ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
BF : ℝ
hBF : ∀ a ∈ verticalClosedStrip 0 1, ‖F f ε a‖ ≤ BF

⊢ ∀ x ∈ re ⁻¹' Ioo 0 1, ‖invInterpStrip f x ε • f x‖ ≤ 1 * ‖Real.exp (BF * Real.exp (0 * |x.im|))‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
BF : ℝ
hBF : ∀ a ∈ verticalClosedStrip 0 1, ‖F f ε a‖ ≤ BF
x : ℂ
hx : x ∈ re ⁻¹' Ioo 0 1

⊢ ‖invInterpStrip f x ε • f x‖ ≤ Real.exp BF
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
hb : b ≠ 0
h : a * c⁻¹ = b

⊢ a = b * c
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
hb : b ≠ 0
h : a * c⁻¹ = b

⊢ c ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b d : G₀
m n : ℕ
hb : b ≠ 0
h : a * 0⁻¹ = b

⊢ False
-- Mathlib/Order/Filter/Extr.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝ : OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
l : Filter α
hf : IsMaxOn f s a
hg : IsMinOn g s a

⊢ IsMaxOn (fun x => f x - g x) s a
-- Mathlib/Data/Nat/Hyperoperation.lean
m k : ℕ

⊢ hyperoperation 0 m k = k.succ
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Pointwise.lean
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
ha : Function.Surjective fun r => a • r
x✝ : R

⊢ x✝ ∈ (a • S).toAddSubmonoid ↔ x✝ ∈ a • S.toAddSubmonoid
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
h : IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
f : α → E
hf : Integrable f ν

⊢ ∫ (x : α), f x ∂ν = ∑' (g : G), ∫ (x : α) in g • s, f x ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
h : IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
f : α → E
hf : Integrable f ν

⊢ Integrable f (sum fun g => ν.restrict (g • s))
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
h : IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ
f : α → E
hf : Integrable f ν

⊢ Integrable f ν
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
s : (i : ι) → Set (Set (E i))
hs : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (s i)

⊢ IsTopologicalBasis (⋃ i, (fun u => Sigma.mk i '' u) '' s i)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
s : (i : ι) → Set (Set (E i))
hs : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (s i)
a : (i : ι) × E i

⊢ (𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ ⋃ i, (fun u => Sigma.mk i '' u) '' s i ∧ a ∈ t) id
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
s : (i : ι) → Set (Set (E i))
hs : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (s i)
a : (i : ι) × E i

⊢ (map (Sigma.mk a.fst) (𝓝 a.snd)).HasBasis (fun t => t ∈ ⋃ i, (fun u => Sigma.mk i '' u) '' s i ∧ a ∈ t) id
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (E i)
s : (i : ι) → Set (Set (E i))
hs : ∀ (i : ι), IsTopologicalBasis (s i)
a : (i : ι) × E i
x✝ : Set ((i : ι) × E i)

⊢ x✝ ∈ ⋃ i, (fun u => Sigma.mk i '' u) '' s i ∧ a ∈ x✝ ↔ x✝ ∈ (fun i => Sigma.mk a.fst '' i) '' {i | i ∈ s a.fst ∧ a.snd ∈ i}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α

⊢ f.SameCycle x (f y) ↔ f.SameCycle x y
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/SuperFactorial.lean
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → ℤ

⊢ ↑(sf n) ∣ (Matrix.vandermonde v).det
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/SuperFactorial.lean
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → ℤ
m : ℤ := univ.inf' ⋯ v

⊢ ↑(sf n) ∣ (Matrix.vandermonde v).det
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/SuperFactorial.lean
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → ℤ
m : ℤ := univ.inf' ⋯ v
w' : Fin (n + 1) → ℕ := fun i => (v i - m).toNat

⊢ ↑(sf n) ∣ (Matrix.vandermonde v).det
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/SuperFactorial.lean
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → ℤ
m : ℤ := univ.inf' ⋯ v
w' : Fin (n + 1) → ℕ := fun i => (v i - m).toNat
hw' : ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑(w' i) = v i - m

⊢ ↑(sf n) ∣ (Matrix.vandermonde v).det
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/SuperFactorial.lean
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → ℤ
m : ℤ := univ.inf' ⋯ v
w' : Fin (n + 1) → ℕ := fun i => (v i - m).toNat
hw' : ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑(w' i) = v i - m
h : (Matrix.vandermonde fun i => ↑(w' i)).det = (Matrix.of fun i j => Polynomial.eval ((fun i => ↑(w' i)) i) ((fun i => descPochhammer ℤ ↑i) j)).det

⊢ ↑(sf n) ∣ (Matrix.vandermonde v).det
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/SuperFactorial.lean
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → ℤ
m : ℤ := univ.inf' ⋯ v
w' : Fin (n + 1) → ℕ := fun i => (v i - m).toNat
hw' : ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑(w' i) = v i - m
h : (Matrix.vandermonde v).det = (Matrix.of fun i j => Polynomial.eval ((fun i => ↑(w' i)) i) ((fun i => descPochhammer ℤ ↑i) j)).det

⊢ ↑(sf n) ∣ (Matrix.vandermonde v).det
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/SuperFactorial.lean
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → ℤ
m : ℤ := univ.inf' ⋯ v
w' : Fin (n + 1) → ℕ := fun i => (v i - m).toNat
hw' : ∀ (i : Fin (n + 1)), ↑(w' i) = v i - m
h : (Matrix.vandermonde v).det = (Matrix.of fun i j => Polynomial.eval ((fun i => ↑(w' i)) i) ((fun i => descPochhammer ℤ ↑i) j)).det

⊢ (Matrix.vandermonde v).det = ↑(sf n) * (Matrix.of fun i j => ↑((w' i).choose ↑j)).det
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ≤ a \ b ⊔ b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ Integrable (fun x => x * rexp (-b * x ^ 2)) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
hn : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)

⊢ μ (⋃ i, f i) = ∑' (i : ι), μ (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
hn : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)

⊢ ∑' (i : ι), extend (fun t _ht => μ t) (f i) = ∑' (i : ι), μ (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
hn : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)

⊢ μ ∅ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Countable ι
f : ι → Set α
hn : Pairwise (Disjoint on f)
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)

⊢ ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → Pairwise (Disjoint on f) → μ (⋃ i, f i) = ∑' (i : ℕ), μ (f i)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
g : ℕ → Ω → ℝ := fun n ω => f n ω - f 0 ω

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
g : ℕ → Ω → ℝ := fun n ω => f n ω - f 0 ω
hg : Submartingale g ℱ μ

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
g : ℕ → Ω → ℝ := fun n ω => f n ω - f 0 ω
hg : Submartingale g ℱ μ
hg0 : g 0 = 0

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
g : ℕ → Ω → ℝ := fun n ω => f n ω - f 0 ω
hg : Submartingale g ℱ μ
hg0 : g 0 = 0
hgbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |g (i + 1) ω - g i ω| ≤ ↑R

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
g : ℕ → Ω → ℝ := fun n ω => f n ω - f 0 ω
hg : Submartingale g ℱ μ
hg0 : g 0 = 0
hgbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |g (i + 1) ω - g i ω| ≤ ↑R
ω : Ω
hω : BddAbove (Set.range fun n => g n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => g n ω) atTop (𝓝 c)

⊢ BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
e : M ≃ₗ[R] N

⊢ IsBaseChange R ↑e
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q
inst✝ : Module S Q
e : M ≃ₗ[R] N

⊢ ∀ (Q : Type (max v₁ v₂ u_1)) [inst : AddCommMonoid Q] [inst_1 : Module R Q] [inst_2 : Module R Q] [inst_3 : IsScalarTower R R Q] (g : M →ₗ[R] Q), ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑e = g
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q

⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑e = g
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module S N
inst✝⁴ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : AddCommMonoid Q✝
inst✝ : Module S Q✝
e : M ≃ₗ[R] N
Q : Type (max v₁ v₂ u_1)
I₁ : AddCommMonoid Q
I₂ I₃ : Module R Q
I₄ : IsScalarTower R R Q
g : M →ₗ[R] Q
this : I₂ = I₃

⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑e = g
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s t : Finset α
n : ℕ
h : ∀ t ∈ powersetCard n s, ¬ThreeGPFree ↑t

⊢ mulRothNumber s < n
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s t✝ : Finset α
n : ℕ
h : ∀ t ∈ powersetCard n s, ¬ThreeGPFree ↑t
t : Finset α
hts : t ⊆ s
hcard : t.card = mulRothNumber s
ht : ThreeGPFree ↑t

⊢ mulRothNumber s < n
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s t✝ : Finset α
n : ℕ
h : ∀ t ∈ powersetCard n s, ¬ThreeGPFree ↑t
t : Finset α
hts : t ⊆ s
hcard : t.card = mulRothNumber s
ht : ThreeGPFree ↑t

⊢ ¬n ≤ t.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s t✝ : Finset α
n : ℕ
h : ∀ t ∈ powersetCard n s, ¬ThreeGPFree ↑t
t : Finset α
hts : t ⊆ s
hcard : t.card = mulRothNumber s
ht : ThreeGPFree ↑t
hn : n ≤ t.card

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s t✝ t : Finset α
hts : t ⊆ s
hcard : t.card = mulRothNumber s
ht : ThreeGPFree ↑t
u : Finset α
hut : u ⊆ t
h : ∀ t ∈ powersetCard u.card s, ¬ThreeGPFree ↑t
hn : u.card ≤ t.card

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x : E

⊢ (reflection K) x = x ↔ x ∈ K
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x : E

⊢ 2 • ↑((orthogonalProjection K) x) = 2 • x ↔ ↑((orthogonalProjection K) x) = x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x : E

⊢ 2 ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Subadditive.lean
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
hbdd : BddBelow (range fun n => u n / ↑n)

⊢ Tendsto (fun n => u n / ↑n) atTop (𝓝 h.lim)
-- Mathlib/Analysis/Subadditive.lean
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
hbdd : BddBelow (range fun n => u n / ↑n)
l : ℝ
hl : l < h.lim

⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, l < u b / ↑b
-- Mathlib/Analysis/Subadditive.lean
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
hbdd : BddBelow (range fun n => u n / ↑n)
L : ℝ
hL : L > h.lim

⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, u b / ↑b < L
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Matrix.lean
R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
d : n → R
μ : R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
b : Basis n R M

⊢ HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) μ ↔ ∃ i, d i = μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Matrix.lean
R : Type u_1
n : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
d : n → R
μ : R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
b : Basis n R M
this : ∀ (i : n), HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) (d i)

⊢ HasEigenvalue ((toLin b b) (diagonal d)) μ ↔ ∃ i, d i = μ
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α

⊢ ⌈a⌉ + ⌈b⌉ ≤ ⌈a + b⌉ + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α

⊢ ↑⌈b⌉ ≤ ↑⌈a + b⌉ + 1 - a
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α

⊢ b + 1 ≤ ↑⌈a + b⌉ + 1 - a
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α

⊢ a + b ≤ ↑⌈a + b⌉
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/EqualizerSheafCondition.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X✝¹ : C
R✝ : Presieve X✝¹
S✝ : Sieve X✝¹
inst✝¹ : R✝.hasPullbacks
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
R : Presieve X✝
S : Sieve X✝
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
z₁ z₂ : FirstObj P X
h : ∀ (i : I), Pi.π (fun i => P.obj (op (X i))) i z₁ = Pi.π (fun i => P.obj (op (X i))) i z₂

⊢ z₁ = z₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/EqualizerSheafCondition.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X✝¹ : C
R✝ : Presieve X✝¹
S✝ : Sieve X✝¹
inst✝¹ : R✝.hasPullbacks
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ : C
R : Presieve X✝
S : Sieve X✝
B : C
I : Type
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
inst✝ : (Presieve.ofArrows X π).hasPullbacks
z₁ z₂ : FirstObj P X
h : ∀ (i : I), Pi.π (fun i => P.obj (op (X i))) i z₁ = Pi.π (fun i => P.obj (op (X i))) i z₂

⊢ ∀ (j : Discrete I), limit.π (Discrete.functor fun i => P.obj (op (X i))) j z₁ = limit.π (Discrete.functor fun i => P.obj (op (X i))) j z₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ ν : ProbabilityMeasure Ω
h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ↑μ s = ↑ν s

⊢ μ = ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ ν : ProbabilityMeasure Ω
h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → ↑μ s = ↑ν s

⊢ ↑μ = ↑ν
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : IsPushout f g inl inr
inst✝ : HasPushout f g

⊢ inl ≫ h.isoPushout.hom = pushout.inl f g
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t : Set P
x : P
s : Set P

⊢ intrinsicClosure 𝕜 (intrinsicClosure 𝕜 s) = intrinsicClosure 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t : Set P
x : P
s : Set P

⊢ IsClosed (Subtype.val ⁻¹' intrinsicClosure 𝕜 s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t✝ : Set P
x : P
s : Set P
t : AffineSubspace 𝕜 P
ht : t = affineSpan 𝕜 (intrinsicClosure 𝕜 s)

⊢ IsClosed (Subtype.val ⁻¹' intrinsicClosure 𝕜 s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t : Set P
x : P
s : Set P
ht : affineSpan 𝕜 s = affineSpan 𝕜 (intrinsicClosure 𝕜 s)

⊢ IsClosed (Subtype.val ⁻¹' intrinsicClosure 𝕜 s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t : Set P
x : P
s : Set P
ht : affineSpan 𝕜 s = affineSpan 𝕜 (intrinsicClosure 𝕜 s)

⊢ IsClosed (closure (Subtype.val ⁻¹' s))
-- Mathlib/Control/Traversable/Equiv.lean
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
f : α → β
x : t' α

⊢ Equiv.traverse eqv (pure ∘ f) x = pure (Equiv.map eqv f x)
-- Mathlib/Control/Traversable/Equiv.lean
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
f : α → β
x : t' α

⊢ (eqv β) (id.mk (f <$> (eqv α).symm x)) = Equiv.map eqv f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N : Matrix m m R

⊢ (M * N).det = (N * M).det
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l✝ l' l : List α

⊢ l ∈ l.cyclicPermutations
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/LocallyConstant.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
f : LocallyConstant X Y
R : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring Y
inst✝¹ : Algebra R Y
inst✝ : TopologicalSemiring Y
r : R
x : X

⊢ ((↑↑{ toFun := toContinuousMap, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }).toFun ((algebraMap R (LocallyConstant X Y)) r)) x = ((algebraMap R C(X, Y)) r) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.17959, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.17963, u_2} D
F : C ⥤ Cat
X : Grothendieck F

⊢ (F.map (𝟙 X).base).obj X.fiber = X.fiber
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
k p : ℕ
f : ℕ → α
h : Prime p

⊢ ∏ x ∈ (p ^ k).divisors, f x = ∏ x ∈ range (k + 1), f (p ^ x)