ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing Rₘ
inst✝⁶ : CommRing Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Rₘ
inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝³ : Algebra S Sₘ
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝¹ : Algebra Rₘ S
inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S
x : S
nontriv : Nontrivial Rₘ
p : Rₘ[X]
hp₁ : p.Monic
hp₂ : eval₂ (algebraMap Rₘ S) x p = 0
this : ∃ q, Polynomial.map (algebraMap R Rₘ) q = p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff)) ∧ q.natDegree = (p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff))).natDegree ∧ q.Monic

⊢ ∃ m, IsIntegral R (m • x)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing Rₘ
inst✝⁶ : CommRing Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Rₘ
inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝³ : Algebra S Sₘ
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝¹ : Algebra Rₘ S
inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S
x : S
nontriv : Nontrivial Rₘ
p : Rₘ[X]
hp₁ : p.Monic
hp₂ : eval₂ (algebraMap Rₘ S) x p = 0

⊢ p.leadingCoeff ∈ (algebraMap R Rₘ).range
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing Rₘ
inst✝⁶ : CommRing Sₘ
inst✝⁵ : Algebra R Rₘ
inst✝⁴ : IsLocalization M Rₘ
inst✝³ : Algebra S Sₘ
inst✝² : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝¹ : Algebra Rₘ S
inst✝ : IsScalarTower R Rₘ S
x : S
nontriv : Nontrivial Rₘ
p : Rₘ[X]
hp₁ : p.Monic
hp₂ : eval₂ (algebraMap Rₘ S) x p = 0

⊢ (p.scaleRoots ((algebraMap R Rₘ) ↑(commonDenom M p.support p.coeff))).Monic
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
h : ReflTransGen r a b

⊢ a = b ∨ ∃ c, r a c ∧ ReflTransGen r c b
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α

⊢ b = b ∨ ∃ c, r b c ∧ ReflTransGen r c b
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d a✝¹ c✝ : α
h'✝ : r a✝¹ c✝
h✝ : ReflTransGen r c✝ b
a✝ : c✝ = b ∨ ∃ c, r c✝ c ∧ ReflTransGen r c b

⊢ a✝¹ = b ∨ ∃ c, r a✝¹ c ∧ ReflTransGen r c b
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N✝ P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
r : R
N : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M'

⊢ map f (r • N) = r • map f N
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
M : T.ModelType
v : α → ↑M
xs : Fin n → ↑M

⊢ (φ ⇔ φ).Realize v xs
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
h : q.natDegree ≠ 0

⊢ (p.comp q).Monic
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
h : i y = x ^ p ^ n

⊢ (iterateFrobeniusEquiv M p (Classical.choose ⋯).1).symm (j (Classical.choose ⋯).2) = (iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y)
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
h : i y = x ^ p ^ n
h' : i (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ (Classical.choose ⋯).1

⊢ (iterateFrobeniusEquiv M p (Classical.choose ⋯).1).symm (j (Classical.choose ⋯).2) = (iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y)
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
h : i y = x ^ p ^ n
n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1
h' : i (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ n'

⊢ (iterateFrobeniusEquiv M p n').symm (j (Classical.choose ⋯).2) = (iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y)
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1
h' : i (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ n'
h : (x ^ p ^ n) ^ p ^ n' = i y ^ p ^ n'

⊢ (iterateFrobeniusEquiv M p n').symm (j (Classical.choose ⋯).2) = (iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y)
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1
h' : i (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ n'
h : (Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n' ∈ RingHom.ker i

⊢ (iterateFrobeniusEquiv M p n').symm (j (Classical.choose ⋯).2) = (iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y)
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1
h' : i (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ n'
h✝ : (Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n' ∈ RingHom.ker i
m : ℕ
h : ((Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n') ^ p ^ m = 0

⊢ (iterateFrobeniusEquiv M p n').symm (j (Classical.choose ⋯).2) = (iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y)
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1
h' : i (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ n'
h✝ : (Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n' ∈ RingHom.ker i
m : ℕ
h : ((Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n') ^ p ^ m = 0

⊢ (iterateFrobeniusEquiv M p (m + n + n')) ((iterateFrobeniusEquiv M p n').symm (j (Classical.choose ⋯).2)) = (iterateFrobeniusEquiv M p (m + n + n')) ((iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y))
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : L
n : ℕ
y : K
n' : ℕ := (Classical.choose ⋯).1
h' : i (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ n'
h✝ : (Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n' ∈ RingHom.ker i
m : ℕ
h : ((Classical.choose ⋯).2 ^ p ^ n - y ^ p ^ n') ^ p ^ m = 0

⊢ (iterateFrobeniusEquiv M p (m + n)) (j (Classical.choose ⋯).2) = (iterateFrobeniusEquiv M p (m + n + n')) ((iterateFrobeniusEquiv M p n).symm (j y))
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool

⊢ bitwise (swap f) = swap (bitwise f)
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
m n : ℕ

⊢ bitwise (swap f) m n = swap (bitwise f) m n
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
m : ℕ
ih : ∀ (m_1 : ℕ), m_1 < m → ∀ (n : ℕ), bitwise (swap f) m_1 n = bitwise f n m_1
n : ℕ

⊢ bitwise (swap f) m n = bitwise f n m
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
f : Bool → Bool → Bool
m : ℕ
ih : ∀ (m_1 : ℕ), m_1 < m + 1 → ∀ (n : ℕ), bitwise (swap f) m_1 n = bitwise f n m_1
n : ℕ

⊢ bitwise (swap f) (m + 1) (n + 1) = bitwise f (n + 1) (m + 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A

⊢ ((sheafifyComposeIso J U ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).symm ≪≫ (presheafToSheaf J B ⋙ sheafToPresheaf J B).mapIso (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U)).hom ≫ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val = ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_5, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_6, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A

⊢ ((constantSheafAdj J B ht).counit.app ((sheafCompose J U).obj F)).val = ((sheafifyComposeIso J U ((const Cᵒᵖ).obj (F.val.obj (op t)))).symm ≪≫ (presheafToSheaf J B ⋙ sheafToPresheaf J B).mapIso (constComp Cᵒᵖ (F.val.obj (op t)) U)).inv ≫ ((sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)).val
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
t : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : StrictMono f
hc : (range f).OrdConnected

⊢ induced f t = Preorder.topology α
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
t : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : StrictMono f
hc : (range f).OrdConnected
a✝ : α
b✝ : β
x✝ : α
h₁ : b✝ < f a✝
h₂ : ¬b✝ < f x✝

⊢ ∃ y < a✝, b✝ ≤ f y
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
t : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : StrictMono f
hc : (range f).OrdConnected
a✝ : α
b✝ : β
x✝ : α
h₁ : f a✝ < b✝
h₂ : ¬f x✝ < b✝

⊢ ∃ y, a✝ < y ∧ f y ≤ b✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
adj3 : F'' ⊣ G''
f : G ⟶ G'
g : G' ⟶ G''

⊢ (adj2.natTransEquiv adj3) g ≫ (adj1.natTransEquiv adj2) f = (adj1.natTransEquiv adj3) (f ≫ g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
adj3 : F'' ⊣ G''
f : G ⟶ G'
g : G' ⟶ G''

⊢ (adj1.natTransEquiv adj3).symm ((adj2.natTransEquiv adj3) g ≫ (adj1.natTransEquiv adj2) f) = (adj1.natTransEquiv adj3).symm ((adj1.natTransEquiv adj3) (f ≫ g))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
adj3 : F'' ⊣ G''
f : G ⟶ G'
g : G' ⟶ G''
X : D

⊢ ((adj1.natTransEquiv adj3).symm ((adj2.natTransEquiv adj3) g ≫ (adj1.natTransEquiv adj2) f)).app X = ((adj1.natTransEquiv adj3).symm ((adj1.natTransEquiv adj3) (f ≫ g))).app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G G' G'' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
adj3 : F'' ⊣ G''
f : G ⟶ G'
g : G' ⟶ G''
X : D

⊢ adj1.unit.app (G.obj X) ≫ f.app (F.obj (G.obj X)) ≫ G'.map (adj1.counit.app X) ≫ g.app X = f.app X ≫ g.app X
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p

⊢ Irreducible ↑p
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p

⊢ Irreducible ↑p
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a b : 𝕎 k
hab : ↑p = a * b

⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a b : 𝕎 k
hab : ↑p = a * b
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0

⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
b : 𝕎 k
hb0 : b ≠ 0
m : ℕ
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[m] a * b
ha0 : (⇑verschiebung)^[m] a ≠ 0

⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[m] a) ∨ IsUnit b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
m : ℕ
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
ha0 : (⇑verschiebung)^[m] a ≠ 0
n : ℕ
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
hb0 : (⇑verschiebung)^[n] b ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[m] a * (⇑verschiebung)^[n] b

⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[m] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n] b)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
n : ℕ
hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a * (⇑verschiebung)^[n + 1] b

⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n + 1] b)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
n : ℕ
hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0
hab : ↑p = (⇑verschiebung)^[n✝ + 1 + (n + 1)] ((⇑frobenius)^[n + 1] a * (⇑frobenius)^[n✝ + 1] b)

⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n + 1] b)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
n : ℕ
hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0
hab : (↑p).coeff 1 = ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1 + (n + 1)] ((⇑frobenius)^[n + 1] a * (⇑frobenius)^[n✝ + 1] b)).coeff 1

⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n + 1] b)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
hp : ¬IsUnit ↑p
a : 𝕎 k
ha : a.coeff 0 ≠ 0
b : 𝕎 k
hb : b.coeff 0 ≠ 0
n✝ : ℕ
ha0 : (⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a ≠ 0
n : ℕ
hb0 : (⇑verschiebung)^[n + 1] b ≠ 0
hab : 1 = 0

⊢ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n✝ + 1] a) ∨ IsUnit ((⇑verschiebung)^[n + 1] b)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
a : ℝ

⊢ ¬IntegrableOn (fun x => x⁻¹) (Ioi a) volume
-- Mathlib/Data/Nat/PrimeFin.lean
a b m n✝¹ p n n✝ : ℕ
hk : n✝ + 1 ≠ 0

⊢ (n ^ (n✝ + 1)).primeFactors = n.primeFactors
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
inst✝ : Setoid α
r : α → α → Prop
H : ∀ (a₁ b₁ a₂ b₂ : α), a₁ ≈ a₂ → b₁ ≈ b₂ → r a₁ b₁ = r a₂ b₂

⊢ ∀ {a b : Quotient inst✝}, r ((Embedding.quotientOut α) a) ((Embedding.quotientOut α) b) ↔ Quotient.lift₂ r H a b
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
inst✝ : Setoid α
r : α → α → Prop
H : ∀ (a₁ b₁ a₂ b₂ : α), a₁ ≈ a₂ → b₁ ≈ b₂ → r a₁ b₁ = r a₂ b₂
x y : Quotient inst✝
a b : α

⊢ r ((Embedding.quotientOut α) ⟦a⟧) ((Embedding.quotientOut α) ⟦b⟧) ↔ Quotient.lift₂ r H ⟦a⟧ ⟦b⟧
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s

⊢ Cardinal.lift.{max u v, u} (cof r) ≤ Cardinal.lift.{max u v, v} (cof s)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s

⊢ ∀ b ∈ Cardinal.lift.{max u v, v} '' {c | ∃ S, (∀ (a : β), ∃ b ∈ S, s a b) ∧ #↑S = c}, sInf (Cardinal.lift.{max u v, u} '' {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}) ≤ b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
u : Set β
H : ∀ (a : β), ∃ b ∈ u, s a b

⊢ sInf (Cardinal.lift.{max u v, u} '' {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}) ≤ Cardinal.lift.{max u v, v} #↑u
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
u : Set β
H : ∀ (a : β), ∃ b ∈ u, s a b

⊢ Cardinal.lift.{max u v, v} #↑u ∈ Cardinal.lift.{max u v, u} '' {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
u : Set β
H : ∀ (a : β), ∃ b ∈ u, s a b
a : α

⊢ ∃ b ∈ ⇑f.symm '' u, r a b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
u : Set β
H : ∀ (a : β), ∃ b ∈ u, s a b
a : α
b : β
hb : b ∈ u
hb' : s (f a) b

⊢ ∃ b ∈ ⇑f.symm '' u, r a b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝ : IsRefl β s
f : r ≃r s
u : Set β
H : ∀ (a : β), ∃ b ∈ u, s a b
a : α
b : β
hb : b ∈ u
hb' : s (f a) b

⊢ s (f a) (f (f.symm b))
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
hI : a₂ ≤ b₂
ha : a₂ < a₁
hb : b₁ ≤ b₂

⊢ Icc a₁ b₁ ⊂ Icc a₂ b₂
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
hI : a₂ ≤ b₂
ha : a₂ < a₁
hb : b₁ ≤ b₂

⊢ Set.Icc a₁ b₁ ⊂ Set.Icc a₂ b₂
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ √(x ^ 2) = |x|
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : MvPolynomial σ R

⊢ ↑φ = 0 ↔ φ = 0
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m : ℕ

⊢ Pairwise (fun x x_1 => x < x_1) (range' n (m - n))
-- Mathlib/RepresentationTheory/Invariants.lean
k : Type u
inst✝ : CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
f : ↑X.V →ₗ[k] ↑Y.V
g : ↑G

⊢ Y.ρ g ∘ₗ f ∘ₗ X.ρ g⁻¹ = f ↔ f ∘ₗ X.ρ g = Y.ρ g ∘ₗ f
-- Mathlib/RepresentationTheory/Invariants.lean
k : Type u
inst✝ : CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
f : ↑X.V →ₗ[k] ↑Y.V
g : ↑G

⊢ Y.ρ g ∘ₗ f ∘ₗ ((ρAut X) g).inv = f ↔ f ∘ₗ X.ρ g = Y.ρ g ∘ₗ f
-- Mathlib/RepresentationTheory/Invariants.lean
k : Type u
inst✝ : CommRing k
G : Grp
X Y : Rep k ↑G
f : ↑X.V →ₗ[k] ↑Y.V
g : ↑G

⊢ f ≫ Y.ρ g = X.ρ g ≫ f ↔ f ∘ₗ X.ρ g = f ≫ Y.ρ g
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G →₀ k
f : Fin n → G
r : k

⊢ (diagonalSucc k G n).inv.hom (g ⊗ₜ[k] single f r) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k G) fun a => single (a • partialProd f) r) g
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G →₀ k
f : Fin n → G
r : k

⊢ (diagonalSucc k G n).inv.hom (0 ⊗ₜ[k] single f r) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k G) fun a => single (a • partialProd f) r) 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
g : G →₀ k
f : Fin n → G
r : k

⊢ ∀ (a : G) (b : k) (f_1 : G →₀ k), a ∉ f_1.support → b ≠ 0 → (diagonalSucc k G n).inv.hom (f_1 ⊗ₜ[k] single f r) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k G) fun a => single (a • partialProd f) r) f_1 → (diagonalSucc k G n).inv.hom ((single a b + f_1) ⊗ₜ[k] single f r) = ((Finsupp.lift ((Fin (n + 1) → G) →₀ k) k G) fun a => single (a • partialProd f) r) (single a b + f_1)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Hom/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
x✝² : NonAssocSemiring α
x✝¹ : NonAssocSemiring β
f : α →+* β
x✝ y : α
h : f 1 = 0
x : α

⊢ f x = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D

⊢ map φ hφ S ≤ T ↔ S ≤ comap φ T
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S✝ : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
S : Subgroupoid C
T : Subgroupoid D

⊢ (∀ {c d : D}, (map φ hφ S).arrows c d ⊆ T.arrows c d) ↔ ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ (comap φ T).arrows c d
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
u : γ → δ
h : IdentDistrib f g μ ν
hu : AEMeasurable u (Measure.map f μ)

⊢ AEMeasurable (u ∘ g) ν
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
u : γ → δ
h : IdentDistrib f g μ ν
hu : AEMeasurable u (Measure.map g ν)

⊢ AEMeasurable (u ∘ g) ν
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
u : γ → δ
h : IdentDistrib f g μ ν
hu : AEMeasurable u (Measure.map f μ)

⊢ Measure.map (u ∘ f) μ = Measure.map (u ∘ g) ν