ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
hs : AffineIndependent R Subtype.val
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x => (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0

⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
s t t₁ t₂ : Finset E
ht₁ : t₁ ⊆ s
ht₂ : t₂ ⊆ s
x : E
w₁ : E → R
h₁w₁ : ∀ y ∈ t₁, 0 ≤ w₁ y
h₂w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y = 1
h₃w₁ : ∑ y ∈ t₁, w₁ y • y = x
w₂ : E → R
h₂w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y = 1
h₃w₂ : ∑ y ∈ t₂, w₂ y • y = x
w : E → R := fun x => (if x ∈ t₁ then w₁ x else 0) - if x ∈ t₂ then w₂ x else 0
h₁w : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : ∀ x ∈ s, w x = 0

⊢ ∃ w, (∀ y ∈ t₁ ∩ t₂, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ t₁ ∩ t₂, w y • y = x
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y✝ x y : ℝ

⊢ √x / x = 1 / √x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α

⊢ Summable fun n => rexp (-↑n)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n : ℤ
x✝ : M

⊢ ↑n * x✝ = x✝ * ↑n
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ

⊢ ↑↑n * (x✝¹ * x✝) = ↑↑n * x✝¹ * x✝
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ

⊢ ↑(Int.negSucc n) * (x✝¹ * x✝) = ↑(Int.negSucc n) * x✝¹ * x✝
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ

⊢ x✝¹ * ↑↑n * x✝ = x✝¹ * (↑↑n * x✝)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ

⊢ x✝¹ * ↑(Int.negSucc n) * x✝ = x✝¹ * (↑(Int.negSucc n) * x✝)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ

⊢ x✝¹ * (-1 + -↑n) * x✝ = x✝¹ * ((-1 + -↑n) * x✝)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ

⊢ x✝¹ * -1 * x✝ + x✝¹ * -↑n * x✝ = x✝¹ * -x✝ + x✝¹ * (-↑n * x✝)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ

⊢ -(x✝¹ * x✝) + -(x✝¹ * ↑n * x✝) = x✝¹ * -x✝ + x✝¹ * -(↑n * x✝)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ

⊢ -(x✝¹ * x✝) + -(x✝¹ * (↑n * x✝)) = x✝¹ * -x✝ + x✝¹ * -(↑n * x✝)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ

⊢ x✝¹ * x✝ * ↑↑n = x✝¹ * (x✝ * ↑↑n)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ

⊢ x✝¹ * x✝ * ↑(Int.negSucc n) = x✝¹ * (x✝ * ↑(Int.negSucc n))
-- Mathlib/Algebra/Ring/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing M
n✝ : ℤ
x✝¹ x✝ : M
n : ℕ

⊢ x✝¹ * x✝ * (-1 + -↑n) = x✝¹ * (x✝ * (-1 + -↑n))
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

⊢ ∑' (k : ℕ), f k ≤ f 0 + ∑' (k : ℕ), 2 ^ k * f (2 ^ k)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m

⊢ ⨆ i, ∑ a ∈ range (2 ^ i), f a ≤ f 0 + ∑' (k : ℕ), 2 ^ k * f (2 ^ k)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
n : ℕ

⊢ ∑ k ∈ range n, 2 ^ k • f (2 ^ k) ≤ ∑' (k : ℕ), 2 ^ k * f (2 ^ k)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
n : ℕ

⊢ ∑ x ∈ range n, 2 ^ x * f (2 ^ x) ≤ ∑' (k : ℕ), 2 ^ k * f (2 ^ k)
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type w
inst✝ : Projective R M
p : (ι →₀ R) →ₗ[R] M
hp : Surjective ⇑p

⊢ Flat R M
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type w
inst✝ : Projective R M
p : (ι →₀ R) →ₗ[R] M
hp : Surjective ⇑p
h : ∃ h, p ∘ₗ h = LinearMap.id

⊢ Flat R M
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
inst✝ : Semiring T
p q : R[ℕ]
hf : ∀ (k : ℕ), Commute (f (q k)) x

⊢ eval₂ f x ({ toFinsupp := p } * { toFinsupp := q }) = eval₂ f x { toFinsupp := p } * eval₂ f x { toFinsupp := q }
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
inst✝ : Semiring T
p q : R[ℕ]
hf : ∀ (k : ℕ), Commute (f (q k)) x

⊢ (liftNC ↑f ⇑((powersHom S) x)) (p * q) = (liftNC ↑f ⇑((powersHom S) x)) p * (liftNC ↑f ⇑((powersHom S) x)) q
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ interior s

⊢ x ∈ {x | gauge s x < 1}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ interior s
H₁ : Tendsto (fun r => r⁻¹ • x) (𝓝[<] 1) (𝓝 (1⁻¹ • x))

⊢ x ∈ {x | gauge s x < 1}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ interior s
H₁ : Tendsto (fun r => r⁻¹ • x) (𝓝[<] 1) (𝓝 x)

⊢ x ∈ {x | gauge s x < 1}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ interior s
H₁ : Tendsto (fun r => r⁻¹ • x) (𝓝[<] 1) (𝓝 x)
H₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[<] 1, x ∈ r • s ∧ 0 < r ∧ r < 1

⊢ x ∈ {x | gauge s x < 1}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ interior s
H₁ : Tendsto (fun r => r⁻¹ • x) (𝓝[<] 1) (𝓝 x)
H₂ : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[<] 1, x ∈ r • s ∧ 0 < r ∧ r < 1
r : ℝ
hxr : x ∈ r • s
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1

⊢ x ∈ {x | gauge s x < 1}
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G

⊢ IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) n 1 ↔ x ^ n = 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G

⊢ (fun x_1 => x ^ n * x_1) 1 = 1 ↔ x ^ n = 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G

⊢ x ^ n * 1 = 1 ↔ x ^ n = 1
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l (𝓝 C)

⊢ Tendsto (fun x => f x + g x) l atBot
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
C : α
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l (𝓝 C)

⊢ Tendsto (fun x => g x + f x) l atBot
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
x : (Quotient.out c.ord).α

⊢ (typein (fun x x_1 => x < x_1) x).card < c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
x : (Quotient.out c.ord).α

⊢ typein (fun x x_1 => x < x_1) x < c.ord
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit b

⊢ b / (a * b) = 1 / a
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
ha : g ∈ alternatingGroup (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : ∀ n ∈ g.cycleType, n = 2

⊢ IsConj (swap 0 4 * swap 1 3) g
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
ha : g ∈ alternatingGroup (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : ∀ n ∈ g.cycleType, n = 2
h : g.support.card ≤ card (Fin 5)

⊢ IsConj (swap 0 4 * swap 1 3) g
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
ha : g ∈ alternatingGroup (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : g.cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
h : g.support.card ≤ card (Fin 5)

⊢ IsConj (swap 0 4 * swap 1 3) g
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
ha : g ∈ alternatingGroup (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : g.cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
h : Multiset.card g.cycleType * 2 ≤ card (Fin 5)

⊢ IsConj (swap 0 4 * swap 1 3) g
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
ha : g ∈ alternatingGroup (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : g.cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
h✝ : Multiset.card g.cycleType * 2 ≤ card (Fin 5)
h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3

⊢ IsConj (swap 0 4 * swap 1 3) g
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
ha : (-1) ^ ((Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2).sum + Multiset.card (Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2)) = 1
h1 : g ≠ 1
h2 : g.cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
h✝ : Multiset.card g.cycleType * 2 ≤ card (Fin 5)
h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3

⊢ IsConj (swap 0 4 * swap 1 3) g
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : g.cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
h✝ : Multiset.card g.cycleType * 2 ≤ card (Fin 5)
h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3
ha : (-1) ^ (Multiset.card g.cycleType * 2 + Multiset.card g.cycleType) = 1

⊢ IsConj (swap 0 4 * swap 1 3) g
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : g.cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
h✝ : Multiset.card g.cycleType * 2 ≤ card (Fin 5)
h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3
ha : Even (Multiset.card g.cycleType)

⊢ IsConj (swap 0 4 * swap 1 3) g
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : g.cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
h✝ : Multiset.card g.cycleType * 2 ≤ card (Fin 5)
h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3
ha : (-1) ^ Multiset.card g.cycleType = 1

⊢ -1 ≠ 1
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
g : Perm (Fin 5)
h1 : g ≠ 1
h2 : g.cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
h✝ : Multiset.card g.cycleType * 2 ≤ card (Fin 5)
h : Multiset.card g.cycleType ≤ 3
ha : Even (Multiset.card g.cycleType)

⊢ (swap 0 4 * swap 1 3).cycleType = Multiset.replicate (Multiset.card g.cycleType) 2
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift

⊢ Tendsto (fun n => (⇑1)^[n] 0 / ↑n) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.126215, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j

⊢ HomologicalComplex.homologyMap S.f i ≫ HomologicalComplex.homologyMap S.g i = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i✝ : δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
i : δ
hi : i ∉ s

⊢ ∫⋯∫⁻_insert i s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, fun x => ∫⁻ (xᵢ : π i), f (update x i xᵢ) ∂μ i ∂μ
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y✝ x y : ℝ

⊢ x / √x = √x
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
h : x ≤ 0

⊢ x / √x = √x
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
h : 0 < x

⊢ x / √x = √x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ComplexShape.lean
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
i j : ι
h : c.Rel i j

⊢ c.next i = j
-- Mathlib/Algebra/Homology/ComplexShape.lean
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
i j : ι
h : c.Rel i j

⊢ c.Rel i (c.next i)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ComplexShape.lean
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
i j : ι
h : c.Rel i j

⊢ c.Rel i (if h : ∃ j, c.Rel i j then h.choose else i)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ComplexShape.lean
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
i j : ι
h : c.Rel i j

⊢ c.Rel i ?hc.choose
-- Mathlib/Algebra/Homology/ComplexShape.lean
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
i j : ι
h : c.Rel i j

⊢ ∃ j, c.Rel i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
f : α ↪ α'
l : α →₀ R

⊢ (Finsupp.total α' M' R v') (embDomain f l) = (Finsupp.total α M' R (v' ∘ ⇑f)) l
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
α β : Type u
A : α → PSet
B : β → PSet
αβ : ∀ (a : α), ∃ b, (A a).Equiv (B b)
a : (PSet.mk α A).Type
c✝ : ((PSet.mk α A).Func a).Type
b : β
γ : Type u
Γ : γ → PSet
A_ih✝¹ : ∀ (a_1 : γ), A a = Γ a_1 → ∃ b, ((⋃₀ PSet.mk α A).Func ⟨a, c✝⟩).Equiv ((⋃₀ PSet.mk β B).Func b)
ea : A a = PSet.mk γ Γ
δ : Type u
Δ : δ → PSet
A_ih✝ : ∀ (a_1 : δ), B b = Δ a_1 → ∃ b, ((⋃₀ PSet.mk α A).Func ⟨a, c✝⟩).Equiv ((⋃₀ PSet.mk β B).Func b)
eb : B b = PSet.mk δ Δ
γδ : ∀ (a : γ), ∃ b, (Γ a).Equiv (Δ b)
δγ : ∀ (b : δ), ∃ a, (Γ a).Equiv (Δ b)
c : (A a).Type := c✝
d : δ
hd : (Γ (⋯.mp c)).Equiv (Δ d)

⊢ ∃ b, ((⋃₀ PSet.mk α A).Func ⟨a, c✝⟩).Equiv ((⋃₀ PSet.mk β B).Func b)
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
α β : Type u
A : α → PSet
B : β → PSet
αβ : ∀ (a : α), ∃ b, (A a).Equiv (B b)
a : (PSet.mk α A).Type
c✝ : ((PSet.mk α A).Func a).Type
b : β
γ : Type u
Γ : γ → PSet
A_ih✝¹ : ∀ (a_1 : γ), A a = Γ a_1 → ∃ b, ((⋃₀ PSet.mk α A).Func ⟨a, c✝⟩).Equiv ((⋃₀ PSet.mk β B).Func b)
ea : A a = PSet.mk γ Γ
δ : Type u
Δ : δ → PSet
A_ih✝ : ∀ (a_1 : δ), B b = Δ a_1 → ∃ b, ((⋃₀ PSet.mk α A).Func ⟨a, c✝⟩).Equiv ((⋃₀ PSet.mk β B).Func b)
eb : B b = PSet.mk δ Δ
γδ : ∀ (a : γ), ∃ b, (Γ a).Equiv (Δ b)
δγ : ∀ (b : δ), ∃ a, (Γ a).Equiv (Δ b)
c : (A a).Type := c✝
d : δ
hd : (Γ (⋯.mp c)).Equiv (Δ d)

⊢ ((⋃₀ PSet.mk α A).Func ⟨a, c✝⟩).Equiv ((⋃₀ PSet.mk β B).Func ⟨b, ⋯ ▸ d⟩)
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
α β : Type u
A : α → PSet
B : β → PSet
αβ : ∀ (a : α), ∃ b, (A a).Equiv (B b)
a : (PSet.mk α A).Type
c✝ : ((PSet.mk α A).Func a).Type
b : β
γ : Type u
Γ : γ → PSet
A_ih✝¹ : ∀ (a_1 : γ), A a = Γ a_1 → ∃ b, ((⋃₀ PSet.mk α A).Func ⟨a, c✝⟩).Equiv ((⋃₀ PSet.mk β B).Func b)
ea : A a = PSet.mk γ Γ
δ : Type u
Δ : δ → PSet
A_ih✝ : ∀ (a_1 : δ), B b = Δ a_1 → ∃ b, ((⋃₀ PSet.mk α A).Func ⟨a, c✝⟩).Equiv ((⋃₀ PSet.mk β B).Func b)
eb : B b = PSet.mk δ Δ
γδ : ∀ (a : γ), ∃ b, (Γ a).Equiv (Δ b)
δγ : ∀ (b : δ), ∃ a, (Γ a).Equiv (Δ b)
c : (A a).Type := c✝
d : δ
hd : (Γ (⋯.mp c)).Equiv (Δ d)

⊢ ((A a).Func c).Equiv ((B b).Func (⋯ ▸ d))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.651, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
j : ℕ
hj : j + 1 = 0

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.651, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
j : ℕ
hj : j + 1 = 0

⊢ j.succ ≤ 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/EquivReindex.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : K
i : K →+* ℂ

⊢ (canonicalEmbedding K) α i = ((basisMatrix K)ᵀ *ᵥ fun i => ↑((((integralBasis K).reindex (equivReindex K).symm).repr α) i)) i
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/EquivReindex.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : K
i : K →+* ℂ

⊢ (∑ i : K →+* ℂ, ((latticeBasis K).repr ((canonicalEmbedding K) α)) ((equivReindex K) i) • (latticeBasis K) ((equivReindex K) i)) i = ((basisMatrix K)ᵀ *ᵥ fun i => ↑((((integralBasis K).reindex (equivReindex K).symm).repr α) i)) i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k

⊢ Continuous fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k
x₀ : G

⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ) x₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k
x₀ : G
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀

⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ) x₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k
x₀ : G
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀
k' : Set G := t • k⁻¹

⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ) x₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k
x₀ : G
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀
k' : Set G := t • k⁻¹
k'_comp : IsCompact k'

⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ) x₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : G → E
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
k : Set G := tsupport g
k_comp : IsCompact k
x₀ : G
t : Set G
t_comp : IsCompact t
ht : t ∈ 𝓝 x₀
k' : Set G := t • k⁻¹
k'_comp : IsCompact k'
A : ContinuousOn (fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ) t

⊢ ContinuousAt (fun x => ∫ (y : G), g (y⁻¹ * x) ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⊢ (o.areaForm x) y ≤ ‖x‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
n : Type u_8
inst✝ : Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : EuclideanSpace ℝ n

⊢ x ∈ Metric.sphere 0 r ↔ x ∈ {x | ∑ i : n, x i ^ 2 = r ^ 2}
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
n : Type u_8
inst✝ : Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x : EuclideanSpace ℝ n
this : 0 ≤ ∑ i : n, x i ^ 2

⊢ x ∈ Metric.sphere 0 r ↔ x ∈ {x | ∑ i : n, x i ^ 2 = r ^ 2}
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/SubMulAction.lean
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : SubMulAction R M
r : R
x y : M
hx : x ∈ p

⊢ -x ∈ p
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/SubMulAction.lean
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : SubMulAction R M
r : R
x y : M
hx : x ∈ p

⊢ -1 • x ∈ p
-- Mathlib/Data/List/Range.lean
α : Type u
n i : ℕ
h : i < (finRange n).length

⊢ (finRange n)[i] = ⟨i, ⋯⟩
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ eLpNorm (s.indicator f) p μ = eLpNorm f p (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖s.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) = (∫⁻ (x : α) in s, ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖s.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ