ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : K_hat R K
hx : x.IsFiniteAdele
hy : y.IsFiniteAdele

⊢ (x + y).IsFiniteAdele
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : K_hat R K
hx : {x_1 | x x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite
hy : {x | y x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite

⊢ {x_1 | (x + y) x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : K_hat R K
hx : {x_1 | x x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite
hy : {x | y x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite
h_subset : {v | (x + y) v ∉ adicCompletionIntegers K v} ⊆ {v | x v ∉ adicCompletionIntegers K v} ∪ {v | y v ∉ adicCompletionIntegers K v}

⊢ {x_1 | (x + y) x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤

⊢ Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝 0) (𝓝 (μ (closure s)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤
A : Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closure s)))

⊢ Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝 0) (𝓝 (μ (closure s)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤
A : Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closure s)))
B : Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝[≤] 0) (𝓝 (μ (closure s)))

⊢ Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝 0) (𝓝 (μ (closure s)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metric.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
x : α
ε : ℝ≥0∞
μ : Measure α
s : Set α
hs : ∃ R > 0, μ (cthickening R s) ≠ ⊤
A : Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closure s)))
B : Tendsto (fun r => μ (cthickening r s)) (𝓝[≤] 0) (𝓝 (μ (closure s)))

⊢ 𝓝 0 = 𝓝[≤] 0 ⊔ 𝓝[>] 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}

⊢ a ⨳ b ⨳ c = a ⨳ (b ⨳ c)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}

⊢ a ⨳ b ⨳ c ≤ a ⨳ (b ⨳ c)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b c : Ordinal.{u_1}

⊢ a ⨳ (b ⨳ c) ≤ a ⨳ b ⨳ c
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
m : ℤ

⊢ ((autEquivZmod H L hζ).symm (Multiplicative.ofAdd ↑m)) α = ζ ^ m • α
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn✝ : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
m : ℤ
hn : 0 < n

⊢ ((autEquivZmod H L hζ).symm (Multiplicative.ofAdd ↑m)) α = ζ ^ m • α
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn✝ : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
m : ℤ
hn : 0 < n

⊢ (autEquivRootsOfUnity ⋯ hn H L) ((autEquivZmod H L hζ).symm (Multiplicative.ofAdd ↑m)) • α = ζ ^ m • α
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α✝
s t : Multiset α✝
f✝ g : α✝ → Multiset β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
f : α → Multiset β
S : Multiset α
x : α
hx : x ∈ S

⊢ f x ≤ S.bind f
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

⊢ (∀ ⦃R S : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (f : R →+* S) (s : Set R), Ideal.span s = ⊤ → (∀ (r : ↑s), P (Localization.awayMap f ↑r)) → P f) ↔ ∀ ⦃R S : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (f : R →+* S) (s : Finset R), Ideal.span ↑s = ⊤ → (∀ (r : { x // x ∈ s }), P (Localization.awayMap f ↑r)) → P f
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop

⊢ ∀ (a b : Type u) (c : CommRing a) (d : CommRing b) (e : a →+* b), (∀ (s : Set a), Ideal.span s = ⊤ → (∀ (r : ↑s), P (Localization.awayMap e ↑r)) → P e) ↔ ∀ (s : Finset a), Ideal.span ↑s = ⊤ → (∀ (r : { x // x ∈ s }), P (Localization.awayMap e ↑r)) → P e
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
C : Set α

⊢ Preperfect C ↔ ∀ x ∈ C, ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ y ∈ U ∩ C, y ≠ x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Canonical.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S✝ : Sieve X
R✝ : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
R S : Sieve X
hR : Presieve.IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows

⊢ Presieve.IsSheafFor P S.arrows
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Canonical.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S✝ : Sieve X
R✝ : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
R S : Sieve X
hR : Presieve.IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows

⊢ Presieve.IsSheafFor P (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S).arrows
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Canonical.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
S✝ : Sieve X
R✝ : Presieve X
J J₂ : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v
R S : Sieve X
hR : Presieve.IsSheafFor P R.arrows
hR' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f R).arrows
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → Presieve.IsSheafFor P (Sieve.pullback f S).arrows
this : (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S).arrows ≤ S.arrows

⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Presieve.IsSeparatedFor P (Sieve.pullback f (Sieve.bind R.arrows fun Y f x => Sieve.pullback f S)).arrows
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0

⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat (r * s) - nthHomSeq f_compat r * nthHomSeq f_compat s) j) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε

⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat (r * s) - nthHomSeq f_compat r * nthHomSeq f_compat s) j) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε

⊢ ∀ j ≥ n, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat (r * s) - nthHomSeq f_compat r * nthHomSeq f_compat s) j) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ n

⊢ padicNorm p (↑(nthHom f (r * s) j) - ↑(nthHom f r j) * ↑(nthHom f s j)) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ n

⊢ padicNorm p (↑(nthHom f (r * s) j) - ↑(nthHom f r j) * ↑(nthHom f s j)) ≤ ↑p ^ (-↑n)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ n

⊢ ↑(nthHom f (r * s) j - nthHom f r j * nthHom f s j) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ n

⊢ ↑(↑((f j) (r * s)).val - ↑((f j) r).val * ↑((f j) s).val) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
r s : R
ε : ℚ
hε : ε > 0
n : ℕ
hn : ↑p ^ (-↑n) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ n

⊢ ((f j) r * (f j) s).cast - ((f j) r).cast * ((f j) s).cast = 0
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α

⊢ diam {x, y} = edist x y
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/FunctorCategory.lean
D : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Groupoid D
inst✝² : Category.{?u.4103, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
X Y : D
f : X ⟶ Y

⊢ G.map f ≫ (ihom.coev (F.obj Y)).app (G.obj Y) = (ihom.coev (F.obj X)).app (G.obj X) ≫ (F.closedIhom.obj (F ⊗ G)).map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/FunctorCategory.lean
D : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Groupoid D
inst✝² : Category.{?u.4103, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
X Y : D
f : X ⟶ Y

⊢ (ihom.coev (F.obj Y)).app (G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (F.obj Y ◁ G.map f) = (ihom.coev (F.obj X)).app (G.obj X) ≫ (pre (CategoryTheory.inv (F.map f))).app ((F ⊗ G).obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (F.map f ⊗ G.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/FunctorCategory.lean
D : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Groupoid D
inst✝² : Category.{?u.4103, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
X Y : D
f : X ⟶ Y

⊢ (ihom.coev (F.obj Y)).app (G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (F.obj Y ◁ G.map f) = (ihom.coev (F.obj X)).app (G.obj X) ≫ (pre (CategoryTheory.inv (F.map f))).app (F.obj X ⊗ G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (F.map f ⊗ G.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/FunctorCategory.lean
D : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Groupoid D
inst✝² : Category.{?u.4103, u_2} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalClosed C
F G : D ⥤ C
X Y : D
f : X ⟶ Y

⊢ (ihom.coev (F.obj Y)).app (G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (F.obj Y ◁ G.map f) = (ihom.coev (F.obj Y)).app (G.obj X) ≫ (ihom (F.obj Y)).map (CategoryTheory.inv (F.map f) ▷ G.obj X ≫ F.map f ▷ G.obj X ≫ F.obj Y ◁ G.map f)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E

⊢ HasFDerivWithinAt f f' (insert y s) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E

⊢ HasFDerivWithinAt f f' (insert x s) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
h : x ≠ y

⊢ HasFDerivWithinAt f f' (insert y s) x ↔ HasFDerivWithinAt f f' s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
h : x ≠ y
hf : HasFDerivWithinAt f f' s x

⊢ s ∈ 𝓝[insert y s] x
-- Mathlib/Combinatorics/Hall/Finite.lean
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Finite ι
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card

⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
-- Mathlib/Combinatorics/Hall/Finite.lean
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Finite ι
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
val✝ : Fintype ι

⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
-- Mathlib/Combinatorics/Hall/Finite.lean
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ {ι : Type u} {t : ι → Finset α} [inst : Finite ι], (∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card) → ∀ (val : Fintype ι), Fintype.card ι = m → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
ι : Type u
t : ι → Finset α
inst✝ : Finite ι
ht : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ (s.biUnion t).card
val✝ : Fintype ι
hn : Fintype.card ι = n

⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f
x : R

⊢ (algebraMap R S) x = h.map (C x)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformInducing g
f : α → β
hf : UniformInducing f

⊢ comap (fun x => ((g ∘ f) x.1, (g ∘ f) x.2)) (𝓤 γ) = 𝓤 α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformInducing g
f : α → β
hf : UniformInducing f

⊢ comap (fun x => ((g ∘ f) x.1, (g ∘ f) x.2)) (𝓤 γ) = comap ((fun x => (g x.1, g x.2)) ∘ fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 γ)
-- Mathlib/Topology/Algebra/MulAction.lean
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : ContinuousSMul M X
N : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : Monoid N
f : N →* M
hf : Continuous ⇑f
x✝ : MulAction N X := compHom X f

⊢ ContinuousSMul N X
-- Mathlib/Data/Bool/Basic.lean
α : Sort u_1
f : Bool → α
H : f false ≠ f true
hxy : f false = f false

⊢ false = false
-- Mathlib/Data/Bool/Basic.lean
α : Sort u_1
f : Bool → α
H : f false ≠ f true
hxy : f false = f true

⊢ false = true
-- Mathlib/Data/Bool/Basic.lean
α : Sort u_1
f : Bool → α
H : f false ≠ f true
hxy : f true = f false

⊢ true = false
-- Mathlib/Data/Bool/Basic.lean
α : Sort u_1
f : Bool → α
H : f false ≠ f true
hxy : f true = f true

⊢ true = true
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α

⊢ image (fun x => x + c) (Icc a b) = Icc (a + c) (b + c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : GroupWithZero α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : PosSMulStrictMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
ha : 0 < a

⊢ b₁ < a⁻¹ • b₂ ↔ a • b₁ < b₂
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
r p q a b x✝¹ : ℝ≥0
ac : ↑a < ↑x✝¹
x✝ : ℝ≥0
bd : ↑b < ↑x✝

⊢ ↑a + ↑b < ↑x✝¹ + ↑x✝
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
r p q a b x✝¹ x✝ : ℝ≥0
ac : a < x✝¹
bd : b < x✝

⊢ a + b < x✝¹ + x✝
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤

⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤
f_ne_top : ∀ (n : α), f n ≠ ⊤

⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤
f_ne_top : ∀ (n : α), f n ≠ ⊤
h_f_coe : f = fun n => ↑(f n).toNNReal

⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤
f_ne_top : ∀ (n : α), f n ≠ ⊤
h_f_coe : f = fun n => ↑(f n).toNNReal

⊢ Tendsto (fun n => (f n).toNNReal) cofinite (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₁ : δ
Nx : Filter α := 𝓝 x₀
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)

⊢ ∃ U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W'
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₁ : δ
Nx : Filter α := 𝓝 x₀
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
lim1 : Tendsto (fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (comap (⇑e) Nx ×ˢ comap (⇑e) Nx) (𝓝 (0, y₁))

⊢ ∃ U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W'
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₁ : δ
Nx : Filter α := 𝓝 x₀
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
lim1 : Tendsto (fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (comap (⇑e) Nx ×ˢ comap (⇑e) Nx) (𝓝 (0, y₁))
lim2 : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, y₁)) (𝓝 0)

⊢ ∃ U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W'
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace α
inst✝¹⁵ : AddCommGroup α
inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : AddCommGroup β
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup β
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace γ
inst✝⁹ : AddCommGroup γ
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup γ
inst✝⁷ : TopologicalSpace δ
inst✝⁶ : AddCommGroup δ
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
e : β →+ α
de : DenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : DenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
x₀ : α
y₁ : δ
Nx : Filter α := 𝓝 x₀
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
lim1 : Tendsto (fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (comap (⇑e) Nx ×ˢ comap (⇑e) Nx) (𝓝 (0, y₁))
lim2 : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, y₁)) (𝓝 0)
lim : Tendsto ((fun p => (φ p.1) p.2) ∘ fun a => (a.2 - a.1, y₁)) (comap (⇑e) Nx ×ˢ comap (⇑e) Nx) (𝓝 0)

⊢ ∃ U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀), ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W'