ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo ψ (φ '' t) t
hψ : MonotoneOn ψ (φ '' t)

⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo ψ (φ '' t) t
hψ : MonotoneOn ψ (φ '' t)

⊢ eVariationOn (f ∘ id) (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo ψ (φ '' t) t
hψ : MonotoneOn ψ (φ '' t)

⊢ eVariationOn (f ∘ φ ∘ ψ) (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s

⊢ HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s
A : ∀ y ∈ s, f y = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) (p y 0)

⊢ HasFDerivWithinAt f ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s
A : ∀ y ∈ s, f y = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) (p y 0)

⊢ HasFDerivWithinAt (⇑(continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) ∘ fun x => p x 0) ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s
A : ∀ y ∈ s, f y = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) (p y 0)

⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => p x 0) ((↑{ toLinearEquiv := (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1))) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s
A : ∀ y ∈ s, f y = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) (p y 0)
this : ↑0 < n

⊢ HasFDerivWithinAt (fun x => p x 0) ((↑{ toLinearEquiv := (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1))) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s
A : ∀ y ∈ s, f y = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) (p y 0)
this : ↑0 < n

⊢ (↑{ toLinearEquiv := (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).comp ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) = (p x (Nat.succ 0)).curryLeft
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s
A : ∀ y ∈ s, f y = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) (p y 0)
this : ↑0 < n
y : E
v : Fin 0 → E
i : Fin (0 + 1)

⊢ snoc 0 y i = cons y v i
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
hn : 1 ≤ n
hx : x ∈ s
A : ∀ y ∈ s, f y = (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) (p y 0)
this : ↑0 < n
y : E
v : Fin 0 → E
i : Fin (0 + 1)

⊢ snoc 0 y default = cons y v default
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count a.factors = p.count b.factors

⊢ a.factors = b.factors
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count a.factors = p.count b.factors
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa

⊢ a.factors = b.factors
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count a.factors = p.count b.factors
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa
sb : Multiset { p // Irreducible p }
h_sb : b.factors = ↑sb

⊢ a.factors = b.factors
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa
sb : Multiset { p // Irreducible p }
h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count ↑sa = p.count ↑sb
h_sb : b.factors = ↑sb

⊢ ↑sa = ↑sb
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa
sb : Multiset { p // Irreducible p }
h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count ↑sa = p.count ↑sb
h_sb : b.factors = ↑sb

⊢ sa = sb
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa
sb : Multiset { p // Irreducible p }
h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count ↑sa = p.count ↑sb
h_sb : b.factors = ↑sb
h_count : ∀ (p : Associates α) (hp : Irreducible p), Multiset.count ⟨p, hp⟩ sa = Multiset.count ⟨p, hp⟩ sb

⊢ sa = sb
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa
sb : Multiset { p // Irreducible p }
h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count ↑sa = p.count ↑sb
h_sb : b.factors = ↑sb
h_count : ∀ (p : Associates α) (hp : Irreducible p), Multiset.count ⟨p, hp⟩ sa = Multiset.count ⟨p, hp⟩ sb

⊢ toFinsupp sa = toFinsupp sb
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
a b : Associates α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
sa : Multiset { p // Irreducible p }
h_sa : a.factors = ↑sa
sb : Multiset { p // Irreducible p }
h : ∀ (p : Associates α), Irreducible p → p.count ↑sa = p.count ↑sb
h_sb : b.factors = ↑sb
h_count : ∀ (p : Associates α) (hp : Irreducible p), Multiset.count ⟨p, hp⟩ sa = Multiset.count ⟨p, hp⟩ sb
p : Associates α
hp : Irreducible p

⊢ (toFinsupp sa) ⟨p, hp⟩ = (toFinsupp sb) ⟨p, hp⟩
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α

⊢ IsBounded {x}
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α

⊢ {x}ᶜ ∈ cobounded α
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m a b : ℕ
han : a ≤ n
hbn : b ≤ n

⊢ ↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m a b : ℕ
han : a < n.succ
hbn : b < n.succ

⊢ ↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Data/Finset/Sort.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : 0 < (sort (fun x x_1 => x ≤ x_1) s).length

⊢ 0 < s.card
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h : s₂ ⊆ s₁
h₂ : MeasurableSet s₂
h_fin : μ s₂ ≠ ⊤

⊢ μ (s₁ \ s₂) = μ s₁ - μ s₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f
r : ℝ≥0∞

⊢ r ≤ ⨅ a ∈ fun x => (map f (ae μ)).sets {x_1 | (fun x_2 => (fun x x_3 => x ≤ x_3) x_2 x) x_1}, ↑a ↔ r ≤ essSup (fun x => ↑(f x)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f
r : ℝ≥0∞

⊢ (∀ i ∈ fun x => (map f (ae μ)).sets {x_1 | x_1 ≤ x}, r ≤ ↑i) ↔ ∀ (r_1 : ℝ≥0), (∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ r_1) → r ≤ ↑r_1
-- Mathlib/Data/Int/CardIntervalMod.lean
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r

⊢ count (fun x => x ≡ v [MOD r]) b = b / r + if v % r < b % r then 1 else 0
-- Mathlib/Data/Int/CardIntervalMod.lean
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r

⊢ ⌈(↑b - ↑(v % r)) / ↑r⌉ = ↑(b / r) + ↑(if v % r < b % r then 1 else 0)
-- Mathlib/Data/Int/CardIntervalMod.lean
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r

⊢ ↑(b / r) + ⌈(↑(b % r) - ↑(v % r)) / ↑r⌉ = ↑(b / r) + ↑(if v % r < b % r then 1 else 0)
-- Mathlib/Data/Int/CardIntervalMod.lean
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
hr' : 0 < ↑r

⊢ ⌈(↑(b % r) - ↑(v % r)) / ↑r⌉ = ↑(if v % r < b % r then 1 else 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
hU : IsOpen U

⊢ μ U = 0 ↔ U = ∅
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
H : J ⥤ K ⥤ C
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
k : K
W : C
f g : (colimit H).obj k ⟶ W
w : ∀ (j : J), (colimit.ι H j).app k ≫ f = (colimit.ι H j).app k ≫ g

⊢ f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
H : J ⥤ K ⥤ C
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
k : K
W : C
f g : (colimit H).obj k ⟶ W
w : ∀ (j : J), (colimit.ι H j).app k ≫ f = (colimit.ι H j).app k ≫ g

⊢ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation H k).inv ≫ f = (colimitObjIsoColimitCompEvaluation H k).inv ≫ g
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
ht : μ t = 0

⊢ s ∩ t ⊆ t
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Translations.lean
α : Type u_1
g : GenContFract α
n : ℕ

⊢ g.TerminatedAt n ↔ g.s.get? n = none
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/UniformConvergence.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))

⊢ ContinuousSMul 𝕜 H
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/UniformConvergence.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
this : TopologicalAddGroup H

⊢ ContinuousSMul 𝕜 H
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/UniformConvergence.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
this : TopologicalAddGroup H
hb : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ∈ 𝓝 0) fun V => {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ V}

⊢ ContinuousSMul 𝕜 H
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/UniformConvergence.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
this : TopologicalAddGroup H
hb : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ∈ 𝓝 0) fun V => {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ V}

⊢ ∀ {i : Set E}, i ∈ 𝓝 0 → ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ j ∈ 𝓝 0, V • {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ j} ⊆ {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ i}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/UniformConvergence.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
this : TopologicalAddGroup H
hb : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ∈ 𝓝 0) fun V => {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ V}

⊢ ∀ (x₀ : 𝕜) {i : Set E}, i ∈ 𝓝 0 → ∃ j ∈ 𝓝 0, Set.MapsTo (fun x => x₀ • x) {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ j} {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ i}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/UniformConvergence.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
H : Type u_4
hom : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedField 𝕜
inst✝⁹ : AddCommGroup H
inst✝⁸ : Module 𝕜 H
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : UniformSpace E
inst✝³ : UniformAddGroup E
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 E
𝔖 : Set (Set α)
inst✝¹ : FunLike hom H (α → E)
inst✝ : LinearMapClass hom 𝕜 H (α → E)
φ : hom
hφ : Inducing (⇑ofFun ∘ ⇑φ)
h : ∀ (u : H), Bornology.IsVonNBounded 𝕜 (Set.range (φ u))
this : TopologicalAddGroup H
hb : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ∈ 𝓝 0) fun V => {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ V}

⊢ ∀ (m₀ : H) {i : Set E}, i ∈ 𝓝 0 → ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, x • m₀ ∈ {u | ∀ (x : α), φ u x ∈ i}
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

⊢ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) = ⊤
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F

⊢ ∀ (x : F ≃ₗᵢ[ℝ] F), x ∈ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
φ : F ≃ₗᵢ[ℝ] F

⊢ φ ∈ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
l : List F
left✝ : l.length ≤ finrank ℝ F

⊢ (List.map (fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) l).prod ∈ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
l : List F
left✝ : l.length ≤ finrank ℝ F

⊢ ∀ x ∈ List.map (fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) l, x ∈ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
l : List F
left✝ : l.length ≤ finrank ℝ F
x : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hx : x ∈ List.map (fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) l

⊢ x ∈ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
l : List F
left✝¹ : l.length ≤ finrank ℝ F
x : F ≃ₗᵢ[ℝ] F
hx : x ∈ List.map (fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ) l
a : F
left✝ : a ∈ l
hax : reflection (Submodule.span ℝ {a})ᗮ = x

⊢ x ∈ Subgroup.closure (Set.range fun v => reflection (Submodule.span ℝ {v})ᗮ)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : α →₀ M

⊢ (s.support.biUnion fun a => {f a}) ⊆ image f s.support
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n m : ℕ

⊢ m.succ + n - 1 = m + n
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ

⊢ (map f l).tail = map f l.tail
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : ListBlank Γ

⊢ (map f (cons l.head l.tail)).tail = map f l.tail
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
w : Word M

⊢ (equivPair i) (of m • w) = { head := m * ((equivPair i) w).head, tail := ((equivPair i) w).tail, fstIdx_ne := ⋯ }
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
m : M i
w : Word M

⊢ (equivPair i) ((equivPair i).symm (let __src := (equivPair i) w; { head := m * ((equivPair i) w).head, tail := __src.tail, fstIdx_ne := ⋯ })) = { head := m * ((equivPair i) w).head, tail := ((equivPair i) w).tail, fstIdx_ne := ⋯ }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
l l₁ l₂ : List α✝

⊢ (l₁ ++ l₂).Disjoint l ↔ l.Disjoint l₁ ∧ l.Disjoint l₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
l l₁ l₂ : List α✝

⊢ l₁.Disjoint l ∧ l₂.Disjoint l ↔ l.Disjoint l₁ ∧ l.Disjoint l₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
c : β
hf : f ≤ᶠ[ae μ] fun x => c

⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : Karoubi C
f : P.Hom Q

⊢ f.f ≫ Q.p = f.f