ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.112708, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData

⊢ leftHomologyMap' e.hom h₁ h₂ ≫ leftHomologyMap' e.inv h₂ h₁ = 𝟙 h₁.H
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.112708, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData

⊢ leftHomologyMap' e.inv h₂ h₁ ≫ leftHomologyMap' e.hom h₁ h₂ = 𝟙 h₂.H
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Trails.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian

⊢ (Finset.filter (fun v => Odd (G.degree v)) Finset.univ).card = 0 ∨ (Finset.filter (fun v => Odd (G.degree v)) Finset.univ).card = 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Trails.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian

⊢ Finset.filter (fun v => ¬Even (G.degree v)) Finset.univ = ∅ ∨ (Finset.filter (fun v => ¬Even (G.degree v)) Finset.univ).card = 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Trails.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian

⊢ Finset.filter (fun v_1 => ¬u = v ∧ (¬v_1 = u → v_1 = v)) Finset.univ = ∅ ∨ (Finset.filter (fun v_1 => ¬u = v ∧ (¬v_1 = u → v_1 = v)) Finset.univ).card = 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Trails.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u : V
p : G.Walk u u
ht : p.IsEulerian

⊢ Finset.filter (fun v => ¬u = u ∧ (¬v = u → v = u)) Finset.univ = ∅ ∨ (Finset.filter (fun v => ¬u = u ∧ (¬v = u → v = u)) Finset.univ).card = 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Trails.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableEq V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
u v : V
p : G.Walk u v
ht : p.IsEulerian
hn : u ≠ v

⊢ Finset.filter (fun v_1 => ¬u = v ∧ (¬v_1 = u → v_1 = v)) Finset.univ = ∅ ∨ (Finset.filter (fun v_1 => ¬u = v ∧ (¬v_1 = u → v_1 = v)) Finset.univ).card = 2
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ (a ∆ b) = b
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i : ℕ
h : i < l.tail.length

⊢ i + 1 < l.length
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
i : ℕ
h : i < l.length - 1

⊢ i + 1 < l.length
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
H : 2 * z.im * w.im ≠ 0

⊢ dist ↑z ↑(w.center r) ^ 2 = 2 * z.im * w.im * (Real.cosh (dist z w) - Real.cosh r) + (w.im * Real.sinh r) ^ 2
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r✝ R : ℝ
z w : ℍ
r : ℝ
H : 2 * z.im * w.im ≠ 0

⊢ (z.re - w.re) ^ 2 + (z.im ^ 2 - 2 * z.im * (w.im * Real.cosh r) + w.im ^ 2 * (Real.sinh r ^ 2 + 1)) = (z.re - w.re) ^ 2 + z.im ^ 2 + w.im ^ 2 - 2 * z.im * w.im * Real.cosh r + w.im ^ 2 * Real.sinh r ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M✝ : Type u_4
N✝ : Type u_5
M : Type u_6
N : Type u_7
inst✝¹ : MulOneClass M
inst✝ : MulOneClass N
f : M →* N
s : Set α
g : α → M
x : α

⊢ f (s.mulIndicator g x) = s.mulIndicator (⇑f ∘ g) x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/GroupWithZero/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
inst✝³ : CommMonoidWithZero M₀
p : ι → Prop
inst✝² : DecidablePred p
f✝ : ι → M₀
s✝ : Finset ι
i : ι
inst✝¹ : Nontrivial M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
s : Finset ι
f : ι → κ → M₀
x : κ

⊢ (x ∈ support fun j => ∏ i ∈ s, f i j) ↔ x ∈ ⋂ i ∈ s, support (f i)
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι

⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = i}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι

⊢ MeasurableSet (Set.univ ∩ {ω | τ ω = i})
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m : ℕ
hnm : n < m

⊢ filter (fun x => decide (x ≤ n)) (Ico n m) = [n]
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m : ℕ
hnm : n < m

⊢ filter (fun x => decide (x ≤ n)) (Ico n m) = filter (fun x => decide (x < n + 1)) (Ico n m)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : M

⊢ ContMDiffAt I I' n f x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f) x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k l : ℕ
I J : LieIdeal R L
hI : derivedSeries R (↥↑I) k = ⊥
hJ : derivedSeries R (↥↑J) l = ⊥

⊢ derivedSeries R (↥↑(I + J)) (k + l) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k l : ℕ
I J : LieIdeal R L
hI : derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥
hJ : derivedSeriesOfIdeal R L l J = ⊥

⊢ derivedSeriesOfIdeal R L (k + l) (I + J) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k l : ℕ
I J : LieIdeal R L
hI : derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥
hJ : derivedSeriesOfIdeal R L l J = ⊥

⊢ derivedSeriesOfIdeal R L (k + l) (I + J) ≤ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J✝ : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
k l : ℕ
I J : LieIdeal R L
D : ℕ → LieIdeal R L → LieIdeal R L := derivedSeriesOfIdeal R L
hI : D k I = ⊥
hJ : D l J = ⊥

⊢ derivedSeriesOfIdeal R L (k + l) (I + J) ≤ ⊥
-- Mathlib/Data/Real/Pi/Bounds.lean

⊢ 3 < π
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x : G
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt ℝ n f s x
hg : ContDiffWithinAt ℝ n g s x
hne : f x ≠ g x

⊢ ContDiffWithinAt ℝ n (fun y => ‖f y - g y‖) s x
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K

⊢ ∃ a aI, a ≠ 0 ∧ I = spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) a)⁻¹ * ↑aI
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
a_inv : R₁
nonzero : a_inv ∈ R₁⁰
ha : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger R₁ (a_inv • b)

⊢ ∃ a aI, a ≠ 0 ∧ I = spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) a)⁻¹ * ↑aI
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
a_inv : R₁
nonzero✝ : a_inv ∈ R₁⁰
ha : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger R₁ (a_inv • b)
nonzero : a_inv ≠ 0

⊢ ∃ a aI, a ≠ 0 ∧ I = spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) a)⁻¹ * ↑aI
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
a_inv : R₁
nonzero✝ : a_inv ∈ R₁⁰
ha : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger R₁ (a_inv • b)
nonzero : a_inv ≠ 0
map_a_nonzero : (algebraMap R₁ K) a_inv ≠ 0

⊢ ∃ a aI, a ≠ 0 ∧ I = spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) a)⁻¹ * ↑aI
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
a_inv : R₁
nonzero✝ : a_inv ∈ R₁⁰
ha : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger R₁ (a_inv • b)
nonzero : a_inv ≠ 0
map_a_nonzero : (algebraMap R₁ K) a_inv ≠ 0
x : K

⊢ x ∈ I → ∃ y' ∈ ↑(comap (Algebra.linearMap R₁ K) ↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) a_inv) * I)), x = ((algebraMap R₁ K) a_inv)⁻¹ * y'
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I : FractionalIdeal R₁⁰ K
a_inv : R₁
nonzero✝ : a_inv ∈ R₁⁰
ha : ∀ b ∈ ↑I, IsInteger R₁ (a_inv • b)
nonzero : a_inv ≠ 0
map_a_nonzero : (algebraMap R₁ K) a_inv ≠ 0
x : K

⊢ (∃ y' ∈ ↑(comap (Algebra.linearMap R₁ K) ↑(spanSingleton R₁⁰ ((algebraMap R₁ K) a_inv) * I)), x = ((algebraMap R₁ K) a_inv)⁻¹ * y') → x ∈ I
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]

⊢ p.comp q = p.sum fun e a => C a * q ^ e
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
f : CauSeq K norm
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, ‖↑f j - ↑f i‖ < ε
j : ℕ
ij : j ≥ i

⊢ |(fun n => im (↑f n)) j - (fun n => im (↑f n)) i| ≤ ‖↑f j - ↑f i‖
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t A B : Set β
a : α
x : β

⊢ Disjoint (a • s) (a • t) ↔ Disjoint s t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
n : ℤ

⊢ cos (↑n * (2 * ↑π) - ↑π) = -1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃

⊢ ∡ p₃ p₁ p₂ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m m α
U : Matrix m n α
V : Matrix n m α
hA : IsUnit A.det

⊢ (A + U * V).det = A.det * (1 + V * A⁻¹ * U).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m m α
U : Matrix m n α
V : Matrix n m α
hA : IsUnit A.det

⊢ (A * 1 + U * V).det = A.det * (1 + V * A⁻¹ * U).det
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
a : ℝ
ha : 0 < a

⊢ mellin (fun t => f (t * a)) s = ↑a ^ (-s) • mellin f s
-- Mathlib/Order/Filter/Subsingleton.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝ : Nonempty α

⊢ l.Subsingleton ↔ ∃ a, {a} ∈ l
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
K✝ : Multicofork I
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Multicofork I

⊢ ∀ ⦃X Y : WalkingParallelPair⦄ (f : X ⟶ Y), (parallelPair I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap).map f ≫ (fun x => match x with | WalkingParallelPair.zero => I.fstSigmaMap ≫ Sigma.desc K.π | WalkingParallelPair.one => Sigma.desc K.π) Y = (fun x => match x with | WalkingParallelPair.zero => I.fstSigmaMap ≫ Sigma.desc K.π | WalkingParallelPair.one => Sigma.desc K.π) X ≫ ((Functor.const WalkingParallelPair).obj K.pt).map f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f✝ g✝ : α →ₘ[μ] ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
g : α → ℝ≥0∞
x✝ : AEStronglyMeasurable g μ

⊢ (mk f hf + mk g x✝).lintegral = (mk f hf).lintegral + (mk g x✝).lintegral
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i

⊢ update f i '' Ioo (f i) b = Ioo f (update f i b)
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/NaturalTransformation/Strong.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : StrongOplaxNatTrans F G
θ : StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f g : a ⟶ b
β : f ⟶ g
h : G.obj b ⟶ a'

⊢ F.map₂ β ▷ η.app b ▷ h ≫ (η.naturality g).hom ▷ h = (η.naturality f).hom ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) h).hom ≫ η.app a ◁ G.map₂ β ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map g) h).inv
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u

⊢ collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this : s ⊆ insert a u

⊢ collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝ : s ⊆ insert a u
this : t ⊆ insert a u

⊢ collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝¹ : s ⊆ insert a u
this✝ : t ⊆ insert a u
this : insert a s ⊆ insert a u

⊢ collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝² : s ⊆ insert a u
this✝¹ : t ⊆ insert a u
this✝ : insert a s ⊆ insert a u
this : insert a t ⊆ insert a u

⊢ collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝² : s ⊆ insert a u
this✝¹ : t ⊆ insert a u
this✝ : insert a s ⊆ insert a u
this : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s

⊢ collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝² : s ⊆ insert a u
this✝¹ : t ⊆ insert a u
this✝ : insert a s ⊆ insert a u
this : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s
hat : a ∉ t

⊢ collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝³ : s ⊆ insert a u
this✝² : t ⊆ insert a u
this✝¹ : insert a s ⊆ insert a u
this✝ : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s
hat : a ∉ t
this : a ∉ s ∩ t

⊢ collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝⁴ : s ⊆ insert a u
this✝³ : t ⊆ insert a u
this✝² : insert a s ⊆ insert a u
this✝¹ : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s
hat : a ∉ t
this✝ : a ∉ s ∩ t
this : a ∉ s ∪ t

⊢ collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s✝ t✝ u : Finset α
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝⁴ : s ⊆ insert a u
this✝³ : t ⊆ insert a u
this✝² : insert a s ⊆ insert a u
this✝¹ : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s
hat : a ∉ t
this✝ : a ∉ s ∩ t
this : a ∉ s ∪ t

⊢ ((if s ∈ 𝒜 then f₁ s else 0) + if insert a s ∈ 𝒜 then f₁ (insert a s) else 0) * collapse ℬ a f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : a < liminf u f
hb : b < liminf v f
ha' : a ≠ ⊤
hb' : b ≠ ⊤

⊢ a + b < liminf (u + v) f
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : a < liminf u f
hb : b < liminf v f
ha' : a ≠ ⊤
hb' : b ≠ ⊤
h : limsup (-(u + v)) f = limsup (-u + -v) f

⊢ a + b < liminf (u + v) f
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup (-u) f < -a
hb : limsup (-v) f < -b
ha' : a ≠ ⊤
hb' : b ≠ ⊤
h : limsup (-(u + v)) f = limsup (-u + -v) f

⊢ limsup (-(u + v)) f < -(a + b)
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup (-u) f < -a
hb : limsup (-v) f < -b
ha' : a ≠ ⊤
hb' : b ≠ ⊤
h : limsup (-(u + v)) f = limsup (-u + -v) f

⊢ limsup (-u + -v) f < -a - b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hr : r ≠ 0

⊢ ↑(p / r) = ↑p / ↑r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ

⊢ completedHurwitzZetaEven₀ (-a) s = completedHurwitzZetaEven₀ a s
-- Mathlib/Topology/Order/Lattice.lean
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace L
inst✝² : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
α : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → α → L
l : Filter α
g : ι → L
inst✝¹ : SemilatticeSup L
inst✝ : ContinuousSup L
hne : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, Tendsto (f i) l (𝓝 (g i))

⊢ Tendsto (s.sup' hne f) l (𝓝 (s.sup' hne g))