ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : R
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s

⊢ ((iteratedFDerivWithin 𝕜 n (c • f) s x) fun x => 1) = c • (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) fun x => 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : R
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s

⊢ ((c • iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) fun x => 1) = c • (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s x) fun x => 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : Semigroup α
inst✝² : IsCancelMul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty

⊢ s.card + t.card - 1 ≤ (s * t).card
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : Semigroup α
inst✝² : IsCancelMul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty

⊢ s * {t.min' ht} ∩ ({s.max' hs} * t) = {s.max' hs * t.min' ht}
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : Semigroup α
inst✝² : IsCancelMul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty

⊢ ∀ x ∈ s * {t.min' ht} ∩ ({s.max' hs} * t), x = s.max' hs * t.min' ht
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : Semigroup α
inst✝² : IsCancelMul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty

⊢ ∀ a ∈ s, ∀ x ∈ t, s.max' hs * x = a * t.min' ht → a = s.max' hs
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : Cochain F G (-1)
i j : ℤ
hij : j + 1 = i

⊢ i + -1 = j
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : Cochain F G (-1)
p : ℤ

⊢ (δ (-1) 0 z).v p p ⋯ = (Cochain.ofHom (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij => z.v i j ⋯)).v p p ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : Cochain F G (-1)
p : ℤ

⊢ z.v p (p - 1) ⋯ ≫ G.d (p - 1) p + Int.negOnePow 0 • F.d p (p + 1) ≫ z.v (p + 1) p ⋯ = (Cochain.ofHom (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij => z.v i j ⋯)).v p p ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : Cochain F G (-1)
p : ℤ

⊢ z.v p (p - 1) ⋯ ≫ G.d (p - 1) p + F.d p (p + 1) ≫ z.v (p + 1) p ⋯ = (Homotopy.nullHomotopicMap' fun i j hij => z.v i j ⋯).f p
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : Cochain F G (-1)
p : ℤ

⊢ z.v p (p - 1) ⋯ ≫ G.d (p - 1) p + F.d p (p + 1) ≫ z.v (p + 1) p ⋯ = F.d p (p + 1) ≫ z.v (p + 1) p ⋯ + z.v p (p - 1) ⋯ ≫ G.d (p - 1) p
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/ENorm.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x y : V

⊢ ↑e (x - y) = ↑e (y - x)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m k : ℕ
i j : Fin k

⊢ HEq i j ↔ ↑i = ↑j
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesAt f p x

⊢ HasStrictFDerivAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p 1)) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesAt f p x

⊢ (fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) =o[nhds (x, x)] fun x => ‖x.1 - x.2‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesAt f p x

⊢ Tendsto (fun y => ‖y - (x, x)‖) (nhds (x, x)) (nhds 0)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
f : E → F
x : E
s : Set E
h : HasFPowerSeriesAt f p x

⊢ ‖id (x, x) - (x, x)‖ = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n

⊢ bernsteinPolynomial R n ν = (bernsteinPolynomial R n (n - ν)).comp (1 - X)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
h✝ : (type r).IsLimit
S : Set α
H : Unbounded r S
e : #↑S = (type r).cof
a : α
a' : α := enum r (succ (typein r a)) ⋯
b : α
h : b ∈ S
ab : ¬r b a'

⊢ typein r a < typein r a'
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
h✝ : (type r).IsLimit
S : Set α
H : Unbounded r S
e : #↑S = (type r).cof
a : α
a' : α := enum r (succ (typein r a)) ⋯
b : α
h : b ∈ S
ab : ¬r b a'

⊢ typein r a < succ (typein r a)
-- Mathlib/Order/Filter/SmallSets.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
s t : α → Set β
ht : Tendsto t la lb.smallSets
hst : ∀ᶠ (x : α) in la, s x ⊆ t x

⊢ Tendsto s la lb.smallSets
-- Mathlib/Order/Filter/SmallSets.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
s t : α → Set β
ht : ∀ t_1 ∈ lb, ∀ᶠ (x : α) in la, t x ⊆ t_1
hst : ∀ᶠ (x : α) in la, s x ⊆ t x

⊢ ∀ t ∈ lb, ∀ᶠ (x : α) in la, s x ⊆ t
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m✝ : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
m : M
hm : m ≠ 0

⊢ Ideal.IsMaximal (ker (toSpanSingleton R M m))
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m✝ : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
m : M
hm : m ≠ 0

⊢ IsSimpleModule R (R ⧸ ker (toSpanSingleton R M m))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/UniqueDifferential.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
f : M → M'
f' : E →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hd : DenseRange ⇑f'

⊢ UniqueMDiffWithinAt I' (f '' s) (f x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/UniqueDifferential.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
f : M → M'
f' : E →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hd : DenseRange ⇑f'
this : UniqueMDiffWithinAt I (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x

⊢ UniqueMDiffWithinAt I' (f '' s) (f x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/UniqueDifferential.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
f : M → M'
f' : E →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hd : DenseRange ⇑f'
this : UniqueMDiffWithinAt I (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x

⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range ↑I ⊆ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/UniqueDifferential.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
f : M → M'
f' : E →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hd : DenseRange ⇑f'
this : UniqueMDiffWithinAt I (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x

⊢ writtenInExtChartAt I I' x f '' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ∩ range ↑I) ⊆ ↑(extChartAt I' (f x)).symm ⁻¹' (f '' s) ∩ range ↑I'
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/UniqueDifferential.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
f : M → M'
f' : E →L[𝕜] E'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hd : DenseRange ⇑f'
this : UniqueMDiffWithinAt I (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x

⊢ writtenInExtChartAt I I' x f (↑(extChartAt I x) x) = ↑(extChartAt I' (f x)) (f x)
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
h0 : ¬x.gcd y = 0

⊢ PythagoreanTriple (x / ↑(x.gcd y)) (y / ↑(x.gcd y)) (z / ↑(x.gcd y))
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y : ℤ
h0 : ¬x.gcd y = 0
z0 : ℤ
h : PythagoreanTriple x y (↑(x.gcd y) * z0)

⊢ PythagoreanTriple (x / ↑(x.gcd y)) (y / ↑(x.gcd y)) (↑(x.gcd y) * z0 / ↑(x.gcd y))
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
z0 : ℤ
k : ℕ
x0 y0 : ℤ
k0 : 0 < k
h2 : x0.gcd y0 = 1
h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0
h : PythagoreanTriple (x0 * ↑k) (y0 * ↑k) (↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)) * z0)

⊢ PythagoreanTriple (x0 * ↑k / ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k))) (y0 * ↑k / ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k))) (↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)) * z0 / ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)))
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
z0 : ℤ
k : ℕ
x0 y0 : ℤ
k0 : 0 < k
h2 : x0.gcd y0 = 1
h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0
h : PythagoreanTriple (x0 * ↑k) (y0 * ↑k) (↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)) * z0)
hk : ↑k ≠ 0

⊢ PythagoreanTriple (x0 * ↑k / ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k))) (y0 * ↑k / ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k))) (↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)) * z0 / ↑((x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k)))
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
z0 : ℤ
k : ℕ
x0 y0 : ℤ
k0 : 0 < k
h2 : x0.gcd y0 = 1
h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0
h : PythagoreanTriple (x0 * ↑k) (y0 * ↑k) (↑k * z0)
hk : ↑k ≠ 0

⊢ PythagoreanTriple (x0 * ↑k / ↑k) (y0 * ↑k / ↑k) (↑k * z0 / ↑k)
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
z0 : ℤ
k : ℕ
x0 y0 : ℤ
k0 : 0 < k
h2 : x0.gcd y0 = 1
h0 : ¬(x0 * ↑k).gcd (y0 * ↑k) = 0
h : PythagoreanTriple x0 y0 z0
hk : ↑k ≠ 0

⊢ PythagoreanTriple (x0 * ↑k / ↑k) (y0 * ↑k / ↑k) (↑k * z0 / ↑k)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hg : Function.Surjective ⇑g

⊢ RingHom.ker (map (AlgHom.id R A) g) = Ideal.map includeRight (RingHom.ker g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hg : Function.Surjective ⇑g

⊢ Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map (AlgHom.id R A) g)) = Submodule.restrictScalars R (Ideal.map includeRight (RingHom.ker g))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hg : Function.Surjective ⇑g
this : Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map (AlgHom.id R A) g)) = LinearMap.ker (LinearMap.lTensor A g.toLinearMap)

⊢ Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map (AlgHom.id R A) g)) = Submodule.restrictScalars R (Ideal.map includeRight (RingHom.ker g))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hg : Function.Surjective ⇑g
this : Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map (AlgHom.id R A) g)) = LinearMap.ker (LinearMap.lTensor A g.toLinearMap)

⊢ LinearMap.ker (LinearMap.lTensor A g.toLinearMap) = LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker g)).subtype)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hg : Function.Surjective ⇑g
this : Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map (AlgHom.id R A) g)) = LinearMap.ker (LinearMap.lTensor A g.toLinearMap)

⊢ LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (LinearMap.ker g.toLinearMap).subtype) = LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker g)).subtype)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
b : β
hb : b ∈ B
s t : Multiset α
x✝² : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
x✝¹ : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
hs : card s = n
ht : card t = n
x✝ : s.prod = t.prod

⊢ (map (fun x => b) s).prod = (map (fun x => b) t).prod
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : β → α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial β

⊢ {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}.Countable
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : β → α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial β
this : Nonempty α

⊢ {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}.Countable
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : β → α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial β
this : Nonempty α
s : Set β := {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}
z : β → α
hz : ∀ x ∈ s, f x < z x ∧ ∀ (y : β), x < y → z x ≤ f y

⊢ {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}.Countable
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : β → α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial β
this : Nonempty α
s : Set β := {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}
z : β → α
hz : ∀ x ∈ s, f x < z x ∧ ∀ (y : β), x < y → z x ≤ f y
I : InjOn f s

⊢ {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}.Countable
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : β → α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial β
this : Nonempty α
s : Set β := {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}
z : β → α
hz : ∀ x ∈ s, f x < z x ∧ ∀ (y : β), x < y → z x ≤ f y
I : InjOn f s
fs_count : (f '' s).Countable

⊢ {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : β), x < y → z ≤ f y}.Countable
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

⊢ (fun x => a - x) '' Ioc b c = Ico (a - c) (a - b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)

⊢ (fun x => a - x) '' Ioc b c = Ico (a - c) (a - b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)

⊢ (fun x => a - x) '' Ioc b c = Ico (a - c) (a - b)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.128478, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_6, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'
i : IsIso (whiskerLeft G.op α.val)

⊢ IsIso α
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.128478, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_6, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'
i : IsIso (whiskerLeft G.op α.val)

⊢ α = (sheafIso (asIso (whiskerLeft G.op α.val))).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.128478, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_6, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ✝ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ'✝ ℱ ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'
i : IsIso (whiskerLeft G.op α.val)

⊢ α.val = (sheafIso (asIso (whiskerLeft G.op α.val))).hom.val
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
h : 0 ≠ 1
p : R[X]
hp : p.Monic

⊢ p ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
h : 0 ≠ 1
p : R[X]
hp : p.Monic
inst✝ : Nontrivial R

⊢ p ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
F✝ : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
g✝ : E✝ → F✝
c : ℝ≥0
α : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
K' : ℝ≥0
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : E → F
hL : Memℒp (g ∘ f) p μ
hg : UniformContinuous g
hg' : AntilipschitzWith K' g
g0 : g 0 = 0

⊢ Memℒp f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
F✝ : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
g✝ : E✝ → F✝
c : ℝ≥0
α : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
K' : ℝ≥0
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : E → F
hL : Memℒp (g ∘ f) p μ
hg : UniformContinuous g
hg' : AntilipschitzWith K' g
g0 : g 0 = 0
A : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ↑K' * ‖g (f x)‖

⊢ Memℒp f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
F✝ : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α✝
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α✝
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
g✝ : E✝ → F✝
c : ℝ≥0
α : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
K' : ℝ≥0
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : E → F
hL : Memℒp (g ∘ f) p μ
hg : UniformContinuous g
hg' : AntilipschitzWith K' g
g0 : g 0 = 0
A : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ↑K' * ‖g (f x)‖
B : AEStronglyMeasurable f μ

⊢ Memℒp f p μ