ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) (κ a)

⊢ ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) (κ a)

⊢ ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂(κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) ((κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a)

⊢ ∫ (b : β) in s, ∫ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω) in s ×ˢ t, f x ∂(κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
s : Set α
f : α → β

⊢ Tendsto f (l₁ ⊓ 𝓟 s) l₂ ↔ PTendsto (PFun.res f s) l₁ l₂
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹² : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹¹ : RingHomIsometric σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝ : E →SL[σ] F✝
inst✝⁵ : CompleteSpace F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (LinearMap.range f) G
inst✝ : CompleteSpace ↥G
hker : LinearMap.ker f = ⊥

⊢ LinearMap.range f = Submodule.map (↑↑(f.coprodSubtypeLEquivOfIsCompl h hker)) (⊤.prod ⊥)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹² : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹¹ : RingHomIsometric σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜' F✝
f✝ : E →SL[σ] F✝
inst✝⁵ : CompleteSpace F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace F
f : E →L[𝕜] F
G : Submodule 𝕜 F
h : IsCompl (LinearMap.range f) G
inst✝ : CompleteSpace ↥G
hker : LinearMap.ker f = ⊥

⊢ LinearMap.range f = LinearMap.range ↑f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F' →L[ℝ] F
f : α →ₛ F'

⊢ ∑ x ∈ f.range, ‖(T (↑f ⁻¹' {x})) x‖ ≤ ∑ x ∈ f.range, ‖T (↑f ⁻¹' {x})‖ * ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
T : Set α → F' →L[ℝ] F
f : α →ₛ F'
b : F'
x✝ : b ∈ f.range

⊢ ‖(T (↑f ⁻¹' {b})) b‖ ≤ ‖T (↑f ⁻¹' {b})‖ * ‖b‖
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b

⊢ a * b⁻¹ < c ↔ a < b * c
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : σ →₀ ℕ
a : R

⊢ ((monomial s) a).degrees ≤ toMultiset s
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
adj3 : F ⊣ G''
x : D

⊢ (adj1.rightAdjointUniq adj2).hom.app x ≫ (adj2.rightAdjointUniq adj3).hom.app x = (adj1.rightAdjointUniq adj3).hom.app x
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F ⊣ G'
adj3 : F ⊣ G''
x : D

⊢ (adj1.rightAdjointUniq adj2).hom.app x ≫ (adj2.rightAdjointUniq adj3).hom.app x = ((adj1.rightAdjointUniq adj2).hom ≫ (adj2.rightAdjointUniq adj3).hom).app x
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q✝ R✝ : Prop
inst✝² : Decidable P
inst✝¹ : Decidable Q✝
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α
Q : P → Prop
R : ¬P → Prop
inst✝ : Decidable P

⊢ dite P Q R ↔ (∃ p, Q p) ∨ ∃ p, R p
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
f : α → WSeq β
g : β → WSeq γ

⊢ (s.bind f).bind g ~ʷ s.bind fun x => (f x).bind g
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
f : α → WSeq β
g : β → WSeq γ

⊢ (map (map g) (map f s)).join.join ~ʷ (map (fun x => (map g (f x)).join) s).join
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
f : α → WSeq β
g : β → WSeq γ

⊢ (map (map g ∘ f) s).join.join ~ʷ (map join (map (map g ∘ f) s)).join
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
K : ChainComplex C ℕ
X : C
φ : K.X 0 ⟶ X
inst✝ : HomologicalComplex.HasHomology K 0
hφ✝ : K.d 1 0 ≫ φ = 0
hφ : K.d ((ComplexShape.down ℕ).prev 0) 0 ≫ φ = 0
α : HomologicalComplex.sc K 0 ⟶ ShortComplex.mk 0 0 ⋯ := { τ₁ := 0, τ₂ := φ, τ₃ := 0, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }

⊢ IsIso (HomologicalComplex.descOpcycles K φ ((ComplexShape.down ℕ).prev 0) ⋯ hφ) ↔ (ShortComplex.mk (K.d ((ComplexShape.down ℕ).prev 0) 0) φ hφ).Exact ∧ Epi φ
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α

⊢ {I | M.Indep I} = ↑(lowerClosure {B | M.Base B})
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α

⊢ {I | ∃ B, M.Base B ∧ I ⊆ B} = ↑(lowerClosure {B | M.Base B})
-- Mathlib/Algebra/Lie/Basic.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M

⊢ ⁅⁅x, y⁆, m⁆ = ⁅x, ⁅y, m⁆⁆ - ⁅y, ⁅x, m⁆⁆
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0

⊢ n ≤ if h : ofSuppBddBelow f ⋯ = 0 then 0 else ⋯.min ⋯
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ofSuppBddBelow f ⋯ = 0

⊢ n ≤ if h : ofSuppBddBelow f ⋯ = 0 then 0 else ⋯.min ⋯
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ¬ofSuppBddBelow f ⋯ = 0

⊢ n ≤ if h : ofSuppBddBelow f ⋯ = 0 then 0 else ⋯.min ⋯
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ¬ofSuppBddBelow f ⋯ = 0

⊢ n ≤ ⋯.min ⋯
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ¬ofSuppBddBelow f ⋯ = 0

⊢ ∀ b ∈ (ofSuppBddBelow f ⋯).support, n ≤ b
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ¬ofSuppBddBelow f ⋯ = 0
m : Γ
hm : m ∈ (ofSuppBddBelow f ⋯).support

⊢ n ≤ m
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Zero R
inst✝² : LinearOrder Γ
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder Γ
inst✝ : Zero Γ
f : Γ → R
hf : f ≠ 0
n : Γ
hn : ∀ m < n, f m = 0
h : ¬ofSuppBddBelow f ⋯ = 0
m : Γ
hm : ¬(ofSuppBddBelow f ⋯).coeff m = 0

⊢ n ≤ m
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ZeroAtInfty.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
C : ℝ
f g : α →C₀ β

⊢ IsClosed (range toBCF)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ZeroAtInfty.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
C : ℝ
f✝ g : α →C₀ β
f : α →ᵇ β
hf : ClusterPt f (𝓟 (range toBCF))

⊢ f ∈ range toBCF
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ZeroAtInfty.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
C : ℝ
f✝ g : α →C₀ β
f : α →ᵇ β
hf : ∀ U ∈ 𝓝 f, (U ∩ range toBCF).Nonempty

⊢ f ∈ range toBCF
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ZeroAtInfty.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
C : ℝ
f✝ g : α →C₀ β
f : α →ᵇ β
hf : ∀ U ∈ 𝓝 f, (U ∩ range toBCF).Nonempty
this : Tendsto (⇑f) (cocompact α) (𝓝 0)

⊢ f ∈ range toBCF
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Equiv.lean
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
e₃ : A₃ ≃ₐ[R] A₃'
f : A₁ →ₐ[R] A₂
g : A₂ →ₐ[R] A₃
x✝ : A₁'

⊢ ((e₁.arrowCongr e₃) (g.comp f)) x✝ = (((e₂.arrowCongr e₃) g).comp ((e₁.arrowCongr e₂) f)) x✝
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Equiv.lean
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
e₃ : A₃ ≃ₐ[R] A₃'
f : A₁ →ₐ[R] A₂
g : A₂ →ₐ[R] A₃
x✝ : A₁'

⊢ ↑e₃ (g (f (↑e₁.symm x✝))) = ↑e₃ (g (↑e₂.symm (↑e₂ (f (↑e₁.symm x✝)))))
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Equiv.lean
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
e₃ : A₃ ≃ₐ[R] A₃'
f : A₁ →ₐ[R] A₂
g : A₂ →ₐ[R] A₃
x✝ : A₁'

⊢ f (↑e₁.symm x✝) = ↑e₂.symm (↑e₂ (f (↑e₁.symm x✝)))
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (β₁ i)
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β₂ i)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
hf' : ∀ (i : ι) (x y : β₁ i), f i (x + y) = f i x + f i y
g₁ g₂ : Π₀ (i : ι), β₁ i
i✝ : ι

⊢ (mapRange f hf (g₁ + g₂)) i✝ = (mapRange f hf g₁ + mapRange f hf g₂) i✝
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace β
x y : β
h : y ∈ measurableAtom x
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hxs : x ∈ s

⊢ y ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace β
x y : β
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hxs : x ∈ s
h : ∀ (i : Set β), x ∈ i → MeasurableSet i → y ∈ i

⊢ y ∈ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/RiemannZeta.lean

⊢ riemannZeta 0 = -1 / 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/MonoCoprod.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B : C
c₁✝ c₂✝ : BinaryCofan A B
hc₁✝ : IsColimit c₁✝
hc₂✝ : IsColimit c₂✝
c₁ c₂ : BinaryCofan A B
hc₁ : IsColimit c₁
hc₂ : IsColimit c₂
x✝ : Mono c₁.inl

⊢ Mono c₂.inl
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝¹ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e
J : Type u_4
inst✝ : Fintype J
i : J ≃ I

⊢ CompleteOrthogonalIdempotents (e ∘ ⇑i) ↔ CompleteOrthogonalIdempotents e
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (hurwitzZetaEven (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (completedHurwitzZetaEven (↑a) s / s.Gammaℝ)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun i => s.Gammaℝ / ↑|↑i + a| ^ s / 2 / s.Gammaℝ) (completedHurwitzZetaEven (↑a) s / s.Gammaℝ)

⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑|↑n + a| ^ s / 2) (completedHurwitzZetaEven (↑a) s / s.Gammaℝ)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
m : Fin n → 𝕜

⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) m = (∏ i : Fin n, m i) • iteratedDeriv n f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
m : Fin n → 𝕜

⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) m = (iteratedFDeriv 𝕜 n f x) fun i => m i • 1
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α →. σ
h : α → ℕ × σ →. σ
hf : Computable f
hg : Partrec g
hh : Partrec₂ h
n : ℕ
a : α
e : decode n = Option.some a
m : ℕ
IH : Nat.rec (Part.map encode (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) m = Part.map encode (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m)

⊢ ((Nat.rec (Part.map encode (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) m).bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) = (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m).bind fun y => Part.map encode (h a (m, y))
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α →. σ
h : α → ℕ × σ →. σ
hf : Computable f
hg : Partrec g
hh : Partrec₂ h
n : ℕ
a : α
e : decode n = Option.some a
m : ℕ
IH : Nat.rec (Part.map encode (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) m = Part.map encode (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m)

⊢ ((Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m).bind fun y => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode (encode y)))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) = (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m).bind fun y => Part.map encode (h a (m, y))
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α →. σ
h : α → ℕ × σ →. σ
hf : Computable f
hg : Partrec g
hh : Partrec₂ h
n : ℕ
a : α
e : decode n = Option.some a
m : ℕ
IH : Nat.rec (Part.map encode (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) m = Part.map encode (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m)

⊢ (fun y => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode (encode y)))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) = fun y => Part.map encode (h a (m, y))
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
g : α →. σ
h : α → ℕ × σ →. σ
hf : Computable f
hg : Partrec g
hh : Partrec₂ h
n : ℕ
a : α
e : decode n = Option.some a
m : ℕ
IH : Nat.rec (Part.map encode (g a)) (fun y IH => IH.bind fun i => (↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode i))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) m = Part.map encode (Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) m)
s : σ

⊢ ((↑(Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode (encode s)))).bind fun a => Part.map encode (h a.1 a.2)) = Part.map encode (h a (m, s))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁

⊢ ‖f v‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁

⊢ ‖g‖ * (‖f‖ * ‖v‖) = ‖g‖ * ‖f‖ * ‖v‖
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : SemilatticeSup α
f : α → X

⊢ (∀ (ib : Set X), x ∈ ib ∧ IsOpen ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ ib) ↔ ∀ (U : Set X), x ∈ U → IsOpen U → ∃ N, ∀ (n : α), N ≤ n → f n ∈ U
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 2)
i₁ i₂ : Fin (n + 3)
h : i₁ ≠ i₂

⊢ s.mongePoint -ᵥ centroid ℝ {i₁, i₂}ᶜ s.points = (univ.weightedVSub s.pointsWithCircumcenter) (mongePointVSubFaceCentroidWeightsWithCircumcenter i₁ i₂)
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : G
q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)
k : ZMod (minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q))

⊢ ↑((toEquiv ⋯) (g ^ k.cast • Quotient.out' q)) = if k = 0 then g ^ minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q) * Quotient.out' (Quotient.out' q) else g ^ k.cast * Quotient.out' (Quotient.out' q)
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : G
q : orbitRel.Quotient (↥(zpowers g)) (G ⧸ H)
k : ZMod (minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q))

⊢ (g ^ if k = 0 then ↑(minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' ⟨q, k - 1⟩.fst)) else k.cast) * Quotient.out' (Quotient.out' ⟨q, k - 1⟩.fst) = if k = 0 then g ^ minimalPeriod (fun x => g • x) (Quotient.out' q) * Quotient.out' (Quotient.out' q) else g ^ k.cast * Quotient.out' (Quotient.out' q)
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, BddAbove (range fun i => f i y)
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x

⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ i, f i x') s x
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, BddAbove (range fun i => f i y)
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x
h✝ : IsEmpty ι

⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ i, f i x') s x
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
ι : Sort u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLinearOrder δ
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder δ'
f : ι → α → δ'
bdd : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝[s] x, BddAbove (range fun i => f i y)
h : ∀ (i : ι), LowerSemicontinuousWithinAt (f i) s x
h✝ : Nonempty ι

⊢ LowerSemicontinuousWithinAt (fun x' => ⨆ i, f i x') s x
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝² : Category.{u_6, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
X : C
h : E.IsPointwiseRightKanExtensionAt (L.obj X)
inst✝¹ : L.Full
inst✝ : L.Faithful

⊢ IsIso (E.hom.app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Reflective.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
A B : C
hB : B ∈ i.essImage
f : i.obj ((reflector i).obj A) ⟶ B

⊢ (unitCompPartialBijective A hB).symm f = (reflectorAdjunction i).unit.app A ≫ f
-- Mathlib/Logic/Nontrivial/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
I : Type u_3
f : I → Type u_4
i' : I
inst : ∀ (i : I), Nonempty (f i)
inst✝ : Nontrivial (f i')
this : DecidableEq ((i : I) → f i) := Classical.decEq ((i : I) → f i)

⊢ Nontrivial ((i : I) → f i)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.195705}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
hf : Injective f

⊢ lift.{v, u} #α ≤ lift.{u, v} #β
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.195705}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
hf : Injective f

⊢ lift.{u, v} #↑(range f) ≤ lift.{u, v} #β
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ

⊢ MeasurableSet (t n)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ
this : t n = ⋃ u ∈ memPartition t n, u ∩ t n

⊢ MeasurableSet (t n)