ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
d : σ →₀ ℕ
r : R

⊢ ((algebraMap R (MvPolynomial τ R)) r * d.prod fun i k => (X ∘ f) i ^ k) = C r * d.prod fun a m => X (f a) ^ m
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
d : σ →₀ ℕ
r : R

⊢ ∀ (b : τ), X b ^ 0 = 1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
d : σ →₀ ℕ
r : R

⊢ ∀ (b : τ) (m₁ m₂ : ℕ), X b ^ (m₁ + m₂) = X b ^ m₁ * X b ^ m₂
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z : ℂ

⊢ ↑z.im = (z - (starRingEnd ℂ) z) / (2 * I)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M

⊢ (span ℕ s).toAddSubmonoid = AddSubmonoid.closure s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M

⊢ (span ℕ s).toAddSubmonoid ≤ AddSubmonoid.closure s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M

⊢ span ℕ s ≤ AddSubmonoid.toNatSubmodule.symm.symm (AddSubmonoid.closure s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M

⊢ s ⊆ ↑(AddSubmonoid.toNatSubmodule.symm.symm (AddSubmonoid.closure s))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S
m n : ℕ

⊢ p.smeval x * x ^ m * x ^ n = p.smeval x * (x ^ m * x ^ n)
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Basic.lean
F : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'

⊢ ∀ {x y : C(X, Y)}, x.Homotopic y → y.Homotopic x
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Basic.lean
F : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'

⊢ ∀ {x y z : C(X, Y)}, x.Homotopic y → y.Homotopic z → x.Homotopic z
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬map ϕ N < map ψ N
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
hgen : generator (map ϕ N) = 0

⊢ N = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬map ϕ N < map ψ N
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
hgen : generator (map ϕ N) = 0

⊢ ∀ x ∈ N, x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬map ϕ N < map ψ N
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
hgen : generator (map ϕ N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι

⊢ (b.repr x) i = (b.repr 0) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬⊥ < map ψ N
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
hgen : generator (map ϕ N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι

⊢ (b.repr x) i = (b.repr 0) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ b : Basis ι R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : M →ₗ[R] R), ¬⊥ < map ψ N
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
hgen : generator (map ϕ N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι

⊢ (b.repr x) i = 0
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
inst✝¹ : Infinite α
inst✝ : Finite β
f : α → β

⊢ ∃ x y, x ≠ y ∧ f x = f y
-- Mathlib/Order/Filter/EventuallyConst.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : Nonempty α

⊢ (∃ i, True ∧ ∀ y ∈ Ici i, f y = f i) ↔ ∃ i, ∀ (j : α), i ≤ j → f j = f i
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
a : ℕ
ha1 : a % 2 = 1
ha0 : ↑a ≠ 0

⊢ legendreSym p ↑a = (-1) ^ ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, x * a / p
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
a : ℕ
ha1 : a % 2 = 1
ha0 : ↑a ≠ 0
hp' : Fact (p % 2 = 1)

⊢ legendreSym p ↑a = (-1) ^ ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, x * a / p
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
a : ℕ
ha1 : a % 2 = 1
ha0 : ↑a ≠ 0
hp' : Fact (p % 2 = 1)
ha0' : ↑↑a ≠ 0

⊢ legendreSym p ↑a = (-1) ^ ∑ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, x * a / p
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
A : CostructuredArrow S T
P Q : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
g : Q ⟶ op A
inst✝¹ : Mono f.unop.left.op
inst✝ : Mono g.unop.left.op
h : Subobject.mk f.unop.left.op ≤ Subobject.mk g.unop.left.op

⊢ g.unop.left ≫ (Subobject.ofMkLEMk f.unop.left.op g.unop.left.op h).unop = f.unop.left
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
A : CostructuredArrow S T
P Q : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
g : Q ⟶ op A
inst✝¹ : Mono f.unop.left.op
inst✝ : Mono g.unop.left.op
h : Subobject.mk f.unop.left.op ≤ Subobject.mk g.unop.left.op

⊢ g.unop.left.op.unop ≫ (Subobject.ofMkLEMk f.unop.left.op g.unop.left.op h).unop = f.unop.left
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
A : CostructuredArrow S T
P Q : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
g : Q ⟶ op A
inst✝¹ : Mono f.unop.left.op
inst✝ : Mono g.unop.left.op
h : Subobject.mk f.unop.left.op ≤ Subobject.mk g.unop.left.op

⊢ (Subobject.ofMkLEMk f.unop.left.op g.unop.left.op h ≫ g.unop.left.op).unop = f.unop.left
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
x y : ℝ≥0∞

⊢ (x * y).log = x.log + y.log
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
y : ℝ≥0∞

⊢ (0 * y).log = log 0 + y.log
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
y : ℝ≥0∞

⊢ (⊤ * y).log = ⊤.log + y.log
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
x y : ℝ≥0∞
x_real : 0 < x.toReal

⊢ (x * y).log = x.log + y.log
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty

⊢ (P₁.f n).f = Y.p.app (op [n]) ≫ P₂.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n

⊢ (P₁.f n).f = Y.p.app (op [n]) ≫ P₂.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n

⊢ (P₁.f n).f = Y.p.app (op [n]) ≫ P₂.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : (𝟙 (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C) ◫ natTransPInfty_f (Karoubi C) n).app Y = (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C ⋙ alternatingFaceMapComplex (Karoubi C) ⋙ HomologicalComplex.eval (Karoubi C) (ComplexShape.down ℕ) n).map Y.decompId_i ≫ (𝟙 (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C) ◫ natTransPInfty_f (Karoubi C) n).app { X := Y.X, p := 𝟙 Y.X, idem := ⋯ } ≫ (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C ⋙ alternatingFaceMapComplex (Karoubi C) ⋙ HomologicalComplex.eval (Karoubi C) (ComplexShape.down ℕ) n).map Y.decompId_p

⊢ (P₁.f n).f = Y.p.app (op [n]) ≫ P₂.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : (𝟙 (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj Y _[n]) ≫ PInfty.f n) ≫ 𝟙 (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj Y _[n]) = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ ((𝟙 (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj { X := Y.X, p := 𝟙 Y.X, idem := ⋯ } _[n]) ≫ PInfty.f n) ≫ 𝟙 (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.obj { X := Y.X, p := 𝟙 Y.X, idem := ⋯ } _[n])) ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])

⊢ (P₁.f n).f = Y.p.app (op [n]) ≫ P₂.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : PInfty.f n = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ PInfty.f n ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])

⊢ (P₁.f n).f = Y.p.app (op [n]) ≫ P₂.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : PInfty.f n = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ PInfty.f n ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])

⊢ ((KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ PInfty.f n ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])).f = Y.p.app (op [n]) ≫ (P₄.f n).f
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : PInfty.f n = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ PInfty.f n ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])

⊢ Y.p.app (op [n]) ≫ (PInfty.f n).f ≫ Y.p.app (op [n]) = Y.p.app (op [n]) ≫ (P₄.f n).f
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : PInfty.f n = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ PInfty.f n ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])
π : Y₄ ⟶ Y₄ := (toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C) ⋙ karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).map Y.p

⊢ Y.p.app (op [n]) ≫ (PInfty.f n).f ≫ Y.p.app (op [n]) = Y.p.app (op [n]) ≫ (P₄.f n).f
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : PInfty.f n = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ PInfty.f n ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])
π : Y₄ ⟶ Y₄ := (toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C) ⋙ karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).map Y.p
eq : (π.app (op [n]) ≫ PInfty.f n).f = (PInfty.f n ≫ π.app (op [n])).f

⊢ Y.p.app (op [n]) ≫ (PInfty.f n).f ≫ Y.p.app (op [n]) = Y.p.app (op [n]) ≫ (P₄.f n).f
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : Karoubi (SimplicialObject C)
n : ℕ
Y₁ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj Y
Y₂ : SimplicialObject C := Y.X
Y₃ : SimplicialObject (Karoubi C) := ((whiskering C (Karoubi C)).obj (toKaroubi C)).obj Y.X
Y₄ : SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ Karoubi C := (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).obj ((toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C)).obj Y.X)
P₁ : K[Y₁] ⟶ K[Y₁] := PInfty
P₂ : K[Y₂] ⟶ K[Y₂] := PInfty
P₃ : K[Y₃] ⟶ K[Y₃] := PInfty
P₄ : K[Y₄] ⟶ K[Y₄] := PInfty
h₃₂ : (P₃.f n).f = P₂.f n
h₄₃ : P₄.f n = P₃.f n
h₁₄ : PInfty.f n = (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_i).app (op [n]) ≫ PInfty.f n ≫ (KaroubiFunctorCategoryEmbedding.map Y.decompId_p).app (op [n])
π : Y₄ ⟶ Y₄ := (toKaroubi (SimplexCategoryᵒᵖ ⥤ C) ⋙ karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C).map Y.p
eq : (π.app (op [n])).f ≫ (PInfty.f n).f = (PInfty.f n).f ≫ (π.app (op [n])).f

⊢ Y.p.app (op [n]) ≫ (PInfty.f n).f ≫ Y.p.app (op [n]) = Y.p.app (op [n]) ≫ (P₄.f n).f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
s : Set X
h : s.Subsingleton
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X

⊢ dimH s = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
s : Set X
h : s.Subsingleton
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X

⊢ dimH s ≤ 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
s : Set X
h : s.Subsingleton
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X

⊢ μH[↑0] s ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/CompareExp.lean
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
a : ℂ
b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ (fun z => Real.exp (a.re * Real.log (abs z))) =o[l] fun x => ‖cexp (↑b * x)‖
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/CompareExp.lean
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
a : ℂ
b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ Tendsto (fun x => b * x.re - a.re * Real.log (abs x)) l atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/CompareExp.lean
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
a : ℂ
b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ (fun x => a.re * Real.log (abs x)) =o[l] fun x => b * x.re
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
F : BraidedFunctor C D
X Y : C

⊢ F.μ X Y ≫ F.map (β_ X Y).hom = (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ F.μ Y X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
F : BraidedFunctor C D
X Y : C

⊢ F.μ X Y ≫ inv (F.μ X Y) ≫ (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ F.μ Y X = (β_ (F.obj X) (F.obj Y)).hom ≫ F.μ Y X
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
hsur : Function.Surjective ⇑(algebraMap R A)
X : Set M

⊢ restrictScalars R (span A X) = span R X
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
hsur : Function.Surjective ⇑(algebraMap R A)
X : Set M
m : M
hm : m ∈ restrictScalars R (span A X)

⊢ m ∈ span R X
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
hsur : Function.Surjective ⇑(algebraMap R A)
X : Set M
m✝ : M
hm✝ : m✝ ∈ restrictScalars R (span A X)
a : A
m : M
hm : m ∈ span R X

⊢ a • m ∈ span R X
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
hsur : Function.Surjective ⇑(algebraMap R A)
X : Set M
m✝ : M
hm✝ : m✝ ∈ restrictScalars R (span A X)
m : M
hm : m ∈ span R X
r : R

⊢ (algebraMap R A) r • m ∈ span R X
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : ℕ
hpq : p < q

⊢ (fun x => x ^ p) =o[atTop] fun x => x ^ q
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : ℕ
hpq : p < q

⊢ ∀ᶠ (x : 𝕜) in atTop, x ^ q = 0 → x ^ p = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Ring.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
m n : ℕ

⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Ring.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
m n : ℕ
h : m ≤ n

⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Ring.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
m n : ℕ
h : n ≤ m

⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)

⊢ smul α φ 1 m = m