ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
h : StrictConvex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b

⊢ (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
h : StrictConvex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b

⊢ a / (a + b) + b / (a + b) = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
h : StrictConvex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b

⊢ (a + b) / (a + b) = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
h : s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • x + b • y ∈ interior s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X : Scheme
R : CommRingCat
h : IsReduced (Spec R)

⊢ _root_.IsReduced ↑R
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : CommSemiring β
inst✝ : ContinuousAdd β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
hg : SuperpolynomialDecay l k g
z : ℕ

⊢ Tendsto (fun a => k a ^ z * (f + g) a) l (𝓝 0)
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝¹ : Monoid M
a : M
inst✝ : Invertible a
ha : a ∈ center M

⊢ ⅟a ∈ center M
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝¹ : Monoid M
a : M
inst✝ : Invertible a
ha : ∀ (g : M), g * a = a * g

⊢ ∀ (g : M), g * ⅟a = ⅟a * g
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im

⊢ jacobiTheta τ = 1 + 2 * ∑' (n : ℕ), cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Dirac.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
a✝ : α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α

⊢ s ∈ ae (dirac a) ↔ s ∈ pure a
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
hfg : f * g = 1

⊢ g * f = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
hfg : f * g = 1
ginj : Injective ⇑g

⊢ g * f = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
hfg : f * g = 1
ginj : Injective ⇑g
i : V →ₗ[K] V
hi : g ∘ₗ i = id

⊢ g * f = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
hfg : f * g = 1
ginj : Injective ⇑g
i : V →ₗ[K] V
hi : g ∘ₗ i = id
this : f * (g * i) = f * 1

⊢ g * f = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
hfg : f * g = 1
ginj : Injective ⇑g
i : V →ₗ[K] V
hi : g ∘ₗ i = id
this : i = f

⊢ g * f = 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ L : A

⊢ (baseChange W B).toAffine.addX (f x₁) (f x₂) (f L) = f ((baseChange W A).toAffine.addX x₁ x₂ L)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ L : A

⊢ (baseChange W B).toAffine.addX (f x₁) (f x₂) (f L) = (baseChange W B).toAffine.addX (f.toRingHom x₁) (f.toRingHom x₂) (f.toRingHom L)
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Group M
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
c : Con M
x✝ y : M
h : c x✝ y
x : M

⊢ c (x⁻¹ * x) 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂

⊢ Disjoint (⨆ k, (f.genEigenspace μ₁) k) (⨆ k, (f.genEigenspace μ₂) k)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂

⊢ ∀ (i i_1 : ℕ), Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) i) ((f.genEigenspace μ₂) i_1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.49535, u_1} E
F : D ⥤ E
G✝ : E ⥤ D
inst✝² : HasWeakSheafify J D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget D)
G : Type (max v₁ u₁) ⥤ D
adj : G ⊣ forget D
X : Sheaf J D

⊢ ((adjunctionToTypes J adj).counit.app X).val = sheafifyLift J ((X.1.associator (forget D) G).hom ≫ (Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).counit.app X.1) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.49535, u_1} E
F : D ⥤ E
G✝ : E ⥤ D
inst✝² : HasWeakSheafify J D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget D)
G : Type (max v₁ u₁) ⥤ D
adj : G ⊣ forget D
X : Sheaf J D

⊢ toSheafify J (((whiskeringRight Cᵒᵖ (Type (max u₁ v₁)) D).obj G).obj ((sheafToPresheaf J (Type (max u₁ v₁))).obj ((sheafEquivSheafOfTypes J).inverse.obj ((sheafForget J).obj X)))) ≫ ((adjunctionToTypes J adj).counit.app X).val = (X.1.associator (forget D) G).hom ≫ (Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).counit.app X.1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.49535, u_1} E
F : D ⥤ E
G✝ : E ⥤ D
inst✝² : HasWeakSheafify J D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget D)
G : Type (max v₁ u₁) ⥤ D
adj : G ⊣ forget D
X : Sheaf J D

⊢ toSheafify J (((whiskeringRight Cᵒᵖ (Type (max u₁ v₁)) D).obj G).obj ((sheafToPresheaf J (Type (max u₁ v₁))).obj ((sheafEquivSheafOfTypes J).inverse.obj ((sheafForget J).obj X)))) ≫ (((sheafCompose J (forget D)).associator (sheafEquivSheafOfTypes J).symm.inverse ((sheafEquivSheafOfTypes J).symm.functor ⋙ composeAndSheafify J G)).hom.app X).val ≫ ((whiskerLeft (sheafCompose J (forget D)) (whiskerRight (sheafEquivSheafOfTypes J).symm.toAdjunction.counit (composeAndSheafify J G))).app X).val ≫ ((adjunction J adj).counit.app X).val = (X.1.associator (forget D) G).hom ≫ (Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).counit.app X.1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.49535, u_1} E
F : D ⥤ E
G✝ : E ⥤ D
inst✝² : HasWeakSheafify J D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget D)
G : Type (max v₁ u₁) ⥤ D
adj : G ⊣ forget D
X : Sheaf J D

⊢ toSheafify J (((whiskeringRight Cᵒᵖ (Type (max u₁ v₁)) D).obj G).obj ((sheafToPresheaf J (Type (max u₁ v₁))).obj ((sheafEquivSheafOfTypes J).inverse.obj ((sheafForget J).obj X)))) ≫ (((sheafCompose J (forget D)).associator (sheafEquivSheafOfTypes J).symm.inverse ((sheafEquivSheafOfTypes J).symm.functor ⋙ composeAndSheafify J G)).hom.app X).val ≫ ((whiskerLeft (sheafCompose J (forget D)) (whiskerRight (sheafEquivSheafOfTypes J).symm.toAdjunction.counit (composeAndSheafify J G))).app X).val ≫ sheafifyLift J (((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv (X.val ⋙ forget D) X.val).symm (𝟙 (X.val ⋙ forget D))) ⋯ = (X.1.associator (forget D) G).hom ≫ (Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).counit.app X.1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.49535, u_1} E
F : D ⥤ E
G✝ : E ⥤ D
inst✝² : HasWeakSheafify J D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget D)
G : Type (max v₁ u₁) ⥤ D
adj : G ⊣ forget D
X : Sheaf J D

⊢ ((whiskeringRight Cᵒᵖ (Type (max u₁ v₁)) D).obj G).map ((sheafToPresheaf J (Type (max u₁ v₁))).map ((sheafEquivSheafOfTypes J).symm.toAdjunction.counit.app ((sheafCompose J (forget D)).obj X))) ≫ ((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv (X.val ⋙ forget D) X.val).symm (𝟙 (X.val ⋙ forget D)) = (X.1.associator (forget D) G).hom ≫ (Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).counit.app X.1
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂

⊢ S₁.rightHomologyIso.inv ≫ rightHomologyMap φ = homologyMap φ ≫ S₂.rightHomologyIso.inv
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/ConcreteColorings.lean
n : ℕ
h : 2 ≤ n

⊢ (pathGraph n).chromaticNumber = 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/ConcreteColorings.lean
n : ℕ
h : 2 ≤ n
hc : (pathGraph n).Colorable (Fintype.card Bool)

⊢ (pathGraph n).chromaticNumber = 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/ConcreteColorings.lean
n : ℕ
h : 2 ≤ n
hc : (pathGraph n).Colorable (Fintype.card Bool)

⊢ (pathGraph n).chromaticNumber ≤ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/ConcreteColorings.lean
n : ℕ
h : 2 ≤ n
hc : (pathGraph n).Colorable (Fintype.card Bool)

⊢ 2 ≤ (pathGraph n).chromaticNumber
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
a : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝

⊢ ((κ.map id ⋯) a) s✝ = (κ a) s✝
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
a : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝

⊢ (Measure.map id (κ a)) s✝ = (κ a) s✝
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ

⊢ #↑(Iio a) = 𝔠
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ

⊢ 𝔠 ≤ #↑(Iio a)
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a : ℝ
h2 : (fun x => a + a - x) '' Iio a = Ioi a

⊢ 𝔠 ≤ #↑(Iio a)
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
h : ∀ (x : α), 𝓝 x ≤ 𝓝 x
s : Set α

⊢ IsOpen s → IsOpen s
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
h : ∀ (x : α), 𝓝 x ≤ 𝓝 x
s : Set α

⊢ (∀ x ∈ s, s ∈ 𝓝 x) → ∀ x ∈ s, s ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Finite m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
G : Type u_7
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G M₁
inst✝ : SMulCommClass G R M₁
g : G
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i✝ : m
j✝ : n

⊢ (toMatrix (g • v₁) v₂) f i✝ j✝ = (toMatrix v₁ v₂) (f ∘ₗ DistribMulAction.toLinearMap R M₁ g) i✝ j✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Finite m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
G : Type u_7
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G M₁
inst✝ : SMulCommClass G R M₁
g : G
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i✝ : m
j✝ : n

⊢ (v₂.repr (f ((g • v₁) j✝))) i✝ = (v₂.repr ((f ∘ₗ DistribMulAction.toLinearMap R M₁ g) (v₁ j✝))) i✝
-- Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝³ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : MulAction Γ T
inst✝ : ContinuousConstSMul Γ T
U : Set T
hU : IsOpen U

⊢ IsOpen (Quotient.mk' '' U)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
Γ : Type u_4
inst✝³ : Group Γ
T : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace T
inst✝¹ : MulAction Γ T
inst✝ : ContinuousConstSMul Γ T
U : Set T
hU : IsOpen U

⊢ IsOpen (⋃ g, (fun x => g • x) '' U)
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
p : α → Bool
a : List α
l : List (List α)

⊢ countP p (a :: l).join = Nat.sum (map (countP p) (a :: l))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F

⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ = ‖⟪y, x⟫_𝕜‖
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ↑(atlas H M)
x : M
hx : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
v : E

⊢ (fderivWithin 𝕜 (↑((↑i).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) v = v
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ↑(atlas H M)
x : M
hx : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
v : E

⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ↑(atlas H M)
x : M
hx : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
v : E

⊢ ↑((↑i).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm =ᶠ[𝓝[range ↑I] ↑((↑i).extend I) x] fun x => x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ↑(atlas H M)
x : M
hx : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
v : E

⊢ (↑((↑i).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x) = ↑((↑i).extend I) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)

⊢ ContinuousOn ((fun i j x => fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) i j) ((fun i => (↑i).source) i ∩ (fun i => (↑i).source) j)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)

⊢ (fun i => (↑i).source) i ∩ (fun i => (↑i).source) j ⊆ ((↑i).extend I).source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)

⊢ MapsTo (↑((↑i).extend I)) ((fun i => (↑i).source) i ∩ (fun i => (↑i).source) j) (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E

⊢ ((fun i j x => fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) j k x) (((fun i j x => fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) i j x) v) = ((fun i j x => fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) (↑((↑i).extend I) x)) i k x) v
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E

⊢ (↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑j).extend I).symm) ∘ ↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm =ᶠ[𝓝[range ↑I] ↑((↑i).extend I) x] ↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j k : ↑(atlas H M)
x : M
hxk : x ∈ (fun i => (↑i).source) k
hxi : x ∈ (fun i => (↑i).source) i
hxj : x ∈ (fun i => (↑i).source) j
v : E

⊢ ((↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑j).extend I).symm) ∘ ↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x) = (↑((↑k).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (↑((↑i).extend I) x)