ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/ClopenBox.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : CompactSpace X
W : Clopens (X × Y)

⊢ ∃ I, W = I.sup fun i => i.1 ×ˢ i.2
-- Mathlib/Topology/ClopenBox.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : CompactSpace X
W : Clopens (X × Y)
U : X × Y → Clopens X
hxU : ∀ x ∈ W, x.1 ∈ U x
V : X × Y → Clopens Y
hxV : ∀ x ∈ W, x.2 ∈ V x
hUV : ∀ x ∈ W, U x ×ˢ V x ≤ W

⊢ ∃ I, W = I.sup fun i => i.1 ×ˢ i.2
-- Mathlib/Topology/ClopenBox.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : CompactSpace X
W : Clopens (X × Y)
U : X × Y → Clopens X
hxU : ∀ x ∈ W, x.1 ∈ U x
V : X × Y → Clopens Y
hxV : ∀ x ∈ W, x.2 ∈ V x
hUV : ∀ x ∈ W, U x ×ˢ V x ≤ W
I : Finset (X × Y)
hIW : ∀ x ∈ I, x ∈ W.carrier
hWI : W.carrier ⊆ ⋃ x ∈ I, ↑(U x) ×ˢ ↑(V x)

⊢ ∃ I, W = I.sup fun i => i.1 ×ˢ i.2
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi (G.map f)

⊢ Epi f
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi (G.map f)

⊢ Epi (F.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi (G.map f)
this : Epi (G.map f ≫ (α.app Y).inv)

⊢ Epi (F.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
inst✝ : F.ReflectsEpimorphisms
α : F ≅ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : Epi (G.map f)
this : Epi (G.map f ≫ (α.app Y).inv)

⊢ F.map f = (α.app X).hom ≫ G.map f ≫ (α.app Y).inv
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f : α → β

⊢ Tendsto f l₁ l₂ ↔ RTendsto (Function.graph f) l₁ l₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M

⊢ B.SeparatingRight ↔ ker B.flip = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/IntegralNormalization.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
hi : f.degree = ↑i

⊢ f.integralNormalization.coeff i = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs₂ : IsOpen s
x : E
hx : x ∈ s

⊢ x ∈ interior s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N

⊢ (((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) ⍟ fun n => χ ↑n) = (fun n => χ ↑n) * fun n => Complex.log ↑n
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
x y : ℝ

⊢ abs (↑x + ↑y * I) = √(x ^ 2 + y ^ 2)
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
x y : ℝ

⊢ abs (↑x + ↑y * I) = √(normSq (↑x + ↑y * I))
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
i : ι

⊢ Function.Injective ⇑of
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α

⊢ { ofColex := {a} } < { ofColex := {b} } ↔ a < b
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.18276, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S✝ S₁ S₂ : ShortComplex C
S : ShortComplex Cᵒᵖ
h : S.HomologyData
z : IsZero h.left.H

⊢ S.unop.Exact
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{u}

⊢ lift.{v, u} c ≤ ℵ₀ ↔ c ≤ ℵ₀
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α

⊢ Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atBot (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < x + 1

⊢ Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atBot (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < x + 1
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose

⊢ Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atBot (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < x + 1
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
hqs_tendsto : Tendsto qs atBot atBot

⊢ Tendsto (↑(hf.stieltjesFunction a)) atBot (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < x + 1
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
hqs_tendsto : Tendsto qs atBot atBot
x : ℝ

⊢ ↑(hf.stieltjesFunction a) x ≤ (f a ∘ qs) x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
h_exists : ∀ (x : ℝ), ∃ q, x < ↑q ∧ ↑q < x + 1
qs : ℝ → ℚ := fun x => ⋯.choose
hqs_tendsto : Tendsto qs atBot atBot
x : ℝ

⊢ ↑(hf.stieltjesFunction a) x ≤ ↑(hf.stieltjesFunction a) ↑(qs x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C

⊢ ∃ A a, IsGalois A ∧ Function.Bijective fun f => F.map f a
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X A : C
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
a : ↑(F.obj A)
h1 : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
h2 : IsConnected A
h3 : Mono u

⊢ ∃ A a, IsGalois A ∧ Function.Bijective fun f => F.map f a
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X A : C
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
a : ↑(F.obj A)
h1 : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
h2 : IsConnected A
h3 : Mono u

⊢ ∃ a, IsGalois A ∧ Function.Bijective fun f => F.map f a
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X A : C
u : A ⟶ CategoryTheory.PreGaloisCategory.selfProd F X
a : ↑(F.obj A)
h1 : F.map u a = CategoryTheory.PreGaloisCategory.mkSelfProdFib F X
h2 : IsConnected A
h3 : Mono u

⊢ IsGalois A ∧ Function.Bijective fun f => F.map f a
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
b : α

⊢ sSup {a | IsAtom a ∧ a ≤ b} = b
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
s : Set α
hs : ∀ a ∈ s, IsAtom a

⊢ sSup {a | IsAtom a ∧ a ≤ sSup s} = sSup s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i✝ : K →+* L
p : K[X]
i : K →+* L
p_ne_zero : p ≠ 0
hsplit : Splits i p

⊢ p.degree = ↑(Multiset.card (map i p).roots)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
n : ℕ
x : α

⊢ s ∩ replicate n x = replicate (min (count x s) n) x
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)

⊢ p a b
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
x : A
hx : x ∈ s ∪ star s
y : A
hy : y ∈ s ∪ star s

⊢ p x y
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
r : R
x : A
hx : x ∈ s ∪ star s

⊢ p ((algebraMap R A) r) x
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
r : R
x : A
hx : x ∈ s ∪ star s

⊢ p x ((algebraMap R A) r)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Basic.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
hx : x ∈ ball c f.rOut

⊢ ↑f x ≠ 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : ↑a ≠ 0

⊢ StrictMono fun x => ↑a * x
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0

⊢ StrictMono fun x => ↑a * x
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0
x y : ℝ≥0∞
h : x < y

⊢ (fun x => ↑a * x) x < (fun x => ↑a * x) y
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0
x y : ℝ≥0∞
h : ↑a * y ≤ ↑a * x

⊢ y ≤ x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c d : Ordinal.{u}

⊢ a ⨳ (b ⨳ c) ≤ d ↔ ∀ a' < a, ∀ b' < b, ∀ c' < c, a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c') < d ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c')
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c d : Ordinal.{u}

⊢ ¬a ⨳ (b ⨳ c) ≤ d ↔ ¬∀ a' < a, ∀ b' < b, ∀ c' < c, a' ⨳ (b ⨳ c) ♯ a ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a ⨳ (b ⨳ c') ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c') < d ♯ a' ⨳ (b' ⨳ c) ♯ a' ⨳ (b ⨳ c') ♯ a ⨳ (b' ⨳ c')
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
φ : α → β
θ : α → γ
ψ : β → δ
ρ : γ → δ
H : ψ ∘ φ = ρ ∘ θ
G : Filter δ

⊢ comap φ (comap ψ G) = comap θ (comap ρ G)
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp y x = cmp y' x'

⊢ cmp x y = cmp x' y'
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Units.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x z d : α
h : IsRelPrime (x * d) z

⊢ IsRelPrime x z
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
h : π.IsPartition

⊢ ∃ s, splitMany I s ≤ π
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
h : π.IsPartition
s : Finset (ι × ℝ)
hs : π ⊓ splitMany I s = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ π.iUnion

⊢ splitMany I s ≤ π
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
inst✝ : Finite ι
I : Box ι
π : Prepartition I
h : π.IsPartition
s : Finset (ι × ℝ)
hs : π ⊓ splitMany I s = (splitMany I s).filter fun J => ↑J ⊆ ↑I

⊢ ∀ J ∈ splitMany I s, ↑J ⊆ ↑I
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}

⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k : ℕ
hk : -g ≤ k • a

⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k : ℕ
hk : -g ≤ k • a
h_ne : s.Nonempty

⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k✝ : ℕ
hk✝ : -g ≤ k✝ • a
h_ne : s.Nonempty
k : ℕ
hk : g ≤ k • a

⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k✝ : ℕ
hk✝ : -g ≤ k✝ • a
h_ne : s.Nonempty
k : ℕ
hk : g ≤ k • a
h_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k

⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k✝ : ℕ
hk✝ : -g ≤ k✝ • a
h_ne : s.Nonempty
k : ℕ
hk : g ≤ k • a
h_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k
m : ℤ
hm : m ∈ s
hm' : ∀ z ∈ s, z ≤ m

⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k✝ : ℕ
hk✝ : -g ≤ k✝ • a
h_ne : s.Nonempty
k : ℕ
hk : g ≤ k • a
h_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k
m : ℤ
hm : m ∈ s
hm' : ∀ z ∈ s, z ≤ m
hm'' : g < (m + 1) • a

⊢ ∃! k, k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k✝ : ℕ
hk✝ : -g ≤ k✝ • a
h_ne : s.Nonempty
k : ℕ
hk : g ≤ k • a
h_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k
m : ℤ
hm : m ∈ s
hm' : ∀ z ∈ s, z ≤ m
hm'' : g < (m + 1) • a
n : ℤ
hn : (fun k => k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a) n

⊢ m < n + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
g : α
s : Set ℤ := {n | n • a ≤ g}
k✝ : ℕ
hk✝ : -g ≤ k✝ • a
h_ne : s.Nonempty
k : ℕ
hk : g ≤ k • a
h_bdd : ∀ n ∈ s, n ≤ ↑k
m : ℤ
hm : m ∈ s
hm' : ∀ z ∈ s, z ≤ m
hm'' : g < (m + 1) • a
n : ℤ
hn : (fun k => k • a ≤ g ∧ g < (k + 1) • a) n

⊢ m • a < (n + 1) • a
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace ↥U
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 ↥U
x : E

⊢ (orthogonalProjection U) x = ∑ i : ι, ⟪↑(b i), x⟫_𝕜 • b i
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hx : 𝓟 {x} ≤ p'

⊢ Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hx : 𝓟 {x} ≤ p'
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β

⊢ (fun x_1 => (f x, F x_1 x)) ⁻¹' u ∈ p
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hx : 𝓟 {x} ≤ p'
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β

⊢ ∀ (a : ι), (∀ᶠ (y : α) in p', (f y, F a y) ∈ u) → a ∈ (fun x_1 => (f x, F x_1 x)) ⁻¹' u
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
h✝ : TendstoUniformlyOnFilter F f p p'
hx : 𝓟 {x} ≤ p'
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
i : ι
h : ∀ᶠ (y : α) in p', (f y, F i y) ∈ u

⊢ i ∈ (fun x_1 => (f x, F x_1 x)) ⁻¹' u
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/ETransform.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α

⊢ (mulDysonETransform e x).1 * (mulDysonETransform e x).2 ⊆ x.1 * x.2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/ETransform.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α

⊢ e • x.2 * e⁻¹ • x.1 ⊆ x.1 * x.2
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝³ : CommRing α
inst✝² : StarRing α
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m α
hA : A.IsHermitian

⊢ A.adjugate.IsHermitian
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Denumerable ι
κs : ι → Kernel α β
hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)
e : ℕ ≃ ι × ℕ := (Denumerable.eqv (ι × ℕ)).symm

⊢ Kernel.sum κs = Kernel.sum fun n => (κs (e n).1).seq (e n).2
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Denumerable ι
κs : ι → Kernel α β
hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)
e : ℕ ≃ ι × ℕ := (Denumerable.eqv (ι × ℕ)).symm
hκ_eq : Kernel.sum κs = Kernel.sum fun n => Kernel.sum (κs n).seq

⊢ Kernel.sum κs = Kernel.sum fun n => (κs (e n).1).seq (e n).2
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Denumerable ι
κs : ι → Kernel α β
hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)
e : ℕ ≃ ι × ℕ := (Denumerable.eqv (ι × ℕ)).symm
hκ_eq : Kernel.sum κs = Kernel.sum fun n => Kernel.sum (κs n).seq
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ((Kernel.sum fun n => Kernel.sum (κs n).seq) a) s = ((Kernel.sum fun n => (κs (e n).1).seq (e n).2) a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Denumerable ι
κs : ι → Kernel α β
hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)
e : ℕ ≃ ι × ℕ := (Denumerable.eqv (ι × ℕ)).symm
hκ_eq : Kernel.sum κs = Kernel.sum fun n => Kernel.sum (κs n).seq
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∑' (n : ι) (n_1 : ℕ), (((κs n).seq n_1) a) s = ∑' (n : ℕ), (((κs (e n).1).seq (e n).2) a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
inst✝ : Denumerable ι
κs : ι → Kernel α β
hκs : ∀ (n : ι), IsSFiniteKernel (κs n)
e : ℕ ≃ ι × ℕ := (Denumerable.eqv (ι × ℕ)).symm
hκ_eq : Kernel.sum κs = Kernel.sum fun n => Kernel.sum (κs n).seq
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∑' (i : ι) (m : ℕ), (((κs i).seq m) a) s = ∑' (n : ℕ), (fun im => (((κs im.1).seq im.2) a) s) (e n)
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
x : α
u : αˣ

⊢ x * ↑u * ↑u⁻¹ = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] M
g : N →ₗ[R] N

⊢ (trace R (M × N)) (f.prodMap g) = (trace R M) f + (trace R N) g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
f : M →ₗ[R] M
g : N →ₗ[R] N
h : (trace R (M × N) ∘ₗ prodMapLinear R M N M N R) (f, g) = (id.coprod id ∘ₗ (trace R M).prodMap (trace R N)) (f, g)

⊢ (trace R (M × N)) (f.prodMap g) = (trace R M) f + (trace R N) g