ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
n m : ℕ
h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a
h_lt : n < m

⊢ succ (succ^[n] a) ≤ succ^[m] a
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
n m : ℕ
h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a
h_lt : n < m
this : succ (succ^[n] a) = succ^[n + 1] a

⊢ succ (succ^[n] a) ≤ succ^[m] a
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
n m : ℕ
h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a
h_lt : n < m
this : succ (succ^[n] a) = succ^[n + 1] a

⊢ succ^[n + 1] a ≤ succ^[m] a
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
n m : ℕ
h_eq : succ^[n] a = succ^[m] a
h_lt : n < m
this : succ (succ^[n] a) = succ^[n + 1] a
h_le : n + 1 ≤ m

⊢ succ^[n + 1] a ≤ succ^[m] a
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ ξ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
hξ : ξ ∈ rootsOfUnity k R

⊢ ∃ i < ↑k, ζ ^ i = ξ
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R

⊢ ∃ i < ↑k, ζ ^ i = ζ ^ n
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑↑k

⊢ ∃ i < ↑k, ζ ^ i = ζ ^ n
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑↑k
i : ℤ := n % ↑↑k

⊢ ∃ i < ↑k, ζ ^ i = ζ ^ n
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k✝ l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ✝ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ✝ k✝
inst✝ : IsDomain R
k : ℕ+
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑↑k
i : ℤ := n % ↑↑k
hi0 : 0 ≤ i

⊢ ∃ i < ↑k, ζ ^ i = ζ ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
hf : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hu : Tendsto u lt lb
hv : Tendsto v lt lb

⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in a..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in a..u t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
n : Nat

⊢ (range n).length = n
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
f : Filter α
s t : Set α

⊢ s ∈ f ⊓ 𝓟 t ↔ tᶜ ∪ s ∈ f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ≥0

⊢ EMetric.ball x ↑ε = ball x ↑ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ≥0

⊢ EMetric.ball x ↑ε = EMetric.ball x (ENNReal.ofReal ↑ε)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_5, u_3} E
L₁ : C ⥤ D
L₂ : C ⥤ E
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W
inst✝ : L₂.IsLocalization W
e : L₁ ⋙ (Localization.uniq L₁ L₂ W).functor ≅ L₂ := Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W

⊢ (Localization.uniq L₁ L₂ W).functor.map (φ.map L₁ ⋯) = (Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W).hom.app X ≫ φ.map L₂ ⋯ ≫ (Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W).inv.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_5, u_3} E
L₁ : C ⥤ D
L₂ : C ⥤ E
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W
inst✝ : L₂.IsLocalization W
e : L₁ ⋙ (Localization.uniq L₁ L₂ W).functor ≅ L₂ := Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W
this : IsIso (L₂.map φ.s)

⊢ (Localization.uniq L₁ L₂ W).functor.map (φ.map L₁ ⋯) = (Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W).hom.app X ≫ φ.map L₂ ⋯ ≫ (Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W).inv.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_5, u_3} E
L₁ : C ⥤ D
L₂ : C ⥤ E
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W
inst✝ : L₂.IsLocalization W
e : L₁ ⋙ (Localization.uniq L₁ L₂ W).functor ≅ L₂ := Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W
this : IsIso (L₂.map φ.s)

⊢ (Localization.uniq L₁ L₂ W).functor.map (φ.map L₁ ⋯) ≫ (L₁ ⋙ (Localization.uniq L₁ L₂ W).functor).map φ.s ≫ e.hom.app φ.Y' = (Localization.compUniqFunctor L₁ L₂ W).hom.app X ≫ L₂.map φ.f
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : Finpartition s
Q : Finpartition t

⊢ (interedges r s t).card = ∑ ab ∈ P.parts ×ˢ Q.parts, (interedges r ab.1 ab.2).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : Finpartition s
Q : Finpartition t

⊢ ∑ a ∈ P.parts, (interedges r a t).card = ∑ x ∈ P.parts, ∑ y ∈ Q.parts, (interedges r (x, y).1 (x, y).2).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝² : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : Finpartition s
Q : Finpartition t
x✝ : Finset α

⊢ (interedges r x✝ t).card = ∑ y ∈ Q.parts, (interedges r (x✝, y).1 (x✝, y).2).card
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
j : J

⊢ (isoProduct f).inv ≫ π f j = lift (Pi.π f) ≫ π f j
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g'✝ : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : TopologicalSpace α
x : α
s : Set α
C : ℝ
g : α → E
g' : α → F
h : ‖g x‖ ≤ C * ‖g' x‖

⊢ IsBigOWith C (𝓝[insert x s] x) g g' ↔ IsBigOWith C (𝓝[s] x) g g'
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/RiemannZeta.lean
s : ℂ

⊢ completedRiemannZeta₀ (1 - s) = completedRiemannZeta₀ s
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : ι ≃ κ
f : Π₀ (k : κ), β (h.symm k)
i : ι

⊢ HEq 0 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : ι ≃ κ
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι

⊢ ((fun f => mapRange (fun i => ⇑(Equiv.cast ⋯)) ⋯ (comapDomain' ⇑h ⋯ f)) (comapDomain' ⇑h.symm ⋯ f)) i = f i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : ι ≃ κ
f : Π₀ (k : κ), β (h.symm k)
k : κ

⊢ (comapDomain' ⇑h.symm ⋯ ((fun f => mapRange (fun i => ⇑(Equiv.cast ⋯)) ⋯ (comapDomain' ⇑h ⋯ f)) f)) k = f k
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h2f : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h2f : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

⊢ μ {a | f a = ⊤} = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α

⊢ ⋃ n, Ico (n • p) ((n + 1) • p) = univ
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
g' : Q →ₗ[R] S
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q

⊢ lTensor P g' ∘ₗ map f g = map f (g' ∘ₗ g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_3
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : X →ᵇ E

⊢ Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_3
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : X →ᵇ E
v : E
hv : v ∈ Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i

⊢ ‖v‖ ≤ ‖f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
ι : Type u_3
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : X →ᵇ E
v : E
i : ι
hi : (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) i = v

⊢ ‖(fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) i‖ ≤ ‖f‖
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)

⊢ P f ↔ ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), Q (𝒰.pullbackHom f i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P

⊢ P f ↔ ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), Q (𝒰.pullbackHom f i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), IsAffine (𝒰.obj i)
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P

⊢ (∀ (i : 𝒰.J), Q (f ∣_ ↑⟨Scheme.Hom.opensRange (𝒰.map i), ⋯⟩)) ↔ ∀ (i : (𝒰.pullbackCover f).J), Q (𝒰.pullbackHom f i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
i₂ : ι
a₁ : A
a₂ : ↥(𝒜 i₂)
b₂ : B

⊢ b₂ = ↑GradedMonoid.GOne.one * b₂
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
inst✝ : HasGroupoid M G
s : Opens M
t : Opens H
ht : Nonempty ↥t
e' : PartialHomeomorph (↥t) H
xset : Set (PartialHomeomorph (↥t) H)
he' : e' ∈ xset
x : ↥t
hx : (fun x => {(chartAt H ↑x).subtypeRestr ⋯}) x = xset

⊢ ∃ x, e' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr ht
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R

⊢ (cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul (algebraMap₀ r) (algebraMap₀ s)) = algebraMap₀ (r * s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R

⊢ (cast R M ⋯) (GradedMonoid.GMul.mul (algebraMap₀ r) (algebraMap₀ s)) = r • algebraMap₀ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝³ : Category.{uD', uD} D
inst✝² : HasZeroMorphisms D
P Q W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct W X
inst✝ : HasBinaryBiproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z

⊢ inr ≫ map f g = g ≫ inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝³ : Category.{uD', uD} D
inst✝² : HasZeroMorphisms D
P Q W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct W X
inst✝ : HasBinaryBiproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z

⊢ inr ≫ map' f g = g ≫ inr
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
as : List α

⊢ findIdxs (fun b => decide (p b)) as = map Prod.fst (indexesValues (fun b => decide (p b)) as)
-- Mathlib/Topology/NoetherianSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Closeds α

⊢ ∃ S, S.Finite ∧ (∀ t ∈ S, IsClosed t) ∧ (∀ t ∈ S, IsIrreducible t) ∧ ↑s = ⋃₀ S
-- Mathlib/Topology/NoetherianSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
S : Set (Closeds α)
hSf : S.Finite
hS : ∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t

⊢ ∃ S_1, S_1.Finite ∧ (∀ t ∈ S_1, IsClosed t) ∧ (∀ t ∈ S_1, IsIrreducible t) ∧ ↑(sSup S) = ⋃₀ S_1
-- Mathlib/Topology/NoetherianSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
S : Set (Closeds α)
hSf : S.Finite
hS : ∀ t ∈ S, IsIrreducible ↑t

⊢ ↑(sSup S) = ⋃₀ (SetLike.coe '' S)
-- Mathlib/Topology/NoetherianSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
S : Finset (Closeds α)
hS : ∀ t ∈ ↑S, IsIrreducible ↑t

⊢ ↑(sSup ↑S) = ⋃₀ (SetLike.coe '' ↑S)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : IsSolvable R L
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L k = ⊥

⊢ IsSolvable R L'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : IsSolvable R L
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L k = ⊥

⊢ derivedSeries R L' k = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : IsSolvable R L
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L k = ⊥

⊢ LieIdeal.map f (derivedSeries R L' k) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
h₁ : IsSolvable R L
h₂ : Injective ⇑f
k : ℕ
hk : derivedSeries R L k = ⊥

⊢ LieIdeal.map f (derivedSeries R L' k) ≤ derivedSeries R L k
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
h : n < m

⊢ a⁻¹ ^ (m - n) = (a ^ m)⁻¹ * a ^ n
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁷ : MeasurableSpace V
inst✝⁶ : BorelSpace V
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ V
W : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace W
inst✝¹ : BorelSpace W
inst✝ : FiniteDimensional ℝ W
f : V → E
w : V

⊢ 𝓕⁻ f w = 𝓕 f (-w)
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
w : ⇑f ∘ ι R = ⇑g ∘ ι R

⊢ f = g
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : FreeAlgebra R X →ₐ[R] A
w : (lift R).symm f = (lift R).symm g

⊢ f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsDetecting 𝒢
X : C
P Q : Subobject X
h₁ : P ≤ Q
h₂ : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, Q.Factors f → P.Factors f

⊢ P = Q
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsDetecting 𝒢
X : C
P Q : Subobject X
h₁ : P ≤ Q
h₂ : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, Q.Factors f → P.Factors f

⊢ IsIso (P.ofLE Q h₁)
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsDetecting 𝒢
X : C
P Q : Subobject X
h₁ : P ≤ Q
h₂ : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, Q.Factors f → P.Factors f
G : C
hG : G ∈ 𝒢
f : G ⟶ underlying.obj Q

⊢ ∃! h', h' ≫ P.ofLE Q h₁ = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsDetecting 𝒢
X : C
P Q : Subobject X
h₁ : P ≤ Q
h₂ : ∀ G ∈ 𝒢, ∀ {f : G ⟶ X}, Q.Factors f → P.Factors f
G : C
hG : G ∈ 𝒢
f : G ⟶ underlying.obj Q
this : P.Factors (f ≫ Q.arrow)

⊢ ∃! h', h' ≫ P.ofLE Q h₁ = f
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), f i ≤ᶠ[ae μ] μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]

⊢ Submartingale f 𝒢 μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), f i ≤ᶠ[ae μ] μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]
i : ℕ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), f i ≤ᶠ[ae μ] μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]
i : ℕ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
this : ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ = ∫ (ω : Ω) in s, (μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]) ω ∂μ

⊢ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), f i ≤ᶠ[ae μ] μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]
i : ℕ
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
this : ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ = ∫ (ω : Ω) in s, (μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]) ω ∂μ

⊢ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, (μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]) ω ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα✝ : α ≠ 0
n : ℕ
hn : n ≤ chainTopCoeff α β
hα : ¬α = 0

⊢ weightSpace M (n • α + ⇑β) ≠ ⊥
-- Mathlib/CategoryTheory/LiftingProperties/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B B' X Y Y' : C
i : A ⟶ B
i' : B ⟶ B'
p : X ⟶ Y
p' : Y ⟶ Y'
h : HasLiftingProperty i p
f : Opposite.op Y ⟶ Opposite.op B
g : Opposite.op X ⟶ Opposite.op A
sq : CommSq f p.op i.op g

⊢ sq.HasLift
-- Mathlib/CategoryTheory/LiftingProperties/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A B B' X Y Y' : C
i : A ⟶ B
i' : B ⟶ B'
p : X ⟶ Y
p' : Y ⟶ Y'
h : HasLiftingProperty i p
f : Opposite.op Y ⟶ Opposite.op B
g : Opposite.op X ⟶ Opposite.op A
sq : CommSq f p.op i.op g

⊢ ⋯.HasLift