ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/UniqueDifferential.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
hp : p ∈ e.source
this : UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (s ×ˢ univ) (↑e p)

⊢ e.symm.target ∩ ↑e.symm.symm ⁻¹' s ×ˢ univ ⊆ TotalSpace.proj ⁻¹' s
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/UniqueDifferential.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁶ : ChartedSpace H M
inst✝¹⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
s : Set M
x : M
F : Type u_8
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
Z : M → Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F Z)
inst✝⁵ : (b : M) → TopologicalSpace (Z b)
inst✝⁴ : (b : M) → AddCommMonoid (Z b)
inst✝³ : (b : M) → Module 𝕜 (Z b)
inst✝² : FiberBundle F Z
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F Z
inst✝ : SmoothVectorBundle F Z I
p : TotalSpace F Z
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F Z p.proj
hp : p ∈ e.source
this : UniqueMDiffWithinAt (I.prod 𝓘(𝕜, F)) (s ×ˢ univ) (↑e p)
y : TotalSpace F Z
hy : y ∈ e.symm.target
hys : (↑e.symm.symm y).1 ∈ s

⊢ y ∈ TotalSpace.proj ⁻¹' s
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
f✝ f : R[X]
I : Ideal R
x : R
this : (algebraMap R (AdjoinRoot f ⧸ Ideal.map (of f) I)) x = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (of f) I)) ((mk f) (C x))

⊢ (quotAdjoinRootEquivQuotPolynomialQuot I f) ((algebraMap R (AdjoinRoot f ⧸ Ideal.map (of f) I)) x) = (algebraMap R ((R ⧸ I)[X] ⧸ span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) x
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
f✝ f : R[X]
I : Ideal R
x : R
this : (algebraMap R (AdjoinRoot f ⧸ Ideal.map (of f) I)) x = (Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (of f) I)) ((mk f) (C x))

⊢ (Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) (C ((Ideal.Quotient.mk I) x)) = (algebraMap R ((R ⧸ I)[X] ⧸ span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) f})) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
ha : IsUnit A.det
z1 z2 : ℤ

⊢ A ^ (z1 - z2) = A ^ z1 / A ^ z2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl K

⊢ Disjoint K ↑C
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl K

⊢ K ∩ ↑C ⊆ ∅
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X Y : C
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasBinaryCoproducts C
inst✝ : HasInitial C
P : C

⊢ desc (𝟙 P) (initial.to P) ≫ inl = 𝟙 (P ⨿ ⊥_ C)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : 1 / a = 1 / b

⊢ a = b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0

⊢ (1 - 4 * z ^ 2 / ↑n ^ 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n = (↑n - 1) / ↑n * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
nne : ↑n ≠ 0

⊢ (1 - 4 * z ^ 2 / ↑n ^ 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n = (↑n - 1) / ↑n * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
nne : ↑n ≠ 0
this : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n = ↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.sin (2 * z * ↑x) * ↑(sin x) * ↑(cos x) ^ (n - 1)

⊢ (1 - 4 * z ^ 2 / ↑n ^ 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n = (↑n - 1) / ↑n * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : 2 ≤ n
hz : z ≠ 0
nne : ↑n ≠ 0
this : (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) - ↑n / (2 * z) * (↑n / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n) = ↑n / (2 * z) * -((↑n - 1) / (2 * z) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2))

⊢ (1 - 4 * z ^ 2 / ↑n ^ 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ n = (↑n - 1) / ↑n * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (n - 2)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R

⊢ (ascPochhammer ℤ 0).smeval r = (ascPochhammer ℕ 0).smeval r
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ

⊢ (ascPochhammer ℤ (n + 1)).smeval r = (ascPochhammer ℕ (n + 1)).smeval r
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ

⊢ (ascPochhammer ℤ n).smeval r * (X + ↑n).smeval r = (ascPochhammer ℕ n).smeval r * (X + ↑n).smeval r
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R
n : ℕ

⊢ (ascPochhammer ℕ n).smeval r * (X + ↑n).smeval r = (ascPochhammer ℕ n).smeval r * (X + ↑n).smeval r
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 0 ≤ p

⊢ r ≤ p.toNNReal ↔ ↑r ≤ p
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
l₀ l₁ : List (Sigma β)
nd₀ : l₀.NodupKeys
nd₁ : l₁.NodupKeys
h : ∀ (x : α) (y : β x), y ∈ dlookup x l₀ ↔ y ∈ dlookup x l₁
x✝ : Sigma β
a : α
b : β a

⊢ ⟨a, b⟩ ∈ l₀ ↔ ⟨a, b⟩ ∈ l₁
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ n.divisors.card = ∏ x ∈ n.primeFactors, (n.factorization x + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ (n.factorization.prod fun p k => (σ 0) (p ^ k)) = ∏ x ∈ n.primeFactors, (n.factorization x + 1)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
h : S = ⊤
x : A

⊢ x ∈ ⊤
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
h : ∀ (x : A), x ∈ S
x : A

⊢ x ∈ S ↔ x ∈ ⊤
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y

⊢ √x = y ↔ y ^ 2 = x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
R₂ : Type u_2
inst✝¹² : Ring R₂
R₃ : Type u_3
inst✝¹¹ : Ring R₃
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M
inst✝⁹ : AddCommGroup M
M₂ : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
M₃ : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
M₄ : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₄
inst✝³ : AddCommGroup M₄
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
f : M →SL[σ₁₂] M₂
x : M

⊢ f (-x) = -f x
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b b' : ℕ
c : ℤ
h : ↑b' ≡ c [ZMOD ↑b]
n : ℕ

⊢ ↑(ofDigits b' (b'.digits n)) ≡ ofDigits c (b'.digits n) [ZMOD ↑b]
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b b' : ℕ
c : ℤ
h : ↑b' ≡ c [ZMOD ↑b]
n : ℕ

⊢ ofDigits (↑b') (b'.digits n) ≡ ofDigits c (b'.digits n) [ZMOD ↑b]
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0

⊢ (x ^ y) ^ (1 / y) = x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finsubgraph.lean
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
F : SimpleGraph W
inst✝ : Finite V
ι : Sort u_1
f : ι → G.Finsubgraph

⊢ ↑(⨆ i, f i) = ⨆ i, ↑(f i)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H

⊢ HasStrictFDerivAt f f' y ↔ ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (fun x => f x i) ((EuclideanSpace.proj i).comp f') y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H

⊢ (∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) ((proj i).comp ((↑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜)).comp f')) y) ↔ ∀ (i : ι), HasStrictFDerivAt (fun x => f x i) ((EuclideanSpace.proj i).comp f') y
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
n : ℕ

⊢ derivative ↑n = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
n : ℕ

⊢ derivative (C ↑n) = 0
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
hf' : Integrable (fun x => x • f x) volume
w : ℝ

⊢ HasDerivAt (𝓕 f) (𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) w) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
hf' : Integrable (fun x => x • f x) volume
w : ℝ
hf'' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) volume

⊢ HasDerivAt (𝓕 f) (𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) w) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
hf' : Integrable (fun x => x • f x) volume
w : ℝ
hf'' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) volume
L : ℝ →L[ℝ] ℝ →L[ℝ] ℝ := ContinuousLinearMap.mul ℝ ℝ

⊢ HasDerivAt (𝓕 f) (𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) w) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
hf' : Integrable (fun x => x • f x) volume
w : ℝ
hf'' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) volume
L : ℝ →L[ℝ] ℝ →L[ℝ] ℝ := ContinuousLinearMap.mul ℝ ℝ
h_int : Integrable (fun v => fourierSMulRight L f v) volume

⊢ HasDerivAt (𝓕 f) (𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) w) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
hf' : Integrable (fun x => x • f x) volume
w : ℝ
hf'' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) volume
L : ℝ →L[ℝ] ℝ →L[ℝ] ℝ := ContinuousLinearMap.mul ℝ ℝ
h_int : Integrable (fun v => 𝐞 (-((LinearMap.mul ℝ ℝ) v) w) • fourierSMulRight L f v) volume

⊢ HasDerivAt (𝓕 f) (𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) w) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
hf' : Integrable (fun x => x • f x) volume
w : ℝ
hf'' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) volume
L : ℝ →L[ℝ] ℝ →L[ℝ] ℝ := ContinuousLinearMap.mul ℝ ℝ
h_int : Integrable (fun v => 𝐞 (-((LinearMap.mul ℝ ℝ) v) w) • fourierSMulRight L f v) volume

⊢ 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) w = (VectorFourier.fourierIntegral 𝐞 volume L.toLinearMap₂ (fourierSMulRight L f) w) 1
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
hf' : Integrable (fun x => x • f x) volume
w : ℝ
hf'' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) volume
L : ℝ →L[ℝ] ℝ →L[ℝ] ℝ := ContinuousLinearMap.mul ℝ ℝ
h_int : Integrable (fun v => 𝐞 (-((LinearMap.mul ℝ ℝ) v) w) • fourierSMulRight L f v) volume

⊢ 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) • f x) w = ∫ (x : ℝ), (𝐞 (-((LinearMap.mul ℝ ℝ) x) w) • fourierSMulRight L f x) 1 ∂volume
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
hf : Integrable f volume
hf' : Integrable (fun x => x • f x) volume
w : ℝ
hf'' : Integrable (fun v => ‖v‖ * ‖f v‖) volume
L : ℝ →L[ℝ] ℝ →L[ℝ] ℝ := ContinuousLinearMap.mul ℝ ℝ
h_int : Integrable (fun v => 𝐞 (-((LinearMap.mul ℝ ℝ) v) w) • fourierSMulRight L f v) volume

⊢ 𝓕 (fun x => -2 • ↑π • I • ↑x • f x) w = ∫ (x : ℝ), 𝐞 (-((LinearMap.mul ℝ ℝ) x) w) • -2 • ↑π • I • x • f x ∂volume
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
step s m n : Nat
step0 : 0 < step

⊢ range' s m step ⊆ range' s n step ↔ m ≤ n
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
step s m n : Nat
step0 : 0 < step
h : range' s m step ⊆ range' s n step
hn : n < m

⊢ False
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
step s m n : Nat
step0 : 0 < step
h : range' s m step ⊆ range' s n step
hn : n < m
i : Nat
h' : i < n
e : s + step * n = s + step * i

⊢ False
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Option β
g : α → β → σ
hf : Computable f
hg : Computable₂ g

⊢ Computable fun a => Option.map (g a) (f a)
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Option β
g : α → β → σ
hf : Computable f
hg : Computable₂ g
x✝ : α

⊢ Option.map (g x✝) (f x✝) = (f x✝).bind fun b => Option.some (g x✝ b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁰ : NormalSpace α
inst✝⁹ : R1Space α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E
_i : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAlgebra ℝ 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
this : NormedSpace ℝ E

⊢ DenseRange ⇑(toLp p μ 𝕜)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
P : Submodule R M
b : Basis ι R ↥P
x : M

⊢ x ∈ P ↔ ∃ c, x = c.sum fun i x => x • ↑(b i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b✝ b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
P : Submodule R M
b : Basis ι R ↥P
x : M

⊢ x ∈ LinearMap.range (Finsupp.total ι M R (⇑P.subtype ∘ ⇑b)) ↔ ∃ c, x = c.sum fun i x => x • ↑(b i)
-- Mathlib/Tactic/ComputeDegree.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
o : ℕ
p : R[X]
coeff_ne_zero : p.coeff o ≠ 0
h_natDeg_le : p.natDegree ≤ o

⊢ p.natDegree = o
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α

⊢ Tendsto (fun x => μ (Iic x)) atTop (𝓝 (μ univ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
h✝ : IsEmpty α

⊢ Tendsto (fun x => μ (Iic x)) atTop (𝓝 (μ univ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
h✝ : Nonempty α

⊢ Tendsto (fun x => μ (Iic x)) atTop (𝓝 (μ univ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
h✝ : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Iic x)

⊢ Tendsto (fun x => μ (Iic x)) atTop (𝓝 (μ univ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
h✝ : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Iic x)

⊢ μ univ = ⨆ i, μ (Iic i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
h✝ : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Iic x)
xs : ℕ → α
hxs_mono : Monotone xs
hxs_tendsto : Tendsto xs atTop atTop

⊢ μ univ = ⨆ i, μ (Iic i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
h✝ : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Iic x)
xs : ℕ → α
hxs_mono : Monotone xs
hxs_tendsto : Tendsto xs atTop atTop
h_univ : univ = ⋃ n, Iic (xs n)

⊢ μ univ = ⨆ i, μ (Iic i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
h✝ : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Iic x)
xs : ℕ → α
hxs_mono : Monotone xs
hxs_tendsto : Tendsto xs atTop atTop
h_univ : univ = ⋃ n, Iic (xs n)

⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun n => Iic (xs n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLinearEquiv.lean
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
R : Type u_2
M✝ : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
M : Matrix n n A

⊢ (∃ v, v ≠ 0 ∧ v ᵥ* M = 0) ↔ M.det = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℂ
y : ℝ

⊢ abs (x ^ ↑y) = abs x ^ y
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h5 : 5 ≤ card α
f : Perm α
hf : f.IsThreeCycle

⊢ ⊤ ≤ normalClosure {⟨f, ⋯⟩}
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h5 : 5 ≤ card α
f : Perm α
hf : f.IsThreeCycle
hi : Function.Injective ⇑(alternatingGroup α).subtype

⊢ ⊤ ≤ normalClosure {⟨f, ⋯⟩}
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h5 : 5 ≤ card α
f : Perm α
hf : f.IsThreeCycle
hi : Function.Injective ⇑(alternatingGroup α).subtype

⊢ map (alternatingGroup α).subtype ⊤ ≤ map (alternatingGroup α).subtype (normalClosure {⟨f, ⋯⟩})
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h5 : 5 ≤ card α
f : Perm α
hf : f.IsThreeCycle
hi : Function.Injective ⇑(alternatingGroup α).subtype

⊢ alternatingGroup α ≤ closure (⇑(alternatingGroup α).subtype '' Group.conjugatesOfSet {⟨f, ⋯⟩})
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h5 : 5 ≤ card α
f : Perm α
hf : f.IsThreeCycle
hi : Function.Injective ⇑(alternatingGroup α).subtype

⊢ {σ | σ.IsThreeCycle} ⊆ ⇑(alternatingGroup α).subtype '' Group.conjugatesOfSet {⟨f, ⋯⟩}
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h5 : 5 ≤ card α
f : Perm α
hf : f.IsThreeCycle
hi : Function.Injective ⇑(alternatingGroup α).subtype
g : Perm α
h : g ∈ {σ | σ.IsThreeCycle}

⊢ g ∈ ⇑(alternatingGroup α).subtype '' Group.conjugatesOfSet {⟨f, ⋯⟩}
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h5 : 5 ≤ card α
f : Perm α
hf : f.IsThreeCycle
hi : Function.Injective ⇑(alternatingGroup α).subtype
c : Perm α
h : c * f * c⁻¹ ∈ {σ | σ.IsThreeCycle}

⊢ c * f * c⁻¹ ∈ ⇑(alternatingGroup α).subtype '' Group.conjugatesOfSet {⟨f, ⋯⟩}
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h5 : 5 ≤ card α
f : Perm α
hf : f.IsThreeCycle
hi : Function.Injective ⇑(alternatingGroup α).subtype
c : Perm α
h : c * f * c⁻¹ ∈ {σ | σ.IsThreeCycle}

⊢ ⟨c * f * c⁻¹, ⋯⟩ ∈ Group.conjugatesOfSet {⟨f, ⋯⟩}