ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A✝ : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A✝
inst✝¹² : Algebra R A✝
inst✝¹¹ : Module A✝ M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A✝
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A✝ M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
A : Type u_6
Aₛ : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommSemiring Aₛ
inst✝² : Algebra A Aₛ
inst✝¹ : Algebra R Aₛ
inst✝ : IsScalarTower R A Aₛ

⊢ IsLocalizedModule S (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap ↔ IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid A S) Aₛ
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A✝ : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A✝
inst✝¹² : Algebra R A✝
inst✝¹¹ : Module A✝ M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A✝
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A✝ M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
A : Type u_6
Aₛ : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommSemiring Aₛ
inst✝² : Algebra A Aₛ
inst✝¹ : Algebra R Aₛ
inst✝ : IsScalarTower R A Aₛ

⊢ ((∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R Aₛ)) ↑x)) ∧ (∀ (y : Aₛ), ∃ x, x.2 • y = (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x.1) ∧ ∀ {x₁ x₂ : A}, (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x₁ = (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x₂ → ∃ c, c • x₁ = c • x₂) ↔ (∀ (y : ↥(Algebra.algebraMapSubmonoid A S)), IsUnit ((algebraMap A Aₛ) ↑y)) ∧ (∀ (z : Aₛ), ∃ x, z * (algebraMap A Aₛ) ↑x.2 = (algebraMap A Aₛ) x.1) ∧ ∀ {x y : A}, (algebraMap A Aₛ) x = (algebraMap A Aₛ) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A✝ : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A✝
inst✝¹² : Algebra R A✝
inst✝¹¹ : Module A✝ M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A✝
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A✝ M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
A : Type u_6
Aₛ : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommSemiring Aₛ
inst✝² : Algebra A Aₛ
inst✝¹ : Algebra R Aₛ
inst✝ : IsScalarTower R A Aₛ

⊢ (∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R Aₛ)) ↑x)) ↔ ∀ (y : ↥(Algebra.algebraMapSubmonoid A S)), IsUnit ((algebraMap A Aₛ) ↑y)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A✝ : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A✝
inst✝¹² : Algebra R A✝
inst✝¹¹ : Module A✝ M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A✝
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A✝ M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
A : Type u_6
Aₛ : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommSemiring Aₛ
inst✝² : Algebra A Aₛ
inst✝¹ : Algebra R Aₛ
inst✝ : IsScalarTower R A Aₛ
x✝ : Aₛ

⊢ (∃ x, x.2 • x✝ = (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x.1) ↔ ∃ x, x✝ * (algebraMap A Aₛ) ↑x.2 = (algebraMap A Aₛ) x.1
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A✝ : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A✝
inst✝¹² : Algebra R A✝
inst✝¹¹ : Module A✝ M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A✝
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A✝ M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
A : Type u_6
Aₛ : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommSemiring Aₛ
inst✝² : Algebra A Aₛ
inst✝¹ : Algebra R Aₛ
inst✝ : IsScalarTower R A Aₛ
x✝¹ x✝ : A

⊢ ((IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x✝¹ = (IsScalarTower.toAlgHom R A Aₛ).toLinearMap x✝ → ∃ c, c • x✝¹ = c • x✝) ↔ (algebraMap A Aₛ) x✝¹ = (algebraMap A Aₛ) x✝ → ∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω

⊢ variance (fun ω => c * X ω) μ = c ^ 2 * variance X μ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω

⊢ c ^ 2 * (evariance X μ).toReal = c ^ 2 * variance X μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
B : BilinMap R M N
h : IsUnit 2
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
h₁₂ : Q₁.polarBilin = Q₂.polarBilin

⊢ Q₁ = Q₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
B : BilinMap R M N
h : IsUnit 2
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
h₁₂ : Q₁.polarBilin = Q₂.polarBilin

⊢ 2 • Q₁ = 2 • Q₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
B : BilinMap R M N
h : IsUnit 2
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
h₁₂ : Q₁.polarBilin = Q₂.polarBilin

⊢ ↑2 • Q₁ = ↑2 • Q₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
B : BilinMap R M N
h : IsUnit 2
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
h₁₂ : Q₁.polarBilin = Q₂.polarBilin

⊢ Q₁.polarBilin.toQuadraticMap = Q₂.polarBilin.toQuadraticMap
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F✝
v : E
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
hf : HasFDerivWithinAt f L s (F 0)

⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) s x v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F✝
v : E
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
hf : HasFDerivWithinAt f L s (F 0)
A : HasDerivWithinAt F (0 + 1 • v) (F ⁻¹' s) 0

⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) s x v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F✝
v : E
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
hf : HasFDerivWithinAt f L s (F 0)
A : HasDerivWithinAt F v (F ⁻¹' s) 0

⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) s x v
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/ConformalLinearMap.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedField R
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace R M
inst✝⁴ : NormedSpace R N
inst✝³ : NormedSpace R G
inst✝² : NormedAddCommGroup M'
inst✝¹ : NormedSpace R M'
f : M →L[R] N
g : N →L[R] G
c : R
inst✝ : Nontrivial M'
hf' : IsConformalMap 0

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/ConformalLinearMap.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
G : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedField R
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup N
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace R M
inst✝⁴ : NormedSpace R N
inst✝³ : NormedSpace R G
inst✝² : NormedAddCommGroup M'
inst✝¹ : NormedSpace R M'
f : M →L[R] N
g : N →L[R] G
c : R
inst✝ : Nontrivial M'
hf' : IsConformalMap 0
a : M'
ha : a ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Fold.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
mul_ι : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q), P x → P (x * (ι Q) m)
x : CliffordAlgebra Q

⊢ P x
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Fold.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
mul_ι : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q), P x → P (x * (ι Q) m)
x : CliffordAlgebra Q
this : x ∈ ⊤

⊢ P x
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Fold.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
mul_ι : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q), P x → P (x * (ι Q) m)
x : CliffordAlgebra Q
this : x ∈ ⨆ i, LinearMap.range (ι Q) ^ i

⊢ P x
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x y : G
i : ℤ

⊢ ↑(orderOf x) ∣ i ↔ x ^ i = 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x y : G
i : ℕ

⊢ ↑(orderOf x) ∣ ↑i ↔ x ^ ↑i = 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x y : G
i : ℕ

⊢ ↑(orderOf x) ∣ -↑i ↔ x ^ (-↑i) = 1
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n k : ℕ+
h : k.Coprime m

⊢ m.gcd (k * n) = m.gcd n
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n k : ℕ+
h : k.Coprime m

⊢ (k * n).gcd m = n.gcd m
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
y₁ y₂ : ℕ
h : y₁ ≤ y₂
m₁ m₂ : ℤ
h₂ : m₁ * 2 ^ y₁ = m₂ * 2 ^ y₂

⊢ ↑m₁ * powHalf y₂ = ↑m₂ * powHalf y₁
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
y₁ : ℕ
m₁ m₂ : ℤ
c : ℕ
h : y₁ ≤ y₁ + c
h₂ : m₁ * 2 ^ y₁ = m₂ * 2 ^ (y₁ + c)

⊢ ↑m₁ * powHalf (y₁ + c) = ↑m₂ * powHalf y₁
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
y₁ : ℕ
m₁ m₂ : ℤ
c : ℕ
h : y₁ ≤ y₁ + c
h₂ : m₁ = m₂ * 2 ^ c ∨ 2 ^ y₁ = 0

⊢ ↑m₁ * powHalf (y₁ + c) = ↑m₂ * powHalf y₁
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
C : Set α
hC : IsClosed C
hunc : ¬C.Countable
this : UpgradedPolishSpace α := upgradePolishSpace α

⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Function.Injective f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
C : Set α
hC : IsClosed C
hunc : ¬C.Countable
this : UpgradedPolishSpace α := upgradePolishSpace α
D : Set α
hD : Perfect D
Dnonempty : D.Nonempty
hDC : D ⊆ C

⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Function.Injective f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : PolishSpace α
C : Set α
hC : IsClosed C
hunc : ¬C.Countable
this : UpgradedPolishSpace α := upgradePolishSpace α
D : Set α
hD : Perfect D
Dnonempty : D.Nonempty
hDC : D ⊆ C
f : (ℕ → Bool) → α
hfD : range f ⊆ D
hf : Continuous f ∧ Function.Injective f

⊢ ∃ f, range f ⊆ C ∧ Continuous f ∧ Function.Injective f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/EraseIdx.lean
α : Type u
β : Type v
l : List α
k : Nat
hk : l.length ≤ k
l' : List α

⊢ (l ++ l').eraseIdx k = l ++ l'.eraseIdx (k - l.length)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/EraseIdx.lean
α : Type u
β : Type v
l : List α
k : Nat
hk : l.length ≤ k
l' : List α

⊢ l ++ (take (k - l.length) l' ++ drop (k + 1 - l.length) l') = l ++ (take (k - l.length) l' ++ drop (k - l.length + 1) l')
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s t✝ : Set α
f : α → β
t : Set ↑s

⊢ LipschitzOnWith K (s.restrict f) t ↔ LipschitzOnWith K f (s ∩ Subtype.val '' t)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s t✝ : Set α
f : α → β
t : Set ↑s

⊢ (∀ (a : α) (b : a ∈ s), ⟨a, b⟩ ∈ t → ∀ (a_2 : α) (b : a_2 ∈ s), ⟨a_2, b⟩ ∈ t → edist (f a) (f a_2) ≤ ↑K * edist a a_2) ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s ∩ Subtype.val '' t → ∀ ⦃y : α⦄, y ∈ s ∩ Subtype.val '' t → edist (f x) (f y) ≤ ↑K * edist x y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
c : (X : C) → ClosureOperator (Sieve X)
pb : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (S : Sieve X), (c Y) (Sieve.pullback f S) = Sieve.pullback f ((c X) S)
X : C
S : Sieve X
Y : C
f : Y ⟶ X

⊢ (c Y) (Sieve.pullback f S) = ⊤ ↔ ((c X) S).arrows f
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ

⊢ AntitoneOn (fun x => x⁻¹) (Set.Iio 0)
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/BigOperators.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
c : Con M
l : List ι
f g : ι → M
h : ∀ x ∈ l, c (f x) (g x)

⊢ c (List.map f l).prod (List.map g l).prod
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
h' : Finite R N

⊢ ∃ d k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
h' : Finite R N
d : ℕ
s : Fin d → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤

⊢ ∃ d k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
h' : Finite R N
d : ℕ
s : Fin d → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤

⊢ ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α

⊢ Icc a b ⊆ Iic b
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E

⊢ [x-[𝕜]y] = ⇑(AffineMap.lineMap x y) '' Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Icc 0 1

⊢ (AffineMap.lineMap x y) a✝¹ = (1 - a✝¹) • x + a✝¹ • y
-- Mathlib/Algebra/Ring/Units.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝³ : Ring α
a b : α
F : Type u_1
inst✝² : Ring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
f : F

⊢ (map ↑f) (-1) = -1
-- Mathlib/Data/Nat/Set.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
x : α
f : ℕ → α → α

⊢ (range fun n => rec x f n) = {x} ∪ range fun n => rec (f 0 x) (f ∘ succ) n
-- Mathlib/Data/Nat/Set.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
x : α
f : ℕ → α → α
x✝ : ℕ

⊢ rec (f 0 x) (f ∘ succ) x✝ = ((fun n => rec x f n) ∘ succ) x✝
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁷ : Monoid α
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : MulAction α β
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : SMulPosMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α β
hb : 0 < b

⊢ a • b ≤ b ↔ a • b ≤ 1 • b
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : OrderedCommGroup α
inst✝ : OrderedCommGroup β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β

⊢ AntivaryOn f g⁻¹ s ↔ MonovaryOn f g s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F

⊢ Tendsto (fun a => ‖a‖) (𝓝 1) (𝓝 0)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α

⊢ (pure g).seq f = map g f
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set α
hs : s ∈ f

⊢ g '' s ∈ (pure g).seq f
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
g : α → β
f : Filter α
s : Set (α → β)
hs : s ∈ pure g
t : Set α
ht : t ∈ f

⊢ s.seq t ∈ map g f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Equicontinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
x₀ : β

⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i x') < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Equicontinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
x₀ : β

⊢ (∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ V ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ V, ∀ y ∈ V, ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U) ↔ ∀ ε > 0, ∃ U ∈ 𝓝 x₀, ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (i : ι), dist (F i x) (F i x') < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ z

⊢ min (firstDiff x y) (firstDiff y z) ≤ firstDiff x z
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ z
H : firstDiff x z < min (firstDiff x y) (firstDiff y z)

⊢ False
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ z
H : firstDiff x z < firstDiff x y ∧ firstDiff x z < firstDiff y z

⊢ False
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y z : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ z
H : firstDiff x z < firstDiff x y ∧ firstDiff x z < firstDiff y z

⊢ x (firstDiff x z) = z (firstDiff x z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
hx' : x ≤ π / 2

⊢ 2 / π * x ≤ sin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
hx' : x ≤ π / 2

⊢ (π / 2)⁻¹ * x ≤ sin x
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
α : Type u_2
i : α → Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : (a : α) → Mul (i a)

⊢ commProb ((a : α) → i a) = ∏ a : α, commProb (i a)
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
α : Type u_2
i : α → Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : (a : α) → Mul (i a)

⊢ ↑(Nat.card { p // ∀ (a : α), (p.1 * p.2) a = (p.2 * p.1) a }) / ↑(Nat.card ((a : α) → i a)) ^ 2 = ↑(Nat.card ((a : α) → { p // p.1 * p.2 = p.2 * p.1 })) / ↑(Nat.card ((a : α) → i a)) ^ 2
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
α : Type u_2
i : α → Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : (a : α) → Mul (i a)

⊢ Nat.card { p // ∀ (a : α), (p.1 * p.2) a = (p.2 * p.1) a } = Nat.card ((a : α) → { p // p.1 * p.2 = p.2 * p.1 })
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
inst✝² : DecidableEq σ
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : DecidableEq M
x : ⨁ (i : M), ↥(weightedHomogeneousSubmodule R w i)

⊢ (coeLinearMap fun i => weightedHomogeneousSubmodule R w i) x = DFinsupp.sum x fun x x_1 => ↑x_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃

⊢ Collinear k (insert p₁ s) ↔ Collinear k {p₁, p₂, p₃}
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p₁ p₂ p₃ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃
hv : vectorSpan k (insert p₁ s) = vectorSpan k {p₁, p₂, p₃}

⊢ Collinear k (insert p₁ s) ↔ Collinear k {p₁, p₂, p₃}
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset β
f : β → α
a : α

⊢ (a ∈ s.sup fun b => {f b}) ↔ a ∈ image f s
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset β
f : β → α
a : α

⊢ (∃ v ∈ s, a ∈ {f v}) ↔ ∃ a_1 ∈ s, f a_1 = a
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a : α
ha : a ∉ s
r : β → β → Prop
f : α → β

⊢ _root_.Pairwise (r on fun a_1 => f ↑a_1) ↔ _root_.Pairwise (r on fun a => f ↑a) ∧ ∀ b ∈ s, r (f a) (f b) ∧ r (f b) (f a)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a : α
ha : a ∉ s
r : β → β → Prop
f : α → β

⊢ (↑s).Pairwise (r on f) → ((∀ b ∈ s, a ≠ b → (r on f) a b ∧ (r on f) b a) ↔ ∀ b ∈ s, r (f a) (f b) ∧ r (f b) (f a))
-- Mathlib/Topology/Order/LowerUpperTopology.lean
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLower α
s : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α

⊢ Continuous f ↔ ∀ (a : α), IsClosed (f ⁻¹' Ici a)
-- Mathlib/Topology/Order/LowerUpperTopology.lean
α : Type u_2
β : Type u_1
inst✝² : Preorder α
s : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : β → α
inst✝ : IsLower α

⊢ Continuous f ↔ ∀ (a : α), IsClosed (f ⁻¹' Ici a)
-- Mathlib/Logic/IsEmpty.lean
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5

⊢ IsEmpty (α ⊕' β) ↔ IsEmpty α ∧ IsEmpty β
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
ι : Sort u_3
t : ι → TopologicalSpace X
h : ∀ (i : ι), SequentialSpace X
this : TopologicalSpace X := ⨆ i, t i

⊢ SequentialSpace X
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
ι : Sort u_3
t : ι → TopologicalSpace X
h : ∀ (i : ι), SequentialSpace X
this : TopologicalSpace X := ⨆ i, t i
s : Set X
hs : IsSeqClosed s
i : ι

⊢ IsClosed s
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
ι : Sort u_3
t : ι → TopologicalSpace X
h : ∀ (i : ι), SequentialSpace X
this✝ : TopologicalSpace X := ⨆ i, t i
s : Set X
hs : IsSeqClosed s
i : ι
this : TopologicalSpace X := t i

⊢ IsClosed s
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b a : ℝ≥0
ha : ↑a ≠ 0 ∨ ↑b ≠ ⊤
hb : ↑a ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ 0
h'a : ¬a = 0
h'b : ¬b = 0

⊢ (↑a * ↑b)⁻¹ = (↑a)⁻¹ * (↑b)⁻¹
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b a : ℝ≥0
ha : ↑a ≠ 0 ∨ ↑b ≠ ⊤
hb : ↑a ≠ ⊤ ∨ ↑b ≠ 0
h'a : ¬a = 0
h'b : ¬b = 0

⊢ a * b ≠ 0