ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : LinearIndependent S v

⊢ ∃ w, LinearIndependent R w
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : LinearIndependent S v
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1

⊢ ∃ w, LinearIndependent R w
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : LinearIndependent S v
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1

⊢ LinearIndependent R fun i => (sec (v i)).1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1

⊢ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • (sec (v i)).1 = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
t : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0
i : ι
hit : i ∈ t

⊢ g i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
t : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0
i : ι
hit : i ∈ t

⊢ g i * ↑(sec (v i)).2 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
t : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0
i : ι
hit : i ∈ t

⊢ (algebraMap R S) (g i * ↑(sec (v i)).2) = (algebraMap R S) 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
t : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0
i : ι
hit : i ∈ t

⊢ (algebraMap R S) (g i * ↑(sec (v i)).2) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
ι : Type u_1
v : ι → N
hf : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → S), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
sec : N → M × ↥p
hsec : ∀ (y : N), (sec y).2 • y = f (sec y).1
t : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ t, g i • (sec (v i)).1 = 0
i : ι
hit : i ∈ t

⊢ ∑ i ∈ t, (fun i => (algebraMap R S) (g i * ↑(sec (v i)).2)) i • v i = 0
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
α₁ : Type u_6
α₂ : Type u_7
β₁ : Type u_8
β₂ : Type u_9
inst✝¹ : Preorder β₁
inst✝ : Preorder β₂
u₁ : β₁ → α₁
u₂ : β₂ → α₂

⊢ map u₁ atTop ×ˢ map u₂ atTop = map (Prod.map u₁ u₂) atTop
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α → β
h : α → β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
a : α

⊢ Nat.rec (g a) (fun n IH => h a (n, IH).2) (f a) = (h a)^[f a] (g a)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompareReals.lean
s : Set (ℚ × ℚ)

⊢ s ∈ uniformity ℚ ↔ s ∈ uniformity ℚ
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompareReals.lean
s : Set (ℚ × ℚ)

⊢ (∃ i, 0 < i ∧ {p | AbsoluteValue.abs (p.2 - p.1) < i} ⊆ s) ↔ ∃ i, 0 < i ∧ {p | dist p.1 p.2 < ↑i} ⊆ s
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y✝ : E b✝
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : F

⊢ { proj := b, snd := e.symm b y } = ↑e.symm (b, y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ

⊢ 0 < μ {x | f x ≤ ∫ (a : α), f a ∂μ}
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
hm : Injective ⇑m
s t : Set β
hs : s ⊆ range ⇑m
ht : t ⊆ range ⇑m

⊢ ⇑m '' (⇑m ⁻¹' (s / t)) = ⇑m '' (⇑m ⁻¹' s / ⇑m ⁻¹' t)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Frobenius.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ (frobenius x).coeff n = ((map (_root_.frobenius R p)) x).coeff n
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
zero : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel j i → hom i j = 0
i : ι

⊢ (nullHomotopicMap hom).f i = (dNext i) hom + (prevD i) hom + Hom.f 0 i
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
zero : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel j i → hom i j = 0
i : ι

⊢ (nullHomotopicMap hom).f i = (dNext i) hom + (prevD i) hom
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ

⊢ ContinuousOn (fun x => term (n + 1) x) (Ici 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ

⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (x_1 : ℝ) in Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1), (x_1 - ↑(n + 1)) / x_1 ^ (x + 1) ∂volume) (Ici 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ

⊢ ∀ x ∈ Ici 1, AEStronglyMeasurable (fun a => (a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)) (volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ

⊢ ∀ x ∈ Ici 1, ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)), ‖(a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)‖ ≤ (a - ↑(n + 1)) / a ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ

⊢ Integrable (fun x => (x - ↑(n + 1)) / x ^ 2) (volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ

⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioc (↑(n + 1)) (↑(n + 1) + 1)), ContinuousOn (fun x => (a - ↑(n + 1)) / a ^ (x + 1)) (Ici 1)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it

⊢ it.hasNext = true ↔ r ≠ []
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a

⊢ ∃ a, f a = x
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype α

⊢ ∃ a, f a = x
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype α
h₁ : image f univ = univ

⊢ ∃ a, f a = x
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype α
h₁ : image f univ = univ
h₂ : x ∈ image f univ

⊢ ∃ a, f a = x
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
f : α → α
hinj : Injective f
x : α
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype α
h₁ : image f univ = univ
h₂ : x ∈ image f univ
y : α
h : y ∈ univ ∧ f y = x

⊢ ∃ a, f a = x
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z (dist w z)) z
e : F →L[ℂ] F̂ := UniformSpace.Completion.toComplL

⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (closedBall z (dist w z)) z
e : F →L[ℂ] F̂ := UniformSpace.Completion.toComplL
he : ∀ (x : F), ‖e x‖ = ‖x‖

⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m n : PosNum

⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m n : PosNum

⊢ ¬↑n < ↑m ↔ m ≤ n
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁸ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁴ : G.IsContinuous J K
inst✝³ : HasWeakSheafify J A
inst✝² : HasWeakSheafify K A
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Dᵒᵖ ⥤ A

⊢ ((G.pushforwardContinuousSheafificationCompatibility A J K).hom.app F).val = sheafifyLift J (whiskerLeft G.op (toSheafify K F)) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁸ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁴ : G.IsContinuous J K
inst✝³ : HasWeakSheafify J A
inst✝² : HasWeakSheafify K A
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Dᵒᵖ ⥤ A

⊢ toSheafify J (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F) ≫ ((G.pushforwardContinuousSheafificationCompatibility A J K).hom.app F).val = whiskerLeft G.op (toSheafify K F)
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ s.ncard ≤ 1 ↔ s = ∅ ∨ ∃ a, s = {a}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
f : α → β
hs : autoParam ∅.Finite _auto✝

⊢ ∅.ncard ≤ 1 ↔ ∅ = ∅ ∨ ∃ a, ∅ = {a}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
x : α
hx : x ∈ s

⊢ s.ncard ≤ 1 ↔ s = ∅ ∨ ∃ a, s = {a}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
x : α
hx : x ∈ s

⊢ (∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b) ↔ s = ∅ ∨ ∃ a, s = {a}
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
x : α
hx : x ∈ s

⊢ (s = ∅ ∨ ∃ a, s = {a}) → ∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
f : α → β
x a : α
hs : autoParam {a}.Finite _auto✝
hx : x ∈ {a}

⊢ ∀ {a_1 b : α}, a_1 ∈ {a} → b ∈ {a} → a_1 = b
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
f : α → β
x a : α
hs : autoParam {a}.Finite _auto✝
hx : x = a

⊢ ∀ {a_1 b : α}, a_1 = a → b = a → a_1 = b
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
f : α → β
x : α
hs : autoParam {x}.Finite _auto✝

⊢ ∀ {a b : α}, a = x → b = x → a = b
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
h : IsTopologicalBasis {s | IsClopen s}
x y : X
hxy : x ≠ y

⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
h : IsTopologicalBasis {s | IsClopen s}
x y : X
hxy : x ≠ y
U : Set X
hU : U ∈ {s | IsClopen s}
hxU : x ∈ U
hyU : U ⊆ {y_1 | y_1 ≠ y}

⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β

⊢ Surjective (image f) ↔ Surjective f
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Surjective (image f)
y : β

⊢ ∃ a, f a = y
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Surjective (image f)
y : β
s : Set α
hs : f '' s = {y}

⊢ ∃ a, f a = y
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
h : Surjective (image f)
y : β
s : Set α
hs : f '' s = {y}
this : y ∈ {y}

⊢ ∃ a, f a = y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
s : Finset E
F : Submodule 𝕜 E := Submodule.span 𝕜 ↑s

⊢ ∃ x, ‖x‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ s, 1 ≤ ‖y - x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
s : Finset E
F : Submodule 𝕜 E := Submodule.span 𝕜 ↑s
this : FiniteDimensional 𝕜 ↥F

⊢ ∃ x, ‖x‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ s, 1 ≤ ‖y - x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
s : Finset E
F : Submodule 𝕜 E := Submodule.span 𝕜 ↑s
this : FiniteDimensional 𝕜 ↥F
Fclosed : IsClosed ↑F

⊢ ∃ x, ‖x‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ s, 1 ≤ ‖y - x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
s : Finset E
F : Submodule 𝕜 E := Submodule.span 𝕜 ↑s
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥F
Fclosed : IsClosed ↑F
this : ∃ x, x ∉ F

⊢ ∃ x, ‖x‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ s, 1 ≤ ‖y - x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
s : Finset E
F : Submodule 𝕜 E := Submodule.span 𝕜 ↑s
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥F
Fclosed : IsClosed ↑F
this : ∃ x, x ∉ F
x : E
xR : ‖x‖ ≤ R
hx : ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x - y‖

⊢ ∃ x, ‖x‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ s, 1 ≤ ‖y - x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F✝
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
R : ℝ
hR : ‖c‖ < R
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
s : Finset E
F : Submodule 𝕜 E := Submodule.span 𝕜 ↑s
this✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥F
Fclosed : IsClosed ↑F
this : ∃ x, x ∉ F
x : E
xR : ‖x‖ ≤ R
hx : ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖x - y‖
hx' : ∀ y ∈ F, 1 ≤ ‖y - x‖

⊢ ∃ x, ‖x‖ ≤ R ∧ ∀ y ∈ s, 1 ≤ ‖y - x‖
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β

⊢ hausdorffEdist s t = 0 ↔ closure s = closure t
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y

⊢ BicartesianSq biprod.fst biprod.snd 0 0
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Div α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α

⊢ (equivShrink α) (x / y) = (equivShrink α) x / (equivShrink α) y
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Div α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α

⊢ (equivShrink α) (x / y) = (equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm ((equivShrink α) x) / (equivShrink α).symm ((equivShrink α) y))
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
k n : ℕ
x✝ : E

⊢ ‖x✝‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑0) x✝‖ ≤ 0
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
h : BddAbove s
hs : s.Nonempty

⊢ (𝓟 s).limsSup = sSup s
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s : Set α
h : BddAbove s
hs : s.Nonempty

⊢ sInf {a | ∀ x ∈ s, x ≤ a} = sSup s
-- Mathlib/Data/Multiset/Nodup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ : α
s : Multiset α
h : ∀ (a : α) (t : Multiset α), s ≠ a ::ₘ a ::ₘ t
a : α
le : a ::ₘ a ::ₘ 0 ≤ s
t : Multiset α
s_eq : s = a ::ₘ a ::ₘ 0 + t

⊢ s = a ::ₘ a ::ₘ t
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q f : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
H : x ∈ f.support
v : σ
h : v ∉ f.vars

⊢ x v = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q f : MvPolynomial σ R
x : σ →₀ ℕ
H : x ∈ f.support
v : σ
h : x v ≠ 0

⊢ v ∈ f.vars
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompactSpace X
S : Set X
hS : IsClosed S
hne : S.Nonempty

⊢ ∃ x ∈ S, IsClosed {x}
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompactSpace X
S : Set X
hS : IsClosed S
hne : S.Nonempty
V : Set X
Vsub : V ⊆ S
Vne : V.Nonempty
Vcls : IsClosed V
hV : ∀ V' ⊆ V, V'.Nonempty → IsClosed V' → V' = V

⊢ ∃ x ∈ S, IsClosed {x}
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompactSpace X
S : Set X
hS : IsClosed S
hne : S.Nonempty
x : X
Vsub : {x} ⊆ S
Vne : {x}.Nonempty
Vcls : IsClosed {x}
hV : ∀ V' ⊆ {x}, V'.Nonempty → IsClosed V' → V' = {x}

⊢ ∃ x ∈ S, IsClosed {x}
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

⊢ iteratedDerivWithin 1 f s x = derivWithin f s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜
h : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

⊢ (fderivWithin 𝕜 f s x) 1 = derivWithin f s x
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
h : l ≠ []
head✝ : α
tail✝ : List α
x✝ : head✝ :: tail✝ ≠ []

⊢ (head✝ :: tail✝).maximum ≠ ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
t : G
p : G → Prop

⊢ (∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (x * t)) ↔ ∀ᵐ (x : G) ∂μ, p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
t : G
p : G → Prop

⊢ (∀ᵐ (x : G) ∂μ, p (x * t)) ↔ {x | p x} ∈ Filter.map (fun h => h * t) (ae μ)
-- Mathlib/Order/Fin/Tuple.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
n✝¹ : ℕ
f : Fin (n✝¹ + 1) → α
a : α
n✝ n m : ℕ
h : n ≤ m

⊢ ∀ {a b : Fin n}, { toFun := fun i => ⟨castLE h i, ⋯⟩, invFun := fun i => ⟨↑↑i, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } a ≤ { toFun := fun i => ⟨castLE h i, ⋯⟩, invFun := fun i => ⟨↑↑i, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } b ↔ a ≤ b