ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y

⊢ IsIso f.unop ↔ IsIso f
-- Mathlib/Deprecated/Subfield.lean
F : Type u_1
inst✝ : Field F
S✝ S : Set F
hS : IsSubfield S
x y : F
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S

⊢ x / y ∈ S
-- Mathlib/Deprecated/Subfield.lean
F : Type u_1
inst✝ : Field F
S✝ S : Set F
hS : IsSubfield S
x y : F
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S

⊢ x * y⁻¹ ∈ S
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
v : ι → M
li : LinearIndependent S v

⊢ Function.Injective fun r => r • 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α

⊢ Pairwise fun x y => Disjoint (Ico (a * b ^ x) (a * b ^ (x + 1))) (Ico (a * b ^ y) (a * b ^ (y + 1)))
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α

⊢ Pairwise fun x y => Ico (a * b ^ x) (a * b ^ (x + 1)) ∩ Ico (a * b ^ y) (a * b ^ (y + 1)) ⊆ ∅
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ico (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ico (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))

⊢ m = n
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ico (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ico (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
hb : 1 < b

⊢ m = n
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ico (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ico (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
hb : 1 < b
i1 : a * b ^ m < a * b ^ (n + 1)

⊢ m = n
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ico (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ico (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
hb : 1 < b
i1 : a * b ^ m < a * b ^ (n + 1)
i2 : a * b ^ n < a * b ^ (m + 1)

⊢ m = n
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ico (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ico (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
hb : 1 < b
i1 : m ≤ n
i2 : n ≤ m

⊢ m = n
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y : PresheafedSpace C
α β : X ⟶ Y
h : α = β
x : ↑↑X

⊢ Hom.stalkMap α x = eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap β x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁶ : Module R M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁴ : Module R M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹² : Module R N₂
inst✝¹¹ : DecidableEq n
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : DecidableEq m
inst✝⁸ : Fintype m
b₁✝ : Basis n R M₁
b₂✝ : Basis m R M₂
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁶ : Module R M₁'
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁴ : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
M : Matrix n m R
P : Matrix n n' R
Q : Matrix m m' R

⊢ (toMatrix₂ b₁' b₂') (((toLinearMap₂ b₁ b₂) M).compl₁₂ ((toLin b₁' b₁) P) ((toLin b₂' b₂) Q)) = (toMatrix₂ b₁' b₂') ((toLinearMap₂ b₁' b₂') (Pᵀ * M * Q))
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd₁ : l₁.NodupKeys
nd₂ : l₂.NodupKeys
p : l₁ ~ l₂
b : β a

⊢ b ∈ dlookup a l₁ ↔ b ∈ dlookup a l₂
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List (Sigma β)
nd₁ : l₁.NodupKeys
nd₂ : l₂.NodupKeys
p : l₁ ~ l₂
b : β a

⊢ ⟨a, b⟩ ∈ l₁ ↔ ⟨a, b⟩ ∈ l₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Trim.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
ν : Measure α
hμν : μ ≪ ν
hm : m ≤ m0

⊢ μ.trim hm ≪ ν.trim hm
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Trim.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ : Set α
ν : Measure α
hμν : μ ≪ ν
hm : m ≤ m0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hsν : (ν.trim hm) s = 0

⊢ (μ.trim hm) s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Trim.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ : Set α
ν : Measure α
hμν : μ ≪ ν
hm : m ≤ m0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hsν : ν s = 0

⊢ μ s = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E
f' : F →L[𝕜] G

⊢ HasFDerivAt (f ∘ ⇑iso) (f'.comp ↑iso) x ↔ HasFDerivAt f f' (iso x)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f

⊢ 0 < 1 - ↑K
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝⁵ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.158446, u_1} A'
inst✝³ : Category.{?u.158450, u_2} B'
inst✝² : Category.{?u.158454, u_3} T'
L✝ : A ⥤ T
R✝ : B ⥤ T
C : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} C
D : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} D
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
F : T ⥤ C
X✝ Y✝ : Comma L R
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (L ⋙ F).map f.left ≫ ((fun X => { left := X.left, right := X.right, hom := F.map X.hom }) Y✝).hom = ((fun X => { left := X.left, right := X.right, hom := F.map X.hom }) X✝).hom ≫ (R ⋙ F).map f.right
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂

⊢ ∀ (v : V), ‖(AddMonoidHom.id V) v‖ ≤ 1 * ‖v‖
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : CommMonoid α✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
f✝ g : β✝ → α✝
a✝ b✝ : α✝
s : Finset β✝
inst✝⁵ : ContinuousMul α✝
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
a : α
hf : HasProd f a
b : β
a' : α
hf' : HasProd (fun n => if n = b then 1 else f n) a'

⊢ a = a' * f b
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : CommMonoid α✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
f✝ g : β✝ → α✝
a✝ b✝ : α✝
s : Finset β✝
inst✝⁵ : ContinuousMul α✝
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
a : α
hf : HasProd f a
b : β
a' : α
hf' : HasProd (fun n => if n = b then 1 else f n) a'

⊢ HasProd (update f b 1) a'
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : CommMonoid α✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
f✝ g : β✝ → α✝
a✝ b✝ : α✝
s : Finset β✝
inst✝⁵ : ContinuousMul α✝
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
a : α
hf : HasProd f a
b : β
a' : α
hf' : HasProd (fun n => if n = b then 1 else f n) a'
x✝ : β

⊢ update f b 1 x✝ = if x✝ = b then 1 else f x✝
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : RCLike K
z✝ : K
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
z : K

⊢ im (OfNat.ofNat n * z) = OfNat.ofNat n * im z
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝¹ : AddZeroClass δ
inst✝ : Min δ
C : Cost α β δ
xs : List α
ys : List β

⊢ (suffixLevenshtein C xs ys).val = List.map (fun xs' => levenshtein C xs' ys) xs.tails
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
I : Set ι
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i

⊢ 𝓝[I.pi s] x = ⊥ ↔ ∃ i ∈ I, 𝓝[s i] x i = ⊥
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Topology.lean
K : Set ℍ
hK : IsCompact K

⊢ ∃ A B, 0 < B ∧ K ⊆ verticalStrip A B
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Topology.lean
hK : IsCompact ∅

⊢ ∃ A B, 0 < B ∧ ∅ ⊆ verticalStrip A B
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Topology.lean
K : Set ℍ
hK : IsCompact K
hne : K.Nonempty

⊢ ∃ A B, 0 < B ∧ K ⊆ verticalStrip A B
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Topology.lean
K : Set ℍ
hK : IsCompact K
hne : K.Nonempty
u : ℍ
left✝ : u ∈ K
hu : IsMaxOn (_root_.abs ∘ re) K u

⊢ ∃ A B, 0 < B ∧ K ⊆ verticalStrip A B
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Topology.lean
K : Set ℍ
hK : IsCompact K
hne : K.Nonempty
u : ℍ
left✝¹ : u ∈ K
hu : IsMaxOn (_root_.abs ∘ re) K u
v : ℍ
left✝ : v ∈ K
hv : IsMinOn im K v

⊢ ∃ A B, 0 < B ∧ K ⊆ verticalStrip A B
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx : x ≤ z
hy : y ≤ z

⊢ x ≤ y ∨ y ≤ x
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx : x ≤ z
hy : y ≤ z
h : x = none

⊢ x ≤ y ∨ y ≤ x
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx : x ≤ z
hy : y ≤ z
b : α
h₀ : x = some b

⊢ x ≤ y ∨ y ≤ x
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx : x ≤ z
hy : y ≤ z
b : α
h₀ : x = some b
b' : α
h₁ : b' ∈ y

⊢ b' ∈ x
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx : x ≤ z
hy : y ≤ z
b : α
h₀ : b ∈ x
b' : α
h₁ : b' ∈ y

⊢ b' ∈ x
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx✝ : x ≤ z
hy✝ : y ≤ z
b : α
h₀ : b ∈ x
b' : α
h₁ : b' ∈ y
hx : b ∈ z
hy : b' ∈ z

⊢ b' ∈ x
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x y z : Part α
hx✝¹ : x ≤ z
hy✝ : y ≤ z
b : α
h₀ : b ∈ x
b' : α
h₁ : b' ∈ y
hx✝ : b ∈ z
hy : b' ∈ z
hx : b = b'

⊢ b' ∈ x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α

⊢ IsConj σ τ ↔ σ.partition = τ.partition
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α

⊢ σ.cycleType = τ.cycleType ↔ σ.partition = τ.partition
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
X : C

⊢ (F.op.lan.obj (yoneda.obj X)).descOfIsLeftKanExtension (F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X)) (G.obj (yoneda.obj X)) (presheafHom φ (yoneda.obj X)) = (compYonedaIsoYonedaCompLan F).inv.app X ≫ φ.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
X : C

⊢ F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X) ≫ whiskerLeft F.op ((F.op.lan.obj (yoneda.obj X)).descOfIsLeftKanExtension (F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X)) (G.obj (yoneda.obj X)) (presheafHom φ (yoneda.obj X))) = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X) ≫ whiskerLeft F.op ((compYonedaIsoYonedaCompLan F).inv.app X ≫ φ.app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
X : C

⊢ presheafHom φ (yoneda.obj X) = F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X) ≫ whiskerLeft F.op ((compYonedaIsoYonedaCompLan F).inv.app X ≫ φ.app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
X : C

⊢ yonedaEquiv (presheafHom φ (yoneda.obj X)) = yonedaEquiv (F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X) ≫ whiskerLeft F.op ((compYonedaIsoYonedaCompLan F).inv.app X ≫ φ.app X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X✝ : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
X : C

⊢ (φ.app X).app (F.op.obj (Opposite.op X)) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op X)))) = yonedaEquiv (F.op.lanUnit.app (yoneda.obj X) ≫ whiskerLeft F.op ((compYonedaIsoYonedaCompLan F).inv.app X ≫ φ.app X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FilteredColimitCommutesFiniteLimit.lean
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝¹¹ : SmallCategory J
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝⁹ : Small.{v, u₂} K
inst✝⁸ : FinCategory J
F✝ : J × K ⥤ Type v
inst✝⁷ : IsFiltered K
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape J C
inst✝³ : HasColimitsOfShape K C
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape J (forget C)
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape K (forget C)
inst✝ : PreservesLimitsOfShape J (forget C)
F : J ⥤ K ⥤ C
a : K
b : J

⊢ colimit.ι (limit F) a ≫ (((isLimitOfPreserves colim (limit.isLimit F)).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (F ⋙ colim))).hom ≫ (HasLimit.isoOfNatIso (colimitFlipIsoCompColim F).symm).hom) ≫ limit.π (colimit F.flip) b = (limit.π F b).app a ≫ (colimit.ι F.flip a).app b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FilteredColimitCommutesFiniteLimit.lean
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝¹¹ : SmallCategory J
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝⁹ : Small.{v, u₂} K
inst✝⁸ : FinCategory J
F✝ : J × K ⥤ Type v
inst✝⁷ : IsFiltered K
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape J C
inst✝³ : HasColimitsOfShape K C
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape J (forget C)
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape K (forget C)
inst✝ : PreservesLimitsOfShape J (forget C)
F : J ⥤ K ⥤ C
a : K
b : J

⊢ (limit.π F b).app a ≫ colimit.ι (F.obj b) a ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (flipCompEvaluation F b)).inv ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation F.flip b).inv = (limit.π F b).app a ≫ (colimit.ι F.flip a).app b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FilteredColimitCommutesFiniteLimit.lean
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝¹¹ : SmallCategory J
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝⁹ : Small.{v, u₂} K
inst✝⁸ : FinCategory J
F✝ : J × K ⥤ Type v
inst✝⁷ : IsFiltered K
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape J C
inst✝³ : HasColimitsOfShape K C
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape J (forget C)
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape K (forget C)
inst✝ : PreservesLimitsOfShape J (forget C)
F : J ⥤ K ⥤ C
a : K
b : J

⊢ colimit.ι (F.obj b) a ≫ (HasColimit.isoOfNatIso (flipCompEvaluation F b)).inv ≫ (colimitObjIsoColimitCompEvaluation F.flip b).inv = (colimit.ι F.flip a).app b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FilteredColimitCommutesFiniteLimit.lean
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝¹¹ : SmallCategory J
inst✝¹⁰ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝⁹ : Small.{v, u₂} K
inst✝⁸ : FinCategory J
F✝ : J × K ⥤ Type v
inst✝⁷ : IsFiltered K
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasLimitsOfShape J C
inst✝³ : HasColimitsOfShape K C
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape J (forget C)
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape K (forget C)
inst✝ : PreservesLimitsOfShape J (forget C)
F : J ⥤ K ⥤ C
a : K
b : J

⊢ colimit.ι (F.obj b) a = (flipCompEvaluation F b).hom.app a ≫ colimit.ι (F.obj b) a
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x y : G
i : ℤ
h : IsOfFinOrder x
h' : y ∈ zpowers x

⊢ IsOfFinOrder y
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
x : G
i : ℤ
h : IsOfFinOrder x
k : ℤ
h' : x ^ k ∈ zpowers x

⊢ IsOfFinOrder (x ^ k)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α

⊢ borel ℝ = generateFrom (⋃ a, {Iio ↑a})
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α

⊢ generateFrom (range Iio) = generateFrom (⋃ a, {Iio ↑a})
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α

⊢ ∀ t ∈ range Iio, MeasurableSet t
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
a : ℝ

⊢ MeasurableSet (Iio a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
a : ℝ
this : IsLUB (range Rat.cast ∩ Iio a) a

⊢ MeasurableSet (Iio a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
a : ℝ
this : IsLUB (range Rat.cast ∩ Iio a) a

⊢ MeasurableSet (⋃ y ∈ Rat.cast ⁻¹' Iio a, Iio ↑y)
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/End.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : Module.End R M
m : M
k l : ℕ
hk : k ≤ l
hm : (f ^ k) m = 0

⊢ (f ^ l) m = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
H N : Subgroup G
hN : N.Normal

⊢ ↑(H ⊔ N) = ↑H * ↑N
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
H N : Subgroup G
hN : N.Normal

⊢ ↑(closure (↑H * ↑N)) = ↑H * ↑N
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
H N : Subgroup G
hN : N.Normal
x : G
hx : x ∈ ↑(closure (↑H * ↑N))

⊢ x ∈ ↑H * ↑N
-- Mathlib/Data/Set/MulAntidiagonal.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
s t : Set α
a : α
x : α × α

⊢ x.swap ∈ s.mulAntidiagonal t a ↔ x ∈ t.mulAntidiagonal s a
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hX : AEMeasurable X μ

⊢ evariance X μ = 0 ↔ X =ᶠ[ae μ] fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hX : AEMeasurable X μ

⊢ (fun ω => ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2) =ᶠ[ae μ] 0 ↔ X =ᶠ[ae μ] fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hX : AEMeasurable X μ

⊢ AEMeasurable (fun ω => ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2) μ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hX✝ : AEMeasurable X μ
hX : (fun ω => ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2) =ᶠ[ae μ] 0
ω : Ω
hω : ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 = 0 ω

⊢ X ω = ∫ (x : Ω), X x ∂μ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
hX✝ : AEMeasurable X μ
hX : X =ᶠ[ae μ] fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ
ω : Ω
hω : X ω = ∫ (x : Ω), X x ∂μ

⊢ ↑‖X ω - ∫ (x : Ω), X x ∂μ‖₊ ^ 2 = 0 ω
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLinearOrder α
s : Set α
f : ι → α
x : α
hlim : ¬IsPredLimit (sInf s)

⊢ sInf s ∈ s
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLinearOrder α
s : Set α
f : ι → α
x : α
hlim : ¬IsPredLimit (sInf s)
y : α
hy : sInf s ⋖ y

⊢ sInf s ∈ s
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLinearOrder α
s : Set α
f : ι → α
x : α
hlim : ¬IsPredLimit (sInf s)
y : α
hy : sInf s ⋖ y
i : α
his : i ∈ s
hi : i < y

⊢ sInf s ∈ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ

⊢ A ^ (- -[n+1]) = (A ^ -[n+1])⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ

⊢ IsUnit (A ^ (n + 1)).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ

⊢ IsUnit (A.det ^ (n + 1))
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α

⊢ ⋃ n, Ioc (↑n) (↑n + 1) = univ
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P✝ : Generators R S
T : Type ?u.55681
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
P : Generators R T
s : T

⊢ (aeval P.val) ((fun x => (MvPolynomial.map (algebraMap R S)) (P.σ x)) s) = s
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
h3a : 3 ∣ a
HF : a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 0
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3

⊢ 3 ∣ b
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
h3a : 3 ∣ a
HF : a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 0
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
hbc : IsCoprime (-b) (-c)

⊢ 3 ∣ b
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
a b c : ℤ
ha : a ≠ 0
Hgcd : {a, b, c}.gcd id = 1
h3a : 3 ∣ a
HF : a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = 0
H : ∀ (a b c : ℤ), c ≠ 0 → ¬3 ∣ a → ¬3 ∣ b → 3 ∣ c → IsCoprime a b → a ^ 3 + b ^ 3 ≠ c ^ 3
hbc : IsCoprime (-b) (-c)
h3b : ¬3 ∣ b

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
ε : ℝ

⊢ IsLowerSet (thickening ε s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsLowerSet s
ε : ℝ

⊢ IsLowerSet (ball 1 ε * s)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
a : α
m : α → Filter β

⊢ (pure a).bind m = m a
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a : α
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : SupHomClass F α β
f : F

⊢ SupClosed (range ⇑f)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
y : E
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t

⊢ 𝓝[s \ {y}] x = 𝓝[t \ {y}] x
-- Mathlib/GroupTheory/Solvable.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
f : G →* G'
inst✝ : IsSimpleGroup G
n : ℕ
ih : derivedSeries G n.succ = _root_.commutator G

⊢ derivedSeries G (n + 1).succ = _root_.commutator G