ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/TensorProduct.lean
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P

⊢ ⇑((liftLie R L M N P) f) = ⇑((lift R L M N P) ↑f)
-- Mathlib/Algebra/Lie/TensorProduct.lean
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P

⊢ ↑((liftLie R L M N P) f) = (lift R L M N P) ↑f
-- Mathlib/Algebra/Lie/TensorProduct.lean
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
m : M
n : N

⊢ ((AlgebraTensorModule.curry ↑((liftLie R L M N P) f)) m) n = ((AlgebraTensorModule.curry ((lift R L M N P) ↑f)) m) n
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℤ
help : ∀ (m : ℤ), 0 ≤ m → m < 8 → χ₈' ↑m = if m % 2 = 0 then 0 else if m = 1 ∨ m = 3 then 1 else -1

⊢ χ₈' ↑n = if n % 2 = 0 then 0 else if n % 8 = 1 ∨ n % 8 = 3 then 1 else -1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℤ
help : ∀ (m : ℤ), 0 ≤ m → m < 8 → χ₈' ↑m = if m % 2 = 0 then 0 else if m = 1 ∨ m = 3 then 1 else -1

⊢ χ₈' ↑(n % ↑8) = if n % 8 % 2 = 0 then 0 else if n % 8 = 1 ∨ n % 8 = 3 then 1 else -1
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂

⊢ comp Q₂ ↑(TensorProduct.lid R M₂) = QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂

⊢ (associatedHom R) (comp Q₂ ↑(TensorProduct.lid R M₂)) = (associatedHom R) (QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₂ m₂' : M₂

⊢ ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (comp Q₂ ↑(TensorProduct.lid R M₂)))) 1) m₂)) 1) m₂' = ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q₂))) 1) m₂)) 1) m₂'
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₂ m₂' : M₂

⊢ (((associatedHom R) (comp Q₂ ↑(TensorProduct.lid R M₂))) (1 ⊗ₜ[R] m₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂') = (((associatedHom R) (QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂')
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₂ : QuadraticForm R M₂
m₂ m₂' : M₂

⊢ ((LinearMap.compl₁₂ ((associatedHom R) Q₂) ↑(TensorProduct.lid R M₂) ↑(TensorProduct.lid R M₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂') = (((associated QuadraticMap.sq).tmul (associated Q₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂)) (1 ⊗ₜ[R] m₂')
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α

⊢ some '' Iio a = Iio ↑a
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
hG : G.Connected
hH : H.Connected

⊢ (G □ H).Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
hG : G.Connected
hH : H.Connected
this : Nonempty α

⊢ (G □ H).Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
hG : G.Connected
hH : H.Connected
this✝ : Nonempty α
this : Nonempty β

⊢ (G □ H).Connected
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : CategoryWithHomology C
inst✝¹ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝ : c.QFactorsThroughHomotopy C
K L : HomologicalComplex C c
φ : { as := K } ⟶ { as := L }

⊢ HomotopyCategory.quasiIso C c φ → IsIso (Qh.map φ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : CategoryWithHomology C
inst✝¹ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝ : c.QFactorsThroughHomotopy C
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L

⊢ HomotopyCategory.quasiIso C c ((HomotopyCategory.quotient C c).map φ) → IsIso (Qh.map ((HomotopyCategory.quotient C c).map φ))
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : CategoryWithHomology C
inst✝¹ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝ : c.QFactorsThroughHomotopy C
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L

⊢ IsIso (Q.map φ) → IsIso (Qh.map ((HomotopyCategory.quotient C c).map φ))
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
hy : y ≠ ⊤

⊢ x.toNNReal = y.toNNReal ↔ x = y
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3

⊢ card α = 0 ↔ IsEmpty α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3

⊢ card α = 0 ↔ #α = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3

⊢ card α = 0 ↔ #α = ↑0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3

⊢ card α = 0 ↔ toPartENat #α = ↑0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f : C₁.Hom C₂
i j : ι
w : c.Rel i j

⊢ f.prev j = (C₁.xPrevIso w).hom ≫ f.f i ≫ (C₂.xPrevIso w).inv
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C C₁ C₂ C₃ : HomologicalComplex V c
f : C₁.Hom C₂
j : ι
w : c.Rel (c.prev j) j

⊢ f.prev j = (C₁.xPrevIso w).hom ≫ f.f (c.prev j) ≫ (C₂.xPrevIso w).inv
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
T : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup T
inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T
f g : AdicCompletion I M → N
h : ∀ (a : AdicCauchySequence I M), f ((mk I M) a) = g ((mk I M) a)
x : AdicCompletion I M

⊢ f x = g x
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
S : Set (UpperSet α)

⊢ ↑(sInf S).compl = ↑(⨅ s ∈ S, s.compl)
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
h : LiftRel r s x y

⊢ x.isRight = true ↔ y.isRight = true
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Int.lean
e : ℤˣ

⊢ ‖↑e‖₊ = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.natDegree
n : ℕ
hn : n ≠ 0
a✝ : Nontrivial R

⊢ (∑ i ∈ range n, P ^ i).Monic
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.natDegree
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hn : n.succ ≠ 0

⊢ (∑ i ∈ range n.succ, P ^ i).Monic
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.natDegree
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hn : n.succ ≠ 0

⊢ (P ^ n + ∑ i ∈ range n, P ^ i).Monic
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.natDegree
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hn : n.succ ≠ 0

⊢ (∑ i ∈ range n, P ^ i).degree < (P ^ n).degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.natDegree
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hn : n.succ ≠ 0

⊢ ((range n).sup fun b => (P ^ b).degree) < (P ^ n).degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.natDegree
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hn : n.succ ≠ 0

⊢ ∀ b ∈ range n, (P ^ b).degree < (P ^ n).degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
hP : P.Monic
hdeg : 0 < P.natDegree
a✝ : Nontrivial R
n : ℕ
hn : n.succ ≠ 0

⊢ ⊥ < (P ^ n).degree
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ

⊢ ∀ (x y : B), (fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b) (x + y) = (fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b) x + (fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ

⊢ ∀ (m : R) (x : B), { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯ }.toFun (m • x) = (RingHom.id R) m • { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯ }.toFun x
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ

⊢ ∀ (x y : B), { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } (x * y) = { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x * { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } y
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ

⊢ (LinearMap.mul R B).compr₂ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } = (LinearMap.mul R (𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) ∘ₗ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }).compl₂ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
i₁ : ι

⊢ (LinearMap.mul R B).compr₂ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ∘ₗ (ℬ i₁).subtype = (LinearMap.mul R (𝒜 ᵍ⊗[R] ℬ) ∘ₗ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }).compl₂ { toFun := fun b => 1 ᵍ⊗ₜ[R] b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ∘ₗ (ℬ i₁).subtype
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
i₁ : ι
b₁ : ↥(ℬ i₁)
b₂ : B

⊢ 1 ᵍ⊗ₜ[R] (↑b₁ * b₂) = 1 ᵍ⊗ₜ[R] ↑b₁ * 1 ᵍ⊗ₜ[R] b₂
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
β : Type v
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
f : Fin n → α
i : Fin (n + 1)

⊢ snoc f a i.rev = cons a (f ∘ rev) i
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
s t : Set ι
f g : ι → α
h : s.PairwiseDisjoint f
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s

⊢ i = j ∨ Disjoint (f i) (f j)
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
s t : Set ι
f g : ι → α
h : s.PairwiseDisjoint f
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s

⊢ ¬Disjoint (f i) (f j) → i = j
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
t : { j // j ≠ i } → ↑I

⊢ ({ toFun := fun t => ⟨((↑p).comp (Cube.insertAt i).toContinuousMap).curry t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }.toFun 0) t = const t
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
t : { j // j ≠ i } → ↑I

⊢ (Cube.insertAt i) (0, t) i = 0
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
t : { j // j ≠ i } → ↑I

⊢ ({ toFun := fun t => ⟨((↑p).comp (Cube.insertAt i).toContinuousMap).curry t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }.toFun 1) t = const t
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : ↑(Ω^ N X x)
t : { j // j ≠ i } → ↑I

⊢ (Cube.insertAt i) (1, t) i = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : ℕ
n : Fin m → ℕ
inst✝ : ∀ (i : Fin m), NeZero (n i)
i : Fin m
j : Fin (n i)

⊢ ↑(finPiFinEquiv (Pi.single i j)) = ↑j * ∏ j : Fin ↑i, n (Fin.castLE ⋯ j)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : ℕ
n : Fin m → ℕ
inst✝ : ∀ (i : Fin m), NeZero (n i)
i : Fin m
j : Fin (n i)

⊢ ∀ (x : Fin m), x ≠ i → ↑(Pi.single i j x) * ∏ j : Fin ↑x, n (Fin.castLE ⋯ j) = 0
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : ℕ
n : Fin m → ℕ
inst✝ : ∀ (i : Fin m), NeZero (n i)
i : Fin m
j : Fin (n i)
x : Fin m
hx : x ≠ i

⊢ ↑(Pi.single i j x) * ∏ j : Fin ↑x, n (Fin.castLE ⋯ j) = 0
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n m : ℕ
ω : Ω

⊢ upperCrossingTime a b f N n ω ≤ lowerCrossingTime a b f N n ω
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
φ : α ≃ₜ β
s : Set β

⊢ (interior s).Nonempty ↔ (interior (⇑φ ⁻¹' s)).Nonempty
-- Mathlib/Data/Int/Order/Units.lean
a : ℤ
ha : IsUnit a

⊢ a ^ 2 = 1
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι✝ : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
ι : Type u_7
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set E

⊢ IsVonNBounded 𝕜 (⋃ i ∈ I, s i) ↔ ∀ i ∈ I, IsVonNBounded 𝕜 (s i)
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι✝ : Type u_6
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : TopologicalSpace E
ι : Type u_7
I : Set ι
hI : I.Finite
s : ι → Set E
x✝ : Finite ↑I

⊢ IsVonNBounded 𝕜 (⋃ i ∈ I, s i) ↔ ∀ i ∈ I, IsVonNBounded 𝕜 (s i)
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
hba : b ≤ a

⊢ a - b < c ↔ a < c + b
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α✝
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α✝
inst✝² : OrderTopology α✝
l : Filter β
f g : β → α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
h_nhds : ∀ (a : α), 𝓝 a = ⨅ r, ⨅ (_ : r > 0), 𝓟 {b | |a - b| < r}
a : α
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α := { topology_eq_generate_intervals := rfl }

⊢ ⨅ r, ⨅ (_ : r > 0), 𝓟 {b | |a - b| < r} = 𝓝 a
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
q : ℝ
hq' : 1 < q

⊢ (q - 1) ^ φ 0 ≤ eval q (cyclotomic 0 ℝ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
q : ℝ
hq' : 1 < q

⊢ (q - 1) ^ φ 1 ≤ eval q (cyclotomic 1 ℝ)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Kernels.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
G H : ModuleCat R
f✝ : G ⟶ H
M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
y : ↑N
m : ↑M

⊢ (cokernel.π f) (y + f m) = (cokernel.π f) y
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n m : ℕ
hzero : n ≠ 0
h : m ∣ n
hdiff : m ≠ n

⊢ m.divisors ⊆ n.properDivisors
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n m : ℕ
hzero : n ≠ 0
h : m ∣ n
hdiff : m ≠ n

⊢ ∀ ⦃x : ℕ⦄, x ∈ m.divisors → x ∈ n.properDivisors
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n m : ℕ
hzero : n ≠ 0
h : m ∣ n
hdiff : m ≠ n
x : ℕ
hx : x ∈ m.divisors

⊢ x ∈ n.properDivisors
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Finset α
h : IsCompl s t
f : α → β

⊢ ∏ x ∈ s.disjUnion t ⋯, f x = ∏ i : α, f i
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ : V → E
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V

⊢ ‖fourierSMulRight L f v‖ = 2 * π * ‖L v‖ * ‖f v‖
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
map✝¹ : R[X] →+* S
map_surjective✝¹ : Function.Surjective ⇑map✝¹
ker_map✝¹ : RingHom.ker map✝¹ = Ideal.span {f}
algebraMap_eq✝¹ : algebraMap R S = map✝¹.comp C
map✝ : R[X] →+* S
map_surjective✝ : Function.Surjective ⇑map✝
ker_map✝ : RingHom.ker map✝ = Ideal.span {f}
algebraMap_eq✝ : algebraMap R S = map✝.comp C
eq : ∀ (x : R[X]), { map := map✝¹, map_surjective := map_surjective✝¹, ker_map := ker_map✝¹, algebraMap_eq := algebraMap_eq✝¹ }.map x = { map := map✝, map_surjective := map_surjective✝, ker_map := ker_map✝, algebraMap_eq := algebraMap_eq✝ }.map x

⊢ map✝¹ = map✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularSheaves.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.16014, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.16018, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝¹ : EffectiveEpi π
inst✝ : HasPullback π π
hP : Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (P.map π.op) ⋯))

⊢ Function.Bijective (MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularSheaves.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.16014, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.16018, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝¹ : EffectiveEpi π
inst✝ : HasPullback π π
hP : ∀ (y : P.obj (op X)), P.map (PullbackCone.mk (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯).fst.op y = P.map (PullbackCone.mk (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯).snd.op y → ∃! x, P.map π.op x = y

⊢ Function.Bijective (MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularSheaves.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.16014, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.16018, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝¹ : EffectiveEpi π
inst✝ : HasPullback π π
hP : ∀ (y : P.obj (op X)), P.map (PullbackCone.mk (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯).fst.op y = P.map (PullbackCone.mk (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯).snd.op y → ∃! x, P.map π.op x = y

⊢ ∀ (b : ↑{x | P.map (pullback.fst π π).op x = P.map (pullback.snd π π).op x}), ∃! a, MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯ a = b
-- Mathlib/Algebra/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
x y : P

⊢ (pointReflection x) y = (Equiv.symm (pointReflection x)) y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
f✝ g✝ : Arrow C
inst✝³ : HasImage f✝.hom
inst✝² : HasImage g✝.hom
sq✝ : f✝ ⟶ g✝
f g : Arrow C
inst✝¹ : HasImage f.hom
inst✝ : HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
map : image f.hom ⟶ image g.hom
map_ι : autoParam (map ≫ image.ι g.hom = image.ι f.hom ≫ sq.right) _auto✝
map' : image f.hom ⟶ image g.hom
map_ι' : map' ≫ image.ι g.hom = image.ι f.hom ≫ sq.right

⊢ (map = map') = True
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
f✝ g✝ : Arrow C
inst✝³ : HasImage f✝.hom
inst✝² : HasImage g✝.hom
sq✝ : f✝ ⟶ g✝
f g : Arrow C
inst✝¹ : HasImage f.hom
inst✝ : HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
map : image f.hom ⟶ image g.hom
map_ι : autoParam (map ≫ image.ι g.hom = image.ι f.hom ≫ sq.right) _auto✝
map' : image f.hom ⟶ image g.hom
map_ι' : map' ≫ image.ι g.hom = image.ι f.hom ≫ sq.right

⊢ map = map'
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f : WithLp ⊤ (α × β)

⊢ ‖(WithLp.equiv ⊤ (α × β)) f‖₊ = ‖f‖₊
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : GroupWithZero K
inst✝ : Fintype K
a : K
h : ¬a = 0

⊢ a ^ q = a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hxy : x < y

⊢ logb b y < logb b x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x
hxy : x < y

⊢ log x < log y