ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
q : R[X]
hp : eval₂ f x p = 0

⊢ eval₂ f x p * eval₂ f x q = 0
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α

⊢ a ∈ stabilizer G s ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a • b ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α

⊢ s ⊆ a⁻¹ • s ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → a • b ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
p₁ p₂ x : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : t ≤ 0

⊢ SameRay R (t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
p₁ p₂ x : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : t ≤ 0

⊢ SameRay R (-t • (p₁ -ᵥ x)) (p₁ -ᵥ x)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
s : Set (CofiniteTopology X)

⊢ IsClosed s ↔ s = univ ∨ s.Finite
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
β : ι → Type u_6
β₁ : ι → Type u_7
β₂ : ι → Type u_8
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (β₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (β₂ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
r : R
hf' : ∀ (i : ι) (x : β₁ i), f i (r • x) = r • f i x
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
i✝ : ι

⊢ (mapRange f hf (r • g)) i✝ = (r • mapRange f hf g) i✝
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β

⊢ f '' (f ⁻¹' s)ᶜ = range f \ s
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
n : ℤ

⊢ a ^ (n - 1) = a ^ (n - 1) * a * a⁻¹
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
ha : a ≠ 0
n : ℤ

⊢ a ^ (n - 1) * a * a⁻¹ = a ^ n * a⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Instances.lean
α : Type u_1
inst✝ : StrictOrderedSemiring α
x : ↑(Ioc 0 1)

⊢ x = 1 ↔ ↑x = 1
-- Mathlib/Algebra/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
x y : P
h : Injective fun x => 2 • x

⊢ (pointReflection x) y = y ↔ y = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : ∀ (a : Pseudoelement P), pseudoApply f a = 0

⊢ f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : ∀ (a : Pseudoelement P), pseudoApply f a = 0

⊢ 𝟙 P ≫ f = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α

⊢ (s ∩ t).card + (s \ t).card = s.card
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char

⊢ ValidFor l.reverse r { s := { data := l ++ r }, i := { byteIdx := utf8ByteSize.go l } }
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Nonsingular P
hPz : P z = 0
hPx : P x = 0

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0
hPx : P x = 0
hP : P y ^ 2 = 0 ∧ 2 * P y ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Star.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
f : 𝕜 → F
inst✝⁴ : StarRing 𝕜
inst✝³ : TrivialStar 𝕜
inst✝² : StarAddMonoid F
inst✝¹ : ContinuousStar F
inst✝ : StarModule 𝕜 F
f' : F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
h : HasDerivAtFilter f f' x L

⊢ HasDerivAtFilter (fun x => star (f x)) (star f') x L
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Translations.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ

⊢ ((IntFractPair.stream v n).bind fun ap_n => if ap_n.fr = 0 then none else some (IntFractPair.of ap_n.fr⁻¹)) = none ↔ IntFractPair.stream v n = none ∨ ∃ ifp, IntFractPair.stream v n = some ifp ∧ ifp.fr = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
s : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥s

⊢ Module.rank K ↥s = 1 ↔ ∃ v₀ ∈ s, v₀ ≠ 0 ∧ s ≤ span K {v₀}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
s : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥s

⊢ (∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : ↥s), ∃ r, r • v₀ = v) ↔ ∃ v₀ ∈ s, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ v ∈ s, ∃ r, r • v₀ = v
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
α : Type u_1
r c✝ : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
hr : 0 < r
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
h : f =o[l] g
c : ℝ
hc : 0 < c

⊢ IsBigOWith c l (fun x => f x ^ r) fun x => g x ^ r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
α : Type u_1
r c✝ : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
hr : 0 < r
hg : 0 ≤ᶠ[l] g
h : f =o[l] g
c : ℝ
hc : 0 < c

⊢ IsBigOWith ((c ^ r⁻¹) ^ r) l (fun x => f x ^ r) fun x => g x ^ r
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι

⊢ gramSchmidt 𝕜 f n = f n - ∑ i ∈ Iio n, ↑((orthogonalProjection (span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f i})) (f n))
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞

⊢ ↑m ≤ lift.{u, v} x ↔ ↑m ≤ x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
C : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ C

⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≤ C
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
C : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ C
this : ∫⁻ (x : α) in univ, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ

⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≤ C
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
C : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ C
this : ∫⁻ (x : α) in univ, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ

⊢ ∫⁻ (x : α) in univ, f x ∂μ ≤ C
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
C : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ C
this : ∫⁻ (x : α) in univ, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
S : ℕ → Set α
x✝ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)
hS_mono : Monotone S

⊢ ∫⁻ (x : α) in ⋃ n, S n, f x ∂μ ≤ ⨆ n, ∫⁻ (x : α) in S n, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
C : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ C
this : ∫⁻ (x : α) in univ, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
S : ℕ → Set α
x✝ : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)
hS_mono : Monotone S

⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂
h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
hT : 0 < T

⊢ Tendsto (fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) atTop atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂
h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
hT : 0 < T

⊢ Tendsto (fun n => sInf ((fun t => ∫ (x : ℝ) in 0 ..t, g x) '' Icc 0 T) + ⌊n / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x) atTop atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂
h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
hT : 0 < T

⊢ Tendsto (fun x => ⌊x / T⌋ • ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x) atTop atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
g : ℝ → ℝ
hg : Periodic g T
h_int : ∀ (t₁ t₂ : ℝ), IntervalIntegrable g volume t₁ t₂
h₀ : 0 < ∫ (x : ℝ) in 0 ..T, g x
hT : 0 < T

⊢ Tendsto (fun x => ⌊x / T⌋) atTop atTop
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R

⊢ IsRegular (X n)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R

⊢ IsLeftRegular (X n)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q P Q : MvPolynomial σ R
hPQ : X n * P = X n * Q
i : σ →₀ ℕ

⊢ coeff i P = coeff i Q
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set β)

⊢ Continuous f ↔ ∀ s ∈ b, IsOpen (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t : TopologicalSpace α
b : Set (Set β)

⊢ b ⊆ {s | IsOpen s} ↔ ∀ s ∈ b, IsOpen (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : M

⊢ (contractRight ((ι Q) x)) d = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) (d x)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
h : ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + 2 * re ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖

⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
V : (Opens ↑Y)ᵒᵖ
x : ↥((Opens.map f).obj (unop V))

⊢ ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app V ≫ germToPullbackStalk C f F ((Opens.map f).obj (unop V)) x = F.germ ⟨f ↑x, ⋯⟩
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

⊢ Icc a b = 0 ↔ ¬a ≤ b
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T : Set (Set X)
T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t
T_count : T.Countable
T_int : t = ⋂₀ T

⊢ HasSeparatingCover s t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T_open : ∀ t ∈ ∅, IsOpen t
T_count : ∅.Countable
T_int : t = ⋂₀ ∅

⊢ HasSeparatingCover s t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T : Set (Set X)
T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t
T_count : T.Countable
T_int : t = ⋂₀ T
T_nonempty : T.Nonempty

⊢ HasSeparatingCover s t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T : Set (Set X)
T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t
T_count : T.Countable
T_int : t = ⋂₀ T
T_nonempty : T.Nonempty
g : ℕ → ↑T
g_surj : Surjective g

⊢ HasSeparatingCover s t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T : Set (Set X)
T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t
T_count : T.Countable
T_int : t = ⋂₀ T
T_nonempty : T.Nonempty
g : ℕ → ↑T
g_surj : Surjective g
g' : ℕ → Set X
g'_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (g' n)
clt_sub_g' : ∀ (n : ℕ), t ⊆ g' n
clg'_sub_g : ∀ (n : ℕ), closure (g' n) ⊆ ↑(g n)

⊢ HasSeparatingCover s t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T : Set (Set X)
T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t
T_count : T.Countable
T_int : t = ⋂₀ T
T_nonempty : T.Nonempty
g : ℕ → ↑T
g_surj : Surjective g
g' : ℕ → Set X
g'_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (g' n)
clt_sub_g' : ∀ (n : ℕ), t ⊆ g' n
clg'_sub_g : ∀ (n : ℕ), closure (g' n) ⊆ ↑(g n)
clg'_int : t = ⋂ i, closure (g' i)

⊢ HasSeparatingCover s t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s t : Set X
inst✝ : NormalSpace X
st_dis : Disjoint s t
t_cl : IsClosed t
T : Set (Set X)
T_open : ∀ t ∈ T, IsOpen t
T_count : T.Countable
T_int : t = ⋂₀ T
T_nonempty : T.Nonempty
g : ℕ → ↑T
g_surj : Surjective g
g' : ℕ → Set X
g'_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (g' n)
clt_sub_g' : ∀ (n : ℕ), t ⊆ g' n
clg'_sub_g : ∀ (n : ℕ), closure (g' n) ⊆ ↑(g n)
clg'_int : t = ⋂ i, closure (g' i)

⊢ s ⊆ ⋃ n, (closure (g' n))ᶜ ∧ ∀ (n : ℕ), IsOpen (closure (g' n))ᶜ ∧ Disjoint (closure (closure (g' n))ᶜ) t
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
m0 m1 : MeasurableSpace α
h : m0 ≤ m1

⊢ m.trim ≤ m.trim
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
m0 m1 : MeasurableSpace α
h : m0 ≤ m1

⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → m.trim s ≤ m s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
m0 m1 : MeasurableSpace α
h : m0 ≤ m1
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ m.trim s ≤ m s
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedLT α
H_succ : (a : α) → ¬IsMax a → C a → C (succ a)
H_lim : (a : α) → IsSuccLimit a → ((b : α) → b < a → C b) → C a
ha : IsSuccLimit a

⊢ SuccOrder.limitRecOn a H_succ H_lim = H_lim a ha fun x x_1 => SuccOrder.limitRecOn x H_succ H_lim
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedLT α
H_succ : (a : α) → ¬IsMax a → C a → C (succ a)
H_lim : (a : α) → IsSuccLimit a → ((b : α) → b < a → C b) → C a
ha : IsSuccLimit a

⊢ (H_lim a ha fun y x => ⋯.fix (fun a IH => if h : IsSuccLimit a then H_lim a h IH else let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMax x ∧ succ x = a) ⋯; ⋯ ▸ H_succ ↑x ⋯ (IH ↑x ⋯)) y) = H_lim a ha fun x x_1 => SuccOrder.limitRecOn x H_succ H_lim
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
h : Decidable (Dom 0)

⊢ toWithTop 0 = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
h : G ≤ H

⊢ G.IsNClique n s → H.IsNClique n s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
h : G ≤ H

⊢ G.IsClique ↑s ∧ s.card = n → H.IsClique ↑s ∧ s.card = n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m k n : ℕ

⊢ (n ∈ Set.range fun n => m * n + k) ↔ n ∈ {n | ↑n = ↑k ∧ k ≤ n}
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m k n : ℕ

⊢ (∃ y, m * y + k = n) ↔ ↑n = ↑k ∧ k ≤ n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m k n : ℕ

⊢ (∃ y, n = k + m * y) ↔ ↑n = ↑k ∧ k ≤ n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m k n : ℕ
x✝ : ∃ y, n = k + m * y
a : ℕ
ha : n = k + m * a

⊢ ↑n = ↑k
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m k n : ℕ
x✝ : ↑n = ↑k ∧ k ≤ n
H₁ : ↑n = ↑k
H₂ : k ≤ n

⊢ ∃ y, n = k + m * y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ i, f i a ∂μ ≤ ⨅ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
ι : Sort u_5
f : ι → α → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (a : α), (⨅ i, f i) a ∂μ ≤ ⨅ i, ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
χ₁ : L → R
a✝ : χ₁ ∈ {χ | weightSpace M χ ≠ ⊥}
χ₂ : L → R
hχ₂ : χ₂ ∈ {χ | weightSpace M χ ≠ ⊥}
hχ₁₂ : weightSpace M χ₁ = weightSpace M χ₂

⊢ χ₁ = χ₂
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
χ₁ : L → R
a✝ : χ₁ ∈ {χ | weightSpace M χ ≠ ⊥}
χ₂ : L → R
hχ₁₂ : weightSpace M χ₁ = weightSpace M χ₂
hχ₂ : χ₁ ≠ χ₂

⊢ χ₂ ∉ {χ | weightSpace M χ ≠ ⊥}
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set α
t : Set β

⊢ kernImage f (s ∪ f ⁻¹' t) = kernImage f s ∪ t
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α

⊢ fract 0 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F

⊢ normSq (⟪x, y⟫_𝕜 • x - ⟪x, x⟫_𝕜 • y) = normSq x * (normSq x * normSq y - ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F

⊢ ⟪⟪x, y⟫_𝕜 • x - ⟪x, x⟫_𝕜 • y, ⟪x, y⟫_𝕜 • x - ⟪x, x⟫_𝕜 • y⟫_𝕜 = ↑(normSq x * (normSq x * normSq y - ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F

⊢ ⟪x, y⟫_𝕜 * ((starRingEnd 𝕜) ⟪x, y⟫_𝕜 * ↑(normSq x)) - ↑(normSq x) * ((starRingEnd 𝕜) ⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪x, y⟫_𝕜) - ⟪x, y⟫_𝕜 * (↑(normSq x) * ⟪y, x⟫_𝕜) + ↑(normSq x) * (↑(normSq x) * ↑(normSq y)) = ↑(normSq x * (normSq x * normSq y) - normSq x * ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F

⊢ ↑‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2 * ↑(normSq x) - ↑(normSq x) * ↑‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2 - ↑(normSq x) * ↑‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2 + ↑(normSq x) * (↑(normSq x) * ↑(normSq y)) = ↑(normSq x * (normSq x * normSq y) - normSq x * ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ^ 2)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
h : centroid k fs₁ s.points = centroid k fs₂ s.points

⊢ fs₁ = fs₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
h : (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₁) = (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₂)

⊢ fs₁ = fs₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
h : (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₁) = (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₂)
ha : (↑univ).indicator (centroidWeightsIndicator k fs₁) = (↑univ).indicator (centroidWeightsIndicator k fs₂)

⊢ fs₁ = fs₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
h : (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₁) = (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₂)
ha : ∀ (a : Fin (n + 1)), (↑fs₁).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₁ + 1))⁻¹) a = (↑fs₂).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₂ + 1))⁻¹) a

⊢ fs₁ = fs₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
h : (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₁) = (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₂)
i : Fin (n + 1)
ha : (↑fs₁).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₁ + 1))⁻¹) i = (↑fs₂).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₂ + 1))⁻¹) i
key : ∀ (n : ℕ), ↑n + 1 ≠ 0

⊢ i ∈ fs₁ ↔ i ∈ fs₂