ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R)
hI : I ≠ 0

⊢ I.num ∈ (Ideal R)⁰
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M

⊢ (𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I c) c).HasBasis (fun x => True) fun f => closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M

⊢ ∀ (i : ℝ), 0 < i ∧ closedBall (↑(extChartAt I c) c) i ∩ range ↑I ⊆ (extChartAt I c).target → ∃ i', True ∧ closedBall (↑(extChartAt I c) c) i'.rOut ∩ range ↑I ⊆ closedBall (↑(extChartAt I c) c) i ∩ range ↑I
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M

⊢ ∀ (i' : SmoothBumpFunction I c), True → closedBall (↑(extChartAt I c) c) i'.rOut ∩ range ↑I ∈ 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I c) c
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c d a b : α

⊢ a ⊔ b = b ⊔ a
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Units.lean
M : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Monoid M
u : Mˣ
x : M

⊢ ↑u * x = ↑u * x * ↑u⁻¹ * ↑u
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α

⊢ (l ++ [x]).rtake (n + 1) = l.rtake n ++ [x]
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a✝ b✝ c d a b : G₀
hc : c ≠ 0

⊢ c / a / (c / b) = b / a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
hq : q.Monic
hp : p.leadingCoeff ≠ 0
hq0 : q ≠ 0

⊢ ↑q.natDegree ≤ ↑p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
hq : q.Monic
hp : p.leadingCoeff ≠ 0
hq0 : q ≠ 0

⊢ q.degree ≤ p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
hq : q.Monic
hp : p.leadingCoeff ≠ 0
hq0 : q ≠ 0
hlt : q.natDegree ≤ p.natDegree

⊢ p.degree = (q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
hq : q.Monic
hp : p.leadingCoeff ≠ 0
hq0 : q ≠ 0
hlt : q.natDegree ≤ p.natDegree

⊢ p.leadingCoeff = (q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).leadingCoeff
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x✝ y z x : ℝ
hx : x ≠ 0
p : ℝ

⊢ HasStrictDerivAt (fun x => x ^ p) (p * x ^ (p - 1)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x✝ y z x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
p : ℝ
hx : x < 0

⊢ HasStrictDerivAt (fun x => x ^ p) (p * x ^ (p - 1)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x✝ y z x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
p : ℝ
hx : 0 < x

⊢ HasStrictDerivAt (fun x => x ^ p) (p * x ^ (p - 1)) x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
n : ℕ

⊢ eval x (↑n * p) = ↑n * eval x p
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : KernelFork f

⊢ s.π.app one = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
a : ⨂[R]^n M

⊢ (cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul a GradedMonoid.GOne.one) = a
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
a : ⨂[R]^n M

⊢ (cast R M ⋯) (mulEquiv (a ⊗ₜ[R] (tprod R) Fin.elim0)) = a
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G

⊢ ModuleCat.ofHom (dOne A) ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
h1 : ↑(oneCochainsLequiv A) ≫ ModuleCat.ofHom (dOne A) = (inhomogeneousCochains A).d 1 2 ≫ ↑(twoCochainsLequiv A)

⊢ ModuleCat.ofHom (dOne A) ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
h1 : ↑(oneCochainsLequiv A) ≫ ModuleCat.ofHom (dOne A) = (inhomogeneousCochains A).d 1 2 ≫ ↑(twoCochainsLequiv A)
h2 : ↑(twoCochainsLequiv A) ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = (inhomogeneousCochains A).d 2 3 ≫ ↑(threeCochainsLequiv A)

⊢ ModuleCat.ofHom (dOne A) ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
h1 : (oneCochainsLequiv A).toModuleIso.hom ≫ ModuleCat.ofHom (dOne A) = (inhomogeneousCochains A).d 1 2 ≫ (twoCochainsLequiv A).toModuleIso.hom
h2 : (twoCochainsLequiv A).toModuleIso.hom ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = (inhomogeneousCochains A).d 2 3 ≫ (threeCochainsLequiv A).toModuleIso.hom

⊢ ModuleCat.ofHom (dOne A) ≫ ModuleCat.ofHom (dTwo A) = 0
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
x : α

⊢ (pure x).HasBasis (fun x => True) fun x_1 => {x}
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α

⊢ ∀ u ∈ {U | IsOpen U}, IsOpen u
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α

⊢ ∀ (a : α) (u : Set α), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ {U | IsOpen U}, a ∈ v ∧ v ⊆ u
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Injective.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
J : C
hP : PreservesFiniteColimits (preadditiveYonedaObj J)

⊢ Injective J
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Injective.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
J : C
hP : PreservesFiniteColimits (preadditiveYonedaObj J)

⊢ (preadditiveYonedaObj J).PreservesEpimorphisms
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
h0 : p ≠ 0
h_top : ¬p = ⊤

⊢ eLpNorm 0 p μ = 0
-- Mathlib/Order/OrderIsoNat.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r
k : ℕ

⊢ ¬Acc r (f k)
-- Mathlib/Order/OrderIsoNat.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r
k : ℕ

⊢ Nonempty { f_1 // f k ∈ Set.range ⇑f_1 }
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ X₂' : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
g' : R.obj X₂' ⟶ B.obj X₃
γ : X₂' ⟶ X₂
hγ : R.map γ ≫ g = g'
A : w.CostructuredArrowDownwards g

⊢ R.map (γ ≫ A.left.hom) ≫ w.app A.left.right ≫ B.map A.hom.right = g'
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ X₂' : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
g' : R.obj X₂' ⟶ B.obj X₃
γ : X₂' ⟶ X₂
hγ : R.map γ ≫ g = g'
A A' : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : A ⟶ A'

⊢ (γ ≫ A.left.hom) ≫ T.map φ.left.right = γ ≫ A'.left.hom
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ X₂' : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
g' : R.obj X₂' ⟶ B.obj X₃
γ : X₂' ⟶ X₂
hγ : R.map γ ≫ g = g'
A A' : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : A ⟶ A'

⊢ L.map φ.left.right ≫ A'.hom.right = A.hom.right
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ X₂' : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
g' : R.obj X₂' ⟶ B.obj X₃
γ : X₂' ⟶ X₂
hγ : R.map γ ≫ g = g'
A A' : w.CostructuredArrowDownwards g
φ : A ⟶ A'

⊢ L.map φ.left.right ≫ A'.hom.right = ((StructuredArrow.pre (R.obj X₂) L B).map ((Comma.mapRight (Functor.fromPUnit (R.obj X₂)) w).map (StructuredArrow.homMk φ.left.right ⋯)) ≫ A'.hom).right
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Inductions.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
M : R[X] → Prop
f : R[X]
f0 : f.natDegree ≠ 0
h_C_add : ∀ {a : R} {p : R[X]}, M p → M (C a + p)
h_add : ∀ {p q : R[X]}, M p → M q → M (p + q)
h_monomial : ∀ {n : ℕ} {a : R}, a ≠ 0 → n ≠ 0 → M ((monomial n) a)

⊢ f.natDegree = 0 ∨ M f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Inductions.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
M : R[X] → Prop
f : R[X]
f0 : f.natDegree ≠ 0
h_C_add : ∀ {a : R} {p : R[X]}, M p → M (C a + p)
h_add : ∀ {p q : R[X]}, M p → M q → M (p + q)
h_monomial : ∀ {n : ℕ} {a : R}, a ≠ 0 → n ≠ 0 → M ((monomial n) a)

⊢ ∀ (a : R), (C a).natDegree = 0 ∨ M (C a)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Inductions.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
M : R[X] → Prop
f : R[X]
f0 : f.natDegree ≠ 0
h_C_add : ∀ {a : R} {p : R[X]}, M p → M (C a + p)
h_add : ∀ {p q : R[X]}, M p → M q → M (p + q)
h_monomial : ∀ {n : ℕ} {a : R}, a ≠ 0 → n ≠ 0 → M ((monomial n) a)

⊢ ∀ (p q : R[X]), p.natDegree = 0 ∨ M p → q.natDegree = 0 ∨ M q → (p + q).natDegree = 0 ∨ M (p + q)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Inductions.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
M : R[X] → Prop
f : R[X]
f0 : f.natDegree ≠ 0
h_C_add : ∀ {a : R} {p : R[X]}, M p → M (C a + p)
h_add : ∀ {p q : R[X]}, M p → M q → M (p + q)
h_monomial : ∀ {n : ℕ} {a : R}, a ≠ 0 → n ≠ 0 → M ((monomial n) a)

⊢ ∀ (n : ℕ) (a : R), (C a * X ^ n).natDegree = 0 ∨ M (C a * X ^ n) → (C a * X ^ (n + 1)).natDegree = 0 ∨ M (C a * X ^ (n + 1))
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

⊢ Ico a b \ Iio c = Ico (max a c) b
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁

⊢ ∀ {p : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p * q) = eval₂ f g p * eval₂ f g q
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁

⊢ ∀ (a : R) {p : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p * C a) = eval₂ f g p * eval₂ f g (C a)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁

⊢ ∀ (p q : MvPolynomial σ R), (∀ {p_1 : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p_1 * p) = eval₂ f g p_1 * eval₂ f g p) → (∀ {p : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p * q) = eval₂ f g p * eval₂ f g q) → ∀ {p_1 : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p_1 * (p + q)) = eval₂ f g p_1 * eval₂ f g (p + q)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁

⊢ ∀ (p : MvPolynomial σ R) (n : σ), (∀ {p_1 : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p_1 * p) = eval₂ f g p_1 * eval₂ f g p) → ∀ {p_1 : MvPolynomial σ R}, eval₂ f g (p_1 * (p * X n)) = eval₂ f g p_1 * eval₂ f g (p * X n)
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ
az : ¬a = 0

⊢ a * b / a ∣ a * b * c / a
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ
az : ¬a = 0

⊢ b ∣ b * c
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁴ : Module R N₂
inst✝¹³ : Semiring R₁
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹⁰ : Semiring S₁
inst✝⁹ : Semiring S₂
inst✝⁸ : Module S₁ N₂
inst✝⁷ : Module S₂ N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix n m N₂
x : n → S₁
y : m → S₂
x✝³ : n
x✝² : x✝³ ∈ univ
x✝¹ : m
x✝ : x✝¹ ∈ univ

⊢ (RingHom.id S₂) (y x✝¹) •> (RingHom.id S₁) (x x✝³) •> M x✝³ x✝¹ = x x✝³ •> y x✝¹ •> M x✝³ x✝¹
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/SInteger.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
S : Set (HeightOneSpectrum R)
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : (↥(S.integer K))ˣ
v : HeightOneSpectrum R
hv : v ∉ S

⊢ v.valuation ↑(Units.mk0 ↑↑x ⋯) * v.valuation ↑x.inv = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : Fin 3 → P

⊢ Collinear k (Set.range p) ↔ ¬AffineIndependent k p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : ℝ≥0
h : ∀ (x : V₁), ‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
x y : V₁

⊢ dist x y ≤ ↑K * dist (f x) (f y)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f g : R⟦X⟧
m : ℕ

⊢ (trunc n (↑(trunc n f) * g)).coeff m = (trunc n (f * g)).coeff m
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f g : R⟦X⟧
m : ℕ

⊢ (if m < n then (coeff R m) (↑(trunc n f) * g) else 0) = if m < n then (coeff R m) (f * g) else 0
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a : α

⊢ (a :: l).toFinset.val = (insert a l.toFinset).val
-- Mathlib/Probability/Process/Filtration.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : Preorder ι
E : Type u_4
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
ℱ : Filtration ι m
f : ι → Ω → E
μ : Measure Ω
h : ∃ g, StronglyMeasurable g ∧ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (g ω))

⊢ StronglyMeasurable (Classical.choose h)
-- Mathlib/Probability/Process/Filtration.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MetrizableSpace β
mβ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : Preorder ι
E : Type u_4
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
ℱ : Filtration ι m
f : ι → Ω → E
μ : Measure Ω
h : ¬∃ g, StronglyMeasurable g ∧ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 (g ω))

⊢ StronglyMeasurable 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on f)
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (f i) μ

⊢ μ (⋃ i, f i) = ∑' (i : ι), μ (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on f)
h : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (f i) μ
t : ι → Set α
_ht_sub : ∀ (i : ι), t i ⊆ f i
ht_eq : ∀ (i : ι), f i =ᶠ[ae μ] t i
htm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
htd : Pairwise (Disjoint on t)

⊢ μ (⋃ i, f i) = ∑' (i : ι), μ (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E 0 μ)

⊢ ‖f‖ = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
α : Type u_4
l : Filter α
f : α → E →WOT[𝕜]F
A : E →WOT[𝕜]F

⊢ Tendsto f l (𝓝 A) ↔ ∀ (x : E) (y : F), Tendsto (fun a => ⟪y, (f a) x⟫_𝕜) l (𝓝 ⟪y, A x⟫_𝕜)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
α : Type u_4
l : Filter α
f : α → E →WOT[𝕜]F
A : E →WOT[𝕜]F

⊢ Tendsto f l (𝓝 A) ↔ ∀ (x : E) (y : F), Tendsto (fun a => ((InnerProductSpace.toDual 𝕜 F) y) ((f a) x)) l (𝓝 (((InnerProductSpace.toDual 𝕜 F) y) (A x)))
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c d : α

⊢ a ⊔ b ≤ a ∧ a ≤ a ⊔ b ↔ b ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : CommSemiring A'
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R B
p q : R[X]
x : A
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
r : R
h : eval₂ f (f r) p = 0

⊢ f (eval r p) = f 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥

⊢ ∃ a b, 0 < b ∧ ∀ x ∈ corootSpace α, (a • α + b • χ) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥

⊢ ∃ a b, 0 < b ∧ ∀ x ∈ corootSpace α, (a • α + b • χ) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i
b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))

⊢ ∃ a b, 0 < b ∧ ∀ x ∈ corootSpace α, (a • α + b • χ) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i
b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))
hb : 0 < b

⊢ ∃ a b, 0 < b ∧ ∀ x ∈ corootSpace α, (a • α + b • χ) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i
b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))
hb : 0 < b
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α

⊢ (a • α + ↑b • χ) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i
b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))
hb : 0 < b
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
N : ℤ → Submodule R M := fun k => ↑(weightSpace M (k • α + χ))

⊢ (a • α + ↑b • χ) x = 0