ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α

⊢ DevosMulRel x y ↔ (x.1 * x.2).card < (y.1 * y.2).card ∨ (x.1 * x.2).card = (y.1 * y.2).card ∧ y.1.card + y.2.card < x.1.card + x.2.card ∨ (x.1 * x.2).card = (y.1 * y.2).card ∧ x.1.card + x.2.card = y.1.card + y.2.card ∧ x.1.card < y.1.card
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a✝ b✝ c d : α
p : β → β → Prop
a b : α
f : α → β
h : ∀ (a b : α), r a b → ReflTransGen p (f a) (f b)
hab : ReflTransGen r a b

⊢ ReflTransGen p (f a) (f b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι

⊢ f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι

⊢ f a - f (∅.piecewise b a) = ∑ i ∈ ∅, f fun j => if j ∈ ∅ → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j

⊢ f a - f ((insert k s).piecewise b a) = ∑ i ∈ insert k s, f fun j => if j ∈ insert k s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j

⊢ (f (update (s.piecewise b a) k (s.piecewise b a k - b k)) + ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j) = (f fun j => if j ∈ insert k s → j < k then a j else if k = j then a j - b j else b j) + ∑ x ∈ s, f fun j => if j ∈ insert k s → j < x then a j else if x = j then a j - b j else b j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j

⊢ (f (update (s.piecewise b a) k (s.piecewise b a k - b k)) + ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j) = (f fun j => if j = k ∨ j ∈ s → j < k then a j else if k = j then a j - b j else b j) + ∑ x ∈ s, f fun j => if j = k ∨ j ∈ s → j < x then a j else if x = j then a j - b j else b j
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
k✝ : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
k : ℕ
ih : k ≤ Fintype.card α → ∑ r ∈ range (k + 1), ↑(𝒜 # (Fintype.card α - r)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - r)) ≤ ↑(falling (Fintype.card α - k) 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - k))
hk : k + 1 ≤ Fintype.card α

⊢ ∑ r ∈ range (k + 1 + 1), ↑(𝒜 # (Fintype.card α - r)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - r)) ≤ ↑(falling (Fintype.card α - (k + 1)) 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - (k + 1)))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
k✝ : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
k : ℕ
ih : k ≤ Fintype.card α → ∑ r ∈ range (k + 1), ↑(𝒜 # (Fintype.card α - r)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - r)) ≤ ↑(falling (Fintype.card α - k) 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - k))
hk : k + 1 ≤ Fintype.card α

⊢ ↑(𝒜 # (Fintype.card α - (k + 1))).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - (k + 1))) + ∑ x ∈ range (k + 1), ↑(𝒜 # (Fintype.card α - x)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - x)) ≤ ↑(𝒜 # (Fintype.card α - (k + 1))).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - (k + 1))) + ↑(∂ (falling (Fintype.card α - (k + 1) + 1) 𝒜)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - (k + 1)))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
k✝ : ℕ
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Fintype α
h𝒜 : IsAntichain (fun x x_1 => x ⊆ x_1) ↑𝒜
k : ℕ
ih : k ≤ Fintype.card α → ∑ r ∈ range (k + 1), ↑(𝒜 # (Fintype.card α - r)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - r)) ≤ ↑(falling (Fintype.card α - k) 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - k))
hk : k + 1 ≤ Fintype.card α

⊢ ↑(𝒜 # (Fintype.card α - k - 1)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - k - 1)) + ∑ x ∈ range (k + 1), ↑(𝒜 # (Fintype.card α - x)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - x)) ≤ ↑(𝒜 # (Fintype.card α - k - 1)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - k - 1)) + ↑(∂ (falling (Fintype.card α - k) 𝒜)).card / ↑((Fintype.card α).choose (Fintype.card α - k - 1))
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X

⊢ IsClosed {p | p.1 ⤳ p.2}
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α

⊢ ∃ s, Nonempty (α ≃ᵐ ↑s)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α

⊢ Measurable ⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯).symm
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α

⊢ ∀ t ∈ range (natGeneratingSequence α), MeasurableSet (⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯).symm ⁻¹' t)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
n : ℕ

⊢ MeasurableSet (⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯).symm ⁻¹' natGeneratingSequence α n)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
n : ℕ

⊢ MeasurableSet (⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯) '' natGeneratingSequence α n)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
n : ℕ

⊢ Subtype.val ⁻¹' {y | y n = true} = ⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯) '' natGeneratingSequence α n
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : CountablyGenerated α
inst✝ : SeparatesPoints α
n : ℕ

⊢ ⇑(Equiv.ofInjective (mapNatBool α) ⋯) ⁻¹' (Subtype.val ⁻¹' {y | y n = true}) = natGeneratingSequence α n
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t

⊢ ∫⁻ (b : β) in s, (κ.condKernel (a, b)) t ∂κ.fst a = (κ a) (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
this : (κ a) (s ×ˢ t) = ((κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a) (s ×ˢ t)

⊢ ∫⁻ (b : β) in s, (κ.condKernel (a, b)) t ∂κ.fst a = (κ a) (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t
this : (κ a) (s ×ˢ t) = ((κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a) (s ×ˢ t)

⊢ ∫⁻ (b : β) in s, (κ.condKernel (a, b)) t ∂κ.fst a = ∫⁻ (b : β), (κ.condKernel (a, b)) {c | (b, c) ∈ s ×ˢ t} ∂κ.fst a
-- Mathlib/Data/Nat/WithBot.lean
a✝¹ a✝ : ℕ

⊢ ↑a✝¹ + ↑a✝ = 2 ↔ ↑a✝¹ = 0 ∧ ↑a✝ = 2 ∨ ↑a✝¹ = 1 ∧ ↑a✝ = 1 ∨ ↑a✝¹ = 2 ∧ ↑a✝ = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
a : ONote
m : ℕ+
b : ONote
iha : a.FundamentalSequenceProp a.fundamentalSequence
ihb : b.FundamentalSequenceProp b.fundamentalSequence

⊢ (a.oadd m b).FundamentalSequenceProp (match b.fundamentalSequence with | Sum.inr f => Sum.inr fun i => a.oadd m (f i) | Sum.inl (some b') => Sum.inl (some (a.oadd m b')) | Sum.inl none => match a.fundamentalSequence, m.natPred with | Sum.inl none, 0 => Sum.inl (some zero) | Sum.inl none, m.succ => Sum.inl (some (zero.oadd m.succPNat zero)) | Sum.inl (some a'), 0 => Sum.inr fun i => a'.oadd i.succPNat zero | Sum.inl (some a'), m.succ => Sum.inr fun i => a.oadd m.succPNat (a'.oadd i.succPNat zero) | Sum.inr f, 0 => Sum.inr fun i => (f i).oadd 1 zero | Sum.inr f, m.succ => Sum.inr fun i => a.oadd m.succPNat ((f i).oadd 1 zero))
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
a : ONote
m : ℕ+
b : ONote
iha : a.FundamentalSequenceProp a.fundamentalSequence
ihb : b = 0
e : b.fundamentalSequence = Sum.inl none

⊢ match match a.fundamentalSequence, m.natPred with | Sum.inl none, 0 => Sum.inl (some zero) | Sum.inl none, m.succ => Sum.inl (some (zero.oadd m.succPNat zero)) | Sum.inl (some a'), 0 => Sum.inr fun i => a'.oadd i.succPNat zero | Sum.inl (some a'), m.succ => Sum.inr fun i => a.oadd m.succPNat (a'.oadd i.succPNat zero) | Sum.inr f, 0 => Sum.inr fun i => (f i).oadd 1 zero | Sum.inr f, m.succ => Sum.inr fun i => a.oadd m.succPNat ((f i).oadd 1 zero) with | Sum.inl none => a.oadd m b = 0 | Sum.inl (some a_1) => (a.oadd m b).repr = succ a_1.repr ∧ ((a.oadd m b).NF → a_1.NF) | Sum.inr f => (a.oadd m b).repr.IsLimit ∧ (∀ (i : ℕ), f i < f (i + 1) ∧ f i < a.oadd m b ∧ ((a.oadd m b).NF → (f i).NF)) ∧ ∀ a_1 < (a.oadd m b).repr, ∃ i, a_1 < (f i).repr
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
a : ONote
m : ℕ+
b : ONote
iha : a.FundamentalSequenceProp a.fundamentalSequence
b' : ONote
ihb : b.repr = succ b'.repr ∧ (b.NF → b'.NF)
e : b.fundamentalSequence = Sum.inl (some b')

⊢ (a.oadd m b).repr = succ (a.oadd m b').repr ∧ ((a.oadd m b).NF → (a.oadd m b').NF)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
a : ONote
m : ℕ+
b : ONote
iha : a.FundamentalSequenceProp a.fundamentalSequence
f : ℕ → ONote
ihb : b.repr.IsLimit ∧ (∀ (i : ℕ), f i < f (i + 1) ∧ f i < b ∧ (b.NF → (f i).NF)) ∧ ∀ a < b.repr, ∃ i, a < (f i).repr
e : b.fundamentalSequence = Sum.inr f

⊢ (a.oadd m b).repr.IsLimit ∧ (∀ (i : ℕ), a.oadd m (f i) < a.oadd m (f (i + 1)) ∧ a.oadd m (f i) < a.oadd m b ∧ ((a.oadd m b).NF → (a.oadd m (f i)).NF)) ∧ ∀ a_1 < (a.oadd m b).repr, ∃ i, a_1 < (a.oadd m (f i)).repr
-- Mathlib/Algebra/Lie/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module.Free R L
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : IsKilling R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
I : LieIdeal R L
inst✝ : IsLieAbelian ↥↑I

⊢ I = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module.Free R L
inst✝⁴ : Module.Finite R L
inst✝³ : IsKilling R L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
I : LieIdeal R L
inst✝ : IsLieAbelian ↥↑I

⊢ I ≤ LieIdeal.killingCompl R L ⊤
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r f : R[X]
a : R

⊢ f.natDegree + (C a).natDegree = f.natDegree + 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f

⊢ UniformConcaveOn s φ (-f)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝ y✝ : E
f g : E → ℝ
hf : UniformConvexOn s φ f
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ -(-f) (a • x + b • y) ≤ -(a • (-f) x + b • (-f) y + a * b * φ ‖x - y‖)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X✝ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X✝
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
s : (i : ι) → Set (X i)
h : ∀ (i : ι), IsCompact (s i)

⊢ IsCompact (univ.pi s)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X✝ : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X✝
X : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
s : (i : ι) → Set (X i)
h : ∀ (i : ι), IsCompact (s i)

⊢ univ.pi s = {x | ∀ (i : ι), x i ∈ s i}
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ a ∈ [[b, c]] ↔ b ≤ a ∧ a ≤ c ∨ c ≤ a ∧ a ≤ b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : T1Space E
hxy : x ≠ y

⊢ ∃ f, f x < f y
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ : Set E
x y : E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : T1Space E
hxy : x ≠ y
f : E →L[ℝ] ℝ
s t : ℝ
hs : ∀ a ∈ {x}, f a < s
st : s < t
ht : ∀ b ∈ {y}, t < f b

⊢ ∃ f, f x < f y
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
M₁ M₂ : Matroid α
hE : M₁.E = M₂.E
h : ∀ ⦃B : Set α⦄, B ⊆ M₁.E → (M₁.Base B ↔ M₂.Base B)

⊢ M₁ = M₂
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
M₁ M₂ : Matroid α
hE : M₁.E = M₂.E
h : ∀ ⦃B : Set α⦄, B ⊆ M₁.E → (M₁.Base B ↔ M₂.Base B)
h' : ∀ (B : Set α), M₁.Base B ↔ M₂.Base B

⊢ M₁ = M₂
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ

⊢ ↑((starRingEnd ℂ) x).arg = -↑x.arg
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
N'₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup N'₂
inst✝² : Module R N'₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
g : N' →ₗ[R] N'₂
f : MultilinearMap R (fun x => M) N'
x✝ : ι → M

⊢ (MultilinearMap.alternatization (g.compMultilinearMap f)) x✝ = (g.compAlternatingMap (MultilinearMap.alternatization f)) x✝
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α
h : ofFn f ≠ []
hn : optParam (n - 1 < n) ⋯

⊢ (ofFn f).getLast h = f ⟨n - 1, hn⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝ : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr
this : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)

⊢ Nonempty (IsColimit c')
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝¹ : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))

⊢ Nonempty (IsColimit c')
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝¹ : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom

⊢ Nonempty (IsColimit c')
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝¹ : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'

⊢ Nonempty (IsColimit c')
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝¹ : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj X)))

⊢ Nonempty (IsColimit c')
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.162150, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} D
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝³ : Gr.Full
inst✝² : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsUniversalColimit c
inst✝¹ : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
this✝² : PreservesLimitsOfSize.{?u.164955, ?u.164954, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α.app j) f ((Gl.mapCocone c).ι.app j)
this✝ : HasPullback (Gl.map (Gr.map f)) (Gl.map (adj.unit.app c.pt))
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hadj : ∀ (X : C), Gl.map (adj.unit.app X) = inv (adj.counit.app (Gl.toPrefunctor.1 ((𝟭 C).obj X)))
this : ∀ (X : C), IsIso (Gl.map (adj.unit.app X))

⊢ Nonempty (IsColimit c')