ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
x✝ : Cᵒᵖ

⊢ U.map ((toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).app x✝) ≫ U.map (((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val)).val.app x✝) ≫ U.map ((sheafifyLift J (𝟙 F.val) ⋯).app x✝) = (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (U.obj (F.val.obj (op t)))) ≫ sheafifyLift J ((constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)) ⋯).app x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y

⊢ ∃ fg, ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain) (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x + ↑y = ↑z → fg z = ↑f x + ↑g y
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
x : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hx : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z ∈ f.domain
y : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), y z ∈ g.domain
hxy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z + y z = ↑z

⊢ ∃ fg, ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain) (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x + ↑y = ↑z → fg z = ↑f x + ↑g y
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
x : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hx : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z ∈ f.domain
y : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), y z ∈ g.domain
hxy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z + y z = ↑z
fg : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → F := fun z => ↑f ⟨x z, ⋯⟩ + ↑g ⟨y z, ⋯⟩

⊢ ∃ fg, ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain) (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x + ↑y = ↑z → fg z = ↑f x + ↑g y
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
x : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hx : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z ∈ f.domain
y : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), y z ∈ g.domain
hxy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z + y z = ↑z
fg : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → F := fun z => ↑f ⟨x z, ⋯⟩ + ↑g ⟨y z, ⋯⟩
fg_eq : ∀ (x' : ↥f.domain) (y' : ↥g.domain) (z' : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'

⊢ ∃ fg, ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain) (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x + ↑y = ↑z → fg z = ↑f x + ↑g y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j : 𝒰.J

⊢ t 𝒰 f g i j ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map i) ≫ pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g = pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0

⊢ angle x (x - y) < π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0

⊢ angle x (x - y) < π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0

⊢ angle x (x + -y) < π / 2
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
c : β

⊢ Tendsto (↿F) (p ×ˢ ⊤) (𝓝 c) ↔ TendstoUniformly F (fun x => c) p
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
c : β

⊢ Tendsto (↿F) (p ×ˢ ⊤) (𝓝 c) ↔ TendstoUniformlyOnFilter F (fun x => c) p ⊤
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
ho : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hpi : Function.Injective p

⊢ ∃ c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points), ∀ p₁ ∈ Set.range p, dist p₁ c = Simplex.circumradius t
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
ho : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hpi : Function.Injective p
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
left✝² : i₁ ≠ i₂
left✝¹ : i₁ ≠ i₃
left✝ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : p i₁ = t.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t.points j₂ = p i₂
h₃ : t.points j₃ = p i₃

⊢ ∃ c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points), ∀ p₁ ∈ Set.range p, dist p₁ c = Simplex.circumradius t
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
ho : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
p : Fin 3 → P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hpi : Function.Injective p
hs : Set.range p = Set.range t.points

⊢ ∃ c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points), ∀ p₁ ∈ Set.range p, dist p₁ c = Simplex.circumradius t
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a : α
d : ℕ → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ d n
hd : Summable d
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

⊢ dist (f 0) a ≤ tsum d
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
z x✝ y x p : ℝ
hx : x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p

⊢ x ≠ 0 ∨ ↑One.one ≤ p
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
p : ι → Set (Set α)
hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)
hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p
t1 : Set α
ht1 : t1 ∈ ⋃ n, p n
t2 : Set α
ht2 : t2 ∈ ⋃ n, p n
h : (t1 ∩ t2).Nonempty

⊢ t1 ∩ t2 ∈ ⋃ n, p n
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
p : ι → Set (Set α)
hp_pi : ∀ (n : ι), IsPiSystem (p n)
hp_directed : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) p
t1 : Set α
ht1 : ∃ i, t1 ∈ p i
t2 : Set α
ht2 : ∃ i, t2 ∈ p i
h : (t1 ∩ t2).Nonempty

⊢ ∃ i, t1 ∩ t2 ∈ p i
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A
inst✝⁹ : PartialOrder A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarOrderedRing A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Module ℝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝³ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A

⊢ 0 ≤ a ↔ IsSelfAdjoint a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A
inst✝⁹ : PartialOrder A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarOrderedRing A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Module ℝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝³ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A

⊢ IsSelfAdjoint a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal → 0 ≤ a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A
inst✝⁹ : PartialOrder A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarOrderedRing A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Module ℝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝³ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A
a : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
ha₂ : QuasispectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal

⊢ 0 ≤ a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝¹⁰ : NonUnitalRing A
inst✝⁹ : PartialOrder A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : StarOrderedRing A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Module ℝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝³ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝² : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝¹ : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
ha₁ : IsSelfAdjoint (x * x)
ha₂ : QuasispectrumRestricts (x * x) ⇑ContinuousMap.realToNNReal

⊢ 0 ≤ x * x
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : ↑((autToPow K hμ) f) = ↑((autToPow K hμ) g)

⊢ f = g
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hfg : ↑⋯.choose = ↑⋯.choose

⊢ f = g
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : ↑hf'.choose = ↑hg'.choose

⊢ f = g
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : ↑hf'.choose = ↑hg'.choose
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose

⊢ f = g
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : ↑hf'.choose = ↑hg'.choose
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose

⊢ f = g
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : ↑hf'.choose = ↑hg'.choose
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose

⊢ f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = g ↑↑hμ.toRootsOfUnity
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose

⊢ f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = g ↑↑hμ.toRootsOfUnity
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose

⊢ ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose

⊢ ↑↑(hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose) = ↑↑(hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose

⊢ hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose = hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose

⊢ hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD orderOf hμ.toRootsOfUnity]
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose

⊢ orderOf hμ.toRootsOfUnity = ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose

⊢ orderOf hμ.toRootsOfUnity = orderOf μ
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Gal.lean
n : ℕ+
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
L : Type u_2
μ : L
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
f g : L ≃ₐ[K] L
hf' : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hg' : ∃ m, g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
hfg : hf'.choose ≡ hg'.choose [MOD ↑n]
hf : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hf'.choose
hg : g ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ hg'.choose

⊢ orderOf hμ.toRootsOfUnity = orderOf ↑↑hμ.toRootsOfUnity
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ

⊢ Gamma s = 0 → ∃ m, s = -↑m
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ

⊢ (∀ (m : ℕ), s ≠ -↑m) → Gamma s ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
m : ℕ

⊢ Gamma (-↑m) = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/QuasiIso.lean
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂

⊢ QuasiIso φ ↔ IsIso γ.φH
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/QuasiIso.lean
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂

⊢ IsIso (h₁.homologyIso.hom ≫ γ.φH ≫ h₂.homologyIso.inv) ↔ IsIso γ.φH
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
r k : ℕ
ih : ∀ {t : Finset α}, t ∈ ∂⁺ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ u, u.card = k ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜
t : Finset α

⊢ t ∈ ∂⁺ ^[k + 1] 𝒜 ↔ ∃ u, u.card = k + 1 ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
r k : ℕ
ih : ∀ {t : Finset α}, t ∈ ∂⁺ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ u, u.card = k ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜
t : Finset α

⊢ (∃ a ∈ t, ∃ u, u.card = k ∧ (u ⊆ t ∧ a ∉ u) ∧ t \ insert a u ∈ 𝒜) ↔ ∃ u, (∃ a t, a ∉ t ∧ insert a t = u ∧ t.card = k) ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q a p : R[X]
hp : p.Monic
hap : a ∣ p

⊢ a.leadingCoeff ∣ 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
j : J

⊢ (leftDistributor X f).hom ≫ biproduct.π (fun j => X ⊗ f j) j = X ◁ biproduct.π f j
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
x : α

⊢ s ⊆ insert x t ↔ s ⊆ t ∨ x ∈ s ∧ s \ {x} ⊆ t
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
x : α

⊢ s \ {x} ⊆ t ↔ s ⊆ t ∨ x ∈ s ∧ s \ {x} ⊆ t
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
x : α
hx : x ∉ s

⊢ s \ {x} ⊆ t ↔ s ⊆ t ∨ x ∈ s ∧ s \ {x} ⊆ t
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x

⊢ FiniteDimensional.finrank K ↥K⟮x⟯ = (minpoly K x).natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x : L
hx : IsIntegral K x

⊢ (powerBasis hx).dim = (minpoly K x).natDegree
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m

⊢ yz a1 (m - n) = xz a1 n * yz a1 m - xz a1 m * yz a1 n
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
h : n ≤ m

⊢ yz a1 (m - n) = xz a1 m * -yz a1 n + yz a1 m * xz a1 n
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
a b : ℤ
ha : a ≠ 0

⊢ IsLeast {n | 0 < n ∧ ∃ x y, ↑n = a * x + b * y} (a.gcd b)
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
a b : ℤ
ha : a ≠ 0

⊢ IsLeast {n | 0 < n ∧ a.gcd b ∣ n} (a.gcd b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V

⊢ Module.rank K V ≤ 1 ↔ ∃ v₀, ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
κ : Type v
b : Basis κ K V

⊢ Module.rank K V ≤ 1 ↔ ∃ v₀, ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
-- Mathlib/Topology/Instances/CantorSet.lean

⊢ 0 ∈ cantorSet
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : ℝ

⊢ Ioo x y = ball ((x + y) / 2) ((y - x) / 2)
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
a : α
ha : a ∈ upperBounds s
b : β
hb : b ∈ upperBounds t

⊢ BddBelow (image2 f s t)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h₁ : -1 < x
h₂ : x < 1

⊢ 2 * arctan x = arctan (2 * x / (1 - x ^ 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
h₁ : -1 < x
h₂ : x < 1

⊢ arctan ((x + x) / (1 - x * x)) = arctan (2 * x / (1 - x ^ 2))
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : CommMonoid β
inst✝² : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f✝ f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
hfAB : MapsTo (⇑f) A B
s t : Multiset α
x✝³ : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → x ∈ A
x✝² : ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ t → x ∈ A
x✝¹ : card s = n
x✝ : card t = n
h : s.prod = t.prod

⊢ (map (⇑f) s).prod = (map (⇑f) t).prod
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝ : PartialOrder α
a b : α
ha : μ {a} = 0

⊢ Iio a =ᶠ[ae μ] Iic a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ

⊢ ∫ (x : α), |(μ[f|m]) x| ∂μ ≤ ∫ (x : α), |f x| ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ

⊢ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal |(μ[f|m]) a| ∂μ).toReal ≤ (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal |f a| ∂μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ

⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => |f x|
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ

⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => |f x|) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ

⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => |(μ[f|m]) x|
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hm : m ≤ m0
hfint : Integrable f μ

⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => |(μ[f|m]) x|) μ