ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p q : F[X]
hpq : Splits (algebraMap F q.SplittingField) p
hp : IsSolvable p.Gal
hq : IsSolvable (Polynomial.map (algebraMap F p.SplittingField) q).Gal
K : Type u_1 := p.SplittingField
L : Type u_1 := q.SplittingField
this✝¹ : Fact (Splits (algebraMap F L) p)
ϕ : (L ≃ₐ[K] L) ≃* (Polynomial.map (algebraMap F K) q).Gal := (IsSplittingField.algEquiv L (Polynomial.map (algebraMap F K) q)).autCongr
ϕ_inj : Function.Injective ⇑ϕ.toMonoidHom
this✝ : IsSolvable (K ≃ₐ[F] K)
this : IsSolvable (L ≃ₐ[K] L)

⊢ IsSolvable q.Gal
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L

⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
this : (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x) = LinearMap.restrict ((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ⋯

⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
this : (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x) = LinearMap.restrict ((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ⋯
k : ℕ
hk : ↑(weightSpace M χ) ≤ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ k)

⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
this : (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x) = LinearMap.restrict ((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ⋯
k : ℕ
hk : ↑(weightSpace M χ) ≤ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ k)

⊢ ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x)) ^ k = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
this : (toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x) = LinearMap.restrict ((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ⋯
k : ℕ
hk : ↑(weightSpace M χ) ≤ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ k)
m : M
hm : m ∈ ↑(weightSpace M χ)

⊢ ↑((((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - (algebraMap R (Module.End R ↥↑(weightSpace M χ))) (χ x)) ^ k) ⟨m, hm⟩) = ↑(0 ⟨m, hm⟩)
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hab : AddLECancellable (a - b)
h : b ≤ a

⊢ a - c - (a - b) = b - c
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α

⊢ Ici (sSup s) = ⋂ a ∈ s, Ici a
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β

⊢ ↑(s.biUnion t) = ⋃ x ∈ ↑s, ↑(t x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

⊢ {x | ↑x.asIdeal ^ (-↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)) ≠ 1}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

⊢ {x | ¬↑x.asIdeal ^ ↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) = 1}.Finite
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(oneCocycles A)

⊢ ↑f 1 = 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(oneCocycles A)
this : (A.ρ 1) (↑f 1) - ↑f (1 * 1) + ↑f 1 = 0

⊢ ↑f 1 = 0
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : u.r = 0
hs : x✝.IsSpecial

⊢ x✝.reduce.IsSpecial
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : u.r = 0
hs : x✝.IsSpecial

⊢ u.finish.IsSpecial
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
hs : x✝.IsSpecial

⊢ x✝.reduce.IsSpecial
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
hs : x✝.IsSpecial
this : sizeOf u.step < sizeOf u

⊢ x✝.reduce.IsSpecial
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u✝ x✝ : XgcdType
u : XgcdType := x✝
h : ¬u.r = 0
hs : x✝.IsSpecial
this : sizeOf u.step < sizeOf u

⊢ u.step.reduce.flip.IsSpecial
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
γ : Type u_7
f : α × β × γ → M
h : (mulSupport f).Finite

⊢ ∏ᶠ (abc : α × β × γ), f abc = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (c : γ), f (a, b, c)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
γ : Type u_7
f : α × β × γ → M
h : (mulSupport f).Finite

⊢ ∏ᶠ (a : α) (b : β × γ), f (a, b) = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (c : γ), f (a, b, c)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a✝ b : α
s t : Set α
γ : Type u_7
f : α × β × γ → M
h : (mulSupport f).Finite
a : α

⊢ ∏ᶠ (b : β × γ), f (a, b) = ∏ᶠ (b : β) (c : γ), f (a, b, c)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a✝ b : α
s t : Set α
γ : Type u_7
f : α × β × γ → M
h : (mulSupport f).Finite
a : α

⊢ (mulSupport fun b => f (a, b)).Finite
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
x : α

⊢ ({x} ∩ s).encard ≤ 1
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
x : α

⊢ ({x} ∩ s).encard ≤ {x}.encard
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : One α

⊢ ‖1‖₊ = NNReal.sqrt ↑(Fintype.card n) * ‖1‖₊
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : One α

⊢ ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm fun x => 1‖₊ = NNReal.sqrt ↑(Fintype.card n) * ‖1‖₊
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : One α

⊢ ↑(Fintype.card n) ^ (1 / 2).toReal * ‖1‖₊ = NNReal.sqrt ↑(Fintype.card n) * ‖1‖₊
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Unique ι
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : One α

⊢ ↑(Fintype.card n) ^ (1 / 2).toReal * ‖1‖₊ = ↑(Fintype.card n) ^ (1 / 2) * ‖1‖₊
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
p : ℕ := ringChar R

⊢ NeZero ↑↑n
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
p : ℕ := ringChar R
hfin : multiplicity.Finite p ↑n

⊢ NeZero ↑↑n
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ+
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
p : ℕ := ringChar R
hfin : multiplicity.Finite p ↑n
m : ℕ
hm : ↑n = p ^ (multiplicity p ↑n).get hfin * m ∧ ¬p ∣ m

⊢ NeZero ↑↑n
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝¹ : Category.{t, w} J
F : J ⥤ C
inst✝ : PreservesLimit F (forget C)
D : Cone F
hD : IsLimit D
E : Cone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCone D
hE : IsLimit E := isLimitOfPreserves (forget C) hD
G : Cone (F ⋙ forget C) := Types.limitCone (F ⋙ forget C)
hG : IsLimit (Types.limitCone (F ⋙ forget C)) := Types.limitConeIsLimit (F ⋙ forget C)
T : E.pt ≅ G.pt := hE.conePointUniqueUpToIso hG
h : Function.Injective T.hom

⊢ Function.Injective (T.hom ≫ fun x j => G.π.app j x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝¹ : Category.{t, w} J
F : J ⥤ C
inst✝ : PreservesLimit F (forget C)
D : Cone F
hD : IsLimit D
E : Cone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCone D
hE : IsLimit E := isLimitOfPreserves (forget C) hD
G : Cone (F ⋙ forget C) := Types.limitCone (F ⋙ forget C)
hG : IsLimit (Types.limitCone (F ⋙ forget C)) := Types.limitConeIsLimit (F ⋙ forget C)
T : E.pt ≅ G.pt := hE.conePointUniqueUpToIso hG
h : Function.Injective T.hom

⊢ Function.Injective fun x j => G.π.app j x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
f : ι → α

⊢ (∏ j : ι, if j = i then f j else 1) = f i
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M

⊢ closure s = mrange (FreeMonoid.lift Subtype.val)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → E
h : s =ᶠ[ae μ] t

⊢ ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ⨍ (x : α) in t, f x ∂μ
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b b' : β a

⊢ insert a b (singleton a b') = singleton a b
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝¹ : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup M✝¹
inst✝¹² : Module R✝ M✝¹
N✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R M✝
inst✝⁶ : IsNoetherianRing R
M : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R N
hf : Function.Injective ⇑f

⊢ Function.Injective ⇑(AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝¹ : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup M✝¹
inst✝¹² : Module R✝ M✝¹
N✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R M✝
inst✝⁶ : IsNoetherianRing R
M : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R N
hf : Function.Injective ⇑f

⊢ Function.Injective ⇑(↑(ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I N).symm ∘ₗ map I f ∘ₗ ↑(ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I M))
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝¹ : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommGroup M✝¹
inst✝¹² : Module R✝ M✝¹
N✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommGroup N✝
inst✝¹⁰ : Module R✝ N✝
R : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R M✝
inst✝⁶ : IsNoetherianRing R
M : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R N
hf : Function.Injective ⇑f

⊢ Function.Injective ⇑(map I f)
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α

⊢ ReflTransGen (ReflGen r) = ReflTransGen r
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
ha : s ∈ 𝓝 a

⊢ Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 (f a))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
a : α
hf : UniformContinuous fun x => f ↑x
ha : s ∈ 𝓝 a

⊢ Tendsto f (map Subtype.val (𝓝 ⟨a, ⋯⟩)) (𝓝 (f a))
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι✝ : Type u_5
π : ι✝ → Type u_6
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
ι : Sort u_7
f : α → β
s : ι → Set α
hs : ∀ (x : α), ∃ i, s i ∈ 𝓝 x
hf : ∀ (i : ι), ContinuousOn f (s i)
x : α
i : ι
hi : s i ∈ 𝓝 x

⊢ ContinuousAt f x
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι✝ : Type u_5
π : ι✝ → Type u_6
inst✝³ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
ι : Sort u_7
f : α → β
s : ι → Set α
hs : ∀ (x : α), ∃ i, s i ∈ 𝓝 x
hf : ∀ (i : ι), ContinuousOn f (s i)
x : α
i : ι
hi : s i ∈ 𝓝 x

⊢ Tendsto f (𝓝[s i] x) (𝓝 (f x))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
r : R
x : PrimeSpectrum R

⊢ x ∈ ↑(basicOpen r) ↔ x ∈ (zeroLocus {r})ᶜ
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
b c : α

⊢ lcm (0 * b) (0 * c) = normalize 0 * lcm b c
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n

⊢ (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ = j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g k
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k < ↑j

⊢ (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ = j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g k
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑k = ↑j

⊢ (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ = j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g k
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
g : Fin (n + 1) → G
j : Fin (n + 1)
k : Fin n
h : ↑j < ↑k

⊢ (partialProd g (j.succ.succAbove k.castSucc))⁻¹ * partialProd g (j.succAbove k).succ = j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g k
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
e : α ≃* β
hα : UniqueFactorizationMonoid α

⊢ UniqueFactorizationMonoid β
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
e : α ≃* β
hα : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a

⊢ ∀ (a : β), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
e : α ≃* β
hα : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
a : β
ha : a ≠ 0

⊢ ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
e : α ≃* β
hα : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
a : β
ha : a ≠ 0
w : Multiset α
hp : ∀ b ∈ w, Prime b
u : αˣ
h : w.prod * ↑u = e.symm a

⊢ ∃ f, (∀ b ∈ f, Prime b) ∧ f.prod ~ᵤ a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
K : Set E
hK : IsCompact K
hx : x ∈ K

⊢ ∃ y ∈ frontier K, infDist x Kᶜ = dist x y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
K : Set E
hK : IsCompact K
hx : x ∈ K
hx' : x ∈ interior K

⊢ ∃ y ∈ frontier K, infDist x Kᶜ = dist x y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
K : Set E
hK : IsCompact K
hx : x ∈ K
hx' : x ∈ frontier K

⊢ ∃ y ∈ frontier K, infDist x Kᶜ = dist x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : Star α
inst✝ : Star β
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian

⊢ Aᵀ.IsHermitian
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝¹ : Star α
inst✝ : Star β
A : Matrix n n α
h : A.IsHermitian

⊢ (Aᵀ.map star)ᵀ = Aᵀ
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ c :: m₂

⊢ x✝.next { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ c :: m₂
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝

⊢ x✝.next { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
e : m = m₁ ++ c :: m₂

⊢ x✝.next { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l r : List Char
h : ValidFor l (m₁ ++ c :: m₂) r x✝

⊢ x✝.next { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α

⊢ Filter.map rexp atBot = 𝓝[>] 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
P' X' Y' Z' : C
fst' : P' ⟶ X'
snd' : P' ⟶ Y'
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
e₁ : P ≅ P'
e₂ : X ≅ X'
e₃ : Y ≅ Y'
e₄ : Z ≅ Z'
commfst : fst ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ fst'
commsnd : snd ≫ e₃.hom = e₁.hom ≫ snd'
commf : f ≫ e₄.hom = e₂.hom ≫ f'
commg : g ≫ e₄.hom = e₃.hom ≫ g'

⊢ fst' ≫ f' = snd' ≫ g'
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o o' : Ordinal.{max u v}
f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Ordinal.{max u v}
hg : o'.blsub g = o
a : Ordinal.{max u v}
ha : a < o'

⊢ g a ha < o'.blsub g
-- Mathlib/Order/Filter/Curry.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : m.NeBot
s : Set α
t : Set β

⊢ (∀ᶠ (x : α × β) in l.curry m, x ∈ s ×ˢ t) ↔ s ∈ l ∧ t ∈ m
-- Mathlib/Order/Filter/Curry.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : m.NeBot
s : Set α
t : Set β
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ᶠ (y : β) in m, (x, y) ∈ s ×ˢ t

⊢ s ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/Curry.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : m.NeBot
s : Set α
t : Set β
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ᶠ (y : β) in m, (x, y) ∈ s ×ˢ t

⊢ t ∈ m
-- Mathlib/Order/Filter/Curry.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : m.NeBot
s : Set α
t : Set β
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ᶠ (y : β) in m, (x, y) ∈ s ×ˢ t
w✝ : α
hx : ∀ᶠ (y : β) in m, (w✝, y) ∈ s ×ˢ t

⊢ t ∈ m
-- Mathlib/Order/Filter/Curry.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
l : Filter α
m : Filter β
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : m.NeBot
s : Set α
t : Set β
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ∀ᶠ (y : β) in m, (x, y) ∈ s ×ˢ t
w✝ : α
hx : ∀ᶠ (y : β) in m, (w✝, y) ∈ s ×ˢ t

⊢ {x | (fun y => (w✝, y) ∈ s ×ˢ t) x} ⊆ t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s : Set A

⊢ IsClosed (zeroLocus 𝒜 s)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s : Set A

⊢ ∃ s_1, zeroLocus 𝒜 s = zeroLocus 𝒜 s_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftedHom.lean
C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.38390, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{?u.38397, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : HasShift E M
X Y Z T : C
inst✝ : Preadditive C
a b c : M
α₁ α₂ : ShiftedHom X Y a
β : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c

⊢ (α₁ + α₂).comp β h = α₁.comp β h + α₂.comp β h