ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Multiset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m m' : Multiset α
h : m ≤ m'

⊢ m.sym2 ≤ m'.sym2
-- Mathlib/Data/Multiset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m m' : Multiset α
h✝ : m ≤ m'
xs ys : List α
h : ⟦xs⟧ ≤ ⟦ys⟧

⊢ Multiset.sym2 ⟦xs⟧ ≤ Multiset.sym2 ⟦ys⟧
-- Mathlib/Data/Multiset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m m' : Multiset α
h✝ : m ≤ m'
xs ys : List α
h : ⟦xs⟧ ≤ ⟦ys⟧

⊢ xs <+~ ys
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ F.homologicalKernel.W f ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles

⊢ F.homologicalKernel.W f ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles

⊢ F.homologicalKernel.P (Triangle.mk f g h).obj₃ ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
h₁ : ∀ (n : ℤ), IsZero (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).X₂ ↔ (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).f = 0 ∧ (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).g = 0

⊢ F.homologicalKernel.P (Triangle.mk f g h).obj₃ ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
h₁ : ∀ (n : ℤ), IsZero (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).X₂ ↔ (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).f = 0 ∧ (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).g = 0
h₂ : ∀ (n : ℤ), Mono ((F.shift (n + 1)).map (Triangle.mk f g h).mor₁) ↔ F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯ = 0

⊢ F.homologicalKernel.P (Triangle.mk f g h).obj₃ ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
h₁ : ∀ (n : ℤ), IsZero (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).X₂ ↔ (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).f = 0 ∧ (ShortComplex.mk ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂) (F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯) ⋯).g = 0
h₂ : ∀ (n : ℤ), Mono ((F.shift (n + 1)).map (Triangle.mk f g h).mor₁) ↔ F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯ = 0
h₃ : ∀ (n : ℤ), Epi ((F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₁) ↔ (F.shift n).map (Triangle.mk f g h).mor₂ = 0

⊢ F.homologicalKernel.P (Triangle.mk f g h).obj₃ ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
h₁ : ∀ (n : ℤ), IsZero ((F.shift n).obj Z) ↔ (F.shift n).map g = 0 ∧ F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯ = 0
h₂ : ∀ (n : ℤ), Mono ((F.shift (n + 1)).map f) ↔ F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯ = 0
h₃ : ∀ (n : ℤ), Epi ((F.shift n).map f) ↔ (F.shift n).map g = 0

⊢ F.homologicalKernel.P Z ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.108053, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT✝ : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
hT : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
h₁ : ∀ (n : ℤ), IsZero ((F.shift n).obj Z) ↔ (F.shift n).map g = 0 ∧ F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯ = 0
h₂ : ∀ (n : ℤ), Mono ((F.shift (n + 1)).map f) ↔ F.homologySequenceδ (Triangle.mk f g h) n (n + 1) ⋯ = 0
h₃ : ∀ (n : ℤ), Epi ((F.shift n).map f) ↔ (F.shift n).map g = 0

⊢ (∀ (n : ℤ), Epi ((F.shift n).map f) ∧ Mono ((F.shift (n + 1)).map f)) ↔ ∀ (n : ℤ), IsIso ((F.shift n).map f)
-- Mathlib/Control/Fold.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
α β : Type u
inst✝ : LawfulMonad m
f : β → α → m β
x✝ y✝ : FreeMonoid α

⊢ { toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝ * y✝) = { toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun x✝ * { toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun y✝
-- Mathlib/Control/Fold.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
α β : Type u
inst✝ : LawfulMonad m
f : β → α → m β
x✝ y✝ : FreeMonoid α

⊢ unop ({ toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝ * y✝)) = unop ({ toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun x✝ * { toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun y✝)
-- Mathlib/Control/Fold.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
α β : Type u
inst✝ : LawfulMonad m
f : β → α → m β
x✝¹ y✝ : FreeMonoid α
x✝ : KleisliCat.mk m β

⊢ unop ({ toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝¹ * y✝)) x✝ = unop ({ toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun x✝¹ * { toFun := fun xs => op (flip (List.foldlM f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun y✝) x✝
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ✝ : ι✝ → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α✝
f✝ g : ι✝ → α✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : CommSemiring α
f : ι → α
n : ℕ

⊢ (∑ a : ι, f a) ^ n = ∑ p : Fin n → ι, ∏ i : Fin n, f (p i)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
x₀ : X
K : Set Y
hK : IsCompact K
P : X → Y → Prop
hP : ∀ y ∈ K, ∀ᶠ (z : X × Y) in 𝓝 (x₀, y), P z.1 z.2

⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ y ∈ K, P x y
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
x₀ : X
K : Set Y
hK : IsCompact K
P : X → Y → Prop
hP : ∀ᶠ (z : X × Y) in 𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝ˢ K, P z.1 z.2

⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, ∀ y ∈ K, P x y
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁵ : Semifield K
inst✝⁴ : Semifield K₂
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
a : K

⊢ range (a • f) = ⨆ (_ : a ≠ 0), range f
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
s1 : AffineSubspace k P
h : s ⊆ ↑s1
p p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
hp : p = v +ᵥ p1

⊢ v +ᵥ p1 ∈ ↑s1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
s1 : AffineSubspace k P
h : s ⊆ ↑s1
p p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
hp : p = v +ᵥ p1
hp1s1 : p1 ∈ ↑s1

⊢ v +ᵥ p1 ∈ ↑s1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
s1 : AffineSubspace k P
h : s ⊆ ↑s1
p p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
hp : p = v +ᵥ p1
hp1s1 : p1 ∈ ↑s1

⊢ v ∈ s1.direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
s1 : AffineSubspace k P
h : s ⊆ ↑s1
p p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
hp : p = v +ᵥ p1
hp1s1 : p1 ∈ ↑s1
hs : vectorSpan k s ≤ s1.direction

⊢ v ∈ s1.direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
s1 : AffineSubspace k P
h : s ⊆ ↑s1
p p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
hp : p = v +ᵥ p1
hp1s1 : p1 ∈ ↑s1
hs : ∀ ⦃x : V⦄, x ∈ vectorSpan k s → x ∈ s1.direction

⊢ v ∈ s1.direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
s1 : AffineSubspace k P
h : s ⊆ ↑s1
p p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
v : V
hv : v ∈ vectorSpan k s
hp : p = v +ᵥ p1
hp1s1 : p1 ∈ ↑s1
hs : ∀ ⦃x : V⦄, x ∈ vectorSpan k s → x ∈ s1.direction

⊢ v ∈ ↑s1.direction
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
g✝ : SL(2, ℤ)
z✝ : ℍ
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ

⊢ -g • z = g • z
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
I : Box ι

⊢ (l.toFilter I).HasBasis (fun r => ∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) fun r => {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π}
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p

⊢ Continuous f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p univ

⊢ Continuous f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p univ

⊢ ContinuousOn f univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

⊢ CompleteSpace ((n : ℕ) → E n)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

⊢ ∀ (u : ℕ → (n : ℕ) → E n), (∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < (fun n => (1 / 2) ^ n) N) → ∃ x, Tendsto u atTop (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
u : ℕ → (n : ℕ) → E n
hu : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < (fun n => (1 / 2) ^ n) N

⊢ ∃ x, Tendsto u atTop (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
u : ℕ → (n : ℕ) → E n
hu : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < (fun n => (1 / 2) ^ n) N
i : ℕ

⊢ Tendsto (fun i_1 => u i_1 i) atTop (𝓝 (u i i))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
u : ℕ → (n : ℕ) → E n
hu : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < (fun n => (1 / 2) ^ n) N
i : ℕ

⊢ (fun x => u i i) =ᶠ[atTop] fun i_1 => u i_1 i
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
u : ℕ → (n : ℕ) → E n
hu : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < (fun n => (1 / 2) ^ n) N
i n : ℕ
hn : n ∈ Ici i

⊢ u i i = u n i
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddGroup G
f : α →₀ G
a : α
b : G

⊢ f.update a b = f - single a (f a) + single a b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/MonoCoprod.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
A B : C
inst✝ : MonoCoprod C
c : BinaryCofan A B
hc : IsColimit c

⊢ Mono c.inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/MonoCoprod.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
A B : C
inst✝ : MonoCoprod C
c : BinaryCofan A B
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit (BinaryCofan.mk c.inr c.inl)

⊢ Mono c.inr
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
i : ι

⊢ i ∈ l.splitSupport ↔ l.split i ≠ 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
i : ι

⊢ (∃ a ∈ l.support, a.fst = i) ↔ ∃ x, x ∈ { support := l.support.preimage (Sigma.mk i) ⋯, toFun := fun a => l ⟨i, a⟩, mem_support_toFun := ⋯ }.support
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s t : Set α

⊢ (s \ t).encard + (s ∩ t).encard = s.encard
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
x : A

⊢ x ∈ ⊥.toNonUnitalSubalgebra ↔ x ∈ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddCommGroup α
h : Periodic f c
a : α

⊢ Periodic (fun x => f (x - a)) c
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a✝ b : α
f : (i : ι) → κ i → α
a : α

⊢ (⨆ i, ⨆ j, f i j) ⊓ a = ⨆ i, ⨆ j, f i j ⊓ a
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁴ : Ring k
inst✝¹³ : AddCommGroup V1
inst✝¹² : AffineSpace V1 P1
inst✝¹¹ : AddCommGroup V2
inst✝¹⁰ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁹ : AddCommGroup V3
inst✝⁸ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁷ : Module k V1
inst✝⁶ : Module k V2
inst✝⁵ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝² : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
h₂ : f 0 = g 0

⊢ f = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁴ : Ring k
inst✝¹³ : AddCommGroup V1
inst✝¹² : AffineSpace V1 P1
inst✝¹¹ : AddCommGroup V2
inst✝¹⁰ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁹ : AddCommGroup V3
inst✝⁸ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁷ : Module k V1
inst✝⁶ : Module k V2
inst✝⁵ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝² : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
h₂ : f 0 = g 0

⊢ f.linear = g.linear
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁴ : Ring k
inst✝¹³ : AddCommGroup V1
inst✝¹² : AffineSpace V1 P1
inst✝¹¹ : AddCommGroup V2
inst✝¹⁰ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁹ : AddCommGroup V3
inst✝⁸ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁷ : Module k V1
inst✝⁶ : Module k V2
inst✝⁵ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝² : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
h₂ : f 0 = g 0

⊢ f ?p = g ?p
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁴ : Ring k
inst✝¹³ : AddCommGroup V1
inst✝¹² : AffineSpace V1 P1
inst✝¹¹ : AddCommGroup V2
inst✝¹⁰ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁹ : AddCommGroup V3
inst✝⁸ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁷ : Module k V1
inst✝⁶ : Module k V2
inst✝⁵ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝² : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
h₂ : f 0 = g 0

⊢ (i : ι) → φv i
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : CompactSpace α

⊢ TendstoLocallyUniformly F f p ↔ TendstoUniformly F f p