ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorCategories.lean
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.43805, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.43809, u_2} C
P✝ Q : Karoubi (J ⥤ C)
f : P✝ ⟶ Q
X : J
P : Karoubi (J ⥤ C)
j j' : J
φ : j ⟶ j'

⊢ P.p.app j ≫ P.X.map φ = P.p.app j ≫ P.p.app j ≫ P.p.app j ≫ P.X.map φ
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorCategories.lean
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.43805, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.43809, u_2} C
P✝ Q : Karoubi (J ⥤ C)
f : P✝ ⟶ Q
X : J
P : Karoubi (J ⥤ C)
j j' : J
φ : j ⟶ j'
h : (P.p ≫ P.p).app j = P.p.app j

⊢ P.p.app j ≫ P.X.map φ = P.p.app j ≫ P.p.app j ≫ P.p.app j ≫ P.X.map φ
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorCategories.lean
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.43805, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.43809, u_2} C
P✝ Q : Karoubi (J ⥤ C)
f : P✝ ⟶ Q
X : J
P : Karoubi (J ⥤ C)
j j' : J
φ : j ⟶ j'
h : P.p.app j ≫ P.p.app j = P.p.app j

⊢ P.p.app j ≫ P.X.map φ = P.p.app j ≫ P.p.app j ≫ P.p.app j ≫ P.X.map φ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : Fintype α
f : α → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ = ∑ x : α, f x * μ {x}
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : ℕ → β
n : ℕ

⊢ ∏ x ∈ range (n + 1), f x = (∏ x ∈ range n, f x) * f n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
f : κ → α

⊢ ∏ j : κ, ∏ _i : { i // g i = j }, f j = ∏ i : ι, f (g i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
f : κ → α

⊢ ∏ j : κ, ∏ _i : { i // g i = j }, f j = ∏ j : κ, ∏ _i ∈ filter (fun i => g i = j) univ, f j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
f : κ → α
j : κ

⊢ ∏ _i : { i // g i = j }, f j = ∏ _i ∈ filter (fun i => g i = j) univ, f j
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Monoid α
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosMono α β
hb : 0 ≤ b
h : 1 ≤ a

⊢ b ≤ a • b
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
a : Pseudoelement P
a' : Over P

⊢ pseudoApply 0 ⟦a'⟧ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
a : Pseudoelement P
a' : Over P

⊢ ⟦Over.mk (a'.hom ≫ 0)⟧ = ⟦Over.mk 0⟧
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
m₁ m₂ m₁₂ : ℤ
h₁₂ : n₁₂ + 1 = m₁₂
h₁ : n₁ + 1 = m₁
h₂ : n₂ + 1 = m₂

⊢ n₁ + m₂ = m₁₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
m₁ m₂ m₁₂ : ℤ
h₁₂ : n₁₂ + 1 = m₁₂
h₁ : n₁ + 1 = m₁
h₂ : n₂ + 1 = m₂

⊢ m₁ + n₂ = m₁₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
p q : ℤ
hpq : p + (n₁ + n₂ + 1) = q

⊢ (δ (n₁ + n₂) (n₁ + n₂ + 1) (z₁.comp z₂ ⋯)).v p q hpq = (z₁.comp (δ n₂ (n₂ + 1) z₂) ⋯).v p q hpq + n₂.negOnePow • ((δ n₁ (n₁ + 1) z₁).comp z₂ ⋯).v p q hpq
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
p q : ℤ
hpq : p + (n₁ + n₂ + 1) = q

⊢ (z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁) (p + n₁ + n₂) ⋯) ≫ K.d (p + n₁ + n₂) q + (n₁ + n₂ + 1).negOnePow • F.d p (p + 1) ≫ z₁.v (p + 1) (p + n₁ + 1) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯ = z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ (z₂.v (p + n₁) (p + n₁ + n₂) ⋯ ≫ K.d (p + n₁ + n₂) q + (n₂ + 1).negOnePow • G.d (p + n₁) (p + n₁ + 1) ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯) + n₂.negOnePow • (z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ G.d (p + n₁) (p + n₁ + 1) + (n₁ + 1).negOnePow • F.d p (p + 1) ≫ z₁.v (p + 1) (p + n₁ + 1) ⋯) ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
p q : ℤ
hpq : p + (n₁ + n₂ + 1) = q

⊢ z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁) (p + n₁ + n₂) ⋯ ≫ K.d (p + n₁ + n₂) q + -((n₂.negOnePow * n₁.negOnePow) • F.d p (p + 1) ≫ z₁.v (p + 1) (p + n₁ + 1) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯) = z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁) (p + n₁ + n₂) ⋯ ≫ K.d (p + n₁ + n₂) q + -(n₂.negOnePow • z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ G.d (p + n₁) (p + n₁ + 1) ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯) + (n₂.negOnePow • z₁.v p (p + n₁) ⋯ ≫ G.d (p + n₁) (p + n₁ + 1) ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯ + -((n₂.negOnePow * n₁.negOnePow) • F.d p (p + 1) ≫ z₁.v (p + 1) (p + n₁ + 1) ⋯ ≫ z₂.v (p + n₁ + 1) q ⋯))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ

⊢ FinStronglyMeasurable (f ⊔ g) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
n : ℕ

⊢ μ (support ↑((fun n => hf.approx n ⊔ hg.approx n) n)) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
hf : FinStronglyMeasurable f μ
hg : FinStronglyMeasurable g μ
n : ℕ

⊢ μ (support ↑(hf.approx n) ∪ support ↑(hg.approx n)) < ⊤
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
s✝ : Set M
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
γ : Type u_3
inst✝ : Monoid γ
f : M → γ
hf : IsMonoidHom f
s : Set M
hs : IsSubmonoid s
a b : γ
x✝¹ : a ∈ f '' s
x✝ : b ∈ f '' s
x : M
hx : x ∈ s ∧ f x = a
y : M
hy : y ∈ s ∧ f y = b

⊢ f (x * y) = a * b
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Monoid M✝
inst✝² : SetLike B M✝
inst✝¹ : SubmonoidClass B M✝
S✝ : B
s : Submonoid M✝
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
m : Multiset ↥S

⊢ (Multiset.map Subtype.val m).prod ∈ S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Monoid M✝
inst✝² : SetLike B M✝
inst✝¹ : SubmonoidClass B M✝
S✝ : B
s : Submonoid M✝
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
m : Multiset ↥S

⊢ ↑m.prod ∈ S
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Simplex k P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)

⊢ Set.range (s.reindex e).points = Set.range s.points
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A B : Matrix n n α
inst✝ : StarRing α

⊢ A⁻¹ᴴ = Aᴴ⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
n : ℕ

⊢ Squarefree ↑n ↔ Squarefree n
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)

⊢ coroot k = (preReflection α' (p.toLin α)) β'
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα

⊢ coroot k = (preReflection α' (p.toLin α)) β'
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0

⊢ coroot k = (preReflection α' (p.toLin α)) β'
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0

⊢ p.toLin.flip (coroot k) = p.toLin.flip ((preReflection α' (p.toLin α)) β')
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0

⊢ (p.toLin.flip ((preReflection α' (p.toLin α)) β')) (root k) = 2
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : _root_.Finite ι
P : RootSystem ι R M N
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p.toLin (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.toLin.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.toLin.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.toLin.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p.toLin α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0

⊢ MapsTo (⇑(preReflection (root k) (p.toLin.flip ((preReflection α' (p.toLin α)) β')))) (range ⇑root) (range ⇑root)
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIcoDiv hp a b • p + toIcoMod hp a b = b
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
s : α → α → Prop
h₂ : HEq r s

⊢ s ((Equiv.cast ⋯) a) ((Equiv.cast ⋯) b) ↔ r a b
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
s : α → α → Prop
h₂ : HEq r s

⊢ s ((Equiv.cast ⋯) a) ((Equiv.cast ⋯) b) ↔ s a b
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))

⊢ (⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

⊢ (⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

⊢ (⊤.toMultiequalizer P ≫ (J.diagram P X).map e.op ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

⊢ (Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯ ≫ (J.diagram P X).map e.op ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

⊢ (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) (((J.diagram P X).map e.op) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x)) = (colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

⊢ (Multiequalizer.lift (S.index P) (multiequalizer (⊤.index P)) (fun I => Multiequalizer.ι (⊤.index P) (I.map e)) ⋯) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x) = (Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

⊢ ∀ (t : (S.index P).L), (Multiequalizer.ι (S.index P) t) ((Multiequalizer.lift (S.index P) (multiequalizer (⊤.index P)) (fun I => Multiequalizer.ι (⊤.index P) (I.map e)) ⋯) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x)) = (Multiequalizer.ι (S.index P) t) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
i : (S.index P).L

⊢ (Multiequalizer.ι (S.index P) i) ((Multiequalizer.lift (S.index P) (multiequalizer (⊤.index P)) (fun I => Multiequalizer.ι (⊤.index P) (I.map e)) ⋯) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x)) = (Multiequalizer.ι (S.index P) i) ((Meq.equiv P S).symm (Meq.mk S x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
e : S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯
i : (S.index P).L

⊢ (P.map (Cover.Arrow.map i e).f.op) x = ↑(Meq.mk S x) i
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
z : ℤ

⊢ Irrational √↑z ↔ ¬IsSquare z ∧ 0 ≤ z
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
y : M

⊢ polar (⇑Q) y 0 = 0
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : x ⊓ y ⊔ z = x
i : x ⊓ y ⊓ z = ⊥

⊢ x \ y = z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : x ⊓ y ⊔ z = x \ y ⊔ x ⊓ y
i : x ⊓ y ⊓ z = ⊥

⊢ x \ y = z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : z ⊔ x ⊓ y = x \ y ⊔ x ⊓ y
i : x ⊓ y ⊓ z = ⊥

⊢ x \ y = z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : z ⊔ x ⊓ y = x \ y ⊔ x ⊓ y
i : x ⊓ y ⊓ z = x \ y ⊓ (x ⊓ y)

⊢ x \ y = z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : z ⊔ x ⊓ y = x \ y ⊔ x ⊓ y
i : z ⊓ (x ⊓ y) = x \ y ⊓ (x ⊓ y)

⊢ x \ y = z
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X : C

⊢ prod.lift (𝟙 X) 0 ≫ σ = 𝟙 X
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
P : ProjectiveResolution Z
n : ℕ

⊢ (ComplexShape.down ℕ).prev (n + 1) = n + 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
Z : C
P : ProjectiveResolution Z
n : ℕ

⊢ n + 1 + 1 = n + 2
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j k : ℤ

⊢ Disjoint {x | ∃ k, beattySeq r k = x} {x | ∃ k, beattySeq' s k = x}
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j k : ℤ

⊢ ∀ ⦃a : ℤ⦄, a ∈ {x | ∃ k, beattySeq r k = x} → a ∉ {x | ∃ k, beattySeq' s k = x}
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : beattySeq r k = j
m : ℤ
h₂ : beattySeq' s m = j

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : beattySeq' s m = j

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : ↑j / r + ↑j / s < ↑k + ↑m

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : ↑j / r + ↑j / s < ↑k + ↑m
h₄ : ↑k + ↑m < (↑j + 1) / r + (↑j + 1) / s

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : ↑j < ↑k + ↑m
h₄ : ↑k + ↑m < ↑j + 1

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k : ℤ
h₁ : ↑j / r ≤ ↑k ∧ ↑k < (↑j + 1) / r
m : ℤ
h₂ : ↑j / s < ↑m ∧ ↑m ≤ (↑j + 1) / s
h₃ : ↑j < ↑k + ↑m
h₄ : ↑k + ↑m < ↑j + ↑1

⊢ False