ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.104131, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p : ℤ

⊢ (δ (-1) 0 (inl φ)).v p p ⋯ = (Cochain.ofHom (φ ≫ inr φ)).v p p ⋯
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Injective f
x y z : α

⊢ f ((Equiv.swap x y) z) = (Equiv.swap (f x) (f y)) (f z)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Injective f
x y z : α

⊢ f ((Equiv.swap x y) z) = if f z = f x then f y else if f z = f y then f x else f z
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β

⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, Tendsto (fun x => (f x, f b)) (𝓝[s] b) (𝓤 α)
-- Mathlib/Data/Complex/FiniteDimensional.lean

⊢ Cardinal.lift.{u, 0} (Module.rank ℝ ℂ) = 2
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ κ.restrict hs ⊗ₖ η = (κ ⊗ₖ η).restrict ⋯
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ κ.restrict hs ⊗ₖ η = κ.restrict ?hs ⊗ₖ η.restrict ?ht
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ MeasurableSet Set.univ
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι

⊢ ((insert i s).weightedVSubOfPoint p (p i)) w = (s.weightedVSubOfPoint p (p i)) w
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
w : ι → k
p : ι → P
i : ι

⊢ ∑ i_1 ∈ insert i s, w i_1 • (p i_1 -ᵥ p i) = ∑ i_1 ∈ s, w i_1 • (p i_1 -ᵥ p i)
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
p : ℕ → Bool
m : ℕ
pm : p m = true
this : true ∈ ↑p m
n : ℕ
hn : n ∈ rfind ↑p
h : m < n

⊢ False
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq (α ⊕ β)
f : α ⊕ β → γ
i j : α
x : γ

⊢ update f (inl i) x (inl j) = update (f ∘ inl) i x j
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : UniformSpace X
s : Set X
h : ∀ ⦃x : ℕ → X⦄, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) → ∃ a ∈ s, ∃ φ, StrictMono φ ∧ Tendsto (x ∘ φ) atTop (𝓝 a)
V : Set (X × X)
V_in : V ∈ 𝓤 X

⊢ ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ V}
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : UniformSpace X
s : Set X
V : Set (X × X)
V_in : V ∈ 𝓤 X
h : ∀ (t : Set X), t.Finite → ¬s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ V}

⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) ∧ ∀ a ∈ s, ∀ (φ : ℕ → ℕ), StrictMono φ → ¬Tendsto (x ∘ φ) atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : UniformSpace X
s : Set X
V : Set (X × X)
V_in : V ∈ 𝓤 X
h : ∀ (t : Set X), t.Finite → ¬s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ V}
u : ℕ → X
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
hu : ∀ (n m : ℕ), m < n → u m ∉ ball (u n) V

⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) ∧ ∀ a ∈ s, ∀ (φ : ℕ → ℕ), StrictMono φ → ¬Tendsto (x ∘ φ) atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : UniformSpace X
s : Set X
V : Set (X × X)
V_in : V ∈ 𝓤 X
h : ∀ (t : Set X), t.Finite → ¬s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ V}
u : ℕ → X
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
hu : ∀ (n m : ℕ), m < n → u m ∉ ball (u n) V
x : X
x✝ : x ∈ s
φ : ℕ → ℕ
hφ : StrictMono φ
huφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop (𝓝 x)

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : UniformSpace X
s : Set X
V : Set (X × X)
V_in : V ∈ 𝓤 X
h : ∀ (t : Set X), t.Finite → ¬s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ V}
u : ℕ → X
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
hu : ∀ (n m : ℕ), m < n → u m ∉ ball (u n) V
x : X
x✝ : x ∈ s
φ : ℕ → ℕ
hφ : StrictMono φ
huφ : Tendsto (u ∘ φ) atTop (𝓝 x)
N : ℕ
hN : ∀ (p q : ℕ), p ≥ N → q ≥ N → (u (φ p), u (φ q)) ∈ V

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
h : s.Nonempty

⊢ image2 (fun x y => y) s t = t
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/PDeriv.lean
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R
i : σ

⊢ (pderiv i) (C a * f) = C a * (pderiv i) f
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j : ι
hij : i < j

⊢ succFn i ≤ j
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j : ι
hij : i < j
h : IsGLB (Set.Ioi i) (succFn i)

⊢ succFn i ≤ j
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j : ι
hij : i < j
h : (∀ x ∈ Set.Ioi i, succFn i ≤ x) ∧ succFn i ∈ upperBounds (lowerBounds (Set.Ioi i))

⊢ succFn i ≤ j
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ : R → R
a✝ : A
f g : R → R
a : A
hg' : ∀ x ∈ spectrum R a, g x ≠ 0
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ cfc (fun x => f x / g x) a = cfc f a * Ring.inverse (cfc g a)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ : R → R
a✝ : A
f g : R → R
a : A
hg' : ∀ x ∈ spectrum R a, g x ≠ 0
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ cfc (fun x => f x * (g x)⁻¹) a = cfc f a * Ring.inverse (cfc g a)
-- Mathlib/Data/List/TFAE.lean
α : Type u_1
l : List (α → Prop)
H : ∀ (a : α), (map (fun p => p a) l).TFAE

⊢ (map (fun p => ∀ (a : α), p a) l).TFAE
-- Mathlib/Data/List/TFAE.lean
α : Type u_1
l : List (α → Prop)
H : ∀ (a : α), (map (fun p => p a) l).TFAE

⊢ ∀ (j : α → Prop), j ∈ l → ∀ (j_1 : α → Prop), j_1 ∈ l → ((∀ (a : α), j a) ↔ ∀ (a : α), j_1 a)
-- Mathlib/Data/List/TFAE.lean
α : Type u_1
l : List (α → Prop)
H : ∀ (a : α), (map (fun p => p a) l).TFAE
p₁ : α → Prop
hp₁ : p₁ ∈ l
p₂ : α → Prop
hp₂ : p₂ ∈ l

⊢ (∀ (a : α), p₁ a) ↔ ∀ (a : α), p₂ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
I J : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)
h_eq : cylinder I S = cylinder J T
hJI : J ⊆ I

⊢ S = (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' T
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
I J : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)
h_eq : ∀ (x : (i : ι) → α i), x ∈ cylinder I S ↔ x ∈ cylinder J T
hJI : J ⊆ I

⊢ S = (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' T
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
I J : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)
hJI : J ⊆ I
h_eq : ∀ (x : (i : ι) → α i), (fun i => x ↑i) ∈ S ↔ (fun i => x ↑i) ∈ T

⊢ S = (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' T
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
I J : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)
hJI : J ⊆ I
h_eq : ∀ (x : (i : ι) → α i), (fun i => x ↑i) ∈ S ↔ (fun i => x ↑i) ∈ T
f : (i : { x // x ∈ I }) → α ↑i

⊢ f ∈ S ↔ f ∈ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' T
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
h_nonempty : Nonempty ((i : ι) → α i)
I J : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ I }) → α ↑i)
T : Set ((i : { x // x ∈ J }) → α ↑i)
hJI : J ⊆ I
h_eq : ∀ (x : (i : ι) → α i), (fun i => x ↑i) ∈ S ↔ (fun i => x ↑i) ∈ T
f : (i : { x // x ∈ I }) → α ↑i

⊢ f ∈ S ↔ (fun j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ∈ T
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ sinh ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (sinh x)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ (starRingEnd ℂ) (cexp x - cexp (-x)) / 2 = (starRingEnd ℂ) (cexp x - cexp (-x)) / (starRingEnd ℂ) 2
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
hi : i = 0

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i

⊢ δ i ≫ σ j = σ (j.castLT ⋯) ≫ δ (i.pred ⋯)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i

⊢ δ i ≫ σ j = δ (i.pred ⋯).succ ≫ σ (j.castLT ⋯).castSucc
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i

⊢ (j.castLT ⋯).castSucc < i.pred ⋯
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
t : Set α
z : γ

⊢ z ∈ (r • s).image t ↔ z ∈ s.image (r.image t)
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
t : Set α
z : γ

⊢ (∃ x ∈ t, (r • s) x z) ↔ ∃ x, (∃ x_1 ∈ t, r x_1 x) ∧ s x z
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
fst✝¹ : α
snd✝¹ : β
fst✝ : α
snd✝ : β

⊢ (fst✝¹, snd✝¹) ⋖ (fst✝, snd✝) ↔ (fst✝¹, snd✝¹).1 ⋖ (fst✝, snd✝).1 ∧ (fst✝¹, snd✝¹).2 = (fst✝, snd✝).2 ∨ (fst✝¹, snd✝¹).2 ⋖ (fst✝, snd✝).2 ∧ (fst✝¹, snd✝¹).1 = (fst✝, snd✝).1
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
S s : Set α
h_s : s ∈ {S}
t : Set α
h_t : t ∈ {S}
a✝ : (s ∩ t).Nonempty

⊢ s ∩ t ∈ {S}
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β

⊢ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x}.Countable
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β

⊢ {x | ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x} ⊆ {x | ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : α), x < y → z ≤ f y}
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
x : α
hx : ¬ContinuousWithinAt f (Ioi x) x

⊢ ∃ z, f x < z ∧ ∀ (y : α), x < y → z ≤ f y
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
x : α
hx : ∀ (z : β), f x < z → ∃ y, x < y ∧ f y < z

⊢ ContinuousWithinAt f (Ioi x) x
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
x : α
hx : ∀ (z : β), f x < z → ∃ y, x < y ∧ f y < z
m : β
hm : m < f x

⊢ ∀ᶠ (b : α) in 𝓝[>] x, m < f b
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
x : α
hx : ∀ (z : β), f x < z → ∃ y, x < y ∧ f y < z
u : β
hu : u > f x

⊢ ∀ᶠ (b : α) in 𝓝[>] x, f b < u
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
x : α
hx : ∀ (z : β), f x < z → ∃ y, x < y ∧ f y < z
u : β
hu : u > f x
v : α
xv : x < v
fvu : f v < u

⊢ ∀ᶠ (b : α) in 𝓝[>] x, f b < u
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
x : α
hx : ∀ (z : β), f x < z → ∃ y, x < y ∧ f y < z
u : β
hu : u > f x
v : α
xv : x < v
fvu : f v < u
this : Ioo x v ∈ 𝓝[>] x

⊢ ∀ᶠ (b : α) in 𝓝[>] x, f b < u
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y✝ : α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology β
x : α
hx : ∀ (z : β), f x < z → ∃ y, x < y ∧ f y < z
u : β
hu : u > f x
v : α
xv : x < v
fvu : f v < u
this : Ioo x v ∈ 𝓝[>] x
y : α
hy : y ∈ Ioo x v

⊢ f y < u
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace X
ι : Type u
U : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)

⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ t, U i = ⋃ i, U i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace X
ι : Type u
U : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
this : IsLindelof (⋃ i, U i)

⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ t, U i = ⋃ i, U i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace X
ι : Type u
U : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
this : IsLindelof (⋃ i, U i)
t : Set ι
htc : t.Countable
htu : ⋃ i, U i ⊆ ⋃ i ∈ t, U i

⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ i ∈ t, U i = ⋃ i, U i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
inst✝ : HereditarilyLindelofSpace X
ι : Type u
U : ι → Set X
h : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
this : IsLindelof (⋃ i, U i)
t : Set ι
htc : t.Countable
htu : ⋃ i, U i ⊆ ⋃ i ∈ t, U i

⊢ ⋃ i ∈ t, U i = ⋃ i, U i
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
ι : Type u_5
αi : ι → Type u_6
βi : ι → Type u_7
γi : ι → Type u_8
ei : (i : ι) → PartialEquiv (αi i) (βi i)
ei' : (i : ι) → PartialEquiv (βi i) (γi i)

⊢ (PartialEquiv.pi ei).trans (PartialEquiv.pi ei') = PartialEquiv.pi fun i => (ei i).trans (ei' i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
f : Y ⟶ X
x : FamilyOfElements P S.arrows
h : x.Compatible

⊢ (FamilyOfElements.pullback f x).Compatible
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
f : Y ⟶ X
x : FamilyOfElements P S.arrows
h : x.SieveCompatible

⊢ (FamilyOfElements.pullback f x).SieveCompatible
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
f : Y ⟶ X
x : FamilyOfElements P S.arrows
h : x.SieveCompatible
W Z : C
f₁ : W ⟶ Y
f₂ : Z ⟶ W
hf : (Sieve.pullback f S).arrows f₁

⊢ (f₂ ≫ f₁) ≫ f = f₂ ≫ f₁ ≫ f
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
hpq : p ≠ q

⊢ ↑q ≠ 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b : Ordinal.{u_1}

⊢ a ≤ b ♯ a
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : (aeval s) p = 0

⊢ (aeval s) p.primPart = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : (algebraMap R S) p.content * (aeval s) p.primPart = 0

⊢ (aeval s) p.primPart = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : (algebraMap R S) p.content * (aeval s) p.primPart = 0
hcont : p.content ≠ 0

⊢ (aeval s) p.primPart = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : (algebraMap R S) p.content * (aeval s) p.primPart = 0
hcont : (algebraMap R S) p.content ≠ (algebraMap R S) 0

⊢ (aeval s) p.primPart = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : (algebraMap R S) p.content * (aeval s) p.primPart = 0
hcont : (algebraMap R S) p.content ≠ 0

⊢ (aeval s) p.primPart = 0
-- Mathlib/Data/ZMod/Units.lean
n✝ m n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactors

⊢ ¬IsUnit ↑p
-- Mathlib/Data/ZMod/Units.lean
n✝ m n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactors

⊢ ¬p.Coprime n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n R
hM : M.PosSemidef
z : ℤ

⊢ (M ^ z).PosSemidef
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n✝
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n✝
M : Matrix n✝ n✝ R
hM : M.PosSemidef
n : ℕ

⊢ (M ^ ↑n).PosSemidef
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n✝
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n✝
M : Matrix n✝ n✝ R
hM : M.PosSemidef
n : ℕ

⊢ (M ^ (-↑n)).PosSemidef
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace α✝
π : β → Type u_3
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_4
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → PseudoMetricSpace (α i)
i : Fin (n + 1)
x y : α i
f g : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
c : ℝ≥0

⊢ nndist (i.insertNth x f) (i.insertNth y g) ≤ c ↔ max (nndist x y) (nndist f g) ≤ c
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover

⊢ ↑(⨆ i, Hom.opensRange (𝒰.map i)) = ↑⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover

⊢ ⋃ i, ↑(Hom.opensRange (𝒰.map i)) = ↑⊤
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a : α

⊢ (cobounded α)⁻¹ = 𝓝[≠] 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a : α

⊢ comap Inv.inv (comap norm atTop) = comap norm (comap Inv.inv atTop)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
n : ℕ
hn : (Nat.card α).Coprime n
a : α

⊢ (a ^ (↑n)⁻¹.val) ^ n = a
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Pointwise.lean
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S T : Ideal R

⊢ a • S ≤ T ↔ S ≤ a⁻¹ • T
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a z w : α
hz : z ≠ 0
hw : w ≠ 0

⊢ dist z⁻¹ w⁻¹ = dist z w / (‖z‖ * ‖w‖)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Semiring R
a : α
b : R

⊢ b • single a 1 = single a b
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
F : Filter X

⊢ ClusterPt x (F.lift' closure) ↔ ClusterPt x F
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k ≃+* K
φ : K →+* ℂ
H : IsReal (φ.comp ↑f)

⊢ IsReal φ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k ≃+* K
φ : K →+* ℂ
H : IsReal (φ.comp ↑f)

⊢ φ = (φ.comp ↑f).comp f.symm.toRingHom
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
i : Fin (rank K)

⊢ Additive.ofMul ⟦fundSystem K i⟧ = (basisModTorsion K) i
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
i : Fin (rank K)

⊢ Additive.toMul ((basisModTorsion K) i) = Additive.ofMul.symm ((basisModTorsion K) i)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hle : padicValRat p q ≤ padicValRat p r

⊢ padicNorm p (q + r) ≤ max (padicNorm p q) (padicNorm p r)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.natDegree = 0

⊢ derivative p = 0