ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : TopologicalSpace V
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁷ : T2Space V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
inst✝⁵ : BorelSpace V
inst✝⁴ : Module ℝ V
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
V' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ V))
A : V ≃L[ℝ] V'
this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'
this✝ : BorelSpace V'
Aₘ : V ≃ᵐ V' := A.toHomeomorph.toMeasurableEquiv
Adualₗ : (V →L[ℝ] ℝ) ≃ₗ[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toFun := fun t => t.comp ↑A.symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun t => t.comp ↑A, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
Adual : (V →L[ℝ] ℝ) ≃L[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toLinearEquiv := Adualₗ, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
this : (Measure.map (⇑Aₘ) μ).IsAddHaarMeasure

⊢ Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : TopologicalSpace V
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁷ : T2Space V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
inst✝⁵ : BorelSpace V
inst✝⁴ : Module ℝ V
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
V' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ V))
A : V ≃L[ℝ] V'
this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'
this✝ : BorelSpace V'
Aₘ : V ≃ᵐ V' := A.toHomeomorph.toMeasurableEquiv
Adualₗ : (V →L[ℝ] ℝ) ≃ₗ[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toFun := fun t => t.comp ↑A.symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun t => t.comp ↑A, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
Adual : (V →L[ℝ] ℝ) ≃L[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toLinearEquiv := Adualₗ, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
this : (Measure.map (⇑Aₘ) μ).IsAddHaarMeasure
w : V →L[ℝ] ℝ

⊢ ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ = ((fun w => ∫ (v : V'), 𝐞 (-w v) • (f ∘ ⇑A.symm) v ∂Measure.map (⇑Aₘ) μ) ∘ Adual.toHomeomorph.toCocompactMap.toFun) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : TopologicalSpace V
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁷ : T2Space V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
inst✝⁵ : BorelSpace V
inst✝⁴ : Module ℝ V
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
V' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ V))
A : V ≃L[ℝ] V'
this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'
this✝ : BorelSpace V'
Aₘ : V ≃ᵐ V' := A.toHomeomorph.toMeasurableEquiv
Adualₗ : (V →L[ℝ] ℝ) ≃ₗ[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toFun := fun t => t.comp ↑A.symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun t => t.comp ↑A, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
Adual : (V →L[ℝ] ℝ) ≃L[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toLinearEquiv := Adualₗ, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }
this : (Measure.map (⇑Aₘ) μ).IsAddHaarMeasure
w : V →L[ℝ] ℝ

⊢ ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ = ∫ (x : V), 𝐞 (-(Adual.toHomeomorph.toCocompactMap.toFun w) (Aₘ x)) • (f ∘ ⇑A.symm) (Aₘ x) ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Group/Commute/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a b : G
h : Commute a b

⊢ a⁻¹ * (b * a) = b
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
hr : Reflexive r
x y : α

⊢ ReflGen r x y ↔ r x y
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B

⊢ (λ_ (𝟙 a)).inv = (ρ_ (𝟙 a)).inv
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c d : Ordinal.{u}

⊢ d < a ⨳ (b ⨳ c) ↔ ∃ a' < a, ∃ b' < b, ∃ c' < c, d ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c') ≤ a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c')
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c d : Ordinal.{u}

⊢ (∃ a' < b, ∃ b' < c, ∃ c' < a, toOrdinal (toNatOrdinal d + toNatOrdinal (a' ⨳ b' ⨳ a) + toNatOrdinal (a' ⨳ c ⨳ c') + toNatOrdinal (b ⨳ b' ⨳ c')) ≤ toOrdinal (toNatOrdinal (a' ⨳ c ⨳ a) + toNatOrdinal (b ⨳ b' ⨳ a) + toNatOrdinal (b ⨳ c ⨳ c') + toNatOrdinal (a' ⨳ b' ⨳ c'))) ↔ ∃ a' < a, ∃ b' < b, ∃ c' < c, toOrdinal (toNatOrdinal d + toNatOrdinal (b' ⨳ c ⨳ a') + toNatOrdinal (b ⨳ c' ⨳ a') + toNatOrdinal (b' ⨳ c' ⨳ a)) ≤ toOrdinal (toNatOrdinal (b ⨳ c ⨳ a') + toNatOrdinal (b' ⨳ c ⨳ a) + toNatOrdinal (b ⨳ c' ⨳ a) + toNatOrdinal (b' ⨳ c' ⨳ a'))
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nonempty ι
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p

⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) + 1 = Fintype.card ι
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/LinearPMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
p : Submodule 𝕜 E
hp : Dense ↑p
x : ↥((↑A).toPMap p).adjoint.domain
y : ↥((↑(adjoint A)).toPMap ⊤).domain
hxy : ↑x = ↑y

⊢ ↑((↑A).toPMap p).adjoint x = ↑((↑(adjoint A)).toPMap ⊤) y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/LinearPMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
p : Submodule 𝕜 E
hp : Dense ↑p
x : ↥((↑A).toPMap p).adjoint.domain
y : ↥((↑(adjoint A)).toPMap ⊤).domain
hxy : ↑x = ↑y

⊢ Dense ↑((↑A).toPMap p).domain
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/LinearPMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
p : Submodule 𝕜 E
hp : Dense ↑p
x : ↥((↑A).toPMap p).adjoint.domain
y : ↥((↑(adjoint A)).toPMap ⊤).domain
hxy : ↑x = ↑y
v : ↥((↑A).toPMap p).domain

⊢ ⟪↑((↑(adjoint A)).toPMap ⊤) y, ↑v⟫_𝕜 = ⟪↑x, ↑((↑A).toPMap p) v⟫_𝕜
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
ι : Type u_3
l : Filter ι
l' : Filter β
f f' : ι → β → α
g g' : β → α
s : Set β
hf : UniformCauchySeqOn f l s
hf' : UniformCauchySeqOn f' l s
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α

⊢ ∀ᶠ (m : ι × ι) in l ×ˢ l, ∀ x ∈ s, ((f * f') m.1 x, (f * f') m.2 x) ∈ u
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
r : R

⊢ Finsupp.mapDomain Nat.cast ((monomial n) r).toFinsupp = C r * T ↑n
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E

⊢ ⨆ x ∈ S, F⟮x⟯ = adjoin F S
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E

⊢ adjoin F (⨆ t ∈ S, {t}) = adjoin F S
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E

⊢ ⨆ t ∈ S, {t} = S
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/PerpBisector.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P

⊢ c ∈ perpBisector p₁ p₂ ↔ dist c p₁ = dist c p₂
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
b : α
bs : b ∈ s
a : α
as : a ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
ac : a ≤ c

⊢ variationOnFromTo f s c b ≤ variationOnFromTo f s a b
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
b : α
bs : b ∈ s
a : α
as : a ∈ s
c : α
cs : c ∈ s
ac : a ≤ c

⊢ variationOnFromTo f s c b ≤ variationOnFromTo f s a c + variationOnFromTo f s c b
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α

⊢ Cardinal.toPartENat (Cardinal.mk α) = ↑(Nat.card α)
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α

⊢ ↑(Nat.card α) = Cardinal.toPartENat (Cardinal.mk α)
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Finite α

⊢ ↑(Nat.card α) = Cardinal.mk α
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q

⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, |f i| ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, |g i| ^ q) ^ (1 / q)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
this : ↑(∑ i ∈ s, (fun i => ⟨|f i|, ⋯⟩) i * (fun i => ⟨|g i|, ⋯⟩) i) ≤ ↑((∑ i ∈ s, (fun i => ⟨|f i|, ⋯⟩) i ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, (fun i => ⟨|g i|, ⋯⟩) i ^ q) ^ (1 / q))

⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, |f i| ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, |g i| ^ q) ^ (1 / q)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
this : ∑ x ∈ s, |f x| * |g x| ≤ (∑ x ∈ s, |f x| ^ p) ^ (1 / p) * (∑ x ∈ s, |g x| ^ q) ^ (1 / q)

⊢ ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, |f i| ^ p) ^ (1 / p) * (∑ i ∈ s, |g i| ^ q) ^ (1 / q)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
this : ∑ x ∈ s, |f x| * |g x| ≤ (∑ x ∈ s, |f x| ^ p) ^ (1 / p) * (∑ x ∈ s, |g x| ^ q) ^ (1 / q)
i : ι
x✝ : i ∈ s

⊢ f i * g i ≤ |f i| * |g i|
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set X
f : C(X, R)

⊢ f ∉ idealOfSet R s ↔ ∃ x ∈ sᶜ, f x ≠ 0
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set X
f : C(X, R)

⊢ (¬∀ ⦃x : X⦄, x ∈ sᶜ → f x = 0) ↔ ∃ x ∈ sᶜ, f x ≠ 0
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set X
f : C(X, R)

⊢ (∃ x ∈ sᶜ, f x ≠ 0) ↔ ∃ x ∈ sᶜ, f x ≠ 0
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β✝
β : Type u_3
f : List α → β
r : List α → Filter β
h_nil : Tendsto f (pure []) (r [])
h_cons : ∀ (l : List α) (a : α), Tendsto f (𝓝 l) (r l) → Tendsto (fun p => f (p.1 :: p.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (r (a :: l))

⊢ Tendsto f (𝓝 []) (r [])
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β✝
β : Type u_3
f : List α → β
r : List α → Filter β
h_nil : Tendsto f (pure []) (r [])
h_cons : ∀ (l : List α) (a : α), Tendsto f (𝓝 l) (r l) → Tendsto (fun p => f (p.1 :: p.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (r (a :: l))
a : α
l : List α

⊢ Tendsto f (𝓝 (a :: l)) (r (a :: l))
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β✝
β : Type u_3
f : List α → β
r : List α → Filter β
h_nil : Tendsto f (pure []) (r [])
h_cons : ∀ (l : List α) (a : α), Tendsto f (𝓝 l) (r l) → Tendsto (fun p => f (p.1 :: p.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (r (a :: l))
a : α
l : List α

⊢ Tendsto (fun p => f (p.1 :: p.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (r (a :: l))
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M✝ : Type u_4
M : Type u
inst✝ : LeftCancelMonoid M
a b : M

⊢ a * b = a ↔ a * b = a * 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ

⊢ edist (toL1 f hf) (toL1 g hg) = ∫⁻ (a : α), edist (f a) (g a) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ

⊢ (if 1 = ⊤ then eLpNormEssSup (f - g) μ else ∫⁻ (a : α), ↑‖f a - g a‖₊ ∂μ) = ∫⁻ (a : α), edist (f a) (g a) ∂μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommGroup V₁
inst✝ : Module K V₁
p : Submodule K V

⊢ Module.rank K (V ⧸ p) + Module.rank K ↥p = Module.rank K V
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
n : ℕ

⊢ (PowerSeries.coeff R n) ↑(φ * ψ) = (PowerSeries.coeff R n) (↑φ * ↑ψ)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
N M : Matroid α
hR : R ⊂ M.E

⊢ M ↾ R <r M
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
N M : Matroid α
hR : R ⊂ M.E
h : M ↾ R = M

⊢ False
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R I J X Y : Set α
N M : Matroid α
hR : R ⊂ R
h : M ↾ R = M

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/LIntegral.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g : G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.Regular
inst✝ : NeZero μ
f : G → ℝ≥0∞
hf : Continuous f

⊢ ∫⁻ (x : G), f x ∂μ = 0 ↔ f = 0
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α

⊢ s = ∅ ∨ s.encard = ⊤ ∨ ∃ a ∈ s, (s \ {a}).encard < s.encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a✝ b : α
s : Set α
x✝ : s.Nonempty
a : α
ha : a ∈ s
hfin : s.Finite

⊢ (s \ {a}).encard < s.encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a✝ b : α
s : Set α
x✝ : s.Nonempty
a : α
ha : a ∈ s
hfin : s.Finite

⊢ (s \ {a}).encard < (s \ {a}).encard + 1
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a✝ b : α
s : Set α
x✝ : s.Nonempty
a : α
ha : a ∈ s
hfin : s.Finite

⊢ (s \ {a}).encard + 0 < (s \ {a}).encard + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K

⊢ x ∈ r • Iic a ↔ x ∈ Iic (r • a)
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K

⊢ (∃ y ∈ Iic a, r * y = x) ↔ x ∈ Iic (r * a)
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α

⊢ Nat.card ↑(s / t) ≤ Nat.card ↑s * Nat.card ↑t
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α

⊢ Nat.card ↑(s * t⁻¹) ≤ Nat.card ↑s * Nat.card ↑t⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Trace.lean
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype p
inst✝¹ : AddCommMonoid R
inst✝ : DecidableEq p
M : p → Matrix n n R

⊢ (blockDiagonal M).trace = ∑ i : p, (M i).trace
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NNNorm.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F

⊢ ↑‖f‖₊ = ↑(sInf {c | ∀ (x : E), ‖f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊})
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NNNorm.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E
f : E →SL[σ₁₂] F

⊢ sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖} = sInf {x | ∃ (h : 0 ≤ x), ⟨x, h⟩ ∈ {c | ∀ (x : E), ‖f x‖₊ ≤ c * ‖x‖₊}}
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCokernel f'
p : X ≅ X'
q : Y ≅ Y'
w : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'

⊢ f' ≫ q.inv = p.inv ≫ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasCokernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasCokernel f'
p : X ≅ X'
q : Y ≅ Y'
w : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'

⊢ (f' ≫ q.inv) ≫ q.hom = (p.inv ≫ f) ≫ q.hom
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ

⊢ (monomial m) 1 = m.prod fun n e => X n ^ e
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
g : α → γ
g' : β → γ

⊢ (range f).restrict (extend f g g') = fun x => g (Exists.choose ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v₁, u_1} D
inst✝ : Preadditive D
ι✝¹ : Type
fintype✝¹ : Fintype ι✝¹
X✝¹ : ι✝¹ → C
i✝ : ((𝟭 C).mapMat_.obj (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).ι
ι✝ : Type
fintype✝ : Fintype ι✝
X✝ : ι✝ → C
j✝ : ((𝟭 (Mat_ C)).obj (Mat_.mk ι✝ X✝)).ι
f : Mat_.mk ι✝¹ X✝¹ ⟶ Mat_.mk ι✝ X✝

⊢ ((𝟭 C).mapMat_.map f ≫ ((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝ X✝)).hom) i✝ j✝ = (((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).hom ≫ (𝟭 (Mat_ C)).map f) i✝ j✝
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E

⊢ dist a 1 = ‖a‖
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
S : Finset Λ'
q : Λ'
K : Finset Λ'
H₁ : Λ'.Supports S q
H₂ : trStmts₁ q ∪ K ⊆ S
H₃ : K ⊆ S → Supports K S

⊢ Supports (trStmts₁ q ∪ K) S
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
S : Finset Λ'
q : Λ'
K : Finset Λ'
H₁ : Λ'.Supports S q
H₃ : K ⊆ S → Supports K S
H₂ : trStmts₁ q ⊆ S ∧ K ⊆ S

⊢ Supports (trStmts₁ q ∪ K) S
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF

⊢ (e.oadd n a + o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF

⊢ (e.oadd n a + o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
nf : (a.add o).NF

⊢ ((e.oadd n a).add o).repr = (e.oadd n a).repr + o.repr
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF

⊢ (match e.cmp e' with | Ordering.lt => e'.oadd n' a' | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a' | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this : e.NF

⊢ (match e.cmp e' with | Ordering.lt => e'.oadd n' a' | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a' | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF

⊢ (match e.cmp e' with | Ordering.lt => e'.oadd n' a' | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a' | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
ee : (e.cmp e').Compares e e'

⊢ (match e.cmp e' with | Ordering.lt => e'.oadd n' a' | Ordering.eq => e.oadd (n + n') a' | Ordering.gt => e.oadd n (e'.oadd n' a')).repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.lt
ee : e < e'

⊢ ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e : ONote
n : ℕ+
a o : ONote
h₁ : (e.oadd n a).NF
h₂ : o.NF
this✝¹ : a.NF
h' : (a.add o).repr = a.repr + o.repr
e' : ONote
n' : ℕ+
a' : ONote
h : a.add o = e'.oadd n' a'
nf : (e'.oadd n' a').NF
this✝ : e.NF
this : e'.NF
he : e.cmp e' = Ordering.eq
ee : e = e'

⊢ ω ^ e.repr * (↑↑n + ↑↑n') + a'.repr = ω ^ e.repr * ↑↑n + (ω ^ e'.repr * ↑↑n' + a'.repr)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂

⊢ range f ≤ ⊥ ↔ f = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_11
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂

⊢ comap f ⊥ = ⊤ ↔ f = 0