ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : Unique Mˣ
inst✝ : Unique Nˣ
m : M
n : N
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
a : Associates M
ha : a ∈ Set.Iic (Associates.mk m)
b : Associates M
hb : b ∈ Set.Iic (Associates.mk m)

⊢ { toFun := fun l => ⟨Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits ↑l, ⋯⟩), ⋯⟩, invFun := fun l => ⟨Associates.mk ↑(d.symm ⟨associatesEquivOfUniqueUnits ↑l, ⋯⟩), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨a, ha⟩ ≤ { toFun := fun l => ⟨Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits ↑l, ⋯⟩), ⋯⟩, invFun := fun l => ⟨Associates.mk ↑(d.symm ⟨associatesEquivOfUniqueUnits ↑l, ⋯⟩), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨b, hb⟩ ↔ ⟨a, ha⟩ ≤ ⟨b, hb⟩
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
a : α
ha : g a ≠ a
ha' : ∀ ⦃y : α⦄, g y ≠ y → g.SameCycle a y
b : β
hb : (g.extendDomain f) b ≠ b

⊢ (g.extendDomain f).SameCycle (↑(f a)) b
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
a : α
ha : g a ≠ a
ha' : ∀ ⦃y : α⦄, g y ≠ y → g.SameCycle a y
b : β
hb : (g.extendDomain f) b ≠ b
h : b = ↑(f (f.symm ⟨b, ⋯⟩))

⊢ (g.extendDomain f).SameCycle (↑(f a)) b
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
a : α
ha : g a ≠ a
ha' : ∀ ⦃y : α⦄, g y ≠ y → g.SameCycle a y
b : β
hb✝ : (g.extendDomain f) b ≠ b
hb : (g.extendDomain f) ↑(f (f.symm ⟨b, ⋯⟩)) ≠ ↑(f (f.symm ⟨b, ⋯⟩))
h : b = ↑(f (f.symm ⟨b, ⋯⟩))

⊢ (g.extendDomain f).SameCycle ↑(f a) ↑(f (f.symm ⟨b, ⋯⟩))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
a : α
ha : g a ≠ a
ha' : ∀ ⦃y : α⦄, g y ≠ y → g.SameCycle a y
b : β
hb✝ : (g.extendDomain f) b ≠ b
h : b = ↑(f (f.symm ⟨b, ⋯⟩))
hb : g (f.symm ⟨b, ⋯⟩) ≠ f.symm ⟨b, ⋯⟩

⊢ (g.extendDomain f).SameCycle ↑(f a) ↑(f (f.symm ⟨b, ⋯⟩))
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X : Cᵒᵖ
r₀ : ↑(R₀.obj X)
m₀ : ↑(M₀.presheaf.obj X)

⊢ (φ.app X) (r₀ • m₀) = r₀ • (φ.app X) m₀
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
f : Arrow D

⊢ f ∈ L.mapArrow.essImage
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.op.mapArrow.EssSurj

⊢ f ∈ L.mapArrow.essImage
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
f : Arrow D
this : L.op.mapArrow.EssSurj
g : Arrow Cᵒᵖ
e : L.op.mapArrow.obj g ≅ Arrow.mk f.hom.op

⊢ f ∈ L.mapArrow.essImage
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AddContent.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t

⊢ m s ≤ m t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AddContent.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t
h : ∑ u ∈ {s}, m u ≤ m t

⊢ m s ≤ m t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AddContent.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t

⊢ ↑{s} ⊆ C
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AddContent.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t

⊢ (↑{s}).PairwiseDisjoint id
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AddContent.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
m m' : AddContent C
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
hst : s ⊆ t

⊢ ∀ s_1 ∈ {s}, s_1 ⊆ t
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A✝ : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁹ : Field A✝
inst✝⁸ : Ring B
inst✝⁷ : Algebra A✝ B
x✝ : B
A : Type u_3
K : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : Algebra A R
inst✝¹ : Algebra K R
inst✝ : IsScalarTower A K R
x : R

⊢ minpoly K x ∣ map (algebraMap A K) (minpoly A x)
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A✝ : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁹ : Field A✝
inst✝⁸ : Ring B
inst✝⁷ : Algebra A✝ B
x✝ : B
A : Type u_3
K : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Algebra A K
inst✝² : Algebra A R
inst✝¹ : Algebra K R
inst✝ : IsScalarTower A K R
x : R

⊢ (Polynomial.aeval x) (map (algebraMap A K) (minpoly A x)) = 0
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α

⊢ (𝓝 ⊥).HasBasis (fun x => True) fun x => Iio ↑x
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
x : EReal
hx : ⊥ < x

⊢ ∃ i', True ∧ Iio ↑i' ⊆ Iio x
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
x : EReal
hx : ⊥ < x
y : ℚ
hxy : ↑↑y < x

⊢ ∃ i', True ∧ Iio ↑i' ⊆ Iio x
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ λ ^ 2 ∣ S'.c
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
hm : multiplicity.Finite λ S'.c

⊢ λ ^ 2 ∣ S'.c
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
hm : multiplicity.Finite λ S'.c

⊢ 2 ≤ (multiplicity λ S'.c).get hm
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
hm : multiplicity.Finite λ S'.c
this : λ ^ 4 ∣ S'.c ^ 3

⊢ 2 ≤ (multiplicity λ S'.c).get hm
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
hm : multiplicity.Finite λ S'.c
this : λ ^ 4 ∣ S'.c ^ 3
hm1 : ↑((multiplicity λ (S'.c ^ 3)).get ⋯) = multiplicity λ (S'.c ^ 3)

⊢ 2 ≤ (multiplicity λ S'.c).get hm
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
hm : multiplicity.Finite λ S'.c
this : 4 ≤ 3 * (multiplicity λ S'.c).get hm
hm1 : ↑((multiplicity λ (S'.c ^ 3)).get ⋯) = multiplicity λ (S'.c ^ 3)

⊢ 2 ≤ (multiplicity λ S'.c).get hm
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X✝ Y✝ X'✝ Y'✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : X'✝ ⟶ Y'✝
j✝ : J

⊢ ((limMap f ⊗ limMap g) ≫ limit.lift (Y✝ ⊗ Y'✝) { pt := limit Y✝ ⊗ limit Y'✝, π := { app := fun j => limit.π Y✝ j ⊗ limit.π Y'✝ j, naturality := ⋯ } }) ≫ limit.π (Y✝ ⊗ Y'✝) j✝ = (limit.lift (X✝ ⊗ X'✝) { pt := limit X✝ ⊗ limit X'✝, π := { app := fun j => limit.π X✝ j ⊗ limit.π X'✝ j, naturality := ⋯ } } ≫ limMap (f ⊗ g)) ≫ limit.π (Y✝ ⊗ Y'✝) j✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J

⊢ ((limit.lift (X ⊗ Y) { pt := limit X ⊗ limit Y, π := { app := fun j => limit.π X j ⊗ limit.π Y j, naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit Z)) ≫ limit.lift ((X ⊗ Y) ⊗ Z) { pt := limit (X ⊗ Y) ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π (X ⊗ Y) j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } } ≫ limMap (α_ X Y Z).hom) ≫ limit.π (X ⊗ Y ⊗ Z) j = ((α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ limit.lift (X ⊗ Y ⊗ Z) { pt := limit X ⊗ limit (Y ⊗ Z), π := { app := fun j => limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j, naturality := ⋯ } }) ≫ limit.π (X ⊗ Y ⊗ Z) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J

⊢ (limit.lift (X ⊗ Y) { pt := limit X ⊗ limit Y, π := { app := fun j => limit.π X j ⊗ limit.π Y j, naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit Z)) ≫ (limit.π (X ⊗ Y) j ⊗ limit.π Z j) ≫ (α_ (X.obj j) (Y.obj j) (Z.obj j)).hom = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J

⊢ (limit.lift (X ⊗ Y) { pt := limit X ⊗ limit Y, π := { app := fun j => limit.π X j ⊗ limit.π Y j, naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit Z)) ≫ ((limit.π (X ⊗ Y) j ⊗ 𝟙 (limit Z)) ≫ (𝟙 (X.obj j ⊗ Y.obj j) ⊗ limit.π Z j)) ≫ (α_ (X.obj j) (Y.obj j) (Z.obj j)).hom = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J

⊢ (((limit.π X j ⊗ limit.π Y j) ⊗ 𝟙 (limit Z)) ≫ (𝟙 (X.obj j ⊗ Y.obj j) ⊗ limit.π Z j)) ≫ (α_ (X.obj j) (Y.obj j) (Z.obj j)).hom = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J

⊢ ((limit.π X j ⊗ limit.π Y j) ⊗ limit.π Z j) ≫ (α_ (X.obj j) (Y.obj j) (Z.obj j)).hom = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J

⊢ (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π Y j ⊗ limit.π Z j) = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J

⊢ (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π Y j ⊗ limit.π Z j) = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift (Y ⊗ Z) { pt := limit Y ⊗ limit Z, π := { app := fun j => limit.π Y j ⊗ limit.π Z j, naturality := ⋯ } }) ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.π (Y ⊗ Z) j) ≫ (limit.π X j ⊗ 𝟙 ((Y ⊗ Z).obj j))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J

⊢ (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π Y j ⊗ limit.π Z j) = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.π Y j ⊗ limit.π Z j) ≫ (limit.π X j ⊗ 𝟙 ((Y ⊗ Z).obj j))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : J ⥤ C
j : J

⊢ (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π Y j ⊗ limit.π Z j) = (α_ (limit X) (limit Y) (limit Z)).hom ≫ (𝟙 (limit X) ⊗ limit.π Y j ⊗ limit.π Z j) ≫ (limit.π X j ⊗ 𝟙 (Y.obj j ⊗ Z.obj j))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J

⊢ (λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = ((limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ limit.lift (𝟙_ (J ⥤ C) ⊗ X) { pt := limit (𝟙_ (J ⥤ C)) ⊗ limit X, π := { app := fun j => limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j ⊗ limit.π X j, naturality := ⋯ } } ≫ limMap (λ_ X).hom) ≫ limit.π X j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J

⊢ (λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ (limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j ⊗ limit.π X j) ≫ (λ_ (X.obj j)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J

⊢ (λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } } ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ ((limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ limit.π X j)) ≫ (λ_ (X.obj j)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J

⊢ (λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = ((𝟙 (𝟙_ C) ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ limit.π X j)) ≫ (λ_ (X.obj j)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J

⊢ (λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ 𝟙 (limit X)) ≫ (λ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J

⊢ (ρ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = ((𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } }) ≫ limit.lift (X ⊗ 𝟙_ (J ⥤ C)) { pt := limit X ⊗ limit (𝟙_ (J ⥤ C)), π := { app := fun j => limit.π X j ⊗ limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j, naturality := ⋯ } } ≫ limMap (ρ_ X).hom) ≫ limit.π X j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J

⊢ (ρ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } }) ≫ (limit.π X j ⊗ limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j) ≫ (ρ_ (X.obj j)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J

⊢ (ρ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (𝟙 (limit X) ⊗ limit.lift ((Functor.const J).obj (𝟙_ C)) { pt := 𝟙_ C, π := { app := fun j => 𝟙 (𝟙_ C), naturality := ⋯ } }) ≫ ((𝟙 (limit X) ⊗ limit.π (𝟙_ (J ⥤ C)) j) ≫ (limit.π X j ⊗ 𝟙 (𝟙_ C))) ≫ (ρ_ (X.obj j)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J

⊢ (ρ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = ((𝟙 (limit X) ⊗ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (limit.π X j ⊗ 𝟙 (𝟙_ C))) ≫ (ρ_ (X.obj j)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : J ⥤ C
j : J

⊢ (ρ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j = (𝟙 (limit X) ⊗ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (ρ_ (limit X)).hom ≫ limit.π X j
-- Mathlib/CategoryTheory/Pi/Basic.lean
I : Type w₀
J : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝² : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
D : I → Type u₂
inst✝¹ : (i : I) → Category.{v₂, u₂} (D i)
F✝ G✝ : (i : I) → C i ⥤ D i
E : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.104939, u_1} E
F G : E ⥤ ((i : I) → C i)
τ : (i : I) → F ⋙ Pi.eval C i ⟶ G ⋙ Pi.eval C i
x✝¹ x✝ : E
f : x✝¹ ⟶ x✝
i : I

⊢ (F.map f ≫ (fun X i => (τ i).app X) x✝) i = ((fun X i => (τ i).app X) x✝¹ ≫ G.map f) i
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)
v w : V

⊢ (fromEdgeSet ∅).Adj v w ↔ ⊥.Adj v w
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ (o.oangle (x + y) y).tan = ‖x‖ / ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ ((-o).oangle y (x + y)).tan = ‖x‖ / ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ ((-o).oangle y (y + x)).tan = ‖x‖ / ‖y‖
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

⊢ Iic b \ Iio a = Icc a b
-- Mathlib/Data/Int/SuccPred.lean
a : ℤ
n : ℕ

⊢ succ^[n + 1] a = a + ↑(n + 1)
-- Mathlib/Data/Int/SuccPred.lean
a : ℤ
n : ℕ

⊢ (succ ∘ succ^[n]) a = a + ↑n + 1
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
h₂ : MeasurableEmbedding f
s : Set β

⊢ map f (μa.restrict (f ⁻¹' s)) = μb.restrict s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R

⊢ (if h0 : p = 0 then 0 else Nat.find ⋯) = Nat.find ⋯
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R

⊢ (if h0 : p = 0 then 0 else Nat.find ⋯) = Nat.find ⋯
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z

⊢ discr K ⇑B.basis • z ∈ adjoin R {B.gen}
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det

⊢ discr K ⇑B.basis • z ∈ adjoin R {B.gen}
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)

⊢ discr K ⇑B.basis • z ∈ adjoin R {B.gen}
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
cramer : (traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ (traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)

⊢ discr K ⇑B.basis • z ∈ adjoin R {B.gen}