ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ q) (B ^ q)

⊢ ∃ C ≤ A * B, HasSum (fun i => f i * g i) C
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ q) (B ^ q)
H₁ : Summable fun i => f i * g i
H₂ : ∑' (i : ι), f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)

⊢ ∃ C ≤ A * B, HasSum (fun i => f i * g i) C
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ q) (B ^ q)
H₁ : Summable fun i => f i * g i
H₂ : ∑' (i : ι), f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)
hA : A = (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p)

⊢ ∃ C ≤ A * B, HasSum (fun i => f i * g i) C
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ q) (B ^ q)
H₁ : Summable fun i => f i * g i
H₂ : ∑' (i : ι), f i * g i ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) * (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)
hA : A = (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p)
hB : B = (∑' (i : ι), g i ^ q) ^ (1 / q)

⊢ ∃ C ≤ A * B, HasSum (fun i => f i * g i) C
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x✝ y✝ z✝ : PGame
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
x : PGame := mk xl xr xL xR
y : PGame := mk yl yr yL yR
z : PGame := mk zl zr zL zR

⊢ ⟦mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR⟧ = ⟦mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR)⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x✝ y✝ z✝ : PGame
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
x : PGame := mk xl xr xL xR
y : PGame := mk yl yr yL yR
z : PGame := mk zl zr zL zR

⊢ (mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).LeftMoves ≃ (mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR)).LeftMoves
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x✝ y✝ z✝ : PGame
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
x : PGame := mk xl xr xL xR
y : PGame := mk yl yr yL yR
z : PGame := mk zl zr zL zR

⊢ (mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).RightMoves ≃ (mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR)).RightMoves
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x✝ y✝ z✝ : PGame
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
x : PGame := mk xl xr xL xR
y : PGame := mk yl yr yL yR
z : PGame := mk zl zr zL zR

⊢ ∀ (i : (mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).LeftMoves), ⟦(mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).moveLeft i⟧ = ⟦(mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR)).moveLeft (?refine_1 i)⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x✝ y✝ z✝ : PGame
xl xr : Type u_1
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u_1
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
zl zr : Type u_1
zL : zl → PGame
zR : zr → PGame
x : PGame := mk xl xr xL xR
y : PGame := mk yl yr yL yR
z : PGame := mk zl zr zL zR

⊢ ∀ (j : (mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).RightMoves), ⟦(mk xl xr xL xR * mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR).moveRight j⟧ = ⟦(mk xl xr xL xR * (mk yl yr yL yR * mk zl zr zL zR)).moveRight (?refine_2 j)⟧
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero V
inst✝ : SMul R V
x y : HahnModule Γ R V

⊢ ((of R).symm x).coeff = ((of R).symm y).coeff ↔ x = y
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A

⊢ adjoin R (s ∪ t) = Subalgebra.restrictScalars R (adjoin (↥(adjoin R s)) t)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ

⊢ a ^ n = -1 ↔ a = -1 ∧ Odd n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Homotopies.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n m : ℕ
hnq : n < q
hnm : c.Rel m n

⊢ 0 ≫ eqToHom ⋯ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞

⊢ μ.withDensity (f + g) = μ.withDensity f + μ.withDensity g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (μ.withDensity (f + g)) s = (μ.withDensity f + μ.withDensity g) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (a : α) in s, (f + g) a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f a + g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T1Space β
inst✝¹ : SecondCountableTopology β
inst✝ : Nonempty β
f : α → β
h : ∀ (b : β), ∃ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ b
m : OuterMeasure β := (OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure

⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (∀ s ∈ 𝓝 a, 0 < μ (f ⁻¹' s)) ∧ ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < μ (f ⁻¹' t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T1Space β
inst✝¹ : SecondCountableTopology β
inst✝ : Nonempty β
f : α → β
m : OuterMeasure β := (OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure
h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0

⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (∀ s ∈ 𝓝 a, 0 < μ (f ⁻¹' s)) ∧ ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < μ (f ⁻¹' t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T1Space β
inst✝¹ : SecondCountableTopology β
inst✝ : Nonempty β
f : α → β
m : OuterMeasure β := (OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure
h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0
inhabited_h : Inhabited β

⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (∀ s ∈ 𝓝 a, 0 < μ (f ⁻¹' s)) ∧ ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < μ (f ⁻¹' t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T1Space β
inst✝¹ : SecondCountableTopology β
inst✝ : Nonempty β
f : α → β
m : OuterMeasure β := (OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure
h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0
inhabited_h : Inhabited β
this : m univ ≠ 0

⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (∀ s ∈ 𝓝 a, 0 < μ (f ⁻¹' s)) ∧ ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < μ (f ⁻¹' t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T1Space β
inst✝¹ : SecondCountableTopology β
inst✝ : Nonempty β
f : α → β
m : OuterMeasure β := (OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure
h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0
inhabited_h : Inhabited β
this : m univ ≠ 0
b : β
hb : ∀ t ∈ 𝓝[univ] b, 0 < m t

⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (∀ s ∈ 𝓝 a, 0 < μ (f ⁻¹' s)) ∧ ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < μ (f ⁻¹' t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T1Space β
inst✝¹ : SecondCountableTopology β
inst✝ : Nonempty β
f : α → β
m : OuterMeasure β := (OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure
h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0
inhabited_h : Inhabited β
this : m univ ≠ 0
b : β
hb : ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < m t

⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (∀ s ∈ 𝓝 a, 0 < μ (f ⁻¹' s)) ∧ ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < μ (f ⁻¹' t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T1Space β
inst✝¹ : SecondCountableTopology β
inst✝ : Nonempty β
f : α → β
m : OuterMeasure β := (OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure
h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0
inhabited_h : Inhabited β
this : m univ ≠ 0
b : β
hb : ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < m t
a : β
hab : a ≠ b
ha : ∀ t ∈ 𝓝[{b}ᶜ] a, 0 < m t

⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (∀ s ∈ 𝓝 a, 0 < μ (f ⁻¹' s)) ∧ ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < μ (f ⁻¹' t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β✝
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : T1Space β
inst✝¹ : SecondCountableTopology β
inst✝ : Nonempty β
f : α → β
m : OuterMeasure β := (OuterMeasure.map f) μ.toOuterMeasure
h : ∀ (b : β), m {b}ᶜ ≠ 0
inhabited_h : Inhabited β
this : m univ ≠ 0
b : β
hb : ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < m t
a : β
hab : a ≠ b
ha : ∀ t ∈ 𝓝 a, 0 < m t

⊢ ∃ a b, a ≠ b ∧ (∀ s ∈ 𝓝 a, 0 < μ (f ⁻¹' s)) ∧ ∀ t ∈ 𝓝 b, 0 < μ (f ⁻¹' t)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ z₁ z₂ : ℝ≥0∞
hw' : w₁ + w₂ = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

⊢ (w₁ * z₁ + w₂ * z₂) ^ p ≤ w₁ * z₁ ^ p + w₂ * z₂ ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ z₁ z₂ : ℝ≥0∞
hw' : w₁ + w₂ = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h : (∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![w₁, w₂] i * ![z₁, z₂] i) ^ p ≤ ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![w₁, w₂] i * ![z₁, z₂] i ^ p

⊢ (w₁ * z₁ + w₂ * z₂) ^ p ≤ w₁ * z₁ ^ p + w₂ * z₂ ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ z₁ z₂ : ℝ≥0∞
hw' : w₁ + w₂ = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

⊢ ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![w₁, w₂] i = 1
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
i : ι
x : H

⊢ ((of i).comp (φ i)) x = (base φ) x
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
i : ι
x : H

⊢ (con φ) ((inl.comp CoprodI.of) ((φ i) x)) (inr x)
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
i : ι
x : H

⊢ ∃ i_1 x', (inl.comp CoprodI.of) ((φ i) x) = inl (CoprodI.of ((φ i_1) x')) ∧ inr x = inr x'
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
i : ι
x : H

⊢ ∃ i_1 x', inl (CoprodI.of ((φ i) x)) = inl (CoprodI.of ((φ i_1) x')) ∧ inr x = inr x'
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℂ

⊢ cos (x + ↑π / 2) = -sin x
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Abelian C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : F.Faithful
S : ShortComplex C
hS : (S.map F).Exact

⊢ S.Exact
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Abelian C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : F.Faithful
S : ShortComplex C
hS : kernel.ι (S.map F).g ≫ cokernel.π (S.map F).f = 0

⊢ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Abelian C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : F.Faithful
S : ShortComplex C
hS : kernel.ι (F.map S.g) ≫ cokernel.π (F.map S.f) = 0

⊢ kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Abelian C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : F.Faithful
S : ShortComplex C
hS : kernel.ι (F.map S.g) ≫ cokernel.π (F.map S.f) = 0

⊢ F.map (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Abelian C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : F.Faithful
S : ShortComplex C
hS : kernel.ι (F.map S.g) ≫ cokernel.π (F.map S.f) = 0
k : F.obj (kernel S.g) ⟶ kernel (F.map S.g)
hk : k ≫ kernel.ι (F.map S.g) = F.map (kernel.ι S.g)

⊢ F.map (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Abelian C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : F.Faithful
S : ShortComplex C
hS : kernel.ι (F.map S.g) ≫ cokernel.π (F.map S.f) = 0
k : F.obj (kernel S.g) ⟶ kernel (F.map S.g)
hk : k ≫ kernel.ι (F.map S.g) = F.map (kernel.ι S.g)
l : cokernel (F.map S.f) ⟶ F.obj (cokernel S.f)
hl : cokernel.π (F.map S.f) ≫ l = F.map (cokernel.π S.f)

⊢ F.map (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α
n : ℕ

⊢ ⌈a + ↑n⌉ = ⌈a⌉ + ↑n
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
h : t.Valid

⊢ (Ordnode.insert x t).Valid
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
h : t.Valid

⊢ (insertWith (fun x_1 => x) x t).Valid
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ

⊢ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p) = ⟨p, hp⟩
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
h : v +ᵥ p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ

⊢ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p) = ⟨p, hp⟩
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
h : p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ

⊢ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p) = ⟨p, hp⟩
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
h : p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ

⊢ ⟨p, hp⟩ -ᵥ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p) = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
h : p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ

⊢ ↑(⟨p, hp⟩ -ᵥ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) = ↑0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P
hp : p ∈ s
v : V
hv : v ∈ s.directionᗮ
h : p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.directionᗮ

⊢ ↑(⟨p, hp⟩ -ᵥ (orthogonalProjection s) (v +ᵥ p)) ∈ s.direction
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
s : Set α

⊢ Disjoint s (mulSupport f) ↔ EqOn f 1 s
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r L : List (List α)
l' : List α
this : (∃ a, a ∈ L ∧ ∃ l₁ l₂, ¬l₂ = [] ∧ a = l₁ ++ l₂ ∧ l' = l₁ ++ t :: (l₂ ++ ts)) ↔ ∃ l₁ l₂, ¬l₂ = [] ∧ l₁ ++ l₂ ∈ L ∧ l' = l₁ ++ t :: (l₂ ++ ts)

⊢ l' ∈ foldr (fun y r => (permutationsAux2 t ts r y id).2) r L ↔ l' ∈ r ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ L ∧ l₂ ≠ [] ∧ l' = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r L : List (List α)
l' : List α
this : (∃ a, a ∈ L ∧ ∃ l₁ l₂, ¬l₂ = [] ∧ a = l₁ ++ l₂ ∧ l' = l₁ ++ t :: (l₂ ++ ts)) ↔ ∃ l₁ l₂, ¬l₂ = [] ∧ l₁ ++ l₂ ∈ L ∧ l' = l₁ ++ t :: (l₂ ++ ts)

⊢ l' ∈ (L.bind fun y => (permutationsAux2 t ts [] y id).2) ++ r ↔ l' ∈ r ∨ ∃ l₁ l₂, l₁ ++ l₂ ∈ L ∧ l₂ ≠ [] ∧ l' = l₁ ++ t :: l₂ ++ ts
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X

⊢ SeparatedNhds s t ↔ Disjoint (𝓝ˢ s) (𝓝ˢ t)
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f g : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
h1 : g.Separable
m : ℕ
h2 : (expand F (q ^ m)) g = f

⊢ f.natSepDegree = g.natDegree
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F

⊢ StronglyMeasurable fun x => derivWithin f (Ici x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F

⊢ IsSeparable (range fun x => derivWithin f (Ici x) x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t

⊢ IsSeparable (range fun x => derivWithin f (Ici x) x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t

⊢ (range fun x => derivWithin f (Ici x) x) ⊆ closure ↑(Submodule.span ℝ (f '' t))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t
x : ℝ

⊢ (fun x => derivWithin f (Ici x) x) x ∈ closure ↑(Submodule.span ℝ (f '' t))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t
x : ℝ

⊢ (range fun y => derivWithin f (Ici x) y) ⊆ closure ↑(Submodule.span ℝ (f '' t))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
F : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
inst✝ : CompleteSpace F
this✝¹ : MeasurableSpace F := borel F
this✝ : BorelSpace F
t : Set ℝ
t_count : t.Countable
ht : Dense t
x : ℝ

⊢ Ici x ⊆ closure (Ici x ∩ t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x : E × F
hx : x ∈ g

⊢ x ∈ g.toLinearPMap.graph
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x : E × F
hx : x ∈ g

⊢ ∃ y, ↑y = x.1 ∧ ↑g.toLinearPMap y = x.2
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x_fst : E
x_snd : F
hx : (x_fst, x_snd) ∈ g

⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑g.toLinearPMap y = (x_fst, x_snd).2
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x_fst : E
x_snd : F
hx : (x_fst, x_snd) ∈ g
hx_fst : x_fst ∈ map (LinearMap.fst R E F) g

⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑g.toLinearPMap y = (x_fst, x_snd).2
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x_fst : E
x_snd : F
hx : (x_fst, x_snd) ∈ g
hx_fst : x_fst ∈ map (LinearMap.fst R E F) g

⊢ ↑g.toLinearPMap ⟨x_fst, hx_fst⟩ = (x_fst, x_snd).2
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
g : Submodule R (E × F)
hg : ∀ x ∈ g, x.1 = 0 → x.2 = 0
x_fst : E
x_snd : F
hx : (x_fst, x_snd) ∈ g
hx_fst : x_fst ∈ map (LinearMap.fst R E F) g

⊢ valFromGraph hg ⋯ = (x_fst, x_snd).2
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀✝
M₀ : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero M₀
x : M₀

⊢ x ∈ nonZeroDivisorsLeft M₀ ↔ x ∈ nonZeroDivisorsRight M₀
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

⊢ toIocMod hp a (m • p + b) = toIocMod hp a b
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
M' : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : LieRingModule L M'
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M'

⊢ e.range = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
M' : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : LieRingModule L M'
e : M ≃ₗ⁅R,L⁆ M'

⊢ Function.Surjective ⇑e.toLieModuleHom
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
μ : Measure G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
h2K : (interior K).Nonempty
hμK : μ K ≠ ⊤

⊢ μ.Regular