ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/HasColimits.lean
J : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasColimitsOfShape J TopCat
inst✝¹ : ∀ (X : TopCat), HasLimitsOfShape Jᵒᵖ (Presheaf C X)
inst✝ : HasLimitsOfShape Jᵒᵖ C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
U : Opens ↑↑(Limits.colimit F)
j : J
f : (componentwiseDiagram F U).obj (op j) ⟶ (F.obj j).presheaf.obj (op ((Opens.map (colimit.ι F j).base).obj U)) := (NatIso.ofComponents (fun X => mapIso (F.obj (unop X)).presheaf (eqToIso ⋯)) ⋯).inv.app (op j) ≫ (F.obj j).presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ ((pushforward C (colimit.ι F j).base).obj (F.obj j).presheaf).map (eqToHom ⋯)

⊢ (F.obj j).presheaf.map ((eqToIso ⋯).inv ≫ eqToHom ⋯ ≫ (Opens.map (colimit.ι F j).base).op.map (eqToHom ⋯)) = (F.obj j).presheaf.map (𝟙 (op ((Opens.map (colimit.ι F (unop (op j))).base).obj U)))
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ

⊢ (2 * n + 2).choose (n + 1) * (n + 1) = (2 * n + 1).choose n * (2 * n + 2)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ

⊢ 2 * ((2 * n + 1).choose n * (n + 1)) = 2 * ((2 * n + 1).choose n * (2 * n + 1 - n))
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ

⊢ 2 * ((2 * n + 1).choose n * (2 * n + 1 - n)) = 2 * ((2 * n).choose n * (2 * n + 1))
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ

⊢ 2 * ((2 * n).choose n * (2 * n + 1)) = 2 * (2 * n + 1) * (2 * n).choose n
-- Mathlib/Algebra/Lie/UniversalEnveloping.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y : L

⊢ __src✝.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅__src✝.toFun x, __src✝.toFun y⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/UniversalEnveloping.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x y : L

⊢ (mkAlgHom R L) (ιₜ ⁅x, y⁆ + ιₜ y * ιₜ x) = (mkAlgHom R L) (ιₜ x * ιₜ y)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∈ s

⊢ s \ s.erase a = {a}
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/NewtonIdentities.lean
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R

⊢ ∑ t ∈ filter (fun t => t.1.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k), f t = ∑ a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k), ∑ A ∈ powersetCard a.1 univ, ∑ j : σ, f (A, j)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/NewtonIdentities.lean
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R

⊢ ∑ i ∈ range k, ∑ x ∈ powersetCard i univ, ∑ y : σ, f (x, y) = ∑ a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k), ∑ A ∈ powersetCard a.1 univ, ∑ j : σ, f (A, j)
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
s : Set ℕ
m : ℕ
hm : m ∈ s

⊢ sInf s ≤ m
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
s : Set ℕ
m : ℕ
hm : m ∈ s

⊢ Nat.find ⋯ ≤ m
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R

⊢ zeroLocus ↑I ⊆ zeroLocus ↑J ↔ J ≤ I.radical
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜

⊢ MeromorphicAt f x ↔ ∃ n g, AnalyticAt 𝕜 g x ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = (z - x) ^ n • g z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
x✝ : MeromorphicAt f x
n : ℕ
hn : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ n • f z) x

⊢ ∀ᶠ (x_1 : 𝕜) in 𝓝 x, x_1 ∈ {x}ᶜ → f x_1 = (x_1 - x) ^ (-↑n) • (x_1 - x) ^ n • f x_1
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜

⊢ (∃ n g, AnalyticAt 𝕜 g x ∧ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] x, f z = (z - x) ^ n • g z) → MeromorphicAt f x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso fst
inst✝ : IsIso g
sq : CommSq fst snd f g
s : PullbackCone f g

⊢ (fun s => s.fst ≫ inv fst) s ≫ snd = s.snd
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
X : C
h : coyoneda.obj (op X) ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cocones
s : Cocone F

⊢ (colimitCocone h).extend (homOfCocone h s) = s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
X : C
h : coyoneda.obj (op X) ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cocones
s : Cocone F

⊢ (colimitCocone h).extend (homOfCocone h (coconeOfHom h (homOfCocone h s))) = coconeOfHom h (homOfCocone h s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
X : C
h : coyoneda.obj (op X) ⋙ uliftFunctor.{u₁, v₃} ≅ F.cocones
s : Cocone F

⊢ (colimitCocone h).extend (homOfCocone h s) = coconeOfHom h (homOfCocone h s)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
p q : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]

⊢ map (frobenius R p) ((expand R p) f) = f ^ p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
p q : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f a b : R[X]
ha : map (frobenius R p) ((expand R p) a) = a ^ p
hb : map (frobenius R p) ((expand R p) b) = b ^ p

⊢ map (frobenius R p) ((expand R p) (a + b)) = (a + b) ^ p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
p q : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
f : R[X]
n : ℕ
a : R

⊢ map (frobenius R p) ((expand R p) ((monomial n) a)) = (monomial n) a ^ p
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t

⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ Disjoint (cthickening δ s) (cthickening δ t)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : Disjoint (thickening δ s) (thickening δ t)

⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ Disjoint (cthickening δ s) (cthickening δ t)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
ψ θ : Angle

⊢ 2 • ψ = 2 • θ ↔ ψ = θ ∨ ψ = θ + ↑π
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hfM : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ < M
hf : ContinuousOn f (sphere z r)

⊢ ‖cderiv r f z‖ < M / r
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hr : 0 < r
hfM : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ < M
hf : ContinuousOn f (sphere z r)
L : ℝ
hL1 : L < M
hL2 : ∀ w ∈ sphere z r, ‖f w‖ ≤ L

⊢ ‖cderiv r f z‖ < M / r
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝² : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E

⊢ ((p.changeOriginSeries k).sum x) x✝ = ((p.changeOriginSeries k).partialSum (n - k) x) x✝
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝² : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E

⊢ ∀ b ∉ Finset.range (n - k), ((p.changeOriginSeries k b) fun x_1 => x) = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝² : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E
m : ℕ
hm : m ∉ Finset.range (n - k)

⊢ ((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 => x) = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝¹ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝² : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝¹ y : E
r R : ℝ≥0
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
k : ℕ
x : E
x✝ : Fin k → E
m : ℕ
hm : n - k ≤ m

⊢ ((p.changeOriginSeries k m) fun x_1 => x) = 0
-- Mathlib/Data/Matrix/Reflection.lean
l m✝ n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
P : Matrix (Fin (m + 1)) (Fin n) α → Prop

⊢ Forall P ↔ ∀ (x : Matrix (Fin (m + 1)) (Fin n) α), P x
-- Mathlib/Data/Matrix/Reflection.lean
l m✝ n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
P : Matrix (Fin (m + 1)) (Fin n) α → Prop

⊢ (∀ (x : Fin n → α) (x_1 : Matrix (Fin m) (Fin n) α), P (of (vecCons x x_1))) ↔ ∀ (x : Matrix (Fin (m + 1)) (Fin n) α), P x
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P x = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P y
x y : P.M α
r : R x y

⊢ x = y
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P x = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> dest P y
x y : P.M α
r : R x y

⊢ ∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
ay : P.A
fy : P.B ay ⟹ α ::: P.M α
h : (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> ⟨ax, fx⟩ = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) <$$> ⟨ay, fy⟩

⊢ ∃ a f f₁ f₂, ⟨ax, fx⟩ = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ ⟨ay, fy⟩ = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
ay : P.A
fy : P.B ay ⟹ α ::: P.M α
h : ⟨ax, (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fx⟩ = ⟨ay, (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fy⟩

⊢ ∃ a f f₁ f₂, ⟨ax, fx⟩ = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ ⟨ay, fy⟩ = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
h₁ : HEq ((TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fx) ((TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fy)

⊢ ∃ a f f₁ f₂, ⟨ax, fx⟩ = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ ⟨ax, fy⟩ = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
h₁ : (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fx = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fy

⊢ ∃ a f f₁ f₂, ⟨ax, fx⟩ = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ ⟨ax, fy⟩ = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
h₁ : (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fx = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fy
Hdrop : dropFun fx = dropFun fy

⊢ ⟨ax, fx⟩ = ⟨ax, splitFun (dropFun fx) (lastFun fx)⟩ ∧ ⟨ax, fy⟩ = ⟨ax, splitFun (dropFun fx) (lastFun fy)⟩ ∧ ∀ (i : (P.B ax).last), R (lastFun fx i) (lastFun fy i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
h₁ : (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fx = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fy
Hdrop : dropFun fx = dropFun fy

⊢ ⟨ax, fx⟩ = ⟨ax, fx⟩ ∧ ⟨ax, fy⟩ = ⟨ax, fy⟩ ∧ ∀ (i : (P.B ax).last), R (lastFun fx i) (lastFun fy i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
h₁ : (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fx = (TypeVec.id ::: Quot.mk R) ⊚ fy
Hdrop : dropFun fx = dropFun fy

⊢ ∀ (i : (P.B ax).last), R (lastFun fx i) (lastFun fy i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
Hdrop : dropFun fx = dropFun fy
i : (P.B ax).last
h₁ : Quot.mk R (fx Fin2.fz i) = Quot.mk R (fy Fin2.fz i)

⊢ R (lastFun fx i) (lastFun fy i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
Hdrop : dropFun fx = dropFun fy
i : (P.B ax).last
h₁ : EqvGen R (fx Fin2.fz i) (fy Fin2.fz i)

⊢ R (lastFun fx i) (lastFun fy i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h₀ : Equivalence R
x y : P.M α
ax : P.A
fx fy : P.B ax ⟹ α ::: P.M α
Hdrop : dropFun fx = dropFun fy
i : (P.B ax).last
h₁ : R (fx Fin2.fz i) (fy Fin2.fz i)

⊢ R (lastFun fx i) (lastFun fy i)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M

⊢ support ↑f ⊆ (chartAt H c).source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M

⊢ (extChartAt I c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ⊆ (extChartAt I c).source
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

⊢ l.sublists' = foldr (fun a r => sublists'Aux a r r) [[]] l
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

⊢ (foldr (fun a arr => Array.foldl (fun r l => r.push (a :: l)) arr arr 0) #[[]] l).toList = foldr (fun a r => (Array.foldl (fun r l => r.push (a :: l)) (toArray r) (toArray r) 0).toList) [[]] l
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

⊢ foldr ?g₂ #[[]].toList l = foldr (fun a r => (Array.foldl (fun r l => r.push (a :: l)) (toArray r) (toArray r) 0).toList) [[]] l
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

⊢ α → List (List α) → List (List α)
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

⊢ ∀ (x : α) (y : Array (List α)), ?g₂ x y.toList = (Array.foldl (fun r l => r.push (x :: l)) y y 0).toList
-- Mathlib/Order/Filter/SmallSets.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
p : α → Prop

⊢ (∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ x ∈ s, p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l, p x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i j : n

⊢ M.charmatrix i i = X - C (M i i)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection K
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection U
y : E

⊢ ‖y - ↑((orthogonalProjection U) y)‖ = ⨅ x, ‖y - ↑x‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection K
U : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection U
y : E

⊢ ∀ w ∈ U, ⟪y - ↑((orthogonalProjection U) y), w⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q✝ : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
q : ℚ
hq : q ≠ 0

⊢ Irrational (x * ↑q * ↑q⁻¹)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝

⊢ M.Basis' I X ↔ M.Basis I X
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
inst✝ : Archimedean α
y x : α
n : ℕ
hn : x < n • 1

⊢ x < ↑n
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Card.lean
α : Type u
s : Set (Set α)
i j : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
h : i ≤ j
x : Set α
hx : x ∈ generateMeasurableRec s i

⊢ x ∈ generateMeasurableRec s j
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Card.lean
α : Type u
s : Set (Set α)
i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
x : Set α
hx : x ∈ generateMeasurableRec s i
h : i ≤ i

⊢ x ∈ generateMeasurableRec s i
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Card.lean
α : Type u
s : Set (Set α)
i j : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
h✝ : i ≤ j
x : Set α
hx : x ∈ generateMeasurableRec s i
h : i < j

⊢ x ∈ generateMeasurableRec s j
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ
x : (𝓞 K)ˣ
hr : 0 ≤ r
h : ‖(logEmbedding K) x‖ ≤ r
w : InfinitePlace K

⊢ |Real.log (w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x))| ≤ ↑(Fintype.card (InfinitePlace K)) * r
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ
x : (𝓞 K)ˣ
hr : 0 ≤ r
h : ‖(logEmbedding K) x‖ ≤ r
w : InfinitePlace K
tool : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → x ≤ ↑w.mult * x

⊢ |Real.log (w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑x))| ≤ ↑(Fintype.card (InfinitePlace K)) * r
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α

⊢ (match l with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + (((match m with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + match r with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + 1) + 1 = (((match l with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + match m with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + match r with | nil => 0 | node sz l x r => sz) + 2
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
b₁ : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b₁
e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
b₂ : Ordinal.{0}
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow b₂

⊢ (e₁.oadd n₁ a₁ * e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow (e₁.repr + b₂)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
b₁ : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b₁
e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
b₂ : Ordinal.{0}
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow b₂
IH : (e₁.oadd n₁ a₁ * a₂).NFBelow (e₁.repr + e₂.repr)

⊢ (e₁.oadd n₁ a₁ * e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow (e₁.repr + b₂)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
b₁ : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b₁
e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
b₂ : Ordinal.{0}
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow b₂
IH : (e₁.oadd n₁ a₁ * a₂).NFBelow (e₁.repr + e₂.repr)
e0 : e₂ = 0

⊢ (e₁.oadd (n₁ * n₂) a₁).NFBelow (e₁.repr + b₂)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e₁ : ONote
n₁ : ℕ+
a₁ : ONote
b₁ : Ordinal.{0}
h₁ : (e₁.oadd n₁ a₁).NFBelow b₁
e₂ : ONote
n₂ : ℕ+
a₂ : ONote
b₂ : Ordinal.{0}
h₂ : (e₂.oadd n₂ a₂).NFBelow b₂
IH : (e₁.oadd n₁ a₁ * a₂).NFBelow (e₁.repr + e₂.repr)
e0 : ¬e₂ = 0

⊢ ((e₁ + e₂).oadd n₂ (e₁.oadd n₁ a₁ * a₂)).NFBelow (e₁.repr + b₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projection.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] E
h : IsProj p f

⊢ f = ↑(p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯) ∘ₗ id.prodMap 0 ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯).symm
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projection.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] E
h : IsProj p f

⊢ f ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯) = ↑(p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯) ∘ₗ id.prodMap 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝ : Field R
f : R⟦X⟧
h : ¬(constantCoeff R) f = 0

⊢ (d⁄dX R) f⁻¹ = -f⁻¹ ^ 2 * (d⁄dX R) f
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝ : Field R
f : R⟦X⟧
h : ¬(constantCoeff R) f = 0

⊢ f⁻¹ * f = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det

⊢ IsUnit Aᵀ.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : IsUnit A.det

⊢ IsUnit A.det
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
p : ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (ν * (ν - 1)) • bernsteinPolynomial R n ν + (1 - (2 * n) • X) * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), ν • bernsteinPolynomial R n ν + n ^ 2 • X ^ 2 * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial R n ν = ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (ν * (ν - 1)) • bernsteinPolynomial R n ν + (1 - (2 * n) • X) * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), ν • bernsteinPolynomial R n ν + n ^ 2 • X ^ 2 * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial R n ν

⊢ ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (n • X - ↑ν) ^ 2 * bernsteinPolynomial R n ν = n • X * (1 - X)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
p : ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), (↑(x * (x - 1)) + (1 - ↑(2 * n) * X) * ↑x + ↑(n ^ 2) * X ^ 2) * bernsteinPolynomial R n x = ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (ν * (ν - 1)) • bernsteinPolynomial R n ν + (1 - (2 * n) • X) * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), ν • bernsteinPolynomial R n ν + n ^ 2 • X ^ 2 * ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), bernsteinPolynomial R n ν

⊢ ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (n • X - ↑ν) ^ 2 * bernsteinPolynomial R n ν = n • X * (1 - X)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
p : ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), (↑(x * (x - 1)) + (1 - ↑(2 * n) * X) * ↑x + ↑(n ^ 2) * X ^ 2) * bernsteinPolynomial R n x = ↑(n * (n - 1)) * X ^ 2 + (1 - (2 * n) • X) * n • X + n ^ 2 • X ^ 2 * 1

⊢ ∑ ν ∈ Finset.range (n + 1), (n • X - ↑ν) ^ 2 * bernsteinPolynomial R n ν = n • X * (1 - X)