ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/AEval.lean
R : Type u_2
A : Type u_3
M : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
a : A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
p : Submodule R M
hp : p ≤ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) p
q : Submodule R[X] (AEval R M a)
m : M
hm : m ∈ (comapSubmodule R M a) q

⊢ m ∈ Submodule.comap ((Algebra.lsmul R R M) a) ((comapSubmodule R M a) q)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p : α → Prop
q : Prop

⊢ (∀ᶠ (x : α) in f, p x ∨ q) ↔ (∀ᶠ (x : α) in f, p x) ∨ q
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
x₁ x₂ : Filter α
y : Filter β

⊢ Tendsto f (x₁ ⊔ x₂) y ↔ Tendsto f x₁ y ∧ Tendsto f x₂ y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
x y z : P

⊢ dist (x -ᵥ y) (x -ᵥ z) = dist y z
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x y : PGame
ox : x.Numeric
oy : y.Numeric

⊢ x ≤ y ↔ (∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i < y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), x < y.moveRight j
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0

⊢ span {x} * I ≤ span {x} * J ↔ I ≤ J
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s

⊢ (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ f '' A → ∀ ⦃b : β⦄, b ∈ f '' A → ∀ ⦃c : β⦄, c ∈ f '' A → a * c = b * b → a = b) ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ A → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ A → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ A → a * c = b * b → a = b
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s A : Set α
t B : Set β
f : α → β
a : α
hf : IsMulFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s
this : BijOn f A (f '' A)

⊢ (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ f '' A → ∀ ⦃b : β⦄, b ∈ f '' A → ∀ ⦃c : β⦄, c ∈ f '' A → a * c = b * b → a = b) ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ A → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ A → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ A → a * c = b * b → a = b
-- Mathlib/RingTheory/FreeRing.lean
α : Type u
C : FreeRing α → Prop
z : FreeRing α
hn1 : C (-1)
hb : ∀ (b : α), C (of b)
ha : ∀ (x y : FreeRing α), C x → C y → C (x + y)
hm : ∀ (x y : FreeRing α), C x → C y → C (x * y)
hn : ∀ (x : FreeRing α), C x → C (-x)
h1 : C 1
m✝ : FreeMonoid α
a : α
m : List α
ih : C (FreeAbelianGroup.of m)

⊢ FreeAbelianGroup.of (a :: m) = of a * FreeAbelianGroup.of m
-- Mathlib/RingTheory/FreeRing.lean
α : Type u
C : FreeRing α → Prop
z : FreeRing α
hn1 : C (-1)
hb : ∀ (b : α), C (of b)
ha : ∀ (x y : FreeRing α), C x → C y → C (x + y)
hm : ∀ (x y : FreeRing α), C x → C y → C (x * y)
hn : ∀ (x : FreeRing α), C x → C (-x)
h1 : C 1
m✝ : FreeMonoid α
a : α
m : List α
ih : C (FreeAbelianGroup.of m)

⊢ FreeAbelianGroup.of (a :: m) = FreeAbelianGroup.of (FreeMonoid.of a * m)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ cosh (x * I) = cos x
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

⊢ (transitionMap I M hmn) ((fun n => (I ^ n • ⊤).mkQ (↑f n)) n) = (fun n => (I ^ n • ⊤).mkQ (↑f n)) m
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : AdicCauchySequence I M
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

⊢ Submodule.Quotient.mk (↑f n) = Submodule.Quotient.mk (↑f m)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁

⊢ ClosedEmbedding ⇑(cfcₙAux ⋯ a ha)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁

⊢ ClosedEmbedding ((⇑↑(cfcHom ⋯) ∘ ⇑↑(Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯))) ∘ ⇑ContinuousMapZero.toContinuousMapHom)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁

⊢ ClosedEmbedding ⇑↑(Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯))
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
e : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜) ≃ₜ C(↑(σ 𝕜 ↑a), 𝕜) := let __src := Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯); { toEquiv := __src.toEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }

⊢ ClosedEmbedding ⇑↑(Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯))
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : AEMeasurable X ℙ

⊢ HasPDF X ℙ volume ↔ map X ℙ ≪ volume
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : AEMeasurable X ℙ

⊢ (map X ℙ).HaveLebesgueDecomposition volume ∧ map X ℙ ≪ volume ↔ map X ℙ ≪ volume
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset γ
t : γ → Finset α
f : α → β

⊢ ⨆ y ∈ s.biUnion t, f y = ⨆ x ∈ s, ⨆ y ∈ t x, f y
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
s : SignedMeasure α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA₁ : MeasurableSet A
hB₁ : MeasurableSet B
hA₂ : 0 ≤ ↑s A
hB₂ : 0 ≤ ↑s B
hAB : ↑s (A ∪ B) = 0

⊢ ↑s A = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f : ℕ → Set α
s : SignedMeasure α
A B : Set α
h : Disjoint A B
hA₁ : MeasurableSet A
hB₁ : MeasurableSet B
hA₂ : 0 ≤ ↑s A
hB₂ : 0 ≤ ↑s B
hAB : ↑s A + ↑s B = 0

⊢ ↑s A = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : InvolutiveStar R
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
a : A
x✝ : R

⊢ x✝ ∈ σ (star a) ↔ x✝ ∈ star (σ a)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Commute.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a b : M₀
h : Commute a b
hab : ¬IsUnit (a * b)

⊢ inverse (a * b) = inverse b * inverse a
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Commute.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a b : M₀
h : Commute a b
hab : ¬IsUnit (a * b)
ha : ¬IsUnit a

⊢ inverse (a * b) = inverse b * inverse a
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Commute.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a b : M₀
h : Commute a b
hab : ¬IsUnit (a * b)
hb : ¬IsUnit b

⊢ inverse (a * b) = inverse b * inverse a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace E
c : 𝕜
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ (integralCLM' 𝕜) (c • f) = c • (integralCLM' 𝕜) f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
hn : ↑g ∣ num
hd : g ∣ den

⊢ maybeNormalize num den g den_nz reduced = normalize num den ⋯
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
hn : ↑g ∣ num
hd : g ∣ den

⊢ normalize (num / ↑g) (den / g) den_nz = normalize num den ⋯
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
hn : ↑g ∣ num
hd : g ∣ den
this : g ≠ 0

⊢ normalize (num / ↑g) (den / g) den_nz = normalize num den ⋯
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
hn : ↑g ∣ num
hd : g ∣ den
this : g ≠ 0

⊢ normalize num (den / g * g) ⋯ = normalize num den ⋯
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den g : Nat
den_nz : den / g ≠ 0
reduced : (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)
hn : ↑g ∣ num
hd : g ∣ den
this : g ≠ 0

⊢ den / g * g = den
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r

⊢ r - ↑‖y‖₊ ≤ (p.changeOrigin y).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r

⊢ r - ↑‖y‖₊ ≤ p.radius - ↑‖y‖₊
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)

⊢ HasSum (fun n => (p.changeOrigin y n) fun x => z) (f (x + y + z))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)
this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z

⊢ HasSum (fun n => (p.changeOrigin y n) fun x => z) (f (x + y + z))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)
this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z

⊢ HasSum (fun n => (p.changeOrigin y n) fun x => z) ((p.changeOrigin y).sum z)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)
this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z

⊢ z ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin y).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
h : ↑‖y‖₊ < r
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ↑‖y‖₊)
this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z

⊢ r - ↑‖y‖₊ ≤ p.radius - ↑‖y‖₊
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i

⊢ ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i

⊢ ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i

⊢ ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
W : ι → Set X
hsW : s ⊆ iUnion W
hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)
hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i

⊢ ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f✝ : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
W : ι → Set X
hsW : s ⊆ iUnion W
hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)
hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i
f : ι → C(X, ℝ)
hfp : ∀ (i : ι), p ⇑(f i)
hf0 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 0 (V i)ᶜ
hf1 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 1 (closure (W i))
hf01 : ∀ (i : ι) (x : X), (f i) x ∈ Icc 0 1

⊢ ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f✝ : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
W : ι → Set X
hsW : s ⊆ iUnion W
hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)
hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i
f : ι → C(X, ℝ)
hfp : ∀ (i : ι), p ⇑(f i)
hf0 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 0 (V i)ᶜ
hf1 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 1 (closure (W i))
hf01 : ∀ (i : ι) (x : X), (f i) x ∈ Icc 0 1
hsupp : ∀ (i : ι), support ⇑(f i) ⊆ V i

⊢ ∃ f, (∀ (i : ι), p ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f✝ : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
W : ι → Set X
hsW : s ⊆ iUnion W
hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)
hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i
f : ι → C(X, ℝ)
hfp : ∀ (i : ι), p ⇑(f i)
hf0 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 0 (V i)ᶜ
hf1 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 1 (closure (W i))
hf01 : ∀ (i : ι) (x : X), (f i) x ∈ Icc 0 1
hsupp : ∀ (i : ι), support ⇑(f i) ⊆ V i
x : X
hx : x ∈ s

⊢ ∃ i, ⇑(f i) =ᶠ[𝓝 x] 1
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
f✝ : BumpCovering ι X s
inst✝ : NormalSpace X
p : (X → ℝ) → Prop
h01 : ∀ (s t : Set X), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, p ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
hs : IsClosed s
U : ι → Set X
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hf : LocallyFinite U
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
V : ι → Set X
hsV : s ⊆ iUnion V
hVo : ∀ (i : ι), IsOpen (V i)
hVU : ∀ (i : ι), closure (V i) ⊆ U i
hVU' : ∀ (i : ι), V i ⊆ U i
W : ι → Set X
hsW : s ⊆ iUnion W
hWo : ∀ (i : ι), IsOpen (W i)
hWV : ∀ (i : ι), closure (W i) ⊆ V i
f : ι → C(X, ℝ)
hfp : ∀ (i : ι), p ⇑(f i)
hf0 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 0 (V i)ᶜ
hf1 : ∀ (i : ι), EqOn (⇑(f i)) 1 (closure (W i))
hf01 : ∀ (i : ι) (x : X), (f i) x ∈ Icc 0 1
hsupp : ∀ (i : ι), support ⇑(f i) ⊆ V i
x : X
hx : x ∈ s
i : ι
hi : x ∈ W i

⊢ ∃ i, ⇑(f i) =ᶠ[𝓝 x] 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
α : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℝ≥0
ht : 1 < t
A : μ s = μ (s ∩ f ⁻¹' {0}) + μ (s ∩ f ⁻¹' Ioi 0)
B : μ (s ∩ f ⁻¹' Ioi 0) = μ (s ∩ f ⁻¹' {⊤}) + μ (s ∩ f ⁻¹' Ioo 0 ⊤)
C : μ (s ∩ f ⁻¹' Ioo 0 ⊤) = ∑' (n : ℤ), μ (s ∩ f ⁻¹' Ico (↑t ^ n) (↑t ^ (n + 1)))

⊢ μ s = μ (s ∩ f ⁻¹' {0}) + μ (s ∩ f ⁻¹' {⊤}) + ∑' (n : ℤ), μ (s ∩ f ⁻¹' Ico (↑t ^ n) (↑t ^ (n + 1)))
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R

⊢ (Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ).Finite
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R

⊢ (Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ) ⊆ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m : M
hm : m ∈ Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ

⊢ m ∈ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m : M
hm : m ∈ Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ
hm' : m ∉ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m : M
hm : m ∈ Function.support fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ
hm' : m ∉ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support

⊢ (fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ) m = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m : M
hm' : m ∉ (fun d => (weight w) d) '' ↑φ.support
hm : ¬(weightedHomogeneousComponent w m) φ = 0

⊢ (fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ) m = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
m : M
hm : ¬(weightedHomogeneousComponent w m) φ = 0
hm' : ∀ x ∈ ↑φ.support, ¬(weight w) x = m

⊢ (fun m => (weightedHomogeneousComponent w m) φ) m = 0
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : OpenEmbedding ⇑f
H₂ : OpenEmbedding ⇑g

⊢ OpenEmbedding ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : OpenEmbedding ⇑f
H₂ : OpenEmbedding ⇑g
e_2✝ : ↑((cospan f g).obj WalkingCospan.one) = ↑S

⊢ ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one) = ⇑g ∘ ⇑(pullback.snd f g)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : OpenEmbedding ⇑f
H₂ : OpenEmbedding ⇑g
e_2✝ : ↑((cospan f g).obj WalkingCospan.one) = ↑S

⊢ ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.one) = ⇑(pullback.snd f g ≫ g)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H₁ : OpenEmbedding ⇑f
H₂ : OpenEmbedding ⇑g
e_2✝ : ↑((cospan f g).obj WalkingCospan.one) = ↑S

⊢ ⇑(limit.π (cospan f g) WalkingCospan.right ≫ (cospan f g).map WalkingCospan.Hom.inr) = ⇑(pullback.snd f g ≫ g)