ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : IsIntegral F α
x : { x // x ∈ (minpoly F α).aroots K }

⊢ (aeval ↑x) (minpoly F α) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coverage.lean
C : Type u_1
D : Type ?u.40512
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.40520, ?u.40512} D
K : Coverage C

⊢ toGrothendieck C K = sInf {J | K ≤ ofGrothendieck C J}
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coverage.lean
C : Type u_1
D : Type ?u.40512
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.40520, ?u.40512} D
K : Coverage C

⊢ toGrothendieck C K ≤ sInf {J | K ≤ ofGrothendieck C J}
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coverage.lean
C : Type u_1
D : Type ?u.40512
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.40520, ?u.40512} D
K : Coverage C

⊢ sInf {J | K ≤ ofGrothendieck C J} ≤ toGrothendieck C K
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y

⊢ stieltjesFunctionAux f a x ≤ stieltjesFunctionAux f a y
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }

⊢ stieltjesFunctionAux f a x ≤ stieltjesFunctionAux f a y
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }

⊢ ⨅ q, f a ↑q ≤ ⨅ q, f a ↑q
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
r : { q' // y < ↑q' }

⊢ BddBelow (range fun q => f a ↑q)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
r : { q' // y < ↑q' }

⊢ { q' // x < ↑q' }
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x y : ℝ
hxy : x ≤ y
this : Nonempty { r' // y < ↑r' }
r : { q' // y < ↑q' }

⊢ f a ↑?refine_2 = f a ↑r
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Compact.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
inst✝¹² : Semiring R₁
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₃
inst✝⁹ : CommSemiring R₄
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₁₄ : R₁ →+* R₄
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : TopologicalAddGroup M₄
f g : M₁ → M₄
hf : IsCompactOperator f
hg : IsCompactOperator g

⊢ IsCompactOperator (f - g)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Compact.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R₄ : Type u_4
inst✝¹² : Semiring R₁
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring R₃
inst✝⁹ : CommSemiring R₄
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₁₄ : R₁ →+* R₄
σ₃₄ : R₃ →+* R₄
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₃
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : TopologicalSpace M₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : TopologicalAddGroup M₄
f g : M₁ → M₄
hf : IsCompactOperator f
hg : IsCompactOperator g

⊢ IsCompactOperator (f + -g)
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
n : ℕ

⊢ take (n + 1 + 1) s = take (n + 1) s ++ [s.get (n + 1)]
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Assoc.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₁
f₃ : X₂ ⟶ Y₂
f₄ : X₃ ⟶ Y₂
inst✝⁵ : HasPullback f₁ f₂
inst✝⁴ : HasPullback f₃ f₄
inst✝³ : HasPullback (sorryAx (?m.121835 ⟶ X₂) true ≫ f₃) f₄
inst✝² : HasPullback f₁ (sorryAx (?m.127286 ⟶ X₂) true ≫ f₂)
inst✝¹ : HasPullback (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄
inst✝ : HasPullback f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂)

⊢ (pullbackAssoc f₁ f₂ f₃ f₄).hom ≫ pullback.fst f₁ (pullback.fst f₃ f₄ ≫ f₂) = pullback.fst (pullback.snd f₁ f₂ ≫ f₃) f₄ ≫ pullback.fst f₁ f₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq P
inst✝ : DecidableEq V
s : Finset P
p : P
hp : p ∈ s

⊢ vectorSpan k ↑s = Submodule.span k ↑(Finset.image (fun x => x -ᵥ p) (s.erase p))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Extend.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)

⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Extend.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s

⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Extend.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo b a

⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Extend.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo b a
ts : t ⊆ s

⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Extend.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo b a
ts : t ⊆ s
t_diff : DifferentiableOn ℝ f t

⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Extend.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo b a
ts : t ⊆ s
t_diff : DifferentiableOn ℝ f t
t_conv : Convex ℝ t

⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Extend.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo b a
ts : t ⊆ s
t_diff : DifferentiableOn ℝ f t
t_conv : Convex ℝ t
t_open : IsOpen t

⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Extend.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo b a
ts : t ⊆ s
t_diff : DifferentiableOn ℝ f t
t_conv : Convex ℝ t
t_open : IsOpen t
t_closure : closure t = Icc b a

⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Extend.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo b a
ts : t ⊆ s
t_diff : DifferentiableOn ℝ f t
t_conv : Convex ℝ t
t_open : IsOpen t
t_closure : closure t = Icc b a
t_cont : ∀ y ∈ closure t, ContinuousWithinAt f t y

⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Extend.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo b a
ts : t ⊆ s
t_diff : DifferentiableOn ℝ f t
t_conv : Convex ℝ t
t_open : IsOpen t
t_closure : closure t = Icc b a
t_cont : ∀ y ∈ closure t, ContinuousWithinAt f t y
t_diff' : Tendsto (fun x => fderiv ℝ f x) (𝓝[t] a) (𝓝 (smulRight 1 e))

⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Extend.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set ℝ
e : E
a : ℝ
f : ℝ → E
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
f_lim : ContinuousWithinAt f s a
hs : s ∈ 𝓝[<] a
f_lim' : Tendsto (fun x => deriv f x) (𝓝[<] a) (𝓝 e)
b : ℝ
ba : b ∈ Iio a
sab : Ico b a ⊆ s
t : Set ℝ := Ioo b a
ts : t ⊆ s
t_diff : DifferentiableOn ℝ f t
t_conv : Convex ℝ t
t_open : IsOpen t
t_closure : closure t = Icc b a
t_cont : ∀ y ∈ closure t, ContinuousWithinAt f t y
t_diff' : Tendsto (fun x => fderiv ℝ f x) (𝓝[t] a) (𝓝 (smulRight 1 e))
this : HasDerivWithinAt f e (Icc b a) a

⊢ HasDerivWithinAt f e (Iic a) a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree ≤ ↑i
i j : Fin n

⊢ of (fun i j => eval (v i) (p j)) i j = (vandermonde v * of fun i j => (p j).coeff ↑i) i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree ≤ ↑i
i j : Fin n

⊢ ((p j).sum fun e a => (RingHom.id R) a * v i ^ e) = ∑ j_1 : Fin n, vandermonde v i j_1 * of (fun i j => (p j).coeff ↑i) j_1 j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree ≤ ↑i
i j : Fin n

⊢ ((p j).sum fun e a => (RingHom.id R) a * v i ^ e) = ∑ x : Fin n, v i ^ ↑x * of (fun i j => (p j).coeff ↑i) x j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree ≤ ↑i
i j : Fin n
this : (p j).support ⊆ range n

⊢ ((p j).sum fun e a => (RingHom.id R) a * v i ^ e) = ∑ x : Fin n, v i ^ ↑x * of (fun i j => (p j).coeff ↑i) x j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree ≤ ↑i
i j : Fin n
this : (p j).support ⊆ range n

⊢ ∑ i_1 : Fin n, (RingHom.id R) ((p j).coeff ↑i_1) * v i ^ ↑i_1 = ∑ x : Fin n, v i ^ ↑x * of (fun i j => (p j).coeff ↑i) x j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree ≤ ↑i
i j : Fin n
this : (p j).support ⊆ range n
k : Fin n

⊢ (RingHom.id R) ((p j).coeff ↑k) * v i ^ ↑k = v i ^ ↑k * of (fun i j => (p j).coeff ↑i) k j
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β

⊢ (s ×ˢ t).Nontrivial ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty ∧ (s.Nontrivial ∨ t.Nontrivial)
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β

⊢ 1 < s.card * t.card ↔ 0 < s.card ∧ 0 < t.card ∧ (1 < s.card ∨ 1 < t.card)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
p : M → Prop
hom : ∀ (a b : M), p a → p b → p (a * b)
nonempty : s.Nonempty
base : ∀ x ∈ s, p (f x)

⊢ Multiset.map (fun x => f x) s.val ≠ ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f : X → ℝ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → 0 ≤ f x

⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A

⊢ (W.map φ).c₆ = φ W.c₆
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A

⊢ -φ W.b₂ ^ 3 + 36 * φ W.b₂ * φ W.b₄ - 216 * φ W.b₆ = φ (-W.b₂ ^ 3 + 36 * W.b₂ * W.b₄ - 216 * W.b₆)
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Defs.lean
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
a : M

⊢ SemiconjBy a 1 1
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
m : α → ℝ≥0∞
f : Filter α

⊢ Tendsto m f (𝓝 ⊤) ↔ ∀ (x : ℝ≥0), ∀ᶠ (a : α) in f, ↑x < m a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
hfi : IntegrableOn f (⋃ n, s n) μ

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in ⋃ n, s n, f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
hfi : IntegrableOn f (⋃ n, s n) μ
hfi' : ∫⁻ (x : X) in ⋃ n, s n, ↑‖f x‖₊ ∂μ < ⊤

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in ⋃ n, s n, f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hfi' : ∫⁻ (x : X) in S, ↑‖f x‖₊ ∂μ < ⊤

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hfi' : ∫⁻ (x : X) in S, ↑‖f x‖₊ ∂μ < ⊤
hSm : MeasurableSet S

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hfi' : ∫⁻ (x : X) in S, ↑‖f x‖₊ ∂μ < ⊤
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hfi' : (μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊) S < ⊤
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hfi' : ν S < ⊤
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : X) in S, f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hfi' : ν S < ⊤
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε

⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hfi' : ν S < ⊤
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε

⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hfi' : ν S < ⊤
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)

⊢ ∀ᶠ (x : ι) in atTop, ∫ (x : X) in s x, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hfi' : ν S < ⊤
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)

⊢ ∫ (x : X) in s i, f x ∂μ ∈ Metric.closedBall (∫ (x : X) in S, f x ∂μ) ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hfi' : ν S < ⊤
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)

⊢ ↑‖∫ (x : X) in S \ s i, f x ∂μ‖₊ ≤ ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hfi' : ν S < ⊤
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)

⊢ ∫⁻ (a : X) in S \ s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ ≤ ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hfi' : ν S < ⊤
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)

⊢ ν S - ν (s i) ≤ ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν✝ : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
inst✝ : SemilatticeSup ι
s : ι → Set X
hsm : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
h_mono : Monotone s
S : Set X := ⋃ i, s i
hfi : IntegrableOn f S μ
hSm : MeasurableSet S
hsub : ∀ {i : ι}, s i ⊆ S
ν : Measure X := μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
hfi' : ν S < ⊤
hν : ν = μ.withDensity fun x => ↑‖f x‖₊
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
this : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)
i : ι
hi : ν (s i) ∈ Icc (ν S - ↑ε) (ν S + ↑ε)

⊢ ν (s i) ≠ ⊤