ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ∈ normalizedFactors n
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
q : Associates N
hq : q ∈ normalizedFactors n
hq' : Associated (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) q

⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ∈ normalizedFactors n
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
q : Associates N
hq : q ∈ normalizedFactors n
hq' : ↑(d ⟨p, ⋯⟩) = q

⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ∈ normalizedFactors n
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Presheaf.lean
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
X : TopCat
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : ConcreteCategory C
F : Presheaf C X
U V W : Opens ↑X
e₁ : U ≤ V
e₂ : V ≤ W
x : (forget C).obj (F.obj (op W))

⊢ (F.map (homOfLE e₁).op) ((F.map (homOfLE e₂).op) x) = (F.map (homOfLE ⋯).op) x
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Presheaf.lean
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
X : TopCat
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : ConcreteCategory C
F : Presheaf C X
U V W : Opens ↑X
e₁ : U ≤ V
e₂ : V ≤ W
x : (forget C).obj (F.obj (op W))

⊢ (F.map ((homOfLE e₂).op ≫ (homOfLE e₁).op)) x = (F.map (homOfLE ⋯).op) x
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ZeroAtInfty.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
f : F

⊢ ∃ C, ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ C
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ZeroAtInfty.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
f : F
K : Set α
hK₁ : IsCompact K
hK₂ : Kᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' closedBall 0 1

⊢ ∃ C, ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ C
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ZeroAtInfty.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
f : F
K : Set α
hK₁ : IsCompact K
hK₂ : Kᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' closedBall 0 1
C : ℝ
hC : ⇑f '' K ⊆ closedBall 0 C

⊢ ∃ C, ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ C
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ZeroAtInfty.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F α β
f : F
K : Set α
hK₁ : IsCompact K
hK₂ : Kᶜ ⊆ ⇑f ⁻¹' closedBall 0 1
C : ℝ
hC : ⇑f '' K ⊆ closedBall 0 C
x y : α
this : ∀ (x : α), f x ∈ closedBall 0 (max C 1)

⊢ dist (f x) (f y) ≤ max C 1 + max C 1
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i

⊢ toLex (update x i a) < toLex x ↔ a < x i
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i

⊢ toLex (update x i a) < toLex x → a < x i
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i : ι
a : β i
j : ι
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → toLex (update x i a) j_1 = toLex x j_1
h : update x i a j < x j

⊢ a < x i
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
j : ι
a : β j
hj : ∀ (j_1 : ι), (fun x x_1 => x < x_1) j_1 j → toLex (update x j a) j_1 = toLex x j_1
h : update x j a j < x j

⊢ a < x j
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c d : Ordinal.{u}

⊢ a ⨳ b ⨳ c ≤ d ↔ ∀ a' < a, ∀ b' < b, ∀ c' < c, a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c' < d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c'
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c d : Ordinal.{u}

⊢ ¬a ⨳ b ⨳ c ≤ d ↔ ¬∀ a' < a, ∀ b' < b, ∀ c' < c, a' ⨳ b ⨳ c ♯ a ⨳ b' ⨳ c ♯ a ⨳ b ⨳ c' ♯ a' ⨳ b' ⨳ c' < d ♯ a' ⨳ b' ⨳ c ♯ a' ⨳ b ⨳ c' ♯ a ⨳ b' ⨳ c'
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : One γ
c : α
f : β → γ
x : β

⊢ (x ∈ mulSupport fun x => f (c⁻¹ • x)) ↔ x ∈ c • mulSupport f
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/Finset.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CanonicallyOrderedCommSemiring R
f g h : ι → R
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
h2i : g i + h i ≤ f i
hgf : ∀ j ∈ s, j ≠ i → g j ≤ f j
hhf : ∀ j ∈ s, j ≠ i → h j ≤ f j

⊢ ∏ i ∈ s, g i + ∏ i ∈ s, h i ≤ ∏ i ∈ s, f i
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P

⊢ W'.addXYZ P (W'.neg P) = -W'.dblZ P • ![1, 1, 0]
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s t : Localization.Away f
h_eq : (toBasicOpen R f) s = (toBasicOpen R f) t

⊢ s = t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
t : Localization.Away f
a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
h_eq : (toBasicOpen R f) (IsLocalization.mk' (Localization.Away f) a ⟨b, hb⟩) = (toBasicOpen R f) t

⊢ IsLocalization.mk' (Localization.Away f) a ⟨b, hb⟩ = t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : (toBasicOpen R f) (IsLocalization.mk' (Localization.Away f) a ⟨b, hb⟩) = (toBasicOpen R f) (IsLocalization.mk' (Localization.Away f) c ⟨d, hd⟩)

⊢ IsLocalization.mk' (Localization.Away f) a ⟨b, hb⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away f) c ⟨d, hd⟩
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯

⊢ IsLocalization.mk' (Localization.Away f) a ⟨b, hb⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.Away f) c ⟨d, hd⟩
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯

⊢ ∃ c_1, ↑c_1 * (↑⟨d, hd⟩ * a) = ↑c_1 * (↑⟨b, hb⟩ * c)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
I : Ideal R := { carrier := {r | r * (d * a) = r * (b * c)}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }

⊢ ∃ c_1, ↑c_1 * (↑⟨d, hd⟩ * a) = ↑c_1 * (↑⟨b, hb⟩ * c)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
I : Ideal R := { carrier := {r | r * (d * a) = r * (b * c)}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }

⊢ f ∈ I.radical
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
I : Ideal R := { carrier := {r | r * (d * a) = r * (b * c)}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }

⊢ ∀ x ∈ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I, f ∈ x.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
I : Ideal R := { carrier := {r | r * (d * a) = r * (b * c)}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
p : PrimeSpectrum R
hfp : p ∈ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I

⊢ f ∈ p.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
I : Ideal R := { carrier := {r | r * (d * a) = r * (b * c)}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
p : PrimeSpectrum R
hfp : f ∉ p.asIdeal

⊢ p ∉ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑I
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
I : Ideal R := { carrier := {r | r * (d * a) = r * (b * c)}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
p : PrimeSpectrum R
hfp : f ∉ p.asIdeal

⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ∉ ↑p.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
I : Ideal R := { carrier := {r | r * (d * a) = r * (b * c)}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
p : PrimeSpectrum R
hfp : f ∉ p.asIdeal
this : IsLocalization.mk' (Localizations R p) a ⟨b, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localizations R p) c ⟨d, ⋯⟩

⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ∉ ↑p.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
I : Ideal R := { carrier := {r | r * (d * a) = r * (b * c)}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
p : PrimeSpectrum R
hfp : f ∉ p.asIdeal
this : ∃ c_1, ↑c_1 * (↑⟨d, ⋯⟩ * a) = ↑c_1 * (↑⟨b, ⋯⟩ * c)

⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ∉ ↑p.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f a b : R
hb : b ∈ Submonoid.powers f
c d : R
hd : d ∈ Submonoid.powers f
h_eq : const R a b (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = const R c d (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯
I : Ideal R := { carrier := {r | r * (d * a) = r * (b * c)}, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, smul_mem' := ⋯ }
p : PrimeSpectrum R
hfp : f ∉ p.asIdeal
r : ↥p.asIdeal.primeCompl
hr : ↑r * (↑⟨d, ⋯⟩ * a) = ↑r * (↑⟨b, ⋯⟩ * c)

⊢ ∃ a ∈ ↑I, a ∉ ↑p.asIdeal
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
hε : 0 < ε

⊢ ⊥.nonUniforms G ε = ∅
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
hε : 0 < ε

⊢ ∀ (x : Finset α × Finset α), x ∉ ⊥.nonUniforms G ε
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u✝ v✝ : Finset α
hε : 0 < ε
u v : Finset α

⊢ (u, v) ∉ ⊥.nonUniforms G ε
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u✝ v✝ : Finset α
hε : 0 < ε
u v : Finset α

⊢ ∀ (x : α), x ∈ A ∧ { toFun := singleton, inj' := ⋯ } x = u → ∀ (x : α), x ∈ A ∧ { toFun := singleton, inj' := ⋯ } x = v → u ≠ v → G.IsUniform ε u v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
A : Finset α
P : Finpartition A
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε δ : 𝕜
u v : Finset α
hε : 0 < ε
x : α
left✝¹ : x ∈ A
y : α
left✝ : y ∈ A
a✝ : ¬{x} = {y}

⊢ G.IsUniform ε {x} {y}
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Martingale g ℱ μ

⊢ Martingale (f - g) ℱ μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Martingale g ℱ μ

⊢ Martingale (f + -g) ℱ μ
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : (i : ι) → κ i → Set β

⊢ f ⁻¹' ⋂ i, ⋂ j, s i j = ⋂ i, ⋂ j, f ⁻¹' s i j
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
S : Set X

⊢ IsPreirreducible S ↔ S.Subsingleton
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
S : Set X
h : IsPreirreducible S
x : X
hx : x ∈ S
y : X
hy : y ∈ S

⊢ x = y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
S : Set X
h : IsPreirreducible S
x : X
hx : x ∈ S
y : X
hy : y ∈ S
e : ¬x = y

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
S : Set X
h : IsPreirreducible S
x : X
hx : x ∈ S
y : X
hy : y ∈ S
e : ¬x = y
U V : Set X
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hxU : x ∈ U
hyV : y ∈ V
h' : Disjoint U V

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w✝ : ι✝ → R
z✝ : ι✝ → E
ι : Sort u_8
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
h₁ : ∑ᶠ (i : ι), w i = 1
hz : ∀ (i : ι), w i ≠ 0 → z i ∈ s

⊢ ∑ᶠ (i : ι), w i • z i ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w✝ : ι✝ → R
z✝ : ι✝ → E
ι : Sort u_8
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
h₁ : ∑ᶠ (i : ι), w i = 1
hz : ∀ (i : ι), w i ≠ 0 → z i ∈ s
hfin_w : (support (w ∘ PLift.down)).Finite

⊢ ∑ᶠ (i : ι), w i • z i ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w✝ : ι✝ → R
z✝ : ι✝ → E
ι : Sort u_8
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
h₁ : ∑ᶠ (i : ι), w i = 1
hz : ∀ (i : ι), w i ≠ 0 → z i ∈ s
hfin_w : (support (w ∘ PLift.down)).Finite
hsub : support ((fun i => w i • z i) ∘ PLift.down) ⊆ ↑hfin_w.toFinset

⊢ ∑ᶠ (i : ι), w i • z i ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w✝ : ι✝ → R
z✝ : ι✝ → E
ι : Sort u_8
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
h₁ : ∑ᶠ (i : ι), w i = 1
hz : ∀ (i : ι), w i ≠ 0 → z i ∈ s
hfin_w : (support (w ∘ PLift.down)).Finite
hsub : support ((fun i => w i • z i) ∘ PLift.down) ⊆ ↑hfin_w.toFinset

⊢ ∑ i ∈ hfin_w.toFinset, w i.down • z i.down ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w✝ : ι✝ → R
z✝ : ι✝ → E
ι : Sort u_8
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
h₁ : ∑ᶠ (i : ι), w i = 1
hz : ∀ (i : ι), w i ≠ 0 → z i ∈ s
hfin_w : (support (w ∘ PLift.down)).Finite
hsub : support ((fun i => w i • z i) ∘ PLift.down) ⊆ ↑hfin_w.toFinset

⊢ ∑ i ∈ hfin_w.toFinset, w i.down = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i✝ j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w✝ : ι✝ → R
z✝ : ι✝ → E
ι : Sort u_8
w : ι → R
z : ι → E
s : Set E
hs : Convex R s
h₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
h₁ : ∑ᶠ (i : ι), w i = 1
hz : ∀ (i : ι), w i ≠ 0 → z i ∈ s
hfin_w : (support (w ∘ PLift.down)).Finite
hsub : support ((fun i => w i • z i) ∘ PLift.down) ⊆ ↑hfin_w.toFinset
i : PLift ι
hi : i ∈ hfin_w.toFinset

⊢ w i.down ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
K : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : NormedSpace ℝ K
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → K
f_ℒ_1 : Integrable f μ
g : G ⧸ Γ → K
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
g_ℒ_infinity : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)) ≠ ⊤
F_ae_measurable : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
π : G → G ⧸ Γ := mk

⊢ ∫ (x : G), g ↑x * f x ∂μ = ∫ (x : G ⧸ Γ), g x * automorphize f x ∂Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
K : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : NormedSpace ℝ K
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → K
f_ℒ_1 : Integrable f μ
g : G ⧸ Γ → K
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
g_ℒ_infinity : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)) ≠ ⊤
F_ae_measurable : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
π : G → G ⧸ Γ := mk
meas_π : Measurable π

⊢ ∫ (x : G), g ↑x * f x ∂μ = ∫ (x : G ⧸ Γ), g x * automorphize f x ∂Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
K : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : NormedSpace ℝ K
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → K
f_ℒ_1 : Integrable f μ
g : G ⧸ Γ → K
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
g_ℒ_infinity : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)) ≠ ⊤
F_ae_measurable : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
π : G → G ⧸ Γ := mk
meas_π : Measurable π
H₀ : automorphize (g ∘ π * f) = g * automorphize f

⊢ ∫ (x : G), g ↑x * f x ∂μ = ∫ (x : G ⧸ Γ), g x * automorphize f x ∂Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
K : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : NormedSpace ℝ K
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → K
f_ℒ_1 : Integrable f μ
g : G ⧸ Γ → K
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
g_ℒ_infinity : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)) ≠ ⊤
F_ae_measurable : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
π : G → G ⧸ Γ := mk
meas_π : Measurable π
H₀ : automorphize (g ∘ π * f) = g * automorphize f

⊢ ∫ (x : G), g (π x) * f x ∂μ = ∫ (x : G ⧸ Γ), automorphize (g ∘ π * f) x ∂Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
K : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : NormedSpace ℝ K
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → K
f_ℒ_1 : Integrable f μ
g : G ⧸ Γ → K
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
g_ℒ_infinity : essSup (fun x => ↑‖g x‖₊) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)) ≠ ⊤
F_ae_measurable : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))
π : G → G ⧸ Γ := mk
meas_π : Measurable π
H₀ : automorphize (g ∘ π * f) = g * automorphize f
H₁ : Integrable (g ∘ π * f) μ

⊢ ∫ (x : G), g (π x) * f x ∂μ = ∫ (x : G ⧸ Γ), automorphize (g ∘ π * f) x ∂Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)