ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
i j : ι
hij : i < j
b : Basis ι 𝕜 E
this : gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 ⇑b '' Set.Iio j)

⊢ (b.repr (gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i)) j = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
i j : ι
hij : i < j
b : Basis ι 𝕜 E
this✝ : gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 ⇑b '' Set.Iio j)
this : gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i ∈ span 𝕜 (⇑b '' Set.Iio j)

⊢ (b.repr (gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i)) j = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
i j : ι
hij : i < j
b : Basis ι 𝕜 E
this✝¹ : gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 ⇑b '' Set.Iio j)
this✝ : gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i ∈ span 𝕜 (⇑b '' Set.Iio j)
this : ↑(b.repr (gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i)).support ⊆ Set.Iio j

⊢ (b.repr (gramSchmidt 𝕜 (⇑b) i)) j = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α

⊢ μ.restrict s = 0 ↔ μ s = 0
-- Mathlib/Order/Category/CompleteLat.lean
α β : CompleteLat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget CompleteLat).obj α

⊢ ({ toFun := ⇑e, map_sInf' := ⋯, map_sSup' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_sInf' := ⋯, map_sSup' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
-- Mathlib/Order/Category/CompleteLat.lean
α β : CompleteLat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget CompleteLat).obj β

⊢ ({ toFun := ⇑e.symm, map_sInf' := ⋯, map_sSup' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_sInf' := ⋯, map_sSup' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a b : ℕ

⊢ count p (a + b) = count (fun k => p (k + b)) a + count p b
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a b : ℕ

⊢ count (fun k => p (b + k)) a + count p b = count (fun k => p (k + b)) a + count p b
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/DilationEquiv.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : PseudoMetricSpace X
inst✝² : PseudoMetricSpace Y
inst✝¹ : EquivLike F X Y
inst✝ : DilationEquivClass F X Y
e : F

⊢ map (⇑e) (cobounded X) = cobounded Y
-- Mathlib/Data/Multiset/Sections.lean
α : Type u_1
s✝ t : Multiset (Multiset α)
a : Multiset α
s : Multiset (Multiset α)
ih : (s + t).Sections = s.Sections.bind fun m => map (fun x => m + x) t.Sections

⊢ (a ::ₘ s + t).Sections = (a ::ₘ s).Sections.bind fun m => map (fun x => m + x) t.Sections
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
α : Ext X Y n
m : ℕ
β : Ext Y Z m
p : ℕ
h : n + m = p
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C

⊢ ((-α).comp β h).hom = (-α.comp β h).hom
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q

⊢ φ ≫ (Hσ q).f (n + 1) = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q

⊢ φ ≫ ((AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 1) n ≫ hσ' q n (n + 1) ⋯ + hσ' q (n + 1) (n + 2) ⋯ ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1)) = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hqn : n < q

⊢ φ ≫ hσ' q (n + 1) (n + 2) ⋯ ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1) = 0
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < b
h₂ : b < a

⊢ False
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hq : ↑q.num ≠ 0

⊢ ↑q⁻¹ = (↑q)⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R : ℝ

⊢ circleMap c R '' Ioc 0 (2 * π) = sphere c |R|
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
h : a ∣ b - c

⊢ gcd a b = gcd a c
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
h : a ∣ b - c

⊢ gcd a b ∣ c
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : IsDomain α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b c : α
h : a ∣ b - c

⊢ gcd a c ∣ b
-- Mathlib/Algebra/Category/AlgebraCat/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ : Type u
g₁ : Ring X₁
g₂ : Ring X₂
m₁ : Algebra R X₁
m₂ : Algebra R X₂
e : X₁ ≃ₐ[R] X₂
x : (forget (AlgebraCat R)).obj (AlgebraCat.of R X₁)

⊢ (↑e ≫ ↑e.symm) x = (𝟙 (AlgebraCat.of R X₁)) x
-- Mathlib/Algebra/Category/AlgebraCat/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ : Type u
g₁ : Ring X₁
g₂ : Ring X₂
m₁ : Algebra R X₁
m₂ : Algebra R X₂
e : X₁ ≃ₐ[R] X₂
x : (forget (AlgebraCat R)).obj (AlgebraCat.of R X₂)

⊢ (↑e.symm ≫ ↑e) x = (𝟙 (AlgebraCat.of R X₂)) x
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.81832, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q

⊢ (↑(fst φ)).v p q hpq ≫ (inl φ).v q p ⋯ + (snd φ).v p p ⋯ ≫ (inr φ).f p = 𝟙 ((mappingCone φ).X p)
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a t : α
ts is : List α
IH1 : ∀ (l : List α), l ~ t :: is ++ ts → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ t :: is), l = is' ++ ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is)
IH2 : ∀ (l : List α), l ~ [] ++ is → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ []), l = is' ++ is) ∨ l ∈ is.permutationsAux []
l : List α
p : l ~ is ++ t :: ts

⊢ (∃ is', ∃ (_ : is' ~ is), l = is' ++ t :: ts) ∨ l ∈ (t :: ts).permutationsAux is
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a t : α
ts is : List α
IH1 : ∀ (l : List α), l ~ t :: is ++ ts → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ t :: is), l = is' ++ ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is)
IH2 : ∀ (l : List α), l ~ [] ++ is → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ []), l = is' ++ is) ∨ l ∈ is.permutationsAux []
l : List α
p : l ~ is ++ t :: ts

⊢ (∃ is', ∃ (_ : is' ~ is), l = is' ++ t :: ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is) ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ is.permutations ∧ l₂ ≠ [] ∧ l = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a t : α
ts is : List α
IH1 : ∀ (l : List α), l ~ t :: is ++ ts → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ t :: is), l = is' ++ ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is)
IH2 : ∀ (l : List α), l ~ [] ++ is → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ []), l = is' ++ is) ∨ l ∈ is.permutationsAux []
l : List α
p : l ~ is ++ t :: ts
is' : List α
p' : is' ~ t :: is
e : l = is' ++ ts

⊢ (∃ is', ∃ (_ : is' ~ is), l = is' ++ t :: ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is) ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ is.permutations ∧ l₂ ≠ [] ∧ l = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a t : α
ts is : List α
IH1 : ∀ (l : List α), l ~ t :: is ++ ts → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ t :: is), l = is' ++ ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is)
IH2 : ∀ (l : List α), l ~ [] ++ is → (∃ is', ∃ (_ : is' ~ []), l = is' ++ is) ∨ l ∈ is.permutationsAux []
l : List α
p : l ~ is ++ t :: ts
m : l ∈ ts.permutationsAux (t :: is)

⊢ (∃ is', ∃ (_ : is' ~ is), l = is' ++ t :: ts) ∨ l ∈ ts.permutationsAux (t :: is) ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ is.permutations ∧ l₂ ≠ [] ∧ l = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
a : Code × ℕ

⊢ (rfindOpt fun b => evaln (((a, b).2, (a, b).1.1), (a, b).1.2).1.1 (((a, b).2, (a, b).1.1), (a, b).1.2).1.2 (((a, b).2, (a, b).1.1), (a, b).1.2).2) = a.1.eval a.2
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝ : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
q : Stmt₂

⊢ q ∈ stmts₁ q
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
R : α → α → Prop
β : Type u_2
inst✝ : DecidableRel R
f : β → α
x : β
xs : List β

⊢ pwFilter R (map f (x :: xs)) = map f (pwFilter (fun x y => R (f x) (f y)) (x :: xs))
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Semiring β
inst✝¹ : Algebra R α
inst✝ : Algebra R β
r : R
f : α → β
hf : f 0 = 0
hf₂ : f ((algebraMap R α) r) = (algebraMap R β) r

⊢ ((algebraMap R (Matrix n n α)) r).map f = (algebraMap R (Matrix n n β)) r
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Semiring β
inst✝¹ : Algebra R α
inst✝ : Algebra R β
r : R
f : α → β
hf : f 0 = 0
hf₂ : f ((algebraMap R α) r) = (algebraMap R β) r

⊢ (diagonal fun m => f ((algebraMap R (n → α)) r m)) = diagonal ((algebraMap R (n → β)) r)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Semiring β
inst✝¹ : Algebra R α
inst✝ : Algebra R β
r : R
f : α → β
hf : f 0 = 0
hf₂ : f ((algebraMap R α) r) = (algebraMap R β) r

⊢ n → f ((algebraMap R α) r) = (algebraMap R β) r
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Field.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
n m : ℕ
h : n ≤ m

⊢ 1 / (↑m + 1) ≤ 1 / (↑n + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Field.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
n m : ℕ
h : n ≤ m

⊢ 0 < ↑n + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Field.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
n m : ℕ
h : n ≤ m

⊢ ↑n + 1 ≤ ↑m + 1
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ

⊢ IsPeriodicPt f m x → IsPeriodicPt f n x → IsPeriodicPt f (m.gcd n) x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ n : ℕ
x✝ : IsPeriodicPt f 0 x
hn : IsPeriodicPt f n x

⊢ IsPeriodicPt f (Nat.gcd 0 n) x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ m n : ℕ
x✝ : 0 < m
ih : IsPeriodicPt f (n % m) x → IsPeriodicPt f m x → IsPeriodicPt f ((n % m).gcd m) x
hm : IsPeriodicPt f m x
hn : IsPeriodicPt f n x

⊢ IsPeriodicPt f (m.gcd n) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : Cᵒᵖ

⊢ e.functor.op.map ((NatIso.op e.unitIso).symm.hom.app X) ≫ (NatIso.op e.counitIso).symm.hom.app (e.functor.op.obj X) = 𝟙 (e.functor.op.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : Cᵒᵖ

⊢ (e.functor.op.map ((NatIso.op e.unitIso).symm.hom.app X) ≫ (NatIso.op e.counitIso).symm.hom.app (e.functor.op.obj X)).unop = (𝟙 (e.functor.op.obj X)).unop
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
γ' : LeftHomologyMapData φ' h₁ h₂

⊢ leftHomologyMap' (φ + φ') h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ h₁ h₂ + leftHomologyMap' φ' h₁ h₂
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Semiring R
g_hom : Type u_3
inst✝¹ : FunLike g_hom G R
inst✝ : MulHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : MonoidAlgebra k G
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.support → Commute (f (b x)) (g y)

⊢ (liftNC ↑f ⇑g) (a * b) = (liftNC ↑f ⇑g) a * (liftNC ↑f ⇑g) b
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Semiring R
g_hom : Type u_3
inst✝¹ : FunLike g_hom G R
inst✝ : MulHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : MonoidAlgebra k G
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.support → Commute (f (b x)) (g y)

⊢ (liftNC ↑f ⇑g) (a * b) = (liftNC ↑f ⇑g) (sum a single) * (liftNC ↑f ⇑g) (sum b single)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Semiring R
g_hom : Type u_3
inst✝¹ : FunLike g_hom G R
inst✝ : MulHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : MonoidAlgebra k G
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.support → Commute (f (b x)) (g y)

⊢ (sum a fun a b_1 => sum b fun a_1 b => ↑f (b_1 * b) * g (a * a_1)) = sum a fun a c => sum b fun a_1 c_1 => ↑f c * g a * (↑f c_1 * g a_1)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring k
inst✝³ : Mul G
inst✝² : Semiring R
g_hom : Type u_3
inst✝¹ : FunLike g_hom G R
inst✝ : MulHomClass g_hom G R
f : k →+* R
g : g_hom
a b : MonoidAlgebra k G
h_comm : ∀ {x y : G}, y ∈ a.support → Commute (f (b x)) (g y)
y : G
hy : y ∈ a.support
x : G
_hx : x ∈ b.support

⊢ (fun a_1 b => ↑f (a y * b) * g (y * a_1)) x (b x) = (fun a_1 c => ↑f (a y) * g y * (↑f c * g a_1)) x (b x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : (aeval f) p = 0

⊢ f.IsSemisimple
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : IsTorsionBySet K[X] (AEval K M f) ↑(Ideal.span {p})

⊢ f.IsSemisimple
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : IsTorsionBySet K[X] (AEval K M f) ↑(Ideal.span {p})
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}

⊢ f.IsSemisimple
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : IsTorsionBySet K[X] (AEval K M f) ↑(Ideal.span {p})
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}
this : IsReduced R

⊢ f.IsSemisimple
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : IsTorsionBySet K[X] (AEval K M f) ↑(Ideal.span {p})
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}
this✝ : IsReduced R
this : FiniteDimensional K R

⊢ f.IsSemisimple
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : IsTorsionBySet K[X] (AEval K M f) ↑(Ideal.span {p})
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}
this✝¹ : IsReduced R
this✝ : FiniteDimensional K R
this : IsArtinianRing R

⊢ f.IsSemisimple
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : IsTorsionBySet K[X] (AEval K M f) ↑(Ideal.span {p})
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}
this✝² : IsReduced R
this✝¹ : FiniteDimensional K R
this✝ : IsArtinianRing R
this : IsSemisimpleRing R

⊢ f.IsSemisimple
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
p : K[X]
hp : Squarefree p
hpf : IsTorsionBySet K[X] (AEval K M f) ↑(Ideal.span {p})
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {p}
this✝³ : IsReduced R
this✝² : FiniteDimensional K R
this✝¹ : IsArtinianRing R
this✝ : IsSemisimpleRing R
this : Module R (AEval' f) := hpf.module
e : AEval' f →ₛₗ[Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {p})] AEval' f := let __src := AddMonoidHom.id (AEval' f); { toFun := (↑__src).toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }

⊢ f.IsSemisimple
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hPz : P z = 0

⊢ W'.negY P = -P y
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ w₃ p₁ p₂ p₃ : ℝ≥0

⊢ w₁ + w₂ + w₃ = 1 → p₁ ^ ↑w₁ * p₂ ^ ↑w₂ * p₃ ^ ↑w₃ ≤ w₁ * p₁ + w₂ * p₂ + w₃ * p₃
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a : ℤ
x : R
p q : ℤ
hpq : p + n = q

⊢ ((x • γ).shift a).v p q hpq = (x • γ.shift a).v p q hpq
-- Mathlib/Control/Fix.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) → (a : α) → Part (β a)
x : α
h' : ∃ i, (Fix.approx f i x).Dom
p : ℕ → Prop := fun i => (Fix.approx f i x).Dom

⊢ Part.fix f x = Fix.approx f (Nat.find h').succ x
-- Mathlib/Control/Fix.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) → (a : α) → Part (β a)
x : α
h' : ∃ i, (Fix.approx f i x).Dom
p : ℕ → Prop := fun i => (Fix.approx f i x).Dom
this : p (Nat.find h')

⊢ Part.fix f x = Fix.approx f (Nat.find h').succ x
-- Mathlib/Control/Fix.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) → (a : α) → Part (β a)
x : α
h' : ∃ i, (Fix.approx f i x).Dom
p : ℕ → Prop := fun i => (Fix.approx f i x).Dom
k : ℕ
this : p (k + ↑Upto.zero)

⊢ Nat.find h' = k + ↑Upto.zero → (assert (∃ i, (Fix.approx f i x).Dom) fun h => ⋯.fix (fixAux f) Upto.zero x) = Fix.approx f (k + 1) x
-- Mathlib/Control/Fix.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) → (a : α) → Part (β a)
x : α
h' : ∃ i, (Fix.approx f i x).Dom
p : ℕ → Prop := fun i => (Fix.approx f i x).Dom
k : ℕ
this : p (k + ↑Upto.zero)

⊢ Nat.find h' = k + ↑Upto.zero → ⋯.fix (fixAux f) Upto.zero x = Fix.approx f (k + 1) x
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : Filter X
x : X
h : AccPt x F
f : X → β
hf1 : ContinuousAt f x
hf2 : Function.Injective f

⊢ AccPt (f x) (Filter.map f F)
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : Filter X
x : X
h : AccPt x F
f : X → β
hf1 : ContinuousAt f x
hf2 : Function.Injective f

⊢ Filter.map f (𝓝[≠] x ⊓ F) ≤ 𝓝[≠] f x ⊓ Filter.map f F
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : Filter X
x : X
h : AccPt x F
f : X → β
hf1 : ContinuousAt f x
hf2 : Function.Injective f

⊢ Filter.map f (𝓝[≠] x) ⊓ Filter.map f F ≤ 𝓝[≠] f x ⊓ Filter.map f F
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : Filter X
x : X
h : AccPt x F
f : X → β
hf1 : ContinuousAt f x
hf2 : Function.Injective f

⊢ Filter.map f (𝓝[≠] x) ≤ 𝓝[≠] f x
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
F : Filter X
x : X
h : AccPt x F
f : X → β
hf1 : ContinuousAt f x
hf2 : Function.Injective f

⊢ ∀ᶠ (x_1 : X) in 𝓝[≠] x, f x_1 ∈ {f x}ᶜ
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedRing α
a : α
n : ℕ
h : 0 < n

⊢ ‖a ^ n‖ ≤ ‖a‖ ^ n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
a : ℕ

⊢ addOrderOf ↑(a + 1) = n / n.gcd (a + 1)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : SMulCommClass G α β
a : α
b : β

⊢ stabilizer G b ≤ stabilizer G (a • b)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
inst✝² : MulAction G β
inst✝¹ : SMul α β
inst✝ : SMulCommClass G α β
a : α
b : β

⊢ ∀ ⦃x : G⦄, x • b = b → a • x • b = a • b
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p

⊢ Memℓp (f - g) p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f g : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hg : Memℓp g p

⊢ Memℓp (f + -g) p
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Prod.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝² : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
hF : (W₁.prod W₂).IsInvertedBy F
inst✝¹ : W₁.ContainsIdentities
inst✝ : W₂.ContainsIdentities

⊢ W₂.Q ⋙ (curry.obj (prodLift F hF)).flip = (prodLift₁ F hF).flip
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Prod.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝² : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
hF : (W₁.prod W₂).IsInvertedBy F
inst✝¹ : W₁.ContainsIdentities
inst✝ : W₂.ContainsIdentities

⊢ W₂.Q ⋙ Construction.lift (prodLift₁ F hF).flip ⋯ = (prodLift₁ F hF).flip
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
S T : Set R

⊢ Submodule.span R S * Submodule.span R T = Submodule.span R (S * T)
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} D
L : D ⥤ C
R : C ⥤ D
h : L ⊣ R
X Y : D
f g : X ⟶ Y

⊢ f ≫ (h.homEquiv Y (coeq (L.map f) (L.map g))) (coeqHom (L.map f) (L.map g)) = g ≫ (h.homEquiv Y (coeq (L.map f) (L.map g))) (coeqHom (L.map f) (L.map g))
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : Ring A
inst✝¹⁰ : PartialOrder A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : StarOrderedRing A
inst✝⁷ : Algebra ℝ A
inst✝⁶ : TopologicalRing A
inst✝⁵ : ContinuousStar A
inst✝⁴ : StarModule ℝ A
inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ≥0 fun x => 0 ≤ x
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
inst✝ : NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
f : ℝ≥0 → ℝ≥0
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝

⊢ cfc f a = cfc (fun x => ↑(f x.toNNReal)) a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : Ring A
inst✝¹⁰ : PartialOrder A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : StarOrderedRing A
inst✝⁷ : Algebra ℝ A
inst✝⁶ : TopologicalRing A
inst✝⁵ : ContinuousStar A
inst✝⁴ : StarModule ℝ A
inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ≥0 fun x => 0 ≤ x
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
inst✝ : NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
f : ℝ≥0 → ℝ≥0
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
this : CompactSpace ↑(σ ℝ a)

⊢ cfc f a = cfc (fun x => ↑(f x.toNNReal)) a