ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a : α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ (fun i => ↑(d i)) n
hd : Summable fun i => ↑(d i)

⊢ ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f n.succ) ≤ ↑(d n)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ℕ → α
a : α
d : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ (n : ℕ), dist (f n) (f n.succ) ≤ (fun i => ↑(d i)) n
hd : Summable fun i => ↑(d i)

⊢ Summable d
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/Basic.lean
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
inst✝ : Mono f
g₁ g₂ : ↑G
h : f g₁ = f g₂
t0 : asHom g₁ ≫ f = asHom g₂ ≫ f

⊢ g₁ = g₂
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/Basic.lean
G H : AddCommGrp
f : G ⟶ H
inst✝ : Mono f
g₁ g₂ : ↑G
h : f g₁ = f g₂
t0 : asHom g₁ ≫ f = asHom g₂ ≫ f
t1 : asHom g₁ = asHom g₂

⊢ g₁ = g₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
hb : μ {b} ≠ ⊤

⊢ IntegrableOn f (Ici b) μ ↔ IntegrableOn f (Ioi b) μ
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x y z : G
H : ∀ (a : G), a * x = z ↔ a = y

⊢ (f * single x r) z = f y * r
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s s' : ↥S

⊢ IsLocalization.mk' T r s • mk m s' = mk (r • m) (s * s')
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s s' : ↥S

⊢ ∃ u, u • (s * s') • (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1 • m = u • ((IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * s') • r • m
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s s' c : ↥S
hc : ↑c * (↑s * (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1) = ↑c * (↑(IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * r)

⊢ ∃ u, u • (s * s') • (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1 • m = u • ((IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * s') • r • m
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s s' c : ↥S
hc : ↑c * (↑s * (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1) = ↑c * (↑(IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * r)

⊢ c • (s * s') • (IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).1 • m = c • ((IsLocalization.sec S (IsLocalization.mk' T r s)).2 * s') • r • m
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
p q r : Associates M
hp : Prime p
hr : r ∣ q
hp' : p ∣ r
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i

⊢ p = c 1
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
i : Fin (n + 1 + 1)
hp : Prime (c i)
hp' : c i ∣ r

⊢ c i = c 1
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
i : Fin (n + 1 + 1)
hp : Prime (c i)
hp' : c i ∣ r

⊢ 1 ≤ i
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
i : Fin (n + 1 + 1)
hp : Prime (c i)
hp' : c i ∣ r
hi : 1 < i

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hp : Prime (c 0)
hp' : c 0 ∣ r
hi : 1 < 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
j : Fin (n + 1)
hp : Prime (c j.succ)
hp' : c j.succ ∣ r
hi : 1 < j.succ

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
j : Fin (n + 1)
hp : Prime (c j.succ)
hp' : c j.succ ∣ r
hi : 1 < j.succ

⊢ 0 < ↑↑j
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q r : Associates M
hr : r ∣ q
n : ℕ
hn : n + 1 ≠ 0
c : Fin (n + 1 + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
j : Fin (n + 1)
hp : Prime (c j.succ)
hp' : c j.succ ∣ r
hi : 1 < j.succ

⊢ DvdNotUnit (c ↑↑j) (c j.succ)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃

⊢ dist p₁ p₃ / |(∡ p₁ p₂ p₃).sin| = 2 * s.radius
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : UpperSet α
a : α
S : Set (UpperSet α)

⊢ ↑(sSup S).compl = ↑(⨆ s ∈ S, s.compl)
-- Mathlib/GroupTheory/Abelianization.lean
G : Type u
inst✝ : Group G

⊢ commutator G = Subgroup.closure (commutatorSet G)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : CompleteSpace E
c : E

⊢ ∫ (x : X) in s, c ∂μ = (μ s).toReal • c
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n

⊢ c.sizeUpTo ↑(c.index j) ≤ ↑j
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
H : ¬c.sizeUpTo ↑(c.index j) ≤ ↑j

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
i₁_lt_i : i₁ < ↑i

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
i₁_lt_i : i₁ < ↑i
i₁_succ : i₁ + 1 = ↑i

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
i₁_lt_i : i₁ < ↑i
i₁_succ : i₁ + 1 = ↑i
this : ¬(↑j < c.sizeUpTo (i₁ + 1) ∧ i₁ < c.length)

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
j : Fin n
i : Fin c.length := c.index j
H : ↑j < c.sizeUpTo ↑i
i_pos : 0 < ↑i
i₁ : ℕ := (↑i).pred
i₁_lt_i : i₁ < ↑i
i₁_succ : i₁ + 1 = ↑i
this : c.sizeUpTo ↑i ≤ ↑j

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
s : Set E

⊢ μ (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det f| * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
s : Set E
hf : LinearMap.det f ≠ 0

⊢ μ (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det f| * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E →ₗ[ℝ] E
s : Set E
hf : LinearMap.det f = 0

⊢ μ (⇑f '' s) = ENNReal.ofReal |LinearMap.det f| * μ s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ai : R
au : a * ai = 1

⊢ p.natDegree = (p * 1).natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ai : R
au : a * ai = 1

⊢ (p * 1).natDegree = (p * C a * C ai).natDegree
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ
c : ℝ

⊢ ∫ (x : X), (f + const X c) x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ + (μ Set.univ).toReal • c
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
a : α
b : β
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : (f a).Results b n

⊢ (s.bind f).Results b (n + m)
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
a : α
b : β
m n : ℕ
h1 : s.Results a m
h2 : (f a).Results b n
this : a ∈ s

⊢ (s.bind f).Results b (n + m)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : Disjoint z (y \ x)

⊢ z ⊔ y \ x ≤ x ⊔ y \ x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : Disjoint z (y \ x)

⊢ z ⊔ y \ x ≤ y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hz : z ≤ y
hx : x ≤ y
H : Disjoint z (y \ x)

⊢ z ⊔ y ≤ y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
s : Cocone D
j : J

⊢ c.ι.app j ≫ t.desc (newCocone D c) ≫ T.map (t.desc (T.forget.mapCocone s)) = c.ι.app j ≫ t.desc (T.forget.mapCocone s) ≫ s.pt.a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
s : Cocone D
j : J

⊢ (D.obj j).a ≫ T.map ((T.forget.mapCocone s).ι.app j) = T.forget.map (s.ι.app j) ≫ s.pt.a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J✝ : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J✝
T : Comonad C
D : J✝ ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
s : Cocone D
m : (liftedCocone D c t).pt ⟶ s.pt
J : ∀ (j : J✝), (liftedCocone D c t).ι.app j ≫ m = s.ι.app j

⊢ m.f = ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J✝ : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J✝
T : Comonad C
D : J✝ ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
s : Cocone D
m : (liftedCocone D c t).pt ⟶ s.pt
J : ∀ (j : J✝), (liftedCocone D c t).ι.app j ≫ m = s.ι.app j

⊢ ∀ (j : J✝), c.ι.app j ≫ m.f = c.ι.app j ≫ ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J✝ : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J✝
T : Comonad C
D : J✝ ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
s : Cocone D
m : (liftedCocone D c t).pt ⟶ s.pt
J : ∀ (j : J✝), (liftedCocone D c t).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
j : J✝

⊢ c.ι.app j ≫ m.f = c.ι.app j ≫ ((fun s => { f := t.desc (T.forget.mapCocone s), h := ⋯ }) s).f
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.66755, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : (HomologicalComplex Vᵒᵖ c)ᵒᵖ
i✝ : ι

⊢ ((unopFunctor V c).map ((unopUnitIso V c).hom.app X) ≫ (unopCounitIso V c).hom.app ((unopFunctor V c).obj X)).f i✝ = (𝟙 ((unopFunctor V c).obj X)).f i✝
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.66755, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : (HomologicalComplex Vᵒᵖ c)ᵒᵖ
i✝ : ι

⊢ ((unopFunctor V c).map ((unopUnitIso V c).hom.app X)).f i✝ ≫ ((unopCounitIso V c).hom.app ((unopFunctor V c).obj X)).f i✝ = (𝟙 ((unopFunctor V c).obj X)).f i✝
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
a b : ZNum

⊢ (↑a.abs).gcd ↑b.abs = (↑a).gcd ↑b
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
a b : ZNum

⊢ (↑a).natAbs.gcd (↑b).natAbs = (↑a).gcd ↑b
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s : Set A
h : ∀ x ∈ s, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
r : A
hr : r ∈ span s

⊢ ↑(((decompose 𝒜) r) i) ∈ span s
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s : Set A
h : ∀ x ∈ s, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
r : A
hr : r ∈ LinearMap.range (Finsupp.total (↑s) A A Subtype.val)

⊢ ↑(((decompose 𝒜) r) i) ∈ span s
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s : Set A
h : ∀ x ∈ s, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
r : A
hr : ∃ y, (Finsupp.total (↑s) A A Subtype.val) y = r

⊢ ↑(((decompose 𝒜) r) i) ∈ span s
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A

⊢ ↑(((decompose 𝒜) ((Finsupp.total (↑s✝) A A Subtype.val) s)) i) ∈ span s✝
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A

⊢ ∑ i_1 ∈ s.support, ↑(((decompose 𝒜) (s i_1 • ↑i_1)) i) ∈ span s✝
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A

⊢ ∀ c ∈ s.support, ↑(((decompose 𝒜) (s c • ↑c)) i) ∈ span s✝
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A
z : ↑s✝
hz1 : z ∈ s.support

⊢ ↑(((decompose 𝒜) (s z • ↑z)) i) ∈ span s✝
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A
z : ↑s✝
hz1 : z ∈ s.support

⊢ ↑(((decompose 𝒜) (s z * ↑z)) i) ∈ span s✝
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A
z : ↑s✝
hz1 : z ∈ s.support

⊢ Homogeneous 𝒜 ↑z
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
s✝ : Set A
h : ∀ x ∈ s✝, Homogeneous 𝒜 x
i : ι
s : ↑s✝ →₀ A
z : ↑s✝
hz1 : z ∈ s.support

⊢ ↑z ∈ span s✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx : 0 < x

⊢ 0 ≤ log x ↔ 1 ≤ x
-- Mathlib/Computability/Encoding.lean
α : Type u
e : Encoding α

⊢ Function.Injective e.encode
-- Mathlib/Computability/Encoding.lean
α : Type u
e : Encoding α
x✝¹ x✝ : α
h : e.encode x✝¹ = e.encode x✝

⊢ some x✝¹ = some x✝
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : ↥K

⊢ ↑((orthogonalProjection K) ↑v) = ↑v
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : mulSupport f ⊆ k

⊢ IsCompact (range f)
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : mulSupport f ⊆ k
h2 : range f = f '' k

⊢ IsCompact (f '' k)
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α'
inst✝³ : One β
inst✝² : One γ
inst✝¹ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : mulSupport f ⊆ k
h2 : range f = insert 1 (f '' k)

⊢ IsCompact (insert 1 (f '' k))
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort ?u.56697
β : Sort ?u.56701
p : α → Prop
q : β → Prop
e : α ≃ β
h : ∀ (a : α), p a ↔ q (e a)
a : β

⊢ q a ↔ p (e.symm a)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort ?u.56697
β : Sort ?u.56701
p : α → Prop
q : β → Prop
e : α ≃ β
h : ∀ (a : α), p a ↔ q (e a)
a : β

⊢ a = e (e.symm a)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
Ui Vj : Finset α

⊢ (Ui, Vj) ∈ P.parts.offDiag.attach.biUnion (SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε) → (Ui, Vj) ∈ (increment hP G ε).parts.offDiag
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
Ui Vj : Finset α

⊢ ∀ (x x_1 : Finset α) (x_2 : x ∈ P.parts ∧ x_1 ∈ P.parts ∧ ¬x = x_1), Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts → Vj ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts → (∃ a, ∃ (h : a ∈ P.parts), Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts) ∧ (∃ a, ∃ (h : a ∈ P.parts), Vj ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts) ∧ ¬Ui = Vj
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
Ui Vj U V : Finset α
hUV : U ∈ P.parts ∧ V ∈ P.parts ∧ ¬U = V
hUi : Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
hVj : Vj ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts

⊢ ¬Ui = Vj
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
Ui U V : Finset α
hUV : U ∈ P.parts ∧ V ∈ P.parts ∧ ¬U = V
hUi : Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
hVj : Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
Ui U V : Finset α
hUV : U ∈ P.parts ∧ V ∈ P.parts ∧ ¬U = V
hUi : Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
hVj : Ui ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
i : α
hi : i ∈ Ui

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
h : ¬Collinear k {p₁, p₂, p₁}

⊢ False
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Canonical.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : Presieve.IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), Presieve.IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible

⊢ ∃! t, s.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Canonical.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
U : Sieve X
B : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → U.arrows f → Sieve Y
hU : Presieve.IsSheafFor P U.arrows
hB : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (hf : U.arrows f), Presieve.IsSheafFor P (B hf).arrows
hB' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄ (h : U.arrows f) ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback g (B h)).arrows
s : Presieve.FamilyOfElements P (Sieve.bind U.arrows B).arrows
hs : s.Compatible
y : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → (hf : U.arrows f) → Presieve.FamilyOfElements P (B hf).arrows := fun Y f hf Z g hg => s (g ≫ f) ⋯

⊢ ∃! t, s.IsAmalgamation t