ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Hom.lean
𝕜₁ : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁
inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂
inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'
h₁ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₂ F₂ σ (RingHom.id 𝕜₂))
h₂ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₁ F₂ (RingHom.id 𝕜₁) σ).flip
h₃ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₁ e₁' e₁ b)) (e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet)
h₄ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₂ e₂ e₂' b)) (e₂.baseSet ∩ e₂'.baseSet)

⊢ e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet) ⊆ e₂.baseSet ∩ e₂'.baseSet
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Hom.lean
𝕜₁ : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁
inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂
inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'
h₁ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₂ F₂ σ (RingHom.id 𝕜₂))
h₂ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₁ F₂ (RingHom.id 𝕜₁) σ).flip
h₃ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₁ e₁' e₁ b)) (e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet)
h₄ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₂ e₂ e₂' b)) (e₂.baseSet ∩ e₂'.baseSet)

⊢ e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet) ⊆ e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Hom.lean
𝕜₁ : Type u_1
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜₁
𝕜₂ : Type u_2
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
iσ : RingHomIsometric σ
B : Type u_3
F₁ : Type u_4
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₁ F₁
E₁ : B → Type u_5
inst✝¹⁸ : (x : B) → AddCommGroup (E₁ x)
inst✝¹⁷ : (x : B) → Module 𝕜₁ (E₁ x)
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_6
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F₂
E₂ : B → Type u_7
inst✝¹³ : (x : B) → AddCommGroup (E₂ x)
inst✝¹² : (x : B) → Module 𝕜₂ (E₂ x)
inst✝¹¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace B
e₁ e₁' : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ e₂' : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝⁹ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁸ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝⁷ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
ita : ∀ (x : B), TopologicalAddGroup (E₂ x)
inst✝⁶ : FiberBundle F₂ E₂
inst✝⁵ : VectorBundle 𝕜₁ F₁ E₁
inst✝⁴ : VectorBundle 𝕜₂ F₂ E₂
inst✝³ : MemTrivializationAtlas e₁
inst✝² : MemTrivializationAtlas e₁'
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e₂
inst✝ : MemTrivializationAtlas e₂'
h₁ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₂ F₂ σ (RingHom.id 𝕜₂))
h₂ : Continuous ⇑(compSL F₁ F₁ F₂ (RingHom.id 𝕜₁) σ).flip
h₃ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₁ e₁' e₁ b)) (e₁'.baseSet ∩ e₁.baseSet)
h₄ : ContinuousOn (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₂ e₂ e₂' b)) (e₂.baseSet ∩ e₂'.baseSet)

⊢ EqOn (continuousLinearMapCoordChange σ e₁ e₁' e₂ e₂') (fun x => ((⇑(compSL F₁ F₂ F₂ σ (RingHom.id 𝕜₂)) ∘ fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₂ e₂ e₂' b)) x).comp ((⇑(compSL F₁ F₁ F₂ (RingHom.id 𝕜₁) σ).flip ∘ fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜₁ e₁' e₁ b)) x)) (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet ∩ (e₁'.baseSet ∩ e₂'.baseSet))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convergence.lean
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : ∀ (y : ℝ), x < y → LSeriesSummable f ↑y

⊢ abscissaOfAbsConv f ≤ ↑x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convergence.lean
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : ∀ (y : ℝ), x < y → LSeriesSummable f ↑y
y : EReal
hy : y ∈ lowerBounds (Real.toEReal '' {x | LSeriesSummable f ↑x})

⊢ y ≤ ↑x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convergence.lean
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : ∀ (y : ℝ), x < y → LSeriesSummable f ↑y
y : EReal
hy : ∀ (a : ℝ), LSeriesSummable f ↑a → y ≤ ↑a

⊢ y ≤ ↑x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convergence.lean
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : ∀ (y : ℝ), x < y → LSeriesSummable f ↑y
y : EReal
hy : ∀ (a : ℝ), LSeriesSummable f ↑a → y ≤ ↑a
H : ∀ (a : EReal), ↑x < a → y ≤ a

⊢ y ≤ ↑x
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean
n : ℕ
a b : Fin n

⊢ (Iic b).card = ↑b + 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
s : Finset α

⊢ ∑ x ∈ s, {x} = s.val
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ

⊢ Irrational (x * ↑n) ↔ n ≠ 0 ∧ Irrational x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V

⊢ G'.deleteVerts (s ∩ G'.verts) = G'.deleteVerts s
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α

⊢ some '' Ico a b = Ico ↑a ↑b
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
x✝ : minpoly A x ∣ p
q : A[X]
hq : p = minpoly A x * q

⊢ (Polynomial.aeval x) p = 0
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l✝ : List α
o : Option α
a m : α
l : List α

⊢ ∀ (a m : α), m ∈ foldl (argAux r) (some a) [] → m ∈ [a]
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l✝ : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
l tl : List α
hd : α
ih : ∀ (a m : α), m ∈ foldl (argAux r) (some a) tl → m ∈ a :: tl
a m : α

⊢ m ∈ foldl (argAux r) (some a) (tl ++ [hd]) → m ∈ a :: (tl ++ [hd])
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
l✝ : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
l tl : List α
hd : α
ih : ∀ (a m : α), m ∈ foldl (argAux r) (some a) tl → m ∈ a :: tl
a m : α

⊢ m ∈ Option.rec (some hd) (fun val => if r hd val then some hd else some val) (foldl (argAux r) (some a) tl) → m ∈ a :: (tl ++ [hd])
-- Mathlib/Data/Multiset/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α

⊢ (s₁ ∪ s₂).inf = s₁.inf ⊓ s₂.inf
-- Mathlib/Data/Multiset/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α

⊢ ∀ (a : α), a ∈ s₁ ∪ s₂ ↔ a ∈ s₁ + s₂
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
h : LineDifferentiableAt 𝕜 f x (c • v)

⊢ LineDifferentiableAt 𝕜 f x v
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ

⊢ antidiagonal n = image (fun i => (n - i, i)) (range (n + 1))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Coherence.lean
C : Type u
X Y : F C
f : X ⟶ Y

⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ f ≫ (normalizeIsoApp' C Y n).hom = (normalizeIsoApp' C X n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Coherence.lean
C : Type u
X Y X✝ : F C

⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ 𝟙 X✝ ≫ (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Coherence.lean
C : Type u
X Y X✝ Y✝ Z✝ : F C

⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (α_ X✝ Y✝ Z✝).hom ≫ (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ Y✝ ⊗ Z✝) n).hom = (normalizeIsoApp' C ((X✝ ⊗ Y✝) ⊗ Z✝) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Coherence.lean
C : Type u
X Y X✝ Y✝ Z✝ : F C

⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (α_ X✝ Y✝ Z✝).inv ≫ (normalizeIsoApp' C ((X✝ ⊗ Y✝) ⊗ Z✝) n).hom = (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ Y✝ ⊗ Z✝) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Coherence.lean
C : Type u
X Y X✝ : F C

⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (λ_ X✝).hom ≫ (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C (𝟙_ (F C) ⊗ X✝) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Coherence.lean
C : Type u
X Y X✝ : F C

⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (λ_ X✝).inv ≫ (normalizeIsoApp' C (𝟙_ (F C) ⊗ X✝) n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Coherence.lean
C : Type u
X Y X✝ : F C

⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (ρ_ X✝).hom ≫ (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ 𝟙_ (F C)) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Coherence.lean
C : Type u
X Y X✝ : F C

⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (ρ_ X✝).inv ≫ (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ 𝟙_ (F C)) n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Coherence.lean
C : Type u
X Y X✝ Y✝ Z✝ : F C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
a✝¹ : ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ f✝ ≫ (normalizeIsoApp' C Y✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
a✝ : ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ g✝ ≫ (normalizeIsoApp' C Z✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C Y✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)

⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ (f✝ ≫ g✝) ≫ (normalizeIsoApp' C Z✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Coherence.lean
C : Type u
X Y X✝ Y✝ Z✝ : F C
f✝ : Y✝ ⟶ Z✝
a✝ : ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ f✝ ≫ (normalizeIsoApp' C Z✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C Y✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)

⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ X✝ ◁ f✝ ≫ (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ Z✝) n).hom = (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ Y✝) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Coherence.lean
C : Type u
X Y X✝ Y✝ : F C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
Z✝ : F C
a✝ : ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ f✝ ≫ (normalizeIsoApp' C Y✝ n).hom = (normalizeIsoApp' C X✝ n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)

⊢ ∀ (n : NormalMonoidalObject C), inclusionObj n ◁ f✝ ▷ Z✝ ≫ (normalizeIsoApp' C (Y✝ ⊗ Z✝) n).hom = (normalizeIsoApp' C (X✝ ⊗ Z✝) n).hom ≫ inclusion.map (eqToHom ⋯)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : y ∈ sphere x ε
hε : ε ≠ 0

⊢ x ∉ sphere x ε
-- Mathlib/Topology/Compactness/LocallyCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
U : Set X
hU : IsOpen U
hx : x ∈ U

⊢ ∃ K, IsCompact K ∧ x ∈ interior K ∧ K ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Compactness/LocallyCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
U : Set X
hU : IsOpen U
hx : x ∈ U
K : Set X
h1K : K ∈ 𝓝 x
h2K : K ⊆ U
h3K : IsCompact K

⊢ ∃ K, IsCompact K ∧ x ∈ interior K ∧ K ⊆ U
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
f : γ → β

⊢ uniformSpace α γ 𝔖 = UniformSpace.comap (fun x => f ∘ x) (uniformSpace α β 𝔖)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
f : γ → β

⊢ ⨅ s ∈ 𝔖, UniformSpace.comap ((fun x => f ∘ x) ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑s) β) = ⨅ i ∈ 𝔖, UniformSpace.comap ((⇑UniformFun.ofFun ∘ i.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) ∘ fun x => f ∘ x) (UniformFun.uniformSpace (↑i) β)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a✝ b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
a : ℕ
h_ind : multiplicity (↑p) (x ^ p ^ a - y ^ p ^ a) = multiplicity (↑p) (x - y) + ↑a

⊢ multiplicity (↑p) (x ^ p ^ (a + 1) - y ^ p ^ (a + 1)) = multiplicity (↑p) (x - y) + ↑(a + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a✝ b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
a : ℕ
h_ind : multiplicity (↑p) (x ^ p ^ a - y ^ p ^ a) = multiplicity (↑p) (x - y) + ↑a

⊢ multiplicity (↑p) ((x ^ p ^ a) ^ p - (y ^ p ^ a) ^ p) = multiplicity (↑p) (x ^ p ^ a - y ^ p ^ a) + 1
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a✝ b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
a : ℕ
h_ind : multiplicity (↑p) (x ^ p ^ a - y ^ p ^ a) = multiplicity (↑p) (x - y) + ↑a

⊢ ↑p ∣ x ^ p ^ a - y ^ p ^ a
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
a✝ b x y : R
p : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
hp : Prime ↑p
hp1 : Odd p
hxy : ↑p ∣ x - y
hx : ¬↑p ∣ x
a : ℕ
h_ind : multiplicity (↑p) (x ^ p ^ a - y ^ p ^ a) = multiplicity (↑p) (x - y) + ↑a

⊢ ¬↑p ∣ x ^ p ^ a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

⊢ fst R M M₂ ⊓ snd R M M₂ = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

⊢ fst R M M₂ ⊓ snd R M M₂ ≤ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M
y : M₂

⊢ (x, y) ∈ fst R M M₂ ⊓ snd R M M₂ → (x, y) ∈ ⊥
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
g : β → α
h : LeftInverse g f
s : Set α

⊢ f ⁻¹' (g ⁻¹' s) = s
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/MinMax.lean
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α

⊢ max a⁻¹ 1 = a⁻¹ * max a 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.129256, u_1} A'
inst✝³ : Category.{?u.129260, u_2} B'
inst✝² : Category.{?u.129264, u_3} T'
L✝ : A ⥤ T
R✝ : B ⥤ T
C : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} C
D : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} D
F : C ⥤ A
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
X✝ Y✝ : Comma (F ⋙ L) R
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ L.map (F.map f.left) ≫ ((fun X => { left := F.obj X.left, right := X.right, hom := X.hom }) Y✝).hom = ((fun X => { left := F.obj X.left, right := X.right, hom := X.hom }) X✝).hom ≫ R.map f.right
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
p : α → Prop
inst✝ : CommMonoid N
v : α →₀ M
h : α → M → N
hp : ∀ x ∈ v.support, p x

⊢ ((subtypeDomain p v).prod fun a b => h (↑a) b) = v.prod h
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Pow.lean
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp₁ : p ≤ 1

⊢ ConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Pow.lean
hp₀ : 0 ≤ 0
hp₁ : 0 ≤ 1

⊢ ConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Pow.lean
p : ℝ
hp₀✝ : 0 ≤ p
hp₁ : p ≤ 1
hp₀ : 0 < p

⊢ ConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Pow.lean
hp₀✝ : 0 ≤ 1
hp₁ : 1 ≤ 1
hp₀ : 0 < 1

⊢ ConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Pow.lean
p : ℝ
hp₀✝ : 0 ≤ p
hp₁✝ : p ≤ 1
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1

⊢ ConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
R L : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
x : L
p : { x_1 // x_1 ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0 } := Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => x_1 ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0) ⋯

⊢ x ∈ (↑p).aroots L
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
R L : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
x : L
p : { x_1 // x_1 ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0 } := Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => x_1 ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0) ⋯
h : Polynomial.map (algebraMap R L) ↑p ≠ 0

⊢ x ∈ (↑p).aroots L
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
R L : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
x y : L
h : (fun x => let p := Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => x_1 ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0) ⋯; ⟨↑p, ⟨x, ⋯⟩⟩) x = (fun x => let p := Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => x_1 ≠ 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0) ⋯; ⟨↑p, ⟨x, ⋯⟩⟩) y

⊢ x = y
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
R L : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
x y : L
h : ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => ¬x_1 = 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0) ⋯) = ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬x = 0 ∧ (Polynomial.aeval y) x = 0) ⋯) ∧ HEq ⟨x, ⋯⟩ ⟨y, ⋯⟩

⊢ x = y
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
R L : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
x y : L
h : ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => ¬x_1 = 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_1 = 0) ⋯) = ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬x = 0 ∧ (Polynomial.aeval y) x = 0) ⋯) ∧ HEq ⟨x, ⋯⟩ ⟨y, ⋯⟩

⊢ ∀ (x_1 : L), x_1 ∈ (↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_2 => ¬x_2 = 0 ∧ (Polynomial.aeval x) x_2 = 0) ⋯)).aroots L ↔ x_1 ∈ (↑(Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬x = 0 ∧ (Polynomial.aeval y) x = 0) ⋯)).aroots L
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R

⊢ p ∈ support R M ↔ ∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, r • m ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R

⊢ (¬∀ (m : M), ∃ r ∉ p.asIdeal, r • m = 0) ↔ ∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, r • m ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R

⊢ (∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, r • m ≠ 0) ↔ ∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, r • m ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
S : Set (HeightOneSpectrum R) := {v | (fun v => ↑a v) v ∉ adicCompletionIntegers K v}

⊢ ∃ b c, a * ↑↑b = ↑c
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
S : Set (HeightOneSpectrum R) := {v | (fun v => ↑a v) v ∉ adicCompletionIntegers K v}
b : (v : HeightOneSpectrum R) → adicCompletion K v → R
hb : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), b v a ∈ R⁰
h : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), a * ↑(b v a) ∈ adicCompletionIntegers K v

⊢ ∃ b c, a * ↑↑b = ↑c
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
S : Set (HeightOneSpectrum R) := {v | (fun v => ↑a v) v ∉ adicCompletionIntegers K v}
b : (v : HeightOneSpectrum R) → adicCompletion K v → R
hb : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), b v a ∈ R⁰
h : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), a * ↑(b v a) ∈ adicCompletionIntegers K v
p : R := ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) (_ : v ∈ S), b v ((fun v => ↑a v) v)
hp : p ∈ R⁰

⊢ ∃ b c, a * ↑↑b = ↑c
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
S : Set (HeightOneSpectrum R) := {v | (fun v => ↑a v) v ∉ adicCompletionIntegers K v}
b : (v : HeightOneSpectrum R) → adicCompletion K v → R
hb : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), b v a ∈ R⁰
h : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), a * ↑(b v a) ∈ adicCompletionIntegers K v
p : R := ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) (_ : v ∈ S), b v ((fun v => ↑a v) v)
hp : p ∈ R⁰

⊢ ∃ c, a * ↑↑⟨p, hp⟩ = ↑c
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
a : FiniteAdeleRing R K
S : Set (HeightOneSpectrum R) := {v | (fun v => ↑a v) v ∉ adicCompletionIntegers K v}
b : (v : HeightOneSpectrum R) → adicCompletion K v → R
hb : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), b v a ∈ R⁰
h : ∀ (v : HeightOneSpectrum R) (a : adicCompletion K v), a * ↑(b v a) ∈ adicCompletionIntegers K v
p : R := ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) (_ : v ∈ S), b v ((fun v => ↑a v) v)
hp : p ∈ R⁰

⊢ ∀ (v : HeightOneSpectrum R), (fun v => ↑(a * ↑↑⟨p, hp⟩) v) v ∈ adicCompletionIntegers K v
-- Mathlib/Logic/Hydra.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s' s t : Multiset α

⊢ CutExpand r (s' + t) (s + t) ↔ CutExpand r s' s