ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
r : ℚ
hrx : x < ↑r

⊢ ⨅ r, ↑(hf.stieltjesFunction a) ↑↑r ≤ 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
r : ℚ
hrx : x < ↑r

⊢ ⨅ r, f a ↑r ≤ 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
r : ℚ
hrx : x < ↑r

⊢ BddBelow (range fun r => f a ↑r)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ
r : ℚ
hrx : x < ↑r

⊢ { r' // x < ↑r' }
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a

⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

⊢ ⨅ b, ∫⁻ (a_1 : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, a_1)) ↑↑b) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

⊢ ∀ (b : { r' // x < ↑r' }), ∫⁻ (a_1 : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, a_1)) ↑↑b) ∂ν a ≠ ⊤
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

⊢ Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun r b => ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }
q : { r' // x < ↑r' }

⊢ Measurable fun b => ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑q)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

⊢ ⨅ b, (κ a) (s ×ˢ Iic ↑↑b) = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

⊢ (κ a) (⋂ i, s ×ˢ Iic ↑↑i) = (κ a) (s ×ˢ Iic x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

⊢ ∀ (i : { r' // x < ↑r' }), MeasurableSet (s ×ˢ Iic ↑↑i)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) fun b => s ×ˢ Iic ↑↑b
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h : ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }

⊢ ∃ i, (κ a) (s ×ˢ Iic ↑↑i) ≠ ⊤
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : lcm a b = 0

⊢ a = 0 ∨ b = 0
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α
h : lcm a b = 0
this : Associated (a * b) 0

⊢ a = 0 ∨ b = 0
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
a b : α

⊢ a = 0 ∨ b = 0 → lcm a b = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
a : R
p : Module.Dual R M × M

⊢ (a • p).1 (a • p).2 = (a * a) • p.1 p.2
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
p q : Module.Dual R M × M

⊢ (p + q).1 (p + q).2 = p.1 p.2 + q.1 q.2 + ((LinearMap.dualProd R M) p) q
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction

⊢ s.SSameSide x (v +ᵥ y) ↔ s.SSameSide x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : s ≪ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure

⊢ μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ) = s
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : s.toJordanDecomposition.posPart ≪ μ ∧ s.toJordanDecomposition.negPart ≪ μ

⊢ μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ) = s
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
h : s.totalVariation ≪ μ.toENNRealVectorMeasure.ennrealToMeasure

⊢ μ.toENNRealVectorMeasure.ennrealToMeasure = μ
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convergence.lean
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x + 1 - 1)

⊢ abscissaOfAbsConv f ≤ ↑x + 1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convergence.lean
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x + 1 - 1)
H : ↑x + 1 < abscissaOfAbsConv f

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convergence.lean
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x + 1 - 1)
H : ↑x + 1 < abscissaOfAbsConv f
y : ℝ
hy₁ : ↑x + 1 < ↑y
hy₂ : ↑y < abscissaOfAbsConv f

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Free.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semigroup β
f : α → β
x : α
y : FreeSemigroup α

⊢ (lift f) (of x * y) = f x * (lift f) y
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀

⊢ IsClosed s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀

⊢ IsClosed s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀

⊢ closure s ⊆ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀
x : α
hx : x ∈ closure s

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀
x : α
hx : ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (ball x V ∩ s).Nonempty

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀
x : α
hx : ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (ball x V ∩ s).Nonempty
y : α
hy : y ∈ ball x V₁
hy' : y ∈ s

⊢ x = y
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀
x : α
hx : ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (ball x V ∩ s).Nonempty
y : α
hy : y ∈ ball x V₁
hy' : y ∈ s

⊢ ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → SymmetricRel V → (x, y) ∈ V
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀
x : α
hx : ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (ball x V ∩ s).Nonempty
y : α
hy : y ∈ ball x V₁
hy' : y ∈ s
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
a✝ : SymmetricRel V

⊢ (x, y) ∈ V
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀
x : α
hx : ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (ball x V ∩ s).Nonempty
y : α
hy : y ∈ ball x V₁
hy' : y ∈ s
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
a✝ : SymmetricRel V
z : α
hz : z ∈ ball x (V₁ ∩ V)
hz' : z ∈ s

⊢ (x, y) ∈ V
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space α
V₀ : Set (α × α)
V₀_in : V₀ ∈ 𝓤 α
s : Set α
hs : s.Pairwise fun x y => (x, y) ∉ V₀
V₁ : Set (α × α)
V₁_in : V₁ ∈ 𝓤 α
V₁_symm : SymmetricRel V₁
h_comp : V₁ ○ V₁ ⊆ V₀
x : α
hx : ∀ {V : Set (α × α)}, V ∈ 𝓤 α → (ball x V ∩ s).Nonempty
V : Set (α × α)
V_in : V ∈ 𝓤 α
a✝ : SymmetricRel V
z : α
hz : z ∈ ball x (V₁ ∩ V)
hz' : z ∈ s
hy : z ∈ ball x V₁
hy' : z ∈ s

⊢ (x, z) ∈ V
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/IsometricSMul.lean
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : Group G
inst✝² : PseudoMetricSpace G
inst✝¹ : IsometricSMul G G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b c : G

⊢ nndist (a / b) (a / c) = nndist b c
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ

⊢ a / c * b / a ≤ b / c
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
b c : ℕ

⊢ 0 / c * b / 0 ≤ b / c
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ
ha : a > 0

⊢ a / c * b / a ≤ b / c
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : PowerSeries R
n : ℕ

⊢ ((ofPowerSeries ℤ R) x).coeff ↑n = (PowerSeries.coeff R n) x
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a ≠ 0

⊢ 0 < a / 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X
S✝ R✝ : Sieve X
R : Presieve X
S : Sieve X
ss : R ≤ S.arrows
Y Z : C
f : Y ⟶ Z
g : Z ⟶ X
hg : R g

⊢ S.arrows (f ≫ g)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : PrimeSpectrum R

⊢ IsClosed {x} ↔ x.asIdeal.IsMaximal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x : PrimeSpectrum R

⊢ zeroLocus ↑x.asIdeal ⊆ {x} ↔ x.asIdeal.IsMaximal
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
z z' z1 : ℤ_[p]
hz' : z' = z - z1
hz1 : ‖z1‖ = ‖Polynomial.eval z F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
n : ℕ
hz : ih_gen n z

⊢ ‖z' - z‖ = ‖z1‖
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
z z' z1 : ℤ_[p]
hz' : z' = z - z1
hz1 : ‖z1‖ = ‖Polynomial.eval z F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
n : ℕ
hz : ih_gen n z

⊢ ‖Polynomial.eval z F‖ ≤ ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 * T_gen p F a ^ 2 ^ n
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
I✝ : Ideal R
y : R
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Away y S
inst✝ : IsJacobson R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
hy : y ∉ I

⊢ (map (algebraMap R S) I).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
I✝ : Ideal R
y : R
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Away y S
inst✝ : IsJacobson R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
hy : y ∉ I

⊢ I.IsMaximal ∧ y ∉ I
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤

⊢ (x • μ).OuterRegular
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
hx : 0 ≠ ⊤

⊢ (0 • μ).OuterRegular
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
x : ℝ≥0∞
hx : x ≠ ⊤
h0 : x ≠ 0

⊢ (x • μ).OuterRegular
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m✝ n : ℕ
i : Fin (n + 1)
m : Fin n
h : m.castSucc < i

⊢ (finSuccEquiv' i) m.castSucc = some m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (m.bind dirac) s = m s
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ

⊢ {i | i < k}.encard = ↑k
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ

⊢ {i | i < k}.encard = (↑(Finset.range k)).encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
k : ℕ

⊢ ↑k = ↑(Finset.range k).card
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char

⊢ { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.bsize = utf8Len m
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
k : Type u_2
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Algebra k K
φ : K →+* ℂ
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : IsConj φ σ
x : K

⊢ (conjugate φ) x = (φ.comp ↑σ.symm) x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
f✝ : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
f : Ordinal.{u_1} → Ordinal.{u_1}
H : IsNormal f
a b : Ordinal.{u_1}
h : b ≤ nfp f a

⊢ f b ≤ nfp f a
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
D : ℕ
P : D ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime D
hxr : ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } ^ n = ↑m
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } = ↑y

⊢ False
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
D : ℕ
P : D ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime D
hxr : ↑({ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } ^ n) = ↑m
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } = ↑y

⊢ False
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
D : ℕ
P : D ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime D
hxr : ↑({ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } ^ n) = ↑m
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } = ↑y
c1 : ↑↑D ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
D : ℕ
P : D ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime D
hxr : ↑({ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } ^ n) = ↑m
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } = ↑y
c1 : ↑↑D ≠ 0
c2 : ↑↑D ^ n ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
D : ℕ
P : D ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime D
hxr : m * ↑D ^ n = N ^ n
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } = ↑y
c1 : ↑↑D ≠ 0
c2 : ↑↑D ^ n ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
D : ℕ
P : D ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime D
hxr : m * ↑D ^ n = N ^ n
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } = ↑y
c1 : ↑↑D ≠ 0
c2 : ↑↑D ^ n ≠ 0
hdivn : ↑D ^ n ∣ N ^ n

⊢ False
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
D : ℕ
P : D ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime D
hxr : m * ↑D ^ n = N ^ n
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := D, den_nz := P, reduced := C } = ↑y
c1 : ↑↑D ≠ 0
c2 : ↑↑D ^ n ≠ 0
hdivn : D ∣ N.natAbs

⊢ False
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
P : 1 ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime 1
hxr : m * ↑1 ^ n = N ^ n
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := 1, den_nz := P, reduced := C } = ↑y
c1 : ↑↑1 ≠ 0
c2 : ↑↑1 ^ n ≠ 0
hdivn : 1 ∣ N.natAbs

⊢ False
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
n : ℕ
m : ℤ
hnpos : 0 < n
N : ℤ
P : 1 ≠ 0
C : N.natAbs.Coprime 1
hxr : m * ↑1 ^ n = N ^ n
hv : ¬∃ y, ↑{ num := N, den := 1, den_nz := P, reduced := C } = ↑y
c1 : ↑↑1 ≠ 0
c2 : ↑↑1 ^ n ≠ 0
hdivn : 1 ∣ N.natAbs

⊢ ↑{ num := N, den := 1, den_nz := P, reduced := C } = ↑N
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/GroupRingAction.lean
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : MulSemiringAction M R
m : M

⊢ HSMul.hSMul m = map (MulSemiringAction.toRingHom M R m)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/GroupRingAction.lean
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : MulSemiringAction M R
m : M

⊢ DistribMulAction.toAddMonoidHom R[X] m = (mapRingHom (MulSemiringAction.toRingHom M R m)).toAddMonoidHom
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/GroupRingAction.lean
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : MulSemiringAction M R
m : M
n : ℕ
r : R

⊢ m • (monomial n) r = map (MulSemiringAction.toRingHom M R m) ((monomial n) r)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonAssocRing α
a b : α

⊢ a * (1 - b) = a - a * b
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : 0 < ε

⊢ x ∈ ball x ε
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F

⊢ (f' =o[l] fun _x => 1) ↔ Tendsto f' l (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MatrixExponential.lean
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : DecidableEq m
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : DecidableEq n
inst✝⁷ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝⁶ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : Ring 𝔸
inst✝³ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝² : TopologicalRing 𝔸
inst✝¹ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
v : m → 𝔸

⊢ exp 𝕂 (diagonal v) = diagonal (exp 𝕂 v)