ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V : Set (β × β)
hV : SymmetricRel V
x y : β

⊢ x ∈ ball y V ↔ y ∈ {y | (y, x) ∈ V}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
𝕜 : Type u_6
inst✝ : RCLike 𝕜
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → ℝ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑(f x) ∂μ = ↑(∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H K : Subgroup G
hH : f.ker ≤ H
hK : f.ker ≤ K
hf : comap f (map f H) = comap f (map f K)

⊢ H = K
-- Mathlib/Algebra/Homology/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁ i₁' : I₁
h₁ : ¬c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂

⊢ (F.map (K₁.d i₁ i₁')).app (K₂.X i₂) = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h₂ : ¬c₂.Rel i₂ i₂'

⊢ (F.obj (K₁.X i₁)).map (K₂.d i₂ i₂') = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁ i₁' i₁'' : I₁
i₂ : I₂

⊢ (F.map (K₁.d i₁ i₁')).app (K₂.X i₂) ≫ (F.map (K₁.d i₁' i₁'')).app (K₂.X i₂) = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' i₂'' : I₂

⊢ (F.obj (K₁.X i₁)).map (K₂.d i₂ i₂') ≫ (F.obj (K₁.X i₁)).map (K₂.d i₂' i₂'') = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁ i₁' : I₁
i₂ i₂' : I₂

⊢ (F.map (K₁.d i₁ i₁')).app (K₂.X i₂) ≫ (F.obj (K₁.X i₁')).map (K₂.d i₂ i₂') = (F.obj (K₁.X i₁)).map (K₂.d i₂ i₂') ≫ (F.map (K₁.d i₁ i₁')).app (K₂.X i₂')
-- Mathlib/Algebra/Homology/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ K₂' : HomologicalComplex C₂ c₂
φ : K₂ ⟶ K₂'
i₁✝ i₁'✝ : I₁
i₂✝ : I₂
a✝ : c₁.Rel i₁✝ i₁'✝

⊢ (F.obj (K₁.X i₁✝)).map (φ.f i₂✝) ≫ (F.map (K₁.d i₁✝ i₁'✝)).app (K₂'.X i₂✝) = (F.map (K₁.d i₁✝ i₁'✝)).app (K₂.X i₂✝) ≫ (F.obj (K₁.X i₁'✝)).map (φ.f i₂✝)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ K₂' : HomologicalComplex C₂ c₂
φ : K₂ ⟶ K₂'
i₁✝ : I₁
i₂✝ i₂'✝ : I₂
a✝ : c₂.Rel i₂✝ i₂'✝

⊢ (F.obj (K₁.X i₁✝)).map (φ.f i₂✝) ≫ (F.obj (K₁.X i₁✝)).map (K₂'.d i₂✝ i₂'✝) = (F.obj (K₁.X i₁✝)).map (K₂.d i₂✝ i₂'✝) ≫ (F.obj (K₁.X i₁✝)).map (φ.f i₂'✝)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i✝¹ : I₁
i✝ : I₂

⊢ (F.obj (K₁.X i✝¹)).map (𝟙 (K₂.X i✝)) = 𝟙 ((F.obj (K₁.X i✝¹)).obj (K₂.X i✝))
-- Mathlib/Algebra/Homology/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.836, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.840, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.844, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
X✝ Y✝ Z✝ : HomologicalComplex C₂ c₂
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
i✝¹ : I₁
i✝ : I₂

⊢ (F.obj (K₁.X i✝¹)).map (f.f i✝ ≫ g.f i✝) = (F.obj (K₁.X i✝¹)).map (f.f i✝) ≫ (F.obj (K₁.X i✝¹)).map (g.f i✝)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
M₀ : Type u_7
inst✝ : CommMonoidWithZero M₀
f : α → M₀
x : α
hx : f x = 0
hf : (mulSupport f).Finite
a✝ : Nontrivial M₀

⊢ ∏ᶠ (x : α), f x = 0
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
M₀ : Type u_7
inst✝ : CommMonoidWithZero M₀
f : α → M₀
x : α
hx : f x = 0
hf : (mulSupport f).Finite
a✝ : Nontrivial M₀

⊢ ∏ i ∈ hf.toFinset, f i = 0
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
M₀ : Type u_7
inst✝ : CommMonoidWithZero M₀
f : α → M₀
x : α
hx : f x = 0
hf : (mulSupport f).Finite
a✝ : Nontrivial M₀

⊢ x ∈ mulSupport f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
x : S ⊗[R] T
hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal

⊢ x ∈ p₂.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
x : S ⊗[R] T
hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal
hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
x : S ⊗[R] T
hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal
hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
x : S ⊗[R] T
hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal
hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
h₁ : a ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
x : S ⊗[R] T
hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal
hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
h₁ : a ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal
h₂ : a ⊗ₜ[R] t ∉ p₂.asIdeal

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
x : S ⊗[R] T
hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal
hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
h₁ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal
h₂ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∉ p₂.asIdeal

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
x : S ⊗[R] T
hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal
hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
h₁ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal
h₂ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∉ p₂.asIdeal
h₃ : t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
x : S ⊗[R] T
hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal
hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
h₁ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal
h₂ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∉ p₂.asIdeal
h₃ : t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal
h₄ : a ∉ Ideal.comap (algebraMap S (S ⊗[R] T)) p₂.asIdeal

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
p₁ p₂ : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
h : tensorProductTo R S T p₁ = tensorProductTo R S T p₂
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
x : S ⊗[R] T
hxp₁ : x ∈ p₁.asIdeal
hxp₂ : x ∉ p₂.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g p₂.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * x = a ⊗ₜ[R] t
h₁ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∈ p₁.asIdeal
h₂ : a ⊗ₜ[R] 1 * 1 ⊗ₜ[R] t ∉ p₂.asIdeal
h₃ : t ∉ Ideal.comap g p₁.asIdeal
h₄ : a ∉ Ideal.comap (algebraMap S (S ⊗[R] T)) p₁.asIdeal

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Group/Equiv/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
Q : Type u_9
G : Type u_10
H : Type u_11
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
f : OneHom M N
g : N → M
h₁ : LeftInverse g ⇑f

⊢ g 1 = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
h : Wbtw R x y z
f : P →ᵃ[R] P'

⊢ Wbtw R (f x) (f y) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
h : Wbtw R x y z
f : P →ᵃ[R] P'

⊢ f y ∈ ⇑f '' affineSegment R x z
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G

⊢ H ≠ ⊥ ↔ ∃ a, a ≠ 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G

⊢ (∃ x ∈ H, x ≠ 1) ↔ ∃ a, a ≠ 1
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/KleinFour.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : IsKleinFour G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
x y : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y

⊢ {x * y, x, y, 1} = univ
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/KleinFour.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : IsKleinFour G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
x y : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y

⊢ {x * y, x, y, 1}.card = Fintype.card G
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/KleinFour.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : IsKleinFour G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
x y : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y

⊢ {x * y, x, y, 1}.card = 4
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/KleinFour.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : IsKleinFour G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
x y : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y

⊢ {1}.card + 1 + 1 + 1 = 4
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/KleinFour.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : IsKleinFour G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
x y : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y

⊢ y ∉ {1}
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/KleinFour.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : IsKleinFour G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
x y : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y

⊢ x ∉ {y, 1}
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/KleinFour.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : IsKleinFour G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : DecidableEq G
x y : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y

⊢ x * y ∉ {x, y, 1}
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
h : DifferentiableAt 𝕜 (fun y => f y + c) x

⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w u' : V
p : G.Walk u' u'

⊢ (p.copy ⋯ ⋯).IsCircuit ↔ p.IsCircuit
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
h : ∀ t ∈ s, IsIntegralCurveAt γ v t
t : ℝ
ht : t ∈ s

⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
h✝ : ∀ t ∈ s✝, IsIntegralCurveAt γ v t
t : ℝ
ht : t ∈ s✝
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t
h : IsIntegralCurveOn γ v s

⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
μ : Measure β
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ

⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖₊ ∂μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
μ : Measure β
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ

⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure (Set.range f ∪ {0})
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
μ : Measure β
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ

⊢ HasFiniteIntegral (fun x => f x - 0) μ
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ

⊢ ofHom 0 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

⊢ ((μ.withDensity f).withDensity fun x => (f x)⁻¹) = μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

⊢ μ.withDensity (f * fun x => (f x)⁻¹) = μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

⊢ (f * fun x => (f x)⁻¹) =ᶠ[ae μ] 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero✝ : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
hf_ne_top✝ : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
x : α
hf_ne_zero : f x ≠ 0
hf_ne_top : f x ≠ ⊤

⊢ (f * fun x => (f x)⁻¹) x = 1 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero✝ : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
hf_ne_top✝ : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
x : α
hf_ne_zero : f x ≠ 0
hf_ne_top : f x ≠ ⊤

⊢ f x * (f x)⁻¹ = 1 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
S : Set (Set α)
hc : S.Countable

⊢ μ.restrict (⋃₀ S) = ν.restrict (⋃₀ S) ↔ ∀ s ∈ S, μ.restrict s = ν.restrict s
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIcoDiv hp a (p + b) = toIcoDiv hp a b + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b : β
q✝ : ℚ
x✝ : ∃ q, b < ↑q ∧ ↑q < a
q : ℚ
hbq : b < ↑q
hqa : ↑q < a

⊢ ↑q < inducedMap α β a
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hn : n < firstDiff x y

⊢ x n = y n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hn : n < if h : x ≠ y then Nat.find ⋯ else 0

⊢ x n = y n
-- Mathlib/Order/Filter/Subsingleton.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
s : Set α
hsl : s ∈ l
hs : s.Subsingleton

⊢ ∃ a, l = pure a
-- Mathlib/Order/Filter/Subsingleton.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
a : α
hsl : {a} ∈ l
hs : {a}.Subsingleton

⊢ ∃ a, l = pure a
-- Mathlib/Order/Filter/Subsingleton.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : l.NeBot
a : α
hsl : {a} ∈ l
hs : {a}.Subsingleton

⊢ l ≤ pure a
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : P1 →ᵃ[k] P2
p1 p2 : P1

⊢ f.linear (p1 -ᵥ p2) = f p1 -ᵥ f p2
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y
hU : ↑U ⊆ Set.range ⇑f.base

⊢ f.c.app (op U) ≫ invApp f ((Opens.map f.base).obj U) = Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y
hU : ↑U ⊆ Set.range ⇑f.base

⊢ (f.c.app (op U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ inv (f.c.app (op ((opensFunctor f).obj ((Opens.map f.base).obj U)))) = Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y
hU : ↑U ⊆ Set.range ⇑f.base

⊢ f.c.app (op U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = f.c.app (op U) ≫ ((TopCat.Presheaf.pushforward C f.base).obj X.presheaf).map (eqToHom ⋯).op