ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a < b

⊢ Ioc a b \ Ioo a b = {b}
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
h : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
l₁' l₂' : List α
e : l.split = (l₁', l₂')

⊢ l₁.length < (a :: b :: l).length ∧ l₂.length < (a :: b :: l).length
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁ l₂ : List α
h : (a :: b :: l).split = (l₁, l₂)
l₁' l₂' : List α
e : l.split = (l₁', l₂')
fst_eq✝ : a :: l₁' = l₁
snd_eq✝ : b :: l₂' = l₂

⊢ l₁.length < (a :: b :: l).length ∧ l₂.length < (a :: b :: l).length
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁' l₂' : List α
e : l.split = (l₁', l₂')
h : (a :: b :: l).split = (a :: l₁', b :: l₂')

⊢ (a :: l₁').length < (a :: b :: l).length ∧ (b :: l₂').length < (a :: b :: l).length
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a b : α
l l₁' l₂' : List α
e : l.split = (l₁', l₂')
h : (a :: b :: l).split = (a :: l₁', b :: l₂')
h₁ : l₁'.length ≤ l.length
h₂ : l₂'.length ≤ l.length

⊢ (a :: l₁').length < (a :: b :: l).length ∧ (b :: l₂').length < (a :: b :: l).length
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α

⊢ 1 ≤ a⁻¹ ↔ a ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α

⊢ 1 * a ≤ a⁻¹ * a ↔ a ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
x : M₁
i : m

⊢ ((toMatrix v₁ v₂) f *ᵥ ⇑(v₁.repr x)) i = (v₂.repr (f x)) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
x : M₁
i : m

⊢ (v₂.repr (f (v₁.equivFun.symm ⇑(v₁.repr x)))) i = (v₂.repr (f x)) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
x : M₁
i : m

⊢ v₁.equivFun.symm ⇑(v₁.repr x) = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Cotangent.lean
z : ℂ

⊢ (↑π * z).cot = (cexp (2 * ↑π * I * z) + 1) / (I * (1 - cexp (2 * ↑π * I * z)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Cotangent.lean
z : ℂ

⊢ (cexp (2 * I * (↑π * z)) + 1) / (I * (1 - cexp (2 * I * (↑π * z)))) = (cexp (2 * ↑π * I * z) + 1) / (I * (1 - cexp (2 * ↑π * I * z)))
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : Submartingale f ℱ μ

⊢ Submartingale (c • f) ℱ μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁷ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
F : Type u_4
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : OrderedSMul ℝ F
f : ι → Ω → F
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : Submartingale f ℱ μ

⊢ Submartingale (-(c • -f)) ℱ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hμs_ne_zero : μ s ≠ 0

⊢ ‖indicatorConstLp ⊤ hs hμs c‖ = ‖c‖
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f✝ g : CircleDeg1Lift
f : CircleDeg1Liftˣ

⊢ τ ↑f⁻¹ + τ ↑f = 0
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
hM : M.E = E

⊢ (M.restrictSubtype E)✶ = M✶.restrictSubtype E
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
this : H' = map H.subtype H''

⊢ ∃ S, S * ↑(map H.subtype H'') = ↑H ∧ Nat.card ↑S * Nat.card ↥(map H.subtype H'') = Nat.card ↥H
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S✝ T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
this : H' = map H.subtype H''
S : Set ↥H
cmem : S ∈ leftTransversals ↑H''

⊢ ∃ S, S * ↑(map H.subtype H'') = ↑H ∧ Nat.card ↑S * Nat.card ↥(map H.subtype H'') = Nat.card ↥H
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x✝ y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : G.Dart
hx : x ∈ (p.dropUntil u h).darts

⊢ x ∈ p.darts
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x✝ y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : G.Dart
hx : x ∈ (p.dropUntil u h).darts

⊢ x ∈ (p.takeUntil u h).darts ∨ x ∈ (p.dropUntil u h).darts
-- Mathlib/Data/Countable/Basic.lean
α : Sort u
β : Sort v

⊢ Uncountable α ↔ IsEmpty (α ↪ ℕ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4360, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData

⊢ S.Exact ↔ IsZero h.right.H
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.4360, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
this : S.HasHomology

⊢ S.Exact ↔ IsZero h.right.H
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
a b : ℕ+

⊢ a.gcdD b = a.gcd b
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
a b : ℕ+
left✝² : a.gcdW b * a.gcdZ b = (a.gcdX b * a.gcdY b).succPNat
h₁ : a = a.gcdA' b * a.gcdD b
h₂ : b = a.gcdB' b * a.gcdD b
left✝¹ : a.gcdZ b * a.gcdA' b = (a.gcdX b * ↑(a.gcdB' b)).succPNat
left✝ : a.gcdW b * a.gcdB' b = (a.gcdY b * ↑(a.gcdA' b)).succPNat
h₅ : ↑(a.gcdZ b) * ↑a = a.gcdX b * ↑b + ↑(a.gcdD b)
right✝ : ↑(a.gcdW b) * ↑b = a.gcdY b * ↑a + ↑(a.gcdD b)

⊢ a.gcdD b = a.gcd b
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
a b : ℕ+
left✝² : a.gcdW b * a.gcdZ b = (a.gcdX b * a.gcdY b).succPNat
h₁ : a = a.gcdA' b * a.gcdD b
h₂ : b = a.gcdB' b * a.gcdD b
left✝¹ : a.gcdZ b * a.gcdA' b = (a.gcdX b * ↑(a.gcdB' b)).succPNat
left✝ : a.gcdW b * a.gcdB' b = (a.gcdY b * ↑(a.gcdA' b)).succPNat
h₅ : ↑(a.gcdZ b) * ↑a = a.gcdX b * ↑b + ↑(a.gcdD b)
right✝ : ↑(a.gcdW b) * ↑b = a.gcdY b * ↑a + ↑(a.gcdD b)

⊢ a.gcdD b ∣ a.gcd b
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
a b : ℕ+
left✝² : a.gcdW b * a.gcdZ b = (a.gcdX b * a.gcdY b).succPNat
h₁ : a = a.gcdA' b * a.gcdD b
h₂ : b = a.gcdB' b * a.gcdD b
left✝¹ : a.gcdZ b * a.gcdA' b = (a.gcdX b * ↑(a.gcdB' b)).succPNat
left✝ : a.gcdW b * a.gcdB' b = (a.gcdY b * ↑(a.gcdA' b)).succPNat
h₅ : ↑(a.gcdZ b) * ↑a = a.gcdX b * ↑b + ↑(a.gcdD b)
right✝ : ↑(a.gcdW b) * ↑b = a.gcdY b * ↑a + ↑(a.gcdD b)

⊢ a.gcd b ∣ a.gcdD b
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

⊢ Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

⊢ Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ.addHaarScalarFactor volume • volume) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

⊢ Tendsto (fun w => μ.addHaarScalarFactor volume • ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂volume) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

⊢ Tendsto (fun w => μ.addHaarScalarFactor volume • ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂volume) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 (μ.addHaarScalarFactor volume • 0))
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

⊢ Tendsto (fun x => ∫ (v : V), 𝐞 (-x v) • f v ∂volume) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : NormedSpace.Dual ℝ V ≃ₗᵢ⋆[ℝ] V := (InnerProductSpace.toDual ℝ V).symm

⊢ Tendsto (fun x => ∫ (v : V), 𝐞 (-x v) • f v ∂volume) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : NormedSpace.Dual ℝ V ≃ₗᵢ⋆[ℝ] V := (InnerProductSpace.toDual ℝ V).symm
this : (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v) = (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) ∘ ⇑A

⊢ Tendsto (fun x => ∫ (v : V), 𝐞 (-x v) • f v ∂volume) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
A : NormedSpace.Dual ℝ V ≃ₗᵢ⋆[ℝ] V := (InnerProductSpace.toDual ℝ V).symm
this : (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v) = (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) ∘ ⇑A

⊢ Tendsto ((fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-⟪v, w⟫_ℝ) • f v) ∘ ⇑A) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b

⊢ f a * ∏ x ∈ Ioc a b, f x = ∏ x ∈ Icc a b, f x
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α

⊢ a ⊔ b = b * (a / b)⁺ᵐ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x ^ n = (b ^ (n + 1) - a ^ (n + 1)) / (↑n + 1)
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : IsAntisymm α r₂
h : ∀ (a b : α), r₁ a b → r₂ a b
a : α
ha : a ∈ minimals r₂ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r₁ b a

⊢ r₁ a b
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : IsAntisymm α r₂
h : ∀ (a b : α), r₁ a b → r₂ a b
a : α
ha : a ∈ minimals r₂ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r₁ b a
this : a = b

⊢ r₁ a b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ init n (x * y) = init n (init n x * init n y)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₁
l : List Γ

⊢ Part.map (fun c => c.Tape.right₀) (trCfg M <$> eval (TM1.step M) { l := some default, var := default, Tape := Tape.mk₁ l }) = TM1.eval M l
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝² : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₁
l : List Γ

⊢ Part.map ((fun c => c.Tape.right₀) ∘ trCfg M) (eval (TM1.step M) { l := some default, var := default, Tape := Tape.mk₁ l }) = Part.map (fun c => c.Tape.right₀) (eval (TM1.step M) (TM1.init l))
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Sigma σ → X

⊢ Inducing f ↔ (∀ (i : ι), Inducing (f ∘ Sigma.mk i)) ∧ ∀ (i : ι), ∃ U, IsOpen U ∧ ∀ (x : Sigma σ), f x ∈ U ↔ x.fst = i
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Sigma σ → X
h : Inducing f
i : ι

⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ ∀ (x : Sigma σ), f x ∈ U ↔ x.fst = i
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Sigma σ → X

⊢ ((∀ (i : ι), Inducing (f ∘ Sigma.mk i)) ∧ ∀ (i : ι), ∃ U, IsOpen U ∧ ∀ (x : Sigma σ), f x ∈ U ↔ x.fst = i) → Inducing f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.degree ≤ 0
n : ℕ

⊢ p.coeff (n + 1) = (C (p.coeff 0)).coeff (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p.degree ≤ 0
n : ℕ

⊢ p.degree < ↑(n + 1)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α

⊢ t ∈ ⨅ i ∈ dom, l i ↔ ∃ i, (i.1 ∈ dom ∧ p i.1 i.2) ∧ s i.1 i.2 ⊆ t
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α

⊢ (∃ i ∈ dom, t ∈ l i) ↔ ∃ a b, ((a, b).1 ∈ dom ∧ p (a, b).1 (a, b).2) ∧ s (a, b).1 (a, b).2 ⊆ t
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
i : ι

⊢ i ∈ dom ∧ t ∈ l i → ∃ b, ((i, b).1 ∈ dom ∧ p (i, b).1 (i, b).2) ∧ s (i, b).1 (i, b).2 ⊆ t
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
dom : Set ι
hdom : dom.Nonempty
l : ι → Filter α
s : ι → ι' → Set α
p : ι → ι' → Prop
hl : ∀ i ∈ dom, (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : DirectedOn (l ⁻¹'o GE.ge) dom
t : Set α
i : ι

⊢ (∃ b, ((i, b).1 ∈ dom ∧ p (i, b).1 (i, b).2) ∧ s (i, b).1 (i, b).2 ⊆ t) → i ∈ dom ∧ t ∈ l i
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ
h : p.coeff i = 0

⊢ coeffIntegerNormalization M p i = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : a * ↑u = 1

⊢ ↑u⁻¹ = 1 * ↑u⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : a * ↑u = 1

⊢ 1 * ↑u⁻¹ = a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/HasOuterApproxClosed.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace Ω
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : ℝ≥0
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0
fs_bdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), (fs n) ω ≤ c
fs_lim : Tendsto (fun n ω => (fs n) ω) atTop (𝓝 (E.indicator fun x => 1))

⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂μ) atTop (𝓝 (μ E))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/HasOuterApproxClosed.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace Ω
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : ℝ≥0
E : Set Ω
E_mble : MeasurableSet E
fs : ℕ → Ω →ᵇ ℝ≥0
fs_bdd : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), (fs n) ω ≤ c
fs_lim : Tendsto (fun n ω => (fs n) ω) atTop (𝓝 (E.indicator fun x => 1))
fs_lim' : ∀ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (fs n) ω) atTop (𝓝 (E.indicator (fun x => 1) ω))

⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((fs n) ω) ∂μ) atTop (𝓝 (μ E))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
a : ℝ
hane : a ≠ 0
ha : Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)

⊢ Tendsto Wallis.W atTop (𝓝 (a ^ 2 / 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
a : ℝ
hane : a ≠ 0
ha : Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)

⊢ Tendsto (fun n => stirlingSeq n ^ 4 / stirlingSeq (2 * n) ^ 2 * (↑n / (2 * ↑n + 1))) atTop (𝓝 (a ^ 2 / 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
a : ℝ
hane : a ≠ 0
ha : Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)
h : a ^ 2 / 2 = a ^ 4 / a ^ 2 * (1 / 2)

⊢ Tendsto (fun n => stirlingSeq n ^ 4 / stirlingSeq (2 * n) ^ 2 * (↑n / (2 * ↑n + 1))) atTop (𝓝 (a ^ 2 / 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
a : ℝ
hane : a ≠ 0
ha : Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)
h : a ^ 2 / 2 = a ^ 4 / a ^ 2 * (1 / 2)

⊢ Tendsto (fun n => stirlingSeq n ^ 4 / stirlingSeq (2 * n) ^ 2 * (↑n / (2 * ↑n + 1))) atTop (𝓝 (a ^ 4 / a ^ 2 * (1 / 2)))
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a b : α

⊢ ↑(Ioi a * Ici b) ⊆ ↑(Ioi (a * b))
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
n : ℤ
k p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : p ∣ n.natAbs ^ k

⊢ p ∣ n.natAbs
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : BorelSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ

⊢ Prod.instMeasurableSpace ≤ borel (α × β)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : BorelSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ

⊢ MeasurableSpace.comap Prod.fst (borel α) ≤ borel (α × β)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : BorelSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ

⊢ MeasurableSpace.comap Prod.snd (borel β) ≤ borel (α × β)
-- Mathlib/FieldTheory/NormalClosure.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)

⊢ IsNormalClosure F K ↥(normalClosure F K L)
-- Mathlib/FieldTheory/NormalClosure.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)

⊢ (∀ (x : K), Splits (algebraMap F ↥(normalClosure F K L)) (minpoly F x)) ∧ normalClosure F K ↥(normalClosure F K L) = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/NormalClosure.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)

⊢ normalClosure F K ↥(normalClosure F K L) = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/NormalClosure.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)

⊢ ⊤ ≤ ⨆ f, f.fieldRange
-- Mathlib/FieldTheory/NormalClosure.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
x : ↥(⨆ f, f.fieldRange)
x✝ : x ∈ ⊤

⊢ (⨆ f, f.fieldRange).val.toRingHom x ∈ ⇑(⨆ f, f.fieldRange).val.toRingHom '' ↑(⨆ f, f.fieldRange)
-- Mathlib/FieldTheory/NormalClosure.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
x : ↥(⨆ f, f.fieldRange)
x✝ : x ∈ ⊤

⊢ ↑x ∈ IntermediateField.map (⨆ f, f.fieldRange).val (⨆ f, f.fieldRange)
-- Mathlib/FieldTheory/NormalClosure.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
x : ↥(⨆ f, f.fieldRange)
x✝ : x ∈ ⊤

⊢ ↑x ∈ ⨆ i, IntermediateField.map (⨆ f, f.fieldRange).val i.fieldRange