ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
s : Set E
h : r ≠ 0

⊢ μ (r • s) = ENNReal.ofReal |r ^ finrank ℝ E| * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E

⊢ μ (0 • s) = ENNReal.ofReal |0 ^ finrank ℝ E| * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F

⊢ μ (0 • ∅) = ENNReal.ofReal |0 ^ finrank ℝ E| * μ ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : s.Nonempty

⊢ μ (0 • s) = ENNReal.ofReal |0 ^ finrank ℝ E| * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
hs : s.Nonempty

⊢ μ {0} = ENNReal.ofReal |0 ^ finrank ℝ E| * μ s
-- Mathlib/Topology/Order/Hom/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : Preorder δ
g : β →Co γ
f₁ f₂ : α →Co β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α

⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S

⊢ p.smeval x = p.sum (smul_pow x)
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M

⊢ ↑((closure L).toFun s) = range (Term.realize Subtype.val)
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
S : L.Substructure M := { carrier := range (Term.realize Subtype.val), fun_mem := ⋯ }

⊢ ↑((closure L).toFun s) = range (Term.realize Subtype.val)
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
S : L.Substructure M := { carrier := range (Term.realize Subtype.val), fun_mem := ⋯ }

⊢ ↑((closure L).toFun s) = ↑S
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
S : L.Substructure M := { carrier := range (Term.realize Subtype.val), fun_mem := ⋯ }

⊢ (closure L).toFun s = S
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
S : L.Substructure M := { carrier := range (Term.realize Subtype.val), fun_mem := ⋯ }
S' : L.Substructure M
hS' : S' ∈ {S | s ⊆ ↑S}

⊢ S ≤ S'
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
S : L.Substructure M := { carrier := range (Term.realize Subtype.val), fun_mem := ⋯ }
S' : L.Substructure M
hS' : S' ∈ {S | s ⊆ ↑S}
t : L.Term { x // x ∈ s }

⊢ Term.realize Subtype.val t ∈ S'
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NeZero.lean
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
inst✝³ : MulZeroOneClass M₀
inst✝² : Nontrivial M₀
inst✝¹ : Zero M₀'
inst✝ : One M₀'
f : M₀' → M₀
zero : f 0 = 0
one : f 1 = 1

⊢ ¬0 = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Trails.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
x u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj

⊢ Even (G.degree x) ↔ u ≠ v → x ≠ u ∧ x ≠ v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Trails.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
x u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj

⊢ G.degree x = List.countP (fun e => decide (x ∈ e)) p.edges
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Trails.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
x u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj

⊢ (G.incidenceFinset x).card = Multiset.card (Multiset.filter (Membership.mem x) ↑p.edges)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Trails.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
x u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj

⊢ (G.incidenceFinset x).val = Multiset.filter (Membership.mem x) ↑p.edges
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Trails.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
x u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj

⊢ (G.incidenceFinset x).val = (Finset.filter (Membership.mem x) ⋯.edgesFinset).val
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Trails.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
x u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
this : Fintype ↑G.edgeSet

⊢ (G.incidenceFinset x).val = (Finset.filter (Membership.mem x) ⋯.edgesFinset).val
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R θ : ℝ

⊢ circleMap c R (θ + 2 * π) = circleMap c R θ
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Filtered.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
α : Type w
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasFilteredColimitsOfSize.{w, w, v, u} C
F : Discrete α ⥤ C
s : Cocone F
m : { pt := colimit (liftToFinset F), ι := Discrete.natTrans fun j => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨j, ⋯⟩ ≫ colimit.ι (liftToFinset F) {j} }.pt ⟶ s.pt
h : ∀ (j : Discrete α), { pt := colimit (liftToFinset F), ι := Discrete.natTrans fun j => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨j, ⋯⟩ ≫ colimit.ι (liftToFinset F) {j} }.ι.app j ≫ m = s.ι.app j

⊢ m = (fun s => colimit.desc (liftToFinset F) { pt := s.pt, ι := { app := fun t => Sigma.desc fun x => s.ι.app ↑x, naturality := ⋯ } }) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Filtered.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
α : Type w
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasFilteredColimitsOfSize.{w, w, v, u} C
F : Discrete α ⥤ C
s : Cocone F
m : { pt := colimit (liftToFinset F), ι := Discrete.natTrans fun j => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨j, ⋯⟩ ≫ colimit.ι (liftToFinset F) {j} }.pt ⟶ s.pt
h : ∀ (j : Discrete α), { pt := colimit (liftToFinset F), ι := Discrete.natTrans fun j => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨j, ⋯⟩ ≫ colimit.ι (liftToFinset F) {j} }.ι.app j ≫ m = s.ι.app j

⊢ ∀ (j : Finset (Discrete α)), colimit.ι (liftToFinset F) j ≫ m = colimit.ι (liftToFinset F) j ≫ (fun s => colimit.desc (liftToFinset F) { pt := s.pt, ι := { app := fun t => Sigma.desc fun x => s.ι.app ↑x, naturality := ⋯ } }) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Filtered.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
α : Type w
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasFilteredColimitsOfSize.{w, w, v, u} C
F : Discrete α ⥤ C
s : Cocone F
m : { pt := colimit (liftToFinset F), ι := Discrete.natTrans fun j => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨j, ⋯⟩ ≫ colimit.ι (liftToFinset F) {j} }.pt ⟶ s.pt
h : ∀ (j : Discrete α), { pt := colimit (liftToFinset F), ι := Discrete.natTrans fun j => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨j, ⋯⟩ ≫ colimit.ι (liftToFinset F) {j} }.ι.app j ≫ m = s.ι.app j
t : Finset (Discrete α)

⊢ colimit.ι { obj := fun s => ∐ fun x => F.obj ↑x, map := fun {x Y} h => Sigma.desc fun y => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨↑y, ⋯⟩, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } t ≫ m = colimit.ι { obj := fun s => ∐ fun x => F.obj ↑x, map := fun {x Y} h => Sigma.desc fun y => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨↑y, ⋯⟩, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } t ≫ colimit.desc { obj := fun s => ∐ fun x => F.obj ↑x, map := fun {x Y} h => Sigma.desc fun y => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨↑y, ⋯⟩, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } { pt := s.pt, ι := { app := fun t => Sigma.desc fun x => s.ι.app ↑x, naturality := ⋯ } }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Filtered.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
α : Type w
inst✝¹ : HasFiniteCoproducts C
inst✝ : HasFilteredColimitsOfSize.{w, w, v, u} C
F : Discrete α ⥤ C
s : Cocone F
m : { pt := colimit (liftToFinset F), ι := Discrete.natTrans fun j => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨j, ⋯⟩ ≫ colimit.ι (liftToFinset F) {j} }.pt ⟶ s.pt
h : ∀ (j : Discrete α), { pt := colimit (liftToFinset F), ι := Discrete.natTrans fun j => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨j, ⋯⟩ ≫ colimit.ι (liftToFinset F) {j} }.ι.app j ≫ m = s.ι.app j
t : Finset (Discrete α)

⊢ ∀ (j : Discrete { x // x ∈ t }), colimit.ι (Discrete.functor fun x => F.obj ↑x) j ≫ colimit.ι { obj := fun s => ∐ fun x => F.obj ↑x, map := fun {x Y} h => Sigma.desc fun y => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨↑y, ⋯⟩, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } t ≫ m = colimit.ι (Discrete.functor fun x => F.obj ↑x) j ≫ colimit.ι { obj := fun s => ∐ fun x => F.obj ↑x, map := fun {x Y} h => Sigma.desc fun y => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨↑y, ⋯⟩, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } t ≫ colimit.desc { obj := fun s => ∐ fun x => F.obj ↑x, map := fun {x Y} h => Sigma.desc fun y => Sigma.ι (fun x => F.obj ↑x) ⟨↑y, ⋯⟩, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } { pt := s.pt, ι := { app := fun t => Sigma.desc fun x => s.ι.app ↑x, naturality := ⋯ } }
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
rι : ι → ι → Prop
rπ : (i : ι) → π i → π i → Prop
f : γ → ι
g : (i : ι) → γ → π i
s : Set γ
hι : s.WellFoundedOn (rι on f)
hπ : ∀ (i : ι), (s ∩ f ⁻¹' {i}).WellFoundedOn (rπ i on g i)

⊢ WellFounded (Sigma.Lex rι rπ on fun c => ⟨f ↑c, g (f ↑c) ↑c⟩)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R

⊢ (coeff R 0) ((C R) a) = a
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p₁ q₁ p₂ q₂ : F[X]
hq₁ : q₁ ≠ 0
hq₂ : q₂ ≠ 0
h₁ : Splits (algebraMap F q₁.SplittingField) p₁
h₂ : Splits (algebraMap F q₂.SplittingField) p₂

⊢ Splits (algebraMap F (q₁ * q₂).SplittingField) (p₁ * p₂)
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p₁ q₁ p₂ q₂ : F[X]
hq₁ : q₁ ≠ 0
hq₂ : q₂ ≠ 0
h₁ : Splits (algebraMap F q₁.SplittingField) p₁
h₂ : Splits (algebraMap F q₂.SplittingField) p₂

⊢ Splits (algebraMap F (q₁ * q₂).SplittingField) p₁
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p₁ q₁ p₂ q₂ : F[X]
hq₁ : q₁ ≠ 0
hq₂ : q₂ ≠ 0
h₁ : Splits (algebraMap F q₁.SplittingField) p₁
h₂ : Splits (algebraMap F q₂.SplittingField) p₂

⊢ Splits (algebraMap F (q₁ * q₂).SplittingField) p₂
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x y L : R

⊢ span {(mk W) (C (X - C x)), (mk W) (Y - C (C y))} = span {(mk W) (C (X - C x)), (mk W) (Y - C (C L * (X - C x) + C y))}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x y L : R

⊢ span {(mk W) (C (X - C x)), (mk W) (Y - C (C y) + C (X - C x) * C (C (-L)))} = span {(mk W) (C (X - C x)), (mk W) (Y - C (C L * (X - C x) + C y))}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x y L : R

⊢ Y - C (C y) + C (X - C x) * C (C (-L)) = Y - C (C L * (X - C x) + C y)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
x y L : R

⊢ Y - C (C y) + (C X - C (C x)) * -C (C L) = Y - (C (C L) * (C X - C (C x)) + C (C y))
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
motive : (m : ℕ) → m ≤ n → Sort u_1
of_succ : (k : ℕ) → (h : k < n) → motive (k + 1) h → motive k ⋯
self : motive n ⋯

⊢ leRec (motive := fun {n_1} mn => {motive : (m : ℕ) → m ≤ n_1 → Sort u_1} → ((k : ℕ) → (h : k < n_1) → motive (k + 1) h → motive k ⋯) → motive n_1 ⋯ → motive n mn) (fun {motive} of_succ self => self) (fun ⦃k⦄ h ih {motive} of_succ self => ih (fun i hi => of_succ i ⋯) (of_succ k ⋯ self)) ⋯ of_succ self = self
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L ↥↑N

⊢ map N.incl N' < N ↔ N' < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L ↥↑N

⊢ N = (mapOrderEmbedding ⋯) ⊤
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/PartENat.lean
α : Type u
c : Cardinal.{u_1}
c' : ℕ

⊢ toPartENat c ≤ toPartENat ↑c' ↔ c ≤ ↑c'
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIcoDiv hp a (b + p) = toIcoDiv hp a b + 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
f : R[X]
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : AddMonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
p : R[X]
k : ℕ
fu : ℕ → ℕ
fu0 : ∀ {n : ℕ}, n ≤ k → fu n = 0
fc : ∀ {n m : ℕ}, k ≤ n → n < m → fu n < fu m
φ_k : ∀ {f : R[X]}, f.natDegree < k → φ f = 0
φ_mon_nat : ∀ (n : ℕ) (c : R), c ≠ 0 → (φ ((monomial n) c)).natDegree = fu n

⊢ (φ p).natDegree = fu p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
f : R[X]
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : AddMonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
p : R[X]
k : ℕ
fu : ℕ → ℕ
fu0 : ∀ {n : ℕ}, n ≤ k → fu n = 0
fc : ∀ {n m : ℕ}, k ≤ n → n < m → fu n < fu m
φ_k : ∀ {f : R[X]}, f.natDegree < k → φ f = 0
φ_mon_nat : ∀ (n : ℕ) (c : R), c ≠ 0 → (φ ((monomial n) c)).natDegree = fu n

⊢ ∀ (n : ℕ) (r : R), r ≠ 0 → n ≤ p.natDegree → (fun p => (φ p).natDegree = fu p.natDegree) (C r * X ^ n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
f : R[X]
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : AddMonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
p : R[X]
k : ℕ
fu : ℕ → ℕ
fu0 : ∀ {n : ℕ}, n ≤ k → fu n = 0
fc : ∀ {n m : ℕ}, k ≤ n → n < m → fu n < fu m
φ_k : ∀ {f : R[X]}, f.natDegree < k → φ f = 0
φ_mon_nat : ∀ (n : ℕ) (c : R), c ≠ 0 → (φ ((monomial n) c)).natDegree = fu n

⊢ ∀ (f g : R[X]), f.natDegree < g.natDegree → g.natDegree ≤ p.natDegree → (fun p => (φ p).natDegree = fu p.natDegree) f → (fun p => (φ p).natDegree = fu p.natDegree) g → (fun p => (φ p).natDegree = fu p.natDegree) (f + g)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hg : S.g = 0
inst✝ : S.HasHomology

⊢ IsIso S.homologyι
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hg : S.g = 0
inst✝ : S.HasHomology
this : IsIso S.rightHomologyι

⊢ IsIso S.homologyι
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasCoproduct fun x => G

⊢ IsSeparator G ↔ ∀ (A : C), Epi (Sigma.desc fun f => f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasCoproduct fun x => G

⊢ (∀ ⦃X Y : C⦄ (f g : X ⟶ Y), (∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g) → f = g) ↔ ∀ (A : C), Epi (Sigma.desc fun f => f)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ r • closedBall 0 1 = closedBall 0 r
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup 𝕜
inst✝¹ : SMulZeroClass 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
c : 𝕜
f : α → β
hfi : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤

⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖(c • f) a‖₊ ∂μ < ⊤
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α

⊢ ({a} ∩ s).Nonempty ↔ a ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
k : R
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q

⊢ ((k • z₁).comp z₂ h).v p q hpq = (k • z₁.comp z₂ h).v p q hpq
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
F : Type u_5
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RelHomClass F r s
f : F
b : β
a : α
H : ∀ (y : β), s y (f a) → Acc s y
IH : ∀ (y : β), s y (f a) → ∀ (a : α), f a = y → Acc r a

⊢ Acc r a
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f g : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hg : Submartingale g ℱ μ

⊢ Submartingale (f ⊔ g) ℱ μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f g : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hg : Submartingale g ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j

⊢ (f ⊔ g) i ≤ᶠ[ae μ] μ[(f ⊔ g) j|↑ℱ i]
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f g : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hg : Submartingale g ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j

⊢ f i ≤ᶠ[ae μ] μ[(f ⊔ g) j|↑ℱ i]
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
f g : ι → Ω → ℝ
hf : Submartingale f ℱ μ
hg : Submartingale g ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j

⊢ g i ≤ᶠ[ae μ] μ[(f ⊔ g) j|↑ℱ i]
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K

⊢ x + y = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * y.denom + x.denom * y.num) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.denom * y.denom)
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K

⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom + (algebraMap K[X] (RatFunc K)) y.num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) y.denom = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * y.denom + x.denom * y.num) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.denom * y.denom)
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K

⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K

⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) y.denom ≠ 0
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β

⊢ f ⁻¹' s = univ ↔ range f ⊆ s
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m : ℕ

⊢ (range' n (m - n)).length = m - n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M✝ : Matrix n n R
i j : n
e : n ≃ m
M : Matrix n n R

⊢ ((reindex e e) M).charmatrix.det = M.charmatrix.det
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Unique I

⊢ OrthogonalIdempotents e ↔ IsIdempotentElem (e default)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b c a : α

⊢ Icc a a = {a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r

⊢ μ (ball x r) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1)
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : Module.End R M

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ⨅ m, range (f ^ m) = range (f ^ n)
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : Module.End R M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ⨅ m, range (f ^ m) = range (f ^ n)
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : Module.End R M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)
l : ℕ
hl : l ≥ n
m : ℕ

⊢ range (f ^ l) ≤ range (f ^ m)
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : Module.End R M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)
l : ℕ
hl : l ≥ n
m : ℕ
h : l ≤ m

⊢ range (f ^ l) ≤ range (f ^ m)
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : Module.End R M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → range (f ^ n) = range (f ^ m)
l : ℕ
hl : l ≥ n
m : ℕ
h : m < l

⊢ range (f ^ l) ≤ range (f ^ m)
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω

⊢ evariance (fun ω => c * X ω) μ = ENNReal.ofReal (c ^ 2) * evariance X μ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω

⊢ ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂μ = ∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (c ^ 2) * ↑‖X a - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 ∂μ