ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
C✝ : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
C : ℝ≥0
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖₊ ≤ C
hs : Convex ℝ s

⊢ LipschitzOnWith C f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
C✝ : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
C : ℝ≥0
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖₊ ≤ C
hs : Convex ℝ s

⊢ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ‖f x - f y‖ ≤ ↑C * ‖x - y‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
C✝ : ℝ
s : Set E
x✝ y✝ : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
C : ℝ≥0
hf : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
bound : ∀ x ∈ s, ‖f' x‖₊ ≤ C
hs : Convex ℝ s
x : E
x_in : x ∈ s
y : E
y_in : y ∈ s

⊢ ‖f x - f y‖ ≤ ↑C * ‖x - y‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
s : Set 𝕜
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ s, HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s

⊢ HasDerivAt g (g' x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
s : Set 𝕜
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ s, HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
h1 : s ∈ 𝓝 x

⊢ HasDerivAt g (g' x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
s : Set 𝕜
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ s, HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
h1 : s ∈ 𝓝 x
h2 : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2

⊢ HasDerivAt g (g' x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
s : Set 𝕜
hs : IsOpen s
hf' : TendstoLocallyUniformlyOn f' g' l s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ x ∈ s, HasDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ s, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hx : x ∈ s
h1 : s ∈ 𝓝 x
h2 : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2

⊢ TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory.lean
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
ι : Type u_2
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c

⊢ IsZero ((quotient V c).obj C) ↔ Nonempty (Homotopy (𝟙 C) 0)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory.lean
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
ι : Type u_2
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c

⊢ 𝟙 ((quotient V c).obj C) = 0 ↔ Nonempty (Homotopy (𝟙 C) 0)
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ

⊢ m ∣ ↑n ↔ m.natAbs ∣ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E✝ : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E✝
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E✝ → G
C✝ : ℝ
s : Set E✝
x y : E✝
f' g' : E✝ → E✝ →L[𝕜] G
φ : E✝ →L[𝕜] G
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E → G
C : ℝ≥0
hf : Differentiable 𝕜 f
bound : ∀ (x : E), ‖fderiv 𝕜 f x‖₊ ≤ C
A : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 E

⊢ LipschitzWith C f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E✝ : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E✝
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E✝ → G
C✝ : ℝ
s : Set E✝
x y : E✝
f' g' : E✝ → E✝ →L[𝕜] G
φ : E✝ →L[𝕜] G
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E → G
C : ℝ≥0
hf : Differentiable 𝕜 f
bound : ∀ (x : E), ‖fderiv 𝕜 f x‖₊ ≤ C
A : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ 𝕜 E

⊢ LipschitzOnWith C f univ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y S : Scheme
inst✝² : IsAffine X
inst✝¹ : IsAffine Y
inst✝ : IsAffine S
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P (Scheme.Hom.app g ⊤)

⊢ P (Scheme.Hom.app (pullback.fst f g) ⊤)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y S : Scheme
inst✝² : IsAffine X
inst✝¹ : IsAffine Y
inst✝ : IsAffine S
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P (Scheme.Hom.app g ⊤)

⊢ P (Scheme.Hom.app ((PreservesPullback.iso AffineScheme.forgetToScheme (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)).inv ≫ AffineScheme.forgetToScheme.map (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g))) ⊤)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y S : Scheme
inst✝² : IsAffine X
inst✝¹ : IsAffine Y
inst✝ : IsAffine S
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P (Scheme.Hom.app g ⊤)

⊢ P (Scheme.Hom.app (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)) ⊤)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y S : Scheme
inst✝² : IsAffine X
inst✝¹ : IsAffine Y
inst✝ : IsAffine S
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P (Scheme.Hom.app g ⊤)
this : ((PreservesPullback.iso AffineScheme.Γ.rightOp (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)).hom ≫ pullback.fst (AffineScheme.Γ.rightOp.map (AffineScheme.ofHom f)) (AffineScheme.Γ.rightOp.map (AffineScheme.ofHom g))).unop = (AffineScheme.Γ.rightOp.map (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g))).unop

⊢ P (Scheme.Hom.app (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)) ⊤)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y S : Scheme
inst✝² : IsAffine X
inst✝¹ : IsAffine Y
inst✝ : IsAffine S
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P (Scheme.Hom.app g ⊤)
this : (pullback.fst (Scheme.Hom.app (AffineScheme.ofHom f) ⊤).op (Scheme.Hom.app (AffineScheme.ofHom g) ⊤).op).unop ≫ (PreservesPullback.iso (AffineScheme.forgetToScheme.op ⋙ Scheme.Γ).rightOp (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)).hom.unop = Scheme.Hom.app (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)) ⊤

⊢ P (Scheme.Hom.app (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)) ⊤)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
X Y S : Scheme
inst✝² : IsAffine X
inst✝¹ : IsAffine Y
inst✝ : IsAffine S
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P (Scheme.Hom.app g ⊤)
this : (pullback.fst (Scheme.Hom.app (AffineScheme.ofHom f) ⊤).op (Scheme.Hom.app (AffineScheme.ofHom g) ⊤).op).unop ≫ (PreservesPullback.iso (AffineScheme.forgetToScheme.op ⋙ Scheme.Γ).rightOp (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)).hom.unop = Scheme.Hom.app (pullback.fst (AffineScheme.ofHom f) (AffineScheme.ofHom g)) ⊤

⊢ P (pushout.inl (Scheme.Hom.app (AffineScheme.ofHom f) ⊤) (Scheme.Hom.app (AffineScheme.ofHom g) ⊤))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : LipschitzOnWith K f s

⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
s : Finset α

⊢ s.powerset ⊼ s.powerset = s.powerset
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α
a b c d : α

⊢ a ⊔ b = b ↔ a ⊓ b = a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hcd : IntervalIntegrable f μ c d
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in c..d, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in d..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in c..a, f x ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k n : ℕ

⊢ (X ^ k).coeff n = if n = k then 1 else 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hM : M.PosDef

⊢ 0 < M.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hM : M.PosDef

⊢ 0 < ∏ i : n, ↑(⋯.eigenvalues i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hM : M.PosDef

⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, 0 < ↑(⋯.eigenvalues i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hM : M.PosDef
i : n
a✝ : i ∈ Finset.univ

⊢ 0 < ↑(⋯.eigenvalues i)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Field.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra R M
x✝ : L
int✝ : IsIntegral R x✝
h✝ : Splits (algebraMap R K) (minpoly R x✝)
inst✝³ : Algebra K M
inst✝² : IsScalarTower R K M
x : M
int : IsIntegral R x
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsScalarTower R K L
h : Splits (algebraMap R L) (minpoly R x)

⊢ Splits (algebraMap K L) (minpoly K x)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Field.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : Algebra R L
inst✝⁴ : Algebra R M
x✝ : L
int✝ : IsIntegral R x✝
h✝ : Splits (algebraMap R K) (minpoly R x✝)
inst✝³ : Algebra K M
inst✝² : IsScalarTower R K M
x : M
int : IsIntegral R x
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsScalarTower R K L
h : Splits ((algebraMap K L).comp (algebraMap R K)) (minpoly R x)

⊢ Splits (algebraMap K L) (minpoly K x)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)

⊢ ⇑(⨆ i, p i) = ⨆ i, ⇑(p i)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)

⊢ ⨆ p_1, ⇑↑p_1 = ⨆ i, ⇑(p i)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
inst✝ : CompleteLattice α
f : ℝ≥0∞ → α

⊢ ⨅ x, ⨅ (_ : x ≠ ⊤), f x = ⨅ x, f ↑x
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
M' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
hNO : N ≤ O

⊢ ϕ.submoduleImage N = range (ϕ ∘ₗ Submodule.inclusion hNO)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
r : α
A : Matrix n n α

⊢ (r • A).adjugate = r ^ (Fintype.card n - 1) • A.adjugate
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
r : α
A : Matrix n n α

⊢ (of fun i => (r ^ (Fintype.card n - 1) • Aᵀ.cramer) (Pi.single i 1)) = r ^ (Fintype.card n - 1) • of fun i => Aᵀ.cramer (Pi.single i 1)
-- Mathlib/Topology/Instances/RatLemmas.lean
p q : ℚ
s t : Set ℚ
a✝ : (𝓝 ∞).IsCountablyGenerated
this : (comap OnePoint.some (𝓝 ∞)).IsCountablyGenerated

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Instances/RatLemmas.lean
p q : ℚ
s t : Set ℚ
a✝ : (𝓝 ∞).IsCountablyGenerated
this : (cocompact ℚ).IsCountablyGenerated

⊢ False
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/IsometricSMul.lean
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝² : DivInvMonoid M
inst✝¹ : PseudoMetricSpace M
inst✝ : IsometricSMul Mᵐᵒᵖ M
a b c : M

⊢ dist (a / c) (b / c) = dist a b
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
S : Set C(X, α)
hS1 : IsCompact (ContinuousMap.toFun '' S)
hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

⊢ IsCompact S
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
S : Set C(X, α)
hS1 : IsCompact (ContinuousMap.toFun '' S)
hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

⊢ Inducing ⇑(Equiv.Set.image DFunLike.coe S ⋯)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
S : Set C(X, α)
hS1 : IsCompact (ContinuousMap.toFun '' S)
hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

⊢ Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun ?m.51400) ∘ Subtype.val ∘ ⇑(Equiv.Set.image DFunLike.coe S ⋯))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
S : Set C(X, α)
hS1 : IsCompact (ContinuousMap.toFun '' S)
hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

⊢ Set (Set X)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
S : Set C(X, α)
hS1 : IsCompact (ContinuousMap.toFun '' S)
hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

⊢ ⋃₀ ?m.51400 = univ
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
S : Set C(X, α)
hS1 : IsCompact (ContinuousMap.toFun '' S)
hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

⊢ ∀ K ∈ ?m.51400, IsCompact K
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
S : Set C(X, α)
hS1 : IsCompact (ContinuousMap.toFun '' S)
hS2 : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

⊢ ∀ K ∈ ?m.51400, EquicontinuousOn (Subtype.val ∘ ⇑(Equiv.Set.image DFunLike.coe S ⋯)) K
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∈ s

⊢ (insert a (s \ {b})).encard = s.encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∈ s

⊢ a ∉ s \ {b}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
c : ℝ≥0∞

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂c • μ = c.toReal • ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ (o.oangle x (x + y)).cos = ‖x‖ / ‖x + y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1

⊢ (o.oangle x (x + y)).cos = ‖x‖ / ‖x + y‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ↥(Lp E p μ)

⊢ ‖-f‖₊ = ‖f‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v : VectorMeasure α M✝
w✝ : VectorMeasure α N
M : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v₁ v₂ : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
hv₁ : v₁ ≪ᵥ w
hv₂ : v₂ ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑w s = 0

⊢ ↑(v₁ - v₂) s = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Equicontinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
x₀ : β
b : β → ℝ
b_lim : Tendsto b (𝓝 x₀) (𝓝 0)
F : ι → β → α
H : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) ≤ b x

⊢ EquicontinuousAt F x₀
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Equicontinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
x₀ : β
b : β → ℝ
b_lim : Tendsto b (𝓝 x₀) (𝓝 0)
F : ι → β → α
H : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) ≤ b x

⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Equicontinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
x₀ : β
b : β → ℝ
b_lim : Tendsto b (𝓝 x₀) (𝓝 0)
F : ι → β → α
H : ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) ≤ b x
ε : ℝ
ε0 : ε > 0

⊢ ∀ᶠ (x : β) in 𝓝 x₀, ∀ (i : ι), dist (F i x₀) (F i x) < ε
-- Mathlib/Data/Nat/PSub.lean
m n : ℕ

⊢ m.psub n = none ↔ m < n
-- Mathlib/Data/Nat/PSub.lean
m n : ℕ
s : m.psub n = none

⊢ m < n
-- Mathlib/Data/Nat/PSub.lean
m n val✝ : ℕ
s : m.psub n = some val✝

⊢ n ≤ m
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x : ℝ
n : ℕ

⊢ ↑(↑n * x) = n • ↑x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
f : E →ₗ[𝕜] β
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x✝⁸ : E
x✝⁷ : x✝⁸ ∈ s
x✝⁶ : E
x✝⁵ : x✝⁶ ∈ s
x✝⁴ x✝³ : 𝕜
x✝² : 0 ≤ x✝⁴
x✝¹ : 0 ≤ x✝³
x✝ : x✝⁴ + x✝³ = 1

⊢ x✝⁴ • f x✝⁸ + x✝³ • f x✝⁶ ≤ f (x✝⁴ • x✝⁸ + x✝³ • x✝⁶)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/InfiniteSum.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ g i

⊢ Summable f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/InfiniteSum.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace E
f : ι → E
g : ι → ℝ
hg : Summable g
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ g i

⊢ CauchySeq fun s => ∑ b ∈ s, f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r

⊢ volume (Metric.ball a r) = ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r

⊢ ofReal (2 * r) ^ Finset.univ.card = ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
f : α → Bool

⊢ l.length = (filter f l).length + (filter (fun x => !f x) l).length
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (β × β)
F : ι → β → α
hβ : (𝓤 β).HasBasis p s

⊢ UniformEquicontinuous F ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (β × β)
F : ι → β → α
hβ : (𝓤 β).HasBasis p s

⊢ (∀ ib ∈ 𝓤 α, ∃ ia, p ia ∧ ∀ x ∈ s ia, ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ UniformFun.gen ι α ib) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U