ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularSheaves.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.360, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ D
X B : C
π : X ⟶ B
c : PullbackCone π π

⊢ P.map π.op ≫ P.map c.fst.op = P.map π.op ≫ P.map c.snd.op
-- Mathlib/Data/List/FinRange.lean
α : Type u
n : ℕ

⊢ map Fin.val (finRange n) = range n
-- Mathlib/Data/List/FinRange.lean
α : Type u
n : ℕ

⊢ map (fun a => a) (range n) = range n
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
x✝ : p ∣ a
b : α
hb : a = p * b
hb0 : b ≠ 0

⊢ p * b ~ᵤ (p ::ₘ factors b).prod
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a p : α
ha0 : a ≠ 0
hp : Irreducible p
x✝ : p ∣ a
b : α
hb : a = p * b
hb0 : b ≠ 0

⊢ p * b ~ᵤ p * (factors b).prod
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f g : Perm α
hf : f ∈ g.cycleFactorsFinset

⊢ f.cycleType ≤ g.cycleType
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f g : Perm α
hf : f ∈ g.cycleFactorsFinset
hf' : f.IsCycle ∧ ∀ a ∈ f.support, f a = g a

⊢ f.cycleType ≤ g.cycleType
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f g : Perm α
hf : f ∈ g.cycleFactorsFinset
hf' : f.IsCycle ∧ ∀ a ∈ f.support, f a = g a

⊢ Multiset.map (Finset.card ∘ support) {f}.val ≤ Multiset.map (Finset.card ∘ support) g.cycleFactorsFinset.val
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
f g : Perm α
hf : f ∈ g.cycleFactorsFinset
hf' : f.IsCycle ∧ ∀ a ∈ f.support, f a = g a

⊢ {f}.val ≤ g.cycleFactorsFinset.val
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a : α

⊢ {a}.ncard = 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : h.IsPreservedBy F

⊢ (h.map F).f' = F.map h.f'
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
f✝ : α → β
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace γ
inst✝¹ : CompleteSpace γ
inst✝ : T0Space γ
f : β → γ
g : α → β
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
a : α

⊢ (pkg'.extend f ∘ pkg.map pkg' g) (pkg.coe a) = pkg.extend (f ∘ g) (pkg.coe a)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion β
f✝ : α → β
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace γ
inst✝¹ : CompleteSpace γ
inst✝ : T0Space γ
f : β → γ
g : α → β
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g
a : α

⊢ f (g a) = (f ∘ g) a
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Separated.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
x✝² x✝¹ : Scheme
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹

⊢ IsSeparated x✝ ↔ MorphismProperty.diagonal (@IsClosedImmersion) x✝
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a b : α
s : Sym α n.succ

⊢ ∃ a s', s = a ::ₛ s'
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α n.succ
a : α
ha : a ∈ s

⊢ ∃ a s', s = a ::ₛ s'
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Inverses.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S.leftInv

⊢ ↑((S.leftInvEquiv hS) x) * ↑x = 1
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a : Ordinal.{u}
ha : 0 < a

⊢ ∀ (b : Ordinal.{u}), deriv (fun x => a * x) b = a ^ ω * b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a : Ordinal.{u}
ha : 0 < a

⊢ deriv (fun x => a * x) 0 = a ^ ω * 0 ∧ ∀ (a_1 : Ordinal.{u}), deriv (fun x => a * x) a_1 = a ^ ω * a_1 → deriv (fun x => a * x) (succ a_1) = a ^ ω * succ a_1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
c : E
hc : c ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hcs : Memℒp (↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0))) p μ

⊢ μ s < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
c : E
hc : c ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hcs : Memℒp (↑(piecewise s hs (const α c) (const α 0))) p μ
this : support ↑(const α c) = Set.univ

⊢ μ s < ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/KummerDedekind.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
p : R
z : S
hp : p ∈ comap (algebraMap R S) (conductor R x)
hz' : z ∈ Ideal.map (algebraMap R S) I

⊢ (algebraMap R S) p * z ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)
-- Mathlib/NumberTheory/KummerDedekind.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
p : R
z : S
hp : p ∈ comap (algebraMap R S) (conductor R x)
hz' : ∃ l ∈ Finsupp.supported S S ↑I, (Finsupp.total R S S ⇑(algebraMap R S)) l = z

⊢ (algebraMap R S) p * z ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)
-- Mathlib/NumberTheory/KummerDedekind.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
p : R
z : S
hp : p ∈ comap (algebraMap R S) (conductor R x)
l : R →₀ S
H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I
H' : (Finsupp.total R S S ⇑(algebraMap R S)) l = z

⊢ (algebraMap R S) p * z ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)
-- Mathlib/NumberTheory/KummerDedekind.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
p : R
z : S
hp : p ∈ comap (algebraMap R S) (conductor R x)
l : R →₀ S
H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I
H' : (l.sum fun i a => a • (algebraMap R S) i) = z

⊢ (algebraMap R S) p * z ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)
-- Mathlib/NumberTheory/KummerDedekind.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
p : R
z : S
hp : p ∈ comap (algebraMap R S) (conductor R x)
l : R →₀ S
H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I
H' : (l.sum fun i a => a • (algebraMap R S) i) = z

⊢ (l.sum fun a c => c • (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) p) ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)
-- Mathlib/NumberTheory/KummerDedekind.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
p : R
z : S
hp : p ∈ comap (algebraMap R S) (conductor R x)
l : R →₀ S
H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I
H' : (l.sum fun i a => a • (algebraMap R S) i) = z
lem : ∀ {a : R}, a ∈ I → l a • (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) p ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)

⊢ (l.sum fun a c => c • (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) p) ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)
-- Mathlib/NumberTheory/KummerDedekind.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
p : R
z : S
hp : p ∈ comap (algebraMap R S) (conductor R x)
l : R →₀ S
H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I
H' : (l.sum fun i a => a • (algebraMap R S) i) = z
lem : ∀ {a : R}, a ∈ I → l a • (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) p ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)
a b : S

⊢ (fun u => u ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)) a → (fun u => u ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)) b → (fun u => u ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)) (a + b)
-- Mathlib/NumberTheory/KummerDedekind.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
p : R
z : S
hp : p ∈ comap (algebraMap R S) (conductor R x)
l : R →₀ S
H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I
H' : (l.sum fun i a => a • (algebraMap R S) i) = z
lem : ∀ {a : R}, a ∈ I → l a • (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) p ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)

⊢ (fun u => u ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)) 0
-- Mathlib/NumberTheory/KummerDedekind.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
I : Ideal R
p : R
z : S
hp : p ∈ comap (algebraMap R S) (conductor R x)
l : R →₀ S
H : l ∈ Finsupp.supported S S ↑I
H' : (l.sum fun i a => a • (algebraMap R S) i) = z
lem : ∀ {a : R}, a ∈ I → l a • (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) p ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)

⊢ ∀ x_1 ∈ l.support, (fun u => u ∈ ⇑(algebraMap (↥(adjoin R {x})) S) '' ↑(Ideal.map (algebraMap R ↥(adjoin R {x})) I)) ((fun a c => c • (algebraMap R S) a * (algebraMap R S) p) x_1 (l x_1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ
hp : 0 < p

⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ c • (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ
hp : 0 < p

⊢ ((∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p ≤ ↑c ^ p * ((∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ p ∂μ) ^ (1 / p)) ^ p
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ
hp : 0 < p

⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(‖f a‖₊ ^ p) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ↑(c ^ p * ‖g a‖₊ ^ p) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ
hp : 0 < p

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑(‖f a‖₊ ^ p) ≤ ↑(c ^ p * ‖g a‖₊ ^ p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖₊ ≤ c * ‖g x‖₊
p : ℝ
hp : 0 < p

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖₊ ≤ c * ‖g a‖₊
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s : Set α
inst✝ : TopologicalSpace α

⊢ DiscreteTopology α ↔ ∀ (x : α), 𝓝[≠] x = ⊥
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : G.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel (G.map f)
Z : C
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = 0

⊢ G.map f ≫ G.map h = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : G.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : HasCokernel (G.map f)
Z : C
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = 0

⊢ coequalizer.π (G.map f) 0 ≫ cokernelComparison f G ≫ G.map (cokernel.desc f h w) = coequalizer.π (G.map f) 0 ≫ cokernel.desc (G.map f) (G.map h) ⋯
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀

⊢ a * b = b ↔ a * b = 1 * b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ

⊢ coeff 1 n = if n = 0 then 1 else 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ

⊢ coeff 1 n = if 0 = n then 1 else 0
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ s : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b

⊢ IsOpen s ↔ ∀ a ∈ s, ∃ t ∈ b, a ∈ t ∧ t ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ t₃ : TopologicalSpace β

⊢ Continuous f ↔ Continuous f ∧ Continuous f
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
this : (a + b) % c = (a % c + b % c) % c
hc0 : c = 0

⊢ ((a + b) % c + if c ≤ a % c + b % c then c else 0) = a % c + b % c
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α

⊢ a * b⁻¹ ≤ c ↔ a ≤ b * c
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame

⊢ x ⧏ y ↔ x < y ∨ x ‖ y
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame

⊢ ¬y ≤ x ↔ x ≤ y ∧ ¬y ≤ x ∨ ¬y ≤ x ∧ ¬x ≤ y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
x : E

⊢ Tendsto (fun a => ‖a‖) (𝓝 x) (𝓝 ‖x‖)
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A

⊢ Disjoint (LinearMap.range (ι R)) 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A

⊢ ∀ x ∈ LinearMap.range (ι R), x ∈ 1 → x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : M
r : R
hx : (ι R) x = (algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) r

⊢ (algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) r = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : M
r : R
hx : x = 0 ∧ r = 0

⊢ (algebraMap R (ExteriorAlgebra R M)) r = 0
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R
g : Γ₀
hx : v x ≤ g
hy : v y ≤ g

⊢ v (x - y) ≤ g
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x✝ y✝ z x y : R
g : Γ₀
hx : v x ≤ g
hy : v y ≤ g

⊢ v (x + -y) ≤ g
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
hs : IsOpen s

⊢ mk ⁻¹' (mk '' s) = s
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
hs : IsOpen s

⊢ mk ⁻¹' (mk '' s) ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
hs : IsOpen s
x y : X
hys : y ∈ s
hxy : mk y = mk x

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : IntermediateField F K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F ↥S
inst✝ : IsPurelyInseparable F E

⊢ sepDegree E ↥(adjoin E ↑S) = sepDegree F ↥S
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : IntermediateField F K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F ↥S
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
this : Algebra.IsAlgebraic F ↥(adjoin F ↑S)

⊢ sepDegree E ↥(adjoin E ↑S) = sepDegree F ↥S
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : IntermediateField F K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F ↥S
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
this✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥(adjoin F ↑S)
this : sepDegree E ↥(adjoin E ↑S) = sepDegree F ↥(adjoin F ↑S)

⊢ sepDegree E ↥(adjoin E ↑S) = sepDegree F ↥S
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

⊢ (ρ_ X).inv ≫ (β_ X (𝟙_ C)).hom = (λ_ X).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

⊢ ((ρ_ X).inv ≫ (β_ X (𝟙_ C)).hom) ≫ (λ_ X).hom = (λ_ X).inv ≫ (λ_ X).hom
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
h : M.Indep (insert e I)

⊢ M.Basis (insert e I) (insert e X)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
h : M.Indep (I ∪ {e})

⊢ M.Basis (I ∪ {e}) (X ∪ {e})
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
x₀ : E

⊢ ‖x₀‖ ^ k * ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k 0) f
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
k : ℕ
x₀ : E
this : ‖x₀‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ 0 (⇑f) x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k 0) f

⊢ ‖x₀‖ ^ k * ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 k 0) f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
xs : List α
α✝ : Sort u_2
f : Nat → α → α✝ → α✝
i : α✝
s : Nat

⊢ foldrIdx f i xs s = foldrIdx (fun i => f (i + s)) i xs
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Internal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι

⊢ ↑((r * r') n) = DFinsupp.sum r fun i ri => DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Internal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι

⊢ ↑((DFinsupp.sum r fun i ai => DFinsupp.sum r' fun j aj => (of (fun i => ↥(A i)) (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)) n) = DFinsupp.sum r fun i ri => DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Internal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : SetLike σ R
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝ : (i : ι) → (x : ↥(A i)) → Decidable (x ≠ 0)
r r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n x✝¹ x✝ : ι

⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) (x✝¹ + x✝)) (GradedMonoid.GMul.mul (r x✝¹) (r' x✝))) n) = (fun j rj => if x✝¹ + j = n then ↑(r x✝¹) * ↑rj else 0) x✝ (r' x✝)
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
xD : x ∈ D

⊢ oscillationWithin f D x = 0 ↔ ContinuousWithinAt f D x
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
xD : x ∈ D
hf : oscillationWithin f D x = 0
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε > 0

⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[D] x, edist (f x_1) (f x) < ε
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
xD : x ∈ D
hf : oscillationWithin f D x = 0
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ Filter.map f (𝓝[D] x)), diam i < ε

⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[D] x, edist (f x_1) (f x) < ε
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
xD : x ∈ D
hf : oscillationWithin f D x = 0
ε : ℝ≥0∞
S : Set F
hS : S ∈ Filter.map f (𝓝[D] x)
Sε : diam S < ε

⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[D] x, edist (f x_1) (f x) < ε
-- Mathlib/Analysis/Oscillation.lean
E : Type u
F : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace F
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E → F
D : Set E
x : E
xD : x ∈ D
hf : oscillationWithin f D x = 0
ε : ℝ≥0∞
S : Set F
hS : S ∈ Filter.map f (𝓝[D] x)
Sε : diam S < ε
y : E
hy : y ∈ f ⁻¹' S

⊢ edist (f y) (f x) ≤ diam S
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
h : J ≤ I

⊢ (single I J h).iUnion = ↑J
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set ι
hs : s.Finite
f : ι → Set X
h : ∀ i ∈ s, IsGδ (f i)

⊢ IsGδ (⋃ i ∈ s, f i)
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set ι
hs : s.Finite
f : ι → Set X
h : ∀ i ∈ s, IsGδ (f i)

⊢ IsGδ (⋃₀ (f '' s))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hfδ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε