ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : ∀ x ∈ f.support ∩ g.support, f x = g x
hx : f x = g x
hx' : x ∈ f.support
hx'' : x ∈ g.support

⊢ f = g
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : ∀ x ∈ f.support ∩ g.support, f x = g x
hx : f x = g x
hx' : x ∈ f.support
hx'' : x ∈ g.support
this : f.support ⊆ g.support

⊢ f = g
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : ∀ x ∈ f.support, f x = g x
hx : f x = g x
hx' : x ∈ f.support
hx'' : x ∈ g.support
this : f.support ⊆ g.support

⊢ f = g
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ⇔ b ⇔ c = a ⇔ c ⇔ b
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Defs.lean
α : Type u
inst✝³ : Monoid α
a b : α
inst✝² : Invertible a
inst✝¹ : Invertible b
inst✝ : Invertible (a * b)

⊢ a * b * (⅟b * ⅟a) = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
h : ∀ (x : E), Module.rank F ↥F⟮x⟯ = 1
y : E

⊢ y ∈ ⊥ ↔ y ∈ ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
h : ∀ (x : E), Module.rank F ↥F⟮x⟯ = 1
y : E

⊢ y ∈ ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
s t : Set G

⊢ mk '' s = mk '' t ↔ ↑N * s = ↑N * t
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
s t : Set G

⊢ mk '' s = mk '' t ↔ mk ⁻¹' (mk '' s) = mk ⁻¹' (mk '' t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β

⊢ ConvexOn 𝕜 s f ↔ Convex 𝕜 s ∧ s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β

⊢ (Convex 𝕜 s ∧ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y) ↔ Convex 𝕜 s ∧ s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hy : x ∈ s

⊢ f (a • x + b • x) ≤ a • f x + b • f x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : s.Pairwise fun x y => ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hxy : x ≠ y

⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
f : R
inst✝ : IsLocalization.Away f S

⊢ IsOpenImmersion (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R S)))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
f : R
inst✝ : IsLocalization.Away f S
e : (↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm).comp (algebraMap R (Localization.Away f)) = algebraMap R S

⊢ IsOpenImmersion (Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R S)))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
f : R
inst✝ : IsLocalization.Away f S
e : (↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm).comp (algebraMap R (Localization.Away f)) = algebraMap R S

⊢ IsOpenImmersion (Spec.map (CommRingCat.ofHom (CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away f)) ≫ CommRingCat.ofHom ↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm)))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
f : R
inst✝ : IsLocalization.Away f S
e : (↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm).comp (algebraMap R (Localization.Away f)) = algebraMap R S

⊢ IsOpenImmersion (Spec.map (CommRingCat.ofHom ↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm) ≫ Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away f))))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
f : R
inst✝ : IsLocalization.Away f S
e : (↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm).comp (algebraMap R (Localization.Away f)) = algebraMap R S
H : IsIso (CommRingCat.ofHom (↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm).toRingHom)

⊢ IsOpenImmersion (Spec.map (CommRingCat.ofHom ↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm) ≫ Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away f))))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
f : R
inst✝ : IsLocalization.Away f S
e : (↑↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm).comp (algebraMap R (Localization.Away f)) = algebraMap R S
H : IsIso (CommRingCat.ofHom ↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm)

⊢ IsOpenImmersion (Spec.map (CommRingCat.ofHom ↑(IsLocalization.algEquiv (Submonoid.powers f) S (Localization.Away f)).symm) ≫ Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away f))))
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β
h : s.Nonempty

⊢ ⊤.preimage s = Set.univ
-- Mathlib/Data/Finset/PImage.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq β
f✝ g : α →. β
inst✝² : (x : α) → Decidable (f✝ x).Dom
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
s✝ t : Finset α
b : β
s : Finset α
f : α → β
inst✝ : (x : α) → Decidable (Part.some (f x)).Dom
a✝ : β

⊢ a✝ ∈ pimage (fun x => Part.some (f x)) s ↔ a✝ ∈ image f s
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α : X ≅ Y
β : X ≅ Z

⊢ α ≪≫ α.symm ≪≫ β = β
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Defs.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R B
α : Type u_2
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : MulDistribMulAction α A
inst✝ : SMulCommClass α R A
a : α
r : R

⊢ a • (algebraMap R A) r = (algebraMap R A) r
-- Mathlib/Algebra/Star/Unitary.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : StarMul R
u : R
hu : IsUnit u
h_mul : star u * u = 1

⊢ u ∈ unitary R
-- Mathlib/Algebra/Star/Unitary.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : StarMul R
u : R
hu : IsUnit u
h_mul : star u * u = 1

⊢ u * star u = 1
-- Mathlib/Algebra/Star/Unitary.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : StarMul R
u : Rˣ
h_mul : star ↑u * ↑u = 1

⊢ ↑u * star ↑u = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
σ : Perm (m ⊕ n)

⊢ Set.MapsTo (⇑σ) (Set.range Sum.inl) (Set.range Sum.inl) ↔ Set.MapsTo (⇑σ) (Set.range Sum.inr) (Set.range Sum.inr)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
σ : Perm (m ⊕ n)
h : Set.MapsTo (⇑σ⁻¹) (Set.range Sum.inl) (Set.range Sum.inl)
x : m ⊕ n
l : m
hx : σ x = Sum.inl l

⊢ x ∈ Set.range Sum.inr → Sum.inl l ∈ Set.range Sum.inr
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
σ : Perm (m ⊕ n)
h : Set.MapsTo (⇑σ⁻¹) (Set.range Sum.inl) (Set.range Sum.inl)
x : m ⊕ n
r : n
hx : σ x = Sum.inr r

⊢ x ∈ Set.range Sum.inr → Sum.inr r ∈ Set.range Sum.inr
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
σ : Perm (m ⊕ n)
h : Set.MapsTo (⇑σ⁻¹) (Set.range Sum.inr) (Set.range Sum.inr)
x : m ⊕ n
l : m
hx : σ x = Sum.inl l

⊢ x ∈ Set.range Sum.inl → Sum.inl l ∈ Set.range Sum.inl
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝¹ : Finite m
inst✝ : Finite n
σ : Perm (m ⊕ n)
h : Set.MapsTo (⇑σ⁻¹) (Set.range Sum.inr) (Set.range Sum.inr)
x : m ⊕ n
r : n
hx : σ x = Sum.inr r

⊢ x ∈ Set.range Sum.inl → Sum.inr r ∈ Set.range Sum.inl
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
M : Matroid α
inst✝ : M.FiniteRk
h : M.InfiniteRk

⊢ False
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B✝ B₁ B₂ : Set α
M : Matroid α
inst✝ : M.FiniteRk
h : M.InfiniteRk
B : Set α
hB : M.Base B

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f g : Ω →ᵇ ℝ≥0
f_le_g : ⇑f ≤ ⇑g

⊢ μ.testAgainstNN f ≤ μ.testAgainstNN g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
f g : Ω →ᵇ ℝ≥0
f_le_g : ⇑f ≤ ⇑g

⊢ ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ ≤ ∫⁻ (ω : Ω), ↑(g ω) ∂↑μ
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
n : ℕ

⊢ a ^ n = ⊤ ↔ a = ⊤ ∧ n ≠ 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1

⊢ a ^ 0 = ⊤ ↔ a = ⊤ ∧ 0 ≠ 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ a ^ n = ⊤ ↔ a = ⊤ ∧ n ≠ 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}

⊢ aleph' ω ≤ c ↔ ℵ₀ ≤ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}

⊢ (∀ (o' : Ordinal.{u_1}) (x : ℕ), o' = ↑x → aleph' o' ≤ c) ↔ ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ c
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y

⊢ add' W f₁ f₂ = add' W f₂ f₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f₁ f₂ : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
h₁ : f₁ = α.fst.map L ⋯
h₂ : f₂ = α.snd.map L ⋯

⊢ add' W f₁ f₂ = add' W f₂ f₁
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : finrank k V = 2

⊢ Coplanar k s
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : finrank k V = 2
this : FiniteDimensional k V

⊢ Coplanar k s
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : finrank k V = 2
this : FiniteDimensional k V

⊢ finrank k ↥(vectorSpan k s) ≤ finrank k V
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x z
H2 : IsCoprime y z
a b : R
h1 : a * x + b * z = 1
c d : R
h2 : c * y + d * z = 1

⊢ (a * x + b * z) * (c * y + d * z) = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Dart.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
a b : V
h : G.Adj (a, b).1 (a, b).2
u v : V

⊢ { toProd := (a, b), adj := h }.edge = s(u, v) ↔ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.1 = u ∧ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.2 = v ∨ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.1 = v ∧ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.2 = u
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Dart.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
a b : V
h : G.Adj (a, b).1 (a, b).2
u v : V

⊢ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd = (u, v) ∨ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd = (u, v).swap ↔ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.1 = u ∧ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.2 = v ∨ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.1 = v ∧ { toProd := (a, b), adj := h }.toProd.2 = u
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra F K
inst✝⁹ : Algebra F E
inst✝⁸ : Algebra K E
inst✝⁷ : IsScalarTower F K E
A₁ : Type u_4
B₁ : Type u_5
A₂ : Type u_6
B₂ : Type u_7
inst✝⁶ : Field A₁
inst✝⁵ : Field B₁
inst✝⁴ : Field A₂
inst✝³ : Field B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Algebra.IsSeparable A₁ B₁
this✝ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra

⊢ Algebra.IsSeparable A₂ B₂
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra F K
inst✝⁹ : Algebra F E
inst✝⁸ : Algebra K E
inst✝⁷ : IsScalarTower F K E
A₁ : Type u_4
B₁ : Type u_5
A₂ : Type u_6
B₂ : Type u_7
inst✝⁶ : Field A₁
inst✝⁵ : Field B₁
inst✝⁴ : Field A₂
inst✝³ : Field B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Algebra.IsSeparable A₁ B₁
this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁

⊢ Algebra.IsSeparable A₂ B₂
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra F K
inst✝⁹ : Algebra F E
inst✝⁸ : Algebra K E
inst✝⁷ : IsScalarTower F K E
A₁ : Type u_4
B₁ : Type u_5
A₂ : Type u_6
B₂ : Type u_7
inst✝⁶ : Field A₁
inst✝⁵ : Field B₁
inst✝⁴ : Field A₂
inst✝³ : Field B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Algebra.IsSeparable A₁ B₁
this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }

⊢ Algebra.IsSeparable A₂ B₂
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹³ : Field F
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra F K
inst✝⁹ : Algebra F E
inst✝⁸ : Algebra K E
inst✝⁷ : IsScalarTower F K E
A₁ : Type u_4
B₁ : Type u_5
A₂ : Type u_6
B₂ : Type u_7
inst✝⁶ : Field A₁
inst✝⁵ : Field B₁
inst✝⁴ : Field A₂
inst✝³ : Field B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Algebra.IsSeparable A₁ B₁
this✝² : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝¹ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
this : Algebra.IsSeparable A₂ B₁

⊢ Algebra.IsSeparable A₂ B₂
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame

⊢ 0 ≤ -x ↔ x ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁✝ a₂✝ : α
b✝ b₁ b₂ : β
γ : Type u_3
inst✝⁸ : Zero α
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Zero β
inst✝⁵ : Preorder β
inst✝⁴ : Zero γ
inst✝³ : Preorder γ
inst✝² : SMul α β
inst✝¹ : SMul α γ
f : β → γ
inst✝ : SMulPosMono α γ
b : β
a₁ a₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hf : ∀ {b₁ b₂ : β}, True
smul : α → β → True
zero : True
hb : 0 ≤ f b

⊢ a₁ • f b ≤ a₂ • f b
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

⊢ toIcoMod hp a b = b ↔ b ∈ Set.Ico a (a + p)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Multilinear/Topology.lean
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_5
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
this : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F

⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun Si => IsVonNBounded 𝕜 Si.1 ∧ p Si.2) fun Si => {f | MapsTo (⇑f) Si.1 (b Si.2)}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Multilinear/Topology.lean
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_5
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F

⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun Si => IsVonNBounded 𝕜 Si.1 ∧ p Si.2) fun Si => {f | MapsTo (⇑f) Si.1 (b Si.2)}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Multilinear/Topology.lean
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_5
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F

⊢ (Filter.comap toUniformOnFun (𝓝 (toUniformOnFun 0))).HasBasis (fun Si => IsVonNBounded 𝕜 Si.1 ∧ p Si.2) fun Si => {f | MapsTo (⇑f) Si.1 (b Si.2)}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Multilinear/Topology.lean
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_5
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F

⊢ {s | IsVonNBounded 𝕜 s}.Nonempty
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Multilinear/Topology.lean
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
E : ι✝ → Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (E i)
inst✝⁵ : (i : ι✝) → AddCommGroup (E i)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → Module 𝕜 (E i)
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_5
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F

⊢ DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {s | IsVonNBounded 𝕜 s}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s

⊢ ∃ ι x_1 z w, Set.range z ⊆ s ∧ AffineIndependent 𝕜 z ∧ (∀ (i : ι), 0 < w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ ∑ i : ι, w i • z i = x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : x ∈ ⋃ t, ⋃ (_ : ↑t ⊆ s), ⋃ (_ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val), (convexHull 𝕜) ↑t

⊢ ∃ ι x_1 z w, Set.range z ⊆ s ∧ AffineIndependent 𝕜 z ∧ (∀ (i : ι), 0 < w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ ∑ i : ι, w i • z i = x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
hx : ∃ i, ↑i ⊆ s ∧ AffineIndependent 𝕜 Subtype.val ∧ x ∈ (convexHull 𝕜) ↑i

⊢ ∃ ι x_1 z w, Set.range z ⊆ s ∧ AffineIndependent 𝕜 z ∧ (∀ (i : ι), 0 < w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ ∑ i : ι, w i • z i = x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
t : Finset E
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
ht₃ : x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t

⊢ ∃ ι x_1 z w, Set.range z ⊆ s ∧ AffineIndependent 𝕜 z ∧ (∀ (i : ι), 0 < w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ ∑ i : ι, w i • z i = x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
x : E
t : Finset E
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
ht₃ : ∃ w, (∀ y ∈ t, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t, w y = 1 ∧ t.centerMass w id = x

⊢ ∃ ι x_1 z w, Set.range z ⊆ s ∧ AffineIndependent 𝕜 z ∧ (∀ (i : ι), 0 < w i) ∧ ∑ i : ι, w i = 1 ∧ ∑ i : ι, w i • z i = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
hd : AEDisjoint μ s t

⊢ μ (s ∪ t) = μ s + μ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
hd : AEDisjoint μ s t

⊢ Pairwise (AEDisjoint μ on fun b => bif b then s else t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
hd : AEDisjoint μ s t

⊢ ∀ (i : Bool), NullMeasurableSet (bif i then s else t) μ
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HSpaces.lean
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I

⊢ (delayReflRight 1 γ) t = γ t
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ sinh x ^ 2 = cosh x ^ 2 - 1