ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x z : EReal
h : x < z

⊢ ∃ y, x < ↑y ∧ ↑y < z
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x z : EReal
h : x < z
a : EReal
ha₁ : x < a
ha₂ : a < z

⊢ ∃ y, x < ↑y ∧ ↑y < z
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Shift.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
x a : 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup 𝕜'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h' : 𝕜'
hh : HasDerivAt h h' (x + a)

⊢ HasDerivAt (fun x => h (x + a)) h' x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₁ : f₁ =o[l] g₁
h₂ : f₂ =O[l] g₂

⊢ (fun x => f₁ x * f₂ x) =o[l] fun x => g₁ x * g₂ x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₂ : f₂ =O[l] g₂
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₁ g₁

⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₂ : f₂ =O[l] g₂
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₁ g₁
c : ℝ
cpos : 0 < c

⊢ IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₂ : f₂ =O[l] g₂
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₁ g₁
c : ℝ
cpos : 0 < c
c' : ℝ
c'pos : c' > 0
hc' : IsBigOWith c' l f₂ g₂

⊢ IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l (𝓝 C)

⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l (𝓝 C)
this : Tendsto (fun x => (Neg.neg ∘ f) x * g x) l atTop

⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
C : Set Code
H : ∀ (cf cg : Code), cf.eval = cg.eval → (cf ∈ C ↔ cg ∈ C)

⊢ (ComputablePred fun c => c ∈ C) ↔ C = ∅ ∨ C = Set.univ
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n α
N N' : Matrix n o α

⊢ M * (N - N') = M * N - M * N'
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

⊢ W.addX P Q = addU P Q ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
s : ℝ

⊢ Tendsto (fun x => rexp x / x ^ s) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
s : ℝ
n : ℕ
hn : s < ↑n

⊢ Tendsto (fun x => rexp x / x ^ s) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
s : ℝ
n : ℕ
hn : s < ↑n

⊢ (fun x => rexp x / x ^ n) ≤ᶠ[atTop] fun x => rexp x / x ^ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
s : ℝ
n : ℕ
hn : s < ↑n
x : ℝ
hx₀ : 0 < x
hx₁ : 1 ≤ x

⊢ rexp x / x ^ n ≤ rexp x / x ^ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
s : ℝ
n : ℕ
hn : s < ↑n
x : ℝ
hx₀ : 0 < x
hx₁ : 1 ≤ x

⊢ x ^ s ≤ x ^ ↑n
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝² : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i j : ι
a : α i
β✝¹ : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice β✝¹
β✝ : Type u_6
β : ι → Type u_7

⊢ (insert i s).sigma t = Sigma.mk i '' t i ∪ s.sigma t
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝² : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i j : ι
a : α i
β✝¹ : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice β✝¹
β✝ : Type u_6
β : ι → Type u_7

⊢ α i
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α

⊢ {s | IsPreconnected s} = range (uncurry Icc) ∪ range (uncurry Ico) ∪ range (uncurry Ioc) ∪ range (uncurry Ioo) ∪ (range Ici ∪ range Ioi ∪ range Iic ∪ range Iio ∪ {univ, ∅})
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α

⊢ range (uncurry Icc) ∪ range (uncurry Ico) ∪ range (uncurry Ioc) ∪ range (uncurry Ioo) ∪ (range Ici ∪ range Ioi ∪ range Iic ∪ range Iio ∪ {univ, ∅}) ⊆ {s | IsPreconnected s}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₂
inst✝⁹ : AddCommGroup M₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R M₃
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : 1 < Module.rank R M
x : M
hx : x ≠ 0

⊢ ∃ y, LinearIndependent R ![x, y]
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₂
inst✝⁹ : AddCommGroup M₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R M₃
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : 1 < Module.rank R M
x : M
hx : x ≠ 0
y : M
hy : LinearIndependent R (Fin.snoc ![x] y)

⊢ ∃ y, LinearIndependent R ![x, y]
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₂
inst✝⁹ : AddCommGroup M₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module R M₃
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : 1 < Module.rank R M
x : M
hx : x ≠ 0
y : M
hy : LinearIndependent R (Fin.snoc ![x] y)
this : Fin.snoc ![x] y = ![x, y]

⊢ ∃ y, LinearIndependent R ![x, y]
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallySurjective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
U : C
s : (forget A).obj (G.obj (op U))
V W : C
i : V ⟶ U
t : (forget A).obj (F.obj (op V))
ht : (f.app (op V)) t = (G.map i.op) s
j : W ⟶ V

⊢ (f.app (op W)) ((F.map j.op) t) = (G.map (j ≫ i).op) s
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
πSβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πS : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πSβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}

⊢ IndepFun (fun a i => f (↑i) a) (fun a i => f (↑i) a) κ μ
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
πSβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πS : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πSβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπS_pi : IsPiSystem πS

⊢ IndepFun (fun a i => f (↑i) a) (fun a i => f (↑i) a) κ μ
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
πSβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πS : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πSβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπS_pi : IsPiSystem πS
hπS_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πS

⊢ IndepFun (fun a i => f (↑i) a) (fun a i => f (↑i) a) κ μ
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
πSβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πS : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πSβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπS_pi : IsPiSystem πS
hπS_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πS
πTβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πT : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πTβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}

⊢ IndepFun (fun a i => f (↑i) a) (fun a i => f (↑i) a) κ μ
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
πSβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πS : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πSβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπS_pi : IsPiSystem πS
hπS_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πS
πTβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πT : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πTβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπT_pi : IsPiSystem πT

⊢ IndepFun (fun a i => f (↑i) a) (fun a i => f (↑i) a) κ μ
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
πSβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πS : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πSβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπS_pi : IsPiSystem πS
hπS_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πS
πTβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πT : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πTβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπT_pi : IsPiSystem πT
hπT_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πT

⊢ IndepFun (fun a i => f (↑i) a) (fun a i => f (↑i) a) κ μ
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
πSβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πS : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πSβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπS_pi : IsPiSystem πS
hπS_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πS
πTβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πT : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πTβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπT_pi : IsPiSystem πT
hπT_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πT

⊢ IndepSets πS πT κ μ
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
πSβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πS : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πSβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπS_pi : IsPiSystem πS
hπS_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πS
πTβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πT : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πTβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπT_pi : IsPiSystem πT
hπT_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πT
s : Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)
sets_s : (i : { x // x ∈ S }) → Set (β ↑i)
hs1 : sets_s ∈ Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
hs2 : Set.univ.pi sets_s = s
t : Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)
sets_t : (i : { x // x ∈ T }) → Set (β ↑i)
ht1 : sets_t ∈ Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
ht2 : Set.univ.pi sets_t = t

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) ((fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' s ∩ (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t) = (κ a) ((fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' s) * (κ a) ((fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
S T : Finset ι
hST : Disjoint S T
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
πSβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πS : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πSβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπS_pi : IsPiSystem πS
hπS_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πS
πTβ : Set (Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)) := Set.univ.pi '' Set.univ.pi fun i => {s | MeasurableSet s}
πT : Set (Set Ω) := {s | ∃ t ∈ πTβ, (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t = s}
hπT_pi : IsPiSystem πT
hπT_gen : MeasurableSpace.comap (fun a i => f (↑i) a) pi = generateFrom πT
s : Set ((i : { x // x ∈ S }) → β ↑i)
sets_s : (i : { x // x ∈ S }) → Set (β ↑i)
hs2 : Set.univ.pi sets_s = s
t : Set ((i : { x // x ∈ T }) → β ↑i)
sets_t : (i : { x // x ∈ T }) → Set (β ↑i)
ht2 : Set.univ.pi sets_t = t
hs1 : ∀ (i : { x // x ∈ S }), MeasurableSet (sets_s i)
ht1 : ∀ (i : { x // x ∈ T }), MeasurableSet (sets_t i)

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) ((fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' s ∩ (fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t) = (κ a) ((fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' s) * (κ a) ((fun a i => f (↑i) a) ⁻¹' t)
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x y : ℝ*

⊢ x.InfiniteNeg → ¬y.Infinitesimal → y < 0 → (x * y).InfinitePos
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x y : ℝ*

⊢ (-x).InfinitePos → ¬(-y).Infinitesimal → 0 < -y → (-x * -y).InfinitePos
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α × WSeq α
h : some a ∈ (flatten (Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.recOn o nil Prod.snd) s.destruct)).destruct

⊢ ∃ a', some a' ∈ s.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α × WSeq α
h : some a ∈ Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct >>= destruct

⊢ ∃ a', some a' ∈ s.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α × WSeq α
h : some a ∈ Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct >>= destruct
t : WSeq α
tm : t ∈ Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct
td : some a ∈ t.destruct

⊢ ∃ a', some a' ∈ s.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α × WSeq α
t : WSeq α
tm : t ∈ Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct
td : some a ∈ t.destruct

⊢ ∃ a', some a' ∈ s.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α × WSeq α
t : WSeq α
tm : t ∈ Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct
td : some a ∈ t.destruct
t' : Option (α × WSeq α)
ht' : t' ∈ s.destruct
ht2 : Option.rec nil Prod.snd t' = t

⊢ ∃ a', some a' ∈ s.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α × WSeq α
t : WSeq α
td : some a ∈ t.destruct
t' : Option (α × WSeq α)
ht' : t' ∈ s.destruct
ht2 : Option.rec nil Prod.snd t' = t

⊢ ∃ a', some a' ∈ s.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α × WSeq α
t : WSeq α
ht' : none ∈ s.destruct
ht2 : Option.rec nil Prod.snd none = t
td : some a ∈ Computation.pure none

⊢ ∃ a', some a' ∈ s.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
a : α × WSeq α
t : WSeq α
t' : α × WSeq α
td : some a ∈ t'.2.destruct
ht' : some t' ∈ s.destruct
ht2 : Option.rec nil Prod.snd (some t') = t

⊢ ∃ a', some a' ∈ s.destruct
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop

⊢ (⋃ n, (x ^ n).support).IsPWO
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop

⊢ ∀ x_1 ∈ x.support, 0 ≤ x_1
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop

⊢ ⋃ n, (x ^ n).support ⊆ ↑(AddSubmonoid.closure x.support)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : IsDomain R
x : HahnSeries Γ R
hx : 0 < x.orderTop
n : ℕ

⊢ (x ^ n).support ⊆ ↑(AddSubmonoid.closure x.support)
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
h_int_Y : Integrable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
hμ : ¬μ = 0

⊢ cgf (X + Y) μ t = cgf X μ t + cgf Y μ t
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
h_int_Y : Integrable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ
hμ : ¬μ = 0

⊢ log (mgf X μ t * mgf Y μ t) = log (mgf X μ t) + log (mgf Y μ t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
x : M × M₂

⊢ x ∈ range (inr R M M₂) ↔ x ∈ ker (fst R M M₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
x : M × M₂

⊢ (∃ y, (inr R M M₂) y = x) ↔ (fst R M M₂) x = 0