ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x - y‖ = ‖x‖ + ‖y‖

⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = -(‖x‖ * ‖y‖)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x - y‖ = ‖x‖ + ‖y‖
hxy₁ : 0 ≤ ‖x - y‖
hxy₂ : 0 ≤ ‖x‖ + ‖y‖

⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = -(‖x‖ * ‖y‖)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x‖ ^ 2 - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2 = (‖x‖ + ‖y‖) ^ 2
hxy₁ : 0 ≤ ‖x - y‖
hxy₂ : 0 ≤ ‖x‖ + ‖y‖

⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = -(‖x‖ * ‖y‖)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)

⊢ f =O[l] g
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)
C : ℝ
_hC₀ : C > 0
hC : IsBigOWith C l (f ^ n) (g ^ n)

⊢ f =O[l] g
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
h : (f ^ n) =O[l] (g ^ n)
C : ℝ
_hC₀ : C > 0
hC : IsBigOWith C l (f ^ n) (g ^ n)
c : ℝ
hc₀ : 0 ≤ c
hc : C ≤ c ^ n

⊢ f =O[l] g
-- Mathlib/Data/Int/CardIntervalMod.lean
a b r : ℤ
hr : 0 < r
v x : ℤ

⊢ x ∈ filter (fun x => x ≡ v [ZMOD r]) (Ico a b) ↔ x ∈ map { toFun := fun x => x + v, inj' := ⋯ } (filter (fun x => r ∣ x) (Ico (a - v) (b - v)))
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z w : ℝ

⊢ z = w → ↑z = ↑w
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β

⊢ UpperSemicontinuousWithinAt f univ x ↔ UpperSemicontinuousAt f x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α

⊢ a \ b ⊓ c = (a ⊓ c) \ (b ⊓ c)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
f✝ : α → G
s : Set α
x✝¹ : α
H : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ContinuousMul M
inst✝² : Group H
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalGroup H
f : G →* H →* M
hl : ∀ (x : G), Tendsto (⇑(f x)) (𝓝 1) (𝓝 ((f x) 1))
hr : ∀ (y : H), Tendsto (fun x => (f x) y) (𝓝 1) (𝓝 ((f 1) y))
x✝ : G × H
x : G
y : H
hf : Tendsto (fun x => (f x.1) x.2) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 ((f 1) 1))

⊢ Tendsto (fun x_1 => (f x) y * (f x_1.1) y * ((f x) x_1.2 * (f x_1.1) x_1.2)) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 ((f x) y))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
f✝ : α → G
s : Set α
x✝¹ : α
H : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ContinuousMul M
inst✝² : Group H
inst✝¹ : TopologicalSpace H
inst✝ : TopologicalGroup H
f : G →* H →* M
hl : ∀ (x : G), Tendsto (⇑(f x)) (𝓝 1) (𝓝 ((f x) 1))
hr : ∀ (y : H), Tendsto (fun x => (f x) y) (𝓝 1) (𝓝 ((f 1) y))
x✝ : G × H
x : G
y : H
hf : Tendsto (fun x => (f x.1) x.2) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 ((f 1) 1))

⊢ 𝓝 ((f x) y * (f 1) y * ((f x) 1 * (f 1) 1)) = 𝓝 ((f x) y)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Implicit.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
hf' : range f' = ⊤
hker : (LinearMap.ker f').ClosedComplemented

⊢ ↑(implicitToPartialHomeomorphOfComplemented f f' hf hf' hker) a = (f a, 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)

⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)

⊢ ∀ (c : F') {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f)) μ) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs ⋯ c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)

⊢ ∀ ⦃f g : α → F'⦄ (hf : Memℒp f 1 μ) (hg : Memℒp g 1 μ), Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f)) μ) (Memℒp.toLp f hf) → (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f)) μ) (Memℒp.toLp g hg) → (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f)) μ) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : ↥(Lp F' 1 μ)

⊢ IsClosed {f | (fun f => AEStronglyMeasurable' m (↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) f)) μ) f}
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
x : α

⊢ (fun x i => ((diagonal α ι).idxFun i).getD x) x = fun x_1 => x
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s t✝ t : Finset α
val✝ : Multiset α
nodup✝ : val✝.Nodup

⊢ { val := val✝, nodup := nodup✝ } ∈ t.powerset ↔ { val := val✝, nodup := nodup✝ } ⊆ t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp1 : p.degree = 1
hm : p.Monic

⊢ p = X - C (-p.coeff 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α

⊢ ¬ν ≤ μ ↔ ∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ν s
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α ≃o β
s : Set α

⊢ f (sSup s) = ⨆ a ∈ s, f a
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
h : IsGLB s a

⊢ ⋃ x ∈ s, Ioi x = Ioi a
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
h : IsGLB s a
x : α
hx : x ∈ s

⊢ Ioi x ⊆ Ioi a
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
h : IsGLB s a
x : α
hx : x ∈ Ioi a

⊢ x ∈ ⋃ i ∈ s, Ioi i
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x : PartENat
hx : x ≠ ⊤

⊢ x < x + 1
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x : PartENat
hx : x ≠ ⊤

⊢ 0 < 1
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
n m : ℕ

⊢ n ^^^ (n ^^^ m) = m
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
u : ℕ → α

⊢ CauchySeq u ↔ ∀ V ∈ 𝓤 α, ∃ N, ∀ k ≥ N, ∀ l ≥ N, (u k, u l) ∈ V
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a₀ b₀ : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) volume
ha : Tendsto a l (𝓝 a₀)
hb : Tendsto b l (𝓝 b₀)
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I

⊢ IntegrableOn f (Ioc a₀ b₀) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a₀ b₀ : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) volume
ha : Tendsto a l (𝓝 a₀)
hb : Tendsto b l (𝓝 b₀)
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I
i : ι
hi : ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ∂volume.restrict (Ioc a₀ b₀) ≤ I
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a₀ b₀ : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) volume
ha : Tendsto a l (𝓝 a₀)
hb : Tendsto b l (𝓝 b₀)
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I
i : ι
hi : ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i) ∩ Ioc a₀ b₀, ‖f x‖ ∂volume ≤ I
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a₀ b₀ : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) volume
ha : Tendsto a l (𝓝 a₀)
hb : Tendsto b l (𝓝 b₀)
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I
i : ι
hi : ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I

⊢ ∀ (a : ℝ), 0 a ≤ (fun x => ‖f x‖) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b : ι → ℝ
f : ℝ → E
I a₀ b₀ : ℝ
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) (b i)) volume
ha : Tendsto a l (𝓝 a₀)
hb : Tendsto b l (𝓝 b₀)
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I
i : ι
hi : ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) (b i), ‖f x‖ ≤ I

⊢ ∀ (a_1 : ℝ), (Ioc (a i) (b i) ∩ Ioc a₀ b₀) a_1 ≤ Ioc (a i) (b i) a_1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/Order.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
x y : α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LECmp cmp

⊢ cmp x y ≠ Ordering.lt ↔ y ≤ x
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

⊢ ¬v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1) ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite

⊢ ¬v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1) ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0

⊢ ¬v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1) ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0

⊢ ¬v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors * v.asIdeal ∣ v.maxPowDividing I * ∏ i ∈ hf.toFinset.erase v, i.maxPowDividing I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0
h_contr : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors * v.asIdeal ∣ v.maxPowDividing I * ∏ i ∈ hf.toFinset.erase v, i.maxPowDividing I

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0
h_contr : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors * v.asIdeal ∣ v.maxPowDividing I * ∏ i ∈ hf.toFinset.erase v, i.maxPowDividing I
hv_prime : Prime v.asIdeal

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0
h_contr : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors * v.asIdeal ∣ v.maxPowDividing I * ∏ i ∈ hf.toFinset.erase v, i.maxPowDividing I
hv_prime : Prime v.asIdeal
w : HeightOneSpectrum R
hw : w ∈ hf.toFinset.erase v
hvw' : v.asIdeal ∣ w.maxPowDividing I

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0
h_contr : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors * v.asIdeal ∣ v.maxPowDividing I * ∏ i ∈ hf.toFinset.erase v, i.maxPowDividing I
hv_prime : Prime v.asIdeal
w : HeightOneSpectrum R
hw : w ∈ hf.toFinset.erase v
hvw' : v.asIdeal ∣ w.maxPowDividing I
hw_prime : Prime w.asIdeal

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0
h_contr : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors * v.asIdeal ∣ v.maxPowDividing I * ∏ i ∈ hf.toFinset.erase v, i.maxPowDividing I
hv_prime : Prime v.asIdeal
w : HeightOneSpectrum R
hw : w ∈ hf.toFinset.erase v
hvw' : v.asIdeal ∣ w.maxPowDividing I
hw_prime : Prime w.asIdeal
hvw : v.asIdeal ∣ w.asIdeal

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
hf : (mulSupport fun v => v.maxPowDividing I).Finite
h_ne_zero : v.maxPowDividing I ≠ 0
h_contr : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors * v.asIdeal ∣ v.maxPowDividing I * ∏ i ∈ hf.toFinset.erase v, i.maxPowDividing I
hv_prime : Prime v.asIdeal
w : HeightOneSpectrum R
hw : w ∈ hf.toFinset.erase v
hvw' : v.asIdeal ∣ w.maxPowDividing I
hw_prime : Prime w.asIdeal
hvw : v.asIdeal = w.asIdeal

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G
z : ℤ

⊢ x ^ (z % ↑(orderOf x)) = x ^ (z % ↑(orderOf x) + ↑(orderOf x) * (z / ↑(orderOf x)))
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x✝ y : G
i : ℤ
x : G
z : ℤ

⊢ x ^ (z % ↑(orderOf x) + ↑(orderOf x) * (z / ↑(orderOf x))) = x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℂ

⊢ logDeriv cexp x✝ = 1 x✝
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Add α
a b c d : WithTop α
x y : α

⊢ a + b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∨ b = ⊤
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
A : Type u_6
inst✝¹³ : CommRing K
inst✝¹² : Ring A
inst✝¹¹ : Algebra K A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace K
inst✝⁹ : T1Space K
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : ContinuousSub A
inst✝⁶ : ContinuousSMul K A
inst✝⁵ : FunLike F A K
inst✝⁴ : AlgHomClass F K A K
inst✝³ : SetLike S A
inst✝² : OneMemClass S A
inst✝¹ : AddSubgroupClass S A
inst✝ : SMulMemClass S K A
φ : F
hφ : Continuous ⇑φ
s : S

⊢ closure (↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ)) = closure ↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
A : Type u_6
inst✝¹³ : CommRing K
inst✝¹² : Ring A
inst✝¹¹ : Algebra K A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace K
inst✝⁹ : T1Space K
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : ContinuousSub A
inst✝⁶ : ContinuousSMul K A
inst✝⁵ : FunLike F A K
inst✝⁴ : AlgHomClass F K A K
inst✝³ : SetLike S A
inst✝² : OneMemClass S A
inst✝¹ : AddSubgroupClass S A
inst✝ : SMulMemClass S K A
φ : F
hφ : Continuous ⇑φ
s : S

⊢ closure (↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ)) ⊆ closure ↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_3
S : Type u_4
K : Type u_5
A : Type u_6
inst✝¹³ : CommRing K
inst✝¹² : Ring A
inst✝¹¹ : Algebra K A
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace K
inst✝⁹ : T1Space K
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : ContinuousSub A
inst✝⁶ : ContinuousSMul K A
inst✝⁵ : FunLike F A K
inst✝⁴ : AlgHomClass F K A K
inst✝³ : SetLike S A
inst✝² : OneMemClass S A
inst✝¹ : AddSubgroupClass S A
inst✝ : SMulMemClass S K A
φ : F
hφ : Continuous ⇑φ
s : S

⊢ closure ↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ) ⊆ closure (↑s ∩ ↑(RingHom.ker φ))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Types.lean
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
c : PushoutCocone f g
hc : IsColimit c
h₁ : Function.Injective f
x₁ : X₁
x₂ : X₂

⊢ c.inl x₁ = c.inr x₂ ↔ ∃ s, f s = x₁ ∧ g s = x₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Types.lean
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
c : PushoutCocone f g
hc : IsColimit c
h₁ : Function.Injective f
x₁ : X₁
x₂ : X₂

⊢ (Pushout.cocone f g).inl x₁ = (Pushout.cocone f g).inr x₂ ↔ ∃ s, f s = x₁ ∧ g s = x₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Types.lean
S X₁ X₂ : Type u
f : S ⟶ X₁
g : S ⟶ X₂
c : PushoutCocone f g
hc : IsColimit c
h₁ : Function.Injective f
x₁ : X₁
x₂ : X₂
this : Mono f

⊢ (Pushout.cocone f g).inl x₁ = (Pushout.cocone f g).inr x₂ ↔ ∃ s, f s = x₁ ∧ g s = x₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Restrict.lean
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module k V₁
inst✝² : Module k V₂
inst✝¹ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝ : AddTorsor V₂ P₂
E : AffineSubspace k P₁
Ene : Nonempty ↥E
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
x : P₁
hx : x ∈ E

⊢ Nonempty ↥(map φ E)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R

⊢ W'.dblX (u • P) = (u ^ 4) ^ 2 * W'.dblX P
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R

⊢ (u ^ 4 * W'.dblU P) ^ 2 - W'.a₁ * (u ^ 4 * W'.dblU P) * (u * P z) * (u ^ 3 * P y - u ^ 3 * W'.negY P) - W'.a₂ * (u * P z) ^ 2 * (u ^ 3 * P y - u ^ 3 * W'.negY P) ^ 2 - 2 * (u ^ 2 * P x) * (u ^ 3 * P y - u ^ 3 * W'.negY P) ^ 2 = (u ^ 4) ^ 2 * (W'.dblU P ^ 2 - W'.a₁ * W'.dblU P * P z * (P y - W'.negY P) - W'.a₂ * P z ^ 2 * (P y - W'.negY P) ^ 2 - 2 * P x * (P y - W'.negY P) ^ 2)
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : AlexandrovDiscrete α
S : Set (Set α)
f✝ f : ι → Set α

⊢ (closure (⋃ i, f i))ᶜ = (⋃ i, closure (f i))ᶜ
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

⊢ a < b ↔ ∃ r, 0 < r ∧ a + ↑r < b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hab : a < b

⊢ ∃ r, 0 < r ∧ a + ↑r < b