ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
k : ℕ
r' : ℝ≥0
h0 : 0 < r'
hr' : ↑r + ↑r' < p.radius

⊢ Summable fun s => ‖p (k + s.fst)‖₊ * r ^ s.fst
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)

⊢ span {↑(absNorm I)} = comap (algebraMap ℤ S) I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime

⊢ span {↑(absNorm I)} = comap (algebraMap ℤ S) I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime

⊢ comap (algebraMap ℤ S) I ≠ ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime

⊢ span {↑(absNorm I)} ≤ comap (algebraMap ℤ S) I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
I : Ideal S
hI : Nat.Prime (absNorm I)
this : (span {↑(absNorm I)}).IsPrime

⊢ span {↑(absNorm I)} ≠ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
a₂ : 𝕎 k

⊢ solution p a₁ a₂ ^ p * a₁.coeff 0 = solution p a₁ a₂ * a₂.coeff 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
a₂ : 𝕎 k
this : solution p a₁ a₂ ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0

⊢ solution p a₁ a₂ ^ p * a₁.coeff 0 = solution p a₁ a₂ * a₂.coeff 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
a₂ : 𝕎 k
this : solution p a₁ a₂ ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0
q : ℕ
hq : p = q.succ

⊢ solution p a₁ a₂ ^ p * a₁.coeff 0 = solution p a₁ a₂ * a₂.coeff 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
a₂ : 𝕎 k
this : solution p a₁ a₂ ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0
q : ℕ
hq : p = q.succ
hq' : q = p - 1

⊢ solution p a₁ a₂ ^ p * a₁.coeff 0 = solution p a₁ a₂ * a₂.coeff 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
a₂ : 𝕎 k
this : solution p a₁ a₂ ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0
q : ℕ
hq : p = q.succ
hq' : q = p - 1

⊢ solution p a₁ a₂ ^ q.succ * a₁.coeff 0 = solution p a₁ a₂ * a₂.coeff 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
a₂ : 𝕎 k
this : solution p a₁ a₂ ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0
q : ℕ
hq : p = q.succ
hq' : q = p - 1

⊢ solution p a₁ a₂ * (a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0) * a₁.coeff 0 = solution p a₁ a₂ * a₂.coeff 0
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
T : s.Terminates
a : α
h : a ∈ s

⊢ s.Results a s.length
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
T : s.Terminates
a : α
h : a ∈ s

⊢ s.Results s.get s.length
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
hf : LipschitzWith K f
s : Set α

⊢ diam (f '' s) ≤ ↑K * diam s
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
hf : LipschitzWith K f
s : Set α

⊢ ∀ x ∈ f '' s, ∀ y ∈ f '' s, edist x y ≤ ↑K * diam s
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
hf : LipschitzWith K f
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s

⊢ edist (f x) (f y) ≤ ↑K * diam s
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
c' : ℤ := ↑g 1 0
c : ℝ := ↑c'

⊢ |↑g 1 0| ≤ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
c' : ℤ := ↑g 1 0
c : ℝ := ↑c'

⊢ 3 * c ^ 2 < 4
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
c' : ℤ := ↑g 1 0
c : ℝ := ↑c'
hc : c ≠ 0

⊢ 9 * c ^ 4 < 16
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
c' : ℤ := ↑g 1 0
c : ℝ := ↑c'
hc : 0 < c ^ 4

⊢ 9 * c ^ 4 < 16
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
c' : ℤ := ↑g 1 0
c : ℝ := ↑c'
hc : 0 < c ^ 4
h₁ : 3 * 3 * c ^ 4 < 4 * (g • z).im ^ 2 * (4 * z.im ^ 2) * c ^ 4

⊢ 9 * c ^ 4 < 16
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
c' : ℤ := ↑g 1 0
c : ℝ := ↑c'
hc : 0 < c ^ 4
h₁ : 3 * 3 * c ^ 4 < 4 * (g • z).im ^ 2 * (4 * z.im ^ 2) * c ^ 4
h₂ : (c * z.im) ^ 4 / normSq (denom (↑g) z) ^ 2 ≤ 1

⊢ 9 * c ^ 4 < 16
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟ᵒ
hg : g • z ∈ 𝒟ᵒ
c' : ℤ := ↑g 1 0
c : ℝ := ↑c'
hc : 0 < c ^ 4
h₁ : 3 * 3 * c ^ 4 < 4 * (g • z).im ^ 2 * (4 * z.im ^ 2) * c ^ 4
h₂ : (c * z.im) ^ 4 / normSq (denom (↑g) z) ^ 2 ≤ 1
nsq : ℝ := normSq (denom (↑g) z)

⊢ 9 * c ^ 4 < 16
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
x y : E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E

⊢ y ∈ openSegment 𝕜 x y ↔ x = y
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) s
k : ι
hk : μ (s k) ≠ ⊤

⊢ μ (⋂ i, s i) = ⨅ i, μ (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) s
k : ι
hk : μ (s k) ≠ ⊤
this : ∀ t ⊆ s k, μ t ≠ ⊤

⊢ μ (⋂ i, s i) = ⨅ i, μ (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) s
k : ι
hk : μ (s k) ≠ ⊤
this : ∀ t ⊆ s k, μ t ≠ ⊤

⊢ μ (s k) - ⨆ i, μ (s k \ s i) = μ (s k) - ⨆ i, μ (s k) - μ (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) s
k : ι
hk : μ (s k) ≠ ⊤
this : ∀ t ⊆ s k, μ t ≠ ⊤

⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun i => s k \ s i
-- Mathlib/Data/Fintype/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
p q : α → Prop
inst✝² : Fintype { x // p x }
inst✝¹ : Fintype { x // q x }
inst✝ : Fintype { x // p x ∨ q x }

⊢ card { x // p x ∨ q x } ≤ card { x // p x } + card { x // q x }
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
k n m : ℕ
H : Raised n m

⊢ Raised (n + k) (m + k)
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
k n m : ℕ
H : Raised n m

⊢ Raised (k + n) (k + m)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a b : α
s✝ s : Finset β
f : β → α

⊢ HasProd (f ∘ Subtype.val) (∏ b ∈ s, f b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a b : α
s✝ s : Finset β
f : β → α

⊢ HasProd (f ∘ Subtype.val) (∏ x ∈ s.attach, f ↑x)
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
g : G
P : Sylow p G

⊢ g • P = P ↔ g ∈ (↑P).normalizer
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
g : G
P : Sylow p G

⊢ (∀ (x : G), x ∈ P ↔ x ∈ g • P) ↔ ∀ (h : G), h ∈ ↑P ↔ g⁻¹ * h * g ∈ ↑P
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean

⊢ Irrational ψ
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
this : Irrational √↑5

⊢ Irrational ψ
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
this✝ : Irrational √↑5
this : Irrational (↑1 - √↑5)

⊢ Irrational ψ
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
this✝¹ : Irrational √↑5
this✝ : Irrational (↑1 - √↑5)
this : Irrational (↑0.5 * (↑1 - √↑5))

⊢ Irrational ψ
-- Mathlib/Algebra/Lie/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : A ⊗[R] L

⊢ ⁅x, x⁆ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : A ⊗[R] L

⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) x) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : A ⊗[R] L

⊢ ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) 0) 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : A ⊗[R] L

⊢ ∀ (x : A) (y : L), ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (x ⊗ₜ[R] y)) (x ⊗ₜ[R] y) = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : A ⊗[R] L

⊢ ∀ (x y : A ⊗[R] L), ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) x) x = 0 → ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) y) y = 0 → ((LieAlgebra.ExtendScalars.bracket' R A L L) (x + y)) (x + y) = 0
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A

⊢ ↑(ℜ a) + I • ↑(ℑ a) = a
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K

⊢ (-x).num * x.denom = -x.num * (-x).denom
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0

⊢ weightSpace M (-α + ⇑(chainBot α β)) = ⊥
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r ε : ℝ
L : E →L[𝕜] F
x y z : E
hy : y ∈ closedBall x (r / 2)
hz : z ∈ closedBall x (r / 2)
r' : ℝ
r'mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ ball x r', ∀ z ∈ ball x r', ‖f z - f y - L (z - y)‖ < ε * r

⊢ ‖f z - f y - L (z - y)‖ ≤ ε * r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r ε : ℝ
L : E →L[𝕜] F
x y z : E
hy : y ∈ closedBall x (r / 2)
hz : z ∈ closedBall x (r / 2)
r' : ℝ
r'mem : r' ∈ Ioc (r / 2) r
hr' : ∀ y ∈ ball x r', ∀ z ∈ ball x r', ‖f z - f y - L (z - y)‖ < ε * r

⊢ ‖f z - f y - L (z - y)‖ < ε * r
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.28046, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C

⊢ S.v₀₁.τ₃ ≫ S.v₁₂.τ₃ = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x

⊢ ∀ (x : 𝕎 R), select P x + select (fun i => ¬P i) x = x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R

⊢ ∀ (n : ℕ), (ghostComponent n) (select P x + select (fun i => ¬P i) x) = (ghostComponent n) x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ (ghostComponent n) (select P x + select (fun i => ¬P i) x) = (ghostComponent n) x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ (ghostComponent n) (select P x) + (ghostComponent n) (select (fun i => ¬P i) x) = (ghostComponent n) x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ (bind₁ (selectPoly P)) (wittPolynomial p ℤ n) + (bind₁ (selectPoly fun i => ¬P i)) (wittPolynomial p ℤ n) = wittPolynomial p ℤ n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), C ↑p ^ x * ((if P x then X x else 0) ^ p ^ (n - x) + (if ¬P x then X x else 0) ^ p ^ (n - x)) = ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), C ↑p ^ x * X x ^ p ^ (n - x)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ ∀ x ∈ Finset.range (n + 1), C ↑p ^ x * ((if P x then X x else 0) ^ p ^ (n - x) + (if ¬P x then X x else 0) ^ p ^ (n - x)) = C ↑p ^ x * X x ^ p ^ (n - x)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R
n m : ℕ
x✝ : m ∈ Finset.range (n + 1)

⊢ (if P m then X m else 0) ^ p ^ (n - m) + (if ¬P m then X m else 0) ^ p ^ (n - m) = X m ^ p ^ (n - m)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
this : IsPoly p fun {R} [CommRing R] x => select P x + select (fun i => ¬P i) x
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x : 𝕎 R
n m : ℕ
x✝ : m ∈ Finset.range (n + 1)

⊢ (if P m then X m ^ p ^ (n - m) else 0) + (if ¬P m then X m else 0) ^ p ^ (n - m) = X m ^ p ^ (n - m)
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)

⊢ s ∈ f ×ˢ g ↔ ∃ t ∈ g, ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ y ∈ t, (x, y) ∈ s
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)

⊢ (∃ t ∈ g, ∀ᶠ (y : α) in f, ∀ x ∈ t, (x, y) ∈ (fun p => (p.2, p.1)) ⁻¹' s) ↔ ∃ t ∈ g, ∀ᶠ (x : α) in f, ∀ y ∈ t, (x, y) ∈ s
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m✝ n✝ : ℤ
m n : ℕ
h : n.succ ≤ m

⊢ ofNat m + -[n+1] = ofNat (m - n.succ)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
coeff✝¹ coeff✝ : ℕ → R
h : ∀ (n : ℕ), coeff✝¹ n = coeff✝ n

⊢ { coeff := coeff✝¹ } = { coeff := coeff✝ }
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ

⊢ WithBot.map (⇑ofDual) s.max = (image (⇑ofDual) s).min
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ

⊢ WithBot.map (⇑ofDual) s.max = s.inf (WithTop.some ∘ ⇑ofDual)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ

⊢ s * closedBall 1 δ = cthickening δ s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ

⊢ s * closedBall 1 δ = ⋃ x ∈ s, closedBall x δ
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x✝ y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ
x : E

⊢ x ∈ s * closedBall 1 δ ↔ x ∈ ⋃ x ∈ s, closedBall x δ
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
hN' : N ≤ 4096

⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ 1
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
hN' : N ≤ 4096

⊢ ↑N ≤ rexp (4 ^ 2)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
hN' : N ≤ 4096

⊢ ↑N ≤ rexp 16
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
hN' : N ≤ 4096

⊢ ↑N ≤ 4096
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y Z : C
f : J → C
g h : X ⟶ Y ⊗ Z ⊗ ⨁ f
w : ∀ (j : J), g ≫ Y ◁ Z ◁ biproduct.π f j = h ≫ Y ◁ Z ◁ biproduct.π f j

⊢ g = h
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y Z : C
f : J → C
g h : X ⟶ Y ⊗ Z ⊗ ⨁ f
w : ∀ (j : J), g ≫ Y ◁ Z ◁ biproduct.π f j = h ≫ Y ◁ Z ◁ biproduct.π f j

⊢ g ≫ (α_ Y Z (⨁ f)).inv = h ≫ (α_ Y Z (⨁ f)).inv
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
h : OpenEmbedding ⇑f

⊢ ⋯.functor.IsContinuous (Opens.grothendieckTopology ↑X) (Opens.grothendieckTopology ↑Y)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
h : OpenEmbedding ⇑f

⊢ CompatiblePreserving (Opens.grothendieckTopology ↑Y) ⋯.functor
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : TopCat
f : X ⟶ Y
F : TopCat.Presheaf C Y
h : OpenEmbedding ⇑f

⊢ CoverPreserving (Opens.grothendieckTopology ↑X) (Opens.grothendieckTopology ↑Y) ⋯.functor
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ Tendsto sin (𝓝[<] (π / 2)) (𝓝 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ 1 = sin (π / 2)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝ : Field F
x y : F

⊢ basisDivisor x x = 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
u : F → E
f : Filter F
y₀ : E

⊢ Tendsto u f (𝓝 y₀) ↔ ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (p i) (u x - y₀) < ε
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
u : F → E
f : Filter F
y₀ : E

⊢ (∀ (s : Finset ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (s.sup p) (u x - y₀) < ε) ↔ ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in f, (p i) (u x - y₀) < ε
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
P : MvPolynomial σ R → Prop
p : MvPolynomial σ R
h1 : ∀ (u : σ →₀ ℕ) (a : R), P ((monomial u) a)
h2 : ∀ (p q : MvPolynomial σ R), P p → P q → P (p + q)
this : P ((monomial 0) 0)

⊢ P 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
p : ℕ

⊢ p ∈ (a * b).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∪ b.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
b p : ℕ
hab : Coprime 0 b

⊢ p ∈ (0 * b).primeFactorsList ↔ p ∈ primeFactorsList 0 ∪ b.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
p : ℕ
ha : a > 0

⊢ p ∈ (a * b).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∪ b.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a p : ℕ
ha : a > 0
hab : a.Coprime 0

⊢ p ∈ (a * 0).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∪ primeFactorsList 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
hab : a.Coprime b
p : ℕ
ha : a > 0
hb : b > 0

⊢ p ∈ (a * b).primeFactorsList ↔ p ∈ a.primeFactorsList ∪ b.primeFactorsList
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
x₀ : X
h₁ : Tendsto F l (𝓝 f)
h₂ : EquicontinuousAt F x₀

⊢ ContinuousAt f x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
x₀ : X
h₁ : ∀ (x : X), Tendsto (fun i => F i x) l (𝓝 (f x))
h₂ : EquicontinuousWithinAt F univ x₀

⊢ ContinuousWithinAt f univ x₀
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t.Finite

⊢ { x // x ∈ hs.toFinset } = ↑s