ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : μ s = 0

⊢ μ univ ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : μ s = 0

⊢ μ (⋃ g, g • s) ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : μ s = 0

⊢ ∑' (i : G), μ (i • s) ≤ 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0

⊢ W'.dblX P = (P x ^ 2) ^ 2
-- Mathlib/Topology/Order/Monotone.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : CompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥

⊢ f (sSup s) = sSup (f '' s)
-- Mathlib/Topology/Order/Monotone.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : CompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥
h : s = ∅

⊢ f (sSup s) = sSup (f '' s)
-- Mathlib/Topology/Order/Monotone.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : CompleteLinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : CompleteLinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : Nonempty γ
f : α → β
s : Set α
Cf : ContinuousAt f (sSup s)
Mf : Monotone f
fbot : f ⊥ = ⊥
h : s.Nonempty

⊢ f (sSup s) = sSup (f '' s)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g : G
x : Quotient G α

⊢ Set.MapsTo (fun x => g • x) x.orbit x.orbit
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g : G
x : Quotient G α

⊢ Set.MapsTo (fun x => g • x) (MulAction.orbit G (Quotient.out' x)) (MulAction.orbit G (Quotient.out' x))
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
a✝ : Nontrivial A

⊢ pb.minpolyGen = minpoly A pb.gen
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
a✝ : Nontrivial A
q : A[X]
hq : q.degree < pb.minpolyGen.degree
hn0 : ¬q = 0
h0 : (aeval pb.gen) q = 0

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i

⊢ eval x ((interpolate s v) r) = eval x (nodal s v) * ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i

⊢ ∑ x_1 ∈ s, r x_1 * eval x (Lagrange.basis s v x_1) = ∑ i ∈ s, eval x (nodal s v) * (nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i✝ : ι
x : F
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ r i * eval x (Lagrange.basis s v i) = eval x (nodal s v) * (nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Sub.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s✝ : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
h₁ : ν ≤ μ
s : Set α
h_s_meas : MeasurableSet s

⊢ (μ - ν + ν) s = μ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct.lean
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass A R M₁
inst✝³ : IsScalarTower R A M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm A M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂

⊢ polarBilin (Q₁.tmul Q₂) = ⅟2 • (polarBilin Q₁).tmul (polarBilin Q₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct.lean
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass A R M₁
inst✝³ : IsScalarTower R A M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm A M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂

⊢ 2 • (associated Q₁).tmul (associated Q₂) = ⅟2 • 2 • 2 • (BilinMap.tensorDistrib R A) ((associatedHom A) Q₁ ⊗ₜ[R] (associatedHom R) Q₂)
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq A
inst✝ : One B
a : A
b : B
h : b ≠ 1
x : A
hx : x = a

⊢ x ∈ mulSupport (mulSingle a b)
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
X Y : Submodule R M
x✝ : X ⋖ X ⊔ Y

⊢ (↥(X, X ⊔ Y).2 ⧸ Submodule.comap (X, X ⊔ Y).2.subtype (X, X ⊔ Y).1) ≃ₗ[R] ↥(X ⊓ Y, Y).2 ⧸ Submodule.comap (X ⊓ Y, Y).2.subtype (X ⊓ Y, Y).1
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
X Y : Submodule R M
x✝ : X ⋖ X ⊔ Y

⊢ (↥(X, Y ⊔ X).2 ⧸ Submodule.comap (X, Y ⊔ X).2.subtype (X, Y ⊔ X).1) ≃ₗ[R] ↥(Y ⊓ X, Y).2 ⧸ Submodule.comap (Y ⊓ X, Y).2.subtype (Y ⊓ X, Y).1
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ

⊢ ∀ (a : α), Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 (v.limRatio ρ a)) → v.limRatio ρ a = AEMeasurable.mk (v.limRatio ρ) ⋯ a → Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt a) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ a))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Basic.lean
C : Type u
motive : {X Y : F C} → (X ⟶ Y) → Prop
X Y : F C
t : X ⟶ Y
id : ∀ (X : F C), motive (𝟙 X)
α_hom : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).hom
α_inv : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).inv
l_hom : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).hom
l_inv : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).inv
ρ_hom : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).hom
ρ_inv : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).inv
comp : ∀ {X Y Z : F C} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), motive f → motive g → motive (f ≫ g)
whiskerLeft : ∀ (X : F C) {Y Z : F C} (f : Y ⟶ Z), motive f → motive (X ◁ f)
whiskerRight : ∀ {X Y : F C} (f : X ⟶ Y) (Z : F C), motive f → motive (f ▷ Z)

⊢ motive t
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Basic.lean
C : Type u
motive : {X Y : F C} → (X ⟶ Y) → Prop
X Y : F C
t : X ⟶ Y
id : ∀ (X : F C), motive (𝟙 X)
α_hom : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).hom
α_inv : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).inv
l_hom : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).hom
l_inv : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).inv
ρ_hom : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).hom
ρ_inv : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).inv
comp : ∀ {X Y Z : F C} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), motive f → motive g → motive (f ≫ g)
whiskerLeft : ∀ (X : F C) {Y Z : F C} (f : Y ⟶ Z), motive f → motive (X ◁ f)
whiskerRight : ∀ {X Y : F C} (f : X ⟶ Y) (Z : F C), motive f → motive (f ▷ Z)

⊢ ∀ (a : X ⟶ᵐ Y), motive ⟦a⟧
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Free/Basic.lean
C : Type u
motive : {X Y : F C} → (X ⟶ Y) → Prop
X Y : F C
t : X ⟶ Y
id : ∀ (X : F C), motive (𝟙 X)
α_hom : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).hom
α_inv : ∀ (X Y Z : F C), motive (α_ X Y Z).inv
l_hom : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).hom
l_inv : ∀ (X : F C), motive (λ_ X).inv
ρ_hom : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).hom
ρ_inv : ∀ (X : F C), motive (ρ_ X).inv
comp : ∀ {X Y Z : F C} (f : X ⟶ Y) (g : Y ⟶ Z), motive f → motive g → motive (f ≫ g)
whiskerLeft : ∀ (X : F C) {Y Z : F C} (f : Y ⟶ Z), motive f → motive (X ◁ f)
whiskerRight : ∀ {X Y : F C} (f : X ⟶ Y) (Z : F C), motive f → motive (f ▷ Z)
f : X ⟶ᵐ Y

⊢ motive ⟦f⟧
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M
f : α → β
hf : Injective f
x z : α
y : M

⊢ (single (f x) y) (f z) = (single x y) z
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂✝ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj (e₁ i)
e₂ : ∀ (i : J), map i = (e₂✝ i).hom ≫ 𝒰.map (e₁ i)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace

⊢ x ∈ Set.range ⇑(map ((fun x => e₁.symm (𝒰.f x)) x)).val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂✝ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj (e₁ i)
e₂ : ∀ (i : J), map i = (e₂✝ i).hom ≫ 𝒰.map (e₁ i)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace

⊢ x ∈ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Cover/Open.lean
X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
J : Type u_1
obj : J → Scheme
map : (i : J) → obj i ⟶ X
e₁ : J ≃ 𝒰.J
e₂✝ : (i : J) → obj i ≅ 𝒰.obj (e₁ i)
e₂ : ∀ (i : J), map i = (e₂✝ i).hom ≫ 𝒰.map (e₁ i)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace

⊢ Function.Surjective ⇑(e₂✝ ((fun x => e₁.symm (𝒰.f x)) x)).hom.val.base
-- Mathlib/Algebra/Regular/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass R
b : R
inst✝ : Nontrivial R
ra : IsRightRegular 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Regular/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass R
b : R
inst✝ : Nontrivial R
ra : IsRightRegular 0
x y : R
xy : x ≠ y

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Regular/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : MulZeroClass R
b : R
inst✝ : Nontrivial R
ra : IsRightRegular 0
x y : R
xy : x ≠ y

⊢ x * 0 = y * 0
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
x✝ : DecidablePred p
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ Option.casesOn (find fun i => p (i.castLT ⋯)) (if x : p (last n) then some (last n) else none) fun i => some (i.castLT ⋯)
j : ℕ
hjn : j < n + 1
hj : ⟨j, hjn⟩ < i
hpj : p ⟨j, hjn⟩

⊢ False
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
x✝ : DecidablePred p
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ Option.casesOn (find fun i => p (i.castLT ⋯)) (if x : p (last n) then some (last n) else none) fun i => some (i.castLT ⋯)
j : ℕ
hjn : j < n + 1
hj : ⟨j, hjn⟩ < i
hpj : p ⟨j, hjn⟩
h : (find fun i => p (i.castLT ⋯)) = none

⊢ False
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
x✝ : DecidablePred p
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ Option.casesOn (find fun i => p (i.castLT ⋯)) (if x : p (last n) then some (last n) else none) fun i => some (i.castLT ⋯)
j : ℕ
hjn : j < n + 1
hj : ⟨j, hjn⟩ < i
hpj : p ⟨j, hjn⟩
k : Fin n
h : (find fun i => p (i.castLT ⋯)) = some k

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≠ 0

⊢ a < b * (a / b) + b
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h_nhds : ∀ (a : α), (𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ s ∧ a ∈ t) id
t₁ : Set α
ht₁ : t₁ ∈ s
t₂ : Set α
ht₂ : t₂ ∈ s
x : α
hx : x ∈ t₁ ∩ t₂

⊢ ∃ t₃ ∈ s, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h_nhds : ∀ (a : α), (𝓝 a).HasBasis (fun t => t ∈ s ∧ a ∈ t) id
x : α

⊢ 𝓝 x = 𝓝 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α

⊢ μ t = ∑' (g : G), μ (g • t ∩ s)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
n : ℤ
hn : 0 ≤ n

⊢ ‖↑n‖ = ↑n
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ha : a ∈ s

⊢ a ∈ P.part a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
y : 𝕜

⊢ (fderiv 𝕜 f x) y = y • deriv f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
y : 𝕜

⊢ (fderiv 𝕜 f x) y = (fderiv 𝕜 f x) (y • 1)
-- Mathlib/Algebra/Group/Nat.lean
m✝ n m : ℕ

⊢ (m + 1) % 2 = 0 ↔ m % 2 = 1
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
b : α
l : List α

⊢ filter (fun x => x = b) ⟦l⟧ = replicate (count b ⟦l⟧) b
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
b : α
l : List α

⊢ ↑(List.filter (fun b_1 => decide (b_1 = b)) l) = replicate (List.count b l) b
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
hx : x ∈ e.source

⊢ (∀ᶠ (y : Y) in 𝓝 (↑e x), p (↑e.symm y)) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
hx : x ∈ e.source

⊢ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p (↑e.symm (↑e x))) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, p x
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
hx : x ∈ e.source
y : X
hy : ↑e.symm (↑e y) = y

⊢ p (↑e.symm (↑e y)) ↔ p y
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β

⊢ s ⊆ a • t ↔ a⁻¹ • s ⊆ t
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β

⊢ ↑s ⊆ ↑(a • t) ↔ ↑(a⁻¹ • s) ⊆ ↑t
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t : Finset β
a : α
b : β

⊢ ↑s ⊆ a • ↑t ↔ a⁻¹ • ↑s ⊆ ↑t
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P

⊢ (pointReflection (midpoint R x y)) y = x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

⊢ f'' =o[⊤] g' ↔ ∀ (x : α), f'' x = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
F : Set (Set E)
hF : F.Nonempty
hAF : ∀ B ∈ F, IsExtreme 𝕜 A B

⊢ IsExtreme 𝕜 A (⋂₀ F)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Filter X
H : 𝓝 x ≤ f

⊢ ClusterPt x f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α

⊢ (∀ u ∈ 𝓤 β, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (f x, F n x) ∈ u) ↔ ∀ u ∈ 𝓤 β, ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ 𝓟 s, (f n.2, F n.1 n.2) ∈ u
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α

⊢ ∀ a ∈ 𝓤 β, (∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (f x, F n x) ∈ a) ↔ ∀ᶠ (n : ι × α) in p ×ˢ 𝓟 s, (f n.2, F n.1 n.2) ∈ a
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α

⊢ ∀ a ∈ 𝓤 β, True
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)

⊢ dist s.circumcenter (s.points i) = s.circumradius
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)

⊢ dist (s.points i) s.circumcenter = s.circumradius
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonAssocSemiring α
a : α
n : ℕ

⊢ n • a = a * ↑n
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
inst✝ : Nonempty ι
a g : ℝ≥0
h : ι → ℝ≥0
H : ∀ (j : ι), a ≤ g * h j

⊢ a ≤ g * iInf h
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
inst✝ : Nonempty ι
a g : ℝ≥0
h : ι → ℝ≥0
H : ∀ (j : ι), a ≤ g * h j

⊢ a ≤ ⨅ i, g * h i
-- Mathlib/Order/Fin/Basic.lean
m n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
e : Fin n ≃o Fin m
i : ℕ
hi : i < n

⊢ ↑(e ⟨i, hi⟩) = i
-- Mathlib/Order/Fin/Basic.lean
m n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
e : Fin n ≃o Fin m
i : ℕ
h : ∀ m_1 < i, ∀ (hi : m_1 < n), ↑(e ⟨m_1, hi⟩) = m_1
hi : i < n

⊢ ↑(e ⟨i, hi⟩) = i
-- Mathlib/Order/Fin/Basic.lean
m n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i✝ j✝ : Fin n
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
e : Fin n ≃o Fin m
i : ℕ
h : ∀ m_1 < i, ∀ (hi : m_1 < n), ↑(e ⟨m_1, hi⟩) = m_1
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < ↑(e ⟨i, hi⟩)

⊢ j < i
-- Mathlib/Order/Fin/Basic.lean
m n : ℕ
p : Fin (n + 1)
i✝ j✝ : Fin n
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
e : Fin n ≃o Fin m
i : ℕ
h : ∀ m_1 < i, ∀ (hi : m_1 < n), ↑(e ⟨m_1, hi⟩) = m_1
hi : i < n
j : ℕ
hj : j < i

⊢ j < ↑(e ⟨i, hi⟩)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂

⊢ map p.mkQ p' = ⊤ ↔ p ⊔ p' = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
i : Set α
hi : MeasurableSet i
j : Set α
hj : MeasurableSet j

⊢ ↑((v.trim hle).restrict i) j = ↑((v.restrict i).trim hle) j
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
i : Set α
hi : MeasurableSet i
j : Set α
hj : MeasurableSet j

⊢ MeasurableSet (j ∩ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
i : Set α
hi : MeasurableSet i
j : Set α
hj : MeasurableSet j

⊢ MeasurableSet i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid L
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : TopologicalSpace N
n : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α M
hle : m ≤ n
i : Set α
hi : MeasurableSet i
j : Set α
hj : MeasurableSet j

⊢ MeasurableSet j