ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f μ
hμt : μ univ < ⊤
this : IsFiniteMeasure μ

⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
hC0 : 0 < C
hfi : Integrable f μ
hμt : μ univ < ⊤
this : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ closedBall 0 C

⊢ f =ᶠ[ae μ] const α (⨍ (x : α), f x ∂μ) ∨ ‖⨍ (x : α), f x ∂μ‖ < C
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
y : ℝ
hXm : AEMeasurable X ℙ

⊢ Measure.map (fun ω => X ω + y) ℙ = gaussianReal (μ + y) v
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
y : ℝ
hXm : AEMeasurable X ℙ

⊢ Measure.map ((fun ω => ω + y) ∘ X) ℙ = gaussianReal (μ + y) v
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
A : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
A : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))
B : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (neg ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a))

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
A : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))
B : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (neg ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a))
ω : Ω
hωpos : Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))
hωneg : Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (neg ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a))

⊢ Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
A : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))
B : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (neg ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a))
ω : Ω
hωpos : Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))
hωneg : Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (neg ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a))

⊢ (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) = fun x => (∑ i ∈ range x, (pos ∘ X i) ω) / ↑x - (∑ i ∈ range x, (neg ∘ X i) ω) / ↑x
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
A : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))
B : ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (neg ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a))
ω : Ω
hωpos : Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (pos ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a))
hωneg : Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, (neg ∘ X i) ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a))

⊢ 𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a) = 𝓝 ((∫ (a : Ω), (pos ∘ X 0) a) - ∫ (a : Ω), (neg ∘ X 0) a)
-- Mathlib/Data/Multiset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
xs : List α

⊢ (Multiset.sym2 ⟦xs⟧).dedup = (dedup ⟦xs⟧).sym2
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.reverse.Nodup
x : α
hx : x ∈ s.reverse

⊢ s.reverse.next hs x hx = s.prev ⋯ x ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : R1Space G
inst✝ : BorelSpace G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G

⊢ μ.measure ↑K = (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : R1Space G
inst✝ : BorelSpace G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G

⊢ μ.measure ↑K ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : R1Space G
inst✝ : BorelSpace G
H : μ.ContentRegular
K : Compacts G

⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ μ.measure ↑K
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

⊢ SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' b).symm) (e.baseSet ∩ e'.baseSet)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'

⊢ SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun b => ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' b).symm) (e'.baseSet ∩ e.baseSet)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝²² : NontriviallyNormedField 𝕜
EB : Type u_7
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
inst✝¹⁷ : ChartedSpace HB B
inst✝¹⁶ : SmoothManifoldWithCorners IB B
EM : Type u_9
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_10
inst✝¹³ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝¹² : TopologicalSpace M
inst✝¹¹ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝¹⁰ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝⁴ : FiberBundle F E
inst✝³ : VectorBundle 𝕜 F E
inst✝² : SmoothVectorBundle F E IB
e e' : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝¹ : MemTrivializationAtlas e
inst✝ : MemTrivializationAtlas e'
b : B
hb : b ∈ e'.baseSet ∩ e.baseSet

⊢ ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e e' b).symm = ↑(Trivialization.coordChangeL 𝕜 e' e b)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
n : ℕ

⊢ x ^ (y * ↑n) = (x ^ y) ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

⊢ (Measure.pi μ) univ = ∏ i : ι, (μ i) univ
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ

⊢ l.reverse.rotate n = (l.rotate (l.length - n % l.length)).reverse
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ

⊢ l.reverse.reverse.reverse.rotate n = (l.reverse.reverse.rotate (l.reverse.reverse.length - n % l.reverse.reverse.length)).reverse
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ

⊢ l.reverse = l.reverse.rotate (l.length - (l.length - n % l.length) % l.length + (l.length - n % l.length))
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ

⊢ l.reverse = l.reverse.rotate (l.reverse.length - (l.reverse.length - n % l.reverse.length) % l.reverse.length + (l.reverse.length - n % l.reverse.length))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/IsBoundedAtImInfty.lean
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)

⊢ IsBoundedAtImInfty ((eisensteinSeries_SIF a k).toFun ∣[k] A)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/IsBoundedAtImInfty.lean
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)

⊢ ∃ M A_1, ∀ (z : ℍ), A_1 ≤ z.im → Complex.abs ((eisensteinSeries a k ∣[k] A) z) ≤ M
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/IsBoundedAtImInfty.lean
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)

⊢ ∀ (z : ℍ), 2 ≤ z.im → Complex.abs ((eisensteinSeries a k ∣[k] A) z) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/IsBoundedAtImInfty.lean
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : 2 ≤ z.im

⊢ Complex.abs ((eisensteinSeries a k ∣[k] A) z) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/IsBoundedAtImInfty.lean
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : 2 ≤ z.im
n : ℤ
hn : ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z ∈ verticalStrip (↑↑N) z.im

⊢ Complex.abs ((eisensteinSeries a k ∣[k] A) z) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/IsBoundedAtImInfty.lean
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : 2 ≤ z.im
n : ℤ
hn : ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z ∈ verticalStrip (↑↑N) z.im

⊢ Complex.abs ((eisensteinSeries_SIF (a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod ↑N))) A)) k) (ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z)) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/IsBoundedAtImInfty.lean
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : 2 ≤ z.im
n : ℤ
hn : ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z ∈ verticalStrip (↑↑N) z.im

⊢ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), Complex.abs (eisSummand k x (ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z)) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/IsBoundedAtImInfty.lean
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : 2 ≤ z.im
n : ℤ
hn : ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z ∈ verticalStrip (↑↑N) z.im
hk' : 2 < ↑k

⊢ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), Complex.abs (eisSummand k x (ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z)) ≤ ∑' (x : Fin 2 → ℤ), r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/IsBoundedAtImInfty.lean
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : 2 ≤ z.im
n : ℤ
hn : ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z ∈ verticalStrip (↑↑N) z.im
hk' : 2 < ↑k

⊢ Summable fun i => r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖i‖ ^ (-k)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/IsBoundedAtImInfty.lean
N : ℕ+
a : Fin 2 → ZMod ↑N
k : ℤ
hk : 3 ≤ k
A : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : 2 ≤ z.im
n : ℤ
hn : ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z ∈ verticalStrip (↑↑N) z.im
hk' : 2 < ↑k

⊢ ∀ (i : Fin 2 → ℤ), ‖eisSummand k i (ModularGroup.T ^ (↑↑N * n) • z)‖ ≤ r ⟨{ re := ↑↑N, im := 2 }, ⋯⟩ ^ (-k) * ‖i‖ ^ (-k)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Product.lean
ι : Type u
X : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
C : Set ((i : ι) → X i)
J K : ι → Prop
a b : ↑C
i : ι
h : (π_app C fun x => x ∈ {i}) a = (π_app C fun x => x ∈ {i}) b

⊢ ↑a i = ↑b i
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Product.lean
ι : Type u
X : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
C : Set ((i : ι) → X i)
J K : ι → Prop
a b : ↑C
i : ι
h : ↑((π_app C fun x => x ∈ {i}) a) = ↑((π_app C fun x => x ∈ {i}) b)

⊢ ↑a i = ↑b i
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Product.lean
ι : Type u
X : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
C : Set ((i : ι) → X i)
J K : ι → Prop
a b : ↑C
i : ι
h : (fun j => ↑a ↑j) = fun j => ↑b ↑j

⊢ ↑a i = ↑b i
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : (ZMod p)[X]

⊢ (expand (ZMod p) p) f = f ^ p
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : (ZMod p)[X]
h : (expand (ZMod p) (Fintype.card (ZMod p))) f = f ^ Fintype.card (ZMod p)

⊢ (expand (ZMod p) p) f = f ^ p
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Nontrivial M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
n m : ℕ
h : ↑n = ↑m

⊢ n = m
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Nontrivial M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
n m : ℕ
h : ↑n = ↑m
x : M
hx : x ≠ 0

⊢ n = m
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : Nontrivial M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
n m : ℕ
x : M
hx : x ≠ 0
h : ↑n • x = ↑m • x

⊢ n = m
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Card.lean
α : Type u
s : Set (Set α)
i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α

⊢ s ⊆ let i := i; let S := ⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j; s ∪ {∅} ∪ compl '' S ∪ range fun f => ⋃ n, ↑(f n)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Card.lean
α : Type u
s : Set (Set α)
i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α

⊢ s ⊆ s
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ b \ a = b \ a
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : HasDistribNeg R

⊢ (-1) ^ 2 = 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiffMFDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s

⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiffMFDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
m_le_n : m ≤ n

⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiffMFDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
m_le_n : m ≤ n
one_le_n : 1 ≤ n

⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiffMFDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f✝ f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : H → H'
s : Set H
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s
m_le_n : m ≤ n
one_le_n : 1 ≤ n
U' : UniqueDiffOn 𝕜 (range ↑I ∩ ↑I.symm ⁻¹' s)

⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s)