ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Defs.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
x : A
r : R
y : A

⊢ x * ((algebraMap R A) r * y) = (algebraMap R A) r * (x * y)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
κ μ : Cardinal.{u}
H1✝ : ℵ₀ ≤ κ
H2 : μ < ℵ₀
n : ℕ
H3 : μ = ↑n
α : Type u
H1 : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧

⊢ ⟦α⟧ ^ ↑Nat.zero < ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
κ μ : Cardinal.{u}
H1✝ : ℵ₀ ≤ κ
H2 : μ < ℵ₀
n : ℕ
H3 : μ = ↑n
α : Type u
H1 : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧

⊢ 1 < ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
κ μ : Cardinal.{u}
H1✝ : ℵ₀ ≤ κ
H2 : μ < ℵ₀
n✝ : ℕ
H3 : μ = ↑n✝
α : Type u
H1 : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
n : ℕ
ih : ⟦α⟧ ^ ↑n ≤ ⟦α⟧

⊢ ⟦α⟧ ^ ↑n.succ ≤ ⟦α⟧ * ⟦α⟧
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
κ μ : Cardinal.{u}
H1✝ : ℵ₀ ≤ κ
H2 : μ < ℵ₀
n✝ : ℕ
H3 : μ = ↑n✝
α : Type u
H1 : ℵ₀ ≤ ⟦α⟧
n : ℕ
ih : ⟦α⟧ ^ ↑n ≤ ⟦α⟧

⊢ ⟦α⟧ ^ ↑n * ⟦α⟧ ≤ ⟦α⟧ * ⟦α⟧
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℤ

⊢ (1 / a) ^ n = 1 / a ^ n
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/PDeriv.lean
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq σ
i j : σ

⊢ (pderiv i) (X j) = Pi.single i 1 j
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddZeroClass G
f : k[G]
r : k
x a : G

⊢ 0 + a = x ↔ a = x
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
h : f ≠ 0

⊢ ((finSuccEquiv R n) f).support.Nonempty
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y

⊢ ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X⟧ = ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y⟧ → Nonempty (X ≃ᵢ Y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y

⊢ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y → Nonempty (X ≃ᵢ Y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y)
I : (↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y)) = (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y)))

⊢ Nonempty (X ≃ᵢ Y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y)
I : (↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y)) = (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y)))
f : X ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding X))

⊢ Nonempty (X ≃ᵢ Y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y)
I : (↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y)) = (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y)))
f : X ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding X))
g : ↑(range (kuratowskiEmbedding Y)) ≃ᵢ Y

⊢ Nonempty (X ≃ᵢ Y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : X ≃ᵢ Y

⊢ toGHSpace X = toGHSpace Y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : X ≃ᵢ Y

⊢ ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X⟧ = ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y⟧
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : X ≃ᵢ Y
f : ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ X

⊢ ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X⟧ = ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y⟧
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : X ≃ᵢ Y
f : ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ X
g : Y ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))

⊢ ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X⟧ = ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y⟧
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : X ≃ᵢ Y
f : ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ X
g : Y ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))
I : (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))) = (↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y))

⊢ ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X⟧ = ⟦NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y⟧
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
e : X ≃ᵢ Y
f : ↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ X
g : Y ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))
I : (↑(range (kuratowskiEmbedding X)) ≃ᵢ ↑(range (kuratowskiEmbedding Y))) = (↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X) ≃ᵢ ↥(NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y))

⊢ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding X ≈ NonemptyCompacts.kuratowskiEmbedding Y
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1

⊢ ofNat' (0 + 1) = ofNat' 0 + 1
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
f : ι → α
hf : BddAbove (range f)

⊢ l (⨆ i, f i) = ⨆ i, l (f i)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r

⊢ ∃ x ∈ s, Unbounded r x
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r
h : ∀ x ∈ s, ¬Unbounded r x

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r
h : ∀ x ∈ s, Bounded r x

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r
h : ∀ x ∈ s, Bounded r x
f : ↑s → α := fun x => ⋯.sup ↑x ⋯

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r
h : ∀ x ∈ s, Bounded r x
f : ↑s → α := fun x => ⋯.sup ↑x ⋯
x : α

⊢ ∃ b ∈ range f, swap rᶜ x b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : Set (Set α)
h₁ : Unbounded r (⋃₀ s)
h₂ : #↑s < StrictOrder.cof r
h : ∀ x ∈ s, Bounded r x
f : ↑s → α := fun x => ⋯.sup ↑x ⋯
x y : α
hxy : ¬r y x
c : Set α
hc : c ∈ s
hy : y ∈ c

⊢ ∃ b ∈ range f, swap rᶜ x b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c✝ : R
x✝ : M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
c : R
x : M
hcx : c • x = 0

⊢ c = 0 ∨ x = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ init n (x + y) = init n (init n x + init n y)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝ : ∀ (i : ι), T2Space (π i)
s : Set ((i : ι) → π i)

⊢ IsCompact (closure s) ↔ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (eval i '' s))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_5
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β

⊢ AEStronglyMeasurable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_5
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β

⊢ AEMeasurable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι✝
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
ι : Type u_5
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → β
g : α → β
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β

⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ t
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
p : α → Prop
hb : p ⊥
hp : ∀ (a₁ : α), p a₁ → ∀ (a₂ : α), p a₂ → p (a₁ ⊔ a₂)
hs : ∀ b ∈ s, p (f b)

⊢ p (s.sup f)
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Defs.lean
n m p : ℕ
pp : Prime p
h : 1 = 1 ∨ m ≤ minFac 1
d : p ∣ 1

⊢ m ≤ p
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ j₃ k₁ k₂ l : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
f₂ : j₂ ⟶ k₁
f₃ : j₂ ⟶ k₂
f₄ : j₃ ⟶ k₂
g₁ : j₁ ⟶ l
g₂ : j₃ ⟶ l

⊢ ∃ s α β γ, f₁ ≫ α = g₁ ≫ β ∧ f₂ ≫ α = f₃ ≫ γ ∧ f₄ ≫ γ = g₂ ≫ β
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ j₃ k₁ k₂ l : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
f₂ : j₂ ⟶ k₁
f₃ : j₂ ⟶ k₂
f₄ : j₃ ⟶ k₂
g₁ : j₁ ⟶ l
g₂ : j₃ ⟶ l
l' : C
k₁l : k₁ ⟶ l'
k₂l : k₂ ⟶ l'
hl : f₂ ≫ k₁l = f₃ ≫ k₂l

⊢ ∃ s α β γ, f₁ ≫ α = g₁ ≫ β ∧ f₂ ≫ α = f₃ ≫ γ ∧ f₄ ≫ γ = g₂ ≫ β
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
j₁ j₂ j₃ k₁ k₂ l : C
f₁ : j₁ ⟶ k₁
f₂ : j₂ ⟶ k₁
f₃ : j₂ ⟶ k₂
f₄ : j₃ ⟶ k₂
g₁ : j₁ ⟶ l
g₂ : j₃ ⟶ l
l' : C
k₁l : k₁ ⟶ l'
k₂l : k₂ ⟶ l'
hl : f₂ ≫ k₁l = f₃ ≫ k₂l
s : C
ls : l ⟶ s
l's : l' ⟶ s
hs₁ : g₁ ≫ ls = (f₁ ≫ k₁l) ≫ l's
hs₂ : g₂ ≫ ls = (f₄ ≫ k₂l) ≫ l's

⊢ ∃ s α β γ, f₁ ≫ α = g₁ ≫ β ∧ f₂ ≫ α = f₃ ≫ γ ∧ f₄ ≫ γ = g₂ ≫ β
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊥, ⊥)
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α

⊢ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊥, ⊥), a.1 + a.2 < ↑x
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
r : ℝ
x✝ : EReal × EReal
h : x✝.1 < ↑0 ∧ x✝.2 < ↑r

⊢ x✝.1 + x✝.2 < ↑r
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t✝ t : Finset β

⊢ 0 • t ⊆ 0
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b

⊢ 2 ≤ Finset.card b
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
w₁ : m ∈ b

⊢ 2 ≤ Finset.card b
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
w₁ : m ∈ b
w₂ : (m.1, m.2 - 1) ∈ Finset.erase b m

⊢ 2 ≤ Finset.card b
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
w₁ : m ∈ b
w₂ : (m.1, m.2 - 1) ∈ Finset.erase b m
i₁ : (Finset.erase b m).card < Finset.card b

⊢ 2 ≤ Finset.card b
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b
w₁ : m ∈ b
w₂ : (m.1, m.2 - 1) ∈ Finset.erase b m
i₁ : (Finset.erase b m).card < Finset.card b
i₂ : 0 < (Finset.erase b m).card

⊢ 2 ≤ Finset.card b
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
h : 1 ≤ p.natDegree
f : R →+* S
x : S

⊢ eval₂ f (f p.leadingCoeff * x) (normalizeScaleRoots p) = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * eval₂ f x p
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
h : 1 ≤ p.natDegree
f : R →+* S
x : S

⊢ ∑ i ∈ Finset.range ((normalizeScaleRoots p).natDegree + 1), f ((normalizeScaleRoots p).coeff i) * (f p.leadingCoeff * x) ^ i = ∑ i ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * (f (p.coeff i) * x ^ i)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
h : 1 ≤ p.natDegree
f : R →+* S
x : S

⊢ Finset.range ((normalizeScaleRoots p).natDegree + 1) = Finset.range (p.natDegree + 1)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
h : 1 ≤ p.natDegree
f : R →+* S
x : S

⊢ ∀ x_1 ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), f ((normalizeScaleRoots p).coeff x_1) * (f p.leadingCoeff * x) ^ x_1 = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * (f (p.coeff x_1) * x ^ x_1)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
h : 1 ≤ p.natDegree
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
_hn : n ∈ Finset.range (p.natDegree + 1)

⊢ f ((normalizeScaleRoots p).coeff n) * (f p.leadingCoeff * x) ^ n = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * (f (p.coeff n) * x ^ n)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝¹ f✝ : R →+* S
p : R[X]
x✝ : S
h : 1 ≤ p.natDegree
f : R →+* S
x : S
n : ℕ
_hn : n ∈ Finset.range (p.natDegree + 1)

⊢ f (p.coeff n) * f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * x ^ n = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * (f (p.coeff n) * x ^ n)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
hs : Convex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s

⊢ StarConvex 𝕜 (f x) (⇑f '' s)
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
x : S
this : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom

⊢ (pushoutDesc S' f g H) ((algebraMap S S') x) = f x
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
x : S
this✝ : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom
this : IsScalarTower R S A

⊢ (pushoutDesc S' f g H) ((algebraMap S S') x) = f x
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
x : S
this✝¹ : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom
this✝ : IsScalarTower R S A
this : IsScalarTower S A A

⊢ (pushoutDesc S' f g H) ((algebraMap S S') x) = f x
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³³ : AddCommMonoid M
inst✝³² : AddCommMonoid N
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : CommSemiring S
inst✝²⁹ : Algebra R S
inst✝²⁸ : Module R M
inst✝²⁷ : Module R N
inst✝²⁶ : Module S N
inst✝²⁵ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²⁴ : AddCommMonoid P
inst✝²³ : Module R P
inst✝²² : AddCommMonoid Q
inst✝²¹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝²⁰ : CommSemiring T
inst✝¹⁹ : Algebra R T
inst✝¹⁸ : Algebra S T
inst✝¹⁷ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid O
inst✝¹⁵ : Module R O
inst✝¹⁴ : Module S O
inst✝¹³ : Module T O
inst✝¹² : IsScalarTower S T O
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R'
inst✝⁸ : CommSemiring S'
inst✝⁷ : Algebra R R'
inst✝⁶ : Algebra S S'
inst✝⁵ : Algebra R' S'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : IsScalarTower R R' S'
inst✝² : IsScalarTower R S S'
H✝ : IsPushout R S R' S'
A : Type u_8
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : S →ₐ[R] A
g : R' →ₐ[R] A
H : ∀ (x : S) (y : R'), f x * g y = g y * f x
x : S
this✝¹ : Module S A := Module.compHom A f.toRingHom
this✝ : IsScalarTower R S A
this : IsScalarTower S A A

⊢ x • 1 = f x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
inst✝ : DecidableEq V
c : G.Walk v v
h : u ∈ c.support

⊢ (c.rotate h).toSubgraph = c.toSubgraph
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ n b : ℕ
l : List ℕ

⊢ n * ofDigits b l = ofDigits b (List.map (fun x => n * x) l)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
x : Cardinal.{u_2}
hx : x < ℵ₀

⊢ 2 ^ x < ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
n : ℕ
hx : ↑n < ℵ₀

⊢ 2 ^ ↑n < ℵ₀
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : MapsTo f s s
hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
t : Set α
htc : IsComplete t
htf : MapsTo f t t
hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf)
y : α
hyt : y ∈ t
hy : edist y (f y) ≠ ⊤
hxy : edist x y ≠ ⊤

⊢ efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx = efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : MapsTo f s s
hfs : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ⊤
t : Set α
htc : IsComplete t
htf : MapsTo f t t
hft : ContractingWith K (MapsTo.restrict f t t htf)
y : α
hyt : y ∈ t
hy : edist y (f y) ≠ ⊤
hxy : edist x y ≠ ⊤
h' : edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) = ⊤

⊢ edist (efixedPoint' f hsc hsf hfs x hxs hx) (efixedPoint' f htc htf hft y hyt hy) < ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

⊢ Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s✝ t : Set ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
hS : MeasurableSet S

⊢ cylinder s S ∈ measurableCylinders α