ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J J₁ J₂ : LieIdeal R L'

⊢ map f ⁅comap f J₁, comap f J₂⁆ ≤ ⁅J₁, J₂⁆
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ ‖↑p‖ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ (↑p)⁻¹ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ 1 < ↑p
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a b c d : ℤ

⊢ -a ≡ -b [ZMOD n] ↔ a ≡ b [ZMOD n]
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0

⊢ deriv (fun x => x * log x) x = log x + 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0

⊢ deriv (fun x => x) x * log x + x * deriv log x = log x + 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0

⊢ x * x⁻¹ = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
r : R

⊢ toLaurent (Polynomial.C r * X ^ n) = C r * T ↑n
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a

⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f (a * t) = ↑a ^ (-s) • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f t
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a
this : EqOn (fun t => ↑t ^ (s - 1) • f (a * t)) (fun t => ↑a ^ (1 - s) • (fun u => ↑u ^ (s - 1) • f u) (a * t)) (Ioi 0)

⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f (a * t) = ↑a ^ (-s) • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f t
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a.succ ≠ last (n + 1)

⊢ a.succ.castPred ha ≤ b ↔ a < b
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
di : DenseInducing i
b : β
s : Set β
hs : s ∈ 𝓝 b

⊢ ∃ a, i a ∈ s
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
di : DenseInducing i
b : β
s : Set β
hs : s ∈ 𝓝 b
a : α
ha : i a ∈ s

⊢ ∃ a, i a ∈ s
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
f : β → Set α
inst✝ : (w : β) → Fintype ↑(f w)
v : α

⊢ v ∈ (⋃ x, f x).toFinset ↔ v ∈ Finset.univ.biUnion fun x => (f x).toFinset
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial R
x : R

⊢ (C (X - C x)).natDegree < W.polynomial.natDegree
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial R
x : R

⊢ 0 < 2
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableWithinAt I I' f s x

⊢ mfderivWithin I I' f s x = fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/DensityTheorem.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : MetricSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
E : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup E
S : Set α
K : ℝ

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict S, ∀ {ι : Type u_3} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)) → Tendsto (fun j => μ (S ∩ closedBall (w j) (δ j)) / μ (closedBall (w j) (δ j))) l (𝓝 1)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
rank : α → Nat
l : List (α × β)
i : Nat
hl₁ : ∀ [inst : PartialEquivBEq α] [inst : LawfulHashable α], List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) l
hl₂ : ∀ (x : α × β), x ∈ l → rank x.fst = i
target : Buckets α β
ht₁ : target.WF
ht₂ : ∀ (bucket : AssocList α β), bucket ∈ target.val.data → AssocList.All (fun k x => rank k ≤ i ∧ ∀ [inst : PartialEquivBEq α] [inst : LawfulHashable α] (x : α × β), x ∈ l → ¬(x.fst == k) = true) bucket

⊢ (List.foldl (fun d x => reinsertAux d x.fst x.snd) target l).WF ∧ ∀ (bucket : AssocList α β), bucket ∈ (List.foldl (fun d x => reinsertAux d x.fst x.snd) target l).val.data → AssocList.All (fun k x => rank k ≤ i) bucket
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Chebyshev.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
θ : ℂ
n : ℤ

⊢ eval (cos θ) (U ℂ n) * sin θ = sin ((↑n + 1) * θ)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
x✝ : Sym2 V
x y : V

⊢ Quot.mk (Sym2.Rel V) (x, y) ∈ (G₁ \ G₂).edgeSet ↔ Quot.mk (Sym2.Rel V) (x, y) ∈ G₁.edgeSet \ G₂.edgeSet
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
y : ℤ

⊢ round (x + ↑y) = round x + y
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < c → c < b → a ≠ ⊤

⊢ a * (b - c) = a * b - a * c
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : 0 < c → c < b → a ≠ ⊤

⊢ (b - c) * a = b * a - c * a
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m n : ℕ
p : Fin n
i : Fin (n + 1)

⊢ (p.predAbove i).rev = p.rev.predAbove i.rev
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
ν : Measure α
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) (μ + ν)

⊢ integral (μ + ν) f = integral μ f + integral ν f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
ν : Measure α
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) (μ + ν)

⊢ setToSimpleFunc (weightedSMul (μ + ν)) f = setToSimpleFunc (weightedSMul μ) f + setToSimpleFunc (weightedSMul ν) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
ν : Measure α
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) (μ + ν)
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμνs : (μ + ν) s < ⊤

⊢ weightedSMul (μ + ν) s = weightedSMul μ s + weightedSMul ν s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
ν : Measure α
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) (μ + ν)
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμνs : μ s ≠ ⊤ ∧ ν s ≠ ⊤

⊢ weightedSMul (μ + ν) s = weightedSMul μ s + weightedSMul ν s
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
s : Set β

⊢ BddAbove (⇑e ⁻¹' s) ↔ BddAbove s
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : Set α
a✝ a : α
ha : a ∈ t

⊢ t \ {a} ⋖ t
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
h : a ∉ s

⊢ (insert a s).val = a ::ₘ s.val
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ xs ys : List α

⊢ List.filter p l₁ <:+: List.filter p (xs ++ l₁ ++ ys)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ xs ys : List α

⊢ List.filter p l₁ <:+: List.filter p xs ++ List.filter p l₁ ++ List.filter p ys
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
H : T ∈ distinguishedTriangles

⊢ T.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map T.mor₁ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
H : T ∈ distinguishedTriangles
H₂ : T.rotate.rotate ∈ distinguishedTriangles

⊢ T.mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map T.mor₁ = 0
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t✝ s : Set α
hs : s.Nonempty
t : Set β
a : β

⊢ s ⊆ (fun x => a) ⁻¹' t ↔ a ∈ t
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
a : δ
inst✝ : DecidableEq δ

⊢ Measurable fun p => update p.1 a p.2
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
a : δ
inst✝ : DecidableEq δ

⊢ ∀ (a_1 : δ), Measurable fun x => update x.1 a x.2 a_1
-- Mathlib/Data/Int/Lemmas.lean
a b✝ : ℤ
n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℤ

⊢ (bit b n).div2 = n
-- Mathlib/Data/Int/Lemmas.lean
a b✝ : ℤ
n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℤ

⊢ (bif b then 1 else 0) / 2 = 0
-- Mathlib/Data/Int/Lemmas.lean
a b✝ : ℤ
n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℤ

⊢ 2 ≠ 0
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : ℕ → α
k : ℕ

⊢ liminf (f ∘ fun x => x + k) atTop = liminf f atTop
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
inst✝ : Fintype α
l : List α
h : l.Nodup
h' : ∀ (x : α), l ≠ [x]

⊢ l.formPerm.support = l.toFinset
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
inst✝ : Fintype α
l : List α
h : l.Nodup
h' : ∀ (x : α), l ≠ [x]

⊢ ↑l.formPerm.support = ↑l.toFinset
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
inst✝ : Fintype α
l : List α
h : l.Nodup
h' : ∀ (x : α), l ≠ [x]

⊢ ↑l.formPerm.support = {x | l.formPerm x ≠ x}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α

⊢ Inseparable x y ↔ dist x y = 0
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/MonoidWithZero.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationMap N

⊢ f.toMap (f.sec 0).1 = 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ ⊤ ∨ b ≠ ⊤

⊢ a - b < c → a < b + c
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ ⊤ ∨ ⊤ ≠ ⊤

⊢ a - ⊤ < c → a < ⊤ + c
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ ⊤ ∨ b ≠ ⊤
hb : b ≠ ⊤

⊢ a - b < c → a < b + c
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Defs.lean
n✝ n : ℕ
n1 : n ≠ 1
n0 : ¬n = 0

⊢ Nat.minFacProp n n.minFac
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Defs.lean
n✝ n : ℕ
n1 : n ≠ 1
n0 : ¬n = 0
n2 : 2 ≤ n

⊢ Nat.minFacProp n n.minFac
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Defs.lean
n✝ n : ℕ
n1 : n ≠ 1
n0 : ¬n = 0
n2 : 2 ≤ n

⊢ Nat.minFacProp n (if 2 ∣ n then 2 else n.minFacAux 3)
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z : ℂ
hz : z = 0

⊢ |z.im / abs z| ≤ 1
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z : ℂ
hz : ¬z = 0

⊢ |z.im / abs z| ≤ 1
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ ClusterPt x (𝓟 s) ↔ ∃ᶠ (y : X) in 𝓝 x, y ∈ s
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝² : Traversable t
inst✝¹ : LawfulTraversable t
inst✝ : Monoid γ
f : α → β
g : β → γ
xs : t α

⊢ foldMap g (f <$> xs) = foldMap (g ∘ f) xs
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ

⊢ cosZeta (-a) s = cosZeta a s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h2 : p * q ≠ 0

⊢ p.natDegree ≤ (p * q).natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h2 : p ≠ 0 ∧ q ≠ 0

⊢ p.natDegree ≤ (p * q).natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h2 : p ≠ 0 ∧ q ≠ 0

⊢ p.natDegree ≤ p.natDegree + q.natDegree
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting

⊢ (∀ (t : Finset α), (↑t).Intersecting → s ⊆ t → s = t) ↔ 2 * s.card = Fintype.card α
-- Mathlib/Data/Set/Subset.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A

⊢ ↑(⋃₀ T) = ⋃₀ {x | ∃ B ∈ T, ↑B = x}
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ ¬λ ^ 2 ∣ S.a + ↑η * S.b
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l✝ : Subspace η α ι
x : η → α
i✝ : ι
a : α
e : η
inst✝ : Nontrivial α
l m : Subspace η α ι
hlm : ↑l = ↑m
i : ι

⊢ l.idxFun i = m.idxFun i
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l✝ : Subspace η α ι
x : η → α
i✝ : ι
a : α
e : η
inst✝ : Nontrivial α
l m : Subspace η α ι
i : ι
hlm : ∀ (a : η → α) (a_1 : ι), ↑l a a_1 = ↑m a a_1

⊢ l.idxFun i = m.idxFun i
-- Mathlib/Algebra/Lie/Basic.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieRingModule L N
inst✝³ : LieRingModule L P
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : LieModule R L N
inst✝ : LieModule R L P
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
x : L
m : M
n : N

⊢ ⁅x, (f m) n⁆ = (f ⁅x, m⁆) n + (f m) ⁅x, n⁆
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
o : Ordinal.{u_1}
ho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o
ho₂ : o ≠ 2

⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
o : Ordinal.{u_1}
ho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o
ho₂ : o ≠ 2
ho₁ : o < 2

⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
o : Ordinal.{u_1}
ho : Principal (fun x x_1 => x * x_1) o
ho₂✝ : o ≠ 2
ho₂ : o > 2

⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) o
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
hi : Irreducible f

⊢ f.natSepDegree = 1 ↔ ∃ n y, f = X ^ q ^ n - C y
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2

⊢ ¬IsPredLimit a ↔ ∃ b, ¬IsMin b ∧ pred b = a
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2

⊢ ¬IsSuccLimit (toDual a) ↔ ∃ b, ¬IsMin b ∧ pred b = a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α

⊢ (μ + ν).toENNRealVectorMeasure = μ.toENNRealVectorMeasure + ν.toENNRealVectorMeasure
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
i : Set α
hi : MeasurableSet i

⊢ ↑(μ + ν).toENNRealVectorMeasure i = ↑(μ.toENNRealVectorMeasure + ν.toENNRealVectorMeasure) i
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
g : β → γ
hg : g 0 = 0
f : α →ₛ β
s : Set α
x : α
hs : MeasurableSet s

⊢ ↑(map g (f.restrict s)) x = ↑((map g f).restrict s) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : Zero γ
g : β → γ
hg : g 0 = 0
f : α →ₛ β
s : Set α
x : α
hs : ¬MeasurableSet s

⊢ ↑(map g (f.restrict s)) x = ↑((map g f).restrict s) x
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q a b c : ℚ

⊢ a + b = b + a
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ

⊢ 0 < orderOf x ↔ IsOfFinOrder x
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
x✝ : (i : ι) → s i

⊢ ((map fun i => LinearMap.id).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = (LinearMap.id.compMultilinearMap (tprod R)) x✝
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0
h : HasConstantSpeedOnWith f s l
x y : ℝ
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s

⊢ BoundedVariationOn f (s ∩ Icc x y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

⊢ map (LinearMap.fst R M M₂) (snd R M M₂) = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

⊢ map (LinearMap.fst R M M₂) (snd R M M₂) ≤ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M

⊢ x ∈ map (LinearMap.fst R M M₂) (snd R M M₂) → x ∈ ⊥
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
f : α → β
x : { x // x ∈ s }

⊢ map (fun j => f ↑j) (s.attach.erase x) = map f (s.erase ↑x)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
f : α → β
x : { x // x ∈ s }

⊢ map (fun x => (f ∘ val) x) (s.attach.erase x) = map f (s.erase ↑x)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ
a : R
inst✝ : Decidable (a = 0)

⊢ (p.update n a).support = if a = 0 then p.support.erase n else insert n p.support
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f

⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
h : IsEmpty ι

⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
h : Nonempty ι

⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
hai : AffineIndependent k p
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι

⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hf : Injective ⇑f
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i

⊢ AffineIndependent k (⇑f ∘ p)