ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'
hs : s ⊆ e.source
h2s : MapsTo f s e'.source

⊢ ContMDiffOn I I' n f s ↔ ContinuousOn f s ∧ ContDiffOn 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
he : e ∈ maximalAtlas I M
he' : e' ∈ maximalAtlas I' M'
hs : s ⊆ e.source
h2s : MapsTo f s e'.source

⊢ (∀ x ∈ s, ContMDiffWithinAt I I' n f s x) ↔ ∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(e'.extend I') ∘ f ∘ ↑(e.extend I).symm) (↑(e.extend I) '' s) (↑(e.extend I) x)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Symmetric.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
x y : E

⊢ ⟪(↑ℝ T) x, y⟫_ℝ = ⟪x, (↑ℝ T) y⟫_ℝ
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι✝ : Type u_1
ι'✝ : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι✝ → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
s : Set ι
f : ι → ι'
g : ι' → A
hs : AlgebraicIndependent R fun x => g (f ↑x)
a✝ : Nontrivial R

⊢ AlgebraicIndependent R fun x => g ↑x
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι✝ : Type u_1
ι'✝ : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι✝ → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
s : Set ι
f : ι → ι'
g : ι' → A
hs : AlgebraicIndependent R fun x => g (f ↑x)
a✝ : Nontrivial R
this : InjOn f s

⊢ AlgebraicIndependent R fun x => g ↑x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : CommSemiring β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
hg : SuperpolynomialDecay l k g
z : ℕ

⊢ Tendsto (fun a => k a ^ z * (f * g) a) l (𝓝 0)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/Defs.lean
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
v : Fin 2 → ℤ
hv : v ∈ gammaSet N a
γ : SL(2, ℤ)

⊢ v ᵥ* ↑γ ∈ gammaSet N (a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/Defs.lean
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
v : Fin 2 → ℤ
hv : v ∈ gammaSet N a
γ : SL(2, ℤ)

⊢ Int.cast ∘ (v ᵥ* ↑γ) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/Defs.lean
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
v : Fin 2 → ℤ
hv : v ∈ gammaSet N a
γ : SL(2, ℤ)
this : ∀ (i : Fin 2), (Int.castRingHom (ZMod N)) ((v ᵥ* ↑γ) i) = (⇑(Int.castRingHom (ZMod N)) ∘ v ᵥ* (↑γ).map ⇑(Int.castRingHom (ZMod N))) i

⊢ Int.cast ∘ (v ᵥ* ↑γ) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/Defs.lean
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
v : Fin 2 → ℤ
hv : v ∈ gammaSet N a
γ : SL(2, ℤ)
this : ∀ (i : Fin 2), ↑((v ᵥ* ↑γ) i) = ((fun x => ↑x) ∘ v ᵥ* (↑γ).map fun x => ↑x) i

⊢ Int.cast ∘ (v ᵥ* ↑γ) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/Defs.lean
N : ℕ
a : Fin 2 → ZMod N
v : Fin 2 → ℤ
hv : v ∈ gammaSet N a
γ : SL(2, ℤ)
this : ∀ (i : Fin 2), ↑((v ᵥ* ↑γ) i) = ((fun x => ↑x) ∘ v ᵥ* (↑γ).map fun x => ↑x) i

⊢ (fun x => (a ᵥ* (↑γ).map fun x => ↑x) x) = a ᵥ* ↑((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom (ZMod N))) γ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝ : DecidableEq η
v : (j : η) → ιs j → Ms j
hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)

⊢ LinearIndependent R fun ji => (stdBasis R Ms ji.fst) (v ji.fst ji.snd)
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝ : DecidableEq η
v : (j : η) → ιs j → Ms j
hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)
hs' : ∀ (j : η), LinearIndependent R fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)

⊢ LinearIndependent R fun ji => (stdBasis R Ms ji.fst) (v ji.fst ji.snd)
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝ : DecidableEq η
v : (j : η) → ιs j → Ms j
hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)
hs' : ∀ (j : η), LinearIndependent R fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)

⊢ ∀ (i : η) (t : Set η), t.Finite → i ∉ t → Disjoint (span R (Set.range fun i_1 => (stdBasis R Ms i) (v i i_1))) (⨆ i ∈ t, span R (Set.range fun i_1 => (stdBasis R Ms i) (v i i_1)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝ : DecidableEq η
v : (j : η) → ιs j → Ms j
hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)
hs' : ∀ (j : η), LinearIndependent R fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)
j : η
J : Set η
a✝ : J.Finite
hiJ : j ∉ J

⊢ Disjoint (span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i))) (⨆ i ∈ J, span R (Set.range fun i_1 => (stdBasis R Ms i) (v i i_1)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝ : DecidableEq η
v : (j : η) → ιs j → Ms j
hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)
hs' : ∀ (j : η), LinearIndependent R fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)
j : η
J : Set η
a✝ : J.Finite
hiJ : j ∉ J
h₀ : ∀ (j : η), span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ LinearMap.range (stdBasis R Ms j)

⊢ Disjoint (span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i))) (⨆ i ∈ J, span R (Set.range fun i_1 => (stdBasis R Ms i) (v i i_1)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝ : DecidableEq η
v : (j : η) → ιs j → Ms j
hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)
hs' : ∀ (j : η), LinearIndependent R fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)
j : η
J : Set η
a✝ : J.Finite
hiJ : j ∉ J
h₀ : ∀ (j : η), span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ LinearMap.range (stdBasis R Ms j)
h₁ : span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ ⨆ i ∈ {j}, LinearMap.range (stdBasis R Ms i)

⊢ Disjoint (span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i))) (⨆ i ∈ J, span R (Set.range fun i_1 => (stdBasis R Ms i) (v i i_1)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝ : DecidableEq η
v : (j : η) → ιs j → Ms j
hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)
hs' : ∀ (j : η), LinearIndependent R fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)
j : η
J : Set η
a✝ : J.Finite
hiJ : j ∉ J
h₀ : ∀ (j : η), span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ LinearMap.range (stdBasis R Ms j)
h₁ : span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ ⨆ i ∈ {j}, LinearMap.range (stdBasis R Ms i)
h₂ : ⨆ j ∈ J, span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ ⨆ j ∈ J, LinearMap.range (stdBasis R (fun j => Ms j) j)

⊢ Disjoint (span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i))) (⨆ i ∈ J, span R (Set.range fun i_1 => (stdBasis R Ms i) (v i i_1)))
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝³ : Ring R
inst✝² : (i : η) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝¹ : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝ : DecidableEq η
v : (j : η) → ιs j → Ms j
hs : ∀ (i : η), LinearIndependent R (v i)
hs' : ∀ (j : η), LinearIndependent R fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)
j : η
J : Set η
a✝ : J.Finite
hiJ : j ∉ J
h₀ : ∀ (j : η), span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ LinearMap.range (stdBasis R Ms j)
h₁ : span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ ⨆ i ∈ {j}, LinearMap.range (stdBasis R Ms i)
h₂ : ⨆ j ∈ J, span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i)) ≤ ⨆ j ∈ J, LinearMap.range (stdBasis R (fun j => Ms j) j)
h₃ : Disjoint (fun i => i ∈ {j}) J

⊢ Disjoint (span R (Set.range fun i => (stdBasis R Ms j) (v j i))) (⨆ i ∈ J, span R (Set.range fun i_1 => (stdBasis R Ms i) (v i i_1)))
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Restrict.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁰ : Semifield R
inst✝¹⁹ : StarRing R
inst✝¹⁸ : MetricSpace R
inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁶ : ContinuousStar R
inst✝¹⁵ : Semifield S
inst✝¹⁴ : StarRing S
inst✝¹³ : MetricSpace S
inst✝¹² : TopologicalSemiring S
inst✝¹¹ : ContinuousStar S
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra S A
inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
a : A
φ : C(↑(spectrum S a), S) →⋆ₐ[S] A
f : C(S, R)
h : SpectrumRestricts a ⇑f
h_id : φ (ContinuousMap.restrict (spectrum S a) (ContinuousMap.id S)) = a

⊢ (starAlgHom φ h) (ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)) = a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Restrict.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁰ : Semifield R
inst✝¹⁹ : StarRing R
inst✝¹⁸ : MetricSpace R
inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁶ : ContinuousStar R
inst✝¹⁵ : Semifield S
inst✝¹⁴ : StarRing S
inst✝¹³ : MetricSpace S
inst✝¹² : TopologicalSemiring S
inst✝¹¹ : ContinuousStar S
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra S A
inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
a : A
φ : C(↑(spectrum S a), S) →⋆ₐ[S] A
f : C(S, R)
h : SpectrumRestricts a ⇑f
h_id : φ (ContinuousMap.restrict (spectrum S a) (ContinuousMap.id S)) = a

⊢ φ ({ toFun := ⇑(StarAlgHom.ofId R S), continuous_toFun := ⋯ }.comp ((ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)).comp { toFun := Subtype.map ⇑f ⋯, continuous_toFun := ⋯ })) = a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Restrict.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²⁰ : Semifield R
inst✝¹⁹ : StarRing R
inst✝¹⁸ : MetricSpace R
inst✝¹⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁶ : ContinuousStar R
inst✝¹⁵ : Semifield S
inst✝¹⁴ : StarRing S
inst✝¹³ : MetricSpace S
inst✝¹² : TopologicalSemiring S
inst✝¹¹ : ContinuousStar S
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra S A
inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
a : A
φ : C(↑(spectrum S a), S) →⋆ₐ[S] A
f : C(S, R)
h : SpectrumRestricts a ⇑f
h_id : φ (ContinuousMap.restrict (spectrum S a) (ContinuousMap.id S)) = a
x : ↑(spectrum S a)

⊢ ({ toFun := ⇑(StarAlgHom.ofId R S), continuous_toFun := ⋯ }.comp ((ContinuousMap.restrict (spectrum R a) (ContinuousMap.id R)).comp { toFun := Subtype.map ⇑f ⋯, continuous_toFun := ⋯ })) x = (ContinuousMap.restrict (spectrum S a) (ContinuousMap.id S)) x
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Push.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : Quiver V
W : Type u_2
σ : V → W
W' : Type u_3
inst✝ : Quiver W'
φ : V ⥤q W'
τ : W → W'
h : ∀ (x : V), φ.obj x = τ (σ x)
Φ : Push σ ⥤q W'
Φ₀ : Φ.obj = τ
Φcomp : of σ ⋙q Φ = φ

⊢ Φ = { obj := τ, map := @PushQuiver.rec V inst✝¹ W σ (fun X Y x => τ X ⟶ τ Y) fun X Y f => id (⋯.mpr (⋯.mpr (φ.map f))) }
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Push.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : Quiver V
W : Type u_2
σ : V → W
W' : Type u_3
inst✝ : Quiver W'
φ : V ⥤q W'
τ : W → W'
h : ∀ (x : V), φ.obj x = τ (σ x)
Φ : Push σ ⥤q W'
Φ₀ : Φ.obj = τ
Φcomp : of σ ⋙q Φ = φ

⊢ ∀ (X : Push σ), Φ.obj X = { obj := τ, map := @PushQuiver.rec V inst✝¹ W σ (fun X Y x => τ X ⟶ τ Y) fun X Y f => id (⋯.mpr (⋯.mpr (φ.map f))) }.obj X
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Push.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : Quiver V
W : Type u_2
σ : V → W
W' : Type u_3
inst✝ : Quiver W'
φ : V ⥤q W'
τ : W → W'
h : ∀ (x : V), φ.obj x = τ (σ x)
Φ : Push σ ⥤q W'
Φ₀ : Φ.obj = τ
Φcomp : of σ ⋙q Φ = φ

⊢ ∀ (X Y : Push σ) (f : X ⟶ Y), Φ.map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ ({ obj := τ, map := @PushQuiver.rec V inst✝¹ W σ (fun X Y x => τ X ⟶ τ Y) fun X Y f => id (⋯.mpr (⋯.mpr (φ.map f))) }.map f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g ν

⊢ Integrable (fun z => f z.1 • g z.2) (μ.prod ν)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g ν

⊢ AEStronglyMeasurable (fun z => f z.1 • g z.2) (μ.prod ν)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g ν

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Integrable (fun y => f (x, y).1 • g (x, y).2) ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
𝕜 : Type u_7
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g ν

⊢ Integrable (fun x => ∫ (y : β), ‖f (x, y).1 • g (x, y).2‖ ∂ν) μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Dual.lean
K : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
inst✝³ : Fintype ι₁
inst✝² : Fintype ι₂
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
B₁ : Basis ι₁ K V₁
B₂ : Basis ι₂ K V₂
M : Matrix ι₁ ι₂ K

⊢ (toLin B₁.dualBasis B₂.dualBasis) Mᵀ = Module.Dual.transpose ((toLin B₂ B₁) M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Dual.lean
K : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : Module K V₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module K V₂
inst✝³ : Fintype ι₁
inst✝² : Fintype ι₂
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
B₁ : Basis ι₁ K V₁
B₂ : Basis ι₂ K V₂
M : Matrix ι₁ ι₂ K

⊢ (LinearMap.toMatrix B₁.dualBasis B₂.dualBasis) ((toLin B₁.dualBasis B₂.dualBasis) Mᵀ) = (LinearMap.toMatrix B₁.dualBasis B₂.dualBasis) (Module.Dual.transpose ((toLin B₂ B₁) M))
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/QuaternionExponential.lean
q : ℍ

⊢ (exp ℝ q).re = exp ℝ q.re * Real.cos ‖q - ↑q.re‖
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ

⊢ (bit b ↑n).testBit m.succ = (↑n).testBit m
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ

⊢ (↑(Nat.bit b n)).testBit m.succ = (↑n).testBit m
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ

⊢ (match bit b -[n+1], m.succ with | ofNat m, n => m.testBit n | -[m+1], n => !m.testBit n) = !n.testBit m
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m : ℕ
b : Bool
n : ℕ

⊢ (!(Nat.bit (!b) n).testBit m.succ) = !n.testBit m
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ arcsin (-x) = -arcsin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
hx₁ : x ≤ -1

⊢ arcsin (-x) = -arcsin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x

⊢ arcsin (-x) = -arcsin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : 1 ≤ x

⊢ arcsin (-x) = -arcsin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1

⊢ arcsin (-x) = -arcsin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1

⊢ sin (-arcsin x) = -x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1

⊢ -arcsin x ∈ Icc (-(π / 2)) (π / 2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ ‖integral f‖ ≤ ‖f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ ‖MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (toSimpleFunc f)‖ ≤ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc f))
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ
_h : 0 < n + 1

⊢ ack (m + 1) 0 < ack (m + 1) (n + 1)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ
_h : 0 < n + 1

⊢ ack m 1 < ack m (ack (m + 1) n)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n₁ n₂ : ℕ
h : n₁ + 1 < n₂ + 1

⊢ ack (m + 1) (n₁ + 1) < ack (m + 1) (n₂ + 1)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n₁ n₂ : ℕ
h : n₁ + 1 < n₂ + 1

⊢ ack m (ack (m + 1) n₁) < ack m (ack (m + 1) n₂)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n₁ n₂ : ℕ
h : n₁ + 1 < n₂ + 1

⊢ n₁ < n₂
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ (S'.a + S'.b) * (S'.a + ↑η * S'.b) * (S'.a + ↑η ^ 2 * S'.b) = S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
s₁ s₂ : Set α
hs₁ : IsOpen s₁
hs₂ : IsOpen s₂
h₁ : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s₁
h₂ : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s₂

⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p (s₁ ∪ s₂)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
s₁ s₂ : Set α
hs₁ : IsOpen s₁
hs₂ : IsOpen s₂
h₁ : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s₁
h₂ : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s₂

⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p (⋃₀ {s₁, s₂})
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Tendsto m f (𝓝 b)
hb : b ≠ ⊤ ∨ a ≠ ⊤

⊢ Tendsto (fun b => a / m b) f (𝓝 (a / b))
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Tendsto m f (𝓝 b)
hb : b ≠ ⊤ ∨ a ≠ ⊤

⊢ b⁻¹ ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤