ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
c : ι → R
m : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι

⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → f (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ s, c i) • f m → f ((insert a s).piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ insert a s, c i) • f m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
c : ι → R
m : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
j : ι
s : Finset ι
j_not_mem_s : j ∉ s
Hrec : f (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ s, c i) • f m
A : update (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) j (m j) = s.piecewise (fun i => c i • m i) m

⊢ f ((insert j s).piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ insert j s, c i) • f m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
c : ι → R
m : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
j : ι
s : Finset ι
j_not_mem_s : j ∉ s
Hrec : f (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) = (∏ i ∈ s, c i) • f m
A : update (s.piecewise (fun i => c i • m i) m) j (m j) = s.piecewise (fun i => c i • m i) m

⊢ c j • (∏ i ∈ s, c i) • f m = (∏ i ∈ insert j s, c i) • f m
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i : ℤ

⊢ i.natAbs.lcm (natAbs 0) = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Kleene.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : KleeneAlgebra α
a b c : α
h : a ≤ 1

⊢ 1 * a ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/AbsConvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s : Set E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : TopologicalAddGroup E

⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => 0 ∈ s ∧ IsOpen s ∧ Balanced 𝕜 s ∧ Convex ℝ s) id
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/AbsConvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s : Set E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : TopologicalAddGroup E

⊢ ∀ (i : Set E), i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i ∧ Convex ℝ i → ∃ i', (0 ∈ i' ∧ IsOpen i' ∧ Balanced 𝕜 i' ∧ Convex ℝ i') ∧ id i' ⊆ id i
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/AbsConvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s : Set E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : TopologicalAddGroup E

⊢ ∀ (i' : Set E), 0 ∈ i' ∧ IsOpen i' ∧ Balanced 𝕜 i' ∧ Convex ℝ i' → ∃ i, (i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i ∧ Convex ℝ i) ∧ id i ⊆ id i'
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/AbsConvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s✝ : Set E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
s : Set E
hs_zero : 0 ∈ s
hs_open : IsOpen s
hs_balanced : Balanced 𝕜 s
hs_convex : Convex ℝ s

⊢ ∃ i, (i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i ∧ Convex ℝ i) ∧ id i ⊆ id s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

⊢ (Spec Γ(X, U)).basicOpen ((Scheme.Hom.app hU.fromSpec U) f) = PrimeSpectrum.basicOpen f
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
p : β → Prop
f : β → ℝ≥0∞
hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x
hf : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ x, p x ∧ f x ≤ ε

⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun x => {p | edist p.1 p.2 < f x}
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
p : β → Prop
f : β → ℝ≥0∞
hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x
hf : ∀ (ε : ℝ≥0∞), 0 < ε → ∃ x, p x ∧ f x ≤ ε
s : Set (α × α)

⊢ (∃ i, 0 < i ∧ {p | edist p.1 p.2 < i} ⊆ s) ↔ ∃ i, p i ∧ {p | edist p.1 p.2 < f i} ⊆ s
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
b : Bool
n : ℕ

⊢ bit b -[n+1] = -[Nat.bit (!b) n+1]
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
b : Bool
n : ℕ

⊢ (2 * -[n+1] + bif b then 1 else 0) = -[2 * n + bif !b then 1 else 0+1]
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
x : α
i : ℕ

⊢ (x, i) ∈ Finset.map m.coeEmbedding Finset.univ ↔ (x, i) ∈ m.toEnumFinset
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ SameRay ℝ x y ↔ ‖x‖⁻¹ • x = ‖y‖⁻¹ • y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β

⊢ AntilipschitzWith K f ↔ ∀ (x y : α), dist x y ≤ ↑K * dist (f x) (f y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
K : ℝ≥0
f : α → β

⊢ (∀ (x y : α), nndist x y ≤ K * nndist (f x) (f y)) ↔ ∀ (x y : α), ↑(nndist x y) ≤ ↑K * ↑(nndist (f x) (f y))
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
n : Type w
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticMap R (n → R) R
i j : n

⊢ Q.toMatrix'.transpose i j = Q.toMatrix' i j
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
h : ⊤ ≤ (span 𝕜 (Set.range v)).topologicalClosure
i : ι

⊢ ⋯.linearIsometryEquiv.symm (lp.single 2 i 1) = v i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
m : Type u_5
n : Type u_6
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
v₁ : OrthonormalBasis n 𝕜 E
v₂ : OrthonormalBasis m 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] F

⊢ (toLin v₂.toBasis v₁.toBasis) ((toMatrix v₂.toBasis v₁.toBasis) (adjoint f)) = (toLin v₂.toBasis v₁.toBasis) ((toMatrix v₁.toBasis v₂.toBasis) f)ᴴ
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
g : Ultrafilter α
gx : ↑g ≤ 𝓝 x

⊢ Tendsto preStoneCechUnit (↑g) (𝓝 (preStoneCechUnit x))
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
g : Ultrafilter α
gx : ↑g ≤ 𝓝 x
this : ↑(Ultrafilter.map pure g) ≤ 𝓝 g

⊢ Tendsto preStoneCechUnit (↑g) (𝓝 (preStoneCechUnit x))
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
g : Ultrafilter α
gx : ↑g ≤ 𝓝 x
this✝ : ↑(Ultrafilter.map pure g) ≤ 𝓝 g
this : map preStoneCechUnit ↑g ≤ 𝓝 (Quot.mk (fun F G => ∃ x, ↑F ≤ 𝓝 x ∧ ↑G ≤ 𝓝 x) g)

⊢ Tendsto preStoneCechUnit (↑g) (𝓝 (preStoneCechUnit x))
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
g : Ultrafilter α
gx : ↑g ≤ 𝓝 x
this✝ : ↑(Ultrafilter.map pure g) ≤ 𝓝 g
this : map preStoneCechUnit ↑g ≤ 𝓝 (Quot.mk (fun F G => ∃ x, ↑F ≤ 𝓝 x ∧ ↑G ≤ 𝓝 x) g)
e_1✝ : PreStoneCech α = Quot fun F G => ∃ x, ↑F ≤ 𝓝 x ∧ ↑G ≤ 𝓝 x

⊢ preStoneCechUnit x = Quot.mk (fun F G => ∃ x, ↑F ≤ 𝓝 x ∧ ↑G ≤ 𝓝 x) g
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G

⊢ (K ⊓ H).subgroupOf K = H.subgroupOf K
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι

⊢ ((Basis.mk hli hsp).coord i) (v j) = if j = i then 1 else 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
h : j = i

⊢ ((Basis.mk hli hsp).coord i) (v j) = if j = i then 1 else 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
c d : R
x y : M
b : Basis ι R M
hli : LinearIndependent R v
hsp : ⊤ ≤ span R (Set.range v)
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
h : j ≠ i

⊢ ((Basis.mk hli hsp).coord i) (v j) = if j = i then 1 else 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Bounded.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E
hf : HasCompactMulSupport f
h'f : Continuous f

⊢ ∃ C, ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
hf : Pairwise fun i j => ⟪f i, f j⟫_𝕜 = 0
i : ι
hi : f i ≠ 0

⊢ (gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i = (↑‖f i‖)⁻¹ • f i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
hf : Pairwise fun i j => ⟪f i, f j⟫_𝕜 = 0
i : ι
hi : f i ≠ 0
H : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = (↑‖f i‖)⁻¹ • f i

⊢ (gramSchmidtOrthonormalBasis h f) i = (↑‖f i‖)⁻¹ • f i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrder ι
inst✝³ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝² : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
h : finrank 𝕜 E = Fintype.card ι
f✝ f : ι → E
hf : Pairwise fun i j => ⟪f i, f j⟫_𝕜 = 0
i : ι
hi : f i ≠ 0
H : gramSchmidtNormed 𝕜 f i = (↑‖f i‖)⁻¹ • f i

⊢ gramSchmidtNormed 𝕜 f i ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f✝ : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y✝ z✝ : E
f : 𝕜 → β
x y z : 𝕜
hf : ConcaveOn 𝕜 (Set.Icc x y) f
hz : z ∈ Set.Icc x y

⊢ min (f x) (f y) ≤ f z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f✝ : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y✝ z✝ : E
f : 𝕜 → β
x y z : 𝕜
hf : ConcaveOn 𝕜 [x-[𝕜]y] f
hz : z ∈ [x-[𝕜]y]

⊢ min (f x) (f y) ≤ f z
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
c : Code
n x : ℕ

⊢ x ∈ c.eval n ↔ ∃ k, x ∈ evaln k c n
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
c : Code
n x : ℕ
h : x ∈ c.eval n

⊢ ∃ k, x ∈ evaln k c n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
p : T[X]
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
a : S
h : a ∈ p.rootSet S
hf : p = 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[T;T⁻¹]
m n : ℤ

⊢ f * T m * T n = f * T (m + n)
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α

⊢ {a}ᶜ = univ.erase a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
a : R
f : R[X]
n✝ : ℕ

⊢ (C a * f).coeff n✝ = (a • f).coeff n✝
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ
n : ℕ

⊢ ENNReal.ofReal (n • x) = n • ENNReal.ofReal x
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G

⊢ IsPrimitiveRoot ζ⁻¹ k ↔ IsPrimitiveRoot ζ k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G

⊢ IsPrimitiveRoot ζ⁻¹ k → IsPrimitiveRoot ζ k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ⁻¹ k

⊢ IsPrimitiveRoot ζ k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ⁻¹ k

⊢ IsPrimitiveRoot ζ⁻¹⁻¹ k
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f

⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + I * b) ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)

⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + I * b) ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)
h1 : 0 < (↑π * a).re

⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + I * b) ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)
h1 : 0 < (↑π * a).re
h2 : 0 < (↑π / a).re

⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + I * b) ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)
h1 : 0 < (↑π * a).re
h2 : 0 < (↑π / a).re
f_bd : f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)

⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + I * b) ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)
h1 : 0 < (↑π * a).re
h2 : 0 < (↑π / a).re
f_bd : f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
Ff_bd : 𝓕 f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)

⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) = 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + I * b) ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)
h1 : 0 < (↑π * a).re
h2 : 0 < (↑π / a).re
f_bd : f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
Ff_bd : 𝓕 f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)

⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π * a * ↑n ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑n) = ∑' (n : ℤ), f (0 + ↑n)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℂ
ha : 0 < a.re
b : ℂ
f : ℝ → ℂ := fun x => cexp (-↑π * a * ↑x ^ 2 + 2 * ↑π * b * ↑x)
hCf : Continuous f
hFf : 𝓕 f = fun x => 1 / a ^ (1 / 2) * cexp (-↑π / a * (↑x + I * b) ^ 2)
h1 : 0 < (↑π * a).re
h2 : 0 < (↑π / a).re
f_bd : f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)
Ff_bd : 𝓕 f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-2)

⊢ 1 / a ^ (1 / 2) * ∑' (n : ℤ), cexp (-↑π / a * (↑n + I * b) ^ 2) = ∑' (n : ℤ), 𝓕 f ↑n * (fourier n) ↑0
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
hf : autoParam (ContinuousOn f (star '' σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ cfcₙ (fun x => f (star x)) a = cfcₙ f (star a)
-- Mathlib/Data/Finsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Zero N
f g : α →₀ N

⊢ f.neLocus g = g.neLocus f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Floor.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
n : ℤ

⊢ Tendsto ceil (𝓝[>] ↑n) (pure (n + 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : z ∈ 𝒟ᵒ

⊢ 3 < 4 * z.im ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : z ∈ 𝒟ᵒ
this : 1 < z.re * z.re + z.im * z.im

⊢ 3 < 4 * z.im ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : z ∈ 𝒟ᵒ
this✝ : 1 < z.re * z.re + z.im * z.im
this : |z.re| < 1 / 2

⊢ 3 < 4 * z.im ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ (θ + ↑(π / 2)).cos = -θ.sin
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝ : ℝ

⊢ (↑x✝ + ↑(π / 2)).cos = -(↑x✝).sin
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
i : F →+* K
x : F
h : F[X]
h_sep : h.Separable
h_root : eval x h = 0
h_splits : Splits i h
h_roots : ∀ y ∈ (map i h).roots, y = i x

⊢ h = C h.leadingCoeff * (X - C x)
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
i : F →+* K
x : F
h : F[X]
h_sep : h.Separable
h_root : eval x h = 0
h_splits : Splits i h
h_roots : ∀ y ∈ (map i h).roots, y = i x
h_ne_zero : h ≠ 0

⊢ h = C h.leadingCoeff * (X - C x)
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
i : F →+* K
x : F
h : F[X]
h_sep : h.Separable
h_root : eval x h = 0
h_splits : Splits i h
h_roots : ∀ y ∈ (map i h).roots, y = i x
h_ne_zero : h ≠ 0

⊢ (map i h).roots = {i x}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
hY : QuasiSeparatedSpace ↑↑Y.toPresheafedSpace
inst✝ : QuasiSeparated f

⊢ QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
hY : QuasiSeparated (terminal.from Y)
inst✝ : QuasiSeparated f

⊢ QuasiSeparated (terminal.from X)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
hY : QuasiSeparated (terminal.from Y)
inst✝ : QuasiSeparated f

⊢ QuasiSeparated (f ≫ terminal.from Y)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hfB : IsInvariantBlock G B
g : G

⊢ g • B = B
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hfB : IsInvariantBlock G B
g : G

⊢ B ≤ g • B
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hfB : IsInvariantBlock G B
g : G
x : X
hx : x ∈ B

⊢ x ∈ g • B
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hfB : IsInvariantBlock G B
g : G
x : X
hx : x ∈ B

⊢ g⁻¹ • x ∈ B
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X
hfB : IsInvariantBlock G B
g : G
x : X
hx : x ∈ B

⊢ g⁻¹ • x ∈ g⁻¹ • B
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → objs j ⟶ B
inst✝ : HasWidePullback B objs arrows
j : J

⊢ π arrows j ≫ arrows j = base arrows
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b c d : α

⊢ Ico a b * Ioc c d ⊆ Ioo (a * c) (b * d)