ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
f : R[M]

⊢ of' R M '' ↑f.support ⊆ ↑(Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (of' R M '' ↑f.support)))
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
φ : K →+* ℂ
h : ComplexEmbedding.IsConj φ σ
x✝ : K ≃ₐ[k] K

⊢ x✝ ∈ ↑(Stab (mk φ)) ↔ x✝ ∈ {1, σ}
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M

⊢ B.flip.SeparatingLeft ↔ B.SeparatingRight
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
y : X

⊢ JoinedIn {y} y y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E

⊢ IsLeast {t | s ⊆ ↑t} (Convex.toCone ((convexHull 𝕜) s) ⋯)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E

⊢ {t | s ⊆ ↑t} = {t | (convexHull 𝕜) s ⊆ ↑t}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
t : ConvexCone 𝕜 E

⊢ t ∈ {t | s ⊆ ↑t} ↔ t ∈ {t | (convexHull 𝕜) s ⊆ ↑t}
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N

⊢ 0 < dValue N
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
hN₀ : 0 < ↑N

⊢ 0 < dValue N
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
hN₀ : 0 < ↑N

⊢ log 2 * ↑(nValue N) ≤ log ↑N
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
hN₀ : 0 < ↑N

⊢ 0 < ↑(nValue N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
hN₀ : 0 < ↑N

⊢ ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹ ≠ 0
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN₃ : 8 ≤ N
hN₀ : 0 < ↑N

⊢ 0 < ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹ / 2
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : β → α ⊕ β
b b' : β
h : f b = Sum.inr b'

⊢ tail ⟨Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b), ⋯⟩ = ⟨Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b'), ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : β → α ⊕ β
b b' : β
h : f b = Sum.inr b'

⊢ ↑(tail ⟨Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b), ⋯⟩) = ↑⟨Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b'), ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : β → α ⊕ β
b b' : β
h : f b = Sum.inr b'

⊢ (Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b)).tail = Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b')
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : β → α ⊕ β
b b' : β
h : f b = Sum.inr b'

⊢ Stream'.corec' (Corec.f f) (Corec.f f (Sum.inr b)).2 = Stream'.corec' (Corec.f f) (Sum.inr b')
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I

⊢ M.closure J ∩ I = J
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
hJ : M.Indep J

⊢ M.closure J ∩ I = J
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
hJ : M.Indep J

⊢ M.closure J ∩ I ⊆ J
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e✝ : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
hJ : M.Indep J
e : α
heJ : e ∈ M.closure J
heI : e ∈ I

⊢ e ∈ J
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

⊢ Ico a₁ b₁ ∩ Ico a₂ b₂ = Ico (a₁ ⊔ a₂) (b₁ ⊓ b₂)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

⊢ Ici a₁ ∩ Iio b₁ ∩ (Ici a₂ ∩ Iio b₂) = Ici a₁ ∩ Ici a₂ ∩ (Iio b₁ ∩ Iio b₂)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l✝ l' l : List α
h : l' ∈ l.cyclicPermutations

⊢ l'.length = l.length
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l✝ l : List α
k : Fin l.cyclicPermutations.length
h : l.cyclicPermutations.get k ∈ l.cyclicPermutations

⊢ (l.cyclicPermutations.get k).length = l.length
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ

⊢ 1 ∈ n.properDivisors ↔ 1 < n
-- Mathlib/Analysis/Convex/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : NormalSpace X
inst✝³ : ParacompactSpace X
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
t : X → Set E
ht : ∀ (x : X), Convex ℝ (t x)
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
g : X → X → E
hgc : ∀ (x : X), ContinuousOn (g x) (U x)
hgt : ∀ (x y : X), y ∈ U x → g x y ∈ t y

⊢ ∃ g, ∀ (x : X), g x ∈ t x
-- Mathlib/Analysis/Convex/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : NormalSpace X
inst✝³ : ParacompactSpace X
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
t : X → Set E
ht : ∀ (x : X), Convex ℝ (t x)
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
g : X → X → E
hgc : ∀ (x : X), ContinuousOn (g x) (U x)
hgt : ∀ (x y : X), y ∈ U x → g x y ∈ t y
f : PartitionOfUnity X X
hf : f.IsSubordinate fun x => interior (U x)

⊢ ∃ g, ∀ (x : X), g x ∈ t x
-- Mathlib/Analysis/Convex/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : NormalSpace X
inst✝³ : ParacompactSpace X
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
t : X → Set E
ht : ∀ (x : X), Convex ℝ (t x)
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
g : X → X → E
hgc : ∀ (x : X), ContinuousOn (g x) (U x)
hgt : ∀ (x y : X), y ∈ U x → g x y ∈ t y
f : PartitionOfUnity X X
hf : f.IsSubordinate fun x => interior (U x)
x i : X
hi : (f i) x ≠ 0

⊢ x ∈ U i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
h : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Icc 0 1

⊢ x + t • (y - x) ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
h : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Icc 0 1

⊢ t • (y - x) + x ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/Finiteness.lean
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid N✝
N : Submonoid M

⊢ FG ↥N ↔ N.FG
-- Mathlib/GroupTheory/Finiteness.lean
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid N✝
N : Submonoid M

⊢ FG ↥N ↔ (Submonoid.map N.subtype ⊤).FG
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean

⊢ tan 0 = 0
-- Mathlib/SetTheory/Lists.lean
α : Type u_1
a : Lists α
l0 l₂ : Lists' α true
a✝ a'✝ : Lists α
e : a✝ ~ a'✝
h : a ∈ (a✝.snd.cons' l0).toList
m : a'✝ ∈ l₂.toList
s : l0.Subset l₂

⊢ a ∈ l₂
-- Mathlib/SetTheory/Lists.lean
α : Type u_1
a : Lists α
l0 l₂ : Lists' α true
a✝ a'✝ : Lists α
e : a✝ ~ a'✝
m : a'✝ ∈ l₂.toList
s : l0.Subset l₂
h : a = a✝ ∨ a ∈ l0.toList

⊢ a ∈ l₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α

⊢ s.toJordanDecomposition.toSignedMeasure = s
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α
i : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i
hi₃ : VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ
hμ : s.toJordanDecomposition.posPart = s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂
hν : s.toJordanDecomposition.negPart = s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃

⊢ s.toJordanDecomposition.toSignedMeasure = s
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α
i : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i
hi₃ : VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ
hμ : s.toJordanDecomposition.posPart = s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂
hν : s.toJordanDecomposition.negPart = s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃
k : Set α
hk : MeasurableSet k

⊢ ↑((s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂).toSignedMeasure - (s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃).toSignedMeasure) k = ↑s k
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α
i : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i
hi₃ : VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ
hμ : s.toJordanDecomposition.posPart = s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂
hν : s.toJordanDecomposition.negPart = s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃
k : Set α
hk : MeasurableSet k

⊢ (↑⟨↑s (i ∩ k), ⋯⟩).toReal - (↑⟨-↑s (iᶜ ∩ k), ⋯⟩).toReal = ↑s k
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α
i : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i
hi₃ : VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ
hμ : s.toJordanDecomposition.posPart = s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂
hν : s.toJordanDecomposition.negPart = s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃
k : Set α
hk : MeasurableSet k

⊢ ↑s (i ∩ k) + ↑s (iᶜ ∩ k) = ↑s k
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s✝ : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : SignedMeasure α
i : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : VectorMeasure.restrict 0 i ≤ VectorMeasure.restrict s i
hi₃ : VectorMeasure.restrict s iᶜ ≤ VectorMeasure.restrict 0 iᶜ
hμ : s.toJordanDecomposition.posPart = s.toMeasureOfZeroLE i hi₁ hi₂
hν : s.toJordanDecomposition.negPart = s.toMeasureOfLEZero iᶜ ⋯ hi₃
k : Set α
hk : MeasurableSet k

⊢ Disjoint (i ∩ k) (iᶜ ∩ k)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting

⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ 2 * t.card = Fintype.card α ∧ (↑t).Intersecting
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
this : 2 * s.card ≤ Fintype.card α

⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ 2 * t.card = Fintype.card α ∧ (↑t).Intersecting
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : (↑s).Intersecting
this : s.card ≤ Fintype.card α / 2

⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ 2 * t.card = Fintype.card α ∧ (↑t).Intersecting
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s✝ : Finset α
this : s✝.card ≤ Fintype.card α / 2
s : Finset α
ih : ∀ {t₂ : Finset α}, t₂.card ≤ Fintype.card α / 2 → s ⊂ t₂ → (↑t₂).Intersecting → ∃ t, t₂ ⊆ t ∧ 2 * t.card = Fintype.card α ∧ (↑t).Intersecting
_hcard : s.card ≤ Fintype.card α / 2
hs : (↑s).Intersecting
t : Finset α
ht : (↑t).Intersecting
hst : s ⊆ t ∧ s ≠ t

⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ 2 * t.card = Fintype.card α ∧ (↑t).Intersecting
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s✝ : Finset α
this : s✝.card ≤ Fintype.card α / 2
s : Finset α
ih : ∀ {t₂ : Finset α}, t₂.card ≤ Fintype.card α / 2 → s ⊂ t₂ → (↑t₂).Intersecting → ∃ t, t₂ ⊆ t ∧ 2 * t.card = Fintype.card α ∧ (↑t).Intersecting
_hcard : s.card ≤ Fintype.card α / 2
hs : (↑s).Intersecting
t : Finset α
ht : (↑t).Intersecting
hst : s ⊆ t ∧ s ≠ t

⊢ t.card ≤ Fintype.card α / 2
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝² : BooleanAlgebra α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : Fintype α
s✝ : Finset α
this : s✝.card ≤ Fintype.card α / 2
s : Finset α
ih : ∀ {t₂ : Finset α}, t₂.card ≤ Fintype.card α / 2 → s ⊂ t₂ → (↑t₂).Intersecting → ∃ t, t₂ ⊆ t ∧ 2 * t.card = Fintype.card α ∧ (↑t).Intersecting
_hcard : s.card ≤ Fintype.card α / 2
hs : (↑s).Intersecting
t : Finset α
ht : (↑t).Intersecting
hst : s ⊆ t ∧ s ≠ t

⊢ 2 * t.card ≤ Fintype.card α
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : R
h✝ : IsRelPrime x y
z : R
h : IsRelPrime x y

⊢ IsRelPrime (x + y * z + y * -z) y
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
hpos : 0 < n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R

⊢ ∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R = X ^ n - 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
hpos : 0 < n
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
integer : ∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i ℤ = X ^ n - 1

⊢ ∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i R = X ^ n - 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/NaturalTransformation/Oplax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
g h : a ⟶ b
β : g ⟶ h

⊢ f ◁ G.map₂ β ▷ θ.app b ≫ f ◁ θ.naturality h = f ◁ θ.naturality g ≫ f ◁ θ.app a ◁ H.map₂ β
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α

⊢ a⁻¹ < b ↔ b⁻¹ < a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M

⊢ (map ι f) x = -x ↔ LinearMap.det ↑f < 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : IsEmpty ι

⊢ (map ι f) x = -x ↔ LinearMap.det ↑f < 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : Nonempty ι

⊢ (map ι f) x = -x ↔ LinearMap.det ↑f < 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : Nonempty ι
H : 0 < finrank R M

⊢ (map ι f) x = -x ↔ LinearMap.det ↑f < 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
_i : FiniteDimensional R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
h : Fintype.card ι = finrank R M
h✝ : Nonempty ι
H : 0 < finrank R M
this : FiniteDimensional R M

⊢ (map ι f) x = -x ↔ LinearMap.det ↑f < 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l✝ l' : Filter α
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F
c : E
l : Filter α

⊢ IsBigOWith ‖c‖ l (fun _x => c) fun _x => 1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/FractionRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
hg : Injective ⇑g
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)

⊢ (lift hg) (mk' K x y) = g x / g ↑y
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c

⊢ lift.{u, u} #ι < c
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
a : M
S : Submonoid M
inst✝ : Fintype ↥S
h : card ↥S ≤ 1
x : M
hx : x ∈ S

⊢ x = 1
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
U : Type u_2
inst✝¹ : CommRing U
inst✝ : Algebra R U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
e : T ≃ₐ[R] U
a : S

⊢ (h.aequiv (h'.ofEquiv e)) a = ((h.aequiv h').trans e) a
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
x : α × β
inst✝² : Fintype ↑(G.neighborSet x.1)
inst✝¹ : Fintype ↑(H.neighborSet x.2)
inst✝ : Fintype ↑((G □ H).neighborSet x)

⊢ (G □ H).degree x = G.degree x.1 + H.degree x.2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
x : α × β
inst✝² : Fintype ↑(G.neighborSet x.1)
inst✝¹ : Fintype ↑(H.neighborSet x.2)
inst✝ : Fintype ↑((G □ H).neighborSet x)

⊢ (G.neighborFinset x.1 ×ˢ {x.2}).card + ({x.1} ×ˢ H.neighborFinset x.2).card = (G.neighborFinset x.1).card + (H.neighborFinset x.2).card
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
i j j' : C
f : i ⟶ j
f' : i ⟶ j'
K : C
G : j ⟶ K
G' : j' ⟶ K
h✝ : True
k : C
e : K ⟶ k
he : (f ≫ G) ≫ e = (f' ≫ G') ≫ e

⊢ f ≫ G ≫ e = f' ≫ G' ≫ e
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
ι' : Type u_8
μ : ι → ι' → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (sum fun n => sum (μ n)) s = (sum fun m => sum fun n => μ n m) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
ι' : Type u_8
μ : ι → ι' → Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ∑' (i : ι) (i_1 : ι'), (μ i i_1) s = ∑' (i : ι') (i_1 : ι), (μ i_1 i) s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Multilinear/Basic.lean
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M✝ : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
M : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousMul R
inst✝ : ContinuousSMul R M
x✝ : ι → R

⊢ (ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι 0) x✝ = 0 x✝
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI✝ : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hI : ¬I = 0

⊢ dual A K I = dual A K 1 * I⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI✝ : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hI : ¬I = 0

⊢ dual A K I ≤ dual A K 1 * I⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI✝ : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hI : ¬I = 0

⊢ dual A K 1 * I⁻¹ ≤ dual A K I
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Lifting.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝² : Category.{v₃, u₃} C
U : B ⥤ C
F : C ⥤ B
R : A ⥤ B
F' : C ⥤ A
adj₁ : F ⊣ U
adj₂ : F' ⊣ R ⋙ U
inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A
inst✝ : (X : B) → RegularEpi (adj₁.counit.app X)
Y : A
X : B
f : F'.obj (U.obj X) ⟶ Y

⊢ F'.map (U.map (adj₁.counit.app X)) ≫ f = otherMap R F' adj₁ adj₂ X ≫ f ↔ U.map (F.map ((adj₂.homEquiv (U.obj X) Y) f) ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y)) = U.map (adj₁.counit.app X) ≫ (adj₂.homEquiv (U.obj X) Y) f