ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
v : n → R
j : n
x : R
i : n

⊢ v i * Pi.single j x i = Pi.single j (v j * x) i
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}

⊢ Disjoint I (sSup ({I | IsAtom I} \ {I}))
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}

⊢ sSup ({I | IsAtom I} \ {I}) ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}

⊢ ∀ b ∈ {I | IsAtom I} \ {I}, b ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}

⊢ ∀ (b : LieIdeal K L), IsAtom b → ¬b = I → b ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I

⊢ J ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I

⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑(orthogonal Φ hΦ_inv I)
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J

⊢ ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ ↑(orthogonal Φ hΦ_inv I)
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J

⊢ ∀ n ∈ I, (Φ n) ⁅↑x, ↑y⁆ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
z : L
hz : z ∈ I

⊢ (Φ z) ⁅↑x, ↑y⁆ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
z : L
hz : z ∈ I

⊢ (Φ ⁅↑x, z⁆) ↑y = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
z : L
hz : z ∈ I

⊢ ⁅↑x, z⁆ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
z : L
hz : z ∈ I

⊢ ⁅↑x, z⁆ ∈ J ⊓ I
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
z : L
hz : z ∈ I

⊢ ⁅↑x, z⁆ ∈ ⁅J, I⁆
-- Mathlib/Deprecated/Ring.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
f : α → β
hf✝ : IsRingHom f
x y : α
hf : IsRingHom f

⊢ f (-x) = f (-x + x) - f x
-- Mathlib/Deprecated/Ring.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
f : α → β
hf✝ : IsRingHom f
x y : α
hf : IsRingHom f

⊢ f (-x) = f (-x) + f x - f x
-- Mathlib/Deprecated/Ring.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : Ring β
f : α → β
hf✝ : IsRingHom f
x y : α
hf : IsRingHom f

⊢ f (-x + x) - f x = -f x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

⊢ (latticeBasis K) i = (mixedEmbedding K) ((integralBasis K) i)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c : α

⊢ a ⊓ b \ c = (a ⊓ b) \ (a ⊓ c)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ
P✝ : ℕ → Prop
h✝ : ∀ (n : ℕ), P✝ (n + 1) → P✝ n
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
k : ℕ
hk : 1 < k
P : M → Prop
hmul : ∀ (x y : M), P x → P (x * y) ∨ P (y * x)
hpow : ∀ (x : M), P (x ^ k) → P x
n : ℕ
ih : ∀ (x : M), P (x ^ (n + 1)) → P x
x : M
hx : P (x ^ n)
h : P (x ^ n * x)

⊢ P (x ^ (n + 1))
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ
P✝ : ℕ → Prop
h✝ : ∀ (n : ℕ), P✝ (n + 1) → P✝ n
M : Type u_1
inst✝ : Monoid M
k : ℕ
hk : 1 < k
P : M → Prop
hmul : ∀ (x y : M), P x → P (x * y) ∨ P (y * x)
hpow : ∀ (x : M), P (x ^ k) → P x
n : ℕ
ih : ∀ (x : M), P (x ^ (n + 1)) → P x
x : M
hx : P (x ^ n)
h : P (x * x ^ n)

⊢ P (x ^ (n + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : v.restrict i ≤ w.restrict i
hj₁ : MeasurableSet j
hj₂ : v.restrict j ≤ w.restrict j

⊢ v.restrict (i ∪ j) ≤ w.restrict (i ∪ j)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : v.restrict i ≤ w.restrict i
hj₁ : MeasurableSet j
hj₂ : v.restrict j ≤ w.restrict j

⊢ v.restrict (⋃ b, bif b then i else j) ≤ w.restrict (⋃ b, bif b then i else j)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : v.restrict i ≤ w.restrict i
hj₁ : MeasurableSet j
hj₂ : v.restrict j ≤ w.restrict j

⊢ ∀ (b : Bool), MeasurableSet (bif b then i else j)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid M
inst✝ : OrderClosedTopology M
v w : VectorMeasure α M
i j : Set α
hi₁ : MeasurableSet i
hi₂ : v.restrict i ≤ w.restrict i
hj₁ : MeasurableSet j
hj₂ : v.restrict j ≤ w.restrict j

⊢ ∀ (b : Bool), v.restrict (bif b then i else j) ≤ w.restrict (bif b then i else j)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p

⊢ ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι

⊢ ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
hzero : Tendsto (fun x_1 => -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)

⊢ ∀ᶠ (t : R) in 𝓝 0, inverse (↑x + t) = (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * inverse (↑x + t)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
hzero : Tendsto (fun x_1 => -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)
t : R
ht : inverse (↑x + t) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹
ht' : inverse (1 - -↑x⁻¹ * t) = ∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * inverse (1 - -↑x⁻¹ * t)

⊢ inverse (↑x + t) = (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * inverse (↑x + t)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
hzero : Tendsto (fun x_1 => -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)
t : R
ht : inverse (↑x + t) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹
ht' : inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) = ∑ i ∈ range n, (-(↑x⁻¹ * t)) ^ i + (-(↑x⁻¹ * t)) ^ n * inverse (1 + ↑x⁻¹ * t)

⊢ inverse (↑x + t) = (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * inverse (↑x + t)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
n : ℕ
hzero : Tendsto (fun x_1 => -↑x⁻¹ * x_1) (𝓝 0) (𝓝 0)
t : R
ht : inverse (↑x + t) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹
ht' : inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) = ∑ i ∈ range n, (-(↑x⁻¹ * t)) ^ i + (-(↑x⁻¹ * t)) ^ n * inverse (1 + ↑x⁻¹ * t)

⊢ (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * (inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹) = (∑ i ∈ range n, (-↑x⁻¹ * t) ^ i) * ↑x⁻¹ + (-↑x⁻¹ * t) ^ n * inverse (↑x + t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasImage f✝
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
inst✝² : HasImage f
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasImage g
sq : Arrow.mk f ⟶ Arrow.mk g
inst✝ : HasImageMap sq

⊢ imageSubobjectMap sq ≫ (imageSubobject g).arrow = (imageSubobject f).arrow ≫ sq.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasImage f✝
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
inst✝² : HasImage f
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasImage g
sq : Arrow.mk f ⟶ Arrow.mk g
inst✝ : HasImageMap sq

⊢ (imageSubobjectIso f).hom ≫ image.map sq ≫ image.ι g = (imageSubobject f).arrow ≫ sq.right
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f

⊢ map f ⁅I₁, I₂⁆ = ⁅map f I₁, map f I₂⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f

⊢ ⁅map f I₁, map f I₂⁆ ≤ map f ⁅I₁, I₂⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f

⊢ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ≤ Submodule.span R (⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m})
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f

⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
z₁ : L'
h₁ : z₁ ∈ map f I₁
z₂ : L'
h₂ : z₂ ∈ map f I₂

⊢ ⁅↑⟨z₁, h₁⟩, ↑⟨z₂, h₂⟩⁆ ∈ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
z₂ : L'
h₂ : z₂ ∈ map f I₂
y₁ : ↥I₁
h₁ : f ↑y₁ ∈ map f I₁

⊢ ⁅↑⟨f ↑y₁, h₁⟩, ↑⟨z₂, h₂⟩⁆ ∈ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : Function.Surjective ⇑f
y₁ : ↥I₁
h₁ : f ↑y₁ ∈ map f I₁
y₂ : ↥I₂
h₂ : f ↑y₂ ∈ map f I₂

⊢ ⁅↑⟨f ↑y₁, h₁⟩, ↑⟨f ↑y₂, h₂⟩⁆ ∈ ⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
x : R
h : ‖x‖ < 1

⊢ Tendsto (fun n => x ^ n) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
x : R
h : ‖x‖ < 1

⊢ Tendsto (HPow.hPow ‖x‖) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Order/Lattice.lean
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : OrderBot L
inst✝ : ContinuousSup L
hs : ∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))

⊢ Tendsto (fun a => s.sup fun x => f x a) l (𝓝 (s.sup g))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x y : L
hx : x ∈ H.normalizer
hy : y ∈ H

⊢ ⁅x, y⁆ ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Lie/Normalizer.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
H : LieSubalgebra R L
x y : L
hx : x ∈ H.normalizer
hy : y ∈ H

⊢ ⁅y, x⁆ ∈ H
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ

⊢ (-x).arg = x.arg + π ↔ x.im < 0 ∨ x.im = 0 ∧ 0 < x.re
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im < 0

⊢ (-x).arg = x.arg + π ↔ x.im < 0 ∨ x.im = 0 ∧ 0 < x.re
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ
hi : x.im = 0

⊢ (-x).arg = x.arg + π ↔ x.im < 0 ∨ x.im = 0 ∧ 0 < x.re
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ
hi : 0 < x.im

⊢ (-x).arg = x.arg + π ↔ x.im < 0 ∨ x.im = 0 ∧ 0 < x.re
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
n : ℕ
h₀ : (List.filter (fun x => decide (x ∈ s)) n.primeFactorsList).prod ≠ 0
p : ℕ
hp : p ∈ (List.filter (fun x => decide (x ∈ s)) n.primeFactorsList).prod.primeFactorsList

⊢ p ∈ s
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
n : ℕ
h₀ : (List.filter (fun x => decide (x ∈ s)) n.primeFactorsList).prod ≠ 0
p : ℕ
hp : p ∈ (List.filter (fun x => decide (x ∈ s)) n.primeFactorsList).prod.primeFactorsList
H₁ : Prime p
H₂ : p ∣ (List.filter (fun x => decide (x ∈ s)) n.primeFactorsList).prod

⊢ p ∈ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projection.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
hpq : IsCompl p q
x : E

⊢ ↑((LinearMap.fst R ↥p ↥q ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl q hpq).symm) x) + ↑((LinearMap.fst R ↥q ↥p ∘ₗ ↑(q.prodEquivOfIsCompl p ⋯).symm) x) = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projection.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
hpq : IsCompl p q
x : E

⊢ ↑((LinearMap.fst R ↥p ↥q ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl q hpq).symm) x) + ↑((LinearMap.fst R ↥q ↥p ∘ₗ ↑(LinearEquiv.prodComm R ↥q ↥p ≪≫ₗ p.prodEquivOfIsCompl q hpq).symm) x) = x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/LieGroup.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : GroupWithZero G
inst✝⁶ : SmoothInv₀ I G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
a : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I' I n f s
hg : ContMDiffOn I' I n g s
h₀ : ∀ x ∈ s, g x ≠ 0

⊢ ContMDiffOn I' I n (f / g) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
c' : Fin N.succ → E := fun i => if ‖a.c i‖ ≤ 2 then a.c i else (2 / ‖a.c i‖) • a.c i
norm_c'_le : ∀ (i : Fin N.succ), ‖c' i‖ ≤ 2
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖

⊢ 1 - δ ≤ ‖c' i - c' j‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
c' : Fin N.succ → E := fun i => if ‖a.c i‖ ≤ 2 then a.c i else (2 / ‖a.c i‖) • a.c i
norm_c'_le : ∀ (i : Fin N.succ), ‖c' i‖ ≤ 2
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
Hj : ‖a.c j‖ ≤ 2

⊢ 1 - δ ≤ ‖c' i - c' j‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
c' : Fin N.succ → E := fun i => if ‖a.c i‖ ≤ 2 then a.c i else (2 / ‖a.c i‖) • a.c i
norm_c'_le : ∀ (i : Fin N.succ), ‖c' i‖ ≤ 2
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
Hj : 2 < ‖a.c j‖

⊢ 1 - δ ≤ ‖c' i - c' j‖
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
hi : i.gcd ↑k = 1
h0 : ¬0 ≤ i

⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
hi : i.gcd ↑k = 1
h0 : ¬0 ≤ i
this : 0 ≤ -i

⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
hi : i.gcd ↑k = 1
h0 : ¬0 ≤ i
i' : ℕ
hi' : ↑i' = -i

⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
hi : i.gcd ↑k = 1
h0 : ¬0 ≤ i
i' : ℕ
hi' : ↑i' = -i

⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i') k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
hi : i.gcd ↑k = 1
h0 : ¬0 ≤ i
i' : ℕ
hi' : ↑i' = -i

⊢ i'.Coprime k
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : G
h : IsPrimitiveRoot ζ k
i : ℤ
h0 : ¬0 ≤ i
i' : ℕ
hi : (↑i').natAbs.gcd (↑k).natAbs = 1
hi' : ↑i' = -i

⊢ i'.Coprime k
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : ∀ x ∈ f.support ∩ g.support, f x = g x
hx : f x = g x
hx' : x ∈ f.support

⊢ f = g