ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)

⊢ StronglyMeasurable (uncurry u)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ

⊢ StronglyMeasurable (U n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ
h_str_meas : StronglyMeasurable fun p => u (↑p.1) p.2

⊢ StronglyMeasurable (U n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ
h_str_meas : StronglyMeasurable fun p => u (↑p.1) p.2
this : (fun p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2)

⊢ StronglyMeasurable (U n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ
h_str_meas : StronglyMeasurable fun p => u (↑p.1) p.2
this : (fun p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2)

⊢ StronglyMeasurable ((fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (u i)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ
h_str_meas : StronglyMeasurable fun p => u (↑p.1) p.2
this : (fun p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2)

⊢ Measurable fun p => ⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t : Set α
d : ℝ≥0∞
f : β → α
s : Set β

⊢ diam (f '' s) ≤ d ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, edist (f x) (f y) ≤ d
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A : Type u
B : Type v
inst✝¹ : CommGroup A
inst✝ : CommGroup B
f : A →* B
h : (QuotientGroup.mk' f.range).ker = ker 1

⊢ f.range = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m : ℕ
hcop : m.Coprime n

⊢ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).IsRoot (μ ^ m)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝² : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝¹ : IsDomain K
inst✝ : CharZero K
m : ℕ
hcop : m.Coprime n

⊢ eval₂ (Int.castRingHom K) (μ ^ m) (minpoly ℤ (μ ^ m)) = 0
-- Mathlib/FieldTheory/SplittingField/IsSplittingField.lean
F✝ : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p : K[X]
F : IntermediateField K L
h : Splits (algebraMap K L) p
hF : ∀ x ∈ p.rootSet L, x ∈ F

⊢ Splits (algebraMap K ↥F) p
-- Mathlib/FieldTheory/SplittingField/IsSplittingField.lean
F✝ : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p : K[X]
F : IntermediateField K L
h : Splits (algebraMap K L) p
hF : ∀ x ∈ p.aroots L, x ∈ F.val.fieldRange

⊢ Splits (algebraMap K ↥F) p
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)

⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1

⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlroot : (cyclotomic l K).IsRoot x

⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlroot : (cyclotomic l K).IsRoot x
hlzero : NeZero l

⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlroot : (cyclotomic l K).IsRoot x
hlzero : NeZero l
this : NeZero ↑l

⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlroot : IsPrimitiveRoot x l
hlzero : NeZero l
this : NeZero ↑l

⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlroot : IsPrimitiveRoot x l
hlzero : NeZero l
this : NeZero ↑l
a : ℕ
ha : 2 * ↑n = l * a

⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlzero : NeZero l
this : NeZero ↑l
a : ℕ
ha : 2 * ↑n = l * a
hlroot : x ^ (2 * ↑n) = 1

⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field K
inst✝² inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} ℚ K
hno : Odd ↑n
ζ x : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hx : IsOfFinOrder x
hnegζ : IsPrimitiveRoot (-ζ) (2 * ↑n)
k : ℕ
hkpos : 0 < k
hkn : x ^ k = 1
l : ℕ
hl : l ∈ k.divisors
hlzero : NeZero l
this : NeZero ↑l
a : ℕ
ha : 2 * ↑n = l * a
hlroot : x ^ (2 * ↑n) = 1
s : ℕ
hs : (-ζ) ^ s = x

⊢ ∃ r, x = (-ζ) ^ r
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b : α
h✝ : Equivalence r
h : EqvGen r a b

⊢ r a b
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i

⊢ Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ i ∈ range n, (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i) atTop (𝓝 (l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n))
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
k : Tendsto (fun x => ∑ i ∈ range x, f i - ∑ i ∈ range x, f i * z ^ i) atTop (𝓝 (l - ∑' (b : ℕ), f b * z ^ b))

⊢ Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ i ∈ range n, (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i) atTop (𝓝 (l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n))
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
k : Tendsto (fun x => (1 - z) * ∑ x_1 ∈ range x, (∑ i ∈ Ico (x_1 + 1) x, f i) * z ^ x_1) atTop (𝓝 (l - ∑' (i : ℕ), f i * z ^ i))

⊢ Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ i ∈ range n, (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i) atTop (𝓝 (l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n))
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
k : Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ j ∈ range n, (∑ k ∈ range n, f k - ∑ k ∈ range (j + 1), f k) * z ^ j) atTop (𝓝 (l - ∑' (i : ℕ), f i * z ^ i))

⊢ Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ i ∈ range n, (l - ∑ j ∈ range (i + 1), f j) * z ^ i) atTop (𝓝 (l - ∑' (n : ℕ), f n * z ^ n))
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
k : Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ j ∈ range n, (∑ k ∈ range n, f k - ∑ k ∈ range (j + 1), f k) * z ^ j) atTop (𝓝 (l - ∑' (i : ℕ), f i * z ^ i))

⊢ Tendsto (fun n => (l - s n) * ∑ i ∈ range n, z ^ i) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
k : Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ j ∈ range n, (∑ k ∈ range n, f k - ∑ k ∈ range (j + 1), f k) * z ^ j) atTop (𝓝 (l - ∑' (i : ℕ), f i * z ^ i))

⊢ Tendsto (fun n => (l - s n) * ∑ i ∈ range n, z ^ i) atTop (𝓝 (0 * (-1 / (z - 1))))
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
k : Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ j ∈ range n, (∑ k ∈ range n, f k - ∑ k ∈ range (j + 1), f k) * z ^ j) atTop (𝓝 (l - ∑' (i : ℕ), f i * z ^ i))

⊢ Tendsto (fun x => l - s x) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
s : ℕ → ℂ := fun n => ∑ i ∈ range n, f i
k : Tendsto (fun n => (1 - z) * ∑ j ∈ range n, (∑ k ∈ range n, f k - ∑ k ∈ range (j + 1), f k) * z ^ j) atTop (𝓝 (l - ∑' (i : ℕ), f i * z ^ i))

⊢ Tendsto (fun x => ∑ i ∈ range x, z ^ i) atTop (𝓝 (-1 / (z - 1)))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
T : E →ₗ[𝕜] E
x : E

⊢ im ⟪x, (adjoint T) (T x)⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
T : E →ₗ[𝕜] E
x : E

⊢ im (↑‖T x‖ ^ 2) = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
hL : L.ExactAt i

⊢ QuasiIsoAt f i ↔ K.ExactAt i
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
f : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
hL : IsZero (L.sc i).homology

⊢ IsIso (ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map f)) ↔ IsZero (K.sc i).homology
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u : ↥K
v : E

⊢ ⟪↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜 = ⟪↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜 + ⟪v - ↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u : ↥K
v : E

⊢ ⟪↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜 + ⟪v - ↑((orthogonalProjection K) v), ↑u⟫_𝕜 = ⟪v, ↑u⟫_𝕜
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
p : ℕ × Fin n

⊢ (fun a => (a / n, ↑a)) ((fun p => p.1 * n + ↑p.2) p) = p
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
p : ℕ × Fin n

⊢ ((fun a => (a / n, ↑a)) ((fun p => p.1 * n + ↑p.2) p)).1 = p.1
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
p : ℕ × Fin n

⊢ (p.1 * n + ↑p.2) / n = p.1
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0

⊢ 1 < a / b ↔ a < b
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.1617, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.1621, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.1625, u_3} E
F : C ⥤ Karoubi D
P : Karoubi C

⊢ (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.1617, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.1621, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.1625, u_3} E
F : C ⥤ Karoubi D
X✝ Y✝ : Karoubi C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (F.map f.f).f = ((fun P => { X := (F.obj P.X).X, p := (F.map P.p).f, idem := ⋯ }) X✝).p ≫ (F.map f.f).f ≫ ((fun P => { X := (F.obj P.X).X, p := (F.map P.p).f, idem := ⋯ }) Y✝).p
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s✝ : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t✝ : Set A
s t : Set M
ht : IsSubmonoid t
h : s ⊆ t
a : M
ha : a ∈ Closure s

⊢ a ∈ t
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : CanonicallyOrderedCommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f : ι → α
a : α
hf : Multipliable f

⊢ ∏' (i : ι), f i ≠ 1 ↔ ∃ x, f x ≠ 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
b' : Pseudoelement S.X₂
b : Over S.X₂
hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0

⊢ ∃ a, pseudoApply S.f a = ⟦b⟧
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
b' : Pseudoelement S.X₂
b : Over S.X₂
hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0
hb' : b.hom ≫ S.g = 0

⊢ ∃ a, pseudoApply S.f a = ⟦b⟧
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
b' : Pseudoelement S.X₂
b : Over S.X₂
hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0
hb' : b.hom ≫ S.g = 0
c : (𝟭 C).obj b.left ⟶ (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯).pt
hc : c ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯) = b.hom

⊢ ∃ a, pseudoApply S.f a = ⟦b⟧
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
b' : Pseudoelement S.X₂
b : Over S.X₂
hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0
hb' : b.hom ≫ S.g = 0
c : (𝟭 C).obj b.left ⟶ (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯).pt
hc : c ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯) = b.hom

⊢ pseudoApply S.f (Quot.mk (PseudoEqual S.X₁) (Over.mk (pullback.fst (Abelian.factorThruImage S.f) c))) = ⟦b⟧
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
b' : Pseudoelement S.X₂
b : Over S.X₂
hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0
hb' : b.hom ≫ S.g = 0
c : (𝟭 C).obj b.left ⟶ (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯).pt
hc : c ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯) = b.hom

⊢ (fun g => app S.f g) (Over.mk (pullback.fst (Abelian.factorThruImage S.f) c)) ≈ b
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
b' : Pseudoelement S.X₂
b : Over S.X₂
hb : pseudoApply S.g ⟦b⟧ = 0
hb' : b.hom ≫ S.g = 0
c : (𝟭 C).obj b.left ⟶ (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯).pt
hc : c ≫ Fork.ι (KernelFork.ofι (image.ι S.f) ⋯) = b.hom

⊢ 𝟙 (pullback (Abelian.factorThruImage S.f) c) ≫ ((fun g => app S.f g) (Over.mk (pullback.fst (Abelian.factorThruImage S.f) c))).hom = pullback.snd (Abelian.factorThruImage S.f) c ≫ b.hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
H : IsVanKampenColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α

⊢ Nonempty (IsColimit c'') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
H : IsVanKampenColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
this : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι

⊢ Nonempty (IsColimit c'') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
H : IsVanKampenColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
this : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι

⊢ (∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app j)) ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
H : IsVanKampenColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
this : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι

⊢ ∀ (a : J), IsPullback (c''.ι.app a) (α.app a) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app a) ↔ IsPullback (c''.ι.app a) (α.app a) f (c'.ι.app a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27917, u_1} K
D : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.27924, u_2} D
F : J ⥤ C
c c' : Cocone F
H : IsVanKampenColimit c
e : c ≅ c'
F' : J ⥤ C
c'' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c''.pt ⟶ c'.pt
h : α ≫ c'.ι = c''.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
this : c'.ι ≫ (Functor.const J).map e.inv.hom = c.ι
j : J

⊢ IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) (f ≫ e.inv.hom) (c.ι.app j) ↔ IsPullback (c''.ι.app j) (α.app j) f (c'.ι.app j)