ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1

⊢ Tendsto (fun n => f x - f 1 - x * (log (↑n + 1) - log ↑n)) atTop (𝓝 (f x - f 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1

⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, (fun n => f x - f 1 - x * (log (↑n + 1) - log ↑n)) b ≤ logGammaSeq x b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1

⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, logGammaSeq x b ≤ f x - f 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct W Y
inst✝ : HasBinaryCoproduct X Z
g : W ⟶ X
g' : Y ⟶ Z

⊢ desc (g ≫ inl) (g' ≫ inr) = map g g'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct W Y
inst✝ : HasBinaryCoproduct X Z
g : W ⟶ X
g' : Y ⟶ Z

⊢ map g g' ≫ desc inl inr = map g g'
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, Tendsto (fun m => κ.densityProcess κ.fst n a x (seq m)) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
x : γ
hx : κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1

⊢ Tendsto (fun m => κ.densityProcess κ.fst n a x (seq m)) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
n : ℕ
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
x : γ
hx : κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1

⊢ Tendsto (fun m => κ.densityProcess κ.fst n a x (seq m)) atTop (𝓝 (κ.densityProcess κ.fst n a x univ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : r ≠ 0
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y

⊢ (mkMetric' m) (s ∪ t) = (mkMetric' m) s + (mkMetric' m) t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : r ≠ 0
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y

⊢ (fun r => (mkMetric'.pre m r) (s ∪ t)) =ᶠ[𝓝[>] 0] fun x => (mkMetric'.pre m x) s + (mkMetric'.pre m x) t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : 0 < r
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y

⊢ (fun r => (mkMetric'.pre m r) (s ∪ t)) =ᶠ[𝓝[>] 0] fun x => (mkMetric'.pre m x) s + (mkMetric'.pre m x) t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : 0 < r
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y

⊢ ∀ a ∈ Ioo 0 r, (mkMetric'.pre m a) (s ∪ t) = (mkMetric'.pre m a) s + (mkMetric'.pre m a) t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : 0 < r
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
ε : ℝ≥0∞
left✝ : 0 < ε
εr : ε < r

⊢ (mkMetric'.pre m ε) (s ∪ t) = (mkMetric'.pre m ε) s + (mkMetric'.pre m ε) t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : 0 < r
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
ε : ℝ≥0∞
left✝ : 0 < ε
εr : ε < r

⊢ ∀ (u : Set X), (s ∩ u).Nonempty → (t ∩ u).Nonempty → extend (fun s x => m s) u = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : 0 < r
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
ε : ℝ≥0∞
left✝ : 0 < ε
εr : ε < r
u : Set X
x : X
hxs : x ∈ s
hxu : x ∈ u
y : X
hyt : y ∈ t
hyu : y ∈ u

⊢ extend (fun s x => m s) u = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
s t : Set X
r : ℝ≥0∞
r0 : 0 < r
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
ε : ℝ≥0∞
left✝ : 0 < ε
εr : ε < r
u : Set X
x : X
hxs : x ∈ s
hxu : x ∈ u
y : X
hyt : y ∈ t
hyu : y ∈ u
this : ε < diam u

⊢ extend (fun s x => m s) u = ⊤
-- Mathlib/Order/Fin/Tuple.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x✝ : α 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.succ
i : Fin n
y✝ : α i.succ
z x₀ y₀ : α 0
x y : (i : Fin n) → α i.succ
s : {i : Fin n.succ} → α i → α i → Prop

⊢ Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) s (cons x₀ x) (cons y₀ y) ↔ s x₀ y₀ ∨ x₀ = y₀ ∧ Pi.Lex (fun x x_1 => x < x_1) (fun i => s) x y
-- Mathlib/Order/Fin/Tuple.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x✝ : α 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.succ
i : Fin n
y✝ : α i.succ
z x₀ y₀ : α 0
x y : (i : Fin n) → α i.succ
s : {i : Fin n.succ} → α i → α i → Prop

⊢ (((0 < 0 → cons x₀ x 0 = cons y₀ y 0) ∧ ∀ (i : Fin n), i.succ < 0 → cons x₀ x i.succ = cons y₀ y i.succ) ∧ s x₀ y₀ ∨ ∃ i, ((0 < i.succ → cons x₀ x 0 = cons y₀ y 0) ∧ ∀ (i_1 : Fin n), i_1.succ < i.succ → cons x₀ x i_1.succ = cons y₀ y i_1.succ) ∧ s (x i) (y i)) ↔ s x₀ y₀ ∨ x₀ = y₀ ∧ ∃ i, (∀ j < i, x j = y j) ∧ s (x i) (y i)
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => c ≤ x
hca : c ≤ a

⊢ filter (fun x => c ≤ x) (Ico a b) = Ico a b
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β

⊢ f.prod ⊤ = comap Prod.fst f
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SecondCountableTopology H
inst✝ : SigmaCompactSpace M

⊢ SecondCountableTopology M
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SecondCountableTopology H
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hsc : s.Countable
hsU : ⋃ x ∈ s, (chartAt H x).source = univ

⊢ SecondCountableTopology M
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : FractionalIdeal S P'

⊢ (canonicalEquiv S P P') ((canonicalEquiv S P' P) I) = I
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : FractionalIdeal S P'

⊢ (canonicalEquiv S P' P).symm ((canonicalEquiv S P' P) I) = I
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁰ : CommRing A
inst✝²⁹ : CommRing B
inst✝²⁸ : Algebra A B
inst✝²⁷ : Field K
inst✝²⁶ : Field L
inst✝²⁵ : Algebra A K
inst✝²⁴ : IsFractionRing A K
inst✝²³ : Algebra B L
inst✝²² : Algebra K L
inst✝²¹ : Algebra A L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.320996
Bₘ : Type ?u.320999
inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹³ : Algebra A Aₘ
inst✝¹² : Algebra B Bₘ
inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Module.Free A B
x : B
this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

⊢ (intTrace A B) x = (trace A B) x
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁰ : CommRing A
inst✝²⁹ : CommRing B
inst✝²⁸ : Algebra A B
inst✝²⁷ : Field K
inst✝²⁶ : Field L
inst✝²⁵ : Algebra A K
inst✝²⁴ : IsFractionRing A K
inst✝²³ : Algebra B L
inst✝²² : Algebra K L
inst✝²¹ : Algebra A L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.320996
Bₘ : Type ?u.320999
inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹³ : Algebra A Aₘ
inst✝¹² : Algebra B Bₘ
inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Module.Free A B
x : B
this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)

⊢ (intTrace A B) x = (trace A B) x
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³⁰ : CommRing A
inst✝²⁹ : CommRing B
inst✝²⁸ : Algebra A B
inst✝²⁷ : Field K
inst✝²⁶ : Field L
inst✝²⁵ : Algebra A K
inst✝²⁴ : IsFractionRing A K
inst✝²³ : Algebra B L
inst✝²² : Algebra K L
inst✝²¹ : Algebra A L
inst✝²⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝¹⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁸ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁷ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.320996
Bₘ : Type ?u.320999
inst✝¹⁶ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁵ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁴ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹³ : Algebra A Aₘ
inst✝¹² : Algebra B Bₘ
inst✝¹¹ : Algebra A Bₘ
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝⁹ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝⁸ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁷ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : IsIntegrallyClosed B
inst✝² : Module.Finite A B
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝ : Module.Free A B
x : B
this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)

⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intTrace A B) x) = (algebraMap A (FractionRing A)) ((trace A B) x)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : ‖a‖₊ ≤ t

⊢ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ ‖(algebraMap ℝ A) ↑t - a‖₊ ≤ t
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : ‖a‖₊ ≤ t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)

⊢ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ ‖(algebraMap ℝ A) ↑t - a‖₊ ≤ t
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)

⊢ SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ spectralRadius ℝ ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ≤ ↑t
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℝ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)

⊢ SpectrumRestricts ((algebraMap ℝ A) ↑t - a) ⇑Complex.reCLM
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℂ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)

⊢ SpectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : spectralRadius ℂ a ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)

⊢ IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A
t : ℝ≥0
ha : IsSelfAdjoint a
ht : ↑‖a‖₊ ≤ ↑t
this : IsSelfAdjoint ((algebraMap ℝ A) ↑t - a)

⊢ IsSelfAdjoint a
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
a : α
ha : a ∈ s

⊢ Tendsto (fun i => F i a) p (𝓝 (f a))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
a : α
ha : a ∈ s

⊢ 𝓟 {a} ≤ 𝓝[s] a
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ

⊢ (trunc (n + 1) f).natDegree < n + 1
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R⟦X⟧
n : ℕ

⊢ ∀ (N : ℕ), n < N → (trunc (n + 1) f).coeff N = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R⟦X⟧
n N✝ : ℕ
a✝ : n < N✝

⊢ (trunc (n + 1) f).coeff N✝ = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R⟦X⟧
n N✝ : ℕ
a✝ : n < N✝

⊢ (if N✝ < n + 1 then (coeff R N✝) f else 0) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Away/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B
d : ℕ

⊢ selfZPow x B (-↑d) = mk' B 1 (Submonoid.pow x d)
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : Cᵒᵖ

⊢ IsDetector (unop G) ↔ IsCodetector G
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f✝ g : ι → N
s✝ t s : Finset ι
f : ι → N
n : N
h : ∀ x ∈ s, f x ≤ n

⊢ s.prod f ≤ n ^ s.card
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f✝ g : ι → N
s✝ t s : Finset ι
f : ι → N
n : N
h : ∀ x ∈ s, f x ≤ n

⊢ ∀ x ∈ Multiset.map f s.val, x ≤ n
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f✝ g : ι → N
s✝ t s : Finset ι
f : ι → N
n : N
h : ∀ x ∈ s, f x ≤ n

⊢ n ^ Multiset.card (Multiset.map f s.val) ≤ n ^ s.card
-- Mathlib/Algebra/Ring/Semiconj.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : HasDistribNeg R
a x y : R
h : SemiconjBy a x y

⊢ SemiconjBy a (-x) (-y)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/CommRing.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommRing R
p q a b : MvPolynomial σ R

⊢ (a - b).totalDegree = (a + -b).totalDegree
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/CommRing.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommRing R
p q a b : MvPolynomial σ R

⊢ max a.totalDegree (-b).totalDegree = max a.totalDegree b.totalDegree
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
T : Set (Set X)
To : ∀ t ∈ T, IsOpen t
Tct : T.Countable
hd : Dense (⋂₀ T)

⊢ ⋂₀ T ∈ residual X
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : ↑M.E ↪ β
I : Set β

⊢ (M.mapSetEmbedding f).Indep I ↔ ∃ I₀, M.Indep ↑I₀ ∧ I = ⇑f '' I₀
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : ↑M.E ↪ β
I : Set β

⊢ (M.Indep ↑(⇑f ⁻¹' I) ∧ ∃ t, ⇑f '' t = I) ↔ ∃ I₀, M.Indep ↑I₀ ∧ I = ⇑f '' I₀
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : ↑M.E ↪ β
I : Set ↑M.E
hI : M.Indep ↑I

⊢ M.Indep ↑(⇑f ⁻¹' (⇑f '' I)) ∧ ∃ t, ⇑f '' t = ⇑f '' I
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : ↑M.E ↪ β
I : Set ↑M.E
hI : M.Indep ↑I

⊢ M.Indep ↑I ∧ ∃ t, ⇑f '' t = ⇑f '' I
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
n : ℕ

⊢ aleph' (succ ↑n) = ↑n.succ
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 2

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 2
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Fermat42.Minimal a0 b0 c0
h2 : a0 % 2 = 1
hp : 0 < c0

⊢ False
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C

⊢ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C

⊢ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ (tensor_μ C (M.X ⊗ M.X, N.X ⊗ N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ▷ M.X ⊗ N.mul ▷ N.X)) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C

⊢ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ▷ (M.X ⊗ N.X) ≫ tensor_μ C (M.X ⊗ M.X, N.X ⊗ N.X) (M.X, N.X) ≫ ((α_ M.X M.X M.X).hom ⊗ (α_ N.X N.X N.X).hom) ≫ (M.X ◁ M.mul ⊗ N.X ◁ N.mul) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C

⊢ (((α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X ⊗ M.X, N.X ⊗ N.X)) ≫ (M.X ◁ M.mul ⊗ N.X ◁ N.mul)) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N : Mon_ C

⊢ (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ ((M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X)) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) = (α_ (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X) (M.X ⊗ N.X)).hom ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.X ⊗ N.X) ◁ (M.mul ⊗ N.mul) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul)
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α

⊢ s.chainHeight = ⊤ ↔ ∀ (n : ℕ), ∃ l ∈ s.subchain, l.length = n
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
h : ∀ (n : ℕ), ∃ l ∈ s.subchain, l.length = n

⊢ s.chainHeight = ⊤
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
h : s.chainHeight ≠ ⊤

⊢ ∃ n, ∀ l ∈ s.subchain, l.length ≠ n
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s t : Set α
l : List α
a : α
h : s.chainHeight ≠ ⊤
n : ℕ
hn : ↑n = s.chainHeight

⊢ ∃ n, ∀ l ∈ s.subchain, l.length ≠ n
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
heq : b = a

⊢ (l₂.erase a).diff ((b :: l₁).erase a) <+ l₂.diff (b :: l₁)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
heq : b = a

⊢ (l₂.erase a).diff l₁ <+ (l₂.erase a).diff l₁
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
heq : ¬b = a

⊢ (l₂.erase a).diff ((b :: l₁).erase a) <+ l₂.diff (b :: l₁)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
heq : ¬b = a

⊢ ((l₂.erase b).erase a).diff (l₁.erase a) <+ (l₂.erase b).diff l₁
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
heq : ¬b = a
h' : (b :: l₁).erase b <+ l₂.erase b

⊢ ((l₂.erase b).erase a).diff (l₁.erase a) <+ (l₂.erase b).diff l₁
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l₁ l₂ : List α
h : b :: l₁ <+ l₂
heq : ¬b = a
h' : l₁ <+ l₂.erase b

⊢ ((l₂.erase b).erase a).diff (l₁.erase a) <+ (l₂.erase b).diff l₁
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
L S : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLawson α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
h : IsUpperSet s

⊢ IsOpen s ↔ IsOpen s
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup γ
F : Filter α
G : Filter β
f : α → γ
g : β → γ
hf : Tendsto f F atTop
hg : Tendsto g G atTop

⊢ Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup γ
F : Filter α
G : Filter β
f : α → γ
g : β → γ
hf : Tendsto f F atTop
hg : Tendsto g G atTop

⊢ Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) (atTop ×ˢ atTop)