ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ : α
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
a : α
u : Set (β × γ)
hu : MeasurableSet u

⊢ ∫⁻ (b : β) in s, (η (a, b)) ({c | (b, c) ∈ u} ∩ t) ∂κ a = ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ u ∧ b ∈ s ∧ c ∈ t} ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ : α
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
a : α
u : Set (β × γ)
hu : MeasurableSet u
this : ∀ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ u ∧ b ∈ s ∧ c ∈ t} = s.indicator (fun b => (η (a, b)) ({c | (b, c) ∈ u} ∩ t)) b

⊢ ∫⁻ (b : β) in s, (η (a, b)) ({c | (b, c) ∈ u} ∩ t) ∂κ a = ∫⁻ (b : β), s.indicator (fun b => (η (a, b)) ({c | (b, c) ∈ u} ∩ t)) b ∂κ a
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
n : ℕ
hnil : IsNilpotent r

⊢ IsNilpotent (C r)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
n m : ℕ
hm : r ^ m = 0

⊢ C r ^ m = 0
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f : R[X]

⊢ Algebra.adjoin R {root f} = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x : AdjoinRoot f

⊢ x ∈ Algebra.adjoin R {root f}
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : 1 < p

⊢ padicNorm p ↑p = (↑p)⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → β
hf : Integrable f μ

⊢ Integrable f μ'
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
μ' : Measure α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c • μ
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ

⊢ Memℒp f 1 μ'
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ

⊢ dist f g = ⨆ x, dist (f x) (g x)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
h✝ : IsEmpty α

⊢ dist f g = ⨆ x, dist (f x) (g x)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
h✝ : Nonempty α

⊢ dist f g = ⨆ x, dist (f x) (g x)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
h✝ : Nonempty α

⊢ BddAbove (range fun x => dist (f x) (g x))
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Semiring R✝
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R✝ M
r✝ s : R✝
x y : M
R : Type u_9
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Module R M
r : R
m : M

⊢ r • m + (1 - r) • m = m
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
hf : Integrable f (μ.restrict s)
hg : Integrable g (μ.restrict sᶜ)

⊢ Integrable (s.piecewise f g) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
hf : Memℒp f 1 (μ.restrict s)
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict sᶜ)

⊢ Memℒp (s.piecewise f g) 1 μ
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a b : α

⊢ ↑(Iic a * Iic b) ⊆ ↑(Iic (a * b))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
h : p.degree = ↑n

⊢ p.natDegree = n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : ℕ → β

⊢ ∏ k ∈ range 0, f k = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : Cofork f g
ht : IsColimit t
Z : C
k : t.pt ⟶ Z

⊢ f ≫ t.π ≫ k = g ≫ t.π ≫ k
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y

⊢ Perm.sign f = Perm.sign (swap x (f x) * (swap x (f x) * f))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
h1 : f (f x) = x

⊢ Perm.sign (swap x (f x) * (swap x (f x) * f)) = -(-1) ^ f.support.card
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
h1 : f (f x) = x
h : swap x (f x) * f = 1

⊢ Perm.sign (swap x (f x) * (swap x (f x) * f)) = -(-1) ^ f.support.card
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
h1 : f (f x) = x
h : swap x (f x) * f = 1

⊢ -1 * 1 = -(-1) ^ 2
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
h1 : ¬f (f x) = x

⊢ Perm.sign (swap x (f x) * (swap x (f x) * f)) = -(-1) ^ f.support.card
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
h1 : ¬f (f x) = x
h : (swap x (f x) * f).support.card + 1 = f.support.card

⊢ Perm.sign (swap x (f x) * (swap x (f x) * f)) = -(-1) ^ f.support.card
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
h1 : ¬f (f x) = x
h : (swap x (f x) * f).support.card + 1 = f.support.card
this : (swap x (f x) * f).support.card < f.support.card

⊢ Perm.sign (swap x (f x) * (swap x (f x) * f)) = -(-1) ^ f.support.card
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x ∧ ∀ ⦃y : α⦄, f y ≠ y → f.SameCycle x y
h1 : ¬f (f x) = x
h : (swap x (f x) * f).support.card + 1 = f.support.card
this : (swap x (f x) * f).support.card < f.support.card

⊢ -1 * -(-1) ^ (swap x (f x) * f).support.card = -(-1) ^ ((swap x (f x) * f).support.card + 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v

⊢ B.Nondegenerate ↔ ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
m : M
hB : ∀ (n : M), (B m) n = 0

⊢ m = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
hB : ∀ (n_1 : M), (B (v.repr.symm vi)) n_1 = 0

⊢ v.repr.symm vi = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
hB : ∀ (n_1 : M), (B (v.repr.symm vi)) n_1 = 0

⊢ vi = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
hB : ∀ (n_1 : M), (B (v.repr.symm vi)) n_1 = 0
i : n

⊢ vi i = 0 i
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
hB : ∀ (n_1 : M), (B (v.repr.symm vi)) n_1 = 0
i : n

⊢ vi i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : (B (v.repr.symm vi)) (v i) = 0

⊢ vi i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : ∑ x ∈ vi.support, vi x * (B (v x)) (v i) = 0

⊢ vi i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : vi i * (B (v i)) (v i) = 0

⊢ vi i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : ∑ x ∈ vi.support, vi x * (B (v x)) (v i) = 0

⊢ ∀ b ∈ vi.support, b ≠ i → vi b * (B (v b)) (v i) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂'
n : Type w
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors R
B : BilinForm R M
v : Basis n R M
hO : B.iIsOrtho ⇑v
ho : ∀ (i : n), ¬B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
i : n
hB : ∑ x ∈ vi.support, vi x * (B (v x)) (v i) = 0

⊢ i ∉ vi.support → vi i * (B (v i)) (v i) = 0
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Division.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddCancelCommMonoid G
x : k[G]
g g' : G
h : ¬∃ d, g' = g + d

⊢ (x %ᵒᶠ g) g' = x g'
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : k ≫ S.g = 0
inst✝ : S.HasLeftHomology

⊢ h.liftK k hk ≫ h.cyclesIso.inv = S.liftCycles k hk
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
υ : Type u_6
f : σ → MvPolynomial τ R
g : τ → MvPolynomial υ R
i✝ : σ

⊢ ((bind₁ g).comp (bind₁ f)) (X i✝) = (bind₁ fun i => (bind₁ g) (f i)) (X i✝)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m n : ℤ

⊢ Odd (m - n) ↔ (Odd n ↔ Even m)
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c✝ d c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]

⊢ a * c ≡ b * c [MOD n * c]
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c✝ d c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]

⊢ c * a ≡ c * b [MOD c * n]
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α

⊢ filter (fun x => x < c) (Ico a b) = Ico a (min b c)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
a : Multiset α
l : List (Multiset α)

⊢ a.Disjoint l.sum ↔ ∀ b ∈ l, a.Disjoint b
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Z
g : Y → Z

⊢ IsOpenMap (Sum.elim f g) ↔ IsOpenMap f ∧ IsOpenMap g
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

⊢ MeasurePreserving ?m.126550 ?m.126546 (?m.126476.prod ?m.126477)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j

⊢ (dNext k₀) hom + (prevD k₀) hom = hom k₀ k₁ ≫ D.d k₁ k₀
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j

⊢ ¬c.Rel k₀ (c.next k₀)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹³ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁰ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : IsSmooth IB a
e✝ e'✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
this✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
this✝ : FiberBundle F E := a.toFiberBundle
this : VectorBundle 𝕜 F E := toVectorBundle a
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas

⊢ SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') b)) ((a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he).baseSet ∩ (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he').baseSet)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹³ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁰ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : IsSmooth IB a
e✝ e'✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
this✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
this✝ : FiberBundle F E := a.toFiberBundle
this : VectorBundle 𝕜 F E := toVectorBundle a
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas

⊢ ∀ y ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet, ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') y) = smoothCoordChange IB a he he' y
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹³ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁰ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝⁴ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝³ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : VectorPrebundle 𝕜 F E
ha : IsSmooth IB a
e✝ e'✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
this✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
this✝ : FiberBundle F E := a.toFiberBundle
this : VectorBundle 𝕜 F E := toVectorBundle a
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he : e ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.toFiberPrebundle.pretrivializationAtlas
b : B
hb : b ∈ e.baseSet ∩ e'.baseSet
v : F

⊢ ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he) (a.toFiberPrebundle.trivializationOfMemPretrivializationAtlas he') b) v = (smoothCoordChange IB a he he' b) v