ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Interval/Set/UnorderedInterval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α

⊢ b ∈ Ι a b ↔ a < b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ

⊢ A⁻¹ ^ ↑n = (A ^ ↑n)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℕ

⊢ A⁻¹ ^ -[n+1] = (A ^ -[n+1])⁻¹
-- Mathlib/Data/ZMod/Quotient.lean
n : ℕ
A : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : AddGroup A
inst✝³ : Ring R
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝² : Group α
a : α
inst✝¹ : MulAction α β
b : β
inst✝ : Fintype ↑(orbit (↥(zpowers a)) b)

⊢ minimalPeriod (fun x => a • x) b = Fintype.card ↑(orbit (↥(zpowers a)) b)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulP.lean
p : ℕ
R✝ : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R✝
n : ℕ
R : Type u_2
_Rcr : CommRing R
x : 𝕎 R

⊢ (x * ↑n).coeff = fun n_1 => (aeval x.coeff) (wittMulN p n n_1)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulP.lean
p : ℕ
R✝ : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R✝
n : ℕ
R : Type u_2
_Rcr : CommRing R
x : 𝕎 R
k : ℕ

⊢ (x * ↑n).coeff k = (aeval x.coeff) (wittMulN p n k)
-- Mathlib/Topology/Compactification/OnePoint.lean
X : Type u_1
s : Set X

⊢ (some '' s)ᶜ = some '' sᶜ ∪ {∞}
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f✝ : α → γ
g✝ : β → γ
f : α → ℝ
g : β → ℝ
h : IdentDistrib f g μ ν

⊢ variance f μ = variance g ν
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f✝ : α → γ
g✝ : β → γ
f : α → ℝ
g : β → ℝ
h : IdentDistrib f g μ ν

⊢ (evariance g ν).toReal = variance g ν
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M

⊢ Submodule.map₂ (mk R M N) ⊤ ⊤ = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M

⊢ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} ≤ Submodule.span R (Set.image2 (fun m n => ((mk R M N) m) n) ↑⊤ ↑⊤)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : UnitAddCircle

⊢ Tendsto (fun s => hurwitzZeta a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ) (𝓝 1) (𝓝 (hurwitzZeta a 1))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : UnitAddCircle

⊢ Tendsto (fun s => hurwitzZetaEven a s - 1 / (s - 1) / s.Gammaℝ + hurwitzZetaOdd a s) (𝓝 1) (𝓝 (hurwitzZetaEven a 1 + hurwitzZetaOdd a 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤

⊢ (fun x => ↑(f x).toNNReal) =ᶠ[ae μ] f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤

⊢ ∀ (a : α), f a < ⊤ → ↑(f a).toNNReal = f a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
x : α
hx : f x < ⊤

⊢ ↑(f x).toNNReal = f x
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
hsb : IsVonNBounded ℝ s
htc : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t

⊢ ⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb) '' closure s = closure t
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
hsb : IsVonNBounded ℝ s
htc : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t

⊢ closure t ⊆ ⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb) '' closure s
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hsc : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
hsb : IsVonNBounded ℝ s
htc : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t

⊢ ⇑(gaugeRescaleHomeomorph s t hsc hs₀ hsb htc ht₀ htb).symm '' closure t ⊆ closure s
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
a : M₀
h : a * ↑u = 0

⊢ a = 0
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Constructions.lean
B : Type u
F : Type v
E : B → Type w₁
B' : Type w₂
f✝ : B' → B
inst✝¹ : TopologicalSpace B'
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
f : B' → B

⊢ Continuous (Pullback.lift f)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Constructions.lean
B : Type u
F : Type v
E : B → Type w₁
B' : Type w₂
f✝ : B' → B
inst✝¹ : TopologicalSpace B'
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
f : B' → B

⊢ induced TotalSpace.proj inst✝¹ ⊓ induced (Pullback.lift f) inst✝ ≤ induced (Pullback.lift f) inst✝
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x : ℝ*
r : ℝ
hxr : x.IsSt r
h : ∃ r, x.IsSt r

⊢ x.st = r
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x : ℝ*
r : ℝ
hxr : x.IsSt r
h : ∃ r, x.IsSt r

⊢ Classical.choose h = r
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
t : ℝ

⊢ Tendsto (fun x => x * log (1 + t / x)) atTop (𝓝 t)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
t : ℝ
h₁ : Tendsto (fun h => h⁻¹ * log (1 + t * h)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 t)

⊢ Tendsto (fun x => x * log (1 + t / x)) atTop (𝓝 t)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
t : ℝ
h₁ : Tendsto (fun h => h⁻¹ * log (1 + t * h)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 t)
h₂ : Tendsto (fun x => x⁻¹) atTop (𝓝[≠] 0)

⊢ Tendsto (fun x => x * log (1 + t / x)) atTop (𝓝 t)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: β)
x : β

⊢ (TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr) <$$> MvQPF.abs (M.dest (P F) (corecF g x)) = (TypeVec.id ::: corec g) <$$> g x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: β)
x : β

⊢ (TypeVec.id ⊚ TypeVec.id ::: Quot.mk Mcongr ∘ corecF g) <$$> g x = (TypeVec.id ::: corec g) <$$> g x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E

⊢ ∑ i : ι, b.repr x i • b i = x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
x : E

⊢ ∑ x_1 : ι, (b.toBasis.repr x) x_1 • b.toBasis x_1 = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasPullbacks C
𝒢 : Set C
inst✝ : Small.{v₁, u₁} ↑𝒢
h𝒢 : IsDetecting 𝒢
X : C
P Q : Subobject X
h : (fun P => {f | P.Factors f.snd}) P = (fun P => {f | P.Factors f.snd}) Q

⊢ ∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, P.Factors f ↔ Q.Factors f
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x✝ : B
f : B →ₐ[A] B'
x : B

⊢ (Polynomial.aeval (f x)) (minpoly A x) = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Sort ?u.95493
inst✝ : _root_.Finite ι
h : FinitePresentation R M
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
hl' : (LinearMap.ker l).FG

⊢ FinitePresentation R N
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x y : ℂ
hx₁ : -π < x.im
hx₂ : x.im ≤ π
hy₁ : -π < y.im
hy₂ : y.im ≤ π
hxy : cexp x = cexp y

⊢ x = y
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α

⊢ Antivary f g ↔ ∀ (i j : ι), (f j - f i) * (g j - g i) ≤ 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ

⊢ completedCosZeta a (1 - s) = completedHurwitzZetaEven a s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b

⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Ioc a b) μ
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R

⊢ 1 = ⊤
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a b : Cardinal.{u}

⊢ ℵ₀ ≤ a * b ↔ a ≠ 0 ∧ ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ a ∧ b ≠ 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a b : Cardinal.{u}
this : ∀ {a : Cardinal.{u}}, ℵ₀ ≤ a → a ≠ 0

⊢ ℵ₀ ≤ a * b ↔ a ≠ 0 ∧ ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ a ∧ b ≠ 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a b : Cardinal.{u}
this : ∀ {a : Cardinal.{u}}, ℵ₀ ≤ a → a ≠ 0

⊢ b ≠ 0 ∧ ℵ₀ ≤ a ∨ a ≠ 0 ∧ ℵ₀ ≤ b ↔ a ≠ 0 ∧ ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ a ∧ b ≠ 0
-- Mathlib/Order/Antichain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a b✝ : α
hs : IsAntichain r s
φ : r ↪r r'
b : β
hb : b ∈ ⇑φ '' s
b' : β
hb' : b' ∈ ⇑φ '' s
h₁ : b ≠ b'
h₂ : r' b b'

⊢ False
-- Mathlib/Order/Antichain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a b✝ : α
hs : IsAntichain r s
φ : r ↪r r'
b : β
hb : ∃ x ∈ s, φ x = b
b' : β
hb' : ∃ x ∈ s, φ x = b'
h₁ : b ≠ b'
h₂ : r' b b'

⊢ False
-- Mathlib/Order/Antichain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b : α
hs : IsAntichain r s
φ : r ↪r r'
a : α
has : a ∈ s
a' : α
has' : a' ∈ s
h₁ : φ a ≠ φ a'
h₂ : r' (φ a) (φ a')

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
S : Set (Set α)
hS : S.Countable

⊢ μ (⋃₀ S) = 0 ↔ ∀ s ∈ S, μ s = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ

⊢ replicate n p = (p ^ n).primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ

⊢ replicate n p ~ (p ^ n).primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ

⊢ ∀ p_1 ∈ replicate n p, Prime p_1
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
p : ℕ
hp : Prime p
n q : ℕ
hq : q ∈ replicate n p

⊢ Prime q
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m m₁ m₂ m₃ : OuterMeasure α
op : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
h : ∀ (s : Set α), m₁ s = op (m₂ s) (m₃ s)
s : Set α

⊢ m₁.trim s = op (m₂.trim s) (m₃.trim s)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m m₁ m₂ m₃ : OuterMeasure α
op : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
h : ∀ (s : Set α), m₁ s = op (m₂ s) (m₃ s)
s t : Set α
_hst : s ⊆ t
_ht : MeasurableSet t
htm : ∀ (i : Fin (Nat.succ 0).succ.succ), (![m₁, m₂, m₃] i) t = (![m₁, m₂, m₃] i).trim s

⊢ m₁.trim s = op (m₂.trim s) (m₃.trim s)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m m₁ m₂ m₃ : OuterMeasure α
op : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
h : ∀ (s : Set α), m₁ s = op (m₂ s) (m₃ s)
s t : Set α
_hst : s ⊆ t
_ht : MeasurableSet t
htm : m₁ t = m₁.trim s ∧ m₂ t = m₂.trim s ∧ m₃ t = m₃.trim s ∧ ∀ (i : Fin 0), (![] i) t = (![] i).trim s

⊢ m₁.trim s = op (m₂.trim s) (m₃.trim s)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/IterateMapComap.lean
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f i : N →ₗ[R] M
K : Submodule R N
m : ℕ
heq : f.iterateMapComap i m K = f.iterateMapComap i (m + 1) K
hf : Surjective ⇑f
hi : Injective ⇑i

⊢ ker f ≤ K
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/IterateMapComap.lean
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f i : N →ₗ[R] M
K : Submodule R N
m : ℕ
heq : f.iterateMapComap i m K = f.iterateMapComap i (m + 1) K
hf : Surjective ⇑f
hi : Injective ⇑i

⊢ ker f ≤ f.iterateMapComap i (0 + 1) K
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
hd : l.Nodup
n : ℕ

⊢ l.formPerm = (l.rotate n).formPerm
-- Mathlib/Algebra/Group/Commute/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Semigroup S
a✝ b c : S
h : Commute b c
a : S

⊢ a * b * c = a * c * b
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

⊢ s.toFinset.Nonempty ↔ s ≠ 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Decomposition.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X X' : SimplicialObject C
n : ℕ
Z Z' : C
f : MorphComponents X n Z
g : X' ⟶ X
h : Z ⟶ Z'

⊢ PInfty.f (n + 1) ≫ { a := f.a ≫ h, b := fun i => f.b i ≫ h }.a + ∑ i : Fin (n + 1), (P ↑i).f (n + 1) ≫ X.δ i.rev.succ ≫ { a := f.a ≫ h, b := fun i => f.b i ≫ h }.b i.rev = (PInfty.f (n + 1) ≫ f.a + ∑ i : Fin (n + 1), (P ↑i).f (n + 1) ≫ X.δ i.rev.succ ≫ f.b i.rev) ≫ h
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasureCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
κ η : Kernel α β
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

⊢ (dirac a ⊗ₘ κ) s = (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' s)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
hS : ∀ x ∈ S, IsAlgebraic F x

⊢ (adjoin F S).toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral F x

⊢ (adjoin F S).toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral F x
this : Algebra.IsIntegral F ↥(Algebra.adjoin F S)

⊢ (adjoin F S).toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
α : E
S : Set E
hS : ∀ x ∈ S, IsIntegral F x
this✝ : Algebra.IsIntegral F ↥(Algebra.adjoin F S)
this : IsField ↥(Algebra.adjoin F S)

⊢ (adjoin F S).toSubalgebra = Algebra.adjoin F S
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/ETransform.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α

⊢ (mulETransformLeft e x).1.card + (mulETransformLeft e x).2.card + ((mulETransformRight e x).1.card + (mulETransformRight e x).2.card) = x.1.card + x.2.card + (x.1.card + x.2.card)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ s₃ : Finset α
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ s₁ ∩ s₂ ∩ s₃ ↔ x✝ ∈ s₁ ∩ (s₂ ∩ s₃)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]

⊢ ({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ } - { toFinsupp := toFinsupp✝ }).coeff n = { toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.coeff n - { toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]

⊢ (match (motive := R[X] → ℕ → R) { toFinsupp := toFinsupp✝¹ - toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => ⇑p) n = (match (motive := R[X] → ℕ → R) { toFinsupp := toFinsupp✝¹ } with | { toFinsupp := p } => ⇑p) n - (match (motive := R[X] → ℕ → R) { toFinsupp := toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => ⇑p) n
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ ‖x‖ / (o.oangle y (y - x)).tan = ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1

⊢ ‖x‖ / (o.oangle y (y - x)).tan = ‖y‖
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : WSeq α

⊢ (Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) ([], cons a s)).destruct = Sum.inr (List.cons a <$> Computation.corec (fun x => match x with | (l, s) => match Seq.destruct s with | none => Sum.inl l.reverse | some (none, s') => Sum.inr (l, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: l, s')) ([], s))
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : WSeq α

⊢ Computation.corec (fun x => match Seq.destruct x.2 with | none => Sum.inl x.1.reverse | some (none, s') => Sum.inr (x.1, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: x.1, s')) ([a], s) = List.cons a <$> Computation.corec (fun x => match Seq.destruct x.2 with | none => Sum.inl x.1.reverse | some (none, s') => Sum.inr (x.1, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: x.1, s')) ([], s)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : WSeq α

⊢ (fun x => [a].reverse ++ x) <$> s.toList = List.cons a <$> Computation.corec (fun x => match Seq.destruct x.2 with | none => Sum.inl x.1.reverse | some (none, s') => Sum.inr (x.1, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: x.1, s')) ([], s)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : WSeq α

⊢ (fun x => a :: x) <$> s.toList = List.cons a <$> Computation.corec (fun x => match Seq.destruct x.2 with | none => Sum.inl x.1.reverse | some (none, s') => Sum.inr (x.1, s') | some (some a, s') => Sum.inr (a :: x.1, s')) ([], s)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/WF.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
t : RBNode α
h : WF cmp t

⊢ Ordered cmp t ∧ ∃ c n, t.Balanced c n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
r : R
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i

⊢ ((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1)) x = r • x
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
r : R
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i

⊢ (gradedMul R 𝒜 ℬ) ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1) = DistribMulAction.toLinearMap R (DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ) r
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
r : R
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
ia : ι
a : 𝒜 ia
ib : ι
b : ℬ ib

⊢ ((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r ⊗ₜ[R] 1)) ((lof R ι 𝒜 ia) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ib) b) = r • (lof R ι 𝒜 ia) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ib) b
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
r : R
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
ia : ι
a : 𝒜 ia
ib : ι
b : ℬ ib

⊢ (-1) ^ (0 * ia) • ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r * (lof R ι 𝒜 ia) a) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ 0) GradedMonoid.GOne.one * (lof R ι ℬ ib) b) = r • (lof R ι 𝒜 ia) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ib) b
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
r : R
x : (⨁ (i : ι), 𝒜 i) ⊗[R] ⨁ (i : ι), ℬ i
ia : ι
a : 𝒜 ia
ib : ι
b : ℬ ib

⊢ ((algebraMap R (DirectSum ι 𝒜)) r * (lof R ι 𝒜 ia) a) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ 0) GradedMonoid.GOne.one * (lof R ι ℬ ib) b) = (r • (lof R ι 𝒜 ia) a) ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ ib) b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x

⊢ logb b x ≤ 0 ↔ x ≤ 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p : ℕ
hn : Fact (Nat.Prime p)

⊢ eval 1 (cyclotomic p R) = ↑p
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g
h : b ⟶ c

⊢ η.hom ▷ h ≫ η.inv ▷ h = 𝟙 (f ≫ h)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hx : 0 < x

⊢ logb b x ≤ 0 ↔ 1 ≤ x