ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
f₁ f₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g : M₂ →ₗ[R] M
x✝ : ι → M₂

⊢ ((f₁ + f₂).compLinearMap g) x✝ = (f₁.compLinearMap g + f₂.compLinearMap g) x✝
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α
f : (i : ι) → κ i → α

⊢ Disjoint a (⨆ i, ⨆ j, f i j) ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), Disjoint a (f i j)
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set α
x✝ : BddAbove (l '' s)
x : β
hx : x ∈ upperBounds (l '' s)

⊢ u x ∈ upperBounds s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ

⊢ f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
A : f ≤ᶠ[ae μ] g

⊢ f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
A : f ≤ᶠ[ae μ] g
B : g ≤ᶠ[ae μ] f

⊢ f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α

⊢ ↑((∑ i : m, ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)) = (∑ i : m, ∑ j : n, ‖A i j‖ ^ 2) ^ (1 / 2)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s✝ t A B : Set β
a : α
x : β
s : Set β

⊢ ⋃ g, g • s = {a | ∃ g, g • a ∈ s}
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r✝ C✝ : ℝ
f : ℕ → α
C : ℝ
u : ℕ → α
N : ℕ
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
v : ℕ → α := fun n => if n < N then 0 else u n

⊢ CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r✝ C✝ : ℝ
f : ℕ → α
C : ℝ
u : ℕ → α
N : ℕ
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
v : ℕ → α := fun n => if n < N then 0 else u n
hC : 0 ≤ C

⊢ CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r✝ C✝ : ℝ
f : ℕ → α
C : ℝ
u : ℕ → α
N : ℕ
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
v : ℕ → α := fun n => if n < N then 0 else u n
hC : 0 ≤ C
this : ∀ n ≥ N, u n = v n

⊢ CauchySeq fun n => ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r✝ C✝ : ℝ
f : ℕ → α
C : ℝ
u : ℕ → α
N : ℕ
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
v : ℕ → α := fun n => if n < N then 0 else u n
hC : 0 ≤ C
this : ∀ n ≥ N, u n = v n

⊢ ℝ
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r✝ C✝ : ℝ
f : ℕ → α
C : ℝ
u : ℕ → α
N : ℕ
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr₁ : r < 1
h : ∀ n ≥ N, ‖u n‖ ≤ C * r ^ n
v : ℕ → α := fun n => if n < N then 0 else u n
hC : 0 ≤ C
this : ∀ n ≥ N, u n = v n

⊢ ∀ (n : ℕ), ‖v n‖ ≤ ?m.158269 * r ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MetricSpace β
μ : Measure α
inst✝⁴ : SemilatticeSup ι
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : Countable ι
γ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f : ι → α → β
g : α → β
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MetricSpace β
μ : Measure α
inst✝⁴ : SemilatticeSup ι
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : Countable ι
γ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f : ι → α → β
g : α → β
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : Set α
left✝ : t ⊆ univ
ht : MeasurableSet t
htendsto : μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g atTop (univ \ t)

⊢ ∃ t, MeasurableSet t ∧ μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MetricSpace β
μ : Measure α
inst✝⁴ : SemilatticeSup ι
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : Countable ι
γ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f : ι → α → β
g : α → β
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ
hε : 0 < ε
t : Set α
left✝ : t ⊆ univ
ht : MeasurableSet t
htendsto : μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g atTop (univ \ t)

⊢ μ t ≤ ENNReal.ofReal ε ∧ TendstoUniformlyOn f g atTop tᶜ
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x✝ y✝ : L
hy✝ : y✝ ∈ I
x : L
hx : x ∈ ↑I
y : L
hy : y ∈ ↑I

⊢ ((traceForm R ↥↑I ↥↑N) ⟨x, hx⟩) ⟨y, hy⟩ = (trace R M) (φ x ∘ₗ φ y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x✝ y✝ : L
hy✝ : y✝ ∈ I
x : L
hx : x ∈ ↑I
y : L
hy : y ∈ ↑I

⊢ ((traceForm R ↥↑I ↥↑N) ⟨x, hx⟩) ⟨y, hy⟩ = (trace R ↥↑N) ((φ x ∘ₗ φ y).restrict ⋯)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Internal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : SetLike σ R
inst✝⁵ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝⁴ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝³ : SetLike.GradedMonoid A
inst✝² : Sub ι
inst✝¹ : OrderedSub ι
inst✝ : ContravariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : i ≤ n
x : ι

⊢ i + x = n ↔ x = n - i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n

⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)

⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0

⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)

⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)

⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.1 / p.2‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E

⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.1 / p.2‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)

⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.1 / p.2‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ

⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.1 / p.2‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)

⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.1 / p.2‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)

⊢ ∃ v, Tendsto (fun n => ∏ i ∈ range (n + 1), v i) atTop (𝓝 a) ∧ (∀ (n : ℕ), v n ∈ s) ∧ ‖v 0 / a‖ < b 0 ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.1 / p.2‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)

⊢ ∀ (n : ℕ), v n ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
s : Subgroup E
hg : a ∈ closure ↑s
b : ℕ → ℝ
b_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < b n
u : ℕ → E
u_in : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
lim_u : Tendsto u atTop (𝓝 a)
n₀ : ℕ
hn₀ : ∀ n ≥ n₀, ‖u n / a‖ < b 0
z : ℕ → E := fun n => u (n + n₀)
lim_z : Tendsto z atTop (𝓝 a)
mem_𝓤 : ∀ (n : ℕ), {p | ‖p.1 / p.2‖ < b (n + 1)} ∈ 𝓤 E
φ : ℕ → ℕ
φ_extr : StrictMono φ
hφ : ∀ (n : ℕ), ‖z (φ (n + 1)) / z (φ n)‖ < b (n + 1)
w : ℕ → E := z ∘ φ
hw : Tendsto w atTop (𝓝 a)
v : ℕ → E := fun i => if i = 0 then w 0 else w i / w (i - 1)

⊢ ∀ (n : ℕ), 0 < n → ‖v n‖ < b n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re

⊢ (s + 1).GammaIntegral = s * s.GammaIntegral
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re

⊢ Tendsto (s + 1).partialGamma atTop (𝓝 (s * s.GammaIntegral))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
this : (fun X => s * s.partialGamma X - ↑X ^ s * ↑(rexp (-X))) =ᶠ[atTop] (s + 1).partialGamma

⊢ Tendsto (s + 1).partialGamma atTop (𝓝 (s * s.GammaIntegral))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
this : (fun X => s * s.partialGamma X - ↑X ^ s * ↑(rexp (-X))) =ᶠ[atTop] (s + 1).partialGamma

⊢ Tendsto (fun X => s * s.partialGamma X - ↑X ^ s * ↑(rexp (-X))) atTop (𝓝 (s * s.GammaIntegral))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
this : (fun X => s * s.partialGamma X - ↑X ^ s * ↑(rexp (-X))) =ᶠ[atTop] (s + 1).partialGamma

⊢ Tendsto (fun X => -↑X ^ s * ↑(rexp (-X))) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
this : (fun X => s * s.partialGamma X - ↑X ^ s * ↑(rexp (-X))) =ᶠ[atTop] (s + 1).partialGamma

⊢ Tendsto (fun x => ‖-↑x ^ s * ↑(rexp (-x))‖) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
this✝ : (fun X => s * s.partialGamma X - ↑X ^ s * ↑(rexp (-X))) =ᶠ[atTop] (s + 1).partialGamma
this : (fun e => ‖-↑e ^ s * ↑(rexp (-e))‖) =ᶠ[atTop] fun e => e ^ s.re * rexp (-1 * e)

⊢ Tendsto (fun x => ‖-↑x ^ s * ↑(rexp (-x))‖) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a n✝ n k : ℕ
ih : (2 ^ k * n).bitIndices = map (fun x => x + k) n.bitIndices

⊢ (2 ^ (k + 1) * n).bitIndices = map (fun x => x + (k + 1)) n.bitIndices
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a n✝ n k : ℕ
ih : (2 ^ k * n).bitIndices = map (fun x => x + k) n.bitIndices

⊢ map (fun x => x + (k + 1)) n.bitIndices = map (fun x => x + (1 + k)) n.bitIndices
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hinj : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
x : A
A_alg : IsAlgebraic R x
p : R[X]
hp₁ : p ≠ 0
hp₂ : (aeval x) p = 0

⊢ map (algebraMap R S) p ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hn : n ≠ 0

⊢ LiouvilleWith p (↑n * x)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hn : n ≠ 0

⊢ LiouvilleWith p (x * ↑n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/AEval.lean
R : Type u_3
A : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring A
a : A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module A M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R A M
inst✝ : FaithfulSMul A M
p : R[X]

⊢ p ∈ ⊤.annihilator ↔ p ∈ RingHom.ker (aeval a)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/AEval.lean
R : Type u_3
A : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring A
a : A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module A M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsScalarTower R A M
inst✝ : FaithfulSMul A M
p : R[X]

⊢ (∀ (n : AEval R M a), p • n = 0) ↔ (aeval a) p = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/LinearMap.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
r : R

⊢ Represents b ((_root_.algebraMap R (Matrix ι ι R)) r) ((_root_.algebraMap R (Module.End R M)) r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Floor.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring R
inst✝⁴ : FloorSemiring R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : OpensMeasurableSpace R
f : α → R
n : R

⊢ MeasurableSet (ceil ⁻¹' {⌈n⌉₊})
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℚ
h : constantCoeff Φ = 0
n : ℕ

⊢ constantCoeff (wittStructureRat p Φ n) = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a

⊢ ‖a‖ ≤ ‖b‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a

⊢ |a| ≤ |b|
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a

⊢ a ⊔ -a ≤ |b|
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a

⊢ - -a ⊔ -a ≤ |b|
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a

⊢ -(-a ⊓ a) ≤ |b|
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a

⊢ -(-a ⊓ a) ≤ b ⊔ -b
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
a b : α
h : b ⊓ -b ≤ a ⊓ -a

⊢ -(-a ⊓ a) ≤ - -b ⊔ -b
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
β : ι → Type u_3
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (x : ι) → Ω → β x
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

⊢ iCondIndepFun m' hm' m f μ ↔ ∀ (s : Finset ι) {g : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (g i)) → μ[(⋂ i ∈ s, g i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(g i).indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
β : ι → Type u_3
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (x : ι) → Ω → β x
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

⊢ iCondIndep m' hm' (fun x => MeasurableSpace.comap (f x) (m x)) μ ↔ ∀ (s : Finset ι) {g : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (g i)) → μ[(⋂ i ∈ s, g i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(g i).indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
β : ι → Type u_3
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (x : ι) → Ω → β x
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

⊢ ∀ (i : ι), MeasurableSpace.comap (f i) (m i) ≤ mΩ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ s : Set α
f : α → G

⊢ eLpNormEssSup (s.indicator f) μ ≤ eLpNormEssSup f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ s : Set α
f : α → G
x : α

⊢ (fun x => ↑‖s.indicator f x‖₊) x ≤ (fun x => ↑‖f x‖₊) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s✝ s : Set α
f : α → G
x : α

⊢ s.indicator (fun a => ‖f a‖₊) x ≤ ‖f x‖₊
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
p q : X ⊕ Y
x : X
y : Y

⊢ Sum.dist p q = glueDist (fun x_1 => ⋯.some) (fun x => ⋯.some) 1 p q
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : V
nz : v ≠ 0

⊢ finrank K V = 1 ↔ ∀ (w : V), ∃ c, c • v = w