ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ s' t✝ : Set α✝
f✝ : α✝ → β
μa μa' : Measure α✝
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f : α✝ → β
G : Type u_8
α : Type u_9
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
s t : Set α
μ : Measure α
g : G
h_qmp : QuasiMeasurePreserving (fun x => g⁻¹ • x) μ μ
h_ae_eq : s =ᵐ[μ] t

⊢ g • s =ᵐ[μ] g • t
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Free R M
x : L
i : ℕ
a✝ : Nontrivial R

⊢ (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) ((φ.polyCharpolyAux b bₘ).coeff i) = (charpoly (φ x)).coeff i
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
x : (b : β) → π b
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
p : (b : β) → π b

⊢ p ∈ closedBall x r ↔ p ∈ Set.univ.pi fun b => closedBall (x b) r
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
x✝ : E
a b : 𝕜
x : E

⊢ Absorbs 𝕜 s {x} ↔ ∀ᶠ (c : 𝕜) in 𝓝[≠] 0, c • x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - c * x) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in d - c * b..d - c * a, f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + -c * x) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in d + -c * b..d + -c * a, f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ

⊢ (-c)⁻¹ • -∫ (x : ℝ) in d + -c * b..d + -c * a, f x = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in d + -c * b..d + -c * a, f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
huv : u ≤ᶠ[lt] v
x : ι
hx : u x ≤ v x

⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) x = (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - (μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • c) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
huv : u ≤ᶠ[lt] v
x : ι
hx : u x ≤ v x

⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ) x = (fun t => (μ (Ioc (u t) (v t))).toReal) x
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ

⊢ bernoulliFun k 0 = ↑(bernoulli k)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝³ : DecidablePred p
inst✝² : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset β
b x✝¹ : β
x✝ : x✝¹ ∈ s

⊢ x✝¹ = b ↔ b = x✝¹
-- Mathlib/Algebra/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p : P

⊢ {p} -ᵥ {p} = {0}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
x y : α

⊢ K⁻¹ * nndist x y ≤ nndist (f x) (f y)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hQz : Q z = 0

⊢ W'.addY P Q = (-(Q x * P z)) ^ 3 * P y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hQz : Q z = 0

⊢ -((-(Q x * P z)) ^ 3 * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3)) - W'.a₁ * ((-(Q x * P z)) ^ 2 * P x) * (-(Q x * P z) * P z) - W'.a₃ * (-(Q x * P z) * P z) ^ 3 = (-(Q x * P z)) ^ 3 * P y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ
h₁ : x ≠ -1
h₂ : x ≠ 1

⊢ HasStrictDerivAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) x ∧ ContDiffAt ℝ ⊤ arcsin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ
h₁✝ : x ≠ -1
h₂ : x ≠ 1
h₁ : x < -1

⊢ HasStrictDerivAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) x ∧ ContDiffAt ℝ ⊤ arcsin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ
h₁✝ : x ≠ -1
h₂ : x ≠ 1
h₁ : -1 < x

⊢ HasStrictDerivAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) x ∧ ContDiffAt ℝ ⊤ arcsin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ
h₁✝ : x ≠ -1
h₂✝ : x ≠ 1
h₁ : -1 < x
h₂ : x < 1

⊢ HasStrictDerivAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) x ∧ ContDiffAt ℝ ⊤ arcsin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ
h₁✝ : x ≠ -1
h₂✝ : x ≠ 1
h₁ : -1 < x
h₂ : 1 < x

⊢ HasStrictDerivAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) x ∧ ContDiffAt ℝ ⊤ arcsin x
-- Mathlib/Topology/NhdsSet.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
h₁ : s₁ ∈ 𝓝ˢ t₁
h₂ : s₂ ∈ 𝓝ˢ t₂

⊢ s₁ ∪ s₂ ∈ 𝓝ˢ (t₁ ∪ t₂)
-- Mathlib/Topology/NhdsSet.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
h₁ : s₁ ∈ 𝓝ˢ t₁
h₂ : s₂ ∈ 𝓝ˢ t₂

⊢ s₁ ∪ s₂ ∈ 𝓝ˢ t₁ ⊔ 𝓝ˢ t₂
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a✝ a : α
ha : a ≠ 0
x y : α

⊢ edist ((Equiv.mulLeft₀ a ha).toFun x) ((Equiv.mulLeft₀ a ha).toFun y) = ↑‖a‖₊ * edist x y
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z w : ℂ

⊢ (z / w).re = z.re * w.re / normSq w + z.im * w.im / normSq w
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
m n : ℕ
m0 : m ≠ 0
n0 : n ≠ 0

⊢ Ω (m * n) = Ω m + Ω n
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤

⊢ closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) = H
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
hU : closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) ≤ H

⊢ closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) = H
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
hU : closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) ≤ H
h : G
hh : h ∈ H

⊢ h ∈ closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S))
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
hU : closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) ≤ H
g : G
hg : g ∈ ↑(closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)))
r : G
hr : r ∈ R
hh : (fun x x_1 => x * x_1) g r ∈ H

⊢ (fun x x_1 => x * x_1) g r ∈ closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S))
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
hU : closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) ≤ H
g : G
hg : g ∈ ↑(closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)))
r : G
hr : r ∈ R
hh : (fun x x_1 => x * x_1) g r ∈ H

⊢ ⟨r, hr⟩ = ⟨1, hR1⟩
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
hU : closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) ≤ H
g : G
hg : g ∈ ↑(closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)))
r : G
hr : r ∈ R
hh : (fun x x_1 => x * x_1) g r ∈ H

⊢ r * (↑⟨r, hr⟩)⁻¹ ∈ ↑H
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
hU : closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)) ≤ H
g : G
hg : g ∈ ↑(closure ((fun g => g * (↑(toFun hR g))⁻¹) '' (R * S)))
r : G
hr : r ∈ R
hh : (fun x x_1 => x * x_1) g r ∈ H

⊢ r * (↑⟨1, hR1⟩)⁻¹ ∈ ↑H
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ i : ι
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
x✝ : (i : ι) → α i

⊢ x✝ ∈ (insert i s).pi t ↔ x✝ ∈ eval i ⁻¹' t i ∩ s.pi t
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop

⊢ (x • powers x hx).embDomain { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective } = powers x hx - ofFinsupp (Finsupp.single 0 1)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop

⊢ ∀ (a : ℕ), ((x • powers x hx).embDomain { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) a = (powers x hx - ofFinsupp (Finsupp.single 0 1)) a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₂
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v✝ : ι' → M
i : ι
j : ι'
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : DecidableEq ι
S : Type u_9
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Nontrivial S
inst✝³ : Algebra R₂ S
inst✝² : Module S M₂
inst✝¹ : IsScalarTower R₂ S M₂
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R₂ S
b : Basis ι S M₂
v : ι → ↥(span R₂ (Set.range ⇑b))
i✝ j✝ : ι

⊢ (algebraMap R₂ S).mapMatrix ((restrictScalars R₂ b).toMatrix v) i✝ j✝ = b.toMatrix (fun i => ↑(v i)) i✝ j✝
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l✝ l₁ l₂ l l' : List M
h : l.length = l'.length

⊢ l.prod * l'.prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) l l').prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l✝ l₁ l₂ l l' : List M
h : l.length = l'.length

⊢ (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) l l').prod * (drop l'.length l).prod * (drop l.length l').prod = (zipWith (fun x x_1 => x * x_1) l l').prod
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : DecidableEq R

⊢ Finset.image (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((expand R (p ^ n)) f).roots.toFinset ⊆ f.roots.toFinset
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : DecidableEq R

⊢ Multiset.map (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((expand R (p ^ n)) f).roots ⊆ p ^ n • f.roots
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
a b : n
hbj : b ≠ j
M : Matrix n n α

⊢ (M * stdBasisMatrix i j c) a b = 0
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t A B : Set β
a✝ : α
x : β
a : α
s : Set α
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ (op a • s)⁻¹ ↔ x✝ ∈ a⁻¹ • s⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s

⊢ ((interpolate s v) r).degree < ↑s.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑∅

⊢ ((interpolate ∅ v) r).degree < ↑∅.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
h : s.Nonempty

⊢ ((interpolate s v) r).degree < ↑s.card
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Defs.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : CommGroup H
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
f : N →* P
x✝ : M

⊢ (f.comp 1) x✝ = 1 x✝
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
inst✝⁸ : CommMonoid G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
s : Set M
x x₀ : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
p : ι → Prop
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffWithinAt I' I n (f i) s x

⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) s x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
inst✝⁸ : CommMonoid G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
s : Set M
x x₀ : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
p : ι → Prop
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffWithinAt I' I n (f i) s x

⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => (∏ c ∈ t, f c) x) s x
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β
inst✝³ : FloorSemiring α
inst✝² : FloorSemiring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a : α
b : β
h : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ a ↔ ↑n ≤ b

⊢ ⌊a⌋₊ = ⌊b⌋₊
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β
inst✝³ : FloorSemiring α
inst✝² : FloorSemiring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a : α
b : β
h : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ a ↔ ↑n ≤ b
h₀ : 0 ≤ a ↔ 0 ≤ b

⊢ ⌊a⌋₊ = ⌊b⌋₊
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β
inst✝³ : FloorSemiring α
inst✝² : FloorSemiring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a : α
b : β
h : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ a ↔ ↑n ≤ b
h₀ : 0 ≤ a ↔ 0 ≤ b
ha : a < 0

⊢ ⌊a⌋₊ = ⌊b⌋₊
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β
inst✝³ : FloorSemiring α
inst✝² : FloorSemiring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a : α
b : β
h : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ a ↔ ↑n ≤ b
h₀ : 0 ≤ a ↔ 0 ≤ b
ha : 0 ≤ a

⊢ ⌊a⌋₊ = ⌊b⌋₊
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C

⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < (μ univ).toReal * C
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ = 0

⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < (μ univ).toReal * C
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0

⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < (μ univ).toReal * C
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0
hμ : 0 < (μ univ).toReal

⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < (μ univ).toReal * C
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝¹ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
h₀ : μ ≠ 0
hμ : 0 < (μ univ).toReal
H : ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C

⊢ ‖∫ (x : α), f x ∂μ‖ < (μ univ).toReal * C
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : VectorMeasure.restrict s i ≤ VectorMeasure.restrict 0 i
hi₁ : MeasurableSet i
hj₁ : MeasurableSet j

⊢ (s.toMeasureOfLEZero i hi₁ hi) j = ↑⟨-↑s (i ∩ j), ⋯⟩
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : VectorMeasure.restrict s i ≤ VectorMeasure.restrict 0 i
hi₁ : MeasurableSet i
hj₁ : MeasurableSet j

⊢ ↑⟨↑(-s) (i ∩ j), ⋯⟩ = ↑⟨-↑s (i ∩ j), ⋯⟩
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : VectorMeasure.restrict s i ≤ VectorMeasure.restrict 0 i
hi₁ : MeasurableSet i
hj₁ : MeasurableSet j

⊢ MeasurableSet j
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ : ℝ
hr₁ : r₁ ≠ 0
r₂ : ℝ

⊢ Metric.closedBall 0 r₁ • p.ball 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ : ℝ
hr₁ : r₁ ≠ 0
r₂ : ℝ

⊢ ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ r₁ → ∀ (b : E), p b < r₂ → ‖a‖ * p b < r₁ * r₂
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ : ℝ
hr₁ : r₁ ≠ 0
r₂ : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ r₁
b : E
hb : p b < r₂

⊢ 0 < r₁
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
k : ℕ
a : R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p

⊢ dickson 1 1 p = X ^ p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
k : ℕ
a : R
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
h : 1 = (ZMod.castHom ⋯ R) 1

⊢ dickson 1 1 p = X ^ p
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Decomposition.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : SetLike σ M
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ M
ℳ : ι → σ
inst✝ : Decomposition ℳ
x : M
i : ι
hx : x ∈ ℳ i

⊢ ↑(((decompose ℳ) x) i) = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
h : AEMeasurable f μ
s : Set β
hfs : ∀ (x : α), f x ∈ s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α

⊢ AEMeasurable (codRestrict f s hfs) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
h : AEMeasurable f μ
s : Set β
hfs : ∀ (x : α), f x ∈ s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
g : α → β
g_meas : Measurable g
hg : range g ⊆ s
fg : f =ᶠ[ae μ] g

⊢ AEMeasurable (codRestrict f s hfs) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
h : AEMeasurable f μ
s : Set β
hfs : ∀ (x : α), f x ∈ s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
g : α → β
g_meas : Measurable g
hg : range g ⊆ s
fg : f =ᶠ[ae μ] g

⊢ codRestrict f s hfs =ᶠ[ae μ] codRestrict g s ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g✝ : α → β
μ ν : Measure α
h : AEMeasurable f μ
s : Set β
hfs : ∀ (x : α), f x ∈ s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
g : α → β
g_meas : Measurable g
hg : range g ⊆ s
fg : f =ᶠ[ae μ] g
x : α
hx : f x = g x

⊢ codRestrict f s hfs x = codRestrict g s ⋯ x
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : limsup u f ≠ ⊥ ∨ limsup v f ≠ ⊤
h' : limsup u f ≠ ⊤ ∨ limsup v f ≠ ⊥

⊢ limsup (u + v) f ≤ limsup u f + limsup v f