (s • t)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E

⊢ ‖x⋆‖ * ‖x‖ ≤ ‖x‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/GelfandDuality.lean
A : Type u_1
inst✝³ : NormedCommRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
I : Ideal A
inst✝ : I.IsMaximal
a : A
ha : ¬IsUnit a

⊢ ∃ f, f a = 0
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/GelfandDuality.lean
A : Type u_1
inst✝³ : NormedCommRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
I : Ideal A
inst✝ : I.IsMaximal
a : A
ha : ¬IsUnit a
M : Ideal A
hM : M.IsMaximal
haM : span {a} ≤ M

⊢ ∃ f, f a = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f

⊢ (inv f).unop = inv f.unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f

⊢ f.unop ≫ (inv f).unop = 𝟙 (unop Y)
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β ⊕ γ
g : α → β → σ
h : α → γ → σ
hf : Computable f
hg : Computable₂ g
hh : Computable₂ h
a : α

⊢ (bif (encode (f a)).bodd then Option.map (h a) (decode (encode (f a)).div2) else Option.map (g a) (decode (encode (f a)).div2)) = Option.some (Sum.casesOn (f a) (g a) (h a))
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α

⊢ fract (a + b) ≤ fract a + fract b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

⊢ ℝ≥0∞ ≃o ↑(Iic 1)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
hxy : x < y

⊢ (fun x => ⟨(x⁻¹ + 1)⁻¹, ⋯⟩) x < (fun x => ⟨(x⁻¹ + 1)⁻¹, ⋯⟩) y
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ↑(Iic 1)

⊢ ↑((fun x => ⟨(x⁻¹ + 1)⁻¹, ⋯⟩) ((fun x => ((↑x)⁻¹ - 1)⁻¹) x)) = ↑x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : PartialHomeomorph α β
b : β
hb : b ∈ e.target
f : β → E
g : β → F

⊢ f =O[𝓝 b] g ↔ (f ∘ ↑e) =O[𝓝 (↑e.symm b)] (g ∘ ↑e)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : PartialHomeomorph α β
b : β
hb : b ∈ e.target
f : β → E
g : β → F

⊢ (∃ c, IsBigOWith c (𝓝 b) f g) ↔ ∃ c, IsBigOWith c (𝓝 (↑e.symm b)) (f ∘ ↑e) (g ∘ ↑e)
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
h : (condCount s) t = 1

⊢ s ⊆ t
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
h : (condCount s) t = 1
hsf : s.Finite

⊢ s ⊆ t
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
h : Measure.count (s ∩ t) * (Measure.count s)⁻¹ = 1
hsf : s.Finite

⊢ s ⊆ t
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hsf : s.Finite
h : Measure.count (s ∩ t) = (Measure.count s)⁻¹⁻¹

⊢ s ⊆ t
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hsf : s.Finite
h : ⋯.toFinset.card = hsf.toFinset.card

⊢ s ⊆ t
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hsf : s.Finite
h : ⋯.toFinset.card = hsf.toFinset.card

⊢ s ∩ t = s
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hsf : s.Finite
h : ⋯.toFinset.card = hsf.toFinset.card

⊢ ⋯.toFinset = hsf.toFinset
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S
r : ℝ

⊢ ‖x‖ < r ↔ ∃ m, ↑m = x ∧ ‖m‖ < r
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S
r : ℝ

⊢ (∃ x_1 ∈ {m | (mk' S) m = x}, ‖x_1‖ < r) ↔ ∃ m, ↑m = x ∧ ‖m‖ < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
t : Set β

⊢ (μ.prod ν) (s ×ˢ t) = μ s * ν t
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
t : Set β

⊢ (μ.prod ν) (s ×ˢ t) ≤ μ s * ν t
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
t : Set β

⊢ μ s * ν t ≤ (μ.prod ν) (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
f : ι → α
g : ι → β
s : Set ι
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

⊢ (∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ Set.univ → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ Set.univ → 0 ≤ (f j - f i) • (g j - g i)) ↔ ∀ (i j : ι), 0 ≤ (f j - f i) • (g j - g i)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p✝ p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hne : padicNorm p q ≠ padicNorm p r
hlt : padicNorm p r < padicNorm p q

⊢ padicNorm p (q + r) = max (padicNorm p q) (padicNorm p r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p✝ p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hne : padicNorm p q ≠ padicNorm p r
hlt : padicNorm p r < padicNorm p q
this : padicNorm p q ≤ max (padicNorm p (q + r)) (padicNorm p r)

⊢ padicNorm p (q + r) = max (padicNorm p q) (padicNorm p r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p✝ p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hne : padicNorm p q ≠ padicNorm p r
hlt : padicNorm p r < padicNorm p q
this : padicNorm p q ≤ max (padicNorm p (q + r)) (padicNorm p r)
hnge : padicNorm p r ≤ padicNorm p (q + r)

⊢ padicNorm p (q + r) = max (padicNorm p q) (padicNorm p r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p✝ p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hne : padicNorm p q ≠ padicNorm p r
hlt : padicNorm p r < padicNorm p q
this✝ : padicNorm p q ≤ max (padicNorm p (q + r)) (padicNorm p r)
hnge : padicNorm p r ≤ padicNorm p (q + r)
this : padicNorm p q ≤ padicNorm p (q + r)

⊢ padicNorm p (q + r) = max (padicNorm p q) (padicNorm p r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p✝ p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hne : padicNorm p q ≠ padicNorm p r
hlt : padicNorm p r < padicNorm p q
this✝ : padicNorm p q ≤ max (padicNorm p (q + r)) (padicNorm p r)
hnge : padicNorm p r ≤ padicNorm p (q + r)
this : padicNorm p q ≤ padicNorm p (q + r)

⊢ padicNorm p (q + r) ≤ max (padicNorm p q) (padicNorm p r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p✝ p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hne : padicNorm p q ≠ padicNorm p r
hlt : padicNorm p r < padicNorm p q
this✝ : padicNorm p q ≤ max (padicNorm p (q + r)) (padicNorm p r)
hnge : padicNorm p r ≤ padicNorm p (q + r)
this : padicNorm p q ≤ padicNorm p (q + r)

⊢ max (padicNorm p q) (padicNorm p r) ≤ padicNorm p (q + r)
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : PartialOrder α
x y : α

⊢ x ≤ y → y = x ↔ ¬x < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean

⊢ π / 4 ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n : ℤ

⊢ (m * n).bodd = (m.bodd && n.bodd)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
n : ℕ

⊢ eval x ↑n = ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
hd : d ∈ χ.conductorSet

⊢ χ.conductor ≤ (Classical.choose ⋯).conductor
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
hd : d ∈ χ.conductorSet

⊢ χ = (changeLevel ⋯) ⋯.choose
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
d : ℕ
hd : d ∈ χ.conductorSet

⊢ χ = (changeLevel ⋯) (Classical.choose ⋯)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x y : ℝ
h : tan x = y
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)

⊢ tan (arctan y) = tan x
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : a - c < b

⊢ a < b + c
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : a - c < b

⊢ a - c ≤ b ∧ a ≠ b + c
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
ι' : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
b : Basis ι R M
v : ι' → M
e : ι ≃ ι'

⊢ (b.reindex e).det v = b.det (v ∘ ⇑e)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x : α
k : ℕ

⊢ (f.cycleOf x) ((f ^ k) x) = (f ^ (k + 1)) x
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 < asympBound g a b n
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : α → PMF β
g : β → PMF γ
p : PMF α
q : PMF β
f : α → β → PMF γ
b : γ

⊢ (p.bind fun a => q.bind (f a)) b = (q.bind fun b => p.bind fun a => f a b) b
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n ≠ 0

⊢ Injective fun a => a ^ n
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
h : P n

⊢ find P ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
n : ℕ
h : P n

⊢ ∃ (h : (find P).Dom), (find P).get h ≤ n
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
g : β → γ
b : β
s : Set β
inst✝ : Decidable (b ∈ s)
hb : b ∈ s

⊢ (fun x => b) ⁻¹' s = univ
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
g : β → γ
b : β
s : Set β
inst✝ : Decidable (b ∈ s)
hb : b ∉ s

⊢ (fun x => b) ⁻¹' s = ∅
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x : R
this : TopologicalSpace R := I.adicTopology

⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun _n => True) fun n => (fun y => x + y) '' ↑(I ^ n)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x : R
this✝ : TopologicalSpace R := I.adicTopology
this : (Filter.map (fun y => x + y) (𝓝 0)).HasBasis (fun _n => True) fun i => (fun y => x + y) '' ↑(I ^ i)

⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun _n => True) fun n => (fun y => x + y) '' ↑(I ^ n)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a / 2 < a - b

⊢ b ≤ a / 2
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a / 2 < a - b

⊢ b * 2 ≤ a
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a + b * 2 < a + a

⊢ b * 2 ≤ a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t

⊢ ∑ i ∈ s, (interpolate (insert i (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v i = (interpolate t v) r
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t

⊢ (s.sup fun b => ((interpolate (insert b (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v b).degree) < ↑t.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i✝ j : ι
v r r' : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t

⊢ eval (v i) (∑ i ∈ s, (interpolate (insert i (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v i) = r i
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a✝ b✝ c p q a b : ℚ
na : ℤ
da : ℕ
ha : da ≠ 0
hared : na.natAbs.Coprime da
nb : ℤ
db : ℕ
hb : db ≠ 0
hbred : nb.natAbs.Coprime db

⊢ (if (decide ({ num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.num < 0) && decide (0 ≤ { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.num)) = true then true else if { num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.num = 0 then decide (0 < { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.num) else if (decide (0 < { num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.num) && decide ({ num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.num ≤ 0)) = true then false else decide ({ num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.num * ↑{ num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.den < { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }.num * ↑{ num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred }.den)) = false ↔ 0 ≤ { num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred } - { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a✝ b✝ c p q a b : ℚ
na : ℤ
da : ℕ
ha : da ≠ 0
hared : na.natAbs.Coprime da
nb : ℤ
db : ℕ
hb : db ≠ 0
hbred : nb.natAbs.Coprime db

⊢ (if nb < 0 ∧ 0 ≤ na then False else if nb = 0 then na ≤ 0 else (0 < nb → 0 < na) → na * ↑db ≤ nb * ↑da) ↔ 0 ≤ ({ num := nb, den := db, den_nz := hb, reduced := hbred } - { num := na, den := da, den_nz := ha, reduced := hared }).num
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α
h : a ^ 2 < b ^ 2
hb : 0 ≤ b

⊢ |a| < b
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : (a : α) → β a → Type u_3
inst✝ : (x : α) → (y : β x) → OmegaCompletePartialOrder (γ x y)
c : Chain ((x : (a : α) × β a) → γ x.fst x.snd)
x : α
y : β x

⊢ ωSup (c.map (evalOrderHom ⟨x, y⟩)) = ωSup (((c.map (monotoneCurry α β γ)).map (evalOrderHom x)).map (evalOrderHom y))
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
γ : (a : α) → β a → Type u_3
inst✝ : (x : α) → (y : β x) → OmegaCompletePartialOrder (γ x y)
c : Chain ((x : (a : α) × β a) → γ x.fst x.snd)
x : α
y : β x

⊢ ωSup (c.map (evalOrderHom ⟨x, y⟩)) = ωSup (c.map (((evalOrderHom y).comp (evalOrderHom x)).comp (monotoneCurry α β γ)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x✝ c : ℂ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r ≠ -1

⊢ HasDerivAt (fun y => ↑y ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x✝ c : ℂ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0

⊢ HasDerivAt (fun y => ↑y ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x✝ c : ℂ
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hx : 0 < x

⊢ HasDerivAt (fun y => ↑y ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x✝ c : ℂ
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hx : 0 > x

⊢ HasDerivAt (fun y => ↑y ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s✝ t : Set α
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
μ : Measure α
s : Set β

⊢ IntegrableOn f s (Measure.map e μ) ↔ IntegrableOn (f ∘ e) (e ⁻¹' s) μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Subalgebra.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝¹ : Module.Free R ↥A
inst✝ : Module.Free R ↥B
a✝ : Nontrivial R

⊢ Module.rank R ↥(A ⊔ B) ≤ Module.rank R ↥A * Module.rank R ↥B
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Subalgebra.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
A B : Subalgebra R S
inst✝¹ : Module.Free R ↥A
inst✝ : Module.Free R ↥B
a✝ : Nontrivial R

⊢ Module.rank R ↥(A.mulMap B).range ≤ Module.rank R (↥A ⊗[R] ↥B)
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
h : l₁.length = l₂.length

⊢ (l₁.zip l₂).unzip = (l₁, l₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Category.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ G H I : C ⥤ D
X Y : C
e : X ≅ Y
F : C ⥤ D ⥤ E
Z : D

⊢ (F.map e.hom).app Z ≫ (F.map e.inv).app Z = 𝟙 ((F.obj X).obj Z)
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α

⊢ a ≤ bᶜ ↔ Disjoint a b
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s

⊢ (insert a s).pi t = (t a).biUnion fun b => image (Pi.cons s a b) (s.pi t)
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s

⊢ ((insert a s).pi t).val = ((t a).biUnion fun b => image (Pi.cons s a b) (s.pi t)).val
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s

⊢ ((insert a s).pi t).val.dedup = ((t a).biUnion fun b => image (Pi.cons s a b) (s.pi t)).val