ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s t : Set α
hs : ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → s ∈ l → ∃ x ∈ s, ↑l ≤ 𝓝 x
ht : ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → t ∈ l → ∃ x ∈ t, ↑l ≤ 𝓝 x

⊢ ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → (s ∈ l → ∃ x ∈ s ∪ t, ↑l ≤ 𝓝 x) ∧ (t ∈ l → ∃ x ∈ s ∪ t, ↑l ≤ 𝓝 x)
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]

⊢ normSq a = 0 ↔ a = 0
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
h : normSq a = 0

⊢ a = 0
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
h : ((a.re ^ 2 = 0 ∧ a.imI ^ 2 = 0) ∧ a.imJ ^ 2 = 0) ∧ a.imK ^ 2 = 0

⊢ a = 0
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
h : (a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 = 0 ∧ a.imJ ^ 2 = 0) ∧ a.imK ^ 2 = 0

⊢ 0 ≤ a.re ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
h : (a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 = 0 ∧ a.imJ ^ 2 = 0) ∧ a.imK ^ 2 = 0

⊢ 0 ≤ a.imI ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
h : a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 = 0 ∧ a.imK ^ 2 = 0

⊢ 0 ≤ a.re ^ 2 + a.imI ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
h : a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 = 0 ∧ a.imK ^ 2 = 0

⊢ 0 ≤ a.imJ ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
h : a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 + a.imK ^ 2 = 0

⊢ 0 ≤ a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]
h : a.re ^ 2 + a.imI ^ 2 + a.imJ ^ 2 + a.imK ^ 2 = 0

⊢ 0 ≤ a.imK ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ

⊢ Tendsto (fun x => rexp x / x ^ n) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C

⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Set.Ioi ia, rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C

⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Set.Ioi ia, rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C
this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹

⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Set.Ioi ia, rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C
this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹
N : ℕ
hN : ∀ k ≥ N, ↑k ^ n / rexp 1 ^ k < (rexp 1 * C)⁻¹

⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Set.Ioi ia, rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C
this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹
N : ℕ
hN : ∀ k ≥ N, ↑k ^ n < rexp ↑k / (rexp 1 * C)

⊢ ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Set.Ioi ia, rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x✝ y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C
this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹
N : ℕ
hN : ∀ k ≥ N, ↑k ^ n < rexp ↑k / (rexp 1 * C)
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioi ↑N

⊢ rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x✝ y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C
this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹
N : ℕ
hN : ∀ k ≥ N, ↑k ^ n < rexp ↑k / (rexp 1 * C)
x : ℝ
hx : ↑N < x

⊢ rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x✝ y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C
this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹
N : ℕ
hN : ∀ k ≥ N, ↑k ^ n < rexp ↑k / (rexp 1 * C)
x : ℝ
hx : ↑N < x
hx₀ : 0 < x

⊢ rexp x / x ^ n ∈ Set.Ici C
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x✝ y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
C : ℝ
hC₁ : 1 ≤ C
hC₀ : 0 < C
this : 0 < (rexp 1 * C)⁻¹
N : ℕ
hN : ∀ k ≥ N, ↑k ^ n < rexp ↑k / (rexp 1 * C)
x : ℝ
hx : ↑N < x
hx₀ : 0 < x

⊢ x ^ n ≤ rexp x / C
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ asympBound g a b =O[atTop] T
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : DecidableEq I₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' : I₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂

⊢ K.ιTotal c₁₂ i₁ i₂ i₁₂ h ≫ K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' = K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂'
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R

⊢ p ∉ support R M ↔ ∀ (m : M), ∃ r ∉ p.asIdeal, r • m = 0
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R

⊢ (∀ (m : M), ∃ r ∈ p.asIdeal.primeCompl, r • m = 0) ↔ ∀ (m : M), ∃ r ∉ p.asIdeal, r • m = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j k : ι
inst✝ : K.HasHomology i

⊢ K.fromOpcycles i j ≫ K.d j k = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
b c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsRightCancelAdd α
a : α

⊢ b + ↑a = c + ↑a ↔ b = c
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsRightCancelAdd α
a : α

⊢ ⊤ + ↑a = c + ↑a ↔ ⊤ = c
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
b c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsRightCancelAdd α
a : α
hb : b ≠ ⊤

⊢ b + ↑a = c + ↑a ↔ b = c
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/WithTop.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Add α
c d : WithTop α
x y : α
inst✝ : IsRightCancelAdd α
a b : α

⊢ ↑b + ↑a = c + ↑a ↔ ↑b = c
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⊢ ⟪o.rightAngleRotation x, y⟫_ℝ = (o.areaForm x) y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⊢ ⟪(LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry o.rightAngleRotationAux₂ (-o.rightAngleRotationAux₁) ⋯ ⋯) x, y⟫_ℝ = (o.areaForm x) y
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
cd : Fin 2 → R
b₀ a : R
gcd_eqn : b₀ * cd 0 + a * cd 1 = 1
A : Matrix (Fin (Nat.succ 0).succ) (Fin (Nat.succ 0).succ) R := of ![![a, -b₀], cd]

⊢ cd ∈ (fun g => ↑g 1) '' Set.univ
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
cd : Fin 2 → R
b₀ a : R
gcd_eqn : b₀ * cd 0 + a * cd 1 = 1
A : Matrix (Fin (Nat.succ 0).succ) (Fin (Nat.succ 0).succ) R := of ![![a, -b₀], cd]
det_A_1 : A.det = 1

⊢ cd ∈ (fun g => ↑g 1) '' Set.univ
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
cd : Fin 2 → R
b₀ a : R
gcd_eqn : b₀ * cd 0 + a * cd 1 = 1
A : Matrix (Fin (Nat.succ 0).succ) (Fin (Nat.succ 0).succ) R := of ![![a, -b₀], cd]
det_A_1 : A.det = 1

⊢ (fun g => ↑g 1) ⟨A, det_A_1⟩ = cd
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : ℕ → ℕ →. α
h : Partrec (Nat.unpaired f)

⊢ Partrec₂ f
-- Mathlib/Data/Set/Opposite.lean
α : Type u_1
s : Set α
a : α

⊢ op a ∈ s.op ↔ a ∈ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
ι' : Type u_8
φ : ι' → ι

⊢ induced (fun f j => f (φ j)) topologicalSpace = ⨅ i', induced (eval (φ i')) (T (φ i'))
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b c : α

⊢ Codisjoint a (￢￢b) ↔ Codisjoint a b
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y L : R

⊢ (map W f).toAffine.addPolynomial (f x) (f y) (f L) = Polynomial.map f (W.addPolynomial x y L)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y L : R

⊢ eval₂ (mapRingHom f) (C (f L) * (X - C (f x)) + C (f y)) W.polynomial = eval₂ (mapRingHom f) ((mapRingHom f) (C L * (X - C x) + C y)) W.polynomial
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ : Filter α
s : Set α
a : α
f : α → β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β

⊢ Tendsto f l₁ l₂ ↔ ∀ (g : Ultrafilter α), ↑g ≤ l₁ → Tendsto f (↑g) l₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ : ℕ
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ

⊢ ⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ : ℕ
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ
ha : a ≤ 0

⊢ ⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ : ℕ
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a

⊢ ⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ : ℕ
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
h : a ≤ ↑n

⊢ ⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ : ℕ
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a
h : ↑n ≤ a

⊢ ⌊a - ↑n⌋₊ = ⌊a⌋₊ - n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
h : ¬IsUnit A.det

⊢ A⁻¹ = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/NormPow.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x p : ℝ
hp : 1 < p

⊢ HasDerivAt (fun x => |x| ^ p) (p * |x| ^ (p - 2) * x) x
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
hs : DirSupInacc s
ht : DirSupInacc t

⊢ DirSupInacc (s ∪ t)
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
s t : Set α
hs : DirSupInacc s
ht : DirSupInacc t

⊢ DirSupClosed (sᶜ ∩ tᶜ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
hT' : FinMeasAdditive μ T'
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅

⊢ (T + T') (s ∪ t) = (T + T') s + (T + T') t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : AddCommMonoid β
T T' : Set α → β
hT : FinMeasAdditive μ T
hT' : FinMeasAdditive μ T'
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : μ s ≠ ⊤
hμt : μ t ≠ ⊤
hst : s ∩ t = ∅

⊢ T s + T t + (T' s + T' t) = T s + T' s + (T t + T' t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : Subsingleton ι
i : ι
f : M₂ →ₗ[R] M₃
inst✝ : DecidableEq ι
m✝ : ι → M₂
i✝ : ι
x✝ y✝ : M₂

⊢ (fun x => f (x i)) (update m✝ i✝ (x✝ + y✝)) = (fun x => f (x i)) (update m✝ i✝ x✝) + (fun x => f (x i)) (update m✝ i✝ y✝)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝¹ : Subsingleton ι
i : ι
f : M₂ →ₗ[R] M₃
inst✝ : DecidableEq ι
m✝ : ι → M₂
i✝ : ι
c✝ : R
x✝ : M₂

⊢ (fun x => f (x i)) (update m✝ i✝ (c✝ • x✝)) = c✝ • (fun x => f (x i)) (update m✝ i✝ x✝)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
f : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
x y : M₂

⊢ (fun x => f fun x_1 => x) (x + y) = (fun x => f fun x_1 => x) x + (fun x => f fun x_1 => x) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
f : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
c : R
x : M₂

⊢ { toFun := fun x => f fun x_1 => x, map_add' := ⋯ }.toFun (c • x) = (RingHom.id R) c • { toFun := fun x => f fun x_1 => x, map_add' := ⋯ }.toFun x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
f : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
x : ι → M₂

⊢ ((fun f => { toFun := fun x => f (x i), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) ((fun f => { toFun := fun x => f fun x_1 => x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) f)) x = f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f✝ f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι
f : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
x : ι → M₂

⊢ (fun x_1 => x i) = x
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
x : P
x✝ : x ∈ 0
x' : R
x'_mem_zero : x' ∈ ↑0
x'_eq_x : (Algebra.linearMap R P) x' = x
x'_eq_zero : x' = 0

⊢ x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
C : ℝ
hf : ∀ (θ : Fin n → ℝ), ‖f (torusMap c R θ)‖ ≤ C
θ : Fin n → ℝ
x✝ : θ ∈ Icc 0 fun x => 2 * π

⊢ ‖(∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(θ i) * I) * I) • f (torusMap c R θ)‖ = (∏ i : Fin n, |R i|) * ‖f (torusMap c R θ)‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
C : ℝ
hf : ∀ (θ : Fin n → ℝ), ‖f (torusMap c R θ)‖ ≤ C

⊢ (∏ i : Fin n, |R i|) * C * (volume (Icc 0 fun x => 2 * π)).toReal = ((2 * π) ^ n * ∏ i : Fin n, |R i|) * C
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set β

⊢ (e.trans ((PartialEquiv.refl β).restr s)).source = (e.restr (e.source ∩ ↑e ⁻¹' s)).source
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set β

⊢ e.source ∩ ↑e ⁻¹' s = e.source ∩ (e.source ∩ ↑e ⁻¹' s)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α

⊢ Ici a \ Ioi a = {a}
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

⊢ μ ≪ μ[|univ]
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

⊢ μ ≪ (μ univ)⁻¹ • μ
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

⊢ (μ univ)⁻¹ ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace G
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F

⊢ ⟪(adjointAux A) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, A x⟫_𝕜
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommGroup M✝
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
v : M

⊢ v = -v ↔ v = 0
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f✝ : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
hg : OpenEmbedding g

⊢ OpenEmbedding (g ∘ f) ↔ OpenEmbedding f
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E✝ : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜 : Type u_7
E : Type u_8
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
S : Set E

⊢ IsVonNBounded 𝕜 S ↔ Tendsto (fun x => x • S) (𝓝 0) (𝓝 0).smallSets
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E✝ : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜 : Type u_7
E : Type u_8
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
S : Set E

⊢ IsVonNBounded 𝕜 S ↔ ∀ t ∈ 𝓝 0, ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, x • S ⊆ t
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜✝ : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E✝ : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
𝕜 : Type u_7
E : Type u_8
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : TopologicalSpace E
S V : Set E
hV : V ∈ 𝓝 0

⊢ Absorbs 𝕜 V S ↔ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, x • S ⊆ V
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
n : Type u_5
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n A
h : ∀ (i j : n), IsIntegral R (M i j)

⊢ IsIntegral R M.det
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Ring B
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
f✝ f : R →+* S
n : Type u_5
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n A
h : ∀ (i j : n), IsIntegral R (M i j)

⊢ IsIntegral R (∑ σ : Equiv.Perm n, Equiv.Perm.sign σ • ∏ i : n, M (σ i) i)
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w u : W
i : B

⊢ cs.IsReflection (w * (u * cs.simple i * u⁻¹) * w⁻¹)
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w u : W
i : B

⊢ w * (u * cs.simple i * u⁻¹) * w⁻¹ = w * u * cs.simple i * (w * u)⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hp : Fact (1 ≤ p)
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)

⊢ ‖lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f‖ = ‖f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hp : Fact (1 ≤ p)
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)

⊢ ‖↑f‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
h : t.dual.Bounded o₂ o₁

⊢ t.Bounded o₁ o₂
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
t : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
h : t.dual.Bounded o₂ o₁
this : t.dual.dual.Bounded o₁ o₂

⊢ t.Bounded o₁ o₂
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K

⊢ finrank ℝ ({ w // w ≠ w₀ } → ℝ) = rank K
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
f g : α →₀ ℕ
a✝ : α

⊢ Multiset.count a✝ (toMultiset (f ⊓ g)) = Multiset.count a✝ (toMultiset f ∩ toMultiset g)