ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hι : Nonempty ι
C : ℝ
hC₁ : 0 < C
hC₂ : eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
this : {x | ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖f i x‖₊} = {x | C ≤ ‖f i x‖}

⊢ eLpNorm ({x | ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ = eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hι : Nonempty ι
C : ℝ
hC₁ : 0 < C
hC₂ : eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
this : {x | ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖f i x‖₊} = {x | C ≤ ‖f i x‖}

⊢ eLpNorm (fun x => ‖{x | C ≤ ‖f i x‖}.indicator (f i) x‖) p μ = eLpNorm (fun x => ‖{x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j) x‖) p μ
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hι : Nonempty ι
C : ℝ
hC₁ : 0 < C
hC₂ : eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
this : {x | ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖f i x‖₊} = {x | C ≤ ‖f i x‖}

⊢ eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f i x‖}.indicator (fun a => ‖f i a‖) x) p μ = eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f j x‖}.indicator (fun a => ‖f j a‖) x) p μ
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hι : Nonempty ι
C : ℝ
hC₁ : 0 < C
hC₂ : eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
this : {x | ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖f i x‖₊} = {x | C ≤ ‖f i x‖}
F : E → ℝ := fun x => if ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖x‖₊ then ‖x‖ else 0

⊢ eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f i x‖}.indicator (fun a => ‖f i a‖) x) p μ = eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f j x‖}.indicator (fun a => ‖f j a‖) x) p μ
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hι : Nonempty ι
C : ℝ
hC₁ : 0 < C
hC₂ : eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
this : {x | ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖f i x‖₊} = {x | C ≤ ‖f i x‖}
F : E → ℝ := fun x => if ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖x‖₊ then ‖x‖ else 0
F_meas : Measurable F

⊢ eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f i x‖}.indicator (fun a => ‖f i a‖) x) p μ = eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f j x‖}.indicator (fun a => ‖f j a‖) x) p μ
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hfmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hι : Nonempty ι
C : ℝ
hC₁ : 0 < C
hC₂ : eLpNorm ({x | C ≤ ↑‖f j x‖₊}.indicator (f j)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
this✝ : {x | ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖f i x‖₊} = {x | C ≤ ‖f i x‖}
F : E → ℝ := fun x => if ⟨C, ⋯⟩ ≤ ‖x‖₊ then ‖x‖ else 0
F_meas : Measurable F
this : ∀ (k : ι), (fun x => {x | C ≤ ‖f k x‖}.indicator (fun a => ‖f k a‖) x) = F ∘ f k

⊢ eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f i x‖}.indicator (fun a => ‖f i a‖) x) p μ = eLpNorm (fun x => {x | C ≤ ‖f j x‖}.indicator (fun a => ‖f j a‖) x) p μ
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
hz : 0 < z

⊢ 0 < z⁻¹
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
hz : ∃ x > 0, ↑x = z

⊢ 0 < z⁻¹
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x : ℝ
hx : x > 0
hx' : ↑x = z

⊢ 0 < z⁻¹
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x : ℝ
hx : x > 0
hx' : ↑x = z

⊢ 0 < x⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : V
inst✝ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)

⊢ (G'.neighborSet v).toFinset.card = G'.degree v
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n m : ℕ
f : R⟦X⟧
hnm : autoParam (n ≤ m) _auto✝
d : ℕ

⊢ (trunc n ↑(trunc m f)).coeff d = (trunc n f).coeff d
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n m : ℕ
f : R⟦X⟧
hnm : autoParam (n ≤ m) _auto✝
d : ℕ

⊢ (if d < n then (trunc m f).coeff d else 0) = if d < n then (coeff R d) f else 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char
p : Char → Bool

⊢ ValidFor l (List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m ++ r) ({ str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.takeWhile p)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char
p : Char → Bool

⊢ ValidFor l (List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m ++ r) { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (List.takeWhile p m) } }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char
p : Char → Bool

⊢ m ++ r = List.takeWhile p m ++ (List.dropWhile p m ++ r)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Norm.lean
L✝ : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L✝
inst✝⁶ : Algebra K L✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L✝
F : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : Algebra.IsSeparable K F
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : CharZero K
x : 𝓞 F
this : Algebra K (AlgebraicClosure K) := AlgebraicClosure.instAlgebra K
L : IntermediateField K (AlgebraicClosure F) := normalClosure K F (AlgebraicClosure F)

⊢ IsUnit ((norm K) x) ↔ IsUnit x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Norm.lean
L✝ : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L✝
inst✝⁶ : Algebra K L✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L✝
F : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : Algebra.IsSeparable K F
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : CharZero K
x : 𝓞 F
this✝ : Algebra K (AlgebraicClosure K) := AlgebraicClosure.instAlgebra K
L : IntermediateField K (AlgebraicClosure F) := normalClosure K F (AlgebraicClosure F)
this : FiniteDimensional F ↥L

⊢ IsUnit ((norm K) x) ↔ IsUnit x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Norm.lean
L✝ : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L✝
inst✝⁶ : Algebra K L✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L✝
F : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : Algebra.IsSeparable K F
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : CharZero K
x : 𝓞 F
this✝¹ : Algebra K (AlgebraicClosure K) := AlgebraicClosure.instAlgebra K
L : IntermediateField K (AlgebraicClosure F) := normalClosure K F (AlgebraicClosure F)
this✝ : FiniteDimensional F ↥L
this : IsAlgClosure K (AlgebraicClosure F)

⊢ IsUnit ((norm K) x) ↔ IsUnit x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Norm.lean
L✝ : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L✝
inst✝⁶ : Algebra K L✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L✝
F : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : Algebra.IsSeparable K F
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : CharZero K
x : 𝓞 F
this✝² : Algebra K (AlgebraicClosure K) := AlgebraicClosure.instAlgebra K
L : IntermediateField K (AlgebraicClosure F) := normalClosure K F (AlgebraicClosure F)
this✝¹ : FiniteDimensional F ↥L
this✝ : IsAlgClosure K (AlgebraicClosure F)
this : IsGalois F ↥L

⊢ IsUnit ((norm K) x) ↔ IsUnit x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f : Perm α

⊢ f.cycleFactorsFinset = ∅ ↔ f = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Exponential.lean
b x : ℝ
hb : 0 < b

⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (-(b * x))) (Ioc 0 x) ℙ
-- Mathlib/Probability/Distributions/Exponential.lean
b x : ℝ
hb : 0 < b

⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (-b * x)) (Ioc 0 x) ℙ
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Bipointed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
X Y Z : Bipointed
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z

⊢ (g.toFun ∘ f.toFun) X.toProd.1 = Z.toProd.1
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Bipointed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
X Y Z : Bipointed
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z

⊢ (g.toFun ∘ f.toFun) X.toProd.2 = Z.toProd.2
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
hxy : x ≠ y

⊢ {x, y}.einfsep = edist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
hxy : x ≠ y

⊢ {x, y}.einfsep = min (edist x y) (edist x y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
hxy : x ≠ y

⊢ edist x y = edist y x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
s : Set (Set E)
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x

⊢ Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesAt f pf x n
hg : HasFiniteFPowerSeriesAt g pg x m

⊢ HasFiniteFPowerSeriesAt (f - g) (pf - pg) x (max n m)
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n

⊢ ∃ k, 0 < k ∧ k ≤ n ∧ |↑k * ξ - ↑(round (↑k * ξ))| ≤ 1 / (↑n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)

⊢ ∃ k, 0 < k ∧ k ≤ n ∧ |↑k * ξ - ↑(round (↑k * ξ))| ≤ 1 / (↑n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk : ↑k.toNat = k

⊢ ∃ k, 0 < k ∧ k ≤ n ∧ |↑k * ξ - ↑(round (↑k * ξ))| ≤ 1 / (↑n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < ↑k.toNat
hk₁ : ↑k.toNat ≤ ↑n
h : |↑↑k.toNat * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk : ↑k.toNat = k

⊢ ∃ k, 0 < k ∧ k ≤ n ∧ |↑k * ξ - ↑(round (↑k * ξ))| ≤ 1 / (↑n + 1)
-- Mathlib/Data/Matrix/Kronecker.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : CommRing α
inst✝⁴ : CommRing β
inst✝³ : CommRing γ
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : Module R β
inst✝ : Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
h_comm : ∀ (a b : α) (a' b' : β), (f (a * b)) (a' * b') = (f a) a' * (f b) b'
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β

⊢ (((kroneckerMapBilinear f) A) B).det = (((kroneckerMapBilinear f) A) 1 * ((kroneckerMapBilinear f) 1) B).det
-- Mathlib/Data/Matrix/Kronecker.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : CommRing α
inst✝⁴ : CommRing β
inst✝³ : CommRing γ
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : Module R β
inst✝ : Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
h_comm : ∀ (a b : α) (a' b' : β), (f (a * b)) (a' * b') = (f a) a' * (f b) b'
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β

⊢ (((kroneckerMapBilinear f) A) 1 * ((kroneckerMapBilinear f) 1) B).det = (blockDiagonal fun x => A.map fun a => (f a) 1).det * (blockDiagonal fun x => B.map fun b => (f 1) b).det
-- Mathlib/Data/Matrix/Kronecker.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : CommRing α
inst✝⁴ : CommRing β
inst✝³ : CommRing γ
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : Module R β
inst✝ : Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
h_comm : ∀ (a b : α) (a' b' : β), (f (a * b)) (a' * b') = (f a) a' * (f b) b'
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β

⊢ ∀ (x : β), (f 0) x = 0
-- Mathlib/Data/Matrix/Kronecker.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : CommRing α
inst✝⁴ : CommRing β
inst✝³ : CommRing γ
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : Module R β
inst✝ : Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
h_comm : ∀ (a b : α) (a' b' : β), (f (a * b)) (a' * b') = (f a) a' * (f b) b'
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β

⊢ ∀ (x : α), (f x) 0 = 0
-- Mathlib/Data/Matrix/Kronecker.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : CommRing α
inst✝⁴ : CommRing β
inst✝³ : CommRing γ
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : Module R β
inst✝ : Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
h_comm : ∀ (a b : α) (a' b' : β), (f (a * b)) (a' * b') = (f a) a' * (f b) b'
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β

⊢ (blockDiagonal fun x => A.map fun a => (f a) 1).det * (blockDiagonal fun x => B.map fun b => (f 1) b).det = (A.map fun a => (f a) 1).det ^ Fintype.card n * (B.map fun b => (f 1) b).det ^ Fintype.card m
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℂ
hx : x.im < 0

⊢ (x ^ 2⁻¹).im = -√((abs x - x.re) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℂ
hx : x.im < 0

⊢ -(2 * π) ≤ x.arg
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℂ
hx : x.im < 0

⊢ x.arg ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b✝ : WithTop α
b : α
hb : b ≠ 0

⊢ ⊤ * ↑b = Option.bind ⊤ fun a => Option.some (a * b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b✝ : WithTop α
b : α
hb : b ≠ 0

⊢ ⊤ = Option.bind ⊤ fun a => Option.some (a * b)
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Defs.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : CommRing T
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R T
ι✝ κ✝ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι✝
b✝ : Basis ι✝ R S
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
ι : Type u_4
κ : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite κ
b : Basis ι R S
c : Basis κ S T
x✝ : T

⊢ (trace R S ∘ₗ ↑R (trace S T)) x✝ = (trace R T) x✝
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R

⊢ cyclotomic 0 R = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a b : α
hb : 0 ≤ b
x✝ : ℕ

⊢ x✝ ∈ Nat.cast ⁻¹' Icc a b ↔ x✝ ∈ Icc ⌈a⌉₊ ⌊b⌋₊
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m✝ n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x : α✝ (last n✝)
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.castSucc
i : Fin n✝
y : α✝ i.castSucc
z : α✝ (last n✝)
n m : ℕ
α : Type u_1
f : Fin (n + m) → α
a : α

⊢ ∀ (x : Fin n), snoc f a (castAdd (m + 1) x) = f (castAdd m x)
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Monoidal.lean
I : Type u
inst✝³ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : GradedObject I C
inst✝ : X.HasTensor Y

⊢ (mapMap (((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).map (𝟙 X)).app Y ≫ ((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X).map (𝟙 Y)) fun x => x.1 + x.2) = 𝟙 (tensorObj X Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Monoidal.lean
I : Type u
inst✝³ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : GradedObject I C
inst✝ : X.HasTensor Y

⊢ 𝟙 ((((mapBifunctor (curriedTensor C) I I).obj X).obj Y).mapObj fun x => x.1 + x.2) = 𝟙 (tensorObj X Y)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
n : Nat
α : Type u_1
f : Fin n → α → α
x : α

⊢ foldr n f x = List.foldr f x (list n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E

⊢ S = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥S

⊢ S = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥S
h1 : ¬Module.rank F ↥S = 1

⊢ S = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥S
h1 : ¬Module.rank F ↥S = 1
this : IsEmpty κ

⊢ S = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : Ring E
inst✝¹ : Algebra F E
S : Subalgebra F E
h : Module.rank F ↥S ≤ 1
inst✝ : Module.Free F ↥S
a✝ : Nontrivial E
κ : Type u_2
b : Basis κ F ↥S
h1 : ¬Module.rank F ↥S = 1
this✝ : IsEmpty κ
this : Subsingleton ↥S

⊢ S = ⊥
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ (x \ y) \ z = x \ y ⊓ x \ z
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁸ : Category.{w, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁷ : Category.{w', u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A A' B B' : C
inst✝⁶ : HasBinaryProduct A B
inst✝⁵ : HasBinaryProduct A' B'
inst✝⁴ : HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)
inst✝³ : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝² : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A)) (G.obj (F.obj B))
inst✝¹ : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A) ((F ⋙ G).obj B)
inst✝ : IsIso (prodComparison F A B)

⊢ inv (prodComparison F A B) ≫ F.map prod.fst = prod.fst
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n : ℕ
x✝ : Fin m × Fin n
x : Fin m
y : Fin n
H : 0 < n

⊢ ↑y / n + ↑x = 0 + ↑x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
hx : f x ≠ x
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α

⊢ y ∈ (f.cycleOf x).support ↔ f.SameCycle x y
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : AddZeroClass α
M N : o → Matrix m n α
i✝ : m × o
j✝ : n × o

⊢ blockDiagonal (M + N) i✝ j✝ = (blockDiagonal M + blockDiagonal N) i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : AddZeroClass α
M N : o → Matrix m n α
i✝ : m × o
j✝ : n × o

⊢ (if i✝.2 = j✝.2 then M i✝.2 i✝.1 j✝.1 + N i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0) = (if i✝.2 = j✝.2 then M i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0) + if i✝.2 = j✝.2 then N i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/Cartesian.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S T : 𝒮
a b c : 𝒳
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
φ : a ⟶ b
ψ : b ⟶ c
inst✝² : p.IsStronglyCartesian g ψ
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian (f ≫ g) (φ ≫ ψ)
inst✝ : p.IsHomLift f φ
a' : 𝒳
h : p.obj a' ⟶ R
τ : a' ⟶ b
hτ : p.IsHomLift (h ≫ f) τ
h₁ : p.IsHomLift (h ≫ f ≫ g) (τ ≫ ψ)

⊢ ∃! χ, p.IsHomLift h χ ∧ χ ≫ φ = τ
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/Cartesian.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S T : 𝒮
a b c : 𝒳
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
φ : a ⟶ b
ψ : b ⟶ c
inst✝² : p.IsStronglyCartesian g ψ
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian (f ≫ g) (φ ≫ ψ)
inst✝ : p.IsHomLift f φ
a' : 𝒳
h : p.obj a' ⟶ R
τ : a' ⟶ b
hτ : p.IsHomLift (h ≫ f) τ
h₁ : p.IsHomLift (h ≫ f ≫ g) (τ ≫ ψ)

⊢ (fun χ => p.IsHomLift h χ ∧ χ ≫ φ = τ) (map p (f ≫ g) (φ ≫ ψ) ⋯ (τ ≫ ψ)) ∧ ∀ (y : a' ⟶ a), (fun χ => p.IsHomLift h χ ∧ χ ≫ φ = τ) y → y = map p (f ≫ g) (φ ≫ ψ) ⋯ (τ ≫ ψ)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

⊢ o.bsup f = o.blsub f ↔ ∀ a < o.blsub f, succ a < o.blsub f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

⊢ sup (o.familyOfBFamily f) = lsub (o.familyOfBFamily f) ↔ ∀ a < lsub (o.familyOfBFamily f), succ a < lsub (o.familyOfBFamily f)
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α

⊢ s ⊼ s = s ↔ InfClosed ↑s
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ y✝ : α

⊢ s(x✝, y✝) ∈ filter IsDiag (image Sym2.mk (s ×ˢ s)) ↔ s(x✝, y✝) ∈ image Sym2.mk s.diag