ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
n : ℕ
x : R

⊢ x ∈ I.leadingCoeffNth n ↔ ∃ p ∈ I, p.degree ≤ ↑n ∧ p.leadingCoeff = x
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
n : ℕ
x : R

⊢ (∃ y, (y.degree ≤ ↑n ∧ y ∈ I.ofPolynomial) ∧ y.coeff n = x) ↔ ∃ p ∈ I, p.degree ≤ ↑n ∧ p.leadingCoeff = x
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
p : Rₘ[X]
hp : p.leadingCoeff ∈ (algebraMap R Rₘ).range

⊢ p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff)) ∈ lifts (algebraMap R Rₘ)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
p : Rₘ[X]
hp : p.leadingCoeff ∈ (algebraMap R Rₘ).range

⊢ ∀ (n : ℕ), (p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff))).coeff n ∈ Set.range ⇑(algebraMap R Rₘ)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
p : Rₘ[X]
hp : p.leadingCoeff ∈ (algebraMap R Rₘ).range
n : ℕ

⊢ (p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff))).coeff n ∈ Set.range ⇑(algebraMap R Rₘ)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing Rₘ
inst✝⁴ : CommRing Sₘ
inst✝³ : Algebra R Rₘ
inst✝² : IsLocalization M Rₘ
inst✝¹ : Algebra S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
p : Rₘ[X]
hp : p.leadingCoeff ∈ (algebraMap R Rₘ).range
n : ℕ

⊢ p.coeff n * (algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff) ^ (p.natDegree - n) ∈ Set.range ⇑(algebraMap R Rₘ)
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d x y a b : ℕ
hu : x % d = 0
hv : y % d = 0
h : x * a = y * b + d

⊢ x.gcd y = d
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d x y a b : ℕ
hu : x % d = 0
hv : y % d = 0
h : x * a = y * b + d

⊢ (↑x).gcd ↑y = d
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d x y a b : ℕ
hu : x % d = 0
hv : y % d = 0
h : x * a = y * b + d

⊢ ↑x * ↑a + ↑y * -↑b = ↑d
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d x y a b : ℕ
hu : x % d = 0
hv : y % d = 0
h : x * a = y * b + d

⊢ ↑x * ↑a = ↑y * ↑b + ↑d
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
y : E

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f (insert y s) x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
y : E
h : x ≠ y

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f (insert y s) x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
r : ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (x : α) in {x | f x = r}, f x ∂μ = r * μ {x | f x = r}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
r : ℝ≥0∞
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x = r} → f x = r

⊢ ∫⁻ (x : α) in {x | f x = r}, f x ∂μ = r * μ {x | f x = r}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
r : ℝ≥0∞
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x = r} → f x = r

⊢ ∫⁻ (x : α) in {x | f x = r}, r ∂μ = r * μ {x | f x = r}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
r : ℝ≥0∞
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x = r} → f x = r

⊢ MeasurableSet {x | f x = r}
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

⊢ ⋂ n, Ioi ↑n = {⊤}
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/LinearPMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT✝ : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
hT : ¬Dense ↑T.domain
y : ↥T†.domain

⊢ (if hT : Dense ↑T.domain then adjointAux hT else 0) y = 0
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
g : G

⊢ g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : ∀ (g g' : G), g • B = g' • B ∨ Disjoint (g • B) (g' • B)
g : G

⊢ g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/QuasiIso.lean
C : Type u_1
inst✝¹⁰ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
S₁✝ S₂✝ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝⁸ : S₁✝.HasHomology
inst✝⁷ : S₂✝.HasHomology
inst✝⁶ : S₃.HasHomology
inst✝⁵ : S₄.HasHomology
S₁ S₂ : ShortComplex Cᵒᵖ
inst✝⁴ : S₁.HasHomology
inst✝³ : S₂.HasHomology
inst✝² : S₁.unop.HasHomology
inst✝¹ : S₂.unop.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝ : QuasiIso φ

⊢ QuasiIso (unopMap φ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/QuasiIso.lean
C : Type u_1
inst✝¹⁰ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
S₁✝ S₂✝ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝⁸ : S₁✝.HasHomology
inst✝⁷ : S₂✝.HasHomology
inst✝⁶ : S₃.HasHomology
inst✝⁵ : S₄.HasHomology
S₁ S₂ : ShortComplex Cᵒᵖ
inst✝⁴ : S₁.HasHomology
inst✝³ : S₂.HasHomology
inst✝² : S₁.unop.HasHomology
inst✝¹ : S₂.unop.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝ : QuasiIso φ

⊢ QuasiIso (opMap (unopMap φ))
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
hpq : q < p

⊢ Tendsto (fun x => x ^ p / x ^ q) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
hpq : q < p

⊢ Tendsto (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
p q : ℕ
hpq : q < p

⊢ 0 < ↑p - ↑q
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t.Finite

⊢ hs.toFinset ⊂ ht.toFinset ↔ s ⊂ t
-- Mathlib/Order/Rel/GaloisConnection.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J J' : Set α
h : J' ∈ R.leftFixedPoints
h₁ : J ≤ J'

⊢ R.rightDual (R.leftDual J) ≤ R.rightDual (R.leftDual J')
-- Mathlib/Order/Rel/GaloisConnection.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J J' : Set α
h : J' ∈ R.leftFixedPoints
h₁ : J ≤ J'

⊢ (fun b => ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ J → R a b) ≤ fun b => ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ J' → R a b
-- Mathlib/Order/Rel/GaloisConnection.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J J' : Set α
h : J' ∈ R.leftFixedPoints
h₁ : J ≤ J'

⊢ J ≤ J'
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α

⊢ a ⊔ b ⇨ b = a ⇨ b
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (x : ↑X), IsIso ((stalkFunctor C x).map f.val)

⊢ IsIso f
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (x : ↑X), IsIso ((stalkFunctor C x).map f.val)

⊢ IsIso ((Sheaf.forget C X).map f)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (x : ↑X), IsIso ((stalkFunctor C x).map f.val)

⊢ ∀ (U : (Opens ↑X)ᵒᵖ), IsIso (f.val.app U)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (forget C)
inst✝¹ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (x : ↑X), IsIso ((stalkFunctor C x).map f.val)
X✝ : Opens ↑X

⊢ IsIso (f.val.app (op X✝))
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Inv α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : Shrink.{u_2, u_1} α

⊢ (equivShrink α).symm x⁻¹ = ((equivShrink α).symm x)⁻¹
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Inv α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x : Shrink.{u_2, u_1} α

⊢ (equivShrink α).symm ((equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm x)⁻¹) = ((equivShrink α).symm x)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p₁ p₂ : MvPolynomial σ R

⊢ ∃ s q₁ q₂, p₁ = (rename Subtype.val) q₁ ∧ p₂ = (rename Subtype.val) q₂
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p₂ : MvPolynomial σ R
s₁ : Finset σ
q₁ : MvPolynomial { x // x ∈ s₁ } R

⊢ ∃ s q₁_1 q₂, (rename Subtype.val) q₁ = (rename Subtype.val) q₁_1 ∧ p₂ = (rename Subtype.val) q₂
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s₁ : Finset σ
q₁ : MvPolynomial { x // x ∈ s₁ } R
s₂ : Finset σ
q₂ : MvPolynomial { x // x ∈ s₂ } R

⊢ ∃ s q₁_1 q₂_1, (rename Subtype.val) q₁ = (rename Subtype.val) q₁_1 ∧ (rename Subtype.val) q₂ = (rename Subtype.val) q₂_1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/RiemannZeta.lean
s : ℂ

⊢ completedRiemannZeta s = completedRiemannZeta₀ s - 1 / s - 1 / (1 - s)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup γ
f g : α → γ
hf : Tendsto f atTop atTop
hg : Tendsto g atTop atTop

⊢ Tendsto (Prod.map f g) atTop atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup γ
f g : α → γ
hf : Tendsto f atTop atTop
hg : Tendsto g atTop atTop

⊢ Tendsto (Prod.map f g) (atTop ×ˢ atTop) atTop
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ : SimplicialObject C
X Y : Augmented C
f : X ⟶ Y

⊢ (drop.map f).app (op [0]) ≫ Y.hom.app (op [0]) = X.hom.app (op [0]) ≫ point.map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C

⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = ((obj F).obj P).p ≫ ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ ((obj G).obj P).p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C
h : F.map P.p ≫ φ.app P.X = φ.app P.X ≫ G.map P.p

⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = ((obj F).obj P).p ≫ ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ ((obj G).obj P).p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C
h : F.map P.p ≫ φ.app P.X = φ.app P.X ≫ G.map P.p
h' : F.map (P.p ≫ P.p) = F.map P.p

⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = ((obj F).obj P).p ≫ ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ ((obj G).obj P).p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C
h : (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f
h' : (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f

⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = ((obj F).obj P).p ≫ ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ ((obj G).obj P).p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C
h : (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f
h' : (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f

⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝

⊢ (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = ((F.map x✝¹.p).f ≫ (φ.app x✝¹.X).f) ≫ (G.map f.f).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
h : F.map f.f ≫ φ.app x✝.X = φ.app x✝¹.X ≫ G.map f.f

⊢ (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = ((F.map x✝¹.p).f ≫ (φ.app x✝¹.X).f) ≫ (G.map f.f).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
h : F.map f.f ≫ φ.app x✝.X = φ.app x✝¹.X ≫ G.map f.f
h' : F.map (f.f ≫ x✝.p) = F.map f.f

⊢ (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = ((F.map x✝¹.p).f ≫ (φ.app x✝¹.X).f) ≫ (G.map f.f).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
h : F.map f.f ≫ φ.app x✝.X = φ.app x✝¹.X ≫ G.map f.f
h' : F.map (f.f ≫ x✝.p) = F.map f.f
h'' : F.map (x✝¹.p ≫ f.f) = F.map f.f

⊢ (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = ((F.map x✝¹.p).f ≫ (φ.app x✝¹.X).f) ≫ (G.map f.f).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
h : (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f = (φ.app x✝¹.X).f ≫ (G.map f.f).f
h' : (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f = (F.map f.f).f
h'' : (F.map x✝¹.p).f ≫ (F.map f.f).f = (F.map f.f).f

⊢ (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = ((F.map x✝¹.p).f ≫ (φ.app x✝¹.X).f) ≫ (G.map f.f).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
h : (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f = (φ.app x✝¹.X).f ≫ (G.map f.f).f
h' : (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f = (F.map f.f).f
h'' : (F.map x✝¹.p).f ≫ (F.map f.f).f = (F.map f.f).f

⊢ (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f ≫ (φ.app x✝.X).f = (F.map x✝¹.p).f ≫ (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6113, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6117, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6121, u_3} E
F G : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
x✝¹ x✝ : Karoubi C
f : x✝¹ ⟶ x✝
h : (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f = (φ.app x✝¹.X).f ≫ (G.map f.f).f
h' : (F.map f.f).f ≫ (F.map x✝.p).f = (F.map f.f).f
h'' : (F.map x✝¹.p).f ≫ (F.map f.f).f = (F.map f.f).f

⊢ (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f = (F.map x✝¹.p).f ≫ (F.map f.f).f ≫ (φ.app x✝.X).f
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
b c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsLeftCancelAdd α
a : α

⊢ ↑a + b = ↑a + c ↔ b = c
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsLeftCancelAdd α
a : α

⊢ ↑a + ⊤ = ↑a + c ↔ ⊤ = c
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
b c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsLeftCancelAdd α
a : α
hb : b ≠ ⊤

⊢ ↑a + b = ↑a + c ↔ b = c
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsLeftCancelAdd α
a b : α

⊢ ↑a + ↑b = ↑a + c ↔ ↑b = c
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h₃ : ∀ (z : ℂ), z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
z : ℂ

⊢ (f z).re = z.re
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/ToTensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n m : ℕ
h : n = m
x : ⨂[R]^n M

⊢ GradedMonoid.mk m ((PiTensorProduct.reindex R (fun x => M) (finCongr h)) x) = GradedMonoid.mk n x
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p✝ p₀✝ p₁ p₂ p₀ p : P

⊢ ∠ p p₀ p₀ = π / 2
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α

⊢ ⊥.image s = ∅
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α

⊢ ∀ (x : β), x ∉ ⊥.image s
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : β
h : x ∈ ⊥.image s

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j

⊢ inrX φ i ≫ fstX φ i j hij = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hij : c.Rel i (c.next i)

⊢ inrX φ i ≫ fstX φ i (c.next i) hij = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α

⊢ 0 < a - b ↔ ¬a ≤ b
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ((Kernel.sum fun x => 0) a) s = (0 a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Countable ι
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∑' (n : ι), (0 a) s = (0 a) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X : C
p : Subobject X → Subobject X → Prop
h : ∀ ⦃A B : C⦄ (f : A ⟶ X) (g : B ⟶ X) [inst : Mono f] [inst_1 : Mono g], p (mk f) (mk g)
P Q : Subobject X

⊢ p P Q
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X : C
p : Subobject X → Subobject X → Prop
h : ∀ ⦃A B : C⦄ (f : A ⟶ X) (g : B ⟶ X) [inst : Mono f] [inst_1 : Mono g], p (mk f) (mk g)
P Q : Subobject X

⊢ ∀ (a₁ a₂ : MonoOver X), p (Quotient.mk'' a₁) (Quotient.mk'' a₂)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ

⊢ UnifIntegrable (-f) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ

⊢ ∀ ⦃ε : ℝ⦄, 0 < ε → ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/Topology/Connected/LocallyConnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
x : α

⊢ IsOpen (connectedComponent x)
-- Mathlib/Topology/Connected/LocallyConnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝ : LocallyConnectedSpace α
x : α

⊢ IsOpen (connectedComponentIn univ x)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a✝ a' : α
b✝ : M
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : M

⊢ ⇑(single a b) = update 0 a b
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0

⊢ f (x.lcm y) * f (x.gcd y) = f x * f y
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0

⊢ f (x.lcm y) * f (x.gcd y) = f x * f y
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0

⊢ f (x.lcm y) * f (x.gcd y) = f x * f y
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0
hfi_zero : ∀ {i : ℕ}, f (i ^ 0) = 1

⊢ f (x.lcm y) * f (x.gcd y) = f x * f y
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
x y : ℕ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hgcd_ne_zero : x.gcd y ≠ 0
hlcm_ne_zero : x.lcm y ≠ 0
hfi_zero : ∀ {i : ℕ}, f (i ^ 0) = 1

⊢ (∏ x_1 ∈ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors, f (x_1 ^ (x.lcm y).factorization x_1)) * ∏ x_1 ∈ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors, f (x_1 ^ (x.gcd y).factorization x_1) = (∏ x_1 ∈ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors, f (x_1 ^ x.factorization x_1)) * ∏ x ∈ x.primeFactors ⊔ y.primeFactors, f (x ^ y.factorization x)