ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F

⊢ range f = ⊤ ↔ Surjective ⇑f
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/CongruenceSubgroups.lean
N✝ N : ℕ
A : ↥(Gamma0 N)

⊢ ↑(↑↑A).det = 1
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ

⊢ T0Space α ↔ (𝓤 α).ker = diagonal α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ

⊢ (∀ (a b : α), (∀ s ∈ 𝓤 α, (a, b) ∈ s) → a = b) → ∀ (x : α), ∀ s ∈ 𝓤 α, (x, x) ∈ s
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x y : α

⊢ y ∈ ConnectedComponents.mk ⁻¹' {ConnectedComponents.mk x} ↔ y ∈ connectedComponent x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε

⊢ Dense ↑S
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Subsingleton G

⊢ Dense ↑S
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G

⊢ Dense ↑S
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b

⊢ ∃ c ∈ ↑S, a < c ∧ c < b
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
g : G
hgS : g ∈ S
hg0 : 0 < g
hg : g < b - a

⊢ ∃ c ∈ ↑S, a < c ∧ c < b
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
g : G
hgS : g ∈ S
hg0 : 0 < g
hg : g < b - a
m : ℤ
hm : 0 + m • g ∈ Ioc a (a + g)

⊢ ∃ c ∈ ↑S, a < c ∧ c < b
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
g : G
hgS : g ∈ S
hg0 : 0 < g
hg : g < b - a
m : ℤ
hm : m • g ∈ Ioc a (a + g)

⊢ ∃ c ∈ ↑S, a < c ∧ c < b
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G
hS : ∀ ε > 0, ∃ g ∈ S, g ∈ Ioo 0 ε
h✝ : Nontrivial G
a b : G
hlt : a < b
g : G
hgS : g ∈ S
hg0 : 0 < g
hg : g < b - a
m : ℤ
hm : m • g ∈ Ioc a (a + g)

⊢ a + g < b
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
b : β
h : (↑s).PairwiseDisjoint t

⊢ b ∈ s.disjiUnion t h ↔ ∃ a ∈ s, b ∈ t a
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y'
h : F.obj X' ⟶ Y
k : Y ⟶ Y'
w : F.map f ≫ g = h ≫ k

⊢ f ≫ (adj.homEquiv X Y') g = (adj.homEquiv X' Y) h ≫ G.map k
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/VitaliCaratheodory.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α →ₛ ℝ≥0
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(↑f x) ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑f x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/VitaliCaratheodory.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/VitaliCaratheodory.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f₁ f₂ : α →ₛ ℝ≥0
a✝ : Disjoint (Function.support ↑f₁) (Function.support ↑f₂)
h₁ : ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₁ x) ∂μ ≠ ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑f₁ x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₁ x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
h₂ : ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₂ x) ∂μ ≠ ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑f₂ x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑f₂ x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
int_f : ∫⁻ (x : α), ↑(↑(f₁ + f₂) x) ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0

⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ ↑(f₁ + f₂) x) ∧ UpperSemicontinuous g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(↑(f₁ + f₂) x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ + ε
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : CharP R 2

⊢ 2 = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
α : Ext X Y n
m : ℕ
β : Ext Y Z m
p : ℕ
h : n + m = p
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C

⊢ (α.comp (-β) h).hom = (-α.comp β h).hom
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R

⊢ multichoose r 1 = r ^ 1
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R

⊢ (fun x => Nat.factorial 1 • x) (multichoose r 1) = (fun x => Nat.factorial 1 • x) (r ^ 1)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R

⊢ Nat.factorial 1 • multichoose r 1 = Nat.factorial 1 • r ^ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
s : Set α
hs : s.Finite

⊢ count s = ↑hs.toFinset.card
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ cosh (x + y) = cosh x * cosh y + sinh x * sinh y
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ ↑(cosh (x + y)) = ↑(cosh x * cosh y + sinh x * sinh y)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞

⊢ ContMDiffOn I I' n f univ ↔ ContMDiff I I' n f
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard = t.encard

⊢ s.Finite ↔ t.Finite
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β

⊢ (↑(suffixLevenshtein C xs ys)).minimum ≤ (↑(suffixLevenshtein C xs (y :: ys))).minimum
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β

⊢ ∀ (a : δ), a ∈ ↑(suffixLevenshtein C xs (y :: ys)) → (↑(suffixLevenshtein C xs ys)).minimum ≤ ↑a
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β

⊢ ∀ (a : δ), a ∈ List.map (fun xs' => levenshtein C xs' (y :: ys)) xs.tails → (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑a
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β

⊢ ∀ (a : List α), a <:+ xs → (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑(levenshtein C a (y :: ys))
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs

⊢ (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑(levenshtein C a (y :: ys))
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs

⊢ (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ (↑(suffixLevenshtein C a ys)).minimum
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs

⊢ (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) a.tails).minimum
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs

⊢ ∀ (a_1 : δ), a_1 ∈ List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) a.tails → (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑a_1
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs
a' : List α
suff' : a' <:+ a

⊢ (List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails).minimum ≤ ↑(levenshtein C a' ys)
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs
a' : List α
suff' : a' <:+ a

⊢ levenshtein C a' ys ∈ List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
y : β
ys : List β
a : List α
suff : a <:+ xs
a' : List α
suff' : a' <:+ a

⊢ ∃ a, a <:+ xs ∧ levenshtein C a ys = levenshtein C a' ys
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
s : R
n : ℕ
ih : span {s} ^ n = span {s ^ n}

⊢ span {s} ^ (n + 1) = span {s ^ (n + 1)}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, i ≠ a → i ≠ b → (f i).IsPrime
I : Ideal R
this : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ i ∈ s, I ≤ f i

⊢ ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) ↔ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, i ≠ a → i ≠ b → (f i).IsPrime
I : Ideal R
this : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ i ∈ s, I ≤ f i
aux : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ x, ∃ (_ : x ∈ s), I ≤ f x

⊢ ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) ↔ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, i ≠ a → i ≠ b → (f i).IsPrime
I : Ideal R
this aux : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ x ∈ s, I ≤ f x

⊢ ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) ↔ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I✝ J K L : Ideal R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, i ≠ a → i ≠ b → (f i).IsPrime
I : Ideal R
this aux : ↑I ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → ∃ x ∈ s, I ≤ f x
x✝ : ∃ i ∈ s, I ≤ f i
i : ι
his : i ∈ s
hi : I ≤ f i

⊢ ↑(f i) ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i)
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
A : Fintype ↑∅ := Fintype.ofIsEmpty

⊢ s.toFinset = ∅ ↔ s = ∅
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : DecidableEq (Ideal A)
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I

⊢ multiplicity (↑((normalizedFactorsEquivOfQuotEquiv f hI hJ) ⟨L, hL⟩)) J = multiplicity L I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : DecidableEq (Ideal A)
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I

⊢ multiplicity (↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨↑⟨L, hL⟩, ⋯⟩)) J = multiplicity L I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝⁴ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
inst✝³ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝² : DecidableEq (Ideal A)
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hI : I ≠ ⊥
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I

⊢ ∀ (l l' : { l // l ∣ I }), ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv l) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ

⊢ U R (-n - 1) = -U R (n - 1)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ Set.uIcc a c ⊆ Set.uIcc a b ∪ Set.uIcc b c
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsJacobson R

⊢ IsJacobson S
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsJacobson R

⊢ ∀ (P : Ideal S), P.IsPrime → P.jacobson = P
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α'
inst✝⁹ : MeasurableSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β'
inst✝⁷ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SFinite ν
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
L : Type u_8
inst✝ : _root_.RCLike L
f : α → L
g : β → L
s : Set α
t : Set β

⊢ ∫ (z : α × β) in s ×ˢ t, f z.1 * g z.2 ∂μ.prod ν = (∫ (x : α) in s, f x ∂μ) * ∫ (y : β) in t, g y ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α'
inst✝⁹ : MeasurableSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β'
inst✝⁷ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SFinite ν
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
L : Type u_8
inst✝ : _root_.RCLike L
f : α → L
g : β → L
s : Set α
t : Set β

⊢ ∫ (z : α × β), f z.1 * g z.2 ∂(μ.restrict s).prod (ν.restrict t) = (∫ (x : α) in s, f x ∂μ) * ∫ (y : β) in t, g y ∂ν
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N✝ : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N✝
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N✝
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N✝
g : N✝ →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
N : Submodule R M

⊢ ker (rTensor Q N.mkQ) = range (rTensor Q N.subtype)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N✝ : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N✝
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N✝
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N✝
g : N✝ →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
N : Submodule R M

⊢ Exact ⇑(rTensor Q N.subtype) ⇑(rTensor Q N.mkQ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : Module R N₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Preorder P
inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P

⊢ (∀ (x : M₁ × M₂), 0 ≤ (Q₁.prod Q₂) x) ↔ (∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R N₁
inst✝³ : Module R N₂
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Preorder P
inst✝ : CovariantClass P P (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P

⊢ (∀ (a : M₁) (b : M₂), 0 ≤ Q₁ a + Q₂ b) ↔ (∀ (x : M₁), 0 ≤ Q₁ x) ∧ ∀ (x : M₂), 0 ≤ Q₂ x
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence

⊢ T ⊨ᵇ φ ↔ ¬(T ∪ {Formula.not φ}).IsSatisfiable
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence

⊢ (∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ φ) ↔ ¬Nonempty (T ∪ {Formula.not φ}).ModelType
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
h : ¬Nonempty (T ∪ {Formula.not φ}).ModelType
M : T.ModelType

⊢ ↑M ⊨ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : T.ModelType
h : ¬↑M ⊨ φ

⊢ Nonempty (T ∪ {Formula.not φ}).ModelType
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : T.ModelType
h : ↑M ⊨ Formula.not φ

⊢ Nonempty (T ∪ {Formula.not φ}).ModelType
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : T.ModelType
h : ↑M ⊨ Formula.not φ
ψ : L.Sentence
hψ : ψ ∈ T ∪ {Formula.not φ}
h' : ψ ∈ {Formula.not φ}

⊢ ↑M ⊨ ψ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.Sentence
M : T.ModelType
h : ↑M ⊨ Formula.not φ
ψ : L.Sentence
hψ : ψ ∈ T ∪ {Formula.not φ}
h' : ψ ∈ {Formula.not φ}

⊢ ↑M ⊨ Formula.not φ
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α

⊢ multiplicity a b < ⊤ ↔ Finite a b
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
inst✝¹ : Fintype ↑s
inst✝ : Fintype ↑t

⊢ s.toFinset ⊂ t.toFinset ↔ s ⊂ t
-- Mathlib/Topology/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf : Continuous' f

⊢ _root_.Continuous f
-- Mathlib/Topology/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
hf : Continuous' f

⊢ ∀ (s : Set (Scott β)), IsOpen s → IsOpen (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
s : Set (Scott β)
hs : Monotone fun x => x ∈ s
hs' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := fun x => x ∈ s, monotone' := hs }
hf : Monotone f
hf' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := f, monotone' := hf }

⊢ Continuous' (s ∘ f)
-- Mathlib/Topology/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β
f : Scott α → Scott β
s : Set (Scott β)
hs : Monotone fun x => x ∈ s
hs' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := fun x => x ∈ s, monotone' := hs }
hf : Monotone f
hf' : OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := f, monotone' := hf }

⊢ OmegaCompletePartialOrder.Continuous { toFun := s ∘ f, monotone' := ?intro.intro.hf }