ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I J : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ

⊢ mk I = mk J ↔ ∃ x, I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) x = J
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I J : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ

⊢ (∃ i, (MonoidHom.id (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ) I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) i = (MonoidHom.id (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ) J) ↔ ∃ x, I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) x = J
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
s : CompleteSublattice (Submodule R M) := (AEval.comapSubmodule R M f).range

⊢ f.IsSemisimple ↔ ∀ p ≤ Submodule.comap f p, ∃ q ≤ Submodule.comap f q, IsCompl p q
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
s : CompleteSublattice (Submodule R M) := (AEval.comapSubmodule R M f).range
h : ↑s = {p | p ≤ Submodule.comap f p}

⊢ f.IsSemisimple ↔ ∀ p ≤ Submodule.comap f p, ∃ q ≤ Submodule.comap f q, IsCompl p q
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
s : CompleteSublattice (Submodule R M) := (AEval.comapSubmodule R M f).range
h : ↑s = {p | p ≤ Submodule.comap f p}
e : Submodule R[X] (AEval R M f) ≃o ↥(AEval.comapSubmodule R M f).range := (AEval.comapSubmodule R M f).toOrderIsoRangeOfInjective ⋯

⊢ f.IsSemisimple ↔ ∀ p ≤ Submodule.comap f p, ∃ q ≤ Submodule.comap f q, IsCompl p q
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
i : ι
a : G i
f : ↥(lp G 2)

⊢ ⟪f, lp.single 2 i a⟫_𝕜 = ⟪↑f i, a⟫_𝕜
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring R
a b : R
n : ℕ

⊢ a * (-1) ^ n = 0 ↔ a = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/OfAlternating.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N

⊢ (((foldl 0 (LinearMap.mk₂ R (fun m f i => (f (i + 1)).curryLeft m) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯) ⋯) f) 1 0) 0 = (f 0) 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ≥0∞

⊢ ⇑h '' EMetric.ball x r = EMetric.ball (h x) r
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
g : Y ⟶ X
hom_inv_id : f ≫ g = 𝟙 X

⊢ inv f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
g : Y ⟶ X
hom_inv_id : f ≫ g = 𝟙 X

⊢ f ≫ inv f = f ≫ g
-- Mathlib/CategoryTheory/CommSq.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ X✝ Y✝ : C
f✝ : A✝ ⟶ X✝
i✝ : A✝ ⟶ B✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : B✝ ⟶ Y✝
sq✝ : CommSq f✝ i✝ p✝ g✝
A B X Y : Cᵒᵖ
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g

⊢ sq.HasLift ↔ ⋯.HasLift
-- Mathlib/CategoryTheory/CommSq.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
A✝ B✝ X✝ Y✝ : C
f✝ : A✝ ⟶ X✝
i✝ : A✝ ⟶ B✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : B✝ ⟶ Y✝
sq✝ : CommSq f✝ i✝ p✝ g✝
A B X Y : Cᵒᵖ
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g

⊢ Nonempty sq.LiftStruct ↔ Nonempty ⋯.LiftStruct
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
e : A ≅ B

⊢ e.inv.hom₁ ≫ e.hom.hom₁ = 𝟙 B.obj₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
adj3 : F'' ⊣ G
x : C

⊢ (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app x ≫ (adj2.leftAdjointUniq adj3).hom.app x = (adj1.leftAdjointUniq adj3).hom.app x
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F F' F'' : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G
adj3 : F'' ⊣ G
x : C

⊢ (adj1.leftAdjointUniq adj2).hom.app x ≫ (adj2.leftAdjointUniq adj3).hom.app x = ((adj1.leftAdjointUniq adj2).hom ≫ (adj2.leftAdjointUniq adj3).hom).app x
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

⊢ ∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arccos (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1

⊢ ∡ p₂ p₃ p₁ = ↑(Real.arccos (dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x✝ x y : ℝ
h : x ≤ y
n : ℕ

⊢ √(2 + x.sqrtTwoAddSeries n) ≤ √(2 + y.sqrtTwoAddSeries n)
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : Finite ι

⊢ MeasurableSet (fundamentalDomain b)
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι

⊢ MeasurableSet (fundamentalDomain b)
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
this : FiniteDimensional ℝ E

⊢ MeasurableSet (fundamentalDomain b)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x✝ : Γ'

⊢ (embDomain f 0).coeff x✝ = coeff 0 x✝
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ

⊢ a * b * a⁻¹ = 1 ↔ b = 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : DecidableEq E
v' : ι' → E
h : Orthonormal 𝕜 v'
s : Finset ι'
i : { x // x ∈ s }

⊢ ↑((OrthonormalBasis.span h s) i) = v' ↑i
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x✝ y : ℝ
f : CauSeq ℚ abs
x : ℝ
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, ↑(↑f j) ≤ x

⊢ mk f ≤ x
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x✝ y : ℝ
f : CauSeq ℚ abs
x : ℝ
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, ↑(↑f j) ≤ x

⊢ -x ≤ mk (-f)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
h : a * b ≠ ⊤
ha : a ≠ 0

⊢ b * a ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
z : ℝ
h : 0 ≤ z
h0 : 0 = z

⊢ Monotone fun x => x ^ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Find.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
inst✝² : DecidablePred p
H : ∃ n, p n
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
h : ∃ n, p n

⊢ Nat.find h = 0 ↔ p 0
-- Mathlib/Data/Multiset/FinsetOps.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
h : s ⊆ t

⊢ s.ndunion t = t
-- Mathlib/Data/Multiset/FinsetOps.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a✝ b✝ : List α
h : Quot.mk Setoid.r a✝ ⊆ Quot.mk Setoid.r b✝

⊢ ndunion (Quot.mk Setoid.r a✝) (Quot.mk Setoid.r b✝) = Quot.mk Setoid.r b✝
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α

⊢ xᶜ \ yᶜ = y \ x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : Field A
inst✝¹ : CharZero A
inst✝ : IsAlgClosed A

⊢ Fintype.card (K →+* A) = finrank ℚ K
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ : ∀ (A : E →L[ℝ] E), 0 < δ A ∧ (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧ ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t

⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ : ∀ (A : E →L[ℝ] E), 0 < δ A ∧ (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧ ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))

⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
δ : (E →L[ℝ] E) → ℝ≥0
hδ : ∀ (A : E →L[ℝ] E), 0 < δ A ∧ (∀ (B : E →L[ℝ] E), ‖B - A‖ ≤ ↑(δ A) → |B.det - A.det| ≤ ↑ε) ∧ ∀ (t : Set E) (g : E → E), ApproximatesLinearOn g A t (δ A) → ENNReal.ofReal |A.det| * μ t ≤ μ (g '' t) + ↑ε * μ t
t : ℕ → Set E
A : ℕ → E →L[ℝ] E
t_disj : Pairwise (Disjoint on t)
t_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
t_cover : s ⊆ ⋃ n, t n
ht : ∀ (n : ℕ), ApproximatesLinearOn f (A n) (s ∩ t n) (δ (A n))
s_eq : s = ⋃ n, s ∩ t n

⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s
-- Mathlib/Analysis/Quaternion.lean

⊢ Continuous ⇑normSq
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
hμf : μ {x | x ∈ s ∧ f x = ⊤} ≠ 0

⊢ μ {x | x ∈ s ∧ f x = ⊤} ≤ (μ.restrict s) {x | f x = ⊤}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
hμf : μ {x | x ∈ s ∧ f x = ⊤} ≠ 0

⊢ μ ({a | f a = ⊤} ∩ s) ≤ (μ.restrict s) {x | f x = ⊤}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : μ s = 0

⊢ (fun x => if x ∈ s then f x else g x) =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : μ s = 0
h_ss : sᶜ ⊆ {a | (if a ∈ s then f a else g a) = g a}

⊢ (fun x => if x ∈ s then f x else g x) =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : μ s = 0
h_ss : sᶜ ⊆ {a | (if a ∈ s then f a else g a) = g a}

⊢ {x | (fun x => (fun x => if x ∈ s then f x else g x) x = g x) x}ᶜ ⊆ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : μ s = 0
h_ss : sᶜ ⊆ {a | (if a ∈ s then f a else g a) = g a}

⊢ {x | (fun x => (fun x => if x ∈ s then f x else g x) x = g x) x}ᶜ ⊆ sᶜᶜ
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I✝ : Ideal R
F F' : I✝.Filtration M
I : Ideal R
N : Submodule R M
i : ℕ

⊢ I ^ (i + 1) • N ≤ I ^ i • N
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I✝ : Ideal R
F F' : I✝.Filtration M
I : Ideal R
N : Submodule R M
i : ℕ

⊢ I ^ 1 • I ^ i • N ≤ I ^ i • N
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I✝ : Ideal R
F F' : I✝.Filtration M
I : Ideal R
N : Submodule R M
i : ℕ

⊢ I • I ^ i • N ≤ I ^ (i + 1) • N
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0

⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
c : 𝕎 k
hc : c.coeff 0 ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] c

⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : ((⇑frobenius)^[m] b).coeff 0 ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)

⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)

⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = ((⇑verschiebung)^[m] ∘ (⇑frobenius)^[m]) b

⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : PerfectRing k p
a : 𝕎 k
ha : a ≠ 0
m : ℕ
b : 𝕎 k
hc : b.coeff 0 ^ p ^ m ≠ 0
hcm : a = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)
this : (⇑verschiebung ∘ ⇑frobenius)^[m] b = (⇑verschiebung)^[m] ((⇑frobenius)^[m] b)

⊢ ∃ m b, b.coeff 0 ≠ 0 ∧ a = ↑p ^ m * b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
ν : ProbabilityMeasure Ω
s : Set Ω

⊢ ↑(ν s) = ↑ν s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

⊢ Measurable fun x => ∑' (i : ι), f i x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

⊢ Measurable fun x => ⨆ s, ∑ i ∈ s, f i x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

⊢ ∀ (i : Finset ι), Measurable fun b => ∑ i ∈ i, f i b
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.98000, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f g : W.LeftFraction X Y

⊢ f.map (Q W) ⋯ = g.map (Q W) ⋯ ↔ LeftFractionRel f g
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.98000, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f g : W.LeftFraction X Y

⊢ (Hom.mk f).map (Q W) ⋯ = (Hom.mk g).map (Q W) ⋯ ↔ LeftFractionRel f g
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : GroupWithZero G₀
f g : ι → G₀

⊢ (support fun a => f a / g a) = support f ∩ support g
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G

⊢ (shortComplexH0 A).Exact
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G

⊢ ∀ (x₂ : ↑(shortComplexH0 A).X₂), (shortComplexH0 A).g x₂ = 0 → ∃ x₁, (shortComplexH0 A).f x₁ = x₂
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
hx : (dZero A) x = 0
g : G

⊢ (A.ρ g) x = x
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
hx : (dZero A) x = 0
g : G

⊢ (A.ρ g) x - x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
b : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M'
v : ι → M'

⊢ (b.map f).det v = b.det (⇑f.symm ∘ v)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β

⊢ TendstoUniformlyOn F f p s ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, edist (f x) (F n x) < ε
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, edist (f x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α

⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (f x, F n x) ∈ u
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
ι : Type u_2
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι
s : Set β
H : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, edist (f x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : ∀ {a b : α}, edist a b < ε → (a, b) ∈ u

⊢ ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, (f x, F n x) ∈ u
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
p : α → Prop
f g : α → β
inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)
hpf : ∀ a ∈ frontier {x | p x}, Tendsto f (𝓝[{x | p x}] a) (𝓝 (if p a then f a else g a))
hpg : ∀ a ∈ frontier {x | p x}, Tendsto g (𝓝[{x | ¬p x}] a) (𝓝 (if p a then f a else g a))
hf : ContinuousOn f {x | p x}
hg : ContinuousOn g {x | ¬p x}

⊢ Continuous fun a => if p a then f a else g a
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
p : α → Prop
f g : α → β
inst✝ : (a : α) → Decidable (p a)
hpf : ∀ a ∈ frontier {x | p x}, Tendsto f (𝓝[{x | p x}] a) (𝓝 (if p a then f a else g a))
hpg : ∀ a ∈ frontier {x | p x}, Tendsto g (𝓝[{x | ¬p x}] a) (𝓝 (if p a then f a else g a))
hf : ContinuousOn f {x | p x}
hg : ContinuousOn g {x | ¬p x}

⊢ ContinuousOn (fun a => if p a then f a else g a) univ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H

⊢ DifferentiableAt 𝕜 f y ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x => f x i) y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H

⊢ (∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) y) ↔ ∀ (i : ι), DifferentiableAt 𝕜 (fun x => f x i) y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean

⊢ ContinuousOn tan (Ioo (-(π / 2)) (π / 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ

⊢ x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2) → x ∈ {x | cos x ≠ 0}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ

⊢ -(π / 2) < x → x < π / 2 → ¬cos x = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ

⊢ -(π / 2) < x → x < π / 2 → ¬∃ k, x = (2 * ↑k + 1) * π / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
hx_gt : -(π / 2) < x
hx_lt : x < π / 2
r : ℤ
hxr_eq : x = (2 * ↑r + 1) * π / 2

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
hx_gt : -(π / 2) < x
hx_lt : x < π / 2
r : ℤ
hxr_eq : x = (2 * ↑r + 1) * π / 2
h : 0 ≤ r

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x : ℝ
hx_gt : -(π / 2) < x
hx_lt : x < π / 2
r : ℤ
hxr_eq : x = (2 * ↑r + 1) * π / 2
h : r < 0

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
y : ℝ

⊢ 0 ^ y = if 0 < y then 0 else if y = 0 then 1 else ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
y : ℝ
H : 0 < y

⊢ 0 ^ y = if 0 < y then 0 else if y = 0 then 1 else ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean

⊢ 0 ^ 0 = if 0 < 0 then 0 else if 0 = 0 then 1 else ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
y : ℝ
H : y < 0

⊢ 0 ^ y = if 0 < y then 0 else if y = 0 then 1 else ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞

⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ μ.withDensity g = μ.withDensity f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hgm : Measurable g
hgf : g ≤ f
hint : ∀ (s : Set α), ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ

⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ μ.withDensity g = μ.withDensity f