ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableAt I I' f x
hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x

⊢ _root_.mfderivWithin I I' f s x = mfderiv I I' f x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableAt I I' f x
hxs : UniqueMDiffWithinAt I s x

⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f s x (mfderiv I I' f x)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
inst✝ : Infinite α
f : α → β
hi : Injective f

⊢ (range f).Infinite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
inst✝ : Infinite α
f : α → β
hi : Injective f

⊢ univ.Infinite
-- Mathlib/Algebra/Ring/Units.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝³ : Ring α
a b : α
F : Type u_1
inst✝² : Ring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
f : F
u : αˣ

⊢ ↑((map ↑f) (-u)) = ↑(-(map ↑f) u)
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosStrictMono α
ha : 0 < a
hb : 0 < b

⊢ 0 < a * b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
c : ℕ → ℝ
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a + d n ∈ s
hc : Tendsto c atTop atTop
hcd : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
hc' : Tendsto (fun x => ‖c x‖) atTop atTop

⊢ f' y ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
c : ℕ → ℝ
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a + d n ∈ s
hc : Tendsto c atTop atTop
hcd : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
hc' : Tendsto (fun x => ‖c x‖) atTop atTop

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, c n • (f (a + d n) - f a) ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
c : ℕ → ℝ
d : ℕ → E
hc : Tendsto c atTop atTop
hcd : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
hc' : Tendsto (fun x => ‖c x‖) atTop atTop
hd : Tendsto (fun n => a + d n) atTop (𝓝[s] (a + 0))

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, c n • (f (a + d n) - f a) ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
c : ℕ → ℝ
d : ℕ → E
hc : Tendsto c atTop atTop
hcd : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
hc' : Tendsto (fun x => ‖c x‖) atTop atTop
hd : Tendsto (fun n => a + d n) atTop (𝓝[s] a)

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, c n • (f (a + d n) - f a) ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMaxOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
c : ℕ → ℝ
d : ℕ → E
hc : Tendsto c atTop atTop
hcd : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)
hc' : Tendsto (fun x => ‖c x‖) atTop atTop
hd : Tendsto (fun n => a + d n) atTop (𝓝[s] a)
n : ℕ
hfn : f (a + d n) ≤ f a
hcn : 0 ≤ c n

⊢ c n • (f (a + d n) - f a) ≤ 0
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c

⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Icc a b = Icc (a / c) (b / c)
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
f g : K[X]
hg : g ≠ 0

⊢ RatFunc.mk f g = IsLocalization.mk' (RatFunc K) f ⟨g, ⋯⟩
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n k : ℕ
hnk : Even (n + k)

⊢ (hermite n).coeff k = (-1) ^ ((n - k) / 2) * ↑(n - k - 1)‼ * ↑(n.choose k)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n k : ℕ
hnk : Even (n + k)
h_le : k ≤ n

⊢ (hermite n).coeff k = (-1) ^ ((n - k) / 2) * ↑(n - k - 1)‼ * ↑(n.choose k)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n k : ℕ
hnk : Even (n + k)
h_lt : n < k

⊢ (hermite n).coeff k = (-1) ^ ((n - k) / 2) * ↑(n - k - 1)‼ * ↑(n.choose k)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_6
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + (c n)⁻¹ • v) - f x)) l (𝓝 (f' v))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_6
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop

⊢ Tendsto (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) l (𝓝 v)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_6
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v

⊢ U ∈ map (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_6
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v
y : α
hy : c y ≠ 0

⊢ (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) y ∈ U
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_6
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v
y : α
hy : c y ≠ 0

⊢ (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) y = v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_6
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v
y : α
hy : c y ≠ 0

⊢ c y • (c y)⁻¹ • v = v
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasEqualizers V
i i' j : ι
r : c.Rel i j
r' : c.Rel i' j

⊢ imageSubobject (C.d i j) = imageSubobject (C.d i' j)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasEqualizers V
i i' j : ι
r : c.Rel i j
r' : c.Rel i' j

⊢ imageSubobject (eqToHom ⋯ ≫ C.d i' j) = imageSubobject (C.d i' j)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : Scheme
U : Opens (PrimeSpectrum ↑Γ(X, ⊤))

⊢ adjunction.unit.app X ⁻¹ᵁ U ≤ ⊤
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α

⊢ Prime (Associates.mk p) ↔ Prime p
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α

⊢ (Associates.mk p ≠ 0 ∧ ¬IsUnit (Associates.mk p) ∧ ∀ (a : α) (b : Associates α), Associates.mk p ∣ Associates.mk a * b → Associates.mk p ∣ Associates.mk a ∨ Associates.mk p ∣ b) ↔ p ≠ 0 ∧ ¬IsUnit p ∧ ∀ (a b : α), p ∣ a * b → p ∣ a ∨ p ∣ b
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X

⊢ frontier (s ×ˢ univ) = frontier s ×ˢ univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : x ∈ ball y ε

⊢ ∃ ε' < ε, x ∈ ball y ε'
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : dist x y < ε

⊢ ∃ ε' < ε, dist x y < ε'
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s t : Multiset α

⊢ s.Disjoint (a ::ₘ t) ↔ a ∉ s ∧ s.Disjoint t
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s t : Multiset α

⊢ a ∉ s ∧ t.Disjoint s ↔ a ∉ s ∧ s.Disjoint t
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
h₁ : IsAddSubgroup s
h₂ : ∀ n ∈ s, ∀ (g : Additive G), g + n + -g ∈ s

⊢ IsNormalSubgroup s
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
hx✝ : x ∈ H0 A
g : G
hx : (A.ρ g) x = x

⊢ (dZero A ∘ₗ (H0 A).subtype) ⟨x, hx✝⟩ g = 0 ⟨x, hx✝⟩ g
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
hx✝ : x ∈ H0 A
g : G
hx : (A.ρ g) x - x = 0

⊢ (dZero A ∘ₗ (H0 A).subtype) ⟨x, hx✝⟩ g = 0 ⟨x, hx✝⟩ g
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ

⊢ ↑(sign ↑x) * ↑(↑x).abs = ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
a : R

⊢ (vandermonde fun i => v i + a).det = (vandermonde v).det
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Pochhammer.lean
S : Type u
inst✝ : Semiring S
n k : ℕ

⊢ ↑(eval k (ascPochhammer ℕ n)) = eval (↑k) (ascPochhammer S n)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : SetLike σ A
inst✝² : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
i j : ι
inst✝¹ : AddLeftCancelMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
b : A
a : ↥(𝒜 i)

⊢ ↑(((decompose 𝒜) (↑a * b)) (i + j)) = ↑a * ↑(((decompose 𝒜) b) j)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b : α

⊢ |b| - |a| ≤ |a - b|
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b : α

⊢ |b| - |a| ≤ |b - a|
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w t : W

⊢ cs.IsRightInversion w⁻¹ t ↔ cs.IsLeftInversion w t
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w t : W

⊢ cs.IsReflection t → (cs.length (w⁻¹ * t) < cs.length w⁻¹ ↔ cs.length (t * w) < cs.length w)
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w t : W
ht : cs.IsReflection t

⊢ cs.length (w⁻¹ * t) < cs.length w⁻¹ ↔ cs.length (t * w) < cs.length w
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
W X X' Y Y' Z : D
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y'
h' : Y' ⟶ Z

⊢ f ≫ g ≫ h ≫ e.counitInv.app Z = f' ≫ g' ≫ h' ≫ e.counitInv.app Z ↔ f ≫ g ≫ h = f' ≫ g' ≫ h'
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S}

⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom S
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S}

⊢ borel α ≤ MeasurableSpace.generateFrom S
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S

⊢ borel α ≤ MeasurableSpace.generateFrom S
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S

⊢ MeasurableSpace.generateFrom (range Iio) ≤ MeasurableSpace.generateFrom S
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α

⊢ MeasurableSet (Iio a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t✝ u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hd : Dense s
hbot : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
hIoo : ∀ (x y : α), x < y → Ioo x y = ∅ → y ∈ s
S : Set (Set α) := {S | ∃ l ∈ s, ∃ u ∈ s, l < u ∧ Ico l u = S}
this : MeasurableSpace α := MeasurableSpace.generateFrom S
a : α
t : Set α
hts : t ⊆ s
hc : t.Countable
htd : Dense t
htb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t

⊢ MeasurableSet (Iio a)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

⊢ (o.oangle x (x - y)).sign = -(o.oangle x y).sign
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ : α
hl : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l

⊢ l.formPerm x ≠ x ↔ 2 ≤ l.length
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ : α
hl : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l

⊢ 1 < l.length ↔ 2 ≤ l.length
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : ι → α
s : Set α
h : ∀ (x : ι), f x ∈ s

⊢ Injective (codRestrict f s h) ↔ Injective f
-- Mathlib/Data/Set/Equitable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
f : α → ℕ

⊢ s.EquitableOn f ↔ ∃ b, f '' s ⊆ Icc b (b + 1)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
H : ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), P (𝒰.pullbackHom f i)

⊢ P f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
H : ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), P (𝒰.pullbackHom f i)

⊢ ∀ (i : 𝒰.J), P (f ∣_ Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
S : Multiset R
r : R
hr : r ∈ S

⊢ eval r (derivative (Multiset.map (fun a => X - C a) S).prod) = (Multiset.map (fun a => r - a) (S.erase r)).prod
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
S : Multiset R
r : R
hr : r ∈ S

⊢ eval r (derivative (Multiset.map (fun a => X - C a) (r ::ₘ S.erase r)).prod) = (Multiset.map (fun a => r - a) (S.erase r)).prod
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq R
S : Multiset R
r : R
hr : r ∈ S
this : ↑(evalRingHom r) (Multiset.map (fun a => X - C a) (S.erase r)).prod = (Multiset.map (⇑↑(evalRingHom r)) (Multiset.map (fun a => X - C a) (S.erase r))).prod

⊢ eval r (derivative (Multiset.map (fun a => X - C a) (r ::ₘ S.erase r)).prod) = (Multiset.map (fun a => r - a) (S.erase r)).prod
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
n : Type u_8
inst✝ : Fintype n
r : ℝ
hr : 0 ≤ r
x✝ : EuclideanSpace ℝ n

⊢ x✝ ∈ Metric.closedBall 0 r ↔ x✝ ∈ {x | ∑ i : n, x i ^ 2 ≤ r ^ 2}
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
P Q R : C
f✝ f' : P ⟶ Q
g✝ g' : Q ⟶ R
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : KernelFork f
hc : IsLimit c
h : IsZero c.pt
P✝ : C
g : P✝ ⟶ X
hg : g ≫ f = 0
a : P✝ ⟶ c.pt
ha : a ≫ Fork.ι c = g

⊢ g = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
h : ∠ b p c = π

⊢ dist a b ^ 2 * dist c p + dist a c ^ 2 * dist b p = dist b c * (dist a p ^ 2 + dist b p * dist c p)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c p : P
h : ∠ b p c = π

⊢ (dist a p * dist a p + dist b p * dist b p - 2 * dist a p * dist b p * -Real.cos (∠ a p c)) * dist c p + (dist a p * dist a p + dist c p * dist c p - 2 * dist a p * dist c p * Real.cos (∠ a p c)) * dist b p = (dist b p + dist c p) * (dist a p ^ 2 + dist b p * dist c p)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ

⊢ n.divisors.sum φ = n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean

⊢ (divisors 0).sum φ = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : n > 0

⊢ n.divisors.sum φ = n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : n > 0

⊢ ∑ d ∈ n.divisors, φ (n / d) = n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : n > 0
this : n = ∑ d ∈ n.divisors, (filter (fun k => n.gcd k = d) (range n)).card

⊢ ∑ d ∈ n.divisors, φ (n / d) = n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : n > 0
this : n = ∑ d ∈ n.divisors, (filter (fun k => n.gcd k = d) (range n)).card

⊢ ∑ d ∈ n.divisors, φ (n / d) = ∑ d ∈ n.divisors, (filter (fun k => n.gcd k = d) (range n)).card
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
t : Set β

⊢ univ ×ˢ t = Prod.snd ⁻¹' t
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean

⊢ Tendsto (fun s => riemannZeta ↑s - 1 / (↑s - 1)) (𝓝[>] 1) (𝓝 ↑γ)