ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α

⊢ filter (fun x => x < c) (Ico a b) = Ico a (min b c)
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
N : ℕ

⊢ ∏ p ∈ N.primesBelow, (1 - f p)⁻¹ = ∑' (m : ↑N.smoothNumbers), f ↑m
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedField F
inst✝ : CompleteSpace F
f : ℕ →* F
hsum : Summable ⇑f
N : ℕ

⊢ ∏ p ∈ filter (fun p => Nat.Prime p) (range N), (1 - f p)⁻¹ = ∑' (m : ↑(factoredNumbers (range N))), f ↑m
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x : E

⊢ x ∈ ⊤ᗮ ↔ x ∈ ⊥
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x : E

⊢ (∀ u ∈ ⊤, ⟪u, x⟫_𝕜 = 0) ↔ x = 0
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc

⊢ ↑na * ⅟↑da * (↑nb * ⅟↑db) = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da

⊢ ↑na * ⅟↑da * (↑nb * ⅟↑db) = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑(na * nb) = ↑(↑k * nc)

⊢ ↑na * ⅟↑da * (↑nb * ⅟↑db) = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc

⊢ ↑na * ⅟↑da * (↑nb * ⅟↑db) = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc

⊢ ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
h₂ : (fun x => ↑nc * ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc)) (da * db) = (fun x => ↑nc * ↑x * (⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc)) (k * dc)

⊢ ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
h₂ : ↑nc * ↑da * ↑db * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc

⊢ ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
h₂ : ↑nc * ↑da * ↑db * ⅟↑db * ⅟↑da * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc

⊢ ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
h₂ : ↑nc * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc

⊢ ↑k * ↑nc * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ⅟↑dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h₁✝ : na * nb = ↑k * nc
h₂✝ : da * db = k * dc
this✝ : Invertible ↑(da * db)
this : Invertible ↑dc
H : ∀ (a : α), a * ⅟↑da * ⅟↑db = a * ⅟↑db * ⅟↑da
h₁ : ↑na * ↑nb = ↑k * ↑nc
h₂ : ↑nc * ⅟↑dc = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc

⊢ ↑nc * ↑k * ⅟↑da * ⅟↑db = ↑nc * ↑k * ↑dc * ⅟↑da * ⅟↑db * ⅟↑dc
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
A✝ : Matrix n n α
b✝ : n → α
inst✝ : Subsingleton n
A : Matrix n n α
b : n → α
i : n

⊢ A.cramer b i = b i
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}

⊢ a + b = a ↔ max ℵ₀ b ≤ a ∨ b = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}

⊢ a + b = a ↔ ℵ₀ ≤ a ∧ b ≤ a ∨ b = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Operations.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
s t : Set α
m : OuterMeasure α

⊢ ((restrict s) m) t = m (t ∩ s)
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
a✝ : A
hx : a✝ ∈ __src✝.carrier

⊢ star a✝ ∈ __src✝.carrier
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n

⊢ ∃ i, j < c.sizeUpTo (i + 1) ∧ i < c.length
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n

⊢ ∃ i, j < c.sizeUpTo (i + 1) ∧ i < c.length
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
this : 0 < c.blocks.sum

⊢ ∃ i, j < c.sizeUpTo (i + 1) ∧ i < c.length
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
this : 0 < c.blocks.sum
length_pos : 0 < c.blocks.length

⊢ ∃ i, j < c.sizeUpTo (i + 1) ∧ i < c.length
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
this : 0 < c.blocks.sum
length_pos : 0 < c.blocks.length

⊢ j < c.sizeUpTo (c.length - 1 + 1)
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : ℕ
h : j < n
n_pos : 0 < n
this✝ : 0 < c.blocks.sum
length_pos : 0 < c.blocks.length
this : c.length - 1 + 1 = c.length

⊢ j < c.sizeUpTo (c.length - 1 + 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x₁ x₂ : FamilyOfElements P (generate R).arrows
t₁ : x₁.Compatible
t₂ : x₂.Compatible
h : FamilyOfElements.restrict ⋯ x₁ = FamilyOfElements.restrict ⋯ x₂

⊢ x₁ = x₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x₁ x₂ : FamilyOfElements P (generate R).arrows
t₁ : x₁.Compatible
t₂ : x₂.Compatible
h : FamilyOfElements.restrict ⋯ x₁ = FamilyOfElements.restrict ⋯ x₂

⊢ (FamilyOfElements.restrict ⋯ x₁).sieveExtend = (FamilyOfElements.restrict ⋯ x₂).sieveExtend
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Linearity.lean
f : ℕ → ℂ
c s a : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a

⊢ LSeriesHasSum (c • f) s (c * a)
-- Mathlib/Logic/Unique.lean
α : Sort u_1
inst✝ : Unique α
β : α → Sort v
f : (a : α) → β a
i x✝¹ : α
x✝ : HEq i x✝¹

⊢ HEq (f i) (Function.const α (f default) x✝¹)
-- Mathlib/Logic/Unique.lean
α : Sort u_1
inst✝ : Unique α
β : α → Sort v
f : (a : α) → β a
i x✝¹ : α
x✝ : HEq i x✝¹

⊢ HEq (f default) (Function.const α (f default) x✝¹)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)

⊢ Function.Surjective ⇑f
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)

⊢ ∀ (x : S), x ∈ Set.range ⇑f
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S

⊢ x ∈ Set.range ⇑f
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S

⊢ ∀ (r : ↑s), ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R S)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
r : ↑s
a : Localization.Away ↑r
e' : (Localization.awayMap f ↑r) a = (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) x

⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R S)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
r : ↑s
b : R
n : ℕ
e' : (Localization.awayMap f ↑r) (IsLocalization.mk' (Localization.Away ↑r) b ⟨(fun x => ↑r ^ x) n, ⋯⟩) = (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) x

⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R S)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
r : ↑s
b : R
n : ℕ
e' : IsLocalization.mk' (Localization.Away (f ↑r)) (f b) ⟨f ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n, ⋯⟩, ⋯⟩ = (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) x

⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R S)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
r : ↑s
b : R
n : ℕ
e' : (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) (x * ↑⟨f ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n, ⋯⟩, ⋯⟩) = (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) (f b)

⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R S)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
r : ↑s
b : R
n : ℕ
e' : (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) (x * ↑⟨f ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n, ⋯⟩, ⋯⟩) = (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) (f b)
n' : ℕ
e'' : ↑⟨(fun x => f ↑r ^ x) n', ⋯⟩ * (x * ↑⟨f ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n, ⋯⟩, ⋯⟩) = ↑⟨(fun x => f ↑r ^ x) n', ⋯⟩ * f b

⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R S)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
r : ↑s
b : R
n : ℕ
e' : (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) (x * ↑⟨f ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n, ⋯⟩, ⋯⟩) = (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) (f b)
n' : ℕ
e'' : f ↑r ^ n' * (x * f (↑r ^ n)) = f ↑r ^ n' * f b

⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R S)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set R
e : Ideal.span s = ⊤
H : ∀ (r : ↑s), (fun {R S} x x_1 f => Function.Surjective ⇑f) OreLocalization.instCommRing OreLocalization.instCommRing (Localization.awayMap f ↑r)
this : Algebra R S := f.toAlgebra
x : S
r : ↑s
b : R
n : ℕ
e' : (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) (x * ↑⟨f ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n, ⋯⟩, ⋯⟩) = (algebraMap S (Localization.Away (f ↑r))) (f b)
n' : ℕ
e'' : f (↑r ^ (n' + n)) * x = f (↑r ^ n' * b)

⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ LinearMap.range (Algebra.linearMap R S)
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n m : ℕ
h : Fin n = Fin m

⊢ _root_.cast h = cast ⋯
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
h : Fin n = Fin n

⊢ _root_.cast h = cast ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hco : (orderOf x).Coprime (orderOf y)

⊢ orderOf (x * y) = orderOf x * orderOf y
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hco : (orderOf x).Coprime (orderOf y)

⊢ minimalPeriod ((fun x_1 => x * x_1) ∘ fun x => y * x) 1 = orderOf x * orderOf y
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x

⊢ cos (3 * x) = 4 * cos x ^ 3 - 3 * cos x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x

⊢ cos x * cos (2 * x) - sin x * sin (2 * x) = 4 * cos x ^ 3 - 3 * cos x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x

⊢ cos x * (2 * (cos x * cos x)) - cos x - sin x * (2 * sin x * cos x) = 4 * cos x ^ 3 - 3 * cos x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
h2 : 4 * cos x ^ 3 = 2 * cos x * cos x * cos x + 2 * cos x * cos x ^ 2

⊢ cos x * (2 * (cos x * cos x)) - cos x - sin x * (2 * sin x * cos x) = 4 * cos x ^ 3 - 3 * cos x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
h2 : 4 * cos x ^ 3 = 2 * cos x * cos x * cos x + 2 * cos x * cos x ^ 2

⊢ cos x * (2 * (cos x * cos x)) - cos x - sin x * (2 * sin x * cos x) = 2 * cos x * cos x * cos x + 2 * cos x * (1 - sin x ^ 2) - 3 * cos x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R

⊢ wittOne p 0 = 1
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R

⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittOne p 0) = (map (Int.castRingHom ℚ)) 1
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Tendsto m f (𝓝 a)
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0

⊢ Tendsto (fun x => m x / b) f (𝓝 (a / b))
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Tendsto m f (𝓝 a)
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ 0

⊢ a ≠ 0 ∨ b⁻¹ ≠ ⊤
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a b c : R
ha : a ≠ 0
no_factors : ∀ {d : R}, d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d

⊢ a ∣ b * c → a ∣ c
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
m n : ℕ
φ : R⟦X⟧

⊢ (trunc n φ).coeff m = if m < n then (coeff R m) φ else 0
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q q' : Λ'

⊢ q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q' : Λ'
p✝ : Γ' → Bool
k₁✝ k₂✝ : K'
q : Λ'
q_ih : q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q

⊢ q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ insert (Λ'.move p✝ k₁✝ k₂✝ q) (trStmts₁ q)
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q' : Λ'
p✝ : Γ' → Bool
k✝ : K'
q : Λ'
q_ih : q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q

⊢ q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ insert (Λ'.clear p✝ k✝ q) (trStmts₁ q)
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q' q : Λ'
q_ih : q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q

⊢ q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ insert q.copy (trStmts₁ q)
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q' : Λ'
k✝ : K'
s✝ : Option Γ' → Option Γ'
q : Λ'
q_ih : q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q

⊢ q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ insert (Λ'.push k✝ s✝ q) (trStmts₁ q)
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q' : Λ'
q : Option Γ' → Λ'
q_ih : ∀ (a : Option Γ'), q' ∈ trStmts₁ (q a) → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ (q a)

⊢ (q' ∈ Finset.univ.biUnion fun s => trStmts₁ (q s)) → trStmts₁ q' ⊆ insert (Λ'.read q) (Finset.univ.biUnion fun s => trStmts₁ (q s))
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q' q : Λ'
q_ih : q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q

⊢ (q' = unrev q → insert (Λ'.move (fun x => false) rev main q) (trStmts₁ q) ⊆ insert q.succ (insert (unrev q) (trStmts₁ q))) ∧ (q' ∈ trStmts₁ q → trStmts₁ q' ⊆ insert q.succ (insert (unrev q) (trStmts₁ q)))
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q' q₁ q₂ : Λ'
q₁_ih : q' ∈ trStmts₁ q₁ → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q₁
q₂_ih : q' ∈ trStmts₁ q₂ → trStmts₁ q' ⊆ trStmts₁ q₂

⊢ (q' ∈ trStmts₁ q₁ → trStmts₁ q' ⊆ insert (q₁.pred q₂) (trStmts₁ q₁ ∪ insert (unrev q₂) (trStmts₁ q₂))) ∧ (q' = unrev q₂ → insert (Λ'.move (fun x => false) rev main q₂) (trStmts₁ q₂) ⊆ insert (q₁.pred q₂) (trStmts₁ q₁ ∪ insert (unrev q₂) (trStmts₁ q₂))) ∧ (q' ∈ trStmts₁ q₂ → trStmts₁ q' ⊆ insert (q₁.pred q₂) (trStmts₁ q₁ ∪ insert (unrev q₂) (trStmts₁ q₂)))
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → Set α
h : ¬Pairwise (Disjoint on f)

⊢ ∃ i j, i < j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → Set α
h : ¬univ.Pairwise (Disjoint on f)

⊢ ∃ i j, i < j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → Set α
h✝ : ¬univ.Pairwise (Disjoint on f)
i : ι
_hi : i ∈ univ
j : ι
_hj : j ∈ univ
h : i < j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j

⊢ ∃ i j, i < j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : TopologicalSpace β
h'f : HasCompactMulSupport f
hf : Continuous f
k : Set β
hk : IsClosed k
h'k : 1 ∉ k

⊢ IsCompact (f ⁻¹' k)
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x✝ : α
inst✝ : TopologicalSpace β
h'f : HasCompactMulSupport f
hf : Continuous f
k : Set β
hk : IsClosed k
h'k : 1 ∉ k
x : α
hx : x ∈ f ⁻¹' k

⊢ x ∈ mulTSupport f
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x✝ : α
inst✝ : TopologicalSpace β
h'f : HasCompactMulSupport f
hf : Continuous f
k : Set β
hk : IsClosed k
h'k : 1 ∉ k
x : α
hx : x ∈ f ⁻¹' k

⊢ x ∈ mulSupport f
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : CharZero k
h : s.card ≠ 0

⊢ ∑ i ∈ s, centroidWeights k s i = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : CharZero k
h : s.card ≠ 0

⊢ ↑s.card * (↑s.card)⁻¹ = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : CharZero k
h : s.card ≠ 0

⊢ ↑s.card ≠ 0