ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/KreinMilman.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
hscomp : IsCompact s
hAconv : Convex ℝ s
hs : ¬s ⊆ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Convex/KreinMilman.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
hscomp : IsCompact s
hAconv : Convex ℝ s
hs : ¬s ⊆ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))
x : E
hxA : x ∈ s
hxt : x ∉ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Convex/KreinMilman.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
hscomp : IsCompact s
hAconv : Convex ℝ s
hs : ¬s ⊆ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))
x : E
hxA : x ∈ s
hxt : x ∉ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))
l : E →L[ℝ] ℝ
r : ℝ
hlr : ∀ a ∈ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s)), l a < r
hrx : r < l x

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Convex/KreinMilman.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
hscomp : IsCompact s
hAconv : Convex ℝ s
hs : ¬s ⊆ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))
x : E
hxA : x ∈ s
hxt : x ∉ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))
l : E →L[ℝ] ℝ
r : ℝ
hlr : ∀ a ∈ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s)), l a < r
hrx : r < l x
h : IsExposed ℝ s {y | y ∈ s ∧ ∀ z ∈ s, l z ≤ l y}

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Convex/KreinMilman.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
hscomp : IsCompact s
hAconv : Convex ℝ s
hs : ¬s ⊆ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))
x : E
hxA : x ∈ s
hxt : x ∉ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))
l : E →L[ℝ] ℝ
r : ℝ
hlr : ∀ a ∈ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s)), l a < r
hrx : r < l x
h : IsExposed ℝ s {y | y ∈ s ∧ ∀ z ∈ s, l z ≤ l y}
z : E
hzA : z ∈ s
hz : IsMaxOn (⇑l) s z

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Convex/KreinMilman.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module ℝ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : T2Space E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝⁴ : LocallyConvexSpace ℝ E
s : Set E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module ℝ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : T1Space F
hscomp : IsCompact s
hAconv : Convex ℝ s
hs : ¬s ⊆ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))
x : E
hxA : x ∈ s
hxt : x ∉ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s))
l : E →L[ℝ] ℝ
r : ℝ
hlr : ∀ a ∈ closure ((convexHull ℝ) (extremePoints ℝ s)), l a < r
hrx : r < l x
h : IsExposed ℝ s {y | y ∈ s ∧ ∀ z ∈ s, l z ≤ l y}
z : E
hzA : z ∈ s
hz : IsMaxOn (⇑l) s z
y : E
hy : y ∈ extremePoints ℝ {y | y ∈ s ∧ ∀ z ∈ s, l z ≤ l y}

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s✝ : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : closure s = ⊤
mem : ∀ x ∈ s, p x
mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)

⊢ p x
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s✝ : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : closure s = ⊤
mem : ∀ x ∈ s, p x
mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
this : ∀ x ∈ closure s, p x

⊢ p x
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a b : α
s : Finset α

⊢ s.sym2.card = (s.card + 1).choose 2
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y✝ : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
x y : E

⊢ ‖((p.changeOriginSeriesTerm k l s hs) fun x_1 => x) fun x => y‖₊ ≤ ‖p (k + l)‖₊ * ‖x‖₊ ^ l * ‖y‖₊ ^ k
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y✝ : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
x y : E

⊢ ‖((p.changeOriginSeriesTerm k l s hs) fun x_1 => x) fun x => y‖₊ ≤ (‖p.changeOriginSeriesTerm k l s hs‖₊ * ∏ _i : Fin l, ‖x‖₊) * ∏ _i : Fin k, ‖y‖₊
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y✝ : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
x y : E

⊢ ‖(p.changeOriginSeriesTerm k l s hs) fun x_1 => x‖₊ ≤ ‖p.changeOriginSeriesTerm k l s hs‖₊ * ∏ _i : Fin l, ‖x‖₊
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Map.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
x : M
inst✝² : RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f g : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
m : M
hm : m ∈ ↑p

⊢ (f + g) m ∈ map f p ⊔ map g p
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f s x (mfderivWithin I I' f s x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) (mfderivWithin I I' f s x) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

⊢ HasFDerivWithinAt ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (fderivWithin 𝕜 ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))) (↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E

⊢ ‖x‖ ^ 2 = re (4⁻¹ * (𝓚 ‖x + x‖ * 𝓚 ‖x + x‖ - 𝓚 ‖x - x‖ * 𝓚 ‖x - x‖ + I * 𝓚 ‖I • x + x‖ * 𝓚 ‖I • x + x‖ - I * 𝓚 ‖I • x - x‖ * 𝓚 ‖I • x - x‖))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
h₁ : normSq 4 = 16

⊢ ‖x‖ ^ 2 = re (4⁻¹ * (𝓚 ‖x + x‖ * 𝓚 ‖x + x‖ - 𝓚 ‖x - x‖ * 𝓚 ‖x - x‖ + I * 𝓚 ‖I • x + x‖ * 𝓚 ‖I • x + x‖ - I * 𝓚 ‖I • x - x‖ * 𝓚 ‖I • x - x‖))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
h₁ : normSq 4 = 16
h₂ : ‖x + x‖ = 2 * ‖x‖

⊢ ‖x‖ ^ 2 = re (4⁻¹ * (𝓚 ‖x + x‖ * 𝓚 ‖x + x‖ - 𝓚 ‖x - x‖ * 𝓚 ‖x - x‖ + I * 𝓚 ‖I • x + x‖ * 𝓚 ‖I • x + x‖ - I * 𝓚 ‖I • x - x‖ * 𝓚 ‖I • x - x‖))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
h₁ : normSq 4 = 16
h₂ : ‖x + x‖ = 2 * ‖x‖

⊢ ‖x‖ ^ 2 = 4 / 16 * (2 * ‖x‖ * (2 * ‖x‖) - 0 * 0 - 0 + ((0 * ‖I • x + x‖ - im I * 0) * ‖I • x + x‖ - (0 * 0 + im I * ‖I • x + x‖) * 0) - ((0 * ‖I • x - x‖ - im I * 0) * ‖I • x - x‖ - (0 * 0 + im I * ‖I • x - x‖) * 0)) - -0 / 16 * (2 * ‖x‖ * 0 + 0 * (2 * ‖x‖) - (0 * 0 + 0 * 0) + ((0 * ‖I • x + x‖ - im I * 0) * 0 + (0 * 0 + im I * ‖I • x + x‖) * ‖I • x + x‖) - ((0 * ‖I • x - x‖ - im I * 0) * 0 + (0 * 0 + im I * ‖I • x - x‖) * ‖I • x - x‖))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/LpEquiv.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite α
f : (i : α) → E i

⊢ Memℓp f p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/LpEquiv.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Finite α
f : (i : α) → E i

⊢ Memℓp f 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/LpEquiv.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Finite α
f : (i : α) → E i

⊢ Memℓp f ⊤
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/LpEquiv.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Finite α
f : (i : α) → E i
_h : 0 < p.toReal

⊢ Memℓp f p
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v m n : ℤ

⊢ Even (n - 1) ↔ ¬Even n
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
S : DiscreteQuotient ↑C.pt.toTop := f.discreteQuotient
ff : Quotient S.toSetoid → α := ⇑f.lift

⊢ ∃ j g, f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
S : DiscreteQuotient ↑C.pt.toTop := f.discreteQuotient
ff : Quotient S.toSetoid → α := ⇑f.lift
h✝ : IsEmpty (Quotient S.toSetoid)

⊢ ∃ j g, f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
S : DiscreteQuotient ↑C.pt.toTop := f.discreteQuotient
ff : Quotient S.toSetoid → α := ⇑f.lift
h✝ : Nonempty (Quotient S.toSetoid)

⊢ ∃ j g, f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
-- Mathlib/Topology/Algebra/MulAction.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
X : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : SMul M X
ts : Set (TopologicalSpace X)
h : ∀ t ∈ ts, ContinuousSMul M X

⊢ Continuous fun p => p.1 • p.2
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ s t : Set X
hs : IsClosed s
h : s ⊆ t
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcov : ⋃ n, K n = t

⊢ IsSigmaCompact s
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ s t : Set X
hs : IsClosed s
h : s ⊆ t
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcov : ⋃ n, K n = t

⊢ ⋃ n, (fun n => s ∩ K n) n = s
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ s t : Set X
hs : IsClosed s
h : s ⊆ t
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcov : ⋃ n, K n = t

⊢ s ∩ t = s
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
s : ℕ → Set α
hs : f.HasAntitoneBasis s
r : ℕ → ℕ → Prop
hr : ∀ (m : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r m n

⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (m n : ℕ), m < n → r (φ m) (φ n)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
s : ℕ → Set α
hs : f.HasAntitoneBasis s
r : ℕ → ℕ → Prop
hr : ∀ (m : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r m n
this : ∀ (t : Set ℕ), t.Finite → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ m ∈ t, m < n ∧ r m n

⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (m n : ℕ), m < n → r (φ m) (φ n)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
s : ℕ → Set α
hs : f.HasAntitoneBasis s
r : ℕ → ℕ → Prop
hr : ∀ (m : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r m n
this : ∀ (t : Set ℕ), t.Finite → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ m ∈ t, m < n ∧ r m n
φ : ℕ → ℕ
hφ : ∀ (n m : ℕ), m ∈ φ '' Iio n → m < φ n ∧ r m (φ n)

⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (m n : ℕ), m < n → r (φ m) (φ n)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
s : ℕ → Set α
hs : f.HasAntitoneBasis s
r : ℕ → ℕ → Prop
hr : ∀ (m : ℕ), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, r m n
this : ∀ (t : Set ℕ), t.Finite → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ m ∈ t, m < n ∧ r m n
φ : ℕ → ℕ
hφ : (∀ (x : ℕ) ⦃x_1 : ℕ⦄, x_1 < x → φ x_1 < φ x) ∧ ∀ (x : ℕ) ⦃x_1 : ℕ⦄, x_1 < x → r (φ x_1) (φ x)

⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (m n : ℕ), m < n → r (φ m) (φ n)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
x : X
f : Filter X
hf : f.NeBot
x✝ : CountableInterFilter f
hfa : f ≤ 𝓟 {x}

⊢ 𝓟 {x} ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hs : Splits i f
hf0 : (map i f).degree ≠ 0
this : DecidableEq L := Classical.decEq L
hf0' : map i f = 0

⊢ ∃ x, eval₂ i x f = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
f : K[X]
hs : Splits i✝ f
hf0 : (map i✝ f).degree ≠ 0
this : DecidableEq L := Classical.decEq L
hf0' : ¬map i✝ f = 0
g : L[X]
hg : Irreducible g ∧ g ∣ map i✝ f
x : L
hx : g.IsRoot x
i : L[X]
hi : map i✝ f = g * i

⊢ eval₂ i✝ x f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
f : StructuredArrow S T

⊢ (f.homMk' (𝟙 f.right)).right = (eqToHom ⋯).right
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α
hm : m.Sized

⊢ (l.node4L x m y r).size = l.size + m.size + r.size + 2
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c d : G
n : ℤ
a b : G

⊢ a * b / b = a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
f g : R → R
a : A
h : cfcₙ f a = cfcₙ g a
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

⊢ Set.EqOn f g (σₙ R a)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
h : (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } = (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }

⊢ Set.EqOn f g (σₙ R a)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
h : (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } = (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }
this : { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } = { toFun := (σₙ R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }

⊢ Set.EqOn f g (σₙ R a)
-- Mathlib/Data/Multiset/FinsetOps.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s t : Multiset α

⊢ s.Disjoint (ndinsert a t) ↔ a ∉ s ∧ s.Disjoint t
-- Mathlib/Data/Multiset/FinsetOps.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s t : Multiset α

⊢ a ∉ s ∧ t.Disjoint s ↔ a ∉ s ∧ s.Disjoint t
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
f : α → β → γ
K₁ : ℝ≥0
hf : ∀ (b : β), AntilipschitzWith K₁ fun a => f a b
s : Set α
t : Set β
hst : IsBounded (image2 f s t)

⊢ IsBounded s ∨ IsBounded t
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
f : α → β → γ
K₁ : ℝ≥0
hf : ∀ (b : β), AntilipschitzWith K₁ fun a => f a b
s : Set α
t : Set β
hst : ¬IsBounded s ∧ ¬IsBounded t

⊢ ¬IsBounded (image2 f s t)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
f : α → β → γ
K₁ : ℝ≥0
hf : ∀ (b : β), AntilipschitzWith K₁ fun a => f a b
s : Set α
t : Set β
hst : ¬IsBounded s ∧ ¬IsBounded t
b : β
hb : b ∈ t

⊢ ¬IsBounded (image2 f s t)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
f : α → β → γ
K₁ : ℝ≥0
hf : ∀ (b : β), AntilipschitzWith K₁ fun a => f a b
s : Set α
t : Set β
hst : ¬IsBounded s ∧ ¬IsBounded t
b : β
hb : b ∈ t
this : ¬IsBounded (image2 f s {b})

⊢ ¬IsBounded (image2 f s t)
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
p : Prop

⊢ IsAtom p ↔ p
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ≅ Y
Z : C

⊢ f.hom ▷ Z ≫ f.inv ▷ Z = 𝟙 (X ⊗ Z)
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
inst✝ : IsIso f
H : P (f ≫ g)

⊢ P g
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
inst✝ : IsIso f
H : P (f ≫ g)

⊢ g = comp (f ≫ g) (asIso f).symm.commRingCatIsoToRingEquiv.toRingHom
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
f : ι → α

⊢ (type r).brange (bfamilyOfFamily' r f) = range f