ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
h : (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₁) = (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₂)
i : Fin (n + 1)
ha : (↑fs₁).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₁ + 1))⁻¹) i = (↑fs₂).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₂ + 1))⁻¹) i
key : ∀ (n : ℕ), ↑n + 1 ≠ 0
hi : i ∈ fs₁
hni : i ∉ fs₂

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : CharZero k
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs₁ fs₂ : Finset (Fin (n + 1))
m₁ m₂ : ℕ
h₁ : fs₁.card = m₁ + 1
h₂ : fs₂.card = m₂ + 1
h : (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₁) = (affineCombination k univ s.points) (centroidWeightsIndicator k fs₂)
i : Fin (n + 1)
ha : (↑fs₁).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₁ + 1))⁻¹) i = (↑fs₂).indicator (const (Fin (n + 1)) (↑(m₂ + 1))⁻¹) i
key : ∀ (n : ℕ), ↑n + 1 ≠ 0
hi : i ∈ fs₂
hni : i ∉ fs₁

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
z : Cocycle F G 0

⊢ Cochain.ofHom z.homOf = ↑z
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f g : ℕ → ℂ
s a : ℂ
h : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = g n

⊢ LSeriesHasSum f s a ↔ LSeriesHasSum g s a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ eLpNorm (s.indicator f) p μ = eLpNorm f p (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ eLpNorm (s.indicator f) ⊤ μ = eLpNorm f ⊤ (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hp : p ≠ ⊤

⊢ eLpNorm (s.indicator f) p μ = eLpNorm f p (μ.restrict s)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ

⊢ IsIntegralCurve γ v ↔ IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x + dt) v
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ
hγ : IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x + dt) v

⊢ IsIntegralCurve γ v
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ
hγ : IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x + dt) v

⊢ γ = (γ ∘ fun x => x + dt) ∘ fun x => x + -dt
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ dt : ℝ
hγ : IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x + dt) v
t : ℝ

⊢ γ t = ((γ ∘ fun x => x + dt) ∘ fun x => x + -dt) t
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)

⊢ Path.Homotopic (toLoop i p) (toLoop i q) → Homotopic p q
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)

⊢ ∀ (x_1 : N → ↑I), (homotopyFrom i H).toFun (0, x_1) = ↑p x_1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)

⊢ ∀ (x_1 : N → ↑I), (homotopyFrom i H).toFun (1, x_1) = ↑q x_1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)

⊢ ∀ (t : ↑I), ∀ x_1 ∈ Cube.boundary N, { toFun := fun x_2 => { toContinuousMap := homotopyFrom i H, map_zero_left := ?refine_1, map_one_left := ?refine_2 }.toFun (t, x_2), continuous_toFun := ⋯ } x_1 = ↑p x_1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m : Num
n : ℕ

⊢ ↑(m <<< n) = ↑m <<< n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ

⊢ ↑0 = ↑zero <<< n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
a✝ : PosNum

⊢ ↑(pos (a✝ <<< n)) = ↑(pos a✝) <<< n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
a✝ : PosNum

⊢ ↑(a✝ <<< n) = ↑a✝ <<< n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
a✝ : PosNum
n : ℕ
IH : ↑(a✝ <<< n) = ↑a✝ <<< n

⊢ ↑(a✝ <<< (n + 1)) = ↑a✝ <<< (n + 1)
-- Mathlib/Computability/ContextFreeGrammar.lean
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T
hgw : w ∈ g.reverse.language

⊢ w.reverse ∈ g.language
-- Mathlib/Computability/ContextFreeGrammar.lean
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
w : List T
hgw : w ∈ g.reverse.language

⊢ w.reverse ∈ g.language ↔ g.Derives [Symbol.nonterminal g.initial] (List.map Symbol.terminal w).reverse
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra ℂ A
hA : ∀ {a : A}, IsUnit a ↔ a ≠ 0
a : A
z : ℂ
h : z ∈ σ a

⊢ (algebraMap ℂ A) z = a
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism

⊢ map f (comap f J) = f.idealRange ⊓ J
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism

⊢ map f (comap f J) ≤ f.idealRange ⊓ J
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism

⊢ f.idealRange ⊓ J ≤ map f (comap f J)
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
n : ℕ

⊢ (2 ^ n).testBit n = true
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
n : ℕ

⊢ (1 &&& 1 != 0) = true
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
i j : ι
inst✝³ : K.HasHomology i
inst✝² : K.HasHomology j
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology j

⊢ K.opcyclesToCycles i j ≫ K.homologyπ j = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace α✝
π : β → Type u_3
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_4
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → PseudoMetricSpace (α i)
i : Fin (n + 1)
x y : α i
f g : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)

⊢ dist (i.insertNth x f) (i.insertNth y g) = max (dist x y) (dist f g)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveAt γ v t₀
a : ℝ
ha : a ≠ 0

⊢ IsIntegralCurveAt (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (t₀ / a)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : ∃ ε > 0, IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
a : ℝ
ha : a ≠ 0

⊢ ∃ ε > 0, IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (Metric.ball (t₀ / a) ε)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)

⊢ IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) (Metric.ball (t₀ / a) (ε / |a|))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)

⊢ Metric.ball (t₀ / a) (ε / |a|) = {t | t * a ∈ Metric.ball t₀ ε}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ a : ℝ
ha : a ≠ 0
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : IsIntegralCurveOn γ v (Metric.ball t₀ ε)
t : ℝ

⊢ t ∈ Metric.ball (t₀ / a) (ε / |a|) ↔ t ∈ {t | t * a ∈ Metric.ball t₀ ε}
-- Mathlib/GroupTheory/Commutator.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G

⊢ ⁅g₁, g₂⁆⁻¹ = ⁅g₂, g₁⁆
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝⁷ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β✝ i)
inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β✝ i)
c : 𝕜
β : Type u_5
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
hp : p ≠ ⊤
b : β

⊢ ‖(WithLp.equiv p (ι → β)).symm (Function.const ι b)‖₊ = ↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖b‖₊
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝⁷ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β✝ i)
inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β✝ i)
c : 𝕜
β : Type u_5
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
hp : p ≠ ⊤
b : β
h : p = ⊤

⊢ ‖(WithLp.equiv p (ι → β)).symm (Function.const ι b)‖₊ = ↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖b‖₊
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝⁷ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Semiring 𝕜
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β✝ i)
inst✝² : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module 𝕜 (β✝ i)
c : 𝕜
β : Type u_5
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
hp : p ≠ ⊤
b : β
h : 1 ≤ p.toReal

⊢ ‖(WithLp.equiv p (ι → β)).symm (Function.const ι b)‖₊ = ↑(Fintype.card ι) ^ (1 / p).toReal * ‖b‖₊
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
m : Multiset α

⊢ m.toList = [a] ↔ m = {a}
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
f : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf Mg mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
hMg : Mg ≤ mΩ
h_ind : Indep Mf Mg μ
h_meas_f : Measurable f

⊢ ∀ {g : Ω → ℝ≥0∞}, Measurable g → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * g ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
f : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf Mg mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
hMg : Mg ≤ mΩ
h_ind : Indep Mf Mg μ
h_meas_f : Measurable f
h_measM_f : Measurable f

⊢ ∀ {g : Ω → ℝ≥0∞}, Measurable g → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * g ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
f : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf Mg mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
hMg : Mg ≤ mΩ
h_ind : Indep Mf Mg μ
h_meas_f : Measurable f
h_measM_f : Measurable f

⊢ ∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set Ω⦄, MeasurableSet s → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * s.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), s.indicator (fun x => c) ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
f : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf Mg mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
hMg : Mg ≤ mΩ
h_ind : Indep Mf Mg μ
h_meas_f : Measurable f
h_measM_f : Measurable f

⊢ ∀ ⦃f_1 g : Ω → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (Function.support f_1) (Function.support g) → Measurable f_1 → Measurable g → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * f_1 ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), f_1 ω ∂μ → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * g ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * (f_1 + g) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), (f_1 + g) ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
f : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf Mg mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
hMg : Mg ≤ mΩ
h_ind : Indep Mf Mg μ
h_meas_f : Measurable f
h_measM_f : Measurable f

⊢ ∀ ⦃f_1 : ℕ → Ω → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f_1 n)) → Monotone f_1 → (∀ (n : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), f ω * f_1 n ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), f_1 n ω ∂μ) → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * (fun x => ⨆ n, f_1 n x) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), (fun x => ⨆ n, f_1 n x) ω ∂μ
-- Mathlib/Data/Int/Interval.lean
a b : ℤ

⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioo a b) = (b - a - 1).toNat
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ

⊢ IsDedekindDomain Aₘ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap A (FractionRing A)) ↑y)

⊢ IsDedekindDomain Aₘ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap A (FractionRing A)) ↑y)
this : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra

⊢ IsDedekindDomain Aₘ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap A (FractionRing A)) ↑y)
this✝ : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra
this : IsScalarTower A Aₘ (FractionRing A)

⊢ IsDedekindDomain Aₘ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap A (FractionRing A)) ↑y)
this✝¹ : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A Aₘ (FractionRing A)
this : IsFractionRing Aₘ (FractionRing A)

⊢ IsDedekindDomain Aₘ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap A (FractionRing A)) ↑y)
this✝¹ : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A Aₘ (FractionRing A)
this : IsFractionRing Aₘ (FractionRing A)

⊢ IsDomain Aₘ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap A (FractionRing A)) ↑y)
this✝¹ : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A Aₘ (FractionRing A)
this : IsFractionRing Aₘ (FractionRing A)

⊢ IsNoetherianRing Aₘ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap A (FractionRing A)) ↑y)
this✝¹ : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A Aₘ (FractionRing A)
this : IsFractionRing Aₘ (FractionRing A)

⊢ Ring.DimensionLEOne Aₘ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : IsDedekindDomain A
M : Submonoid A
hM : M ≤ A⁰
Aₘ : Type u_4
inst✝³ : CommRing Aₘ
inst✝² : IsDomain Aₘ
inst✝¹ : Algebra A Aₘ
inst✝ : IsLocalization M Aₘ
h : ∀ (y : ↥M), IsUnit ((algebraMap A (FractionRing A)) ↑y)
this✝¹ : Algebra Aₘ (FractionRing A) := (lift h).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A Aₘ (FractionRing A)
this : IsFractionRing Aₘ (FractionRing A)

⊢ ∀ {x : FractionRing A}, IsIntegral Aₘ x → ∃ y, (algebraMap Aₘ (FractionRing A)) y = x
-- Mathlib/Algebra/Group/NatPowAssoc.lean
M : Type u_1
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : Pow M ℕ
inst✝ : NatPowAssoc M
m n : ℕ
x : M

⊢ x ^ m * x ^ n = x ^ n * x ^ m
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f

⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
hf : Summable fun a => ↑(f a)

⊢ Tendsto (fun a => ↑(f a)) cofinite (𝓝 ↑0)
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K

⊢ (x + y).denom ∣ x.denom * y.denom
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K

⊢ ∃ p, x + y = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.denom * y.denom)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
l u : ℝ
hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
hfu : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 u)

⊢ f.measure univ = ofReal (u - l)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
l u : ℝ
hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
hfu : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 u)

⊢ Tendsto (fun x => f.measure (Iic x)) atTop (𝓝 (ofReal (u - l)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
l u : ℝ
hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
hfu : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 u)

⊢ Tendsto (fun x => ofReal (↑f x - l)) atTop (𝓝 (ofReal (u - l)))
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k✝ G✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing k✝
inst✝⁶ : Group G✝
A✝ : Rep k✝ G✝
k G A : Type u
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : DistribMulAction G A
inst✝ : SMulCommClass G k A
f : ↥(oneCoboundaries (Rep.ofDistribMulAction k G A))

⊢ IsOneCoboundary ↑↑f
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k✝ G✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing k✝
inst✝⁶ : Group G✝
A✝ : Rep k✝ G✝
k G A : Type u
inst✝⁵ : CommRing k
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : DistribMulAction G A
inst✝ : SMulCommClass G k A
f : ↥(oneCoboundaries (Rep.ofDistribMulAction k G A))
x : CoeSort.coe (Rep.ofDistribMulAction k G A)
hx : (dZero (Rep.ofDistribMulAction k G A)) x = ↑↑f

⊢ IsOneCoboundary ↑↑f
-- Mathlib/Algebra/AddTorsor.lean
G✝ : Type u_1
P✝ : Type u_2
inst✝³ : AddGroup G✝
inst✝² : AddTorsor G✝ P✝
G : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
h : Injective fun x => 2 • x
y x₁ x₂ : P
hy : (pointReflection x₁) y = (pointReflection x₂) y

⊢ x₁ = x₂
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddGroup α
h : Periodic f c
n : ℕ

⊢ f (x - n • c) = f x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]

⊢ nthRootsFinset 0 R = ∅
-- Mathlib/Data/List/Range.lean
α : Type u
n : ℕ

⊢ finRange n = [] ↔ n = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
s : String

⊢ (s.takeWhile p).data = List.takeWhile p s.data