ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ

⊢ (C (W.preΨ' (2 * (m + 2) + 1)) * if Even (2 * (m + 2) + 1) then W.ψ₂ else 1) = (C (W.preΨ' (m + 4)) * if Even (m + 4) then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 2)) * if Even (m + 2) then W.ψ₂ else 1) ^ 3 - (C (W.preΨ' (m + 1)) * if Even (m + 1) then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 3)) * if Even (m + 3) then W.ψ₂ else 1) ^ 3 + W.toAffine.polynomial * (16 * W.toAffine.polynomial - 8 * W.ψ₂ ^ 2) * C (if Even m then W.preΨ' (m + 4) * W.preΨ' (m + 2) ^ 3 else -W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) ^ 3)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ

⊢ C ((W.preΨ' (m + 4) * W.preΨ' (m + 2) ^ 3 * if Even m then W.Ψ₂Sq ^ 2 else 1) - W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) ^ 3 * if Even m then 1 else W.Ψ₂Sq ^ 2) * 1 = (C (W.preΨ' (m + 4)) * if Even m then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 2)) * if Even m then W.ψ₂ else 1) ^ 3 - (C (W.preΨ' (m + 1)) * if Even m then 1 else W.ψ₂) * (C (W.preΨ' (m + 3)) * if Even m then 1 else W.ψ₂) ^ 3 + W.toAffine.polynomial * (16 * W.toAffine.polynomial - 8 * W.ψ₂ ^ 2) * C (if Even m then W.preΨ' (m + 4) * W.preΨ' (m + 2) ^ 3 else -W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) ^ 3)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
C : ℝ≥0

⊢ ‖f‖₊ ≤ C ↔ ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖₊ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖₊
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
C : ℝ≥0

⊢ ↑‖f‖₊ ≤ ↑C ↔ ∀ (m : (i : ι) → E i), ↑‖f m‖₊ ≤ ↑(C * ∏ i : ι, ‖m i‖₊)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hn : 2 ≤ l.length

⊢ l.attach.formPerm.cycleType = {l.length}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hn : 2 ≤ l.attach.length

⊢ l.attach.formPerm.cycleType = {l.length}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.attach.Nodup
hn : 2 ≤ l.attach.length

⊢ l.attach.formPerm.cycleType = {l.length}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.attach.Nodup
hn : 2 ≤ l.attach.length

⊢ ↑(map (Finset.card ∘ support) [l.attach.formPerm]) = {l.length}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.attach.Nodup
hn : 2 ≤ l.attach.length

⊢ [l.attach.formPerm].prod = l.attach.formPerm
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.attach.Nodup
hn : 2 ≤ l.attach.length

⊢ ∀ σ ∈ [l.attach.formPerm], σ.IsCycle
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.attach.Nodup
hn : 2 ≤ l.attach.length

⊢ Pairwise Perm.Disjoint [l.attach.formPerm]
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a x : E
ha : ¬a = 0

⊢ ⟪a, x⟫_ℝ • (innerₛₗ ℝ) a + (o.areaForm a) x • o.areaForm a = ‖a‖ ^ 2 • (innerₛₗ ℝ) x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
a x : E
ha : ¬a = 0

⊢ ∀ (i : Fin 2), (⟪a, x⟫_ℝ • (innerₛₗ ℝ) a + (o.areaForm a) x • o.areaForm a) ((o.basisRightAngleRotation a ha) i) = (‖a‖ ^ 2 • (innerₛₗ ℝ) x) ((o.basisRightAngleRotation a ha) i)
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : Function.Injective f
ht : t ⊆ range f

⊢ (f ⁻¹' t).encard = t.encard
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a : Fin (n + 1)
ha : a.succ ≠ last (n + 1)

⊢ a < a.succ.castPred ha
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Urysohn.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X

⊢ ∃ f, Inducing f
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Urysohn.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B

⊢ ∃ f, Inducing f
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Urysohn.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}

⊢ ∃ f, Inducing f
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Urysohn.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this : Encodable ↑s

⊢ ∃ f, Inducing f
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Urysohn.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s

⊢ ∃ f, Inducing f
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Urysohn.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ

⊢ ∃ f, Inducing f
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Urysohn.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)

⊢ ∃ f, Inducing f
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Urysohn.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝² : Encodable ↑s
this✝¹ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this✝ : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
this : ∀ (UV : ↑s), ∃ f, EqOn (⇑f) 0 (↑UV).1 ∧ EqOn (⇑f) (fun x => ε UV) (↑UV).2ᶜ ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 (ε UV)

⊢ ∃ f, Inducing f
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Urysohn.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : ↑s → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) 0 (↑UV).1
hfε : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) (fun x => ε UV) (↑UV).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 (ε UV)

⊢ ∃ f, Inducing f
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Urysohn.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : ↑s → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) 0 (↑UV).1
hfε : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) (fun x => ε UV) (↑UV).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 (ε UV)
hf01 : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 1

⊢ ∃ f, Inducing f
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Urysohn.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : ↑s → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) 0 (↑UV).1
hfε : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) (fun x => ε UV) (↑UV).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 (ε UV)
hf01 : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 1
F : X → ↑s →ᵇ ℝ := fun x => { toFun := fun UV => (f UV) x, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }

⊢ ∃ f, Inducing f
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Urysohn.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : ↑s → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) 0 (↑UV).1
hfε : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) (fun x => ε UV) (↑UV).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 (ε UV)
hf01 : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 1
F : X → ↑s →ᵇ ℝ := fun x => { toFun := fun UV => (f UV) x, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
hF : ∀ (x : X) (UV : ↑s), (F x) UV = (f UV) x

⊢ ∃ f, Inducing f
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Urysohn.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : ↑s → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) 0 (↑UV).1
hfε : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) (fun x => ε UV) (↑UV).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 (ε UV)
hf01 : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 1
F : X → ↑s →ᵇ ℝ := fun x => { toFun := fun UV => (f UV) x, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
hF : ∀ (x : X) (UV : ↑s), (F x) UV = (f UV) x
x : X

⊢ 𝓝 x ≤ comap F (𝓝 (F x))
-- Mathlib/Topology/Metrizable/Urysohn.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : SecondCountableTopology X
B : Set (Set X)
hBc : B.Countable
hB : IsTopologicalBasis B
s : Set (Set X × Set X) := {UV | UV ∈ B ×ˢ B ∧ closure UV.1 ⊆ UV.2}
this✝¹ : Encodable ↑s
this✝ : TopologicalSpace ↑s := ⊥
this : DiscreteTopology ↑s
hd : ∀ (UV : ↑s), Disjoint (closure (↑UV).1) (↑UV).2ᶜ
ε : ↑s → ℝ
ε01 : ∀ (UV : ↑s), ε UV ∈ Ioc 0 1
hε : Tendsto ε cofinite (𝓝 0)
f : ↑s → C(X, ℝ)
hf0 : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) 0 (↑UV).1
hfε : ∀ (UV : ↑s), EqOn (⇑(f UV)) (fun x => ε UV) (↑UV).2ᶜ
hf0ε : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 (ε UV)
hf01 : ∀ (UV : ↑s) (x : X), (f UV) x ∈ Icc 0 1
F : X → ↑s →ᵇ ℝ := fun x => { toFun := fun UV => (f UV) x, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
hF : ∀ (x : X) (UV : ↑s), (F x) UV = (f UV) x
x : X

⊢ comap F (𝓝 (F x)) ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hf : GrowsPolynomially f

⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * ↑n) ↑n, c * f ↑n ≤ f u
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hf : GrowsPolynomially f
c : ℝ
hc_mem : c > 0
hc : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, c * f x ≤ f u

⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * ↑n) ↑n, c * f ↑n ≤ f u
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Measurable f
hg : Measurable g

⊢ IndepFun f g μ ↔ ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → IndepSet (f ⁻¹' s) (g ⁻¹' t) μ
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
f g : A ⟶ X φ i
h₁ : f ≫ fstX φ i j hij = g ≫ fstX φ i j hij
h₂ : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i

⊢ f = g
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
f g : A ⟶ X φ i
h₁ : f ≫ fstX φ i j hij = g ≫ fstX φ i j hij
h₂ : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i
this : HasBinaryBiproduct (F.X j) (G.X i)

⊢ f = g
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
f g : A ⟶ X φ i
h₁ : f ≫ fstX φ i j hij = g ≫ fstX φ i j hij
h₂ : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i
this : HasBinaryBiproduct (F.X j) (G.X i)

⊢ f ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom = g ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
f g : A ⟶ X φ i
h₁ : f ≫ fstX φ i j hij = g ≫ fstX φ i j hij
h₂ : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i
this : HasBinaryBiproduct (F.X j) (G.X i)

⊢ (f ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom) ≫ biprod.fst = (g ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom) ≫ biprod.fst
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
A : C
f g : A ⟶ X φ i
h₁ : f ≫ fstX φ i j hij = g ≫ fstX φ i j hij
h₂ : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i
this : HasBinaryBiproduct (F.X j) (G.X i)

⊢ (f ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom) ≫ biprod.snd = (g ≫ (XIsoBiprod φ i j hij).hom) ≫ biprod.snd
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Map.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
K : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁴ : Semifield K
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
p : Submodule K V
a : K
h : a ≠ 0

⊢ map (a • f) p ≤ map f p
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Map.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
K : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁴ : Semifield K
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
p : Submodule K V
a : K
h : a ≠ 0

⊢ map f p ≤ map (a • f) p
-- Mathlib/Data/Fintype/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Fintype α
t : Finset β
hαt : Fintype.card α = t.card
s : Set α
f : α → β
hfst : MapsTo f s ↑t
hfs : InjOn f s

⊢ ∃ g, ∀ i ∈ s, ↑(g i) = f i
-- Mathlib/Logic/Encodable/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
f : β → α

⊢ ⨆ i, ⨆ b ∈ decode₂ β i, f b = ⨆ b, f b
-- Mathlib/Logic/Encodable/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
f : β → α

⊢ ⨆ j, ⨆ i, ⨆ (_ : j ∈ decode₂ β i), f j = ⨆ b, f b
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : FractionalIdeal A⁰ K
hne : I ≠ 0

⊢ I * I⁻¹ = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : FractionalIdeal A⁰ K
hne : I ≠ 0
a : A
J : Ideal A
ha : a ≠ 0
hJ : I = spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a)⁻¹ * ↑J

⊢ I * I⁻¹ = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : FractionalIdeal A⁰ K
hne : I ≠ 0
a : A
J : Ideal A
ha : a ≠ 0
hJ : I = spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a)⁻¹ * ↑J

⊢ I * (spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a) * (↑J)⁻¹) = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
a : A
J : Ideal A
ha : a ≠ 0
hne : spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a)⁻¹ * ↑J ≠ 0

⊢ spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a)⁻¹ * ↑J * (spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a) * (↑J)⁻¹) = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
a : A
J : Ideal A
ha : a ≠ 0
hne : spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a)⁻¹ * ↑J ≠ 0

⊢ (algebraMap A K) a ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
a : A
J : Ideal A
ha : a ≠ 0
hne : spanSingleton A⁰ ((algebraMap A K) a)⁻¹ * ↑J ≠ 0

⊢ J ≠ ⊥
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
ι : Sort u_1
f✝ f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0

⊢ (⨆ i, f i) * a = ⨆ i, f i * a
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
ι : Sort u_1
f✝ f : ι → ℝ≥0
a : ℝ≥0

⊢ ⨆ i, a * f i = ⨆ i, f i * a
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U : Set M
hU : IsOpen U
hSig : IsSigmaCompact U
hf : LocallyIntegrableOn f U μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0

⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, x ∈ U → f x = 0
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U : Set M
hU : IsOpen U
hSig : IsSigmaCompact U
hf : LocallyIntegrableOn f U μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
meas_U : MeasurableSet U

⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, x ∈ U → f x = 0
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U : Set M
hU : IsOpen U
hSig : IsSigmaCompact U
hf : LocallyIntegrableOn f U μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
meas_U : MeasurableSet U

⊢ ∀ᵐ (x : ↑U) ∂Measure.comap Subtype.val μ, f ↑x = 0
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U✝ : Set M
hU : IsOpen U✝
hSig : IsSigmaCompact U✝
hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U✝ → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
meas_U : MeasurableSet U✝
U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }

⊢ ∀ᵐ (x : ↥U) ∂Measure.comap Subtype.val μ, f ↑x = 0
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
U✝ : Set M
hU : IsOpen U✝
hSig : IsSigmaCompact U✝
hf : LocallyIntegrableOn f U✝ μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → tsupport g ⊆ U✝ → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
meas_U : MeasurableSet U✝
U : Opens M := { carrier := U✝, is_open' := hU }
this : SigmaCompactSpace ↥U

⊢ ∀ᵐ (x : ↥U) ∂Measure.comap Subtype.val μ, f ↑x = 0