ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l : List M
ha : a ∈ l
s t : List M
h : l = s ++ a :: t

⊢ a ∣ l.prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l : List M
ha : a ∈ l
s t : List M
h : l = s ++ a :: t

⊢ a ∣ a * (s.prod * t.prod)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b x : Ordinal.{u_1}
hx : x = 0

⊢ log b x ≤ x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b x : Ordinal.{u_1}
hx : ¬x = 0
hb : ¬1 < b

⊢ log b x ≤ x
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : QuasiSober α
inst✝ : IrreducibleSpace α

⊢ IsGenericPoint (genericPoint α) ⊤
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i ≠ 1

⊢ ∃ x ∈ s, f x ≠ 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i ≠ 1
h' : ∀ x ∈ s, f x = 1

⊢ False
-- Mathlib/Computability/ContextFreeGrammar.lean
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T

⊢ w ∈ g.language ↔ g.Derives [Symbol.nonterminal g.initial] (List.map Symbol.terminal w)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ

⊢ (descPochhammer ℤ n).smeval r = n.factorial • choose r n
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ

⊢ (ascPochhammer ℤ n).smeval (r + (1 - ↑n).smeval r) = (ascPochhammer ℕ n).smeval (r - ↑n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ
h : (1 - ↑n).smeval r = 1 - ↑n

⊢ (ascPochhammer ℤ n).smeval (r + (1 - ↑n).smeval r) = (ascPochhammer ℕ n).smeval (r - ↑n + 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
R : ℝ
hF : CompleteSpace F

⊢ ∫ (x : E), f (R • x) ∂μ = |(R ^ finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (x : E), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
hF : CompleteSpace F

⊢ ∫ (x : E), f (0 • x) ∂μ = |(0 ^ finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (x : E), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → F
R : ℝ
hF : CompleteSpace F
hR : R ≠ 0

⊢ ∫ (x : E), f (R • x) ∂μ = |(R ^ finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (x : E), f x ∂μ
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α

⊢ s.encard ≤ 1 ↔ ∀ (a b : α), a ∈ s → b ∈ s → a = b
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α

⊢ (s.Nonempty → ∃ x, s = {x}) ↔ ∀ (a b : α), a ∈ s → b ∈ s → a = b
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.Nonempty → ∃ x, s = {x}
a b : α
has : a ∈ s
hbs : b ∈ s

⊢ a = b
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
c : ℝ

⊢ (normAtPlace w) (c • x) = |c| * (normAtPlace w) x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
c : ℝ

⊢ (if hw : w.IsReal then ‖(c • x).1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖(c • x).2 ⟨w, ⋯⟩‖) = |c| * if hw : w.IsReal then ‖x.1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖x.2 ⟨w, ⋯⟩‖
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ⇨ b ⇔ c = (a ⊓ c ⇨ b) ⊓ (a ⊓ b ⇨ c)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ZMod 0

⊢ IsUnit n ↔ Int.natAbs n = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2

⊢ legendreSym q ↑p = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2)) * legendreSym p ↑q
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
h : p = q

⊢ legendreSym q ↑p = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2)) * legendreSym p ↑q
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp : p ≠ 2
hq : q ≠ 2
h : p ≠ q

⊢ legendreSym q ↑p = (-1) ^ (p / 2 * (q / 2)) * legendreSym p ↑q
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasEqualizer f g
inst✝ : HasEqualizer (G.map f) (G.map g)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = h ≫ g

⊢ G.map h ≫ G.map f = G.map h ≫ G.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasEqualizer f g
inst✝ : HasEqualizer (G.map f) (G.map g)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = h ≫ g

⊢ G.map (equalizer.lift h w) ≫ equalizerComparison f g G = equalizer.lift (G.map h) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasEqualizer f g
inst✝ : HasEqualizer (G.map f) (G.map g)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = h ≫ g

⊢ (G.map (equalizer.lift h w) ≫ equalizerComparison f g G) ≫ equalizer.ι (G.map f) (G.map g) = equalizer.lift (G.map h) ⋯ ≫ equalizer.ι (G.map f) (G.map g)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
r : R

⊢ (C r * φ).IsHomogeneous m
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/ImageHyperplane.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x✝ y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
x : P

⊢ x ∈ inversion c R ⁻¹' sphere y (dist y c) ↔ x ∈ insert c ↑(perpBisector c (inversion c R y))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/ImageHyperplane.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x✝ y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
x : P
hy : y ≠ x

⊢ x ∈ inversion x R ⁻¹' sphere y (dist y x) ↔ x ∈ insert x ↑(perpBisector x (inversion x R y))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/ImageHyperplane.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x✝ y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
x : P
hx : x ≠ c

⊢ x ∈ inversion c R ⁻¹' sphere y (dist y c) ↔ x ∈ insert c ↑(perpBisector c (inversion c R y))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type w
h : Basis ι R M

⊢ ↑(finrank R M) = #ι
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type w
h : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι

⊢ ↑(finrank R M) = #ι
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Finite ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂

⊢ (fun i => ((toMatrix b₁ b₁) id).toMvPolynomial i) = X
-- Mathlib/Algebra/Star/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : StarMul A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : StarModule R A
r : R
hr : IsSelfAdjoint r

⊢ IsSelfAdjoint ((algebraMap R A) r)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M ≃ₗ[R] M'

⊢ lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M ≃ₗ[R] M'

⊢ lift.{v', v} (Module.rank R M) ≤ lift.{v, v'} (Module.rank R M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M ≃ₗ[R] M'

⊢ lift.{v, v'} (Module.rank R M') ≤ lift.{v', v} (Module.rank R M)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x : PGame
h : 0 < x

⊢ x⁻¹ = x.inv'
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
ι : Sort w
f : ι → Filter (Filter α)
x : Set α

⊢ x ∈ ⨆ x, (f x).join ↔ x ∈ (⨆ x, f x).join
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : |x| ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x

⊢ cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x

⊢ cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (-(2 / π ^ 2 * (↑2 * x ^ (2 - 1))) - -sin x) x

⊢ cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x

⊢ cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x
hmono : MonotoneOn (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (Icc 0 (π / 2))

⊢ cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x
hmono : MonotoneOn (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (Icc 0 (π / 2))
hconc : ConcaveOn ℝ (Icc (π / 2) π) fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x

⊢ cos x ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x
hmono : MonotoneOn (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (Icc 0 (π / 2))
hconc : ConcaveOn ℝ (Icc (π / 2) π) fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x

⊢ 0 ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x
hmono : MonotoneOn (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (Icc 0 (π / 2))
hconc : ConcaveOn ℝ (Icc (π / 2) π) fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
hx' : x ≤ π / 2

⊢ 0 ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx : x ≤ π
hx₀ : 0 ≤ x
hderiv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (sin x - 2 / π ^ 2 * 2 * x) x
hmono : MonotoneOn (fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x) (Icc 0 (π / 2))
hconc : ConcaveOn ℝ (Icc (π / 2) π) fun x => 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
hx' : π / 2 ≤ x

⊢ 0 ≤ 1 - 2 / π ^ 2 * x ^ 2 - cos x
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ b ⇔ a ⇔ a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α✝ : F✝ ⟶ G
inst✝ : HasColimitsOfShape K C
F : J ⥤ C
E₁ E₂ : K ⥤ J
α : E₁ ⟶ E₂
j✝ : K

⊢ ι (E₁ ⋙ F) j✝ ≫ pre F E₁ = ι (E₁ ⋙ F) j✝ ≫ colim.map (whiskerRight α F) ≫ pre F E₂
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a✝ : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
a x : α
hx1 : |x| < 1

⊢ IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, a * x ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x y : ℂ
hre : |x.re| ≤ |y.re|
him : |x.im| ≤ |y.im|

⊢ normSq x ≤ normSq y
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x y : ℂ
hre : |x.re| ≤ |y.re|
him : |x.im| ≤ |y.im|

⊢ |x.re| * |x.re| + |x.im| * |x.im| ≤ |y.re| * |y.re| + |y.im| * |y.im|
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
l₁ l₂ : List α
k : ℕ
hk : k ≤ l₂.length

⊢ (l₁ ++ l₂).rdrop k = l₁ ++ l₂.rdrop k
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
l₁ l₂ : List α
k : ℕ
hk : k ≤ l₂.reverse.length

⊢ (l₁ ++ l₂).rdrop k = l₁ ++ l₂.rdrop k
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
l m r : List Char
acc : List String

⊢ (if h : { data := l ++ m ++ r }.atEnd { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } = true then let r := { data := l ++ m ++ r }.extract { byteIdx := utf8Len l } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } :: acc; r.reverse else let_fun this := ⋯; if p ({ data := l ++ m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) = true then let i' := { data := l ++ m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }; { data := l ++ m ++ r }.splitAux p i' i' ({ data := l ++ m ++ r }.extract { byteIdx := utf8Len l } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } :: acc) else { data := l ++ m ++ r }.splitAux p { byteIdx := utf8Len l } ({ data := l ++ m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) acc) = acc.reverse ++ List.map mk (List.splitOnP.go p r m.reverse)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
l m r : List Char
acc : List String

⊢ (if r = [] then acc.reverse ++ [{ data := l ++ (m ++ r) }.extract { byteIdx := utf8Len l } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }] else if p ({ data := l ++ (m ++ r) }.get { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) = true then { data := l ++ (m ++ r) }.splitAux p ({ data := l ++ (m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) ({ data := l ++ (m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) ({ data := l ++ (m ++ r) }.extract { byteIdx := utf8Len l } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } :: acc) else { data := l ++ (m ++ r) }.splitAux p { byteIdx := utf8Len l } ({ data := l ++ (m ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m }) acc) = acc.reverse ++ List.map mk (List.splitOnP.go p r m.reverse)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/IsPrincipal.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R

⊢ ↑((associatesEquivIsPrincipal R) 1) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n R

⊢ LinearMap.range M.mulVecLin = span R (Set.range Mᵀ)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
hac : a ≤ c
hbd : b ≤ d
this✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
this : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ a * b = c * d ↔ a = c ∧ b = d
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α

⊢ 0 < s.encard ↔ s.Nonempty
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
a : α

⊢ 0 ⊂ s ↔ s ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s✝ : Finset ι
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → R
hs : 0 < s.card

⊢ (∏ i ∈ s, (X - C (f i))).coeff (s.card - 1) = -∑ i ∈ s, f i
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
A : Type u_1
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Nontrivial R
x : M

⊢ (ι R) x ≠ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
A : Type u_1
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Nontrivial R
x : M

⊢ ¬(x = 0 ∧ 1 = 0)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β

⊢ LipschitzWith K f ↔ ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ ↑K * dist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β

⊢ (∀ (x y : α), ↑(nndist (f x) (f y)) ≤ ↑K * ↑(nndist x y)) ↔ ∀ (x y : α), ↑(nndist (f x) (f y)) ≤ ↑K * ↑(nndist x y)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α

⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ ∃ V ∈ 𝓤 α, ball x V ⊆ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α

⊢ (∃ t ∈ 𝓤 α, Prod.mk x ⁻¹' t ⊆ s) ↔ ∃ V ∈ 𝓤 α, ball x V ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s✝ : Set E
a b m✝ : ℝ
x y : E
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
f : E → ℝ
m n : ℝ

⊢ StrongConvexOn s 0 f ↔ ConvexOn ℝ s f
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)

⊢ ∃ V i, ∃ (_ : ↑x ∈ V), IsUnit ((X.presheaf.map i.op) f)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
g' : ↑(X.presheaf.stalk ↑x)
heq : (X.presheaf.germ x) f * g' = 1

⊢ ∃ V i, ∃ (_ : ↑x ∈ V), IsUnit ((X.presheaf.map i.op) f)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxV : ↑x ∈ V
g : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))
heq : (X.presheaf.germ x) f * (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxV⟩) g = 1

⊢ ∃ V i, ∃ (_ : ↑x ∈ V), IsUnit ((X.presheaf.map i.op) f)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxV : ↑x ∈ V
g : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))
heq : (X.presheaf.germ x) f * (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxV⟩) g = 1
W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace := U ⊓ V

⊢ ∃ V i, ∃ (_ : ↑x ∈ V), IsUnit ((X.presheaf.map i.op) f)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxV : ↑x ∈ V
g : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))
heq : (X.presheaf.germ x) f * (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxV⟩) g = 1
W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace := U ⊓ V
hxW : ↑x ∈ W

⊢ ∃ V i, ∃ (_ : ↑x ∈ V), IsUnit ((X.presheaf.map i.op) f)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxV : ↑x ∈ V
g : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))
W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace := U ⊓ V
hxW : ↑x ∈ W
heq : (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) ((X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) f * (X.presheaf.map (U.infLERight V).op) g) = (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) 1

⊢ ∃ V i, ∃ (_ : ↑x ∈ V), IsUnit ((X.presheaf.map i.op) f)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxV : ↑x ∈ V
g : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))
W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace := U ⊓ V
hxW : ↑x ∈ W
heq : (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) ((X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) f * (X.presheaf.map (U.infLERight V).op) g) = (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) 1
W' : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxW' : ↑x ∈ W'
i₁ i₂ : W' ⟶ W
heq' : (X.presheaf.map i₁.op) ((X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) f * (X.presheaf.map (U.infLERight V).op) g) = (X.presheaf.map i₂.op) 1

⊢ ∃ V i, ∃ (_ : ↑x ∈ V), IsUnit ((X.presheaf.map i.op) f)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxV : ↑x ∈ V
g : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))
W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace := U ⊓ V
hxW : ↑x ∈ W
heq : (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) ((X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) f * (X.presheaf.map (U.infLERight V).op) g) = (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) 1
W' : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxW' : ↑x ∈ W'
i₁ i₂ : W' ⟶ W
heq' : (X.presheaf.map i₁.op) ((X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) f * (X.presheaf.map (U.infLERight V).op) g) = (X.presheaf.map i₂.op) 1

⊢ IsUnit ((X.presheaf.map (i₁ ≫ U.infLELeft V).op) f)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxV : ↑x ∈ V
g : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))
W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace := U ⊓ V
hxW : ↑x ∈ W
heq : (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) ((X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) f * (X.presheaf.map (U.infLERight V).op) g) = (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) 1
W' : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxW' : ↑x ∈ W'
i₁ i₂ : W' ⟶ W
heq' : (X.presheaf.map i₁.op) ((X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) f) * (X.presheaf.map i₁.op) ((X.presheaf.map (U.infLERight V).op) g) = 1

⊢ IsUnit ((X.presheaf.map (i₁ ≫ U.infLELeft V).op) f)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↥U
h : IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxV : ↑x ∈ V
g : (CategoryTheory.forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op V))
W : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace := U ⊓ V
hxW : ↑x ∈ W
heq : (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) ((X.presheaf.map (U.infLELeft V).op) f * (X.presheaf.map (U.infLERight V).op) g) = (X.presheaf.germ ⟨↑x, hxW⟩) 1
W' : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hxW' : ↑x ∈ W'
i₁ i₂ : W' ⟶ W
heq' : (X.presheaf.map (i₁ ≫ U.infLELeft V).op) f * (X.presheaf.map ((U.infLERight V).op ≫ i₁.op)) g = 1

⊢ IsUnit ((X.presheaf.map (i₁ ≫ U.infLELeft V).op) f)