ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
h : ∀ J ∈ π, l.MemBaseSet J c r (πi J)
hp : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition
hc : l.bDistortion = true → π.compl.distortion ≤ c

⊢ l.MemBaseSet I c r (π.biUnionTagged πi)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
h : ∀ J ∈ π, l.MemBaseSet J c r (πi J)
hp : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition
hc : l.bDistortion = true → π.compl.distortion ≤ c
hD : l.bDistortion = true

⊢ (π.biUnionTagged πi).distortion ≤ c
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l l₁ l₂ : IntegrationParams
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
h : ∀ J ∈ π, l.MemBaseSet J c r (πi J)
hp : ∀ J ∈ π, (πi J).IsPartition
hc : l.bDistortion = true → π.compl.distortion ≤ c
hD : l.bDistortion = true

⊢ ∃ π', π'.iUnion = ↑I \ (π.biUnionTagged πi).iUnion ∧ π'.distortion ≤ c
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a : α
f : α →₀ M

⊢ (erase a f) a = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Cardinal.lean
σ✝ : Type u
R✝ : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R

⊢ #(MvPolynomial σ R) ≤ max (max (lift.{u, v} #R) (lift.{v, u} #σ)) ℵ₀
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Cardinal.lean
σ✝ : Type u
R✝ : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
h✝ : Subsingleton R

⊢ #(MvPolynomial σ R) ≤ max (max (lift.{u, v} #R) (lift.{v, u} #σ)) ℵ₀
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Cardinal.lean
σ✝ : Type u
R✝ : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
h✝ : Nontrivial R

⊢ #(MvPolynomial σ R) ≤ max (max (lift.{u, v} #R) (lift.{v, u} #σ)) ℵ₀
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Cardinal.lean
σ✝ : Type u
R✝ : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : IsEmpty σ

⊢ #(MvPolynomial σ R) ≤ max (max (lift.{u, v} #R) (lift.{v, u} #σ)) ℵ₀
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Cardinal.lean
σ✝ : Type u
R✝ : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R✝
σ : Type u
R : Type v
inst✝ : CommSemiring R
h✝¹ : Nontrivial R
h✝ : Nonempty σ

⊢ #(MvPolynomial σ R) ≤ max (max (lift.{u, v} #R) (lift.{v, u} #σ)) ℵ₀
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : 1 < p

⊢ pNilradical R p = nilradical R
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B₁ B₂ : Set X
h₁ : IsBlock G B₁
h₂ : IsBlock G B₂

⊢ IsBlock G (B₁ ∩ B₂)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B₁ B₂ : Set X
h₁ : IsBlock G B₁
h₂ : IsBlock G B₂

⊢ ∀ (g : G), g • (B₁ ∩ B₂) = B₁ ∩ B₂ ∨ Disjoint (g • (B₁ ∩ B₂)) (B₁ ∩ B₂)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B₁ B₂ : Set X
h₁ : IsBlock G B₁
h₂ : IsBlock G B₂
g : G

⊢ g • (B₁ ∩ B₂) = B₁ ∩ B₂ ∨ Disjoint (g • (B₁ ∩ B₂)) (B₁ ∩ B₂)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B₁ B₂ : Set X
h₁ : IsBlock G B₁
h₂ : IsBlock G B₂
g : G

⊢ g • B₁ ∩ g • B₂ = B₁ ∩ B₂ ∨ Disjoint (g • B₁ ∩ g • B₂) (B₁ ∩ B₂)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B₁ B₂ : Set X
h₁✝ : IsBlock G B₁
h₂ : IsBlock G B₂
g : G
h₁ : g • B₁ = B₁

⊢ g • B₁ ∩ g • B₂ = B₁ ∩ B₂ ∨ Disjoint (g • B₁ ∩ g • B₂) (B₁ ∩ B₂)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B₁ B₂ : Set X
h₁✝ : IsBlock G B₁
h₂ : IsBlock G B₂
g : G
h₁ : Disjoint (g • B₁) B₁

⊢ g • B₁ ∩ g • B₂ = B₁ ∩ B₂ ∨ Disjoint (g • B₁ ∩ g • B₂) (B₁ ∩ B₂)
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
r : α → α → Prop
z : Sym2 α

⊢ z ∈ fromRel ⋯ ↔ z ∈ {z | ¬z.IsDiag}
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c x : α

⊢ a ⊔ b ⊔ c ≤ x ↔ a ⊔ (b ⊔ c) ≤ x
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c x : α

⊢ (a ≤ x ∧ b ≤ x) ∧ c ≤ x ↔ a ≤ x ∧ b ≤ x ∧ c ≤ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
h_ne : A ≠ 0

⊢ ∃ v t, t ≠ 0 ∧ v ≠ 0 ∧ A *ᵥ v = t • v
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]

⊢ ({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ } + { toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.toFinsupp + { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/EmbeddingReal.lean
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : StandardBorelSpace α
inst✝¹ : Infinite α
inst✝ : Countable α

⊢ Nonempty (α ≃ᵐ ↑(range Nat.cast))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/EmbeddingReal.lean
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : StandardBorelSpace α
inst✝¹ : Infinite α
inst✝ : Countable α
this : PolishSpace ↑(range Nat.cast)

⊢ Nonempty (α ≃ᵐ ↑(range Nat.cast))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/EmbeddingReal.lean
α : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : StandardBorelSpace α
inst✝¹ : Infinite α
inst✝ : Countable α
this : PolishSpace ↑(range Nat.cast)

⊢ ℕ ≃ ↑(range Nat.cast)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n✝ : ℕ∞
x✝ : (i : ι) → E i
n : ℕ
x : (i : ι) → E i

⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (⇑f) x‖ ≤ ↑((Fintype.card ι).descFactorial n) * ‖f‖ * ‖x‖ ^ (Fintype.card ι - n)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
n✝ : ℕ∞
x✝ : (i : ι) → E i
n : ℕ
x : (i : ι) → E i

⊢ ‖f.iteratedFDeriv n x‖ ≤ ↑((Fintype.card ι).descFactorial n) * ‖f‖ * ‖x‖ ^ (Fintype.card ι - n)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
x : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
inst✝ : (i' : ι) → Decidable (i' ∈ {i})
j : ι

⊢ ((single i (x i)).piecewise (erase i x) {i}) j = x j
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
x : Π₀ (i : ι), β i
i : ι
inst✝ : (i' : ι) → Decidable (i' ∈ {i})
j : ι

⊢ (if j ∈ {i} then (single i (x i)) j else (erase i x) j) = x j
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
h : a < 0

⊢ a⁻¹ • b₁ < b₂ ↔ a • b₂ < b₁
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Set α
a : α

⊢ ThreeGPFree (insert a s) ↔ ThreeGPFree s ∧ (∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Set α
a : α

⊢ (ThreeGPFree s ∧ (∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b) ∧ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a) → ThreeGPFree (insert a s)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
hs : ThreeGPFree s
ha : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b
ha' : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a
b : α
hb : b ∈ insert a s
c : α
hc : c ∈ insert a s
d : α
hd : d ∈ insert a s
h : b * d = c * c

⊢ b = c
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Set α
a : α
hs : ThreeGPFree s
ha : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → a * c = b * b → a = b
ha' : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ s → ∀ ⦃c : α⦄, c ∈ s → b * c = a * a → b = a
b : α
hb : b = a ∨ b ∈ s
c : α
hc : c = a ∨ c ∈ s
d : α
hd : d = a ∨ d ∈ s
h : b * d = c * c

⊢ b = c
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
S T : Seq (Seq1 α)

⊢ (S.append T).join = S.join.append T.join
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
S T : Seq (Seq1 α)

⊢ IsBisimulation fun s1 s2 => ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
S T : Seq (Seq1 α)

⊢ ∃ s S_1 T_1, (S.append T).join = s.append (S_1.append T_1).join ∧ S.join.append T.join = s.append (S_1.join.append T_1.join)
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : r ≤ 0

⊢ clog b r = 0
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : r ≤ 0

⊢ ⌊r⁻¹⌋₊ < b ∨ b ≤ 1
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : r ≤ 0
hb : b ≤ 1

⊢ ⌊r⁻¹⌋₊ < b ∨ b ≤ 1
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hr : r ≤ 0
hb : 1 < b

⊢ ⌊r⁻¹⌋₊ < b ∨ b ≤ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f g : α →ₘ[μ] β
H : f.toGerm = g.toGerm

⊢ ↑↑f = ↑↑g
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Submodule.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommRing P

⊢ coeSubmodule S ⊥ = ⊥
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hlt : q < p

⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hlt : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hlt : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)

⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hlt : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)

⊢ ∀ (x_1 : ℕ), (C < ↑x_1 ^ (p - q) ∧ 1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < ↑x_1 ^ (-q)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hlt✝ : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
n : ℕ
hnC : C < ↑n ^ (p - q)
hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

⊢ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hlt✝ : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
n : ℕ
hnC : C < ↑n ^ (p - q)
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
hn : 0 < ↑n

⊢ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hlt✝ : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
n : ℕ
hnC : C < ↑n ^ (p - q)
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
hn : 0 < ↑n

⊢ C < ↑n ^ (-q) * ↑n ^ p
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Subfield.lean
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α

⊢ Function.Surjective (WType.elim (↥(closure s)) (Subfield.operate s))
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Subfield.lean
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α

⊢ Set.range (WType.elim (↥(closure s)) (Subfield.operate s)) = Set.univ
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : Preorder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hb : b ≤ 0
h : a ≤ 1

⊢ b ≤ a * b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ t : R
m : M
hm : m ∈ ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k

⊢ m ∈ ⨆ k, ((t • f).genEigenspace (t * μ)) k
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ t : R
m : M
hm : ∃ k, ((f - μ • 1) ^ k) m = 0

⊢ ∃ k, ((t • f - (t * μ) • 1) ^ k) m = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ t : R
m : M
hm : ∃ k, ((f - μ • 1) ^ k) m = 0
k : ℕ
hk : ((f - μ • 1) ^ k) m = 0

⊢ ((t • f - (t * μ) • 1) ^ k) m = 0
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
h : 0 ≤ x

⊢ √x ^ 2 = x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
i : ℤ
g : G
a : α

⊢ g ^ (i + ↑(period g a)) • a = g ^ i • a
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommMonoid β
n : ℕ

⊢ stoppedProcess u τ n = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.range n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommMonoid β
n : ℕ

⊢ {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.Iio n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i) = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.range n, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommMonoid β
n i : ℕ

⊢ i ∈ Finset.Iio n ↔ i ∈ Finset.range n
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean
n : ℕ
a b : Fin n

⊢ (Ioi a).card = n - 1 - ↑a
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E✝
inst✝⁵ : Algebra F E✝
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
E : Type v
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hfd : FiniteDimensional F E

⊢ finSepDegree F E = finrank F E
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E✝
inst✝⁵ : Algebra F E✝
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
E : Type v
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hfd : FiniteDimensional F E

⊢ finSepDegree F ↥⊤ = finrank F ↥⊤
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E✝
inst✝⁵ : Algebra F E✝
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
E : Type v
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hfd : FiniteDimensional F E
L : IntermediateField F E
x : E
h : (fun K => finSepDegree F ↥K = finrank F ↥K) L

⊢ (fun K => finSepDegree F ↥K = finrank F ↥K) (restrictScalars F (↥L)⟮x⟯)
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E✝
inst✝⁵ : Algebra F E✝
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
E : Type v
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
hfd : FiniteDimensional F E
L : IntermediateField F E
x : E
h : finSepDegree F ↥L = finrank F ↥L
M : IntermediateField (↥L) E := (↥L)⟮x⟯
heq : finSepDegree F ↥L * finSepDegree ↥L ↥M = finrank F ↥L * finrank ↥L ↥M
this : Algebra.IsAlgebraic ↥L ↥M

⊢ finSepDegree F ↥(restrictScalars F M) = finrank F ↥(restrictScalars F M)
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G

⊢ S ∈ rightTransversals T ↔ ∀ (g : G), ∃! s, g * (↑s)⁻¹ ∈ T
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G

⊢ (∀ (g : G), ∃! x, ↑x.1 * ↑x.2 = g) ↔ ∀ (g : G), ∃! s, g * (↑s)⁻¹ ∈ T
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
B₂ : ?m.316755
F₂ : BilinForm R M
f : Module.End R₁ M₁

⊢ (∀ (x y : M₁), (B₁ (f x)) y = (B₁ x) ((-f) y)) ↔ ∀ (x y : M₁), (B₁ (f x)) y = ((-B₁) x) (f y)
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
a : M
hs : IsSubmonoid s
h : a ∈ s

⊢ a ^ 0 ∈ s
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
a : M
hs : IsSubmonoid s
h : a ∈ s

⊢ 1 ∈ s
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
a : M
hs : IsSubmonoid s
h : a ∈ s
n : ℕ

⊢ a ^ (n + 1) ∈ s
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
a : M
hs : IsSubmonoid s
h : a ∈ s
n : ℕ

⊢ a ^ n * a ∈ s
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : TopologicalGroup G
f : α → G
inst✝¹ : FirstCountableTopology G
inst✝ : T1Space G
hf : Multipliable f

⊢ (mulSupport f).Countable
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NeZero.lean
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
inst✝² : MulZeroOneClass M₀
inst✝¹ : Nontrivial M₀
G₀ : Type u_3
inst✝ : GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0

⊢ a⁻¹ * a = a⁻¹ * a * a⁻¹ * a⁻¹⁻¹
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NeZero.lean
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
inst✝² : MulZeroOneClass M₀
inst✝¹ : Nontrivial M₀
G₀ : Type u_3
inst✝ : GroupWithZero G₀
a : G₀
h : a ≠ 0

⊢ a⁻¹ * a⁻¹⁻¹ = 1
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra F L
hL : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)

⊢ Fintype.card (E →ₐ[F] L) = finrank F E
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra F L
hL : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)

⊢ Fintype.card (E →ₐ[F] AlgebraicClosure L) = finrank F E
-- Mathlib/Topology/LocallyFinite.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g✝ : ι → Set X
g : ι' → ι
hf : LocallyFinite f
hg : InjOn g {i | (f (g i)).Nonempty}
x : X
t : Set X
htx : t ∈ 𝓝 x
htf : {i | (f i ∩ t).Nonempty}.Finite

⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, {i | ((f ∘ g) i ∩ t).Nonempty}.Finite
-- Mathlib/Topology/LocallyFinite.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g✝ : ι → Set X
g : ι' → ι
hf : LocallyFinite f
hg : InjOn g {i | (f (g i)).Nonempty}
x : X
t : Set X
htx : t ∈ 𝓝 x
htf : {i | (f i ∩ t).Nonempty}.Finite

⊢ InjOn g (g ⁻¹' {i | (f i ∩ t).Nonempty})
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
n : ℕ
hp : Prime p
hpow : p ^ n.succ ∣ a ^ n.succ * b ^ n
hb : ¬p ^ 2 ∣ b

⊢ p ∣ a
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
n : ℕ
hp : Prime p
hpow : p ^ n.succ ∣ a ^ n.succ * b ^ n
hb : ¬p ^ 2 ∣ b
H : p ∣ a ^ n.succ

⊢ p ∣ a
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
n : ℕ
hp : Prime p
hpow : p ^ n.succ ∣ a ^ n.succ * b ^ n
hb : ¬p ^ 2 ∣ b
hbdiv : p ∣ b ^ n

⊢ p ∣ a
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a : α
n : ℕ
hp : Prime p
x : α
hpow : p ^ n.succ ∣ a ^ n.succ * (p * x) ^ n
hb : ¬p ^ 2 ∣ p * x
hbdiv : p ∣ (p * x) ^ n

⊢ p ∣ a
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a : α
n : ℕ
hp : Prime p
x : α
hb : ¬p ^ 2 ∣ p * x
hbdiv : p ∣ (p * x) ^ n
y : α
hy : a ^ n.succ * (p * x) ^ n = p ^ n.succ * y

⊢ p ∣ a
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a : α
n : ℕ
hp : Prime p
x : α
hb : ¬p ^ 2 ∣ p * x
hbdiv : p ∣ (p * x) ^ n
y : α
hy : a ^ n.succ * (p * x) ^ n = p ^ n.succ * y
this : a ^ n.succ * x ^ n = p * y

⊢ p ∣ a
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a : α
n : ℕ
hp : Prime p
x : α
hb : ¬p ^ 2 ∣ p * x
hbdiv : p ∣ (p * x) ^ n
y : α
hy : a ^ n.succ * (p * x) ^ n = p ^ n.succ * y
this : a ^ n.succ * x ^ n = p * y
hdvdx : p ∣ x ^ n

⊢ p ^ 2 ∣ p * x
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a : α
n : ℕ
hp : Prime p
y z : α
hb : ¬p ^ 2 ∣ p * (p * z)
hbdiv : p ∣ (p * (p * z)) ^ n
hy : a ^ n.succ * (p * (p * z)) ^ n = p ^ n.succ * y
this : a ^ n.succ * (p * z) ^ n = p * y
hdvdx : p ∣ (p * z) ^ n

⊢ p ^ 2 ∣ p * (p * z)