ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝² : Module R C
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
φ : F
x✝ : B

⊢ x✝ ∈ ↑(NonUnitalAlgHom.range φ) ↔ x✝ ∈ Set.range ⇑φ
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝² : Module R C
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
φ : F
x✝ : B

⊢ (∃ x, φ x = x✝) ↔ x✝ ∈ Set.range ⇑φ
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot

⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atTop ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atTop ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atBot
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x * cos x = (cos a ^ 2 - cos b ^ 2) / 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ (shiftZero A X).hom ≫ f ≫ (shiftZero A Y).inv = (shiftFunctor C 0).map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ (shiftFunctorZero C A).hom.app X ≫ f ≫ (shiftFunctorZero C A).inv.app Y = (shiftFunctor C 0).map f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2

⊢ A = B
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2
h_ne : ¬A = B

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2
h_ne : ¬A = B
v : n → 𝕜
t : ℝ
ht : t ≠ 0
hv : v ≠ 0
hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2
h_ne : ¬A = B
v : n → 𝕜
t : ℝ
ht : t ≠ 0
hv : v ≠ 0
hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v
h_sum : 0 = ↑t * (star v ⬝ᵥ A *ᵥ v + star v ⬝ᵥ B *ᵥ v)

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2
h_ne : ¬A = B
v : n → 𝕜
t : ℝ
ht : t ≠ 0
hv : v ≠ 0
hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v
h_sum : star v ⬝ᵥ A *ᵥ v + star v ⬝ᵥ B *ᵥ v = 0

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2
h_ne : ¬A = B
v : n → 𝕜
t : ℝ
ht : t ≠ 0
hv : v ≠ 0
hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v
h_sum : star v ⬝ᵥ A *ᵥ v + star v ⬝ᵥ B *ᵥ v = 0
h_van : star v ⬝ᵥ A *ᵥ v = 0 ∧ star v ⬝ᵥ B *ᵥ v = 0

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2
h_ne : ¬A = B
v : n → 𝕜
t : ℝ
ht : t ≠ 0
hv : v ≠ 0
hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v
h_sum : star v ⬝ᵥ A *ᵥ v + star v ⬝ᵥ B *ᵥ v = 0
h_van : star v ⬝ᵥ A *ᵥ v = 0 ∧ star v ⬝ᵥ B *ᵥ v = 0
aux : star v ⬝ᵥ (A - B) *ᵥ v = 0

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
B : Matrix n n 𝕜
hB : B.PosSemidef
hAB : A ^ 2 = B ^ 2
h_ne : ¬A = B
v : n → 𝕜
t : ℝ
ht : t ≠ 0
hv : v ≠ 0
hv' : (A - B) *ᵥ v = t • v
h_sum : star v ⬝ᵥ A *ᵥ v + star v ⬝ᵥ B *ᵥ v = 0
h_van : star v ⬝ᵥ A *ᵥ v = 0 ∧ star v ⬝ᵥ B *ᵥ v = 0
aux : ↑t * star v ⬝ᵥ v = ↑t * 0

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x : F

⊢ ↑(re ⟪x, x⟫_𝕜) = ⟪x, x⟫_𝕜
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
s✝ : Set M
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
f : M → N
hf : IsMonoidHom f
s : Set N
hs : IsSubmonoid s

⊢ f 1 ∈ s
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M : Type u_1
inst✝² : Monoid M
s✝ : Set M
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t : Set A
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
f : M → N
hf : IsMonoidHom f
s : Set N
hs : IsSubmonoid s
a b : M
ha : f a ∈ s
hb : f b ∈ s

⊢ f (a * b) ∈ s
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Compatibility.lean
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A
inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B
inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
hη : τ₀ = τ₁ hF hG η
Y : B

⊢ eB.inverse.map (F.map (𝟙 (G.obj Y) ≫ eA.unitIso.hom.app (G.obj Y) ≫ eA.inverse.map (hG.inv.app Y) ≫ 𝟙 (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y))))) ≫ (equivalence₂ eB hF).counitIso.hom.app Y = (equivalenceCounitIso η).hom.app Y
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Compatibility.lean
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A
inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B
inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
hη : τ₀ = τ₁ hF hG η
Y : B

⊢ eB.inverse.map (F.map (eA.unitIso.hom.app (G.obj Y))) ≫ eB.inverse.map (F.map (eA.inverse.map (hG.inv.app Y))) ≫ eB.inverse.map (hF.inv.app (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y)))) ≫ eB.inverse.map (e'.functor.map (eA.counitIso.hom.app (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y)))) ≫ eB.inverse.map (e'.counitIso.hom.app (eB.functor.obj Y)) ≫ eB.unitIso.inv.app Y = eB.inverse.map (η.hom.app Y) ≫ eB.unitIso.inv.app Y
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Compatibility.lean
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A
inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B
inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
hη : τ₀ = τ₁ hF hG η
Y : B

⊢ eB.inverse.map (F.map (eA.unitIso.hom.app (G.obj Y)) ≫ F.map (eA.inverse.map (hG.inv.app Y)) ≫ hF.inv.app (eA.inverse.obj (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y))) ≫ e'.functor.map (eA.counitIso.hom.app (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y))) ≫ e'.functor.map (hG.hom.app Y) ≫ hF.hom.app (G.obj Y) ≫ η.hom.app Y) ≫ eB.unitIso.inv.app Y = eB.inverse.map (η.hom.app Y) ≫ eB.unitIso.inv.app Y
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Compatibility.lean
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A
inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B
inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
hη : τ₀ = τ₁ hF hG η
Y : B

⊢ hF.inv.app (G.obj Y) ≫ e'.functor.map (eA.functor.map (eA.unitIso.hom.app (G.obj Y))) ≫ e'.functor.map (eA.functor.map (eA.inverse.map (hG.inv.app Y))) ≫ e'.functor.map (eA.counitIso.hom.app (e'.inverse.obj (eB.functor.obj Y))) ≫ e'.functor.map (hG.hom.app Y) ≫ hF.hom.app (G.obj Y) ≫ η.hom.app Y = η.hom.app Y
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Compatibility.lean
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A
inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B
inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
hη : τ₀ = τ₁ hF hG η
Y : B

⊢ hF.inv.app (G.obj Y) ≫ e'.functor.map (eA.functor.map (eA.unitIso.hom.app (G.obj Y)) ≫ eA.counit.app (eA.functor.obj (G.obj Y)) ≫ 𝟙 ((G ⋙ eA.functor).obj Y)) ≫ hF.hom.app (G.obj Y) ≫ η.hom.app Y = η.hom.app Y
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Compatibility.lean
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} A
inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_6, u_3} B
inst✝ : Category.{u_5, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
hη : τ₀ = τ₁ hF hG η
Y : B

⊢ hF.inv.app (G.obj Y) ≫ e'.functor.map (eA.functor.map (eA.unitIso.hom.app (G.obj Y)) ≫ eA.counit.app (eA.functor.obj (G.obj Y)) ≫ 𝟙 (eA.functor.obj (G.obj Y))) ≫ hF.hom.app (G.obj Y) ≫ η.hom.app Y = η.hom.app Y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
i : m
j : n

⊢ toMatrix' f i j = f (fun j' => if j' = j then 1 else 0) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
i : m
j : n

⊢ f ((stdBasis R (fun x => R) j) 1) i = f (fun j' => if j' = j then 1 else 0) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
f : (n → R) →ₗ[R] m → R
i : m
j j' : n
h : ¬j' = j

⊢ (stdBasis R (fun x => R) j) 1 j' = 0
-- Mathlib/GroupTheory/FixedPointFree.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
g : G
hg : orderOf g = 2

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/FixedPointFree.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
g : G
hg : orderOf g = 2
key : φ g = g

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/FixedPointFree.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : Function.Involutive ⇑φ
g : G
hg : 1 = 2
key : φ g = g

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₁'] M
x y : M₁

⊢ B.IsOrtho x y ↔ B.flip.IsOrtho y x
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/CongruenceSubgroups.lean
N✝ N : ℕ
x : SL(2, ℤ)
HA : x ∈ Gamma1 N

⊢ x ∈ Gamma0 N
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/CongruenceSubgroups.lean
N✝ N : ℕ
x : SL(2, ℤ)
HA : ↑(↑x 0 0) = 1 ∧ ↑(↑x 1 1) = 1 ∧ ↑(↑x 1 0) = 0

⊢ ↑(↑x 1 0) = 0
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : Tendsto (fun x => (m x)⁻¹) f (𝓝 a⁻¹)

⊢ Tendsto m f (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 G
R : Type u_5
𝕜₂ : Type u_6
𝕜' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
M : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
G' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' G'
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜₂ 𝕜' G'
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ρ₁₂ : R →+* 𝕜'
f : M →SL[ρ₁₂] F →SL[σ₁₂] G'
y : F

⊢ (f 0) y = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/SphereNormEquiv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : ↑{0}ᶜ

⊢ ‖↑x‖⁻¹ • ↑x ∈ sphere 0 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/SphereNormEquiv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : ↑{0}ᶜ

⊢ ↑((fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩) ((fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩)) x)) = ↑x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/SphereNormEquiv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
hx : x ∈ sphere 0 1
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0

⊢ (fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩)) ((fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩) (⟨x, hx⟩, ⟨r, hr⟩)) = (⟨x, hx⟩, ⟨r, hr⟩)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/SphereNormEquiv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
hx✝ : x ∈ sphere 0 1
hx : ‖x‖ = 1
r : ℝ
hr : r ∈ Ioi 0

⊢ (fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩)) ((fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩) (⟨x, hx✝⟩, ⟨r, hr⟩)) = (⟨x, hx✝⟩, ⟨r, hr⟩)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/SphereNormEquiv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
hx✝ : x ∈ sphere 0 1
hx : ‖x‖ = 1
r : ℝ
hr✝ : r ∈ Ioi 0
hr : 0 < r

⊢ (fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩)) ((fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩) (⟨x, hx✝⟩, ⟨r, hr✝⟩)) = (⟨x, hx✝⟩, ⟨r, hr✝⟩)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/SphereNormEquiv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E

⊢ Continuous { toFun := fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩), invFun := fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/SphereNormEquiv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E

⊢ Continuous fun x => ‖↑x‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/SphereNormEquiv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E

⊢ ∀ (x : ↑{0}ᶜ), ‖↑x‖ ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/SphereNormEquiv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E

⊢ Continuous Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/SphereNormEquiv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E

⊢ Continuous fun x => ⟨‖↑x‖, ⋯⟩
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/SphereNormEquiv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E

⊢ Continuous { toFun := fun x => (⟨‖↑x‖⁻¹ • ↑x, ⋯⟩, ⟨‖↑x‖, ⋯⟩), invFun := fun x => ⟨↑x.2 • ↑x.1, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.invFun
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
r s : R
k : ℕ
h : Commute r s

⊢ (descPochhammer ℤ k).smeval (r + s) = ∑ ij ∈ antidiagonal k, ↑(k.choose ij.1) * ((descPochhammer ℤ ij.1).smeval r * (descPochhammer ℤ ij.2).smeval s)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
h : DifferentiableOn 𝕜 (fun y => c + f y) s

⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
n m k : ℕ

⊢ n ^^^ m ^^^ k = n ^^^ (m ^^^ k)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
x y z w : α

⊢ (swap x y) z = w ↔ z = (swap x y) w
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : (i : ι) → LT (β i)
i : ι
inst✝ : NoMaxOrder (β i)
a : Lex ((i : ι) → β i)

⊢ ∃ b, a < b
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : (i : ι) → LT (β i)
i : ι
inst✝ : NoMaxOrder (β i)
a : Lex ((i : ι) → β i)
b : β i
hb : a i < b

⊢ ∃ b, a < b
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Completion.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
inst✝ : CompleteSpace β
f : α → β
h : Isometry f
x y : Completion α
x✝¹ x✝ : α

⊢ dist (Completion.extension f (↑α x✝¹)) (Completion.extension f (↑α x✝)) = dist (↑α x✝¹) (↑α x✝)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ l₁✝ l₂✝ : List α✝
a : α✝
s : l₁✝ <+ l₂✝
h : (a :: l₁✝).length = (a :: l₂✝).length

⊢ a :: l₁✝ = a :: l₂✝
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a₁ a₂ : ℤ
b : ℕ
h : a₁ % ↑b = a₂ % ↑b

⊢ J(a₁ | b) = J(a₂ | b)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)

⊢ ↑(last n - i) = ↑i.rev
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

⊢ ↑p ^ n * wittMul p n + wittPolyProdRemainder p n = wittPolyProd p n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

⊢ ↑p ^ n * wittMul p n + wittPolyProdRemainder p n = ∑ i ∈ range (n + 1), ↑p ^ i * wittMul p i ^ p ^ (n - i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ

⊢ wittPolyProdRemainder p n + ↑p ^ n * wittMul p n = ∑ x ∈ range n, ↑p ^ x * wittMul p x ^ p ^ (n - x) + ↑p ^ n * wittMul p n
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Basic.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
W X Y Z : C

⊢ (ℬ (ℬ W (ℬ X Y).cone.pt).cone.pt Z).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ (ℬ W X).cone.pt Y).cone.pt Z).cone ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W X Y).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ (ℬ W X).cone.pt Y).cone.pt Z).cone ≫ 𝟙 Z)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W (tensorObj ℬ X Y) Z).hom ≫ (ℬ W (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ W (ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 W) (BinaryFan.snd (ℬ W (ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).cone.pt).cone ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).hom)) = (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ (tensorObj ℬ W X) Y Z).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W X (tensorObj ℬ Y Z)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Basic.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
W X Y Z : C

⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), ((ℬ (ℬ W (ℬ X Y).cone.pt).cone.pt Z).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ (ℬ W X).cone.pt Y).cone.pt Z).cone ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W X Y).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ (ℬ W X).cone.pt Y).cone.pt Z).cone ≫ 𝟙 Z)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W (tensorObj ℬ X Y) Z).hom ≫ (ℬ W (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ W (ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 W) (BinaryFan.snd (ℬ W (ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).cone.pt).cone ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).hom))) ≫ (ℬ W (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone.pt).cone.π.app j = ((BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ (tensorObj ℬ W X) Y Z).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ W X (tensorObj ℬ Y Z)).hom) ≫ (ℬ W (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone.pt).cone.π.app j
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝¹ q✝ r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
p✝ p q : S[X]
hp : ∃ a, map f a = p
hq : ∃ a, map f a = q
p' : R[X]
hp' : map f p' = p
q' : R[X]
hq' : map f q' = q

⊢ map f (p' + q') = p + q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r✝ : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
p : S[X]
n : ℕ
s : S
r : R
hr : f r = s

⊢ map f ((monomial n) r) = (monomial n) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), AEStronglyMeasurable' m f μ → AEStronglyMeasurable' m g μ → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f : ↥(Lp F p μ)
hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
f' : ↥(lpMeas F ℝ m p μ) := ⟨f, hf⟩
g : ↥(Lp F p (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm) f'

⊢ P f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : ↥(Lp F p μ) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), P ↑(simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), AEStronglyMeasurable' m f μ → AEStronglyMeasurable' m g μ → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → P (Memℒp.toLp f hf) → P (Memℒp.toLp g hg) → P (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
h_closed : IsClosed {f | P ↑f}
f : ↥(Lp F p μ)
hf : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
f' : ↥(lpMeas F ℝ m p μ) := ⟨f, hf⟩
g : ↥(Lp F p (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm) f'
hfg : f' = (lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm g

⊢ P f