ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
inst✝¹ : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
inst✝ : QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op ⊤))

⊢ Algebra ?R ((forget CommRingCat).obj (X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))))
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
m : M
p : ι →₀ R
i : ι

⊢ ((finsuppScalarRight R M ι) (m ⊗ₜ[R] p)) i = (p.sum fun i n => Finsupp.single i (n • m)) i
-- Mathlib/Algebra/Ring/Regular.lean
α : Type u_1
inst✝² : Nontrivial α
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : NoZeroDivisors α
h : IsRegular 0

⊢ False
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
S : Set (Set α)
Sct : S.Countable
Sp : ∀ s ∈ S, p s
hS : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y

⊢ HasCountableSeparatingOn (↑t) (fun u => ∃ v, p v ∧ Subtype.val ⁻¹' v = u) univ
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
S : Set (Set α)
Sct : S.Countable
Sp : ∀ s ∈ S, p s
hS : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y

⊢ ∀ s ∈ {x | ∃ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' s = x}, ∃ v, p v ∧ Subtype.val ⁻¹' v = s
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
S : Set (Set α)
Sct : S.Countable
Sp : ∀ s ∈ S, p s
hS : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y

⊢ ∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, (∀ s ∈ {x | ∃ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' s = x}, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
p : Set α → Prop
t : Set α
S : Set (Set α)
Sct : S.Countable
Sp : ∀ s ∈ S, p s
hS : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y
x y : ↑t
hxy : ∀ s ∈ {x | ∃ s ∈ S, Subtype.val ⁻¹' s = x}, x ∈ s ↔ y ∈ s

⊢ x = y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : ℚ
x y : E

⊢ inner_ 𝕜 (↑r • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : ℚ
x y : E
this : ↑r.den ≠ 0

⊢ inner_ 𝕜 (↑r • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑r * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : ℚ
x y : E
this : ↑r.den ≠ 0

⊢ inner_ 𝕜 ((↑r.den * (↑↑r.num / ↑↑r.den)) • x) y = ↑r.den * ((starRingEnd 𝕜) (↑↑r.num / ↑↑r.den) * inner_ 𝕜 x y)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
r : ℚ
x y : E
this : ↑r.den ≠ 0

⊢ inner_ 𝕜 ((↑r.den * (↑r.num / ↑r.den)) • x) y = ↑r.den * (↑r.num / ↑r.den * inner_ 𝕜 x y)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
s t : Set α
ht : IsOpen t

⊢ frontier (s ∩ t) ∩ t = frontier s ∩ t
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f p : Perm α

⊢ p ∈ f.cycleFactorsFinset ↔ p.IsCycle ∧ ∀ a ∈ p.support, p a = f a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f p : Perm α
l : List (Perm α)
hl : l.Nodup
hl' : l.toFinset = f.cycleFactorsFinset

⊢ p ∈ f.cycleFactorsFinset ↔ p.IsCycle ∧ ∀ a ∈ p.support, p a = f a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f p : Perm α
l : List (Perm α)
hl : l.Nodup
hl' : l.toFinset = f.cycleFactorsFinset

⊢ p ∈ l.toFinset ↔ p.IsCycle ∧ ∀ a ∈ p.support, p a = f a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f p : Perm α
l : List (Perm α)
hl : l.Nodup
hl' : (∀ f ∈ l, f.IsCycle) ∧ List.Pairwise Disjoint l ∧ l.prod = f

⊢ p ∈ l.toFinset ↔ p.IsCycle ∧ ∀ a ∈ p.support, p a = f a
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i
k : Fin ([n + 1].len + 1)

⊢ j.castSucc.predAbove (i.succ.succAbove k) = i.succAbove (j.predAbove k)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i
k : Fin ([n + 1].len + 1)
hik : k ≤ i

⊢ j.castSucc.predAbove (i.succ.succAbove k) = i.succAbove (j.predAbove k)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i
k : Fin ([n + 1].len + 1)
hik : i < k

⊢ j.castSucc.predAbove (i.succ.succAbove k) = i.succAbove (j.predAbove k)
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹⁴ : HasSolidNorm K
inst✝¹³ : FloorRing K
E✝ : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace K E✝
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K E✝
inst✝⁹ : ProperSpace E✝
L✝ : AddSubgroup E✝
inst✝⁸ : DiscreteTopology ↥L✝
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L✝
b✝ : Basis ι ℤ ↥L✝
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
L : AddSubgroup E
inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L
inst✝³ : IsZlattice ℝ L
inst✝² : _root_.Finite ι
b : Basis ι ℤ ↥L
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E

⊢ MeasureTheory.IsAddFundamentalDomain (↥L) (Zspan.fundamentalDomain (Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b)) μ
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹⁴ : HasSolidNorm K
inst✝¹³ : FloorRing K
E✝ : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace K E✝
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K E✝
inst✝⁹ : ProperSpace E✝
L✝ : AddSubgroup E✝
inst✝⁸ : DiscreteTopology ↥L✝
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L✝
b✝ : Basis ι ℤ ↥L✝
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
L : AddSubgroup E
inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L
inst✝³ : IsZlattice ℝ L
inst✝² : _root_.Finite ι
b : Basis ι ℤ ↥L
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
x✝ : E

⊢ L = (span ℤ (Set.range ⇑(Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b))).toAddSubgroup
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : NormedLinearOrderedField K
inst✝¹⁴ : HasSolidNorm K
inst✝¹³ : FloorRing K
E✝ : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace K E✝
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K E✝
inst✝⁹ : ProperSpace E✝
L✝ : AddSubgroup E✝
inst✝⁸ : DiscreteTopology ↥L✝
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L✝
b✝ : Basis ι ℤ ↥L✝
E : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
L : AddSubgroup E
inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L
inst✝³ : IsZlattice ℝ L
inst✝² : _root_.Finite ι
b : Basis ι ℤ ↥L
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
μ : MeasureTheory.Measure E
e_1✝ : ↥L = ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b))).toAddSubgroup
e_2✝ : NormedAddGroup.toAddGroup = AddCommGroup.toAddGroup

⊢ L = (span ℤ (Set.range ⇑(Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b))).toAddSubgroup
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E

⊢ (pf 0) v = f x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0

⊢ (pf 0) v = f x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0
zero_mem : 0 ∈ EMetric.ball 0 r

⊢ (pf 0) v = f x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0
zero_mem : 0 ∈ EMetric.ball 0 r
this : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → ((pf i) fun j => 0) = 0

⊢ (pf 0) v = f x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r
v : Fin 0 → E
v_eq : v = fun i => 0
zero_mem : 0 ∈ EMetric.ball 0 r
this : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → ((pf i) fun j => 0) = 0
A : f (x + 0) = (pf 0) fun x => 0

⊢ (pf 0) v = f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
sigma_finite_sets : ℕ → Set α := spanningSets μ
norm_sets : ℕ → Set α := fun n => {x | f x ≤ ↑n}

⊢ ∃ s, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ μ (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, f x ≤ ↑n) ∧ ⋃ i, s i = univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
sigma_finite_sets : ℕ → Set α := spanningSets μ
norm_sets : ℕ → Set α := fun n => {x | f x ≤ ↑n}
norm_sets_spanning : ⋃ n, norm_sets n = univ

⊢ ∃ s, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ μ (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, f x ≤ ↑n) ∧ ⋃ i, s i = univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
sigma_finite_sets : ℕ → Set α := spanningSets μ
norm_sets : ℕ → Set α := fun n => {x | f x ≤ ↑n}
norm_sets_spanning : ⋃ n, norm_sets n = univ
sets : ℕ → Set α := fun n => sigma_finite_sets n ∩ norm_sets n
h_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (sets n)

⊢ ∃ s, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ μ (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, f x ≤ ↑n) ∧ ⋃ i, s i = univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ m : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0
hf : Measurable f
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
sigma_finite_sets : ℕ → Set α := spanningSets μ
norm_sets : ℕ → Set α := fun n => {x | f x ≤ ↑n}
norm_sets_spanning : ⋃ n, norm_sets n = univ
sets : ℕ → Set α := fun n => sigma_finite_sets n ∩ norm_sets n
h_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (sets n)
h_finite : ∀ (n : ℕ), μ (sets n) < ⊤

⊢ ∃ s, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ μ (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, f x ≤ ↑n) ∧ ⋃ i, s i = univ
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
t : Set ↑s
ht : IsClosed t
hs : IsClosed s

⊢ IsClosed (Subtype.val '' t)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
s' : Set X
hs' : IsClosed s'
ht : IsClosed (Subtype.val ⁻¹' s')

⊢ IsClosed (Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' s'))
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsClosed s
s' : Set X
hs' : IsClosed s'
ht : IsClosed (Subtype.val ⁻¹' s')

⊢ IsClosed (s ∩ s')
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
m : ℕ

⊢ mk (↑m) 1 = ↑m
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
s : A ⥤ B
inst✝ : PreservesLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, v₂, v₃, u₂, u₃} s
h : IsSheaf J P

⊢ IsSheaf J (P ⋙ s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
s : A ⥤ B
inst✝ : PreservesLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, v₂, v₃, u₂, u₃} s
h : ∀ ⦃X : C⦄, ∀ S ∈ J.sieves X, Nonempty (IsLimit (P.mapCone S.arrows.cocone.op))

⊢ ∀ ⦃X : C⦄, ∀ S ∈ J.sieves X, Nonempty (IsLimit ((P ⋙ s).mapCone S.arrows.cocone.op))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A

⊢ ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ

⊢ ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
hA' : MeasurableSet A

⊢ ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
hA' : MeasurableSet A

⊢ IsPiSystem {s | ∃ n, MeasurableSet s}
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
hA' : MeasurableSet A

⊢ (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) ∅
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
hA' : MeasurableSet A

⊢ ∀ t ∈ {s | ∃ n, MeasurableSet s}, (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) t
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
hA' : MeasurableSet A

⊢ ∀ (t : Set γ), MeasurableSet t → (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) t → (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) tᶜ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
A : Set γ
hA : MeasurableSet A
this : IsFiniteKernel κ
hA' : MeasurableSet A

⊢ ∀ (f : ℕ → Set γ), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) (f i)) → (fun A => ∫ (x : γ) in A, κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ s)).toReal) (⋃ i, f i)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
s t : Set α
l : Filter α

⊢ s =ᶠ[l] t ↔ l ⊓ 𝓟 s = l ⊓ 𝓟 t
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W

⊢ cs.length w₁ - cs.length w₂ ≤ cs.length (w₁ * w₂)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
m : Multiset R[A]

⊢ (Multiset.map (fun f => f.support.inf degt) m).sum ≤ m.prod.support.inf degt
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
m : Multiset R[A]

⊢ OrderDual.ofDual (degt 0) ≤ OrderDual.ofDual 0
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
m : Multiset R[A]
a b : A

⊢ OrderDual.ofDual (degt (a + b)) ≤ OrderDual.ofDual (degt a + degt b)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X₁ X₂ Y : TopCat
f : C(↑X₁, ↑Y)
g : C(↑X₂, ↑Y)
x₀ x₁ : ↑X₁
x₂ x₃ : ↑X₂
p : Path x₀ x₁
q : Path x₂ x₃
hfg : ∀ (t : ↑I), f (p t) = g (q t)

⊢ f x₁ = g x₃
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
x✝ : (_ : Fin n) × Fin n
a₁ a₂ : Fin n
ha : ⟨a₁, a₂⟩ ∈ finPairsLT n
hxa : f⁻¹ a₂ < f⁻¹ a₁

⊢ (if f (f⁻¹ a₂) < f (f⁻¹ a₁) then ⟨f (f⁻¹ a₁), f (f⁻¹ a₂)⟩ else ⟨f (f⁻¹ a₂), f (f⁻¹ a₁)⟩) = ⟨a₁, a₂⟩
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
x✝ : (_ : Fin n) × Fin n
a₁ a₂ : Fin n
ha : ⟨a₁, a₂⟩ ∈ finPairsLT n
hxa : ¬f⁻¹ a₂ < f⁻¹ a₁
h : f⁻¹ a₁ = f⁻¹ a₂

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
x✝ : (_ : Fin n) × Fin n
a₁ a₂ : Fin n
ha : ⟨a₁, a₂⟩ ∈ finPairsLT n
hxa : ¬f⁻¹ a₂ < f⁻¹ a₁

⊢ (if f (f⁻¹ a₁) < f (f⁻¹ a₂) then ⟨f (f⁻¹ a₂), f (f⁻¹ a₁)⟩ else ⟨f (f⁻¹ a₁), f (f⁻¹ a₂)⟩) = ⟨a₁, a₂⟩
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
c : ℝ

⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic c, rexp x = rexp c
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
c : ℝ

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in id i..c, rexp x) atBot (𝓝 (rexp c))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
c : ℝ

⊢ Tendsto (fun i => rexp c - rexp (id i)) atBot (𝓝 (rexp c - 0))
-- Mathlib/Tactic/NormNum/BigOperators.lean
u v : Level
n nn n' : ℕ
pn : NormNum.IsNat n nn
pn' : nn = n'.succ

⊢ Multiset.range n = n' ::ₘ Multiset.range n'
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
s t : Finset α

⊢ filter p s = ∅ ↔ ∀ ⦃x : α⦄, x ∈ s → ¬p x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
h : x ∈ slitPlane

⊢ ContinuousAt arg x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
h : x ∈ slitPlane
h₀ : abs x ≠ 0

⊢ ContinuousAt arg x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
h : 0 < x.re ∨ x.im < 0 ∨ 0 < x.im
h₀ : abs x ≠ 0

⊢ ContinuousAt arg x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
h₀ : abs x ≠ 0
hx_re : 0 < x.re

⊢ ContinuousAt arg x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
h₀ : abs x ≠ 0
hx_im : x.im < 0

⊢ ContinuousAt arg x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
h₀ : abs x ≠ 0
hx_im : 0 < x.im

⊢ ContinuousAt arg x
-- Mathlib/ModelTheory/LanguageMap.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
α : Type w'

⊢ L[[α]].card = lift.{w', max u v} L.card + lift.{max u v, w'} #α
-- Mathlib/CategoryTheory/ChosenFiniteProducts/FunctorCategory.lean
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F : J ⥤ C
j : J

⊢ (λ_ F).inv.app j = (λ_ (F.obj j)).inv
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MulHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
s t : Set β
w✝¹ : α
left✝¹ : w✝¹ ∈ ⇑m ⁻¹' s
w✝ : α
left✝ : w✝ ∈ ⇑m ⁻¹' t

⊢ (fun x x_1 => x * x_1) w✝¹ w✝ ∈ ⇑m ⁻¹' (s * t)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop

⊢ cof 0 = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop

⊢ cof 0 ≤ 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop

⊢ cof 0 ≤ card 0