ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
hnodup : ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
hroots : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), σ pb.gen ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E

⊢ ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ {i}ᶜ, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) = ∏ σ : L →ₐ[K] E, σ ((aeval pb.gen) (derivative (minpoly K pb.gen)))
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
hnodup : ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
hroots : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), σ pb.gen ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E

⊢ ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ {i}ᶜ, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) = ∏ σ : L →ₐ[K] E, ∏ a ∈ { val := ((minpoly K pb.gen).aroots E).erase (σ pb.gen), nodup := ⋯ }, (σ pb.gen - a)
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
hnodup : ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
hroots : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), σ pb.gen ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E

⊢ ∏ x ∈ univ.sigma fun i => {i}ᶜ, ((e x.snd) pb.gen - (e x.fst) pb.gen) = ∏ x ∈ univ.sigma fun σ => { val := ((minpoly K pb.gen).aroots E).erase (σ pb.gen), nodup := ⋯ }, (x.fst pb.gen - x.snd)
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
hnodup : ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
σ : (_ : L →ₐ[K] E) × E
hroots : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen) ≠ 0 ∧ eval (σ pb.gen) (Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)) = 0
hσ : σ.snd ≠ σ.fst pb.gen ∧ Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen) ≠ 0 ∧ eval σ.snd (Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)) = 0

⊢ (aeval σ.snd) (minpoly K pb.gen) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
hnodup : ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
hroots : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen) ≠ 0 ∧ eval (σ pb.gen) (Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)) = 0

⊢ ∀ (a b : Fin pb.dim), ¬b = a → (e a) pb.gen ≠ (e b) pb.gen ∧ Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen) ≠ 0 ∧ eval ((e a) pb.gen) (Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
hnodup : ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
hroots✝ : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), σ pb.gen ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E
hroots : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen) ≠ 0 ∧ eval (σ pb.gen) (Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)) = 0

⊢ ∀ (a : L →ₐ[K] E) (b : E) (ha : b ≠ a pb.gen ∧ Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen) ≠ 0 ∧ eval b (Polynomial.map (algebraMap K E) (minpoly K pb.gen)) = 0), ¬a = pb.lift b ⋯
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝¹⁶ : DecidableEq ι
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : CommRing B
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁰ : Fintype ι'
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E✝ : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E✝
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E✝
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E✝
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
E : Type v := AlgebraicClosure L
this : (a b : E) → Decidable (a = b) := fun a b => Classical.propDecidable (a = b)
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
hnodup : ((minpoly K pb.gen).aroots E).Nodup
hroots : ∀ (σ : L →ₐ[K] E), σ pb.gen ∈ (minpoly K pb.gen).aroots E

⊢ ∀ (a b : Fin pb.dim) (ha : ¬b = a), pb.lift ((e a) pb.gen) ⋯ = e a
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
M' : Submodule R M
N : ℕ →o Submodule R M
H : iSup ⇑N = M'
S : Finset M
hS : span R ↑S = M'

⊢ ∃ n, M' = N n
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
M' : Submodule R M
N : ℕ →o Submodule R M
H : iSup ⇑N = M'
S : Finset M
hS : span R ↑S = M'
this : ∀ (s : { x // x ∈ S }), ∃ n, ↑s ∈ N n

⊢ ∃ n, M' = N n
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] P
M' : Submodule R M
N : ℕ →o Submodule R M
H : iSup ⇑N = M'
S : Finset M
hS : span R ↑S = M'
f : { x // x ∈ S } → ℕ
hf : ∀ (s : { x // x ∈ S }), ↑s ∈ N (f s)

⊢ ∃ n, M' = N n
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] P
M' : Submodule R M
N : ℕ →o Submodule R M
H : iSup ⇑N = M'
S : Finset M
hS : span R ↑S = M'
f : { x // x ∈ S } → ℕ
hf : ∀ (s : { x // x ∈ S }), ↑s ∈ N (f s)

⊢ M' = N (S.attach.sup f)
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] P
M' : Submodule R M
N : ℕ →o Submodule R M
H : iSup ⇑N = M'
S : Finset M
hS : span R ↑S = M'
f : { x // x ∈ S } → ℕ
hf : ∀ (s : { x // x ∈ S }), ↑s ∈ N (f s)

⊢ M' ≤ N (S.attach.sup f)
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] P
M' : Submodule R M
N : ℕ →o Submodule R M
H : iSup ⇑N = M'
S : Finset M
hS : span R ↑S = M'
f : { x // x ∈ S } → ℕ
hf : ∀ (s : { x // x ∈ S }), ↑s ∈ N (f s)

⊢ N (S.attach.sup f) ≤ M'
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Submonoid N
x : M × N

⊢ x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (MonoidHom.snd M N) s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≼i s
a : α
x✝ : ↑{b | r b a}
x : α
h : x ∈ {b | r b a}

⊢ ((Subrel.relEmbedding r {b | r b a}).trans f.toRelEmbedding) ⟨x, h⟩ ∈ {b | s b (f a)}
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≼i s
a : α
x✝ : ↑{b | r b a}
x : α
h : x ∈ {b | r b a}

⊢ f.toRelEmbedding ((Subrel.relEmbedding r {b | r b a}) ⟨x, h⟩) ∈ {b | s b (f a)}
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≼i s
a : α
x✝ : ↑{b | s b (f a)}
y : β
h : y ∈ {b | s b (f a)}

⊢ ∃ a_1, (RelEmbedding.codRestrict {b | s b (f a)} ((Subrel.relEmbedding r {b | r b a}).trans f.toRelEmbedding) ⋯) a_1 = ⟨y, h⟩
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≼i s
a✝ : α
x✝ : ↑{b | s b (f a✝)}
a : α
h : f a ∈ {b | s b (f a✝)}

⊢ ∃ a_1, (RelEmbedding.codRestrict {b | s b (f a✝)} ((Subrel.relEmbedding r {b | r b a✝}).trans f.toRelEmbedding) ⋯) a_1 = ⟨f a, h⟩
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
s : Fin n → R
y : R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R

⊢ (eval (Fin.cons y s)) f = Polynomial.eval y (Polynomial.map (eval s) ((finSuccEquiv R n) f))
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
s : Fin n → R
y : R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
φ : (MvPolynomial (Fin n) R)[X] →ₐ[R] R[X] := let __src := mapRingHom (eval s); { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }

⊢ (eval (Fin.cons y s)) f = Polynomial.eval y (Polynomial.map (eval s) ((finSuccEquiv R n) f))
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
s : Fin n → R
y : R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
φ : (MvPolynomial (Fin n) R)[X] →ₐ[R] R[X] := let __src := mapRingHom (eval s); { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }

⊢ aeval (Fin.cons y s) = (Polynomial.aeval y).comp (φ.comp ↑(finSuccEquiv R n))
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
s : Fin n → R
y : R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
φ : (MvPolynomial (Fin n) R)[X] →ₐ[R] R[X] := let __src := mapRingHom (eval s); { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }

⊢ ∀ (i : Fin (n + 1)), (aeval (Fin.cons y s)) (X i) = ((Polynomial.aeval y).comp (φ.comp ↑(finSuccEquiv R n))) (X i)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
s : Fin n → R
y : R
f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R
φ : (MvPolynomial (Fin n) R)[X] →ₐ[R] R[X] := let __src := mapRingHom (eval s); { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }

⊢ (aeval (Fin.cons y s)) (X 0) = ((Polynomial.aeval y).comp (φ.comp ↑(finSuccEquiv R n))) (X 0) ∧ ∀ (i : Fin n), (aeval (Fin.cons y s)) (X i.succ) = ((Polynomial.aeval y).comp (φ.comp ↑(finSuccEquiv R n))) (X i.succ)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝

⊢ M.Coindep X ↔ ∃ B, M.Base B ∧ B ⊆ M.E \ X
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ

⊢ a⁻¹ * b = 1 ↔ a = b
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ

⊢ stabilizer G ↑s = s.unop
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ

⊢ ∀ (x : G), (∀ (b : Gᵐᵒᵖ), x • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s) ↔ x ∈ s.unop
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ
a : G
h : ∀ (b : Gᵐᵒᵖ), a • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s

⊢ a ∈ s.unop
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a✝ : G
s : Subgroup Gᵐᵒᵖ
a : G
h : ∀ (b : Gᵐᵒᵖ), a • b ∈ ↑s ↔ b ∈ ↑s
this : 1 * op a ∈ s

⊢ a ∈ s.unop
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.82622, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
hg : S.g = 0

⊢ S.cycles ≅ S.X₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.82622, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
hg : S.g = 0
this : IsIso S.iCycles

⊢ S.cycles ≅ S.X₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ

⊢ ((hasseDeriv k) f).coeff n = ↑((n + k).choose k) * f.coeff (n + k)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ

⊢ (if n + k - k = n then ↑((n + k).choose k) * f.coeff (n + k) else 0) = ↑((n + k).choose k) * f.coeff (n + k)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ

⊢ ∀ b ∈ f.support, b ≠ n + k → ((monomial (b - k)) (↑(b.choose k) * f.coeff b)).coeff n = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ

⊢ n + k ∉ f.support → ((monomial (n + k - k)) (↑((n + k).choose k) * f.coeff (n + k))).coeff n = 0
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
ha : ∀ (x : α), x ∈ zpowers a

⊢ image (fun i => a ^ i) (range (Fintype.card α)) = univ
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S

⊢ (Algebra.leftMulMatrix pb.basis) pb.gen = Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Subsingleton A

⊢ (Algebra.leftMulMatrix pb.basis) pb.gen = Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A

⊢ (Algebra.leftMulMatrix pb.basis) pb.gen = Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A

⊢ (Algebra.lmul A S) pb.gen = (Matrix.toLin pb.basis pb.basis) (Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0)
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
k : Fin pb.dim

⊢ ((Algebra.lmul A S) pb.gen) (pb.basis k) = ((Matrix.toLin pb.basis pb.basis) (Matrix.of fun i j => if ↑j + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑i else if ↑i = ↑j + 1 then 1 else 0)) (pb.basis k)
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
k : Fin pb.dim

⊢ ((Algebra.lmul A S) pb.gen) (pb.gen ^ ↑k) = ∑ x : Fin pb.dim, (if ↑k + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑x else if ↑x = ↑k + 1 then 1 else 0) • pb.gen ^ ↑x
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
h✝ : Nontrivial A
k : Fin pb.dim

⊢ pb.gen ^ (↑k + 1) = ∑ x : Fin pb.dim, (if ↑k + 1 = pb.dim then -pb.minpolyGen.coeff ↑x else if ↑x = ↑k + 1 then 1 else 0) • pb.gen ^ ↑x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrictInitial.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
I X : C
inst✝ : HasBinaryProduct I X
hI : IsInitial I

⊢ I ⨯ X ≅ I
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrictInitial.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
I X : C
inst✝ : HasBinaryProduct I X
hI : IsInitial I
this : IsIso prod.fst

⊢ I ⨯ X ≅ I
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K
h : IsUnit A

⊢ Function.Injective ⇑A.vecMulLinear
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m K
h : IsUnit A

⊢ ∀ (m_1 : m → K), A.vecMulLinear m_1 = 0 → m_1 = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
x y z : α

⊢ (swap x y * f) z = (f * swap (f⁻¹ x) (f⁻¹ y)) z
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
x y z : α

⊢ (if f z = x then y else if f z = y then x else f z) = f (if z = f⁻¹ x then f⁻¹ y else if z = f⁻¹ y then f⁻¹ x else z)
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
x✝ : Y

⊢ (h.symm.trans h) x✝ = (Homeomorph.refl Y) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
fst✝ : E
snd✝ : F

⊢ (fst✝, snd✝) ∈ f.graph ↔ ∃ y, ↑y = (fst✝, snd✝).1 ∧ ↑f y = (fst✝, snd✝).2
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Currying.lean
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F₁ F₂ : C × D ⥤ E
h : curry.obj F₁ = curry.obj F₂

⊢ F₁ = F₂
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a : X
x✝ : ↑I

⊢ ((refl a).trans (refl a)) x✝ = (refl a) x✝
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a : X
x✝ : ↑I

⊢ { toFun := (fun t => a) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } x✝ = (refl a) x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
t : Set β
ht : 0 ∈ t
hs : MeasurableSet s

⊢ t ∈ Filter.map (s.indicator f) (ae μ) ↔ t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
q : ℕ → Prop := fun i => p i ∧ 0 < r i

⊢ blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
M : ℝ
hM : 0 < M
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
q : ℕ → Prop := fun i => p i ∧ 0 < r i
h₁ : blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p = blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop q

⊢ blimsup (fun i => thickening (M * r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p