ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s) x
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y
hx : HasFDerivAt f' f'' x
v w : E

⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s) x
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y
hx : HasFDerivAt f' f'' x
v w : E
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : Metric.ball x ε ⊆ {x | (fun y => HasFDerivAt f (f' y) y) x}

⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f✝ : E → F
f'✝ : E → E →L[ℝ] F
f''✝ : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf✝ : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f✝ (f'✝ x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx✝ : HasFDerivWithinAt f'✝ f''✝ (interior s) x
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, HasFDerivAt f (f' y) y
hx : HasFDerivAt f' f'' x
v w : E
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : Metric.ball x ε ⊆ {x | (fun y => HasFDerivAt f (f' y) y) x}
A : (interior (Metric.ball x ε)).Nonempty

⊢ (f'' v) w = (f'' w) v
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set α → Prop
s : Set α
h : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l

⊢ ∃ t ⊆ s, t.Subsingleton ∧ t ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set α → Prop
s : Set α
h : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
S : Set (Set α)
hSc : S.Countable
hSp : ∀ s ∈ S, p s
hS : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y

⊢ ∃ t ⊆ s, t.Subsingleton ∧ t ∈ l
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ

⊢ ⌊√↑a⌋ = ↑a.sqrt
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
a : ℕ

⊢ ↑↑a.sqrt ≤ √↑a ∧ √↑a < ↑↑a.sqrt + 1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
z τ : ℂ

⊢ jacobiTheta₂' z τ = -2 * ↑π / (-I * τ) ^ (3 / 2) * jacobiTheta₂'' z (-1 / τ)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
z : ℂ

⊢ jacobiTheta₂' z 0 = -2 * ↑π / (-I * 0) ^ (3 / 2) * jacobiTheta₂'' z (-1 / 0)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
z τ : ℂ
hτ : τ ≠ 0

⊢ jacobiTheta₂' z τ = -2 * ↑π / (-I * τ) ^ (3 / 2) * jacobiTheta₂'' z (-1 / τ)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
z τ : ℂ
hτ : τ ≠ 0
aux1 : -2 * ↑π / (2 * ↑π * I) = I

⊢ jacobiTheta₂' z τ = -2 * ↑π / (-I * τ) ^ (3 / 2) * jacobiTheta₂'' z (-1 / τ)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
z τ : ℂ
hτ : τ ≠ 0
aux1 : -2 * ↑π / (2 * ↑π * I) = I

⊢ 1 / (-I * τ) ^ (3 / 2) * (-I * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ))) = 1 / (-I * τ) ^ (3 / 2) * (-2 * ↑π * jacobiTheta₂'' z (-1 / τ))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
z τ : ℂ
hτ : τ ≠ 0
aux1 : -2 * ↑π / (2 * ↑π * I) = I

⊢ -I * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ)) = -2 * ↑π * jacobiTheta₂'' z (-1 / τ)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
z τ : ℂ
hτ : τ ≠ 0
aux1 : -2 * ↑π / (2 * ↑π * I) = I

⊢ I * (cexp (-(↑π * I * z ^ 2 / τ)) * -(jacobiTheta₂' (z / τ) (-(1 / τ)) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-(1 / τ)))) = I * (cexp (-(↑π * I * z ^ 2 / τ)) * (-jacobiTheta₂' (z / τ) (-(1 / τ)) + z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-(1 / τ)) * (2 * ↑π * I)))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
z τ : ℂ
hτ : τ ≠ 0
aux1 : -2 * ↑π / (2 * ↑π * I) = I

⊢ -(jacobiTheta₂' (z / τ) (-(1 / τ)) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-(1 / τ))) = -jacobiTheta₂' (z / τ) (-(1 / τ)) + z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-(1 / τ)) * (2 * ↑π * I)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S T : NonUnitalSubalgebra R A

⊢ ∀ {x : A}, x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S T : NonUnitalSubalgebra R A

⊢ S ≤ S ⊔ T
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ ∑ k ∈ range (n + 1), ↑((n + 1).choose k) * bernoulli' k = ↑(n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ (↑n + 1) * ∑ k ∈ range n, ↑(n.choose k) / (↑n - ↑k + 1) * bernoulli' k = ∑ x ∈ range n, ↑(n.succ.choose x) * bernoulli' x
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ ∑ x ∈ range n, (↑n + 1) * (↑(n.choose x) / (↑n - ↑x + 1)) * bernoulli' x = ∑ x ∈ range n, ↑(n.succ.choose x) * bernoulli' x
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n k : ℕ
hk : k ∈ range n

⊢ (↑n + 1) * (↑(n.choose k) / (↑n - ↑k + 1)) * bernoulli' k = ↑(n.succ.choose k) * bernoulli' k
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n k : ℕ
hk : k ∈ range n
this : ↑(n - k) + 1 ≠ 0

⊢ (↑n + 1) * (↑(n.choose k) / (↑n - ↑k + 1)) = ↑(n.succ.choose k)
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n k : ℕ
hk : k ∈ range n
this : ↑(n - k) + 1 ≠ 0

⊢ ↑(n.choose k) * (↑n + 1) = ↑((n + 1).choose k) * (↑(n - k) + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)

⊢ vanishingIdeal (zeroLocus I) = I.radical
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)

⊢ vanishingIdeal (zeroLocus I) = I.jacobson
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)

⊢ ∀ b ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal}, vanishingIdeal (zeroLocus I) ≤ b
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
p : MvPolynomial σ k
hp : p ∈ I.jacobson
x : σ → k
hx : x ∈ zeroLocus I

⊢ (eval x) p = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)

⊢ X.δ i.castSucc ≫ X.σ i = 𝟙 (X.obj [n])
-- Mathlib/Data/Finsupp/Weight.lean
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : NonTorsionWeight w
s : σ
h : w s = 0

⊢ False
-- Mathlib/Data/Finsupp/Weight.lean
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : NonTorsionWeight w
s : σ
h : 1 • w s = 0

⊢ False
-- Mathlib/Data/Finsupp/Weight.lean
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : NonTorsionWeight w
s : σ
h : 1 • w s = 0

⊢ 1 = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
θ : Real.Angle

⊢ x = (o.rotation θ) x ↔ x = 0 ∨ θ = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : x ∉ thickening δ E

⊢ (thickenedIndicator δ_pos E) x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/FinsuppVectorSpace.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
n : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Fintype n
a : R
i : n

⊢ ∑ x : n, Finsupp.single x (if i = x then a else 0) = Finsupp.single i a
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M

⊢ x ∈ ↑(sSup S) ↔ x ∈ ⋃ s ∈ S, ↑s
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : β → α → β
b : β
a : α
l : List α

⊢ (scanl f b l).get? 0 = some b
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : LinearOrder M
inst✝³ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝² : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List ι
hl : l ≠ []
f g : ι → M
h : (map f l).prod ≤ (map g l).prod

⊢ ∃ x ∈ l, f x ≤ g x
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : LinearOrder M
inst✝³ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝² : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List ι
hl : l ≠ []
f g : ι → M
h : ∀ x ∈ l, g x < f x

⊢ (map g l).prod < (map f l).prod
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.ord.cof
hf : ∀ (i : ι), f i < c

⊢ iSup f < c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.ord.cof
hf : ∀ (i : ι), f i < c

⊢ ⨆ i, (f i).ord < c.ord
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.ord.cof
hf : ∀ (i : ι), f i < c
i : ι

⊢ (f i).ord < c.ord
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < c.ord.cof
hf : ∀ (i : ι), f i < c
i : ι

⊢ f i < c
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
h : sZMod (p' + 2) (p' + 2 - 2) = 0

⊢ ∃ k, ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
h : ↑(s (p' + 2 - 2)) = 0

⊢ ∃ k, ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
h : 2 ^ (p' + 2) - 1 ∣ s p'

⊢ ∃ k, ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
h : s p' = (2 ^ (p' + 2) - 1) * k

⊢ ∃ k, ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
h : s p' = (2 ^ (p' + 2) - 1) * k

⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
h : ↑(s p') = ↑((2 ^ (p' + 2) - 1) * k)

⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
h : ω ^ 2 ^ p' + ωb ^ 2 ^ p' = ↑((2 ^ (p' + 2) - 1) * k)

⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
h : ω ^ 2 ^ p' * (ω ^ 2 ^ p' + ωb ^ 2 ^ p') = ω ^ 2 ^ p' * ↑((2 ^ (p' + 2) - 1) * k)
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)

⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) + 1 = ω ^ 2 ^ p' * ↑((2 ^ (p' + 2) - 1) * k)
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)

⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) + 1 = ↑(2 ^ (p' + 2) - 1) * ↑k * ω ^ 2 ^ p'
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)

⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) + 1 = ↑k * ↑(2 ^ (p' + 2) - 1) * ω ^ 2 ^ p'
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)

⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)
h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(2 ^ (p' + 2) - 1) * ω ^ 2 ^ p' - 1

⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
k : ℤ
t : 2 ^ p' + 2 ^ p' = 2 ^ (p' + 1)
h : ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(2 ^ (p' + 2) - 1) * ω ^ 2 ^ p' - 1
this : 1 ≤ 2 ^ (p' + 2)

⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
hM : Finite R M
f : M →ₗ[R] N
hf : Surjective ⇑f

⊢ ⊤.FG
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
hM : Finite R M
f : M →ₗ[R] N
hf : Surjective ⇑f

⊢ (map f ⊤).FG
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α

⊢ ↑(lowerClosure s) * t = ↑(lowerClosure (s * t))
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α

⊢ t * ↑(lowerClosure s) = ↑(lowerClosure (t * s))
-- Mathlib/Topology/CompletelyRegular.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : T35Space X
x y : X
x_ne_y : x ≠ y

⊢ ∃ f ∈ Continuous, f x ≠ f y
-- Mathlib/Topology/CompletelyRegular.lean
X : Type u
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : T35Space X
x y : X
x_ne_y : x ≠ y
f : X → ↑I
f_cont : Continuous f
f_zero : f x = 0
f_one : EqOn f 1 {y}

⊢ ∃ f ∈ Continuous, f x ≠ f y
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
x : AddCircle T

⊢ (fourier 1) x = ↑x.toCircle
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α

⊢ a ⊓ b = a / (a / b)⁺ᵐ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
e : Basis ι R M
inst✝ : IsEmpty ι
v : ι → M

⊢ e.det v = (AlternatingMap.constOfIsEmpty R M ι 1) v
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Basic.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.48026, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.48030, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
e₁ : S₁.X₁ ≅ S₂.X₁
e₂ : S₁.X₂ ≅ S₂.X₂
e₃ : S₁.X₃ ≅ S₂.X₃
comm₁₂ : autoParam (e₁.hom ≫ S₂.f = S₁.f ≫ e₂.hom) _auto✝
comm₂₃ : autoParam (e₂.hom ≫ S₂.g = S₁.g ≫ e₃.hom) _auto✝

⊢ e₁.inv ≫ S₁.f = S₂.f ≫ e₂.inv
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Basic.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.48026, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.48030, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
e₁ : S₁.X₁ ≅ S₂.X₁
e₂ : S₁.X₂ ≅ S₂.X₂
e₃ : S₁.X₃ ≅ S₂.X₃
comm₁₂ : autoParam (e₁.hom ≫ S₂.f = S₁.f ≫ e₂.hom) _auto✝
comm₂₃ : autoParam (e₂.hom ≫ S₂.g = S₁.g ≫ e₃.hom) _auto✝

⊢ e₂.inv ≫ S₁.g = S₂.g ≫ e₃.inv
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
i✝ : m × o
j✝ : n × o

⊢ blockDiagonal 0 i✝ j✝ = 0 i✝ j✝
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ b = a ⊔ b ↔ Disjoint a b
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
h : a ∆ b = a ⊔ b

⊢ Disjoint a b
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
h : Disjoint (a ⊓ b) (a ⊔ b)

⊢ Disjoint a b
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ

⊢ periodicOrbit f x = Cycle.nil ↔ x ∉ periodicPts f
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ

⊢ minimalPeriod f x = 0 ↔ x ∉ periodicPts f
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a✝ b a : α
h2 : IsUnit a
x : α

⊢ span {a * x} = span {x}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a✝ b a : α
h2 : IsUnit a
x : α

⊢ ∃ a_1, a_1 * x = a * x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a✝ b a : α
h2 : IsUnit a
x : α

⊢ ∃ a_1, a_1 * (a * x) = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α

⊢ ∃ S, MeasurableSet S ∧ VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure S ≤ VectorMeasure.restrict 0 S ∧ VectorMeasure.restrict 0 Sᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure Sᶜ ∧ j.posPart S = 0 ∧ j.negPart Sᶜ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
S : Set α
hS₁ : MeasurableSet S
hS₂ : j.posPart S = 0
hS₃ : j.negPart Sᶜ = 0

⊢ ∃ S, MeasurableSet S ∧ VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure S ≤ VectorMeasure.restrict 0 S ∧ VectorMeasure.restrict 0 Sᶜ ≤ VectorMeasure.restrict j.toSignedMeasure Sᶜ ∧ j.posPart S = 0 ∧ j.negPart Sᶜ = 0
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S

⊢ Function.Surjective ⇑(toAdjoin R x)
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S

⊢ adjoin R (Subtype.val ⁻¹' {x}) ≤ (toAdjoin R x).range
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝¹ y✝¹ z✝ w x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ

⊢ x ^ (-y) = (x ^ y)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝¹ y✝¹ z✝ w x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ

⊢ (if x = 0 then if -y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * -y)) = (if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * y))⁻¹
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α✝ : Type u_1
M : Matroid α✝
E B I X R J : Set α✝
α : Type u_2

⊢ loopyOn ∅ = emptyOn α
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommGroup β
inst✝ : DecidableEq α

⊢ (∏ x ∈ s₂ \ s₁, f x) / ∏ x ∈ s₁ \ s₂, f x = (∏ x ∈ s₂, f x) / ∏ x ∈ s₁, f x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)

⊢ X.map (SimplexCategory.σ i).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc).op = 𝟙 (X _[n])
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M

⊢ (single a b) a = b
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ

⊢ (auxEquiv R 𝒜 ℬ) 1 = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesColimit (Functor.empty C) (forget C)
X : C
h : Nonempty (IsInitial X)

⊢ IsEmpty ((forget C).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : PreservesColimit (Functor.empty C) (forget C)
X : C
h : Nonempty (IsInitial X)

⊢ Nonempty (IsInitial ((forget C).obj X))
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a : α
t : Set α
x : α

⊢ (if x ∈ t then (uniformOfFinset s hs) x else 0) = if x ∈ s ∧ x ∈ t then (↑s.card)⁻¹ else 0
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a : α
t : Set α
x : α
hx : x ∈ Finset.filter (fun x => x ∈ t) s
this : x ∈ s ∧ x ∈ t := Eq.mp Mathlib.Data.Finset.Basic._auxLemma.138 hx

⊢ (if x ∈ s ∧ x ∈ t then (↑s.card)⁻¹ else 0) = (↑s.card)⁻¹
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
hs : s.Nonempty
a : α
t : Set α

⊢ ∑ _x ∈ Finset.filter (fun x => x ∈ t) s, (↑s.card)⁻¹ = ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ t) s).card / ↑s.card
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it

⊢ ValidFor (r.reverse ++ l) [] it.toEnd
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it

⊢ ValidFor (r.reverse ++ l) [] { s := { data := l.reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len r } }
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R

⊢ v (x - y) = v (x + -y)
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R

⊢ max (v x) (v (-y)) = max (v x) (v y)
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0

⊢ (comap i μ[|s]) t = (comap i μ)[|i ⁻¹' s] t
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0

⊢ Function.Injective i
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0

⊢ ∀ (s : Set Ω'), MeasurableSet s → MeasurableSet (i '' s)