ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X

⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) ≤ μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}

⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) ≤ μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t

⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) ≤ μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t
Ssep' : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) (s ∩ t)

⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) ≤ μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t
Ssep' : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) (s ∩ t)
S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t

⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) ≤ μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t
Ssep' : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) (s ∩ t)
S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t
hSs : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ t) + μ (S n) ≤ μ s

⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) ≤ μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t
Ssep' : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) (s ∩ t)
S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t
hSs : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ t) + μ (S n) ≤ μ s
iUnion_S : ⋃ n, S n = s \ t

⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) ≤ μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t
Ssep' : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) (s ∩ t)
S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t
hSs : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ t) + μ (S n) ≤ μ s
iUnion_S : ⋃ n, S n = s \ t
htop : ¬μ (s \ t) = ⊤

⊢ μ (s ∩ t) + μ (s \ t) ≤ μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t
Ssep' : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) (s ∩ t)
S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t
hSs : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ t) + μ (S n) ≤ μ s
iUnion_S : ⋃ n, S n = s \ t
htop : ¬μ (s \ t) = ⊤

⊢ μ (⋃ n, S n) ≤ ⨆ n, μ (S n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
hm : μ.IsMetric
t : Set X
ht : t ∈ {s | IsClosed s}
s : Set X
S : ℕ → Set X := fun n => {x | x ∈ s ∧ (↑n)⁻¹ ≤ infEdist x t}
Ssep : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) t
Ssep' : ∀ (n : ℕ), IsMetricSeparated (S n) (s ∩ t)
S_sub : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ s \ t
hSs : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ t) + μ (S n) ≤ μ s
iUnion_S : ⋃ n, S n = s \ t
htop : ¬μ (s \ t) = ⊤
this : ∀ (n : ℕ), S n ⊆ S (n + 1)

⊢ μ (⋃ n, S n) ≤ ⨆ n, μ (S n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V

⊢ (((Basis.singleton Unit K).constr K) fun x => ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord i) 1 = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V

⊢ ∑ i : Unit, (Basis.singleton Unit K).equivFun 1 i • ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord i = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (Basis.ofVectorSpace K V) i ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord i
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
h : s.IsPWO

⊢ s.IsWF
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α

⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : a = i), f i = f a
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝³ : SemilatticeSup α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f✝ : β → α
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : SupHomClass F α β
f : F
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
g : ι → α

⊢ f (s.sup' hs g) = s.sup' hs (⇑f ∘ g)
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
α : Type u_1
l : List α
c : Composition n
i : ℕ
hi : i < (l.splitWrtComposition c).length

⊢ (l.splitWrtComposition c).get ⟨i, hi⟩ = drop (c.sizeUpTo i) (take (c.sizeUpTo (i + 1)) l)
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R✝ : Type u
A✝ : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R✝
inst✝¹⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring A✝
inst✝¹⁴ : Module R✝ A✝
inst✝¹³ : Star A✝
inst✝¹² : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝¹¹ : Module R✝ B
inst✝¹⁰ : Star B
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁸ : Module R✝ C
inst✝⁷ : Star C
inst✝⁶ : FunLike F A✝ B
inst✝⁵ : NonUnitalAlgHomClass F R✝ A✝ B
inst✝⁴ : NonUnitalStarAlgHomClass F R✝ A✝ B
S✝ : NonUnitalStarSubalgebra R✝ A✝
R : Type u
A : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : NonUnitalRing A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Star A
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
h : S.toNonUnitalSubring = T.toNonUnitalSubring
x : A

⊢ x ∈ S ↔ x ∈ T
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α

⊢ a / b ≤ c / d ↔ a * d ≤ c * b
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Equivs.lean
c : CliffordAlgebra Q

⊢ toComplex (involute c) = (starRingEnd ℂ) (toComplex c)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Equivs.lean
c : CliffordAlgebra Q
this : toComplex (involute ((ι Q) 1)) = (starRingEnd ℂ) (toComplex ((ι Q) 1))

⊢ toComplex (involute c) = (starRingEnd ℂ) (toComplex c)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Equivs.lean
c : CliffordAlgebra Q
this : toComplex (involute ((ι Q) 1)) = (starRingEnd ℂ) (toComplex ((ι Q) 1))

⊢ toComplex.comp involute = (↑Complex.conjAe).comp toComplex
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
r : R

⊢ eval₂ f x ((monomial n) r) = f r * x ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Hom/Monoid.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : MulZeroOneClass α
inst✝² : MulZeroOneClass β
inst✝¹ : MulZeroOneClass γ
inst✝ : MulZeroOneClass δ
f g✝ : α →*₀o β
g : β →*₀o γ
f₁ f₂ : α →*₀o β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α

⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/CommRing.lean
R✝ : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R✝
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R✝
p q : MvPolynomial σ R✝
inst✝ : CommRing S
f✝ : R✝ →+* S
g : σ → S
R : Type u
c : ℤ →+* S
f : MvPolynomial R ℤ →+* S
x : MvPolynomial R ℤ

⊢ eval₂ c (⇑f ∘ X) x = f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g : β → E
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ

⊢ Memℒp g p (Measure.map f μ) ↔ Memℒp (g ∘ f) p μ
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l✝ l' l : List α
n : ℕ
h : n < l.cyclicPermutations.length

⊢ l.cyclicPermutations[n] = l.rotate n
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β

⊢ image2 f (↑s ∩ ↑s') (↑t ∪ ↑t') ⊆ image2 f ↑s ↑t ∪ image2 f ↑s' ↑t'
-- Mathlib/Control/Bifunctor.lean
F : Type u₀ → Type u₁ → Type u₂
inst✝¹ : Bifunctor F
inst✝ : LawfulBifunctor F
α : Type u₀
β₀ β₁ β₂ : Type u₁
g : β₀ → β₁
g' : β₁ → β₂
x : F α β₀

⊢ snd g' (snd g x) = snd (g' ∘ g) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ
f : X ⟶ Y

⊢ F.map f.unop.left.op ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) X).snd = ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) Y).snd
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ
f : X ⟶ Y
e_1✝ : F.obj ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) Y).fst = ((Functor.fromPUnit F).obj (unop X).right).obj (op (unop Y).left)

⊢ ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) Y).snd = ((yoneda.obj (unop X).left).map f.unop.left.op ≫ (unop X).hom.app (op (unop Y).left)) (𝟙 (unop (op (unop X).left)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ
f : X ⟶ Y
e_1✝ : F.obj ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) Y).fst = ((Functor.fromPUnit F).obj (unop X).right).obj (op (unop Y).left)

⊢ (unop Y).hom.app (op (unop Y).left) (𝟙 (unop Y).left) = (unop X).hom.app (op (unop Y).left) f.unop.left
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ
f : X ⟶ Y
e_1✝ : F.obj ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) Y).fst = ((Functor.fromPUnit F).obj (unop X).right).obj (op (unop Y).left)
this : yoneda.map f.unop.left ≫ (unop X).hom = (unop Y).hom

⊢ (unop Y).hom.app (op (unop Y).left) (𝟙 (unop Y).left) = (unop X).hom.app (op (unop Y).left) f.unop.left
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ
f : X ⟶ Y
e_1✝ : F.obj ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) Y).fst = ((Functor.fromPUnit F).obj (unop X).right).obj (op (unop Y).left)
this : yoneda.map f.unop.left ≫ (unop X).hom = (unop Y).hom

⊢ (yoneda.map f.unop.left ≫ (unop X).hom).app (op (unop Y).left) (𝟙 (unop Y).left) = (unop X).hom.app (op (unop Y).left) f.unop.left
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : (CostructuredArrow yoneda F)ᵒᵖ
f : X ⟶ Y
e_1✝ : F.obj ((fun X => ⟨op (unop X).left, yonedaEquiv.toFun (unop X).hom⟩) Y).fst = ((Functor.fromPUnit F).obj (unop X).right).obj (op (unop Y).left)
this : yoneda.map f.unop.left ≫ (unop X).hom = (unop Y).hom

⊢ (unop X).hom.app (op (unop Y).left) (𝟙 (unop Y).left ≫ f.unop.left) = (unop X).hom.app (op (unop Y).left) f.unop.left
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ support R N ⊆ support R M
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p : PrimeSpectrum R
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ ∀ (x : PrimeSpectrum R), (∃ m, ∀ r ∉ x.asIdeal, r • m ≠ 0) → ∃ m, ∀ r ∉ x.asIdeal, r • m ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x : ℤ[i]

⊢ ↑x.im = (toComplex x).im
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X
hf : S.arrows f

⊢ J.Covers S f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X
hf : S.arrows f

⊢ ⊤ ∈ J.sieves Y
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w'
inst✝ : L.Structure M
iM : Infinite M
κ : Cardinal.{w}
h1 : ℵ₀ ≤ κ
h2 : lift.{w, max u v} L.card ≤ lift.{max u v, w} κ

⊢ ∃ N, (Nonempty (↑N ↪ₑ[L] M) ∨ Nonempty (M ↪ₑ[L] ↑N)) ∧ #↑N = κ
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformRing.lean
α : Type u_1
inst✝¹⁴ : Ring α
inst✝¹³ : UniformSpace α
inst✝¹² : TopologicalRing α
inst✝¹¹ : UniformAddGroup α
β : Type u
inst✝¹⁰ : UniformSpace β
inst✝⁹ : Ring β
inst✝⁸ : UniformAddGroup β
inst✝⁷ : TopologicalRing β
f : α →+* β
hf : Continuous ⇑f
A : Type u_2
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : UniformSpace A
inst✝⁴ : UniformAddGroup A
inst✝³ : TopologicalRing A
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : UniformContinuousConstSMul R A
r : R
x : Completion A

⊢ Completion.map (fun x => r • x) x = ↑A ((algebraMap R A) r) * x
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformRing.lean
α : Type u_1
inst✝¹⁴ : Ring α
inst✝¹³ : UniformSpace α
inst✝¹² : TopologicalRing α
inst✝¹¹ : UniformAddGroup α
β : Type u
inst✝¹⁰ : UniformSpace β
inst✝⁹ : Ring β
inst✝⁸ : UniformAddGroup β
inst✝⁷ : TopologicalRing β
f : α →+* β
hf : Continuous ⇑f
A : Type u_2
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : UniformSpace A
inst✝⁴ : UniformAddGroup A
inst✝³ : TopologicalRing A
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : UniformContinuousConstSMul R A
r : R
x : Completion A

⊢ IsClosed {a | Completion.map (fun x => r • x) a = ↑A ((algebraMap R A) r) * a}
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformRing.lean
α : Type u_1
inst✝¹⁴ : Ring α
inst✝¹³ : UniformSpace α
inst✝¹² : TopologicalRing α
inst✝¹¹ : UniformAddGroup α
β : Type u
inst✝¹⁰ : UniformSpace β
inst✝⁹ : Ring β
inst✝⁸ : UniformAddGroup β
inst✝⁷ : TopologicalRing β
f : α →+* β
hf : Continuous ⇑f
A : Type u_2
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : UniformSpace A
inst✝⁴ : UniformAddGroup A
inst✝³ : TopologicalRing A
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : UniformContinuousConstSMul R A
r : R
x : Completion A
a : A

⊢ Completion.map (fun x => r • x) (↑A a) = ↑A ((algebraMap R A) r) * ↑A a
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X

⊢ IsAffineOpen ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X

⊢ ⊤ = Scheme.Hom.opensRange (𝟙 X)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X

⊢ ↑⊤ = ↑(Scheme.Hom.opensRange (𝟙 X))
-- Mathlib/Order/Closure.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : SemilatticeSup α
c : ClosureOperator α
x y : α

⊢ c (c x ⊔ c y) = c (x ⊔ y)
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
hs : ∀ (x : ↥L), IsSeparable F x
x : E
h : x ∈ L

⊢ x ∈ separableClosure F E
-- Mathlib/RingTheory/MaximalSpectrum.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : K

⊢ x ∈ ⨅ v, Localization.subalgebra.ofField K v.asIdeal.primeCompl ⋯ ↔ x ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/MaximalSpectrum.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x : K

⊢ (∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) ↔ x ∈ range ⇑(algebraMap R K)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁰ : Semiring R₁
inst✝¹⁹ : Semiring R₂
inst✝¹⁸ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M'₁
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝² : Module R₁ M₂
inst✝¹ : TopologicalSpace R₁
inst✝ : ContinuousSMul R₁ M₂
c : R₁ →L[R₁] M₂

⊢ (smulRight 1 (c 1)) 1 = c 1
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
f : α → Ordinal.{max u v}
g : β → Ordinal.{max u v}
h : range f ⊆ range g

⊢ mex f ≤ mex g
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
f : α → Ordinal.{max u v}
g : β → Ordinal.{max u v}
h : range f ⊆ range g
i : α
hi : f i = mex g

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
f : α → Ordinal.{max u v}
g : β → Ordinal.{max u v}
h : range f ⊆ range g
i : α
j : β
hi : g j = mex g
hj : g j = f i

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p
k : ℕ

⊢ (p ^ k).factors.prod = FactorSet.prod ↑(replicate k ⟨p, hp⟩)
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p
k : ℕ

⊢ p ^ k = match ↑(replicate k ⟨p, hp⟩) with | none => 0 | some s => (Multiset.map Subtype.val s).prod
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p
k : ℕ

⊢ p ^ k = (Multiset.map Subtype.val (replicate k ⟨p, hp⟩)).prod
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : abs z < ↑n
hn0 : 0 < ↑n

⊢ abs z / ↑n < 1
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : abs z < ↑n
hn0 : 0 < ↑n
m : ℕ
hm : n ≤ m

⊢ |abs (z ^ m.succ / ↑m.succ.factorial)| ≤ abs z / ↑n * |abs (z ^ m / ↑m.factorial)|
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : abs z < ↑n
hn0 : 0 < ↑n
m : ℕ
hm : n ≤ m

⊢ abs z / ↑m.succ * abs (z ^ m / ↑m.factorial) ≤ abs z / ↑n * abs (z ^ m / ↑m.factorial)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : abs z < ↑n
hn0 : 0 < ↑n
m : ℕ
hm : n ≤ m

⊢ n ≤ m.succ
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A : Set α

⊢ (inducedOuterMeasure m P0 m0) (⇑f ⁻¹' A) = (inducedOuterMeasure m P0 m0) A
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A : Set α

⊢ ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ t), m t ht = ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : A ⊆ t), m t ht
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A : Set α

⊢ ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : A ⊆ t), m t ht = ⨅ t, ⨅ (ht : P t), ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ t), m t ht
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A s : Set α

⊢ ⨅ (ht : P (⇑f ⁻¹' s)), ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ ⇑f ⁻¹' s), m (⇑f ⁻¹' s) ht = ⨅ (ht : P s), ⨅ (_ : A ⊆ s), m s ht
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
f : α ≃ α
Pm : ∀ (s : Set α), P (⇑f ⁻¹' s) ↔ P s
mm : ∀ (s : Set α) (hs : P s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = m s hs
A s : Set α

⊢ ∀ (x : P s), ⨅ (_ : ⇑f ⁻¹' A ⊆ ⇑f ⁻¹' s), m (⇑f ⁻¹' s) ⋯ = ⨅ (_ : A ⊆ s), m s x