ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
p : IntermediateField ℚ A → Prop
S : Set { F // p F }
T : Set A
hT : Finite ↑T
h : ∀ F ∈ S, ∃ x ∈ T, ↑F = ℚ⟮x⟯
x✝¹ x✝ : ↑S
h_eq : (fun x => match x with | ⟨F, hF⟩ => ⟨⋯.choose, ⋯⟩) x✝¹ = (fun x => match x with | ⟨F, hF⟩ => ⟨⋯.choose, ⋯⟩) x✝

⊢ ↑↑x✝¹ = ↑↑x✝
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
p : IntermediateField ℚ A → Prop
S : Set { F // p F }
T : Set A
hT : Finite ↑T
h : ∀ F ∈ S, ∃ x ∈ T, ↑F = ℚ⟮x⟯
x✝¹ x✝ : ↑S
h_eq : (fun x => match x with | ⟨F, hF⟩ => ⟨⋯.choose, ⋯⟩) x✝¹ = (fun x => match x with | ⟨F, hF⟩ => ⟨⋯.choose, ⋯⟩) x✝

⊢ ↑↑x✝¹ = ℚ⟮⋯.choose⟯
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
p : IntermediateField ℚ A → Prop
S : Set { F // p F }
T : Set A
hT : Finite ↑T
h : ∀ F ∈ S, ∃ x ∈ T, ↑F = ℚ⟮x⟯
x✝¹ x✝ : ↑S
h_eq : (fun x => match x with | ⟨F, hF⟩ => ⟨⋯.choose, ⋯⟩) x✝¹ = (fun x => match x with | ⟨F, hF⟩ => ⟨⋯.choose, ⋯⟩) x✝

⊢ ↑↑x✝ = ℚ⟮⋯.choose⟯
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
n : ℕ

⊢ fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s = ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F).symm ∘ iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
n : ℕ

⊢ fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s = ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F).symm ∘ ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) ∘ fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
n : ℕ
x : E

⊢ fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s x = (⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F).symm ∘ ⇑(continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 (fun x => E) F) ∘ fderivWithin 𝕜 (iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s) s) x
-- Mathlib/Topology/Order/Monotone.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹² : ConditionallyCompleteLinearOrder α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : OrderTopology α✝
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁷ : OrderClosedTopology β✝
inst✝⁶ : Nonempty γ
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
Mf : Monotone f
x : α

⊢ Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (sSup (f '' Iio x)))
-- Mathlib/Topology/Order/Monotone.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹² : ConditionallyCompleteLinearOrder α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : OrderTopology α✝
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁷ : OrderClosedTopology β✝
inst✝⁶ : Nonempty γ
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
Mf : Monotone f
x : α
h : Iio x = ∅

⊢ Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (sSup (f '' Iio x)))
-- Mathlib/Topology/Order/Monotone.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹² : ConditionallyCompleteLinearOrder α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : OrderTopology α✝
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁷ : OrderClosedTopology β✝
inst✝⁶ : Nonempty γ
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
Mf : Monotone f
x : α
h : (Iio x).Nonempty

⊢ Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (sSup (f '' Iio x)))
-- Mathlib/Topology/Order/Monotone.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹² : ConditionallyCompleteLinearOrder α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : OrderTopology α✝
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁷ : OrderClosedTopology β✝
inst✝⁶ : Nonempty γ
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
Mf : Monotone f
x : α
h : (Iio x).Nonempty
l : β
hl : l < sSup (f '' Iio x)

⊢ ∀ᶠ (b : α) in 𝓝[<] x, l < f b
-- Mathlib/Topology/Order/Monotone.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹² : ConditionallyCompleteLinearOrder α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : OrderTopology α✝
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁷ : OrderClosedTopology β✝
inst✝⁶ : Nonempty γ
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
Mf : Monotone f
x : α
h : (Iio x).Nonempty
m : β
hm : m > sSup (f '' Iio x)

⊢ ∀ᶠ (b : α) in 𝓝[<] x, f b < m
-- Mathlib/Topology/NhdsSet.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s✝ t✝ s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
s t : Set X

⊢ 𝓝ˢ (s ∪ t) = 𝓝ˢ s ⊔ 𝓝ˢ t
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef
hB : (A ^ 2).PosSemidef

⊢ A = hB.sqrt
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S

⊢ IsUnit ↑x ↔ IsUnit x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
hx : IsUnit ↑x

⊢ x * ⟨↑hx.unit⁻¹, ⋯⟩ = 1
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝⁶ : NormedRing A
inst✝⁵ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
S✝ S : StarSubalgebra ℂ A
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
hx : IsUnit ↑x

⊢ ⟨↑hx.unit⁻¹, ⋯⟩ * x = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝

⊢ ({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ (𝟙 f✝)).app = (𝟙 ({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map f✝)).app
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ : a✝ ⟶ b✝
X : ↑({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.obj a✝)

⊢ ({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ (𝟙 f✝)).app X = (𝟙 ({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map f✝)).app X
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ g✝ h✝ : a✝ ⟶ b✝
η✝ : f✝ ⟶ g✝
θ✝ : g✝ ⟶ h✝

⊢ ({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ (η✝ ≫ θ✝)).app = ({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ η✝ ≫ { obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ θ✝).app
-- Mathlib/CategoryTheory/WithTerminal.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
a✝ b✝ : Cat
f✝ g✝ h✝ : a✝ ⟶ b✝
η✝ : f✝ ⟶ g✝
θ✝ : g✝ ⟶ h✝
X : ↑({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.obj a✝)

⊢ ({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ (η✝ ≫ θ✝)).app X = ({ obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ η✝ ≫ { obj := fun C => Cat.of (WithInitial ↑C), map := fun {X Y} => map, map₂ := fun {a b} {f g} => map₂ }.map₂ θ✝).app X
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y

⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)

⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x

⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)

⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x

⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f✝ : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x
Z : ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g

⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
A : CompleteSpace ℝ

⊢ 0 ≤ ∫ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
A : CompleteSpace ℝ

⊢ 0 ≤ if hf : Integrable (fun a => f a) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun a => f a) hf) else 0
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/WithTop.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : LT α
s : Finset ι
f : ι → WithTop α

⊢ ∑ i ∈ s, f i < ⊤ ↔ ∀ i ∈ s, f i < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c

⊢ f (-c) = -f 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
X Y : J
f : X ⟶ Y

⊢ 𝟙 c.pt ≫ c.π.app Y = c.π.app X ≫ (D.map f).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
X Y : J
f : X ⟶ Y

⊢ 𝟙 c.pt ≫ c.π.app Y = c.π.app Y
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
f : ι → α
a : α

⊢ ⋃ i, Ico (f i) a = Iio a ↔ ∀ x < a, ∃ i, f i ≤ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P ≃ₗ[R] Q
f✝ : N ≃ₗ[R] P
m : M
n✝ : N
p : P
x : M ⊗[R] N
y : N ⊗[R] M
f : M ≃ₗ[R] M
n : ℤ

⊢ rTensor N f ^ n = rTensor N (f ^ n)
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
l : Filter α
f : α → C(Y, Z)
g : C(Y, Z)

⊢ Tendsto f l (𝓝 g) ↔ ∀ (K : Set Y), IsCompact K → ∀ (U : Set Z), IsOpen U → MapsTo (⇑g) K U → ∀ᶠ (a : α) in l, MapsTo (⇑(f a)) K U
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : ContinuousOn g K
hg' : IntegrableOn g' A μ
hK : IsCompact K
hA : MeasurableSet A
hAK : A ⊆ K

⊢ IntegrableOn (fun x => g x * g' x) A μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : ContinuousOn g K
hg' : IntegrableOn g' A μ
hK : IsCompact K
hA : MeasurableSet A
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g x‖ ≤ C

⊢ IntegrableOn (fun x => g x * g' x) A μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : ContinuousOn g K
hg' : Memℒp g' 1 (μ.restrict A)
hK : IsCompact K
hA : MeasurableSet A
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g x‖ ≤ C

⊢ Memℒp (fun x => g x * g' x) 1 (μ.restrict A)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : SecondCountableTopologyEither X R
g g' : X → R
hg : ContinuousOn g K
hg' : Memℒp g' 1 (μ.restrict A)
hK : IsCompact K
hA : MeasurableSet A
hAK : A ⊆ K
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ K, ‖g x‖ ≤ C
this : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict A, ‖g x * g' x‖ ≤ C * ‖g' x‖

⊢ Memℒp (fun x => g x * g' x) 1 (μ.restrict A)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0

⊢ Injective ⇑(Quotient.lift I f H) ↔ ker f = I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
f : R →+* S
H : ∀ a ∈ I, f a = 0

⊢ ker f ≤ I ↔ ker f = I
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
i : α
β : α → Type u_2
f : β i × ((j : { j // j ≠ i }) → β ↑j)

⊢ ((fun f => (f i, fun j => f ↑j)) ((fun f j => if h : j = i then ⋯ ▸ f.1 else f.2 ⟨j, h⟩) f)).1 = f.1
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
i : α
β : α → Type u_2
f : β i × ((j : { j // j ≠ i }) → β ↑j)
x : { j // j ≠ i }

⊢ ((fun f => (f i, fun j => f ↑j)) ((fun f j => if h : j = i then ⋯ ▸ f.1 else f.2 ⟨j, h⟩) f)).2 x = f.2 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : CompleteSpace E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
one_le_p : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
f : α → F
hf : Memℒp f p (μ.trim hm)

⊢ ↑↑↑((lpMeasToLpTrimLie F ℝ p μ hm).symm (Memℒp.toLp f hf)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(Memℒp.toLp f ⋯)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : CompleteSpace E'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
one_le_p : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
f : α → F
hf : Memℒp f p (μ.trim hm)

⊢ ↑↑(Memℒp.toLp f hf) =ᶠ[ae μ] ↑↑(Memℒp.toLp f ⋯)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Asymptotics.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝ : atBot.IsMeasurablyGenerated
hf : LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ
ho : f =O[atBot] g
hg : IntegrableAtFilter g atBot μ

⊢ IntegrableOn f (Iic a) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Asymptotics.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝ : atBot.IsMeasurablyGenerated
hf : LocallyIntegrableOn f (Iic a) μ
ho : f =O[atBot] g
hg : IntegrableAtFilter g atBot μ

⊢ StronglyMeasurableAtFilter f atBot μ
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
h : _root_.Disjoint s t

⊢ (↑s ∪ ↑t).offDiag = (↑s).offDiag ∪ (↑t).offDiag ∪ ↑s ×ˢ ↑t ∪ ↑t ×ˢ ↑s
-- Mathlib/Data/Nat/WithBot.lean
n : ℕ

⊢ 0 ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/WithBot.lean
n : ℕ

⊢ 0 ≤ n
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
x₀ : E'
n m : ℕ
h : n < m

⊢ Tendsto (fun x => ‖x - x₀‖) (𝓝 x₀) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
x₀ : E'
n m : ℕ
h : n < m

⊢ Tendsto (fun x => x - x₀) (𝓝 x₀) (𝓝 0)