ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : Algebra A B
inst✝⁵ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : CommRing L
inst✝² : IsDomain L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this : NeZero ↑↑n

⊢ FiniteDimensional.finrank K L = φ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/Biproducts.lean
J : Type w
f : J → AddCommGrp
s : Cone (Discrete.functor f)
m : s.pt ⟶ { pt := of ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as }.pt
w : ∀ (j : Discrete J), m ≫ { pt := of ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as }.π.app j = s.π.app j
x : ↑s.pt

⊢ m x = (lift f s) x
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/Biproducts.lean
J : Type w
f : J → AddCommGrp
s : Cone (Discrete.functor f)
m : s.pt ⟶ { pt := of ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as }.pt
w : ∀ (j : Discrete J), m ≫ { pt := of ((j : J) → ↑(f j)), π := Discrete.natTrans fun j => Pi.evalAddMonoidHom (fun j => ↑(f j)) j.as }.π.app j = s.π.app j
x : ↑s.pt
j : J

⊢ m x j = (lift f s) x j
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hfi : HasFiniteIntegral f μ

⊢ IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hfi : HasFiniteIntegral f μ
x : α

⊢ ENNReal.ofReal (f x) ≤ ↑‖f x‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Asymptotics.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝¹ : atBot.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : atTop.IsMeasurablyGenerated
hf : LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[atBot] g
hg : IntegrableAtFilter g atBot μ
ho' : f =O[atTop] g'
hg' : IntegrableAtFilter g' atTop μ

⊢ Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Asymptotics.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝¹ : atBot.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : atTop.IsMeasurablyGenerated
hf : LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[atBot] g
hg : IntegrableAtFilter g atBot μ
ho' : f =O[atTop] g'
hg' : IntegrableAtFilter g' atTop μ

⊢ StronglyMeasurableAtFilter f atBot μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Asymptotics.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝¹ : atBot.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : atTop.IsMeasurablyGenerated
hf : LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[atBot] g
hg : IntegrableAtFilter g atBot μ
ho' : f =O[atTop] g'
hg' : IntegrableAtFilter g' atTop μ

⊢ StronglyMeasurableAtFilter f atTop μ
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A

⊢ ↑(⊥.prod ⊥) = ↑⊥
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set β
H : Function.Injective f
hs : s ⊆ range f

⊢ (f ⁻¹' s).ncard = s.ncard
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝ : IsDomain B

⊢ NeZero ↑↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝ : IsDomain B
this : NeZero ↑↑n

⊢ NeZero ↑↑n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
H1 : ∀ x ∈ s, infEdist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infEdist x s ≤ r

⊢ hausdorffEdist s t ≤ r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
H1 : ∀ x ∈ s, infEdist x t ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, infEdist x s ≤ r

⊢ (∀ i ∈ s, infEdist i t ≤ r) ∧ ∀ i ∈ t, infEdist i s ≤ r
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f✝ g : β → α
a : α
P : α → Prop
Pbot : P ⊥
Psup : ∀ ⦃x y : α⦄, P x → P y → P (x ⊔ y)
t : Finset β
f : β → { x // P x }
this✝ : SemilatticeSup { x // P x } := Subtype.semilatticeSup Psup
this : OrderBot { x // P x } := Subtype.orderBot Pbot

⊢ ↑(t.sup f) = t.sup fun x => ↑(f x)
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i < i0

⊢ toZ i0 i < 0
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i < i0

⊢ toZ i0 i ≤ 0
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i < i0

⊢ toZ i0 i ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
c : R
m : ℕ

⊢ derivative ((X + C c) ^ m) = C ↑m * (X + C c) ^ (m - 1)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L

⊢ x ∈ ↑f.ker ↔ f x = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformRing.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalRing α
x y : α

⊢ x - y ∈ closure 0 ↔ x - y ∈ ⊥.closure
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
l : Filter α

⊢ Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atTop ↔ Tendsto f l atTop
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
l : Filter α

⊢ Tendsto (fun n => ↑(f n)) l atTop ↔ Tendsto (Int.cast ∘ f) l atTop
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x : E
hs : Absorbent ℝ s
hr : 0 ≤ r
hsr : s ⊆ closedBall 0 r

⊢ ‖x‖ / r ≤ gauge s x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r : ℝ
x : E
hs : Absorbent ℝ s
hr : 0 ≤ r
hsr : s ⊆ closedBall 0 r

⊢ gauge (closedBall 0 r) x ≤ gauge s x
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallShiftedHom.lean
C : Type u₁
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝¹⁰ : AddMonoid M
inst✝⁹ : HasShift C M
inst✝⁸ : HasShift D M
inst✝⁷ : W.IsCompatibleWithShift M
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : HasShift D M
inst✝⁴ : L.CommShift M
X Y Z T : C
inst✝³ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
inst✝² : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Z
inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Z
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z Z
a b c : M
f : SmallShiftedHom W X Y a
g : SmallShiftedHom W Y Z b
h : b + a = c

⊢ ((L.commShiftIso c).app Z).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) (SmallHom.comp f (g.shift a c h))) = ((L.commShiftIso a).app Y).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) f) ≫ (shiftFunctor D a).map (((L.commShiftIso b).app Z).homToEquiv ((SmallHom.equiv W L) g)) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (L.obj Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallShiftedHom.lean
C : Type u₁
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝¹⁰ : AddMonoid M
inst✝⁹ : HasShift C M
inst✝⁸ : HasShift D M
inst✝⁷ : W.IsCompatibleWithShift M
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : HasShift D M
inst✝⁴ : L.CommShift M
X Y Z T : C
inst✝³ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
inst✝² : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Z
inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Z
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z Z
a b c : M
f : SmallShiftedHom W X Y a
g : SmallShiftedHom W Y Z b
h : b + a = c

⊢ ((SmallHom.equiv W L) f ≫ (SmallHom.equiv W L) (g.shift a c h)) ≫ ((L.commShiftIso c).app Z).hom = ((SmallHom.equiv W L) f ≫ ((L.commShiftIso a).app Y).hom) ≫ (shiftFunctor D a).map ((SmallHom.equiv W L) g ≫ ((L.commShiftIso b).app Z).hom) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (L.obj Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallShiftedHom.lean
C : Type u₁
inst✝¹² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹¹ : Category.{v₂, u₂} D
W : MorphismProperty C
M : Type w'
inst✝¹⁰ : AddMonoid M
inst✝⁹ : HasShift C M
inst✝⁸ : HasShift D M
inst✝⁷ : W.IsCompatibleWithShift M
L : C ⥤ D
inst✝⁶ : L.IsLocalization W
inst✝⁵ : HasShift D M
inst✝⁴ : L.CommShift M
X Y Z T : C
inst✝³ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Y
inst✝² : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Y Z
inst✝¹ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M X Z
inst✝ : HasSmallLocalizedShiftedHom W M Z Z
a b c : M
f : SmallShiftedHom W X Y a
g : SmallShiftedHom W Y Z b
h : b + a = c

⊢ (SmallHom.equiv W L) f ≫ (L.commShiftIso a).hom.app Y ≫ (shiftFunctor D a).map ((SmallHom.equiv W L) g) ≫ (shiftFunctor D a).map ((L.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (L.obj Z) = (SmallHom.equiv W L) f ≫ (L.commShiftIso a).hom.app Y ≫ (shiftFunctor D a).map ((SmallHom.equiv W L) g) ≫ (shiftFunctor D a).map ((L.commShiftIso b).hom.app Z) ≫ (shiftFunctorAdd' D b a c h).inv.app (L.obj Z)
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s

⊢ s = trivial G ↔ ∀ x ∈ s, x = 1
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s

⊢ (∀ (x : G), x ∈ s ↔ x = 1) ↔ ∀ x ∈ s, x = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K✝ L : Subgroup G
f : G' →* G
K : Subgroup G'

⊢ (comap f H).relindex K = H.relindex (map f K)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
hx : d x ≠ 0

⊢ HasStrictDerivAt (fun y => c y / d y) ((c' * d x - c x * d') / d x ^ 2) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
hx : d x ≠ 0

⊢ (fun y => c y / d y) = fun y => c y * (Inv.inv ∘ d) y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
hx : d x ≠ 0

⊢ (c' * d x - c x * d') / d x ^ 2 = c' * (Inv.inv ∘ d) x + c x * (-(d x ^ 2)⁻¹ * d')
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
h : m₁ ≤ m₂
h' : ∃ j ∈ Set.Icc n m₁, u j ω ∈ s

⊢ hitting u s n m₁ ω = hitting u s n m₂ ω
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
h : m₁ ≤ m₂
h' : ∃ j ∈ Set.Icc n m₁, u j ω ∈ s

⊢ sInf (Set.Icc n m₁ ∩ {i | u i ω ∈ s}) = if ∃ j ∈ Set.Icc n m₂, u j ω ∈ s then sInf (Set.Icc n m₂ ∩ {i | u i ω ∈ s}) else m₂
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
h : m₁ ≤ m₂
j : ι
hj₁ : j ∈ Set.Icc n m₁
hj₂ : u j ω ∈ s

⊢ sInf (Set.Icc n m₁ ∩ {i | u i ω ∈ s}) = if ∃ j ∈ Set.Icc n m₂, u j ω ∈ s then sInf (Set.Icc n m₂ ∩ {i | u i ω ∈ s}) else m₂
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
h : m₁ ≤ m₂
j : ι
hj₁ : j ∈ Set.Icc n m₁
hj₂ : u j ω ∈ s

⊢ sInf (Set.Icc n m₁ ∩ {i | u i ω ∈ s}) = sInf (Set.Icc n m₂ ∩ {i | u i ω ∈ s})
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m₁ m₂ : ι
h : m₁ ≤ m₂
j : ι
hj₁ : j ∈ Set.Icc n m₁
hj₂ : u j ω ∈ s

⊢ ∃ j ∈ Set.Icc n m₂, u j ω ∈ s
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝¹ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X✝ I✝ : Set α
M : Matroid α
Y : Set α
I X : Set ↑Y

⊢ (M.restrictSubtype Y).Basis I X ↔ M.Basis' ↑I ↑X
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝¹ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X✝ I✝ : Set α
M : Matroid α
Y : Set α
I X : Set ↑Y

⊢ M.Basis (↑I) (↑X ∩ M.E) ∧ ↑X ⊆ Y ↔ M.Basis (↑I) (↑X ∩ M.E)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝¹ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X✝ I✝ : Set α
M : Matroid α
Y : Set α
I X : Set ↑Y

⊢ (M ↾ Y).Basis ↑I ↑X → I ⊆ X
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α

⊢ (image f s).sym2 = image (Sym2.map f) s.sym2
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α

⊢ (image f s).sym2.val = (image (Sym2.map f) s.sym2).val
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α

⊢ (Multiset.map f s.val).dedup.sym2 = (Multiset.map (Sym2.map f) s.val.sym2).dedup
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a < b * c

⊢ a < b / c⁻¹
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
inst✝ : Fintype ι
κ : ι → Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ((Kernel.sum κ) a) s = ((∑ i : ι, κ i) a) s
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s : Set X
hs : s.Finite
f : X → Y

⊢ ContinuousOn f s
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s : Set X
hs : s.Finite
f : X → Y

⊢ Continuous (s.restrict f)
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
m₁ m₂ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
S T : Set (Set Ω)
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : ι → Set Ω
hf : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)

⊢ iIndepSet f μ ↔ ∀ (s : Finset ι), μ (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, μ (f i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : Module R E
F : Type u_10
inst✝² : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
e : ι ≃ ι₂
m : (i : ι) → s i

⊢ (((map fun i => f (e.symm i)) ∘ₗ ↑(reindex R s e)).compMultilinearMap (tprod R)) m = ((↑(reindex R t e) ∘ₗ map f).compMultilinearMap (tprod R)) m
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x✝ : FractionRing K[X]
x : K[X] × ↥K[X]⁰

⊢ { toFractionRing := Localization.mk x.1 x.2 } = (IsLocalization.algEquiv K[X]⁰ (FractionRing K[X]) (RatFunc K)) (Localization.mk x.1 x.2)
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
x✝ : FractionRing K[X]
x : K[X] × ↥K[X]⁰

⊢ IsLocalization.mk' (RatFunc K) x.1 x.2 = IsLocalization.mk' (RatFunc K) ((RingHom.id K[X]) x.1) ⟨(RingHom.id K[X]) ↑x.2, ⋯⟩
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
hfg : ConvolutionExistsAt f g x L μ
hfg' : ConvolutionExistsAt f g' x L μ

⊢ (f ⋆[L, μ] (g + g')) x = (f ⋆[L, μ] g) x + (f ⋆[L, μ] g') x
-- Mathlib/Order/Filter/Ring.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : MulZeroClass β
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : PosMulMono β
inst✝ : MulPosMono β
l : Filter α
f₁ f₂ g₁ g₂ : α → β
hf : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[l] g₂
hg₀ : 0 ≤ᶠ[l] g₁
hf₀ : 0 ≤ᶠ[l] f₂

⊢ f₁ * g₁ ≤ᶠ[l] f₂ * g₂
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a

⊢ 0 ≤ f' y
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I✝ X R J I : Set α

⊢ uniqueBaseOn ∅ I = loopyOn I
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.151867, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₂ : S₂.Exact
inst✝³ : Epi S₁.g
inst✝² : Epi S₂.g
inst✝¹ : Epi φ.τ₁
inst✝ : Epi φ.τ₃
this✝² : Mono S₁.op.f
this✝¹ : Mono S₂.op.f
this✝ : Mono (opMap φ).τ₁
this : Mono (opMap φ).τ₃

⊢ Epi φ.τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Category.{?u.151867, u_2} D
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝⁴ : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₂ : S₂.Exact
inst✝³ : Epi S₁.g
inst✝² : Epi S₂.g
inst✝¹ : Epi φ.τ₁
inst✝ : Epi φ.τ₃
this✝³ : Mono S₁.op.f
this✝² : Mono S₂.op.f
this✝¹ : Mono (opMap φ).τ₁
this✝ : Mono (opMap φ).τ₃
this : Mono (opMap φ).τ₂

⊢ Epi φ.τ₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Int.lean
m n : ℤ
even : Even (n - m)

⊢ m + 2 ≤ n ↔ m < n
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Int.lean
m n : ℤ
even : Even (n - m)

⊢ 2 + m ≤ n ↔ m < n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β

⊢ f ≤ f ⊔ g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β

⊢ ↑f ≤ᶠ[ae μ] ↑(f ⊔ g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊔ g) a✝ = ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝

⊢ ↑f a✝ ≤ ↑(f ⊔ g) a✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeSup β
inst✝ : ContinuousSup β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊔ g) a✝ = ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝

⊢ ↑f a✝ ≤ ↑f a✝ ⊔ ↑g a✝
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
a : L

⊢ (a ∈ Set.range fun ψ => ψ x) ↔ a ∈ (minpoly F x).rootSet L
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
a : L

⊢ (a ∈ Set.range fun ψ => ψ x) ↔ (aeval a) (minpoly F x) = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F L
inst✝¹ : Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
a : L
x✝ : a ∈ Set.range fun ψ => ψ x
ψ : K →ₐ[F] L
hψ : (fun ψ => ψ x) ψ = a

⊢ (aeval a) (minpoly F x) = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a x y : G
h : SemiconjBy a x y

⊢ x = 1 ↔ y = 1
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a b : α
s : Seq α
S : Seq (Seq1 α)

⊢ (match (Seq.cons b s).destruct with | none => (a, S.join) | some s' => (a, (Seq.cons s' S).join)) = (a, (Seq.cons (b, s) S).join)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens

⊢ f ''ᵁ f ⁻¹ᵁ U = f.opensRange ⊓ U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : Scheme
f : X.Hom Y
H : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens

⊢ ↑(f ''ᵁ f ⁻¹ᵁ U) = ↑(f.opensRange ⊓ U)
-- Mathlib/Data/Int/Cast/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
n : ℕ
x✝ : 0 < n + 1

⊢ ↑(n + 1 - 1) = ↑(n + 1) - 1
-- Mathlib/Data/Int/Cast/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
n : ℕ
x✝ : 0 < n + 1

⊢ ↑(n + 1 - 1) = ↑n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x y z : ℝ
ι : Type u_1
s : Multiset ι
f : ι → ℝ
hs : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i
r : ℝ

⊢ (Multiset.map (fun x => f x ^ r) s).prod = (Multiset.map f s).prod ^ r