ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I M : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hIM : I ≤ M
hM : M.IsMaximal
Z₀ : Multiset (PrimeSpectrum A)
hZ₀ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≠ ⊥
Z : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_eraseZ : ∀ x ∈ {Z | (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥}, ¬x < Z
hZI : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
hprodZ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥
w✝ : Ideal A
hPZ' : w✝ ∈ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z
hPM : w✝ ≤ M

⊢ ∃ Z, (M ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
hNF : ¬IsField A
I M : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hIM : I ≤ M
hM : M.IsMaximal
Z₀ : Multiset (PrimeSpectrum A)
hZ₀ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z₀).prod ≠ ⊥
Z : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_eraseZ : ∀ x ∈ {Z | (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥}, ¬x < Z
hZI : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
hprodZ : (Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≠ ⊥
P : PrimeSpectrum A
hPZ : P ∈ Z
hPZ' : P.asIdeal ∈ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z
hPM : P.asIdeal ≤ M

⊢ ∃ Z, (M ::ₘ Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I ∧ ¬(Multiset.map PrimeSpectrum.asIdeal Z).prod ≤ I
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
a : 𝕜
h : Tendsto f l (𝓝 a)
hg : Tendsto g l atTop

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) l (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
a : 𝕜
h : Tendsto f l (𝓝 a)
hg : Tendsto g l atTop

⊢ Tendsto (fun x => f x * (g x)⁻¹) l (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a < b
hf_c : ContinuousOn f (Ioo a b)
hf_i : InjOn f (Ioo a b)

⊢ StrictMonoOn f (Ioo a b) ∨ StrictAntiOn f (Ioo a b)
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a < b
hf_c : ContinuousOn f (Ioo a b)
hf_i : InjOn f (Ioo a b)
this : Inhabited ↑(Ioo a b)

⊢ StrictMonoOn f (Ioo a b) ∨ StrictAntiOn f (Ioo a b)
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a < b
hf_c : ContinuousOn f (Ioo a b)
hf_i : InjOn f (Ioo a b)
this : Inhabited ↑(Ioo a b)
g : ↑(Ioo a b) → δ := (Ioo a b).restrict f

⊢ StrictMonoOn f (Ioo a b) ∨ StrictAntiOn f (Ioo a b)
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hab : a < b
hf_c : ContinuousOn f (Ioo a b)
hf_i : InjOn f (Ioo a b)
this✝ : Inhabited ↑(Ioo a b)
g : ↑(Ioo a b) → δ := (Ioo a b).restrict f
this : StrictMono g ∨ StrictAnti g

⊢ StrictMonoOn f (Ioo a b) ∨ StrictAntiOn f (Ioo a b)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
f✝ : α → β
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : SecondCountableTopology β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f

⊢ SeparableSpace α
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
f✝ : α → β
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : SecondCountableTopology β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f
this : SecondCountableTopology α

⊢ SeparableSpace α
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hd : M
tl : List M
ih : (∀ x ∈ tl, 1 ≤ x) → 1 ≤ tl.prod
hl₁ : ∀ x ∈ hd :: tl, 1 ≤ x

⊢ 1 ≤ (hd :: tl).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hd : M
tl : List M
ih : (∀ x ∈ tl, 1 ≤ x) → 1 ≤ tl.prod
hl₁ : ∀ x ∈ hd :: tl, 1 ≤ x

⊢ 1 ≤ hd * tl.prod
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
n✝ : ?m.14976
s t : Finset α
n : ℕ

⊢ (↑(powersetCard n ∅)).Subsingleton
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : ¬λ ∣ x

⊢ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1 ∨ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 + 1
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : ¬λ ∣ x
H : λ ∣ x

⊢ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1 ∨ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 + 1
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : ¬λ ∣ x
H : λ ∣ x - 1

⊢ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1 ∨ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 + 1
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x : 𝓞 K
h : ¬λ ∣ x
H : λ ∣ x + 1

⊢ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1 ∨ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 + 1
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
f : G → E
s : Set G
hp : WithSeminorms p

⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (f '' s) ↔ ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) (f x) < r
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s✝ t✝ : Multiset α
f✝ g✝ : α → Multiset β
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
f : α → Multiset γ
g : β → Multiset δ
h : (r ⇒ Rel p) f g
hst : Rel r s t

⊢ Rel p (s.bind f) (t.bind g)
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s✝ t✝ : Multiset α
f✝ g✝ : α → Multiset β
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
f : α → Multiset γ
g : β → Multiset δ
h : (r ⇒ Rel p) f g
hst : Rel r s t

⊢ Rel (Rel p) (map f s) (map g t)
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s✝ t✝ : Multiset α
f✝ g✝ : α → Multiset β
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
f : α → Multiset γ
g : β → Multiset δ
h : (r ⇒ Rel p) f g
hst : Rel r s t

⊢ Rel (fun a b => Rel p (f a) (g b)) s t
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x y : WithLp 2 (α × β)

⊢ edist x y = (edist x.1 y.1 ^ 2 + edist x.2 y.2 ^ 2) ^ (1 / 2)
-- Mathlib/Algebra/Symmetrized.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Mul α
inst✝³ : AddCommSemigroup α
inst✝² : One α
inst✝¹ : OfNat α 2
inst✝ : Invertible 2
a b : αˢʸᵐ

⊢ a * b = b * a
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α✝
t✝ t₁ t₂ : Set β✝
a : α✝
b : β✝
α : Type u_5
β : Type u_6
s : Set α
t : Set β
p : α × β

⊢ p ∈ (s ×ˢ t)ᶜ ↔ p ∈ sᶜ ×ˢ univ ∪ univ ×ˢ tᶜ
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α✝
t✝ t₁ t₂ : Set β✝
a : α✝
b : β✝
α : Type u_5
β : Type u_6
s : Set α
t : Set β
p : α × β

⊢ p.1 ∈ s → p.2 ∉ t ↔ p.1 ∉ s ∨ p.2 ∉ t
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ⇔ b ⇔ (c ⇔ d) = a ⇔ c ⇔ (b ⇔ d)
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalStopping.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}

⊢ ε • μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≤ ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ)
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalStopping.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω

⊢ ε • μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≤ ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ)
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalStopping.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω
h : ↑ε * (μ {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}).toReal ≤ ∫ (x : Ω) in {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) x ∂μ

⊢ ε • μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≤ ENNReal.ofReal (∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ)
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalStopping.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω
h : ↑ε * (μ {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}).toReal ≤ ∫ (x : Ω) in {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) x ∂μ

⊢ ε • (μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}).toReal ≤ ∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalStopping.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω
h : ↑ε * (μ {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}).toReal ≤ ∫ (x : Ω) in {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) x ∂μ

⊢ ε • μ {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω} ≠ ⊤
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalStopping.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hsub : Submartingale f 𝒢 μ
ε : ℝ≥0
n : ℕ
hn : Set.Icc 0 n = {k | k ≤ n}
this : ∀ (ω : Ω), (↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω) → ↑ε ≤ stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω
h : ↑ε * (μ {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}).toReal ≤ ∫ (x : Ω) in {a | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k a}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) x ∂μ

⊢ 0 ≤ ∫ (ω : Ω) in {ω | ↑ε ≤ (range (n + 1)).sup' ⋯ fun k => f k ω}, stoppedValue f (hitting f {y | ↑ε ≤ y} 0 n) ω ∂μ
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x✝ x : α × α

⊢ x ∈ (s ∩ t).diag ↔ x ∈ s.diag ∩ t.diag
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G

⊢ S ∈ leftTransversals ↑H ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.leftRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G

⊢ (∀ (g : G), ∃! s, ↑↑s = ↑g) ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.leftRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
F : Presheaf C Y
U : Opens ↑X
x : ↥U
V : Opens ↑Y
hV : U ≤ (Opens.map f).obj V

⊢ ((pushforwardPullbackAdjunction C f).unit.app F).app (op V) ≫ ((pullback C f).obj F).map (homOfLE hV).op ≫ germToPullbackStalk C f F U x = F.germ ⟨f ↑x, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated

⊢ TendstoUniformly F f l ↔ ∀ (u : ℕ → ι), Tendsto u atTop l → TendstoUniformly (fun n => F (u n)) f atTop
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated

⊢ TendstoUniformlyOn F f l univ ↔ ∀ (u : ℕ → ι), Tendsto u atTop l → TendstoUniformlyOn (fun n => F (u n)) f atTop univ
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t u : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
h₂ : t ∩ s = u ∩ s

⊢ 𝓝[t] a = 𝓝[u] a
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
s : ι → Finset α
hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i

⊢ ∑' (a : α), f a = ⨆ i, ∑ a ∈ s i, f a
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
s : ι → Finset α
hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i

⊢ ⨆ s, ∑ a ∈ s, f a = ⨆ i, ∑ a ∈ s i, f a
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
ι : Type u_4
s : ι → Finset α
hs : ∀ (t : Finset α), ∃ i, t ⊆ s i

⊢ ⨆ i, (fun t => ∑ a ∈ t, f a) (s i) = ⨆ s, ∑ a ∈ s, f a
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
hr : r < 1

⊢ HasSum (fun n => r ^ n) (1 - r)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
hr : r < 1

⊢ HasSum (fun a => ↑(r ^ a)) ↑(1 - r)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
hr : r < 1

⊢ HasSum (fun a => ↑r ^ a) (↑(1 - r))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
hr : r < 1

⊢ HasSum (fun a => ↑r ^ a) (↑1 - ↑r)⁻¹
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b

⊢ ((Finset.erase b m).erase (m.1, m.2 - 1)).card + 2 = Finset.card b
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b

⊢ (Finset.erase b m).card - 1 + 2 = Finset.card b
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b

⊢ Finset.card b - 1 - 1 + 2 = Finset.card b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset ι
f : ι → α → β

⊢ (mulSupport fun x => ∏ i ∈ s, f i x) ⊆ ⋃ i ∈ s, mulSupport (f i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset ι
f : ι → α → β

⊢ ∀ (x : α), (∀ x_1 ∈ s, f x_1 x = 1) → ∏ i ∈ s, f i x = 1
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b

⊢ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
ha : a ∈ Ici a

⊢ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
ha : a ∈ Ici a
has : a ∈ s

⊢ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
ha : a ∈ Ici a
has : a ∈ s
b : β
hb : b < f a

⊢ ∀ᶠ (b_1 : α) in 𝓝[≥] a, b < f b_1
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : ∀ b > f a, ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
ha : a ∈ Ici a
has : a ∈ s
b : β
hb : b > f a

⊢ ∀ᶠ (b_1 : α) in 𝓝[≥] a, f b_1 < b
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf_indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k l : ι
hik : i ≠ k
hil : i ≠ l
hjk : j ≠ k
hjl : j ≠ l

⊢ IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (fun a => (f k a, f l a)) κ μ
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero

⊢ rootSpace H (2 • ⇑α) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h✝ : Subsingleton L

⊢ rootSpace H (2 • ⇑α) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h✝ : Nontrivial L

⊢ rootSpace H (2 • ⇑α) = ⊥
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}

⊢ ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = o.cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}

⊢ ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = sInf {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
hn : 0 < n
this : DecidableEq V := Classical.decEq V

⊢ k * (k - ℓ - 1) = (n - k - 1) * μ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
hn : Nonempty V
this : DecidableEq V := Classical.decEq V

⊢ k * (k - ℓ - 1) = (n - k - 1) * μ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
v : V

⊢ k * (k - ℓ - 1) = (n - k - 1) * μ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
v : V

⊢ k = (G.neighborFinset v).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
v : V

⊢ n - k - 1 = (Gᶜ.neighborFinset v).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
v : V

⊢ ∀ a ∈ G.neighborFinset v, (bipartiteAbove G.Adj (Gᶜ.neighborFinset v) a).card = k - ℓ - 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
this : DecidableEq V := Classical.decEq V
v : V

⊢ ∀ b ∈ Gᶜ.neighborFinset v, (bipartiteBelow G.Adj (G.neighborFinset v) b).card = μ
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
hH : Group.IsNilpotent H

⊢ Group.IsNilpotent G
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
hH : ∃ n, lowerCentralSeries H n = ⊥

⊢ ∃ n, lowerCentralSeries G n = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H✝ : Subgroup G
inst✝¹ : H✝.Normal
H : Type u_2
inst✝ : Group H
f : G →* H
hf1 : f.ker ≤ center G
n : ℕ
hn : lowerCentralSeries H n = ⊥

⊢ ∃ n, lowerCentralSeries G n = ⊥