ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
A : ∫⁻ (y : α), AEMeasurable.mk f hf y ∂μ ≠ ⊤
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, AEMeasurable.mk f hf y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (AEMeasurable.mk f hf x))
h'x : f x = AEMeasurable.mk f hf x
a : Set α

⊢ ∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ = ∫⁻ (y : α) in a, AEMeasurable.mk f hf y ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
A : ∫⁻ (y : α), AEMeasurable.mk f hf y ∂μ ≠ ⊤
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, AEMeasurable.mk f hf y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (AEMeasurable.mk f hf x))
h'x : f x = AEMeasurable.mk f hf x
a : Set α

⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict a)] AEMeasurable.mk f hf
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P : C
a : Over P

⊢ Quot.mk (PseudoEqual P) a = 0 ↔ a.hom = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P : C
a : Over P

⊢ Quot.mk (PseudoEqual P) a = 0 ↔ a ≈ Over.mk 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R : ℝ
c x : P

⊢ inversion c (dist c x) x = x
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.595057
S' : Type ?u.595060
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.597491
S'' : Type ?u.597494
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
p : P.Ring
hp : p ∈ P.ker
m : P.ker.Cotangent

⊢ p • m = 0
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.595057
S' : Type ?u.595060
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.597491
S'' : Type ?u.597494
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
p : P.Ring
hp : p ∈ P.ker
x : ↥P.ker

⊢ p • P.ker.toCotangent x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.595057
S' : Type ?u.595060
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.597491
S'' : Type ?u.597494
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
p : P.Ring
hp : p ∈ P.ker
x : ↥P.ker

⊢ p * ↑x ∈ P.ker * P.ker
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c a b : G

⊢ a * b * b⁻¹ = a
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a < b

⊢ insert a (Ioo a b) = Ico a b
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
f : k →+* R
g : G →* R
c : k
φ : MonoidAlgebra k G

⊢ (liftNC ↑f ⇑g) (c • φ) = f c * (liftNC ↑f ⇑g) φ
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
f : k →+* R
g : G →* R
c : k
φ : MonoidAlgebra k G

⊢ (liftNC ↑f ⇑g).comp ((smulAddHom k (MonoidAlgebra k G)) c) = (AddMonoidHom.mulLeft (f c)).comp (liftNC ↑f ⇑g)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
f : k →+* R
g : G →* R
c : k
φ : MonoidAlgebra k G
a : G
b : k

⊢ (((liftNC ↑f ⇑g).comp ((smulAddHom k (MonoidAlgebra k G)) c)).comp (singleAddHom a)) b = (((AddMonoidHom.mulLeft (f c)).comp (liftNC ↑f ⇑g)).comp (singleAddHom a)) b
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
f : k →+* R
g : G →* R
c : k
φ : MonoidAlgebra k G
a : G
b : k

⊢ (((liftNC ↑f ⇑g).comp ((smulAddHom k (G →₀ k)) c)).comp (singleAddHom a)) b = (((AddMonoidHom.mulLeft (f c)).comp (liftNC ↑f ⇑g)).comp (singleAddHom a)) b
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
f : k →+* R
g : G →* R
c : k
φ : MonoidAlgebra k G
a : G
b : k

⊢ (liftNC ↑f ⇑g) (Finsupp.single a (c * b)) = f c * (liftNC ↑f ⇑g) (Finsupp.single a b)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R✝ : Type u_2
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : MulOneClass G
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
f : k →+* R
g : G →* R
c : k
φ : MonoidAlgebra k G
a : G
b : k

⊢ ↑f (c * b) * g a = f c * (↑f b * g a)
-- Mathlib/ModelTheory/Basic.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
f : M ≃[L] N

⊢ f.symm.toEmbedding.comp f.toEmbedding = Embedding.refl L M
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Center.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
U : C

⊢ (X.snd.β Y.fst).hom ▷ U ≫ (α_ Y.fst X.fst U).hom ≫ Y.fst ◁ (X.snd.β U).hom ≫ (α_ Y.fst U X.fst).inv ≫ (Y.snd.β U).hom ▷ X.fst ≫ (α_ U Y.fst X.fst).hom = ((α_ X.fst Y.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom) ≫ U ◁ (X.snd.β Y.fst).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Center.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
U : C

⊢ (X.snd.β Y.fst).hom ▷ U ≫ (α_ Y.fst X.fst U).hom ≫ Y.fst ◁ (X.snd.β U).hom ≫ (α_ Y.fst U X.fst).inv ≫ (Y.snd.β U).hom ▷ X.fst ≫ (α_ U Y.fst X.fst).hom = (α_ X.fst Y.fst U).hom ≫ X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom ≫ U ◁ (X.snd.β Y.fst).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Center.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : Center C
U : C

⊢ X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ ((α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom ≫ U ◁ (X.snd.β Y.fst).hom ≫ (α_ U Y.fst X.fst).inv) ≫ (α_ U Y.fst X.fst).hom = X.fst ◁ (Y.snd.β U).hom ≫ (α_ X.fst U Y.fst).inv ≫ (X.snd.β U).hom ▷ Y.fst ≫ (α_ U X.fst Y.fst).hom ≫ U ◁ (X.snd.β Y.fst).hom
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R

⊢ Sbtw R 1 x 0 ↔ x ∈ Set.Ioo 0 1
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

⊢ m < 1 + n ↔ m ≤ n
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : IsAntisymm α r₂
h : ∀ (a b : α), r₁ a b → r₂ a b
a : α
ha : a ∈ maximals r₂ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r₁ a b

⊢ r₁ b a
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : IsAntisymm α r₂
h : ∀ (a b : α), r₁ a b → r₂ a b
a : α
ha : a ∈ maximals r₂ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r₁ a b
this : a = b

⊢ r₁ b a
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ReflectsPreregular.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g

⊢ ∃ W h, ∃ (_ : EffectiveEpi h), ∃ i, i ≫ g = h ≫ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ReflectsPreregular.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
W : D
f' : W ⟶ F.obj X✝
w✝ : EffectiveEpi f'
i : W ⟶ F.obj Z✝
w : i ≫ F.map g = f' ≫ F.map f

⊢ ∃ W h, ∃ (_ : EffectiveEpi h), ∃ i, i ≫ g = h ≫ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ReflectsPreregular.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
W : D
f' : W ⟶ F.obj X✝
w✝ : EffectiveEpi f'
i : W ⟶ F.obj Z✝
w : i ≫ F.map g = f' ≫ F.map f

⊢ EffectiveEpi (F.map (F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ f')))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ReflectsPreregular.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
W : D
f' : W ⟶ F.obj X✝
w✝ : EffectiveEpi f'
i : W ⟶ F.obj Z✝
w : i ≫ F.map g = f' ≫ F.map f

⊢ F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ i) ≫ g = F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ f') ≫ f
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
t : ↑I

⊢ (if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1) ∈ I
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E

⊢ ‖a.toBasis.det ⇑b‖ = 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
this : (a.toBasis.toMatrix ⇑b).det * star (a.toBasis.toMatrix ⇑b).det = 1

⊢ ‖a.toBasis.det ⇑b‖ = 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
this : ↑‖(a.toBasis.toMatrix ⇑b).det‖ ^ 2 = 1

⊢ ‖a.toBasis.det ⇑b‖ = 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
this : ‖(a.toBasis.toMatrix ⇑b).det‖ ^ 2 = 1

⊢ ‖a.toBasis.det ⇑b‖ = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : X ≅ 0
j : Y ≅ 0

⊢ IsIso f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : X ≅ 0
j : Y ≅ 0

⊢ IsIso 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hi : i ∈ t

⊢ t.centerMass (fun j => if i = j then 1 else 0) z = z i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hi : i ∈ t

⊢ ∑ i_1 ∈ t, (if i = i_1 then 1 else 0) • z i_1 = z i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hi : i ∈ t

⊢ (∑ i_1 ∈ t, if i = i_1 then 1 else 0) = 1
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X
x : X

⊢ x ∈ closure s ↔ x ∈ f ⁻¹' closure (f '' s)
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ α
hn : z ≠ 0
m : ℤ

⊢ z • b - z • a = m • z • p ↔ b - a = m • p
-- Mathlib/Topology/Instances/RatLemmas.lean
p q : ℚ
s t : Set ℚ
a✝ : SecondCountableTopology ℚ∞

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : l.NeBot
d : E''
c : F''

⊢ ((fun _x => d) =o[l] fun _x => c) ↔ d = 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : l.NeBot
d : E''
c : F''
this : ¬Tendsto (Function.const α ‖c‖) l atTop

⊢ ((fun _x => d) =o[l] fun _x => c) ↔ d = 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : l.NeBot
d : E''
c : F''
this : ¬Tendsto (Function.const α ‖c‖) l atTop

⊢ Tendsto (norm ∘ fun _x => c) l atTop → d = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian

⊢ ClosedEmbedding ⇑hA.cfcAux
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)

⊢ ClosedEmbedding ⇑hA.cfcAux
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
hf : ↑hA.cfcAux f = 0

⊢ f = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
hf : ↑hA.cfcAux f = 0
h2 : diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = 0

⊢ f = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
hf : ↑hA.cfcAux f = 0
h2 : diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = 0
x : ↑(spectrum ℝ A)

⊢ f x = 0 x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
hf : ↑hA.cfcAux f = 0
h2 : diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = 0
x : ↑(spectrum ℝ A)

⊢ f x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
hf : ↑hA.cfcAux f = 0
h2 : diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = 0
x : ℝ
hx : x ∈ spectrum ℝ A

⊢ f ⟨x, hx⟩ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
hf : ↑hA.cfcAux f = 0
h2 : diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = 0
i : n
hx : hA.eigenvalues i ∈ spectrum ℝ A

⊢ f ⟨hA.eigenvalues i, hx⟩ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
hf : ↑hA.cfcAux f = 0
h2 : diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = diagonal fun x => 0
i : n
hx : hA.eigenvalues i ∈ spectrum ℝ A

⊢ f ⟨hA.eigenvalues i, hx⟩ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h0 : FiniteDimensional ℝ C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
f : C(↑(spectrum ℝ A), ℝ)
hf : ↑hA.cfcAux f = 0
h2 : diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) = diagonal fun x => 0
i : n
hx : hA.eigenvalues i ∈ spectrum ℝ A
this : ∀ (i : n), (RCLike.ofReal ∘ ⇑f ∘ fun i => ⟨hA.eigenvalues i, ⋯⟩) i = 0

⊢ f ⟨hA.eigenvalues i, hx⟩ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s✝ t : Set α
f✝ g f : α → E
s : Set α

⊢ ⨍ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂(μ s)⁻¹ • μ.restrict s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁶ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
q₁ q₁' : Submodule R M'

⊢ p.prod q₁ ⊔ p'.prod q₁' = (p ⊔ p').prod (q₁ ⊔ q₁')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁶ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
q₁ q₁' : Submodule R M'

⊢ (p ⊔ p').prod (q₁ ⊔ q₁') ≤ p.prod q₁ ⊔ p'.prod q₁'