ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Complex/Tietze.lean
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)
hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖
g : C(X, E)
hg_mem : ∀ (x : X), g x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖
hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f

⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.restrict s = f
-- Mathlib/Analysis/Complex/Tietze.lean
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)
hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖
g : C(X, E)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f
hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖

⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.restrict s = f
-- Mathlib/Analysis/Complex/Tietze.lean
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)
hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖
g : C(X, E)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f
hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖
g' : X →ᵇ E := ofNormedAddCommGroup ⇑g ⋯ ‖f‖ hg_mem

⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.restrict s = f
-- Mathlib/Analysis/Complex/Tietze.lean
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)
hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖
g : C(X, E)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f
hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖
g' : X →ᵇ E := ofNormedAddCommGroup ⇑g ⋯ ‖f‖ hg_mem

⊢ ‖g'‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/Tietze.lean
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)
hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖
g : C(X, E)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f
hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖
g' : X →ᵇ E := ofNormedAddCommGroup ⇑g ⋯ ‖f‖ hg_mem

⊢ ‖f‖ ≤ ‖g'‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/Tietze.lean
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)
hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖
g : C(X, E)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f
hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖
g' : X →ᵇ E := ofNormedAddCommGroup ⇑g ⋯ ‖f‖ hg_mem
x : ↑s

⊢ ‖f x‖ ≤ ‖g'‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/Tietze.lean
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)
hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖
g : C(X, E)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f
hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖
g' : X →ᵇ E := ofNormedAddCommGroup ⇑g ⋯ ‖f‖ hg_mem
x : ↑s
hx : f x = g' ↑x

⊢ ‖f x‖ ≤ ‖g'‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/Tietze.lean
X : Type u
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : NormalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
𝕜 : Type v
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : TietzeExtension 𝕜
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
f : ↑s →ᵇ E
hf : ¬‖f‖ = 0
this : TietzeExtension ↑(Metric.closedBall 0 ‖f‖)
hf' : ∀ (x : ↑s), f x ∈ Metric.closedBall 0 ‖f‖
g : C(X, E)
hg : ContinuousMap.restrict s g = ↑f
hg_mem : ∀ (x : X), ‖g x‖ ≤ ‖f‖
g' : X →ᵇ E := ofNormedAddCommGroup ⇑g ⋯ ‖f‖ hg_mem
x : ↑s
hx : f x = g' ↑x

⊢ ‖g' ↑x‖ ≤ ‖g'‖
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Opens.lean
X : TopCat

⊢ ⋯.functor = map (inclusionTopIso X).inv
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Opens.lean
X : TopCat

⊢ ∀ (X_1 : Opens ↑((toTopCat X).obj ⊤)), ⋯.functor.obj X_1 = (map (inclusionTopIso X).inv).obj X_1
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Opens.lean
X : TopCat

⊢ ∀ (X_1 Y : Opens ↑((toTopCat X).obj ⊤)) (f : X_1 ⟶ Y), ⋯.functor.map f = eqToHom ⋯ ≫ (map (inclusionTopIso X).inv).map f ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
x : ℂ

⊢ normSq x = abs x ^ 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/CoherenceLemmas.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C

⊢ 𝟙 X ⊗ (ρ_ Y).inv = (ρ_ (X ⊗ Y)).inv ≫ (α_ X Y (𝟙_ C)).hom
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
v w : V
h : v ≠ w

⊢ Fintype.card ↑(⊤.commonNeighbors v w) = Fintype.card V - 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
v w : V
h : v ≠ w

⊢ (Set.univ.toFinset \ {v, w}.toFinset).card = Fintype.card V - 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
v w : V
h : v ≠ w

⊢ Set.univ.toFinset.card - {v, w}.toFinset.card = Fintype.card V - 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableEq V
v w : V
h : v ≠ w

⊢ {v, w}.toFinset ⊆ Set.univ.toFinset
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
m✝ n✝ n m : ℕ
hnm : n ≤ m

⊢ n ! * n ^ (m - n) ≤ m !
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁶ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : AddMonoid β
inst✝² : Monoid 𝕜
inst✝¹ : DistribMulAction 𝕜 β
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
c : 𝕜

⊢ FinStronglyMeasurable (c • f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁶ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : AddMonoid β
inst✝² : Monoid 𝕜
inst✝¹ : DistribMulAction 𝕜 β
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
c : 𝕜
n : ℕ

⊢ μ (support ↑((fun n => c • hf.approx n) n)) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁶ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
𝕜 : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : AddMonoid β
inst✝² : Monoid 𝕜
inst✝¹ : DistribMulAction 𝕜 β
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
c : 𝕜
n : ℕ

⊢ μ (support (c • ↑(hf.approx n))) < ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Basic.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasPushouts C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
inst✝ : Mono g
s : PushoutCocone f g
hs : IsColimit s
this : Mono ((colimit.cocone (span f g)).ι.app WalkingCospan.left)

⊢ Mono s.inl
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
H : IsCoprime x y

⊢ IsCoprime (x ^ m) y
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
H : IsCoprime x y

⊢ IsCoprime (∏ _x ∈ range m, x) y
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜

⊢ (𝓝[>] 0)⁻¹ = atTop
-- Mathlib/Algebra/Category/AlgebraCat/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ : Type u
X Y : AlgebraCat R
i : X ≅ Y
x : ↑X

⊢ (i.hom ≫ i.inv) x = x
-- Mathlib/Algebra/Category/AlgebraCat/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ : Type u
X Y : AlgebraCat R
i : X ≅ Y
x : ↑X

⊢ (𝟙 X) x = x
-- Mathlib/Algebra/Category/AlgebraCat/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ : Type u
X Y : AlgebraCat R
i : X ≅ Y
x : ↑Y

⊢ (i.inv ≫ i.hom) x = x
-- Mathlib/Algebra/Category/AlgebraCat/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ : Type u
X Y : AlgebraCat R
i : X ≅ Y
x : ↑Y

⊢ (𝟙 Y) x = x
-- Mathlib/Data/Vector/Mem.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
v : Vector α (n + 1)

⊢ a ∈ v.toList ↔ a = v.head ∨ a ∈ v.tail.toList
-- Mathlib/Data/Vector/Mem.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a'✝ : α
v : Vector α (n + 1)
a' : α
v' : Vector α n
h : v = a' ::ᵥ v'

⊢ a ∈ v.toList ↔ a = v.head ∨ a ∈ v.tail.toList
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I : R →+* R
B : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
H : B.IsSymm
x y : M
H1 : (B x) y = 0

⊢ (B y) x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I : R →+* R
B : M →ₛₗ[I] M →ₗ[R] R
H : B.IsSymm
x y : M
H1 : (B x) y = 0

⊢ I ((B x) y) = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : Function.Surjective ⇑f

⊢ f.idealRange = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.range = ⊤

⊢ f.idealRange = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.range = ⊤

⊢ ∃ N, ↑N = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.range = ⊤

⊢ ↑⊤ = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Preorder M
inst✝³ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝² : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → M
i : ι
l : List ι
ihl : (∀ i ∈ l, f i ≤ g i) → (∃ i ∈ l, f i < g i) → (map f l).prod < (map g l).prod
h₁ : ∀ i_1 ∈ i :: l, f i_1 ≤ g i_1
h₂ : ∃ i_1 ∈ i :: l, f i_1 < g i_1

⊢ (map f (i :: l)).prod < (map g (i :: l)).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Preorder M
inst✝³ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝² : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → M
i : ι
l : List ι
ihl : (∀ i ∈ l, f i ≤ g i) → (∃ i ∈ l, f i < g i) → (map f l).prod < (map g l).prod
h₂ : ∃ i_1 ∈ i :: l, f i_1 < g i_1
h₁ : f i ≤ g i ∧ ∀ x ∈ l, f x ≤ g x

⊢ f i * (map f l).prod < g i * (map g l).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Preorder M
inst✝³ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝² : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f g : ι → M
i : ι
l : List ι
ihl : (∀ i ∈ l, f i ≤ g i) → (∃ i ∈ l, f i < g i) → (map f l).prod < (map g l).prod
h₁ : f i ≤ g i ∧ ∀ x ∈ l, f x ≤ g x
h₂ : f i < g i ∨ ∃ a ∈ l, f a < g a

⊢ f i * (map f l).prod < g i * (map g l).prod
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
γ : Type u_5
g : γ → β
hg : Injective g
f : γ → α

⊢ ∏' (y : β), extend g f 1 y = ∏' (x : γ), f x
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
γ : Type u_5
g : γ → β
hg : Injective g
f : γ → α
this : mulSupport (extend g f 1) ⊆ Set.range g

⊢ ∏' (y : β), extend g f 1 y = ∏' (x : γ), f x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ Real.sin θ.toReal = θ.sin
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h : f a = f b

⊢ (∃ b_1 ∈ f b, ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b_1 c) ↔ ∃ b ∈ f a, ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b c
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α

⊢ sign (Equiv.trans f g) = sign g * sign f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Pasting.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : W ⟶ X
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback f' (pullback.fst f g)
inst✝ : HasPullback (f' ≫ f) g

⊢ (pullbackRightPullbackFstIso f g f').inv ≫ pullback.snd f' (pullback.fst f g) ≫ pullback.fst f g = pullback.fst (f' ≫ f) g ≫ f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Pasting.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : W ⟶ X
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback f' (pullback.fst f g)
inst✝ : HasPullback (f' ≫ f) g

⊢ (pullbackRightPullbackFstIso f g f').inv ≫ pullback.fst f' (pullback.fst f g) ≫ f' = pullback.fst (f' ≫ f) g ≫ f'
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}

⊢ ℵ₀ ≤ o.cof ↔ o.IsLimit
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop

⊢ ℵ₀ ≤ cof 0 ↔ IsLimit 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}

⊢ ℵ₀ ≤ (succ o).cof ↔ (succ o).IsLimit
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}
l : o.IsLimit

⊢ ℵ₀ ≤ o.cof ↔ o.IsLimit
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p q : α
hcontra : p = q
hp : p ≠ 0
x : α
hx' : ¬IsUnit x
hx'' : q = p * x

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p q : α
hcontra : p = q
hp : p ≠ 0
x : α
hx' : ¬IsUnit x
hx'' : p * 1 = p * x

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p q : α
hcontra : p = q
hp : p ≠ 0
x : α
hx' : ¬IsUnit 1
hx'' : p * 1 = p * x

⊢ False
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Pasting.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : X ⟶ Z
g' : Z ⟶ W
inst✝² : HasPushout f g
inst✝¹ : HasPushout (pushout.inr f g) g'
inst✝ : HasPushout f (g ≫ g')

⊢ pushout.inr f (g ≫ g') ≫ (pushoutLeftPushoutInrIso f g g').inv = pushout.inr (pushout.inr f g) g'
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts

⊢ s.card / P.parts.card ≤ t.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
ht : t ∈ P.parts

⊢ (∑ i ∈ P.parts, i.card) / P.parts.card ≤ t.card
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
A : Type u_3
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
f : ℕ → A
n : ℕ

⊢ (aeval f) (W_ R n) = ∑ i ∈ range (n + 1), ↑p ^ i * f i ^ p ^ (n - i)
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m✝ n : ℤ
m : ℕ

⊢ m < n.toNat ↔ ↑m < n
-- Mathlib/LinearAlgebra/CrossProduct.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v w : Fin 3 → R

⊢ w ⬝ᵥ (crossProduct v) w = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Monoidal.lean
I : Type u
inst✝⁵ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.157279, u_1} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C
inst✝² : X₃.HasTensor X₄
inst✝¹ : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)
inst✝ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄))
i₁ i₂ i₃ i₄ j : I
h : i₁ + i₂ + i₃ + i₄ = j
i₂₃₄ : I
hi : i₂ + i₃ + i₄ = i₂₃₄

⊢ i₁ + i₂₃₄ = j
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b : ℝ
f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε

⊢ ∃ p, ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b) - f‖ < ε
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b : ℝ
f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
w : ∃ᶠ (x : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)) in nhds f, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc a b)).toSubsemiring

⊢ ∃ p, ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b) - f‖ < ε
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b : ℝ
f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
w : ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ x ∈ Metric.ball f i, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc a b)).toSubsemiring

⊢ ∃ p, ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b) - f‖ < ε
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b : ℝ
f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
w : ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ x ∈ Metric.ball f i, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc a b)).toSubsemiring
m : ℝ[X]
H : ↑(Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom (Set.Icc a b)) m ∈ Metric.ball f ε

⊢ ∃ p, ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b) - f‖ < ε
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b : ℝ
f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
w : ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ x ∈ Metric.ball f i, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc a b)).toSubsemiring
m : ℝ[X]
H : ‖↑(Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom (Set.Icc a b)) m - f‖ < ε

⊢ ∃ p, ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b) - f‖ < ε
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive

⊢ IsUnit f ↔ IsUnit (map φ f)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
h : IsUnit (map φ f)

⊢ IsUnit f
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
h : IsUnit (map φ f)
u : Sˣ
hu : C ↑u = map φ f

⊢ IsUnit f
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
h : IsUnit (map φ f)
u : Sˣ
hu : C ↑u = map φ f
hdeg : (C ↑u).degree = 0

⊢ IsUnit f
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : f.IsPrimitive
h : IsUnit (map φ f)
u : Sˣ
hu : C ↑u = map φ f
hdeg : f.degree = 0

⊢ IsUnit f
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑φ
f : R[X]
hf : (C (f.coeff 0)).IsPrimitive
h : IsUnit (map φ f)
u : Sˣ
hu : C ↑u = map φ f
hdeg : f.degree = 0

⊢ IsUnit (C (f.coeff 0))
-- Mathlib/Data/Finsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ f g : ι →₀ α
s✝ : Finset ι
hf : f.support ⊆ s✝
h : ∀ i ∈ s✝, f i ≤ g i
s : ι

⊢ f s ≤ g s
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℤ
f : α → ℤ

⊢ (Multiset.map (fun x => x % n) (Multiset.map (fun i => f i) s.val)).prod % n = (∏ i ∈ s, f i % n) % n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℤ
f : α → ℤ

⊢ (Multiset.map ((fun x => x % n) ∘ fun i => f i) s.val).prod % n = (Multiset.map (fun i => f i % n) s.val).prod % n
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α

⊢ borel ℝ = generateFrom (⋃ a, {Ioi ↑a})
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α

⊢ generateFrom (range Ioi) = generateFrom (⋃ a, {Ioi ↑a})
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α

⊢ ∀ t ∈ range Ioi, MeasurableSet t
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
a : ℝ

⊢ MeasurableSet (Ioi a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
a : ℝ
this : IsGLB (range Rat.cast ∩ Ioi a) a

⊢ MeasurableSet (Ioi a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
a : ℝ
this : IsGLB (range Rat.cast ∩ Ioi a) a

⊢ MeasurableSet (⋃ y ∈ Rat.cast ⁻¹' Ioi a, Ioi ↑y)
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ

⊢ Primrec₂ fun p => encode
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ

⊢ Primrec₂ fun p a => p.1