ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : H × E
q : TM

⊢ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target ∧ (↑((chartAt H q.proj).prod (PartialEquiv.refl E)).symm p).1 ∈ (chartAt H q.proj).source ↔ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : H × E
q : TM

⊢ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target ∧ (↑((chartAt H q.proj).symm.prod (PartialEquiv.refl E).symm) p).1 ∈ (chartAt H q.proj).source ↔ p.1 ∈ (chartAt H q.proj).target
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α

⊢ cocompact α ≤ atBot
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝ : Set α
hs : x✝ ∈ atBot
h✝ : IsEmpty α

⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ x✝
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : CompactIccSpace α
x✝ : Set α
hs : x✝ ∈ atBot
h✝ : Nonempty α

⊢ ∃ t, IsCompact t ∧ tᶜ ⊆ x✝
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Defs.lean
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y✝ a x y b : G

⊢ b * a * b⁻¹ * (b * x * b⁻¹) = b * y * b⁻¹ * (b * a * b⁻¹) ↔ a * x = y * a
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Defs.lean
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y✝ a x y b : G

⊢ b * a * x * b⁻¹ = b * y * a * b⁻¹ ↔ a * x = y * a
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Defs.lean
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y✝ a x y b : G

⊢ b * (a * (x * b⁻¹)) = b * (y * (a * b⁻¹)) ↔ a * x = y * a
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
b : β

⊢ (insert b s).sup' ⋯ f = f b ⊔ s.sup' H f
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
b : β

⊢ ↑((insert b s).sup' ⋯ f) = ↑(f b ⊔ s.sup' H f)
-- Mathlib/Data/Multiset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Multiset α
a b : α
xs : List α

⊢ s(a, b) ∈ Multiset.sym2 ⟦xs⟧ ↔ a ∈ ⟦xs⟧ ∧ b ∈ ⟦xs⟧
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
r : 𝕜
x : E
θ : ℝ

⊢ θ ∈ {r_1 | 0 < r_1 ∧ ‖r‖ • x ∈ r_1 • s} ↔ θ ∈ {r_1 | 0 < r_1 ∧ r • x ∈ r_1 • s}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
r : 𝕜
x : E
θ : ℝ

⊢ θ ∈ {r_1 | 0 < r_1 ∧ ↑‖r‖ • x ∈ r_1 • s} ↔ θ ∈ {r_1 | 0 < r_1 ∧ r • x ∈ r_1 • s}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
r : 𝕜
x : E
θ : ℝ
hθ : 0 < θ

⊢ ‖↑‖r‖‖ = ‖r‖
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
q : R[X]
n : ℕ
r : R[X]

⊢ q ^ (n - 1) ∣ derivative (q ^ n * r)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
q : R[X]
n : ℕ
r : R[X]

⊢ q ^ (n - 1) ∣ C ↑n * q ^ (n - 1) * derivative q * r + q ^ n * derivative r
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ : List α✝
a : α✝
x✝ : l₁ <:+: l₂
L₁ L₂ : List α✝
h : L₁ ++ l₁ ++ L₂ = l₂

⊢ L₁ ++ l₁ ++ L₂.concat a = l₂.concat a
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i

⊢ x * 1 = x
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i

⊢ (mulHom A).flip One.one = AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i

⊢ ∀ (i : ι) (y : A i), ((mulHom A).flip One.one) ((of A i) y) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) y)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
i : ι
xi : A i

⊢ ((mulHom A).flip ((of A 0) GradedMonoid.GOne.one)) ((of A i) xi) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) xi)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
i : ι
xi : A i

⊢ (of A (i + 0)) (GradedMonoid.GMul.mul xi GradedMonoid.GOne.one) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) xi)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R

⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod = ∏ a ∈ p.roots.toFinset, (X - C a) ^ rootMultiplicity a p
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
lawful : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι ι' : Type u
R : ι' → ι' → Prop
x : F (α ::: ι)
f g : ι → ι'
hh : ∀ (x : ι), R (f x) (g x)
h : ι → { x // uncurry R x } := fun x => ⟨(f x, g x), ⋯⟩
b : α ::: ι ⟹ Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } := diagSub ::: h
c : Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } ⟹ (fun i => { x // ofRepeat (α.RelLast' R i.fs x) }) ::: Subtype (uncurry R) := ofSubtype α.repeatEq ::: _root_.id

⊢ subtypeVal (α.RelLast' R) ⊚ toSubtype (α.RelLast' R) ⊚ fromAppend1DropLast ⊚ c ⊚ (diagSub ::: h) = ((TypeVec.id ::: f) ⊗' (TypeVec.id ::: g)) ⊚ prod.diag
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
lawful : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι ι' : Type u
R : ι' → ι' → Prop
x : F (α ::: ι)
f g : ι → ι'
hh : ∀ (x : ι), R (f x) (g x)
h : ι → { x // uncurry R x } := fun x => ⟨(f x, g x), ⋯⟩
b : α ::: ι ⟹ Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } := diagSub ::: h
c : Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } ⟹ (fun i => { x // ofRepeat (α.RelLast' R i.fs x) }) ::: Subtype (uncurry R) := ofSubtype α.repeatEq ::: _root_.id

⊢ dropFun (subtypeVal (α.RelLast' R) ⊚ toSubtype (α.RelLast' R) ⊚ fromAppend1DropLast ⊚ c ⊚ (diagSub ::: h)) = dropFun (((TypeVec.id ::: f) ⊗' (TypeVec.id ::: g)) ⊚ prod.diag)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
lawful : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι ι' : Type u
R : ι' → ι' → Prop
x : F (α ::: ι)
f g : ι → ι'
hh : ∀ (x : ι), R (f x) (g x)
h : ι → { x // uncurry R x } := fun x => ⟨(f x, g x), ⋯⟩
b : α ::: ι ⟹ Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } := diagSub ::: h
c : Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } ⟹ (fun i => { x // ofRepeat (α.RelLast' R i.fs x) }) ::: Subtype (uncurry R) := ofSubtype α.repeatEq ::: _root_.id

⊢ lastFun (subtypeVal (α.RelLast' R) ⊚ toSubtype (α.RelLast' R) ⊚ fromAppend1DropLast ⊚ c ⊚ (diagSub ::: h)) = lastFun (((TypeVec.id ::: f) ⊗' (TypeVec.id ::: g)) ⊚ prod.diag)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
lawful : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
ι ι' : Type u
R : ι' → ι' → Prop
x : F (α ::: ι)
f g : ι → ι'
hh : ∀ (x : ι), R (f x) (g x)
h : ι → { x // uncurry R x } := fun x => ⟨(f x, g x), ⋯⟩
b : α ::: ι ⟹ Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } := diagSub ::: h
c : Subtype_ α.repeatEq ::: { x // uncurry R x } ⟹ (fun i => { x // ofRepeat (α.RelLast' R i.fs x) }) ::: Subtype (uncurry R) := ofSubtype α.repeatEq ::: _root_.id

⊢ Subtype.val ∘ lastFun c ∘ h = Prod.map f g ∘ lastFun prod.diag
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

⊢ ↑(hU.fromSpec ⁻¹ᵁ U) = ↑⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

⊢ ⇑hU.fromSpec.val.base ⁻¹' (⇑hU.fromSpec.val.base '' Set.univ) = Set.univ
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ
h : m ≤ n

⊢ (n - m).Coprime m ↔ n.Coprime m
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x✝ y✝ : α
h : f.IsCycleOn s
x : α
hx : x ∈ ⇑g '' s
y : α
hy : y ∈ ⇑g '' s

⊢ (g * f * g⁻¹).SameCycle x y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x✝ y✝ : α
h : f.IsCycleOn s
x : α
hx : x ∈ ⇑g⁻¹ ⁻¹' s
y : α
hy : y ∈ ⇑g⁻¹ ⁻¹' s

⊢ (g * f * g⁻¹).SameCycle x y
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData

⊢ opcyclesMap' (φ - φ') h₁ h₂ = opcyclesMap' φ h₁ h₂ - opcyclesMap' φ' h₁ h₂
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f : ι → Set α
s t : Set ι
h₀ : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
h₁ : ∀ i ∈ s, (f i).Nonempty
h : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i ∈ t, f i
i : ι
hi : i ∈ s
a : α
hai : a ∈ f i

⊢ i ∈ t
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
f : ι → Set α
s t : Set ι
h₀ : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
h₁ : ∀ i ∈ s, (f i).Nonempty
h : ⋃ i ∈ s, f i ⊆ ⋃ i ∈ t, f i
i : ι
hi : i ∈ s
a : α
hai : a ∈ f i
j : ι
hj : j ∈ t
haj : a ∈ f j

⊢ i ∈ t
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
hf : Function.Injective ⇑φ
x y : FractionRing R[X]
h : (map φ hφ) { toFractionRing := x } = (map φ hφ) { toFractionRing := y }

⊢ { toFractionRing := x } = { toFractionRing := y }
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
hf : Function.Injective ⇑φ
y : FractionRing R[X]
y✝ : R[X] × ↥R[X]⁰
h : (map φ hφ) { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 } = (map φ hφ) { toFractionRing := y }

⊢ { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 } = { toFractionRing := y }
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝⁶ : CommRing K
G₀ : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : CommGroupWithZero G₀
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R[X] S[X]
inst✝ : MonoidHomClass F R[X] S[X]
φ : F
hφ : R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ S[X]⁰
hf : Function.Injective ⇑φ
y✝¹ y✝ : R[X] × ↥R[X]⁰
h : (map φ hφ) { toFractionRing := Localization.mk y✝¹.1 y✝¹.2 } = (map φ hφ) { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 }

⊢ { toFractionRing := Localization.mk y✝¹.1 y✝¹.2 } = { toFractionRing := Localization.mk y✝.1 y✝.2 }
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b a : α

⊢ ￢∂ a = ⊤
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u

⊢ IsLUB (l '' {a₁, a₂}) (l a₁ ⊔ l a₂)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/ConcreteColorings.lean
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
c : G.Coloring Bool
u v : α
p : G.Walk u v

⊢ Odd p.length ↔ (¬c u = true ↔ c v = true)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/ConcreteColorings.lean
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
c : G.Coloring Bool
u v : α
p : G.Walk u v

⊢ ¬(c u = true ↔ c v = true) ↔ (¬c u = true ↔ c v = true)
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
x✝ : f < f
h : f < f := x✝

⊢ (f - f).LimZero
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n

⊢ (rightShiftAddEquiv K L n a n' hn').symm 0 = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
α : Type u_3

⊢ (ord ⟦α⟧).card = ⟦α⟧
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
α : Type u_3
r : α → α → Prop
w✝ : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r

⊢ (ord ⟦α⟧).card = ⟦α⟧
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ

⊢ r.sign⁻¹ = r.sign
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
hn : r.sign = -1

⊢ r.sign⁻¹ = r.sign
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
hz : r.sign = 0

⊢ r.sign⁻¹ = r.sign
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
hp : r.sign = 1

⊢ r.sign⁻¹ = r.sign
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Dist α
inst✝ : Dist β
f g : WithLp 0 (α × β)

⊢ dist f g = (if dist f.1 g.1 = 0 then 0 else 1) + if dist f.2 g.2 = 0 then 0 else 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ : E
inst✝ : Invertible 2
x y : E

⊢ x ∈ [x - y-[𝕜]x + y]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
x✝ y✝ : E
inst✝ : Invertible 2
x y : E

⊢ x = midpoint 𝕜 (x - y) (x + y)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v

⊢ LinearIndependent 𝕜 v
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v

⊢ ∀ (l : ι →₀ 𝕜), (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l = 0 → l = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l : ι →₀ 𝕜
hl : (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l = 0
i : ι
key : ⟪v i, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l⟫_𝕜 = ⟪v i, 0⟫_𝕜

⊢ l i = 0 i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u v : E

⊢ (reflection (Submodule.span 𝕜 {u})) v = 2 • (⟪u, v⟫_𝕜 / ↑‖u‖ ^ 2) • u - v
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
hA' : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < ⊤ ∧ μ (U \ A) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
hA' : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
U : Set α
hAU : U ⊇ A
hUo : IsOpen U
hU : μ U < μ A + ε

⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U < ⊤ ∧ μ (U \ A) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set α
hA : MeasurableSet A
hA' : μ A ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
U : Set α
hAU : U ⊇ A
hUo : IsOpen U
hU : μ U < μ A + ε

⊢ μ (U \ A) < ε
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x : ℂ

⊢ log ((starRingEnd ℂ) x) = if x.arg = π then log x else (starRingEnd ℂ) (log x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x : ℂ

⊢ ↑(Real.log (abs x)) + ↑(if x.arg = π then π else -x.arg) * I = if x.arg = π then ↑(Real.log (abs x)) + ↑x.arg * I else ↑(Real.log (abs x)) + ↑x.arg * (starRingEnd ℂ) I
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x : ℂ
hx : ¬x.arg = π

⊢ ↑(Real.log (abs x)) + ↑(-x.arg) * I = ↑(Real.log (abs x)) + ↑x.arg * (starRingEnd ℂ) I
-- Mathlib/Topology/Instances/Int.lean

⊢ Bornology.cobounded ℤ = atBot ⊔ atTop
-- Mathlib/Topology/Instances/Int.lean

⊢ comap (fun x => ↑|x|) atTop = comap (Int.cast ∘ abs) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
f f' : 𝕜 → E
z₀ z₁ : 𝕜
hcont : ContinuousOn (fun t => f' (z₀ + t • z₁)) (Icc 0 1)
hderiv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (z₀ + t • z₁)) (z₀ + t • z₁)
γ : ℝ → 𝕜 := fun t => z₀ + t • z₁

⊢ z₁ • ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, f' (z₀ + t • z₁) = f (z₀ + z₁) - f z₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
f f' : 𝕜 → E
z₀ z₁ : 𝕜
hcont : ContinuousOn (fun t => f' (z₀ + t • z₁)) (Icc 0 1)
hderiv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (z₀ + t • z₁)) (z₀ + t • z₁)
γ : ℝ → 𝕜 := fun t => z₀ + t • z₁
hint : IntervalIntegrable (z₁ • f' ∘ γ) volume 0 1

⊢ z₁ • ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, f' (z₀ + t • z₁) = f (z₀ + z₁) - f z₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
f f' : 𝕜 → E
z₀ z₁ : 𝕜
hcont : ContinuousOn (fun t => f' (z₀ + t • z₁)) (Icc 0 1)
hderiv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (z₀ + t • z₁)) (z₀ + t • z₁)
γ : ℝ → 𝕜 := fun t => z₀ + t • z₁
hint : IntervalIntegrable (z₁ • f' ∘ γ) volume 0 1
hderiv' : ∀ t ∈ [[0, 1]], HasDerivAt (f ∘ γ) (z₁ • (f' ∘ γ) t) t

⊢ z₁ • ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, f' (z₀ + t • z₁) = f (z₀ + z₁) - f z₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
f f' : 𝕜 → E
z₀ z₁ : 𝕜
hcont : ContinuousOn (fun t => f' (z₀ + t • z₁)) (Icc 0 1)
hderiv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (z₀ + t • z₁)) (z₀ + t • z₁)
γ : ℝ → 𝕜 := fun t => z₀ + t • z₁
hint : IntervalIntegrable (z₁ • f' ∘ γ) volume 0 1
hderiv' : ∀ t ∈ [[0, 1]], HasDerivAt (f ∘ γ) (z₁ • (f' ∘ γ) t) t

⊢ z₁ • ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, f' (z₀ + t • z₁) = ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, z₁ • (f' ∘ γ) y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
f f' : 𝕜 → E
z₀ z₁ : 𝕜
hcont : ContinuousOn (fun t => f' (z₀ + t • z₁)) (Icc 0 1)
hderiv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivAt f (f' (z₀ + t • z₁)) (z₀ + t • z₁)
γ : ℝ → 𝕜 := fun t => z₀ + t • z₁
hint : IntervalIntegrable (z₁ • f' ∘ γ) volume 0 1
hderiv' : ∀ t ∈ [[0, 1]], HasDerivAt (f ∘ γ) (z₁ • (f' ∘ γ) t) t

⊢ f (z₀ + z₁) - f z₀ = (f ∘ γ) 1 - (f ∘ γ) 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K

⊢ finrank ℤ ↥(unitLattice K) = rank K
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ✝ : F
s✝ t✝ : Set α
μ : F
s t : Set α

⊢ μ s ≤ μ (s ∩ t) + μ (s \ t)
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht

⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s u : Finset α
a b : α
r : ℕ
ha : a ∈ s
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := s }
hcard : s.card ≤ s.card
ht : s.Nonempty
m : α := s.min' ht

⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := s.erase m }
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t

⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
hst : { ofColex := s } < { ofColex := t }

⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
hcard : s.card ≤ t.card
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
hst : ∃ w ∈ t, w ∉ s ∧ ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)

⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }