ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z

⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight N.X) (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul)).inv ≫ coequalizer.desc ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)) ⋯) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z

⊢ ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)) ≫ colimMap (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) ((α_ M.X Y.X (TensorBimod.X { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft { X := Y.X, actLeft := Y.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := Y.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } N) (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ((M.X ⊗ Y.X) ◁ LeftUnitorBimod.hom N) (M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N) ⋯ ⋯) = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z

⊢ (α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ M.X ◁ LeftUnitorBimod.hom N ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z

⊢ (α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ coequalizer.π (Y.mul ▷ N.X) ((α_ Y.X Y.X N.X).hom ≫ Y.X ◁ N.actLeft) ≫ M.X ◁ coequalizer.desc N.actLeft ⋯ ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z

⊢ (α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = coequalizer.π (M.actRight ▷ Y.X) ((α_ M.X Y.X Y.X).hom ≫ M.X ◁ Y.mul) ▷ N.X ≫ coequalizer.desc M.actRight ⋯ ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z

⊢ (α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = M.actRight ▷ N.X ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z

⊢ (α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft ≫ colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) WalkingParallelPair.one = ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ≫ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X Y.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X✝ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X✝
inst✝² : TopologicalSpace Y
s t : Set X✝
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : DiscreteTopology X

⊢ cocompact X = cofinite
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
hs : s.Subsingleton

⊢ (_root_.closure s).Subsingleton
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
α : Type u_7
f : α → E
s : Set α

⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (f '' s) ↔ ∃ r, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ r
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hg : UniformConcaveOn s ψ g

⊢ UniformConvexOn s (φ + ψ) (f - g)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R✝ : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : IsDomain R✝
p q : R✝[X]
inst✝⁴ : CommRing T
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : DecidableEq S
m : R →+* S
d : ℕ
U : Set R
h : U.Finite
π : R[X] → Fin (d + 1) → R := fun f i => f.coeff ↑i

⊢ Set.Finite fun f => f.natDegree ≤ d ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ U
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R✝ : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : IsDomain R✝
p q : R✝[X]
inst✝⁴ : CommRing T
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : DecidableEq S
m : R →+* S
d : ℕ
U : Set R
h : U.Finite
π : R[X] → Fin (d + 1) → R := fun f i => f.coeff ↑i

⊢ (π '' fun f => f.natDegree ≤ d ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ U) ⊆ Set.univ.pi fun x => U
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R✝ : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : IsDomain R✝
p q : R✝[X]
inst✝⁴ : CommRing T
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : DecidableEq S
m : R →+* S
d : ℕ
U : Set R
h : U.Finite
π : R[X] → Fin (d + 1) → R := fun f i => f.coeff ↑i

⊢ Set.InjOn π fun f => f.natDegree ≤ d ∧ ∀ (i : ℕ), f.coeff i ∈ U
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : Ring R
ι : Type v
inst✝¹⁰ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁸ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁷ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
G' : ι → Type v'
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G' i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
G'' : ι → Type v''
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G'' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
g₁ : (i : ι) → G i →ₗ[R] G' i
g₂ : (i : ι) → G' i →ₗ[R] G'' i
hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), g₁ j ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ g₁ i
hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), g₂ j ∘ₗ f' i j h = f'' i j h ∘ₗ g₂ i
i j : ι
h : i ≤ j

⊢ (fun i => g₂ i ∘ₗ g₁ i) j ∘ₗ f i j h = f'' i j h ∘ₗ (fun i => g₂ i ∘ₗ g₁ i) i
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
z τ : ℂ

⊢ (starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂'' z τ) = jacobiTheta₂'' ((starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
w : W

⊢ HasFDerivAt (fun w' => 𝐞 (-(L v) w') • f v) (𝐞 (-(L v) w) • fourierSMulRight L f v) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
w : W
ha : HasFDerivAt (fun w' => (L v) w') (L v) w

⊢ HasFDerivAt (fun w' => 𝐞 (-(L v) w') • f v) (𝐞 (-(L v) w) • fourierSMulRight L f v) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
w : W
ha : HasFDerivAt (fun w' => (L v) w') (L v) w

⊢ 𝐞 (-(L v) w) • fourierSMulRight L f v = ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)))).comp (-L v)).smulRight (f v)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
w : W
ha : HasFDerivAt (fun w' => (L v) w') (L v) w
w' : W

⊢ (𝐞 (-(L v) w) • fourierSMulRight L f v) w' = (((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)))).comp (-L v)).smulRight (f v)) w'
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
w : W
ha : HasFDerivAt (fun w' => (L v) w') (L v) w
w' : W

⊢ 𝐞 (-(L v) w) • -(2 * ↑π * I) • (L v) w' • f v = ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)))).comp (-L v)) w' • f v
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V
w : W
ha : HasFDerivAt (fun w' => (L v) w') (L v) w
w' : W

⊢ (↑((L v) w') * (↑(𝐞 (-(L v) w)) * -(2 * ↑π * I))) • f v = (↑(-(L v) w') * (2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)))) • f v
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

⊢ {v | v.asIdeal ∣ I}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

⊢ Finite { x // x.asIdeal ∣ I }
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_fin : Fintype { x // x ∣ I }

⊢ Finite { x // x.asIdeal ∣ I }
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_fin : Fintype { x // x ∣ I }

⊢ Injective fun v => ⟨(↑v).asIdeal, ⋯⟩
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_fin : Fintype { x // x ∣ I }
v w : { x // x.asIdeal ∣ I }
hvw : (↑v).asIdeal = (↑w).asIdeal

⊢ v = w
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
p : ι → Prop
s : ι → Set β
f : Filter β
u : β → α
h : f.HasBasis p s

⊢ ⨅ i, ⨅ (_ : p i), sSup (u '' s i) = ⨅ i, ⨅ (_ : p i), ⨆ a ∈ s i, u a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℂ
hx : x ≠ 0

⊢ log (↑r * x) = ↑(Real.log r) + log x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℂ
hx : abs x ≠ 0

⊢ log (↑r * x) = ↑(Real.log r) + log x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero

⊢ α (coroot α) = 2
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero

⊢ (Weight.toLinear K (↥H) L α) (coroot α) = 2
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f : α → M
a b c : α

⊢ ∏ x ∈ Ico a b, f (x + c) = ∏ x ∈ Ico (a + c) (b + c), f x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f : α → M
a b c : α

⊢ ∏ x ∈ Ico a b, f (x + c) = ∏ x ∈ Ico a b, f ((addRightEmbedding c) x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), Memℒp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ : ∀ (i : Fin n) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : Fin (n + 1)) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), Memℒp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ : ∀ (i : Fin n) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : Fin (n + 1)) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), Memℒp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), Memℒp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ : ∀ (i : Fin n) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : Fin (n + 1)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b : ℝ≥0
h0 : ↑b ≠ 0 ∨ c ≠ 0
ht : ↑b ≠ ⊤ ∨ c ≠ ⊤

⊢ a ≤ c / ↑b ↔ a * ↑b ≤ c
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h0 : ↑0 ≠ 0 ∨ c ≠ 0
ht : ↑0 ≠ ⊤ ∨ c ≠ ⊤

⊢ a ≤ c / ↑0 ↔ a * ↑0 ≤ c
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b : ℝ≥0
h0 : ↑b ≠ 0 ∨ c ≠ 0
ht : ↑b ≠ ⊤ ∨ c ≠ ⊤
hb : b ≠ 0

⊢ a ≤ c / ↑b ↔ a * ↑b ≤ c
-- Mathlib/Order/CompleteLatticeIntervals.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : InfSet α
inst✝ : Inhabited ↑s
t : Set ↑s
h' : t.Nonempty
h'' : BddBelow t
h : sInf (Subtype.val '' t) ∈ s

⊢ sInf (Subtype.val '' t) = ↑(sInf t)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
hβ : (𝓤 β).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂

⊢ UniformEquicontinuous F ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
hβ : (𝓤 β).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂

⊢ (∀ (ib : κ₂), p₂ ib → ∃ ia, p₁ ia ∧ ∀ x ∈ s₁ ia, ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ (UniformFun.gen ι α ∘ s₂) ib) ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
hβ : (𝓤 β).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂

⊢ (∀ (ib : κ₂), p₂ ib → ∃ ia, p₁ ia ∧ ∀ (a b : β), (a, b) ∈ s₁ ia → ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) a, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) b) ∈ (UniformFun.gen ι α ∘ s₂) ib) ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
r : S
x : P.Ring

⊢ (f.sub g) (r ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) x) = r • Cotangent.mk ((f.subToKer g) x)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x y : ↥I

⊢ I.toCotangent x = I.toCotangent y ↔ ↑x - ↑y ∈ I ^ 2
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R
x y : ↥I

⊢ I.toCotangent x - I.toCotangent y = 0 ↔ ↑x - ↑y ∈ I ^ 2