ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
s : Set ℝ
t : ℕ → Set ℝ
ht : s ⊆ ⋃ i, t i
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑ε
g : ℕ → Set ℝ
hg : ∀ (i : ℕ), t i ⊆ g i ∧ MeasurableSet (g i) ∧ f.outer (g i) ≤ f.length (t i) + ↑(ε' i)

⊢ ⨅ (_ : MeasurableSet (iUnion g)), f.outer (iUnion g) ≤ ∑' (a : ℕ), (f.length (t a) + ↑(ε' a))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
s : Set ℝ
t : ℕ → Set ℝ
ht : s ⊆ ⋃ i, t i
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (t i) < ⊤
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑ε
g : ℕ → Set ℝ
hg : ∀ (i : ℕ), t i ⊆ g i ∧ MeasurableSet (g i) ∧ f.outer (g i) ≤ f.length (t i) + ↑(ε' i)

⊢ f.outer (iUnion g) ≤ ∑' (a : ℕ), (f.length (t a) + ↑(ε' a))
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K

⊢ num 1 = 1
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ s.ncard = n + 1 ↔ ∃ a t, a ∉ t ∧ insert a t = s ∧ t.ncard = n
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
n : ℕ
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ (∃ a t, a ∉ t ∧ insert a t = s ∧ t.ncard = n) → s.ncard = n + 1
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
a : α
t : Set α
hat : a ∉ t
h : insert a t = s

⊢ s.ncard = t.ncard + 1
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

⊢ toIcoMod hp a (m • p + b) = toIcoMod hp a b
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
γ : Type u_4
f : Part α
g : α → Part β
k : β → Part γ
a : γ

⊢ a ∈ (f.bind g).bind k ↔ a ∈ f.bind fun x => (g x).bind k
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
γ : Type u_4
f : Part α
g : α → Part β
k : β → Part γ
a : γ

⊢ (∃ a_1, (∃ a ∈ f, a_1 ∈ g a) ∧ a ∈ k a_1) ↔ ∃ a_1 ∈ f, ∃ a_2 ∈ g a_1, a ∈ k a_2
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : ∀ (x : M), ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g u

⊢ LiftProp P g
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : ∀ (x : M), ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g u

⊢ LiftPropOn P g univ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : ∀ (x : M), ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g u
x : M
x✝ : x ∈ univ

⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ LiftPropOn P g (univ ∩ u)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : R1Space X
x y : X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K

⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ IsCompact (closure V)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
inst✝¹ : R1Space X
x y : X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace X
K : Set X
hK : IsCompact K
K' : Set X
hK' : IsCompact K'
hKK' : K ⊆ interior K'

⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ IsCompact (closure V)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
hs : s.Countable

⊢ μ s = 0 ↔ ∀ x ∈ s, μ {x} = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hba : b₂ ≤ b₁
hdc : d ≤ a

⊢ b₁ • d + b₂ • a ≤ b₁ • a + b₂ • d
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hba : b₂ ≤ b₁
hdc : d ≤ a

⊢ b₂ • a + b₁ • d ≤ b₂ • d + b₁ • a
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : ¬Prime p

⊢ n / p ^ n.factorization p = n
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m a n : ℕ
inst✝ : NeZero n

⊢ ↑a = 0 ↔ n ∣ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G

⊢ ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)

⊢ ∫ (x : α), f x ∂(μ + ν) = ∫ (x : α), f x ∂μ + ∫ (x : α), f x ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)

⊢ setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f = setToFun μ (weightedSMul μ) ⋯ f + setToFun ν (weightedSMul ν) ⋯ f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1

⊢ setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f = setToFun μ (weightedSMul μ) ⋯ f + setToFun ν (weightedSMul ν) ⋯ f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1

⊢ setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f = setToFun μ (weightedSMul μ) ⋯ f + setToFun ν (weightedSMul ν) ⋯ f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1

⊢ setToFun (μ + ν) (weightedSMul (μ + ν)) ⋯ f = setToFun (μ + ν) (weightedSMul μ) hμ_dfma f + setToFun (μ + ν) (weightedSMul ν) hν_dfma f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμνs : (μ + ν) s < ⊤

⊢ weightedSMul (μ + ν) s = weightedSMul μ s + weightedSMul ν s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
f : α → G
hμ : Integrable f μ
hν : Integrable f ν
hG : CompleteSpace G
hfi : Integrable f (μ + ν)
hμ_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul μ) 1
hν_dfma : DominatedFinMeasAdditive (μ + ν) (weightedSMul ν) 1
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμνs : μ s < ⊤ ∧ ν s < ⊤

⊢ weightedSMul (μ + ν) s = weightedSMul μ s + weightedSMul ν s
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f g : ↑(X.presheaf.obj (op U))

⊢ Subtype.val '' {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) (f * g))} = Subtype.val '' {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)} ∩ Subtype.val '' {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) g)}
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f g : ↑(X.presheaf.obj (op U))

⊢ Subtype.val '' {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) (f * g))} = (fun a => ↑a) '' ({x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)} ∩ {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) g)})
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f g : ↑(X.presheaf.obj (op U))
x : ↑↑X.toPresheafedSpace

⊢ x ∈ Subtype.val '' {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) (f * g))} ↔ x ∈ (fun a => ↑a) '' ({x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) f)} ∩ {x | IsUnit ((X.presheaf.germ x) g)})
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
x : A

⊢ ↑((skewAdjointPart ℝ) x) = I • ↑(ℑ x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
X : Subobject B
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
h₁ : X ≤ mk f
h₂ : mk f ≤ mk g

⊢ X.ofLEMk f h₁ ≫ ofMkLEMk f g h₂ = X.ofLEMk g ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
B A₁ A₂ : C
X : Subobject B
f : A₁ ⟶ B
inst✝¹ : Mono f
g : A₂ ⟶ B
inst✝ : Mono g
h₁ : X ≤ mk f
h₂ : mk f ≤ mk g

⊢ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) ≫ (underlyingIso g).hom = underlying.map ⋯.hom ≫ (underlyingIso g).hom
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : DivisionMonoid α
inst✝ : HasDistribNeg α
a✝ : α
c : ℤ
a : α

⊢ (-a) ^ (c + c) = a ^ (c + c)
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n = 0) = true

⊢ 0 ≤ e
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Core.lean
u : Level
α : Q(Type u)
zα : Q(Zero «$α»)
pα : Q(PartialOrder «$α»)
A : Type u_1
e : A
n : ℤ
d : ℕ
inst✝ : LinearOrderedRing A
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (n = 0) = true

⊢ 0 ≤ ↑0 * ⅟↑d
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x y : α

⊢ (f.cycleOf x)⁻¹ y = (f⁻¹.cycleOf x) y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝² : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝¹ : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝ : DecidableRel f.SameCycle
x y : α

⊢ y = if f.SameCycle x (if f⁻¹.SameCycle x y then f⁻¹ y else y) then f (if f⁻¹.SameCycle x y then f⁻¹ y else y) else if f⁻¹.SameCycle x y then f⁻¹ y else y
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame

⊢ -x ⧏ 0 ↔ 0 ⧏ x
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype m
L M : Matrix l m α
N : Matrix m n α
i✝ : l
j✝ : n

⊢ ((L + M) * N) i✝ j✝ = (L * N + M * N) i✝ j✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p

⊢ ι (Subtype.restrict p f) j✝ ≫ fromSubtype f p ≫ π f ↑j = ι (Subtype.restrict p f) j✝ ≫ π (Subtype.restrict p f) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p

⊢ (if h : ↑j✝ = ↑j then eqToHom ⋯ else 0) = if h : j✝ = j then eqToHom ⋯ else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
h₁ : ↑j✝ = ↑j
h₂ : j✝ = j

⊢ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
h₁ : ↑j✝ = ↑j
h₂ : ¬j✝ = j

⊢ eqToHom ⋯ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
h₁ : ¬↑j✝ = ↑j
h₂ : j✝ = j

⊢ 0 = eqToHom ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
h₁ : ¬↑j✝ = ↑j
h₂ : ¬j✝ = j

⊢ 0 = 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H

⊢ ↑I.symm (↑I x) = x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H

⊢ x ∈ I.source
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
n : ℕ
h : IsSquare (-1)

⊢ ∃ x y, n = x ^ 2 + y ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
h : IsSquare (-1)

⊢ ∃ x y, 0 = x ^ 2 + y ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
h : IsSquare (-1)

⊢ ∃ x y, 1 = x ^ 2 + y ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
p n : ℕ
hpp : Prime p
ih : IsSquare (-1) → ∃ x y, n = x ^ 2 + y ^ 2
h : IsSquare (-1)

⊢ ∃ x y, p * n = x ^ 2 + y ^ 2
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M

⊢ ‖↑x‖ = infDist x ↑S
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M

⊢ infDist x (⇑(IsometryEquiv.subLeft x).symm ⁻¹' {m | ↑m = ↑x}) = infDist x ↑S
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M

⊢ y ∈ ⇑(IsometryEquiv.subLeft x).symm ⁻¹' {m | ↑m = ↑x} ↔ y ∈ ↑S
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞

⊢ (∫⁻ (a : α), f a ∂μ) * r ≤ ∫⁻ (a : α), f a * r ∂μ
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
a : A
i : ι

⊢ a • (basis A b) i = a ⊗ₜ[R] b i
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : Computation α

⊢ s.bind (pure ∘ f) = map f s
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : Computation α

⊢ IsBisimulation fun c₁ c₂ => c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = s.bind (pure ∘ f) ∧ c₂ = map f s
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : Computation α

⊢ s.bind (pure ∘ f) = map f s ∨ ∃ s_1, s.bind (pure ∘ f) = s_1.bind (pure ∘ f) ∧ map f s = map f s_1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Arsinh.lean
x y : ℝ

⊢ 0 ≤ arsinh x ↔ 0 ≤ x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens

⊢ U.ι ''ᵁ (X.restrictFunctor.map i).left ⁻¹ᵁ W ≤ V.ι ''ᵁ W
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens

⊢ ⇑((Opens.toTopCat ↑X.toPresheafedSpace).map i) ⁻¹' ↑W ⊆ ⇑U.ι.val.base ⁻¹' (⇑V.ι.val.base '' ↑W)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).IsRoot ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a)

⊢ orderOf (ZMod.unitOfCoprime a ⋯) ∣ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).IsRoot ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a)

⊢ ZMod.unitOfCoprime a ⋯ ^ n = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : (cyclotomic n (ZMod p)).IsRoot ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a)

⊢ eval ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a) (X ^ n - 1) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
hpos : 0 < n
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
hroot : eval ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a) (cyclotomic n (ZMod p)) = 0

⊢ eval ((Nat.castRingHom (ZMod p)) a) (X ^ n - 1) = 0
-- Mathlib/Algebra/Ring/Hom/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
x✝¹ : NonAssocSemiring α
x✝ : NonAssocSemiring β
f : α →+* β
x y✝ : α
h : ∀ (x : α), f x = 0
y : β
hy : y ∈ {0}

⊢ f 0 = y
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}

⊢ P.disc ≠ 0 ↔ x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0
h3 : (map φ P).roots = {x, y, z}

⊢ φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z) * (φ P.a * φ P.a * (x - y) * (x - z) * (y - z)) ≠ 0 ↔ x ≠ y ∧ x ≠ z ∧ y ≠ z
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Basic.lean
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
W : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory W
F : V ⥤ W
G : MonCat
M : Action V G

⊢ (fun g => F.map (M.ρ g)) 1 = 1
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Basic.lean
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
W : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory W
F : V ⥤ W
G : MonCat
M : Action V G
g h : ↑G

⊢ F.map (M.ρ (g * h)) = F.map (M.ρ g) * F.map (M.ρ h)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Basic.lean
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
W : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory W
F : V ⥤ W
G : MonCat
X✝ Y✝ : Action V G
f : X✝ ⟶ Y✝
g : ↑G

⊢ F.map (X✝.ρ g) ≫ F.map f.hom = F.map f.hom ≫ F.map (Y✝.ρ g)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Basic.lean
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
W : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory W
F : V ⥤ W
G : MonCat
M : Action V G

⊢ ({ obj := fun M => { V := F.obj M.V, ρ := { toFun := fun g => F.map (M.ρ g), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } }, map := fun {X Y} f => { hom := F.map f.hom, comm := ⋯ } }.map (𝟙 M)).hom = (𝟙 ({ obj := fun M => { V := F.obj M.V, ρ := { toFun := fun g => F.map (M.ρ g), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } }, map := fun {X Y} f => { hom := F.map f.hom, comm := ⋯ } }.obj M)).hom
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Basic.lean
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
W : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory W
F : V ⥤ W
G : MonCat
X✝ Y✝ Z✝ : Action V G
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ ({ obj := fun M => { V := F.obj M.V, ρ := { toFun := fun g => F.map (M.ρ g), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } }, map := fun {X Y} f => { hom := F.map f.hom, comm := ⋯ } }.map (f ≫ g)).hom = ({ obj := fun M => { V := F.obj M.V, ρ := { toFun := fun g => F.map (M.ρ g), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } }, map := fun {X Y} f => { hom := F.map f.hom, comm := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun M => { V := F.obj M.V, ρ := { toFun := fun g => F.map (M.ρ g), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } }, map := fun {X Y} f => { hom := F.map f.hom, comm := ⋯ } }.map g).hom