ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₁ : δ
Nx : Filter α := 𝓝 x₀
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
lim1 : Tendsto (fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (comap (⇑e) Nx ×ˢ comap (⇑e) Nx) (𝓝 (0, y₁))
lim2 : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, y₁)) (𝓝 0)
lim : ∀ W ∈ 𝓝 0, ∃ U ∈ comap (⇑e) Nx, ∀ (x x' : β), x ∈ U → x' ∈ U → ((fun p => (φ p.1) p.2) ∘ fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (x, x') ∈ W

⊢ ∃ U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W'
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₁ : δ
Nx : Filter α := 𝓝 x₀
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
lim1 : Tendsto (fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (comap (⇑e) Nx ×ˢ comap (⇑e) Nx) (𝓝 (0, y₁))
lim2 : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, y₁)) (𝓝 0)
lim : ∀ W ∈ 𝓝 0, ∃ U ∈ comap (⇑e) Nx, ∀ (x x' : β), x ∈ U → x' ∈ U → ((fun p => (φ p.1) p.2) ∘ fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (x, x') ∈ W

⊢ ∃ U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∀ (a b : β), a ∈ U₂ → b ∈ U₂ → (φ (b - a)) y₁ ∈ W'
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝¹ : L.IsLocalization W
X Y : C
f : Y ⟶ X
hf : W f
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Y

⊢ (equiv W L) (mkInv f hf) = (isoOfHom L W f hf).inv
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Add α
inst✝¹ : Semigroup α
inst✝ : LeftDistribClass α
a b c : α
h₁ : a ∣ b
h₂ : a ∣ c
d : α
hd : b = a * d
e : α
he : c = a * e

⊢ a * (d + e) = b + c
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
a b c d k m : ℕ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = k * m
ha : 2 * a < m
hb : 2 * b < m
hc : 2 * c < m
hd : 2 * d < m

⊢ k < m
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
a b c d k m : ℕ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = k * m
ha : 2 * a < m
hb : 2 * b < m
hc : 2 * c < m
hd : 2 * d < m

⊢ 2 ^ 2 * (k * m) < 2 ^ 2 * (m * m)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Norm.lean
L : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : IsGalois K L
x : 𝓞 L

⊢ x ∣ (algebraMap (𝓞 K) (𝓞 L)) ((norm K) x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s
f : α → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (x : α) in insert a s, f x ∂μ = f a * μ {a} + ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s
f : α → ℝ≥0∞

⊢ Disjoint s {a}
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ

⊢ (hf.stieltjesFunction a).measure (Iic x) = ENNReal.ofReal (↑(hf.stieltjesFunction a) x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α
x : ℝ

⊢ (hf.stieltjesFunction a).measure (Iic x) = ENNReal.ofReal (↑(hf.stieltjesFunction a) x - 0)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]

⊢ ↑1 = 1
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ : R[X]
this : ↑((monomial 0) 1) = (PowerSeries.monomial R 0) 1

⊢ ↑1 = 1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing Rₘ
inst✝⁸ : CommRing Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁵ : Algebra S Sₘ
i : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁴ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝³ : Algebra R Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝¹ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
y : ↥M

⊢ IsUnit ((algebraMap R Sₘ) ↑y)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing P
Rₘ : Type u_4
Sₘ : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing Rₘ
inst✝⁸ : CommRing Sₘ
inst✝⁷ : Algebra R Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁵ : Algebra S Sₘ
i : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁴ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝³ : Algebra R Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝¹ : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
y : ↥M

⊢ IsUnit ((algebraMap S Sₘ) ((algebraMap R S) ↑y))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 < a + b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h' : 0 < a + b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ s

⊢ a • x + b • y ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
h : ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 < a + b → (a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h' : 0 < 1 → a • x + b • y ∈ s

⊢ a • x + b • y ∈ s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p

⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ p.basisSets) id
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
inst✝ : HasEqualizer f g
W : C
h : W ⟶ X
w : (equalizerSubobject f g).Factors h

⊢ h ≫ f = h ≫ g
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n m : ℕ
ω : Ω

⊢ lowerCrossingTime a b f N n ω ≤ upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot ι
a b : ℝ
f : ι → Ω → ℝ
N : ι
n m : ℕ
ω : Ω

⊢ lowerCrossingTime a b f N n ω ≤ hitting f (Set.Ici b) (lowerCrossingTimeAux a f (upperCrossingTime a b f N n ω) N ω) N ω
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
r s : R

⊢ Submodule.span R {r} * Submodule.span R {s} = Submodule.span R {r * s}
-- Mathlib/Data/List/Forall2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
hr : BiUnique R
a : α
b : β
x✝ : R a b

⊢ (fun x x_1 => x ∈ x_1) a [] ↔ (fun x x_1 => x ∈ x_1) b []
-- Mathlib/Data/List/Forall2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
hr : BiUnique R
a : α
b : β
h : R a b
a' : α
as : List α
b' : β
bs : List β
h₁ : R a' b'
h₂ : Forall₂ R as bs

⊢ (fun x x_1 => x ∈ x_1) a (a' :: as) ↔ (fun x x_1 => x ∈ x_1) b (b' :: bs)
-- Mathlib/Data/List/Forall2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
hr : BiUnique R
a : α
b : β
h : R a b
a' : α
as : List α
b' : β
bs : List β
h₁ : R a' b'
h₂ : Forall₂ R as bs

⊢ a = a' ∨ a ∈ as ↔ b = b' ∨ b ∈ bs
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ ⁅I ⊔ J, N⁆ = ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆

⊢ ⁅I ⊔ J, N⁆ = ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆

⊢ ⁅I ⊔ J, N⁆ ≤ ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆

⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑(⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆)
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : ↥N
h : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m

⊢ m ∈ ↑(⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆)
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : ↥N
h : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m

⊢ ∃ y ∈ ⁅I, N⁆, ∃ z ∈ ⁅J, N⁆, y + z = m
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx✝ : x ∈ I ⊔ J
hx : ∃ y ∈ I, ∃ z ∈ J, y + z = x
n : ↥N
h : ⁅↑⟨x, hx✝⟩, ↑n⁆ = m

⊢ ∃ y ∈ ⁅I, N⁆, ∃ z ∈ ⁅J, N⁆, y + z = m
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : ↥N
h : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x

⊢ ∃ y ∈ ⁅I, N⁆, ∃ z ∈ ⁅J, N⁆, y + z = m
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : ↥N
h : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x

⊢ ⁅↑⟨x₁, hx₁⟩, ↑n⁆ ∈ ⁅I, N⁆ ∧ ∃ z ∈ ⁅J, N⁆, ⁅↑⟨x₁, hx₁⟩, ↑n⁆ + z = m
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : ↥N
h : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x

⊢ ∃ z ∈ ⁅J, N⁆, ⁅↑⟨x₁, hx₁⟩, ↑n⁆ + z = m
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
h✝ : ⁅I, N⁆ ⊔ ⁅J, N⁆ ≤ ⁅I ⊔ J, N⁆
m : M
x : L
hx : x ∈ I ⊔ J
n : ↥N
h : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m
x₁ : L
hx₁ : x₁ ∈ I
x₂ : L
hx₂ : x₂ ∈ J
hx' : x₁ + x₂ = x

⊢ ⁅↑⟨x₂, hx₂⟩, ↑n⁆ ∈ ⁅J, N⁆ ∧ ⁅↑⟨x₁, hx₁⟩, ↑n⁆ + ⁅↑⟨x₂, hx₂⟩, ↑n⁆ = m
-- Mathlib/Data/Int/Order/Units.lean
x : ℤ

⊢ IsUnit x ↔ |x| = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
x : α
t : Finset α
f : α → β
s : β
hx : x ∉ t

⊢ ⨆ i ∈ insert x t, update f x s i = s ⊔ ⨆ i ∈ t, f i
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
x : α
t : Finset α
f : α → β
s : β
hx : x ∉ t

⊢ s ⊔ ⨆ x_1 ∈ t, update f x s x_1 = s ⊔ ⨆ i ∈ t, f i
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
x : α
t : Finset α
f : α → β
s : β
hx : x ∉ t
i : α
hi : i ∈ t

⊢ update f x s i = f i
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
x : α
t : Finset α
f : α → β
s : β
hx : x ∉ t
i : α
hi : i ∈ t

⊢ i ≠ x
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t✝ u : Finset α
ha : a ∉ s
𝒜 : Finset (Finset α)
t : Finset α

⊢ t ∈ filter (fun t => t.erase a = s) 𝒜 ↔ t ∈ if s ∈ 𝒜 then if insert a s ∈ 𝒜 then {s, insert a s} else {s} else if insert a s ∈ 𝒜 then {insert a s} else ∅
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'

⊢ I.incl.IsIdealMorphism
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'

⊢ lieIdealSubalgebra R L I = I.incl.range
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioi 0

⊢ log x / x ^ (-r) = (fun x => log x * x ^ r) x
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
h : b < 1

⊢ a * b < a
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
A : Class
hA : A.powerset ⊆ A

⊢ ∀ (x : ZFSet), A x
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
A : Class
hA : A.powerset ⊆ A
hnA : ∃ x, ¬A x

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/WellKnown.lean
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
d : ℕ

⊢ invOneSubPow d = (Units.mkOfMulEqOne (1 - X) (mk 1) ⋯)⁻¹ ^ (d + 1)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/WellKnown.lean
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
d : ℕ

⊢ invOneSubPow d = (Units.mkOfMulEqOne (1 - X) (mk 1) ⋯ ^ (d + 1))⁻¹
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a b c d : ℤ

⊢ a ≡ b [ZMOD 0] ↔ a = b
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

⊢ ¬a ≡ b [PMOD p] ↔ toIcoDiv hp a b = toIocDiv hp a b
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : y ∈ s

⊢ infDist x s ≤ dist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : y ∈ s

⊢ (infEdist x s).toReal ≤ (edist x y).toReal
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/FunctorCategory.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝ : Preadditive D
F G : C ⥤ D
X : C
α : F ⟶ G
n : ℤˣ

⊢ (n • α).app X = n • α.app X
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f μ
hN : μ N = 0

⊢ ∃ x ∉ N, ⨍ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M

⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L M k = ⊥

⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L M k = ⊥

⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ lowerCentralSeries R L M k
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p

⊢ (frobenius (ZMod p) p) a = (RingHom.id (ZMod p)) a
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/RootPositive.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι

⊢ 0 < (B (P.root i)) (P.root j) ↔ 0 < P.pairing i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/RootPositive.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι
h : 0 < (B (P.root i)) (P.root j)

⊢ 0 < P.pairing i j * (B (P.root j)) (P.root j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/RootPositive.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι
h : 0 < P.pairing i j

⊢ 0 < 2 * (B (P.root i)) (P.root j)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
x✝ y✝ : E
r✝ : ℝ
x : E
r : ℝ
y : E

⊢ y ∈ p.closedBall x r ↔ y ∈ ⋂ ρ, ⋂ (_ : ρ > r), p.ball x ρ
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x : PartENat

⊢ x ≠ ⊤ ↔ x.Dom
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : CommMonoid α
x y : α
ux uy : αˣ

⊢ x /ₚ ux * (y /ₚ uy) = x * y /ₚ (ux * uy)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
a : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'

⊢ MultilinearMap.alternatization ↑a = (Fintype.card ι).factorial • a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
a : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'

⊢ ⇑(MultilinearMap.alternatization ↑a) = ⇑((Fintype.card ι).factorial • a)