ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝¹⁰ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁶ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝² : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x✝² : DirectSum ι G
H : Submodule.Quotient.mk x✝² = 0
ind : ι
x y : DirectSum ι G
x✝¹ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) x = 0
x✝ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support y, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) y = 0
i : ι
hi : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i
hxi : (DirectSum.toModule R ι (G i) fun i_1 => totalize G f i_1 i) x = 0
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support y, k ≤ j
hyj : (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) y = 0
k : ι
hik : i ≤ k
hjk : j ≤ k

⊢ (DirectSum.toModule R ι (G k) fun i => totalize G f i k) (x + y) = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝¹⁰ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁶ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝² : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x✝² : DirectSum ι G
H : Submodule.Quotient.mk x✝² = 0
ind : ι
x y : DirectSum ι G
x✝¹ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) x = 0
x✝ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support y, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) y = 0
i : ι
hi : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i
hxi : (DirectSum.toModule R ι (G i) fun i_1 => totalize G f i_1 i) x = 0
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support y, k ≤ j
hyj : (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) y = 0
k : ι
hik : i ≤ k
hjk : j ≤ k

⊢ (DirectSum.toModule R ι (G k) fun i => totalize G f i k) x + (DirectSum.toModule R ι (G k) fun i => totalize G f i k) y = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝¹⁰ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁶ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝² : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x✝² : DirectSum ι G
H : Submodule.Quotient.mk x✝² = 0
ind : ι
x y : DirectSum ι G
x✝¹ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) x = 0
x✝ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support y, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) y = 0
i : ι
hi : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i
hxi : (DirectSum.toModule R ι (G i) fun i_1 => totalize G f i_1 i) x = 0
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support y, k ≤ j
hyj : (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) y = 0
k : ι
hik : i ≤ k
hjk : j ≤ k

⊢ (f i k hik) ((DirectSum.toModule R ι (G i) fun k => totalize G f k i) x) + (f j k hjk) ((DirectSum.toModule R ι (G j) fun k => totalize G f k j) y) = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝¹⁰ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁹ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁶ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝³ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝² : (i : ι) → (k : G i) → Decidable (k ≠ 0)
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
x✝¹ : DirectSum ι G
H : Submodule.Quotient.mk x✝¹ = 0
ind : ι
a : R
x : DirectSum ι G
x✝ : ∃ j, (∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ j) ∧ (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) x = 0
i : ι
hi : ∀ k ∈ DFinsupp.support x, k ≤ i
hxi : (DirectSum.toModule R ι (G i) fun i_1 => totalize G f i_1 i) x = 0

⊢ (DirectSum.toModule R ι (G i) fun i_1 => totalize G f i_1 i) (a • x) = 0
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeInf α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y

⊢ A = B
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeInf α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
ss : toInf = toInf

⊢ A = B
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
toInf✝¹ : Inf α
toPartialOrder✝¹ : PartialOrder α
inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
toInf✝ : Inf α
toPartialOrder✝ : PartialOrder α
inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
ss : toInf = toInf

⊢ mk inf_le_left✝¹ inf_le_right✝¹ le_inf✝¹ = mk inf_le_left✝ inf_le_right✝ le_inf✝
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
toInf✝¹ : Inf α
toPartialOrder✝ : PartialOrder α
inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
toInf✝ : Inf α
inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
ss : toInf = toInf

⊢ mk inf_le_left✝¹ inf_le_right✝¹ le_inf✝¹ = mk inf_le_left✝ inf_le_right✝ le_inf✝
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ

⊢ f (x + ↑n * c) = ↑↑n.negOnePow * f x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Sl2.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f

⊢ ⁅h, e⁆ = 2 • e
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ Antitone fun s => T μ p (∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ) s
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ ∀ (s : Finset ι) ⦃a : ι⦄, a ∉ s → T μ p (∫⋯∫⁻_(insert a s)ᶜ, f ∂μ) (insert a s) ≤ T μ p (∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ) s
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s

⊢ T μ p (∫⋯∫⁻_(insert i s)ᶜ, f ∂μ) (insert i s) ≤ T μ p (∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ) s
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s

⊢ ∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_{i}, ∫⋯∫⁻_(insert i s)ᶜ, f ∂μ ∂μ
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s

⊢ ↑s.card * p ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Positive.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
x : E

⊢ 0 ≤ re ⟪x, T x⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Positive.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
x : E

⊢ 0 ≤ re ⟪T x, x⟫_𝕜
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C K L : HomologicalComplex V c
φ : K ⟶ L
hφ : ∀ (i : ι), Mono (φ.f i)
Z✝ : HomologicalComplex V c
g h : Z✝ ⟶ K
eq : g ≫ φ = h ≫ φ
i : ι

⊢ g.f i = h.f i
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C K L : HomologicalComplex V c
φ : K ⟶ L
hφ : ∀ (i : ι), Mono (φ.f i)
Z✝ : HomologicalComplex V c
g h : Z✝ ⟶ K
eq : g ≫ φ = h ≫ φ
i : ι

⊢ g.f i ≫ φ.f i = h.f i ≫ φ.f i
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p q : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fact (Nat.Prime q)
hp3 : p % 4 = 3
hq3 : q % 4 = 3
hpq : p ≠ q

⊢ IsSquare ↑q ↔ ¬IsSquare ↑p
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
n : ℕ
m : M
a : α

⊢ m ^ n • a = a ↔ period m a ∣ n
-- Mathlib/Analysis/Complex/ReImTopology.lean
a : ℝ

⊢ frontier {z | z.im ≤ a} = {z | z.im = a}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Nontrivial R

⊢ Module.rank R M + Module.rank R M₁ ≤ Module.rank R (M × M₁)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0

⊢ 0 ≤ f.norm
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hs' : μ s ≠ ⊤
ht' : μ t ≠ ⊤

⊢ |(μ s).toReal - (μ t).toReal| ≤ (μ (s ∆ t)).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hs' : μ s ≠ ⊤
ht' : μ t ≠ ⊤
hst : μ (s \ t) ≠ ⊤

⊢ |(μ s).toReal - (μ t).toReal| ≤ (μ (s ∆ t)).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hs' : μ s ≠ ⊤
ht' : μ t ≠ ⊤
hst : μ (s \ t) ≠ ⊤
hts : μ (t \ s) ≠ ⊤

⊢ |(μ s).toReal - (μ t).toReal| ≤ (μ (s ∆ t)).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hs' : μ s ≠ ⊤
ht' : μ t ≠ ⊤
hst : μ (s \ t) ≠ ⊤
hts : μ (t \ s) ≠ ⊤

⊢ (μ s).toReal - (μ t).toReal = (μ (s \ t)).toReal - (μ (t \ s)).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hs' : μ s ≠ ⊤
ht' : μ t ≠ ⊤
hst : μ (s \ t) ≠ ⊤
hts : μ (t \ s) ≠ ⊤

⊢ (μ s).toReal - (μ t).toReal = (μ (s ∪ t)).toReal - (μ t).toReal - ((μ (s ∪ t)).toReal - (μ s).toReal)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
r : R

⊢ (C r).IsHomogeneous 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
r : R

⊢ Finsupp.degree 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
hf : f p.leadingCoeff ≠ 0

⊢ p.degree ≤ (map f p).degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
hf : f p.leadingCoeff ≠ 0
hp0 : p ≠ 0

⊢ p.degree ≤ (map f p).degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
hf : f p.leadingCoeff ≠ 0
hp0 : p ≠ 0

⊢ ↑p.natDegree ≤ (map f p).degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
hf : f p.leadingCoeff ≠ 0
hp0 : p ≠ 0

⊢ (map f p).coeff p.natDegree ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ f : R →+* S
hf : f p.leadingCoeff ≠ 0
hp0 : p ≠ 0

⊢ f (p.coeff p.natDegree) ≠ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/ChosenFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C

⊢ (α_ X Y Z).inv ≫ fst (X ⊗ Y) Z ≫ snd X Y = snd X (Y ⊗ Z) ≫ fst Y Z
-- Mathlib/CategoryTheory/ChosenFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C

⊢ Limits.BinaryFan.snd (product X (product Y Z).cone.pt).cone ≫ Limits.BinaryFan.fst (product Y Z).cone = snd X (Y ⊗ Z) ≫ fst Y Z
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p q : α → Prop
f : Filter α
hp : ∃ᶠ (x : α) in f, p x
hq : ∀ᶠ (x : α) in f, q x

⊢ ∃ᶠ (x : α) in f, p x ∧ q x
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p q : α → Prop
f : Filter α
hp : ∃ᶠ (x : α) in f, p x
hq : ∀ᶠ (x : α) in f, q x
h : ∀ᶠ (x : α) in f, ¬(fun x => p x ∧ q x) x

⊢ ∀ (x : α), ¬(fun x => p x ∧ q x) x → q x → ¬(fun x => p x) x
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
ι : Type u_1
B : ι → Opens ↑X
F : Presheaf C X
F' : Sheaf C X
h : Opens.IsBasis (Set.range B)
α β : F ⟶ F'.val
he : ∀ (i : ι), α.app (op (B i)) = β.app (op (B i))

⊢ α = β
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
ι : Type u_1
B : ι → Opens ↑X
F : Presheaf C X
F' : Sheaf C X
h : Opens.IsBasis (Set.range B)
α β : F ⟶ F'.val
he : ∀ (i : ι), α.app (op (B i)) = β.app (op (B i))

⊢ (restrictHomEquivHom F F' h).symm α = (restrictHomEquivHom F F' h).symm β
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype (Sym2 V)

⊢ 2 * G.edgeFinset.card = (filter (fun x => match x with | (x, y) => G.Adj x y) univ).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype (Sym2 V)

⊢ univ.card = (filter (fun x => match x with | (x, y) => G.Adj x y) univ).card
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : R' → R
j : M →+ M₁
hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m

⊢ Module.rank R M ≤ Module.rank R' M₁
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
mα : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hμ : μ ≠ 0
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
hf_int : ∀ (b : β), ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ ≠ ⊤
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f

⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ b, f b a ∂μ = ⨅ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
mα : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hμ : μ ≠ 0
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
hf_int : ∀ (b : β), ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ ≠ ⊤
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
val✝ : Encodable β

⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ b, f b a ∂μ = ⨅ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
mα : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hμ : μ ≠ 0
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
hf_int : ∀ (b : β), ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ ≠ ⊤
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
val✝ : Encodable β
h✝ : IsEmpty β

⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ b, f b a ∂μ = ⨅ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
mα : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hμ : μ ≠ 0
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
hf_int : ∀ (b : β), ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ ≠ ⊤
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
val✝ : Encodable β
h✝ : Nonempty β

⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ b, f b a ∂μ = ⨅ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
mα : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hμ : μ ≠ 0
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
hf_int : ∀ (b : β), ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ ≠ ⊤
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
val✝ : Encodable β
h✝ : Nonempty β
inhabited_h : Inhabited β

⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ b, f b a ∂μ = ⨅ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
mα : MeasurableSpace α
inst✝ : Countable β
f : β → α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hμ : μ ≠ 0
hf : ∀ (b : β), Measurable (f b)
hf_int : ∀ (b : β), ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ ≠ ⊤
h_directed : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
val✝ : Encodable β
h✝ : Nonempty β
inhabited_h : Inhabited β
this : ∀ (a : α), ⨅ b, f b a = ⨅ n, f (Directed.sequence f h_directed n) a

⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ b, f b a ∂μ = ⨅ b, ∫⁻ (a : α), f b a ∂μ
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P
f : M →ₗ[R'] N
x : M

⊢ (map f) (inr x) = inr (f x)
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a✝ b c d m n a : ℤ

⊢ -a.pred = (-a).succ
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x✝ : K
ha : a ≠ 0
h : discrim a b c = 0
x : K

⊢ a * x * x + b * x + c = 0 ↔ x = -b / (2 * a)
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NeZero 2
a b c x✝ : K
ha : a ≠ 0
h : discrim a b c = 0
x : K
this : discrim a b c = 0 * 0

⊢ a * x * x + b * x + c = 0 ↔ x = -b / (2 * a)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j k : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i

⊢ ShortComplex.opcyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map (φ ≫ ψ)) = ShortComplex.opcyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ) ≫ ShortComplex.opcyclesMap ((shortComplexFunctor C c i).map ψ)
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s

⊢ s.ncard = s.toFinset.card
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ

⊢ Metric.ball 0 r₁ • p.ball 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ : ℝ

⊢ Metric.ball 0 r₁ • p.ball 0 0 ⊆ p.ball 0 (r₁ * 0)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0

⊢ Metric.ball 0 r₁ • p.ball 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean

⊢ Tendsto (fun s => s * s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 0) (𝓝 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
h : Tendsto (fun z => z / 2 * Gamma (z / 2)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 1)

⊢ Tendsto (fun s => s * s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 0) (𝓝 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
h : Tendsto (fun z => z / 2 * Gamma (z / 2)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 1)
h' : Tendsto (fun s => 2 * ↑π ^ (-s / 2)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 2)

⊢ Tendsto (fun s => s * s.Gammaℝ) (𝓝[≠] 0) (𝓝 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
h : Tendsto (fun z => z / 2 * Gamma (z / 2)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 1)
h' : Tendsto (fun s => 2 * ↑π ^ (-s / 2)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 2)
z : ℂ

⊢ z * z.Gammaℝ = 2 * ↑π ^ (-z / 2) * (z / 2 * Gamma (z / 2))
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set α
a : α
h : IsLUB s a
b : β
hb : b ∈ upperBounds (l '' s)

⊢ u b ∈ upperBounds s
-- Mathlib/Data/List/InsertNth.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
n : ℕ
l : List α

⊢ (insertNth n a l).eraseIdx n = l
-- Mathlib/Data/List/InsertNth.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
n : ℕ
l : List α

⊢ modifyNthTail (tail ∘ cons a) n l = l
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m✝ n✝ p n m : ℕ
hn : Squarefree n
hm : Squarefree m

⊢ n = m ↔ ∀ (p : ℕ), Prime p → (p ∣ n ↔ p ∣ m)