ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a✝ : ⨂[R]^na M
b✝ : ⨂[R]^nb M
c✝ : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M := fun n m => (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯
lhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^(na + nb) M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) ((mul (na + nb) nc).compr₂ ↑e) ∘ₗ mul na nb
lhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((lhs a) b) c = e (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c)
rhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nc M) (⨂[R]^(nb + nc) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) (mul na (nb + nc)).flip ∘ₗ mul nb nc)).flip
rhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((rhs a) b) c = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
c : Fin nc → M

⊢ (((((lhs.compMultilinearMap (tprod R)) a).compMultilinearMap (tprod R)) b).compMultilinearMap (tprod R)) c = (((((rhs.compMultilinearMap (tprod R)) a).compMultilinearMap (tprod R)) b).compMultilinearMap (tprod R)) c
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a✝ : ⨂[R]^na M
b✝ : ⨂[R]^nb M
c✝ : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M := fun n m => (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯
lhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^(na + nb) M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) ((mul (na + nb) nc).compr₂ ↑e) ∘ₗ mul na nb
lhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((lhs a) b) c = e (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c)
rhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nc M) (⨂[R]^(nb + nc) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) (mul na (nb + nc)).flip ∘ₗ mul nb nc)).flip
rhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((rhs a) b) c = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
c : Fin nc → M

⊢ (tprod R) (Fin.append (Fin.append a b) c ∘ Fin.cast ⋯) = (tprod R) (Fin.append a (Fin.append b c))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a✝ : ⨂[R]^na M
b✝ : ⨂[R]^nb M
c✝ : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M := fun n m => (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯
lhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^(na + nb) M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) ((mul (na + nb) nc).compr₂ ↑e) ∘ₗ mul na nb
lhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((lhs a) b) c = e (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c)
rhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nc M) (⨂[R]^(nb + nc) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) (mul na (nb + nc)).flip ∘ₗ mul nb nc)).flip
rhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((rhs a) b) c = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
c : Fin nc → M
j : Fin (na + (nb + nc))

⊢ (Fin.append (Fin.append a b) c ∘ Fin.cast ⋯) j = Fin.append a (Fin.append b c) j
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a✝ : ⨂[R]^na M
b✝ : ⨂[R]^nb M
c✝ : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M := fun n m => (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯
lhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^(na + nb) M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) ((mul (na + nb) nc).compr₂ ↑e) ∘ₗ mul na nb
lhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((lhs a) b) c = e (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c)
rhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nc M) (⨂[R]^(nb + nc) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) (mul na (nb + nc)).flip ∘ₗ mul nb nc)).flip
rhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((rhs a) b) c = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
c : Fin nc → M
j : Fin (na + (nb + nc))

⊢ ((Fin.append a (Fin.append b c) ∘ Fin.cast ⋯) ∘ Fin.cast ⋯) j = Fin.append a (Fin.append b c) j
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
na nb nc : ℕ
a✝ : ⨂[R]^na M
b✝ : ⨂[R]^nb M
c✝ : ⨂[R]^nc M
mul : (n m : ℕ) → ⨂[R]^n M →ₗ[R] ⨂[R]^m M →ₗ[R] ⨂[R]^(n + m) M := fun n m => (TensorProduct.mk R (⨂[R]^n M) (⨂[R]^m M)).compr₂ ↑mulEquiv
e : ⨂[R]^(na + nb + nc) M ≃ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := cast R M ⋯
lhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^(na + nb) M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) ((mul (na + nb) nc).compr₂ ↑e) ∘ₗ mul na nb
lhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((lhs a) b) c = e (GradedMonoid.GMul.mul (GradedMonoid.GMul.mul a b) c)
rhs : ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nb M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M := (((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nb M) (⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^nc M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) LinearMap.lflip) ((LinearMap.llcomp R (⨂[R]^nc M) (⨂[R]^(nb + nc) M) (⨂[R]^na M →ₗ[R] ⨂[R]^(na + (nb + nc)) M)) (mul na (nb + nc)).flip ∘ₗ mul nb nc)).flip
rhs_eq : ∀ (a : ⨂[R]^na M) (b : ⨂[R]^nb M) (c : ⨂[R]^nc M), ((rhs a) b) c = GradedMonoid.GMul.mul a (GradedMonoid.GMul.mul b c)
a : Fin na → M
b : Fin nb → M
c : Fin nc → M
j : Fin (na + (nb + nc))

⊢ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.cast ⋯ j)) = ↑j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂

⊢ p ≤ comap LinearMap.id p
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
S : Submonoid M

⊢ IsSubmonoid ↑S
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring S✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid A
inst✝⁹ : Algebra R S✝
inst✝⁸ : Module S✝ A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R S✝ A
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x : S
a : Set S
hx : x ∈ span R a

⊢ (algebraMap S T) x ∈ span R (⇑(algebraMap S T) '' a)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring S✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid A
inst✝⁹ : Algebra R S✝
inst✝⁸ : Module S✝ A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R S✝ A
S : Type u_1
T : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x : S
a : Set S
hx : x ∈ span R a

⊢ ∃ y ∈ span R a, (↑R (Algebra.linearMap S T)) y = (algebraMap S T) x
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι

⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | τ ω < i} = {ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i}

⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | τ ω < i} = {ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i}

⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} \ {ω | τ ω = i})
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝¹ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝¹
a✝ : α✝¹
f✝ g : α✝¹ → β✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α✝ : Type u_8
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype κ
inst✝³ : CommMonoid α✝
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : Subsingleton α
inst✝ : Fintype α
f : α → β
a : α
this : Unique α

⊢ ∏ x : α, f x = f a
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
this : ∃ x < n + 1, (n + 1).gcd x = 1

⊢ φ (n + 1) = 0 ↔ n + 1 = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ

⊢ (n + 1).gcd (1 % (n + 1)) = 1
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀

⊢ a * b = a ↔ a * b = a * 1
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
hm : n ≤ m
x✝ : TruncatedWittVector p m (ZMod p)

⊢ ((zmodEquivTrunc p n).symm.toRingHom.comp (truncate hm)) x✝ = ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ n))).comp (zmodEquivTrunc p m).symm.toRingHom) x✝
-- Mathlib/Analysis/Convex/AmpleSet.lean
F : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : TopologicalSpace F
s t : Set F
hs : AmpleSet s
ht : AmpleSet t
x : F
hx : x ∈ s ∪ t

⊢ (convexHull ℝ) (connectedComponentIn (s ∪ t) x) = univ
-- Mathlib/Topology/Sets/Opens.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
α : Type u_5
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
Us : Set (Opens α)
hUs : IsBasis Us

⊢ t₁ ≤ t₂ ↔ ∀ U ∈ Us, IsOpen ↑U
-- Mathlib/Topology/Sets/Opens.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
α : Type u_5
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
Us : Set (Opens α)
hUs : IsBasis Us

⊢ t₁ ≤ generateFrom (SetLike.coe '' Us) ↔ ∀ U ∈ Us, IsOpen ↑U
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α

⊢ s.singularPart μ ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α

⊢ s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ + s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ ⟂ₘ μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
n : ℕ
v : Fin n → V

⊢ LinearIndependent K (Fin.cons x v) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
n : ℕ
v : Fin n → V

⊢ LinearIndependent K ((Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) ∘ some) ∧ (Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) none ∉ span K (range ((Fin.cons x v ∘ ⇑(finSuccEquiv n).symm) ∘ some)) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ 1 ≤ Classical.choose exists_cos_eq_zero
-- Mathlib/Data/Multiset/Antidiagonal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α

⊢ card s.antidiagonal = 2 ^ card s
-- Mathlib/Data/Multiset/Antidiagonal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
this : card s.powerset = 2 ^ card s

⊢ card s.antidiagonal = 2 ^ card s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
α : Sort u_3
x y : α
dist : α → α → ℝ
dist_self : ∀ (x : α), dist x x = 0
dist_comm : ∀ (x y : α), dist x y = dist y x
dist_triangle : ∀ (x y z : α), dist x z ≤ dist x y + dist y z

⊢ dist x y + dist y x = 2 * dist x y
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2

⊢ Nat.card α ≠ 0 ↔ Nonempty α ∧ Finite α
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e

⊢ ∃ g, ‖g‖ = ‖f‖ ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
g : Y →ᵇ ℝ
hg : ‖g‖ = ‖g.compContinuous { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ }‖

⊢ ∃ g_1, ‖g_1‖ = ‖g.compContinuous { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ }‖ ∧ ⇑g_1 ∘ e = ⇑(g.compContinuous { toFun := e, continuous_toFun := ⋯ })
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/BigOperators.lean
ι : Type u_1
k : ℕ
m : Multiset ℕ

⊢ k.Coprime m.prod ↔ ∀ n ∈ m, k.Coprime n
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/BigOperators.lean
ι : Type u_1
k : ℕ
a✝ : List ℕ

⊢ k.Coprime (Multiset.prod ⟦a✝⟧) ↔ ∀ n ∈ ⟦a✝⟧, k.Coprime n
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S : Subgroupoid C
Sw : S.IsWide
c : C

⊢ eqToHom ⋯ ∈ S.arrows c c
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S : Subgroupoid C
Sw : S.IsWide
c : C

⊢ 𝟙 c ∈ S.arrows c c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι

⊢ ↑(Pi.basisFun ℝ ι).parallelepiped = ↑(PositiveCompacts.piIcc01 ι)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι

⊢ ↑(Pi.basisFun ℝ ι).parallelepiped = uIcc (fun i => 0) fun i => 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι

⊢ (fun i => 0) ≤ fun i => 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/FreeGroupoid.lean
V : Type u
inst✝ : Quiver V
X✝¹ Y✝ X Y : Paths (Quiver.Symmetrify V)
X✝ Z : Quiver.Symmetrify V
f : X✝ ⟶ Z
XW : X✝¹ ⟶ Paths.of.obj X✝
WY : Paths.of.obj X✝ ⟶ Y✝
this : Quotient.CompClosure redStep (Quiver.Path.reverse WY ≫ 𝟙 (Paths.of.obj X✝) ≫ Quiver.Path.reverse XW) (Quiver.Path.reverse WY ≫ (f.toPath ≫ (Quiver.reverse f).toPath) ≫ Quiver.Path.reverse XW)

⊢ Quotient.CompClosure redStep (Quiver.Path.reverse (XW ≫ 𝟙 (Paths.of.obj X✝) ≫ WY)) (Quiver.Path.reverse (XW ≫ (f.toPath ≫ (Quiver.reverse f).toPath) ≫ WY))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ

⊢ (𝟙 K[X] - PInfty).f n ≫ PInfty.f n = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ (o.oangle x (x + y)).cos * ‖x + y‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1

⊢ (o.oangle x (x + y)).cos * ‖x + y‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι'
inst✝² : Nonempty ι'
inst✝¹ : IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Order.Frame α
s : Set ι
hs : s.Finite
f : ι → ι' → α
hf : ∀ i ∈ s, Monotone (f i)

⊢ ⨆ j, ⨅ i ∈ s, f i j = ⨅ i ∈ s, ⨆ j, f i j
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι'
inst✝² : Nonempty ι'
inst✝¹ : IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Order.Frame α
s : Set ι
f : ι → ι' → α
hf : ∀ i ∈ ∅, Monotone (f i)

⊢ ⨆ j, ⨅ i ∈ ∅, f i j = ⨅ i ∈ ∅, ⨆ j, f i j
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α✝ : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s✝¹ t : Set α✝
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι'
inst✝² : Nonempty ι'
inst✝¹ : IsDirected ι' fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Order.Frame α
s✝ : Set ι
f : ι → ι' → α
a : ι
s : Set ι
a✝ : a ∉ s
h✝ : s.Finite
ihs : (∀ i ∈ s, Monotone (f i)) → ⨆ j, ⨅ i ∈ s, f i j = ⨅ i ∈ s, ⨆ j, f i j
hf : ∀ i ∈ insert a s, Monotone (f i)

⊢ ⨆ j, ⨅ i ∈ insert a s, f i j = ⨅ i ∈ insert a s, ⨆ j, f i j
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedRing α✝
α : Type u_5
inst✝ : NormedCommRing α
f : ι → α
val✝ : Multiset ι
l : List ι
hl : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)
hs : { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }.Nonempty
this : List.map f l ≠ []

⊢ ‖∏ i ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }, f i‖ ≤ ∏ i ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }, ‖f i‖
-- Mathlib/ModelTheory/Syntax.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
φ : L ≃ᴸ L'

⊢ Function.LeftInverse φ.invLHom.onTerm φ.toLHom.onTerm
-- Mathlib/ModelTheory/Syntax.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
φ : L ≃ᴸ L'

⊢ Function.RightInverse φ.invLHom.onTerm φ.toLHom.onTerm
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
m : σ →₀ ℕ

⊢ (weight w) m = 0 ↔ ∀ (x : σ), m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
m : σ →₀ ℕ

⊢ (m.sum fun i c => c • w i) = 0 ↔ ∀ (x : σ), m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
m : σ →₀ ℕ

⊢ (∀ x ∈ m.support, m x • w x = 0) ↔ ∀ (x : σ), m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
m : σ →₀ ℕ

⊢ ∀ (a : σ), a ∈ m.support → m a • w a = 0 ↔ m a = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
m : σ →₀ ℕ
x : σ

⊢ x ∈ m.support → m x • w x = 0 ↔ m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
m : σ →₀ ℕ
x : σ

⊢ m x ≠ 0 → m x • w x = 0 ↔ m x = 0
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Order.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Submonoid α
a₁ b₁ : α
a₂ b₂ b✝ : ↥s
a b : α

⊢ { toFun := fun a => mk a b✝, inj' := ⋯ } a ≤ { toFun := fun a => mk a b✝, inj' := ⋯ } b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t m : Multiset α

⊢ m.dedup.toFinset = m.toFinset
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : (i : ι) → κ i → Set α

⊢ f '' ⋃ i, ⋃ j, s i j = ⋃ i, ⋃ j, f '' s i j
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f

⊢ (lift i x hx h) h.root = x
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G

⊢ LeftCosetEquivalence (↑K) g ↑(hSK.equiv g).1
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G

⊢ LeftCosetEquivalence (↑K) g (g * (↑(hSK.equiv g).2)⁻¹)
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Countable
ht : t.Countable
f : α → β → γ

⊢ (Set.image2 f s t).Countable
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
t : Set β
hs : s.Countable
ht : t.Countable
f : α → β → γ

⊢ ((fun x => f x.1 x.2) '' s ×ˢ t).Countable
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean

⊢ I ^ 4 = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
m : M
hm : m ∈ N

⊢ m ∈ N.normalizer
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
m : M
hm : m ∈ N

⊢ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ ∈ N
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0

⊢ (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k, r - ↑k • (p / ↑z) ∈ zmultiples p
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0

⊢ (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k k_1, k_1 • p + ↑k • p * (↑z)⁻¹ = r
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
hz' : ↑z ≠ 0

⊢ (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k k_1, k_1 • p + ↑k • p * (↑z)⁻¹ = r
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
hz' : ↑z ≠ 0

⊢ (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k k_1, ↑z * (k_1 • p + ↑k • p * (↑z)⁻¹) = ↑z * r
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p r : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
hz' : ↑z ≠ 0

⊢ (∃ k, k • p = z • r) ↔ ∃ k k_1, (z * k_1 + ↑↑k) • p = z • r