ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
F : ι → X → α
f : X → α
s : Set X
x : X
z : α
hF : EquicontinuousAt F x
hf : ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, f x ∈ {y | (y, z) ∈ id i}
hs : ∀ y ∈ s, Tendsto (fun x => F x y) l (𝓝 (f y))
hx : x ∈ closure s
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α

⊢ ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, F x_1 x ∈ {y | (y, z) ∈ id U}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
F : ι → X → α
f : X → α
s : Set X
x : X
z : α
hF : EquicontinuousAt F x
hf : ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, f x ∈ {y | (y, z) ∈ id i}
hs : ∀ y ∈ s, Tendsto (fun x => F x y) l (𝓝 (f y))
hx : x ∈ closure s
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVs : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U

⊢ ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, F x_1 x ∈ {y | (y, z) ∈ id U}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
F : ι → X → α
f : X → α
s : Set X
x : X
z : α
hF : EquicontinuousAt F x
hf : ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, f x ∈ {y | (y, z) ∈ id i}
hs : ∀ y ∈ s, Tendsto (fun x => F x y) l (𝓝 (f y))
hx : (𝓝[s] x).NeBot
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVs : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U

⊢ ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, F x_1 x ∈ {y | (y, z) ∈ id U}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
F : ι → X → α
f : X → α
s : Set X
x : X
z : α
hF : EquicontinuousAt F x
hf : ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, f x ∈ {y | (y, z) ∈ id i}
hs : ∀ y ∈ s, Tendsto (fun x => F x y) l (𝓝 (f y))
hx : (𝓝[s] x).NeBot
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVs : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
this : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝[s] x, y ∈ s ∧ (∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V) ∧ (f y, z) ∈ V

⊢ ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, F x_1 x ∈ {y | (y, z) ∈ id U}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
F : ι → X → α
f : X → α
s : Set X
x : X
z : α
hF : EquicontinuousAt F x
hf : ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, f x ∈ {y | (y, z) ∈ id i}
hs : ∀ y ∈ s, Tendsto (fun x => F x y) l (𝓝 (f y))
hx : (𝓝[s] x).NeBot
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVs : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
this : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝[s] x, y ∈ s ∧ (∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V) ∧ (f y, z) ∈ V
y : X
hys : y ∈ s
hFy : ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V
hfy : (f y, z) ∈ V

⊢ ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, F x_1 x ∈ {y | (y, z) ∈ id U}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
F : ι → X → α
f : X → α
s : Set X
x : X
z : α
hF : EquicontinuousAt F x
hf : ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, f x ∈ {y | (y, z) ∈ id i}
hs : ∀ y ∈ s, Tendsto (fun x => F x y) l (𝓝 (f y))
hx : (𝓝[s] x).NeBot
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVs : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
this : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝[s] x, y ∈ s ∧ (∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V) ∧ (f y, z) ∈ V
y : X
hys : y ∈ s
hFy : ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V
hfy : (f y, z) ∈ V
i : ι
hi : i ∈ (fun x => F x y) ⁻¹' ball (f y) V

⊢ (F i x, z) ∈ id U
-- Mathlib/CategoryTheory/EqToHom.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hx : F.obj X = G.obj X
hy : F.obj Y = G.obj Y
hz : F.obj Z = G.obj Z
hf : HEq (F.map f) (G.map f)
hg : HEq (F.map g) (G.map g)

⊢ HEq (F.map (f ≫ g)) (G.map (f ≫ g))
-- Mathlib/CategoryTheory/EqToHom.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
β : Sort u_1
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hx : F.obj X = G.obj X
hy : F.obj Y = G.obj Y
hz : F.obj Z = G.obj Z
hf : HEq (F.map f) (G.map f)
hg : HEq (F.map g) (G.map g)

⊢ HEq (F.map f ≫ F.map g) (G.map f ≫ G.map g)
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q✝ q : ℚ≥0

⊢ (↑q).num = ↑q.num
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f✝ g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝⁴ : NormedField 𝕜'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝¹ : (i' : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i')
inst✝ : (i' : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i')
f : (i' : ι') → ContinuousMultilinearMap 𝕜 E (E' i')
x✝ : ℝ≥0

⊢ ‖pi f‖₊ ≤ x✝ ↔ ‖f‖₊ ≤ x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f

⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'

⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'

⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f✝ f'✝ : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
hf : ContDiff ℝ 1 f
h'f : HasCompactSupport f
x : ℝ
I : F →L[ℝ] Completion F := Completion.toComplL
f' : ℝ → Completion F := ⇑I ∘ f
hf' : ContDiff ℝ 1 f'
h'f' : HasCompactSupport f'
this : ↑‖f' x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f' y‖₊

⊢ ↑‖f x‖₊ ≤ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, ↑‖deriv f y‖₊
-- Mathlib/Data/Matroid/Sum.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
h : Pairwise (Disjoint on fun i => (M i).E)
I X : Set α

⊢ (Matroid.disjointSigma M h).Basis I X ↔ (∀ (i : ι), (M i).Basis (I ∩ (M i).E) (X ∩ (M i).E)) ∧ I ⊆ X ∧ X ⊆ ⋃ i, (M i).E
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/OfBiproducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

⊢ (f + g) ≫ h = f ≫ h + g ≫ h
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/OfBiproducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

⊢ biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X) ≫ biprod.desc f g ≫ h = biprod.lift (𝟙 X) (𝟙 X) ≫ biprod.desc (f ≫ h) (g ≫ h)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝⁹ : CommRing Rₛ
inst✝⁸ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup Mₛ
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ inst✝³ : Module R Mₛ
inst✝² : Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M
i : ι

⊢ (ofIsLocalizedModule Rₛ S f b) i = f (b i)
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n : ℤ
hmn : m ∣ n
hnm : n.natAbs < m.natAbs

⊢ n = 0
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n : ℤ
hmn : m.natAbs ∣ n.natAbs
hnm : n.natAbs < m.natAbs

⊢ n = 0
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n : ℤ
hmn : m.natAbs ∣ n.natAbs
hnm : n.natAbs < m.natAbs

⊢ n.natAbs = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Opposite.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
inst✝ : MulOneClass N
f : M →* N
hf : ∀ (x y : M), Commute (f x) (f y)
x y : M

⊢ { toFun := op ∘ ⇑f, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := op ∘ ⇑f, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := op ∘ ⇑f, map_one' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
I X : Set β

⊢ (M.mapEmbedding f).Basis I X ↔ M.Basis (⇑f ⁻¹' I) (⇑f ⁻¹' X) ∧ I ⊆ X ∧ X ⊆ range ⇑f
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
I X : Set β

⊢ (∃ I₀ X₀, M.Basis I₀ X₀ ∧ I = ⇑f '' I₀ ∧ X = ⇑f '' X₀) ↔ M.Basis (⇑f ⁻¹' I) (⇑f ⁻¹' X) ∧ I ⊆ X ∧ X ⊆ range ⇑f
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
I X : Set β
x✝ : M.Basis (⇑f ⁻¹' I) (⇑f ⁻¹' X) ∧ I ⊆ X ∧ X ⊆ range ⇑f
hb : M.Basis (⇑f ⁻¹' I) (⇑f ⁻¹' X)
hIX : I ⊆ X
hX : X ⊆ range ⇑f

⊢ ∃ I₀ X₀, M.Basis I₀ X₀ ∧ I = ⇑f '' I₀ ∧ X = ⇑f '' X₀
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
I : Set β
X : Set α
x✝ : M.Basis (⇑f ⁻¹' I) (⇑f ⁻¹' (⇑f '' X)) ∧ I ⊆ ⇑f '' X ∧ ⇑f '' X ⊆ range ⇑f
hb : M.Basis (⇑f ⁻¹' I) (⇑f ⁻¹' (⇑f '' X))
hIX : I ⊆ ⇑f '' X
hX : ⇑f '' X ⊆ range ⇑f

⊢ ∃ I₀ X₀, M.Basis I₀ X₀ ∧ I = ⇑f '' I₀ ∧ ⇑f '' X = ⇑f '' X₀
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
X : Set α
hX : ⇑f '' X ⊆ range ⇑f
I : Set α
x✝ : M.Basis (⇑f ⁻¹' (⇑f '' I)) (⇑f ⁻¹' (⇑f '' X)) ∧ ⇑f '' I ⊆ ⇑f '' X ∧ ⇑f '' X ⊆ range ⇑f
hb : M.Basis (⇑f ⁻¹' (⇑f '' I)) (⇑f ⁻¹' (⇑f '' X))
hIX : ⇑f '' I ⊆ ⇑f '' X

⊢ ∃ I₀ X₀, M.Basis I₀ X₀ ∧ ⇑f '' I = ⇑f '' I₀ ∧ ⇑f '' X = ⇑f '' X₀
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
s : Set P
x✝ : ∃ a ∈ S, ∀ b ∈ s, IsInteger R (a • b)
a : R
a_mem : a ∈ S
h : ∀ b ∈ s, IsInteger R (a • b)
b : P
hb : b ∈ span R s

⊢ IsInteger R (a • 0)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
s : Set P
x✝ : ∃ a ∈ S, ∀ b ∈ s, IsInteger R (a • b)
a : R
a_mem : a ∈ S
h : ∀ b ∈ s, IsInteger R (a • b)
b : P
hb : b ∈ span R s

⊢ IsInteger R 0
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
s : Set P
x✝ : ∃ a ∈ S, ∀ b ∈ s, IsInteger R (a • b)
a : R
a_mem : a ∈ S
h : ∀ b ∈ s, IsInteger R (a • b)
b : P
hb : b ∈ span R s
x y : P
hx : IsInteger R (a • x)
hy : IsInteger R (a • y)

⊢ IsInteger R (a • (x + y))
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
s : Set P
x✝ : ∃ a ∈ S, ∀ b ∈ s, IsInteger R (a • b)
a : R
a_mem : a ∈ S
h : ∀ b ∈ s, IsInteger R (a • b)
b : P
hb : b ∈ span R s
x y : P
hx : IsInteger R (a • x)
hy : IsInteger R (a • y)

⊢ IsInteger R (a • x + a • y)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
s✝ : Set P
x✝ : ∃ a ∈ S, ∀ b ∈ s✝, IsInteger R (a • b)
a : R
a_mem : a ∈ S
h : ∀ b ∈ s✝, IsInteger R (a • b)
b : P
hb : b ∈ span R s✝
s : R
x : P
hx : IsInteger R (a • x)

⊢ IsInteger R (a • s • x)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
s✝ : Set P
x✝ : ∃ a ∈ S, ∀ b ∈ s✝, IsInteger R (a • b)
a : R
a_mem : a ∈ S
h : ∀ b ∈ s✝, IsInteger R (a • b)
b : P
hb : b ∈ span R s✝
s : R
x : P
hx : IsInteger R (a • x)

⊢ IsInteger R (s • a • x)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → X → α'
x₀ : X

⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ ∀ (k : κ), EquicontinuousAt F x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α

⊢ interior s ∈ 𝓤 α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α

⊢ interior s ∈ (𝓤 α).lift' interior
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
h : f.HasEigenvalue μ
n : ℕ

⊢ (f ^ n).HasEigenvalue (μ ^ n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
h : f.HasEigenvalue μ
n : ℕ

⊢ ∃ x ∈ (f ^ n).eigenspace (μ ^ n), x ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
h : f.HasEigenvalue μ
n : ℕ
m : M
hm : f.HasEigenvector μ m

⊢ ∃ x ∈ (f ^ n).eigenspace (μ ^ n), x ≠ 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
S : Set X
x₀ : X
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : Tendsto (fun x => F x x₀) l (𝓝 (f x₀))
h₃ : EquicontinuousWithinAt F S x₀
U : Set α
hU : U ∈ 𝓝 (f x₀)

⊢ U ∈ map f (𝓝[S] x₀)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
S : Set X
x₀ : X
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : Tendsto (fun x => F x x₀) l (𝓝 (f x₀))
h₃ : EquicontinuousWithinAt F S x₀
U : Set α
hU : U ∈ 𝓝 (f x₀)

⊢ f ⁻¹' U ∈ 𝓝[S] x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
S : Set X
x₀ : X
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : Tendsto (fun x => F x x₀) l (𝓝 (f x₀))
h₃ : EquicontinuousWithinAt F S x₀
U : Set α
hU : U ∈ 𝓝 (f x₀)
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVU : ball (f x₀) V ⊆ U

⊢ f ⁻¹' U ∈ 𝓝[S] x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → X → α
f : X → α
S : Set X
x₀ : X
h₁ : ∀ x ∈ S, Tendsto (fun x_1 => F x_1 x) l (𝓝 (f x))
h₂ : Tendsto (fun x => F x x₀) l (𝓝 (f x₀))
h₃ : EquicontinuousWithinAt F S x₀
U : Set α
hU : U ∈ 𝓝 (f x₀)
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVU : ball (f x₀) V ⊆ U
W : Set (α × α)
hW : W ∈ 𝓤 α
hWclosed : IsClosed W
hWV : W ⊆ V

⊢ f ⁻¹' U ∈ 𝓝[S] x₀
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i

⊢ update f i '' Ioc a (f i) = Ioc (update f i a) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
μs : ι → Measure α
i : ι
hνμ : ν ≪ μs i

⊢ ν ≪ sum μs
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
μs : ι → Measure α
i : ι
hνμ : ν ≪ μs i
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : (sum μs) s = 0

⊢ ν s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
μs : ι → Measure α
i : ι
hνμ : ν ≪ μs i
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs0 : ∀ (i : ι), (μs i) s = 0

⊢ ν s = 0
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
K : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField K
a b c : K
h : ∀ (x : K), a * x * x + b * x + c ≤ 0

⊢ ∀ (x : K), 0 ≤ -a * x * x + -b * x + -c
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hg : f.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
G : α
G0 : G > 0
hG : ∀ (i : ℕ), abv (↑g i) < G
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε / G
j : ℕ
ij : j ≥ i

⊢ abv (↑(f * g) j) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hg : f.LimZero
ε : α
ε0 : ε > 0
G : α
G0 : G > 0
hG : ∀ (i : ℕ), abv (↑g i) < G
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, abv (↑f j) < ε / G
j : ℕ
ij : j ≥ i
this : abv (↑f j) * abv (↑g j) < ε / G * G

⊢ abv (↑(f * g) j) < ε
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
α✝ : Type
inst✝¹ : Finite α✝
B : Stonean
X : α✝ → Stonean
α : Type
inst✝ : Finite α
Z : α → Stonean
a : α

⊢ OpenEmbedding ⇑(Sigma.ι Z a)
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
α✝ : Type
inst✝¹ : Finite α✝
B : Stonean
X : α✝ → Stonean
α : Type
inst✝ : Finite α
Z : α → Stonean
a : α

⊢ OpenEmbedding (⇑(CompHausLike.homeoOfIso (coproductIsoCoproduct Z).symm) ∘ ⇑(Sigma.ι Z a))
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
α✝ : Type
inst✝¹ : Finite α✝
B : Stonean
X : α✝ → Stonean
α : Type
inst✝ : Finite α
Z : α → Stonean
a : α
e_2✝ : ↑(finiteCoproduct Z).toTop = (forget Stonean).obj (finiteCoproduct Z)

⊢ ⇑(CompHausLike.homeoOfIso (coproductIsoCoproduct Z).symm) ∘ ⇑(Sigma.ι Z a) = ⇑(finiteCoproduct.ι Z a)
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R
m : ℕ

⊢ ((X ^ p - C y) ^ m).roots = (m * p) • {(frobeniusEquiv R p).symm y}
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p
y : R
m : ℕ
H : ((X ^ p ^ 1 - C y) ^ m).roots = (m * p ^ 1) • {(iterateFrobeniusEquiv R p 1).symm y}

⊢ ((X ^ p - C y) ^ m).roots = (m * p) • {(frobeniusEquiv R p).symm y}
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞

⊢ ∑' (n : ℕ), r ^ n = (1 - r)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞
hr : r < 1

⊢ ∑' (n : ℕ), r ^ n = (1 - r)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞
hr : 1 ≤ r

⊢ ∑' (n : ℕ), r ^ n = (1 - r)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R✝ : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : StrongRankCondition R✝
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : StrongRankCondition R
n m : ℕ
v : Fin m → Fin n → R
h : LinearIndependent R v

⊢ m ≤ n
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ℂ
a : A

⊢ ℑ (z • a) = z.re • ℑ a + z.im • ℜ a
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
z : ℂ
a : A
this : ℑ (z • a) = ℑ ((↑z.re + ↑z.im * I) • a)

⊢ ℑ (z • a) = z.re • ℑ a + z.im • ℜ a