ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
β : Type u_1
t : TopologicalSpace β
inst✝ : SecondCountableTopology β
f : α → β
b : Set (Set β)
hb : b.Countable
eq : t = generateFrom b
this : TopologicalSpace α := induced f t

⊢ SecondCountableTopology α
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t✝ : TopologicalSpace α
β : Type u_1
t : TopologicalSpace β
inst✝ : SecondCountableTopology β
f : α → β
b : Set (Set β)
hb : b.Countable
eq : t = generateFrom b
this : TopologicalSpace α := induced f t

⊢ induced f t = generateFrom (preimage f '' b)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring k
inst✝⁵ : Monoid G
inst✝⁴ : Monoid H
A : Type u₃
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra k A
B : Type u_3
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra k B
F : MonoidAlgebra k G →ₐ[k] A
f : MonoidAlgebra k G

⊢ F f = sum f fun a b => b • F (single a 1)
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ ⁅I, N ⊓ N'⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ⊓ ⁅I, N'⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ ⁅I, N ⊓ N'⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ∧ ⁅I, N ⊓ N'⁆ ≤ ⁅I, N'⁆
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
inst✝ : CompleteSpace F
h : AnalyticOn 𝕜 f s
y : E
hy : y ∈ s
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p y r

⊢ AnalyticAt 𝕜 (_root_.fderiv 𝕜 f) y
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hx : (aeval x) f = 0
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})

⊢ ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hx : x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree + ∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (Polynomial.map (algebraMap R S) f).coeff ↑i * x ^ ↑i = 0
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})

⊢ ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hx : x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree = -∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (Polynomial.map (algebraMap R S) f).coeff ↑i * x ^ ↑i

⊢ ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hx : x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree = -∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (Polynomial.map (algebraMap R S) f).coeff ↑i * x ^ ↑i
this : ∀ n < f.natDegree, p ∣ f.coeff n

⊢ ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
φ : ℕ → R
hx : x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree = -∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (algebraMap R S) p * ((algebraMap R S) (φ ↑i) * x ^ ↑i)
hφ : ∀ n < f.natDegree, f.coeff n = p * φ n

⊢ ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
φ : ℕ → R
hx : x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree = -∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (algebraMap R S) p * ((algebraMap R S) (φ ↑i) * x ^ ↑i)
hφ : ∀ n < f.natDegree, f.coeff n = p * φ n

⊢ ∃ y ∈ adjoin R {x}, (algebraMap R S) p * y = (algebraMap R S) p * (-1 * ∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (algebraMap R S) (φ ↑i) * x ^ ↑i)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf✝ : f.IsWeaklyEisensteinAt 𝓟
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
p : R
x : S
hmo : f.Monic
hf : f.IsWeaklyEisensteinAt (Submodule.span R {p})
φ : ℕ → R
hx : x ^ (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree = -∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (algebraMap R S) p * ((algebraMap R S) (φ ↑i) * x ^ ↑i)
hφ : ∀ n < f.natDegree, f.coeff n = p * φ n

⊢ -1 * ∑ i : Fin (Polynomial.map (algebraMap R S) f).natDegree, (algebraMap R S) (φ ↑i) * x ^ ↑i ∈ adjoin R {x}
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3

⊢ Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3

⊢ Tendsto (fun a => ↑(↑a)⁻¹) atTop (𝓝 ↑0)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ hG : G.LocalInvariantProp G' P
U : Opens M
f : M → M'
x : ↥U

⊢ LiftPropAt P f ↑x ↔ LiftPropAt P (f ∘ Subtype.val) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f✝ f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG✝ hG : G.LocalInvariantProp G' P
U : Opens M
f : M → M'
x : ↥U

⊢ ContinuousWithinAt f univ ↑x ∧ P (↑(chartAt H' (f ↑x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H ↑x).symm) (↑(chartAt H ↑x).symm ⁻¹' univ) (↑(chartAt H ↑x) ↑x) ↔ ContinuousWithinAt (f ∘ Subtype.val) univ x ∧ P (↑(chartAt H' ((f ∘ Subtype.val) x)) ∘ (f ∘ Subtype.val) ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' univ) (↑(chartAt H x) x)
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
hs : s.Subsingleton
ht : t.Subsingleton
f : α → β → γ

⊢ (Set.image2 f s t).Subsingleton
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
hs : s.Subsingleton
ht : t.Subsingleton
f : α → β → γ

⊢ ((fun x => f x.1 x.2) '' s ×ˢ t).Subsingleton
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
x : E

⊢ ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (-⇑f) x‖ = ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖
-- Mathlib/Topology/Sets/Opens.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
α : Type u_5
U : Opens α
this : TopologicalSpace α := ⊤

⊢ U = ⊥ ∨ U = ⊤
-- Mathlib/Topology/Sets/Opens.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
α : Type u_5
U : Opens α
this : TopologicalSpace α := ⊤

⊢ IsOpen ↑U
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R✝ N
R : Type u_6
A : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A M
hM : Finite R M

⊢ Finite A M
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R✝ N
R : Type u_6
A : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A M
hM : ∃ S, S.Finite ∧ span R S = ⊤

⊢ ∃ S, S.Finite ∧ span A S = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R✝ N
R : Type u_6
A : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A M
S : Set M
hSfin : S.Finite
hSgen : span R S = ⊤

⊢ ∃ S, S.Finite ∧ span A S = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R✝ N
R : Type u_6
A : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A M
S : Set M
hSfin : S.Finite
hSgen : span R S = ⊤

⊢ ⊤ ≤ span A S
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R✝ N
R : Type u_6
A : Type u_7
M : Type u_8
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R A M
S : Set M
hSfin : S.Finite
hSgen : span R S = ⊤
this : span R S ≤ restrictScalars R (span A S)

⊢ ⊤ ≤ span A S
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]

⊢ a.re * b.imJ + -1 * a.imI * b.imK + a.imJ * b.re - -1 * a.imK * b.imI = a.re * b.imJ - a.imI * b.imK + a.imJ * b.re + a.imK * b.imI
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DistribLattice α
x y z a b c : α

⊢ a ⊓ b ⊔ c = (a ⊔ c) ⊓ (b ⊔ c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p : α → Prop
f : β → α
hf : Injective f
hf' : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∈ range f
hf'' : ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → MeasurableSet (f '' s)

⊢ (Measure.comap f μ) univ = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p : α → Prop
f : β → α
hf : Injective f
hf' : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, a ∈ range f
hf'' : ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → MeasurableSet (f '' s)

⊢ f '' univ ∈ ae μ
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
x y : ℤ

⊢ qrSign m n * x = y ↔ x = qrSign m n * y
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
o : (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).Numeric
i : (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves

⊢ ((PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i).Numeric
-- Mathlib/Combinatorics/Configuration.lean
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Membership P L
inst✝¹ : HasLines P L
p : P
l : L
h : p ∉ l
inst✝ : Finite { l // p ∈ l }
hf : ¬Infinite { p // p ∈ l }
this : Fintype { p // p ∈ l }

⊢ pointCount P l ≤ lineCount L p
-- Mathlib/Combinatorics/Configuration.lean
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Membership P L
inst✝¹ : HasLines P L
p : P
l : L
h : p ∉ l
inst✝ : Finite { l // p ∈ l }
hf : ¬Infinite { p // p ∈ l }
this : Fintype { p // p ∈ l }
val✝ : Fintype { l // p ∈ l }

⊢ pointCount P l ≤ lineCount L p
-- Mathlib/Combinatorics/Configuration.lean
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Membership P L
inst✝¹ : HasLines P L
p : P
l : L
h : p ∉ l
inst✝ : Finite { l // p ∈ l }
hf : ¬Infinite { p // p ∈ l }
this : Fintype { p // p ∈ l }
val✝ : Fintype { l // p ∈ l }

⊢ Fintype.card { p // p ∈ l } ≤ Fintype.card { l // p ∈ l }
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L

⊢ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I} = I
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L

⊢ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I} ≤ I
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L

⊢ I ≤ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I}
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥

⊢ I ≤ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I}
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I

⊢ I ≤ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I}
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J

⊢ I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J

⊢ J ⊔ J' = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
a✝ : ∀ (y : LieIdeal K L), (invImage (fun x => finrank K ↥↑x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I

⊢ (invImage (fun x => finrank K ↥↑x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 (J' ⊓ I) I
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
a✝ : ∀ (y : LieIdeal K L), (invImage (fun x => finrank K ↥↑x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I

⊢ ↑(J' ⊓ I) < ↑I
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
a✝ : ∀ (y : LieIdeal K L), (invImage (fun x => finrank K ↥↑x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
hIJ' : I ≤ J'

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
a✝ : ∀ (y : LieIdeal K L), (invImage (fun x => finrank K ↥↑x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
hIJ' : I ≤ J'

⊢ J = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
a✝ : ∀ (y : LieIdeal K L), (invImage (fun x => finrank K ↥↑x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
hIJ' : I ≤ J'

⊢ J ≤ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
f : ι → M
s t : Finset ι
h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 1 → x ∈ t

⊢ ∏ x ∈ s, f x ≤ ∏ x ∈ t, f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g

⊢ inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ lTensor Q g = (range (lTensor Q f)).mkQ
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g

⊢ ∀ (x : Q ⊗[R] N), (inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ lTensor Q g) x = (range (lTensor Q f)).mkQ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N

⊢ (inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ lTensor Q g) y = (range (lTensor Q f)).mkQ y
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData

⊢ cyclesMap' (φ - φ') h₁ h₂ = cyclesMap' φ h₁ h₂ - cyclesMap' φ' h₁ h₂
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hs : (s ∩ u).Nonempty → (s ∩ v).Nonempty → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty

⊢ s ⊆ u ∨ s ⊆ v
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hs : (s ∩ u).Nonempty → (s ∩ v).Nonempty → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
hsu : s ∩ u = ∅

⊢ s ⊆ u ∨ s ⊆ v
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hs : (s ∩ u).Nonempty → (s ∩ v).Nonempty → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
hsu : (s ∩ u).Nonempty

⊢ s ⊆ u ∨ s ⊆ v