ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' n) f s x
le : m ≤ n

⊢ LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' m) f s x
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
t : F.obj X

⊢ yonedaEquiv.symm (F.map f t) = yoneda.map f.unop ≫ yonedaEquiv.symm t
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
u : yoneda.obj (unop X) ⟶ F

⊢ yonedaEquiv.symm (F.map f (yonedaEquiv u)) = yoneda.map f.unop ≫ yonedaEquiv.symm (yonedaEquiv u)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Module.Finite R M'
ι : Type v
inst✝ : Fintype ι

⊢ finrank R (ι →₀ R) = card ι
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ HasSum (fun n => 1 / (↑n + ↑a) ^ s) (hurwitzZeta (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ (fun n => 1 / (↑n + ↑a) ^ s) = fun b => (1 / (↑b + ↑a) ^ s + 1 / (↑b + 1 - ↑a) ^ s) / 2 + (1 / (↑b + ↑a) ^ s - 1 / (↑b + 1 - ↑a) ^ s) / 2
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f : M → N
x y : M

⊢ polar (-f) x y = -polar f x y
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0

⊢ (extendIdealTo i f h y) r = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
this : r ∈ ideal i f y

⊢ (extendIdealTo i f h y) r = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
this : r ∈ ideal i f y

⊢ (idealTo i f y) ⟨r, this⟩ = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
r : R
eq1 : r • y = 0
this : r ∈ ideal i f y

⊢ ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y, ⋯⟩ = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β

⊢ TendstoUniformlyOn F f p s ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, dist (f x) (F n x) < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, dist (f x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α

⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (f x, F n x) ∈ u
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, dist (f x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ {a b : α}, dist a b < ε → (a, b) ∈ u

⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (f x, F n x) ∈ u
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t✝ : Finset β
a : α
b c : β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ t
a✝ : β

⊢ a✝ ∈ filter (fun y => y ∈ image f s) t ↔ a✝ ∈ image f s
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t✝ : Finset β
a : α
b c : β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ t
a✝ : β

⊢ ∀ x ∈ s, f x = a✝ → a✝ ∈ t
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝³ : Traversable t
inst✝² : LawfulTraversable t
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m β
x : β
xs : t α

⊢ foldrm f x xs = (foldrM.ofFreeMonoid f) (FreeMonoid.ofList (toList xs)) x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α

⊢ (swap x y).support = {x, y} ↔ x ≠ y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x y : α
h : (swap x y).support = {x, y}

⊢ x ≠ y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
x : α
h : (swap x x).support = {x, x}

⊢ False
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
α : Sort u_1

⊢ ⨅ x, 0 = 0
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
α : Sort u_1
h✝ : IsEmpty α

⊢ ⨅ x, 0 = 0
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
α : Sort u_1
h✝ : Nonempty α

⊢ ⨅ x, 0 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
inst✝ : SFinite ν
hμν : μ ≪ ν
s : Set α

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x ∂ν = μ s
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁵ : SemilatticeInf α
inst✝⁴ : OrderTop α
s✝¹ s₁ s₂ : Finset β
f✝ g✝ : β → α
a : α
inst✝³ : SemilatticeInf β
inst✝² : OrderTop β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfTopHomClass F α β
f : F
s✝ : Finset ι
g : ι → α
i : ι
s : Finset ι
x✝ : i ∉ s
h : f (s.inf g) = s.inf (⇑f ∘ g)

⊢ f ((cons i s x✝).inf g) = (cons i s x✝).inf (⇑f ∘ g)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X✝ Y✝ : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)

⊢ (inv ((linearization k G).μ X Y)).hom = ↑(finsuppTensorFinsupp' k X.V Y.V).symm
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X✝ Y✝ : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)

⊢ inv ((Action.forget (ModuleCat k) (MonCat.of G)).map ((linearization k G).μ X Y)) = ↑(finsuppTensorFinsupp' k X.V Y.V).symm
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X✝ Y✝ : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)

⊢ (Action.forget (ModuleCat k) (MonCat.of G)).map ((linearization k G).μ X Y) ≫ ↑(finsuppTensorFinsupp' k X.V Y.V).symm = 𝟙 ((Action.forget (ModuleCat k) (MonCat.of G)).obj (MonoidalCategory.tensorObj ((linearization k G).obj X) ((linearization k G).obj Y)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V1
inst✝ : Module k V2
c p : P1

⊢ (homothety c 1) p = (id k P1) p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
a b : ℝ
nb : ℕ
num : ℤ
den : ℕ
pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : IsRat (a ^ Int.negOfNat nb) num den

⊢ IsRat (a ^ b) num den
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
j : J

⊢ ι f j ≫ π f j = 𝟙 (f j)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/AnalyticManifold.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s

⊢ PartialHomeomorph.ofSet s hs ∈ contDiffGroupoid ⊤ I ⊓ { property := fun f s => AnalyticOn 𝕜 (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ∧ ↑I ∘ f ∘ ↑I.symm '' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ⊆ interior (range ↑I), comp := ⋯, id_mem := ⋯, locality := ⋯, congr := ⋯ }.groupoid
-- Mathlib/Geometry/Manifold/AnalyticManifold.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s

⊢ PartialHomeomorph.ofSet s hs ∈ { property := fun f s => AnalyticOn 𝕜 (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ∧ ↑I ∘ f ∘ ↑I.symm '' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ⊆ interior (range ↑I), comp := ⋯, id_mem := ⋯, locality := ⋯, congr := ⋯ }.groupoid.members
-- Mathlib/Geometry/Manifold/AnalyticManifold.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s

⊢ { property := fun f s => AnalyticOn 𝕜 (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ∧ ↑I ∘ f ∘ ↑I.symm '' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ⊆ interior (range ↑I), comp := ⋯, id_mem := ⋯, locality := ⋯, congr := ⋯ }.property (↑(PartialHomeomorph.ofSet s hs)) (PartialHomeomorph.ofSet s hs).source ∧ { property := fun f s => AnalyticOn 𝕜 (↑I ∘ f ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ∧ ↑I ∘ f ∘ ↑I.symm '' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ⊆ interior (range ↑I), comp := ⋯, id_mem := ⋯, locality := ⋯, congr := ⋯ }.property (↑(PartialHomeomorph.ofSet s hs).symm) (PartialHomeomorph.ofSet s hs).target
-- Mathlib/Geometry/Manifold/AnalyticManifold.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s

⊢ AnalyticOn 𝕜 (↑I ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ∧ ↑I ∘ ↑I.symm '' (↑I.symm ⁻¹' s ∩ interior (range ↑I)) ⊆ interior (range ↑I)
-- Mathlib/Data/Finset/Density.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α

⊢ (s \ t).dens + (s ∩ t).dens = s.dens
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Ring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f g : M →ₗ[R] N
x✝ : M

⊢ ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A (f - g))) 1) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A f - baseChange A g)) 1) x✝
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Unique ι

⊢ stdSimplex 𝕜 ι = {fun x => 1}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Unique ι

⊢ ∀ x ∈ stdSimplex 𝕜 ι, x = fun x => 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Unique ι
f : ι → 𝕜
hf : ∑ x : ι, f x = 1

⊢ f = fun x => 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Unique ι
f : ι → 𝕜
hf : f default = 1

⊢ f = fun x => 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 E
h : Submodule.map f U ⟂ Submodule.map f V

⊢ U ⟂ V
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 E
h : Submodule.map f U ⟂ Submodule.map f V
hf : ∀ (p : Submodule 𝕜 E), Submodule.comap f.toLinearIsometry (Submodule.map f p) = p

⊢ U ⟂ V
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M

⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m 1) = f m
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Lemmas.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y✝ : R
inst✝ : CommSemiring R
x y : R

⊢ IsNilpotent x ↔ ∀ (J : Ideal R), J.IsPrime → x ∈ J
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Lemmas.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y✝ : R
inst✝ : CommSemiring R
x y : R

⊢ (∀ p ∈ {J | J.IsPrime}, x ∈ p) ↔ ∀ (J : Ideal R), J.IsPrime → x ∈ J
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : Fin n → α → σ
hf : ∀ (i : Fin n), Primrec (f i)

⊢ Primrec fun a => (Vector.ofFn fun i => f i a).toList
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
M₀ : Type u_7
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M₀
n : ℕ
ζ : M₀
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α : M₀
hα : α ≠ 0
i : ℕ
hi : i ∈ ↑(range n)
j : ℕ
hj : j ∈ ↑(range n)
e : (fun x => ζ ^ x * α) i = (fun x => ζ ^ x * α) j

⊢ (fun x => ζ ^ x) i = (fun x => ζ ^ x) j
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℝ

⊢ log (x ^ y) = y * log x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℝ

⊢ rexp (log (x ^ y)) = rexp (y * log x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h : s1 < s2
p : P
hp : p ∈ ↑s1

⊢ s1.direction < s2.direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h : s1 ≤ s2 ∧ ∃ p ∈ s2, p ∉ s1
p : P
hp : p ∈ ↑s1

⊢ s1.direction < s2.direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : p2 ∉ s1

⊢ s1.direction < s2.direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : p2 ∉ s1

⊢ s1.direction ≤ s2.direction ∧ ∃ x ∈ s2.direction, x ∉ s1.direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : p2 ∉ s1

⊢ p2 -ᵥ p ∉ s1.direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : p2 ∉ s1
hm : p2 -ᵥ p ∈ s1.direction

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
p : P
hp : p ∈ ↑s1
hle : s1 ≤ s2
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s2
hp2s1 : p2 ∉ s1
hm : p2 ∈ s1

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁷ : F.PreservesZeroMorphisms
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
ψl : LeftHomologyMapData φ hl₁ hl₂
ψr : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂
inst✝⁶ : S₁.HasHomology
inst✝⁵ : S₂.HasHomology
inst✝⁴ : (F.mapShortComplex.obj S₁).HasHomology
inst✝³ : (F.mapShortComplex.obj S₂).HasHomology
inst✝² : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₂
inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms
γ : RightHomologyMapData φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData

⊢ QuasiIso (F.mapShortComplex.map φ) ↔ QuasiIso φ
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁷ : F.PreservesZeroMorphisms
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
ψl : LeftHomologyMapData φ hl₁ hl₂
ψr : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂
inst✝⁶ : S₁.HasHomology
inst✝⁵ : S₂.HasHomology
inst✝⁴ : (F.mapShortComplex.obj S₁).HasHomology
inst✝³ : (F.mapShortComplex.obj S₂).HasHomology
inst✝² : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₂
inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms
γ : RightHomologyMapData φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData

⊢ IsIso (F.map γ.φH) ↔ IsIso γ.φH
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
r s t : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)

⊢ IsOpen (⋃ L ∈ K, {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t})
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K✝ : Set (E →L[𝕜] F)
r s t : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
L : E →L[𝕜] F
x✝ : L ∈ K

⊢ IsOpen {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t}
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y x : V

⊢ arccos (⟪x, 0⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖0‖)) = π / 2
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
a : (_ : Fin n) × Fin n

⊢ a ∈ finPairsLT n ↔ a.snd < a.fst
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
y : ℝ≥0∞
hy : 1 < y
h'y : y ≠ ⊤
x : ℝ≥0∞

⊢ x ∈ Ioo 0 ⊤ ↔ x ∈ ⋃ n, Ico (y ^ n) (y ^ (n + 1))
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
y : ℝ≥0∞
hy : 1 < y
h'y : y ≠ ⊤
x : ℝ≥0∞

⊢ 0 < x ∧ x < ⊤ ↔ ∃ i, y ^ i ≤ x ∧ x < y ^ (i + 1)
-- Mathlib/ModelTheory/Encoding.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'

⊢ #((n : ℕ) × L.BoundedFormula α n) ≤ max ℵ₀ (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card)
-- Mathlib/ModelTheory/Encoding.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'

⊢ lift.{max (max u' v) u, max (max u' v) u} #(List BoundedFormula.encoding.Γ) ≤ lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (max ℵ₀ (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card))
-- Mathlib/ModelTheory/Encoding.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'

⊢ lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} #((k : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin k) ⊕ (n : ℕ) × L.Relations n ⊕ ℕ) ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card)) ∧ ℵ₀ ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card))
-- Mathlib/ModelTheory/Encoding.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'

⊢ lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} #((k : ℕ) × L.Term (α ⊕ Fin k) ⊕ (n : ℕ) × L.Relations n ⊕ ℕ) ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card))