ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/EqualizerSheafCondition.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
fg : ((Y : C) × { f // R f }) × (Z : C) × { g // R g }
a✝ : P.obj (op X)
this : HasPullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd

⊢ (P.map (↑fg.1.snd).op ≫ P.map (pullback.fst ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) a✝ = (P.map (↑fg.2.snd).op ≫ P.map (pullback.snd ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) a✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/EqualizerSheafCondition.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
fg : ((Y : C) × { f // R f }) × (Z : C) × { g // R g }
a✝ : P.obj (op X)
this : HasPullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd

⊢ P.map (pullback.snd ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd ≫ ↑fg.2.snd).op a✝ = (P.map (↑fg.2.snd).op ≫ P.map (pullback.snd ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) a✝
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α

⊢ l₁ ~ l₂ ↔ ∀ (a : α), count a l₁ = count a l₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
H : ∀ (a : α), count a l₁ = count a l₂

⊢ l₁ ~ l₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Pi/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
x : (i : I) → f i
i j : I

⊢ Commute (mulSingle i (x i)) (mulSingle j (x j))
-- Mathlib/Algebra/Group/Pi/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ j : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
x : (i : I) → f i
i : I

⊢ Commute (mulSingle i (x i)) (mulSingle i (x i))
-- Mathlib/Algebra/Group/Pi/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f : I → Type v
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ j✝ : I
inst✝¹ : DecidableEq I
inst✝ : (i : I) → MulOneClass (f i)
x : (i : I) → f i
i j : I
hij : i ≠ j

⊢ Commute (mulSingle i (x i)) (mulSingle j (x j))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ

⊢ A.det = ∑ j : Fin n.succ, (-1) ^ (↑i + ↑j) * A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ

⊢ A.det = (-1) ^ ↑i * ∑ i_1 : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i_1 * (A i i_1 * (A.submatrix i.succAbove i_1.succAbove).det)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
this : A.det = (-1) ^ ↑i * ↑↑(sign i.cycleRange⁻¹) * A.det

⊢ A.det = (-1) ^ ↑i * ∑ i_1 : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i_1 * (A i i_1 * (A.submatrix i.succAbove i_1.succAbove).det)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
this : A.det = (-1) ^ ↑i * ↑↑(sign i.cycleRange⁻¹) * A.det

⊢ (-1) ^ ↑i * (↑↑(sign i.cycleRange⁻¹) * A.det) = (-1) ^ ↑i * ∑ i_1 : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i_1 * (A i i_1 * (A.submatrix i.succAbove i_1.succAbove).det)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
this : A.det = (-1) ^ ↑i * ↑↑(sign i.cycleRange⁻¹) * A.det

⊢ ↑↑(sign i.cycleRange⁻¹) * A.det = ∑ i_1 : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i_1 * (A i i_1 * (A.submatrix i.succAbove i_1.succAbove).det)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
this : A.det = (-1) ^ ↑i * ↑↑(sign i.cycleRange⁻¹) * A.det

⊢ ∑ j : Fin n.succ, (-1) ^ ↑j * A.submatrix (⇑i.cycleRange⁻¹) id 0 j * ((A.submatrix (⇑i.cycleRange⁻¹) id).submatrix Fin.succ j.succAbove).det = ∑ i_1 : Fin n.succ, (-1) ^ ↑i_1 * (A i i_1 * (A.submatrix i.succAbove i_1.succAbove).det)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
this : A.det = (-1) ^ ↑i * ↑↑(sign i.cycleRange⁻¹) * A.det
j : Fin n.succ
x✝ : j ∈ univ

⊢ (-1) ^ ↑j * A.submatrix (⇑i.cycleRange⁻¹) id 0 j * ((A.submatrix (⇑i.cycleRange⁻¹) id).submatrix Fin.succ j.succAbove).det = (-1) ^ ↑j * (A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n✝ : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n✝
inst✝³ : Fintype n✝
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
A : Matrix (Fin n.succ) (Fin n.succ) R
i : Fin n.succ
this : A.det = (-1) ^ ↑i * ↑↑(sign i.cycleRange⁻¹) * A.det
j : Fin n.succ
x✝ : j ∈ univ

⊢ (-1) ^ ↑j * (A (i.cycleRange⁻¹ 0) j * (A.submatrix (fun x => i.cycleRange⁻¹ x.succ) j.succAbove).det) = (-1) ^ ↑j * (A i j * (A.submatrix i.succAbove j.succAbove).det)
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup L
inst✝⁹ : Module R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ι'
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
b : Basis ι R L
x : L

⊢ Polynomial.map (MvPolynomial.eval ⇑(b.repr x)) (φ.polyCharpoly b) = charpoly (φ x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
F : Type u_5
inst✝ : NormedDivisionRing F
f g : α → F
hint : Integrable g μ
hm : AEStronglyMeasurable f μ
hfbdd : ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C

⊢ Integrable (fun x => f x * g x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
F : Type u_5
inst✝ : NormedDivisionRing F
f g : α → F
hint : Integrable g μ
hm : AEStronglyMeasurable f μ
hfbdd : ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
hα : IsEmpty α

⊢ Integrable (fun x => f x * g x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
F : Type u_5
inst✝ : NormedDivisionRing F
f g : α → F
hint : Integrable g μ
hm : AEStronglyMeasurable f μ
hfbdd : ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
hα : Nonempty α

⊢ Integrable (fun x => f x * g x) μ
-- Mathlib/Data/Set/Accumulate.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : α → Set β
t : α → Set γ
inst✝ : LE α
x : α
z : β

⊢ z ∈ Accumulate s x ↔ ∃ y ≤ x, z ∈ s y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f g : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
p : (j : J) → f j ⟶ g j
j : J

⊢ ι f j ≫ map p = p j ≫ ι g j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f g : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
p : (j : J) → f j ⟶ g j
j : J

⊢ ι f j ≫ map' p = p j ≫ ι g j
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1

⊢ x + t • (y - x) ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1

⊢ x + t • (y - x) ∈ openSegment 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
h : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1

⊢ x + t • (y - x) ∈ (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Ioo 0 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
x✝ y✝ z : M
inst✝ : Subsingleton M
x y : M

⊢ SameRay R x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
x✝ y✝ z : M
inst✝ : Subsingleton M
x y : M

⊢ SameRay R 0 y
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y : ZFSet

⊢ y ∈ ⋂₀ {x} ↔ y ∈ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
m m' : (i : ι) → M₁ i

⊢ f (m + m') = ∑ s : Finset ι, f (s.piecewise m m')
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
hI : I ≠ 0

⊢ ‖I‖ = 1
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α

⊢ recF g ((P F).wMk a f' f) = g (abs ⟨a, splitFun f' (recF g ∘ f)⟩)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α

⊢ g (abs ⟨a, splitFun f' fun i => (P F).wRec (fun a f' _f rec => g (abs ⟨a, splitFun f' rec⟩)) (f i)⟩) = g (abs ⟨a, splitFun f' (((P F).wRec fun a f' _f rec => g (abs ⟨a, splitFun f' rec⟩)) ∘ f)⟩)
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject.lean
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
C : Type u_4
inst✝¹ : Category.{u_5, u_4} C
X Y Z : GradedObject I C
φ : X ⟶ Y
e✝ : X ≅ Y
ψ : Y ⟶ Z
p✝ : I → J
j✝ : J
e : X ≅ Y
p : I → J
inst✝ : X.HasMap p
j : J
α : Discrete.functor (X.mapObjFun p j) ≅ Discrete.functor (Y.mapObjFun p j)

⊢ HasCoproduct (Y.mapObjFun p j)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : Int

⊢ ↑(a + b) = ↑a + ↑b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : Int

⊢ ↑(a + b) = normalize ((↑a).num * ↑(↑b).den + (↑b).num * ↑(↑a).den) ((↑a).den * (↑b).den) ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g

⊢ s ∈ fixedBy (Set α) g
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g

⊢ s ∈ fixedBy (Set α) g⁻¹
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α

⊢ x ∈ g⁻¹ • s ↔ x ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α

⊢ g • x ∈ s ↔ x ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g
x : α
gxs : g • x ∈ s

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_ss_fixedBy : s ⊆ fixedBy α g⁻¹
x : α
gxs : g • x ∈ s

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
h : ¬gcd x y = 0

⊢ gcd x y * (x * y / gcd x y) = x * y
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
h : ¬gcd x y = 0
r : R
hr : x = gcd x y * r
s : R
hs : y = gcd x y * s

⊢ gcd x y * (x * y / gcd x y) = x * y
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
y r s g : R
h : ¬g = 0
hs : y = gcd (g * r) y * s

⊢ g * (g * r * y / g) = g * r * y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
inst✝ : T1Space X
hs : s.Countable

⊢ IsGδ sᶜ
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
s : Set X
inst✝ : T1Space X
hs : s.Countable

⊢ IsGδ (⋂ i ∈ s, {i}ᶜ)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ

⊢ o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : r < 0

⊢ o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0

⊢ o.oangle x (x + 0 • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan 0)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : 0 < r

⊢ o.oangle x (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
C : WSeq α → WSeq β → Prop

⊢ Function.swap (LiftRelO R C) = LiftRelO (Function.swap R) (Function.swap C)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
C : WSeq α → WSeq β → Prop
x : Option (β × WSeq β)
y : Option (α × WSeq α)

⊢ Function.swap (LiftRelO R C) x y = LiftRelO (Function.swap R) (Function.swap C) x y
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hB : M.Base B

⊢ ∃ B', M.Base B' ∧ I ⊆ B' ∧ B' ⊆ I ∪ B
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hB : M.Base B
B' : Set α
hB' : M.Basis B' (I ∪ B)
hIB' : I ⊆ B'

⊢ ∃ B', M.Base B' ∧ I ⊆ B' ∧ B' ⊆ I ∪ B
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
h : LipschitzWith K f
x y : α

⊢ (↑K)⁻¹ * edist (f x) (f y) ≤ edist x y
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
h : LipschitzWith K f
x y : α

⊢ edist (f x) (f y) / ↑K ≤ edist x y
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
φ : K →+* ℂ
hφ : IsReal φ
x : K

⊢ ↑(hφ.embedding x) = φ x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
φ : K →+* ℂ
hφ : IsReal φ
x : K

⊢ (↑(hφ.embedding x)).re = (φ x).re
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
k : Type u_2
inst✝ : Field k
φ : K →+* ℂ
hφ : IsReal φ
x : K

⊢ (↑(hφ.embedding x)).im = (φ x).im
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x

⊢ ContinuousWithinAt f s x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology

⊢ (rightHomologyMap' φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData).op = leftHomologyMap' (𝟙 S₂.op) S₂.rightHomologyData.op S₂.op.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (opMap φ) S₂.op.leftHomologyData S₁.op.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁.op) S₁.op.leftHomologyData S₁.rightHomologyData.op
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M✝ N✝ : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Fintype m
M N : Matrix m m R
hM : M.BlockTriangular b
hN : N.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i

⊢ (M * N) i j = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M✝ N✝ : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Fintype m
M N : Matrix m m R
hM : M.BlockTriangular b
hN : N.BlockTriangular b
i j : m
hij : b j < b i

⊢ ∀ x ∈ univ, (fun j => M i j) x * (fun j_1 => N j_1 j) x = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
F : C ⥤ Type v₁
f : coyoneda.obj (op X) ⟶ F
g : X ⟶ Y

⊢ (f.app X ≫ F.map g) (𝟙 X) = f.app Y (g ≫ 𝟙 Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
F : C ⥤ Type v₁
f : coyoneda.obj (op X) ⟶ F
g : X ⟶ Y

⊢ ((coyoneda.obj (op X)).map g ≫ f.app Y) (𝟙 X) = f.app Y (g ≫ 𝟙 Y)
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1

⊢ schnirelmannDensity {n | n % m = 1} = (↑m)⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
hm : 0 ≠ 1

⊢ schnirelmannDensity {n | n % 0 = 1} = (↑0)⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0

⊢ schnirelmannDensity {n | n % m = 1} = (↑m)⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0

⊢ ↑(filter (fun x => x ∈ {n | n % m = 1}) (Ioc 0 m)).card / ↑m ≤ (↑m)⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0

⊢ (↑m)⁻¹ ≤ schnirelmannDensity {n | n % m = 1}
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0

⊢ ∀ (n : ℕ), 0 < n → (↑m)⁻¹ ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ {n | n % m = 1}) (Ioc 0 n)).card / ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ (↑m)⁻¹ ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ {n | n % m = 1}) (Ioc 0 n)).card / ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ (↑m)⁻¹ ≤ ↑(filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)).card / ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)

⊢ (↑m)⁻¹ ≤ ↑(filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)).card / ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)

⊢ ↑n / ↑m ≤ ↑(filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)).card
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)

⊢ ↑n / ↑m ≤ ↑(image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m))).card
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)

⊢ n ≤ (n - 1) / m * m + m
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)

⊢ Function.Injective fun x => x * m + 1
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 1
hm' : m > 0
n : ℕ
hn : 0 < n
this : image (fun x => x * m + 1) (Icc 0 ((n - 1) / m)) ⊆ filter (fun x => x % m = 1) (Ioc 0 n)
a b : ℕ

⊢ (fun x => x * m + 1) a = (fun x => x * m + 1) b → a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Prod.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂

⊢ F₁ = F₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Prod.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂

⊢ curry.obj F₁ = curry.obj F₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Prod.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂

⊢ W₁.Q ⋙ curry.obj F₁ = W₁.Q ⋙ curry.obj F₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Prod.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂

⊢ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₁).flip = (W₁.Q ⋙ curry.obj F₂).flip