ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x : E

⊢ ‖toSpanSingleton 𝕜 x‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x✝ : E
x : 𝕜

⊢ ‖(toSpanSingleton 𝕜 x✝) x‖ ≤ ‖x✝‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
𝕜' : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
x : E
N : ℝ
x✝ : N ≥ 0
h : ∀ (x_1 : 𝕜), ‖(toSpanSingleton 𝕜 x) x_1‖ ≤ N * ‖x_1‖

⊢ ‖x‖ ≤ N
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure α

⊢ μ ≤ boundedBy m ↔ ∀ (s : Set α), μ s ≤ m s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure α

⊢ ∀ (a : Set α), μ a ≤ ⨆ (_ : a.Nonempty), m a ↔ μ a ≤ m a
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure α
s : Set α

⊢ μ s ≤ ⨆ (_ : s.Nonempty), m s ↔ μ s ≤ m s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ (θ + ↑π).sign = -θ.sign
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X X' Y Y' Z Z' : C
f : X ⟶ X'
g : Y ⟶ Y'
h : Z ⟶ Z'

⊢ f ⊗ g ⊗ h = (α_ X Y Z).inv ≫ ((f ⊗ g) ⊗ h) ≫ (α_ X' Y' Z').hom
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Fold.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x
n : N
r : R

⊢ ((foldl Q f hf) n) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) = r • n
-- Mathlib/Order/Filter/CountableInter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
g : Set (Set α)
f : Filter α
fct : CountableInterFilter f
hf : g ⊆ f.sets

⊢ f ≤ countableGenerate g
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
x : ℂ

⊢ ∃ a, cos a = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
x w : ℂ
w₀ : w ≠ 0
hw : 1 * w * w + -2 * x * w + 1 = 0

⊢ ∃ a, cos a = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
x w : ℂ
w₀ : w ≠ 0
hw : 1 * w * w + -2 * x * w + 1 = 0

⊢ cexp (log w / I * I) ^ 2 - 2 * x * cexp (log w / I * I) + 1 = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
x w : ℂ
w₀ : w ≠ 0
hw : 1 * w * w + -2 * x * w + 1 = 0

⊢ w ^ 2 - 2 * x * w + 1 = 0
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ

⊢ √(x * y) = √x * √y
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s

⊢ Fintype.card ↑s = Fintype.card α ↔ s = Set.univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E

⊢ Convex ℝ (parallelepiped v)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E

⊢ Convex ℝ (∑ i : ι, segment ℝ 0 (v i))
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
hla : la.HasBasis pa sa
hlb : lb.HasBasis pb sb

⊢ Tendsto f la lb ↔ ∀ (ib : ι'), pb ib → ∃ ia, pa ia ∧ ∀ x ∈ sa ia, f x ∈ sb ib
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean

⊢ comap cexp (𝓝[≠] 0) = comap re atBot
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
this : (cexp ⁻¹' {0})ᶜ = Set.univ

⊢ comap cexp (𝓝[≠] 0) = comap re atBot
-- Mathlib/GroupTheory/ClassEquation.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G

⊢ ∑ᶠ (x : ConjClasses G), x.carrier.ncard = Nat.card G
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
f g : α → δ

⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict (⋃ i, s i))] g ↔ ∀ (i : ι), f =ᶠ[ae (μ.restrict (s i))] g
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hz : ¬0 < z

⊢ h.IsPrimitiveClassified
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hz : ¬0 < z
h' : PythagoreanTriple x y (-z)

⊢ h.IsPrimitiveClassified
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hz : ¬0 < z
h' : PythagoreanTriple x y (-z)

⊢ 0 < -z
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hz : ¬0 < z
h' : PythagoreanTriple x y (-z)

⊢ 0 ≤ -z
-- Mathlib/Logic/Equiv/Defs.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : Subsingleton α
e : Perm α

⊢ ⇑e = id
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
h : ∀ (b : ι), MeasurableSet (f b)

⊢ MeasurableSet (⋃ b, f b)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
h : ∀ (b : ι), MeasurableSet (f b)
h✝ : IsEmpty ι

⊢ MeasurableSet (⋃ b, f b)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
h : ∀ (b : ι), MeasurableSet (f b)
h✝ : Nonempty ι

⊢ MeasurableSet (⋃ b, f b)
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

⊢ liminf s cofinite = {x | {n | x ∉ s n}.Finite}
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin n → α
y : α

⊢ y ∈ Set.range (vecCons x u) ↔ y ∈ {x} ∪ Set.range u
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q✝ a b c q : ℚ
hq : q.den = 1

⊢ ↑q.num = q
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q✝ a b c q : ℚ
hq : q.den = 1

⊢ ↑q.num = q.num /. ↑1
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q✝ a b c q : ℚ
hq : q.den = 1

⊢ q.num /. 1 = q.num /. ↑1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0
a_mble : Measurable a
a_summable : Summable a
c : ℝ≥0
tsum_le_c : ∑' (i : α), a i ≤ c
ε : ℝ≥0
ε_ne_zero : ε ≠ 0

⊢ count {i | ε ≤ a i} ≤ ↑c / ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0
a_mble : Measurable a
a_summable : Summable a
c : ℝ≥0
tsum_le_c : ∑' (i : α), a i ≤ c
ε : ℝ≥0
ε_ne_zero : ε ≠ 0

⊢ count {i | ↑ε ≤ (ofNNReal ∘ a) i} ≤ ↑c / ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0
a_mble : Measurable a
a_summable : Summable a
c : ℝ≥0
tsum_le_c : ∑' (i : α), a i ≤ c
ε : ℝ≥0
ε_ne_zero : ε ≠ 0

⊢ ∑' (i : α), (ofNNReal ∘ a) i ≤ ↑c
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0
a_mble : Measurable a
a_summable : Summable a
c : ℝ≥0
tsum_le_c : ∑' (i : α), a i ≤ c
ε : ℝ≥0
ε_ne_zero : ε ≠ 0

⊢ ∑' (i : α), (ofNNReal ∘ a) i = ↑(∑' (i : α), a i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α → ℝ≥0
a_mble : Measurable a
a_summable : Summable a
c : ℝ≥0
tsum_le_c : ∑' (i : α), a i ≤ c
ε : ℝ≥0
ε_ne_zero : ε ≠ 0

⊢ ∑' (i : α), ↑(a i) = ↑(∑' (i : α), a i)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ : α
z : ℤ
a : α

⊢ ⌊↑z + a⌋ = z + ⌊a⌋
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m : ℤ
n : ℕ

⊢ T m ^ n = T (↑n * m)
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
h : a ∈ s
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
comm' : optParam (∀ x ∈ ↑(s.erase a), ∀ y ∈ ↑(s.erase a), x ≠ y → (fun a b => Commute (f a) (f b)) x y) ⋯

⊢ f a * (s.erase a).noncommProd f comm' = s.noncommProd f comm
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/TStructure/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a => ∀ (n : ℤ), t.GE (n + ↑a) ≤ t.GE n

⊢ Antitone t.GE
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/TStructure/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a => ∀ (n : ℤ), t.GE (n + ↑a) ≤ t.GE n

⊢ ∀ (a : ℕ), H a
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/TStructure/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a => ∀ (n : ℤ), t.GE (n + ↑a) ≤ t.GE n
H_zero : H 0

⊢ ∀ (a : ℕ), H a
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/TStructure/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a => ∀ (n : ℤ), t.GE (n + ↑a) ≤ t.GE n
H_zero : H 0
H_one : H 1

⊢ ∀ (a : ℕ), H a
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/TStructure/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
H : ℕ → Prop := fun a => ∀ (n : ℤ), t.GE (n + ↑a) ≤ t.GE n
H_zero : H 0
H_one : H 1
H_add : ∀ (a b c : ℕ), a + b = c → H a → H b → H c

⊢ ∀ (a : ℕ), H a
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'

⊢ ((of R).symm ((x + y) • z)).coeff a = ((of R).symm (x • z + y • z)).coeff a
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO

⊢ ((of R).symm ((x + y) • z)).coeff a = ((of R).symm (x • z + y • z)).coeff a
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO

⊢ ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, (x.coeff + y.coeff) ij.1 • ((of R).symm z).coeff ij.2 = ((of R).symm (x • z) + (of R).symm (y • z)).coeff a
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO

⊢ (x + y).support ⊆ x.support ∪ y.support
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO

⊢ ∑ x_1 ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, (x.coeff x_1.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.2 + y.coeff x_1.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.2) = ((of R).symm (x • z)).coeff a + ((of R).symm (y • z)).coeff a
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : SMulWithZero R V
x y : HahnSeries Γ R
z : HahnModule Γ' R V
h : ∀ (r s : R) (u : V), (r + s) • u = r • u + s • u
a : Γ'
hwf : (x.support ∪ y.support).IsPWO

⊢ ∑ x_1 ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, (x.coeff x_1.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.2 + y.coeff x_1.1 • ((of R).symm z).coeff x_1.2) = ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, x.coeff ij.1 • ((of R).symm z).coeff ij.2 + ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal hwf ⋯ a, y.coeff ij.1 • ((of R).symm z).coeff ij.2
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
l : List α

⊢ [a] <+ l ↔ a ∈ l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
l : List α
h : a ∈ l

⊢ [a] <+ l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
w✝¹ w✝ : List α
h : a ∈ w✝¹ ++ a :: w✝

⊢ [a] <+ w✝¹ ++ a :: w✝
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R

⊢ matPolyEquiv (M.map ⇑C) = C M
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
x : ℝ

⊢ sInf (norm '' {m | ↑m = ↑x}) = min (fract x) (1 - fract x)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
x : ℝ
h₁ : BddBelow (abs '' {m | ↑m = ↑x})

⊢ sInf (norm '' {m | ↑m = ↑x}) = min (fract x) (1 - fract x)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
x : ℝ
h₁ : BddBelow (abs '' {m | ↑m = ↑x})
h₂ : (abs '' {m | ↑m = ↑x}).Nonempty

⊢ sInf (norm '' {m | ↑m = ↑x}) = min (fract x) (1 - fract x)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
x : ℝ
h₁ : BddBelow (abs '' {m | ↑m = ↑x})
h₂ : (abs '' {m | ↑m = ↑x}).Nonempty

⊢ sInf (norm '' {m | ↑m = ↑x}) ≤ min (fract x) (1 - fract x)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
x : ℝ
h₁ : BddBelow (abs '' {m | ↑m = ↑x})
h₂ : (abs '' {m | ↑m = ↑x}).Nonempty

⊢ min (fract x) (1 - fract x) ≤ sInf (norm '' {m | ↑m = ↑x})
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Option β
h : ∀ (a : α), (f a).isSome = true
hf : Primrec f

⊢ Primrec fun a => (f a).get ⋯
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Option β
h : ∀ (a : α), (f a).isSome = true
hf : Primrec f
n : ℕ

⊢ (encode (Option.map f (decode n))).pred = encode (Option.map (fun a => (f a).get ⋯) (decode n))
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]

⊢ ((Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).comp (Quotient.mk (comap C P)) = (quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯).comp ((Quotient.mk P).comp C)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
x : R

⊢ (((Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).comp (Quotient.mk (comap C P))) x = ((quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯).comp ((Quotient.mk P).comp C)) x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
x : R

⊢ (Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)) (C ((Quotient.mk (comap C P)) x)) = (quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯) ((Quotient.mk P) (C x))
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
R L : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

⊢ #((p : R[X]) × { x // x ∈ p.aroots L }) = sum fun p => #↑{x | x ∈ p.aroots L}
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
R L : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

⊢ #((p : R[X]) × { x // x ∈ p.aroots L }) = #((i : R[X]) × ↑{x | x ∈ i.aroots L})
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
R L : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

⊢ max (max (max #R ℵ₀) ℵ₀) ℵ₀ = max #R ℵ₀
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R✝ : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : Semiring S
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
I : ι → Ideal R
hI : Pairwise fun i j => IsCoprime (I i) (I j)
x : ι → R

⊢ ∃ r, ∀ (i : ι), r - x i ∈ I i
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R✝ : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : Semiring S
ι✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_3
inst✝ : Finite ι
I : ι → Ideal R
hI : Pairwise fun i j => IsCoprime (I i) (I j)
x : ι → R
y : R
hy : ∀ (i : ι), (Quotient.mk (I i)) y = (Quotient.mk (I i)) (x i)

⊢ ∃ r, ∀ (i : ι), r - x i ∈ I i
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
h : α ≃ᵢ β

⊢ EMetric.diam univ = EMetric.diam univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → edist x y = ⊤

⊢ s.Subsingleton
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

⊢ CondIndepSets m' hm' {s} {t} μ ↔ μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t.indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

⊢ (∀ (t1 t2 : Set Ω), t1 ∈ {s} → t2 ∈ {t} → μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']) ↔ μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t.indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

⊢ ∀ s_1 ∈ {s}, MeasurableSet s_1
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s t : Set Ω
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

⊢ ∀ s ∈ {t}, MeasurableSet s
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

⊢ Iic b \ Iic a = Ioc a b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : MulZeroOneClass α
inst✝¹ : Nontrivial α
A : Matrix V V α
h : A.IsAdjMatrix
inst✝ : DecidableEq α
i j : V

⊢ adjMatrix α h.toGraph i j = A i j
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).sin * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1

⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).sin * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂
-- Mathlib/Algebra/Star/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x y : R

⊢ { toFun := fun x => op (star x), invFun := __src✝.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => op (star x), invFun := __src✝.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => op (star x), invFun := __src✝.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f g : Filter α
inst✝ : Preorder β
l : Filter α
u v : α → β
hu : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l u
hv : v ≤ᶠ[l] u

⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l v
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f g : Filter α
inst✝ : Preorder β
l : Filter α
u v : α → β
hu : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l u
hv : v ≤ᶠ[l] u

⊢ ∀ (a : β), (∀ᶠ (x : β) in map u l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a) → ∀ᶠ (x : β) in map v l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x a
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ Finset.image (fun t => p ^ (t + 1)) (Finset.range (padicValNat p n)) ⊆ n.divisors.erase 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ Finset.image (fun t => p ^ (t + 1)) (Finset.range (padicValNat p 0)) ⊆ (divisors 0).erase 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0

⊢ Finset.image (fun t => p ^ (t + 1)) (Finset.range (padicValNat p n)) ⊆ n.divisors.erase 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0
t : ℕ
ht : t ∈ Finset.image (fun t => p ^ (t + 1)) (Finset.range (padicValNat p n))

⊢ t ∈ n.divisors.erase 1