ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
u : Set α
hu : MeasurableSet u

⊢ ((μ.restrict t).restrict s) u = (μ.restrict (s ∩ t)) u
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑t
hx : ↑x ∈ s

⊢ (Set.sumDiffSubset h).symm x = Sum.inl ⟨↑x, hx⟩
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑t
hx : ↑x ∈ s

⊢ (Set.sumDiffSubset h) ((Set.sumDiffSubset h).symm x) = (Set.sumDiffSubset h) (Sum.inl ⟨↑x, hx⟩)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
s t : Set α
h : s ⊆ t
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : ↑t
hx : ↑x ∈ s

⊢ x = inclusion h ⟨↑x, hx⟩
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
hlt : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁

⊢ (πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) l) = eval (π C fun x => ord I x < o₂) l
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h : o₁ ≤ o₂
hlt : ∀ i ∈ ↑l, ord I i < o₁

⊢ ((πs' C h) (eval (π C fun x => ord I x < o₁) l)).toFun = ⇑(eval (π C fun x => ord I x < o₂) l)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
r : R

⊢ (fun r => r • 1) r = x ↔ (algebraMap R A) r = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : x.Compatible

⊢ FamilyOfElements.restrict ⋯ x.sieveExtend = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y✝ : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : R f

⊢ FamilyOfElements.restrict ⋯ x.sieveExtend f hf = x f hf
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ

⊢ μ (closedBall x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r
s : ℝ
this : closedBall 0 (r * s) = r • closedBall 0 s

⊢ μ (closedBall x (r * s)) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (closedBall 0 s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b

⊢ ∫ (x : ℂ), rexp (-b * ‖x‖ ^ p) = π * b ^ (-2 / p) * Real.Gamma (2 / p + 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b

⊢ ∫ (x : ℂ), rexp (-b * ‖x‖ ^ p) = ∫ (x : ℂ), ‖x‖ ^ 0 * rexp (-b * ‖x‖ ^ p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hb : 0 < b

⊢ π * b ^ (-2 / p) * Real.Gamma (2 / p + 1) = 2 * π / p * b ^ (-(0 + 2) / p) * Real.Gamma ((0 + 2) / p)
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l : List M
h : ∀ x ∈ l, x = 1

⊢ l.prod = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l : List M
h : ∀ x ∈ l, x = 1

⊢ ℕ
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l : List M
h : ∀ x ∈ l, x = 1

⊢ l.length = ?m.22276
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x y : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
n : ℕ

⊢ ((WittVector.map g) (f x y)).coeff n = (f ((WittVector.map g) x) ((WittVector.map g) y)).coeff n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x y : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
n : ℕ

⊢ (eval₂Hom (g.comp (algebraMap ℤ R)) fun i => g (![x.coeff, y.coeff] i.1 i.2)) (φ n) = (aeval fun a => ![((WittVector.map g) x).coeff, ((WittVector.map g) y).coeff] a.1 a.2) (φ n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x y : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial (Fin 2 × ℕ) ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x y : 𝕎 R), (f x y).coeff = fun n => peval (φ n) ![x.coeff, y.coeff]
n : ℕ

⊢ (fun i => g (![x.coeff, y.coeff] i.1 i.2)) = fun a => ![((WittVector.map g) x).coeff, ((WittVector.map g) y).coeff] a.1 a.2
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Semigroup α
inst✝ : HasDistribNeg α
a b c : α

⊢ (∃ b_1, -b = a * (Equiv.symm (Equiv.neg α)) b_1) ↔ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w

⊢ nats = 0 :: map succ nats
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w

⊢ ∀ (n : ℕ), nats.get n = (0 :: map succ nats).get n
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n✝ : ℕ

⊢ nats.get (n✝ + 1) = (0 :: map succ nats).get (n✝ + 1)
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n✝ : ℕ

⊢ nats.tail.get n✝ = (0 :: map succ nats).get (n✝ + 1)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
t : Set β
u : Set γ
x✝ : α × β × γ

⊢ x✝ ∈ ⇑(prodAssoc α β γ).symm ⁻¹' (s ×ˢ t) ×ˢ u ↔ x✝ ∈ s ×ˢ t ×ˢ u
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d✝ a : ℕ
ha : a ≠ 0
n d : ℕ

⊢ Rat.divInt (↑a * ↑n) (↑a * ↑d) = Rat.divInt ↑n ↑d
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
g : R[X]

⊢ f ∣ h.repr (h.map g) - g
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 s2 : WSeq α
t1 t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1 t1
h2 : LiftRel R s2 t2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s✝ t✝
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s.destruct t.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 s2 : WSeq α
t1 t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1 t1
h2 : LiftRel R s2 t2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s✝ t✝
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t

⊢ ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) a b
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 s2 : WSeq α
t1 t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1 t1
h2 : LiftRel R s2 t2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s✝ t✝
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t
a : Option (α × WSeq α)
b : Option (β × WSeq β)

⊢ LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO R (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) a b
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 s2 : WSeq α
t1 t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1 t1
h2 : LiftRel R s2 t2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s✝ t✝
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t
a : Option (α × WSeq α)
b : Option (β × WSeq β)

⊢ ∀ (s : WSeq α) (t : WSeq β), LiftRel R s t → LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1✝ s2 : WSeq α
t1✝ t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1✝ t1✝
h2 : LiftRel R s2 t2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s t
s1 : WSeq α
t1 : WSeq β
h : LiftRel R s1 t1

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) (s1.append s2).destruct (t1.append t2).destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1✝ s2 : WSeq α
t1✝ t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1✝ t1✝
h2 : LiftRel R s2 t2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s t
s1 : WSeq α
t1 : WSeq β
h : LiftRel R s1 t1

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1, s = s1.append s2 ∧ ∃ x, t = x.append t2 ∧ LiftRel R s1 x) (s1.destruct.bind (destruct_append.aux s2)) (t1.destruct.bind (destruct_append.aux t2))
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1✝ s2 : WSeq α
t1✝ t2 : WSeq β
h1 : LiftRel R s1✝ t1✝
h2 : LiftRel R s2 t2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : (fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1 t1, s = s1.append s2 ∧ t = t1.append t2 ∧ LiftRel R s1 t1) s t
s1 : WSeq α
t1 : WSeq β
h : LiftRel R s1 t1

⊢ ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s t => LiftRel R s t ∨ ∃ s1, s = s1.append s2 ∧ ∃ x, t = x.append t2 ∧ LiftRel R s1 x) (destruct_append.aux s2 a) (destruct_append.aux t2 b)
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/RankOne.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
inst✝ : v.RankOne
x : Γ₀
hx : (hom v) x = 0

⊢ x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/RankOne.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
inst✝ : v.RankOne
x : Γ₀
hx : (hom v) x = 0
h_lt : 0 < x

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/RankOne.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
inst✝ : v.RankOne
x : Γ₀
hx : (hom v) x = 0
h_lt : 0 < x
hs : (hom v) 0 < (hom v) x

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/RankOne.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
inst✝ : v.RankOne
x : Γ₀
hx : (hom v) x = 0
h_lt : 0 < x
hs : 0 < 0

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle

⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun x => cosKernel a x - 1) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ

⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun x => cosKernel (↑a) x - 1) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)

⊢ ∃ p, 0 < p ∧ (fun x => cosKernel (↑a) x - 1) =O[atTop] fun x => rexp (-p * x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)

⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖cosKernel (↑a) x - 1‖ ≤ 2 * (HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 x - if 1 = 0 then 1 else 0)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)

⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖cosKernel (↑a) x - 1‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ ‖cosKernel (↑a) t - 1‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ ‖∑' (b : ℕ), 2 * Real.cos (2 * π * a * (↑b + 1)) * rexp (-π * (↑b + 1) ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * ∑' (n : ℕ), HurwitzKernelBounds.f_nat 0 1 t n
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ ∀ (i : ℕ), ‖2 * Real.cos (2 * π * a * (↑i + 1)) * rexp (-π * (↑i + 1) ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.f_nat 0 1 t i
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
n : ℕ

⊢ ‖2 * Real.cos (2 * π * a * (↑n + 1)) * rexp (-π * (↑n + 1) ^ 2 * t)‖ ≤ 2 * HurwitzKernelBounds.f_nat 0 1 t n
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a p : ℝ
hp : 0 < p
hp' : (fun t => HurwitzKernelBounds.F_nat 0 1 t - if 1 = 0 then 1 else 0) =O[atTop] fun t => rexp (-p * t)
t : ℝ
ht : 0 < t
n : ℕ

⊢ |Real.cos (2 * π * a * (↑n + 1))| * rexp (-π * (↑n + 1) ^ 2 * t) ≤ rexp (-π * (↑n + 1) ^ 2 * t)
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : GroupWithZero α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty

⊢ 0 ⊆ s / 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ 2 = (cos b * sin b - cos a * sin a + b - a) / 2
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i j : ι

⊢ (erase i f) j = (f - single i (f i)) j
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i : ι

⊢ (erase i f) i = (f - single i (f i)) i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β✝ : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β✝ i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β✝ ↑i
i✝ : ι
β : ι → Type u_1
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
f : Π₀ (i : ι), β i
i j : ι
h : i ≠ j

⊢ (erase i f) j = (f - single i (f i)) j
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A

⊢ mrange (inr M N) = ⊥.prod ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
w : InfinitePlace K
h₁ : x ≠ 0
h₂ : ∀ ⦃w' : InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1
h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1

⊢ ℚ⟮↑x⟯ = ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
w : InfinitePlace K
h₁ : x ≠ 0
h₂ : ∀ ⦃w' : InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1
h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1

⊢ ∀ (ψ : K →ₐ[ℚ] ℂ), w.embedding.toRatAlgHom ↑x = ψ ↑x → w.embedding.toRatAlgHom = ψ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
w : InfinitePlace K
h₁ : x ≠ 0
h₂ : ∀ ⦃w' : InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1
h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1

⊢ ∀ (x : K), Polynomial.Splits (algebraMap ℚ ℂ) (minpoly ℚ x)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α

⊢ (Seq.map ret s).join = s
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α

⊢ ∀ (s : Seq α), BisimO (fun s1 s2 => ∃ s, s1 = (Seq.map ret s).join ∧ s2 = s) (Seq.map ret s).join.destruct s.destruct
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b : α
s : Set α
a : α

⊢ ↑{a} ⊆ s ↔ a ∈ s
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K

⊢ ∑ w : InfinitePlace K, w.mult = FiniteDimensional.finrank ℚ K
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K

⊢ ∑ w : InfinitePlace K, w.mult = ∑ j : InfinitePlace K, ∑ i ∈ Finset.filter (fun i => mk i = j) Finset.univ, 1
-- Mathlib/Order/Filter/Cofinite.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α

⊢ cofinite = ⊥ ↔ Finite α
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
m : σ →₀ ℕ
s : σ
p : MvPolynomial σ R

⊢ coeff m (p * X s) = if s ∈ m.support then coeff (m - Finsupp.single s 1) p else 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
m : σ →₀ ℕ
s : σ
p : MvPolynomial σ R

⊢ (if Finsupp.single s 1 ≤ m then coeff (m - Finsupp.single s 1) p * 1 else 0) = if s ∈ m.support then coeff (m - Finsupp.single s 1) p else 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A

⊢ (∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)) ↔ (LinearMap.mul R A).compl₂ f ∘ₗ f + (LinearMap.mul R A).flip.compl₂ f ∘ₗ f = LinearMap.compr₂ (QuadraticMap.polarBilin Q) (Algebra.linearMap R A)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A

⊢ (∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)) ↔ ∀ (x x_1 : M), (((LinearMap.mul R A).compl₂ f ∘ₗ f + (LinearMap.mul R A).flip.compl₂ f ∘ₗ f) x) x_1 = ((LinearMap.compr₂ (QuadraticMap.polarBilin Q) (Algebra.linearMap R A)) x) x_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A
h : ∀ (x x_1 : M), (((LinearMap.mul R A).compl₂ f ∘ₗ f + (LinearMap.mul R A).flip.compl₂ f ∘ₗ f) x) x_1 = ((LinearMap.compr₂ (QuadraticMap.polarBilin Q) (Algebra.linearMap R A)) x) x_1
x : M

⊢ f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A
x : M
h : ∀ (x y : M), f x * f y + f y * f x = (algebraMap R A) (QuadraticMap.polar (⇑Q) x y)

⊢ f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
h2 : IsUnit 2
f : M →ₗ[R] A
x : M
h : ∀ (x y : M), f x * f y + f y * f x = (algebraMap R A) (QuadraticMap.polar (⇑Q) x y)

⊢ 2 * (f x * f x) = 2 * (algebraMap R A) (Q x)
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : LinearOrderedField R
A : Matrix m n R

⊢ (A * Aᵀ).rank = A.rank
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F

⊢ derivWithin (fun y => f y - c) s x = derivWithin f s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : ContinuousWithinAt (dslope f a) s b

⊢ ContinuousWithinAt f s b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : ContinuousWithinAt (dslope f a) s b
this : ContinuousWithinAt (fun x => (x - a) • dslope f a x + f a) s b

⊢ ContinuousWithinAt f s b
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g h : G
a : α

⊢ g • a ∈ orbit G (h • a)
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f✝ g✝ f g : CircleDeg1Lift
h : f ≤ g
n : ℕ

⊢ (f ^ n) 0 ≤ (g ^ n) 0
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIcoMod hp 0 (a - b) + toIocMod hp 0 (b - a) = p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean

⊢ stirlingSeq 0 = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/IsIso.lean
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝

⊢ isomorphisms Scheme f✝ ↔ (@IsOpenImmersion ⊓ @Surjective) f✝
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/NielsenSchreier.lean
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b

⊢ Nonempty (Path (IsFreeGroupoid.symgen a) (IsFreeGroupoid.symgen b))
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/NielsenSchreier.lean
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b

⊢ FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk (IsFreeGroupoid.symgen b)) * (FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk (IsFreeGroupoid.symgen a)))⁻¹ = 1
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/NielsenSchreier.lean
G : Type u
inst✝¹ : Groupoid G
inst✝ : IsFreeGroupoid G
a b : G
p : a ⟶ b
X : Type u := FreeGroup (WeaklyConnectedComponent (Generators G))
f : G → X := fun g => FreeGroup.of (WeaklyConnectedComponent.mk g)
F : G ⥤ CategoryTheory.SingleObj X := differenceFunctor f
a✝ b✝ : Generators G
e✝ : a✝ ⟶ b✝

⊢ F.map (of e✝) = ((Functor.const G).obj ()).map (of e✝)