ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
C : AList β → Sort u_1
H0 : C ∅
IH : (a : α) → (b : β a) → (l : AList β) → a ∉ l → C l → C (insert a b l)
c : Sigma β
l : List (Sigma β)
hl : l.NodupKeys
h : c.fst ∉ { entries := l, nodupKeys := hl }

⊢ HEq (⋯.mpr (IH c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := ⋯ } ⋯ (insertRec H0 IH { entries := l, nodupKeys := ⋯ }))) (IH c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := hl } h (insertRec H0 IH { entries := l, nodupKeys := hl }))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
P : ℤ[X]
h : map (Int.castRingHom ℂ) P = cyclotomic' n ℂ

⊢ P = cyclotomic n ℤ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
P : ℤ[X]
h : map (Int.castRingHom ℂ) P = cyclotomic' n ℂ

⊢ map (Int.castRingHom ℂ) P = map (Int.castRingHom ℂ) (cyclotomic n ℤ)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
y : β

⊢ ‖(WithLp.equiv p (α × β)).symm (0, y)‖₊ = ‖y‖₊
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
y : ℝ

⊢ Continuous fun a => a ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
y : ℝ
x : ℝ≥0∞

⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ y) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
y : ℝ
x : ℝ≥0∞
hy : 0 < y

⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ y) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ≥0∞

⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ 0) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
y : ℝ
x : ℝ≥0∞
hy : y < 0

⊢ ContinuousAt (fun a => a ^ y) x
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
h : ¬p x = true

⊢ rtakeWhile p (l ++ [x]) = []
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E p μ)

⊢ ↑(toSimpleFunc (k • f)) =ᶠ[ae μ] k • ↑(toSimpleFunc f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E p μ)
a✝ : α

⊢ ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = ↑↑↑(k • f) a✝ → ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑↑(k • ↑f) a✝ = (k • ↑↑↑f) a✝ → ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = (k • ↑(toSimpleFunc f)) a✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
k : 𝕜
f : ↥(simpleFunc E p μ)
a✝ : α

⊢ ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = ↑↑(k • ↑f) a✝ → ↑(toSimpleFunc f) a✝ = ↑↑↑f a✝ → ↑↑(k • ↑f) a✝ = k • ↑↑↑f a✝ → ↑(toSimpleFunc (k • f)) a✝ = k • ↑(toSimpleFunc f) a✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean

⊢ DifferentiableOn ℝ negMulLog {0}ᶜ
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N
R : Type u_7
M : Type u_8
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : R
f : ι → M

⊢ c • ∑ᶠ (i : ι), f i = ∑ᶠ (i : ι), c • f i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N
R : Type u_7
M : Type u_8
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : ι → M

⊢ 0 • ∑ᶠ (i : ι), f i = ∑ᶠ (i : ι), 0 • f i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝⁵ : CommMonoid M✝
inst✝⁴ : CommMonoid N
R : Type u_7
M : Type u_8
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : R
f : ι → M
hc : c ≠ 0

⊢ c • ∑ᶠ (i : ι), f i = ∑ᶠ (i : ι), c • f i
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
h : ∀ (c : α), CompleteLattice.IsCompactElement c → c ≤ a → c ≤ b

⊢ a ≤ b
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
h : ∀ (c : α), CompleteLattice.IsCompactElement c → c ≤ a → c ≤ b

⊢ sSup {c | CompleteLattice.IsCompactElement c ∧ c ≤ a} ≤ sSup {c | CompleteLattice.IsCompactElement c ∧ c ≤ b}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I J : Ideal R

⊢ RingHom.ker (quotQuotMk I J) = I ⊔ J
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
C : Set (Set α)
B : ℕ → Set α
hA : m0 = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h1B : ⋃ i, B i = univ
h2B : ∀ (i : ℕ), B i ∈ C
hμB : ∀ (i : ℕ), μ (B i) ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ C, μ s = ν s

⊢ μ = ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
C : Set (Set α)
B : ℕ → Set α
hA : m0 = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h1B : ⋃ i, B i = univ
h2B : ∀ (i : ℕ), B i ∈ C
hμB : ∀ (i : ℕ), μ (B i) ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ C, μ s = ν s

⊢ range B ⊆ C
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
C : Set (Set α)
B : ℕ → Set α
hA : m0 = generateFrom C
hC : IsPiSystem C
h1B : ⋃ i, B i = univ
h2B : ∀ (i : ℕ), B i ∈ C
hμB : ∀ (i : ℕ), μ (B i) ≠ ⊤
h_eq : ∀ s ∈ C, μ s = ν s

⊢ ∀ s ∈ range B, μ s ≠ ⊤
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hx : x ∈ s \ (SimpleGraph.badVertices G ε s t ∪ SimpleGraph.badVertices G ε s u)

⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(image (fun x_1 => (x, x_1)) (filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u))).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hx : x ∈ s ∧ (x ∉ s ∨ (↑(G.edgeDensity s t) - ε) * ↑t.card ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card) ∧ (x ∉ s ∨ (↑(G.edgeDensity s u) - ε) * ↑u.card ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card)

⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(image (fun x_1 => (x, x_1)) (filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u))).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hx : x ∈ s ∧ x ∉ s ∨ x ∈ s ∧ (↑(G.edgeDensity s t) - ε) * ↑t.card ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card ∧ (↑(G.edgeDensity s u) - ε) * ↑u.card ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card

⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(image (fun x_1 => (x, x_1)) (filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u))).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hx : x ∈ s ∧ ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card ∧ ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card

⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(image (fun x_1 => (x, x_1)) (filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u))).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card

⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(image (fun x_1 => (x, x_1)) (filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u))).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card

⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(image (fun x_1 => (x, x_1)) (filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u))).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card

⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(image (fun x_1 => (x, x_1)) (filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u))).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card

⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u)).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
this : |↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)) - ↑(G.edgeDensity t u)| < ε

⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u)).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
this✝ : |↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)) - ↑(G.edgeDensity t u)| < ε
this : ε ≤ ↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u))

⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u)).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
this✝ : |↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)) - ↑(G.edgeDensity t u)| < ε
this : ε ≤ ↑(↑(G.interedges (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)).card / (↑(filter (G.Adj x) t).card * ↑(filter (G.Adj x) u).card))

⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u)).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
this✝ : |↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)) - ↑(G.edgeDensity t u)| < ε
this : ε ≤ ↑(G.interedges (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)).card / (↑(filter (G.Adj x) t).card * ↑(filter (G.Adj x) u).card)

⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u)).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
this✝ : |↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)) - ↑(G.edgeDensity t u)| < ε
this : ε ≤ ↑(G.interedges (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)).card / (↑(filter (G.Adj x) t).card * ↑(filter (G.Adj x) u).card)
hε : 0 ≤ ε

⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(filter (fun x => match x with | (y, z) => G.Adj y z) (filter (G.Adj x) t ×ˢ filter (G.Adj x) u)).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
this✝ : |↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)) - ↑(G.edgeDensity t u)| < ε
this : ε ≤ ↑(G.interedges (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)).card / (↑(filter (G.Adj x) t).card * ↑(filter (G.Adj x) u).card)
hε : 0 ≤ ε

⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card ≤ ε * (↑(filter (G.Adj x) t).card * ↑(filter (G.Adj x) u).card)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
x : α
hxY : ↑t.card * (↑(G.edgeDensity s t) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hsu : ↑u.card * (↑(G.edgeDensity s u) - ε) ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
hY : ↑t.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) t).card
hZ : ↑u.card * ε ≤ ↑(filter (G.Adj x) u).card
this✝ : |↑(G.edgeDensity (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)) - ↑(G.edgeDensity t u)| < ε
this : ε ≤ ↑(G.interedges (filter (G.Adj x) t) (filter (G.Adj x) u)).card / (↑(filter (G.Adj x) t).card * ↑(filter (G.Adj x) u).card)
hε : 0 ≤ ε

⊢ ε ^ 3 * ↑t.card * ↑u.card = ε * (↑t.card * ε * (↑u.card * ε))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
absorbs : Absorbent ℝ s
h : gauge s x < a

⊢ ∃ b, 0 < b ∧ b < a ∧ x ∈ b • s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
absorbs : Absorbent ℝ s
h : gauge s x < a
b : ℝ
hba : b < a
hb : 0 < b
hx : x ∈ b • s

⊢ ∃ b, 0 < b ∧ b < a ∧ x ∈ b • s
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ t
hst : _root_.Disjoint (s.erase a) t

⊢ _root_.Disjoint s t
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ t
hst : _root_.Disjoint (s.erase a) t

⊢ a ∉ s.erase a ∧ _root_.Disjoint (s.erase a) t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0

⊢ μ.restrict (toMeasurable μ s) = μ.restrict s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

⊢ μ.restrict (toMeasurable μ s) = μ.restrict s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable (μ.restrict s) {x | u n ≤ ‖f x‖}

⊢ μ.restrict (toMeasurable μ s) = μ.restrict s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable (μ.restrict s) {x | u n ≤ ‖f x‖}
A : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤

⊢ μ.restrict (toMeasurable μ s) = μ.restrict s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable (μ.restrict s) {x | u n ≤ ‖f x‖}
A : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤

⊢ s ⊆ ⋃ n, v n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable (μ.restrict s) {x | u n ≤ ‖f x‖}
A : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ s

⊢ x ∈ ⋃ n, v n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable (μ.restrict s) {x | u n ≤ ‖f x‖}
A : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ s
this : 0 < ‖f x‖

⊢ x ∈ ⋃ n, v n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
h's : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
u : ℕ → ℝ
left✝ : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable (μ.restrict s) {x | u n ≤ ‖f x‖}
A : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤
x : α
hx : x ∈ s
this : 0 < ‖f x‖
n : ℕ
hn : u n < ‖f x‖

⊢ x ∈ ⋃ n, v n
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x

⊢ mapRange f hf (c • v) = c • mapRange f hf v
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x

⊢ mapRange (f ∘ fun x => c • x) ?h v = c • mapRange f hf v
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
x✝ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : DistribMulAction R N
f : M → N
hf : f 0 = 0
c : R
v : α →₀ M
hsmul : ∀ (x : M), f (c • x) = c • f x

⊢ (f ∘ fun x => c • x) 0 = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G

⊢ (H ⊓ K).relindex K = H.relindex K
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ ⟪x - y, x - y⟫_𝕜 = ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪y, x⟫_𝕜 - (⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪y, y⟫_𝕜) = ⟪x, x⟫_𝕜 - ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
l : List α
comm : {x | x ∈ ↑l}.Pairwise Commute

⊢ noncommFold (fun x x_1 => x * x_1) (↑l) comm 1 = l.prod