ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L

⊢ Disjoint Weight.ker (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L

⊢ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H
x✝ : x ∈ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
hαx : x ∈ ↑Weight.ker
hx : x ∈ ↑(lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule

⊢ x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H
x✝ : x ∈ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
hx : x ∈ ↑(lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
hαx : α x = 0

⊢ x = 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂✝ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝² : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
h : (i : ι) → β₂ i → γ
h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1

⊢ (mapRange f hf g).prod h = g.prod fun i b => h i (f i b)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂✝ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝² : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
h : (i : ι) → β₂ i → γ
h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1

⊢ (mk g.support fun i => f (↑i) (g ↑i)).prod h = g.prod fun i b => h i (f i b)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂✝ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝² : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
h : (i : ι) → β₂ i → γ
h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1

⊢ ∀ x ∈ g.support, x ∉ (mk g.support fun i => f (↑i) (g ↑i)).support → h x ((mk g.support fun i => f (↑i) (g ↑i)) x) = 1
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁✝ : ι → Type v₁
β₂✝ : ι → Type v₂
inst✝⁵ : DecidableEq ι
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁴ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝² : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i
h : (i : ι) → β₂ i → γ
h0 : ∀ (i : ι), h i 0 = 1

⊢ ∏ x ∈ g.support, h x ((mk g.support fun i => f (↑i) (g ↑i)) x) = g.prod fun i b => h i (f i b)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
t : Set γ
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t

⊢ ∫⁻ (z : β × γ) in s ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β) in s, ∫⁻ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Submonoid α
a₁ b₁ : α
a₂ b₂ b : ↥s
c d : α
h : (fun a => mk a b) c = (fun a => mk a b) d

⊢ c = d
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
s t u : Set α

⊢ val ⁻¹' t = val ⁻¹' u ↔ s ∩ t = s ∩ u
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
n : ℕ

⊢ a = b ↔ n + 1 = 0 ∨ a = b
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fintype.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : ¬p x

⊢ ¬q (e.extendSubtype x)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fintype.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : ¬p x

⊢ e.extendSubtype x = ↑(e.toCompl ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ

⊢ a % b + a / b * b = a
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ

⊢ a % b + b * (a / b) = a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Set α
hs : s₁ ⊆ s₂
hsμ : μ s₂ ≤ μ s₁
ht : t₁ ⊆ t₂
htμ : μ t₂ ≤ μ t₁

⊢ μ (s₁ ∪ t₁) = μ (s₂ ∪ t₂)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Set α
hs : s₁ ⊆ s₂
hsμ : μ s₂ ≤ μ s₁
ht : t₁ ⊆ t₂
htμ : μ t₂ ≤ μ t₁

⊢ μ (⋃ b, bif b then s₁ else t₁) = μ (⋃ b, bif b then s₂ else t₂)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b

⊢ o / b ^ log b o < b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b

⊢ o < b ^ succ (log b o)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)

⊢ vanishingIdeal (closure t) = vanishingIdeal t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
this : (vanishingIdeal (zeroLocus 𝒜 ↑(vanishingIdeal t).toIdeal)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal

⊢ vanishingIdeal (closure t) = vanishingIdeal t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
this : (vanishingIdeal (zeroLocus 𝒜 ↑(vanishingIdeal t).toIdeal)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal

⊢ (vanishingIdeal (closure t)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)
this : (vanishingIdeal (closure t)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal

⊢ (vanishingIdeal (closure t)).toIdeal = (vanishingIdeal t).toIdeal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁵ : CompactSpace α
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_6
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
g : β → C(α, E)
f : C(α, E)
hg : Summable g
hg2 : HasSum (⇑(toLp p μ 𝕜) ∘ g) ((toLp p μ 𝕜) f)

⊢ HasSum g f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁵ : CompactSpace α
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_6
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
g : β → C(α, E)
f : C(α, E)
hg : Summable g
hg2 : HasSum (⇑(toLp p μ 𝕜) ∘ g) ((toLp p μ 𝕜) f)

⊢ f = ∑' (b : β), g b
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : HasDerivAt f f' x

⊢ slope f x y < f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'

⊢ (F.obj j).map f ≫ c.ι.app (j, k') = c.ι.app (j, k) ≫ 𝟙 c.pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'

⊢ (F.obj j).map f ≫ c.ι.app (j, k') = c.ι.app (j, k)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'

⊢ ((F.map (𝟙 j)).app k ≫ (F.obj j).map f) ≫ c.ι.app (j, k') = c.ι.app (j, k)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j : J
k k' : K
f : k ⟶ k'

⊢ (uncurry.obj F).map (𝟙 j, f) ≫ c.ι.app (j, k') = c.ι.app (j, k)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K

⊢ (D.obj j).ι.app k ≫ (D.map f).hom ≫ (Q j').desc { pt := c.pt, ι := { app := fun k => c.ι.app (j', k), naturality := ⋯ } } = (D.obj j).ι.app k ≫ (Q j).desc { pt := c.pt, ι := { app := fun k => c.ι.app (j, k), naturality := ⋯ } } ≫ 𝟙 c.pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K

⊢ (F.map f).app k ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K
this : (uncurry.obj F).map (f, 𝟙 k) ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k) ≫ ((Functor.const (J × K)).obj c.pt).map (f, 𝟙 k)

⊢ (F.map f).app k ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K
this : ((F.map f).app k ≫ (F.obj j').map (𝟙 k)) ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k) ≫ 𝟙 c.pt

⊢ (F.map f).app k ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
D : DiagramOfCocones F
Q : (j : J) → IsColimit (D.obj j)
c : Cocone (uncurry.obj F)
j j' : J
f : j ⟶ j'
k : K
this : (F.map f).app k ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k)

⊢ (F.map f).app k ≫ c.ι.app (j', k) = c.ι.app (j, k)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)

⊢ φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
q : ℕ
x y : L
hy : IsPrimitiveRoot y q
hx : IsPrimitiveRoot x 0
hirr : Irreducible (cyclotomic (Nat.lcm 0 q) K)

⊢ φ (Nat.lcm 0 q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)
hppos : p > 0

⊢ φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hppos : p > 0
hy : IsPrimitiveRoot y 0
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm 0) K)

⊢ φ (p.lcm 0) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)
hppos : p > 0
hqpos : q > 0

⊢ φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)
hppos : p > 0
hqpos : q > 0
z : L := x ^ (p / p.factorizationLCMLeft q) * y ^ (q / p.factorizationLCMRight q)
k : ℕ+ := PNat.lcm ⟨p, hppos⟩ ⟨q, hqpos⟩

⊢ φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)
hppos : p > 0
hqpos : q > 0
z : L := x ^ (p / p.factorizationLCMLeft q) * y ^ (q / p.factorizationLCMRight q)
k : ℕ+ := PNat.lcm ⟨p, hppos⟩ ⟨q, hqpos⟩
this : IsPrimitiveRoot z ↑k

⊢ φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)
hppos : p > 0
hqpos : q > 0
z : L := x ^ (p / p.factorizationLCMLeft q) * y ^ (q / p.factorizationLCMRight q)
k : ℕ+ := PNat.lcm ⟨p, hppos⟩ ⟨q, hqpos⟩
this✝ : IsPrimitiveRoot z ↑k
this : IsCyclotomicExtension {k} K ↥(adjoin K {z})

⊢ φ (p.lcm q) ≤ FiniteDimensional.finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hirr : Irreducible (cyclotomic (p.lcm q) K)
hppos : p > 0
hqpos : q > 0
z : L := x ^ (p / p.factorizationLCMLeft q) * y ^ (q / p.factorizationLCMRight q)
k : ℕ+ := PNat.lcm ⟨p, hppos⟩ ⟨q, hqpos⟩
this✝ : IsPrimitiveRoot z ↑k
this : IsCyclotomicExtension {k} K ↥(adjoin K {z})

⊢ φ (p.lcm q) = FiniteDimensional.finrank K ↥(Subalgebra.toSubmodule (adjoin K {z}))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p✝ n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁹ : CommRing A
inst✝⁸ : CommRing B
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : CommRing L
inst✝³ : IsDomain L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝ : FiniteDimensional K L
p q : ℕ
x y : L
hx : IsPrimitiveRoot x p
hy : IsPrimitiveRoot y q
hppos : p > 0
hqpos : q > 0
z : L := x ^ (p / p.factorizationLCMLeft q) * y ^ (q / p.factorizationLCMRight q)
k : ℕ+ := PNat.lcm ⟨p, hppos⟩ ⟨q, hqpos⟩
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑k) K)
this✝ : IsPrimitiveRoot z ↑k
this : IsCyclotomicExtension {k} K ↥(adjoin K {z})

⊢ φ (p.lcm q) = FiniteDimensional.finrank K ↥(Subalgebra.toSubmodule (adjoin K {z}))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable f
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

⊢ ((Kernel.sum fun n => (κ.seq n).map f hf) a) s = ((κ.map f hf) a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable f
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

⊢ ∑' (i : ℕ), (((κ.seq i).map f hf) a) s = ∑' (i : ℕ), ((κ.seq i) a) (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ⊤

⊢ edist x (efixedPoint f hf x hx) ≤ edist x (f x) / (1 - ↑K)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x : α
hx : edist x (f x) ≠ ⊤

⊢ edist x (f x) = edist x (f x) * ↑K ^ 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommSemigroup G
a b c : G

⊢ a * (b * c) = b * (c * a)
-- Mathlib/Tactic/NormNum/BigOperators.lean
u v : Level
n : ℕ
pn : NormNum.IsNat n 0

⊢ Multiset.range n = 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
s : Set (α × α)

⊢ idRel ⊆ s ↔ ∀ (a : α), (a, a) ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
L : E ≃L[𝕜] F
φ : X → E

⊢ ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
L : E ≃L[𝕜] F
φ : X → E
this : CompleteSpace E ↔ CompleteSpace F

⊢ ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
L : E ≃L[𝕜] F
φ : X → E
this : CompleteSpace E ↔ CompleteSpace F
left✝ : CompleteSpace E
right✝ : CompleteSpace F

⊢ ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
L : E ≃L[𝕜] F
φ : X → E
this : CompleteSpace E ↔ CompleteSpace F
left✝ : ¬CompleteSpace E
right✝ : ¬CompleteSpace F

⊢ ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1

⊢ cos (arccos x) = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
V : Type uV
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
inst✝⁶ : Free K V
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : M ≃ₗ[R] N
ed : Dual R (Dual R N) ≃ₗ[R] Dual R (Dual R M) := e.symm.dualMap.dualMap

⊢ Bijective ⇑(Dual.eval R N)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
V : Type uV
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
inst✝⁶ : Free K V
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : M ≃ₗ[R] N
ed : Dual R (Dual R N) ≃ₗ[R] Dual R (Dual R M) := e.symm.dualMap.dualMap
this : Dual.eval R N = ↑ed.symm ∘ₗ Dual.eval R M ∘ₗ ↑e.symm

⊢ Bijective ⇑(Dual.eval R N)