ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0

⊢ a ≤ 1 / b ↔ b ≤ 1 / a
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} D
inst✝¹ : Preadditive D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M : Mat_ C
i : M.ι

⊢ biproduct.ι (fun i => F.obj ((embedding C).obj (M.X i))) i ≫ (biproduct.desc fun j => F.map (biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j)) ≫ F.map (biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) = F.map (biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i ≫ biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s

⊢ ((κ ×ₖ η) a) s = ∫⁻ (b : β), (η a) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
p : R[X]
k : ℕ

⊢ (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j p)).coeff k = stdBasisMatrix i j (p.coeff k)
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
p : R[X]
k : ℕ

⊢ ∀ (p q : R[X]), (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j p)).coeff k = stdBasisMatrix i j (p.coeff k) → (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j q)).coeff k = stdBasisMatrix i j (q.coeff k) → (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j (p + q))).coeff k = stdBasisMatrix i j ((p + q).coeff k)
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
i j : n
p : R[X]
k : ℕ

⊢ ∀ (n_1 : ℕ) (a : R), (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i j ((monomial n_1) a))).coeff k = stdBasisMatrix i j (((monomial n_1) a).coeff k)
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ

⊢ ↑r ≤ 1 ↔ r ≤ 1
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
l m : List α
o : Ordinal.{u}
hl : Sorted (fun x x_1 => x > x_1) l
hm : Sorted (fun x x_1 => x > x_1) m
hlt : ∀ i ∈ l, Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) i < o
hmltl : Lex (fun x x_1 => x < x_1) m l

⊢ ∀ i ∈ m, Ordinal.typein (fun x x_1 => x < x_1) i < o
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Algebra.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : OrderedCommSemiring α
inst✝² : StrictOrderedSemiring β
inst✝¹ : Algebra α β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
a a₁✝ a₂✝ a₁ a₂ : α
ha : a₁ < a₂

⊢ (algebraMap α β) a₁ < (algebraMap α β) a₂
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0

⊢ |(o.areaForm x) y| = ‖x‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0

⊢ ∏ i : Fin 2, ‖![x, y] i‖ = ‖x‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0

⊢ Pairwise fun i j => ⟪![x, y] i, ![x, y] j⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ : 𝕜 → E
a✝ b✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜

⊢ (b - a) • dslope f a b = f b - f a
-- Mathlib/Analysis/Quaternion.lean

⊢ Continuous fun q => q.im
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1

⊢ WellFoundedGT ↑s
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
hn : ↑n = s.chainHeight

⊢ WellFoundedGT ↑s
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
hn : ↑n = s.chainHeight
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x > x_1

⊢ False
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
hn : ↑n = s.chainHeight
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x > x_1

⊢ ↑n.succ ≤ s.chainHeight
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
hn : ↑n = s.chainHeight
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x > x_1
i : α
h : i ∈ map Subtype.val (ofFn fun i => f ↑i)

⊢ i ∈ s
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
inst✝ : Preorder α
s : Set α
hs : s.chainHeight ≠ ⊤
this : IsTrans { x // x ∈ s } fun x x_1 => x < x_1
n : ℕ
hn : ↑n = s.chainHeight
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x > x_1

⊢ ↑n.succ ≤ ↑(map Subtype.val (ofFn fun i => f ↑i)).length
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f✝ g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : univ ⊆ s ∪ t
hc : StronglyMeasurable fun a => f ↑a
hd : StronglyMeasurable fun a => f ↑a
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β

⊢ StronglyMeasurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : Countable ι
f✝ g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : univ ⊆ s ∪ t
hc : StronglyMeasurable fun a => f ↑a
hd : StronglyMeasurable fun a => f ↑a
a✝ : Nontrivial β
inhabited_h : Inhabited β

⊢ Function.extend Subtype.val (fun x => f ↑x) (Function.extend Subtype.val (fun x => f ↑x) fun x => default) = f
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α

⊢ (foldl (fun l x => { down := l.down + 1 }) { down := 0 } xs).down = (toList xs).length
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α

⊢ (List.foldl (fun l x => { down := l.down + 1 }) { down := 0 } (toList xs)).down = (toList xs).length
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
ys : List α

⊢ (List.foldl (fun l x => { down := l.down + 1 }) { down := 0 } ys).down = ys.length
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : t α
ys : List α

⊢ (List.foldl (fun l x => { down := l.down + 1 }) { down := 0 } ys).down = ys.length + 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
g : ℝ → F
a : ℝ

⊢ ∫ (x : ℝ), g (x * a⁻¹) = |a| • ∫ (y : ℝ), g y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

⊢ ∫ (x : ℂ), rexp (-‖x‖ ^ p) = π * Real.Gamma (2 / p + 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

⊢ ∫ (x : ℂ), rexp (-‖x‖ ^ p) = ∫ (x : ℂ), ‖x‖ ^ 0 * rexp (-‖x‖ ^ p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

⊢ π * Real.Gamma (2 / p + 1) = 2 * π / p * Real.Gamma ((0 + 2) / p)
-- Mathlib/Data/List/Destutter.lean
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
a b : α
h : ¬R b a

⊢ destutter' R b (a :: l) = destutter' R b l
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ

⊢ riemannZeta (-↑k) = (-1) ^ k * ↑(bernoulli (k + 1)) / (↑k + 1)
-- Mathlib/ModelTheory/Order.lean
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝³ : L.IsOrdered
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : LE M
inst✝ : L.OrderedStructure M
a b : M

⊢ RelMap leSymb ![a, b] ↔ a ≤ b
-- Mathlib/ModelTheory/Order.lean
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝³ : L.IsOrdered
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : LE M
inst✝ : L.OrderedStructure M
a b : M

⊢ RelMap (L.orderLHom.onRelation leSymb) ![a, b] ↔ a ≤ b
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hsep : p.Separable
x : R

⊢ Multiset.count x p.roots ≤ 1
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hsep : p.Separable
x : R

⊢ rootMultiplicity x p ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ

⊢ ∀ t ∈ Icc a b, ‖f t - g t‖ ≤ gronwallBound δ (↑K) (εf + εg) (t - a)
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ
h_deriv : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt (fun t => f t - g t) (f' t - g' t) (Ici t) t

⊢ ∀ t ∈ Icc a b, ‖f t - g t‖ ≤ gronwallBound δ (↑K) (εf + εg) (t - a)
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ
h_deriv : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt (fun t => f t - g t) (f' t - g' t) (Ici t) t

⊢ ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x - g' x‖ ≤ ↑K * ‖f x - g x‖ + (εf + εg)
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ
h_deriv : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt (fun t => f t - g t) (f' t - g' t) (Ici t) t
t : ℝ
ht : t ∈ Ico a b

⊢ ‖f' t - g' t‖ ≤ ↑K * ‖f t - g t‖ + (εf + εg)
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ
h_deriv : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt (fun t => f t - g t) (f' t - g' t) (Ici t) t
t : ℝ
ht : t ∈ Ico a b
this : dist (f' t) (g' t) ≤ dist (f' t) (v t (f t)) + dist (g' t) (v t (g t)) + dist (v t (f t)) (v t (g t))

⊢ ‖f' t - g' t‖ ≤ ↑K * ‖f t - g t‖ + (εf + εg)
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv✝ : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ
h_deriv : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt (fun t => f t - g t) (f' t - g' t) (Ici t) t
t : ℝ
ht : t ∈ Ico a b
this : dist (f' t) (g' t) ≤ dist (f' t) (v t (f t)) + dist (g' t) (v t (g t)) + dist (v t (f t)) (v t (g t))
hv : dist (v t (f t)) (v t (g t)) ≤ ↑K * dist (f t) (g t)

⊢ dist (f' t) (g' t) ≤ ↑K * dist (f t) (g t) + (εf + εg)
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv✝ : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' t) (Ici t) t
f_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (f' t) (v t (f t)) ≤ εf
hfs : ∀ t ∈ Ico a b, f t ∈ s t
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' t) (Ici t) t
g_bound : ∀ t ∈ Ico a b, dist (g' t) (v t (g t)) ≤ εg
hgs : ∀ t ∈ Ico a b, g t ∈ s t
ha : ‖f a - g a‖ ≤ δ
h_deriv : ∀ t ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt (fun t => f t - g t) (f' t - g' t) (Ici t) t
t : ℝ
ht : t ∈ Ico a b
this : dist (f' t) (g' t) ≤ dist (f' t) (v t (f t)) + dist (g' t) (v t (g t)) + dist (v t (f t)) (v t (g t))
hv : dist (v t (f t)) (v t (g t)) ≤ ↑K * dist (f t) (g t)

⊢ εf + εg + ↑K * dist (f t) (g t) ≤ ↑K * dist (f t) (g t) + (εf + εg)
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)

⊢ (q * r).num * ↑q.den * ↑r.den = q.num * r.num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0

⊢ (q * r).num * ↑q.den * ↑r.den = q.num * r.num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den

⊢ (q * r).num * ↑q.den * ↑r.den = q.num * r.num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den

⊢ ↑q.den * ↑r.den * (q * r).num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den

⊢ c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den

⊢ ¬c = 0 → ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0

⊢ ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q.num /. ↑q.den * (r.num /. ↑r.den) = s

⊢ ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q r : ℚ
s : ℚ := q.num * r.num /. (↑q.den * ↑r.den)
hs : ↑q.den * ↑r.den ≠ 0
c : ℤ
c_mul_num : q.num * r.num = c * (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num
c_mul_den : ↑q.den * ↑r.den = c * ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den
a✝ : ¬c = 0
h : q * r = s

⊢ ↑(↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).den * (q * r).num = (↑(q.num * r.num) / ↑(↑q.den * ↑r.den)).num * ↑(q * r).den
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : Fintype τ
inst✝ : Algebra R S
f : σ → S
n : ℕ

⊢ (aeval f) (esymm σ R n) = (Multiset.map f univ.val).esymm n
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Triangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁷ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁵ : Preadditive C
inst✝¹⁴ : HasZeroObject C
inst✝¹³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹² : Pretriangulated C
inst✝¹¹ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁰ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁹ : L.IsLocalization W
inst✝⁸ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁷ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : HasZeroObject D
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : L.Additive
inst✝² : Pretriangulated D
inst✝¹ : L.IsTriangulated
inst✝ : IsTriangulated C

⊢ IsTriangulated D
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Triangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁷ : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁵ : Preadditive C
inst✝¹⁴ : HasZeroObject C
inst✝¹³ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹² : Pretriangulated C
inst✝¹¹ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁰ : L.CommShift ℤ
W : MorphismProperty C
inst✝⁹ : L.IsLocalization W
inst✝⁸ : W.IsCompatibleWithTriangulation
inst✝⁷ : W.HasLeftCalculusOfFractions
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : HasZeroObject D
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : L.Additive
inst✝² : Pretriangulated D
inst✝¹ : L.IsTriangulated
inst✝ : IsTriangulated C
this : (L.mapComposableArrows 2).EssSurj

⊢ IsTriangulated D
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ₁ χ₂ : L → R
p q : ℤ
this : ∀ (k : ℤ), k ∈ Ioo p q ↔ k ∈ Finset.Ioo p q

⊢ weightSpaceChain M χ₁ χ₂ p q = ⨆ k ∈ Finset.Ioo p q, weightSpace M (k • χ₁ + χ₂)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α

⊢ x ⇨ y = x ↔ x = ⊤ ∧ y = ⊤
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α

⊢ x ⇨ y = ⊤ ∧ x = ⊤ ↔ x = ⊤ ∧ y = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Regular/RegularSequence.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
r : R
rs : List R

⊢ IsRegular M (r :: rs) ↔ IsSMulRegular M r ∧ IsRegular (QuotSMulTop r M) (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r}))) rs)
-- Mathlib/RingTheory/Regular/RegularSequence.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
r : R
rs : List R

⊢ IsWeaklyRegular M (r :: rs) ∧ ¬⊤ = Ideal.ofList (r :: rs) • ⊤ ↔ IsSMulRegular M r ∧ IsWeaklyRegular (QuotSMulTop r M) (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r}))) rs) ∧ ¬⊤ = Ideal.ofList (List.map (⇑(Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {r}))) rs) • ⊤
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x y : V
p : G.Walk u v
hnp : ¬p.Nil
u✝ v✝ w✝ : V
x✝¹ : G.Adj u✝ v✝
x✝ : G.Walk v✝ w✝

⊢ (cons x✝¹ x✝).getVert 1 = (cons x✝¹ x✝).sndOfNotNil ⋯
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c✝ d : α
m n : ℕ
c : α
h : a < b
hc : c ≠ 0

⊢ a * c < b * c
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c✝ d : α
m n : ℕ
c : α
hc : c ≠ 0
h : b * c ≤ a * c

⊢ b ≤ a
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D

⊢ e.inverse.map (e.counitInv.app Y) ≫ e.unitInv.app (e.inverse.obj Y) = 𝟙 (e.inverse.obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
Y : D

⊢ (e.unitIso.app (e.inverse.obj Y) ≪≫ e.inverse.mapIso (e.counitIso.app Y)).hom = (Iso.refl ((𝟭 C).obj (e.inverse.obj Y))).hom
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H✝ : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : AddZeroClass N
f g : (α →₀ M) →+ N
H : ∀ (x : α) (y : M), f (single x y) = g (single x y)

⊢ f = g
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H✝ : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : AddZeroClass N
f g : (α →₀ M) →+ N
H : ∀ (x : α) (y : M), f (single x y) = g (single x y)

⊢ Set.EqOn ⇑f ⇑g {f | ∃ a b, f = single a b}
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ 0

⊢ a / 0 = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x

⊢ AEMeasurable f' (μ.restrict s)