ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Monoid α
v : Vector α n
i : Fin n
a : α

⊢ ((List.take (↑i) v.toList).prod * if ↑i < v.toList.length then a else 1) * (List.drop (↑i + 1) v.toList).prod = (take (↑i) v).toList.prod * a * (drop (↑i + 1) v).toList.prod
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
a b : CauSeq ℚ abs

⊢ { cauchy := ⟦a ⊔ b⟧ } = Real.sup { cauchy := ⟦a⟧ } { cauchy := ⟦b⟧ }
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
a b : CauSeq ℚ abs

⊢ { cauchy := ⟦a ⊔ b⟧ } = match { cauchy := ⟦a⟧ }, { cauchy := ⟦b⟧ } with | { cauchy := x }, { cauchy := y } => { cauchy := Quotient.map₂ (fun x x_1 => x ⊔ x_1) ⋯ x y }
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
a : α
ha : 0 < a
b c : α

⊢ ∃! x, b + (Equiv.neg ℤ) x • a ∈ Ico c (c + a)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Completeness.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f₀ : E' →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
f : E' →SL[σ₁₂] F
hf : ⇑f ∈ closure (DFunLike.coe '' closedBall f₀ r)

⊢ f ∈ closedBall f₀ r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Completeness.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f₀ : E' →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
f : E' →SL[σ₁₂] F
hf : ⇑f ∈ closure (DFunLike.coe '' closedBall f₀ r)
hr : 0 ≤ r

⊢ f ∈ closedBall f₀ r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Completeness.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f₀ : E' →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
f : E' →SL[σ₁₂] F
hf : ⇑f ∈ closure (DFunLike.coe '' closedBall f₀ r)
hr : 0 ≤ r
x : E'

⊢ ‖(f - f₀) x‖ ≤ r * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Completeness.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f₀ : E' →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
f : E' →SL[σ₁₂] F
hf : ⇑f ∈ closure (DFunLike.coe '' closedBall f₀ r)
hr : 0 ≤ r
x : E'
this : IsClosed {g | ‖g x - f₀ x‖ ≤ r * ‖x‖}

⊢ ‖(f - f₀) x‖ ≤ r * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Completeness.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
E' : Type u_11
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f₀ : E' →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
f : E' →SL[σ₁₂] F
hf : ⇑f ∈ closure (DFunLike.coe '' closedBall f₀ r)
hr : 0 ≤ r
x : E'
this : IsClosed {g | ‖g x - f₀ x‖ ≤ r * ‖x‖}
g : E' →SL[σ₁₂] F
hg : g ∈ closedBall f₀ r

⊢ g ∈ DFunLike.coe ⁻¹' {g | ‖g x - f₀ x‖ ≤ r * ‖x‖}
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

⊢ s + t = s ∪ t ↔ s.Disjoint t
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
inst✝ : Nontrivial A

⊢ spectrum R 0 = {0}
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
inst✝ : Nontrivial A
this : 0 = (algebraMap R A) 0

⊢ spectrum R 0 = {0}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Set β
f : α → β
hs : s.Countable

⊢ μ (f ⁻¹' s) = 0 ↔ ∀ x ∈ s, μ (f ⁻¹' {x}) = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n✝ k✝ n k : ℕ
hkn : k ≤ n

⊢ ∏ p ∈ Finset.range (n + 1), p ^ (n.choose k).factorization p = n.choose k
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n✝ k✝ n k : ℕ
hkn : k ≤ n

⊢ ∏ p ∈ Finset.range (n + 1), p ^ (n.choose k).factorization p = (n.choose k).factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n✝ k✝ n k : ℕ
hkn : k ≤ n

⊢ ((n.choose k).factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1) = ∏ p ∈ Finset.range (n + 1), p ^ (n.choose k).factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n✝ k✝ n k : ℕ
hkn : k ≤ n

⊢ (n.choose k).factorization.support ⊆ Finset.range (n + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n✝ k✝ n k : ℕ
hkn : k ≤ n

⊢ ∀ x ∈ Finset.range (n + 1), x ∉ (n.choose k).factorization.support → (fun x x_1 => x ^ x_1) x ((n.choose k).factorization x) = 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
m n : PosNum

⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemiring α
m n : PosNum

⊢ ¬↑n < ↑m ↔ m ≤ n
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace E
m μ : Measure E
Ω : Type u_2
x✝ : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
X : Ω → E
s : Set E
hu : Measure.map X ℙ = ProbabilityTheory.cond μ s

⊢ Measure.map X ℙ = ProbabilityTheory.cond μ (toMeasurable μ s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Module.Finite R M

⊢ ↑(finrank R M) = Module.rank R M
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
f : Stream' (Option α)
al : f.IsSeq

⊢ tail ⟨some a :: ↑⟨f, al⟩, ⋯⟩ = ⟨f, al⟩
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
f : Stream' (Option α)
al : f.IsSeq

⊢ ↑(tail ⟨some a :: ↑⟨f, al⟩, ⋯⟩) = ↑⟨f, al⟩
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℤ
h : l.prod = -1

⊢ -1 ∈ l
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℤ
h : l.prod = -1
x : ℤ
h₁ : x ∈ l
h₂ : x ≠ 1

⊢ -1 ∈ l
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C✝ C'✝ C''✝ C C' C'' : VariableChange R

⊢ (C.comp C').comp C'' = C.comp (C'.comp C'')
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ

⊢ ¬IsUnit (trinomial k m n ↑u ↑v ↑w)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hb : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b

⊢ ContDiff 𝕜 n b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hb : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b

⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hb : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b

⊢ Differentiable 𝕜 b ∧ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => fderiv 𝕜 b y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hb : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b

⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => fderiv 𝕜 b y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hb : IsBoundedBilinearMap 𝕜 b

⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => hb.deriv y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
x y : α
hxy : x ≠ y

⊢ (swap x y).IsCycle
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S✝ : Type v
A✝ : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommSemiring S✝
inst✝¹⁰ : Semiring A✝
inst✝⁹ : Semiring B
inst✝⁸ : Algebra R S✝
inst✝⁷ : Algebra S✝ A✝
inst✝⁶ : Algebra S✝ B
inst✝⁵ : Algebra R A✝
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : IsScalarTower R S✝ A✝
inst✝² : IsScalarTower R S✝ B
S : Type u
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Semiring A
h1 h2 : Algebra S A
h : ∀ (r : S) (x : A), (let_fun I := h1; r • x) = r • x
r : S

⊢ (algebraMap S A) r = (algebraMap S A) r
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R α
inst✝ : IsScalarTower R α α
a : R
A : Matrix m n α
b : n → α
x✝ : m

⊢ ((a • A) *ᵥ b) x✝ = (a • A *ᵥ b) x✝
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I

⊢ x ∈ M.closure I ↔ x ∈ M.E ∧ (M.Indep (insert x I) → x ∈ I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I

⊢ ¬M.Indep (insert x I) ∧ x ∈ M.E ∨ x ∈ I ↔ x ∈ M.E ∧ (¬M.Indep (insert x I) ∨ x ∈ I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
this : I ⊆ M.E

⊢ ¬M.Indep (insert x I) ∧ x ∈ M.E ∨ x ∈ I ↔ x ∈ M.E ∧ (¬M.Indep (insert x I) ∨ x ∈ I)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ : R⟦X⟧

⊢ (coeff R (n + 1)) (X * φ) = (coeff R n) φ
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ : R⟦X⟧

⊢ (MvPowerSeries.coeff R (single () 1 + single () n)) (X * φ) = (MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
φ : R⟦X⟧

⊢ (MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ = 1 * (MvPowerSeries.coeff R (single () n)) φ
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Extension.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
s t : LeftExtension f g
i : s ⟶ t
x : B
h : c ⟶ x

⊢ (s.whisker h).hom ≫ (precomp x f).map (i.right ▷ h) = (t.whisker h).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Extension.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : a ⟶ c
s t : LeftExtension f g
i : s ⟶ t
x : B
h : c ⟶ x

⊢ ((s.whisker h).hom ≫ (precomp x f).map (i.right ▷ h)) ≫ (α_ f t.extension h).inv = (t.whisker h).hom ≫ (α_ f t.extension h).inv
-- Mathlib/RingTheory/FreeCommRing.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
x : FreeCommRing α
s : Set α
hfs : s.Finite
hxs : x.IsSupported s

⊢ x.IsSupported ↑hfs.toFinset
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y
xs : Ultrafilter X.A

⊢ (X.a ≫ f.f) xs = Y.str (Ultrafilter.map f.f xs)
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y
xs : Ultrafilter X.A

⊢ (β.map f.f ≫ Y.a) xs = Y.str (Ultrafilter.map f.f xs)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.115347, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData

⊢ cyclesMap' e.hom h₁ h₂ ≫ cyclesMap' e.inv h₂ h₁ = 𝟙 h₁.K
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.115347, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData

⊢ cyclesMap' e.inv h₂ h₁ ≫ cyclesMap' e.hom h₁ h₂ = 𝟙 h₂.K
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/HomCompletion.lean
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
g : G
h₀ : f g = 0

⊢ (toCompl.comp (incl f.ker)).toAddMonoidHom ⟨g, h₀⟩ ∈ f.completion.ker
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R✝ : Type u
M✝ M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹² : Ring R✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M'
inst✝⁶ : Module R✝ M₁
inst✝⁵ : Nontrivial R✝
inst✝⁴ : NoZeroSMulDivisors R✝ M✝
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

⊢ Module.rank R M = 0 ↔ Module.IsTorsion R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R✝ : Type u
M✝ M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹² : Ring R✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M'
inst✝⁶ : Module R✝ M₁
inst✝⁵ : Nontrivial R✝
inst✝⁴ : NoZeroSMulDivisors R✝ M✝
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

⊢ (∀ (x : M), ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • x = 0) ↔ ∀ ⦃x : M⦄, ∃ a, a • x = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ

⊢ sin x = 0 ↔ cos x = 1 ∨ cos x = -1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ

⊢ sin x = 0 ↔ 0 = sin x * sin x
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U : Set ℂ
hU : IsOpen U
c w₀ : ℂ
R : ℝ
f : ℂ → E
hc : closedBall c R ⊆ U
hf : DifferentiableOn ℂ f U
hw₀ : w₀ ∈ ball c R

⊢ ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((z - w₀) ^ 2)⁻¹ • f z) = deriv f w₀
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U : Set ℂ
hU : IsOpen U
c w₀ : ℂ
R : ℝ
f : ℂ → E
hc : closedBall c R ⊆ U
hf : DifferentiableOn ℂ f U
hw₀ : w₀ ∈ ball c R
hf' : DifferentiableOn ℂ (dslope f w₀) U

⊢ ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((z - w₀) ^ 2)⁻¹ • f z) = deriv f w₀
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U : Set ℂ
hU : IsOpen U
c w₀ : ℂ
R : ℝ
f : ℂ → E
hc : closedBall c R ⊆ U
hf : DifferentiableOn ℂ f U
hw₀ : w₀ ∈ ball c R
hf' : DifferentiableOn ℂ (dslope f w₀) U
h0 : ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w₀)⁻¹ • dslope f w₀ z) = dslope f w₀ w₀

⊢ ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((z - w₀) ^ 2)⁻¹ • f z) = deriv f w₀
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U : Set ℂ
hU : IsOpen U
c w₀ : ℂ
R : ℝ
f : ℂ → E
hc : closedBall c R ⊆ U
hf : DifferentiableOn ℂ f U
hw₀ : w₀ ∈ ball c R
hf' : DifferentiableOn ℂ (dslope f w₀) U
h0 : ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w₀)⁻¹ • dslope f w₀ z) = dslope f w₀ w₀

⊢ ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((z - w₀) ^ 2)⁻¹ • f z) = (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w₀)⁻¹ • dslope f w₀ z
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
ι : Type u_1
f : ι → Cardinal.{u}

⊢ prod f = 0 ↔ ∃ i, f i = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
ι : Type u_1
f : ι → Type u

⊢ (prod fun i => #(f i)) = 0 ↔ ∃ i, (fun i => #(f i)) i = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂

⊢ MeasurableSet (s₁ ∩ s₂)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂

⊢ MeasurableSet (s₁ᶜ ∪ s₂ᶜ)ᶜ
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/GaussSum.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
inst✝¹ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp₁ : p ≠ 2
hp₂ : ringChar F ≠ p

⊢ (quadraticChar F) ↑p = (quadraticChar (ZMod p)) (↑(χ₄ ↑(Fintype.card F)) * ↑(Fintype.card F))
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/GaussSum.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
inst✝¹ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp₁ : p ≠ 2
hp₂ : ringChar F ≠ p

⊢ (quadraticChar F) ↑p = (quadraticChar (ZMod p)) (↑((quadraticChar F) (-1)) * ↑(Fintype.card F))
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/GaussSum.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Fintype F
inst✝¹ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp₁ : p ≠ 2
hp₂ : ringChar F ≠ p
h : (quadraticChar F) ↑(Fintype.card (ZMod p)) = (quadraticChar (ZMod p)) (↑((quadraticChar F) (-1)) * ↑(Fintype.card F))

⊢ (quadraticChar F) ↑p = (quadraticChar (ZMod p)) (↑((quadraticChar F) (-1)) * ↑(Fintype.card F))
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Basic.lean
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝⁴ : DecidableEq ι
M : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq M
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

⊢ (DirectSum.coeAddMonoidHom A) x = DFinsupp.sum x fun i x => ↑x
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Basic.lean
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝⁴ : DecidableEq ι
M : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq M
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

⊢ (DFinsupp.sumAddHom fun i => AddSubmonoidClass.subtype (A i)) x = DFinsupp.sum x fun i x => ↑x
-- Mathlib/NumberTheory/Primorial.lean
m n : ℕ
h : n ≤ m
p : ℕ
hp : p ∈ filter Nat.Prime (Ico (m + 1) (m + n + 1))

⊢ p ∣ (m + n).choose m
-- Mathlib/NumberTheory/Primorial.lean
m n : ℕ
h : n ≤ m
p : ℕ
hp : (m + 1 ≤ p ∧ p < m + n + 1) ∧ Nat.Prime p

⊢ p ∣ (m + n).choose m
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P✝ : Ideal S
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsNoetherian R S
inst✝ : p.IsMaximal
P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }

⊢ inertiaDeg (algebraMap R S) p ↑P ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P✝ : Ideal S
inst✝³ : IsDedekindDomain S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsNoetherian R S
inst✝ : p.IsMaximal
P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }

⊢ finrank (R ⧸ p) (S ⧸ ↑P) ≠ 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ✝ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
γ : Type w
α : Type x
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : CommMonoid γ
s : Finset α
g : α → Π₀ (i : ι), β i
h : (i : ι) → β i → γ
h_zero : ∀ (i : ι), h i 0 = 1
h_add : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ + b₂) = h i b₁ * h i b₂

⊢ ∏ i ∈ s, (g i).prod h = (∑ i ∈ s, g i).prod h
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/AsymptoticEquivalent.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α

⊢ u ~[l] 0 ↔ u =ᶠ[l] 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/AsymptoticEquivalent.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α

⊢ u =o[l] 0 ↔ u =ᶠ[l] 0