ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyInjective.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : Sheaf J D
φ : F₁ ⟶ F₂
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget D)

⊢ Presheaf.IsSheaf J (F₁.val ⋙ forget D)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β

⊢ infDist x s ≤ infDist y s + dist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β

⊢ (infEdist x s).toReal ≤ (infEdist y s).toReal + (edist x y).toReal
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β

⊢ infEdist y s = ⊤ → infEdist x s = ⊤
-- Mathlib/Analysis/Convex/Join.lean
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E

⊢ convexJoin 𝕜 (convexJoin 𝕜 s t) u ⊆ convexJoin 𝕜 s (convexJoin 𝕜 t u)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Join.lean
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t✝ u✝ : Set E
x y : E
s t u : Set E

⊢ ∀ (x : E), (∃ a, (∃ a_1 ∈ s, ∃ b ∈ t, a ∈ segment 𝕜 a_1 b) ∧ ∃ b ∈ u, x ∈ segment 𝕜 a b) → ∃ a ∈ s, ∃ b, (∃ a ∈ t, ∃ b_1 ∈ u, b ∈ segment 𝕜 a b_1) ∧ x ∈ segment 𝕜 a b
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Defs.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s

⊢ IsCornerFree (Prod.map f f '' A) ↔ IsCornerFree A
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Defs.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
this : Prod.map f f '' A ⊆ t ×ˢ t

⊢ IsCornerFree (Prod.map f f '' A) ↔ IsCornerFree A
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Defs.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
this : Prod.map f f '' A ⊆ t ×ˢ t

⊢ (∀ ⦃x₁ : H⦄, x₁ ∈ t → ∀ ⦃y₁ : H⦄, y₁ ∈ t → ∀ ⦃x₂ : H⦄, x₂ ∈ t → ∀ ⦃y₂ : H⦄, y₂ ∈ t → IsCorner (Prod.map f f '' A) x₁ y₁ x₂ y₂ → x₁ = x₂) ↔ ∀ ⦃x₁ : G⦄, x₁ ∈ s → ∀ ⦃y₁ : G⦄, y₁ ∈ s → ∀ ⦃x₂ : G⦄, x₂ ∈ s → ∀ ⦃y₂ : G⦄, y₂ ∈ s → IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂ → x₁ = x₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
f✝ : X ⟶ Y
F✝ F'✝ : MonoFactorisation f✝
hF✝ : IsImage F✝
hF' : IsImage F'✝
f g : Arrow C
F : MonoFactorisation f.hom
hF : IsImage F
sq : f ⟶ g
inst✝ : IsIso sq
F' : MonoFactorisation g.hom

⊢ (fun F' => hF.lift (F'.ofArrowIso (inv sq))) F' ≫ F'.m = (F.ofArrowIso sq).m
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
m n : ℕ
a : Fin m → α
b : Fin n → α

⊢ ofFn (Fin.append a b) = ofFn a ++ ofFn b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/ZeroObjects.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryProduct X Y

⊢ (pullbackZeroZeroIso X Y).hom ≫ prod.snd = pullback.snd 0 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ)
s : Finset ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
f : ι → ℕ

⊢ f ∈ SMul.smul n (s.piAntidiag m) ↔ f ∈ filter (fun f => ∀ i ∈ s, n ∣ f i) (s.piAntidiag (n * m))
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ)
s : Finset ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
f : ι → ℕ

⊢ (∃ y ∈ s.piAntidiag m, n • y = f) ↔ f ∈ filter (fun f => ∀ i ∈ s, n ∣ f i) (s.piAntidiag (n * m))
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ)
s : Finset ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
f : ι → ℕ

⊢ (∃ y, s.sum y = m ∧ (∀ (i : ι), y i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ n • y = f) ↔ s.sum f = n * m ∧ (∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ ∀ i ∈ s, n ∣ f i
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq (ι → ℕ)
s : Finset ι
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
f : ι → ℕ
hfsum : s.sum f = n * m
hfsup : ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s
hfdvd : ∀ i ∈ s, n ∣ f i
this : ∀ (i : ι), n ∣ f i

⊢ ∑ i ∈ s, f i / n = m ∧ (∀ (i : ι), (fun i => f i / n) i ≠ 0 → i ∈ s) ∧ (n • fun i => f i / n) = f
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R P
N : Submodule R M

⊢ IsNoetherian R ↥N ↔ ∀ s ≤ N, s.FG
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R P
N : Submodule R M
h : ∀ s ≤ N, s.FG
s : Submodule R ↥N

⊢ s.FG
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R P
N : Submodule R M
h : ∀ s ≤ N, s.FG
s : Submodule R ↥N
f : ↥(Submodule.map N.subtype s) ≃ₗ[R] ↥s

⊢ s.FG
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R P
N : Submodule R M
h : ∀ s ≤ N, s.FG
s : Submodule R ↥N
f : ↥(Submodule.map N.subtype s) ≃ₗ[R] ↥s
h₁ : (Submodule.map N.subtype s).FG

⊢ s.FG
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R P
N : Submodule R M
h : ∀ s ≤ N, s.FG
s : Submodule R ↥N
f : ↥(Submodule.map N.subtype s) ≃ₗ[R] ↥s
h₁ : (Submodule.map N.subtype s).FG
h₂ : Submodule.map f ⊤ = ⊤

⊢ s.FG
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R P
N : Submodule R M
h : ∀ s ≤ N, s.FG
s : Submodule R ↥N
f : ↥(Submodule.map N.subtype s) ≃ₗ[R] ↥s
h₁ : (Submodule.map N.subtype s).FG
h₂ : Submodule.map f ⊤ = ⊤
h₃ : (Submodule.map ↑f ⊤).FG

⊢ s.FG
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hz : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
ho : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_𝕜 = 0

⊢ LinearIndependent 𝕜 v
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hz : ∀ (i : ι), v i ≠ 0
ho : Pairwise fun i j => ⟪v i, v j⟫_𝕜 = 0

⊢ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → 𝕜), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEDisjoint.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α

⊢ AEDisjoint μ (⋃ i, s i) t ↔ ∀ (i : ι), AEDisjoint μ (s i) t
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
hsurj : LinearMap.range f = ⊤

⊢ 0 < (f.nonlinearRightInverseOfSurjective hsurj).nnnorm
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
hsurj : LinearMap.range f = ⊤

⊢ 0 < (Classical.choose ⋯).nnnorm
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
hn : lowerCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N

⊢ upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω < lowerCrossingTime a b f N (n + 1) ω
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
hn : lowerCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N
h : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω = lowerCrossingTime a b f N (n + 1) ω

⊢ b ≤ stoppedValue f (lowerCrossingTime a b f N (n + 1)) ω
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
hn : lowerCrossingTime a b f N (n + 1) ω ≠ N
h : upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω = lowerCrossingTime a b f N (n + 1) ω

⊢ b ≤ f (upperCrossingTime a b f N (n + 1) ω) ω
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c
a : α
ha : a ≠ 0

⊢ Antiperiodic (fun x => f (x * a)) (c / a)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ o.oangle y (y - x) = ↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖y - x‖))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1

⊢ o.oangle y (y - x) = ↑(Real.arccos (‖y‖ / ‖y - x‖))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hg : UniformConvexOn s ψ g

⊢ UniformConvexOn s (φ + ψ) (f + g)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
hg : UniformConvexOn s ψ g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ (f + g) (a • x + b • y) ≤ a • (f + g) x + b • (f + g) y - a * b * (φ + ψ) ‖x - y‖
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]
n m : ℕ
dvd : q ^ n ∣ p

⊢ q ^ (n - m) ∣ (⇑derivative)^[m] p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℤ
hm : 0 ≤ m
hn : 0 ≤ n

⊢ A ^ (m + n) = A ^ m * A ^ n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
n : ℤ
hn : 0 ≤ n
k : ℕ
hm : 0 ≤ ↑k

⊢ A ^ (↑k + n) = A ^ ↑k * A ^ n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
k : ℕ
hm : 0 ≤ ↑k
l : ℕ
hn : 0 ≤ ↑l

⊢ A ^ (↑k + ↑l) = A ^ ↑k * A ^ ↑l
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S S₁ S₂ S₃ : SnakeInput C
f : S₁ ⟶ S₂

⊢ S₁.φ₁ ≫ f.f₂.τ₁ = functorP.map f ≫ S₂.φ₁
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0

⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
f : F
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
ζ : Mˣ
h : IsPrimitiveRoot (↑ζ) k

⊢ IsPrimitiveRoot (↑ζ ^ i) k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
f : F
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
ζ : Mˣ
h : IsPrimitiveRoot (↑ζ) k

⊢ IsPrimitiveRoot (↑(ζ ^ i)) k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
f : F
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
ζ : Mˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k

⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
f : F
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
ζ : Mˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k

⊢ ∀ (l : ℕ), (ζ ^ i) ^ l = 1 → k ∣ l
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
f : F
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
ζ : Mˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℕ
hl : (ζ ^ i) ^ l = 1

⊢ k ∣ l
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
f : F
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
ζ : Mˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℕ
hl : (ζ ^ i) ^ l = 1

⊢ ζ ^ l = 1
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
f : F
i : ℕ
hi : i.Coprime k
h0 : ¬k = 0
ζ : Mˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
l : ℕ
hl : (ζ ^ i) ^ l = 1

⊢ ζ ^ (↑i * ↑l * i.gcdA k) * (ζ ^ (↑k * i.gcdB k)) ^ l = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2

⊢ discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ (φ (↑p ^ (k + 1)) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))

⊢ discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ (φ (↑p ^ (k + 1)) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))
mf : Module.Finite K L

⊢ discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ (φ (↑p ^ (k + 1)) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))
mf : Module.Finite K L
se : Algebra.IsSeparable K L

⊢ discr K ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis K hζ).basis = (-1) ^ (φ (↑p ^ (k + 1)) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))
mf : Module.Finite K L
se : Algebra.IsSeparable K L

⊢ (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) * (↑p ^ k * (↑p - 1) - 1) / 2) * (Algebra.norm K) ((aeval ζ) (derivative (cyclotomic (↑p ^ (k + 1)) K))) = (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ x : M

⊢ (∀ (i : ι), (b.coord i) x = 0) ↔ b.repr x = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p ≠ 0
hn : ∀ m < n, p.coeff m = 0

⊢ n ≤ p.natTrailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p ≠ 0
hn : ∀ m < n, p.coeff m = 0

⊢ n ≤ p.support.min' ⋯
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
k : ℕ
h : ∀ (v : V), k ≤ G.degree v

⊢ k ≤ G.minDegree
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
k : ℕ
h : ∀ (v : V), k ≤ G.degree v
v : V
hv : G.minDegree = G.degree v

⊢ k ≤ G.minDegree
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
Xs : Set (Set α)

⊢ M.closure (⋃ X ∈ Xs, M.closure X) = M.closure (⋃₀ Xs)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
f : β → Finset α
h : Monotone f
h' : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ f n

⊢ Tendsto f atTop atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
f : β → Finset α
h : Monotone f
h' : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ f n

⊢ ∀ (i : α), ∀ᶠ (a : β) in atTop, f a ∈ Ici {i}
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
f : β → Finset α
h : Monotone f
h' : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ f n
a : α
b : β
hb : a ∈ f b

⊢ ∀ᶠ (a_1 : β) in atTop, f a_1 ∈ Ici {a}
-- Mathlib/Logic/IsEmpty.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
α : Sort u_4

⊢ IsEmpty (PLift α) ↔ IsEmpty α
-- Mathlib/Order/Ideal.lean
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
C : Set (Set P)
hidl : ∀ I ∈ C, IsIdeal I
hD : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) C
hNe : C.Nonempty

⊢ IsIdeal (⋃₀ C)
-- Mathlib/Order/Ideal.lean
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
C : Set (Set P)
hidl : ∀ I ∈ C, IsIdeal I
hD : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) C
hNe : C.Nonempty

⊢ ∃ s ∈ C, s.Nonempty
-- Mathlib/Order/Ideal.lean
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
C : Set (Set P)
hidl : ∀ I ∈ C, IsIdeal I
hD : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) C
hNe : C.Nonempty
I : Set P
hI : I ∈ C

⊢ ∃ s ∈ C, s.Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α

⊢ ∃ s, x ∈ s ∧ IsOpen s ∧ μ s < ⊤
-- Mathlib/Condensed/Epi.lean
A : Type u'
inst✝⁸ : Category.{v', u'} A
inst✝⁷ : ConcreteCategory A
inst✝⁶ : HasFunctorialSurjectiveInjectiveFactorization A
inst✝⁵ : (coherentTopology CompHaus).WEqualsLocallyBijective A
inst✝⁴ : HasSheafify (coherentTopology CompHaus) A
inst✝³ : (coherentTopology CompHaus).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝² : Balanced (Sheaf (coherentTopology CompHaus) A)
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget A)
inst✝ : ∀ (X : CompHausᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X Stonean.toCompHaus.op) A
X Y : Condensed A
f : X ⟶ Y

⊢ Epi f ↔ ∀ (S : CompHaus) (y : (CategoryTheory.forget A).obj (Y.val.obj (op S))), ∃ S' φ, ∃ (_ : Function.Surjective ⇑φ), ∃ x, (f.val.app (op S')) x = (Y.val.map (op φ)) y
-- Mathlib/Condensed/Epi.lean
A : Type u'
inst✝⁸ : Category.{v', u'} A
inst✝⁷ : ConcreteCategory A
inst✝⁶ : HasFunctorialSurjectiveInjectiveFactorization A
inst✝⁵ : (coherentTopology CompHaus).WEqualsLocallyBijective A
inst✝⁴ : HasSheafify (coherentTopology CompHaus) A
inst✝³ : (coherentTopology CompHaus).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝² : Balanced (Sheaf (coherentTopology CompHaus) A)
inst✝¹ : PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget A)
inst✝ : ∀ (X : CompHausᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X Stonean.toCompHaus.op) A
X Y : Condensed A
f : X ⟶ Y

⊢ (∀ (X_1 : CompHaus) (y : (CategoryTheory.forget A).obj (Y.val.obj (op X_1))), ∃ X' φ, ∃ (_ : EffectiveEpi φ), ∃ x, (f.val.app (op X')) x = (Y.val.map (op φ)) y) ↔ ∀ (S : CompHaus) (y : (CategoryTheory.forget A).obj (Y.val.obj (op S))), ∃ S' φ, ∃ (_ : Function.Surjective ⇑φ), ∃ x, (f.val.app (op S')) x = (Y.val.map (op φ)) y
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Monoidal.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B X✝ X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : Closed A
inst✝ : Closed B
f : B ⟶ A
X : C

⊢ uncurry ((pre f).app X) = f ▷ (ihom A).obj X ≫ (ihom.ev A).app X
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b : α
h : normalize b = b

⊢ lcm a b = b ↔ a ∣ b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
s : Set F
x : 𝕜

⊢ deriv f x ∈ s ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ deriv f x ∈ s ∨ ¬DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ 0 ∈ s
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y : ℂ
x : ℝ

⊢ (sinh ↑x).im = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
u : R
i : Fin 3

⊢ (⇑f ∘ (u • P)) i = (f u • ⇑f ∘ P) i
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulAction (Perm α) β
i j : α
x : β

⊢ swap i j • swap i j • x = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
s : Set α
hs : AnalyticSet s
hsc : AnalyticSet sᶜ

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
s : Set α
hs : AnalyticSet s
hsc : AnalyticSet sᶜ
u : Set α
hsu : s ⊆ u
hdu : Disjoint sᶜ u
hmu : MeasurableSet u

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
s : Set α
hs : AnalyticSet s
hsc : AnalyticSet sᶜ
hsu : s ⊆ s
hdu : Disjoint sᶜ s
hmu : MeasurableSet s

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Units.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
hu : IsUnit x

⊢ IsRelPrime (y * x) z ↔ IsRelPrime y z