ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Pi.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι✝ → Type u
U : (i : ι✝) → UniformSpace (α i)
inst✝ : UniformSpace β
ι : Type u_4
X : Type u_5
u : ι → UniformSpace X
hu : ∀ (i : ι), CompleteSpace X
a✝ : Nontrivial X
t : TopologicalSpace X
ht : T2Space X
hut : ∀ (i : ι), toTopologicalSpace ≤ t
this : UniformInducing (const ι)

⊢ CompleteSpace X
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Pi.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι✝ → Type u
U : (i : ι✝) → UniformSpace (α i)
inst✝ : UniformSpace β
ι : Type u_4
X : Type u_5
u : ι → UniformSpace X
hu : ∀ (i : ι), CompleteSpace X
a✝ : Nontrivial X
t : TopologicalSpace X
ht : T2Space X
hut : ∀ (i : ι), toTopologicalSpace ≤ t
this : UniformInducing (const ι)

⊢ IsComplete (⋂ i, ⋂ i_1, {x | x i = x i_1})
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Pi.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι✝ → Type u
U : (i : ι✝) → UniformSpace (α i)
inst✝ : UniformSpace β
ι : Type u_4
X : Type u_5
u : ι → UniformSpace X
hu : ∀ (i : ι), CompleteSpace X
a✝ : Nontrivial X
t : TopologicalSpace X
ht : T2Space X
hut : ∀ (i : ι), toTopologicalSpace ≤ t
this✝ : UniformInducing (const ι)
this : Pi.topologicalSpace ≤ Pi.topologicalSpace

⊢ IsComplete (⋂ i, ⋂ i_1, {x | x i = x i_1})
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Pi.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι✝ → Type u
U : (i : ι✝) → UniformSpace (α i)
inst✝ : UniformSpace β
ι : Type u_4
X : Type u_5
u : ι → UniformSpace X
hu : ∀ (i : ι), CompleteSpace X
a✝ : Nontrivial X
t : TopologicalSpace X
ht : T2Space X
hut : ∀ (i : ι), toTopologicalSpace ≤ t
this✝ : UniformInducing (const ι)
this : Pi.topologicalSpace ≤ Pi.topologicalSpace

⊢ IsClosed (⋂ i, ⋂ i_1, {x | x i = x i_1})
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : R
k n : ℕ

⊢ (coeff R n) ((C R) x * X ^ k) = if n = k then x else 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Continuum.lean
c : Cardinal.{u}

⊢ lift.{v, u} c ≤ 𝔠 ↔ c ≤ 𝔠
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some b

⊢ 1 ≤ b
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
gp_n : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp_n
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some gp_n.b

⊢ 1 ≤ gp_n.b
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
gp_n : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp_n
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some gp_n.b
ifp_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_n
ifp_n_b_eq_gp_n_b : ↑ifp_n.b = gp_n.b

⊢ 1 ≤ gp_n.b
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
gp_n : Pair K
nth_s_eq : (of v).s.get? n = some gp_n
nth_partDen_eq : (of v).partDens.get? n = some gp_n.b
ifp_n : IntFractPair K
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_n
ifp_n_b_eq_gp_n_b : ↑ifp_n.b = gp_n.b

⊢ 1 ≤ ↑ifp_n.b
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k m : ℤ
h₁₁ : ↑k < ↑j / r
h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s
h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k m : ℤ
h₁₁ : ↑k < ↑j / r
h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s
h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1
h₃ : ↑k + ↑m < ↑j / r + ↑j / s

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k m : ℤ
h₁₁ : ↑k < ↑j / r
h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s
h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1
h₃ : ↑k + ↑m < ↑j / r + ↑j / s
h₄ : (↑j + 1) / r + (↑j + 1) / s < ↑k + 1 + (↑m + 1)

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k m : ℤ
h₁₁ : ↑k < ↑j / r
h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s
h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1
h₃ : ↑k + ↑m < ↑j
h₄ : ↑j + 1 < ↑k + 1 + (↑m + 1)

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k m : ℤ
h₁₁ : ↑k < ↑j / r
h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s
h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1
h₃ : ↑k + ↑m < ↑j
h₄ : ↑j < ↑k + ↑m + ↑1

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s
j✝ k✝ j k m : ℤ
h₁₁ : ↑k < ↑j / r
h₁₂ : (↑j + 1) / r ≤ ↑k + 1
h₂₁ : ↑m ≤ ↑j / s
h₂₂ : (↑j + 1) / s < ↑m + 1
h₃ : k + m < j
h₄ : j ≤ k + m

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

⊢ multiplicity E ≤ 5 ^ finrank ℝ E
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

⊢ {N | ∃ s, s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖}.Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

⊢ ∀ b ∈ {N | ∃ s, s.card = N ∧ (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖}, b ≤ 5 ^ finrank ℝ E
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Module.Finite R L
I : LieIdeal R L
x : L

⊢ x ∈ (lieIdealSubalgebra R L (killingCompl R L ⊤)).toSubmodule ↔ x ∈ LinearMap.ker (killingForm R L)
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
pmin : ∀ (q : A[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval x) q = 0 → p.degree ≤ q.degree
hx : IsIntegral A x

⊢ minpoly A x = p
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
pmin : ∀ (q : A[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval x) q = 0 → p.degree ≤ q.degree
hx : IsIntegral A x

⊢ minpoly A x - p = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
pmin : ∀ (q : A[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval x) q = 0 → p.degree ≤ q.degree
hx : IsIntegral A x
hnz : ¬minpoly A x - p = 0

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
pmin : ∀ (q : A[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval x) q = 0 → p.degree ≤ q.degree
hx : IsIntegral A x
hnz : ¬minpoly A x - p = 0

⊢ (minpoly A x - p).degree < (minpoly A x).degree
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
pmin : ∀ (q : A[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval x) q = 0 → p.degree ≤ q.degree
hx : IsIntegral A x
hnz : ¬minpoly A x - p = 0

⊢ (minpoly A x).leadingCoeff = p.leadingCoeff
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra A B
x : B
p : A[X]
pmonic : p.Monic
hp : (Polynomial.aeval x) p = 0
pmin : ∀ (q : A[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval x) q = 0 → p.degree ≤ q.degree
hx : IsIntegral A x
hnz : ¬minpoly A x - p = 0

⊢ (minpoly A x).degree = p.degree
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
h : x ≠ y

⊢ Sbtw R y x ((pointReflection R x) y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
h : x ≠ y

⊢ x ≠ (pointReflection R x) y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P
h : x ≠ y

⊢ (pointReflection R x) x ≠ (pointReflection R x) y
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
x✝ : k⟦X⟧

⊢ x✝ ∈ RingHom.ker (constantCoeff k) ↔ x✝ ∈ maximalIdeal k⟦X⟧
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Truncated.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n₁ n₂ n₃ : ℕ
h1 : n₁ ≤ n₂
h2 : n₂ ≤ n₃
x : TruncatedWittVector p n₃ R

⊢ ((truncate h1).comp (truncate h2)) x = (truncate ⋯) x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/AlternatingFaceMapComplex.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
A : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.75369, u_2} A
inst✝ : Abelian A
X Y : CosimplicialObject C
n : ℕ

⊢ objD X n ≫ objD X (n + 1) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

⊢ cosZeta (↑x) (2 * ↑k) = (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

⊢ ∑' (b : ℕ), ↑(Real.cos (2 * π * x * ↑b)) / ↑b ^ (2 * ↑k) = (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k) / 2 / ↑(2 * k)! * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

⊢ 1 < (2 * ↑k).re
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u a : αˣ

⊢ ↑a = 1 ↔ a = 1
-- Mathlib/Algebra/Group/AddChar.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ : AddChar A M
f : M →* N
hf : Injective ⇑f
ψ χ : AddChar B M
h : (fun ψ => f.compAddChar ψ) ψ = (fun ψ => f.compAddChar ψ) χ

⊢ ψ = χ
-- Mathlib/Algebra/Group/AddChar.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ : AddChar A M
f : M →* N
hf : Injective ⇑f
ψ χ : AddChar B M
h : ⇑((fun ψ => f.compAddChar ψ) ψ) = ⇑((fun ψ => f.compAddChar ψ) χ)

⊢ ⇑ψ = ⇑χ
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set α
x y : α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : SemilatticeInf β
hf : AntitoneOn f s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s

⊢ f (x ⊔ y) = f x ⊓ f y
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
t : Finset β
e : α ≃ β
hst : ∀ (i : α), i ∈ s ↔ e i ∈ t

⊢ s.card = t.card
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
f : α ≃ₜ β
K : Set β
hK : IsCompact K

⊢ (Measure.map (⇑f) μ) K < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : BorelSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
f : α ≃ₜ β
K : Set β
hK : IsCompact K

⊢ μ (⇑f.toMeasurableEquiv ⁻¹' K) < ⊤
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ b a : α
s t : Multiset α
h : a ∉ t

⊢ (s + t).erase a = s.erase a + t
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β

⊢ Continuous ⊥
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝ : CompleteLattice β

⊢ Continuous (sSup ∅)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha₀ : 0 < a
ha₁ : a ≠ 1

⊢ Injective fun x => a ^ x
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha₀ : 0 < a
ha₁✝ : a ≠ 1
ha₁ : a < 1

⊢ Injective fun x => a ^ x
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha₀ : 0 < a
ha₁✝ : a ≠ 1
ha₁ : 1 < a

⊢ Injective fun x => a ^ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
x : n → R

⊢ 0 ≤ star x ⬝ᵥ 1 *ᵥ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
x : n → R

⊢ 0 ≤ star x ⬝ᵥ x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y z : E

⊢ ⟪x - y, z⟫_𝕜 = ⟪x, z⟫_𝕜 - ⟪y, z⟫_𝕜
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
l : List α
a : α

⊢ [a] <+~ l ↔ a ∈ l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
l : List α
a : α
x✝ : [a] <+~ l
s : List α
hla : s ~ [a]
h : s <+ l

⊢ a ∈ l
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝² : Mul M
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Mul β

⊢ commProb (α → β) = commProb β ^ card α
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C

⊢ 𝟙 (X _[0]) - 𝟙 (X _[0]) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A

⊢ x ∈ extremePoints 𝕜 A ↔ x ∈ A ∧ Convex 𝕜 (A \ {x})
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A

⊢ x ∈ A ∧ Convex 𝕜 (A \ {x}) → x ∈ extremePoints 𝕜 A
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
hxA : x ∈ A
hAx : Convex 𝕜 (A \ {x})

⊢ x ∈ extremePoints 𝕜 A
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
hxA : x ∈ A
hAx : Convex 𝕜 (A \ {x})
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ A
hx : x ∈ [x₁-[𝕜]x₂]

⊢ x₁ = x ∨ x₂ = x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
hxA : x ∈ A
hAx : ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ A \ {x} → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ A \ {x} → [x_1-[𝕜]y] ⊆ A \ {x}
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ A
hx : x ∈ [x₁-[𝕜]x₂]

⊢ x₁ = x ∨ x₂ = x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A
hxA : x ∈ A
hAx : ∀ ⦃x_1 : E⦄, x_1 ∈ A \ {x} → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ A \ {x} → [x_1-[𝕜]y] ⊆ A \ {x}
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ A
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ A
hx : x ∈ [x₁-[𝕜]x₂]
h : x₁ ≠ x ∧ x₂ ≠ x

⊢ False
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α

⊢ s.WellFoundedOn r ↔ ∀ (f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r), ¬∀ (n : ℕ), f n ∈ s
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s t : Set α

⊢ Nonempty ((fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun a b => r a b ∧ a ∈ s ∧ b ∈ s) ↔ ∃ x, ∀ (n : ℕ), x n ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y✝ : (i : δ) → π i
i✝ i : δ
hi : i ∈ s
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x : (i : δ) → π i
y : π i

⊢ (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) (update x i y) = (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y✝ : (i : δ) → π i
i✝ i : δ
hi : i ∈ s
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x : (i : δ) → π i
y : π i

⊢ ∀ i_1 ∉ s, update x i y i_1 = x i_1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y✝ : (i : δ) → π i
i✝ i : δ
hi : i ∈ s
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x : (i : δ) → π i
y : π i
j : δ
hj : j ∉ s
this : j ≠ i

⊢ update x i y j = x j
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n : ℕ

⊢ (s.sym n).Nonempty ↔ n = 0 ∨ s.Nonempty
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
r : ℝ
hr : |r| < 1
h0 : ¬r = 0

⊢ Tendsto (fun n => ↑n ^ k * r ^ n) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
r : ℝ
hr : |r| < 1
h0 : ¬r = 0
hr' : 1 < |r|⁻¹

⊢ Tendsto (fun n => ↑n ^ k * r ^ n) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
r : ℝ
hr : |r| < 1
h0 : ¬r = 0
hr' : 1 < |r|⁻¹

⊢ Tendsto (fun x => ‖↑x ^ k * r ^ x‖) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Algebra/Group/Commute/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : DivisionMonoid G
a b c d : G
hab : Commute a b

⊢ (a * b)⁻¹ = a⁻¹ * b⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s

⊢ s.SSameSide x y ↔ x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s

⊢ x ∉ s → (y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₁ : P
h : p₁ ∈ s
hx : x ∉ s

⊢ y ∉ s ∧ (x ∈ s ∨ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)) ↔ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (y -ᵥ p₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type v
M₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f m : Dual R M₁

⊢ m ∈ range (dualMap f) ↔ m ∈ Submodule.span R {f}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
M₁ : Type v
M₂ : Type v'
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R M₂
f m : Dual R M₁

⊢ m ∈ range (dualMap f) ↔ ∃ a, a • f = m
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
x : Finset α
h0 : x.Nonempty

⊢ ∑ m ∈ x.powerset, (-1) ^ m.card = 0
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : ℤ
hb0 : 0 < b
h : a.natAbs.Coprime b.natAbs

⊢ ↑(↑a / ↑b).den = b
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
x : ℕ
h : p x

⊢ ∃ n, (∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card) ∧ nth p n = x
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
x : ℕ
h : p x
hf : (setOf p).Finite

⊢ ∃ n, (∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card) ∧ nth p n = x
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
x : ℕ
h : p x
hf : (setOf p).Infinite

⊢ ∃ n, (∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card) ∧ nth p n = x
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : NumDenSameDeg 𝒜 x
h : f.den = 0

⊢ mk f = 0
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : NumDenSameDeg 𝒜 x
h : f.den = 0
this : Subsingleton (HomogeneousLocalization 𝒜 x)

⊢ mk f = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
re✝¹ im✝¹ re✝ im✝ : ℤ

⊢ toComplex { re := re✝¹, im := im✝¹ } = toComplex { re := re✝, im := im✝ } ↔ { re := re✝¹, im := im✝¹ } = { re := re✝, im := im✝ }
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
a : Cauchy abs

⊢ (Real.neg { cauchy := a }).cauchy = -{ cauchy := a }.cauchy
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
ε : ℝ
pos : 0 < ε

⊢ ∃ p, ∀ x ∈ Set.Icc a b, |Polynomial.eval x p - f x| < ε
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b : ℝ
f : ℝ → ℝ
c : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
f' : C(↑(Set.Icc a b), ℝ) := { toFun := fun x => f ↑x, continuous_toFun := ⋯ }

⊢ ∃ p, ∀ x ∈ Set.Icc a b, |Polynomial.eval x p - f x| < ε
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b✝ : ℝ
f : ℝ → ℝ
c : ContinuousOn f (Set.Icc a b✝)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
f' : C(↑(Set.Icc a b✝), ℝ) := { toFun := fun x => f ↑x, continuous_toFun := ⋯ }
p : ℝ[X]
b : ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b✝) - f'‖ < ε

⊢ ∃ p, ∀ x ∈ Set.Icc a b✝, |Polynomial.eval x p - f x| < ε
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b✝ : ℝ
f : ℝ → ℝ
c : ContinuousOn f (Set.Icc a b✝)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
f' : C(↑(Set.Icc a b✝), ℝ) := { toFun := fun x => f ↑x, continuous_toFun := ⋯ }
p : ℝ[X]
b : ‖p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b✝) - f'‖ < ε

⊢ ∀ x ∈ Set.Icc a b✝, |Polynomial.eval x p - f x| < ε
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b✝ : ℝ
f : ℝ → ℝ
c : ContinuousOn f (Set.Icc a b✝)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
f' : C(↑(Set.Icc a b✝), ℝ) := { toFun := fun x => f ↑x, continuous_toFun := ⋯ }
p : ℝ[X]
b : ∀ (x : ↑(Set.Icc a b✝)), ‖(p.toContinuousMapOn (Set.Icc a b✝) - f') x‖ < ε

⊢ ∀ x ∈ Set.Icc a b✝, |Polynomial.eval x p - f x| < ε
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ord α
inst✝ : Ord β

⊢ compare = compareLex (compareOn fun x => x.fst) (compareOn fun x => x.snd)