ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AsSubring.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS✝ : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
hS : S ≤ A⁰
a s : A
hs : s ∈ S

⊢ IsLocalization.mk' K a ⟨s, ⋯⟩ ∈ (mapToFractionRing K S B hS).range
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AsSubring.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing A
S : Submonoid A
hS✝ : S ≤ A⁰
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : Algebra A K
inst✝³ : IsFractionRing A K
B : Type u_3
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsLocalization S B
hS : S ≤ A⁰
a s : A
hs : s ∈ S

⊢ (mapToFractionRing K S B hS).toRingHom (IsLocalization.mk' B a ⟨s, hs⟩) = IsLocalization.mk' K a ⟨s, ⋯⟩
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0

⊢ Integrable (fun x => f (R • x)) μ ↔ Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0

⊢ ∀ {g : E → F}, Integrable g μ → ∀ {S : ℝ}, S ≠ 0 → Integrable (fun x => g (S • x)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0

⊢ Integrable (fun x => g (S • x)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0
t : E ≃ᵐ E := (Homeomorph.smul ⋯.unit).toMeasurableEquiv

⊢ Integrable (fun x => g (S • x)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0
t : E ≃ᵐ E := (Homeomorph.smul ⋯.unit).toMeasurableEquiv

⊢ Integrable g (Measure.map (fun x => S • x) μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : E → F
R : ℝ
hR : R ≠ 0
g : E → F
hg : Integrable g μ
S : ℝ
hS : S ≠ 0
t : E ≃ᵐ E := (Homeomorph.smul ⋯.unit).toMeasurableEquiv

⊢ ENNReal.ofReal |(S ^ finrank ℝ E)⁻¹| ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
f : α → E
hf : Integrable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x - g x‖₊ ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Integrable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
f : α → E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hf : Memℒp f 1 μ

⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ eLpNorm (fun x => f x - g x) 1 μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g 1 μ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x < π / 2

⊢ x ≤ tan x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
h1 : 0 ≤ 0
h2 : 0 < π / 2

⊢ 0 ≤ tan 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x < π / 2
h1' : 0 < x

⊢ x ≤ tan x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : MeasurableSet t
hfs : IntegrableOn f s μ
hts : t ⊆ s

⊢ ∫ (x : X) in s \ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ - ∫ (x : X) in t, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : MeasurableSet t
hfs : IntegrableOn f s μ
hts : t ⊆ s

⊢ Disjoint (s \ t) t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : MeasurableSet t
hfs : IntegrableOn f s μ
hts : t ⊆ s

⊢ MeasurableSet t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : MeasurableSet t
hfs : IntegrableOn f s μ
hts : t ⊆ s

⊢ IntegrableOn f (s \ t) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : MeasurableSet t
hfs : IntegrableOn f s μ
hts : t ⊆ s

⊢ IntegrableOn f t μ
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ

⊢ abs (cexp (↑x * I)) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/IsDiag.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
n : Type u_4
m : Type u_5
inst✝ : Zero α
A : Matrix n n α
h : A.IsDiag
i j : n
g : ¬i = j

⊢ Aᵀ i j = A i j
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s t : Set α

⊢ (s ∪ t).Countable ↔ s.Countable ∧ t.Countable
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
i : ι
f₁ f₂ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i
g : MultilinearMap R M₁' M₂
x : (i : ι) → M₁ i
c : (i : ι) → (M₁ i →ₗ[R] M₁' i) → M₁' i := fun i f => f (x i)

⊢ (g fun j => (update f i (f₁ + f₂) j) (x j)) = (g fun j => (update f i f₁ j) (x j)) + g fun j => (update f i f₂ j) (x j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
i : ι
f₁ f₂ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i
g : MultilinearMap R M₁' M₂
x : (i : ι) → M₁ i
c : (i : ι) → (M₁ i →ₗ[R] M₁' i) → M₁' i := fun i f => f (x i)
j : ι

⊢ (update f i (f₁ + f₂) j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (f₁ (x i) + f₂ (x i)) j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
i : ι
f₁ f₂ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i
g : MultilinearMap R M₁' M₂
x : (i : ι) → M₁ i
c : (i : ι) → (M₁ i →ₗ[R] M₁' i) → M₁' i := fun i f => f (x i)
j : ι

⊢ (update f i f₁ j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (f₁ (x i)) j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
i : ι
f₁ f₂ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i
g : MultilinearMap R M₁' M₂
x : (i : ι) → M₁ i
c : (i : ι) → (M₁ i →ₗ[R] M₁' i) → M₁' i := fun i f => f (x i)
j : ι

⊢ (update f i f₂ j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (f₂ (x i)) j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
i : ι
a : R
f₀ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i
g : MultilinearMap R M₁' M₂
x : (i : ι) → M₁ i
c : (i : ι) → (M₁ i →ₗ[R] M₁' i) → M₁' i := fun i f => f (x i)

⊢ (g fun j => (update f i (a • f₀) j) (x j)) = a • g fun j => (update f i f₀ j) (x j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
i : ι
a : R
f₀ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i
g : MultilinearMap R M₁' M₂
x : (i : ι) → M₁ i
c : (i : ι) → (M₁ i →ₗ[R] M₁' i) → M₁' i := fun i f => f (x i)
j : ι

⊢ (update f i (a • f₀) j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (a • f₀ (x i)) j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁷ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
M₁' : ι → Type u_1
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M₁' i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → M₁ i →ₗ[R] M₁' i
i : ι
a : R
f₀ : M₁ i →ₗ[R] M₁' i
g : MultilinearMap R M₁' M₂
x : (i : ι) → M₁ i
c : (i : ι) → (M₁ i →ₗ[R] M₁' i) → M₁' i := fun i f => f (x i)
j : ι

⊢ (update f i f₀ j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (f₀ (x i)) j
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x✝ : M
h : x✝ ∈ torsionBy R M 1

⊢ x✝ ∈ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x✝ : M
h : x✝ = 0

⊢ x✝ ∈ ⊥
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
s : ℝ
k : ℕ := ⌈-s⌉₊

⊢ ⇑f =O[cocompact E] fun x => ‖x‖ ^ s
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
s : ℝ
k : ℕ := ⌈-s⌉₊
hk : -↑k ≤ s

⊢ ⇑f =O[cocompact E] fun x => ‖x‖ ^ s
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
s : ℝ
k : ℕ := ⌈-s⌉₊
hk : -↑k ≤ s

⊢ (fun x => ‖x‖ ^ (-↑k)) =O[cocompact E] fun x => ‖x‖ ^ s
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
s : ℝ
k : ℕ := ⌈-s⌉₊
hk : -↑k ≤ s

⊢ (fun x => x ^ (-↑k)) =O[atTop] fun x => x ^ s
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
s : ℝ
k : ℕ := ⌈-s⌉₊
hk : -↑k ≤ s

⊢ ∃ c, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖x ^ (-↑k)‖ ≤ c * ‖x ^ s‖
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
s : ℝ
k : ℕ := ⌈-s⌉₊
hk : -↑k ≤ s
x : ℝ
hx : 1 ≤ x

⊢ ‖x ^ (-↑k)‖ ≤ 1 * ‖x ^ s‖
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
inst✝ : ProperSpace E
s : ℝ
k : ℕ := ⌈-s⌉₊
hk : -↑k ≤ s
x : ℝ
hx : 1 ≤ x

⊢ x ^ (-↑k) ≤ x ^ s
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
inst✝ : Inhabited α
l₁ l₂ : List α
n : ℕ
h : l₁.length = n

⊢ takeI l₁.length (l₁ ++ l₂) = l₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C

⊢ (α_ W X Y).inv ▷ Z ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom = (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom ≫ W ◁ (α_ X Y Z).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Algebra.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
G : Comonad C
X : G.Coalgebra
Y : C
f : G.forget.obj X ⟶ Y

⊢ (X.a ≫ G.map f) ≫ G.ε.app Y = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Algebra.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
G : Comonad C
X : G.Coalgebra
Y : C
g : X ⟶ G.cofree.obj Y

⊢ X.a ≫ G.map (g.f ≫ G.ε.app Y) = g.f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Algebra.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
G : Comonad C
X : G.Coalgebra
Y : C
g : X ⟶ G.cofree.obj Y

⊢ g.f ≫ 𝟙 (G.obj Y) = g.f
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im

⊢ HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)) ((jacobiTheta τ - 1) / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
this : HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n 0 τ) (jacobiTheta₂ 0 τ)

⊢ HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)) ((jacobiTheta τ - 1) / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
this : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ)

⊢ HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)) ((jacobiTheta τ - 1) / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
this✝ : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ)
this : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑↑n ^ 2 * τ) + cexp (↑π * I * ↑(-↑n) ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ + cexp (↑π * I * ↑0 ^ 2 * τ))

⊢ HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)) ((jacobiTheta τ - 1) / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
this✝ : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ)
this : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑↑(n + 1) ^ 2 * τ) + cexp (↑π * I * ↑(-↑(n + 1)) ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ + cexp (↑π * I * ↑0 ^ 2 * τ) - ∑ i ∈ Finset.range 1, (cexp (↑π * I * ↑↑i ^ 2 * τ) + cexp (↑π * I * ↑(-↑i) ^ 2 * τ)))

⊢ HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)) ((jacobiTheta τ - 1) / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
this✝ : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ)
this : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ) * 2) (jacobiTheta τ - 1)

⊢ HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)) ((jacobiTheta τ - 1) / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
this✝ : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * ↑n ^ 2 * τ)) (jacobiTheta τ)
this : HasSum (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ) * 2) (jacobiTheta τ - 1)

⊢ (fun n => cexp (↑π * I * (↑n + 1) ^ 2 * τ)) = fun i => cexp (↑π * I * (↑i + 1) ^ 2 * τ) * 2 / 2
-- Mathlib/Data/Set/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P

⊢ (s.smulAntidiagonal t a).Finite
-- Mathlib/Data/Set/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
isrfl : IsRefl (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
isrfl : IsRefl (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
istrns : IsTrans (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
isrfl : IsRefl (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
istrns : IsTrans (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n))

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
isrfl : IsRefl (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
istrns : IsTrans (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n))
m n : ℕ
mn : m < n
h2' : (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n))

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
s : Set G
t : Set P
a✝ : P
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
x y : ↑(s.smulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
h : (s.smulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.smulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
isrfl : IsRefl (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
istrns : IsTrans (G × P) (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n))
m n : ℕ
mn : m < n
h2' : (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n))

⊢ (Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g m) = (Infinite.natEmbedding (s.smulAntidiagonal t a) h) (g n)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I J : Ideal α

⊢ I < J → J = ⊤ ↔ ∀ (x : α), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J