ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝ : DecidableEq α
hxy : x ≠ y

⊢ (swap x y) y ≠ y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝ : DecidableEq α
hxy : x ≠ y
a : α
ha : (if a = x then y else if a = y then x else a) ≠ a
hya : ¬y = a

⊢ (swap x y ^ 1) y = a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝ : DecidableEq α
hxy : x ≠ y
a : α
ha : (if a = x then y else if a = y then x else a) ≠ a
hya : ¬y = a

⊢ (if y = x then y else if y = y then x else y) = a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o o' : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
h : o.split = (o', m)
a : ONote
n : ℕ
e : o.split' = (a, n)

⊢ o'.NF ∧ o.repr = o'.repr + ↑m
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o o' : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
h : o.split = (o', m)
a : ONote
n : ℕ
e : o.split' = (a, n)
s₁ : a.NF
s₂ : o.repr = ω * a.repr + ↑n

⊢ o'.NF ∧ o.repr = o'.repr + ↑m
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o o' : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
n : ℕ
h : (scale 1 a, n) = (o', m)
e : o.split' = (a, n)
s₁ : a.NF
s₂ : o.repr = ω * a.repr + ↑n

⊢ o'.NF ∧ o.repr = o'.repr + ↑m
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
s₁ : a.NF
e : o.split' = (a, m)
s₂ : o.repr = ω * a.repr + ↑m

⊢ (scale 1 a).NF ∧ o.repr = (scale 1 a).repr + ↑m
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
o : ONote
m : ℕ
inst✝ : o.NF
a : ONote
s₁ : a.NF
e : o.split' = (a, m)
s₂ : o.repr = ω * a.repr + ↑m

⊢ (scale 1 a).NF
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : NonUnitalSeminormedRing α
β : Type u_5
inst✝¹ : NormedRing β
inst✝ : Nontrivial β

⊢ ‖1‖ ≤ ‖1‖ * ‖1‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ≥0∞
hpq : p ≤ q
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ

⊢ eLpNorm f q μ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal - 1 / q.toReal) = eLpNorm f q μ
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ ⌈a⌉₊ = n ↔ ↑(n - 1) < a ∧ a ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/Multiset/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

⊢ (uIcc s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, ((↑(count i t) - ↑(count i s)).natAbs + 1)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α

⊢ x ∈ sphere y ε ↔ y ∈ sphere x ε
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ s : Set (α → M)
φ : L[[↑A]].Formula α
hφ : s = setOf φ.Realize
v : α → M

⊢ v ∈ sᶜ ↔ v ∈ setOf φ.not.Realize
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : volume A ≠ ⊤
μ : ProbabilityMeasure Ω

⊢ Tendsto (fun ε => ∫ (t : ℝ) in A, (↑(μ (thickening ε {a | t ≤ f a}))).toReal) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (t : ℝ) in A, (↑(μ {a | t ≤ f a})).toReal))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : volume A ≠ ⊤
μ : ProbabilityMeasure Ω

⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, AEStronglyMeasurable (fun t => ↑(μ (thickening n {a | t ≤ f a}))) (volume.restrict A)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : volume A ≠ ⊤
μ : ProbabilityMeasure Ω

⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict A, ‖↑(μ (thickening n {a_1 | a ≤ f a_1}))‖ ≤ 1 a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : volume A ≠ ⊤
μ : ProbabilityMeasure Ω

⊢ Integrable 1 (volume.restrict A)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ
A : Set ℝ
A_finmeas : volume A ≠ ⊤
μ : ProbabilityMeasure Ω

⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict A, Tendsto (fun n => ↑(μ (thickening n {a_1 | a ≤ f a_1}))) (𝓝[>] 0) (𝓝 ↑(μ {a_1 | a ≤ f a_1}))
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huH : UniqueMul (image (⇑f) A) (image (⇑f) B) aH bH
huG : UniqueMul (filter (fun x => f x = aH) A) (filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = aG * bG

⊢ a = aG ∧ b = bG
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huG : UniqueMul (filter (fun x => f x = aH) A) (filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = aG * bG
huH : f a * f b = aH * bH → f a = aH ∧ f b = bH

⊢ a = aG ∧ b = bG
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huG : UniqueMul (filter (fun x => f x = aH) A) (filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = aG * bG
huH : aH * bH = aH * bH → f a = aH ∧ f b = bH

⊢ a = aG ∧ b = bG
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huG : UniqueMul (filter (fun x => f x = aH) A) (filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = aG * bG
huH : aH * bH = aH * bH → f a = aH ∧ f b = bH

⊢ a ∈ A ∧ f a = aH
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A✝ B✝ : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : DecidableEq H
f : G →ₙ* H
A B : Finset G
aG bG : G
aH bH : H
hae : f aG = aH
hbe : f bG = bH
huG : UniqueMul (filter (fun x => f x = aH) A) (filter (fun x => f x = bH) B) aG bG
a b : G
ha : a ∈ A
hb : b ∈ B
he : a * b = aG * bG
huH : aH * bH = aH * bH → f a = aH ∧ f b = bH

⊢ b ∈ B ∧ f b = bH
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hq : q ≠ 0

⊢ (p.mod q).degree < q.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hq : q ≠ 0

⊢ (p.mod q).degree < (q * C q.leadingCoeff⁻¹).degree
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Comp.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g✝ : E → F
f' f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
g : F → G
g' : F →L[𝕜] G
hg : HasStrictFDerivAt g g' (f x)
hf : HasStrictFDerivAt f f' x

⊢ (fun x => g' (((fun p => (f p.1, f p.2)) x).1 - ((fun p => (f p.1, f p.2)) x).2) - (g'.comp f') (x.1 - x.2)) =o[𝓝 (x, x)] fun p => p.1 - p.2
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i : Fin (n + 2)
hi : i ≠ last (n + 1)

⊢ (last n).predAbove i = i.castPred hi
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i : Fin (n + 2)
hi✝ : i ≠ last (n + 1)
hi : ∃ j, j.castSucc = i

⊢ (last n).predAbove i = i.castPred hi✝
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
y : Fin (n + 1)
hi : y.castSucc ≠ last (n + 1)

⊢ (last n).predAbove y.castSucc = y.castSucc.castPred hi
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
X : Type u
α : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
s : Set α
hs : IsPreconnected s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s

⊢ Icc a b ⊆ s
-- Mathlib/Order/Monotone/Odd.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : StrictMonoOn f (Ici 0)

⊢ StrictMono f
-- Mathlib/Order/Monotone/Odd.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : StrictMonoOn f (Ici 0)
x : G
hx : x ∈ Iic 0
y : G
hy : y ∈ Iic 0
hxy : x < y

⊢ -f y < -f x
-- Mathlib/Order/Monotone/Odd.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : OrderedAddCommGroup H
f : G → H
h₁ : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
h₂ : StrictMonoOn f (Ici 0)
x : G
hx : x ∈ Iic 0
y : G
hy : y ∈ Iic 0
hxy : x < y

⊢ f (-y) < f (-x)
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c
a : α
ha : a ≠ 0

⊢ Antiperiodic (fun x => f (x / a)) (c * a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y✝ : F
hx : x ≠ 0
y : F
hy : y ∈ {y | SameRay ℝ x y}
z : F
hz : z ∈ {y | SameRay ℝ x y}
h : ‖y‖ = ‖z‖

⊢ y = z
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
z : F
hz : z ∈ {y | SameRay ℝ x y}
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hy : r • x ∈ {y | SameRay ℝ x y}
h : ‖r • x‖ = ‖z‖

⊢ r • x = z
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hy : r • x ∈ {y | SameRay ℝ x y}
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
hz : s • x ∈ {y | SameRay ℝ x y}
h : ‖r • x‖ = ‖s • x‖

⊢ r • x = s • x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
hy : r • x ∈ {y | SameRay ℝ x y}
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
hz : s • x ∈ {y | SameRay ℝ x y}
h : r = s

⊢ r • x = s • x
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Invariants.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
fa : α → α
fb : β → β
g : α → β
hg : Measurable g
hfg : Semiconj g fa fb
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ fa ⁻¹' (g ⁻¹' s) = g ⁻¹' s
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
p : ℕ →. Bool
n : ℕ
x✝ : true ∈ p n ∧ ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
h₁ : true ∈ p n
h₂ : ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m

⊢ n ∈ rfind p
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
p : ℕ →. Bool
n : ℕ
x✝ : true ∈ p n ∧ ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
h₁ : true ∈ p n
h₂ : ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
m : ℕ
hm : m ∈ rfind p

⊢ n ∈ rfind p
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
p : ℕ →. Bool
n : ℕ
x✝ : true ∈ p n ∧ ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
h₁ : true ∈ p n
h₂ : ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
m : ℕ
hm : m ∈ rfind p
h : m < n

⊢ n ∈ rfind p
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
p : ℕ →. Bool
n : ℕ
x✝ : true ∈ p n ∧ ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
h₁ : true ∈ p n
h₂ : ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
m : ℕ
hm : m ∈ rfind p
h : m = n

⊢ n ∈ rfind p
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
p : ℕ →. Bool
n : ℕ
x✝ : true ∈ p n ∧ ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
h₁ : true ∈ p n
h₂ : ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
m : ℕ
hm : m ∈ rfind p
h : n < m

⊢ n ∈ rfind p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart

⊢ IsUnit p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart
u : Rˣ
hu : C ↑u = (integerNormalization R⁰ p).primPart

⊢ IsUnit p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart
u : Rˣ
hu : C ↑u = (integerNormalization R⁰ p).primPart
c : R
c0 : c ∈ R⁰
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ p) = ↑⟨c, c0⟩ • p

⊢ IsUnit p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart
u : Rˣ
hu : C ↑u = (integerNormalization R⁰ p).primPart
c : R
c0 : c ∈ R⁰
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ p) = C ((algebraMap R K) c) * p

⊢ IsUnit p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart
u : Rˣ
hu : C ↑u = (integerNormalization R⁰ p).primPart
c : R
c0 : c ∈ R⁰
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ p) = C ((algebraMap R K) c) * p

⊢ IsUnit (?intro.intro.intro.intro.mk.x * p)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart
u : Rˣ
hu : C ↑u = (integerNormalization R⁰ p).primPart
c : R
c0 : c ∈ R⁰
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ p) = C ((algebraMap R K) c) * p

⊢ K[X]
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart
u : Rˣ
hu : C ↑u = (integerNormalization R⁰ p).primPart
c : R
c0 : c ∈ R⁰
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ p) = C ((algebraMap R K) c) * p

⊢ ∃ r, IsUnit r ∧ C r = map (algebraMap R K) (C ((integerNormalization R⁰ p).content * ↑u))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart
u : Rˣ
hu : C ↑u = (integerNormalization R⁰ p).primPart
c : R
c0 : c ∈ R⁰
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ p) = C ((algebraMap R K) c) * p
con : (algebraMap R K) ((integerNormalization R⁰ p).content * ↑u) = 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart
u : Rˣ
hu : C ↑u = (integerNormalization R⁰ p).primPart
c : R
c0 : c ∈ R⁰
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ p) = C ((algebraMap R K) c) * p
con : (integerNormalization R⁰ p).content * ↑u = 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : K[X]
h0 : p ≠ 0
h : IsUnit (integerNormalization R⁰ p).primPart
u : Rˣ
hu : C ↑u = (integerNormalization R⁰ p).primPart
c : R
c0 : c ∈ R⁰
hc : map (algebraMap R K) (integerNormalization R⁰ p) = C ((algebraMap R K) c) * p
con : p = 0 ∨ ↑u = 0

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a n : ℕ
ha : a ≠ 0

⊢ p ^ n ∣ a ↔ n ≤ padicValNat p a
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)

⊢ (map Prod.swap ρ).fst = ρ.snd
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)

⊢ map (Prod.fst ∘ Prod.swap) ρ = ρ.snd
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Polar.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
h : B.SeparatingRight

⊢ B.polar Set.univ = {0}
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Polar.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
h : B.SeparatingRight

⊢ 0 ∈ B.polar Set.univ ∧ ∀ x ∈ B.polar Set.univ, x = 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Polar.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
h : B.SeparatingRight
y : F
hy : y ∈ B.polar Set.univ
x : E

⊢ (B x) y = 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Polar.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
h : B.SeparatingRight
y : F
hy : y ∈ B.polar Set.univ
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ ‖(B x) y‖ ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Polar.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
B : E →ₗ[𝕜] F →ₗ[𝕜] 𝕜
h : B.SeparatingRight
y : F
hy : y ∈ B.polar Set.univ
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 0 < ‖c‖
hcε : ‖c‖ < ε

⊢ ‖(B x) y‖ ≤ ε
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0

⊢ (X * p).natDegree = p.natDegree + 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]

⊢ p.trailingDegree + q.trailingDegree ≤ (p * q).trailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
hn : n ∈ (p * q).support

⊢ p.trailingDegree + q.trailingDegree ≤ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
hn : ∑ x ∈ antidiagonal n, p.coeff x.1 * q.coeff x.2 ≠ 0

⊢ p.trailingDegree + q.trailingDegree ≤ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
hn : ∑ x ∈ antidiagonal n, p.coeff x.1 * q.coeff x.2 ≠ 0
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ antidiagonal n
hpq : p.coeff (i, j).1 * q.coeff (i, j).2 ≠ 0

⊢ p.trailingDegree + q.trailingDegree ≤ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
hn : ∑ x ∈ antidiagonal n, p.coeff x.1 * q.coeff x.2 ≠ 0
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ antidiagonal n
hpq : p.coeff (i, j).1 * q.coeff (i, j).2 ≠ 0

⊢ ↑(i, j).1 + ↑(i, j).2 = ↑n
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Bousfield.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful

⊢ G.IsLocalization (W fun x => x ∈ Set.range F.obj)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Bousfield.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful

⊢ G.IsLocalization ((MorphismProperty.isomorphisms C).inverseImage G)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
x y z : α
hs : s.Subsingleton

⊢ diam s = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g g' : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn g (Icc x₀ x)
gdiff : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, HasDerivAt g (g' x_1) x_1
g'_ne : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, g' x_1 ≠ 0

⊢ ∃ x' ∈ Ioo x₀ x, f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = ((x - x') ^ n / ↑n ! * (g x - g x₀) / g' x') • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) x'
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g g' : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn g (Icc x₀ x)
gdiff : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, HasDerivAt g (g' x_1) x_1
g'_ne : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, g' x_1 ≠ 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo x₀ x
h : (g x - g x₀) * ((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y = (taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x) * g' y

⊢ ∃ x' ∈ Ioo x₀ x, f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = ((x - x') ^ n / ↑n ! * (g x - g x₀) / g' x') • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) x'
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g g' : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn g (Icc x₀ x)
gdiff : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, HasDerivAt g (g' x_1) x_1
g'_ne : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, g' x_1 ≠ 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo x₀ x
h : (g x - g x₀) * ((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y = (taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x) * g' y

⊢ f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = ((x - y) ^ n / ↑n ! * (g x - g x₀) / g' y) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g g' : ℝ → ℝ
x x₀ : ℝ
n : ℕ
hx : x₀ < x
hf : ContDiffOn ℝ (↑n) f (Icc x₀ x)
hf' : DifferentiableOn ℝ (iteratedDerivWithin n f (Icc x₀ x)) (Ioo x₀ x)
gcont : ContinuousOn g (Icc x₀ x)
gdiff : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, HasDerivAt g (g' x_1) x_1
g'_ne : ∀ x_1 ∈ Ioo x₀ x, g' x_1 ≠ 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioo x₀ x
h : (g x - g x₀) * ((↑n !)⁻¹ * (x - y) ^ n) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y = (f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x) * g' y

⊢ f x - taylorWithinEval f n (Icc x₀ x) x₀ x = ((x - y) ^ n / ↑n ! * (g x - g x₀) / g' y) • iteratedDerivWithin (n + 1) f (Icc x₀ x) y