ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E✝ : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
p q : Submodule ℝ E
hpq : IsCompl p q
hpc : IsPathConnected {0}ᶜ

⊢ IsPathConnected (↑q)ᶜ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E✝ : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
p q : Submodule ℝ E
hpq : IsCompl p q
hpc : {0}ᶜ.Nonempty ∧ ∀ x ∈ {0}ᶜ, ∀ y ∈ {0}ᶜ, JoinedIn {0}ᶜ x y

⊢ (↑q)ᶜ.Nonempty ∧ ∀ x ∈ (↑q)ᶜ, ∀ y ∈ (↑q)ᶜ, JoinedIn (↑q)ᶜ x y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Trails.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsEulerian

⊢ p.IsTrail
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Trails.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsEulerian

⊢ ∀ (a : Sym2 V), List.count a p.edges ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
A' : ι → E →L[𝕜] F
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivAtFilter (A i) (A' i) x L

⊢ HasFDerivAtFilter (fun y => ∑ i ∈ u, A i y) (∑ i ∈ u, A' i) x L
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
A' : ι → E →L[𝕜] F
h : ∀ i ∈ u, (fun x' => A i x' - A i x - (A' i) (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x

⊢ (fun x' => ∑ i ∈ u, A i x' - ∑ i ∈ u, A i x - (∑ i ∈ u, A' i) (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
u : Finset ι
A : ι → E → F
A' : ι → E →L[𝕜] F
h : ∀ i ∈ u, (fun x' => A i x' - A i x - (A' i) (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x
x✝ : E

⊢ ∑ i ∈ u, A i x✝ - ∑ i ∈ u, A i x - (∑ i ∈ u, A' i) (x✝ - x) = ∑ i ∈ u, (A i x✝ - A i x - (A' i) (x✝ - x))
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Conjugation.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q
h : x ∈ evenOdd Q 1

⊢ involute x = -x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/IsometricSMul.lean
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G X
inst✝³ : IsometricSMul G X
inst✝² : PseudoEMetricSpace G
inst✝¹ : IsometricSMul G G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G

⊢ edist a⁻¹ b⁻¹ = edist a b
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α

⊢ map Prod.swap (l₁.zip []) = [].zip l₁
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α

⊢ map Prod.swap [] = [].zip l₁
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
a : α
l₁ : List α
b : β
l₂ : List β

⊢ map Prod.swap ((a :: l₁).zip (b :: l₂)) = (b :: l₂).zip (a :: l₁)
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S

⊢ (algebraMap R S).FinitePresentation
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FinitePresentation.lean
R S : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S

⊢ Algebra.FinitePresentation R S
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MutuallySingular.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : μ s = 0
ht : ν t = 0
hst : univ ⊆ s ∪ t

⊢ μ ⟂ₘ ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MutuallySingular.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : μ s = 0
ht : ν t = 0
hst : univ ⊆ s ∪ t

⊢ ν (toMeasurable μ s)ᶜ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MutuallySingular.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
hs : μ s = 0
ht : ν t = 0
hst : univ ⊆ s ∪ t
x : α
hx : x ∈ (toMeasurable μ s)ᶜ
hxs : x ∈ s

⊢ x ∈ toMeasurable μ s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
h : IsNilpotent R L (M ⧸ N)

⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ N
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
h : IsNilpotent R L (M ⧸ N)
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R L M k ≤ N

⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ N
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Prelax.lean
B : Type u₁
inst✝³ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝² : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝¹ : Bicategory D
F : PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
inst✝ : IsIso η

⊢ F.map₂ (inv η) = inv (F.map₂ η)
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Prelax.lean
B : Type u₁
inst✝³ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝² : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝¹ : Bicategory D
F : PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
inst✝ : IsIso η

⊢ F.map₂ η ≫ F.map₂ (inv η) = 𝟙 (F.map f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
x : P ⊗[R] (M →ₗ[R] Q)

⊢ (lTensorHomEquivHomLTensor R M P Q) x = (lTensorHomToHomLTensor R M P Q) x
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a : α
ha : a ≠ 0
b c : α

⊢ (fun x => x / a) ⁻¹' [[b, c]] = [[b * a, c * a]]
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Basic.lean
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : MonCat
M N : Action V G
f : M ≅ N
g : ↑G

⊢ N.ρ g = ((forget V G).mapIso f).conj (M.ρ g)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Basic.lean
V : Type (u + 1)
inst✝ : LargeCategory V
G : MonCat
M N : Action V G
f : M ≅ N
g : ↑G

⊢ ((forget V G).mapIso f).hom ≫ N.ρ g = M.ρ g ≫ ((forget V G).mapIso f).hom
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → F
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G

⊢ Integrable (fun t => f (g / t)) μ ↔ Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → F
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
h : Integrable (fun t => f (g / t)) μ

⊢ Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f✝ : G → E
g✝ : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → F
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
h : Integrable (fun t => f (g / t)) μ
x✝ : G

⊢ x✝ = g / (g⁻¹ * x✝)⁻¹
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f

⊢ ∃ x, f x = x + τ f
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
a : ℝ
ha : f a ≤ a + τ f

⊢ ∃ x, f x = x + τ f
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
hf : Continuous ⇑f
a : ℝ
ha : f a ≤ a + τ f
b : ℝ
hb : b + τ f ≤ f b

⊢ ∃ x, f x = x + τ f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
s : Set ι
hs : s.Countable
t : ι → Set X
this : Encodable ↑s

⊢ dimH (⋃ i ∈ s, t i) = ⨆ i ∈ s, dimH (t i)
-- Mathlib/Computability/NFA.lean
α : Type u
σ σ' : Type v
M : NFA α σ
S : Set σ
x : List α
a : α

⊢ M.evalFrom S (x ++ [a]) = M.stepSet (M.evalFrom S x) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : NoAtoms μ
a : α

⊢ μ.restrict {a} = 0
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ tan (x * I) = tanh x * I
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ c d a b : α

⊢ a / b ≤ a ↔ 1 ≤ b
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop (𝓝 0)
r✝ : ℝ
hr : 0 < r✝
hg : Tendsto (fun x => -f x) atTop (𝓝 (-0))

⊢ -ofSeq f < ↑r✝
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop (𝓝 0)
r✝ : ℝ
hr : 0 < r✝
hg : Tendsto (fun x => -f x) atTop (𝓝 0)

⊢ -ofSeq f < ↑r✝
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x✝ : M × ↥S
m : M
s : ↥S

⊢ 1 • (m, s).2 • (m, s).1 = 1 • (m, s).2 • (m, s).1
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x✝⁴ x✝³ x✝² : M × ↥S
m1 : M
s1 : ↥S
m2 : M
s2 : ↥S
x✝¹ : r S M (m1, s1) (m2, s2)
m3 : M
s3 : ↥S
x✝ : r S M (m2, s2) (m3, s3)
u1 : ↥S
hu1 : u1 • (m2, s2).2 • (m1, s1).1 = u1 • (m1, s1).2 • (m2, s2).1
u2 : ↥S
hu2 : u2 • (m3, s3).2 • (m2, s2).1 = u2 • (m2, s2).2 • (m3, s3).1

⊢ r S M (m1, s1) (m3, s3)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x✝⁴ x✝³ x✝² : M × ↥S
m1 : M
s1 : ↥S
m2 : M
s2 : ↥S
x✝¹ : r S M (m1, s1) (m2, s2)
m3 : M
s3 : ↥S
x✝ : r S M (m2, s2) (m3, s3)
u1 : ↥S
hu1 : u1 • (m2, s2).2 • (m1, s1).1 = u1 • (m1, s1).2 • (m2, s2).1
u2 : ↥S
hu2 : u2 • (m3, s3).2 • (m2, s2).1 = u2 • (m2, s2).2 • (m3, s3).1

⊢ (u1 * u2 * s2) • (m3, s3).2 • (m1, s1).1 = (u1 * u2 * s2) • (m1, s1).2 • (m3, s3).1
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x✝⁴ x✝³ x✝² : M × ↥S
m1 : M
s1 : ↥S
m2 : M
s2 : ↥S
x✝¹ : r S M (m1, s1) (m2, s2)
m3 : M
s3 : ↥S
x✝ : r S M (m2, s2) (m3, s3)
u1 : ↥S
hu1 : u1 • (m2, s2).2 • (m1, s1).1 = u1 • (m1, s1).2 • (m2, s2).1
u2 : ↥S
hu2 : u2 • (m3, s3).2 • (m2, s2).1 = u2 • (m2, s2).2 • (m3, s3).1
hu1' : (fun x => (u2 * s3) • x) (u1 • (m1, s1).2 • (m2, s2).1) = (fun x => (u2 * s3) • x) (u1 • (m2, s2).2 • (m1, s1).1)
hu2' : (fun x => (u1 * s1) • x) (u2 • (m2, s2).2 • (m3, s3).1) = (fun x => (u1 * s1) • x) (u2 • (m3, s3).2 • (m2, s2).1)

⊢ (u1 * u2 * s2) • (m3, s3).2 • (m1, s1).1 = (u1 * u2 * s2) • (m1, s1).2 • (m3, s3).1
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x✝⁴ x✝³ x✝² : M × ↥S
m1 : M
s1 : ↥S
m2 : M
s2 : ↥S
x✝¹ : r S M (m1, s1) (m2, s2)
m3 : M
s3 : ↥S
x✝ : r S M (m2, s2) (m3, s3)
u1 : ↥S
hu1 : u1 • (m2, s2).2 • (m1, s1).1 = u1 • (m1, s1).2 • (m2, s2).1
u2 : ↥S
hu2 : u2 • (m3, s3).2 • (m2, s2).1 = u2 • (m2, s2).2 • (m3, s3).1
hu1' : (s1 * (s3 * (u1 * u2))) • m2 = (s2 * (s3 * (u1 * u2))) • m1
hu2' : (s1 * (s2 * (u1 * u2))) • m3 = (s1 * (s3 * (u1 * u2))) • m2

⊢ (s2 * (s3 * (u1 * u2))) • m1 = (s1 * (s2 * (u1 * u2))) • m3
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℕ
hn : n % 4 = 1

⊢ χ₄ ↑n = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℕ
hn : n % 4 = 1

⊢ χ₄ ↑1 = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f

⊢ (affineCombination k s.attach f) (w ∘ f) = (affineCombination k (image f univ) id) w
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f

⊢ ∑ x ∈ s.attach, w (f x) • (f x -ᵥ Classical.choice ⋯) = ∑ x ∈ image f univ, w x • (x -ᵥ Classical.choice ⋯)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f
g₁ : { x // x ∈ s } → V := fun i => w (f i) • (f i -ᵥ Classical.choice ⋯)

⊢ ∑ x ∈ s.attach, w (f x) • (f x -ᵥ Classical.choice ⋯) = ∑ x ∈ image f univ, w x • (x -ᵥ Classical.choice ⋯)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f
g₁ : { x // x ∈ s } → V := fun i => w (f i) • (f i -ᵥ Classical.choice ⋯)
g₂ : P → V := fun i => w i • (i -ᵥ Classical.choice ⋯)

⊢ ∑ x ∈ s.attach, w (f x) • (f x -ᵥ Classical.choice ⋯) = ∑ x ∈ image f univ, w x • (x -ᵥ Classical.choice ⋯)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f
g₁ : { x // x ∈ s } → V := fun i => w (f i) • (f i -ᵥ Classical.choice ⋯)
g₂ : P → V := fun i => w i • (i -ᵥ Classical.choice ⋯)
hgf : g₁ = g₂ ∘ f

⊢ univ.sum g₁ = (image f univ).sum g₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f
g₁ : { x // x ∈ s } → V := fun i => w (f i) • (f i -ᵥ Classical.choice ⋯)
g₂ : P → V := fun i => w i • (i -ᵥ Classical.choice ⋯)
hgf : g₁ = g₂ ∘ f

⊢ univ.sum (g₂ ∘ f) = ∑ x : { x // x ∈ s }, w (f x) • (f x -ᵥ Classical.choice ⋯)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq P
s : Finset P
w : P → k
f : { x // x ∈ s } → P
hf : Function.Injective f
g₁ : { x // x ∈ s } → V := fun i => w (f i) • (f i -ᵥ Classical.choice ⋯)
g₂ : P → V := fun i => w i • (i -ᵥ Classical.choice ⋯)
hgf : g₁ = g₂ ∘ f

⊢ ∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, f x = f y → x = y
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR' (α.RelLast' r) x.dest y.dest
x✝ y✝ : Cofix F α
a✝ : r x✝ y✝

⊢ LiftR (fun {i} => α.RelLast r) x✝.dest y✝.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
r : Cofix F α → Cofix F α → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F α), r x y → LiftR' (α.RelLast' r) x.dest y.dest
x✝ y✝ : Cofix F α
a✝ : r x✝ y✝

⊢ LiftR' (α.RelLast' r) x✝.dest y✝.dest
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
c : C
hc : c ∈ S.objs
d : C
hd : d ∈ S.objs
f : ↑⟨c, hc⟩ ⟶ ↑⟨d, hd⟩
hf : f ∈ S.arrows ↑⟨c, hc⟩ ↑⟨d, hd⟩
g : ↑⟨c, hc⟩ ⟶ ↑⟨d, hd⟩
hg : g ∈ S.arrows ↑⟨c, hc⟩ ↑⟨d, hd⟩
hfg : (fun f => S.hom.map f) ⟨f, hf⟩ = (fun f => S.hom.map f) ⟨g, hg⟩

⊢ ⟨f, hf⟩ = ⟨g, hg⟩
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x

⊢ 0 < (minpoly A x).natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x

⊢ (minpoly A x).natDegree ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x
ndeg_eq_zero : (minpoly A x).natDegree = 0

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra A B
x : B
inst✝ : Nontrivial B
hx : IsIntegral A x
ndeg_eq_zero : (minpoly A x).natDegree = 0
eq_one : minpoly A x = 1

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
x✝ : Game
x : PGame
y✝ : Game
y : PGame

⊢ ¬Quot.mk Setoid.r x ≤ Quot.mk Setoid.r y ↔ Quot.mk Setoid.r y ⧏ Quot.mk Setoid.r x
-- Mathlib/Data/Set/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
x : α

⊢ x ∈ range l.get ↔ x ∈ {x | x ∈ l}
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/QuasiIso.lean
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂

⊢ QuasiIso φ ↔ IsIso (rightHomologyMap' φ h₁ h₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f : Y ≅ X
g g' : Y ⟶ Z

⊢ f.inv ≫ g = f.inv ≫ g' ↔ g = g'
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]

⊢ ∃ b, ∀ (i : ℕ), (algebraMap R S) ((integerNormalization M p).coeff i) = ↑b • p.coeff i
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]

⊢ ∀ (i : ℕ), (algebraMap R S) ((integerNormalization M p).coeff i) = ↑(Classical.choose ⋯) • p.coeff i
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ

⊢ (algebraMap R S) ((integerNormalization M p).coeff i) = ↑(Classical.choose ⋯) • p.coeff i
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
p : S[X]
i : ℕ

⊢ (algebraMap R S) (if hi : i ∈ p.support then Classical.choose ⋯ else 0) = ↑(Classical.choose ⋯) • p.coeff i
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε

⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε

⊢ ∀ j ≥ 1, padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
j : ℕ
hj : j ≥ 1

⊢ padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
j : ℕ
hj : j ≥ 1
this : Fact (1 < p ^ j)

⊢ padicNorm p (↑(nthHomSeq f_compat 1 - 1) j) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R
f : (k : ℕ) → R →+* ZMod (p ^ k)
f_compat : ∀ (k1 k2 : ℕ) (hk : k1 ≤ k2), (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ k1))).comp (f k2) = f k1
ε : ℚ
hε : 0 < ε
j : ℕ
hj : j ≥ 1
this : Fact (1 < p ^ j)

⊢ ZMod.cast 1 = 1
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
a₁ : P.mp.A
f₁ : P.mp.B a₁ ⟹ α
a₂ : P.mp.A
f₂ : P.mp.B a₂ ⟹ α
r : R ⟨a₁, f₁⟩ ⟨a₂, f₂⟩

⊢ ⟨a₁, f₁⟩ = ⟨a₂, f₂⟩
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
a₁ : P.mp.A
f₁ : P.mp.B a₁ ⟹ α
a₂ : P.mp.A
f₂ : P.mp.B a₂ ⟹ α
r : R ⟨a₁, f₁⟩ ⟨a₂, f₂⟩
this : a₁ = a₂

⊢ ⟨a₁, f₁⟩ = ⟨a₂, f₂⟩
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
R : P.M α → P.M α → Prop
h : ∀ (x y : P.M α), R x y → ∃ a f f₁ f₂, dest P x = ⟨a, splitFun f f₁⟩ ∧ dest P y = ⟨a, splitFun f f₂⟩ ∧ ∀ (i : (P.B a).last), R (f₁ i) (f₂ i)
a₁ : P.mp.A
f₁ f₂ : P.mp.B a₁ ⟹ α
r : R ⟨a₁, f₁⟩ ⟨a₁, f₂⟩
i : Fin2 n
p : P.mp.B a₁ i

⊢ f₁ i p = f₂ i p