ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Algebra R α
r : R

⊢ { toFun := fun M => MulOpposite.op Mᵀ, invFun := __src✝¹.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ((algebraMap R (Matrix m m α)) r) = (algebraMap R (Matrix m m α)ᵐᵒᵖ) r
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
h : a ∉ s

⊢ (insert a s).erase a = s
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a

⊢ a - b < a ↔ 0 < a ∧ 0 < b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
h : a - b < a

⊢ 0 ≠ b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a c d : α
ha : AddLECancellable a
h : a - 0 < a

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a c d : α
ha : AddLECancellable a
h : a < a

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ≤ ‖x‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ≤ √(re ⟪x, x⟫_𝕜) * √(re ⟪y, y⟫_𝕜)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
this : InnerProductSpace.Core 𝕜 E := InnerProductSpace.toCore

⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ ≤ √(re ⟪x, x⟫_𝕜) * √(re ⟪y, y⟫_𝕜)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
i : ℕ

⊢ ↑((restriction 1).coeff i) = ↑(coeff 1 i)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
i : ℕ

⊢ (if i = 0 then 1 else 0) = ↑(if i = 0 then 1 else 0)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K

⊢ IsUnit x ↔ |↑((RingOfIntegers.norm ℚ) x)| = 1
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K

⊢ |↑((RingOfIntegers.norm ℚ) x)| = 1 ↔ IsUnit ((RingOfIntegers.norm ℚ) x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)

⊢ Submodule.map (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv) (traceDual A (FractionRing A) I) = (Submodule.map (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv) I)ᵛ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)

⊢ comap (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv.symm) (traceDual A (FractionRing A) I) = (comap (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv.symm) I)ᵛ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L

⊢ x ∈ comap (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv.symm) (traceDual A (FractionRing A) I) ↔ x ∈ (comap (↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv.symm) I)ᵛ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L

⊢ (FractionRing.algEquiv B L).symm x ∈ ((traceForm (FractionRing A) (FractionRing B)).dualSubmodule (restrictScalars A I)).toAddSubmonoid ↔ x ∈ ((traceForm K L).dualSubmodule (restrictScalars A (comap (FractionRing.algEquiv B L).symm.toLinearMap I))).toAddSubmonoid
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L

⊢ ∀ (a : FractionRing B), a ∈ restrictScalars A I → ((traceForm (FractionRing A) (FractionRing B)) ((FractionRing.algEquiv B L).symm x)) a ∈ 1 ↔ (FractionRing.algEquiv B L).toEquiv a ∈ restrictScalars A (comap (FractionRing.algEquiv B L).symm.toLinearMap I) → ((traceForm K L) x) ((FractionRing.algEquiv B L).toEquiv a) ∈ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L

⊢ ∀ (a : FractionRing B), a ∈ I → (Algebra.trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((FractionRing.algEquiv B L).symm x * a) ∈ 1 ↔ a ∈ I → (Algebra.trace K L) (x * (FractionRing.algEquiv B L) a) ∈ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
y : FractionRing B
hy : y ∈ I

⊢ (Algebra.trace (FractionRing A) (FractionRing B)) ((FractionRing.algEquiv B L).symm x * y) ∈ 1 ↔ (Algebra.trace K L) (x * (FractionRing.algEquiv B L) y) ∈ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
y : FractionRing B
hy : y ∈ I

⊢ (FractionRing.algEquiv A K).toRingEquiv.symm ((Algebra.trace K L) ((FractionRing.algEquiv B L).toRingEquiv ((FractionRing.algEquiv B L).symm x * y))) ∈ 1 ↔ (Algebra.trace K L) (x * (FractionRing.algEquiv B L) y) ∈ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
I : Submodule B (FractionRing B)
x : L
y : FractionRing B
hy : y ∈ I

⊢ (algebraMap K L).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).toRingEquiv).comp (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C

⊢ X ◁ (ρ_ Y).hom = (α_ X Y (𝟙_ C)).inv ≫ (ρ_ (X ⊗ Y)).hom
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n % 2 = 1

⊢ 2 * (n / 2) = n - 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
X Y : J
f : X ⟶ Y

⊢ (D.map f).f ≫ c.ι.app Y = c.ι.app X ≫ 𝟙 c.pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cocone (D ⋙ T.forget)
t : IsColimit c
X Y : J
f : X ⟶ Y

⊢ c.ι.app X = c.ι.app X ≫ 𝟙 c.pt
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n a✝ p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
h : a ≠ 0

⊢ a * a⁻¹ = 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n a p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
h : ↑k ≠ 0

⊢ ↑k * (↑k)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n a p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
h : ↑k ≠ 0

⊢ k.Coprime p
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n a p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
k : ℕ
h : ↑k ≠ 0

⊢ p.Coprime k
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x : PGame
h : x ≈ 0

⊢ x⁻¹ = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h : Mono (opcyclesMap φ)

⊢ Mono (homologyMap φ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h : Mono (opcyclesMap φ)
this : Mono (homologyMap φ ≫ S₂.homologyι)

⊢ Mono (homologyMap φ)
-- Mathlib/Algebra/Ring/InjSurj.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹³ : Zero β
inst✝¹² : One β
inst✝¹¹ : Add β
inst✝¹⁰ : Mul β
inst✝⁹ : Neg β
inst✝⁸ : Sub β
inst✝⁷ : SMul ℕ β
inst✝⁶ : SMul ℤ β
inst✝⁵ : Pow β ℕ
inst✝⁴ : NatCast β
inst✝³ : IntCast β
f : α → β
hf : Surjective f
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : Add α
inst✝ : LeftDistribClass α
add : ∀ (x y : α), f (x + y) = f x + f y
mul : ∀ (x y : α), f (x * y) = f x * f y
x y z : α

⊢ f x * (f y + f z) = f x * f y + f x * f z
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
x y z : R
inst✝ : IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
h : IsRelPrime x y

⊢ IsCoprime x y
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : CommRing R
x y z : R
inst✝ : IsPrincipal (Ideal.span {x, y})
h : IsRelPrime x y

⊢ IsUnit (gcd x y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ

⊢ arg 0 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
a : ℤ√d

⊢ a.norm = 1 ↔ a ∈ unitary (ℤ√d)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
R : Type
inst✝ : CommRing R
d : ℤ
a : ℤ√d

⊢ a.norm = 1 ↔ ↑a.norm = 1
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I J X Y : Set α
M : Matroid α
R : Set α

⊢ M ↾ R ↾ R = M ↾ R
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
h's : IsSeparable s
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β

⊢ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
h's : IsSeparable s
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β

⊢ AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ∈ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
h's : IsSeparable s
this : PseudoMetricSpace α := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric α
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ∈ f '' s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R

⊢ M * (toMatrix₂ b₁ b₂) B = (toMatrix₂ b₁' b₂) (B ∘ₗ (toLin b₁' b₁) Mᵀ)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
s : Multiset L
hs : map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
hf0 : ¬f = 0
p : L[X]
hp : Irreducible p
hdp : p ∣ map i f

⊢ p.degree = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
s : Multiset L
hs : map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
hf0 : ¬f = 0
p : L[X]
hp : Prime p
hdp : p ∣ map i f

⊢ p.degree = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
s : Multiset L
hs : map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
hf0 : ¬f = 0
p : L[X]
hp : Prime p
hdp : p ∣ C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).toList.prod

⊢ p.degree = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
s : Multiset L
hs : map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
hf0 : ¬f = 0
p : L[X]
hp : Prime p
hdp : p ∣ C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).toList.prod
hd : p ∣ C (i f.leadingCoeff)

⊢ p.degree = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
s : Multiset L
hs : map i f = C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
this : DecidableEq K := Classical.decEq K
hf0 : ¬f = 0
p : L[X]
hp : Prime p
hdp : p ∣ C (i f.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) s).toList.prod
hd : p ∣ (Multiset.map (fun a => X - C a) s).toList.prod

⊢ p.degree = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Derived/RightDerived.lean
C : Type u_1
C' : Type ?u.94612
D : Type u_2
D' : Type ?u.94618
H : Type u_3
H' : Type ?u.94624
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.94632, ?u.94612} C'
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁴ : Category.{?u.94640, ?u.94618} D'
inst✝³ : Category.{u_6, u_3} H
inst✝² : Category.{?u.94648, ?u.94624} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : RF.IsRightDerivedFunctor α W

⊢ F.HasRightDerivedFunctor W
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Derived/RightDerived.lean
C : Type u_1
C' : Type ?u.94612
D : Type u_2
D' : Type ?u.94618
H : Type u_3
H' : Type ?u.94624
inst✝⁷ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.94632, ?u.94612} C'
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁴ : Category.{?u.94640, ?u.94618} D'
inst✝³ : Category.{u_6, u_3} H
inst✝² : Category.{?u.94648, ?u.94624} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : RF.IsRightDerivedFunctor α W
this : RF.IsLeftKanExtension α

⊢ F.HasRightDerivedFunctor W
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G

⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), map ϕ.toMonoidHom H ≤ H
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G

⊢ H.Characteristic ↔ ∀ (ϕ : G ≃* G), comap ϕ.symm.toMonoidHom H ≤ H
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x y : PartENat
h : x < y + 1

⊢ x ≤ y
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x : PartENat
h : x < ⊤ + 1

⊢ x ≤ ⊤
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x : PartENat
n : ℕ
h : x < ↑n + 1

⊢ x ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
n m : ℕ
h : ↑m < ↑n + 1

⊢ ↑m ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
n m : ℕ
h : ↑m < ↑n + 1

⊢ m ≤ n
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
n m : ℕ
h : ↑m < ↑n + 1

⊢ m < n.succ
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
l : List α
a : α
al : a ∈ l
pa : p a = true

⊢ (eraseP p l).length + 1 = l.length
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Bool
l : List α
a : α
al : a ∈ l
pa : p a = true
w✝ : α
l₁ l₂ : List α
left✝¹ : ∀ (b : α), b ∈ l₁ → ¬p b = true
left✝ : p w✝ = true
h₁ : l = l₁ ++ w✝ :: l₂
h₂ : eraseP p l = l₁ ++ l₂

⊢ (eraseP p l).length + 1 = l.length
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ : List α
p : α → Bool
l : List α
a : α
al : a ∈ l
pa : p a = true
w✝ : α
l₁ l₂ : List α
left✝¹ : ∀ (b : α), b ∈ l₁ → ¬p b = true
left✝ : p w✝ = true
h₁ : l = l₁ ++ w✝ :: l₂
h₂ : eraseP p l = l₁ ++ l₂

⊢ l₁.length + l₂.length + 1 = l₁.length + (w✝ :: l₂).length
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ rexp (x - y) = rexp x / rexp y
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R

⊢ order 1 = 0
-- Mathlib/Data/Bool/Count.lean
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool

⊢ l.length - 1 ≤ 2 * count b l
-- Mathlib/Data/Bool/Count.lean
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool

⊢ l.length - 1 ≤ if Even l.length then l.length else if (some b == l.head?) = true then l.length + 1 else l.length - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
h : J(a | p) = -1
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x ^ 2 - a * y ^ 2

⊢ ↑p ∣ x ∧ ↑p ∣ y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q

⊢ (M.whiskerLeft g ≫ whiskerRight f Q).hom = (whiskerRight f P ≫ N.whiskerLeft g).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q

⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) ≫ (M.whiskerLeft g ≫ whiskerRight f Q).hom = coequalizer.π (M.actRight ▷ P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ M.X ◁ P.actLeft) ≫ (whiskerRight f P ≫ N.whiskerLeft g).hom