ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
n : N
q : Q

⊢ (h (g n) - n) ⊗ₜ[R] q ∈ range (rTensor Q f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q
n : N
q : Q

⊢ h (g n) - n ∈ range f
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r p : ℝ≥0
h : r ≠ 0

⊢ r⁻¹ ≤ p ↔ 1 ≤ r * p
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set α
hB : M.Base B
f : α → β
hf : InjOn f M.E

⊢ (M.map f hf).Base (f '' B)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set α
hB : M.Base B
f : α → β
hf : InjOn f M.E

⊢ ∃ B₀, M.Base B₀ ∧ f '' B = f '' B₀
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K

⊢ w.IsComplex ↔ ¬ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K

⊢ w.IsComplex → ¬ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
hφ : ¬ComplexEmbedding.IsReal φ

⊢ ¬ComplexEmbedding.IsReal (mk φ).embedding
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
hφ : ComplexEmbedding.IsReal (mk φ).embedding

⊢ ComplexEmbedding.IsReal φ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h0 : ¬0 = 1

⊢ (p * q).Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
h0 : ¬0 = 1
this : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0

⊢ (p * q).Monic
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0

⊢ (eval P) W.polynomial / P z ^ 6 = Polynomial.evalEval (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3) W.toAffine.polynomial
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j k : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i

⊢ ShortComplex.cyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ ≫ ψ)) = ShortComplex.cyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ) ≫ ShortComplex.cyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map ψ)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
x : (i : ι) → α i

⊢ (x ∈ s.pi fun i => t i ∩ t₁ i) ↔ x ∈ s.pi t ∩ s.pi t₁
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α

⊢ s - s ∩ t + s ∩ t = s - t + s ∩ t
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p q : α → Prop
h : ∀ᶠ (x : α) in f, p x ↔ q x
hq : ∀ᶠ (x : α) in f, q x

⊢ ∀ᶠ (x : α) in f, q x ↔ p x
-- Mathlib/RingTheory/Etale/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
B : Type u
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B

⊢ FormallyEtale R A ↔ FormallyUnramified R A ∧ FormallySmooth R A
-- Mathlib/RingTheory/Etale/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
B : Type u
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B

⊢ (∀ ⦃B : Type u⦄ [inst : CommRing B] [inst_1 : Algebra R B] (I : Ideal B), I ^ 2 = ⊥ → Function.Bijective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp) ↔ (∀ ⦃B : Type u⦄ [inst : CommRing B] [inst_1 : Algebra R B] (I : Ideal B), I ^ 2 = ⊥ → Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp) ∧ ∀ ⦃B : Type u⦄ [inst : CommRing B] [inst_1 : Algebra R B] (I : Ideal B), I ^ 2 = ⊥ → Function.Surjective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T T' : L.Theory
h : M ⊨ T
h' : M ⊨ T'

⊢ M ⊨ T ∪ T'
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T T' : L.Theory
h : ∀ φ ∈ T, M ⊨ φ
h' : ∀ φ ∈ T', M ⊨ φ

⊢ ∀ (φ : L.Sentence), φ ∈ T ∨ φ ∈ T' → M ⊨ φ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
x : ℝ

⊢ x.smoothTransition = 0 ↔ x ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
hs : MeasurableSet s

⊢ (μ.restrict (⋃ i, spanningSets μ i)) s = μ s
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
hf : Injective2 f

⊢ image2 f s (t ∩ t') = image2 f s t ∩ image2 f s t'
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
hk : 0 < k

⊢ (hasseDeriv k) 1 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → f x = 0

⊢ Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → f x = 0

⊢ IntegrableOn f univ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s → f x = 0

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ univ \ s → f x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

⊢ t = s.singularPart μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t.toJordanDecomposition.posPart ⟂ₘ μ ∧ t.toJordanDecomposition.negPart ⟂ₘ μ
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

⊢ t = s.singularPart μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t✝ t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t.toJordanDecomposition.posPart ⟂ₘ μ ∧ t.toJordanDecomposition.negPart ⟂ₘ μ
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
htμ' : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

⊢ t.toJordanDecomposition.posPart.toSignedMeasure - t.toJordanDecomposition.negPart.toSignedMeasure = (s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure - (s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Maps.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
G : SimpleGraph W
e : V ≃ W

⊢ SimpleGraph.map e.symm.toEmbedding G = SimpleGraph.comap (⇑e.toEmbedding) G
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f

⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ

⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
this : ∃ n x, x ∈ interior (closure (⇑f '' ball 0 ↑n))

⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
this : ∃ n x, ∃ ε > 0, ball x ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)

⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)

⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖

⊢ ∃ C ≥ 0, ∀ (y : F), ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F

⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖

⊢ ∃ x, dist (f x) 0 ≤ 1 / 2 * ‖0‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖0‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁷ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0

⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
m : Multiset R[A]

⊢ m.prod.support.sup degb ≤ (Multiset.map (fun f => f.support.sup degb) m).sum
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
a✝ : List R[A]

⊢ (Multiset.prod (Quot.mk Setoid.r a✝)).support.sup degb ≤ (Multiset.map (fun f => f.support.sup degb) (Quot.mk Setoid.r a✝)).sum
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degb0 : degb 0 ≤ 0
degbm : ∀ (a b : A), degb (a + b) ≤ degb a + degb b
a✝ : List R[A]

⊢ a✝.prod.support.sup degb ≤ (List.map (fun f => f.support.sup degb) a✝).sum
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Flat.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
J : Type v₁
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : FinCategory J
K✝ : J ⥤ C
F : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat F
c✝ : Cone K✝
hc✝ : IsLimit c✝
s✝ : Cone (K✝ ⋙ F)
K : J ⥤ C
c : Cone K
hc : IsLimit c
s : Cone (K ⋙ F)
f₁ f₂ : s.pt ⟶ F.obj c.pt
h₁ : ∀ (j : J), f₁ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j
h₂ : ∀ (j : J), f₂ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j
α₁ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₁ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }
α₂ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₂ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }
c₁ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₁ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₁)
c₂ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₂ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₂)
c₀ : Cone (biconeMk J c₁ c₂) := IsCofiltered.cone (biconeMk J c₁ c₂)
g₁ : c₀.pt ⟶ c₁.pt := c₀.π.app Bicone.left
g₂ : c₀.pt ⟶ c₂.pt := c₀.π.app Bicone.right

⊢ f₁ = f₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Flat.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
J : Type v₁
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : FinCategory J
K✝ : J ⥤ C
F : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat F
c✝ : Cone K✝
hc✝ : IsLimit c✝
s✝ : Cone (K✝ ⋙ F)
K : J ⥤ C
c : Cone K
hc : IsLimit c
s : Cone (K ⋙ F)
f₁ f₂ : s.pt ⟶ F.obj c.pt
h₁ : ∀ (j : J), f₁ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j
h₂ : ∀ (j : J), f₂ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j
α₁ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₁ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }
α₂ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₂ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }
c₁ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₁ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₁)
c₂ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₂ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₂)
c₀ : Cone (biconeMk J c₁ c₂) := IsCofiltered.cone (biconeMk J c₁ c₂)
g₁ : c₀.pt ⟶ c₁.pt := c₀.π.app Bicone.left
g₂ : c₀.pt ⟶ c₂.pt := c₀.π.app Bicone.right
this : ∀ (j : J), g₁.right ≫ c.π.app j = g₂.right ≫ c.π.app j

⊢ f₁ = f₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Flat.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
J : Type v₁
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : FinCategory J
K✝ : J ⥤ C
F : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat F
c✝ : Cone K✝
hc✝ : IsLimit c✝
s✝ : Cone (K✝ ⋙ F)
K : J ⥤ C
c : Cone K
hc : IsLimit c
s : Cone (K ⋙ F)
f₁ f₂ : s.pt ⟶ F.obj c.pt
h₁ : ∀ (j : J), f₁ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j
h₂ : ∀ (j : J), f₂ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j
α₁ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₁ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }
α₂ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₂ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }
c₁ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₁ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₁)
c₂ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₂ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₂)
c₀ : Cone (biconeMk J c₁ c₂) := IsCofiltered.cone (biconeMk J c₁ c₂)
g₁ : c₀.pt ⟶ c₁.pt := c₀.π.app Bicone.left
g₂ : c₀.pt ⟶ c₂.pt := c₀.π.app Bicone.right
this✝ : ∀ (j : J), g₁.right ≫ c.π.app j = g₂.right ≫ c.π.app j
this : c.extend g₁.right = c.extend g₂.right

⊢ f₁ = f₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Flat.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
J : Type v₁
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : FinCategory J
K✝ : J ⥤ C
F : C ⥤ D
inst✝ : RepresentablyFlat F
c✝ : Cone K✝
hc✝ : IsLimit c✝
s✝ : Cone (K✝ ⋙ F)
K : J ⥤ C
c : Cone K
hc : IsLimit c
s : Cone (K ⋙ F)
f₁ f₂ : s.pt ⟶ F.obj c.pt
h₁ : ∀ (j : J), f₁ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j
h₂ : ∀ (j : J), f₂ ≫ (F.mapCone c).π.app j = s.π.app j
α₁ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₁ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }
α₂ : (F.mapCone c).toStructuredArrow ⋙ map f₂ ⟶ s.toStructuredArrow := { app := fun X => eqToHom ⋯, naturality := ⋯ }
c₁ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₁ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₁)
c₂ : Cone (s.toStructuredArrow ⋙ pre s.pt K F) := (Cones.postcompose (whiskerRight α₂ (pre s.pt K F))).obj (c.toStructuredArrowCone F f₂)
c₀ : Cone (biconeMk J c₁ c₂) := IsCofiltered.cone (biconeMk J c₁ c₂)
g₁ : c₀.pt ⟶ c₁.pt := c₀.π.app Bicone.left
g₂ : c₀.pt ⟶ c₂.pt := c₀.π.app Bicone.right
this✝¹ : ∀ (j : J), g₁.right ≫ c.π.app j = g₂.right ≫ c.π.app j
this✝ : c.extend g₁.right = c.extend g₂.right
this : g₁.right = g₂.right

⊢ f₁ = f₂
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u_2
f : ι → Cardinal.{u_2}
c : Cardinal.{u_2}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c

⊢ #ι < c.ord.cof
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
t : Set Y
hs : t ⊆ e.target

⊢ IsOpen (↑e.symm '' t) ↔ IsOpen t
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
t : Set Y
hs : t ⊆ e.target
h : IsOpen (↑e.symm '' t)

⊢ IsOpen t
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
t : Set Y
hs : t ⊆ e.target
h : IsOpen (↑e.symm '' t)
hs' : ↑e.symm '' t ⊆ e.source

⊢ IsOpen t
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
t : Set Y
hs : t ⊆ e.target
h : IsOpen (↑e.symm '' t)
hs' : ↑e.symm '' t ⊆ e.source

⊢ IsOpen (↑e.toPartialEquiv '' (↑e.symm '' t))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalPreadditive C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X

⊢ f ⊗ 0 = 0