ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F

⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F

⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F

⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (LieSubmodule.Quotient.mk m) = LieSubmodule.Quotient.mk (((toEnd R L M) x ^ k) m)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F
this : (((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) ∘ₗ ↑(LieSubmodule.Quotient.mk' F)) m = (↑(LieSubmodule.Quotient.mk' F) ∘ₗ (toEnd R L M) x ^ k) m

⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (LieSubmodule.Quotient.mk m) = LieSubmodule.Quotient.mk (((toEnd R L M) x ^ k) m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Triangularizable.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
h' : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤

⊢ p = ⨆ μ, ⨆ k, p ⊓ (f.genEigenspace μ) k
-- Mathlib/Data/Finset/MulAntidiagonal.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
u : Set α
hu : u.IsPWO
x : α × α

⊢ x.swap ∈ mulAntidiagonal hs ht a ↔ x ∈ mulAntidiagonal ht hs a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Cardinal.{u}
hc : c.IsRegular
hι : #ι < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c.ord, f i b < c.ord
a : Ordinal.{u}

⊢ lift.{u, u} #ι < c
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ

⊢ μ s = μ t
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : S
he : e ∈ f.range
he' : IsIdempotentElem e

⊢ ∃! e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = e
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e' : R
he₂ : IsIdempotentElem e'
he : f e' ∈ f.range
he' : IsIdempotentElem (f e')

⊢ ∃! e'_1, IsIdempotentElem e'_1 ∧ f e'_1 = f e'
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K

⊢ y ∈ closure K ↔ ∃ x ∈ K, Inseparable x y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
hy : y ∈ closure K

⊢ ∃ x ∈ K, Inseparable x y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
hy : ∀ x ∈ K, ¬Inseparable x y

⊢ y ∉ closure K
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
hy : ∀ x ∈ K, ¬Inseparable x y
this : Disjoint (𝓝 y) (𝓝ˢ K)

⊢ y ∉ closure K
-- Mathlib/Algebra/Ring/Ext.lean
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h : toNonUnitalNonAssocSemiring = toNonUnitalNonAssocSemiring

⊢ inst₁ = inst₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Ext.lean
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h : toNonUnitalNonAssocSemiring = toNonUnitalNonAssocSemiring
h_zero : Zero.zero = Zero.zero

⊢ inst₁ = inst₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Ext.lean
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h : toNonUnitalNonAssocSemiring = toNonUnitalNonAssocSemiring
h_zero : Zero.zero = Zero.zero
h_one' : MulOneClass.toOne = MulOneClass.toOne

⊢ inst₁ = inst₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Ext.lean
R : Type u
inst₁ inst₂ : NonAssocSemiring R
h_add : HAdd.hAdd = HAdd.hAdd
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h : toNonUnitalNonAssocSemiring = toNonUnitalNonAssocSemiring
h_zero : Zero.zero = Zero.zero
h_one' : MulOneClass.toOne = MulOneClass.toOne
h_one : One.one = One.one

⊢ inst₁ = inst₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
this : IsFiniteMeasure ρ

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
this : IsFiniteMeasure ρ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
h'x : (μ.withDensity f).rnDeriv μ x = f x

⊢ Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
this : IsFiniteMeasure ρ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
h'x : (μ.withDensity f).rnDeriv μ x = f x

⊢ Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 ((μ.withDensity f).rnDeriv μ x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
this : IsFiniteMeasure ρ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
h'x : (μ.withDensity f).rnDeriv μ x = f x

⊢ (fun a => ρ a / μ a) =ᶠ[v.filterAt x] fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ✝ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ✝
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
ρ : Measure α := μ.withDensity f
this : IsFiniteMeasure ρ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
h'x : (μ.withDensity f).rnDeriv μ x = f x
a : Set α
ha : MeasurableSet a

⊢ ρ a / μ a = (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l

⊢ ‖p.changeOriginSeriesTerm k l s hs‖₊ = ‖p (k + l)‖₊
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r✝ : ℝ
p q : Seminorm 𝕜 E
e : E
r : ℝ

⊢ (p ⊔ q).ball e r = p.ball e r ∩ q.ball e r
-- Mathlib/Algebra/Order/Hom/Monoid.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : Preorder α
inst✝⁶ : Preorder β
inst✝⁵ : Preorder γ
inst✝⁴ : Preorder δ
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MulOneClass γ
inst✝ : MulOneClass δ
f g✝ : α →*o β
g : β →*o γ
f₁ f₂ : α →*o β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α

⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
i : { x // x ∈ s }

⊢ ∏ j ∈ s.attach.erase i, f ↑j = ∏ j ∈ s.erase ↑i, f j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : ι → α
i : { x // x ∈ s }

⊢ ∏ x ∈ map (Embedding.subtype fun x => x ∈ s) (s.attach.erase i), f x = ∏ j ∈ s.erase ((Embedding.subtype fun x => x ∈ s) i), f j
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ

⊢ count p n = Fintype.card { k // k < n ∧ p k }
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ

⊢ (Fintype.card ↑fun x => x < n ∧ p x) = Fintype.card { k // k < n ∧ p k }
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.214930}
α : Type u
s : Set α
a : α
h : a ∉ s

⊢ #↑(insert a s) = #↑s + 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.214930}
α : Type u
s : Set α
a : α
h : a ∉ s

⊢ Disjoint s {a}
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C

⊢ M.comul ≫ M.comul ▷ M.X = M.comul ≫ M.X ◁ M.comul ≫ (α_ M.X M.X M.X).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f

⊢ (kernelSubobject f).arrow ≫ f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f

⊢ ((kernelSubobjectIso f).hom ≫ kernel.ι f) ≫ f = 0
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
h : Irreducible x
y z : R
hz : x = y * y * z

⊢ IsUnit y
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
h : Irreducible x
y z : R
hz : x = y * (y * z)

⊢ IsUnit y
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
h : Irreducible x
y z : R
hz : x = y * (y * z)
hu : IsUnit y

⊢ IsUnit y
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoid R
x : R
h : Irreducible x
y z : R
hz : x = y * (y * z)
hu : IsUnit (y * z)

⊢ IsUnit y
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
m d : ℕ
hm : n ∣ m
hd : m ∣ d

⊢ (changeLevel ⋯) χ = (changeLevel hd) ((changeLevel hm) χ)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hn : n ≠ 0
hs : n ≤ s.card

⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ P.parts.card = n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hn : 0 < n
hs : n ≤ s.card

⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ P.parts.card = n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hn : 0 < n
hs : n ≤ s.card
this : (n - s.card % n) * (s.card / n) + s.card % n * (s.card / n + 1) = s.card

⊢ ∃ P, P.IsEquipartition ∧ P.parts.card = n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Equitabilise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
m n a b : ℕ
P : Finpartition s
h : a * m + b * (m + 1) = s.card
hn : 0 < n
hs : n ≤ s.card
this : (n - s.card % n) * (s.card / n) + s.card % n * (s.card / n + 1) = s.card

⊢ (equitabilise this).parts.card = n
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h₁ : a₁ < b₁
h : Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂

⊢ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h₁ : a₁ < b₁
h : Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂
x : α
xa : a₁ < x
xb : x < b₁

⊢ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ ≤ b₂
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h₁ : a₁ < b₁
h : Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂
x : α
xa : a₁ < x
xb : x < b₁
h' : a₁ < a₂

⊢ False
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
inst✝ : DenselyOrdered α
h₁ : a₁ < b₁
h : Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂
x : α
xa : a₁ < x
xb : x < b₁
h' : b₂ < b₁

⊢ False
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/BigOperators.lean
ι : Type u_1
l : List ℕ
k : ℕ

⊢ l.prod.Coprime k ↔ ∀ n ∈ l, n.Coprime k
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i✝ : ι
f g : ι → M₀
i : ι

⊢ (s ∩ t).indicator (fun j => f j * g j) i = s.indicator f i * t.indicator g i
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
s t : Set ι
f✝ g✝ : ι → M₀
i✝ : ι
f g : ι → M₀
i : ι

⊢ s.indicator (t.indicator fun j => f j * g j) i = s.indicator f i * t.indicator g i
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N₁ N₂ : L.Substructure M
hN₁ : N₁.CG
hN₂ : N₂.CG
t₁ : Set M
ht₁ : t₁.Countable ∧ (closure L).toFun t₁ = N₁
t₂ : Set M
ht₂ : t₂.Countable ∧ (closure L).toFun t₂ = N₂

⊢ (closure L).toFun (t₁ ∪ t₂) = N₁ ⊔ N₂
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))

⊢ H = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α

⊢ H = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α
hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α

⊢ H = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α
hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α
hσ2 : (↑σ).IsCycle

⊢ H = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α
hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α
hσ2 : (↑σ).IsCycle
hσ3 : (↑σ).support = ⊤

⊢ H = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α
hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α
hσ2 : (↑σ).IsCycle
hσ3 : (↑σ).support = ⊤
hσ4 : Subgroup.closure {↑σ, τ} = ⊤

⊢ H = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
H : Subgroup (Perm α)
d : DecidablePred fun x => x ∈ H
τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : Fintype.card α ∣ Fintype.card ↥H
h2 : τ ∈ H
h3 : τ.IsSwap
this : Fact (Nat.Prime (Fintype.card α))
σ : ↥H
hσ : orderOf σ = Fintype.card α
hσ1 : orderOf ↑σ = Fintype.card α
hσ2 : (↑σ).IsCycle
hσ3 : (↑σ).support = ⊤
hσ4 : Subgroup.closure {↑σ, τ} = ⊤

⊢ ↑σ ∈ ↑H ∧ τ ∈ ↑H
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : (μ + ν) t ≠ ⊤

⊢ ν (toMeasurable (μ + ν) t ∩ s) = ν (t ∩ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : (ν + μ) t ≠ ⊤

⊢ ν (toMeasurable (ν + μ) t ∩ s) = ν (t ∩ s)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 V
inst✝¹³ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹² : AddCommGroup W
inst✝¹¹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
w : W

⊢ Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ ↔ Integrable f μ
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 V
inst✝¹³ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹² : AddCommGroup W
inst✝¹¹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
w : W
aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g μ → ∀ (x : W), Integrable (fun v => e (-(L v) x) • g v) μ

⊢ Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ ↔ Integrable f μ
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 V
inst✝¹³ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹² : AddCommGroup W
inst✝¹¹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
w : W
aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g μ → ∀ (x : W), Integrable (fun v => e (-(L v) x) • g v) μ
hf : Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ
this : Integrable (fun v => e (-(L v) (-w)) • e (-(L v) w) • f v) μ

⊢ Integrable f μ
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommGroup V
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 V
inst✝¹³ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝¹² : AddCommGroup W
inst✝¹¹ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ G
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : TopologicalRing 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : TopologicalSpace W
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
he : Continuous ⇑e
hL : Continuous fun p => (L p.1) p.2
f : V → E
w : W
aux : ∀ {g : V → E}, Integrable g μ → ∀ (x : W), Integrable (fun v => e (-(L v) x) • g v) μ
hf : Integrable (fun v => e (-(L v) w) • f v) μ
this : Integrable (fun v => f v) μ

⊢ Integrable f μ
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n k : ℕ

⊢ m.gcd (k * m + n) = m.gcd n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
hx : IsFixedPt f x
hy : IsFixedPt f y

⊢ x = y ∨ edist x y = ⊤
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
hx : IsFixedPt f x
hy : IsFixedPt f y
h : ¬edist x y = ⊤

⊢ edist x y ≤ 0