ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R

⊢ f L * (f (W.addX x₁ x₂ L) - f x₁) + f y₁ = f (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁)
-- Mathlib/Combinatorics/Young/SemistandardTableau.lean
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i j1 j2 : ℕ
hj : j1 ≤ j2
cell : (i, j2) ∈ μ

⊢ T i j1 ≤ T i j2
-- Mathlib/Combinatorics/Young/SemistandardTableau.lean
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i j1 j2 : ℕ
hj : j1 ≤ j2
cell : (i, j2) ∈ μ
h : j1 = j2

⊢ T i j1 ≤ T i j2
-- Mathlib/Combinatorics/Young/SemistandardTableau.lean
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i j1 j2 : ℕ
hj : j1 ≤ j2
cell : (i, j2) ∈ μ
h : j1 < j2

⊢ T i j1 ≤ T i j2
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ

⊢ (nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n = G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
eq : ((G.mapHomologicalComplex c).map (nullHomotopicMap' (hσ' q))).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => G.map (hσ' q i j hij)).f n

⊢ (nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n = G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
eq : G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n) = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hσ' q i j hij).f n

⊢ (nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n = G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
eq : G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n) = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hσ' q i j hij).f n

⊢ (nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hσ' q i j hij).f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
eq : G.map ((nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n) = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hσ' q i j hij).f n
h : ((whiskering C D).obj G ⋙ alternatingFaceMapComplex D).obj X = (alternatingFaceMapComplex C ⋙ G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj X := Eq.symm (Functor.congr_obj (map_alternatingFaceMapComplex G) X)

⊢ (nullHomotopicMap' (hσ' q)).f n = (nullHomotopicMap' fun i j hij => hσ' q i j hij).f n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
y : α

⊢ y ∈ EMetric.ball x (ENNReal.ofReal ε) ↔ y ∈ ball x ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
y : α

⊢ ENNReal.ofReal (dist y x) < ENNReal.ofReal ε ↔ dist y x < ε
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
f✝ : Π₀ (i : ι), β✝ i
b✝ : β✝ i✝
j : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
b : β i

⊢ update i f b = f - single i (f i) + single i b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : p ≤ ker f
h' : ker f ≤ p

⊢ ker (p.liftQ f h) = ⊥
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Z
x : X
f : X → Z
hf : ContinuousWithinAt f s x
hxe : x ∈ e.source
ht : t ∈ 𝓝 (f x)

⊢ ↑e.symm ⁻¹' s =ᶠ[𝓝 (↑e x)] e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' t)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Z
x : X
f : X → Z
hf : ContinuousWithinAt f s x
hxe : x ∈ e.source
ht : t ∈ 𝓝 (f x)

⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, ↑e x ∈ ↑e.symm ⁻¹' s ↔ ↑e x ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' t)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Z
x : X
f : X → Z
hf : ContinuousWithinAt f s x
hxe : x ∈ e.source
ht : t ∈ 𝓝 (f x)

⊢ ∀ a ∈ e.source, (a ∈ s → a ∈ f ⁻¹' t) → (↑e a ∈ ↑e.symm ⁻¹' s ↔ ↑e a ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' t))
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e✝ e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Z
x : X
f : X → Z
hf : ContinuousWithinAt f s x
hxe : x ∈ e.source
ht : t ∈ 𝓝 (f x)
y : X
hy : y ∈ e.source
hyu : y ∈ s → y ∈ f ⁻¹' t

⊢ ↑e y ∈ ↑e.symm ⁻¹' s ↔ ↑e y ∈ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' t)
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2

⊢ IsCyclic (G ⧸ center G)
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2

⊢ Nat.card (G ⧸ center G) ∣ p
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2

⊢ p * Nat.card (G ⧸ center G) ∣ Nat.card ↥(center G) * (center G).index
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2

⊢ p ∣ Nat.card ↥(center G)
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2
k : ℕ
hk0 : k > 0
hk : Nat.card ↥(center G) = p ^ k

⊢ p ∣ Nat.card ↥(center G)
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
hGpn : Nat.card G = p ^ n
hG : Nat.card G = p ^ 2
k : ℕ
hk0 : k > 0
hk : Nat.card ↥(center G) = p ^ k

⊢ p ∣ p ^ k
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x p : ℝ
hx_pos : 0 < x

⊢ ↑x.toNNReal ^ p = ↑(x ^ p).toNNReal
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x p : ℝ
hx_pos : 0 < x

⊢ x.toNNReal ≠ 0
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : EMetricSpace γ
s : Set γ

⊢ 0 < diam s ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/InfiniteSum.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
inst✝ : NormedRing R
f : ι → ℝ
g : ι' → ℝ
hf : Summable f
hg : Summable g
hf' : 0 ≤ f
hg' : 0 ≤ g

⊢ Summable fun x => ∑' (y : ι'), f (x, y).1 * g (x, y).2
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup A
s : Set G
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulDistribMulAction α G
a : α
S T : Subgroup G

⊢ a • (S ⊓ T) = a • S ⊓ a • T
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
al : ∀ (a : α), count a s ≤ count a t

⊢ s ≤ t
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
al : ∀ (a : α), count a s ≤ count a t

⊢ s ≤ s ∪ t
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
P' : C
fst' : P' ⟶ X
snd' : P' ⟶ Y
h : IsPullback fst snd f g
h' : IsPullback fst' snd' f g

⊢ (isoIsPullback X Y h h').inv ≫ fst = fst'
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
s : Set Y
hs : IsOpen s

⊢ (e.trans (ofSet s hs)).source = (e.restr (↑e ⁻¹' s)).source
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E

⊢ U ∈ p.basisSets ↔ ∃ i r, 0 < r ∧ U = (i.sup p).ball 0 r
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
s : Set ℝ≥0∞
hs : ∀ r ∈ s, r ≠ ⊤
hf : ∀ (i : { x // x ∈ s }), ↑i ≠ ⊤

⊢ (sSup s).toNNReal = sSup (ENNReal.toNNReal '' s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s

⊢ firstDiff x y ≤ longestPrefix x s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s

⊢ firstDiff x y + 1 ≤ shortestPrefixDiff x s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
x y : (n : ℕ) → E n
hx : x ∉ s
hy : y ∈ s

⊢ 1 ≤ shortestPrefixDiff x s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s t : Set L
h : s ⊆ t

⊢ lieSpan R L s ≤ lieSpan R L t
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
s t : Set L
h : s ⊆ t

⊢ s ⊆ ↑(lieSpan R L t)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ s
x : α

⊢ x ∈ insert a (s.erase a) ↔ x ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ s
x : α

⊢ x = a ∨ x ∈ s ↔ x ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ s
x : α

⊢ x = a → x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜

⊢ Integrable (fun x => RCLike.re (f x)) μ ∧ Integrable (fun x => RCLike.im (f x)) μ ↔ Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜

⊢ Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) 1 μ ∧ Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) 1 μ ↔ Memℒp f 1 μ
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α

⊢ countP p l = 0 ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → ¬p a = true
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
h : ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ dist x y

⊢ ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ ↑1 * dist x y
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : (𝓝 x).HasBasis p s

⊢ (∀ ⦃i : ι⦄, p i → ∀ ⦃j : Unit⦄, True → (s i ∩ t).Nonempty) ↔ ∀ (i : ι), p i → (s i ∩ t).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E 𝕜
z : G

⊢ ‖f.smulRight z‖₊ = ‖f‖₊ * ‖z‖₊
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E 𝕜
z : G

⊢ ‖f.smulRight z‖₊ ≤ ‖f‖₊ * ‖z‖₊
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E 𝕜
z : G

⊢ ‖f‖₊ * ‖z‖₊ ≤ ‖f.smulRight z‖₊
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p✝ : ℝ
s : Set ℝ
p : ℝ

⊢ (deriv fun x => x ^ p) =O[atTop] fun x => x ^ (p - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ

⊢ (deriv fun x => x ^ 0) =O[atTop] fun x => x ^ (0 - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p✝ : ℝ
s : Set ℝ
p : ℝ
hp : p ≠ 0

⊢ (deriv fun x => x ^ p) =O[atTop] fun x => x ^ (p - 1)
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
n D : ℤ
f : LaurentSeries K
H : Valued.v f ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-D))
hnd : n < D
h_n_ord : ¬n < HahnSeries.order f

⊢ f.coeff n = 0
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
n D : ℤ
f : LaurentSeries K
H : Valued.v f ≤ ↑(Multiplicative.ofAdd (-D))
hnd : n < D
h_n_ord : HahnSeries.order f ≤ n

⊢ f.coeff n = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω

⊢ levyProkhorovEDist μ ν ≤ max (μ univ) (ν univ)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y \ x = y \ z

⊢ y ⊓ x ⊓ y \ x = y ⊓ z ⊓ y \ x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y \ x = y \ z

⊢ y ⊓ x ⊔ y \ x = y ⊓ z ⊔ y \ x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y ⊓ x = y ⊓ z

⊢ y \ x = y \ z
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
f : R[X]
N : ℕ

⊢ reflect N (-f) = -reflect N f
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : s.max = ⊥
H : s.Nonempty

⊢ s = ∅
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : s.max = ⊥
H : s.Nonempty
a : α
ha : s.max = ↑a

⊢ s = ∅
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α

⊢ (a :: l).erase b <+~ a :: l.erase b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g turanGraph n r
hr : 0 < r

⊢ G.IsTuranMaximal r
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g turanGraph n r
hr : 0 < r
J : SimpleGraph V
w✝ : DecidableRel J.Adj
j : J.IsTuranMaximal r

⊢ G.IsTuranMaximal r
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g turanGraph n r
hr : 0 < r
J : SimpleGraph V
w✝ : DecidableRel J.Adj
j : J.IsTuranMaximal r
g : J ≃g turanGraph (Fintype.card V) r

⊢ G.IsTuranMaximal r
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
f : G ≃g turanGraph n r
hr : 0 < r
J : SimpleGraph V
w✝ : DecidableRel J.Adj
j : J.IsTuranMaximal r
g : J ≃g turanGraph n r

⊢ G.IsTuranMaximal r
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = ⟪y, ↑v⟫_𝕜

⊢ x - y ∈ Kᗮ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = ⟪y, ↑v⟫_𝕜

⊢ ∀ u ∈ K, ⟪x - y, u⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = ⟪y, ↑v⟫_𝕜
u : E
hu : u ∈ K

⊢ ⟪x - y, u⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪x, ↑v⟫_𝕜 = ⟪y, ↑v⟫_𝕜
u : E
hu : u ∈ K

⊢ ⟪x, u⟫_𝕜 = ⟪y, u⟫_𝕜
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s t : Multiset α

⊢ countP p (s + t) = countP p s + countP p t
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h0 : n ≠ 0
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
f : ℕ → α

⊢ ∑ i ∈ filter Squarefree n.divisors, f i = ∑ i ∈ (normalizedFactors n).toFinset.powerset, f i.val.prod
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h0 : n ≠ 0
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
f : ℕ → α

⊢ (Multiset.map (f ∘ fun x => x.val.prod) (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val).sum = (Multiset.map (fun i => f i.val.prod) (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val).sum
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d x y n : ℕ
xy : SqLe x c y d

⊢ SqLe (n * x) c (n * y) d
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I

⊢ I.cotangentEquivIdeal.symm ⟨(Submodule.mkQ (I ^ 2)) x, ⋯⟩ = I.toCotangent ⟨x, hx⟩
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I

⊢ I.cotangentEquivIdeal (I.cotangentEquivIdeal.symm ⟨(Submodule.mkQ (I ^ 2)) x, ⋯⟩) = I.cotangentEquivIdeal (I.toCotangent ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I

⊢ ⟨(Submodule.mkQ (I ^ 2)) x, ⋯⟩ = I.cotangentEquivIdeal (I.toCotangent ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
h : Disjoint b c

⊢ a ≤ a ∆ b ⊔ a ∆ c
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α
h : Disjoint b c

⊢ a ≤ b ∆ a ⊔ c ∆ a
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Support.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : IsRightCancelMul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), y * r = 0 ↔ y = 0
x : G

⊢ (f * single x r).support = map (mulRightEmbedding x) f.support
-- Mathlib/Algebra/Ring/Invertible.lean
α : Type u
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : Invertible 2

⊢ ⅟2 + ⅟2 = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h₁ : IsZero T.obj₁
h₃ : IsZero T.obj₃

⊢ IsZero T.obj₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h₁ : IsZero T.obj₁
h₃ : IsZero T.obj₃

⊢ T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₂ = 0
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
p : PMF α
b : β
s : Set β

⊢ (map f p).toOuterMeasure s = p.toOuterMeasure (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Tactic/Ring/Basic.lean
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
a✝ a' a₁ a₂ a₃ b✝ b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R✝
R : Type u_2
inst✝ : DivisionRing R
a b : R

⊢ a / b = a * b⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b

⊢ 0 < a / b ↔ 0 < a