ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_3
Y : ?m.22013
A✝ : Type ?u.22022
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace A✝
E : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace A
p : E → X
sep : IsSeparatedMap p
inj : IsLocallyInjective p
s : Set A
hs : IsPreconnected s
g g₁ g₂ : A → E
h₁ : Continuous (s.restrict g₁)
h₂ : Continuous (s.restrict g₂)
he : s.restrict (p ∘ g₁) = s.restrict (p ∘ g₂)
a : A
has : a ∈ s
ha : g₁ a = g₂ a

⊢ s.restrict g₁ = s.restrict g₂
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_3
Y : ?m.22013
A✝ : Type ?u.22022
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace A✝
E : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace A
p : E → X
sep : IsSeparatedMap p
inj : IsLocallyInjective p
s : Set A
hs : PreconnectedSpace ↑s
g g₁ g₂ : A → E
h₁ : Continuous (s.restrict g₁)
h₂ : Continuous (s.restrict g₂)
he : s.restrict (p ∘ g₁) = s.restrict (p ∘ g₂)
a : A
has : a ∈ s
ha : g₁ a = g₂ a

⊢ s.restrict g₁ = s.restrict g₂
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t

⊢ ∀ (t : Set α), (OuterMeasure.ofFunction m h₀) (t ∩ s) + (OuterMeasure.ofFunction m h₀) (t \ s) ≤ (OuterMeasure.ofFunction m h₀) t
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
t : Set α
f : ℕ → Set α
hf : t ⊆ ⋃ i, f i

⊢ (OuterMeasure.ofFunction m h₀) (t ∩ s) + (OuterMeasure.ofFunction m h₀) (t \ s) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
t : Set α
f : ℕ → Set α
hf : t ⊆ ⋃ i, f i

⊢ t ∩ s ⊆ ⋃ i, (fun i => f i ∩ s) i
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
t : Set α
f : ℕ → Set α
hf : t ⊆ ⋃ i, f i

⊢ t \ s ⊆ ⋃ i, (fun i => f i \ s) i
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
h₀ : m ∅ = 0
hs : ∀ (t : Set α), m (t ∩ s) + m (t \ s) ≤ m t
t : Set α
f : ℕ → Set α
hf : t ⊆ ⋃ i, f i

⊢ ∑' (i : ℕ), m ((fun i => f i ∩ s) i) + ∑' (i : ℕ), m ((fun i => f i \ s) i) ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf : Integrable f μ

⊢ (ν.withDensityᵥ fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal • f x) = μ.withDensityᵥ f
-- Mathlib/Order/Interval/Set/ProjIcc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ : α
f : α → β
ha : ∀ x < a, f x = f a
hb : ∀ (x : α), b < x → f x = f b
x : α

⊢ IccExtend h (f ∘ Subtype.val) x = f x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/ProjIcc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ : α
f : α → β
ha : ∀ x < a, f x = f a
hb : ∀ (x : α), b < x → f x = f b
x : α
hxa : x < a

⊢ IccExtend h (f ∘ Subtype.val) x = f x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/ProjIcc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x✝ : α
f : α → β
ha : ∀ x < a, f x = f a
hb : ∀ (x : α), b < x → f x = f b
x : α
hax : a ≤ x

⊢ IccExtend h (f ∘ Subtype.val) x = f x
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
α a : K
e : α ^ n = a

⊢ Splits (RingHom.id K) (X ^ n - C a)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/WithTop.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : LT α
s : Finset ι
f : ι → WithBot α

⊢ ∑ i ∈ s, f i = ⊥ ↔ ∃ i ∈ s, f i = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : LinearOrder m
M : Matrix m m R
h : M.BlockTriangular ⇑toDual

⊢ M.det = ∏ i : m, M i i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
M✝ N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : LinearOrder m
M : Matrix m m R
h : M.BlockTriangular ⇑toDual

⊢ Mᵀ.det = ∏ i : m, M i i
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ maximalIdeal ℤ_[p] = Ideal.span {↑p}
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ maximalIdeal ℤ_[p] ≤ Ideal.span {↑p}
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ Ideal.span {↑p} ≤ maximalIdeal ℤ_[p]
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C

⊢ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ 𝟙_ C ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv = (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C

⊢ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ 𝟙 (𝟙_ C) ▷ 𝟙_ C = (λ_ (𝟙_ C)).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C

⊢ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ 𝟙_ C ◁ 𝟙 (𝟙_ C) = (ρ_ (𝟙_ C)).inv
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
p : TangentBundle I M
q : TangentBundle I H
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).target

⊢ { proj := ↑(chartAt H p.proj).symm q.proj, snd := (mfderiv I I (↑(chartAt H p.proj).symm) q.proj) q.snd } = ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm ((TotalSpace.toProd H E) q)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
p : TangentBundle I M
q : TangentBundle I H
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).target

⊢ { proj := ↑(chartAt H p.proj).symm q.proj, snd := (fderivWithin 𝕜 (writtenInExtChartAt I I q.proj ↑(chartAt H p.proj).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I q.proj) q.proj)) q.snd } = ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm ((TotalSpace.toProd H E) q)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
p : TangentBundle I M
q : TangentBundle I H
h : q.proj ∈ (chartAt H p.proj).target

⊢ q.proj = ↑↑(achart H p.proj) (↑((chartAt H p.proj).prod (PartialHomeomorph.refl E)).symm (q.proj, q.snd)).1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : ¬Integrable (fun x => rexp (f x)) μ

⊢ μ.tilted f = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : ¬Integrable (fun x => rexp (f x)) μ

⊢ (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (rexp (f x) / 0)) = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h : σ ≠ 1

⊢ (filter (fun x => σ x = x) univ).card < Fintype.card α - 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h : σ ≠ 1

⊢ 1 < (filter (fun x => ¬σ x = x) univ).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hd : d ≠ 0
hn : 2 ≤ n

⊢ ↑d ^ (n - 2) / ↑n ≤ ↑(rothNumberNat ((2 * d - 1) ^ n))
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hd : d ≠ 0
hn : 2 ≤ n

⊢ ↑d ^ (n - 2) / ↑n = ↑(d ^ n) / ↑(n * d ^ 2)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hd : d ≠ 0
hn : 2 ≤ n

⊢ ↑d ≠ 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u

⊢ ¬G.Adj t u
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t

⊢ ¬G.Adj t u
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t

⊢ ¬G.Adj t u
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u

⊢ ¬G.Adj t u
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.CliqueFree (r + 1) ∧ ∀ (H : SimpleGraph V) [inst : DecidableRel H.Adj], H.CliqueFree (r + 1) → H.edgeFinset.card ≤ G.edgeFinset.card
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u

⊢ ¬G.Adj t u
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u

⊢ G.CliqueFree (r + 1) → ∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)

⊢ ∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)

⊢ G.edgeFinset.card < ((G.replaceVertex s t).replaceVertex s u).edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
nst : s ≠ t

⊢ G.edgeFinset.card < ((G.replaceVertex s t).replaceVertex s u).edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
nst : s ≠ t
ntu : t ≠ u

⊢ G.edgeFinset.card < ((G.replaceVertex s t).replaceVertex s u).edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
nst : s ≠ t
ntu : t ≠ u
this : ¬(G.replaceVertex s t).Adj s u

⊢ G.edgeFinset.card < ((G.replaceVertex s t).replaceVertex s u).edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
nst : s ≠ t
ntu : t ≠ u
this : ¬(G.replaceVertex s t).Adj s u

⊢ G.edgeFinset.card < G.edgeFinset.card + (G.replaceVertex s t).degree s - (G.replaceVertex s t).degree u
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
nst : s ≠ t
ntu : t ≠ u
this : ¬(G.replaceVertex s t).Adj s u
l1 : (G.replaceVertex s t).degree s = G.degree s

⊢ G.edgeFinset.card < G.edgeFinset.card + (G.replaceVertex s t).degree s - (G.replaceVertex s t).degree u
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
nst : s ≠ t
ntu : t ≠ u
this : ¬(G.replaceVertex s t).Adj s u
l1 : (G.replaceVertex s t).degree s = G.degree s
l2 : (G.replaceVertex s t).degree u = G.degree u - 1

⊢ G.edgeFinset.card < G.edgeFinset.card + (G.replaceVertex s t).degree s - (G.replaceVertex s t).degree u
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
hts : ¬G.Adj t s
hsu : ¬G.Adj s u
hst : ¬G.Adj s t
dst : G.degree s = G.degree t
dsu : G.degree s = G.degree u
h : G.Adj t u
cf : G.CliqueFree (r + 1)
nst : s ≠ t
ntu : t ≠ u
this : ¬(G.replaceVertex s t).Adj s u
l1 : (G.replaceVertex s t).degree s = G.degree s
l2 : (G.replaceVertex s t).degree u = G.degree u - 1
l3 : 0 < G.degree u

⊢ G.edgeFinset.card < G.edgeFinset.card + (G.replaceVertex s t).degree s - (G.replaceVertex s t).degree u
-- Mathlib/Data/Fintype/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
f x✝ : (a : α) → δ a

⊢ (x✝ ∈ piFinset fun i => {f i}) ↔ x✝ ∈ {f}
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Limits.lean
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B

⊢ pullback.fst f g = ((pullback.isLimit f g).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (cospan f g))).hom ≫ Limits.pullback.fst f g
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
p : P
h₁ : p ∈ s₁
h₂ : p ∈ s₂
v : V

⊢ v ∈ (s₁ ⊓ s₂).direction ↔ v ∈ s₁.direction ⊓ s₂.direction
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : IntegrableOn g A μ
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K

⊢ IntegrableOn (fun x => g x * g' x) A μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : IntegrableOn g A μ
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C

⊢ IntegrableOn (fun x => g x * g' x) A μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C

⊢ Memℒp (fun x => g x * g' x) 1 (μ.restrict A)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : Memℒp g 1 (μ.restrict A)
hg' : ContinuousOn g' K
hA : MeasurableSet A
hK : IsCompact K
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g' x‖ ≤ C
this : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict A, ‖g x * g' x‖ ≤ C * ‖g x‖

⊢ Memℒp (fun x => g x * g' x) 1 (μ.restrict A)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean

⊢ sin 0 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K : Set G
hK : IsCompact K
a✝ : { carrier := K, isCompact' := hK } ∈ univ

⊢ prehaar (↑K₀) U { carrier := K, isCompact' := hK } ∈ (fun K => Icc 0 ↑(index ↑K ↑K₀)) { carrier := K, isCompact' := hK }
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K : Set G
hK : IsCompact K
a✝ : { carrier := K, isCompact' := hK } ∈ univ

⊢ 0 ≤ prehaar (↑K₀) U { carrier := K, isCompact' := hK } ∧ prehaar (↑K₀) U { carrier := K, isCompact' := hK } ≤ ↑(index ↑{ carrier := K, isCompact' := hK } ↑K₀)
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Instances.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedSemiring α
x : ↑(Icc 0 1)

⊢ x = 0 ↔ ↑x = 0
-- Mathlib/Condensed/Light/Explicit.lean
A : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.8867, u_1} A
inst✝² : ConcreteCategory A
inst✝¹ : ReflectsFiniteLimits (CategoryTheory.forget A)
F : LightProfiniteᵒᵖ ⥤ A
inst✝ : PreservesFiniteProducts (F ⋙ CategoryTheory.forget A)
hF : EqualizerCondition (F ⋙ CategoryTheory.forget A)

⊢ IsSheaf (coherentTopology LightProfinite) F
-- Mathlib/Condensed/Light/Explicit.lean
A : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.8867, u_1} A
inst✝² : ConcreteCategory A
inst✝¹ : ReflectsFiniteLimits (CategoryTheory.forget A)
F : LightProfiniteᵒᵖ ⥤ A
inst✝ : PreservesFiniteProducts (F ⋙ CategoryTheory.forget A)
hF : EqualizerCondition (F ⋙ CategoryTheory.forget A)

⊢ IsSheaf (coherentTopology LightProfinite) (F ⋙ CategoryTheory.forget A)
-- Mathlib/Condensed/Light/Explicit.lean
A : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.8867, u_1} A
inst✝² : ConcreteCategory A
inst✝¹ : ReflectsFiniteLimits (CategoryTheory.forget A)
F : LightProfiniteᵒᵖ ⥤ A
inst✝ : PreservesFiniteProducts (F ⋙ CategoryTheory.forget A)
hF : EqualizerCondition (F ⋙ CategoryTheory.forget A)

⊢ Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ CategoryTheory.forget A)) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ CategoryTheory.forget A)
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
hf : HasDerivAt e e' ↑z

⊢ HasDerivAt (fun y => e ↑y) e' z
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V × V
hx1 : x.1 ≠ 0
hx2 : x.2 ≠ 0

⊢ ContinuousAt (fun y => o.oangle y.1 y.2) x
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V × V
hx1 : x.1 ≠ 0
hx2 : x.2 ≠ 0

⊢ (o.kahler x.1) x.2 ≠ 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V × V
hx1 : x.1 ≠ 0
hx2 : x.2 ≠ 0

⊢ ContinuousAt (fun y => (o.kahler y.1) y.2) x
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
n m : ℕ
hm : n ≠ m

⊢ (2 ^ n).testBit m = false
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
n m : ℕ
hm : n ≠ m

⊢ (1 &&& 2 ^ n / 2 ^ m != 0) = false
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
n m : ℕ
hm✝ : n ≠ m
hm : n < m

⊢ (1 &&& 2 ^ n / 2 ^ m != 0) = false
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
n m : ℕ
hm✝ : n ≠ m
hm : m < n

⊢ (1 &&& 2 ^ n / 2 ^ m != 0) = false
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂✝ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
l₁ l₂ : List α
a : α

⊢ l₁ <+: l₂ ++ [a] ↔ l₁ = l₂ ++ [a] ∨ l₁ <+: l₂
-- Mathlib/Data/Multiset/FinsetOps.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s t : Multiset α
h : s ⊆ t

⊢ s.ndinter t = s
-- Mathlib/Data/Multiset/FinsetOps.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a✝ b✝ : List α
h : Quot.mk Setoid.r a✝ ⊆ Quot.mk Setoid.r b✝

⊢ ndinter (Quot.mk Setoid.r a✝) (Quot.mk Setoid.r b✝) = Quot.mk Setoid.r a✝