ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
u : ℂ → ℝ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → ∀ (z : ℂ), ‖expR (B₁ * expR (c₁ * |u z|))‖ ≤ ‖expR (B₂ * expR (c₂ * |u z|))‖
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[l] fun z => expR (Bf * expR (cf * |u z|))
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[l] fun z => expR (Bg * expR (cg * |u z|))

⊢ (f - g) =O[l] fun z => expR (max 0 (max Bf Bg) * expR (max cf cg * |u z|))
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
u : ℂ → ℝ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → ∀ (z : ℂ), ‖expR (B₁ * expR (c₁ * |u z|))‖ ≤ ‖expR (B₂ * expR (c₂ * |u z|))‖
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[l] fun z => expR (Bf * expR (cf * |u z|))
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[l] fun z => expR (Bg * expR (cg * |u z|))

⊢ cf ≤ max cf cg
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
u : ℂ → ℝ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → ∀ (z : ℂ), ‖expR (B₁ * expR (c₁ * |u z|))‖ ≤ ‖expR (B₂ * expR (c₂ * |u z|))‖
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[l] fun z => expR (Bf * expR (cf * |u z|))
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[l] fun z => expR (Bg * expR (cg * |u z|))

⊢ 0 ≤ max 0 (max Bf Bg)
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
u : ℂ → ℝ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → ∀ (z : ℂ), ‖expR (B₁ * expR (c₁ * |u z|))‖ ≤ ‖expR (B₂ * expR (c₂ * |u z|))‖
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[l] fun z => expR (Bf * expR (cf * |u z|))
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[l] fun z => expR (Bg * expR (cg * |u z|))

⊢ Bf ≤ max 0 (max Bf Bg)
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
u : ℂ → ℝ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → ∀ (z : ℂ), ‖expR (B₁ * expR (c₁ * |u z|))‖ ≤ ‖expR (B₂ * expR (c₂ * |u z|))‖
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[l] fun z => expR (Bf * expR (cf * |u z|))
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[l] fun z => expR (Bg * expR (cg * |u z|))

⊢ cg ≤ max cf cg
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
f g : ℂ → E
l : Filter ℂ
u : ℂ → ℝ
this : ∀ {c₁ c₂ B₁ B₂ : ℝ}, c₁ ≤ c₂ → 0 ≤ B₂ → B₁ ≤ B₂ → ∀ (z : ℂ), ‖expR (B₁ * expR (c₁ * |u z|))‖ ≤ ‖expR (B₂ * expR (c₂ * |u z|))‖
cf : ℝ
hcf : cf < a
Bf : ℝ
hOf : f =O[l] fun z => expR (Bf * expR (cf * |u z|))
cg : ℝ
hcg : cg < a
Bg : ℝ
hOg : g =O[l] fun z => expR (Bg * expR (cg * |u z|))

⊢ Bg ≤ max 0 (max Bf Bg)
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Sized

⊢ (l.rotateR x r).size = l.size + r.size + 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq α
d : (i : α) → Matrix (m' i) (m' i) R
i : α
i' : m' i
j : α
j' : m' j
h : ⟨j, j'⟩.fst < ⟨i, i'⟩.fst

⊢ blockDiagonal' d ⟨i, i'⟩ ⟨j, j'⟩ = 0
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
inst✝ : SigmaFinite μb

⊢ SigmaFinite (map f μa)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/WalkCounting.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
h : u ≠ v
p : G.Walk u v

⊢ p ∈ {p | p.length = 0} ↔ p ∈ ∅
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/WalkCounting.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
h : u ≠ v
p : G.Walk u v

⊢ ¬p.length = 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p✝ : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p✝
s : Multiset α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
l : List α

⊢ countP p (filter (fun a => ¬q a) (Quot.mk Setoid.r l)) = List.countP (fun x => decide (p x)) (List.filter (fun a => !decide (q a)) l)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Basic.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M

⊢ -⁅y, x⁆ = ⁅x, y⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/Basic.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
t : R
x y z : L
m n : M
h : ⁅x + y, x⁆ + ⁅x + y, y⁆ = 0

⊢ -⁅y, x⁆ = ⁅x, y⁆
-- Mathlib/Algebra/CharP/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
I : Ideal R
h : ∀ (x : ℕ), ↑x ∈ I → ↑x = 0
x : ℕ

⊢ ↑x = 0 ↔ p ∣ x
-- Mathlib/Algebra/CharP/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
I : Ideal R
h : ∀ (x : ℕ), ↑x ∈ I → ↑x = 0
x : ℕ

⊢ (Ideal.Quotient.mk I) ↑x = 0 ↔ ↑x = 0
-- Mathlib/Algebra/CharP/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
I : Ideal R
h : ∀ (x : ℕ), ↑x ∈ I → ↑x = 0
x : ℕ

⊢ ↑x - 0 ∈ I ↔ ↑x = 0
-- Mathlib/Algebra/CharP/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
I : Ideal R
h : ∀ (x : ℕ), ↑x ∈ I → ↑x = 0
x : ℕ

⊢ ↑x ∈ I ↔ ↑x = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u✝ v✝ u' v' : V
p✝ : G.Walk u✝ v✝
u v : V
p : G.Walk u v
H : SimpleGraph V
w : V
q : G.Walk v w
hpq : ∀ e ∈ (p.append q).edges, e ∈ H.edgeSet

⊢ (p.append q).transfer H hpq = (p.transfer H ⋯).append (q.transfer H ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
s : ↥M

⊢ mk' S x s = 0 ↔ ∃ m, ↑m * x = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)

⊢ HasDerivAt Gammaℝ (-(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2) 1
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π

⊢ HasDerivAt Gammaℝ (-(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2) 1
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π
aux2 : ↑√π ≠ 0

⊢ HasDerivAt Gammaℝ (-(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2) 1
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π
aux2 : ↑√π ≠ 0
hf : HasDerivAt f (-log ↑π / 2 / ↑√π) 1

⊢ HasDerivAt Gammaℝ (-(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2) 1
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π
aux2 : ↑√π ≠ 0
hf : HasDerivAt f (-log ↑π / 2 / ↑√π) 1
hg : HasDerivAt g (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2) / 2) 1

⊢ HasDerivAt Gammaℝ (-(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2) 1
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π
aux2 : ↑√π ≠ 0
hf : HasDerivAt f (-log ↑π / 2 / ↑√π) 1
hg : HasDerivAt g (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2) / 2) 1

⊢ -log ↑π / 2 / ↑√π * Gamma (1 / 2) + f 1 * (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2) / 2) = -(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π
aux2 : ↑√π ≠ 0
hf : HasDerivAt f (-log ↑π / 2 / ↑√π) 1
hg : HasDerivAt g (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2) / 2) 1

⊢ -log ↑π / 2 / ↑√π * Gamma (1 / 2) + ↑π ^ (-1 / 2) * (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2) / 2) = -(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
f : ℂ → ℂ := fun s => ↑π ^ (-s / 2)
g : ℂ → ℂ := fun s => Gamma (s / 2)
aux : ↑π ^ (1 / 2) = ↑√π
aux2 : ↑√π ≠ 0
hf : HasDerivAt f (-log ↑π / 2 / ↑√π) 1
hg : HasDerivAt g (-↑√π * (↑γ + 2 * log 2) / 2) 1

⊢ -(↑γ + log ↑(2 ^ 2 * π)) / 2 = -(↑γ + log (4 * ↑π)) / 2
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
n₁ n₂ : Int
d₁ d₂ : Nat

⊢ mkRat n₁ d₁ * mkRat n₂ d₂ = mkRat (n₁ * n₂) (d₁ * d₂)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Maps.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
H : SimpleGraph W
f : G →g G'
hinj : Injective ⇑f
e₁ : Sym2 V
h₁ : e₁ ∈ G.edgeSet
e₂ : Sym2 V
h₂ : e₂ ∈ G.edgeSet

⊢ ⟨Sym2.map (⇑f) e₁, ⋯⟩ = ⟨Sym2.map (⇑f) e₂, ⋯⟩ → ⟨e₁, h₁⟩ = ⟨e₂, h₂⟩
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Maps.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
H : SimpleGraph W
f : G →g G'
hinj : Injective ⇑f
e₁ : Sym2 V
h₁ : e₁ ∈ G.edgeSet
e₂ : Sym2 V
h₂ : e₂ ∈ G.edgeSet

⊢ Sym2.map (⇑f) e₁ = Sym2.map (⇑f) e₂ → e₁ = e₂
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
n✝ n : ℕ
ih : ⊤ ^ n = ⊤

⊢ ⊤ ^ n.succ = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
p : R
r : X
s : ↥S

⊢ (p /ₒ s) • (r /ₒ 1) = p • r /ₒ s
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M
p✝ p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α →₀ M
x : α
hx : x ∈ Finset.filter p f.support

⊢ single x ((filter p f) x) = single x (f x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ι a b))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b

⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ↔ a < b ∧ 0 < μ (support f ∩ Ioc a b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ι a b))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hab : a < b

⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ↔ a < b ∧ 0 < μ (support f ∩ Ioc a b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ι a b))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hba : b ≤ a

⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ↔ a < b ∧ 0 < μ (support f ∩ Ioc a b)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}

⊢ enumOrd S 0 = sInf S
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}

⊢ sInf (S ∩ {b | ∀ c < 0, enumOrd S c < b}) = sInf S
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁶ : EMetricSpace X
inst✝⁵ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s✝ t : Set X
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
e : E ≃L[𝕜] F
s : Set E

⊢ dimH s ≤ dimH (⇑e '' s)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : ∀ (i j : ι), ∃ k, f k + g k ≤ f i + g j

⊢ ⨅ a, ⨅ a', f a + g a' = iInf f + iInf g
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι'✝ : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t✝ : ι✝ → α
ht✝ : Independent t✝
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
t : ι → α
f : ι' → ι
ht : Independent (t ∘ f)
hf : Surjective f
i' : ι'

⊢ Disjoint (t (f i')) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ f i'), t j)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι'✝ : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t✝ : ι✝ → α
ht✝ : Independent t✝
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
t : ι → α
f : ι' → ι
ht : Independent (t ∘ f)
hf : Surjective f
i' : ι'

⊢ Disjoint (t (f i')) (⨆ x, ⨆ (_ : f x ≠ f i'), t (f x))
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M

⊢ M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : IsEmpty n

⊢ M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : Nonempty n

⊢ M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : Nonempty n
i : n

⊢ M ∈ Set.range ⇑(scalar n)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : Nonempty n
i j k : n

⊢ (scalar n) (M i i) j k = M j k
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : Nonempty n
i j k : n

⊢ diagonal (fun x => M i i) j k = M j k
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : Nonempty n
i j : n

⊢ diagonal (fun x => M i i) j j = M j j
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n α
hM : Pairwise fun i j => Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
h✝ : Nonempty n
i j k : n
hkl : j ≠ k

⊢ diagonal (fun x => M i i) j k = M j k
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

⊢ W.addXYZ P Q = addU P Q • ![1, 1, 0]
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R✝ : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
R : Type u_14
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : DistribMulAction R α
x : R
M : o → Matrix m n α
i✝ : m × o
j✝ : n × o

⊢ blockDiagonal (x • M) i✝ j✝ = (x • blockDiagonal M) i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R✝ : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
R : Type u_14
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : DistribMulAction R α
x : R
M : o → Matrix m n α
i✝ : m × o
j✝ : n × o

⊢ (if i✝.2 = j✝.2 then x • M i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0) = x • if i✝.2 = j✝.2 then M i✝.2 i✝.1 j✝.1 else 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq_pos : 0 < q
h0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ eLpNorm (fun x => ‖f x‖ ^ q) p μ = eLpNorm f (p * ENNReal.ofReal q) μ ^ q
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq_pos : 0 < q
h0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ eLpNorm' (fun x => ‖f x‖ ^ q) p.toReal μ = eLpNorm' f (p * ENNReal.ofReal q).toReal μ ^ q
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq_pos : 0 < q
h0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ p * ENNReal.ofReal q ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq_pos : 0 < q
h0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ p * ENNReal.ofReal q ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
hq_pos : 0 < q
h0 : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ eLpNorm' (fun x => ‖f x‖ ^ q) p.toReal μ = eLpNorm' f (p.toReal * q) μ ^ q
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
h : a < succ b

⊢ Ioc a (succ b) = insert (succ b) (Ioc a b)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n : ℕ

⊢ predictablePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n : ℕ
this : martingalePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, ((s (k + 1)).indicator 1 - μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k])

⊢ predictablePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
ℱ✝ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
s✝ : ℕ → Set Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
μ : Measure Ω
s : ℕ → Set Ω
n : ℕ
this : ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 - predictablePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 - ∑ x ∈ Finset.range n, μ[(s (x + 1)).indicator 1|↑ℱ x]

⊢ predictablePart (process s) ℱ μ n = ∑ k ∈ Finset.range n, μ[(s (k + 1)).indicator 1|↑ℱ k]
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S A
inst✝² : IsScalarTower R S A
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R K
x : K
hx : ¬x = 0
this : Invertible x := invertibleOfNonzero hx

⊢ IsAlgebraic R x⁻¹ ↔ IsAlgebraic R x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
s t : Set M
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t

⊢ IsCompact (s * t)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
s t : Set M
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t

⊢ IsCompact ((fun x => x.1 * x.2) '' s ×ˢ t)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ

⊢ (↑s).drop (n + 1) = ↑(s.drop (n + 1))
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ

⊢ ((↑s).drop n).tail = ↑(s.drop n).tail
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y

⊢ (adj.homEquiv X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (adj.homEquiv X Y) g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : CoreHomEquiv F G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : F.obj X ⟶ Y

⊢ F.map f ≫ g = (adj.homEquiv X' Y).symm (f ≫ (adj.homEquiv X Y) g)
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
a : R
ha : ¬IsUnit a

⊢ (↑{ toFun := fun x => if IsUnit x then 1 else 0, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun a = 0
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'

⊢ (if IsUnit 1 then 1 else 0) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
x y : R

⊢ { toFun := fun x => if IsUnit x then 1 else 0, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => if IsUnit x then 1 else 0, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => if IsUnit x then 1 else 0, map_one' := ⋯ }.toFun y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
x : α
xs : List α
i : Nat
h : i + 1 < (x :: xs).length

⊢ ((x :: xs).eraseIdx (i + 1)).length = (x :: xs).length - 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
x : α
xs : List α
i : Nat
h : i + 1 < (x :: xs).length
this : i < xs.length

⊢ ((x :: xs).eraseIdx (i + 1)).length = (x :: xs).length - 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
x : α
xs : List α
i : Nat
h : i + 1 < (x :: xs).length
this : i < xs.length

⊢ (xs.eraseIdx i).length + 1 = xs.length
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
H K L : Subgroup G
inst✝¹ : Finite ↑(commutatorSet G)
inst✝ : Group.FG G

⊢ (center G).index ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ Group.rank G
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
H K L : Subgroup G
inst✝¹ : Finite ↑(commutatorSet G)
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤

⊢ (center G).index ≤ Nat.card ↑(commutatorSet G) ^ Group.rank G
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
H K L : Subgroup G
inst✝¹ : Finite ↑(commutatorSet G)
inst✝ : Group.FG G
S : Finset G
hS1 : S.card = Group.rank G
hS2 : closure ↑S = ⊤

⊢ (center G).index ≤ Nat.card (↑↑S → ↑(commutatorSet G))
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≺i s
x✝ : ↑{b | s b f.top}
a : β
h : a ∈ {b | s b f.top}

⊢ ∃ a_1, (RelEmbedding.codRestrict {b | s b f.top} { toRelEmbedding := f.toRelEmbedding, init' := ⋯ }.toRelEmbedding ⋯) a_1 = ⟨a, h⟩