ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasStrictDerivAt d d' x

⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c * d y) (c * d') x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasStrictDerivAt d d' x

⊢ c * d' = 0 * d x + c * d'
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
hc : 1 < A✝.card * B✝.card

⊢ ∃ p1 ∈ A✝ ×ˢ B✝, ∃ p2 ∈ A✝ ×ˢ B✝, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p2.1 p2.2
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
hc : 1 < A✝.card * B✝.card
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }

⊢ ∃ p1 ∈ A✝ ×ˢ B✝, ∃ p2 ∈ A✝ ×ˢ B✝, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p2.1 p2.2
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card

⊢ ∃ p1 ∈ A✝ ×ˢ B✝, ∃ p2 ∈ A✝ ×ˢ B✝, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p2.1 p2.2
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
h1 : p1 ∈ map f B✝ ×ˢ map f A✝
p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
h2 : p2 ∈ map f B✝ ×ˢ map f A✝
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2

⊢ ∃ p1 ∈ A✝ ×ˢ B✝, ∃ p2 ∈ A✝ ×ˢ B✝, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p2.1 p2.2
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝

⊢ ∃ p1, (p1.1 ∈ A✝ ∧ p1.2 ∈ B✝) ∧ ∃ p2, (p2.1 ∈ A✝ ∧ p2.2 ∈ B✝) ∧ p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A✝ B✝ p2.1 p2.2
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝

⊢ (p1.2.1, p1.1.1).1 ∈ A✝
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝

⊢ (p1.2.1, p1.1.1).2 ∈ B✝
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝

⊢ (p2.2.1, p2.1.1).1 ∈ A✝
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝

⊢ (p2.2.1, p2.1.1).2 ∈ B✝
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝

⊢ (p1.2.1, p1.1.1) ≠ (p2.2.1, p2.1.1)
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝

⊢ f (p1.2.1, p1.1.1).1 ∈ map f A✝
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝

⊢ f (p1.2.1, p1.1.1).2 ∈ map f B✝
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝

⊢ f (p2.2.1, p2.1.1).1 ∈ map f A✝
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u
H : Type v
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
h : TwoUniqueProds Gᵐᵒᵖ
A✝ B✝ : Finset G
f : G ↪ Gᵐᵒᵖ := { toFun := op, inj' := ⋯ }
hc : 1 < (map f B✝).card * (map f A✝).card
p1 p2 : Gᵐᵒᵖ × Gᵐᵒᵖ
hne : p1 ≠ p2
hu1 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p1.1 p1.2
hu2 : UniqueMul (map f B✝) (map f A✝) p2.1 p2.2
h1 : p1.1 ∈ map f B✝ ∧ p1.2 ∈ map f A✝
h2 : p2.1 ∈ map f B✝ ∧ p2.2 ∈ map f A✝

⊢ f (p2.2.1, p2.1.1).2 ∈ map f B✝
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Infinite
hf : MapsTo f s t
ht : t.Finite

⊢ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ f x = f y
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Infinite
hf : MapsTo f s t
ht : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → f x ≠ f y

⊢ ¬t.Finite
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set ι)

⊢ UniformSpace.comap (⋃₀ 𝔖).restrict (uniformSpace fun i => α ↑i) = ⨅ S ∈ 𝔖, UniformSpace.comap S.restrict (uniformSpace fun i => α ↑i)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f'✝ : F
s✝ t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s

⊢ ‖f'‖ ≤ ↑C * ‖v‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f'✝ : F
s✝ t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s

⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ ↑C * ‖x - x₀‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ x ∈ S, f x = 0
x : M ⧸ S

⊢ ‖(lift S f.toAddMonoidHom hf) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → List β

⊢ (l.bind f).length = Nat.sum (map (length ∘ f) l)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E : EllipticCurve R
C : WeierstrassCurve.VariableChange R

⊢ ↑(C.u⁻¹ ^ 12 * E.Δ') = (E.variableChange C).Δ
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α

⊢ s⁻¹ ⊆ t ↔ s ⊆ t⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ζ : R
i : ℕ
hi : i ∈ n.divisors
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ

⊢ ζ ^ n = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ζ : R
i : ℕ
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ
hi : i ∈ Nat.divisors 0

⊢ ζ ^ 0 = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ζ : R
i : ℕ
hi : i ∈ n.divisors
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ
hn : n > 0

⊢ ζ ^ n = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ζ : R
i : ℕ
hi : i ∈ n.divisors
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ
hn : n > 0
this : eval ζ (X ^ n - 1) = eval ζ (∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R)

⊢ ζ ^ n = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ζ : R
i : ℕ
hi : i ∈ n.divisors
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ
hn : n > 0
this : ζ ^ n - 1 = eval ζ (∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R)

⊢ ζ ^ n = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ζ : R
i : ℕ
hi : i ∈ n.divisors
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ
hn : n > 0
this : ζ ^ n - 1 = eval ζ (∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R)

⊢ 1 = 1 + eval ζ (∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ζ : R
i : ℕ
hi : i ∈ n.divisors
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ
hn : n > 0
this : ζ ^ n - 1 = eval ζ (∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R)

⊢ eval ζ (∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ζ : R
i : ℕ
hi : i ∈ n.divisors
h : (cyclotomic i R).IsRoot ζ
hn : n > 0
this : ζ ^ n - 1 = eval ζ (∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R)

⊢ cyclotomic i R ∣ ∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cone F
X : C
h : yoneda.obj X ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones
Y : C
f : Y ⟶ X
j : J

⊢ (h.hom.app (op Y) { down := f }).app j = ((const J).map f ≫ h.hom.app (op X) { down := 𝟙 X }).app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t✝ : Cone F
X : C
h : yoneda.obj X ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones
Y : C
f : Y ⟶ X
j : J
t : ((yoneda.obj X ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃}).map f.op ≫ h.hom.app (op Y)) { down := 𝟙 X } = (h.hom.app (op X) ≫ F.cones.map f.op) { down := 𝟙 X }

⊢ (h.hom.app (op Y) { down := f }).app j = ((const J).map f ≫ h.hom.app (op X) { down := 𝟙 X }).app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t✝ : Cone F
X : C
h : yoneda.obj X ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones
Y : C
f : Y ⟶ X
j : J
t : h.hom.app (op Y) { down := f ≫ 𝟙 X } = F.cones.map f.op (h.hom.app (op X) { down := 𝟙 X })

⊢ (h.hom.app (op Y) { down := f }).app j = ((const J).map f ≫ h.hom.app (op X) { down := 𝟙 X }).app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t✝ : Cone F
X : C
h : yoneda.obj X ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones
Y : C
f : Y ⟶ X
j : J
t : h.hom.app (op Y) { down := f } = F.cones.map f.op (h.hom.app (op X) { down := 𝟙 X })

⊢ (h.hom.app (op Y) { down := f }).app j = ((const J).map f ≫ h.hom.app (op X) { down := 𝟙 X }).app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t✝ : Cone F
X : C
h : yoneda.obj X ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cones
Y : C
f : Y ⟶ X
j : J
t : h.hom.app (op Y) { down := f } = F.cones.map f.op (h.hom.app (op X) { down := 𝟙 X })

⊢ (F.cones.map f.op (h.hom.app (op X) { down := 𝟙 X })).app j = ((const J).map f ≫ h.hom.app (op X) { down := 𝟙 X }).app j
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
p : α → Prop
f g : α → β
inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)
hp : ∀ a ∈ frontier {x | p x}, f a = g a
hf : ContinuousOn f (closure {x | p x})
hg : ContinuousOn g (closure {x | ¬p x})

⊢ Continuous fun a => if p a then f a else g a
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
p : α → Prop
f g : α → β
inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)
hp : ∀ a ∈ frontier {x | p x}, f a = g a
hf : ContinuousOn f (closure {x | p x})
hg : ContinuousOn g (closure {x | ¬p x})

⊢ ContinuousOn (fun a => if p a then f a else g a) univ
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝³ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝² : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid M
hST : S ≤ T
Q : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
A : Type u_5
inst✝ : CommMonoid A
l : M →* A
hl : ∀ (w : ↥T), IsUnit (l ↑w)
x : M

⊢ ((k.lift hl).comp (f.lift ⋯)) (f.toMap x) = l x
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E

⊢ Tendsto (⇑normSq) (cocompact ℂ) atTop
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞

⊢ ContDiffAt 𝕜 n f y ↔ ∀ (i : ι), ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x i) y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞

⊢ (∀ (i : ι), ContDiffAt 𝕜 n (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) y) ↔ ∀ (i : ι), ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x i) y
-- Mathlib/CategoryTheory/Action.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
X : Type u
inst✝³ : MulAction M X
x✝ : X
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
H : Type u_3
inst✝ : Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
x : ActionCategory G X

⊢ (F 1).left x.back = 𝟙 ()
-- Mathlib/CategoryTheory/Action.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
X : Type u
inst✝³ : MulAction M X
x✝ : X
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
H : Type u_3
inst✝ : Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
x : ActionCategory G X

⊢ left 1 x.back = 𝟙 ()
-- Mathlib/CategoryTheory/Action.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
X : Type u
inst✝³ : MulAction M X
x : X
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
H : Type u_3
inst✝ : Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
X✝ Y✝ Z✝ : ActionCategory G X
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (f ≫ g) = { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map f ≫ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Action.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
X : Type u
inst✝³ : MulAction M X
x : X
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
H : Type u_3
inst✝ : Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
X✝ : ActionCategory G X
z : X
γ₁ : G
f : X✝ ⟶ ⟨(), γ₁⁻¹ • z⟩

⊢ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (f ≫ eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯) = { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map f ≫ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Action.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
X : Type u
inst✝³ : MulAction M X
x : X
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
H : Type u_3
inst✝ : Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
z : X
γ₁ : G
y : X
γ₂ : G
hy : ⟨(), γ₁⁻¹ • z⟩ = ⟨(), y⟩

⊢ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map ((eqToHom ⋯ ≫ homOfPair y γ₂ ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯) = { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (eqToHom ⋯ ≫ homOfPair y γ₂ ≫ eqToHom ⋯) ≫ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Action.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
X : Type u
inst✝³ : MulAction M X
x : X
G : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
H : Type u_3
inst✝ : Group H
F : G →* (X → H) ⋊[mulAutArrow] G
sane : ∀ (g : G), (F g).right = g
z : X
γ₁ γ₂ : G
hy : ⟨(), γ₁⁻¹ • z⟩ = ⟨(), γ₁⁻¹ • z⟩

⊢ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map ((eqToHom ⋯ ≫ homOfPair (γ₁⁻¹ • z) γ₂ ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯) = { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (eqToHom ⋯ ≫ homOfPair (γ₁⁻¹ • z) γ₂ ≫ eqToHom ⋯) ≫ { obj := fun x => (), map := fun {x b} f => (F ↑f).left b.back }.map (eqToHom ⋯ ≫ homOfPair z γ₁ ≫ eqToHom ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
a : R
p q : R[X]
h : C a ∣ p - q

⊢ gcd a p.content = gcd a q.content
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
a : R
p q : R[X]
h : C a ∣ p - q

⊢ gcd a ((Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ).gcd p.coeff) = gcd a q.content
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
a : R
p q : R[X]
h : C a ∣ p - q

⊢ gcd a ((Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ).gcd p.coeff) = gcd a ((Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ).gcd q.coeff)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
a : R
p q : R[X]
h : C a ∣ p - q

⊢ ∀ x ∈ Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ, a ∣ p.coeff x - q.coeff x
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
a : R
p q : R[X]
x : ℕ
a✝ : x ∈ Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ
w : R[X]
hw : p - q = C a * w

⊢ a ∣ p.coeff x - q.coeff x
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
a : R
p q : R[X]
x : ℕ
a✝ : x ∈ Finset.range (max p.natDegree q.natDegree).succ
w : R[X]
hw : p - q = C a * w

⊢ p.coeff x - q.coeff x = a * w.coeff x
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

⊢ (μ {ω | X ω ≤ ε}).toReal ≤ rexp (-t * ε + cgf X μ t)
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

⊢ rexp (-t * ε) * mgf X μ t ≤ rexp (-t * ε + cgf X μ t)
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : t ≤ 0
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

⊢ rexp (-t * ε) * mgf X μ t ≤ rexp (-t * ε) * rexp (cgf X μ t)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Basic.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Field L
nf : NumberField K
x : K

⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(integralBasis K)) ↔ x ∈ (algebraMap (𝓞 K) K).range
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
ha : ρ.fst {a} ≠ 0

⊢ (ρCond a) univ = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s ∩ Ioo a b), p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict s, p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s ∩ Ioo a b), p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict s, p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s ∩ Ioo a b), p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
A : Set (↑s × ↑s)
A_count : A.Countable
hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict s, p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s ∩ Ioo a b), p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
A : Set (↑s × ↑s)
A_count : A.Countable
hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i
this : s ⊆ s \ u ∪ ⋃ p ∈ A, s ∩ T p

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict s, p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s ∩ Ioo a b), p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
A : Set (↑s × ↑s)
A_count : A.Countable
hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i
this : s ⊆ s \ u ∪ ⋃ p ∈ A, s ∩ T p

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (s \ u ∪ ⋃ p ∈ A, s ∩ T p), p x