ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Floor.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedRing R
inst✝⁴ : FloorRing R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : OpensMeasurableSpace R
x : R

⊢ MeasurableSet (ceil ⁻¹' {⌈x⌉})
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
v : V

⊢ (toBaseChange A Q) ((ofBaseChange A Q) (1 ⊗ₜ[R] (ι Q) v)) = 1 ⊗ₜ[R] (ι Q) v
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
N : ℕ

⊢ N.smoothNumbersᶜ \ {0} ⊆ {n | N ≤ n}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
hge : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β), f b ∂ν
-- Mathlib/LinearAlgebra/Isomorphisms.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M
x : ↥(p ⊔ p')

⊢ Submodule.Quotient.mk x = (quotientInfEquivSupQuotient p p') 0 ↔ ↑x ∈ p'
-- Mathlib/RingTheory/Localization/FractionRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : IsDomain A
K : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0

⊢ x * IsFractionRing.inv A x = 1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/FractionRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : IsDomain A
K : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0

⊢ x * (mk' K ↑(sec (nonZeroDivisors A) x).2 ⟨(sec (nonZeroDivisors A) x).1, ⋯⟩ * (algebraMap A K) ↑⟨(sec (nonZeroDivisors A) x).1, ⋯⟩) = (algebraMap A K) ↑⟨(sec (nonZeroDivisors A) x).1, ⋯⟩
-- Mathlib/RingTheory/Localization/FractionRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : IsDomain A
K : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
hx : x ≠ 0

⊢ x = mk' K (↑⟨(sec (nonZeroDivisors A) x).1, ⋯⟩) (sec (nonZeroDivisors A) x).2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/EuclideanDist.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E

⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun r => 0 < r) (closedBall x)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/EuclideanDist.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E

⊢ (Filter.comap (⇑toEuclidean.toHomeomorph) (𝓝 (toEuclidean.toHomeomorph x))).HasBasis (fun r => 0 < r) (closedBall x)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Semiring T
g : S →+* T
x : T

⊢ eval₂ g x (map f p) = eval₂ (g.comp f) x p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ (o.oangle x (x + y)).tan * ‖x‖ = ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1

⊢ (o.oangle x (x + y)).tan * ‖x‖ = ‖y‖
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : ↥M
c : R

⊢ mk a b + mk c b = mk (a + c) b
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : ↥M
c : R

⊢ (r' M) (↑b * c + ↑b * a, b * b) (a + c, b)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : ↥M
c : R

⊢ ↑1 * (↑(↑b * c + ↑b * a, b * b).2 * (a + c, b).1) = ↑1 * (↑(a + c, b).2 * (↑b * c + ↑b * a, b * b).1)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : ↥M
c : R

⊢ 1 * (↑b * ↑b * (a + c)) = 1 * (↑b * (↑b * c + ↑b * a))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞

⊢ ContMDiff I I' n f ↔ Continuous f ∧ ∀ (x : M) (y : M'), ContDiffOn 𝕜 n (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Integral.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
one_lt_p : -1 < p - 1

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Integral.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
one_lt_p : -1 < p - 1
obs : ∀ (x : ℝ), ∫ (t : ℝ) in 0 ..x, t ^ (p - 1) = x ^ p / p

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Integral.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
one_lt_p : -1 < p - 1
g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)
obs : ∀ (x : ℝ), intervalIntegral g 0 x volume = x ^ p / p

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Integral.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
one_lt_p : -1 < p - 1
g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)
obs : ∀ (x : ℝ), intervalIntegral g 0 x volume = x ^ p / p
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Integral.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
one_lt_p : -1 < p - 1
g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)
obs : ∀ (x : ℝ), intervalIntegral g 0 x volume = x ^ p / p
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Integral.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
one_lt_p : -1 < p - 1
g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)
obs : ∀ (x : ℝ), intervalIntegral g 0 x volume = x ^ p / p
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ENNReal.ofReal p * ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (t ^ (p - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Integral.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
one_lt_p : -1 < p - 1
g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)
obs : ∀ (x : ℝ), intervalIntegral g 0 x volume = x ^ p / p
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω ^ p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal p * ENNReal.ofReal (f a ^ p / p) ∂μ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Integral.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
p : ℝ
p_pos : 0 < p
one_lt_p : -1 < p - 1
g : ℝ → ℝ := fun t => t ^ (p - 1)
obs : ∀ (x : ℝ), intervalIntegral g 0 x volume = x ^ p / p
g_nn : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂volume.restrict (Ioi 0), 0 ≤ g t
g_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable g volume 0 t
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, g t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (g t)

⊢ AEMeasurable (fun ω => ENNReal.ofReal (f ω ^ p / p)) μ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ im ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x - I • y‖ * ‖x - I • y‖ - ‖x + I • y‖ * ‖x + I • y‖) / 4
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ im ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x‖ * ‖x‖ - 2 * -im ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖I • y‖ * ‖I • y‖ - (‖x‖ * ‖x‖ + 2 * -im ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖I • y‖ * ‖I • y‖)) / 4
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
p : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hpU : p ∈ U.carrier

⊢ p ∈ ⇑(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ⁻¹' U.carrier
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

⊢ comap (RingHom.id R) U U ⋯ = RingHom.id ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)

⊢ eqToHom ⋯ = RingHom.id ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
s : Set ι

⊢ span 𝕜 (gramSchmidtNormed 𝕜 f '' s) = span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 f '' s)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ gramSchmidt 𝕜 f i ∈ span 𝕜 (gramSchmidtNormed 𝕜 f '' ↑{i})
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
s : Set ι
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ gramSchmidt 𝕜 f i ∈ span 𝕜 {gramSchmidtNormed 𝕜 f i}
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H✝ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
H : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : CommSemiring k
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra k A
inst✝³ : AddMonoid G
inst✝² : AddMonoid H
inst✝¹ : FunLike F G H
inst✝ : AddMonoidHomClass F G H
f : F
r : k

⊢ mapDomain (⇑f) ((algebraMap k A[G]) r) = (algebraMap k A[H]) r
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
ι' : Type u_4
e : ι ≃ ι'
x✝ : E

⊢ x✝ ∈ fundamentalDomain (b.reindex e) ↔ x✝ ∈ fundamentalDomain b
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
ι' : Type u_4
e : ι ≃ ι'
x✝ : E

⊢ (∀ (i : ι'), (b.repr x✝) (e.symm i) ∈ Set.Ico 0 1) ↔ ∀ (i : ι), (b.repr x✝) i ∈ Set.Ico 0 1
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
ι' : Type u_4
e : ι ≃ ι'
x✝ : E

⊢ ∀ (b_1 : ι'), (b.repr x✝) (e.symm b_1) ∈ Set.Ico 0 1 ↔ (b.repr x✝) (e.symm b_1) ∈ Set.Ico 0 1
-- Mathlib/CategoryTheory/ChosenFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C

⊢ (α_ X Y Z).inv ≫ fst (X ⊗ Y) Z ≫ fst X Y = fst X (Y ⊗ Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/ChosenFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
X Y Z : C

⊢ Limits.BinaryFan.fst (product X (product Y Z).cone.pt).cone = fst X (Y ⊗ Z)
-- Mathlib/Data/Multiset/NatAntidiagonal.lean
Mathlib/Data/List/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
x : ℕ × ℕ

⊢ x ∈ antidiagonal n ↔ x.1 + x.2 = n
-- Mathlib/Data/List/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
x : ℕ × ℕ

⊢ (∃ a ∈ range (n + 1), (a, n - a) = x) ↔ x.1 + x.2 = n
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1

⊢ comap Real.toNNReal atTop = atTop
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1

⊢ comap Real.toNNReal atTop ≤ atTop
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1
a : ℝ
ha : 0 < a

⊢ Set.Ioi a ∈ comap Real.toNNReal atTop
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1
a : ℝ
ha : 0 < a
x : ℝ
hx : x ∈ Real.toNNReal ⁻¹' Set.Ioi a.toNNReal

⊢ x ∈ Set.Ioi a
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
g : G
w : NormalWord d

⊢ ReducedWord.prod φ (g • w).toReducedWord = of g * ReducedWord.prod φ w.toReducedWord
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α

⊢ (t \ (s ∩ t)).card ≤ (t \ s).card
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero

⊢ chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β = chainLength α β
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero

⊢ chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β ≤ chainLength α β
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero

⊢ chainLength α β ≤ chainBotCoeff (⇑α) β + chainTopCoeff (⇑α) β
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ HasSum (fun n => (1 / ↑|↑n + a| ^ s + 1 / ↑|↑n + 1 - a| ^ s) / 2) (hurwitzZetaEven (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

⊢ (1 / ↑|↑n + a| ^ s + 1 / ↑|↑n + 1 - a| ^ s) / 2 = 1 / ↑|↑↑n + a| ^ s / 2 + 1 / ↑|↑(-(↑n + 1)) + a| ^ s / 2
-- Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → R

⊢ trop (∑ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, trop (f i)
-- Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → R

⊢ ∏ i ∈ s, trop (f i) = (Multiset.map trop (Multiset.map f s.val)).prod
-- Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Finset S
f : S → R

⊢ ∏ i ∈ s, trop (f i) = (Multiset.map (fun i => trop (f i)) s.val).prod
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
inst✝ : TopologicalSpace Ω
nonzero : μ ≠ 0
f : Ω →ᵇ ℝ≥0

⊢ μ.normalize.toFiniteMeasure.testAgainstNN f = μ.mass⁻¹ * μ.testAgainstNN f
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
f✝ : R[X]
inst✝¹ : CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : eval₂ i a f✝ = 0
inst✝ : Algebra R S
f : R[X]
ϕ : AdjoinRoot f →ₐ[R] S

⊢ liftHom f (ϕ (root f)) ⋯ = ϕ
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
f✝ : R[X]
inst✝¹ : CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : eval₂ i a f✝ = 0
inst✝ : Algebra R S
f : R[X]
ϕ : AdjoinRoot f →ₐ[R] S

⊢ AlgHom.equalizer ϕ (liftHom f (ϕ (root f)) ⋯) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
f✝ : R[X]
inst✝¹ : CommRing S
i : R →+* S
a : S
h : eval₂ i a f✝ = 0
inst✝ : Algebra R S
f : R[X]
ϕ : AdjoinRoot f →ₐ[R] S

⊢ root f ∈ ↑(AlgHom.equalizer ϕ (liftHom f (ϕ (root f)) ⋯))
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : S
x : R
hx : x ∈ ⇑(Algebra.norm R) '' ↑(span {r})

⊢ (Algebra.norm R) r ∣ x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r x : S
hx' : x ∈ ↑(span {r})
hx : (Algebra.norm R) x ∈ ⇑(Algebra.norm R) '' ↑(span {r})

⊢ (Algebra.norm R) r ∣ (Algebra.norm R) x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/HomCompletion.lean
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
x : Completion G

⊢ (id G).completion x = (id (Completion G)) x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/HomCompletion.lean
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
x : Completion G

⊢ _root_.id x = (id (Completion G)) x
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
J : Submodule R P
b : P
hb : b ∈ I ⊓ J

⊢ IsInteger R (aI • b)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
J : Submodule R P
b : P
hb : b ∈ I ⊓ J
hbI : b ∈ I
right✝ : b ∈ J

⊢ IsInteger R (aI • b)
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : y ≤ x
u : ℕ → α := fun n => if n = 0 then y else x

⊢ edist (f x) (f y) ≤ eVariationOn f s
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : y ≤ x
u : ℕ → α := fun n => if n = 0 then y else x
hu : Monotone u

⊢ edist (f x) (f y) ≤ eVariationOn f s
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : y ≤ x
u : ℕ → α := fun n => if n = 0 then y else x
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s

⊢ edist (f x) (f y) ≤ eVariationOn f s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 4 ≠ 0

⊢ W.Ψ₂Sq.coeff 3 ≠ 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R

⊢ W'.addXYZ (u • P) (v • Q) = (u * v) ^ 2 • W'.addXYZ P Q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R

⊢ ![((u * v) ^ 2) ^ 2 * W'.addX P Q, ((u * v) ^ 2) ^ 3 * W'.addY P Q, (u * v) ^ 2 * addZ P Q] = (u * v) ^ 2 • W'.addXYZ P Q
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α

⊢ (M ↾ R).Dep X ↔ ¬M.Indep X ∧ X ⊆ R
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α

⊢ ¬(M.Indep X ∧ X ⊆ R) ∧ X ⊆ R ↔ ¬M.Indep X ∧ X ⊆ R
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0 : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(σₙ R a), R)₀

⊢ (cfcₙHom ha) f = cfcₙ (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) a