ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Tactic/NormNum/DivMod.lean
a q m : ℤ
b' r : ℕ
hm : q * ↑b' = m
h : ↑r + m = a
h₂ : r < b'

⊢ ↑r / ↑b' + q = q
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w x y : V
q : G.Walk v w
hadj : G.Adj u v

⊢ notNilRec (fun x u x_1 x x => u) (cons hadj q) ⋯ = v
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : Module ℂ A
inst✝³ : IsScalarTower ℂ A A
inst✝² : SMulCommClass ℂ A A
inst✝¹ : StarModule ℂ A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A

⊢ IsSelfAdjoint a ↔ IsStarNormal a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : Module ℂ A
inst✝³ : IsScalarTower ℂ A A
inst✝² : SMulCommClass ℂ A A
inst✝¹ : StarModule ℂ A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A
ha : IsSelfAdjoint a
x : ℂ
hx : x ∈ σₙ ℂ a

⊢ (algebraMap ℝ ℂ) (Complex.reCLM x) = x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : Module ℂ A
inst✝³ : IsScalarTower ℂ A A
inst✝² : SMulCommClass ℂ A A
inst✝¹ : StarModule ℂ A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A

⊢ IsStarNormal a ∧ QuasispectrumRestricts a ⇑Complex.reCLM → IsSelfAdjoint a
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m n : ZNum
h : m = n

⊢ ↑m < ↑n ↔ Ordering.eq = Ordering.lt
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m n : ZNum
h : Ordering.casesOn Ordering.gt (↑m < ↑n) (m = n) (↑n < ↑m)

⊢ ↑m < ↑n ↔ Ordering.gt = Ordering.lt
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A

⊢ (A.leftRegularHom x).hom (Finsupp.single 1 1) = x
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A

⊢ 0 • (A.ρ 1) x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : AEMeasurable f μ

⊢ 0 < μ {x | f x ≤ ⨍⁻ (a : α), f a ∂μ}
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}

⊢ a < nfp f b ↔ ∃ n, a < f^[n] b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}

⊢ a < (fun a => sup fun n => f^[n] a) b ↔ ∃ n, a < f^[n] b
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
ι : Sort u_5
S : ι → StarSubalgebra R A
x : A

⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/SetInterval.lean
a : ℕ

⊢ IsUpperSet (range ⇑castOrderEmbedding)
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
n d : ℤ
d_ne_zero : d ≠ 0

⊢ ↑n / ↑d = n /. d
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝³ : SigmaFinite (μ.trim hm)
E : Type u_8
inst✝² : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x

⊢ 0 ≤ (condexpInd E hm μ s) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝³ : SigmaFinite (μ.trim hm)
E : Type u_8
inst✝² : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x

⊢ ↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑((condexpInd E hm μ s) x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝³ : SigmaFinite (μ.trim hm)
E : Type u_8
inst✝² : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E
hx : 0 ≤ x

⊢ ↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
x✝ : (_ : Fin n) × Fin n
a b : Fin n
hab : ⟨a, b⟩ ∈ finPairsLT n
h : f⁻¹ b < f⁻¹ a

⊢ (if f⁻¹ ⟨a, b⟩.fst ≤ f⁻¹ ⟨a, b⟩.snd then -1 else 1) = if f (f⁻¹.signBijAux ⟨a, b⟩).fst ≤ f (f⁻¹.signBijAux ⟨a, b⟩).snd then -1 else 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm (Fin n)
x✝ : (_ : Fin n) × Fin n
a b : Fin n
hab : ⟨a, b⟩ ∈ finPairsLT n
h : ¬f⁻¹ b < f⁻¹ a

⊢ (if f⁻¹ ⟨a, b⟩.fst ≤ f⁻¹ ⟨a, b⟩.snd then -1 else 1) = if f (f⁻¹.signBijAux ⟨a, b⟩).fst ≤ f (f⁻¹.signBijAux ⟨a, b⟩).snd then -1 else 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ measurableCylinders α

⊢ sᶜ ∈ measurableCylinders α
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : ∃ s_1 S, MeasurableSet S ∧ s = cylinder s_1 S

⊢ ∃ s_1 S, MeasurableSet S ∧ sᶜ = cylinder s_1 S
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
t : Set ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
hS : MeasurableSet S

⊢ ∃ s_1 S_1, MeasurableSet S_1 ∧ (cylinder s S)ᶜ = cylinder s_1 S_1
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
t : Set ((i : ι) → α i)
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
hS : MeasurableSet S

⊢ (cylinder s S)ᶜ = cylinder s Sᶜ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basis.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
n : ℕ
M : Fin n → Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : (i : Fin n) → Module R (M i)
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Finite ι
f g : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
ι₁ : Type u_6
e : Basis ι₁ R M₂
h : ∀ (v : ι → ι₁), (f fun i => e (v i)) = g fun i => e (v i)

⊢ f = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basis.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
n : ℕ
M : Fin n → Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : (i : Fin n) → AddCommMonoid (M i)
inst✝³ : (i : Fin n) → Module R (M i)
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Finite ι
f g : MultilinearMap R (fun x => M₂) M₃
ι₁ : Type u_6
e : Basis ι₁ R M₂
h : ∀ (v : ι → ι₁), (f fun i => e (v i)) = g fun i => e (v i)
val✝ : Fintype ι

⊢ f = g
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
u : ℕ → β
N : ℕ
hu : ∀ n ≥ N, u n = 1
n : ℕ
hn : N ≤ n

⊢ ∏ k ∈ range n, u k = ∏ k ∈ range N, u k
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
u : ℕ → β
N : ℕ
hu : ∀ n ≥ N, u n = 1
m : ℕ
hn : N ≤ N + m

⊢ ∏ k ∈ range (N + m), u k = ∏ k ∈ range N, u k
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : LocalRing R
T : Type u
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
x : PrimeSpectrum (ResidueField T)

⊢ (PrimeSpectrum.comap (residue T)) x = closedPoint T
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : LocalRing R
T : Type u
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
x : PrimeSpectrum (ResidueField T)

⊢ (PrimeSpectrum.comap (residue T)) ⊥ = closedPoint T
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : LocalRing R
T : Type u
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
x : PrimeSpectrum (ResidueField T)

⊢ ((PrimeSpectrum.comap (residue T)) ⊥).asIdeal = (closedPoint T).asIdeal
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
p : X × Y → Prop
x : X
y : Y
h : ∀ᶠ (x : X × Y) in 𝓝 (x, y), p x

⊢ ∀ᶠ (x' : X) in 𝓝 x, ∀ᶠ (y' : Y) in 𝓝 y, p (x', y')
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
p : X × Y → Prop
x : X
y : Y
h : ∀ᶠ (x : X × Y) in 𝓝 x ×ˢ 𝓝 y, p x

⊢ ∀ᶠ (x' : X) in 𝓝 x, ∀ᶠ (y' : Y) in 𝓝 y, p (x', y')
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
s : Set α
h : (f '' s).Finite
hs : s.Nonempty

⊢ ∃ a ∈ s, ∀ a' ∈ s, f a ≤ f a' → f a = f a'
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
s : Set α
h : (f '' s).Finite
hs : s.Nonempty
a : α
ha : a ∈ s
hmax : ∀ a' ∈ f '' s, id (f a) ≤ id a' → id (f a) = id a'

⊢ ∃ a ∈ s, ∀ a' ∈ s, f a ≤ f a' → f a = f a'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
e : E

⊢ ∫ (x : X), ↑↑(indicatorConstLp p ht hμt e) x ∂μ = ∫ (x : X) in univ, ↑↑(indicatorConstLp p ht hμt e) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
e : E

⊢ (μ (t ∩ univ)).toReal • e = (μ t).toReal • e
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.InnerRegular
inst✝ : μ'.InnerRegular
s : Set G
hs : MeasurableSet s

⊢ μ' s = (μ'.haarScalarFactor μ • μ) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.InnerRegular
inst✝ : μ'.InnerRegular
s : Set G
hs : MeasurableSet s

⊢ ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ s), ⨆ (_ : IsCompact K), μ' K = ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ s), ⨆ (_ : IsCompact K), (μ'.haarScalarFactor μ • μ) K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.InnerRegular
inst✝ : μ'.InnerRegular
s : Set G
hs : MeasurableSet s
K : Set G
_Ks : K ⊆ s
K_comp : IsCompact K

⊢ μ' K = (μ'.haarScalarFactor μ • μ) K
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
x : α

⊢ 𝓝 (pure x) = 𝓟 {⊥, pure x}
-- Mathlib/Data/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : α → α
g : β → β
n : ℕ

⊢ (map f g)^[n] = map f^[n] g^[n]
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ s t : Set α

⊢ 𝓟 s ⊓ 𝓟 t ≤ 𝓟 (s ∩ t)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ s t : Set α

⊢ ∃ t₁ ∈ 𝓟 s, ∃ t₂ ∈ 𝓟 t, s ∩ t = t₁ ∩ t₂
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ s t : Set α

⊢ 𝓟 (s ∩ t) ≤ 𝓟 s ⊓ 𝓟 t
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShortExact.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n : ℤ

⊢ QuasiIsoAt (descShortComplex S) n
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShortExact.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n : ℤ

⊢ IsIso (HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShortExact.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n : ℤ
φ : ((homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceComposableArrows₅ (triangleh S.f) n (n + 1) ⋯).δlast ⟶ (composableArrows₅ hS n (n + 1) ⋯).δlast := homMk₄ ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₁) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₂) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₃ ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) (n + 1)).hom.app (triangle S.f).obj₁) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) (n + 1)).hom.app (triangle S.f).obj₂) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⊢ IsIso (HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShortExact.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
hS : S.ShortExact
n : ℤ
φ : ((homologyFunctor C (up ℤ) 0).homologySequenceComposableArrows₅ (triangleh S.f) n (n + 1) ⋯).δlast ⟶ (composableArrows₅ hS n (n + 1) ⋯).δlast := homMk₄ ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₁) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₂) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (triangle S.f).obj₃ ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) (n + 1)).hom.app (triangle S.f).obj₁) ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) (n + 1)).hom.app (triangle S.f).obj₂) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
this : IsIso ((homologyFunctorFactors C (up ℤ) n).hom.app (mappingCone S.f) ≫ HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n)

⊢ IsIso (HomologicalComplex.homologyMap (descShortComplex S) n)
-- Mathlib/Topology/NhdsSet.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X

⊢ s ⊆ interior t ↔ t ∈ 𝓝ˢ s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Closeds.lean
α : Type u
inst✝ : MetricSpace α

⊢ LipschitzWith 2 fun p => infDist p.1 ↑p.2
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Closeds.lean
α : Type u
inst✝ : MetricSpace α

⊢ 2 = 1 + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝¹ : ExistsAddOfLE β
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β
inst✝ : Fintype α
hμ₀ : 0 ≤ μ
hf₀ : 0 ≤ f
hg₀ : 0 ≤ g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
hμ : ∀ (a b : α), μ a * μ b ≤ μ (a ⊓ b) * μ (a ⊔ b)

⊢ (∑ a : α, μ a * f a) * ∑ a : α, μ a * g a ≤ (∑ a : α, μ a) * ∑ a : α, μ a * (f a * g a)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝¹ : ExistsAddOfLE β
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β
inst✝ : Fintype α
hμ₀ : 0 ≤ μ
hf₀ : 0 ≤ f
hg₀ : 0 ≤ g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
hμ : ∀ (a b : α), μ a * μ b ≤ μ (a ⊓ b) * μ (a ⊔ b)
a b : α

⊢ (μ * f) a * (μ * g) b ≤ μ (a ⊓ b) * (μ (a ⊔ b) * (f (a ⊔ b) * g (a ⊔ b)))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝¹ : ExistsAddOfLE β
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β
inst✝ : Fintype α
hμ₀ : 0 ≤ μ
hf₀ : 0 ≤ f
hg₀ : 0 ≤ g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
hμ : ∀ (a b : α), μ a * μ b ≤ μ (a ⊓ b) * μ (a ⊔ b)
a b : α

⊢ μ a * f a * (μ b * g b) ≤ μ (a ⊓ b) * (μ (a ⊔ b) * (f (a ⊔ b) * g (a ⊔ b)))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝¹ : ExistsAddOfLE β
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : α → β
inst✝ : Fintype α
hμ₀ : 0 ≤ μ
hf₀ : 0 ≤ f
hg₀ : 0 ≤ g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
hμ : ∀ (a b : α), μ a * μ b ≤ μ (a ⊓ b) * μ (a ⊔ b)
a b : α

⊢ μ a * μ b * (f a * g b) ≤ μ (a ⊓ b) * μ (a ⊔ b) * (f (a ⊔ b) * g (a ⊔ b))
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b

⊢ J(↑a | b) = qrSign b a * J(↑b | a)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
rhs : ℕ → ℕ →* ℤ := fun a => { toFun := fun x => qrSign x a * J(↑x | a), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }

⊢ J(↑a | b) = qrSign b a * J(↑b | a)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
rhs : ℕ → ℕ →* ℤ := fun a => { toFun := fun x => qrSign x a * J(↑x | a), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
rhs_apply : ∀ (a b : ℕ), (rhs a) b = qrSign b a * J(↑b | a)

⊢ J(↑a | b) = qrSign b a * J(↑b | a)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
rhs : ℕ → ℕ →* ℤ := fun a => { toFun := fun x => qrSign x a * J(↑x | a), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
rhs_apply : ∀ (a b : ℕ), (rhs a) b = qrSign b a * J(↑b | a)
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
hp : p ≠ 2

⊢ (rhs a) ↑p = legendreSym p ↑a
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
rhs : ℕ → ℕ →* ℤ := fun a => { toFun := fun x => qrSign x a * J(↑x | a), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
rhs_apply : ∀ (a b : ℕ), (rhs a) b = qrSign b a * J(↑b | a)
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
hp : p ≠ 2
hpo : Odd p

⊢ (rhs a) ↑p = legendreSym p ↑a
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
rhs : ℕ → ℕ →* ℤ := fun a => { toFun := fun x => qrSign x a * J(↑x | a), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
rhs_apply : ∀ (a b : ℕ), (rhs a) b = qrSign b a * J(↑b | a)
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
hp : p ≠ 2
hpo : Odd p

⊢ J(↑p | a) = qrSign a p * J(↑a | p)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
rhs : ℕ → ℕ →* ℤ := fun a => { toFun := fun x => qrSign x a * J(↑x | a), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
rhs_apply : ∀ (a b : ℕ), (rhs a) b = qrSign b a * J(↑b | a)
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
hp : p ≠ 2
hpo : Odd p
q : ℕ
pq : Nat.Prime q
hq : q ≠ 2

⊢ legendreSym q ↑p = (rhs p) ↑q
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a b : ℕ
ha : Odd a
hb : Odd b
rhs : ℕ → ℕ →* ℤ := fun a => { toFun := fun x => qrSign x a * J(↑x | a), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
rhs_apply : ∀ (a b : ℕ), (rhs a) b = qrSign b a * J(↑b | a)
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
hp : p ≠ 2
hpo : Odd p
q : ℕ
pq : Nat.Prime q
hq : q ≠ 2
hqo : Odd q

⊢ legendreSym q ↑p = (rhs p) ↑q
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝¹ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝¹ g✝¹ : α✝ → β
inst✝² : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid α
s✝ : Finset ι
t✝ : Finset κ
f✝ : ι → α
g✝ : κ → α
inst✝ : DecidableEq κ
s : Finset ι
t : Finset κ
g : ι → κ
f : κ → α

⊢ ∏ j ∈ t, ∏ _i ∈ filter (fun i => g i = j) s, f j = ∏ i ∈ filter (fun i => g i ∈ t) s, f (g i)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 0 < s

⊢ IntervalIntegrable (fun x => (x - ↑n) / x ^ (s + 1)) volume (↑n) (↑n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 0 < s

⊢ IntegrableOn (fun x => (x - ↑n) / x ^ (s + 1)) (Icc (↑n) (↑n + 1)) volume
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 0 < s
x : ℝ
hx : x ∈ Icc (↑n) (↑n + 1)

⊢ ContinuousAt (fun x => x - ↑n) x
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 0 < s
x : ℝ
hx : x ∈ Icc (↑n) (↑n + 1)

⊢ ContinuousAt (fun x => x ^ (s + 1)) x
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 0 < s
x : ℝ
hx : x ∈ Icc (↑n) (↑n + 1)

⊢ x ^ (s + 1) ≠ 0
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : HasLimits C
X : TopCat
F : J ⥤ Presheaf C X
H : ∀ (j : J), (F.obj j).IsSheaf
c : Cone F
hc : IsLimit c
F' : J ⥤ Sheaf C X := { obj := fun j => { val := F.obj j, cond := ⋯ }, map := fun {X_1 Y} f => { val := F.map f }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }
e : F' ⋙ Sheaf.forget C X ≅ F := NatIso.ofComponents (fun x => Iso.refl ((F' ⋙ Sheaf.forget C X).obj x)) ⋯

⊢ c.pt.IsSheaf
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0

⊢ T_gen p F a < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
h : ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 < 1

⊢ T_gen p F a < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/Hensel.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
F : Polynomial ℤ_[p]
a : ℤ_[p]
hnorm : ‖Polynomial.eval a F‖ < ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2
hnsol : Polynomial.eval a F ≠ 0
h : ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 < 1

⊢ ‖Polynomial.eval a F‖ / ‖Polynomial.eval a (Polynomial.derivative F)‖ ^ 2 < 1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n x y : A

⊢ x ∈ map ((LinearMap.mul R A).flip y) P ↔ ∃ z ∈ P, Mul.mul z y = x
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝⁴ : DecidableEq o
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : One α

⊢ (blockDiagonal fun x => diagonal fun x => 1) = diagonal fun x => 1
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
h : 0 < ε

⊢ x ∈ ball x ε