ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q✝ : ℤ[X]
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
m' : ℕ
x y z : ℤˣ
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑y ↑z

⊢ q = p ∨ q = -p ∨ q = p.mirror ∨ q = -p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q✝ : ℤ[X]
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
m' : ℕ
x y z : ℤˣ
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑y ↑z
h1 : ↑y = ↑v

⊢ q = p ∨ q = -p ∨ q = p.mirror ∨ q = -p.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q✝ : ℤ[X]
h : IsRelPrime p p.mirror
q : ℤ[X]
hpq : p * p.mirror = q * q.mirror
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
u v w : ℤˣ
hp : p = trinomial k m n ↑u ↑v ↑w
m' : ℕ
x y z : ℤˣ
hkm' : k < m'
hmn' : m' < n
hq : q = trinomial k m' n ↑x ↑y ↑z
h1 : ↑y = -↑v

⊢ q = p ∨ q = -p ∨ q = p.mirror ∨ q = -p.mirror
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
hf : InjOn f (f ⁻¹' s)
hsf : s ⊆ range f

⊢ Nat.card ↑(f ⁻¹' s) = Nat.card ↑s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s

⊢ ∀ᵐ (x : G) ∂μ', ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s

⊢ ∀ (s_1 : Set G), MeasurableSet s_1 → μ' s_1 < ⊤ → ν'.inv s_1 < ⊤ → ∀ᵐ (x : G) ∂μ'.restrict s_1, ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s
A : Set G
hA : MeasurableSet A
a✝ : μ' A < ⊤
h3A : ν'.inv A < ⊤

⊢ ∀ᵐ (x : G) ∂μ'.restrict A, ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s
A : Set G
hA : MeasurableSet A
a✝ : μ' A < ⊤
h3A : ν' A⁻¹ < ⊤

⊢ ∀ᵐ (x : G) ∂μ'.restrict A, ν' ((fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' s) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s
A : Set G
hA : MeasurableSet A
a✝ : μ' A < ⊤
h3A : ν' A⁻¹ < ⊤

⊢ ∫⁻ (x : G) in A, ν' ((fun y => y * x) ⁻¹' s) ∂μ' ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s
A : Set G
hA : MeasurableSet A
a✝ : μ' A < ⊤
h3A : ν' A⁻¹ < ⊤
h1 : μ' s * ∫⁻ (y : G), A⁻¹.indicator 1 y ∂ν' = ∫⁻ (x : G), ν' ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * A⁻¹.indicator 1 x⁻¹ ∂μ'

⊢ ∫⁻ (x : G) in A, ν' ((fun y => y * x) ⁻¹' s) ∂μ' ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s
A : Set G
hA : MeasurableSet A
a✝ : μ' A < ⊤
h3A : ν' A⁻¹ < ⊤
h1 : μ' s * ∫⁻ (a : G) in A⁻¹, 1 a ∂ν' = ∫⁻ (x : G), ν' ((fun z => z * x) ⁻¹' s) * A⁻¹.indicator 1 x⁻¹ ∂μ'

⊢ ∫⁻ (x : G) in A, ν' ((fun y => y * x) ⁻¹' s) ∂μ' ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s
A : Set G
hA : MeasurableSet A
a✝ : μ' A < ⊤
h3A : ν' A⁻¹ < ⊤
h1 : μ' s * ν' A⁻¹ = ∫⁻ (x : G), A.indicator (fun j => ν' ((fun y => y * j) ⁻¹' s)) x ∂μ'

⊢ ∫⁻ (x : G) in A, ν' ((fun y => y * x) ⁻¹' s) ∂μ' ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝⁵ : MeasurableInv G
inst✝⁴ : μ.IsMulLeftInvariant
μ' ν' : Measure G
inst✝³ : SigmaFinite μ'
inst✝² : SigmaFinite ν'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν'.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hμs : μ' s ≠ ⊤
sm : MeasurableSet s
A : Set G
hA : MeasurableSet A
a✝ : μ' A < ⊤
h3A : ν' A⁻¹ < ⊤
h1 : μ' s * ν' A⁻¹ = ∫⁻ (x : G), A.indicator (fun j => ν' ((fun y => y * j) ⁻¹' s)) x ∂μ'

⊢ μ' s * ν' A⁻¹ ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
d : 𝕜'

⊢ HasStrictDerivAt (fun x => c x / d) (c' / d) x
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le
a b y : α
hya : y ∈ Iic a
z : α
hzb : z ∈ Iic b

⊢ (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Iic (a * b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M

⊢ polar (⇑Q) x x = 2 • Q x
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M

⊢ 4 • Q x = (2 * 2) • Q x
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Period.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
exp_pos : 0 < Monoid.exponent M
m : M

⊢ BddAbove (Set.range fun a => period m a)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Period.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
exp_pos : 0 < Monoid.exponent M
m : M

⊢ Monoid.exponent M ∈ upperBounds (Set.range fun a => period m a)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
i : σ
m : σ →₀ ℕ
k : ℕ

⊢ coeff m (X i ^ k) = if Finsupp.single i k = m then 1 else 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
i : σ
m : σ →₀ ℕ
k : ℕ
this : coeff m ((monomial (Finsupp.single i k)) 1) = if Finsupp.single i k = m then 1 else 0

⊢ coeff m (X i ^ k) = if Finsupp.single i k = m then 1 else 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
i : σ
m : σ →₀ ℕ
k : ℕ
this : coeff m ((Finsupp.single i k).prod fun n e => X n ^ e) = if Finsupp.single i k = m then 1 else 0

⊢ X i ^ 0 = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
x✝ : Cᵒᵖ

⊢ F.map (⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop x✝)) (op ⊤)) ≫ (J.plusCompIso F P).hom.app x✝ = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop x✝)) (op ⊤)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
x✝ : Cᵒᵖ

⊢ F.map (⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagramCompIso F P (unop x✝)).hom.app (op ⊤) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop x✝)) (op ⊤) = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop x✝)) (op ⊤)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
x✝ : Cᵒᵖ

⊢ (F.map (⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagramCompIso F P (unop x✝)).hom.app (op ⊤)) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop x✝)) (op ⊤) = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ colimit.ι (J.diagram (P ⋙ F) (unop x✝)) (op ⊤)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
x✝ : Cᵒᵖ

⊢ F.map (⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagramCompIso F P (unop x✝)).hom.app (op ⊤) = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
x✝ : Cᵒᵖ

⊢ ∀ (a : ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)).L), (F.map (⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagramCompIso F P (unop x✝)).hom.app (op ⊤)) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)) a = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)) a
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
x✝ : Cᵒᵖ
a : ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)).L

⊢ (F.map (⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagramCompIso F P (unop x✝)).hom.app (op ⊤)) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)) a = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)) a
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
x✝ : Cᵒᵖ
a : ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)).L

⊢ F.map (⊤.toMultiequalizer P ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index P) a) = ⊤.toMultiequalizer (P ⋙ F) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ⊤)).index (P ⋙ F)) a
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Instances.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : OrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
x : ↑(Icc 0 1)

⊢ 1 - ↑x ≤ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
g : β → Set (Set α)
s : Set β
h_pi : ∀ b ∈ s, IsPiSystem (g b)
t : Set α
h_t : t ∈ generatePiSystem (⋃ b ∈ s, g b)

⊢ ∃ T f, ↑T ⊆ s ∧ t = ⋂ b ∈ T, f b ∧ ∀ b ∈ T, f b ∈ g b
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
g : β → Set (Set α)
s : Set β
h_pi : ∀ b ∈ s, IsPiSystem (g b)
t : Set α
h_t : t ∈ generatePiSystem (⋃ b ∈ s, g b)
this : t ∈ generatePiSystem (⋃ b, (g ∘ Subtype.val) b)

⊢ ∃ T f, ↑T ⊆ s ∧ t = ⋂ b ∈ T, f b ∧ ∀ b ∈ T, f b ∈ g b
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
g : β → Set (Set α)
s : Set β
h_pi : ∀ b ∈ s, IsPiSystem (g b)
T : Finset (Subtype s)
f : Subtype s → Set α
h_t' : ∀ b ∈ T, f b ∈ (g ∘ Subtype.val) b
h_t : ⋂ b ∈ T, f b ∈ generatePiSystem (⋃ b ∈ s, g b)
this : ⋂ b ∈ T, f b ∈ generatePiSystem (⋃ b, (g ∘ Subtype.val) b)

⊢ ∃ T_1 f_1, ↑T_1 ⊆ s ∧ ⋂ b ∈ T, f b = ⋂ b ∈ T_1, f_1 b ∧ ∀ b ∈ T_1, f_1 b ∈ g b
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : p * q ≠ 0

⊢ (p * q).primPart = p.primPart * q.primPart
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : ¬C (p * q).content = 0

⊢ (p * q).primPart = p.primPart * q.primPart
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : ¬C (p * q).content = 0

⊢ C (p * q).content * (p * q).primPart = C (p * q).content * (p.primPart * q.primPart)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : ¬C (p * q).content = 0

⊢ C p.content * p.primPart * (C q.content * q.primPart) = C (p * q).content * (p.primPart * q.primPart)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
h0 : ¬C (p * q).content = 0

⊢ C p.content * p.primPart * (C q.content * q.primPart) = C p.content * C q.content * (p.primPart * q.primPart)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
Z X : C
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X

⊢ ∃ Y f g, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
Z X : C
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
Y' : C
f' : (shiftFunctor C 1).obj X ⟶ Y'
g' : Y' ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z
mem : Triangle.mk h f' g' ∈ distinguishedTriangles

⊢ ∃ Y f g, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
Z X : C
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
Y' : C
f' : (shiftFunctor C 1).obj X ⟶ Y'
g' : Y' ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z
mem : Triangle.mk h f' g' ∈ distinguishedTriangles
T' : Triangle C := (Triangle.mk h f' g').invRotate.invRotate

⊢ ∃ Y f g, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
Z X : C
h : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
Y' : C
f' : (shiftFunctor C 1).obj X ⟶ Y'
g' : Y' ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z
mem : Triangle.mk h f' g' ∈ distinguishedTriangles
T' : Triangle C := (Triangle.mk h f' g').invRotate.invRotate

⊢ Triangle.mk (((shiftEquiv C 1).unitIso.app X).hom ≫ T'.mor₁) T'.mor₂ h ≅ (Triangle.mk h f' g').invRotate.invRotate
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
b : β

⊢ b ∈ (p.bind f).support ↔ b ∈ ⋃ a ∈ p.support, (f a).support
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x y : β

⊢ (const x - const y).LimZero ↔ x = y
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ

⊢ IsCyclic (QuaternionGroup 1)
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ

⊢ orderOf ?x = Fintype.card (QuaternionGroup 1)
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ

⊢ QuaternionGroup 1
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : Subsingleton α
a b : α

⊢ b ∈ {a} ↔ b ∈ univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : Basis ι ℝ E
w : Basis ι' ℝ F
x : E × F

⊢ x ∈ ↑(v.prod w).parallelepiped ↔ x ∈ ↑(v.parallelepiped.prod w.parallelepiped)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : Basis ι ℝ E
w : Basis ι' ℝ F
x : E × F

⊢ (∃ t ∈ Icc 0 1, x = ∑ i : ι ⊕ ι', t i • (v.prod w) i) ↔ (∃ t ∈ Icc 0 1, x.1 = ∑ i : ι, t i • v i) ∧ ∃ t ∈ Icc 0 1, x.2 = ∑ i : ι', t i • w i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : Basis ι ℝ E
w : Basis ι' ℝ F
x : E × F
t : ι → ℝ
ht1 : t ∈ Icc 0 1
ht2 : x.1 = ∑ i : ι, t i • v i
s : ι' → ℝ
hs1 : s ∈ Icc 0 1
hs2 : x.2 = ∑ i : ι', s i • w i

⊢ ∃ t ∈ Icc 0 1, x = ∑ i : ι ⊕ ι', t i • (v.prod w) i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : Basis ι ℝ E
w : Basis ι' ℝ F
x : E × F
t : ι → ℝ
ht1 : t ∈ Icc 0 1
ht2 : x.1 = ∑ i : ι, t i • v i
s : ι' → ℝ
hs1 : s ∈ Icc 0 1
hs2 : x.2 = ∑ i : ι', s i • w i

⊢ Sum.elim t s ∈ Icc 0 1 ∧ x = ∑ i : ι ⊕ ι', Sum.elim t s i • (v.prod w) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q

⊢ (contractLeft d) ((contractLeft d') x) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R

⊢ (contractLeft d) ((contractLeft d') ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r))
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x y : CliffordAlgebra Q
hx : (contractLeft d) ((contractLeft d') x) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) x)
hy : (contractLeft d) ((contractLeft d') y) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) y)

⊢ (contractLeft d) ((contractLeft d') (x + y)) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) (x + y))
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
m : CliffordAlgebra Q
x : M
hx : (contractLeft d) ((contractLeft d') m) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) m)

⊢ (contractLeft d) ((contractLeft d') ((ι Q) x * m)) = -(contractLeft d') ((contractLeft d) ((ι Q) x * m))
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p

⊢ filter (fun x => p x.1) (s ×ˢ t) = filter p s ×ˢ t