ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
ι : Sort u_2
U : ι → Set α
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hcover : K ⊆ ⋃ i, U i
ind : (x : α) → x ∈ K → ι
W : (x : α) → x ∈ K → Set (α × α)
hW : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), W x a ∈ 𝓤 α
hWU : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), ball x (W x a ○ W x a) ⊆ U (ind x a)

⊢ ∃ V ∈ 𝓤 α, ∀ x ∈ K, ∃ i, ball x V ⊆ U i
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
ι : Sort u_2
U : ι → Set α
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hcover : K ⊆ ⋃ i, U i
ind : (x : α) → x ∈ K → ι
W : (x : α) → x ∈ K → Set (α × α)
hW : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), W x a ∈ 𝓤 α
hWU : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), ball x (W x a ○ W x a) ⊆ U (ind x a)
t : Finset ↑K
ht : K ⊆ ⋃ x ∈ t, ball (↑x) (W ↑x ⋯)

⊢ ∃ V ∈ 𝓤 α, ∀ x ∈ K, ∃ i, ball x V ⊆ U i
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
ι : Sort u_2
U : ι → Set α
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hcover : K ⊆ ⋃ i, U i
ind : (x : α) → x ∈ K → ι
W : (x : α) → x ∈ K → Set (α × α)
hW : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), W x a ∈ 𝓤 α
hWU : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), ball x (W x a ○ W x a) ⊆ U (ind x a)
t : Finset ↑K
ht : K ⊆ ⋃ x ∈ t, ball (↑x) (W ↑x ⋯)
x : α
hx : x ∈ K

⊢ ∃ i, ball x (⋂ x ∈ t, W ↑x ⋯) ⊆ U i
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
ι : Sort u_2
U : ι → Set α
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hcover : K ⊆ ⋃ i, U i
ind : (x : α) → x ∈ K → ι
W : (x : α) → x ∈ K → Set (α × α)
hW : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), W x a ∈ 𝓤 α
hWU : ∀ (x : α) (a : x ∈ K), ball x (W x a ○ W x a) ⊆ U (ind x a)
t : Finset ↑K
ht : K ⊆ ⋃ x ∈ t, ball (↑x) (W ↑x ⋯)
x : α
hx : x ∈ K
y : ↑K
hyt : y ∈ t
hxy : x ∈ ball (↑y) (W ↑y ⋯)

⊢ ∃ i, ball x (⋂ x ∈ t, W ↑x ⋯) ⊆ U i
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
hs : dimH s < ↑(finrank ℝ E)

⊢ Dense sᶜ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t✝ : Set X
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
hs : dimH s < ↑(finrank ℝ E)
x : E
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝 x
he : t ∩ sᶜ = ∅

⊢ ↑(finrank ℝ E) ≤ dimH s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t✝ : Set X
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
hs : dimH s < ↑(finrank ℝ E)
x : E
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝 x
he : t ⊆ s

⊢ ↑(finrank ℝ E) ≤ dimH s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t✝ : Set X
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
hs : dimH s < ↑(finrank ℝ E)
x : E
t : Set E
ht : t ∈ 𝓝 x
he : t ⊆ s

⊢ dimH t ≤ dimH s
-- Mathlib/Algebra/Order/Hom/Basic.lean
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Group α
inst✝² : AddCommSemigroup β
inst✝¹ : LE β
inst✝ : MulLEAddHomClass F α β
f : F
a b c : α

⊢ f (a / c) ≤ f (a / b) + f (b / c)
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
ι : Type u_2
f : ι → Set (α → M)
hf : ∀ (i : ι), A.Definable L (f i)
s : Finset ι

⊢ A.Definable L (s.inf f)
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean

⊢ (1 + √5) * (1 - √5) = -(2 * 2)
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean

⊢ 1 ^ 2 - √5 ^ 2 = -(2 * 2)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Submodule.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
hc : ∀ (m : ↥M) (n : ↥N), Commute ↑m ↑n

⊢ N.mulMap M = M.mulMap N ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R ↥N ↥M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Submodule.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
hc : ∀ (m : ↥M) (n : ↥N), Commute ↑m ↑n
n : ↥N
m : ↥M

⊢ (N.mulMap M) (n ⊗ₜ[R] m) = (M.mulMap N ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R ↥N ↥M)) (n ⊗ₜ[R] m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Submodule.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
hc : ∀ (m : ↥M) (n : ↥N), Commute ↑m ↑n
n : ↥N
m : ↥M

⊢ ↑n * ↑m = ↑m * ↑n
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology

⊢ leftHomologyMap φ = leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData h₁ ≫ γ.φH ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) h₂ S₂.leftHomologyData
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology

⊢ leftHomologyMap φ = leftHomologyMap' φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f μ
hN : μ N = 0

⊢ ∃ x ∉ N, f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f μ
hN : μ N = 0
this : 0 < μ {x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ}

⊢ ∃ x ∉ N, f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f μ
hN : μ N = 0
this : 0 < μ ({x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ} \ N)

⊢ ∃ x ∉ N, f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f μ
hN : μ N = 0
this : 0 < μ ({x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ} \ N)
x : α
hx : x ∈ {x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ}
hxN : x ∉ N

⊢ ∃ x ∉ N, f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : FractionalIdeal S P
x : P'

⊢ x ∈ (canonicalEquiv S P P') I ↔ ∃ y ∈ I, (IsLocalization.map P' (RingHom.id R) ⋯) y = x
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : FractionalIdeal S P
x : P'

⊢ (∃ x_1 ∈ I, ↑(let __src := ringEquivOfRingEquiv P P' (RingEquiv.refl R) ⋯; { toEquiv := __src.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }) x_1 = x) ↔ ∃ y ∈ I, (IsLocalization.map P' (RingHom.id R) ⋯) y = x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s✝ t✝ : Set α
x✝ y z : α
s t : Set α
x : α

⊢ (s ∩ t).ordConnectedComponent x = s.ordConnectedComponent x ∩ t.ordConnectedComponent x
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Group G
hN : Nontrivial G
tG : IsTorsion G

⊢ ∃ g, g ≠ 1 ∧ IsOfFinOrder g
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Group G
hN : Nontrivial G
tG : IsTorsion G
x : G
hx : x ≠ 1

⊢ ∃ g, g ≠ 1 ∧ IsOfFinOrder g
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∑ x : α, 0 = 0

⊢ Tendsto (fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p) atTop (𝓝 (∑ x : α, 0))
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∑ x : α, 0 = 0
i : α
x✝ : i ∈ univ

⊢ Tendsto (fun p => a i * b i ^ p) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∑ x : α, 0 = 0
i : α
x✝ : i ∈ univ

⊢ Tendsto (fun p => a i * b i ^ p) atTop (𝓝 (a i * 0))
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∑ x : α, 0 = 0
i : α
x✝ : i ∈ univ

⊢ -1 < b i
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∑ x : α, 0 = 0
i : α
x✝ : i ∈ univ
this : 0 < b i

⊢ -1 < b i
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y

⊢ ↑(XYIdeal W x (C y)) * (↑(XYIdeal W x (C (W.negY x y))) * (↑(XIdeal W x))⁻¹) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
i : ι

⊢ centroid k {i} p = p i
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
b : δ a
s : Finset α
hs : a ∉ s
e₁ e₂ : (a : α) → a ∈ s → δ a
eq : cons s a b e₁ = cons s a b e₂
e : α
h : e ∈ a ::ₘ s.val

⊢ e ∈ insert a s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/FiniteDimensional.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₁ : ι → Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M₁ i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M₁ i)

⊢ Module.Free R (MultilinearMap R M₁ M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R M₁ M₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/FiniteDimensional.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₁ : ι → Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M₁ i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M₁ i)
val✝ : Fintype ι

⊢ Module.Free R (MultilinearMap R M₁ M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R M₁ M₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/FiniteDimensional.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₁ : ι → Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M₁ i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M₁ i)
val✝ : Fintype ι
this : ∀ [inst : (i : Fin (Fintype.card ι)) → AddCommGroup (M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i))] [inst_1 : (i : Fin (Fintype.card ι)) → Module R (M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i))] [inst_2 : ∀ (i : Fin (Fintype.card ι)), Module.Finite R (M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i))] [inst_3 : ∀ (i : Fin (Fintype.card ι)), Module.Free R (M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i))], Module.Free R (MultilinearMap R (fun x => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm x)) M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R (fun x => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm x)) M₂)

⊢ Module.Free R (MultilinearMap R M₁ M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R M₁ M₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/FiniteDimensional.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₁ : ι → Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M₁ i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M₁ i)
val✝ : Fintype ι
this : ∀ [inst : (i : Fin (Fintype.card ι)) → AddCommGroup (M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i))] [inst_1 : (i : Fin (Fintype.card ι)) → Module R (M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i))] [inst_2 : ∀ (i : Fin (Fintype.card ι)), Module.Finite R (M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i))] [inst_3 : ∀ (i : Fin (Fintype.card ι)), Module.Free R (M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i))], Module.Free R (MultilinearMap R (fun x => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm x)) M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R (fun x => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm x)) M₂)
l : Module.Free R (MultilinearMap R (fun x => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm x)) M₂)
r : Module.Finite R (MultilinearMap R (fun x => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm x)) M₂)
e : MultilinearMap R M₁ M₂ ≃ₗ[R] MultilinearMap R (fun i => M₁ ((Fintype.equivFin ι).symm i)) M₂

⊢ Module.Free R (MultilinearMap R M₁ M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R M₁ M₂)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]

⊢ ∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), (monomial i) (p.coeff i) = ∑ i ∈ range (p.natDegree + 1), C (p.coeff i) * X ^ i
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
m : ℕ
hmn : ↑m ≤ n
x : E

⊢ p x m = iteratedFDeriv 𝕜 m f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpTo n f p
m : ℕ
hmn : ↑m ≤ n
x : E

⊢ p x m = iteratedFDerivWithin 𝕜 m f univ x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p univ
m : ℕ
hmn : ↑m ≤ n
x : E

⊢ p x m = iteratedFDerivWithin 𝕜 m f univ x
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s' : Finset β

⊢ s.biUnion t ⊆ s' ↔ ∀ x ∈ s, t x ⊆ s'
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s' : Finset β

⊢ (∀ ⦃x : β⦄, (∃ a ∈ s, x ∈ t a) → x ∈ s') ↔ ∀ x ∈ s, ∀ ⦃x_1 : β⦄, x_1 ∈ t x → x_1 ∈ s'
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α

⊢ All P (l.node3L x m y r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P m ∧ P y ∧ All P r
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Decomposition.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
i : ι
x : ↥(ℳ i)

⊢ (decompose ℳ) ↑x = (of (fun i => ↥(ℳ i)) i) x
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z

⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * y

⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * y

⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * y

⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * y

⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E
f' : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, E') (f x)

⊢ HasMFDerivWithinAt 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f s x f' ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
f : β → ↑(Ioi a)
l : Filter β

⊢ Tendsto f l atTop ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l atTop
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a✝ : α
c : ℕ
a : α

⊢ (-a) ^ (2 * c + 1) = -a ^ (2 * c + 1)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Finset α
a : α

⊢ mulRothNumber (map (mulLeftEmbedding a) s) = mulRothNumber s
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Finset α
a : α

⊢ mulRothNumber (map (mulLeftEmbedding a) s) ≤ mulRothNumber s
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Finset α
a : α

⊢ mulRothNumber s ≤ mulRothNumber (map (mulLeftEmbedding a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
χ : DirichletCharacter ℂ 0
n : ℕ

⊢ χ ↑n = δ n
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
χ : DirichletCharacter ℂ 0

⊢ χ ↑0 = δ 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
χ : DirichletCharacter ℂ 0
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ χ ↑n = δ n
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
χ : DirichletCharacter ℂ 0
hn : 1 ≠ 0

⊢ χ ↑1 = δ 1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
χ : DirichletCharacter ℂ 0
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : n ≠ 1

⊢ χ ↑n = δ n
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
χ : DirichletCharacter ℂ 0
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : n ≠ 1
this : ¬IsUnit ↑n

⊢ χ ↑n = δ n
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α

⊢ s ∈ memberSubfamily a 𝒜 ∪ nonMemberSubfamily a 𝒜 ↔ s ∈ image (fun s => s.erase a) 𝒜
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s✝ : Finset α
a✝ a : α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α

⊢ insert a s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s ∨ s ∈ 𝒜 ∧ a ∉ s ↔ ∃ a_1 ∈ 𝒜, a_1.erase a = s
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K (-n₂)
z₃ : Cochain K L n₂
h₁₂ : n₁ + -n₂ = n₁₂

⊢ n₁₂ + n₂ = n₁
-- Mathlib/Data/DFinsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → AddGroup (N a)
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a

⊢ f.neLocus g = (f - g).support
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MutuallySingular.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
β : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ⟂ₘ ν

⊢ map f μ ⟂ₘ map f ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MutuallySingular.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
β : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ⟂ₘ ν

⊢ (map f μ) (f '' hμν.nullSet) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MutuallySingular.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
β : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
hμν : μ ⟂ₘ ν

⊢ (map f ν) (f '' hμν.nullSet)ᶜ = 0