ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β✝
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝ : α → β✝
β : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → MeasurableSet (f '' s)
μ : Measure β
hs : MeasurableSet s

⊢ Injective f ∧ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → MeasurableSet (f '' s)
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : L.Structure N
S : ι →o L.Substructure M
i : ι
x : ↥(S i)

⊢ ((Equiv_iSup S).symm.toEmbedding.comp (Substructure.inclusion ⋯)) x = (of L ι (fun x => ↥(S x)) (fun x x_1 h => Substructure.inclusion ⋯) i) x
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : IntermediateField F E
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F ↥L
inst✝ : Algebra.IsSeparable F ↥L
x : E
hx : x ∈ L

⊢ x ∈ ⊥
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
K : Type w
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : IntermediateField F E
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F ↥L
inst✝ : Algebra.IsSeparable F ↥L
x : E
hx : x ∈ L
y : F
hy : (algebraMap F ↥L) y = ⟨x, hx⟩

⊢ x ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i

⊢ (s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w₁ = (s.weightedVSubOfPoint p (p j)) w₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i

⊢ ∑ i ∈ s, w₁ i • (p i -ᵥ p j) = ∑ i ∈ s, w₂ i • (p i -ᵥ p j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
i : ι

⊢ w₁ i • (p i -ᵥ p j) = w₂ i • (p i -ᵥ p j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
i : ι
h : i = j

⊢ w₁ i • (p i -ᵥ p j) = w₂ i • (p i -ᵥ p j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
p : ι → P
j : ι
w₁ w₂ : ι → k
hw : ∀ (i : ι), i ≠ j → w₁ i = w₂ i
i : ι
h : i ≠ j

⊢ w₁ i • (p i -ᵥ p j) = w₂ i • (p i -ᵥ p j)
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ

⊢ eval 1 (bernoulli n) = bernoulli' n
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ

⊢ ∑ i ∈ range (n + 1), eval 1 ((monomial (n - i)) (_root_.bernoulli i * ↑(n.choose i))) = bernoulli' n
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ

⊢ (if n = 1 then 1 else 0) + _root_.bernoulli n = bernoulli' n
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Biproducts.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
J : Type w₁
F : C ⥤ D
f : J → C
inst✝² : HasBiproduct f
inst✝¹ : HasBiproduct (F.obj ∘ f)
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms

⊢ F.biproductComparison' f ≫ F.biproductComparison f = 𝟙 (⨁ F.obj ∘ f)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hr : r ≠ 0

⊢ 1 ≤ ↑r * ↑r⁻¹
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(-π / 2)

⊢ ⟪y, x⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
e : α → β
de : DenseEmbedding e
p : α → Prop
x : β
hx : x ∈ closure (e '' {x | p x})

⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ closure (range (subtypeEmb p e)) ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ univ
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
e : α → β
de : DenseEmbedding e
p : α → Prop
x : β
hx✝ : x ∈ closure (e '' {x | p x})
hx : x ∈ closure (range fun x => e ↑x)

⊢ ⟨x, hx✝⟩ ∈ closure (range (subtypeEmb p e)) ↔ ⟨x, hx✝⟩ ∈ univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Inv G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableInv G
m : MeasurableSpace α
f✝ : α → G
μ : Measure α
G₀ : Type u_4
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : MeasurableSpace G₀
inst✝ : MeasurableInv G₀
f : α → G₀
h : Measurable fun x => (f x)⁻¹

⊢ Measurable f
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
x : ι → Filter α
y : Filter β

⊢ Tendsto f (⨆ i, x i) y ↔ ∀ (i : ι), Tendsto f (x i) y
-- Mathlib/Data/Fintype/BigOperators.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
α : ι → Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq κ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset κ
i : ι
j : κ

⊢ (if j ∈ s then ∏ b ∈ univ.erase i, s.card else 0) = if j ∈ s then s.card ^ (card ι - 1) else 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
hyz : z ≤ y

⊢ x ^ y ≤ x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
hyz : z ≤ y

⊢ rexp (log x * y) ≤ rexp (log x * z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx0 : 0 < x
hx1 : x ≤ 1
hyz : z ≤ y

⊢ log x * y ≤ log x * z
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α →₀ M

⊢ filter p f = 0 ↔ ∀ (x : α), p x → f x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1

⊢ (lineMap p₀ p₁) 1 = p₁
-- Mathlib/Algebra/Category/FGModuleCat/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
V W : FGModuleCat K

⊢ FGModuleCatDual K V ◁ FGModuleCatCoevaluation K V ≫ (α_ (FGModuleCatDual K V) V (FGModuleCatDual K V)).inv ≫ FGModuleCatEvaluation K V ▷ FGModuleCatDual K V = (ρ_ (FGModuleCatDual K V)).hom ≫ (λ_ (FGModuleCatDual K V)).inv
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : sup f = lsub f
i : ι

⊢ f i < lsub f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k

⊢ (k • p).leadingCoeff = k • p.leadingCoeff
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : NullMeasurableSet t μ
hts : s ⊆ t
h't : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
h : IntegrableOn f t μ

⊢ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : NullMeasurableSet t μ
hts : s ⊆ t
h't : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
h : IntegrableOn f t μ
f' : X → E := AEStronglyMeasurable.mk f ⋯

⊢ ∫ (x : X) in t, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSpace H
inst✝¹ : Mul G
μ✝ : Measure G
inst✝ : MeasurableMul G
μ : Measure G

⊢ (∀ (g : G), Measure.map (fun x => g * x) μ = μ) ↔ μ.IsMulLeftInvariant
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

⊢ Summable (norm ∘ fun n => x ^ n / ↑n !)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

⊢ Summable (norm ∘ fun n => (expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ φ n = n.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ (n.factorization.prod fun p k => φ (p ^ k)) = n.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ ∀ x ∈ n.factorization.support, φ (x ^ n.factorization x) = x ^ (n.factorization x - 1) * (x - 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : n ≠ 0
p : ℕ
hp : p ∈ n.factorization.support

⊢ φ (p ^ n.factorization p) = p ^ (n.factorization p - 1) * (p - 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : n ≠ 0
p : ℕ
hp : p ∈ n.factorization.support
h : 0 < n.factorization p

⊢ φ (p ^ n.factorization p) = p ^ (n.factorization p - 1) * (p - 1)
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → β → γ
g : γ → δ

⊢ g '' image2 f s t = image2 (fun a b => g (f a b)) s t
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
t₁ t₂ : TopologicalSpace β
B₁ B₂ : Set (Set β)
h₁ : IsTopologicalBasis B₁
h₂ : IsTopologicalBasis B₂

⊢ IsTopologicalBasis (image2 (fun x x_1 => x ∩ x_1) B₁ B₂)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
t₁ t₂ : TopologicalSpace β
B₁ B₂ : Set (Set β)
h₁ : IsTopologicalBasis B₁
h₂ : IsTopologicalBasis B₂
a : β

⊢ (𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ image2 (fun x x_1 => x ∩ x_1) B₁ B₂ ∧ a ∈ t) id
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
t₁ t₂ : TopologicalSpace β
B₁ B₂ : Set (Set β)
h₁ : IsTopologicalBasis B₁
h₂ : IsTopologicalBasis B₂
a : β

⊢ (𝓝 a ⊓ 𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ image2 (fun x x_1 => x ∩ x_1) B₁ B₂ ∧ a ∈ t) id
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s : Set α
t₁ t₂ : TopologicalSpace β
B₁ B₂ : Set (Set β)
h₁ : IsTopologicalBasis B₁
h₂ : IsTopologicalBasis B₂
a : β
x✝ : Set β

⊢ x✝ ∈ image2 (fun x x_1 => x ∩ x_1) B₁ B₂ ∧ a ∈ x✝ ↔ x✝ ∈ (fun i => i.1 ∩ i.2) '' {i | (i.1 ∈ B₁ ∧ a ∈ i.1) ∧ i.2 ∈ B₂ ∧ a ∈ i.2}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Partition.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v w : V
h : G.Adj v w
hn : P.partOfVertex v = P.partOfVertex w

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Partition.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v w : V
h : G.Adj v w
hn : P.partOfVertex v = P.partOfVertex w
hw : w ∈ P.partOfVertex w

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Partition.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v w : V
h : G.Adj v w
hn : P.partOfVertex v = P.partOfVertex w
hw : w ∈ P.partOfVertex v

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
o : Ordinal.{u_1}

⊢ aleph' (succ o) = succ (aleph' o)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
o : Ordinal.{u_1}

⊢ (aleph' (succ o)).alephIdx ≤ (succ (aleph' o)).alephIdx
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
o : Ordinal.{u_1}

⊢ aleph' o < succ (aleph' o)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S

⊢ absNorm ⊤ = 1
-- Mathlib/RingTheory/FinitePresentation.lean
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : FinitePresentation R A
ι : Type v
inst✝ : Finite ι
hfp : FinitePresentation R A

⊢ FinitePresentation R (MvPolynomial ι A)
-- Mathlib/RingTheory/FinitePresentation.lean
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : FinitePresentation R A
ι : Type v
inst✝ : Finite ι
hfp : ∃ ι x f, Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

⊢ ∃ ι_1 x f, Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
-- Mathlib/Data/Finsupp/Interval.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
f : ι →₀ α

⊢ (Iio f).card = ∏ i ∈ f.support, (Iic (f i)).card - 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b

⊢ Tendsto (fun x => x ^ (a / (b * x + c))) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b

⊢ (rexp ∘ fun x => a * (x / (b * rexp x + c))) ∘ log =ᶠ[atTop] fun x => x ^ (a / (b * x + c))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b

⊢ EqOn ((rexp ∘ fun x => a * (x / (b * rexp x + c))) ∘ log) (fun x => x ^ (a / (b * x + c))) (Set.Ioi 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioi 0

⊢ ((rexp ∘ fun x => a * (x / (b * rexp x + c))) ∘ log) x = (fun x => x ^ (a / (b * x + c))) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b
x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ rexp (a * (log x / (b * rexp (log x) + c))) = x ^ (a / (b * x + c))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
a b c : ℝ
hb : 0 ≠ b
x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ rexp (a * (log x / (b * x + c))) = rexp (a / (b * x + c) * log x)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
β : Type u_1
α : Type u_2
f : β → α → β
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
comm : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → ∀ (y : α), y ∈ l₁ → ∀ (z : β), f (f z x) y = f (f z y) x
init : β

⊢ foldl f init l₁ = foldl f init l₂
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ

⊢ W.φ (-n) = W.φ n
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Set α
hpos : ∀ x ∈ s, 1 ≤ x
h : s.IsPWO

⊢ (↑(Submonoid.closure s)).IsPWO
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Set α
hpos : ∀ x ∈ s, 1 ≤ x
h : s.IsPWO

⊢ (List.prod '' {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}).IsPWO
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Set α
hpos : ∀ x ∈ s, 1 ≤ x
h : s.IsPWO

⊢ ∀ a₁ ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}, ∀ a₂ ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}, List.SublistForall₂ (fun x x_1 => x ≤ x_1) a₁ a₂ → a₁.prod ≤ a₂.prod
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : CommSemiring α
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n α
b : n → α
a : α
x✝ : m

⊢ (A *ᵥ a • b) x✝ = (a • A *ᵥ b) x✝
-- Mathlib/GroupTheory/FixedPointFree.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
φ : G →* G
hφ : FixedPointFree ⇑φ

⊢ Function.Injective (commutatorMap ⇑φ)
-- Mathlib/GroupTheory/FixedPointFree.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
φ : G →* G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
x y : G
h : commutatorMap (⇑φ) x = commutatorMap (⇑φ) y

⊢ φ (x⁻¹ * y) = x⁻¹ * y
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β
g : α → ℕ × β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
n : ℕ

⊢ Nat.unpaired (fun z n => Nat.casesOn n 0 fun y => Nat.unpaired (fun z n => Nat.rec (encode (Option.map f (decode z))) (fun y IH => encode (Option.map (fun p => g p.1 p.2) (decode (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.pair z (Nat.pair y IH))).1 (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.unpair (Nat.pair z (Nat.pair y IH))).2).1 (Nat.unpair (Nat.unpair (Nat.pair z (Nat.pair y IH))).2).2.pred))))) n) (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.pair z y)).2 (Nat.unpair (Nat.unpair (Nat.pair z y)).1).2)) (Nat.pair (id n) (encode (decode (Nat.unpair n).1))) = Nat.unpaired (fun m n => encode ((decode m).bind fun a => Option.map (fun n => Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) n) (decode n))) n
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β
g : α → ℕ × β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
n : ℕ

⊢ Nat.rec 0 (fun n_1 n_ih => Nat.rec (encode (Option.map f (decode n_1))) (fun y IH => encode (Option.map (fun p => g p.1 p.2) ((decode n_1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode IH.pred)))) (Nat.unpair n).2) (encode (decode (Nat.unpair n).1)) = encode ((decode (Nat.unpair n).1).bind fun a => some (Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) (Nat.unpair n).2))
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β
g : α → ℕ × β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
n : ℕ
a : α

⊢ Nat.rec 0 (fun n_1 n_ih => Nat.rec (encode (Option.map f (decode n_1))) (fun y IH => encode (Option.map (fun p => g p.1 p.2) ((decode n_1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode IH.pred)))) (Nat.unpair n).2) (encode (some a)) = encode ((some a).bind fun a => some (Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) (Nat.unpair n).2))
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β
g : α → ℕ × β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
n : ℕ
a : α

⊢ Nat.rec (encode (f a) + 1) (fun y IH => encode (Option.map ((fun p => g p.1 p.2) ∘ Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode (IH - 1)))) (Nat.unpair n).2 = encode (Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) (Nat.unpair n).2) + 1
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → β
g : α → ℕ × β → β
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
n : ℕ
a : α
m : ℕ
a✝ : Nat.rec (encode (f a) + 1) (fun y IH => encode (Option.map ((fun p => g p.1 p.2) ∘ Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode (IH - 1)))) m = encode (Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) m) + 1

⊢ encode (Option.map ((fun p => g p.1 p.2) ∘ Prod.mk a ∘ Prod.mk m) (decode (Nat.rec (encode (f a) + 1) (fun y IH => encode (Option.map ((fun p => g p.1 p.2) ∘ Prod.mk a ∘ Prod.mk y) (decode (IH - 1)))) m - 1))) = encode (g a (m, Nat.rec (f a) (fun n IH => g a (n, IH)) m)) + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIocMod hp (-a) b = p - toIcoMod hp a (-b)
-- Mathlib/Topology/Clopen.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsClopen s
ht : IsClopen t

⊢ IsClopen (s ⇨ t)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb : 1 < b

⊢ StrictMono fun x => b ^ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb : 1 < b

⊢ StrictMono fun x => rexp (log b * x)
-- Mathlib/CategoryTheory/CommSq.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.8576, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g
l : sq.LiftStruct

⊢ p.op ≫ l.l.op = g.op
-- Mathlib/CategoryTheory/CommSq.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.8576, u_1} C
A B X Y : C
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g
l : sq.LiftStruct

⊢ l.l.op ≫ i.op = f.op
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖ ↔ angle x y = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖

⊢ angle x y = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖

⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖
hxy₁ : 0 ≤ ‖x + y‖
hxy₂ : 0 ≤ ‖x‖ + ‖y‖

⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ‖x‖ ^ 2 + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ ^ 2 = (‖x‖ + ‖y‖) ^ 2
hxy₁ : 0 ≤ ‖x + y‖
hxy₂ : 0 ≤ ‖x‖ + ‖y‖

⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = ‖x‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : b ≤ 1
r : R

⊢ log b r = 0
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : b ≤ 1
r : R
h : 1 ≤ r

⊢ log b r = 0
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : b ≤ 1
r : R
h : r ≤ 1

⊢ log b r = 0
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a : ℕ

⊢ jacobiSymNat a 1 = 1
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
h : n ≤ m

⊢ Even (m - n)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
h : m ≤ n

⊢ Even (m - n)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
M : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M₂ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : TopologicalAddGroup M
inst✝ : T1Space M
p : Submodule R M
f : M →L[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x

⊢ IsClosed ↑p