ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R✝
x y z : R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b u v : ℤ
H : u * a + v * b = 1

⊢ ↑1 = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/FullyFaithful.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F✝ F' : C ⥤ D
G✝ : D ⥤ E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
H : C ⥤ E
inst✝¹ : H.Full
inst✝ : G.Faithful
h : F ⋙ G ≅ H

⊢ F.Full
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/FullyFaithful.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F✝ F' : C ⥤ D
G✝ : D ⥤ E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
H : C ⥤ E
inst✝¹ : H.Full
inst✝ : G.Faithful
h : F ⋙ G ≅ H
this : (F ⋙ G).Full

⊢ F.Full
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : N₁ ≤ N₂
k : ℕ
ih : ucs k N₁ ≤ ucs k N₂

⊢ ucs (k + 1) N₁ ≤ ucs (k + 1) N₂
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : N₁ ≤ N₂
k : ℕ
ih : ucs k N₁ ≤ ucs k N₂

⊢ (ucs k N₁).normalizer ≤ (ucs k N₂).normalizer
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
M M' : Matrix m n α
N : Matrix n o α

⊢ (M - M') * N = M * N - M' * N
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q

⊢ Disjoint (LinearMap.ker ((aeval f) p)) (LinearMap.ker ((aeval f) q))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q

⊢ LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊓ LinearMap.ker ((aeval f) q) ≤ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊓ LinearMap.ker ((aeval f) q)
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1

⊢ v ∈ ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α

⊢ BddBelow s.measureOfNegatives
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α

⊢ ∃ x, ∀ x_1 ∈ s.measureOfNegatives, x ≤ x_1
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
h : ∀ (x : ℝ), ∃ x_1 ∈ s.measureOfNegatives, x_1 < x

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
h : ∀ (x : ℝ), ∃ x_1 ∈ s.measureOfNegatives, x_1 < x
f : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s.measureOfNegatives ∧ f n < -↑n

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
h : ∀ (x : ℝ), ∃ x_1 ∈ s.measureOfNegatives, x_1 < x
f : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s.measureOfNegatives ∧ f n < -↑n
hf' : ∀ (n : ℕ), ∃ B, MeasurableSet B ∧ restrict s B ≤ restrict 0 B ∧ ↑s B < -↑n

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
h : ∀ (x : ℝ), ∃ x_1 ∈ s.measureOfNegatives, x_1 < x
f : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s.measureOfNegatives ∧ f n < -↑n
B : ℕ → Set α
hmeas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)
hr : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)
h_lt : ∀ (n : ℕ), ↑s (B n) < -↑n
A : Set α := ⋃ n, B n
hA : A = ⋃ n, B n
hfalse : ∀ (n : ℕ), ↑s A ≤ -↑n

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
h : ∀ (x : ℝ), ∃ x_1 ∈ s.measureOfNegatives, x_1 < x
f : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ s.measureOfNegatives ∧ f n < -↑n
B : ℕ → Set α
hmeas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (B n)
hr : ∀ (n : ℕ), restrict s (B n) ≤ restrict 0 (B n)
h_lt : ∀ (n : ℕ), ↑s (B n) < -↑n
A : Set α := ⋃ n, B n
hA : A = ⋃ n, B n
hfalse : ∀ (n : ℕ), ↑s A ≤ -↑n
n : ℕ
hn : -↑s A < ↑n

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Arsinh.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ sinh (arsinh x) = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Arsinh.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ (x + √(1 + x ^ 2) - (-x + √(1 + x ^ 2))) / 2 = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 1 ≤ x

⊢ arccos x = 0
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : Field F✝
inst✝⁷ : Field E✝
inst✝⁶ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E

⊢ F⟮α⟯ = ⊤ ↔ (minpoly F α).degree = ↑(finrank F E)
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : Field F✝
inst✝⁷ : Field E✝
inst✝⁶ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E

⊢ minpoly F α ≠ 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : b ≤ a

⊢ c ≤ a - b ↔ b + c ≤ a
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a

⊢ ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), a ^ k * ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, p (c.blocksFun j) = ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, ∏ j : Fin c.length, r * (a ^ c.blocksFun j * p (c.blocksFun j))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a

⊢ ∑ x ∈ Ico 2 (n + 1), ∑ i ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, a ^ x * (r ^ i.length * ∏ j : Fin i.length, p (i.blocksFun j)) = ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, ∏ j : Fin c.length, r * (a ^ c.blocksFun j * p (c.blocksFun j))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
a✝¹ : k ∈ Ico 2 (n + 1)
c : Composition k
a✝ : c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset

⊢ a ^ k * (r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, p (c.blocksFun j)) = ∏ j : Fin c.length, r * (a ^ c.blocksFun j * p (c.blocksFun j))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
a✝¹ : k ∈ Ico 2 (n + 1)
c : Composition k
a✝ : c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset

⊢ a ^ k * (r ^ c.length * ∏ j : Fin c.length, p (c.blocksFun j)) = r ^ c.length * (a ^ k * ∏ x : Fin c.length, p (c.blocksFun x))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a

⊢ ∑ k ∈ Ico 2 (n + 1), ∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, ∏ j : Fin c.length, r * (a ^ c.blocksFun j * p (c.blocksFun j)) ≤ ∑ d ∈ compPartialSumTarget 2 (n + 1) n, ∏ j : Fin d.snd.length, r * (a ^ d.snd.blocksFun j * p (d.snd.blocksFun j))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a

⊢ ∑ x ∈ (Ico 2 (n + 1)).sigma fun k => {c | 1 < c.length}.toFinset, ∏ j : Fin x.snd.length, r * (a ^ x.snd.blocksFun j * p (x.snd.blocksFun j)) ≤ ∑ d ∈ compPartialSumTarget 2 (n + 1) n, ∏ j : Fin d.snd.length, r * (a ^ d.snd.blocksFun j * p (d.snd.blocksFun j))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a

⊢ ((Ico 2 (n + 1)).sigma fun k => {c | 1 < c.length}.toFinset) ⊆ compPartialSumTarget 2 (n + 1) n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
c : Composition k
hd : ⟨k, c⟩ ∈ (Ico 2 (n + 1)).sigma fun k => {c | 1 < c.length}.toFinset

⊢ ⟨k, c⟩ ∈ compPartialSumTarget 2 (n + 1) n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
c : Composition k
hd : (2 ≤ k ∧ k < n + 1) ∧ 1 < c.length

⊢ ⟨k, c⟩ ∈ compPartialSumTarget 2 (n + 1) n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
c : Composition k
hd : (2 ≤ k ∧ k < n + 1) ∧ 1 < c.length

⊢ 2 ≤ c.length ∧ c.length < n + 1 ∧ ∀ (j : Fin c.length), c.blocksFun j < n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
c : Composition k
hd : (2 ≤ k ∧ k < n + 1) ∧ 1 < c.length
j : Fin c.length

⊢ c.blocksFun j < n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
c : Composition k
hd : (2 ≤ k ∧ k < n + 1) ∧ 1 < c.length
j : Fin c.length
this : c ≠ Composition.single k ⋯

⊢ c.blocksFun j < n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
c : Composition k
hd : (2 ≤ k ∧ k < n + 1) ∧ 1 < c.length
j : Fin c.length
this : ∀ (i : Fin c.length), c.blocksFun i < k

⊢ c.blocksFun j < n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a

⊢ ∑ e ∈ compPartialSumSource 2 (n + 1) n, ∏ j : Fin e.fst, r * (a ^ e.snd j * p (e.snd j)) = ∑ d ∈ compPartialSumTarget 2 (n + 1) n, ∏ j : Fin d.snd.length, r * (a ^ d.snd.blocksFun j * p (d.snd.blocksFun j))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a

⊢ ∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource 2 (n + 1) n), ∏ j : Fin e.fst, r * (a ^ e.snd j * p (e.snd j)) = ∏ j : Fin (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n e he).snd.length, r * (a ^ (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n e he).snd.blocksFun j * p ((compChangeOfVariables 2 (n + 1) n e he).snd.blocksFun j))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
blocks_fun : Fin k → ℕ
H : ⟨k, blocks_fun⟩ ∈ compPartialSumSource 2 (n + 1) n
K : (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.length = k

⊢ HEq (fun j => r * (a ^ ⟨k, blocks_fun⟩.snd j * p (⟨k, blocks_fun⟩.snd j))) fun j => r * (a ^ (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun j * p ((compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun j))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
blocks_fun : Fin k → ℕ
H : ⟨k, blocks_fun⟩ ∈ compPartialSumSource 2 (n + 1) n
K : (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.length = k

⊢ ∀ (i : Fin k), r * (a ^ ⟨k, blocks_fun⟩.snd i * p (⟨k, blocks_fun⟩.snd i)) = r * (a ^ (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun ⟨↑i, ⋯⟩ * p ((compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun ⟨↑i, ⋯⟩))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
k : ℕ
blocks_fun : Fin k → ℕ
H : ⟨k, blocks_fun⟩ ∈ compPartialSumSource 2 (n + 1) n
K : (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.length = k
j : Fin k

⊢ r * (a ^ ⟨k, blocks_fun⟩.snd j * p (⟨k, blocks_fun⟩.snd j)) = r * (a ^ (compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun ⟨↑j, ⋯⟩ * p ((compChangeOfVariables 2 (n + 1) n ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun ⟨↑j, ⋯⟩))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a

⊢ ∑ e ∈ compPartialSumSource 2 (n + 1) n, ∏ j : Fin e.fst, r * (a ^ e.snd j * p (e.snd j)) = ∑ j ∈ Ico 2 (n + 1), r ^ j * (∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * p k) ^ j
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a

⊢ ∑ a_1 ∈ Ico 2 (n + 1), ∑ s ∈ Fintype.piFinset fun x => Ico 1 n, ∏ j : Fin a_1, r * (a ^ s j * p (s j)) = ∑ j ∈ Ico 2 (n + 1), r ^ j * (∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * p k) ^ j
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)

⊢ ∑ s ∈ Fintype.piFinset fun x => Ico 1 n, ∏ j : Fin j, r * (a ^ s j * p (s j)) = r ^ j * (∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * p k) ^ j
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)

⊢ (∑ x ∈ Fintype.piFinset fun x => Ico 1 n, (MultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin j) ℝ) fun j => r * (a ^ x j * p (x j))) = r ^ j * (∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * p k) ^ j
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)

⊢ ((MultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin j) ℝ) fun i => ∑ j ∈ Ico 1 n, r * (a ^ j * p j)) = r ^ j * (∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * p k) ^ j
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
p : ℕ → ℝ
hp : ∀ (k : ℕ), 0 ≤ p k
r a : ℝ
hr : 0 ≤ r
ha : 0 ≤ a
j : ℕ
a✝ : j ∈ Ico 2 (n + 1)

⊢ ∏ i : Fin j, ∑ j ∈ Ico 1 n, r * (a ^ j * p j) = r ^ j * (∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * p k) ^ j
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih' : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P24 x₁ x₂ y) → P124 a
z w : PGame
h : w.IsOption y

⊢ z.IsOption x₁ → P2 z x₂ w
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
ih' : ∀ (a : Args), ArgsRel a (Args.P24 x₁ x₂ y) → P124 a
z w : PGame
h : w.IsOption y

⊢ z.IsOption x₂ → P2 x₁ z w
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0

⊢ interior (closedBall x r) = ball x r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr✝ : r ≠ 0
hr : r < 0

⊢ interior (closedBall x r) = ball x r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr✝ : r ≠ 0
hr : 0 < r

⊢ interior (closedBall x r) = ball x r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr✝ : r ≠ 0
hr : 0 < r

⊢ interior (closedBall x r) ⊆ ball x r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr✝ : r ≠ 0
hr : 0 < r
y : E
hy : y ∈ interior (closedBall x r)

⊢ y ∈ ball x r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr✝¹ : r ≠ 0
hr✝ : 0 < r
y : E
hy : y ∈ interior (closedBall x r)
hr : dist y x < r

⊢ y ∈ ball x r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y : E
hr✝ : dist y x ≠ 0
hr : 0 < dist y x
hy : y ∈ interior (closedBall x (dist y x))

⊢ y ∈ ball x (dist y x)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y : E
hr✝ : dist y x ≠ 0
hr : 0 < dist y x
hy : y ∈ interior (closedBall x (dist y x))
f : ℝ → E := fun c => c • (y - x) + x

⊢ y ∈ ball x (dist y x)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y : E
hr✝ : dist y x ≠ 0
hr : 0 < dist y x
hy : y ∈ interior (closedBall x (dist y x))
f : ℝ → E := fun c => c • (y - x) + x

⊢ f ⁻¹' closedBall x (dist y x) ⊆ Icc (-1) 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y : E
hr✝ : dist y x ≠ 0
hr : 0 < dist y x
hy : y ∈ interior (closedBall x (dist y x))
f : ℝ → E := fun c => c • (y - x) + x
c : ℝ
hc : c ∈ f ⁻¹' closedBall x (dist y x)

⊢ c ∈ Icc (-1) 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y : E
hr✝ : dist y x ≠ 0
hr : 0 < dist y x
hy : y ∈ interior (closedBall x (dist y x))
f : ℝ → E := fun c => c • (y - x) + x
c : ℝ
hc : c ∈ f ⁻¹' closedBall x (dist y x)

⊢ ‖c‖ * dist y x ≤ 1 * dist y x
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
A s : Set M
h : A ⊆ ↑S

⊢ (closure (L[[↑A]])).toFun s = ((closure L).toFun (A ∪ s)).withConstants ⋯
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
A s : Set M
h : A ⊆ ↑S

⊢ ((closure L).toFun (A ∪ s)).withConstants ⋯ ≤ (closure (L[[↑A]])).toFun s
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
A s : Set M
h : A ⊆ ↑S

⊢ (L.lhomWithConstants ↑A).substructureReduct (((closure L).toFun (A ∪ s)).withConstants ⋯) ≤ (L.lhomWithConstants ↑A).substructureReduct ((closure (L[[↑A]])).toFun s)
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
A s : Set M
h : A ⊆ ↑S

⊢ A ⊆ ↑((closure (L[[↑A]])).toFun s)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S.HasLeftHomology
inst✝ : S.HasRightHomology
h : IsIso S.leftRightHomologyComparison
this : IsIso (leftRightHomologyComparison' S.leftHomologyData S.rightHomologyData)

⊢ S.HasHomology
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : Cochain F G 0
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q

⊢ (δ 0 1 z).v p q hpq = z.v p p ⋯ ≫ G.d p q - F.d p q ≫ z.v q q ⋯
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝ : Semiring R
q : ℕ
h : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q

⊢ ringExpChar R = q
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝ : Semiring R
q : ℕ
h : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q

⊢ max q 1 = q
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
x : Quotient G α

⊢ x.orbit.Nonempty
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
x : Quotient G α

⊢ (MulAction.orbit G (Quotient.out' x)).Nonempty