ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsIntegralClosure A R B
x y : B
hx : IsIntegral R x
hy : IsIntegral R y

⊢ (algebraMap A B) (mk' A (x * y) ⋯) = (algebraMap A B) (mk' A x hx * mk' A y hy)
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ

⊢ evariance X μ < ⊤
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
this : eLpNorm (X - fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) 2 μ ^ 2 < ⊤

⊢ evariance X μ < ⊤
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
this : ((∫⁻ (x : Ω), ↑‖(X - fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) x‖₊ ^ ENNReal.toReal 2 ∂μ) ^ (1 / ENNReal.toReal 2)) ^ 2 < ⊤

⊢ evariance X μ < ⊤
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
this : ((∫⁻ (x : Ω), ↑‖X x - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂μ) ^ 2⁻¹) ^ 2 < ⊤

⊢ evariance X μ < ⊤
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ
this : ∫⁻ (x : Ω), ↑‖X x - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂μ < ⊤

⊢ evariance X μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁴ : CompactSpace α
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

⊢ (LinearMap.range (toLp p μ 𝕜)).toAddSubgroup = Lp.boundedContinuousFunction E p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁴ : CompactSpace α
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

⊢ ↑(LinearMap.range (toLp p μ 𝕜)).toAddSubgroup = ↑(Lp.boundedContinuousFunction E p μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁴ : CompactSpace α
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
this : Function.Surjective ⇑(linearIsometryBoundedOfCompact α E 𝕜)

⊢ ↑(LinearMap.range (toLp p μ 𝕜)).toAddSubgroup = ↑(Lp.boundedContinuousFunction E p μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁴ : CompactSpace α
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
this : Function.Surjective ⇑(linearIsometryBoundedOfCompact α E 𝕜)

⊢ ↑(Lp.boundedContinuousFunction E p μ) = Set.range ⇑(BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
x : α

⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝 0, IsCompact (closedBall x r)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
x : α
s : Set α
s_compact : IsCompact s
hs : s ∈ 𝓝 x

⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝 0, IsCompact (closedBall x r)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
x : α
s : Set α
s_compact : IsCompact s
hs : s ∈ 𝓝 x
r : ℝ
hr : closedBall x r ⊆ s

⊢ IsCompact (closedBall x r)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ I J : Ideal A
HI : IsHomogeneous 𝒜 I
HJ : IsHomogeneous 𝒜 J

⊢ IsHomogeneous 𝒜 (I * J)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ I J : Ideal A
HI : ∃ S, I = span (Subtype.val '' S)
HJ : ∃ S, J = span (Subtype.val '' S)

⊢ ∃ S, I * J = span (Subtype.val '' S)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s₁ s₂ : Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)

⊢ ∃ S, span (Subtype.val '' s₁) * span (Subtype.val '' s₂) = span (Subtype.val '' S)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s₁ s₂ : Set ↥(homogeneousSubmonoid 𝒜)

⊢ ∃ S, span (Subtype.val '' s₁ * Subtype.val '' s₂) = span (Subtype.val '' S)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Field K
R₁✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R₁✝
inst✝⁹ : IsDomain R₁✝
inst✝⁸ : Algebra R₁✝ K
inst✝⁷ : IsFractionRing R₁✝ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁✝⁰ K
K' : Type u_5
inst✝⁶ : Field K'
inst✝⁵ : Algebra R₁✝ K'
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁✝ K'
R₁ : Type u_6
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsLocalization R₁⁰ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0

⊢ I * spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹ = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Field K
R₁✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R₁✝
inst✝⁹ : IsDomain R₁✝
inst✝⁸ : Algebra R₁✝ K
inst✝⁷ : IsFractionRing R₁✝ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁✝⁰ K
K' : Type u_5
inst✝⁶ : Field K'
inst✝⁵ : Algebra R₁✝ K'
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁✝ K'
R₁ : Type u_6
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsLocalization R₁⁰ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0

⊢ spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I) * spanSingleton R₁⁰ (generator ↑I)⁻¹ = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Field K
R₁✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R₁✝
inst✝⁹ : IsDomain R₁✝
inst✝⁸ : Algebra R₁✝ K
inst✝⁷ : IsFractionRing R₁✝ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁✝⁰ K
K' : Type u_5
inst✝⁶ : Field K'
inst✝⁵ : Algebra R₁✝ K'
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁✝ K'
R₁ : Type u_6
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsLocalization R₁⁰ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0

⊢ generator ↑I ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Field K
R₁✝ : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R₁✝
inst✝⁹ : IsDomain R₁✝
inst✝⁸ : Algebra R₁✝ K
inst✝⁷ : IsFractionRing R₁✝ K
I✝ J : FractionalIdeal R₁✝⁰ K
K' : Type u_5
inst✝⁶ : Field K'
inst✝⁵ : Algebra R₁✝ K'
inst✝⁴ : IsFractionRing R₁✝ K'
R₁ : Type u_6
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsLocalization R₁⁰ K
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
inst✝ : (↑I).IsPrincipal
h : I ≠ 0
generator_I_eq_zero : generator ↑I = 0

⊢ I = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shatter.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)

⊢ (𝓓 a 𝒜).shatterer ⊆ 𝒜.shatterer
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shatter.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
𝒜 : Finset (Finset α)

⊢ ∀ ⦃x : Finset α⦄, (𝓓 a 𝒜).Shatters x → 𝒜.Shatters x
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
e₁₂ : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₁ Q₂
e₂₃ : QuadraticMap.IsometryEquiv Q₂ Q₃
x : CliffordAlgebra Q₁

⊢ ((equivOfIsometry e₁₂).trans (equivOfIsometry e₂₃)) x = (equivOfIsometry (e₁₂.trans e₂₃)) x
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
p : α → β → Prop

⊢ (∀ a ∈ s, ∀ (b : β), p a b) ↔ ∀ (b : β), ∀ a ∈ s, p a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e

⊢ map (⇑(MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e)) (Measure.pi fun i => μ (e i)) = Measure.pi μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)

⊢ (map (⇑(MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e)) (Measure.pi fun i => μ (e i))) (univ.pi s) = ∏ i : ι', (μ i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)

⊢ (Measure.pi fun i => μ (e i)) (⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s) = ∏ i : ι', (μ i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)
s' : (i : ι) → Set (β (e i)) := fun i => s (e i)

⊢ (Measure.pi fun i => μ (e i)) (⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s) = ∏ i : ι', (μ i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)
s' : (i : ι) → Set (β (e i)) := fun i => s (e i)
this : ⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s = univ.pi s'

⊢ (Measure.pi fun i => μ (e i)) (⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s) = ∏ i : ι', (μ i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)
s' : (i : ι) → Set (β (e i)) := fun i => s (e i)
this : ⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s = univ.pi s'

⊢ ∀ (i : ι'), i ∈ Finset.univ ↔ e.symm i ∈ Finset.univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)
s' : (i : ι) → Set (β (e i)) := fun i => s (e i)
this : ⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s = univ.pi s'

⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, (μ i) (s i) = (μ (e (e.symm i))) (s' (e.symm i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)
s' : (i : ι) → Set (β (e i)) := fun i => s (e i)
this : ⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s = univ.pi s'
i : ι'
a✝ : i ∈ Finset.univ

⊢ i = e (e.symm i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)
s' : (i : ι) → Set (β (e i)) := fun i => s (e i)
this : ⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s = univ.pi s'
i : ι'
a✝ : i ∈ Finset.univ

⊢ HEq (fun x => ℝ≥0∞) fun x => ℝ≥0∞
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
hι' : Fintype ι'
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι') → MeasurableSpace (β i)
μ : (i : ι') → Measure (β i)
inst✝ : ∀ (i : ι'), SigmaFinite (μ i)
e_meas : ((b : ι) → β (e b)) ≃ᵐ ((a : ι') → β a) := MeasurableEquiv.piCongrLeft (fun i => β i) e
s : (i : ι') → Set (β i)
x✝ : ∀ (i : ι'), MeasurableSet (s i)
s' : (i : ι) → Set (β (e i)) := fun i => s (e i)
this : ⇑e_meas ⁻¹' univ.pi s = univ.pi s'
i : ι'
a✝ : i ∈ Finset.univ

⊢ HEq (s i) (s (e (e.symm i)))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ : Weight K (↥H) L
hα : α✝.IsNonZero
α β : { α // α.IsNonZero }
e : ¬LinearIndependent K ![(rootSystem H).root α, (rootSystem H).root β]

⊢ (rootSystem H).root α = (rootSystem H).root β ∨ (rootSystem H).root α = -(rootSystem H).root β
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ : Weight K (↥H) L
hα : α✝.IsNonZero
α β : { α // α.IsNonZero }
e : ∃ x, ¬x • (rootSystem H).root α ≠ (rootSystem H).root β

⊢ (rootSystem H).root α = (rootSystem H).root β ∨ (rootSystem H).root α = -(rootSystem H).root β
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ : Weight K (↥H) L
hα : α✝.IsNonZero
α β : { α // α.IsNonZero }
e : ∃ x, x • Weight.toLinear K (↥H) L ↑α = Weight.toLinear K (↥H) L ↑β

⊢ (rootSystem H).root α = (rootSystem H).root β ∨ (rootSystem H).root α = -(rootSystem H).root β
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ : Weight K (↥H) L
hα : α✝.IsNonZero
α β : { α // α.IsNonZero }
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L ↑α = Weight.toLinear K (↥H) L ↑β

⊢ (rootSystem H).root α = (rootSystem H).root β ∨ (rootSystem H).root α = -(rootSystem H).root β
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ : Weight K (↥H) L
hα : α✝.IsNonZero
α β : { α // α.IsNonZero }
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L ↑α = Weight.toLinear K (↥H) L ↑β
h : ↑β = -↑α

⊢ (rootSystem H).root α = (rootSystem H).root β ∨ (rootSystem H).root α = -(rootSystem H).root β
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α✝ β✝ : Weight K (↥H) L
hα : α✝.IsNonZero
α β : { α // α.IsNonZero }
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L ↑α = Weight.toLinear K (↥H) L ↑β
h : ↑β = ↑α

⊢ (rootSystem H).root α = (rootSystem H).root β ∨ (rootSystem H).root α = -(rootSystem H).root β
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ e e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology

⊢ IsOpen (e'.target ∩ ↑e'.symm ⁻¹' e.source)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ e e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
u : Set (B × F)
hu1 : IsOpen u
hu2 : ↑e'.symm ⁻¹' e.source ∩ e'.target = u ∩ e'.target

⊢ IsOpen (e'.target ∩ ↑e'.symm ⁻¹' e.source)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
E : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
a : FiberPrebundle F E
e✝ e e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
he' : e' ∈ a.pretrivializationAtlas
this : TopologicalSpace (TotalSpace F E) := a.totalSpaceTopology
u : Set (B × F)
hu1 : IsOpen u
hu2 : ↑e'.symm ⁻¹' e.source ∩ e'.target = u ∩ e'.target

⊢ IsOpen (u ∩ e'.target)
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N

⊢ (map N.subtype ↑P).normalizer ⊔ N = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤

⊢ g ∈ (map N.subtype ↑P).normalizer ⊔ N
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
n : ↥N
hn : n • MulAut.conjNormal g • P = P

⊢ g ∈ (map N.subtype ↑P).normalizer ⊔ N
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
n : ↥N
hn : n • MulAut.conjNormal g • P = P

⊢ (↑n)⁻¹ * (↑n * g) ∈ N ⊔ (map N.subtype ↑P).normalizer
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
n : ↥N
hn : n • MulAut.conjNormal g • P = P

⊢ ↑n * g ∈ (map N.subtype ↑P).normalizer
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
n : ↥N
hn : map ((MulDistribMulAction.toMonoidEnd (MulAut ↥N) ↥N) (MulAut.conjNormal (↑n * g))) ↑P = ↑P

⊢ ↑n * g ∈ (map N.subtype ↑P).normalizer
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
n : ↥N
hn : map ((MulDistribMulAction.toMonoidEnd (MulAut ↥N) ↥N) (MulAut.conjNormal (↑n * g))) ↑P = ↑P
this : Function.Injective ⇑(MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (↑n * g)))

⊢ ↑n * g ∈ (map N.subtype ↑P).normalizer
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p ↥N
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
n : ↥N
hn : map ((MulDistribMulAction.toMonoidEnd (MulAut ↥N) ↥N) (MulAut.conjNormal (↑n * g))) ↑P = ↑P
this : Function.Injective ⇑(MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (↑n * g)))
x : G

⊢ (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (↑n * g))) x ∈ map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (↑n * g))) (map N.subtype ↑P) ↔ ↑n * g * x * (↑n * g)⁻¹ ∈ map N.subtype ↑P