ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
i : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves

⊢ ((mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i).birthday < max (lsub fun i => (a✝¹ i).birthday) (lsub fun i => (a✝ i).birthday)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R θ : ℝ

⊢ deriv (circleMap c R) θ = 0 ↔ R = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/BigOperators.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s✝ : R
x y : M
s : Multiset R
t : Multiset M

⊢ s.sum • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) (s ×ˢ t)).sum
-- Mathlib/Algebra/Module/BigOperators.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M
t : Multiset M

⊢ sum 0 • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) (0 ×ˢ t)).sum
-- Mathlib/Algebra/Module/BigOperators.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s✝ : R
x y : M
t : Multiset M
a : R
s : Multiset R
ih : s.sum • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) (s ×ˢ t)).sum

⊢ (a ::ₘ s).sum • t.sum = (map (fun p => p.1 • p.2) ((a ::ₘ s) ×ˢ t)).sum
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
left✝ : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1

⊢ SameRay R (z -ᵥ x) (z -ᵥ (lineMap x z) t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ 0 < ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ↔ 0 < μ (support f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatibleSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D

⊢ ((𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv ≫ 𝟙 (J.plusObj (J.plusObj P ⋙ F))) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv) ≫ 𝟙 (J.plusObj (J.plusObj P) ⋙ F) = J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatibleSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D

⊢ (𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv = J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv
-- Mathlib/Tactic/ReduceModChar.lean
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n : ℕ
inst : CharP α n
b : α
a : ℕ
a' : α
p : IsNat (↑n - 1) a
pa : ↑a = a'

⊢ -b = a' * b
-- Mathlib/Tactic/ReduceModChar.lean
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
n : ℕ
inst : CharP α n
b : α
a : ℕ
a' : α
p : IsNat (↑n - 1) a
pa : ↑a = a'

⊢ -1 * b = (↑n - 1) * b
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ ψ : R⟦X⟧
m : ℕ

⊢ (trunc n (φ + ψ)).coeff m = (trunc n φ + trunc n ψ).coeff m
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ ψ : R⟦X⟧
m : ℕ

⊢ (if m < n then (coeff R m) (φ + ψ) else 0) = (if m < n then (coeff R m) φ else 0) + if m < n then (coeff R m) ψ else 0
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
s : Subgroup β
H : Set.range f ⊆ ↑s
w✝ : FreeGroup α
L : List (α × Bool)

⊢ (lift f) (Quot.mk Red.Step L) ∈ s
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
x y z : M
x✝¹ : y ∈ powers x
x✝ : z ∈ powers x
n₁ : ℕ
h₁ : x ^ n₁ = y
n₂ : ℕ
h₂ : x ^ n₂ = z

⊢ x ^ (n₁ + n₂) = y * z
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn : n ≠ 0

⊢ Injective fun x => x ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn✝ : n ≠ 0
hn : n < 0

⊢ Injective fun x => x ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
n : ℤ
a b : α
hn✝ : n ≠ 0
hn : 0 < n

⊢ Injective fun x => x ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, AEStronglyMeasurable f μ) → AEStronglyMeasurable l.prod μ
hl : ∀ f_1 ∈ f :: l, AEStronglyMeasurable f_1 μ

⊢ AEStronglyMeasurable (f :: l).prod μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, AEStronglyMeasurable f μ) → AEStronglyMeasurable l.prod μ
hl : AEStronglyMeasurable f μ ∧ ∀ x ∈ l, AEStronglyMeasurable x μ

⊢ AEStronglyMeasurable (f :: l).prod μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, AEStronglyMeasurable f μ) → AEStronglyMeasurable l.prod μ
hl : AEStronglyMeasurable f μ ∧ ∀ x ∈ l, AEStronglyMeasurable x μ

⊢ AEStronglyMeasurable (f * l.prod) μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/CommShift.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.82739, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0

⊢ F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).inv.app X ≫ (shiftFunctorZero C A).hom.app X) = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D a b 0 h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/CommShift.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.82739, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0
eq : (F.commShiftIso 0).hom.app X = (CommShift.isoAdd' h (F.commShiftIso a) (F.commShiftIso b)).hom.app X

⊢ F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).inv.app X ≫ (shiftFunctorZero C A).hom.app X) = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D a b 0 h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/CommShift.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.82739, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0
eq : F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X) ≫ (shiftFunctorZero D A).inv.app (F.obj X) = F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).hom.app X) ≫ (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D a b 0 h).inv.app (F.obj X)

⊢ F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).inv.app X ≫ (shiftFunctorZero C A).hom.app X) = (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D a b 0 h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/CommShift.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.82739, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0
eq : F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X) ≫ (shiftFunctorZero D A).inv.app (F.obj X) = F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).hom.app X) ≫ (F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' D a b 0 h).inv.app (F.obj X)

⊢ F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).hom.app X) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd' C a b 0 h).inv.app X) ≫ F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X) = F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X) ≫ (shiftFunctorZero D A).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctorZero D A).hom.app (F.obj X)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
E : Set α

⊢ cthickening δ E = ⋂ ε, ⋂ (_ : δ < ε), thickening ε E
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
E : Set α

⊢ ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (Ioi δ ∩ Ioc δ ε).Nonempty
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ
δ_nn : 0 ≤ δ
E : Set α

⊢ ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (Ioc δ ε).Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝

⊢ ¬M.Dep X ↔ M.Indep X
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
c : ℝ
x : V₁
h : ‖x‖ ≤ c

⊢ 0 ≤ ‖f‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B₁ B₂ : BilinForm K V
b₂ : B₂.Nondegenerate
v : V

⊢ B₂ ((↑(B₂.toDual b₂).symm ∘ₗ B₁) v) = B₁ v
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B₁ B₂ : BilinForm K V
b₂ : B₂.Nondegenerate
v : V

⊢ B₂ ((B₂.toDual b₂).symm (B₁ v)) = B₁ v
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Dissociation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : CommGroup β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s t u : Finset α
a : α
d : ℕ
ht : t ⊆ s
hu : u ⊆ s

⊢ ∏ a ∈ s, a ^ ((↑t).indicator 1 - (↑u).indicator 1) a = (∏ a ∈ t, a) / ∏ a ∈ u, a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c✝ d : R
n m : ℕ
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
c : S
a✝ : Nontrivial S

⊢ (X + C c).nextCoeff = c
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
h : s.Terminates

⊢ s.think.length = s.length + 1
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
h : s.Terminates

⊢ s.think.length ≤ s.length + 1
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
h : s.Terminates

⊢ s.length + 1 ≤ s.think.length
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → G
C : ℝ
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ C

⊢ ∫ (x : α), C ∂μ = C * (μ univ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → E
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp : 1 ≤ p
x : X

⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝 x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → E
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp : 1 ≤ p
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤

⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝 x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → E
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp : 1 ≤ p
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤
this : Fact (μ U < ⊤)

⊢ IntegrableOn f U μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f✝ g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → E
p : ℝ≥0∞
hf : Memℒp f p μ
hp : 1 ≤ p
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : μ U < ⊤
this : Fact (μ U < ⊤)

⊢ Memℒp f 1 (μ.restrict U)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t✝ s : Set A
t : Set B

⊢ adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1})) = (adjoin R s).prod (adjoin R t)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t✝ s : Set A
t : Set B

⊢ adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1})) ≤ (adjoin R s).prod (adjoin R t)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring S
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R S A
s✝ t✝ s : Set A
t : Set B

⊢ (adjoin R s).prod (adjoin R t) ≤ adjoin R (⇑(LinearMap.inl R A B) '' (s ∪ {1}) ∪ ⇑(LinearMap.inr R A B) '' (t ∪ {1}))
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R

⊢ IsQuasiregular x ↔ IsUnit (1 + x)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)

⊢ IsQuasiregular x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)

⊢ ∃ y, y + x + x * y = 0 ∧ x + y + y * x = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)

⊢ ↑hx.unit⁻¹ - 1 + x + x * (↑hx.unit⁻¹ - 1) = 0 ∧ x + (↑hx.unit⁻¹ - 1) + (↑hx.unit⁻¹ - 1) * x = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)

⊢ ↑hx.unit⁻¹ - 1 + x + x * (↑hx.unit⁻¹ - 1) = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)

⊢ x + (↑hx.unit⁻¹ - 1) + (↑hx.unit⁻¹ - 1) * x = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
this : (1 + x) * ↑hx.unit⁻¹ - 1 = 1 - 1

⊢ ↑hx.unit⁻¹ - 1 + x + x * (↑hx.unit⁻¹ - 1) = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
x : R
hx : IsUnit (1 + x)
this : ↑hx.unit⁻¹ * (1 + x) - 1 = 1 - 1

⊢ x + (↑hx.unit⁻¹ - 1) + (↑hx.unit⁻¹ - 1) * x = 0
-- Mathlib/Algebra/GroupPower/IterateHom.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Monoid G
a : G
n : ℕ
inst✝ : MulAction G H
b : H

⊢ (fun x => a • x)^[Nat.zero] b = a ^ Nat.zero • b
-- Mathlib/Algebra/GroupPower/IterateHom.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Monoid G
a : G
n✝ : ℕ
inst✝ : MulAction G H
b : H
n : ℕ
ih : (fun x => a • x)^[n] b = a ^ n • b

⊢ (fun x => a • x)^[n.succ] b = a ^ n.succ • b
-- Mathlib/Data/Nat/SuccPred.lean
m n✝ a n : ℕ

⊢ pred^[n + 1] a = a - (n + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/SuccPred.lean
m n✝ a n : ℕ

⊢ (pred ∘ pred^[n]) a = (a - n).pred
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
v : n → α

⊢ IsUnit (diagonal v) ↔ IsUnit v
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H K : Subgroup G

⊢ Codisjoint (H.subgroupOf (H ⊔ K)) (K.subgroupOf (H ⊔ K))
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H K : Subgroup G

⊢ H ≤ H ⊔ K
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H K : Subgroup G

⊢ K ≤ H ⊔ K
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : MonovaryOn f g s

⊢ ConvexOn 𝕜 s (f • g)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : MonovaryOn f g s

⊢ ConvexOn 𝕜 s (-f • -g)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/AdjointAction.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
h : LieAlgebra.center R L = ⊥

⊢ Function.Injective ⇑(ad R L)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Action.lean
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : MeasurableSMul M α
c : M
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure M α μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (Measure.map (fun x => c • x) μ) s = μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Action.lean
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : MeasurableSMul M α
c : M
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure M α μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) = μ s
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ P.inverseImage F f ↔ P (F.map f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ : Measure Ω

⊢ levyProkhorovDist μ μ = 0
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n : ℤ
h : 1 < a.natAbs

⊢ Function.Injective (natAbs ∘ fun x => a ^ x)
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n : ℤ
h : 1 < a.natAbs
x✝ : ℕ

⊢ (natAbs ∘ fun x => a ^ x) x✝ = a.natAbs ^ x✝
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R

⊢ ∀ (a_1 : R), star a * a_1 = a_1 * star a
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R

⊢ star a * (b * c) = star a * (star (star b) * star (star c))
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R

⊢ star a * (star (star b) * star (star c)) = star a * star (star c * star b)
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R

⊢ star a * star (star c * star b) = star (star c * star b * a)
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R

⊢ star (star c * star b * a) = star (star c * (star b * a))
-- Mathlib/Algebra/Star/Center.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
a : R
s : Set R
ha : a ∈ center R
b c : R

⊢ star (star c * (star b * a)) = star (star b * a) * c