ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
J : Box ι
hJ : ↑J ≤ ↑I
π : Prepartition J
hπ : π.IsPartition

⊢ ∑ Ji ∈ π.boxes, (fun J => integral J l f vol) Ji = (fun J => integral J l f vol) J
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
J : Box ι
hJ : ↑J ≤ ↑I
π : Prepartition J
hπ : π.iUnion = ↑J

⊢ ∑ Ji ∈ π.boxes, (fun J => integral J l f vol) Ji = (fun J => integral J l f vol) J
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
J : Box ι
hJ : ↑J ≤ ↑I
π : Prepartition J
hπ : π.iUnion = ⊤.iUnion

⊢ ∑ Ji ∈ π.boxes, (fun J => integral J l f vol) Ji = (fun J => integral J l f vol) J
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set (α × α)

⊢ s ∈ 𝓤 α ↔ s ∈ comap (fun p => dist p.1 p.2) (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set (α × α)

⊢ (∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ s) ↔ ∃ i, 0 < i ∧ (fun p => dist p.1 p.2) ⁻¹' ball 0 i ⊆ s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
n : ℕ
h : n.Coprime (orderOf σ)

⊢ (σ ^ n).support = σ.support
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
n : ℕ
h : n.Coprime (orderOf σ)
m : ℕ
hm : (σ ^ n) ^ m = σ

⊢ (σ ^ n).support = σ.support
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M
a : R
ha : a ∈ AddSubmonoid.closure ↑S

⊢ ∀ {b : R}, b ∈ S → a * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M

⊢ ∀ x ∈ ↑S, ∀ b ∈ S, x * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M

⊢ ∀ b ∈ S, 0 * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝¹ : SetLike M R
inst✝ : MulMemClass M R
S : M

⊢ ∀ (x y : R), (∀ b ∈ S, x * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S) → (∀ b ∈ S, y * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S) → ∀ b ∈ S, (x + y) * b ∈ AddSubmonoid.closure ↑S
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Support.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : Group H
inst✝⁵ : SMul G α
inst✝⁴ : SMul G β
inst✝³ : MulAction H α
inst✝² : SMul H β
inst✝¹ : SMulCommClass G H β
inst✝ : SMulCommClass G H α
s t : Set α
b : β
g : H
h : Supports G s b
g' : G
hg' : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g • s → g' • a = a

⊢ g' • g • b = g • b
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Support.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : Group H
inst✝⁵ : SMul G α
inst✝⁴ : SMul G β
inst✝³ : MulAction H α
inst✝² : SMul H β
inst✝¹ : SMulCommClass G H β
inst✝ : SMulCommClass G H α
s t : Set α
b : β
g : H
h : Supports G s b
g' : G
hg' : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g • s → g' • a = a

⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → g' • a = a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Support.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : Group H
inst✝⁵ : SMul G α
inst✝⁴ : SMul G β
inst✝³ : MulAction H α
inst✝² : SMul H β
inst✝¹ : SMulCommClass G H β
inst✝ : SMulCommClass G H α
s t : Set α
b : β
g : H
h : Supports G s b
g' : G
hg' : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g • s → g' • a = a
a : α
ha : a ∈ s

⊢ g' • a = a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Support.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁶ : Group H
inst✝⁵ : SMul G α
inst✝⁴ : SMul G β
inst✝³ : MulAction H α
inst✝² : SMul H β
inst✝¹ : SMulCommClass G H β
inst✝ : SMulCommClass G H α
s t : Set α
b : β
g : H
h : Supports G s b
g' : G
hg' : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g • s → g' • a = a
a : α
ha : a ∈ s
this : g' • g • a = g • a

⊢ g' • a = a
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α

⊢ Tendsto (fun p => (u p.1, u p.2)) (atTop ×ˢ atTop) (𝓤 α) ↔ Tendsto (Prod.map u u) atTop (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r✝ : ℝ
inst✝ : ProperSpace α
c : α
r : ℝ
h : (closedBall c r)ᶜ ⊆ s

⊢ s ∈ cocompact α
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Bounded.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r✝ : ℝ
inst✝ : ProperSpace α
c : α
r : ℝ
h : (closedBall c r)ᶜ ⊆ s

⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ s
-- Mathlib/Order/Category/BddLat.lean
α β : BddLat
e : ↑α.toLat ≃o ↑β.toLat
x✝ : (forget BddLat).obj α

⊢ ((let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
-- Mathlib/Order/Category/BddLat.lean
α β : BddLat
e : ↑α.toLat ≃o ↑β.toLat
x✝ : (forget BddLat).obj β

⊢ ((let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P

⊢ W'.negAddY P (W'.neg P) = W'.dblZ P ^ 3
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P

⊢ -P y * P x ^ 3 * P z ^ 3 + 2 * P y * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) ^ 2 * P z ^ 3 - 3 * P x ^ 2 * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 2 * P z + 3 * P x * P y * P x ^ 2 * P z * P z ^ 2 + P x ^ 3 * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 3 - 2 * P y ^ 2 * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 3 + W'.a₁ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) ^ 2 * P z ^ 4 + W'.a₁ * P y * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 3 * P z - W'.a₁ * P x * P y * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z * P z ^ 3 - W'.a₁ * P y ^ 2 * P x * P z ^ 4 - 2 * W'.a₂ * P x * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 4 * P z + 2 * W'.a₂ * P x * P y * P x * P z * P z ^ 4 + W'.a₃ * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) ^ 2 * P z ^ 6 - W'.a₃ * P y ^ 2 * P z ^ 6 - W'.a₄ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 6 * P z - W'.a₄ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 4 * P z ^ 3 + W'.a₄ * P y * P x * P z ^ 3 * P z ^ 4 + W'.a₄ * P x * P y * P z * P z ^ 6 - 2 * W'.a₆ * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 6 * P z ^ 3 + 2 * W'.a₆ * P y * P z ^ 3 * P z ^ 6 = (P z * (P y - (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3))) ^ 3
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α

⊢ (fun x => x - a) '' [[b, c]] = [[b - a, c - a]]
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, stoppedValue f (leastGE f r i) ω ≤ r + ↑R
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ
ω : Ω
hbddω : ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

⊢ stoppedValue f (leastGE f r i) ω ≤ r + ↑R
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
g : γ → δ
f' : β' → α → δ
g' : β → β'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' b) a

⊢ image2 f' (g' '' t) ((fun a => a) '' s) = image2 f' (g' '' t) s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : C < 0
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atBot

⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α

⊢ y ∈ closedBall x ε ↔ edist x y ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ

⊢ ∃ y, closedBall y (δ / 4) ⊆ closedBall x δ ∧ closedBall y (δ / 4) ⊆ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ

⊢ δ / 4 + dist (x - const ι (3 / 4 * δ)) x ≤ δ
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ

⊢ closedBall (x - const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4) ⊆ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4

⊢ closedBall (x - const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4) ⊆ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4
z : ι → ℝ
hz : z ∈ closedBall (x - const ι (3 / 4 * δ)) (δ / 4)
i : ι

⊢ z i < y i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : dist x y < δ / 4
z : ι → ℝ
hz : ‖x - const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4
i : ι

⊢ z i < y i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
hxy : ‖x - y‖ < δ / 4
z : ι → ℝ
hz : ‖x - const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4
i : ι

⊢ z i < y i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
hz : ‖x - const ι (3 / 4 * δ) - z‖ ≤ δ / 4
i : ι
hxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4

⊢ z i < y i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
i : ι
hxy : ‖(x - y) i‖ ≤ δ / 4
hz : ‖(x - const ι (3 / 4 * δ) - z) i‖ ≤ δ / 4

⊢ z i < y i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
i : ι
hxy : |x i - y i| ≤ δ / 4
hz : |x i - 3 / 4 * δ - z i| ≤ δ / 4

⊢ z i < y i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y✝ : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsLowerSet s
hx : x ∈ closure s
hδ : 0 < δ
y : ι → ℝ
hy : y ∈ s
z : ι → ℝ
i : ι
hxy : x i - y i ≤ δ / 4 ∧ y i - x i ≤ δ / 4
hz : x i - 3 / 4 * δ - z i ≤ δ / 4 ∧ z i - (x i - 3 / 4 * δ) ≤ δ / 4

⊢ z i < y i
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀✝ x₀ : X
i : ι

⊢ i ∈ ρ.finsupport x₀ ↔ i ∈ support fun i => (ρ i) x₀
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K

⊢ x ∈ r • Icc a b ↔ x ∈ Icc (r • a) (r • b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K

⊢ (∃ y, (a ≤ y ∧ y ≤ b) ∧ r * y = x) ↔ r * a ≤ x ∧ x ≤ r * b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K V : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V

⊢ Module.rank K V < Module.rank K (V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K V : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V

⊢ Module.rank K V = lift.{u, u} (Module.rank K V)
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f : α → β
a : α
s : Set α
x✝ : β

⊢ x✝ ∈ f '' insert a s ↔ x✝ ∈ insert (f a) (f '' s)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
S : Set (Set V)
Snd : ∀ {s t : Set V}, s ∈ S → t ∈ S → (s ∩ t).Nonempty
Sc : ∀ {s : Set V}, s ∈ S → (induce s G).Connected
s : Set V
sS : s ∈ S

⊢ (induce (⋃₀ S) G).Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
S : Set (Set V)
Snd : ∀ {s t : Set V}, s ∈ S → t ∈ S → (s ∩ t).Nonempty
Sc : ∀ {s : Set V}, s ∈ S → (induce s G).Connected
s : Set V
sS : s ∈ S
v : V
vs : v ∈ s

⊢ (induce (⋃₀ S) G).Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
S : Set (Set V)
Snd : ∀ {s t : Set V}, s ∈ S → t ∈ S → (s ∩ t).Nonempty
Sc : ∀ {s : Set V}, s ∈ S → (induce s G).Connected
s : Set V
sS : s ∈ S
v : V
vs : v ∈ s

⊢ ∀ {v_1 : V}, v_1 ∈ ⋃₀ S → ∃ s' ⊆ ⋃₀ S, ∃ (hu' : v ∈ s') (hv' : v_1 ∈ s'), (induce s' G).Reachable ⟨v, hu'⟩ ⟨v_1, hv'⟩
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
S : Set (Set V)
Snd : ∀ {s t : Set V}, s ∈ S → t ∈ S → (s ∩ t).Nonempty
Sc : ∀ {s : Set V}, s ∈ S → (induce s G).Connected
s : Set V
sS : s ∈ S
v : V
vs : v ∈ s
w : V
hw : w ∈ ⋃₀ S

⊢ ∃ s' ⊆ ⋃₀ S, ∃ (hu' : v ∈ s') (hv' : w ∈ s'), (induce s' G).Reachable ⟨v, hu'⟩ ⟨w, hv'⟩
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
S : Set (Set V)
Snd : ∀ {s t : Set V}, s ∈ S → t ∈ S → (s ∩ t).Nonempty
Sc : ∀ {s : Set V}, s ∈ S → (induce s G).Connected
s : Set V
sS : s ∈ S
v : V
vs : v ∈ s
w : V
hw : ∃ t ∈ S, w ∈ t

⊢ ∃ s' ⊆ ⋃₀ S, ∃ (hu' : v ∈ s') (hv' : w ∈ s'), (induce s' G).Reachable ⟨v, hu'⟩ ⟨w, hv'⟩
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
S : Set (Set V)
Snd : ∀ {s t : Set V}, s ∈ S → t ∈ S → (s ∩ t).Nonempty
Sc : ∀ {s : Set V}, s ∈ S → (induce s G).Connected
s : Set V
sS : s ∈ S
v : V
vs : v ∈ s
w : V
t : Set V
tS : t ∈ S
wt : w ∈ t

⊢ ∃ s' ⊆ ⋃₀ S, ∃ (hu' : v ∈ s') (hv' : w ∈ s'), (induce s' G).Reachable ⟨v, hu'⟩ ⟨w, hv'⟩
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c✝ u a : αˣ
b c : α
h : ↑a * b = ↑a * c

⊢ b = c
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : NegZeroClass G
inst✝ : NegZeroClass H
f : G → H
hf : f 0 = 0
hf' : ∀ (x : G), f (-x) = -f x
v : α →₀ G
x✝ : α

⊢ (mapRange f hf (-v)) x✝ = (-mapRange f hf v) x✝
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
i : ℕ

⊢ P.d (i + 1) ((ComplexShape.down ℕ).next (i + 1)) ≫ f ((ComplexShape.down ℕ).next (i + 1)) (i + 1) = P.d (i + 1) i ≫ f i (i + 1)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
i : ℕ
this : (ComplexShape.down ℕ).next (i + 1) = i

⊢ P.d (i + 1) ((ComplexShape.down ℕ).next (i + 1)) ≫ f ((ComplexShape.down ℕ).next (i + 1)) (i + 1) = P.d (i + 1) i ≫ f i (i + 1)
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
c₁ c₂ : R

⊢ #ℍ[R,c₁,c₂] = #R ^ 4
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
c₁ c₂ : R

⊢ #(R × R × R × R) = #R ^ 4
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
c₁ c₂ : R

⊢ #R * (#R * (#R * #R)) = #R ^ 4
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ

⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Ι a b) μ
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

⊢ (fun x => a - x) '' Iio b = Ioi (a - b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)

⊢ (fun x => a - x) '' Iio b = Ioi (a - b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α
this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)

⊢ (fun x => a - x) '' Iio b = Ioi (a - b)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ cos (π / 2) = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ cos (Classical.choose exists_cos_eq_zero) = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t : Set α
f g : α → M
a✝ : α
U : Set α
s : Set M
a : M

⊢ (U.mulIndicator fun x => a) ⁻¹' s ∈ {univ, U, Uᶜ, ∅}
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6279, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6283, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6287, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E✝ : L.LeftExtension F
Y : D
E E' : L.LeftExtension F
φ : E ⟶ E'
G : CostructuredArrow L Y

⊢ (E.hom.app G.left ≫ E.right.map G.hom) ≫ φ.right.app Y = E'.hom.app G.left ≫ E'.right.map G.hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.6279, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.6283, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.6287, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E✝ : L.LeftExtension F
Y : D
E E' : L.LeftExtension F
φ : E ⟶ E'
G : CostructuredArrow L Y

⊢ (E.hom.app G.left ≫ E.right.map G.hom) ≫ φ.right.app Y = (E.hom ≫ ((whiskeringLeft C D H).obj L).map φ.right).app G.left ≫ E'.right.map G.hom
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E

⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal

⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
B : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal

⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in u t..v t, c ∂μ) =o[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, 1 ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝¹ : l'.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : TendstoIxxClass Ioc l l'
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l' μ
hf : Tendsto f (l' ⊓ ae μ) (𝓝 c)
hl : μ.FiniteAtFilter l'
hu : Tendsto u lt l
hv : Tendsto v lt l
hE : CompleteSpace E
A : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (u i) (v i), f x ∂μ - (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (u i) (v i))).toReal
B : (fun i => ∫ (x : ℝ) in Ioc (v i) (u i), f x ∂μ - (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal • c) =o[lt] fun i => (μ (Ioc (v i) (u i))).toReal

⊢ (fun t => ∫ (x : ℝ) in u t..v t, f x ∂μ - ((μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • c - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • c)) =o[lt] fun t => (μ (Ioc (u t) (v t))).toReal • 1 - (μ (Ioc (v t) (u t))).toReal • 1