ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
s t : Set α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : MeasurableSMul G α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s μ
fund_dom_t : IsFundamentalDomain G t μ
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U

⊢ (Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (μ.restrict s)) U = (Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (μ.restrict t)) U
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
s t : Set α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : MeasurableSMul G α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s μ
fund_dom_t : IsFundamentalDomain G t μ
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U

⊢ μ (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U ∩ s) = μ (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U ∩ t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
s t : Set α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : MeasurableSMul G α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s μ
fund_dom_t : IsFundamentalDomain G t μ
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U

⊢ MeasurableSet (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
s t : Set α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : MeasurableSMul G α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s μ
fund_dom_t : IsFundamentalDomain G t μ
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U

⊢ ∀ (g : G), (fun x => g • x) ⁻¹' (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U) = Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q

⊢ lTensor P g ∘ₗ rTensor N f = map f g
-- Mathlib/Geometry/Manifold/InteriorBoundary.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace N
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
p : M × N

⊢ p ∈ (I.prod J).interior (M × N) ↔ p ∈ I.interior M ×ˢ J.interior N
-- Mathlib/Geometry/Manifold/InteriorBoundary.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
N : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace N
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
x : M
y : N
p : M × N
aux : interior (range ↑I) ×ˢ interior (range ↑J) = interior (range ↑(I.prod J))

⊢ p ∈ (I.prod J).interior (M × N) ↔ p ∈ I.interior M ×ˢ J.interior N
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hne : p₂ ≠ p₃

⊢ (∡ p₂ p₄ p₃).sign = (∡ p₁ p₄ p₃).sign
-- Mathlib/Order/Filter/CardinalInter.lean
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
s : ι → Set α
hic : #ι < c

⊢ ⋂ i, s i ∈ l ↔ ∀ (i : ι), s i ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/CardinalInter.lean
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
s : ι → Set α
hic : #ι < c

⊢ ⋂₀ range s ∈ l ↔ ∀ (i : ι), s i ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/CardinalInter.lean
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter l c
s : ι → Set α
hic : #ι < c

⊢ (∀ s_1 ∈ range s, s_1 ∈ l) ↔ ∀ (i : ι), s i ∈ l
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α
c : ℕ := Fintype.card α

⊢ (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card = φ d
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α
c : ℕ := Fintype.card α
hc0 : 0 < c

⊢ (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card = φ d
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α
c : ℕ := Fintype.card α
hc0 : 0 < c

⊢ 0 < (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α
c : ℕ := Fintype.card α
hc0 : 0 < c
h0 : ¬0 < (filter (fun a => orderOf a = d) univ).card

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α
c : ℕ := Fintype.card α
hc0 : 0 < c
h0 : filter (fun a => orderOf a = d) univ = ∅

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
d : ℕ
hd : d ∣ Fintype.card α
c : ℕ := Fintype.card α
hc0 : 0 < c
h0 : filter (fun a => orderOf a = d) univ = ∅

⊢ c < c
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∈ s
f : (j : ι) → α j
a : α i
t : (j : ι) → α j → Set (β j)

⊢ (s.pi fun j => t j (update f i a j)) = ({i} ∪ s \ {i}).pi fun j => t j (update f i a j)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∈ s
f : (j : ι) → α j
a : α i
t : (j : ι) → α j → Set (β j)

⊢ (({i} ∪ s \ {i}).pi fun j => t j (update f i a j)) = {x | x i ∈ t i a} ∩ (s \ {i}).pi fun j => t j (f j)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : DecidableEq ι
hi : i ∈ s
f : (j : ι) → α j
a : α i
t : (j : ι) → α j → Set (β j)

⊢ i ∉ s \ {i}
-- Mathlib/CategoryTheory/LiftingProperties/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B'✝ X✝ Y✝ Y' : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i'✝ : B✝ ⟶ B'✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p' : Y✝ ⟶ Y'
A B A' B' X Y : C
i : A ⟶ B
i' : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk i ≅ Arrow.mk i'
p : X ⟶ Y
a✝ : HasLiftingProperty i p

⊢ HasLiftingProperty i' p
-- Mathlib/CategoryTheory/LiftingProperties/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ B'✝ X✝ Y✝ Y' : C
i✝ : A✝ ⟶ B✝
i'✝ : B✝ ⟶ B'✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
p' : Y✝ ⟶ Y'
A B A' B' X Y : C
i : A ⟶ B
i' : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk i ≅ Arrow.mk i'
p : X ⟶ Y
a✝ : HasLiftingProperty i' p

⊢ HasLiftingProperty i p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p

⊢ AffineIndependent ℝ p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p

⊢ ¬Collinear ℝ (Set.range p)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
hc : Collinear ℝ (Set.range p)

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
hc : ∃ v, ∀ p_1 ∈ Set.range p, ∃ r, p_1 = r • v +ᵥ p 0

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv : ∀ p_1 ∈ Set.range p, ∃ r, p_1 = r • v +ᵥ p 0

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
hs : Cospherical s
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv : ∀ (i : Fin 3), ∃ r, p i = r • v +ᵥ p 0

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv : ∀ (i : Fin 3), ∃ r, p i = r • v +ᵥ p 0
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv : ∀ (i : Fin 3), ∃ r, p i = r • v +ᵥ p 0
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r
f : Fin 3 → ℝ
hf : ∀ (i : Fin 3), p i = f i • v +ᵥ p 0
hsd : ∀ (i : Fin 3), dist (f i • v +ᵥ p 0) c = r

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r
f : Fin 3 → ℝ
hf : ∀ (i : Fin 3), p i = f i • v +ᵥ p 0
hsd : ∀ (i : Fin 3), dist (f i • v +ᵥ p 0) c = r
hf0 : f 0 = 0

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r
f : Fin 3 → ℝ
hf : ∀ (i : Fin 3), p i = f i • v +ᵥ p 0
hsd : ∀ (i : Fin 3), dist (f i • v +ᵥ p 0) c = r
hf0 : f 0 = 0
hfi : Function.Injective f

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r
f : Fin 3 → ℝ
hf : ∀ (i : Fin 3), p i = f i • v +ᵥ p 0
hf0 : f 0 = 0
hfi : Function.Injective f
hsd : ∀ (i : Fin 3), f i = 0 ∨ f i = -2 * ⟪v, p 0 -ᵥ c⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ s
hpi : Function.Injective p
v : V
hv0 : v ≠ 0
c : P
r : ℝ
hs : ∀ p ∈ s, dist p c = r
hs' : ∀ (i : Fin 3), dist (p i) c = r
f : Fin 3 → ℝ
hf : ∀ (i : Fin 3), p i = f i • v +ᵥ p 0
hf0 : f 0 = 0
hfi : Function.Injective f
hsd : ∀ (i : Fin 3), f i = 0 ∨ f i = -2 * ⟪v, p 0 -ᵥ c⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ
hfn0 : ∀ (i : Fin 3), i ≠ 0 → f i ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
hA : 0 ≤ A

⊢ ∫ (x : α), truncation f A x ∂μ = ∫ (y : ℝ) in -A..A, y ∂Measure.map f μ
-- Mathlib/Data/PNat/Find.lean
p q : ℕ+ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n✝ m n : ℕ+

⊢ PNat.find h ≤ n ↔ ∃ m ≤ n, p m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0

⊢ μ.normalize.toFiniteMeasure = μ.mass⁻¹ • μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0

⊢ μ.normalize.toFiniteMeasure = μ.mass⁻¹ • μ.mass • μ.normalize.toFiniteMeasure
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0

⊢ μ.normalize.toFiniteMeasure = (μ.mass⁻¹ • μ.mass) • μ.normalize.toFiniteMeasure
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

⊢ IsLindelof s ↔ IsLindelof univ
-- Mathlib/Data/Int/Interval.lean
a b : ℤ

⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioc a b) = (b - a).toNat
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

⊢ ∫ (x : α) in s, (preCDF ρ r x).toReal ∂ρ.fst = ((ρ.IicSnd ↑r) s).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

⊢ (∫⁻ (a : α) in s, preCDF ρ r a ∂ρ.fst).toReal = ((ρ.IicSnd ↑r) s).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

⊢ AEMeasurable (preCDF ρ r) (ρ.fst.restrict s)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ρ.fst.restrict s, preCDF ρ r x < ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hQz : Q z = 0

⊢ W'.negAddY P Q = (-(Q x * P z)) ^ 3 * W'.negY P
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
a b c : R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : NoZeroDivisors R
ha : a ≠ 0
x : R

⊢ a * x * x + b * x + c = 0 ↔ discrim a b c = (2 * a * x + b) ^ 2
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
a b c : R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : NoZeroDivisors R
ha : a ≠ 0
x : R
h : discrim a b c = (2 * a * x + b) ^ 2

⊢ a * x * x + b * x + c = 0
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
a b c : R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : NoZeroDivisors R
ha : a ≠ 0
x : R
h : b ^ 2 - 4 * a * c = (2 * a * x + b) ^ 2

⊢ a * x * x + b * x + c = 0
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
a b c : R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : NoZeroDivisors R
ha✝ : a ≠ 0
x : R
h : b ^ 2 - 4 * a * c = (2 * a * x + b) ^ 2
ha : 2 * 2 * a ≠ 0

⊢ a * x * x + b * x + c = 0
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
a b c : R
inst✝¹ : NeZero 2
inst✝ : NoZeroDivisors R
ha✝ : a ≠ 0
x : R
h : b ^ 2 - 4 * a * c = (2 * a * x + b) ^ 2
ha : 2 * 2 * a ≠ 0

⊢ 2 * 2 * a * (a * x * x + b * x + c) = 2 * 2 * a * 0
-- Mathlib/Condensed/Basic.lean
C : Type w
inst✝ : Category.{v, w} C
X Y : Condensed C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (S : CompHausᵒᵖ), f.val.app S = g.val.app S

⊢ f = g
-- Mathlib/Condensed/Basic.lean
C : Type w
inst✝ : Category.{v, w} C
X Y : Condensed C
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (S : CompHausᵒᵖ), f.val.app S = g.val.app S

⊢ f.val = g.val
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx✝ : 0 ≤ x
hx : 0 < x

⊢ logb b x ≤ 0 ↔ x ≤ 1
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Topology.IsLowerSet α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
hs : IsOpen s

⊢ IsOpen s
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Topology.IsLowerSet α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
hs : IsOpen s

⊢ IsLowerSet s
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
h : H
w : NormalWord d

⊢ (lift (fun i => MulAction.toEndHom) MulAction.toEndHom ⋯) ((base φ) h) w = { toWord := w.toWord, head := h * w.head, normalized := ⋯ }
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
h : H
w : NormalWord d

⊢ MulAction.toEndHom h w = { toWord := w.toWord, head := h * w.head, normalized := ⋯ }
-- Mathlib/Control/Traversable/Equiv.lean
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝¹ : Functor t
inst✝ : LawfulFunctor t
α : Type u
x : t' α

⊢ Equiv.map eqv id x = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace/DomAct/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace M
inst✝⁵ : MeasurableSpace N
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure M α μ
inst✝ : MeasurableSMul M α
c : Mᵈᵐᵃ
f g : ↥(Lp E p μ)

⊢ dist (c • f) (c • g) = dist f g
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
a : α
b : M
i : α

⊢ update 0 a b = single a b
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K : ℕ
Y : ℕ → Ω → ℝ := fun n => truncation X ↑n
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ

⊢ ∑ j ∈ range K, (↑j ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : Ω), (truncation X ↑j ^ 2) a ≤ 2 * ∫ (a : Ω), X a
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hint : Integrable X ℙ
hnonneg : 0 ≤ X
K : ℕ
Y : ℕ → Ω → ℝ := fun n => truncation X ↑n
ρ : Measure ℝ := Measure.map X ℙ
Y2 : ∀ (n : ℕ), ∫ (a : Ω), (Y n ^ 2) a = ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑n, x ^ 2 ∂ρ

⊢ ∑ j ∈ range K, (↑j ^ 2)⁻¹ * ∫ (a : Ω), (truncation X ↑j ^ 2) a ≤ 2 * ∫ (a : Ω), X a
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
t : Finset β

⊢ interedges r ∅ t = ∅
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ

⊢ Real.toEReal '' Iio x = Ioo ⊥ ↑x
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ

⊢ WithBot.some '' (WithTop.some '' Iio x) = Ioo ⊥ ↑x
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ

⊢ Ioo ⊥ ↑↑x = Ioo ⊥ ↑x
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasShift C ℤ
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁹ : Pretriangulated C
inst✝⁸ : Category.{?u.5817, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroObject D
inst✝⁶ : HasShift D ℤ
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : Pretriangulated D
inst✝² : Category.{u_5, u_3} A
inst✝¹ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
hF : ∀ (T : Triangle C) (hT : T ∈ distinguishedTriangles), ∃ T' e, ((shortComplexOfDistTriangle T' ⋯).map F).Exact
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
T' : Triangle C
e : T ≅ T'
h' : ((shortComplexOfDistTriangle T' ⋯).map F).Exact

⊢ ((shortComplexOfDistTriangle T hT).map F).Exact
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u✝ v : 𝕜 → 𝕜'
u : 𝕜'

⊢ deriv (fun y => u * v y) x = u * deriv v x
-- Mathlib/Data/Rat/Star.lean
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0

⊢ closure (range fun x => x ^ n) = ⊤
-- Mathlib/Data/Rat/Star.lean
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
x : ℚ≥0

⊢ x ∈ closure (range fun x => x ^ n)
-- Mathlib/Data/Rat/Star.lean
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
x : ℚ≥0

⊢ x = (x.num * x.den ^ (n - 1)) • (↑x.den)⁻¹ ^ n
-- Mathlib/Data/Rat/Star.lean
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
x : ℚ≥0

⊢ x = ↑(x.num * x.den ^ (n - 1)) * (↑x.den)⁻¹ ^ n
-- Mathlib/Data/Rat/Star.lean
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
x : ℚ≥0

⊢ x = ↑x.num * ↑x.den ^ (n - 1) * (↑x.den)⁻¹ ^ n
-- Mathlib/Data/Rat/Star.lean
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
x : ℚ≥0

⊢ ↑x.den ≠ 0
-- Mathlib/Data/Rat/Star.lean
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
x : ℚ≥0

⊢ 1 ≤ n