ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
Ibad : I ∈ nonPrincipals R
Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
Ibad : I ∈ nonPrincipals R
Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
Ibad : I ∈ nonPrincipals R
Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I

⊢ x ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
Ibad : I ∈ nonPrincipals R
Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
a : R
ha : I ⊔ Ideal.span {y} = Submodule.span R {a}

⊢ x ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
Ibad : I ∈ nonPrincipals R
Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
a : R
ha : I ⊔ Ideal.span {y} = Submodule.span R {a}

⊢ ¬IsPrincipal (colon I (Ideal.span {y}))
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
Ibad : I ∈ nonPrincipals R
Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
a : R
ha : I ⊔ Ideal.span {y} = Submodule.span R {a}
b : R
hb : colon I (Ideal.span {y}) = Submodule.span R {b}

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
Ibad : I ∈ nonPrincipals R
Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
a : R
ha : I ⊔ Ideal.span {y} = Submodule.span R {a}
b : R
hb : colon I (Ideal.span {y}) = Submodule.span R {b}

⊢ I = Submodule.span R {a * b}
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
Ibad : I ∈ nonPrincipals R
Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
a : R
ha : I ⊔ Ideal.span {y} = Submodule.span R {a}
b : R
hb : colon I (Ideal.span {y}) = Submodule.span R {b}
i : R
hi : i ∈ I

⊢ i ∈ Submodule.span R {a * b}
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
Ibad : I ∈ nonPrincipals R
Imax : ∀ z ∈ nonPrincipals R, I ≤ z → z = I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
a : R
ha : I ⊔ Ideal.span {y} = Submodule.span R {a}
b : R
hb : colon I (Ideal.span {y}) = Submodule.span R {b}

⊢ Ideal.span {a} * Ideal.span {b} ≤ I
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ico (-(π / 2)) (π / 2)

⊢ arcsin x ≤ y ↔ x ≤ sin y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ico (-(π / 2)) (π / 2)
hx₁ : x ≤ -1

⊢ arcsin x ≤ y ↔ x ≤ sin y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ico (-(π / 2)) (π / 2)
hx₁ : -1 ≤ x

⊢ arcsin x ≤ y ↔ x ≤ sin y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ico (-(π / 2)) (π / 2)
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : 1 < x

⊢ arcsin x ≤ y ↔ x ≤ sin y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
hy : y ∈ Ico (-(π / 2)) (π / 2)
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1

⊢ arcsin x ≤ y ↔ x ≤ sin y
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P

⊢ s1.direction ⊔ s2.direction ≤ (s1 ⊔ s2).direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P

⊢ Submodule.span k (↑s1 -ᵥ ↑s1) ⊔ Submodule.span k (↑s2 -ᵥ ↑s2) ≤ Submodule.span k (↑(s1 ⊔ s2) -ᵥ ↑(s1 ⊔ s2))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⊢ ⟪x, o.rightAngleRotation y⟫_ℝ = -(o.areaForm x) y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⊢ ⟪x, (LinearIsometryEquiv.ofLinearIsometry o.rightAngleRotationAux₂ (-o.rightAngleRotationAux₁) ⋯ ⋯) y⟫_ℝ = -(o.areaForm x) y
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α

⊢ some '' Ioi a = Ioi ↑a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E

⊢ gauge (-s) x = gauge s (-x)
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d✝ : ℕ
ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
d : ℕ
ds : List ℕ
x : Holor α (d :: ds)

⊢ CPRankMax (d :: ds).prod x
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d✝ : ℕ
ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
d : ℕ
ds : List ℕ
x : Holor α (d :: ds)
h_summands : ∀ (i : { x // x ∈ Finset.range d }), CPRankMax ds.prod (unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)

⊢ CPRankMax (d :: ds).prod x
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d✝ : ℕ
ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
d : ℕ
ds : List ℕ
x : Holor α (d :: ds)
h_summands : ∀ (i : { x // x ∈ Finset.range d }), CPRankMax ds.prod (unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
h_dds_prod : (d :: ds).prod = (Finset.range d).card * ds.prod

⊢ CPRankMax (d :: ds).prod x
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d✝ : ℕ
ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
d : ℕ
ds : List ℕ
x : Holor α (d :: ds)
h_summands : ∀ (i : { x // x ∈ Finset.range d }), CPRankMax ds.prod (unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
h_dds_prod : (d :: ds).prod = (Finset.range d).card * ds.prod
this : CPRankMax ((Finset.range d).attach.card * ds.prod) (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)

⊢ CPRankMax (d :: ds).prod x
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d✝ : ℕ
ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
d : ℕ
ds : List ℕ
x : Holor α (d :: ds)
h_summands : ∀ (i : { x // x ∈ Finset.range d }), CPRankMax ds.prod (unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
h_dds_prod : (d :: ds).prod = (Finset.range d).card * ds.prod
this : CPRankMax ((Finset.range d).attach.card * ds.prod) (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
h_cprankMax_sum : CPRankMax ((Finset.range d).card * ds.prod) (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)

⊢ CPRankMax (d :: ds).prod x
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d✝ : ℕ
ds✝ ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
inst✝ : Ring α
d : ℕ
ds : List ℕ
x : Holor α (d :: ds)
h_summands : ∀ (i : { x // x ∈ Finset.range d }), CPRankMax ds.prod (unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
h_dds_prod : (d :: ds).prod = (Finset.range d).card * ds.prod
this : CPRankMax ((Finset.range d).attach.card * ds.prod) (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
h_cprankMax_sum : CPRankMax ((Finset.range d).card * ds.prod) (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)

⊢ CPRankMax (d :: ds).prod (∑ i ∈ (Finset.range d).attach, unitVec d ↑i ⊗ x.slice ↑i ⋯)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f (μ.trim hm)

⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ.trim hm = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddMonoid G
a : G
b : k

⊢ single a b ^ 0 = single (0 • a) (b ^ 0)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddMonoid G
a : G
b : k

⊢ 1 = single 0 1
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : AddMonoid G
a : G
b : k
n : ℕ

⊢ single a b ^ (n + 1) = single ((n + 1) • a) (b ^ (n + 1))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
s : Set (β × Ω)
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (x : β), (ρ.condKernel x) {y | (x, y) ∈ s} ∂ρ.fst = ρ s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
s : Set (β × Ω)
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (x : β), (ρ.condKernel x) {y | (x, y) ∈ s} ∂ρ.fst = (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
ρ : Measure (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
s : Set (β × Ω)
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (x : β), (ρ.condKernel x) {y | (x, y) ∈ s} ∂ρ.fst = ∫⁻ (a : β), (ρ.condKernel a) (Prod.mk a ⁻¹' s) ∂ρ.fst
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : i ⟶ j

⊢ F.eventualRange j = range (F.map f) ↔ ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : i ⟶ j

⊢ (∀ (i_1 : J) (j_1 : i_1 ⟶ j), range (F.map f) ⊆ range (F.map j_1)) ↔ ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : i ⟶ j
h : ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))
j' : J
f' : j' ⟶ j

⊢ range (F.map f) ⊆ range (F.map f')
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : i ⟶ j
h : ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))
j' : J
f' : j' ⟶ j
k : J
g : k ⟶ i
g' : k ⟶ j'
he : g ≫ f = g' ≫ f'

⊢ range (F.map f) ⊆ range (F.map f')
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : i ⟶ j
h : ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))
j' : J
f' : j' ⟶ j
k : J
g : k ⟶ i
g' : k ⟶ j'
he : g ≫ f = g' ≫ f'

⊢ range (F.map (g ≫ f)) ⊆ range (F.map f')
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j k✝ : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
f : i ⟶ j
h : ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i), range (F.map f) ⊆ range (F.map (g ≫ f))
j' : J
f' : j' ⟶ j
k : J
g : k ⟶ i
g' : k ⟶ j'
he : g ≫ f = g' ≫ f'

⊢ range (F.map g' ≫ F.map f') ⊆ range (F.map f')
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'

⊢ Surjective ⇑(map g g')
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'

⊢ Surjective (⇑(lTensor P g') ∘ ⇑(rTensor N' g))
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 2 ≤ n

⊢ trunc n X = Polynomial.X
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
hf : Injective f
g : α → γ
g' : β → γ

⊢ range (extend f g g') = range g ∪ g' '' (range f)ᶜ
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
hf : Injective f
g : α → γ
g' : β → γ

⊢ range g ∪ g' '' (range f)ᶜ ⊆ range (extend f g g')
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
hf : Injective f
g : α → γ
g' : β → γ
x : α

⊢ g x ∈ range (extend f g g')
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
hf : Injective f
g : α → γ
g' : β → γ
y : β
hy : y ∈ (range f)ᶜ

⊢ g' y ∈ range (extend f g g')
-- Mathlib/Data/Option/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a : α
o : Option α

⊢ a ∈ o.toList ↔ a ∈ o
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x : PartENat

⊢ x + ⊤ = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M₂ →ₗ[R] φ i

⊢ pi f = 0 ↔ ∀ (i : ι), f i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (φ i)
f : (i : ι) → M₂ →ₗ[R] φ i

⊢ (∀ (x : M₂) (a : ι), (f a) x = 0 x a) ↔ ∀ (i : ι) (x : M₂), (f i) x = 0 x
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Lemmas.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Finite Rˣ
χ : MulChar R ℂ

⊢ star χ = χ⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Lemmas.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Finite Rˣ
χ : MulChar R ℂ
val✝ : Fintype Rˣ

⊢ star χ = χ⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Lemmas.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Finite Rˣ
χ : MulChar R ℂ
val✝ : Fintype Rˣ
a : Rˣ

⊢ (star χ) ↑a = χ⁻¹ ↑a
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Lemmas.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Finite Rˣ
χ : MulChar R ℂ
val✝ : Fintype Rˣ
a : Rˣ

⊢ (star χ) ↑a = (χ ↑a)⁻¹
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

⊢ 0 = m * n ↔ m = 0 ∨ n = 0
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Additive.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
N : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
I₀ : WithTop (Box ι)
I J : Box ι
i✝ : ι
f : ι →ᵇᵃ[I₀] M
hI : ↑I ≤ I₀
i : ι
x : ℝ

⊢ Option.elim' 0 (⇑f) (I.splitLower i x) + Option.elim' 0 (⇑f) (I.splitUpper i x) = f I
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean
n : ℕ
a b : Fin n

⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioo a b) = ↑b - ↑a - 1
-- Mathlib/Algebra/Category/CoalgebraCat/ComonEquivalence.lean
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q

⊢ ((comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R M) ⊗ (comonEquivalence R).symm.inverse.obj (of R N)).comul = Coalgebra.comul
-- Mathlib/Algebra/Category/CoalgebraCat/ComonEquivalence.lean
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
M N P Q : Type u
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : AddCommGroup P
inst✝⁸ : AddCommGroup Q
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Coalgebra R M
inst✝² : Coalgebra R N
inst✝¹ : Coalgebra R P
inst✝ : Coalgebra R Q

⊢ (tensor_μ (ModuleCat R)ᵒᵖ (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op (ModuleCat.mk N)) (Opposite.op (ModuleCat.mk M), Opposite.op (ModuleCat.mk N))).unop ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul = ↑(tensorTensorTensorComm R M M N N) ∘ₗ map Coalgebra.comul Coalgebra.comul
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I✝ : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsMaximal

⊢ map f I = ⊤ ∨ (map f I).IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
I✝ : Ideal R
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsMaximal
ne_top : ¬map f I = ⊤
J : Ideal S
hJ : map f I < J

⊢ J = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Regular/SMul.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
n : ℕ
n0 : 0 < n

⊢ IsSMulRegular M (a ^ n) ↔ IsSMulRegular M a
-- Mathlib/Algebra/Regular/SMul.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
n : ℕ
n0 : 0 < n

⊢ IsSMulRegular M (a ^ n) → IsSMulRegular M a
-- Mathlib/Algebra/Regular/SMul.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a b : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
n : ℕ
n0 : 0 < n

⊢ IsSMulRegular M (a ^ n.pred • a) → IsSMulRegular M a
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K

⊢ IsUnramified k (σ • w) ↔ IsUnramified k w
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : OrderBot β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
m : ι → β
hm : ∀ i ∈ s, ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (m i)

⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup fun i => F i a
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : OrderBot β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
m : ι → β
hm : ∀ i ∈ s, ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (F i) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (m i)

⊢ ∀ᶠ (x : β) in Filter.map (fun a => s.sup fun i => F i a) f, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (s.sup m)
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : OrderBot β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
m : ι → β
hm : ∀ i ∈ s, ∀ᶠ (a : α) in f, F i a ≤ m i

⊢ ∀ᶠ (a : α) in f, (s.sup fun i => F i a) ≤ s.sup m
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrder β
inst✝ : OrderBot β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
m : ι → β
hm : ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ i ∈ s, F i x ≤ m i

⊢ ∀ᶠ (a : α) in f, (s.sup fun i => F i a) ≤ s.sup m
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G

⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ

⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ

⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑((compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))) μ