ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : P.Cotangent

⊢ ((map f - map g) x).val = ((f.sub g ∘ₗ P.cotangentComplex) x).val
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : ↥P.ker

⊢ ((map f - map g) (mk x)).val = ((f.sub g ∘ₗ P.cotangentComplex) (mk x)).val
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : ↥P.ker

⊢ (mk ⟨f.toAlgHom ↑x, ⋯⟩ - mk ⟨g.toAlgHom ↑x, ⋯⟩).val = P'.ker.toCotangent ((f.subToKer g) ↑x)
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : ↥P.ker

⊢ P'.ker.cotangentEquivIdeal (mk ⟨f.toAlgHom ↑x, ⋯⟩ - mk ⟨g.toAlgHom ↑x, ⋯⟩).val = P'.ker.cotangentEquivIdeal (P'.ker.toCotangent ((f.subToKer g) ↑x))
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : ↥P.ker

⊢ ↑(P'.ker.cotangentEquivIdeal (mk ⟨f.toAlgHom ↑x, ⋯⟩ - mk ⟨g.toAlgHom ↑x, ⋯⟩).val) = ↑(P'.ker.cotangentEquivIdeal (P'.ker.toCotangent ((f.subToKer g) ↑x)))
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝³ : Zero R
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : SMulWithZero R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : R
x : M

⊢ c • x ≠ 0 ↔ c ≠ 0 ∧ x ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
a : CliffordAlgebra Q
r : R

⊢ (contractRight (a * (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) d = (contractRight a) d * (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MazurUlam.lean
E : Type u_1
PE : Type u_2
F : Type u_3
PF : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MetricSpace PE
inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MetricSpace PF
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
f : PE ≃ᵢ PF
x y : PE
e : PE ≃ᵢ PE := ((f.trans (pointReflection ℝ (midpoint ℝ (f x) (f y))).toIsometryEquiv).trans f.symm).trans (pointReflection ℝ (midpoint ℝ x y)).toIsometryEquiv
hx : e x = x
hy : e y = y

⊢ f (midpoint ℝ x y) = midpoint ℝ (f x) (f y)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MazurUlam.lean
E : Type u_1
PE : Type u_2
F : Type u_3
PF : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MetricSpace PE
inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MetricSpace PF
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
f : PE ≃ᵢ PF
x y : PE
e : PE ≃ᵢ PE := ((f.trans (pointReflection ℝ (midpoint ℝ (f x) (f y))).toIsometryEquiv).trans f.symm).trans (pointReflection ℝ (midpoint ℝ x y)).toIsometryEquiv
hx : e x = x
hy : e y = y
hm : e (midpoint ℝ x y) = midpoint ℝ x y

⊢ f (midpoint ℝ x y) = midpoint ℝ (f x) (f y)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MazurUlam.lean
E : Type u_1
PE : Type u_2
F : Type u_3
PF : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MetricSpace PE
inst✝⁴ : NormedAddTorsor E PE
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MetricSpace PF
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
f : PE ≃ᵢ PF
x y : PE
e : PE ≃ᵢ PE := ((f.trans (pointReflection ℝ (midpoint ℝ (f x) (f y))).toIsometryEquiv).trans f.symm).trans (pointReflection ℝ (midpoint ℝ x y)).toIsometryEquiv
hx : e x = x
hy : e y = y
hm : (pointReflection ℝ (midpoint ℝ x y)).toIsometryEquiv (f.symm ((pointReflection ℝ (midpoint ℝ (f x) (f y))).toIsometryEquiv (f (midpoint ℝ x y)))) = midpoint ℝ x y

⊢ f (midpoint ℝ x y) = midpoint ℝ (f x) (f y)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R✝ : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
A✝ : Type v
inst✝⁵ : Semiring A✝
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
S✝ T : Set A✝
M N P Q : Submodule R✝ A✝
m n : A✝
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Mul A
inst✝ : Module R A
S S' : Set A
x : A
hx : x ∈ span R (S * S')

⊢ ∃ T T', ↑T ⊆ S ∧ ↑T' ⊆ S' ∧ x ∈ span R (↑T * ↑T')
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

⊢ (∃ m, m < n + 1 ∧ p m) ↔ (∃ m, m < n ∧ p m) ∨ p n
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

⊢ (¬∃ m, m < n + 1 ∧ p m) ↔ ¬((∃ m, m < n ∧ p m) ∨ p n)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

⊢ (∀ (m : ℕ), m < n + 1 → ¬p m) ↔ (∀ (m : ℕ), m < n → ¬p m) ∧ ¬p n
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝ : S.HasRightHomology

⊢ h.opcyclesIso.inv ≫ S.descOpcycles k hk = h.descQ k hk
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π

⊢ ∠ p1 p3 p2 + ∠ p1 p3 p4 = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π

⊢ ∠ p2 p3 p1 + ∠ p4 p3 p1 = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p4 -ᵥ p3) = π

⊢ InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p3) (p1 -ᵥ p3) + InnerProductGeometry.angle (p4 -ᵥ p3) (p1 -ᵥ p3) = π
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E

⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun sr => 0 < sr.2) fun sr => (sr.1.sup p).ball x sr.2
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E
this : TopologicalAddGroup E

⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun sr => 0 < sr.2) fun sr => (sr.1.sup p).ball x sr.2
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E
this : TopologicalAddGroup E

⊢ (Filter.map (fun x_1 => x + x_1) (𝓝 0)).HasBasis (fun sr => 0 < sr.2) fun sr => (sr.1.sup p).ball x sr.2
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E
this : TopologicalAddGroup E
sr : Finset ι × ℝ

⊢ (sr.1.sup p).ball x sr.2 = (fun x_1 => x + x_1) '' (sr.1.sup p).ball 0 sr.2
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E
this✝ : TopologicalAddGroup E
sr : Finset ι × ℝ
this : (sr.1.sup p).ball (x +ᵥ 0) sr.2 = x +ᵥ (sr.1.sup p).ball 0 sr.2

⊢ (sr.1.sup p).ball x sr.2 = (fun x_1 => x + x_1) '' (sr.1.sup p).ball 0 sr.2
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
hn : 0 < n
ha : a ≠ 0

⊢ root (X ^ n - C a) ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
a : K
ha : a ≠ 0
hn : 0 < Nat.succ 0

⊢ root (X ^ Nat.succ 0 - C a) ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
hn✝ : 0 < n
ha : a ≠ 0
hn : Nat.succ 0 < n

⊢ root (X ^ n - C a) ≠ 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M

⊢ ContMDiffWithinAt IM (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n f s x₀ ↔ ContMDiffWithinAt IM IB n (fun x => (f x).proj) s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) s x₀
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M

⊢ ContinuousWithinAt f s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB × F) n (↑(extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (f x₀)) ∘ f) s x₀ ↔ (ContinuousWithinAt (fun x => (f x).proj) s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) ∘ fun x => (f x).proj) s x₀) ∧ ContinuousWithinAt (fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x₀)).2) ∘ fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) s x₀
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M

⊢ ContinuousWithinAt f s x₀ → (ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB × F) n (↑(extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (f x₀)) ∘ f) s x₀ ↔ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) ∘ fun x => (f x).proj) s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x₀)).2) ∘ fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) s x₀)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀

⊢ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB × F) n (↑(extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (f x₀)) ∘ f) s x₀ ↔ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) ∘ fun x => (f x).proj) s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (↑(extChartAt 𝓘(𝕜, F) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x₀)).2) ∘ fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) s x₀
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀

⊢ ContMDiffWithinAt IM (𝓘(𝕜, EB).prod 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1, (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2)) s x₀ ↔ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (fun x => ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x).proj) s x₀ ∧ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj) (f x)).2) s x₀
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀

⊢ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (Prod.fst ∘ fun x => (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1, (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2)) s x₀ ↔ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (fun x => ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x).proj) s x₀
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀
h1 : (fun x => (f x).proj) ⁻¹' (trivializationAt F E (f x₀).proj).baseSet ∈ 𝓝[s] x₀

⊢ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (Prod.fst ∘ fun x => (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1, (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2)) s x₀ ↔ ContMDiffWithinAt IM 𝓘(𝕜, EB) n (fun x => ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x).proj) s x₀
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀
h1 : (fun x => (f x).proj) ⁻¹' (trivializationAt F E (f x₀).proj).baseSet ∈ 𝓝[s] x₀
x : M
hx : x ∈ (fun x => (f x).proj) ⁻¹' (trivializationAt F E (f x₀).proj).baseSet

⊢ (Prod.fst ∘ fun x => (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1, (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2)) x = (fun x => ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x).proj) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
f : M → TotalSpace F E
s : Set M
x₀ : M
hf : ContinuousWithinAt f s x₀
h1 : (fun x => (f x).proj) ⁻¹' (trivializationAt F E (f x₀).proj).baseSet ∈ 𝓝[s] x₀

⊢ (Prod.fst ∘ fun x => (↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).1, (↑(trivializationAt F E (f x₀).proj).toPartialEquiv (f x)).2)) x₀ = ↑(extChartAt IB (f x₀).proj) (f x₀).proj
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Defs.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
f : F
a b : M
h : a * b = 1

⊢ f a * f b = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
S : Set (LieSubmodule R L M)

⊢ ↑(sSup S) = ⨆ N ∈ S, ↑N
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
n : ℕ
hn : x ^ n = 0
m : ℕ
hm : y ^ m = 0

⊢ IsNilpotent (x + y)
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
i : β → α
hi : Function.Injective i

⊢ Summable (f ∘ i)
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → ℝ≥0
hf : Summable fun a => ↑(f a)
i : β → α
hi : Function.Injective i

⊢ Summable fun a => ↑((f ∘ i) a)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ ⋂ n, s n
ht2 : t2 ∈ s'
n : ι
h : IndepSets (s n) s' κ μ

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ

⊢ derivedLengthOfIdeal R L I = k + 1 ↔ IsLieAbelian ↥↑(derivedSeriesOfIdeal R L k I) ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ

⊢ derivedLengthOfIdeal R L I = k + 1 ↔ derivedSeriesOfIdeal R L (k + 1) I = ⊥ ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}

⊢ sInf s = k + 1 ↔ k + 1 ∈ s ∧ k ∉ s