ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/EngelSubalgebra.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
h : ∀ x ∈ H, H ≤ engel R x
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H

⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/EngelSubalgebra.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
h : ↑y ∈ engel R ↑x

⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/EngelSubalgebra.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
h : ∃ n, ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = 0

⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/EngelSubalgebra.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
m : ℕ
hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0

⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/EngelSubalgebra.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
m : ℕ
hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0
hmn : m ≤ n

⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/EngelSubalgebra.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
m : ℕ
hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0
hmn : n ≤ m

⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.815889) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f : R → R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, 1 ≤ f x
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ 1 ≤ cfc f a
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ init n (init n x) = init n x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ ∀ (n_1 : ℕ), (init n (init n x)).coeff n_1 = (init n x).coeff n_1
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n i : ℕ

⊢ (init n (init n x)).coeff i = (init n x).coeff i
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n i : ℕ

⊢ (if i < n then if i < n then x.coeff i else 0 else 0) = if i < n then x.coeff i else 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformField.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0

⊢ ContinuousAt hatInv x
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformField.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0

⊢ ∀ᶠ (x : hat K) in 𝓝 x, ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformField.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0

⊢ {0}ᶜ ⊆ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformField.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ∈ {0}ᶜ

⊢ y ∈ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformField.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0

⊢ y ∈ {x | (fun x => ∃ c, Tendsto (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformField.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0

⊢ Cauchy (map (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y)))
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformField.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹

⊢ Cauchy (map (fun x => ↑K x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y)))
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformField.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹

⊢ Cauchy (map (fun y => ↑K y) (map (fun x => x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y))))
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformField.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹

⊢ Cauchy (map (fun x => x⁻¹) (Filter.comap (↑K) (𝓝 y)))
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformField.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹

⊢ Cauchy (Filter.comap (↑K) (𝓝 y))
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformField.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : UniformSpace K
inst✝ : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this : (fun x => ↑K x⁻¹) = (fun y => ↑K y) ∘ fun x => x⁻¹

⊢ 𝓝 0 ⊓ Filter.comap (↑K) (𝓝 y) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α

⊢ ⋃ n, Icc (↑n) (↑n + 1) = univ
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Preorder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
n m : ℕ
ha : 1 < a
h : n < m

⊢ a ^ n < a ^ m
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Preorder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
n : ℕ
ha : 1 < a
k : ℕ
h : n < n.succ + k

⊢ a ^ n < a ^ (n.succ + k)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Preorder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
n : ℕ
ha : 1 < a
k : ℕ

⊢ a ^ n < a ^ (n.succ + k)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Preorder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
n : ℕ
ha : 1 < a
k : ℕ

⊢ a ^ n < a ^ n * a ^ (k + 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun y => c - f y) s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Inverse.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
φ : MvPowerSeries σ R
u : Rˣ
h : (constantCoeff σ R) φ = ↑u
n : σ →₀ ℕ
this : DecidableEq (σ →₀ ℕ) := Classical.decEq (σ →₀ ℕ)
H : n = 0

⊢ (coeff R 0) (φ * φ.invOfUnit u) = (coeff R 0) 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
H : p.toList x = [y]

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m✝ : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x n r
m : ℕ
hm : n ≤ m

⊢ (-pf) m = 0
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ g✝ : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
β : Type u_2
β' : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f : Ω → β
g : Ω → β'
hfm : Measurable f
hgm : Measurable g

⊢ IndepFun f g μ ↔ ∀ {φ : β → ℝ} {ψ : β' → ℝ}, Measurable φ → Measurable ψ → Integrable (φ ∘ f) μ → Integrable (ψ ∘ g) μ → integral μ (φ ∘ f * ψ ∘ g) = integral μ (φ ∘ f) * integral μ (ψ ∘ g)
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ g✝ : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
β : Type u_2
β' : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f : Ω → β
g : Ω → β'
hfm : Measurable f
hgm : Measurable g

⊢ (∀ {φ : β → ℝ} {ψ : β' → ℝ}, Measurable φ → Measurable ψ → Integrable (φ ∘ f) μ → Integrable (ψ ∘ g) μ → integral μ (φ ∘ f * ψ ∘ g) = integral μ (φ ∘ f) * integral μ (ψ ∘ g)) → IndepFun f g μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ g✝ : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
β : Type u_2
β' : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f : Ω → β
g : Ω → β'
hfm : Measurable f
hgm : Measurable g

⊢ (∀ {φ : β → ℝ} {ψ : β' → ℝ}, Measurable φ → Measurable ψ → Integrable (φ ∘ f) μ → Integrable (ψ ∘ g) μ → integral μ (φ ∘ f * ψ ∘ g) = integral μ (φ ∘ f) * integral μ (ψ ∘ g)) → ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ g✝ : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
β : Type u_2
β' : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f : Ω → β
g : Ω → β'
hfm : Measurable f
hgm : Measurable g
h : ∀ {φ : β → ℝ} {ψ : β' → ℝ}, Measurable φ → Measurable ψ → Integrable (φ ∘ f) μ → Integrable (ψ ∘ g) μ → integral μ (φ ∘ f * ψ ∘ g) = integral μ (φ ∘ f) * integral μ (ψ ∘ g)
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B

⊢ μ (f ⁻¹' A ∩ g ⁻¹' B) = μ (f ⁻¹' A) * μ (g ⁻¹' B)
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ g✝ : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
β : Type u_2
β' : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f : Ω → β
g : Ω → β'
hfm : Measurable f
hgm : Measurable g
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B
h : integral μ (A.indicator 1 ∘ f * B.indicator 1 ∘ g) = integral μ (A.indicator 1 ∘ f) * integral μ (B.indicator 1 ∘ g)

⊢ μ (f ⁻¹' A ∩ g ⁻¹' B) = μ (f ⁻¹' A) * μ (g ⁻¹' B)
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ g✝ : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
β : Type u_2
β' : Type u_3
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f : Ω → β
g : Ω → β'
hfm : Measurable f
hgm : Measurable g
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B
h : integral μ (A.indicator 1 ∘ f * B.indicator 1 ∘ g) = integral μ (A.indicator 1 ∘ f) * integral μ (B.indicator 1 ∘ g)

⊢ μ (f ⁻¹' A) * μ (g ⁻¹' B) ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α
f : α → β
hf : ∀ (a : α), ‖f a‖₊ = ‖a‖₊

⊢ ‖A.map f‖₊ = ‖A‖₊
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f : X → Y
s : Set X
hf : ContinuousOn f s
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcov : ⋃ n, K n = s

⊢ IsSigmaCompact (f '' s)
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f : X → Y
s : Set X
hf : ContinuousOn f s
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcov : ⋃ n, K n = s

⊢ ∀ (n : ℕ), IsCompact ((fun n => f '' K n) n)
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
s : Cycle α
h : s.Subsingleton

⊢ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s → x = y
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
l : List α
h : Subsingleton (Quot.mk Setoid.r l)

⊢ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ Quot.mk Setoid.r l → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ Quot.mk Setoid.r l → x = y
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
l : List α
h : l = [] ∨ ∃ a, l = [a]

⊢ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ Quot.mk Setoid.r l → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ Quot.mk Setoid.r l → x = y
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : ListBlank Γ

⊢ l.nth 0 = l.head
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : ListBlank Γ

⊢ (cons l.head l.tail).nth 0 = l.head
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
hl : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |(g x).im|

⊢ (let_fun this := fun x => abs (f x) ^ (g x).re / 1; this) =ᶠ[l] let_fun this := fun x => abs (f x) ^ (g x).re; this
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
hl : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => |(g x).im|

⊢ (fun x => abs (f x) ^ (g x).re) =ᶠ[l] fun x => abs (f x) ^ (g x).re
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hx : s ∈ 𝓝 x

⊢ ContDiffAt 𝕜 n f x
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Types.lean
α : Type u
f g : MonoOver α
t : f ⟶ g
x : (𝟭 (Type u)).obj f.obj.left

⊢ f.obj.hom x ∈ (fun f => Set.range f.obj.hom) g
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ x y

⊢ ‖x‖ - ‖y‖ < ‖x - y‖
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ (x - y + y) y

⊢ ‖x - y + y‖ - ‖y‖ < ‖x - y‖
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M α
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
g✝ : G
a✝ b : α
inst✝³ : Group H
inst✝² : MulAction G H
inst✝¹ : SMulCommClass G H H
inst✝ : IsScalarTower G H H
g : G
a : H
n : ℤ

⊢ (g • a) ^ n = g ^ n • a ^ n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w

⊢ (p.concat h).darts = p.darts.concat { toProd := (v, w), adj := h }
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Subsingleton ↥H

⊢ H = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Subsingleton ↥H

⊢ ∀ x ∈ H, x = 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Subsingleton ↥H
y : G
hy : y ∈ H

⊢ y = 1
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
b : β
p : β → Prop
s : (x : β) → x = b ∨ p x → Set α

⊢ ⋂ x, ⋂ (h : x = b ∨ p x), s x h = s b ⋯ ∩ ⋂ x, ⋂ (h : p x), s x ⋯
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
p : ℝ

⊢ (Summable fun n => (↑n ^ p)⁻¹) ↔ 1 < p
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
p : ℝ
hp : 0 ≤ p

⊢ (Summable fun n => (↑n ^ p)⁻¹) ↔ 1 < p
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
p : ℝ
hp : p < 0

⊢ (Summable fun n => (↑n ^ p)⁻¹) ↔ 1 < p
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hg : ConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ

⊢ ∫ (x : α), g (f x) ∂μ ≤ g (∫ (x : α), f x ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
x : E
hs : s ∈ K.faces

⊢ (convexHull 𝕜) ↑s ⊆ K.space
-- Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
x : E
hs : s ∈ K.faces

⊢ (convexHull 𝕜) ↑s = (convexHull 𝕜) ↑s
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrderIso.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : β

⊢ ⇑e ⁻¹' Ioo a b = Ioo (e.symm a) (e.symm b)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
f₁ : ι → κ
f₂ : (i : ι) → σ i → τ (f₁ i)

⊢ (∀ (i : ι), Continuous fun a => Sigma.map f₁ f₂ ⟨i, a⟩) ↔ ∀ (i : ι), Continuous (f₂ i)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
M : Type u
inst✝² : Monoid M
α : Type v
inst✝¹ : MulAction M α
β : Type u_1
inst✝ : MulAction M β
y : α × β
g : M

⊢ ((fun m => m • y) g).1 ∈ orbit M y.1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ (o.oangle x (x + y)).sin = ‖y‖ / ‖x + y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1

⊢ (o.oangle x (x + y)).sin = ‖y‖ / ‖x + y‖
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
e : α ≃ β
f : Filter β

⊢ map (⇑e) (map (⇑e.symm) f) = map (⇑e) (comap (⇑e) f)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ

⊢ succ ↑n = ↑n + 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ

⊢ ↑n.succ = ↑n + 1
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α

⊢ ∀ (l : List α), foldr cons [] l = l
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Submonoid M
x : M × N

⊢ x ∈ s.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (MonoidHom.fst M N) s
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
this : Nat.choose 4 2 = 6

⊢ bernoulli' 4 = -1 / 30
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
this : Nat.choose 4 2 = 6

⊢ 1 - ∑ k ∈ range 4, ↑(Nat.choose 4 k) / (↑4 - ↑k + 1) * bernoulli' k = -1 / 30
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : β → Set α
S : Set β
h : DirectedOn (s ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) S
ne : S.Nonempty
t : Set α

⊢ t ∈ ⨅ i ∈ S, 𝓟 (s i) ↔ ∃ i ∈ S, s i ⊆ t
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : β → Set α
S : Set β
h : DirectedOn (s ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) S
ne : S.Nonempty
t : Set α

⊢ DirectedOn ((fun i => 𝓟 (s i)) ⁻¹'o fun x x_1 => x ≥ x_1) S
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : β → Set α
S : Set β
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) (s ∘ Subtype.val)
ne : S.Nonempty
t : Set α

⊢ Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) ((fun i => 𝓟 (s i)) ∘ Subtype.val)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : β → Set α
S : Set β
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) (s ∘ Subtype.val)
ne : S.Nonempty
t : Set α

⊢ ∀ ⦃x y : Set α⦄, x ≥ y → 𝓟 x ≥ 𝓟 y
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
f : α → β
h : Injective f
b : β
w : b ∉ Set.range f

⊢ b ∉ map { toFun := f, inj' := h } univ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
hst : G.IsUniform ε s t

⊢ ↑(SimpleGraph.badVertices G ε s t).card ≤ ↑s.card * ε