ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : LaxMonoidalFunctor C D
G : LaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C

⊢ (G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ G.map (F.μ X Y)) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ (G.μ (F.obj (X ⊗ Y)) (F.obj Z) ≫ G.map (F.μ (X ⊗ Y) Z)) ≫ G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) = (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom ≫ G.obj (F.obj X) ◁ (G.μ (F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.map (F.μ Y Z)) ≫ G.μ (F.obj X) (F.obj (Y ⊗ Z)) ≫ G.map (F.μ X (Y ⊗ Z))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : LaxMonoidalFunctor C D
G : LaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C

⊢ G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ G.μ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.map (F.μ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.map (F.μ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) = (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.μ (F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.μ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z) ≫ G.map (F.obj X ◁ F.μ Y Z) ≫ G.map (F.μ X (Y ⊗ Z))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : LaxMonoidalFunctor C D
G : LaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C

⊢ G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ G.μ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.map (F.μ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.map (F.μ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) = ((G.μ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ G.μ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.map (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom) ≫ G.map (F.obj X ◁ F.μ Y Z)) ≫ G.map (F.μ X (Y ⊗ Z))
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CharP R 2
s : Finset ι
f : ι → R

⊢ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, f i = ∑ i ∈ s, f i * f i
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : (α → ℕ) → ℤ
hf : IsPoly f
hg : IsPoly g

⊢ IsPoly (f + g)
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : (α → ℕ) → ℤ
hf : IsPoly f
hg : IsPoly g

⊢ IsPoly (f - -g)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
b c : α
ha : 0 ≤ a
hd : 0 ≤ d
ba : b * a ≤ max d b * max c a
cd : c * d ≤ max a c * max b d

⊢ a * b ≤ max a c * max d b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring α
inst✝² : LinearOrder α
a b✝ c✝ d : α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : MulPosMono α
b c : α
ha : 0 ≤ a
hd : 0 ≤ d
ba : b * a ≤ max d b * max c a
cd : c * d ≤ max a c * max b d

⊢ d * c ≤ max a c * max d b
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n✝ : ℕ
c : Composition n✝
n : ℕ
h : 0 < n
i : Fin (single n h).length

⊢ (single n h).blocksFun i = n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolynomialExp.lean
p : ℝ[X]

⊢ Tendsto (fun x => eval x p / rexp x) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Frobenius.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ

⊢ (bind₁ (frobeniusPoly p)) (wittPolynomial p ℤ n) = wittPolynomial p ℤ (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Frobenius.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ

⊢ (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ (frobeniusPoly p)) (wittPolynomial p ℤ n)) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfHasFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C

⊢ (α_ X Y Z).inv ≫ prod.fst ≫ prod.snd = prod.snd ≫ prod.fst
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnected.lean
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s

⊢ ¬(s ∩ Icc x y).OrdConnected ↔ ∃ z ∉ s, z ∈ Ioo x y
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : ↑r ∈ resolventSet R ↑a

⊢ ↑r⁻¹ ∈ resolventSet R ↑a⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)

⊢ IsUnit (r⁻¹ • 1 - ↑a⁻¹)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)

⊢ IsUnit (r • ↑a⁻¹ - 1)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)
h₁ : ↑a * (r • ↑a⁻¹ - 1) = r • 1 - ↑a

⊢ IsUnit (r • ↑a⁻¹ - 1)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)
h₁ : ↑a * (r • ↑a⁻¹ - 1) = r • 1 - ↑a
h₂ : (r • ↑a⁻¹ - 1) * ↑a = r • 1 - ↑a

⊢ IsUnit (r • ↑a⁻¹ - 1)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
r : Rˣ
a : Aˣ
h : IsUnit (r • 1 - ↑a)
h₁ : ↑a * (r • ↑a⁻¹ - 1) = r • 1 - ↑a
h₂ : (r • ↑a⁻¹ - 1) * ↑a = r • 1 - ↑a
hcomm : Commute (↑a) (r • ↑a⁻¹ - 1)

⊢ IsUnit (r • ↑a⁻¹ - 1)
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/ResidueField/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
x : R

⊢ (residue R) x = 0 ↔ x ∈ maximalIdeal R
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε

⊢ ∃ N, ∀ i ≥ N, (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N
hge : ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N
hge : ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
hne : ¬f - const (padicNorm p) (↑f i) ≈ 0

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N
hne : ¬f - const (padicNorm p) (↑f i) ≈ 0
hge : ε ≤ padicNorm p (↑(f - const (padicNorm p) (↑f i)) (stationaryPoint hne))

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
ε : ℚ
hε : 0 < ε
h : ∀ (N : ℕ), ∃ i ≥ N, ε ≤ (f - const (padicNorm p) (↑f i)).norm
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
i : ℕ
hi : i ≥ N
hne : ¬f - const (padicNorm p) (↑f i) ≈ 0
hge : ε ≤ padicNorm p (↑(f - const (padicNorm p) (↑f i)) (stationaryPoint hne))

⊢ ε > padicNorm p (↑(f - const (padicNorm p) (↑f i)) (stationaryPoint hne))
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Ring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a b : α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ 0 ≤ a * b ↔ (a < 0 → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → a ≤ 0)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Ring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a b : α
inst✝³ : PosMulStrictMono α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ (0 < -a → 0 ≤ -b) ∧ (0 < -b → 0 ≤ -a) ↔ (a < 0 → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → a ≤ 0)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞

⊢ ContDiff 𝕜 n f ↔ ∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => f x i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H
n : ℕ∞

⊢ (∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) ↔ ∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => f x i
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
n : ℕ
m : M
a : α

⊢ m ^ (period m a + n) • a = m ^ n • a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : Ring R
p✝ q : R[X]
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : R[X]
a : R

⊢ (fun h => Nat.find ⋯) = fun h => Nat.find ⋯
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : Ring R
p✝ q : R[X]
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : R[X]
a : R
x✝ : ¬p = 0

⊢ Nat.find ⋯ = Nat.find ⋯
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0

⊢ Associated (num A x) ↑(den A x⁻¹)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0
this : Associated (num A x⁻¹⁻¹) ↑(den A x⁻¹)

⊢ Associated (num A x) ↑(den A x⁻¹)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0
this : Associated (num A x) ↑(den A x⁻¹)

⊢ Associated (num A x) ↑(den A x⁻¹)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
H : Type u_1
inst✝ : Monoid H
e : G →* H
e_inj : Function.Injective ⇑e
g : G

⊢ e (g ^ exponent H) = e 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
z : ℂ
hz : 0 < z.re

⊢ ContinuousAt (fun x => x.1 ^ x.2) (0, z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0

⊢ ContinuousAt (fun x => x.1 ^ x.2) (0, z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0

⊢ Tendsto (fun x => ‖x.1 ^ x.2‖) (𝓝 (0, z)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0

⊢ Tendsto (fun x => abs x.1 ^ x.2.re / rexp (x.1.arg * x.2.im)) (𝓝 (0, z)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0

⊢ Tendsto (fun x => abs x.1 ^ x.2.re * rexp (-(x.1.arg * x.2.im))) (𝓝 (0, z)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0

⊢ Tendsto (fun x => abs x.1 ^ x.2.re) (𝓝 (0, z)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
z : ℂ
hz : 0 < z.re
hz₀ : z ≠ 0

⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (𝓝 (0, z)) ((fun x => ‖x‖) ∘ fun x => rexp (-(x.1.arg * x.2.im)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Order/UpperLower.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : s.OrdConnected

⊢ volume (frontier s) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Order/UpperLower.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : s.OrdConnected

⊢ volume (frontier (↑(upperClosure s) ∩ ↑(lowerClosure s))) = 0
-- Mathlib/Data/Sigma/Basic.lean
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
f₁ : α₁ → α₂
f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)
h₁ : Surjective f₁
h₂ : ∀ (a : α₁), Surjective (f₂ a)

⊢ Surjective (Sigma.map f₁ f₂)
-- Mathlib/Data/Sigma/Basic.lean
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
f₁ : α₁ → α₂
f₂ : (a : α₁) → β₁ a → β₂ (f₁ a)
h₁ : Surjective f₁
h₂ : ∀ (a : α₁), Surjective (f₂ a)

⊢ ∀ (x : α₁) (b : β₂ (f₁ x)), ∃ a, Sigma.map f₁ f₂ a = ⟨f₁ x, b⟩
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
g : β → γ
f : α → β
l : List α
n✝ : ℕ
a✝ : γ

⊢ a✝ ∈ ((map g ∘ map f) l)[n✝]? ↔ a✝ ∈ (map (g ∘ f) l)[n✝]?
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop

⊢ Perm ∘r Perm = Perm
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a✝ : α
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
a c : List α

⊢ (Perm ∘r Perm) a c = (a ~ c)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
x✝ : E
s : Set F
hs : Convex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ : Set E
x✝ : E
s : Set F
hs : Convex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕜] F
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ a • f x + b • f y ∈ s
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/Order.lean
cmp✝ : ?m.2679 → ?m.2679 → Ordering
inst✝¹ : TransCmp cmp✝
x✝ : Sort ?u.2677
cmp : x✝ → x✝ → Ordering
inst✝ : TransCmp cmp
x y z : x✝
h₁ : cmp x y ≠ Ordering.lt
h₂ : cmp y z ≠ Ordering.lt

⊢ cmp x z ≠ Ordering.lt
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/Order.lean
cmp✝ : ?m.2679 → ?m.2679 → Ordering
inst✝¹ : TransCmp cmp✝
x✝ : Sort ?u.2677
cmp : x✝ → x✝ → Ordering
inst✝ : TransCmp cmp
x y z : x✝
h₁ : cmp x y ≠ Ordering.lt
h₂ : cmp y z ≠ Ordering.lt
this : cmp z y ≠ Ordering.gt → cmp y x ≠ Ordering.gt → cmp z x ≠ Ordering.gt

⊢ cmp x z ≠ Ordering.lt
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/Order.lean
cmp✝ : ?m.2679 → ?m.2679 → Ordering
inst✝¹ : TransCmp cmp✝
x✝ : Sort ?u.2677
cmp : x✝ → x✝ → Ordering
inst✝ : TransCmp cmp
x y z : x✝
h₁ : ¬cmp x y = Ordering.lt
h₂ : ¬cmp y z = Ordering.lt
this : ¬cmp y z = Ordering.lt → ¬cmp x y = Ordering.lt → ¬cmp x z = Ordering.lt

⊢ ¬cmp x z = Ordering.lt
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f

⊢ (h.aequiv h') h.root = h'.root
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y y' : M

⊢ polar (⇑Q) x (y - y') = polar (⇑Q) x y - polar (⇑Q) x y'
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

⊢ toDFinsupp s ≤ toDFinsupp t ↔ s ≤ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
h : Disjoint s t
hs : MeasurableSet s

⊢ μ.restrict (s ∪ t) = μ.restrict s + μ.restrict t
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Trifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁸ : Category.{u_14, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_13, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_12, u_3} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_4} C₄
inst✝⁴ : Category.{u_15, u_5} C₁₂
inst✝³ : Category.{?u.187592, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝² : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
inst✝¹ : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q
H : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃
inst✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j

⊢ ιMapTrifunctorMapObj (bifunctorComp₁₂ F₁₂ G) r X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (CofanMapObjFun.iso (isColimitCofan₃MapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ j)).inv = ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C

⊢ (insert t ↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id

⊢ (insert t ↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
u : Set α
hu : u ∈ ↑(hC.diffFinset hs ht)

⊢ Disjoint (id t) (id u)
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
u : Set α
hu : u ∈ ↑(hC.diffFinset hs ht)

⊢ Disjoint t u
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
u : Set α
hu : u ∈ ↑(hC.diffFinset hs ht)

⊢ u ≤ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset hs ht)
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C
h : (↑(hC.diffFinset hs ht)).PairwiseDisjoint id
u : Set α
hu : u ∈ ↑(hC.diffFinset hs ht)

⊢ u ⊆ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset hs ht)
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f₁ : α → γ → α'
f₂ : β → γ → β'
g' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f₁ a c) (f₂ b c)

⊢ image2 f (image2 g ↑s ↑t) ↑u ⊆ image2 g' (image2 f₁ ↑s ↑u) (image2 f₂ ↑t ↑u)
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
α : Type u_1
x : α → Σˣ f
i j : ι
ij : i ≤ j
h : i ∈ upperBounds (range (Sigma.fst ∘ x))
a : α

⊢ (⇑(f i j ij) ∘ unify f x i h) a = unify f x j ⋯ a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
x : E

⊢ s / closedBall x δ = x⁻¹ • cthickening δ s
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)

⊢ ⨆ i ∈ S, torsionBy R M (q i) = torsionBy R M (∏ i ∈ S, q i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)

⊢ ⨆ i ∈ S, torsionBy R M (q i) = ⨆ i ∈ S, torsionBySet R M ↑(Ideal.span {q i})
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)

⊢ (↑S).Pairwise fun i j => Ideal.span {q i} ⊔ Ideal.span {q j} = ⊤
-- Mathlib/Analysis/Convex/Hull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E

⊢ (convexHull 𝕜) s = ⋂ t, ⋂ (_ : s ⊆ t), ⋂ (_ : Convex 𝕜 t), t
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g

⊢ frontier {b | f b ≤ g b} ⊆ {b | f b = g b}
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g

⊢ {b | f b ≤ g b} ∩ closure {b | f b ≤ g b}ᶜ ⊆ {b | f b = g b}
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
b : β
hb₁ : b ∈ {b | f b ≤ g b}
hb₂ : b ∈ closure {b | f b ≤ g b}ᶜ

⊢ b ∈ {b | f b = g b}
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
b : β
hb₁ : b ∈ {b | f b ≤ g b}
hb₂ : b ∈ closure {b | f b ≤ g b}ᶜ

⊢ b ∈ closure {b | g b < f b}
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
b : β
hb₁ : b ∈ {b | f b ≤ g b}
hb₂ : b ∈ closure {b | f b ≤ g b}ᶜ

⊢ {b | g b < f b} = {b | f b ≤ g b}ᶜ
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g
b : β
hb₁ : b ∈ {b | f b ≤ g b}
hb₂ : b ∈ closure {b | f b ≤ g b}ᶜ

⊢ {b | ¬f b ≤ g b} = {b | f b ≤ g b}ᶜ