ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ ((-o).oangle y (x + y)).tan * ‖y‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ ((-o).oangle y (y + x)).tan * ‖y‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Topology/Algebra/WithZeroTopology.lean
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀
h : γ₁ < γ₂

⊢ Iio γ₂ ∈ 𝓝 γ₁
-- Mathlib/Algebra/Ring/Units.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring α
a✝ b✝ a b : α
u : αˣ

⊢ a - b /ₚ u = (a * ↑u - b) /ₚ u
-- Mathlib/Data/Semiquot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
q : Semiquot α
p : q.IsPure
a : α

⊢ a ∈ q ↔ a ∈ pure (q.get p)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ ‖y‖ / (o.oangle (x - y) x).tan = ‖x‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ ‖y‖ / ((-o).oangle x (x - y)).tan = ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s i ⊆ i ∧ MeasurableSet (MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s i) ∧ 1 / (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s i) + 1) < ↑s (MeasureTheory.SignedMeasure.someExistsOneDivLT s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : ¬restrict s i ≤ restrict 0 i

⊢ Classical.choose ⋯ ⊆ i ∧ MeasurableSet (Classical.choose ⋯) ∧ 1 / (↑(MeasureTheory.SignedMeasure.findExistsOneDivLT s i) + 1) < ↑s (Classical.choose ⋯)
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame

⊢ P24 x₁ x₂ y ↔ P24 (-x₂) (-x₁) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
S : Type u_10
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : ι → M'

⊢ LinearMap.range ((b.constr S) f) = span R (range f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/DiracProba.lean
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T0Space X
x : X
μ : ↑(range diracProba)
h : ↑μ = diracProba x

⊢ diracProbaInverse μ = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/DiracProba.lean
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T0Space X
x : X
μ : ↑(range diracProba)
h : ↑μ = diracProba x

⊢ (fun x => diracProba x) (diracProbaInverse μ) = (fun x => diracProba x) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/DiracProba.lean
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T0Space X
x : X
μ : ↑(range diracProba)
h : ↑μ = diracProba x

⊢ diracProba (diracProbaInverse μ) = ↑μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ≅ Y
Z : C

⊢ f.inv ▷ Z ≫ f.hom ▷ Z = 𝟙 (Y ⊗ Z)
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
n✝ n' m : ℕ
s✝ : Sym α✝ n✝
a b : α✝
α : Type u_3
n : ℕ
s : Sym α n

⊢ ↑(map (fun x => x) s) = ↑s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
x : Set E

⊢ diam (c • x) = ‖c‖ * diam x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∃ v ∈ 𝓝[<] a, ∀ y ∈ v, HasDerivAt f (f' y) y
hgg' : ∃ v ∈ 𝓝[<] a, ∀ y ∈ v, HasDerivAt g (g' y) y
hg' : ∃ v ∈ 𝓝[<] a, ∀ y ∈ v, g' y ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
hs : s ∈ 𝓝[<] a

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
hs : ∃ l ∈ Iio a, Ioo l a ⊆ s

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l✝ : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l✝
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[<] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[<] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[<] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
l : ℝ
hal : l ∈ Iio a
hl : Ioo l a ⊆ s

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X : C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : PreservesColimit (Functor.empty C) G
F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ D

⊢ HasColimit F
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X : C
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : PreservesColimit (Functor.empty C) G
F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ D
this : HasColimit (Functor.empty D)

⊢ HasColimit F
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 1 < a

⊢ a⁻¹ < 1
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a : α

⊢ l.toFinset = l'.toFinset ↔ l.dedup ~ l'.dedup
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ rexp |x| ≤ rexp x + rexp (-x)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
h : torsion' R M S = ⊤
x : M

⊢ ∃ a, a • x = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
S : Type u_3
inst✝² : CommMonoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass S R M
h : torsion' R M S = ⊤
x : M

⊢ x ∈ ⊤
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : Dense s

⊢ Dense sᶜᶜ
-- Mathlib/Order/PartialSups.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeSup α
ι : Type u_2
π : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemilatticeSup (π i)
f : ℕ → (i : ι) → π i
n : ℕ
i : ι

⊢ (partialSups f) n i = (partialSups fun x => f x i) n
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
P : Ideal R
hPunique : ∀ (y : Ideal R), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = P
hPnonzero : P ≠ ⊥
hPnot_top : P ≠ ⊤
mem_or_mem'✝ : ∀ {x y : R}, x * y ∈ P → x ∈ P ∨ y ∈ P

⊢ ∃! I, I.IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
P : Ideal R
hPunique : ∀ (y : Ideal R), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = P
hPnonzero : P ≠ ⊥
hPnot_top : P ≠ ⊤
mem_or_mem'✝ : ∀ {x y : R}, x * y ∈ P → x ∈ P ∨ y ∈ P

⊢ ∀ (b : Ideal R), P < b → b = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
P : Ideal R
hPunique : ∀ (y : Ideal R), (fun P => P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime) y → y = P
hPnonzero : P ≠ ⊥
hPnot_top : P ≠ ⊤
mem_or_mem'✝ : ∀ {x y : R}, x * y ∈ P → x ∈ P ∨ y ∈ P
M : Ideal R
hM : (fun I => I.IsMaximal) M

⊢ M ≠ ⊥
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s
hy : y ∉ s

⊢ s.SOppSide y ((pointReflection R x) y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
hx : x ∈ s
hy : y ∉ s
h : x = y

⊢ y ∈ s
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
cb : Computation β
x✝ : ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
b : β
mb : b ∈ cb
ab : R a b
a' : α
ma' : a' ∈ pure a

⊢ ∃ b, b ∈ cb ∧ R a' b
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
cb : Computation β
x✝ : ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
b : β
mb : b ∈ cb
ab : R a b
a' : α
ma' : a' ∈ pure a

⊢ ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
cb : Computation β
x✝ : ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
b : β
mb : b ∈ cb
ab : R a b
b' : β
mb' : b' ∈ cb

⊢ R a b'
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
a : α
cb : Computation β
x✝ : ∃ b, b ∈ cb ∧ R a b
b : β
mb : b ∈ cb
ab : R a b
b' : β
mb' : b' ∈ cb

⊢ R a b
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯

⊢ neg' W f = φ.neg.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
φ φ₀ : W.LeftFraction X Y
hφ : φ₀.map L ⋯ = φ.map L ⋯
hφ₀ : neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ₀.neg.map L ⋯

⊢ neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ.neg.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
φ φ₀ : W.LeftFraction X Y
hφ : LeftFractionRel φ₀ φ
hφ₀ : neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ₀.neg.map L ⋯

⊢ neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ.neg.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
φ φ₀ : W.LeftFraction X Y
hφ₀ : neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ₀.neg.map L ⋯
Y' : C
t₁ : φ₀.Y' ⟶ Y'
t₂ : φ.Y' ⟶ Y'
hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂
hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂
ht : W (φ₀.s ≫ t₁)

⊢ neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ.neg.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
φ φ₀ : W.LeftFraction X Y
hφ₀ : neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ₀.neg.map L ⋯
Y' : C
t₁ : φ₀.Y' ⟶ Y'
t₂ : φ.Y' ⟶ Y'
hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂
hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂
ht : W (φ₀.s ≫ t₁)
this : IsIso (L.map (φ₀.s ≫ t₁))

⊢ neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ.neg.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
φ φ₀ : W.LeftFraction X Y
hφ₀ : neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ₀.neg.map L ⋯
Y' : C
t₁ : φ₀.Y' ⟶ Y'
t₂ : φ.Y' ⟶ Y'
hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂
hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂
ht : W (φ₀.s ≫ t₁)
this : IsIso (L.map (φ₀.s ≫ t₁))

⊢ neg' W (φ₀.map L ⋯) ≫ L.map (φ₀.s ≫ t₁) = φ.neg.map L ⋯ ≫ L.map (φ₀.s ≫ t₁)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
φ φ₀ : W.LeftFraction X Y
hφ₀ : neg' W (φ₀.map L ⋯) = φ₀.neg.map L ⋯
Y' : C
t₁ : φ₀.Y' ⟶ Y'
t₂ : φ.Y' ⟶ Y'
hst : φ₀.s ≫ t₁ = φ.s ≫ t₂
hft : φ₀.f ≫ t₁ = φ.f ≫ t₂
ht : W (φ₀.s ≫ t₁)
this : IsIso (L.map (φ₀.s ≫ t₁))

⊢ neg' W (φ₀.map L ⋯) ≫ L.map φ₀.s ≫ L.map t₁ = φ.neg.map L ⋯ ≫ L.map (φ₀.s ≫ t₁)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
n : ℕ
s : ℂ
hs : s.re ≠ 0

⊢ ‖↑n ^ s‖ = ↑n ^ s.re
-- Mathlib/Topology/Algebra/Field.lean
K : Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : TopologicalSpace K
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
a✝ : α
f : α → β
a : α
h1 : IsLocalMin f a
h2 : ∀ᶠ (z : α) in 𝓝 a, 0 < f z

⊢ IsLocalMax f⁻¹ a
-- Mathlib/Topology/ExtendFrom.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A : Set X
hA : Dense A
hf : ∀ (x : X), ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)

⊢ Continuous (extendFrom A f)
-- Mathlib/Topology/ExtendFrom.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : RegularSpace Y
f : X → Y
A : Set X
hA : Dense A
hf : ∀ (x : X), ∃ y, Tendsto f (𝓝[A] x) (𝓝 y)

⊢ ContinuousOn (extendFrom A f) univ
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
p✝ : α → Prop
f : (a : α) → p✝ a → β
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
H₁ : ∀ (a : α), a ∈ l₁ → p✝ a
H₂ : ∀ (a : α), a ∈ l₂ → p✝ a

⊢ List.pmap f l₁ H₁ ~ List.pmap f l₂ H₂
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ t.ncard ≤ s.ncard + (t \ s).ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ t.ncard ≤ (t \ s).ncard + s.ncard
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
inst✝¹ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
inst✝ : Fact (FiniteDimensional.finrank ℝ V = 2)
p1 p2 p3 : P
h21 : p2 ≠ p1
h32 : p3 ≠ p2
h13 : p1 ≠ p3

⊢ ∡ p1 p2 p3 + ∡ p2 p3 p1 + ∡ p3 p1 p2 = ↑π
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Pseudofunctor.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b

⊢ (F.mapId a).hom ▷ F.map f = (F.mapComp (𝟙 a) f).inv ≫ F.map₂ (λ_ f).hom ≫ (λ_ (F.map f)).inv
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E

⊢ x⋆ * x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
a b c d a' : List Γ'

⊢ update (elim a b c d) main a' = elim a' b c d
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
a b c d a' : List Γ'
x : K'

⊢ update (elim a b c d) main a' x = elim a' b c d x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : μ.withDensityᵥ f = μ.withDensityᵥ g

⊢ f =ᶠ[ae μ] g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g✝ f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : μ.withDensityᵥ f = μ.withDensityᵥ g
i : Set α
hi : MeasurableSet i
x✝ : μ i < ⊤

⊢ ∫ (x : α) in i, f x ∂μ = ∫ (x : α) in i, g x ∂μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y z : P
x : V

⊢ midpoint R (-x) x = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/PerpBisector.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c c₁ c₂ p₁ p₂ : P

⊢ c ∈ perpBisector p₁ ((Equiv.pointReflection p₂) p₁) ↔ ⟪c -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V

⊢ finrank K V ≤ 1 ↔ ∃ v, ∀ (w : V), ∃ c, c • v = w
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Tower.lean
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring C
inst✝⁵ : CommSemiring D
inst✝⁴ : CommSemiring E
inst✝³ : Algebra C D
inst✝² : Algebra C E
inst✝¹ : Algebra D E
inst✝ : IsScalarTower C D E
S : Set E

⊢ Subalgebra.restrictScalars C (adjoin D S) = Subalgebra.restrictScalars C (adjoin (↥(Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom C D E) ⊤)) S)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Tower.lean
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring C
inst✝⁵ : CommSemiring D
inst✝⁴ : CommSemiring E
inst✝³ : Algebra C D
inst✝² : Algebra C E
inst✝¹ : Algebra D E
inst✝ : IsScalarTower C D E
S : Set E

⊢ Set.range ⇑(algebraMap D E) = Set.range ⇑(algebraMap (↥(Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom C D E) ⊤)) E)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
g : α → β
hg : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (a : β), f a ∂Measure.map g μ = ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
g : α → β
hg : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞

⊢ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f a), g_1.lintegral (Measure.map g μ) = ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f (g a)), g_1.lintegral μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
g : α → β
hg : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
f₀ : β →ₛ ℝ≥0∞
hf₀ : ↑f₀ ≤ fun a => f a

⊢ f₀.lintegral (Measure.map g μ) ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f (g a)), g_1.lintegral μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
g : α → β
hg : MeasurableEmbedding g
f : β → ℝ≥0∞
f₀ : α →ₛ ℝ≥0∞
hf₀ : ↑f₀ ≤ fun a => f (g a)

⊢ f₀.lintegral μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => f a), g_1.lintegral (Measure.map g μ)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I B X : Set α
M : Matroid α
h : M✶.RkPos

⊢ ¬M.Base M.E
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P

⊢ (trace R M) id = ↑(finrank R M)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' s : Cycle α
h : s.Nodup

⊢ s.reverse.formPerm ⋯ = (s.formPerm h)⁻¹
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
a✝ : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)

⊢ (reverse (Quot.mk Setoid.r a✝)).formPerm ⋯ = (formPerm (Quot.mk Setoid.r a✝) h)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
m n : ℕ
a b : α

⊢ (2 * a + 1) * (2 * b + 1) = 2 * (2 * a * b + b + a) + 1
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
he : e ∈ B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f B \ {e})
hfe : f ≠ e

⊢ M.Base (insert f B \ {e})
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hB : M.Base B
he : e ∈ B
hf : f ∉ B
hI : M.Indep (insert f (B \ {e}))
hfe : f ≠ e

⊢ M.Base (insert f (B \ {e}))
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
cf cg : Code
a k : ℕ

⊢ (cf.prec cg).eval (Nat.pair a k.succ) = do let ih ← (cf.prec cg).eval (Nat.pair a k) cg.eval (Nat.pair a (Nat.pair k ih))
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
cf cg : Code
a k : ℕ

⊢ Nat.rec (cf.eval (a, k.succ).1) (fun y IH => do let i ← IH cg.eval (Nat.pair (a, k.succ).1 (Nat.pair y i))) (a, k.succ).2 = (unpaired (fun a n => Nat.rec (cf.eval a) (fun y IH => do let i ← IH cg.eval (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n) (Nat.pair a k)).bind fun ih => cg.eval (Nat.pair a (Nat.pair k ih))
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
x₀ : E

⊢ ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 0) f
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
f : 𝓢(E, F)
x₀ : E
this : ‖x₀‖ ^ 0 * ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 0) f

⊢ ‖f x₀‖ ≤ (SchwartzMap.seminorm 𝕜 0 0) f