ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
s' : Multiset α
h : s' = a ::ₘ s.val

⊢ (s'.pi fun a => (t a).val).dedup = ((t a).val.bind fun b => (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup).dedup
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s

⊢ ((a ::ₘ s.val).pi fun a => (t a).val).dedup = ((t a).val.bind fun b => (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup).dedup
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s

⊢ ((t a).val.bind fun b => Multiset.map (Multiset.Pi.cons s.val a b) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup = ((t a).val.bind fun b => (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup).dedup
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s

⊢ (fun b => Multiset.map (Multiset.Pi.cons s.val a b) (s.val.pi fun a => (t a).val)) = fun b => (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t✝ : (a : α) → Finset (β a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
s : Finset α
t : (a : α) → Finset (β a)
a : α
ha : a ∉ s
b : β a

⊢ Multiset.map (Multiset.Pi.cons s.val a b) (s.val.pi fun a => (t a).val) = (Multiset.map (fun f a' h' => Multiset.Pi.cons s.val a b f a' ⋯) (s.val.pi fun a => (t a).val)).dedup
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : ProperSpace 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty

⊢ ∃ k ∈ σ a, ↑‖k‖₊ = spectralRadius 𝕜 a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : ProperSpace 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
h : IsMaxOn (fun a => ‖a‖₊) (σ a) k

⊢ ∃ k ∈ σ a, ↑‖k‖₊ = spectralRadius 𝕜 a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

⊢ (inv f ⊗ g) ≫ (f ⊗ h) = (𝟙 W ⊗ g) ≫ (𝟙 W ⊗ h)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

⊢ 𝟙 W ⊗ g ≫ h = (𝟙 W ⊗ g) ≫ (𝟙 W ⊗ h)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : AddCommMonoid M
g : G
f : α →₀ M
a : α

⊢ (g • f) a = f (g⁻¹ • a)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : AddCommMonoid M
g : G
f : α →₀ M
a : α

⊢ (g • f) (g • g⁻¹ • a) = f (g⁻¹ • a)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : F α
i : Fin2 n

⊢ supp (g <$$> x) i = g i '' supp x i
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : F α
i : Fin2 n

⊢ supp (g <$$> abs (repr x)) i = g i '' supp (abs (repr x)) i
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : F α
i : Fin2 n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α

⊢ supp (g <$$> abs ⟨a, f⟩) i = g i '' supp (abs ⟨a, f⟩) i
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : F α
i : Fin2 n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α

⊢ supp (abs ⟨a, g ⊚ f⟩) i = g i '' supp (abs ⟨a, f⟩) i
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
h : IsUniform
α β : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ β
x : F α
i : Fin2 n
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α

⊢ (g ⊚ f) i '' univ = g i ∘ f i '' univ
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Lemmas.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
inst✝ : NonAssocSemiring S
ϕ : R →+* S
hϕ : Injective ⇑ϕ
hR : CharZero R
a b : ℕ
h : ↑a = ↑b

⊢ a = b
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
a : α

⊢ l₁.length ≤ (l₁ ++ l₂).length
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x y : α
h : Commute x y
hxy : x ≠ y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

⊢ ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = (x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m) / (x - y)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x y : α
h : Commute x y
hxy : x ≠ y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
this : x - y ≠ 0

⊢ ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = (x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m) / (x - y)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ

⊢ iteratedDeriv n (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume

⊢ iteratedDeriv n (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume

⊢ iteratedDeriv n (𝓕 f) x = 𝓕 (fun x => (-2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • f x) x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume

⊢ (∫ (v : ℝ), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • (fourierPowSMulRight (innerSL ℝ) f v n) fun x => 1) = ∫ (v : ℝ), 𝐞 (-⟪v, x⟫_ℝ) • (-2 * ↑π * I * ↑v) ^ n • f v
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
y : ℝ

⊢ (𝐞 (-⟪y, x⟫_ℝ) • (fourierPowSMulRight (innerSL ℝ) f y n) fun x => 1) = 𝐞 (-⟪y, x⟫_ℝ) • (-2 * ↑π * I * ↑y) ^ n • f y
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun x => x ^ n • f x) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) volume
B : AEStronglyMeasurable f volume
y : ℝ

⊢ (-(2 * ↑π * I)) ^ n • y ^ n • f y = (-(2 * ↑π * I * ↑y)) ^ n • f y
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
q : ℚ≥0
r : ℝ

⊢ ↑(q • r) = q • ↑r
-- Mathlib/RingTheory/Complex.lean
z : ℂ
i j : Fin 2

⊢ (leftMulMatrix basisOneI) z i j = !![z.re, -z.im; z.im, z.re] i j
-- Mathlib/RingTheory/Complex.lean
z : ℂ
i j : Fin 2

⊢ ![z.re * (![1, I] j).re - z.im * (![1, I] j).im, z.re * (![1, I] j).im + z.im * (![1, I] j).re] i = ![![z.re, -z.im], ![z.im, z.re]] i j
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
toFinsupp✝¹ toFinsupp✝ : R[ℕ]

⊢ ({ toFinsupp := toFinsupp✝¹ } * { toFinsupp := toFinsupp✝ }).toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp✝¹ }.toFinsupp * { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P✝ : Ideal S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : p.IsMaximal
P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }

⊢ finrank (R ⧸ p) (S ⧸ ↑P ^ ramificationIdx (algebraMap R S) p ↑P) = ramificationIdx (algebraMap R S) p ↑P * inertiaDeg (algebraMap R S) p ↑P
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P✝ : Ideal S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : p.IsMaximal
P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }

⊢ ↑P ≠ ⊥
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P✝ : Ideal S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : p.IsMaximal
P : { x // x ∈ (factors (map (algebraMap R S) p)).toFinset }

⊢ ramificationIdx (algebraMap R S) p ↑P ≠ 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝ : T2Space M

⊢ tsupport ↑f ⊆ (chartAt H c).source
-- Mathlib/Data/List/Palindrome.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → β
p : l.Palindrome

⊢ (map f l).reverse = map f l
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t

⊢ Convex 𝕜 (s - t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t : Set E
hs : Convex 𝕜 s
ht : Convex 𝕜 t

⊢ Convex 𝕜 (s + -t)
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
f : ι → α

⊢ Disjoint (⨆ i, f i) a ↔ ∀ (i : ι), Disjoint (f i) a
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
i : ZMod (2 * n)

⊢ xa i ^ 4 = 1
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
i : ZMod (2 * n)

⊢ a (↑n + ↑n) = 1
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
i : ZMod (2 * n)

⊢ a ↑(n + n) = 1
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
i : ZMod (2 * n)

⊢ a ↑(2 * n) = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²¹ : RCLike 𝕜
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁸ : CompleteSpace E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁸ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁷ : RCLike 𝕜'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝⁴ : CompleteSpace E''
inst✝³ : NormedSpace ℝ E''
inst✝² : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F

⊢ condexpIndSMul hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndSMul hm hs hμs x
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
A : Set X
f : X → β
hf1 : Continuous f
hf2 : Function.Injective f
x : β
hx : x ∈ f '' derivedSet A

⊢ x ∈ derivedSet (f '' A)
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
A : Set X
f : X → β
hf1 : Continuous f
hf2 : Function.Injective f
x : β
hx : ∃ x_1, AccPt x_1 (𝓟 A) ∧ f x_1 = x

⊢ x ∈ derivedSet (f '' A)
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
A : Set X
f : X → β
hf1 : Continuous f
hf2 : Function.Injective f
y : X
hy1 : AccPt y (𝓟 A)

⊢ f y ∈ derivedSet (f '' A)
-- Mathlib/Topology/DerivedSet.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
A : Set X
f : X → β
hf1 : Continuous f
hf2 : Function.Injective f
y : X
hy1 : AccPt y (𝓟 A)

⊢ f y ∈ derivedSet (f '' A) ↔ AccPt (f y) (map f (𝓟 A))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support

⊢ (p.takeUntil u h).length ≤ p.length
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
this : ((p.takeUntil u h).append (p.dropUntil u h)).length = p.length

⊢ (p.takeUntil u h).length ≤ p.length
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
this : (p.takeUntil u h).length + (p.dropUntil u h).length = p.length

⊢ (p.takeUntil u h).length ≤ p.length
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : S
g : R →+* S
p : R[X]
x : S
s : R

⊢ eval₂ g x (s • p) = g s * eval₂ g x p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : S
g : R →+* S
p : R[X]
x : S
s : R
A : p.natDegree < p.natDegree.succ

⊢ eval₂ g x (s • p) = g s * eval₂ g x p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : S
g : R →+* S
p : R[X]
x : S
s : R
A : p.natDegree < p.natDegree.succ
B : (s • p).natDegree < p.natDegree.succ

⊢ eval₂ g x (s • p) = g s * eval₂ g x p
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}

⊢ type (Quotient.out o).r = o
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : SecondCountableTopology V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
μ : Measure V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
w : W

⊢ iteratedFDeriv ℝ n (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w = fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fun v => fourierPowSMulRight L f v n) w
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
f : P →ᵃ[R] P'
x y : P

⊢ ⇑f '' affineSegment R x y = affineSegment R (f x) (f y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
f : P →ᵃ[R] P'
x y : P

⊢ (fun x_1 => f ((lineMap x y) x_1)) '' Set.Icc 0 1 = ⇑(f.comp (lineMap x y)) '' Set.Icc 0 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}

⊢ a + b = b ↔ max ℵ₀ a ≤ b ∨ a = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
i : ℤ

⊢ ((g * f * g⁻¹) ^ i) x = y ↔ (f ^ i) (g⁻¹ x) = g⁻¹ y
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
x y : α

⊢ x ⩿ y ↔ ReflGen (fun x x_1 => x ⋖ x_1) x y
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
n : ℕ
hn : Odd n
hχ : χ ^ n = 1

⊢ χ (-1) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ : MulChar R R'
n : ℕ
hn : Odd n
hχ : χ ^ n = 1

⊢ 1 (-1) = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝² : Category.{v₂, v₁} I
F : I ⥤ C
inst✝¹ : HasColimit F
inst✝ : HasLimitsOfShape Iᵒᵖ (Type u₂)
A : C
i : I

⊢ (colimitHomIsoLimitYoneda F A).inv ≫ (coyoneda.map (colimit.ι F i).op).app A = limit.π (F.op ⋙ yoneda.obj A) (op i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
r : β
s : Set α
f : α →ₛ β
hr : r ∈ (f.restrict s).range
h0 : r ≠ 0
hs : MeasurableSet s

⊢ r ∈ ↑f '' s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
r : β
s : Set α
f : α →ₛ β
hr : r ∈ (f.restrict s).range
h0 : r ≠ 0
hs : ¬MeasurableSet s

⊢ r ∈ ↑f '' s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝ : Zero β
r : β
s : Set α
f : α →ₛ β
hr : r ∈ SimpleFunc.range 0
h0 : r ≠ 0
hs : ¬MeasurableSet s

⊢ r ∈ ↑f '' s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0

⊢ (x ^ y⁻¹) ^ y = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/LeftDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive

⊢ F.leftDerivedToHomotopyCategory.map f ≫ (Q.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom = (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ)
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n

⊢ (coeff R d) (f ^ n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n

⊢ ∑ l ∈ (range n).finsuppAntidiag d, ∏ i ∈ range n, (coeff R (l i)) f = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n

⊢ ∀ x ∈ (range n).finsuppAntidiag d, ∏ i ∈ range n, (coeff R (x i)) f = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : k ∈ (range n).finsuppAntidiag d

⊢ ∏ i ∈ range n, (coeff R (k i)) f = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n

⊢ ∏ i ∈ range n, (coeff R (k i)) f = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)

⊢ ∏ i ∈ range n, (coeff R (k i)) f = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n

⊢ ∏ i ∈ range n, (coeff R (k i)) f = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommSemiring R
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq σ
f : MvPowerSeries σ R
m : ℕ
hf : (constantCoeff σ R) f ^ m = 0
d : σ →₀ ℕ
n : ℕ
hn : m + d.degree ≤ n
k : ℕ →₀ σ →₀ ℕ
hk : (range n).sum ⇑k = d ∧ k.support ⊆ range n
s : Finset ℕ := Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs_def : s = Finset.filter (fun i => k i = 0) (range n)
hs : s ⊆ range n
hs' : ∀ i ∈ s, (coeff R (k i)) f = (constantCoeff σ R) f

⊢ ∏ i ∈ range n, (coeff R (k i)) f = 0