ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I B✝ X : Set α
M : IndepMatroid α
B B' : Set α
hB : B ∈ {I | M.Indep I}
hBmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B
hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}
hB'max : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B' b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B'
f : α
hfB' : f ∉ B
x : α
he : x ∈ B \ B'
hnotmax : B \ {x} ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}
hfB : M.Indep (insert f (B \ {x}))
hf : f ∈ B' ∧ (f ∈ B → f = x)
hnot : ¬(fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) (insert f (B \ {x}))
hind : M.Indep (insert x (insert f (B \ {x})))
hxB : x ∈ B ∧ ¬x = f ∧ (x ∈ B → x = x)

⊢ False
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I B✝ X : Set α
M : IndepMatroid α
B B' : Set α
hB : B ∈ {I | M.Indep I}
hBmax : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B
hB' : B' ∈ {I | M.Indep I}
hB'max : ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {I | M.Indep I} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) B' b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b B'
f : α
hfB' : f ∉ B
x : α
he : x ∈ B \ B'
hnotmax : B \ {x} ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}
hfB : M.Indep (insert f (B \ {x}))
hf : f ∈ B' ∧ (f ∈ B → f = x)
hnot : ¬(fun x => x ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}) (insert f (B \ {x}))
hind : M.Indep (insert f B)
hxB : x ∈ B ∧ ¬x = f ∧ (x ∈ B → x = x)

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J

⊢ (pullbackP1Iso 𝒰 f g i).hom ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g = pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i) ≫ p2 𝒰 f g
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝⁵ : Sub α
inst✝⁴ : OrderedSub α
a✝ b✝ c d : α
inst✝³ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α

⊢ a + a - (b + b) = a - b + (a - b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝⁵ : Sub α
inst✝⁴ : OrderedSub α
a✝ b✝ c d : α
inst✝³ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : a ≤ b

⊢ a + a - (b + b) = a - b + (a - b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝⁵ : Sub α
inst✝⁴ : OrderedSub α
a✝ b✝ c d : α
inst✝³ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
h : b ≤ a

⊢ a + a - (b + b) = a - b + (a - b)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
i : Fin2 n
x : F α
x✝ : α i

⊢ x✝ ∈ supp x i ↔ x✝ ∈ {u | ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a ⟹ α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f i '' univ}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
x : α

⊢ map (fun x_1 => ((Function.eval x ∘ ⇑toFun) x_1.1, (Function.eval x ∘ ⇑toFun) x_1.2)) (𝓤 (α →ᵤ β)) ≤ 𝓤 β
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
x : α

⊢ ∀ i' ∈ 𝓤 β, ∃ i ∈ 𝓤 β, UniformFun.gen α β i ⊆ (fun x_1 => ((Function.eval x ∘ ⇑toFun) x_1.1, (Function.eval x ∘ ⇑toFun) x_1.2)) ⁻¹' id i'
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : MulZeroClass α
s t : Set α
hs : s.Nonempty

⊢ 0 ⊆ 0 * s
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Pretriangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.92128, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.92132, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃

⊢ φ ≫ 𝟙 L = 𝟙 K ≫ φ
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Pretriangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.92132, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃
n : ℤ

⊢ (map φ φ (𝟙 K) (𝟙 L) ⋯).f n = (𝟙 (mappingCone φ)).f n
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.19205, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V c.symm
i j : ι
hij : ¬c.Rel i j

⊢ (X.d j i).op = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.19205, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex V c.symm
x✝⁴ x✝³ x✝² : ι
x✝¹ : c.Rel x✝⁴ x✝³
x✝ : c.Rel x✝³ x✝²

⊢ (fun i j => (X.d j i).op) x✝⁴ x✝³ ≫ (fun i j => (X.d j i).op) x✝³ x✝² = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
d : Nat
n : Int
d0 : d ≠ 0

⊢ mkRat n d = 0 ↔ n = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)

⊢ 0 < x + π / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo (-(π / 2)) (π / 2)

⊢ x + π / 2 < π
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
i : σ

⊢ (X i).IsHomogeneous 1
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
i : σ

⊢ (single i 1).degree = 1
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
i : σ

⊢ (single i 1) i = 1
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n

⊢ 1 = 0 ↔ n = 1
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
x : B × F
hx : x ∈ e.target

⊢ proj (↑e.symm x) = x.1
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
x : B × F
hx : x ∈ e.target
this : proj (↑e.symm x) = (↑e (↑e.symm x)).1

⊢ proj (↑e.symm x) = x.1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Disintegration.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L

⊢ ∃ c, 0 < c ∧ map (⇑L) μ = c • ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Disintegration.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : MeasurableSpace E
inst✝⁸ : BorelSpace E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : MeasurableSpace F
inst✝⁴ : BorelSpace F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →ₗ[𝕜] F
μ : Measure E
ν : Measure F
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝¹ : ν.IsAddHaarMeasure
inst✝ : LocallyCompactSpace E
h : Function.Surjective ⇑L
c : ℝ≥0∞
c_pos : 0 < c
hc : map (⇑L) μ = (c * addHaar univ) • ν

⊢ ∃ c, 0 < c ∧ map (⇑L) μ = c • ν
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
k : ℕ
h₀ : k + k ≠ 0

⊢ 0 < a ^ (k + k) ↔ a ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ
h : Odd n

⊢ 1 + n / 2 * 2 = n
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂

⊢ (B₁ \ B₂).ncard = (B₂ \ B₁).ncard
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
e' : Trivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
e₁ e₂ : Trivialization F proj
p : Z
h : proj p ∈ e₁.baseSet

⊢ e₁.coordChange e₂ (proj p) (↑e₁ p).2 = (↑e₂ p).2
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a - b ≤ a / 2

⊢ a / 2 ≤ b
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ≤ b * 2

⊢ a / 2 ≤ b
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a ≤ b * 2

⊢ a / 2 ≤ b * 2 / 2
-- Mathlib/Analysis/Complex/ReImTopology.lean
a : ℝ

⊢ closure {z | a < z.im} = {z | a ≤ z.im}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α

⊢ s.einfsep = ⊤ ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → edist x y = ⊤
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter Y
hs : IsCompact s
hf : Disjoint f (cocompact Y)

⊢ 𝓝ˢ s ×ˢ f ≤ 𝓝ˢ (s ×ˢ univ)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter Y
hs : IsCompact s
hf : Disjoint f (cocompact Y)
K : Set Y
hKf : K ∈ f
hK : IsCompact K

⊢ 𝓝ˢ s ×ˢ f ≤ 𝓝ˢ (s ×ˢ univ)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n α
N : Matrix n o α
i✝ : m
j✝ : o

⊢ (-M * N) i✝ j✝ = (-(M * N)) i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
z : ℤ

⊢ IsSquare ↑z ↔ IsSquare z
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝ : μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι → μ

⊢ f ∈ Trunc.lift (fun e => map { toFun := fun f i => if hi : i ∈ s then f (e ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal s.card n)) ⋯ (Fintype.truncEquivFinOfCardEq ⋯) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝ : μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι → μ
e : { x // x ∈ s } ≃ Fin s.card

⊢ f ∈ Trunc.lift (fun e => map { toFun := fun f i => if hi : i ∈ s then f (e ⟨i, hi⟩) else 0, inj' := ⋯ } (finAntidiagonal s.card n)) ⋯ (Trunc.mk e) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝ : μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι → μ
e : { x // x ∈ s } ≃ Fin s.card

⊢ (∃ a, ∑ i : Fin s.card, a i = n ∧ (fun i => if hi : i ∈ s then a (e ⟨i, hi⟩) else 0) = f) ↔ s.sum f = n ∧ ∀ (i : ι), f i ≠ 0 → i ∈ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.43135, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
inst✝ : ∀ (X : C), Projective X

⊢ IsSheaf (coherentTopology C) F ↔ IsSheaf (extensiveTopology C) F
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
c : ℝ≥0

⊢ edist x y < ↑c ↔ nndist x y < c
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Translations.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
gp_n : Pair K
s_nth_eq : (of v).s.get? n = some gp_n

⊢ ∃ ifp, IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp ∧ ↑ifp.b = gp_n.b
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Translations.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
gp_n : Pair K
s_nth_eq : (of v).s.get? n = some gp_n
ifp : IntFractPair K
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp
gp_n_eq : { a := 1, b := ↑ifp.b } = gp_n

⊢ ∃ ifp, IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp ∧ ↑ifp.b = gp_n.b
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Translations.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
ifp : IntFractPair K
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp
s_nth_eq : (of v).s.get? n = some { a := 1, b := ↑ifp.b }

⊢ ∃ ifp_1, IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_1 ∧ ↑ifp_1.b = { a := 1, b := ↑ifp.b }.b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

⊢ ker (inr R M M₂) = ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : EqOn f g [[a, b]]

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Operations.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
ι : Sort u_3
f : ι → OuterMeasure α
s : Set α

⊢ (⨆ i, f i) s = ⨆ i, (f i) s
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ‖g x‖

⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ 1 * ‖g x‖
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ‖g x‖

⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
a b x : α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f g : δ → α
hf : Measurable f
hg : Measurable g

⊢ Measurable fun a => Min.min (f a) (g a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
s₁ s₂ : Set Ω
h : s₁ ⊆ s₂

⊢ μ s₁ ≤ μ s₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
s₁ s₂ : Set Ω
h : s₁ ⊆ s₂

⊢ μ.toFiniteMeasure s₁ ≤ μ.toFiniteMeasure s₂
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.155546}
f : (a : Ordinal.{?u.155546}) → a < o → α
i : Ordinal.{?u.155546}
hi : i < o

⊢ (type fun x x_1 => x < x_1) = o
-- Mathlib/NumberTheory/Wilson.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

⊢ ∏ x ∈ Ico 1 p, ↑x = -1
-- Mathlib/NumberTheory/Wilson.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

⊢ ∏ x ∈ Ico 1 (p - succ 0).succ, ↑x = -1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x

⊢ P (↑f ∘ g) s x ↔ P (↑f' ∘ g) s x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x

⊢ P (↑f ∘ g) s x ↔ P (↑f' ∘ g) s x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x

⊢ P (↑(f.symm ≫ₕ f') ∘ ↑f ∘ g) s x ↔ P (↑f' ∘ g) s x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s✝ t : Set M
x✝ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : H → M'
x : H
s : Set H
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
hf' : f' ∈ maximalAtlas M' G'
xf' : g x ∈ f'.source
hgs : ContinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousWithinAt (↑f ∘ g) s x

⊢ ↑(f.symm ≫ₕ f') ∘ ↑f ∘ g =ᶠ[𝓝[s] x] ↑f' ∘ g
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
b : β

⊢ b ∈ filter p (s.biUnion f) ↔ b ∈ s.biUnion fun a => filter p (f a)
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
b : β

⊢ (∃ a ∈ s, b ∈ f a) ∧ p b ↔ ∃ a ∈ s, b ∈ f a ∧ p b
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
s : Finset ι
f : ι → R[A]

⊢ ∑ i ∈ s, (f i).support.inf degt = (Multiset.map (fun f => f.support.inf degt) (Multiset.map (fun i => f i) s.val)).sum
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddCommMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
s : Finset ι
f : ι → R[A]

⊢ ∑ i ∈ s, (f i).support.inf degt = (Multiset.map ((fun f => f.support.inf degt) ∘ fun i => f i) s.val).sum
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
f : β → α
a : α
x : Filter β
hu : ∃ u, a < u
hl : ∃ l, l < a
h : ∀ (l u : α), l < a → a < u → ∀ᶠ (b : β) in x, l < f b ∧ f b < u

⊢ Tendsto f x (𝓝 a)
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
f : β → α
a : α
x : Filter β
hu : ∃ u, a < u
hl : ∃ l, l < a
h : ∀ (l u : α), l < a → a < u → ∀ᶠ (b : β) in x, l < f b ∧ f b < u

⊢ ∀ i < a, ∀ (i_2 : α), a < i_2 → ∀ᶠ (a : β) in x, f a ∈ Ioo i i_2
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s' s : ↥S
m : M

⊢ 1 • s • s' • m = 1 • (s' * s) • m
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
s' s : ↥S
m : M

⊢ s • s' • m = s' • s • m
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t

⊢ s.Productive ↔ t.Productive
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t

⊢ (∀ (n : ℕ), (s.get? n).Terminates) ↔ ∀ (n : ℕ), (t.get? n).Terminates