ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ

⊢ Tendsto (fun m => (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ seq m) / (κ.fst a) (countablePartitionSet n x)) atTop (𝓝 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ univ) / (κ.fst a) (countablePartitionSet n x)))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
h0 : ¬(κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0

⊢ Tendsto (fun m => (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ seq m) / (κ.fst a) (countablePartitionSet n x)) atTop (𝓝 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ univ) / (κ.fst a) (countablePartitionSet n x)))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
h0 : ¬(κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0

⊢ Tendsto (fun m => (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ seq m)) atTop (𝓝 ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ univ)))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
n : ℕ
a : α
x : γ
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
h0 : ¬(κ.fst a) (countablePartitionSet n x) = 0

⊢ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ univ) ≠ 0 ∨ (κ.fst a) (countablePartitionSet n x) ≠ 0
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Inv α
a : Part α
ma : α
ha : ma ∈ a

⊢ ma⁻¹ ∈ a⁻¹
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Inv α
a : Part α
ma : α
ha : ma ∈ a

⊢ ∃ a_1 ∈ a, a_1⁻¹ = ma⁻¹
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h✝ h : Perm α
x✝ : α

⊢ (h * f * h⁻¹) x✝ = x✝ ∨ (h * g * h⁻¹) x✝ = x✝ ↔ f (h⁻¹ x✝) = h⁻¹ x✝ ∨ g (h⁻¹ x✝) = h⁻¹ x✝
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E

⊢ (orthogonalProjection K) v = 0 ↔ v ∈ Kᗮ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
h : (orthogonalProjection K) v = 0

⊢ v ∈ Kᗮ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
h : v ∈ Kᗮ

⊢ v - ↑0 ∈ Kᗮ
-- Mathlib/Algebra/Group/Pi/Basic.lean
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ : I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : (i : I) → One (f i)
inst✝² : (i : I) → One (g i)
inst✝¹ : (i : I) → One (h i)
inst✝ : One β
i : I
x : β
i' : I

⊢ mulSingle i x i' = mulSingle i' x i
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0

⊢ dual A K I⁻¹ = dual A K 1 * I
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice

⊢ let x := minAx.toCompleteLattice; ⨆ i, ⨅ j, f i j = ⨅ g, ⨆ i, f i (g i)
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice

⊢ ⨅ g, ⨆ i, f i (g i) ≤ ⨆ i, ⨅ j, f i j
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice

⊢ ⨆ g, ⨅ i, f (g i) (i (g i)) ≤ ⨆ i, ⨅ j, f i j
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice
g : ((i : ι) → κ i) → ι

⊢ ⨅ i, f (g i) (i (g i)) ≤ ⨆ i, ⨅ j, f i j
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice
g : ((i : ι) → κ i) → ι
a : ι
ha : ∀ (b : κ a), ∃ f, ∃ (h : a = g f), h ▸ b = f (g f)

⊢ ⨅ i, f (g i) (i (g i)) ≤ ⨆ i, ⨅ j, f i j
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice
g : ((i : ι) → κ i) → ι
a : ι
ha : ∀ (b : κ a), ∃ f, ∃ (h : a = g f), h ▸ b = f (g f)

⊢ ⨅ i, f (g i) (i (g i)) ≤ ⨅ j, f a j
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice
g : ((i : ι) → κ i) → ι
a : ι
ha : ∀ (b : κ a), ∃ f, ∃ (h : a = g f), h ▸ b = f (g f)
b : κ a

⊢ ⨅ i, f (g i) (i (g i)) ≤ f a b
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
f : (i : ι) → κ i → α
x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice
g : ((i : ι) → κ i) → ι
h : (i : ι) → κ i
ha : ∀ (b : κ (g h)), ∃ f, ∃ (h_1 : g h = g f), h_1 ▸ b = f (g f)

⊢ ⨅ i, f (g i) (i (g i)) ≤ f (g h) (h (g h))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : HasContDiffBump E
inst✝ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x✝ : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
x : E

⊢ f.normed μ (c - x) = f.normed μ (c + x)
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
s : Set ℝ
h : BddAbove s
h' : s.Nonempty
a : ℝ

⊢ a ≤ sSup s ↔ ∀ ε < 0, ∃ x ∈ s, a + ε < x
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
s : Set ℝ
h : BddAbove s
h' : s.Nonempty
a : ℝ

⊢ (∀ (ε : ℝ), 0 < ε → a < sSup s + ε) ↔ ∀ ε < 0, ∃ x ∈ s, a + ε < x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ : R
a✝ : μ₁ ∈ {μ | ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥}
μ₂ : R
hμ₂ : μ₂ ∈ {μ | ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥}
hμ₁₂ : ⨆ k, (f.genEigenspace μ₁) k = ⨆ k, (f.genEigenspace μ₂) k

⊢ μ₁ = μ₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ : R
a✝ : μ₁ ∈ {μ | ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥}
μ₂ : R
hμ₂ : μ₂ ∈ {μ | ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥}
hμ₁₂ : ⨆ k, (f.genEigenspace μ₁) k = ⨆ k, (f.genEigenspace μ₂) k
contra : ¬μ₁ = μ₂

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ : R
a✝ : μ₁ ∈ {μ | ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥}
μ₂ : R
hμ₂ : μ₂ ∈ {μ | ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k ≠ ⊥}
hμ₁₂ : ⨆ k, (f.genEigenspace μ₁) k = ⨆ k, (f.genEigenspace μ₂) k
contra : ¬μ₁ = μ₂

⊢ ⨆ k, (f.genEigenspace μ₂) k = ⊥
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s t : Set α

⊢ ¬f ≤ g ↔ ∃ s ∈ g, s ∉ f
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
h : H.index = 2
a b : G
ha : a ∉ H
hb : b ∉ H

⊢ a * b ∈ H ↔ (a ∈ H ↔ b ∈ H)
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
h : H.index = 2
a b : G
ha : a ∉ H
hb : b ∉ H

⊢ a * b ∈ H
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
h : H.index = 2
a b : G
ha : a ∉ H
hb : b ∉ H
c : G
hc : ∀ (b : G), Xor' (b * c ∈ H) (b ∈ H)

⊢ a * b ∈ H
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
h : H.index = 2
a b : G
ha : a ∉ H
hb : b ∉ H
c : G
hc : ∀ (b : G), Xor' (b * c ∈ H) (b ∈ H)

⊢ a * b * c ∉ H
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
n d : Int

⊢ -(n /. d) = -n /. d
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b : Ordinal.{u_1}
h : 1 < b
x : Ordinal.{u_1}

⊢ log b x = (sInf {o | x < b ^ o}).pred
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e : α
M : Matroid α
X : Set α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝

⊢ M.closure X = ⋂₀ {F | M.Flat F ∧ X ⊆ F}
-- Mathlib/Data/Int/CardIntervalMod.lean
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
x : ℤ

⊢ x ∈ map castEmbedding (filter (fun x => x ≡ v [MOD r]) (Ico a b)) ↔ x ∈ filter (fun x => x ≡ ↑v [ZMOD ↑r]) (Ico ↑a ↑b)
-- Mathlib/Data/Int/CardIntervalMod.lean
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
x : ℤ

⊢ (∃ a_1, ((a ≤ a_1 ∧ a_1 < b) ∧ a_1 ≡ v [MOD r]) ∧ ↑a_1 = x) ↔ (↑a ≤ x ∧ x < ↑b) ∧ x ≡ ↑v [ZMOD ↑r]
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
A : C
f₁ f₂ : A ⟶ S.rightHomology
h : f₁ ≫ S.rightHomologyι = f₂ ≫ S.rightHomologyι

⊢ f₁ = f₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G

⊢ a * c * (b / c) = a * b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Array/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α

⊢ ∀ {L : Array (Array α)}, a ∈ L.join ↔ ∃ l, l ∈ L ∧ a ∈ l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Array/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α

⊢ ∀ {L : Array (Array α)}, (∃ l, (∃ a, a ∈ L.data ∧ a.data = l) ∧ a ∈ l) ↔ ∃ l, l ∈ L.data ∧ a ∈ l.data
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)

⊢ ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a

⊢ ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a
B : ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), AEMeasurable.mk f hf (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

⊢ ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)
A : ∫⁻ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (z : β × γ), AEMeasurable.mk f hf z ∂(κ ⊗ₖ η) a
B : ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ), AEMeasurable.mk f hf (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a

⊢ Measurable (AEMeasurable.mk f hf)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a

⊢ (f₁ - g).neLocus (f₂ - g) = f₁.neLocus f₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FunctorToTypes.lean
J : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} K
F : J ⥤ K ⥤ TypeMax
k : K
t : Cocone F
h : IsColimit t
x : t.pt.obj k
hev : IsColimit (((evaluation K TypeMax).obj k).mapCocone t) := isColimitOfPreserves ((evaluation K TypeMax).obj k) h

⊢ ∃ j y, x = (t.ι.app j).app k y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FunctorToTypes.lean
J : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} K
F : J ⥤ K ⥤ TypeMax
k : K
t : Cocone F
h : IsColimit t
hev : IsColimit (((evaluation K TypeMax).obj k).mapCocone t) := isColimitOfPreserves ((evaluation K TypeMax).obj k) h
j : J
y : (F ⋙ (evaluation K TypeMax).obj k).obj j

⊢ ∃ j_1 y_1, (((evaluation K TypeMax).obj k).mapCocone t).ι.app j y = (t.ι.app j_1).app k y_1
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
y : Set β

⊢ maximals r (⇑f ⁻¹' y) = ⇑f ⁻¹' maximals s (y ∩ range ⇑f)
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
y : Set β

⊢ ⇑f ⁻¹' y = univ ∩ ⇑f ⁻¹' y
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
y : Set β

⊢ ⇑f ⁻¹' maximals s (y ∩ range ⇑f) = univ ∩ ⇑f ⁻¹' maximals s (⇑f '' univ ∩ y)
-- Mathlib/Data/Vector/Mem.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
v : Vector α n

⊢ a' ∈ (a ::ᵥ v).toList ↔ a' = a ∨ a' ∈ v.toList
-- Mathlib/Data/Multiset/Range.lean
a b : ℕ

⊢ range (a + b) = range a ∪ map (fun x => a + x) (range b)
-- Mathlib/Data/Multiset/Range.lean
a b : ℕ

⊢ (range a).Disjoint (map (fun x => a + x) (range b))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle

⊢ ∃ p, 0 < p ∧ sinKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ

⊢ ∃ p, 0 < p ∧ sinKernel ↑a =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)

⊢ ∃ p, 0 < p ∧ sinKernel ↑a =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)

⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖sinKernel (↑a) x‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ ‖sinKernel (↑a) t‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 t
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ ‖∑' (b : ℕ), 2 * ↑b * Real.sin (2 * π * a * ↑b) * rexp (-π * ↑b ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * ∑' (n : ℕ), HurwitzKernelBounds.f_nat 1 0 t n
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ HasSum (fun n => 2 * HurwitzKernelBounds.f_nat 1 0 t n) (2 * ∑' (n : ℕ), HurwitzKernelBounds.f_nat 1 0 t n)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_nat 1 0 =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ ∀ (i : ℕ), ‖2 * ↑i * Real.sin (2 * π * a * ↑i) * rexp (-π * ↑i ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.f_nat 1 0 t i
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f

⊢ IsLocalAtTarget P.universally
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f

⊢ ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : Y.Opens), P.universally f → P.universally (f ∣_ U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
hP₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)) → P f

⊢ ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), P.universally (f ∣_ U i)) → P.universally f
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
r : List α

⊢ take ((r ++ l₁).length - l₁.length) (r ++ l₁) ++ l₁ = r ++ l₁
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Ring R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
s : Set M₂
h₀ : s.Nonempty
h₁ : s ⊆ ↑(range f)

⊢ span R (⇑f ⁻¹' s) = comap f (span R₂ s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Ring R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
s : Set M₂
h₀ : s.Nonempty
h₁ : s ⊆ ↑(range f)

⊢ comap f (span R₂ s) ≤ span R (⇑f ⁻¹' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Ring R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
s : Set M₂
h₀ : s.Nonempty
h₁ : s ⊆ ↑(range f)
hk : ker f ≤ span R (⇑f ⁻¹' s)

⊢ comap f (span R₂ s) ≤ span R (⇑f ⁻¹' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Ring R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
s : Set M₂
h₀ : s.Nonempty
h₁ : s ⊆ ↑(range f)
hk : span R (⇑f ⁻¹' s) = span R (⇑f ⁻¹' s) ⊔ ker f

⊢ comap f (span R₂ s) ≤ span R (⇑f ⁻¹' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Ring R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
s : Set M₂
h₀ : s.Nonempty
h₁ : s ⊆ Set.range ⇑f
hk : span R (⇑f ⁻¹' s) = span R (⇑f ⁻¹' s) ⊔ ker f

⊢ comap f (span R₂ s) ≤ span R (⇑f ⁻¹' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Ring R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
s : Set M₂
h₀ : s.Nonempty
h₁ : s ⊆ Set.range ⇑f
hk : span R (⇑f ⁻¹' s) = span R (⇑f ⁻¹' s) ⊔ ker f

⊢ range f ⊓ span R₂ s ≤ span R₂ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.9011, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝¹ : HasWeakSheafify J D
inst✝ : J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X'✝ X✝ : Sheaf J E
Y✝ : Sheaf J D
f : X'✝ ⟶ X✝
g : X✝ ⟶ (sheafCompose J F).obj Y✝

⊢ sheafifyLift J (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X'✝.val Y✝.val).symm (f.val ≫ g.val)) ⋯ = ((presheafToSheaf J D).map (whiskerRight f.val G)).val ≫ sheafifyLift J (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val).symm g.val) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.9011, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝¹ : HasWeakSheafify J D
inst✝ : J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X'✝ X✝ : Sheaf J E
Y✝ : Sheaf J D
f : X'✝ ⟶ X✝
g : X✝ ⟶ (sheafCompose J F).obj Y✝

⊢ sheafifyLift J (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X'✝.val Y✝.val).symm (f.val ≫ g.val)) ⋯ = sheafifyLift J (whiskerRight f.val G ≫ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val).symm g.val) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.9011, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝¹ : HasWeakSheafify J D
inst✝ : J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X'✝ X✝ : Sheaf J E
Y✝ : Sheaf J D
f : X'✝ ⟶ X✝
g : X✝ ⟶ (sheafCompose J F).obj Y✝

⊢ sheafifyLift J (((whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G).map f.val ≫ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val).symm g.val) ⋯ = sheafifyLift J (whiskerRight f.val G ≫ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val).symm g.val) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.9011, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝¹ : HasWeakSheafify J D
inst✝ : J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X'✝ X✝ : Sheaf J E
Y✝ : Sheaf J D
f : X'✝ ⟶ X✝
g : X✝ ⟶ (sheafCompose J F).obj Y✝

⊢ sheafifyLift J (whiskerRight f.val G ≫ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val).symm g.val) ⋯ = sheafifyLift J (whiskerRight f.val G ≫ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val).symm g.val) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.9011, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝¹ : HasWeakSheafify J D
inst✝ : J.HasSheafCompose F
adj : G ⊣ F
X✝ : Sheaf J E
Y✝ Y'✝ : Sheaf J D
f : (composeAndSheafify J G).obj X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Y'✝
x✝ : Cᵒᵖ

⊢ (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y'✝.val) (toSheafify J (X✝.val ⋙ G) ≫ f.val ≫ g.val)).app x✝ = (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv X✝.val Y✝.val) (toSheafify J (X✝.val ⋙ G) ≫ f.val)).app x✝ ≫ F.map (g.val.app x✝)