ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℤ
a b : ZMod p
hx : ↑a.valMinAbs ^ 2 + ↑b.valMinAbs ^ 2 = ↑x

⊢ ↑a.valMinAbs.natAbs ^ 2 + ↑b.valMinAbs.natAbs ^ 2 ≡ x [ZMOD ↑p]
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℤ
a b : ZMod p
hx : ↑a.valMinAbs ^ 2 + ↑b.valMinAbs ^ 2 = ↑x

⊢ |a.valMinAbs| ^ 2 + |b.valMinAbs| ^ 2 ≡ x [ZMOD ↑p]
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Prime p)
x : ℤ
a b : ZMod p
hx : ↑a.valMinAbs ^ 2 + ↑b.valMinAbs ^ 2 = ↑x

⊢ ↑(a.valMinAbs ^ 2 + b.valMinAbs ^ 2) = ↑x
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
g : G
h : g ∈ H.normalizer
n : G

⊢ n * g ∈ H ↔ g * n ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
g : G
h : ∀ (n : G), n * g ∈ H ↔ g * n ∈ H
n : G

⊢ n ∈ H ↔ g * n * g⁻¹ ∈ H
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C

⊢ S.Exact ↔ imageSubobject S.f = kernelSubobject S.g
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C

⊢ IsIso (imageToKernel S.f S.g ⋯) ↔ imageSubobject S.f = kernelSubobject S.g
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
hdeg : 1 < f.natDegree

⊢ h.basis ⟨1, hdeg⟩ = h.root
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_lt_one : b < 1
hy : 0 < y

⊢ x < logb b y ↔ y < b ^ x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f ≠ 0
c : ℕ := f.support.card
hc : c = f.support.card
h₁ : c = 0

⊢ f.eraseLead.support.card + 1 = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f ≠ 0
c : ℕ := f.support.card
hc : c = f.support.card
n✝ : ℕ
h₁ : c = n✝ + 1

⊢ f.eraseLead.support.card + 1 = n✝ + 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
x : E

⊢ cthickening ε (Metric.closedBall x δ) = Metric.closedBall x (ε + δ)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
p₁ p₂ x : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : 0 ≤ t

⊢ SameRay R (t • (x -ᵥ p₁) +ᵥ p₂ -ᵥ p₂) (x -ᵥ p₁)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
p₁ p₂ x : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
t : R
ht : 0 ≤ t

⊢ SameRay R (t • (x -ᵥ p₁)) (x -ᵥ p₁)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
p✝ : ?m.46544
u v : V
H : SimpleGraph V
p : G.Walk u v
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∈ H.edgeSet
pp : p.IsPath

⊢ (p.transfer H hp).IsPath
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l : List α
h : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l

⊢ l.reverse.prev x ⋯ = l.next x hx
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.nthLe k hk ∈ l

⊢ l.reverse.prev (l.nthLe k hk) ⋯ = l.next (l.nthLe k hk) hx
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.nthLe k hk ∈ l
lpos : 0 < l.length

⊢ l.reverse.prev (l.nthLe k hk) ⋯ = l.next (l.nthLe k hk) hx
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.nthLe k hk ∈ l
lpos : 0 < l.length
key : l.length - 1 - k < l.length

⊢ l.reverse.prev (l.nthLe k hk) ⋯ = l.next (l.nthLe k hk) hx
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.nthLe k hk ∈ l
lpos : 0 < l.length
key : l.length - 1 - k < l.length

⊢ l.reverse.prev (l.nthLe k hk) ⋯ = (pmap l.next l ⋯).nthLe k ⋯
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.nthLe k hk ∈ l
lpos : 0 < l.length
key : l.length - 1 - k < l.length

⊢ l.reverse.prev (l.reverse.nthLe (l.length - 1 - k) ⋯) ⋯ = (l.rotate 1).nthLe k ⋯
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.nthLe k hk ∈ l
lpos : 0 < l.length
key : l.length - 1 - k < l.length

⊢ (pmap l.reverse.prev l.reverse ⋯).nthLe (l.length - 1 - k) ?intro.intro = (l.rotate 1).nthLe k ⋯
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
k : ℕ
hk : k < l.length
hx : l.nthLe k hk ∈ l
lpos : 0 < l.length
key : l.length - 1 - k < l.length

⊢ l.length - 1 - k < (pmap l.reverse.prev l.reverse ⋯).length
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Injective ⇑(rTensor N (span R (Set.range m)).subtype)
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0

⊢ VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Injective ⇑(rTensor N (span R (Set.range m)).subtype)
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
mem_M' : ∀ (i : ι), m i ∈ span R (Set.range m)

⊢ VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Injective ⇑(rTensor N (span R (Set.range m)).subtype)
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
mem_M' : ∀ (i : ι), m i ∈ span R (Set.range m)
m' : ι → ↥(span R (Set.range m)) := Subtype.coind m mem_M'
m'_eq : m' = Subtype.coind m mem_M'

⊢ VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Injective ⇑(rTensor N (span R (Set.range m)).subtype)
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
mem_M' : ∀ (i : ι), m i ∈ span R (Set.range m)
m' : ι → ↥(span R (Set.range m)) := Subtype.coind m mem_M'
m'_eq : m' = Subtype.coind m mem_M'
hm' : span R (Set.range m') = ⊤

⊢ VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Injective ⇑(rTensor N (span R (Set.range m)).subtype)
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
mem_M' : ∀ (i : ι), m i ∈ span R (Set.range m)
m' : ι → ↥(span R (Set.range m)) := Subtype.coind m mem_M'
m'_eq : m' = Subtype.coind m mem_M'
hm' : span R (Set.range m') = ⊤
hm'n : ∑ i : ι, m' i ⊗ₜ[R] n i = 0

⊢ VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Injective ⇑(rTensor N (span R (Set.range m)).subtype)
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
mem_M' : ∀ (i : ι), m i ∈ span R (Set.range m)
m' : ι → ↥(span R (Set.range m)) := Subtype.coind m mem_M'
m'_eq : m' = Subtype.coind m mem_M'
hm' : span R (Set.range m') = ⊤
hm'n : ∑ i : ι, m' i ⊗ₜ[R] n i = 0
this : VanishesTrivially R m' n

⊢ VanishesTrivially R m n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Injective ⇑(rTensor N (span R (Set.range m)).subtype)
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
mem_M' : ∀ (i : ι), m i ∈ span R (Set.range m)
m' : ι → ↥(span R (Set.range m)) := Subtype.coind m mem_M'
m'_eq : m' = Subtype.coind m mem_M'
hm' : span R (Set.range m') = ⊤
hm'n : ∑ i : ι, m' i ⊗ₜ[R] n i = 0
this : ∃ κ x a y, (∀ (i : ι), n i = ∑ j : κ, a i j • y j) ∧ ∀ (j : κ), ∑ i : ι, a i j • m' i = 0
κ : Type u
x✝ : Fintype κ
a : ι → κ → R
y : κ → N
j : κ

⊢ ∑ i : ι, a i j • m i = 0 ↔ ∑ i : ι, a i j • m' i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Vanishing.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
hm : Injective ⇑(rTensor N (span R (Set.range m)).subtype)
hmn : ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0
mem_M' : ∀ (i : ι), m i ∈ span R (Set.range m)
m' : ι → ↥(span R (Set.range m)) := Subtype.coind m mem_M'
m'_eq : m' = Subtype.coind m mem_M'
hm' : span R (Set.range m') = ⊤
hm'n : ∑ i : ι, m' i ⊗ₜ[R] n i = 0
this : ∃ κ x a y, (∀ (i : ι), n i = ∑ j : κ, a i j • y j) ∧ ∀ (j : κ), ∑ i : ι, a i j • m' i = 0
κ : Type u
x✝ : Fintype κ
a : ι → κ → R
y : κ → N
j : κ

⊢ ∑ i : ι, a i j • m i = (span R (Set.range m)).subtype (∑ i : ι, a i j • m' i)
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x y : List α
h : x <+: y
hl : x.length < y.length

⊢ x ++ [y.get ⟨x.length, hl⟩] <+: y
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x y : List α
h : x <+: y
hl : x.length < y.length

⊢ x ++ [y.get ⟨x.length, hl⟩] ++ drop (x.length + 1) y = y
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x y : List α
h : x <+: y
hl : x.length < y.length

⊢ take x.length y ++ [y.get ⟨x.length, hl⟩] ++ drop (x.length + 1) y = y
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x y : List α
h : x <+: y
hl : x.length < y.length

⊢ take x.length y ++ [y.get ⟨x.length, hl⟩] = take (x.length + 1) y
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x y : List α
h : x <+: y
hl : x.length < y.length

⊢ take x.length y ++ [y.get ⟨x.length, hl⟩] = take x.length y ++ [y[x.length]]
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
x y : List α
h : x <+: y
hl : x.length < y.length

⊢ x.length < y.length
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s✝ : Set E
a x y✝ : E
s t : Set E
hst : s ≤ t
y : E
c : ℕ → ℝ
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, a + d n ∈ s
hc : Tendsto c atTop atTop
hcd : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 y)

⊢ y ∈ (fun s => posTangentConeAt s a) t
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Defs.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
ι κ : Type w
inst✝¹ : Fintype ι
b : Basis ι R S
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι

⊢ (BilinForm.toMatrix b) (traceForm R S) i j = (trace R S) (b i * b j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : M

⊢ ιInv ((ι R) x) = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : M
this : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)

⊢ ιInv ((ι R) x) = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Add L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : AddHomClass F L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)
x y : L

⊢ μ (x + y) = μ x + μ y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Add L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : AddHomClass F L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)
x y : L
contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Add L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : AddHomClass F L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)
x y : L
contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y
g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Add L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : AddHomClass F L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)
x y : L
contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y
g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k
this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g y ⊓ g (x + y)

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Add L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : AddHomClass F L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)
x y : L
contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y
g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k
this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g y ⊓ g (x + y)

⊢ Disjoint (g x ⊓ g y) (g (x + y))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Add L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : AddHomClass F L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)
x y : L
contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y
g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k
this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g y ⊓ g (x + y)

⊢ Disjoint (⨆ k, ((f x + f y).genEigenspace (μ x + μ y)) k) (g (x + y))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors R M
L : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : Add L
inst✝¹ : FunLike F L (End R M)
inst✝ : AddHomClass F L (End R M)
f : F
μ : L → R
h_ne : ⨅ x, ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k ≠ ⊥
h : ∀ (x y : L), Commute (f x) (f y)
x y : L
contra : ¬μ (x + y) = μ x + μ y
g : L → Submodule R M := fun x => ⨆ k, ((f x).genEigenspace (μ x)) k
this : ⨅ x, g x ≤ g x ⊓ g y ⊓ g (x + y)

⊢ Disjoint (⨆ k, ((f x + f y).genEigenspace (μ x + μ y)) k) (⨆ k, ((f x + f y).genEigenspace (μ (x + y))) k)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
V₃ : Type u_5
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
g : NormedAddGroupHom V₂ V₃
x✝ : V₁

⊢ x✝ ∈ ker 0 ↔ x✝ ∈ ⊤
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Expand.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
p : ℕ
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R

⊢ (expand p) ((bind₁ f) φ) = (bind₁ fun i => (expand p) (f i)) φ
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
l : List α✝

⊢ Pairwise R l ↔ ∀ (i j : Fin l.length), i < j → R (l.get i) (l.get j)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
l : List α✝

⊢ (∀ (i j : Nat) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → R l[i] l[j]) ↔ ∀ (i j : Fin l.length), i < j → R (l.get i) (l.get j)
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p k : ℕ
hp : 2 ≤ p

⊢ ↑(sMod' (2 ^ p - 1) k) = sMod p k
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p k : ℕ
hp : 2 ≤ p
h1 : 4 ≤ 2 ^ p

⊢ ↑(sMod' (2 ^ p - 1) k) = sMod p k
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p k : ℕ
hp : 2 ≤ p
h1 : 4 ≤ 2 ^ p
h2 : 1 ≤ 2 ^ p

⊢ ↑(sMod' (2 ^ p - 1) k) = sMod p k
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : K

⊢ (mixedEmbedding K) x ∈ convexBodySum K B ↔ ∑ w : InfinitePlace K, ↑w.mult * ↑w x ≤ B
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : K

⊢ ∑ x_1 : InfinitePlace K, ↑x_1.mult * x_1 x ≤ B ↔ ∑ w : InfinitePlace K, ↑w.mult * ↑w x ≤ B
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A

⊢ a * star a ≤ (algebraMap ℝ A) (‖a‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A
this : a * star a ≤ (algebraMap ℝ A) ‖a * star a‖

⊢ a * star a ≤ (algebraMap ℝ A) (‖a‖ ^ 2)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.154709, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : HasPullbacks D
inst✝ : HasColimitsOfShape J D
F : J ⥤ C ⥤ D
c : Cocone F
hc : ∀ (x : C), IsVanKampenColimit (((evaluation C D).obj x).mapCocone c)
F' : J ⥤ C ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ c.pt
e : α ≫ c.ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α

⊢ Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f (c.ι.app j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁵ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.154709, u_1} K
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : HasPullbacks D
inst✝ : HasColimitsOfShape J D
F : J ⥤ C ⥤ D
c : Cocone F
hc : ∀ (x : C), IsVanKampenColimit (((evaluation C D).obj x).mapCocone c)
F' : J ⥤ C ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ c.pt
e : α ≫ c.ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
this : ∀ (x : C), Nonempty (IsColimit (((evaluation C D).obj x).mapCocone c')) ↔ ∀ (j : J), IsPullback ((((evaluation C D).obj x).mapCocone c').ι.app j) ((whiskerRight α ((evaluation C D).obj x)).app j) (((evaluation C D).obj x).map f) ((((evaluation C D).obj x).mapCocone c).ι.app j)

⊢ Nonempty (IsColimit c') ↔ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f (c.ι.app j)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Invertible.lean
α : Type u
inst✝² : Ring α
a b : α
inst✝¹ : Invertible a
inst✝ : Invertible b

⊢ ⅟a - ⅟b = ⅟a * (b - a) * ⅟b
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
f : CauSeq ℚ abs

⊢ mk (-f) = -mk f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
x : S
p q : R[X]
n : ℕ

⊢ eval₂ (algebraMap R S) x (p ^ n) = eval₂ (algebraMap R S) x p ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞

⊢ (⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral μ) + ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => g a), g_1.lintegral μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f a + g a), g_1.lintegral μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
f' : α →ₛ ℝ≥0∞
hf' : (fun h => ↑h ≤ f) f'
g' : α →ₛ ℝ≥0∞
hg' : (fun h => ↑h ≤ g) g'

⊢ f'.lintegral μ + g'.lintegral μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f a + g a), g_1.lintegral μ
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s t : Set α
a b : α
hs : s.Nonempty
hb : b < sSup s

⊢ ∃ a ∈ s, b < a
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s t : Set α
a b : α
hs : s.Nonempty
hb : ∀ a ∈ s, a ≤ b

⊢ sSup s ≤ b
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/HomEquiv.lean
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.27192, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_9, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_12, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_11, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_13, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{u_10, u_7} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
L₃ : C₃ ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W₃
X Y Z : C₁
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
G : D₁ ⥤ D₂ := Φ.localizedFunctor L₁ L₂
G' : D₂ ⥤ D₃ := Ψ.localizedFunctor L₂ L₃
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G := CatCommSq.iso Φ.functor L₁ L₂ G
e' : Ψ.functor ⋙ L₃ ≅ L₂ ⋙ G' := CatCommSq.iso Ψ.functor L₂ L₃ G'

⊢ Ψ.homMap L₂ L₃ (Φ.homMap L₁ L₂ f) = (Φ.comp Ψ).homMap L₁ L₃ f