ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : DecidableEq κ
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype κ
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
b : Basis ι R M
c : Basis κ R N
i : ι
j : κ

⊢ i ∉ Finset.univ → ∑ x : κ, ((Finsupp.single i 1) i * (Finsupp.single x 1) j) • b.coord i ⊗ₜ[R] c.coord x = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M
i : α
h : b ≠ 0

⊢ (single i b).support ≠ ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/SetAlgebra.lean
α : Type u_1
𝒜 : Set (Set α)
s✝ t : Set α
ℬ : Set (Set α)
h : 𝒜 ⊆ ℬ
s : Set α
hs : s ∈ generateSetAlgebra 𝒜

⊢ s ∈ generateSetAlgebra ℬ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
h_eq : (fun n => f n x) = fun n => aeSeq hf p n x

⊢ p x fun n => f n x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
h_eq : (fun n => f n x) = fun n => aeSeq hf p n x

⊢ p x fun n => aeSeq hf p n x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
inst✝¹ : Countable ι'
m : ι → Measure α
m' : ι' → Measure β
inst✝ : ∀ (n : ι'), SFinite (m' n)

⊢ (sum m).prod (sum m') = sum fun p => (m p.1).prod (m' p.2)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : IsDedekindDomain B
L : Ideal B
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
g : A ⧸ J →+* B ⧸ L
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g

⊢ (idealFactorsFunOfQuotHom hg).comp (idealFactorsFunOfQuotHom hf) = idealFactorsFunOfQuotHom ⋯
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : IsDedekindDomain B
L : Ideal B
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
g : A ⧸ J →+* B ⧸ L
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g
x : { p // p ∣ I }

⊢ ((idealFactorsFunOfQuotHom hg).comp (idealFactorsFunOfQuotHom hf)) x = (idealFactorsFunOfQuotHom ⋯) x
-- Mathlib/Order/Filter/Ring.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : Mul β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass β β (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
l : Filter α
f₁ f₂ g₁ g₂ : α → β
hf : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
hg : g₁ ≤ᶠ[l] g₂

⊢ f₁ * g₁ ≤ᶠ[l] f₂ * g₂
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Function.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MetrizableSpace X
inst✝ : Nonempty X
f : α → α
g : α → X
h : QuasiErgodic f μ
hgm : AEStronglyMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X

⊢ ∃ c, g =ᶠ[ae μ] const α c
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Function.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MetrizableSpace X
inst✝ : Nonempty X
f : α → α
g : α → X
h : QuasiErgodic f μ
hgm : AEStronglyMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
t : Set X
ht : IsSeparable t
hgt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ t

⊢ ∃ c, g =ᶠ[ae μ] const α c
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Function.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : MetrizableSpace X
inst✝ : Nonempty X
f : α → α
g : α → X
h : QuasiErgodic f μ
hgm : AEStronglyMeasurable g μ
hg_eq : g ∘ f =ᶠ[ae μ] g
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X
t : Set X
ht : IsSeparable t
hgt : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x ∈ t
this : SecondCountableTopology ↑t

⊢ ∃ c, g =ᶠ[ae μ] const α c
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf

⊢ G = sheafify J G
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf

⊢ sheafify J G ≤ G
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U

⊢ s ∈ G.obj U
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U

⊢ ↑(⋯.amalgamate (G.familyOfElementsOfSection s) ⋯) = s
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U

⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ unop U⦄, (G.sieveOfSection s).arrows f → F.map f.op ↑(⋯.amalgamate (G.familyOfElementsOfSection s) ⋯) = F.map f.op s
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F
hG : Presieve.IsSheaf J G.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : (G.sieveOfSection s).arrows i

⊢ F.map i.op ↑(⋯.amalgamate (G.familyOfElementsOfSection s) ⋯) = F.map i.op s
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : CancelCommMonoid α
s t : Finset ι
f : ι → α

⊢ (∏ i ∈ t \ s, f i) * ∏ i ∈ s, f i = (∏ i ∈ s \ t, f i) * ∏ i ∈ t, f i
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
i : σ
c : R

⊢ Multiset.count i (p * C c).degrees ≤ Multiset.count i p.degrees
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
i : σ
c : R

⊢ p.degrees = p.degrees + (C c).degrees
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R

⊢ (contractLeft d) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R

⊢ ∀ (m : M) (x fx : CliffordAlgebra Q), ((contractLeftAux Q d) m) ((ι Q) m * x, ((contractLeftAux Q d) m) (x, fx)) = Q m • fx
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : List Char
i p n : Nat

⊢ utf8GetAux s { byteIdx := i + n } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux s { byteIdx := i } { byteIdx := p }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : List Char
i p n : Nat

⊢ ∀ (c : Char) (cs : List Char) (i : Pos), ¬i = { byteIdx := p } → utf8GetAux cs { byteIdx := i.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux cs (i + c) { byteIdx := p } → (if { byteIdx := i.byteIdx + n } = { byteIdx := p + n } then c else utf8GetAux cs ({ byteIdx := i.byteIdx + n } + c) { byteIdx := p + n }) = if i = { byteIdx := p } then c else utf8GetAux cs (i + c) { byteIdx := p }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : List Char
i✝ p n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
h : ¬{ byteIdx := i } = { byteIdx := p }
ih : utf8GetAux cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := p }

⊢ (if { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + n } = { byteIdx := p + n } then c else utf8GetAux cs ({ byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + n } + c) { byteIdx := p + n }) = if { byteIdx := i } = { byteIdx := p } then c else utf8GetAux cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := p }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : List Char
i✝ p n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
ih : utf8GetAux cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := p }
h : ¬i = p

⊢ (if i + n = p + n then c else utf8GetAux cs { byteIdx := i + n + c.utf8Size } { byteIdx := p + n }) = if i = p then c else utf8GetAux cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := p }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : List Char
i✝ p n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
ih : utf8GetAux cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := p }
h : ¬i = p

⊢ utf8GetAux cs { byteIdx := i + n + c.utf8Size } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := p }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : List Char
i✝ p n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
ih : utf8GetAux cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := p }
h : ¬i = p

⊢ utf8GetAux cs { byteIdx := i + c.utf8Size + n } { byteIdx := p + n } = utf8GetAux cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := p }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/WF.lean
α : Type u_1
p : α → Prop
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α

⊢ All p (match l, v, r with | a, x, node red b y (node red c z d) => node red (node black a x b) y (node black c z d) | a, x, node red (node red b y c) z d => node red (node black a x b) y (node black c z d) | a, x, b => node black a x b) ↔ p v ∧ All p l ∧ All p r
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E

⊢ (minpoly F x).natSepDegree = 1 ↔ ∃ n y, minpoly F x = X ^ q ^ n - C y
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/InducedShiftSequence.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_3} A
L : C ⥤ D
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
M : Type u_4
inst✝⁶ : AddMonoid M
inst✝⁵ : HasShift C M
inst✝⁴ : HasShift D M
inst✝³ : L.CommShift M
inst✝² : G.ShiftSequence M
F' : M → D ⥤ A
e' : (m : M) → L ⋙ F' m ≅ G.shift m
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D A).obj L).Faithful
X : C

⊢ (F.isoShiftZero M).hom.app (L.obj X) = (e' 0).hom.app X ≫ (G.isoShiftZero M).hom.app X ≫ e.inv.app X
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
P' : Type u_5
inst✝² : CommRing P'
inst✝¹ : Algebra R P'
inst✝ : IsLocalization S P'
x : P

⊢ (canonicalEquiv S P P') (spanSingleton S x) = spanSingleton S ((IsLocalization.map P' (RingHom.id R) ⋯) x)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
P' : Type u_5
inst✝² : CommRing P'
inst✝¹ : Algebra R P'
inst✝ : IsLocalization S P'
x : P

⊢ ∀ (x_1 : P'), x_1 ∈ (canonicalEquiv S P P') (spanSingleton S x) ↔ x_1 ∈ spanSingleton S ((IsLocalization.map P' (RingHom.id R) ⋯) x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set (PrimeSpectrum R)

⊢ IsIrreducible s ↔ (vanishingIdeal s).IsPrime
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₃ p₁).sin = dist p₁ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1

⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₃ p₁).sin = dist p₁ p₃
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}

⊢ o.card ≤ 1 ↔ o ≤ 1
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1

⊢ ↑ζ * μ = 1
-- Mathlib/Logic/Equiv/Functor.lean
α β : Type u
α' β' : Type v
F : Type u → Type v → Type w
inst✝¹ : Bifunctor F
inst✝ : LawfulBifunctor F
x : F α α'

⊢ (mapEquiv F (Equiv.refl α) (Equiv.refl α')) x = (Equiv.refl (F α α')) x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p q : R[X]

⊢ ∀ (a : R), map f ((C a).comp q) = (map f (C a)).comp (map f q)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p q : R[X]

⊢ ∀ (p q_1 : R[X]), map f (p.comp q) = (map f p).comp (map f q) → map f (q_1.comp q) = (map f q_1).comp (map f q) → map f ((p + q_1).comp q) = (map f (p + q_1)).comp (map f q)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q✝ r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p q : R[X]

⊢ ∀ (n : ℕ) (a : R), map f ((C a * X ^ n).comp q) = (map f (C a * X ^ n)).comp (map f q) → map f ((C a * X ^ (n + 1)).comp q) = (map f (C a * X ^ (n + 1))).comp (map f q)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n

⊢ cylinder x 0 = univ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R

⊢ addXYZ (map W' f) (⇑f ∘ P) (⇑f ∘ Q) = ⇑f ∘ W'.addXYZ P Q
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b C : ℝ
hf : DifferentiableOn ℝ f (Icc 0 1)
bound : ∀ x ∈ Ico 0 1, ‖derivWithin f (Icc 0 1) x‖ ≤ C

⊢ ‖f 1 - f 0‖ ≤ C
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : AddMonoid M
S : Finset R[M]
hS : adjoin R ↑S = ⊤
this : DecidableEq M := Classical.decEq M

⊢ ∃ G, adjoin R (of' R M '' ↑G) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : AddMonoid M
S : Finset R[M]
hS : adjoin R ↑S = ⊤
this : DecidableEq M := Classical.decEq M

⊢ adjoin R (of' R M '' ↑(S.biUnion fun f => f.support)) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : AddMonoid M
S : Finset R[M]
hS : adjoin R ↑S = ⊤
this✝ : DecidableEq M := Classical.decEq M
this : ↑(S.biUnion fun f => f.support) = ⋃ f ∈ S, ↑f.support

⊢ adjoin R (of' R M '' ↑(S.biUnion fun f => f.support)) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : AddMonoid M
S : Finset R[M]
hS : adjoin R ↑S = ⊤
this✝ : DecidableEq M := Classical.decEq M
this : ↑(S.biUnion fun f => f.support) = ⋃ f ∈ S, ↑f.support

⊢ adjoin R (of' R M '' ⋃ f ∈ S, ↑f.support) = ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P

⊢ (J.isoToPlus P hP).inv = J.plusLift (𝟙 P) hP
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P

⊢ J.toPlus P ≫ (J.isoToPlus P hP).inv = 𝟙 P
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P

⊢ J.toPlus P = (J.isoToPlus P hP).hom
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source

⊢ (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)

⊢ (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)

⊢ mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
this : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)

⊢ mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M M'
he : MDifferentiable I I' e
e' : PartialHomeomorph M' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
x : M
hx : x ∈ e.source
this✝ : mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = (mfderiv I' I (↑e.symm) (↑e x)).comp (mfderiv I I' (↑e) x)
this : mfderiv I I id x = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I x)

⊢ mfderiv I I (↑e.symm ∘ ↑e) x = mfderiv I I id x