ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
h : μ t = μ u
htu : t ⊆ u
ht_ne_top : μ u ≠ ⊤

⊢ μ (u ∩ s) ≤ μ (t ∩ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
h : μ t = μ u
htu : t ⊆ u
ht_ne_top : μ u ≠ ⊤
A : μ (u ∩ s) + μ (u \ s) ≤ μ (t ∩ s) + μ (u \ s)

⊢ μ (u ∩ s) ≤ μ (t ∩ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t u : Set α
hs : MeasurableSet s
h : μ t = μ u
htu : t ⊆ u
ht_ne_top : μ u ≠ ⊤
A : μ (u ∩ s) + μ (u \ s) ≤ μ (t ∩ s) + μ (u \ s)
B : μ (u \ s) ≠ ⊤

⊢ μ (u ∩ s) ≤ μ (t ∩ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ ∃ M, 0 ≤ M ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hf_mk : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) 1 μ

⊢ ∃ M, 0 ≤ M ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hf_mk : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) 1 μ
M : ℝ
hM_pos : 0 ≤ M
hfM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊}.indicator (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε

⊢ ∃ M, 0 ≤ M ∧ ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hf_mk : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) 1 μ
M : ℝ
hM_pos : 0 ≤ M
hfM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊}.indicator (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε

⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊}.indicator (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) x‖₊ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hf_mk : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) 1 μ
M : ℝ
hM_pos : 0 ≤ M
hfM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊}.indicator (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε

⊢ (fun x => ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑‖{x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊}.indicator (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) x‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hf : Memℒp f 1 μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hf_mk : Memℒp (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) 1 μ
M : ℝ
hM_pos : 0 ≤ M
hfM : ∫⁻ (x : α), ↑‖{x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊}.indicator (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) x‖₊ ∂μ ≤ ENNReal.ofReal ε
x : α
hx : f x = AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x

⊢ ↑‖{x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f x‖₊ = ↑‖{x | M ≤ ↑‖AEStronglyMeasurable.mk f ⋯ x‖₊}.indicator (AEStronglyMeasurable.mk f ⋯) x‖₊
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
x : ℝ

⊢ cosh x ≤ rexp (x ^ 2 / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
x : ℝ

⊢ ∑' (n : ℕ), x ^ (2 * n) / ↑(2 * n)! ≤ (fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) (x ^ 2 / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
x : ℝ
i : ℕ

⊢ x ^ (2 * i) / ↑(2 * i)! ≤ (↑i !)⁻¹ • (x ^ 2 / 2) ^ i
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
x : ℝ
i : ℕ

⊢ (x ^ 2) ^ i / ↑(2 * i)! ≤ (x ^ 2) ^ i / (2 ^ i * ↑i !)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
x : ℝ
i : ℕ

⊢ 2 ^ i * i ! ≤ (2 * i)!
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
hs : u +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s
hI : I =ᶠ[ae volume] ball x (T / (2 * ↑(addOrderOf u)))
G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u

⊢ volume s = addOrderOf u • volume (s ∩ I)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
hs : u +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s
hI : I =ᶠ[ae volume] ball x (T / (2 * ↑(addOrderOf u)))
G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u
this : Fintype ↥G

⊢ volume s = addOrderOf u • volume (s ∩ I)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
s I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
hs : u +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s
hI : I =ᶠ[ae volume] ball x (T / (2 * ↑(addOrderOf u)))
G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u
this : Fintype ↥G
hsG : ∀ (g : ↥G), g +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s

⊢ volume s = addOrderOf u • volume (s ∩ I)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm' f q μ < ⊤
hp_nonneg : 0 ≤ p
hpq : p ≤ q

⊢ eLpNorm' f p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm' f q μ < ⊤
hp_nonneg : 0 ≤ p
hpq : p ≤ q
hp_nonpos : p ≤ 0

⊢ eLpNorm' f p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm' f q μ < ⊤
hp_nonneg : 0 ≤ p
hpq : p ≤ q
hp_pos : 0 < p

⊢ eLpNorm' f p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
p q : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hfq_lt_top : eLpNorm' f q μ < ⊤
hp_nonneg : 0 ≤ p
hpq : p ≤ q
hp_pos : 0 < p
hq_pos : 0 < q

⊢ eLpNorm' f p μ < ⊤
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
y : ℝ
hv : ¬v = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.addRight y).symm.toMeasurableEquiv

⊢ Measure.map (fun x => x + y) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (μ + y) v
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
y : ℝ
hv : ¬v = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.addRight y).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => 1) x) x

⊢ Measure.map (fun x => x + y) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (μ + y) v
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
y : ℝ
hv : ¬v = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.addRight y).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => 1) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'

⊢ (Measure.map (⇑e.symm) (gaussianReal μ v)) s' = (gaussianReal (μ + y) v) s'
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
y : ℝ
hv : ¬v = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.addRight y).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => 1) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'

⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', |1| * gaussianPDFReal μ v (e x)) = (gaussianReal (μ + y) v) s'
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
y : ℝ
hv : ¬v = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.addRight y).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => 1) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'

⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', gaussianPDFReal μ v (e x)) = (gaussianReal (μ + y) v) s'
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
y : ℝ
hv : ¬v = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.addRight y).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => 1) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'

⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', gaussianPDFReal μ v (e x)) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', gaussianPDFReal (μ + y) v x)
-- Mathlib/Algebra/Regular/SMul.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b✝ : R
s : S
inst✝⁶ : MonoidWithZero R
inst✝⁵ : MonoidWithZero S
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : MulActionWithZero R M
inst✝² : MulActionWithZero R S
inst✝¹ : MulActionWithZero S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : IsSMulRegular M 0
a b : M

⊢ (fun x => 0 • x) a = (fun x => 0 • x) b
-- Mathlib/Algebra/Regular/SMul.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
a✝ b✝ : R
s : S
inst✝⁶ : MonoidWithZero R
inst✝⁵ : MonoidWithZero S
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : MulActionWithZero R M
inst✝² : MulActionWithZero R S
inst✝¹ : MulActionWithZero S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : IsSMulRegular M 0
a b : M

⊢ 0 • a = 0 • b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ 1 ≤ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'

⊢ (leftShiftAddEquiv K L n a n' hn') 0 = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Presheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
η : F ⟶ A
X : C

⊢ unitBackward η X ∘ unitForward η X = id
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Presheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
η : F ⟶ A
X : C
p : YonedaCollection (restrictedYonedaObj η) X

⊢ ((unitBackward η X ∘ unitForward η X) p).fst = (id p).fst
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Presheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A F : Cᵒᵖ ⥤ Type v
η : F ⟶ A
X : C
p : YonedaCollection (restrictedYonedaObj η) X

⊢ OverArrows.val ((restrictedYonedaObj η).map (eqToHom ⋯) (id p).snd) = OverArrows.val ((unitBackward η X ∘ unitForward η X) p).snd
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι'✝ : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
f : ι → α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasBasis p s

⊢ liminf f v = sSup (⋃ j, ⋂ i, Iic (f ↑i))
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι'✝ : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
f : ι → α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasBasis p s

⊢ sSup {a | ∃ i, p i ∧ ∀ ⦃x : ι⦄, x ∈ s i → a ≤ f x} = sSup (⋃ j, ⋂ i, Iic (f ↑i))
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι'✝ : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
ι : Type u_6
ι' : Type u_7
f : ι → α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
hv : v.HasBasis p s
x : α

⊢ x ∈ {a | ∃ i, p i ∧ ∀ ⦃x : ι⦄, x ∈ s i → a ≤ f x} ↔ x ∈ ⋃ j, ⋂ i, Iic (f ↑i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
n : ℕ

⊢ ‖cauchyPowerSeries f c R n‖ = (2 * π)⁻¹ * ‖∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
n : ℕ

⊢ 0 ≤ (2 * π)⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
n : ℕ

⊢ (2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖deriv (circleMap c R) θ • (circleMap c R θ - c)⁻¹ ^ n • (circleMap c R θ - c)⁻¹ • f (circleMap c R θ)‖ = (2 * π)⁻¹ * (|R|⁻¹ ^ n * (|R| * (|R|⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c R x)‖)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
n : ℕ

⊢ (2 * π)⁻¹ * (|R|⁻¹ ^ n * (|R| * (|R|⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c R x)‖))) ≤ ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c R θ)‖) * |R|⁻¹ ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
n : ℕ

⊢ (2 * π)⁻¹ * (|0|⁻¹ ^ n * (|0| * (|0|⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c 0 x)‖))) ≤ ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c 0 θ)‖) * |0|⁻¹ ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
n : ℕ
hR : R ≠ 0

⊢ (2 * π)⁻¹ * (|R|⁻¹ ^ n * (|R| * (|R|⁻¹ * ∫ (x : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c R x)‖))) ≤ ((2 * π)⁻¹ * ∫ (θ : ℝ) in 0 ..2 * π, ‖f (circleMap c R θ)‖) * |R|⁻¹ ^ n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r

⊢ (M * (listTransvecRow M).prod) (inr ()) (inl i) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r

⊢ ∀ k ≤ r, (M * (List.take k (listTransvecRow M)).prod) (inr ()) (inl i) = if k ≤ ↑i then M (inr ()) (inl i) else 0
-- Mathlib/Dynamics/BirkhoffSum/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : PseudoEMetricSpace X
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : X → X
g l : X → E
hf : LipschitzWith 1 f
hg : UniformContinuous g

⊢ UniformEquicontinuous (birkhoffAverage 𝕜 f g)
-- Mathlib/Dynamics/BirkhoffSum/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : PseudoEMetricSpace X
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : X → X
g l : X → E
hf : LipschitzWith 1 f
hg : UniformContinuous g
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ ∀ᶠ (xy : X × X) in 𝓤 X, ∀ (i : ℕ), (birkhoffAverage 𝕜 f g i xy.1, birkhoffAverage 𝕜 f g i xy.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
-- Mathlib/Dynamics/BirkhoffSum/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : PseudoEMetricSpace X
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : X → X
g l : X → E
hf : LipschitzWith 1 f
hg : UniformContinuous g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0∞
hδ₀ : 0 < δ
hδε : ∀ (x y : X), (x, y) ∈ {p | edist p.1 p.2 ≤ δ} → (g x, g y) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}

⊢ ∀ᶠ (xy : X × X) in 𝓤 X, ∀ (i : ℕ), (birkhoffAverage 𝕜 f g i xy.1, birkhoffAverage 𝕜 f g i xy.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
-- Mathlib/Dynamics/BirkhoffSum/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
X : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : PseudoEMetricSpace X
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : X → X
g l : X → E
hf : LipschitzWith 1 f
hg : UniformContinuous g
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0∞
hδ₀ : 0 < δ
hδε : ∀ (x y : X), (x, y) ∈ {p | edist p.1 p.2 ≤ δ} → (g x, g y) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
x y : X
h : edist x y < δ
n : ℕ

⊢ (birkhoffAverage 𝕜 f g n (x, y).1, birkhoffAverage 𝕜 f g n (x, y).2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set (Set β)

⊢ f ⁻¹' ⋃₀ s = ⋃ t ∈ s, f ⁻¹' t
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x

⊢ ∑ i ∈ s, w i * z i = ∑ i ∈ s, w i * x
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ w i * z i = w i * x
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
i : ι
hi : i ∈ s
hwi : w i = 0

⊢ w i * z i = w i * x
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
i : ι
hi : i ∈ s
hwi : w i ≠ 0

⊢ w i * z i = w i * x
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x

⊢ ∑ i ∈ s, w i * x = x
-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type ?u.18537
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsNoetherianRing R
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤

⊢ FinitePresentation R M
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p μ
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p μ
n : ℕ

⊢ Memℒp (↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p μ
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p μ
n : ℕ

⊢ eLpNorm (↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n)) p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p μ
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p μ
n : ℕ

⊢ eLpNorm (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p μ
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p μ
n : ℕ
hf' : Memℒp (fun x => ‖f x - y₀‖) p μ

⊢ eLpNorm (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
hf : Memℒp f p μ
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hi₀ : Memℒp (fun x => y₀) p μ
n : ℕ
hf' : Memℒp (fun x => ‖f x - y₀‖) p μ
this : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ‖↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀‖ ≤ ‖‖f x - y₀‖ + ‖f x - y₀‖‖

⊢ eLpNorm (fun x => ↑(approxOn f fmeas s y₀ h₀ n) x - y₀) p μ < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Exact.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
f : M → N
g : N → P
g' : P → P'
inst✝¹ : Zero P
inst✝ : Zero P'
exact : Exact f g
inj : Injective g'
h0 : g' 0 = 0
x : N

⊢ (g' ∘ g) x = 0 ↔ x ∈ Set.range f
-- Mathlib/Algebra/Exact.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
f : M → N
g : N → P
g' : P → P'
inst✝¹ : Zero P
inst✝ : Zero P'
exact : Exact f g
inj : Injective g'
h0 : g' 0 = 0
x : N

⊢ x ∈ Set.range f → (g' ∘ g) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Exact.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
f : M → N
g : N → P
g' : P → P'
inst✝¹ : Zero P
inst✝ : Zero P'
exact : Exact f g
inj : Injective g'
h0 : g' 0 = 0
x : N
H : x ∈ Set.range f

⊢ (g' ∘ g) x = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y z : E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) f
x : E
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) s

⊢ ∃ y ∈ s, f x ≤ f y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y z : E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) f
x : E
hx : x ∈ {x | ∃ ι t w z, (∀ i ∈ t, 0 ≤ w i) ∧ ∑ i ∈ t, w i = 1 ∧ (∀ i ∈ t, z i ∈ s) ∧ t.centerMass w z = x}

⊢ ∃ y ∈ s, f x ≤ f y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → 𝕜
p✝ : ι → E
x y z : E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) f
α : Type
t : Finset α
w : α → 𝕜
p : α → E
hw₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hp : ∀ i ∈ t, p i ∈ s

⊢ ∃ y ∈ s, f (t.centerMass w p) ≤ f y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t✝ : Finset ι
w✝ : ι → 𝕜
p✝ : ι → E
x y z : E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) s) f
α : Type
t : Finset α
w : α → 𝕜
p : α → E
hw₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hp : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
i : α
hit : i ∈ t
Hi : f (t.centerMass w p) ≤ f (p i)

⊢ ∃ y ∈ s, f (t.centerMass w p) ≤ f y
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ✝ : Type x
γ : Type u_1
P : γ → Set γ → Prop
h : ∀ (t : Set γ), t.Finite → ∃ c, P c t

⊢ ∃ u, ∀ (n : ℕ), P (u n) (u '' Iio n)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ✝ : Type x
γ : Type u_1
P : γ → Set γ → Prop
h : ∀ (t : Set γ), t.Finite → ∃ c, P c t
this : Nonempty γ

⊢ ∃ u, ∀ (n : ℕ), P (u n) (u '' Iio n)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ✝ : Type x
γ : Type u_1
P : γ → Set γ → Prop
this : Nonempty γ
c : Set γ → γ
hc : ∀ (t : Set γ), t.Finite → P (c t) t

⊢ ∃ u, ∀ (n : ℕ), P (u n) (u '' Iio n)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ✝ : Type x
γ : Type u_1
P : γ → Set γ → Prop
this : Nonempty γ
c : Set γ → γ
hc : ∀ (t : Set γ), t.Finite → P (c t) t
f : (n : ℕ) → ((m : ℕ) → m < n → γ) → γ := fun n g => c (range fun k => g ↑k ⋯)

⊢ ∃ u, ∀ (n : ℕ), P (u n) (u '' Iio n)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ✝ : Type x
γ : Type u_1
P : γ → Set γ → Prop
this : Nonempty γ
c : Set γ → γ
hc : ∀ (t : Set γ), t.Finite → P (c t) t
f : (n : ℕ) → ((m : ℕ) → m < n → γ) → γ := fun n g => c (range fun k => g ↑k ⋯)
u : ℕ → γ := fun n => n.strongRecOn' f
n : ℕ

⊢ P (u n) (u '' Iio n)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ✝ : Type x
γ : Type u_1
P : γ → Set γ → Prop
this : Nonempty γ
c : Set γ → γ
hc : ∀ (t : Set γ), t.Finite → P (c t) t
f : (n : ℕ) → ((m : ℕ) → m < n → γ) → γ := fun n g => c (range fun k => g ↑k ⋯)
u : ℕ → γ := fun n => n.strongRecOn' f
n : ℕ

⊢ u n = c (u '' Iio n)