ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
ι : Type u_5
f : ι → α → F'
hf : ∀ i ∈ ∅, Integrable (f i) μ

⊢ μ[∑ i ∈ ∅, f i|m] =ᶠ[ae μ] ∑ i ∈ ∅, μ[f i|m]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s✝ : Set α
ι : Type u_5
f : ι → α → F'
i : ι
s : Finset ι
his : i ∉ s
heq : (∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → μ[∑ i ∈ s, f i|m] =ᶠ[ae μ] ∑ i ∈ s, μ[f i|m]
hf : ∀ i_1 ∈ insert i s, Integrable (f i_1) μ

⊢ μ[∑ i ∈ insert i s, f i|m] =ᶠ[ae μ] ∑ i ∈ insert i s, μ[f i|m]
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x

⊢ Injective ⇑(Minpoly.toAdjoin R x)
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
P₁ : AdjoinRoot (minpoly R x)
hP₁ : (Minpoly.toAdjoin R x) P₁ = 0

⊢ P₁ = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
x : S
hx : IsIntegral R x
P : R[X]
hP₁ : (Minpoly.toAdjoin R x) ((AdjoinRoot.mk (minpoly R x)) P) = 0

⊢ (AdjoinRoot.mk (minpoly R x)) P = 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0
hc' : c ≠ ⊤

⊢ c * a / (c * b) = a / b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ≥0∞

⊢ x.toReal = y.toReal ↔ x = y ∨ x = 0 ∧ y = ⊤ ∨ x = ⊤ ∧ y = 0
-- Mathlib/Dynamics/BirkhoffSum/NormedSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
n : ℕ
x : α

⊢ dist (birkhoffAverage 𝕜 f g n (f x)) (birkhoffAverage 𝕜 f g n x) = dist (g (f^[n] x)) (g x) / ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
f : k →+* K
w : InfinitePlace K
hφ : w.IsReal

⊢ (w.comap f).IsReal
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
f : k →+* K
w : InfinitePlace K
hφ : w.IsReal

⊢ ComplexEmbedding.IsReal (w.embedding.comp f)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
f : k →+* K
w : InfinitePlace K
hφ : ComplexEmbedding.IsReal w.embedding

⊢ ComplexEmbedding.IsReal (w.embedding.comp f)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
o : Ordinal.{u_1}

⊢ (nim o).RightMoves = (Quotient.out o).α
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
o : Ordinal.{u_1}

⊢ (mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).RightMoves = (Quotient.out o).α
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
inst✝ : NormedSpace ℂ E
hf : TorusIntegrable f c R

⊢ IntegrableOn (fun θ => (∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(θ i) * I) * I) • f (torusMap c R θ)) (Icc 0 fun x => 2 * π) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
inst✝ : NormedSpace ℂ E
hf : TorusIntegrable f c R

⊢ AEStronglyMeasurable (fun θ => (∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(θ i) * I) * I) • f (torusMap c R θ)) (volume.restrict (Icc 0 fun x => 2 * π))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
inst✝ : NormedSpace ℂ E
hf : TorusIntegrable f c R

⊢ ∀ᵐ (a : Fin n → ℝ) ∂volume.restrict (Icc 0 fun x => 2 * π), ‖(∏ i : Fin n, ↑(R i) * cexp (↑(a i) * I) * I) • f (torusMap c R a)‖ ≤ (∏ i : Fin n, |R i|) * ‖f (torusMap c R a)‖
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R

⊢ x.leadingCoeff = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R

⊢ x.leadingCoeff = 0 → x = 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R

⊢ x ≠ 0 → x.leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ IsClosed (range down)
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
s : Set β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
v : β → α

⊢ ((blimsup (s.piecewise u v) f fun x => x ∈ s) ⊔ blimsup (s.piecewise u v) f fun x => x ∉ s) = (blimsup u f fun x => x ∈ s) ⊔ blimsup v f fun x => x ∉ s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

⊢ W.Equation x y ↔ (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine.Equation 0 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

⊢ -(y ^ 2 + W.a₁ * x * y + W.a₃ * y - (x ^ 3 + W.a₂ * x ^ 2 + W.a₄ * x + W.a₆)) = 0 ↔ 1 ^ 6 * (W.a₆ + { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r * W.a₄ + { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r ^ 2 * W.a₂ + { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r ^ 3 - { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t * W.a₃ - { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t ^ 2 - { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.r * { u := 1, r := x, s := 0, t := y }.t * W.a₁) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C

⊢ ∅ ∉ hC.diffFinset₀ hs hI
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hm : p.Monic
hnd : p.natDegree = 2

⊢ ¬Irreducible p ↔ ∃ c₁ c₂, p.coeff 0 = c₁ * c₂ ∧ p.coeff 1 = c₁ + c₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hm : p.Monic
hnd : p.natDegree = 2
h✝ : Subsingleton R

⊢ ¬Irreducible p ↔ ∃ c₁ c₂, p.coeff 0 = c₁ * c₂ ∧ p.coeff 1 = c₁ + c₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hm : p.Monic
hnd : p.natDegree = 2
h✝ : Nontrivial R

⊢ ¬Irreducible p ↔ ∃ c₁ c₂, p.coeff 0 = c₁ * c₂ ∧ p.coeff 1 = c₁ + c₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hm : p.Monic
hnd : p.natDegree = 2
h✝ : Nontrivial R

⊢ (¬∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → g.natDegree ∉ Ioc 0 (2 / 2)) ↔ ∃ c₁ c₂, p.coeff 0 = c₁ * c₂ ∧ p.coeff 1 = c₁ + c₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hm : p.Monic
hnd : p.natDegree = 2
h✝ : Nontrivial R

⊢ p ≠ 1
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ
a : α
l l' : List α
h : l' ∈ sublistsLen (n + 1) (a :: l)

⊢ l'.length = n + 1
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ
a : α
l l' : List α
h : l' ∈ sublistsLen (n + 1) l ∨ ∃ a_1 ∈ sublistsLen n l, a :: a_1 = l'

⊢ l'.length = n + 1
-- Mathlib/Algebra/Star/CentroidHom.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : StarRing α
z : ↥(NonUnitalStarSubsemiring.center α)
a : α

⊢ ↑(star (centerToCentroidCenter z)) a = ↑(centerToCentroidCenter (star z)) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M : ℝ := sSup {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M : ℝ := sSup {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
zero_mem : 0 ∈ {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M : ℝ := sSup {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
zero_mem : 0 ∈ {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M_nonneg : 0 ≤ M

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M : ℝ := sSup {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
zero_mem : 0 ∈ {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M_nonneg : 0 ≤ M
hgM : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 M))] 0

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M : ℝ := sSup {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
zero_mem : 0 ∈ {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M_nonneg : 0 ≤ M
hgM : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 M))] 0
ν : Measure α := μ.restrict {a | M < f a}
this : SigmaFinite ν

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M : ℝ := sSup {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
zero_mem : 0 ∈ {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M_nonneg : 0 ≤ M
hgM : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 M))] 0
ν : Measure α := μ.restrict {a | M < f a}
this : SigmaFinite ν
A : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂ν

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M : ℝ := sSup {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
zero_mem : 0 ∈ {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M_nonneg : 0 ≤ M
hgM : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 M))] 0
ν : Measure α := μ.restrict {a | M < f a}
this : SigmaFinite ν
A : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂ν
B : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, ν {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ f
f_mble : Measurable f
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
g_mble : Measurable g
g_nn : ∀ t > 0, 0 ≤ g t
f_nonneg : ∀ (ω : α), 0 ≤ f ω
H1 : ¬g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] 0
H2 : ∀ s > 0, 0 < ∫ (t : ℝ) in 0 ..s, g t → μ {a | s < f a} ≠ ⊤
M_bdd : BddAbove {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M : ℝ := sSup {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
zero_mem : 0 ∈ {s | g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 s))] 0}
M_nonneg : 0 ≤ M
hgM : g =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 M))] 0
ν : Measure α := μ.restrict {a | M < f a}
this : SigmaFinite ν
A : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂ν
B : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t) = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, ν {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂ν = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, ν {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
m : ℕ

⊢ W.ΨSq (2 * (↑m + 3)) = (W.preΨ' (m + 2) ^ 2 * W.preΨ' (m + 3) * W.preΨ' (m + 5) - W.preΨ' (m + 1) * W.preΨ' (m + 3) * W.preΨ' (m + 4) ^ 2) ^ 2 * W.Ψ₂Sq
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/IsIntegral.lean
R : Type u
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ ((cyclotomic p ℤ).comp (X + 1)).IsEisensteinAt (Submodule.span ℤ {↑p})
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/IsIntegral.lean
R : Type u
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ ((cyclotomic p ℤ).comp (X + 1)).Monic
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/IsIntegral.lean
R : Type u
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
i : ℕ
hi : i < ((cyclotomic p ℤ).comp (X + 1)).natDegree

⊢ ((cyclotomic p ℤ).comp (X + 1)).coeff i ∈ Submodule.span ℤ {↑p}
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/IsIntegral.lean
R : Type u
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ ((cyclotomic p ℤ).comp (X + 1)).coeff 0 ∉ Submodule.span ℤ {↑p} ^ 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : Fin n → ℂ
R θ : Fin n → ℝ

⊢ torusMap c R θ = c ↔ R = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle

⊢ ∃ p, 0 < p ∧ oddKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
b : ℝ

⊢ ∃ p, 0 < p ∧ oddKernel ↑b =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
b p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_int 1 ↑b =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)

⊢ ∃ p, 0 < p ∧ oddKernel ↑b =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
b p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_int 1 ↑b =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)

⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖oddKernel (↑b) x‖ ≤ HurwitzKernelBounds.F_int 1 (↑b) x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
b p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : HurwitzKernelBounds.F_int 1 ↑b =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ ‖oddKernel (↑b) t‖ ≤ HurwitzKernelBounds.F_int 1 (↑b) t
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ
this : ↑z1 = ↑z2 ↔ z1 = z2

⊢ ↑z1 = ↑z2 ↔ ↑z1 = ↑z2
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℤ

⊢ ↑z1 = ↑z2 ↔ z1 = z2
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x y : K

⊢ spanSingleton R₁⁰ x / spanSingleton R₁⁰ y = spanSingleton R₁⁰ (x / y)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
h : ∀ (t : ℝ), IsIntegralCurveAt γ v t
t : ℝ

⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s✝ s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
h✝ : ∀ (t : ℝ), IsIntegralCurveAt γ v t
t : ℝ
s : Set ℝ
hs : s ∈ 𝓝 t
h : IsIntegralCurveOn γ v s

⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I γ t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ t)))
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
I : Ideal S
hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P

⊢ ∃ Q ≥ I, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
I : Ideal S
hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P
P' : Ideal S
hP : P' ≥ I
hP' : P'.IsPrime
hP'' : comap (algebraMap R S) P' ≤ P

⊢ ∃ Q ≥ I, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra.IsIntegral R S
P : Ideal R
inst✝ : P.IsPrime
I : Ideal S
hIP : comap (algebraMap R S) I ≤ P
P' : Ideal S
hP : P' ≥ I
hP' : P'.IsPrime
hP'' : comap (algebraMap R S) P' ≤ P
Q : Ideal S
hQ : Q ≥ P'
hQ' : Q.IsPrime
hQ'' : comap (algebraMap R S) Q = P

⊢ ∃ Q ≥ I, Q.IsPrime ∧ comap (algebraMap R S) Q = P
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Infinite α
n : ℕ

⊢ (map (natEmbedding α) (range n)).card = n
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]

⊢ star a * a = ↑(normSq a)
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
h : a ∈ s
hba : b * a ∈ s

⊢ b ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
ι : Type u_7
m : ι → Measure α
μ : Measure β
inst✝ : SFinite μ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

⊢ ((sum m).prod μ) s = (sum fun i => (m i).prod μ) s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j

⊢ (∑ σ : Perm.ModSumCongr ιa ιb, domCoprod.summand a b σ) v = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂
v : ιa ⊕ ιb → Mᵢ
i j : ιa ⊕ ιb
hv : v i = v j
hij : i ≠ j

⊢ ∑ a_1 : Perm.ModSumCongr ιa ιb, (domCoprod.summand a b a_1) v = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x * f x ∂ν = ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ