ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
k' : α
l : β
hs : ∀ (b : K →+* ℂ), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a k' l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) b) = 0 (k', b)
b : K →+* ℂ
this : a k' l * (NumberField.house.newBasis K) b = 0

⊢ a k' l = 0 k' l
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
k' : α
l : β
hs : ∀ (b : K →+* ℂ), (fun l => ((NumberField.house.newBasis K).repr (a k' l.1 * (NumberField.house.newBasis K) l.2)) b) = 0 (k', b)
b : K →+* ℂ
this : a k' l = 0 ∨ (NumberField.house.newBasis K) b = 0

⊢ a k' l = 0 k' l
-- Mathlib/Order/Filter/FilterProduct.lean
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
K : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
a b : α → β

⊢ min ↑a ↑b = map₂ min ↑a ↑b
-- Mathlib/Order/Filter/FilterProduct.lean
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
K : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
a b : α → β
h : ↑a ≤ ↑b

⊢ min ↑a ↑b = map₂ min ↑a ↑b
-- Mathlib/Order/Filter/FilterProduct.lean
α : Type u
β : Type v
φ : Ultrafilter α
K : LinearOrder β
x y : (↑φ).Germ β
a b : α → β
h : ↑b ≤ ↑a

⊢ min ↑a ↑b = map₂ min ↑a ↑b
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0

⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ Tendsto f l atTop
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting

⊢ Disjoint s (map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting

⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → a ∉ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
x : α
hx : x ∈ s
hxc : x ∈ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
x : α
hx' : x ∈ s
hx : { toFun := compl, inj' := ⋯ } x ∈ s
hxc : { toFun := compl, inj' := ⋯ } x ∈ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } s

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
hv : v ≠ 0

⊢ finrank K ↥(span K {v}) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
hv : v ≠ 0

⊢ finrank K ↥(span K {v}) ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
hv : v ≠ 0

⊢ 1 ≤ finrank K ↥(span K {v})
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F TotalSpace.proj

⊢ ContinuousOn (fun z => TotalSpace.mk' F z.1 (e.symm z.1 z.2)) (e.baseSet ×ˢ univ)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F TotalSpace.proj
this : ∀ z ∈ e.baseSet ×ˢ univ, { proj := z.1, snd := e.symm z.1 z.2 } = ↑e.symm z

⊢ ContinuousOn (fun z => TotalSpace.mk' F z.1 (e.symm z.1 z.2)) (e.baseSet ×ˢ univ)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F TotalSpace.proj
this : ∀ z ∈ e.baseSet ×ˢ univ, { proj := z.1, snd := e.symm z.1 z.2 } = ↑e.symm z

⊢ ContinuousOn (↑e.symm) (e.baseSet ×ˢ univ)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Trivialization F TotalSpace.proj
this : ∀ z ∈ e.baseSet ×ˢ univ, { proj := z.1, snd := e.symm z.1 z.2 } = ↑e.symm z

⊢ ContinuousOn (↑e.symm) e.target
-- Mathlib/Order/Filter/Germ/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l✝ : Filter α
f✝ g✝ h : α → β
l : Filter α
f : α → β
g : β → γ
b : β
hb : f =ᶠ[l] fun x => b

⊢ (↑(g ∘ f)).IsConstant
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0

⊢ x + 1 < rexp x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : 0 < x

⊢ x + 1 < rexp x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0

⊢ x + 1 < rexp x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
h' : 1 ≤ -x

⊢ x + 1 < rexp x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
h' : -x < 1

⊢ x + 1 < rexp x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
hx✝ : x ≠ 0
hx : x < 0
h' : -x < 1
hx' : 0 < x + 1

⊢ x + 1 < rexp x
-- Mathlib/RingTheory/Presentation.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Presentation R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Presentation R S

⊢ Ideal.span (Set.range fun i => (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i)) = RingHom.ker (aeval P.baseChange.val)
-- Mathlib/RingTheory/Presentation.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Presentation R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Presentation R S

⊢ Ideal.span (Set.range fun i => (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i)) ≤ RingHom.ker (aeval P.baseChange.val)
-- Mathlib/RingTheory/Presentation.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Presentation R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
P : Presentation R S

⊢ RingHom.ker (aeval P.baseChange.val) ≤ Ideal.span (Set.range fun i => (MvPolynomial.map (algebraMap R T)) (P.relation i))
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r✝ p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s✝ t u : Set α
a b : α
inst✝¹ : Nonempty ι
s : Set α
f : α → ι
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsEquiv ι r

⊢ s.Pairwise (r on f) ↔ ∃ z, ∀ x ∈ s, r (f x) z
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r✝ p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
inst✝¹ : Nonempty ι
f : α → ι
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsEquiv ι r

⊢ ∅.Pairwise (r on f) ↔ ∃ z, ∀ x ∈ ∅, r (f x) z
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r✝ p q : α → α → Prop
f✝ g : ι → α
s✝ t u : Set α
a b : α
inst✝¹ : Nonempty ι
s : Set α
f : α → ι
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsEquiv ι r
hne : s.Nonempty

⊢ s.Pairwise (r on f) ↔ ∃ z, ∀ x ∈ s, r (f x) z
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : (a : Ordinal.{u}) → a < type r → Ordinal.{max u v}
o : Ordinal.{max u v}

⊢ (type r).blsub f ≤ o ↔ (lsub fun a => f (typein r a) ⋯) ≤ o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
f : (a : Ordinal.{u}) → a < type r → Ordinal.{max u v}
o : Ordinal.{max u v}

⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < type r), f i h < o) ↔ ∀ (i : α), f (typein r i) ⋯ < o
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
𝒢 : Filtration ι m
τ η : Ω → ι
i j : ι
s : Set Ω
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hτ_st : IsStoppingTime 𝒢 τ
hη_st : IsStoppingTime 𝒢 η
hτ : ∀ (ω : Ω), i ≤ τ ω
hη : ∀ (ω : Ω), i ≤ η ω
hs : MeasurableSet s
n : ι

⊢ MeasurableSet {ω | s.piecewise τ η ω ≤ n}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : Preorder ι
𝒢 : Filtration ι m
τ η : Ω → ι
i j : ι
s : Set Ω
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hτ_st : IsStoppingTime 𝒢 τ
hη_st : IsStoppingTime 𝒢 η
hτ : ∀ (ω : Ω), i ≤ τ ω
hη : ∀ (ω : Ω), i ≤ η ω
hs : MeasurableSet s
n : ι
this : {ω | s.piecewise τ η ω ≤ n} = s ∩ {ω | τ ω ≤ n} ∪ sᶜ ∩ {ω | η ω ≤ n}

⊢ MeasurableSet {ω | s.piecewise τ η ω ≤ n}
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Arrow.lean
T : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
inst✝ : IsIso sq

⊢ sq.left ≫ (inv sq).left = 𝟙 f.left
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Minpoly.lean
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K

⊢ Set.Finite f.HasEigenvalue
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Minpoly.lean
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K
h : minpoly K f ≠ 0

⊢ Set.Finite f.HasEigenvalue
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Minpoly.lean
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ : K
h : minpoly K f ≠ 0

⊢ f.HasEigenvalue = (minpoly K f).rootSet K
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Minpoly.lean
K : Type v
V : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
μ✝ : K
h : minpoly K f ≠ 0
μ : K

⊢ f.HasEigenvalue μ ↔ μ ∈ (minpoly K f).rootSet K
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
hG : G.IsTuranMaximal r
hH : H.CliqueFree (r + 1)

⊢ G ≤ H ↔ G = H
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
v : Π₀ (i : ι), β i
f : (i : ι) → β i → γ
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 1

⊢ ∏ i ∈ v.support, f i (v i) = ∏ i : ι, f i (v i)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
v : Π₀ (i : ι), β i
f : (i : ι) → β i → γ
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 1

⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, x ∉ v.support → f x (v x) = 1
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
v : Π₀ (i : ι), β i
f : (i : ι) → β i → γ
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 1
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
hi : i ∉ v.support

⊢ f i (v i) = 1
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
v : Π₀ (i : ι), β i
f : (i : ι) → β i → γ
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 1
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
hi : v i = 0

⊢ f i (v i) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝ : Algebra R F
pb : PowerBasis R S
hf : Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)

⊢ (algebraMap R F) ((norm R) pb.gen) = ((minpoly R pb.gen).aroots F).prod
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝ : Algebra R F
pb : PowerBasis R S
hf : Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)
this : Nontrivial R

⊢ (algebraMap R F) ((norm R) pb.gen) = ((minpoly R pb.gen).aroots F).prod
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝ : Algebra R F
pb : PowerBasis R S
hf : Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)
this✝ : Nontrivial R
this : (minpoly R pb.gen).Monic

⊢ (algebraMap R F) ((norm R) pb.gen) = ((minpoly R pb.gen).aroots F).prod
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝ : Algebra R F
pb : PowerBasis R S
hf : Splits (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)
this✝ : Nontrivial R
this : (minpoly R pb.gen).Monic

⊢ ((algebraMap R F) (-1) * -1) ^ (minpoly R pb.gen).natDegree * (Polynomial.map (algebraMap R F) (minpoly R pb.gen)).roots.prod = ((minpoly R pb.gen).aroots F).prod
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a✝ b c a : ℕ
h : 0 < a

⊢ Ico (a - 1) a = {a - 1}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
X : Scheme
U V : X.Opens
i : U = V

⊢ X.presheaf.map (eqToHom i).op = eqToHom ⋯
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
m : ℕ∞
n : ℕ

⊢ ↑m = ↑n ↔ m = ↑n
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)
h : y ≠ x

⊢ (List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom y)) (factors C s x)).prod = 0
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)
h : y ≠ x

⊢ 0 ∈ List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom y)) (factors C s x)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)
h : y ≠ x

⊢ ∃ a ∈ factors C s x, (LocallyConstant.evalMonoidHom y) a = 0
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x y : ↑(π C fun x => x ∈ s)
h : y ≠ x
a : I
ha : ↑y a ≠ ↑x a

⊢ ∃ a ∈ factors C s x, (LocallyConstant.evalMonoidHom y) a = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hf : HasFiniteIntegral f μ
l : Filter ι
s : ι → Set α
hs : Tendsto (⇑μ ∘ s) l (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s i, f x ∂μ) l (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hf : HasFiniteIntegral f μ
l : Filter ι
s : ι → Set α
hs : Tendsto (⇑μ ∘ s) l (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun x => ‖∫ (x : α) in s x, f x ∂μ‖) l (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hf : HasFiniteIntegral f μ
l : Filter ι
s : ι → Set α
hs : Tendsto (⇑μ ∘ s) l (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun a => ↑‖∫ (x : α) in s a, f x ∂μ‖₊) l (𝓝 0)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : SemilatticeInf α
inst✝⁵ : BoundedOrder α
inst✝⁴ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
hs : a ∉ upperClosure ↑s
ht : a ∈ upperClosure ↑t

⊢ (s ∪ t).truncatedInf a = t.truncatedInf a
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a b : α

⊢ upperBounds ∅ = univ
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
n : ℕ
ihn : 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (n + n), (m - ↑k)

⊢ 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (n + 1 + (n + 1)), (m - ↑k)
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
n : ℕ
ihn : 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (2 * n), (m - ↑k)

⊢ 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (n + 1 + (n + 1)), (m - ↑k)
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
n : ℕ
ihn : 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (2 * n), (m - ↑k)

⊢ 0 ≤ (∏ x ∈ Finset.range ((1 + 1) * n), (m - ↑x)) * ((m - ↑((1 + 1) * n)) * (m - ↑((1 + 1) * n + 1)))
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
n : ℕ
ihn : 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (2 * n), (m - ↑k)
k : ℕ

⊢ 0 ≤ (m - ↑k) * (m - ↑(k + 1))
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
n : ℕ
ihn : 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (2 * n), (m - ↑k)
k : ℕ
hmk : m ≤ ↑k

⊢ 0 ≤ (m - ↑k) * (m - ↑(k + 1))
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
m : ℤ
n : ℕ
ihn : 0 ≤ ∏ k ∈ Finset.range (2 * n), (m - ↑k)
k : ℕ
hmk : ↑k < m

⊢ 0 ≤ (m - ↑k) * (m - ↑(k + 1))
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : α → Finset β
a✝ : β

⊢ a✝ ∈ s.sup t ↔ a✝ ∈ s.biUnion t
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
h : id ≤ f
n : ℕ
x : α

⊢ f^[n] x ≤ f^[n + 1] x
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
h : id ≤ f
n : ℕ
x : α

⊢ f^[n] x ≤ f (f^[n] x)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
hs : s.Finite

⊢ s ∩ mulSupport f = ↑hs.toFinset ∩ mulSupport f
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
g✝ : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) ((f i j hij) x) = (g✝ i) x
G' : ι → Type v'
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+ G' j
G'' : ι → Type v''
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+ G'' j
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
e : (i : ι) → G i ≃+ G' i
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (e j).toAddMonoidHom.comp (f i j h) = (f' i j h).comp ↑(e i)
i : ι
g : G' i

⊢ (congr e he).symm ((of G' f' i) g) = (of G f i) ((e i).symm g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
hF : F.Final
hFG : (F ⋙ G).Final
s₁ : C ≌ AsSmall C := AsSmall.equiv
s₂ : D ≌ AsSmall D := AsSmall.equiv
s₃ : E ≌ AsSmall E := AsSmall.equiv
_i : s₁.inverse ⋙ (F ⋙ G) ⋙ s₃.functor ≅ (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor := isoWhiskerLeft (s₁.inverse ⋙ F) (isoWhiskerRight s₂.unitIso (G ⋙ s₃.functor))

⊢ G.Final
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
hF : F.Final
hFG : (F ⋙ G).Final
s₁ : C ≌ AsSmall C := AsSmall.equiv
s₂ : D ≌ AsSmall D := AsSmall.equiv
s₃ : E ≌ AsSmall E := AsSmall.equiv
_i : s₁.inverse ⋙ (F ⋙ G) ⋙ s₃.functor ≅ (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor := isoWhiskerLeft (s₁.inverse ⋙ F) (isoWhiskerRight s₂.unitIso (G ⋙ s₃.functor))

⊢ ∀ (G_1 : AsSmall E ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)), IsIso (colimit.pre G_1 (s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
hFG : (F ⋙ G).Final
s₁ : C ≌ AsSmall C := AsSmall.equiv
s₂ : D ≌ AsSmall D := AsSmall.equiv
hF : ∀ (G : AsSmall D ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)), IsIso (colimit.pre G (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor))
s₃ : E ≌ AsSmall E := AsSmall.equiv
_i : s₁.inverse ⋙ (F ⋙ G) ⋙ s₃.functor ≅ (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor := isoWhiskerLeft (s₁.inverse ⋙ F) (isoWhiskerRight s₂.unitIso (G ⋙ s₃.functor))

⊢ ∀ (G_1 : AsSmall E ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)), IsIso (colimit.pre G_1 (s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
s₁ : C ≌ AsSmall C := AsSmall.equiv
s₂ : D ≌ AsSmall D := AsSmall.equiv
hF : ∀ (G : AsSmall D ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)), IsIso (colimit.pre G (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor))
s₃ : E ≌ AsSmall E := AsSmall.equiv
hFG : ∀ (G_1 : AsSmall E ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)), IsIso (colimit.pre G_1 ((s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))
_i : s₁.inverse ⋙ (F ⋙ G) ⋙ s₃.functor ≅ (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor := isoWhiskerLeft (s₁.inverse ⋙ F) (isoWhiskerRight s₂.unitIso (G ⋙ s₃.functor))

⊢ ∀ (G_1 : AsSmall E ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)), IsIso (colimit.pre G_1 (s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
s₁ : C ≌ AsSmall C := AsSmall.equiv
s₂ : D ≌ AsSmall D := AsSmall.equiv
hF : ∀ (G : AsSmall D ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)), IsIso (colimit.pre G (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor))
s₃ : E ≌ AsSmall E := AsSmall.equiv
_i : s₁.inverse ⋙ (F ⋙ G) ⋙ s₃.functor ≅ (s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor := isoWhiskerLeft (s₁.inverse ⋙ F) (isoWhiskerRight s₂.unitIso (G ⋙ s₃.functor))
H : AsSmall E ⥤ Type (max (max (max (max (max u₁ u₂) u₃) v₁) v₂) v₃)
hFG : IsIso (colimit.pre H ((s₁.inverse ⋙ F ⋙ s₂.functor) ⋙ s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))

⊢ IsIso (colimit.pre H (s₂.inverse ⋙ G ⋙ s₃.functor))