ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : Measurable g
hf : AEMeasurable f μ

⊢ essSup g (Measure.map f μ) ≤ essSup (g ∘ f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : Measurable g
hf : AEMeasurable f μ
c : β
h_le : ∀ᶠ (n : β) in map (g ∘ f) (ae μ), n ≤ c

⊢ ∀ᶠ (n : β) in map g (ae (Measure.map f μ)), n ≤ c
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : Measurable g
hf : AEMeasurable f μ
c : β
h_le : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (g ∘ f) a ≤ c

⊢ ∀ᵐ (a : γ) ∂Measure.map f μ, g a ≤ c
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : Measurable g
hf : AEMeasurable f μ
c : β
h_le : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (g ∘ f) a ≤ c

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g (f x) ≤ c
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝² : TopologicalSpace 𝔸
inst✝¹ : TopologicalRing 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
x : 𝔸

⊢ exp 𝕂 (MulOpposite.op x) = MulOpposite.op (exp 𝕂 x)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace γ
h : TendstoLocallyUniformly F f p
g : γ → α
cg : Continuous g

⊢ TendstoLocallyUniformly (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace γ
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p univ
g : γ → α
cg : Continuous g

⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p univ
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace γ
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p univ
g : γ → α
cg : ContinuousOn g univ

⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p univ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ℵ₀
hb : ↑n < ℵ₀

⊢ ↑m ^ ↑n < ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ℵ₀
hb : ↑n < ℵ₀

⊢ ↑(m ^ n) < ℵ₀
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ : Ideal A
I J : HomogeneousIdeal 𝒜
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ 𝒜 i, x ∈ I ↔ x ∈ J
x✝ : A

⊢ x✝ ∈ I.toIdeal ↔ x✝ ∈ J.toIdeal
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ : Ideal A
I J : HomogeneousIdeal 𝒜
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ 𝒜 i, x ∈ I ↔ x ∈ J
x✝ : A

⊢ (∀ (i : ι), ↑(((decompose 𝒜) x✝) i) ∈ I.toIdeal) ↔ ∀ (i : ι), ↑(((decompose 𝒜) x✝) i) ∈ J.toIdeal
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ : Ideal A
I J : HomogeneousIdeal 𝒜
h : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ 𝒜 i, x ∈ I ↔ x ∈ J
x✝ : A

⊢ ∀ (a : ι), ↑(((decompose 𝒜) x✝) a) ∈ I.toIdeal ↔ ↑(((decompose 𝒜) x✝) a) ∈ J.toIdeal
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : b < a
hc : c < 0

⊢ c * a < c * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d✝ : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : b < a
hc : c < 0
d : α
hcd : 0 = c + d

⊢ c * a < c * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d✝ : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : PosMulStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x < x_1
h : b < a
hc : c < 0
d : α
hcd : 0 = c + d

⊢ c * a + (d * b + d * a) < c * b + (d * b + d * a)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char
p : Char → Bool

⊢ ValidFor (l ++ List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m) r ({ str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.dropWhile p)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char
p : Char → Bool

⊢ ValidFor (l ++ List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m) r { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (List.takeWhile p m) }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char
p : Char → Bool

⊢ utf8Len l + utf8Len m = utf8Len l + utf8Len (List.takeWhile p m) + utf8Len (List.dropWhile p m)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r r' : X
s : ↥S

⊢ r /ₒ s + r' /ₒ s = (r + r') /ₒ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hμ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)

⊢ Summable fun x => (μ (f x)).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hμ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)

⊢ ∑' (x : ℕ), μ (f x) ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hμ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)

⊢ μ (⋃ i, f i) ≠ ⊤
-- Mathlib/Topology/Instances/Real.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : TopologicalSpace α
f : ℝ → α
c : ℝ
hp : Periodic f c
hc : c ≠ 0
hf : Continuous f

⊢ IsCompact (range f)
-- Mathlib/Topology/Instances/Real.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : TopologicalSpace α
f : ℝ → α
c : ℝ
hp : Periodic f c
hc : c ≠ 0
hf : Continuous f

⊢ IsCompact (f '' [[0, 0 + c]])
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β α : Type u
h : Fintype α

⊢ ∀ (f : α → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : α, f i)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β α : Type u
h : Fintype α

⊢ ∀ (α β : Type u) [inst : Fintype β] (e : α ≃ β), (∀ (f : α → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : α, f i)) → ∀ (f : β → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : β, f i)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β α : Type u
h : Fintype α

⊢ ∀ (f : PEmpty.{u + 1} → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : PEmpty.{u + 1}, f i)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β α : Type u
h : Fintype α

⊢ ∀ (α : Type u) [inst : Fintype α], (∀ (f : α → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : α, f i)) → ∀ (f : Option α → Cardinal.{v}), prod f = lift.{u, v} (∏ i : Option α, f i)
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
y : Set β

⊢ x ∩ f ⁻¹' maximals s (f '' x ∩ y) = maximals r (x ∩ f ⁻¹' y)
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
y : Set β

⊢ ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a' a ↔ s (f a') (f a))
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
n : ℤ

⊢ a * a ^ n = a ^ (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a

⊢ ContinuousWithinAt (dslope f a) s b ↔ ContinuousWithinAt f s b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
hc : ContinuousWithinAt f s b

⊢ ContinuousWithinAt (dslope f a) s b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
hc : ContinuousWithinAt f s b

⊢ ContinuousWithinAt (slope f a) s b
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
f : α →ᵤ[{s}] E

⊢ LowerSemicontinuousAt (fun f => eVariationOn f s) f
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
f : α →ᵤ[{s}] E

⊢ ∀ x ∈ s, Tendsto (fun i => id i x) (𝓝 f) (𝓝 (f x))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
f : α →ᵤ[{s}] E
this : Tendsto id (𝓝 f) (𝓝 f)

⊢ ∀ x ∈ s, Tendsto (fun i => id i x) (𝓝 f) (𝓝 (f x))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
f : α →ᵤ[{s}] E
this : ∀ s_1 ∈ {s}, TendstoUniformlyOn (⇑(UniformOnFun.toFun {s}) ∘ id) ((UniformOnFun.toFun {s}) f) (𝓝 f) s_1

⊢ ∀ x ∈ s, Tendsto (fun i => id i x) (𝓝 f) (𝓝 (f x))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
s : Set α
f : α →ᵤ[{s}] E
this : ∀ s_1 ∈ {s}, TendstoUniformlyOn (⇑(UniformOnFun.toFun {s}) ∘ id) ((UniformOnFun.toFun {s}) f) (𝓝 f) s_1

⊢ ∀ x ∈ s, TendstoUniformlyOn id f (𝓝 f) {x}
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/BigOperators.lean
ι : Type u_1
m : Multiset ℕ
k : ℕ

⊢ m.prod.Coprime k ↔ ∀ n ∈ m, n.Coprime k
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/BigOperators.lean
ι : Type u_1
k : ℕ
a✝ : List ℕ

⊢ (Multiset.prod ⟦a✝⟧).Coprime k ↔ ∀ n ∈ ⟦a✝⟧, n.Coprime k
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
f : E → F

⊢ ContDiff 𝕜 (↑(n + 1)) f ↔ Differentiable 𝕜 f ∧ ∀ (y : E), ContDiff 𝕜 ↑n fun x => (fderiv 𝕜 f x) y
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝
ι : Type u_6
p : ι → Prop
s : ι → Set α
f : Filter α
hf : f.HasBasis p s
β : ι → Type u_5
pg : (i : ι) → β i → Prop
sg : (i : ι) → β i → Set γ
g : Set α → Filter γ
hg : ∀ (i : ι), (g (s i)).HasBasis (pg i) (sg i)
gm : Monotone g

⊢ (f.lift g).HasBasis (fun i => p i.fst ∧ pg i.fst i.snd) fun i => sg i.fst i.snd
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β✝
ι : Type u_6
p : ι → Prop
s : ι → Set α
f : Filter α
hf : f.HasBasis p s
β : ι → Type u_5
pg : (i : ι) → β i → Prop
sg : (i : ι) → β i → Set γ
g : Set α → Filter γ
hg : ∀ (i : ι), (g (s i)).HasBasis (pg i) (sg i)
gm : Monotone g
t : Set γ

⊢ (∃ i, p i ∧ ∃ x, pg i x ∧ sg i x ⊆ t) ↔ ∃ i, (p i.fst ∧ pg i.fst i.snd) ∧ sg i.fst i.snd ⊆ t
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
s✝ t : Interval α
a : α
f : ι → Interval α
s : Finset ι

⊢ (∑ i ∈ s, f i).length ≤ ∑ i ∈ s, (f i).length
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
s✝ t : Interval α
a : α
f : ι → Interval α
s : Finset ι

⊢ length 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
s✝ t : Interval α
a : α
f : ι → Interval α
s : Finset ι

⊢ ∀ (x y : Interval α), (x + y).length ≤ x.length + y.length
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε✝ δ✝ : 𝕜
u v : Finset α
ε δ : 𝕜
a b : α
ab : G.Adj a b
U : Finset α
UP : U ∈ P.parts
V : Finset α
VP : V ∈ P.parts
xU : a ∈ U
yV : b ∈ V
UV : U ≠ V
GUV : G.IsUniform ε U V
εUV : δ ≤ ↑(G.edgeDensity U V)

⊢ G.Adj b a ∧ ∃ U ∈ P.parts, ∃ V ∈ P.parts, b ∈ U ∧ a ∈ V ∧ U ≠ V ∧ G.IsUniform ε U V ∧ δ ≤ ↑(G.edgeDensity U V)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε✝ δ✝ : 𝕜
u v : Finset α
ε δ : 𝕜
a b : α
ab : G.Adj a b
U : Finset α
UP : U ∈ P.parts
V : Finset α
VP : V ∈ P.parts
xU : a ∈ U
yV : b ∈ V
UV : U ≠ V
GUV : G.IsUniform ε U V
εUV : δ ≤ ↑(G.edgeDensity U V)

⊢ δ ≤ ↑(G.edgeDensity V U)
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : PartialOrder α
a b : α
hab : a < b

⊢ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Ico a b) = {a}
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : PartialOrder α
a b : α
hab : a < b

⊢ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {x | x < b ∧ a ≤ x} = {a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ (setToL1 hT) (c • f) = c • (setToL1 hT) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_smul : ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : E), (T s) (c • x) = c • (T s) x
c : 𝕜
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ (setToL1' 𝕜 hT h_smul) (c • f) = c • (setToL1' 𝕜 hT h_smul) f
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
h : (mk φ).IsReal

⊢ ComplexEmbedding.IsReal φ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
h : ¬ComplexEmbedding.IsReal φ

⊢ ¬(mk φ).IsReal
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
h : ¬ComplexEmbedding.IsReal φ

⊢ (mk φ).IsComplex
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a b c d : R
h1 : a - b ∈ I
h2 : c - d ∈ I

⊢ (a - b) * c + b * (c - d) ∈ I
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
a : α
b : β
s : Finset α
t : Finset β

⊢ s ×ˢ t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
i : ι × ι
a : ℬ i.1
b : 𝒜 i.2

⊢ (gradedCommAux R 𝒜 ℬ) ((gradedCommAux R ℬ 𝒜) ((lof R (ι × ι) (fun i => ℬ i.1 ⊗[R] 𝒜 i.2) i) (a ⊗ₜ[R] b))) = (lof R (ι × ι) (fun i => ℬ i.1 ⊗[R] 𝒜 i.2) i) (a ⊗ₜ[R] b)
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Units.lean
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b : α
u : αˣ

⊢ a * ↑u ∣ b ↔ a ∣ b
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l : ι →₀ 𝕜
i : ι

⊢ ⟪v i, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l⟫_𝕜 = l i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
f : (j : ι) → i = j → α

⊢ (∏ j : ι, if h : i = j then f j h else 1) = f i ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ l l' : List α
x✝ : α
h : x✝ ∈ {x | (zipWith swap l l').prod x ≠ x}

⊢ x✝ ∈ ↑(l.toFinset ⊔ l'.toFinset)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

⊢ ∑ i ∈ range (n + 1), ↑p ^ i * wittMul p i ^ p ^ (n - i) = (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ n) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

⊢ ∑ i ∈ range (n + 1), ↑p ^ i * wittMul p i ^ p ^ (n - i) = (bind₁ (wittStructureInt p (X 0 * X 1))) (wittPolynomial p ℤ n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

⊢ (rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ n) * (rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (wittPolynomial p ℤ n)) (X 0 * X 1)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a * b

⊢ a * b = max a b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a * b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
ha' : ℵ₀ ≤ a

⊢ a * b = max a b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ a * b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hb' : ℵ₀ ≤ b

⊢ a * b = max a b
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens
V : (↑U).Opens
W : (↑(f ⁻¹ᵁ U)).Opens
e : W ≤ (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V

⊢ Scheme.Hom.appLE (f ∣_ U) V W e = Scheme.Hom.appLE f (U.ι ''ᵁ V) ((f ⁻¹ᵁ U).ι ''ᵁ W) ⋯
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a

⊢ map (g ∘ f) ⟨s, al⟩ = map g (map f ⟨s, al⟩)
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a

⊢ ↑(map (g ∘ f) ⟨s, al⟩) = ↑(map g (map f ⟨s, al⟩))
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a

⊢ (fun o => Option.rec none (fun val => some (g (f val))) o) = (fun o => Option.rec none (fun val => some (g val)) o) ∘ fun o => Option.rec none (fun val => some (f val)) o
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.135729, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T : (Triangle C)ᵒᵖ

⊢ ((Triangle.mk ((functor C).obj T).mor₂.unop ((functor C).obj T).mor₁.unop (((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app ((functor C).obj T).obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map ((functor C).obj T).mor₃.unop)).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (Iso.refl (Triangle.mk ((functor C).obj T).mor₂.unop ((functor C).obj T).mor₁.unop (((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app ((functor C).obj T).obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map ((functor C).obj T).mor₃.unop)).obj₁).hom).op = ((Iso.refl (Triangle.mk ((functor C).obj T).mor₂.unop ((functor C).obj T).mor₁.unop (((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app ((functor C).obj T).obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map ((functor C).obj T).mor₃.unop)).obj₃).hom ≫ (Opposite.unop T).mor₃).op
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s✝ t : Set P
x : P
s : Set P

⊢ intrinsicFrontier 𝕜 s ∪ intrinsicInterior 𝕜 s = intrinsicClosure 𝕜 s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0

⊢ p.trailingDegree = ↑n ↔ p.natTrailingDegree = n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ

⊢ W.Ψ (2 * (↑m + 3)) * W.ψ₂ = W.Ψ (↑m + 2) ^ 2 * W.Ψ (↑m + 3) * W.Ψ (↑m + 5) - W.Ψ (↑m + 1) * W.Ψ (↑m + 3) * W.Ψ (↑m + 4) ^ 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ

⊢ (C (W.preΨ' (2 * (m + 3))) * if Even (2 * (m + 3)) then W.ψ₂ else 1) * W.ψ₂ = (C (W.preΨ' (m + 2)) * if Even (m + 2) then W.ψ₂ else 1) ^ 2 * (C (W.preΨ' (m + 3)) * if Even (m + 3) then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 5)) * if Even (m + 5) then W.ψ₂ else 1) - (C (W.preΨ' (m + 1)) * if Even (m + 1) then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 3)) * if Even (m + 3) then W.ψ₂ else 1) * (C (W.preΨ' (m + 4)) * if Even (m + 4) then W.ψ₂ else 1) ^ 2