ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s

⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)

⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
x y : ↥L
hxy : x ≠ y
h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)

⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
x y : ↥L
hxy : x ≠ y
h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)
v : E
hv : v ∈ 2⁻¹ • s
w : E
hw : w ∈ 2⁻¹ • s
hvw : (fun x => y +ᵥ x) w = (fun x_1 => x +ᵥ x_1) v

⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ ↑x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
x y : ↥L
hxy : x ≠ y
h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)
v : E
hv : v ∈ 2⁻¹ • s
w : E
hw : w ∈ 2⁻¹ • s
hvw : (fun x => y +ᵥ x) w = (fun x_1 => x +ᵥ x_1) v

⊢ ↑(x - y) ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
x y : ↥L
hxy : x ≠ y
h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)
v : E
hv : 2 • v ∈ s
w : E
hw : 2 • w ∈ s
hvw : (fun x => y +ᵥ x) w = (fun x_1 => x +ᵥ x_1) v

⊢ ↑(x - y) ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
x y : ↥L
hxy : x ≠ y
h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)
v : E
hv : 2 • v ∈ s
w : E
hw : 2 • w ∈ s
hvw : w - v = ↑(x - y)

⊢ ↑(x - y) ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/GeometryOfNumbers.lean
E : Type u_1
L✝ : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
F s : Set E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
L : AddSubgroup E
inst✝ : Countable ↥L
fund : IsAddFundamentalDomain (↥L) F μ
h_symm : ∀ x ∈ s, -x ∈ s
h_conv : Convex ℝ s
h✝ : μ F * 2 ^ finrank ℝ E < μ s
h_vol : μ F < μ (2⁻¹ • s)
x y : ↥L
hxy : x ≠ y
h : ¬Disjoint (x +ᵥ 2⁻¹ • s) (y +ᵥ 2⁻¹ • s)
v : E
hv : 2 • v ∈ s
w : E
hw : 2 • w ∈ s
hvw : w - v = ↑(x - y)

⊢ 2⁻¹ • 2 • w + 2⁻¹ • -(2 • v) ∈ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝²² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝²¹ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝²⁰ : Category.{u_5, u_3} E
inst✝¹⁹ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁸ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁷ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹⁶ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹⁵ : G.CommShift ℤ
inst✝¹⁴ : HasZeroObject C
inst✝¹³ : HasZeroObject D
inst✝¹² : HasZeroObject E
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : Preadditive E
inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor E n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
inst✝³ : Pretriangulated E
inst✝² : (F ⋙ G).IsTriangulated
inst✝¹ : F.IsTriangulated
inst✝ : F.mapArrow.EssSurj
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles

⊢ G.mapTriangle.obj T ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝²² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝²¹ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝²⁰ : Category.{u_5, u_3} E
inst✝¹⁹ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁸ : HasShift D ℤ
inst✝¹⁷ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹⁶ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝¹⁵ : G.CommShift ℤ
inst✝¹⁴ : HasZeroObject C
inst✝¹³ : HasZeroObject D
inst✝¹² : HasZeroObject E
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : Preadditive E
inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor E n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
inst✝³ : Pretriangulated E
inst✝² : (F ⋙ G).IsTriangulated
inst✝¹ : F.IsTriangulated
inst✝ : F.mapArrow.EssSurj
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
T' : Triangle C
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
e : F.mapTriangle.obj T' ≅ T

⊢ G.mapTriangle.obj T ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α

⊢ some '' Ici a = Ici ↑a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : HasDerivWithinAt f f' S x

⊢ slope f x y ≤ f'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : HasDerivWithinAt f f' S x

⊢ S ∈ 𝓝[>] x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hfd : HasDerivWithinAt f f' S x

⊢ ∃ u ∈ Ioi x, Ioc x u ⊆ S
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L

⊢ ((toEnd R L M) x).HasEigenvalue (χ x)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M
x : L
k : ℕ
hk : (((toEnd R L M) x).genEigenspace (χ x)) k ≠ ⊥

⊢ ((toEnd R L M) x).HasEigenvalue (χ x)
-- Mathlib/Data/String/Basic.lean
c : Char
cs₁ cs₂ : List Char
i₁ i₂ : Pos

⊢ ltb { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c } { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c } = ltb { s := { data := cs₁ }, i := i₁ } { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }
-- Mathlib/Data/String/Basic.lean
c : Char
cs₁✝ cs₂✝ : List Char
i₁✝ i₂✝ : Pos
cs₁ cs₂ : List Char
i₁ i₂ : Pos
a✝³ : { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.hasNext = true
a✝² : { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.hasNext = true
a✝¹ : { data := cs₁ }.get i₁ = { data := cs₂ }.get i₂
a✝ : ltb { s := { data := c :: { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next.1.data }, i := { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next.i + c } { s := { data := c :: { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next.1.data }, i := { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next.i + c } = ltb { s := { data := { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next.1.data }, i := { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next.i } { s := { data := { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next.1.data }, i := { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next.i }

⊢ (if { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.curr = { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.curr then ltb { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.next { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.next else decide ({ s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.curr < { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.curr)) = if { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.curr = { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.curr then ltb { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next else decide ({ s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.curr < { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.curr)
-- Mathlib/Data/String/Basic.lean
c : Char
cs₁✝ cs₂✝ : List Char
i₁✝ i₂✝ : Pos
cs₁ cs₂ : List Char
i₁ i₂ : Pos
a✝² : { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.hasNext = true
a✝¹ : { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.hasNext = true
a✝ : ¬{ data := cs₁ }.get i₁ = { data := cs₂ }.get i₂

⊢ (if { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.curr = { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.curr then ltb { s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.next { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.next else decide ({ s := { data := c :: cs₁ }, i := i₁ + c }.curr < { s := { data := c :: cs₂ }, i := i₂ + c }.curr)) = if { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.curr = { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.curr then ltb { s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.next { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.next else decide ({ s := { data := cs₁ }, i := i₁ }.curr < { s := { data := cs₂ }, i := i₂ }.curr)
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
x✝² x✝¹ x✝ : ℤ

⊢ id (x✝² + x✝¹) * id (x✝² - x✝¹) * id x✝ ^ 2 = id (x✝² + x✝) * id (x✝² - x✝) * id x✝¹ ^ 2 - id (x✝¹ + x✝) * id (x✝¹ - x✝) * id x✝² ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
x✝² x✝¹ x✝ : ℤ

⊢ (x✝² + x✝¹) * (x✝² - x✝¹) * x✝ ^ 2 = (x✝² + x✝) * (x✝² - x✝) * x✝¹ ^ 2 - (x✝¹ + x✝) * (x✝¹ - x✝) * x✝² ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α

⊢ (vec ᵥ* adjMatrix α G) v = ∑ u ∈ G.neighborFinset v, vec u
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α

⊢ (vec ⬝ᵥ fun i => adjMatrix α G i v) = vec ⬝ᵥ adjMatrix α G v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α

⊢ (fun i => adjMatrix α G i v) = adjMatrix α G v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α
x : V

⊢ adjMatrix α G x v = adjMatrix α G v x
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
val✝¹ : List α
property✝ : val✝¹.length = n
val✝ : ℕ
isLt✝ : val✝ < n

⊢ (set ⟨val✝¹, property✝⟩ ⟨val✝, isLt✝⟩ a).get ⟨val✝, isLt✝⟩ = a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
i j : Fin n

⊢ ((vandermonde v)ᵀ * vandermonde v) i j = ∑ k : Fin n, v k ^ (↑i + ↑j)
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq l
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m n α
i : l
r : o → α
e : l ≃ m
f : o ≃ n
i' : l
j : o

⊢ (A.submatrix ⇑e ⇑f).updateRow i r i' j = (A.updateRow (e i) fun j => r (f.symm j)).submatrix (⇑e) (⇑f) i' j
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b

⊢ 1 ≤ a / b ↔ b ≤ a
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G

⊢ IsComplement S univ ↔ ∃ g, S = {g}
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : IsComplement S univ

⊢ S.Nonempty
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : IsComplement S univ
a : G
ha : a ∈ S
b : G
hb : b ∈ S

⊢ a = b
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G

⊢ (∃ g, S = {g}) → IsComplement S univ
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op

⊢ pushout.inl f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op = (pullback.fst f g).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op

⊢ (pushout.inl f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op).unop = (pullback.fst f g).op.unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op

⊢ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom ≫ (pushout.inl f.op g.op).unop = pullback.fst f g
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v x < 1

⊢ v (1 + x) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v x < v 1

⊢ v (1 + x) = 1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R

⊢ QuasispectrumRestricts a f ↔ SpectrumRestricts a f
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R

⊢ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a ∪ {0}) ∧ Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S) ↔ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a) ∧ Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
h : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)

⊢ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a ∪ {0}) ↔ Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
h : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h' : Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)
x : S
hx : x ∈ spectrum S a ∪ {0}

⊢ (algebraMap R S) (f x) = x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R✝
inst✝⁹ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁸ : Module R✝ A✝
inst✝⁷ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁶ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : Semifield R
inst✝⁴ : Semifield S
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra S A
a : A
f : S → R
h : Function.LeftInverse f ⇑(algebraMap R S)
h' : Set.RightInvOn f (⇑(algebraMap R S)) (spectrum S a)
x : S
hx : x = 0 ∨ x ∈ spectrum S a

⊢ (algebraMap R S) (f x) = x
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : J ≠ 0
x : K

⊢ x ∈ I / J ↔ ∀ y ∈ J, x * y ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : J ≠ 0
x : K

⊢ x ∈ ⟨↑I / ↑J, ⋯⟩ ↔ ∀ y ∈ J, x * y ∈ I
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hA : schnirelmannDensity A = 0

⊢ ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hA : schnirelmannDensity A = 0
h : ∀ (n : ℕ), 0 < n → ε ≤ ↑(filter (fun x => x ∈ A) (Ioc 0 n)).card / ↑n

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hA : schnirelmannDensity A = 0
h : ε ≤ schnirelmannDensity A

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : S.HasRightHomology
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S

⊢ (S.map F).pOpcycles ≫ opcyclesMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (S.rightHomologyData.map F) = (S.map F).pOpcycles ≫ opcyclesMap' (𝟙 (S.map F)) (S.map F).rightHomologyData (hr.map F) ≫ F.map (opcyclesMap' (𝟙 S) hr S.rightHomologyData)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I

⊢ (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) a = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I

⊢ (eval₂Hom (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X) (∑ v ∈ a.support, (monomial v) (coeff v a)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I

⊢ ∑ x ∈ a.support, eval₂ (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X ((monomial x) (coeff x a)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
n : σ →₀ ℕ
x✝ : n ∈ a.support

⊢ eval₂ (C.comp (Ideal.Quotient.mk I)) X ((monomial n) (coeff n a)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
n : σ →₀ ℕ
x✝ : n ∈ a.support

⊢ (C ((Ideal.Quotient.mk I) (coeff n a)) * n.prod fun n e => X n ^ e) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
n : σ →₀ ℕ
x✝ : n ∈ a.support

⊢ C ((Ideal.Quotient.mk I) (coeff n a)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
I : Ideal R
a : MvPolynomial σ R
ha : a ∈ Ideal.map C I
n : σ →₀ ℕ
x✝ : n ∈ a.support

⊢ coeff n a ∈ I
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/GroupRingAction.lean
M : Type u_1
inst✝⁶ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : MulSemiringAction M S
G : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulSemiringAction G S
g : G
f : S[X]
x : S

⊢ eval (g • x) f = g • eval x (g⁻¹ • f)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : PosNum

⊢ (↑↑p).natAbs = (-↑p).natAbs
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K

⊢ w.IsReal ∨ w.IsComplex
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K

⊢ w.IsReal ∨ ¬w.IsReal
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y z : P
x : V

⊢ midpoint R x (-x) = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c x : α
u : αˣ
y : α

⊢ x /ₚ u * ↑u = y * ↑u ↔ y * ↑u = x
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c x : α
u : αˣ
y : α

⊢ x = y * ↑u ↔ y * ↑u = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 ≤ z

⊢ (x * y) ^ z = x ^ z * y ^ z
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α

⊢ (insert x s).einfsep ≤ ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α

⊢ ∀ i ∈ s, x ≠ i → (insert x s).einfsep ≤ edist x i
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0

⊢ Metric.ball 0 r₁ • p.closedBall 0 r₂ ⊆ p.ball 0 (r₁ * r₂)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0

⊢ ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ < r₁ → ∀ (b : E), p b ≤ r₂ → ‖a‖ * p b < r₁ * r₂