ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β
k : Filter α
l : Filter β
inst✝ : k.IsCountablyGenerated
s : Set β
hs : s ∈ l
H : s ∉ map f k
this : (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ)).NeBot
x : ℕ → α
hx : Tendsto x atTop k ∧ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, x a ∈ f ⁻¹' sᶜ
h : Tendsto (f ∘ x) atTop l

⊢ False
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β
k : Filter α
l : Filter β
inst✝ : k.IsCountablyGenerated
s : Set β
hs : s ∈ l
H : s ∉ map f k
this : (k ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' sᶜ)).NeBot
x : ℕ → α
hx : Tendsto x atTop k ∧ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, x a ∈ f ⁻¹' sᶜ
h : Tendsto (f ∘ x) atTop l
N : ℕ
hnmem : x N ∈ f ⁻¹' sᶜ
hmem : (f ∘ x) N ∈ s

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hij : i ≠ j

⊢ (interpolate s v) r = (interpolate (s.erase j) v) r * basisDivisor (v i) (v j) + (interpolate (s.erase i) v) r * basisDivisor (v j) (v i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hij : i ≠ j

⊢ {i, j} ⊆ s
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E

⊢ x ∈ adjoin F S ↔ ∃ r s, x = (MvPolynomial.aeval Subtype.val) r / (MvPolynomial.aeval Subtype.val) s
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
x : E

⊢ (∃ a a_1, (MvPolynomial.aeval Subtype.val) a / (MvPolynomial.aeval Subtype.val) a_1 = x) ↔ ∃ r s, x = (MvPolynomial.aeval Subtype.val) r / (MvPolynomial.aeval Subtype.val) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/NaturalTransformation/Oplax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G : OplaxFunctor B C
η θ ι : F ⟶ G
Γ : Modification η θ
a b c : B
a' : C
f : a ⟶ b
g : G.obj b ⟶ a'

⊢ F.map f ◁ Γ.app b ▷ g ≫ (α_ (F.map f) (θ.app b) g).inv ≫ θ.naturality f ▷ g = (α_ (F.map f) (η.app b) g).inv ≫ η.naturality f ▷ g ≫ Γ.app a ▷ G.map f ▷ g
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ ⟪x, -y⟫_𝕜 = -⟪x, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ (starRingEnd 𝕜) (-⟪y, x⟫_𝕜) = -⟪x, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : Group α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
ha : 1 ≤ a ^ 2

⊢ 1 ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : Group α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α
ha : 1 ≤ a ^ 2

⊢ (a ⊓ 1) * (a ⊓ 1) = a ⊓ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Even.lean
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
B : Type uB
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : EvenHom Q A
m₁ m₂ : M

⊢ (((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (((foldr Q (CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) ⋯) (1, 0)) ((CliffordAlgebra.ι Q) m₂))) ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁)).1 = (f.bilin m₁) m₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Even.lean
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
B : Type uB
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : EvenHom Q A
m₁ m₂ : M

⊢ (((CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) m₁) (((CliffordAlgebra.even.lift.fFold f) m₂) (1, 0))).1 = (f.bilin m₁) m₂
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
k m n : ℕ
h : m ≤ n + 1

⊢ ∏ j ∈ Ico k m, f (n - j) = ∏ j ∈ Ico (n + 1 - m) (n + 1 - k), f j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
k m n : ℕ
h : m ≤ n + 1
this : ∀ i < m, i ≤ n

⊢ ∏ j ∈ Ico k m, f (n - j) = ∏ j ∈ Ico (n + 1 - m) (n + 1 - k), f j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
k m n : ℕ
h : m ≤ n + 1
this : ∀ i < m, i ≤ n
hkm : k < m

⊢ ∏ j ∈ Ico k m, f (n - j) = ∏ j ∈ Ico (n + 1 - m) (n + 1 - k), f j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
f : ℕ → M
k m n : ℕ
h : m ≤ n + 1
this : ∀ i < m, i ≤ n
hkm : m ≤ k

⊢ ∏ j ∈ Ico k m, f (n - j) = ∏ j ∈ Ico (n + 1 - m) (n + 1 - k), f j
-- Mathlib/Algebra/GroupPower/IterateHom.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝ : Semigroup G
a b c : G
h : SemiconjBy a b c
j : G

⊢ (fun x => x * a) ((fun x => x * c) j) = (fun x => x * b) ((fun x => x * a) j)
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q a b c : ℚ
n : ℤ

⊢ mkRat n 1 = ↑n
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integers.lean
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
x y : O
h : v ((algebraMap O F) x) ≤ v ((algebraMap O F) y)
hy : (algebraMap O F) y ≠ 0

⊢ v (((algebraMap O F) y)⁻¹ * (algebraMap O F) x) ≤ 1
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integers.lean
F : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation F Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O F
hv : v.Integers O
x y : O
h : v ((algebraMap O F) x) ≤ v ((algebraMap O F) y)
hy : (algebraMap O F) y ≠ 0

⊢ v ((algebraMap O F) y)⁻¹ * v ((algebraMap O F) x) ≤ v ((algebraMap O F) y)⁻¹ * v ((algebraMap O F) y)
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Monoid G✝
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G

⊢ IsTorsionFree G ↔ CommGroup.torsion G = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Monoid G✝
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G

⊢ (∀ (g : G), g ≠ 1 → ¬IsOfFinOrder g) ↔ ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ CommGroup.torsion G → x ∈ ⊥
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
x : α
s✝ : Set γ
a✝ : MeasurableSet s✝

⊢ ((κ ×ₖ η).snd x) s✝ = (η x) s✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x y : ℝ

⊢ arccos (-1) = π
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/TypesFiltered.lean
J : Type v
inst✝² : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J
inst✝ : HasColimit F
t : Cocone F
ht : IsColimit t
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j

⊢ t.ι.app i xi = t.ι.app j xj ↔ ∃ k f g, F.map f xi = F.map g xj
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/TypesFiltered.lean
J : Type v
inst✝² : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J
inst✝ : HasColimit F
t : Cocone F
ht : IsColimit t
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j

⊢ t.ι.app i xi = t.ι.app j xj ↔ (colimitCocone F).ι.app i xi = (colimitCocone F).ι.app j xj
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/TypesFiltered.lean
J : Type v
inst✝² : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J
inst✝ : HasColimit F
t : Cocone F
ht : IsColimit t
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j

⊢ (ht.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F)).toEquiv (t.ι.app i xi) = (ht.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F)).toEquiv (t.ι.app j xj) ↔ (colimitCocone F).ι.app i xi = (colimitCocone F).ι.app j xj
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/TypesFiltered.lean
J : Type v
inst✝² : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J
inst✝ : HasColimit F
t : Cocone F
ht : IsColimit t
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
e_1✝ : ((Functor.const J).obj (colimitCocone F).pt).obj i = (colimitCocone F).pt

⊢ (colimitCocone F).ι.app i xi = (ht.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F)).toEquiv (t.ι.app i xi)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/TypesFiltered.lean
J : Type v
inst✝² : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝¹ : IsFilteredOrEmpty J
inst✝ : HasColimit F
t : Cocone F
ht : IsColimit t
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
e_1✝ : ((Functor.const J).obj (colimitCocone F).pt).obj i = (colimitCocone F).pt

⊢ (colimitCocone F).ι.app j xj = (ht.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F)).toEquiv (t.ι.app j xj)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeSup α
inst✝⁴ : OrderTop α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t : Finset α
a✝ b : α
e : α ≃o β
s : Finset α
a : α
this : e a ∈ lowerClosure ↑(map e.toEmbedding s) ↔ a ∈ lowerClosure ↑s

⊢ e (s.truncatedSup a) = (map e.toEmbedding s).truncatedSup (e a)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeSup α
inst✝⁴ : OrderTop α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t : Finset α
a✝ b : α
e : α ≃o β
s : Finset α
a : α
this : e a ∈ lowerClosure ↑(map e.toEmbedding s) ↔ a ∈ lowerClosure ↑s

⊢ (if h : a ∈ lowerClosure ↑s then (filter (fun b => a ≤ b) s).sup' ⋯ (⇑e ∘ id) else ⊤) = if h : a ∈ lowerClosure ↑s then (filter (fun b => e a ≤ b) (map e.toEmbedding s)).sup' ⋯ id else ⊤
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeSup α
inst✝⁴ : OrderTop α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t : Finset α
a✝ b : α
e : α ≃o β
s : Finset α
a : α
this : e a ∈ lowerClosure ↑(map e.toEmbedding s) ↔ a ∈ lowerClosure ↑s
h : a ∈ lowerClosure ↑s

⊢ (filter (fun b => a ≤ b) s).sup' ⋯ (⇑e ∘ id) = (filter (fun b => e a ≤ b) (map e.toEmbedding s)).sup' ⋯ id
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeSup α
inst✝⁴ : OrderTop α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t : Finset α
a✝ b : α
e : α ≃o β
s : Finset α
a : α
this : e a ∈ lowerClosure ↑(map e.toEmbedding s) ↔ a ∈ lowerClosure ↑s
h : a ∈ lowerClosure ↑s

⊢ ((filter (fun b => a ≤ b) s).sup' ⋯ fun x => e x) = (map e.toEmbedding (filter (fun x => a ≤ x) s)).sup' ⋯ fun x => x
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeSup α
inst✝⁴ : OrderTop α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeSup β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t : Finset α
a✝ b : α
e : α ≃o β
s : Finset α
a : α
this : e a ∈ lowerClosure ↑(map e.toEmbedding s) ↔ a ∈ lowerClosure ↑s
h : a ∈ lowerClosure ↑s

⊢ ((filter (fun b => a ≤ b) s).sup' ⋯ fun x => e x) = (filter (fun x => a ≤ x) s).sup' ⋯ ((fun x => x) ∘ ⇑e.toEmbedding)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R

⊢ IsCoprime I J ↔ I + J = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
m : Set (Measure α)
h : ∀ μ' ∈ m, μ ≤ μ'
this : μ.toOuterMeasure ≤ sInf (toOuterMeasure '' m)
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ μ s ≤ (sInf m) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
m : Set (Measure α)
h : ∀ μ' ∈ m, μ ≤ μ'
this : μ.toOuterMeasure ≤ sInf (toOuterMeasure '' m)
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ μ s ≤ (sInf (toOuterMeasure '' m)) s
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : Sort u_1
v : α → β
i j : α
hv : v i = v j
k : α
hi : ¬k = i
hj : ¬k = j

⊢ v ((swap i j) k) = v k
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤

⊢ (r • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • ν.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : (r.toNNReal • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r.toNNReal • ν.rnDeriv μ

⊢ (r • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • ν.rnDeriv μ
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Continuous' f
hg : Continuous' g

⊢ Continuous' fun x => Seq.seq (f x) fun x_1 => g x
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Continuous' f
hg : Continuous' g

⊢ Continuous' fun x => do let x_1 ← f x x_1 <$> g x
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Continuous' f
hg : Continuous' g

⊢ Continuous' fun x x_1 => x_1 <$> g x
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Continuous' f
hg : Continuous' g

⊢ ∀ (x : β → γ), Continuous' fun g_1 => x <$> g g_1
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α → Part (β → γ)
g : α → Part β
hf : Continuous' f
hg : Continuous' g
x✝ : β → γ

⊢ Continuous' fun g_1 => x✝ <$> g g_1
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
H : a ∉ s

⊢ ∀ (x : α), x ∉ {a} ∩ s
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
H : a ∉ s

⊢ ∀ (x : α), ¬(x = a ∧ x ∈ s)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝⁴ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝² : (i : ι) → Zero (β₂ i)
inst✝¹ : (i : ι) → (x : β₁ i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : (i : ι) → (x : β₂ i) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → β₁ i → β₂ i
hf : ∀ (i : ι), f i 0 = 0
g : Π₀ (i : ι), β₁ i

⊢ (mapRange f hf g).support ⊆ g.support
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α
f g : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α
inst✝ : CompleteLattice γ
e : α ≃o γ

⊢ e (blimsup u f p) = blimsup (⇑e ∘ u) f p
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
a : 𝕜

⊢ DifferentiableAt 𝕜 f (-a) ↔ DifferentiableAt 𝕜 (fun x => f (-x)) a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
a : 𝕜
H : DifferentiableAt 𝕜 (fun x => f (-x)) a

⊢ DifferentiableAt 𝕜 f (-a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
a : 𝕜
H : DifferentiableAt 𝕜 (fun x => f (-x)) a

⊢ f = (fun x => f (-x)) ∘ Neg.neg
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
a : 𝕜
H : DifferentiableAt 𝕜 (fun x => f (-x)) a
x✝ : 𝕜

⊢ f x✝ = ((fun x => f (-x)) ∘ Neg.neg) x✝
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ

⊢ ⋃ x ∈ ↑s, f x '' ↑t = image2 f ↑s ↑t
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
inst✝ : Nonempty ι
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a b : Ordinal.{max u v}

⊢ (∃ i, nfpFamily f a ≤ f i b) ↔ nfpFamily f a ≤ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
inst✝ : Nonempty ι
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a b : Ordinal.{max u v}

⊢ (¬∃ i, nfpFamily f a ≤ f i b) ↔ ¬nfpFamily f a ≤ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
inst✝ : Nonempty ι
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a b : Ordinal.{max u v}

⊢ (∀ (i : ι), f i b < nfpFamily f a) ↔ b < nfpFamily f a
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
b : β
s : Computation α
h : b ∈ map f s

⊢ ∃ a, a ∈ s ∧ f a = b
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
b : β
s : Computation α
h : b ∈ s.bind (pure ∘ f)

⊢ ∃ a, a ∈ s ∧ f a = b
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
b : β
s : Computation α
h : b ∈ s.bind (pure ∘ f)
a : α
as : a ∈ s
fb : b ∈ (pure ∘ f) a

⊢ ∃ a, a ∈ s ∧ f a = b
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R

⊢ (convexHull R) (Set.range fun i j => if i = j then 1 else 0) = stdSimplex R ι
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R

⊢ (Set.range fun i j => if i = j then 1 else 0) ⊆ stdSimplex R ι
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R

⊢ stdSimplex R ι ⊆ (convexHull R) (Set.range fun i j => if i = j then 1 else 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
i : ι
m : M

⊢ (finsuppScalarRight R M ι).symm (Finsupp.single i m) = m ⊗ₜ[R] Finsupp.single i 1
-- Mathlib/ModelTheory/Order.lean
L : Language
α : Type w
M : Type w'
n : ℕ
inst✝³ : L.IsOrdered
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : L.OrderedStructure M
t₁ t₂ : L.Term (α ⊕ Fin n)
v : α → M
xs : Fin n → M

⊢ (t₁.lt t₂).Realize v xs ↔ realize (Sum.elim v xs) t₁ < realize (Sum.elim v xs) t₂
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
this : (mulSupport fun x => (fun x => 1) x.down) ⊆ ↑∅

⊢ ∏ᶠ (x : α), 1 = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hn : n ≠ 1
h0 : ¬n = 0

⊢ bernoulli n = bernoulli' n
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hn : n ≠ 1
h0 : ¬n = 0

⊢ (-1) ^ (n % 2) * bernoulli' n = bernoulli' n
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hn : n ≠ 1
h0 : ¬n = 0
h : n % 2 = 0

⊢ (-1) ^ (n % 2) * bernoulli' n = bernoulli' n
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
hn : n ≠ 1
h0 : ¬n = 0
h : n % 2 = 1

⊢ (-1) ^ (n % 2) * bernoulli' n = bernoulli' n
-- Mathlib/ModelTheory/ElementarySubstructures.lean
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
S : L.ElementarySubstructure M
T : L.Theory

⊢ ↥S ⊨ T ↔ M ⊨ T
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h₁ : x₁.Numeric
h₂ : x₂.Numeric
h₁₂ : IH24 x₁ x₂ y
h₂₁ : IH24 x₂ x₁ y
he : x₁ ≈ x₂

⊢ x₁ * y ≤ x₂ * y
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h₁ : x₁.Numeric
h₂ : x₂.Numeric
h₁₂ : IH24 x₁ x₂ y
h₂₁ : IH24 x₂ x₁ y
he : x₁ ≈ x₂
he' : -x₁ ≈ -x₂

⊢ x₁ * y ≤ x₂ * y
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h₁ : x₁.Numeric
h₂ : x₂.Numeric
h₁₂ : IH24 x₁ x₂ y
h₂₁ : IH24 x₂ x₁ y
he : x₁ ≈ x₂
he' : -x₁ ≈ -x₂

⊢ ∀ (i : (x₁ * y).LeftMoves), ⟦(x₁ * y).moveLeft i⟧ < ⟦x₂ * y⟧