ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ+
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
ζ : Rˣ

⊢ ζ ∈ rootsOfUnity k R ↔ ↑ζ ∈ nthRoots (↑k) 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ g✝ : X✝ ⟶ Y✝
h✝ : Y✝ ⟶ Z✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : X ⟶ Z
inst✝ : IsIso g
hh : IsIso (f ≫ g)
w : f ≫ g = h
this : IsIso (f ≫ g)

⊢ IsIso f
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝ : AddSemigroup α
h : Periodic f c
a x : α

⊢ (fun x => f (a + x)) (x + c) = (fun x => f (a + x)) x
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]

⊢ p ∈ RingHom.ker (Polynomial.aeval x) ↔ p ∈ Submodule.span A[X] {minpoly A x}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
a : R

⊢ (C a * X ^ n).degree ≤ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
a : R

⊢ ((monomial n) a).degree ≤ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.210393, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : k ≫ S.g = 0
inst✝¹ : S.HasLeftHomology
φ : S ⟶ S₁
inst✝ : S₁.HasLeftHomology

⊢ (k ≫ φ.τ₂) ≫ S₁.g = 0
-- Mathlib/Order/Filter/ModEq.lean

⊢ ∃ᶠ (m : ℕ) in atTop, Odd m
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ

⊢ (gradedComm R 𝒜 ℬ) (((gradedMul R 𝒜 ℬ) x) y) = ((gradedMul R ℬ 𝒜) ((gradedComm R 𝒜 ℬ) x)) ((gradedComm R 𝒜 ℬ) y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ

⊢ (gradedMul R 𝒜 ℬ).compr₂ ↑(gradedComm R 𝒜 ℬ) = (gradedMul R ℬ 𝒜 ∘ₗ ↑(gradedComm R 𝒜 ℬ)).compl₂ ↑(gradedComm R 𝒜 ℬ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
i₁ : ι
a₁ : 𝒜 i₁
j₁ : ι
b₁ : ℬ j₁
i₂ : ι
a₂ : 𝒜 i₂
j₂ : ι
b₂ : ℬ j₂

⊢ (gradedComm R 𝒜 ℬ) (((gradedMul R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₁) b₁)) ((lof R ι 𝒜 i₂) a₂ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₂) b₂)) = ((gradedMul R ℬ 𝒜) ((gradedComm R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₁) b₁))) ((gradedComm R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i₂) a₂ ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j₂) b₂))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
i₁ : ι
a₁ : 𝒜 i₁
j₁ : ι
b₁ : ℬ j₁
i₂ : ι
a₂ : 𝒜 i₂
j₂ : ι
b₂ : ℬ j₂

⊢ (gradedComm R 𝒜 ℬ) ((-1) ^ (j₁ * i₂) • ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂)) = ((gradedMul R ℬ 𝒜) ((-1) ^ (j₁ * i₁) • (lof R ι ℬ j₁) b₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i₁) a₁)) ((-1) ^ (j₂ * i₂) • (lof R ι ℬ j₂) b₂ ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i₂) a₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
i₁ : ι
a₁ : 𝒜 i₁
j₁ : ι
b₁ : ℬ j₁
i₂ : ι
a₂ : 𝒜 i₂
j₂ : ι
b₂ : ℬ j₂

⊢ ↑↑((-1) ^ (j₁ * i₂)) • (gradedComm R 𝒜 ℬ) (((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂)) = ↑↑((-1) ^ (j₂ * i₂)) • ↑↑((-1) ^ (j₁ * i₁)) • ((gradedMul R ℬ 𝒜) ((lof R ι ℬ j₁) b₁ ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i₁) a₁)) ((lof R ι ℬ j₂) b₂ ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i₂) a₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
i₁ : ι
a₁ : 𝒜 i₁
j₁ : ι
b₁ : ℬ j₁
i₂ : ι
a₂ : 𝒜 i₂
j₂ : ι
b₂ : ℬ j₂

⊢ ((-1) ^ (j₁ * i₂) * (-1) ^ ((j₁ + j₂) * (i₁ + i₂))) • ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) = ((-1) ^ (j₂ * i₂) * ((-1) ^ (j₁ * i₁) * (-1) ^ (i₁ * j₂))) • ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
i₁ : ι
a₁ : 𝒜 i₁
j₁ : ι
b₁ : ℬ j₁
i₂ : ι
a₂ : 𝒜 i₂
j₂ : ι
b₂ : ℬ j₂

⊢ (-1) ^ (j₁ * i₂ + (j₁ * i₁ + j₂ * i₁ + (j₁ * i₂ + j₂ * i₂))) • ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂) = (-1) ^ (j₂ * i₂ + (j₁ * i₁ + j₂ * i₁)) • ((lof R ι ℬ j₁) b₁ * (lof R ι ℬ j₂) b₂) ⊗ₜ[R] ((lof R ι 𝒜 i₁) a₁ * (lof R ι 𝒜 i₂) a₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
x y : DirectSum ι 𝒜 ⊗[R] DirectSum ι ℬ
i₁ : ι
a₁ : 𝒜 i₁
j₁ : ι
b₁ : ℬ j₁
i₂ : ι
a₂ : 𝒜 i₂
j₂ : ι
b₂ : ℬ j₂

⊢ (-1) ^ (2 • (j₁ * i₂) + (j₁ * i₁ + (j₂ * i₁ + j₂ * i₂))) = (-1) ^ (j₁ * i₁ + (j₂ * i₁ + j₂ * i₂))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/EraseIdx.lean
α : Type u
β : Type v
x : α
l : List α
k : Nat

⊢ x ∈ l.eraseIdx k ↔ ∃ i, ↑i ≠ k ∧ l.get i = x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v w u : V
p : G.Walk u u

⊢ p.IsPath ↔ p = nil
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
a b : α

⊢ (∃ n, succ^[n] a = b) ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
a b : α

⊢ (∃ n, succ^[n] a = b) → a ≤ b
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
a : α
n : ℕ

⊢ a ≤ succ^[n] a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
f : ↥(Lp ℝ p μ)
a : α
h : ↑↑(negPart f) a = max (-↑↑f a) 0

⊢ ↑↑(negPart f) a = -min (↑↑f a) 0
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
h : NumberField K
inst✝¹ : Finite ↑S
inst✝ : IsCyclotomicExtension S K L

⊢ FiniteDimensional ℚ L
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
h : NumberField K
inst✝¹ : Finite ↑S
inst✝ : IsCyclotomicExtension S K L
this : CharZero L

⊢ FiniteDimensional ℚ L
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
h : NumberField K
inst✝¹ : Finite ↑S
inst✝ : IsCyclotomicExtension S K L
this✝ : CharZero L
this : Module.Finite K L

⊢ FiniteDimensional ℚ L
-- Mathlib/Data/Finsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N

⊢ f.neLocus (f - g) = g.support
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ↑(cosKernel (↑a) t)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) (jacobiTheta₂ (↑a) (I * ↑t))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : ∀ (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t)) = jacobiTheta₂_term n (↑a) (I * ↑t)

⊢ HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) (jacobiTheta₂ (↑a) (I * ↑t))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : ∀ (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t)) = jacobiTheta₂_term n (↑a) (I * ↑t)

⊢ HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n (↑a) (I * ↑t)) (jacobiTheta₂ (↑a) (I * ↑t))
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁ : I₁
i₂ i₂' : I₂
h : c₂.Rel i₂ i₂'
i₁₂ : I₁₂
h' : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂') = i₁₂

⊢ K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ = c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.X i₁).d i₂ i₂' ≫ K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂') i₁₂ h'
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₁ : ι → P
p₂ b : P

⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ i -ᵥ p₂) = (s.weightedVSubOfPoint p₁ b) w - (∑ i ∈ s, w i) • (p₂ -ᵥ b)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ

⊢ T0Space α ↔ Pairwise fun x y => ∃ r ∈ 𝓤 α, (x, y) ∉ r
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Trace.lean
ι : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
α : Type u_5
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : NonUnitalCommSemiring R
A : Matrix m n R
B : Matrix n p R
C : Matrix p m R

⊢ (A * B * C).trace = (C * A * B).trace
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
s : Multiset R

⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod.roots = s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
s : Multiset R

⊢ (s.bind fun a => (X - C a).roots) = s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
s : Multiset R

⊢ 0 ∉ Multiset.map (fun a => X - C a) s
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/Basic.lean
P : PFunctor.{u}
α : Type v₁
β : Type v₂
γ : Type v₃
inst✝² : DecidableEq P.A
inst✝¹ : Inhabited α
inst✝ : Inhabited β
x : ↑P α
f : α → β
i : P.Idx
h : i.fst = x.fst

⊢ (P.map f x).iget i = f (x.iget i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/Basic.lean
P : PFunctor.{u}
α : Type v₁
β : Type v₂
γ : Type v₃
inst✝² : DecidableEq P.A
inst✝¹ : Inhabited α
inst✝ : Inhabited β
x : ↑P α
f : α → β
i : P.Idx
h : i.fst = x.fst

⊢ (P.map f x).snd (cast ⋯ i.snd) = f (x.snd (cast ⋯ i.snd))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n k : ℕ

⊢ (⇑derivative)^[k] (X ^ n) = ↑(n.descFactorial k) • X ^ (n - k)
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
h : IsSupClosedCompact α

⊢ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
h : IsSupClosedCompact α
a : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x > x_1

⊢ False
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
h : IsSupClosedCompact α
a : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x > x_1

⊢ sSup (range ⇑a) ∈ range ⇑a
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
inst✝ : LinearOrder α
f : ι → α
g : ι' → α

⊢ ∀ {a₁ b₁ a₂ b₂ : α}, Icc a₁ b₁ ∩ Icc a₂ b₂ = Icc (max a₁ a₂) (min b₁ b₂)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → b < ⊤ → a ≤ b + ↑ε

⊢ a ≤ b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : b < a

⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ b < ⊤ ∧ b + ↑ε < a
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
h : b < a
r : ℝ≥0
hr0 : 0 < r
hr : b + ↑r < a

⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ b < ⊤ ∧ b + ↑ε < a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
self : Buckets α β
i : USize
d d' : AssocList α β
h : i.toNat < self.val.size
h' : i.toNat < (self.update i d h).val.size

⊢ (self.update i d h).update i d' h' = self.update i d' h
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
self : Buckets α β
i : USize
d d' : AssocList α β
h : i.toNat < self.val.size
h' : i.toNat < (self.update i d h).val.size

⊢ ⟨(self.val.set ⟨i.toNat, h⟩ d).set ⟨i.toNat, h'⟩ d', ⋯⟩ = ⟨self.val.set ⟨i.toNat, h⟩ d', ⋯⟩
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
self : Buckets α β
i : USize
d d' : AssocList α β
h : i.toNat < self.val.size
h' : i.toNat < (self.update i d h).val.size

⊢ (self.val.set ⟨i.toNat, h⟩ d).set ⟨i.toNat, h'⟩ d' = self.val.set ⟨i.toNat, h⟩ d'
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y : C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
F G : C ⥤ Dᵒᵖ
e : F ≅ G
X : C

⊢ (e.inv.app X).unop ≫ (e.hom.app X).unop = 𝟙 (Opposite.unop (F.obj X))
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
s : Set α
t : Set β

⊢ Prod.swap '' s ×ˢ t = t ×ˢ s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P

⊢ sin (∠ p₁ p₂ p₃) = 0 → Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P

⊢ ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃} → ¬sin (∠ p₁ p₂ p₃) = 0
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Indep B
hBmax : ∀ e ∈ M.E \ B, ¬M.Indep (insert e B)
hnb : ¬M.Base B

⊢ False
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Indep B
hBmax : ∀ e ∈ M.E \ B, ¬M.Indep (insert e B)
hnb : ¬M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Base B'

⊢ False
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e✝ f : α
hB : M.Indep B
hBmax : ∀ e ∈ M.E \ B, ¬M.Indep (insert e B)
hnb : ¬M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
e : α
he : e ∈ B' \ B
h : M.Indep (insert e B)

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
I : Set ι
hI : I.Finite
s : (i : ι) → Set (π i)
a : (i : ι) → π i

⊢ a ∈ interior (I.pi s) ↔ a ∈ I.pi fun i => interior (s i)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Algebra.lean
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : (fun f => ⇑f) f x ≠ (fun f => ⇑f) f y

⊢ ∃ f ∈ ↑s, f x = v x ∧ f y = v y
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Algebra.lean
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : f x - f y ≠ 0

⊢ ∃ f ∈ ↑s, f x = v x ∧ f y = v y
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Algebra.lean
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : f x - f y ≠ 0
a : 𝕜 := v x
b : 𝕜 := v y
f' : ↥s := ((b - a) * (f x - f y)⁻¹) • ((algebraMap 𝕜 ↥s) (f x) - ⟨f, hf⟩) + (algebraMap 𝕜 ↥s) a

⊢ ∃ f ∈ ↑s, f x = v x ∧ f y = v y
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Algebra.lean
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : f x - f y ≠ 0
a : 𝕜 := v x
b : 𝕜 := v y
f' : ↥s := ((b - a) * (f x - f y)⁻¹) • ((algebraMap 𝕜 ↥s) (f x) - ⟨f, hf⟩) + (algebraMap 𝕜 ↥s) a

⊢ ↑f' x = v x
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Algebra.lean
α : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : TopologicalSemiring A
A₂ : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace A₂
inst✝⁵ : Semiring A₂
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : TopologicalSemiring A₂
𝕜 : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
s✝ : Set C(α, 𝕜)
f✝ : ↑s✝
x✝ : α
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : TopologicalRing 𝕜
s : Subalgebra 𝕜 C(α, 𝕜)
h : s.SeparatesPoints
v : α → 𝕜
x y : α
n : ¬x = y
f : C(α, 𝕜)
hf : f ∈ ↑s
hxy : f x - f y ≠ 0
a : 𝕜 := v x
b : 𝕜 := v y
f' : ↥s := ((b - a) * (f x - f y)⁻¹) • ((algebraMap 𝕜 ↥s) (f x) - ⟨f, hf⟩) + (algebraMap 𝕜 ↥s) a

⊢ ↑f' y = v y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂

⊢ Function.Injective toFun
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w : 1 < p
p' : ℕ := p - 2

⊢ LucasLehmerTest p → Nat.Prime (mersenne p)
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2

⊢ LucasLehmerTest p → Nat.Prime (mersenne p)
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2

⊢ LucasLehmerTest p → Nat.Prime (mersenne p)
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2

⊢ ¬Nat.Prime (mersenne p) → ¬LucasLehmerTest p
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2
a : ¬Nat.Prime (mersenne (p' + 2))
t : LucasLehmerTest (p' + 2)

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2
a : ¬Nat.Prime (mersenne (p' + 2))
t : LucasLehmerTest (p' + 2)
h₁ : 2 ^ (p' + 2) < ↑(q (p' + 2)) ^ 2

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2
a : ¬Nat.Prime (mersenne (p' + 2))
t : LucasLehmerTest (p' + 2)
h₁ : 2 ^ (p' + 2) < ↑(q (p' + 2)) ^ 2
h₂ : (mersenne (p' + 2)).minFac ^ 2 ≤ mersenne (p' + 2)

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
w✝ : 1 < p
p' : ℕ := p - 2
z : p = p' + 2
w : 1 < p' + 2
a : ¬Nat.Prime (mersenne (p' + 2))
t : LucasLehmerTest (p' + 2)
h₁ : 2 ^ (p' + 2) < ↑(q (p' + 2)) ^ 2
h₂ : (mersenne (p' + 2)).minFac ^ 2 ≤ mersenne (p' + 2)
h : 2 ^ (p' + 2) < mersenne (p' + 2)

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
s t : Set A
hst : s ⊆ t
hs : AlgebraicIndependent R Subtype.val
u : Set A
huai : AlgebraicIndependent R Subtype.val
left✝ : s ⊆ u
hut : u ⊆ t
hsu : s ⊆ u
hx : ∀ a ∈ {u | AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ s ⊆ u ∧ u ⊆ t}, u ⊆ a → a = u

⊢ ∃ u, AlgebraicIndependent R Subtype.val ∧ s ⊆ u ∧ u ⊆ t ∧ ∀ (x : Set A), AlgebraicIndependent R Subtype.val → u ⊆ x → x ⊆ t → x = u