ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s : Stream' α

⊢ s.odd.get n = s.get (2 * n + 1)
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s : Stream' α

⊢ s.tail.get (2 * n) = s.get (2 * n + 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
X_emp : ¬IsEmpty Ω

⊢ ∃ As, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), diam (As n) ≤ ε) ∧ ⋃ n, As n = univ ∧ Pairwise fun n m => Disjoint (As n) (As m)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
X_emp : Nonempty Ω

⊢ ∃ As, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), diam (As n) ≤ ε) ∧ ⋃ n, As n = univ ∧ Pairwise fun n m => Disjoint (As n) (As m)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
X_emp : Nonempty Ω
xs : ℕ → Ω
xs_dense : DenseRange xs

⊢ ∃ As, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), diam (As n) ≤ ε) ∧ ⋃ n, As n = univ ∧ Pairwise fun n m => Disjoint (As n) (As m)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace Ω
inst✝² : SeparableSpace Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
X_emp : Nonempty Ω
xs : ℕ → Ω
xs_dense : DenseRange xs
half_ε_pos : 0 < ε / 2

⊢ ∃ As, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (As n)) ∧ (∀ (n : ℕ), diam (As n) ≤ ε) ∧ ⋃ n, As n = univ ∧ Pairwise fun n m => Disjoint (As n) (As m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : Module.End R R

⊢ IsIdempotentElem (f 1) ↔ IsIdempotentElem f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : Module.End R R

⊢ f (f 1) = f 1 ↔ ∀ (x : R), (f * f) x = f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : Module.End R R

⊢ f (f 1) = f 1 ↔ ∀ (x : R), f (f x) = f x
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
f : α → β
comm : (↑(insert a s)).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
ha : a ∉ s

⊢ (insert a s).noncommProd f comm = s.noncommProd f ⋯ * f a
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α

⊢ a \ (b ⊓ c) ≤ d ↔ a \ b ⊔ a \ c ≤ d
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α

⊢ a \ d ≤ b ∧ a \ d ≤ c ↔ a \ b ≤ d ∧ a \ c ≤ d
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β

⊢ ⨅ z ∈ s, edist y z + edist x y = (⨅ z ∈ s, edist y z) + edist x y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/SemiNormedGrp.lean
M N : SemiNormedGrp
f : M ≅ N
i : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.hom
i' : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.inv

⊢ mkHom f.hom i ≫ mkHom f.inv i' = 𝟙 (of ↑M)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/SemiNormedGrp.lean
M N : SemiNormedGrp
f : M ≅ N
i : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.hom
i' : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.inv

⊢ ↑(mkHom f.hom i ≫ mkHom f.inv i') = ↑(𝟙 (of ↑M))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/SemiNormedGrp.lean
M N : SemiNormedGrp
f : M ≅ N
i : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.hom
i' : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.inv

⊢ mkHom f.inv i' ≫ mkHom f.hom i = 𝟙 (of ↑N)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/SemiNormedGrp.lean
M N : SemiNormedGrp
f : M ≅ N
i : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.hom
i' : NormedAddGroupHom.NormNoninc f.inv

⊢ ↑(mkHom f.inv i' ≫ mkHom f.hom i) = ↑(𝟙 (of ↑N))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
s : R

⊢ (p.scaleRoots s).Monic ↔ p.Monic
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α

⊢ sSup s ⊓ b = ⨆ a ∈ s, a ⊓ b
-- Mathlib/RepresentationTheory/Maschke.lean
k : Type u
inst✝¹¹ : CommRing k
G : Type u
inst✝¹⁰ : Group G
V : Type v
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module k V
inst✝⁷ : Module (MonoidAlgebra k G) V
inst✝⁶ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
W : Type w
inst✝⁵ : AddCommGroup W
inst✝⁴ : Module k W
inst✝³ : Module (MonoidAlgebra k G) W
inst✝² : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
π : W →ₗ[k] V
i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
h : ∀ (v : V), π (i v) = v
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
v : W

⊢ (equivariantProjection G π) v = ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ g : G, (π.conjugate g) v
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
I : Ideal R
inst✝ : IsPrincipal I
x : R
hx : x ∈ I

⊢ x ∣ generator I ↔ I = Ideal.span {x}
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
I : Ideal R
inst✝ : IsPrincipal I
x : R
hx : x ∈ I

⊢ x ∣ generator I ↔ span R {generator I} = Ideal.span {x}
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
b : ι → M
I : Ideal R
inst✝ : IsPrincipal I
x : R
hx : x ∈ I

⊢ x ∣ generator I ↔ x ∈ I ∧ x ∣ generator I
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a b : α
hab : a ∣ b
hba : b ∣ a
a✝ : Nontrivial α

⊢ normalize a = normalize b
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
a✝ : Nontrivial α
u : αˣ
hab : a ∣ a * ↑u
hba : a * ↑u ∣ a

⊢ normalize a = normalize (a * ↑u)
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
a✝ : Nontrivial α
u : αˣ
hab : a ∣ a * ↑u
hba : a * ↑u ∣ a
ha : a ≠ 0

⊢ normalize a = normalize (a * ↑u)
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
a✝ : Nontrivial α
u : αˣ
hab : a ∣ a * ↑u
hba : a * ↑u ∣ a
ha : a ≠ 0

⊢ a * ↑(normUnit a) = a * ↑u * ↑(normUnit a) * ↑u⁻¹
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Mul M✝
inst✝² : ContinuousMul M✝
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hright : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)

⊢ Continuous fun p => p.1 * p.2
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Mul M✝
inst✝² : ContinuousMul M✝
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hright : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)

⊢ ∀ (x : M × M), ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Mul M✝
inst✝² : ContinuousMul M✝
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hright : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)
x₀ y₀ : M
key : (fun p => x₀ * p.1 * (p.2 * y₀)) = ((fun x => x₀ * x) ∘ fun x => x * y₀) ∘ uncurry fun x x_1 => x * x_1

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (x₀, y₀)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Mul M✝
inst✝² : ContinuousMul M✝
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hright : ∀ (x₀ : M), 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)
x₀ y₀ : M
key : (fun p => x₀ * p.1 * (p.2 * y₀)) = ((fun x => x₀ * x) ∘ fun x => x * y₀) ∘ uncurry fun x x_1 => x * x_1
key₂ : ((fun x => x₀ * x) ∘ fun x => y₀ * x) = fun x => x₀ * y₀ * x

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (x₀, y₀)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M

⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑(f.extend I) ∘ ↑(f'.extend I).symm) ((f'.extend I).symm ≫ f.extend I).source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M

⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑(f.extend I) ∘ ↑(f'.extend I).symm) (↑I.symm ⁻¹' (f'.symm ≫ₕ f).source ∩ range ↑I)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
α : Type u_1
I : Type ?u.61695
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
m n : ℕ
hm : 0 < m

⊢ IsRelPrime (x ^ m) y ↔ IsRelPrime x y
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
α : Type u_1
I : Type ?u.61695
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
m n : ℕ
hm : 0 < m
h : IsRelPrime (x ^ m) y

⊢ IsRelPrime x y
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
α : Type u_1
I : Type ?u.61695
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
m n : ℕ
hm : 0 < m
h : IsRelPrime (∏ _x ∈ Finset.range m, x) y

⊢ IsRelPrime x y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜' g₁ t' (h x)
hh : DifferentiableWithinAt 𝕜 h s x
hs : MapsTo h s t'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hy : y = h x

⊢ derivWithin (g₁ ∘ h) s x = derivWithin h s x • derivWithin g₁ t' (h x)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M✝ : Type u_2
M'✝ : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'✝
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M✝
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝
f✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝
g : M✝ →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s : ↥S

⊢ mk' f (m₁ - m₂) s = mk' f m₁ s - mk' f m₂ s
-- Mathlib/Data/Finsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Zero N
f✝ g✝ f g : α →₀ N
h : f = g

⊢ f.neLocus f = ∅
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
π : α → Type u_11
t : (i : α) → Set (π i)

⊢ univ.pi t = ⋂ i, eval i ⁻¹' t i
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α

⊢ ∃ s, (∀ (i : Fin N), (s i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧ range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : IsEmpty β

⊢ ∃ s, (∀ (i : Fin N), (s i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧ range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β

⊢ ∃ s, (∀ (i : Fin N), (s i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧ range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C

⊢ S.v₁₂.τ₂ ≫ S.v₂₃.τ₂ = 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
this : DecidableEq α

⊢ (powersetAux l₁).revzip ~ (powersetAux l₂).revzip
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
this : DecidableEq α

⊢ List.map (fun x => (x, ↑l₂ - x)) (powersetAux l₁) ~ List.map (fun x => (x, ↑l₂ - x)) (powersetAux l₂)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s✝ s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hst : Disjoint s t

⊢ SeparatedNhds s t
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S

⊢ f.toMap x * ↑((IsUnit.liftRight (f.toMap.restrict S) ⋯) y)⁻¹ * f.toMap ↑y = f.toMap x
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p

⊢ card { x // p x } = (filter p univ).card
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p

⊢ ∀ (x : α), x ∈ filter p univ ↔ p x
-- Mathlib/Topology/Compactification/OnePoint.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set (OnePoint X)
t s : Set X

⊢ IsOpen (some '' s)ᶜ ↔ IsClosed s ∧ IsCompact s
-- Mathlib/Topology/Compactification/OnePoint.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s✝ : Set (OnePoint X)
t s : Set X

⊢ ∞ ∈ (some '' s)ᶜ
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α

⊢ a - (b + c) = a - c - b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α

⊢ a - (c + b) = a - c - b
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α

⊢ M✶.Coindep X ↔ M.Indep X
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.11640, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
x : S.X₃ ⟶ A
hx : k = S.g ≫ x

⊢ S.f ≫ k = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
k : S.X₂ ⟶ A
x : S.X₃ ⟶ A
hx : k = S.g ≫ x

⊢ h.descQ k ⋯ = h.g' ≫ x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a => ‖f a‖

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α) in ⋂ n, s n, f a ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a => ‖f a‖
h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α) in ⋂ n, s n, f a ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a => ‖f a‖
h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α) in ⋂ n, s n, f a ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a => ‖f a‖
h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), (⋂ b, s b).indicator f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a => ‖f a‖
h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ

⊢ ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable ((s n).indicator f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a => ‖f a‖
h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ

⊢ Integrable bound μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a => ‖f a‖
h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ

⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖(s n).indicator f a‖ ≤ bound a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : ℕ → Set α
f : α → E
hsm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (s i)
h_anti : Antitone s
hfi : IntegrableOn f (s 0) μ
bound : α → ℝ := (s 0).indicator fun a => ‖f a‖
h_int_eq : (fun i => ∫ (a : α) in s i, f a ∂μ) = fun i => ∫ (a : α), (s i).indicator f a ∂μ

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => (s n).indicator f a) atTop (𝓝 ((⋂ b, s b).indicator f a))
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
ν' : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
t : Set α := h.nullSet

⊢ μ.rnDeriv ν' =ᶠ[ae ν] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
ν' : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
t : Set α := h.nullSet
ht : MeasurableSet t

⊢ μ.rnDeriv ν' =ᶠ[ae ν] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
ν' : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
t : Set α := h.nullSet
ht : MeasurableSet t

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ν.restrict t, μ.rnDeriv ν' x = 0 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
ν' : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
t : Set α := h.nullSet
ht : MeasurableSet t

⊢ μ.rnDeriv ν' =ᶠ[ae (ν.restrict t)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
ν' : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
t : Set α := h.nullSet
ht : MeasurableSet t
this : μ.rnDeriv ν' =ᶠ[ae (ν.restrict t)] (μ.restrict t).rnDeriv ν'

⊢ μ.rnDeriv ν' =ᶠ[ae (ν.restrict t)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
ν' : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
t : Set α := h.nullSet
ht : MeasurableSet t
this : μ.rnDeriv ν' =ᶠ[ae (ν.restrict t)] (μ.restrict t).rnDeriv ν'

⊢ (μ.restrict t).rnDeriv ν' =ᶠ[ae (ν.restrict t)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
ν' : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
t : Set α := h.nullSet
ht : MeasurableSet t
this : μ.rnDeriv ν' =ᶠ[ae (ν.restrict t)] (μ.restrict t).rnDeriv ν'

⊢ rnDeriv 0 ν' =ᶠ[ae (ν.restrict h.nullSet)] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
ν' : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν'
h : μ ⟂ₘ ν
hνν' : ν ≪ ν'
t : Set α := h.nullSet
ht : MeasurableSet t
this : μ.rnDeriv ν' =ᶠ[ae (ν.restrict t)] (μ.restrict t).rnDeriv ν'

⊢ rnDeriv 0 ν' =ᶠ[ae ν'] 0
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

⊢ adjoin K ((cyclotomic (↑n) K).rootSet L) = ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L

⊢ adjoin K ((cyclotomic (↑n) K).rootSet L) = adjoin K {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}