ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R✝
S : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing P
inst✝⁹ : Algebra R✝ P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R₁
K✝ : Type u_4
inst✝⁷ : Field K✝
inst✝⁶ : Algebra R₁ K✝
inst✝⁵ : IsFractionRing R₁ K✝
inst✝⁴ : IsDomain R₁
R : Type u_6
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
h : Ideal.span {a} = 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R✝
S : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing P
inst✝⁹ : Algebra R✝ P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R₁
K✝ : Type u_4
inst✝⁷ : Field K✝
inst✝⁶ : Algebra R₁ K✝
inst✝⁵ : IsFractionRing R₁ K✝
inst✝⁴ : IsDomain R₁
R : Type u_6
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) a)⁻¹ * ↑J
h : a = 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R✝
S : Submonoid R✝
P : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing P
inst✝⁹ : Algebra R✝ P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R₁
K✝ : Type u_4
inst✝⁷ : Field K✝
inst✝⁶ : Algebra R₁ K✝
inst✝⁵ : IsFractionRing R₁ K✝
inst✝⁴ : IsDomain R₁
R : Type u_6
inst✝³ : CommRing R
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
a : R
J : Ideal R
haJ : I = 0
h : a = 0

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ

⊢ |sin (x / 2)| = √((1 - cos x) / 2)
-- Mathlib/Algebra/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P

⊢ p₁ -ᵥ p₂ - (p₃ -ᵥ p₄) = p₁ -ᵥ p₃ - (p₂ -ᵥ p₄)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegral/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Ring B✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R A
inst✝¹⁰ : Algebra R B✝
f✝ : R →+* S
B : Type u_5
C : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁹ : Ring B
inst✝⁸ : Ring C
inst✝⁷ : Algebra R B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : Algebra R C
inst✝⁴ : IsScalarTower R A B
inst✝³ : Algebra A C
inst✝² : IsScalarTower R A C
b : B
inst✝¹ : FunLike F B C
inst✝ : AlgHomClass F A B C
f : F
P : R[X]
hP : P.Monic ∧ eval₂ (algebraMap R B) b P = 0

⊢ IsIntegral R (f b)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegral/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : Ring B✝
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R A
inst✝¹⁰ : Algebra R B✝
f✝ : R →+* S
B : Type u_5
C : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁹ : Ring B
inst✝⁸ : Ring C
inst✝⁷ : Algebra R B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : Algebra R C
inst✝⁴ : IsScalarTower R A B
inst✝³ : Algebra A C
inst✝² : IsScalarTower R A C
b : B
inst✝¹ : FunLike F B C
inst✝ : AlgHomClass F A B C
f : F
P : R[X]
hP : P.Monic ∧ eval₂ (algebraMap R B) b P = 0

⊢ eval₂ (algebraMap R C) (f b) P = 0
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : Fintype l
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
A : Matrix n l α
B : Matrix n m α
C : Matrix o l α
D : Matrix o m α
A' : Matrix l p α
B' : Matrix l q α
C' : Matrix m p α
D' : Matrix m q α
i : n ⊕ o
j : p ⊕ q

⊢ (fromBlocks A B C D * fromBlocks A' B' C' D') i j = fromBlocks (A * A' + B * C') (A * B' + B * D') (C * A' + D * C') (C * B' + D * D') i j
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
y₁ y₂ : F

⊢ (fun y => (x, y)) '' openSegment 𝕜 y₁ y₂ = openSegment 𝕜 (x, y₁) (x, y₂)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
y₁ y₂ : F

⊢ (fun x_1 => (x, x_1.1 • y₁ + x_1.2 • y₂)) '' {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1} = (fun p => p.1 • (x, y₁) + p.2 • (x, y₂)) '' {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
y₁ y₂ : F
a : 𝕜 × 𝕜
ha : a ∈ {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}

⊢ (x, a.1 • y₁ + a.2 • y₂) = a.1 • (x, y₁) + a.2 • (x, y₂)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Pretriangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.11099, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
p : ℤ

⊢ (inr φ).f p ≫ (triangle φ).mor₃.f p = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν μ : Measure α

⊢ μ.singularPart 0 = μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν μ : Measure α

⊢ μ.singularPart 0 = μ.singularPart 0 + withDensity 0 (μ.rnDeriv 0)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0

⊢ (X ^ n * p).natDegree = p.natDegree + n
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
x y : α
hx : Irreducible x

⊢ IsUnit (gcd x y) ↔ ¬x ∣ y
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hff' : ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ p', F n.1 n.2 = F' n.1 n.2

⊢ TendstoUniformlyOnFilter F' f p p'
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hff' : ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ p', F n.1 n.2 = F' n.1 n.2
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
n : ι × α
h : (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u ∧ F n.1 n.2 = F' n.1 n.2

⊢ (f n.2, F' n.1 n.2) ∈ u
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
F' : ι → α → β
hf : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hff' : ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ p', F n.1 n.2 = F' n.1 n.2
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
n : ι × α
h : (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u ∧ F n.1 n.2 = F' n.1 n.2

⊢ (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
c : Set (Set α)

⊢ ⋃₀ c = univ ↔ ∀ (a : α), ∃ b ∈ c, a ∈ b
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R

⊢ W'.dblY (u • P) = (u ^ 4) ^ 3 * W'.dblY P
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R

⊢ -((u ^ 4) ^ 3 * W'.negDblY P) - W'.a₁ * ((u ^ 4) ^ 2 * W'.dblX P) * (u ^ 4 * W'.dblZ P) - W'.a₃ * (u ^ 4 * W'.dblZ P) ^ 3 = (u ^ 4) ^ 3 * (-W'.negDblY P - W'.a₁ * W'.dblX P * W'.dblZ P - W'.a₃ * W'.dblZ P ^ 3)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : MulOneClass G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x a : G

⊢ 1 * a = x ↔ a = x
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0

⊢ T1Space E
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
this : TopologicalAddGroup E

⊢ T1Space E
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
this : TopologicalAddGroup E

⊢ IsClosed {0}
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
this : TopologicalAddGroup E

⊢ ∀ x ∈ {0}ᶜ, ∃ s, ∃ r > 0, (s.sup p).ball x r ⊆ {0}ᶜ
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
this : TopologicalAddGroup E
x : E
hx : x ≠ 0
i : ι
pi_nonzero : (p i) x ≠ 0

⊢ ∃ s, ∃ r > 0, (s.sup p).ball x r ⊆ {0}ᶜ
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
h : ∀ (x : E), x ≠ 0 → ∃ i, (p i) x ≠ 0
this : TopologicalAddGroup E
x : E
hx : x ≠ 0
i : ι
pi_nonzero : (p i) x ≠ 0

⊢ 0 ∉ ({i}.sup p).ball x ((p i) x)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsDomain R
hM : M ≤ R⁰
p : Ideal S
hpp : p.IsPrime
hp0 : p ≠ ⊥

⊢ ⊥ < Ideal.comap (algebraMap R S) p
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsDomain R
hM : M ≤ R⁰
p : Ideal S
hpp : p.IsPrime
hp0 : p ≠ ⊥
this : IsDomain S

⊢ ⊥ < Ideal.comap (algebraMap R S) p
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsDomain R
hM : M ≤ R⁰
p : Ideal S
hpp : p.IsPrime
hp0 : p ≠ ⊥
this : IsDomain S

⊢ Ideal.comap (algebraMap R S) ⊥ < Ideal.comap (algebraMap R S) p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f ≠ 0

⊢ f.eraseLead.support.card < f.support.card
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f ≠ 0

⊢ (f.support.erase f.natDegree).card < f.support.card
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hQ : W.Nonsingular Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hxy : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2 → P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3

⊢ toAffine W ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), 1] = toAffine W P + toAffine W Q
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Mᵢ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (Nᵢ i)
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Invertible 2
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P

⊢ ⟨⅟2, ⋯⟩ • (pi Q).polarBilin = ∑ i : ι, LinearMap.compl₁₂ (⟨⅟2, ⋯⟩ • (Q i).polarBilin) (LinearMap.proj i) (LinearMap.proj i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Mᵢ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (Nᵢ i)
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Invertible 2
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P

⊢ ∑ x : ι, ⟨⅟2, ⋯⟩ • LinearMap.compl₁₂ (Q x).polarBilin (LinearMap.proj x) (LinearMap.proj x) = ∑ i : ι, LinearMap.compl₁₂ (⟨⅟2, ⋯⟩ • (Q i).polarBilin) (LinearMap.proj i) (LinearMap.proj i)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
x : ℝ

⊢ -↑x ∈ slitPlane ↔ x < 0
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α
a b c d : α

⊢ a ⊔ b ≤ a ⊓ b ↔ a = b
-- Mathlib/Probability/Process/PartitionFiltration.lean
α✝ : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α✝
inst✝¹ : CountablyGenerated α✝
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α

⊢ ⨆ n, ↑(countableFiltration α) n = m
-- Mathlib/Probability/Process/PartitionFiltration.lean
α✝ : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α✝
inst✝¹ : CountablyGenerated α✝
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablyGenerated α

⊢ ⨆ n, ↑(countableFiltration α) n = ⨆ i, generateFrom (countablePartition α i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
a b x : α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f g : δ → α
hf : Measurable f
hg : Measurable g

⊢ Measurable fun a => Max.max (f a) (g a)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
M₂ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
ι : Type u_4
φ : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M →L[R] φ i

⊢ pi f = 0 ↔ ∀ (i : ι), f i = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
M₂ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
ι : Type u_4
φ : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M →L[R] φ i

⊢ (∀ (x : M) (a : ι), (f a) x = 0 x a) ↔ ∀ (i : ι) (x : M), (f i) x = 0 x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian

⊢ (fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary) 1 = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f g : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

⊢ { toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯ }.toFun (f * g) = { toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯ }.toFun g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f g : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
this : ∀ {a b c d e f : Matrix n n 𝕜}, a * b * c * (d * e * f) = a * (b * (c * d) * e) * f

⊢ { toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯ }.toFun (f * g) = { toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯ }.toFun g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f g : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
this : ∀ {a b c d e f : Matrix n n 𝕜}, a * b * c * (d * e * f) = a * (b * (c * d) * e) * f

⊢ ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ (⇑f * ⇑g) ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary = (↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal fun i => ↑(f ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * ↑(g ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩)) * star ↑hA.eigenvectorUnitary
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian

⊢ (↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun 0 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f g : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

⊢ (↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (f + g) = (↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun f + (↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f g : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

⊢ ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ (⇑f + ⇑g) ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary = (↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal fun i => ↑(f ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) + ↑(g ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩)) * star ↑hA.eigenvectorUnitary
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
r : ℝ

⊢ (↑↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)) r) = (algebraMap ℝ (Matrix n n 𝕜)) r
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
r : ℝ

⊢ (↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal fun x => ↑r) * star ↑hA.eigenvectorUnitary = (algebraMap ℝ (Matrix n n 𝕜)) r
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
r : ℝ

⊢ ↑hA.eigenvectorUnitary * ((diagonal fun x => ↑r) * star ↑hA.eigenvectorUnitary) = ↑hA.eigenvectorUnitary * ((algebraMap ℝ (Matrix n n 𝕜)) r * star ↑hA.eigenvectorUnitary)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

⊢ (↑↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }.toRingHom).toFun (star f) = star ((↑↑{ toFun := fun g => ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑g ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }.toRingHom).toFun f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

⊢ ↑hA.eigenvectorUnitary * (diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) * star ↑hA.eigenvectorUnitary) = ↑hA.eigenvectorUnitary * (diagonal (star (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩)) * star ↑hA.eigenvectorUnitary)
-- Mathlib/Data/Fintype/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
val✝ : Multiset α
l : List α
hs : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)

⊢ (permsOfFinset { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hs }).card = { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hs }.card !
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
hf : Injective f

⊢ f a ∈ image f s ↔ a ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
hf : Injective f
h : f a ∈ image f s

⊢ a ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
hf : Injective f
h : f a ∈ image f s
y : α
hy : y ∈ s
heq : f y = f a

⊢ a ∈ s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : X.Opens
s : Set ↑Γ(X, U)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)

⊢ IsAffineOpen U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : X.Opens
s : Set ↑Γ(X, U)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)

⊢ Ideal.span (⇑U.topIso.inv '' s) = ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
U : X.Opens
s : Set ↑Γ(X, U)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)

⊢ ∀ i ∈ ⇑U.topIso.inv '' s, IsAffineOpen ((↑U).basicOpen i)
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean

⊢ Real.toEReal ⁻¹' Ioo ⊥ ⊤ = univ
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean

⊢ Real.toEReal ⁻¹' (Ioi ⊥ ∩ Iio ⊤) = univ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
x : S
q : R[X]
hp : eval₂ f x p = 0

⊢ eval₂ f x (p * q) = 0