ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
k : ℕ := (minCardFinsetOfMemConvexHull hx).card - 1

⊢ AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s
k : ℕ := (minCardFinsetOfMemConvexHull hx).card - 1
hk : (minCardFinsetOfMemConvexHull hx).card = k + 1

⊢ AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
i : ι

⊢ ∀ {x y : Set α}, x ∈ ⋃ i, (f i).sets → x ⊆ y → y ∈ ⋃ i, (f i).sets
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
i : ι

⊢ ∀ {x y : Set α} (x_1 : ι), x ∈ (f x_1).sets → x ⊆ y → ∃ i, y ∈ (f i).sets
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
i : ι

⊢ ∀ {x y : Set α}, x ∈ ⋃ i, (f i).sets → y ∈ ⋃ i, (f i).sets → x ∩ y ∈ ⋃ i, (f i).sets
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
i : ι

⊢ ∀ {x y : Set α} (x_1 : ι), x ∈ (f x_1).sets → ∀ (x_2 : ι), y ∈ (f x_2).sets → ∃ i, x ∩ y ∈ (f i).sets
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
ne : Nonempty ι
i : ι
x y : Set α
a : ι
hx : x ∈ (f a).sets
b : ι
hy : y ∈ (f b).sets
c : ι
ha : f a ≥ f c
hb : f b ≥ f c

⊢ ∃ i, x ∩ y ∈ (f i).sets
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
n : ℕ

⊢ ‖term f s' n‖ ≤ ‖term f s n‖
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
n : ℕ

⊢ (if n = 0 then 0 else ‖f n‖ / ↑n ^ s'.re) ≤ if n = 0 then 0 else ‖f n‖ / ↑n ^ s.re
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
n : ℕ
h✝ : ¬n = 0

⊢ ‖f n‖ / ↑n ^ s'.re ≤ ‖f n‖ / ↑n ^ s.re
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ

⊢ multichoose (-↑n) n = (-1) ^ n
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ

⊢ (fun x => ?m.77547.factorial • x) (multichoose (-↑n) n) = (fun x => ?m.77547.factorial • x) ((-1) ^ n)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ

⊢ ℕ
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ

⊢ ?m.77547.factorial • multichoose (-↑n) n = ?m.77547.factorial • (-1) ^ n
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
a✝ b✝ : G
ha : a✝ ∈ center G
hb : b✝ ∈ center G
g : G

⊢ g * (a✝ * b✝) = a✝ * b✝ * g
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
a : G
ha : a ∈ center G
g : G

⊢ a⁻¹ * (g * a) * a⁻¹ = a⁻¹ * g
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
a : G
ha : a ∈ center G
g : G

⊢ a⁻¹ * g * (a * a⁻¹) = a⁻¹ * g
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
n : G
ha : n ∈ center G
g h : G

⊢ h * (g * n * g⁻¹) = h * n
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
n : G
ha : n ∈ center G
g h : G

⊢ g * g⁻¹ * n * h = g * n * g⁻¹ * h
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]

⊢ ↑φ = 1 ↔ φ = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R✝
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R✝ M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R✝ N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R✝ P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R✝ M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R✝ N'
ι✝ : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
f✝ f' : M [⋀^ι✝]→ₗ[R✝] N
g g₂ : M [⋀^ι✝]→ₗ[R✝] N'
g' : M' [⋀^ι✝]→ₗ[R✝] N'
v✝ : ι✝ → M
v' : ι✝ → M'
R : Type u_10
M₁ : Type u_11
M₂ : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
f : M₁ [⋀^ι]→ₗ[R] R
z : M₂
v : ι → M₁
i j : ι
h : v i = v j
hne : i ≠ j

⊢ __src✝.toFun v = 0
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
a b : n
h : a ≠ i
M : Matrix n n α

⊢ (stdBasisMatrix i j c * M) a b = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2

⊢ dist p1 p3 = dist p1 p2 + dist p3 p2 ↔ ∠ p1 p2 p3 = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2

⊢ ‖p1 -ᵥ ?p₃ - (p3 -ᵥ ?p₃)‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖p3 -ᵥ p2‖ ↔ ∠ p1 p2 p3 = π
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Ultra/Basic.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x✝¹ y✝ z : X
r✝ s : ℝ
x y : X
r : ℝ
h : y ∈ closedBall x r
x✝ : X

⊢ x✝ ∈ closedBall x r ↔ x✝ ∈ closedBall y r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Ultra/Basic.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x✝¹ y✝ z : X
r✝ s : ℝ
x y : X
r : ℝ
x✝ : X
h : dist y x ≤ r

⊢ dist x✝ x ≤ r ↔ dist x✝ y ≤ r
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : IsOfFinOrder x

⊢ minimalPeriod (fun x_1 => x ^ n * x_1) 1 = minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1 / (minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1).gcd n
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X : Compactum
A : Set X.A

⊢ IsClosed (Compactum.cl A)
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X : Compactum
A : Set X.A

⊢ ∀ (F : Ultrafilter X.A), Compactum.cl A ∈ F → X.str F ∈ Compactum.cl A
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X : Compactum
A : Set X.A
F : Ultrafilter X.A
hF : Compactum.cl A ∈ F

⊢ X.str F ∈ Compactum.cl A
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Finite
ht : t.Finite

⊢ (s ×ˢ t).Finite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Finite
ht : t.Finite
this : Finite ↑s

⊢ (s ×ˢ t).Finite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Finite
ht : t.Finite
this✝ : Finite ↑s
this : Finite ↑t

⊢ (s ×ˢ t).Finite
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty

⊢ directionOfNonempty h = s.direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty

⊢ directionOfNonempty h ≤ s.direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty

⊢ ↑{ carrier := ↑s -ᵥ ↑s, add_mem' := ⋯ } ⊆ ↑(vectorSpan k ↑s)
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ : Finmap β
s₁ : AList β

⊢ ⟦s₁⟧ ∪ ∅ = ⟦s₁⟧
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ : Finmap β
s₁ : AList β

⊢ ⟦s₁⟧ ∪ ⟦∅⟧ = ⟦s₁⟧
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroupFinsupp.lean
X : Type u_1
x : X

⊢ toFinsupp (of x) = single x 1
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
u : Set γ

⊢ ⇑(prodAssoc α β γ) '' (s ×ˢ t) ×ˢ u = s ×ˢ t ×ˢ u
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : Associates α
a✝ : Nontrivial α

⊢ a.factors = ⊤ ↔ a = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p : G.Walk u v

⊢ (Walk.map f p).reverse = Walk.map f p.reverse
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0

⊢ deriv negMulLog x = -log x - 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0

⊢ -(log x + 1) = -log x - 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm_not : ¬m ≤ m0

⊢ μ[f|m] = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p2 -ᵥ p3)
hpi : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p1) (p3 -ᵥ p1) ≠ π

⊢ dist p1 p2 = dist p1 p3
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p2 -ᵥ p3)
hpi : InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p1) (p3 -ᵥ p1) ≠ π

⊢ ‖p1 -ᵥ p2‖ = ‖p1 -ᵥ p3‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p2 -ᵥ p3)
hpi : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p1 -ᵥ p3) ≠ π

⊢ ‖p1 -ᵥ p2‖ = ‖p1 -ᵥ p3‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p1 -ᵥ p2 - (p1 -ᵥ p3)) = InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p1 -ᵥ p3 - (p1 -ᵥ p2))
hpi : InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p1 -ᵥ p3) ≠ π

⊢ ‖p1 -ᵥ p2‖ = ‖p1 -ᵥ p3‖
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n

⊢ eval 1 ((⇑derivative)^[n - ν] (bernsteinPolynomial R n ν)) = (-1) ^ (n - ν) * eval (↑ν + 1) (ascPochhammer R (n - ν))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n

⊢ eval 1 ((⇑derivative)^[n - ν] ((bernsteinPolynomial R n (n - ν)).comp (1 - X))) = (-1) ^ (n - ν) * eval (↑ν + 1) (ascPochhammer R (n - ν))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n

⊢ (-1) ^ (n - ν) * eval (↑(n - (n - ν - 1))) (ascPochhammer R (n - ν)) = (-1) ^ (n - ν) * eval (↑ν + 1) (ascPochhammer R (n - ν))
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
h : b ∉ s

⊢ (insert b s).lcm f = GCDMonoid.lcm (f b) (s.lcm f)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
q : α → Prop

⊢ (∃ᶠ (x : α) in l, q x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
q : α → Prop

⊢ (¬∃ i, p i ∧ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s i → ¬q x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
q : α → Prop

⊢ (∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ x ∈ s i, q x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
hg : HasDerivAt g g' x
h : 0 < f x

⊢ HasDerivAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' Set.univ x
hg : HasDerivWithinAt g g' Set.univ x
h : 0 < f x

⊢ HasDerivWithinAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x)) Set.univ x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
m_pos : 0 < ↑m
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hs : s ∈ 𝒜

⊢ ↑(𝒜.sup id).card ≤ ↑𝒜.card * ↑s.card * ((↑m + 1) / ↑m)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
m_pos : 0 < ↑m
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hs : s ∈ 𝒜

⊢ ↑(𝒜.biUnion id).card * ↑m ≤ ↑𝒜.card * (↑m + 1) * ↑s.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
m_pos : 0 < ↑m
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hs : s ∈ 𝒜

⊢ ↑(𝒜.biUnion id).card ≤ ↑𝒜.card * (↑m + 1)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
m_pos : 0 < ↑m
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hs : s ∈ 𝒜

⊢ ↑m ≤ ↑s.card
-- Mathlib/Order/Interval/Set/UnorderedInterval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α

⊢ b ∈ Ι a c → c ∈ Ι a b → b = c
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.65549, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Y' : C
f : X ⟶ Y'
s : Y ⟶ Y'
hs : W s

⊢ (Q W).map f ≫ Qinv s hs = homMk (mk f s hs)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.65549, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Y' : C
f : X ⟶ Y'
s : Y ⟶ Y'
hs : W s

⊢ homMk (ofHom W f) ≫ homMk (ofInv s hs) = homMk (mk f s hs)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.65549, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Y' : C
f : X ⟶ Y'
s : Y ⟶ Y'
hs : W s

⊢ homMk ((ofHom W f).comp₀ (ofInv s hs) (ofHom W (𝟙 (ofHom W f).Y'))) = homMk (mk f s hs)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
H : SimpleGraph V
s s₁ s₂ : Set (Sym2 V)

⊢ G.deleteEdges s = G ↔ Disjoint G.edgeSet s
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
p : ℕ

⊢ Nat.rec (unpair p).1 (fun y IH => IH - 1) (unpair p).2 = (unpair p).1 - (unpair p).2
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
a : ℝ

⊢ HasSum (fun n => a / 2 / 2 ^ n) a
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
a : ℝ

⊢ (fun n => a / 2 / 2 ^ n) = fun i => a / 2 * (1 / 2) ^ i
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
a : ℝ

⊢ a = a / 2 * (1 - 1 / 2)⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj

⊢ ↑P.parts.offDiag.card ≤ 1 * ↑P.parts.card ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj

⊢ ↑(P.parts.card * P.parts.card - P.parts.card) ≤ ↑P.parts.card ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj

⊢ P.parts.card * P.parts.card - P.parts.card ≤ P.parts.card * P.parts.card
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Unique ι
a b : n → α
x✝ : n

⊢ (col ι a * row ι b).diag x✝ = (a * b) x✝
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f g φ ψ : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i

⊢ ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (-φ)) = -ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f g φ ψ : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i

⊢ ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (-φ)) = ShortComplex.homologyMap (-(shortComplexFunctor C c i).map φ)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : Surjective m

⊢ Disjoint (comap m g₁) (comap m g₂) ↔ Disjoint g₁ g₂
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s✝ t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i : ι
s : Set ι
f g : ι → M₀

⊢ (s.indicator fun i => f i * g i) = fun i => s.indicator f i * s.indicator g i
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s✝ t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i : ι
s : Set ι
f g : ι → M₀
x✝ : ι

⊢ s.indicator (fun i => f i * g i) x✝ = s.indicator f x✝ * s.indicator g x✝
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s✝ t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i : ι
s : Set ι
f g : ι → M₀
x✝ : ι
h✝ : x✝ ∉ s

⊢ 0 = 0 * 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R

⊢ eval x p = p.sum fun e a => a * x ^ e
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R

⊢ (p.sum fun e a => (RingHom.id R) a * x ^ e) = p.sum fun e a => a * x ^ e
-- Mathlib/Algebra/Homology/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i : ι
x : ↑((forget₂ C Ab).obj (K.X i))
hx : ((forget₂ C Ab).map (K.d i (c.next i))) x = 0

⊢ ((forget₂ C Ab).map (K.iCycles i)) (K.cyclesMk x (c.next i) ⋯ hx) = x
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : RegularSpace X✝
x : X✝
s : Set X✝
X : Type u_3
T : Set (TopologicalSpace X)
h : ∀ t ∈ T, RegularSpace X
x✝ : TopologicalSpace X := sInf T

⊢ RegularSpace X
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : RegularSpace X✝
x : X✝
s : Set X✝
X : Type u_3
T : Set (TopologicalSpace X)
h : ∀ t ∈ T, RegularSpace X
x✝ : TopologicalSpace X := sInf T
this : ∀ (a : X), (𝓝 a).HasBasis (fun If => If.fst.Finite ∧ ∀ (i : ↑If.fst), If.snd i ∈ 𝓝 a ∧ IsClosed (If.snd i)) fun If => ⋂ i, If.snd i

⊢ RegularSpace X
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : RegularSpace X✝
x : X✝
s : Set X✝
X : Type u_3
T : Set (TopologicalSpace X)
h : ∀ t ∈ T, RegularSpace X
x✝ : TopologicalSpace X := sInf T
this : ∀ (a : X), (𝓝 a).HasBasis (fun If => If.fst.Finite ∧ ∀ (i : ↑If.fst), If.snd i ∈ 𝓝 a ∧ IsClosed (If.snd i)) fun If => ⋂ i, If.snd i
a : X
If : (I : Set ↑T) × (↑I → Set X)
hIf : If.fst.Finite ∧ ∀ (i : ↑If.fst), If.snd i ∈ 𝓝 a ∧ IsClosed (If.snd i)
i : ↑If.fst

⊢ IsClosed (If.snd i)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α

⊢ 𝓝[univ] a = 𝓝 a
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
s : Submonoid M
hs : s ∈ S

⊢ ∀ {x : M}, x ∈ s → x ∈ sSup S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
s : Submonoid M
hs : s ∈ S

⊢ s ≤ sSup S
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ padicValNat p (x ^ n - y ^ n) = padicValNat p (x - y) + padicValNat p n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ ↑(padicValNat p (x ^ n - y ^ n)) = ↑(padicValNat p (x - y)) + ↑(padicValNat p n)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y) + multiplicity p n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ 0 < n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ 0 < x - y
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x y p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hyx : y < x
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ 0 < x ^ n - y ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntervalIntegrable f μ b₁ b₂
ha : a ∈ [[b₁, b₂]]
x✝¹ : ℝ
x✝ : x✝¹ ∈ [[b₁, b₂]]

⊢ ContinuousWithinAt (fun b => ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ) [[b₁, b₂]] x✝¹