ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
h : ∀ (S : Finset ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ S, s i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (s i)
S : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ S, f i ∈ (fun i => {s i}) i

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ S, f i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (f i)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
h : ∀ (S : Finset ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ S, s i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (s i)
S : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ S, f i ∈ (fun i => {s i}) i
a : α
ha : (κ a) (⋂ i ∈ S, s i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (s i)

⊢ (κ a) (⋂ i ∈ S, f i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (f i)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
h : ∀ (S : Finset ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i ∈ S, s i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (s i)
S : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ S, f i ∈ (fun i => {s i}) i
a : α
ha : (κ a) (⋂ i ∈ S, s i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (s i)
this : ∀ i ∈ S, (κ a) (f i) = (κ a) (s i)

⊢ (κ a) (⋂ i ∈ S, f i) = ∏ i ∈ S, (κ a) (f i)
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ
hn : IsPrimePow n
hn' : ¬Nat.Prime n

⊢ μ n = 0
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : 0 < k
hn : IsPrimePow (p ^ k)
hn' : ¬Nat.Prime (p ^ k)

⊢ μ (p ^ k) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
p k : ℕ
hp : Nat.Prime p
hk : 0 < k
hn : IsPrimePow (p ^ k)
hn' : ¬Nat.Prime (p ^ k)

⊢ ¬k = 1
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z : ℂ

⊢ abs z = √(z.re ^ 2 + z.im ^ 2)
-- Mathlib/Data/PNat/Interval.lean
a b : ℕ+

⊢ (uIcc a b).card = (↑↑b - ↑↑a).natAbs + 1
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²⁵ : RCLike 𝕜
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace F'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F''
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝¹⁰ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁹ : AddGroup G
inst✝⁸ : SFinite μ
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝⁵ : MeasurableAdd₂ G
inst✝⁴ : MeasurableNeg G
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ

⊢ ∫ (x : G), (f ⋆[L, ν] g) x ∂μ = (L (∫ (x : G), f x ∂ν)) (∫ (x : G), g x ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²⁵ : RCLike 𝕜
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace F'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F''
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝¹⁰ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁹ : AddGroup G
inst✝⁸ : SFinite μ
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝⁵ : MeasurableAdd₂ G
inst✝⁴ : MeasurableNeg G
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ

⊢ ∫ (y : G), ∫ (x : G), (L (f y)) (g (x - y)) ∂μ ∂ν = (L (∫ (x : G), f x ∂ν)) (∫ (x : G), g x ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝²⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²⁶ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝²⁵ : RCLike 𝕜
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝²¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace F'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F''
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F''
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F''
inst✝¹⁰ : CompleteSpace F''
k : G → E''
L₂ : F →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F'
L₃ : E →L[𝕜] F'' →L[𝕜] F'
L₄ : E' →L[𝕜] E'' →L[𝕜] F''
inst✝⁹ : AddGroup G
inst✝⁸ : SFinite μ
inst✝⁷ : SFinite ν
inst✝⁶ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝⁵ : MeasurableAdd₂ G
inst✝⁴ : MeasurableNeg G
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace E'
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ

⊢ ∫ (y : G), (L (f y)) (∫ (x : G), g x ∂μ) ∂ν = (L (∫ (x : G), f x ∂ν)) (∫ (x : G), g x ∂μ)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : -(star c * c) = a_neg ^ 3
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x

⊢ ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : -(star c * c) = a_neg ^ 3
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : star c * c + c * star c = 2 • (↑(ℜ c) * ↑(ℜ c) + ↑(ℑ c) * ↑(ℑ c))

⊢ ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : -(star c * c) = a_neg ^ 3
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)

⊢ ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : -(star c * c) = a_neg ^ 3
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal

⊢ ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : -(star c * c) = a_neg ^ 3
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal

⊢ ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : 0 = a_neg ^ 3
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal

⊢ ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : 0 = cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a ^ 3
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal

⊢ ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : cfc 0 a = cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x ^ 3) a
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal

⊢ ∀ x ∈ σ ℝ a, 0 ≤ x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : cfc 0 a = cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x ^ 3) a
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ a

⊢ 0 ≤ x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : cfc 0 a = cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x ^ 3) a
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ a
hx' : x < 0

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : cfc 0 a = cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x ^ 3) a
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ a
hx' : 0 < -x

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : cfc 0 a = cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x ^ 3) a
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ a
hx' : 0 < -x

⊢ 0 = (-x) ^ 3
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
b : A
a : A := star b * b
a_def : a = star b * b
a_neg : A := cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x) a
c : A := b * a_neg
h_eq_a_neg : cfc 0 a = cfc (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x ^ 3) a
h_c_spec₀ : SpectrumRestricts (-(star c * c)) fun x => ContinuousMap.realToNNReal x
c_eq : c * star c = 2 • (↑(ℜ c) ^ 2 + ↑(ℑ c) ^ 2) + -(star c * c)
h_c_spec₁ : SpectrumRestricts (c * star c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
h_c_spec₂ : SpectrumRestricts (star c * c) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
x : ℝ
hx : x ∈ σ ℝ a
hx' : 0 < -x
h_eqOn : Set.EqOn 0 (fun x => (-ContinuousMap.id ℝ ⊔ 0) x ^ 3) (σ ℝ a)

⊢ 0 = (-x) ^ 3
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ

⊢ a / 2 < a ↔ 0 < a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit

⊢ IsPushout b.inl 0 b.snd 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit

⊢ IsPushout 0 b.inl 0 b.snd
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
b : BinaryBicone X Y
h : b.IsBilimit

⊢ IsPushout (0 ≫ 0) 0 0 (b.inr ≫ b.snd)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
p✝ : α → Bool
b : α
l✝ : List α
p : α → Bool
l : List α
n : Nat

⊢ findIdx.go p l (n + 1) = findIdx.go p l n + 1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* S
g : σ → S
r : R

⊢ ((eval₂Hom f g).comp C) r = f r
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atBot

⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atBot ↔ 0 < r
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }

⊢ ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ i, (isFractionPrelocal 𝒜).pred fun x => (a * b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }
y : ↥(Va ⊓ Vb)

⊢ (fun x => (a * b) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) y = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja + jb, num := ⟨ra * rb, ⋯⟩, den := ⟨sa * sb, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a b : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
hb : (isLocallyFraction 𝒜).pred b
x : ↥(unop U)
Va : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
ma : ↑x ∈ Va
ia : Va ⟶ unop U
ja : ℕ
ra : A
ra_mem : ra ∈ 𝒜 ja
sa : A
sa_mem : sa ∈ 𝒜 ja
hwa : ∀ (x : ↥Va), ↑⟨sa, sa_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wa : ∀ (x : ↥Va), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := ja, num := ⟨ra, ra_mem⟩, den := ⟨sa, sa_mem⟩, den_mem := ⋯ }
Vb : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
mb : ↑x ∈ Vb
ib : Vb ⟶ unop U
jb : ℕ
rb : A
rb_mem : rb ∈ 𝒜 jb
sb : A
sb_mem : sb ∈ 𝒜 jb
hwb : ∀ (x : ↥Vb), ↑⟨sb, sb_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
wb : ∀ (x : ↥Vb), (fun x => b ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := jb, num := ⟨rb, rb_mem⟩, den := ⟨sb, sb_mem⟩, den_mem := ⋯ }
y : ↥(Va ⊓ Vb)

⊢ Localization.mk (ra * rb) (⟨sa, ⋯⟩ * ⟨sb, ⋯⟩) = Localization.mk (ra * rb) ⟨sa * sb, ⋯⟩
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R

⊢ IsFiniteAdele 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R

⊢ {x | 0 x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
h_empty : {v | 0 ∉ adicCompletionIntegers K v} = ∅

⊢ {x | 0 x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ = ‖⟪y, x⟫_𝕜‖
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FinallySmall.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J

⊢ InitiallySmall J ↔ ∃ s, ∃ (_ : Small.{v, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FinallySmall.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∃ s, ∃ (_ : Small.{v, u} ↑s), ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)

⊢ InitiallySmall J
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FinallySmall.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
s : Set J
hs : Small.{v, u} ↑s
hs' : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)

⊢ InitiallySmall J
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s₁ s₂ : CompositionSeries X
h : s₁.Equivalent s₂

⊢ s₁.length = s₂.length
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x✝ : M
f : M → M'
g : M → M''
x : M
hf : MDifferentiableAt I I' f x
hg : MDifferentiableAt I I'' g x

⊢ mfderiv I (I'.prod I'') (fun x => (f x, g x)) x = (mfderiv I I' f x).prod (mfderiv I I'' g x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
c : 𝕜

⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f (c • f') x (c • v)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' univ x v

⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (c • f') univ x (c • v)
-- Mathlib/Data/Multiset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α

⊢ count a s ≤ count a (fold max 0 (map (fun a => count a s) s) • s.dedup)
-- Mathlib/Data/Multiset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α

⊢ count a s ≤ fold max 0 (map (fun a => count a s) s) * count a s.dedup
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G

⊢ H.relindex ⊤ = H.index
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
w : InfinitePlace K
h₁ : x ≠ 0
h₂ : ∀ ⦃w' : InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1
h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1

⊢ Algebra.adjoin ℚ {↑x} = ⊤