ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
X : StructuredArrow S T

⊢ (eqToHom ⋯).right = eqToHom ⋯
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n✝ : ℕ
n : ℤ
h : -1 < ↑n ∨ ↑n ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x ^ n = (b ^ (n + 1) - a ^ (n + 1)) / (↑n + 1)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a : Fin 1

⊢ ↑a = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Coprod/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
x : M × N

⊢ toProd (inl x.1 * inr x.2) = x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]
n✝¹ n✝ : ℕ

⊢ ((taylor 0 ∘ₗ monomial n✝¹) 1).coeff n✝ = ((LinearMap.id ∘ₗ monomial n✝¹) 1).coeff n✝
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b c : α

⊢ Codisjoint (￢￢a) b ↔ Codisjoint a b
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n✝ : ℕ

⊢ (coeff R n✝) ((d⁄dX R) X) = (coeff R n✝) 1
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n✝ : ℕ

⊢ (if n✝ + 1 = 1 then ↑n✝ + 1 else 0) = if n✝ = 0 then 1 else 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n✝ : ℕ

⊢ (if n✝ = 0 then ↑n✝ + 1 else 0) = if n✝ = 0 then 1 else 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ

⊢ inverse ↑u * ↑u = 1
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ

⊢ last n ∉ map castSuccEmb univ
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ

⊢ univ = Finset.cons (last n) (map castSuccEmb univ) ⋯
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

⊢ ‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ = (‖2 • x + y‖ * ‖2 • x + y‖ + ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖) / 2 - ‖x - z‖ * ‖x - z‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

⊢ ‖2 • x + y‖ * ‖2 • x + y‖ + ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ + ‖x - z‖ * ‖x - z‖)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
g : G

⊢ ∫ (x : G), f (x * g) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
g : G
h_mul : MeasurableEmbedding fun x => x * g

⊢ ∫ (x : G), f (x * g) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
v : m → R

⊢ v ᵥ* (A * Aᴴ) = 0 ↔ v ᵥ* A = 0
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Units.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
x y z : α
inst✝ : DecompositionMonoid α
H1 : IsRelPrime x z
H2 : IsRelPrime y z
x✝ : α
h : x✝ ∣ x * y
hz : x✝ ∣ z

⊢ IsUnit x✝
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Units.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid α
x y z : α
inst✝ : DecompositionMonoid α
H1 : IsRelPrime x z
H2 : IsRelPrime y z
a b : α
ha : a ∣ x
hb : b ∣ y
h : a * b ∣ x * y
hz : a * b ∣ z

⊢ IsUnit (a * b)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s
inst✝ : Decidable (g a ∈ s)

⊢ ∫⁻ (x : β) in s, f x ∂(deterministic g hg) a = if g a ∈ s then f (g a) else 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x ≠ 0

⊢ b ^ logb b x = |x|
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x ≠ 0

⊢ b ^ logb b x ∈ Ioi 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x ≠ 0

⊢ |x| ∈ Ioi 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x ≠ 0

⊢ log (b ^ logb b x) = log |x|
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x ≠ 0

⊢ log x / log b * log b = log x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
a : T

⊢ (C a).rootSet S = ∅
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁

⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁

⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁

⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[<] R₁, ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / r
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : dist z c < R₁
hR₁ : 0 < R₁

⊢ ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[<] R₁, ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / r
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : dist z c < R₁
hR₁ : 0 < R₁
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo (dist z c) R₁

⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / r
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : dist z c < R₁
hR₁ : 0 < R₁
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo (dist z c) R₁
hr₀ : 0 < r

⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / r
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : dist z c < R₁
hR₁ : 0 < R₁
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo (dist z c) R₁
hr₀ : 0 < r
hd : DiffContOnCl ℂ (dslope f c) (ball c r)

⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / r
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : dist z c < R₁
hR₁ : 0 < R₁
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo (dist z c) R₁
hr₀ : 0 < r
hd : DiffContOnCl ℂ (dslope f c) (ball c r)

⊢ ∀ z ∈ frontier (ball c r), ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / r
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f✝ : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
f : ℂ → ℂ
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : dist z c < R₁
hR₁ : 0 < R₁
r : ℝ
hr : r ∈ Ioo (dist z c) R₁
hr₀ : 0 < r
hd : DiffContOnCl ℂ (dslope f c) (ball c r)

⊢ z ∈ closure (ball c r)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Subspace.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
x : ℙ K V

⊢ x ∈ (span S).carrier ↔ x ∈ (sInf {W | S ⊆ ↑W}).carrier
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Subspace.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
x : ℙ K V

⊢ (∀ (W : Subspace K V), S ⊆ ↑W → x ∈ W) ↔ x ∈ sInf {W | S ⊆ ↑W}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : E → ℝ
f' g' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
c p : ℝ
n : ℕ∞
m : ℕ
hf : ContDiffAt ℝ (↑m) f x
h : ↑m ≤ p

⊢ ContDiffAt ℝ (↑m) (fun x => f x ^ p) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : E → ℝ
f' g' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
c p : ℝ
n : ℕ∞
m : ℕ
hf : ContDiffWithinAt ℝ (↑m) f Set.univ x
h : ↑m ≤ p

⊢ ContDiffWithinAt ℝ (↑m) (fun x => f x ^ p) Set.univ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ tan (π / 6) = 1 / √3
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ 1 / 2 / (√3 / 2) = 1 / √3
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ 1 < s.ncard ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, a ≠ b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Zero E
hm : m ≤ m0
s : Set α
f : α → E
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t)
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0
h_ind_eq : s.indicator (mk f hf) =ᶠ[ae μ] f

⊢ AEStronglyMeasurable' m₂ f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Zero E
hm : m ≤ m0
s : Set α
f : α → E
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t)
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0
h_ind_eq : s.indicator (mk f hf) =ᶠ[ae μ] f

⊢ StronglyMeasurable (s.indicator (mk f hf))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Zero E
hm : m ≤ m0
s : Set α
f : α → E
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) → MeasurableSet (s ∩ t)
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hf_zero : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0
h_ind_eq : s.indicator (mk f hf) =ᶠ[ae μ] f
hf_ind : StronglyMeasurable (s.indicator (mk f hf))

⊢ StronglyMeasurable (s.indicator (mk f hf))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
y : ↥M

⊢ (algEquiv M S) (mk x y) = mk' S x y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)

⊢ Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
K_compact : IsCompact K

⊢ Tendsto (fun t => ∫ (x : E), t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x) * g x ∂μ) (𝓝[>] 0) (𝓝 (∫ (x : E), lineDeriv ℝ f x v * g x ∂μ))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
K_compact : IsCompact K

⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, AEStronglyMeasurable (fun a => n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
K_compact : IsCompact K

⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ᵐ (a : E) ∂μ, ‖n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a‖ ≤ K.indicator (fun x => ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
K_compact : IsCompact K

⊢ Integrable (K.indicator fun x => ↑C * ‖v‖ * ‖g x‖) μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
h'f : HasCompactSupport f
hg : Continuous g
v : E
K : Set E := cthickening ‖v‖ (tsupport f)
K_compact : IsCompact K

⊢ ∀ᵐ (a : E) ∂μ, Tendsto (fun n => n⁻¹ • (f (a + n • v) - f a) * g a) (𝓝[>] 0) (𝓝 (lineDeriv ℝ f a v * g a))
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty

⊢ toDual (s.min' hs) = (image (⇑toDual) s).max' ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty

⊢ ↑(toDual (s.min' hs)) = ↑((image (⇑toDual) s).max' ⋯)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset α
hs : s.Nonempty

⊢ s.sup (WithBot.some ∘ fun x => toDual x) = s.sup ((WithBot.some ∘ fun x => x) ∘ ⇑toDual)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Norm α
inst✝ : Norm β
f : WithLp 0 (α × β)

⊢ ‖f‖ = (if ‖f.1‖ = 0 then 0 else 1) + if ‖f.2‖ = 0 then 0 else 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

⊢ o.oangle x y = ↑π ↔ o.oangle y x = ↑π
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b x : α

⊢ x ∈ Ioc a b ↔ a < x ∧ x ≤ b
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
f : A →+* B
hf : Surjective ⇑f

⊢ f.FiniteType
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
f : A →+* B
hf : Surjective ⇑f

⊢ (f.comp (RingHom.id A)).FiniteType
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p

⊢ count p 0 = 0
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ

⊢ (addVal R) ϖ = 1
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G
f : Fin n → G
a b : k

⊢ mapDomain (actionDiagonalSucc G n).inv.hom ((lcongr (Equiv.refl (G × (Fin n → G))) (TensorProduct.lid k k)) ((finsuppTensorFinsupp k k k k G (Fin n → G)) (single g a ⊗ₜ[k] single f b))) = single (g • partialProd f) (a * b)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G
f : Fin n → G
a b : k

⊢ single (g • partialProd f) ((TensorProduct.lid k k) (a ⊗ₜ[k] b)) = single (g • partialProd f) (a * b)
-- Mathlib/CategoryTheory/Endofunctor/Algebra.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ C
A A₀ A₁ A₂ : Algebra F
f : A₀ ⟶ A₁
g : A₁ ⟶ A₂
h : Limits.IsInitial A

⊢ F.map (strInv h ≫ A.str) ≫ A.str = A.str ≫ strInv h ≫ A.str
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : ListBlank Γ
n : ℕ

⊢ l.nth (n + 1) = l.tail.nth n
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : ListBlank Γ
n : ℕ

⊢ (cons l.head l.tail).nth (n + 1) = l.tail.nth n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ

⊢ AntitoneOn (fun x => dist x y) (Iic y)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
y₁ : ι → ℝ
hy₁ : y₁ ∈ Iic y
y₂ : ι → ℝ
hy₂ : y₂ ∈ Iic y
hy : y₁ ≤ y₂
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ

⊢ nndist (y₂ i) (y i) ≤ nndist (y₁ i) (y i)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
y₁ : ι → ℝ
hy₁ : y₁ ∈ Iic y
y₂ : ι → ℝ
hy₂ : y₂ ∈ Iic y
hy : y₁ ≤ y₂
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ

⊢ (y i - y₂ i).toNNReal ≤ (y i - y₁ i).toNNReal
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : Dial C
f : W✝ ⟶ X✝
g : X✝ ⟶ Y✝
h : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ (f ≫ g) ≫ h = f ≫ g ≫ h
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : Dial C
f : W✝ ⟶ X✝
g : X✝ ⟶ Y✝
h : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ π(π₁, prod.map (f.f ≫ g.f) (𝟙 Z✝.tgt) ≫ h.F) ≫ π(π₁, prod.map f.f (𝟙 Y✝.tgt) ≫ g.F) ≫ f.F = π(π₁, prod.map f.f (𝟙 Z✝.tgt) ≫ π(π₁, prod.map g.f (𝟙 Z✝.tgt) ≫ h.F) ≫ g.F) ≫ f.F
-- Mathlib/CategoryTheory/Dialectica/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : Dial C
f : W✝ ⟶ X✝
g : X✝ ⟶ Y✝
h : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ (π(π₁, prod.map (f.f ≫ g.f) (𝟙 Z✝.tgt) ≫ h.F) ≫ π(π₁, prod.map f.f (𝟙 Y✝.tgt) ≫ g.F)) ≫ f.F = π(π₁, (prod.map f.f (𝟙 Z✝.tgt) ≫ π(π₁, prod.map g.f (𝟙 Z✝.tgt) ≫ h.F)) ≫ g.F) ≫ f.F
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ normalizedFactors (x * y) = normalizedFactors x + normalizedFactors y
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⇑normalize = Associates.out ∘ Associates.mk

⊢ normalizedFactors (x * y) = normalizedFactors x + normalizedFactors y
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⇑normalize = Associates.out ∘ Associates.mk

⊢ Multiset.map Associates.out (Multiset.map Associates.mk (normalizedFactors x + normalizedFactors y)) = Multiset.map Associates.out (Multiset.map Associates.mk (normalizedFactors (x * y)))
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⇑normalize = Associates.out ∘ Associates.mk

⊢ Multiset.map Associates.mk (normalizedFactors x + normalizedFactors y) = Multiset.map Associates.mk (normalizedFactors (x * y))
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⇑normalize = Associates.out ∘ Associates.mk

⊢ Multiset.Rel Setoid.r (normalizedFactors x + normalizedFactors y) (normalizedFactors (x * y))
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⇑normalize = Associates.out ∘ Associates.mk

⊢ ∀ x_1 ∈ normalizedFactors x + normalizedFactors y, Irreducible x_1
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⇑normalize = Associates.out ∘ Associates.mk

⊢ ∀ x_1 ∈ normalizedFactors (x * y), Irreducible x_1
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ⇑normalize = Associates.out ∘ Associates.mk

⊢ (normalizedFactors x + normalizedFactors y).prod ~ᵤ (normalizedFactors (x * y)).prod
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Group G
f g : MonoidAlgebra k G
x : G

⊢ (f * g) x = sum g fun a b => (f * single a b) x
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Group G
f g : MonoidAlgebra k G
x : G

⊢ (sum g fun a b => (f * single a b) x) = sum g fun a b => f (x * a⁻¹) * b
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
i : ι
x : αs i

⊢ (comapDomain (Sigma.mk i) l ⋯) x = l ⟨i, x⟩
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
f : β → Set α
hf : Pairwise (Disjoint on f)
s : Set α
h'f : ∀ (t : β), f t ⊆ s
hs : s.Countable

⊢ {t | (f t).Nonempty}.Countable
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
f : β → Set α
hf : Pairwise (Disjoint on f)
s : Set α
h'f : ∀ (t : β), f t ⊆ s
hs : Countable ↑s

⊢ Countable ↑{t | (f t).Nonempty}
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
f : β → Set α
hf : Pairwise (Disjoint on f)
s : Set α
h'f : ∀ (t : β), f t ⊆ s
hs : Countable ↑s
F : { t // (f t).Nonempty } → ↑s
hF : ∀ (t : { t // (f t).Nonempty }), ↑(F t) ∈ f ↑t

⊢ Countable ↑{t | (f t).Nonempty}
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
f : β → Set α
hf : Pairwise (Disjoint on f)
s : Set α
h'f : ∀ (t : β), f t ⊆ s
hs : Countable ↑s
F : { t // (f t).Nonempty } → ↑s
hF : ∀ (t : { t // (f t).Nonempty }), ↑(F t) ∈ f ↑t
A : Injective F

⊢ Countable ↑{t | (f t).Nonempty}