ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Filter/ENNReal.lean
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha_top : a ≠ ⊤
ha_zero : ¬a = 0
g : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun x => a * x

⊢ limsup (fun x => a * u x) f = a * limsup u f
-- Mathlib/Order/Filter/ENNReal.lean
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha_top : a ≠ ⊤
ha_zero : ¬a = 0
g : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun x => a * x
hg_bij : Function.Bijective g

⊢ limsup (fun x => a * u x) f = a * limsup u f
-- Mathlib/Order/Filter/ENNReal.lean
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha_top : a ≠ ⊤
ha_zero : ¬a = 0
g : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun x => a * x
hg_bij : Function.Bijective g
hg_mono : StrictMono g

⊢ limsup (fun x => a * u x) f = a * limsup u f
-- Mathlib/Order/Filter/ENNReal.lean
α : Type u_1
f : Filter α
u : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha_top : a ≠ ⊤
ha_zero : ¬a = 0
g : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞ := fun x => a * x
hg_bij : Function.Bijective g
hg_mono : StrictMono g
g_iso : ℝ≥0∞ ≃o ℝ≥0∞ := StrictMono.orderIsoOfSurjective g hg_mono ⋯

⊢ limsup (fun x => a * u x) f = a * limsup u f
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r : List β
y : α
ys : List α
f : List α → β

⊢ (permutationsAux2 t ts r (y :: ys) f).2 = f (t :: y :: ys ++ ts) :: (permutationsAux2 t ts r ys fun x => f (y :: x)).2
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ Tendsto (fun x => x ^ (-↑n)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m✝ n a b c d m : ℕ
h : a ≡ b [MOD m * n]

⊢ a ≡ b [MOD n]
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m✝ n a b c d m : ℕ
h : ↑(m * n) ∣ ↑b - ↑a

⊢ ↑n ∣ ↑b - ↑a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean

⊢ ↑π + ↑π = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫ (x : α) in s, (μ.rnDeriv ν x).toReal ∂ν = ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)) s).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (∫⁻ (a : α) in s, μ.rnDeriv ν a ∂ν).toReal = ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)) s).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ν.restrict s, μ.rnDeriv ν x < ⊤
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

⊢ constantCoeff (wittMul p n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

⊢ constantCoeff (X 0 * X 1) = 0
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α✝
ι✝ : Type u_5
π : ι✝ → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι✝) → TopologicalSpace (π i)
ι : Type u_7
α : ι → Type u_8
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (α i)
I : Set ι
s : (i : ι) → Set (α i)
x : (i : ι) → α i

⊢ x ∈ closure (I.pi s) ↔ ∀ i ∈ I, x i ∈ closure (s i)
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s

⊢ a ⊓ b ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.44478, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : (HomologicalComplex V c)ᵒᵖ
i✝ : ι

⊢ ((opFunctor V c).map ((opUnitIso V c).hom.app X) ≫ (opCounitIso V c).hom.app ((opFunctor V c).obj X)).f i✝ = (𝟙 ((opFunctor V c).obj X)).f i✝
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.44478, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : (HomologicalComplex V c)ᵒᵖ
i✝ : ι

⊢ (Iso.refl ((unop X).op.unopSymm.X i✝)).hom.op ≫ (Iso.refl (((opInverse V c ⋙ opFunctor V c).obj ((opFunctor V c).obj X)).X i✝)).hom = (𝟙 ((opFunctor V c).obj X)).f i✝
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
s : Set A

⊢ (adjoin R s).toSubmodule = Submodule.span R ↑(Subsemigroup.closure (s ∪ star s))
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
f : ℂ → ℂ
c z : ℂ
R R₁ R₂ : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R)
h_maps : MapsTo f (ball c R) (ball c R)
hc : f c = c
hz : z ∈ ball c R

⊢ dist (f z) c ≤ dist z c
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
f : ℂ → ℂ
c z : ℂ
R R₁ R₂ : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R)
h_maps : MapsTo f (ball c R) (ball c R)
hc : f c = c
hz : z ∈ ball c R
this : dist (f z) (f c) ≤ R / R * dist z c

⊢ dist (f z) c ≤ dist z c
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
f : ℂ → ℂ
c z : ℂ
R R₁ R₂ : ℝ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R)
h_maps : MapsTo f (ball c R) (ball c R)
hc : f c = c
hz : z ∈ ball c R
this : dist (f z) c ≤ R / R * dist z c

⊢ R ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

⊢ (fun x => -f' x) =O[l] g ↔ f' =O[l] g
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

⊢ (∃ c, IsBigOWith c l (fun x => -f' x) g) ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f' g
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

⊢ ‖x + y‖ = √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖) ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Hom/Ring.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁵ : NonAssocSemiring α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : NonAssocSemiring β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : NonAssocSemiring γ
inst✝ : Preorder γ
f g : α ≃+*o β
h : f.toOrderRingHom = g.toOrderRingHom

⊢ (fun f => ⇑f) f = (fun f => ⇑f) g
-- Mathlib/Data/Int/Order/Units.lean
u : ℤˣ

⊢ ↑u * ↑u = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ Function.Antiperiodic cexp (↑π * I)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/SimplyConnected.lean
Y : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace Y

⊢ SimplyConnectedSpace Y ↔ PathConnectedSpace Y ∧ ∀ {x y : Y} (p₁ p₂ : Path x y), p₁.Homotopic p₂
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/SimplyConnected.lean
Y : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace Y
a✝¹ a✝ : Y

⊢ (∀ (p₁ p₂ : Path a✝¹ a✝), p₁.Homotopic p₂) ↔ Subsingleton (Path.Homotopic.Quotient a✝¹ a✝)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/SimplyConnected.lean
Y : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace Y
a✝¹ a✝ : Y

⊢ (∀ (p₁ p₂ : Path a✝¹ a✝), p₁.Homotopic p₂) ↔ ∀ (x y : Path a✝¹ a✝), (Path.Homotopic.setoid a✝¹ a✝).Rel x y
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

⊢ All P (l.rotateL x r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P r
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
size✝ : ℕ
l✝ : Ordnode α
x✝ : α
r✝ : Ordnode α

⊢ All P (if l✝.size < ratio * r✝.size then l.node3L x l✝ x✝ r✝ else l.node4L x l✝ x✝ r✝) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P (node size✝ l✝ x✝ r✝)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U

⊢ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, b i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f : Y → Set X
e : U = ⋃ i, f i
hf : ∀ (i : Y), f i ∈ range b

⊢ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, b i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f : Y → Set X
e : U = ⋃ i, f i
f' : Y → ι
hf' : ∀ (i : Y), b (f' i) = f i

⊢ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, b i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f : Y → Set X
e : U = ⋃ i, f i
f' : Y → ι
hf' : ∀ (i : Y), b (f' i) = f i
this : b ∘ f' = f

⊢ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, b i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f' : Y → ι
e : U = ⋃ i, (b ∘ f') i
hf' : ∀ (i : Y), b (f' i) = (b ∘ f') i

⊢ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, b i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t✝ : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f' : Y → ι
e : U = ⋃ i, (b ∘ f') i
hf' : ∀ (i : Y), b (f' i) = (b ∘ f') i
t : Finset Y
ht : U ⊆ ⋃ i ∈ t, (b ∘ f') i

⊢ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, b i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t✝ : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f' : Y → ι
e : U = ⋃ i, (b ∘ f') i
hf' : ∀ (i : Y), b (f' i) = (b ∘ f') i
t : Finset Y
ht : U ⊆ ⋃ i ∈ t, (b ∘ f') i

⊢ U ≤ ⋃ i ∈ ↑(Finset.image f' t), b i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y✝ : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y✝
s t✝ : Set X
b : ι → Set X
hb : IsTopologicalBasis (range b)
U : Set X
hUc : IsCompact U
hUo : IsOpen U
Y : Type u
f' : Y → ι
e : U = ⋃ i, (b ∘ f') i
hf' : ∀ (i : Y), b (f' i) = (b ∘ f') i
t : Finset Y
ht : U ⊆ ⋃ i ∈ t, (b ∘ f') i

⊢ ⋃ i ∈ ↑(Finset.image f' t), b i ≤ U
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : σ → τ
p : MvPolynomial σ R
b : τ →₀ ℕ

⊢ b ∈ ((rename f) p).support → (b.sum fun x e => e) ≤ p.totalDegree
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/WF.lean
α : Type u_1
c : RBColor
n : Nat
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α
hr : r.Balanced c n

⊢ (l.balance2 v r).reverse.reverse = node black l v r
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ

⊢ (gaussianReal μ v) s = ∫⁻ (x : ℝ) in s, gaussianPDF μ v x
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring R
a b : R
n✝ n : ℕ

⊢ (-1) ^ n = (-1) ^ (n % 2)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring R
a b : R
n✝ n : ℕ

⊢ (-1) ^ (n % 2) * ((-1) ^ 2) ^ (n / 2) = (-1) ^ ((n % 2 + 2 * (n / 2)) % 2)
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
x : α
ι : Type u_2
f g : ι → ℝ
s : Finset ι
hf : ∀ (i : ι), 0 ≤ f i
hg : ∀ (i : ι), 0 ≤ g i

⊢ ∑ i ∈ s, √(f i) * √(g i) ≤ √(∑ i ∈ s, f i) * √(∑ i ∈ s, g i)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α✝ : Type u
inst✝² : DecidableEq α✝
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
σ : α → Perm β
l : List α
hl : l.Nodup
mem_l : ∀ (a : α), a ∈ l
a : α
b : β

⊢ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (prodCongrRight σ) (a, b)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α✝ : Type u
inst✝² : DecidableEq α✝
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
σ : α → Perm β
l : List α
hl : l.Nodup
mem_l : ∀ (a : α), a ∈ l
a : α
b : β

⊢ a ∈ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, b)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α✝ : Type u
inst✝² : DecidableEq α✝
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
σ : α → Perm β
a : α
b : β
a' : α
l : List α
ih : l.Nodup → a ∈ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, b)
hl : (a' :: l).Nodup

⊢ a ∈ a' :: l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) (a' :: l)).prod (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ a' :: l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) (a' :: l)).prod (a, b) = (a, b)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α✝ : Type u
inst✝² : DecidableEq α✝
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
σ : α → Perm β
a : α
b : β
a' : α
l : List α
ih : l.Nodup → a ∈ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, b)
hl : (a' :: l).Nodup

⊢ a ∈ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) ((List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b)) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) ((List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b)) = (a, b)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α✝ : Type u
inst✝² : DecidableEq α✝
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
σ : α → Perm β
a : α
b : β
a' : α
l : List α
ih : l.Nodup → a ∈ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, b)
hl : (a' :: l).Nodup
mem_l : a ∈ l
prod_eq : (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, (σ a) b)

⊢ a ∈ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) (a, (σ a) b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) (a, (σ a) b) = (a, b)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α✝ : Type u
inst✝² : DecidableEq α✝
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α✝
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
σ : α → Perm β
a : α
b : β
a' : α
l : List α
ih : l.Nodup → a ∈ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ l ∧ (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, b)
hl : (a' :: l).Nodup
not_mem_l : a ∉ l
prod_eq : (List.map (fun a => prodExtendRight a (σ a)) l).prod (a, b) = (a, b)

⊢ a ∈ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) (a, b) = (a, (σ a) b) ∨ a ∉ a' :: l ∧ (prodExtendRight a' (σ a')) (a, b) = (a, b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Diagonal.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K

⊢ LinearMap.range (toLin' (diagonal w)) = ⨆ i ∈ {i | w i ≠ 0}, LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Diagonal.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K

⊢ LinearMap.range (toLin' (diagonal w)) = ⨆ i, ⨆ (_ : w i ≠ 0), LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Diagonal.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K

⊢ ⨆ i, Submodule.map (toLin' (diagonal w)) (LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun a => K) i)) = ⨆ i, ⨆ (_ : w i ≠ 0), LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Diagonal.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K

⊢ (fun i => Submodule.map (toLin' (diagonal w)) (LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun a => K) i))) = fun i => ⨆ (_ : w i ≠ 0), LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Diagonal.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K
i : m

⊢ Submodule.map (toLin' (diagonal w)) (LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun a => K) i)) = ⨆ (_ : w i ≠ 0), LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp : ¬p = 0

⊢ p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
hg : UnifTight g p μ
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ

⊢ UnifTight (f - g) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
hg : UnifTight g p μ
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ

⊢ UnifTight (f + -g) p μ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x y : A
x✝¹ : Homogeneous 𝒜 x
x✝ : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q
nx : ℕ
hnx : x ∈ 𝒜 nx
ny : ℕ
hny : y ∈ 𝒜 ny

⊢ (∀ (i : ℕ), HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) x ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal) ∨ ∀ (i : ℕ), HomogeneousLocalization.mk { deg := m * i, num := ⟨(proj 𝒜 i) y ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ i, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x y : A
x✝¹ : Homogeneous 𝒜 x
x✝ : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q
nx : ℕ
hnx : x ∈ 𝒜 nx
ny : ℕ
hny : y ∈ 𝒜 ny

⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * nx, num := ⟨(proj 𝒜 nx) x ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ nx, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal ∨ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * ny, num := ⟨(proj 𝒜 ny) y ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ ny, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x y : A
x✝¹ : Homogeneous 𝒜 x
x✝ : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q
nx : ℕ
hnx : x ∈ 𝒜 nx
ny : ℕ
hny : y ∈ 𝒜 ny

⊢ ∀ (b : ℕ), b ≠ ny → HomogeneousLocalization.mk { deg := m * b, num := ⟨(proj 𝒜 b) y ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ b, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x y : A
x✝¹ : Homogeneous 𝒜 x
x✝ : Homogeneous 𝒜 y
hxy : x * y ∈ asIdeal f_deg hm q
nx : ℕ
hnx : x ∈ 𝒜 nx
ny : ℕ
hny : y ∈ 𝒜 ny

⊢ ∀ (b : ℕ), b ≠ nx → HomogeneousLocalization.mk { deg := m * b, num := ⟨(proj 𝒜 b) x ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ b, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
-- Mathlib/RingTheory/Regular/RegularSequence.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Nontrivial M
h : ⊤ = Ideal.ofList [] • ⊤

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Regular/RegularSequence.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Nontrivial M
h : Subsingleton (Submodule R M)

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q p : R[X]
hq : q ≠ 0

⊢ p.degree ≤ (p * q).degree
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
φ : G ≃g G'
v : V
v' : V'
C : G.ConnectedComponent

⊢ G.connectedComponentMk (φ.symm v') = C ↔ G'.connectedComponentMk v' = map (RelIso.toRelEmbedding φ).toRelHom C
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
φ : G ≃g G'
v : V
v' : V'
C : G.ConnectedComponent
u : V

⊢ G.connectedComponentMk (φ.symm v') = G.connectedComponentMk u ↔ G'.connectedComponentMk v' = map (RelIso.toRelEmbedding φ).toRelHom (G.connectedComponentMk u)
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s ∩ r.dom

⊢ x ∈ r.preimage (r.image s)
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s ∧ x ∈ {x | ∃ y, r x y}

⊢ x ∈ r.preimage (r.image s)
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : β
rxy : r x y

⊢ x ∈ r.preimage (r.image s)
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : β
rxy : r x y

⊢ y ∈ r.image s ∧ r.inv y x
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : β
rxy : r x y

⊢ (∃ x ∈ s, r x y) ∧ r.inv y x
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ

⊢ Odd (m + n) ↔ (Odd n ↔ Even m)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hf : (s ∩ mulSupport f).Finite
hg : (s ∩ mulSupport g).Finite

⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i * g i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hf : (mulSupport (s.mulIndicator f)).Finite
hg : (mulSupport (s.mulIndicator g)).Finite

⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i * g i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g i