ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : BorelSpace γ
p : ℝ≥0∞
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : Memℒp f p μ

⊢ eLpNorm g p ν < ⊤
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : BorelSpace γ
p : ℝ≥0∞
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : Memℒp f p μ

⊢ eLpNorm f p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
p : ℝ≥0∞

⊢ eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G

⊢ eLpNorm (s.indicator fun x => c) 0 μ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / ENNReal.toReal 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0

⊢ eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
hp : ⊤ ≠ 0

⊢ eLpNorm (s.indicator fun x => c) ⊤ μ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / ⊤.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
h'p : p ≠ ⊤

⊢ eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
h'p : p ≠ ⊤
t : Set α := toMeasurable μ s

⊢ eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ

⊢ ∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ

⊢ ∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = peval (polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i]
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
f₀ : ((↑fun a => a ∈ (univ ×ˢ range (n + 1)).val) → k) → k
hf₀ : ∀ (x : Fin 2 × ℕ → k), f₀ (x ∘ Subtype.val) = (aeval x) (polyOfInterest p n)

⊢ ∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = peval (polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i]
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
f₀ : ((↑fun a => a ∈ (univ ×ˢ range (n + 1)).val) → k) → k
hf₀ : ∀ (x : Fin 2 × ℕ → k), f₀ (x ∘ Subtype.val) = (aeval x) (polyOfInterest p n)
this : ∀ (a : Multiset (Fin 2)) (b : Multiset ℕ), a ×ˢ b = a.product b

⊢ ∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = peval (polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i]
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
f₀ : ((↑fun a => a ∈ (univ ×ˢ range (n + 1)).val) → k) → k
hf₀ : ∀ (x : Fin 2 × ℕ → k), f₀ (x ∘ Subtype.val) = (aeval x) (polyOfInterest p n)
this : ∀ (a : Multiset (Fin 2)) (b : Multiset ℕ), a ×ˢ b = a.product b
f : TruncatedWittVector p (n + 1) k → TruncatedWittVector p (n + 1) k → k := fun x y => f₀ fun a => Subtype.casesOn a fun a ha => Function.uncurry ![x, y] (a.1, ⟨a.2, ⋯⟩)

⊢ ∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = peval (polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i]
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
f₀ : ((↑fun a => a ∈ (univ ×ˢ range (n + 1)).val) → k) → k
hf₀ : ∀ (x : Fin 2 × ℕ → k), f₀ (x ∘ Subtype.val) = (aeval x) (polyOfInterest p n)
this : ∀ (a : Multiset (Fin 2)) (b : Multiset ℕ), a ×ˢ b = a.product b
f : TruncatedWittVector p (n + 1) k → TruncatedWittVector p (n + 1) k → k := fun x y => f₀ fun a => Subtype.casesOn a fun a ha => Function.uncurry ![x, y] (a.1, ⟨a.2, ⋯⟩)

⊢ ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = peval (polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i]
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
h : p ≠ 0

⊢ (normalizeScaleRoots p).coeff (normalizeScaleRoots p).natDegree = 1
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
h : p ≠ 0

⊢ (normalizeScaleRoots p).coeff p.natDegree = 1
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S
h : p ≠ 0

⊢ p = 0 → 0 = 1
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Quotient.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
x : β
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
x✝ : G

⊢ x✝ ∈ stabilizer G ↑1 ↔ x✝ ∈ H
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p i : Fin n

⊢ p.predAbove (p.castSucc.succAbove i) = i
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p i : Fin n
h : p ≤ i

⊢ p.predAbove (p.castSucc.succAbove i) = i
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p i : Fin n
h : i < p

⊢ p.predAbove (p.castSucc.succAbove i) = i
-- Mathlib/Logic/Embedding/Set.lean
α : Type ?u.1065
β : Type ?u.1066
f : Option α ↪ β

⊢ ∀ (x : Option α), ((fun f => f.fst.optionElim ↑f.snd ⋯) ((fun f => ⟨coeWithTop.trans f, ⟨f none, ⋯⟩⟩) f)) x = f x
-- Mathlib/Logic/Embedding/Set.lean
α : Type ?u.1065
β : Type ?u.1066
f : Option α ↪ β
val✝ : α

⊢ f ↑val✝ = f (some val✝)
-- Mathlib/Logic/Embedding/Set.lean
α : Type ?u.1065
β : Type ?u.1066
x✝ : (f : α ↪ β) × ↑(range ⇑f)ᶜ
f : α ↪ β
y : β
hy : y ∈ (range ⇑f)ᶜ

⊢ (fun f => ⟨coeWithTop.trans f, ⟨f none, ⋯⟩⟩) ((fun f => f.fst.optionElim ↑f.snd ⋯) ⟨f, ⟨y, hy⟩⟩) = ⟨f, ⟨y, hy⟩⟩
-- Mathlib/Logic/Embedding/Set.lean
α : Type ?u.1065
β : Type ?u.1066
x✝¹ : (f : α ↪ β) × ↑(range ⇑f)ᶜ
f : α ↪ β
y : β
hy : y ∈ (range ⇑f)ᶜ
x✝ : α

⊢ (f.optionElim y ⋯) ↑x✝ = f x✝
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
hs : s ∈ {s | a ∈ s}
t : Finset α
ht : t ∈ {s | a ∈ s}
h : s.erase a = (fun s => s.erase a) t

⊢ s = t
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
f'' : γ ≃ δ

⊢ (e.trans e').transEquiv f'' = e.trans (e'.transEquiv f'')
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
p a b : ℕ
hpb : p ∈ b.primeFactorsList
ha : a ≠ 0

⊢ p ∈ (a * b).primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
p a b : ℕ
hpb : p ∈ b.primeFactorsList
ha : a ≠ 0

⊢ p ∈ (b * a).primeFactorsList
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : ℝ
rpos : 0 < r
c : E
h : IsCompact (closedBall c r)

⊢ IsCompact (closedBall 0 r)
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : AddCommGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
a x : α

⊢ (fun x => f (a - x)) (x + c) = -(fun x => f (a - x)) x
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin n → α
i : Fin (n + 1)

⊢ vecCons x u (i + i + 1) = vecAlt1 ⋯ (vecAppend ⋯ (vecCons x u) (vecCons x u)) i
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin n → α
i : Fin (n + 1)

⊢ vecCons x u (i + i + 1) = (vecCons x u ∘ fun n_1 => n_1 + n_1 + 1) i
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α

⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ (t : Set β), IsOpen t → f x ∈ t → ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ u ∩ s ⊆ f ⁻¹' t
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
s : β → α

⊢ ∏' (i : ℕ), m (⨆ b ∈ decode₂ β i, s b) = ∏' (b : β), m (s b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
s : β → α

⊢ ∏' (i : ℕ), m (⨆ b ∈ decode₂ β i, s b) = ∏' (y : ℕ), extend encode (fun b => m (s b)) 1 y
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Encodable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
s : β → α
n : ℕ

⊢ m (⨆ b ∈ decode₂ β n, s b) = extend encode (fun b => m (s b)) 1 n
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
b : β
t : Set γ
f : β × γ → α

⊢ ∏' (x : ↑({b} ×ˢ t)), f ↑x = ∏' (c : ↑t), f (b, ↑c)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/NormPow.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : E
p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ ‖fderiv ℝ (fun x => ‖x‖ ^ p) x‖ = p * ‖x‖ ^ (p - 1)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/NormPow.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : E
p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ ‖p‖ * ‖‖x‖ ^ (p - 2)‖ * ‖(innerSL ℝ) x‖ = p * ‖x‖ ^ (p - 1)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/NormPow.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : E
p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ p * (‖x‖ ^ (p - 2) * ‖x‖) = p * ‖x‖ ^ (p - 1)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/NormPow.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : E
p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ p * ‖x‖ ^ (p - 2 + 1) = p * ‖x‖ ^ (p - 1)
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
s t : Finset α
a✝ : α

⊢ a✝ ∈ s ⊼ tᶜˢ ↔ a✝ ∈ s \\ t
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
s t : Finset α
a✝ : α

⊢ (∃ a ∈ s, ∃ b, bᶜ ∈ t ∧ a ⊓ b = a✝) ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a ⊓ bᶜ = a✝
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
m e : Nat

⊢ Rat.ofScientific m false e = if false = true then mkRat (↑m) (10 ^ e) else ↑(m * 10 ^ e)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
m e : Nat

⊢ Rat.ofScientific m true e = if true = true then mkRat (↑m) (10 ^ e) else ↑(m * 10 ^ e)
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Y → Z

⊢ IsOpenMap (f ∘ ⇑h) ↔ IsOpenMap f
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Y → Z

⊢ IsOpenMap (f ∘ ⇑h) → IsOpenMap f
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Y → Z
hf : IsOpenMap (f ∘ ⇑h)

⊢ IsOpenMap f
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Y → Z
hf : IsOpenMap (f ∘ ⇑h)

⊢ IsOpenMap ((f ∘ ⇑h) ∘ ⇑h.symm)
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
a b c : R
h : Rel r b c

⊢ Rel r (a + b) (a + c)
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r : R → R → Prop
a b c : R
h : Rel r b c

⊢ Rel r (b + a) (c + a)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ ‖x‖ / (o.oangle (x - y) x).cos = ‖x - y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ ‖x‖ / ((-o).oangle x (x - y)).cos = ‖x - y‖
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n

⊢ (cyclotomic n R).roots.Nodup
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
h : (cyclotomic n R).roots = 0

⊢ (cyclotomic n R).roots.Nodup
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
ζ : R
hζ : ζ ∈ (cyclotomic n R).roots

⊢ (cyclotomic n R).roots.Nodup
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NeZero ↑n
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

⊢ (cyclotomic n R).roots.Nodup
-- Mathlib/Algebra/DualNumber.lean
R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }
a : A
ad : A[ε]

⊢ (lift fe) (a • ad) = (↑fe).1 a * (lift fe) ad
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Finite β
f : Perm β
hf : f.IsCycle
hf' : Nat.Prime (orderOf f)
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : n < orderOf f

⊢ (f ^ n).IsCycle
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i j : ℕ

⊢ (i, j) ∈ μ ↔ i < μ.colLen j
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i j : ℕ

⊢ (i, j) ∈ μ ↔ (j, i) ∈ μ.transpose
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : Monoid M
u : Mˣ
x✝ : IsUnit ↑u

⊢ ∃ b, ↑u * b = 1 ∧ b * ↑u = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
ι : Type u_1
inst✝ : Unique ι
h : finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0
i : ι

⊢ (basisSingleton ι h v hv) i = v
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
ι : Type u_1
inst✝ : Unique ι
h : finrank K V = 1
v : V
hv : v ≠ 0

⊢ (basisSingleton ι h v hv) default = v
-- Mathlib/RepresentationTheory/Character.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G
g : G

⊢ (V ⊗ W).character g = (V.character * W.character) g
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : IsScalarTower R A A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : Algebra R C
inst✝¹ : StarRing C
inst✝ : StarModule R C
φ : A →⋆ₙₐ[R] C
r✝ : R
a✝ : A

⊢ (↑↑(lift φ.toNonUnitalAlgHom).toRingHom).toFun (star (inl r✝ + ↑a✝)) = star ((↑↑(lift φ.toNonUnitalAlgHom).toRingHom).toFun (inl r✝ + ↑a✝))
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
s : Set A
r : R
a : A
ha : a ∈ s.centralizer
x : A
hx : x ∈ s

⊢ x * r • a = r • a * x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞
g_ae_measurable : AEMeasurable g (map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕))

⊢ essSup g (map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕)) = essSup (fun x => g ↑x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞
g_ae_measurable : AEMeasurable g (map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕))
hπ : Measurable QuotientGroup.mk

⊢ essSup g (map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕)) = essSup (fun x => g ↑x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞
g_ae_measurable : AEMeasurable g (map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕))
hπ : Measurable QuotientGroup.mk

⊢ essSup (g ∘ QuotientGroup.mk) (μ.restrict 𝓕) = essSup (fun x => g ↑x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞
g_ae_measurable : AEMeasurable g (map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕))
hπ : Measurable QuotientGroup.mk

⊢ ∀ (γ : ↥Γ.op) (x : G), (g ∘ QuotientGroup.mk) (γ • x) = (g ∘ QuotientGroup.mk) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝³ : Countable ↥Γ
inst✝² : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝¹ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G ⧸ Γ → ℝ≥0∞
g_ae_measurable : AEMeasurable g (map QuotientGroup.mk (μ.restrict 𝓕))
hπ : Measurable QuotientGroup.mk
γ : Gᵐᵒᵖ
hγ : γ ∈ Γ.op
x : G

⊢ ↑(x * MulOpposite.unop γ) = ↑x
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
i j : ℕ

⊢ (i + j).choose j = (i + j)! / (i ! * j !)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p s : Submodule R A
h1 : 1 ∈ s
hmul : ∀ (x y : A), x ∈ s → y ∈ s → x * y ∈ s
r : R

⊢ (algebraMap R A) r ∈ { carrier := ↑s, mul_mem' := hmul, one_mem' := h1, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p s : Submodule R A
h1 : 1 ∈ s
hmul : ∀ (x y : A), x ∈ s → y ∈ s → x * y ∈ s
r : R

⊢ r • 1 ∈ { carrier := ↑s, mul_mem' := hmul, one_mem' := h1, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯ }.carrier
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

⊢ (z₁ + z₂) ^ p ≤ 2 ^ (p - 1) * (z₁ ^ p + z₂ ^ p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0
hp : 1 ≤ 1

⊢ (z₁ + z₂) ^ 1 ≤ 2 ^ (1 - 1) * (z₁ ^ 1 + z₂ ^ 1)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h'p : 1 < p

⊢ (z₁ + z₂) ^ p ≤ 2 ^ (p - 1) * (z₁ ^ p + z₂ ^ p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h'p : 1 < p

⊢ (z₁ + z₂) ^ p = (1 / 2 * (2 * z₁) + 1 / 2 * (2 * z₂)) ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h'p : 1 < p

⊢ 2 ^ (p - 1) * (z₁ ^ p + z₂ ^ p) = 1 / 2 * (2 * z₁) ^ p + 1 / 2 * (2 * z₂) ^ p
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α

⊢ atTop = generate (range Ici)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
hα : IsEmpty α

⊢ atTop = generate (range Ici)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
hα : Nonempty α

⊢ atTop = generate (range Ici)