ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y z : ℂ

⊢ cos z = cos ↑z.re * cosh ↑z.im - sin ↑z.re * sinh ↑z.im * I
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Simplex k P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)

⊢ (s.reindex e).reindex e.symm = s
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
g : N →* P
f : G →* N

⊢ map g f.range = (g.comp f).range
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
g : N →* P
f : G →* N

⊢ map g (map f ⊤) = map (g.comp f) ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α

⊢ toIocDiv hp a (b - c) = toIocDiv hp (a + c) b
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α

⊢ b - c - toIocDiv hp (a + c) b • p ∈ Set.Ioc a (a + p)
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α

⊢ b - toIocDiv hp (a + c) b • p ∈ Set.Ioc (a + c) (a + c + p)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : N ⊗[R] M

⊢ (rTensor M id) x = x
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Nontrivial R
x y : X
hoxy : ι R x = ι R y

⊢ ¬x = y → False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n✝ n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
inst✝ : CharZero K

⊢ minpoly ℤ μ ∣ cyclotomic n ℤ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n✝ n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
inst✝ : CharZero K

⊢ (aeval μ) (cyclotomic n ℤ) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n : ℕ
hn : ¬restrict s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)

⊢ 1 / (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)) + 1) < ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n.succ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n : ℕ
hn : ¬restrict s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k) ≤ restrict 0 (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)

⊢ 1 / (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k)) + 1) < ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s (i \ ⋃ k, ⋃ (_ : k ≤ n), MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i k))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁴ : Semiring R₁
inst✝²³ : Semiring R₂
inst✝²² : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝¹⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝¹⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : Module R₁ M'₁
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
x : M₂

⊢ (⇑e ∘ ⇑e.symm) x = id x
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))

⊢ hζ✝.toInteger - 1 ∣ ↑↑p
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
G : Type u_2
inst✝ : FunLike G S R
rcg : RingHomClass G S R
ι : Sort u_3
s : Set (Ideal S)

⊢ ⨅ I ∈ s, comap f I = ⨅ I ∈ comap f '' s, I
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : WithLp 2 (α × β)

⊢ (‖x.1‖ ^ 2 + ‖x.2‖ ^ 2) ^ (1 / ↑2) = (‖x.1‖ ^ 2 + ‖x.2‖ ^ 2) ^ (1 / 2)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Pointwise.lean
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S T : Ideal R

⊢ S ≤ a • T ↔ a⁻¹ • S ≤ T
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
r ε : ℝ
L : F
x y z : ℝ
hy : y ∈ Icc x (x + r / 2)
hz : z ∈ Icc x (x + r / 2)
r' : ℝ
r'mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r

⊢ ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
r ε : ℝ
L : F
x y z : ℝ
hy : y ∈ Icc x (x + r / 2)
hz : z ∈ Icc x (x + r / 2)
r' : ℝ
r'mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ Icc x (x + r'), ∀ z ∈ Icc x (x + r'), ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
A : x + r / 2 ≤ x + r'

⊢ ‖f z - f y - (z - y) • L‖ ≤ ε * r
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
f : A →+* B
g : B →+* C
h : (g.comp f).Finite
this✝³ : Algebra A B := f.toAlgebra
this✝² : Algebra B C := g.toAlgebra
this✝¹ : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A B C := RestrictScalars.isScalarTower A B C
this : Module.Finite A C := h

⊢ g.Finite
-- Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
x : L
hx : x ∈ LieAlgebra.center R L
y : L

⊢ Commute ((toEnd R L M) x) ((toEnd R L M) y)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Preimmersion.lean
x✝² x✝¹ : Scheme
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹

⊢ IsPreimmersion x✝ ↔ ((topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => Embedding) ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] x => Function.Surjective ⇑x) x✝
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Preimmersion.lean
x✝² x✝¹ : Scheme
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹

⊢ (Embedding ⇑x✝.val.base ∧ ∀ (x : ↑↑x✝².toPresheafedSpace), Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap x✝ x)) ↔ ((topologically fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => Embedding) ⊓ stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] x => Function.Surjective ⇑x) x✝
-- Mathlib/ModelTheory/Basic.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
f : M ≃[L] N

⊢ f.symm.toHom.comp f.toHom = Hom.id L M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n i j : ℕ
hxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
hIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j

⊢ lowerCentralSeries R L M (i + n) ≤ I.lcs M (j + 1)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n i j : ℕ
hxn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
hIM : lowerCentralSeries R L M i ≤ I.lcs M j

⊢ ∀ (l : ℕ), ↑(⊤.lcs M (i + l)) ≤ Submodule.map ((toEnd R L M) x ^ l) ↑(I.lcs M j) ⊔ ↑(I.lcs M (j + 1))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
f : α →ᵤ[𝔖] β
hs : s ∈ 𝔖
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β

⊢ {g | ∀ x ∈ s, ((toFun 𝔖) f x, (toFun 𝔖) g x) ∈ V} ∈ 𝓝 f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
f : α →ᵤ[𝔖] β
hs : s ∈ 𝔖
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β

⊢ {g | ∀ x ∈ s, ((toFun 𝔖) f x, (toFun 𝔖) g x) ∈ V} ∈ ⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ V ∈ 𝓤 β, 𝓟 {g | ∀ x ∈ s, ((toFun 𝔖) f x, (toFun 𝔖) g x) ∈ V}
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : n.Coprime (orderOf x)
h0 : ¬orderOf x = 0
h1 : ¬orderOf x = 1

⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m✝ : ℕ
h✝ : n.Coprime (orderOf x)
h0 : ¬orderOf x = 0
h1 : ¬orderOf x = 1
m : ℕ
h : n * m % orderOf x = 1

⊢ ∃ m, (x ^ n) ^ m = x
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : b ∣ a
hb : b ≠ 0
d : ℕ

⊢ c = a / b * d ↔ b * c = a * d
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : b ∣ a
hb : b ≠ 0
d : ℕ
this : b ∣ d * a

⊢ c = a / b * d ↔ b * c = a * d
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : r ≠ 0

⊢ QuasiMeasurePreserving (fun x => r • x) μ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : r ≠ 0

⊢ map (fun x => r • x) μ ≪ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : r ≠ 0

⊢ ENNReal.ofReal |(r ^ finrank ℝ E)⁻¹| • μ ≪ μ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Floor.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
b : ℤ

⊢ ⌈↑(b - 1)⌉ ≤ b
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Floor.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
b : ℤ

⊢ b - 1 ≤ b
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
g : R[X]
pb : PowerBasis R S
h₁ : (aeval (root g)) (minpoly R pb.gen) = 0
h₂ : (aeval pb.gen) g = 0
x : AdjoinRoot g

⊢ (pb.lift (root g) h₁) ((liftHom g pb.gen h₂) x) = x
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
g : R[X]
pb : PowerBasis R S
h₁ : (aeval (root g)) (minpoly R pb.gen) = 0
h₂ : (aeval pb.gen) g = 0
p✝ : R[X]

⊢ (pb.lift (root g) h₁) ((liftHom g pb.gen h₂) ((mk g) p✝)) = (mk g) p✝
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
g : R[X]
pb : PowerBasis R S
h₁ : (aeval (root g)) (minpoly R pb.gen) = 0
h₂ : (aeval pb.gen) g = 0
x : S
a✝ : Nontrivial S

⊢ (liftHom g pb.gen h₂) ((pb.lift (root g) h₁) x) = x
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
g : R[X]
pb : PowerBasis R S
h₁ : (aeval (root g)) (minpoly R pb.gen) = 0
h₂ : (aeval pb.gen) g = 0
a✝ : Nontrivial S
f : R[X]
_hf : f.natDegree < pb.dim

⊢ (liftHom g pb.gen h₂) ((pb.lift (root g) h₁) ((aeval pb.gen) f)) = (aeval pb.gen) f
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
b : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'

⊢ (fun a => a / b) a < (fun a => a / b) a'
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
b : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'

⊢ a / b ≠ a' / b
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
b : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'
hyp : a / b = a' / b

⊢ False
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
b : EReal
h : 0 < b
h' : b ≠ ⊤
a a' : EReal
a_lt_a' : a < a'
hyp : a / b = a' / b

⊢ a = a'
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (thickening R s) ≠ ⊤
h's : IsClosed s

⊢ Tendsto (fun r => μ (thickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ s))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (thickening R s) ≠ ⊤
h's : IsClosed s

⊢ s = closure s
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
h : (mk φ).IsComplex

⊢ ¬ComplexEmbedding.IsReal φ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : γ → β
κ : Kernel α β
hf : MeasurableEmbedding f
a : α
t : Set γ
ht : MeasurableSet t

⊢ ((κ.comapRight hf) a) t = (κ a) (f '' t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
b : Bicone f
i : b.IsBilimit
as✝ : J

⊢ (∑ j : J, b.π j ≫ b.ι j) ≫ b.toCone.π.app { as := as✝ } = 𝟙 b.pt ≫ b.toCone.π.app { as := as✝ }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A : C ⥤ ℰ
P₁ P₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
α : P₁ ⟶ P₂
j : P₁.Elementsᵒᵖ
T : Cᵒᵖ
f : ((functorToRepresentables P₁).obj j).obj T

⊢ ((coconeOfRepresentable P₁).ι.app j ≫ α).app T f = ((coconeOfRepresentable P₂).ι.app ((CategoryOfElements.map α).op.obj j)).app T f
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : IsOpenMap f

⊢ IsOpen (range f)
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : IsOpenMap f

⊢ IsOpen (f '' univ)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hc : 0 < c

⊢ b / c < a ↔ b < c * a
-- Mathlib/Algebra/Star/SelfAdjoint.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : StarMul R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
n : ℕ

⊢ IsSelfAdjoint (x ^ n)
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsPreconnected s
P : α → α → Prop
h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y
h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z
h'' : ∀ (x y : α), x ∈ s → y ∈ s → P x y → P y x
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s

⊢ P x y
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsPreconnected s
P : α → α → Prop
h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y
h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z
h'' : ∀ (x y : α), x ∈ s → y ∈ s → P x y → P y x
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
z : α
hz : z ∈ s

⊢ ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] z, P z y ∧ P y z
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : IsPreconnected s
P : α → α → Prop
h : ∀ x ∈ s, ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, P x y
h' : ∀ (x y z : α), x ∈ s → y ∈ s → z ∈ s → P x y → P y z → P x z
h'' : ∀ (x y : α), x ∈ s → y ∈ s → P x y → P y x
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
z : α
hz : z ∈ s
a : α
ha : P z a
h'a : a ∈ s

⊢ P z a ∧ P a z
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
j : L →+* F
f : K[X]

⊢ Splits j (map i f) ↔ Splits (j.comp i) f
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
E : MorphismProperty.LeftFraction.Localization W ≌ D := uniq (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W
e : MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W ⋙ E.functor ≅ L := compUniqFunctor (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W
f' : E.functor.obj X ⟶ E.functor.obj Y

⊢ ∃ φ, e.inv.app X ≫ f' ≫ e.hom.app Y = φ.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
E : MorphismProperty.LeftFraction.Localization W ≌ D := uniq (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W
e : MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W ⋙ E.functor ≅ L := compUniqFunctor (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W
g : X ⟶ Y

⊢ ∃ φ, e.inv.app X ≫ E.functor.map g ≫ e.hom.app Y = φ.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
E : MorphismProperty.LeftFraction.Localization W ≌ D := uniq (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W
e : MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W ⋙ E.functor ≅ L := compUniqFunctor (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W
g : W.LeftFraction X Y

⊢ ∃ φ, e.inv.app X ≫ E.functor.map (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom.mk g) ≫ e.hom.app Y = φ.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
E : MorphismProperty.LeftFraction.Localization W ≌ D := uniq (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W
e : MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W ⋙ E.functor ≅ L := compUniqFunctor (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Q W) L W
g : W.LeftFraction X Y

⊢ e.inv.app X ≫ E.functor.map (MorphismProperty.LeftFraction.Localization.Hom.mk g) ≫ e.hom.app Y = g.map L ⋯
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean

⊢ ψ * φ = -1
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean

⊢ φ * ψ = -1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

⊢ ⟪x + y, x - y⟫_ℝ = 0 ↔ ‖x‖ = ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

⊢ ⟪x + y, x - y⟫_ℝ = 0 ↔ ‖x‖ * ‖x‖ = ‖y‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

⊢ ⟪x, x⟫_ℝ + ⟪y, x⟫_ℝ = ⟪y, x⟫_ℝ + ⟪y, y⟫_ℝ ↔ ⟪x, x⟫_ℝ = ⟪y, y⟫_ℝ
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
f : α →₀ M
inst✝ : CommMonoid N
g : α → M → N

⊢ (filter p f).prod g * (filter (fun a => ¬p a) f).prod g = f.prod g
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
s t : ℝ
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ (Icc 0 s)
φst : φ '' Icc 0 s = Icc 0 t
hfφ : HasUnitSpeedOn (f ∘ φ) (Icc 0 s)
hf : HasUnitSpeedOn f (φ '' Icc 0 s)

⊢ EqOn φ id (Icc 0 s)
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
s t : ℝ
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ (Icc 0 s)
φst : φ '' Icc 0 s = Icc 0 t
hfφ : HasUnitSpeedOn (f ∘ φ) (Icc 0 s)
hf : HasUnitSpeedOn f (φ '' Icc 0 s)

⊢ id = fun y => y - 0 + φ 0
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
s t : ℝ
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ (Icc 0 s)
φst : φ '' Icc 0 s = Icc 0 t
hfφ : HasUnitSpeedOn (f ∘ φ) (Icc 0 s)
hf : HasUnitSpeedOn f (φ '' Icc 0 s)
this : φ 0 = 0

⊢ id = fun y => y - 0 + φ 0
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s✝ : Set ℝ
l : ℝ≥0
s t : ℝ
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ (Icc 0 s)
φst : φ '' Icc 0 s = Icc 0 t
hfφ : HasUnitSpeedOn (f ∘ φ) (Icc 0 s)
hf : HasUnitSpeedOn f (φ '' Icc 0 s)
this : φ 0 = 0

⊢ id = fun y => y
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ (deriv fun x => 1 + ε x) =ᶠ[atTop] deriv ε