ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p μ → Memℒp g p μ → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f p μ → P f → P g
this✝ : ∀ (f : α →ₛ E), Memℒp (↑f) p μ → P ↑f
this : ∀ (f : ↥(Lp.simpleFunc E p μ)), P ↑↑↑f

⊢ ∀ ⦃f : α → E⦄, Memℒp f p μ → P f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : α → E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
_i : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h_ind : ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Memℒp f p μ → Memℒp g p μ → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → E⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f p μ → P f → P g
this✝¹ : ∀ (f : α →ₛ E), Memℒp (↑f) p μ → P ↑f
this✝ : ∀ (f : ↥(Lp.simpleFunc E p μ)), P ↑↑↑f
this : ∀ (f : ↥(Lp E p μ)), P ↑↑f

⊢ ∀ ⦃f : α → E⦄, Memℒp f p μ → P f
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/AE.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : t =ᶠ[ae μ] ∅

⊢ s ∩ t =ᶠ[ae μ] ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/AE.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
h : t =ᶠ[ae μ] ∅

⊢ ∅ = s ∩ ∅
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α

⊢ s.val = {a} ↔ s = {a}
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α

⊢ s.val = {a} ↔ s.val = {a}.val
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)

⊢ (algebraMap K F) ((norm K) (AdjoinSimple.gen K x)) = ((minpoly K x).aroots F).prod
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
injKxL : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥K⟮x⟯) L)

⊢ (algebraMap K F) ((norm K) (AdjoinSimple.gen K x)) = ((minpoly K x).aroots F).prod
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
injKxL : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥K⟮x⟯) L)
hx : IsIntegral K x

⊢ (algebraMap K F) ((norm K) (AdjoinSimple.gen K x)) = ((minpoly K x).aroots F).prod
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
injKxL : Function.Injective ⇑(algebraMap (↥K⟮x⟯) L)
hx : IsIntegral K x

⊢ Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
inst✝ : M.RkPos
hB : M.Base B

⊢ B.Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
inst✝ : M.RkPos
hB : M.Base B

⊢ B ≠ ∅
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B₁ B₂ : Set α
inst✝ : M.RkPos
hB : M.Base ∅

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝² : DecidableEq α
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α
f : Perm α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x
l : { l // l.prod = f.subtypePerm h₁ ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap } := (f.subtypePerm h₁).truncSwapFactors.out

⊢ sign (f.subtypePerm h₁) = sign f
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝² : DecidableEq α
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α
f : Perm α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x
l : { l // l.prod = f.subtypePerm h₁ ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap } := (f.subtypePerm h₁).truncSwapFactors.out
hl' : ∀ g' ∈ List.map ⇑ofSubtype ↑l, g'.IsSwap

⊢ sign (f.subtypePerm h₁) = sign f
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝² : DecidableEq α
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α
f : Perm α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x
l : { l // l.prod = f.subtypePerm h₁ ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap } := (f.subtypePerm h₁).truncSwapFactors.out
hl' : ∀ g' ∈ List.map ⇑ofSubtype ↑l, g'.IsSwap
hl'₂ : (List.map ⇑ofSubtype ↑l).prod = f

⊢ sign (f.subtypePerm h₁) = sign f
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝² : DecidableEq α
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α
f : Perm α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x
l : { l // l.prod = f.subtypePerm h₁ ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap } := (f.subtypePerm h₁).truncSwapFactors.out
hl' : ∀ g' ∈ List.map ⇑ofSubtype ↑l, g'.IsSwap
hl'₂ : (List.map ⇑ofSubtype ↑l).prod = f

⊢ sign (↑l).prod = sign f
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝² : DecidableEq α
β : Type v
inst✝¹ : Fintype α
f : Perm α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h₁ : ∀ (x : α), p x ↔ p (f x)
h₂ : ∀ (x : α), f x ≠ x → p x
l : { l // l.prod = f.subtypePerm h₁ ∧ ∀ g ∈ l, g.IsSwap } := (f.subtypePerm h₁).truncSwapFactors.out
hl' : ∀ g' ∈ List.map ⇑ofSubtype ↑l, g'.IsSwap
hl'₂ : (List.map ⇑ofSubtype ↑l).prod = f

⊢ sign (↑l).prod = sign (List.map ⇑ofSubtype ↑l).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
g : β → M
e : α → β
he₀ : Bijective e
he₁ : ∀ (x : α), f x = g (e x)

⊢ ∏ᶠ (i : α), f i = ∏ᶠ (j : β), g j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
g : β → M
e : α → β
he₀ : Bijective e
he₁ : ∀ (x : α), f x = g (e x)

⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ univ), f i = ∏ᶠ (i : β) (_ : i ∈ univ), g i
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤

⊢ ⟪indicatorConstLp 2 hs hμs c, f⟫_𝕜 = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤

⊢ ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ + ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ

⊢ ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ + ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
s : Set α
f : ↥(Lp E 2 μ)
hs : MeasurableSet s
c : E
hμs : μ s ≠ ⊤
h_left : ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
h_right : ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = 0

⊢ ∫ (x : α) in s, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ + ∫ (x : α) in sᶜ, ⟪↑↑(indicatorConstLp 2 hs hμs c) x, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (x : α) in s, ⟪c, ↑↑f x⟫_𝕜 ∂μ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V

⊢ G.degree v < Fintype.card V
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y

⊢ IsOpen (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y

⊢ ∀ x ∈ f ⁻¹' s, f ⁻¹' s ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b

⊢ f ⁻¹' s ∈ 𝓝 a
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b

⊢ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x} ⊆ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
x : X
hx : x ∈ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x}

⊢ x ∈ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
x : X
hx : x ∈ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x}
this : f x = f a

⊢ x ∈ f ⁻¹' s
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
h : ∀ (x : X), (↑f).IsConstant
s : Set Y
a : X
ha : a ∈ f ⁻¹' s
b : Y
hb : f =ᶠ[𝓝 a] fun x => b
x : X
hx : x ∈ {x | (fun x => f x = (fun x => b) x) x}
this : f x = f a

⊢ f a ∈ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m

⊢ VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i

⊢ VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G

⊢ VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)

⊢ VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G

⊢ VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)

⊢ VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
en_mem_range : en ∈ range (rTensor N (ker G).subtype)

⊢ VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
kn : ↥(ker G) ⊗[R] N
hkn : (rTensor N (ker G).subtype) kn = en

⊢ VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
ma : Finset (↥(ker G) × N)
hkn : (rTensor N (ker G).subtype) (∑ kj ∈ ma, kj.1 ⊗ₜ[R] kj.2) = en

⊢ VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
ma : Finset (↥(ker G) × N)
hkn : (rTensor N (ker G).subtype) (∑ kj ∈ ma, kj.1 ⊗ₜ[R] kj.2) = en

⊢ ∃ a y, (∀ (i : ι), n i = ∑ j : { x // x ∈ ma }, a i j • y j) ∧ ∀ (j : { x // x ∈ ma }), ∑ i : ι, a i j • m i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
ma : Finset (↥(ker G) × N)
hkn : (rTensor N (ker G).subtype) (∑ kj ∈ ma, kj.1 ⊗ₜ[R] kj.2) = en

⊢ ∃ y, (∀ (i : ι), n i = ∑ j : { x // x ∈ ma }, (match j with | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) • y j) ∧ ∀ (j : { x // x ∈ ma }), ∑ i : ι, (match j with | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) • m i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : span R (Set.range m) = ⊤
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
G : (ι →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total ι M R m
hG : G = Finsupp.total ι M R m
G_basis_eq : ∀ (i : ι), G (Finsupp.single i 1) = m i
G_surjective : Surjective ⇑G
en : (ι →₀ R) ⊗[R] N := ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
hen : en = ∑ i : ι, Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n i
en_mem_ker : en ∈ ker (rTensor N G)
exact_ker_subtype : Exact ⇑(ker G).subtype ⇑G
exact_rTensor_ker_subtype : Exact ⇑(rTensor N (ker G).subtype) ⇑(rTensor N G)
ma : Finset (↥(ker G) × N)
hkn : (rTensor N (ker G).subtype) (∑ kj ∈ ma, kj.1 ⊗ₜ[R] kj.2) = en

⊢ (∀ (i : ι), n i = ∑ j : { x // x ∈ ma }, (match j with | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) • match j with | ⟨(fst, yj), property⟩ => yj) ∧ ∀ (j : { x // x ∈ ma }), ∑ i : ι, (match j with | ⟨(kj, snd), property⟩ => ↑kj i) • m i = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
inst✝ : Nonempty β
a b : α

⊢ (dist (fun x => a) fun x => b) = dist a b
-- Mathlib/Algebra/Group/Fin/Basic.lean
m n✝ n : ℕ

⊢ -↑n = 1
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
t : ¬p → Set α
x : α

⊢ (x ∈ if h : p then ∅ else t h) ↔ ∃ (h : ¬p), x ∈ t h
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u : Set α
p : Prop
inst✝ : Decidable p
t : ¬p → Set α
x : α

⊢ (¬p ∧ ∀ (h : ¬p), x ∈ t h) ↔ ∃ (h : ¬p), x ∈ t h
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
a b : ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q

⊢ a * b ≤ a ^ p / p.toNNReal + b ^ q / q.toNNReal
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝³ : One M
inst✝² : One N
inst✝¹ : One P
inst✝ : DecidableEq α
f : α → M
x a : α

⊢ a ∈ mulSupport (update f x 1) ↔ a ∈ mulSupport f \ {x}
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ℕ
hkmn : m * (k + 1) ≤ n

⊢ IsAddFreimanIso m (Iio ↑(k + 1)) (Iio (k + 1)) val
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ℕ
hkmn : m * (k + 1) ≤ n
hkmn' : m * k ≤ n

⊢ IsAddFreimanIso m (Iio ↑(k + 1)) (Iio (k + 1)) val
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ℕ
hkmn : m * (k + 1) ≤ n
hkmn' : m * k ≤ n
x : Fin (n + 1)

⊢ x ∈ Iio ↑(k + 1) ↔ x ∈ Iic ↑k
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m n : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ℕ
hkmn : m * (k + 1) ≤ n
hkmn' : m * k ≤ n
x : ℕ

⊢ x ∈ Iio (k + 1) ↔ x ∈ Iic k
-- Mathlib/Algebra/Group/AddChar.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommMonoid M
ψ : AddChar R M
x✝ : R

⊢ (ψ.mulShift 0) x✝ = 1 x✝
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
x : H
x✝ : x ∈ s

⊢ 0 ≤ ⟪x, 0⟫_ℝ
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.37256, u_1} C
P : Karoubi C

⊢ P.p = P.p ≫ P.p ≫ { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ }.p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Rat.lean
m : ℤ

⊢ ‖↑m‖ = ‖m‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Rat.lean
m : ℤ

⊢ ‖↑↑m‖ = ‖↑m‖
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
x : ℕ × ℕ

⊢ x ∈ n.divisorsAntidiagonal ↔ x.1 * x.2 = n ∧ n ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
x : ℕ × ℕ

⊢ ((1 ≤ x.1 ∧ x.1 < n + 1) ∧ 1 ≤ x.2 ∧ x.2 < n + 1) ∧ x.1 * x.2 = n ↔ x.1 * x.2 = n ∧ ¬n = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
x : ℕ × ℕ

⊢ x.1 * x.2 = n ∧ (1 ≤ x.1 ∧ x.1 < n + 1) ∧ 1 ≤ x.2 ∧ x.2 < n + 1 ↔ x.1 * x.2 = n ∧ ¬n = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
x : ℕ × ℕ

⊢ x.1 * x.2 = n → ((1 ≤ x.1 ∧ x.1 < n + 1) ∧ 1 ≤ x.2 ∧ x.2 < n + 1 ↔ ¬n = 0)