ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U

⊢ (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (((α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X ▷ L.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X) ≫ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv) ≫ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯ = R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ (R.X ◁ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ R.X ◁ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U

⊢ (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X ▷ L.X ≫ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ (R.X ◁ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ R.X ◁ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U

⊢ (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫ (R.X ◁ (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫ R.X ◁ coequalizer.desc ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ⋯) ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U

⊢ (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = (R.X ◁ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ R.X ◁ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L)) ≫ TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U

⊢ (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = R.X ◁ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ R.X ◁ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫ (α_ R.X P.X (Q.tensorBimod L).X).inv ≫ P.actLeft ▷ (Q.tensorBimod L).X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U

⊢ (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = R.X ◁ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ (((α_ R.X P.X (Q.X ⊗ L.X)).inv ≫ (R.X ⊗ P.X) ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ P.actLeft ▷ (Q.tensorBimod L).X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U

⊢ (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) = R.X ◁ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫ (α_ R.X P.X (Q.X ⊗ L.X)).inv ≫ (P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X) ≫ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X) ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft)
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsGδ s
ht : IsGδ t

⊢ IsGδ (s ∩ t)
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X
hs : IsGδ s
ht : IsGδ t

⊢ IsGδ (⋂ b, bif b then s else t)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
c : Cocone F
hc : IsColimit c
homeo : ↑c.pt ≃ₜ ↑(colimitCocone F).pt := homeoOfIso (hc.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F))
x✝ : Set ↑c.pt

⊢ IsOpen x✝ ↔ IsOpen x✝
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
c : Cocone F
hc : IsColimit c
homeo : ↑c.pt ≃ₜ ↑(colimitCocone F).pt := homeoOfIso (hc.coconePointUniqueUpToIso (colimitCoconeIsColimit F))
x✝ : Set ↑c.pt

⊢ IsOpen (⇑homeo.symm ⁻¹' x✝) ↔ ∀ (i : J), IsOpen x✝
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ

⊢ volume (convexBodySum K B) = ↑(convexBodySumFactor K) * ENNReal.ofReal B ^ finrank ℚ K
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
hB : B ≤ 0

⊢ volume (convexBodySum K B) = ↑(convexBodySumFactor K) * ENNReal.ofReal B ^ finrank ℚ K
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
hB : 0 < B

⊢ volume (convexBodySum K B) = ↑(convexBodySumFactor K) * ENNReal.ofReal B ^ finrank ℚ K
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v

⊢ p.reverse.toSubgraph = p.toSubgraph
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A

⊢ (W.map φ).b₆ = φ W.b₆
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A

⊢ φ W.a₃ ^ 2 + 4 * φ W.a₆ = φ (W.a₃ ^ 2 + 4 * W.a₆)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b

⊢ (m.1, m.2 - 1) ∈ Finset.erase b m
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ b ∧ (m.1, m.2 - 1) ∈ b

⊢ (m.1, m.2 - 1) ∈ Finset.erase b m
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ b ∧ (m.1, m.2 - 1) ∈ b

⊢ (m.1, m.2 - 1) ≠ m
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)
f : (i : ι) → α i

⊢ (univ.pi fun i => Iio (f i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] Iic f
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), NoAtoms (μ i)
f : (i : ι) → α i

⊢ (univ.pi fun i => Iio (f i)) =ᶠ[ae (Measure.pi μ)] univ.pi fun i => Iic (f i)
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a : α
h : a ∈ s
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ s.erase a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ s.erase a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯

⊢ a * (s.erase a).noncommProd comm' = s.noncommProd comm
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ ⟦l⟧
comm : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯

⊢ a * (erase ⟦l⟧ a).noncommProd comm' = noncommProd ⟦l⟧ comm
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute
h : a ∈ l

⊢ a * (l.erase a).prod = l.prod
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute
h : a ∈ l

⊢ ∀ x ∈ l, ∀ y ∈ l, x * y = y * x
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute
h : a ∈ l
x : α
hx : x ∈ l
y : α
hy : y ∈ l

⊢ x * y = y * x
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute
h : a ∈ l
x : α
hx hy : x ∈ l

⊢ x * x = x * x
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
comm✝ : {x | x ∈ ⟦l⟧}.Pairwise Commute
comm' : optParam (∀ x ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, ∀ y ∈ {x | x ∈ erase ⟦l⟧ a}, x ≠ y → Commute x y) ⋯
comm : {x | x ∈ l}.Pairwise Commute
h : a ∈ l
x : α
hx : x ∈ l
y : α
hy : y ∈ l
hxy : x ≠ y

⊢ x * y = y * x
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Lucas.lean
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

⊢ n.choose k ≡ (n % p).choose (k % p) * (n / p).choose (k / p) [MOD p]
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Lucas.lean
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

⊢ ↑(n.choose k) ≡ ↑((n % p).choose (k % p) * (n / p).choose (k / p)) [ZMOD ↑p]
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α

⊢ Measurable (s.rnDeriv μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α

⊢ Measurable fun x => (s.toJordanDecomposition.posPart.rnDeriv μ x).toReal - (s.toJordanDecomposition.negPart.rnDeriv μ x).toReal
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a a'✝ a' : α

⊢ a' ∈ (pure a).support ↔ a' ∈ {a}
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f✝ : α → β
inst✝ : Nonempty α
f : α → β
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
x' : α
hx' : x' ∈ s
he : invFunOn f s (f x) = invFunOn f s (f x')

⊢ f x = f x'
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/ContinuousLinearMap.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁷ : Ring 𝕜
inst✝⁶ : Ring 𝕜₂
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ : 𝕜 →+* 𝕜₂
f✝ : E →ₛₗ[σ] F
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair σ₂₁ σ
a : ℝ
ha : 0 < a
f : E ≃ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (x : E), ‖f x‖ = a * ‖x‖
y : F

⊢ ‖f.symm y‖ = a⁻¹ * ‖y‖
-- Mathlib/Data/Finset/Grade.lean
α : Type u_1
s t : Multiset α
a : α
h : s ⋖ t

⊢ card s ⋖ card t
-- Mathlib/Data/Finset/Grade.lean
α : Type u_1
s : Multiset α
a✝ a : α
h : s ⋖ a ::ₘ s

⊢ card s ⋖ card (a ::ₘ s)
-- Mathlib/Data/Finset/Grade.lean
α : Type u_1
s : Multiset α
a✝ a : α
h : s ⋖ a ::ₘ s

⊢ card s ⋖ card s + 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f : Perm α
n : ℤ
x : α

⊢ f ((f ^ n) x) = (f ^ n) x ↔ f x = x
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀

⊢ a * b = a * c ↔ b = c ∨ a = 0
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0

⊢ primitiveRoots n K ⊆ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots.toFinset
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n

⊢ primitiveRoots n K ⊆ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots.toFinset
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
x : K
hx : x ∈ primitiveRoots n K

⊢ x ∈ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots.toFinset
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
m : ℕ
left✝ : m < n
hcop : m.Coprime n
hx : μ ^ m ∈ primitiveRoots n K

⊢ μ ^ m ∈ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots.toFinset
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
m : ℕ
left✝ : m < n
hcop : m.Coprime n
hx : μ ^ m ∈ primitiveRoots n K

⊢ μ ^ m ∈ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
m : ℕ
left✝ : m < n
hcop : m.Coprime n
hx : μ ^ m ∈ primitiveRoots n K

⊢ μ ^ m ∈ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).roots ↔ (map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ)).IsRoot (μ ^ m)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Minpoly.lean
n : ℕ
K : Type u_1
inst✝³ : CommRing K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : CharZero K
inst✝ : DecidableEq K
hn : ¬n = 0
hpos : 0 < n
m : ℕ
left✝ : m < n
hcop : m.Coprime n
hx : μ ^ m ∈ primitiveRoots n K

⊢ map (Int.castRingHom K) (minpoly ℤ μ) ≠ 0
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hN : ¬N = 0

⊢ upcrossingsBefore a b f N ω = ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (N + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hN : ¬N = 0

⊢ upcrossingsBefore a b f N ω = ∑ i ∈ Finset.Ico (Nat.succ 0) (upcrossingsBefore a b f N ω).succ, {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i + ∑ i ∈ Finset.Ico (upcrossingsBefore a b f N ω).succ N.succ, {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hN : ¬N = 0
h₁ : ∀ k ∈ Finset.Ico 1 (upcrossingsBefore a b f N ω + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 k = 1

⊢ upcrossingsBefore a b f N ω = ∑ i ∈ Finset.Ico (Nat.succ 0) (upcrossingsBefore a b f N ω).succ, {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i + ∑ i ∈ Finset.Ico (upcrossingsBefore a b f N ω).succ N.succ, {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hN : ¬N = 0
h₁ : ∀ k ∈ Finset.Ico 1 (upcrossingsBefore a b f N ω + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 k = 1
h₂ : ∀ k ∈ Finset.Ico (upcrossingsBefore a b f N ω + 1) (N + 1), {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 k = 0

⊢ upcrossingsBefore a b f N ω = ∑ i ∈ Finset.Ico (Nat.succ 0) (upcrossingsBefore a b f N ω).succ, {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i + ∑ i ∈ Finset.Ico (upcrossingsBefore a b f N ω).succ N.succ, {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}.indicator 1 i
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set ℝ
f f' : ℝ → ℝ
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : ℝ → F

⊢ ∫ (x : ℝ) in f '' s, g x = ∫ (x : ℝ) in s, |f' x| • g (f x)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : ↥s

⊢ ↑((orthogonalProjection s) ↑p) = ↑p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : ↥s

⊢ ↑p ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
s : Set α
x : α
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction H α
inst✝ : SMulCommClass H G α
g : H

⊢ fundamentalFrontier G (g • s) = g • fundamentalFrontier G s
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
ι : Sort v
t : ι → TopologicalSpace α
s : Set α

⊢ IsClosed s ↔ ∀ (i : ι), IsClosed s