ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I✝ B✝ X E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
I B : Set α
hI : Indep I
hBmax : Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, Indep y → B ⊆ y → B = y
I' : Set α
hI' : Indep I'
hII' : I ⊆ I'
hne : ¬I = I'
e : α
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I
hins : Indep (insert e I)
heB : e ∉ B
hcon : ∀ x ∈ B \ I, ¬Indep (insert x I)
heBdep : ¬Indep (insert e B)
B₀ : Set α
hB₀B : B₀ ⊆ B
hB₀fin : B₀.Finite
hB₀e : ¬Indep (insert e B₀)
hB₀ : Indep B₀
I₀ : Set α
hI₀I : I₀ ⊆ I
hI₀fin : I₀.Finite
hI₀ : ∀ x ∈ B₀ \ I₀, ¬Indep (insert x I₀)
E₀ : Set α := insert e (I₀ ∪ B₀)
hE₀fin : E₀.Finite
J : Set α
hJmax : ∀ a' ∈ {J | B₀ ⊆ J ∧ Indep J ∧ J ⊆ E₀}, id J ≤ id a' → id J = id a'
hB₀J : B₀ ⊆ J
hJ : Indep J
hJss : J ⊆ E₀
heI₀ : e ∉ I₀
heI₀i : Indep (insert e I₀)
heJ : e ∉ J
hJfin : J.Finite
hcard : I₀.ncard < J.ncard
f : α
hfJ : f ∈ J
hfI₀ : f ∉ I₀
hfi : Indep (insert f I₀)

⊢ False
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X

⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X
hzorn : ∃ m ∈ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, I ⊆ m ∧ ∀ a ∈ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, m ⊆ a → a = m

⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X

⊢ ∀ c ⊆ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub ∈ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}, ∀ s ∈ c, s ⊆ ub
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X
Is : Set (Set α)
hIs : Is ⊆ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) Is
x✝ : Is.Nonempty
K : Set α
hK : K ∈ Is

⊢ Indep (⋃₀ Is)
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X
Is : Set (Set α)
hIs : Is ⊆ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) Is
x✝ : Is.Nonempty
K : Set α
hK : K ∈ Is

⊢ I ⊆ ⋃₀ Is
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I✝ B X✝ E : Set α
Indep : Set α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Set α⦄, Indep I → I.Finite → Indep J → J.Finite → I.ncard < J.ncard → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
indep_compact : ∀ (I : Set α), (∀ J ⊆ I, J.Finite → Indep J) → Indep I
subset_ground : ∀ (I : Set α), Indep I → I ⊆ E
htofin : ∀ (I : Set α) (e : α), Indep I → ¬Indep (insert e I) → ∃ I₀ ⊆ I, I₀.Finite ∧ ¬Indep (insert e I₀)
X I : Set α
hI : Indep I
hIX : I ⊆ X
Is : Set (Set α)
hIs : Is ⊆ {Y | Indep Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) Is
x✝ : Is.Nonempty
K : Set α
hK : K ∈ Is

⊢ ⋃₀ Is ⊆ X
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s✝ t✝ : Set α
a b : α
s t : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x ≤ y
ht : ∀ y ∈ t, ∃ x ∈ s, y ≤ x

⊢ sSup s = sSup t
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s t✝ : Set α
a b : α
t : Set α
hs : ∀ x ∈ ∅, ∃ y ∈ t, x ≤ y
ht : ∀ y ∈ t, ∃ x ∈ ∅, y ≤ x

⊢ sSup ∅ = sSup t
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s✝ t✝ : Set α
a b : α
s t : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x ≤ y
ht : ∀ y ∈ t, ∃ x ∈ s, y ≤ x
s_ne : s.Nonempty

⊢ sSup s = sSup t
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
s_ne : s.Nonempty
hs : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ ∅, x ≤ y
ht : ∀ y ∈ ∅, ∃ x ∈ s, y ≤ x

⊢ sSup s = sSup ∅
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s✝ t✝ : Set α
a b : α
s t : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x ≤ y
ht : ∀ y ∈ t, ∃ x ∈ s, y ≤ x
s_ne : s.Nonempty
t_ne : t.Nonempty

⊢ sSup s = sSup t
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
hs : p ∉ s
hn : n ∈ factoredNumbers s

⊢ p.Coprime n
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
hs : p ∉ s
hn : n ∈ factoredNumbers s

⊢ p ∉ n.primeFactorsList
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/Flag.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
n : ℕ
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin (n + 1)
l : Fin n

⊢ b.flag k ≤ LinearMap.ker (b.coord l) ↔ k ≤ l.castSucc
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
a : CliffordAlgebra Q
r : R

⊢ (contractLeft d) (a * (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) = (contractLeft d) a * (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Bilinear.lean
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q : Submodule R N

⊢ map₂ f.flip q p = map₂ f p q
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Bilinear.lean
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q : Submodule R N

⊢ span R (image2 (fun a b => (f.flip b) a) ↑p ↑q) = span R (image2 (fun m n => (f m) n) ↑p ↑q)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
I : Box ι

⊢ (match ↑I with | some val => true | none => false) = true ↔ (↑↑I).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
inst✝ : Zero β
s t : Set α
ht : MeasurableSet t
hst : s =ᶠ[ae μ] t

⊢ AEMeasurable (s.indicator f) μ ↔ AEMeasurable f (μ.restrict s)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.42, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ

⊢ 𝟙 ((Γ₀.splitting K).N (n + 1)) ≫ K.d (n + 1) n = (((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj (Γ₀.obj K)).d (n + 1) n ≫ (Γ₀.splitting K).πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [n]))) ≫ 𝟙 ((Γ₀.splitting K).N n)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.42, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ

⊢ K.d (n + 1) n = ∑ j : Fin (n + 2), ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ ((-1) ^ ↑j • (Γ₀.obj K).δ j) ≫ (Γ₀.splitting K).πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [n]))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.42, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ

⊢ K.d (n + 1) n = ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ ((-1) ^ ↑0 • (Γ₀.obj K).δ 0) ≫ (Γ₀.splitting K).πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [n]))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.42, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ

⊢ ∀ (x : Fin (n + 2)), x ≠ 0 → ((Γ₀.splitting K).cofan (op [n + 1])).inj (Splitting.IndexSet.id (op [n + 1])) ≫ ((-1) ^ ↑x • (Γ₀.obj K).δ x) ≫ (Γ₀.splitting K).πSummand (Splitting.IndexSet.id (op [n])) = 0
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S

⊢ (normalizeScaleRoots p).degree = p.degree
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S

⊢ (normalizeScaleRoots p).degree ≤ p.degree
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
p : R[X]
x : S

⊢ p.degree ≤ (normalizeScaleRoots p).degree
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
s : Set α

⊢ IsClosed {u | s ∈ u}
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
s : Set α

⊢ IsOpen {u | s ∈ u}ᶜ
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
s : Set α

⊢ {u | s ∈ u}ᶜ = {u | sᶜ ∈ u}
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
s : Set α
u : Ultrafilter α

⊢ u ∈ {u | s ∈ u}ᶜ ↔ u ∈ {u | sᶜ ∈ u}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι

⊢ (b.toDual (b i)) ((Finsupp.total ι M R ⇑b) f) = f i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
f : ι →₀ R
i : ι

⊢ ∑ x ∈ f.support, (b.toDual (b i)) (f x • b x) = f i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
X✝ Y✝ : Augmented C
η : X✝ ⟶ Y✝

⊢ η.left.app (op [0]) ≫ Y✝.hom.app (op [0]) = X✝.hom.app (op [0]) ≫ η.right
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
X✝ Y✝ : Augmented C
η : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (η.left ≫ Y✝.hom).app (op [0]) = X✝.hom.app (op [0]) ≫ η.right
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
X✝ Y✝ : Augmented C
η : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (X✝.hom ≫ (const C).map η.right).app (op [0]) = X✝.hom.app (op [0]) ≫ η.right
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc

⊢ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc) ≫ X.map (SimplexCategory.σ j.succ) = X.map (SimplexCategory.σ j) ≫ X.map (SimplexCategory.δ i)
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
l₁ l₂ : List α

⊢ (l₁ ++ l₂).rdrop l₂.length = l₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y

⊢ -a + a = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Bilinear.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : IsScalarTower R A A
a b c : A

⊢ (mulLeft R a * mulRight R b) c = (mulRight R b * mulLeft R a) c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
hf_bot : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 0)
hf_top : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 1)

⊢ f.measure univ = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : OrderedSemiring α
inst✝ : Archimedean α
x : α
a✝ : Nontrivial α

⊢ ∃ n, x ≤ ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s

⊢ (Lagrange.basis s v i).natDegree = s.card - 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0

⊢ (Lagrange.basis s v i).natDegree = s.card - 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0

⊢ (Lagrange.basis s v i).natDegree = ∑ x ∈ s.erase i, 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0

⊢ ∑ x ∈ s.erase i, 1 = ∑ i_1 ∈ s.erase i, (basisDivisor (v i) (v i_1)).natDegree
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
j : ι
hj : j ∈ s.erase i

⊢ v i ≠ v j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
H : ∀ j ∈ s.erase i, basisDivisor (v i) (v j) ≠ 0
j : ι
hj : j ∈ s.erase i

⊢ ¬basisDivisor (v i) (v j) = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal

⊢ ‖f‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
f : ↥(lp E p)
hf : ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal

⊢ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ C ^ p.toReal
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
hf : IsLocallyInjective f
g : A → X
cont : Continuous g
hg : Function.Injective g

⊢ IsLocallyInjective (f ∘ g)
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
hf : IsOpen (Function.pullbackDiagonal f)
g : A → X
cont : Continuous g
hg : Function.Injective g

⊢ IsOpen (Function.pullbackDiagonal (f ∘ g))
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
hf : IsOpen (Function.pullbackDiagonal f)
g : A → X
cont : Continuous g
hg : Function.Injective g

⊢ IsOpen (Function.mapPullback g id g ⋯ ⋯ ⁻¹' Function.pullbackDiagonal f)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}

⊢ IsNormal f ↔ (∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) ∧ ∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.blsub fun x x_1 => f x) = f o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}

⊢ (∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)) → ((∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.bsup fun x x_1 => f x) = f o) ↔ ∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.blsub fun x x_1 => f x) = f o)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{max u v}
h : ∀ (a : Ordinal.{u}), f a < f (succ a)

⊢ (∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.bsup fun x x_1 => f x) = f o) ↔ ∀ (o : Ordinal.{u}), o.IsLimit → (o.blsub fun x x_1 => f x) = f o
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K

⊢ num 0 = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
n : ℕ
inst✝ : Fintype α
P : α → ℕ
hP : ∑ i : α, P i = n
a : α

⊢ Multiset.count a (Finsupp.toMultiset (Finsupp.equivFunOnFinite.symm P)) = Multiset.count a (Multiset.map (fun a => ↑⟨P, hP⟩ a • {a}) univ.val).sum
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
n : ℕ
inst✝ : Fintype α
P : α → ℕ
hP : ∑ i : α, P i = n
a : α

⊢ Multiset.count a (Finsupp.toMultiset (Finsupp.equivFunOnFinite.symm P)) = (Multiset.map (fun b => Multiset.count a (↑⟨P, hP⟩ b • {b})) univ.val).sum
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
cd : Fin 2 → ℝ
z : ℍ
h : cd ≠ 0

⊢ ↑(cd 0) * ↑z + ↑(cd 1) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
cd : Fin 2 → ℝ
z : ℍ
h : ↑(cd 0) * ↑z + ↑(cd 1) = 0

⊢ cd = 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
cd : Fin 2 → ℝ
z : ℍ
h : ↑(cd 0) * ↑z + ↑(cd 1) = 0
this : cd 0 = 0

⊢ cd = 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
cd : Fin 2 → ℝ
z : ℍ
this : cd 0 = 0
h : cd 1 = 0

⊢ cd = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ

⊢ ∑ i : PointsWithCircumcenterIndex n, circumcenterWeightsWithCircumcenter n i = 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
j : PointsWithCircumcenterIndex n
a✝ : j ∈ univ

⊢ circumcenterWeightsWithCircumcenter n j = if j = circumcenterIndex then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 j else 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ

⊢ 1 = if circumcenterIndex ∈ univ then Function.const (PointsWithCircumcenterIndex n) 1 circumcenterIndex else 0
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
s : Set (Set α)
hs : IsPiSystem s
t₁ t₂ : Set α
ht₁ : (generate s).Has t₁
ht₂ : (generate s).Has t₂
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ∈ s
this✝¹ : (generate s).Has s₁
this✝ : generate s ≤ (generate s).restrictOn this✝¹
this : (generate s).Has (t₂ ∩ s₁)

⊢ (generate s).Has (s₁ ∩ t₂)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LindelofSpace X
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x

⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, U x = univ
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : LindelofSpace X
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
t : Set X
tc : t.Countable
s : univ ⊆ ⋃ x ∈ t, U x

⊢ ∃ t, t.Countable ∧ ⋃ x ∈ t, U x = univ
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : LindelofSpace X
U : X → Set X
hU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
t : Set X
tc : t.Countable
s : univ ⊆ ⋃ x ∈ t, U x

⊢ ⋃ x ∈ t, U x = univ
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m✝ n✝ : ℤ
a1 : 1 ≤ a
m n : ℕ
mn : m ≤ n

⊢ 1 / a ^ n ≤ 1 / a ^ m
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f' : 𝕜 → F
hs : IsOpen s
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
x : 𝕜
hx : x ∈ s

⊢ deriv f x = f' x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
h : Tendsto f atTop (𝓝 0)

⊢ (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ↑n
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
h : Tendsto f atTop (𝓝 0)
this : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, 1) atTop atTop → (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ∑ i ∈ range n, 1

⊢ (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ↑n
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup α
f : ℕ → α
h : Tendsto f atTop (𝓝 0)
this : Tendsto (fun n => ↑n) atTop atTop → (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ↑n

⊢ (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) =o[atTop] fun n => ↑n
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t✝ : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
t : Finset α

⊢ s.toFinset ⊆ t ↔ s ⊆ ↑t
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integers.lean
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
x : F

⊢ ∃ a, x = (algebraMap O F) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap O F) a
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integers.lean
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
x : F
h : v x ≤ 1
a : O
ha : (algebraMap O F) a = x

⊢ ∃ a, x = (algebraMap O F) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap O F) a
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integers.lean
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
x : F
h : v x⁻¹ ≤ 1
a : O
ha : (algebraMap O F) a = x⁻¹

⊢ ∃ a, x = (algebraMap O F) a ∨ x⁻¹ = (algebraMap O F) a