ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) / ↑|↑n| ^ s / 2 + -I * ↑(-↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) / ↑|(-↑n)| ^ s / 2) (sinZeta (↑a) s + -I * ↑(Int.sign 0) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) / ↑|0| ^ s / 2)

⊢ HasSum (fun n => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (sinZeta (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s / 2 + -(-I * ↑(↑n).sign) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) / ↑n ^ s / 2) (sinZeta (↑a) s)

⊢ HasSum (fun n => ↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (sinZeta (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s / 2 + -(-I * ↑(↑n).sign) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) / ↑n ^ s / 2) (sinZeta (↑a) s)

⊢ HasSum (fun n => (cexp (-(2 * ↑π * ↑a * ↑n) * I) - cexp (2 * ↑π * ↑a * ↑n * I)) * I / 2 / ↑n ^ s) (sinZeta (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s / 2 + -(-I * ↑(↑n).sign) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) / ↑n ^ s / 2) (sinZeta (↑a) s)
n : ℕ

⊢ (cexp (-(2 * ↑π * ↑a * ↑n) * I) - cexp (2 * ↑π * ↑a * ↑n * I)) * I / 2 / ↑n ^ s = -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s / 2 + -(-I * ↑(↑n).sign) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) / ↑n ^ s / 2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s / 2 + -(-I * ↑(↑n).sign) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) / ↑n ^ s / 2) (sinZeta (↑a) s)
n : ℕ
h : n ≠ 0

⊢ (cexp (-(2 * ↑π * ↑a * ↑n) * I) - cexp (2 * ↑π * ↑a * ↑n * I)) * I / 2 / ↑n ^ s = -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s / 2 + -(-I * ↑(↑n).sign) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) / ↑n ^ s / 2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
this : HasSum (fun n => -I * ↑(↑n).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s / 2 + -(-I * ↑(↑n).sign) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n)) / ↑n ^ s / 2) (sinZeta (↑a) s)

⊢ (cexp (-(2 * ↑π * ↑a * ↑0) * I) - cexp (2 * ↑π * ↑a * ↑0 * I)) * I / 2 / ↑0 ^ s = -I * ↑(↑0).sign * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) / ↑0 ^ s / 2 + -(-I * ↑(↑0).sign) * cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑0)) / ↑0 ^ s / 2
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : StrictMono u

⊢ ∑' (k : ℕ), f k ≤ ∑ k ∈ range (u 0), f k + ∑' (k : ℕ), (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : StrictMono u

⊢ ⨆ i, ∑ a ∈ range (u i), f a ≤ ∑ k ∈ range (u 0), f k + ∑' (k : ℕ), (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : StrictMono u
n : ℕ

⊢ ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u k) ≤ ∑' (k : ℕ), (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : StrictMono u
n : ℕ
this : ∀ (k : ℕ), ↑(u (k + 1)) - ↑(u k) = ↑(u (k + 1) - u k)

⊢ ∑ k ∈ range n, (u (k + 1) - u k) • f (u k) ≤ ∑' (k : ℕ), (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : StrictMono u
n : ℕ
this : ∀ (k : ℕ), ↑(u (k + 1)) - ↑(u k) = ↑(u (k + 1) - u k)

⊢ ∑ x ∈ range n, ↑(u (x + 1) - u x) * f (u x) ≤ ∑' (k : ℕ), ↑(u (k + 1) - u k) * f (u k)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x✝ x : P

⊢ intrinsicFrontier 𝕜 {x} = ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝ : HasOuterApproxClosed Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ι → ProbabilityMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
E : Set Ω
E_nullbdry : μ (frontier E) = 0

⊢ Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝ : HasOuterApproxClosed Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ι → ProbabilityMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
E : Set Ω
E_nullbdry : μ (frontier E) = 0
E_nullbdry' : ↑μ (frontier E) = 0

⊢ Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
L : Filter ι
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝ : HasOuterApproxClosed Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
μs : ι → ProbabilityMeasure Ω
μs_lim : Tendsto μs L (𝓝 μ)
E : Set Ω
E_nullbdry : μ (frontier E) = 0
E_nullbdry' : ↑μ (frontier E) = 0
key : Tendsto (fun i => ↑(μs i) E) L (𝓝 (↑μ E))

⊢ Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/PerpBisector.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P

⊢ c ∈ perpBisector p₁ p₂ ↔ ⟪c -ᵥ p₁, p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = ⟪c -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/PerpBisector.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P

⊢ ⟪c -ᵥ p₁ + (c -ᵥ p₂), p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0 ↔ 2⁻¹ * ⟪c -ᵥ p₁ + (c -ᵥ p₂), p₂ -ᵥ p₁⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
s : Set α

⊢ IsBigOWith c (𝓟 s) f g ↔ ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : HasShift D ℤ
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : HasZeroObject D
inst✝⁹ : Preadditive C
inst✝⁸ : Preadditive D
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : F.IsTriangulated
inst✝¹ : (F.mapComposableArrows 2).EssSurj
inst✝ : IsTriangulated C
Y₁ Y₂ Y₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : D
u₁₂ : Y₁ ⟶ Y₂
u₂₃ : Y₂ ⟶ Y₃
u₁₃ : Y₁ ⟶ Y₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : Y₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : Y₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : Y₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
α : ComposableArrows C 2
e : (F.mapComposableArrows 2).obj α ≅ ComposableArrows.mk₂ u₁₂ u₂₃

⊢ Nonempty (Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : HasShift D ℤ
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : HasZeroObject D
inst✝⁹ : Preadditive C
inst✝⁸ : Preadditive D
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : F.IsTriangulated
inst✝¹ : (F.mapComposableArrows 2).EssSurj
inst✝ : IsTriangulated C
Y₁ Y₂ Y₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : D
u₁₂ : Y₁ ⟶ Y₂
u₂₃ : Y₂ ⟶ Y₃
u₁₃ : Y₁ ⟶ Y₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : Y₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : Y₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : Y₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
X₁ X₂ X₃ : C
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
e : (F.mapComposableArrows 2).obj (ComposableArrows.mk₂ f g) ≅ ComposableArrows.mk₂ u₁₂ u₂₃

⊢ Nonempty (Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : HasShift D ℤ
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : HasZeroObject D
inst✝⁹ : Preadditive C
inst✝⁸ : Preadditive D
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : F.IsTriangulated
inst✝¹ : (F.mapComposableArrows 2).EssSurj
inst✝ : IsTriangulated C
Y₁ Y₂ Y₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : D
u₁₂ : Y₁ ⟶ Y₂
u₂₃ : Y₂ ⟶ Y₃
u₁₃ : Y₁ ⟶ Y₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : Y₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : Y₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : Y₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
X₁ X₂ X₃ : C
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
e : (F.mapComposableArrows 2).obj (ComposableArrows.mk₂ f g) ≅ ComposableArrows.mk₂ u₁₂ u₂₃
w✝² : C
w✝¹ : X₂ ⟶ w✝²
w✝ : w✝² ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂' : Triangle.mk f w✝¹ w✝ ∈ distinguishedTriangles

⊢ Nonempty (Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : HasShift D ℤ
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : HasZeroObject D
inst✝⁹ : Preadditive C
inst✝⁸ : Preadditive D
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : F.IsTriangulated
inst✝¹ : (F.mapComposableArrows 2).EssSurj
inst✝ : IsTriangulated C
Y₁ Y₂ Y₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : D
u₁₂ : Y₁ ⟶ Y₂
u₂₃ : Y₂ ⟶ Y₃
u₁₃ : Y₁ ⟶ Y₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : Y₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : Y₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : Y₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
X₁ X₂ X₃ : C
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
e : (F.mapComposableArrows 2).obj (ComposableArrows.mk₂ f g) ≅ ComposableArrows.mk₂ u₁₂ u₂₃
w✝⁵ : C
w✝⁴ : X₂ ⟶ w✝⁵
w✝³ : w✝⁵ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂' : Triangle.mk f w✝⁴ w✝³ ∈ distinguishedTriangles
w✝² : C
w✝¹ : X₃ ⟶ w✝²
w✝ : w✝² ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃' : Triangle.mk g w✝¹ w✝ ∈ distinguishedTriangles

⊢ Nonempty (Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝¹³ : HasShift C ℤ
inst✝¹² : HasShift D ℤ
inst✝¹¹ : HasZeroObject C
inst✝¹⁰ : HasZeroObject D
inst✝⁹ : Preadditive C
inst✝⁸ : Preadditive D
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : F.IsTriangulated
inst✝¹ : (F.mapComposableArrows 2).EssSurj
inst✝ : IsTriangulated C
Y₁ Y₂ Y₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : D
u₁₂ : Y₁ ⟶ Y₂
u₂₃ : Y₂ ⟶ Y₃
u₁₃ : Y₁ ⟶ Y₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : Y₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : Y₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : Y₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor D 1).obj Y₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
X₁ X₂ X₃ : C
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
e : (F.mapComposableArrows 2).obj (ComposableArrows.mk₂ f g) ≅ ComposableArrows.mk₂ u₁₂ u₂₃
w✝⁸ : C
w✝⁷ : X₂ ⟶ w✝⁸
w✝⁶ : w✝⁸ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂' : Triangle.mk f w✝⁷ w✝⁶ ∈ distinguishedTriangles
w✝⁵ : C
w✝⁴ : X₃ ⟶ w✝⁵
w✝³ : w✝⁵ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃' : Triangle.mk g w✝⁴ w✝³ ∈ distinguishedTriangles
w✝² : C
w✝¹ : X₃ ⟶ w✝²
w✝ : w✝² ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃' : Triangle.mk (f ≫ g) w✝¹ w✝ ∈ distinguishedTriangles

⊢ Nonempty (Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι

⊢ (F.map f ≫ (additiveObjIsoBiproduct F N).hom) ≫ biproduct.π (fun i => F.obj ((embedding C).obj (N.X i))) i = ((additiveObjIsoBiproduct F M).hom ≫ biproduct.matrix fun i j => F.map ((embedding C).map (f i j))) ≫ biproduct.π (fun i => F.obj ((embedding C).obj (N.X i))) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι

⊢ ((additiveObjIsoBiproduct F M).inv ≫ F.map f ≫ F.map fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = biproduct.desc fun j => F.map ((embedding C).map (f j i))
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι
j : M.ι

⊢ (biproduct.ι (fun i => F.obj ((embedding C).obj (M.X i))) j ≫ (additiveObjIsoBiproduct F M).inv ≫ F.map f ≫ F.map fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = biproduct.ι (fun i => F.obj ((embedding C).obj (M.X i))) j ≫ biproduct.desc fun j => F.map ((embedding C).map (f j i))
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι
j : M.ι

⊢ F.map ((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ f ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = F.map ((embedding C).map (f j i))
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι
j : M.ι

⊢ ((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ f ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = (embedding C).map (f j i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : Preadditive C
D : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} D
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts D
F : Mat_ C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
M N : Mat_ C
f : M ⟶ N
i : N.ι
j : M.ι

⊢ ((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ f ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) PUnit.unit PUnit.unit = (embedding C).map (f j i) PUnit.unit PUnit.unit
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
xs : List α
h : xs.Nodup
i : Fin xs.length

⊢ xs.formPerm (xs.get i) = xs.get ⟨(↑i + 1) % xs.length, ⋯⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L

⊢ φ.map L hL ≫ L.map φ.s = L.map φ.f
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L
this : IsIso (L.map φ.s) := hL φ.s φ.hs

⊢ φ.map L hL ≫ L.map φ.s = L.map φ.f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α

⊢ μ ∅ < ⊤
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f✝ f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → β → γ
f : Filter α
g : Filter β

⊢ map (fun p => m p.1 p.2) (f ×ˢ g) = map₂ m f g
-- Mathlib/Order/Filter/Extr.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝ : OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
l : Filter α
hf : IsMinFilter f l a
hg : IsMaxFilter g l a

⊢ IsMinFilter (fun x => f x - g x) l a
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X

⊢ coclosedCompact X = cocompact X
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X

⊢ coclosedCompact X ≤ cocompact X
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X

⊢ ∀ (i' : Set X), IsCompact i' → ∃ i, (IsClosed i ∧ IsCompact i) ∧ iᶜ ⊆ i'ᶜ
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x z : Class
hz : z ∈ x
w : ZFSet
hw : (⋂₀ x) w

⊢ ↑w ∈ z
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
i : ι
a✝¹ : i ∈ ↑s
j : ι
a✝ : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j

⊢ (_root_.Disjoint on fun i => map (Embedding.sigmaMk i) (t i)) i j
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
i : ι
a✝¹ : i ∈ ↑s
j : ι
a✝ : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j

⊢ ∀ ⦃a : (x : ι) × α x⦄, a ∈ map (Embedding.sigmaMk i) (t i) → a ∉ map (Embedding.sigmaMk j) (t j)
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
i : ι
a✝¹ : i ∈ ↑s
j : ι
a✝ : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j

⊢ ∀ ⦃a : (x : ι) × α x⦄, (∃ a_1 ∈ t i, ⟨i, a_1⟩ = a) → ¬∃ a_2 ∈ t j, ⟨j, a_2⟩ = a
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
i : ι
a✝¹ : i ∈ ↑s
j : ι
a✝ : j ∈ ↑s
hij : i ≠ j
y : α i
left✝¹ : y ∈ t i
z : α j
left✝ : z ∈ t j
hz' : ⟨j, z⟩ = ⟨i, y⟩

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : MulAction M α
inst✝² : Mul α
r s : M
x y : α
inst✝¹ : IsScalarTower M α α
inst✝ : SMulCommClass M α α

⊢ r • x * s • y = (r * s) • (x * y)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t : Finset β

⊢ (interedges r s t).card + (interedges (fun x y => ¬r x y) s t).card = s.card * t.card
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Finset ℕ

⊢ schnirelmannDensity ↑A = 0
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Finset ℕ

⊢ schnirelmannDensity ↑A ≤ 0
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Finset ℕ

⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Finset ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₁ : ε ≤ 1
n : ℕ := ⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1

⊢ ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Finset ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₁ : ε ≤ 1
n : ℕ := ⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1
hn : 0 < n

⊢ ∃ n, 0 < n ∧ ↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Finset ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₁ : ε ≤ 1
n : ℕ := ⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1
hn : 0 < n

⊢ ↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ↑n < ε
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Finset ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε₁ : ε ≤ 1
n : ℕ := ⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1
hn : 0 < n

⊢ ↑(filter (fun x => x ∈ ↑A) (Ioc 0 n)).card / ε < ↑⌊↑A.card / ε⌋₊ + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIocMod hp a b ≤ toIcoMod hp a b + p
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIcoDiv hp a b ≤ toIocDiv hp a b + 1
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z w : K

⊢ normSq (z - w) = normSq z + normSq w - 2 * re (z * (starRingEnd K) w)
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m✝ n : ℤ
m : ℕ

⊢ ↑m ∣ n ↔ m ∣ n.natAbs
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupSet α
s : Set α
hs : BddAbove s

⊢ ↑(sSup s) = if ⊤ ∈ (fun a => ↑a) '' s then ⊤ else if BddAbove ((fun a => ↑a) ⁻¹' ((fun a => ↑a) '' s)) then ↑(sSup ((fun a => ↑a) ⁻¹' ((fun a => ↑a) '' s))) else ⊤
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupSet α
s : Set α
hs : BddAbove s

⊢ Injective fun a => ↑a
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SupSet α
s : Set α
hs : BddAbove s

⊢ ⊤ ∉ (fun a => ↑a) '' s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
x : ℝ

⊢ (ENNReal.ofReal x).log = if x ≤ 0 then ⊥ else ↑(Real.log x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
x : ℝ

⊢ (if x ≤ 0 then ⊥ else if False then ⊤ else ↑(Real.log (ENNReal.ofReal x).toReal)) = if x ≤ 0 then ⊥ else ↑(Real.log x)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
L R : ListBlank Γ
n : ℕ

⊢ (mk' L R).nth ↑n = R.nth n
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : C ⥤ Type v₁
t : F.obj X

⊢ coyonedaEquiv.symm (F.map f t) = coyoneda.map f.op ≫ coyonedaEquiv.symm t
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : C ⥤ Type v₁
u : coyoneda.obj (op X) ⟶ F

⊢ coyonedaEquiv.symm (F.map f (coyonedaEquiv u)) = coyoneda.map f.op ≫ coyonedaEquiv.symm (coyonedaEquiv u)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ

⊢ Gamma z * Gamma (1 - z) = ↑π / sin (↑π * z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0

⊢ Gamma z * Gamma (1 - z) = ↑π / sin (↑π * z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : ¬sin (↑π * z) = 0

⊢ Gamma z * Gamma (1 - z) = ↑π / sin (↑π * z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : ¬sin (↑π * z) = 0

⊢ Tendsto (fun x => z.GammaSeq x * (1 - z).GammaSeq x) atTop (𝓝 (↑π / sin (↑π * z)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : ¬sin (↑π * z) = 0
this : ↑π / sin (↑π * z) = 1 * (↑π / sin (↑π * z))

⊢ Tendsto (fun x => z.GammaSeq x * (1 - z).GammaSeq x) atTop (𝓝 (↑π / sin (↑π * z)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
pi_ne : ↑π ≠ 0
hs : ¬sin (↑π * z) = 0
this : ↑π / sin (↑π * z) = 1 * (↑π / sin (↑π * z))

⊢ Tendsto (fun n => ↑n / (↑n + 1 - z)) atTop (𝓝 1)