ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/NielsenSchreier.lean
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b
X : Type u := FreeGroup (WeaklyConnectedComponent (Generators G))
f : G → X := fun g => FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk g)
F : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X := differenceFunctor f
a✝ b✝ : Generators G
e✝ : a✝ ⟶ b✝

⊢ f b✝ = f (let_fun this := a✝; this)
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/NielsenSchreier.lean
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b
X : Type u := FreeGroup (WeaklyConnectedComponent (Generators G))
f : G → X := fun g => FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk g)
F : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X := differenceFunctor f
a✝ b✝ : Generators G
e✝ : a✝ ⟶ b✝

⊢ WeaklyConnectedComponent.mk b✝ = WeaklyConnectedComponent.mk (let_fun this := a✝; this)
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/NielsenSchreier.lean
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b
X : Type u := FreeGroup (WeaklyConnectedComponent (Generators G))
f : G → X := fun g => FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk g)
F : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X := differenceFunctor f
a✝ b✝ : Generators G
e✝ : a✝ ⟶ b✝

⊢ Nonempty (Path b✝ (let_fun this := a✝; this))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra A R
m : A

⊢ mk ((algebraMap A R) m) 1 = (algebraMap A (Localization M)) m
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra A R
m : A

⊢ (algebraMap R (Localization M)) ((algebraMap A R) m) = (algebraMap A (Localization M)) m
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a : α
h : a ∉ s

⊢ (cons a s h).erase a = s
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n m : ℕ
ω : Ω
hnm : n ≤ m

⊢ Monotone fun n => lowerCrossingTime a b f N n ω
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.62699, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
h₁₂ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'

⊢ K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' + K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i : n

⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) (hA.eigenvalues i) ∈ spectrum 𝕜 A
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
i : n

⊢ (algebraMap ℝ 𝕜) (hA.eigenvalues i) ∈ spectrum 𝕜 (toEuclideanLin A)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ IsIso (ModuleCat.ofHom (ofTensorProduct I M))
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ Epi (ComposableArrows.app' (AdicCompletion.firstRowToSecondRow I M f) 0 ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ IsIso (ComposableArrows.app' (AdicCompletion.firstRowToSecondRow I M f) 1 ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ IsIso (ComposableArrows.app' (AdicCompletion.firstRowToSecondRow I M f) 3 ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ Mono (ComposableArrows.app' (AdicCompletion.firstRowToSecondRow I M f) 4 ⋯)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b

⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ b⁻¹ ≤ a
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
r : F.M → Sort u_2
f : (x : ↑F F.M) → r (M.mk x)
fst✝ : F.A
snd✝ : F.B fst✝ → F.M

⊢ f ⟨match 0, CofixA.intro fst✝ fun i => (snd✝ i).approx 0 with | x, CofixA.intro i a => i, fun i => children { approx := Approx.sMk ⟨fst✝, snd✝⟩, consistent := ⋯ } i⟩ = f ⟨fst✝, snd✝⟩
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
r : F.M → Sort u_2
f : (x : ↑F F.M) → r (M.mk x)
fst✝ : F.A
snd✝ : F.B fst✝ → F.M

⊢ f = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G : A ⥤ D
H : B ⥤ E
K : C ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : D ⥤ E
R₂ : E ⥤ D
L₃ : B ⥤ C
R₃ : C ⥤ B
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : H ⋙ L₄ ⟶ L₃ ⋙ K
c : C

⊢ ({ toFun := fun α => whiskerLeft ((R₃ ⋙ R₁) ⋙ G) { homEquiv := fun X Z => (adj₄.homEquiv (L₂.obj X) Z).trans (adj₂.homEquiv X (R₄.obj Z)), unit := adj₂.unit ≫ whiskerLeft L₂ (whiskerRight adj₄.unit R₂) ≫ (L₂.associator (L₄ ⋙ R₄) R₂).inv, counit := (R₄.associator R₂ (L₂ ⋙ L₄)).hom ≫ whiskerLeft R₄ (whiskerRight adj₂.counit L₄) ≫ adj₄.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft (R₃ ⋙ R₁) α) (R₄ ⋙ R₂) ≫ whiskerRight { homEquiv := fun X Z => (adj₃.homEquiv (L₁.obj X) Z).trans (adj₁.homEquiv X (R₃.obj Z)), unit := adj₁.unit ≫ whiskerLeft L₁ (whiskerRight adj₃.unit R₁) ≫ (L₁.associator (L₃ ⋙ R₃) R₁).inv, counit := (R₃.associator R₁ (L₁ ⋙ L₃)).hom ≫ whiskerLeft R₃ (whiskerRight adj₁.counit L₃) ≫ adj₃.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.counit (K ⋙ R₄ ⋙ R₂), invFun := fun β => whiskerRight { homEquiv := fun X Z => (adj₃.homEquiv (L₁.obj X) Z).trans (adj₁.homEquiv X (R₃.obj Z)), unit := adj₁.unit ≫ whiskerLeft L₁ (whiskerRight adj₃.unit R₁) ≫ (L₁.associator (L₃ ⋙ R₃) R₁).inv, counit := (R₃.associator R₁ (L₁ ⋙ L₃)).hom ≫ whiskerLeft R₃ (whiskerRight adj₁.counit L₃) ≫ adj₃.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.unit (G ⋙ L₂ ⋙ L₄) ≫ whiskerRight (whiskerLeft (L₁ ⋙ L₃) β) (L₂ ⋙ L₄) ≫ whiskerLeft ((L₁ ⋙ L₃) ⋙ K) { homEquiv := fun X Z => (adj₄.homEquiv (L₂.obj X) Z).trans (adj₂.homEquiv X (R₄.obj Z)), unit := adj₂.unit ≫ whiskerLeft L₂ (whiskerRight adj₄.unit R₂) ≫ (L₂.associator (L₄ ⋙ R₄) R₂).inv, counit := (R₄.associator R₂ (L₂ ⋙ L₄)).hom ≫ whiskerLeft R₄ (whiskerRight adj₂.counit L₄) ≫ adj₄.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } (whiskerRight α L₄ ≫ whiskerLeft L₁ β)).app c = (whiskerLeft R₃ ({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₁ ⋙ G) adj₂.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₂ ≫ whiskerRight adj₁.counit (H ⋙ R₂), invFun := fun β => whiskerRight adj₁.unit (G ⋙ L₂) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₁ β) L₂ ≫ whiskerLeft (L₁ ⋙ H) adj₂.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } α) ≫ whiskerRight ({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₃ ⋙ H) adj₄.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₃ α) R₄ ≫ whiskerRight adj₃.counit (K ⋙ R₄), invFun := fun β => whiskerRight adj₃.unit (H ⋙ L₄) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₃ β) L₄ ≫ whiskerLeft (L₃ ⋙ K) adj₄.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } β) R₂).app c
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G : A ⥤ D
H : B ⥤ E
K : C ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : D ⥤ E
R₂ : E ⥤ D
L₃ : B ⥤ C
R₃ : C ⥤ B
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : H ⋙ L₄ ⟶ L₃ ⋙ K
c : C

⊢ adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (L₁.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (L₃.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c))) = adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (H.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G : A ⥤ D
H : B ⥤ E
K : C ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : D ⥤ E
R₂ : E ⥤ D
L₃ : B ⥤ C
R₃ : C ⥤ B
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : H ⋙ L₄ ⟶ L₃ ⋙ K
c : C

⊢ adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (L₁.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (L₃.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c))) = adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ (R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c)))) ≫ R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c)) ≫ H.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (R₃.obj c)))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G : A ⥤ D
H : B ⥤ E
K : C ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : D ⥤ E
R₂ : E ⥤ D
L₃ : B ⥤ C
R₃ : C ⥤ B
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : H ⋙ L₄ ⟶ L₃ ⋙ K
c : C

⊢ adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (L₁.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (L₃.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c))) = adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ ((R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (H.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c)))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (R₃.obj c)))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝² : Category.{v₄, u₄} D
inst✝¹ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝ : Category.{v₆, u₆} F
G : A ⥤ D
H : B ⥤ E
K : C ⥤ F
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : D ⥤ E
R₂ : E ⥤ D
L₃ : B ⥤ C
R₃ : C ⥤ B
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
β : H ⋙ L₄ ⟶ L₃ ⋙ K
c : C

⊢ adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (L₁.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (L₃.map (adj₁.counit.app (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c))) = adj₂.unit.app (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ R₂.map (adj₄.unit.app (L₂.obj (G.obj (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (L₄.map (α.app (R₁.obj (R₃.obj c))))) ≫ R₂.map (R₄.map (β.app (L₁.obj (R₁.obj (R₃.obj c))) ≫ (L₃ ⋙ K).map (adj₁.counit.app (R₃.obj c)))) ≫ R₂.map (R₄.map (K.map (adj₃.counit.app c)))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n m : ℕ
h : n ≠ m

⊢ IsCoprime (cyclotomic n ℚ) (cyclotomic m ℚ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n m : ℕ
h : 0 ≠ m

⊢ IsCoprime (cyclotomic 0 ℚ) (cyclotomic m ℚ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n m : ℕ
h : n ≠ m
hnzero : n > 0

⊢ IsCoprime (cyclotomic n ℚ) (cyclotomic m ℚ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hnzero : n > 0
h : n ≠ 0

⊢ IsCoprime (cyclotomic n ℚ) (cyclotomic 0 ℚ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n m : ℕ
h : n ≠ m
hnzero : n > 0
hmzero : m > 0

⊢ IsCoprime (cyclotomic n ℚ) (cyclotomic m ℚ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n m : ℕ
h : n ≠ m
hnzero : n > 0
hmzero : m > 0

⊢ ¬cyclotomic n ℚ ∣ cyclotomic m ℚ
-- Mathlib/Analysis/Complex/ReImTopology.lean
a : ℝ

⊢ closure {z | z.re < a} = {z | z.re ≤ a}
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : FirstCountableTopology X✝
inst✝ : R1Space X✝
x y : X✝
X : Type u_3
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
h₁ : R1Space X
h₂ : R1Space X

⊢ R1Space X
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : FirstCountableTopology X✝
inst✝ : R1Space X✝
x y : X✝
X : Type u_3
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
h₁ : R1Space X
h₂ : R1Space X

⊢ ∀ (i : Bool), R1Space X
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
o : Ordinal.{u}
ho : type r = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → α
i : Ordinal.{u}
hi : i < o

⊢ familyOfBFamily' r ho f (enum r i ⋯) = f i hi
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ

⊢ image2 f s (t ∪ t') = image2 f s t ∪ image2 f s t'
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
Y₁ Y₂ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
g₁ g₂ : CostructuredArrow L Y₁
φ : g₁ ⟶ g₂

⊢ (CostructuredArrow.proj L Y₁ ⋙ F).map φ ≫ (fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map f).obj g)) g₂ = (fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map f).obj g)) g₁ ≫ ((const (CostructuredArrow L Y₁)).obj (colimit (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F))).map φ
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
Y : D
j : CostructuredArrow L Y

⊢ colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) j ≫ colimit.desc (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) { pt := colimit (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F), ι := { app := fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) ((CostructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj g), naturality := ⋯ } } = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) j ≫ 𝟙 (colimit (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F))
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
Y : D
j : CostructuredArrow L Y

⊢ colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) ((CostructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj j) = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y ⋙ F) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
Y : D
j : CostructuredArrow L Y

⊢ (CostructuredArrow.map (𝟙 Y)).obj j = j
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
Y₁ Y₂ Y₃ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
f' : Y₂ ⟶ Y₃
j : CostructuredArrow L Y₁

⊢ colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₁ ⋙ F) j ≫ colimit.desc (CostructuredArrow.proj L Y₁ ⋙ F) { pt := colimit (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F), ι := { app := fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map (f ≫ f')).obj g), naturality := ⋯ } } = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₁ ⋙ F) j ≫ colimit.desc (CostructuredArrow.proj L Y₁ ⋙ F) { pt := colimit (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F), ι := { app := fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map f).obj g), naturality := ⋯ } } ≫ colimit.desc (CostructuredArrow.proj L Y₂ ⋙ F) { pt := colimit (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F), ι := { app := fun g => colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map f').obj g), naturality := ⋯ } }
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
Y₁ Y₂ Y₃ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
f' : Y₂ ⟶ Y₃
j : CostructuredArrow L Y₁

⊢ colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map (f ≫ f')).obj j) = colimit.ι (CostructuredArrow.proj L Y₃ ⋙ F) ((CostructuredArrow.map f').obj ((CostructuredArrow.map f).obj j))
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.96105, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.96109, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.96113, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
inst✝ : L.HasPointwiseLeftKanExtension F
Y₁ Y₂ Y₃ : D
f : Y₁ ⟶ Y₂
f' : Y₂ ⟶ Y₃
j : CostructuredArrow L Y₁

⊢ (CostructuredArrow.map (f ≫ f')).obj j = (CostructuredArrow.map f').obj ((CostructuredArrow.map f).obj j)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a✝ b c p q a : ℚ

⊢ a.num ≤ 0 ↔ a ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F
g : E →L[𝕜] G
x : E

⊢ ‖(f.prod g) x‖ ≤ ‖(f, g)‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
I : Box ι
π₀ : Prepartition I

⊢ (l.toFilteriUnion I π₀).HasBasis (fun r => ∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) fun r => {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I✝
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
I : Box ι
π₀ : Prepartition I
this : ∀ (c : ℝ≥0), (l.toFilterDistortioniUnion I c π₀).HasBasis l.RCond fun r => {π | l.MemBaseSet I c r π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}

⊢ (l.toFilteriUnion I π₀).HasBasis (fun r => ∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) fun r => {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (r c) π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
hl₁ : l₁.Nodup

⊢ a ∈ l₁.diff l₂ ↔ a ∈ l₁ ∧ a ∉ l₂
-- Mathlib/FieldTheory/SplittingField/IsSplittingField.lean
F✝¹ : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p : K[X]
F✝ : IntermediateField K L
x : L
int : IsIntegral K x
F : IntermediateField K L
h : Splits (algebraMap K ↥F) (minpoly K x)

⊢ x ∈ F
-- Mathlib/FieldTheory/SplittingField/IsSplittingField.lean
F✝¹ : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p : K[X]
F✝ : IntermediateField K L
x : L
int : IsIntegral K x
F : IntermediateField K L
h : Splits (algebraMap K ↥F) (minpoly K x)

⊢ x ∈ F.val.fieldRange
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α

⊢ s.Disjoint (t ∪ u) ↔ s.Disjoint t ∧ s.Disjoint u
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
hx : ¬x = 0

⊢ log x⁻¹ = -log x
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
s t : Set X

⊢ IsClosed (s ↓∩ t) ↔ s ∩ closure (s ∩ t) ⊆ t
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
s t : Set X

⊢ s ∩ closure (s ∩ t) ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
s t : Set X

⊢ s ∩ t ⊆ s ∩ closure (s ∩ t)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralDomain.lean
R✝ : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : Fintype R✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Finite R

⊢ IsField R
-- Mathlib/RingTheory/IntegralDomain.lean
R✝ : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R✝
inst✝⁴ : IsDomain R✝
inst✝³ : Fintype R✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Finite R
val✝ : Fintype R

⊢ IsField R
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
p : Set β → Prop

⊢ (∀ s ⊆ range f, p s) ↔ ∀ (s : Set α), p (f '' s)
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
p : Set β → Prop

⊢ (∀ s ⊆ range f, p s) ↔ ∀ a ∈ 𝒫 range f, p a