ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
v : V
p₁ p₂ : P
hv : v ≠ 0
r : ℝ
hvi : ⟪v, v⟫_ℝ ≠ 0
hd : discrim (⟪v, v⟫_ℝ) (2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ) 0 = 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ * (2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ)

⊢ 2 ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
t : Set β
s : β → Set α
ht : t.Countable
hm : ∀ i ∈ t, NullMeasurableSet (s i) μ
hd : t.Pairwise (AEDisjoint μ on s)
f : α → ℝ≥0∞
this : Encodable ↑t

⊢ ∫⁻ (a : α) in ⋃ i ∈ t, s i, f a ∂μ = ∑' (i : ↑t), ∫⁻ (a : α) in s ↑i, f a ∂μ
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p

⊢ xInTermsOfW p R 0 = X 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm ((fun x => κ.densityProcess ν n a x s) - Filtration.limitProcess (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a)) 1 (ν a)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ Submartingale (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) (countableFiltration γ) (ν a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ UniformIntegrable (fun n x => κ.densityProcess ν n a x s) 1 (ν a)
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
h : ringChar R = 1

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
h : ringChar R = 1

⊢ 0 = 1
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
h : ringChar R = 1

⊢ 1 = 0
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
n : ℕ
h : Squarefree (x ^ n)
h' : ¬IsUnit x

⊢ n = 0 ∨ n = 1
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
n : ℕ
h : Squarefree (x ^ n)
h' : n ≠ 0 ∧ n ≠ 1

⊢ IsUnit x
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
n : ℕ
h : Squarefree (x ^ n)
h' : 2 ≤ n

⊢ IsUnit x
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
n : ℕ
h : Squarefree (x ^ n)
h' : 2 ≤ n
this : x * x ∣ x ^ n

⊢ IsUnit x
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, f n = some a → f (n + 1) = some a

⊢ map id ⟨f, al⟩ = ⟨f, al⟩
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, f n = some a → f (n + 1) = some a

⊢ ↑(map id ⟨f, al⟩) = ↑⟨f, al⟩
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, f n = some a → f (n + 1) = some a

⊢ Stream'.map (fun o => Option.rec none (fun val => some val) o) f = f
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, f n = some a → f (n + 1) = some a
e : Option.rec none some = id

⊢ Stream'.map (fun o => Option.rec none (fun val => some val) o) f = f
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : Stream' (Option α)
al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, f n = some a → f (n + 1) = some a
e : Option.rec none some = id
h : (fun x => x) = id

⊢ Stream'.map (fun o => Option.rec none (fun val => some val) o) f = f
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x : α
k : ℤ

⊢ (f.cycleOf x) ((f ^ k) x) = (f ^ (k + 1)) x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x : α
k : ℤ

⊢ f ((f ^ k) x) = (f ^ (k + 1)) x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x : α
k : ℤ

⊢ f.SameCycle x ((f ^ k) x)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α

⊢ ⌊fract a⌋ = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α

⊢ 0 ≤ fract a ∧ fract a < 1
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t✝ u v : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s
t : Finset α

⊢ s ∪ t.erase a = s ∪ t
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIcoDiv hp (a - p) b = toIcoDiv hp a b + 1
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α

⊢ card (Quot.mk Setoid.r l) = countP p (Quot.mk Setoid.r l) + countP (fun x => ¬p x) (Quot.mk Setoid.r l)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.66933, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hg : S.g = 0

⊢ Epi S.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.66933, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hg : S.g = 0
this : S.HasHomology

⊢ Epi S.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.66933, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hg : S.g = 0
this✝ : S.HasHomology
this : Mono S.fromOpcycles

⊢ Epi S.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.66933, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hg : S.g = 0
this✝¹ : S.HasHomology
this✝ : Mono S.fromOpcycles
this : S.pOpcycles = 0

⊢ Epi S.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.66933, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hg : S.g = 0
this✝¹ : S.HasHomology
this✝ : Mono S.fromOpcycles
this : S.pOpcycles = 0

⊢ ∀ {R : C} (g : S.X₂ ⟶ R), S.f ≫ g = 0 → g = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.66933, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hg : S.g = 0
this✝¹ : S.HasHomology
this✝ : Mono S.fromOpcycles
this : S.pOpcycles = 0
A : C
x₂ : S.X₂ ⟶ A
hx₂ : S.f ≫ x₂ = 0

⊢ x₂ = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype V
inst✝⁴ : DecidableEq V
G✝ : SimpleGraph V
inst✝³ : DecidableRel G✝.Adj
inst✝² : DecidableEq G✝.ConnectedComponent
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
c : G.ConnectedComponent

⊢ (fun i => if G.connectedComponentMk i = c then 1 else 0) ∈ LinearMap.ker (toLin' (lapMatrix ℝ G))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype V
inst✝⁴ : DecidableEq V
G✝ : SimpleGraph V
inst✝³ : DecidableRel G✝.Adj
inst✝² : DecidableEq G✝.ConnectedComponent
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : DecidableEq G.ConnectedComponent
c : G.ConnectedComponent

⊢ ∀ (i j : V), G.Reachable i j → (if G.connectedComponentMk i = c then 1 else 0) = if G.connectedComponentMk j = c then 1 else 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ

⊢ Tendsto (fun x => rexp (-x) * x ^ s / rexp (-(1 / 2) * x)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
this : (fun x => rexp (-x) * x ^ s / rexp (-(1 / 2) * x)) = (fun x => rexp (1 / 2 * x) / x ^ s)⁻¹

⊢ Tendsto (fun x => rexp (-x) * x ^ s / rexp (-(1 / 2) * x)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
this : (fun x => rexp (-x) * x ^ s / rexp (-(1 / 2) * x)) = (fun x => rexp (1 / 2 * x) / x ^ s)⁻¹

⊢ Tendsto (fun x => rexp (1 / 2 * x) / x ^ s)⁻¹ atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < [n].len + 1

⊢ ↑((Hom.toOrderHom (δ ⟨i, hi⟩.castSucc ≫ σ ⟨i, hi⟩)) ⟨j, hj⟩) = ↑((Hom.toOrderHom (𝟙 [n])) ⟨j, hj⟩)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 1

⊢ ↑((Hom.toOrderHom (δ ⟨i, hi⟩.castSucc ≫ σ ⟨i, hi⟩)) ⟨j, hj⟩) = ↑((Hom.toOrderHom (𝟙 [n])) ⟨j, hj⟩)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 1

⊢ ↑(if h : ⟨i, ⋯⟩ < if ⟨j, ⋯⟩ < ⟨i, ⋯⟩ then ⟨j, ⋯⟩ else ⟨j + 1, ⋯⟩ then (if ⟨j, ⋯⟩ < ⟨i, ⋯⟩ then ⟨j, ⋯⟩ else ⟨j + 1, ⋯⟩).pred ⋯ else (if ⟨j, ⋯⟩ < ⟨i, ⋯⟩ then ⟨j, ⋯⟩ else ⟨j + 1, ⋯⟩).castPred ⋯) = j
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 1

⊢ (if h : i < if j < i then j else j + 1 then (if j < i then j else j + 1) - 1 else ↑((if j < i then ⟨j, ⋯⟩ else ⟨j + 1, ⋯⟩).castPred ⋯)) = j
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁵ : Semiring R₁
inst✝²⁴ : Semiring R₂
inst✝²³ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
inst✝²² : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝¹⁷ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝¹⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹² : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁴ : Module R₁ M₁
inst✝³ : Module R₁ M'₁
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
inst✝ : TopologicalSpace R₁
f g : R₁ ≃L[R₁] M₁
h : f 1 = g 1
x : R₁

⊢ f (x * 1) = g (x * 1)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Decomposition.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X X' : SimplicialObject C
n : ℕ
Z Z' : C
f : MorphComponents X n Z
g : X' ⟶ X
h : Z ⟶ Z'

⊢ (id X n).φ = 𝟙 (X _[n + 1])
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Decomposition.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X X' : SimplicialObject C
n : ℕ
Z Z' : C
f : MorphComponents X n Z
g : X' ⟶ X
h : Z ⟶ Z'

⊢ PInfty.f (n + 1) ≫ (id X n).a + ∑ i : Fin (n + 1), (P ↑i).f (n + 1) ≫ X.δ i.rev.succ ≫ (id X n).b i.rev = (P (n + 1)).f (n + 1) + (Q (n + 1)).f (n + 1)
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : L.Structure N
S : ι →o L.Substructure M

⊢ (liftInclusion S).toHom.range = ⨆ i, S i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n

⊢ Irreducible (cyclotomic n ℤ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n

⊢ Irreducible (minpoly ℤ (cexp (2 * ↑Real.pi * I / ↑n)))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n

⊢ IsIntegral ℤ (cexp (2 * ↑Real.pi * I / ↑n))
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype m
M : Matrix m n α
i✝ : l
j✝ : n

⊢ (0 * M) i✝ j✝ = 0 i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
x : β
hx : x ∈ image f s.support

⊢ x ∈ (mapDomain f s).support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
x : β
hx : ∃ a, ¬s a = 0 ∧ f a = x

⊢ x ∈ (mapDomain f s).support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
hx_w : α
hx_h_left : ¬s hx_w = 0

⊢ f hx_w ∈ (mapDomain f s).support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
hx_w : α
hx_h_left : ¬s hx_w = 0

⊢ ¬(mapDomain f s) (f hx_w) = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
hx_w : α
hx_h_left : ¬s hx_w = 0

⊢ ¬s hx_w = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
hx_w : α
hx_h_left : ¬s hx_w = 0

⊢ hx_w ∈ ↑s.support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M
hf : Set.InjOn f ↑s.support
hx_w : α
hx_h_left : ¬s hx_w = 0

⊢ ↑s.support ⊆ ↑s.support
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n

⊢ cyclotomic' n K = (X ^ n - 1) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n

⊢ cyclotomic' n K = (cyclotomic' n K * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic' x K) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic

⊢ cyclotomic' n K = (cyclotomic' n K * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic' x K) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic

⊢ 0 + (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K) * cyclotomic' n K = cyclotomic' n K * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic' x K ∧ degree 0 < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic

⊢ (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K) * cyclotomic' n K = cyclotomic' n K * ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K ∧ ⊥ < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic

⊢ ⊥ < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic

⊢ (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree ≠ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ n
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).Monic
h : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic' i K).degree = ⊥

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : 𝕜

⊢ projectiveSeminormAux (List.map (fun y => (a * y.1, y.2)) p) = ‖a‖ * projectiveSeminormAux p
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : 𝕜

⊢ (List.map ((fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) p).sum = ‖a‖ * (List.map (fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : 𝕜

⊢ (List.map ((fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) p).sum = (List.map ((fun x => ‖a‖ • x) ∘ fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) p).sum
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : 𝕜
x : 𝕜 × ((i : ι) → E i)

⊢ ((fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) x = ((fun x => ‖a‖ • x) ∘ fun p => ‖p.1‖ * ∏ i : ι, ‖p.2 i‖) x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/ProjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FreeAddMonoid (𝕜 × ((i : ι) → E i))
a : 𝕜
x : 𝕜 × ((i : ι) → E i)

⊢ ‖a‖ * ‖x.1‖ * ∏ x_1 : ι, ‖x.2 x_1‖ = ‖a‖ * (‖x.1‖ * ∏ x_1 : ι, ‖x.2 x_1‖)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/PairwiseIntersections.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X

⊢ F.IsSheaf ↔ F.IsSheafPreservesLimitPairwiseIntersections
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/PairwiseIntersections.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X

⊢ F.IsSheafPairwiseIntersections ↔ F.IsSheafPreservesLimitPairwiseIntersections
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β

⊢ (x, y) ∈ {a} ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ Prod.mk a '' t
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 4 = 3
hb : b % 4 = 3
hr : jacobiSymNat b a = r

⊢ jacobiSymNat a b = -r
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf'' : ∀ x ∈ interior D, 0 < deriv^[2] f x

⊢ ∀ x ∈ interior (interior D), 0 < deriv (deriv f) x
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
toSemilatticeSup✝¹ : SemilatticeSup α
toInf✝¹ : Inf α
inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
toSemilatticeSup✝ : SemilatticeSup α
toInf✝ : Inf α
inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y

⊢ mk inf_le_left✝¹ inf_le_right✝¹ le_inf✝¹ = mk inf_le_left✝ inf_le_right✝ le_inf✝
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
toSemilatticeSup✝ : SemilatticeSup α
toInf✝¹ : Inf α
inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
toInf✝ : Inf α
inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y

⊢ mk inf_le_left✝¹ inf_le_right✝¹ le_inf✝¹ = mk inf_le_left✝ inf_le_right✝ le_inf✝
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : Lattice α✝
a b c d : α✝
α : Type u_1
toSemilatticeSup✝ : SemilatticeSup α
toInf✝ : Inf α
inf_le_left✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝¹ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
inf_le_left✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ a
inf_le_right✝ : ∀ (a b : α), a ⊓ b ≤ b
le_inf✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → a ≤ c → a ≤ b ⊓ c
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y

⊢ mk inf_le_left✝¹ inf_le_right✝¹ le_inf✝¹ = mk inf_le_left✝ inf_le_right✝ le_inf✝
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
F : Filter α
G : Filter β

⊢ map f (comap f G ⊓ F) = G ⊓ map f F
-- Mathlib/Algebra/Lie/Basic.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M

⊢ ⁅x, ⁅y, z⁆⁆ + ⁅y, ⁅z, x⁆⁆ + ⁅z, ⁅x, y⁆⁆ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Basic.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M

⊢ -(⁅y, ⁅z, x⁆⁆ - ⁅z, ⁅y, x⁆⁆) + ⁅y, ⁅z, x⁆⁆ + -⁅z, ⁅y, x⁆⁆ = 0