ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/Field.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : DivisionRing K
inst✝⁶ : TopologicalSpace K
α : Type u_2
𝕜 : Type u_3
f g : α → 𝕜
S : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : T1Space 𝕜
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : HasContinuousInv₀ 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜
hS : IsPreconnected S
hf : ContinuousOn f S
hg : ContinuousOn g S
hsq : EqOn (f ^ 2) (g ^ 2) S
hg_ne : ∀ {x : α}, x ∈ S → g x ≠ 0
y : α
hy : y ∈ S
hy' : f y = g y
x : α
hx : x ∈ S
h : EqOn f (-g) S

⊢ f x = g x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
x✝ : z ∈ openSegment 𝕜 x y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hz : a • x + b • y = z

⊢ (fun θ => (a + b - θ) • x + θ • y) b = a • x + b • y
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S

⊢ f.mk' (↑y * x) y = f.toMap x
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : SemilatticeSup δ
g : γ → δ
a : δ
h : (image₂ f s t).Nonempty

⊢ (image₂ f s t).sup' h g ≤ a ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, g (f x y) ≤ a
-- Mathlib/LinearAlgebra/AnnihilatingPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a : A

⊢ annIdealGenerator 𝕜 a = 0 ↔ annIdeal 𝕜 a = ⊥
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
x y : α
s t : Stream' α
h : x :: s = y :: t

⊢ x = y
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
x y : α
s t : Stream' α
h : x :: s = y :: t
n : ℕ

⊢ s.get n = t.get n
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
μ ν : Measure α✝
α : Sort u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
m : ℕ
a : α
c : ℝ≥0∞ := ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
hc : c = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
d : ℝ≥0∞ := f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
hd : d = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a

⊢ c = d
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
μ ν : Measure α✝
α : Sort u_3
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
m : ℕ
a : α
c : ℝ≥0∞ := ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
hc : c = ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
d : ℝ≥0∞ := f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a
hd : d = f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a

⊢ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a ≤ f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a ∧ f m.succ a ⊔ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m), f k a ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : k ≤ m + 1), f k a
-- Mathlib/Data/Fintype/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α

⊢ (permsOfList (a :: l)).length = (a :: l).length !
-- Mathlib/Data/Fintype/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α

⊢ (permsOfList (a :: l)).length = (l.length + 1) * l.length !
-- Mathlib/Data/Fintype/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α

⊢ l.length ! + l.length * l.length ! = l.length * l.length ! + l.length !
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationRing.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : ValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q

⊢ Associated p q
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationRing.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : ValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
this : p ∣ q ∨ q ∣ p

⊢ Associated p q
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationRing.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : ValuationRing R
p q : R
hp : Irreducible p
hq : Irreducible q
this : q ∣ p

⊢ Associated p q
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ ↑(cos x + cos y) = ↑(2 * cos ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
r : ℝ
hr : r < 0

⊢ angle (r • x) y = angle (-x) y
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : J₁ ≤ J₂

⊢ comap f J₁ ≤ comap f J₂
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : ↑J₁ ⊆ ↑J₂

⊢ ↑(comap f J₁) ⊆ ↑(comap f J₂)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'
h : ↑J₁ ⊆ ↑J₂

⊢ (↑(comap f J₁)).carrier ⊆ (↑(comap f J₂)).carrier
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k✝ k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hk : k✝ ∈ (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).support

⊢ IsUnit ((trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).coeff k✝)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k✝ k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hk : k✝ ∈ (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).support
this : k✝ ∈ {k, m, n}

⊢ IsUnit ((trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).coeff k✝)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k✝ k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hk : k✝ ∈ (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).support
this : k✝ = k ∨ k✝ = m ∨ k✝ = n

⊢ IsUnit ((trinomial k m n ↑u ↑v ↑w).coeff k✝)
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s t : Set α

⊢ IsOpen s → IsOpen t → s ∪ t = univ → s.Nonempty → t.Nonempty → (s ∩ t).Nonempty
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)

⊢ Injective ⇑(mfderiv 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) Subtype.val v)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)

⊢ Injective ⇑(fderivWithin ℝ (writtenInExtChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) v Subtype.val) (Set.range ↑𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n))) (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) v) v))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)

⊢ Injective ⇑(fderiv ℝ (Subtype.val ∘ ↑(ChartedSpace.chartAt v).symm) (↑(ChartedSpace.chartAt v) v))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr

⊢ Injective ⇑(fderiv ℝ (Subtype.val ∘ ↑(ChartedSpace.chartAt v).symm) (↑(ChartedSpace.chartAt v) v))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr

⊢ Injective ⇑(fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)

⊢ Injective ⇑(fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this✝ : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
this : ⇑(fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0) = ⇑((Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL.comp ↑U.symm.toContinuousLinearEquiv)

⊢ Injective ⇑(fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this✝ : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
this : ⇑(fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0) = ⇑((Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL.comp ↑U.symm.toContinuousLinearEquiv)

⊢ Injective ⇑((Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL.comp ↑U.symm.toContinuousLinearEquiv)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
U : ↥(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ ≃ₗᵢ[ℝ] EuclideanSpace ℝ (Fin n) := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr
this✝ : HasFDerivAt (stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL (U.symm 0)
this : ⇑(fderiv ℝ ((stereoInvFunAux (-↑v) ∘ Subtype.val) ∘ ⇑U.symm) 0) = ⇑((Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL.comp ↑U.symm.toContinuousLinearEquiv)

⊢ Injective (⇑(Submodule.span ℝ {↑(-v)})ᗮ.subtypeL ∘ ⇑U.symm.toContinuousLinearEquiv)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
s : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, Integrable f (μ i)

⊢ ∫ (a : α), f a ∂∑ i ∈ s, μ i = ∑ i ∈ s, ∫ (a : α), f a ∂μ i
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a✝ b a : α
s t : Multiset α
h : t ≤ s

⊢ a ::ₘ s - t = a ::ₘ (s - t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Action.lean
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MulAction G α
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSMul G α
c : G
μ : Measure α
inst✝⁴ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : ContinuousConstSMul G α
inst✝¹ : MulAction.IsMinimal G α
K U : Set α
inst✝ : μ.Regular
hμ : μ ≠ 0
hU : IsOpen U

⊢ μ U = 0 ↔ U = ∅
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple

⊢ cs1.mulEquiv = cs2.mulEquiv
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple

⊢ cs1.mulEquiv.toMonoidHom = cs2.mulEquiv.toMonoidHom
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs cs1 cs2 : CoxeterSystem M W
h : cs1.simple = cs2.simple

⊢ ∀ (i : B), cs1.mulEquiv.toMonoidHom (cs1.simple i) = cs2.mulEquiv.toMonoidHom (cs1.simple i)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
hf : Continuous f
n : ℕ

⊢ Continuous fun v => VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v n
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
hf : Continuous f
n : ℕ

⊢ Continuous fun v => (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L v)) (f v)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
hf : Continuous f
n : ℕ

⊢ Continuous fun x => ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x_1 => L x)) (f x)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
hf : Continuous f
n : ℕ

⊢ Continuous fun w => (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L w
-- Mathlib/LinearAlgebra/InvariantBasisNumber.lean
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : RankCondition R
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
f : (α →₀ R) →ₗ[R] β →₀ R
i : Surjective ⇑f
P : (β →₀ R) ≃ₗ[R] β → R := Finsupp.linearEquivFunOnFinite R R β
Q : (α → R) ≃ₗ[R] α →₀ R := (Finsupp.linearEquivFunOnFinite R R α).symm

⊢ Fintype.card β ≤ Fintype.card α
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0∞

⊢ (x ^ y⁻¹) ^ y = x
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
p : α → Prop

⊢ (∀ c ∈ s ○ t, p c) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, Disjoint a b → p (a ⊔ b)
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
p : α → Prop

⊢ (∀ (c : α), (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = c) → p c) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, Disjoint a b → p (a ⊔ b)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplexBiprod.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
M : HomologicalComplex C c
α : K ⟶ M
β : L ⟶ M
i : ι

⊢ biprod.inr.f i ≫ (biprod.desc α β).f i = β.f i
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ

⊢ (-1).arg = π
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
h : TendstoUniformly F f p
g : γ → α

⊢ TendstoUniformly (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p ⊤
g : γ → α

⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g ∘ f) x = ∫ (u : ℝ) in f a..f b, g u
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g (f '' [[a, b]])

⊢ IntegrableOn g (f '' [[a, b]]) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g : ℝ → G
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g [[sInf (f '' [[a, b]]), sSup (f '' [[a, b]])]]

⊢ IntegrableOn g [[sInf (f '' [[a, b]]), sSup (f '' [[a, b]])]] volume
-- Mathlib/Logic/Embedding/Set.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
s✝ t✝ r s t : Set α
h : Disjoint s t

⊢ range ⇑(sumSet h) = s ∪ t
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
IH : ∀ (M : Matrix (Fin r) (Fin r) 𝕜), ∃ L₀ L₀' D₀, (List.map toMatrix L₀).prod * M * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜

⊢ ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
IH : ∀ (M : Matrix (Fin r) (Fin r) 𝕜), ∃ L₀ L₀' D₀, (List.map toMatrix L₀).prod * M * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
L₁ L₁' : List (TransvectionStruct (Fin r ⊕ Unit) 𝕜)
hM : ((List.map toMatrix L₁).prod * M * (List.map toMatrix L₁').prod).IsTwoBlockDiagonal

⊢ ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
IH : ∀ (M : Matrix (Fin r) (Fin r) 𝕜), ∃ L₀ L₀' D₀, (List.map toMatrix L₀).prod * M * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
L₁ L₁' : List (TransvectionStruct (Fin r ⊕ Unit) 𝕜)
hM : ((List.map toMatrix L₁).prod * M * (List.map toMatrix L₁').prod).IsTwoBlockDiagonal
M' : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜 := (List.map toMatrix L₁).prod * M * (List.map toMatrix L₁').prod
M'' : Matrix (Fin r) (Fin r) 𝕜 := M'.toBlocks₁₁
L₀ L₀' : List (TransvectionStruct (Fin r) 𝕜)
D₀ : Fin r → 𝕜
h₀ : (List.map toMatrix L₀).prod * M'' * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀
c : 𝕜 := M' (inr ()) (inr ())

⊢ (List.map toMatrix (List.map (sumInl Unit) L₀ ++ L₁)).prod * M * (List.map toMatrix (L₁' ++ List.map (sumInl Unit) L₀')).prod = diagonal (Sum.elim D₀ fun x => M' (inr ()) (inr ()))