ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
a : S

⊢ 1 ⊗ₜ[R] a - a ⊗ₜ[R] 1 ∈ ideal R S
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ

⊢ ∃ q, (of v).convs n = ↑q
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
Aₙ : ℚ
nth_num_eq : (of v).nums n = ↑Aₙ

⊢ ∃ q, (of v).convs n = ↑q
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
Aₙ : ℚ
nth_num_eq : (of v).nums n = ↑Aₙ
Bₙ : ℚ
nth_den_eq : (of v).dens n = ↑Bₙ

⊢ ∃ q, (of v).convs n = ↑q
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
n : ℕ
Aₙ : ℚ
nth_num_eq : (of v).nums n = ↑Aₙ
Bₙ : ℚ
nth_den_eq : (of v).dens n = ↑Bₙ

⊢ (of v).convs n = ↑(Aₙ / Bₙ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s

⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
this : Tendsto (fun ε => μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (f '' s) + 2 * ↑0 * μ s))

⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
this : Tendsto (fun ε => μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (f '' s)))

⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
this : Tendsto (fun ε => μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (f '' s)))

⊢ ∀ᶠ (c : ℝ≥0) in 𝓝[>] 0, ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑c * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
this : Tendsto (fun ε => μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (f '' s)))

⊢ ∀ a ∈ Ioi 0, ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑a * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
this : Tendsto (fun ε => μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (f '' s)))
ε : ℝ≥0
εpos : ε ∈ Ioi 0

⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
h's : μ s ≠ ⊤
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
this : Tendsto (fun ε => μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (f '' s)))
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε

⊢ ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| ∂μ ≤ μ (f '' s) + 2 * ↑ε * μ s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
x : α
n : ℕ

⊢ dist (f^[n] x) (fixedPoint f hf) ≤ dist (f^[n] x) (f^[n + 1] x) / (1 - ↑K)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
x : α
n : ℕ

⊢ dist (f^[n] x) (fixedPoint f hf) ≤ dist (f^[n] x) ((f ∘ f^[n]) x) / (1 - ↑K)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
hf : ¬IsField R

⊢ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), ¬IsUnit x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
hf : ¬IsField R
this : ¬∀ {a : R}, a ≠ 0 → ∃ b, a * b = 1

⊢ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), ¬IsUnit x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
hf : ¬IsField R
this : ¬∀ {a : R}, a ≠ 0 → ∃ b, a * b = 1

⊢ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), ¬∃ b, x * b = 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0

⊢ Real.tan (angle x (x + y)) * ‖x‖ = ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0

⊢ ‖y‖ / ‖x‖ * ‖x‖ = ‖y‖
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α

⊢ 2 * (image Sym2.mk s.offDiag).card = s.offDiag.card
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α

⊢ ∀ (x y : α), s(x, y) ∈ image Sym2.mk s.offDiag → (filter (fun x_1 => Sym2.mk x_1 = s(x, y)) s.offDiag).card = 2
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
hxy : s(x, y) ∈ image Sym2.mk s.offDiag

⊢ (filter (fun x_1 => Sym2.mk x_1 = s(x, y)) s.offDiag).card = 2
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
hxy : ∃ a, (a.1 ∈ s ∧ a.2 ∈ s ∧ a.1 ≠ a.2) ∧ Sym2.mk a = s(x, y)

⊢ (filter (fun x_1 => Sym2.mk x_1 = s(x, y)) s.offDiag).card = 2
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
a : α × α
h : Sym2.mk a = s(x, y)
ha₁ : a.1 ∈ s
ha₂ : a.2 ∈ s
ha : a.1 ≠ a.2

⊢ (filter (fun x_1 => Sym2.mk x_1 = s(x, y)) s.offDiag).card = 2
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
a : α × α
ha₁ : a.1 ∈ s
ha₂ : a.2 ∈ s
ha : a.1 ≠ a.2
h : Rel α a (x, y)

⊢ (filter (fun x_1 => Sym2.mk x_1 = s(x, y)) s.offDiag).card = 2
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
a : α × α
ha₁ : a.1 ∈ s
ha₂ : a.2 ∈ s
ha : a.1 ≠ a.2
h : Rel α a (x, y)
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y

⊢ (filter (fun x_1 => Sym2.mk x_1 = s(x, y)) s.offDiag).card = 2
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
a : α × α
ha₁ : a.1 ∈ s
ha₂ : a.2 ∈ s
ha : a.1 ≠ a.2
h : Rel α a (x, y)
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
hxy' : y ≠ x

⊢ (filter (fun x_1 => Sym2.mk x_1 = s(x, y)) s.offDiag).card = 2
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
a : α × α
ha₁ : a.1 ∈ s
ha₂ : a.2 ∈ s
ha : a.1 ≠ a.2
h : Rel α a (x, y)
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
hxy' : y ≠ x
this : filter (fun z => Sym2.mk z = s(x, y)) s.offDiag = {(x, y), (y, x)}

⊢ (filter (fun x_1 => Sym2.mk x_1 = s(x, y)) s.offDiag).card = 2
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
a : α × α
ha₁ : a.1 ∈ s
ha₂ : a.2 ∈ s
ha : a.1 ≠ a.2
h : Rel α a (x, y)
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
hxy' : y ≠ x
this : filter (fun z => Sym2.mk z = s(x, y)) s.offDiag = {(x, y), (y, x)}

⊢ (x, y) ∉ {(y, x)}
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x y : α
a : α × α
ha₁ : a.1 ∈ s
ha₂ : a.2 ∈ s
ha : a.1 ≠ a.2
h : Rel α a (x, y)
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
hxy' : y ≠ x
this : filter (fun z => Sym2.mk z = s(x, y)) s.offDiag = {(x, y), (y, x)}

⊢ x = y → ¬y = x
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a * b < c * d

⊢ min a b < max c d
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : a * b < c * d

⊢ (a < c ∨ a < d) ∨ b < c ∨ b < d
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Mul α
inst✝² : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
h : (c ≤ a ∧ d ≤ a) ∧ c ≤ b ∧ d ≤ b

⊢ c * d ≤ a * b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E

⊢ ∫ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫ (b : AddCircle T), f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))

⊢ ∫ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫ (b : AddCircle T), f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (⇑(measurableEquivIoc T t).symm) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ((measurableEquivIoc T t).symm x)

⊢ ∫ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫ (b : AddCircle T), f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑x

⊢ ∫ (a : ℝ) in Ioc t (t + T), f ↑a = ∫ (b : AddCircle T), f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑x

⊢ ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (b : AddCircle T), f b ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (volume.restrict (Ioc t (t + T)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this✝ : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑x
this : (fun x => ↑↑x) = QuotientAddGroup.mk ∘ Subtype.val

⊢ ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (QuotientAddGroup.mk ∘ Subtype.val) volume = ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (volume.restrict (Ioc t (t + T)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Periodic.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
t : ℝ
f : AddCircle T → E
m : MeasurableSet (Ioc t (t + T))
this✝ : ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map (fun x => ↑↑x) volume = ∫ (x : ↑(Ioc t (t + T))), f ↑↑x
this : (fun x => ↑↑x) = QuotientAddGroup.mk ∘ Subtype.val

⊢ ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (Measure.map Subtype.val volume) = ∫ (y : AddCircle T), f y ∂Measure.map QuotientAddGroup.mk (Measure.map Subtype.val (Measure.comap Subtype.val volume))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
a : α✝
l : List α✝
p : Pairwise R (a :: l)

⊢ Chain R a l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
a : α✝
l : List α✝
p : Pairwise R (a :: l)
r : ∀ (a' : α✝), a' ∈ l → R a a'
p' : Pairwise R l

⊢ Chain R a l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
a : α✝
l : List α✝
r : ∀ (a' : α✝), a' ∈ l → R a a'
p' : Pairwise R l

⊢ Chain R a l
-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r✝ : R
M''' : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup M'''
inst✝ : Module R M'''
r : R
f₁ : M →ₗ[R] M'
f₂ : M' →ₗ[R] M''
f₃ : M'' →ₗ[R] M'''
h₁₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
h₂₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
h : IsSMulRegular M''' r
this : IsSMulRegular (M'' ⧸ LinearMap.range f₂) r

⊢ Exact ⇑((r • ⊤).mapQ (r • ⊤) f₁ ⋯) ⇑((r • ⊤).mapQ (r • ⊤) f₂ ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r✝ : R
M''' : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup M'''
inst✝ : Module R M'''
r : R
f₁ : M →ₗ[R] M'
f₂ : M' →ₗ[R] M''
f₃ : M'' →ₗ[R] M'''
h₁₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
h₂₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
h : IsSMulRegular M''' r
this : IsSMulRegular (M'' ⧸ LinearMap.range f₂) r

⊢ r • ⊤ ⊓ LinearMap.range f₂ ≤ r • LinearMap.range f₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ map (f ≫ g) = map g ⋙ map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ ∀ (X_1 : Under Z), (map (f ≫ g)).obj X_1 = (map g ⋙ map f).obj X_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ autoParam (∀ (X_1 Y_1 : Under Z) (f_1 : X_1 ⟶ Y_1), (map (f ≫ g)).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ (map g ⋙ map f).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c

⊢ IntegrableOn (fun t => ↑t ^ a) (Ioi c) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c

⊢ IntegrableOn (fun a_1 => ‖↑a_1 ^ a‖) (Ioi c) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
a : ℂ
ha : a.re < -1
c : ℝ
hc : 0 < c

⊢ AEStronglyMeasurable (fun t => ↑t ^ a) (volume.restrict (Ioi c))
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
g : α → β
a : α
l : List α
ih : filterMap f l = map g l → ∀ (x : α), x ∈ l → f x = some (g x)

⊢ filterMap f (a :: l) = map g (a :: l) → ∀ (x : α), x ∈ a :: l → f x = some (g x)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
g : α → β
a : α
l : List α
ih : filterMap f l = map g l → ∀ (x : α), x ∈ l → f x = some (g x)
ha : f a = none

⊢ ¬filterMap f l = g a :: map g l
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
g : α → β
a : α
l : List α
ih : filterMap f l = map g l → ∀ (x : α), x ∈ l → f x = some (g x)
b : β
ha : f a = some b

⊢ b = g a → filterMap f l = map g l → b = g a ∧ ∀ (a : α), a ∈ l → f a = some (g a)
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : StrictConvexSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ

⊢ StrictConvex 𝕜 (closedBall x r)
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : StrictConvexSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : r ≤ 0

⊢ StrictConvex 𝕜 (closedBall x r)
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : StrictConvexSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r

⊢ StrictConvex 𝕜 (closedBall x r)
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : StrictConvexSpace 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : 0 < r

⊢ StrictConvex 𝕜 (x +ᵥ closedBall 0 r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL

⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x

⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Ioi a) volume

⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Ioi a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Ioi a) volume

⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Ioi a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Ioi a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atTop (𝓝 (limUnder atTop (⇑F ∘ f)))

⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Ioi a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Ioi a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atTop (𝓝 (limUnder atTop (⇑F ∘ f)))
B : limUnder atTop (⇑F ∘ f) = F 0

⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Ioi a) volume
fint : IntegrableOn f (Ioi a) volume
F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL
Fderiv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x
Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Ioi a) volume
F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Ioi a) volume
A : Tendsto (⇑F ∘ f) atTop (𝓝 (F 0))
B : limUnder atTop (⇑F ∘ f) = F 0

⊢ Embedding ⇑F
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α β : X ≅ Y
w : α.hom = β.hom

⊢ α.inv = α.inv ≫ β.hom ≫ β.inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α β : X ≅ Y
w : α.hom = β.hom

⊢ α.inv ≫ β.hom ≫ β.inv = (α.inv ≫ α.hom) ≫ β.inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
α β : X ≅ Y
w : α.hom = β.hom

⊢ (α.inv ≫ α.hom) ≫ β.inv = β.inv
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J

⊢ (fst (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientInfEquivQuotientProd J coprime) = factor (I ⊓ J) I ⋯
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I J : Ideal R
coprime : IsCoprime I J

⊢ ((fst (R ⧸ I) (R ⧸ J)).comp ↑(I.quotientInfEquivQuotientProd J coprime)).comp (Quotient.mk (I ⊓ J)) = (factor (I ⊓ J) I ⋯).comp (Quotient.mk (I ⊓ J))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝⁹ : CommRing Rₛ
inst✝⁸ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup Mₛ
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ inst✝³ : Module R Mₛ
inst✝² : Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M
m : M
i : ι

⊢ ((ofIsLocalizedModule Rₛ S f b).repr (f m)) i = (algebraMap R Rₛ) ((b.repr m) i)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝⁹ : CommRing Rₛ
inst✝⁸ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup Mₛ
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ inst✝³ : Module R Mₛ
inst✝² : Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M
m : M
i : ι

⊢ ↑R ↑(ofIsLocalizedModule Rₛ S f b).repr ∘ₗ f = Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap R Rₛ) ∘ₗ ↑b.repr
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝⁹ : CommRing Rₛ
inst✝⁸ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
Mₛ : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup Mₛ
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ inst✝³ : Module R Mₛ
inst✝² : Module Rₛ Mₛ
f : M →ₗ[R] Mₛ
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : IsScalarTower R Rₛ Mₛ
ι : Type u_5
b : Basis ι R M
m : M
i✝ i : ι

⊢ (↑R ↑(ofIsLocalizedModule Rₛ S f b).repr ∘ₗ f) (b i) = (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap R Rₛ) ∘ₗ ↑b.repr) (b i)