ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ

⊢ Continuous f ↔ ∀ (b : β), Continuous fun x => f (x, b)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ

⊢ ContinuousOn f univ ↔ ∀ (b : β), ContinuousOn (fun x => f (x, b)) univ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ (o.oangle (x + y) y).cos * ‖x + y‖ = ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ ((-o).oangle y (x + y)).cos * ‖x + y‖ = ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ ((-o).oangle y (y + x)).cos * ‖y + x‖ = ‖y‖
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
x y : ↑F F.M
h : M.mk x = M.mk y

⊢ x = y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
y z : ℝ
hx : x ≠ 0
h'x : x ≠ ⊤

⊢ x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
R : P.M → P.M → Prop
h : ∀ (x y : P.M), R x y → ∃ a f f', x.dest = ⟨a, f⟩ ∧ y.dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), R (f i) (f' i)
x y : P.M
h' : R x y
this : Inhabited P.A

⊢ x = y
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
R : P.M → P.M → Prop
h : ∀ (x y : P.M), R x y → ∃ a f f', x.dest = ⟨a, f⟩ ∧ y.dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), R (f i) (f' i)
x y : P.M
h' : R x y
this : Inhabited P.A

⊢ IsBisimulation R
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R T
U : Type u_2
inst✝ : CommRing U
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
i : R →+* U
x : U
hx : eval₂ i x f = 0
z : S

⊢ (lift i x hx h') ((h.aequiv h') z) = (lift i x hx h) z
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : SMul G X
B : Set X
hfB : IsFixedBlock G B

⊢ IsBlock G B
-- Mathlib/GroupTheory/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)

⊢ ∃ b, H = closure {b}
-- Mathlib/GroupTheory/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑⊥) (Ioo 0 a)

⊢ ∃ b, ⊥ = closure {b}
-- Mathlib/GroupTheory/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝ : Archimedean G
H : AddSubgroup G
a : G
h₀ : 0 < a
hd : Disjoint (↑H) (Ioo 0 a)
hbot : H ≠ ⊥

⊢ ∃ b, H = closure {b}
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
m n k : α
H : k ∣ m * n

⊢ k ∣ m * gcd k n
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
m n k : α
H : k ∣ n * m

⊢ k ∣ gcd k n * m
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂

⊢ ‖-f‖ = ‖f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (x : α) in ∅, f x ∂μ = 0
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
m : ℕ

⊢ m ∈ factoredNumbers s ↔ ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ s
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
m p : ℕ
hp₁ : 1 + s.sup id ≤ p
hp₂ : Prime p

⊢ m ∈ factoredNumbers s ↔ ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ s
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
m p : ℕ
hp₁ : 1 + s.sup id ≤ p
hp₂ : Prime p

⊢ (m ≠ 0 ∧ ∀ p ≤ m, Prime p → p ∣ m → p ∈ s) ↔ ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ s
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
m p : ℕ
hp₁ : 1 + s.sup id ≤ p
hp₂ : Prime p
H : ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ s
h : m = 0

⊢ p < p
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : 0 < r

⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atBot ↔ Tendsto f l atBot
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, x ≤ a → p a → p x

⊢ map (Embedding.subtype p) (Iic a) = Iic ↑a
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : Subtype p
hp : ∀ ⦃a x : α⦄, x ≤ a → p a → p x

⊢ map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Iic ↑a)) = Iic ↑a
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

⊢ (π.restrict J).iUnion = ↑J ∩ π.iUnion
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
hg : ConcaveOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
h0 : μ t ≠ 0
ht : μ t ≠ ⊤
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, f x ∈ s
hfi : IntegrableOn f t μ
hgi : IntegrableOn (g ∘ f) t μ

⊢ (⨍ (x : α) in t, f x ∂μ, ⨍ (x : α) in t, g (f x) ∂μ) ∈ {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ≤ g p.1}
-- Mathlib/RingTheory/Nakayama.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson

⊢ N = J • N
-- Mathlib/RingTheory/Nakayama.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson

⊢ N ≤ J • N
-- Mathlib/RingTheory/Nakayama.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N

⊢ n ∈ J • N
-- Mathlib/RingTheory/Nakayama.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0

⊢ n ∈ J • N
-- Mathlib/RingTheory/Nakayama.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
s : R
hs : s * r - 1 ∈ J

⊢ n ∈ J • N
-- Mathlib/RingTheory/Nakayama.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
s : R
hs : s * r - 1 ∈ J
this : n = -(s * r - 1) • n

⊢ n ∈ J • N
-- Mathlib/RingTheory/Nakayama.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
s : R
hs : s * r - 1 ∈ J
this : n = -(s * r - 1) • n

⊢ -(s * r - 1) • n ∈ J • N
-- Mathlib/GroupTheory/SemidirectProduct.lean
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* MulAut N
f₁ : N →* H
f₂ : G →* H
h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (f₂ g))).comp f₁
f g : N ⋊[φ] G →* H
hl : f.comp inl = g.comp inl
hr : f.comp inr = g.comp inr

⊢ f = g
-- Mathlib/GroupTheory/SemidirectProduct.lean
N : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
φ : G →* MulAut N
f₁ : N →* H
f₂ : G →* H
h : ∀ (g : G), f₁.comp (MulEquiv.toMonoidHom (φ g)) = (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj (f₂ g))).comp f₁
f g : N ⋊[φ] G →* H
hl : f.comp inl = g.comp inl
hr : f.comp inr = g.comp inr

⊢ lift (f.comp inl) (f.comp inr) ⋯ = lift (g.comp inl) (g.comp inr) ⋯
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X

⊢ (𝓝 x).ker = {x}
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
x : R

⊢ x ∈ I.leadingCoeff ↔ ∃ p ∈ I, p.leadingCoeff = x
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
x : R

⊢ (∃ i, x ∈ I.leadingCoeffNth i) ↔ ∃ p ∈ I, p.leadingCoeff = x
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
x : R

⊢ Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) fun n => I.leadingCoeffNth n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R[X]
x : R
i j : ℕ

⊢ ∃ z, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun n => I.leadingCoeffNth n) i) ((fun n => I.leadingCoeffNth n) z) ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun n => I.leadingCoeffNth n) j) ((fun n => I.leadingCoeffNth n) z)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
r : R

⊢ r ∈ N.annihilator ↔ ∀ n ∈ N, r • n = 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
r : R

⊢ (∀ (a : M) (b : a ∈ N), ↑(r • ⟨a, b⟩) = ↑0) ↔ ∀ n ∈ N, r • n = 0
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
B : Type u
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
inst✝¹ : FormallyUnramified R A
C : Type u
inst✝ : CommRing C
f : B →+* C
hf : IsNilpotent (RingHom.ker f)
g₁ g₂ : A →ₐ[R] B
h : f.comp ↑g₁ = f.comp ↑g₂
x : A

⊢ ((Ideal.Quotient.mkₐ R (RingHom.ker f)).comp g₁) x = ((Ideal.Quotient.mkₐ R (RingHom.ker f)).comp g₂) x
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
B : Type u
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
I : Ideal B
inst✝¹ : FormallyUnramified R A
C : Type u
inst✝ : CommRing C
f : B →+* C
hf : IsNilpotent (RingHom.ker f)
g₁ g₂ : A →ₐ[R] B
h : f.comp ↑g₁ = f.comp ↑g₂
x : A
this : (f.comp ↑g₁) x = (f.comp ↑g₂) x

⊢ ((Ideal.Quotient.mkₐ R (RingHom.ker f)).comp g₁) x = ((Ideal.Quotient.mkₐ R (RingHom.ker f)).comp g₂) x
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α

⊢ 𝓝[≠] a ⊔ pure a = 𝓝 a
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A

⊢ comap f (map f S) = S ⊔ adjoin R (⇑f ⁻¹' {0})
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A

⊢ comap f (map f S) ≤ S ⊔ adjoin R (⇑f ⁻¹' {0})
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S✝ : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
S : Subalgebra R A

⊢ S ⊔ adjoin R (⇑f ⁻¹' {0}) ≤ comap f (map f S)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
h : s ⊆ 0

⊢ gauge s = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
t : Set E
x : E
a : ℝ
h : ∅ ⊆ 0

⊢ gauge ∅ = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
t : Set E
x : E
a : ℝ
h : {0} ⊆ 0

⊢ gauge {0} = 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
h : b = c / a

⊢ a * b = c
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
h : a * b = c

⊢ b = c / a
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
a : α
l : List α
hl : l.length = n

⊢ Tendsto (fun p => Vector.insertNth p.1 i p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 ⟨l, hl⟩) (𝓝 (Vector.insertNth a i ⟨l, hl⟩))
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
a : α
l : List α
hl : l.length = n

⊢ Tendsto (fun x => ↑(Vector.insertNth x.1 i x.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 ⟨l, hl⟩) (𝓝 ↑⟨insertNth (↑i) a ↑⟨l, hl⟩, ⋯⟩)
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
a : α
l : List α
hl : l.length = n

⊢ Tendsto (fun x => insertNth (↑i) x.1 ↑x.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 ⟨l, hl⟩) (𝓝 (insertNth (↑i) a l))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (P.actRight ▷ S.X ▷ S.X) (((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ((α_ (P.X ⊗ S.X) S.X S.X).hom ≫ (α_ P.X S.X (S.X ⊗ S.X)).hom ≫ P.X ◁ S.X ◁ S.mul ≫ (α_ P.X S.X S.X).inv) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = coequalizer.desc P.actRight ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ (tensorRight S.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X) ((α_ P.X S.X { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X).hom ≫ P.X ◁ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actLeft)) ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (P.actRight ▷ S.X ▷ S.X) (((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ((α_ (P.X ⊗ S.X) S.X S.X).hom ≫ (α_ P.X S.X (S.X ⊗ S.X)).hom ≫ P.X ◁ S.X ◁ S.mul ≫ (α_ P.X S.X S.X).inv) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = (tensorRight S.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X) ((α_ P.X S.X { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X).hom ≫ P.X ◁ { X := S.X, actLeft := S.mul, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯, actRight := S.mul, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actLeft)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X ≫ ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)).inv ≫ colimMap (parallelPairHom (P.actRight ▷ S.X ▷ S.X) (((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X) (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ((α_ (P.X ⊗ S.X) S.X S.X).hom ≫ (α_ P.X S.X (S.X ⊗ S.X)).hom ≫ P.X ◁ S.X ◁ S.mul ≫ (α_ P.X S.X S.X).inv) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ⋯ ⋯)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ≫ P.actRight = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ (α_ P.X S.X S.X).hom ≫ (α_ P.X S.X S.X).inv ≫ P.actRight ▷ S.X ≫ P.actRight = coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul) ▷ S.X ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ ▷ S.X ≫ P.actRight
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ (α_ P.X S.X S.X).hom ≫ (α_ P.X S.X S.X).inv ≫ P.actRight ▷ S.X ≫ P.actRight = P.actRight ▷ S.X ≫ P.actRight
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
h : x ≤ 0

⊢ 0 < rexp x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
h : x ≤ 0

⊢ 0 < (rexp (-x))⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing T
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K S
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L
hF : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)

⊢ (algebraMap K F) ((Algebra.trace K L) x) = finrank (↥K⟮x⟯) L • ((minpoly K x).aroots F).sum
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C

⊢ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI) ⊆ C
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
s✝ t✝ : Set α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s

⊢ a ≤ t.inf' ht id
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁

⊢ Absorbs 𝕜 (p.ball 0 r₁) (p.ball 0 r₂)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁

⊢ Absorbs 𝕜 (p.ball 0 r₁) (p.ball 0 r₂)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a✝ : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁
a : 𝕜
ha : r ≤ ‖a‖
x : E
hx : x ∈ p.ball 0 r₂

⊢ x ∈ a • p.ball 0 r₁
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a✝ : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁
a : 𝕜
ha : r ≤ ‖a‖
x : E
hx : x ∈ p.ball 0 r₂

⊢ p x < ‖a‖ * r₁
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a✝ : 𝕜
r✝ : ℝ
x✝ : E
p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₁ : 0 < r₁
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : r₂ < r * r₁
a : 𝕜
ha : r ≤ ‖a‖
x : E
hx : p x < r₂

⊢ p x < ‖a‖ * r₁
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : GroupWithZero α
s✝ t s : Finset α

⊢ 0 / s ⊆ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
h : Basis ι R M

⊢ finrank R M = Nat.card ι
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set X
f : C(X, R)

⊢ f ∈ idealOfSet R s ↔ ∀ ⦃x : X⦄, x ∈ sᶜ → f x = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hε : 0 < ε

⊢ ∃ n, 1 / (↑n + 1) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : 1 / ε < ↑n

⊢ ∃ n, 1 / (↑n + 1) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/Archimedean.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : ExistsAddOfLE α
x y ε : α
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : 1 / ε < ↑n

⊢ 1 / (↑n + 1) < ε