ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K U V : Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection U
inst✝ : HasOrthogonalProjection V
h : U ≤ V
x : E

⊢ (orthogonalProjection U) x = (orthogonalProjection U) ↑((orthogonalProjection V) x)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ c • closedBall x r = closedBall (c • x) (‖c‖ * r)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ 0 • closedBall x r = closedBall (0 • x) (‖0‖ * r)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hc : c ≠ 0

⊢ c • closedBall x r = closedBall (c • x) (‖c‖ * r)
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a b : K

⊢ D (a / b) = b⁻¹ ^ 2 • (b • D a - a • D b)
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a b : K

⊢ b⁻¹ • D a + -((a * (b ^ 2)⁻¹) • D b) = ((b ^ 2)⁻¹ * b) • D a + -(((b ^ 2)⁻¹ * a) • D b)
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a b : K

⊢ (b * b⁻¹ * b⁻¹) • D a + -((a * (b ^ 2)⁻¹) • D b) = ((b ^ 2)⁻¹ * b) • D a + -(((b ^ 2)⁻¹ * a) • D b)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v : V
H : G.Subgraph

⊢ G.singletonSubgraph v ≤ H ↔ v ∈ H.verts
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v : V
H : G.Subgraph

⊢ v ∈ H.verts → G.singletonSubgraph v ≤ H
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
M : Type w'
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : Nonempty M
inst✝ : M ⊨ T
p : T.CompleteType α

⊢ ∃ M, p ∈ T.realizedTypes (↑M) α
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
M✝ : Type w'
inst✝² : L.Structure M✝
inst✝¹ : Nonempty M✝
inst✝ : M✝ ⊨ T
p : T.CompleteType α
M : ModelType ↑p

⊢ ∃ M, p ∈ T.realizedTypes (↑M) α
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
M✝ : Type w'
inst✝² : L.Structure M✝
inst✝¹ : Nonempty M✝
inst✝ : M✝ ⊨ T
p : T.CompleteType α
M : ModelType ↑p

⊢ (T.typeOf fun a => ↑(L.con a)) = p
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
M✝ : Type w'
inst✝² : L.Structure M✝
inst✝¹ : Nonempty M✝
inst✝ : M✝ ⊨ T
p : T.CompleteType α
M : ModelType ↑p
φ : L[[α]].Sentence

⊢ (φ ∈ T.typeOf fun a => ↑(L.con a)) ↔ φ ∈ p
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
M✝ : Type w'
inst✝² : L.Structure M✝
inst✝¹ : Nonempty M✝
inst✝ : M✝ ⊨ T
p : T.CompleteType α
M : ModelType ↑p
φ : L[[α]].Sentence

⊢ ((Formula.equivSentence.symm φ).Realize fun a => ↑(L.con a)) ↔ φ ∈ p
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
M✝ : Type w'
inst✝² : L.Structure M✝
inst✝¹ : Nonempty M✝
inst✝ : M✝ ⊨ T
p : T.CompleteType α
M : ModelType ↑p
φ : L[[α]].Sentence

⊢ ↑(ModelType.reduct (L.lhomWithConstants α) (M.subtheoryModel ⋯)) ⊨ φ ↔ ↑M ⊨ φ
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha0 : ↑a ≠ 0

⊢ legendreSym p ↑a = 1 ↔ IsSquare ↑a
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha0 : ↑a ≠ 0

⊢ IsSquare ↑↑a ↔ IsSquare ↑a
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha0 : ↑a ≠ 0

⊢ ↑↑a ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
m n : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
hn : n ≠ 0

⊢ 0 ^ n = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b

⊢ g b - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s

⊢ g b - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
A : closure (Ioc a b) ⊆ s

⊢ g b - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ioo a b, g' x ≤ φ x
a_lt_b : a < b
s : Set ℝ := {t | g b - g t ≤ ∫ (u : ℝ) in t..b, φ u} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
A : Icc a b ⊆ s

⊢ g b - g a ≤ ∫ (y : ℝ) in a..b, φ y
-- Mathlib/Topology/Compactification/OnePoint.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : OnePoint X → Y

⊢ Continuous f ↔ Tendsto (fun x => f ↑x) (coclosedCompact X) (𝓝 (f ∞)) ∧ Continuous fun x => f ↑x
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
g : ι' → Cardinal.{v}
hg : BddAbove (range g)

⊢ (⨆ i, f i) + ⨆ j, g j = ⨆ i, ⨆ j, f i + g j
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion
this : ∀ J₁ ∈ π₁, ∀ J₂ ∈ π₂, J₁ ≠ J₂ → Disjoint ↑J₁ ↑J₂

⊢ (↑(π₁.boxes ∪ π₂.boxes)).Pairwise (Disjoint on Box.toSet)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y

⊢ f' < slope f x y
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
f : α → α
hf : Involutive f
m : ℕ

⊢ f^[2 * m + 1] = f
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ

⊢ max (log 2 n) (padicValNat 2 (n + 1)) = log 2 (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ

⊢ log 2 (n + 1) ≤ max (log 2 n) (padicValNat 2 (n + 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ

⊢ log 2 n < log 2 (n + 1) → log 2 (n + 1) ≤ padicValNat 2 (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
h : log 2 n < log 2 (n + 1)

⊢ log 2 (n + 1) ≤ padicValNat 2 (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
h : n + 1 = 2 ^ log 2 (n + 1)

⊢ log 2 (n + 1) ≤ padicValNat 2 (n + 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖f a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
F_le_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖F n a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖f a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
F_le_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ENNReal.ofReal ‖F i a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ENNReal.ofReal ‖f a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
F_le_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ENNReal.ofReal ‖F i a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)

⊢ ∀ (x : α), Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n x‖) atTop (𝓝 (ENNReal.ofReal ‖f x‖)) → (∀ (i : ℕ), ENNReal.ofReal ‖F i x‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound x)) → ENNReal.ofReal ‖f x‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
F : ℕ → α → β
f : α → β
bound : α → ℝ
h_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖F n a‖ ≤ bound a
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))
F_le_bound✝ : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ENNReal.ofReal ‖F i a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)
a : α
tendsto_norm : Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal ‖F n a‖) atTop (𝓝 (ENNReal.ofReal ‖f a‖))
F_le_bound : ∀ (i : ℕ), ENNReal.ofReal ‖F i a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)

⊢ ENNReal.ofReal ‖f a‖ ≤ ENNReal.ofReal (bound a)
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q a b c : ℚ

⊢ 0 ≤ q → 0 ≤ -q → q = 0
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q a b c : ℚ

⊢ 0 ≤ q.num → q.num ≤ 0 → q.num ≤ 0 ∧ 0 ≤ q.num
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean

⊢ ↑⊥.cells = ∅
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean

⊢ ↑⊥.cells ⊆ ∅
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean

⊢ ∅ ⊆ ↑⊥.cells
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
ψ θ : Angle
this : Int.natAbs 2 = 2

⊢ 2 • ψ = 2 • θ ↔ ψ = θ ∨ ψ = θ + ↑π
-- Mathlib/InformationTheory/Hamming.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i

⊢ hammingDist x y = hammingDist y x
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
κ : Cardinal.{w}
T✝ : L.Theory
T : Language.empty.Theory
M N : T.ModelType
hM : #↑M = κ
hN : #↑N = κ

⊢ Nonempty (↑M ≃[Language.empty] ↑N)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/SuperFactorial.lean
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → ℕ

⊢ (Matrix.of fun i j => Polynomial.eval (↑(v i)) (descPochhammer ℤ ↑j)).det = ↑(∏ i : Fin n, (↑i)!) * (Matrix.of fun i j => ↑((v i).choose ↑j)).det
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/SuperFactorial.lean
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → ℕ
x✝¹ x✝ : Fin n

⊢ Polynomial.eval (↑(v x✝¹)) (descPochhammer ℤ ↑x✝) = ↑(↑x✝)! * Matrix.of (fun i j => ↑((v i).choose ↑j)) x✝¹ x✝
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/SuperFactorial.lean
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → ℕ

⊢ ↑(∏ i : Fin n, (↑i)!) = ∏ i : Fin n, ↑(↑i)!
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
s : Set α
x : α
hs : IsLUB s x
hx : ¬IsSuccLimit x

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
x : α
hx : ¬IsSuccLimit x
hs : IsLUB ∅ x

⊢ x ∈ ∅
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
s : Set α
x : α
hs : IsLUB s x
hx : ¬IsSuccLimit x
hs' : s.Nonempty

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
x✝ : IsUnit X
g : R[X]
_hfg : (monomial 1) 1 * g = 1
hgf : g * (monomial 1) 1 = 1

⊢ 0 = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
x✝ : IsUnit X
g : R[X]
_hfg : (monomial 1) 1 * g = 1
hgf : g * (monomial 1) 1 = 1

⊢ 0 = (g * (monomial 1) 1).coeff 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Dirac.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a✝ a : α
h : a ∈ s

⊢ (dirac a) s = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Dirac.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a✝ a : α
h : a ∈ s
this : ∀ (t : Set α), a ∈ t → t.indicator 1 a = 1

⊢ (dirac a) s = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Dirac.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a✝ a : α
h : a ∈ s
this : ∀ (t : Set α), a ∈ t → t.indicator 1 a = 1

⊢ (dirac a) s ≤ univ.indicator 1 a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Dirac.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
a✝ a : α
h : a ∈ s
this : ∀ (t : Set α), a ∈ t → t.indicator 1 a = 1

⊢ (dirac a) s ≤ (dirac a) univ
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean
n : ℕ
a b : Fin n

⊢ Fintype.card ↑(Set.Ici a) = n - ↑a
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ℕ → R
n : ℕ

⊢ (f ⍟ g) n = ∑ p ∈ n.divisorsAntidiagonal, f p.1 * g p.2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ℕ → R
n : ℕ

⊢ (∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, if x.2 = 0 then 0 else if x.1 = 0 then 0 else f x.1 * g x.2) = ∑ p ∈ n.divisorsAntidiagonal, f p.1 * g p.2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ℕ → R
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal

⊢ (if p.2 = 0 then 0 else if p.1 = 0 then 0 else f p.1 * g p.2) = f p.1 * g p.2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ℕ → R
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal
h₁ : p.1 ≠ 0
h₂ : p.2 ≠ 0

⊢ (if p.2 = 0 then 0 else if p.1 = 0 then 0 else f p.1 * g p.2) = f p.1 * g p.2
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝² : S.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology

⊢ homologyMap φ ≫ S₂.homologyι = S₁.homologyι ≫ opcyclesMap φ
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝² : S.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology

⊢ S₁.rightHomologyι ≫ opcyclesMap φ = S₁.rightHomologyIso.hom ≫ S₁.homologyι ≫ opcyclesMap φ
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o₁ : Ordinal.{u_4}
o₂ : Ordinal.{u_5}
op : {a : Ordinal.{u_4}} → a < o₁ → {b : Ordinal.{u_5}} → b < o₂ → Ordinal.{max (max u_4 u_5) u_6}
a : Ordinal.{u_4}
b : Ordinal.{u_5}
ha : a < o₁
hb : b < o₂

⊢ op ha hb = (fun {a} => op) ⋯ ⋯
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
ha : a < ω
b : Ordinal.{u_1}

⊢ a * (ω * b) = ω * b
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
s : Set α

⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ ∀ (i : ι), (μ i) t = (μ i).trim s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
s : Set α
t : ι → Set α
hst : ∀ (i : ι), s ⊆ t i
ht : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
hμt : ∀ (i : ι), (μ i) (t i) = (μ i).trim s

⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ ∀ (i : ι), (μ i) t = (μ i).trim s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
s : Set α
t : ι → Set α
ht : ∀ (i : ι), MeasurableSet (t i)
hμt : ∀ (i : ι), (μ i) (t i) = (μ i).trim s
hst : s ⊆ ⋂ i, t i

⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ ∀ (i : ι), (μ i) t = (μ i).trim s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
s : Set α
t : ι → Set α
hμt : ∀ (i : ι), (μ i) (t i) = (μ i).trim s
hst : s ⊆ ⋂ i, t i
ht : MeasurableSet (⋂ b, t b)

⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ ∀ (i : ι), (μ i) t = (μ i).trim s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
s : Set α
t : ι → Set α
hμt : ∀ (i : ι), (μ i) (t i) = (μ i).trim s
hst : s ⊆ ⋂ i, t i
ht : MeasurableSet (⋂ b, t b)
i : ι

⊢ (μ i) (⋂ i, t i) ≤ (μ i).trim s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
μ : ι → OuterMeasure α
s : Set α
t : ι → Set α
hμt : ∀ (i : ι), (μ i) (t i) = (μ i).trim s
hst : s ⊆ ⋂ i, t i
ht : MeasurableSet (⋂ b, t b)
i : ι

⊢ (μ i).trim s ≤ (μ i) (⋂ i, t i)
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : Commute f g

⊢ τ (f * g) = τ f + τ g
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : Commute f g

⊢ Tendsto (fun x => f.transnumAuxSeq x + g.transnumAuxSeq x) atTop (𝓝 (τ (f * g)))
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : Commute f g

⊢ Tendsto (fun x => ((f ^ 2 ^ x) 0 + (g ^ 2 ^ x) 0) / 2 ^ x) atTop (𝓝 (τ (f * g)))
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : Commute f g
n : ℕ

⊢ dist (((f * g) ^ n) 0) ((fun n => (f ^ n) 0 + (g ^ n) 0) n) ≤ 1
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : Commute f g
n : ℕ

⊢ dist ((fun n => (f ^ n) 0 + (g ^ n) 0) n) ((f ^ n * g ^ n) 0) ≤ 1
-- Mathlib/Topology/Order/Lattice.lean
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
inst✝² : SemilatticeInf L
inst✝¹ : OrderTop L
inst✝ : ContinuousInf L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousAt (f i) x

⊢ ContinuousAt (s.inf f) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NeZero μ
hg : ConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ

⊢ (⨍ (x : α), f x ∂μ, ⨍ (x : α), g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ≤ g p.1}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
s : Set α
inst✝ : UniformSpace α

⊢ map (Prod.map Subtype.val Subtype.val) (𝓤 ↑s) = 𝓤 α ⊓ 𝓟 (s ×ˢ s)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype m
v : m → α
A : Matrix m n α
x✝ : n

⊢ (v ᵥ* -A) x✝ = (-(v ᵥ* A)) x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatio ρ x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ

⊢ ∀ (a : α), (∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 c)) → Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 (v.limRatio ρ a))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
hx : ∃ c, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 c)

⊢ Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatio ρ x))
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f ≠ 0

⊢ minpoly K (powerBasis hf).gen = f * C f.leadingCoeff⁻¹
-- Mathlib/FieldTheory/Laurent.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R

⊢ (laurent r) ((laurent s) f) = (laurent (r + s)) f
-- Mathlib/FieldTheory/Laurent.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
p✝ q✝ : R[X]
hq✝ : q✝ ≠ 0

⊢ (laurent r) ((laurent s) ((algebraMap R[X] (RatFunc R)) p✝ / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) q✝)) = (laurent (r + s)) ((algebraMap R[X] (RatFunc R)) p✝ / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) q✝)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K

⊢ f.HasEigenvalue μ ↔ μ ∈ spectrum K f
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
a : α

⊢ {a}.min = ↑a
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
a : α

⊢ (insert a ∅).min = ↑a