ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
h3 : ∀ (g : G) {K : Compacts G}, (fun s => ↑(μ.toFun s)) (Compacts.map (fun b => g * b) ⋯ K) = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
K : Compacts G
hK : (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≠ 0
U : Opens G
hU : (↑U).Nonempty
this✝ : (interior ↑U).Nonempty
s : Finset G
hs : K.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun x => g * x) ⁻¹' ↑U
this : ↑K ⊆ ↑(⨆ g ∈ s, (Opens.comap (Homeomorph.mulLeft g).toContinuousMap) U)

⊢ ∑ d ∈ s, μ.innerContent ((Opens.comap (Homeomorph.mulLeft d).toContinuousMap) U) ≤ ↑s.card * μ.innerContent U
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a : F
ha : a ≠ 0

⊢ (quadraticChar F) a = 1 ↔ IsSquare a
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E

⊢ re ⟪x, x⟫_𝕜 = ‖x‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedCommGroup α
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ι → α
s : Set ι := {x | 1 ≤ f x}
h1 : ∀ (x : ↑s), mabs (f ↑x) = f ↑x
h2 : ∀ (x : ↑sᶜ), mabs (f ↑x) = (f ↑x)⁻¹

⊢ ((Multipliable fun x => f ↑x) ∧ Multipliable fun x => (f ↑x)⁻¹) ↔ Multipliable f
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x : FreeGroup α

⊢ (lift f) x = prod ((map f) x)
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x : FreeGroup α

⊢ (prod.comp (map f)) x = prod ((map f) x)
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x : FreeGroup α

⊢ ∀ (x : α), (prod.comp (map f)) (of x) = f x
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : AddGroupWithOne R

⊢ ↑(s ∪ t).card = ↑s.card + ↑t.card - ↑(s ∩ t).card
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : Fin n
m : M
hm : m ∈ N

⊢ (snf.bM.repr ↑⟨m, hm⟩) (snf.f i) = (snf.bN.repr (snf.a i • ⟨m, hm⟩)) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : Fin n
c : Fin n →₀ R
hm : (c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i)) ∈ N

⊢ (snf.bM.repr ↑⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm⟩) (snf.f i) = (snf.bN.repr (snf.a i • ⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm⟩)) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : Fin n
c : Fin n →₀ R
hm✝ : (c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i)) ∈ N
hm : ⟨c.sum fun i t => t • ↑(snf.bN i), hm✝⟩ = c.sum fun i t => t • ⟨↑(snf.bN i), ⋯⟩

⊢ (snf.bM.repr ↑⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm✝⟩) (snf.f i) = (snf.bN.repr (snf.a i • ⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm✝⟩)) i
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : β × γ → E
t : Set γ
ht : MeasurableSet t
hf : IntegrableOn f (univ ×ˢ t) ((κ ⊗ₖ η) a)

⊢ ∫ (z : β × γ) in univ ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ l, AEStronglyMeasurable f μ

⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => (List.map (fun f => f x) l).prod) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t✝ u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
e : α ≃ᵐ β
s : Set β
t : Set α

⊢ s = ⇑e '' t ↔ ⇑e.symm '' s = t
-- Mathlib/Topology/Instances/Rat.lean
x y : ℤ

⊢ dist ↑x ↑y = dist x y
-- Mathlib/Topology/Instances/Rat.lean
x y : ℤ

⊢ dist ↑↑x ↑↑y = dist ↑x ↑y
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
x : M
y : ↥S

⊢ (f.map hy k) (f.mk' x y) = k.mk' (g x) ⟨g ↑y, ⋯⟩
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
x : M
y : ↥S

⊢ (k.toMap.comp g) x = (k.toMap.comp g) ↑y * k.mk' (g x) ⟨g ↑y, ⋯⟩
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
x : M
y : ↥S

⊢ k.toMap (g x) = k.toMap (g ↑y) * k.mk' (g x) ⟨g ↑y, ⋯⟩
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
x : M
y : ↥S

⊢ k.toMap (g x) = k.mk' (g ↑y * g x) ⟨g ↑y, ⋯⟩
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G

⊢ H.relindex ⊥ = 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).sin = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1

⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).sin = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
v : Vector ℕ (Nat.succ 0 + 1)

⊢ Nat.rec 0 (fun y IH => v.tail.head + IH) v.head = v.head * v.tail.head
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
v : Vector ℕ (Nat.succ 0 + 1)
n✝ : ℕ
a✝ : Nat.rec 0 (fun y IH => v.tail.head + IH) n✝ = n✝ * v.tail.head

⊢ v.tail.head + n✝ * v.tail.head = n✝ * v.tail.head + v.tail.head
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x y : β

⊢ ofRat (x / y) = ofRat x / ofRat y
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationRing.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K

⊢ ValuationRing R ↔ IsTotal (Ideal R) fun x x_1 => x ≤ x_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheafification.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : sheafify J P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : toSheafify J P ≫ η = toSheafify J P ≫ γ

⊢ η = γ
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheafification.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : sheafify J P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : toSheafify J P ≫ η = toSheafify J P ≫ γ

⊢ sheafifyLift J (toSheafify J P ≫ η) hQ = γ
-- Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
g : Y → Z
f : X → Y
hg : IsLocallyConstant g
hf : Continuous f
s : Set Z

⊢ IsOpen (g ∘ f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
g : Y → Z
f : X → Y
hg : IsLocallyConstant g
hf : Continuous f
s : Set Z

⊢ IsOpen (f ⁻¹' (g ⁻¹' s))
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b✝ c b : ℕ
h : 0 < b
x : ℕ

⊢ x ∈ Icc a (b - 1) ↔ x ∈ Ico a b
-- Mathlib/Algebra/Free.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x✝ : FreeSemigroup α
x : α
y : FreeSemigroup α
hx : ((map f) (of x)).length = (of x).length
hy : ((map f) y).length = y.length

⊢ ((map f) (of x * y)).length = (of x * y).length
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : o → Matrix m n α
f : α → β
hf : f 0 = 0
i✝ : m × o
j✝ : n × o

⊢ (blockDiagonal M).map f i✝ j✝ = blockDiagonal (fun k => (M k).map f) i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : o → Matrix m n α
f : α → β
hf : f 0 = 0
i✝ : m × o
j✝ : n × o

⊢ f (if i✝.2 = j✝.2 then M i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0) = if i✝.2 = j✝.2 then f (M i✝.2 i✝.1 j✝.1) else 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
r : M

⊢ r ∉ M⁰ ↔ {s | s * r = 0 ∧ s ≠ 0}.Nonempty
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G

⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), map ϕ.toMonoidHom H = H
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G

⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), comap ϕ.symm.toMonoidHom H = H
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s : Stream' α

⊢ s.even.get n.succ = s.get (2 * n).succ.succ
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s : Stream' α

⊢ s.tail.tail.get (2 * n) = s.tail.get (2 * n + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

⊢ Integrable (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (Iio 0) volume ∧ IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (Iio 0) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

⊢ IntegrableOn ((fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) ∘ Neg.neg) (Neg.neg ⁻¹' Iio 0) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

⊢ IntegrableOn (fun x => (-x) ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => (-x) ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (volume.restrict (Ioi 0))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

⊢ ∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), ‖(-a) ^ s * rexp (-b * a ^ 2)‖ ≤ a ^ s * rexp (-b * a ^ 2)
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Set α → Filter β
f : Filter α
g h : Set α → Filter β

⊢ (f.lift fun x => g x ⊓ h x) = f.lift g ⊓ f.lift h
-- Mathlib/Topology/UnitInterval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
δ c d : α
hdc : d ≤ c

⊢ |↑(projIcc a b h c) - ↑(projIcc a b h d)| ≤ |c - d|
-- Mathlib/Topology/UnitInterval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
δ c d : α
hdc : d ≤ c

⊢ (fun a_1 => ↑a_1) (projIcc a b h c) - (fun a_1 => ↑a_1) (projIcc a b h d) ≤ c - d
-- Mathlib/Topology/UnitInterval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
δ c d : α
hdc : 0 ≤ c - d

⊢ (fun a_1 => ↑a_1) (projIcc a b h c) - (fun a_1 => ↑a_1) (projIcc a b h d) ≤ c - d
-- Mathlib/Topology/UnitInterval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
δ c d : α
hdc : 0 ≤ c - d

⊢ min b c - min b d ≤ c - d
-- Mathlib/Topology/UnitInterval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
δ c d : α
hdc : 0 ≤ c - d

⊢ |b - b| ≤ c - d
-- Mathlib/Topology/UnitInterval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c✝ d✝ : α
h : a ≤ b
δ c d : α
hdc : 0 ≤ c - d

⊢ |c - d| ≤ c - d
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀

⊢ x ∈ ↑(nonZeroDivisorsRight M₀) ↔ x ∈ {x | x ≠ 0}
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀

⊢ (∀ (y : M₀), x = 0 ∨ y = 0 → y = 0) ↔ x ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀
h : ∀ (y : M₀), x = 0 ∨ y = 0 → y = 0

⊢ x ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀ : Type u_1
inst✝² : MonoidWithZero M₀
inst✝¹ : NoZeroDivisors M₀
inst✝ : Nontrivial M₀
x : M₀
h : x = 0

⊢ ∃ y, (x = 0 ∨ y = 0) ∧ y ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
n : Type w
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
a : R
Q : QuadraticMap R (n → R) R

⊢ (a • Q).toMatrix' = a • Q.toMatrix'
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F
_x : α

⊢ 0 ≤ ‖1‖
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : One F
inst✝ : NormOneClass F

⊢ (∀ (n : ℕ), ∀ᶠ (x : α) in l, ↑n * ‖1‖ ≤ ‖f x‖) ↔ ∀ (n : ℕ), True → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ∈ Ici ↑n
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/FreeGroupoid.lean
V : Type u
inst✝² : Quiver V
V' : Type u'
inst✝¹ : Quiver V'
V'' : Type u''
inst✝ : Quiver V''
φ : V ⥤q V'
φ' : V' ⥤q V''

⊢ lift (φ ⋙q of V') ⋙ lift (φ' ⋙q of V'') = lift (φ ⋙q φ' ⋙q of V'')
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/FreeGroupoid.lean
V : Type u
inst✝² : Quiver V
V' : Type u'
inst✝¹ : Quiver V'
V'' : Type u''
inst✝ : Quiver V''
φ : V ⥤q V'
φ' : V' ⥤q V''

⊢ of V ⋙q (lift (φ ⋙q of V') ⋙ lift (φ' ⋙q of V'')).toPrefunctor = φ ⋙q φ' ⋙q of V''
-- Mathlib/Order/Category/DistLat.lean
α β : DistLat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget DistLat).obj α

⊢ ({ toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
-- Mathlib/Order/Category/DistLat.lean
α β : DistLat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget DistLat).obj β

⊢ ({ toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α

⊢ some ⁻¹' Ioc ↑a ↑b = Ioc a b
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g✝ g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
x✝ : ∃ t' g, t ⊆ t' ∧ Surjective g ∧ ∀ (x : ↑s), f ↑x = ↑(g x)
y : β
hy : y ∈ t
t' : Set β
g : ↑s → ↑t'
htt' : t ⊆ t'
hg : Surjective g
hfg : ∀ (x : ↑s), f ↑x = ↑(g x)
x : ↑s
hx : g x = ⟨y, ⋯⟩

⊢ f ↑x = y
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
A B : TopCat
x₀ : ↑(π.obj A)
x₁ : ↑(π.obj B)

⊢ { obj := fun g => { as := (g.1.as, g.2.as) }, map := fun {x y} p => match x, y, p with | (x₀, x₁), (y₀, y₁), (p₀, p₁) => Path.Homotopic.prod p₀ p₁ }.map (𝟙 (x₀, x₁)) = 𝟙 ({ obj := fun g => { as := (g.1.as, g.2.as) }, map := fun {x y} p => match x, y, p with | (x₀, x₁), (y₀, y₁), (p₀, p₁) => Path.Homotopic.prod p₀ p₁ }.obj (x₀, x₁))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
A B : TopCat
x₀ : ↑(π.obj A)
x₁ : ↑(π.obj B)

⊢ Path.Homotopic.prod (𝟙 x₀) (𝟙 x₁) = 𝟙 { as := (x₀.as, x₁.as) }
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a✝ b c d m✝ n✝ : ℤ
m n : ℕ
a : ℤ
h : ↑n = ↑m * a

⊢ m ∣ n
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a✝ b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ
a : ℤ
h : ↑n = ↑0 * a

⊢ 0 ∣ n
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a✝ b c d m✝ n✝ : ℤ
m n : ℕ
a : ℤ
h : ↑n = ↑m * a
hm : m > 0

⊢ m ∣ n
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a✝ b c d m✝ n✝ : ℤ
m n : ℕ
a : ℤ
h : ↑n = ↑m * a
hm : m > 0
ha : 0 ≤ a

⊢ m ∣ n
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a✝ b c d m✝ n : ℤ
m a : ℕ

⊢ ↑m ∣ ↑(m * a)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]

⊢ p.support.card ≤ p.natDegree + 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]

⊢ p.support.card ≤ (range (p.natDegree + 1)).card
-- Mathlib/Topology/Compactification/OnePoint.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : OnePoint X → Y
x : X

⊢ ContinuousAt f ↑x ↔ ContinuousAt (f ∘ some) x
-- Mathlib/Topology/Compactification/OnePoint.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : OnePoint X → Y
x : X

⊢ Tendsto (f ∘ some) (𝓝 x) (𝓝 (f ↑x)) ↔ Tendsto (f ∘ some) (𝓝 x) (𝓝 ((f ∘ some) x))
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
motive : (m : ℕ) → n ≤ m → Sort u_1
refl : motive n ⋯
le_succ_of_le : ⦃k : ℕ⦄ → (h : n ≤ k) → motive k h → motive (k + 1) ⋯

⊢ leRec refl le_succ_of_le ⋯ = refl
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0

⊢ a / b ≤ a / c ↔ c ≤ b
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
i : ι

⊢ (mk s 0) i = 0 i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
i : ι

⊢ (if H : i ∈ s then 0 ⟨i, H⟩ else 0) = 0 i
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
g : γ → δ
f' : β' → α → δ
g' : β → β'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' b) a

⊢ g '' image2 f ↑s ↑t = image2 f' (g' '' ↑t) ↑s
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
h : e.source = univ
h' : e.target = univ
x : X

⊢ x ∈ univ
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
h : e.source = univ
h' : e.target = univ
x : Y

⊢ x ∈ univ
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
h : e.source = univ
h' : e.target = univ

⊢ Continuous { toFun := ↑e, invFun := ↑e.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
h : e.source = univ
h' : e.target = univ

⊢ Continuous { toFun := ↑e, invFun := ↑e.symm, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.invFun
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α

⊢ 1 ∈ s / t ↔ ¬Disjoint s t