ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Diagonal.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
inst✝ : HasPullbacks C
U V₁ V₂ : C
f : X ⟶ Y
i : U ⟶ Y
i₁ : V₁ ⟶ pullback f i
i₂ : V₂ ⟶ pullback f i

⊢ snd (diagonal f) (map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i ⋯ ⋯) ≫ fst (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) ≫ i₁ ≫ fst f i = fst (diagonal f) (map (i₁ ≫ snd f i) (i₂ ≫ snd f i) f f (i₁ ≫ fst f i) (i₂ ≫ fst f i) i ⋯ ⋯) ≫ 𝟙 X
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
ha : a ∈ s
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b

⊢ b ∈ s
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b
ha : a ∈ S

⊢ b ∈ s
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b
ha : a ∈ S
Sbd : BddAbove S

⊢ b ∈ s
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b
ha : a ∈ S
Sbd : BddAbove S
c : α := sSup (s ∩ Icc a b)

⊢ b ∈ s
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b
ha : a ∈ S
Sbd : BddAbove S
c : α := sSup (s ∩ Icc a b)
c_mem : c ∈ S

⊢ b ∈ s
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b
ha : a ∈ S
Sbd : BddAbove S
c : α := sSup (s ∩ Icc a b)
c_mem : c ∈ S
c_le : c ≤ b

⊢ b ∈ s
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b
ha : a ∈ S
Sbd : BddAbove S
c : α := sSup (s ∩ Icc a b)
c_mem : c ∈ S
c_le : c ≤ b
hc : c = b

⊢ b ∈ s
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b
ha : a ∈ S
Sbd : BddAbove S
c : α := sSup (s ∩ Icc a b)
c_mem : c ∈ S
c_le : c ≤ b
hc : c < b

⊢ b ∈ s
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b
ha : a ∈ S
Sbd : BddAbove S
c : α := sSup (s ∩ Icc a b)
c_mem : c ∈ S
c_le : c ≤ b
hc : c < b

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁶ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : Nonempty γ
a b : α
s : Set α
hs : IsClosed (s ∩ Icc a b)
hab : a ≤ b
hgt : ∀ x ∈ s ∩ Ico a b, (s ∩ Ioc x b).Nonempty
S : Set α := s ∩ Icc a b
ha : a ∈ S
Sbd : BddAbove S
c : α := sSup (s ∩ Icc a b)
c_mem : c ∈ S
c_le : c ≤ b
hc : c < b
x : α
xs : x ∈ s
cx : c < x
xb : x ≤ b

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
x : E

⊢ oscillation f x = 0 ↔ ContinuousAt f x
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
x : E

⊢ oscillationWithin f univ x = 0 ↔ ContinuousWithinAt f univ x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ShrinkingLemma.lean
α : Type u
ι : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c : ι → α
x : α
r✝ : ℝ
s : Set α
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), 0 < r i
hs : IsClosed s
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ ball (c i) (r i)}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)

⊢ ∃ r', s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r' i) ∧ ∀ (i : ι), r' i ∈ Ioo 0 (r i)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ShrinkingLemma.lean
α : Type u
ι : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c : ι → α
x : α
r✝ : ℝ
s : Set α
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), 0 < r i
hs : IsClosed s
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ ball (c i) (r i)}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)
v : ι → Set α
hsv : s ⊆ iUnion v
hvc : ∀ (i : ι), IsClosed (v i)
hcv : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r i)

⊢ ∃ r', s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r' i) ∧ ∀ (i : ι), r' i ∈ Ioo 0 (r i)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ShrinkingLemma.lean
α : Type u
ι : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c : ι → α
x : α
r✝ : ℝ
s : Set α
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), 0 < r i
hs : IsClosed s
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ ball (c i) (r i)}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)
v : ι → Set α
hsv : s ⊆ iUnion v
hvc : ∀ (i : ι), IsClosed (v i)
hcv : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r i)
this : ∀ (i : ι), ∃ r' ∈ Ioo 0 (r i), v i ⊆ ball (c i) r'

⊢ ∃ r', s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r' i) ∧ ∀ (i : ι), r' i ∈ Ioo 0 (r i)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ShrinkingLemma.lean
α : Type u
ι : Type v
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
c : ι → α
x : α
r✝ : ℝ
s : Set α
r : ι → ℝ
hr : ∀ (i : ι), 0 < r i
hs : IsClosed s
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ ball (c i) (r i)}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r i)
v : ι → Set α
hsv : s ⊆ iUnion v
hvc : ∀ (i : ι), IsClosed (v i)
hcv : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r i)
r' : ι → ℝ
hlt : ∀ (i : ι), r' i ∈ Ioo 0 (r i)
hsub : ∀ (i : ι), v i ⊆ ball (c i) (r' i)

⊢ ∃ r', s ⊆ ⋃ i, ball (c i) (r' i) ∧ ∀ (i : ι), r' i ∈ Ioo 0 (r i)
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame

⊢ 0 ≤ x ↔ ∀ (j : x.RightMoves), ∃ i, 0 ≤ (x.moveRight j).moveLeft i
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame

⊢ ((∀ (i : LeftMoves 0), (∃ i', moveLeft 0 i ≤ x.moveLeft i') ∨ ∃ j, (moveLeft 0 i).moveRight j ≤ x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), (∃ i, 0 ≤ (x.moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', moveRight 0 j' ≤ x.moveRight j) ↔ ∀ (j : x.RightMoves), ∃ i, 0 ≤ (x.moveRight j).moveLeft i
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
a : ℤ
b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0

⊢ ↑(mkRat a b) = ↑a / ↑b
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
a : ℤ
b : ℕ
hb : ↑b ≠ 0

⊢ ↑↑b ≠ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
h : a ∈ t

⊢ a ∉ s \ t
-- Mathlib/Algebra/Module/BigOperators.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : AddCommMonoid α
f : κ → α
s : Finset κ
i : ι

⊢ ∑ g ∈ piFinset fun x => s, f (g i) = s.card ^ (card ι - 1) • ∑ b ∈ s, f b
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p q : α
hq : Irreducible q
left✝ : p ≠ 0
x : α
hx : ¬IsUnit x
hx' : q = p * x

⊢ IsUnit p
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)

⊢ X.map (SimplexCategory.δ i) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc) = X.map (SimplexCategory.δ i) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.succ)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α

⊢ (f.cycleOf x).support.Nonempty ↔ f x ≠ x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α

⊢ Nat.succ 0 ≤ (f.cycleOf x).support.card ↔ 2 ≤ (f.cycleOf x).support.card
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks

⊢ Embedding (tensorProductTo R S T)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks

⊢ Inducing (tensorProductTo R S T)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom

⊢ Inducing (tensorProductTo R S T)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom

⊢ ∀ U ∈ Set.range basicOpen, IsOpen ↑U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
f : S ⊗[R] T

⊢ IsOpen ↑(basicOpen f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
f : S ⊗[R] T

⊢ ∀ x ∈ ↑(basicOpen f), ∃ t ⊆ ↑(basicOpen f), IsOpen t ∧ x ∈ t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
f : S ⊗[R] T
J : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
hJ : f ∉ J.asIdeal

⊢ ∃ t ⊆ ↑(basicOpen f), IsOpen t ∧ J ∈ t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
f : S ⊗[R] T
J : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
hJ : f ∉ J.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g J.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * f = a ⊗ₜ[R] t

⊢ ∃ t ⊆ ↑(basicOpen f), IsOpen t ∧ J ∈ t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
f : S ⊗[R] T
J : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
hJ : f ∉ J.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g J.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * f = a ⊗ₜ[R] t

⊢ tensorProductTo R S T ⁻¹' (basicOpen a).carrier ×ˢ (basicOpen t).carrier ⊆ ↑(basicOpen f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/TensorProduct.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
hRT : (algebraMap R T).SurjectiveOnStalks
g : T →+* S ⊗[R] T := Algebra.TensorProduct.includeRight.toRingHom
f : S ⊗[R] T
J : PrimeSpectrum (S ⊗[R] T)
hJ : f ∉ J.asIdeal
t : T
r : R
a : S
ht : r • t ∉ Ideal.comap g J.asIdeal
e : 1 ⊗ₜ[R] (r • t) * f = a ⊗ₜ[R] t

⊢ J ∈ tensorProductTo R S T ⁻¹' (basicOpen a).carrier ×ˢ (basicOpen t).carrier
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
S : Submonoid R
inst✝³ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid X
inst✝¹ : Module R X
T : Type u_3
inst✝ : Semiring T
f : R →+* T
fS : ↥S →* Tˣ
hf : ∀ (s : ↥S), f ↑s = ↑(fS s)
r : R

⊢ (universalHom f fS hf) (numeratorHom r) = f r
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
b : ℕ

⊢ jacobiSymNat 1 b = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Finite β
P : Perm β → Prop
σ : Perm β
base_one : P 1
base_cycles : ∀ (σ : Perm β), σ.IsCycle → P σ
induction_disjoint : ∀ (σ τ : Perm β), σ.Disjoint τ → σ.IsCycle → P σ → P τ → P (σ * τ)

⊢ P σ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Finite β
P : Perm β → Prop
σ : Perm β
base_one : P 1
base_cycles : ∀ (σ : Perm β), σ.IsCycle → P σ
induction_disjoint : ∀ (σ τ : Perm β), σ.Disjoint τ → σ.IsCycle → P σ → P τ → P (σ * τ)
val✝ : Fintype β

⊢ P σ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Finite β
P : Perm β → Prop
σ : Perm β
base_one : P 1
base_cycles : ∀ (σ : Perm β), σ.IsCycle → P σ
induction_disjoint : ∀ (σ τ : Perm β), σ.Disjoint τ → σ.IsCycle → P σ → P τ → P (σ * τ)
val✝ : Fintype β

⊢ ∀ (l : List (Perm β)), (∀ τ ∈ l, τ.IsCycle) → List.Pairwise Disjoint l → P l.prod
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ

⊢ dist x y ≠ 0 ↔ x ≠ y
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ : V
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x y : V

⊢ angle (c • x) (c • y) = angle x y
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ : V
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x y : V
this : c * c ≠ 0

⊢ angle (c • x) (c • y) = angle x y
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
F : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f✝ : F
f : R ≃+* S

⊢ ker ↑f = ⊥
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
x : α
hx : x ∈ (a :: b :: l).getLast?

⊢ ∃ h, x = (a :: b :: l).getLast h
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
x : α
hx : x ∈ (b :: l).getLast?

⊢ ∃ h, x = (a :: b :: l).getLast h
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
x : α
hx : x ∈ (b :: l).getLast?
w✝ : b :: l ≠ []
h₂ : x = (b :: l).getLast w✝

⊢ ∃ h, x = (a :: b :: l).getLast h
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
x : α
hx : x ∈ (b :: l).getLast?
w✝ : b :: l ≠ []
h₂ : x = (b :: l).getLast w✝

⊢ x = (a :: b :: l).getLast ⋯
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ

⊢ Fintype.card ↑(Set.Ico a b) = b - a
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
U : Set G
hU : IsOpen U
h'U : U.Nonempty
h : μ U ≠ ⊤
K : Set G
hK : IsCompact K

⊢ μ K < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
U : Set G
hU : IsOpen U
h'U : (interior U).Nonempty
h : μ U ≠ ⊤
K : Set G
hK : IsCompact K

⊢ μ K < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
U : Set G
hU : IsOpen U
h'U : (interior U).Nonempty
h : μ U ≠ ⊤
K : Set G
hK : IsCompact K
t : Finset G
hKt : K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' U

⊢ μ K < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K

⊢ x ∈ r • Ioo a b ↔ x ∈ Ioo (r • a) (r • b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K

⊢ (∃ y, (a < y ∧ y < b) ∧ r * y = x) ↔ r * a < x ∧ x < r * b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ

⊢ x ^ (y - 1) = x ^ y / x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ Memℒp (↑f) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ eLpNorm (↑f) p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ (∑ y ∈ f.range, ↑‖y‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {y})) ^ (1 / p.toReal) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p✝ p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
hf : ∀ (y : E), y ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
hp0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
y : E
x✝ : y ∈ f.range

⊢ ↑‖y‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z x : K

⊢ ‖(starRingEnd K) x + x‖ ^ 2 = re ((starRingEnd K) x + x) ^ 2
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ xs : List α

⊢ List.filter p l₁ <:+ List.filter p (xs ++ l₁)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ xs : List α

⊢ List.filter p l₁ <:+ List.filter p xs ++ List.filter p l₁
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b x : ℕ
hb : 1 < b
z : ℕ

⊢ clog b (b ^ x) ≤ z ↔ x ≤ z
-- Mathlib/Data/Prod/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
a : α
b₁ b₂ : β
h : (a, b₁) = (a, b₂)

⊢ b₁ = b₂
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F E ∨ Algebra.IsAlgebraic F ↥L
i : E →ₐ[F] K := IsScalarTower.toAlgHom F E K
E' : IntermediateField F K := i.fieldRange
i' : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField i
hi : ⇑(algebraMap E K) = ⇑(algebraMap (↥E') K) ∘ ⇑i'

⊢ (adjoin E ↑L).toSubalgebra = Algebra.adjoin E ↑L
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F E ∨ Algebra.IsAlgebraic F ↥L
i : E →ₐ[F] K := IsScalarTower.toAlgHom F E K
E' : IntermediateField F K := i.fieldRange
i' : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField i
hi : ⇑(algebraMap E K) = ⇑(algebraMap (↥E') K) ∘ ⇑i'

⊢ Subalgebra.restrictScalars F (adjoin E ↑L).toSubalgebra = Subalgebra.restrictScalars F (Algebra.adjoin E ↑L)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra E K
inst✝ : IsScalarTower F E K
L : IntermediateField F K
halg : Algebra.IsAlgebraic F E ∨ Algebra.IsAlgebraic F ↥L
i : E →ₐ[F] K := IsScalarTower.toAlgHom F E K
E' : IntermediateField F K := i.fieldRange
i' : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField i
hi : ⇑(algebraMap E K) = ⇑(algebraMap (↥E') K) ∘ ⇑i'

⊢ (adjoin F (↑E' ∪ ↑L)).toSubalgebra = Algebra.adjoin F (↑E'.toSubalgebra ∪ ↑L)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finrank.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : n < finrank R M

⊢ ↑n < Module.rank R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finrank.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : n < finrank R M

⊢ ↑n < ℵ₀
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finrank.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : n < finrank R M

⊢ Module.rank R M < ℵ₀
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B

⊢ ↑⊥ = {0}