ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
h₁ : ∀ (k : I), ((f.sum fun i y => (a i) k • b.repr y).sum fun j z => z • b j ⊗ₜ[R] b k) = f.sum fun i y => (b.repr y).sum fun j z => (a i) k • z • b j ⊗ₜ[R] b k

⊢ ∑ x ∈ f.support, ∑ x_1 ∈ (a x).support, ((a x) x_1 • f x) ⊗ₜ[R] b x_1 = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => ((fun i => b.repr (b i * x)) i).support, (b.repr (f.sum fun i y => ((fun i => b.repr (b i * x)) i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
h₁ : ∀ (k : I), ((f.sum fun i y => (a i) k • b.repr y).sum fun j z => z • b j ⊗ₜ[R] b k) = f.sum fun i y => (b.repr y).sum fun j z => (a i) k • z • b j ⊗ₜ[R] b k
h₂ : ∀ (x : S), ∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a = x

⊢ ∑ x ∈ f.support, ∑ x_1 ∈ (a x).support, ((a x) x_1 • f x) ⊗ₜ[R] b x_1 = ∑ k ∈ f.support.biUnion fun i => ((fun i => b.repr (b i * x)) i).support, (b.repr (f.sum fun i y => ((fun i => b.repr (b i * x)) i) k • y)).sum fun j c => c • b j ⊗ₜ[R] b k
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
h₁ : ∀ (k : I), ((f.sum fun i y => (a i) k • b.repr y).sum fun j z => z • b j ⊗ₜ[R] b k) = f.sum fun i y => (b.repr y).sum fun j z => (a i) k • z • b j ⊗ₜ[R] b k
h₂ : ∀ (x : S), ∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a = x

⊢ ∑ x ∈ f.support, ∑ x_1 ∈ (a x).support, ((a x) x_1 • f x) ⊗ₜ[R] b x_1 = ∑ x_1 ∈ f.support, ∑ x ∈ f.support.biUnion fun i => (b.repr (b i * x)).support, ((a x_1) x • f x_1) ⊗ₜ[R] b x
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
h₁ : ∀ (k : I), ((f.sum fun i y => (a i) k • b.repr y).sum fun j z => z • b j ⊗ₜ[R] b k) = f.sum fun i y => (b.repr y).sum fun j z => (a i) k • z • b j ⊗ₜ[R] b k
h₂ : ∀ (x : S), ∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a = x

⊢ ∀ x_1 ∈ f.support, ∑ x ∈ (a x_1).support, ((a x_1) x • f x_1) ⊗ₜ[R] b x = ∑ x ∈ f.support.biUnion fun i => (b.repr (b i * x)).support, ((a x_1) x • f x_1) ⊗ₜ[R] b x
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
h₁ : ∀ (k : I), ((f.sum fun i y => (a i) k • b.repr y).sum fun j z => z • b j ⊗ₜ[R] b k) = f.sum fun i y => (b.repr y).sum fun j z => (a i) k • z • b j ⊗ₜ[R] b k
h₂ : ∀ (x : S), ∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a = x
i : I
hi : i ∈ f.support

⊢ ∑ x ∈ (a i).support, ((a i) x • f i) ⊗ₜ[R] b x = ∑ x ∈ f.support.biUnion fun i => (b.repr (b i * x)).support, ((a i) x • f i) ⊗ₜ[R] b x
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
h₁ : ∀ (k : I), ((f.sum fun i y => (a i) k • b.repr y).sum fun j z => z • b j ⊗ₜ[R] b k) = f.sum fun i y => (b.repr y).sum fun j z => (a i) k • z • b j ⊗ₜ[R] b k
h₂ : ∀ (x : S), ∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a = x
i : I
hi : i ∈ f.support

⊢ (a i).support ⊆ f.support.biUnion fun i => (b.repr (b i * x)).support
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
h₁ : ∀ (k : I), ((f.sum fun i y => (a i) k • b.repr y).sum fun j z => z • b j ⊗ₜ[R] b k) = f.sum fun i y => (b.repr y).sum fun j z => (a i) k • z • b j ⊗ₜ[R] b k
h₂ : ∀ (x : S), ∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a = x
i : I
hi : i ∈ f.support

⊢ ∀ x_1 ∈ (f.support.biUnion fun i => (b.repr (b i * x)).support) \ (a i).support, ((a i) x_1 • f i) ⊗ₜ[R] b x_1 = 0
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Finite.lean
R S : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module S M
inst✝³ : IsScalarTower R S M
inst✝² : FormallyUnramified R S
inst✝¹ : EssFiniteType R S
I : Type u_2
inst✝ : DecidableEq I
b : Basis I R S
f : I →₀ S
x : S
a : I → I →₀ R := fun i => b.repr (b i * x)
h₁ : ∀ (k : I), ((f.sum fun i y => (a i) k • b.repr y).sum fun j z => z • b j ⊗ₜ[R] b k) = f.sum fun i y => (b.repr y).sum fun j z => (a i) k • z • b j ⊗ₜ[R] b k
h₂ : ∀ (x : S), ∑ a ∈ (b.repr x).support, (b.repr x) a • b a = x
i : I
hi : i ∈ f.support

⊢ ∀ x ∈ (a i).support, ((a i) x • f i) ⊗ₜ[R] b x = ((a i) x • f i) ⊗ₜ[R] b x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α

⊢ ∑' (n : ℕ), ↑(↑(eapproxDiff f n) a) = f a
-- Mathlib/Data/Holor.lean
ds₁ ds₂ ds₃ is : List ℕ
h : Forall₂ (fun x x_1 => x < x_1) is (ds₁ ++ ds₂ ++ ds₃)

⊢ ↑(assocRight ⟨is, h⟩).drop.take = ↑(take ⟨is, h⟩).drop
-- Mathlib/Data/List/ReduceOption.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)

⊢ l.reduceOption.length < l.length ↔ none ∈ l
-- Mathlib/Data/List/ReduceOption.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)

⊢ (¬∀ (x : Option α), x ∈ l → x.isSome = true) ↔ none ∈ l
-- Mathlib/Data/List/ReduceOption.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
head✝ : Option α
tail✝ : List (Option α)
tail_ih✝ : (¬∀ (x : Option α), x ∈ tail✝ → x.isSome = true) ↔ none ∈ tail✝

⊢ head✝.isSome = true → none ∈ tail✝ ↔ none = head✝ ∨ none ∈ tail✝
-- Mathlib/Algebra/Ring/Rat.lean
num den n : ℕ

⊢ mkRat (↑num) den ^ n = mkRat (↑num ^ n) (den ^ n)
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α

⊢ Ioc a b ⊆ closure (interior (Ioc a b))
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
a : α

⊢ Ioc a a ⊆ closure (interior (Ioc a a))
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α
h : a ≠ b

⊢ Ioc a b ⊆ closure (interior (Ioc a b))
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y : ℂ
x : ℝ

⊢ (starRingEnd ℂ) (sin ↑x) = sin ↑x
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e' : PartialEquiv α γ
x : α
he : x ∈ e.source
he' : x ∈ e'.source

⊢ ↑e x ∈ ↑e.symm.symm.symm ⁻¹' e'.source
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
d : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α

⊢ 𝓤 α ≤ (𝓟 ∘ interior) d
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
d : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d

⊢ 𝓤 α ≤ (𝓟 ∘ interior) d
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
d : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d
t : Set (α × α)
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
ht_comp : t ⊆ {p | ∃ x y, (p.1, x) ∈ s ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.2) ∈ s}

⊢ 𝓤 α ≤ (𝓟 ∘ interior) d
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
d : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d
t : Set (α × α)
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
ht_comp : t ⊆ {p | ∃ x y, (p.1, x) ∈ s ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.2) ∈ s}
this : s ⊆ interior d

⊢ 𝓤 α ≤ (𝓟 ∘ interior) d
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
d : Set (α × α)
hd : d ∈ 𝓤 α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d
t : Set (α × α)
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
ht_comp : t ⊆ {p | ∃ x y, (p.1, x) ∈ s ∧ (x, y) ∈ s ∧ (y, p.2) ∈ s}
this✝ : s ⊆ interior d
this : interior d ∈ 𝓤 α

⊢ 𝓤 α ≤ (𝓟 ∘ interior) d
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
x z : R
hy : IsRadical (x * z)
h0 : x * z ≠ 0

⊢ ∀ (x_1 : R), x ∣ x_1 ^ 2 → x ∣ x_1
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
x z : R
hy : IsRadical (x * z)
h0 : x * z ≠ 0
w : R
dvd : x ∣ w ^ 2

⊢ x * z ∣ (w * z) ^ 2
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x✝ y : R
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero R
x z : R
hy : IsRadical (x * z)
h0 : x * z ≠ 0
w : R
dvd : x ∣ w ^ 2

⊢ x * z ∣ w ^ 2 * (z * z)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i

⊢ update f i '' Ico a b = Ico (update f i a) (update f i b)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
hs : s.Nonempty

⊢ IsLeast s (sInf s)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
hs : s.Nonempty

⊢ IsLeast s (argminOn id ⋯ s hs)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t

⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ Disjoint (thickening δ s) (thickening δ t)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y

⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ Disjoint (thickening δ s) (thickening δ t)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y

⊢ Disjoint (thickening (↑r / 2) s) (thickening (↑r / 2) t)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y

⊢ thickening (↑r / 2) s ⊓ thickening (↑r / 2) t ≤ ⊥
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
z : α
hzs : z ∈ thickening (↑r / 2) s
hzt : z ∈ thickening (↑r / 2) t

⊢ z ∈ ⊥
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
z : α
hzs : ∃ z_1 ∈ s, edist z z_1 < ENNReal.ofReal (↑r / 2)
hzt : ∃ z_1 ∈ t, edist z z_1 < ENNReal.ofReal (↑r / 2)

⊢ z ∈ ⊥
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
z : α
hzs : ∃ z_1 ∈ s, edist z z_1 < ↑(r / 2)
hzt : ∃ z_1 ∈ t, edist z z_1 < ↑(r / 2)

⊢ z ∈ ⊥
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
hst : Disjoint s t
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, ↑r < edist x y
z x : α
hx : x ∈ s
hzx : edist z x < ↑(r / 2)
y : α
hy : y ∈ t
hzy : edist z y < ↑(r / 2)

⊢ edist x y ≤ ↑r
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b c : α
s : Finset α
hS : s.Nontrivial

⊢ (s \ {c}).Nonempty
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b c : α
s : Finset α
hS : s.Nontrivial

⊢ ¬(s = ∅ ∨ s = {c})
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b c : α
s : Finset α
hS : s.Nontrivial

⊢ s ≠ ∅ ∧ s ≠ {c}
-- Mathlib/RingTheory/ZMod.lean
n : ℕ
x✝ : ℤ

⊢ x✝ ∈ RingHom.ker (Int.castRingHom (ZMod n)) ↔ x✝ ∈ Ideal.span {↑n}
-- Mathlib/Tactic/CancelDenoms/Core.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
n e1 t1 k l : α
e2 : ℕ
h1 : n * e1 = t1
h2 : l * n ^ e2 = k

⊢ k * e1 ^ e2 = l * t1 ^ e2
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
hml : m ≤ l
k : ℕ
hk : k ∈ Ico n m

⊢ decide (k < l) = true
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α

⊢ cthickening δ (closure s) = cthickening δ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/HomEquiv.lean
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.48505, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.48509, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.48513, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_10, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_8, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.48525, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C

⊢ (homEquiv W L₁ L₂) (𝟙 (L₁.obj X)) = 𝟙 (L₂.obj X)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
h : ¬FiniteDimensional K V

⊢ finrank K (Module.Dual K V) = finrank K V
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
h : ¬FiniteDimensional K V

⊢ ∀ (s : Finset V), Basis (↑↑s) K V → False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Subspace K V
h : ¬FiniteDimensional K V

⊢ ∀ (s : Finset (Module.Dual K V)), Basis (↑↑s) K (Module.Dual K V) → False
-- Mathlib/Order/Hom/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁵ : EquivLike F α β
inst✝⁴ : LE α
inst✝³ : OrderBot α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : OrderBot β
inst✝ : OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
this : BotHomClass F α β := OrderIsoClass.toBotHomClass

⊢ f a = ⊥ ↔ a = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/MinMax.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c d : α

⊢ max a b - max c d ≤ max (a - c) (b - d)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/MinMax.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c d : α

⊢ a ≤ max (a - c) (b - d) + max c d ∧ b ≤ max (a - c) (b - d) + max c d
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i : Fin n
y : α i.castSucc
z : α (last n)

⊢ snoc p x i.castSucc = p i
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i : Fin n
y : α i.castSucc
z : α (last n)

⊢ p (i.castSucc.castLT ⋯) = p i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : 0 < a + b

⊢ f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) ≤ (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : 0 < a + b

⊢ a / (a + b) + b / (a + b) = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → 0 < a + b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) ≤ (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
b : ℝ
hm : ‖m‖ ≤ b

⊢ ‖f m‖ ≤ ‖f‖ * b ^ Fintype.card ι
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β

⊢ (emptyOn β).comap f = emptyOn α
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ univ → MeasurableSet (f ⁻¹' s)

⊢ Measurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ univ → MeasurableSet (f ⁻¹' s)

⊢ ∀ (s : Set γ), IsClosed s → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ univ → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
s : Set γ
hs : IsClosed s

⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ univ → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
s : Set γ
hs : IsClosed s
h1 : s = ∅

⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁶ : TopologicalSpace γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : BorelSpace γ
inst✝³ : TopologicalSpace γ₂
inst✝² : MeasurableSpace γ₂
inst✝¹ : BorelSpace γ₂
inst✝ : MeasurableSpace δ
f : δ → γ
hf : ∀ (s : Set γ), IsClosed s → s.Nonempty → s ≠ univ → MeasurableSet (f ⁻¹' s)
s : Set γ
hs : IsClosed s
h1 : s.Nonempty

⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
x✝ : DecidablePred p
h : ∀ i ∈ s, ¬p i
f : (i : α) → p i → β
g : (i : α) → ¬p i → β

⊢ (∏ i ∈ s, if hi : p i then f i hi else g i hi) = ∏ i : { x // x ∈ s }, g ↑i ⋯
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
s : Finset β
f : β → L.BoundedFormula α n
v : α → M
v' : Fin n → M

⊢ (iInf s f).Realize v v' ↔ ∀ b ∈ s, (f b).Realize v v'
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n : ℕ
p q : ℕ → Prop
n✝ : ℕ

⊢ (m + n) % (n✝ + 1) = if n✝ + 1 ≤ m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1) then m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1) - (n✝ + 1) else m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n : ℕ
p q : ℕ → Prop
n✝ : ℕ

⊢ (m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1)) % (n✝ + 1) = if n✝ + 1 ≤ m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1) then m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1) - (n✝ + 1) else m % (n✝ + 1) + n % (n✝ + 1)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

⊢ w.im * (1 - rexp (-dist z w)) = dist ↑z ↑(w.center (dist z w)) - dist ↑w ↑(w.center (dist z w))