ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ

⊢ ∫ (a : α), f a * g a ∂μ ≤ (∫ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫ (a : α), f a * g a ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ

⊢ ∫ (a : α), f a * g a ∂μ ≤ (∫ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫ (a : α), f a * g a ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ
h_right_f : ∫ (a : α), f a ^ p ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p ∂μ

⊢ ∫ (a : α), f a * g a ∂μ ≤ (∫ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫ (a : α), f a * g a ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ
h_right_f : ∫ (a : α), f a ^ p ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p ∂μ
h_right_g : ∫ (a : α), g a ^ q ∂μ = ∫ (a : α), ‖g a‖ ^ q ∂μ

⊢ ∫ (a : α), f a * g a ∂μ ≤ (∫ (a : α), f a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), g a ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ
hf_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
hg : Memℒp g (ENNReal.ofReal q) μ
h_left : ∫ (a : α), f a * g a ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ
h_right_f : ∫ (a : α), f a ^ p ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p ∂μ
h_right_g : ∫ (a : α), g a ^ q ∂μ = ∫ (a : α), ‖g a‖ ^ q ∂μ

⊢ ∫ (a : α), ‖f a‖ * ‖g a‖ ∂μ ≤ (∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫ (a : α), ‖g a‖ ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α

⊢ s.card * t.card ≤ Eₘ[s, t]
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α

⊢ (s ×ˢ t).card ≤ Eₘ[s, t]
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a : α × α
x✝¹ : a ∈ ↑(s ×ˢ t)
b : α × α
x✝ : b ∈ ↑(s ×ˢ t)

⊢ (fun x => ((x.1, x.1), x.2, x.2)) a = (fun x => ((x.1, x.1), x.2, x.2)) b → a = b
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
a : α × α
x✝¹ : a ∈ ↑(s ×ˢ t)
b : α × α
x✝ : b ∈ ↑(s ×ˢ t)

⊢ a.1 = b.1 → a.2 = b.2 → a = b
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a✝ b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
a : A

⊢ (↑(Polynomial.aeval a)).comp hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin.toRingHom = ↑(aeval fun o => o.elim a x)
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a✝ b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
a : A

⊢ ∀ (r : R), (Polynomial.aeval a) (hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin (C r)) = (aeval fun o => o.elim a x) (C r)
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a✝ b : R
hx : AlgebraicIndependent R x
a : A

⊢ ∀ (i : Option ι), (Polynomial.aeval a) (hx.mvPolynomialOptionEquivPolynomialAdjoin (X i)) = (aeval fun o => o.elim a x) (X i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
f : M →ₗ[R] M'
hf_inj : Disjoint (span R (range v)) (LinearMap.ker f)

⊢ LinearIndependent R (⇑f ∘ v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
f : M →ₗ[R] M'
hf_inj : comap (Finsupp.total ι M R v) (LinearMap.ker f) ≤ LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v)

⊢ LinearIndependent R (⇑f ∘ v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v) = ⊥
f : M →ₗ[R] M'
hf_inj : comap (Finsupp.total ι M R v) (LinearMap.ker f) ≤ LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v)

⊢ LinearMap.ker (Finsupp.total ι M' R (⇑f ∘ v)) = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v) = ⊥
f : M →ₗ[R] M'
hf_inj : comap (Finsupp.total ι M R v) (LinearMap.ker f) = ⊥

⊢ LinearMap.ker (Finsupp.total ι M' R (⇑f ∘ v)) = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v) = ⊥
f : M →ₗ[R] M'
hf_inj : comap (Finsupp.total ι M R v) (LinearMap.ker f) = ⊥
this : Inhabited M

⊢ LinearMap.ker (Finsupp.total ι M' R (⇑f ∘ v)) = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v) = ⊥
f : M →ₗ[R] M'
hf_inj : comap (Finsupp.total ι M R v) (LinearMap.ker f) = ⊥
this : Inhabited M

⊢ ∀ (i : ι), f (v i) = f (v i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
K₀ : PositiveCompacts G
μ : Measure G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
h : μ ↑K₀ = 1

⊢ haarMeasure K₀ = μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Fintype ι
b : Basis ι R M
inst✝¹ : Fintype R
inst✝ : Fintype M

⊢ card M = card R ^ card ι
-- Mathlib/Topology/Irreducible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : IsPreirreducible s
u : Set X
hu : IsOpen u
v : Set X
hv : IsOpen v
x✝ : X
hxs✝ : x✝ ∈ s
hxu✝ : ⟨x✝, hxs✝⟩ ∈ val ⁻¹' u
y : X
hys : y ∈ s
hyv : ⟨y, hys⟩ ∈ val ⁻¹' v
x : X
hxs : x ∈ s
hxu : x ∈ u
hxv : x ∈ v

⊢ (univ ∩ (val ⁻¹' u ∩ val ⁻¹' v)).Nonempty
-- Mathlib/CategoryTheory/DiscreteCategory.lean
J : Type u₂
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
F : Discrete J ⥤ C
x y : J
f : { as := x } ⟶ { as := y }

⊢ (({ obj := fun F j => F.obj { as := j }, map := fun {X Y} f j => f.app { as := j }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun F => Discrete.functor F, map := fun {X Y} f => Discrete.natTrans fun j => f j.as, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).obj F).map f ≫ ((fun j => Iso.refl ((({ obj := fun F j => F.obj { as := j }, map := fun {X Y} f j => f.app { as := j }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun F => Discrete.functor F, map := fun {X Y} f => Discrete.natTrans fun j => f j.as, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).obj F).obj j)) { as := y }).hom = ((fun j => Iso.refl ((({ obj := fun F j => F.obj { as := j }, map := fun {X Y} f j => f.app { as := j }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun F => Discrete.functor F, map := fun {X Y} f => Discrete.natTrans fun j => f j.as, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).obj F).obj j)) { as := x }).hom ≫ ((𝟭 (Discrete J ⥤ C)).obj F).map f
-- Mathlib/CategoryTheory/DiscreteCategory.lean
J : Type u₂
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
F : Discrete J ⥤ C
x : J
f : { as := x } ⟶ { as := x }

⊢ (({ obj := fun F j => F.obj { as := j }, map := fun {X Y} f j => f.app { as := j }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun F => Discrete.functor F, map := fun {X Y} f => Discrete.natTrans fun j => f j.as, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).obj F).map f ≫ ((fun j => Iso.refl ((({ obj := fun F j => F.obj { as := j }, map := fun {X Y} f j => f.app { as := j }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun F => Discrete.functor F, map := fun {X Y} f => Discrete.natTrans fun j => f j.as, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).obj F).obj j)) { as := x }).hom = ((fun j => Iso.refl ((({ obj := fun F j => F.obj { as := j }, map := fun {X Y} f j => f.app { as := j }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ } ⋙ { obj := fun F => Discrete.functor F, map := fun {X Y} f => Discrete.natTrans fun j => f j.as, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).obj F).obj j)) { as := x }).hom ≫ ((𝟭 (Discrete J ⥤ C)).obj F).map f
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ

⊢ φ n = Nat.card ↑{m | m < n ∧ n.Coprime m}
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
e : ↑{m | m < n ∧ n.Coprime m} ≃ { x // x ∈ filter n.Coprime (range n) } := { toFun := fun m => ⟨↑m, ⋯⟩, invFun := fun m => ⟨↑m, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }

⊢ φ n = Nat.card ↑{m | m < n ∧ n.Coprime m}
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι ℝ F

⊢ a.toBasis.det ⇑b = 1 ∨ a.toBasis.det ⇑b = -1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι ℝ F

⊢ a.toBasis.det ⇑b ^ 2 = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/LinearMap.lean
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
c : Cardinal.{v'}
f : V →ₗ[K] V'

⊢ c ≤ f.rank ↔ ∃ s, lift.{v', v} #↑s = lift.{v, v'} c ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑s) => f ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/LinearMap.lean
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
c : Cardinal.{v'}
f : V →ₗ[K] V'
g : ↥(range f) →ₗ[K] V
hg : f.rangeRestrict ∘ₗ g = id

⊢ c ≤ f.rank ↔ ∃ s, lift.{v', v} #↑s = lift.{v, v'} c ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑s) => f ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/LinearMap.lean
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁶ : DivisionRing K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V'
inst✝ : Module K V'
c : Cardinal.{v'}
f : V →ₗ[K] V'
g : ↥(range f) →ₗ[K] V
hg : f.rangeRestrict ∘ₗ g = id
fg : LeftInverse ⇑f.rangeRestrict ⇑g

⊢ c ≤ f.rank ↔ ∃ s, lift.{v', v} #↑s = lift.{v, v'} c ∧ LinearIndependent K fun (x : ↑s) => f ↑x
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : l → o
e₂ : m ≃ o
M : Matrix m n α

⊢ submatrix 1 e₁ ⇑e₂ * M = M.submatrix (⇑e₂.symm ∘ e₁) id
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : l → o
e₂ : m ≃ o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o

⊢ submatrix 1 e₁ ⇑e₂ * M = M.submatrix (⇑e₂.symm ∘ e₁) id
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : l → o
e₂ : m ≃ o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o
A : Matrix o n α := M.submatrix (⇑e₂.symm) id

⊢ submatrix 1 e₁ ⇑e₂ * M = M.submatrix (⇑e₂.symm ∘ e₁) id
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : l → o
e₂ : m ≃ o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o
A : Matrix o n α := M.submatrix (⇑e₂.symm) id
this : M = A.submatrix (⇑e₂) id

⊢ submatrix 1 e₁ ⇑e₂ * M = M.submatrix (⇑e₂.symm ∘ e₁) id
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Finite o
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq o
e₁ : l → o
e₂ : m ≃ o
M : Matrix m n α
val✝ : Fintype o
A : Matrix o n α := M.submatrix (⇑e₂.symm) id
this : M = A.submatrix (⇑e₂) id

⊢ (1 * A).submatrix e₁ id = (A.submatrix (⇑e₂) id).submatrix (⇑e₂.symm ∘ e₁) id
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => 0) s x
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean

⊢ Tendsto eulerMascheroniSeq' atTop (𝓝 eulerMascheroniConstant)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean

⊢ Tendsto (fun n => eulerMascheroniSeq' n - eulerMascheroniSeq n) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean

⊢ Tendsto (fun x => log (x + 1) - log x) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean

⊢ Tendsto (fun x => log (1 + 1 / x)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]

⊢ a ^ 2 = ↑(normSq a) ↔ a = ↑a.re
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a : ℍ[R]

⊢ star a = a ∨ a = 0 ↔ star a = a
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0

⊢ constantCoeff (xInTermsOfW p R n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0

⊢ ⅟↑p ^ n * ∑ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0

⊢ ⅟↑p ^ n * ∑ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = ⅟↑p ^ n * 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0

⊢ ∑ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0

⊢ ∀ x ∈ range n, constantCoeff (C (↑p ^ x) * xInTermsOfW p R x ^ p ^ (n - x)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
m : ℕ
H : m ∈ range n

⊢ constantCoeff (C (↑p ^ m) * xInTermsOfW p R m ^ p ^ (n - m)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
m : ℕ
H : m < n

⊢ constantCoeff (C (↑p ^ m) * xInTermsOfW p R m ^ p ^ (n - m)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
m : ℕ
H : m < n

⊢ ↑p ^ m * 0 ^ p ^ (n - m) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ
IH : ∀ m < n, constantCoeff (xInTermsOfW p R m) = 0
m : ℕ
H : m < n

⊢ p ^ (n - m) ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K L : CochainComplex C ℕ
φ : K ⟶ L
inst✝¹ : HomologicalComplex.HasHomology K 0
inst✝ : HomologicalComplex.HasHomology L 0

⊢ HomologicalComplex.homologyMap φ 0 ≫ L.isoHomologyπ₀.inv = K.isoHomologyπ₀.inv ≫ HomologicalComplex.cyclesMap φ 0
-- Mathlib/Order/KrullDimension.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Unique α

⊢ krullDim α = 0
-- Mathlib/Order/KrullDimension.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Unique α

⊢ (LTSeries.longestOf α).length = 0
-- Mathlib/Order/KrullDimension.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Unique α
q : LTSeries α

⊢ q.length ≤ 0
-- Mathlib/Order/KrullDimension.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Unique α
q : LTSeries α
r : ¬q.length ≤ 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Multiset.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
m : Multiset R
l : List R

⊢ 0 < prod (Quot.mk Setoid.r l) ↔ ∀ x ∈ Quot.mk Setoid.r l, 0 < x
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Multiset.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
m : Multiset R
l : List R

⊢ 0 < l.prod ↔ ∀ x ∈ ↑l, 0 < x
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β

⊢ ⋃ y ∈ range f, f ⁻¹' {y} = univ