ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
hI : I ≠ ⊥
i : K
hi : i ∈ I

⊢ Submodule.map (Algebra.linearMap R₁ K) 1 ≤ 1
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α

⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ {p | p.2 = x → p.1 ∈ s} ∈ 𝓤 α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α

⊢ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s} ∈ 𝓤 α ↔ {p | p.2 = x → p.1 ∈ s} ∈ Prod.swap <$> 𝓤 α
-- Mathlib/Analysis/Complex/ReImTopology.lean
a b : ℝ

⊢ frontier {z | a ≤ z.re ∧ z.im ≤ b} = {z | a ≤ z.re ∧ z.im = b ∨ z.re = a ∧ z.im ≤ b}
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/BigOperators.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F

⊢ ∀ (a : List (Set α)), ⇑f '' Multiset.prod ⟦a⟧ = (Multiset.map (fun s => ⇑f '' s) ⟦a⟧).prod
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
m : α → β
f : Filter α
s : Set β

⊢ sᶜ ∈ kernMap m f ↔ ∃ t, tᶜ ∈ f ∧ m '' t = s
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
hr : r ≠ 0
hv : v.asIdeal = Ideal.span {r}

⊢ v.intValuation r = ↑(ofAdd (-1))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
hr : r ≠ 0
hv : v.asIdeal = Ideal.span {r}

⊢ Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x

⊢ ∏ i ∈ s, z i ^ w i = ∑ i ∈ s, w i * z i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)

⊢ (⋂₀ S)ᶜ = ⋃₀ (compl '' S)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r

⊢ StrictConvexOn ℝ s f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ 0 < a * b * φ ‖x - y‖
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : 0 < ‖x - y‖
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ 0 < a * b * φ ‖x - y‖
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hφ : ∀ (r : ℝ), r ≠ 0 → 0 < φ r
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : 0 < ‖x - y‖
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
this : 0 < φ ‖x - y‖

⊢ 0 < a * b * φ ‖x - y‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
h : 1 ≤ τ

⊢ a.r (last N) ≤ τ * a.r i
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
h : 1 ≤ τ
H : i < last N

⊢ a.r (last N) ≤ τ * a.r i
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig α N τ
i : Fin N.succ
h : 1 ≤ τ
H : last N ≤ i

⊢ a.r (last N) ≤ τ * a.r i
-- Mathlib/Logic/Function/Iterate.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → α
n : ℕ

⊢ f^[n.succ] = f ∘ f^[n]
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
x✝ : b = a
e : b = a := x✝

⊢ indexOf b (b :: l) = 0
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
g : GenContFract K := of v

⊢ (of v).dens n ≤ (of v).dens (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
g : GenContFract K := of v
terminated : g.partDens.TerminatedAt n

⊢ (of v).dens n ≤ (of v).dens (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
g : GenContFract K := of v
not_terminated : ¬g.partDens.TerminatedAt n

⊢ (of v).dens n ≤ (of v).dens (n + 1)
-- Mathlib/Data/Option/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4

⊢ (fun x => !x) ∘ isNone = isSome
-- Mathlib/Data/Option/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
x : Option α

⊢ ((fun x => !x) ∘ isNone) x = x.isSome
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
hδ : δ ≤ 0
E : Set α
x : α

⊢ x ∈ cthickening δ E ↔ x ∈ closure E
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ (p - 1) * padicValNat p ((n + k).choose k) = (p.digits k).sum + (p.digits n).sum - (p.digits (n + k)).sum
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : k ≤ n + k

⊢ (p - 1) * padicValNat p ((n + k).choose k) = (p.digits k).sum + (p.digits n).sum - (p.digits (n + k)).sum
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : k ≤ n + k

⊢ (p - 1) * padicValNat p ((n + k)! / (k ! * (n + k - k)!)) = (p.digits k).sum + (p.digits n).sum - (p.digits (n + k)).sum
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : k ≤ n + k

⊢ (p - 1) * padicValNat p (n + k)! - ((p - 1) * padicValNat p k ! + (p - 1) * padicValNat p (n + k - k)!) = (p.digits k).sum + (p.digits n).sum - (p.digits (n + k)).sum
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : k ≤ n + k

⊢ n + k - (p.digits (n + k)).sum - (k - (p.digits k).sum + (n + k - k - (p.digits (n + k - k)).sum)) = (p.digits k).sum + (p.digits n).sum - (p.digits (n + k)).sum
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.92724, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
i j k : ℤ
hij : i + 1 = j
hjk : j + 1 = k

⊢ (mappingCone φ).d i j ≫ (↑(fst φ)).v j k hjk = -(↑(fst φ)).v i j hij ≫ F.d j k
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/EpiMono.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
F' : D ⥤ C
A B : C
adj : F ⊣ F'
f : A ⟶ B
h₁ : F'.PreservesMonomorphisms
h₂ : F.PreservesEpimorphisms
inst✝¹ : StrongEpi f
X Y : D
Z : X ⟶ Y
inst✝ : Mono Z

⊢ HasLiftingProperty (F.map f) Z
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/EpiMono.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
F' : D ⥤ C
A B : C
adj : F ⊣ F'
f : A ⟶ B
h₁ : F'.PreservesMonomorphisms
h₂ : F.PreservesEpimorphisms
inst✝¹ : StrongEpi f
X Y : D
Z : X ⟶ Y
inst✝ : Mono Z

⊢ HasLiftingProperty f (F'.map Z)
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/GaloisField.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
p q : ℕ
inst✝ : CharP K p
h : p ∣ q

⊢ (X ^ q - X).Separable
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/GaloisField.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
p q : ℕ
inst✝ : CharP K p
h : p ∣ q

⊢ 1 * (X ^ q - X) + (X ^ q - X - 1) * derivative (X ^ q - X) = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/GaloisField.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
p q : ℕ
inst✝ : CharP K p
h : ↑q = 0

⊢ 1 * (X ^ q - X) + (X ^ q - X - 1) * derivative (X ^ q - X) = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/GaloisField.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
p q : ℕ
inst✝ : CharP K p
h : ↑q = 0

⊢ 1 * (X ^ q - X) + (X ^ q - X - 1) * (0 * X ^ (q - 1) - 1) = 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
i : ℕ
a : A
ha : a ∈ asIdeal f_deg hm q
j : ℕ
h : i = j

⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) ↑(((decompose 𝒜) a) i) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
i : ℕ
a : A
ha : a ∈ asIdeal f_deg hm q
j : ℕ
h : ¬i = j

⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * j, num := ⟨(proj 𝒜 j) ↑(((decompose 𝒜) a) i) ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ j, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure β
s : Set α

⊢ (Measure.comap f μ).restrict s = Measure.comap f (μ.restrict (f '' s))
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a : Ordinal.{u_1}
a0 : a ≠ 0

⊢ 0 ^ a = 0
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b✝ b c : α
l₁ l₂ : List α

⊢ Chain' R (l₁ ++ b :: c :: l₂) ↔ Chain' R (l₁ ++ [b]) ∧ R b c ∧ Chain' R (c :: l₂)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0

⊢ padicValRat p q ≤ padicValRat p (q + r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0

⊢ padicValRat p q ≤ padicValRat p (q + r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0

⊢ padicValRat p q ≤ padicValRat p (q + r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrn : r.num ≠ 0

⊢ padicValRat p q ≤ padicValRat p (q + r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrn : r.num ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0

⊢ padicValRat p q ≤ padicValRat p (q + r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrn : r.num ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0
hqreq : q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)

⊢ padicValRat p q ≤ padicValRat p (q + r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrn : r.num ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0
hqreq : q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
hqrd : q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num ≠ 0

⊢ padicValRat p q ≤ padicValRat p (q + r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrn : r.num ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0
hqreq : q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
hqrd : q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num ≠ 0

⊢ padicValRat p (q.num /. ↑q.den) ≤ padicValRat p (q + r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrn : r.num ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0
hqreq : q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
hqrd : q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num ≠ 0

⊢ multiplicity ↑p ↑q.den + multiplicity (↑p) (q.num * ↑r.den) ≤ multiplicity (↑p) (q.num * ↑r.den * ↑q.den + ↑q.den * r.num * ↑q.den)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : multiplicity (↑p) (q.num * ↑r.den) ≤ multiplicity (↑p) (r.num * ↑q.den)
hq : ¬q = 0
hr : ¬r = 0
hqn : q.num ≠ 0
hqd : ↑q.den ≠ 0
hrn : r.num ≠ 0
hrd : ↑r.den ≠ 0
hqreq : q + r = (q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num) /. (↑q.den * ↑r.den)
hqrd : q.num * ↑r.den + ↑q.den * r.num ≠ 0

⊢ multiplicity ↑p ↑q.den + multiplicity (↑p) (q.num * ↑r.den) ≤ multiplicity (↑p) (q.num * ↑r.den * ↑q.den + ↑q.den * r.num * ↑q.den)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K

⊢ IsUnramified k w ↔ w.mult ≤ (w.comap (algebraMap k K)).mult
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K

⊢ (w.comap (algebraMap k K)).mult ≤ w.mult
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℂ

⊢ cos (x - ↑π / 2) = sin x
-- Mathlib/RingTheory/Localization/FractionRing.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommRing P
A : Type u_4
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
K : Type u_5
r : A
s : ↥(nonZeroDivisors A)

⊢ Localization.mk r s = (algebraMap A (FractionRing A)) r / (algebraMap A (FractionRing A)) ↑s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)

⊢ Tendsto (fun n => bernsteinApproximation n f) atTop (𝓝 f)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)

⊢ ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖bernsteinApproximation x f - f‖ < i
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h

⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖bernsteinApproximation x f - f‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h
nhds_zero : Tendsto (fun n => 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n) atTop (𝓝 0)

⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖bernsteinApproximation x f - f‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h
nhds_zero : Tendsto (fun n => 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2
npos' : 0 < n

⊢ ‖bernsteinApproximation n f - f‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h
nhds_zero : Tendsto (fun n => 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2
npos' : 0 < n
npos : 0 < ↑n

⊢ ‖bernsteinApproximation n f - f‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h
nhds_zero : Tendsto (fun n => 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2
npos' : 0 < n
npos : 0 < ↑n

⊢ ∀ (x : ↑I), ‖(bernsteinApproximation n f - f) x‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h
nhds_zero : Tendsto (fun n => 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2
npos' : 0 < n
npos : 0 < ↑n
x : ↑I
S : Finset (Fin (n + 1)) := bernsteinApproximation.S f ε h n x

⊢ ‖(bernsteinApproximation n f - f) x‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h
nhds_zero : Tendsto (fun n => 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2
npos' : 0 < n
npos : 0 < ↑n
x : ↑I
S : Finset (Fin (n + 1)) := bernsteinApproximation.S f ε h n x

⊢ ∑ k ∈ S, |f k/ₙ - f x| * (bernstein n ↑k) x ≤ ε / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
δ : ℝ := bernsteinApproximation.δ f ε h
nhds_zero : Tendsto (fun n => 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ
nh : 2 * ‖f‖ * δ ^ (-2) / ↑n < ε / 2
npos' : 0 < n
npos : 0 < ↑n
x : ↑I
S : Finset (Fin (n + 1)) := bernsteinApproximation.S f ε h n x

⊢ ∑ k ∈ Sᶜ, |f k/ₙ - f x| * (bernstein n ↑k) x < ε / 2
-- Mathlib/Topology/IndicatorConstPointwise.lean
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b
x : α

⊢ Tendsto (fun i => (As i).indicator (fun x => b) x) L (𝓝 (A.indicator (fun x => b) x)) ↔ ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A
-- Mathlib/Topology/IndicatorConstPointwise.lean
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b
x : α

⊢ {0}ᶜ ∈ 𝓝 b
-- Mathlib/Topology/IndicatorConstPointwise.lean
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b
x : α

⊢ {b}ᶜ ∈ 𝓝 0
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α

⊢ TotallyDisconnectedSpace α ↔ ∀ (x : α), connectedComponent x = {x}
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α

⊢ (∀ (x : α), (connectedComponent x).Subsingleton) ↔ ∀ (x : α), connectedComponent x = {x}
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α

⊢ (connectedComponent x).Subsingleton ↔ connectedComponent x = {x}
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α

⊢ x ∈ connectedComponent x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/CechNerve.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ∀ (n : ℕ) (f : Arrow C), HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
F : Arrow C
X : Augmented C
G : F.augmentedCechConerve ⟶ X

⊢ G.left ≫ X.hom.app (SimplexCategory.mk 0) = (WidePushout.head fun x => F.hom) ≫ G.right.app (SimplexCategory.mk 0)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Truncated.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : TruncatedWittVector p n R
i : Fin n

⊢ (if h : ↑i < n then coeff ⟨↑i, h⟩ x else 0) = coeff i x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F

⊢ StronglyMeasurable fun x => derivWithin f (Ioi x) x
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
r : β → β → Prop
m : Multiset α
h : {a | a ∈ m}.Pairwise fun a₁ a₂ => r (f a₁) (f a₂)
b₁ : β
h₁ : b₁ ∈ {b | b ∈ map f m}
b₂ : β
h₂ : b₂ ∈ {b | b ∈ map f m}
hn : b₁ ≠ b₂

⊢ r b₁ b₂
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
r : β → β → Prop
m : Multiset α
h : {a | a ∈ m}.Pairwise fun a₁ a₂ => r (f a₁) (f a₂)
a₁ : α
H₁ : a₁ ∈ m
h₁ : f a₁ ∈ {b | b ∈ map f m}
a₂ : α
H₂ : a₂ ∈ m
h₂ : f a₂ ∈ {b | b ∈ map f m}
hn : f a₁ ≠ f a₂

⊢ r (f a₁) (f a₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

⊢ 0 < finrank R M ↔ Nontrivial M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

⊢ 0 < finrank R M ↔ 0 < ↑(finrank R M)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : NullMeasurableSet t μ
hfs : IntegrableOn f s μ

⊢ ∫ (x : X) in s ∩ t, f x ∂μ + ∫ (x : X) in s \ t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : NullMeasurableSet t μ
hfs : IntegrableOn f s μ

⊢ Integrable f (μ.restrict (s ∩ t))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : NullMeasurableSet t μ
hfs : IntegrableOn f s μ

⊢ Integrable f (μ.restrict (s \ t))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] E
hA : IsSelfAdjoint A
x y : E

⊢ ⟪↑A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, ↑A y⟫_𝕜
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : ↥M
c : R
d : ↥M

⊢ mk a b + mk c d = mk (↑b * c + ↑d * a) (b * d)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : ↥M
c : R
d : ↥M

⊢ mk a b + mk c d = mk (↑d * a + ↑b * c) (d * b)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
x : ℝ≥0∞
h : 0 < x.toReal

⊢ x.log = ↑(Real.log x.toReal)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s : Set A
x : ProjectiveSpectrum 𝒜

⊢ x ∈ zeroLocus 𝒜 ↑(Ideal.span s) ↔ x ∈ zeroLocus 𝒜 s
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Mul A
inst✝ : SMulWithZero R A
a₁ a₂ : A

⊢ a₁ * a₂ = 0 • a₂ + 0 • a₁ + a₁ * a₂