ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f : ℕ → β
g : CauSeq β abv
h : ∀ ε > 0, ∃ i, ∀ j ≥ i, abv (f j - ↑g j) < ε
ε : α
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, abv (f j - ↑g j) < ε / 2 / 2 ∧ ∀ k ≥ j, abv (↑g k - ↑g j) < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
h₁ : abv (↑g i - f i) < ε / 2 / 2
h₂ : ∀ k ≥ i, abv (↑g k - ↑g i) < ε / 2
this✝ : abv (f j - ↑g j + (↑g i - f i)) < ε / 2 / 2 + ε / 2 / 2
this : abv (f j - ↑g j + (↑g i - f i) + (↑g j - ↑g i)) < ε / 2 / 2 + ε / 2 / 2 + ε / 2

⊢ abv (f j - f i) < ε
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k d : ℕ+
ζ : Mˣ
h : ζ ∈ rootsOfUnity k M

⊢ ζ ∈ rootsOfUnity (k * d) M