ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯
V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose
hV : ∀ (s : ↑S), IsClopen (V s) ∧ ↑s = ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s
hUo : ∀ (i : ↑S), IsOpen ((fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i)
hsU : U ⊆ ⋃ i, (fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i

⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯
V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose
hV : ∀ (s : ↑S), IsClopen (V s) ∧ ↑s = ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s
hUo : ∀ (i : ↑S), IsOpen ((fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i)
hsU : U ⊆ ⋃ i, (fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i
this : ∃ t, U ⊆ ⋃ i ∈ t, (fun s => ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i

⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯
V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose
hV : ∀ (s : ↑S), IsClopen (V s) ∧ ↑s = ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s
hUo : ∀ (i : ↑S), IsOpen ((fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i)
hsU : U ⊆ ⋃ i, (fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i
G : Finset ↑S
hG : U ⊆ ⋃ i ∈ G, (fun s => ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i

⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯
V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose
hV : ∀ (s : ↑S), IsClopen (V s) ∧ ↑s = ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s
hUo : ∀ (i : ↑S), IsOpen ((fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i)
hsU : U ⊆ ⋃ i, (fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i
G : Finset ↑S
hG : U ⊆ ⋃ i ∈ G, (fun s => ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i
j0 : J
hj0 : ∀ {X : J}, X ∈ Finset.image j G → Nonempty (j0 ⟶ X)

⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯
V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose
hV : ∀ (s : ↑S), IsClopen (V s) ∧ ↑s = ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s
hUo : ∀ (i : ↑S), IsOpen ((fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i)
hsU : U ⊆ ⋃ i, (fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i
G : Finset ↑S
hG : U ⊆ ⋃ i ∈ G, (fun s => ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i
j0 : J
hj0 : ∀ {X : J}, X ∈ Finset.image j G → Nonempty (j0 ⟶ X)
f : (s : ↑S) → s ∈ G → (j0 ⟶ j s) := fun s hs => ⋯.some

⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : ¬p = 0
a✝ : Nontrivial R

⊢ p.mirror.natDegree = p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : ¬p = 0
a✝ : Nontrivial R

⊢ p.reverse.leadingCoeff * (X ^ p.natTrailingDegree).leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
p : α → Prop
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
h₀ : x = abs ⟨a, f⟩
h₁ : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)

⊢ Liftp p x
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
p : α → Prop
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
h₀ : x = abs ⟨a, f⟩
h₁ : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)

⊢ Subtype.val <$> abs ⟨a, fun i => ⟨f i, ⋯⟩⟩ = x
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
p : α → Prop
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
h₀ : x = abs ⟨a, f⟩
h₁ : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)

⊢ abs ((P F).map Subtype.val ⟨a, fun i => ⟨f i, ⋯⟩⟩) = abs ⟨a, f⟩
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite

⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t \ s), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ

⊢ Summable fun n => ↑|n| ^ k * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑|n|))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ

⊢ Summable fun n => ↑n ^ k * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑n))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ

⊢ (fun n => ↑n ^ k * rexp (-π * (T * ↑n ^ 2 - 2 * S * ↑n))) =O[atTop] fun n => ↑n ^ k * rexp (-1 * ↑n)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ

⊢ (fun x => rexp (-π * (T * ↑x ^ 2 - 2 * S * ↑x))) =O[atTop] fun x => rexp (-1 * ↑x)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ

⊢ Tendsto ((fun x => -π * (T * ↑x ^ 2 - 2 * S * ↑x)) - fun x => -1 * ↑x) atTop atBot
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ

⊢ Tendsto (fun x => -(-π * (T * ↑x ^ 2 - 2 * S * ↑x) - -1 * ↑x)) atTop atTop
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ

⊢ Tendsto (fun n => ↑n * (π * T * ↑n - (2 * π * S + 1))) atTop atTop
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
S T : ℝ
hT : 0 < T
k : ℕ

⊢ Tendsto (fun n => π * T * ↑n) atTop atTop
-- Mathlib/Data/Nat/MaxPowDiv.lean
p n pow : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
h : p ^ pow ∣ n
c : ℕ
hc : n = p ^ pow * c

⊢ pow ≤ p.maxPowDiv n
-- Mathlib/Data/Nat/MaxPowDiv.lean
p n pow : ℕ
hp : 1 < p
hn : 0 < n
h : p ^ pow ∣ n
c : ℕ
hc : n = p ^ pow * c
this : 0 < c

⊢ pow ≤ p.maxPowDiv n
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology

⊢ rightHomologyMap φ ≫ h₂.rightHomologyIso.hom = h₁.rightHomologyIso.hom ≫ γ.φH
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X × Y

⊢ map Prod.snd (𝓝[Prod.fst ⁻¹' {x.1}] x) = 𝓝 x.2
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X × Y
s : Set Y
hs : s ∈ map Prod.snd (𝓝[Prod.fst ⁻¹' {x.1}] x)

⊢ s ∈ 𝓝 x.2
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set Y
x : X
y : Y
hs : s ∈ map Prod.snd (𝓝[Prod.fst ⁻¹' {(x, y).1}] (x, y))

⊢ s ∈ 𝓝 (x, y).2
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set Y
x : X
y : Y
hs : ∃ u ∈ 𝓝 x, ∃ v ∈ 𝓝 y, u ×ˢ v ⊆ {x_1 | x_1 ∈ Prod.fst ⁻¹' {(x, y).1} → x_1 ∈ Prod.snd ⁻¹' s}

⊢ s ∈ 𝓝 (x, y).2
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set Y
x : X
y : Y
u : Set X
hu : u ∈ 𝓝 x
v : Set Y
hv : v ∈ 𝓝 y
H : u ×ˢ v ⊆ {x_1 | x_1 ∈ Prod.fst ⁻¹' {(x, y).1} → x_1 ∈ Prod.snd ⁻¹' s}

⊢ s ∈ 𝓝 (x, y).2
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set Y
x : X
y : Y
u : Set X
hu : u ∈ 𝓝 x
v : Set Y
hv : v ∈ 𝓝 y
H : ∀ x_1 ∈ u, ∀ y ∈ v, x_1 = x → y ∈ s

⊢ s ∈ 𝓝 (x, y).2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ (range cos).Infinite
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ

⊢ count p n ≤ count p (n + 1)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
x : ZMod (n + 1)

⊢ x.valMinAbs = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
x : ZMod (n + 1)

⊢ x.valMinAbs = valMinAbs 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
n : ℕ

⊢ (∃ x y, n = x ^ 2 + y ^ 2) ↔ ∀ {q : ℕ}, Prime q → q % 4 = 3 → Even (padicValNat q n)
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean

⊢ (∃ x y, 0 = x ^ 2 + y ^ 2) ↔ ∀ {q : ℕ}, Prime q → q % 4 = 3 → Even (padicValNat q 0)
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
n : ℕ
hn₀ : n > 0

⊢ (∃ x y, n = x ^ 2 + y ^ 2) ↔ ∀ {q : ℕ}, Prime q → q % 4 = 3 → Even (padicValNat q n)
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
n : ℕ
hn₀ : n > 0

⊢ (∃ a b, n = a ^ 2 * b ∧ IsSquare (-1)) ↔ ∀ {q : ℕ}, Prime q → q % 4 = 3 → Even (padicValNat q n)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x y : ℤ[i]

⊢ (toComplex (x / y)).re = ↑(round (toComplex x / toComplex y).re)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x y : ℤ[i]

⊢ (toComplex { re := round ↑(↑(x * star y).re / ↑(norm y)), im := round (↑(x * star y).im / ↑(norm y)) }).re = ↑(round (toComplex x / toComplex y).re)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v✝ : ι → M
v' : ι → M'
v : ι → M
i₁ i₂ : ι
heq : v i₁ = v i₂
hne : i₁ ≠ i₂

⊢ f v = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M

⊢ (LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x) ↔ ∀ l ∈ Finsupp.supported R R s, (Finsupp.total M M R id) l = 0 → l = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ

⊢ Fintype.card ↑(Set.Iio b) = b
-- Mathlib/Data/Set/MemPartition.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
a : α

⊢ a ∈ memPartitionSet f n a
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), ∃ i f, (range (F.map f)).Finite
j i : J
hi : i ⟶ j
hf : (range (F.map hi)).Finite

⊢ ∃ i f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ j), range (F.map f) ⊆ range (F.map g)
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝¹ j✝ k : J
s : Set (F.obj i✝¹)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), ∃ i f, (range (F.map f)).Finite
j i✝ : J
hi : i✝ ⟶ j
hf : (range (F.map hi)).Finite
m : Finset (F.obj j)
hmin : ∀ x ∈ {s | ∃ i f, ↑s = range (F.map f)}, ¬x < m
i : J
f : i ⟶ j
hm : ↑m = range (F.map f)

⊢ ∃ i f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ j), range (F.map f) ⊆ range (F.map g)
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝¹ j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i✝¹)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), ∃ i f, (range (F.map f)).Finite
j i✝ : J
hi : i✝ ⟶ j
hf : (range (F.map hi)).Finite
m : Finset (F.obj j)
hmin : ∀ x ∈ {s | ∃ i f, ↑s = range (F.map f)}, ¬x < m
i : J
f : i ⟶ j
hm : ↑m = range (F.map f)
k : J
g : k ⟶ j

⊢ ∀ a ∈ range fun f => range (F.map f.snd), a ≤ (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩ → (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩ ≤ a
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝¹ j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i✝¹)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), ∃ i f, (range (F.map f)).Finite
j i✝ : J
hi : i✝ ⟶ j
hf : (range (F.map hi)).Finite
m : Finset (F.obj j)
hmin : ∀ x ∈ {s | ∃ i f, ↑s = range (F.map f)}, ¬x < m
i : J
f : i ⟶ j
hm : ↑m = range (F.map f)
k : J
g : k ⟶ j
k' : J
g' : k' ⟶ j
hl : (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨k', g'⟩ ≤ (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩

⊢ (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩ ≤ (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨k', g'⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝¹ j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i✝¹)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), ∃ i f, (range (F.map f)).Finite
j i✝ : J
hi : i✝ ⟶ j
hf : (range (F.map hi)).Finite
m : Finset (F.obj j)
hmin : ∀ x ∈ {s | ∃ i f, ↑s = range (F.map f)}, ¬x < m
i : J
f : i ⟶ j
hm : ↑m = range (F.map f)
k : J
g : k ⟶ j
k' : J
g' : k' ⟶ j
hl : (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨k', g'⟩ ≤ (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩

⊢ ¬(fun f => range (F.map f.snd)) ⟨k', g'⟩ < (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝¹ j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i✝¹)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), ∃ i f, (range (F.map f)).Finite
j i✝ : J
hi : i✝ ⟶ j
hf : (range (F.map hi)).Finite
m : Finset (F.obj j)
hmin : ∀ x ∈ {s | ∃ i f, ↑s = range (F.map f)}, ¬x < m
i : J
f : i ⟶ j
hm : ↑m = range (F.map f)
k : J
g : k ⟶ j
k' : J
g' : k' ⟶ j
hl : (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨k', g'⟩ ≤ (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩
this : ¬⋯.toFinset < m

⊢ ¬(fun f => range (F.map f.snd)) ⟨k', g'⟩ < (fun f => range (F.map f.snd)) ⟨i, f⟩
-- Mathlib/Topology/Category/CompHaus/Limits.lean
α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → CompHaus
a : α
x y : (forget CompHaus).obj (X a)
hxy : (ι X a) x = (ι X a) y

⊢ x = y
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : IsNoetherian R₁ ↥↑I
hx : ¬x = 0

⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : IsNoetherian R₁ ↥↑I
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0

⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : IsNoetherian R₁ ↥↑I
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0
h_spanx : spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≠ 0

⊢ IsNoetherian R₁ ↥↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0
h_spanx : spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≠ 0

⊢ ∀ J ≤ spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I, (↑J).FG
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0
h_spanx : spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≠ 0
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : J ≤ spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x)⁻¹ * I

⊢ (↑J).FG
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0
h_spanx : spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≠ 0
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : J * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≤ I

⊢ (↑J).FG
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0
h_spanx : spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≠ 0
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : J * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≤ I
s : Finset K
hs : span R₁ ↑s = ↑(J * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x))

⊢ (↑J).FG
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : ∀ J ≤ I, (↑J).FG
hx : ¬x = 0
h_gx : (algebraMap R₁ K) x ≠ 0
h_spanx : spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≠ 0
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : J * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x) ≤ I
s : Finset K
hs : span R₁ ↑s = ↑(J * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) x))

⊢ span R₁ ↑(s * {((algebraMap R₁ K) x)⁻¹}) = ↑J
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/NormPow.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ ContDiff ℝ 1 fun x => ‖x‖ ^ p
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/NormPow.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ (Differentiable ℝ fun x => ‖x‖ ^ p) ∧ Continuous (fderiv ℝ fun x => ‖x‖ ^ p)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/NormPow.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ Continuous (fderiv ℝ fun x => ‖x‖ ^ p)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/NormPow.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ ∀ (x : E), ContinuousAt (fderiv ℝ fun x => ‖x‖ ^ p) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian

⊢ hA.cfcAux (ContinuousMap.restrict (spectrum ℝ A) (ContinuousMap.id ℝ)) = A
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian

⊢ hA.cfcAux (ContinuousMap.restrict (spectrum ℝ A) (ContinuousMap.id ℝ)) = ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues) * star ↑hA.eigenvectorUnitary
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/PowerSeries.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StrictOrderedSemiring Γ
x : PowerSeries R
n : ℕ

⊢ ((ofPowerSeries Γ R) x).coeff ↑n = (PowerSeries.coeff R n) x
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
t : Ordnode α
h : t.Sized

⊢ t.toList.length = t.size
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β

⊢ (map (⇑f) μ).InnerRegular ↔ μ.InnerRegular
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
h : (map (⇑f) μ).InnerRegular

⊢ μ.InnerRegular
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
h : (map (⇑f) μ).InnerRegular

⊢ μ = map (⇑f.symm) (map (⇑f) μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
h : (map (⇑f) μ).InnerRegular

⊢ μ = map (⇑f.symm ∘ ⇑f) μ
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/WellKnown.lean
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
d : ℕ

⊢ mk 1 * (1 - X) = 1
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/WellKnown.lean
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
d : ℕ

⊢ ∀ (n : ℕ), (coeff S n) ((1 - X) * mk 1) = (coeff S n) 1
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ g : β → α
a✝ : α
s : Finset β
t : Finset γ
f : β → γ → α
a : α

⊢ (s.sup fun b => t.sup (f b)) ≤ a ↔ (t.sup fun c => s.sup fun b => f b c) ≤ a
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s₁ s₂ : Stream' α
h : ∀ (n : ℕ), take n s₁ = take n s₂

⊢ s₁ = s₂
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s₁ s₂ : Stream' α
h : ∀ (n : ℕ), take n s₁ = take n s₂

⊢ ∀ (n : ℕ), s₁.get n = s₂.get n
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ HasSum (fun n => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (sinZeta (↑a) s)