ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
ht : t ∈ 𝓝[s] x

⊢ ∀ᶠ (x : M) in 𝓝 x, x ∈ s ∩ t ↔ x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

⊢ toIcoDiv hp a b = ⌊(b - a) / p⌋
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

⊢ b - ⌊(b - a) / p⌋ • p ∈ Set.Ico a (a + p)
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

⊢ 0 ≤ b - a - ↑⌊(b - a) / p⌋ * p ∧ b - a - ↑⌊(b - a) / p⌋ * p < p
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s✝ t : Set H
x : H
s : Set H

⊢ (insert x s).innerDualCone = {x}.innerDualCone ⊓ s.innerDualCone
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : R
s : ↥S

⊢ (r /ₒ s) • 0 = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o₁ o₂ : ONote
inst✝¹ : o₁.NF
inst✝ : o₂.NF
a : ONote
m : ℕ
e₁ : o₁.split = (a, m)

⊢ (o₁ ^ o₂).repr = o₁.repr ^ o₂.repr
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o₁ o₂ : ONote
inst✝¹ : o₁.NF
inst✝ : o₂.NF
a : ONote
m : ℕ
e₁ : o₁.split = (a, m)
N₁ : a.NF
r₁ : o₁.repr = a.repr + ↑m

⊢ (o₁ ^ o₂).repr = o₁.repr ^ o₂.repr
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
e : ι ≃ κ
hst : ∀ (i : ι), i ∈ s ↔ e i ∈ t
hfg : ∀ i ∈ s, f i = g (e i)

⊢ ∏ i ∈ s, f i = ∏ i ∈ t, g i
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit

⊢ IsPushout b.fst b.snd 0 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit

⊢ IsPushout (b.inl ≫ b.fst) 0 0 (0 ≫ 0)
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
U : Set (G ⧸ N)
g : ↥N.op
x : G

⊢ x ∈ g • ⇑(mk' N) ⁻¹' U ↔ x ∈ ⇑(mk' N) ⁻¹' U
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
U : Set (G ⧸ N)
g : ↥N.op
x : G

⊢ (mk' N) (g⁻¹ • x) ∈ U ↔ (mk' N) x ∈ U
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
U : Set (G ⧸ N)
g : ↥N.op
x : G

⊢ (mk' N) (g⁻¹ • x) = (mk' N) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f g : End F

⊢ (endEquivAutGalois F) (g ≫ f) = (endEquivAutGalois F) g * (endEquivAutGalois F) f
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f g : End F
A : PointedGaloisObject F

⊢ (fun f => F.map f.hom A.pt) ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) (g ≫ f))) = (fun f => F.map f.hom A.pt) ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) g * (endEquivAutGalois F) f))
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f g : End F
A : PointedGaloisObject F

⊢ (g.app A.obj ≫ f.app A.obj) A.pt = F.map (((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) f)).hom ≫ ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) g)).hom) A.pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f g : End F
A : PointedGaloisObject F

⊢ f.app A.obj (g.app A.obj A.pt) = F.map ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) g)).hom (f.app A.obj A.pt)
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
f g : End F
A : PointedGaloisObject F

⊢ f.app A.obj (g.app A.obj A.pt) = (f.app A.obj ≫ F.map ((AutGalois.π F A) ((endEquivAutGalois F) g)).hom) A.pt
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree

⊢ p.natDegree ∣ Fintype.card p.Gal
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree

⊢ p.natDegree ∣ finrank F p.SplittingField
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0

⊢ p.natDegree ∣ finrank F p.SplittingField
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp

⊢ p.natDegree ∣ finrank F p.SplittingField
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
hα : IsIntegral F α

⊢ p.natDegree ∣ finrank F p.SplittingField
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
hα : IsIntegral F α

⊢ finrank F p.SplittingField = p.natDegree * finrank (↥F⟮α⟯) p.SplittingField
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
hα : IsIntegral F α

⊢ (minpoly F α).natDegree = p.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
hα : IsIntegral F α

⊢ minpoly F α ∣ p
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : CharZero F
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
hp : p.degree ≠ 0
α : p.SplittingField := rootOfSplits (algebraMap F p.SplittingField) ⋯ hp
hα : IsIntegral F α

⊢ (aeval α) p = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A

⊢ σ 1 = σ (↑ₐ 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a

⊢ DifferentiableAt 𝕜 (dslope f a) b ↔ DifferentiableAt 𝕜 f b
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x y : R
h : Commute x y

⊢ (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x y : R
h : Commute x y
r : R
hr : (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n + ↑p * r

⊢ (x + y) ^ p ^ n = x ^ p ^ n + y ^ p ^ n
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s✝ t✝ : Set α
l : List α
a : α
s : Set α
t : Set β
n m : ℕ

⊢ s.chainHeight + ↑n ≤ t.chainHeight + ↑m ↔ ∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ t.subchain, l.length + n ≤ l'.length + m
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
s✝ t✝ : Set α
l : List α
a : α
s : Set α
t : Set β
n m : ℕ
H : ∀ l ∈ s.subchain, ∃ l' ∈ t.subchain, l.length + n ≤ l'.length + m

⊢ s.chainHeight + ↑n ≤ t.chainHeight + ↑m
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : Group G✝
inst✝¹ : Fintype G✝
x : G✝
n : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
h : (Nat.card G).Coprime n
g : G
key : g ^ ↑((Nat.card G).gcd n) = g ^ (↑(Nat.card G) * (Nat.card G).gcdA n + ↑n * (Nat.card G).gcdB n)

⊢ (fun g => g ^ (Nat.card G).gcdB n) ((fun g => g ^ n) g) = g
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : Group G✝
inst✝¹ : Fintype G✝
x : G✝
n : ℕ
G : Type u_6
inst✝ : Group G
h : (Nat.card G).Coprime n
g : G
key : g ^ ↑((Nat.card G).gcd n) = g ^ (↑(Nat.card G) * (Nat.card G).gcdA n + ↑n * (Nat.card G).gcdB n)

⊢ (fun g => g ^ n) ((fun g => g ^ (Nat.card G).gcdB n) g) = g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN

⊢ μ = ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN

⊢ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN
f : Ω →ᵇ ℝ≥0

⊢ ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
key : μ.toWeakDualBCNN f = ν.toWeakDualBCNN f

⊢ ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ = ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
key : μ.toWeakDualBCNN f = ν.toWeakDualBCNN f

⊢ ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁶ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝⁴ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝² : TopologicalSpace Ω
inst✝¹ : HasOuterApproxClosed Ω
inst✝ : BorelSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
hμν : μ.toWeakDualBCNN = ν.toWeakDualBCNN
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
key : μ.toWeakDualBCNN f = ν.toWeakDualBCNN f

⊢ ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑ν ≠ ⊤
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c₀ : Chain α
c₁ : Chain β

⊢ ωSup (c₀.zip c₁) = (ωSup c₀, ωSup c₁)
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c₀ : Chain α
c₁ : Chain β

⊢ ∀ (c : α × β), ωSup (c₀.zip c₁) ≤ c ↔ (ωSup c₀, ωSup c₁) ≤ c
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c₀ : Chain α
c₁ : Chain β
z₁ : α
z₂ : β

⊢ ωSup (c₀.zip c₁) ≤ (z₁, z₂) ↔ (ωSup c₀, ωSup c₁) ≤ (z₁, z₂)
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
G✝ : Type u_6
H✝ : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁵ : Group G✝
inst✝⁴ : CommGroup H✝
G : Type u_9
H : Type u_10
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulOneClass H
inst✝¹ : FunLike F G H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
h : ∀ (a : G), f a = 1 → a = 1
x y : G
hxy : f x = f y

⊢ f (x * y⁻¹) = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0

⊢ (C a * X ^ 3 + C b * X ^ 2 + C c * X + C d).degree = 3
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0

⊢ ↑3 = 3
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Sort u_4
p : ι → Submodule R M

⊢ ↑(⨅ i, p i) = ⋂ i, ↑(p i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Sort u_4
p : ι → Submodule R M

⊢ ⋂ p_1 ∈ Set.range fun i => p i, ↑p_1 = ⋂ i, ↑(p i)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/DoubleFactorial.lean
k : ℕ

⊢ (k + 1 + 1)! = (k + 1 + 1)‼ * (k + 1)‼
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F

⊢ im ⟪x, y⟫_𝕜 = -im ⟪y, x⟫_𝕜
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : 0 < x + 1
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0

⊢ 0 < ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), x ^ i
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : 0 < x + 1
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0
hx' : x < 0

⊢ 0 < ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), x ^ i
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hx : 0 < x + 1
n : ℕ
hn : n + 1 + 1 ≠ 0
hx' : 0 ≤ x

⊢ 0 < ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), x ^ i
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ

⊢ f^[n] a ≤ nfp f a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ

⊢ f^[n] a ≤ (fun a => sup fun n => f^[n] a) a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ((IsCondKernelCDF.toKernel f hf) (a, b)) (Iic x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(f (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι
hi : i ∈ Finset.image g s
hit : i ∉ t

⊢ Disjoint (f i) (t.sup f)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι
hi : ∃ a ∈ s, g a = i
hit : i ∉ t

⊢ Disjoint (f i) (t.sup f)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι'
hi : i ∈ s
hit : g i ∉ t
this : DecidableEq ι'

⊢ Disjoint (f (g i)) (t.sup f)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι'
hi : i ∈ s
hit : g i ∉ t
this : DecidableEq ι'

⊢ t ⊆ Finset.image g (s.erase i)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι'
hi : i ∈ s
hit : g i ∉ t
this : DecidableEq ι'
j : ι
hjt : j ∈ t

⊢ j ∈ Finset.image g (s.erase i)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι'
g : ι' → ι
hs : s.SupIndep (f ∘ g)
t : Finset ι
ht : t ⊆ Finset.image g s
i : ι'
hi : i ∈ s
hit : g i ∉ t
this : DecidableEq ι'
j : ι'
hj : j ∈ s
hjt : g j ∈ t

⊢ g j ∈ Finset.image g (s.erase i)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n✝ : ℕ
hx : 0 ≤ x
n : ℤ
h : y - ↑n ≠ 0

⊢ x ^ (y - ↑n) = x ^ y / x ^ n
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι✝ : Type u_6
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕜
inst✝³ : SMul 𝕜 E
inst✝² : Zero E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
ι : Sort u_7
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set E

⊢ IsVonNBounded 𝕜 (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), IsVonNBounded 𝕜 (s i)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter β
s : Set β

⊢ map Subtype.val (comap Subtype.val f) = f ⊓ 𝓟 s
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
N✝ : Type w
inst✝⁸ : AddCommGroup N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : Small.{v, u} R
flat : Flat R M
N N' N'' : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup N''
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R N''
f : N →ₗ[R] N'
g : N' →ₗ[R] N''
exact : Function.Exact ⇑f ⇑g
π : N' →ₗ[R] N' ⧸ range f := (range f).mkQ

⊢ Function.Exact ⇑(rTensor M f) ⇑(rTensor M g)
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
N✝ : Type w
inst✝⁸ : AddCommGroup N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : Small.{v, u} R
flat : Flat R M
N N' N'' : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup N''
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R N''
f : N →ₗ[R] N'
g : N' →ₗ[R] N''
exact : Function.Exact ⇑f ⇑g
π : N' →ₗ[R] N' ⧸ range f := (range f).mkQ
ι : N' ⧸ range f →ₗ[R] N'' := (range g).subtype ∘ₗ ↑g.quotKerEquivRange ∘ₗ ↑((range f).quotEquivOfEq (ker g) ⋯)

⊢ Function.Exact ⇑(rTensor M f) ⇑(rTensor M g)
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
N✝ : Type w
inst✝⁸ : AddCommGroup N✝
inst✝⁷ : Module R N✝
inst✝⁶ : Small.{v, u} R
flat : Flat R M
N N' N'' : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup N''
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R N''
f : N →ₗ[R] N'
g : N' →ₗ[R] N''
exact : Function.Exact ⇑f ⇑g
π : N' →ₗ[R] N' ⧸ range f := (range f).mkQ
ι : N' ⧸ range f →ₗ[R] N'' := (range g).subtype ∘ₗ ↑g.quotKerEquivRange ∘ₗ ↑((range f).quotEquivOfEq (ker g) ⋯)

⊢ Function.Exact ⇑(rTensor M f) ⇑(rTensor M π)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv

⊢ ∃ θ, f = o.rotation θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V

⊢ ∃ θ, f = o.rotation θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0

⊢ ∃ θ, f = o.rotation θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0

⊢ f = o.rotation (o.oangle x (f x))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0

⊢ f.toLinearEquiv = (o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0

⊢ ↑f.toLinearEquiv = ↑(o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv