ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
N : ℕ∞
hg : ContDiff 𝕜 N g
hf : ContDiff 𝕜 N f
hn : ↑n ≤ N
x : E
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDeriv 𝕜 i g (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ ≤ D ^ i

⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (g ∘ f) x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
N : ℕ∞
hg : ContDiff 𝕜 N g
hf : ContDiff 𝕜 N f
hn : ↑n ≤ N
x : E
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g univ (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ x‖ ≤ D ^ i

⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) univ x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
F : Filter X

⊢ ClusterPt x F ↔ ∀ s ∈ F, x ∈ closure s
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
F : Filter X

⊢ (∀ ⦃s : Set X⦄, s ∈ 𝓝 x → ∀ ⦃s' : Set X⦄, s' ∈ F → (s ∩ s').Nonempty) ↔ ∀ s ∈ F, ∀ t ∈ 𝓝 x, (t ∩ s).Nonempty
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a✝ : M
p : M → Prop
hom : ∀ (a b : M), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
a : M
l : List M
ih : (∀ x ∈ l, p x) → p l.prod
base : ∀ x ∈ a :: l, p x

⊢ p (a :: l).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a✝ : M
p : M → Prop
hom : ∀ (a b : M), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
a : M
l : List M
ih : (∀ x ∈ l, p x) → p l.prod
base : ∀ x ∈ a :: l, p x

⊢ p (a * l.prod)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a✝ : M
p : M → Prop
hom : ∀ (a b : M), p a → p b → p (a * b)
unit : p 1
a : M
l : List M
ih : (∀ x ∈ l, p x) → p l.prod
base : p a ∧ ∀ a ∈ l, p a

⊢ p (a * l.prod)
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain R
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_3
L✝ : Type u_4
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : CommRing L✝
inst✝⁹ : Nontrivial L✝
inst✝⁸ : Algebra R L✝
inst✝⁷ : Algebra S L✝
inst✝⁶ : Algebra K L✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R S L✝
inst✝³ : IsIntegrallyClosed R
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra K S
inst✝ : IsScalarTower R K S
s : S
hs : IsIntegral R s
L : Type u_2 := FractionRing S

⊢ minpoly K s = map (algebraMap R K) (minpoly R s)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
υ : Type u_6
f : σ → MvPolynomial τ R
g : τ → MvPolynomial υ R
φ : MvPolynomial σ R

⊢ (bind₁ g) ((bind₁ f) φ) = (bind₁ fun i => (bind₁ g) (f i)) φ
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
G : Type u_6
H : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : CommGroup H
φ : G →* H
ψ : M →* G
x✝ : M

⊢ (φ.comp ψ⁻¹) x✝ = (φ.comp ψ)⁻¹ x✝
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n e : ℤ
he : b = a * e
f : ℤ
hf : d = c * f

⊢ b * d = a * c * (e * f)
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
f : PushoutI φ →* K
i : ι

⊢ ((fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)).1 i).comp (φ i) = (fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)).2
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
x✝ : PushoutI φ →* K

⊢ ∀ (i : ι), ((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ((fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩) x✝)).comp (of i) = x✝.comp (of i)
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
x✝ : PushoutI φ →* K

⊢ ((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ((fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩) x✝)).comp (base φ) = x✝.comp (base φ)
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
x✝ : { f // ∀ (i : ι), (f.1 i).comp (φ i) = f.2 }
fst✝ : (i : ι) → G i →* K
snd✝ : H →* K
property✝ : ∀ (i : ι), ((fst✝, snd✝).1 i).comp (φ i) = (fst✝, snd✝).2

⊢ (fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩) ((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ⟨(fst✝, snd✝), property✝⟩) = ⟨(fst✝, snd✝), property✝⟩
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x : R

⊢ x ∈ localizationLocalizationSubmodule M N ↔ ∃ y z, (algebraMap R S) x = ↑y * (algebraMap R S) ↑z
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x : R

⊢ (∃ y ∈ N, ∃ z ∈ Submonoid.map (algebraMap R S) M, y * z = (algebraMap R S) x) ↔ ∃ y z, (algebraMap R S) x = ↑y * (algebraMap R S) ↑z
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i j : Fin (n + 1)
hi : i ≠ last n
hj : j ≠ last n

⊢ i.castPred hi = j.castPred hj ↔ i = j
-- Mathlib/Algebra/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
inhabited_h : Inhabited P

⊢ Subsingleton G ↔ Subsingleton P
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
X Y : Ω → E
hXY : X =ᶠ[ae ℙ] Y

⊢ pdf X ℙ μ = pdf Y ℙ μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projection.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
x : E

⊢ x ∈ ker (id - p.subtype ∘ₗ f) ↔ x ∈ p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projection.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : E →ₗ[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
x : E

⊢ x = ↑(f x) ↔ x ∈ p
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α

⊢ |a| ≤ 1 ↔ a * a ≤ 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Metric.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : 0 < G.dist u v

⊢ Set.univ.Nonempty
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Metric.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : 0 < sInf (Set.range Walk.length)

⊢ Set.univ.Nonempty
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K : Set X
hK : IsCompact K

⊢ (𝓝ˢ K).lift' closure = 𝓝ˢ K
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝ˢ K

⊢ U ∈ (𝓝ˢ K).lift' closure
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K : Set X
hK : IsCompact K
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝ˢ K
V : Set X
hVo : IsOpen V
hKV : K ⊆ V
hVU : closure V ⊆ U

⊢ U ∈ (𝓝ˢ K).lift' closure
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
s : ι → ℝ≥0∞
inst✝ : Nonempty ι

⊢ a + iSup s = ⨆ b, a + s b
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
s : ι → ℝ≥0∞
inst✝ : Nonempty ι

⊢ ⨆ b, s b + a = ⨆ b, a + s b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
n : ℕ

⊢ (C x * X).coeff n = if n = 1 then x else 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hD : D.PosDef
inst✝ : Invertible D

⊢ (fromBlocks A B Bᴴ D).PosSemidef ↔ (A - B * D⁻¹ * Bᴴ).PosSemidef
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing 𝕜
inst✝⁶ : PartialOrder 𝕜
inst✝⁵ : StarRing 𝕜
inst✝⁴ : StarOrderedRing 𝕜
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
A : Matrix m m 𝕜
B : Matrix m n 𝕜
D : Matrix n n 𝕜
hD : D.PosDef
inst✝ : Invertible D

⊢ (fromBlocks D Bᴴ B A).PosSemidef ↔ (A - B * D⁻¹ * Bᴴ).PosSemidef
-- Mathlib/Logic/Embedding/Set.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
s✝ t r✝ : Set α
s : ι → Set α
h : Pairwise (Disjoint on s)
i : ι
r : Set α

⊢ ↑(Sigma.mk i ⁻¹' (⇑(sigmaSet h) ⁻¹' r)) = r ∩ s i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α

⊢ ⨆ i, (μ.restrict (spanningSets μ i)) s = μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α

⊢ ⨆ i, (μ.restrict (spanningSets μ i)) s = ⨆ i, (μ.restrict (spanningSets μ i)) (toMeasurable μ s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing α
a b : α

⊢ ‖a * b‖₊ ≤ ‖a‖₊ * ‖b‖₊
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha✝ : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
r : R
h_spec : spectrum R a ⊆ {r}
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ a = (algebraMap R A) r
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X
s : Set ↑Γ(X, ⊤)

⊢ ⇑X.isoSpec.hom.val.base '' X.zeroLocus s = PrimeSpectrum.zeroLocus s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X
s : Set ↑Γ(X, ⊤)

⊢ Function.Surjective ⇑X.isoSpec.hom.val.base
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α

⊢ a⁻¹ ^ 0 = (a ^ 0)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℕ

⊢ a⁻¹ ^ (n + 1) = (a ^ (n + 1))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
s : Set (E →L[𝕜] F)
x : E

⊢ fderiv 𝕜 f x ∈ s ↔ DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ fderiv 𝕜 f x ∈ s ∨ ¬DifferentiableAt 𝕜 f x ∧ 0 ∈ s
-- Mathlib/Data/List/Forall2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β
h : Forall₂ R l₁.reverse l₂.reverse

⊢ Forall₂ R l₁ l₂
-- Mathlib/Data/List/Forall2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
l₁ : List α
l₂ : List β
h : Forall₂ R l₁.reverse l₂.reverse

⊢ Forall₂ R l₁.reverse.reverse l₂.reverse.reverse
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
z : ProjectiveSpectrum 𝒜

⊢ z ∈ ↑(basicOpen 𝒜 f) ↔ z ∈ ↑(⨆ i, basicOpen 𝒜 ((GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
z : ProjectiveSpectrum 𝒜

⊢ f ∉ z.asHomogeneousIdeal ↔ ∃ u ∈ Set.range fun i => basicOpen 𝒜 ((GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f), z ∈ u
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projection.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
x : E

⊢ ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).2 = 0 ↔ x ∈ p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projection.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
h : IsCompl p q
x : E

⊢ ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x).2 = 0 ↔ (p.prodEquivOfIsCompl q h) ((p.prodEquivOfIsCompl q h).symm x) ∈ p
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Extend.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →L[ℝ] ℝ
x : F
lm : F →ₗ[𝕜] 𝕜 := (↑fr).extendTo𝕜'
h : ¬lm x = 0

⊢ ‖lm x‖ ≤ ‖fr‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Extend.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 F
fr : F →L[ℝ] ℝ
x : F
lm : F →ₗ[𝕜] 𝕜 := (↑fr).extendTo𝕜'
h : ¬lm x = 0

⊢ ‖lm x‖ ^ 2 ≤ ‖lm x‖ * (‖fr‖ * ‖x‖)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α

⊢ b ≤ a⁻¹ * c ↔ a * b ≤ c
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α

⊢ a * b ≤ a * (a⁻¹ * c) ↔ a * b ≤ c
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a✝ b✝ a b c : α
l₁ l₂ : List α

⊢ Chain R a (l₁ ++ b :: c :: l₂) ↔ Chain R a (l₁ ++ [b]) ∧ R b c ∧ Chain R c l₂
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MatrixExponential.lean
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
U : (Matrix m m 𝔸)ˣ
A : Matrix m m 𝔸
this✝¹ : SeminormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpSemiNormedRing
this✝ : NormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedRing
this : NormedAlgebra 𝕂 (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedAlgebra

⊢ exp 𝕂 (↑U * A * ↑U⁻¹) = ↑U * exp 𝕂 A * ↑U⁻¹
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d✝ a b c d : α

⊢ a ⊔ b ⊔ (c ⊔ d) = a ⊔ c ⊔ (b ⊔ d)
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R

⊢ nonPrincipals R = ∅ ↔ IsPrincipalIdealRing R
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hc : c ≤ a % c + b % c

⊢ (a + b) % c + c = a % c + b % c
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y

⊢ (x ~ᵢ y) ↔ closure {x} = closure {y}
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactorsList

⊢ p ∣ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
p : ℕ
h : p ∈ primeFactorsList 0

⊢ p ∣ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactorsList
hn : n > 0

⊢ p ∣ n
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l₁ l₂ : List α

⊢ (l₁ ++ l₂).Nodup ↔ l₁.Nodup ∧ l₂.Nodup ∧ l₁.Disjoint l₂
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
ha : a ≤ c

⊢ a ∆ b = c ↔ c \ a = b
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α
ha : a ≤ c

⊢ a ∆ b = c ↔ a ∆ c = b
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u a : Finset α
r : ℕ
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ ∅, IsCompressed (u.erase x) (∅.erase y) 𝒜

⊢ u = ∅
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u a✝ : Finset α
r : ℕ
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ ∅, IsCompressed (u.erase x) (∅.erase y) 𝒜
a : α
ha : a ∈ u

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Group/Nat.lean
m n✝ n : ℕ

⊢ ¬2 ∣ 2 * n + 1
-- Mathlib/Tactic/Ring/Basic.lean
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
a a' a₁✝ a₂✝ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R✝
R : Type u_2
inst✝ : Ring R
a₁ a₂ : R

⊢ -(a₁ + a₂) = -a₁ + -a₂
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
la : Filter α
pa : ι → Prop
sa : ι → Set α
lb : Filter β
pb : ι' → Prop
sb : ι' → Set β
f : α → β
r : α → α → Prop

⊢ (∃ t ∈ la, t ×ˢ t ⊆ {x | (fun x => r x.1 x.2) x}) ↔ ∃ t ∈ la, ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, r x y
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x

⊢ map (Embedding.subtype p) (Icc a b) = Icc ↑a ↑b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x

⊢ map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Icc ↑a ↑b)) = Icc ↑a ↑b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
x : α
hx : x ∈ Icc ↑a ↑b

⊢ p x
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
x : α
hx : ↑a ≤ x ∧ x ≤ ↑b

⊢ p x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s

⊢ ((κ ⊗ₖ η) a) s = ((Kernel.sum fun n => Kernel.sum fun m => κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s

⊢ ((κ ⊗ₖ η) a) s = ∑' (n : ℕ) (n_1 : ℕ), ((κ.seq n ⊗ₖ η.seq n_1) a) s
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/AsymptoticEquivalent.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h : c ≠ 0

⊢ u ~[l] const α c ↔ Tendsto u l (𝓝 c)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/AsymptoticEquivalent.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup β
u v w : α → β
l : Filter α
c : β
h : c ≠ 0

⊢ Tendsto (u - fun x => c) l (𝓝 0) ↔ Tendsto u l (𝓝 c)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasLeftHomology
inst✝² : S₂.HasLeftHomology
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂

⊢ F.map (leftHomologyMap φ) ≫ (S₂.mapLeftHomologyIso F).inv = (S₁.mapLeftHomologyIso F).inv ≫ leftHomologyMap (F.mapShortComplex.map φ)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.232416}
c : Cardinal.{u}
α : Type u
s : Set α

⊢ c ≤ #↑s ↔ ∃ p ⊆ s, #↑p = c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.232416}
c : Cardinal.{u}
α : Type u
s : Set α

⊢ (∃ p, #↑p = c) ↔ ∃ s_1, #↑(Subtype.val '' s_1) = c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.232416}
c : Cardinal.{u}
α : Type u
s : Set α

⊢ ∀ (a : Set ↑s), #↑a = c ↔ #↑(Subtype.val '' a) = c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.232416}
c : Cardinal.{u}
α : Type u
s : Set α
t : Set ↑s

⊢ #↑t = c ↔ #↑(Subtype.val '' t) = c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.232416}
c : Cardinal.{u}
α : Type u
s : Set α
t : Set ↑s

⊢ Injective Subtype.val
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η : Type u_1
α : Type u_2
ι : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α ι
i : ι
a✝ x : α
l : Line (η → α) ι
a : η → α
ie : ι × η

⊢ ↑l.toSubspace a ie = (fun x i => (l.idxFun i).getD x) a ie.1 ie.2