ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0

⊢ MeasurableSet (i ⁻¹' s ∩ t)
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0

⊢ MeasurableSet (i ⁻¹' s)
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
i : Ω' → Ω
hi : MeasurableEmbedding i
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω'
ht : MeasurableSet t
hi' : μ (range i)ᶜ = 0

⊢ MeasurableSet t
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n a b : ℕ
cop : m.Coprime n
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : a * m + b * n = m * n

⊢ False
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n b : ℕ
cop : m.Coprime n
hb : b ≠ 0
x : ℕ
ha : n * x ≠ 0
h : n * x * m + b * n = m * n

⊢ False
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
x : ℕ
ha : n * x ≠ 0
y : ℕ
hb : m * y ≠ 0
h : n * x * m + m * y * n = m * n

⊢ False
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
x : ℕ
ha : 1 ≤ x ∧ n ≠ 0
y : ℕ
hb : 1 ≤ y ∧ m ≠ 0
h : n * x * m + m * y * n = m * n

⊢ False
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
x : ℕ
ha : 1 ≤ x ∧ n ≠ 0
y : ℕ
hb : 1 ≤ y ∧ m ≠ 0
h : n * x * m + m * y * n = m * n

⊢ (x + y) * (m * n) = m * n
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(spectrum R a), R)
f' : C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)))
hff' : ∀ (x : ↑(spectrum R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R)
φ : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R) →⋆ₐ[R] A := (cfcHom ha).comp (ContinuousMap.compStarAlgHom' R R f')

⊢ (cfcHom ha) (g.comp f') = (cfcHom ⋯) g
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(spectrum R a), R)
f' : C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)))
hff' : ∀ (x : ↑(spectrum R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R)
φ : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R) →⋆ₐ[R] A := (cfcHom ha).comp (ContinuousMap.compStarAlgHom' R R f')

⊢ cfcHom ⋯ = φ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(spectrum R a), R)
f' : C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)))
hff' : ∀ (x : ↑(spectrum R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R)
φ : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R) →⋆ₐ[R] A := (cfcHom ha).comp (ContinuousMap.compStarAlgHom' R R f')

⊢ Continuous ⇑φ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(spectrum R a), R)
f' : C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)))
hff' : ∀ (x : ↑(spectrum R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R)
φ : C(↑(spectrum R ((cfcHom ha) f)), R) →⋆ₐ[R] A := (cfcHom ha).comp (ContinuousMap.compStarAlgHom' R R f')

⊢ φ (ContinuousMap.restrict (spectrum R ((cfcHom ha) f)) (ContinuousMap.id R)) = (cfcHom ha) f
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : ℕ
x y : R
hp : Nat.Prime p
h : Commute x y

⊢ (x + y) ^ p = x ^ p + y ^ p + ↑p * ∑ k ∈ Ioo 0 p, x ^ k * y ^ (p - k) * ↑(p.choose k / p)
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
H : ∀ (n : ℤ), 0 ≤ n → (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y

⊢ StrictMono fun n => (a ^ n).y
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
H : ∀ (n : ℤ), 0 ≤ n → (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
n : ℤ

⊢ (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
H : ∀ (n : ℤ), 0 ≤ n → (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
n : ℤ
hn : 0 ≤ n

⊢ (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
H : ∀ (n : ℤ), 0 ≤ n → (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
n : ℤ
hn : n < 0

⊢ (a ^ n).y < (a ^ (n + 1)).y
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁷ : SMul α β
inst✝⁶ : SMul α γ
inst✝⁵ : SMul β δ
inst✝⁴ : SMul α δ
inst✝³ : SMul γ δ
inst✝² : IsScalarTower α β δ
inst✝¹ : IsScalarTower α γ δ
inst✝ : SMulCommClass β γ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ

⊢ (a • b) • c • d = (a • c) • b • d
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIocMod hp a (p + b) = toIocMod hp a b
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : IsBasis p s
t : Set α

⊢ t ∈ h.filter ↔ ∃ i, p i ∧ s i ⊆ t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
f : R[X]
n : ℕ

⊢ f.degree < ↑n ↔ ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f.coeff m = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p₁ p₂ : Q
h : p₁ ≠ p₂
c₁ c₂ : 𝕜

⊢ dist c₁ c₂ ≤ ↑(nndist p₁ p₂)⁻¹ * dist ((lineMap p₁ p₂) c₁) ((lineMap p₁ p₂) c₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.280541, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.280548, u_2} D
X✝ Y✝ : C
inst✝ : HasInitial C
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c

⊢ Mono c.inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.280541, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.280548, u_2} D
X✝ Y✝ : C
inst✝ : HasInitial C
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c

⊢ IsPullback (𝟙 ((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right })) (𝟙 ((pair X Y).obj { as := WalkingPair.right })) c.inr c.inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.280541, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.280548, u_2} D
X✝ Y✝ : C
inst✝ : HasInitial C
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c

⊢ mapPair (initial.to X) (𝟙 Y) ≫ c.ι = (BinaryCofan.mk (initial.to Y) (𝟙 Y)).ι ≫ (Functor.const (Discrete WalkingPair)).map c.inr
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.280541, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.280548, u_2} D
X✝ Y✝ : C
inst✝ : HasInitial C
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
h : IsVanKampenColimit c

⊢ IsColimit (BinaryCofan.mk (initial.to Y) (𝟙 Y))
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : ⨁ (i : ι), A i

⊢ ((mulHom A) a) a' = DFinsupp.sum a fun i ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : ⨁ (i : ι), A i

⊢ ((DFinsupp.sumAddHom fun x => (toAddMonoid fun x_1 => ((compHom (of A (x + x_1))).comp (gMulHom A)).flip).flip) a) a' = DFinsupp.sum a fun i ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : ⨁ (i : ι), A i

⊢ (DFinsupp.sum a fun x => ⇑(toAddMonoid fun x_1 => ((compHom (of A (x + x_1))).comp (gMulHom A)).flip).flip) a' = DFinsupp.sum a fun i ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : ⨁ (i : ι), A i

⊢ (DFinsupp.sum a fun a b => ((toAddMonoid fun x => ((compHom (of A (a + x))).comp (gMulHom A)).flip).flip b) a') = DFinsupp.sum a fun i ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : ⨁ (i : ι), A i

⊢ (fun a b => ((toAddMonoid fun x => ((compHom (of A (a + x))).comp (gMulHom A)).flip).flip b) a') = fun i ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (i + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : ⨁ (i : ι), A i
x : ι

⊢ (fun b => ((toAddMonoid fun x_1 => ((compHom (of A (x + x_1))).comp (gMulHom A)).flip).flip b) a') = fun ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (x + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : ⨁ (i : ι), A i
x : ι

⊢ (fun b => ((toAddMonoid fun x_1 => ((compHom (of A (x + x_1))).comp (gMulHom A)).flip) a') b) = fun ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (x + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝² : AddMonoid ι
inst✝¹ : GSemiring A
inst✝ : (i : ι) → (x : A i) → Decidable (x ≠ 0)
a a' : ⨁ (i : ι), A i
x : ι

⊢ (fun b => (DFinsupp.sum a' fun x_1 => ⇑((compHom (of A (x + x_1))).comp (gMulHom A)).flip) b) = fun ai => DFinsupp.sum a' fun j aj => (of A (x + j)) (GradedMonoid.GMul.mul ai aj)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
h : Function.Injective ⇑(algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P))
x : R

⊢ x ∈ comap (algebraMap R S) P ↔ x ∈ p
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
h : Function.Injective ⇑(algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P))
x : R

⊢ (algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P)) ((Quotient.mk p) x) = 0 ↔ (Quotient.mk p) x = 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
l : Multiset α
a : α

⊢ l.Disjoint {a} ↔ a ∉ l
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v w : V

⊢ Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) ≤ G.degree v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v w : V

⊢ Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w) ≤ Fintype.card ↑(G.neighborSet v)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α

⊢ count a s = card s ↔ ∀ x ∈ s, a = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : Disjoint p (ker f)

⊢ comap f p = p ⊔ ker f
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : Disjoint p (ker f)
x : V
hx : x ∈ comap f p

⊢ x ∈ p ⊔ ker f
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : Disjoint p (ker f)
x : V
hx : x ∈ comap f p
y : V
hy : y ∈ p
hxy : (f.restrict h) ⟨y, hy⟩ = ⟨f x, hx⟩

⊢ x ∈ p ⊔ ker f
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
p : Submodule K V
inst✝ : FiniteDimensional K ↥p
f : V →ₗ[K] V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : Disjoint p (ker f)
x : V
hx : x ∈ comap f p
y : V
hy : y ∈ p
hxy : f y = f x

⊢ x ∈ p ⊔ ker f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
m : Type u_3
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
b : Basis m R S
x : S
i j : m

⊢ (leftMulMatrix b) x i j = (b.repr (x * b j)) i
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
hs : IsClosed s

⊢ a ∈ s ↔ ∃ o, ∃ (_ : o ≠ 0), ∃ f, (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi ∈ s) ∧ o.bsup f = a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S

⊢ X.smeval x = x ^ 1
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Lucas.lean
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha₁ : n < p ^ a
ha₂ : k < p ^ a

⊢ ↑(n.choose k) ≡ ∏ i ∈ range a, ↑((n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) [ZMOD ↑p]
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Lucas.lean
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha₁ : n < p ^ a
ha₂ : k < p ^ a

⊢ ↑((n / p ^ a).choose (k / p ^ a)) * ↑(∏ i ∈ range a, (n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) ≡ ∏ i ∈ range a, ↑((n / p ^ i % p).choose (k / p ^ i % p)) [ZMOD ↑p]
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Spaces.lean
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T

⊢ Pretopology.ofGrothendieck (Opens T) (grothendieckTopology T) = pretopology T
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Spaces.lean
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T

⊢ Pretopology.ofGrothendieck (Opens T) (grothendieckTopology T) ≤ pretopology T
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Spaces.lean
T : Type u
inst✝ : TopologicalSpace T

⊢ pretopology T ≤ Pretopology.ofGrothendieck (Opens T) (grothendieckTopology T)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n x : ℕ
h : x.Coprime n

⊢ ↑x * (↑x)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n x : ℕ
h : (x % n).gcd n = 1

⊢ ↑x * (↑x)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset (PLift α)
hs : mulSupport (f ∘ PLift.down) ⊆ ↑s
x : PLift α
hx : x ∈ ⋯.toFinset

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Finset (PLift α)
hs : mulSupport (f ∘ PLift.down) ⊆ ↑s
x : PLift α
hx : x ∈ mulSupport (f ∘ PLift.down)

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν

⊢ ∫⁻ (x : α), μ.rnDeriv ν x ∂ν = μ Set.univ
-- Mathlib/Algebra/Star/Pointwise.lean
α : Type u_1
s t : Set α
a : α
inst✝ : InvolutiveStar α

⊢ star '' s = s⋆
-- Mathlib/Algebra/Star/Pointwise.lean
α : Type u_1
s t : Set α
a : α
inst✝ : InvolutiveStar α

⊢ star '' s = star ⁻¹' s
-- Mathlib/Topology/Algebra/ContinuousMonoidHom.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
h : EquicontinuousAt (fun f => ⇑↑f) 1

⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ContinuousMonoidHom.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
h : Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ Subtype.val)

⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ContinuousMonoidHom.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
h : Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ Subtype.val)
W : Set Y
hWo : W ∈ nhds 1
hWV : W ⊆ V
hWc : IsCompact W

⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ContinuousMonoidHom.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
h : Equicontinuous (DFunLike.coe ∘ Subtype.val)
W : Set Y
hWo : W ∈ nhds 1
hWV : W ⊆ V
hWc : IsCompact W
S1 : Set (X →* Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S2 : Set (ContinuousMonoidHom X Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S3 : Set C(X, Y) := _root_.toContinuousMap '' S2
S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3

⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ContinuousMonoidHom.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
W : Set Y
hWo : W ∈ nhds 1
hWV : W ⊆ V
hWc : IsCompact W
S1 : Set (X →* Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S2 : Set (ContinuousMonoidHom X Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S3 : Set C(X, Y) := _root_.toContinuousMap '' S2
S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3
h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ContinuousMonoidHom.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
W : Set Y
hWo : W ∈ nhds 1
hWV : W ⊆ V
hWc : IsCompact W
S1 : Set (X →* Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S2 : Set (ContinuousMonoidHom X Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S3 : Set C(X, Y) := _root_.toContinuousMap '' S2
S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3
h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
hS4 : S4 = DFunLike.coe '' S1

⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)