ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (σₙ R a)
sp_eq : σₙ R ((cfcₙHom ⋯) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := hf0 }) = f '' σₙ R a

⊢ cfcₙ (g ∘ f) a = cfcₙ g (cfcₙ f a)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (σₙ R a)
sp_eq : σₙ R ((cfcₙHom ⋯) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := hf0 }) = f '' σₙ R a

⊢ (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict (g ∘ f), continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } = (cfcₙHom ⋯) ({ toFun := (σₙ R ((cfcₙHom ⋯) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ })).restrict g, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }.comp ?f')
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (σₙ R a)
sp_eq : σₙ R ((cfcₙHom ⋯) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := hf0 }) = f '' σₙ R a

⊢ C(↑(σₙ R a), ↑(σₙ R ((cfcₙHom ⋯) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ })))₀
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (σₙ R a)
sp_eq : σₙ R ((cfcₙHom ⋯) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := hf0 }) = f '' σₙ R a

⊢ ∀ (x : ↑(σₙ R a)), { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } x = ↑(?f' x)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Monoidal.lean
V : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝¹ : MonoidalCategory V
H : Grp
X : Action V ((forget₂ Grp MonCat).obj H)
inst✝ : RightRigidCategory V
h : ↑H

⊢ Xᘁ.ρ h = X.ρ h⁻¹ᘁ
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Monoidal.lean
V : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝¹ : MonoidalCategory V
H : Grp
X : Action V ((forget₂ Grp MonCat).obj H)
inst✝ : RightRigidCategory V
h : ↑H

⊢ Xᘁ.ρ h = X.ρ (inv h)ᘁ
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Monoidal.lean
V : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝¹ : MonoidalCategory V
H : Grp
X : Action V ((forget₂ Grp MonCat).obj H)
inst✝ : RightRigidCategory V
h : ↑H

⊢ SingleObj H.1
-- Mathlib/Order/SemiconjSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
fa : α ≃o α
fb : β ↪o β
g : α → β
h : Semiconj g ⇑fa ⇑fb
g' : β → α
hg' : IsOrderRightAdjoint g g'

⊢ Semiconj g' ⇑fb ⇑fa
-- Mathlib/Order/SemiconjSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
fa : α ≃o α
fb : β ↪o β
g : α → β
h : Semiconj g ⇑fa ⇑fb
g' : β → α
hg' : IsOrderRightAdjoint g g'
y : β

⊢ IsLUB {x | g x ≤ fb y} (fa (g' y))
-- Mathlib/Order/SemiconjSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : Preorder β
fa : α ≃o α
fb : β ↪o β
g : α → β
h : Semiconj g ⇑fa ⇑fb
g' : β → α
hg' : IsOrderRightAdjoint g g'
y : β

⊢ IsLUB (⇑fa '' {a | g (fa a) ≤ fb y}) (fa (g' y))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ θ.toReal = π ↔ θ = ↑π
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
t : TopologicalSpace α
h : t ≤ ⨆ s ∈ 𝔖, TopologicalSpace.coinduced Subtype.val inferInstance
u : Set α
hu : ∀ s ∈ 𝔖, IsOpen (Subtype.val ⁻¹' u)

⊢ IsOpen u
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

⊢ NoncompactSpace (X × Y) ↔ NoncompactSpace X ∧ Nonempty Y ∨ Nonempty X ∧ NoncompactSpace Y
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
e : S ≃ₐ[R] T

⊢ RingHom.ker ((↑↑e).comp h.map) = Ideal.span {f}
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
e : S ≃ₐ[R] T
x✝ : R

⊢ (algebraMap R T) x✝ = (((↑↑e).comp h.map).comp C) x✝
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 (toIcoMod hp a x)

⊢ s ∈ Filter.map (toIcoMod hp a) (𝓝[≥] x)
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 (toIcoMod hp a x)

⊢ ∃ u ∈ 𝓝 x, u ∩ Ici x ⊆ toIcoMod hp a ⁻¹' s
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
h : s ∈ 𝓝 (toIcoMod hp a x)
this : Nontrivial 𝕜

⊢ ∃ u ∈ 𝓝 x, u ∩ Ici x ⊆ toIcoMod hp a ⁻¹' s
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
this : Nontrivial 𝕜
h : ∃ l u, toIcoMod hp a x ∈ Ioo l u ∧ Ioo l u ⊆ s

⊢ ∃ u, (∃ l u_1, x ∈ Ioo l u_1 ∧ Ioo l u_1 ⊆ u) ∧ u ∩ Ici x ⊆ toIcoMod hp a ⁻¹' s
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
this : Nontrivial 𝕜
l u : 𝕜
hxI : toIcoMod hp a x ∈ Ioo l u
hIs : Ioo l u ⊆ s
d : 𝕜 := toIcoDiv hp a x • p

⊢ ∃ u, (∃ l u_1, x ∈ Ioo l u_1 ∧ Ioo l u_1 ⊆ u) ∧ u ∩ Ici x ⊆ toIcoMod hp a ⁻¹' s
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
this : Nontrivial 𝕜
l u : 𝕜
hxI : toIcoMod hp a x ∈ Ioo l u
hIs : Ioo l u ⊆ s
d : 𝕜 := toIcoDiv hp a x • p
hd : toIcoMod hp a x ∈ Ico a (a + p)

⊢ ∃ u, (∃ l u_1, x ∈ Ioo l u_1 ∧ Ioo l u_1 ⊆ u) ∧ u ∩ Ici x ⊆ toIcoMod hp a ⁻¹' s
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
this : Nontrivial 𝕜
l u : 𝕜
hxI : toIcoMod hp a x ∈ Ioo l u
hIs : Ioo l u ⊆ s
d : 𝕜 := toIcoDiv hp a x • p
hd : toIcoMod hp a x ∈ Ico a (a + p)

⊢ ∃ u, (∃ l u_1, x ∈ Ioo l u_1 ∧ ∀ x ∈ Ioo l u_1, x ∈ u) ∧ ∀ (x_1 : 𝕜), x_1 ∈ u ∧ x_1 ∈ Ici x → x_1 ∈ toIcoMod hp a ⁻¹' s
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
this : Nontrivial 𝕜
l u : 𝕜
hxI : toIcoMod hp a x ∈ Ioo l u
hIs : Ioo l u ⊆ s
d : 𝕜 := toIcoDiv hp a x • p
hd : toIcoMod hp a x ∈ Ico a (a + p)

⊢ l < x - d ∧ x - d < a + p ∧ x - d < u
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
s : Set 𝕜
this : Nontrivial 𝕜
l u : 𝕜
hxI : toIcoMod hp a x ∈ Ioo l u
hIs : Ioo l u ⊆ s
d : 𝕜 := toIcoDiv hp a x • p
hd : toIcoMod hp a x ∈ Ico a (a + p)
y : 𝕜

⊢ (l < y - d ∧ y - d < a + p ∧ y - d < u) ∧ y ∈ Ici x → y ∈ toIcoMod hp a ⁻¹' s
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ closure s ⊆ s ↔ ∀ (a : X), ClusterPt a (𝓟 s) → a ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s

⊢ s.SOppSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s

⊢ x ∉ s → (y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
hx : x ∉ s

⊢ y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
α : Type u_1
p q : ℚ≥0
n : ℕ

⊢ ↑(↑n).toNNRat = ↑↑n
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
α : Type u_1
p q : ℚ≥0
n : ℕ

⊢ ↑n = ↑↑n
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
a : Sigma α
b : Sigma β
x : Sigma γ
h : b.fst ≠ x.fst

⊢ x ∉ sigmaLift f a b
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
a : Sigma α
b : Sigma β
x : Sigma γ
h : b.fst ≠ x.fst

⊢ ¬∃ (ha : a.fst = x.fst) (hb : b.fst = x.fst), x.snd ∈ f (ha ▸ a.snd) (hb ▸ b.snd)
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n : ℕ

⊢ ¬BddAbove {p | Prime p}
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n : ℕ

⊢ ∀ (x : ℕ), ∃ y ∈ {p | Prime p}, x < y
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n✝ n : ℕ

⊢ ∃ y ∈ {p | Prime p}, n < y
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n✝ n p : ℕ
hi : n.succ ≤ p
hp : Prime p

⊢ ∃ y ∈ {p | Prime p}, n < y
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Spec : Set (Ideal R) := {I | I.IsPrime}
s : Finset ↑Spec
H : ∀ I ∈ range fun x => x.inf Subtype.val, ¬I < (fun x => x.inf Subtype.val) s

⊢ Spec.Finite
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsArtinianRing R
Spec : Set (Ideal R) := {I | I.IsPrime}
s : Finset ↑Spec
H : ∀ I ∈ range fun x => x.inf Subtype.val, ¬I < (fun x => x.inf Subtype.val) s
p : ↑Spec

⊢ p ∈ s
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → β
a : α
h : a ∈ s

⊢ f a * ∏ x ∈ s.erase a, f x = ∏ x ∈ s, f x
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ

⊢ ∃ a, f = rotation a ∨ f = conjLIE.trans (rotation a)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
a : ↥circle := ⟨f 1, ⋯⟩

⊢ ∃ a, f = rotation a ∨ f = conjLIE.trans (rotation a)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
a : ↥circle := ⟨f 1, ⋯⟩

⊢ f = rotation a ∨ f = conjLIE.trans (rotation a)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
a : ↥circle := ⟨f 1, ⋯⟩
this : (f.trans (rotation a).symm) 1 = 1

⊢ f = rotation a ∨ f = conjLIE.trans (rotation a)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
a : ↥circle := ⟨f 1, ⋯⟩
this : (f.trans (rotation a).symm) 1 = 1
h₁ : f.trans (rotation a).symm = LinearIsometryEquiv.refl ℝ ℂ

⊢ f = rotation a
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
a : ↥circle := ⟨f 1, ⋯⟩
this : (f.trans (rotation a).symm) 1 = 1
h₂ : f.trans (rotation a).symm = conjLIE

⊢ f = conjLIE.trans (rotation a)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(twoCocycles A)
g : G

⊢ ↑f (1, g) = ↑f (1, 1)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(twoCocycles A)
g : G
this : (A.ρ 1) (↑f (1, g)) + ↑f (1, 1 * g) = ↑f (1 * 1, g) + ↑f (1, 1)

⊢ ↑f (1, g) = ↑f (1, 1)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.216946}
α : Type u
n : ℕ
t : Set α

⊢ #↑t ≤ ↑n ↔ ∀ (s : Finset α), ↑s ⊆ t → s.card ≤ n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.216946}
α : Type u
n : ℕ
t : Set α
H : ∀ (s : Finset α), ↑s ⊆ t → s.card ≤ n

⊢ #↑t ≤ ↑n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.216946}
α : Type u
n : ℕ
t : Set α
H : ∀ (s : Finset α), ↑s ⊆ t → s.card ≤ n
s : Finset ↑t

⊢ s.card ≤ n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.216946}
α : Type u
n : ℕ
t : Set α
H : ∀ (s : Finset α), ↑s ⊆ t → s.card ≤ n
s : Finset ↑t
u : Finset α := Finset.image Subtype.val s

⊢ s.card ≤ n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.216946}
α : Type u
n : ℕ
t : Set α
H : ∀ (s : Finset α), ↑s ⊆ t → s.card ≤ n
s : Finset ↑t
u : Finset α := Finset.image Subtype.val s
this : u.card = s.card

⊢ s.card ≤ n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.216946}
α : Type u
n : ℕ
t : Set α
H : ∀ (s : Finset α), ↑s ⊆ t → s.card ≤ n
s : Finset ↑t
u : Finset α := Finset.image Subtype.val s
this : u.card = s.card

⊢ ↑u ⊆ t
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x y : R
h : Commute x y

⊢ (x - y) ^ p = x ^ p - y ^ p
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
x y : R
h : Commute x y

⊢ (x - y + y) ^ p = x ^ p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
inst✝ : FiniteDimensional K V₁

⊢ Injective ⇑B.flip ↔ Surjective ⇑B
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
inst✝ : FiniteDimensional K V₁

⊢ Surjective (⇑B.flip.dualMap ∘ ⇑(evalEquiv K V₁).toEquiv) ↔ Surjective ⇑B
-- Mathlib/CategoryTheory/Adhesive.lean
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
inst✝⁷ : HasPullbacks D
inst✝⁶ : Adhesive C
inst✝⁵ : HasPullbacks C
inst✝⁴ : HasPushouts C
H₂ : ∀ {X Y S : D} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan Gl
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{?u.108100, ?u.108099, v, v'', u, u''} Gl
this : PreservesLimitsOfSize.{?u.108151, ?u.108150, v'', v, u'', u} Gr
W X Y Z : D
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f
H : IsPushout f g h i

⊢ H.IsVanKampen
-- Mathlib/CategoryTheory/Adhesive.lean
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
inst✝⁷ : HasPullbacks D
inst✝⁶ : Adhesive C
inst✝⁵ : HasPullbacks C
inst✝⁴ : HasPushouts C
H₂ : ∀ {X Y S : D} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan Gl
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{?u.108100, ?u.108099, v, v'', u, u''} Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, v'', v, u'', u} Gr
W X Y Z : D
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f
H : IsPushout f g h i
this : ⋯.IsVanKampen

⊢ H.IsVanKampen
-- Mathlib/CategoryTheory/Adhesive.lean
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
inst✝⁷ : HasPullbacks D
inst✝⁶ : Adhesive C
inst✝⁵ : HasPullbacks C
inst✝⁴ : HasPushouts C
H₂ : ∀ {X Y S : D} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan Gl
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{?u.108100, ?u.108099, v, v'', u, u''} Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, v'', v, u'', u} Gr
W X Y Z : D
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f
H : IsPushout f g h i
this : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk (pushout.inl (Gr.map f) (Gr.map g)) (pushout.inr (Gr.map f) (Gr.map g)) ⋯)

⊢ IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adhesive.lean
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
inst✝⁷ : HasPullbacks D
inst✝⁶ : Adhesive C
inst✝⁵ : HasPullbacks C
inst✝⁴ : HasPushouts C
H₂ : ∀ {X Y S : D} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan Gl
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{?u.108100, ?u.108099, v, v'', u, u''} Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, v'', v, u'', u} Gr
W X Y Z : D
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f
H : IsPushout f g h i
this : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk (pushout.inl (Gr.map f) (Gr.map g)) (pushout.inr (Gr.map f) (Gr.map g)) ⋯)

⊢ IsVanKampenColimit ((Cocones.precompose (isoWhiskerLeft (span f g) (asIso adj.counit) ≪≫ (span f g).rightUnitor).hom).obj (PushoutCocone.mk h i ⋯))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adhesive.lean
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
inst✝⁷ : HasPullbacks D
inst✝⁶ : Adhesive C
inst✝⁵ : HasPullbacks C
inst✝⁴ : HasPushouts C
H₂ : ∀ {X Y S : D} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan Gl
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{?u.108100, ?u.108099, v, v'', u, u''} Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, v'', v, u'', u} Gr
W X Y Z : D
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f
H : IsPushout f g h i
this : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk (pushout.inl (Gr.map f) (Gr.map g)) (pushout.inr (Gr.map f) (Gr.map g)) ⋯)

⊢ IsColimit (Gl.mapCocone ((Cocones.precompose (spanCompIso Gr f g).hom).obj (PushoutCocone.mk (pushout.inl (Gr.map f) (Gr.map g)) (pushout.inr (Gr.map f) (Gr.map g)) ⋯)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adhesive.lean
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
inst✝⁷ : HasPullbacks D
inst✝⁶ : Adhesive C
inst✝⁵ : HasPullbacks C
inst✝⁴ : HasPushouts C
H₂ : ∀ {X Y S : D} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
inst✝¹ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan Gl
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{?u.108100, ?u.108099, v, v'', u, u''} Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, v'', v, u'', u} Gr
W X Y Z : D
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f
H : IsPushout f g h i
this : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk (pushout.inl (Gr.map f) (Gr.map g)) (pushout.inr (Gr.map f) (Gr.map g)) ⋯)

⊢ IsColimit ((Cocones.precompose (isoWhiskerLeft (span f g) (asIso adj.counit) ≪≫ (span f g).rightUnitor).hom).obj (PushoutCocone.mk h i ⋯))
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Algebra S R
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2

⊢ ⅟2 • ((mul R R).compl₁₂ LinearMap.id LinearMap.id + (mul R R).compl₁₂ LinearMap.id LinearMap.id) = mul R R
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Algebra S R
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2

⊢ (mul R R).compl₁₂ LinearMap.id LinearMap.id = mul R R