ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : MetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
δ : C(X, ℝ≥0)
hδ0 : ∀ (x : X), 0 < δ x
hδ : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, EMetric.closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i
i : ι
x : X
hx : x ∈ K i

⊢ EMetric.closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i
-- Mathlib/Topology/Instances/Real.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : ℝ
ha : a ≠ 0

⊢ Tendsto (⇑((zmultiplesHom ℝ) a)) Filter.cofinite (cocompact ℝ)
-- Mathlib/Topology/Instances/Real.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : ℝ
ha : a ≠ 0

⊢ DiscreteTopology ↥((zmultiplesHom ℝ) a).range
-- Mathlib/Topology/Instances/Real.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : ℝ
ha : a ≠ 0

⊢ DiscreteTopology ↥(AddSubgroup.zmultiples a)
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
h1 : 1 ∈ S
hg : g ∈ T
this : hST.equiv.symm (⟨1, h1⟩, ⟨g, hg⟩) = g

⊢ (hST.equiv g).2 = ⟨g, hg⟩
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x✝ y✝ : M
f✝ : M →* P
f : c.Quotient →* P
x y : M
h : c x y

⊢ f ↑x = f ↑y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β

⊢ (map g f).lintegral μ = ∑ x ∈ f.range, g x * μ (↑f ⁻¹' {x})
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β

⊢ ∑ x ∈ Finset.image g f.range, x * μ (↑(map g f) ⁻¹' {x}) = ∑ x ∈ f.range, g x * μ (↑f ⁻¹' {x})
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β
b : β
hb : b ∈ f.range

⊢ g b * μ (↑(map g f) ⁻¹' {g b}) = ∑ x ∈ Finset.filter (fun c' => g c' = g b) f.range, g x * μ (↑f ⁻¹' {x})
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β
a : α
hb : ↑f a ∈ f.range

⊢ g (↑f a) * μ (↑(map g f) ⁻¹' {g (↑f a)}) = ∑ x ∈ Finset.filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, g x * μ (↑f ⁻¹' {x})
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β
a : α
hb : ↑f a ∈ f.range

⊢ ∑ i ∈ Finset.filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range, g (↑f a) * μ (↑f ⁻¹' {i}) = ∑ x ∈ Finset.filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, g x * μ (↑f ⁻¹' {x})
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β
a : α
hb : ↑f a ∈ f.range

⊢ Finset.filter (fun b => g b = g (↑f a)) f.range = Finset.filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
g : β → ℝ≥0∞
f : α →ₛ β
a : α
hb : ↑f a ∈ f.range

⊢ ∀ x ∈ Finset.filter (fun c' => g c' = g (↑f a)) f.range, g (↑f a) * μ (↑f ⁻¹' {x}) = g x * μ (↑f ⁻¹' {x})
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S : Subsemigroup M
m : M
p : Subsemigroup M

⊢ closure {m} ≤ p ↔ m ∈ p
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α

⊢ (l.node3R x m y r).dual = r.dual.node3L y m.dual x l.dual
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ

⊢ (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0

⊢ (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p

⊢ (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
hq0_lt : 0 < q

⊢ (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
hq0_lt : 0 < q
hq0_ne : q ≠ 0

⊢ (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
hq0_lt : 0 < q
hq0_ne : q ≠ 0
h_one_div_r : 1 / r = 1 / p - 1 / q
p2 : ℝ := q / p
q2 : ℝ := p2.conjExponent

⊢ (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
μ✝ : Measure α✝
α : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
p q r : ℝ
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r
μ : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
hp0_ne : p ≠ 0
hp0 : 0 ≤ p
hq0_lt : 0 < q
hq0_ne : q ≠ 0
h_one_div_r : 1 / r = 1 / p - 1 / q
p2 : ℝ := q / p
q2 : ℝ := p2.conjExponent
hp2q2 : p2.IsConjExponent q2

⊢ (∫⁻ (a : α), (f * g) a ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), f a ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), g a ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V

⊢ arccos (⟪x, y⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖y‖)) = arccos (⟪y, x⟫_ℝ / (‖y‖ * ‖x‖))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

⊢ fderivWithin 𝕜 _root_.id s x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 E
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

⊢ fderiv 𝕜 _root_.id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 E
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
r : ℝ
c : ℂ

⊢ { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun (r • c) = (RingHom.id ℝ) r • { toFun := __src✝.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun c
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α

⊢ a ≤ b ↔ a⁺ᵐ ≤ b⁺ᵐ ∧ b⁻ᵐ ≤ a⁻ᵐ
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a⁺ᵐ ≤ b⁺ᵐ ∧ b⁻ᵐ ≤ a⁻ᵐ

⊢ a ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a⁺ᵐ ≤ b⁺ᵐ ∧ b⁻ᵐ ≤ a⁻ᵐ

⊢ a⁺ᵐ / a⁻ᵐ ≤ b⁺ᵐ / b⁻ᵐ
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

⊢ (fun x => x + a) ⁻¹' Ioc b c = Ioc (b - a) (c - a)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m : ℕ
_h : 0 < m + 1

⊢ ack 0 0 < ack (m + 1) 0
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ
h : 0 < m + 1

⊢ ack 0 (n + 1) < ack (m + 1) (n + 1)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ
h : 0 < m + 1

⊢ n + 1 + 1 < ack m (ack (m + 1) n)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ
h : 0 < m + 1

⊢ n + 1 + 1 ≤ m + (m + 1 + n + 1)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m₁ m₂ : ℕ
h : m₁ + 1 < m₂ + 1

⊢ ack (m₁ + 1) 0 < ack (m₂ + 1) 0
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m₁ m₂ n : ℕ
h : m₁ + 1 < m₂ + 1

⊢ ack (m₁ + 1) (n + 1) < ack (m₂ + 1) (n + 1)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m₁ m₂ n : ℕ
h : m₁ + 1 < m₂ + 1

⊢ ack m₁ (ack (m₁ + 1) n) < ack m₂ (ack (m₂ + 1) n)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ

⊢ append l₁ (mk l₂) = mk (l₁ ++ l₂)
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ

⊢ multiplicity p n ! ≤ ↑(n / (p - 1))
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p : ℕ
hp : Prime p
n : ℕ

⊢ ∑ i ∈ Ico 1 (log p n).succ, n / p ^ i ≤ n / (p - 1)
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : PrimeMultiset

⊢ Multiset.map Subtype.val (Multiset.map Coe.coe v) = Multiset.map Subtype.val v
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : PrimeMultiset

⊢ Multiset.map (Subtype.val ∘ Coe.coe) v = Multiset.map Subtype.val v
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
a b n : ℕ
n0 : n ≠ 0

⊢ a ^ n ∣ b ^ n ↔ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
a b n : ℕ
n0 : n ≠ 0
h : a ^ n ∣ b ^ n

⊢ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
a b n : ℕ
n0 : n ≠ 0
h : a ^ n ∣ b ^ n
g0 : a.gcd b = 0

⊢ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
a b n : ℕ
n0 : n ≠ 0
h : a ^ n ∣ b ^ n
g0 : a.gcd b > 0

⊢ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
h : (a' * g) ^ n ∣ (b' * g) ^ n
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0

⊢ a' * g ∣ b' * g
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
h : a' ^ n * g ^ n ∣ b' ^ n * g ^ n
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0

⊢ a' * g ∣ b' * g
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0
h : a' ^ n ∣ b' ^ n

⊢ a' * g ∣ b' * g
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0
h : a' ^ n ∣ b' ^ n
this : a' ^ succ 0 ∣ a' ^ n

⊢ a' * g ∣ b' * g
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
n : ℕ
n0 : n ≠ 0
g a' b' : ℕ
g0' : 0 < g
co : a'.Coprime b'
g0 : (a' * g).gcd (b' * g) > 0
h : a' ^ n ∣ b' ^ n
this : a' ∣ 1

⊢ a' * g ∣ b' * g
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
x : ONote
inst✝ : x.NF
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF

⊢ (x + e).oadd n (x.scale a) = Mul.mul (x.oadd 1 0) (e.oadd n a)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
x : ONote
inst✝ : x.NF
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF
this : a.NF

⊢ (x + e).oadd n (x.scale a) = Mul.mul (x.oadd 1 0) (e.oadd n a)
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y

⊢ SpecializingMap f ↔ ∀ (x : X), closure {f x} ⊆ f '' closure {x}
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y

⊢ (∀ ⦃a : X⦄ ⦃b : Y⦄, b ∈ closure {f a} → ∃ a' ∈ closure {a}, f a' = b) ↔ ∀ (x : X), closure {f x} ⊆ f '' closure {x}
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R

⊢ (∀ n > 3, P.toPoly.coeff n = 0) ∧ P.toPoly.coeff 3 = P.a ∧ P.toPoly.coeff 2 = P.b ∧ P.toPoly.coeff 1 = P.c ∧ P.toPoly.coeff 0 = P.d
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R

⊢ (∀ n > 3, ((((if n = 3 then P.a else 0) + if n = 2 then P.b else 0) + if n = 1 then P.c else 0) + if n = 0 then P.d else 0) = 0) ∧ ((((if True then P.a else 0) + if 3 = 2 then P.b else 0) + if 3 = 1 then P.c else 0) + if False then P.d else 0) = P.a ∧ ((((if 2 = 3 then P.a else 0) + if True then P.b else 0) + if 2 = 1 then P.c else 0) + if False then P.d else 0) = P.b ∧ ((((if 1 = 3 then P.a else 0) + if 1 = 2 then P.b else 0) + if True then P.c else 0) + if False then P.d else 0) = P.c ∧ ((((if False then P.a else 0) + if False then P.b else 0) + if False then P.c else 0) + if True then P.d else 0) = P.d
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n

⊢ ((((if n = 3 then P.a else 0) + if n = 2 then P.b else 0) + if n = 1 then P.c else 0) + if n = 0 then P.d else 0) = 0
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n

⊢ 0 + 0 + 0 + 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n

⊢ ¬n = 0
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n

⊢ ¬n = 1
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n

⊢ ¬n = 2
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n

⊢ ¬n = 3
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame

⊢ -y < -x ↔ x < y
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
b : Basis ι ℝ E

⊢ b.addHaar (_root_.parallelepiped ⇑b) = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
b : Basis ι ℝ E

⊢ (addHaarMeasure b.parallelepiped) (_root_.parallelepiped ⇑b) = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : Monic 0

⊢ p %ₘ 0 = p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : Monic 0
this : Subsingleton R

⊢ p %ₘ 0 = p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : ¬Monic 0

⊢ (if h : Monic 0 then (if h_1 : degree 0 ≤ p.degree ∧ p ≠ 0 then let z := C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - natDegree 0); let_fun _wf := ⋯; let dm := (p - 0 * z).divModByMonicAux ⋯; (z + dm.1, dm.2) else (0, p)).2 else p) = p
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α

⊢ a₁ * b₁ ≤ a₂ * b₂ → a₁ ≤ a₂ ∨ b₁ ≤ b₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α

⊢ a₂ < a₁ ∧ b₂ < b₁ → a₂ * b₂ < a₁ * b₁
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
h : Surjective ⇑f

⊢ Module.rank R ↥(LinearMap.range f) = Module.rank R M'
-- Mathlib/Data/List/Duplicate.lean
α : Type u_1
l : List α
x y : α
hne : x ≠ y

⊢ x ∈+ y :: l ↔ x ∈+ l
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SL(2, R)
i✝ j✝ : Fin 2

⊢ ↑A⁻¹ i✝ j✝ = ↑⟨![![↑A 1 1, -↑A 0 1], ![-↑A 1 0, ↑A 0 0]], ⋯⟩ i✝ j✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SL(2, R)
i✝ j✝ : Fin 2
this : (↑A).adjugate = !![↑A 1 1, -↑A 0 1; -↑A 1 0, ↑A 0 0]

⊢ ↑A⁻¹ i✝ j✝ = ↑⟨![![↑A 1 1, -↑A 0 1], ![-↑A 1 0, ↑A 0 0]], ⋯⟩ i✝ j✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
R : Type v
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
A : SL(2, R)
i✝ j✝ : Fin 2
this : (↑A).adjugate = !![↑A 1 1, -↑A 0 1; -↑A 1 0, ↑A 0 0]

⊢ !![↑A 1 1, -↑A 0 1; -↑A 1 0, ↑A 0 0] i✝ j✝ = ↑⟨![![↑A 1 1, -↑A 0 1], ![-↑A 1 0, ↑A 0 0]], ⋯⟩ i✝ j✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v✝ : VectorMeasure α M✝
w✝ : VectorMeasure α N
M : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
h : v ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑w s = 0

⊢ ↑(-v) s = 0
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s s₁ s₂ : UpperSet α
t t₁ t₂ : UpperSet β
x : α × β

⊢ s ×ˢ t = ⊤ ↔ s = ⊤ ∨ t = ⊤
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s s₁ s₂ : UpperSet α
t t₁ t₂ : UpperSet β
x : α × β

⊢ ↑(s ×ˢ t) = ↑⊤ ↔ ↑s = ↑⊤ ∨ ↑t = ↑⊤
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
p : α → Prop
hom : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
base : ∀ x ∈ s, p x

⊢ p (s.noncommProd comm)
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
p : α → Prop
hom : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
l : List α
comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
base : ∀ x ∈ ⟦l⟧, p x

⊢ p (noncommProd ⟦l⟧ comm)
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
p : α → Prop
hom : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
l : List α
comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
base : ∀ x ∈ l, p x

⊢ p l.prod
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α

⊢ IsBounded (s ∪ t) ↔ IsBounded s ∧ IsBounded t
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1).succ
h : j ≤ i

⊢ i.cycleRange j = if j = i then 0 else j + 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1).succ
h : j ≤ i
this : j = castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩

⊢ i.cycleRange j = if j = i then 0 else j + 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1).succ
h : j ≤ i
this : j = castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩

⊢ ↑(i.cycleRange j) = ↑(if j = i then 0 else j + 1)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1).succ
h : j ≤ i
this : j = castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩

⊢ (if ⟨↑j, ⋯⟩ = last ↑i then 0 else ↑⟨↑j, ⋯⟩ + 1) = ↑(if castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩ = i then 0 else castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩ + 1)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n✝ : ℕ
i j : Fin (n✝ + 1).succ
h : j ≤ i
this : j = castLE ⋯ ⟨↑j, ⋯⟩

⊢ (if ↑j = ↑i then 0 else ↑j + 1) = ↑(if ↑j = ↑i then 0 else j + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1

⊢ f (↑n + x) ≤ f ↑n + x * log ↑n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
hn' : 0 < ↑n

⊢ f (↑n + x) ≤ f ↑n + x * log ↑n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
hx : 0 < x
hx' : x ≤ 1
hn' : 0 < ↑n
this : f ↑n + x * log ↑n = (1 - x) * f ↑n + x * f (↑n + 1)

⊢ f ((1 - x) * ↑n + x * (↑n + 1)) ≤ (1 - x) * f ↑n + x * f (↑n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
T : Type u_4
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : IsDedekindDomain T
I J : Ideal T
hI : I ≠ ⊥
hJ : Irreducible J
n : ℕ

⊢ J ^ n ⊔ I = J ^ min (count J (normalizedFactors I)) n
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
this : s.diag.card + s.offDiag.card = s.card * s.card

⊢ s.offDiag.card = s.card * s.card - s.card
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
this : s.card + s.offDiag.card = s.card * s.card

⊢ s.offDiag.card = s.card * s.card - s.card
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α

⊢ s.diag.card + s.offDiag.card = s.card * s.card
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α

⊢ (filter (fun a => a.1 = a.2) (s ×ˢ s)).card + (filter (fun a => a.1 ≠ a.2) (s ×ˢ s)).card = (s ×ˢ s).card
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
a b : X

⊢ orbit G a = orbit G b ∨ Disjoint (orbit G a) (orbit G b)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
a b : X

⊢ ¬Disjoint (orbit G a) (orbit G b) → orbit G a = orbit G b