ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean

⊢ Tendsto (fun s => ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s - 1 / (s - 1)) (𝓝[>] 1) (𝓝 γ)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean

⊢ Tendsto (fun s => ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s - 1 / (s - 1)) (𝓝[>] 1) (𝓝 (1 - term_tsum 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean

⊢ ?f₁ =ᶠ[𝓝[>] 1] fun s => ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s - 1 / (s - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean

⊢ Tendsto ?f₁ (𝓝[>] 1) (𝓝 (1 - term_tsum 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean

⊢ ℝ → ℝ
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m n : Num
h : m = n

⊢ ↑m < ↑n ↔ Ordering.eq = Ordering.lt
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m n : Num
h : Ordering.casesOn Ordering.gt (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m)

⊢ ↑m < ↑n ↔ Ordering.gt = Ordering.lt
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S
S' : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R S
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
Z : Set (PrimeSpectrum S)

⊢ IsClosed Z ↔ IsClosed Z
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S
S' : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R S
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
Z : Set (PrimeSpectrum S)

⊢ (∃ s, zeroLocus s = Z) ↔ ∃ a, zeroLocus (⇑(algebraMap R S) '' a) = Z
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤

⊢ integral μ (map (ENNReal.toReal ∘ g) f) = (∫⁻ (a : α), g (↑f a) ∂μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
hf' : f.FinMeasSupp μ

⊢ integral μ (map (ENNReal.toReal ∘ g) f) = (∫⁻ (a : α), g (↑f a) ∂μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
hf' : f.FinMeasSupp μ

⊢ integral μ (map (ENNReal.toReal ∘ g) f) = ((map g f).lintegral μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
hf' : f.FinMeasSupp μ

⊢ ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • (ENNReal.toReal ∘ g) x = ∑ a ∈ f.range, (g a * μ (↑f ⁻¹' {a})).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
hf' : f.FinMeasSupp μ

⊢ ∀ a ∈ f.range, g a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α →ₛ E
g : E → ℝ≥0∞
hf : Integrable (↑f) μ
hg0 : g 0 = 0
ht : ∀ (b : E), g b ≠ ⊤
hf' : f.FinMeasSupp μ

⊢ (ENNReal.toReal ∘ g) 0 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a b : ℕ
ha : a % 4 = 1
hb : Odd b

⊢ J(↑a | b) = J(↑b | a)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x y : ℤ[i]

⊢ (toComplex (x / y)).im = ↑(round (toComplex x / toComplex y).im)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x y : ℤ[i]

⊢ (toComplex { re := round ↑(↑(x * star y).re / ↑(norm y)), im := round ↑(↑(x * star y).im / ↑(norm y)) }).im = ↑(round (toComplex x / toComplex y).im)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : Injective fa
hf : InjOn f (range fa)

⊢ InjOn fb (range f)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : Injective fa
hf : InjOn f (fa '' univ)

⊢ InjOn fb (f '' univ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
α₁ α₂ : Ext X Y n
m : ℕ
β : Ext Y Z m
p : ℕ
h : n + m = p
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C

⊢ ((α₁ + α₂).comp β h).hom = (α₁.comp β h + α₂.comp β h).hom
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i j : ι
a : α i
x : ι
y : α x

⊢ ⟨x, y⟩ ∈ s₁.sigma t₁ ∩ s₂.sigma t₂ ↔ ⟨x, y⟩ ∈ (s₁ ∩ s₂).sigma fun i => t₁ i ∩ t₂ i
-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddCommGroup H
a : G
b : H
f : G →+c[a, b] H
x✝ : G

⊢ (fun x => -f (-x)) (x✝ + a) = (fun x => -f (-x)) x✝ + b
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g g' : F[X]
m m' : ℕ
h_expand : (expand F (q ^ m)) g = (expand F (q ^ m')) g'
hg : g.Separable
hg' : g'.Separable
hm : m ≤ m'

⊢ g.natDegree = g'.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g g' : F[X]
m : ℕ
hg : g.Separable
hg' : g'.Separable
s : ℕ
h_expand : (expand F (q ^ m)) g = (expand F (q ^ (m + s))) g'
hm : m ≤ m + s

⊢ g.natDegree = g'.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g g' : F[X]
m : ℕ
hg : g.Separable
hg' : g'.Separable
s : ℕ
h_expand : g = (expand F (q ^ s)) g'
hm : m ≤ m + s

⊢ g.natDegree = g'.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g' : F[X]
m : ℕ
hg' : g'.Separable
s : ℕ
hm : m ≤ m + s
hg : ((expand F (q ^ s)) g').Separable

⊢ ((expand F (q ^ s)) g').natDegree = g'.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g' : F[X]
m : ℕ
hg' : g'.Separable
s : ℕ
hm : m ≤ m + s
hg : ((expand F (q ^ s)) g').Separable
h : IsUnit g'

⊢ ((expand F (q ^ s)) g').natDegree = g'.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/SeparableDegree.lean
F✝ : Type u_1
inst✝² : Field F✝
q✝ : ℕ
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
q : ℕ
f : F[X]
hf : HasSeparableContraction q f
hq : NeZero q
inst✝ : CharP F q
g' : F[X]
m : ℕ
hg' : g'.Separable
hm : m ≤ m + 0
hg : ((expand F (q ^ 0)) g').Separable

⊢ ((expand F (q ^ 0)) g').natDegree = g'.natDegree
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a : α

⊢ Multiset.count a (toMultiset f) = f.sum fun x n => Multiset.count a (n • {x})
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a : α

⊢ Multiset.count a (f.sum fun a n => n • {a}) = f.sum fun x n => Multiset.count a (n • {x})
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a : α

⊢ (f.sum fun x n => Multiset.count a (n • {x})) = f.sum fun x n => n * Multiset.count a {x}
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a a' : α
x✝ : f a' ≠ 0
H : a' ≠ a

⊢ f a' * Multiset.count a {a'} = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ ℕ
a : α

⊢ f a * Multiset.count a {a} = f a
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/DualNumber.lean
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁷ : Field 𝕜
inst✝⁶ : CharZero 𝕜
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Algebra 𝕜 R
inst✝³ : UniformSpace R
inst✝² : TopologicalRing R
inst✝¹ : CompleteSpace R
inst✝ : T2Space R
r : R

⊢ exp 𝕜 (r • ε) = 1 + r • ε
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β

⊢ LiftRel R s.think t ↔ LiftRel R s t
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.think.destruct t.destruct ↔ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) s.destruct t.destruct
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β✝ γ✝ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (α ⊕ β)
pe : ∀ (v : α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
γ : Type u
q : Poly (α ⊕ γ)
qe : ∀ (v : α → ℕ), S' v ↔ ∃ t, q (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ

⊢ (S ∪ S') v ↔ ∃ t, (Poly.map (inl ⊗ inr ∘ inl) p * Poly.map (inl ⊗ inr ∘ inr) q) (v ⊗ t) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β✝ γ✝ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (α ⊕ β)
pe : ∀ (v : α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
γ : Type u
q : Poly (α ⊕ γ)
qe : ∀ (v : α → ℕ), S' v ↔ ∃ t, q (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ

⊢ (∃ t, p (v ⊗ t) = 0) ↔ ∃ x, p ((v ⊗ x) ∘ (inl ⊗ inr ∘ inl)) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β✝ γ✝ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
β : Type u
p : Poly (α ⊕ β)
pe : ∀ (v : α → ℕ), S v ↔ ∃ t, p (v ⊗ t) = 0
γ : Type u
q : Poly (α ⊕ γ)
qe : ∀ (v : α → ℕ), S' v ↔ ∃ t, q (v ⊗ t) = 0
v : α → ℕ

⊢ (∃ t, q (v ⊗ t) = 0) ↔ ∃ x, q ((v ⊗ x) ∘ (inl ⊗ inr ∘ inr)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : R[X]
r : R
hr : IsUnit r
a : R[X]

⊢ p.scaleRoots r ∣ (p * a).scaleRoots r
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : R[X]
r : R
hr : IsUnit r
a : R[X]

⊢ p.scaleRoots r ∣ p.scaleRoots r * a.scaleRoots r
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : IsDomain α
x y : α

⊢ span {x} < span {y} ↔ DvdNotUnit y x
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n✝ m✝ n : ℤ
f : F ⟶ G
z : Cochain G K n
m : ℤ

⊢ δ n m ((Cochain.ofHom f).comp z ⋯) = (Cochain.ofHom f).comp (δ n m z) ⋯
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ γ : Path x y
t : ↑I

⊢ γ (σ (σ t)) = γ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)

⊢ (map Prod.swap ρ).snd = ρ.fst
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)

⊢ map (Prod.snd ∘ Prod.swap) ρ = ρ.fst
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Rolle.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁵ : DenselyOrdered X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : LinearOrder Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
l : Y
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 l)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 l)

⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, IsExtrOn f (Ioo a b) c
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Rolle.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁵ : DenselyOrdered X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : LinearOrder Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
l : Y
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 l)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 l)
h : EqOn (extendFrom (Ioo a b) f) f (Ioo a b)

⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, IsExtrOn f (Ioo a b) c
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Rolle.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝⁵ : DenselyOrdered X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : OrderTopology X
inst✝² : LinearOrder Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : OrderTopology Y
f : X → Y
a b : X
l : Y
hab : a < b
hfc✝ : ContinuousOn f (Ioo a b)
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 l)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 l)
h : EqOn (extendFrom (Ioo a b) f) f (Ioo a b)
c : X
hc : c ∈ Ioo a b
hfc : IsExtrOn (extendFrom (Ioo a b) f) (Icc a b) c

⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, IsExtrOn f (Ioo a b) c
-- Mathlib/Algebra/Lie/OfAssociative.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
k : ℕ
x : L

⊢ ((toEnd R L M₂) x ^ k) ∘ₗ ↑f = ↑f ∘ₗ (toEnd R L M) x ^ k
-- Mathlib/Algebra/Lie/OfAssociative.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
k : ℕ
x : L

⊢ (toEnd R L M₂) x ∘ₗ ↑f = ↑f ∘ₗ (toEnd R L M) x
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α

⊢ ⌊a⌋ + ⌊b⌋ ≤ ⌊a + b⌋
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α

⊢ ↑⌊a⌋ + ↑⌊b⌋ ≤ a + b
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
l : List α

⊢ (map Prod.fst l.enum).Nodup
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
g : (b : β) → b ∈ (p.bindOnSupport f).support → PMF γ

⊢ (p.bindOnSupport f).bindOnSupport g = p.bindOnSupport fun a ha => (f a ha).bindOnSupport fun b hb => g b ⋯
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
g : (b : β) → b ∈ (p.bindOnSupport f).support → PMF γ
a : γ

⊢ ((p.bindOnSupport f).bindOnSupport g) a = (p.bindOnSupport fun a ha => (f a ha).bindOnSupport fun b hb => g b ⋯) a
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
g : (b : β) → b ∈ (p.bindOnSupport f).support → PMF γ
a : γ

⊢ (∑' (a_1 : β), (∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h) a_1) * if h : (∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h) a_1) = 0 then 0 else (g a_1 h) a) = ∑' (a_1 : α), p a_1 * if h : p a_1 = 0 then 0 else ∑' (a_2 : β), (f a_1 h) a_2 * if h : (f a_1 h) a_2 = 0 then 0 else (g a_2 ⋯) a
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
g : (b : β) → b ∈ (p.bindOnSupport f).support → PMF γ
a : γ

⊢ (∑' (a_1 : β) (i : α), (p i * if h : p i = 0 then 0 else (f i h) a_1) * if h : (∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h) a_1) = 0 then 0 else (g a_1 h) a) = ∑' (a_1 : α) (i : β), p a_1 * if h : p a_1 = 0 then 0 else (f a_1 h) i * if h : (f a_1 h) i = 0 then 0 else (g i ⋯) a
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
g : (b : β) → b ∈ (p.bindOnSupport f).support → PMF γ
a : γ

⊢ (∑' (a_1 : β) (i : α), (p i * if h : p i = 0 then 0 else (f i h) a_1) * if h : ∀ (i : α), (p i * if h : p i = 0 then 0 else (f i h) a_1) = 0 then 0 else (g a_1 ⋯) a) = ∑' (a_1 : α) (i : β), p a_1 * if h : p a_1 = 0 then 0 else (f a_1 h) i * if h : (f a_1 h) i = 0 then 0 else (g i ⋯) a
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
g : (b : β) → b ∈ (p.bindOnSupport f).support → PMF γ
a : γ
a' : α
b : β

⊢ ((p a' * if h : p a' = 0 then 0 else (f a' h) b) * if h : ∀ (i : α), (p i * if h : p i = 0 then 0 else (f i h) b) = 0 then 0 else (g b ⋯) a) = p a' * if h : p a' = 0 then 0 else (f a' h) b * if h : (f a' h) b = 0 then 0 else (g b ⋯) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g✝ : α → β
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : T2Space β
g : α → β
hg : FinStronglyMeasurable g μ
hfg : f =ᶠ[ae μ] g

⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0 ∧ SigmaFinite (μ.restrict t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g✝ : α → β
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : T2Space β
g : α → β
hg : FinStronglyMeasurable g μ
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hgt_zero : ∀ x ∈ tᶜ, g x = 0
htμ : SigmaFinite (μ.restrict t)

⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0 ∧ SigmaFinite (μ.restrict t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g✝ : α → β
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : T2Space β
g : α → β
hg : FinStronglyMeasurable g μ
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hgt_zero : ∀ x ∈ tᶜ, g x = 0
htμ : SigmaFinite (μ.restrict t)

⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g✝ : α → β
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : T2Space β
g : α → β
hg : FinStronglyMeasurable g μ
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hgt_zero : ∀ x ∈ tᶜ, g x = 0
htμ : SigmaFinite (μ.restrict t)

⊢ g =ᶠ[ae (μ.restrict tᶜ)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
f g✝ : α → β
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : T2Space β
g : α → β
hg : FinStronglyMeasurable g μ
hfg : f =ᶠ[ae μ] g
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hgt_zero : ∀ x ∈ tᶜ, g x = 0
htμ : SigmaFinite (μ.restrict t)

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ tᶜ → g x = 0 x
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S T : Subgroupoid C
h : S ≤ T
s t : ↑S.objs
x✝¹ x✝ : s ⟶ t
f : ↑s ⟶ ↑t
hf : f ∈ S.arrows ↑s ↑t
g : ↑s ⟶ ↑t
hg : g ∈ S.arrows ↑s ↑t

⊢ ⟨f, ⋯⟩ = ⟨g, ⋯⟩ → ⟨f, hf⟩ = ⟨g, hg⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S T : Subgroupoid C
h : S ≤ T
s t : ↑S.objs
x✝¹ x✝ : s ⟶ t
f : ↑s ⟶ ↑t
hf : f ∈ S.arrows ↑s ↑t
g : ↑s ⟶ ↑t
hg : g ∈ S.arrows ↑s ↑t

⊢ f = g → f = g
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s t : Multiset α

⊢ {a}.Disjoint t ∧ s.Disjoint t ↔ a ∉ t ∧ s.Disjoint t
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
y : ℕ

⊢ round (↑y + x) = ↑y + round x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
c : 𝕜

⊢ StarConvex 𝕜 (z + c • x) ((fun x => z + c • x) '' s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
c : 𝕜
h : StarConvex 𝕜 (z + c • x) ((fun x => z + x) '' (c • s))

⊢ StarConvex 𝕜 (z + c • x) ((fun x => z + c • x) '' s)
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : ↑u * a = 1

⊢ ↑u⁻¹ = ↑u⁻¹ * 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : ↑u * a = 1

⊢ ↑u⁻¹ * 1 = a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : β → α
hf : Function.Injective f
s : Set β
hs : ¬s.Finite

⊢ count (f '' s) = count s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : β → α
hf : Function.Injective f
s : Set β
hs : ¬s.Finite

⊢ count (f '' s) = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
s✝ : Set α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : β → α
hf : Function.Injective f
s : Set β
hs : ¬(f '' s).Finite

⊢ count (f '' s) = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
i : B

⊢ cs.leftInvSeq (ω.concat i) = (cs.leftInvSeq ω).concat (cs.wordProd ω * cs.simple i * (cs.wordProd ω)⁻¹)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
s : Finset M
hs : LinearIndependent R Subtype.val

⊢ finrank R ↥(span R ↑s) = s.card