ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β

⊢ exterior s ⊆ exterior t ↔ 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ t
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β

⊢ exterior s ⊆ exterior t → 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ t
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β

⊢ exterior s ⊆ exterior t → ∀ (x : Set α), exterior t ⊆ x → exterior s ⊆ x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs₀ : Balanced 𝕜 s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : IsOpen s

⊢ (gaugeSeminorm hs₀ hs₁ hs₂).ball 0 1 = s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
hs₀ : Balanced 𝕜 s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : IsOpen s

⊢ {y | (gaugeSeminorm hs₀ hs₁ hs₂) y < 1} = s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Acyclic.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V

⊢ G.IsAcyclic ↔ ∀ ⦃v w : V⦄, G.Adj v w → G.IsBridge s(v, w)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Acyclic.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V

⊢ G.IsAcyclic ↔ ∀ ⦃v w : V⦄, G.Adj v w → G.Adj v w ∧ ∀ ⦃u : V⦄ (p : G.Walk u u), p.IsCycle → s(v, w) ∉ p.edges
-- Mathlib/Order/Atoms/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
a : α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
ha : (Set.Ici a).Infinite
hfin : {x | a ⋖ x}.Finite

⊢ ∃ b, a ⋖ b ∧ (Set.Ici b).Infinite
-- Mathlib/Order/Atoms/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
a : α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
ha : (Set.Ici a).Infinite
hfin : {x | a ⋖ x}.Finite
h : ∀ (b : α), a ⋖ b → ¬(Set.Ici b).Infinite

⊢ False
-- Mathlib/Order/Atoms/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
a : α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
ha : (Set.Ici a).Infinite
hfin : {x | a ⋖ x}.Finite
h : ∀ (b : α), a ⋖ b → ¬(Set.Ici b).Infinite
b : α
hb : b ∈ Set.Ici a \ {a}

⊢ b ∈ ⋃ i ∈ {x | a ⋖ x}, Set.Ici i
-- Mathlib/Order/Atoms/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
a : α
inst✝ : IsStronglyAtomic α
ha : (Set.Ici a).Infinite
hfin : {x | a ⋖ x}.Finite
h : ∀ (b : α), a ⋖ b → ¬(Set.Ici b).Infinite
b : α
hb : b ∈ Set.Ici a \ {a}
x : α
hax : a ⋖ x
hxb : x ≤ b

⊢ b ∈ ⋃ i ∈ {x | a ⋖ x}, Set.Ici i
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X
u : α → β
hu : UniformInducing u

⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ EquicontinuousAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X
u : α → β
hu : UniformInducing u
this : Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun)

⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ EquicontinuousAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X
u : α → β
hu : UniformInducing u
this : Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun)

⊢ ContinuousAt ((⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun) ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀ ↔ ContinuousAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap ((fun x => u ∘ x) ∘ F)) x₀
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
a : Rat

⊢ a * 0 = 0
-- Mathlib/Condensed/Epi.lean
A : Type u'
inst✝¹² : Category.{v', u'} A
inst✝¹¹ : ConcreteCategory A
inst✝¹⁰ : HasFunctorialSurjectiveInjectiveFactorization A
inst✝⁹ : (coherentTopology CompHaus).WEqualsLocallyBijective A
inst✝⁸ : HasSheafify (coherentTopology CompHaus) A
inst✝⁷ : (coherentTopology CompHaus).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝⁶ : Balanced (Sheaf (coherentTopology CompHaus) A)
inst✝⁵ : PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget A)
inst✝⁴ : ∀ (X : CompHausᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X Stonean.toCompHaus.op) A
X Y : Condensed A
f : X ⟶ Y
inst✝³ : (extensiveTopology Stonean).WEqualsLocallyBijective A
inst✝² : HasSheafify (extensiveTopology Stonean) A
inst✝¹ : (extensiveTopology Stonean).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝ : Balanced (Sheaf (extensiveTopology Stonean) A)

⊢ Epi f ↔ ∀ (S : Stonean), Function.Surjective ⇑(f.val.app (op S.compHaus))
-- Mathlib/Condensed/Epi.lean
A : Type u'
inst✝¹² : Category.{v', u'} A
inst✝¹¹ : ConcreteCategory A
inst✝¹⁰ : HasFunctorialSurjectiveInjectiveFactorization A
inst✝⁹ : (coherentTopology CompHaus).WEqualsLocallyBijective A
inst✝⁸ : HasSheafify (coherentTopology CompHaus) A
inst✝⁷ : (coherentTopology CompHaus).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝⁶ : Balanced (Sheaf (coherentTopology CompHaus) A)
inst✝⁵ : PreservesFiniteProducts (CategoryTheory.forget A)
inst✝⁴ : ∀ (X : CompHausᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X Stonean.toCompHaus.op) A
X Y : Condensed A
f : X ⟶ Y
inst✝³ : (extensiveTopology Stonean).WEqualsLocallyBijective A
inst✝² : HasSheafify (extensiveTopology Stonean) A
inst✝¹ : (extensiveTopology Stonean).HasSheafCompose (CategoryTheory.forget A)
inst✝ : Balanced (Sheaf (extensiveTopology Stonean) A)

⊢ IsLocallySurjective (Presheaf.coherentExtensiveEquivalence.functor.map ((StoneanCompHaus.equivalence A).inverse.map f)) ↔ ∀ (S : Stonean), Function.Surjective ⇑(f.val.app (op S.compHaus))
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R✝
inst✝¹⁷ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝¹⁶ : CommRing R'
inst✝¹⁵ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝¹⁴ : Algebra R✝ R'
inst✝¹³ : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
S : Type u_2
Rₚ : Type u_3
Sₚ : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing Rₚ
inst✝⁹ : CommRing Sₚ
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : Algebra R Rₚ
inst✝⁶ : Algebra R Sₚ
inst✝⁵ : Algebra S Sₚ
inst✝⁴ : Algebra Rₚ Sₚ
inst✝³ : IsScalarTower R S Sₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Sₚ
M : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization M Rₚ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₚ
hRS : Finite R S

⊢ Finite Rₚ Sₚ
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u s : Set α

⊢ ∀ (s : Set α), (fun s => s = ∅ ∨ s = univ) s → (fun s => s = ∅ ∨ s = univ) sᶜ
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α

⊢ Codisjoint ↑s ↑t ↔ Disjoint s t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, -f x ∂μ = -∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ

⊢ -∫ (a : ℝ) in Ioc a b, f a ∂μ - -∫ (a : ℝ) in Ioc b a, f a ∂μ = -(∫ (x : ℝ) in Ioc a b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in Ioc b a, f x ∂μ)
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι

⊢ Function.Injective ⇑(of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i)
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι

⊢ ∀ (x : G i), (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0 → x = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0

⊢ x = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
j : ι
hij : i ≤ j
hfx : (f' i j hij) x = 0

⊢ x = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f' i j h)
hf : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j), Function.Injective ⇑(f' i j hij)
i : ι
x : G i
hx : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = 0
j : ι
hij : i ≤ j
hfx : (f' i j hij) x = 0

⊢ (f' i j hij) x = (f' i j hij) 0
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n : ℕ

⊢ DifferentiableAt ℂ Gamma (↑n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n m : ℕ

⊢ ↑n + 1 ≠ -↑m
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
n m : ℕ

⊢ ¬↑n + 1 + ↑m = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (z : β × γ) in s ×ˢ Set.univ, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β) in s, ∫⁻ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : IsMaximal (eraseLast s).last (last s)
hs : s.length = 0

⊢ last s = (eraseLast s).last
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}

⊢ sInf {m | p m} + n = sInf {m | p (m - n)}
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}

⊢ n ≤ sInf {m | p (m - n)}
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}
m : ℕ
hm : m ∈ {m | p m}

⊢ n ≤ sInf {m | p (m - n)}
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}
m : ℕ
hm : m ∈ {m | p m}

⊢ m + n ∈ {m | p (m - n)}
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
n : ℕ
p : ℕ → Prop
h : 0 < sInf {m | p m}
m : ℕ
hm : m ∈ {m | p m}
b : ℕ
hb : b ∈ {m | p (m - n)}
hbn : b < n

⊢ b - n ∈ {m | p m}
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hst : ¬s ∩ t = ∅

⊢ (condCount s) (t ∩ u) = (condCount (s ∩ t)) u * (condCount s) t
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hst : ¬s ∩ t = ∅

⊢ Measure.count (s ∩ t) ≠ 0
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hst : ¬s ∩ t = ∅

⊢ Measure.count (s ∩ t) ≠ ⊤
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
s : Multiset α
l : List α

⊢ powersetCard 0 ⟦l⟧ = {0}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : Semiring α
n : ℕ
u v : V

⊢ (adjMatrix α G ^ n) u v = ↑(Fintype.card ↑{p | p.length = n})
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : Semiring α
n : ℕ
u v : V

⊢ (adjMatrix α G ^ n) u v = ↑(G.finsetWalkLength n u v).card
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Surjective f
h : Nat.card β = 0

⊢ Nat.card α = 0
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Surjective f
h : Nat.card β = 0
h✝ : Finite β

⊢ Nat.card α = 0
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
hf : Function.Surjective f
h : Nat.card β = 0
h✝ : Infinite β

⊢ Nat.card α = 0
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1

⊢ HasSum (fun n => 1 / ↑n ^ k * ((fourier ↑n) ↑x + (-1) ^ k * (fourier (-↑n)) ↑x)) (-(2 * ↑π * I) ^ k / ↑k ! * ↑(bernoulliFun k x))
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1

⊢ (fun n => 1 / ↑n ^ k * ((fourier ↑n) ↑x + (-1) ^ k * (fourier (-↑n)) ↑x)) = fun n => 1 / ↑↑n ^ k * (fourier ↑n) ↑x + 1 / ↑(-↑n) ^ k * (fourier (-↑n)) ↑x
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1

⊢ -(2 * ↑π * I) ^ k / ↑k ! * ↑(bernoulliFun k x) = -(2 * ↑π * I) ^ k / ↑k ! * ↑(bernoulliFun k x) + 1 / ↑0 ^ k * (fourier 0) ↑x
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
f : F[X]
q : ℕ
inst✝ : ExpChar F q
hm : f.Monic
hi : Irreducible f
x✝ : ∃ n y, f = (expand F (q ^ n)) (X - C y)
n : ℕ
y : F
h : f = (expand F (q ^ n)) (X - C y)

⊢ f.natSepDegree = 1
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ

⊢ antidiagonalTuple 1 n = [![n]]
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ

⊢ ((range n).bind fun a => map (fun x => Fin.cons a x) (antidiagonalTuple 0 (n - a))) ++ map (fun x => Fin.cons n x) (antidiagonalTuple 0 0) = [![n]]
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ

⊢ ((range n).bind fun a => map (fun x => Fin.cons a x) (antidiagonalTuple 0 (n - a))) ++ map (fun x => Fin.cons n x) (antidiagonalTuple 0 0) = [] ++ [![n]]
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ

⊢ ((range n).bind fun a => map (fun x => Fin.cons a x) (antidiagonalTuple 0 (n - a))) = []
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ

⊢ ∀ x < n, antidiagonalTuple 0 (n - x) = []
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/NatAntidiagonal.lean
n x : ℕ
hx : x < n

⊢ antidiagonalTuple 0 (n - x) = []
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/NatAntidiagonal.lean
x m : ℕ
hx : x < x + m + 1

⊢ antidiagonalTuple 0 (x + m + 1 - x) = []
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F

⊢ (∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.IsPartition}, integralSum f vol x ∈ closedBall y ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ r, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧ ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I), l.MemBaseSet I c (r c) π → π.IsPartition → dist (integralSum f vol π) y ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : b.re ≠ 0
c T : ℝ
this : b.re * T ^ 2 - 2 * b.im * c * T - b.re * c ^ 2 = b.re * (T - b.im * c / b.re) ^ 2 - c ^ 2 * (b.im ^ 2 / b.re + b.re)

⊢ ‖cexp (-b * (↑T + ↑c * I) ^ 2)‖ = rexp (-(b.re * (T - b.im * c / b.re) ^ 2 - c ^ 2 * (b.im ^ 2 / b.re + b.re)))
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
A : Set X

⊢ derivedSet (closure A) = derivedSet A
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
A : Set X
x : X
hx : x ∈ derivedSet (closure A)

⊢ x ∈ derivedSet A
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
A : Set X
x : X
hx : ∀ ⦃i : Set X⦄, x ∈ i ∧ IsOpen i → (i ∩ {x}ᶜ ∩ closure A).Nonempty

⊢ ∀ ⦃i : Set X⦄, x ∈ i ∧ IsOpen i → (i ∩ {x}ᶜ ∩ A).Nonempty
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
A : Set X
x : X
hx : ∀ ⦃i : Set X⦄, x ∈ i ∧ IsOpen i → (i ∩ {x}ᶜ ∩ closure A).Nonempty
u : Set X
this : (u ∩ {x}ᶜ ∩ closure A).Nonempty
hu_open : IsOpen u

⊢ (u ∩ {x}ᶜ ∩ A).Nonempty
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝ : LE α
h : IsMin a
b✝ : WithTop α
hb : b✝ ≤ ↑a

⊢ ↑a ≤ b✝
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝ : LE α
h : IsMin a
b✝ : WithTop α
hb : WithTop.toDual ↑a ≤ WithTop.toDual b✝

⊢ ↑a ≤ b✝
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : s.OrdConnected

⊢ (a • s).OrdConnected
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : s.OrdConnected

⊢ (a • ↑(upperClosure s) ∩ a • ↑(lowerClosure s)).OrdConnected
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty

⊢ ↑(index (↑(K₁ ⊔ K₂)) U) / ↑(index (↑K₀) U) ≤ ↑(index (↑K₁) U) / ↑(index (↑K₀) U) + ↑(index (↑K₂) U) / ↑(index (↑K₀) U)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty

⊢ ↑(index (↑(K₁ ⊔ K₂)) U) ≤ ↑(index (↑K₁) U) + ↑(index (↑K₂) U)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K₁ K₂ : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty

⊢ 0 < ↑(index (↑K₀) U)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.9092, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂

⊢ S₁.Exact ∧ Epi S₁.g ↔ S₂.Exact ∧ Epi S₂.g
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.9092, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
this : Epi S₁.g ↔ Epi S₂.g

⊢ S₁.Exact ∧ Epi S₁.g ↔ S₂.Exact ∧ Epi S₂.g
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
hpos : 0 < n
hG : ∀ (g : G), g ^ n = 1

⊢ exponent G ≤ n
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
hpos : 0 < n
hG : ∀ (g : G), g ^ n = 1

⊢ Nat.find ?hc ≤ n
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
hpos : 0 < n
hG : ∀ (g : G), g ^ n = 1

⊢ ExponentExists G
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
h₂ : a < d
x : α

⊢ x ∈ Ioo a b ∪ Ioo c d ↔ x ∈ Ioo (min a c) (max b d)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
h₂ : a < d
x : α

⊢ a < x ∧ x < b ∨ c < x ∧ x < d ↔ (a < x ∨ c < x) ∧ (x < b ∨ x < d)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y

⊢ slope f x y ≤ f'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y

⊢ S ∈ 𝓝[<] y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y

⊢ ∃ l ∈ Iio y, Ico l y ⊆ S
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂

⊢ S₁.leftHomologyIso.hom ≫ homologyMap φ = leftHomologyMap φ ≫ S₂.leftHomologyIso.hom
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
h : s₁ ∩ s₂ ⊆ ∅
h₁ : m.IsCaratheodory s₁
t : Set α

⊢ m (t ∩ (s₁ ∪ s₂)) = m (t ∩ s₁) + m (t ∩ s₂)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
P : (X : Scheme) → ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop
h₁ : ∀ (R : CommRingCat) (x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace), P (Spec R) x
h₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsOpenImmersion f] (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P X x → P Y (f.val.base x)
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace

⊢ P X x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X✝ : Scheme
P : (X : Scheme) → ↑↑X.toPresheafedSpace → Prop
h₁ : ∀ (R : CommRingCat) (x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace), P (Spec R) x
h₂ : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) [inst : IsOpenImmersion f] (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), P X x → P Y (f.val.base x)
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
y : ↑↑(X.affineCover.obj (X.affineCover.f x)).toPresheafedSpace
e : (X.affineCover.map (X.affineCover.f x)).val.base y = x

⊢ P X x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ

⊢ x ^ y * x ^ z ≤ x ^ (y + z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
H : 0 = x

⊢ x ^ y * x ^ z ≤ x ^ (y + z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝¹ y✝¹ z✝¹ w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ
pos : 0 < x

⊢ x ^ y * x ^ z ≤ x ^ (y + z)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Continuum.lean

⊢ beth 1 = 𝔠
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
inst✝² : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), M.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ

⊢ QuasiIso (φ ≫ φ') ↔ QuasiIso φ'
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A

⊢ (lift R) (g.toLinearMap ∘ₗ ι R) = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : TensorAlgebra R M →ₐ[R] A

⊢ (lift R) ((lift R).symm g) = g
-- Mathlib/Deprecated/Group.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : Mul β
γ : Type u_1
inst✝ : Mul γ
f : α → β
g : β → γ
hf : IsMulHom f
hg : IsMulHom g
x y : α

⊢ (g ∘ f) (x * y) = (g ∘ f) x * (g ∘ f) y