ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Lemmas.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite F
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
χ : MulChar F R
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hχ : χ ^ n = 1
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
a : F
h : a ≠ 0

⊢ χ a ∈ Algebra.adjoin ℤ {μ}
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n p✝ p : ℕ
hp : Prime p
q : ℕ

⊢ p.factorization q = (single p 1) q
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : ℕ
hc : CharP R p
hp : 2 ≤ p
d : ℕ
hdvd : ∃ e, p = d * e
e : ℕ
hmul : p = d * p
this✝³ : ↑p = 0
this✝² : ↑d * ↑e = 0
he : ↑e = 0
this✝¹ : p ∣ e
this✝ : e ∣ p
this : e = p
h₀ : 0 < p

⊢ d * p = 1 * p
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p : ℕ
hc : CharP R p
hp : 2 ≤ p
d : ℕ
hdvd : ∃ e, p = d * e
e : ℕ
hmul : p = d * p
this✝³ : ↑p = 0
this✝² : ↑d * ↑e = 0
he : ↑e = 0
this✝¹ : p ∣ e
this✝ : e ∣ p
this : e = p
h₀ : 0 < p

⊢ d * p = p
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
f : M →[L] N
s : L.Substructure M
hs : s.CG
t : Set M
ht : t.Countable ∧ (closure L).toFun t = s

⊢ (closure L).toFun (⇑f '' t) = Substructure.map f s
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Basis I X

⊢ X ⊆ M.closure I
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

⊢ ‖soln - a‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s t : 𝕜 → 𝕜
f g : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hs : MeromorphicOn s U
ht : MeromorphicOn t U
hf : MeromorphicOn f U
hg : MeromorphicOn g U
h_eq : Set.EqOn f g U
hu : IsOpen U

⊢ MeromorphicOn g U
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s t : 𝕜 → 𝕜
f g : 𝕜 → E
U : Set 𝕜
hs : MeromorphicOn s U
ht : MeromorphicOn t U
hf : MeromorphicOn f U
hg : MeromorphicOn g U
h_eq : Set.EqOn f g U
hu : IsOpen U
x : 𝕜
hx : x ∈ U

⊢ f =ᶠ[𝓝 x] g
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
hs : s ⊆ t
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p t x r

⊢ HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α

⊢ List.foldr (fun x x_1 => x ⊔ x_1) ⊥ l = l.toFinset.sup id
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
l : List α

⊢ Multiset.fold (fun x x_1 => x ⊔ x_1) ⊥ (↑l).dedup = (↑l).dedup.sup
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X

⊢ 𝓝[≠] x ≤ 𝓝[{y}ᶜ] x
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X

⊢ 𝓝[≠] x ≤ 𝓝[≠] x
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
hy : x ≠ y

⊢ 𝓝[≠] x ≤ 𝓝[{y}ᶜ] x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I J : Ideal R
hIJ : I ≤ J
x : R

⊢ (Quotient.mk I) x ∈ map (Quotient.mk I) J ↔ x ∈ J
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s

⊢ SameRay R (x -ᵥ x) (y -ᵥ x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s

⊢ SameRay R 0 (y -ᵥ x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : Summable fun x => ‖term f s x‖

⊢ ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ s.re
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : Summable fun x => ‖term f s x‖
H : ∀ (C : ℝ), ∃ n, n ≠ 0 ∧ C * ↑n ^ s.re < ‖f n‖

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : Summable fun x => ‖term f s x‖
H : ∀ (C : ℝ), ∃ n, n ≠ 0 ∧ C * ↑n ^ s.re < ‖f n‖
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
hn : (∑' (n : ℕ), ‖term f s n‖) * ↑n ^ s.re < ‖f n‖

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : Summable fun x => ‖term f s x‖
H : ∀ (C : ℝ), ∃ n, n ≠ 0 ∧ C * ↑n ^ s.re < ‖f n‖
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
hn : (∑' (n : ℕ), ‖term f s n‖) * ↑n ^ s.re < ‖f n‖
this : ‖term f s n‖ ≤ ∑' (i : ℕ), ‖term f s i‖

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
h : Summable fun x => ‖term f s x‖
H : ∀ (C : ℝ), ∃ n, n ≠ 0 ∧ C * ↑n ^ s.re < ‖f n‖
n : ℕ
hn₀ : n ≠ 0
hn : (∑' (n : ℕ), ‖term f s n‖) * ↑n ^ s.re < ‖f n‖
this : ‖f n‖ ≤ (∑' (i : ℕ), ‖term f s i‖) * ↑n ^ s.re

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ HasSum (fun n => -I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ↑(sinKernel (↑a) t)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
h : -2 * ↑π ≠ 0

⊢ HasSum (fun n => -I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) ↑(sinKernel (↑a) t)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
h : -2 * ↑π ≠ 0

⊢ HasSum (fun n => -I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t))) (jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑t) / (-2 * ↑π))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
h : -2 * ↑π ≠ 0
n : ℤ

⊢ -I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) * ↑(rexp (-π * ↑n ^ 2 * t)) = jacobiTheta₂'_term n (↑a) (I * ↑t) / (-2 * ↑π)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
h : -2 * ↑π ≠ 0
n : ℤ

⊢ -2 * ↑π * (-I * ↑n) * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n + -↑π * ↑n ^ 2 * ↑t) = 2 * ↑π * I * ↑n * cexp (2 * ↑π * I * ↑n * ↑a + ↑π * I * ↑n ^ 2 * (I * ↑t))
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ p : MvPolynomial σ R

⊢ IsWeightedHomogeneous w p 0 ↔ weightedTotalDegree w p = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ p : MvPolynomial σ R

⊢ (∀ ⦃d : σ →₀ ℕ⦄, coeff d p ≠ 0 → (weight w) d = 0) ↔ ∀ s ∈ p.support, (weight w) s = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ p : MvPolynomial σ R

⊢ ∀ (a : σ →₀ ℕ), coeff a p ≠ 0 → (weight w) a = 0 ↔ a ∈ p.support → (weight w) a = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ

⊢ coeff m p ≠ 0 → (weight w) m = 0 ↔ m ∈ p.support → (weight w) m = 0
-- Mathlib/Topology/DiscreteQuotient.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
g : C(Y, Z)
f : C(X, Y)
A B : DiscreteQuotient Y
h : A ≤ B

⊢ comap f A ≤ comap f B
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R

⊢ weightedTotalDegree w p = 0 ↔ ∀ m ∈ p.support, ∀ (x : σ), m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R

⊢ (∀ ⦃d : σ →₀ ℕ⦄, coeff d p ≠ 0 → (weight w) d = 0) ↔ ∀ m ∈ p.support, ∀ (x : σ), m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R

⊢ ∀ (a : σ →₀ ℕ), coeff a p ≠ 0 → (weight w) a = 0 ↔ a ∈ p.support → ∀ (x : σ), a x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ

⊢ coeff m p ≠ 0 → (weight w) m = 0 ↔ m ∈ p.support → ∀ (x : σ), m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ

⊢ coeff m p ≠ 0 → (weight w) m = 0 ↔ coeff m p ≠ 0 → ∀ (x : σ), m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ

⊢ coeff m p ≠ 0 → ((weight w) m = 0 ↔ ∀ (x : σ), m x = 0)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid M
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
hw : NonTorsionWeight w
p : MvPolynomial σ R
m : σ →₀ ℕ
a✝ : coeff m p ≠ 0

⊢ (weight w) m = 0 ↔ ∀ (x : σ), m x = 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/SInteger.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
S : Set (HeightOneSpectrum R)
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x✝ : Kˣ

⊢ x✝ ∈ {x | ∀ v ∉ S, v.valuation ↑x = 1} ↔ x✝ ∈ ↑(⨅ v, ⨅ (_ : v ∉ S), v.valuation.valuationSubring.unitGroup)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)

⊢ IntegrableAtFilter f l μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hfm : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ : μ.FiniteAtFilter l
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C

⊢ IntegrableAtFilter f l μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ✝ : μ.FiniteAtFilter l
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
C : ℝ
hC✝ : ∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
s : Set α
hsl : s ∈ l
hsm : MeasurableSet s
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hμ : μ s < ⊤
hC : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C

⊢ IntegrableAtFilter f l μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ✝ : μ.FiniteAtFilter l
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
C : ℝ
hC✝ : ∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
s : Set α
hsl : s ∈ l
hsm : MeasurableSet s
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hμ : μ s < ⊤
hC : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s✝ t : Set α
μ ν : Measure α
l✝ l' l : Filter α
inst✝ : l.IsMeasurablyGenerated
hfm✝ : StronglyMeasurableAtFilter f l μ
hμ✝ : μ.FiniteAtFilter l
hf : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (norm ∘ f)
C : ℝ
hC✝ : ∀ᶠ (s : Set α) in l.smallSets, ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C
s : Set α
hsl : s ∈ l
hsm : MeasurableSet s
hfm : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hμ : μ s < ⊤
hC : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ C

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C
-- Mathlib/Topology/Clopen.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

⊢ IsClopen s ↔ frontier s = ∅
-- Mathlib/Topology/Clopen.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

⊢ closure s = s ∧ interior s = s ↔ closure s ⊆ interior s
-- Mathlib/Topology/Clopen.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
h : closure s ⊆ interior s

⊢ closure s = s ∧ interior s = s
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
s : Set A

⊢ centralizer R s.centralizer.centralizer = centralizer R s
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
s : Set A

⊢ ↑(centralizer R s.centralizer.centralizer) = ↑(centralizer R s)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : Differentiable 𝕜 g

⊢ (Differentiable 𝕜 fun y => f y - g y) ↔ Differentiable 𝕜 f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
T U : C
f : T ⟶ X
g : T ⟶ Y
h : X ⟶ U
i : Y ⟶ U

⊢ lift f g ≫ desc h i = f ≫ h + g ≫ i
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

⊢ toIcoMod hp (a + m • p) b = toIcoMod hp a b + m • p
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q a b c : ℚ

⊢ 0 + a = a
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A

⊢ ↑(ℜ (I • a)) = ↑(-ℑ a)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
n : ℕ

⊢ (pmap f l h).get? n = Option.pmap f (l.get? n) ⋯
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → p a
n : ℕ

⊢ (pmap f l h)[n]? = Option.pmap f l[n]? ⋯
-- Mathlib/Data/PEquiv.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DecidableEq γ
inst✝ : Subsingleton α
a b i j : α

⊢ (j ∈ if i = a then some b else none) ↔ j ∈ some i
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
c : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

⊢ mixedEmbedding.norm (c • x) = |c| ^ finrank ℚ K * mixedEmbedding.norm x
-- Mathlib/Tactic/CongrExclamation.lean
α β : Sort u
inst✝ : FastSubsingleton α
h₂ : α = β
a : α
b : β

⊢ HEq a b
-- Mathlib/Tactic/CongrExclamation.lean
α β : Sort u
inst✝ : FastSubsingleton α
h₂ : α = β
a : α
b : β
this : Subsingleton α

⊢ HEq a b
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/CocompactMap.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
h : ∀ (s : Set β), IsCompact s → IsCompact (f ⁻¹' s)
s : Set β
hs : s ∈ cocompact β
t : Set β
ht : IsCompact t
hts : tᶜ ⊆ s

⊢ (f ⁻¹' t)ᶜ ⊆ f ⁻¹' s
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n

⊢ ((aeval f) F).natDegree ≤ m * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n

⊢ (Finsupp.sum F fun s a => (algebraMap R R[X]) a * s.prod fun n e => f n ^ e).natDegree ≤ m * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n

⊢ fold max 0 (natDegree ∘ fun i => (fun s a => (algebraMap R R[X]) a * s.prod fun n e => f n ^ e) i (F i)) F.support ≤ m * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support

⊢ (natDegree ∘ fun i => (fun s a => (algebraMap R R[X]) a * s.prod fun n e => f n ^ e) i (F i)) d ≤ m * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support

⊢ (Polynomial.C (F d) * d.prod fun n e => f n ^ e).natDegree ≤ m * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support

⊢ (d.prod fun n e => f n ^ e).natDegree ≤ m * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support

⊢ ∑ i ∈ d.support, ((fun n e => f n ^ e) i (d i)).natDegree ≤ m * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
this : ∑ i ∈ d.support, d i * n ≤ m * n

⊢ ∑ i ∈ d.support, ((fun n e => f n ^ e) i (d i)).natDegree ≤ m * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
this : ∑ i ∈ d.support, d i * n ≤ m * n

⊢ ∀ i ∈ d.support, ((fun n e => f n ^ e) i (d i)).natDegree ≤ d i * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
this : ∑ i ∈ d.support, d i * n ≤ m * n
i : σ

⊢ ((fun n e => f n ^ e) i (d i)).natDegree ≤ d i * n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
m n : ℕ
F : MvPolynomial σ R
hF : F.totalDegree ≤ m
f : σ → R[X]
hf : ∀ (i : σ), (f i).natDegree ≤ n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ F.support
this : ∑ i ∈ d.support, d i * n ≤ m * n
i : σ

⊢ d i * (f i).natDegree ≤ d i * n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Gradient/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
g : 𝕜 → 𝕜
g' u : 𝕜
L' : Filter 𝕜
h : HasGradientAt g g' u

⊢ HasDerivAt g ((starRingEnd 𝕜) g') u
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Gradient/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
g : 𝕜 → 𝕜
g' u : 𝕜
L' : Filter 𝕜
h : HasDerivAt g (((toDual 𝕜 𝕜) g') 1) u

⊢ HasDerivAt g ((starRingEnd 𝕜) g') u
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, 0 ≤ x

⊢ 0 ≤ sInf S
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
hS : ∀ x ∈ ∅, 0 ≤ x

⊢ 0 ≤ sInf ∅
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, 0 ≤ x
hS₂ : S.Nonempty

⊢ 0 ≤ sInf S
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x : α
s : Set G
hs : s ∈ 𝓝 1

⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v / w ∈ s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x : α
s : Set G
hs : s ∈ 𝓝 1
this : (fun p => p.1 * p.2⁻¹) ⁻¹' s ∈ 𝓝 (1, 1)

⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, ∀ v ∈ V, ∀ w ∈ V, v / w ∈ s
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁✝ t₂✝ : Set β
u✝ : Set γ
v✝ : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : δ → γ → ε
n : α → β → δ
m₁ : α → γ → α'
m₂ : β → γ → β'
n' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m (n a b) c = n' (m₁ a c) (m₂ b c)
s : Set ε
t₁ : Set α'
u : Set α
hu : u ∈ f
w₁ : Set γ
hw₁ : w₁ ∈ h
ht₁ : image2 m₁ u w₁ ⊆ t₁
t₂ : Set β'
hs : image2 n' t₁ t₂ ⊆ s
v : Set β
hv : v ∈ g
w₂ : Set γ
hw₂ : w₂ ∈ h
ht₂ : image2 m₂ v w₂ ⊆ t₂

⊢ s ∈ map₂ m (map₂ n f g) h