ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x y : ℝ

⊢ MonotoneOn (fun x => log x * x) {x | 1 ≤ x}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x y : ℝ

⊢ ∀ ⦃a : ℝ⦄, 1 ≤ a → ∀ ⦃b : ℝ⦄, 1 ≤ b → a ≤ b → log a * a ≤ log b * b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝ y✝ x : ℝ
hex : 1 ≤ x
y : ℝ
hey : 1 ≤ y
hxy : x ≤ y

⊢ log x * x ≤ log y * y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝ y✝ x : ℝ
hex : 1 ≤ x
y : ℝ
hey : 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
y_pos : 0 < y

⊢ log x * x ≤ log y * y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Monotone.lean
x✝ y✝ x : ℝ
hex : 1 ≤ x
y : ℝ
hey : 1 ≤ y
hxy : x ≤ y
y_pos : 0 < y

⊢ 0 ≤ log y
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : C

⊢ (adj1.unit ≫ whiskerRight (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom G).app x = adj2.unit.app x
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
x : C

⊢ adj1.unit.app x ≫ (whiskerRight (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom G).app x = (adj1.homEquiv x (F'.obj x)) ((adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
contra : ⊥ = ⊤

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
contra : ∅ = univ

⊢ False
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ

⊢ s.tail.drop n = s.drop (n + 1)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ

⊢ s.tail.drop n = s.drop (1 + n)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ

⊢ s.drop (1 + n) = s.tail.drop n
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
x : α
S : Set (Set α)

⊢ upperClosure (⋃₀ S) = ⨅ s ∈ S, upperClosure s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α

⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Tendsto (f (a, t)) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α

⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, Tendsto (fun n => f (a, t) ↑n) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t : Set E
x✝ : E
ht : Balanced 𝕜 t
h : s ⊆ t
x : E
hx : x ∈ balancedHull 𝕜 s

⊢ x ∈ t
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedRing 𝕜
inst✝ : SMul 𝕜 E
s t : Set E
x : E
ht : Balanced 𝕜 t
h : s ⊆ t
r : 𝕜
hr : ‖r‖ ≤ 1
y : E
hy : y ∈ s
hx : (fun x => r • x) y ∈ balancedHull 𝕜 s

⊢ (fun x => r • x) y ∈ t
-- Mathlib/RingTheory/FreeCommRing.lean
α : Type u
x : FreeCommRing α

⊢ ∃ a, ↑a = x
-- Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Subgroup G
f g : (i : ι) → ↥(H i)
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → Commute x y
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype ↥(H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card ↥(H i)).Coprime (Fintype.card ↥(H j))

⊢ CompleteLattice.Independent H
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Completion.lean
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : Set (α × α) → Set (CauchyFilter α × CauchyFilter α) := fun s => {p | s ∈ ↑p.2 ×ˢ ↑p.1}

⊢ map Prod.swap ((𝓤 α).lift' gen) ≤ (𝓤 α).lift' gen
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Completion.lean
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : Set (α × α) → Set (CauchyFilter α × CauchyFilter α) := fun s => {p | s ∈ ↑p.2 ×ˢ ↑p.1}
h₁ : map Prod.swap ((𝓤 α).lift' gen) = (𝓤 α).lift' f

⊢ map Prod.swap ((𝓤 α).lift' gen) ≤ (𝓤 α).lift' gen
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Completion.lean
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : Set (α × α) → Set (CauchyFilter α × CauchyFilter α) := fun s => {p | s ∈ ↑p.2 ×ˢ ↑p.1}
h₁ : map Prod.swap ((𝓤 α).lift' gen) = (𝓤 α).lift' f
h₂ : (𝓤 α).lift' f ≤ (𝓤 α).lift' gen

⊢ map Prod.swap ((𝓤 α).lift' gen) ≤ (𝓤 α).lift' gen
-- Mathlib/RepresentationTheory/Basic.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : Module k W
ρV : Representation k G V
ρW : Representation k G W
r : MonoidAlgebra k G
x : V
y : W

⊢ ((ρV ⊗ 1).asAlgebraHom r) (x ⊗ₜ[k] y) = (ρV.asAlgebraHom r) x ⊗ₜ[k] y
-- Mathlib/RepresentationTheory/Basic.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : Module k W
ρV : Representation k G V
ρW : Representation k G W
r : MonoidAlgebra k G
x : V
y : W

⊢ (Finsupp.sum r fun i d => d • (ρV i) x ⊗ₜ[k] y) = (Finsupp.sum r fun i d => d • (ρV i) x) ⊗ₜ[k] y
-- Mathlib/RepresentationTheory/Basic.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : Module k W
ρV : Representation k G V
ρW : Representation k G W
r : MonoidAlgebra k G
x : V
y : W

⊢ ∑ x_1 ∈ r.support, r x_1 • (ρV x_1) x ⊗ₜ[k] y = ∑ a ∈ r.support, (r a • (ρV a) x) ⊗ₜ[k] y
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
r' : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F α
rxy : r x y

⊢ x = y
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
r' : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F α
rxy : r x y

⊢ ∀ (x : Cofix F α), r' x x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
r' : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F α
rxy : r x y

⊢ ∀ (x y : Cofix F α), r' x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r') <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r') <$$> y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk r) <$$> y.dest
r' : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F α
rxy : r x y

⊢ r' x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M

⊢ (∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x) ↔ ∃ y z, ↑y + ↑z = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
motive : M ⊗[R] N → Prop
z : M ⊗[R] N
zero : motive 0
tmul : ∀ (x : M) (y : N), motive (x ⊗ₜ[R] y)
add : ∀ (x y : M ⊗[R] N), motive x → motive y → motive (x + y)
x : FreeAddMonoid (M × N)
x✝ : M × N
y : FreeAddMonoid (M × N)
ih : motive ↑y
m : M
n : N

⊢ motive ↑(FreeAddMonoid.of (m, n) + y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
motive : M ⊗[R] N → Prop
z : M ⊗[R] N
zero : motive 0
tmul : ∀ (x : M) (y : N), motive (x ⊗ₜ[R] y)
add : ∀ (x y : M ⊗[R] N), motive x → motive y → motive (x + y)
x : FreeAddMonoid (M × N)
x✝ : M × N
y : FreeAddMonoid (M × N)
ih : motive ↑y
m : M
n : N

⊢ motive (↑(FreeAddMonoid.of (m, n)) + ↑y)
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
a : α

⊢ s.sdiff t = s ↔ Disjoint (↑s) t
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Projections.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n : ℕ

⊢ HigherFacesVanish (q + 1) ((P (q + 1)).f (n + 1))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Projections.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n : ℕ

⊢ HigherFacesVanish (q + 1) ((P q ≫ (𝟙 K[X] + Hσ q)).f (n + 1))
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : Nontrivial E

⊢ ‖id 𝕜 E‖ = 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : Nontrivial E

⊢ ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
hx : x ≠ 0

⊢ ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n✝ a b c d n : ℕ

⊢ n % 4 = 3 → n % 2 = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hxz : f x ≤ f (a • x + b • y)

⊢ f (a • x + b • y) ≤ f y
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
S : Set (Set α)

⊢ generateFrom (insert univ S) = generateFrom S
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : SetLike σ A
inst✝² : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
i j : ι
inst✝¹ : AddRightCancelMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
a : A
b : ↥(𝒜 j)

⊢ ↑(((decompose 𝒜) (a * ↑b)) (i + j)) = ↑(((decompose 𝒜) a) i) * ↑b
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.73452, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C 1
left : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
right : F.obj' 1 ⋯ ≅ G.obj' 1 ⋯
w : autoParam (F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ right.hom = left.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯) _auto✝

⊢ G.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ right.inv = left.inv ≫ F.map' 0 1 ⋯ ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.73452, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C 1
left : F.obj' 0 ⋯ ≅ G.obj' 0 ⋯
right : F.obj' 1 ⋯ ≅ G.obj' 1 ⋯
w : autoParam (F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ right.hom = left.hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯) _auto✝

⊢ G.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ 𝟙 (G.obj' 1 ⋯) = G.map' 0 1 ⋯ ⋯
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
x : ↑(range f)

⊢ rangeFactorization f (rangeSplitting f x) = x
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
x : ↑(range f)

⊢ ↑(rangeFactorization f (rangeSplitting f x)) = ↑x
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : α → β
x : ↑(range f)

⊢ f (rangeSplitting f x) = ↑x
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝⁴ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝² : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i → β i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 0 = 0
g₁ : Π₀ (i : ι), β₁ i
g₂ : Π₀ (i : ι), β₂ i

⊢ (zipWith f hf g₁ g₂).support ⊆ g₁.support ∪ g₂.support
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
hr : Symmetric r

⊢ (s.Pairwise r ∧ t.Pairwise r ∧ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ≠ b → r a b ∧ r b a) ↔ s.Pairwise r ∧ t.Pairwise r ∧ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ≠ b → r a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}

⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤

⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤
rhs_finite : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} < ⊤

⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤
rhs_finite : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} < ⊤
rhs_integrand_finite : ∀ t > 0, μ {a | t < f a} < ⊤

⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤
rhs_finite : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} < ⊤
rhs_integrand_finite : ∀ t > 0, μ {a | t < f a} < ⊤

⊢ ∫ (ω : α), f ω ∂μ = (∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
f_intble : Integrable f μ
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
lhs_finite : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ < ⊤
rhs_finite : ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a} < ⊤
rhs_integrand_finite : ∀ t > 0, μ {a | t < f a} < ⊤

⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, (μ {a | t < f a}).toReal = (∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}).toReal
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
M : n × n → S

⊢ Polynomial.map (eval₂Hom f M) (univ R n) = (of (Function.curry M)).charpoly
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
M : n × n → S

⊢ ((mvPolynomialX n n R).map (eval₂ f M)).charpoly = ((mvPolynomialX n n R).map (eval₂ f fun p => of (Function.curry M) p.1 p.2)).charpoly
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α

⊢ AEMeasurable f 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Nonempty α
f : ↥(lp E ⊤)

⊢ IsLUB (Set.range fun i => ‖↑f i‖) ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Nonempty α
f : ↥(lp E ⊤)

⊢ IsLUB (Set.range fun i => ‖↑f i‖) (⨆ i, ‖↑f i‖)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ↥(oneCocycles A)
g : G

⊢ (A.ρ g) (↑f g⁻¹) = -↑f g
-- Mathlib/Analysis/Quaternion.lean
x : ℍ

⊢ ‖(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x)‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Quaternion.lean
x : ℍ

⊢ √(⟪(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 0, (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 0⟫_ℝ + ⟪(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 1, (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 1⟫_ℝ + ⟪(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 2, (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 2⟫_ℝ + ⟪(WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 3, (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 3⟫_ℝ) = √(x.re ^ 2 + x.imI ^ 2 + x.imJ ^ 2 + x.imK ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/Quaternion.lean
x : ℍ

⊢ √((WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 0 ^ 2 + (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 1 ^ 2 + (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 2 ^ 2 + (WithLp.equiv 2 (Fin 4 → ℝ)).symm ((equivTuple ℝ) x) 3 ^ 2) = √(x.re ^ 2 + x.imI ^ 2 + x.imJ ^ 2 + x.imK ^ 2)
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
hX : ¬Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

⊢ cgf X μ t = 0
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R

⊢ (algebraMap R S) (∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m) ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R

⊢ ¬∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m = 0
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R

⊢ ∀ (x : R), ¬(x ∈ finsetApprox bS adm ∧ x = 0)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁶ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁵ : CommRing S
inst✝¹⁴ : IsDomain S
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Algebra R K
inst✝¹⁰ : IsFractionRing R K
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : FiniteDimensional K L
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁶ : IsScalarTower R K L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝¹ : Infinite R
inst✝ : DecidableEq R
hx : 0 ∈ finsetApprox bS adm

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝² : AddMonoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
inst✝ : LinearOrder N
f : M → N
h0 : f 0 ≤ 0
hadd : ∀ (x y : M), f (x + y) ≤ max (f x) (f y)
hd : M
tl : List M
IH : f tl.sum ≤ foldr max 0 (map f tl)

⊢ f (hd :: tl).sum ≤ foldr max 0 (map f (hd :: tl))