ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
u : ℤˣ
a : ↥(toSubgroup A B u)

⊢ ↑((toSubgroupEquiv φ (-u)) ((toSubgroupEquiv φ u) a)) = ↑a
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : ↥(toSubgroup A B 1)

⊢ ↑((toSubgroupEquiv φ (-1)) ((toSubgroupEquiv φ 1) a)) = ↑a
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : ↥(toSubgroup A B (-1))

⊢ ↑((toSubgroupEquiv φ (- -1)) ((toSubgroupEquiv φ (-1)) a)) = ↑a
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s a : ℂ

⊢ mellin (fun t => ↑t ^ a • f t) s = mellin f (s + a)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s a : ℂ
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0

⊢ ↑t ^ (s - 1) • (fun t => ↑t ^ a • f t) t = ↑t ^ (s + a - 1) • f t
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
hx : x ∉ s
p : P
hp : p ∈ ↑s
this : Nonempty ↥s

⊢ IsConnected {y | s.SSameSide x y}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
hx : x ∉ s
p : P
hp : p ∈ ↑s
this : Nonempty ↥s

⊢ IsConnected ((fun x_1 => x_1.1 • (x -ᵥ p) +ᵥ x_1.2) '' Set.Ioi 0 ×ˢ ↑s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
hx : x ∉ s
p : P
hp : p ∈ ↑s
this : Nonempty ↥s

⊢ ConnectedSpace ↑↑s
-- Mathlib/Algebra/GradedMonoid.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : SetLike S R
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid ι
A : ι → S
inst✝ : GradedMonoid A
fι : α → ι
fA : (a : α) → ↥(A (fι a))
l : List α

⊢ ↑(l.dProd fι fA) = (List.map (fun a => ↑(fA a)) l).prod
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
inst✝ : Nonempty ι
S : ι → Subgroup G
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : G

⊢ x ∈ ↑(⨆ i, S i) ↔ x ∈ ⋃ i, ↑(S i)
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s✝ t : Set α
s : Set (α ⊕ β)

⊢ Sum.inl '' (Sum.inl ⁻¹' s) ∪ Sum.inr '' (Sum.inr ⁻¹' s) = s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s : Set L
x : L

⊢ x ∈ ↑(lieSpan R L s) ↔ ∀ (K : LieSubalgebra R L), s ⊆ ↑K → x ∈ K
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s : Set L
x : L

⊢ x ∈ ⋂ s_1 ∈ {N | s ⊆ ↑N}, ↑s_1 ↔ ∀ (K : LieSubalgebra R L), s ⊆ ↑K → x ∈ K
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : DivisionSemiring β
inst✝ : RingHomClass F α β
f : F
q : ℚ≥0

⊢ f ↑q = ↑q
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i j : ι
h : i ≤ j
x : G i

⊢ (s.ι.app j) ((f i j h) x) = (s.ι.app i) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i j : ι
h : i ≤ j
x : G i

⊢ (s.ι.app j) ((f i j h) x) = ((directLimitDiagram G f).map (homOfLE h) ≫ s.ι.app j) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i : ι

⊢ (directLimitCocone G f).ι.app i ≫ (fun s => DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯) s = s.ι.app i
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i : ι

⊢ ∀ (x : ↑((directLimitDiagram G f).obj i)), ((directLimitCocone G f).ι.app i ≫ (fun s => DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯) s) x = (s.ι.app i) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i : ι
x : ↑((directLimitDiagram G f).obj i)

⊢ (DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯ ∘ₗ DirectLimit.of R ι G f i) x = (s.ι.app i) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
i : ι
x : ↑((directLimitDiagram G f).obj i)

⊢ (DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯) ((DirectLimit.of R ι G f i) x) = (s.ι.app i) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
m : (directLimitCocone G f).pt ⟶ s.pt
h : ∀ (j : ι), (directLimitCocone G f).ι.app j ≫ m = s.ι.app j

⊢ m = (fun s => DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯) s
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
m : (directLimitCocone G f).pt ⟶ s.pt
h : ∀ (j : ι), (directLimitCocone G f).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
this : s.ι.app = fun i => m ∘ₗ DirectLimit.of R ι (fun i => G i) (fun i j H => f i j H) i

⊢ m = (fun s => DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯) s
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
m : (directLimitCocone G f).pt ⟶ s.pt
h : ∀ (j : ι), (directLimitCocone G f).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
this : s.ι.app = fun i => m ∘ₗ DirectLimit.of R ι (fun i => G i) (fun i j H => f i j H) i

⊢ ∀ (x : ↑(directLimitCocone G f).pt), m x = ((fun s => DirectLimit.lift R ι G f s.ι.app ⋯) s) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Limits.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
J : Type v
inst✝⁶ : Category.{t, v} J
F : J ⥤ ModuleCat R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type v
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Cocone (directLimitDiagram G f)
m : (directLimitCocone G f).pt ⟶ s.pt
h : ∀ (j : ι), (directLimitCocone G f).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
this : s.ι.app = fun i => m ∘ₗ DirectLimit.of R ι (fun i => G i) (fun i j H => f i j H) i
x : ↑(directLimitCocone G f).pt

⊢ m x = (DirectLimit.lift R ι G f (fun i => m ∘ₗ DirectLimit.of R ι (fun i => G i) (fun i j H => f i j H) i) ⋯) x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α

⊢ Continuous fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α

⊢ ∀ (x : α), thickenedIndicatorAux δ E x ∈ {a | a ≠ ⊤}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α

⊢ thickenedIndicatorAux δ E x ∈ {a | a ≠ ⊤}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α

⊢ ∃ C, ∀ (x y : α), dist ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x) ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y) ≤ C
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α

⊢ ∀ (x y : α), dist ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x) ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y) ≤ 2
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x y : α

⊢ dist ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x) ({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y) ≤ 2
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x y : α

⊢ |↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x) - ↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y)| ≤ 2
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x y : α

⊢ |↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x)| + |↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y)| ≤ 2
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x y : α

⊢ ↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x) + ↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y) ≤ 1 + 1
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x y : α
key : ∀ (x : α), thickenedIndicatorAux δ E x ≤ 1

⊢ ↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun x) + ↑({ toFun := fun x => (thickenedIndicatorAux δ E x).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ }.toFun y) ≤ 1 + 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : support f ⊆ k
h'f : Continuous f

⊢ f = 0 ∨ LocallyCompactSpace G
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : support f ⊆ k
h'f : Continuous f
h : ¬f = 0

⊢ LocallyCompactSpace G
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : support f ⊆ k
h'f : Continuous f
h : ¬∀ (a : G), f a = 0

⊢ LocallyCompactSpace G
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : support f ⊆ k
h'f : Continuous f
x : G
hx : f x ≠ 0

⊢ LocallyCompactSpace G
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalGroup G
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : T1Space α
f : G → α
k : Set G
hk : IsCompact k
hf : support f ⊆ k
h'f : Continuous f
x : G
hx : f x ≠ 0
this : k ∈ 𝓝 x

⊢ LocallyCompactSpace G
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R →+* R'
j : S →+* S'
hi : Surjective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : (algebraMap R' S').comp i = j.comp (algebraMap R S)

⊢ lift.{v', v} (Module.rank R S) ≤ lift.{v, v'} (Module.rank R' S')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R →+* R'
j : S →+* S'
hi : Surjective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : (algebraMap R' S').comp i = j.comp (algebraMap R S)
r : R
x✝ : S

⊢ ↑j (r • x✝) = ↑i r • ↑j x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R →+* R'
j : S →+* S'
hi : Surjective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : (algebraMap R' S').comp i = j.comp (algebraMap R S)
r : R
x✝ : S
this : ((algebraMap R' S').comp i) r = (j.comp (algebraMap R S)) r

⊢ ↑j (r • x✝) = ↑i r • ↑j x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R →+* R'
j : S →+* S'
hi : Surjective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : (algebraMap R' S').comp i = j.comp (algebraMap R S)
r : R
x✝ : S
this : (algebraMap R' S') (i r) = j ((algebraMap R S) r)

⊢ ↑j (r • x✝) = ↑i r • ↑j x✝
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra 𝕜 A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : T2Space A
s : Set 𝕜
inst✝ : CompactSpace ↑s
φ ψ : C(↑s, 𝕜) →⋆ₐ[𝕜] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)

⊢ φ = ψ
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra 𝕜 A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : T2Space A
s : Set 𝕜
inst✝ : CompactSpace ↑s
φ ψ : C(↑s, 𝕜) →⋆ₐ[𝕜] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)

⊢ ⊤ ≤ StarAlgHom.equalizer φ ψ
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra 𝕜 A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : T2Space A
s : Set 𝕜
inst✝ : CompactSpace ↑s
φ ψ : C(↑s, 𝕜) →⋆ₐ[𝕜] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)

⊢ (polynomialFunctions s).starClosure.topologicalClosure ≤ StarAlgHom.equalizer φ ψ
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

⊢ Indep (⨆ a, ⨆ n ∈ ns a, s n) (limsup s f) κ μα
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

⊢ ∀ (i : α), Indep (⨆ n ∈ ns i, s n) (limsup s f) κ μα
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

⊢ ∀ (i : α), ⨆ n ∈ ns i, s n ≤ m0
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

⊢ limsup s f ≤ m0
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)

⊢ Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) fun i => ⨆ n ∈ ns i, s n
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f f₁ g₁ : α₁ → β₁ → Finset γ₁
g f₂ g₂ : α₂ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂

⊢ (sumLift₂ f g a b).Nonempty ↔ (∃ a₁ b₁, a = inl a₁ ∧ b = inl b₁ ∧ (f a₁ b₁).Nonempty) ∨ ∃ a₂ b₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ (g a₂ b₂).Nonempty
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
n d a : Int
a0 : a ≠ 0

⊢ a * n /. (a * d) = n /. d
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝² : Ring R
Q : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
inj : CategoryTheory.Injective (ModuleCat.of R Q)
X Y : Type v
x✝³ : AddCommGroup X
x✝² : AddCommGroup Y
x✝¹ : Module R X
x✝ : Module R Y
f : X →ₗ[R] Y
hf : Function.Injective ⇑f
g : X →ₗ[R] Q

⊢ ∃ h, ∀ (x : X), h (f x) = g x
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝² : Ring R
Q : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
inj : CategoryTheory.Injective (ModuleCat.of R Q)
X Y : Type v
x✝³ : AddCommGroup X
x✝² : AddCommGroup Y
x✝¹ : Module R X
x✝ : Module R Y
f : X →ₗ[R] Y
hf : Function.Injective ⇑f
g : X →ₗ[R] Q
this : CategoryTheory.Mono (ModuleCat.ofHom f)

⊢ ∃ h, ∀ (x : X), h (f x) = g x
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝² : Ring R
Q : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
inj : CategoryTheory.Injective (ModuleCat.of R Q)
X Y : Type v
x✝³ : AddCommGroup X
x✝² : AddCommGroup Y
x✝¹ : Module R X
x✝ : Module R Y
f : X →ₗ[R] Y
hf : Function.Injective ⇑f
this : CategoryTheory.Mono (ModuleCat.ofHom f)
l : ModuleCat.of R Y ⟶ ModuleCat.of R Q

⊢ ∃ h, ∀ (x : X), h (f x) = (CategoryTheory.CategoryStruct.comp (ModuleCat.ofHom f) l) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallySurjective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G

⊢ IsLocallySurjective J f ↔ Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf (whiskerRight f (forget A))) = ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallySurjective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G

⊢ IsLocallySurjective J f ↔ ∀ (a : Cᵒᵖ) (x : (G ⋙ forget A).obj a), x ∈ (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf (whiskerRight f (forget A)))).obj a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Set M

⊢ Module.rank R ↥(span R s) ≤ #↑s