ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b < a
hcd : d < c
h₁ : b < c
h₂ : d < a

⊢ Icc a b ∪ Icc c d = Icc (min a c) (max b d)
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : CommRing C
inst✝³ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι'
b : ι → B
P : Matrix ι ι A

⊢ discr A (b ᵥ* P.map ⇑(algebraMap A B)) = P.det ^ 2 * discr A b
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, edist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, edist x y ≤ r

⊢ hausdorffEdist s t ≤ r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, edist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, edist x y ≤ r
x : α
xs : x ∈ s

⊢ infEdist x t ≤ r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t u : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
H1 : ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, edist x y ≤ r
H2 : ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, edist x y ≤ r
x : α
xt : x ∈ t

⊢ infEdist x s ≤ r
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H✝ : Type v
inst✝¹ : Group H✝
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H✝
H : Subgroup G
h : Subsingleton (G ⧸ H)
x : G
x✝ : x ∈ ⊤

⊢ x ∈ H
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H✝ : Type v
inst✝¹ : Group H✝
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H✝
H : Subgroup G
h : Subsingleton (G ⧸ H)
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
this : 1⁻¹ * x ∈ H

⊢ x ∈ H
-- Mathlib/Analysis/Convex/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ

⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ r → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ r → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : r ≤ 0

⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ r → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ r → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r

⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ r → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ r → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ

⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ r → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ r → ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
x : E
hx : ‖x‖ ≤ r
y : E
hy : ‖y‖ ≤ r
hxy : ε ≤ ‖x - y‖

⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
-- Mathlib/Analysis/Convex/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
x : E
hx : ‖r⁻¹ • x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖r⁻¹ • y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖

⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
-- Mathlib/Analysis/Convex/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
x : E
hx : ‖r⁻¹ • x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖r⁻¹ • y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
this : ε / r ≤ ‖r⁻¹ • x - r⁻¹ • y‖ → ‖r⁻¹ • x + r⁻¹ • y‖ ≤ 2 - δ

⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
-- Mathlib/Analysis/Convex/Uniform.lean
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : UniformConvexSpace E
ε : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hε : 0 < ε
r : ℝ
hr : 0 < r
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
h : ∀ ⦃x : E⦄, ‖x‖ ≤ 1 → ∀ ⦃y : E⦄, ‖y‖ ≤ 1 → ε / r ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 - δ
x : E
hx : ‖r⁻¹ • x‖ ≤ 1
y : E
hy : ‖r⁻¹ • y‖ ≤ 1
hxy : ε ≤ ‖x - y‖
this : ε ≤ ‖x - y‖ → ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r

⊢ ‖x + y‖ ≤ 2 * r - δ * r
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/HarrisKleitman.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s

⊢ 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/HarrisKleitman.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ ∅
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ ∅

⊢ 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ ∅.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/HarrisKleitman.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α
s : Finset α
hs : a ∉ s
ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s

⊢ 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ (insert a s).card * (𝒜 ∩ ℬ).card
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/HarrisKleitman.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α
s : Finset α
hs : a ∉ s
ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s

⊢ (Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + ((Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card) ≤ 2 ^ (s.card + 1) * (𝒜 ∩ ℬ).card
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/HarrisKleitman.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α
s : Finset α
hs : a ∉ s
ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s

⊢ (Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card + ((Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card) ≤ 2 ^ (s.card + 1) * (𝒜 ∩ ℬ).card
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/HarrisKleitman.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α
s : Finset α
hs : a ∉ s
ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s

⊢ 2 * ((Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card) ≤ 2 * (2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/HarrisKleitman.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α
s : Finset α
hs : a ∉ s
ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s
h₀ : ∀ (𝒞 : Finset (Finset α)), (∀ t ∈ 𝒞, t ⊆ insert a s) → ∀ t ∈ Finset.nonMemberSubfamily a 𝒞, t ⊆ s

⊢ 2 * ((Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card) ≤ 2 * (2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/HarrisKleitman.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α
s : Finset α
hs : a ∉ s
ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s
h₀ : ∀ (𝒞 : Finset (Finset α)), (∀ t ∈ 𝒞, t ⊆ insert a s) → ∀ t ∈ Finset.nonMemberSubfamily a 𝒞, t ⊆ s
h₁ : ∀ (𝒞 : Finset (Finset α)), (∀ t ∈ 𝒞, t ⊆ insert a s) → ∀ t ∈ Finset.memberSubfamily a 𝒞, t ⊆ s

⊢ 2 * ((Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card) ≤ 2 * (2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/HarrisKleitman.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α
s : Finset α
hs : a ∉ s
ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s
h₀ : ∀ (𝒞 : Finset (Finset α)), (∀ t ∈ 𝒞, t ⊆ insert a s) → ∀ t ∈ Finset.nonMemberSubfamily a 𝒞, t ⊆ s
h₁ : ∀ (𝒞 : Finset (Finset α)), (∀ t ∈ 𝒞, t ⊆ insert a s) → ∀ t ∈ Finset.memberSubfamily a 𝒞, t ⊆ s

⊢ (Finset.memberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.memberSubfamily a ℬ).card + (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜).card * (Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/HarrisKleitman.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a✝ a : α
s : Finset α
hs : a ∉ s
ih : ∀ {𝒜 ℬ : Finset (Finset α)}, IsLowerSet ↑𝒜 → IsLowerSet ↑ℬ → (∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ s) → (∀ t ∈ ℬ, t ⊆ s) → 𝒜.card * ℬ.card ≤ 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
h𝒜 : IsLowerSet ↑𝒜
hℬ : IsLowerSet ↑ℬ
h𝒜s : ∀ t ∈ 𝒜, t ⊆ insert a s
hℬs : ∀ t ∈ ℬ, t ⊆ insert a s
h₀ : ∀ (𝒞 : Finset (Finset α)), (∀ t ∈ 𝒞, t ⊆ insert a s) → ∀ t ∈ Finset.nonMemberSubfamily a 𝒞, t ⊆ s
h₁ : ∀ (𝒞 : Finset (Finset α)), (∀ t ∈ 𝒞, t ⊆ insert a s) → ∀ t ∈ Finset.memberSubfamily a 𝒞, t ⊆ s

⊢ 2 ^ s.card * (Finset.memberSubfamily a 𝒜 ∩ Finset.memberSubfamily a ℬ).card + 2 ^ s.card * (Finset.nonMemberSubfamily a 𝒜 ∩ Finset.nonMemberSubfamily a ℬ).card = 2 ^ s.card * (𝒜 ∩ ℬ).card
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
n : ℕ

⊢ logTaylor (n + 1) = logTaylor n + fun z => (-1) ^ (n + 1) * z ^ n / ↑n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
n : ℕ
x✝ : ℂ

⊢ logTaylor (n + 1) x✝ = (logTaylor n + fun z => (-1) ^ (n + 1) * z ^ n / ↑n) x✝
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char

⊢ { str := { data := l ++ (m₁ ++ c :: m₂) ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (m₁ ++ c :: m₂) } }.prev { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len m₁ }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char

⊢ (if { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l } then { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } else { byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx - utf8Len l }) = { byteIdx := utf8Len m₁ }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char

⊢ { byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char

⊢ { byteIdx := utf8Len l }.byteIdx ≠ ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }).byteIdx
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this : { data := l ++ m₁ ++ c :: (m₂ ++ r) }.prev { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) }

⊢ { byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this : { data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + c.utf8Size) } = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }

⊢ { byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + c.utf8Size) }).byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this : { data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + c.utf8Size) } = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }

⊢ { byteIdx := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }.byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ }
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ cos x + sin x * I = cexp (x * I)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : DistribLattice α
s : Finset ι
t : Finset κ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f✝ : ι → α
g✝ : κ → α
a : α
f : ι → α
g : κ → α

⊢ s.sup' hs f ⊓ t.sup' ht g = (s ×ˢ t).sup' ⋯ fun i => f i.1 ⊓ g i.2
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
k : ℕ

⊢ multichoose 1 k = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Semifield α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulReflectLT α
inst✝ : ZeroLEOneClass α
a b : α

⊢ 0 ≤ a⁻¹ ↔ 0 ≤ a
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Truncated.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
x : 𝕎 R
i : Fin n

⊢ TruncatedWittVector.coeff i (truncateFun n x) = x.coeff ↑i
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f g : ℕ → R

⊢ (f ⍟ g) 0 = 0
-- Mathlib/Order/Hom/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Bot α
inst✝² : Bot β
inst✝¹ : Bot γ
inst✝ : Bot δ
g : BotHom β γ
f₁ f₂ : BotHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α

⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n : A
X : C

⊢ (shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).inv.app X) = (shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).inv.app ((shiftFunctor C n).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftedHom.lean
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.25860, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.25867, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.25874, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
a b c : M
h : b + a = c
ha : a = 0
hb : b = 0

⊢ c = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftedHom.lean
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.25867, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.25874, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
c : M
h : 0 + 0 = c

⊢ (mk₀ 0 ⋯ f).comp (mk₀ 0 ⋯ g) h = mk₀ c ⋯ (f ≫ g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftedHom.lean
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.25867, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.25874, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : 0 + 0 = 0

⊢ (mk₀ 0 ⋯ f).comp (mk₀ 0 ⋯ g) h = mk₀ 0 ⋯ (f ≫ g)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

⊢ ⋃ n, Ico a ↑n = Ici a \ {⊤}
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a

⊢ (∏ a ∈ s, f a).toNNReal = ∏ a ∈ s, (f a).toNNReal
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a

⊢ ∏ i ∈ s, f i = ∏ a ∈ s, ↑(f a).toNNReal
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M

⊢ baseChange A ⊤ = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M

⊢ ∀ (x : A ⊗[R] M), x ∈ span A ↑(LinearMap.range ((TensorProduct.mk R A M) 1))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
x : A ⊗[R] M

⊢ x ∈ span A ↑(LinearMap.range ((TensorProduct.mk R A M) 1))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
x : A ⊗[R] M
a : A
y : M

⊢ a ⊗ₜ[R] y ∈ span A ↑(LinearMap.range ((TensorProduct.mk R A M) 1))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
x : A ⊗[R] M
a : A
y : M

⊢ a • 1 ⊗ₜ[R] y ∈ span A ↑(LinearMap.range ((TensorProduct.mk R A M) 1))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Tower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
p : Submodule R M
x : A ⊗[R] M
a : A
y : M

⊢ 1 ⊗ₜ[R] y ∈ ↑(LinearMap.range ((TensorProduct.mk R A M) 1))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set X
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
hX : (𝓝[S] x₀).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂

⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ x ∈ s₁ k₁, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s₂ k₂
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set X
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
hX : (𝓝[S] x₀).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂

⊢ (∀ (ib : κ₂), p₂ ib → ∃ ia, p₁ ia ∧ ∀ x ∈ s₁ ia, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α (s₂ ib)}) ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ x ∈ s₁ k₁, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ s₂ k₂
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s

⊢ SameRay R (x -ᵥ x) (x -ᵥ y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s

⊢ SameRay R 0 (x -ᵥ y)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ

⊢ jacobiTheta₂' z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) / τ * (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : τ.im ≤ 0

⊢ jacobiTheta₂' z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) / τ * (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im

⊢ jacobiTheta₂' z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) / τ * (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
hτ' : 0 < (-1 / τ).im

⊢ jacobiTheta₂' z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) / τ * (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
hτ : 0 < τ.im
hτ' : 0 < (-1 / τ).im
hj : HasDerivAt (fun w => jacobiTheta₂ (w / τ) (-1 / τ)) (1 / τ * jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ)) z

⊢ jacobiTheta₂' z τ = 1 / (-I * τ) ^ (1 / 2) * cexp (-↑π * I * z ^ 2 / τ) / τ * (jacobiTheta₂' (z / τ) (-1 / τ) - 2 * ↑π * I * z * jacobiTheta₂ (z / τ) (-1 / τ))
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ

⊢ mellin (fun t => f t⁻¹) s = mellin f (-s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α

⊢ ‖f‖ ^ p.toReal - ‖f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)‖ ^ p.toReal = ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α

⊢ HasSum (fun b => ‖↑f b‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) b‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
F : α → ℝ := fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) i‖ ^ p.toReal

⊢ HasSum (fun b => ‖↑f b‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) b‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
F : α → ℝ := fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) i‖ ^ p.toReal
hF : ∀ i ∉ s, F i = 0

⊢ HasSum (fun b => ‖↑f b‖ ^ p.toReal - ‖↑(f - ∑ i ∈ s, lp.single p i (↑f i)) b‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal)