ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hif : Integrable f μ
hf : support f ⊆ ball 0 R
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hfg : ConvolutionExistsAt f g x₀ L μ
h2 : ∀ (t : G), ‖(L (f t)) (g (x₀ - t)) - (L (f t)) z₀‖ ≤ ‖L (f t)‖ * ε
h3 : ∀ (t : G), ‖L (f t)‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖

⊢ ∫ (a : G), ‖L‖ * ‖f a‖ ∂μ = ‖L‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ
-- Mathlib/Condensed/Light/TopCatAdjunction.lean
X✝ Y : LightCondSet
f : X✝ ⟶ Y
X : LightCondSet
S : LightProfiniteᵒᵖ
x : X.val.obj S

⊢ ∀ (i : (T : LightProfinite) × X.val.obj (Opposite.op T)), Continuous fun a => LightCondSet.coinducingCoprod X ⟨i, a⟩
-- Mathlib/Condensed/Light/TopCatAdjunction.lean
X✝ Y : LightCondSet
f : X✝ ⟶ Y
X : LightCondSet
S : LightProfiniteᵒᵖ
x : X.val.obj S

⊢ Continuous (LightCondSet.coinducingCoprod X)
-- Mathlib/Condensed/Light/TopCatAdjunction.lean
X✝ Y : LightCondSet
f : X✝ ⟶ Y
X : LightCondSet
x✝² x✝¹ : LightProfiniteᵒᵖ
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
a✝ : X.val.obj x✝²

⊢ (X.val.map x✝ ≫ (fun S x => { toFun := fun s => X.val.map (LightProfinite.const (Opposite.unop S) s).op x, continuous_toFun := ⋯ }) x✝¹) a✝ = ((fun S x => { toFun := fun s => X.val.map (LightProfinite.const (Opposite.unop S) s).op x, continuous_toFun := ⋯ }) x✝² ≫ X.toTopCat.toLightCondSet.val.map x✝) a✝
-- Mathlib/Condensed/Light/TopCatAdjunction.lean
X✝ Y : LightCondSet
f : X✝ ⟶ Y
X : LightCondSet
x✝² x✝¹ : LightProfiniteᵒᵖ
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
a✝ : X.val.obj x✝²

⊢ { toFun := fun s => X.val.map (x✝ ≫ (LightProfinite.const (Opposite.unop x✝¹) s).op) a✝, continuous_toFun := ⋯ } = { toFun := fun s => X.val.map (LightProfinite.const (Opposite.unop x✝²) s).op a✝, continuous_toFun := ⋯ }.comp x✝.unop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ (-θ).cos = θ.cos
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝ : ℝ

⊢ (-↑x✝).cos = (↑x✝).cos
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q a b c : ℚ

⊢ 0 ≠ 1
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
s : Finset α
f : α → Set β
x : α
h : x ∈ s

⊢ f x ≤ ⨆ (_ : x ∈ s), f x
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Field K
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), I ≤ P → J ≤ P → ¬P.IsPrime

⊢ IsCoprime I J
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Field K
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), I ≤ P → J ≤ P → ¬P.IsPrime

⊢ I ⊔ J = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Field K
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), I ≤ P → J ≤ P → ¬P.IsPrime
hIJ : ¬I ⊔ J = ⊤

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Field K
I J : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), I ≤ P → J ≤ P → ¬P.IsPrime
hIJ✝ : ¬I ⊔ J = ⊤
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
hIJ : I ⊔ J ≤ P

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
a : M
inst✝ : Fintype ↥⊥

⊢ card ↥⊥ = 1
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

⊢ (algebraMap K E) (discr K ⇑pb.basis) = ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, -(((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen))
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)

⊢ ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) ^ 2 = ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, -(((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen))
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq α
inst✝⁵ : DecidableEq β
inst✝⁴ : SemilatticeSup α
inst✝³ : SemilatticeSup β
inst✝² : FunLike F α β
inst✝¹ : SupHomClass F α β
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b c : α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α

⊢ filter (fun x => x ≤ a) (s ⊻ t) = filter (fun x => x ≤ a) s ⊻ filter (fun x => x ≤ a) t
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β

⊢ (comap Prod.snd f).NeBot ↔ Nonempty α ∧ f.NeBot
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
hα : IsEmpty α

⊢ (comap Prod.snd f).NeBot ↔ Nonempty α ∧ f.NeBot
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
hα : Nonempty α

⊢ (comap Prod.snd f).NeBot ↔ Nonempty α ∧ f.NeBot
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
α : Type u_1
inst✝¹ : SMul α ℂ
inst✝ : IsScalarTower α ℂ ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
c : α

⊢ (c • f) ∣[k]A = c • f ∣[k]A
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
α : Type u_1
inst✝¹ : SMul α ℂ
inst✝ : IsScalarTower α ℂ ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
c : α

⊢ ((c • 1) • f) ∣[k]A = (c • 1) • f ∣[k]A
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
α : Type u_1
inst✝¹ : SMul α ℂ
inst✝ : IsScalarTower α ℂ ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
c : α
x✝ : ℍ

⊢ ((c • 1) • f) (A • x✝) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * denom A x✝ ^ (-k) = ((c • 1) • f ∣[k]A) x✝
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
α : Type u_1
inst✝¹ : SMul α ℂ
inst✝ : IsScalarTower α ℂ ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
c : α
x✝ : ℍ

⊢ c • 1 * f (A • x✝) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * denom A x✝ ^ (-k) = c • 1 * (f (A • x✝) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * denom A x✝ ^ (-k))
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
inst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s

⊢ sInf s⁻¹ = (sSup s)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
inst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s

⊢ sInf (Inv.inv '' s) = (sSup s)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
x : m → R

⊢ (toLin' M) ({ toFun := ⇑(toLin' M'), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
x : n → R

⊢ (toLin' M') ((toLin' M) x) = x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ

⊢ xInTermsOfW p R n = (X n - ∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p R i ^ p ^ (n - i)) * C (⅟↑p ^ n)
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n✝ n : ℕ

⊢ n.primeFactors = filter Prime n.divisors
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ

⊢ primeFactors 0 = filter Prime (divisors 0)
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n✝ n : ℕ
hn : n > 0

⊢ n.primeFactors = filter Prime n.divisors
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/AdjointAction.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
h : LieAlgebra.center R L = ⊥

⊢ LieModule.maxTrivSubmodule R L (LieDerivation R L L) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/AdjointAction.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
h : LieAlgebra.center R L = ⊥
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R L (LieDerivation R L L)
x : L

⊢ D x = 0 x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/AdjointAction.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
h : LieAlgebra.center R L = ⊥
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R L (LieDerivation R L L)
x : L
this : (ad R L) (D x) = 0

⊢ D x = 0 x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/AdjointAction.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
h : LieAlgebra.center R L = ⊥
D : LieDerivation R L L
hD : D ∈ LieModule.maxTrivSubmodule R L (LieDerivation R L L)
x : L
this : D x = 0

⊢ D x = 0 x
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
f : ℝ → ℝ
g : ℝ → ℝ≥0∞
hg : pdf X ℙ volume =ᶠ[ae volume] g
hgi : ∫⁻ (x : ℝ), ↑‖f x‖₊ * g x ≠ ⊤

⊢ ∫⁻ (a : ℝ), ↑‖f a * (pdf X ℙ volume a).toReal‖₊ < ⊤
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
f : ℝ → ℝ
g : ℝ → ℝ≥0∞
hg : pdf X ℙ volume =ᶠ[ae volume] g
hgi : ∫⁻ (x : ℝ), ↑‖f x‖₊ * g x ≠ ⊤
this : (fun x => ↑‖f x‖₊ * g x) =ᶠ[ae volume] fun x => ↑‖f x * (pdf X ℙ volume x).toReal‖₊

⊢ ∫⁻ (a : ℝ), ↑‖f a * (pdf X ℙ volume a).toReal‖₊ < ⊤
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l l' : List α

⊢ l ~r l' ↔ l' ∈ map l.rotate (range (l.length + 1))
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l l' : List α

⊢ (∃ n ≤ l.length, l.rotate n = l') ↔ ∃ a < l.length + 1, l.rotate a = l'
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁✝ x₂✝ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y'✝ : PGame
h : IH1 x y
x₁ x₂ y' : PGame
h₁ : x₁.IsOption (-x)
h₂ : x₂.IsOption (-x)
hy : y' = y ∨ y'.IsOption y

⊢ P24 x₁ x₂ y'
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁✝ x₂✝ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y'✝ : PGame
h : IH1 x y
x₁ x₂ y' : PGame
h₁ : (-x₁).IsOption x
h₂ : (-x₂).IsOption x
hy : y' = y ∨ y'.IsOption y

⊢ P24 x₁ x₂ y'
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DiscreteTopology α
β : Type u_2
s : Set α

⊢ Dense s ↔ s = univ
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ b : α
s t : Multiset α
a : α
h : s ≤ a ::ₘ t
m : a ∈ s

⊢ s.erase a ≤ t
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ b : α
s t : Multiset α
a : α
h : a ::ₘ s.erase a ≤ a ::ₘ t
m : a ∈ s

⊢ s.erase a ≤ t
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : DecidableEq m
d : o → m → α
i : m
k : o
j : m
k' : o

⊢ blockDiagonal (fun k => diagonal (d k)) (i, k) (j, k') = diagonal (fun ik => d ik.2 ik.1) (i, k) (j, k')
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : DecidableEq m
d : o → m → α
i : m
k : o
j : m
k' : o

⊢ (if k = k' ∧ i = j then d k i else 0) = if i = j ∧ k = k' then d k i else 0
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : DecidableEq m
d : o → m → α
i : m
k : o
j : m
k' : o

⊢ (k = k' ∧ i = j) = (i = j ∧ k = k')
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
h : InjOn f s

⊢ (f '' s).encard = s.encard
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
motive : List α → Sort u_2
x : α
xs : List α
nil : motive []
append_singleton : (l : List α) → (a : α) → motive l → motive (l ++ [a])

⊢ reverseRecOn (xs ++ [x]) nil append_singleton = append_singleton xs x (reverseRecOn xs nil append_singleton)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
motive : List α → Sort u_2
x : α
xs : List α
nil : motive []
append_singleton : (l : List α) → (a : α) → motive l → motive (l ++ [a])

⊢ ∀ (ys : List α) (h : xs.reverse.reverse = ys), reverseRecOn (xs ++ [x]) nil append_singleton = cast ⋯ (append_singleton ys x (reverseRecOn ys nil append_singleton))
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
motive : List α → Sort u_2
x : α
xs : List α
nil : motive []
append_singleton : (l : List α) → (a : α) → motive l → motive (l ++ [a])
ys : List α
hy : xs.reverse.reverse = ys
head✝ : α
tail✝ : List α
heq✝ : (xs ++ [x]).reverse = head✝ :: tail✝

⊢ cast ⋯ (append_singleton tail✝.reverse head✝ (reverseRecOn tail✝.reverse nil append_singleton)) = cast ⋯ (append_singleton ys x (reverseRecOn ys nil append_singleton))
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Nonarchimedean.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)

⊢ CauchySeq fun s => ∏ i ∈ s, f i
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Nonarchimedean.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)

⊢ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Nonarchimedean.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1

⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Nonarchimedean.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U

⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset α), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Nonarchimedean.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U

⊢ ∀ (t : Finset α), Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯) → ∏ b ∈ t, f b ∈ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Nonarchimedean.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
t : Finset α
ht : Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯)

⊢ ∏ b ∈ t, f b ∈ ↑V
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Nonarchimedean.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
t : Finset α
ht : Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯)

⊢ ∀ c ∈ t, f c ∈ ↑V
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Nonarchimedean.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : UniformGroup G
inst✝ : NonarchimedeanGroup G
f : α → G
hf : Tendsto f cofinite (𝓝 1)
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : OpenSubgroup G
hV : ↑V ⊆ U
t : Finset α
ht : Disjoint t (Set.Finite.toFinset ⋯)
i : α
hi : i ∈ t

⊢ f i ∈ ↑V
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/DiracProba.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
K : Set X
K_closed : IsClosed K
x : X
x_notin_K : x ∉ K

⊢ ∃ f, f x = 1 ∧ ∀ y ∈ K, f y = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/DiracProba.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
K : Set X
K_closed : IsClosed K
x : X
x_notin_K : x ∉ K
g : X → ↑unitInterval
g_cont : Continuous g
gx_zero : g x = 0
g_one_on_K : EqOn g 1 K

⊢ ∃ f, f x = 1 ∧ ∀ y ∈ K, f y = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/DiracProba.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
K : Set X
K_closed : IsClosed K
x : X
x_notin_K : x ∉ K
g : X → ↑unitInterval
g_cont : Continuous g
gx_zero : g x = 0
g_one_on_K : EqOn g 1 K
g_bdd : ∀ (x y : X), dist (↑(g x)).toNNReal (↑(g y)).toNNReal ≤ 1

⊢ ∃ f, f x = 1 ∧ ∀ y ∈ K, f y = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/DiracProba.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
K : Set X
K_closed : IsClosed K
x : X
x_notin_K : x ∉ K
g : X → ↑unitInterval
g_cont : Continuous g
gx_zero : g x = 0
g_one_on_K : EqOn g 1 K
g_bdd : ∀ (x y : X), dist (↑(g x)).toNNReal (↑(g y)).toNNReal ≤ 1
g' : X →ᵇ ℝ≥0 := mkOfBound { toFun := fun x => (↑(g x)).toNNReal, continuous_toFun := ⋯ } 1 g_bdd

⊢ ∃ f, f x = 1 ∧ ∀ y ∈ K, f y = 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
h : P.IsPrime

⊢ Prime P
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P : Ideal A
hP : P ≠ ⊥
h : P.IsPrime
I J : Ideal A
hIJ : P ∣ I * J

⊢ P ∣ I ∨ P ∣ J
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r₁ : R
r₂ : ℝ
h : ‖r₁‖ < r₂
h0 : ¬r₁ = 0

⊢ (fun n => ↑n ^ k * r₁ ^ n) =o[atTop] fun n => r₂ ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r₁ : R
r₂ : ℝ
h : ‖r₁‖ < r₂
h0 : 0 < ‖r₁‖

⊢ (fun n => ↑n ^ k * r₁ ^ n) =o[atTop] fun n => r₂ ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r₁ : R
r₂ : ℝ
h : ‖r₁‖ < r₂
h0 : 0 < ‖r₁‖
A : (fun n => ↑n ^ k) =o[atTop] fun n => (r₂ / ‖r₁‖) ^ n

⊢ (fun n => ↑n ^ k * r₁ ^ n) =o[atTop] fun n => r₂ ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r₁ : R
r₂ : ℝ
h : ‖r₁‖ < r₂
h0 : 0 < ‖r₁‖
A : (fun n => ↑n ^ k) =o[atTop] fun n => (r₂ / ‖r₁‖) ^ n

⊢ (fun n => r₁ ^ n) =O[atTop] fun n => ‖r₁‖ ^ n
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Finset α
a b : α

⊢ preimage 1 (fun x => a * x) ⋯ = {a⁻¹}
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝ : Nontrivial R

⊢ (∀ (x : R), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R R x)) ↔ ∀ (x : R), x ≠ 0 → IsUnit x
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝ : Nontrivial R
h : ∀ (x : R), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R R x)
x : R
hx : x ≠ 0

⊢ IsUnit x
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝ : Nontrivial R
h : ∀ (x : R), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R R x)
x : R
hx : x ≠ 0
y : R
hyx : y * x = 1

⊢ IsUnit x
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝ : Nontrivial R
h : ∀ (x : R), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R R x)
x : R
hx : x ≠ 0
y : R
hyx : y * x = 1
hy : y ≠ 0

⊢ IsUnit x
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x✝ : Nontrivial R
h : ∀ (x : R), x ≠ 0 → Function.Surjective ⇑(LinearMap.toSpanSingleton R R x)
x : R
hx : x ≠ 0
y : R
hyx : y * x = 1
hy : y ≠ 0
z : R
hzy : z * y = 1

⊢ IsUnit x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
n : ℤ
x✝ : (f ^ n).SameCycle x y
m : ℤ
h : ((f ^ n) ^ m) x = y

⊢ (f ^ (n * m)) x = y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : z ≤ x

⊢ x \ (y \ z) = x \ y ⊔ z
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
v : Set M
hv : span R v = ⊤
x : M'
x✝ : x ∈ ⊤

⊢ x ∈ span Rₛ (⇑f '' v)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
v : Set M
hv : span R v = ⊤
x : M'
x✝ : x ∈ ⊤
m : M
s : ↥S
h : (m, s).2 • x = f (m, s).1

⊢ x ∈ span Rₛ (⇑f '' v)