ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
ι : Type u_5
s : Finset ι
t : ι → Set β
a : ι → α
hs : (↑s).Pairwise (Disjoint on t)
hf : ∀ i ∈ s, HasProd ((t i).mulIndicator f) (a i)

⊢ HasProd ((⋃ i ∈ s, t i).mulIndicator f) (∏ i ∈ s, a i)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
ι : Type u_5
s : Finset ι
t : ι → Set β
a : ι → α
hs : (↑s).Pairwise (Disjoint on t)
hf : ∀ i ∈ s, HasProd ((t i).mulIndicator f) (a i)

⊢ HasProd (fun a => ∏ i ∈ s, (t i).mulIndicator f a) (∏ i ∈ s, a i)
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : Monoid α
x : α
n : ℕ
hn : n ≠ 1

⊢ ¬Irreducible (x ^ n)
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
hf : Injective f

⊢ Injective (image f)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂

⊢ dist t.orthocenter ((EuclideanGeometry.reflection (affineSpan ℝ (t.points '' ↑{i₁, i₂}))) (circumcenter t)) = circumradius t
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Lemmas.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : A

⊢ IsNilpotent (mulRight R a) ↔ IsNilpotent a
-- Mathlib/Algebra/Lie/Free.lean
R : Type u
X : Type v
inst✝ : CommRing R
a b : lib R X
h : Rel R X a b

⊢ Rel R X (-a) (-b)
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α

⊢ {a} ○ {b} = if Disjoint a b then {a ⊔ b} else ∅
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CharP R 2
x y : R

⊢ (x + y) * (x + y) = x * x + y * y
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α

⊢ ∫⁻ (b : β), ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) univ ∂ν a = (κ a) univ
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
m n✝ : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
n : ℕ
ha : a ^ (n + 1) = 0

⊢ a = 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
m n✝ : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
n : ℕ
ha : a ^ n = 0 ∨ a = 0

⊢ a = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R M
e : M ≃ₗ[R] M'
h : ((congr e) B).Nondegenerate

⊢ B.Nondegenerate
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R M
e : M ≃ₗ[R] M'
h : ((congr e) B).Nondegenerate

⊢ B = (congr e.symm) ((congr e) B)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α

⊢ M.Coindep X ↔ (∃ B, M.Base B ∧ B ⊆ M.E \ X) ∧ X ⊆ M.E
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α

⊢ X ⊆ M.E → ((∃ B, M.Base B ∧ Disjoint X B) ↔ ∃ B, M.Base B ∧ B ⊆ M.E ∧ Disjoint B X)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
x y : R₁
hy : y ∈ R₁⁰

⊢ spanSingleton R₁⁰ (mk' K x ⟨y, hy⟩) * ↑I = ↑J ↔ Ideal.span {x} * I = Ideal.span {y} * J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
x y : R₁
hy : y ∈ R₁⁰
this : spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩) * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y) = 1

⊢ spanSingleton R₁⁰ (mk' K x ⟨y, hy⟩) * ↑I = ↑J ↔ Ideal.span {x} * I = Ideal.span {y} * J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
x y : R₁
hy : y ∈ R₁⁰
this : spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩) * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y) = 1
y' : (FractionalIdeal R₁⁰ K)ˣ := Units.mkOfMulEqOne (spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩)) (spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y)) this
coe_y' : ↑y' = spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩)

⊢ spanSingleton R₁⁰ (mk' K x ⟨y, hy⟩) * ↑I = ↑J ↔ Ideal.span {x} * I = Ideal.span {y} * J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : Ideal R₁
x y : R₁
hy : y ∈ R₁⁰
this : spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩) * spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y) = 1
y' : (FractionalIdeal R₁⁰ K)ˣ := Units.mkOfMulEqOne (spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩)) (spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) y)) this
coe_y' : ↑y' = spanSingleton R₁⁰ (mk' K 1 ⟨y, hy⟩)

⊢ spanSingleton R₁⁰ (mk' K x ⟨y, hy⟩) * ↑I = ↑J ↔ ↑y' * ↑(Ideal.span {x} * I) = ↑y' * ↑(Ideal.span {y} * J)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝³ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝² : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝ : Fintype ι
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N i)
b : (i : ι) → Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R ↥(N i)) R ↥(N i) := fun i => Module.Free.chooseBasis R ↥(N i)

⊢ (trace R M) f = ∑ i : ι, (trace R ↥(N i)) (f.restrict ⋯)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
a b c d : R
x : R × R

⊢ ((toLin (Basis.finTwoProd R) (Basis.finTwoProd R)) !![a, b; c, d]) x = (a * x.1 + b * x.2, c * x.1 + d * x.2)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
X : Subobject B
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
h₁ : mk f ≤ X
h₂ : X ≤ mk g

⊢ ofMkLE f X h₁ ≫ X.ofLEMk g h₂ = ofMkLEMk f g ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
X : Subobject B
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
h₁ : mk f ≤ X
h₂ : X ≤ mk g

⊢ (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) ≫ (underlyingIso g).hom = (underlyingIso f).inv ≫ underlying.map ⋯.hom ≫ (underlyingIso g).hom
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), f i < sup f

⊢ (sup f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} #ι
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
H : sup f = lsub f

⊢ (sup f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} #ι
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
H : sup f = lsub f

⊢ (lsub f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} #ι
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
c : ℝ

⊢ cgf (fun x => c) μ t = log (μ Set.univ).toReal + t * c
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
c : ℝ

⊢ log ((μ Set.univ).toReal * rexp (t * c)) = log (μ Set.univ).toReal + t * c
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
c : ℝ

⊢ log (μ Set.univ).toReal + log (rexp (t * c)) = log (μ Set.univ).toReal + t * c
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
c : ℝ

⊢ (μ Set.univ).toReal ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
s : Finset S
f : S → Tropical (WithTop R)

⊢ untrop (∑ i ∈ s, f i) = ⨅ i, untrop (f ↑i)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : l ≤ 𝓟 S

⊢ ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : S ∈ l

⊢ ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : S ∈ l
hl_ne : l.NeBot
hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s

⊢ ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : S ∈ l
hl_ne : l.NeBot
hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s
t : Set α
htS : t ⊆ S
htl : t ∈ l
htU : t ×ˢ t ⊆ U

⊢ ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : S ∈ l
hl_ne : l.NeBot
hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s
t : Set α
htS : t ⊆ S
htl : t ∈ l
htU : t ×ˢ t ⊆ U
i : ι
hi : t ⊆ s i

⊢ ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j
S : Set α := ⋃ i, s i
l : Filter α
hl : Cauchy l
hls : S ∈ l
hl_ne : l.NeBot
hl' : ∀ s ∈ 𝓤 α, ∃ t ∈ l, t ×ˢ t ⊆ s
t : Set α
htS : t ⊆ S
htl : t ∈ l
htU : t ×ˢ t ⊆ U
i : ι
hi : t ⊆ s i
x : α
hxs : x ∈ s i
hlx : l ≤ 𝓝 x

⊢ ∃ x ∈ S, l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.110262}
x : ↑(Iio o)

⊢ ↑x < type fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.110262}
x : ↑(Iio o)

⊢ ↑x < o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o a : Ordinal.{?u.110262}
property✝¹ : a ∈ Iio o
b : Ordinal.{?u.110262}
property✝ : b ∈ Iio o

⊢ { toFun := fun x => enum (fun x x_1 => x < x_1) ↑x ⋯, invFun := fun x => ⟨typein (fun x x_1 => x < x_1) x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨a, property✝¹⟩ ≤ { toFun := fun x => enum (fun x x_1 => x < x_1) ↑x ⋯, invFun := fun x => ⟨typein (fun x x_1 => x < x_1) x, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨b, property✝⟩ ↔ ⟨a, property✝¹⟩ ≤ ⟨b, property✝⟩
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a✝ b✝ : α
a b : WithTop α

⊢ a < b ↔ ∃ p, a = ↑p ∧ ↑p < b
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a✝ b✝ : α
a b : WithTop α

⊢ (∃ a_1, WithTop.toDual a = ↑(toDual a_1) ∧ WithTop.toDual b < ↑(toDual a_1)) ↔ ∃ p, a = ↑p ∧ ↑p < b
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
x✝¹ : Finmap β
x✝ : α

⊢ lookup x✝ (keysLookupEquiv.symm (keysLookupEquiv x✝¹)) = (↑(keysLookupEquiv x✝¹)).2 x✝
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean

⊢ @sections = @sectionsTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
L : List (List α)

⊢ L.sections = L.sectionsTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
L : List (List α)

⊢ L.sections = bif L.any isEmpty then [] else (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
L : List (List α)
e : L.any isEmpty = false

⊢ L.sections = (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
IH : L.sections = (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data

⊢ ((foldr sectionsTR.go #[[]] L).data.bind fun s => map (fun a => a :: s) l) = (Array.foldl (fun acc' l' => foldl (fun acc' a => acc'.push (a :: l')) acc' l) #[] (foldr sectionsTR.go #[[]] L) 0).data
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
IH : L.sections = (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data

⊢ ((foldr sectionsTR.go #[[]] L).data.bind fun s => map (fun a => a :: s) l) = #[].data ++ (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data.bind ?h.h.false.cons.G
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
IH : L.sections = (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data

⊢ List α → List (List α)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
IH : L.sections = (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data

⊢ ∀ (acc : Array (List α)) (a : List α), (foldl (fun acc' a_1 => acc'.push (a_1 :: a)) acc l).data = acc.data ++ ?h.h.false.cons.G a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
l : List α
L : List (List α)
IH : L.sections = (foldr sectionsTR.go #[[]] L).data
acc✝ : Array (List α)
a✝ : List α

⊢ (foldl (fun acc' a => acc'.push (a :: a✝)) acc✝ l).data = acc✝.data ++ map (fun a => a :: a✝) l
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
sym : Symmetric r
h : Irreflexive r

⊢ ∀ {z : Sym2 α}, z ∈ fromRel sym → ¬z.IsDiag
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
sym : Symmetric r
h : Irreflexive r

⊢ ∀ (x y : α), s(x, y) ∈ fromRel sym → ¬s(x, y).IsDiag
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : Set (Subsemigroup M)
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M

⊢ x ∈ ↑(sSup S) ↔ x ∈ ⋃ s ∈ S, ↑s
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Monoidal.lean
V : Type (u + 1)
inst✝³ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
W : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory W
inst✝¹ : MonoidalCategory V
inst✝ : MonoidalCategory W
F : MonoidalFunctor V W
G : MonCat

⊢ (inv (F.mapAction G).ε).hom = inv F.ε
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ : Finset α
u✝ v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
u : α
s : Finset α

⊢ filter (fun x => compress u u x ∈ s) s ∪ filter (fun x => x ∉ s) (image (compress u u) s) = s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ : Finset α
u✝ v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
u : α
s : Finset α

⊢ filter (fun x => compress u u x ∈ s) s = s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ : Finset α
u✝ v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
u : α
s : Finset α

⊢ filter (fun x => x ∉ s) (image (compress u u) s) = ∅
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₂ p₁ p₁'
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
hp₁'p₂ : ¬p₁' = p₂

⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₁' p₂ p₃
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace/DomAct/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace M
inst✝⁵ : MeasurableSpace N
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure M α μ
inst✝ : MeasurableSMul M α
c : Mᵈᵐᵃ
f g : ↥(Lp E p μ)

⊢ edist (c • f) (c • g) = edist f g
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α

⊢ Ico a b ∩ Ici c = Ico (a ⊔ c) b
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
a : A
m : M
a✝ : ι

⊢ ((basisAux A b) (a ⊗ₜ[R] m)) a✝ = (a • Finsupp.mapRange ⇑(algebraMap R A) ⋯ (b.repr m)) a✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/AbsoluteValue.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : LinearOrderedCommRing S
n : Type u_3
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
ι : Type u_4
s : Finset ι
A : ι → Matrix n n R
abv : AbsoluteValue R S
x : S
hx : ∀ (k : ι) (i j : n), abv (A k i j) ≤ x
i j : n

⊢ abv ((∑ k ∈ s, A k) i j) = abv (∑ k ∈ s, A k i j)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Pretriangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.111951, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.111955, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃

⊢ inr φ₁ ≫ map φ₁ φ₂ a b comm = b ≫ inr φ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Pretriangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.111951, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.111955, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃

⊢ (triangle φ₁).mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map a = map φ₁ φ₂ a b comm ≫ (triangle φ₂).mor₃
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
hf : Measurable f

⊢ Measurable (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
hf : Measurable f

⊢ Measurable (uncurry fun x y => f (updateFinset x s y))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
hf : Measurable f

⊢ Measurable fun a => updateFinset a.1 s a.2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
hf : Measurable f

⊢ ∀ (a : δ), Measurable fun x => updateFinset x.1 s x.2 a
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
t : Set α
a b : α
s : Finset α

⊢ (infClosure ↑s).Finite
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α

⊢ x ∈ Ico a b ∪ Ici c ↔ x ∈ Ici (min a c)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
x : α

⊢ a ≤ x ∧ x < b ∨ c ≤ x ↔ a ≤ x ∨ c ≤ x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : ι → Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ((sum μ).withDensity f) s = (sum fun n => (μ n).withDensity f) s
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

⊢ Ici a \ Ici b = Ico a b
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i : ℕ

⊢ ⇑(cast R M ⋯) = _root_.cast ⋯
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
i : ℕ

⊢ ⇑(LinearEquiv.refl R (⨂[R]^i M)) = _root_.cast ⋯
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P

⊢ IsPreconnected {y | s.WOppSide x y}