ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
B : Matrix m n R
hA : IsUnit A.det

⊢ (B * A).rank = B.rank
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
B : Matrix m n R
hA : IsUnit A.det

⊢ Function.Surjective ⇑A.mulVecLin
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n R
B : Matrix m n R
hA : IsUnit A.det
v : n → R

⊢ ∃ a, A.mulVecLin a = v
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : Preorder M
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
f : β → M
n✝ : ℕ
hf : StrictMono f
n : ℕ
x✝ : n.succ.succ ≠ 0

⊢ StrictMono fun x => f x ^ n.succ.succ
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Pow.lean
a✝ b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
a : α
b : ℤ
nb ne : ℕ
pb : IsNat b nb
pe' : IsInt (a ^ nb) (Int.negOfNat ne)

⊢ IsInt (a ^ b) (Int.negOfNat ne)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
hpos : 0 < n
h : IsPrimitiveRoot ζ n

⊢ ∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic' i K = X ^ n - 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Slope.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b : k

⊢ slope f a b = slope f b a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝ : DistribMulAction R A
r₁ r₂ : R

⊢ 0 = r₁ • 0 + r₂ • 0 + 0 * 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/ExistsOfLE.lean
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ExistsMulOfLE α
a b : α
h : a < b

⊢ ∃ c, 1 < c ∧ a * c = b
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/ExistsOfLE.lean
α : Type u
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ExistsMulOfLE α
a c : α
h : a < a * c

⊢ ∃ c_1, 1 < c_1 ∧ a * c_1 = a * c
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
val✝¹ : X
val✝ : Y

⊢ glueDist Ψ Φ ε (Sum.inl val✝¹).swap (Sum.inr val✝).swap = glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl val✝¹) (Sum.inr val✝)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
val✝¹ : Y
val✝ : X

⊢ glueDist Ψ Φ ε (Sum.inr val✝¹).swap (Sum.inl val✝).swap = glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr val✝¹) (Sum.inl val✝)
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}

⊢ (map φ P).toPoly = C (φ P.a) * (X - C x) * (X - C y) * (X - C z)
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}

⊢ C (φ P.a) * (Multiset.map (fun a => X - C a) {x, y, z}).prod = C (φ P.a) * (X - C x) * (X - C y) * (X - C z)
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}

⊢ C (φ P.a) * ((X - C x) ::ₘ (X - C y) ::ₘ {X - C z}).prod = C (φ P.a) * (X - C x) * (X - C y) * (X - C z)
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
x y : α
hne : x ≠ y

⊢ {x, y}.encard = 2
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u✝ u : Finset α
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ u.powerset
hℬ : ℬ ⊆ u.powerset

⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ ∅ → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ ∅ → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ ∅.powerset
hℬ : ℬ ⊆ ∅.powerset

⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a✝ : α
f g μ : Finset α → β
s t u✝ : Finset α
a : α
u : Finset α
hu : a ∉ u
ih : ∀ {f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β}, 0 ≤ f₁ → 0 ≤ f₂ → 0 ≤ f₃ → 0 ≤ f₄ → (∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)) → ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, 𝒜 ⊆ u.powerset → ℬ ⊆ u.powerset → (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset

⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a✝ : α
f g μ : Finset α → β
s t u✝ : Finset α
a : α
u : Finset α
hu : a ∉ u
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset
ih : (∑ s ∈ u.powerset, collapse 𝒜 a f₁ s) * ∑ s ∈ u.powerset, collapse ℬ a f₂ s ≤ (∑ s ∈ u.powerset ⊼ u.powerset, collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ s) * ∑ s ∈ u.powerset ⊻ u.powerset, collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ s

⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a✝ : α
f g μ : Finset α → β
s t u✝ : Finset α
a : α
u : Finset α
hu : a ∉ u
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset
ih : (∑ s ∈ u.powerset, collapse 𝒜 a f₁ s) * ∑ s ∈ u.powerset, collapse ℬ a f₂ s ≤ (∑ s ∈ u.powerset ⊼ u.powerset, collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ s) * ∑ s ∈ u.powerset ⊻ u.powerset, collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ s
this : 𝒜 ⊼ ℬ ⊆ (insert a u).powerset

⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a✝ : α
f g μ : Finset α → β
s t u✝ : Finset α
a : α
u : Finset α
hu : a ∉ u
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : 𝒜 ⊆ (insert a u).powerset
hℬ : ℬ ⊆ (insert a u).powerset
ih : (∑ s ∈ u.powerset, collapse 𝒜 a f₁ s) * ∑ s ∈ u.powerset, collapse ℬ a f₂ s ≤ (∑ s ∈ u.powerset ⊼ u.powerset, collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ s) * ∑ s ∈ u.powerset ⊻ u.powerset, collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ s
this✝ : 𝒜 ⊼ ℬ ⊆ (insert a u).powerset
this : 𝒜 ⊻ ℬ ⊆ (insert a u).powerset

⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α

⊢ (equivShrink α) (x - y) = (equivShrink α) x - (equivShrink α) y
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α

⊢ (equivShrink α) (x - y) = (equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm ((equivShrink α) x) - (equivShrink α).symm ((equivShrink α) y))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/IsOpenComapC.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
U : Set (PrimeSpectrum R[X])
s : Set R[X]
z : zeroLocus s = Uᶜ

⊢ IsOpen (⇑(PrimeSpectrum.comap C) '' U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/IsOpenComapC.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
U : Set (PrimeSpectrum R[X])
s : Set R[X]
z : zeroLocus s = Uᶜ

⊢ IsOpen (⋃ i, ⇑(PrimeSpectrum.comap C) '' (zeroLocus {↑i})ᶜ)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/IsOpenComapC.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
U : Set (PrimeSpectrum R[X])
s : Set R[X]
z : zeroLocus s = Uᶜ

⊢ IsOpen (⋃ i, imageOfDf ↑i)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p : S[X]
r : R
hp : p ∈ lifts (algebraMap R S)

⊢ r • p ∈ lifts (algebraMap R S)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p : S[X]
r : R
hp : p ∈ (mapAlg R S).range

⊢ r • p ∈ (mapAlg R S).range
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H

⊢ Tendsto Inv.inv (𝓝[>] a⁻¹) (𝓝[<] a)
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
n : ℕ

⊢ ↑n ∈ S
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ

⊢ 4096 < rexp 16
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ

⊢ 12 * log 2 < 16
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 12 * 0.6931471808 < 16

⊢ 12 * log 2 < 16
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
q : PMF (α → β)
p : PMF α
b : β

⊢ (q.seq p) b = ∑' (f : α → β) (a : α), if b = f a then q f * p a else 0
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
q : PMF (α → β)
p : PMF α
b : β

⊢ (∑' (a : α → β), q a * ∑' (a_1 : α), if b = a a_1 then p a_1 else 0) = ∑' (f : α → β) (a : α), if b = f a then q f * p a else 0
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
q : PMF (α → β)
p : PMF α
b : β
f : α → β
a : α

⊢ (q f * if b = f a then p a else 0) = if b = f a then q f * p a else 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d✝ : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
d : 𝕜'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

⊢ derivWithin (fun x => c x / d) s x = derivWithin c s x / d
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Finite/Matrix.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
K m n : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
w : m → K
v : n → K
a✝ : Nontrivial K

⊢ (toLin' (vecMulVec w v)).rank ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Finite/Matrix.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
K m n : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
w : m → K
v : n → K
a✝ : Nontrivial K

⊢ (toLin' (col (Fin 1) w) ∘ₗ toLin' (row (Fin 1) v)).rank ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Finite/Matrix.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
K m n : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
w : m → K
v : n → K
a✝ : Nontrivial K

⊢ (toLin' (col (Fin 1) w)).rank ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Finite/Matrix.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
K m n : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
w : m → K
v : n → K
a✝ : Nontrivial K

⊢ Module.rank K (Fin 1 → K) = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasColimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
c : Cocone F
j✝ : J

⊢ ι (F ⋙ G) j✝ ≫ post F G ≫ G.map (desc F c) = ι (F ⋙ G) j✝ ≫ desc (F ⋙ G) (G.mapCocone c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasColimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasColimit (F ⋙ G)
c : Cocone F
j✝ : J

⊢ G.map (c.ι.app j✝) = (G.mapCocone c).ι.app j✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z

⊢ x < y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z

⊢ x ^ 1 < y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z

⊢ x ^ (z * z⁻¹) < y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z < y
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S
inst✝ : IsLocalization M R'
s : Set S
x : S
hx : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R' s)

⊢ ∃ t, t • x ∈ Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R s)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁷ : CommRing R'
inst✝⁶ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S
inst✝ : IsLocalization M R'
s : Set S
x : S
hx : x ∈ Submodule.span R' ↑(Submonoid.closure s)

⊢ ∃ t, t • x ∈ Submodule.span R ↑(Submonoid.closure s)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R

⊢ (p + q).degrees ≤ p.degrees ⊔ q.degrees
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R

⊢ ((p + q).support.sup fun s => toMultiset s) ≤ (p.support.sup fun s => toMultiset s) ⊔ q.support.sup fun s => toMultiset s
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
P : α → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsSymm α r
h : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y

⊢ ∃ f, (∀ (n : ℕ), P (f n)) ∧ Pairwise fun m n => r (f m) (f n)
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
P : α → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsSymm α r
h : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), P (f n)
hf' : ∀ (m n : ℕ), m < n → r (f m) (f n)

⊢ ∃ f, (∀ (n : ℕ), P (f n)) ∧ Pairwise fun m n => r (f m) (f n)
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
P : α → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsSymm α r
h : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), P (f n)
hf' : ∀ (m n : ℕ), m < n → r (f m) (f n)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n

⊢ (fun m n => r (f m) (f n)) m n
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
P : α → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsSymm α r
h✝ : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), P (f n)
hf' : ∀ (m n : ℕ), m < n → r (f m) (f n)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
h : m < n

⊢ r (f m) (f n)
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
P : α → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsSymm α r
h : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), P (f n)
hf' : ∀ (m n : ℕ), m < n → r (f m) (f n)
m : ℕ
hmn : m ≠ m

⊢ r (f m) (f m)
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
P : α → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsSymm α r
h✝ : ∀ (s : Finset α), (∀ x ∈ s, P x) → ∃ y, P y ∧ ∀ x ∈ s, r x y
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), P (f n)
hf' : ∀ (m n : ℕ), m < n → r (f m) (f n)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
h : n < m

⊢ r (f m) (f n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)
hlo : (fun n => ↑n / log ↑n ^ 2) =o[atTop] fun n => ↑n

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ‖↑x‖

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ‖↑x‖
n : ℕ
hn : ‖↑n / log ↑n ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ‖↑n‖
hn' : ∀ (i : α), b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)

⊢ ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ‖↑x‖
n : ℕ
hn : ‖↑n / log ↑n ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ‖↑n‖
hn' : ∀ (i : α), b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)
i : α

⊢ b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
gt_zero : 0 < b (min_bi b)
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ‖↑x‖
n : ℕ
hn' : ∀ (i : α), b i * ↑n - ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ ↑(r i n)
i : α
hn : ‖↑n / log ↑n ^ 2‖ ≤ b (min_bi b) / 2 * ↑n

⊢ b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α
h : ∀ x ∈ s, IsBounded s

⊢ IsBounded s
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
t : Set α
x : α
h : ∀ x ∈ ∅, IsBounded ∅

⊢ IsBounded ∅
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝¹ : Bornology α
s t : Set α
x✝ : α
h : ∀ x ∈ s, IsBounded s
x : α
hx : x ∈ s

⊢ IsBounded s
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I

⊢ M.Basis I (M.closure I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep I

⊢ M.Basis I {x | M.Basis I (insert x I)}
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ

⊢ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), f n x ∂μ - ∫ (x : Ω), f 0 x ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
h₁ : 0 ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (1 - upcrossingStrat a b f N k) * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ

⊢ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), f n x ∂μ - ∫ (x : Ω), f 0 x ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
h₁ : 0 ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (1 - upcrossingStrat a b f N k) * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ
h₂ : ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (1 - upcrossingStrat a b f N k) * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ = ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (f (k + 1) - f k)) x ∂μ - ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ

⊢ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), f n x ∂μ - ∫ (x : Ω), f 0 x ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
h₁ : ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (f (k + 1) - f k)) x ∂μ
h₂ : ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (1 - upcrossingStrat a b f N k) * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ = ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (f (k + 1) - f k)) x ∂μ - ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ

⊢ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), f n x ∂μ - ∫ (x : Ω), f 0 x ∂μ