ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

⊢ m ⊓ mΩ = MeasurableSpace.comap id (m ⊓ mΩ)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b

⊢ ∃ z, b = ↑z
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp
gp_b_eq_b_n : gp.b = b

⊢ ∃ z, b = ↑z
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b
gp : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp
gp_b_eq_b_n : gp.b = b
this : ∃ z, gp.b = ↑z

⊢ ∃ z, b = ↑z
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s✝ : Set (Sym2 V)
s : Set (Sym2 ↑G'.verts)
v : V
hv : v ∈ G'.verts
w : V
hw : w ∈ G'.verts

⊢ (G'.coe.deleteEdges s).Adj ⟨v, hv⟩ ⟨w, hw⟩ ↔ (G'.deleteEdges (Sym2.map Subtype.val '' s)).coe.Adj ⟨v, hv⟩ ⟨w, hw⟩
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s✝ : Set (Sym2 V)
s : Set (Sym2 ↑G'.verts)
v : V
hv : v ∈ G'.verts
w : V
hw : w ∈ G'.verts

⊢ G'.Adj v w → (s(⟨v, hv⟩, ⟨w, hw⟩) ∉ s ↔ ∀ x ∈ s, ¬Sym2.map Subtype.val x = s(v, w))
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
g : G

⊢ g ∈ H.normalizer ↔ ∀ (h : G), h ∈ H ↔ g⁻¹ * h * g ∈ H
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n : ℕ
h : 0 < n + 1

⊢ ⟨0, h⟩.cycleRange = 1
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
L : List (Γ k)
L₁ : ListBlank Γ'
L₂ : List (Γ k)
H₁ : L₁ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)
H₂ : L₂ ∈ TM2.eval M k L

⊢ ∃ S L', addBottom L' = L₁ ∧ (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = L₂
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
L L₂ : List (Γ k)
H₂ : L₂ ∈ TM2.eval M k L
c₁ : TM1.Cfg Γ' Λ' σ
h₁ : c₁ ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
H₁ : c₁.Tape.right₀ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)

⊢ ∃ S L', addBottom L' = c₁.Tape.right₀ ∧ (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = L₂
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
L : List (Γ k)
c₁ : TM1.Cfg Γ' Λ' σ
h₁ : c₁ ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
H₁ : c₁.Tape.right₀ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)
c₂ : Cfg₂
h₂ : c₂ ∈ eval (TM2.step M) (TM2.init k L)
H₂ : c₂.stk k ∈ TM2.eval M k L

⊢ ∃ S L', addBottom L' = c₁.Tape.right₀ ∧ (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = c₂.stk k
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
L : List (Γ k)
c₁ : TM1.Cfg Γ' Λ' σ
h₁ : c₁ ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
H₁ : c₁.Tape.right₀ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)
q✝ : Option Λ
v✝ : σ
S✝ : (k : K) → List (Γ k)
L' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S✝ k)).reverse
h₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ } ∈ eval (TM2.step M) (TM2.init k L)
H₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k ∈ TM2.eval M k L
h₃ : { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') } ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))

⊢ ∃ S L', addBottom L' = c₁.Tape.right₀ ∧ (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
k : K
L : List (Γ k)
q✝ : Option Λ
v✝ : σ
S✝ : (k : K) → List (Γ k)
L' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S✝ k)).reverse
h₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ } ∈ eval (TM2.step M) (TM2.init k L)
H₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k ∈ TM2.eval M k L
h₃ : { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') } ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
h₁ : { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') } ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
H₁ : { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') }.Tape.right₀ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)

⊢ ∃ S L'_1, addBottom L'_1 = { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') }.Tape.right₀ ∧ (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L'_1 = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0

⊢ I * span {x} ≤ J * span {x} ↔ I ≤ J
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∑ x : α, a x * b x ^ Function.invFun (fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p) 1 = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DistribLattice α
s : Finset ι
t : Finset κ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f✝ : ι → α
g : κ → α
a✝ : α
f : ι → α
a : α

⊢ a ⊓ s.sup' hs f = s.sup' hs fun i => a ⊓ f i
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain R
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : Nontrivial L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsDomain S
s : S
hs : IsIntegral R s

⊢ minpoly K ((algebraMap S L) s) = map (algebraMap R K) (minpoly R s)
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain R
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : Nontrivial L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsDomain S
s : S
hs : IsIntegral R s

⊢ Irreducible (map (algebraMap R K) (minpoly R s))
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain R
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : Nontrivial L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsDomain S
s : S
hs : IsIntegral R s

⊢ (Polynomial.aeval ((algebraMap S L) s)) (map (algebraMap R K) (minpoly R s)) = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : CommRing S
inst✝¹³ : IsDomain R
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : Nontrivial L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra S L
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsDomain S
s : S
hs : IsIntegral R s

⊢ (map (algebraMap R K) (minpoly R s)).Monic
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover

⊢ ⋃ i, Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base = Set.univ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover

⊢ ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), x ∈ ⋃ i, Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x : ↑↑X.toPresheafedSpace

⊢ x ∈ ⋃ i, Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x : ↑↑X.toPresheafedSpace

⊢ ∃ i, x ∈ Set.range ⇑(𝒰.map i).val.base
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ b ∈ [[a, c]] → c ∈ [[a, b]] → b = c
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ a ⊓ c ≤ b ∧ b ≤ a ⊔ c → a ⊓ b ≤ c ∧ c ≤ a ⊔ b → b = c
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v w : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
hw : ∀ (i : ι), w i = v i ∨ w i = -v i

⊢ Orthonormal 𝕜 w
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
hA : Tendsto (fun n => EMetric.diam (A (res x n))) atTop (𝓝 0)

⊢ ∃ n, ∀ y ∈ A (res x n), ∀ z ∈ A (res x n), dist y z < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
hA : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε

⊢ ∃ n, ∀ y ∈ A (res x n), ∀ z ∈ A (res x n), dist y z < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
hA : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)

⊢ ∃ n, ∀ y ∈ A (res x n), ∀ z ∈ A (res x n), dist y z < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
hA : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)

⊢ ∀ y ∈ A (res x n), ∀ z ∈ A (res x n), dist y z < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
hA : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
y : α
hy : y ∈ A (res x n)
z : α
hz : z ∈ A (res x n)

⊢ dist y z < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
hA : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
y : α
hy : y ∈ A (res x n)
z : α
hz : z ∈ A (res x n)

⊢ edist y z < ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
hA : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
y : α
hy : y ∈ A (res x n)
z : α
hz : z ∈ A (res x n)

⊢ EMetric.diam (A (res x n)) < ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
hA : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
y : α
hy : y ∈ A (res x n)
z : α
hz : z ∈ A (res x n)

⊢ ENNReal.ofReal (ε / 2) < ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CantorScheme.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
A : List β → Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace α
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
x : ℕ → β
hA : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, EMetric.diam (A (res x n)) ≤ ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, EMetric.diam (A (res x n_1)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
y : α
hy : y ∈ A (res x n)
z : α
hz : z ∈ A (res x n)

⊢ ε / 2 < ε
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
h : IsTerminal (colimit (F ⋙ yoneda))

⊢ F.Final
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type v
inst✝¹ : Category.{v, v} C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} D
F : C ⥤ D
h : IsTerminal (colimit (F ⋙ yoneda))
d : D

⊢ colimit (F ⋙ coyoneda.obj (op d)) ≅ PUnit.{v + 1}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : t ∈ 𝓝 x

⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f (s ∩ t) x f' ↔ HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : t ∈ 𝓝 x

⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/GroupTheory/Coprod/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass M'
inst✝¹ : MulOneClass N'
inst✝ : MulOneClass P

⊢ Submonoid.closure (Set.range ⇑inl ∪ Set.range ⇑inr) = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Coprod/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
M' : Type u_3
N' : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass M'
inst✝¹ : MulOneClass N'
inst✝ : MulOneClass P

⊢ Submonoid.closure (Set.range ⇑inl ∪ Set.range ⇑inr) = Submonoid.closure (Set.range ((⇑mk ∘ of) ∘ Sum.inl) ∪ Set.range ((⇑mk ∘ of) ∘ Sum.inr))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A

⊢ (sheafifyComposeIso J U ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).hom ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val = ((presheafToSheaf J B ⋙ sheafToPresheaf J B).mapIso (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U)).hom ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A

⊢ toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)) ⋙ U) ≫ (sheafifyComposeIso J U ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).hom ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val = toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)) ⋙ U) ≫ ((presheafToSheaf J B ⋙ sheafToPresheaf J B).mapIso (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U)).hom ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A

⊢ whiskerRight (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) U ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val = toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)) ⋙ U) ≫ ((presheafToSheaf J B).map (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U).hom).val ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A

⊢ whiskerRight (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) U ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val = (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U).hom ≫ (sheafificationAdjunction J B).unit.app ((const Cᵒᵖ).obj (U.obj (F.val.obj (op t)))) ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A

⊢ whiskerRight (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) U ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val = { app := fun x => 𝟙 (U.obj (F.val.obj (op t))), naturality := ⋯ } ≫ toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (U.obj (F.val.obj (op t)))) ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
x✝ : Cᵒᵖ

⊢ (whiskerRight (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))) U ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val).app x✝ = ({ app := fun x => 𝟙 (U.obj (F.val.obj (op t))), naturality := ⋯ } ≫ toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (U.obj (F.val.obj (op t)))) ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val).app x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
x✝ : Cᵒᵖ

⊢ U.map ((toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).app x✝) ≫ U.map (𝟙 (((presheafToSheaf J A).obj ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).val.obj x✝)) ≫ U.map (((presheafToSheaf J A).map ((constantPresheafAdj A ht).counit.app F.val)).val.app x✝) ≫ U.map ((sheafifyLift J (𝟙 F.val) ⋯).app x✝) = (toSheafify J ((const Cᵒᵖ).obj (U.obj (F.val.obj (op t))))).app x✝ ≫ (sheafifyLift J ((constantPresheafAdj B ht).counit.app (F.val ⋙ U)) ⋯).app x✝