ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
x✝³ : α
x✝² : x✝³ ∈ s
x✝¹ : Set (β × β)
x✝ : x✝¹ ∈ 𝓤 β

⊢ (∃ t ∈ 𝓝[s] x✝³, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ x✝¹) ↔ ∃ t ∈ 𝓝[s] x✝³, ∀ᶠ (x : ι) in p, ∀ y ∈ t, (x, y) ∈ (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) ⁻¹' x✝¹
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤

⊢ Finite Rₚ Mₚ
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤

⊢ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤

⊢ ⊤ ≤ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ

⊢ x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x

⊢ x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T

⊢ x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T
this : f y ∈ Submodule.map f (Submodule.span R ↑T)

⊢ x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T
this : f y ∈ Submodule.span R (⇑f '' ↑T)

⊢ x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T
this : f y ∈ Submodule.span R (⇑f '' ↑T)
H : Submodule.span R (⇑f '' ↑T) ≤ Submodule.restrictScalars R (Submodule.span Rₚ (⇑f '' ↑T))

⊢ x ∈ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T
this : f y ∈ Submodule.span R (⇑f '' ↑T)
H : Submodule.span R (⇑f '' ↑T) ≤ Submodule.restrictScalars R (Submodule.span Rₚ (⇑f '' ↑T))

⊢ x = IsLocalization.mk' Rₚ 1 m • f y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
Rₚ : Type v
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₚ
inst✝⁹ : Algebra R Rₚ
inst✝⁸ : IsLocalization S Rₚ
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
Mₚ : Type t
inst✝⁵ : AddCommMonoid Mₚ
inst✝⁴ : Module R Mₚ
inst✝³ : Module Rₚ Mₚ
inst✝² : IsScalarTower R Rₚ Mₚ
f : M →ₗ[R] Mₚ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : Finite R M
T : Finset M
hT : Submodule.span R ↑T = ⊤
x : Mₚ
y : M
m : ↥S
hyx : IsLocalizedModule.mk' f y m = x
hy : y ∈ Submodule.span R ↑T
this : f y ∈ Submodule.span R (⇑f '' ↑T)
H : Submodule.span R (⇑f '' ↑T) ≤ Submodule.restrictScalars R (Submodule.span Rₚ (⇑f '' ↑T))

⊢ Submodule.span Rₚ ↑(Finset.image (⇑f) T) = Submodule.span Rₚ (⇑f '' ↑T)
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring T
F : Type u_1
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
S : Set (NonUnitalSubsemiring R)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R

⊢ x ∈ ↑(sSup S) ↔ x ∈ ⋃ s ∈ S, ↑s
-- Mathlib/Deprecated/Subring.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
x : R
hx : x ∈ closure s
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)

⊢ C x
-- Mathlib/Deprecated/Subring.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
x : R
hx : x ∈ closure s
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0

⊢ C x
-- Mathlib/Deprecated/Subring.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
L : List (List R)
HL : ∀ l ∈ L, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1
hx : (List.map List.prod L).sum ∈ closure s

⊢ C (List.map List.prod L).sum
-- Mathlib/Deprecated/Subring.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (∀ l ∈ tl, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1) → C (List.map List.prod tl).sum
HL : ∀ l ∈ hd :: tl, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1

⊢ C (List.map List.prod (hd :: tl)).sum
-- Mathlib/Deprecated/Subring.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (∀ l ∈ tl, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1) → C (List.map List.prod tl).sum
HL : (∀ x ∈ hd, x ∈ s ∨ x = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, ∀ x_1 ∈ x, x_1 ∈ s ∨ x_1 = -1

⊢ C (List.map List.prod (hd :: tl)).sum
-- Mathlib/Deprecated/Subring.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (∀ l ∈ tl, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1) → C (List.map List.prod tl).sum
HL : (∀ x ∈ hd, x ∈ s ∨ x = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, ∀ x_1 ∈ x, x_1 ∈ s ∨ x_1 = -1

⊢ C hd.prod
-- Mathlib/Deprecated/Subring.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : List R
tl : List (List R)
ih : (∀ l ∈ tl, ∀ x ∈ l, x ∈ s ∨ x = -1) → C (List.map List.prod tl).sum
HL : ∀ x ∈ hd, x ∈ s ∨ x = -1

⊢ C hd.prod
-- Mathlib/Deprecated/Subring.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : ∀ x ∈ hd :: tl, x ∈ s ∨ x = -1

⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
-- Mathlib/Deprecated/Subring.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1

⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
-- Mathlib/Deprecated/Subring.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s
HP : tl.prod = L.prod
hhd : hd ∈ s

⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
-- Mathlib/Deprecated/Subring.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s
HP : tl.prod = L.prod
hhd : hd = -1

⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
-- Mathlib/Deprecated/Subring.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s
HP : tl.prod = -L.prod
hhd : hd ∈ s

⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
-- Mathlib/Deprecated/Subring.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
cR : Type u
inst✝ : CommRing cR
s : Set R
C : R → Prop
h1 : C 1
hneg1 : C (-1)
hs : ∀ z ∈ s, ∀ (n : R), C n → C (z * n)
ha : ∀ {x y : R}, C x → C y → C (x + y)
h0 : C 0
hd : R
tl : List R
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1) → ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ (tl.prod = L.prod ∨ tl.prod = -L.prod)
HL : (hd ∈ s ∨ hd = -1) ∧ ∀ x ∈ tl, x ∈ s ∨ x = -1
L : List R
HL' : ∀ x ∈ L, x ∈ s
HP : tl.prod = -L.prod
hhd : hd = -1

⊢ ∃ L, (∀ x ∈ L, x ∈ s) ∧ ((hd :: tl).prod = L.prod ∨ (hd :: tl).prod = -L.prod)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ Real.tan θ.toReal = θ.tan
-- Mathlib/Analysis/Complex/ReImTopology.lean
a : ℝ

⊢ frontier {z | a < z.re} = {z | z.re = a}
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : F α → α
h : Fix F → α
hyp : ∀ (x : F (Fix F)), h (mk x) = g (h <$> x)
x : Fix F

⊢ rec g x = h x
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : F α → α
h : Fix F → α
hyp : ∀ (x : F (Fix F)), h (mk x) = g (h <$> x)
x : Fix F

⊢ ∀ (x : F (Fix F)), rec g <$> x = h <$> x → rec g (mk x) = h (mk x)
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
g : F α → α
h : Fix F → α
hyp : ∀ (x : F (Fix F)), h (mk x) = g (h <$> x)
x✝ : Fix F
x : F (Fix F)
hyp' : rec g <$> x = h <$> x

⊢ rec g (mk x) = h (mk x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c d : ↑S.objs
p : c ⟶ d

⊢ ↑(inv p) = inv ↑p
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
b : β
hb : b ∈ upperBounds t

⊢ BddBelow (image2 f s t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Generator.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : EnoughProjectives C
G : C
hG : IsCoseparator G

⊢ ∃ G, Projective G ∧ IsSeparator G
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Generator.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : EnoughProjectives C
G : C
hG : IsCoseparator G
T : Cᵒᵖ
hT₁ : Injective T
hT₂ : IsCoseparator T

⊢ ∃ G, Projective G ∧ IsSeparator G
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₃ : P
h : ¬Collinear k {p₁, p₁, p₃}

⊢ False
-- Mathlib/Data/Matrix/ColumnRowPartitioned.lean
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
x1 x2 : Matrix m n₁ R
y1 y2 : Matrix m n₂ R

⊢ x1.fromColumns y1 = x2.fromColumns y2 → x1 = x2 ∧ y1 = y2
-- Mathlib/Data/Matrix/ColumnRowPartitioned.lean
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
x1 x2 : Matrix m n₁ R
y1 y2 : Matrix m n₂ R

⊢ (∀ (i : m) (j : n₁ ⊕ n₂), x1.fromColumns y1 i j = x2.fromColumns y2 i j) → (∀ (i : m) (j : n₁), x1 i j = x2 i j) ∧ ∀ (i : m) (j : n₂), y1 i j = y2 i j
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ

⊢ (QInfty ≫ PInfty).f n = HomologicalComplex.Hom.f 0 n
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β

⊢ 0 ≤ a • b ↔ (a < 0 → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → a ≤ 0)
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β

⊢ (0 < -a → 0 ≤ -b) ∧ (0 < -b → 0 ≤ -a) ↔ (a < 0 → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → a ≤ 0)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X

⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ (i : ι), ContinuousWithinAt (F i) S x₀
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t c : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

⊢ mgf (fun x => c) μ t = rexp (t * c)
-- Mathlib/CategoryTheory/ChosenFiniteProducts/FunctorCategory.lean
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F₁ F₂ F₃ : J ⥤ C
j : J

⊢ (α_ F₁ F₂ F₃).inv.app j = (α_ (F₁.obj j) (F₂.obj j) (F₃.obj j)).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverPreserving.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
h : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ Z
hf : T f

⊢ (FunctorPushforwardStructure.casesOn (getFunctorPushforwardStructure ⋯) fun Z_1 g h h₁ fac => ℱ.val.map h.op (x g h₁)) = x f hf
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverPreserving.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
h : x.Compatible
Y : C
f : Y ⟶ Z
hf : T f
X : C
g : X ⟶ Z
f' : G.obj Y ⟶ G.obj X
hg : T g
eq : G.map f = f' ≫ G.map g

⊢ (FunctorPushforwardStructure.casesOn { preobj := X, premap := g, lift := f', cover := hg, fac := eq } fun Z_1 g h h₁ fac => ℱ.val.map h.op (x g h₁)) = x f hf
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β

⊢ (x, y) ∈ insert a s ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ Prod.mk a '' t ∪ s ×ˢ t
-- Mathlib/RingTheory/Localization/FractionRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)

⊢ mk' K x y = 1 ↔ x = ↑y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/FractionRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)

⊢ mk' K x y = 1 → x = ↑y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/FractionRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)
hxy : mk' K x y = 1

⊢ x = ↑y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/FractionRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)
hxy : mk' K x y = 1
hy : (algebraMap A K) ↑y ≠ 0

⊢ x = ↑y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/FractionRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing S
inst✝⁹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
K : Type u_5
B : Type u_6
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Field K
L : Type u_7
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
g : A →+* L
x : A
y : ↥(nonZeroDivisors A)
hxy : (algebraMap A K) x = (algebraMap A K) ↑y
hy : (algebraMap A K) ↑y ≠ 0

⊢ x = ↑y
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : SMul G X
B : Set X

⊢ IsBlock G B ↔ ∀ (g g' : G), g • B ∩ g' • B ≠ ∅ → g • B = g' • B
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivWithinAt g₁ g₁' t' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hst : MapsTo h s t'
hy : y = h x

⊢ HasDerivWithinAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') s x
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (uncurry f)
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ Measurable fun a => ∫⁻ (b : β) in s, f a b ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (uncurry f)
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), f a b ∂(κ.restrict hs) a
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ZNum

⊢ ↑n.bitm1 = ↑n + ↑n - 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ZNum

⊢ ↑(- -n).bitm1 = ↑n + ↑n - 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ZNum

⊢ -(↑(-n) + ↑(-n) + 1) = ↑n + ↑n - 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ZNum
this : ↑(-1 + ↑n + ↑n) = ↑(↑n + ↑n + -1)

⊢ -(↑(-n) + ↑(-n) + 1) = ↑n + ↑n - 1