ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
hf : AntilipschitzWith K f
s : Set Y
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f ⁻¹' s) = ⊤
this : μH[↑d] s ≠ ⊤

⊢ ↑K ^ ↑d * μH[↑d] s ≠ ⊤
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShortExact.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
T : Triangle (CochainComplex C ℤ)
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁

⊢ (homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceδ ((quotient C (up ℤ)).mapTriangle.obj T) n₀ n₁ h = (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₀).hom.app T.obj₃ ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor C (up ℤ) 0).shiftMap T.mor₃ n₀ n₁ ⋯ ≫ (homologyFunctorFactors C (up ℤ) n₁).inv.app T.obj₁
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

⊢ map (fun x => x + c) (Icc a b) = Icc (a + c) (b + c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Defs.lean
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α

⊢ ∃ a, 1 < a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Defs.lean
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1

⊢ ∃ a, 1 < a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Defs.lean
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1
h : y < 1

⊢ ∃ a, 1 < a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Defs.lean
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1
h : 1 < y

⊢ ∃ a, 1 < a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E

⊢ x⋆ * x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E

⊢ ‖x‖ * ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
h : Finsupp.single i 1 = 0

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ convexBodySum K B

⊢ -x ∈ convexBodySum K B
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
hx : x ∈ convexBodySum K B

⊢ convexBodySumFun x ≤ B
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
i : E ≃ₐ[F] K

⊢ finInsepDegree F E = finInsepDegree F K
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : X
s : ↥S
r' : X
s' : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s = ra * ↑s'
ha' : r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sa • r + ra • r') /ₒ (sa * s)

⊢ r /ₒ s + r' /ₒ s' = r' /ₒ s' + r /ₒ s
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : X
s : ↥S
r' : X
s' : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s = ra * ↑s'
ha' : r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sa • r + ra • r') /ₒ (sa * s)

⊢ (ra • r' + sa • r) /ₒ (sa * s) = (ra • r' + ↑sa • r) /ₒ ⟨ra * ↑s', ⋯⟩
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s✝ s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0
hp : 1 < p

⊢ ∑ i ∈ s, w i * f i ≤ (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s✝ s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0
hp : 1 < p

⊢ ∑ i ∈ s, w i * f i = ∑ i ∈ s, w i ^ (1 - p⁻¹) * (w i ^ p⁻¹ * f i)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s✝ s : Finset ι
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
w f : ι → ℝ≥0
hp : 1 < p

⊢ (∑ i ∈ s, (w i ^ (1 - p⁻¹)) ^ (1 - p⁻¹)⁻¹) ^ (1 / (1 - p⁻¹)⁻¹) * (∑ i ∈ s, (w i ^ p⁻¹ * f i) ^ p) ^ (1 / p) = (∑ i ∈ s, w i) ^ (1 - p⁻¹) * (∑ i ∈ s, w i * f i ^ p) ^ p⁻¹
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit

⊢ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (BinaryBiproduct.isLimit X Y)).inv = desc b.inl b.inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
j : Discrete WalkingPair

⊢ (inl ≫ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (BinaryBiproduct.isLimit X Y)).inv) ≫ b.toCone.π.app j = (inl ≫ desc b.inl b.inr) ≫ b.toCone.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit
j : Discrete WalkingPair

⊢ (inr ≫ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (BinaryBiproduct.isLimit X Y)).inv) ≫ b.toCone.π.app j = (inr ≫ desc b.inl b.inr) ≫ b.toCone.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit

⊢ inl ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.left } = inl ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.left }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit

⊢ inl ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.right } = inl ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.right }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit

⊢ inr ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.left } = inr ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.left }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit

⊢ inr ≫ (BinaryBiproduct.bicone X Y).toCone.π.app { as := WalkingPair.right } = inr ≫ desc b.inl b.inr ≫ b.toCone.π.app { as := WalkingPair.right }
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w : ReducedWord G A B
g : G
hg : of g = ReducedWord.prod φ w

⊢ w.toList = []
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w : ReducedWord G A B
g : G
hg : of g = ReducedWord.prod φ w
w' : ReducedWord G A B := let __src := ReducedWord.empty G A B; { head := g, toList := __src.toList, chain := ⋯ }

⊢ w.toList = []
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
w : ReducedWord G A B
g : G
hg : of g = ReducedWord.prod φ w
w' : ReducedWord G A B := let __src := ReducedWord.empty G A B; { head := g, toList := __src.toList, chain := ⋯ }
this : ReducedWord.prod φ w = ReducedWord.prod φ w'

⊢ w.toList = []
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
f : ι → ι'
hf : Injective f
m : ι → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (sum (Function.extend f m 0)) s = (sum m) s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M

⊢ b.sumCoords (b i) = 1
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ

⊢ ∀ (a : ℕ), a ∉ Ico n m ∩ Ico m l
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l a : ℕ

⊢ a ∉ Ico n m ∩ Ico m l
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l a : ℕ

⊢ n ≤ a → a < m → m ≤ a → l ≤ a
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l a : ℕ
a✝ : n ≤ a
h₂ : a < m
h₃ : m ≤ a

⊢ False
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a

⊢ map f (think ⟨s, al⟩) = (map f ⟨s, al⟩).think
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a

⊢ ↑(map f (think ⟨s, al⟩)) = ↑(map f ⟨s, al⟩).think
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, s n = some a → s (n + 1) = some a

⊢ Stream'.map (fun o => Option.rec none (fun val => some (f val)) o) (Stream'.cons none s) = Stream'.cons none (Stream'.map (fun o => Option.rec none (fun val => some (f val)) o) s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

⊢ f =ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

⊢ f ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0 ∧ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

⊢ f ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] -f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤

⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s, (-f) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤

⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s, -f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤

⊢ ∫ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
t : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)

⊢ ⇑(toSpec 𝒜 f).val.base ⁻¹' ↑(sbo HomogeneousLocalization.mk t) = ↑((Opens.comap { toFun := Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ }) (pbo ↑t.num))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
t : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)

⊢ ⇑(toSpec 𝒜 f).val.base = ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.toFun f
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ

⊢ (Computable₂ fun a n => Option.map (f a) (decode n)) ↔ Computable₂ f
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β → σ
x✝¹ : α
x✝ : ℕ

⊢ Option.map (f x✝¹) (decode x✝) = (decode x✝).bind (Option.some ∘ f x✝¹)
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y✝ z✝ : ZFSet
H : ∀ y ∈ x, y.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y

⊢ z ∈ ⋃₀ x
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y✝ z✝ : ZFSet
H : ∀ y ∈ x, y.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ y
w : ZFSet
hw : w ∈ x
hw' : y ∈ w

⊢ z ∈ ⋃₀ x
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
hf : Injective f
s : Set α

⊢ ∃ a, f ⁻¹' a = s
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
hf : Injective f
s : Set α

⊢ f ⁻¹' (f '' s) = s
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
a : M
h : m ≤ n

⊢ a ^ m * a ^ (n - m) = a ^ n
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)

⊢ Integrable (fun x => ‖∫ (y : Ω), f (x, y) ∂(condDistrib Y X μ) x‖) (Measure.map X μ)
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hY : AEMeasurable Y μ
hf_int : Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)

⊢ Integrable (fun x => ‖∫ (y : Ω), f (x, y) ∂(Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).condKernel x‖) (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
h : x < y

⊢ rexp x < rexp y
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
h : x < y

⊢ rexp x < rexp (y - x) * rexp x
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsAntisymm α r
hs : Chain r s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s

⊢ a = b
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsAntisymm α r
hs : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, r a b
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s

⊢ a = b
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : DecidableEq β
i : β → γ
j : γ → β
h : Function.LeftInverse j i
a : β

⊢ a ∈ Finset.image j {i a}
-- Mathlib/Data/List/Range.lean
α : Type u
l : List ℕ
n : ℕ

⊢ (∃ s ∈ l.ranges, n ∈ s) ↔ n < Nat.sum l
-- Mathlib/Order/Hom/CompleteLattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : InfSet α
inst✝¹ : InfSet β
inst✝ : sInfHomClass F α β
f : F
g : ι → α

⊢ f (⨅ i, g i) = ⨅ i, f (g i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

⊢ W.Φ 1 = X
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε✝ δ : 𝕜
u✝ v✝ u v : Finset α
ε : 𝕜

⊢ (u, v) ∈ P.sparsePairs G ε ↔ u ∈ P.parts ∧ v ∈ P.parts ∧ u ≠ v ∧ ↑(G.edgeDensity u v) < ε
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α

⊢ a ⊔ b ⊔ c = c ⊔ b ⊔ a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M✝ N✝ P Q : Submodule R A
m n : A
M N : Submodule R A

⊢ (map₂ (LinearMap.mul R A) M N).toAddSubmonoid = ⨆ s, AddSubmonoid.map (AddMonoidHom.mulLeft ↑s) N.toAddSubmonoid
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M✝ N✝ P Q : Submodule R A
m n : A
M N : Submodule R A

⊢ ⨆ i, (map ((LinearMap.mul R A) ↑i) N).toAddSubmonoid = ⨆ s, AddSubmonoid.map (AddMonoidHom.mulLeft ↑s) N.toAddSubmonoid
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1

⊢ Tendsto (fun x => b ^ x) atBot atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1

⊢ Tendsto (fun x => rexp (log b * x)) atBot atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b < 1

⊢ log b < 0
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
f_inj : InjOn f s
ht : autoParam t.Finite _auto✝

⊢ s.ncard ≤ t.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
f_inj : InjOn f s
ht : autoParam t.Finite _auto✝
hle : s.encard ≤ t.encard

⊢ s.ncard ≤ t.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : α → β
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
f_inj : InjOn f s
ht : autoParam t.Finite _auto✝
hle : s.encard ≤ t.encard

⊢ ↑s.ncard ≤ ↑t.ncard
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : K' ⟶ L'
e : Arrow.mk φ ≅ Arrow.mk φ'
inst✝³ : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝² : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), K'.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), L'.HasHomology i

⊢ QuasiIso φ ↔ QuasiIso φ'
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : K' ⟶ L'
e : Arrow.mk φ ≅ Arrow.mk φ'
inst✝³ : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝² : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), K'.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), L'.HasHomology i

⊢ QuasiIso ((let_fun this := e.inv.left; this) ≫ φ) ↔ QuasiIso (φ' ≫ let_fun this := e.inv.right; this)
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : K' ⟶ L'
e : Arrow.mk φ ≅ Arrow.mk φ'
inst✝³ : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝² : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), K'.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), L'.HasHomology i

⊢ QuasiIso ((Arrow.mk φ').hom ≫ e.inv.right) ↔ QuasiIso (φ' ≫ let_fun this := e.inv.right; this)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ

⊢ term (f ⍟ g) s n = ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {n})), term f s (↑b).1 * term g s (↑b).2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ

⊢ term (f ⍟ g) s 0 = ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {0})), term f s (↑b).1 * term g s (↑b).2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ term (f ⍟ g) s n = ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {n})), term f s (↑b).1 * term g s (↑b).2
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g

⊢ MeasurableSet {x | f x = g x}
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g

⊢ {x | f x = g x} = {x | (f - g) x = 0}
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ {x | f x = g x} ↔ x✝ ∈ {x | (f - g) x = 0}
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
hab : ReflTransGen r a b
hbc : TransGen r b c

⊢ TransGen r a c
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

⊢ (∀ (f : ℕ →o (Submodule R M)ᵒᵈ), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m) ↔ IsArtinian R M
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

⊢ (∀ (f : ℕ →o (Submodule R M)ᵒᵈ), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m) ↔ WellFounded fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E

⊢ restrictScalars F (adjoin (↥(adjoin F S)) T) = adjoin F (S ∪ T)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E

⊢ ↑(restrictScalars F (adjoin (↥(adjoin F S)) T)) = ↑(adjoin F (S ∪ T))