ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ

⊢ ∑' (n : ℕ), (2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ * (sFiniteSeq μ n) Set.univ ≤ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h_le_pow : ∀ (n : ℕ), (2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ * (sFiniteSeq μ n) Set.univ ≤ (2 ^ (n + 1))⁻¹

⊢ ∑' (n : ℕ), (2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ * (sFiniteSeq μ n) Set.univ ≤ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h_le_pow : ∀ (n : ℕ), (2 ^ (n + 1) * (sFiniteSeq μ n) Set.univ)⁻¹ * (sFiniteSeq μ n) Set.univ ≤ (2 ^ (n + 1))⁻¹

⊢ ∑' (i : ℕ), (2 ^ (i + 1))⁻¹ ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
hA : ∀ {a : A}, IsUnit a ↔ a ≠ 0
inst✝ : CompleteSpace A
nt : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro 1 (Exists.intro 0 (hA.mp (Exists.intro { val := 1, inv := 1, val_inv := mul_one 1, inv_val := mul_one 1 } rfl))) }
z : ℂ

⊢ (fun a => ⋯.some) ((algebraMap ℂ A) z) = z
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m a b n✝ : ℕ
ha : a < n✝ + 1 + 1
hb : b < n✝ + 1 + 1
h : ⟨a, ha⟩ < ⟨b, hb⟩

⊢ ⟨a, ha⟩ + 1 ≤ ⟨b, hb⟩
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m a b n✝ : ℕ
ha : a < n✝ + 1 + 1
hb : b < n✝ + 1 + 1
h : a < b

⊢ (a + 1) % (n✝ + 1 + 1) ≤ b
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m a b n✝ : ℕ
ha : a < n✝ + 1 + 1
hb : b < n✝ + 1 + 1
h : a < b

⊢ a + 1 < n✝ + 1 + 1
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m a b n✝ : ℕ
ha : a < n✝ + 1 + 1
hb : b < n✝ + 1 + 1
h : a < b

⊢ a < n✝ + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Card.lean
α : Type u
s : Set (Set α)

⊢ #↑{t | GenerateMeasurable s t} ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Card.lean
α : Type u
s : Set (Set α)

⊢ #↑(⋃ i, generateMeasurableRec s i) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Card.lean
α : Type u
s : Set (Set α)

⊢ #(Quotient.out (aleph 1).ord).α * ⨆ i, #↑(generateMeasurableRec s i) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Card.lean
α : Type u
s : Set (Set α)

⊢ aleph 1 * ⨆ i, #↑(generateMeasurableRec s i) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Card.lean
α : Type u
s : Set (Set α)

⊢ 𝔠 * max (#↑s) 2 ^ ℵ₀ ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Card.lean
α : Type u
s : Set (Set α)

⊢ 𝔠 ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀ : Type u_1
inst✝¹ inst✝ : MonoidWithZero M₀
a b : ↥M₀⁰

⊢ (∃ b_1, ↑a * ↑↑b_1 = ↑b) ↔ ∃ u, a * ↑u = b
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b x : ℕ
hx : x ≠ 0
hxb : x < b

⊢ b.digits x = [x]
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b x : ℕ
hx : x.succ ≠ 0
hxb : x.succ < b

⊢ b.digits x.succ = [x.succ]
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n x : ℕ
hx : x.succ ≠ 0
b : ℕ
hxb : x.succ < b + succ 1

⊢ (b + succ 1).digits x.succ = [x.succ]
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

⊢ constantCoeff (wittAdd p n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

⊢ constantCoeff (X 0 + X 1) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Regular/RegularSequence.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
f : M →+ M₂
as : List R
bs : List S
hf : Surjective ⇑f
h : List.Forall₂ (fun r s => ∀ (x : M), f (r • x) = s • f x) as bs

⊢ AddSubgroup.map f (Ideal.ofList as • ⊤).toAddSubgroup = (Ideal.ofList bs • ⊤).toAddSubgroup
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝¹ g✝¹ : α✝ → β
inst✝² : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f✝ : ι → α
g✝ : κ → α
inst✝ : DecidableEq κ
g : ι → κ
h : ∀ i ∈ s, g i ∈ t
f : κ → α

⊢ ∏ j ∈ t, ∏ _i ∈ filter (fun i => g i = j) s, f j = ∏ i ∈ s, f (g i)
-- Mathlib/Algebra/CharP/Algebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring A
f : R →+* A
h : Function.Injective ⇑f
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
x : ℕ

⊢ ↑x = 0 ↔ p ∣ x
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hu : ↑(d ⟨u, hu'⟩) = 1

⊢ u = 1
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hu : ↑(d ⟨u, hu'⟩) = 1

⊢ ↑(d.symm ⟨↑(d ⟨u, hu'⟩), ⋯⟩) = 1
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hu : ↑(d ⟨u, hu'⟩) = 1

⊢ ↑(d.symm ⟨↑(d ⟨u, hu'⟩), ⋯⟩) = ↑(d.symm ⟨1, ⋯⟩)
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hu : u = 1

⊢ ↑(d ⟨1, ⋯⟩) = 1
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m u : Associates M
n : Associates N
hu' : u ≤ m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hu : u = 1

⊢ ↑(d ⟨1, ⋯⟩) = ↑(d ⟨1, ⋯⟩)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f g φ ψ : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i

⊢ ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ - ψ)) = ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ) - ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map ψ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f g φ ψ : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i

⊢ ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ - ψ)) = ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ - (shortComplexFunctor C c i).map ψ)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m n : ℕ
a b : Fin n

⊢ a.succ = b.succ → a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
i : A

⊢ shiftFunctorComm C i i = Iso.refl (shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C i)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P

⊢ Sbtw R x y z ↔ y ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1 ∧ x ≠ z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
h : y ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1 ∧ x ≠ z

⊢ Sbtw R x y z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x z : P
hxz : x ≠ z
t : R
ht : t ∈ Set.Ioo 0 1

⊢ Sbtw R x ((lineMap x z) t) z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x z : P
hxz : x ≠ z
t : R
ht : t ∈ Set.Ioo 0 1

⊢ (lineMap x z) t ≠ x ∧ (lineMap x z) t ≠ z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x z : P
hxz : x ≠ z
t : R
ht : t ∈ Set.Ioo 0 1

⊢ t • (z -ᵥ x) + 0 ≠ 0 ∧ (t - 1) • (z -ᵥ x) ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
hfd : ¬FiniteDimensional F E

⊢ finSepDegree F E ∣ finrank F E
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
hfd : ¬FiniteDimensional F E

⊢ finSepDegree F E ∣ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ (θ - ↑(π / 2)).sin = -θ.cos
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝ : ℝ

⊢ (↑x✝ - ↑(π / 2)).sin = -(↑x✝).cos
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
h : p / q = 0

⊢ p.degree < q.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
h : p / q = 0
this : q * (p / q) + p % q = p

⊢ p.degree < q.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
h : p.degree < q.degree

⊢ p / q = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
h : p.degree < q.degree
hlt : p.degree < (q * C q.leadingCoeff⁻¹).degree

⊢ p / q = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hq0 : q ≠ 0
h : p.degree < q.degree
hlt : p.degree < (q * C q.leadingCoeff⁻¹).degree
hm : (q * C q.leadingCoeff⁻¹).Monic

⊢ p / q = 0
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List (α × β)

⊢ l.unzip.1 = map Prod.fst l
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : α → Prop
t : Finset α
h : ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (p x ↔ x ∈ t)
s : Set α := {x | p x}

⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : p i), f i = ∏ i ∈ t, f i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : α → Prop
t : Finset α
h : ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (p x ↔ x ∈ t)
s : Set α := {x | p x}
this : mulSupport (s.mulIndicator f) ⊆ ↑t

⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : p i), f i = ∏ i ∈ t, f i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : α → Prop
t : Finset α
h : ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (p x ↔ x ∈ t)
s : Set α := {x | p x}
this : mulSupport (s.mulIndicator f) ⊆ ↑t

⊢ ∏ i ∈ t, s.mulIndicator f i = ∏ i ∈ t, f i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : α → Prop
t : Finset α
h : ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (p x ↔ x ∈ t)
s : Set α := {x | p x}
this : mulSupport (s.mulIndicator f) ⊆ ↑t
x : α
hx : x ∈ t
hxs : x ∉ s

⊢ f x = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
p : α → Prop
t : Finset α
h : ∀ {x : α}, f x ≠ 1 → (p x ↔ x ∈ t)
s : Set α := {x | p x}
this : mulSupport (s.mulIndicator f) ⊆ ↑t
x : α
hx : x ∈ t
hxs : f x ≠ 1

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f g : E → F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ContDiffAt 𝕜 n g x

⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x + g x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g univ x

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x + g x) univ x
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c < 0

⊢ b / c < a ↔ c * a < b
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h✝ h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m' : α → ε' → ε
n' : β → γ → ε'
h : Filter γ
h_assoc : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = m' a (n' b c)

⊢ map₂ m (map₂ n f g) h = map₂ m' f (map₂ n' g h)
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h✝ h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m' : α → ε' → ε
n' : β → γ → ε'
h : Filter γ
h_assoc : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = m' a (n' b c)

⊢ map (fun p => m (n p.1.1 p.1.2) p.2) ((f ×ˢ g) ×ˢ h) = map ((fun p => m' p.1 (n' p.2.1 p.2.2)) ∘ ⇑(Equiv.prodAssoc α β γ)) ((f ×ˢ g) ×ˢ h)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/NaturalTransformation.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
G : D ⥤ C
h : F.toFunctor ⊣ G
X Y : D

⊢ (monoidalAdjoint F h ⊗⋙ F.toLaxMonoidalFunctor).μ X Y ≫ h.counit.app (X ⊗ Y) = (h.counit.app X ⊗ h.counit.app Y) ≫ (LaxMonoidalFunctor.id D).μ X Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/NaturalTransformation.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
G : D ⥤ C
h : F.toFunctor ⊣ G
X Y : D
eq : (F.map (G.map (F.μ (G.obj X) (G.obj Y))) ≫ h.counit.app (F.obj (G.obj X ⊗ G.obj Y))) ≫ inv (F.μ (G.obj X) (G.obj Y)) = (h.counit.app (F.obj (G.obj X) ⊗ F.obj (G.obj Y)) ≫ F.μ (G.obj X) (G.obj Y)) ≫ inv (F.μ (G.obj X) (G.obj Y))

⊢ (monoidalAdjoint F h ⊗⋙ F.toLaxMonoidalFunctor).μ X Y ≫ h.counit.app (X ⊗ Y) = (h.counit.app X ⊗ h.counit.app Y) ≫ (LaxMonoidalFunctor.id D).μ X Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/NaturalTransformation.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
G : D ⥤ C
h : F.toFunctor ⊣ G
X Y : D
eq : F.map (G.map (F.μ (G.obj X) (G.obj Y))) ≫ h.counit.app (F.obj (G.obj X ⊗ G.obj Y)) ≫ inv (F.μ (G.obj X) (G.obj Y)) = h.counit.app (F.obj (G.obj X) ⊗ F.obj (G.obj Y))

⊢ (monoidalAdjoint F h ⊗⋙ F.toLaxMonoidalFunctor).μ X Y ≫ h.counit.app (X ⊗ Y) = (h.counit.app X ⊗ h.counit.app Y) ≫ (LaxMonoidalFunctor.id D).μ X Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/NaturalTransformation.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
G : D ⥤ C
h : F.toFunctor ⊣ G
X Y : D
eq : F.map (G.map (F.μ (G.obj X) (G.obj Y))) ≫ h.counit.app (F.obj (G.obj X ⊗ G.obj Y)) ≫ inv (F.μ (G.obj X) (G.obj Y)) = h.counit.app (F.obj (G.obj X) ⊗ F.obj (G.obj Y))

⊢ (F.μ (G.obj X) (G.obj Y) ≫ F.map ((h.homEquiv (G.obj X ⊗ G.obj Y) (X ⊗ Y)) (inv (F.μ (G.obj X) (G.obj Y)) ≫ (h.counit.app X ⊗ h.counit.app Y)))) ≫ h.counit.app (X ⊗ Y) = (h.counit.app X ⊗ h.counit.app Y) ≫ 𝟙 (X ⊗ Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/NaturalTransformation.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
G : D ⥤ C
h : F.toFunctor ⊣ G

⊢ (monoidalAdjoint F h ⊗⋙ F.toLaxMonoidalFunctor).ε ≫ h.counit.app (𝟙_ D) = (LaxMonoidalFunctor.id D).ε
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/NaturalTransformation.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
G : D ⥤ C
h : F.toFunctor ⊣ G
eq : (G ⋙ F.toFunctor).map F.ε ≫ h.counit.app (F.obj (𝟙_ C)) = h.counit.app (𝟙_ D) ≫ (𝟭 D).map F.ε

⊢ (monoidalAdjoint F h ⊗⋙ F.toLaxMonoidalFunctor).ε ≫ h.counit.app (𝟙_ D) = (LaxMonoidalFunctor.id D).ε
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/NaturalTransformation.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : MonoidalFunctor C D
G : D ⥤ C
h : F.toFunctor ⊣ G
eq : F.map (G.map F.ε) ≫ h.counit.app (F.obj (𝟙_ C)) = h.counit.app (𝟙_ D) ≫ F.ε

⊢ (F.ε ≫ F.map ((h.homEquiv (𝟙_ C) (𝟙_ D)) (inv F.ε))) ≫ h.counit.app (𝟙_ D) = 𝟙 (𝟙_ D)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
t : Set M'
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
ht : LinearIndependent R fun (x : ↑t) => ↑x

⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(⇑(inl R M M') '' s ∪ ⇑(inr R M M') '' t)) => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
t : Set M'
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
ht : LinearIndependent R fun (x : ↑t) => ↑x

⊢ Disjoint (span R (⇑(inl R M M') '' s)) (span R (⇑(inr R M M') '' t))
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M
t : Set M'
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
ht : LinearIndependent R fun (x : ↑t) => ↑x

⊢ Disjoint (Submodule.map (inl R M M') (span R s)) (Submodule.map (inr R M M') (span R t))
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
h : OpenEmbedding ⇑f
hF : F.IsSheaf

⊢ IsSheaf (⋯.functor.op ⋙ F)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
h : OpenEmbedding ⇑f
hF : F.IsSheaf
this : ⋯.functor.IsContinuous (Opens.grothendieckTopology ↑X) (Opens.grothendieckTopology ↑Y)

⊢ IsSheaf (⋯.functor.op ⋙ F)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α

⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (t : Set β), IsClosed t → ∃ u, IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
this : ∀ (t : Set β), IsClosed (s.restrict f ⁻¹' t) ↔ ∃ u, IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s

⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (t : Set β), IsClosed t → ∃ u, IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
this : ∀ (t : Set β), IsClosed (s.restrict f ⁻¹' t) ↔ ∃ u, IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s

⊢ (∀ (s_1 : Set β), IsClosed s_1 → IsClosed (s.restrict f ⁻¹' s_1)) ↔ ∀ (t : Set β), IsClosed t → ∃ u, IsClosed u ∧ f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ setToL1S T (f - g) = setToL1S T f - setToL1S T g
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
v : n → α
A : Matrix m n α
x✝ : m

⊢ (-A *ᵥ v) x✝ = (-(A *ᵥ v)) x✝
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ : α
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
a : α
u : Set (β × γ)
hu : MeasurableSet u

⊢ ((κ.restrict hs ⊗ₖ η.restrict ht) a) u = (((κ ⊗ₖ η).restrict ⋯) a) u
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a✝ : α
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
a : α
u : Set (β × γ)
hu : MeasurableSet u

⊢ ∫⁻ (b : β), ((η.restrict ht) (a, b)) {c | (b, c) ∈ u} ∂(κ.restrict hs) a = ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ u ∩ s ×ˢ t} ∂κ a