ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ≥0∞
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y

⊢ Continuous f
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ≥0∞
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y
x : α
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0

⊢ ∀ᶠ (x_1 : α) in 𝓝 x, f x_1 ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ≥0∞
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y
x : α
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
δ : ℝ≥0
δ0 : δ > 0
hδ : ↑δ * C < ε

⊢ ∀ᶠ (x_1 : α) in 𝓝 x, f x_1 ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ≥0∞
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y
x : α
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
δ : ℝ≥0
δ0 : δ > 0
hδ : C * ↑δ < ε

⊢ ∀ᶠ (x_1 : α) in 𝓝 x, f x_1 ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ≥0∞
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y
x : α
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
δ : ℝ≥0
δ0 : δ > 0
hδ : C * ↑δ < ε
y : α
hy : y ∈ EMetric.closedBall x ↑δ

⊢ f y ∈ Icc (f x - ε) (f x + ε)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ≥0∞
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y
x : α
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
δ : ℝ≥0
δ0 : δ > 0
hδ : C * ↑δ < ε
y : α
hy : y ∈ EMetric.closedBall x ↑δ

⊢ edist x y ≤ ↑δ
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f : α → ℝ≥0∞
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + C * edist x y
x : α
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0
δ : ℝ≥0
δ0 : δ > 0
hδ : C * ↑δ < ε
y : α
hy : y ∈ EMetric.closedBall x ↑δ

⊢ edist y x ≤ ↑δ
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean

⊢ EReal.abs 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Group α
a✝ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α

⊢ a⁻ᵐ = (a ⊓ 1)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedCommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra S R
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : SMulPosMono S R
inst✝² : IsScalarTower S R M
a : S
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : LinearMapClass F R M N
f : F
hf : Function.Injective ⇑f

⊢ SameRay R (f x) (f y) ↔ SameRay R x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
b : Basis ι S M
c : Basis κ R N
m : M
n : N
i : ι
j : κ

⊢ ((b.tensorProduct c).repr (m ⊗ₜ[R] n)) (i, j) = (c.repr n) j • (b.repr m) i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra T S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S
a : T
ha : a ≠ 0
n : ℕ

⊢ (C a * X ^ n).aroots S = n • {0}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x

⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
K : Set β
hK : IsCompact K
hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x

⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
K : Set β
hK : IsCompact K
hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x
hsub : insert x₀ (K ∩ s) ⊆ s

⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
K : Set β
hK : IsCompact K
hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x
hsub : insert x₀ (K ∩ s) ⊆ s
x : β
hx : x ∈ insert x₀ (K ∩ s)
hxf : ∀ y ∈ insert x₀ (K ∩ s), f x ≤ f y

⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
c : ℤ → ℂ := fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2

⊢ HasSum (fun n => s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedCosZeta (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
c : ℤ → ℂ := fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => if n = 0 then 0 else c n * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ((↑(cosKernel (↑a) t) - 1) / 2)

⊢ HasSum (fun n => s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedCosZeta (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
c : ℤ → ℂ := fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => if ↑n = 0 then 0 else c n * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ((↑(cosKernel (↑a) t) - 1) / 2)

⊢ HasSum (fun n => s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedCosZeta (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
c : ℤ → ℂ := fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => if ↑n = 0 then 0 else c n * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ((↑(cosKernel (↑a) t) - 1) / 2)

⊢ HasSum (fun n => s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (mellin (fun t => (↑(cosKernel (↑a) t) - 1) / 2) (s / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
c : ℤ → ℂ := fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => if ↑n = 0 then 0 else c n * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ((↑(cosKernel (↑a) t) - 1) / 2)

⊢ Summable fun i => ‖c i‖ / |↑i| ^ s.re
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
c : ℤ → ℂ := fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / 2
hF : ∀ (t : ℝ), 0 < t → HasSum (fun n => if ↑n = 0 then 0 else c n * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ((↑(cosKernel (↑a) t) - 1) / 2)
n : ℤ

⊢ s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2 = s.Gammaℝ * c n / ↑|↑n| ^ s
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
x✝¹ x✝ : ↑X

⊢ g (1 ⊗ₜ[R] (x✝¹ + x✝)) = g (1 ⊗ₜ[R] x✝¹) + g (1 ⊗ₜ[R] x✝)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
r : R
x : ↑X
this✝ : Module R S := Module.compHom S f
this : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f

⊢ g (1 ⊗ₜ[R] (r • x)) = f r • g (1 ⊗ₜ[R] x)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
r : R
x : ↑X
this✝ : Module R S := Module.compHom S f
this : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f

⊢ g ((algebraMap R R) r • 1 ⊗ₜ[R] (RestrictScalars.addEquiv R R ↑X) x) = g (f r • 1 ⊗ₜ[R] x)
-- Mathlib/Dynamics/BirkhoffSum/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → α
g : α → M
m n : ℕ
x : α

⊢ birkhoffSum f g (m + n) x = birkhoffSum f g m x + birkhoffSum f g n (f^[m] x)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
m : M

⊢ torsionOf R M m = ⊥ ↔ m ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
m : M
h : torsionOf R M m = ⊥
contra : m = 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
m : M
h : m ≠ 0
r : R
hr : r ∈ torsionOf R M m

⊢ r = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
t : Set β
ht : (Measure.map f ν) t = 0

⊢ (Measure.map f μ) t = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
μ ν : Measure α
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ≪ ν
t : Set β
ht : ν (f ⁻¹' t) = 0

⊢ μ (f ⁻¹' t) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hf : Isometry f
hd : 0 ≤ d ∨ Surjective f
s : Set Y
hs : MeasurableSet s

⊢ (Measure.map f μH[d]) s = (μH[d].restrict (range f)) s
-- Mathlib/InformationTheory/Hamming.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i
H : x = y

⊢ hammingDist y y = 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/Tietze.lean
𝕜 : Type v
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
y : E
r : ℝ
hr : 0 < r

⊢ ↑(closedBall 0 1) ≃ₜ ↑(closedBall y r)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Tietze.lean
𝕜 : Type v
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
y : E
r : ℝ
hr : 0 < r

⊢ closedBall 0 1 = ⇑(DilationEquiv.smulTorsor y ⋯).toHomeomorph ⁻¹' closedBall y r
-- Mathlib/Analysis/Complex/Tietze.lean
𝕜 : Type v
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
y : E
r : ℝ
hr : 0 < r
x : E

⊢ x ∈ closedBall 0 1 ↔ x ∈ ⇑(DilationEquiv.smulTorsor y ⋯).toHomeomorph ⁻¹' closedBall y r
-- Mathlib/Analysis/Complex/Tietze.lean
𝕜 : Type v
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
y : E
r : ℝ
hr : 0 < r
x : E

⊢ ‖x‖ ≤ 1 ↔ r * ‖x‖ ≤ r
-- Mathlib/Algebra/Group/Nat.lean
m n : ℕ
u : ℕˣ

⊢ ↑u = 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Nat.lean
m n : ℕ

⊢ ↑1 = 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a : Cardinal.{u}

⊢ lift.{v, u} a ≤ 1 ↔ a ≤ 1
-- Mathlib/Logic/Function/Conjugate.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
inst✝ : Std.IdempotentOp gb
h : Semiconj₂ f ga gb
h_inj : Injective f
x : α

⊢ f (ga x x) = f x
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
t : ι → Set β

⊢ sSup (⋃ i, t i) = ⨆ i, sSup (t i)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : o

⊢ (M * 0) i✝ j✝ = 0 i✝ j✝
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)

⊢ ∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)

⊢ ∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal

⊢ ∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S

⊢ ∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ

⊢ ∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ
Qₚ_max : (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ).IsMaximal

⊢ ∃ Q, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ
Qₚ_max : (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ).IsMaximal

⊢ comap (algebraMap R S) (comap (algebraMap S Sₚ) Qₚ) = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ
Qₚ_max : (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ).IsMaximal

⊢ comap (algebraMap R S) (comap (algebraMap S Sₚ) Qₚ) = comap (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (LocalRing.maximalIdeal (Localization P.primeCompl))
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
hP : RingHom.ker (algebraMap R S) ≤ P
hP0 : 0 ∉ Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl
Rₚ : Type u_1 := Localization P.primeCompl
Sₚ : Type u_2 := Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)
this✝ : IsDomain (Localization (Algebra.algebraMapSubmonoid S P.primeCompl)) := IsLocalization.isDomain_localization (le_nonZeroDivisors_of_noZeroDivisors hP0)
Qₚ : Ideal Sₚ
Qₚ_maximal : Qₚ.IsMaximal
x✝ : Algebra Rₚ Sₚ := localizationAlgebra P.primeCompl S
this : Algebra.IsIntegral Rₚ Sₚ
Qₚ_max : (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ).IsMaximal

⊢ comap ((IsLocalization.map Sₚ (algebraMap R S) ⋯).comp (algebraMap R Rₚ)) Qₚ = comap (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) (comap (algebraMap Rₚ Sₚ) Qₚ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂

⊢ ((f₁ ⊗ f₂) ⊗ g₁ ⊗ g₂) ≫ (α_ Y₁ Y₂ (V₁ ⊗ V₂)).hom ≫ Y₁ ◁ (α_ Y₂ V₁ V₂).inv ≫ Y₁ ◁ (β_ Y₂ V₁).hom ▷ V₂ ≫ Y₁ ◁ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ U₁ U₂).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ U₁).hom ▷ U₂ ≫ X₁ ◁ (α_ U₁ X₂ U₂).hom ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂

⊢ ((f₁ ⊗ f₂) ⊗ g₁ ⊗ g₂) ≫ (α_ Y₁ Y₂ (V₁ ⊗ V₂)).hom ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ Y₂ V₁ V₂).inv) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (β_ Y₂ V₁).hom ⊗ 𝟙 V₂) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂

⊢ (((((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (f₁ ⊗ f₂ ⊗ g₁ ⊗ g₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ Y₂ V₁ V₂).inv)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (β_ Y₂ V₁).hom ⊗ 𝟙 V₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂

⊢ (α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ ((((𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (f₁ ⊗ (f₂ ⊗ g₁) ⊗ g₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (β_ Y₂ V₁).hom ⊗ 𝟙 V₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂

⊢ (α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (((𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (f₁ ⊗ (g₁ ⊗ f₂) ⊗ g₂)) ≫ (𝟙 Y₁ ⊗ (α_ V₁ Y₂ V₂).hom)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ U₁ U₂ V₁ V₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : U₁ ⟶ V₁
g₂ : U₂ ⟶ V₂

⊢ (α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (f₁ ⊗ g₁ ⊗ f₂ ⊗ g₂)) ≫ (α_ Y₁ V₁ (Y₂ ⊗ V₂)).inv = ((α_ X₁ X₂ (U₁ ⊗ U₂)).hom ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ U₁ U₂).inv) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ U₁).hom ⊗ 𝟙 U₂) ≫ (𝟙 X₁ ⊗ (α_ U₁ X₂ U₂).hom) ≫ (α_ X₁ U₁ (X₂ ⊗ U₂)).inv) ≫ ((f₁ ⊗ g₁) ⊗ f₂ ⊗ g₂)