ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type v'
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

⊢ { toFun := fun x => (↑I x.1, ↑I' x.2), invFun := fun x => (↑I.symm x.1, ↑I'.symm x.2), source := {x | x.1 ∈ I.source ∧ x.2 ∈ I'.source}, target := __src✝.target, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.source = univ
-- Mathlib/Algebra/Lie/UniversalEnveloping.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
A : Type u₃
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
x : L

⊢ ((lift R) f) ((ι R) x) = f x
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α

⊢ s.diag ∪ s.offDiag = s ×ˢ s
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α

⊢ s.diag ∪ s.offDiag = filter (fun a => a.1 = a.2) (s ×ˢ s) ∪ filter (fun a => ¬a.1 = a.2) (s ×ˢ s)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x : α
i : m

⊢ v ⬝ᵥ Pi.single i x = v i * x
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x : α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * Pi.single i x j = 0

⊢ v ⬝ᵥ Pi.single i x = v i * x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁵ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
F : Type u_3
inst✝³ : Field F
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic k K
w : InfinitePlace k
this : Algebra k ℂ := w.embedding.toAlgebra

⊢ (fun x => x.comap (algebraMap k K)) (mk IsAlgClosed.lift.toRingHom) = w
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
b : ↥B

⊢ t⁻¹ * of ↑b = of ↑(φ.symm b) * t⁻¹
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝¹ : Group H
M : Type u_3
inst✝ : Monoid M
b : ↥B

⊢ t⁻¹ * of ↑b = t⁻¹ * of ↑b * t * t⁻¹
-- Mathlib/Data/Int/Cast/Lemmas.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : NonAssocRing α
a✝ b : α
n✝ : ℤ
a : α
n : ℤ

⊢ n • a = a * ↑n
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
s : Set ((a : ι) → π a)

⊢ IsOpen s ↔ ∀ f ∈ s, ∃ I u, (∀ a ∈ I, IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ (↑I).pi u ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
s : Set ((a : ι) → π a)

⊢ (∀ x ∈ s, 𝓝 x ≤ 𝓟 s) ↔ ∀ f ∈ s, ∃ I u, (∀ a ∈ I, IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ (↑I).pi u ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
s : Set ((a : ι) → π a)

⊢ (∀ x ∈ s, ∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ x i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s) ↔ ∀ f ∈ s, ∃ I u, (∀ a ∈ I, IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ (↑I).pi u ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
s : Set ((a : ι) → π a)
a : (a : ι) → π a
x✝ : a ∈ s

⊢ (∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ a i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s) → ∃ I u, (∀ a_2 ∈ I, IsOpen (u a_2) ∧ a a_2 ∈ u a_2) ∧ (↑I).pi u ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
s : Set ((a : ι) → π a)
a : (a : ι) → π a
x✝ : a ∈ s

⊢ (∃ I u, (∀ a_1 ∈ I, IsOpen (u a_1) ∧ a a_1 ∈ u a_1) ∧ (↑I).pi u ⊆ s) → ∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ a i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.38879, u_1} C
P : Karoubi C

⊢ P.p = { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ }.p ≫ P.p ≫ P.p
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiCompact.lean
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsAffine Y

⊢ QuasiCompact f ↔ CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
A : Set G
hA : μ.outerMeasure A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0

⊢ ∃ U, A ⊆ ↑U ∧ μ.outerMeasure ↑U ≤ μ.outerMeasure A + ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
A : Set G
hA : μ.outerMeasure A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0
hε : ε ≠ 0
U : Set G
hU : IsOpen U
h2U : A ⊆ U
h3U : (inducedOuterMeasure (fun s₁ hs₁ => μ.innerContent { carrier := s₁, is_open' := hs₁ }) ⋯ ⋯) U ≤ (inducedOuterMeasure (fun s₁ hs₁ => μ.innerContent { carrier := s₁, is_open' := hs₁ }) ⋯ ⋯) A + ↑ε

⊢ ∃ U, A ⊆ ↑U ∧ μ.outerMeasure ↑U ≤ μ.outerMeasure A + ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Operations.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
β : Type u_3
f : α → β
m : OuterMeasure β
s : Set β

⊢ f '' (f ⁻¹' s) = Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' s)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)

⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
S : Set (LieSubalgebra R L)

⊢ ⋂ p ∈ {x | ∃ s ∈ S, s.toSubmodule = x}, ↑p = ⋂ s ∈ S, ↑s
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝ : Archimedean 𝕜

⊢ ⇑(equivIccQuot p a) ∘ Quotient.mk'' = fun x => Quot.mk (EndpointIdent p a) ⟨toIocMod ⋯ a x, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝ : Archimedean 𝕜

⊢ (fun x => Quot.mk (EndpointIdent p a) ⟨toIcoMod ⋯ a x, ⋯⟩) = fun x => Quot.mk (EndpointIdent p a) ⟨toIocMod ⋯ a x, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace 𝕜
inst✝¹ : OrderTopology 𝕜
p a : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
inst✝ : Archimedean 𝕜
x : 𝕜

⊢ Quot.mk (EndpointIdent p a) ⟨toIcoMod ⋯ a x, ⋯⟩ = Quot.mk (EndpointIdent p a) ⟨toIocMod ⋯ a x, ⋯⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : HasInitial C
P Q : C
f : P ⟶ Q

⊢ to P ≫ f = to Q
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
s₁ : Set α → Prop
has_empty✝¹ : s₁ ∅
has_compl✝¹ : ∀ {a : Set α}, s₁ a → s₁ aᶜ
has_iUnion_nat✝¹ : ∀ {f : ℕ → Set α}, Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), s₁ (f i)) → s₁ (⋃ i, f i)
s₂ : Set α → Prop
has_empty✝ : s₂ ∅
has_compl✝ : ∀ {a : Set α}, s₂ a → s₂ aᶜ
has_iUnion_nat✝ : ∀ {f : ℕ → Set α}, Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), s₂ (f i)) → s₂ (⋃ i, f i)
h : ∀ (s : Set α), { Has := s₁, has_empty := has_empty✝¹, has_compl := has_compl✝¹, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝¹ }.Has s ↔ { Has := s₂, has_empty := has_empty✝, has_compl := has_compl✝, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝ }.Has s

⊢ { Has := s₁, has_empty := has_empty✝¹, has_compl := has_compl✝¹, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝¹ } = { Has := s₂, has_empty := has_empty✝, has_compl := has_compl✝, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝ }
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
s₁ : Set α → Prop
has_empty✝¹ : s₁ ∅
has_compl✝¹ : ∀ {a : Set α}, s₁ a → s₁ aᶜ
has_iUnion_nat✝¹ : ∀ {f : ℕ → Set α}, Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), s₁ (f i)) → s₁ (⋃ i, f i)
s₂ : Set α → Prop
has_empty✝ : s₂ ∅
has_compl✝ : ∀ {a : Set α}, s₂ a → s₂ aᶜ
has_iUnion_nat✝ : ∀ {f : ℕ → Set α}, Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), s₂ (f i)) → s₂ (⋃ i, f i)
h : ∀ (s : Set α), { Has := s₁, has_empty := has_empty✝¹, has_compl := has_compl✝¹, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝¹ }.Has s ↔ { Has := s₂, has_empty := has_empty✝, has_compl := has_compl✝, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝ }.Has s
this : s₁ = s₂

⊢ { Has := s₁, has_empty := has_empty✝¹, has_compl := has_compl✝¹, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝¹ } = { Has := s₂, has_empty := has_empty✝, has_compl := has_compl✝, has_iUnion_nat := has_iUnion_nat✝ }
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n

⊢ (toMatrix v₁ v₂) f i j = (v₂.repr (f (v₁ j))) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n

⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ j → (if b = j then 1 else 0) • v₁ b = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n

⊢ j ∉ Finset.univ → (if j = j then 1 else 0) • v₁ j = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝¹² : MeasurableSpace G
inst✝¹¹ : MeasurableSpace H✝
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
μ : Measure G
inst✝⁸ : μ.IsHaarMeasure
inst✝⁷ : BorelSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
H : Type u_4
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : BorelSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TopologicalGroup H
f : G →* H
hf : Continuous ⇑f
h_surj : Surjective ⇑f
h_prop : Tendsto (⇑f) (cocompact G) (cocompact H)
K : Set H
hK : IsCompact K

⊢ (map (⇑f) μ) K < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H✝ : Type u_3
inst✝¹² : MeasurableSpace G
inst✝¹¹ : MeasurableSpace H✝
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
μ : Measure G
inst✝⁸ : μ.IsHaarMeasure
inst✝⁷ : BorelSpace G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
H : Type u_4
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : BorelSpace H
inst✝¹ : T2Space H
inst✝ : TopologicalGroup H
f : G →* H
hf : Continuous ⇑f
h_surj : Surjective ⇑f
h_prop : Tendsto (⇑f) (cocompact G) (cocompact H)
K : Set H
hK : IsCompact K

⊢ μ (⇑f ⁻¹' K) < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
r : R

⊢ 0 ≤ r * star r
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Monoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

⊢ BijOn (fun x => x + d) (Ioi a) (Ioi (a + d))
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Monoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d x✝ : M
h : x✝ ∈ Ioi (a + d)

⊢ x✝ ∈ (fun x => x + d) '' Ioi a
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Monoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c✝ d c : M
h : a + d + c ∈ Ioi (a + d)

⊢ a + d + c ∈ (fun x => x + d) '' Ioi a
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Monoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c✝ d c : M
h : a < a + c

⊢ a + d + c ∈ (fun x => x + d) '' Ioi a
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s

⊢ Disjoint a (sSup (s \ {a}))
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s

⊢ ∀ (i : Finset α), ⨆ (_ : ↑i ⊆ s \ {a}), a ⊓ i.sup id = ⊥
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α

⊢ ⨆ (_ : ↑t ⊆ s \ {a}), a ⊓ t.sup id = ⊥
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a✝ b : α
s✝ s : Set α
h : ∀ (t : Finset α), ↑t ⊆ s → SetIndependent ↑t
a : α
ha : a ∈ s
t : Finset α

⊢ ↑t ⊆ s \ {a} → a ⊓ sSup ↑t = ⊥
-- Mathlib/Tactic/Group.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a b : G
n m : ℤ

⊢ a * b ^ n * b ^ m = a * b ^ (n + m)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ

⊢ ENNReal.ofReal p < 1 ↔ p < 1
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α

⊢ s ∈ 𝓝[>] a ↔ ∃ u ∈ Ioi a, Ioc a u ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
a : α
s : Set α

⊢ (∃ u ∈ Ioi a, Ioo a u ⊆ s) ↔ ∃ u ∈ Ioi a, Ioc a u ⊆ s
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Preorder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : M
hab : a ≤ b
k : ℕ

⊢ a ^ (k + 1) ≤ b ^ (k + 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Preorder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : M
hab : a ≤ b
k : ℕ

⊢ a ^ k * a ≤ b ^ k * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α

⊢ a * b⁻¹ < d⁻¹ * c ↔ d * a < c * b
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
a : α
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
h : a ∉ s
d : Fintype ↑(insert a s)

⊢ Fintype.card ↑(insert a s) = Fintype.card ↑s + 1
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
a : α
s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s
h : a ∉ s
d : Fintype ↑(insert a s)

⊢ Fintype.card ↑(insert a s) = Fintype.card ↑(insert a s)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
b : β

⊢ comap m (pure b) = 𝓟 (m ⁻¹' {b})
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G

⊢ ⊥.relindex H = Nat.card ↥H
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hn : upcrossingsBefore a b f N ω < n

⊢ stoppedValue f (upperCrossingTime a b f N (n + 1)) ω - stoppedValue f (lowerCrossingTime a b f N n) ω = 0
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hn : upcrossingsBefore a b f N ω < n
this : N ≤ upperCrossingTime a b f N n ω

⊢ stoppedValue f (upperCrossingTime a b f N (n + 1)) ω - stoppedValue f (lowerCrossingTime a b f N n) ω = 0
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
f : β → α
h : Inducing f
S : Set (Set β)
hS : ∀ s ∈ S, IsOpen s

⊢ IsOpen (⋂₀ S)
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
f : β → α
h : Inducing f
S : Set (Set β)
hS : ∀ s ∈ S, ∃ t, IsOpen t ∧ f ⁻¹' t = s

⊢ ∃ t, IsOpen t ∧ f ⁻¹' t = ⋂₀ S
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
f : β → α
h : Inducing f
S : Set (Set β)
U : (s : Set β) → s ∈ S → Set α
hU : ∀ (s : Set β) (a : s ∈ S), IsOpen (U s a)
htU : ∀ (s : Set β) (a : s ∈ S), f ⁻¹' U s a = s

⊢ ∃ t, IsOpen t ∧ f ⁻¹' t = ⋂₀ S
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
f : β → α
h : Inducing f
S : Set (Set β)
U : (s : Set β) → s ∈ S → Set α
hU : ∀ (s : Set β) (a : s ∈ S), IsOpen (U s a)
htU : ∀ (s : Set β) (a : s ∈ S), f ⁻¹' U s a = s

⊢ f ⁻¹' ⋂ i, ⋂ (j : i ∈ S), U i j = ⋂₀ S
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SpecialFunctions/RCLike.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → 𝕜
μ : MeasureTheory.Measure α
hre : Measurable fun x => RCLike.re (f x)
him : Measurable fun x => RCLike.im (f x)

⊢ Measurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SpecialFunctions/RCLike.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → 𝕜
μ : MeasureTheory.Measure α
hre : Measurable fun x => RCLike.re (f x)
him : Measurable fun x => RCLike.im (f x)
x✝ : α

⊢ f x✝ = (RCLike.ofReal ∘ fun x => RCLike.re (f x)) x✝ + (RCLike.ofReal ∘ fun x => RCLike.im (f x)) x✝ * RCLike.I
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Unitor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : C ⥤ D ⥤ D
X : C
e : F.obj X ≅ 𝟭 D
inst✝² : (Y : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.flip.obj Y)
p : I × J → J
hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j
Y Y' : GradedObject J D
φ : Y ⟶ Y'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap p
j : J

⊢ φ j ≫ (mapBifunctorLeftUnitor F X e p hp Y').inv j = (mapBifunctorLeftUnitor F X e p hp Y).inv j ≫ mapBifunctorMapMap F p (𝟙 ((single₀ I).obj X)) φ j
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Unitor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : C ⥤ D ⥤ D
X : C
e : F.obj X ≅ 𝟭 D
inst✝² : (Y : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.flip.obj Y)
p : I × J → J
hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j
Y Y' : GradedObject J D
φ : Y ⟶ Y'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap p
j : J

⊢ φ j ≫ e.inv.app (Y' j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y' j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯ = e.inv.app (Y j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y j) ≫ (F.map (𝟙 ((single₀ I).obj X) 0)).app (Y j) ≫ (F.obj ((single₀ I).obj X 0)).map (φ j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Unitor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : C ⥤ D ⥤ D
X : C
e : F.obj X ≅ 𝟭 D
inst✝² : (Y : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.flip.obj Y)
p : I × J → J
hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j
Y Y' : GradedObject J D
φ : Y ⟶ Y'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap p
j : J

⊢ φ j ≫ e.inv.app (Y' j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y' j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯ = e.inv.app (Y j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y j) ≫ (F.map (𝟙 ((single₀ I).obj X 0))).app (Y j) ≫ (F.obj ((single₀ I).obj X 0)).map (φ j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Unitor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : C ⥤ D ⥤ D
X : C
e : F.obj X ≅ 𝟭 D
inst✝² : (Y : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.flip.obj Y)
p : I × J → J
hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j
Y Y' : GradedObject J D
φ : Y ⟶ Y'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap p
j : J

⊢ φ j ≫ e.inv.app (Y' j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y' j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯ = e.inv.app (Y j) ≫ (F.map (singleObjApplyIso 0 X).inv).app (Y j) ≫ (F.obj ((single₀ I).obj X 0)).map (φ j) ≫ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y' 0 j j ⋯
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Symmetric.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric

⊢ (∀ (x : E), ⟪T x, x⟫_𝕜 = 0) ↔ T = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Symmetric.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric

⊢ (∀ (x : E), ⟪T x, x⟫_𝕜 = 0) ↔ ∀ (x : E), T x = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Symmetric.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
h : ∀ (x : E), ⟪T x, x⟫_𝕜 = 0
x : E

⊢ T x = 0