ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
A : Set P
inst✝ : Nonempty ↑A
x : P
hx : x ∈ ↑(affineSpan k A)
c : k
u : P
hu : u ∈ affineSpan k A
v : P
hv : v ∈ affineSpan k A
w : P
hw : w ∈ affineSpan k A

⊢ ⟨u, hu⟩ ∈ ↑(affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A)) → ⟨v, hv⟩ ∈ ↑(affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A)) → ⟨w, hw⟩ ∈ ↑(affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A)) → ⟨c • (u -ᵥ v) +ᵥ w, ⋯⟩ ∈ ↑(affineSpan k (Subtype.val ⁻¹' A))
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Operations.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
s : Set α
h : s.Nonempty
a : α
as : a ∈ s

⊢ ⊤ ≤ (⊤ • dirac a) s
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : NormOneClass R
f : α → R
g : α → 𝕜
h : IsBigOWith c l f g

⊢ IsBigOWith (c ^ 0) l (fun x => f x ^ 0) fun x => g x ^ 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s t : Multiset α

⊢ count a (s ∩ t) = min (count a s) (count a t)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s t : Multiset α

⊢ count a (s - t) + count a (s ∩ t) = count a (s - t) + min (count a s) (count a t)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gamma.lean
x a r : ℝ
hx : x ≤ 0

⊢ ∫⁻ (y : ℝ) in Iio x, gammaPDF a r y = 0
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gamma.lean
x a r : ℝ
hx : x ≤ 0

⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Iio x, 0 = 0
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gamma.lean
x a r : ℝ
hx : x ≤ 0

⊢ ∀ᵐ (x_1 : ℝ), x_1 ∈ Iio x → gammaPDF a r x_1 = 0
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : Fix F α

⊢ (mk ∘ dest) x = x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : Fix F α

⊢ ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: mk ∘ dest) <$$> x = (TypeVec.id ::: fun x => x) <$$> x → (mk ∘ dest) (mk x) = mk x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ : Fix F α
x : F (α ::: Fix F α)

⊢ (TypeVec.id ::: mk ∘ dest) <$$> x = (TypeVec.id ::: fun x => x) <$$> x → mk (mk x).dest = mk x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ : Fix F α
x : F (α ::: Fix F α)

⊢ (TypeVec.id ::: mk ∘ rec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: mk))) <$$> x = (TypeVec.id ::: fun x => x) <$$> x → mk ((TypeVec.id ::: mk ∘ rec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: mk))) <$$> x) = mk x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ : Fix F α
x : F (α ::: Fix F α)
h : (TypeVec.id ::: mk ∘ rec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: mk))) <$$> x = (TypeVec.id ::: fun x => x) <$$> x

⊢ mk ((TypeVec.id ::: _root_.id) <$$> x) = mk x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (Fin 3) (Fin 3) R

⊢ A.det = A 0 0 * A 1 1 * A 2 2 - A 0 0 * A 1 2 * A 2 1 - A 0 1 * A 1 0 * A 2 2 + A 0 1 * A 1 2 * A 2 0 + A 0 2 * A 1 0 * A 2 1 - A 0 2 * A 1 1 * A 2 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (Fin 3) (Fin 3) R

⊢ (-1) ^ 0 * A 0 0 * ((-1) ^ 0 * A 1 1 * A 2 2 + (-1) ^ (0 + 1) * A 1 2 * A 2 1) + ((-1) ^ (0 + 1) * A 0 1 * ((-1) ^ 0 * A 1 0 * A 2 2 + (-1) ^ (0 + 1) * A 1 2 * A 2 0) + (-1) ^ (0 + 1 + 1) * A 0 2 * ((-1) ^ 0 * A 1 0 * A 2 1 + (-1) ^ (0 + 1) * A 1 1 * A 2 0)) = A 0 0 * A 1 1 * A 2 2 - A 0 0 * A 1 2 * A 2 1 - A 0 1 * A 1 0 * A 2 2 + A 0 1 * A 1 2 * A 2 0 + A 0 2 * A 1 0 * A 2 1 - A 0 2 * A 1 1 * A 2 0
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m

⊢ ∃ t, 0 < t ∧ f ↑p = ↑p ^ (-t)
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
pprime : Nat.Prime p

⊢ ∃ t, 0 < t ∧ f ↑p = ↑p ^ (-t)
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
pprime : Nat.Prime p

⊢ f ↑p = ↑p ^ (- -logb (↑p) (f ↑p))
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
pprime : Nat.Prime p

⊢ f ↑p = ↑p ^ logb (↑p) (f ↑p)
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
pprime : Nat.Prime p

⊢ ↑p ≠ 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ

⊢ T R (n + 1) = 2 * X * T R n - T R (n - 1)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalBicomplex.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i₁ i₁' i₁'' : I₁
i₂ : I₂

⊢ (K.d i₁ i₁').f i₂ ≫ (K.d i₁' i₁'').f i₂ = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Lattice (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i

⊢ Icc (update f i (a ⊓ b)) (update f i (a ⊔ b)) = uIcc (update f i a) (update f i b)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hn : 0 < n
c : F

⊢ iteratedDerivWithin n (fun z => c + f z) s x = iteratedDerivWithin n f s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ

⊢ iteratedDerivWithin n.succ (fun z => c + f z) s x = iteratedDerivWithin n.succ f s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ

⊢ iteratedDerivWithin n (derivWithin (fun z => c + f z) s) s x = iteratedDerivWithin n (derivWithin f s) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ

⊢ Set.EqOn (derivWithin (fun z => c + f z) s) (derivWithin f s) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
c : F
n : ℕ
hn : 0 < n.succ
y : 𝕜
hy : y ∈ s

⊢ derivWithin (fun z => c + f z) s y = derivWithin f s y
-- Mathlib/Data/List/Destutter.lean
α : Type u_1
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
b✝ b : α
l : List α
hb : ∀ {a : α}, Chain R a l → destutter' R a l = a :: l
a : α
h : Chain R a (b :: l)

⊢ destutter' R a (b :: l) = a :: b :: l
-- Mathlib/Data/List/Destutter.lean
α : Type u_1
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
b✝ b : α
l : List α
hb : ∀ {a : α}, Chain R a l → destutter' R a l = a :: l
a : α
h✝ : Chain R a (b :: l)
h : R a b
hc : Chain R b l

⊢ destutter' R a (b :: l) = a :: b :: l
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
b✝ : ↑B
hb : b✝ ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B := b✝

⊢ b • ↑(MonoidHom.range f) = ↑(MonoidHom.range f)
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
b✝ : ↑B
hb : b✝ ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B := b✝

⊢ b • ↑(MonoidHom.range f) = 1 • ↑(MonoidHom.range f)
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
b✝ : ↑B
hb : b✝ ∈ MonoidHom.range f
b : ↑B := b✝

⊢ b⁻¹ ∈ MonoidHom.range f
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
H : IsCoprime x y

⊢ IsCoprime x (y ^ n)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
H : IsCoprime x y

⊢ IsCoprime x (∏ _x ∈ range n, y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α

⊢ 𝓤 α = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | edist p.1 p.2 < ε}
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
b : OrthonormalBasis (Fin (n + 1)) ℝ E
hb : b.toBasis.orientation ≠ o

⊢ o.volumeForm = -b.toBasis.det
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
b : OrthonormalBasis (Fin (n + 1)) ℝ E
hb : b.toBasis.orientation ≠ o
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o

⊢ o.volumeForm = -b.toBasis.det
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
b : OrthonormalBasis (Fin (n + 1)) ℝ E
hb : b.toBasis.orientation ≠ o
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o

⊢ Nat.casesAuxOn (motive := fun a => n + 1 = a → E [⋀^Fin (n + 1)]→ₗ[ℝ] ℝ) (n + 1) (fun h => Eq.rec (motive := fun x x_1 => [_i : Fact (finrank ℝ E = x)] → Orientation ℝ E (Fin x) → E [⋀^Fin x]→ₗ[ℝ] ℝ) (fun [Fact (finrank ℝ E = 0)] o => ⋯.by_cases (fun x => AlternatingMap.constOfIsEmpty ℝ E (Fin 0) 1) fun x => -AlternatingMap.constOfIsEmpty ℝ E (Fin 0) 1) ⋯ o) (fun n_1 h => Eq.rec (motive := fun x x_1 => [_i : Fact (finrank ℝ E = x)] → Orientation ℝ E (Fin x) → E [⋀^Fin x]→ₗ[ℝ] ℝ) (fun [Fact (finrank ℝ E = n_1 + 1)] o => (Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o).toBasis.det) ⋯ o) ⋯ = -b.toBasis.det
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
b : OrthonormalBasis (Fin (n + 1)) ℝ E
hb : b.toBasis.orientation ≠ o
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o

⊢ e.toBasis.orientation ≠ b.toBasis.orientation
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
b : OrthonormalBasis (Fin (n + 1)) ℝ E
hb : b.toBasis.orientation ≠ o
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o

⊢ e.toBasis.orientation = o
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
x : ℝ
h₁ : -π < x
h₂ : x ≤ π

⊢ (↑(expMapCircle x)).arg = x
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
f : ℂ → ℂ := fun s => riemannZeta s - 1 / (s - 1)

⊢ ∃ C, Tendsto f (𝓝[≠] 1) (𝓝 C)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
f : ℂ → ℂ := fun s => riemannZeta s - 1 / (s - 1)

⊢ ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] 1, DifferentiableAt ℂ f z
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
f : ℂ → ℂ := fun s => riemannZeta s - 1 / (s - 1)

⊢ (fun z => f z - f 1) =o[𝓝[≠] 1] fun z => (z - 1)⁻¹
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame

⊢ -x ‖ 0 ↔ x ‖ 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
α : Type u_1
l m r : List Char
f : α → Char → α
init : α

⊢ Substring.foldl f init { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } } = List.foldl f init m
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C

⊢ (tensor_μ C (M.X, 𝟙_ C) (M.X, 𝟙_ C) ≫ (M.mul ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).hom)) ≫ (ρ_ M.X).hom = ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ M.mul
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C

⊢ (tensor_μ C (M.X, 𝟙_ C) (M.X, 𝟙_ C) ≫ (𝟙 (M.X ⊗ M.X) ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).hom) ≫ (M.mul ⊗ 𝟙 (𝟙_ C))) ≫ (ρ_ M.X).hom = ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C

⊢ (tensor_μ C (M.X, 𝟙_ C) (M.X, 𝟙_ C) ≫ (M.X ⊗ M.X) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ M.mul ▷ 𝟙_ C) ≫ (ρ_ M.X).hom = ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C

⊢ tensor_μ C (M.X, 𝟙_ C) (M.X, 𝟙_ C) ≫ (M.X ⊗ M.X) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (ρ_ (M.X ⊗ M.X)).hom ≫ M.mul = ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M : Mon_ C

⊢ ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ M.mul = ((ρ_ M.X).hom ⊗ (ρ_ M.X).hom) ≫ 𝟙 (M.X ⊗ M.X) ≫ M.mul
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X

⊢ ∫ (x : X) in ∅, f x ∂μ = 0
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/NatAntidiagonal.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
f : ℕ × ℕ → ℕ → M
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ antidiagonal n

⊢ f p n = f p (p.1 + p.2)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α

⊢ infEdist x s ≤ infEdist x (cthickening δ s) + ENNReal.ofReal δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
r : ℝ≥0∞
h : infEdist x (cthickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < r

⊢ infEdist x s < r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
r : ℝ≥0∞
h : ∃ y, infEdist y s ≤ ENNReal.ofReal δ ∧ edist x y < r - ENNReal.ofReal δ

⊢ infEdist x s < r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
r : ℝ≥0∞
y : α
hy : infEdist y s ≤ ENNReal.ofReal δ
hxy : edist x y < r - ENNReal.ofReal δ

⊢ infEdist x s < r
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finrank.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
h : 1 < finrank R M

⊢ 1 < Module.rank R M
-- Mathlib/ModelTheory/LanguageMap.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
L'' : Language
e'✝ : L' ≃ᴸ L''
e✝ e : L ≃ᴸ L'
e' : L' ≃ᴸ L''

⊢ (e.invLHom.comp e'.invLHom).comp (e'.toLHom.comp e.toLHom) = LHom.id L
-- Mathlib/ModelTheory/LanguageMap.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
L'' : Language
e'✝ : L' ≃ᴸ L''
e✝ e : L ≃ᴸ L'
e' : L' ≃ᴸ L''

⊢ (e'.toLHom.comp e.toLHom).comp (e.invLHom.comp e'.invLHom) = LHom.id L''
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type uR
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
P : Type uP
Q : Type uQ
P' : Type uP'
Q' : Type uQ'
inst✝³¹ : CommSemiring R
inst✝³⁰ : Semiring A
inst✝²⁹ : Semiring B
inst✝²⁸ : Algebra R A
inst✝²⁷ : Algebra R B
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : Module R M
inst✝²⁴ : Module A M
inst✝²³ : Module B M
inst✝²² : IsScalarTower R A M
inst✝²¹ : IsScalarTower R B M
inst✝²⁰ : SMulCommClass A B M
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁸ : Module R N
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁶ : Module R P
inst✝¹⁵ : Module A P
inst✝¹⁴ : Module B P
inst✝¹³ : IsScalarTower R A P
inst✝¹² : IsScalarTower R B P
inst✝¹¹ : SMulCommClass A B P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R Q
inst✝⁸ : AddCommMonoid P'
inst✝⁷ : Module R P'
inst✝⁶ : Module A P'
inst✝⁵ : Module B P'
inst✝⁴ : IsScalarTower R A P'
inst✝³ : IsScalarTower R B P'
inst✝² : SMulCommClass A B P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
b : B
f : M →ₗ[A] P
g : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N

⊢ ((curry (map (b • f) g)) x✝¹) x✝ = ((curry (b • map f g)) x✝¹) x✝
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
h : φ.order.Dom

⊢ (coeff R (φ.order.get h)) φ ≠ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ (a.lcm b).factorization = a.factorization ⊔ b.factorization
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ a.factorization + b.factorization = a.factorization ⊓ b.factorization + a.factorization ⊔ b.factorization
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝¹ b✝ m n p a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
a✝ : ℕ

⊢ (a.factorization + b.factorization) a✝ = (a.factorization ⊓ b.factorization + a.factorization ⊔ b.factorization) a✝
-- Mathlib/Algebra/Ring/Basic.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : NonUnitalCommRing α
a b✝ c✝ b c x : α
h : x * x - b * x + c = 0

⊢ ∃ y, y * y - b * y + c = 0 ∧ x + y = b ∧ x * y = c
-- Mathlib/Algebra/Ring/Basic.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : NonUnitalCommRing α
a b✝ c✝ b c x : α
h : x * x - b * x + c = 0
this : c = x * (b - x)

⊢ ∃ y, y * y - b * y + c = 0 ∧ x + y = b ∧ x * y = c
-- Mathlib/Algebra/Ring/Basic.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : NonUnitalCommRing α
a b✝ c✝ b c x : α
h : x * x - b * x + c = 0
this : c = x * (b - x)

⊢ (b - x) * (b - x) - b * (b - x) + c = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L

⊢ chainLength α 0 = 2
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
motive : (m : ℕ) → m ≤ n + 1 → Sort u_1
of_succ : (k : ℕ) → (h : k < n + 1) → motive (k + 1) h → motive k ⋯
self : motive (n + 1) ⋯

⊢ leRec (motive := fun {n_1} mn => {motive : (m : ℕ) → m ≤ n_1 → Sort u_1} → ((k : ℕ) → (h : k < n_1) → motive (k + 1) h → motive k ⋯) → motive n_1 ⋯ → motive n mn) (fun {motive} of_succ self => self) (fun ⦃k⦄ h ih {motive} of_succ self => ih (fun i hi => of_succ i ⋯) (of_succ k ⋯ self)) ⋯ of_succ self = of_succ n ⋯ self
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)
A : C
f g : A ⟶ X φ i
h : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i

⊢ f = g
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)
A : C
f g : A ⟶ X φ i
h : f ≫ sndX φ i = g ≫ sndX φ i

⊢ f ≫ (XIso φ i hi).hom = g ≫ (XIso φ i hi).hom
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/IsometricSMul.lean
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : PseudoMetricSpace X
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ

⊢ (fun x => c • x) ⁻¹' closedBall x r = closedBall (c⁻¹ • x) r
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a b : α
h : a < b
s : Set α

⊢ [s ∈ 𝓝[<] b, s ∈ 𝓝[Ico a b] b, s ∈ 𝓝[Ioo a b] b, ∃ l ∈ Ico a b, Ioo l b ⊆ s, ∃ l ∈ Iio b, Ioo l b ⊆ s].TFAE
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)
g : ↥(Lp F' 1 (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f

⊢ (condexpL1CLM F' hm μ) ↑f = ↑f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)
g : ↥(Lp F' 1 (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g

⊢ (condexpL1CLM F' hm μ) ↑f = ↑f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)
g : ↥(Lp F' 1 (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g

⊢ (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)