ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
k m m' n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
hq : q = trinomial k m' n ↑u ↑v ↑w
f : ℤ[X] → ℤ[X] := fun p => { toFinsupp := Finsupp.filter (fun x => x ∈ Set.Ioo (k + n) (n + n)) p.toFinsupp }
h : m = m' ∧ n - m = n - m' ∨ u = w ∧ m = n - m' + k ∧ n - m + k = m' ∨ ↑u + ↑w = 0 ∧ m = n - m + k ∧ m' = n - m' + k

⊢ q = p ∨ q = p.mirror
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'

⊢ ((Pi.basis s).repr ((stdBasis R Ms j) ((s j) i))) ⟨j', i'⟩ = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'

⊢ ({ toFun := fun f i => (s i).repr (f i), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun f i => (s i).repr.symm (f i), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ((stdBasis R Ms j) ((s j) i)) j') i' = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'

⊢ ((s j').repr ((stdBasis R Ms j) ((s j) i) j')) i' = (Finsupp.single ⟨j, i⟩ 1) ⟨j', i'⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : DecidableEq η
s : (j : η) → Basis (ιs j) R (Ms j)
j : η
i : ιs j
j' : η
i' : ιs j'
hj : ¬j = j'

⊢ ⟨j, i⟩ ≠ ⟨j', i'⟩
-- Mathlib/Order/Sublattice.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M : Sublattice α
f : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α

⊢ ↑L = ∅ ↔ L = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.117700, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.117704, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + -1 = p₂
h₂₃ : p₂ + n = p₃

⊢ p₁ + m = p₃
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.117704, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain F K m
β : Cochain G K n
h : m + 1 = n
p₁ p₂ p₃ : ℤ
h₁₂ : p₁ + -1 = p₂
h₂₃ : p₂ + n = p₃

⊢ (inl φ).v p₁ p₂ h₁₂ ≫ (descCochain φ α β h).v p₂ p₃ h₂₃ = α.v p₁ p₃ ⋯
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n

⊢ dist x z ≤ max (dist x y) (dist y z)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n

⊢ dist x x ≤ max (dist x y) (dist y x)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
hxz : x ≠ z

⊢ dist x z ≤ max (dist x y) (dist y z)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x z : (n : ℕ) → E n
hxz : x ≠ z

⊢ dist x z ≤ max (dist x x) (dist x z)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
hxz : x ≠ z
hxy : x ≠ y

⊢ dist x z ≤ max (dist x y) (dist y z)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
hxy hxz : x ≠ y

⊢ dist x y ≤ max (dist x y) (dist y y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
hxz : x ≠ z
hxy : x ≠ y
hyz : y ≠ z

⊢ dist x z ≤ max (dist x y) (dist y z)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ
h : a < b

⊢ insert a (Ico a.succ b) = Ico a b
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
H : (⇑S.subtype ⁻¹' ((fun p => p.1 / p.2) '' L ×ˢ K)ᶜ)ᶜ.Finite

⊢ {γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅}.Finite
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
H : (⇑S.subtype ⁻¹' ((fun p => p.1 / p.2) '' L ×ˢ K)).Finite

⊢ {γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅}.Finite
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
H : (⇑S.subtype ⁻¹' ((fun p => p.1 / p.2) '' L ×ˢ K)).Finite
x : ↥S

⊢ x ∈ {γ | (fun x => γ • x) '' K ∩ L ≠ ∅} ↔ x ∈ ⇑S.subtype ⁻¹' ((fun p => p.1 / p.2) '' L ×ˢ K)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : Group G
inst✝² : TopologicalGroup G
S✝ : Subgroup G
inst✝¹ : S✝.Normal
inst✝ : IsClosed ↑S✝
S : Subgroup G
hS : Tendsto (⇑S.subtype) cofinite (cocompact G)
K L : Set G
hK : IsCompact K
hL : IsCompact L
H : (⇑S.subtype ⁻¹' ((fun p => p.1 / p.2) '' L ×ˢ K)).Finite
x : ↥S

⊢ x • K ∩ L ≠ ∅ ↔ ∃ a b, (a, b) ∈ L ×ˢ K ∧ a / b = ↑x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Completeness.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ⇑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

⊢ ‖f.extend e h_dense ⋯‖ ≤ ↑N * ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Completeness.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ⇑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

⊢ 0 ≤ ↑N * ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Completeness.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ⇑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

⊢ Continuous fun x => ‖(f.extend e h_dense ⋯) x‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Completeness.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ⇑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

⊢ Continuous fun x => ↑N * ‖f‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Completeness.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝¹ : CompleteSpace F
e : E →L[𝕜] Fₗ
h_dense : DenseRange ⇑e
N : ℝ≥0
h_e : ∀ (x : E), ‖x‖ ≤ ↑N * ‖e x‖
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
x : E

⊢ ‖(f.extend e h_dense ⋯) (e x)‖ ≤ ↑N * ‖f‖ * ‖e x‖
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/FiniteLimits.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
h : ∀ (J : Type w) {𝒥 : SmallCategory J}, FinCategory J → HasColimitsOfShape J C
J : Type
hJ : SmallCategory J
hhJ : FinCategory J
this : HasColimitsOfShape (ULiftHom (ULift.{w, 0} J)) C
l : J ≌ ULiftHom (ULift.{?u.2350, 0} J)

⊢ HasColimitsOfShape J C
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
s : Set α
x : α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddBelow s
hlim : ¬IsPredLimit (sInf s)

⊢ sInf s ∈ s
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
s : Set α
x : α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddBelow s
hlim : ¬IsPredLimit (sInf s)
y : α
hy : sInf s ⋖ y

⊢ sInf s ∈ s
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
s : Set α
x : α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddBelow s
hlim : ¬IsPredLimit (sInf s)
y : α
hy : sInf s ⋖ y
i : α
his : i ∈ s
hi : i < y

⊢ sInf s ∈ s
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n)‖ < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℝ
hε : 0 < ε
ε' : ℚ
hε'0 : 0 < ↑ε'
hε' : ↑ε' < ε

⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n)‖ < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℝ
hε : 0 < ε
ε' : ℚ
hε' : ↑ε' < ε
hε'0 : 0 < ε'

⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n)‖ < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℝ
hε : 0 < ε
ε' : ℚ
hε' : ↑ε' < ε
hε'0 : 0 < ε'
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (mk (nthHomSeq f_compat r) - ↑(↑(nthHomSeq f_compat r) i)) < ε'

⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n)‖ < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℝ
hε : 0 < ε
ε' : ℚ
hε' : ↑ε' < ε
hε'0 : 0 < ε'
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (mk (nthHomSeq f_compat r) - ↑(↑(nthHomSeq f_compat r) i)) < ε'

⊢ ∀ n ≥ N, ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n)‖ < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℝ
hε : 0 < ε
ε' : ℚ
hε' : ↑ε' < ε
hε'0 : 0 < ε'
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (mk (nthHomSeq f_compat r) - ↑(↑(nthHomSeq f_compat r) i)) < ε'
n : ℕ
hn : n ≥ N

⊢ ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n)‖ < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r : R
ε : ℝ
hε : 0 < ε
ε' : ℚ
hε' : ↑ε' < ε
hε'0 : 0 < ε'
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (mk (nthHomSeq f_compat r) - ↑(↑(nthHomSeq f_compat r) i)) < ε'
n : ℕ
hn : n ≥ N

⊢ ‖limNthHom f_compat r - ↑(nthHom f r n)‖ < ↑ε'
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
p' : Filter β

⊢ TendstoUniformlyOnFilter F f p p' ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι × β) in p ×ˢ p', dist (f n.2) (F n.1 n.2) < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
p' : Filter β
H : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι × β) in p ×ˢ p', dist (f n.2) (F n.1 n.2) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α

⊢ ∀ᶠ (n : ι × β) in p ×ˢ p', (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
p' : Filter β
H : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι × β) in p ×ˢ p', dist (f n.2) (F n.1 n.2) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u

⊢ ∀ᶠ (n : ι × β) in p ×ˢ p', (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
ζ : K
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n

⊢ Splits (RingHom.id K) (X ^ n - C 1)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
h0 : 0 ∈ s
f : C(↑s, 𝕜)
hf : f ∈ ↑(adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})

⊢ f ∈ ↑(RingHom.ker (evalStarAlgHom 𝕜 𝕜 ⟨0, h0⟩))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.41105, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
inst✝ : ∀ (X : C), Projective X

⊢ IsSheaf (coherentTopology C) F ↔ Nonempty (PreservesFiniteProducts F)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂✝ a₂ : α
hf : HasSum f a₁

⊢ HasSum (fun i => f i * a₂) (a₁ * a₂)
-- Mathlib/Data/Finsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N

⊢ (f + g).neLocus f = g.support
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogDeriv.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℂ
x : ℝ
f' : ℂ
h₁ : HasDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ slitPlane

⊢ HasDerivAt (fun t => log (f t)) (f' / f x) x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]

⊢ (C a * p).comp r = C a * p.comp r
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : { w // w.IsComplex }
h : minkowskiBound K I < volume (convexBodyLT' K f w₀)

⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w a < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : { w // w.IsComplex }
h : minkowskiBound K I < volume (convexBodyLT' K f w₀)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume

⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w a < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : { w // w.IsComplex }
h : minkowskiBound K I < volume (convexBodyLT' K f w₀)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup

⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w a < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : { w // w.IsComplex }
h : minkowskiBound K I < volume (convexBodyLT' K f w₀)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
h_nz : ⟨x, hx⟩ ≠ 0
h_mem : ↑⟨x, hx⟩ ∈ convexBodyLT' K f w₀

⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w a < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : { w // w.IsComplex }
h : minkowskiBound K I < volume (convexBodyLT' K f w₀)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx✝ : x ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
hx : x ∈ ⇑(mixedEmbedding K) '' ↑↑I
h_nz : ⟨x, hx✝⟩ ≠ 0
h_mem : ↑⟨x, hx✝⟩ ∈ convexBodyLT' K f w₀

⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w a < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : { w // w.IsComplex }
h : minkowskiBound K I < volume (convexBodyLT' K f w₀)
h_fund : IsAddFundamentalDomain (↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup) (fundamentalDomain (fractionalIdealLatticeBasis K I)) volume
this : Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
a : K
ha : a ∈ ↑↑I
hx : (mixedEmbedding K) a ∈ (span ℤ (Set.range ⇑(fractionalIdealLatticeBasis K I))).toAddSubgroup
h_nz : ⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ≠ 0
h_mem : ↑⟨(mixedEmbedding K) a, hx⟩ ∈ convexBodyLT' K f w₀

⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ≠ 0 ∧ (∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑w₀ → w a < ↑(f w)) ∧ |((↑w₀).embedding a).re| < 1 ∧ |((↑w₀).embedding a).im| < ↑(f ↑w₀) ^ 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeas E' 𝕜 m p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑↑f) s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑↑f x ∂μ = 0

⊢ ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeas E' 𝕜 m p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑↑f) s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑↑f x ∂μ = 0
g : α → E'
hg_sm : FinStronglyMeasurable g (μ.trim hm)
hfg : ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] g

⊢ ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeas E' 𝕜 m p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑↑f) s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑↑f x ∂μ = 0
g : α → E'
hg_sm : FinStronglyMeasurable g (μ.trim hm)
hfg : ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] g

⊢ g =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeas E' 𝕜 m p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑↑f) s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑↑f x ∂μ = 0
g : α → E'
hg_sm : FinStronglyMeasurable g (μ.trim hm)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ↑↑↑f x = g x

⊢ g =ᶠ[ae μ] 0