ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/DiffContOnCl.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x r)

⊢ ContinuousOn f (closedBall x r)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/DiffContOnCl.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x 0)

⊢ ContinuousOn f (closedBall x 0)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/DiffContOnCl.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
s t : Set E
x✝ : E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
h : DiffContOnCl 𝕜 f (ball x r)
hr : r ≠ 0

⊢ ContinuousOn f (closedBall x r)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
S : Sieve X

⊢ S ∈ J.sieves X ↔ J.Covers S (𝟙 X)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.coeff n ≠ 0

⊢ ↑n ≤ p.degree
-- Mathlib/Algebra/Group/AddChar.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
x✝ : R

⊢ (ψ.mulShift 1) x✝ = ψ x✝
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R

⊢ Tendsto (fun x => ↑⌊x⌋₊ / x) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
l u : α → β → γ
l₁ u₁ : β → γ → α
l₂ u₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (swap l b) (u₁ b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l a) (u₂ a)
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s
ht₀ : t.Nonempty
ht₁ : BddAbove t

⊢ sSup (image2 l s t) = l (sSup s) (sSup t)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
l u : α → β → γ
l₁ u₁ : β → γ → α
l₂ u₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (swap l b) (u₁ b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l a) (u₂ a)
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s
ht₀ : t.Nonempty
ht₁ : BddAbove t
c : γ

⊢ sSup (image2 l s t) ≤ c ↔ l (sSup s) (sSup t) ≤ c
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
l u : α → β → γ
l₁ u₁ : β → γ → α
l₂ u₂ : α → γ → β
h₁ : ∀ (b : β), GaloisConnection (swap l b) (u₁ b)
h₂ : ∀ (a : α), GaloisConnection (l a) (u₂ a)
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s
ht₀ : t.Nonempty
ht₁ : BddAbove t
c : γ

⊢ (∀ i₂ ∈ t, ∀ i₁ ∈ s, l i₁ i₂ ≤ c) ↔ ∀ b ∈ t, b ≤ u₂ (sSup s) c
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Polynomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
X : Set R
x✝ : R
a✝ : ↑X

⊢ ((↑↑{ toFun := fun p => p.toContinuousMapOn X, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R R[X]) x✝)) a✝ = ((algebraMap R C(↑X, R)) x✝) a✝
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Defs.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
P : R → R → Prop
a b : R
H0 : ∀ (x : R), P 0 x
H1 : ∀ (a b : R), a ≠ 0 → P (b % a) a → P a b
a0 : a = 0

⊢ P a b
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).cos = dist p₁ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1

⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₃ p₁ p₂).cos = dist p₁ p₃
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
h : ∏ x ∈ s, f x ≠ 1

⊢ ∃ a ∈ s, f a ≠ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R

⊢ Module.rank R R = 1
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y✝ z✝ : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ x.powerset
z : ZFSet
hz : z ∈ y

⊢ z ∈ x.powerset
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y✝ z✝ : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ⊆ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y

⊢ z ⊆ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
f g : N →ₗ[R] P

⊢ rTensor M (f - g) = rTensor M f - rTensor M g
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
f g : N →ₗ[R] P

⊢ (rTensorHom M) (f - g) = (rTensorHom M) f - (rTensorHom M) g
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0

⊢ IsIso h.π
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
φ : (CokernelCofork.ofπ h.π ⋯).pt ⟶ h.K
hφ : Cofork.π (CokernelCofork.ofπ h.π ⋯) ≫ φ = 𝟙 h.K

⊢ IsIso h.π
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
φ : (CokernelCofork.ofπ h.π ⋯).pt ⟶ h.K
hφ : h.π ≫ φ = 𝟙 h.K

⊢ IsIso h.π
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ (hermite (n + 1)).coeff (k + 1) = (hermite n).coeff k - (↑k + 2) * (hermite n).coeff (k + 2)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ (hermite n).coeff k - (↑(k + 1) + 1) * (hermite n).coeff (k + 1 + 1) = (hermite n).coeff k - (↑k + 2) * (hermite n).coeff (k + 2)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
b0 : b = 0

⊢ b * (a / b) ≤ a
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c : ℝ
hf : Integrable I l (c • f) vol
hc : c ≠ 0

⊢ Integrable I l f vol
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m✝ n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p q : R[X]
h : map f p = map f q
m : ℕ

⊢ f (p.coeff m) = f (q.coeff m)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
m n : ℤ

⊢ a ^ (m * n) = (a ^ n) ^ m
-- Mathlib/Topology/LocallyClosed.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y

⊢ coborder s = univ ↔ IsClosed s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Completion.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : CompleteSpace β
f : α → β
K : ℝ≥0
h : LipschitzWith K f
x y : Completion α

⊢ ∀ (a b : α), dist (Completion.extension f (↑α a)) (Completion.extension f (↑α b)) ≤ ↑K * dist (↑α a) (↑α b)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
v : ι → E
f : E →ₗᵢ[𝕜] E'

⊢ Orthonormal 𝕜 (⇑f ∘ v) ↔ Orthonormal 𝕜 v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset ι
t : Finset β
f : ι → Finset α
a✝ : α × β

⊢ a✝ ∈ interedges r (s.biUnion f) t ↔ a✝ ∈ s.biUnion fun a => interedges r (f a) t
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
i j : A

⊢ (shiftFunctorAdd' C i j (i + j) ⋯).hom = (shiftFunctorAdd C i j).hom
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
x : ℝ

⊢ Summable fun n => x ^ n / ↑n !
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
x : ℝ
A : 0 < ↑⌊‖x‖⌋₊ + 1

⊢ Summable fun n => x ^ n / ↑n !
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
x : ℝ
A : 0 < ↑⌊‖x‖⌋₊ + 1
B : ‖x‖ / (↑⌊‖x‖⌋₊ + 1) < 1

⊢ Summable fun n => x ^ n / ↑n !
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
x : ℝ
A : 0 < ↑⌊‖x‖⌋₊ + 1
B : ‖x‖ / (↑⌊‖x‖⌋₊ + 1) < 1

⊢ ∀ n ≥ ⌊‖x‖⌋₊, ‖x ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!‖ ≤ ‖x‖ / (↑⌊‖x‖⌋₊ + 1) * ‖x ^ n / ↑n !‖
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
x : ℝ
A : 0 < ↑⌊‖x‖⌋₊ + 1
B : ‖x‖ / (↑⌊‖x‖⌋₊ + 1) < 1
n : ℕ
hn : n ≥ ⌊‖x‖⌋₊

⊢ ‖x ^ (n + 1) / ↑(n + 1)!‖ ≤ ‖x‖ / (↑⌊‖x‖⌋₊ + 1) * ‖x ^ n / ↑n !‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α

⊢ toJordanDecomposition 0 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α

⊢ (toJordanDecomposition 0).toSignedMeasure = toSignedMeasure 0
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
h : IsCyclic α

⊢ ∃ g, orderOf g = Nat.card α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
h : IsCyclic α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g

⊢ ∃ g, orderOf g = Nat.card α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
h : IsCyclic α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g

⊢ orderOf g = Nat.card α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝ : Group α
h : IsCyclic α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ zpowers g

⊢ Nat.card ↥⊤ = Nat.card α
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ z ⊓ x ⊓ y ⊔ x \ y = x \ y ⊔ x ⊓ z
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ StrictConvexOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ p
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ ∀ {x y z : ℝ}, x ∈ Ici 0 → z ∈ Ici 0 → x < y → y < z → (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y

⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
p : ℝ
hp : 1 < p
x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hz : 0 ≤ z
hxy : x < y
hyz : y < z
hy : 0 < y
hy' : 0 < y ^ p

⊢ (y ^ p - x ^ p) / (y - x) < (z ^ p - y ^ p) / (z - y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
h_eq : ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ≤ f (∑ i ∈ t, w i • p i)

⊢ ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ t → ∀ ⦃k : ι⦄, k ∈ t → p j = p k
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
h_eq : ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ≤ f (∑ i ∈ t, w i • p i)
this : ∃ j ∈ t, ∃ k ∈ t, p j ≠ p k

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
hp' : Fact (0 < p)
x₁ x₂ x₃ : α

⊢ btw ↑x₁ ↑x₂ ↑x₃ ↔ toIcoMod ⋯ x₁ x₂ ≤ toIocMod ⋯ x₁ x₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y

⊢ (isoProd X Y).inv = lift prod.fst prod.snd
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
e' : PartialEquiv α β
h : e.IsImage s t
h' : e'.IsImage s t
hs : e.source ∩ s = e'.source ∩ s
heq : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ s)

⊢ e.target ∩ t = e'.target ∩ t
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul α α
s t : Set α
a : α
h : s ∈ 𝓝 1

⊢ {a} * s ∈ 𝓝 a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
Z₁ Z₂ : C

⊢ (f₁ ⊗ f₂) ▷ (Z₁ ⊗ Z₂) ≫ tensor_μ C (Y₁, Y₂) (Z₁, Z₂) = tensor_μ C (X₁, X₂) (Z₁, Z₂) ≫ (f₁ ▷ Z₁ ⊗ f₂ ▷ Z₂)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Path v u
h : G.Adj u v
he : s(u, v) ∉ (↑p).edges

⊢ (Walk.cons h ↑p).IsCycle
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E

⊢ s / ball 1 δ = thickening δ s
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a✝ a : M
l : List M

⊢ (a :: l).prod = foldr (fun x x_1 => x * x_1) 1 (a :: l)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0

⊢ Real.sin (angle x (x - y)) * ‖x - y‖ = ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0

⊢ Real.sin (angle x (x - y)) * ‖x - y‖ = ‖y‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Convolution.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MeasurableSpace M
inst✝¹ : MeasurableMul₂ M
μ : Measure M
inst✝ : SFinite μ

⊢ map (fun x => x.1 * x.2) ((dirac 1).prod μ) = μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Convolution.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MeasurableSpace M
inst✝¹ : MeasurableMul₂ M
μ : Measure M
inst✝ : SFinite μ

⊢ map ((fun x => x.1 * x.2) ∘ Prod.mk 1) μ = μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Convolution.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MeasurableSpace M
inst✝¹ : MeasurableMul₂ M
μ : Measure M
inst✝ : SFinite μ

⊢ Measurable (Prod.mk 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ

⊢ log b (n / b) = log b n - 1
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : b ≤ 1

⊢ log b (n / b) = log b n - 1
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : 1 < b

⊢ log b (n / b) = log b n - 1
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : 1 < b
h : n < b

⊢ log b (n / b) = log b n - 1
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : 1 < b
h : b ≤ n

⊢ log b (n / b) = log b n - 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
i : ℕ
a : R
x : E
hf : ContDiff 𝕜 (↑i) f

⊢ iteratedFDeriv 𝕜 i (a • f) x = a • iteratedFDeriv 𝕜 i f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
i : ℕ
a : R
x : E
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑i) f univ

⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (a • f) univ x = a • iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f✝ : ι → α
R : Type u_1
inst✝ : CompleteLinearOrder R
f : ι → R
no_least_elem : ⨅ i, f i ∉ range f

⊢ ⋃ i, Ici (f i) = Ioi (⨅ i, f i)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α

⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ x ∈ s, TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓝[s] x)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α

⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ pa, (∀ᶠ (x : ι) in p, pa x) ∧ ∃ pb, (∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, pb y) ∧ ∀ {x : ι}, pa x → ∀ {y : α}, pb y → (f y, F x y) ∈ u
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
inst✝ : Nontrivial R

⊢ (φ.polyCharpoly b).natDegree = finrank R M
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t

⊢ SeparatedNhds s t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t
H : SeparatedNhds (f '' s) (f '' t)

⊢ SeparatedNhds s t
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ

⊢ Odd (a + (1 + a))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0

⊢ log (∏ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, log (f i)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
α : Type u_1
f : α → ℝ
hf : ∀ x ∈ ∅, f x ≠ 0

⊢ log (∏ i ∈ ∅, f i) = ∑ i ∈ ∅, log (f i)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
α : Type u_1
f : α → ℝ
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
ih : (∀ x ∈ s, f x ≠ 0) → log (∏ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, log (f i)
hf : ∀ x ∈ Finset.cons a s ha, f x ≠ 0

⊢ log (∏ i ∈ Finset.cons a s ha, f i) = ∑ i ∈ Finset.cons a s ha, log (f i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
P : ProjectiveResolution Z

⊢ P.complex.d 1 0 ≫ P.π.f 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M

⊢ ⨆ k, LieSubmodule.ucs k ⊥ = weightSpace M 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
k : ℕ
hk : weightSpace M 0 ≤ LieSubmodule.ucs k ⊥

⊢ ⨆ k, LieSubmodule.ucs k ⊥ = weightSpace M 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
k : ℕ
hk : weightSpace M 0 ≤ LieSubmodule.ucs k ⊥

⊢ LieSubmodule.ucs k ⊥ ≤ ⨆ k, LieSubmodule.ucs k ⊥
-- Mathlib/Topology/Algebra/StarSubalgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace A
inst✝¹³ : Semiring A
inst✝¹² : StarRing A
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring A
inst✝¹⁰ : ContinuousStar A
inst✝⁹ : Algebra R A
inst✝⁸ : StarModule R A
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : Semiring B
inst✝⁵ : StarRing B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : T2Space B
F : Type u_4
a : A
inst✝² : FunLike F (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝¹ : AlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
inst✝ : StarAlgHomClass F R (↥(elementalStarAlgebra R a)) B
φ ψ : F
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ⟨a, ⋯⟩ = ψ ⟨a, ⋯⟩
this : StarAlgHomClass F R (↥(adjoin R {a}).topologicalClosure) B

⊢ φ = ψ