ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a b c d : K
hbc : Commute b c
hbd : Commute b d
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0

⊢ a / b - c / d = (a * d - b * c) / (b * d)
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α

⊢ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α

⊢ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) univ = 0 ↔ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
this : univ = κ.mutuallySingularSetSlice η a ∪ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ

⊢ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) univ = 0 ↔ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x y : K
h : num A y * ↑(den A x) = num A x * ↑(den A y)

⊢ x = y
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
x✝ : ∃ a, o = succ a
a : Ordinal.{u_4}
e : o = succ a

⊢ succ o.pred = o
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L

⊢ x ∈ rootSpace H 0 ↔ ∀ (y : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d✝ a : ℕ
ha : a ≠ 0
n d : ℕ

⊢ Rat.divInt (↑n * ↑a) (↑d * ↑a) = Rat.divInt ↑n ↑d
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
k : ℕ
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : Function.Surjective ⇑f

⊢ map f (lowerCentralSeries R L L k) = lowerCentralSeries R L' L' k
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
k : ℕ
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : Function.Surjective ⇑f
h' : map f ⊤ = ⊤

⊢ map f (lowerCentralSeries R L L k) = lowerCentralSeries R L' L' k
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Nontrivial S
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Free ℤ S
inst✝¹ : Module.Finite ℤ S
inst✝ : CharZero S
n : ℕ
hn : 0 < n
f : Ideal S → Ideal (S ⧸ span {↑n}) := fun I => map (Quotient.mk (span {↑n})) I

⊢ {I | absNorm I = n}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Nontrivial S
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Free ℤ S
inst✝¹ : Module.Finite ℤ S
inst✝ : CharZero S
n : ℕ
hn : 0 < n
f : Ideal S → Ideal (S ⧸ span {↑n}) := fun I => map (Quotient.mk (span {↑n})) I

⊢ (f '' {I | absNorm I = n}).Finite
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Nontrivial S
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Module.Free ℤ S
inst✝¹ : Module.Finite ℤ S
inst✝ : CharZero S
n : ℕ
hn : 0 < n
f : Ideal S → Ideal (S ⧸ span {↑n}) := fun I => map (Quotient.mk (span {↑n})) I

⊢ Set.InjOn f {I | absNorm I = n}
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Frobenius.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ (frobenius x).coeff n = x.coeff n ^ p
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Frobenius.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CharP R p
x : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ (aeval x.coeff) (frobeniusPoly p n) = x.coeff n ^ p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
x : M₁

⊢ ((toLin v₂ v₁) M') ({ toFun := ⇑((toLin v₁ v₂) M), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
x : M₂

⊢ ((toLin v₁ v₂) M) (((toLin v₂ v₁) M') x) = x
-- Mathlib/Logic/Hydra.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsIrrefl α r
a✝ a : α
h : ∀ (y : α), r y a → Acc r y
ih : ∀ (y : α), r y a → Acc (CutExpand r) {y}
s : Multiset α

⊢ CutExpand r s {a} → Acc (CutExpand r) s
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E

⊢ Kᗮᗮ = K.topologicalClosure
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E

⊢ Kᗮᗮ ≤ K.topologicalClosure
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E

⊢ K.topologicalClosure ≤ Kᗮᗮ
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hsum : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤

⊢ HasSum (fun x => (f x).toReal) (∑' (x : α), (f x).toReal)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0
hsum : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤

⊢ HasSum (fun x => ((fun i => ↑(f i)) x).toReal) (∑' (x : α), ((fun i => ↑(f i)) x).toReal)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0
hsum : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤

⊢ HasSum f (∑' (a : α), f a)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
b : PosNum

⊢ ↑(1 + b) = ↑1 + ↑b
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : PosNum

⊢ ↑(a + 1) = ↑a + ↑1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
a b : PosNum

⊢ ↑a + ↑b + (↑a + ↑b) + 1 = ↑a + ↑a + (↑b + ↑b + 1)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
a b : PosNum

⊢ ↑a + ↑b + (↑a + ↑b) + 1 = ↑a + ↑a + 1 + (↑b + ↑b)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
a b : PosNum

⊢ ↑(a + b).succ + ↑(a + b).succ = ↑a + ↑a + 1 + (↑b + ↑b + 1)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
a b : PosNum

⊢ ↑a + ↑b + 1 + (↑a + ↑b + 1) = ↑a + ↑a + 1 + (↑b + ↑b + 1)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Free.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw✝ : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
w : ι' → ↑S.X₃
hw : LinearIndependent R w

⊢ LinearIndependent R (Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w))
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Free.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw✝ : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
w : ι' → ↑S.X₃
hw : LinearIndependent R w

⊢ LinearIndependent R (⇑S.g ∘ Sum.elim (⇑S.f ∘ v) (Function.invFun S.g.toFun ∘ w) ∘ Sum.inr)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Free.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw✝ : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v
w : ι' → ↑S.X₃
hw : LinearIndependent R w
x✝ : ι'

⊢ (⇑S.g ∘ Function.invFun ⇑S.g ∘ w) x✝ = w x✝
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R

⊢ (homogeneousComponent n) φ = ∑ d ∈ Finset.filter (fun d => d.degree = n) φ.support, (monomial d) (coeff d φ)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R

⊢ (homogeneousComponent n) φ = ∑ x ∈ Finset.filter (fun d => (weight 1) d = n) φ.support, (monomial x) (coeff x φ)
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
s : Set α
hs : IsPreconnected s

⊢ s ∈ {Icc (sInf s) (sSup s), Ico (sInf s) (sSup s), Ioc (sInf s) (sSup s), Ioo (sInf s) (sSup s), Ici (sInf s), Ioi (sInf s), Iic (sSup s), Iio (sSup s), univ, ∅}
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
hs : IsPreconnected ∅

⊢ ∅ ∈ {Icc (sInf ∅) (sSup ∅), Ico (sInf ∅) (sSup ∅), Ioc (sInf ∅) (sSup ∅), Ioo (sInf ∅) (sSup ∅), Ici (sInf ∅), Ioi (sInf ∅), Iic (sSup ∅), Iio (sSup ∅), univ, ∅}
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
s : Set α
hs : IsPreconnected s
hne : s.Nonempty

⊢ s ∈ {Icc (sInf s) (sSup s), Ico (sInf s) (sSup s), Ioc (sInf s) (sSup s), Ioo (sInf s) (sSup s), Ici (sInf s), Ioi (sInf s), Iic (sSup s), Iio (sSup s), univ, ∅}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
h : ‖t‖ < 1

⊢ inverse (1 - t) = ↑(Units.oneSub t h)⁻¹
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n : ℕ
x a₁ b₁ : ℝ
m : ℕ
e₁ : n + 1 = m
a₂ b₂ : ℝ
e : |1 + x / ↑m * a₂ - a₁| ≤ b₁ - |x| / ↑m * b₂
h : |rexp x - expNear m x a₂| ≤ |x| ^ m / ↑m.factorial * b₂

⊢ |rexp x - expNear n x a₁| ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial * b₁
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n : ℕ
x a₁ b₁ : ℝ
m : ℕ
e₁ : n + 1 = m
a₂ b₂ : ℝ
e : |1 + x / ↑m * a₂ - a₁| ≤ b₁ - |x| / ↑m * b₂
h : |rexp x - expNear m x a₂| ≤ |x| ^ m / ↑m.factorial * b₂

⊢ |x| ^ m / ↑m.factorial * b₂ + |expNear m x a₂ - expNear n x a₁| ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial * b₁
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n : ℕ
x a₁ b₁ a₂ b₂ : ℝ
e : |1 + x / ↑(n + 1) * a₂ - a₁| ≤ b₁ - |x| / ↑(n + 1) * b₂
h : |rexp x - expNear (n + 1) x a₂| ≤ |x| ^ (n + 1) / ↑(n + 1).factorial * b₂

⊢ |x| ^ (n + 1) / ↑(n + 1).factorial * b₂ + |expNear (n + 1) x a₂ - expNear n x a₁| ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial * b₁
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n : ℕ
x a₁ b₁ a₂ b₂ : ℝ
e : |1 + x / ↑(n + 1) * a₂ - a₁| ≤ b₁ - |x| / ↑(n + 1) * b₂
h : |rexp x - expNear (n + 1) x a₂| ≤ |x| ^ (n + 1) / ↑(n + 1).factorial * b₂

⊢ |x| ^ (n + 1) / ↑(n + 1).factorial * b₂ + |x ^ n / ↑n.factorial| * |1 + x / (↑n + 1) * a₂ - a₁| ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial * b₁
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n : ℕ
x a₁ b₁ a₂ b₂ : ℝ
e : |1 + x / ↑(n + 1) * a₂ - a₁| ≤ b₁ - |x| / ↑(n + 1) * b₂
h : |rexp x - expNear (n + 1) x a₂| ≤ |x| ^ (n + 1) / ↑(n + 1).factorial * b₂

⊢ |x| ^ (n + 1) / ↑(n + 1).factorial * b₂ + |x ^ n / ↑n.factorial| * |1 + x / (↑n + 1) * a₂ - a₁| = |x| ^ n / ↑n.factorial * (|x| / ↑(n + 1) * b₂ + |1 + x / ↑(n + 1) * a₂ - a₁|)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n : ℕ
x a₁ b₁ a₂ b₂ : ℝ
e : |1 + x / ↑(n + 1) * a₂ - a₁| ≤ b₁ - |x| / ↑(n + 1) * b₂
h : |rexp x - expNear (n + 1) x a₂| ≤ |x| ^ (n + 1) / ↑(n + 1).factorial * b₂

⊢ 0 ≤ |x| ^ n / ↑n.factorial
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E

⊢ extChartAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) x = (trivializationAt F E x.proj).toPartialEquiv ≫ (extChartAt IB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E

⊢ ((trivializationAt F E x.proj).toPartialHomeomorph ≫ₕ (chartAt HB x.proj).prod (PartialHomeomorph.refl F)).toPartialEquiv ≫ (IB.prod 𝓘(𝕜, F)).toPartialEquiv = (trivializationAt F E x.proj).toPartialEquiv ≫ ((chartAt HB x.proj).toPartialEquiv ≫ IB.toPartialEquiv).prod (PartialEquiv.refl F)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E

⊢ (trivializationAt F E x.proj).toPartialEquiv ≫ (chartAt HB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F) ≫ IB.prod (PartialEquiv.refl F) = (trivializationAt F E x.proj).toPartialEquiv ≫ ((chartAt HB x.proj).toPartialEquiv ≫ IB.toPartialEquiv).prod (PartialEquiv.refl F)
-- Mathlib/Computability/Language.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
l : Language α

⊢ 1 + l∗ * l = l∗
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{z, w} D
inst✝ : Abelian D
F G : C ⥤ D
α : F ⟶ G
X : C

⊢ (coimageImageComparison α).app X = (coimageObjIso α X).hom ≫ coimageImageComparison (α.app X) ≫ (imageObjIso α X).inv
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g

⊢ f = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g

⊢ f - g = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g

⊢ ∀ x ∈ s, eval x (f - g) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
degree_fg_lt : (f - g).degree < ↑s.card
eval_fg : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g

⊢ ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
-- Mathlib/NumberTheory/PrimeCounting.lean
n : ℕ

⊢ (filter (fun p => Prime p) (range n)).card = count Prime n
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α

⊢ (fun x => a - x) ⁻¹' [[b, c]] = [[a - b, a - c]]
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α

⊢ Icc (a - max b c) (a - min b c) = Icc (min (a - b) (a - c)) (max (a - b) (a - c))
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
l : ℝ
hl₁ : l < 1
hf : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≠ 0
h : Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) atTop (𝓝 l)

⊢ Summable f
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
l : ℝ
hl₁ : l < 1
hf : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≠ 0
h : Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) atTop (𝓝 l)
r : ℝ
hr₀ : l < r
hr₁ : r < 1

⊢ Summable f
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
l : ℝ
hl₁ : l < 1
hf : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≠ 0
h : Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) atTop (𝓝 l)
r : ℝ
hr₀ : l < r
hr₁ : r < 1

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖f (n + 1)‖ ≤ r * ‖f n‖
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
l : ℝ
hl₁ : l < 1
hf : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ≠ 0
h : Tendsto (fun n => ‖f (n + 1)‖ / ‖f n‖) atTop (𝓝 l)
r : ℝ
hr₀ : l < r
hr₁ : r < 1
a✝¹ : ℕ
a✝ : ‖f (a✝¹ + 1)‖ / ‖f a✝¹‖ ≤ r
h₁ : f a✝¹ ≠ 0

⊢ ‖f (a✝¹ + 1)‖ ≤ r * ‖f a✝¹‖
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.132102, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
X Y : C
z₁ z₂ : W.RightFraction X Y
Z : C
t₁ : Z ⟶ z₁.X'
t₂ : Z ⟶ z₂.X'
hs : t₁ ≫ z₁.s = t₂ ≫ z₂.s
hf : t₁ ≫ z₁.f = t₂ ≫ z₂.f
ht : W (t₁ ≫ z₁.s)

⊢ LeftFractionRel z₁.op z₂.op
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω

⊢ μ = μ.mass • μ.normalize.toFiniteMeasure
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω

⊢ ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → μ s = (μ.mass • μ.normalize.toFiniteMeasure) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω
_s_mble : MeasurableSet s

⊢ μ s = (μ.mass • μ.normalize.toFiniteMeasure) s
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h_open : ∀ u ∈ s, IsOpen u
h_nhds : ∀ (a : α) (u : Set α), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ s, a ∈ v ∧ v ⊆ u
a : α

⊢ ∀ (i : Set α), a ∈ i ∧ IsOpen i → ∃ i', (i' ∈ s ∧ a ∈ i') ∧ id i' ⊆ i
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
r : ℝ≥0
A : Matrix m n α

⊢ ‖A‖₊ ≤ r ↔ ∀ (i : m) (j : n), ‖A i j‖₊ ≤ r
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
hc : c ≠ 0
h : b⁻¹ * a = c

⊢ a = b * c
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
hc : c ≠ 0
h : b⁻¹ * a = c

⊢ b ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a c d : G₀
m n : ℕ
hc : c ≠ 0
h : 0⁻¹ * a = c

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
hs : s.Nonempty

⊢ affineSpan k s = ⊤ ↔ vectorSpan k s = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
hs : s.Nonempty

⊢ vectorSpan k s = ⊤ → affineSpan k s = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
hs : s.Nonempty
h : vectorSpan k s = ⊤

⊢ affineSpan k s = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
hs : s.Nonempty
h : vectorSpan k s = ⊤

⊢ Nonempty ↥(affineSpan k s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h : vectorSpan k s = ⊤
x : P
hx : x ∈ s

⊢ Nonempty ↥(affineSpan k s)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Triangulated.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.260798, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃

⊢ f ≫ g = 𝟙 X₁ ≫ f ≫ g
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
m n : Nat

⊢ range m ⊆ range n ↔ m ≤ n
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop

⊢ (Filter.coprodᵢ f).NeBot ↔ (∀ (i : ι), Nonempty (α i)) ∧ ∃ d, (f d).NeBot