ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
this : IsScalarTower F (↥(separableClosure E K)) K

⊢ Module.rank F ↥(IntermediateField.map (IsScalarTower.toAlgHom F (↥(separableClosure E K)) K) (separableClosure F ↥(separableClosure E K))) = sepDegree F ↥(separableClosure E K)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i

⊢ update f i '' Ico (f i) b = Ico f (update f i b)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
A : E
U : ↥(unitary E)

⊢ ‖A * ↑U‖ = ‖((↑U)⋆ * A⋆)⋆‖
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
A : E
U : ↥(unitary E)

⊢ ‖((↑U)⋆ * A⋆)⋆‖ = ‖(↑U)⋆ * A⋆‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R

⊢ (blockDiagonal M).det = ∏ k : o, (M k).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R

⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = ∏ x : o, ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M x (σ i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R

⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = ∑ p ∈ univ.pi fun x => univ, ∏ x ∈ univ.attach, ↑↑(sign (p ↑x ⋯)) * ∏ i : n, M (↑x) ((p ↑x ⋯) i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R

⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ

⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2

⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2

⊢ ∑ x ∈ preserving_snd, ↑↑(sign x) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (x i) i = ∑ x : (a : o) → a ∈ univ → Perm n, ∏ x_1 : o, ↑↑(sign (x x_1 ⋯)) * ∏ x_2 : n, M x_1 ((x x_1 ⋯) x_2) x_2
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2

⊢ ∀ x ∈ univ, x ∉ preserving_snd → ↑↑(sign x) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (x i) i = 0
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
n : ℕ
hn : (Nat.card α).Coprime n
a : α

⊢ (a ^ n) ^ (↑n)⁻¹.val = a
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
s : Set ℕ := {k | lowerCentralSeries R L M k = ⊥}
hs : s.Nonempty

⊢ sInf s = 0 ↔ Subsingleton M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
s : Set ℕ := {k | lowerCentralSeries R L M k = ⊥}
hs : s.Nonempty

⊢ sInf s = 0 ↔ lowerCentralSeries R L M 0 = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
s : Set ℕ := {k | lowerCentralSeries R L M k = ⊥}
hs : s.Nonempty
h : lowerCentralSeries R L M 0 = ⊥

⊢ sInf s = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
s : Set ℕ := {k | lowerCentralSeries R L M k = ⊥}
hs : s.Nonempty
h : lowerCentralSeries R L M 0 = ⊥

⊢ 0 ∈ s ∨ s = ∅
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S

⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (Set.range fun r => ↑(basicOpen r))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S

⊢ ∀ u ∈ Set.range fun r => ↑(basicOpen r), IsOpen u
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S

⊢ ∀ (a : PrimeSpectrum R) (u : Set (PrimeSpectrum R)), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ Set.range fun r => ↑(basicOpen r), a ∈ v ∧ v ⊆ u
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n

⊢ sinZeta a (1 - s) = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * Complex.sin (↑π * s / 2) * hurwitzZetaOdd a s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Perm α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s

⊢ (↑(range s.card)).PairwiseDisjoint fun k => map { toFun := fun i => (i, (f ^ k) i), inj' := ⋯ } s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Perm α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
hs : (↑s).Subsingleton

⊢ (↑(range s.card)).PairwiseDisjoint fun k => map { toFun := fun i => (i, (f ^ k) i), inj' := ⋯ } s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f : Perm α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
h✝ : (↑s).Nontrivial

⊢ (↑(range s.card)).PairwiseDisjoint fun k => map { toFun := fun i => (i, (f ^ k) i), inj' := ⋯ } s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R

⊢ (eval r) (p • q) = Polynomial.eval r p • (eval r) q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R

⊢ (eval r) (p • 0) = Polynomial.eval r p • (eval r) 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R

⊢ ∀ (f g : PolynomialModule R M), (eval r) (p • f) = Polynomial.eval r p • (eval r) f → (eval r) (p • g) = Polynomial.eval r p • (eval r) g → (eval r) (p • (f + g)) = Polynomial.eval r p • (eval r) (f + g)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R

⊢ ∀ (a : ℕ) (b : M), (eval r) (p • (single R a) b) = Polynomial.eval r p • (eval r) ((single R a) b)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
r : R
i : ℕ
m : M

⊢ (eval r) (p • (single R i) m) = Polynomial.eval r p • (eval r) ((single R i) m)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
q : PolynomialModule R M
r : R
i : ℕ
m : M
p✝ q✝ : R[X]
e₁ : (eval r) (p✝ • (single R i) m) = Polynomial.eval r p✝ • (eval r) ((single R i) m)
e₂ : (eval r) (q✝ • (single R i) m) = Polynomial.eval r q✝ • (eval r) ((single R i) m)

⊢ (eval r) ((p✝ + q✝) • (single R i) m) = Polynomial.eval r (p✝ + q✝) • (eval r) ((single R i) m)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
q : PolynomialModule R M
r : R
i : ℕ
m : M
n✝ : ℕ
a✝ : R

⊢ (eval r) ((monomial n✝) a✝ • (single R i) m) = Polynomial.eval r ((monomial n✝) a✝) • (eval r) ((single R i) m)
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α

⊢ s.chainHeight = ⨆ i ∈ s, (s ∩ Ici i).chainHeight
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α

⊢ s.chainHeight ≤ ⨆ i ∈ s, (s ∩ Ici i).chainHeight
-- Mathlib/Order/Height.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
inst✝ : Preorder α

⊢ ⨆ i ∈ s, (s ∩ Ici i).chainHeight ≤ s.chainHeight
-- Mathlib/Analysis/Complex/Liouville.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (range f)
z w : ℂ

⊢ f z = f w
-- Mathlib/Analysis/Complex/Liouville.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (range f)
z w : ℂ

⊢ ∀ (c : ℂ), deriv f c = 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/Liouville.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (range f)
c : ℂ

⊢ deriv f c = 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/Liouville.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (range f)
c : ℂ
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : ∀ (z : ℂ), ‖f z‖ ≤ C

⊢ deriv f c = 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/Liouville.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
hf : Differentiable ℂ f
hb : Bornology.IsBounded (range f)
c : ℂ
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : ∀ (z : ℂ), ‖f z‖ ≤ C
ε : ℝ
ε₀ : 0 < ε

⊢ ‖deriv f c‖ ≤ ε
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : AddGroup β
inst✝¹ : DistribMulAction α β
inst✝ : DecidableEq β
a : α
s : Finset α
t : Finset β

⊢ s • -t = -(s • t)
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : AddGroup β
inst✝¹ : DistribMulAction α β
inst✝ : DecidableEq β
a : α
s : Finset α
t : Finset β

⊢ s • image (fun x => -x) t = image (fun x => -x) (s • t)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
a : α
l₃ : List α
h : l₁ <+ l₂

⊢ l₁.diff (a :: l₃) <+ l₂.diff (a :: l₃)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hi : i < x.order

⊢ x.coeff i = 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
i : Γ
hi : i < order 0

⊢ coeff 0 i = 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hi : i < x.order
hx : x ≠ 0

⊢ x.coeff i = 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hx : x ≠ 0
hi : x.coeff i ≠ 0

⊢ ¬i < x.order
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hx : x ≠ 0
hi : i ∈ x.support

⊢ ¬i < x.order
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hx : x ≠ 0
hi : i ∈ x.support

⊢ ¬i < ⋯.min ⋯
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f

⊢ Disjoint (⨆ i, f i) a ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (f i) a
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
inst✝ : T2Space M
i : ι
x : M

⊢ ∃ t, ⇑(fs.toSmoothPartitionOfUnity i) =ᶠ[𝓝 x] ↑(fs.toFun i) * ∏ j ∈ Finset.filter (fun j => WellOrderingRel j i) t, (1 - ↑(fs.toFun j))
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
x : I → Bool

⊢ x ∈ C0 C ho ∪ C1 C ho ↔ x ∈ C
-- Mathlib/Algebra/Star/SelfAdjoint.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : InvolutiveStar R
x : R

⊢ IsSelfAdjoint (star x) ↔ IsSelfAdjoint x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hf_le : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ

⊢ f ≤ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hf_le : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ

⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] g - f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hf_le : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, (g - f) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f g : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hf_le : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, g x ∂μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ μ s < ⊤ → ∫ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫ (a : α) in s, g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hε' : ε ≠ ⊤

⊢ μ {x | ε ≤ f x} * ε ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hε' : ε ≠ ⊤

⊢ ε * μ {x | ε ≤ f x} ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u

⊢ ∃ R > 0, ∀ (m n : ℕ), dist (u m) (u n) < R
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1

⊢ ∃ R > 0, ∀ (m n : ℕ), dist (u m) (u n) < R
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)

⊢ ∃ R > 0, ∀ (n : ℕ), dist (u n) (u N) < R
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
n : ℕ

⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
n : ℕ
h : N ≤ n

⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
N : ℕ
hN : ∀ n ≥ N, dist (u n) (u N) < 1
R : NNReal := (Finset.range N).sup fun n => nndist (u n) (u N)
n : ℕ
h : n < N

⊢ dist (u n) (u N) < ↑R + 1
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P

⊢ map LinearMap.id = AlgHom.id R' (tsze R' M)
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P

⊢ ∀ (m : M), (map LinearMap.id) (inr m) = (AlgHom.id R' (tsze R' M)) (inr m)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S

⊢ (X ^ 0 * p).smeval x = x ^ 0 * p.smeval x