ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁵ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : CompactSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
x : M
hx : x ∈ U
H₁ : ‖f x‖ = ‖f c‖
hd' : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) (fun x => f x + f c) U
H₂ : ‖f x + f c‖ = ‖f c + f c‖

⊢ ‖f x + const M (f c) x‖ = ‖f x‖ + ‖const M (f c) x‖
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
x : α
xs : List α

⊢ xs <+ orderedInsert r x xs
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
x : α
xs : List α

⊢ xs <+ takeWhile (fun b => decide ¬r x b) xs ++ x :: dropWhile (fun b => decide ¬r x b) xs
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
x : α
xs : List α

⊢ xs <+ takeWhile (fun b => decide ¬r x b) xs ++ dropWhile (fun b => decide ¬r x b) xs
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
this : HasPullback f i

⊢ (Limits.pullback.lift (pullback.fst f hi) (pullback.snd f hi) ⋯ ≫ pullback.lift f hi (Limits.pullback.fst f i) (Limits.pullback.snd f i) ⋯) ≫ pullback.fst f hi = 𝟙 (pullback f hi) ≫ pullback.fst f hi
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
this : HasPullback f i

⊢ pullback.lift f hi (Limits.pullback.fst f i) (Limits.pullback.snd f i) ⋯ ≫ Limits.pullback.lift (pullback.fst f hi) (pullback.snd f hi) ⋯ = 𝟙 (Limits.pullback f i)
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
this : HasPullback f i

⊢ (pullback.lift f hi (Limits.pullback.fst f i) (Limits.pullback.snd f i) ⋯ ≫ Limits.pullback.lift (pullback.fst f hi) (pullback.snd f hi) ⋯) ≫ Limits.pullback.fst f i = 𝟙 (Limits.pullback f i) ≫ Limits.pullback.fst f i
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X Y Z : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
this : HasPullback f i

⊢ (pullback.lift f hi (Limits.pullback.fst f i) (Limits.pullback.snd f i) ⋯ ≫ Limits.pullback.lift (pullback.fst f hi) (pullback.snd f hi) ⋯) ≫ Limits.pullback.snd f i = 𝟙 (Limits.pullback f i) ≫ Limits.pullback.snd f i
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Filter α
G : Filter β
s : Set α
t : Set β
m : α → β

⊢ MapsTo (map m) (Iic (𝓟 s)) (Iic (𝓟 t)) ↔ MapsTo m s t
-- Mathlib/Analysis/Convex/Join.lean
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty

⊢ (convexHull 𝕜) (s ∪ t) = convexJoin 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) ((convexHull 𝕜) t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Join.lean
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y : E
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty

⊢ (convexHull 𝕜) ((convexHull 𝕜) s ∪ (convexHull 𝕜) t) = convexJoin 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) ((convexHull 𝕜) t)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α

⊢ (s ∪ t).Disjoint u ↔ s.Disjoint u ∧ t.Disjoint u
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s✝ t✝ : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
s : Set α
sl : s ∈ l
hs : IntegrableOn f s μ
t : Set α
tl : t ∈ l
ht : IntegrableOn g t μ

⊢ IntegrableAtFilter (f + g) l μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s✝ t✝ : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
s : Set α
sl : s ∈ l
hs : IntegrableOn f s μ
t : Set α
tl : t ∈ l
ht : IntegrableOn g t μ

⊢ IntegrableOn (f + g) (s ∩ t) μ
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/PowerBasis.lean
K : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra K S
x : S
hx : IsIntegral K x
i : Fin (minpoly K x).natDegree

⊢ (powerBasisAux hx) i = ⟨x, ⋯⟩ ^ ↑i
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i✝ : m
j : n
b✝ : n → α
c : m → α
inst✝ : Subsingleton n
A : Matrix m n R
i : n
b : m → R
x : m
y : n

⊢ A.updateColumn i b x y = (col (Fin 1) b).submatrix id (Function.const n 0) x y
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f u : ℕ → α
n : ℕ

⊢ dist (∑ k ∈ Finset.range n, u k) (∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k) = ‖u n‖
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
hs : a ∉ s
ht : a ∉ t

⊢ cons a s hs ⊆ cons a t ht ↔ s ⊆ t
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c : Composition n
v : Fin n → E
i : Fin c.length

⊢ p.removeZero.applyComposition c v i = p.applyComposition c v i
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜

⊢ GaloisConnection (fun s => zeroLocus 𝒜 s) fun t => ↑(vanishingIdeal t)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
ideal_gc : GaloisConnection Ideal.span SetLike.coe

⊢ GaloisConnection (fun s => zeroLocus 𝒜 s) fun t => ↑(vanishingIdeal t)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
ι' : Sort u_2
ι : Sort u_3
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (α × α)
U : ι → Set α
hbasis : (𝓤 α).HasBasis p V
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (j : ι), IsOpen (U j)
hcover : K ⊆ ⋃ j, U j

⊢ ∃ i, p i ∧ ∀ x ∈ K, ∃ j, ball x (V i) ⊆ U j
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
K : Set α
ι' : Sort u_2
ι : Sort u_3
p : ι' → Prop
V : ι' → Set (α × α)
U : ι → Set α
hbasis : (𝓤 α).HasBasis p V
hK : IsCompact K
hopen : ∀ (j : ι), IsOpen (U j)
hcover : K ⊆ ⋃ j, U j

⊢ ∀ ⦃s t : Set (α × α)⦄, s ⊆ t → (∀ x ∈ K, ∃ i, ball x t ⊆ U i) → ∀ x ∈ K, ∃ i, ball x s ⊆ U i
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s✝ : Set M
x : M
s : Set (M × M')
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
hs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s p.proj

⊢ { proj := p.proj.2, snd := (mfderivWithin (I.prod I') I' Prod.snd s p.proj) p.snd } = { proj := p.proj.2, snd := p.snd.2 }
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s✝ : Set M
x : M
s : Set (M × M')
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
hs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s p.proj

⊢ { proj := p.proj.2, snd := (ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I p.proj.1) (TangentSpace I' p.proj.2)) p.snd } = { proj := p.proj.2, snd := p.snd.2 }
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s✝ : Set M
x : M
s : Set (M × M')
p : TangentBundle (I.prod I') (M × M')
hs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s p.proj

⊢ UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s p.proj
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
δ₁ : Type u_1
δ₂ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace δ₁
inst✝ : TopologicalSpace δ₂
φ₁ : C(δ₁, α)
φ₂ : C(δ₂, α)
h_proper₁ : IsProperMap ⇑φ₁
h_proper₂ : IsProperMap ⇑φ₂
h_cover : range ⇑φ₁ ∪ range ⇑φ₂ = univ
𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}
𝔗₁ : Set (Set δ₁) := {K | IsCompact K}
𝔗₂ : Set (Set δ₂) := {K | IsCompact K}
h_image₁ : MapsTo (fun x => ⇑φ₁ '' x) 𝔗₁ 𝔖
h_image₂ : MapsTo (fun x => ⇑φ₂ '' x) 𝔗₂ 𝔖
h_preimage₁ : MapsTo (fun x => ⇑φ₁ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₁
h_preimage₂ : MapsTo (fun x => ⇑φ₂ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₂

⊢ inferInstanceAs (UniformSpace C(α, β)) = UniformSpace.comap (fun x => x.comp φ₁) inferInstance ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x.comp φ₂) inferInstance
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
δ₁ : Type u_1
δ₂ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace δ₁
inst✝ : TopologicalSpace δ₂
φ₁ : C(δ₁, α)
φ₂ : C(δ₂, α)
h_proper₁ : IsProperMap ⇑φ₁
h_proper₂ : IsProperMap ⇑φ₂
h_cover : range ⇑φ₁ ∪ range ⇑φ₂ = univ
𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}
𝔗₁ : Set (Set δ₁) := {K | IsCompact K}
𝔗₂ : Set (Set δ₂) := {K | IsCompact K}
h_image₁ : MapsTo (fun x => ⇑φ₁ '' x) 𝔗₁ 𝔖
h_image₂ : MapsTo (fun x => ⇑φ₂ '' x) 𝔗₂ 𝔖
h_preimage₁ : MapsTo (fun x => ⇑φ₁ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₁
h_preimage₂ : MapsTo (fun x => ⇑φ₂ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₂
h_cover' : ∀ S ∈ 𝔖, S ⊆ range ⇑φ₁ ∪ range ⇑φ₂

⊢ inferInstanceAs (UniformSpace C(α, β)) = UniformSpace.comap (fun x => x.comp φ₁) inferInstance ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x.comp φ₂) inferInstance
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
δ₁ : Type u_1
δ₂ : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace δ₁
inst✝ : TopologicalSpace δ₂
φ₁ : C(δ₁, α)
φ₂ : C(δ₂, α)
h_proper₁ : IsProperMap ⇑φ₁
h_proper₂ : IsProperMap ⇑φ₂
h_cover : range ⇑φ₁ ∪ range ⇑φ₂ = univ
𝔖 : Set (Set α) := {K | IsCompact K}
𝔗₁ : Set (Set δ₁) := {K | IsCompact K}
𝔗₂ : Set (Set δ₂) := {K | IsCompact K}
h_image₁ : MapsTo (fun x => ⇑φ₁ '' x) 𝔗₁ 𝔖
h_image₂ : MapsTo (fun x => ⇑φ₂ '' x) 𝔗₂ 𝔖
h_preimage₁ : MapsTo (fun x => ⇑φ₁ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₁
h_preimage₂ : MapsTo (fun x => ⇑φ₂ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₂
h_cover' : ∀ S ∈ 𝔖, S ⊆ range ⇑φ₁ ∪ range ⇑φ₂

⊢ UniformSpace.comap ((⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔗₁) ∘ (fun x => x ∘ ⇑φ₁) ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ∘ toUniformOnFunIsCompact) (UniformOnFun.uniformSpace δ₁ β 𝔗₁) ⊓ UniformSpace.comap ((⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔗₂) ∘ (fun x => x ∘ ⇑φ₂) ∘ ⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖)) ∘ toUniformOnFunIsCompact) (UniformOnFun.uniformSpace δ₂ β 𝔗₂) = UniformSpace.comap (toUniformOnFunIsCompact ∘ fun x => x.comp φ₁) (UniformOnFun.uniformSpace δ₁ β {K | IsCompact K}) ⊓ UniformSpace.comap (toUniformOnFunIsCompact ∘ fun x => x.comp φ₂) (UniformOnFun.uniformSpace δ₂ β {K | IsCompact K})
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s : AList β
h : a ∉ s

⊢ (insert a b s).entries = ⟨a, b⟩ :: s.entries
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₃ ≠ p₂

⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ < π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₃ ≠ p₂

⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ < π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0

⊢ ∠ p₂ p₃ p₁ < π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0

⊢ InnerProductGeometry.angle (p₂ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₃ + (p₁ -ᵥ p₂)) < π / 2
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ 2 * n
jn : n ≤ j

⊢ xn a1 (2 * n - j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ 2 * n
jn : n ≤ j
this : 2 * n - j + j ≤ n + j

⊢ xn a1 (2 * n - j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ
h : j ≤ 2 * n
jn : n ≤ j
this : 2 * n - j + j ≤ n + j
t : xn a1 (2 * n - (2 * n - j)) + xn a1 (2 * n - j) ≡ 0 [MOD xn a1 n] := xn_modEq_x2n_sub_lem a1 (Nat.le_of_add_le_add_right this)

⊢ xn a1 (2 * n - j) + xn a1 j ≡ 0 [MOD xn a1 n]
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Group α
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : ContinuousInv α
inst✝ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s

⊢ IsClosed (s • t)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Group α
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : ContinuousInv α
inst✝ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
this : ∀ x ∈ s • t, ∃ g ∈ s, g⁻¹ • x ∈ t

⊢ IsClosed (s • t)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Group α
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : ContinuousInv α
inst✝ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
f : β → α
hf : ∀ x ∈ s • t, f x ∈ s ∧ (f x)⁻¹ • x ∈ t

⊢ IsClosed (s • t)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Group α
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : ContinuousInv α
inst✝ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
f : β → α
hf : ∀ x ∈ s • t, f x ∈ s ∧ (f x)⁻¹ • x ∈ t
x : β
hx : x ∈ closure (s • t)

⊢ x ∈ s • t
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Group α
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : ContinuousInv α
inst✝ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
f : β → α
hf : ∀ x ∈ s • t, f x ∈ s ∧ (f x)⁻¹ • x ∈ t
x : β
hx : x ∈ closure (s • t)
u : Ultrafilter β
hust : s • t ∈ u
hux : ↑u ≤ 𝓝 x

⊢ x ∈ s • t
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Group α
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : ContinuousInv α
inst✝ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
f : β → α
hf : ∀ x ∈ s • t, f x ∈ s ∧ (f x)⁻¹ • x ∈ t
x : β
hx : x ∈ closure (s • t)
u : Ultrafilter β
hust : s • t ∈ u
hux : ↑u ≤ 𝓝 x
this : ↑(Ultrafilter.map f u) ≤ 𝓟 s

⊢ x ∈ s • t
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Group α
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : ContinuousInv α
inst✝ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
f : β → α
hf : ∀ x ∈ s • t, f x ∈ s ∧ (f x)⁻¹ • x ∈ t
x : β
hx : x ∈ closure (s • t)
u : Ultrafilter β
hust : s • t ∈ u
hux : ↑u ≤ 𝓝 x
this : ↑(Ultrafilter.map f u) ≤ 𝓟 s
g : α
hg : g ∈ s
hug : ↑(Ultrafilter.map f u) ≤ 𝓝 g

⊢ x ∈ s • t
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Group α
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : ContinuousInv α
inst✝ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsClosed t
hs : IsCompact s
f : β → α
hf : ∀ x ∈ s • t, f x ∈ s ∧ (f x)⁻¹ • x ∈ t
x : β
hx : x ∈ closure (s • t)
u : Ultrafilter β
hust : s • t ∈ u
hux : ↑u ≤ 𝓝 x
this : ↑(Ultrafilter.map f u) ≤ 𝓟 s
g : α
hg : g ∈ s
hug : ↑(Ultrafilter.map f u) ≤ 𝓝 g

⊢ g⁻¹ • x ∈ t
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ

⊢ Real.toEReal '' Ici x = Ico ↑x ⊤
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ

⊢ WithBot.some '' (WithTop.some '' Ici x) = Ico ↑x ⊤
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ

⊢ Ico ↑↑x ↑⊤ = Ico ↑x ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
m✝ : M

⊢ m✝ ∈ (N₁ ⊓ N₂).normalizer ↔ m✝ ∈ N₁.normalizer ⊓ N₂.normalizer
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α

⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α

⊢ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral μ = ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
φ : α →ₛ ℝ≥0∞
hφ : ↑φ ≤ fun a => f a

⊢ φ.lintegral μ ≤ ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f

⊢ IsPathConnected F ↔ IsPathConnected (f '' F)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : IsPathConnected (f '' F)

⊢ IsPathConnected F
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : F.Nonempty ∧ ∀ a ∈ F, ∀ a_2 ∈ F, JoinedIn (f '' F) (f a) (f a_2)

⊢ F.Nonempty ∧ ∀ x ∈ F, ∀ y ∈ F, JoinedIn F x y
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : F.Nonempty ∧ ∀ a ∈ F, ∀ a_2 ∈ F, JoinedIn (f '' F) (f a) (f a_2)
x : X
hx : x ∈ F
y : X
hy : y ∈ F

⊢ JoinedIn F x y
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : F.Nonempty ∧ ∀ a ∈ F, ∀ a_2 ∈ F, JoinedIn (f '' F) (f a) (f a_2)
x : X
hx : x ∈ F
y : X
hy : y ∈ F
γ : Path (f x) (f y)
hγ : ∀ (t : ↑I), γ t ∈ f '' F

⊢ JoinedIn F x y
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : F.Nonempty ∧ ∀ a ∈ F, ∀ a_2 ∈ F, JoinedIn (f '' F) (f a) (f a_2)
x : X
hx : x ∈ F
y : X
hy : y ∈ F
γ : Path (f x) (f y)
γ' : ↑I → X
hγ' : ∀ (t : ↑I), γ' t ∈ F
hγγ' : ∀ (t : ↑I), f (γ' t) = γ t

⊢ JoinedIn F x y
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : F.Nonempty ∧ ∀ a ∈ F, ∀ a_2 ∈ F, JoinedIn (f '' F) (f a) (f a_2)
x : X
hx : x ∈ F
y : X
hy : y ∈ F
γ : Path (f x) (f y)
γ' : ↑I → X
hγ' : ∀ (t : ↑I), γ' t ∈ F
hγγ' : ∀ (t : ↑I), f (γ' t) = γ t
key₁ : Inseparable x (γ' 0)

⊢ JoinedIn F x y
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : F.Nonempty ∧ ∀ a ∈ F, ∀ a_2 ∈ F, JoinedIn (f '' F) (f a) (f a_2)
x : X
hx : x ∈ F
y : X
hy : y ∈ F
γ : Path (f x) (f y)
γ' : ↑I → X
hγ' : ∀ (t : ↑I), γ' t ∈ F
hγγ' : ∀ (t : ↑I), f (γ' t) = γ t
key₁ : Inseparable x (γ' 0)
key₂ : Inseparable (γ' 1) y

⊢ JoinedIn F x y
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hF : F.Nonempty ∧ ∀ a ∈ F, ∀ a_2 ∈ F, JoinedIn (f '' F) (f a) (f a_2)
x : X
hx : x ∈ F
y : X
hy : y ∈ F
γ : Path (f x) (f y)
γ' : ↑I → X
hγ' : ∀ (t : ↑I), γ' t ∈ F
hγγ' : ∀ (t : ↑I), f (γ' t) = γ t
key₁ : Inseparable x (γ' 0)
key₂ : Inseparable (γ' 1) y

⊢ Continuous γ'
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f g : α✝ → β
ι : Type u_6
α : Type u_7
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid α
s : Finset ι
p : Sym2 ι → α

⊢ ∑ i ∈ filter (fun x => ¬x.IsDiag) s.sym2, p i = ∑ i ∈ filter (fun i => i.1 < i.2) s.offDiag, p s(i.1, i.2)