ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Prod/TProd.lean
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l : List ι
f : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
hnd : l.Nodup
h : ∀ (i : ι), i ∈ l
v : TProd α l
i : ι
hi : i ∈ l

⊢ (TProd.mk l (TProd.elim' h v)).elim hi = v.elim hi
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
l✝ : List α
inst✝ : Fintype α
l l' : List α
x : α
hx : x ∈ (zipWith swap l l').prod.support
hx' : x ∈ {x | (zipWith swap l l').prod x ≠ x}

⊢ x ∈ l.toFinset ⊔ l'.toFinset
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Reflexive.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
A✝ B✝ : C
f✝ g✝ : A✝ ⟶ B✝
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : HasCoreflexiveEqualizers C
A B : C
f g : A ⟶ B
r : B ⟶ A
fr : f ≫ r = 𝟙 A
gr : g ≫ r = 𝟙 A

⊢ HasEqualizer f g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Reflexive.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
A✝ B✝ : C
f✝ g✝ : A✝ ⟶ B✝
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : HasCoreflexiveEqualizers C
A B : C
f g : A ⟶ B
r : B ⟶ A
fr : f ≫ r = 𝟙 A
gr : g ≫ r = 𝟙 A
this : IsCoreflexivePair f g := IsCoreflexivePair.mk' r fr gr

⊢ HasEqualizer f g
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
s : Set α
hs : s.Nonempty
h's : BddBelow s

⊢ ↑(sInf s) = ⨅ a ∈ s, ↑a
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
h : ¬p i

⊢ filter p (single i x) = 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
hg : x.orderTop = ↑g

⊢ x.coeff g ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
hg : x.orderTop = ↑g
h : x.orderTop ≠ ⊤

⊢ x.coeff g ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
hg : x.orderTop = ↑g
h : x.orderTop ≠ ⊤
hx : x ≠ 0

⊢ x.coeff g ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.orderTop ≠ ⊤
hx : x ≠ 0
hg : ⋯.min ⋯ = g

⊢ x.coeff g ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.orderTop ≠ ⊤
hx : x ≠ 0
hg : ⋯.min ⋯ = g

⊢ x.coeff (⋯.min ⋯) ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/RiemannZeta.lean
s : ℂ

⊢ completedCosZeta 0 s = completedRiemannZeta s
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace F
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
K✝ : Set E
comp✝ : IsCompact K✝
f✝ : E → F
D : Set E
ε✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillation f x < ε

⊢ ∃ δ > 0, ∀ x ∈ K, diam (f '' ball x (ENNReal.ofReal δ)) ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace F
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
K✝ : Set E
comp✝ : IsCompact K✝
f✝ : E → F
D : Set E
ε✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillationWithin f univ x < ε

⊢ ∃ δ > 0, ∀ x ∈ K, diam (f '' ball x (ENNReal.ofReal δ)) ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace F
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
K✝ : Set E
comp✝ : IsCompact K✝
f✝ : E → F
D : Set E
ε✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
K : Set E
comp : IsCompact K
f : E → F
ε : ℝ≥0∞
hK : ∀ x ∈ K, oscillationWithin f univ x < ε
x✝ : ℝ
a✝¹ : E
a✝ : a✝¹ ∈ K

⊢ ball a✝¹ (ENNReal.ofReal x✝) ∩ univ = ball a✝¹ (ENNReal.ofReal x✝)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f t y ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => f x i) t y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H

⊢ (∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) t y) ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => f x i) t y
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'

⊢ Valid' o₁ (l.balanceL x r) o₂
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'

⊢ Valid' o₁ (l.balance' x r) o₂
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑x) r o₂
H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'

⊢ ∃ l' r', BalancedSz l' r' ∧ (l.size.dist l' ≤ 1 ∧ r.size = r' ∨ r.size.dist r' ≤ 1 ∧ l.size = l')
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Sieve X
Y✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X

⊢ (functorPullback (𝟭 C) R).arrows f✝ ↔ R.arrows f✝
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
hp : NeZero p
inst✝ : CharZero R
n : ℕ

⊢ (W_ R n).vars = range (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
hp : NeZero p
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
this : ∀ (i : ℕ), ((monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)).vars = {i}

⊢ (W_ R n).vars = range (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
hp : NeZero p
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
this : ∀ (i : ℕ), ((monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)).vars = {i}

⊢ ((range (n + 1)).biUnion fun i => ((monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)).vars) = range (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
hp : NeZero p
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
this : ∀ (i : ℕ), ((monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)).vars = {i}

⊢ Pairwise (Disjoint on fun i => ((monomial (single i (p ^ (n - i)))) (↑p ^ i)).vars)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝¹ : CommSemiring α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
n : ℕ

⊢ (∑ a ∈ s, f a) ^ n = ∑ p ∈ piFinset fun _i => s, ∏ i : Fin n, f (p i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝¹ : CommSemiring α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
n : ℕ

⊢ (∑ a ∈ s, f a) ^ n = ∏ i : Fin n, ∑ j ∈ s, f j
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ f : ℂ → E
z : ℂ
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)

⊢ ‖f z‖ ≤ ‖interpStrip f z‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ f : ℂ → E
z : ℂ
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)

⊢ z ∈ closure (verticalStrip 0 1)
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α

⊢ (TransGen fun x x_1 => x ⩿ x_1) = ReflTransGen fun x x_1 => x ⋖ x_1
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β

⊢ range (t.restrictPreimage f) = Subtype.val ⁻¹' range f
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m✝ n a✝ b✝ c✝ d a b c m : ℕ
hc : c ≠ 0

⊢ c * a ≡ c * b [MOD c * m] → a ≡ b [MOD m]
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S = ↑S.u * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S * λ * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S * λ * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S = ↑S.u * λ ^ (3 * S.multiplicity) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ (S.a + S.b) * ((S.a + ↑η * S.b) * (S.a + ↑η ^ 2 * S.b)) = ↑S.u * (λ ^ (3 * S.multiplicity) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ (S.a + S.b) * ((S.a + ↑η * S.b) * (S.a + ↑η ^ 2 * S.b)) = (S.a + S.b) * (S.a + ↑η * S.b) * (S.a + ↑η ^ 2 * S.b)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
s : Set V
t : Set P
hs : IsClosed s
ht : IsCompact t

⊢ IsClosed (s +ᵥ t)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
s : Set V
t : Set P
hs : IsClosed s
ht : IsCompact t
u : ℕ → P
p : P
husv : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s +ᵥ t
hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)

⊢ p ∈ s +ᵥ t
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
s : Set V
t : Set P
hs : IsClosed s
ht : IsCompact t
u : ℕ → P
p : P
hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)
a : ℕ → V
ha : ∀ (n : ℕ), a n ∈ s
v : ℕ → P
hv : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hav : ∀ (n : ℕ), (fun x x_1 => x +ᵥ x_1) (a n) (v n) = u n

⊢ p ∈ s +ᵥ t
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
s : Set V
t : Set P
hs : IsClosed s
ht : IsCompact t
u : ℕ → P
p : P
hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)
a : ℕ → V
ha : ∀ (n : ℕ), a n ∈ s
v : ℕ → P
hv : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hav : ∀ (n : ℕ), (fun x x_1 => x +ᵥ x_1) (a n) (v n) = u n
q : P
hqt : q ∈ t
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hφq : Tendsto (v ∘ φ) atTop (𝓝 q)

⊢ p ∈ s +ᵥ t
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
s : Set V
t : Set P
hs : IsClosed s
ht : IsCompact t
u : ℕ → P
p : P
hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)
a : ℕ → V
ha : ∀ (n : ℕ), a n ∈ s
v : ℕ → P
hv : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hav : ∀ (n : ℕ), (fun x x_1 => x +ᵥ x_1) (a n) (v n) = u n
q : P
hqt : q ∈ t
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hφq : Tendsto (v ∘ φ) atTop (𝓝 q)
n : ℕ

⊢ (u ∘ φ -ᵥ v ∘ φ) n ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
s : Set V
t : Set P
hs : IsClosed s
ht : IsCompact t
u : ℕ → P
p : P
hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)
a : ℕ → V
ha : ∀ (n : ℕ), a n ∈ s
v : ℕ → P
hv : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hav : ∀ (n : ℕ), (fun x x_1 => x +ᵥ x_1) (a n) (v n) = u n
q : P
hqt : q ∈ t
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hφq : Tendsto (v ∘ φ) atTop (𝓝 q)
n : ℕ

⊢ (u ∘ φ -ᵥ v ∘ φ) n = a (φ n)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a * b⁻¹ = c

⊢ a = c * b
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a = c * b

⊢ a * b⁻¹ = c
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
n : ℕ
x y : R

⊢ (x - y) ^ n = (x - y) ^ (n % p) * (x ^ p - y ^ p) ^ (n / p)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Tripartite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
ε : 𝕜
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : ExplicitDisjoint t
x✝ : Finset (α ⊕ β ⊕ γ)

⊢ x✝ ∈ ↑(map toTriangle t) → ∀ ⦃y : Finset (α ⊕ β ⊕ γ)⦄, y ∈ ↑(map toTriangle t) → x✝ ≠ y → (fun x y => (↑x ∩ ↑y).Subsingleton) x✝ y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Tripartite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
ε : 𝕜
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : ExplicitDisjoint t
x✝ : Finset (α ⊕ β ⊕ γ)

⊢ ∀ (x : α) (x_1 : β) (x_2 : γ), (x, x_1, x_2) ∈ t → toTriangle (x, x_1, x_2) = x✝ → ∀ ⦃y : Finset (α ⊕ β ⊕ γ)⦄ (x : α) (x_3 : β) (x_4 : γ), (x, x_3, x_4) ∈ t → toTriangle (x, x_3, x_4) = y → ¬x✝ = y → (↑x✝ ∩ ↑y).Subsingleton
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Tripartite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a✝ a' : α
b✝ b' : β
c✝ c' : γ
ε : 𝕜
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : ExplicitDisjoint t
a : α
b : β
c : γ
habc : (a, b, c) ∈ t
x : α
y : β
z : γ
hxyz : (x, y, z) ∈ t
h' : ¬toTriangle (a, b, c) = toTriangle (x, y, z)

⊢ (↑(toTriangle (a, b, c)) ∩ ↑(toTriangle (x, y, z))).Subsingleton
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Tripartite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a✝ a' : α
b✝ b' : β
c✝ c' : γ
ε : 𝕜
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : ExplicitDisjoint t
a : α
b : β
c : γ
habc : (a, b, c) ∈ t
x : α
y : β
z : γ
hxyz : (x, y, z) ∈ t
h' : ¬toTriangle (a, b, c) = toTriangle (x, y, z)
this : (a, b, c) ≠ (x, y, z)

⊢ (↑(toTriangle (a, b, c)) ∩ ↑(toTriangle (x, y, z))).Subsingleton
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Tripartite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a✝ a' : α
b✝ b' : β
c✝ c' : γ
ε : 𝕜
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : ExplicitDisjoint t
a : α
b : β
c : γ
habc : (a, b, c) ∈ t
x : α
y : β
z : γ
hxyz : (x, y, z) ∈ t
h' : ¬toTriangle (a, b, c) = toTriangle (x, y, z)
this : a = x → b = y → ¬c = z

⊢ (↑(toTriangle (a, b, c)) ∩ ↑(toTriangle (x, y, z))).Subsingleton
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Tripartite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a✝ a' : α
b✝ b' : β
c✝ c' : γ
ε : 𝕜
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : ExplicitDisjoint t
a : α
b : β
c : γ
habc : (a, b, c) ∈ t
x : α
y : β
z : γ
hxyz : (x, y, z) ∈ t
h' : ¬toTriangle (a, b, c) = toTriangle (x, y, z)
this : a = x → b = y → ¬c = z

⊢ (∀ (a_1 : α), Sum.inl a_1 = Sum.inl a → Sum.inl a_1 = Sum.inl x → (∀ (a_4 : α), Sum.inl a_4 = Sum.inl a → Sum.inl a_4 = Sum.inl x → Sum.inl a_1 = Sum.inl a_4) ∧ (∀ (a : β), Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr z) → False) ∧ ∀ (b_1 : γ), Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr z) → False) ∧ (∀ (a_1 : β), Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inr z) → (∀ (a_4 : α), Sum.inl a_4 = Sum.inl a → Sum.inl a_4 = Sum.inl x → False) ∧ (∀ (a : β), Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr z) → Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inl a)) ∧ ∀ (b_1 : γ), Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr z) → Sum.inr (Sum.inl a_1) = Sum.inr (Sum.inr b_1)) ∧ ∀ (b_1 : γ), Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr z) → (∀ (a_3 : α), Sum.inl a_3 = Sum.inl a → Sum.inl a_3 = Sum.inl x → False) ∧ (∀ (a : β), Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inl a) = Sum.inr (Sum.inr z) → Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inl a)) ∧ ∀ (b_2 : γ), Sum.inr (Sum.inr b_2) = Sum.inr (Sum.inl b) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_2) = Sum.inr (Sum.inr c) → Sum.inr (Sum.inr b_2) = Sum.inr (Sum.inl y) ∨ Sum.inr (Sum.inr b_2) = Sum.inr (Sum.inr z) → Sum.inr (Sum.inr b_1) = Sum.inr (Sum.inr b_2)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V

⊢ Disjoint G₁.edgeSet G₂.edgeSet ↔ Disjoint G₁ G₂
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring S
b : S
s : α →₀ R
f : α → R → S

⊢ b * s.sum f = s.sum fun a c => b * f a c
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M

⊢ ↑f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
this : ↑f x = 0 ∨ ↑f x = (↑f.toContDiffBump ∘ ↑(extChartAt I c)) x

⊢ ↑f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
h : ↑f x = 0

⊢ 0 ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
h : ↑f x = (↑f.toContDiffBump ∘ ↑(extChartAt I c)) x

⊢ (↑f.toContDiffBump ∘ ↑(extChartAt I c)) x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/MonoCoprod.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : MonoCoprod C
I : Type u_2
X : I → C
c : Cofan X
h : IsColimit c
i : I
inst✝ : HasCoproduct fun k => X ↑k
ι : Unit → I := fun x => i
hι : Function.Injective ι

⊢ Mono (c.inj i)
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ

⊢ image2 f (s ∪ s') t = image2 f s t ∪ image2 f s' t
-- Mathlib/Data/Vector/Mem.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
b : β
v : Vector α n
f : α → β

⊢ b ∈ (map f v).toList ↔ ∃ a ∈ v.toList, f a = b
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2

⊢ (quadraticChar F) (-1) = χ₄ ↑(Fintype.card F)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
h : (quadraticChar F) (-1) = if (-1) ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1

⊢ (quadraticChar F) (-1) = χ₄ ↑(Fintype.card F)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
h : (quadraticChar F) (-1) = if (-1) ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1

⊢ (if (-1) ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ (Fintype.card F / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
h : (quadraticChar F) (-1) = if (-1) ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1
n : ℕ

⊢ (if (-1) ^ n = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
h : (quadraticChar F) (-1) = if (-1) ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1
n : ℕ
h₂ : Even n

⊢ (if (-1) ^ n = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
h : (quadraticChar F) (-1) = if (-1) ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1
n : ℕ
h₂ : Odd n

⊢ (if (-1) ^ n = 1 then 1 else -1) = (-1) ^ n