ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddZeroClass (β i)
i : ι
f₁ f₂ : Π₀ (i : ι), β i
x✝ : ι

⊢ (erase i (f₁ + f₂)) x✝ = (erase i f₁ + erase i f₂) x✝
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))

⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : insert f (B \ {e}) ⊆ B'

⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : insert f (B \ {e}) ⊆ B'
hcard : (B' \ B).encard = (B \ B').encard

⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : f ∈ B' ∧ (B \ B' = ∅ ∨ B \ B' = {e})
hcard : (B' \ B).encard = (B \ B').encard

⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hcard : (B' \ B).encard = (B \ B').encard
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}

⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hcard : ∃ x, B' \ B = {x}
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}

⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}
x : α
hx : B' \ B = {x}

⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}
hx : B' \ B = {f}

⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B'✝ I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hfB : f ∈ B'
h : B \ B' = {e}
hx : B' \ B = {f}

⊢ M.Base B'
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
r : α → α → Prop
f : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
h : ∀ (x : ι), DirectedOn r (f x)

⊢ DirectedOn r (⋃ x, f x)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
r : α → α → Prop
f : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) f
h : ∀ (x : ι), DirectedOn r (f x)

⊢ ∀ (x : α) (x_1 : ι), x ∈ f x_1 → ∀ (y : α) (x_2 : ι), y ∈ f x_2 → ∃ z, (∃ i, z ∈ f i) ∧ r x z ∧ r y z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < z \ y
hyz : y ≤ z

⊢ x ⊔ y < z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < z \ y
hyz : y ≤ z

⊢ x ⊔ y < z \ y ⊔ y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < z \ y
hyz : y ≤ z
h' : z \ y ⊔ y ≤ x ⊔ y

⊢ z \ y ≤ x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : x < z \ y
hyz : y ≤ z
h' : z \ y ⊔ y ≤ x ⊔ y

⊢ (z \ y) \ y ≤ x
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f

⊢ s.FG
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
this : ∀ y ∈ t1, ∃ x ∈ s, f x = y

⊢ s.FG
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y

⊢ span R ↑(Finset.image g t1 ∪ t2) = s
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y

⊢ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2 = s
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y

⊢ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2 ≤ s
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y

⊢ s ≤ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s

⊢ x ∈ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
this : f x ∈ map f s

⊢ x ∈ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
this : ∃ l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1, (Finsupp.total P P R id) l = f x

⊢ x ∈ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1
hl2 : (Finsupp.total P P R id) l = f x

⊢ x ∈ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1
hl2 : (Finsupp.total P P R id) l = f x

⊢ (Finsupp.total M M R id).toFun ((Finsupp.lmapDomain R R g) l) ∈ span R (g '' ↑t1)
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1
hl2 : (Finsupp.total P P R id) l = f x

⊢ x - (Finsupp.total M M R id) ((Finsupp.lmapDomain R R g) l) ∈ span R ↑t2
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
P : Type u_6
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ Finsupp.supported R R ↑t1
hl2 : (Finsupp.total P P R id) l = f x

⊢ x - (Finsupp.total M M R id) ((Finsupp.lmapDomain R R g) l) ∈ s ∧ x - (Finsupp.total M M R id) ((Finsupp.lmapDomain R R g) l) ∈ LinearMap.ker f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E

⊢ ∅.centerMass w z = 0
-- Mathlib/Data/Set/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
x✝ : ↑(range f)

⊢ (f ∘ rangeSplitting f) x✝ = ↑x✝
-- Mathlib/Data/Set/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
x✝ : ↑(range f)

⊢ f (rangeSplitting f x✝) = ↑x✝
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f a = f b

⊢ f (a * b⁻¹) = 1
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
h : f a = f b
this : f a * (f b)⁻¹ = 1

⊢ f (a * b⁻¹) = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ

⊢ IsOpen {f | ↑n ≤ (↑f).rank}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ

⊢ IsOpen (⋃ i, ⋃ (_ : i.card = n), {x | LinearIndependent 𝕜 fun (x_1 : ↑↑i) => ↑x ↑x_1})
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ
t : Finset E
x✝ : t ∈ fun i => i.card = n

⊢ IsOpen {x | LinearIndependent 𝕜 fun (x_1 : ↑↑t) => ↑x ↑x_1}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ
t : Finset E
x✝ : t ∈ fun i => i.card = n
this : Continuous fun f x => f ↑x

⊢ IsOpen {x | LinearIndependent 𝕜 fun (x_1 : ↑↑t) => ↑x ↑x_1}
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
φ : F
a : A
r : R
h : r ∈ resolventSet R a

⊢ r ∈ resolventSet R (φ a)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
h : 0 < s

⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
h : 0 < s

⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) (Ioc 0 1) volume ∧ IntegrableOn (fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) (Ioi 1) volume
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
m : Matrix n n R[X]
k : ℕ
i j : n

⊢ (matPolyEquiv m).coeff k i j = (m i j).coeff k
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
m : Matrix n n R[X]
k : ℕ
i j : n

⊢ (matPolyEquiv 0).coeff k i j = (0 i j).coeff k
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
m : Matrix n n R[X]
k : ℕ
i j : n

⊢ ∀ (p q : Matrix n n R[X]), (matPolyEquiv p).coeff k i j = (p i j).coeff k → (matPolyEquiv q).coeff k i j = (q i j).coeff k → (matPolyEquiv (p + q)).coeff k i j = ((p + q) i j).coeff k
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
m : Matrix n n R[X]
k : ℕ
i j : n

⊢ ∀ (i_1 j_1 : n) (x : R[X]), (matPolyEquiv (stdBasisMatrix i_1 j_1 x)).coeff k i j = (stdBasisMatrix i_1 j_1 x i j).coeff k
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hXm : AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬Memℒp X 2 μ

⊢ evariance X μ = ⊤
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hXm : AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬Memℒp X 2 μ
h : ¬evariance X μ = ⊤

⊢ False
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hXm : AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬Memℒp X 2 μ
h : evariance X μ < ⊤

⊢ False
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hXm : AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬Memℒp X 2 μ
h : evariance X μ < ⊤
this : Memℒp (fun ω => X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) 2 μ

⊢ False
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hXm : AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬Memℒp X 2 μ
h : evariance X μ < ⊤
this : Memℒp (fun ω => X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) 2 μ

⊢ Memℒp X 2 μ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hXm : AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬Memℒp X 2 μ
h : evariance X μ < ⊤
this : Memℒp (fun ω => X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) 2 μ

⊢ X = (fun ω => X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) + fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hXm : AEStronglyMeasurable X μ
hX : ¬Memℒp X 2 μ
h : evariance X μ < ⊤
this : Memℒp (fun ω => X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) 2 μ
ω : Ω

⊢ X ω = ((fun ω => X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ) + fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b u v w : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hv : v ≠ 0
hvb : v < b
hw : w < b ^ u

⊢ log b (b ^ u * v + w) = u
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b u v w : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hv : v ≠ 0
hvb : v < b
hw : w < b ^ u
hne' : b ^ u * v + w ≠ 0

⊢ log b (b ^ u * v + w) = u
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b u v w : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hv : v ≠ 0
hvb : v < b
hw : w < b ^ u
hne' : b ^ u * v + w ≠ 0
hne : log b (b ^ u * v + w) ≠ u

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b u v w : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hv : v ≠ 0
hvb : v < b
hw : w < b ^ u
hne' : b ^ u * v + w ≠ 0
hne : log b (b ^ u * v + w) ≠ u
h : log b (b ^ u * v + w) < u

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b u v w : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
hv : v ≠ 0
hvb : v < b
hw : w < b ^ u
hne' : b ^ u * v + w ≠ 0
hne : log b (b ^ u * v + w) ≠ u
h : log b (b ^ u * v + w) > u

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r✝ r : R → R → Prop
x y : R
w : r x y

⊢ (mkRingHom r) x = (mkRingHom r) y
-- Mathlib/CategoryTheory/Conj.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
Z : C
β : Y ≅ Z
f : Aut X

⊢ (α ≪≫ β).conjAut f = β.conjAut (α.conjAut f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.67329, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.67333, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C

⊢ mn + a = a''
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m mn : M
hnm : m + n = mn
a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
X : C

⊢ (F.shiftIso n a a' ha').hom.app ((shiftFunctor C m).obj X) ≫ (F.shiftIso m a' a'' ha'').hom.app X = (F.shift a).map ((shiftFunctorAdd' C m n mn hnm).inv.app X) ≫ (F.shiftIso mn a a'' ⋯).hom.app X
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ sin x + sin y = 2 * sin ((x + y) / 2) * cos ((x - y) / 2)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
s : Set Y
hs : IsOpen s

⊢ e.trans (ofSet s hs) = e.restr (e.source ∩ ↑e ⁻¹' s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
hN : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ

⊢ LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s ↔ 1 < s.re
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
hN : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
H : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s

⊢ 1 < s.re
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
hN : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
H : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s
h : s.re ≤ 1

⊢ False
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : StarRing α
M : Matrix n n α
d : ℕ

⊢ M = (↑d)ᴴ ↔ M = ↑d
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
g' : G'
f₁ f₂ : G →* G'

⊢ f₁ = f₂ ↔ f₁ g = f₂ g
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
g' : G'
f₁ f₂ : G →* G'

⊢ (∀ (x : G), f₁ x = f₂ x) ↔ f₁ g = f₂ g
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
g' : G'
f₁ f₂ : G →* G'
H : f₁ g = f₂ g
x : G

⊢ f₁ x = f₂ x
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
g : G
hg : ∀ (x : G), x ∈ zpowers g
g' : G'
f₁ f₂ : G →* G'
H : f₁ g = f₂ g
x : G
n : ℤ
hn : g ^ n = x

⊢ f₁ x = f₂ x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/ClassNumber.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : ↑|discr K| < (2 * (π / 4) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K / ↑(finrank ℚ K).factorial)) ^ 2

⊢ IsPrincipalIdealRing (𝓞 K)