ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
h₁ : ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (f (k + 1) - f k)) x ∂μ
h₂ : ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (1 - upcrossingStrat a b f N k) * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ = ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (f (k + 1) - f k)) x ∂μ - ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, upcrossingStrat a b f N k * (f (k + 1) - f k)) x ∂μ

⊢ ∫ (x : Ω), (∑ k ∈ Finset.range n, (f (k + 1) - f k)) x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), f n x ∂μ - ∫ (x : Ω), f 0 x ∂μ
-- Mathlib/Topology/Order/IsLUB.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty

⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
-- Mathlib/Topology/Order/IsLUB.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvx : Tendsto v atTop (𝓝[≤] x)
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t

⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
-- Mathlib/Topology/Order/IsLUB.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)

⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
-- Mathlib/Topology/Order/IsLUB.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)
hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x

⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
-- Mathlib/Topology/Order/IsLUB.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)
hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x
this : ∀ (k : ℕ), ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, v k < v l

⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
-- Mathlib/Topology/Order/IsLUB.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)
hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x
this : ∀ (k : ℕ), ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, v k < v l
N : ℕ → ℕ
hN : ∀ (k : ℕ), k < N k
hvN : ∀ (k : ℕ), v k < v (N k)

⊢ ∃ u, StrictMono u ∧ (∀ (n : ℕ), u n < x) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x) ∧ ∀ (n : ℕ), u n ∈ t
-- Mathlib/Topology/Order/IsLUB.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)
hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x
this : ∀ (k : ℕ), ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, v k < v l
N : ℕ → ℕ
hN : ∀ (k : ℕ), k < N k
hvN : ∀ (k : ℕ), v k < v (N k)
x✝ : ℕ

⊢ v (N^[x✝] 0) < v (N^[x✝ + 1] 0)
-- Mathlib/Topology/Order/IsLUB.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : OrderTopology β
t : Set α
x : α
inst✝ : (𝓝 x).IsCountablyGenerated
htx : IsLUB t x
not_mem : x ∉ t
ht : t.Nonempty
v : ℕ → α
hvt : ∀ (n : ℕ), v n ∈ t
hvx : Tendsto v atTop (𝓝 x)
hvx' : ∀ {n : ℕ}, v n < x
this : ∀ (k : ℕ), ∀ᶠ (l : ℕ) in atTop, v k < v l
N : ℕ → ℕ
hN : ∀ (k : ℕ), k < N k
hvN : ∀ (k : ℕ), v k < v (N k)
x✝ : ℕ

⊢ N^[x✝] 0 < N^[x✝ + 1] 0
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p q : α → Bool
l : List α

⊢ filter p (filter q l) = filter q (filter p l)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h : α ≃ᵢ β
s : Set β

⊢ Metric.diam (⇑h ⁻¹' s) = Metric.diam s
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : SFinite ν
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ

⊢ Integrable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : SFinite ν
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)

⊢ Integrable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : SFinite ν
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν

⊢ Integrable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : SFinite ν
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν

⊢ (∀ᵐ (y : G) ∂ν, Integrable (fun x => (L (f y)) (g (x - y))) μ) ∧ Integrable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : SFinite ν
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν

⊢ Integrable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : SFinite ν
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν

⊢ Integrable (fun t => ‖L‖ * ‖f t‖ * ∫ (x : G), ‖g (x - t)‖ ∂μ) ν
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : AddGroup G
inst✝⁴ : MeasurableAdd₂ G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : SFinite ν
hf : Integrable f ν
hg : Integrable g μ
h_meas : AEStronglyMeasurable (fun p => (L (f p.2)) (g (p.1 - p.2))) (μ.prod ν)
h2_meas : AEStronglyMeasurable (fun y => ∫ (x : G), ‖(L (f y)) (g (x - y))‖ ∂μ) ν
t : G

⊢ ‖∫ (x : G), ‖(L (f t)) (g (x - t))‖ ∂μ‖ ≤ ‖L‖ * ‖f t‖ * ∫ (x : G), ‖g (x - t)‖ ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α

⊢ b < a * 1 ↔ b < a
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData

⊢ h₁.homologyIso.inv ≫ homologyMap φ = rightHomologyMap' φ h₁ h₂ ≫ h₂.homologyIso.inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Yoneda/Projective.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
P : C

⊢ Projective P ↔ (preadditiveCoyoneda.obj (op P)).PreservesEpimorphisms
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Yoneda/Projective.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
P : C

⊢ (coyoneda.obj (op P)).PreservesEpimorphisms ↔ (preadditiveCoyoneda.obj (op P)).PreservesEpimorphisms
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P

⊢ W'.addY P (W'.neg P) = -W'.dblZ P ^ 3
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P

⊢ -![W'.dblZ P ^ 2, W'.dblZ P ^ 3, addZ P (W'.neg P)] y = -W'.dblZ P ^ 3
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : PreErgodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s = s

⊢ μ s = 0 ∨ μ sᶜ = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
N : Submonoid R
h₁ : M ≤ N
h₂ : ∀ r ∈ N, IsUnit ((algebraMap R S) r)
x y : R

⊢ (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
N : Submonoid R
h₁ : M ≤ N
h₂ : ∀ r ∈ N, IsUnit ((algebraMap R S) r)
x y : R

⊢ (∃ c, ↑c * x = ↑c * y) → ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
N : Submonoid R
h₁ : M ≤ N
h₂ : ∀ r ∈ N, IsUnit ((algebraMap R S) r)
x y : R
c : ↥M
hc : ↑c * x = ↑c * y

⊢ ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ

⊢ ‖1‖ = 0
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ

⊢ { ofColex := s } < { ofColex := t } ↔ ∃ a ∈ t, a ∉ s ∧ ∀ b ∈ s, b ∉ t → b < a
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ

⊢ (∃ x, ¬(x ∈ t → x ∉ s → ∃ b ∈ s, b ∉ t ∧ x ≤ b)) ↔ ∃ a ∈ t, a ∉ s ∧ ∀ b ∈ s, b ∉ t → b < a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]

⊢ toLaurent (Polynomial.C r * f) = C r * toLaurent f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n k : ℕ
c : R

⊢ (⇑derivative)^[k] ((X + C c) ^ n) = n.descFactorial k • (X + C c) ^ (n - k)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y

⊢ x = y
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CountablyGenerated α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y

⊢ x = y
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CountablyGenerated α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y

⊢ ∀ s ∈ range (natGeneratingSequence α), x ∈ s ↔ y ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CountablyGenerated α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y
n : ℕ

⊢ x ∈ natGeneratingSequence α n ↔ y ∈ natGeneratingSequence α n
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CountablyGenerated α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y
n : ℕ

⊢ decide (x ∈ natGeneratingSequence α n) = decide (y ∈ natGeneratingSequence α n)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CountablyGenerated α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y
n : ℕ

⊢ Decidable (x ∈ natGeneratingSequence α n)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CountablyGenerated α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
hxy : mapNatBool α x = mapNatBool α y
n : ℕ

⊢ Decidable (y ∈ natGeneratingSequence α n)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : Field S
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : Module S A
inst✝⁴ : IsScalarTower S A A
inst✝³ : SMulCommClass S A A
inst✝² : IsScalarTower R S A
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSpace S
a : A
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : CompactSpace ↑(σₙ S a)

⊢ CompactSpace ↑(σₙ R a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : Field S
inst✝⁸ : NonUnitalRing A
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Module R A
inst✝⁵ : Module S A
inst✝⁴ : IsScalarTower S A A
inst✝³ : SMulCommClass S A A
inst✝² : IsScalarTower R S A
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSpace S
a : A
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
h_cpct : IsCompact (σₙ S a)

⊢ IsCompact (σₙ R a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Kernels.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝³ : G.PreservesZeroMorphisms
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = 0
inst✝² : HasKernel f
inst✝¹ : HasKernel (G.map f)
inst✝ : PreservesLimit (parallelPair f 0) G

⊢ (iso G f).hom = kernelComparison f G
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Kernels.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝³ : G.PreservesZeroMorphisms
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = 0
inst✝² : HasKernel f
inst✝¹ : HasKernel (G.map f)
inst✝ : PreservesLimit (parallelPair f 0) G

⊢ (iso G f).hom ≫ kernel.ι (G.map f) = kernelComparison f G ≫ kernel.ι (G.map f)
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq β

⊢ (image f s).card ≤ s.card
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x y : M
f✝ : M →* P
f g : c.Quotient →* P
h : ∀ (a : M), f ↑a = g ↑a

⊢ f = g
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x y : M
f✝ : M →* P
f g : c.Quotient →* P
h : ∀ (a : M), f ↑a = g ↑a

⊢ c.lift (f.comp c.mk') ⋯ = c.lift (g.comp c.mk') ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x y : M
f✝ : M →* P
f g : c.Quotient →* P
h : ∀ (a : M), f ↑a = g ↑a

⊢ f.comp c.mk' = g.comp c.mk'
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
y p q : R[X]

⊢ (p • 1 + q • (mk W) Y) * (mk W) (C y) = (p * y) • 1 + (q * y) • (mk W) Y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
y p q : R[X]

⊢ ((mk W) (C p) * 1 + (mk W) (C q) * (mk W) Y) * (mk W) (C y) = (mk W) (C p) * (mk W) (C y) * 1 + (mk W) (C q) * (mk W) (C y) * (mk W) Y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t✝ : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝ : CompleteSpace E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
h'ts : t ∈ 𝓝 x₀
h't : μ t ≠ ⊤
hnφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), 0 ≤ φ i x
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l uᶜ
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) μ
hmg : Integrable g μ
hcg : Tendsto g (𝓝 x₀) (𝓝 a)

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in univ, φ i x • g x ∂μ) l (𝓝 a)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q

⊢ φ ≫ (Hσ q).f (n + 1) = -φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q

⊢ φ ≫ (Hσ q).f (n + 1) = -φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q

⊢ φ ≫ ((AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 1) n ≫ ((-1) ^ a • X.σ ⟨a, ⋯⟩) ≫ eqToHom ⋯ + (((-1) ^ (a + 1) • X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ eqToHom ⋯) ≫ (AlternatingFaceMapComplex.obj X).d (n + 2) (n + 1)) = -φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q

⊢ ∑ j : Fin (n + 2), φ ≫ ((-1) ^ ↑j • X.δ j) ≫ ((-1) ^ a • X.σ ⟨a, ⋯⟩) + ∑ j : Fin (n + 1 + 2), φ ≫ ((-1) ^ (a + 1) • X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ ((-1) ^ ↑j • X.δ j) = -φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q

⊢ ∑ x : Fin (n + 2), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑x) • (φ ≫ X.δ x) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + ∑ x : Fin (n + 1 + 2), ((-1) ^ ↑x * (-1) ^ (a + 1)) • (φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.δ x = -(φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q

⊢ ∑ i : Fin (a + 2), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i))) • (φ ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i))) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + ∑ x : Fin (n + 1 + 2), ((-1) ^ ↑x * (-1) ^ (a + 1)) • (φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.δ x = -(φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩