ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/BilinearForm.lean
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁷ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R₁
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R₂
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₃
inst✝⁹ : AddCommGroup M₃
inst✝⁸ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
A : Type u_11
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Module A M₃
B₃ : BilinForm A M₃
ι : Type u_12
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
M : Matrix ι ι R₃
h : M.Nondegenerate
x : ι → R₃
hx : ∀ (n : ι → R₃), ((Matrix.toBilin' M) x) n = 0
y : ι → R₃

⊢ x ⬝ᵥ M *ᵥ y = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
h : 0 < n

⊢ n.Perfect ↔ ∑ i ∈ n.divisors, i = 2 * n
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
h : 0 < n

⊢ ∑ i ∈ n.properDivisors, i = n ↔ ∑ i ∈ n.properDivisors, i + n = n + n
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α

⊢ M.closure univ = M.E
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a : Ordinal.{u_1}
h : a < ω

⊢ a + ω = ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
n : ℕ
h : ↑n < ω

⊢ ↑n + ω = ω
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
hml : m < l.length

⊢ (l.rotate n)[m]? = l[(m + n) % l.length]?
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
hml : m < l.length

⊢ (drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l)[m]? = l[(m + n) % l.length]?
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
hml : m < l.length
hm : m < (drop (n % l.length) l).length

⊢ (drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l)[m]? = l[(m + n) % l.length]?
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n m : ℕ
hml : m < l.length
hm : (drop (n % l.length) l).length ≤ m

⊢ (drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l)[m]? = l[(m + n) % l.length]?
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E

⊢ finrank F ↥F⟮α⟯ = 1 ↔ α ∈ ⊥
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E

⊢ {α} ⊆ ↑⊥ ↔ α ∈ ⊥
-- Mathlib/Order/Hom/Lattice.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Lattice β
inst✝¹ : Lattice γ
inst✝ : Lattice δ
g : LatticeHom β γ
f₁ f₂ : LatticeHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α

⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
-- Mathlib/Algebra/Group/PNatPowAssoc.lean
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Pow M ℕ+
inst✝ : PNatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ+

⊢ x ^ (m * n) = (x ^ n) ^ m
-- Mathlib/Algebra/Group/PNatPowAssoc.lean
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Pow M ℕ+
inst✝ : PNatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ+

⊢ x ^ (n * m) = (x ^ n) ^ m
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_9, u_1} C₁
inst✝² : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝¹ : Category.{u_7, u_3} C₃
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
X : GradedObject I C₁
Y : GradedObject J C₂
A : C₃
k : K
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p
f : (i : I) → (j : J) → p (i, j) = k → ((F.obj (X i)).obj (Y j) ⟶ A)
i : I
j : J
hij : p (i, j) = k

⊢ ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ mapBifunctorMapObjDesc f = f i j hij
-- Mathlib/Order/Interval/Set/UnorderedInterval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Lattice β
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c x a b : α

⊢ [[a, b]] = [[b, a]]
-- Mathlib/Topology/Baire/Lemmas.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
t : Set α
s : Set X
hs : IsGδ s
hd : Dense s
ht : t.Countable
f : α → Set X
hc : ∀ i ∈ t, IsClosed (f i)
hU : s ⊆ ⋃ i ∈ t, f i
this : Countable ↑t

⊢ Dense (⋃ i ∈ t, interior (f i))
-- Mathlib/Topology/Baire/Lemmas.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
t : Set α
s : Set X
hs : IsGδ s
hd : Dense s
ht : t.Countable
f : α → Set X
this : Countable ↑t
hc : ∀ (x : ↑t), IsClosed (f ↑x)
hU : s ⊆ ⋃ x, f ↑x

⊢ Dense (⋃ x, interior (f ↑x))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Rolle.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁵ : DenselyOrdered X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : LinearOrder Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
l : Y
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hfI : f a = f b

⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, IsExtrOn f (Icc a b) c
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Rolle.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁵ : DenselyOrdered X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : LinearOrder Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
l : Y
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hfI : f a = f b
ne : (Icc a b).Nonempty

⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, IsExtrOn f (Icc a b) c
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Rolle.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁵ : DenselyOrdered X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : LinearOrder Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
l : Y
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hfI : f a = f b
ne : (Icc a b).Nonempty
c : X
cmem : c ∈ Icc a b
cle : ∀ x ∈ Icc a b, f c ≤ f x

⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, IsExtrOn f (Icc a b) c
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Rolle.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁵ : DenselyOrdered X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : LinearOrder Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
l : Y
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hfI : f a = f b
ne : (Icc a b).Nonempty
c : X
cmem : c ∈ Icc a b
cle : ∀ x ∈ Icc a b, f c ≤ f x
C : X
Cmem : C ∈ Icc a b
Cge : ∀ x ∈ Icc a b, f x ≤ f C

⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, IsExtrOn f (Icc a b) c
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s

⊢ s = {a} ∨ s.Nontrivial
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s

⊢ ↑s = {a} ∨ s.Nontrivial
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
M M' : Ideal α
hM : M.IsMaximal
hM' : M'.IsMaximal
hne : M ≠ M'

⊢ M ⊔ M' = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
M M' : Ideal α
hM : M.IsMaximal
hM' : M'.IsMaximal
h : M ⊔ M' ≠ ⊤

⊢ M = M'
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
x : R
hp : ¬1 < p

⊢ x ∈ pNilradical R p ↔ ∃ n, x ^ p ^ n = 0
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
x : R
hp : ¬1 < p

⊢ x = 0 ↔ ∃ n, x ^ p ^ n = 0
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
x : R
hp : ¬1 < p
x✝ : ∃ n, x ^ p ^ n = 0
n : ℕ
h : x ^ p ^ n = 0

⊢ x = 0
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
x : R
hp✝ : ¬1 < p
x✝ : ∃ n, x ^ p ^ n = 0
n : ℕ
h : x ^ p ^ n = 0
hp : p = 0

⊢ x = 0
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
x : R
hp✝ : ¬1 < p
x✝ : ∃ n, x ^ p ^ n = 0
n : ℕ
h : x ^ p ^ n = 0
hp : p = 1

⊢ x = 0
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'

⊢ IndepFun f g μ ↔ ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → μ (f ⁻¹' s ∩ g ⁻¹' t) = μ (f ⁻¹' s) * μ (g ⁻¹' t)
-- Mathlib/Data/ZMod/Module.lean
n : ℕ
M : Type u_1
M₁ : Type u_2
F : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : FunLike F M M₁
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₁
inst✝³ : Module (ZMod n) M
inst✝² : Module (ZMod n) M₁
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubgroupClass S M
x : M
K : S
hx : x ∈ K
c : ZMod n

⊢ c • x ∈ K
-- Mathlib/Data/ZMod/Module.lean
n : ℕ
M : Type u_1
M₁ : Type u_2
F : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : FunLike F M M₁
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₁
inst✝³ : Module (ZMod n) M
inst✝² : Module (ZMod n) M₁
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubgroupClass S M
x : M
K : S
hx : x ∈ K
c : ZMod n

⊢ c.cast • x ∈ K
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m (ForInStep β)
l : List α
init : β

⊢ forIn l init f = ForInStep.run <$> ForInStep.bindList f l (ForInStep.yield init)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m (ForInStep β)
head✝ : α
tail✝ : List α
tail_ih✝ : ∀ (init : β), forIn tail✝ init f = ForInStep.run <$> ForInStep.bindList f tail✝ (ForInStep.yield init)
init : β

⊢ (do let x ← f head✝ init match x with | ForInStep.done b => pure b | ForInStep.yield b => do let a ← ForInStep.bindList f tail✝ (ForInStep.yield b) pure a.run) = do let x ← f head✝ init let a ← ForInStep.bindList f tail✝ x pure a.run
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Identities.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R

⊢ verschiebung (frobenius x) = frobenius (verschiebung x)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Pow.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a : R
n✝ : ℕ
H : -1 ≤ a
n : ℕ

⊢ 1 + ↑n * (a - 1) ≤ a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Pow.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing R
a : R
n✝ : ℕ
H : -1 ≤ a
n : ℕ
this : -2 ≤ a - 1

⊢ 1 + ↑n * (a - 1) ≤ a ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

⊢ (∀ (n : ℕ∞), ContDiff 𝕜 n f) ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiff 𝕜 (↑n) f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l t₁ t₂ : List α
h : t₁ ~ t₂

⊢ l.diff t₁ = l.diff t₂
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f

⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this : LieModule R L M := compLieHom M f

⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)

⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id

⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝¹ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this✝ : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id
this : LieModule.IsNilpotent R L M

⊢ LieModule.IsNilpotent R L₂ M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝¹ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this✝ : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id
this : LieModule.IsNilpotent R L M

⊢ ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, LinearMap.id m⁆ = LinearMap.id ⁅x, m⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝¹ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this✝ : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id
this : LieModule.IsNilpotent R L M
x✝ : L
m✝ : M

⊢ ⁅f x✝, LinearMap.id m✝⁆ = LinearMap.id ⁅x✝, m✝⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
hf : Surjective ⇑f
h : LieAlgebra.IsEngelian R L
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule L₂ M
_i4 : LieModule R L₂ M
h' : ∀ (x : L₂), IsNilpotent ((toEnd R L₂ M) x)
this✝¹ : LieRingModule L M := LieRingModule.compLieHom M f
this✝ : LieModule R L M := compLieHom M f
hnp : ∀ (x : L), IsNilpotent ((toEnd R L M) x)
surj_id : Surjective ⇑LinearMap.id
this : LieModule.IsNilpotent R L M
x✝ : L
m✝ : M

⊢ ⁅f x✝, m✝⁆ = ⁅x✝, m✝⁆
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
ls : Word M
h1 : ls.fstIdx ≠ some i
h2 : m ≠ 1

⊢ cons m ls h1 h2 = of m • ls
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
ls : Word M
h1 : ls.fstIdx ≠ some i
h2 : m ≠ 1

⊢ cons m ls h1 h2 = rcons (let __src := { head := 1, tail := ls, fstIdx_ne := ?m.192609 }; { head := m * { head := 1, tail := ls, fstIdx_ne := ?m.192609 }.head, tail := __src.tail, fstIdx_ne := ⋯ })
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
ls : Word M
h1 : ls.fstIdx ≠ some i
h2 : m ≠ 1

⊢ ls.fstIdx ≠ some i
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
r : ℝ≥0

⊢ HasSum (fun a => ↑(f a)) ↑r ↔ HasSum f r
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
h : Presieve.IsSheaf J₁ (Functor.closedSieves J₂)
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X

⊢ S ∈ J₂.sieves X
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
h : Presieve.IsSheaf J₁ (Functor.closedSieves J₂)
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X

⊢ J₂.close S = ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
h : Presieve.IsSheaf J₁ (Functor.closedSieves J₂)
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X
this : J₂.IsClosed ⊤

⊢ J₂.close S = ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
h : Presieve.IsSheaf J₁ (Functor.closedSieves J₂)
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X
this : J₂.IsClosed ⊤

⊢ ⟨J₂.close S, ⋯⟩ = ⟨⊤, this⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
h : Presieve.IsSheaf J₁ (Functor.closedSieves J₂)
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X
this : J₂.IsClosed ⊤

⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → (Functor.closedSieves J₂).map f.op ⟨J₂.close S, ⋯⟩ = (Functor.closedSieves J₂).map f.op ⟨⊤, this⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
h : Presieve.IsSheaf J₁ (Functor.closedSieves J₂)
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X
this : J₂.IsClosed ⊤
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f

⊢ Sieve.pullback f (J₂.close S) = Sieve.pullback f ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁✝ J₂✝ J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
h : Presieve.IsSheaf J₁ (Functor.closedSieves J₂)
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X
this : J₂.IsClosed ⊤
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f

⊢ ⊤ ∈ J₂.sieves Y
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t✝ : Set α
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
hfs : ∀ b ∈ t, InjOn (fun x => f x b) s
hft : ∀ a ∈ s, InjOn (f a) t

⊢ (image2 f s t).Finite ↔ s.Finite ∧ t.Finite ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t✝ : Set α
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
hfs : ∀ b ∈ t, InjOn (fun x => f x b) s
hft : ∀ a ∈ s, InjOn (f a) t

⊢ ¬(s.Infinite ∧ t.Nonempty ∨ t.Infinite ∧ s.Nonempty) ↔ s.Finite ∧ t.Finite ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t✝ : Set α
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a : α
b : β
hfs : ∀ b ∈ t, InjOn (fun x => f x b) s
hft : ∀ a ∈ s, InjOn (f a) t

⊢ (s.Finite ∨ t = ∅) ∧ (t.Finite ∨ s = ∅) ↔ s.Finite ∧ t.Finite ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
s : Finset ι
m : ι → Multiset α

⊢ a ∈ ∑ i ∈ s, m i ↔ ∃ i ∈ s, a ∈ m i
-- Mathlib/Algebra/Group/Equiv/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G : Type u_10
H : Type u_11
inst✝³ : EquivLike F α β
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
e : M ≃* N
f : N →* P

⊢ (fun f => f.comp ↑e.symm) (f.comp ↑e) = f
-- Mathlib/Tactic/Sat/FromLRAT.lean
v : Valuation
f₁ : Fmla
a : Prop
f₂ : Fmla
b : Prop
h₁ : reify v f₁ a
h₂ : reify v f₂ b
H : ¬v.satisfies_fmla (f₁.and f₂)
hn : ¬(a ∨ b)
c : Clause
h : c ∈ f₁.and f₂
hn' : ¬v.satisfies c

⊢ False
-- Mathlib/Tactic/Sat/FromLRAT.lean
v : Valuation
f₁ : Fmla
a : Prop
f₂ : Fmla
b : Prop
h₁ : reify v f₁ a
h₂ : reify v f₂ b
H : ¬v.satisfies_fmla (f₁.and f₂)
hn : ¬(a ∨ b)
c : Clause
h✝ : c ∈ f₁.and f₂
hn' : ¬v.satisfies c
h : c ∈ f₁

⊢ False
-- Mathlib/Tactic/Sat/FromLRAT.lean
v : Valuation
f₁ : Fmla
a : Prop
f₂ : Fmla
b : Prop
h₁ : reify v f₁ a
h₂ : reify v f₂ b
H : ¬v.satisfies_fmla (f₁.and f₂)
hn : ¬(a ∨ b)
c : Clause
h✝ : c ∈ f₁.and f₂
hn' : ¬v.satisfies c
h : c ∈ f₂

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LE α
inst✝¹ : Mul α
i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : MulLECancellable a

⊢ b * a ≤ c * a ↔ b ≤ c
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
l : List α
s : Multiset α

⊢ ∀ (a : List α), ⟦a⟧ ∈ powersetAux l ↔ ⟦a⟧ ≤ ↑l
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
s : ℝ
hs : 0 < s

⊢ ∃ M ε, 0 < M ∧ 0 < ε ∧ {z | 1 - ε < z.re} ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
hM : 0 < M
hε : 0 < ε
H : ∀ (x y : ℝ), 0 < x → x < ε → |y| < s * x → √(x ^ 2 + y ^ 2) < M * (1 - √((1 - x) ^ 2 + y ^ 2))

⊢ {z | 1 - ε < z.re} ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
hM : 0 < M
hε : 0 < ε
H : ∀ (x y : ℝ), 0 < x → x < ε → |y| < s * x → √(x ^ 2 + y ^ 2) < M * (1 - √((1 - x) ^ 2 + y ^ 2))
z : ℂ
hzl : z ∈ {z | 1 - ε < z.re}
hzr : z ∈ stolzCone s

⊢ z ∈ stolzSet M
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
hM : 0 < M
hε : 0 < ε
H : ∀ (x y : ℝ), 0 < x → x < ε → |y| < s * x → √(x ^ 2 + y ^ 2) < M * (1 - √((1 - x) ^ 2 + y ^ 2))
z : ℂ
hzl : (1 - z).re < ε
hzr : z ∈ stolzCone s

⊢ z ∈ stolzSet M
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
hM : 0 < M
hε : 0 < ε
H : ∀ (x y : ℝ), 0 < x → x < ε → |y| < s * x → √(x ^ 2 + y ^ 2) < M * (1 - √((1 - x) ^ 2 + y ^ 2))
z : ℂ
hzl : (1 - z).re < ε
hzr : |z.im| < s * (1 - z).re

⊢ z ∈ stolzSet M
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
hM : 0 < M
hε : 0 < ε
z : ℂ
hzl : (1 - z).re < ε
hzr : |z.im| < s * (1 - z).re
H : √((1 - z).re ^ 2 + z.im ^ 2) < M * (1 - √((1 - (1 - z).re) ^ 2 + z.im ^ 2))

⊢ z ∈ stolzSet M
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
hM : 0 < M
hε : 0 < ε
z : ℂ
hzl : (1 - z).re < ε
hzr : |z.im| < s * (1 - z).re
H : √((1 - z).re ^ 2 + z.im ^ 2) < M * (1 - √((1 - (1 - z).re) ^ 2 + z.im ^ 2))
h : z.im ^ 2 = (1 - z).im ^ 2

⊢ z ∈ stolzSet M
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
hM : 0 < M
hε : 0 < ε
z : ℂ
hzl : (1 - z).re < ε
hzr : |z.im| < s * (1 - z).re
H : ‖1 - z‖ < M * (1 - ‖z‖)
h : z.im ^ 2 = (1 - z).im ^ 2

⊢ z ∈ stolzSet M
-- Mathlib/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
l✝ : List α
p q : α → Bool
l : List α

⊢ (filter p l).length < l.length ↔ ∃ x, x ∈ l ∧ ¬p x = true
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

⊢ ord I (term I ho) = o