ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ ¬a ≡ b [PMOD p] ∨ a ≡ b [PMOD p]
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A pb'.gen) = 0
h₂ : (aeval pb'.gen) (minpoly A pb.gen) = 0
x : S'

⊢ ((pb.lift pb'.gen h₂).comp (pb'.lift pb.gen h₁)) x = (AlgHom.id A S') x
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A pb'.gen) = 0
h₂ : (aeval pb'.gen) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]

⊢ ((pb.lift pb'.gen h₂).comp (pb'.lift pb.gen h₁)) ((aeval pb'.gen) f) = (AlgHom.id A S') ((aeval pb'.gen) f)
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A pb'.gen) = 0
h₂ : (aeval pb'.gen) (minpoly A pb.gen) = 0
x : S

⊢ ((pb'.lift pb.gen h₁).comp (pb.lift pb'.gen h₂)) x = (AlgHom.id A S) x
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
pb' : PowerBasis A S'
h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A pb'.gen) = 0
h₂ : (aeval pb'.gen) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]

⊢ ((pb'.lift pb.gen h₁).comp (pb.lift pb'.gen h₂)) ((aeval pb.gen) f) = (AlgHom.id A S) ((aeval pb.gen) f)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'

⊢ φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * Localization.mk (↑p ^ m * r') ⟨↑p ^ n * q', hq⟩ = ↑p ^ (↑m - ↑n) * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
key : frobenius b * ↑p ^ m * r' * ↑p ^ n = ↑p ^ m * b * (↑p ^ n * q')

⊢ φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * Localization.mk (↑p ^ m * r') ⟨↑p ^ n * q', hq⟩ = ↑p ^ (↑m - ↑n) * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
key : frobenius b * ↑p ^ m * r' * ↑p ^ n = ↑p ^ m * b * (↑p ^ n * q')
hq'' : (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q' ≠ 0

⊢ φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * Localization.mk (↑p ^ m * r') ⟨↑p ^ n * q', hq⟩ = ↑p ^ (↑m - ↑n) * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
key : frobenius b * ↑p ^ m * r' * ↑p ^ n = ↑p ^ m * b * (↑p ^ n * q')
hq'' : (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q' ≠ 0

⊢ φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * Localization.mk (↑p ^ m * r') ⟨↑p ^ n * q', hq⟩ = ↑p ^ ↑m / ↑p ^ ↑n * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
key : frobenius b * ↑p ^ m * r' * ↑p ^ n = ↑p ^ m * b * (↑p ^ n * q')
hq'' : (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q' ≠ 0

⊢ φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * (↑p ^ m * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) r') * ↑p ^ n = ↑p ^ m * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b * (↑p ^ n * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q')
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
m n : ℕ
r' q' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'
key : frobenius b * ↑p ^ m * r' * ↑p ^ n = ↑p ^ m * b * (↑p ^ n * q')
hq'' : (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q' ≠ 0

⊢ (algebraMap (𝕎 k) (Localization (nonZeroDivisors (𝕎 k)))) ((frobeniusEquiv p k) b) * (↑p ^ m * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) r') * ↑p ^ n = ↑p ^ m * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b * (↑p ^ n * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) q')
-- Mathlib/Computability/RegularExpressions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
P : RegularExpression α
x : List α

⊢ P.rmatch x = true ↔ x ∈ P.matches'
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f : α → M
n : ℕ

⊢ ∏ x ∈ range (n + 1), (x + 1) = (n + 1)!
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ log (-x) = log x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
i✝ : Fin2 n
u : α i✝

⊢ u ∈ supp (abs ⟨a, f⟩) i✝ ↔ u ∈ f i✝ '' univ
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
i✝ : Fin2 n
u : α i✝

⊢ (∀ (a_1 : (P F).A) (f_1 : (P F).B a_1 ⟹ α), abs ⟨a_1, f_1⟩ = abs ⟨a, f⟩ → u ∈ f_1 i✝ '' univ) ↔ u ∈ f i✝ '' univ
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
i✝ : Fin2 n
u : α i✝
h' : u ∈ f i✝ '' univ
a' : (P F).A
f' : (P F).B a' ⟹ α
e : abs ⟨a', f'⟩ = abs ⟨a, f⟩

⊢ u ∈ f' i✝ '' univ
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α
i✝ : Fin2 n
u : α i✝
h' : u ∈ f i✝ '' univ
a' : (P F).A
f' : (P F).B a' ⟹ α
e : abs ⟨a', f'⟩ = abs ⟨a, f⟩

⊢ u ∈ f i✝ '' univ
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
h : x ∈ s

⊢ egauge 𝕜 s x ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
h : x ∈ 1 • s

⊢ egauge 𝕜 s x ≤ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

⊢ Measurable (∑' (i : ι), f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
x : α

⊢ tsum (fun i => f i) x = ∑' (i : ι), f i x
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
h : ∀ (t : G), t ^ a.val = t ^ b.val

⊢ a = b
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
d : ℕ
a b : ZMod d
hGcard : Fintype.card G = d
h : ∀ (t : G), t ^ a.val = t ^ b.val
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g

⊢ a = b
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
a b : ZMod (Fintype.card G)
h : g ^ a.val = g ^ b.val

⊢ a = b
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : IsCyclic G
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
a b : ZMod (Fintype.card G)
h : ↑a.val = ↑b.val

⊢ a = b
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
h✝ : x ≠ y
h : midpoint R x y ≠ x

⊢ Sbtw R x (midpoint R x y) y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
h✝ : x ≠ y
h : midpoint R x y ≠ x

⊢ y = (pointReflection R (midpoint R x y)) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄

⊢ comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap) = Q₁.tmul Q₃
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
h₁ : Q₁ = comp Q₂ f.toLinearMap

⊢ comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap) = Q₁.tmul Q₃
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
h₁ : Q₁ = comp Q₂ f.toLinearMap
h₃ : Q₃ = comp Q₄ g.toLinearMap

⊢ comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap) = Q₁.tmul Q₃
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
h₁ : Q₁ = comp Q₂ f.toLinearMap
h₃ : Q₃ = comp Q₄ g.toLinearMap

⊢ (associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap)) = (associatedHom R) (Q₁.tmul Q₃)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
Q₄ : QuadraticForm R M₄
f : Q₁ →qᵢ Q₂
g : Q₃ →qᵢ Q₄
h₁ : Q₁ = comp Q₂ f.toLinearMap
h₃ : Q₃ = comp Q₄ g.toLinearMap
m₁ : M₁
m₃ : M₃
m₁' : M₁
m₃' : M₃

⊢ ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (comp (Q₂.tmul Q₄) (TensorProduct.map f.toLinearMap g.toLinearMap)))) m₁) m₃)) m₁') m₃' = ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (Q₁.tmul Q₃))) m₁) m₃)) m₁') m₃'
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
s : Set ι
i : ι
hi : i ∉ s
l : ι →₀ 𝕜
hl : l ∈ Finsupp.supported 𝕜 𝕜 s

⊢ ⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l, v i⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
s : Set ι
i : ι
hi : i ∉ s
l : ι →₀ 𝕜
hl : ∀ x ∉ s, l x = 0

⊢ ⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l, v i⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)

⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂ν a, Tendsto (fun m => κ.density ν a x (seq m)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)

⊢ ∀ (n : ℕ), Integrable (fun x => κ.density ν a x (seq n)) (ν a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a_1 : γ), κ.density ν a a_1 (seq i) ∂ν a) atTop (𝓝 (∫ (a : γ), 0 ∂ν a))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)

⊢ ∀ᵐ (a_1 : γ) ∂ν a, Antitone fun i => κ.density ν a a_1 (seq i)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Antitone seq
hseq_iInter : ⋂ i, seq i = ∅
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)

⊢ ∀ᵐ (a_1 : γ) ∂ν a, ∀ (i : ℕ), 0 ≤ κ.density ν a a_1 (seq i)
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b₁✝ b₁ : α
h : (fun b => s(a, b)) b₁✝ = (fun b => s(a, b)) b₁

⊢ b₁✝ = b₁
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b₁✝ b₁ : α
h : b₁✝ = b₁ ∨ a = b₁ ∧ b₁✝ = a

⊢ b₁✝ = b₁
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
hf : LipschitzOnWith C f s
A : F ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ F) → ℝ

⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
hf : LipschitzOnWith C f s
A : F ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ F) → ℝ

⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (⇑A ∘ f) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
hf : LipschitzOnWith C f s
A : F ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ F) → ℝ

⊢ LipschitzOnWith ?C (⇑A ∘ f) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
hf : LipschitzOnWith C f s
A : F ≃L[ℝ] ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ F) → ℝ

⊢ ℝ≥0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData

⊢ leftHomologyMap' (φ - φ') h₁ h₂ = leftHomologyMap' φ h₁ h₂ - leftHomologyMap' φ' h₁ h₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R✝ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M''
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M'
inst✝⁴ : Module R✝ M''
a✝ b✝ : R✝
x✝ y✝ : M✝
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
a b c d : R
h' : a * d - b * c ≠ 0

⊢ LinearIndependent R ![a • x + b • y, c • x + d • y]
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R✝ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M''
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M'
inst✝⁴ : Module R✝ M''
a✝ b✝ : R✝
x✝ y✝ : M✝
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
a b c d : R
h' : a * d - b * c ≠ 0
s t : R
hst : s • (a • x + b • y) + t • (c • x + d • y) = 0

⊢ s = 0 ∧ t = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R✝ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M''
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M'
inst✝⁴ : Module R✝ M''
a✝ b✝ : R✝
x✝ y✝ : M✝
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
a b c d : R
h' : a * d - b * c ≠ 0
s t : R
hst : s • (a • x + b • y) + t • (c • x + d • y) = 0
H : (s * a + t * c) • x + (s * b + t * d) • y = 0

⊢ s = 0 ∧ t = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R✝ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M''
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M'
inst✝⁴ : Module R✝ M''
a✝ b✝ : R✝
x✝ y✝ : M✝
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
a b c d : R
h' : a * d - b * c ≠ 0
s t : R
hst : s • (a • x + b • y) + t • (c • x + d • y) = 0
H : (s * a + t * c) • x + (s * b + t * d) • y = 0
I1 : s * a + t * c = 0

⊢ s = 0 ∧ t = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R✝ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M''
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M'
inst✝⁴ : Module R✝ M''
a✝ b✝ : R✝
x✝ y✝ : M✝
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
a b c d : R
h' : a * d - b * c ≠ 0
s t : R
hst : s • (a • x + b • y) + t • (c • x + d • y) = 0
H : (s * a + t * c) • x + (s * b + t * d) • y = 0
I1 : s * a + t * c = 0
I2 : s * b + t * d = 0

⊢ s = 0 ∧ t = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R✝ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M''
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M'
inst✝⁴ : Module R✝ M''
a✝ b✝ : R✝
x✝ y✝ : M✝
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
a b c d : R
h' : a * d - b * c ≠ 0
s t : R
hst : s • (a • x + b • y) + t • (c • x + d • y) = 0
H : (s * a + t * c) • x + (s * b + t * d) • y = 0
I1 : s * a + t * c = 0
I2 : s * b + t * d = 0
J1 : (a * d - b * c) * s = 0

⊢ s = 0 ∧ t = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R✝ : Type u_2
K : Type u_3
M✝ : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M✝
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M''
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M'
inst✝⁴ : Module R✝ M''
a✝ b✝ : R✝
x✝ y✝ : M✝
R : Type u_8
M : Type u_9
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
h : LinearIndependent R ![x, y]
a b c d : R
h' : a * d - b * c ≠ 0
s t : R
hst : s • (a • x + b • y) + t • (c • x + d • y) = 0
H : (s * a + t * c) • x + (s * b + t * d) • y = 0
I1 : s * a + t * c = 0
I2 : s * b + t * d = 0
J1 : (a * d - b * c) * s = 0
J2 : (a * d - b * c) * t = 0

⊢ s = 0 ∧ t = 0
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
l : List α

⊢ sublistsLen (a :: l).length (a :: l) = [a :: l]