ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

⊢ ‖setToL1 hT‖ ≤ ↑1 * ‖setToL1SCLM α E μ hT‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ ‖x‖ = ↑1 * ‖(coeToLp α E ℝ) x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
x : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ ‖x‖ = ‖(coeToLp α E ℝ) x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

⊢ ↑1 * ‖setToL1SCLM α E μ hT‖ = ‖setToL1SCLM α E μ hT‖
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β

⊢ e.IsImage s t ↔ e.source ∩ ↑e ⁻¹' t = e.source ∩ s
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P

⊢ (∀ (a : Set (Submodule R M)), a.Nonempty → ∃ M' ∈ a, ∀ I ∈ a, ¬M' < I) ↔ IsNoetherian R M
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

⊢ Iio b \ Iio a = Ico a b
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : AddCommMonoid N'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : TopologicalSpace N'
n : ℕ
f✝ g✝ f g : M [⋀^ι]→L[R] N
h : f.toAlternatingMap = g.toAlternatingMap

⊢ ⇑f = ⇑g
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z : ℂ
x : ℝ

⊢ z / ↑x = { re := z.re / x, im := z.im / x }
-- Mathlib/Data/Nat/PrimeFin.lean
a b k✝ m n✝ p n k : ℕ

⊢ (n ^ (k + 1)).primeFactors = n.primeFactors
-- Mathlib/Data/Nat/PrimeFin.lean
a b k✝ m n p k : ℕ

⊢ (0 ^ (k + 1)).primeFactors = primeFactors 0
-- Mathlib/Data/Nat/PrimeFin.lean
a b k✝ m n✝ p n k : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ (n ^ (k + 1)).primeFactors = n.primeFactors
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α

⊢ a ∆ b = ⊥ ↔ a = b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q r : ℝ≥0

⊢ ∃ n, ↑r < ↑n
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q r : ℝ≥0
n : ℕ
hn : r < ↑n

⊢ ∃ n, ↑r < ↑n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f : α → F
c : 𝕜
hq_pos : 0 < q

⊢ eLpNorm' (c • f) q μ = ‖c‖₊ • eLpNorm' f q μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f : α → F
hq_pos : 0 < q

⊢ eLpNorm' (0 • f) q μ = ‖0‖₊ • eLpNorm' f q μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f : α → F
c : 𝕜
hq_pos : 0 < q
hc : c ≠ 0

⊢ eLpNorm' (c • f) q μ = ‖c‖₊ • eLpNorm' f q μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f : α → F
c : 𝕜
hq_pos : 0 < q
hc : c ≠ 0

⊢ ‖c‖₊ • eLpNorm' f q μ ≤ eLpNorm' (c • f) q μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝³ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f : α → F
c : 𝕜
hq_pos : 0 < q
hc : c ≠ 0
this : eLpNorm' (c⁻¹ • c • f) q μ ≤ ‖c⁻¹‖₊ • eLpNorm' (c • f) q μ

⊢ ‖c‖₊ • eLpNorm' f q μ ≤ eLpNorm' (c • f) q μ
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q

⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q

⊢ (∀ (x : E), IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)) ↔ ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
x : E

⊢ IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
x : E
hdeg : (minpoly F x).natSepDegree = 1

⊢ IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
x : E
hdeg : (minpoly F x).natSepDegree = 1
halg : IsIntegral F x

⊢ IsIntegral F x ∧ (IsSeparable F x → x ∈ (algebraMap F E).range)
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
x : E
hdeg : (minpoly F x).natSepDegree = 1
halg : IsIntegral F x
hsep : IsSeparable F x

⊢ x ∈ (algebraMap F E).range
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h : ∀ (x : E), ∃ n, x ^ q ^ n ∈ (algebraMap F E).range
x : E
hdeg : F⟮x⟯ = ⊥
halg : IsIntegral F x
hsep : IsSeparable F x

⊢ x ∈ (algebraMap F E).range
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Domain.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
hx : x ≠ 0

⊢ ∃ n x', x'.coeff 0 ≠ 0 ∧ x = (⇑verschiebung)^[n] x'
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Domain.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
hx : x ≠ 0
hex : ∃ k, x.coeff k ≠ 0

⊢ ∃ n x', x'.coeff 0 ≠ 0 ∧ x = (⇑verschiebung)^[n] x'
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Domain.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
hx : x ≠ 0
hex : ∃ k, x.coeff k ≠ 0
n : ℕ := Nat.find hex

⊢ ∃ n x', x'.coeff 0 ≠ 0 ∧ x = (⇑verschiebung)^[n] x'
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Domain.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
hx : x ≠ 0
hex : ∃ k, x.coeff k ≠ 0
n : ℕ := Nat.find hex

⊢ (x.shift n).coeff 0 ≠ 0 ∧ x = (⇑verschiebung)^[n] (x.shift n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Domain.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
hx : x ≠ 0
hex : ∃ k, x.coeff k ≠ 0
n : ℕ := Nat.find hex
i : ℕ
hi : i < n

⊢ ¬¬x.coeff i = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ¬p₁ = p₂

⊢ ∡ (midpoint ℝ p₁ p₂) p₂ p₃ = ∡ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ

⊢ a / b = b⁻¹ ↔ a = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
f✝ g✝ : Arrow C
inst✝³ : HasImage f✝.hom
inst✝² : HasImage g✝.hom
sq✝ : f✝ ⟶ g✝
f g : Arrow C
inst✝¹ : HasImage f.hom
inst✝ : HasImage g.hom
sq : f ⟶ g
map : image f.hom ⟶ image g.hom
map_ι : autoParam (map ≫ image.ι g.hom = image.ι f.hom ≫ sq.right) _auto✝
map' : image f.hom ⟶ image g.hom
map_ι' : map' ≫ image.ι g.hom = image.ι f.hom ≫ sq.right
this : map ≫ image.ι g.hom = map' ≫ image.ι g.hom

⊢ map = map'
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
S : Set (Subring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R

⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
S : Set (Subring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
this : Nonempty ↑S

⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace

⊢ (Opens.map f.base).op.obj (op ((opensFunctor f).obj U)) = op U
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e✝ : Sym2 V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype ↑G.edgeSet
s : Finset (Sym2 V)
inst✝ : Fintype ↑(G.deleteEdges ↑s).edgeSet
e : Sym2 V

⊢ e ∈ (G.deleteEdges ↑s).edgeFinset ↔ e ∈ G.edgeFinset \ s
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : Algebra ℂ A
inst✝⁴ : StarModule ℂ A
inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℂ A
a : A
f : ℝ → ℝ
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝

⊢ cfc f a = cfc (fun x => ↑(f x.re)) a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : Algebra ℂ A
inst✝⁴ : StarModule ℂ A
inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℂ A
a : A
f : ℝ → ℝ
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
this : CompactSpace ↑(σ ℂ a)

⊢ cfc f a = cfc (fun x => ↑(f x.re)) a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : Algebra ℂ A
inst✝⁴ : StarModule ℂ A
inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℂ A
a : A
f : ℝ → ℝ
this : CompactSpace ↑(σ ℂ a)
ha : IsSelfAdjoint a

⊢ cfc f a = cfc (fun x => ↑(f x.re)) a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun f => f i) s' f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)

⊢ HasFDerivWithinAt (fun f => f i) ?f' s' f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝² : Fintype ι
F' : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
φ' : (i : ι) → E →L[𝕜] F' i
Φ : E → (i : ι) → F' i
Φ' : E →L[𝕜] (i : ι) → F' i
i : ι
f : (i : ι) → F' i
s' : Set ((i : ι) → F' i)

⊢ ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] F' i
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
this : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁

⊢ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
this : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁

⊢ ¬a₁ < a₂ ∧ ¬b₁ < b₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha✝ : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
this : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁
ha : a₁ < a₂

⊢ a₁ * b₁ < a₂ * b₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb✝ : b₁ ≤ b₂
this✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
this : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁
hb : b₁ < b₂

⊢ a₁ * b₁ < a₂ * b₂
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₂ s.center < s.radius
h : ¬p₁ = p₂

⊢ 0 < ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ
-- Mathlib/Algebra/Ring/Rat.lean
r : ℚ

⊢ ↑r.num / ↑r.den = r
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : Semiring R
α : Type u_3
x : HahnSeries Γ R
s : SummableFamily Γ R α
g : Γ

⊢ (x • s).hsum.coeff g = (x * s.hsum).coeff g
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : Semiring R
α : Type u_3
x : HahnSeries Γ R
s : SummableFamily Γ R α
g : Γ

⊢ ∑ᶠ (i : α), ∑ ij ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, x.coeff ij.1 * (s i).coeff ij.2 = ∑ x_1 ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, x.coeff x_1.1 * ∑ᶠ (i : α), (s i).coeff x_1.2
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : Semiring R
α : Type u_3
x : HahnSeries Γ R
s : SummableFamily Γ R α
g : Γ
a : α

⊢ ∑ ij ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, x.coeff ij.1 * (s a).coeff ij.2 = ∑ b ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, x.coeff b.1 * (s a).coeff b.2
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : Semiring R
α : Type u_3
x : HahnSeries Γ R
s : SummableFamily Γ R α
g : Γ

⊢ ∀ b ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, (Function.support fun a => (fun i ij => x.coeff ij.1 * (s i).coeff ij.2) a b).Finite
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : Semiring R
α : Type u_3
x : HahnSeries Γ R
s : SummableFamily Γ R α
g : Γ

⊢ ∑ b ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, ∑ᶠ (a : α), x.coeff b.1 * (s a).coeff b.2 = ∑ x_1 ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ g, x.coeff x_1.1 * ∑ᶠ (i : α), (s i).coeff x_1.2
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : HasRightDual X
f : Y ⟶ Xᘁ

⊢ (ρ_ Y).inv ≫ Y ◁ η_ X Xᘁ ≫ (α_ Y X Xᘁ).inv ≫ (f ▷ X ≫ ε_ X Xᘁ) ▷ Xᘁ = 𝟙 Y ⊗≫ (Y ◁ η_ X Xᘁ ≫ f ▷ (X ⊗ Xᘁ)) ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : HasRightDual X
f : Y ⟶ Xᘁ

⊢ 𝟙 Y ⊗≫ (Y ◁ η_ X Xᘁ ≫ f ▷ (X ⊗ Xᘁ)) ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ = f ⊗≫ Xᘁ ◁ η_ X Xᘁ ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : HasRightDual X
f : Y ⟶ Xᘁ

⊢ 𝟙 Y ⊗≫ (f ▷ 𝟙_ C ≫ Xᘁ ◁ η_ X Xᘁ) ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ = f ⊗≫ Xᘁ ◁ η_ X Xᘁ ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : HasRightDual X
f : Y ⟶ Xᘁ

⊢ f ⊗≫ Xᘁ ◁ η_ X Xᘁ ⊗≫ ε_ X Xᘁ ▷ Xᘁ = f ≫ (λ_ Xᘁ).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
inst✝ : HasRightDual X
f : Y ⟶ Xᘁ

⊢ f ⊗≫ ⊗𝟙 = f ≫ (λ_ Xᘁ).inv
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Comap.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : σ → τ
x : τ → R

⊢ comap (rename f) x = x ∘ f
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Comap.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : σ → τ
x : τ → R
x✝ : σ

⊢ comap (rename f) x x✝ = (x ∘ f) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
i : ι
hv : LinearIndependent R v
h : v i = 0

⊢ (Finsupp.single i 1) i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
i : ι
hv : LinearIndependent R v
h : v i = 0

⊢ 0 i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
i : ι
hv : LinearIndependent R v
h : v i = 0

⊢ (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCancelCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
c x : E
hx : x ∈ (fun z => c + z) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun z => c + z) ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ f (c + (a • x + b • y)) = f (a • (c + x) + b • (c + y))
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
p : F[X]
hFEp : IsSplittingField F E p

⊢ Normal F E
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Algebra F K
E : Type u_3
inst✝⁸ : Field E
inst✝⁷ : Algebra F E
inst✝⁶ : Algebra K E
inst✝⁵ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Field E'
inst✝ : Algebra F E'
hFEp : IsSplittingField F E 0

⊢ Normal F E