ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/Hall/Finite.lean
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x

⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
-- Mathlib/Combinatorics/Hall/Finite.lean
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t

⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
-- Mathlib/Combinatorics/Hall/Finite.lean
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n

⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
-- Mathlib/Combinatorics/Hall/Finite.lean
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x

⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
-- Mathlib/Combinatorics/Hall/Finite.lean
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t

⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
-- Mathlib/Combinatorics/Hall/Finite.lean
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
ih : ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α), Fintype.card ι' ≤ n → (∀ (s' : Finset ι'), s'.card ≤ (s'.biUnion t').card) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : s.card = (s.biUnion t).card
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t

⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : AddGroupWithOne R
h : s ⊆ t

⊢ ↑(t \ s).card = ↑t.card - ↑s.card
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Currying.lean
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F : C ⥤ D ⥤ E
X✝ Y✝ Z✝ : C × D
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ { obj := fun X => (F.obj X.1).obj X.2, map := fun {X Y} f => (F.map f.1).app X.2 ≫ (F.obj Y.1).map f.2 }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => (F.obj X.1).obj X.2, map := fun {X Y} f => (F.map f.1).app X.2 ≫ (F.obj Y.1).map f.2 }.map f ≫ { obj := fun X => (F.obj X.1).obj X.2, map := fun {X Y} f => (F.map f.1).app X.2 ≫ (F.obj Y.1).map f.2 }.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Currying.lean
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F : C ⥤ D ⥤ E
X✝ Y✝ Z✝ : C × D
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ (F.map f.1).app X✝.2 ≫ (F.map g.1).app X✝.2 ≫ (F.obj Z✝.1).map f.2 ≫ (F.obj Z✝.1).map g.2 = (F.map f.1).app X✝.2 ≫ (F.obj Y✝.1).map f.2 ≫ (F.map g.1).app Y✝.2 ≫ (F.obj Z✝.1).map g.2
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Currying.lean
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F : C ⥤ D ⥤ E
X✝ Y✝ Z✝ : C × D
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ (F.map f.1).app X✝.2 ≫ ((F.obj Y✝.1).map f.2 ≫ (F.map g.1).app Y✝.2) ≫ (F.obj Z✝.1).map g.2 = (F.map f.1).app X✝.2 ≫ (F.obj Y✝.1).map f.2 ≫ (F.map g.1).app Y✝.2 ≫ (F.obj Z✝.1).map g.2
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Currying.lean
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
X✝ Y✝ : C ⥤ D ⥤ E
T : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C × D
f : X ⟶ Y

⊢ ((fun F => { obj := fun X => (F.obj X.1).obj X.2, map := fun {X Y} f => (F.map f.1).app X.2 ≫ (F.obj Y.1).map f.2, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }) X✝).map f ≫ (fun X => (T.app X.1).app X.2) Y = (fun X => (T.app X.1).app X.2) X ≫ ((fun F => { obj := fun X => (F.obj X.1).obj X.2, map := fun {X Y} f => (F.map f.1).app X.2 ≫ (F.obj Y.1).map f.2, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }) Y✝).map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Currying.lean
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
X✝ Y✝ : C ⥤ D ⥤ E
T : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C × D
f : X ⟶ Y

⊢ (X✝.map f.1).app X.2 ≫ (X✝.obj Y.1).map f.2 ≫ (T.app Y.1).app Y.2 = (T.app X.1).app X.2 ≫ (Y✝.map f.1).app X.2 ≫ (Y✝.obj Y.1).map f.2
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Currying.lean
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
X✝ Y✝ : C ⥤ D ⥤ E
T : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C × D
f : X ⟶ Y

⊢ (X✝.map f.1).app X.2 ≫ (T.app Y.1).app X.2 ≫ (Y✝.obj Y.1).map f.2 = (T.app X.1).app X.2 ≫ (Y✝.map f.1).app X.2 ≫ (Y✝.obj Y.1).map f.2
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Currying.lean
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
X✝ Y✝ : C ⥤ D ⥤ E
T : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C × D
f : X ⟶ Y

⊢ ((T.app X.1).app X.2 ≫ (Y✝.map f.1).app X.2) ≫ (Y✝.obj Y.1).map f.2 = (T.app X.1).app X.2 ≫ (Y✝.map f.1).app X.2 ≫ (Y✝.obj Y.1).map f.2
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Uniform.lean
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕

⊢ Isometry ⇑f ↔ ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Uniform.lean
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : MonoidHomClass 𝓕 E F
f : 𝓕

⊢ (∀ (x y : E), ‖f (x / y)‖ = ‖x / y‖) ↔ ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Order/OrderIsoNat.lean
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
a : ℕ →o α
n m : ℕ
h : n ≤ m

⊢ ¬a n < a m ↔ a n = a m
-- Mathlib/Order/OrderIsoNat.lean
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
a : ℕ →o α
n m : ℕ
h : n ≤ m

⊢ ¬(a n ≤ a m ∧ a n ≠ a m) ↔ a n = a m
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ : S₁ ⟶ S₂
φ₂ : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
h₃ : S₃.RightHomologyData
γ₁ : RightHomologyMapData φ₁ h₁ h₂ := rightHomologyMapData φ₁ h₁ h₂
γ₂ : RightHomologyMapData φ₂ h₂ h₃ := rightHomologyMapData φ₂ h₂ h₃

⊢ rightHomologyMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = rightHomologyMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ rightHomologyMap' φ₂ h₂ h₃
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

⊢ toIocMod hp a (b - m • p) = toIocMod hp a b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Metric.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V

⊢ G.dist u v = 0 ↔ u = v ∨ ¬G.Reachable u v
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Finite α
f : α → β

⊢ Bijective f ↔ Surjective f ∧ Nat.card α = Nat.card β
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
m n : ℕ
f : Fin (m * n) → α
i : Fin n
j : Fin m

⊢ m * ↑i + m = m * (↑i + 1)
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
m n : ℕ
f : Fin (m * n) → α

⊢ ofFn f = (ofFn fun i => ofFn fun j => f ⟨m * ↑i + ↑j, ⋯⟩).join
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.22527, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c.symm
i j : ι
hij : ¬c.Rel i j

⊢ (X.d j i).unop = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.22527, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c.symm
x✝⁴ x✝³ x✝² : ι
x✝¹ : c.Rel x✝⁴ x✝³
x✝ : c.Rel x✝³ x✝²

⊢ (fun i j => (X.d j i).unop) x✝⁴ x✝³ ≫ (fun i j => (X.d j i).unop) x✝³ x✝² = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}
H : IsNormal f
o : Ordinal.{u}
h : o.IsLimit

⊢ (o.blsub fun x x_1 => f x) = f o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}
H : IsNormal f
o : Ordinal.{u}
h : o.IsLimit

⊢ ∀ a < o, f a < f (succ a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Quotient.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
r : HomRel C
A : Type w
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : HasShift C A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : r.IsCompatibleWithShift A
inst✝ : F.CommShift A
hF : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
a : A
X : C

⊢ (natTransLift r (((functor r).associator (shiftFunctor (Quotient r) a) (lift r F hF)).symm ≪≫ isoWhiskerRight ((functor r).commShiftIso a).symm (lift r F hF) ≪≫ (shiftFunctor C a).associator (functor r) (lift r F hF) ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a) (lift.isLift r F hF) ≪≫ F.commShiftIso a ≪≫ isoWhiskerRight (lift.isLift r F hF).symm (shiftFunctor D a) ≪≫ (functor r).associator (lift r F hF) (shiftFunctor D a)).hom).app ((functor r).obj X) = (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).hom.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Quotient.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
r : HomRel C
A : Type w
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : HasShift C A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : r.IsCompatibleWithShift A
inst✝ : F.CommShift A
hF : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
a : A
X : C

⊢ (((functor r).associator (shiftFunctor (Quotient r) a) (lift r F hF)).symm ≪≫ isoWhiskerRight ((functor r).commShiftIso a).symm (lift r F hF) ≪≫ (shiftFunctor C a).associator (functor r) (lift r F hF) ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C a) (lift.isLift r F hF) ≪≫ F.commShiftIso a ≪≫ isoWhiskerRight (lift.isLift r F hF).symm (shiftFunctor D a) ≪≫ (functor r).associator (lift r F hF) (shiftFunctor D a)).hom.app X = (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).hom.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Quotient.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
r : HomRel C
A : Type w
inst✝⁴ : AddMonoid A
inst✝³ : HasShift C A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : r.IsCompatibleWithShift A
inst✝ : F.CommShift A
hF : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F.map f₁ = F.map f₂
a : A
X : C

⊢ 𝟙 ((lift r F hF).obj ((shiftFunctor (Quotient r) a).obj ((functor r).obj X))) ≫ (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).inv.app X) ≫ 𝟙 ((lift r F hF).obj ((functor r).obj ((shiftFunctor C a).obj X))) ≫ 𝟙 (F.obj ((shiftFunctor C a).obj X)) ≫ (F.commShiftIso a).hom.app X ≫ (shiftFunctor D a).map (𝟙 (F.obj X)) ≫ 𝟙 ((shiftFunctor D a).obj ((lift r F hF).obj ((functor r).obj X))) = (lift r F hF).map (((functor r).commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso a).hom.app X
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype α
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
v : α → M
x : M

⊢ x ∈ span R (Set.range v) ↔ ∃ c, ∑ i : α, c i • v i = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype α
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
v : α → M
x : M

⊢ x ∈ span R (Set.range v) ↔ ∃ x_1, ∑ i : α, Finsupp.equivFunOnFinite x_1 i • v i = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁶ : Fintype α
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_4
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
v : α → M
x : M

⊢ (∃ c, (c.sum fun i a => a • v i) = x) ↔ ∃ x_1, ∑ x : α, x_1 x • v x = x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Linearity.lean
f : ℕ → ℂ
c s : ℂ

⊢ LSeries (c • f) s = c * LSeries f s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
f : E →ᵃ[𝕜] F
a b : E
x : F

⊢ x ∈ ⇑f '' openSegment 𝕜 a b ↔ x ∈ openSegment 𝕜 (f a) (f b)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α

⊢ m.IsCaratheodory ∅
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝[>] a)

⊢ Tendsto (fun i => max a (f i)) l (𝓝[>] a)
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
l : Filter β
a : α
h : Tendsto f l (𝓝[>] a)
h₁ : Tendsto f l (𝓝 a)
h₂ : ∀ᶠ (i : β) in l, f i ∈ Ioi a

⊢ Tendsto (fun i => max a (f i)) l (𝓝[>] a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/RestrictScalars.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
f' : E →L[𝕜'] F
s : Set E
x : E
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x

⊢ DifferentiableAt 𝕜' f x ↔ ∃ g', restrictScalars 𝕜 g' = fderiv 𝕜 f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/RestrictScalars.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
f : E → F
f' : E →L[𝕜'] F
s : Set E
x : E
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜' f univ x ↔ ∃ g', restrictScalars 𝕜 g' = fderivWithin 𝕜 f univ x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
x✝ : Cᵒᵖ

⊢ (J.plusMap (η ≫ γ)).app x✝ = (J.plusMap η ≫ J.plusMap γ).app x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
x✝ : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop x✝))ᵒᵖ

⊢ colimit.ι (J.diagram P (unop x✝)) S ≫ (J.plusMap (η ≫ γ)).app x✝ = colimit.ι (J.diagram P (unop x✝)) S ≫ (J.plusMap η ≫ J.plusMap γ).app x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/Flag.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin n

⊢ b.flag k.succ = span R {b k} ⊔ b.flag k.castSucc
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/Flag.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin n

⊢ span R (⇑b '' {i | i.castSucc < k.succ}) = span R {b k} ⊔ span R (⇑b '' {i | i < k})
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
hI : I ⊆ E
hX : X ⊆ E

⊢ (uniqueBaseOn I E).Basis J X ↔ J = X ∩ I
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
hI : I ⊆ E
hX : X ⊆ E

⊢ J ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I_1 | (uniqueBaseOn I E).Indep I_1 ∧ I_1 ⊆ X} ↔ J = X ∩ I
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyBijective.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
inst✝¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝ : J.WEqualsLocallyBijective A
P Q : Cᵒᵖ ⥤ A
φ : P ⟶ Q

⊢ Sheaf.IsLocallySurjective ((presheafToSheaf J A).map φ) ↔ IsLocallySurjective J φ
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Teichmuller.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x y : MvPolynomial R ℤ

⊢ teichmullerFun p (x * y) = teichmullerFun p x * teichmullerFun p y
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Teichmuller.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x y : MvPolynomial R ℤ

⊢ (map (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ))) (teichmullerFun p (x * y)) = (map (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ))) (teichmullerFun p x * teichmullerFun p y)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Surjective ⇑f
x : R
h : x ∈ Module.annihilator R M

⊢ x ∈ Module.annihilator R M'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Surjective ⇑f
x : R
h : ∀ (m : M), x • m = 0

⊢ ∀ (m : M'), x • m = 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Surjective ⇑f
x : R
h : ∀ (m : M), x • m = 0
m : M

⊢ x • f m = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ μ.restrict s + μ.restrict sᶜ = μ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E

⊢ ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖I • y‖ * ‖I • y‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E

⊢ ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ + ‖I • y‖ * ‖I • y‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)

⊢ ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ + ‖I • y‖ * ‖I • y‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : LinearOrder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : R →* M
x y : R

⊢ f (x - y) = f (y - x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : CokernelCofork f

⊢ s.ι.app zero = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f₀ f₁ : α → β
g : α → ℝ
hf₁_m : AEStronglyMeasurable f₁ μ
hf₀_i : Integrable f₀ μ
hg_i : Integrable g μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f₀ a - f₁ a‖ ≤ g a

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f₁ a‖ ≤ ‖f₀ a‖ + g a