ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i
b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))
hb : 0 < b
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
N : ℤ → Submodule R M := fun k => ↑(weightSpace M (k • α + χ))
h₁ : CompleteLattice.Independent fun i => N ↑i

⊢ (a • α + ↑b • χ) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i
b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))
hb : 0 < b
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
N : ℤ → Submodule R M := fun k => ↑(weightSpace M (k • α + χ))
h₁ : CompleteLattice.Independent fun i => N ↑i
h₂ : ∀ (i : ℤ), MapsTo ⇑((toEnd R (↥H) M) x) ↑(N i) ↑(N i)

⊢ (a • α + ↑b • χ) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i
b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))
hb : 0 < b
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
N : ℤ → Submodule R M := fun k => ↑(weightSpace M (k • α + χ))
h₁ : CompleteLattice.Independent fun i => N ↑i
h₂ : ∀ (i : ℤ), MapsTo ⇑((toEnd R (↥H) M) x) ↑(N i) ↑(N i)
h₃ : ↑(weightSpaceChain M α χ p q) = ⨆ i ∈ Finset.Ioo p q, N i

⊢ (a • α + ↑b • χ) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p✝ q✝ : ℤ
inst✝⁶ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝⁵ : IsNoetherian R L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : CharZero R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ)) • i
b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank R ↥↑(weightSpace M (i • α + χ))
hb : 0 < b
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
N : ℤ → Submodule R M := fun k => ↑(weightSpace M (k • α + χ))
h₁ : CompleteLattice.Independent fun i => N ↑i
h₂ : ∀ (i : ℤ), MapsTo ⇑((toEnd R (↥H) M) x) ↑(N i) ↑(N i)
h₃ : ↑(weightSpaceChain M α χ p q) = ⨆ i ∈ Finset.Ioo p q, N i

⊢ (a • α + ↑b • χ) x = ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, (LinearMap.trace R ↥(N i)) (LinearMap.restrict ((toEnd R (↥H) M) x) ⋯)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : Ring R
a b : R
n : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors R

⊢ a ^ 2 = 1 ↔ a = 1 ∨ a = -1
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : Filter α
a : ι → ℝ≥0∞
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))
h' : ∀ i ∈ s, a i ≠ ⊤

⊢ Tendsto (fun b => ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a c))
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : Filter α
a : ι → ℝ≥0∞
h : ∀ i ∈ ∅, Tendsto (f i) x (𝓝 (a i))
h' : ∀ i ∈ ∅, a i ≠ ⊤

⊢ Tendsto (fun b => ∏ c ∈ ∅, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ ∅, a c))
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝¹ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : Filter α
a✝ : ι → ℝ≥0∞
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
IH : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ i ∈ s, a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a✝ c))
h : ∀ i ∈ insert a s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))
h' : ∀ i ∈ insert a s, a✝ i ≠ ⊤

⊢ Tendsto (fun b => ∏ c ∈ insert a s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ insert a s, a✝ c))
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝¹ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : Filter α
a✝ : ι → ℝ≥0∞
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
IH : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ i ∈ s, a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a✝ c))
h : ∀ i ∈ insert a s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))
h' : ∀ i ∈ insert a s, a✝ i ≠ ⊤

⊢ Tendsto (fun b => f a b * ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (a✝ a * ∏ c ∈ s, a✝ c))
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝¹ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : Filter α
a✝ : ι → ℝ≥0∞
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
IH : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ i ∈ s, a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a✝ c))
h : ∀ i ∈ insert a s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))
h' : ∀ i ∈ insert a s, a✝ i ≠ ⊤

⊢ a✝ a ≠ 0 ∨ ∏ c ∈ s, a✝ c ≠ ⊤
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝¹ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : Filter α
a✝ : ι → ℝ≥0∞
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
IH : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ i ∈ s, a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a✝ c))
h : ∀ i ∈ insert a s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))
h' : ∀ i ∈ insert a s, a✝ i ≠ ⊤

⊢ Tendsto (fun a => ∏ c ∈ s, f c a) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a✝ c))
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝¹ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
f : ι → α → ℝ≥0∞
x : Filter α
a✝ : ι → ℝ≥0∞
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
IH : (∀ i ∈ s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))) → (∀ i ∈ s, a✝ i ≠ ⊤) → Tendsto (fun b => ∏ c ∈ s, f c b) x (𝓝 (∏ c ∈ s, a✝ c))
h : ∀ i ∈ insert a s, Tendsto (f i) x (𝓝 (a✝ i))
h' : ∀ i ∈ insert a s, a✝ i ≠ ⊤

⊢ ∏ c ∈ s, a✝ c ≠ 0 ∨ a✝ a ≠ ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N
i : ι

⊢ ((finsuppLeft R M N ι) (p ⊗ₜ[R] n)) i = p i ⊗ₜ[R] n
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Free.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
n p : ℕ
inst✝⁴ : Module.Free R ↑S.X₁
inst✝³ : Module.Free R ↑S.X₃
inst✝² : Module.Finite R ↑S.X₁
inst✝¹ : Module.Finite R ↑S.X₃
hN : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₁ = n
hP : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₃ = p
inst✝ : StrongRankCondition R

⊢ FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₂ = n + p
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Free.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
n p : ℕ
inst✝⁴ : Module.Free R ↑S.X₁
inst✝³ : Module.Free R ↑S.X₃
inst✝² : Module.Finite R ↑S.X₁
inst✝¹ : Module.Finite R ↑S.X₃
hN : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₁ = n
hP : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₃ = p
inst✝ : StrongRankCondition R

⊢ Module.rank R ↑S.X₂ = ↑(n + p)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Free.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
n p : ℕ
inst✝⁴ : Module.Free R ↑S.X₁
inst✝³ : Module.Free R ↑S.X₃
inst✝² : Module.Finite R ↑S.X₁
inst✝¹ : Module.Finite R ↑S.X₃
hN : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₁ = n
hP : FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₃ = p
inst✝ : StrongRankCondition R

⊢ Module.rank R ↑S.X₁ + Module.rank R ↑S.X₃ = ↑(FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₁ + FiniteDimensional.finrank R ↑S.X₃)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
l : List ι
t : Set X
h : ∀ i ∈ l, ContinuousOn (f i) t
x : X
hx : x ∈ t

⊢ ContinuousWithinAt (fun a => (List.map (fun i => f i a) l).prod) t x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
l : List ι
t : Set X
h : ∀ i ∈ l, ContinuousOn (f i) t
x : X
hx : x ∈ t

⊢ ContinuousAt (t.restrict fun a => (List.map (fun i => f i a) l).prod) ⟨x, hx⟩
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
l : List ι
t : Set X
h : ∀ i ∈ l, ContinuousOn (f i) t
x : X
hx : x ∈ t
i : ι
hi : i ∈ l

⊢ Tendsto (fun b => f i ↑b) (𝓝 ⟨x, hx⟩) (𝓝 (f i ↑⟨x, hx⟩))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
l : List ι
t : Set X
x : X
hx : x ∈ t
i : ι
hi : i ∈ l
h : ContinuousWithinAt (f i) t x

⊢ Tendsto (fun b => f i ↑b) (𝓝 ⟨x, hx⟩) (𝓝 (f i ↑⟨x, hx⟩))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
l : List ι
t : Set X
x : X
hx : x ∈ t
i : ι
hi : i ∈ l
h : ContinuousAt (t.restrict (f i)) ⟨x, hx⟩

⊢ Tendsto (fun b => f i ↑b) (𝓝 ⟨x, hx⟩) (𝓝 (f i ↑⟨x, hx⟩))
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
eX eX' : PartialHomeomorph X X'
eY eY' : PartialHomeomorph Y Y'
h : (eX.prod eY).source.Nonempty
x : X
y : Y
this✝² : Nonempty X
this✝¹ : Nonempty X'
this✝ : Nonempty Y
this : Nonempty Y'

⊢ eX.prod eY = eX'.prod eY' ↔ eX = eX' ∧ eY = eY'
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 0

⊢ ∃ n, ∀ (z : ℍ), g • z = T ^ n • z
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 0
had : (↑g).det = 1

⊢ ∃ n, ∀ (z : ℍ), g • z = T ^ n • z
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 0
had : ↑g 0 0 * ↑g 1 1 = 1

⊢ ∃ n, ∀ (z : ℍ), g • z = T ^ n • z
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 0
had : ↑g 0 0 * ↑g 1 1 = 1
ha : ↑g 0 0 = 1
hd : ↑g 1 1 = 1

⊢ ∃ n, ∀ (z : ℍ), g • z = T ^ n • z
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 0
had : ↑g 0 0 * ↑g 1 1 = 1
ha : ↑g 0 0 = -1
hd : ↑g 1 1 = -1

⊢ ∃ n, ∀ (z : ℍ), g • z = T ^ n • z
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ m₃ : M
X : C

⊢ (F.obj m₃).map ((F.μIso m₁ m₂).inv.app X) = (F.μ (m₁ ⊗ m₂) m₃).app X ≫ (F.map (α_ m₁ m₂ m₃).hom).app X ≫ (F.μIso m₁ (m₂ ⊗ m₃)).inv.app X ≫ (F.μIso m₂ m₃).inv.app ((F.obj m₁).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ m₃ : M
X : C

⊢ inv ((F.obj m₃).map ((F.μIso m₁ m₂).inv.app X)) = inv ((F.μ (m₁ ⊗ m₂) m₃).app X ≫ (F.map (α_ m₁ m₂ m₃).hom).app X ≫ (F.μIso m₁ (m₂ ⊗ m₃)).inv.app X ≫ (F.μIso m₂ m₃).inv.app ((F.obj m₁).obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ m₃ : M
X : C

⊢ inv ((F.obj m₃).map ((F.μIso m₁ m₂).inv.app X)) = (F.obj m₃).map ((F.μ m₁ m₂).app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ m₃ : M
X : C

⊢ inv ((F.μ (m₁ ⊗ m₂) m₃).app X ≫ (F.map (α_ m₁ m₂ m₃).hom).app X ≫ (F.μIso m₁ (m₂ ⊗ m₃)).inv.app X ≫ (F.μIso m₂ m₃).inv.app ((F.obj m₁).obj X)) = (F.μ m₂ m₃).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.μ m₁ (m₂ ⊗ m₃)).app X ≫ (F.map (α_ m₁ m₂ m₃).inv).app X ≫ (F.μIso (m₁ ⊗ m₂) m₃).inv.app X
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finrank.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : Module.rank R M ≤ ↑n

⊢ finrank R M ≤ n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finrank.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : Module.rank R M ≤ ↑n

⊢ Module.rank R M < ℵ₀
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finrank.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
n : ℕ
h : Module.rank R M ≤ ↑n

⊢ ↑n < ℵ₀
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/ResidueField/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
f : R ≃+* S
x : ResidueField R

⊢ (map ↑f.symm) ((map ↑f) x) = x
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/ResidueField/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
f : R ≃+* S
x : ResidueField S

⊢ (map ↑f) ((map ↑f.symm) x) = x
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : ℤ → G
hf₁ : HasProd (fun n => f ↑n) g
hf₂ : HasProd (fun n => f (-↑n)) g'

⊢ HasProd f (g * g' / f 0)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝² : CommGroup G
g g' : G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
f : ℤ → G
hf₁ : HasProd (fun n => f ↑n) g
hf₂ : HasProd (fun n => f (-↑n)) g'

⊢ HasProd (fun n => f (-(↑n + 1))) (g' / f 0)
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integers.lean
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝³ : CommRing O
inst✝² : Algebra O R
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : O
hx : IsUnit ((algebraMap O R) x)
hvx : v ((algebraMap O R) x) = 1
u : Rˣ
hu : ↑u = (algebraMap O R) x
h1 : v ↑u ≤ 1

⊢ v ↑u⁻¹ ≤ 1
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integers.lean
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝³ : CommRing O
inst✝² : Algebra O R
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : O
hx : IsUnit ((algebraMap O R) x)
hvx : v ((algebraMap O R) x) = 1
u : Rˣ
hu : ↑u = (algebraMap O R) x
h1 : v ↑u ≤ 1
h2 : v ↑u⁻¹ ≤ 1
r1 : O
hr1 : (algebraMap O R) r1 = ↑u
r2 : O
hr2 : (algebraMap O R) r2 = ↑u⁻¹

⊢ (algebraMap O R) (r1 * r2) = (algebraMap O R) 1
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integers.lean
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝³ : CommRing O
inst✝² : Algebra O R
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : O
hx : IsUnit ((algebraMap O R) x)
hvx : v ((algebraMap O R) x) = 1
u : Rˣ
hu : ↑u = (algebraMap O R) x
h1 : v ↑u ≤ 1
h2 : v ↑u⁻¹ ≤ 1
r1 : O
hr1 : (algebraMap O R) r1 = ↑u
r2 : O
hr2 : (algebraMap O R) r2 = ↑u⁻¹

⊢ (algebraMap O R) (r2 * r1) = (algebraMap O R) 1
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Constructions.lean
B : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁
E₁ : B → Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace F₂
E₂ : B → Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)
inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)
x : B
w₁ : F₁
w₂ : F₂
h₁ : x ∈ e₁.baseSet
h₂ : x ∈ e₂.baseSet

⊢ toFun' e₁ e₂ (invFun' e₁ e₂ (x, w₁, w₂)) = (x, w₁, w₂)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0

⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)

⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)
h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1

⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)
h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1
h : (a / (a + b)) ^ p + (b / (a + b)) ^ p ≤ 1

⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)
h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1
h : a ^ p / (a + b) ^ p + b ^ p / (a + b) ^ p ≤ 1

⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)
h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1
h : a ^ p / (a + b) ^ p + b ^ p / (a + b) ^ p ≤ 1
hab_0 : (a + b) ^ p ≠ 0

⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)
h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1
h : a ^ p / (a + b) ^ p + b ^ p / (a + b) ^ p ≤ 1
hab_0 : (a + b) ^ p ≠ 0
hab_0' : 0 < (a + b) ^ p

⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hp1 : 1 ≤ p
hp_pos : 0 < p
h_zero : ¬a + b = 0
h_nonzero : ¬(a = 0 ∧ b = 0)
h_add : a / (a + b) + b / (a + b) = 1
h : a ^ p / (a + b) ^ p + b ^ p / (a + b) ^ p ≤ 1
hab_0 : (a + b) ^ p ≠ 0
hab_0' : 0 < (a + b) ^ p
h_mul : (a + b) ^ p * (a ^ p / (a + b) ^ p + b ^ p / (a + b) ^ p) ≤ (a + b) ^ p

⊢ a ^ p + b ^ p ≤ (a + b) ^ p
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι

⊢ MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω < i}ᶜ

⊢ MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω < i}ᶜ

⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}ᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : ↥(Lp F' 1 μ)

⊢ (condexpL1CLM F' hm μ) (c • f) = c • (condexpL1CLM F' hm μ) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : ↥(Lp F' 1 μ)

⊢ ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : F'), (condexpInd F' hm μ s) (c • x) = c • (condexpInd F' hm μ s) x
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
ι : Sort u_1
f : ι → Cardinal.{v}

⊢ lift.{u, v} (sInf (range f)) = sInf (range fun i => lift.{u, v} (f i))
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
ι : Sort u_1
f : ι → Cardinal.{v}

⊢ (range fun i => lift.{u, v} (f i)) = lift.{u, v} '' range f
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ
motive : (m : ℕ) → m ≤ n + 1 → Sort u_1
of_succ : (k : ℕ) → (h : k < n + 1) → motive (k + 1) h → motive k ⋯
self : motive (n + 1) ⋯
mn : m ≤ n
msn : m ≤ n + 1

⊢ leRec (motive := fun {n} mn => {motive : (m : ℕ) → m ≤ n → Sort u_1} → ((k : ℕ) → (h : k < n) → motive (k + 1) h → motive k ⋯) → motive n ⋯ → motive m mn) (fun {motive} of_succ self => self) (fun ⦃k⦄ h ih {motive} of_succ self => ih (fun i hi => of_succ i ⋯) (of_succ k ⋯ self)) msn of_succ self = leRec (motive := fun {n} mn => {motive : (m : ℕ) → m ≤ n → Sort u_1} → ((k : ℕ) → (h : k < n) → motive (k + 1) h → motive k ⋯) → motive n ⋯ → motive m mn) (fun {motive} of_succ self => self) (fun ⦃k⦄ h ih {motive} of_succ self => ih (fun i hi => of_succ i ⋯) (of_succ k ⋯ self)) mn (fun i hi => of_succ i ⋯) (of_succ n ⋯ self)
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a✝¹ : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝

⊢ ((κ.withDensity 1) a✝¹) s✝ = (κ a✝¹) s✝
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a✝¹ : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝

⊢ ((κ a✝¹).withDensity (1 a✝¹)) s✝ = (κ a✝¹) s✝
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
b : β
ca : Computation α
cb : Computation β
ma : a ∈ ca
mb : b ∈ cb
ab : R a b
a' : α
ma' : a' ∈ ca

⊢ ∃ b, b ∈ cb ∧ R a' b