ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
hc : IsLimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ X := hc.conePointUniqueUpToIso (ofId f hf)

⊢ IsIso (Fork.ι c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
hc : IsLimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ X := hc.conePointUniqueUpToIso (ofId f hf)
eq : e.inv ≫ Fork.ι c = 𝟙 X

⊢ IsIso (Fork.ι c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
hc : IsLimit c
hf : f = 0
e : c.pt ≅ X := hc.conePointUniqueUpToIso (ofId f hf)
eq : e.inv ≫ Fork.ι c = 𝟙 X
this : IsIso (e.inv ≫ Fork.ι c)

⊢ IsIso (Fork.ι c)
-- Mathlib/Data/List/FinRange.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α

⊢ (ofFn f).Nodup ↔ Function.Injective f
-- Mathlib/Data/List/FinRange.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α

⊢ (ofFn f).Nodup → Function.Injective f
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
hf_int : Integrable f μ

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Integrable f ((condexpKernel μ m) ω)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
hf_int : Integrable f μ

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Integrable f (((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω)
-- Mathlib/Data/Finset/Piecewise.lean
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s
v : π i

⊢ update (s.piecewise f g) i v = s.piecewise (update f i v) g
-- Mathlib/Data/Finset/Piecewise.lean
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s
v : π i

⊢ s.piecewise (update f i v) (update g i v) = s.piecewise (update f i v) g
-- Mathlib/Data/Finset/Piecewise.lean
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f g : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
hi : i ∈ s
v : π i
j : ι
hj : j ∉ s

⊢ j ≠ i
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E'✝ : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'✝
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
inst✝¹ : Fintype ι
E' : ι → Type u_18
inst✝ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
f : α → (i : ι) → E' i
C : ℝ
hC : 0 ≤ C

⊢ IsBigOWith C l f g' ↔ ∀ (i : ι), IsBigOWith C l (fun x => f x i) g'
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E'✝ : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'✝
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'✝
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
inst✝¹ : Fintype ι
E' : ι → Type u_18
inst✝ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E' i)
f : α → (i : ι) → E' i
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
this : ∀ (x : α), 0 ≤ C * ‖g' x‖

⊢ IsBigOWith C l f g' ↔ ∀ (i : ι), IsBigOWith C l (fun x => f x i) g'
-- Mathlib/Analysis/Complex/Liouville.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
c : ℂ
R C : ℝ
f : ℂ → F
hR : 0 < R
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)
hC : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
e : F →L[ℂ] F̂ := UniformSpace.Completion.toComplL

⊢ ‖deriv f c‖ ≤ C / R
-- Mathlib/Analysis/Complex/Liouville.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
c : ℂ
R C : ℝ
f : ℂ → F
hR : 0 < R
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)
hC : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
e : F →L[ℂ] F̂ := UniformSpace.Completion.toComplL
this : HasDerivAt (⇑e ∘ f) (e (deriv f c)) c

⊢ ‖deriv f c‖ ≤ C / R
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
t' : Set M
h : t'.Finite

⊢ (span R t').FG
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
t : Finset M
h : (↑t).Finite

⊢ (span R ↑t).FG
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
n : ℕ
v : Fin n.succ → M

⊢ ∏ i ∈ Ioi 0, v i = ∏ j : Fin n, v j.succ
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
n : ℕ

⊢ fib (n + 2) = 0 ↔ n + 2 = 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0

⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ count K v I = I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) (choose ⋯))⁻¹ * ↑(choose ⋯)

⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ count K v I = I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) (choose ⋯))⁻¹ * ↑(choose ⋯)

⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ count K v I = ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ (↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (choose ⋯)).factors) - ↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯})).factors))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) (choose ⋯))⁻¹ * ↑(choose ⋯)

⊢ ∀ (x : HeightOneSpectrum R), ↑x.asIdeal ^ count K x I = ↑x.asIdeal ^ (↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk (choose ⋯)).factors) - ↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯})).factors))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) (choose ⋯))⁻¹ * ↑(choose ⋯)
w : HeightOneSpectrum R

⊢ count K w I = ↑((Associates.mk w.asIdeal).count (Associates.mk (choose ⋯)).factors) - ↑((Associates.mk w.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {choose ⋯})).factors)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp1 : p % 4 = 1
hq1 : q ≠ 2

⊢ IsSquare ↑q ↔ IsSquare ↑p
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp1 : p % 4 = 1
hq1 : q ≠ 2
h : p = q

⊢ IsSquare ↑q ↔ IsSquare ↑p
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp1 : p % 4 = 1
hq1 : q ≠ 2
h : p ≠ q

⊢ IsSquare ↑q ↔ IsSquare ↑p
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
i : ℕ
l : List α
l' : List β
h : i < (zipWith f l l').length

⊢ i < l'.length
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
i : ℕ
l : List α
l' : List β
h : i < min l.length l'.length

⊢ i < l'.length
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝² : CountableInterFilter l
f g : α → β
inst✝¹ : Nonempty α
p : Set α → Prop
s : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l

⊢ ∃ a, {a} ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝² : CountableInterFilter l
f g : α → β
inst✝¹ : Nonempty α
p : Set α → Prop
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p ∅
hs : ∅ ∈ l

⊢ ∃ a, {a} ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝² : CountableInterFilter l
f g : α → β
inst✝¹ : Nonempty α
p : Set α → Prop
s : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
hne : s.Nonempty

⊢ ∃ a, {a} ∈ l
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℕ

⊢ ∃ a b, a ≤ p / 2 ∧ b ≤ p / 2 ∧ a ^ 2 + b ^ 2 ≡ x [MOD p]
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : DifferentiableAt ℝ f x
hg : DifferentiableAt ℝ g x
hne : f x ≠ g x

⊢ DifferentiableAt ℝ (fun y => ‖f y - g y‖) x
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ

⊢ Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atTop ↔ n ≠ 0 ∧ 0 < c
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
h : Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atTop

⊢ n ≠ 0
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
h : Tendsto (fun x => c * x ^ n) atTop atTop

⊢ 0 < c
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : Filter α
s : Set α
h : f ⊓ 𝓟 sᶜ = ⊥

⊢ s ∈ f
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
A : Set (Ideal R)
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ (∀ J ∈ A, RingHom.ker f ≤ J) → map f (sInf A) = sInf (map f '' A)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
A : Set (Ideal R)
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
h : ∀ J ∈ A, RingHom.ker f ≤ J

⊢ ∀ b ∈ map f '' A, map f (sInf A) ≤ b
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
A : Set (Ideal R)
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
h : ∀ J ∈ A, RingHom.ker f ≤ J

⊢ sInf (map f '' A) ≤ map f (sInf A)
-- Mathlib/Tactic/NormNum/OfScientific.lean
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
x✝¹ x✝ : ℕ
num✝ : ℤ
denom✝ : ℕ
inv✝ : Invertible ↑denom✝
eq : ↑(mkRat (↑x✝¹) (10 ^ x✝)) = ↑num✝ * ⅟↑denom✝

⊢ OfScientific.ofScientific x✝¹ true x✝ = ↑num✝ * ⅟↑denom✝
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i j : ℤ
H : j ∣ i

⊢ i.gcd j = j.natAbs
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 < y 0
hx : ∀ (k : ℕ), k < 0 → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < 0 → f (y k) ≤ y (k + 1)

⊢ x 0 < y 0
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x y : ℕ → α
hf : Monotone f
h₀ : x 0 < y 0
n✝ : ℕ
hx : ∀ (k : ℕ), k < n✝ + 1 → x (k + 1) < f (x k)
hy : ∀ (k : ℕ), k < n✝ + 1 → f (y k) ≤ y (k + 1)

⊢ x (n✝ + 1) < y (n✝ + 1)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/ZPowers.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
s : Set G
g : G
S : Set G
hS : closure S = ⊤

⊢ center G = ⨅ g, centralizer ↑(zpowers ↑g)
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a ∣ m
bn : b ∣ n

⊢ a = m.gcd (a * b)
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
f : CauSeq K norm
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, ‖↑f j - ↑f i‖ < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i

⊢ |(fun n => re (↑f n)) j - (fun n => re (↑f n)) i| ≤ ‖↑f j - ↑f i‖
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/BigOperators.lean
ι : Type u_1
t : Finset ι
s : ι → ℕ
x : ℕ

⊢ (∏ i ∈ t, s i).Coprime x ↔ ∀ i ∈ t, (s i).Coprime x
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
f : R ≃+* S
K : NonUnitalSubsemiring R
x : S

⊢ x ∈ map (↑f) K ↔ f.symm x ∈ K
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter α

⊢ (rmap s (rmap r l)).sets = (rmap (r.comp s) l).sets
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
ι : Type u_7
s : ι → Set α
x : α →₀ M

⊢ x ∈ supported M R (⋂ i, s i) ↔ x ∈ ⨅ i, supported M R (s i)
-- Mathlib/GroupTheory/ClassEquation.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype (ConjClasses G)
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : (x : ConjClasses G) → Fintype ↑x.carrier

⊢ ∑ x : ConjClasses G, x.carrier.toFinset.card = Fintype.card G
-- Mathlib/GroupTheory/ClassEquation.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
inst✝² : Fintype (ConjClasses G)
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : (x : ConjClasses G) → Fintype ↑x.carrier

⊢ (x : ConjClasses G) × ↑x.carrier ≃ G
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → F (α ::: β)
x : β

⊢ M.dest (P F) (corecF g x) = (TypeVec.id ::: corecF g) <$$> repr (g x)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g✝ : ι → α
g : ι → β
b : β
hg : Tendsto g p (𝓝 b)
p' : Filter α

⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n x => g n) (fun x => b) p p'
-- Mathlib/RingTheory/ReesAlgebra.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
hI : I.FG

⊢ (reesAlgebra I).FG
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean

⊢ log * ↑μ = Λ
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hnon : (σ a).Nonempty
a✝ : Nontrivial A

⊢ σ ((aeval a) p) = (fun k => eval k p) '' σ a
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hnon : (σ a).Nonempty
a✝ : Nontrivial A
h : p.degree ≤ 0

⊢ σ ((aeval a) p) = (fun k => eval k p) '' σ a
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : IsAlgClosed 𝕜
a : A
p : 𝕜[X]
hnon : (σ a).Nonempty
a✝ : Nontrivial A
h : p.degree ≤ 0

⊢ σ ((aeval a) (C (p.coeff 0))) = (fun k => eval k (C (p.coeff 0))) '' σ a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Gradient/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F

⊢ HasGradientWithinAt f f' univ x ↔ HasGradientAt f f' x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Gradient/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F

⊢ HasFDerivWithinAt f ((toDual 𝕜 F) f') univ x ↔ HasFDerivAt f ((toDual 𝕜 F) f') x
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : Associates α
hp : Irreducible p
l : Multiset { a // Irreducible a }

⊢ BfactorSetMem ⟨p, hp⟩ ↑l ↔ Mem ⟨p, hp⟩ l
-- Mathlib/NumberTheory/FunctionField.lean
Fq F : Type
inst✝⁴ : Field Fq
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F

⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap Fq[X] ↥(ringOfIntegers Fq F))
-- Mathlib/NumberTheory/FunctionField.lean
Fq F : Type
inst✝⁴ : Field Fq
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap Fq[X] F)

⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap Fq[X] ↥(ringOfIntegers Fq F))
-- Mathlib/NumberTheory/FunctionField.lean
Fq F : Type
inst✝⁴ : Field Fq
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap Fq[X] F)

⊢ ∀ (a : Fq[X]), (algebraMap Fq[X] ↥(ringOfIntegers Fq F)) a = 0 → a = 0
-- Mathlib/NumberTheory/FunctionField.lean
Fq F : Type
inst✝⁴ : Field Fq
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap Fq[X] F)
p : Fq[X]
hp : (algebraMap Fq[X] ↥(ringOfIntegers Fq F)) p = 0

⊢ p = 0
-- Mathlib/NumberTheory/FunctionField.lean
Fq F : Type
inst✝⁴ : Field Fq
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap Fq[X] F)
p : Fq[X]
hp : ↑((algebraMap Fq[X] ↥(ringOfIntegers Fq F)) p) = 0

⊢ p = 0
-- Mathlib/NumberTheory/FunctionField.lean
Fq F : Type
inst✝⁴ : Field Fq
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra Fq[X] F
inst✝¹ : Algebra (RatFunc Fq) F
inst✝ : IsScalarTower Fq[X] (RatFunc Fq) F
hinj : ∀ (a : Fq[X]), (algebraMap Fq[X] F) a = 0 → a = 0
p : Fq[X]
hp : ↑((algebraMap Fq[X] ↥(ringOfIntegers Fq F)) p) = 0

⊢ p = 0
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
s t : Set α

⊢ (val ⁻¹' t).Nonempty ↔ (s ∩ t).Nonempty
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g

⊢ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p1 𝒰 f g = s.fst
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g

⊢ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p1 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.fst
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g

⊢ ∀ (b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R), Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p1 𝒰 f g = Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.fst
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R

⊢ Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ gluedLift 𝒰 f g s ≫ p1 𝒰 f g = Multicoequalizer.π (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).fromGlued ≫ s.fst
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R

⊢ ((𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ (𝒰.pullbackCover s.fst).glueMorphisms (fun i => ((pullbackSymmetry s.fst (𝒰.map i)).hom ≫ pullback.map (𝒰.map i) s.fst (𝒰.map i ≫ f) g (𝟙 (𝒰.obj i)) s.snd f ⋯ ⋯) ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i) ⋯) ≫ p1 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ s.fst
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
b : (𝒰.pullbackCover s.fst).gluedCover.diagram.R

⊢ (((pullbackSymmetry s.fst (𝒰.map b)).hom ≫ pullback.map (𝒰.map b) s.fst (𝒰.map b ≫ f) g (𝟙 (𝒰.obj b)) s.snd f ⋯ ⋯) ≫ (gluing 𝒰 f g).ι b) ≫ p1 𝒰 f g = (𝒰.pullbackCover s.fst).map b ≫ s.fst
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝ : CharZero R
n m : ℕ
hnm : cyclotomic n R = cyclotomic m R

⊢ n = m
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : CharZero R
m : ℕ
hnm : cyclotomic 0 R = cyclotomic m R

⊢ 0 = m
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n✝ : ℕ
inst✝ : CharZero R
n m : ℕ
hnm : cyclotomic n R = cyclotomic m R
hzero : n ≠ 0

⊢ n = m
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
ι : Sort u_4
p : ι → Subsemigroup M

⊢ ⨆ i, p i = closure (⋃ i, ↑(p i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/AbsoluteValue.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : LinearOrderedCommRing S
n : Type u_3
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
abv : AbsoluteValue R S
x : S
hx : ∀ (i j : n), abv (A i j) ≤ x
σ : Perm n
x✝ : σ ∈ univ

⊢ abv (Perm.sign σ • ∏ i : n, A (σ i) i) = ∏ i : n, abv (A (σ i) i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/AbsoluteValue.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : LinearOrderedCommRing S
n : Type u_3
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
abv : AbsoluteValue R S
x : S
hx : ∀ (i j : n), abv (A i j) ≤ x
x✝¹ : Perm n
x✝ : x✝¹ ∈ univ

⊢ ∏ _i : n, x = x ^ Fintype.card n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/AbsoluteValue.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : LinearOrderedCommRing S
n : Type u_3
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
abv : AbsoluteValue R S
x : S
hx : ∀ (i j : n), abv (A i j) ≤ x

⊢ ∑ _σ : Perm n, x ^ Fintype.card n = (Fintype.card n).factorial • x ^ Fintype.card n
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ

⊢ cosZeta a s = (expZeta a s + expZeta (-a) s) / 2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ

⊢ cosZeta a s = (cosZeta a s + I * sinZeta a s + (cosZeta a s + I * -sinZeta a s)) / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1

⊢ Tendsto (logGammaSeq x) atTop (𝓝 (f x - f 1))