ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/CatCommSq.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_7, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.29733, u_5} C₅
inst✝ : Category.{?u.29737, u_6} C₆
T✝ : C₁ ⥤ C₂
L✝ : C₁ ⥤ C₃
R✝ : C₂ ⥤ C₄
B✝ : C₃ ⥤ C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ≌ C₃
R : C₂ ≌ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
h : CatCommSq T L.functor R.functor B
X : C₁

⊢ (R.functor.map (T.map (L.unitIso.hom.app X)) ≫ R.functor.map (R.unitIso.hom.app (T.obj (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map ((iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.functor.obj X))) ≫ R.inverse.map (B.map (L.counitIso.hom.app (L.functor.obj X)))) ≫ R.counitIso.hom.app (B.obj (L.functor.obj X))) ≫ B.map (L.functor.map (L.unitIso.hom.app X)) = R.functor.map (T.map (L.unitIso.hom.app X)) ≫ (iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.functor.obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/CatCommSq.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₅ : Type u_5
C₆ : Type u_6
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_7, u_4} C₄
inst✝¹ : Category.{?u.29733, u_5} C₅
inst✝ : Category.{?u.29737, u_6} C₆
T✝ : C₁ ⥤ C₂
L✝ : C₁ ⥤ C₃
R✝ : C₂ ⥤ C₄
B✝ : C₃ ⥤ C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ≌ C₃
R : C₂ ≌ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
h : CatCommSq T L.functor R.functor B
X : C₁

⊢ R.functor.map (T.map (L.unitIso.hom.app X)) ≫ R.functor.map (R.unitIso.hom.app (T.obj (L.inverse.obj (L.functor.obj X)))) ≫ R.counit.app (R.functor.obj (T.obj (L.inverse.obj (L.functor.obj X)))) ≫ (iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.functor.obj X)) ≫ B.map (L.counitIso.hom.app (L.functor.obj X)) ≫ B.map (L.functor.map (L.unitIso.hom.app X)) = R.functor.map (T.map (L.unitIso.hom.app X)) ≫ (iso T L.functor R.functor B).hom.app (L.inverse.obj (L.functor.obj X))
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x : PartENat
n : ℕ

⊢ (∃ (h : True → x.Dom), ∀ (hy : (↑n).Dom), x.get ⋯ ≤ (↑n).get hy) ↔ ∃ (h : x.Dom), x.get h ≤ n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M

⊢ (e.map f).orientation = e.orientation ↔ 0 < LinearMap.det ↑f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
k : Set X
hk : IsCompact k
μ : Measure X
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝² : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X

⊢ μ k = ⨅ f, ⨅ (_ : Continuous f), ⨅ (_ : HasCompactSupport f), ⨅ (_ : EqOn f 1 k), ⨅ (_ : 0 ≤ f), ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
k : Set X
hk : IsCompact k
μ : Measure X
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝² : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X

⊢ μ k ≤ ⨅ f, ⨅ (_ : Continuous f), ⨅ (_ : HasCompactSupport f), ⨅ (_ : EqOn f 1 k), ⨅ (_ : 0 ≤ f), ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
k : Set X
hk : IsCompact k
μ : Measure X
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝² : μ.InnerRegularCompactLTTop
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X

⊢ ⨅ f, ⨅ (_ : Continuous f), ⨅ (_ : HasCompactSupport f), ⨅ (_ : EqOn f 1 k), ⨅ (_ : 0 ≤ f), ENNReal.ofReal (∫ (x : X), f x ∂μ) ≤ μ k
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁✝ : Type u_2
V₂✝ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁✝
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂✝
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁✝ V₂✝
V₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝ : NormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
hn : ‖f‖ = 0
x : V₁

⊢ ‖f‖ * ‖x‖ = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁✝ : Type u_2
V₂✝ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V₁✝
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₂✝
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁✝ V₂✝
V₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V₁
inst✝ : NormedAddCommGroup V₂
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
hf : f = 0

⊢ ‖f‖ = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : AddGroup α
a b : α
n : ℕ
x✝ : α

⊢ (Equiv.addRight a ^ n) x✝ = (Equiv.addRight (n • a)) x✝
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d

⊢ a * d + b * c ≤ a * c + b * d
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hcd : c ≤ d
b : α
hab : a ≤ a + b

⊢ a * d + (a + b) * c ≤ a * c + (a + b) * d
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a c : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
b : α
hab : a ≤ a + b
d : α
hcd : c ≤ c + d

⊢ a * (c + d) + (a + b) * c ≤ a * c + (a + b) * (c + d)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a c : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
b : α
hab : a ≤ a + b
d : α
hcd : c ≤ c + d

⊢ a * c + (a + b) * c + a * d ≤ a * c + (a + b) * c + (a + b) * d
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G

⊢ QuasiMeasurePreserving (fun h => g * h) μ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
this : QuasiMeasurePreserving (fun h => h * g⁻¹) μ.inv.inv μ.inv.inv

⊢ QuasiMeasurePreserving (fun h => g * h) μ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
this : QuasiMeasurePreserving (fun h => h * g⁻¹) μ μ

⊢ QuasiMeasurePreserving (fun h => g * h) μ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
this✝ : QuasiMeasurePreserving (fun h => h * g⁻¹) μ μ
this : QuasiMeasurePreserving (Inv.inv ∘ (fun h => h * g⁻¹) ∘ Inv.inv) μ μ

⊢ QuasiMeasurePreserving (fun h => g * h) μ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G
this✝ : QuasiMeasurePreserving (fun h => h * g⁻¹) μ μ
this : QuasiMeasurePreserving (fun x => g * x) μ μ

⊢ QuasiMeasurePreserving (fun h => g * h) μ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
A : Set α
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > μ A

⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
A : Set α
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > μ A
HA : μ A < ⊤

⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
A : Set α
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > μ A
HA : μ A < ⊤
hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
r : ℝ≥0∞
hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
A : ℕ → Set α
hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)
hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n
hAd : Pairwise (Disjoint on A)
hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)
hr : r > μ (⋃ n, A n)
HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤

⊢ ∃ U ⊇ ⋃ n, A n, IsOpen U ∧ μ U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
r : ℝ≥0∞
hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
A : ℕ → Set α
hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)
hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n
hAd : Pairwise (Disjoint on A)
hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)
hr : r > μ (⋃ n, A n)
HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0∞
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
hδε : ∑' (i : ℕ), δ i < r - μ (⋃ n, A n)

⊢ ∃ U ⊇ ⋃ n, A n, IsOpen U ∧ μ U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
r : ℝ≥0∞
hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
A : ℕ → Set α
hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)
hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n
hAd : Pairwise (Disjoint on A)
hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)
hr : r > μ (⋃ n, A n)
HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0∞
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
hδε : μ (⋃ n, A n) + ∑' (i : ℕ), δ i < r

⊢ ∃ U ⊇ ⋃ n, A n, IsOpen U ∧ μ U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
r : ℝ≥0∞
hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
A : ℕ → Set α
hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)
hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n
hAd : Pairwise (Disjoint on A)
hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)
hr : r > μ (⋃ n, A n)
HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0∞
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
hδε : μ (⋃ n, A n) + ∑' (i : ℕ), δ i < r
this : ∀ (n : ℕ), ∃ U ⊇ A n, IsOpen U ∧ μ U < μ (A n) + δ n

⊢ ∃ U ⊇ ⋃ n, A n, IsOpen U ∧ μ U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
r : ℝ≥0∞
hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
A : ℕ → Set α
hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)
hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n
hAd : Pairwise (Disjoint on A)
hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)
hr : r > μ (⋃ n, A n)
HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0∞
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
hδε : μ (⋃ n, A n) + ∑' (i : ℕ), δ i < r
U : ℕ → Set α
hAU : ∀ (n : ℕ), U n ⊇ A n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hU : ∀ (n : ℕ), μ (U n) < μ (A n) + δ n

⊢ ∃ U ⊇ ⋃ n, A n, IsOpen U ∧ μ U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
s : ℕ → Set α
h : ∀ (n : ℕ), (μ.restrict (s n)).OuterRegular
h' : ∀ (n : ℕ), IsOpen (s n)
h'' : univ ⊆ ⋃ n, s n
r : ℝ≥0∞
hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
A : ℕ → Set α
hAm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (A n)
hAs : ∀ (n : ℕ), A n ⊆ s n
hAd : Pairwise (Disjoint on A)
hA : MeasurableSet (⋃ n, A n)
hr : r > μ (⋃ n, A n)
HA : μ (⋃ n, A n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0∞
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
hδε : μ (⋃ n, A n) + ∑' (i : ℕ), δ i < r
U : ℕ → Set α
hAU : ∀ (n : ℕ), U n ⊇ A n
hUo : ∀ (n : ℕ), IsOpen (U n)
hU : ∀ (n : ℕ), μ (U n) < μ (A n) + δ n

⊢ μ (⋃ n, U n) < r
-- Mathlib/ModelTheory/Basic.lean
a₀ a₁ a₂ : Type u
i : ℕ

⊢ lift.{v, u} #(Sequence₂ a₀ a₁ a₂ i) = #(Sequence₂ (ULift.{v, u} a₀) (ULift.{v, u} a₁) (ULift.{v, u} a₂) i)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r₁ r₂ : ℝ
h : |r₁| < |r₂|

⊢ (fun x => ‖r₁ ^ x‖) =o[atTop] fun x => ‖r₂ ^ x‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
i : ι × κ
r : R

⊢ (finsuppTensorFinsupp' R ι κ).symm (Finsupp.single i r) = Finsupp.single i.1 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 r
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
i : ι × κ
r : R

⊢ (finsuppTensorFinsupp' R ι κ).symm (Finsupp.single i (1 * r)) = Finsupp.single i.1 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single i.2 r
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : 2 ≤ n

⊢ (n + b - 1) / b < n
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : 2 ≤ n

⊢ n + b ≤ n * b
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

⊢ Ico (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map (Embedding.inl.trans toLex.toEmbedding) (Ico a₁ a₂)
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

⊢ Ico (inlₗ a₁) (inlₗ a₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inl (Ico a₁ a₂))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ)
sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2

⊢ Continuous (sub ∘ f)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ)
sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2

⊢ Continuous fun x => (f x).2
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
f : α → ℝ≥0 × ℝ≥0∞ := fun x => (1, infEdist x E / ENNReal.ofReal δ)
sub : ℝ≥0 × ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun p => ↑p.1 - p.2

⊢ ENNReal.ofReal δ ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m n : ℕ

⊢ fract (↑m / ↑n) = ↑(m % n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℕ

⊢ fract (↑m / ↑0) = ↑(m % 0) / ↑0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m n : ℕ
hn : n > 0

⊢ fract (↑m / ↑n) = ↑(m % n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n

⊢ fract (↑m / ↑n) = ↑(m % n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n

⊢ 0 ≤ ↑(m % n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n

⊢ ↑(m % n) / ↑n < 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n

⊢ ↑m / ↑n - ↑(m % n) / ↑n = ↑(↑m / ↑n)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
m : ℕ∞

⊢ ↑m = 1 ↔ m = 1
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α

⊢ l.maximum = ↑m ↔ m ∈ l ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → a ≤ m
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α

⊢ (m ∈ l ∧ (∀ (a : α), a ∈ l → id a ≤ id m) ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → id m ≤ id a → indexOf m l ≤ indexOf a l) ↔ m ∈ l ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → a ≤ m
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α

⊢ m ∈ l → (∀ (a : α), a ∈ l → a ≤ m) → ∀ (a : α), a ∈ l → m ≤ a → indexOf m l ≤ indexOf a l
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a✝¹ m : α
a✝ : m ∈ l
h : ∀ (a : α), a ∈ l → a ≤ m
a : α
hal : a ∈ l
hma : m ≤ a

⊢ indexOf m l ≤ indexOf a l
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
l : List α
x : Multiset α × Multiset α
h : x ∈ (powersetAux l).revzip

⊢ x.1 + x.2 = ↑l
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
l : List α
x : Multiset α × Multiset α
h : ∃ a ∈ l.sublists.revzip, Prod.map ofList ofList a = x

⊢ x.1 + x.2 = ↑l
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
l : List α
x : Multiset α × Multiset α
h : ∃ a b, (a, b) ∈ l.sublists.revzip ∧ (↑a, ↑b) = x

⊢ x.1 + x.2 = ↑l
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
l l₁ l₂ : List α
h : (l₁, l₂) ∈ l.sublists.revzip

⊢ (↑l₁, ↑l₂).1 + (↑l₁, ↑l₂).2 = ↑l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/BinomialHeap/Basic.lean
α : Type u_1
le : α → α → Bool
a✝ : α
n✝ : Nat
s✝ : HeapNode α
h✝ : WF le a✝ s✝ n✝
res : Heap α
a : α
c s : HeapNode α
n : Nat
left✝ : ∀ [inst : TotalBLE le], le a✝ a = true
h : WF le a c n
h' : WF le a✝ s n
hr : Heap.WF le (node a c s).rank res

⊢ WF le a c ((node a c s).rank - 1)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/BinomialHeap/Basic.lean
α : Type u_1
le : α → α → Bool
a✝ : α
n✝ : Nat
s✝ : HeapNode α
h✝ : WF le a✝ s✝ n✝
res : Heap α
a : α
c s : HeapNode α
n : Nat
left✝ : ∀ [inst : TotalBLE le], le a✝ a = true
h : WF le a c s.rank
h' : WF le a✝ s n
hr : Heap.WF le (node a c s).rank res

⊢ WF le a c ((node a c s).rank - 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Elements.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
A : C ⥤ Type w
I : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} I
inst✝² : Small.{w, u₁} I
F : I ⥤ A.Elements
inst✝¹ : HasLimitsOfShape I C
inst✝ : PreservesLimitsOfShape I A
i i' : I
f : i ⟶ i'

⊢ ↑(((Functor.const I).obj ⟨limit (F ⋙ π A), liftedConeElement F⟩).map f ≫ (fun i => ⟨limit.π (F ⋙ π A) i, ⋯⟩) i') = ↑((fun i => ⟨limit.π (F ⋙ π A) i, ⋯⟩) i ≫ F.map f)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V

⊢ arccos (⟪x, -y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖-y‖)) = π - arccos (⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖))
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
j : ι
x : AdicCauchySequence I (M j)

⊢ ((sumInv I M ∘ₗ sum I M) ∘ₗ lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x) = (LinearMap.id ∘ₗ lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
j : ι
x : AdicCauchySequence I (M j)
i : ι

⊢ (component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) i) (((sumInv I M ∘ₗ sum I M) ∘ₗ lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x)) = (component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) i) ((LinearMap.id ∘ₗ lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x))
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
j : ι
x : AdicCauchySequence I (M j)
i : ι
n : ℕ

⊢ ↑((component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) i) (((sumInv I M ∘ₗ sum I M) ∘ₗ lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x))) n = ↑((component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) i) ((LinearMap.id ∘ₗ lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x))) n
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
j : ι
x : AdicCauchySequence I (M j)
i : ι
n : ℕ

⊢ Submodule.Quotient.mk ((component R ι M i) ((lof R ι M j) (↑x n))) = ↑((component (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) i) ((lof (AdicCompletion I R) ι (fun i => AdicCompletion I (M i)) j) ((mk I (M j)) x))) n