ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty

⊢ hausdorffDist s t ≤ r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
H1 : ∀ x ∈ s, infDist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infDist x s ≤ r
h1 : ¬hausdorffEdist s t = ⊤
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
this : hausdorffEdist s t ≤ ENNReal.ofReal r

⊢ hausdorffDist s t ≤ r
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius

⊢ 0 < (p.rightInv i).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n

⊢ 0 < (p.rightInv i).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖

⊢ 0 < (p.rightInv i).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2

⊢ 0 < (p.rightInv i).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i k‖
IRec : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ n → S n ≤ (I + 1) * a
a' : NNReal := ⟨a, ⋯⟩

⊢ 0 < (p.rightInv i).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i k‖
IRec : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ n → S n ≤ (I + 1) * a
a' : NNReal := ⟨a, ⋯⟩

⊢ ↑a' ≤ (p.rightInv i).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i k‖
IRec : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ n → S n ≤ (I + 1) * a
a' : NNReal := ⟨a, ⋯⟩
n : ℕ

⊢ ‖p.rightInv i n‖ * ↑a' ^ n ≤ (I + 1) * a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ cos π = -1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ 2 * 0 ^ 2 - 1 = -1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1

⊢ Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1

⊢ (∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → g.natDegree ∉ Ioc 0 (p.natDegree / 2)) ↔ ∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h₁ : Reaches₁ f a c
h₂ : b ∈ f a

⊢ Reaches f b c
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h₁ : Reaches₁ f a c
h₂ : b ∈ f a
b' : σ
hab : b' ∈ f a
hbc : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b' c

⊢ Reaches f b c
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b c : σ
h₁ : Reaches₁ f a c
h₂ hab : b ∈ f a
hbc : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b c

⊢ Reaches f b c
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hst : Disjoint s t
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite

⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C

⊢ (F.ε ≫ F.map A.one) ▷ F.obj A.X ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul = (λ_ (F.obj A.X)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C

⊢ F.ε ▷ F.obj A.X ≫ F.μ (𝟙_ C) A.X ≫ F.map (A.one ▷ A.X) ≫ F.map A.mul = F.ε ▷ F.obj A.X ≫ F.μ (𝟙_ C) A.X ≫ F.map (λ_ A.X).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C

⊢ F.obj A.X ◁ (F.ε ≫ F.map A.one) ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul = (ρ_ (F.obj A.X)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C

⊢ F.obj A.X ◁ F.ε ≫ F.μ A.X (𝟙_ C) ≫ F.map (A.X ◁ A.one) ≫ F.map A.mul = F.obj A.X ◁ F.ε ≫ F.μ A.X (𝟙_ C) ≫ F.map (ρ_ A.X).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C

⊢ (F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul) ▷ F.obj A.X ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul = (α_ (F.obj A.X) (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom ≫ F.obj A.X ◁ (F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul) ≫ F.μ A.X A.X ≫ F.map A.mul
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C

⊢ F.μ A.X A.X ▷ F.obj A.X ≫ F.μ (A.X ⊗ A.X) A.X ≫ F.map (A.mul ▷ A.X) ≫ F.map A.mul = (α_ (F.obj A.X) (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom ≫ F.obj A.X ◁ F.μ A.X A.X ≫ F.μ A.X (A.X ⊗ A.X) ≫ F.map (A.X ◁ A.mul) ≫ F.map A.mul
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
A : Mon_ C

⊢ F.μ A.X A.X ▷ F.obj A.X ≫ F.μ (A.X ⊗ A.X) A.X ≫ F.map ((α_ A.X A.X A.X).hom ≫ A.X ◁ A.mul ≫ A.mul) = (α_ (F.obj A.X) (F.obj A.X) (F.obj A.X)).hom ≫ F.obj A.X ◁ F.μ A.X A.X ≫ F.μ A.X (A.X ⊗ A.X) ≫ F.map (A.X ◁ A.mul) ≫ F.map A.mul
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X✝ Y✝ : Mon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (F.ε ≫ F.map X✝.one) ≫ F.map f.hom = F.ε ≫ F.map Y✝.one
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X✝ Y✝ : Mon_ C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (F.μ X✝.X X✝.X ≫ F.map X✝.mul) ≫ F.map f.hom = (F.map f.hom ⊗ F.map f.hom) ≫ F.μ Y✝.X Y✝.X ≫ F.map Y✝.mul
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
i j : ℕ
hi : i < k
hj : j < k
H : ζ ^ i = ζ ^ j
hij : i ≤ j

⊢ i = j
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
i j : ℕ
hi : i < k
hj : j < k
H : ζ ^ i = ζ ^ j
hij : i ≤ j

⊢ j ≤ i
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
i j : ℕ
hi : i < k
hj : j < k
H : ζ ^ i = ζ ^ j
hij : i ≤ j

⊢ j - i = 0
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
i j : ℕ
hi : i < k
hj : j < k
H : ζ ^ i = ζ ^ j
hij : i ≤ j

⊢ k ∣ j - i
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
i j : ℕ
hi : i < k
hj : j < k
H : ζ ^ i = ζ ^ j
hij : i ≤ j

⊢ ζ ^ (j - i) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Dual.lean
K : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
inst✝³ : Fintype ι₁
inst✝² : Fintype ι₂
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
B₁ : Basis ι₁ K V₁
B₂ : Basis ι₂ K V₂
u : V₁ →ₗ[K] V₂
i : ι₁
j : ι₂

⊢ (toMatrix B₂.dualBasis B₁.dualBasis) (Module.Dual.transpose u) i j = ((toMatrix B₁ B₂) u)ᵀ i j
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ

⊢ √x ≤ y ↔ 0 ≤ y ∧ x ≤ y ^ 2
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ

⊢ 0 ≤ y → (√x ≤ y ↔ x ≤ y ^ 2)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R

⊢ Module.rank R M ≤ Module.rank R (M ⧸ M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R

⊢ ⨆ ι, #↑↑ι ≤ Module.rank R (M ⧸ M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }

⊢ ⨆ ι, #↑↑ι ≤ Module.rank R (M ⧸ M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑↑⟨s, hs⟩) => M'.mkQ ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
s : Set M
hs✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hs : ∀ (s_1 : Finset { x // x ∈ s }) (g : { x // x ∈ s } → R), ∑ i ∈ s_1, g i • ↑i = 0 → ∀ i ∈ s_1, g i = 0

⊢ ∀ (s_1 : Finset ↑↑⟨s, hs✝⟩) (g : ↑↑⟨s, hs✝⟩ → R), ∑ i ∈ s_1, g i • M'.mkQ ↑i = 0 → ∀ i ∈ s_1, g i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
s : Set M
hs✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hs : ∀ (s_1 : Finset { x // x ∈ s }) (g : { x // x ∈ s } → R), ∑ i ∈ s_1, g i • ↑i = 0 → ∀ i ∈ s_1, g i = 0

⊢ ∀ (s_1 : Finset ↑s) (g : ↑s → R), ∑ x ∈ s_1, g x • ↑x ∈ M' → ∀ i ∈ s_1, g i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
s : Set M
hs✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hs : ∀ (s_1 : Finset { x // x ∈ s }) (g : { x // x ∈ s } → R), ∑ i ∈ s_1, g i • ↑i = 0 → ∀ i ∈ s_1, g i = 0
t : Finset ↑s
g : ↑s → R
hg✝ : ∑ x ∈ t, g x • ↑x ∈ M'
i : ↑s
hi : i ∈ t
r : ↥(nonZeroDivisors R)
hg : r • ∑ x ∈ t, g x • ↑x = 0

⊢ g i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R✝ S : Type u
M✝ : Type v
M'✝ : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ M'✝
inst✝³ : Module R✝ M₁
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
M' : Submodule R M
hN : M' ≤ torsion R M
a✝ : Nontrivial R
this : Nonempty { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
x✝ : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }
s : Set M
hs✝ : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hs : ∀ (s_1 : Finset { x // x ∈ s }) (g : { x // x ∈ s } → R), ∑ i ∈ s_1, g i • ↑i = 0 → ∀ i ∈ s_1, g i = 0
t : Finset ↑s
g : ↑s → R
hg✝ : ∑ x ∈ t, g x • ↑x ∈ M'
i : ↑s
hi : i ∈ t
r : ↥(nonZeroDivisors R)
hg : ∑ x ∈ t, (↑r * g x) • ↑x = 0

⊢ g i = 0
-- Mathlib/Logic/Hydra.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsIrrefl α r
s : Multiset α
hs : ∀ a ∈ s, Acc (CutExpand r) {a}

⊢ Acc (CutExpand r) s
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
p : ι → Prop
q : ι → ι' → Prop
s : (x : ι) → (y : ι') → p x ∧ q x y → Set α

⊢ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ (h : p x ∧ q x y), s x y h = ⋂ x, ⋂ (hx : p x), ⋂ y, ⋂ (hy : q x y), s x y ⋯
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ

⊢ a * b⁻¹ = 1 ↔ a = b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
β : Type u_1
s : Finset β
f : n → β → α
i : n

⊢ (∑ x ∈ s, A.cramer fun j => f j x) i = A.cramer (fun j => ∑ x ∈ s, f j x) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
β : Type u_1
s : Finset β
f : n → β → α
i : n

⊢ (A.updateColumn i (∑ x ∈ s, fun j => f j x)).det = (A.updateColumn i fun j => ∑ x ∈ s, f j x).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
β : Type u_1
s : Finset β
f : n → β → α
i j x✝ : n

⊢ (∑ x ∈ s, fun j => f j x) j = ∑ x ∈ s, f j x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℤ
x : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ init n (m • x) = init n (m • init n x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A
C : VariableChange R

⊢ { u := (Units.map ↑φ) 1, r := φ 0, s := φ 0, t := φ 0 } = { u := 1, r := 0, s := 0, t := 0 }
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
f : R[X]
m : M
n : ℕ

⊢ (f • (single R i) m) n = if i ≤ n then f.coeff (n - i) • m else 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
m : M
n : ℕ
p q : R[X]
hp : (p • (single R i) m) n = if i ≤ n then p.coeff (n - i) • m else 0
hq : (q • (single R i) m) n = if i ≤ n then q.coeff (n - i) • m else 0

⊢ ((p + q) • (single R i) m) n = if i ≤ n then (p + q).coeff (n - i) • m else 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
i : ℕ
m : M
n n✝ : ℕ
a✝ : R

⊢ ((monomial n✝) a✝ • (single R i) m) n = if i ≤ n then ((monomial n✝) a✝).coeff (n - i) • m else 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ

⊢ W.Φ (↑n + 1) = (X * W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even n then 1 else W.Ψ₂Sq) - W.preΨ' (n + 2) * W.preΨ' n * if Even n then W.Ψ₂Sq else 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ

⊢ ((X * W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then W.Ψ₂Sq else 1) - W.preΨ' (n + 1 + 1) * W.preΨ' n * if Even (↑n + 1) then 1 else W.Ψ₂Sq) = (X * W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even n then 1 else W.Ψ₂Sq) - W.preΨ' (n + 2) * W.preΨ' n * if Even n then W.Ψ₂Sq else 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace β
μb : Measure β
g : β →ₘ[μb] E
hg : g ∈ Lp E p μb
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μ μb

⊢ g.compMeasurePreserving f hf ∈ Lp E p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : MeasurableSpace β
μb : Measure β
g : β →ₘ[μb] E
hg : eLpNorm (↑g) p μb < ⊤
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μ μb

⊢ eLpNorm (↑(g.compMeasurePreserving f hf)) p μ < ⊤
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ sinh (x - y) = sinh x * cosh y - cosh x * sinh y
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
c : E
hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c

⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 c, ‖f y‖ = ‖f c‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
c : E
hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ closedBall c r → DifferentiableAt ℂ f x ∧ (norm ∘ f) x ≤ (norm ∘ f) c

⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 c, ‖f y‖ = ‖f c‖
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ

⊢ a / b < 0 ↔ 0 < a ∧ b < 0 ∨ a < 0 ∧ 0 < b
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y : T
f : X ⟶ Y

⊢ map f ⋙ forget Y = forget X
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y : T
f : X ⟶ Y

⊢ ∀ (X_1 : Over X), (map f ⋙ forget Y).obj X_1 = (forget X).obj X_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y : T
f : X ⟶ Y

⊢ autoParam (∀ (X_1 Y_1 : Over X) (f_1 : X_1 ⟶ Y_1), (map f ⋙ forget Y).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ (forget X).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin b

⊢ Icc a (pred b) = Ico a b