ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

⊢ ∏ i ∈ range n, (coeff R (k i)) f = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

⊢ (∏ x ∈ range n \ s, (coeff R (k x)) f) * ∏ x ∈ s, (coeff R (k x)) f = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

⊢ ∏ x ∈ s, (coeff R (k x)) f = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

⊢ (constantCoeff σ R) f ^ s.card = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

⊢ m ≤ s.card
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

⊢ m + (range n \ Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)).card ≤ n
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

⊢ m + (range n \ Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)).card ≤ m + d.degree
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
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inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

⊢ (range n \ Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)).card ≤ (∑ x ∈ range n \ s, k x).degree
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
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inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

⊢ (range n \ s).card ≤ (∑ x ∈ range n \ s, k x).degree
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

⊢ (range n \ s).card = (range n \ s).card • 1
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

⊢ (∑ x ∈ range n \ s, k x).degree = ∑ x ∈ range n \ s, (k x).degree
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f
hs'' : ∀ i ∈ s, k i = 0

⊢ ∀ x ∈ range n \ s, 1 ≤ (fun x => (k x).degree) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LogDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f g : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : f x ≠ 0
hg : g x ≠ 0
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hdg : DifferentiableAt 𝕜 g x

⊢ logDeriv (fun z => f z * g z) x = logDeriv f x + logDeriv g x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LogDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f g : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : f x ≠ 0
hg : g x ≠ 0
hdf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hdg : DifferentiableAt 𝕜 g x

⊢ (deriv f x * g x + f x * deriv g x) / (f x * g x) = deriv f x / f x + deriv g x / g x
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace X
s : Set X
a : X

⊢ a ∈ closure s ↔ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : FrechetUrysohnSpace X
s : Set X
a : X

⊢ a ∈ seqClosure s ↔ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ s) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : 0 < z

⊢ x ^ z⁻¹ ≤ y ↔ x ≤ y ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ cos (↑π / 2) = ↑(Real.cos (π / 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ cos (↑π / 2) = cos ↑(π / 2)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E

⊢ ‖m.prod‖ ≤ (Multiset.map (fun x => ‖x‖) m).sum
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E

⊢ Multiplicative.ofAdd ‖m.prod‖ ≤ (Multiset.map (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ fun x => ‖x‖) m).prod
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E

⊢ (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) 1 = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
m : Multiset E
x y : E

⊢ (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) (x * y) ≤ (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) x * (⇑Multiplicative.ofAdd ∘ norm) y
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β

⊢ UniformContinuous ⇑toFun
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β

⊢ ∀ (i : α), UniformContinuous fun x => toFun x i
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
x : α

⊢ UniformContinuous fun x_1 => toFun x_1 x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x

⊢ (z - x) * f y ≤ (z - y) * f x + (y - x) * f z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x

⊢ f y ≤ ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)

⊢ f y ≤ ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)

⊢ f y = f ((z - y) / (z - x) * x + (y - x) / (z - x) * z)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)

⊢ (z - y) / (z - x) + (y - x) / (z - x) = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x
ha : 0 ≤ (z - y) / (z - x)
hb : 0 ≤ (y - x) / (z - x)

⊢ (z - y) / (z - x) * f x + (y - x) / (z - x) * f z = ((z - y) * f x + (y - x) * f z) / (z - x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
dt : ℝ

⊢ IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x + dt) v (t₀ - dt)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : ∃ ε > 0, IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
dt : ℝ

⊢ ∃ ε > 0, IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v (Metric.ball (t₀ - dt) ε)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)

⊢ IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x + dt) v (Metric.ball (t₀ - dt) ε)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)

⊢ Metric.ball (t₀ - dt) ε = {t | t + dt ∈ Metric.ball t₀ ε}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
t : ℝ

⊢ t ∈ Metric.ball (t₀ - dt) ε ↔ t ∈ {t | t + dt ∈ Metric.ball t₀ ε}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
a0 : a ≠ 0

⊢ (C a * p).degree = p.degree
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : x ≤ x'

⊢ (x.insertRight x').Numeric
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : x ≤ x'

⊢ (-(-x).insertLeft (-x')).Numeric
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
x x' : PGame
x_num : x.Numeric
x'_num : x'.Numeric
h : x ≤ x'

⊢ ((-x).insertLeft (-x')).Numeric
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℕ
n : ℕ

⊢ (∃ s ∈ l.ranges, n ∈ s) ↔ n < l.sum
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
U : Submodule 𝕜 E
V : Set (Submodule 𝕜 E)

⊢ (∀ Uᵢ ∈ V, Uᵢ ⟂ U) ↔ ∀ Vᵢ ∈ V, U ⟂ Vᵢ
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n

⊢ toUnitHom ((changeLevel ⋯) χ) = toUnitHom χ
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop

⊢ WellFounded r ↔ ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
h : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m
x : α

⊢ Acc r x
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
h : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m
x : α
hx : ¬Acc r x

⊢ False
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
h : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m
x : α
hx : ¬Acc r x
m : α
hm : m ∈ {x | ¬Acc r x}
hm' : ∀ x ∈ {x | ¬Acc r x}, ¬r x m
y : α
hy : r y m

⊢ Acc r y
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
h : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬r x m
x : α
hx : ¬Acc r x
m : α
hm : m ∈ {x | ¬Acc r x}
hm' : ∀ x ∈ {x | ¬Acc r x}, ¬r x m
y : α
hy : r y m
hy' : ¬Acc r y

⊢ False
-- Mathlib/Data/Nat/EvenOddRec.lean
P : ℕ → Sort u_1
h0 : P 0
h_even : (i : ℕ) → P i → P (2 * i)
h_odd : (i : ℕ) → P i → P (2 * i + 1)
H : h_even 0 h0 = h0
n : ℕ

⊢ evenOddRec h0 h_even h_odd (2 * n) = h_even n (evenOddRec h0 h_even h_odd n)
-- Mathlib/Data/Nat/EvenOddRec.lean
P : ℕ → Sort u_1
h0 : P 0
h_even : (i : ℕ) → P i → P (2 * i)
h_odd : (i : ℕ) → P i → P (2 * i + 1)
H : h_even 0 h0 = h0
n : ℕ

⊢ (match false, 0, h0 with | false, i, hi => h_even i hi | true, i, hi => h_odd i hi) = h0 ∨ (n = 0 → false = true)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ

⊢ (W.Φ n).coeff (n.natAbs ^ 2) = 1
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a b c : X
γ₁ : Path a b
γ₂ : Path b c

⊢ range ⇑{ toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then γ₁.extend (2 * t) else γ₂.extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } = range ⇑γ₁ ∪ range ⇑γ₂
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a b c : X
γ₁ : Path a b
γ₂ : Path b c

⊢ range ⇑{ toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then γ₁.extend (2 * t) else γ₂.extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } ⊆ range ⇑γ₁ ∪ range ⇑γ₂
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
a b c : X
γ₁ : Path a b
γ₂ : Path b c

⊢ range ⇑γ₁ ∪ range ⇑γ₂ ⊆ range ⇑{ toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then γ₁.extend (2 * t) else γ₂.extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ }
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
f : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f

⊢ X ◁ inv f ≫ X ◁ f = 𝟙 (X ⊗ Z)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Units.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ

⊢ a /ₚ u + b = (a + b * ↑u) /ₚ u
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : p.mirror = 0

⊢ p = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : p = 0

⊢ p.mirror = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
v : M₁

⊢ v₂.equivFun.symm ((toLin' M) ⇑(v₁.repr v)) = ∑ j : m, (M *ᵥ ⇑(v₁.repr v)) j • v₂ j
-- Mathlib/Data/Int/CardIntervalMod.lean
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
x : ℤ

⊢ x ∈ map castEmbedding (filter (fun x => x ≡ v [MOD r]) (Ioc a b)) ↔ x ∈ filter (fun x => x ≡ ↑v [ZMOD ↑r]) (Ioc ↑a ↑b)
-- Mathlib/Data/Int/CardIntervalMod.lean
a b r : ℕ
hr : 0 < r
v : ℕ
x : ℤ

⊢ (∃ a_1, ((a < a_1 ∧ a_1 ≤ b) ∧ a_1 ≡ v [MOD r]) ∧ ↑a_1 = x) ↔ (↑a < x ∧ x ≤ ↑b) ∧ x ≡ ↑v [ZMOD ↑r]
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
hx : ↑x ≠ ↑a

⊢ IsOpen {x | (fun x => toIcoMod hp a x = toIocMod hp a x) x}
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
hx : ↑x ≠ ↑a

⊢ IsOpen (⋃ z, Ioo (a + z • p) (a + p + z • p))
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E

⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = K
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E
this : FiniteDimensional F E

⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = K
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E
this : FiniteDimensional F E
h✝ : Finite F

⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = K
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Finite (IntermediateField F E)
K : IntermediateField F E
this : FiniteDimensional F E
h✝ : Infinite F

⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = K
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
x : Finset α

⊢ ∑ m ∈ x.powerset, (-1) ^ m.card = if x = ∅ then 1 else 0
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
x : Finset α

⊢ ∑ m ∈ range (x.card + 1), x.card.choose m • (-1) ^ m = if x = ∅ then 1 else 0
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (n + 1) * (n + 1 - 1) / 2 = n * (n - 1) / 2 + n
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n : ℕ

⊢ n * (n + 1) / 2 = n * (n - 1 + 2) / 2
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n : ℕ

⊢ 0 < 2
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean

⊢ hermite 1 = X
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean

⊢ X * C 1 - derivative (C 1) = X
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]

⊢ ‖x‖ < 1 ↔ ↑p ∣ x
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
this : ‖x‖ ≤ ↑p ^ (-↑1) ↔ x ∈ Ideal.span {↑p ^ 1}

⊢ ‖x‖ < 1 ↔ ↑p ∣ x
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
this : ‖x‖ ≤ ↑p ^ (-↑1) ↔ ↑p ∣ x

⊢ ‖x‖ < 1 ↔ ↑p ∣ x
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
this : ‖x‖ ≤ ↑p ^ (-↑1) ↔ ↑p ∣ x

⊢ ‖x‖ < 1 ↔ ‖x‖ < ↑p ^ (-↑1 + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ

⊢ tan (π / 2 - x) = (tan x)⁻¹
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y✝ z✝ t✝ : X ⊕ Y
fA : f ∈ candidates X Y
x y z t : X ⊕ Y

⊢ dist (f (x, y)) (f (z, t)) ≤ ↑(2 * GromovHausdorff.maxVar X Y) * dist (x, y) (z, t)