ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/ContinuousMonoidHom.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : Monoid A
inst✝⁹ : Monoid B
inst✝⁸ : Monoid C
inst✝⁷ : Monoid D
inst✝⁶ : CommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace C
inst✝² : TopologicalSpace D
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalGroup E

⊢ Set.range toContinuousMap = {f | f 1 = 1 ∧ ∀ (x y : A), f (x * y) = f x * f y}
-- Mathlib/Topology/Algebra/ContinuousMonoidHom.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : Monoid A
inst✝⁹ : Monoid B
inst✝⁸ : Monoid C
inst✝⁷ : Monoid D
inst✝⁶ : CommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace C
inst✝² : TopologicalSpace D
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalGroup E

⊢ {f | f 1 = 1 ∧ ∀ (x y : A), f (x * y) = f x * f y} ⊆ Set.range toContinuousMap
-- Mathlib/Topology/Algebra/ContinuousMonoidHom.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : Monoid A
inst✝⁹ : Monoid B
inst✝⁸ : Monoid C
inst✝⁷ : Monoid D
inst✝⁶ : CommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace C
inst✝² : TopologicalSpace D
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalGroup E
f : C(A, B)
h1 : f 1 = 1
hmul : ∀ (x y : A), f (x * y) = f x * f y

⊢ f ∈ Set.range toContinuousMap
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α

⊢ borel ℝ = generateFrom (⋃ a, {Iic ↑a})
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α

⊢ generateFrom (range fun a => Ioi ↑a) = generateFrom (range fun a => Iic ↑a)
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
s : Ideal R
hs : s ≠ ⊥
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ

⊢ ∃ n, s = span {ϖ ^ n}
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
s : Ideal R
hs : s ≠ ⊥
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
gen_ne_zero : generator s ≠ 0

⊢ ∃ n, s = span {ϖ ^ n}
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
s : Ideal R
hs : s ≠ ⊥
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
gen_ne_zero : generator s ≠ 0
n : ℕ
u : Rˣ
hnu : generator s * ↑u = ϖ ^ n

⊢ ∃ n, s = span {ϖ ^ n}
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
s : Ideal R
hs : s ≠ ⊥
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
gen_ne_zero : generator s ≠ 0
n : ℕ
u : Rˣ
hnu : generator s * ↑u = ϖ ^ n

⊢ s = span {ϖ ^ n}
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
s : Ideal R
hs : s ≠ ⊥
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
gen_ne_zero : generator s ≠ 0
n : ℕ
u : Rˣ
hnu : generator s * ↑u = ϖ ^ n
this : span {generator s} = s

⊢ s = span {ϖ ^ n}
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
s : Ideal R
hs : s ≠ ⊥
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
gen_ne_zero : generator s ≠ 0
n : ℕ
u : Rˣ
hnu : generator s * ↑u = ϖ ^ n
this : span {generator s} = s

⊢ Associated (generator s) (generator s * ↑u)
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
q : ℕ
hqa : q ∈ a.primeFactorsList
hqb : q ∈ b.primeFactorsList

⊢ False
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
q : ℕ
hqa : q ∈ a.primeFactorsList
hqb : q ∈ b.primeFactorsList

⊢ Prime 1
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
q : ℕ
hqa : q ∈ a.primeFactorsList
hqb : q ∈ b.primeFactorsList

⊢ Prime q
-- Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
s : Finset S
f : S → Tropical (WithTop R)

⊢ untrop (∑ i ∈ s, f i) = sInf (untrop ∘ f '' ↑s)
-- Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
f : S → Tropical (WithTop R)

⊢ untrop (∑ i ∈ ∅, f i) = sInf (untrop ∘ f '' ↑∅)
-- Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
s : Finset S
f : S → Tropical (WithTop R)
h : s.Nonempty

⊢ untrop (∑ i ∈ s, f i) = sInf (untrop ∘ f '' ↑s)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace/ResidueField.lean
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
Z : LocallyRingedSpace
g : Y ⟶ Z
x : ↑X.toTopCat

⊢ residueFieldMap (f ≫ g) x = residueFieldMap g (f.val.base x) ≫ residueFieldMap f x
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace/ResidueField.lean
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
Z : LocallyRingedSpace
g : Y ⟶ Z
x : ↑X.toTopCat

⊢ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap (f ≫ g) x) = LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap g (f.val.base x)) ≫ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f x)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace/ResidueField.lean
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
Z : LocallyRingedSpace
g : Y ⟶ Z
x : ↑X.toTopCat

⊢ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap g (f.val.base x) ≫ Hom.stalkMap f x) = LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap g (f.val.base x)) ≫ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f x)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace/ResidueField.lean
X✝ : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑X✝.toTopCat
X Y : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Y
Z : LocallyRingedSpace
g : Y ⟶ Z
x : ↑X.toTopCat
this : IsLocalRingHom (Hom.stalkMap g (f.val.base x))

⊢ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap g (f.val.base x) ≫ Hom.stalkMap f x) = LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap g (f.val.base x)) ≫ LocalRing.ResidueField.map (Hom.stalkMap f x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ht : t ∈ 𝓝[s] x

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f (s ∩ t) x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n

⊢ i.cycleRange (i.succAbove j) = j.succ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h : j.castSucc < i

⊢ i.cycleRange (i.succAbove j) = j.succ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
h : j.castSucc ≥ i

⊢ i.cycleRange (i.succAbove j) = j.succ
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u : XgcdType

⊢ u.bp = u.ap ↔ u.ap = u.bp
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x < y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α

⊢ rightLim f x ≤ leftLim f y
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x < y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] y = ⊥

⊢ rightLim f x ≤ leftLim f y
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x < y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] y ≠ ⊥

⊢ rightLim f x ≤ leftLim f y
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x < y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] y ≠ ⊥
a : α
xa : x < a
ay : a < y

⊢ rightLim f x ≤ leftLim f y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝³ : Category.{max v u, w} D
inst✝² : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : Preadditive D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : Cᵒᵖ

⊢ (J.plusMap 0).app x✝ = NatTrans.app 0 x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝³ : Category.{max v u, w} D
inst✝² : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : Preadditive D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : Cᵒᵖ
S : (J.Cover (unop x✝))ᵒᵖ

⊢ colimit.ι (J.diagram P (unop x✝)) S ≫ (J.plusMap 0).app x✝ = colimit.ι (J.diagram P (unop x✝)) S ≫ NatTrans.app 0 x✝
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter l
hs : IsLindelof s

⊢ Disjoint l (𝓝ˢ s) ↔ ∀ x ∈ s, Disjoint l (𝓝 x)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ a
hb : b ≤ a

⊢ a + b = a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono g
h : f ≫ g = 0

⊢ f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono g
h✝ : f ≫ g = 0
h : f = 0

⊢ f = 0
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
κ : ι✝ → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
f : ι → α
g : ι' → α

⊢ (⨆ i, f i) ⊓ ⨆ j, g j = ⨆ i, f i.1 ⊓ g i.2
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ T =O[atTop] asympBound g a b
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
hf : _root_.Embedding f
s : Set α
x : α

⊢ map f (𝓝[s] x) = 𝓝[f '' s] f x
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : Finite Mˣ
χ : MulChar M R

⊢ 0 < orderOf χ
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : Finite Mˣ
χ : MulChar M R
val✝ : Fintype Mˣ

⊢ 0 < orderOf χ
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
R : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : Finite Mˣ
χ : MulChar M R
val✝ : Fintype Mˣ

⊢ IsOfFinOrder χ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
M' : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Fintype ι
e : Basis ι R M✝
A : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Module A M✝
κ : Type u_6
inst✝³ : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝² : Field 𝕜
M : Type u_8
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
h : FiniteDimensional.finrank 𝕜 M = 0
f : M →ₗ[𝕜] M

⊢ LinearMap.det f = 1
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S

⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m₁ s₁) = (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m₂ s₂) ↔ ∃ s, s • s₁ • m₂ = s • s₂ • m₁
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S

⊢ (∃ u, u • s₂ • m₁ = u • s₁ • m₂) ↔ ∃ s, s • s₁ • m₂ = s • s₂ • m₁
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
t : Set R
ht : span t = ⊤
H : ∀ (g : ↑t), (map (algebraMap R (Localization.Away ↑g)) I).FG

⊢ I.FG
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
t : Set R
ht : span t = ⊤
H : ∀ (g : ↑t), (map (algebraMap R (Localization.Away ↑g)) I).FG

⊢ Module.Finite R ↥I
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
t : Set R
ht : span t = ⊤
H : ∀ (g : ↑t), (map (algebraMap R (Localization.Away ↑g)) I).FG
k : (g : ↑t) → ↥I →ₗ[R] ↥(map (algebraMap R (Localization.Away ↑g)) I) := fun g => Algebra.idealMap (Localization.Away ↑g) I

⊢ Module.Finite R ↥I
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
s t : Set E
c c' : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c

⊢ LipschitzWith (‖f'‖₊ + c) (s.restrict f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
k : αˣ
h : IsUnit A.det

⊢ k⁻¹ • A⁻¹ * k • A = 1
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A

⊢ ↑((selfAdjointPart ℝ) a) = 2⁻¹ • (a + star a)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ s ⊆ interior s ↔ ∀ x ∈ s, 𝓝 x ≤ 𝓟 s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hn : n ≤ firstDiff x y

⊢ cylinder x n = cylinder y n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hn : n ≤ firstDiff x y

⊢ x ∈ cylinder y n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
hn : n ≤ firstDiff x y
i : ℕ
hi : i < n

⊢ x i = y i
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ {i : Ordinal.{u}} (h : i < o), f i h ≠ o.bsup f
a : Ordinal.{max u v}

⊢ a < o.bsup f → succ a < o.bsup f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
hf : ∀ {i : Ordinal.{u}} (h : i < o), f i h ≠ sup (o.familyOfBFamily f)
a : Ordinal.{max u v}

⊢ a < sup (o.familyOfBFamily f) → succ a < sup (o.familyOfBFamily f)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → α
p : Finset ι → Prop
h0 : p ∅
step : ∀ (a : ι) (s : Finset ι), a ∉ s → (∀ x ∈ s, f x ≤ f a) → p s → p (insert a s)
s : Finset ι
ihs : ∀ t ⊂ s, p t

⊢ p s
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → α
p : Finset ι → Prop
h0 : p ∅
step : ∀ (a : ι) (s : Finset ι), a ∉ s → (∀ x ∈ s, f x ≤ f a) → p s → p (insert a s)
s : Finset ι
ihs : ∀ t ⊂ s, p t
hne : image f s = ∅

⊢ p s
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → α
p : Finset ι → Prop
h0 : p ∅
step : ∀ (a : ι) (s : Finset ι), a ∉ s → (∀ x ∈ s, f x ≤ f a) → p s → p (insert a s)
s : Finset ι
ihs : ∀ t ⊂ s, p t
hne : (image f s).Nonempty

⊢ p s
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : ℚ

⊢ ⌈↑x⌉ = ⌈x⌉
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α

⊢ (blimsup u f fun x => True) = limsup u f
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
t : Finset ι
φ : ι → MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
h : Pairwise (Disjoint on fun i => (φ i).vars)

⊢ (∑ i ∈ t, φ i).vars = t.biUnion fun i => (φ i).vars
-- Mathlib/Control/Traversable/Lemmas.lean
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f✝ : β → γ
x : t β
η : ApplicativeTransformation F G
f : α → F β
x✝ : t α

⊢ traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) x✝ = ((fun {α} => η.app α) ∘ traverse f) x✝
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a : Associates α

⊢ IsUnit a ↔ a = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ

⊢ Set.range ⇑(ιMulti R n) ⊆ ↑(⋀[R]^n M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ

⊢ ∀ (y : Fin n → M), (ιMulti R n) y ∈ ↑(⋀[R]^n M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
v : Fin n → M

⊢ (ιMulti R n) v ∈ ↑(⋀[R]^n M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
v : Fin n → M

⊢ (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod ∈ ↑(⋀[R]^n M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
v : Fin n → M

⊢ (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod ∈ ↑(LinearMap.range (ι R)) ^ n
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
n : ℕ
v : Fin n → M

⊢ ∃ f, (List.ofFn fun i => ↑(f i)).prod = (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedRing A
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.ble 1 n = true

⊢ e ≠ 0
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedRing A
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.ble 1 n = true

⊢ -↑n ≠ 0
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedRing A
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.ble 1 n = true

⊢ ¬↑n = 0
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℕ
inst✝ : StrictOrderedRing A
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)
w : Nat.ble 1 n = true

⊢ 0 < ↑n
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0

⊢ ∃ n, 2⁻¹ ^ n < a
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
n : ℕ
hn : (↑n)⁻¹ < a

⊢ ∃ n, 2⁻¹ ^ n < a
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
n : ℕ
hn : (↑n)⁻¹ < a

⊢ 2⁻¹ ^ n < (↑n)⁻¹
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
n : ℕ
hn : (↑n)⁻¹ < a

⊢ ↑n < 2 ^ n
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
n : ℕ
hn : (↑n)⁻¹ < a

⊢ n < 2 ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
hx : ∀ (φ : K →+* ℂ), (starRingEnd ℂ) (x φ) = x (ComplexEmbedding.conjugate φ)
c : index K

⊢ ↑(((stdBasis K).repr ((commMap K) x)) c) = (matrixToStdBasis K *ᵥ x ∘ ⇑(indexEquiv K)) c
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
hx : ∀ (φ : K →+* ℂ), (starRingEnd ℂ) (x φ) = x (ComplexEmbedding.conjugate φ)
c : index K

⊢ ↑(((stdBasis K).repr (fun w => (x (↑w).embedding).re, fun w => x (↑w).embedding)) c) = ∑ x_1 : { w // w.IsReal }, fromBlocks 1 0 0 ((blockDiagonal fun x => !![2⁻¹, 2⁻¹; 2⁻¹ * -I, 2⁻¹ * I]).submatrix Prod.swap Prod.swap) c (Sum.inl x_1) * x (↑x_1).embedding + ∑ x_1 : { w // w.IsComplex }, (fromBlocks 1 0 0 ((blockDiagonal fun x => !![2⁻¹, 2⁻¹; 2⁻¹ * -I, 2⁻¹ * I]).submatrix Prod.swap Prod.swap) c (Sum.inr (x_1, 0)) * x (↑x_1).embedding + fromBlocks 1 0 0 ((blockDiagonal fun x => !![2⁻¹, 2⁻¹; 2⁻¹ * -I, 2⁻¹ * I]).submatrix Prod.swap Prod.swap) c (Sum.inr (x_1, 1)) * x (ComplexEmbedding.conjugate (↑x_1).embedding))
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Monoid β
p r : α → α → Prop
inst✝ : IsTotal α r
f : α → α → β
hsymm : Symmetric p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b c : α
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
hmul' : ∀ {b c : α}, r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c

⊢ f a c = f a b * f b c
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Monoid β
p r : α → α → Prop
inst✝ : IsTotal α r
f : α → α → β
hsymm : Symmetric p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b c : α
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
hmul' : ∀ {b c : α}, r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
rbc : r b c

⊢ f a c = f a b * f b c
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Monoid β
p r : α → α → Prop
inst✝ : IsTotal α r
f : α → α → β
hsymm : Symmetric p
hf_swap : ∀ {a b : α}, p a b → f a b * f b a = 1
hmul : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
a b c : α
pab : p a b
pbc : p b c
pac : p a c
hmul' : ∀ {b c : α}, r b c → p a b → p b c → p a c → f a c = f a b * f b c
rcb : r c b

⊢ f a c = f a b * f b c
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
h : 0 < a • b
hb : 0 ≤ b

⊢ 0 • b < a • b