ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
inst✝ : Countable ι
f : ι → Measure α
s : Set α

⊢ (sum f) s = ∑' (i : ι), (f i) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ : α → β
inst✝ : Countable ι
f : ι → Measure α
s : Set α

⊢ (sum f) s ≤ ∑' (i : ι), (f i) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
f✝ : α → β
inst✝ : Countable ι
f : ι → Measure α
s t : Set α
hst : s ⊆ t
htm : MeasurableSet t
ht : ∀ (i : ι), (f i) t = (f i) s

⊢ (sum f) s ≤ ∑' (i : ι), (f i) s
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R

⊢ (x ◃⁻¹ x) ◃⁻¹ y = x ◃⁻¹ y
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R
h : (op x ◃ op x) ◃ op y = op x ◃ op y

⊢ (x ◃⁻¹ x) ◃⁻¹ y = x ◃⁻¹ y
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
m : Multiset α
hms : ∀ a ∈ m, a ∈ s

⊢ ∑ a ∈ s, count a m = card m
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
m : Multiset α
hms : ∀ a ∈ m, a ∈ s

⊢ ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => count x m ≠ 0) s, count x m = ∑ a ∈ m.toFinset, count a m
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
p : Fin n → Prop
inst✝ : DecidablePred p

⊢ find p = none ↔ ∀ (i : Fin n), ¬p i
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
p : Fin n → Prop
inst✝ : DecidablePred p

⊢ find p = none ↔ ¬(find p).isSome = true
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/BinomialHeap/Basic.lean
α : Type u_1
s✝ : HeapNode α
n : Nat
res : Heap α
a : α
c s : HeapNode α

⊢ (toHeap.go (node a c s) n res).realSize = (node a c s).realSize + res.realSize
-- Mathlib/CategoryTheory/Subterminal.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A T : C
hT : IsTerminal T
inst✝ : Mono (hT.from A)
Z : C
f g : Z ⟶ A

⊢ f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/Subterminal.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A T : C
hT : IsTerminal T
inst✝ : Mono (hT.from A)
Z : C
f g : Z ⟶ A

⊢ f ≫ hT.from A = g ≫ hT.from A
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x : R₁
hx : x ≠ 0

⊢ (↑(Ideal.span {x}))⁻¹ * ↑(Ideal.span {x}) = 1
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Star α

⊢ Mᴴ.updateRow j (star c) = (M.updateColumn j c)ᴴ
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Star α

⊢ ((M.map star).updateColumn j (star c))ᵀ = ((M.map star).updateColumn j (star ∘ c))ᵀ
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : Disjoint s t
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝

⊢ (s ∪ t).ncard = s.ncard + t.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : Disjoint s t
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝

⊢ ↑(s ∪ t).ncard = ↑s.ncard + ↑t.ncard
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid α
x : Holor α ds
h : x.CPRankMax1
h' : CPRankMax (0 + 1) (x + 0)

⊢ CPRankMax 1 x
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Covering.lean
U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.10354
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : φ.IsCovering

⊢ φ.symmetrify.IsCovering
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g
h : b ⟶ c

⊢ η.inv ▷ h ≫ η.hom ▷ h = 𝟙 (g ≫ h)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g✝ g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
f : α → β
g : γ → α
s : Set β

⊢ MapsTo f (range g) s ↔ MapsTo (f ∘ g) univ s
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Theta.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
c : 𝕜
f : α → 𝕜
hc : c ≠ 0

⊢ (fun x => c * f x) =Θ[l] g ↔ f =Θ[l] g
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
h : Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v}) = ⊤

⊢ (↑↑I).IsPrincipal
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
h : Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v}) = ⊤
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1

⊢ (↑↑I).IsPrincipal
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v})
h : J = ⊤

⊢ (↑↑I).IsPrincipal
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v})
h : J = ⊤
hJ : IsLocalization.coeSubmodule A J = ↑↑I * Submodule.span R {v}

⊢ (↑↑I).IsPrincipal
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v})
h : J = ⊤
hJ : IsLocalization.coeSubmodule A J = ↑↑I * Submodule.span R {v}
this : 1 ∈ ↑↑I * Submodule.span R {v}

⊢ (↑↑I).IsPrincipal
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v})
h : J = ⊤
hJ : IsLocalization.coeSubmodule A J = ↑↑I * Submodule.span R {v}
this : 1 ∈ ↑↑I * Submodule.span R {v}
w : A
hw : w ∈ ↑↑I
hvw : w * v = 1

⊢ (↑↑I).IsPrincipal
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v})
h : J = ⊤
hJ : IsLocalization.coeSubmodule A J = ↑↑I * Submodule.span R {v}
this : 1 ∈ ↑↑I * Submodule.span R {v}
w : A
hw : w ∈ ↑↑I
hvw : w * v = 1

⊢ ↑↑I = Submodule.span R {w}
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v})
h : J = ⊤
hJ : IsLocalization.coeSubmodule A J = ↑↑I * Submodule.span R {v}
this : 1 ∈ ↑↑I * Submodule.span R {v}
w : A
hw : w ∈ ↑↑I
hvw : w * v = 1

⊢ ↑(spanSingleton S w) = ↑↑I⁻¹⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v})
h : J = ⊤
hJ : IsLocalization.coeSubmodule A J = ↑↑I * Submodule.span R {v}
this : 1 ∈ ↑↑I * Submodule.span R {v}
w : A
hw : w ∈ ↑↑I
hvw : w * v = 1

⊢ ↑I⁻¹ * spanSingleton S w ≤ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/PID.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R✝
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S A
I : (FractionalIdeal S A)ˣ
v : A
hv : v ∈ ↑I⁻¹
hinv : ↑I * ↑I⁻¹ = 1
J : Submodule R R := Submodule.comap (Algebra.linearMap R A) (↑↑I * Submodule.span R {v})
h : J = ⊤
hJ : IsLocalization.coeSubmodule A J = ↑↑I * Submodule.span R {v}
this : 1 ∈ ↑↑I * Submodule.span R {v}
w : A
hw : w ∈ ↑↑I
hvw : w * v = 1

⊢ 1 ≤ ↑I⁻¹ * spanSingleton S w
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
h : ∀ (g : α), g • ↑s = op g • ↑s
a : α
ha : a ∈ s
g : α

⊢ g * a * g⁻¹ ∈ ↑s
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
h : ∀ (g : α), g • ↑s = op g • ↑s
a : α
ha : a ∈ s
g : α

⊢ g * a ∈ g • ↑s
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
hA : 0 ≤ A
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ ∫ (x : α), truncation f A x ^ n ∂μ = ∫ (y : ℝ) in -A..A, y ^ n ∂Measure.map f μ
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
hA : 0 ≤ A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
M : MeasurableSet (Set.Ioc (-A) A)

⊢ ∫ (x : α), truncation f A x ^ n ∂μ = ∫ (y : ℝ) in -A..A, y ^ n ∂Measure.map f μ
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
hA : 0 ≤ A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
M : MeasurableSet (Set.Ioc (-A) A)

⊢ ∫ (x : α), (fun z => (Set.Ioc (-A) A).indicator id z ^ n) (f x) ∂μ = ∫ (y : ℝ) in -A..A, y ^ n ∂Measure.map f μ
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
hA : 0 ≤ A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
M : MeasurableSet (Set.Ioc (-A) A)

⊢ ∫ (y : ℝ), (Set.Ioc (-A) A).indicator id y ^ n ∂Measure.map f μ = ∫ (x : ℝ), (Set.Ioc (-A) A).indicator (fun x => x ^ n) x ∂Measure.map f μ
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
hA : 0 ≤ A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
M : MeasurableSet (Set.Ioc (-A) A)

⊢ -A ≤ A
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ
hA : 0 ≤ A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
M : MeasurableSet (Set.Ioc (-A) A)

⊢ AEStronglyMeasurable (fun z => (Set.Ioc (-A) A).indicator id z ^ n) (Measure.map f μ)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NNNorm.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁸ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₂₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
h : F →SL[σ₂₃] G
x : E

⊢ IsLeast {C | ∀ (x : E), ‖f x‖₊ ≤ C * ‖x‖₊} ‖f‖₊
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hx : x ≤ 1
h_one_le : 1 ≤ z

⊢ x ^ z ≤ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hx : x ≤ 1
h_one_le : 1 ≤ z

⊢ x ^ z ≤ x ^ 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ

⊢ ↑n + ℵ₀ = ℵ₀
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
x✝ y z a x : ℝ
ha : a < 0

⊢ HasStrictDerivAt (fun x => a ^ x) (a ^ x * log a - rexp (log a * x) * sin (x * π) * π) x
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Curry.lean
n : ℕ
p : Fin n → Type u
τ : Type u
f : ((i : Fin n) → p i) → τ
args : (i : Fin n) → p i

⊢ (curry f).uncurry args = f args
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/LazyList.lean
α : Type u_1
xs : LazyList α

⊢ xs.append (Thunk.pure nil) = xs
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Algebra.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : LipschitzMul β

⊢ ∀ (p q : β × β), dist (p.1 * p.2) (q.1 * q.2) ≤ ↑(LipschitzMul.C β) * dist p q
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Algebra.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : LipschitzMul β

⊢ LipschitzWith (LipschitzMul.C β) fun p => p.1 * p.2
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Submodule.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
h : IsNoetherianRing R

⊢ IsNoetherianRing S
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Submodule.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1

⊢ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/AsPolynomial.lean
K✝ : Type u
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f g : K[X]
hg : g ≠ 0

⊢ (idealX K).valuation (RatFunc.mk f g) = (idealX K).intValuation f / (idealX K).intValuation g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (𝟭 C).map f✝ ≫ (fun X => (adj.homEquiv X (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X))) Y✝ = (fun X => (adj.homEquiv X (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X))) X✝ ≫ (F ⋙ G).map f✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (adj.homEquiv ((𝟭 C).obj X✝) (F.obj Y✝)) (F.map ((𝟭 C).map f✝) ≫ 𝟙 (F.obj Y✝)) = (adj.homEquiv ((𝟭 C).obj X✝) (F.obj Y✝)) (𝟙 (F.obj X✝) ≫ F.map f✝)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X✝ Y✝ : D
f✝ : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (G ⋙ F).map f✝ ≫ (fun Y => (adj.homEquiv (G.obj Y) ((𝟭 D).obj Y)).invFun (𝟙 (G.obj Y))) Y✝ = (fun Y => (adj.homEquiv (G.obj Y) ((𝟭 D).obj Y)).invFun (𝟙 (G.obj Y))) X✝ ≫ (𝟭 D).map f✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X✝ Y✝ : D
f✝ : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (adj.homEquiv (G.obj X✝) ((𝟭 D).obj Y✝)).symm (G.map f✝ ≫ 𝟙 (G.obj Y✝)) = (adj.homEquiv (G.obj X✝) ((𝟭 D).obj Y✝)).symm (𝟙 (G.obj X✝) ≫ G.map ((𝟭 D).map f✝))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X : C
Y : D
f : F.obj X ⟶ Y

⊢ (adj.homEquiv X Y) f = { app := fun X => (adj.homEquiv X (F.obj X)) (𝟙 (F.obj X)), naturality := ⋯ }.app X ≫ G.map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X : C
Y : D
f : F.obj X ⟶ Y

⊢ (adj.homEquiv X Y) f = (adj.homEquiv ((𝟭 C).obj X) Y) (𝟙 (F.obj X) ≫ f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X : C
Y : D
f : X ⟶ G.obj Y

⊢ (adj.homEquiv X Y).symm f = F.map f ≫ { app := fun Y => (adj.homEquiv (G.obj Y) ((𝟭 D).obj Y)).invFun (𝟙 (G.obj Y)), naturality := ⋯ }.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X : C
Y : D
f : X ⟶ G.obj Y

⊢ (adj.homEquiv X Y).symm f = (adj.homEquiv X ((𝟭 D).obj Y)).symm (f ≫ 𝟙 (G.obj Y))
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
h : ∀ (a b : α), b ∈ f a → a = b
l : List α

⊢ lookmap f l = l
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
h : ∀ (a b : α), b ∈ f a → a = b
l : List α

⊢ ∀ (a b : α), b ∈ f a → id a = id b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
n i : ℕ

⊢ ((lcoeff R n ∘ₗ taylor r) ∘ₗ monomial i) 1 = ((leval r ∘ₗ hasseDeriv n) ∘ₗ monomial i) 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
n i : ℕ

⊢ ∑ x ∈ Finset.range (i + 1), (lcoeff R n) (X ^ x * C r ^ (i - x) * ↑(i.choose x)) = ↑(i.choose n) * r ^ (i - n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
n i : ℕ

⊢ (if n < i + 1 then r ^ (i - n) * ↑(i.choose n) else 0) = r ^ (i - n) * ↑(i.choose n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
n i : ℕ
h : i + 1 ≤ n

⊢ 0 = r ^ (i - n) * ↑(i.choose n)
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
i : LocallyConnectedSpace Y
h : X ≃ₜ Y
this : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (fun s => IsOpen s ∧ h x ∈ s ∧ IsConnected s) fun x => ⇑h.symm '' x

⊢ LocallyConnectedSpace X
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
i : LocallyConnectedSpace Y
h : X ≃ₜ Y
this : ∀ (x : X), (𝓝 x).HasBasis (fun s => IsOpen s ∧ h x ∈ s ∧ IsConnected s) fun x => ⇑h.symm '' x
x✝¹ : X
x✝ : Set Y
hs : IsOpen x✝ ∧ h x✝¹ ∈ x✝ ∧ IsConnected x✝

⊢ IsPreconnected (⇑h.symm '' x✝)
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ

⊢ a ≡ b - c [PMOD p] ↔ c + a ≡ b [PMOD p]
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

⊢ Continuous ⇑(toWOT 𝕜 E F)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
y : NormedSpace.Dual 𝕜 F

⊢ Continuous fun a => y (((toWOT 𝕜 E F) a) x)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
y : NormedSpace.Dual 𝕜 F

⊢ Continuous fun a => y (a x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁵ : ConcreteCategory D
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
P : Cᵒᵖ ⥤ D

⊢ Presheaf.IsSheaf J (J.plusObj (J.plusObj P))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁵ : ConcreteCategory D
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
P : Cᵒᵖ ⥤ D

⊢ ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), ((J.plusObj P).map I.f.op) x = ((J.plusObj P).map I.f.op) y) → x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁶ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁵ : ConcreteCategory D
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
P : Cᵒᵖ ⥤ D
X : C
S : J.Cover X
x y : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))

⊢ (∀ (I : S.Arrow), ((J.plusObj P).map I.f.op) x = ((J.plusObj P).map I.f.op) y) → x = y
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
β : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : FirstCountableTopology β
f : α → β
hf : Inducing f

⊢ FirstCountableTopology α
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hB : M.Base B
hBX : B ⊆ X
hIX : M.Basis I X

⊢ M.Base I
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hB : M.Base B
hBX : B ⊆ X
hIX : M.Basis I X
h : ¬M.Base I

⊢ False
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e✝ : α
hB : M.Base B
hBX : B ⊆ X
hIX : M.Basis I X
h : ¬M.Base I
e : α
heBI : e ∈ B \ I
he : M.Indep (insert e I)

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

⊢ toIcoMod hp a b = c ↔ c ∈ Set.Ico a (a + p) ∧ ∃ z, b = c + z • p
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

⊢ (c ∈ Set.Ico a (a + p) ∧ ∃ z, b = c + z • p) → toIcoMod hp a b = c