ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s μ

⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => c x ^ n

⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ

⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1

⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
A : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)

⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
A : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
this : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))

⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ n • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MetrizableSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hs : IsCompact s
hμ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → 0 < μ (u ∩ s)
c : α → ℝ
hc : ContinuousOn c s
h'c : ∀ y ∈ s, y ≠ x₀ → c y < c x₀
hnc : ∀ x ∈ s, 0 ≤ c x
hnc₀ : 0 < c x₀
h₀ : x₀ ∈ s
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : ContinuousWithinAt g s x₀
φ : ℕ → α → ℝ := fun n x => (∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ)⁻¹ * c x ^ n
hnφ : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, 0 ≤ φ n x
I : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (fun x => c x ^ n) s μ
J : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => c x ^ n
P : ∀ (n : ℕ), 0 < ∫ (x : α) in s, c x ^ n ∂μ
hiφ : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : α) in s, φ n x ∂μ = 1
A : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 atTop (s \ u)
this : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, φ i x • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
x✝ : ℕ

⊢ (∫ (x : α) in s, c x ^ x✝ ∂μ)⁻¹ • ∫ (x : α) in s, c x ^ x✝ • g x ∂μ = ∫ (x : α) in s, φ x✝ x • g x ∂μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
p : Submodule R P
q : Submodule R Q

⊢ range (mapIncl p q) = Submodule.span R (Set.image2 (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) ↑p ↑q)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
p : Submodule R P
q : Submodule R Q

⊢ Submodule.span R {t | ∃ m n, p.subtype m ⊗ₜ[R] q.subtype n = t} = Submodule.span R (Set.image2 (fun x x_1 => x ⊗ₜ[R] x_1) ↑p ↑q)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
hs : NullMeasurableSet s μ

⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
hs : NullMeasurableSet s μ

⊢ μ ({x | p x}ᶜ ∩ s) = 0 ↔ μ {x | x ∈ s → p x}ᶜ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
hs : NullMeasurableSet s μ

⊢ (μ ({x | p x}ᶜ ∩ s) = 0) = (μ {x | x ∈ s → p x}ᶜ = 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
hs : NullMeasurableSet s μ
x : α

⊢ x ∈ {x | p x}ᶜ ∩ s ↔ x ∈ {x | x ∈ s → p x}ᶜ
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α'
inst✝⁴ : One β
inst✝³ : One γ
inst✝² : One δ
g✝ : β → γ
f✝ : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x✝ : α
inst✝¹ : T2Space α'
hf : HasCompactMulSupport f✝
g : α → α'
cont✝ : Continuous g
inst✝ : TopologicalSpace β
U : Set α'
hU : IsOpen U
f : ↑U → β
cont : Continuous f
supp : HasCompactMulSupport f
x : α'
h : x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)

⊢ ContinuousAt (extend Subtype.val f 1) x
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α'
inst✝⁴ : One β
inst✝³ : One γ
inst✝² : One δ
g✝ : β → γ
f✝ : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x✝ : α
inst✝¹ : T2Space α'
hf : HasCompactMulSupport f✝
g : α → α'
cont✝ : Continuous g
inst✝ : TopologicalSpace β
U : Set α'
hU : IsOpen U
f : ↑U → β
cont : Continuous f
supp : HasCompactMulSupport f
x : α'
h : x ∈ mulTSupport (extend Subtype.val f 1)

⊢ ContinuousAt f ⟨x, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H✝ H : Subgroup G
h : H.Normal
f : G →* N
hf : Surjective ⇑f

⊢ (Subgroup.map f H).Normal
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H✝ H : Subgroup G
h : H.Normal
f : G →* N
hf : Surjective ⇑f

⊢ Subgroup.map f H.normalizer ≤ (Subgroup.map f H).normalizer
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ

⊢ (f z).re = z.re
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ

⊢ ∀ (z : ℂ), z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z✝ z : ℂ

⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S

⊢ f x₁ * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y₁)⁻¹ = f x₂ * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y₂)⁻¹ ↔ f (x₁ * ↑y₂) = f (x₂ * ↑y₁)
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s

⊢ m ≤ n → s ^ m ⊆ s ^ n
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s

⊢ s ^ m ⊆ s ^ m
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s

⊢ ∀ (n : ℕ), m ≤ n → s ^ m ⊆ s ^ n → s ^ m ⊆ s ^ (n + 1)
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : ¬1 < p

⊢ pNilradical R p ≤ nilradical R
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
a b c : ℤ
h : a.gcd b = 1
heq : a * b = c ^ 2

⊢ ∃ a0, a = a0 ^ 2 ∨ a = -a0 ^ 2
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
a b c : ℤ
h : a.gcd b = 1
heq : a * b = c ^ 2
h' : IsUnit (GCDMonoid.gcd a b)

⊢ ∃ a0, a = a0 ^ 2 ∨ a = -a0 ^ 2
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
a b c : ℤ
h : a.gcd b = 1
heq : a * b = c ^ 2
h' : IsUnit (GCDMonoid.gcd a b)
d : ℤ
u : ℤˣ
hu : d ^ 2 * ↑u = a

⊢ ∃ a0, a = a0 ^ 2 ∨ a = -a0 ^ 2
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
a b c : ℤ
h : a.gcd b = 1
heq : a * b = c ^ 2
h' : IsUnit (GCDMonoid.gcd a b)
d : ℤ
u : ℤˣ
hu : d ^ 2 * ↑u = a

⊢ a = d ^ 2 ∨ a = -d ^ 2
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I J : Ideal S

⊢ spanNorm R I * spanNorm R J ≤ spanNorm R (I * J)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I J : Ideal S

⊢ span (⇑(Algebra.norm R) '' (↑I * ↑J)) ≤ span (⇑(Algebra.norm R) '' ↑(I * J))
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I J : Ideal S

⊢ ↑I * ↑J ≤ ↑(I * J)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
I J : Ideal S
x : S
hxI : x ∈ ↑I
y : S
hyJ : y ∈ ↑J

⊢ (fun x x_1 => x * x_1) x y ∈ ↑(I * J)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
b✝ : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R (ι → R)
A : Matrix ι ι R

⊢ b.toMatrix ⇑(Pi.basisFun R ι) * A = of fun i j => (b.repr (Aᵀ j)) i
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a b : α
S : α → α → Prop
H : ∀ (a b : α), R a b → S a b
l : List α
p : Chain' R l

⊢ Chain' S l
-- Mathlib/Order/Chain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f

⊢ IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (range f)
-- Mathlib/Order/Chain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a b x y : α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
hf : Monotone f

⊢ IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) (f '' univ)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Canonical/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α
a b c : α

⊢ min a (b * c) = min a (min a b * min a c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Canonical/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α
a b c : α
hb : a ≤ b

⊢ min a (b * c) = min a (min a b * min a c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Canonical/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedCommMonoid α
a b c : α
hb : b ≤ a

⊢ min a (b * c) = min a (min a b * min a c)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group P
K : Subgroup G
M : Type u_7
inst✝ : MulOneClass M
f : G →* G'
g : G' →* G''
h : g.comp f = 1
y : G

⊢ f y ∈ g.ker
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Dilation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s✝ s : Set α

⊢ EMetric.diam (⇑f '' s) = ↑(ratio f) * EMetric.diam s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Dilation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s✝ s : Set α

⊢ ↑(ratio f) * EMetric.diam s ≤ EMetric.diam (⇑f '' s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Dilation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s✝ s : Set α

⊢ EMetric.diam s ≤ EMetric.diam (⇑f '' s) / ↑(ratio f)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Dilation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s✝ s : Set α

⊢ EMetric.diam s ≤ ↑(ratio f)⁻¹ * EMetric.diam (⇑f '' s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Dilation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace γ
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : DilationClass F α β
inst✝¹ : FunLike G β γ
inst✝ : DilationClass G β γ
f : F
g : G
x y z : α
s✝ s : Set α

⊢ ratio f ≠ 0
-- Mathlib/Data/Int/Star.lean
n : ℕ
hn : Even n

⊢ closure (range fun x => x ^ n) = nonneg ℤ
-- Mathlib/Data/Int/Star.lean
n : ℕ
hn : Even n
x : ℤ
hx : x ∈ nonneg ℤ

⊢ x ∈ closure (range fun x => x ^ n)
-- Mathlib/Data/Int/Star.lean
n : ℕ
hn : Even n
x : ℤ
hx : x ∈ nonneg ℤ
this : x = x.natAbs • 1 ^ n

⊢ x ∈ closure (range fun x => x ^ n)
-- Mathlib/Data/Int/Star.lean
n : ℕ
hn : Even n
x : ℤ
hx : x ∈ nonneg ℤ
this : x = x.natAbs • 1 ^ n

⊢ x.natAbs • 1 ^ n ∈ closure (range fun x => x ^ n)
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
hix : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
this : Nonempty ι

⊢ ∃ j, ∃ (hij : i ≤ j), (f' i j hij) x = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
hix : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
s : Set ((i : ι) × G i)
H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j
hxs : (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩).IsSupported s
hx : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩)) = 0

⊢ ∃ j, ∃ (hij : i ≤ j), (f' i j hij) x = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
hix : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
s : Set ((i : ι) × G i)
H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j
hxs : (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩).IsSupported s
hx : ∀ [inst : DecidablePred fun x => x ∈ s], (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩)) = 0
hixs : ⟨i, x⟩ ∈ s

⊢ ∃ j, ∃ (hij : i ≤ j), (f' i j hij) x = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
hix : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
s : Set ((i : ι) × G i)
H : ∀ k ∈ s, k.fst ≤ j
hxs : (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩).IsSupported s
hixs : ⟨i, x⟩ ∈ s
hx : (lift fun ix => (f' (↑ix).fst j ⋯) (↑ix).snd) ((restriction s) (FreeCommRing.of ⟨i, x⟩)) = 0

⊢ ∃ j, ∃ (hij : i ≤ j), (f' i j hij) x = 0
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False
a✝ : Nontrivial α

⊢ Finite α
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False
a✝ : Nontrivial α
x y : α
hne : x ≠ y

⊢ Finite α
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
h : ∀ ⦃x y z : α⦄, x < y → y < z → False
a✝ : Nontrivial α
x y : α
hne : x ≠ y
z : α

⊢ z ∈ {x, y}
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : b ≤ a

⊢ [[a, b]] = Icc b a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume ↔ -1 < s.re
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume

⊢ -1 < s.re
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Set.Ioo 0 t) volume
B : IntegrableOn (fun a => a ^ s.re) (Set.Ioo 0 t) volume

⊢ -1 < s.re
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : QuotientMap g
hf : QuotientMap f

⊢ inst✝ = coinduced (g ∘ f) inst✝²
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b✝ : M
f : α →₀ M
a : α
x✝ : ∃ b, f = single a b
b : M
hb : f = single a b

⊢ f.support ⊆ {a}
-- Mathlib/Algebra/Group/Prod.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
f : M →ₙ* N × P
x : M

⊢ (((fst N P).comp f).prod ((snd N P).comp f)) x = f x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E

⊢ {x} / ball y δ = ball (x / y) δ