ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
c : k

⊢ ∑ t ∈ s, affineCombinationLineMapWeights i j c t = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
c : k

⊢ ∑ x ∈ s, (c • weightedVSubVSubWeights k j i) x + ∑ x ∈ s, affineCombinationSingleWeights k i x = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
𝕜' : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜' E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p' s
m : ℕ
hm : ↑m < n
x : E
hx : x ∈ s

⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => FormalMultilinearSeries.restrictScalars 𝕜 (p' x) m) (FormalMultilinearSeries.restrictScalars 𝕜 (p' x) m.succ).curryLeft s x
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
h : a ∉ s

⊢ Multiset.fold op b (Multiset.map f (cons a s h).val) = op (f a) (Multiset.fold op b (Multiset.map f s.val))
-- Mathlib/Order/Filter/CardinalInter.lean
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
g : Set (Set α)
hc : 2 < c

⊢ IsGreatest {f | CardinalInterFilter f c ∧ g ⊆ f.sets} (cardinalGenerate g hc)
-- Mathlib/Order/Filter/CardinalInter.lean
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
g : Set (Set α)
hc : 2 < c

⊢ cardinalGenerate g hc ∈ upperBounds {f | CardinalInterFilter f c ∧ g ⊆ f.sets}
-- Mathlib/Order/Filter/CardinalInter.lean
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
g : Set (Set α)
hc : 2 < c
f : Filter α
fct : CardinalInterFilter f c
hf : g ⊆ f.sets

⊢ f ≤ cardinalGenerate g hc
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set X

⊢ SeparatedNhds s u → SeparatedNhds t u → SeparatedNhds (s ∪ t) u
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K S
x : S
h : IsIntegral K x

⊢ LinearIndependent K fun i => x ^ ↑i
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K S
x : S
h : IsIntegral K x
g : Fin (minpoly K x).natDegree → K
hg : ∑ i : Fin (minpoly K x).natDegree, g i • x ^ ↑i = 0
i : Fin (minpoly K x).natDegree

⊢ g i = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K S
x : S
h : IsIntegral K x
g : Fin (minpoly K x).natDegree → K
i : Fin (minpoly K x).natDegree
hg : (aeval x) (∑ x_1 : Fin (minpoly K x).natDegree, (monomial ↑x_1) (g x_1)) = 0

⊢ g i = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K S
x : S
h : IsIntegral K x
g : Fin (minpoly K x).natDegree → K
i : Fin (minpoly K x).natDegree
hg : (aeval x) (∑ x_1 : Fin (minpoly K x).natDegree, (monomial ↑x_1) (g x_1)) = 0

⊢ (∑ x_1 : Fin (minpoly K x).natDegree, (monomial ↑x_1) (g x_1)).degree < (minpoly K x).degree
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K S
x : S
h : IsIntegral K x
g : Fin (minpoly K x).natDegree → K
i : Fin (minpoly K x).natDegree
hg : (aeval x) (∑ x_1 : Fin (minpoly K x).natDegree, (monomial ↑x_1) (g x_1)) = 0
hn0 : ¬g i = 0
h0 : ∑ x_1 : Fin (minpoly K x).natDegree, (monomial ↑x_1) (g x_1) = 0

⊢ g i = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
f : R[X]

⊢ (expand R p) f = map (↑(frobeniusEquiv R p).symm) f ^ p
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Map.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹⁴ : Semiring R
inst✝¹³ : Semiring R₂
inst✝¹² : Semiring R₃
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R₂ M₂
inst✝⁶ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p✝ p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
x : M
inst✝⁴ : RingHomSurjective σ₁₂
F : Type u_9
inst✝³ : FunLike F M M₂
inst✝² : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
inst✝¹ : RingHomSurjective σ₂₃
inst✝ : RingHomSurjective σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
p : Submodule R M

⊢ ↑(map (g.comp f) p) = ↑(map g (map f p))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C

⊢ (α_ W (X ⊗ Y) Z).inv ≫ (α_ W X Y).inv ▷ Z ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom = W ◁ (α_ X Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C

⊢ (W ◁ (α_ X Y Z).inv ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).inv ≫ (α_ W X Y).inv ▷ Z ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).hom) ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).inv = (W ◁ (α_ X Y Z).inv ≫ W ◁ (α_ X Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).inv) ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).inv
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Finset.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i < g i
h_ne : s.Nonempty

⊢ ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ s, g i
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Finset.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommMonoidWithZero R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : PosMulStrictMono R
inst✝ : Nontrivial R
f g : ι → R
s t : Finset ι
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hfg : ∀ i ∈ s, f i < g i
h_ne : s.Nonempty

⊢ ∃ i ∈ s, f i < g i
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
inst✝³ : CommMonoid α₁
inst✝² : CommMonoid α₂
inst✝¹ : CommMonoid β₁
inst✝ : CommMonoid β₂
A₁ : Set α₁
A₂ : Set α₂
B₁ : Set β₁
B₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
n : ℕ
h₁ : IsMulFreimanIso n A₁ B₁ f₁
h₂ : IsMulFreimanIso n A₂ B₂ f₂
s t : Multiset (α₁ × α₂)
hsA : ∀ ⦃x : α₁ × α₂⦄, x ∈ s → x ∈ A₁ ×ˢ A₂
htA : ∀ ⦃x : α₁ × α₂⦄, x ∈ t → x ∈ A₁ ×ˢ A₂
hs : card s = n
ht : card t = n

⊢ (map (Prod.map f₁ f₂) s).prod = (map (Prod.map f₁ f₂) t).prod ↔ s.prod = t.prod
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
inst✝³ : CommMonoid α₁
inst✝² : CommMonoid α₂
inst✝¹ : CommMonoid β₁
inst✝ : CommMonoid β₂
A₁ : Set α₁
A₂ : Set α₂
B₁ : Set β₁
B₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
n : ℕ
h₁ : IsMulFreimanIso n A₁ B₁ f₁
h₂ : IsMulFreimanIso n A₂ B₂ f₂
s t : Multiset (α₁ × α₂)
hs : card s = n
ht : card t = n
hsA : (∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ s → a ∈ A₁) ∧ ∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ s → b ∈ A₂
htA : (∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ t → a ∈ A₁) ∧ ∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ t → b ∈ A₂

⊢ (map (Prod.map f₁ f₂) s).prod = (map (Prod.map f₁ f₂) t).prod ↔ s.prod = t.prod
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
inst✝³ : CommMonoid α₁
inst✝² : CommMonoid α₂
inst✝¹ : CommMonoid β₁
inst✝ : CommMonoid β₂
A₁ : Set α₁
A₂ : Set α₂
B₁ : Set β₁
B₂ : Set β₂
f₁ : α₁ → β₁
f₂ : α₂ → β₂
n : ℕ
h₁ : IsMulFreimanIso n A₁ B₁ f₁
h₂ : IsMulFreimanIso n A₂ B₂ f₂
s t : Multiset (α₁ × α₂)
hs : card s = n
ht : card t = n
hsA : (∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ s → a ∈ A₁) ∧ ∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ s → b ∈ A₂
htA : (∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ t → a ∈ A₁) ∧ ∀ (a : α₁) (b : α₂), (a, b) ∈ t → b ∈ A₂

⊢ (map (fun x => f₁ x.1) s).prod = (map (fun x => f₁ x.1) t).prod ∧ (map (fun x => f₂ x.2) s).prod = (map (fun x => f₂ x.2) t).prod ↔ (map Prod.fst s).prod = (map Prod.fst t).prod ∧ (map Prod.snd s).prod = (map Prod.snd t).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ✝ : ι✝ → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι✝
i : ι✝
a : α✝
f✝ g✝ : ι✝ → α✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : CommSemiring α
f g : ι → α

⊢ ∏ a : ι, (f a + g a) = ∑ t : Finset ι, (∏ a ∈ t, f a) * ∏ a ∈ tᶜ, g a
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Polynomial.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
i : σ
x : MvPolynomial σ R

⊢ (mvPolynomialBasis R σ).repr.symm (Finsupp.single i x) = x • (D R (MvPolynomial σ R)) (MvPolynomial.X i)
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Polynomial.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
i : σ
x : MvPolynomial σ R

⊢ (mvPolynomialBasis R σ).repr ((mvPolynomialBasis R σ).repr.symm (Finsupp.single i x)) = (mvPolynomialBasis R σ).repr (x • (D R (MvPolynomial σ R)) (MvPolynomial.X i))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), B' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
Hr : ∀ x ∈ Icc a b, ∀ r > 0, f x ≤ B x + r * (x - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b

⊢ f x ≤ B x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
B B' : ℝ → ℝ
ha : f a ≤ B a
hB : ContinuousOn B (Icc a b)
hB' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt B (B' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), B' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x z < r
Hr : ∀ x ∈ Icc a b, ∀ r > 0, f x ≤ B x + r * (x - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b
this : ContinuousWithinAt (fun r => B x + r * (x - a)) (Ioi 0) 0

⊢ f x ≤ B x
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α

⊢ ∀ b ∈ {a | ∀ᶠ (n : α) in ⊤, n ≤ a}, ⊤ ≤ b
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α

⊢ ∀ (b : α), (∀ (x : α), x ≤ b) → b = ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y

⊢ 0 ≤ (a * a₁⁻¹).y
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)

⊢ Tendsto (fun g => |(↑g • z).re|) cofinite atTop
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)

⊢ Tendsto (fun g => (↑g • z).re) cofinite (cocompact ℝ)
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
this : (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ ≠ 0

⊢ Tendsto (fun g => (↑g • z).re) cofinite (cocompact ℝ)
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
this : (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ ≠ 0
f : ℝ ≃ₜ ℝ := Homeomorph.mulRight₀ (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ this
ff : ℝ ≃ₜ ℝ := Homeomorph.addRight ((↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))).re

⊢ Tendsto (fun g => (↑g • z).re) cofinite (cocompact ℝ)
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g✝ : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
this : (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ ≠ 0
f : ℝ ≃ₜ ℝ := Homeomorph.mulRight₀ (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ this
ff : ℝ ≃ₜ ℝ := Homeomorph.addRight ((↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))).re
e_1✝ : ↑((fun g => ↑g 1) ⁻¹' {p}) = { g // ↑g 1 = p }
g : ↑((fun g => ↑g 1) ⁻¹' {p})

⊢ (↑g • z).re = (⇑(f.trans ff) ∘ fun g => (lcRow0 p) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g)) g
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g✝ : SL(2, ℤ)
z : ℍ
p : Fin 2 → ℤ
hp : IsCoprime (p 0) (p 1)
this : (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ ≠ 0
f : ℝ ≃ₜ ℝ := Homeomorph.mulRight₀ (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2)⁻¹ this
ff : ℝ ≃ₜ ℝ := Homeomorph.addRight ((↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))).re
e_1✝ : ↑((fun g => ↑g 1) ⁻¹' {p}) = { g // ↑g 1 = p }
g : ↑((fun g => ↑g 1) ⁻¹' {p})

⊢ (↑g • z).re = (lcRow0 p) ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ)) ↑g) / (↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) + ((↑(p 1) * ↑z - ↑(p 0)) / ((↑(p 0) ^ 2 + ↑(p 1) ^ 2) * (↑(p 0) * ↑z + ↑(p 1)))).re
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁' l₂' : List α
h : (a :: l).split = (l₁', l₂')
l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)

⊢ a :: l ~ l₁' ++ l₂'
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁' l₂' : List α
h : (a :: l).split = (l₁', l₂')
l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
fst_eq✝ : a :: l₂ = l₁'
snd_eq✝ : l₁ = l₂'

⊢ a :: l ~ l₁' ++ l₂'
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
h : (a :: l).split = (a :: l₂, l₁)

⊢ a :: l ~ a :: l₂ ++ l₁
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α✝ : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E

⊢ ↑((aeval (AdjoinSimple.gen F α)) (minpoly F α)) = ↑0
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α✝ : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E

⊢ ↑((aeval (AdjoinSimple.gen F α)) (minpoly F α)) = (aeval α) (minpoly F α)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α✝ : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E

⊢ ↑((aeval (AdjoinSimple.gen F α)) (minpoly F α)) = (aeval ((algebraMap (↥F⟮α⟯) E) (AdjoinSimple.gen F α))) (minpoly F α)
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 0

⊢ (m ^ 2 - n ^ 2).gcd (m ^ 2 + n ^ 2) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 0

⊢ (-(m ^ 2 - n ^ 2)).natAbs.gcd (m ^ 2 + n ^ 2).natAbs = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 0

⊢ (n ^ 2 - m ^ 2).natAbs.gcd (n ^ 2 + m ^ 2).natAbs = 1
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
x : α

⊢ x ∈ Ioi (pred a) ↔ x ∈ insert a (Ioi a)
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin a
x : α

⊢ pred a < x ↔ a = x ∨ a < x
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift

⊢ dist (f 0 + g 0) (f (g 0)) < 1
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift

⊢ f 0 + g 0 - 1 < f (g 0) ∧ f (g 0) < f 0 + g 0 + 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x

⊢ x ^ y < x ^ z ↔ y < z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix l m R
B : Matrix m n R
x : M₁

⊢ ((toLin v₁ v₃) (A * B)) x = ((toLin v₂ v₃) A) (((toLin v₁ v₂) B) x)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
a : K
nth_partNum_eq : (of v).partNums.get? n = some a

⊢ a = 1
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
a : K
nth_partNum_eq : (of v).partNums.get? n = some a
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp
gp_a_eq_a_n : gp.a = a

⊢ a = 1
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
a : K
nth_partNum_eq : (of v).partNums.get? n = some a
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp
gp_a_eq_a_n : gp.a = a
this : gp.a = 1

⊢ a = 1
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
a : α
P : Finpartition a

⊢ P.parts.Nonempty ↔ a ≠ ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y

⊢ μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
hf : AntilipschitzWith 0 f

⊢ μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑0 ^ d * μH[d] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0

⊢ μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤

⊢ μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤

⊢ ⨆ r, ⨆ (_ : 0 < r), ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : 0 < i), ⨅ i_1, ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (i_1 i) ^ d
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε

⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : 0 < i), ⨅ i_1, ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (i_1 i) ^ d
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε

⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ⨅ i, ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i n) ≤ ε / ↑K), ∑' (i_1 : ℕ), ⨆ (_ : (i i_1).Nonempty), ↑K ^ d * diam (i i_1) ^ d
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K

⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (t i) ^ d
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ f ⁻¹' ⋃ n, t n

⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (t i) ^ d
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i

⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (t i) ^ d
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i
n : ℕ

⊢ diam (f ⁻¹' t n) ≤ ε