ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ (o.oangle y (y - x)).cos = ‖y‖ / ‖y - x‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1

⊢ (o.oangle y (y - x)).cos = ‖y‖ / ‖y - x‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
v : V

⊢ (∀ φ ∈ dualAnnihilator W, φ v = 0) ↔ v ∈ W
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → E

⊢ ⨍ (x : α), f x ∂μ = (μ univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op

⊢ pushout.inr f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op = (pullback.snd f g).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op

⊢ (pushout.inr f.op g.op ≫ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom.op).unop = (pullback.snd f g).op.unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} J
X✝ : Type v₂
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPushout f.op g.op

⊢ (pullbackIsoUnopPushout f g).hom ≫ (pushout.inr f.op g.op).unop = pullback.snd f g
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
b a✝ : α

⊢ a✝ ∈ insert b (Iio b) ↔ a✝ ∈ Iic b
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : NumberField k
inst✝ : IsGalois k K

⊢ (filter (IsUnramified k) univ)ᶜ.card = (filter (IsUnramifiedIn K) univ)ᶜ.card * (finrank k K / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : NumberField k
inst✝ : IsGalois k K
this : Module.Finite k K := Module.Finite.of_restrictScalars_finite ℚ k K

⊢ (filter (IsUnramified k) univ)ᶜ.card = (filter (IsUnramifiedIn K) univ)ᶜ.card * (finrank k K / 2)
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory

⊢ {p | S ⊆ ↑p} = ∅ ↔ ¬((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory

⊢ ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable ↔ ∃ x, x ∈ {p | S ⊆ ↑p}
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory

⊢ (∃ x, x ∈ {p | S ⊆ ↑p}) → ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
S : L[[α]].Theory
p : T.CompleteType α
hp : p ∈ {p | S ⊆ ↑p}

⊢ ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ S).IsSatisfiable
-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r : R

⊢ IsSMulRegular (M ⧸ N) r → r • ⊤ ⊓ N ≤ r • N
-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r : R
a✝ : IsSMulRegular (M ⧸ N) r

⊢ r • ⊤ ⊓ N = map (DistribMulAction.toLinearMap R M r) (comap ((LinearMap.lsmul R M) r) N)
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z : ℂ

⊢ |z.re| ≤ abs z
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z : ℂ

⊢ z.re * z.re ≤ normSq z
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
j : Fin n
i : Fin (n + 1)
hi : i ≠ 0

⊢ j < i.pred hi ↔ j.succ < i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Exposed.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B✝ C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B

⊢ ∃ l a, B = {x | x ∈ A ∧ a ≤ l x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Exposed.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A ∅

⊢ ∃ l a, ∅ = {x | x ∈ A ∧ a ≤ l x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Exposed.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A✝ B✝ C : Set E
X : Finset E
x : E
inst✝ : Nontrivial 𝕜
A B : Set E
hAB : IsExposed 𝕜 A B
hB : B.Nonempty

⊢ ∃ l a, B = {x | x ∈ A ∧ a ≤ l x}
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c d a b : G

⊢ a / (a * b) = b⁻¹
-- Mathlib/RepresentationTheory/Character.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Group G
V W : FDRep k G
g : G

⊢ (of (linHom V.ρ W.ρ)).character g = V.character g⁻¹ * W.character g
-- Mathlib/Data/DFinsupp/WellFounded.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
inst✝ : DecidableEq ι
i✝ i : ι
h✝ : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y
ih : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → ∀ (a : α y), Acc (DFinsupp.Lex r s) (single y a)

⊢ ∀ (a : α i), Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i a)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/WellFounded.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
inst✝ : DecidableEq ι
i✝ i : ι
h✝ : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y
ih : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → ∀ (a : α y), Acc (DFinsupp.Lex r s) (single y a)
a✝ a : α i
ha : ∀ (y : α i), s i y a → (fun x => Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i x)) y

⊢ (fun x => Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i x)) a
-- Mathlib/Data/DFinsupp/WellFounded.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
hs✝ : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
inst✝ : DecidableEq ι
i✝ i : ι
h✝ : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y
ih : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → ∀ (a : α y), Acc (DFinsupp.Lex r s) (single y a)
a✝ a : α i
ha : ∀ (y : α i), s i y a → (fun x => Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i x)) y
x : Π₀ (i : ι), α i
k : ι
hr : ∀ (j : ι), r j k → x j = (single i a) j
hs : s k (x k) ((single i a) k)

⊢ Acc (DFinsupp.Lex r s) x
-- Mathlib/Data/DFinsupp/WellFounded.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
hs✝ : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
inst✝ : DecidableEq ι
i✝ i : ι
h✝ : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y
ih : ∀ (y : ι), (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) y i → ∀ (a : α y), Acc (DFinsupp.Lex r s) (single y a)
a✝ a : α i
ha : ∀ (y : α i), s i y a → (fun x => Acc (DFinsupp.Lex r s) (single i x)) y
x : Π₀ (i : ι), α i
k : ι
hr : ∀ (j : ι), r j k → x j = (single i a) j
hs : s k (x k) (if h : i = k then Eq.recOn h a else 0)

⊢ Acc (DFinsupp.Lex r s) x
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
hb : b ≠ 0
h : a * b = c

⊢ a = c / b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s : Set V

⊢ G'.deleteVerts s ≤ G'
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ

⊢ U R (-↑(k + 1) + 2) = 2 * X * U R (-↑(k + 1) + 1) - U R (-↑(k + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
hf : Measurable f
μ : Measure α

⊢ (mapₗ f) μ = map f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
hf : Measurable f
μ : Measure α

⊢ (mapₗ f) μ = (mapₗ (AEMeasurable.mk f ⋯)) μ
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m k n : ℕ+

⊢ m ∣ k → k.Coprime n → m.Coprime n
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m k n : ℕ+

⊢ ↑m ∣ ↑k → k.Coprime n → m.Coprime n
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m k n : ℕ+

⊢ ↑m ∣ ↑k → (↑k).Coprime ↑n → (↑m).Coprime ↑n
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
u : αˣ
hu : ↑u = a

⊢ IsUnit a⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
u : αˣ
hu : ↑u = a

⊢ IsUnit ↑u⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
m : Multiset α
a : α
ha : a ∈ m

⊢ a ≤ m.prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a : α
t : Multiset α
ha : a ∈ a ::ₘ t

⊢ a ≤ (a ::ₘ t).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a : α
t : Multiset α
ha : a ∈ a ::ₘ t

⊢ a ≤ a * t.prod
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι

⊢ x = e.orientation ∨ x = -e.orientation
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx : x ≠ 0

⊢ rayOfNeZero R x hx = e.orientation ∨ rayOfNeZero R x hx = -e.orientation
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e : Basis ι R M
x : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hx✝ : x ≠ 0
hx : x ⇑e ≠ 0

⊢ rayOfNeZero R x hx✝ = e.orientation ∨ rayOfNeZero R x hx✝ = -e.orientation
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R✝ S✝ : Set G
inst✝ : DecidableEq G
R S : Finset G
hR : ↑R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure ↑S = ⊤

⊢ closure ↑(Finset.image (fun g => ⟨g * (↑(toFun hR g))⁻¹, ⋯⟩) (R * S)) = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R✝ S✝ : Set G
inst✝ : DecidableEq G
R S : Finset G
hR : ↑R ∈ rightTransversals ↑H
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure ↑S = ⊤

⊢ closure ((fun g => ⟨g * (↑(toFun hR g))⁻¹, ⋯⟩) '' (↑R * ↑S)) = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Module/PointwisePi.lean
K : Type u_1
ι : Type u_2
R : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SMul K (R i)
r : K
t : (i : ι) → Set (R i)
x : (i : ι) → R i
h : x ∈ univ.pi (r • t)

⊢ x ∈ r • univ.pi t
-- Mathlib/Algebra/Module/PointwisePi.lean
K : Type u_1
ι : Type u_2
R : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SMul K (R i)
r : K
t : (i : ι) → Set (R i)
x : (i : ι) → R i
h : x ∈ univ.pi (r • t)
i : ι
x✝ : i ∈ univ

⊢ (fun i => Classical.choose ⋯) i ∈ t i
-- Mathlib/Algebra/Module/PointwisePi.lean
K : Type u_1
ι : Type u_2
R : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SMul K (R i)
r : K
t : (i : ι) → Set (R i)
x : (i : ι) → R i
h : x ∈ univ.pi (r • t)
i : ι

⊢ (fun x => r • x) (fun i => Classical.choose ⋯) i = x i
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a✝ b a : α
f : ι → α

⊢ a ⊔ ⨅ i, f i = ⨅ i, a ⊔ f i
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R

⊢ Fintype.card (TruncatedWittVector p n (ZMod p)) = p ^ n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hpu : ¬IsUnit p

⊢ Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hpu : ¬IsUnit p

⊢ (∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑((p * C p.leadingCoeff⁻¹).natDegree / 2) → q ∣ p * C p.leadingCoeff⁻¹ → IsUnit q) ↔ ∀ (q : R[X]), q.degree ≤ ↑(p.natDegree / 2) → q ∣ p → IsUnit q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hpu : ¬IsUnit p

⊢ p * C p.leadingCoeff⁻¹ ≠ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ

⊢ C * ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ = C * integral μ (map norm f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT_norm : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ‖T s‖ ≤ C * (μ s).toReal
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ

⊢ C * ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ = C * ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • ‖x‖
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)

⊢ dlookup a l = none ↔ a ∉ l.keys
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'

⊢ Ergodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' ↔ Ergodic f μ
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
h : MeasurePreserving (⇑e) μ μ'
this : MeasurePreserving (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' μ' ↔ MeasurePreserving f μ μ

⊢ Ergodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' ↔ Ergodic f μ
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
β : Type u_2
m' : MeasurableSpace β
μ' : Measure β
s' : Set β
g : α → β
e : α ≃ᵐ β
this : MeasurePreserving (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' μ' ↔ MeasurePreserving f μ μ
h : PreErgodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' ↔ PreErgodic f μ

⊢ Ergodic (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) μ' ↔ Ergodic f μ
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
hXY : M.closure X ⊂ M.closure Y

⊢ ∃ e ∈ Y, e ∉ M.closure X
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
hXY : M.closure X ⊂ M.closure Y
hcon : ∀ e ∈ Y, e ∈ M.closure X

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

⊢ (1 + z).arg ∈ Set.Ioo (-(π / 2)) (π / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arctan.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

⊢ -1 < z.re ∨ 1 + z = 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
u : F → E
f : Filter F
y₀ : E

⊢ Tendsto u f (𝓝 y₀) ↔ ∀ (s : Finset ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (s.sup p) (u x - y₀) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ((const α c).restrict s).lintegral μ = c * μ s
-- Mathlib/Algebra/GroupPower/IterateHom.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Monoid G
a : G
n : ℕ
inst✝ : MulAction G H
b : H

⊢ (fun x => a • x)^[n] b = a ^ n • b
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ cos x ^ 2 = 1 / 2 + cos (2 * x) / 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ u : Rˣ
P : Fin 3 → R
h : W.Nonsingular (u • P)

⊢ W.Nonsingular P
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ u : Rˣ
P : Fin 3 → R
h✝ : W.Nonsingular (u • P)
h : W.Equation (u • P)
h' : W.a₁ * (u • P) 1 * (u • P) 2 ≠ 3 * (u • P) 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * (u • P) 0 * (u • P) 2 + W.a₄ * (u • P) 2 ^ 2 ∨ (u • P) 1 * (u • P) 2 ≠ -(u • P) 1 * (u • P) 2 - W.a₁ * (u • P) 0 * (u • P) 2 - W.a₃ * (u • P) 2 ^ 2 ∨ (u • P) 1 ^ 2 + W.a₁ * (u • P) 0 * (u • P) 1 + 2 * W.a₃ * (u • P) 1 * (u • P) 2 ≠ W.a₂ * (u • P) 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * (u • P) 0 * (u • P) 2 + 3 * W.a₆ * (u • P) 2 ^ 2

⊢ W.Nonsingular P
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ u : Rˣ
P : Fin 3 → R
h✝ : W.Nonsingular (u • P)
h : W.Equation (u • P)
h' : W.a₁ * (u • P) 1 * (u • P) 2 ≠ 3 * (u • P) 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * (u • P) 0 * (u • P) 2 + W.a₄ * (u • P) 2 ^ 2 ∨ (u • P) 1 * (u • P) 2 ≠ -(u • P) 1 * (u • P) 2 - W.a₁ * (u • P) 0 * (u • P) 2 - W.a₃ * (u • P) 2 ^ 2 ∨ (u • P) 1 ^ 2 + W.a₁ * (u • P) 0 * (u • P) 1 + 2 * W.a₃ * (u • P) 1 * (u • P) 2 ≠ W.a₂ * (u • P) 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * (u • P) 0 * (u • P) 2 + 3 * W.a₆ * (u • P) 2 ^ 2

⊢ W.a₁ * P 1 * P 2 ≠ 3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2 ∨ P 1 * P 2 ≠ -P 1 * P 2 - W.a₁ * P 0 * P 2 - W.a₃ * P 2 ^ 2 ∨ P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 ≠ W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ u : Rˣ
P : Fin 3 → R
h✝ : W.Nonsingular (u • P)
h : W.Equation (u • P)
h' : W.a₁ * P 1 * P 2 = 3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2 ∧ P 1 * P 2 = -P 1 * P 2 - W.a₁ * P 0 * P 2 - W.a₃ * P 2 ^ 2 ∧ P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 = W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2

⊢ W.a₁ * (u • P) 1 * (u • P) 2 = 3 * (u • P) 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * (u • P) 0 * (u • P) 2 + W.a₄ * (u • P) 2 ^ 2 ∧ (u • P) 1 * (u • P) 2 = -(u • P) 1 * (u • P) 2 - W.a₁ * (u • P) 0 * (u • P) 2 - W.a₃ * (u • P) 2 ^ 2 ∧ (u • P) 1 ^ 2 + W.a₁ * (u • P) 0 * (u • P) 1 + 2 * W.a₃ * (u • P) 1 * (u • P) 2 = W.a₂ * (u • P) 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * (u • P) 0 * (u • P) 2 + 3 * W.a₆ * (u • P) 2 ^ 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ u : Rˣ
P : Fin 3 → R
h✝ : W.Nonsingular (u • P)
h : W.Equation (u • P)
h' : W.a₁ * P 1 * P 2 = 3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2 ∧ P 1 * P 2 = -P 1 * P 2 - W.a₁ * P 0 * P 2 - W.a₃ * P 2 ^ 2 ∧ P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 = W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2

⊢ W.a₁ * (↑u * P 1) * (↑u * P 2) = 3 * (↑u * P 0) ^ 2 + 2 * W.a₂ * (↑u * P 0) * (↑u * P 2) + W.a₄ * (↑u * P 2) ^ 2 ∧ ↑u * P 1 * (↑u * P 2) = -(↑u * P 1) * (↑u * P 2) - W.a₁ * (↑u * P 0) * (↑u * P 2) - W.a₃ * (↑u * P 2) ^ 2 ∧ (↑u * P 1) ^ 2 + W.a₁ * (↑u * P 0) * (↑u * P 1) + 2 * W.a₃ * (↑u * P 1) * (↑u * P 2) = W.a₂ * (↑u * P 0) ^ 2 + 2 * W.a₄ * (↑u * P 0) * (↑u * P 2) + 3 * W.a₆ * (↑u * P 2) ^ 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R
u : Rˣ
this : ∀ (u : Rˣ) {P : Fin 3 → R}, W.Nonsingular (u • P) → W.Nonsingular P
h : W.Nonsingular P

⊢ W.Nonsingular (u⁻¹ • u • P)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), 0 < 1 - ε ↑(r i n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < 1 - ε ↑(r i x)
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : Disjoint s t
f : α → β
comm : {x | x ∈ s ∪ t}.Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

⊢ (s ∪ t).noncommProd f comm = s.noncommProd f ⋯ * t.noncommProd f ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : DecidableEq α
t : Finset α
f : α → β
sl : List α
sl' : sl.Nodup
h : Disjoint sl.toFinset t
comm : {x | x ∈ sl.toFinset ∪ t}.Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

⊢ (sl.toFinset ∪ t).noncommProd f comm = sl.toFinset.noncommProd f ⋯ * t.noncommProd f ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
sl : List α
sl' : sl.Nodup
tl : List α
tl' : tl.Nodup
h : Disjoint sl.toFinset tl.toFinset
comm : {x | x ∈ sl.toFinset ∪ tl.toFinset}.Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

⊢ (sl.toFinset ∪ tl.toFinset).noncommProd f comm = sl.toFinset.noncommProd f ⋯ * tl.toFinset.noncommProd f ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
sl : List α
sl' : sl.Nodup
tl : List α
tl' : tl.Nodup
h : sl.Disjoint tl
comm : {x | x ∈ sl.toFinset ∪ tl.toFinset}.Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

⊢ (sl.toFinset ∪ tl.toFinset).noncommProd f comm = sl.toFinset.noncommProd f ⋯ * tl.toFinset.noncommProd f ⋯
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0

⊢ 0 < angle x (x - y)