ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, J i ⊔ I = ⊤
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ I ⊔ J i = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ

⊢ ⌈a⌉₊ = 0 ↔ a ≤ 0
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α

⊢ a ∈ ⨅ i, f i ↔ ∃ i, a ∈ f i
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α

⊢ a ∈ ⋃ i, ↑(f i) ↔ ∃ i, a ∈ f i
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
f : α → Finset β
s : Finset α
b a : β

⊢ a ∈ (s.biUnion f).erase b ↔ a ∈ s.biUnion fun x => (f x).erase b
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
f : α → Finset β
s : Finset α
b a : β

⊢ (¬a = b ∧ ∃ a_1 ∈ s, a ∈ f a_1) ↔ ∃ a_1 ∈ s, ¬a = b ∧ a ∈ f a_1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/AdjointAction.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L

⊢ (ad R L).IsIdealMorphism
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/AdjointAction.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L

⊢ ∀ (x : LieDerivation R L L) (y : L), ∃ z, (ad R L) (x y) = (ad R L) z
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1

⊢ ∀ (m n : Num), ↑(m.ldiff n) = (↑m).ldiff ↑n
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop

⊢ 1 + ω = ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop

⊢ 1 + ω ≤ ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop

⊢ type (Sum.Lex EmptyRelation fun x x_1 => x < x_1) ≤ type fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type u_2
n : ℕ
xs : Vector α n
σ₁ : Type
β : Type u_1
σ₂ : Type
f₁ : α → σ₁ → σ₁ × β
f₂ : α → σ₂ → σ₂ × β
R : σ₁ → σ₂ → Prop
hR : ∀ {s : σ₁} {q : σ₂} (a : α), R s q → R (f₁ a s).1 (f₂ a q).1 ∧ (f₁ a s).2 = (f₂ a q).2
n✝ : ℕ
xs✝ : Vector α n✝
x✝ : α
a✝ : ∀ {s₁ : σ₁} {s₂ : σ₂}, R s₁ s₂ → R (mapAccumr f₁ xs✝ s₁).1 (mapAccumr f₂ xs✝ s₂).1 ∧ (mapAccumr f₁ xs✝ s₁).2 = (mapAccumr f₂ xs✝ s₂).2
s₁ : σ₁
s₂ : σ₂
h₀ : R s₁ s₂

⊢ R (mapAccumr f₁ (xs✝.snoc x✝) s₁).1 (mapAccumr f₂ (xs✝.snoc x✝) s₂).1 ∧ (mapAccumr f₁ (xs✝.snoc x✝) s₁).2 = (mapAccumr f₂ (xs✝.snoc x✝) s₂).2
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
hU : IsOpen U

⊢ U =ᶠ[ae μ] ∅ ↔ U = ∅
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
c : ι → R
m : (i : ι) → M₁ i

⊢ (f fun i => c i • m i) = (∏ i : ι, c i) • f m
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a✝ : α
z a : ℤ

⊢ ⌈↑z⌉ ≤ a ↔ z ≤ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
V : Set G

⊢ index ∅ V = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
V : Set G

⊢ 0 ∈ Finset.card '' {t | ∅ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V} ∨ Finset.card '' {t | ∅ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V} = ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
V : Set G

⊢ 0 ∈ Finset.card '' {t | ∅ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
V : Set G

⊢ ∅ ∈ {t | ∅ ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V} ∧ ∅.card = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Lattice (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i

⊢ update f i '' uIcc (f i) b = uIcc f (update f i b)
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Lemmas.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike K
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace K E
inst✝ : FiniteDimensional K E
this : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ K E

⊢ ProperSpace E
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Lemmas.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike K
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace K E
inst✝ : FiniteDimensional K E
this✝ : NormedSpace ℝ E := RestrictScalars.normedSpace ℝ K E
this : FiniteDimensional ℝ E := trans ℝ K E

⊢ ProperSpace E
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G H : Cᵒᵖ ⥤ D
α : F.rightOp ⟶ G.rightOp
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y

⊢ (G.map f ≫ (fun X => (α.app (unop X)).unop) Y).op = ((fun X => (α.app (unop X)).unop) X ≫ F.map f).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
X : Scheme
ι : Sort u_1
S : ι → ↑X.affineOpens
hS : ⨆ i, ↑(S i) = ⊤
hS' : ∀ (i : ι), IsNoetherianRing ↑Γ(X, ↑(S i))
U : ↑X.affineOpens

⊢ IsNoetherianRing ↑Γ(X, ↑U)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

⊢ IsIntegralClosure (CyclotomicRing p ℤ ℚ) ℤ (CyclotomicField p ℚ)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

⊢ IsIntegralClosure (CyclotomicRing (p ^ 1) ℤ ℚ) ℤ (CyclotomicField (p ^ 1) ℚ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι A M
f : M →ₗ[A] M

⊢ (detAux (Trunc.mk b)) f = ((toMatrix b b) f).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι A M
f : M →ₗ[A] M

⊢ (Trunc.lift (fun b => detMonoidHom.comp ↑(toMatrixAlgEquiv b)) ⋯ (Trunc.mk b)) f = ((toMatrix b b) f).det
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
x : γ
s : (i : ι) → κ i → Set γ

⊢ x ∈ ⋃ i, ⋃ j, s i j ↔ ∃ i j, x ∈ s i j
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁✝ s₂✝ t✝ t₁ t₂ u t s₁ s₂ s₁' s₂' : Set α
x : α

⊢ x ∈ t.ite (s₁ ∩ s₂) (s₁' ∩ s₂') ↔ x ∈ t.ite s₁ s₁' ∩ t.ite s₂ s₂'
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁✝ s₂✝ t✝ t₁ t₂ u t s₁ s₂ s₁' s₂' : Set α
x : α

⊢ (x ∈ s₁ ∧ x ∈ s₂) ∧ x ∈ t ∨ (x ∈ s₁' ∧ x ∈ s₂') ∧ x ∉ t ↔ (x ∈ s₁ ∧ x ∈ t ∨ x ∈ s₁' ∧ x ∉ t) ∧ (x ∈ s₂ ∧ x ∈ t ∨ x ∈ s₂' ∧ x ∉ t)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H

⊢ Tendsto Inv.inv (𝓝[≥] a⁻¹) (𝓝[≤] a)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α

⊢ a * b⁻¹ * b ≤ c * b ↔ a ≤ c * b
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ frontier s = closure s ∩ closure sᶜ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : AddGroup α
a b : α
n : ℕ
x✝ : α

⊢ (Equiv.addLeft a ^ n) x✝ = (Equiv.addLeft (n • a)) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Zero.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End R M
h : IsNilpotent φ

⊢ LinearMap.charpoly φ = X ^ finrank R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Zero.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End R M
h : IsNilpotent φ

⊢ LinearMap.charpoly φ - X ^ finrank R M = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Zero.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End R M
h : IsNilpotent φ

⊢ IsNilpotent (LinearMap.charpoly φ - X ^ finrank R M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Zero.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End R M
h : IsNilpotent φ

⊢ IsNilpotent (LinearMap.charpoly φ - X ^ Fintype.card (ChooseBasisIndex R M))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Zero.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : IsDomain R
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Module.Finite K M
φ : Module.End R M
h : IsNilpotent φ

⊢ IsNilpotent ((LinearMap.toMatrix (chooseBasis R M) (chooseBasis R M)) φ)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme

⊢ Opens.IsBasis X.affineOpens
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme

⊢ ∀ {U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace} {x : ↑↑X.toPresheafedSpace}, x ∈ U → ∃ U' ∈ X.affineOpens, x ∈ U' ∧ U' ≤ U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : x ∈ ↑U

⊢ ∃ U' ∈ X.affineOpens, x ∈ U' ∧ U' ≤ U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : x ∈ ↑U
S : Set ↑↑X.toPresheafedSpace
hS : S ∈ {x | ∃ a, x = Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map a).val.base}
hxS : x ∈ S
hSU : S ⊆ ↑U

⊢ ∃ U' ∈ X.affineOpens, x ∈ U' ∧ U' ≤ U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : x ∈ ↑U
S : Set ↑↑X.toPresheafedSpace
hS : S ∈ {x | ∃ a, x = Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map a).val.base}
hxS : x ∈ S
hSU : S ⊆ ↑U

⊢ { carrier := S, is_open' := ⋯ } ∈ X.affineOpens
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : x ∈ ↑U
i : X.affineBasisCover.J
hxS : x ∈ Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map i).val.base
hSU : Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map i).val.base ⊆ ↑U

⊢ { carrier := Set.range ⇑(X.affineBasisCover.map i).val.base, is_open' := ⋯ } ∈ X.affineOpens
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
x✝ : 𝕜
h : HasFPowerSeriesAt 0 p x✝
n : ℕ
x : Fin n → 𝕜

⊢ (p n) x = (0 n) x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
x✝ : 𝕜
h : HasFPowerSeriesAt 0 p x✝
n : ℕ
x : Fin n → 𝕜

⊢ (ContinuousMultilinearMap.mkPiRing 𝕜 (Fin n) ((p n) fun x => 1)) x = (0 n) x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : s.Nonempty

⊢ x ∈ closure s ↔ infDist x s = 0
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Pi.lean
I : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq I
Z : I → Type u_2
inst✝² : (i : I) → CommMonoid (Z i)
inst✝¹ : Finite I
G : Type u_3
inst✝ : CommMonoid G
g h : ((i : I) → Z i) →* G
H : ∀ (i : I) (x : Z i), g (Pi.mulSingle i x) = h (Pi.mulSingle i x)

⊢ g = h
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Pi.lean
I : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq I
Z : I → Type u_2
inst✝² : (i : I) → CommMonoid (Z i)
inst✝¹ : Finite I
G : Type u_3
inst✝ : CommMonoid G
g h : ((i : I) → Z i) →* G
H : ∀ (i : I) (x : Z i), g (Pi.mulSingle i x) = h (Pi.mulSingle i x)
val✝ : Fintype I

⊢ g = h
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Pi.lean
I : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq I
Z : I → Type u_2
inst✝² : (i : I) → CommMonoid (Z i)
inst✝¹ : Finite I
G : Type u_3
inst✝ : CommMonoid G
g h : ((i : I) → Z i) →* G
H : ∀ (i : I) (x : Z i), g (Pi.mulSingle i x) = h (Pi.mulSingle i x)
val✝ : Fintype I
k : (i : I) → Z i

⊢ g k = h k
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Pi.lean
I : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq I
Z : I → Type u_2
inst✝² : (i : I) → CommMonoid (Z i)
inst✝¹ : Finite I
G : Type u_3
inst✝ : CommMonoid G
g h : ((i : I) → Z i) →* G
H : ∀ (i : I) (x : Z i), g (Pi.mulSingle i x) = h (Pi.mulSingle i x)
val✝ : Fintype I
k : (i : I) → Z i

⊢ ∏ x : I, g (Pi.mulSingle x (k x)) = ∏ x : I, h (Pi.mulSingle x (k x))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : ℝ

⊢ 2 • ↑(θ / 2) = ↑θ
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Basic.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.61158, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.61162, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁✝ S₂✝ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : ShortComplex Cᵒᵖ
φ : S₁ ⟶ S₂

⊢ φ.τ₃.unop ≫ S₁.g.unop = S₂.g.unop ≫ φ.τ₂.unop
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Basic.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.61158, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.61162, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁✝ S₂✝ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S₁ S₂ : ShortComplex Cᵒᵖ
φ : S₁ ⟶ S₂

⊢ φ.τ₂.unop ≫ S₁.f.unop = S₂.f.unop ≫ φ.τ₁.unop
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
hzero : ¬n = 0

⊢ map (Int.castRingHom ℂ) (cyclotomic n ℤ) = cyclotomic' n ℂ ∧ (cyclotomic n ℤ).degree = (cyclotomic' n ℂ).degree ∧ (cyclotomic n ℤ).Monic
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
hzero : ¬n = 0

⊢ map (Int.castRingHom ℂ) ⋯.choose = cyclotomic' n ℂ ∧ ⋯.choose.degree = (cyclotomic' n ℂ).degree ∧ ⋯.choose.Monic
-- Mathlib/Algebra/Star/SelfAdjoint.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Star R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : StarAddMonoid A
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R A
inst✝ : StarModule R A
r : R
x : A
h : x ∈ skewAdjoint A

⊢ r • x ∈ skewAdjoint A
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
n : ℕ
f : ℕ → ℕ → M

⊢ ∏ m ∈ range n, ∏ k ∈ range (m + 1), f k (m - k) = ∏ m ∈ range n, ∏ k ∈ range (n - m), f m k
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
n : ℕ
f : ℕ → ℕ → M

⊢ ∏ x ∈ (range n).sigma fun m => range (m + 1), f x.snd (x.fst - x.snd) = ∏ x ∈ (range n).sigma fun m => range (n - m), f x.fst x.snd
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
n : ℕ
f : ℕ → ℕ → M

⊢ ∀ (a b : ℕ), a < n → b ≤ a → b < n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : SeminormedCommRing S
inst✝¹² : SeminormedRing R
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Algebra S R
inst✝⁹ : Module S M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁶ : BoundedSMul S R
inst✝⁵ : BoundedSMul S M
inst✝⁴ : BoundedSMul R M
inst✝³ : BoundedSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : IsScalarTower S R M
inst✝ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
r : R

⊢ ‖inl r‖ = ‖r‖
-- Mathlib/CategoryTheory/LiftingProperties/Adjunction.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : A ⟶ F.obj X
v : B ⟶ F.obj Y
sq : CommSq u i (F.map p) v
adj : G ⊣ F

⊢ (adj.homEquiv A X).symm u ≫ p = G.map i ≫ (adj.homEquiv B Y).symm v
-- Mathlib/CategoryTheory/LiftingProperties/Adjunction.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : A ⟶ F.obj X
v : B ⟶ F.obj Y
sq : CommSq u i (F.map p) v
adj : G ⊣ F

⊢ G.map u ≫ adj.counit.app X ≫ p = G.map (u ≫ F.map p) ≫ adj.counit.app Y
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
s : ℝ

⊢ 0 ≤ term n s
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
s : ℝ

⊢ 0 ≤ ∫ (x : ℝ) in Ioc (↑n) (↑n + 1), (x - ↑n) / x ^ (s + 1) ∂volume
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
s x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑n) (↑n + 1)

⊢ 0 ≤ (x - ↑n) / x ^ (s + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
s x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑n) (↑n + 1)

⊢ 0 ≤ x - ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
s x : ℝ
hx : x ∈ Ioc (↑n) (↑n + 1)

⊢ 0 ≤ x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : IsPiSystem C
hD : IsPiSystem D
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ∈ C
t₁ : Set β
ht₁ : t₁ ∈ D
s₂ : Set α
hs₂ : s₂ ∈ C
t₂ : Set β
ht₂ : t₂ ∈ D
hst : ((fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s₁ t₁ ∩ (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s₂ t₂).Nonempty

⊢ (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s₁ t₁ ∩ (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) s₂ t₂ ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : IsPiSystem C
hD : IsPiSystem D
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ∈ C
t₁ : Set β
ht₁ : t₁ ∈ D
s₂ : Set α
hs₂ : s₂ ∈ C
t₂ : Set β
ht₂ : t₂ ∈ D
hst : ((s₁ ∩ s₂) ×ˢ (t₁ ∩ t₂)).Nonempty

⊢ (s₁ ∩ s₂) ×ˢ (t₁ ∩ t₂) ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
C : Set (Set α)
D : Set (Set β)
hC : IsPiSystem C
hD : IsPiSystem D
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ∈ C
t₁ : Set β
ht₁ : t₁ ∈ D
s₂ : Set α
hs₂ : s₂ ∈ C
t₂ : Set β
ht₂ : t₂ ∈ D
hst : (s₁ ∩ s₂).Nonempty ∧ (t₁ ∩ t₂).Nonempty

⊢ (s₁ ∩ s₂) ×ˢ (t₁ ∩ t₂) ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) C D
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ

⊢ map₂ m f (g₁ ⊔ g₂) = map₂ m f g₁ ⊔ map₂ m f g₂
-- Mathlib/Data/Fintype/Lattice.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β

⊢ ∃ x₀, ∀ (x : α), f x ≤ f x₀
-- Mathlib/Data/Fintype/Lattice.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
val✝ : Fintype α

⊢ ∃ x₀, ∀ (x : α), f x ≤ f x₀
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1

⊢ ↑(-0) = -↑0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Ultra/Basic.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ

⊢ closedBall x r = closedBall y r ∨ Disjoint (closedBall x r) (closedBall y r)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Ultra/Basic.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ
h : (closedBall x r ∩ closedBall y r).Nonempty

⊢ closedBall x r = closedBall y r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Ultra/Basic.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ
h : (closedBall x r ∩ closedBall y r).Nonempty
h₁ : closedBall x r = closedBall h.some r

⊢ closedBall x r = closedBall y r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Ultra/Basic.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r s : ℝ
h : (closedBall x r ∩ closedBall y r).Nonempty
h₁ : closedBall x r = closedBall h.some r
h₂ : closedBall y r = closedBall h.some r

⊢ closedBall x r = closedBall y r
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
U : X.Opens

⊢ (f ≫ inv f) ⁻¹ᵁ U = U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
U : X.Opens

⊢ 𝟙 X ⁻¹ᵁ U = U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
U : X.Opens

⊢ Hom.app (inv f) U = X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ inv (Hom.app f (inv f ⁻¹ᵁ U))
-- Mathlib/Data/Fintype/Option.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : Type u → Prop
of_equiv : ∀ {α β : Type u}, α ≃ β → P α → P β
h_empty : P PEmpty.{u + 1}
h_option : ∀ {α : Type u} [inst : Fintype α], P α → P (Option α)
α : Type u
inst✝ : Finite α

⊢ P α
-- Mathlib/Data/Fintype/Option.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : Type u → Prop
of_equiv : ∀ {α β : Type u}, α ≃ β → P α → P β
h_empty : P PEmpty.{u + 1}
h_option : ∀ {α : Type u} [inst : Fintype α], P α → P (Option α)
α : Type u
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α

⊢ P α
-- Mathlib/Data/Fintype/Option.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : Type u → Prop
of_equiv : ∀ {α β : Type u}, α ≃ β → P α → P β
h_empty : P PEmpty.{u + 1}
h_option : ∀ {α : Type u} [inst : Fintype α], P α → P (Option α)
α : Type u
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α

⊢ ∀ (α β : Type u) [inst : Fintype β], α ≃ β → P α → P β
-- Mathlib/Data/Fintype/Option.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : Type u → Prop
of_equiv : ∀ {α β : Type u}, α ≃ β → P α → P β
h_empty : P PEmpty.{u + 1}
h_option : ∀ {α : Type u} [inst : Fintype α], P α → P (Option α)
α : Type u
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α

⊢ P PEmpty.{u + 1}
-- Mathlib/Data/Fintype/Option.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : Type u → Prop
of_equiv : ∀ {α β : Type u}, α ≃ β → P α → P β
h_empty : P PEmpty.{u + 1}
h_option : ∀ {α : Type u} [inst : Fintype α], P α → P (Option α)
α : Type u
inst✝ : Finite α
val✝ : Fintype α

⊢ ∀ (α : Type u) [inst : Fintype α], P α → P (Option α)
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝¹ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β✝ : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_10
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h : iIndepFun m f μ

⊢ μ univ = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
mE : MeasurableSpace E
tE : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
g : E → ℝ
h1 : g 0 = 0
h2 : ∀ (x : E), g (-x) = g x
h3 : ∀ (x y : E), g (x + y) ≤ g x + g y
h4 : ∀ {x : E}, g x = 0 → x = 0
h5 : ∀ (r : ℝ) (x : E), g (r • x) ≤ |r| * g x
inst✝ : Nontrivial E
r : ℝ
F : Type u_1 := E

⊢ μ {x | g x ≤ r} = μ {x | g x < r}