ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖
u : Set α
ul : u ∈ l
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := u ∩ {b | ε < ‖f b‖}
hv : IntegrableOn f v μ
vl : v ∈ l
this : (μ.restrict v) v < ⊤

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖
u : Set α
ul : u ∈ l
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := u ∩ {b | ε < ‖f b‖}
hv : IntegrableOn f v μ
vl : v ∈ l
this✝ : (μ.restrict v) v < ⊤
this : μ v ≠ ⊤

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Ideal R

⊢ ↑(I * J) = ↑I * ↑J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Ideal R

⊢ ↑(I * J) = ⟨↑↑I * ↑↑J, ⋯⟩
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x

⊢ ∫⁻ (a : α) in s, ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤ ↔ ∫⁻ (a : α) in t, ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x

⊢ ∀ (g : G) (x : α), ↑‖f (g • x)‖₊ = ↑‖f x‖₊
-- Mathlib/Analysis/Convex/Normed.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s✝ t s : Set E

⊢ Bornology.IsBounded ((convexHull ℝ) s) ↔ Bornology.IsBounded s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}

⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x

⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x
ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N)

⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x
ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N)
S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n

⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x
ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N)
S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n
S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n)

⊢ ∃ b, (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (s n) (s m) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x
ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N)
S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n
S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n)
ε : ℝ
ε0 : ε > 0

⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (sSup (S n)) 0 < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x
ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N)
S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n
S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n)
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, dist (s m) (s n) < ε / 2
n : ℕ
hn : n ≥ N

⊢ dist (sSup (S n)) 0 < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x
ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N)
S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n
S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n)
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, dist (s m) (s n) < ε / 2
n : ℕ
hn : n ≥ N

⊢ sSup (S n) < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x
ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N)
S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n
S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n)
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, dist (s m) (s n) < ε / 2
n : ℕ
hn : n ≥ N

⊢ ∀ b ∈ S n, b ≤ ε / 2
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
s : ℕ → α
hs : CauchySeq s
S : ℕ → Set ℝ := fun N => (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) '' {p | p.1 ≥ N ∧ p.2 ≥ N}
hS : ∀ (N : ℕ), ∃ x, ∀ y ∈ S N, y ≤ x
ub : ∀ (m n N : ℕ), N ≤ m → N ≤ n → dist (s m) (s n) ≤ sSup (S N)
S0m : ∀ (n : ℕ), 0 ∈ S n
S0 : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ sSup (S n)
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
N : ℕ
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, dist (s m) (s n) < ε / 2
n : ℕ
hn : n ≥ N
m' n' : ℕ
hm' : (m', n').1 ≥ n
hn' : (m', n').2 ≥ n

⊢ (fun p => dist (s p.1) (s p.2)) (m', n') ≤ ε / 2
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α

⊢ ∀ (a b : α), Setoid.r a b = (b * a⁻¹ ∈ s)
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α

⊢ ∀ (a b : α), Setoid.r a b ↔ b * a⁻¹ ∈ s
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/CyclotomicCharacter.lean
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n✝ : ℕ+
g : L ≃+* L
n : ℕ+
t : ↥(rootsOfUnity n L)

⊢ g ↑↑t = ↑(↑t ^ (χ₀ n g).val)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/CyclotomicCharacter.lean
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n✝ : ℕ+
g : L ≃+* L
n : ℕ+
t : ↥(rootsOfUnity n L)

⊢ ↑↑(t ^ ModularCyclotomicCharacter_aux g n) = ↑(↑t ^ (ModularCyclotomicCharacter_aux g n % ↑(Fintype.card ↥(rootsOfUnity n L))))
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : Ring R✝
inst✝⁶ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R✝ M
m : Submodule R✝ M
N : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R✝ N
R : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
simple : IsSimpleModule R M

⊢ (Module.annihilator R M).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁷ : Ring R✝
inst✝⁶ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R✝ M
m : Submodule R✝ M
N : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R✝ N
R : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
simple : IsSimpleModule R M
I : Ideal R
max : I.IsMaximal
e : M ≃ₗ[R] R ⧸ I

⊢ (Module.annihilator R M).IsMaximal
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α

⊢ A.adjugate.det = A.det ^ (Fintype.card n - 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h_card : Fintype.card n = 0

⊢ A.adjugate.det = A.det ^ (Fintype.card n - 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h_card : Fintype.card n > 0

⊢ A.adjugate.det = A.det ^ (Fintype.card n - 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h_card : Fintype.card n - Nat.succ 0 + Nat.succ 0 = Fintype.card n

⊢ A.adjugate.det = A.det ^ (Fintype.card n - 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h_card : Fintype.card n - Nat.succ 0 + Nat.succ 0 = Fintype.card n
A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ

⊢ A.adjugate.det = A.det ^ (Fintype.card n - 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h_card : Fintype.card n - Nat.succ 0 + Nat.succ 0 = Fintype.card n
A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ

⊢ A'.adjugate.det = A'.det ^ (Fintype.card n - 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h_card : Fintype.card n - Nat.succ 0 + Nat.succ 0 = Fintype.card n
A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ

⊢ A'.det * A'.adjugate.det = A'.det * A'.det ^ (Fintype.card n - 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Bilinear.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
b : E × F → G
u : Set (E × F)
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
p : E × F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 u p

⊢ fderivWithin 𝕜 b u p = h.deriv p
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Bilinear.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
b : E × F → G
u : Set (E × F)
h : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b
p : E × F
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 u p

⊢ fderiv 𝕜 b p = h.deriv p
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L

⊢ F.toSubalgebra = E.toSubalgebra ↔ F = E
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S F E : IntermediateField K L

⊢ (∀ (x : L), x ∈ F.toSubalgebra ↔ x ∈ E.toSubalgebra) ↔ ∀ (x : L), x ∈ ↑F ↔ x ∈ ↑E
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : a / b = 1

⊢ a * b⁻¹ = 1
-- Mathlib/Topology/Baire/Lemmas.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
T : Set (Set X)
s : Set X
hs : IsGδ s
hd : Dense s
hc : T.Countable
hc' : ∀ t ∈ T, IsClosed t
hU : s ⊆ ⋃₀ T

⊢ s ⊆ ⋃ i ∈ T, i
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v

⊢ List.map (fun x => x.toProd.2) p.darts = p.support.tail
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹¹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝¹⁰ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : Module E F
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝⁵ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝⁴ : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝³ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝² : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f✝ : 𝕜 → E
g✝ : 𝕜 → F
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 E E
f g : 𝕜 → E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x

⊢ ConvexOn 𝕜 s (f ^ 0)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹¹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝¹⁰ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : Module E F
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝⁵ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝⁴ : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝³ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝² : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f✝ : 𝕜 → E
g✝ : 𝕜 → F
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 E E
f g : 𝕜 → E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
n : ℕ

⊢ ConvexOn 𝕜 s (f ^ (n + 1))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹¹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝¹⁰ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁹ : Module 𝕜 E
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : Module E F
inst✝⁶ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝⁵ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝⁴ : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝³ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝² : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f✝ : 𝕜 → E
g✝ : 𝕜 → F
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 E E
f g : 𝕜 → E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
n : ℕ

⊢ ConvexOn 𝕜 s (f * f ^ n)
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegral/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A

⊢ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree)) = Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x})
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegral/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1

⊢ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree)) = Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x})
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegral/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
s : A
hs : s ∈ ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))

⊢ s ∈ ↑(Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x}))
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegral/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
r : A
hr : r ∈ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x})

⊢ r ∈ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegral/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
r : A
hr : r ∈ (aeval x).range

⊢ r ∈ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegral/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
p : R[X]
hr : (aeval x) p ∈ (aeval x).range

⊢ (aeval x) p ∈ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegral/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
p : R[X]
hr : (aeval x) p ∈ (aeval x).range

⊢ ∑ n ∈ (p %ₘ f).support, eval₂ (algebraMap R A) x (C ((p %ₘ f).coeff n) * X ^ n) ∈ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegral/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
p : R[X]
hr : (aeval x) p ∈ (aeval x).range
k : ℕ
hkq : k ∈ (p %ₘ f).support

⊢ eval₂ (algebraMap R A) x (C ((p %ₘ f).coeff k) * X ^ k) ∈ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegral/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A✝
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
f✝ : R✝ →+* S
R : Type u_5
A : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
f : R[X]
hf : f.Monic
hfx : (aeval x) f = 0
a✝ : Nontrivial A
hf1 : f ≠ 1
p : R[X]
hr : (aeval x) p ∈ (aeval x).range
k : ℕ
hkq : k ∈ (p %ₘ f).support

⊢ (p %ₘ f).coeff k • x ^ k ∈ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree))
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
hf : ¬BddBelow (range f)

⊢ ⋂ i, Iio (f i) = ∅
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
hf : ¬BddBelow (range f)

⊢ ⋂ i, Iio (f i) ⊆ ∅
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
hf : ¬BddBelow (range f)

⊢ ⋂ i, Iio (f i) ⊆ ⋂ i, Iic (f i)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α
hf : ¬BddBelow (range f)
i✝ : ι

⊢ Iio (f i✝) ⊆ Iic (f i✝)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
x : ℂ

⊢ cos x = -1 ↔ ∃ k, ↑π + ↑k * (2 * ↑π) = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
x : ℂ

⊢ (∃ k, ↑k * (2 * ↑π) = x - ↑π) ↔ ∃ k, ↑π + ↑k * (2 * ↑π) = x
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Finite α
x : α
m : M

⊢ equivFunOnFinite.symm (Pi.single x m) = single x m
-- Mathlib/Logic/Lemmas.lean
a b c : Prop

⊢ (a ↔ (b ↔ c)) ↔ (b ↔ (a ↔ c))
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b f : ℕ

⊢ ∀ (n : ℕ) (c : Char) (tl : List Char), (b.toDigitsCore f n (c :: tl)).length = (b.toDigitsCore f n tl).length + 1
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p

⊢ DiscreteValuationRing.HasUnitMulPowIrreducibleFactorization (𝕎 k)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
x : 𝕎 k
hx : x ≠ 0

⊢ ∃ n, Associated (↑p ^ n) x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
x : 𝕎 k
hx : x ≠ 0
n : ℕ
b : (𝕎 k)ˣ
hb : x = ↑p ^ n * ↑b

⊢ ∃ n, Associated (↑p ^ n) x
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
hf : StrongLT 0 f
hg : StrongLT 0 g

⊢ Monovary f⁻¹ g⁻¹ ↔ Monovary f g
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F : LaxMonoidalFunctor C D
X : C

⊢ (λ_ (F.obj X)).inv ≫ F.ε ▷ F.obj X ≫ F.μ (𝟙_ C) X = F.map (λ_ X).inv
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Field.lean
α : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring α
n : ℕ
hn : ↑n ≠ 0
k : ℕ
this : n ≠ 0

⊢ ↑(n * k / n) = ↑(n * k) / ↑n
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : OrderTop β
f : α ≃o β

⊢ IsCoatomic α ↔ IsCoatomic β
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a : α

⊢ (insert a s).IsWF ↔ s.IsWF
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ

⊢ f (x - n • c) = (-1) ^ n • f x