ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b : Ordinal.{u_1}
b1 : 1 < b

⊢ log b 0 = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b : Ordinal.{u_1}
b1 : 1 < b

⊢ sInf {o | 0 < b ^ o} ≤ succ 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b : Ordinal.{u_1}
b1 : 1 < b

⊢ succ 0 ∈ {o | 0 < b ^ o}
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b : Ordinal.{u_1}
b1 : 1 < b

⊢ 0 < b ^ succ 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b : Ordinal.{u_1}
b1 : 1 < b

⊢ 0 < b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b : Ordinal.{u_1}
b1 : ¬1 < b

⊢ log b 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Boundary.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
j : ι
hj : e.BoundaryGE j
inst✝ : e.IsTruncLE

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Boundary.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
j : ι
hj : e.BoundaryGE j
inst✝ : e.IsTruncLE
i : ι
hi : e.f i = c'.prev (e.f j)

⊢ False
-- Mathlib/Order/Filter/FilterProduct.lean
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup β
x : β

⊢ ↑|x| = |↑x|
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x y : M
h : f.toMap x = f.toMap y

⊢ g x = g y
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x y : M
h : f.toMap x = f.toMap y
c : ↥S
hc : ↑c * x = ↑c * y

⊢ g x = g y
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x y : M
h : f.toMap x = f.toMap y
c : ↥S
hc : ↑c * x = ↑c * y

⊢ ↑((IsUnit.liftRight (g.restrict S) hg) c)⁻¹ * (g.restrict S) c * g x = g y
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x y : M
h : f.toMap x = f.toMap y
c : ↥S
hc : ↑c * x = ↑c * y

⊢ ↑((IsUnit.liftRight (g.restrict S) hg) c)⁻¹ * g ↑c * g x = g y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean

⊢ GammaIntegral 1 = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f

⊢ lineDeriv 𝕜 f₁ x v = lineDeriv 𝕜 f x v
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

⊢ setToFun μ T hT 0 = 0
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Defs.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
r u : R
hu : IsUnit u
h_comm : Commute r u
n : ℕ

⊢ (r * u) ^ n = 0 ↔ r ^ n = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
h : p.IsRoot a
hlt : 0 ≥ p.degree

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
h : p.IsRoot a
hlt : 0 ≥ p.degree
this : p = C (p.coeff 0)

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
h : p.coeff 0 = 0
hlt : 0 ≥ p.degree
this : p = C (p.coeff 0)

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
hp : p ≠ 0
h : p.coeff 0 = 0
hlt : 0 ≥ p.degree
this : p = 0

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : StarRing 𝕜
inst✝² : StarOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hD : D.IsHermitian

⊢ (Matrix.fromBlocks A B Bᴴ D).IsHermitian ↔ (A - B * D⁻¹ * Bᴴ).IsHermitian
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing 𝕜
inst✝⁴ : PartialOrder 𝕜
inst✝³ : StarRing 𝕜
inst✝² : StarOrderedRing 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hD : D.IsHermitian

⊢ (Matrix.fromBlocks D Bᴴ B A).IsHermitian ↔ (A - B * D⁻¹ * Bᴴ).IsHermitian
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i j : ℤ

⊢ i.natAbs.lcm j.natAbs = j.natAbs.lcm i.natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n : ℕ
a : ℤ
b : ℕ

⊢ ↑a = 0 ↔ ↑b ∣ a
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X

⊢ ∃ J, M.Basis' J X ∧ I ⊆ J
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X

⊢ ∃ J, M.Basis J (X ∩ M.E) ∧ I ⊆ J
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n

⊢ j ∈ Set.range ⇑(c.embedding (c.index j))
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
this : (c.embedding (c.index j)) (c.invEmbedding j) ∈ Set.range ⇑(c.embedding (c.index j))

⊢ j ∈ Set.range ⇑(c.embedding (c.index j))
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R

⊢ Subsingleton (CotangentSpace R) ↔ IsField R
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R

⊢ IsIdempotentElem (maximalIdeal R) ↔ IsField R
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LocalRing R
inst✝ : IsNoetherianRing R

⊢ maximalIdeal R = ⊥ ∨ maximalIdeal R = ⊤ ↔ maximalIdeal R = ⊥
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c

⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Ioo a b = Ioo (a / c) (b / c)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ w₃ w₄ p₁ p₂ p₃ p₄ : ℝ≥0

⊢ w₁ + w₂ + w₃ + w₄ = 1 → p₁ ^ ↑w₁ * p₂ ^ ↑w₂ * p₃ ^ ↑w₃ * p₄ ^ ↑w₄ ≤ w₁ * p₁ + w₂ * p₂ + w₃ * p₃ + w₄ * p₄
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α

⊢ M.Indep M.E ↔ M = freeOn M.E
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
u : UniformSpace β
f : α → β
l : Filter α

⊢ Cauchy l ↔ Cauchy (map f l)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
u : UniformSpace β
f : α → β
l : Filter α

⊢ l.NeBot ∧ l ×ˢ l ≤ 𝓤 α ↔ l.NeBot ∧ l ×ˢ l ≤ Filter.comap (fun p => (f p.1, f p.2)) (𝓤 β)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.7542, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝¹ : Category.{?u.7594, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝ : G.IsCoverDense K
ℱ : SheafOfTypes K
X : D
s t : ℱ.val.obj (op X)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : G.obj Y ⟶ X), ℱ.val.map f.op s = ℱ.val.map f.op t

⊢ s = t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.7542, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝¹ : Category.{?u.7594, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝ : G.IsCoverDense K
ℱ : SheafOfTypes K
X : D
s t : ℱ.val.obj (op X)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : G.obj Y ⟶ X), ℱ.val.map f.op s = ℱ.val.map f.op t

⊢ ∀ ⦃Y : D⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, (Sieve.coverByImage G X).arrows f → ℱ.val.map f.op s = ℱ.val.map f.op t
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α

⊢ a ≤ b ∧ b ≤ succ a ↔ b = a ∨ b = succ a
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α

⊢ b = a ∨ b = succ a → a ≤ b ∧ b ≤ succ a
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
inst✝¹⁰ : BorelSpace V
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝⁷ : MeasurableSpace W
inst✝⁶ : BorelSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
f : V → F →L[ℝ] E
a : F
w : W
he : Continuous ⇑e
hf : Integrable f μ

⊢ (fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ f w) a = fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ (fun x => (f x) a) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
inst✝¹⁰ : BorelSpace V
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝⁷ : MeasurableSpace W
inst✝⁶ : BorelSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
f : V → F →L[ℝ] E
a : F
w : W
he : Continuous ⇑e
hf : Integrable f μ

⊢ ∫ (x : V), (e (-(L.toLinearMap₂ x) w) • f x) a ∂μ = fourierIntegral e μ L.toLinearMap₂ (fun x => (f x) a) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
V : Type u_5
W : Type u_6
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹¹ : MeasurableSpace V
inst✝¹⁰ : BorelSpace V
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝⁷ : MeasurableSpace W
inst✝⁶ : BorelSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →L[𝕜] W →L[𝕜] 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
M : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
f : V → F →L[ℝ] E
a : F
w : W
he : Continuous ⇑e
hf : Integrable f μ

⊢ Integrable (fun v => e (-(L.toLinearMap₂ v) w) • f v) μ
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Internal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : SetLike σ R
inst✝⁶ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝⁵ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝⁴ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝³ : Sub ι
inst✝² : OrderedSub ι
inst✝¹ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
inst✝ : Decidable (i ≤ n)
h : i ≤ n

⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) i) r * r') n) = ↑r * ↑(r' (n - i))
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Internal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : SetLike σ R
inst✝⁶ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝⁵ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝⁴ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝³ : Sub ι
inst✝² : OrderedSub ι
inst✝¹ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
inst✝ : Decidable (i ≤ n)
h : ¬i ≤ n

⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) i) r * r') n) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
s : Set α
φ : ι → Set α
hs : MeasurableSet s
ae_eventually_mem : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ∀ᶠ (n : ι) in l, x ∈ φ n
measurable : ∀ (n : ι), MeasurableSet (φ n)

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ φ i
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : OrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
inst✝ : DecidableEq ι

⊢ ∏ i ∈ s \ t, f i ≤ ∏ i ∈ t \ s, f i ↔ ∏ i ∈ s, f i ≤ ∏ i ∈ t, f i
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 1)

⊢ ↑((last n).cycleRange i) = ↑((finRotate (n + 1)) i)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Partition.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v : V

⊢ v ∈ P.partOfVertex v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Partition.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v : V
right✝ : ∀ (y : Set V), (fun b => b ∈ P.parts ∧ v ∈ b) y → y = Exists.choose ⋯
left✝ : Exists.choose ⋯ ∈ P.parts
h : v ∈ Exists.choose ⋯

⊢ v ∈ P.partOfVertex v
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData

⊢ rightHomologyMap' (φ - φ') h₁ h₂ = rightHomologyMap' φ h₁ h₂ - rightHomologyMap' φ' h₁ h₂
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Inv α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : α

⊢ (equivShrink α) x⁻¹ = ((equivShrink α) x)⁻¹
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Inv α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : α

⊢ (equivShrink α) x⁻¹ = (equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm ((equivShrink α) x))⁻¹
-- Mathlib/Topology/Sets/Compacts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α ≃ₜ β
s : Compacts α

⊢ ↑(Compacts.map ⇑f.symm ⋯ (Compacts.map ⇑f ⋯ s)) = ↑s
-- Mathlib/Topology/Sets/Compacts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α ≃ₜ β
s : Compacts β

⊢ ↑(Compacts.map ⇑f ⋯ (Compacts.map ⇑f.symm ⋯ s)) = ↑s
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b c d e : α
m n : ℤ
a : α

⊢ a / 3 + a / 3 + a / 3 = a
-- Mathlib/Topology/Algebra/FilterBasis.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G

⊢ B.N 1 = toFilterBasis.filter
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Subcategory.lean
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁵ : HasZeroObject C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms S.P

⊢ S.P 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Subcategory.lean
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁵ : HasZeroObject C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms S.P
X : C
hX : IsZero X
mem : S.P X

⊢ S.P 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ

⊢ AEMeasurable (v.limRatio ρ) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p q : ℝ≥0
hpq : p < q

⊢ ∃ u v_1, MeasurableSet u ∧ MeasurableSet v_1 ∧ {x | v.limRatio ρ x < ↑p} ⊆ u ∧ {x | ↑q < v.limRatio ρ x} ⊆ v_1 ∧ μ (u ∩ v_1) = 0
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R

⊢ ∃ q, ExpChar R q
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
h✝ : CharZero R

⊢ ∃ q, ExpChar R q
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
p : ℕ
right✝ : CharP R p
hp : Nat.Prime p

⊢ ∃ q, ExpChar R q
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y

⊢ { toFun := ⇑γ ∘ σ, continuous_toFun := ⋯ }.toFun 0 = y
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y

⊢ { toFun := ⇑γ ∘ σ, continuous_toFun := ⋯ }.toFun 1 = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι

⊢ ∃ a, f a = i
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr

⊢ ∃ a, f a = i
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)

⊢ ∃ a, f a = i
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
h_total_l : (Finsupp.total ι M R v) l = v i

⊢ ∃ a, f a = i
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
h_total_l : (Finsupp.total ι M R v) l = v i
h_total_eq : (Finsupp.total ι M R v) l = (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1)

⊢ ∃ a, f a = i
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
h_total_l : (Finsupp.total ι M R v) l = v i
h_total_eq : (Finsupp.total ι M R v) l = (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1)
l_eq : l = Finsupp.single i 1

⊢ ∃ a, f a = i
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
h_total_l : (Finsupp.total ι M R v) l = v i
h_total_eq : (Finsupp.total ι M R v) l = (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1)
l_eq : Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩) = Finsupp.single i 1

⊢ ∃ a, f a = i
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
h_total_l : (Finsupp.total ι M R v) l = v i
h_total_eq : (Finsupp.total ι M R v) l = (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1)
l_eq : Finsupp.embDomain f (repr ⟨v i, ⋯⟩) = Finsupp.single i 1

⊢ ∃ a, f a = i
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
h_total_l : (Finsupp.total ι M R v) l = v i
h_total_eq : (Finsupp.total ι M R v) l = (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1)
l_eq : Finsupp.embDomain f (repr ⟨v i, ⋯⟩) = Finsupp.single i 1
i' : ι'
hi' : repr ⟨v i, ⋯⟩ = Finsupp.single i' 1 ∧ f i' = i

⊢ ∃ a, f a = i
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
f : ι' ↪ ι
hss : range v ⊆ ↑(span R (range (v ∘ ⇑f)))
i : ι
repr : ↥(span R (range (v ∘ ⇑f))) → ι' →₀ R := ⇑⋯.repr
l : ι →₀ R := Finsupp.mapDomain (⇑f) (repr ⟨v i, ⋯⟩)
h_total_l : (Finsupp.total ι M R v) l = v i
h_total_eq : (Finsupp.total ι M R v) l = (Finsupp.total ι M R v) (Finsupp.single i 1)
l_eq : Finsupp.embDomain f (repr ⟨v i, ⋯⟩) = Finsupp.single i 1
i' : ι'
hi' : repr ⟨v i, ⋯⟩ = Finsupp.single i' 1 ∧ f i' = i

⊢ f i' = i
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Monoid α
v : Vector α n
i : Fin n
a : α

⊢ (v.set i a).toList.prod = (take (↑i) v).toList.prod * a * (drop (↑i + 1) v).toList.prod