ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hts : s ⊆ t
h't : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
h'aux : IntegrableOn f t μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
hk : MeasurableSet k

⊢ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
a : R
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : a = 0

⊢ ((monomial n) a).degree ≤ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
a : R
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : a = 0

⊢ ⊥ ≤ ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K

⊢ σ ∈ Stab (mk φ) ↔ σ = 1 ∨ ComplexEmbedding.IsConj φ σ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K

⊢ φ.comp ↑σ.symm = φ ∨ ComplexEmbedding.conjugate (φ.comp ↑σ.symm) = φ ↔ σ = 1 ∨ ComplexEmbedding.IsConj φ σ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K

⊢ φ.comp ↑σ.symm = φ ∨ star φ = φ.comp ↑σ.symm ↔ σ = 1 ∨ ComplexEmbedding.IsConj φ σ.symm
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ✝ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
H : φ.comp ↑σ.symm = φ

⊢ σ = 1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AtPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S I
h : optParam (LocalRing S) ⋯
x : R

⊢ x ∈ Ideal.comap (algebraMap R S) (LocalRing.maximalIdeal S) ↔ x ∈ I
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Derived/RightDerived.lean
C : Type u_1
C' : Type ?u.89621
D : Type u_5
D' : Type ?u.89627
H : Type u_2
H' : Type ?u.89633
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.89641, ?u.89621} C'
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_5} D
inst✝⁴ : Category.{?u.89649, ?u.89627} D'
inst✝³ : Category.{u_4, u_2} H
inst✝² : Category.{?u.89657, ?u.89633} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : F.HasRightDerivedFunctor W

⊢ L.HasLeftKanExtension F
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3

⊢ W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3) = -W.dblU P / W.dblZ P
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
hPy : P y - W.negY P ≠ 0

⊢ W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3) = -W.dblU P / W.dblZ P
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hPy : P y - W.negY P ≠ 0
hx : P x / P z ^ 2 = Q x / Q z ^ 2
hy : ¬P y / P z ^ 3 = W.toAffine.negY (Q x / Q z ^ 2) (Q y / Q z ^ 3)

⊢ W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3) = -W.dblU P / W.dblZ P
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hPy : P y - W.negY P ≠ 0
hx : P x / P z ^ 2 = Q x / Q z ^ 2
hy : ¬P y / P z ^ 3 = W.toAffine.negY (Q x / Q z ^ 2) (Q y / Q z ^ 3)

⊢ (3 * (P x / P z ^ 2) ^ 2 + 2 * W.toAffine.a₂ * (P x / P z ^ 2) + W.toAffine.a₄ - W.toAffine.a₁ * (P y / P z ^ 3)) / (P y / P z ^ 3 - W.negY P / P z ^ 3) = -(W.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W.a₂ * P x * P z ^ 2 + W.a₄ * P z ^ 4)) / (P z * (P y - W.negY P))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hPy : P y - W.negY P ≠ 0
hx : P x / P z ^ 2 = Q x / Q z ^ 2
hy : ¬P y / P z ^ 3 = W.toAffine.negY (Q x / Q z ^ 2) (Q y / Q z ^ 3)

⊢ ((3 * P x ^ 2 * P z ^ 2 + 2 * W.toAffine.a₂ * P x * (P z ^ 2) ^ 2 + W.toAffine.a₄ * ((P z ^ 2) ^ 2 * P z ^ 2)) * P z ^ 3 - (P z ^ 2) ^ 2 * P z ^ 2 * (W.toAffine.a₁ * P y)) * P z ^ 3 * (P z * (P y - W.negY P)) = (3 * P x ^ 2 + 2 * W.a₂ * P x * P z ^ 2 + W.a₄ * P z ^ 4 - W.a₁ * P y * P z) * ((P z ^ 2) ^ 2 * P z ^ 2 * P z ^ 3 * (P y - W.negY P))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Charpoly/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
k : ℕ

⊢ f ^ k = (aeval f) (X ^ k %ₘ f.charpoly)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
S : Subsemigroup M
g : N →ₙ* P
f : M →ₙ* N

⊢ map g f.srange = (g.comp f).srange
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n k : ℕ

⊢ Nat.shiftLeft' false m (n + k) = Nat.shiftLeft' false (Nat.shiftLeft' false m n) k
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n✝ k i n : ℕ

⊢ ↑m <<< ↑i = ↑(Nat.shiftLeft' false m (n + i) >>> n)
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n✝ k i n : ℕ

⊢ ↑m <<< -[i+1] = ↑(Nat.shiftLeft' false m n >>> (n + i + 1))
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n✝ k i n : ℕ

⊢ Nat.shiftLeft' true m i = Nat.shiftLeft' true m (n + i) >>> n
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n✝ k i n : ℕ

⊢ n ≤ n + i
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n✝ k i n : ℕ

⊢ m >>> i.succ = Nat.shiftLeft' true m n >>> (n + i + 1)
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α

⊢ a * ↑u = 1 ↔ a = ↑u⁻¹
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
f : ι → M
φ : M →SL[σ] M₂
x : M
hf : HasSum f x

⊢ HasSum (fun b => φ (f b)) (φ x)
-- Mathlib/Analysis/Complex/ReImTopology.lean
a : ℝ

⊢ interior {z | z.re ≤ a} = {z | z.re < a}
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
h : x ≠ 0

⊢ (minpoly A x).coeff 0 ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
h : (minpoly A x).coeff 0 = 0

⊢ x = 0
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'

⊢ PreErgodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' ↔ PreErgodic f μ
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'
hf : PreErgodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ'

⊢ ⇑e.symm ∘ ⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm = f ∘ ⇑e.symm
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'
hf : PreErgodic f μ

⊢ ⇑e ∘ f = (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) ∘ ⇑e
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
hG : IsSeparator G
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = 0

⊢ ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C
hG : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), (∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = 0) → f = 0
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g

⊢ ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ (f - g) = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ

⊢ x ^ (-1) = x⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ

⊢ x ^ ↑(-1) = x⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
r : ℤ → ℝ := fun n => ↑n + a
c : ℤ → ℂ := fun n => 1 / 2

⊢ HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (completedHurwitzZetaOdd (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
r : ℤ → ℝ := fun n => ↑n + a
c : ℤ → ℂ := fun n => 1 / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => c n * ↑(r n) * ↑(rexp (-π * r n ^ 2 * t))) (↑(oddKernel (↑a) t) / 2)

⊢ HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (completedHurwitzZetaOdd (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
r : ℤ → ℝ := fun n => ↑n + a
c : ℤ → ℂ := fun n => 1 / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => c n * ↑(r n) * ↑(rexp (-π * r n ^ 2 * t))) (↑(oddKernel (↑a) t) / 2)
h_sum : Summable fun i => ‖c i‖ / |r i| ^ s.re

⊢ HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (completedHurwitzZetaOdd (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
r : ℤ → ℝ := fun n => ↑n + a
c : ℤ → ℂ := fun n => 1 / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => c n * ↑(r n) * ↑(rexp (-π * r n ^ 2 * t))) (↑(oddKernel (↑a) t) / 2)
h_sum : Summable fun i => ‖c i‖ / |r i| ^ s.re
this : HasSum (fun i => (s + 1).Gammaℝ * c i * ↑(SignType.sign (r i)) / ↑|r i| ^ s) (mellin (fun t => ↑(oddKernel (↑a) t)) ((s + 1) / 2) / 2)

⊢ HasSum (fun n => (s + 1).Gammaℝ * ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (completedHurwitzZetaOdd (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
r : ℤ → ℝ := fun n => ↑n + a
c : ℤ → ℂ := fun n => 1 / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => c n * ↑(r n) * ↑(rexp (-π * r n ^ 2 * t))) (↑(oddKernel (↑a) t) / 2)
h_sum : Summable fun i => ‖c i‖ / |r i| ^ s.re
this : HasSum (fun i => (s + 1).Gammaℝ * c i * ↑(SignType.sign (r i)) / ↑|r i| ^ s) (mellin (fun t => ↑(oddKernel (↑a) t)) ((s + 1) / 2) / 2)
n : ℤ

⊢ (s + 1).Gammaℝ * ↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s / 2 = (s + 1).Gammaℝ * c n * ↑(SignType.sign (r n)) / ↑|r n| ^ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/PerfectPairing.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M
f : Dual R M

⊢ (p.toDualLeft x) (p.toDualRight.symm f) = f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
ι' : Type u_6
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
b : Basis ι R M
v : ι → M
e : ι' ≃ ι

⊢ (b.reindex e.symm).det (v ∘ ⇑e) = b.det v
-- Mathlib/Data/Real/Pi/Bounds.lean

⊢ 3.14 < π
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hf : ∀ i ∈ s, v (f i) ≤ g

⊢ v (∑ i ∈ s, f i) ≤ g
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) ≤ g
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, v (f i) ≤ g) → v (∑ i ∈ s, f i) ≤ g
hf : ∀ i ∈ insert a s, v (f i) ≤ g

⊢ v (∑ i ∈ insert a s, f i) ≤ g
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) ≤ g
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, v (f i) ≤ g) → v (∑ i ∈ s, f i) ≤ g
hf : v (f a) ≤ g ∧ ∀ x ∈ s, v (f x) ≤ g

⊢ v (∑ i ∈ insert a s, f i) ≤ g
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → R
g : Γ₀
hf✝ : ∀ i ∈ s✝, v (f i) ≤ g
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, v (f i) ≤ g) → v (∑ i ∈ s, f i) ≤ g
hf : v (f a) ≤ g ∧ ∀ x ∈ s, v (f x) ≤ g

⊢ v (f a + ∑ x ∈ s, f x) ≤ g
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J

⊢ pullback.snd (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) ≫ 𝒰.map i ≫ f = (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) ≫ p2 𝒰 f g) ≫ g
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J

⊢ pullback.lift (pullback.snd (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)) (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i = pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J

⊢ ∀ (x : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i))).J), ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i))).map x ≫ pullback.lift (pullback.snd (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)) (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i = ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover (pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i))).map x ≫ pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x : List α
hx : x ≠ []
h : x <+: []

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

⊢ (fun x => x - a) '' Ioc b c = Ioc (b - a) (c - a)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0

⊢ HasDerivAt negMulLog (-log x - 1) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0

⊢ DifferentiableAt ℝ negMulLog x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B

⊢ (W.baseChange B).Ψ₂Sq = Polynomial.map (↑f) (W.baseChange A).Ψ₂Sq
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ (r • j).posPart = r.toNNReal • j.posPart
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B

⊢ (Equiv.symm τ) (fromCoset ⟨↑(MonoidHom.range f), ⋯⟩) = ∞
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)

⊢ (last n).predAbove i.castSucc = i
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x y : PGame
k : (x * y).RightMoves
P : (x * y).RightMoves → Prop
hl : ∀ (ix : x.LeftMoves) (jy : y.RightMoves), P (toRightMovesMul (Sum.inl (ix, jy)))
hr : ∀ (jx : x.RightMoves) (iy : y.LeftMoves), P (toRightMovesMul (Sum.inr (jx, iy)))

⊢ P k
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x y : PGame
k : (x * y).RightMoves
P : (x * y).RightMoves → Prop
hl : ∀ (ix : x.LeftMoves) (jy : y.RightMoves), P (toRightMovesMul (Sum.inl (ix, jy)))
hr : ∀ (jx : x.RightMoves) (iy : y.LeftMoves), P (toRightMovesMul (Sum.inr (jx, iy)))

⊢ P (toRightMovesMul (toRightMovesMul.symm k))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
e : α ≃ᵢ β

⊢ CompleteSpace α ↔ CompleteSpace β
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
B : C
α : Type v
inst✝² : Nonempty α
X : α → C
f : (j : α) → B ⟶ X j
inst✝¹ : HasWidePushout B X f
inst✝ : PreservesColimit (wideSpan B X f) (forget C)
x : (forget C).obj (widePushout B X f)

⊢ ∃ i y, (ι f i) y = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
B : C
α : Type v
inst✝² : Nonempty α
X : α → C
f : (j : α) → B ⟶ X j
inst✝¹ : HasWidePushout B X f
inst✝ : PreservesColimit (wideSpan B X f) (forget C)
y : (forget C).obj B

⊢ ∃ i y_1, (ι f i) y_1 = (head f) y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
B : C
α : Type v
inst✝² : Nonempty α
X : α → C
f : (j : α) → B ⟶ X j
inst✝¹ : HasWidePushout B X f
inst✝ : PreservesColimit (wideSpan B X f) (forget C)
i : α
y : (forget C).obj (X i)

⊢ ∃ i_1 y_1, (ι f i_1) y_1 = (ι f i) y
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Fix F α)

⊢ rec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: mk)) (mk x) = x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Fix F α)

⊢ ((TypeVec.id ::: mk) ⊚ (TypeVec.id ::: dest)) <$$> x = x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Fix F α)

⊢ ((TypeVec.id ::: mk) ⊚ (TypeVec.id ::: dest)) <$$> x = TypeVec.id <$$> x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Fix F α)

⊢ (TypeVec.id ::: mk ∘ dest) <$$> x = TypeVec.id <$$> x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Fix F α)
this : mk ∘ dest = _root_.id

⊢ (TypeVec.id ::: mk ∘ dest) <$$> x = TypeVec.id <$$> x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S

⊢ (CoordinateRing.basis W) 1 = (mk W) Y
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s : Finset β
a₁ a₂ : α
inst✝ : T2Space α

⊢ HasProd f a₁ → HasProd f a₂ → a₁ = a₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
o : Orientation R M ι

⊢ o = positiveOrientation ∨ o = -positiveOrientation
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0

⊢ rayOfNeZero R x hx = positiveOrientation ∨ rayOfNeZero R x hx = -positiveOrientation
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0

⊢ rayOfNeZero R x hx = rayOfNeZero R (AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1) ⋯ ∨ rayOfNeZero R x hx = rayOfNeZero R (-AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1) ⋯
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0

⊢ SameRay R x (AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1) ∨ SameRay R x (-AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0

⊢ ¬LinearIndependent R ![x, AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1]
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0
h : LinearIndependent R ![x, AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1]
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R ≃ₗ[R] R := AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty.symm

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0
h : LinearIndependent R ![x, AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1]
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R ≃ₗ[R] R := AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty.symm
H : LinearIndependent R ![f x, 1]

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : IsEmpty ι
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0
h : LinearIndependent R ![x, AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1]
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R ≃ₗ[R] R := AlternatingMap.constLinearEquivOfIsEmpty.symm
H : ∀ (s : Finset (Fin (Nat.succ 0).succ)) (g : Fin (Nat.succ 0).succ → R), ∑ i ∈ s, g i • ![f x, 1] i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
a : R

⊢ (C a * X).degree ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L

⊢ span K (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero}) = ⊤