ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hf : Injective2 f

⊢ f a b ∈ image₂ f s t ↔ a ∈ s ∧ b ∈ t
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

⊢ a ≤ 1 * a
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Cast.lean
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b : ℕ

⊢ ↑a ! = Polynomial.eval 1 (ascPochhammer S a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G

⊢ eLpNorm (fun x => 0) p μ = 0
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n k : ℕ+

⊢ k.Coprime m → m.gcd (n * k) = m.gcd n
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n k : ℕ+

⊢ k.Coprime m → m.gcd (k * n) = m.gcd n
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
u : ZFSet

⊢ u = ∅ ∨ u.Nonempty
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
u : ZFSet

⊢ (¬∃ x, x ∈ u) ∨ u.Nonempty
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

⊢ cs.IsRightInversion w (cs.simple i) ↔ cs.IsRightDescent w i
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z : ℂ

⊢ ↑(normSq z) = (starRingEnd ℂ) z * z
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : R[X]
hx : x.Monic

⊢ map f x ∣ map f y ↔ x ∣ y
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : R[X]
hx : x.Monic

⊢ map f (y %ₘ x) = 0 ↔ y %ₘ x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing T
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra L F
inst✝² : Algebra R F
inst✝¹ : IsScalarTower R L F
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

⊢ (traceMatrix K ⇑pb.basis).det ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing T
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra L F
inst✝² : Algebra R F
inst✝¹ : IsScalarTower R L F
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L

⊢ (algebraMap K (AlgebraicClosure L)) (traceMatrix K ⇑pb.basis).det ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing T
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra L F
inst✝² : Algebra R F
inst✝¹ : IsScalarTower R L F
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
this : FiniteDimensional K L

⊢ (algebraMap K (AlgebraicClosure L)) (traceMatrix K ⇑pb.basis).det ≠ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
L : List ℕ

⊢ ofDigits b L = (List.mapIdx (fun i a => a * b ^ i) L).sum
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
L : List ℕ

⊢ List.foldr (fun x y => ↑x + b * y) 0 L = (List.zipWith (fun i a => a * b ^ i) (List.range L.length) L).sum
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ a b : α
h : IsCompl a b

⊢ a ∆ b = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Equivs.lean
c : ℂ

⊢ CliffordAlgebraComplex.equiv (ofComplex ((starRingEnd ℂ) c)) = CliffordAlgebraComplex.equiv (involute (ofComplex c))
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
b d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x y : ℕ

⊢ b * x / b * (d * y / d) = b * x * (d * y) / (b * d)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x y : ℕ

⊢ 0 * x / 0 * (d * y / d) = 0 * x * (d * y) / (0 * d)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
b d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x y : ℕ
hb : b > 0

⊢ b * x / b * (d * y / d) = b * x * (d * y) / (b * d)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
b m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x y : ℕ
hb : b > 0

⊢ b * x / b * (0 * y / 0) = b * x * (0 * y) / (b * 0)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
b d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
x y : ℕ
hb : b > 0
hd : d > 0

⊢ b * x / b * (d * y / d) = b * x * (d * y) / (b * d)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
ψ : ℝ

⊢ θ.cos = Real.cos ψ ↔ θ = ↑ψ ∨ θ = -↑ψ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
ψ x✝ : ℝ

⊢ (↑x✝).cos = Real.cos ψ ↔ ↑x✝ = ↑ψ ∨ ↑x✝ = -↑ψ
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : α

⊢ Ici a = cons a (Ioi a) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftedHom.lean
C : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.45870, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{?u.45877, u_3} E
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
inst✝² : HasShift D M
inst✝¹ : HasShift E M
X Y Z T : C
inst✝ : Preadditive C
a b c : M
α : ShiftedHom X Y a
β : ShiftedHom Y Z b
h : b + a = c

⊢ (-α).comp β h = -α.comp β h
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Rat.lean
M : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module ℚ M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module ℚ M₂
f g : M →+ M₂
h : f.toRatLinearMap = g.toRatLinearMap
x : M

⊢ f x = g x
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

⊢ map pure l <+ l.sublists
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w

⊢ [] <+ [].sublists
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
a : α
ih : map pure l <+ l.sublists

⊢ map pure l ++ [pure a] <+ l.sublists ++ map (fun x => x ++ [a]) l.sublists
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t s : Set α

⊢ s ∈ ⊤ ↔ s = univ
-- Mathlib/Order/Ideal.lean
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsProper
hxc : xᶜ ∈ I
hx : x ∈ I

⊢ False
-- Mathlib/Order/Ideal.lean
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsProper
hxc : xᶜ ∈ I
hx : x ∈ I

⊢ ⊤ ∈ I
-- Mathlib/Order/Ideal.lean
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsProper
hxc : xᶜ ∈ I
hx : x ∈ I
ht : x ⊔ xᶜ ∈ I

⊢ ⊤ ∈ I
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : IsEmpty σ
p : MvPolynomial σ R

⊢ p = C (coeff 0 p)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : IsEmpty σ
x : R

⊢ C x = C (coeff 0 (C x))
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
IH : ∀ (m : Fin (n + 1) → E), (iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last n))) f)
m : Fin (n + 1 + 1) → E

⊢ (iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last (n + 1)))) f)
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
IH : ∀ (m : Fin (n + 1) → E), (iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last n))) f)
m : Fin (n + 1 + 1) → E
hmzero : Fin.init m 0 = m 0

⊢ (iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last (n + 1)))) f)
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
n : ℕ
IH : ∀ (m : Fin (n + 1) → E), (iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last n))) f)
m : Fin (n + 1 + 1) → E
hmzero : Fin.init m 0 = m 0
hmtail : Fin.tail m (Fin.last n) = m (Fin.last n.succ)

⊢ (iteratedPDeriv 𝕜 m) f = (iteratedPDeriv 𝕜 (Fin.init m)) ((pderivCLM 𝕜 (m (Fin.last (n + 1)))) f)
-- Mathlib/Data/Nat/Lattice.lean
s : Set ℕ

⊢ sInf s = 0 ↔ 0 ∈ s ∨ s = ∅
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
f g : R⟦X⟧
hD : (d⁄dX R) f = (d⁄dX R) g
hc : (constantCoeff R) f = (constantCoeff R) g
n : ℕ

⊢ (coeff R n) f = (coeff R n) g
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β

⊢ (x, y) ∈ s ×ˢ insert b t ↔ (x, y) ∈ (fun a => (a, b)) '' s ∪ s ×ˢ t
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β

⊢ x ∈ s ∧ (y = b ∨ y ∈ t) ↔ (∃ a ∈ s, a = x ∧ b = y) ∨ x ∈ s ∧ y ∈ t
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeInf α
inst✝⁴ : BoundedOrder α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t : Finset α
a✝ : α
e : α ≃o β
s : Finset α
a : α
this : e a ∈ upperClosure ↑(map e.toEmbedding s) ↔ a ∈ upperClosure ↑s

⊢ e (s.truncatedInf a) = (map e.toEmbedding s).truncatedInf (e a)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeInf α
inst✝⁴ : BoundedOrder α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t : Finset α
a✝ : α
e : α ≃o β
s : Finset α
a : α
this : e a ∈ upperClosure ↑(map e.toEmbedding s) ↔ a ∈ upperClosure ↑s

⊢ (if h : a ∈ upperClosure ↑s then (filter (fun x => x ≤ a) s).inf' ⋯ (⇑e ∘ id) else ⊥) = if h : a ∈ upperClosure ↑s then (filter (fun x => x ≤ e a) (map e.toEmbedding s)).inf' ⋯ id else ⊥
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : SemilatticeInf α
inst✝⁴ : BoundedOrder α
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : SemilatticeInf β
inst✝¹ : BoundedOrder β
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s✝ t : Finset α
a✝ : α
e : α ≃o β
s : Finset α
a : α
this : e a ∈ upperClosure ↑(map e.toEmbedding s) ↔ a ∈ upperClosure ↑s
h : a ∈ upperClosure ↑s

⊢ (filter (fun x => x ≤ a) s).inf' ⋯ (⇑e ∘ id) = (filter (fun x => x ≤ e a) (map e.toEmbedding s)).inf' ⋯ id
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
f : S ⟶ S'
f' : S' ⟶ S''
h : StructuredArrow S'' T

⊢ (map (f ≫ f')).obj h = (map f).obj ((map f').obj h)
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S S' S'' : D
Y Y' Y'' : C
T T' : C ⥤ D
f : S ⟶ S'
f' : S' ⟶ S''
h : StructuredArrow S'' T

⊢ (map (f ≫ f')).obj (mk h.hom) = (map f).obj ((map f').obj (mk h.hom))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
h : DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y + c) s

⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
X✝ Y✝ : C ⥤ Comon_ D
α : X✝ ⟶ Y✝
x : C

⊢ (α.app x).hom ≫ (Y✝.obj x).counit = (X✝.obj x).counit
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
X✝ Y✝ : C ⥤ Comon_ D
α : X✝ ⟶ Y✝
x : C

⊢ (α.app x).hom ≫ (Y✝.obj x).comul = (X✝.obj x).comul ≫ ((α.app x).hom ⊗ (α.app x).hom)
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a : α
hs : IsUpperSet s
f : α ≃o β

⊢ IsUpperSet (⇑↑f '' s)
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a : α
hs : IsUpperSet s
f : α ≃o β

⊢ IsUpperSet (⇑(↑f).symm ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G

⊢ (p.prod q).radius = min p.radius q.radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G

⊢ (p.prod q).radius ≤ min p.radius q.radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G

⊢ min p.radius q.radius ≤ (p.prod q).radius
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Primcodable β
inst✝³ : Primcodable γ
inst✝² : Primcodable δ
inst✝¹ : Primcodable σ
inst✝ : Finite α
f : α → σ
l : List α
left✝ : l.Nodup
m : ∀ (x : α), x ∈ l
this : DecidableEq α

⊢ Primrec fun a => some (f a)
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Primcodable β
inst✝³ : Primcodable γ
inst✝² : Primcodable δ
inst✝¹ : Primcodable σ
inst✝ : Finite α
f : α → σ
l : List α
left✝ : l.Nodup
m : ∀ (x : α), x ∈ l
this : DecidableEq α
a : α

⊢ (List.map f l).get? (List.indexOf a l) = some (f a)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

⊢ (A / C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

⊢ (A / C).card * B⁻¹.card ≤ (A / B⁻¹).card * (B⁻¹ / C).card
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, c ∂μ = ((μ (Iic b)).toReal - (μ (Iic a)).toReal) • c
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, c ∂μ = ∫ (x : ℝ) in Iic b, c ∂μ - ∫ (x : ℝ) in Iic a, c ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ

⊢ b / a = c / a ↔ b = c
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ

⊢ b * a⁻¹ = c * a⁻¹ ↔ b = c
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : NonAssocSemiring α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α
x✝ : m

⊢ (v ᵥ* 1) x✝ = v x✝
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K

⊢ b / -a = b * (1 / -a)
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K

⊢ b * (1 / -a) = b * -(1 / a)
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K

⊢ b * -(1 / a) = -(b * (1 / a))
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K

⊢ -(b * (1 / a)) = -(b / a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f [[a, b]] μ

⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in x..b, f t ∂μ) [[a, b]]
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f [[b, a]] μ

⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in x..b, f t ∂μ) [[b, a]]
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f [[b, a]] μ

⊢ ContinuousOn (fun x => -∫ (t : ℝ) in b..x, f t ∂μ) [[b, a]]
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re

⊢ s.Gammaℝ ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re

⊢ ↑π ^ (-s / 2) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re

⊢ Gamma (s / 2) ≠ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq γ
s : Finset α
t : Finset β
f : α × β → Finset γ

⊢ (s ×ˢ t).biUnion f = s.biUnion fun a => t.biUnion fun b => f (a, b)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ (aeval (Function.uncurry fun i => (![] i).coeff)) (wittOne p n) = 0
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TotallyDisconnectedSpace β
f : α → β
h : Continuous f

⊢ ∀ (a b : α), Setoid.r a b → f a = f b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
m : M

⊢ lc e (h.coeffs m) = m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
m : M
i : ι

⊢ (ε i) (lc e (h.coeffs m) - m) = 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i

⊢ I = P ^ i
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i

⊢ P ^ i ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P

⊢ P ^ i ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥

⊢ P ^ i ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0

⊢ P ^ i ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : P ^ (i + 1) < I
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0

⊢ P ^ i ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : normalizedFactors I ≤ Multiset.replicate i (normalize P)
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0

⊢ P ^ i ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
P I : Ideal A
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
i : ℕ
hlt : normalizedFactors I ≤ Multiset.replicate i (normalize P)
hle : I ≤ P ^ i
P_prime' : Prime P
h1 : I ≠ ⊥
this : P ^ i ≠ 0
h3 : P ^ (i + 1) ≠ 0

⊢ normalizedFactors I ≤ Multiset.replicate i (normalize P)