ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
P✝ : Sylow p G
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
N : Subgroup G
P Q : Sylow p G
hP : ↑P ≤ N
hQ : ↑Q ≤ N
h : ∀ (x : ↥N), x ∈ P.subtype hP ↔ x ∈ Q.subtype hQ

⊢ ∀ (x : G), x ∈ P ↔ x ∈ Q
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n

⊢ minpoly ℤ μ ∣ (expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
h : IsPrimitiveRoot μ 0
hdiv : ¬p ∣ 0

⊢ minpoly ℤ μ ∣ (expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n
hpos : n > 0

⊢ minpoly ℤ μ ∣ (expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n
hpos : n > 0
this : IsIntegrallyClosed ℤ := GCDMonoid.toIsIntegrallyClosed

⊢ minpoly ℤ μ ∣ (expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n
hpos : n > 0
this : IsIntegrallyClosed ℤ := GCDMonoid.toIsIntegrallyClosed

⊢ (Polynomial.aeval μ) ((expand ℤ p) (minpoly ℤ (μ ^ p))) = 0
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
p : ℕ
hdiv : ¬p ∣ n
hpos : n > 0
this : IsIntegrallyClosed ℤ := GCDMonoid.toIsIntegrallyClosed

⊢ (Polynomial.aeval (μ ^ p)) (minpoly ℤ (μ ^ p)) = 0
-- Mathlib/Topology/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
s : Set (Set α)
hs : ∀ t ∈ s, Continuous' fun x => x ∈ t

⊢ Continuous' fun x => x ∈ ⋃₀ s
-- Mathlib/Topology/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder α
s : Set (Set α)
hs : ∀ t ∈ s, Continuous' fun x => x ∈ t
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ ⋃₀ s ↔ sSup (setOf ⁻¹' s) x✝
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
inst✝ : Infinite α
hs : s.Finite

⊢ ∃ a, a ∉ s
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
inst✝ : Infinite α
hs : s.Finite
h : ∀ (a : α), a ∈ s

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S

⊢ (W.map f).Ψ₂Sq = Polynomial.map f W.Ψ₂Sq
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S

⊢ C 4 * X ^ 3 + C (f W.b₂) * X ^ 2 + C (2 * f W.b₄) * X + C (f W.b₆) = Polynomial.map f (C 4 * X ^ 3 + C W.b₂ * X ^ 2 + C (2 * W.b₄) * X + C W.b₆)
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p

⊢ WithSeminorms fun i => (Finset.Iic i).sup p
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p

⊢ Seminorm.IsBounded p (fun i => (Finset.Iic i).sup p) LinearMap.id
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹¹ : Nonempty ι
inst✝¹⁰ : Nonempty ι'
inst✝⁹ : NormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝³ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p

⊢ Seminorm.IsBounded (fun i => (Finset.Iic i).sup p) p LinearMap.id
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/ToSquareZero.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
d : Derivation R A ↥I
x : A

⊢ (Ideal.Quotient.mk I) ((liftOfDerivationToSquareZero I hI d) x) = (algebraMap A (B ⧸ I)) x
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/ToSquareZero.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
hI : I ^ 2 = ⊥
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsScalarTower R A B
d : Derivation R A ↥I
x : A

⊢ (Ideal.Quotient.mk I) ((algebraMap A B) x) = (algebraMap A (B ⧸ I)) x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
cs cs' : List Char

⊢ { data := cs ++ cs' }.atEnd { byteIdx := utf8Len cs } = true ↔ cs' = []
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
cs cs' : List Char

⊢ { data := cs ++ cs' }.endPos ≤ { byteIdx := utf8Len cs } ↔ cs' = []
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeInf α
b c : α
inst✝ : OrderTop α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : InfPrime ⊤

⊢ False
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α → β
s : Set α
a : α
b : β

⊢ b ∈ res f s a ↔ a ∈ s ∧ f a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
P : ProjectiveResolution Z
n : ℕ

⊢ ExactAt P.complex (n + 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
P : ProjectiveResolution Z
n : ℕ

⊢ QuasiIsoAt P.π (n + 1)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : SurjOn f₁ s₁ t₁
h₂ : SurjOn f₂ s₂ t₂
x : β₁ × β₂
hx : x ∈ t₁ ×ˢ t₂

⊢ x ∈ (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) '' s₁ ×ˢ s₂
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : SurjOn f₁ s₁ t₁
h₂ : SurjOn f₂ s₂ t₂
x : β₁ × β₂
hx : x ∈ t₁ ×ˢ t₂
a₁ : α₁
ha₁ : a₁ ∈ s₁
hx₁ : f₁ a₁ = x.1

⊢ x ∈ (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) '' s₁ ×ˢ s₂
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
s₁ : Set α₁
s₂ : Set α₂
t₁ : Set β₁
t₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
g₁ : β₁ → α₁
g₂ : β₂ → α₂
h₁ : SurjOn f₁ s₁ t₁
h₂ : SurjOn f₂ s₂ t₂
x : β₁ × β₂
hx : x ∈ t₁ ×ˢ t₂
a₁ : α₁
ha₁ : a₁ ∈ s₁
hx₁ : f₁ a₁ = x.1
a₂ : α₂
ha₂ : a₂ ∈ s₂
hx₂ : f₂ a₂ = x.2

⊢ x ∈ (fun x => (f₁ x.1, f₂ x.2)) '' s₁ ×ˢ s₂
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
t : α
ts is : List α
IH1 : map (map f) (ts.permutationsAux (t :: is)) = (map f ts).permutationsAux (map f (t :: is))
IH2 : map (map f) (is.permutationsAux []) = (map f is).permutationsAux []

⊢ map (map f) ((t :: ts).permutationsAux is) = (map f (t :: ts)).permutationsAux (map f is)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r u : R
hnil : IsNilpotent r
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r u

⊢ IsUnit (u + r)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r u : R
hnil : IsNilpotent r
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r u

⊢ IsUnit (1 + r * ↑hu.unit⁻¹)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r u : R
hnil : IsNilpotent r
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r ↑hu.unit⁻¹

⊢ IsUnit (1 + r * ↑hu.unit⁻¹)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
r u : R
hnil : IsNilpotent r
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r ↑hu.unit⁻¹

⊢ IsNilpotent (r * ↑hu.unit⁻¹)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
x : α × β
a' : α
b' : β

⊢ (a', b') ∈ (G □ H).neighborSet x ↔ (a', b') ∈ G.neighborSet x.1 ×ˢ {x.2} ∪ {x.1} ×ˢ H.neighborSet x.2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
x : α × β
a' : α
b' : β

⊢ G.Adj x.1 a' ∧ x.2 = b' ∨ H.Adj x.2 b' ∧ x.1 = a' ↔ G.Adj x.1 a' ∧ b' = x.2 ∨ a' = x.1 ∧ H.Adj x.2 b'
-- Mathlib/Algebra/Order/Rearrangement.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Monovary f g

⊢ ∑ i : ι, f (σ i) • g i < ∑ i : ι, f i • g i ↔ ¬Monovary (f ∘ ⇑σ) g
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
x : α
l : List α
n : Nat
h : n < l.length

⊢ l[n] = x ↔ l[n]? = some x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
x : α
l : List α
n : Nat
h : n < l.length

⊢ l[n] = x ↔ ∃ h, l[n] = x
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F ⋙ forget MonCat).map f ⟨j₁, y⟩.snd = (F ⋙ forget MonCat).map g ⟨j₃, y'⟩.snd

⊢ colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'

⊢ colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β

⊢ colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₁, y⟩ = colimitMulAux F ⟨j₂, x⟩ ⟨j₃, y'⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β

⊢ ∃ k f g, (F.map f) ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₁, y⟩.snd⟩.snd = (F.map g) ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₃, y'⟩.snd⟩.snd
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β

⊢ (F.map α) ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₁, y⟩.fst)) ⟨j₁, y⟩.snd⟩.snd = (F.map γ) ⟨IsFiltered.max ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst, (F.map (IsFiltered.leftToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₂, x⟩.snd * (F.map (IsFiltered.rightToMax ⟨j₂, x⟩.fst ⟨j₃, y'⟩.fst)) ⟨j₃, y'⟩.snd⟩.snd
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β

⊢ (F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁)) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁)) y) = (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃)) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃)) y')
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β

⊢ (F.map α) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁)) x) * (F.map α) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁)) y) = (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃)) x) * (F.map γ) ((F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃)) y')
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β

⊢ (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₁) ≫ F.map α) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₁) ≫ F.map α) y = (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map (IsFiltered.rightToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) y'
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j₁ : J
y : ↑(F.obj j₁)
j₂ : J
x : ↑(F.obj j₂)
j₃ : J
y' : ↑(F.obj j₃)
l : J
f : ⟨j₁, y⟩.fst ⟶ l
g : ⟨j₃, y'⟩.fst ⟶ l
hfg : (F.map f) y = (F.map g) y'
s : J
α : IsFiltered.max j₂ j₁ ⟶ s
β : l ⟶ s
γ : IsFiltered.max j₂ j₃ ⟶ s
h₁ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₁ ≫ α = f ≫ β
h₂ : IsFiltered.leftToMax j₂ j₁ ≫ α = IsFiltered.leftToMax j₂ j₃ ≫ γ
h₃ : IsFiltered.rightToMax j₂ j₃ ≫ γ = g ≫ β

⊢ (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map f ≫ F.map β) y = (F.map (IsFiltered.leftToMax j₂ j₃) ≫ F.map γ) x * (F.map g ≫ F.map β) y'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Character.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsLieAbelian L
ψ : Module.Dual R L
x y : L

⊢ ψ.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅ψ.toFun x, ψ.toFun y⁆
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

⊢ t ∈ ∂ 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ s.card = t.card + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t✝ : Finset α
a : α
k r : ℕ
t : Finset α
x✝ : t ∈ 𝒜
hst : t✝ ⊆ t

⊢ (t \ t✝).card = 1 ↔ t.card = t✝.card + 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'

⊢ (toMatrix₂' R) (B.compl₁₂ l r) i j = ((toMatrix' l)ᵀ * (toMatrix₂' R) B * toMatrix' r) i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'

⊢ (B (l ((stdBasis R (fun x => R) i) 1))) (r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1)) = ∑ x : m, ∑ i_1 : n, of (fun i j => l ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) i_1 i * (B ((stdBasis R (fun x => R) i_1) 1)) ((stdBasis R (fun x => R) x) 1) * of (fun i j => r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'

⊢ (B (l ((stdBasis R (fun x => R) i) 1))) (r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1)) = ∑ y : n, ∑ x : m, of (fun i j => l ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) y i * (B ((stdBasis R (fun x => R) y) 1)) ((stdBasis R (fun x => R) x) 1) * of (fun i j => r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'

⊢ (((Pi.basisFun R n).repr (l ((stdBasis R (fun x => R) i) 1))).sum fun i xi => ((Pi.basisFun R m).repr (r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1))).sum fun j yj => xi •> yj •> (B ((Pi.basisFun R n) i)) ((Pi.basisFun R m) j)) = ∑ y : n, ∑ x : m, of (fun i j => l ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) y i * (B ((stdBasis R (fun x => R) y) 1)) ((stdBasis R (fun x => R) x) 1) * of (fun i j => r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'

⊢ (∑ i_1 : n, ((Pi.basisFun R m).repr (r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1))).sum fun j yj => ((Pi.basisFun R n).repr (l ((stdBasis R (fun x => R) i) 1))) i_1 •> yj •> (B ((Pi.basisFun R n) i_1)) ((Pi.basisFun R m) j)) = ∑ y : n, ∑ x : m, of (fun i j => l ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) y i * (B ((stdBasis R (fun x => R) y) 1)) ((stdBasis R (fun x => R) x) 1) * of (fun i j => r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i) x j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
l : (n' → R) →ₗ[R] n → R
r : (m' → R) →ₗ[R] m → R
i : n'
j : m'

⊢ ∀ (i : n), (((Pi.basisFun R m).repr (r ((stdBasis R (fun x => R) j) 1))).sum fun j yj => 0 •> yj •> (B ((Pi.basisFun R n) i)) ((Pi.basisFun R m) j)) = 0
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K

⊢ |im z / ‖z‖| ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K

⊢ |im z| / ‖z‖ ≤ 1
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α

⊢ (s ∩ {a}).Nonempty ↔ a ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x✝ : ∃ k, orderOf x = p ^ k
k : ℕ
hk : orderOf x = p ^ k

⊢ x ^ p ^ k = 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x✝ : ∃ m, x ^ p ^ m = 1
w✝ : ℕ
hm : x ^ p ^ w✝ = 1

⊢ ∃ k, orderOf x = p ^ k
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x✝ : ∃ m, x ^ p ^ m = 1
w✝ : ℕ
hm : x ^ p ^ w✝ = 1
k : ℕ
left✝ : k ≤ w✝
hk : orderOf x = p ^ k

⊢ ∃ k, orderOf x = p ^ k
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m

⊢ IsIso (toSpec 𝒜 f).val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m

⊢ (toSpec 𝒜 f).val.base = (projIsoSpecTopComponent f_deg hm).hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
n : ℕ
X₁ X₂ : Cᵒᵖ
f : X₁ ⟶ X₂
Y₁ Y₂ : C
g : Y₁ ⟶ Y₂
α : ↑(((fun X => extFunctorObj (Opposite.unop X) n) X₁).obj Y₁)

⊢ (AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f.unop).comp α ⋯) ⋯) ≫ AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ g).postcomp (Opposite.unop X₂) ⋯)) α = (AddCommGrp.ofHom ((Ext.mk₀ g).postcomp (Opposite.unop X₁) ⋯) ≫ AddCommGrp.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun α => (Ext.mk₀ f.unop).comp α ⋯) ⋯)) α