ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
X Y : Type u
x₀ : X
f : X → Y
g : Y → F (α ::: X)
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun a b => ∃ x, a = Cofix.corec (g ∘ f) x ∧ b = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x)
a b : Cofix F α
x : X
Ha : a = Cofix.corec (g ∘ f) x
Hb : b = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x)

⊢ ∀ (x : X), R (Cofix.corec (g ∘ f) x) ((Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) ∘ f) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : N →ₗ[R] M
e e' : M ≃ₗ[R] N

⊢ Associated (LinearMap.det (f ∘ₗ ↑e)) (LinearMap.det (f ∘ₗ ↑e'))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : N →ₗ[R] M
e e' : M ≃ₗ[R] N

⊢ ∀ (x : M), (f ∘ₗ ↑e) x = (f ∘ₗ ↑e') ((e ≪≫ₗ e'.symm) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : N →ₗ[R] M
e e' : M ≃ₗ[R] N
x : M

⊢ (f ∘ₗ ↑e) x = (f ∘ₗ ↑e') ((e ≪≫ₗ e'.symm) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : ↥(span R (range ⇑b))
i : ι

⊢ (algebraMap R S) (((restrictScalars R b).repr m) i) = (b.repr ↑m) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : ↥(span R (range ⇑b))
i : ι

⊢ Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap R S) ∘ₗ ↑(restrictScalars R b).repr = (↑R ↑b.repr).domRestrict (span R (range ⇑b))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Nontrivial S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R S
b : Basis ι S M
m : ↥(span R (range ⇑b))
i x✝ : ι

⊢ (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap R S) ∘ₗ ↑(restrictScalars R b).repr) ((restrictScalars R b) x✝) = ((↑R ↑b.repr).domRestrict (span R (range ⇑b))) ((restrictScalars R b) x✝)
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y

⊢ √x = √y ↔ x = y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
s : Set X
f : ↥(Lp E p μ)

⊢ ‖Memℒp.toLp ↑↑f ⋯‖ ≤ ‖f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
s : Set X
f : ↥(Lp E p μ)

⊢ eLpNorm (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯)) p (μ.restrict s) ≤ eLpNorm (↑↑f) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
s : Set X
f : ↥(Lp E p μ)

⊢ eLpNorm (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯)) p (μ.restrict s) = eLpNorm (↑↑f) p (μ.restrict s)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l✝ l' l : List α

⊢ l.cyclicPermutations.head ⋯ = l
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l✝ l' l : List α
h : 0 < l.cyclicPermutations.length

⊢ l.cyclicPermutations.head ⋯ = l
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0
x : A

⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) ((algebraMap A S) x) = (algebraMap A S') x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
ht : t ∈ 𝓝 x

⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ t) x ↔ MDifferentiableWithinAt I I' f s x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
y : ℝ

⊢ Tendsto (fun x => log (x + y) - log x) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
y : ℝ
this : Tendsto (fun x => 1 + y / x) atTop (𝓝 (1 + 0))

⊢ Tendsto (fun x => log (x + y) - log x) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
y : ℝ
this : Tendsto (fun x => 1 + y / x) atTop (𝓝 (1 + 0))

⊢ Tendsto (rexp ∘ fun x => log (x + y) - log x) atTop (𝓝 (1 + 0))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
y : ℝ
this : Tendsto (fun x => 1 + y / x) atTop (𝓝 (1 + 0))

⊢ (fun x => 1 + y / x) =ᶠ[atTop] rexp ∘ fun x => log (x + y) - log x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
y : ℝ
this : Tendsto (fun x => 1 + y / x) atTop (𝓝 (1 + 0))
x : ℝ
hx₀ : 0 < x
hxy : -y < x

⊢ 1 + y / x = (rexp ∘ fun x => log (x + y) - log x) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
c : 𝕜
f : ↥(Lp F p μ)
s : Set X

⊢ ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
c : 𝕜
f : ↥(Lp F p μ)
s : Set X

⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
c : 𝕜
f : ↥(Lp F p μ)
s : Set X

⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x → ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
c : 𝕜
f : ↥(Lp F p μ)
s : Set X

⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • f) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x → ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x → ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure X
c : 𝕜
f : ↥(Lp F p μ)
s : Set X
x : X
hx1 : ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = (c • ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯)) x
hx2 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • f) x
hx3 : ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x = ↑↑f x
hx4 : ↑↑(c • f) x = (c • ↑↑f) x

⊢ ↑↑(Memℒp.toLp ↑↑(c • f) ⋯) x = ↑↑(c • Memℒp.toLp ↑↑f ⋯) x
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
k n m : ℕ

⊢ (k * n).dist (k * m) = k * n.dist m
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α

⊢ Iio a ⊆ Iic b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α

⊢ some ⁻¹' Ico ↑a ⊤ = Ici a
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J

⊢ 𝒰.gluedCoverT' x y z ≫ 𝒰.gluedCoverT' y z x ≫ 𝒰.gluedCoverT' z x y = 𝟙 (pullback (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z)))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J

⊢ 𝒰.gluedCoverT' x y z ≫ 𝒰.gluedCoverT' y z x ≫ 𝒰.gluedCoverT' z x y ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z)) = pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) (pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map z))
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E

⊢ Module.rank F ↥F⟮α⟯ = 1 ↔ α ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R

⊢ ↑(lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) = lTensorHomToHomLTensor R M P Q
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ

⊢ ↑(legendreSym p a) = ↑a ^ (p / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hc : ringChar (ZMod p) = 2

⊢ ↑(legendreSym p a) = ↑a ^ (p / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
hc : ringChar (ZMod p) ≠ 2

⊢ ↑(legendreSym p a) = ↑a ^ (p / 2)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
S✝ T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
p : Submodule R S
y : S
hx : x ∈ nonZeroDivisors S

⊢ (∃ a ∈ ↑p, (DistribMulAction.toLinearMap R S x) a = x * y) ↔ y ∈ p
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
t : ℝ
ht : |t| ≤ 1
x : ℝ

⊢ rexp (t * x) ≤ cosh x + t * sinh x
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
t : ℝ
ht : -1 ≤ t ∧ t ≤ 1
x : ℝ

⊢ rexp (t * x) ≤ cosh x + t * sinh x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : DivisionSemiring R
q : ℚ≥0
f : R[X]

⊢ q • f = C ↑q * f
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
z w : ℂ

⊢ cos z = w ↔ cexp (z * I) ^ 2 - 2 * w * cexp (z * I) + 1 = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
z w : ℂ

⊢ cos z - w = 0 ↔ cexp (z * I) ^ 2 - 2 * w * cexp (z * I) + 1 = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
z w : ℂ

⊢ cexp (z * I) * cexp (z * I) + 1 - cexp (z * I) * 2 * w = 0 ↔ cexp (z * I) ^ 2 - 2 * w * cexp (z * I) + 1 = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
z w : ℂ

⊢ cexp (z * I) * cexp (z * I) + 1 - cexp (z * I) * 2 * w = cexp (z * I) ^ 2 - 2 * w * cexp (z * I) + 1
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/CongruenceSubgroups.lean
N : ℕ
x✝ : SL(2, ℤ)

⊢ x✝ ∈ Gamma 0 ↔ x✝ ∈ ⊥
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/CongruenceSubgroups.lean
N : ℕ
x✝ : SL(2, ℤ)

⊢ ↑(↑x✝ 0 0) = 1 ∧ ↑(↑x✝ 0 1) = 0 ∧ ↑(↑x✝ 1 0) = 0 ∧ ↑(↑x✝ 1 1) = 1 ↔ x✝ = 1
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
P : ℕ → ℕ → Prop
ha : ∀ (a : ℕ), P (a + 1) (a + 1)
hb : ∀ (b : ℕ), P 0 (b + 1)
hd : ∀ (a b : ℕ), a < b → P (a + 1) b → P a (b + 1) → P (a + 1) (b + 1)
a b : ℕ
h : a + 1 < b + 1

⊢ P (a + 1) (b + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
P : ℕ → ℕ → Prop
ha : ∀ (a : ℕ), P (a + 1) (a + 1)
hb : ∀ (b : ℕ), P 0 (b + 1)
hd : ∀ (a b : ℕ), a < b → P (a + 1) b → P a (b + 1) → P (a + 1) (b + 1)
a b : ℕ
h : a + 1 < b + 1

⊢ P (a + 1) b
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
P : ℕ → ℕ → Prop
ha : ∀ (a : ℕ), P (a + 1) (a + 1)
hb : ∀ (b : ℕ), P 0 (b + 1)
hd : ∀ (a b : ℕ), a < b → P (a + 1) b → P a (b + 1) → P (a + 1) (b + 1)
a b : ℕ
h : a + 1 < b + 1

⊢ P a (b + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
P : ℕ → ℕ → Prop
ha : ∀ (a : ℕ), P (a + 1) (a + 1)
hb : ∀ (b : ℕ), P 0 (b + 1)
hd : ∀ (a b : ℕ), a < b → P (a + 1) b → P a (b + 1) → P (a + 1) (b + 1)
a b : ℕ
h : a + 1 < b + 1
x✝ : a + (b + 1) < a + 1 + (b + 1)

⊢ a < b + 1
-- Mathlib/Algebra/Ring/SumsOfSquares.lean
R✝ : Type u_1
inst✝² : Mul R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
inst✝ : ExistsAddOfLE R
S : R
pS : isSumSq S

⊢ 0 ≤ S
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring α
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : NonUnitalSemiring β
inst✝¹ : StarRing β
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
hA : A.IsHermitian

⊢ (Bᴴ * A * B).IsHermitian
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.222391, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝¹ : S.HasRightHomology
φ : S₁ ⟶ S
inst✝ : S₁.HasRightHomology

⊢ S₁.f ≫ φ.τ₂ ≫ k = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
hk : S.f ≫ k = 0
inst✝¹ : S.HasRightHomology
φ : S₁ ⟶ S
inst✝ : S₁.HasRightHomology

⊢ opcyclesMap φ ≫ S.descOpcycles k hk = S₁.descOpcycles (φ.τ₂ ≫ k) ⋯
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
a : α

⊢ ContinuousWithinAt f {a}ᶜ a ↔ ContinuousAt f a
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
c d : β
h : ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b → c ^ n ∣ d
this : Decidable (Finite a b) := Classical.dec (Finite a b)
hab : Finite a b

⊢ multiplicity a b ≤ multiplicity c d
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
c d : β
h : ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b → c ^ n ∣ d
this : Decidable (Finite a b) := Classical.dec (Finite a b)
hab : Finite a b

⊢ ↑((multiplicity a b).get ⋯) ≤ multiplicity c d
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
c d : β
h : ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b → c ^ n ∣ d
this : Decidable (Finite a b) := Classical.dec (Finite a b)
hab : ¬Finite a b

⊢ multiplicity a b ≤ multiplicity c d
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
c d : β
h : ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b → c ^ n ∣ d
this✝ : Decidable (Finite a b) := Classical.dec (Finite a b)
hab : ¬Finite a b
this : ∀ (n : ℕ), c ^ n ∣ d

⊢ multiplicity a b ≤ multiplicity c d
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255346}
a : Cardinal.{u_1}
h : a ≠ 0

⊢ 0 ^< a = 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255346}
a : Cardinal.{u_1}
h : a ≠ 0

⊢ 1 ≤ 0 ^< a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255346}
a : Cardinal.{u_1}
h : a ≠ 0

⊢ ?m.255561 ^ 0 ≤ 0 ^< a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.255346}
a : Cardinal.{u_1}
h : a ≠ 0

⊢ Cardinal.{u_1}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α

⊢ Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α ⊓ 𝓟 (s ×ˢ s)) (𝓤 β) ↔ Tendsto (fun x => (s.restrict f x.1, s.restrict f x.2)) (𝓤 ↑s) (𝓤 β)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α

⊢ Tendsto ((fun x => (f x.1, f x.2)) ∘ Prod.map Subtype.val Subtype.val) (𝓤 ↑s) (𝓤 β) ↔ Tendsto (fun x => (s.restrict f x.1, s.restrict f x.2)) (𝓤 ↑s) (𝓤 β)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
x✝ y : E✝
s✝ t : Set E✝
ι : Type u_5
inst✝² : Finite ι
E : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
s : (i : ι) → Set (E i)
x : (i : ι) → E i
h : ∀ (i : ι), UniqueDiffWithinAt 𝕜 (s i) (x i)

⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (univ.pi s) x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : MulAction A M
inst✝¹ : SMul R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
r : R
x : M

⊢ (algebraMap R A) r • x = r • x
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
f g : D ⟶ E
h : Homotopy f g
e : C ⟶ D
i j : ι
w : ¬c.Rel j i

⊢ e.f i ≫ h.hom i j = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
f g : D ⟶ E
h : Homotopy f g
e : C ⟶ D
i : ι

⊢ (e ≫ f).f i = (((dNext i) fun i j => e.f i ≫ h.hom i j) + (prevD i) fun i j => e.f i ≫ h.hom i j) + (e ≫ g).f i
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
b : Bool
n : ℕ
IH : Nat.binaryRec 0 (fun b x => bif b then Num.bit1 else Num.bit0) n = ↑n

⊢ Nat.binaryRec 0 (fun b x => bif b then Num.bit1 else Num.bit0) (Nat.bit b n) = ↑(Nat.bit b n)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
b : Bool
n : ℕ
IH : Nat.binaryRec 0 (fun b x => bif b then Num.bit1 else Num.bit0) n = ↑n

⊢ (bif b then Num.bit1 else Num.bit0) ↑n = ↑(Nat.bit b n)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
b : Bool
n : ℕ
IH : Nat.binaryRec 0 (fun b x => bif b then Num.bit1 else Num.bit0) n = ↑n

⊢ (bif false then Num.bit1 else Num.bit0) 0 = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' s : Cycle α
h : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s

⊢ (s.formPerm h) x = s.next h x hx
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
x : α
a✝ : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)
hx : x ∈ Quot.mk Setoid.r a✝

⊢ (formPerm (Quot.mk Setoid.r a✝) h) x = next (Quot.mk Setoid.r a✝) h x hx
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R✝
m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
x : R✝
inst✝¹ : CommSemiring S
f : R✝ →+* S
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]
r : R

⊢ (p.comp q).IsRoot r ↔ p.IsRoot (eval r q)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
hy : IsFixedPt f y

⊢ dist x y ≤ dist x (f x) / (1 - ↑K)
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ

⊢ mgf (-X) μ t = mgf X μ (-t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/Basis.lean
κ : Type uκ
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Free R M

⊢ Module.rank R (TensorAlgebra R M) = Cardinal.lift.{uR, uM} (sum fun n => Module.rank R M ^ n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/Basis.lean
κ✝ : Type uκ
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Free R M
κ : Type uM
b : Basis κ R M

⊢ Module.rank R (TensorAlgebra R M) = Cardinal.lift.{uR, uM} (sum fun n => Module.rank R M ^ n)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
a : Rat

⊢ 0 * a = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit

⊢ IsPushout 0 0 b.inl b.inr
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s✝ : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
g : γ → α
s : Finset γ
hi : Std.IdempotentOp op

⊢ fold op b f (image g s) = fold op b (f ∘ g) s
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
g : γ → α
hi : Std.IdempotentOp op

⊢ fold op b f (image g ∅) = fold op b (f ∘ g) ∅
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
g : γ → α
hi : Std.IdempotentOp op
x : γ
xs : Finset γ
hx : x ∉ xs
ih : fold op b f (image g xs) = fold op b (f ∘ g) xs

⊢ fold op b f (image g (cons x xs hx)) = fold op b (f ∘ g) (cons x xs hx)
-- Mathlib/GroupTheory/Commutator.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁✝ K₂✝ : Subgroup G
K₁ K₂ : Subgroup G'

⊢ ⁅H₁.prod K₁, H₂.prod K₂⁆ = ⁅H₁, H₂⁆.prod ⁅K₁, K₂⁆
-- Mathlib/GroupTheory/Commutator.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁✝ K₂✝ : Subgroup G
K₁ K₂ : Subgroup G'

⊢ ⁅H₁.prod K₁, H₂.prod K₂⁆ ≤ ⁅H₁, H₂⁆.prod ⁅K₁, K₂⁆
-- Mathlib/GroupTheory/Commutator.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁✝ K₂✝ : Subgroup G
K₁ K₂ : Subgroup G'

⊢ ⁅H₁, H₂⁆.prod ⁅K₁, K₂⁆ ≤ ⁅H₁.prod K₁, H₂.prod K₂⁆