ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroupFinsupp.lean
X : Type u_1
f : X →₀ ℤ

⊢ toFinsupp (toFreeAbelianGroup f) = f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hBC : IsExtreme 𝕜 B C

⊢ IsExtreme 𝕜 A C
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hBC : IsExtreme 𝕜 B C
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxC : x ∈ C
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂

⊢ x₁ ∈ C ∧ x₂ ∈ C
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x✝ : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
hBC : IsExtreme 𝕜 B C
x₁ : E
hx₁A : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂A : x₂ ∈ A
x : E
hxC : x ∈ C
hx : x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
hx₁B : x₁ ∈ B
hx₂B : x₂ ∈ B

⊢ x₁ ∈ C ∧ x₂ ∈ C
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → α →ᵤ[𝔖] β

⊢ Continuous f ↔ ∀ s ∈ 𝔖, Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖) ∘ f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite

⊢ ∃ N', ∃ (hN : N' ≤ N₁), Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M₁) (inclusion hN)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
w✝¹ : Submodule R M
N' : Submodule R N
w✝ : w✝¹ ≤ M₁
hN : N' ≤ N₁
left✝ : Module.Finite R ↥w✝¹
hfin : Module.Finite R ↥N'
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion w✝) (inclusion hN)))

⊢ ∃ N', ∃ (hN : N' ≤ N₁), Module.Finite R ↥N' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M₁) (inclusion hN)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
w✝¹ : Submodule R M
N' : Submodule R N
w✝ : w✝¹ ≤ M₁
hN : N' ≤ N₁
left✝ : Module.Finite R ↥w✝¹
hfin : Module.Finite R ↥N'
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (map (inclusion w✝) (inclusion hN)))

⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M₁) (inclusion hN)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (↥M₁ ⊗[R] ↥N₁)
hs : s.Finite
w✝¹ : Submodule R M
N' : Submodule R N
w✝ : w✝¹ ≤ M₁
hN : N' ≤ N₁
left✝ : Module.Finite R ↥w✝¹
hfin : Module.Finite R ↥N'
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M₁) (inclusion hN) ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N') (inclusion w✝)))

⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M₁) (inclusion hN)))
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R

⊢ span {x} * I ≤ J ↔ ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x : R
I J : Ideal R

⊢ (∀ (r : R), x ∣ r → ∀ s ∈ I, r * s ∈ J) ↔ ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X

⊢ IsBlock G B ↔ ∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X

⊢ (∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B) → IsBlock G B
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X

⊢ (∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B) → ∀ (g g' : G), g • B = g' • B ∨ Disjoint (g • B) (g' • B)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : ∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
g g' : G

⊢ g • B = g' • B ∨ Disjoint (g • B) (g' • B)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : ∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
g g' : G

⊢ (g'⁻¹ * g) • B = B → g • B = g' • B
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hB : ∀ (g : G), g • B = B ∨ Disjoint (g • B) B
g g' : G

⊢ Disjoint ((g'⁻¹ * g) • B) B → Disjoint (g • B) (g' • B)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
R : α → α → Prop
s : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
l₁ l₂ : List α
this : ∀ (l₁ l₂ : List α), (∀ (x : α), x ∈ l₁ → ∀ (y : α), y ∈ l₂ → R x y) → ∀ (x : α), x ∈ l₂ → ∀ (y : α), y ∈ l₁ → R x y

⊢ Pairwise R (l₁ ++ l₂) ↔ Pairwise R (l₂ ++ l₁)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
R : α → α → Prop
s : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
l₁ l₂ : List α
this : ∀ (l₁ l₂ : List α), (∀ (x : α), x ∈ l₁ → ∀ (y : α), y ∈ l₂ → R x y) → ∀ (x : α), x ∈ l₂ → ∀ (y : α), y ∈ l₁ → R x y

⊢ (Pairwise R l₁ ∧ Pairwise R l₂ ∧ ∀ (a : α), a ∈ l₁ → ∀ (b : α), b ∈ l₂ → R a b) ↔ Pairwise R l₁ ∧ Pairwise R l₂ ∧ ∀ (a : α), a ∈ l₂ → ∀ (b : α), b ∈ l₁ → R a b
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
f✝ : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasImage f✝
A B : C
X : Subobject B
f : A ⟶ B
inst✝ : HasImage f
h : A ⟶ underlying.obj X
w : h ≫ X.arrow = f

⊢ ((imageSubobjectIso f).hom ≫ image.lift (MonoFactorisation.mk (underlying.obj X) X.arrow h ⋯)) ≫ X.arrow = (imageSubobject f).arrow
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/ContinuantsRecurrence.lean
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp ppred pred : Pair K
succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp
nth_conts_eq : g.conts n = ppred
succ_nth_conts_eq : g.conts (n + 1) = pred

⊢ g.conts (n + 2) = { a := gp.b * pred.a + gp.a * ppred.a, b := gp.b * pred.b + gp.a * ppred.b }
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/ContinuantsRecurrence.lean
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
gp ppred pred : Pair K
succ_nth_s_eq : g.s.get? (n + 1) = some gp
nth_conts_eq : g.contsAux (n + 1) = ppred
succ_nth_conts_eq : g.contsAux (n + 1 + 1) = pred

⊢ g.conts (n + 2) = { a := gp.b * pred.a + gp.a * ppred.a, b := gp.b * pred.b + gp.a * ppred.b }
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m m α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α

⊢ IsUnit (fromBlocks A 0 C D) ↔ IsUnit A ∧ IsUnit D
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4

⊢ Orthonormal 𝕜 fun x => ↑x
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroupFinsupp.lean
X : Type u_1
k : ℤ
h : k ≠ 0
a : FreeAbelianGroup X
x : X

⊢ x ∈ (k • a).support ↔ x ∈ a.support
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroupFinsupp.lean
X : Type u_1
k : ℤ
h : k ≠ 0
a : FreeAbelianGroup X
x : X

⊢ k • (coeff x) a ≠ 0 ↔ (coeff x) a ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
x✝ : DvdNotUnit I J
hI : I ≠ 0
H : Ideal A
hunit : ¬IsUnit H
hmul : J = I * H
h : J = I

⊢ I * H = I * 1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
eq : cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
eq : cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w
length_mod_two : cs.length (w * cs.simple i) % 2 = (cs.length w + cs.length (cs.simple i)) % 2

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
eq : cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w
length_mod_two : cs.length w % 2 = (cs.length w + 1) % 2

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
eq : cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w
length_mod_two : cs.length w % 2 = (cs.length w + 1) % 2
even : cs.length w % 2 = 0

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B
eq : cs.length (w * cs.simple i) = cs.length w
length_mod_two : cs.length w % 2 = (cs.length w + 1) % 2
odd : cs.length w % 2 = 1

⊢ False
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α

⊢ StrictAntiOn (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) s ↔ StrictAntiOn f s
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x x' y y' : ZFSet
H : x.pair y = x'.pair y'

⊢ x = x' ∧ y = y'
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x x' y y' : ZFSet
H : x.pair y = x'.pair y'
ae : ∀ (z : ZFSet), z ∈ x.pair y ↔ z ∈ x'.pair y'

⊢ x = x' ∧ y = y'
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x x' y y' : ZFSet
H : x.pair y = x'.pair y'
ae : ∀ (z : ZFSet), z = {x} ∨ z = {x, y} ↔ z = {x'} ∨ z = {x', y'}

⊢ x = x' ∧ y = y'
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y y' : ZFSet
H : x.pair y = x.pair y'
ae : ∀ (z : ZFSet), z = {x} ∨ z = {x, y} ↔ z = {x} ∨ z = {x, y'}
he : x = y → y = y'

⊢ x = x ∧ y = y'
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y y' : ZFSet
H : x.pair y = x.pair y'
ae : ∀ (z : ZFSet), z = {x} ∨ z = {x, y} ↔ z = {x} ∨ z = {x, y'}
he : x = y → y = y'
xyx : {x, y} = {x}

⊢ x = x ∧ y = y'
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y y' : ZFSet
H : x.pair y = x.pair y'
ae : ∀ (z : ZFSet), z = {x} ∨ z = {x, y} ↔ z = {x} ∨ z = {x, y'}
he : x = y → y = y'
xyy' : {x, y} = {x, y'}

⊢ x = x ∧ y = y'
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p

⊢ p x fun n => aeSeq hf p n x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p

⊢ p x fun n => AEMeasurable.mk (f n) ⋯ x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p

⊢ p x fun n => f n x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
h_ss : aeSeqSet hf p ⊆ {x | p x fun n => f n x}

⊢ p x fun n => f n x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
h_ss : aeSeqSet hf p ⊆ {x | p x fun n => f n x}
hx' : x ∈ {x | p x fun n => f n x}

⊢ p x fun n => f n x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x ε : ℝ

⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε = ⋃ z, closedBall (x + z • p) ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
x ε : ℝ

⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε = ⋃ z, closedBall (x + z • 0) ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x ε : ℝ
hp : p ≠ 0

⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε = ⋃ z, closedBall (x + z • p) ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x ε : ℝ
hp : p ≠ 0
y : ℝ

⊢ y ∈ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε ↔ y ∈ ⋃ z, closedBall (x + z • p) ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x ε : ℝ
hp : p ≠ 0
y : ℝ

⊢ |y - x - ↑(round (p⁻¹ * (y - x))) * p| ≤ ε ↔ ∃ i, |y - x - ↑i * p| ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x ε : ℝ
hp : p ≠ 0
y : ℝ
n : ℤ
hn : |y - x - ↑n * p| ≤ ε

⊢ |y - x - ↑(round (p⁻¹ * (y - x))) * p| ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x ε : ℝ
hp : p ≠ 0
y : ℝ
n : ℤ
hn : |p⁻¹ * (y - x) - ↑n| ≤ |p⁻¹| * ε

⊢ |p⁻¹ * (y - x) - ↑(round (p⁻¹ * (y - x)))| ≤ |p⁻¹| * ε
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : β → γ
s : Set (α → β)
t : Set α

⊢ f '' s.seq t = ((fun x => f ∘ x) '' s).seq t
-- Mathlib/Data/Multiset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
m : Multiset α
xs : List α

⊢ (map f ⟦xs⟧).sym2 = map (Sym2.map f) (Multiset.sym2 ⟦xs⟧)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k✝ n✝ k n : ℕ
hkn : k ≤ n

⊢ addRothNumber (Iio ↑k) ≤ rothNumberNat k
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k✝ n✝ k n : ℕ
hkn : k ≤ n

⊢ Set.BijOn Nat.cast ↑(range k) ↑(Iio ↑k)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k✝ n✝ k n : ℕ
hkn : k ≤ n

⊢ Set.MapsTo Nat.cast ↑(range k) ↑(Iio ↑k)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k✝ n✝ k n : ℕ
hkn : k ≤ n

⊢ Set.SurjOn Nat.cast ↑(range k) ↑(Iio ↑k)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k✝ n✝ k n : ℕ
hkn : k ≤ n

⊢ ∀ (x : Fin n.succ), ↑x < k → ∃ x_1 < k, ↑x_1 = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x y : M × R
f : M × R →ₗ[R] M × R →ₗ[R] CliffordAlgebra Q := ((Algebra.lmul R (CliffordAlgebra Q)).toLinearMap ∘ₗ (ι Q ∘ₗ LinearMap.fst R M R + Algebra.linearMap R (CliffordAlgebra Q) ∘ₗ LinearMap.snd R M R)).compl₂ (ι Q ∘ₗ LinearMap.fst R M R - Algebra.linearMap R (CliffordAlgebra Q) ∘ₗ LinearMap.snd R M R)

⊢ ((even.lift (Q' Q)) { bilin := f, contract := ⋯, contract_mid := ⋯ }) (((even.ι (Q' Q)).bilin x) y) = ((ι Q) x.1 + (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) x.2) * ((ι Q) y.1 - (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) y.2)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
hI' : ¬M.Base I
hB : M.Base B

⊢ ∃ e ∈ B \ I, M.Indep (insert e I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
hI' : ¬M.Base I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'

⊢ ∃ e ∈ B \ I, M.Indep (insert e I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
hI' : ¬M.Base I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
x : α
hxB' : x ∈ B'
hx : x ∉ I

⊢ ∃ e ∈ B \ I, M.Indep (insert e I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
hI' : ¬M.Base I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
x : α
hxB' : x ∈ B'
hx : x ∉ I
hxB : x ∉ B

⊢ ∃ e ∈ B \ I, M.Indep (insert e I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e✝ f : α
hI : M.Indep I
hI' : ¬M.Base I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
x : α
hxB' : x ∈ B'
hx : x ∉ I
hxB : x ∉ B
e : α
he : e ∈ B \ B'
hBase : M.Base (insert e (B' \ {x}))

⊢ ∃ e ∈ B \ I, M.Indep (insert e I)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂

⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₁ s.center).cos / 2 = s.radius
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂

⊢ ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁‖ / (1 / √(1 + (∡ p₂ p₁ s.center).tan ^ 2)) = ‖midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁ + (∡ p₂ p₁ s.center).tan • (o.rotation ↑(π / 2)) (midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁)‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂

⊢ midpoint ℝ p₁ p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1

⊢ Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
p_monic : p.Monic
p_1 : p ≠ 1

⊢ (∀ (q : R[X]), q.Monic → 0 < q.degree → q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p) ↔ ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
C : ℕ → Sort u_1
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
next : {k : ℕ} → C k → C (k + 1)
Hnext : ∀ (n : ℕ), Injective next

⊢ Injective (leRecOn hnm fun {k} => next)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
x : G × N

⊢ x ∈ K.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (MonoidHom.fst G N) K
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b

⊢ γ.extend (min 0 0) = a
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b

⊢ γ.truncate 0 0 = (refl a).cast ⋯ ⋯
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
n : ℕ

⊢ n • {a} = replicate n a
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
inhabited_h : Inhabited α

⊢ ∃ f, StrictMono f
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → α
hf : StrictMono f
hf₀ : f 0 = default

⊢ ∃ f, StrictMono f
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → α
hf : StrictMono f
hf₀ : f 0 = default
g : ℕ → α
hg : StrictAnti g
hg₀ : g 0 = default

⊢ ∃ f, StrictMono f
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Nonempty α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
inhabited_h : Inhabited α
f : ℕ → α
hf : StrictMono f
hf₀ : f 0 = default
g : ℕ → α
hg : StrictAnti g
hg₀ : g 0 = default

⊢ ∀ (n : ℤ), (Int.casesOn n f fun n => g (n + 1)) < Int.casesOn (n + 1) f fun n => g (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

⊢ Tendsto (fun n => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

⊢ Tendsto (fun n => ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * T_gen p F a ^ 2 ^ n) atTop (𝓝 (‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ * 0))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]

⊢ (taylor r) 1 = C 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
m : M

⊢ ‖inr m‖ = ‖m‖
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
p : TangentBundle I M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
h : MDifferentiableAt I I' f p.proj

⊢ tangentMapWithin I I' f s p = tangentMap I I' f p