ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_clopen : ∀ (i : ι), IsClopen (s i)
h_nonempty : ∀ (i : ι), s i ≠ ∅
i j : ι
h_ne : s i ∩ s j = ∅
hi : s i = ∅

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : ι → Set α
h_disj : Pairwise (Disjoint on s)
h_clopen : ∀ (i : ι), IsClopen (s i)
h_nonempty : ∀ (i : ι), s i ≠ ∅
i j : ι
h_ne : s i ∩ s j = ∅
hi : s i = univ

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddCommGroup α
h : Periodic f c

⊢ f (c - x) = f (-x)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ a ^ n = 1 ↔ a = 1 ∨ a = -1 ∧ Even n
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : v + ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hv : 0 ≤ v
hq : q ∈ s
W : Option ι → 𝕜 := fun j => j.elim v w
P : Option ι → E := fun j => j.elim q p

⊢ f (v • q + ∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ v • f q + ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : ConvexOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 ≤ w i
h₁ : v + ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s
hv : 0 ≤ v
hq : q ∈ s
W : Option ι → 𝕜 := fun j => j.elim v w
P : Option ι → E := fun j => j.elim q p
this : f (∑ j ∈ insertNone t, W j • P j) ≤ ∑ j ∈ insertNone t, W j • f (P j)

⊢ f (v • q + ∑ i ∈ t, w i • p i) ≤ v • f q + ∑ i ∈ t, w i • f (p i)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
h : c.IsLimit

⊢ ℵ₀ ≤ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
h : c.IsLimit
h' : c < ℵ₀

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ
h : (↑n).IsLimit
h' : ↑n < ℵ₀

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Sheafify.lean
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X

⊢ Function.Injective (F.stalkToFiber x)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Sheafify.lean
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X

⊢ ∀ (U V : OpenNhds x) (fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y), (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU → ∀ (fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y), (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV → fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩ → ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_4 => ⟨↑x_4, ⋯⟩) w)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Sheafify.lean
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
e : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩

⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Sheafify.lean
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
e : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ U.obj
gU : F.obj (op U')
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gU

⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Sheafify.lean
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
e : fU ⟨x, ⋯⟩ = fV ⟨x, ⋯⟩
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ U.obj
gU : F.obj (op U')
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ V.obj
gV : F.obj (op V')
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gV

⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Sheafify.lean
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ U.obj
gU : F.obj (op U')
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ V.obj
gV : F.obj (op V')
e : F.germ ⟨x, mU⟩ gU = F.germ ⟨x, mV⟩ gV
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gV

⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Sheafify.lean
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ U.obj
gU : F.obj (op U')
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ V.obj
gV : F.obj (op V')
e : F.germ ⟨x, mU⟩ gU = F.germ ⟨x, mV⟩ gV
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gV
W : Opens ↑X
mW : x ∈ W
iU' : W ⟶ U'
iV' : W ⟶ V'
e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV

⊢ ∃ W iU iV, ∀ (w : ↥W.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Sheafify.lean
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : ↑X
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥U.obj) → F.stalk ↑y
hU : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fU
fV : (y : ↥V.obj) → F.stalk ↑y
hV : (Sheafify.isLocallyGerm F).pred fV
U' : Opens ↑X
mU : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ U'
iU : U' ⟶ U.obj
gU : F.obj (op U')
wU : ∀ (x_1 : ↥U'), (fun x_2 => fU ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gU
V' : Opens ↑X
mV : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ V'
iV : V' ⟶ V.obj
gV : F.obj (op V')
e : F.germ ⟨x, mU⟩ gU = F.germ ⟨x, mV⟩ gV
wV : ∀ (x_1 : ↥V'), (fun x_2 => fV ((fun x_3 => ⟨↑x_3, ⋯⟩) x_2)) x_1 = F.germ x_1 gV
W : Opens ↑X
mW : x ∈ W
iU' : W ⟶ U'
iV' : W ⟶ V'
e' : F.map iU'.op gU = F.map iV'.op gV

⊢ ∃ iU iV, ∀ (w : ↥{ obj := W ⊓ (U' ⊓ V'), property := ⋯ }.obj), fU ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w) = fV ((fun x_1 => ⟨↑x_1, ⋯⟩) w)
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ : α → ℝ
s✝ : Set α
x : α
ι : Type u_2
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0

⊢ ∑ i ∈ s, sqrt (f i) * sqrt (g i) ≤ sqrt (∑ i ∈ s, f i) * sqrt (∑ i ∈ s, g i)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
n : ℤ

⊢ a ^ (1 + n) = a * a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasRightHomology

⊢ S.pOpcycles ≫ h.opcyclesIso.hom = h.p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
h : Commute f g
μ : R

⊢ MapsTo ⇑g ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
h : Commute f g
μ : R

⊢ ∀ ⦃x : M⦄, (∃ i, x ∈ (f.genEigenspace μ) i) → ∃ i, g x ∈ (f.genEigenspace μ) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f g : End R M
h : Commute f g
μ : R
x : M
k : ℕ
hk : x ∈ (f.genEigenspace μ) k

⊢ ∃ i, g x ∈ (f.genEigenspace μ) i
-- Mathlib/Order/OrdContinuous.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
g : β → γ
f : α → β
hg : LeftOrdContinuous g
hf : LeftOrdContinuous f
s : Set α
x : α
h : IsLUB s x

⊢ IsLUB (g ∘ f '' s) ((g ∘ f) x)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
l₁ l₂ : (i : ι) → G i
s : Finset ι

⊢ ⟪∑ i ∈ s, (V i) (l₁ i), ∑ j ∈ s, (V j) (l₂ j)⟫_𝕜 = ∑ i ∈ s, ⟪l₁ i, l₂ i⟫_𝕜
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
p q : α → Prop
hp : Measurable p
hq : Measurable q

⊢ MeasurableSet {a | p a ↔ q a}
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
p q : α → Prop
hp : Measurable p
hq : Measurable q

⊢ MeasurableSet {a | (p a → q a) ∧ (q a → p a)}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Contractible.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
h : StarConvex ℝ x s
hne : s.Nonempty

⊢ ContractibleSpace ↑s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Contractible.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
h : StarConvex ℝ x s
hne : s.Nonempty
p : ↑unitInterval × ↑s

⊢ ↑p.1 • x + (1 - ↑p.1) • ↑p.2 ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Contractible.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x : E
h : StarConvex ℝ x s
hne : s.Nonempty

⊢ Continuous fun p => ⟨↑p.1 • x + (1 - ↑p.1) • ↑p.2, ⋯⟩
-- Mathlib/Analysis/Convex/Contractible.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x✝ : E
h : StarConvex ℝ x✝ s
hne : s.Nonempty
x : ↑s

⊢ { toFun := fun p => ⟨↑p.1 • x✝ + (1 - ↑p.1) • ↑p.2, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2 }.toFun (0, x) = (ContinuousMap.id ↑s) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Contractible.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x✝ : E
h : StarConvex ℝ x✝ s
hne : s.Nonempty
x : ↑s

⊢ { toFun := fun p => ⟨↑p.1 • x✝ + (1 - ↑p.1) • ↑p.2, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2 }.toFun (1, x) = (ContinuousMap.const ↑s ⟨x✝, ⋯⟩) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)

⊢ ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (f + g)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f + lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)

⊢ ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (f + g)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f) + ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)

⊢ StronglyMeasurable (↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f) + ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)

⊢ ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm (f + g)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f) + ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)

⊢ ↑↑↑(f + g) =ᶠ[ae μ] ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm f) + ↑↑(lpMeasSubgroupToLpTrim F p μ hm g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)

⊢ ↑↑↑(f + g) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑↑↑f x + ↑↑↑g x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(lpMeasSubgroup F m p μ)

⊢ ↑↑↑f + ↑↑↑g =ᶠ[ae μ] fun x => ↑↑↑f x + ↑↑↑g x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0
p : Submodule K V₁
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
hp : p ≠ ⊥

⊢ IsCompl (LinearMap.ker f) p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0
p : Submodule K V₁
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
hp : p ≠ ⊥

⊢ finrank K ↥⊤ ≤ finrank K ↥(LinearMap.ker f ⊔ p)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0
p : Submodule K V₁
hpf : Disjoint (LinearMap.ker f) p
hp : p ≠ ⊥
this : finrank K ↥(LinearMap.ker f ⊔ p) = finrank K ↥(LinearMap.ker f) + finrank K ↥p

⊢ finrank K ↥⊤ ≤ finrank K ↥(LinearMap.ker f ⊔ p)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Symmetric.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X Y Z : C

⊢ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).inv ≫ ((ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z (tensorObj ℬ X Y)).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Z X Y).inv = (ℬ X (ℬ Z Y).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 X) (BinaryFan.snd (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone ≫ ((ℬ Y Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z Y).isLimit.swapBinaryFan).hom)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Z Y).inv ≫ (ℬ (ℬ Z X).cone.pt Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ X Z).cone.pt Y).cone ≫ ((ℬ X Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z X).isLimit.swapBinaryFan).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ X Z).cone.pt Y).cone ≫ 𝟙 Y))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Symmetric.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X Y Z : C

⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), ((BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).inv ≫ ((ℬ (tensorObj ℬ X Y) Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z (tensorObj ℬ X Y)).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Z X Y).inv) ≫ (ℬ (ℬ Z X).cone.pt Y).cone.π.app j = ((ℬ X (ℬ Z Y).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 X) (BinaryFan.snd (ℬ X (ℬ Y Z).cone.pt).cone ≫ ((ℬ Y Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z Y).isLimit.swapBinaryFan).hom)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Z Y).inv ≫ (ℬ (ℬ Z X).cone.pt Y).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ X Z).cone.pt Y).cone ≫ ((ℬ X Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z X).isLimit.swapBinaryFan).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ X Z).cone.pt Y).cone ≫ 𝟙 Y))) ≫ (ℬ (ℬ Z X).cone.pt Y).cone.π.app j
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
f'' : Z ≃ₜ Z'

⊢ (e.trans e').transHomeomorph f'' = e.trans (e'.transHomeomorph f'')
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
G : SimpleGraph V
v w : V

⊢ w ∈ Gᶜ.neighborSet v ↔ w ∈ (G.neighborSet v)ᶜ \ {v}
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
m n : Nat
l : List α
h : n < l.length

⊢ (l.set m a).get? n = if m = n then some a else l.get? n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s

⊢ (map (fun r => X + C r) s).prod.coeff k = s.esymm (card s - k)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s

⊢ s.esymm (card s - k) = (∑ j ∈ Finset.range (card s + 1), C (s.esymm j) * X ^ (card s - j)).coeff k
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s

⊢ s.esymm (card s - k) = ∑ x ∈ Finset.range (card s + 1), if k = card s - x then s.esymm x else 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s

⊢ s.esymm (card s - k) = if k = card s - (card s - k) then s.esymm (card s - k) else 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s

⊢ ∀ b ∈ Finset.range (card s + 1), b ≠ card s - k → (if k = card s - b then s.esymm b else 0) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s

⊢ card s - k ∈ Finset.range (card s + 1)
-- Mathlib/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
l : List α
inst✝ : DecidableEq α
a x✝¹ : { x // x ∈ l }
x✝ : x✝¹ ∈ l.attach

⊢ (x✝¹ == a) = true ↔ (↑x✝¹ == ↑a) = true
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i

⊢ update x i a ≤ x ↔ a ≤ x i
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : EReal

⊢ x + ⊤ = ⊤ ↔ x ≠ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : Group N
inst✝² : Group P
K✝ : Subgroup G
G₁ : Type u_7
G₂ : Type u_8
inst✝¹ : Group G₁
inst✝ : Group G₂
K : Subgroup G₂
f : G₁ →* G₂
h : f.range ≤ K
k : ↥K

⊢ k ∈ f.range.subgroupOf K ↔ k ∈ (f.codRestrict K ⋯).range
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : Group N
inst✝² : Group P
K✝ : Subgroup G
G₁ : Type u_7
G₂ : Type u_8
inst✝¹ : Group G₁
inst✝ : Group G₂
K : Subgroup G₂
f : G₁ →* G₂
h : f.range ≤ K
k : ↥K

⊢ ∀ (a : G₁), f a = K.subtype k ↔ (f.codRestrict K ⋯) a = k
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy0 : 0 ≤ y

⊢ x ^ y = ⊤ → x = ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy0 : 0 ≤ y

⊢ x = 0 ∧ y < 0 ∨ x = ⊤ ∧ 0 < y → x = ⊤
-- Mathlib/Order/Hom/Lattice.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Inf α
inst✝² : Inf β
inst✝¹ : Inf γ
inst✝ : Inf δ
g : InfHom β γ
f₁ f₂ : InfHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α

⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s : Cycle α
hs : s.Nodup
x : α
hx : x ∈ s

⊢ s.next hs x hx ∈ s
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
x : α
a✝ : List α
hs : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)
hx : x ∈ Quot.mk Setoid.r a✝

⊢ next (Quot.mk Setoid.r a✝) hs x hx ∈ Quot.mk Setoid.r a✝
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
x : α
a✝ : List α
hs : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)
hx : x ∈ Quot.mk Setoid.r a✝

⊢ x ∈ a✝
-- Mathlib/Analysis/Convex/Join.lean
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s₁ s₂ t₁✝ t₂✝ u : Set E
x y : E
s t₁ t₂ : Set E

⊢ convexJoin 𝕜 s (t₁ ∪ t₂) = convexJoin 𝕜 s t₁ ∪ convexJoin 𝕜 s t₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f✝ : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f : X ⟶ Z

⊢ f ≫ 𝟙 Z = 𝟙 X ≫ f
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Inverses.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
x y : ↥S.leftInv

⊢ ↑({ toFun := S.fromLeftInv, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y)) = ↑({ toFun := S.fromLeftInv, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := S.fromLeftInv, map_one' := ⋯ }.toFun y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
f✝ g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Subsingleton ι
hp_top : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
hε_top : ¬↑ε = ⊤
i : ι

⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε