ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n k : ℕ
ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k) = π * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 1) / (2 * ↑i + 2)

⊢ (sin 0 ^ (2 * k + 1) * cos 0 - sin π ^ (2 * k + 1) * cos π) / ↑(2 * k + 2) + ↑(2 * k + 1) / ↑(2 * k + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k) = ↑(2 * k + 1) / ↑(2 * k + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k)
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
ha : a ∉ s

⊢ insert a (insert a s)ᶜ = sᶜ
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Types.lean
X Y S : Type v
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
c : PullbackCone f g
hc : IsLimit c
x : Types.PullbackObj f g

⊢ c.fst ((equivPullbackObj hc).symm x) = (↑x).1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Types.lean
X Y S : Type v
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
c : PullbackCone f g
hc : IsLimit c
x : c.pt

⊢ c.fst ((equivPullbackObj hc).symm ((equivPullbackObj hc) x)) = (↑((equivPullbackObj hc) x)).1
-- Mathlib/Logic/Function/Conjugate.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
f' : β → γ
gc : γ → γ → γ
hf' : Semiconj₂ f' gb gc
hf : Semiconj₂ f ga gb
x y : α

⊢ (f' ∘ f) (ga x y) = gc ((f' ∘ f) x) ((f' ∘ f) y)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Expand.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
p : ℕ
φ : σ

⊢ ((rename f).comp (expand p)) (X φ) = ((expand p).comp (rename f)) (X φ)
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S

⊢ GaloisConnection (fun s => zeroLocus s) fun t => ↑(vanishingIdeal t)
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
ideal_gc : GaloisConnection Ideal.span SetLike.coe

⊢ GaloisConnection (fun s => zeroLocus s) fun t => ↑(vanishingIdeal t)
-- Mathlib/Order/Closure.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : PartialOrder α
c : ClosureOperator α
x y : α
hy : c.IsClosed y

⊢ c x ≤ y ↔ x ≤ y
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s

⊢ s.indicator f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive D
z z' : Cochain K L n
f : K ⟶ L
Φ✝ : C ⥤ D
inst✝¹ : Φ✝.Additive
n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
Φ : C ⥤ D
inst✝ : Φ.Additive
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q

⊢ Φ.map ((z₁.comp z₂ h).v p q hpq) = ((z₁.map Φ).comp (z₂.map Φ) h).v p q hpq
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
inst✝² : Group G₁
inst✝¹ : Group G₂
inst✝ : Group G₃
f : G₁ →* G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : G₁ →* G₃
hg : f.ker ≤ g.ker
x : G₁

⊢ g (f_inv (f x)) = g x
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
inst✝² : Group G₁
inst✝¹ : Group G₂
inst✝ : Group G₃
f : G₁ →* G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : G₁ →* G₃
hg : f.ker ≤ g.ker
x : G₁

⊢ f_inv (f x) * x⁻¹ ∈ g.ker
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
inst✝² : Group G₁
inst✝¹ : Group G₂
inst✝ : Group G₃
f : G₁ →* G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : G₁ →* G₃
hg : f.ker ≤ g.ker
x : G₁

⊢ f_inv (f x) * x⁻¹ ∈ f.ker
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
G₁ : Type u_5
G₂ : Type u_6
G₃ : Type u_7
inst✝² : Group G₁
inst✝¹ : Group G₂
inst✝ : Group G₃
f : G₁ →* G₂
f_inv : G₂ → G₁
hf : Function.RightInverse f_inv ⇑f
g : G₁ →* G₃
hg : f.ker ≤ g.ker
x : G₁

⊢ f (f_inv (f x)) = f x
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedRing α
a : α

⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Ioo (↑n) (↑n + 1))
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β

⊢ ∏ _x ∈ s, 1 = 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology

⊢ leftHomologyMap φ ≫ h₂.leftHomologyIso.hom = h₁.leftHomologyIso.hom ≫ γ.φH
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Preimmersion.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsPreimmersion g
inst✝ : IsPreimmersion (f ≫ g)

⊢ Embedding ⇑f.val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Preimmersion.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsPreimmersion g
inst✝ : IsPreimmersion (f ≫ g)
h : Embedding ⇑(f ≫ g).val.base

⊢ Embedding ⇑f.val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Preimmersion.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsPreimmersion g
inst✝ : IsPreimmersion (f ≫ g)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace

⊢ Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Preimmersion.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsPreimmersion g
inst✝ : IsPreimmersion (f ≫ g)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap (f ≫ g) x)

⊢ Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Preimmersion.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsPreimmersion g
inst✝ : IsPreimmersion (f ≫ g)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
h : Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap g (f.val.base x) ≫ Scheme.Hom.stalkMap f x)

⊢ Function.Surjective ⇑(Scheme.Hom.stalkMap f x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
hn : ↑n ≤ Module.rank R M

⊢ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent R Subtype.val
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
hn : ↑n ≤ Module.rank R M
this : ∀ (R : Type ?u.181016) (M : Type ?u.181015) [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M], Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }

⊢ ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent R Subtype.val
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
x : 𝕜
hx : 0 < x
p : 𝕜 → Prop
h : ∀ᶠ (ε : 𝕜) in 𝓝[>] 0, p ε

⊢ ∀ᶠ (ε : 𝕜) in 𝓝[>] 0, p (x * ε)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
x : 𝕜
hx : 0 < x
p : 𝕜 → Prop
h : ∀ᶠ (ε : 𝕜) in 𝓝[>] 0, p ε

⊢ ∀ᶠ (ε : 𝕜) in comap (fun x_1 => x * x_1) (𝓝[>] 0), p (x * ε)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
α : Type u_7
β : Type u_8
m✝ : R
x✝ : α ⊕ β →₀ M

⊢ { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun (m✝ • x✝) = (RingHom.id R) m✝ • { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun x✝
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hI : M.Indep I
hBI : B ⊆ I
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hB'I : I ⊆ B'

⊢ I ⊆ B
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean

⊢ Irrational φ
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
this : Irrational √↑5

⊢ Irrational φ
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
this✝ : Irrational √↑5
this : Irrational (↑1 + √↑5)

⊢ Irrational φ
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
this✝¹ : Irrational √↑5
this✝ : Irrational (↑1 + √↑5)
this : Irrational (↑0.5 * (↑1 + √↑5))

⊢ Irrational φ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R

⊢ nodal s v ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R

⊢ nodal ∅ v ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R
h : s.Nonempty

⊢ nodal s v ≠ 0
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
l : Filter β
f : β → α
y : α

⊢ Tendsto f l (𝓝 y) ↔ Tendsto (fun x => edist (f x) y) l (𝓝 0)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ

⊢ (W.baseChange B).Φ n = Polynomial.map (↑f) ((W.baseChange A).Φ n)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogDeriv.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
s : Set ℂ
h₁ : HasDerivWithinAt f f' s x
h₂ : f x ∈ slitPlane

⊢ HasDerivWithinAt (fun t => log (f t)) (f' / f x) s x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogDeriv.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
s : Set ℂ
h₁ : HasDerivWithinAt f f' s x
h₂ : f x ∈ slitPlane

⊢ HasDerivWithinAt (fun t => log (f t)) ((f x)⁻¹ * f') s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in atBot, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∃ v ∈ atBot, ∀ y ∈ v, HasDerivAt f (f' y) y
hgg' : ∃ v ∈ atBot, ∀ y ∈ v, HasDerivAt g (g' y) y
hg' : ∃ v ∈ atBot, ∀ y ∈ v, g' y ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atBot
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atBot
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atBot
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atBot
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
hs : s ∈ atBot

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atBot
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atBot
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
hs : ∃ a, ∀ b ≤ a, b ∈ s

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atBot
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atBot
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hl : ∀ b ≤ l, b ∈ s

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l✝
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ atBot
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ atBot
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ atBot
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hl : ∀ b ≤ l, b ∈ s
hl' : Iio l ⊆ s

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l✝
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 1 ≤ a
h : m ≤ n
ha₀ : 0 < a

⊢ a ^ m ≤ a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 1 ≤ a
h : m ≤ n
ha₀ : 0 < a
k : ℕ
hk : ↑k = n - m

⊢ a ^ m ≤ a ^ n
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
hP0 : ¬P = ⊥

⊢ ∏ i ∈ s, f i ≤ P ↔ ∃ i ∈ s, f i ≤ P
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
hP0 : ¬P = ⊥

⊢ P ∣ ∏ i ∈ s, f i ↔ ∃ i ∈ s, P ∣ f i
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
δ : ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n δ ↔ ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
δ : ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ (∃ b, (∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ ↑(↑m / ↑n) = b) ∧ ‖x - b‖ < δ) ↔ ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α

⊢ a + c - (b + c) = a - b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α

⊢ a ≤ a + c - (b + c) + b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α

⊢ a + ?a ≤ a + c - (b + c) + b + ?a
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α

⊢ α
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : AddCommSemigroup α
inst✝³ : Sub α
inst✝² : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a c b : α

⊢ a + ?bc.c ≤ a + c - (b + c) + (b + ?bc.c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : MulPosStrictMono α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α

⊢ 0 ≤ a * b ∨ 0 ≤ b * c ∨ 0 ≤ c * a
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : MulPosStrictMono α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α

⊢ (0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0) ∨ (0 ≤ b ∧ 0 ≤ c ∨ b ≤ 0 ∧ c ≤ 0) ∨ 0 ≤ c ∧ 0 ≤ a ∨ c ≤ 0 ∧ a ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : MulPosStrictMono α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
or_a : 0 ≤ a ∨ a ≤ 0

⊢ (0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0) ∨ (0 ≤ b ∧ 0 ≤ c ∨ b ≤ 0 ∧ c ≤ 0) ∨ 0 ≤ c ∧ 0 ≤ a ∨ c ≤ 0 ∧ a ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : MulPosStrictMono α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
or_a : 0 ≤ a ∨ a ≤ 0
or_b : 0 ≤ b ∨ b ≤ 0

⊢ (0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0) ∨ (0 ≤ b ∧ 0 ≤ c ∨ b ≤ 0 ∧ c ≤ 0) ∨ 0 ≤ c ∧ 0 ≤ a ∨ c ≤ 0 ∧ a ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ b✝ c✝ d : α
inst✝⁴ : ExistsAddOfLE α
inst✝³ : MulPosStrictMono α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
or_a : 0 ≤ a ∨ a ≤ 0
or_b : 0 ≤ b ∨ b ≤ 0
or_c : 0 ≤ c ∨ c ≤ 0

⊢ (0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0) ∨ (0 ≤ b ∧ 0 ≤ c ∨ b ≤ 0 ∧ c ≤ 0) ∨ 0 ≤ c ∧ 0 ≤ a ∨ c ≤ 0 ∧ a ≤ 0
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t₁ t₂ : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
x : α
h₁ : t₁.Bounded o₁ ↑x
h₂ : t₂.Bounded (↑x) o₂

⊢ All (fun y => All (fun z => y < z) t₂) t₁
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t₁ t₂ : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
x : α
h₁ : t₁.Bounded o₁ ↑x
h₂ : t₂.Bounded (↑x) o₂
y : α
yx : y < x

⊢ All (fun z => y < z) t₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Conjugation.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ZMod 2

⊢ Submodule.map involute.toLinearMap (evenOdd Q n) = evenOdd Q n
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n : ℕ

⊢ minimalPeriod f (f^[n] x) = minimalPeriod f x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n : ℕ

⊢ IsPeriodicPt f (minimalPeriod f x) (f^[n] x)
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n : ℕ

⊢ f^[n] x ∈ periodicPts f
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/Monoid.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : Monoid G
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : SmoothMul I G
H' : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
G' : Type u_7
inst✝³ : Monoid G'
inst✝² : TopologicalSpace G'
inst✝¹ : ChartedSpace H' G'
inst✝ : SmoothMul I' G'

⊢ Smooth I I fun a => a ^ 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/Monoid.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : Monoid G
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : SmoothMul I G
H' : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
G' : Type u_7
inst✝³ : Monoid G'
inst✝² : TopologicalSpace G'
inst✝¹ : ChartedSpace H' G'
inst✝ : SmoothMul I' G'

⊢ Smooth I I fun a => 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/Monoid.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝¹⁰ : Monoid G
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : SmoothMul I G
H' : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
G' : Type u_7
inst✝³ : Monoid G'
inst✝² : TopologicalSpace G'
inst✝¹ : ChartedSpace H' G'
inst✝ : SmoothMul I' G'
k : ℕ

⊢ Smooth I I fun a => a ^ (k + 1)
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S

⊢ comap f (sInf {J | K ≤ J ∧ J.IsMaximal}) = sInf {J | comap f K ≤ J ∧ J.IsMaximal}
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S

⊢ comap f (sInf {J | K ≤ J ∧ J.IsMaximal}) ≤ sInf {J | comap f K ≤ J ∧ J.IsMaximal}
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
K : Ideal S

⊢ sInf {J | comap f K ≤ J ∧ J.IsMaximal} ≤ comap f (sInf {J | K ≤ J ∧ J.IsMaximal})
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a b c d : K
hab : Commute a b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ a⁻¹ - b⁻¹ = (b - a) / (a * b)
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₁₂ : I₁₂
h : ¬c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)

⊢ c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ (c₁.next i₁)).f i₂ ≫ K.toGradedObject.ιMapObjOrZero (c₁.π c₂ c₁₂) (c₁.next i₁, i₂) i₁₂ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝³ : Nontrivial E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝¹ : Countable ↥L
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h_cpt : IsCompact s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E ≤ μ s

⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s