ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
G : A ⥤ C
H : B ⥤ D
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : A ⥤ B
R₂ : B ⥤ A
L₃ : C ⥤ D
R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : L₂ ⟶ L₁
β : G ⋙ L₃ ⟶ L₂ ⋙ H
b : B
vcomp : (mateEquiv adj₁ adj₃) (whiskerLeft (𝟭 A) β ≫ whiskerRight (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv) H) = whiskerRight ((mateEquiv adj₁ adj₂) (L₂.leftUnitor.hom ≫ α ≫ L₁.rightUnitor.inv)) G ≫ whiskerLeft (𝟭 B) ((mateEquiv adj₂ adj₃) β)
vcompb : adj₃.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H.map (adj₁.counit.app b)) = G.map (adj₂.unit.app (R₁.obj b)) ≫ G.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ G.map (R₂.map (adj₁.counit.app b)) ≫ adj₃.unit.app (G.obj (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (adj₂.counit.app b))

⊢ adj₃.unit.app (G.obj (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₁.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ R₃.map (H.map (adj₁.counit.app b)) = G.map (adj₂.unit.app (R₁.obj b)) ≫ G.map (R₂.map (α.app (R₁.obj b))) ≫ G.map (R₂.map (adj₁.counit.app b)) ≫ adj₃.unit.app (G.obj (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (β.app (R₂.obj b)) ≫ R₃.map (H.map (adj₂.counit.app b))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean

⊢ Gamma 0 = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V

⊢ angle (-x) y = π - angle x y
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ

⊢ mellin (fun t => f (t ^ a)) s = |a|⁻¹ • mellin f (s / ↑a)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ

⊢ mellin (fun t => f (t ^ 0)) s = |0|⁻¹ • mellin f (s / ↑0)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0

⊢ mellin (fun t => f (t ^ a)) s = |a|⁻¹ • mellin f (s / ↑a)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0

⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = |a|⁻¹ • ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s / ↑a - 1) • f t
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0

⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = ∫ (a_1 : ℝ) in Ioi 0, |a|⁻¹ • (|a| * a_1 ^ (a - 1)) • ↑(a_1 ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (a_1 ^ a)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0

⊢ ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = |a|⁻¹ • (|a| * t ^ (a - 1)) • ↑(t ^ a) ^ (s / ↑a - 1) • f (t ^ a)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : a ≠ 0
t : ℝ
ht : t ∈ Ioi 0

⊢ ↑t ^ (s - 1) • f (t ^ a) = (↑(t ^ (a - 1)) * ↑(t ^ a) ^ (s / ↑a - 1)) • f (t ^ a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f

⊢ StrictConcaveOn 𝕜 univ ⇑f.symm
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'

⊢ a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'

⊢ a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'

⊢ a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'

⊢ a • x' + b • y' < f.symm (a • f x' + b • f y')
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : StrictConvexOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'
hxy' : x' ≠ y'

⊢ f (a • x' + b • y') < a • f x' + b • f y'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V

⊢ Module.rank K V = 1 ↔ ∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
this : Nontrivial K

⊢ Module.rank K V = 1 ↔ ∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
this : Nontrivial K
h : Module.rank K V = 1

⊢ ∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module.Free K V
this : Nontrivial K
x✝ : ∃ v₀, v₀ ≠ 0 ∧ ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v
v₀ : V
h : v₀ ≠ 0
hv : ∀ (v : V), ∃ r, r • v₀ = v

⊢ 1 ≤ Module.rank K V
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
I : ProjectiveSpectrum 𝒜

⊢ I ∈ (zeroLocus 𝒜 {f})ᶜ ↔ f ∉ I.asHomogeneousIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
I : ProjectiveSpectrum 𝒜

⊢ f ∉ ↑I.asHomogeneousIdeal ↔ f ∉ I.asHomogeneousIdeal
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f

⊢ (opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv = (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f

⊢ ((opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv).unop = (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv.unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f

⊢ ∀ (j : Discrete α), c'.ι.app j ≫ ((opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv).unop = c'.ι.app j ≫ (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv.unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
j : α

⊢ c'.inj j ≫ ((opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv).unop = c'.ι.app { as := j } ≫ (hc.coconePointUniqueUpToIso hc').op.inv.unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
j : α

⊢ c'.inj j ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv.unop ≫ (opCoproductIsoProduct' hc hf).hom.unop = c.ι.app { as := j }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
j : α

⊢ (c'.inj j ≫ (opCoproductIsoProduct' hc' hf).inv.unop ≫ (opCoproductIsoProduct' hc hf).hom.unop).op = (c.ι.app { as := j }).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
j : α

⊢ (opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ f.proj j = (c.ι.app { as := j }).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
c c' : Cofan Z
f : Fan fun x => op (Z x)
hc : IsColimit c
hc' : IsColimit c'
hf : IsLimit f
j : α

⊢ (opCoproductIsoProduct' hc hf).hom ≫ (opCoproductIsoProduct' hc hf).inv ≫ (c.inj j).op = (c.ι.app { as := j }).op
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ (if hf : const (padicNorm p) 1 ≈ 0 then 0 else padicValRat p (↑(const (padicNorm p) 1) (PadicSeq.stationaryPoint hf))) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : ¬const (padicNorm p) 1 ≈ 0

⊢ (if hf : const (padicNorm p) 1 ≈ 0 then 0 else padicValRat p (↑(const (padicNorm p) 1) (PadicSeq.stationaryPoint hf))) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : ¬const (padicNorm p) 1 ≈ 0

⊢ padicValRat p (↑(const (padicNorm p) 1) (PadicSeq.stationaryPoint h)) = 0
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
H0 : C ∅
H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → C s → C (insert a s)
s : Finset α

⊢ C ↑s
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
H0 : C ∅
H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → C s → C (insert a s)

⊢ C ↑∅
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
C : Set α → Prop
H0 : C ∅
H1 : ∀ {a : α} {s : Set α}, a ∉ s → s.Finite → C s → C (insert a s)
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hs : C ↑s

⊢ C ↑(Finset.cons a s ha)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ

⊢ multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y) + multiplicity p n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hyx : y ≤ x

⊢ multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y) + multiplicity p n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hyx : x ≤ y

⊢ multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y) + multiplicity p n
-- Mathlib/Algebra/Star/SelfAdjoint.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : DivisionSemiring R
inst✝ : StarRing R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
n : ℤ

⊢ IsSelfAdjoint (x ^ n)
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
f : CauSeq ℂ ⇑abs'

⊢ (cauSeqConj f).lim.re = ((starRingEnd ℂ) f.lim).re
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
f : CauSeq ℂ ⇑abs'

⊢ (cauSeqConj f).lim.im = ((starRingEnd ℂ) f.lim).im
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
f : CauSeq ℂ ⇑abs'

⊢ CauSeq.lim ⟨fun n => -(↑f n).im, ⋯⟩ = (-⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩).lim
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α

⊢ 1 < s.encard ↔ ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α

⊢ (∀ (a b : α), a ∈ s → b ∈ s → a = b) ↔ ∀ (x : α), ¬∃ b, x ∈ s ∧ b ∈ s ∧ x ≠ b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β

⊢ f ⊓ g ≤ g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β

⊢ ↑(f ⊓ g) ≤ᶠ[ae μ] ↑g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊓ g) a✝ = ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝

⊢ ↑(f ⊓ g) a✝ ≤ ↑g a✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊓ g) a✝ = ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝

⊢ ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝ ≤ ↑g a✝
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I J : Ideal R

⊢ RingHom.ker (quotLeftToQuotSup I J) = map (Ideal.Quotient.mk I) J
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.123075, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology

⊢ opcyclesMap e.hom ≫ opcyclesMap e.inv = 𝟙 S₁.opcycles
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.123075, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology

⊢ opcyclesMap e.inv ≫ opcyclesMap e.hom = 𝟙 S₂.opcycles
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
h : Inducing f

⊢ Inducing (s.restrictPreimage f)
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
h : ∀ (x : α), 𝓝 x = comap f (𝓝 (f x))

⊢ ∀ (x : ↑(f ⁻¹' s)), 𝓝 x = comap Subtype.val (comap f (𝓝 (f ↑x)))
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
s : Set β
h : ∀ (x : α), 𝓝 x = comap f (𝓝 (f x))
a : ↑(f ⁻¹' s)

⊢ 𝓝 a = comap Subtype.val (comap f (𝓝 (f ↑a)))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r

⊢ Setoid.r s t ↔ h.finpartition.part s = h.finpartition.part t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r

⊢ t ∈ (Finpartition.ofSetoid h.setoid).part s ↔ h.finpartition.part s = h.finpartition.part t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition

⊢ t ∈ fp.part s ↔ fp.part s = fp.part t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo

⊢ map f ↑n = ↑n
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R
x : R

⊢ x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s) ↔ x ∈ closure s
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)

⊢ x ∈ closure s
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : NonUnitalSubsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}

⊢ x ∈ (fun h => ↑H) J
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : NonUnitalSubsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}
y : R
hy : y ∈ ↑(Subsemigroup.closure ↑(AddSubmonoid.closure s))

⊢ y ∈ ↑H.toAddSubmonoid
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : NonUnitalSubsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}
y : R
hy : y ∈ ↑(Subsemigroup.closure ↑(AddSubmonoid.closure s))
z : R
hz : z ∈ ↑(AddSubmonoid.closure s)

⊢ z ∈ ↑H.toSubsemigroup
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ

⊢ (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), -f x) = -∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ M

⊢ mapRange ⇑f.symm ⋯ (mapRange ⇑f ⋯ x) = x
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ M

⊢ mapRange id ⋯ x = x
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ M

⊢ id 0 = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ N

⊢ mapRange ⇑f ⋯ (mapRange ⇑f.symm ⋯ x) = x
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ N

⊢ mapRange id ⋯ x = x
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M ≃+ N
x : α →₀ N

⊢ id 0 = 0
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves

⊢ ⟦x.mulOption y i j⟧ < ⟦x * y⟧ ↔ P3 (x.moveLeft i) x (y.moveLeft j) y
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
i : x.LeftMoves
j : y.LeftMoves

⊢ ⟦x.moveLeft i * y⟧ + ⟦x * y.moveLeft j⟧ - ⟦x.moveLeft i * y.moveLeft j⟧ < ⟦x * y⟧ ↔ P3 (x.moveLeft i) x (y.moveLeft j) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/RootPositive.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι

⊢ 0 < P.pairing i j ↔ 0 < P.pairing j i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
S : Type u_10
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : ι → M'
i : ι

⊢ ((b.constr S) f) (b i) = f i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ t : Set α
p : α → Prop
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, p x
htc : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict tᶜ, p x

⊢ (μ.restrict t) {x | ¬p x} + (μ.restrict tᶜ) {x | ¬p x} = 0
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x : ℝ
h : x ∈ Ioo (I.lower i) (I.upper i)
h' : optParam (∀ (j : ι), I.lower j < update I.upper i x j) ⋯

⊢ I.splitLower i x = ↑{ lower := I.lower, upper := update I.upper i x, lower_lt_upper := h' }