ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0

⊢ #↑s = #E
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖

⊢ #↑s = #E
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
cn_ne : ∀ (n : ℕ), c ^ n ≠ 0

⊢ #↑s = #E
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
cn_ne : ∀ (n : ℕ), c ^ n ≠ 0
A : ∀ (x : E), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ∈ c ^ n • s

⊢ #↑s = #E
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
cn_ne : ∀ (n : ℕ), c ^ n ≠ 0
A : ∀ (x : E), ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x ∈ c ^ n • s
B : ∀ (n : ℕ), #↑(c ^ n • s) = #↑s

⊢ #↑s = #E
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B✝ : ¬P → α
B : Q → α
C : ¬P → ¬Q → α
h : P → ¬Q
p : P

⊢ A p = if q : Q then B q else if p : P then A p else C p q
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B✝ : ¬P → α
B : Q → α
C : ¬P → ¬Q → α
h : P → ¬Q
np : ¬P

⊢ (fun q => C np q) = fun q => if p : P then A p else C p q
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B✝ : ¬P → α
B : Q → α
C : ¬P → ¬Q → α
h : P → ¬Q
np : ¬P
x✝ : ¬Q

⊢ C np x✝ = if p : P then A p else C p x✝
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
h : J ≤ I

⊢ (single I J h).IsPartition ↔ J = I
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finrank.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Injective ⇑f

⊢ finrank R ↥(range f) = finrank R M
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t : Multiset ι
f : ι → R[X]

⊢ (∀ i ∈ t, (f i).Monic) → (Multiset.map f t).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) t).sum
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t : Multiset ι
f : ι → R[X]

⊢ (∀ i ∈ 0, (f i).Monic) → (Multiset.map f 0).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) 0).sum
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
a : ι
t : Multiset ι
ih : (∀ i ∈ t, (f i).Monic) → (Multiset.map f t).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) t).sum
ht : ∀ i ∈ a ::ₘ t, (f i).Monic

⊢ (Multiset.map f (a ::ₘ t)).prod.nextCoeff = (Multiset.map (fun i => (f i).nextCoeff) (a ::ₘ t)).sum
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K : Multicofork I
a : I.L

⊢ K.ι.app (WalkingMultispan.left a) = I.fst a ≫ K.π (I.fstFrom a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K : Multicofork I
a : I.L

⊢ I.multispan.map (WalkingMultispan.Hom.fst a) ≫ K.ι.app (WalkingMultispan.right (I.fstFrom a)) = I.fst a ≫ K.π (I.fstFrom a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)

⊢ blimsup (fun i => cthickening (r₁ i) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r₂ i) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * r₁ i ≤ r₂ i
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
hRp : 0 ≤ R₁

⊢ blimsup (fun i => cthickening (r₁ i) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r₂ i) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
hRp : 0 ≤ R₁
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * R₁ i ≤ R₂ i

⊢ blimsup (fun i => cthickening (r₁ i) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (r₂ i) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
hRp : 0 ≤ R₁
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * R₁ i ≤ R₂ i

⊢ blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₁ i)) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₂ i)) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
hRp : 0 ≤ R₁
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * R₁ i ≤ R₂ i
hM' : 1 ≤ M

⊢ blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₁ i)) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₂ i)) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r₁ r₂ : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r₁ atTop (𝓝[>] 0)
R₁ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₁ i)
R₂ : ℕ → ℝ := fun i => max 0 (r₂ i)
hRp : 0 ≤ R₁
hMr : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, M * R₁ i ≤ R₂ i
hM' : M < 1

⊢ blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₁ i)) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => cthickening (max 0 (r₂ i)) (s i)) atTop p
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ

⊢ xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1) * xn a1 j

⊢ xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = (Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1) * xn a1 j
h2 : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1 = xn a1 n * xn a1 n

⊢ xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = xn a1 n * xn a1 n * xn a1 j
h2 : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1 = xn a1 n * xn a1 n

⊢ xn a1 n ∣ Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h1 : Pell.d a1 * yn a1 n * (yn a1 n * xn a1 j) + xn a1 j = xn a1 n * xn a1 n * xn a1 j
h2 : Pell.d a1 * yn a1 n * yn a1 n + 1 = xn a1 n * xn a1 n

⊢ xn a1 n ∣ xn a1 n * (xn a1 n * xn a1 j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Circulant.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : Star α

⊢ ∀ (v : Fin 0 → α), (circulant v)ᴴ = circulant (star fun i => v (-i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
l : Filter ι
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)

⊢ TendstoInMeasure μ f l g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
l : Filter ι
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)

⊢ TendstoInMeasure μ (fun i => AEStronglyMeasurable.mk (f i) ⋯) l (AEStronglyMeasurable.mk g hg)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
l : Filter ι
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g hg) p μ) l (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
l : Filter ι
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)
this : (fun n => eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g hg) p μ) = fun n => eLpNorm (f n - g) p μ

⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (AEStronglyMeasurable.mk (f n) ⋯ - AEStronglyMeasurable.mk g hg) p μ) l (𝓝 0)
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst✝² : Module.Finite R M
p : Ideal R
inst✝¹ : p.IsPrime
inst✝ : Subsingleton (LocalizedModule p.primeCompl M)

⊢ ∃ f ∉ p, Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M)
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst✝² : Module.Finite R M
p : Ideal R
inst✝¹ : p.IsPrime
inst✝ : Subsingleton (LocalizedModule p.primeCompl M)
this : { asIdeal := p, isPrime := ⋯ } ∈ (Module.support R M)ᶜ

⊢ ∃ f ∉ p, Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M)
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst✝² : Module.Finite R M
p : Ideal R
inst✝¹ : p.IsPrime
inst✝ : Subsingleton (LocalizedModule p.primeCompl M)
this : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ ↑(Module.annihilator R M)), { asIdeal := p, isPrime := ⋯ } ∈ (PrimeSpectrum.zeroLocus {i})ᶜ

⊢ ∃ f ∉ p, Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M)
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : AddCommGroup P
inst✝³ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
inst✝² : Module.Finite R M
p : Ideal R
inst✝¹ : p.IsPrime
inst✝ : Subsingleton (LocalizedModule p.primeCompl M)
f : R
hf : f ∈ ↑(Module.annihilator R M)
hf' : { asIdeal := p, isPrime := ⋯ } ∈ (PrimeSpectrum.zeroLocus {f})ᶜ

⊢ ∃ f ∉ p, Subsingleton (LocalizedModule (Submonoid.powers f) M)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : β → E
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
hf : StronglyMeasurable f

⊢ ∫ (x : β), f x ∂(deterministic g hg) a = f (g a)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
this : MetricSpace ℍ := metricSpaceAux

⊢ cmp (dist z w) r = cmp (dist ↑z ↑(w.center r)) (w.im * Real.sinh r)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
this : MetricSpace ℍ := metricSpaceAux
hr₀ : r < 0

⊢ cmp (dist z w) r = cmp (dist ↑z ↑(w.center r)) (w.im * Real.sinh r)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
this : MetricSpace ℍ := metricSpaceAux
hr₀ : 0 ≤ r

⊢ cmp (dist z w) r = cmp (dist ↑z ↑(w.center r)) (w.im * Real.sinh r)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
this : MetricSpace ℍ := metricSpaceAux
hr₀ : 0 ≤ r
hr₀' : 0 ≤ w.im * Real.sinh r
hzw₀ : 0 < 2 * z.im * w.im

⊢ cmp (dist z w) r = cmp (dist ↑z ↑(w.center r)) (w.im * Real.sinh r)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
this : MetricSpace ℍ := metricSpaceAux
hr₀ : 0 ≤ r
hr₀' : 0 ≤ w.im * Real.sinh r
hzw₀ : 0 < 2 * z.im * w.im

⊢ cmp (Real.cosh (dist z w)) (Real.cosh r) = cmp (2 * z.im * w.im * (Real.cosh (dist z w) - Real.cosh r) + (w.im * Real.sinh r) ^ 2) ((w.im * Real.sinh r) ^ 2)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
H : IsNormal f
a b : Ordinal.{u_4}

⊢ f a = f b ↔ a = b
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
x y : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (↑m + x)

⊢ Irrational x
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
x y : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (↑↑m + x)

⊢ Irrational x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y

⊢ slope f x y < f'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y

⊢ slope f x y < f'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y
hu : u ∈ S

⊢ slope f x y < f'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y
hu : u ∈ S
this : (f x - f y) / (x - y) < (f u - f y) / (u - y)

⊢ slope f x y < f'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y
hu : u ∈ S
this : slope f x y < slope f u y

⊢ slope f x y < f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y

⊢ (refl X ≪≫ α).hom = α.hom
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring α
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : NonUnitalSemiring β
inst✝¹ : StarRing β
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m n α

⊢ (Aᴴ * A).IsHermitian
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w : ℍ
r R : ℝ
z : ℍ

⊢ (z.center 0).im = z.im
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ModuleCat.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)

⊢ S.Exact ↔ LinearMap.ker S.g ≤ LinearMap.range S.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ModuleCat.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)

⊢ (∀ (x₂ : ↑S.X₂), S.g x₂ = 0 → ∃ x₁, S.f x₁ = x₂) ↔ LinearMap.ker S.g ≤ LinearMap.range S.f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ

⊢ (A ^ ↑n)ᵀ = Aᵀ ^ ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ

⊢ (A ^ -[n+1])ᵀ = Aᵀ ^ -[n+1]
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
w✝¹ : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e w✝¹
w✝ : ℝ≥0∞
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e w✝

⊢ HasFPowerSeriesAt (fun x => (f x, g x)) (p.prod q) e
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
t : Set Y
ht : IsCompact t
n : Set (X × Y)
hn : IsOpen n
hp : s ×ˢ t ⊆ n

⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ s ⊆ u ∧ t ⊆ v ∧ u ×ˢ v ⊆ n
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
t : Set Y
ht : IsCompact t
n : Set (X × Y)
hn : IsOpen n
hp : ∃ i, ((IsOpen i.1 ∧ s ⊆ i.1) ∧ IsOpen i.2 ∧ t ⊆ i.2) ∧ i.1 ×ˢ i.2 ⊆ n

⊢ ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ s ⊆ u ∧ t ⊆ v ∧ u ×ˢ v ⊆ n
-- Mathlib/Data/Multiset/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'

⊢ HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f)) (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f))
-- Mathlib/Data/Multiset/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'

⊢ ∀ (a_1 a'_1 : α), HEq a_1 a'_1 → HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f) a_1) (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f) a'_1)
-- Mathlib/Data/Multiset/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'

⊢ ∀ (a_1 a'_1 : α), a_1 = a'_1 → HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f) a_1) (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f) a'_1)
-- Mathlib/Data/Multiset/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'
a'' : α

⊢ HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f) a'') (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f) a'')
-- Mathlib/Data/Multiset/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'
a'' : α
ha₁ : a'' ∈ a ::ₘ a' ::ₘ m
ha₂ : a'' ∈ a' ::ₘ a ::ₘ m
x✝ : HEq ha₁ ha₂

⊢ HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f) a'' ha₁) (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f) a'' ha₂)
-- Mathlib/Data/Multiset/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'
a'' : α
ha₁ : a'' ∈ a ::ₘ a' ::ₘ m
ha₂ : a'' ∈ a' ::ₘ a ::ₘ m
x✝ : HEq ha₁ ha₂
h₁ : a'' ≠ a

⊢ HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f) a'' ha₁) (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f) a'' ha₂)
-- Mathlib/Data/Multiset/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a a' : α
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
a'' : α
b : δ a''
h : a'' ≠ a'
ha₁ : a'' ∈ a'' ::ₘ a' ::ₘ m
ha₂ : a'' ∈ a' ::ₘ a'' ::ₘ m
x✝ : HEq ha₁ ha₂

⊢ HEq (cons (a' ::ₘ m) a'' b (cons m a' b' f) a'' ha₁) (cons (a'' ::ₘ m) a' b' (cons m a'' b f) a'' ha₂)
-- Mathlib/Data/Multiset/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a : α
b : δ a
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
a'' : α
h₁ : a'' ≠ a
b' : δ a''
h : a ≠ a''
ha₁ : a'' ∈ a ::ₘ a'' ::ₘ m
ha₂ : a'' ∈ a'' ::ₘ a ::ₘ m
x✝ : HEq ha₁ ha₂

⊢ HEq (cons (a'' ::ₘ m) a b (cons m a'' b' f) a'' ha₁) (cons (a ::ₘ m) a'' b' (cons m a b f) a'' ha₂)
-- Mathlib/Data/Multiset/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
δ : α → Sort u_2
m✝ : Multiset α
a✝ a a' : α
b : δ a
b' : δ a'
m : Multiset α
f : (a : α) → a ∈ m → δ a
h : a ≠ a'
a'' : α
ha₁ : a'' ∈ a ::ₘ a' ::ₘ m
ha₂ : a'' ∈ a' ::ₘ a ::ₘ m
x✝ : HEq ha₁ ha₂
h₁ : a'' ≠ a
h₂ : a'' ≠ a'

⊢ HEq (cons (a' ::ₘ m) a b (cons m a' b' f) a'' ha₁) (cons (a ::ₘ m) a' b' (cons m a b f) a'' ha₂)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/RestrictScalars.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
f' : E →L[𝕜'] F
s : Set E
x : E
g' : E →L[𝕜] F
h : HasFDerivWithinAt f (ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 f') s x
H : ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 f' = g'

⊢ HasFDerivWithinAt f f' s x
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
s t : Set α

⊢ diagonal α = univ ↔ Subsingleton α
-- Mathlib/Order/Fin/Basic.lean
m n✝ n : ℕ

⊢ (last n).rev = ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
c : ℝ≥0∞
h : levyProkhorovEDist μ ν < c
B : Set Ω
B_mble : MeasurableSet B

⊢ μ B ≤ ν (thickening c.toReal B) + c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
c : ℝ≥0∞
h : levyProkhorovEDist μ ν < c
B : Set Ω
B_mble : MeasurableSet B
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ∈ {ε | ∀ (B : Set Ω), MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε}
lt_c : c' < c

⊢ μ B ≤ ν (thickening c.toReal B) + c
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι

⊢ WithSeminorms p ↔ t = ⨅ i, UniformSpace.toTopologicalSpace
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι

⊢ 𝓝 0 = ⨅ i, comap (⇑(p i)) (𝓝 0) ↔ 𝓝 0 = ⨅ i, 𝓝 0