ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u✝ : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m₁ : α → γ → α'
m₂ : β → γ → β'
n' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m₁ a c) (m₂ b c)
s : Set ε
t₁ : Set α'
u : Set α
hu : u ∈ f
w₁ : Set γ
hw₁ : w₁ ∈ h
ht₁ : image2 m₁ u w₁ ⊆ t₁
t₂ : Set β'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
v : Set β
hv : v ∈ g
w₂ : Set γ
hw₂ : w₂ ∈ h
ht₂ : image2 m₂ v w₂ ⊆ t₂

⊢ image2 m (image2 n u v) (w₁ ∩ w₂) ⊆ s
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u✝ : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m₁ : α → γ → α'
m₂ : β → γ → β'
n' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m₁ a c) (m₂ b c)
s : Set ε
t₁ : Set α'
u : Set α
hu : u ∈ f
w₁ : Set γ
hw₁ : w₁ ∈ h
ht₁ : image2 m₁ u w₁ ⊆ t₁
t₂ : Set β'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
v : Set β
hv : v ∈ g
w₂ : Set γ
hw₂ : w₂ ∈ h
ht₂ : image2 m₂ v w₂ ⊆ t₂

⊢ image2 m₁ u (w₁ ∩ w₂) ⊆ t₁
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u✝ : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m₁ : α → γ → α'
m₂ : β → γ → β'
n' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m₁ a c) (m₂ b c)
s : Set ε
t₁ : Set α'
u : Set α
hu : u ∈ f
w₁ : Set γ
hw₁ : w₁ ∈ h
ht₁ : image2 m₁ u w₁ ⊆ t₁
t₂ : Set β'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
v : Set β
hv : v ∈ g
w₂ : Set γ
hw₂ : w₂ ∈ h
ht₂ : image2 m₂ v w₂ ⊆ t₂

⊢ image2 m₂ v (w₁ ∩ w₂) ⊆ t₂
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n k : ℕ+
h : k.Coprime n

⊢ (k * m).gcd n = m.gcd n
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n k : ℕ+
h : k.Coprime n

⊢ ↑((k * m).gcd n) = ↑(m.gcd n)
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n k : ℕ+
h : k.Coprime n

⊢ (↑k * ↑m).gcd ↑n = (↑m).gcd ↑n
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n k : ℕ+
h : k.Coprime n

⊢ (↑k).Coprime ↑n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X

⊢ dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val

⊢ dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val

⊢ dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val
A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q

⊢ dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val
A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q
I : ↑p = range Subtype.val

⊢ dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val
A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q
I : ↑p = range Subtype.val
J : ↑q = range Subtype.val

⊢ dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ dist p q
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝ : MetricSpace X
p q : NonemptyCompacts X
ha : Isometry Subtype.val
hb : Isometry Subtype.val
A : dist p q = hausdorffDist ↑p ↑q
I : ↑p = range Subtype.val
J : ↑q = range Subtype.val

⊢ dist p.toGHSpace q.toGHSpace ≤ hausdorffDist (range Subtype.val) (range Subtype.val)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : 0 < p.1

⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : 0 < p.1
this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (log x.1 * x.2)

⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => x.1 ^ x.2) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : 0 < p.1
this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (log x.1 * x.2)

⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => rexp (log x.1 * x.2)) ((p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ) p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x y z : ℝ
p : ℝ × ℝ
hp : 0 < p.1
this : (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (log x.1 * x.2)

⊢ (p.2 * p.1 ^ (p.2 - 1)) • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ + (p.1 ^ p.2 * log p.1) • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ = rexp (log p.1 * p.2) • (log p.1 • ContinuousLinearMap.snd ℝ ℝ ℝ + p.2 • p.1⁻¹ • ContinuousLinearMap.fst ℝ ℝ ℝ)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α

⊢ MeasurableSingletonClass α
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
f : α → ℕ → Bool
fmeas : Measurable f
finj : Injective f

⊢ MeasurableSingletonClass α
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
f : α → ℕ → Bool
fmeas : Measurable f
finj : Injective f
x : α

⊢ MeasurableSet {x}
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : CountablySeparated α
f : α → ℕ → Bool
fmeas : Measurable f
finj : Injective f
x : α

⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' {f x})
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : (i : ι) → β i
i : ι
s : Set (β i)
y : (a : ι) → β a

⊢ y ∈ update x i '' s ↔ y ∈ univ.pi (update (fun j => {x j}) i s)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
m : Multiset R[X]
L : List R[X]

⊢ 0 ∉ Quot.mk Setoid.r L → (prod (Quot.mk Setoid.r L)).roots = Multiset.bind (Quot.mk Setoid.r L) roots
-- Mathlib/Data/Setoid/Partition.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
s : Set (Set α)
h₁ : s.PairwiseDisjoint id
h₂ : ∀ (a : α), ∃ x ∈ s, a ∈ x
h₃ : ∅ ∉ s

⊢ IsPartition s
-- Mathlib/Data/Setoid/Partition.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
s : Set (Set α)
h₁ : s.PairwiseDisjoint id
h₂ : ∀ (a : α), ∃ x ∈ s, a ∈ x
h₃ : ∅ ∉ s
a : α

⊢ ∀ (y₁ y₂ : Set α), y₁ ∈ s ∧ a ∈ y₁ → y₂ ∈ s ∧ a ∈ y₂ → y₁ = y₂
-- Mathlib/Data/Setoid/Partition.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
s : Set (Set α)
h₁ : s.PairwiseDisjoint id
h₂ : ∀ (a : α), ∃ x ∈ s, a ∈ x
h₃ : ∅ ∉ s
a : α
b₁ b₂ : Set α
hb₁ : b₁ ∈ s ∧ a ∈ b₁
hb₂ : b₂ ∈ s ∧ a ∈ b₂

⊢ b₁ = b₂
-- Mathlib/Data/Setoid/Partition.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
s : Set (Set α)
h₁ : s.PairwiseDisjoint id
h₂ : ∀ (a : α), ∃ x ∈ s, a ∈ x
h₃ : ∅ ∉ s
a : α
b₁ b₂ : Set α
hb₁ : b₁ ∈ s ∧ a ∈ b₁
hb₂ : b₂ ∈ s ∧ a ∈ b₂

⊢ ¬Disjoint (id b₁) (id b₂)
-- Mathlib/Data/Setoid/Partition.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
s : Set (Set α)
h₁ : s.PairwiseDisjoint id
h₂ : ∀ (a : α), ∃ x ∈ s, a ∈ x
h₃ : ∅ ∉ s
a : α
b₁ b₂ : Set α
hb₁ : b₁ ∈ s ∧ a ∈ b₁
hb₂ : b₂ ∈ s ∧ a ∈ b₂

⊢ ∃ x ∈ id b₁, x ∈ id b₂
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
ha : i ∉ t
hw : ∑ j ∈ t, w j ≠ 0

⊢ (insert i t).centerMass w z = (w i / (w i + ∑ j ∈ t, w j)) • z i + ((∑ j ∈ t, w j) / (w i + ∑ j ∈ t, w j)) • t.centerMass w z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
ha : i ∉ t
hw : ∑ j ∈ t, w j ≠ 0

⊢ (w i / (w i + ∑ i ∈ t, w i)) • z i + (w i + ∑ i ∈ t, w i)⁻¹ • ∑ i ∈ t, w i • z i = (w i / (w i + ∑ i ∈ t, w i)) • z i + ((∑ i ∈ t, w i) / (w i + ∑ i ∈ t, w i) * (∑ i ∈ t, w i)⁻¹) • ∑ i ∈ t, w i • z i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
ha : i ∉ t
hw : ∑ j ∈ t, w j ≠ 0

⊢ (w i + ∑ i ∈ t, w i)⁻¹ = (∑ i ∈ t, w i) / (w i + ∑ i ∈ t, w i) * (∑ i ∈ t, w i)⁻¹
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ t

⊢ _root_.Disjoint (s.erase a) (insert a t) ↔ _root_.Disjoint s t
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : min c d ≤ b

⊢ Iio b ∪ Ico c d = Iio (max b d)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : c ≤ d
h : c ≤ b

⊢ Iio b ∪ Ico c d = Iio (max b d)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : d ≤ c
h : d ≤ b

⊢ Iio b ∪ Ico c d = Iio (max b d)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
h : iIndepFun m f κ μ

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, IsProbabilityMeasure (κ a)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
a : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg

⊢ (sqrtd * { re := ↑x, im := -↑y }).Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
a : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg

⊢ { re := -(↑d * ↑y), im := ↑x }.Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
a : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
x y : ℕ
ha : { re := ↑x, im := -↑y }.Nonneg

⊢ SqLe (d * y) 1 x d
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
a : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
x y : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg

⊢ (sqrtd * { re := -↑x, im := ↑y }).Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
a : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
x y : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg

⊢ { re := ↑d * ↑y, im := -↑x }.Nonneg
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
a : ℤ√↑d
ha✝ : a.Nonneg
x y : ℕ
ha : { re := -↑x, im := ↑y }.Nonneg

⊢ SqLe x d (d * y) 1
-- Mathlib/GroupTheory/NoncommCoprod.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : Monoid P
f✝ : M →* P
g : N →* P
comm : ∀ (m : M) (n : N), Commute (f✝ m) (g n)
f : M × N →* P
x : M × N

⊢ ((f.comp (inl M N)).noncommCoprod (f.comp (inr M N)) ⋯) x = f x
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : FirstCountableTopology X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f

⊢ t2Setoid X ≤ Setoid.ker f
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
S : Type u_1
inst✝ : UnitalShelf S
x y z : S

⊢ (x ◃ y) ◃ z = x ◃ y ◃ z
-- Mathlib/Data/Finset/Density.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α

⊢ s.dens = 0 ↔ s = ∅
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
x y : α

⊢ (const y - const x).Pos ↔ x < y
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
n : ℕ

⊢ (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) = s.ι n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
n : ℕ

⊢ s.ι (unop (IndexSet.id (op [n])).fst).len = s.ι n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
x : X
y : Y

⊢ 1 ≤ Sum.dist (Sum.inr y) (Sum.inl x)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
x : X
y : Y

⊢ 1 ≤ Sum.dist (Sum.inl x) (Sum.inr y)
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f1 f2 g1 g2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
hg : g1 ≈ g2

⊢ f1 - g1 ≈ f2 - g2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x y z : ℝ

⊢ sinh x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y

⊢ - -a = a
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y

⊢ 0 - (0 - a) = a
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y

⊢ a - a - (0 - a) = a
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : T

⊢ x • 0 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace G
K : Set G
hK : IsCompact K

⊢ μ.outerMeasure K < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝² : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝¹ : R1Space G
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace G
K : Set G
hK : IsCompact K
F : Set G
h1F : IsCompact F
h2F : K ⊆ interior F

⊢ μ.outerMeasure K < ⊤
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f✝ g : ℕ → Bool
n : ℕ
f : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1

⊢ Summable (cantorFunctionAux c f)
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f✝ g : ℕ → Bool
n : ℕ
f : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1

⊢ ∀ (b : ℕ), cantorFunctionAux c f b = 0 ∨ cantorFunctionAux c f b = c ^ b
-- Mathlib/CategoryTheory/Types.lean
α β : Type u
f g : α ⟶ β
h : ∀ (a : α), f a = g a

⊢ f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/Types.lean
α β : Type u
f g : α ⟶ β
h : ∀ (a : α), f a = g a
x : α

⊢ f x = g x
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
s : Cycle α
h : s.Subsingleton

⊢ s.Nodup
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
l : List α
h : Subsingleton (Quot.mk Setoid.r l)

⊢ Nodup (Quot.mk Setoid.r l)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g g' : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]
hgg' : ∀ x ∈ Ioo (min (f a) (f b)) (max (f a) (f b)), HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x • (g' ∘ f) x = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g g' : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]
hgg' : ∀ x ∈ Ioo (min (f a) (f b)) (max (f a) (f b)), HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])

⊢ g (f b) - g (f a) = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
G : Type u_6
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f f' : ℝ → ℝ
g g' : ℝ → E
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]
hgg' : ∀ x ∈ Ioo (min (f a) (f b)) (max (f a) (f b)), HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])

⊢ [[f a, f b]] ⊆ f '' [[a, b]]
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t.Finite

⊢ hs.toFinset.Nonempty ↔ s.Nonempty
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_3}

⊢ a < 1 ↔ a = 0
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroup.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : AddCommGroup β
f : α → β
x : α

⊢ (lift f) (of x) = f x
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroup.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : AddCommGroup β
f : α → β
x : α
e_1✝ : β = Multiplicative β

⊢ f x = (FreeGroup.lift f) (FreeGroup.of x)
-- Mathlib/Data/Real/Pi/Bounds.lean
n : ℕ
a : ℝ
h : 2 - ((a - 1 / 4 ^ n) / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 ≤ (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n
h₂ : 1 / 4 ^ n ≤ a

⊢ π < a
-- Mathlib/Data/Real/Pi/Bounds.lean
n : ℕ
a : ℝ
h : 2 - ((a - 1 / 4 ^ n) / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 ≤ (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n
h₂ : 1 / 4 ^ n ≤ a

⊢ 2 ^ (n + 1) * √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) + 1 / 4 ^ n ≤ a
-- Mathlib/Data/Real/Pi/Bounds.lean
n : ℕ
a : ℝ
h : 2 - ((a - 1 / 4 ^ n) / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 ≤ (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n
h₂ : 1 / 4 ^ n ≤ a

⊢ 2 - ((a - 1 / 4 ^ n) / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 ≤ sqrtTwoAddSeries 0 n
-- Mathlib/Data/Real/Pi/Bounds.lean
n : ℕ
a : ℝ
h : 2 - ((a - 1 / 4 ^ n) / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 ≤ (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n
h₂ : 1 / 4 ^ n ≤ a

⊢ 0 ≤ (a - 1 / 4 ^ n) / 2 ^ (n + 1)
-- Mathlib/Data/Real/Pi/Bounds.lean
n : ℕ
a : ℝ
h : 2 - ((a - 1 / 4 ^ n) / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 ≤ (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n
h₂ : 1 / 4 ^ n ≤ a

⊢ 0 < 2 ^ (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x t : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
ht : 0 < t

⊢ |log x * x ^ t| < 1 / t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x t : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
ht : 0 < t

⊢ |log x * x ^ t| * t < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x t : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x ≤ 1
ht : 0 < t
this : |log (x ^ t) * x ^ t| < 1

⊢ |log x * x ^ t| * t < 1
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
f : R ≃+* S
K : Subsemiring R
x : S

⊢ x ∈ map (↑f) K ↔ f.symm x ∈ K
-- Mathlib/Data/Set/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Set α
a b c : α
s t : Set α
this : (uncurry fun x x_1 => x ⊓ x_1) '' s ×ˢ t = image2 (fun x x_1 => x ⊓ x_1) s t

⊢ (uncurry fun x x_1 => x ⊓ x_1) '' s ×ˢ t = s ⊼ t
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝³ : Semiring K
inst✝² : SMulWithZero R K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : IsScalarTower R K M
hinj : Injective fun r => r • 1
li : LinearIndependent K v

⊢ LinearIndependent R v
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝³ : Semiring K
inst✝² : SMulWithZero R K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : IsScalarTower R K M
hinj : Injective fun r => r • 1
li : LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ (fun r => r • 1) (g i) = (fun r => r • 1) 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝³ : Semiring K
inst✝² : SMulWithZero R K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : IsScalarTower R K M
hinj : Injective fun r => r • 1
li : LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ g i • 1 = 0 • 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝³ : Semiring K
inst✝² : SMulWithZero R K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : IsScalarTower R K M
hinj : Injective fun r => r • 1
li : LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ g i • 1 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝³ : Semiring K
inst✝² : SMulWithZero R K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : IsScalarTower R K M
hinj : Injective fun r => r • 1
li : LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ ∑ i ∈ s, (fun x => g x • 1) i • v i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝³ : Semiring K
inst✝² : SMulWithZero R K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : IsScalarTower R K M
hinj : Injective fun r => r • 1
li : LinearIndependent K v
s : Finset ι
g : ι → R
hg : ∑ i ∈ s, g i • v i = 0
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ ∑ x ∈ s, g x • v x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
b : ι → M
inst✝¹ : _root_.Finite ι
s : ι → M
hs : span R (range s) = ⊤
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

⊢ Free R M