ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L

⊢ span K (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero}) = span K (range (Weight.toLinear K (↥H) L))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L

⊢ span K (range (Weight.toLinear K (↥H) L)) ≤ span K (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero})
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L

⊢ range (Weight.toLinear K (↥H) L) ⊆ insert 0 (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero})
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L

⊢ Weight.toLinear K (↥H) L α ∈ insert 0 (Weight.toLinear K (↥H) L '' {α | α.IsNonZero})
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L

⊢ α.IsZero ∨ ∃ x, x.IsNonZero ∧ Weight.toLinear K (↥H) L x = Weight.toLinear K (↥H) L α
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
q : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hq : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < q i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-π * q i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / q i ^ s.re

⊢ HasSum (fun i => ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(q i) ^ s) (mellin F s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
q : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hq : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < q i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-π * q i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / q i ^ s.re
hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < π * q i

⊢ HasSum (fun i => ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(q i) ^ s) (mellin F s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
q : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hq : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < q i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-π * q i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / q i ^ s.re
hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < π * q i
i : ι

⊢ ↑π ^ (-s) * Complex.Gamma s * a i / ↑(q i) ^ s = Complex.Gamma s * a i / ↑(π * q i) ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/MellinEqDirichlet.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Countable ι
a : ι → ℂ
q : ι → ℝ
F : ℝ → ℂ
s : ℂ
hq : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < q i
hs : 0 < s.re
hF : ∀ t ∈ Ioi 0, HasSum (fun i => a i * ↑(rexp (-π * q i * t))) (F t)
h_sum : Summable fun i => ‖a i‖ / q i ^ s.re
hp : ∀ (i : ι), a i = 0 ∨ 0 < π * q i

⊢ Summable fun i => ‖a i‖ / (π * q i) ^ s.re
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y

⊢ diam univ = diam (range inl ∪ range inr)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y

⊢ diam (range inl) + dist (inl default) (inr default) + diam (range inr) = diam univ + (dist default default + 1 + dist default default) + diam univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y

⊢ diam univ + dist (inl default) (inr default) + diam univ = diam univ + (dist default default + 1 + dist default default) + diam univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
hfg : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ

⊢ f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
hfg : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs' : μ s < ⊤

⊢ ∫ (x : α) in s, (f x).toReal ∂μ = ∫ (x : α) in s, (g x).toReal ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
hfg : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs' : μ s < ⊤

⊢ (∫⁻ (a : α) in s, ENNReal.ofReal (f a).toReal ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α) in s, ENNReal.ofReal (g a).toReal ∂μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
hfg : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs' : μ s < ⊤

⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => (g x).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
hfg : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs' : μ s < ⊤

⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => (g x).toReal) (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
hfg : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs' : μ s < ⊤

⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => (f x).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hgi : ∫⁻ (x : α), g x ∂μ ≠ ⊤
hfg : ∀ ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs' : μ s < ⊤

⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => (f x).toReal) (μ.restrict s)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.natDegree ≠ 0

⊢ (derivative p).natDegree < p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.natDegree ≠ 0
hp' : derivative p = 0

⊢ (derivative p).natDegree < p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.natDegree ≠ 0
hp' : derivative p ≠ 0

⊢ (derivative p).natDegree < p.natDegree
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n α
x y : n → α
x✝ : m

⊢ (A *ᵥ (x + y)) x✝ = (A *ᵥ x + A *ᵥ y) x✝
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finmap β

⊢ a ∉ erase a s
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finmap β

⊢ a = a ∨ a ∉ s
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b n : ℕ
hb : 1 < b
hn : n ≠ 0

⊢ (b.digits n).length = log b n + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b : ℕ
hb : 1 < b
n : ℕ
IH : ∀ m < n, m ≠ 0 → (b.digits m).length = log b m + 1
hn : n ≠ 0

⊢ (b.digits n).length = log b n + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b : ℕ
hb : 1 < b
n : ℕ
IH : ∀ m < n, m ≠ 0 → (b.digits m).length = log b m + 1
hn : n ≠ 0

⊢ (b.digits (n / b)).length + 1 = log b n + 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

⊢ Integrable (fun ω => (((condexpKernel μ m) ω) s).toReal) μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

⊢ Integrable (fun ω => ((((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω) s).toReal) μ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z

⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y

⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z

⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)

⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x

⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha✝ : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
ha : (z - y) / (z - x) = a

⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
x : 𝕜
hx : x ∈ s
z : 𝕜
hz : z ∈ s
hxz✝ : x < z
a b : 𝕜
ha✝ : 0 < a
hb✝ : 0 < b
hab : a + b = 1
y : 𝕜 := a * x + b * z
hxy : x < y
hyz : y < z
this : (f y - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (y - x)
hxz : 0 < z - x
ha : (z - y) / (z - x) = a
hb : (y - x) / (z - x) = b

⊢ f (a • x + b • z) < a • f x + b • f z
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
n✝ : Type u_3
o : Type u_4
p✝ : Type u_5
q✝ : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : CommRing R
m : Type u_14
n : Type u_15
k : Type u_16
inst✝¹ : Fintype n
p : m → Prop
q : n → Prop
inst✝ : DecidablePred q
r : k → Prop
A : Matrix m n R
B : Matrix n k R

⊢ (A * B).toBlock p r = A.toBlock p q * B.toBlock q r + (A.toBlock p fun i => ¬q i) * B.toBlock (fun i => ¬q i) r
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R

⊢ torsionBySet R M Set.univ = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R

⊢ torsionBySet R M Set.univ ≤ torsionBySet R M {1}
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/MvPolynomial.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : σ
n : N
d : σ →₀ ℕ

⊢ (scalarRTensor (X s ⊗ₜ[R] n)) d = if Finsupp.single s 1 = d then n else 0
-- Mathlib/Data/Pi/Interval.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrderTop (α i)
a : (i : ι) → α i

⊢ (Ioi a).card = ∏ i : ι, (Ici (a i)).card - 1
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x y : ℤ[i]

⊢ { re := round (↑(x * star y).re * (↑(norm y))⁻¹), im := round (↑(x * star y).im * (↑(norm y))⁻¹) } = { re := round (↑(x * star y).re / ↑(norm y)), im := round (↑(x * star y).im / ↑(norm y)) }
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F

⊢ MeasurableSet {x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ioi x) x}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x
hyz : y < z

⊢ x ^ y < x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x
hyz : y < z

⊢ rexp (log x * y) < rexp (log x * z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 1 < x
hyz : y < z

⊢ log x * y < log x * z
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T

⊢ FinMeasAdditive μ T
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : (c • μ) s = ⊤

⊢ μ s = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : c ≠ 0 ∧ μ s = ⊤ ∨ c = ⊤ ∧ μ s ≠ 0

⊢ μ s = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
c : ℝ≥0∞
hc_ne_top : c ≠ ⊤
hT : FinMeasAdditive (c • μ) T
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : ¬c = 0 ∧ μ s = ⊤

⊢ μ s = ⊤
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
h✝ : s.Terminates
a : α
h : s.get = a

⊢ s.get ∈ s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e o₁ o₂ : ONote
n₁ n₂ : ℕ+
h₁ : (e.oadd n₁ o₁).NF
h : ↑n₁ < ↑n₂

⊢ e.oadd n₁ o₁ < e.oadd n₂ o₂
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e o₁ o₂ : ONote
n₁ n₂ : ℕ+
h₁ : (e.oadd n₁ o₁).NF
h : ↑n₁ < ↑n₂

⊢ ω ^ e.repr * ↑↑n₁ + o₁.repr < ω ^ e.repr * ↑↑n₂ + o₂.repr
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e o₁ o₂ : ONote
n₁ n₂ : ℕ+
h₁ : (e.oadd n₁ o₁).NF
h : ↑n₁ < ↑n₂

⊢ ω ^ e.repr * ↑↑n₁ + ω ^ e.repr ≤ ω ^ e.repr * ↑↑n₂
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x y : α
xs : List α
h : (x :: y :: xs).Nodup

⊢ (x :: y :: xs).formPerm x = y
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ

⊢ M ≅[L] N ↔ ∀ (φ : L.Sentence), M ⊨ φ ↔ N ⊨ φ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : s ∈ cocompact α

⊢ s ∈ atBot
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : s ∈ cocompact α
t : Set α
ht : IsCompact t
hts : tᶜ ⊆ s

⊢ s ∈ atBot
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : s ∈ cocompact α
t : Set α
ht : IsCompact t
hts : tᶜ ⊆ s
h_empty : t = ∅

⊢ s ∈ atBot
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set α
hs : s ∈ cocompact α
t : Set α
ht : IsCompact t
hts : tᶜ ⊆ s
h_nonempty : t.Nonempty

⊢ s ∈ atBot
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ

⊢ abs x = 1 ↔ ∃ θ ∈ Ioc (-π) π, cexp (↑θ * I) = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ

⊢ (∃ θ, cexp (↑θ * I) = x) ↔ ∃ θ ∈ Ioc (-π) π, cexp (↑θ * I) = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K✝ : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
K : Type u_9
E : Type u_10
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module K E
s : Submodule K E
x : E

⊢ Disjoint s (span K {x}) ↔ x ∈ s → x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K✝ : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
K : Type u_9
E : Type u_10
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module K E
s : Submodule K E
x : E

⊢ (x ∈ s → x = 0) → ∀ x_1 ∈ s, x_1 ∈ span K {x} → x_1 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K✝ : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
K : Type u_9
E : Type u_10
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module K E
s : Submodule K E
x : E
H : x ∈ s → x = 0
y : E
hy : y ∈ s
hyx : y ∈ span K {x}

⊢ y = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K✝ : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁷ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F M M₂
inst✝³ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
K : Type u_9
E : Type u_10
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module K E
s : Submodule K E
x : E
H : x ∈ s → x = 0
c : K
hy : c • x ∈ s
hyx : c • x ∈ span K {x}

⊢ c • x = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
y : R

⊢ Tendsto (seminormFromConst_seq c f (x * y)) atTop (𝓝 (seminormFromConst' hf1 hc hpm x * seminormFromConst' hf1 hc hpm y))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
y : R

⊢ Tendsto (seminormFromConst_seq c f (x * y)) atTop (𝓝 (f x * seminormFromConst' hf1 hc hpm y))