ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω

⊢ ↑‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ENNReal.ofReal (c ^ 2) * ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω

⊢ ↑(‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2) = ↑((c ^ 2).toNNReal * ‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2)
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω

⊢ ‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = (c ^ 2).toNNReal * ‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω

⊢ ‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ‖|c| * (X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ)‖₊ ^ 2
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω

⊢ ‖c * X ω - ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ‖₊ ^ 2 = ‖c * X ω - c * ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω

⊢ ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ = c * ∫ (x : Ω), X x ∂μ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
c : ℝ
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
ω : Ω

⊢ ∫ (x : Ω), c * X x ∂μ = (∫ (x : Ω), X x ∂μ) * c
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
n : ℕ
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : PartialOrder F
inst✝¹ : MeasureSpace F
inst✝ : BorelSpace F
eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ
he_ord : ∀ (x y : F), eL x ≤ eL y ↔ x ≤ y
he_vol : MeasurePreserving (⇑eL) volume volume
f : Fin (n + 1) → F → E
f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E
s : Set F
hs : s.Countable
a b : F
hle : a ≤ b
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (f i) (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt (f i) (f' i x) x
DF : F → E
hDF : ∀ (x : F), DF x = ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i))
Hi : IntegrableOn DF (Set.Icc a b) volume
he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL
x : F

⊢ x ∈ ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b) ↔ x ∈ Set.Icc a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
n : ℕ
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : PartialOrder F
inst✝¹ : MeasureSpace F
inst✝ : BorelSpace F
eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ
he_ord : ∀ (x y : F), eL x ≤ eL y ↔ x ≤ y
he_vol : MeasurePreserving (⇑eL) volume volume
f : Fin (n + 1) → F → E
f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E
s : Set F
hs : s.Countable
a b : F
hle : a ≤ b
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (f i) (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt (f i) (f' i x) x
DF : F → E
hDF : ∀ (x : F), DF x = ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i))
Hi : IntegrableOn DF (Set.Icc a b) volume
he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL
hIcc : ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b) = Set.Icc a b

⊢ Set.Icc (eL a) (eL b) = ⇑eL.symm ⁻¹' Set.Icc a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
n : ℕ
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : PartialOrder F
inst✝¹ : MeasureSpace F
inst✝ : BorelSpace F
eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ
he_ord : ∀ (x y : F), eL x ≤ eL y ↔ x ≤ y
he_vol : MeasurePreserving (⇑eL) volume volume
f : Fin (n + 1) → F → E
f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E
s : Set F
hs : s.Countable
a b : F
hle : a ≤ b
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (f i) (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt (f i) (f' i x) x
DF : F → E
hDF : ∀ (x : F), DF x = ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i))
Hi : IntegrableOn DF (Set.Icc a b) volume
he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL
hIcc : ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b) = Set.Icc a b
hIcc' : Set.Icc (eL a) (eL b) = ⇑eL.symm ⁻¹' Set.Icc a b

⊢ ∫ (x : F) in Set.Icc a b, ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i)) = ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Set.Icc (eL a) (eL b), ∑ i : Fin (n + 1), (f' i (eL.symm x)) (eL.symm (e i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
n : ℕ
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : PartialOrder F
inst✝¹ : MeasureSpace F
inst✝ : BorelSpace F
eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ
he_ord : ∀ (x y : F), eL x ≤ eL y ↔ x ≤ y
he_vol : MeasurePreserving (⇑eL) volume volume
f : Fin (n + 1) → F → E
f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E
s : Set F
hs : s.Countable
a b : F
hle : a ≤ b
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (f i) (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt (f i) (f' i x) x
DF : F → E
hDF : ∀ (x : F), DF x = ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i))
Hi : IntegrableOn DF (Set.Icc a b) volume
he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL
hIcc : ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b) = Set.Icc a b
hIcc' : Set.Icc (eL a) (eL b) = ⇑eL.symm ⁻¹' Set.Icc a b

⊢ ∫ (x : F) in Set.Icc a b, ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i)) = ∫ (x : F) in ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b), ∑ i : Fin (n + 1), (f' i (eL.symm (eL x))) (eL.symm (e i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
n : ℕ
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : PartialOrder F
inst✝¹ : MeasureSpace F
inst✝ : BorelSpace F
eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ
he_ord : ∀ (x y : F), eL x ≤ eL y ↔ x ≤ y
he_vol : MeasurePreserving (⇑eL) volume volume
f : Fin (n + 1) → F → E
f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E
s : Set F
hs : s.Countable
a b : F
hle : a ≤ b
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (f i) (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt (f i) (f' i x) x
DF : F → E
hDF : ∀ (x : F), DF x = ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i))
Hi : IntegrableOn DF (Set.Icc a b) volume
he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL
hIcc : ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b) = Set.Icc a b
hIcc' : Set.Icc (eL a) (eL b) = ⇑eL.symm ⁻¹' Set.Icc a b

⊢ ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Set.Icc (eL a) (eL b), ∑ i : Fin (n + 1), (f' i (eL.symm x)) (eL.symm (e i)) = ∑ i : Fin (n + 1), ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Set.Icc (eL a ∘ i.succAbove) (eL b ∘ i.succAbove), f i (eL.symm (i.insertNth (eL b i) x))) - ∫ (x : Fin n → ℝ) in Set.Icc (eL a ∘ i.succAbove) (eL b ∘ i.succAbove), f i (eL.symm (i.insertNth (eL a i) x)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
n : ℕ
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : PartialOrder F
inst✝¹ : MeasureSpace F
inst✝ : BorelSpace F
eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ
he_ord : ∀ (x y : F), eL x ≤ eL y ↔ x ≤ y
he_vol : MeasurePreserving (⇑eL) volume volume
f : Fin (n + 1) → F → E
f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E
s : Set F
hs : s.Countable
a b : F
hle : a ≤ b
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (f i) (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt (f i) (f' i x) x
DF : F → E
hDF : ∀ (x : F), DF x = ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i))
Hi : IntegrableOn DF (Set.Icc a b) volume
he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL
hIcc : ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b) = Set.Icc a b
hIcc' : Set.Icc (eL a) (eL b) = ⇑eL.symm ⁻¹' Set.Icc a b

⊢ ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn ((fun i x => f i (eL.symm x)) i) (Set.Icc (eL a) (eL b))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
n : ℕ
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : PartialOrder F
inst✝¹ : MeasureSpace F
inst✝ : BorelSpace F
eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ
he_ord : ∀ (x y : F), eL x ≤ eL y ↔ x ≤ y
he_vol : MeasurePreserving (⇑eL) volume volume
f : Fin (n + 1) → F → E
f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E
s : Set F
hs : s.Countable
a b : F
hle : a ≤ b
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (f i) (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt (f i) (f' i x) x
DF : F → E
hDF : ∀ (x : F), DF x = ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i))
Hi : IntegrableOn DF (Set.Icc a b) volume
he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL
hIcc : ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b) = Set.Icc a b
hIcc' : Set.Icc (eL a) (eL b) = ⇑eL.symm ⁻¹' Set.Icc a b

⊢ ∀ x ∈ (Set.univ.pi fun i => Set.Ioo (eL a i) (eL b i)) \ ⇑eL.symm ⁻¹' s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt ((fun i x => f i (eL.symm x)) i) ((fun i x => (f' i (eL.symm x)).comp ↑eL.symm) i x) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
E : Type u
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : CompleteSpace E
n : ℕ
F : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : PartialOrder F
inst✝¹ : MeasureSpace F
inst✝ : BorelSpace F
eL : F ≃L[ℝ] Fin (n + 1) → ℝ
he_ord : ∀ (x y : F), eL x ≤ eL y ↔ x ≤ y
he_vol : MeasurePreserving (⇑eL) volume volume
f : Fin (n + 1) → F → E
f' : Fin (n + 1) → F → F →L[ℝ] E
s : Set F
hs : s.Countable
a b : F
hle : a ≤ b
Hc : ∀ (i : Fin (n + 1)), ContinuousOn (f i) (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, ∀ (i : Fin (n + 1)), HasFDerivAt (f i) (f' i x) x
DF : F → E
hDF : ∀ (x : F), DF x = ∑ i : Fin (n + 1), (f' i x) (eL.symm (e i))
Hi : IntegrableOn DF (Set.Icc a b) volume
he_emb : MeasurableEmbedding ⇑eL
hIcc : ⇑eL ⁻¹' Set.Icc (eL a) (eL b) = Set.Icc a b
hIcc' : Set.Icc (eL a) (eL b) = ⇑eL.symm ⁻¹' Set.Icc a b

⊢ IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), ((fun i x => (f' i (eL.symm x)).comp ↑eL.symm) i x) (e i)) (Set.Icc (eL a) (eL b)) volume
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0

⊢ P.toPoly = C P.c * X + C P.d
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
hs : s₁ = s₂
ht : ∀ a ∈ s₁, t₁ a = t₂ a
x : β

⊢ x ∈ s₁.biUnion t₁ ↔ x ∈ s₂.biUnion t₂
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
hs : s₁ = s₂
ht : ∀ a ∈ s₁, t₁ a = t₂ a
x : β

⊢ (∃ a ∈ s₁, x ∈ t₁ a) ↔ ∃ a ∈ s₂, x ∈ t₂ a
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
hs : s₁ = s₂
ht : ∀ a ∈ s₁, t₁ a = t₂ a
x : β

⊢ ∀ (a : α), a ∈ s₁ ∧ x ∈ t₁ a ↔ a ∈ s₂ ∧ x ∈ t₂ a
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/BigOperators.lean
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ

⊢ ∏ i ∈ s, (f i)! ∣ (∑ i ∈ s, f i)!
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/BigOperators.lean
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ

⊢ ∏ i ∈ ∅, (f i)! ∣ (∑ i ∈ ∅, f i)!
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/BigOperators.lean
α : Type u_1
s✝ : Finset α
f : α → ℕ
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : ∏ i ∈ s, (f i)! ∣ (∑ i ∈ s, f i)!

⊢ ∏ i ∈ cons a s has, (f i)! ∣ (∑ i ∈ cons a s has, f i)!
-- Mathlib/Probability/Process/Adapted.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
γ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace ι
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
fltr : Filter γ
inst✝¹ : fltr.NeBot
inst✝ : fltr.IsCountablyGenerated
U : γ → ι → Ω → β
h : ∀ (l : γ), ProgMeasurable f (U l)
h_tendsto : Tendsto U fltr (𝓝 u)
i : ι

⊢ StronglyMeasurable fun p => u (↑p.1) p.2
-- Mathlib/Probability/Process/Adapted.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
γ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace ι
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
fltr : Filter γ
inst✝¹ : fltr.NeBot
inst✝ : fltr.IsCountablyGenerated
U : γ → ι → Ω → β
h : ∀ (l : γ), ProgMeasurable f (U l)
h_tendsto : Tendsto U fltr (𝓝 u)
i : ι

⊢ Tendsto (fun l p => U l (↑p.1) p.2) fltr (𝓝 fun p => u (↑p.1) p.2)
-- Mathlib/Probability/Process/Adapted.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
γ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace ι
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
fltr : Filter γ
inst✝¹ : fltr.NeBot
inst✝ : fltr.IsCountablyGenerated
U : γ → ι → Ω → β
h : ∀ (l : γ), ProgMeasurable f (U l)
h_tendsto : ∀ (x : ι), Tendsto (fun i => U i x) fltr (𝓝 (u x))
i : ι

⊢ ∀ (x : ↑(Set.Iic i) × Ω), Tendsto (fun i_1 => U i_1 (↑x.1) x.2) fltr (𝓝 (u (↑x.1) x.2))
-- Mathlib/Probability/Process/Adapted.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
γ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace ι
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
fltr : Filter γ
inst✝¹ : fltr.NeBot
inst✝ : fltr.IsCountablyGenerated
U : γ → ι → Ω → β
h : ∀ (l : γ), ProgMeasurable f (U l)
i : ι
x : ↑(Set.Iic i) × Ω
h_tendsto : Tendsto (fun i_1 => U i_1 ↑x.1) fltr (𝓝 (u ↑x.1))

⊢ Tendsto (fun i_1 => U i_1 (↑x.1) x.2) fltr (𝓝 (u (↑x.1) x.2))
-- Mathlib/Probability/Process/Adapted.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
γ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace ι
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
fltr : Filter γ
inst✝¹ : fltr.NeBot
inst✝ : fltr.IsCountablyGenerated
U : γ → ι → Ω → β
h : ∀ (l : γ), ProgMeasurable f (U l)
i : ι
x : ↑(Set.Iic i) × Ω
h_tendsto : ∀ (s : Set (Ω → β)), IsOpen s → u ↑x.1 ∈ s → (fun i_1 => U i_1 ↑x.1) ⁻¹' s ∈ fltr

⊢ ∀ (s : Set β), IsOpen s → u (↑x.1) x.2 ∈ s → (fun i_1 => U i_1 (↑x.1) x.2) ⁻¹' s ∈ fltr
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Ring T
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S T
inst✝⁵ : Algebra R T
inst✝⁴ : IsScalarTower R S T
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis m R S
c : Basis n S T
x : S
i j : m
k : n

⊢ (leftMulMatrix (b.smulTower c)) ((algebraMap S T) x) (i, k) (j, k) = (leftMulMatrix b) x i j
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Positive.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
S : F →L[𝕜] E

⊢ ((adjoint S).comp (T.comp S)).IsPositive
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Positive.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
S : F →L[𝕜] E

⊢ S = adjoint (adjoint S)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Category.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F G H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
inst✝ : ∀ (X : C), Epi (α.app X)
Z✝ : C ⥤ D
g h : G ⟶ Z✝
eq : α ≫ g = α ≫ h
X : C

⊢ g.app X = h.app X
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : LinearOrder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List ι
f g : ι → M
h : (map f l).prod < (map g l).prod

⊢ ∃ i ∈ l, f i < g i
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : LinearOrder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (Function.swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : List ι
f g : ι → M
h : ∀ i ∈ l, g i ≤ f i

⊢ (map g l).prod ≤ (map f l).prod
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ToNat.lean
α : Type u
c d : Cardinal.{u}

⊢ StrictMonoOn (⇑toNat) (Iio ℵ₀)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ToNat.lean
α : Type u
c d : Cardinal.{u}

⊢ ∀ (i i_1 : ℕ), i < i_1 → i < i_1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
y : L'
h₁ : Function.Surjective ⇑f
h₂ : y ∈ map f I

⊢ ∃ x, f ↑x = y
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
y : L'
h₁ : Function.Surjective ⇑f
h₂ : ∃ y_1 ∈ ↑I, ↑f y_1 = y

⊢ ∃ x, f ↑x = y
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h₁ : Function.Surjective ⇑f
x : L
hx : x ∈ ↑I

⊢ ∃ x_1, f ↑x_1 = ↑f x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h₁ : Function.Surjective ⇑f
x : L
hx : x ∈ ↑I

⊢ f ↑⟨x, hx⟩ = ↑f x
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : CommRing K
R : Type u_1
r : K
x : FractionRing K[X]

⊢ r • { toFractionRing := x } = Polynomial.C r • { toFractionRing := x }
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : CommRing K
R : Type u_1
r : K
y✝ : K[X] × ↥K[X]⁰

⊢ r • { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 } = Polynomial.C r • { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 }
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
H : SimpleGraph V
a b : Fin n

⊢ (turanGraph n 0).Adj a b ↔ ⊤.Adj a b
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
x : E

⊢ x ∈ comap i (perfectClosure F K) ↔ x ∈ perfectClosure F E
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E

⊢ DifferentiableAt 𝕜 (f ∘ ⇑iso) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 f (iso x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasureProd.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : FiniteMeasure α
ν : FiniteMeasure β
s : Set α
t : Set β

⊢ (μ.prod ν) (s ×ˢ t) = μ s * ν t
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β
h : r.codom ⊆ s

⊢ r.preimage s = r.dom
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β
h : r.codom ⊆ s

⊢ r.preimage s = r.preimage Set.univ
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β
h : r.codom ⊆ s

⊢ r.preimage s ⊆ r.preimage Set.univ
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Set β
h : r.codom ⊆ s

⊢ r.preimage Set.univ ⊆ r.preimage s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0

⊢ p %ₘ q = p - q * (p /ₘ q)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree

⊢ p %ₘ q = p - q * (p /ₘ q)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree
ih : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))) %ₘ q = p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree)) - q * ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))) /ₘ q)

⊢ (if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).2 else p) = p - q * if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).1 else 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree
ih : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))) %ₘ q = p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree)) - q * ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))) /ₘ q)

⊢ (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2).2 = p - q * if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).1 else 0