ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeProduct/Basic.lean
I : Type u
inst✝⁵ : DecidableEq I
i✝ : I
R : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : I → Type w
inst✝³ : (i : I) → Semiring (A i)
inst✝² : (i : I) → Algebra R (A i)
B : Type w'
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
maps : {i : I} → A i →ₐ[R] B
f : FreeProduct R A →ₐ[R] B
i : I
a : A i
h : (f ∘ₐ ι R A i) a = maps a

⊢ (((f ∘ₐ RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) ∘ₗ DirectSum.lof R I A i) a = (((((lift R A) fun {i} => maps) ∘ₐ RingQuot.mkAlgHom R (rel R A)).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) ∘ₗ DirectSum.lof R I A i) a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝

⊢ -(algebraMap ℝ A) ‖a‖ ≤ a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝
this : -a ≤ (algebraMap ℝ A) ‖a‖

⊢ -(algebraMap ℝ A) ‖a‖ ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℤ
a : α

⊢ mabs (a ^ n) = mabs a ^ |n|
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℤ
a : α
n0 : 0 ≤ n

⊢ mabs (a ^ n) = mabs a ^ |n|
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b : α
n : ℤ
a : α
n0 : n ≤ 0

⊢ mabs (a ^ n) = mabs a ^ |n|
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖

⊢ Tendsto f (cocompact E) (cocompact F)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖

⊢ ∀ s ∈ cocompact F, f ⁻¹' s ∈ cocompact E
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F

⊢ f ⁻¹' s ∈ cocompact E
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s

⊢ f ⁻¹' s ∈ cocompact E
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖

⊢ f ⁻¹' s ∈ cocompact E
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖

⊢ ∃ r, (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖

⊢ (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
x : E
hx : x ∈ (closedBall 0 r)ᶜ

⊢ x ∈ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝓕 : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : ProperSpace E
inst✝ : ProperSpace F
f✝ : 𝓕
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
x : E
hx : r < ‖x‖

⊢ x ∈ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h✝ : IsInternal N
κ : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → Fintype (κ i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
s : Finset ι
h : IsInternal fun i => N ↑i
b : (i : { x // x ∈ s }) → Basis (κ ↑i) R ↥(N ↑i)
σ : ι → ι
hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N (σ i))
hN : ∀ i ∉ s, N i = ⊥
i : { x // x ∈ s }
k : κ ↑i

⊢ ((toMatrix (h.collectedBasis b) (h.collectedBasis b)) f).diag ⟨i, k⟩ = 0 ⟨i, k⟩
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝² : DecidableEq ι
h✝ : IsInternal N
κ : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → Fintype (κ i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (κ i)
s : Finset ι
h : IsInternal fun i => N ↑i
b : (i : { x // x ∈ s }) → Basis (κ ↑i) R ↥(N ↑i)
σ : ι → ι
hσ : ∀ (i : ι), σ i ≠ i
f : Module.End R M
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N i) ↑(N (σ i))
hN : ∀ i ∉ s, N i = ⊥
i : { x // x ∈ s }
k : κ ↑i

⊢ ((h.collectedBasis b).repr (f ↑((b i) k))) ⟨i, k⟩ = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Directed.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
ι : Type u_4
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → Subalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
T : Subalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
x : ↥(K i)
hx : ↑x ∈ T

⊢ Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑T ⋯ ⟨↑x, hx⟩ = (f i) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f

⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f₁ f' x v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f

⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f (x + t • v)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F✝
f' : F✝
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F✝
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 (F 0)] f

⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f (x + t • v)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
p : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
j : Fin n
i : ℕ

⊢ degreeOf j (((finSuccEquiv R n) p).coeff i) ≤ degreeOf j.succ p
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
p : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
j : Fin n
i : ℕ

⊢ ∀ b ∈ (((finSuccEquiv R n) p).coeff i).support, b j ≤ p.support.sup fun m => m j.succ
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
p : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
j : Fin n
i : ℕ
m : Fin n →₀ ℕ
hm : m ∈ (((finSuccEquiv R n) p).coeff i).support

⊢ m j ≤ p.support.sup fun m => m j.succ
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
p : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
j : Fin n
i : ℕ
m : Fin n →₀ ℕ
hm : m ∈ (((finSuccEquiv R n) p).coeff i).support

⊢ (cons i m) j.succ ≤ p.support.sup fun m => m j.succ
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrongEpi.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongEpi f

⊢ Epi g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrongEpi.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongEpi f

⊢ Epi (e.inv.left ≫ f ≫ e.hom.right)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrongEpi.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongEpi f
this : Epi (f ≫ e.hom.right)

⊢ Epi (e.inv.left ≫ f ≫ e.hom.right)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrongEpi.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongEpi f
X Y : C
z : X ⟶ Y
inst✝ : Mono z

⊢ HasLiftingProperty g z
-- Mathlib/Data/Multiset/FinsetOps.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t u : Multiset α

⊢ ndunion 0 t ≤ u ↔ 0 ⊆ u ∧ t ≤ u
-- Mathlib/Data/Multiset/FinsetOps.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t u : Multiset α
x✝¹ : α
x✝ : Multiset α
h : x✝.ndunion t ≤ u ↔ x✝ ⊆ u ∧ t ≤ u

⊢ (x✝¹ ::ₘ x✝).ndunion t ≤ u ↔ x✝¹ ::ₘ x✝ ⊆ u ∧ t ≤ u
-- Mathlib/Data/Multiset/Range.lean
n : ℕ

⊢ range n.succ = n ::ₘ range n
-- Mathlib/Data/Multiset/Range.lean
n : ℕ

⊢ ↑[n] + ↑(List.range n) = n ::ₘ range n
-- Mathlib/Order/Hom/Lattice.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : BooleanAlgebra α
inst✝² : BooleanAlgebra β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a b : α

⊢ f (a ∆ b) = f a ∆ f b
-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddMonoid G
inst✝¹ : AddMonoid H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G
n : ℕ

⊢ f (x + n • a) = f x + n • b
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
inst✝ : Nonempty α
f : α → β
a : α
b : β
h : ∃ a, f a = b

⊢ f (invFun f b) = b
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
G : AddSubgroup R
k : ℤ
g : R
h : g ∈ G

⊢ ↑k * g ∈ G
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
G : AddSubgroup R
k : ℤ
g : R
h : g ∈ G

⊢ ↑k * g = k • g
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α

⊢ map (fun x => x.fst) Finset.univ.val = m
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
this : map Prod.fst m.toEnumFinset.val = m

⊢ map (fun x => x.fst) Finset.univ.val = m
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α
this : map Prod.fst (Finset.map m.coeEmbedding Finset.univ).val = m

⊢ map (fun x => x.fst) Finset.univ.val = m
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hIY : M.Basis I Y

⊢ M.Basis I (X ∪ Y)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hIX : M.Basis I X
hIY : M.Basis I Y

⊢ M.Indep I
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.indicator 1 x))

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.indicator 1 x))
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, t.indicator 1 x = 1

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.indicator 1 x))
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, t.indicator 1 x = 1
x : α
hx : Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.indicator 1 x))
h'x : t.indicator 1 x = 1

⊢ Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.indicator 1 x))
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, t.indicator 1 x = 1
x : α
hx : Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)
h'x : t.indicator 1 x = 1

⊢ Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.indicator 1 x))
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, t.indicator 1 x = 1
x : α
hx : Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)
h'x : t.indicator 1 x = 1

⊢ (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) =ᶠ[v.filterAt x] fun a => μ (s ∩ a) / μ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.indicator 1 x))
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, t.indicator 1 x = 1
x : α
hx : Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)
h'x : t.indicator 1 x = 1
a✝ : Set α
ha : MeasurableSet a✝

⊢ μ (t ∩ a✝) / μ a✝ = μ (s ∩ a✝) / μ a✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s
A : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (t.indicator 1 x))
B : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, t.indicator 1 x = 1
x : α
hx : Tendsto (fun a => μ (t ∩ a) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 1)
h'x : t.indicator 1 x = 1
a✝ : Set α
ha : MeasurableSet a✝

⊢ μ (t ∩ a✝) = μ (s ∩ a✝)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : PosNum

⊢ ↑n.pred'.succ' = ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ LSeriesHasSum (fun x => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑x)) s (expZeta (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

⊢ LSeries.term (fun x => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑x)) s n = cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ LSeries.term (fun x => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑x)) s 0 = cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) / ↑0 ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ LSeries.term (fun x => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑x)) s n = cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p (x + ↑r)

⊢ LiouvilleWith p x
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]

⊢ f.natSepDegree ≤ f.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
this : Multiset.card (map (algebraMap F f.SplittingField) f).roots ≤ (map (algebraMap F f.SplittingField) f).natDegree

⊢ f.natSepDegree ≤ f.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
this : Multiset.card (f.aroots f.SplittingField) ≤ f.natDegree

⊢ f.natSepDegree ≤ f.natDegree
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x✝ : α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x

⊢ (f.toCycle hf).Nodup
-- Mathlib/Data/Int/Lemmas.lean
a✝ b✝ : ℤ
n✝ a b n : ℕ
a_lt_n : a < n
b_lt_n : b < n

⊢ (↑a - ↑b).natAbs < n
-- Mathlib/Data/Int/Lemmas.lean
a✝ b✝ : ℤ
n✝ a b n : ℕ
a_lt_n : a < n
b_lt_n : b < n

⊢ |↑a - ↑b| < ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

⊢ range (snd R M M₂) = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c d a b : G

⊢ a * (b * a⁻¹) = b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic

⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Subsingleton R

⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial R

⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial R
H : erase p.natDegree p + X ^ p.natDegree = p

⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial R
H : erase p.natDegree p + X ^ p.natDegree = p
h0 : ¬erase p.natDegree p = 0

⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial R
H : erase p.natDegree p + X ^ p.natDegree = p
h0 : ¬erase p.natDegree p = 0
q : R[X]
hq : map f q = erase p.natDegree p ∧ q.degree = (erase p.natDegree p).degree

⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial R
H : erase p.natDegree p + X ^ p.natDegree = p
h0 : ¬erase p.natDegree p = 0
q : R[X]
hq : map f q = erase p.natDegree p ∧ q.degree = (erase p.natDegree p).degree
p_neq_0 : p ≠ 0

⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial R
H : erase p.natDegree p + X ^ p.natDegree = p
h0 : ¬erase p.natDegree p = 0
q : R[X]
hq : map f q = erase p.natDegree p ∧ q.degree = (erase p.natDegree p).degree
p_neq_0 : p ≠ 0
hdeg : q.degree < (X ^ p.natDegree).degree

⊢ ∃ q, map f q = p ∧ q.degree = p.degree ∧ q.Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial R
H : erase p.natDegree p + X ^ p.natDegree = p
h0 : ¬erase p.natDegree p = 0
q : R[X]
hq : map f q = erase p.natDegree p ∧ q.degree = (erase p.natDegree p).degree
p_neq_0 : p ≠ 0
hdeg : q.degree < (X ^ p.natDegree).degree

⊢ map f (q + X ^ p.natDegree) = p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Nontrivial S
p : S[X]
hlifts : p ∈ lifts f
hp : p.Monic
hR : Nontrivial R
H : erase p.natDegree p + X ^ p.natDegree = p
h0 : ¬erase p.natDegree p = 0
q : R[X]
hq : map f q = erase p.natDegree p ∧ q.degree = (erase p.natDegree p).degree
p_neq_0 : p ≠ 0
hdeg : q.degree < (X ^ p.natDegree).degree

⊢ (q + X ^ p.natDegree).degree = p.degree
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
i : m
j : n
i' : m
j' : n

⊢ stdBasisMatrix i j 1 i' j' = vecMulVec (fun i' => if i = i' then 1 else 0) (fun j' => if j = j' then 1 else 0) i' j'