ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)

⊢ ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, F x ∈ Metric.closedBall f i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, F x ∈ Metric.closedBall f ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε} ∈ uniformity ↥(lp E p)

⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, F x ∈ Metric.closedBall f ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε} ∈ uniformity ↥(lp E p)

⊢ ∀ (x : ℕ), (∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, (F x, F l) ∈ {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε}) → F x ∈ Metric.closedBall f ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε} ∈ uniformity ↥(lp E p)
n : ℕ
hn : ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, ‖(fun f => F n - f) (F l)‖ < ε

⊢ F n ∈ Metric.closedBall f ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε} ∈ uniformity ↥(lp E p)
n : ℕ
hn : ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, ‖(fun f => F n - f) (F l)‖ < ε

⊢ Tendsto (id fun i => ↑((fun f => F n - f) (F i))) atTop (𝓝 ↑(F n - f))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε} ∈ uniformity ↥(lp E p)
n : ℕ
hn : ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, ‖(fun f => F n - f) (F l)‖ < ε

⊢ ∀ (x : α), Tendsto (fun i => id (fun i => ↑((fun f => F n - f) (F i))) i x) atTop (𝓝 (↑(F n - f) x))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε' : {p_1 | ‖p_1.1 - p_1.2‖ < ε} ∈ uniformity ↥(lp E p)
n : ℕ
hn : ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, ‖(fun f => F n - f) (F l)‖ < ε
a : α

⊢ Tendsto (fun i => id (fun i => ↑((fun f => F n - f) (F i))) i a) atTop (𝓝 (↑(F n - f) a))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Uniform.lean
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E

⊢ dist a (a / b) = ‖b‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R✝ : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R✝ M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M'
inst✝⁹ : Module R✝ M₁
inst✝⁸ : Nontrivial R✝
inst✝⁷ : NoZeroSMulDivisors R✝ M
inst✝⁶ : StrongRankCondition R✝
inst✝⁵ : Module.Finite R✝ M
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Finite R M

⊢ finrank R M = 0 ↔ Module.IsTorsion R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R✝ : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : AddCommGroup M'
inst✝¹² : AddCommGroup M₁
inst✝¹¹ : Module R✝ M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M'
inst✝⁹ : Module R✝ M₁
inst✝⁸ : Nontrivial R✝
inst✝⁷ : NoZeroSMulDivisors R✝ M
inst✝⁶ : StrongRankCondition R✝
inst✝⁵ : Module.Finite R✝ M
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module.Finite R M

⊢ finrank R M = 0 ↔ ↑(finrank R M) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m

⊢ padicNorm p (↑f m) = padicNorm p (↑f n)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝ : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε

⊢ padicNorm p (↑f m) = padicNorm p (↑f n)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝¹ : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)

⊢ padicNorm p (↑f m) = padicNorm p (↑f n)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))

⊢ padicNorm p (↑f m) = padicNorm p (↑f n)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
hne : ¬padicNorm p (↑f m) = padicNorm p (↑f n)

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
hne : ¬padicNorm p (-↑f m) = padicNorm p (↑f n)

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
hne : ¬padicNorm p (-↑f m) = padicNorm p (↑f n)
hnam : padicNorm p (-↑f m + ↑f n) = max (padicNorm p (-↑f m)) (padicNorm p (↑f n))

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))
hne : ¬padicNorm p (-↑f m) = padicNorm p (↑f n)
hnam : padicNorm p (-↑f m + ↑f n) = max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ (padicNorm p)
hf : ¬f ≈ 0
this✝² : ∃ ε > 0, ∃ N1, ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
ε : ℚ
hε : ε > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, ε ≤ padicNorm p (↑f j)
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNorm p (↑f j - ↑f k) < ε
n m : ℕ
hn : max N1 N2 ≤ n
hm : max N1 N2 ≤ m
this✝¹ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < ε
this✝ : padicNorm p (↑f n - ↑f m) < padicNorm p (↑f n)
this : padicNorm p (-↑f m + ↑f n) < padicNorm p (-↑f m + ↑f n)
hne : ¬padicNorm p (-↑f m) = padicNorm p (↑f n)
hnam : padicNorm p (-↑f m + ↑f n) = max (padicNorm p (↑f n)) (padicNorm p (↑f m))

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ λ ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ λ ∣ S.a + S.b + λ ^ 2 * S.b + 2 * λ * S.b
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q✝ p q : MvPolynomial σ R
h : q.totalDegree < p.totalDegree

⊢ (q + p).totalDegree = p.totalDegree
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ vectorSpan k (p '' s) = Submodule.span k ((fun x => p i -ᵥ x) '' (p '' (s \ {i})))
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ Submodule.span k (insert (p i -ᵥ p i) ((fun x => p i -ᵥ x) '' (p '' (s \ {i})))) = Submodule.span k ((fun x => p i -ᵥ x) '' (p '' (s \ {i})))
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R

⊢ ((↑F).comp (of A 0)) GradedMonoid.GOne.one = 1
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R

⊢ ↑F ((of A 0) GradedMonoid.GOne.one) = 1
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R

⊢ ↑F ((of A 0) GradedMonoid.GOne.one) = F 1
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
i j : ι
ai : A i
aj : A j

⊢ ((↑F).comp (of A (i + j))) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = ((↑F).comp (of A i)) ai * ((↑F).comp (of A j)) aj
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
i j : ι
ai : A i
aj : A j

⊢ F ((of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)) = F ((of A i) ai) * F ((of A j) aj)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
f : { f // f GradedMonoid.GOne.one = 1 ∧ ∀ {i j : ι} (ai : A i) (aj : A j), f (GradedMonoid.GMul.mul ai aj) = f ai * f aj }
xi : ι
xv : A xi

⊢ ↑((fun F => ⟨fun {i} => (↑F).comp (of A i), ⋯⟩) ((fun f => toSemiring (fun x => ↑f) ⋯ ⋯) f)) xv = ↑f xv
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R

⊢ (fun f => toSemiring (fun x => ↑f) ⋯ ⋯) ((fun F => ⟨fun {i} => (↑F).comp (of A i), ⋯⟩) F) = F
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R

⊢ (fun f => ↑f) ((fun f => toSemiring (fun x => ↑f) ⋯ ⋯) ((fun F => ⟨fun {i} => (↑F).comp (of A i), ⋯⟩) F)) = (fun f => ↑f) F
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : Semiring R
F : (⨁ (i : ι), A i) →+* R
xi : ι
xv : A xi

⊢ (((fun f => ↑f) ((fun f => toSemiring (fun x => ↑f) ⋯ ⋯) ((fun F => ⟨fun {i} => (↑F).comp (of A i), ⋯⟩) F))).comp (of A xi)) xv = (((fun f => ↑f) F).comp (of A xi)) xv
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0

⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ b⁻¹ ≤ a
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : ℕ → Set Ω
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]) ω) atTop atTop
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : ℕ → Set Ω
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => process s n ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => predictablePart (process s) ℱ μ n ω) atTop atTop

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]) ω) atTop atTop
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : ℕ → Set Ω
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
ω : Ω
n : ℕ

⊢ process s n ω ≤ process s (n + 1) ω
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : ℕ → Set Ω
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)
this : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1) ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => (∑ k ∈ Finset.range n, μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]) ω) atTop atTop

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]) ω) atTop atTop
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
f : LocallyConstant ↑C ℤ

⊢ ∃ s g, f = LocallyConstant.comap { toFun := ProjRestrict C fun x => x ∈ s, continuous_toFun := ⋯ } g
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
f : LocallyConstant ↑C ℤ
J : (Finset I)ᵒᵖ
g : LocallyConstant ↑((spanFunctor ⋯).obj J).toTop ℤ
h : f = LocallyConstant.comap ((spanCone ⋯).π.app J) g

⊢ ∃ s g, f = LocallyConstant.comap { toFun := ProjRestrict C fun x => x ∈ s, continuous_toFun := ⋯ } g
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Pow.lean
R : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
Hsq : 0 ≤ a * a
Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)
H : 0 ≤ 2 + a
n : ℕ
this : 0 ≤ ↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a

⊢ 1 + ↑(n + 2) * a + (↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a) = (1 + a) * (1 + a) * (1 + ↑n * a)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Pow.lean
R : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
Hsq : 0 ≤ a * a
Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)
H : 0 ≤ 2 + a
n : ℕ
this : 0 ≤ ↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a

⊢ 1 + (↑n * a + (a + (a + (↑n * (a * a) + (↑n * (a * a) + (↑n * (a * a * a) + a * a)))))) = 1 + (a + (a + (a * a + (↑n * a + (a * (↑n * a) + (a * (↑n * a) + a * a * (↑n * a)))))))
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Pow.lean
R : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
Hsq : 0 ≤ a * a
Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)
H : 0 ≤ 2 + a
n : ℕ
this : 0 ≤ ↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a

⊢ ↑n * a + 1 + a + a + ↑n * (a * a) + ↑n * (a * a) + ↑n * (a * a * a) + a * a = ↑n * a + 1 + a + a + a * a + a * (↑n * a) + a * (↑n * a) + a * a * (↑n * a)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Pow.lean
R : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
Hsq : 0 ≤ a * a
Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)
H : 0 ≤ 2 + a
n : ℕ
this : 0 ≤ ↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a

⊢ ↑n * a + (1 + (a + (a + (a * (↑n * a) + (a * (↑n * a) + (a * a * (↑n * a) + a * a)))))) = ↑n * a + (1 + (a + (a + (a * a + (a * (↑n * a) + (a * (↑n * a) + a * a * (↑n * a)))))))
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Pow.lean
R : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring R
a : R
Hsq : 0 ≤ a * a
Hsq' : 0 ≤ (1 + a) * (1 + a)
H : 0 ≤ 2 + a
n : ℕ
this : 0 ≤ ↑n * (a * a * (2 + a)) + a * a

⊢ (1 + a) * (1 + a) * (1 + a) ^ n = (1 + a) ^ (n + 2)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α ≃ β
a : α
b : M

⊢ equivMapDomain f (single a b) = single (f a) b
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
u v w : m → α

⊢ -v ⬝ᵥ -w = v ⬝ᵥ w
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ γ : Type
f : α → β → σ → σ × γ
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α) (b : β), ∀ s ∈ S, (f a b s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (b : β) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a b s).2 = (f a b s').2

⊢ (mapAccumr₂ f xs ys s₀).2 = map₂ (fun x x_1 => (f x x_1 s₀).2) xs ys
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ γ : Type
f : α → β → σ → σ × γ
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α) (b : β), ∀ s ∈ S, (f a b s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (b : β) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a b s).2 = (f a b s').2

⊢ (mapAccumr₂ f xs ys s₀).2 = (mapAccumr₂ (fun x y x_1 => ((), (f x y s₀).2)) xs ys ()).2
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ γ : Type
f : α → β → σ → σ × γ
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α) (b : β), ∀ s ∈ S, (f a b s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (b : β) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a b s).2 = (f a b s').2

⊢ ∃ R, R s₀ () ∧ ∀ {s : σ} {q : Unit} (a : α) (b : β), R s q → R (f a b s).1 ((), (f a b s₀).2).1 ∧ (f a b s).2 = ((), (f a b s₀).2).2
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type
n : ℕ
β : Type
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ γ : Type
f : α → β → σ → σ × γ
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α) (b : β), ∀ s ∈ S, (f a b s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (b : β) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a b s).2 = (f a b s').2

⊢ ∀ {s : σ} {q : Unit} (a : α) (b : β), s ∈ S → (f a b s).1 ∈ S ∧ (f a b s).2 = ((), (f a b s₀).2).2
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : SMul R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : IsNoetherian R M

⊢ IsNoetherian S M
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : SMul R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : WellFounded fun x x_1 => x > x_1

⊢ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Inverse.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
s : σ

⊢ (X s)⁻¹ = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E

⊢ Kᗮᗮᗮ = Kᗮ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E

⊢ Kᗮ.topologicalClosure = Kᗮ
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ
x✝ : 0 ≤ n

⊢ (n - 0)! * n.descFactorial 0 = n !
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
k : ℕ
h : k.succ ≤ 0

⊢ False
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ
h : k.succ ≤ n.succ

⊢ (n.succ - k.succ)! * n.succ.descFactorial k.succ = n.succ !
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
hd : d ≤ 0
n : ℤ√d

⊢ 0 ≤ -(d * n.im * n.im)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
hd : d ≤ 0
n : ℤ√d

⊢ 0 ≤ -d * (n.im * n.im)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁷ : AddCommGroup E
inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝¹² : AddCommGroup F
inst✝¹¹ : Module 𝕜 F
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F
inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁷ : AddCommGroup F'
inst✝⁶ : Module 𝕜 F'
inst✝⁵ : TopologicalSpace F'
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝² : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : T2Space E
v : Basis ι 𝕜 E

⊢ Continuous (↑v.equivFun.symm).toFun
-- Mathlib/Topology/IndicatorConstPointwise.lean
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b

⊢ Tendsto (fun i => (As i).indicator fun x => b) L (𝓝 (A.indicator fun x => b)) ↔ Tendsto As L (pi fun x => pure (x ∈ A))
-- Mathlib/Topology/IndicatorConstPointwise.lean
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b

⊢ (∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A) ↔ ∀ (i : α), Tendsto (fun x => As x i) L (pure (i ∈ A))
-- Mathlib/Topology/IndicatorConstPointwise.lean
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝³ : Zero β
inst✝² : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
inst✝¹ : T1Space β
b : β
inst✝ : NeZero b

⊢ (∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A) ↔ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ι) in L, As x i = (i ∈ A)