ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ t✝ s : Set α
hs : IsSeparable s
t : Set ↑s
htc : (Subtype.val '' t).Countable
hst : s ⊆ closure (Subtype.val '' t)

⊢ Dense t
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ

⊢ (fun t => inverse (↑x + t)) =O[𝓝 0] fun _t => 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ

⊢ (fun x_1 => inverse (1 + ↑x⁻¹ * x_1) * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun _t => 1 * 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ

⊢ (fun x_1 => inverse (1 - -↑x⁻¹ * x_1) * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun _t => 1 * 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
hzero : Tendsto (fun x_1 => -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)

⊢ (fun x_1 => inverse (1 - -↑x⁻¹ * x_1) * ↑x⁻¹) =O[𝓝 0] fun _t => 1 * 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞

⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f (insert x s) x ↔ ContMDiffWithinAt I I' n f s x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞

⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' insert x s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞

⊢ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' insert x s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x = 𝓝[insert (↑(extChartAt I x) x) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)] ↑(extChartAt I x) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a b : E
r r' : k
h : r < r'

⊢ (lineMap a b) r ≤ (lineMap a b) r' ↔ a ≤ b
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a b : E
r r' : k
h : r < r'

⊢ (1 - r) • a + r • b ≤ (1 - r') • a + r' • b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G

⊢ ((resolution k G).d 1 0 ≫ ε k G).hom = Action.Hom.hom 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G
x : ↑((resolution k G).X 1).V

⊢ ((resolution k G).d 1 0 ≫ ε k G).hom x = (Action.Hom.hom 0) x
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G
x : ↑((resolution k G).X 1).V
this : (forget₂ToModuleCat k G).d 1 0 ≫ (forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).map (ε k G) = 0

⊢ ((resolution k G).d 1 0 ≫ ε k G).hom x = (Action.Hom.hom 0) x
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
h : M.E ⊆ M.closure I

⊢ M.Base I
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I
h : M.E ⊆ M.closure I

⊢ M.Basis I M.E
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b x : α

⊢ x ∈ Ico a b ↔ a ≤ x ∧ x < b
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α

⊢ (↑s ∩ ↑t).offDiag = (↑s).offDiag ∩ (↑t).offDiag
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
g : β → γ

⊢ range (g ∘ f) ⊆ range g
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
g : β → γ

⊢ g '' range f ⊆ range g
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
x y z : α
hxy : x ≠ y
hxz : x ≠ z

⊢ swap y z * swap x y * swap y z = swap z x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
x y z : α
hxy : x ≠ y
hxz : x ≠ z

⊢ swap y z * swap x y * (swap y z)⁻¹ = swap z x
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ n : ℕ

⊢ n.div2 = n / 2
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ n : ℕ

⊢ n % 2 + 2 * n.div2 = n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι

⊢ addHaarMeasure (piIcc01 ι) = volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι

⊢ addHaarMeasure (piIcc01 ι) = volume ↑(piIcc01 ι) • addHaarMeasure (piIcc01 ι)
-- Mathlib/Data/Nat/Pairing.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : ℕ → Set α
t : ℕ → Set β

⊢ ⋃ n, s (unpair n).1 ×ˢ t (unpair n).2 = (⋃ n, s n) ×ˢ ⋃ n, t n
-- Mathlib/Data/Nat/Pairing.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : ℕ → Set α
t : ℕ → Set β

⊢ ⋃ n, s (unpair n).1 ×ˢ t (unpair n).2 = ⋃ x, s x.1 ×ˢ t x.2
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_9, u_1} C₁
inst✝² : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝¹ : Category.{u_7, u_3} C₃
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
X : GradedObject I C₁
Y : GradedObject J C₂
A : C₃
k : K
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p
f g : mapBifunctorMapObj F p X Y k ⟶ A
h : ∀ (i : I) (j : J) (hij : p (i, j) = k), ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ f = ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ g

⊢ f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_9, u_1} C₁
inst✝² : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝¹ : Category.{u_7, u_3} C₃
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃
I : Type u_4
J : Type u_5
K : Type u_6
p : I × J → K
X : GradedObject I C₁
Y : GradedObject J C₂
A : C₃
k : K
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).HasMap p
f g : mapBifunctorMapObj F p X Y k ⟶ A
h : ∀ (i : I) (j : J) (hij : p (i, j) = k), ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ f = ιMapBifunctorMapObj F p X Y i j k hij ≫ g

⊢ ∀ (i : I × J) (hij : p i = k), (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).ιMapObj p i k hij ≫ f = (((mapBifunctor F I J).obj X).obj Y).ιMapObj p i k hij ≫ g
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
h : x ≠ y
z : α
hx : z = x

⊢ z ∈ (swap x y).support ↔ z ∈ {x, y}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
h : x ≠ y
z : α
hx : ¬z = x

⊢ z ∈ (swap x y).support ↔ z ∈ {x, y}
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
x : ℝ

⊢ oddKernel a x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel a (1 / x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0

⊢ oddKernel a x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel a (1 / x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ oddKernel a x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel a (1 / x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ

⊢ oddKernel (↑a) x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel (↑a) (1 / x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x

⊢ oddKernel (↑a) x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel (↑a) (1 / x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x

⊢ oddKernel (↑a) x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel (↑a) (1 / x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x
h3 : ↑x ^ (3 / 2) ≠ 0

⊢ oddKernel (↑a) x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel (↑a) (1 / x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x
h3 : ↑x ^ (3 / 2) ≠ 0
h4 : (↑x).arg ≠ π

⊢ oddKernel (↑a) x = 1 / x ^ (3 / 2) * sinKernel (↑a) (1 / x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x
h3 : ↑x ^ (3 / 2) ≠ 0
h4 : (↑x).arg ≠ π

⊢ jacobiTheta₂'' (↑a) (I * ↑x) = ↑(1 / x ^ (3 / 2)) * (-2 * ↑π / (1 / ↑x) ^ (3 / 2) * jacobiTheta₂'' (↑a) (I * ↑x) / (-2 * ↑π))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
a : ℝ
h1 : -1 / (I * ↑(1 / x)) = I * ↑x
h2 : -I * (I * ↑(1 / x)) = 1 / ↑x
h3 : ↑x ^ (3 / 2) ≠ 0
h4 : (↑x).arg ≠ π
J : ℂ

⊢ J = ↑(1 / x ^ (3 / 2)) * (-2 * ↑π / (1 / ↑x) ^ (3 / 2) * J / (-2 * ↑π))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : AddCommMonoid F
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
s : Set E
inst✝³ : Semiring 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : Module 𝕝 F
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E F 𝕜 𝕝
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕝] F
hf : IsOpenMap ⇑f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : f x ≠ f y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • f x + b • f y ∈ interior (⇑f '' s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : AddCommMonoid F
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
s : Set E
inst✝³ : Semiring 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : Module 𝕝 F
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E F 𝕜 𝕝
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ₗ[𝕝] F
hf : IsOpenMap ⇑f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : f x ≠ f y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ f (a • x + b • y) = a • f x + b • f y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ

⊢ x ≠ y → (fun x y => ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v) x y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ

⊢ (¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v) → x = y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
hyp : ¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v

⊢ x = y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
hyp : ¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v

⊢ x ∈ connectedComponent y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
hyp : ¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v

⊢ ∀ (i : { s // IsClopen s ∧ y ∈ s }), x ∈ ↑i
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
hyp : ¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v
w : Set X
hw : IsClopen w
hy : y ∈ w

⊢ x ∈ ↑⟨w, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
h : TotallyDisconnectedSpace X
x : X
x✝¹ : x ∈ univ
y : X
x✝ : y ∈ univ
hyp : ¬∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ x ∈ u ∧ y ∈ v ∧ univ ⊆ u ∪ v ∧ Disjoint u v
w : Set X
hw : IsClopen w
hy : y ∈ w
hx : x ∉ ↑⟨w, ⋯⟩

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a b : Γ
hr : ¬r = 0

⊢ (x * (single b) r).coeff (a + b) = x.coeff a * r
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a b : Γ
hr : ¬r = 0

⊢ ∑ x_1 ∈ addAntidiagonal ⋯ ⋯ (a + b), x.coeff x_1.1 * ((single b) r).coeff x_1.2 = x.coeff a * r
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y

⊢ seminormFromBounded' f x = f x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y

⊢ ⨆ y, f x * (f y / f y) = f x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y

⊢ ⨆ y, f x * (f y / f y) ≤ f x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y

⊢ f x ≤ ⨆ y, f x * (f y / f y)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R

⊢ (fun s => s.sum fun x e => e) = fun m => Multiset.card (toMultiset m)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ

⊢ (m.sum fun x e => e) = Multiset.card (toMultiset m)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n ≠ 0
ha : 1 < a

⊢ 1 < a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
r : c.Rel i j

⊢ (C.xPrevIso r).inv ≫ C.dTo j = C.d i j
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β✝
μ ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Zero β
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
f_nn : ∀ᵐ (t : α) ∂μ, 0 ≤ f t

⊢ ∃ g, Measurable g ∧ 0 ≤ g ∧ f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
f✝ g : α → β✝
μ ν : Measure α
β : Type u_7
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Zero β
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
f_nn : ∀ᵐ (t : α) ∂μ, 0 ≤ f t
G : α → β
hG_meas : Measurable G
hG_mem : range G ⊆ Preorder.toLE.1 0
hG_ae_eq : f =ᶠ[ae μ] G

⊢ ∃ g, Measurable g ∧ 0 ≤ g ∧ f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d

⊢ ∃! a₁, 1 < a₁.x ∧ 0 < a₁.y ∧ ∀ (a : Solution₁ d), ∃ n, a = a₁ ^ n ∨ a = -a₁ ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁

⊢ ∃! a₁, 1 < a₁.x ∧ 0 < a₁.y ∧ ∀ (a : Solution₁ d), ∃ n, a = a₁ ^ n ∨ a = -a₁ ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
H : 1 < a.x ∧ 0 < a.y ∧ ∀ (a_1 : Solution₁ d), ∃ n, a_1 = a ^ n ∨ a_1 = -a ^ n

⊢ a = a₁
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
Hx : 1 < a.x
Hy : 0 < a.y
H : ∀ (a_1 : Solution₁ d), ∃ n, a_1 = a ^ n ∨ a_1 = -a ^ n
n₁ : ℤ
hn₁ : a₁ = a ^ n₁ ∨ a₁ = -a ^ n₁

⊢ a = a₁
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a₁ : Solution₁ d
ha₁ : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
Hx : 1 < a.x
Hy : 0 < a.y
H : ∀ (a_1 : Solution₁ d), ∃ n, a_1 = a ^ n ∨ a_1 = -a ^ n
n₁ : ℤ
hn₁ : a₁ = a ^ n₁ ∨ a₁ = -a ^ n₁
n₂ : ℤ
hn₂ : a = a₁ ^ n₂ ∨ a = -a₁ ^ n₂

⊢ a = a₁
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
c : Set (Set α)
H1 : ∀ s ∈ c, x ∈ s
H2 : ∀ s ∈ c, IsPreconnected s

⊢ IsPreconnected (⋃₀ c)
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
c : Set (Set α)
H1 : ∀ s ∈ c, x ∈ s
H2 : ∀ s ∈ c, IsPreconnected s

⊢ ∀ y ∈ ⋃₀ c, ∃ t ⊆ ⋃₀ c, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ IsPreconnected t
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
x : α
c : Set (Set α)
H1 : ∀ s ∈ c, x ∈ s
H2 : ∀ s ∈ c, IsPreconnected s
y : α
s : Set α
sc : s ∈ c
ys : y ∈ s

⊢ ∃ t ⊆ ⋃₀ c, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ IsPreconnected t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
G : SimpleGraph α
H : SimpleGraph β
x : α × β
inst✝² : Fintype ↑(G.neighborSet x.1)
inst✝¹ : Fintype ↑(H.neighborSet x.2)
inst✝ : Fintype ↑((G □ H).neighborSet x)
this : Fintype ↑((G □ H).neighborSet x) := boxProdFintypeNeighborSet x

⊢ (G □ H).neighborFinset x = (G.neighborFinset x.1 ×ˢ {x.2}).disjUnion ({x.1} ×ˢ H.neighborFinset x.2) ⋯
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : Multiset ℕ
h : ∀ p ∈ v, Nat.Prime p

⊢ Multiset.map Coe.coe (Multiset.pmap (fun p hp => ⟨p, hp⟩) v h) = v
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : Multiset ℕ
h : ∀ p ∈ v, Nat.Prime p
this : (fun p h => Coe.coe ⟨p, h⟩) = fun p x => id p

⊢ Multiset.map Coe.coe (Multiset.pmap (fun p hp => ⟨p, hp⟩) v h) = v
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
ι : Sort u_1
f✝ : ι → ℝ≥0
inst✝ : IsEmpty ι
f : ι → ℝ≥0

⊢ ⨅ i, f i = 0
-- Mathlib/Data/List/Destutter.lean
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
a b : α
h : R b a

⊢ destutter' R b (a :: l) = b :: destutter' R a l
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : 0 < r

⊢ (univBall c r).target = ball c r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
P : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
r : ℝ
hr : 0 < r

⊢ (univUnitBall.trans' (unitBallBall c r hr) ⋯).target = ball c r