ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R✝ : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ N
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
v✝ : Basis ι R✝ M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticMap R M R
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
j : ι
hj : j ∈ univ

⊢ (((associatedHom R) Q) (w j • v j)) (w j • v j) = (((associatedHom R) Q) (v j)) (v j) • (w j * w j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R✝ : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ N
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
v✝ : Basis ι R✝ M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticMap R M R
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
j : ι
hj : j ∈ univ

⊢ ∀ b ∈ univ, b ≠ j → (((associatedHom R) Q) (w b • v b)) (w j • v j) = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : SeminormedRing α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : NormedCommRing α
inst✝ : NormOneClass α
s : Finset ι
f : ι → α

⊢ ∏ i ∈ s, ‖f i‖ = (fun a => ↑a) (∏ i ∈ s, ‖f i‖₊)
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A

⊢ bernoulli' 2 = 1 / 6
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A

⊢ 1 - ∑ k ∈ range 2, ↑(Nat.choose 2 k) / (↑2 - ↑k + 1) * bernoulli' k = 1 / 6
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
x : α

⊢ x ∈ (res f s).core t ↔ x ∈ sᶜ ∪ f ⁻¹' t
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : α → β
s : Set α
t : Set β
x : α

⊢ x ∈ s → f x ∈ t ↔ x ∈ sᶜ ∪ f ⁻¹' t
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝¹ : Encodable ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (α i)

⊢ (map (TProd.elim' ⋯) (Measure.tprod (sortedUniv ι) μ)) (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/AdditiveFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} E
inst✝⁶ : Preadditive C
inst✝⁵ : Preadditive D
inst✝⁴ : Preadditive E
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.Additive
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝² : G.Additive
inst✝¹ : (F ⋙ G).Additive
inst✝ : G.Faithful
x✝¹ x✝ : C
f₁ f₂ : x✝¹ ⟶ x✝

⊢ G.map (F.map (f₁ + f₂)) = G.map (F.map f₁ + F.map f₂)
-- Mathlib/Order/SuccPred/IntervalSucc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
m n : α

⊢ ⋃ i ∈ Ico m n, Ioc (f i) (f (succ i)) = Ioc (f m) (f n)
-- Mathlib/Order/SuccPred/IntervalSucc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
m n : α
hnm : n ≤ m

⊢ ⋃ i ∈ Ico m n, Ioc (f i) (f (succ i)) = Ioc (f m) (f n)
-- Mathlib/Order/SuccPred/IntervalSucc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
m n : α
hmn : m ≤ n

⊢ ⋃ i ∈ Ico m n, Ioc (f i) (f (succ i)) = Ioc (f m) (f n)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
s : Set β

⊢ HasProd (f ∘ Subtype.val) a ↔ HasProd (s.mulIndicator f) a
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α

⊢ 𝓝[≤] a ⊔ 𝓝[>] a = 𝓝 a
-- Mathlib/Order/Category/NonemptyFinLinOrd.lean
α β : NonemptyFinLinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget NonemptyFinLinOrd).obj α

⊢ (↑e ≫ ↑e.symm) x = (𝟙 α) x
-- Mathlib/Order/Category/NonemptyFinLinOrd.lean
α β : NonemptyFinLinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget NonemptyFinLinOrd).obj β

⊢ (↑e.symm ≫ ↑e) x = (𝟙 β) x
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : adicCompletion K v

⊢ x ∉ adicCompletionIntegers K v ↔ 1 < Valued.v x
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : adicCompletion K v

⊢ ¬Valued.v x ≤ 1 ↔ 1 < Valued.v x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : ¬W.Nonsingular P

⊢ toAffine W P = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s : Set α

⊢ (boundedBy m) s = (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s : Set α
this : (fun s => ⨆ (_ : s.Nonempty), m s) = m

⊢ (boundedBy m) s = (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedRing E
inst✝³ : StarRing E
inst✝² : CstarRing E
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
u : ↥(unitary E)
a✝ : Nontrivial E

⊢ spectrum 𝕜 ↑u ⊆ Metric.sphere 0 1
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedRing E
inst✝³ : StarRing E
inst✝² : CstarRing E
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
u : ↥(unitary E)
a✝ : Nontrivial E
k : 𝕜
hk : k ∈ spectrum 𝕜 ↑u

⊢ ‖k‖ ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedRing E
inst✝³ : StarRing E
inst✝² : CstarRing E
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
u : ↥(unitary E)
a✝ : Nontrivial E
k : 𝕜
hk : k ∈ spectrum 𝕜 ↑u

⊢ 1 ≤ ‖k‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
fs gs : ℕ → α → F'
f g : α → F'
hfs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
hgs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (gs n) μ
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n x) atTop (𝓝 (f x))
hgs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => gs n x) atTop (𝓝 (g x))
bound_fs : α → ℝ
h_int_bound_fs : Integrable bound_fs μ
bound_gs : α → ℝ
h_int_bound_gs : Integrable bound_gs μ
hfs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖fs n x‖ ≤ bound_fs x
hgs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖gs n x‖ ≤ bound_gs x
hfg : ∀ (n : ℕ), μ[fs n|m] =ᶠ[ae μ] μ[gs n|m]
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

⊢ μ[f|m] =ᶠ[ae μ] μ[g|m]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
fs gs : ℕ → α → F'
f g : α → F'
hfs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
hgs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (gs n) μ
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n x) atTop (𝓝 (f x))
hgs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => gs n x) atTop (𝓝 (g x))
bound_fs : α → ℝ
h_int_bound_fs : Integrable bound_fs μ
bound_gs : α → ℝ
h_int_bound_gs : Integrable bound_gs μ
hfs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖fs n x‖ ≤ bound_fs x
hgs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖gs n x‖ ≤ bound_gs x
hfg : ∀ (n : ℕ), μ[fs n|m] =ᶠ[ae μ] μ[gs n|m]
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

⊢ ↑↑(condexpL1 hm μ g) =ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpL1 hm μ f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
fs gs : ℕ → α → F'
f g : α → F'
hfs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
hgs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (gs n) μ
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n x) atTop (𝓝 (f x))
hgs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => gs n x) atTop (𝓝 (g x))
bound_fs : α → ℝ
h_int_bound_fs : Integrable bound_fs μ
bound_gs : α → ℝ
h_int_bound_gs : Integrable bound_gs μ
hfs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖fs n x‖ ≤ bound_fs x
hgs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖gs n x‖ ≤ bound_gs x
hfg : ∀ (n : ℕ), μ[fs n|m] =ᶠ[ae μ] μ[gs n|m]
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

⊢ condexpL1 hm μ g = condexpL1 hm μ f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
fs gs : ℕ → α → F'
f g : α → F'
hfs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
hgs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (gs n) μ
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n x) atTop (𝓝 (f x))
hgs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => gs n x) atTop (𝓝 (g x))
bound_fs : α → ℝ
h_int_bound_fs : Integrable bound_fs μ
bound_gs : α → ℝ
h_int_bound_gs : Integrable bound_gs μ
hfs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖fs n x‖ ≤ bound_fs x
hgs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖gs n x‖ ≤ bound_gs x
hfg : ∀ (n : ℕ), μ[fs n|m] =ᶠ[ae μ] μ[gs n|m]
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
hn_eq : ∀ (n : ℕ), condexpL1 hm μ (gs n) = condexpL1 hm μ (fs n)

⊢ condexpL1 hm μ g = condexpL1 hm μ f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
fs gs : ℕ → α → F'
f g : α → F'
hfs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
hgs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (gs n) μ
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n x) atTop (𝓝 (f x))
hgs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => gs n x) atTop (𝓝 (g x))
bound_fs : α → ℝ
h_int_bound_fs : Integrable bound_fs μ
bound_gs : α → ℝ
h_int_bound_gs : Integrable bound_gs μ
hfs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖fs n x‖ ≤ bound_fs x
hgs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖gs n x‖ ≤ bound_gs x
hfg : ∀ (n : ℕ), μ[fs n|m] =ᶠ[ae μ] μ[gs n|m]
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
hn_eq : ∀ (n : ℕ), condexpL1 hm μ (gs n) = condexpL1 hm μ (fs n)
hcond_fs : Tendsto (fun n => condexpL1 hm μ (fs n)) atTop (𝓝 (condexpL1 hm μ f))

⊢ condexpL1 hm μ g = condexpL1 hm μ f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
fs gs : ℕ → α → F'
f g : α → F'
hfs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (fs n) μ
hgs_int : ∀ (n : ℕ), Integrable (gs n) μ
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n x) atTop (𝓝 (f x))
hgs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => gs n x) atTop (𝓝 (g x))
bound_fs : α → ℝ
h_int_bound_fs : Integrable bound_fs μ
bound_gs : α → ℝ
h_int_bound_gs : Integrable bound_gs μ
hfs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖fs n x‖ ≤ bound_fs x
hgs_bound : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖gs n x‖ ≤ bound_gs x
hfg : ∀ (n : ℕ), μ[fs n|m] =ᶠ[ae μ] μ[gs n|m]
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
hn_eq : ∀ (n : ℕ), condexpL1 hm μ (gs n) = condexpL1 hm μ (fs n)
hcond_fs : Tendsto (fun n => condexpL1 hm μ (fs n)) atTop (𝓝 (condexpL1 hm μ f))
hcond_gs : Tendsto (fun n => condexpL1 hm μ (gs n)) atTop (𝓝 (condexpL1 hm μ g))

⊢ condexpL1 hm μ g = condexpL1 hm μ f
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : MulZeroOneClass M₀
s t : Set ι
i : ι
inst✝ : Nontrivial M₀

⊢ s.indicator 1 i = 0 ↔ i ∉ s
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ

⊢ (↑n + 1) * T R (n + 1) = X * U R n - (1 - X ^ 2) * derivative (U R n)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
h₁ : derivative (T R (n + 2)) = derivative (X * T R (n + 1) - (1 - X ^ 2) * U R n)

⊢ (↑n + 1) * T R (n + 1) = X * U R n - (1 - X ^ 2) * derivative (U R n)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
h₁ : ↑(n + 2) * U R (n + 2 - 1) = 1 * T R (n + 1) + X * (↑(n + 1) * U R (n + 1 - 1)) - ((0 - ↑2 * X ^ (2 - 1)) * U R n + (1 - X ^ 2) * derivative (U R n))

⊢ (↑n + 1) * T R (n + 1) = X * U R n - (1 - X ^ 2) * derivative (U R n)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
h₁ : ↑(n + 2) * U R (n + 2 - 1) = 1 * T R (n + 1) + X * (↑(n + 1) * U R (n + 1 - 1)) - ((0 - ↑2 * X ^ (2 - 1)) * U R n + (1 - X ^ 2) * derivative (U R n))
h₂ : T R (n + 1) = U R (n + 1) - X * U R (n + 1 - 1)

⊢ (↑n + 1) * T R (n + 1) = X * U R n - (1 - X ^ 2) * derivative (U R n)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
χ : DirichletCharacter R 1
x✝ : ℕ

⊢ χ ↑x✝ = 1 x✝
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : x ≤ 1
n : ℕ

⊢ x ^ (n + 1) ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : x ≤ 1
n : ℕ

⊢ x ^ n * x ≤ 1
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → Prop
u : ℕ → ℕ
hu : ∀ (N : ℕ), u N > N
hu' : ∀ (N : ℕ), P (u N)

⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P (φ n)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → Prop
u : ℕ → ℕ
hu : ∀ (N : ℕ), u N > N
hu' : ∀ (N : ℕ), P (u N)
n : ℕ

⊢ u^[n + 1] 0 < u^[n + 1 + 1] 0
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → Prop
u : ℕ → ℕ
hu : ∀ (N : ℕ), u N > N
hu' : ∀ (N : ℕ), P (u N)
n : ℕ

⊢ P ((fun n => u^[n + 1] 0) n)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s✝ t : Set G
ht : IsOpen t
s : Set G

⊢ closure s / t = s / t
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α'
inst✝² : One β
inst✝¹ : One γ
inst✝ : One δ
g : β → γ
f : α → β
f₂ : α → γ
m : β → γ → δ
x : α

⊢ HasCompactMulSupport f ↔ IsCompact (closure (mulSupport f))
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s : ↥S

⊢ 1 • (r /ₒ s) = r /ₒ s
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ term n 1 = log (↑n + 1) - log ↑n - 1 / (↑n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
hn : 0 < n
hv : ∀ x ∈ uIcc (↑n) (↑n + 1), 0 < x

⊢ term n 1 = log (↑n + 1) - log ↑n - 1 / (↑n + 1)
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α

⊢ a ∈ sᶜ ↔ a ∉ s
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n

⊢ p ^ m ∣ x.appr n - x.appr m
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
h : m ≤ m + k

⊢ p ^ m ∣ x.appr (m + k) - x.appr m
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
ih : p ^ m ∣ x.appr (m + k) - x.appr m

⊢ p ^ m ∣ x.appr (m + (k + 1)) - x.appr m
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
ih : p ^ m ∣ x.appr (m + k) - x.appr m

⊢ p ^ m ∣ x.appr (m + k + 1) - x.appr m
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
ih : p ^ m ∣ x.appr (m + k) - x.appr m
h : ¬x - ↑(x.appr (m + k)) = 0

⊢ p ^ m ∣ x.appr (m + k) + p ^ (m + k) * (toZMod (↑(unitCoeff h) * ↑p ^ ((x - ↑(x.appr (m + k))).valuation - ↑(m + k)).natAbs)).val - x.appr m
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
ih : p ^ m ∣ x.appr (m + k) - x.appr m
h : ¬x - ↑(x.appr (m + k)) = 0

⊢ p ^ m ∣ p ^ (m + k) * (toZMod (↑(unitCoeff h) * ↑p ^ ((x - ↑(x.appr (m + k))).valuation - ↑(m + k)).natAbs)).val + (x.appr (m + k) - x.appr m)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
ih : p ^ m ∣ x.appr (m + k) - x.appr m
h : ¬x - ↑(x.appr (m + k)) = 0

⊢ p ^ m ∣ p ^ (m + k) * (toZMod (↑(unitCoeff h) * ↑p ^ ((x - ↑(x.appr (m + k))).valuation - ↑(m + k)).natAbs)).val
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ x : ℤ_[p]
m k : ℕ
ih : p ^ m ∣ x.appr (m + k) - x.appr m
h : ¬x - ↑(x.appr (m + k)) = 0

⊢ p ^ m ∣ p ^ (m + k)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝
s✝ s₁ s₂ t : Set α✝
α : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
hfin : ∃ i, μ (f i) ≠ ⊤
s : ι → Set α := fun i => ⋂ j, ⋂ (_ : j ≤ i), f j
iInter_eq : ⋂ i, f i = ⋂ i, s i

⊢ μ (⋂ i, f i) = ⨅ i, μ (⋂ j, ⋂ (_ : j ≤ i), f j)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝
s✝ s₁ s₂ t : Set α✝
α : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
hfin : ∃ i, μ (f i) ≠ ⊤
s : ι → Set α := fun i => ⋂ j, ⋂ (_ : j ≤ i), f j
iInter_eq : ⋂ i, f i = ⋂ i, s i
ms : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

⊢ μ (⋂ i, f i) = ⨅ i, μ (⋂ j, ⋂ (_ : j ≤ i), f j)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝
s✝ s₁ s₂ t : Set α✝
α : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), MeasurableSet (f i)
hfin : ∃ i, μ (f i) ≠ ⊤
s : ι → Set α := fun i => ⋂ j, ⋂ (_ : j ≤ i), f j
iInter_eq : ⋂ i, f i = ⋂ i, s i
ms : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) s
hfin' : ∃ i, μ (s i) ≠ ⊤

⊢ μ (⋂ i, f i) = ⨅ i, μ (⋂ j, ⋂ (_ : j ≤ i), f j)
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b : α
inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≥ x_1
s : Set α
a : α

⊢ BddBelow (insert a s) ↔ BddBelow s
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y✝ : E b✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module R F
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : E b

⊢ (Pretrivialization.symmₗ R e b) ((Pretrivialization.linearMapAt R e b) y) = y
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y✝ : E b✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module R F
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : E b

⊢ (Pretrivialization.symmₗ R e b) (↑(linearEquivAt R e b hb) y) = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C

⊢ (shiftFunctor C (a + 0)).obj X = (shiftFunctor C a).obj X
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C

⊢ (shiftFunctorAdd C a 0).hom.app X = eqToHom ⋯ ≫ (shiftFunctorZero C A).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X)
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α

⊢ ‖A * B‖₊ ≤ ‖A‖₊ * ‖B‖₊
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁴ : Fintype l
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : NonUnitalSeminormedRing α
A : Matrix l m α
B : Matrix m n α

⊢ (Finset.univ.sup fun i => ∑ x : n, ‖∑ j : m, A i j * B j x‖₊) ≤ (Finset.univ.sup fun i => ∑ j : m, ‖A i j‖₊) * Finset.univ.sup fun i => ∑ j : n, ‖B i j‖₊
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Monoid M
S : Finset (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R ↑S = ⊤
this : DecidableEq M := Classical.decEq M

⊢ ∃ G, adjoin R (⇑(of R M) '' ↑G) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Monoid M
S : Finset (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R ↑S = ⊤
this : DecidableEq M := Classical.decEq M

⊢ adjoin R (⇑(of R M) '' ↑(S.biUnion fun f => f.support)) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Monoid M
S : Finset (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R ↑S = ⊤
this✝ : DecidableEq M := Classical.decEq M
this : ↑(S.biUnion fun f => f.support) = ⋃ f ∈ S, ↑f.support

⊢ adjoin R (⇑(of R M) '' ↑(S.biUnion fun f => f.support)) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Monoid M
S : Finset (MonoidAlgebra R M)
hS : adjoin R ↑S = ⊤
this✝ : DecidableEq M := Classical.decEq M
this : ↑(S.biUnion fun f => f.support) = ⋃ f ∈ S, ↑f.support

⊢ adjoin R (⇑(of R M) '' ⋃ f ∈ S, ↑f.support) = ⊤