ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
this✝ : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom
this : IsScalarTower R S A

⊢ S' →ₐ[R] A
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
this✝¹ : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom
this✝ : IsScalarTower R S A
this : IsScalarTower S A A

⊢ S' →ₐ[R] A
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this : ∀ (x : R'), (⋯.lift g.toLinearMap) ((algebraMap R' S') x) = g x

⊢ S' →ₐ[R] A
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this : ∀ (x : R'), (⋯.lift g.toLinearMap) ((algebraMap R' S') x) = g x

⊢ (↑R (⋯.lift g.toLinearMap)) 1 = 1
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
hf : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
this✝² : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom
this✝¹ : IsScalarTower R S A
this✝ : IsScalarTower S A A
this : ∀ (x : R'), (⋯.lift g.toLinearMap) ((algebraMap R' S') x) = g x

⊢ ∀ (x y : S'), (↑R (⋯.lift g.toLinearMap)) (x * y) = (↑R (⋯.lift g.toLinearMap)) x * (↑R (⋯.lift g.toLinearMap)) y
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q✝ q : ℚ

⊢ q⁻¹ = ↑q.den /. q.num
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Stalk.lean
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
U V : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
hV : IsAffineOpen V
hxU : x ∈ U
hxV : x ∈ V

⊢ hU.fromSpecStalk hxU = hV.fromSpecStalk hxV
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Stalk.lean
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
U V : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
hV : IsAffineOpen V
hxU : x ∈ U
hxV : x ∈ V
U' : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
h₁ : U' ∈ X.affineOpens
h₂ : x ∈ U'
h₃ : U' ≤ U ⊓ V

⊢ hU.fromSpecStalk hxU = hV.fromSpecStalk hxV
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B

⊢ ↑(MonoidHom.range f) = {x | h x = g x}
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
b : ↑B

⊢ b ∈ ↑(MonoidHom.range f) → b ∈ {x | h x = g x}
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
b : ↑B
hb : h b = g b
r : b ∉ ↑(MonoidHom.range f)

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : Finite 𝒰.J
H : ∀ (i : 𝒰.J), CompactSpace ↑↑(𝒰.obj i).toPresheafedSpace

⊢ CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : Finite 𝒰.J
H : ∀ (i : 𝒰.J), CompactSpace ↑↑(𝒰.obj i).toPresheafedSpace
val✝ : Fintype 𝒰.J

⊢ CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : Finite 𝒰.J
H : ∀ (i : 𝒰.J), CompactSpace ↑↑(𝒰.obj i).toPresheafedSpace
val✝ : Fintype 𝒰.J

⊢ IsCompact (⋃ i, Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : Finite 𝒰.J
H : ∀ (i : 𝒰.J), CompactSpace ↑↑(𝒰.obj i).toPresheafedSpace
val✝ : Fintype 𝒰.J

⊢ ∀ (i : 𝒰.J), IsCompact (Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : Finite 𝒰.J
H : ∀ (i : 𝒰.J), CompactSpace ↑↑(𝒰.obj i).toPresheafedSpace
val✝ : Fintype 𝒰.J
i : 𝒰.J

⊢ IsCompact (Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
inst✝ : Finite 𝒰.J
H : ∀ (i : 𝒰.J), CompactSpace ↑↑(𝒰.obj i).toPresheafedSpace
val✝ : Fintype 𝒰.J
i : 𝒰.J

⊢ CompactSpace ↑(Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{w, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁶ : Category.{w', u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A A' B B' : C
inst✝⁵ : HasBinaryProduct A B
inst✝⁴ : HasBinaryProduct A' B'
inst✝³ : HasBinaryProduct (F.obj A) (F.obj B)
inst✝² : HasBinaryProduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝¹ : HasBinaryProduct (G.obj (F.obj A)) (G.obj (F.obj B))
inst✝ : HasBinaryProduct ((F ⋙ G).obj A) ((F ⋙ G).obj B)

⊢ prod.lift ((F ⋙ G).map prod.fst) ((F ⋙ G).map prod.snd) = G.map (prod.lift (F.map prod.fst) (F.map prod.snd)) ≫ prod.lift (G.map prod.fst) (G.map prod.snd)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle

⊢ (f.cycleOf x).IsCycle ↔ f x ≠ x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
hx : (f.cycleOf x).IsCycle

⊢ f x ≠ x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
hx : (f.cycleOf x).IsCycle

⊢ ¬f.cycleOf x = 1
-- Mathlib/Tactic/NormNum/BigOperators.lean
u v : Level
n nn n' : ℕ
pn : NormNum.IsNat n nn
pn' : nn = n'.succ

⊢ List.range n = 0 :: List.map Nat.succ (List.range n')
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : r₂ ≤ r₁

⊢ Wbtw R x (r₁ • v +ᵥ x) (r₂ • v +ᵥ x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
hf : LSeriesSummable f s

⊢ LSeriesSummable f s'
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
s s' : ℂ
h : s.re ≤ s'.re
hf : Summable fun x => ‖term f s x‖

⊢ Summable fun x => ‖term f s' x‖
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3

⊢ FermatLastTheoremFor 3
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3

⊢ FermatLastTheoremWith ℤ 3
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
hF : a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
hF : a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3
h1 : 3 ∣ a * b * c

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
hF : a ^ 3 + b ^ 3 = c ^ 3
h1 : (3 ∣ a ∨ 3 ∣ b) ∨ 3 ∣ c

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
hF : a ^ 3 + b ^ 3 + (-c) ^ 3 = 0
h1 : (3 ∣ a ∨ 3 ∣ b) ∨ 3 ∣ c

⊢ False
-- Mathlib/Order/Closure.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : CompleteLattice α
c : ClosureOperator α
p✝ p : α → Prop
hsinf : ∀ (s : Set α), (∀ a ∈ s, p a) → p (sInf s)
a : α

⊢ a ≤ (fun a => ⨅ b, ↑b) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0

⊢ Tendsto (fun i => (μs i).normalize) F (𝓝 μ.normalize)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs F (𝓝 μ)
nonzero : μ ≠ 0

⊢ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ((ProbabilityMeasure.toFiniteMeasure ∘ fun i => (μs i).normalize) i).testAgainstNN f) F (𝓝 (μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f))
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hm : p ∈ a.factors

⊢ p ∣ a
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p : Associates α
hm : p ∈ factors 0

⊢ p ∣ 0
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hm : p ∈ a.factors
ha0 : a ≠ 0

⊢ p ∣ a
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hm : p ∈ a.factors
ha0 : a ≠ 0
a0 : α
nza : a0 ≠ 0
ha' : Associates.mk a0 = a

⊢ p ∣ a
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
hm : p ∈ a.factors
ha0 : a ≠ 0
a0 : α
nza : a0 ≠ 0
ha' : Associates.mk a0 = a

⊢ p ∣ a.factors.prod
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
ha0 : a ≠ 0
a0 : α
hm : p ∈ ↑(factors' a0)
nza : a0 ≠ 0
ha' : Associates.mk a0 = a

⊢ p ∣ FactorSet.prod ↑(factors' a0)
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
ha0 : a ≠ 0
a0 : α
hm : p ∈ ↑(factors' a0)
nza : a0 ≠ 0
ha' : Associates.mk a0 = a

⊢ p ∣ (Multiset.map Subtype.val (factors' a0)).prod
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
ha0 : a ≠ 0
a0 : α
hm : p ∈ ↑(factors' a0)
nza : a0 ≠ 0
ha' : Associates.mk a0 = a

⊢ p ∈ Multiset.map Subtype.val (factors' a0)
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : Associates α
ha0 : a ≠ 0
a0 : α
hm : p ∈ ↑(factors' a0)
nza : a0 ≠ 0
ha' : Associates.mk a0 = a

⊢ ∃ a ∈ factors' a0, ↑a = p
-- Mathlib/Algebra/Star/CHSH.lean
R : Type u

⊢ (√2)⁻¹ * (√2)⁻¹ = 2⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Star/CHSH.lean
R : Type u

⊢ (√2 * √2)⁻¹ = 2⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finrank.lean
R✝ : Type u
M✝ : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R✝
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
f : M ≃ₗ[R] M₂

⊢ toNat (Module.rank R M) = toNat (Module.rank R M₂)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f✝ g✝ : α →ᵇ β
x✝ : α
C✝ : ℝ
G : β → γ
C : ℝ≥0
H : LipschitzWith C G
f g : α →ᵇ β
x : α

⊢ dist (f x) (g x) ≤ dist f g
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β

⊢ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β

⊢ IsSeparable (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
h✝ : SecondCountableTopology α

⊢ IsSeparable (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
h : SecondCountableTopologyEither α β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
h✝ : SecondCountableTopology β

⊢ IsSeparable (f '' s)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ cosh ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (cosh x)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ (starRingEnd ℂ) (cexp x + cexp (-x)) / 2 = (starRingEnd ℂ) (cexp x + cexp (-x)) / (starRingEnd ℂ) 2
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LE α
inst✝¹ : MulOneClass α
i : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : MulLECancellable a

⊢ a ≤ b * a ↔ 1 ≤ b
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Functor.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A B : C

⊢ prod.map (𝟙 (F.obj A)) ((expComparison F A).app B) ≫ (exp.ev (F.obj A)).app (F.obj B) = inv (prodComparison F A (A ⟹ B)) ≫ F.map ((exp.ev A).app B)
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Functor.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A B : C
e_1✝ : (F.obj A ⨯ (exp A ⋙ F).obj B ⟶ (𝟭 D).obj (F.obj B)) = ((prod.functor.obj (F.obj A)).obj ((exp A ⋙ F).obj B) ⟶ (𝟭 D).obj (F.obj B))
e_3✝ : (F.obj A ⨯ F.obj (A ⟹ B)) = (F ⋙ prod.functor.obj (F.obj A)).obj (A ⟹ B)
e_4✝ : F.obj (A ⨯ A ⟹ B) = (prod.functor.obj A ⋙ F).obj (A ⟹ B)

⊢ inv (prodComparison F A (A ⟹ B)) = (prodComparisonNatIso F A).inv.app (A ⟹ B)
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Functor.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
A B : C
e_1✝ : (F.obj A ⨯ (exp A ⋙ F).obj B ⟶ (𝟭 D).obj (F.obj B)) = ((prod.functor.obj (F.obj A)).obj ((exp A ⋙ F).obj B) ⟶ (𝟭 D).obj (F.obj B))
e_3✝ : (F.obj A ⨯ F.obj (A ⟹ B)) = (F ⋙ prod.functor.obj (F.obj A)).obj (A ⟹ B)
e_4✝ : F.obj (A ⨯ A ⟹ B) = (prod.functor.obj A ⋙ F).obj (A ⟹ B)

⊢ prodComparison F A (A ⟹ B) ≫ (prodComparisonNatIso F A).inv.app (A ⟹ B) = 𝟙 (F.obj (A ⨯ A ⟹ B))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
e : R

⊢ IsIdempotentElem (toSpanSingleton R R e) ↔ IsIdempotentElem e
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
e : R

⊢ (∀ (x : R), x * (e * e) = x * e) ↔ e * e = e
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ : E
inst✝ : Invertible 2
x y : E

⊢ midpoint 𝕜 x y ∈ [x-[𝕜]y]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ : E
inst✝ : Invertible 2
x y : E

⊢ midpoint 𝕜 x y ∈ ⇑(AffineMap.lineMap x y) '' Icc 0 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
hs : s ∈ 𝓝 x

⊢ LiftPropAt P g x
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι

⊢ ⋯.measurableSpace = hτ.measurableSpace ⊓ ↑f i
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : DivisionMonoid M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M

⊢ a / b ∈ center M
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : DivisionMonoid M
a b : M
ha : a ∈ center M
hb : b ∈ center M

⊢ a * b⁻¹ ∈ center M
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α

⊢ (modifyNth f n l)[n]? = f <$> l[n]?
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.82998, u_1} D
F G : C ⥤ D
η : F ⟶ G
X Y : WithTerminal C
f : X ⟶ Y

⊢ (map F).map f ≫ (fun X => match X with | of x => η.app x | star => 𝟙 star) Y = (fun X => match X with | of x => η.app x | star => 𝟙 star) X ≫ (map G).map f