ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S✝ : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r

⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S✝ : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r
n₁ : ℕ
hn₁ : ⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • IsLocalizedModule.mk' (f r) x 1 ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)

⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S✝ : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r
n₁ : ℕ
hn₁ : (f r) (↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)

⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S✝ : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r
n₁ : ℕ
hn₁ : (f r) (↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ : ⟨(fun x => ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple S (f r) (s₁ r))

⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S✝ : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r
n₁ : ℕ
hn₁ : (f r) (↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ : ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple S (f r) (s₁ r))

⊢ ∃ n, ↑r ^ n • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S✝ : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r
n₁ : ℕ
hn₁ : (f r) (↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ : ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple S (f r) (s₁ r))

⊢ ↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ ⨆ x, Submodule.span R ↑(sf x)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S✝ : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r
n₁ : ℕ
hn₁ : (f r) (↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ : ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple S (f r) (s₁ r))

⊢ ↑r ^ (n₂ + n₁) • x ∈ Submodule.span R ↑(sf r)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
S✝ : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
t : Finset R
ht : Ideal.span ↑t = ⊤
Mₚ : { x // x ∈ t } → Type u_1
inst✝⁷ : (g : { x // x ∈ t }) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁶ : (g : { x // x ∈ t }) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : { x // x ∈ t } → Type u
inst✝⁵ : (g : { x // x ∈ t }) → CommRing (Rₚ g)
inst✝⁴ : (g : { x // x ∈ t }) → Algebra R (Rₚ g)
inst✝³ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝² : (g : { x // x ∈ t }) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝¹ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : { x // x ∈ t }) → M →ₗ[R] Mₚ g
inst✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
s₁ : (g : { x // x ∈ t }) → Finset (Mₚ g)
s₂ : ∀ (g : { x // x ∈ t }), Submodule.span (Rₚ g) ↑(s₁ g) = ⊤
sf : { x // x ∈ t } → Finset M := fun x => IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple (Submonoid.powers ↑x) (f x) (s₁ x)
x : M
r : ↑↑t
S : Submonoid R := Submonoid.powers ↑r
n₁ : ℕ
hn₁ : (f r) (↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x) ∈ Submodule.span R ↑(s₁ r)
n₂ : ℕ
hn₂ : ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₂, ⋯⟩ • ↑⟨(fun x => ↑r ^ x) n₁, ⋯⟩ • x ∈ Submodule.span R ↑(IsLocalizedModule.finsetIntegerMultiple S (f r) (s₁ r))

⊢ ↑r ^ n₂ • ↑r ^ n₁ • x ∈ Submodule.span R ↑(sf r)
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))

⊢ Sigma.mk i '' (g i ⁻¹' s) = Sigma.map f g ⁻¹' (Sigma.mk (f i) '' s)
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))

⊢ Sigma.map f g ⁻¹' (Sigma.mk (f i) '' s) ⊆ Sigma.mk i '' (g i ⁻¹' s)
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i✝ j✝ : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))
j : ι
x : α j
y : β (f i)
hys : y ∈ s
hxy : ⟨f i, y⟩ = Sigma.map f g ⟨j, x⟩

⊢ ⟨j, x⟩ ∈ Sigma.mk i '' (g i ⁻¹' s)
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i✝ j✝ : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))
j : ι
x : α j
y : β (f i)
hys : y ∈ s
hxy : i = j ∧ HEq y (g j x)

⊢ ⟨j, x⟩ ∈ Sigma.mk i '' (g i ⁻¹' s)
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))
y : β (f i)
hys : y ∈ s
x : α i
hxy : HEq y (g i x)

⊢ ⟨i, x⟩ ∈ Sigma.mk i '' (g i ⁻¹' s)
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x✝ : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
β : ι' → Type u_5
f : ι → ι'
hf : Function.Injective f
g : (i : ι) → α i → β (f i)
i : ι
s : Set (β (f i))
y : β (f i)
hys : y ∈ s
x : α i
hxy : y = g i x

⊢ ⟨i, x⟩ ∈ Sigma.mk i '' (g i ⁻¹' s)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α

⊢ (s \ t).erase a = s.erase a \ t.erase a
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l : List α
a m : α
b : WithBot α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ↑a ≤ b

⊢ l.maximum ≤ b
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
f : σ → τ
h : Injective f
i : σ

⊢ degreeOf (f i) ((rename f) p) = degreeOf i p
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

⊢ a / b = 0 ↔ a = 0 ∨ b = ⊤
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : FirstCountableTopology X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
s : Set X
inj : InjOn f s
sc : IsCompact s
fc : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
loc : ∀ x ∈ s, ∃ u ∈ 𝓝 x, InjOn f u
this : ∀ x ∈ s ×ˢ s, ∀ᶠ (y : X × X) in 𝓝 x, f y.1 = f y.2 → y.1 = y.2

⊢ ∃ t ∈ 𝓝ˢ s, InjOn f t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y✝ : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X✝
inst✝³ : FirstCountableTopology X✝
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
s : Set X
inj : InjOn f s
sc : IsCompact s
fc : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
loc : ∀ x ∈ s, ∃ u ∈ 𝓝 x, InjOn f u
this : ∀ᶠ (x : X × X) in 𝓝ˢ s ×ˢ 𝓝ˢ s, f x.1 = f x.2 → x.1 = x.2

⊢ ∃ t ∈ 𝓝ˢ s, InjOn f t
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), 0 < log (b i * ↑n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < log (b i * ↑x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α

⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < log (b i * ↑x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
h : Tendsto (fun n => log (b i * ↑n)) atTop atTop

⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < log (b i * ↑x)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Bilinear.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³¹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝³⁰ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²⁹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²⁷ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : FunLike 𝓕 E F
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝¹⁵ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹⁴ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
E' : Type u_11
F' : Type u_12
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
𝕜₁' : Type u_13
𝕜₂' : Type u_14
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₁'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₁' E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₁' : 𝕜₁' →+* 𝕜
σ₁₃' : 𝕜₁' →+* 𝕜₃
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁' σ₁₃ σ₁₃'
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₃'
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃'
inst✝² : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁'
inst✝ : RingHomIsometric σ₂'
f : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
x x' : E
y y' : Fₗ

⊢ (f (x + x')) (y + y') = (f x) y + (f.deriv₂ (x, y)) (x', y') + (f x') y'
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Bilinear.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝³² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³¹ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝³⁰ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝²⁹ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝²⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝²⁷ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁶ : FunLike 𝓕 E F
σ₂₁ : 𝕜₂ →+* 𝕜
inst✝¹⁵ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝¹⁴ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
E' : Type u_11
F' : Type u_12
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup F'
𝕜₁' : Type u_13
𝕜₂' : Type u_14
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₁'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜₁' E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜₂' F'
σ₁' : 𝕜₁' →+* 𝕜
σ₁₃' : 𝕜₁' →+* 𝕜₃
σ₂' : 𝕜₂' →+* 𝕜₂
σ₂₃' : 𝕜₂' →+* 𝕜₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁' σ₁₃ σ₁₃'
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₂' σ₂₃ σ₂₃'
inst✝⁵ : RingHomIsometric σ₂₃
inst✝⁴ : RingHomIsometric σ₁₃'
inst✝³ : RingHomIsometric σ₂₃'
inst✝² : RingHomIsometric σ₁₃
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁'
inst✝ : RingHomIsometric σ₂'
f : E →L[𝕜] Fₗ →L[𝕜] Gₗ
x x' : E
y y' : Fₗ

⊢ (f x) y + ((f x') y + ((f x) y' + (f x') y')) = (f x) y + ((f x) y' + ((f x') y + (f x') y'))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
M : Matrix n n R

⊢ (toMatrixAlgEquiv v₁) ((toLinAlgEquiv v₁) M) = M
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ

⊢ jacobiTheta₂ z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0

⊢ jacobiTheta₂ z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im

⊢ jacobiTheta₂ z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im

⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ) = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * ∑' (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑n * (z / τ) + ↑π * I * ↑n ^ 2 * (-1 / τ))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
h0 : τ ≠ 0

⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ) = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * ∑' (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑n * (z / τ) + ↑π * I * ↑n ^ 2 * (-1 / τ))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
h0 : τ ≠ 0
h2 : 0 < (-I * τ).re

⊢ ∑' (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑n * z + ↑π * I * ↑n ^ 2 * τ) = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) * ∑' (n : ℤ), cexp (2 * ↑π * I * ↑n * (z / τ) + ↑π * I * ↑n ^ 2 * (-1 / τ))
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c x : ℕ

⊢ x ∈ Icc a.succ b ↔ x ∈ Ioc a b
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atBot

⊢ Tendsto (fun x => f x • r) l atBot
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : 0 < r
hf : Tendsto (fun x => -f x) l atTop

⊢ Tendsto (fun x => -f x • r) l atTop
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : DecidableEq J
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
j j' : J

⊢ ι f j ≫ π f j' = if h : j = j' then eqToHom ⋯ else 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R

⊢ (A.submatrix ⇑e ⇑e).det = A.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R

⊢ ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = ∑ σ : Perm m, ↑↑(sign σ) * ∏ i : m, A (σ i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R

⊢ ∀ (x : Perm n), ↑↑(sign x) * ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (x i) i = ↑↑(sign (e.permCongr x)) * ∏ i : m, A ((e.permCongr x) i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
σ : Perm n

⊢ ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = ↑↑(sign (e.permCongr σ)) * ∏ i : m, A ((e.permCongr σ) i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
σ : Perm n

⊢ ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = ↑↑(sign σ) * ∏ i : m, A ((e.permCongr σ) i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
σ : Perm n

⊢ ∏ i : n, A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = ∏ i : m, A ((e.permCongr σ) i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
σ : Perm n

⊢ ∀ (x : n), A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ x) x = A ((e.permCongr σ) (e x)) (e x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
σ : Perm n
i : n

⊢ A.submatrix (⇑e) (⇑e) (σ i) i = A ((e.permCongr σ) (e i)) (e i)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∀ (l : Ultrafilter X), ↑l ≤ 𝓝 x → s ∈ l