ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
inst✝ : Infinite ι
c : ι → Cardinal.{v}
h₁ : ∀ (i : ι), 2 ≤ c i
h₂ : ∀ (i : ι), lift.{u, v} (c i) ≤ lift.{v, u} #ι

⊢ (prod fun i => lift.{u, v} (c i)) = lift.{v, u} (2 ^ #ι)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
inst✝ : Infinite ι
c : ι → Cardinal.{v}
h₁ : ∀ (i : ι), 2 ≤ c i
h₂ : ∀ (i : ι), lift.{u, v} (c i) ≤ lift.{v, u} #ι

⊢ (prod fun i => lift.{u, v} (c i)) ≤ lift.{v, u} (2 ^ #ι)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
inst✝ : Infinite ι
c : ι → Cardinal.{v}
h₁ : ∀ (i : ι), 2 ≤ c i
h₂ : ∀ (i : ι), lift.{u, v} (c i) ≤ lift.{v, u} #ι

⊢ lift.{v, u} (2 ^ #ι) ≤ prod fun i => lift.{u, v} (c i)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R

⊢ (x * y).coeff (x.order + y.order) = x.leadingCoeff * y.leadingCoeff
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R

⊢ ((HahnModule.of R).symm (x • (HahnModule.of R) y)).coeff (x.order + y.order) = x.leadingCoeff * y.leadingCoeff
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X : Grothendieck F

⊢ { obj := fun X => { base := X.base, fiber := (α.app X.base).obj X.fiber }, map := fun {X Y} f => { base := f.base, fiber := (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ (α.app Y.base).map f.fiber } }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := fun X => { base := X.base, fiber := (α.app X.base).obj X.fiber }, map := fun {X Y} f => { base := f.base, fiber := (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ (α.app Y.base).map f.fiber } }.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X : Grothendieck F

⊢ { base := (𝟙 X).base, fiber := (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯ } = 𝟙 { base := X.base, fiber := (α.app X.base).obj X.fiber }
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X : Grothendieck F

⊢ (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ (α.app Z.base).map (eqToHom ⋯ ≫ (F.map g.base).map f.fiber ≫ g.fiber) = eqToHom ⋯ ≫ (G.map { base := g.base, fiber := (eqToHom ⋯).app Y.fiber ≫ (α.app Z.base).map g.fiber }.base).map { base := f.base, fiber := (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ (α.app Y.base).map f.fiber }.fiber ≫ { base := g.base, fiber := (eqToHom ⋯).app Y.fiber ≫ (α.app Z.base).map g.fiber }.fiber
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ (((eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯) ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber)) ≫ (α.app Z.base).map g.fiber = (((eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map ((eqToHom ⋯).app X.fiber)) ≫ (G.map g.base).map ((α.app Y.base).map f.fiber)) ≫ (eqToHom ⋯).app Y.fiber) ≫ (α.app Z.base).map g.fiber
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ ((eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯) ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber) = ((eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map ((eqToHom ⋯).app X.fiber)) ≫ (G.map g.base).map ((α.app Y.base).map f.fiber)) ≫ (eqToHom ⋯).app Y.fiber
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ (eqToHom ⋯).app X.fiber ≫ eqToHom ⋯ ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber) = eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map ((eqToHom ⋯).app X.fiber) ≫ (G.map g.base).map ((α.app Y.base).map f.fiber) ≫ (eqToHom ⋯).app Y.fiber
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber) = eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map (eqToHom ⋯) ≫ (G.map g.base).map ((α.app Y.base).map f.fiber) ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.25278, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.25282, u_2} D
F G : C ⥤ Cat
α : F ⟶ G
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ ≫ (α.app Z.base).map ((F.map g.base).map f.fiber) = eqToHom ⋯ ≫ (G.map g.base).map (eqToHom ⋯) ≫ (eqToHom ⋯ ≫ (F.map g.base ≫ α.app Z.base).map f.fiber ≫ eqToHom ⋯) ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
n : ℕ
hnil : IsNilpotent r

⊢ IsNilpotent (X ^ n * C r)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : Semiring R
P : R[X]
n : ℕ
hnil : IsNilpotent r

⊢ IsNilpotent (C r * X ^ n)
-- Mathlib/Order/Hom/CompleteLattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : SupSet α
inst✝¹ : SupSet β
inst✝ : sSupHomClass F α β
f : F
g : ι → α

⊢ f (⨆ i, g i) = ⨆ i, f (g i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/RootPositive.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι

⊢ P.pairing i j = 0 ↔ P.pairing j i = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G

⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ cos (x - y) = cos x * cos y + sin x * sin y
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ

⊢ (∑' (i : ℕ), if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0) = 2 * 2⁻¹ ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ
A : Summable fun i => if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0

⊢ (∑' (i : ℕ), if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0) = 2 * 2⁻¹ ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ
A : Summable fun i => if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0
B : (∑ i ∈ Finset.range n, if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0) = 0

⊢ (∑' (i : ℕ), if n ≤ i then 2⁻¹ ^ i else 0) = 2 * 2⁻¹ ^ n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b

⊢ (∏ x ∈ Ioc a b, f x) * f a = ∏ x ∈ Icc a b, f x
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R

⊢ eval₂ f g p = (eval₂Hom (RingHom.id S₁) g) ((eval₂Hom (C.comp f) X) p)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R

⊢ eval₂ f g p = eval₂ (RingHom.id S₁) g (eval₂ (C.comp f) X p)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
h : (eval₂Hom (RingHom.id S₁) g) (eval₂ (C.comp f) X p) = eval₂ ((eval₂Hom (RingHom.id S₁) g).comp (C.comp f)) (⇑(eval₂Hom (RingHom.id S₁) g) ∘ X) p

⊢ eval₂ f g p = eval₂ (RingHom.id S₁) g (eval₂ (C.comp f) X p)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
p : MvPolynomial σ R
h : eval₂ (RingHom.id S₁) g (eval₂ (C.comp f) X p) = eval₂ ((eval₂Hom (RingHom.id S₁) g).comp (C.comp f)) (eval₂ (RingHom.id S₁) g ∘ X) p

⊢ eval₂ f g p = eval₂ (RingHom.id S₁) g (eval₂ (C.comp f) X p)
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}

⊢ ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1

⊢ ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
this : p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}

⊢ ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
this : p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}
a : R
ha : p ^ k • f1.choose = p ^ k • a • z

⊢ ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
this : p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}
a : R
ha : p ^ k • f1.choose = p ^ k • a • z

⊢ Submodule.Quotient.mk (f1.choose - a • z) = f 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Nondegenerate.lean
m : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix m m A
hM : M.det ≠ 0
v : m → A
hv : M *ᵥ v = 0

⊢ Mᵀ.det ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.1 = 0 → x.2 = 0
a : E
ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g

⊢ ∃! b, (a, b) ∈ g
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.1 = 0 → x.2 = 0
a : E
ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g

⊢ ∃ x, (a, x) ∈ g
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.1 = 0 → x.2 = 0
a : E
ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g

⊢ ∀ (y₁ y₂ : F), (a, y₁) ∈ g → (a, y₂) ∈ g → y₁ = y₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.1 = 0 → x.2 = 0
a : E
ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
y₁ y₂ : F
hy₁ : (a, y₁) ∈ g
hy₂ : (a, y₂) ∈ g

⊢ y₁ = y₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ {x : E × F}, x ∈ g → x.1 = 0 → x.2 = 0
a : E
ha : a ∈ map (LinearMap.fst R E F) g
y₁ y₂ : F
hy₁ : (a, y₁) ∈ g
hy₂ : (a, y₂) ∈ g
hy : (0, y₁ - y₂) ∈ g

⊢ y₁ = y₂
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2

⊢ ¬∃ n, ↑↑p ∣ hζ.toInteger - ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
h : p ^ (k + 1) = 2

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ : β
q : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a b : α

⊢ cutMap β (a + b) = cutMap β a + cutMap β b
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ : β
q✝ : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a b : α
q : ℚ
hq : q ∈ {t | ↑t < a + b}

⊢ q ∈ Rat.cast ⁻¹' (cutMap β a + cutMap β b)
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ : β
q : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a b : α

⊢ cutMap β a + cutMap β b ⊆ Rat.cast '' {t | ↑t < a + b}
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
f : M →ₗ[R] N

⊢ Function.Injective ⇑f ∨ f = 0
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R M
f : M →ₗ[R] N

⊢ ker f = ⊥ ∨ ker f = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

⊢ Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

⊢ (∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))) ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
I : Ideal R

⊢ Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
I : Ideal R

⊢ ∀ (a : ↥I ⊗[R] M), (rTensor M (Submodule.subtype I)) a = 0 → a = 0
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
I : Ideal R
x : ↥I ⊗[R] M
hx₀ : (rTensor M (Submodule.subtype I)) x = 0

⊢ x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
I : Ideal R
J : Submodule R R
hfg : J.FG
hle : J ≤ I
y : ↥J ⊗[R] M
hx₀ : (rTensor M (Submodule.subtype I)) ((rTensor M (inclusion hle)) y) = 0

⊢ (rTensor M (inclusion hle)) y = 0
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
h : ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
I : Ideal R
J : Submodule R R
hfg : J.FG
hle : J ≤ I
y : ↥J ⊗[R] M
hx₀ : (rTensor M (Submodule.subtype I ∘ₗ inclusion hle)) y = 0

⊢ (rTensor M (inclusion hle)) y = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Finset E
P : IntermediateField F E → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (K : IntermediateField F E), ∀ x ∈ S, P K → P (restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)

⊢ P (adjoin F ↑S)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Finset E
P : IntermediateField F E → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (K : IntermediateField F E), ∀ x ∈ S, P K → P (restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)

⊢ P (adjoin F ↑∅)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Finset E
P : IntermediateField F E → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (K : IntermediateField F E), ∀ x ∈ S, P K → P (restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
a✝ : E
s✝ : Finset E
ha : a✝ ∈ S
x✝¹ : s✝ ⊆ S
x✝ : a✝ ∉ s✝
h : P (adjoin F ↑s✝)

⊢ P (adjoin F ↑(insert a✝ s✝))
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hn : Even n

⊢ multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hn : Even n
hy : Odd y

⊢ multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hy : Odd y
d : ℕ

⊢ multiplicity 2 (x ^ (d + d) - y ^ (d + d)) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑(d + d)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hy : Odd y
d : ℕ

⊢ multiplicity 2 ((x ^ 2) ^ d - (y ^ 2) ^ d) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑(2 * d)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hy : Odd y
d : ℕ
hxy4 : 4 ∣ x ^ 2 - y ^ 2

⊢ multiplicity 2 ((x ^ 2) ^ d - (y ^ 2) ^ d) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑(2 * d)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hy : Odd y
d : ℕ
hxy4 : 4 ∣ x ^ 2 - y ^ 2

⊢ multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 ↑d + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + (multiplicity 2 ↑2 + multiplicity 2 ↑d)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
x y : ℤ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
hy : Odd y
d : ℕ
hxy4 : 4 ∣ x ^ 2 - y ^ 2

⊢ ¬2 ∣ x ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent R L M
x : L

⊢ posFittingCompOf R M x = ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ‖g x‖ ≤ ‖f x‖

⊢ LocallyIntegrable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
hf : LocallyIntegrableOn f univ μ
g : X → F
hg : AEStronglyMeasurable g μ
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, ‖g x‖ ≤ ‖f x‖

⊢ LocallyIntegrableOn g univ μ
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α

⊢ a / b ≤ 1 ↔ a ≤ b
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens

⊢ IsPullback ((pullbackRestrictIsoRestrict f U).inv ≫ pullback.snd f U.ι) (f ⁻¹ᵁ U).ι U.ι f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens

⊢ IsPullback ((pullbackRestrictIsoRestrict (𝟙 X ≫ f) U).inv ≫ pullback.snd (𝟙 X ≫ f) U.ι) ((𝟙 X ≫ f) ⁻¹ᵁ U).ι U.ι (𝟙 X ≫ f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens

⊢ (pullbackRestrictIsoRestrict (𝟙 X ≫ f) U).inv ≫ pullback.fst f (Y.ofRestrict ⋯) = ((𝟙 X ≫ f) ⁻¹ᵁ U).ι ≫ 𝟙 X
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens

⊢ ((𝟙 X ≫ f) ⁻¹ᵁ U).ι = ((𝟙 X ≫ f) ⁻¹ᵁ U).ι ≫ 𝟙 X
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid R✝
R' : Type u_2
inst✝² : CommMonoidWithZero R'
R : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : Nontrivial R
χ : MulChar R R'

⊢ χ 0 = 0
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
C : AList β → Sort u_1
H0 : C ∅
IH : (a : α) → (b : β a) → (l : AList β) → a ∉ l → C l → C (insert a b l)
c : Sigma β
l : List (Sigma β)
hl : l.NodupKeys
h : c.fst ∉ { entries := l, nodupKeys := hl }

⊢ insertRec H0 IH (insert c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := hl }) = IH c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := hl } h (insertRec H0 IH { entries := l, nodupKeys := hl })
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
C : AList β → Sort u_1
H0 : C ∅
IH : (a : α) → (b : β a) → (l : AList β) → a ∉ l → C l → C (insert a b l)
c : Sigma β
l : List (Sigma β)
hl : l.NodupKeys
h : c.fst ∉ { entries := l, nodupKeys := hl }

⊢ HEq (insertRec H0 IH { entries := c :: l, nodupKeys := ⋯ }) (IH c.fst c.snd { entries := l, nodupKeys := hl } h (insertRec H0 IH { entries := l, nodupKeys := hl }))