ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasLimits C
inst✝⁴ : HasColimits C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
inst✝¹ : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
X Y : SheafedSpace C
f : X ⟶ Y
hf : OpenEmbedding ⇑f.base
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
y : ↑↑X.toPresheafedSpace
hy : y ∈ ↑U
H : IsIso ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C (f.base y)).map f.c ≫ TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y)
H' : IsIso (TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y)
this : IsIso (((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C (f.base y)).map f.c ≫ TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y) ≫ inv (TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.base X.presheaf y))

⊢ IsIso ((TopCat.Presheaf.stalkFunctor C ↑⟨f.base y, ⋯⟩).map (let_fun this := { val := f.c }; this).val)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/PairwiseIntersections.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X

⊢ F.IsSheaf ↔ F.IsSheafPairwiseIntersections
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b c d : α

⊢ ‖a ⊓ b - c ⊓ d‖ ≤ ‖a - c‖ + ‖b - d‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b c d : α

⊢ ‖a ⊓ b - c ⊓ d‖ ≤ ‖|a - c|‖ + ‖|b - d|‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b c d : α

⊢ |a ⊓ b - c ⊓ d| ≤ ||a - c| + |b - d||
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b c d : α

⊢ |a ⊓ b - c ⊓ d| ≤ |a - c| + |b - d|
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ

⊢ ENNReal.ofReal r ≤ ↑‖r‖₊
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ ENNReal.ofReal r ≤ ↑‖r‖₊
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ r : ℝ
hr : r ≤ 0

⊢ ENNReal.ofReal r ≤ ↑‖r‖₊
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ init n (-x) = init n (-init n x)
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
n : ℕ := card α
hn : n = card α
ha : 1 = card α
_h : card α ≤ 1
a b : α

⊢ a = b
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
n : ℕ := card α
hn : n = card α
ha : 1 = card α
_h : card α ≤ 1
a b x : α
hx : ∀ (y : α), y = x

⊢ a = b
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup R
f g : ℕ → R

⊢ (∀ n > 0, ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup R
f g : ℕ → R
f' : ArithmeticFunction R := { toFun := fun x => if x = 0 then 0 else f x, map_zero' := ⋯ }

⊢ (∀ n > 0, ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup R
f g : ℕ → R
f' : ArithmeticFunction R := { toFun := fun x => if x = 0 then 0 else f x, map_zero' := ⋯ }
g' : ArithmeticFunction R := { toFun := fun x => if x = 0 then 0 else g x, map_zero' := ⋯ }

⊢ (∀ n > 0, ∑ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, μ x.1 • g x.2 = f n
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
r : R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0

⊢ r = 0
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
r : R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0

⊢ Ideal.span {r} = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
r : R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0

⊢ ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), IsLocalization.coeSubmodule (Localization.AtPrime J) (Ideal.span {r}) = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
r : R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0
J : Ideal R
hJ : J.IsMaximal

⊢ Submodule.map (Algebra.linearMap R (Localization.AtPrime J)) (Ideal.span {r}) = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
r : R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0
J : Ideal R
hJ : J.IsMaximal

⊢ ∀ x ∈ ⇑(Algebra.linearMap R (Localization.AtPrime J)) '' {r}, x = 0
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
r : R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0
J : Ideal R
hJ : J.IsMaximal
w✝ : R
h' : w✝ ∈ {r}

⊢ (Algebra.linearMap R (Localization.AtPrime J)) w✝ = 0
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
r : R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0
J : Ideal R
hJ : J.IsMaximal
h' : r ∈ {r}

⊢ (Algebra.linearMap R (Localization.AtPrime J)) r = 0
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
x : X

⊢ map (⇑h.symm) (𝓝 (h x)) = 𝓝 x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Linear.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

⊢ _root_.fderivWithin 𝕜 f s x = h.toContinuousLinearMap
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Linear.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

⊢ _root_.fderiv 𝕜 f x = h.toContinuousLinearMap
-- Mathlib/Order/Bounds/OrderIso.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α ≃o β
s : Set β
x : α

⊢ IsLUB (⇑f ⁻¹' s) x ↔ IsLUB s (f x)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
s : Set β
x : α

⊢ map f (𝓝[f ⁻¹' s] x) = 𝓝[s] f x
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
s : Set β
x : α

⊢ 𝓝[s ∩ range f] f x = 𝓝[s] f x
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
hf : OpenEmbedding f
s : Set β
x : α

⊢ s ∩ range f ∩ range f = s ∩ range f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B

⊢ (baseChange W B).toAffine.polynomial = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) (baseChange W A).toAffine.polynomial
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx : 0 < x

⊢ 0 < log x ↔ 1 < x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx : 0 < x

⊢ log 1 < log x ↔ 1 < x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
f : β → α
f_cont : Continuous f

⊢ AnalyticSet (range f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
f : β → α
f_cont : Continuous f
h✝ : IsEmpty β

⊢ AnalyticSet (range f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PolishSpace β
f : β → α
f_cont : Continuous f
h✝ : Nonempty β

⊢ AnalyticSet (range f)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)

⊢ S.Solution'_descent.multiplicity < S.multiplicity
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)

⊢ S.multiplicity.pred < S.multiplicity
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ γ : Type
s : σ
f : α → β → σ × σ → (σ × σ) × γ
h : ∀ (x : α) (y : β) (s : σ), let s' := (f x y (s, s)).1; s'.1 = s'.2

⊢ ∃ R, R (s, s) s ∧ ∀ {s : σ × σ} {q : σ} (a : α) (b : β), R s q → R (f a b s).1 ((f a b (q, q)).1.1, (f a b (q, q)).2).1 ∧ (f a b s).2 = ((f a b (q, q)).1.1, (f a b (q, q)).2).2
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ γ : Type
s : σ
f : α → β → σ × σ → (σ × σ) × γ
h : ∀ (x : α) (y : β) (s : σ), let s' := (f x y (s, s)).1; s'.1 = s'.2

⊢ (match (s, s) with | (s₁, s₂) => s₂ = s ∧ s₁ = s) ∧ ∀ {s : σ × σ} {q : σ} (a : α) (b : β), (match s with | (s₁, s₂) => s₂ = q ∧ s₁ = q) → (match (f a b s).1 with | (s₁, s₂) => s₂ = ((f a b (q, q)).1.1, (f a b (q, q)).2).1 ∧ s₁ = ((f a b (q, q)).1.1, (f a b (q, q)).2).1) ∧ (f a b s).2 = ((f a b (q, q)).1.1, (f a b (q, q)).2).2
-- Mathlib/Data/Nat/Find.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n : ℕ

⊢ n ≤ Nat.find h ↔ ∀ (m : ℕ), m < n → ¬p m
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_in_E : x ∈ E

⊢ x ∈ (thickening δ (thickening δ E)ᶜ)ᶜ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_in_E : x ∈ E

⊢ ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x {x | infEdist x E < ENNReal.ofReal δ}ᶜ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_in_E : x ∈ E
y : α
hy : y ∈ {x | infEdist x E < ENNReal.ofReal δ}ᶜ

⊢ ENNReal.ofReal δ ≤ edist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
x_in_E : x ∈ E
y : α
hy : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist y E

⊢ ENNReal.ofReal δ ≤ edist x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
hinj : Injective ⇑f

⊢ Surjective ⇑f
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
hinj : Injective ⇑f
h : Module.rank K ↥(range f) = Module.rank K V

⊢ Surjective ⇑f
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V
hinj : Injective ⇑f
h : finrank K ↥(range f) = finrank K V

⊢ Surjective ⇑f
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Cartesian.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Exponentiable A
A₁ A₂ A₃ : C
inst✝² : Exponentiable A₁
inst✝¹ : Exponentiable A₂
inst✝ : Exponentiable A₃
f : A₁ ⟶ A₂
g : A₂ ⟶ A₃

⊢ pre (f ≫ g) = pre g ≫ pre f
-- Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L₁
inst✝² : LieRing L₂
inst✝¹ : LieAlgebra R L₁
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h₁ : Surjective ⇑f
h₂ : IsLieAbelian L₁
u v : L₁

⊢ ⁅f u, f v⁆ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Slope.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → E
x y : k

⊢ slope (-f) x y = (-slope f) x y
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
x x' : S

⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) (x * x') = ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) x * ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) x'
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
x' : S
f : A[X]

⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) f * x') = ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) f) * ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) x'
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
f g : A[X]

⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) f * (aeval pb.gen) g) = ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) f) * ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((aeval pb.gen) g)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean

⊢ Tendsto (fun x => x ^ (-1 / x)) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
h' : ∀ (n : ℕ), n < max l₁.length l₂.length → l₁.get? n = l₂.get? n
n : ℕ

⊢ l₁.get? n = l₂.get? n
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
h' : ∀ (n : ℕ), n < max l₁.length l₂.length → l₁.get? n = l₂.get? n
n : ℕ
hn : n < max l₁.length l₂.length

⊢ l₁.get? n = l₂.get? n
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
h' : ∀ (n : ℕ), n < max l₁.length l₂.length → l₁.get? n = l₂.get? n
n : ℕ
hn : n ≥ max l₁.length l₂.length

⊢ l₁.get? n = l₂.get? n
-- Mathlib/RingTheory/Prime.lean
R : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
x y a p : R
n : ℕ
hp : Prime p
hx : x * y = a * p ^ n

⊢ ∃ i j b c, i + j = n ∧ a = b * c ∧ x = b * p ^ i ∧ y = c * p ^ j
-- Mathlib/RingTheory/Prime.lean
R : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
p : R
n : ℕ
hp : Prime p
t u : Finset ℕ
b c : R
htus : t ∪ u = range n
htu : Disjoint t u
hx : (b * ∏ i ∈ t, p) * (c * ∏ i ∈ u, p) = b * c * p ^ n

⊢ ∃ i j b_1 c_1, i + j = n ∧ b * c = b_1 * c_1 ∧ b * ∏ i ∈ t, p = b_1 * p ^ i ∧ c * ∏ i ∈ u, p = c_1 * p ^ j
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
i : Set α
hi : MeasurableSet i

⊢ ↑(-j).toSignedMeasure i = ↑(-j.toSignedMeasure) i
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ≤ a ⇨ b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]

⊢ p %ₘ X = C (eval 0 p)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝⁵ : NormedRing R
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 R
𝕜' : Type u_4
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f g : E → 𝕜
n : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : ContDiff 𝕜 n g
h0 : ∀ (x : E), g x ≠ 0

⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => f x / g x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝⁵ : NormedRing R
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 R
𝕜' : Type u_4
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f g : E → 𝕜
n : ℕ∞
h0 : ∀ (x : E), g x ≠ 0
hf : ∀ (x : E), ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ∀ (x : E), ContDiffAt 𝕜 n g x

⊢ ∀ (x : E), ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x / g x) x
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Prime.lean
n : ℕ
h1 : ble 2 n = true
h2 : 1 = n % 2

⊢ 3 ≤ n.minFac
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Prime.lean
n : ℕ
h1 : ble 2 n = true
h2 : 1 = n % 2
p : ℕ
hp : 2 ≤ p
hpn : p ∣ n

⊢ 3 ≤ p
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/UniqueGluing.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (iSup U)))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (leSupr U i).op) s = (F.val.map (leSupr U i).op) t
sf : (i : ι) → (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (U i))) := fun i => (F.val.map (leSupr U i).op) s

⊢ s = t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/UniqueGluing.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (iSup U)))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (leSupr U i).op) s = (F.val.map (leSupr U i).op) t
sf : (i : ι) → (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (U i))) := fun i => (F.val.map (leSupr U i).op) s
sf_compatible : IsCompatible F.val U sf

⊢ s = t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/UniqueGluing.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (iSup U)))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (leSupr U i).op) s = (F.val.map (leSupr U i).op) t
sf : (i : ι) → (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (U i))) := fun i => (F.val.map (leSupr U i).op) s
sf_compatible : IsCompatible F.val U sf
gl : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (iSup U)))
gl_uniq : ∀ (y : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op (iSup U)))), (fun s => IsGluing F.val U sf s) y → y = gl

⊢ s = t
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/DilationEquiv.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
e : X ≃ᵈ Y

⊢ ratio e.symm * ratio e = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
m : M
a : b.toDual m = 0

⊢ b.toDual m = b.toDual 0
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : ℤ → α
a : α
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ (i : ℤ), f (i % ↑n) = f i
hn' : 0 < ↑n
x✝ : ∃ i, f (i % ↑n) = a
i : ℤ
hi : f (i % ↑n) = a
this : 0 ≤ i % ↑n

⊢ (i % ↑n).toNat < n ∧ f ↑(i % ↑n).toNat = a
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : ℤ → α
a : α
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ (i : ℤ), f (i % ↑n) = f i
hn' : 0 < ↑n
x✝ : ∃ i, f (i % ↑n) = a
i : ℤ
hi : f (i % ↑n) = a
this : 0 ≤ i % ↑n

⊢ i % ↑n < ↑n ∧ f (i % ↑n) = a
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a✝ : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : ℤ → α
a : α
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ∀ (i : ℤ), f (i % ↑n) = f i
hn' : 0 < ↑n
x✝ : ∃ i < n, f ↑i = a
i : ℕ
hi : i < n
ha : f ↑i = a

⊢ f (↑i % ↑n) = a