ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/Hall/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq β
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → Fintype ↑(Rel.image r {a})
r' : α → Finset β := fun a => (Rel.image r {a}).toFinset
h : ∀ (A : Finset α), card ↑(Rel.image r ↑A) = (A.biUnion r').card
h' : ∀ (f : α → β) (x : α), r x (f x) ↔ f x ∈ r' x

⊢ (∀ (A : Finset α), A.card ≤ card ↑(Rel.image r ↑A)) ↔ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : α), r x (f x)
-- Mathlib/Combinatorics/Hall/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq β
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → Fintype ↑(Rel.image r {a})
r' : α → Finset β := fun a => (Rel.image r {a}).toFinset
h : ∀ (A : Finset α), card ↑(Rel.image r ↑A) = (A.biUnion r').card
h' : ∀ (f : α → β) (x : α), r x (f x) ↔ f x ∈ r' x

⊢ (∀ (A : Finset α), A.card ≤ (A.biUnion r').card) ↔ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : α), f x ∈ r' x
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n : ℕ
hs : s ∈ f

⊢ s ^ 0 ∈ f ^ 0
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n : ℕ
hs : s ∈ f

⊢ 1 ∈ f ^ 0
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n✝ : ℕ
hs : s ∈ f
n : ℕ

⊢ s ^ (n + 1) ∈ f ^ (n + 1)
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n✝ : ℕ
hs : s ∈ f
n : ℕ

⊢ s ^ n * s ∈ f ^ (n + 1)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y

⊢ ⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y)) + dist f g
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)

⊢ ⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y)) + dist f g
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x

⊢ ⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y)) + dist f g
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)

⊢ ⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y)) + dist f g
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x

⊢ ⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y)) + dist f g
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x
Z : ⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y) ≤ ⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y) + dist f g

⊢ ⨆ y, ⨅ x, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ y, ⨅ x, g (inl x, inr y)) + dist f g
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0

⊢ quadraticCharFun F a = if a ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
a : F
ha : a ≠ 0

⊢ (if IsSquare a then 1 else -1) = if a ^ (Fintype.card F / 2) = 1 then 1 else -1
-- Mathlib/Algebra/Category/Ring/Colimits.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ RingCat
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ↑(F.obj j)

⊢ (coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (coconeMorphism F j) x
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : S[X]
f : S →+* R
r : R
s : S
hr : eval₂ f r p = 0

⊢ eval₂ f (f s * r) (p.scaleRoots s) = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ

⊢ HasSum (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) (cos z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ

⊢ (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) = fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}

⊢ 0 < o.card ↔ 0 < o
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ≥0∞
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hp_nonneg : 0 ≤ p
hp_not_neg : ¬p < 0

⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ≥0∞
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hp_nonneg : 0 ≤ p
hp_not_neg : ¬p < 0
h_top_iff_rpow_top : ∀ i ∈ s, w i * z i = ⊤ ↔ w i * z i ^ p = ⊤

⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ≥0∞
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hp_nonneg : 0 ≤ p
hp_not_neg : ¬p < 0
h_top_iff_rpow_top : ∀ i ∈ s, w i * z i = ⊤ ↔ w i * z i ^ p = ⊤

⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p = ⊤ → ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p = ⊤
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ≥0∞
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
hp_nonneg : 0 ≤ p
hp_not_neg : ¬p < 0
h_top_iff_rpow_top : ∀ i ∈ s, w i * z i = ⊤ ↔ w i * z i ^ p = ⊤

⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p ≠ ⊤ → ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p ≠ ⊤ → ((∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p).toNNReal ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i ^ p).toNNReal
-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
f g : 𝓢(ℝ, ℂ)
hfg : 𝓕 ⇑f = ⇑g
x : ℝ

⊢ ∑' (n : ℤ), f (x + ↑n) = ∑' (n : ℤ), g ↑n * (fourier n) ↑x
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
hb : 1 ≤ b

⊢ a ≤ a ^ b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
b : Cardinal.{u_1}
hb : 1 ≤ b

⊢ 0 ≤ 0 ^ b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
hb : 1 ≤ b
ha : a ≠ 0

⊢ a ≤ a ^ b
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B✝ : Set (Set α)
s : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
B : Set (Set β)
hB : IsTopologicalBasis B
f : α → β

⊢ Continuous f ↔ ∀ s ∈ B, IsOpen (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsClosed (range f)
K : Set Y
hK : IsCompact K

⊢ IsCompact (f ⁻¹' K)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsClosed (range f)
K : Set Y
hK : IsCompact (K ∩ range f)

⊢ IsCompact (f ⁻¹' K)
-- Mathlib/Data/Nat/Find.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n
n : ℕ

⊢ n < Nat.find h ↔ ∀ (m : ℕ), m ≤ n → ¬p m
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gamma.lean
a r : ℝ
ha : 0 < a
hr : 0 < r

⊢ (gammaMeasure a r) univ = 1
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N ≤r M
hne : N.E ≠ M.E

⊢ N <r M
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N ≤r M
hne : N.E ≠ M.E

⊢ M ↾ N.E <r M
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α
hs : 0 < s.infsep

⊢ s.Nontrivial
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α
hs : ¬s.Nontrivial

⊢ ¬0 < s.infsep
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α
hs : s.Subsingleton

⊢ ¬0 < s.infsep
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Ring R✝
p : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
h : IsUnit (X ^ n - 1)

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Ring R✝
p : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
h : IsUnit (X ^ 0 - 1)

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Ring R✝
p : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
h : IsUnit (X ^ n - 1)
hn : n ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Ring R✝
p : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ
h : IsUnit (X ^ n - 1)
hn : n ≠ 0

⊢ n = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : DifferentiableAt 𝕜 f x

⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = fderiv 𝕜 f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
h : DifferentiableAt 𝕜 f x

⊢ fderivWithin 𝕜 f s x = fderivWithin 𝕜 f univ x
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ x ∈ closure s ↔ ∀ t ∈ 𝓝 x, ∃ y, ↑y ∈ t
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b : ℕ
hb : b ≤ 1
n : ℕ

⊢ clog b n = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P ≃ₗ[R] Q
f : N ≃ₗ[R] P
m : M
n : N
p : P
x : M ⊗[R] N
y : N ⊗[R] M

⊢ (lTensor M (refl R N)) x = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (T : C), Function.Bijective fun x => x ≫ f

⊢ IsIso f
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (T : C), Function.Bijective fun x => x ≫ f
g : Y ⟶ X
hg : g ≫ f = 𝟙 Y

⊢ IsIso f
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
h : {x} ∈ 𝓝[s] x

⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
h : {x} ∈ 𝓝[s] x
fc : ContinuousWithinAt f s x

⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
h : {x} ∈ 𝓝[s] x
fc : ContinuousWithinAt f s x
t : Set E
ot : IsOpen t
xt : x ∈ t
st : t ∩ s ⊆ {x}

⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
s : Set E
x : E
h : {x} ∈ 𝓝[s] x
fc : ContinuousWithinAt f s x
t : Set E
ot : IsOpen t
xt : x ∈ t
st : t ∩ s ⊆ {x}
r : ℝ
r0 : r > 0
rt : Metric.ball x r ⊆ t

⊢ AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
φ : MvPowerSeries σ R
s : σ
this : ¬single s 1 ≤ 0

⊢ (coeff R 0) (φ * X s) = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f1 f2 g1 g2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
hg : g1 ≈ g2

⊢ (f1 * g1 - f2 * g2).LimZero
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f1 f2 g1 g2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
hg : g1 ≈ g2

⊢ f1 * g1 - f2 * g2 = (f1 - f2) * g1 + f2 * (g1 - g2)
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f1 f2 g1 g2 : CauSeq β abv
hf : f1 ≈ f2
hg : g1 ≈ g2

⊢ f1 * g1 - f2 * g2 = f1 * g1 - f2 * g1 + (f2 * g1 - f2 * g2)
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ ⊥ = a
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 64 ≤ N

⊢ 3 ≤ nValue N
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 64 ≤ N

⊢ 2 < √(log ↑N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 64 ≤ N

⊢ 2 ^ 2 < log ↑N
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 64 ≤ N
this : 2 ^ ↑6 ≤ ↑N

⊢ 2 ^ 2 < log ↑N
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 64 ≤ N
this : 2 ^ ↑6 ≤ ↑N

⊢ 2 ^ 2 < log (2 ^ ↑6)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 64 ≤ N
this : 2 ^ ↑6 ≤ ↑N

⊢ 2 ^ 2 / ↑6 < log 2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 64 ≤ N
this : 2 ^ ↑6 ≤ ↑N

⊢ 0 < ↑6
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
n : ℕ
a : α
h : Even n

⊢ (-1) ^ n = 1
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
b : Ultrafilter α

⊢ comap pure (𝓝 b) ≤ ↑b
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
b : Ultrafilter α

⊢ comap pure (⨅ s ∈ {s | b ∈ s ∧ s ∈ ultrafilterBasis α}, 𝓟 s) ≤ ↑b
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
b : Ultrafilter α

⊢ ⨅ i ∈ {s | b ∈ s ∧ s ∈ ultrafilterBasis α}, 𝓟 (pure ⁻¹' i) ≤ ↑b
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
b : Ultrafilter α
s : Set α
hs : s ∈ ↑b

⊢ s ∈ ⨅ i ∈ {s | b ∈ s ∧ s ∈ ultrafilterBasis α}, 𝓟 (pure ⁻¹' i)
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
b : Ultrafilter α
s : Set α
hs : s ∈ ↑b

⊢ ⨅ i ∈ {s | b ∈ s ∧ s ∈ ultrafilterBasis α}, 𝓟 (pure ⁻¹' i) ≤ 𝓟 s
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
b : Ultrafilter α
s : Set α
hs : s ∈ ↑b

⊢ ⨅ (_ : {u | s ∈ u} ∈ {s | b ∈ s ∧ s ∈ ultrafilterBasis α}), 𝓟 (pure ⁻¹' {u | s ∈ u}) ≤ 𝓟 s
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
b : Ultrafilter α
s : Set α
hs : s ∈ ↑b

⊢ 𝓟 (pure ⁻¹' {u | s ∈ u}) ≤ 𝓟 s
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a₁ b₁ a₂ b₂ : CauSeq α abs
ha : a₁ ≈ a₂
hb : b₁ ≈ b₂
ε : α
ε0 : ε > 0
ai : ℕ
hai : ∀ j ≥ ai, |↑(a₁ - a₂) j| < ε
bi : ℕ
hbi : ∀ j ≥ bi, |↑(b₁ - b₂) j| < ε

⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, |↑(a₁ ⊔ b₁ - a₂ ⊔ b₂) j| < ε
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p q : α → Prop
l✝ : List α
h : ∀ (x : α), p x → q x
x : α
l : List α

⊢ Forall p (x :: l) → Forall q (x :: l)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p q : α → Prop
l✝ : List α
h : ∀ (x : α), p x → q x
x : α
l : List α

⊢ p x → Forall p l → q x ∧ Forall q l
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p q : α → Prop
l✝ : List α
h : ∀ (x : α), p x → q x
x : α
l : List α

⊢ p x ∧ Forall p l → q x ∧ Forall q l
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (hermite n).degree = ↑n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (hermite n).degree ≤ ↑n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (hermite n).coeff n ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a✝ b c d a : K
h : a ≠ 0

⊢ -a / a = -1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x✝ : E

⊢ (reflection Kᗮ) x✝ = ((reflection K).trans (LinearIsometryEquiv.neg 𝕜)) x✝
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
d : ℝ≥0∞

⊢ d ≤ infEdist x s ↔ ∀ y ∈ s, d ≤ edist x y
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g

⊢ Continuous (f ⋆[L, μ] g)
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g

⊢ ContinuousOn (f ⋆[L, μ] g) univ
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
g' : G → G → E' := fun x q => g q

⊢ ContinuousOn (f ⋆[L, μ] g) univ
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g'✝ : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
hcg : HasCompactSupport g
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : Continuous g
g' : G → G → E' := fun x q => g q
this : ContinuousOn (↿g') (univ ×ˢ univ)

⊢ ContinuousOn (f ⋆[L, μ] g) univ
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α

⊢ u ∈ (s ∩ t).powerset ↔ u ∈ s.powerset ⊼ t.powerset
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α

⊢ u ⊆ s ∩ t ↔ ∃ a ⊆ s, ∃ b ⊆ t, a ∩ b = u
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
h : u ⊆ s ∩ t

⊢ s ∩ u ∩ (t ∩ u) = u
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α

⊢ (∃ a ⊆ s, ∃ b ⊆ t, a ∩ b = u) → u ⊆ s ∩ t
-- Mathlib/Data/Semiquot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Semiquot α
h : t.IsPure
st : s ≤ t

⊢ t ≤ s
-- Mathlib/Data/Semiquot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Semiquot α
h : t.IsPure
st : s ≤ t

⊢ pure (t.get h) ≤ pure (s.get ⋯)