ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
x : V → ℝ

⊢ (∀ (i j : V), G.Adj i j → x i = x j) ↔ ∀ (i j : V), G.Reachable i j → x i = x j
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
x : V → ℝ

⊢ (∀ (i j : V), G.Adj i j → x i = x j) → ∀ (i j : V), G.Reachable i j → x i = x j
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E

⊢ ∃ R f, 1 < R ∧ (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖

⊢ ∃ R f, 1 < R ∧ (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
A : ‖c‖ < ‖c‖ + 1

⊢ ∃ R f, 1 < R ∧ (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁵ : AddCommGroup F'
inst✝⁴ : Module 𝕜 F'
inst✝³ : TopologicalSpace F'
inst✝² : TopologicalAddGroup F'
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
h : ¬FiniteDimensional 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
A : ‖c‖ < ‖c‖ + 1
f : ℕ → E
hf : (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ ‖c‖ + 1) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖

⊢ ∃ R f, 1 < R ∧ (∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ R) ∧ Pairwise fun m n => 1 ≤ ‖f m - f n‖
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a✝ b a : α

⊢ ↑a < ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
r : ↑Γ(↑U, ⊤)

⊢ U.ι ''ᵁ (↑U).basicOpen r = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
r : ↑Γ(↑U, ⊤)

⊢ X.basicOpen ((Hom.appIso (X.ofRestrict ⋯) ⊤).inv r) = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
r : ↑Γ(↑U, ⊤)

⊢ X.basicOpen ((Hom.appIso (X.ofRestrict ⋯) ⊤).inv r) = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
r : ↑Γ(↑U, ⊤)

⊢ X.basicOpen ((Hom.appIso (X.ofRestrict ⋯) ⊤).inv r) = X.basicOpen ((𝟙 (X.presheaf.obj (op (⋯.functor.obj ⊤)))) r)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
r : ↑Γ(↑U, ⊤)

⊢ (Hom.appIso (X.ofRestrict ⋯) ⊤).inv = 𝟙 (X.presheaf.obj (op (⋯.functor.obj ⊤)))
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
x : Z
h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝 x

⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (↑e ∘ f) x
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
x : Z
h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝 x
hx : f x ∈ e.source

⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (↑e ∘ f) x
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Z → X
x : Z
h : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝 x
hx : f x ∈ e.source
h' : f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝[univ] x

⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (↑e ∘ f) x
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/EqLocus.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_5
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : F
S T : Submodule R M
hS : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑S
hT : Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑T

⊢ Set.EqOn ⇑f ⇑g ↑(S ⊔ T)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/EqLocus.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_5
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f g : F
S T : Submodule R M
hS : S ≤ eqLocus f g
hT : T ≤ eqLocus f g

⊢ S ⊔ T ≤ eqLocus f g
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R

⊢ a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R

⊢ 0 ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = 0 ∧ c' * b' = b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R

⊢ ∀ (x : R), IsUnit x → x ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = x ∧ c' * b' = b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R

⊢ ∀ (a p : R), a ≠ 0 → Prime p → (a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b) → p * a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : LinearOrder α
a✝ b✝ a b : α

⊢ |a| ∣ b ↔ a ∣ b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
hX : IsTerminal X

⊢ IsZero X
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
hX : IsTerminal X

⊢ 𝟙 X = 0
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s

⊢ Disjoint l (𝓝ˢ s) ↔ ∀ x ∈ s, Disjoint l (𝓝 x)
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/MonoidWithZero.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationMap N
h : 0 ∈ S
a b : N

⊢ a = b
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/MonoidWithZero.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero P
f : S.LocalizationMap N
h : 0 ∈ S
a b : N

⊢ ∃ c, ↑c * (↑(f.sec b).2 * (f.sec a).1) = ↑c * (↑(f.sec a).2 * (f.sec b).1)
-- Mathlib/Data/List/ReduceOption.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)
x : α

⊢ (∃ i, l.get? i = some (some x)) ↔ ∃ i, l.reduceOption.get? i = some x
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
s : Set α

⊢ IsOpen {l | s ∈ l}
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J Y
hJX : J ⊆ X
hIY : I ⊆ Y

⊢ M.Basis I Y
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J Y
hJX : J ⊆ X
hIY : I ⊆ Y
hI' : M.Basis I (X ∩ Y)

⊢ M.Basis I Y
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hJ : M.Basis J Y
hJX : J ⊆ X
hIY : I ⊆ Y
hI' : M.Basis I (X ∩ Y)
hJ' : M.Basis J (X ∩ Y)

⊢ M.Basis I Y
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
L : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
n : ℕ

⊢ ((addBottom L).nth n).2 = L.nth n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

⊢ (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) * (P y * Q z ^ 3 - W'.negY Q * P z ^ 3) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f

⊢ UniformConvexOn s φ (-f)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConcaveOn s φ f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ -(a • (-f) x + b • (-f) y - a * b * φ ‖x - y‖) ≤ -(-f) (a • x + b • y)
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β✝
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β✝
β : Type u_5
f : α → β
S : Set (Set β)
hS : ∀ s ∈ S, IsOpen s

⊢ IsOpen (⋂₀ S)
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β✝
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β✝
β : Type u_5
f : α → β
S : Set (Set β)
hS : ∀ s ∈ S, IsOpen s

⊢ IsOpen (⋂ t ∈ S, f ⁻¹' t)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
U : Opens X
hU : Nonempty ↥U
y : Y
hy : y ∈ (e.subtypeRestr hU).target

⊢ ↑e.symm y = (Subtype.val ∘ ↑(e.subtypeRestr hU).symm) y
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
U : Opens X
hU : Nonempty ↥U
y : Y
hy : y ∈ (e.subtypeRestr hU).target

⊢ ↑e ((Subtype.val ∘ ↑(e.subtypeRestr hU).symm) y) = y
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
U : Opens X
hU : Nonempty ↥U
y : Y
hy : y ∈ (e.subtypeRestr hU).target

⊢ (Subtype.val ∘ ↑(e.subtypeRestr hU).symm) y ∈ e.source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : ¬MDifferentiableWithinAt I I' f s x

⊢ mfderivWithin I I' f s x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S✝
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
hM : M ≤ nonZeroDivisors R

⊢ IsFractionRing S T
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S✝
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
this : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)) T

⊢ IsFractionRing S T
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S✝
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
this : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)) T

⊢ Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R) ≤ nonZeroDivisors S
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S✝
S : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : CommRing T
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsFractionRing R T
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
this : IsLocalization (Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)) T

⊢ ∀ (x : ↥(nonZeroDivisors S)), ∃ m, m * ↑x ∈ Submonoid.map (algebraMap R S) (nonZeroDivisors R)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty

⊢ |edgeDensity r s₂ t₂ - edgeDensity r s₁ t₁| ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty

⊢ edgeDensity r s₁ t₁ - edgeDensity r s₂ t₂ ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty

⊢ edgeDensity (fun x y => ¬r x y) s₂ t₂ - edgeDensity (fun x y => ¬r x y) s₁ t₁ ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)
-- Mathlib/RingTheory/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : (i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (A i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
x y : (i : ι) → A i

⊢ (mul ((tprod R) x)) ((tprod R) y) = (tprod R) (x * y)
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x✝¹ x✝ : α
H : of x✝¹ = of x✝

⊢ x✝¹ = x✝
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁✝ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x✝¹ x✝ : α
H : of x✝¹ = of x✝
L₁ : List (α × Bool)
hx : Red [(x✝¹, true)] L₁
hy : Red [(x✝, true)] L₁

⊢ x✝¹ = x✝
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁✝ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x✝¹ x✝ : α
H : of x✝¹ = of x✝
L₁ : List (α × Bool)
hx : L₁ = [(x✝¹, true)]
hy : L₁ = [(x✝, true)]

⊢ x✝¹ = x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF_int : Integrable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
f' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => ENNReal.ofReal (f n a - f 0 a)
F' : α → ℝ≥0∞ := fun a => ENNReal.ofReal (F a - f 0 a)
hf'_int_eq : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), f i a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
hF'_int_eq : ∫⁻ (a : α), F' a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), F a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF_int : Integrable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
f' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => ENNReal.ofReal (f n a - f 0 a)
F' : α → ℝ≥0∞ := fun a => ENNReal.ofReal (F a - f 0 a)
hf'_int_eq : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), f i a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
hF'_int_eq : ∫⁻ (a : α), F' a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), F a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
h_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F' a ∂μ))

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF_int : Integrable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
f' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => ENNReal.ofReal (f n a - f 0 a)
F' : α → ℝ≥0∞ := fun a => ENNReal.ofReal (F a - f 0 a)
hf'_int_eq : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), f i a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
hF'_int_eq : ∫⁻ (a : α), F' a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), F a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
h_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F' a ∂μ))
h_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f' i a

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF_int : Integrable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
hf_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
f' : ℕ → α → ℝ≥0∞ := fun n a => ENNReal.ofReal (f n a - f 0 a)
F' : α → ℝ≥0∞ := fun a => ENNReal.ofReal (F a - f 0 a)
hf'_int_eq : ∀ (i : ℕ), ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), f i a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
hF'_int_eq : ∫⁻ (a : α), F' a ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : α), F a ∂μ - ∫ (a : α), f 0 a ∂μ)
h_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f' i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F' a ∂μ))
h_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f' i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f' i a ≤ F' a

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))