ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ

⊢ (((k + 1)! • hasseDeriv (k + 1)) f).coeff n = ((⇑derivative)^[k + 1] f).coeff n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ

⊢ (((k + 1)! • hasseDeriv (k + 1)) f).coeff n = (derivative ((k ! • hasseDeriv k) f)).coeff n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ

⊢ (k + 1)! • (↑((n + (k + 1)).choose (k + 1)) * f.coeff (n + (k + 1))) = k ! • (↑((n + 1 + k).choose (n + 1)) * f.coeff (n + 1 + k) * (↑n + 1))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ

⊢ ↑((k + 1) * k !) * (↑((n + k + 1).choose (k + 1)) * f.coeff (n + k + 1)) = ↑k ! * (↑((n + k + 1).choose (n + 1)) * (f.coeff (n + k + 1) * ↑(n + 1)))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ

⊢ ↑((k + 1) * k !) * (↑((n + k + 1).choose (k + 1)) * f.coeff (n + k + 1)) = ↑k ! * (↑((n + k + 1).choose (n + 1)) * (↑(n + 1) * f.coeff (n + k + 1)))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ

⊢ ↑((k + 1) * k !) * ↑((n + k + 1).choose (k + 1)) * f.coeff (n + k + 1) = ↑k ! * ↑((n + k + 1).choose (n + 1)) * ↑(n + 1) * f.coeff (n + k + 1)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ

⊢ (k + 1) * k ! * (n + k + 1).choose (k + 1) = k ! * (n + k + 1).choose (n + 1) * (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ

⊢ k ! * ((k + 1) * (n + k + 1).choose (k + 1)) = k ! * ((n + k + 1).choose (n + 1) * (n + 1))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ

⊢ (k + 1) * (n + k + 1).choose (k + 1) = (n + k + 1).choose (n + 1) * (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ
this : n + k + 1 = n + (k + 1)

⊢ (k + 1) * (n + k + 1).choose (k + 1) = (n + k + 1).choose (n + 1) * (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ
this : n + k + 1 = n + (k + 1)

⊢ (n + k + 1).choose n * (k + 1) = (n + k + 1).choose n * (n + k + 1 - n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k✝ : ℕ
f✝ : R[X]
k : ℕ
ih : ⇑(k ! • hasseDeriv k) = (⇑derivative)^[k]
f : R[X]
n : ℕ
this : n + k + 1 = n + (k + 1)

⊢ k + 1 = n + k + 1 - n
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i j : ι
inst✝³ : K.HasHomology i
inst✝² : K.HasHomology j
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology j

⊢ K.homologyι i ≫ K.opcyclesToCycles i j = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
n : ℕ
φ : R⟦X⟧

⊢ (coeff R 1) (φ ^ n) = ↑n * (coeff R 1) φ * (constantCoeff R) φ ^ (n - 1)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
φ : R⟦X⟧

⊢ (coeff R 1) (φ ^ 0) = ↑0 * (coeff R 1) φ * (constantCoeff R) φ ^ (0 - 1)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
n : ℕ
φ : R⟦X⟧
hn : n > 0

⊢ (coeff R 1) (φ ^ n) = ↑n * (coeff R 1) φ * (constantCoeff R) φ ^ (n - 1)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ

⊢ l.rotate' (l.length * (n + 1)) = (l.rotate' (l.length * n)).rotate' (l.rotate' (l.length * n)).length
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ

⊢ (l.rotate' (l.length * n)).rotate' (l.rotate' (l.length * n)).length = l
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K V : Set G
hK : IsCompact K
hV : (interior V).Nonempty

⊢ ∃ n, n ∈ Finset.card '' {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K V : Set G
hK : IsCompact K
hV : (interior V).Nonempty
t : Finset G
ht : K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun x => g * x) ⁻¹' V

⊢ ∃ n, n ∈ Finset.card '' {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → δ
hf : AEMeasurable f μ
s : Set δ
hs : MeasurableSet s

⊢ map f μ = map (AEMeasurable.mk f hf) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → δ
hf : AEMeasurable f μ
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t

⊢ (μ.restrict (AEMeasurable.mk f hf ⁻¹' s)) t = (μ.restrict (f ⁻¹' s)) t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → δ
hf : AEMeasurable f μ
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t

⊢ μ (t ∩ AEMeasurable.mk f hf ⁻¹' s) = μ (t ∩ f ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β
μ ν : Measure α
f : α → δ
hf : AEMeasurable f μ
s : Set δ
hs : MeasurableSet s
t : Set α
ht : MeasurableSet t

⊢ t ∩ AEMeasurable.mk f hf ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] t ∩ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p✝ p₀✝ p₁ p₂ p₀ p : P

⊢ InnerProductGeometry.angle (p₀ -ᵥ p₀) (p -ᵥ p₀) = π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p✝ p₀✝ p₁ p₂ p₀ p : P

⊢ InnerProductGeometry.angle 0 (p -ᵥ p₀) = π / 2
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D

⊢ support (w D) = ball 0 D
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
B : D • ball 0 1 = ball 0 D

⊢ support (w D) = ball 0 D
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D
B : D • ball 0 1 = ball 0 D
C : D ^ finrank ℝ E ≠ 0

⊢ support (w D) = ball 0 D
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
a : α

⊢ HasProd (Pi.mulSingle b a) a
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
a : α
x✝ : β

⊢ Pi.mulSingle b a x✝ = if x✝ = b then a else 1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
hm : m ∈ p.support \ q.support

⊢ m ∈ (p + q).support
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
hm : ¬coeff m p = 0 ∧ coeff m q = 0

⊢ m ∈ (p + q).support
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.133484, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
X Y : C
z₁ z₂ : W.LeftFraction X Y
Z : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z
hs : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hf : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)

⊢ RightFractionRel z₁.op z₂.op
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : α
g : G

⊢ g⁻¹ • a ∈ fixedBy α g ↔ a ∈ fixedBy α g
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s : Set ((a : ι) → π a)
x : (a : ι) → π a
hs : s ∈ 𝓝 x
y : (a : ι) → π a

⊢ ∃ I, I.piecewise x y ∈ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s : Set ((a : ι) → π a)
x y : (a : ι) → π a
hs : ∃ I t, (∀ (i : ι), t i ∈ 𝓝 (x i)) ∧ (↑I).pi t ⊆ s

⊢ ∃ I, I.piecewise x y ∈ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s : Set ((a : ι) → π a)
x y : (a : ι) → π a
I : Finset ι
t : (i : ι) → Set (π i)
htx : ∀ (i : ι), t i ∈ 𝓝 (x i)
hts : (↑I).pi t ⊆ s
i : ι
hi : i ∈ ↑I

⊢ I.piecewise x y i ∈ t i
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0

⊢ balancedCore 𝕜 U ∈ 𝓝 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
r : ℝ
V : Set E
hr : 0 < r
hV : V ∈ 𝓝 0
hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U

⊢ balancedCore 𝕜 U ∈ 𝓝 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
r : ℝ
V : Set E
hr : 0 < r
hV : V ∈ 𝓝 0
hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U
y : 𝕜
hy₀ : 0 < ‖y‖
hyr : ‖y‖ < r

⊢ balancedCore 𝕜 U ∈ 𝓝 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
r : ℝ
V : Set E
hr : 0 < r
hV : V ∈ 𝓝 0
hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U
y : 𝕜
hy₀ : y ≠ 0
hyr : ‖y‖ < r

⊢ balancedCore 𝕜 U ∈ 𝓝 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
r : ℝ
V : Set E
hr : 0 < r
hV : V ∈ 𝓝 0
hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U
y : 𝕜
hy₀ : y ≠ 0
hyr : ‖y‖ < r
this : y • V ∈ 𝓝 0

⊢ balancedCore 𝕜 U ∈ 𝓝 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
r : ℝ
V : Set E
hr : 0 < r
hV : V ∈ 𝓝 0
hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U
y : 𝕜
hy₀ : y ≠ 0
hyr : ‖y‖ < r
this : y • V ∈ 𝓝 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1

⊢ a • y • V ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
r : ℝ
V : Set E
hr : 0 < r
hV : V ∈ 𝓝 0
hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U
y : 𝕜
hy₀ : y ≠ 0
hyr : ‖y‖ < r
this : y • V ∈ 𝓝 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1

⊢ (a * y) • V ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
r : ℝ
V : Set E
hr : 0 < r
hV : V ∈ 𝓝 0
hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U
y : 𝕜
hy₀ : y ≠ 0
hyr : ‖y‖ < r
this : y • V ∈ 𝓝 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
z : E
hz : z ∈ V

⊢ ‖a * y‖ < r
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 0
r : ℝ
V : Set E
hr : 0 < r
hV : V ∈ 𝓝 0
hrVU : ∀ (c : 𝕜) (y : E), ‖c‖ < r → y ∈ V → c • y ∈ U
y : 𝕜
hy₀ : y ≠ 0
hyr : ‖y‖ < r
this : y • V ∈ 𝓝 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
z : E
hz : z ∈ V

⊢ ‖a‖ * ‖y‖ < 1 * r
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/OpensLeCover.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
j : (FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom)ᵒᵖ

⊢ F.map (eqToHom ⋯) ≫ (Functor.mapCone F (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows.cocone.op).π.app j = (Cone.whisker (generateEquivalenceOpensLe U hY).op.functor (Functor.mapCone F (opensLeCoverCocone U).op)).π.app j
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/OpensLeCover.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
j : (FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom)ᵒᵖ

⊢ F.map (eqToHom ⋯ ≫ (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows.cocone.op.π.app j) = (Cone.whisker (generateEquivalenceOpensLe U hY).op.functor (Functor.mapCone F (opensLeCoverCocone U).op)).π.app j
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/OpensLeCover.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
j : (FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom)ᵒᵖ

⊢ F.map (eqToHom ⋯) ≫ (Cone.whisker (generateEquivalenceOpensLe U hY).op.functor (Functor.mapCone F (opensLeCoverCocone U).op)).π.app j = (Functor.mapCone F (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows.cocone.op).π.app j
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/OpensLeCover.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U
j : (FullSubcategory fun f => (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows f.hom)ᵒᵖ

⊢ F.map (eqToHom ⋯ ≫ (opensLeCoverCocone U).op.π.app ((generateEquivalenceOpensLe U hY).op.functor.obj j)) = (Functor.mapCone F (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows.cocone.op).π.app j
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/OpensLeCover.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U

⊢ ({ hom := F.map (eqToHom ⋯), w := ⋯ } ≫ { hom := F.map (eqToHom ⋯), w := ⋯ }).hom = (𝟙 (Cone.whisker (generateEquivalenceOpensLe U hY).op.functor (Functor.mapCone F (opensLeCoverCocone U).op))).hom
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/OpensLeCover.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U

⊢ ({ hom := F.map (eqToHom ⋯), w := ⋯ } ≫ { hom := F.map (eqToHom ⋯), w := ⋯ }).hom = (𝟙 (Functor.mapCone F (Sieve.generate (presieveOfCoveringAux U Y)).arrows.cocone.op)).hom
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : QuotientMap f

⊢ Continuous g ↔ Continuous (g ∘ f)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Nat/Gcd.lean
c d a b : Nat
cop : c.Coprime d
h : a * b = c * d

⊢ a.gcd c * b.gcd c = c
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Nat/Gcd.lean
c d a b : Nat
cop : c.Coprime d
h : a * b = c * d

⊢ a.gcd c * b.gcd c ∣ c
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Nat/Gcd.lean
c d a b : Nat
cop : c.Coprime d
h : a * b = c * d

⊢ c ∣ a.gcd c * b.gcd c
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n p : ℕ
L : List ℕ
h_nonempty : L ≠ []
h_ne_zero : L.getLast h_nonempty ≠ 0
h_lt : ∀ l ∈ L, l < p

⊢ (p - 1) * ∑ i ∈ range L.length, ofDigits p L / p ^ i.succ = ofDigits p L - L.sum
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n p : ℕ
L : List ℕ
h_nonempty : L ≠ []
h_ne_zero : L.getLast h_nonempty ≠ 0
h_lt : ∀ l ∈ L, l < p
h : 1 < p

⊢ (p - 1) * ∑ i ∈ range L.length, ofDigits p L / p ^ i.succ = ofDigits p L - L.sum
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n : ℕ
L : List ℕ
h_nonempty : L ≠ []
h_ne_zero : L.getLast h_nonempty ≠ 0
h_lt : ∀ l ∈ L, l < 1

⊢ (1 - 1) * ∑ i ∈ range L.length, ofDigits 1 L / 1 ^ i.succ = ofDigits 1 L - L.sum
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n p : ℕ
L : List ℕ
h_nonempty : L ≠ []
h_ne_zero : L.getLast h_nonempty ≠ 0
h_lt : ∀ l ∈ L, l < p
h : p < 1

⊢ (p - 1) * ∑ i ∈ range L.length, ofDigits p L / p ^ i.succ = ofDigits p L - L.sum
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Finset α
a b : α

⊢ preimage 1 (fun x => a⁻¹ * x) ⋯ = {a}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
X : Type u_8
inst✝ : TopologicalSpace X
g : M → X
s : Set M
x : M

⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(f.extend I) x) ↔ ContinuousWithinAt (g ∘ ↑f.symm) (↑f.symm ⁻¹' s) (↑f x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
X : Type u_8
inst✝ : TopologicalSpace X
g : M → X
s : Set M
x : M

⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(f.extend I) x) ↔ ContinuousWithinAt ((g ∘ ↑f.symm) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' (↑f.symm ⁻¹' s) ∩ range ↑I) (↑I (↑f x))
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι

⊢ MeasurableSet {ω | i < τ ω}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i < τ ω} = {ω | τ ω ≤ i}ᶜ

⊢ MeasurableSet {ω | i < τ ω}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i < τ ω} = {ω | τ ω ≤ i}ᶜ

⊢ MeasurableSet {ω | τ ω ≤ i}ᶜ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0

⊢ (x ^ y) ^ y⁻¹ = x
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : ↥(Ideal R)⁰

⊢ (equiv K) (mk0 I) = (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R K).range) ((FractionalIdeal.mk0 K) I)
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : ↥(Ideal R)⁰

⊢ (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R K).range) ((Units.mapEquiv ↑(canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K)) ((FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) I)) = (QuotientGroup.mk' (toPrincipalIdeal R K).range) ((FractionalIdeal.mk0 K) I)
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : ↥(Ideal R)⁰

⊢ (Units.mapEquiv ↑(canonicalEquiv R⁰ (FractionRing R) K)) ((FractionalIdeal.mk0 (FractionRing R)) I) = (FractionalIdeal.mk0 K) I
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
Δ Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e : Δ ⟶ image φ
inst✝¹ : Epi e
i : image φ ⟶ Δ''
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = φ

⊢ image.ι φ = i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
Δ Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e : Δ ⟶ image φ
inst✝¹ : Epi e
i : image φ ⟶ Δ''
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = φ
this : StrongEpi e

⊢ image.ι φ = i
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}

⊢ enumOrd Set.univ = id
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}

⊢ enumOrd (range id) = id
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α

⊢ Disjoint (Ico a₁ a₂) (Ico b₁ b₂) ↔ min a₂ b₂ ≤ max a₁ b₁
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
n k : ℕ
h : k ≤ n

⊢ replicate k a <+ replicate n a