ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f✝ : ℕ → Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
val✝ : Encodable β
g : ℕ → Set α := fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg : g = fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (g i)
hg₂ : Pairwise (Disjoint on g)
this : ↑v (⋃ b, f b) = ∑' (i : ℕ), ↑v ((fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b) i)
hg₃ : (fun i => ↑v (f i)) = fun i => ↑v (g (Encodable.encode i))

⊢ HasSum (fun i => ↑v (f i)) (↑v (⋃ i, f i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f✝ : ℕ → Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
val✝ : Encodable β
g : ℕ → Set α := fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg : g = fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (g i)
hg₂ : Pairwise (Disjoint on g)
this : ↑v (⋃ b, f b) = ∑' (i : ℕ), ↑v ((fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b) i)
hg₃ : (fun i => ↑v (f i)) = fun i => ↑v (g (Encodable.encode i))

⊢ ↑v ∅ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : T2Space M
v : VectorMeasure α M
f✝ : ℕ → Set α
inst✝ : Countable β
f : β → Set α
hf₁ : ∀ (i : β), MeasurableSet (f i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on f)
val✝ : Encodable β
g : ℕ → Set α := fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg : g = fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b
hg₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (g i)
hg₂ : Pairwise (Disjoint on g)
this : ↑v (⋃ b, f b) = ∑' (i : ℕ), ↑v ((fun i => ⋃ b ∈ Encodable.decode₂ β i, f b) i)
hg₃ : (fun i => ↑v (f i)) = fun i => ↑v (g (Encodable.encode i))

⊢ Summable fun i => ↑v (f i)
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder γ
f : α → γ

⊢ LowerSemicontinuous f ↔ ∀ (y : γ), IsClosed (f ⁻¹' Iic y)
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder γ
f : α → γ

⊢ (∀ (y : γ), IsOpen (f ⁻¹' Ioi y)) ↔ ∀ (y : γ), IsClosed (f ⁻¹' Iic y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W
X Y Z X' Y' : C
e : X ≅ X'
e' : Y ≅ Y'

⊢ HasSmallLocalizedHom W X Y ↔ HasSmallLocalizedHom W X' Y'
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W
X Y Z X' Y' : C
e : X ≅ X'
e' : Y ≅ Y'

⊢ Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y) ↔ Small.{w, max u₁ v₁} (W.Q.obj X' ⟶ W.Q.obj Y')
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s t : Set α

⊢ (s ∪ t).encard ≤ s.encard + t.encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s t : Set α

⊢ (s ∪ t).encard ≤ (s ∪ t).encard + (s ∩ t).encard
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
q : ℚ

⊢ ↑q.num < (↑⌊q⌋ + 1) * ↑q.den
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
q : ℚ

⊢ ↑q.num < (q - fract q + 1) * ↑q.den
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
q : ℚ

⊢ ↑q.num < ↑q.num + (1 - fract q) * ↑q.den
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
q : ℚ

⊢ 0 < (1 - fract q) * ↑q.den
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
q : ℚ
this : 0 < 1 - fract q

⊢ 0 < (1 - fract q) * ↑q.den
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
r n : ℕ
h : r < n / 2

⊢ n.choose r ≤ n.choose (r + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
r n : ℕ
h : r < n / 2

⊢ n.choose r * (n - r) ≤ n.choose (r + 1) * (n - r)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
r n : ℕ
h : r < n / 2

⊢ n.choose (r + 1) * (r + 1) ≤ n.choose (r + 1) * (n - r)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
r n : ℕ
h : r < n / 2

⊢ r + 1 ≤ n - r
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
r n : ℕ
h : r < n / 2

⊢ r * 2 < n
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
p : α → Prop
fs : Set (Filter α)

⊢ (∃ᶠ (x : α) in sSup fs, p x) ↔ ∃ f ∈ fs, ∃ᶠ (x : α) in f, p x
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ : α
n : ℕ
a : ℤ

⊢ a ≤ ⌊↑n⌋ ↔ a ≤ ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
x : n → R

⊢ (toLinearMapRight' M) ({ toFun := ⇑(toLinearMapRight' M'), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix m n R
M' : Matrix n m R
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
x : m → R

⊢ (toLinearMapRight' M') ((toLinearMapRight' M) x) = x
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
hf' : LocallyIntegrable f' μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = ∫ (x : M), g x • f' x ∂μ
this : ∀ᵐ (x : M) ∂μ, (f - f') x = 0

⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, f x = f' x
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
hf' : LocallyIntegrable f' μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = ∫ (x : M), g x • f' x ∂μ
this : ∀ᵐ (x : M) ∂μ, (f - f') x = 0
x : M
hx : (f - f') x = 0

⊢ f x = f' x
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Units.lean
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b : α
u : αˣ

⊢ ↑u ∣ a
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t

⊢ ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ (∀ (x : M), x ∈ s ↔ f x = 0) ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
f : M → ℝ
f_diff : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
fs : support f = sᶜ
ft : ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1

⊢ ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1 ∧ (∀ (x : M), x ∈ s ↔ f x = 0) ∧ ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t✝ : M → Set F
n : ℕ∞
s t : Set M
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
f : M → ℝ
f_diff : Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1
fs : support f = sᶜ
ft : ∀ (x : M), x ∈ t ↔ f x = 1

⊢ ∀ (x : M), x ∈ s ↔ f x = 0
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s t : Set α

⊢ Sum.inl ⁻¹' range Sum.inr = ∅
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : SeminormedRing α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : NormedCommRing α
inst✝ : NormOneClass α
f : ι → α
val✝ : Multiset ι
l : List ι
hl : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)

⊢ ‖∏ i ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }, f i‖ ≤ ∏ i ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hl }, ‖f i‖
-- Mathlib/Data/Nat/SuccPred.lean
m n✝ a n : ℕ

⊢ succ^[n + 1] a = a + (n + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/SuccPred.lean
m n✝ a n : ℕ

⊢ (succ ∘ succ^[n]) a = (a + n).succ
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
s : ℂ

⊢ LSeriesSummable 0 s
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤

⊢ (r • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • ν.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : (r.toNNReal • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r.toNNReal • ν.rnDeriv μ

⊢ (r • ν).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] r • ν.rnDeriv μ
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A

⊢ 0 ∈ σ a ↔ ¬IsUnit a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)

⊢ AEEqFun.mk (fun x => ⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫_𝕜) ⋯ ∈ Lp 𝕜 1 μ
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≤ b

⊢ insert a (Ioc a b) = Icc a b
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ b ⊔ a ⊓ b = a ⊔ b
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ⊔ b ≤ a ∆ b ⊔ a ⊓ b
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ⊔ b ≤ (a \ b ⊔ b \ a ⊔ a) ⊓ (a \ b ⊔ b \ a ⊔ b)
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ≤ a \ b ⊔ b \ a ⊔ b
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ b ≤ a \ b ⊔ b \ a ⊔ a
-- Mathlib/Logic/Equiv/Defs.lean
α : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
p : α → Prop
q : β → Prop
e : α ≃ β

⊢ ∀ (a : α), ((fun a => q (e a)) a ∧ ∀ (y : α), (fun a => q (e a)) y → y = a) ↔ (fun b => q b) (e a) ∧ ∀ (y : β), (fun b => q b) y → y = e a
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G

⊢ QuasiMeasurePreserving (fun h => g / h) μ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
g : G

⊢ QuasiMeasurePreserving (fun h => g / h) μ.inv.inv μ.inv.inv
-- Mathlib/Data/Multiset/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α

⊢ (s₁.ndunion s₂).sup = s₁.sup ⊔ s₂.sup
-- Mathlib/Data/Multiset/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α

⊢ ∀ (a : α), a ∈ s₁.ndunion s₂ ↔ a ∈ s₁ + s₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Pullbacks.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
W X Y Z : C
h : X ⟶ Z
k : Y ⟶ Z
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
comm : f ≫ h = g ≫ k
inst✝² : PreservesColimit (span f g) G
inst✝¹ : HasPushout f g
inst✝ : HasPushout (G.map f) (G.map g)

⊢ G.map (pushout.inl f g) ≫ (iso G f g).inv = pushout.inl (G.map f) (G.map g)
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝[≥] a

⊢ ∃ b, a ≤ b ∧ Icc a b ∈ 𝓝[≥] a ∧ Icc a b ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
ha : IsMax a

⊢ ∃ b, a ≤ b ∧ Icc a b ∈ 𝓝[≥] a ∧ Icc a b ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
ha : ∃ b, a < b

⊢ ∃ b, a ≤ b ∧ Icc a b ∈ 𝓝[≥] a ∧ Icc a b ⊆ s
-- Mathlib/Data/Prod/TProd.lean
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l✝ : List ι
f✝ : (i : ι) → α i
i : ι
l : List ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i

⊢ f ∈ TProd.mk (i :: l) ⁻¹' Set.tprod (i :: l) t ↔ f ∈ {i_1 | i_1 ∈ i :: l}.pi t
-- Mathlib/Data/Prod/TProd.lean
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l✝ : List ι
f✝ : (i : ι) → α i
i : ι
l : List ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
h : TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ i ∈ l, f i ∈ t i

⊢ f ∈ TProd.mk (i :: l) ⁻¹' Set.tprod (i :: l) t ↔ f ∈ {i_1 | i_1 ∈ i :: l}.pi t
-- Mathlib/Data/Prod/TProd.lean
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l✝ : List ι
f✝ : (i : ι) → α i
i : ι
l : List ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
h : TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ i ∈ l, f i ∈ t i

⊢ f i ∈ t i ∧ TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ i_1 ∈ {i_2 | i_2 ∈ i :: l}, f i_1 ∈ t i_1
-- Mathlib/Data/Prod/TProd.lean
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l✝ : List ι
f✝ : (i : ι) → α i
i : ι
l : List ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
h : TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ i ∈ l, f i ∈ t i

⊢ f i ∈ t i ∧ TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ (i_1 : ι), i_1 = i ∨ i_1 ∈ l → f i_1 ∈ t i_1
-- Mathlib/Data/Prod/TProd.lean
ι : Type u
α : ι → Type v
i✝ j : ι
l✝ : List ι
f✝ : (i : ι) → α i
i : ι
l : List ι
t : (i : ι) → Set (α i)
f : (i : ι) → α i
h : TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ i ∈ l, f i ∈ t i

⊢ f i ∈ t i → (TProd.mk l f ∈ Set.tprod l t ↔ ∀ a ∈ l, f a ∈ t a)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
C : Set X

⊢ AccPt x (𝓟 C) ↔ ClusterPt x (𝓟 (C \ {x}))
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
e₁ : T₁.obj₁ ≅ T₂.obj₁
e₂ : T₁.obj₂ ≅ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ T₂.mor₁

⊢ T₁ ≅ T₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
e₁ : T₁.obj₁ ≅ T₂.obj₁
e₂ : T₁.obj₂ ≅ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ e₂.hom = e₁.hom ≫ T₂.mor₁
h : ∃ e', e'.hom.hom₁ = (Arrow.isoMk e₁ e₂ ⋯).hom.left ∧ e'.hom.hom₂ = (Arrow.isoMk e₁ e₂ ⋯).hom.right

⊢ T₁ ≅ T₂
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)

⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)

⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)

⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖

⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
h_main : (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)

⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
h_main : (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
n : ℕ
hn : q ↑(r i n) - q (b i * ↑n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)

⊢ ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
h_main : (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
n : ℕ
hn : q ↑(r i n) - q (b i * ↑n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
h₁ : q (b i * ↑n) + b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n) = b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)

⊢ ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
h_main : (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
n : ℕ
hn : q ↑(r i n) - q (b i * ↑n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
h₁ : q (b i * ↑n) + b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n) = b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)

⊢ q ↑(r i n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm : (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
h_main : (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
n : ℕ
hn : q ↑(r i n) - q (b i * ↑n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
h₁ : q (b i * ↑n) + b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n) = b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)

⊢ q ↑(r i n) - q (b i * ↑n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m : ℕ
hm : FermatLastTheoremWith α m
a b c : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
k : ℕ

⊢ a ^ (m * k) + b ^ (m * k) ≠ c ^ (m * k)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m : ℕ
hm : FermatLastTheoremWith α m
a b c : α
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
k : ℕ

⊢ (a ^ k) ^ m + (b ^ k) ^ m ≠ (c ^ k) ^ m
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MatrixExponential.lean
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
A : Matrix m m 𝔸
this✝¹ : SeminormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpSemiNormedRing
this✝ : NormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedRing
this : NormedAlgebra 𝕂 (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedAlgebra

⊢ IsUnit (exp 𝕂 A)