ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Rel/GaloisConnection.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J : Set α

⊢ R.leftDual J ∈ R.rightFixedPoints
-- Mathlib/Order/Rel/GaloisConnection.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J : Set α

⊢ R.leftDual (R.rightDual (R.leftDual J)) ≤ R.leftDual J
-- Mathlib/Order/Rel/GaloisConnection.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
J : Set α

⊢ R.leftDual J ≤ R.leftDual (R.rightDual (R.leftDual J))
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ

⊢ ∏ ij ∈ antidiagonal (n + 1), f ij.1 ij.2 ^ (n + 1).choose ij.1 = (∏ ij ∈ antidiagonal n, f ij.1 (ij.2 + 1) ^ n.choose ij.1) * ∏ ij ∈ antidiagonal n, f (ij.1 + 1) ij.2 ^ n.choose ij.2
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ

⊢ (∏ i ∈ range (n + 1), f i (n + 1 - i) ^ n.choose i) * ∏ i ∈ range (n + 1), f (i + 1) (n - i) ^ n.choose i = (∏ x ∈ range n.succ, f x (n - x + 1) ^ n.choose x) * ∏ x ∈ range n.succ, f (x + 1) (n - x) ^ n.choose (n - x)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
f : ℕ → ℕ → M
n : ℕ
this : ∀ i ∈ range (n + 1), i ≤ n

⊢ (∏ i ∈ range (n + 1), f i (n + 1 - i) ^ n.choose i) * ∏ i ∈ range (n + 1), f (i + 1) (n - i) ^ n.choose i = (∏ x ∈ range n.succ, f x (n - x + 1) ^ n.choose x) * ∏ x ∈ range n.succ, f (x + 1) (n - x) ^ n.choose (n - x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

⊢ HasCompactSupport u
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

⊢ IsCompact (closedBall 0 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ log x ≤ x - 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ log x + 1 ≤ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ x = rexp (log x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : t ∈ Icc 0 1

⊢ t • x ∈ s
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : LaurentSeries K

⊢ Valued.v f ≤ 1 ↔ ∃ F, (ofPowerSeries ℤ K) F = f
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : LaurentSeries K

⊢ (∀ n < 0, f.coeff n = 0) ↔ ∃ F, (ofPowerSeries ℤ K) F = f
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : LaurentSeries K
h : ∀ n < 0, f.coeff n = 0
n : ℕ

⊢ ((ofPowerSeries ℤ K) (PowerSeries.mk fun n => f.coeff ↑n)).coeff (Int.negSucc n) = f.coeff (Int.negSucc n)
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : LaurentSeries K

⊢ (∃ F, (ofPowerSeries ℤ K) F = f) → ∀ n < 0, f.coeff n = 0
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : LaurentSeries K
h : ∀ n < 0, f.coeff n = 0
n : ℕ

⊢ ((ofPowerSeries ℤ K) (PowerSeries.mk fun n => f.coeff ↑n)).coeff (Int.negSucc n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
F : K⟦X⟧
n✝ : ℤ
a✝ : n✝ < 0

⊢ ((ofPowerSeries ℤ K) F).coeff n✝ = 0
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : LaurentSeries K
h : ∀ n < 0, f.coeff n = 0
n x✝ : ℕ

⊢ ¬False
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
F : K⟦X⟧
n✝ : ℤ
a✝ : n✝ < 0
x✝ : ℕ

⊢ ¬↑x✝ = n✝
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Ring B
inst✝¹⁰ : CommRing S✝
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra A B
inst✝⁷ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁶ : Algebra R✝ A
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsField R

⊢ IsField S
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Ring B
inst✝¹⁰ : CommRing S✝
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra A B
inst✝⁷ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁶ : Algebra R✝ A
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsField R
x : S
hx : x ≠ 0

⊢ ∃ b, x * b = 1
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Ring B
inst✝¹⁰ : CommRing S✝
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra A B
inst✝⁷ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁶ : Algebra R✝ A
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsField R
x : S
hx : x ≠ 0
this : Module.Finite R ↥(adjoin R {x})

⊢ ∃ b, x * b = 1
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Ring B
inst✝¹⁰ : CommRing S✝
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra A B
inst✝⁷ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁶ : Algebra R✝ A
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsField R
x : S
hx : x ≠ 0
this✝ : Module.Finite R ↥(adjoin R {x})
this : Field R := hR.toField

⊢ ∃ b, x * b = 1
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing A
inst✝¹¹ : Ring B
inst✝¹⁰ : CommRing S✝
inst✝⁹ : CommRing T
inst✝⁸ : Algebra A B
inst✝⁷ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁶ : Algebra R✝ A
inst✝⁵ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hR : IsField R
x : S
hx : x ≠ 0
this✝ : Module.Finite R ↥(adjoin R {x})
this : Field R := hR.toField
y : ↥(adjoin R {x})
hy : ⟨x, ⋯⟩ * y = 1

⊢ ∃ b, x * b = 1
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ ↑(cos x ^ 2) = ↑(1 / 2 + cos (2 * x) / 2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α

⊢ (fun i => if MeasurableSet i then μ i else 0) ∅ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
x✝ : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (x✝ i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on x✝)

⊢ HasSum (fun i => if MeasurableSet (x✝ i) then μ (x✝ i) else 0) (if MeasurableSet (⋃ i, x✝ i) then μ (⋃ i, x✝ i) else 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
x✝ : ℕ → Set α
hf₁ : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (x✝ i)
hf₂ : Pairwise (Disjoint on x✝)

⊢ (∑' (b : ℕ), if MeasurableSet (x✝ b) then μ (x✝ b) else 0) = ∑' (i : ℕ), μ (x✝ i)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E

⊢ Continuous ⇑normSq
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
X₁ : ι → V
d₁ : (i j : ι) → X₁ i ⟶ X₁ j
s₁ : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel i j → d₁ i j = 0
h₁ : ∀ (i j k : ι), c.Rel i j → c.Rel j k → d₁ i j ≫ d₁ j k = 0
d₂ : (i j : ι) → X₁ i ⟶ X₁ j
s₂ : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel i j → d₂ i j = 0
h₂ : ∀ (i j k : ι), c.Rel i j → c.Rel j k → d₂ i j ≫ d₂ j k = 0
h_d : ∀ (i j : ι), c.Rel i j → { X := X₁, d := d₁, shape := s₁, d_comp_d' := h₁ }.d i j ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ { X := X₁, d := d₂, shape := s₂, d_comp_d' := h₂ }.d i j

⊢ { X := X₁, d := d₁, shape := s₁, d_comp_d' := h₁ } = { X := X₁, d := d₂, shape := s₂, d_comp_d' := h₂ }
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
X₁ : ι → V
d₁ : (i j : ι) → X₁ i ⟶ X₁ j
s₁ : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel i j → d₁ i j = 0
h₁ : ∀ (i j k : ι), c.Rel i j → c.Rel j k → d₁ i j ≫ d₁ j k = 0
d₂ : (i j : ι) → X₁ i ⟶ X₁ j
s₂ : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel i j → d₂ i j = 0
h₂ : ∀ (i j k : ι), c.Rel i j → c.Rel j k → d₂ i j ≫ d₂ j k = 0
h_d : ∀ (i j : ι), c.Rel i j → { X := X₁, d := d₁, shape := s₁, d_comp_d' := h₁ }.d i j ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯ ≫ { X := X₁, d := d₂, shape := s₂, d_comp_d' := h₂ }.d i j

⊢ d₁ = d₂
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves

⊢ ⟦x.mulOption y i k⟧ < -⟦x.mulOption (-y) j l⟧ ↔ P1 (x.moveLeft i) x (x.moveLeft j) y (y.moveLeft k) (-(-y).moveLeft l)
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves

⊢ ⟦x.moveLeft i * y⟧ + ⟦x * y.moveLeft k⟧ - ⟦x.moveLeft i * y.moveLeft k⟧ < -(⟦x.moveLeft j * -y⟧ + ⟦x * (-y).moveLeft l⟧ - ⟦x.moveLeft j * (-y).moveLeft l⟧) ↔ ⟦x.moveLeft i * y⟧ + ⟦x * y.moveLeft k⟧ - ⟦x.moveLeft i * y.moveLeft k⟧ < ⟦x.moveLeft j * y⟧ + ⟦x * -(-y).moveLeft l⟧ - ⟦x.moveLeft j * -(-y).moveLeft l⟧
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝ m n : ℕ
nzm : NeZero m
a : ZMod m
h : a.val < n
nzn : NeZero n

⊢ a.cast.val = a.val
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C

⊢ DominatedFinMeasAdditive μ' T C
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
h' : ∀ (s : Set α), μ s = ⊤ → μ' s = ⊤

⊢ DominatedFinMeasAdditive μ' T C
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
h' : ∀ (s : Set α), μ s = ⊤ → μ' s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ's : μ' s < ⊤

⊢ ‖T s‖ ≤ C * (μ' s).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
μ' : Measure α
h : μ ≤ μ'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hC : 0 ≤ C
h' : ∀ (s : Set α), μ s = ⊤ → μ' s = ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ's : μ' s < ⊤
hμs : μ s < ⊤

⊢ ‖T s‖ ≤ C * (μ' s).toReal
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MatrixExponential.lean
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
A B : Matrix m m 𝔸
h : Commute A B
this✝¹ : SeminormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpSemiNormedRing
this✝ : NormedRing (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedRing
this : NormedAlgebra 𝕂 (Matrix m m 𝔸) := Matrix.linftyOpNormedAlgebra

⊢ exp 𝕂 (A + B) = exp 𝕂 A * exp 𝕂 B
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
hK : CompleteSpace ↥K
this : ∀ (b : Bool), CompleteSpace ↥(bif b then K else Kᗮ)

⊢ IsHilbertSum 𝕜 (fun b => ↥(bif b then K else Kᗮ)) fun b => (bif b then K else Kᗮ).subtypeₗᵢ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
hK : CompleteSpace ↥K
this : ∀ (b : Bool), CompleteSpace ↥(bif b then K else Kᗮ)

⊢ ⊤ ≤ (⨆ i, bif i then K else Kᗮ).topologicalClosure
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
hK : CompleteSpace ↥K
this : ∀ (b : Bool), CompleteSpace ↥(bif b then K else Kᗮ)

⊢ ⊤ ≤ ⨆ i, bif i then K else Kᗮ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
hK : CompleteSpace ↥K
this : ∀ (b : Bool), CompleteSpace ↥(bif b then K else Kᗮ)

⊢ ⊤ ≤ (match true with | true => K | false => Kᗮ) ⊔ match false with | true => K | false => Kᗮ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
K : Submodule 𝕜 E
hK : CompleteSpace ↥K
this : ∀ (b : Bool), CompleteSpace ↥(bif b then K else Kᗮ)

⊢ Codisjoint (match true with | true => K | false => Kᗮ) (match false with | true => K | false => Kᗮ)
-- Mathlib/Algebra/Category/Ring/Colimits.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ CommRingCat
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ↑(F.obj j)

⊢ (coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (coconeMorphism F j) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p

⊢ (ι f ↑j ≫ toSubtype f p) ≫ π (Subtype.restrict p f) j✝ = ι (Subtype.restrict p f) j ≫ π (Subtype.restrict p f) j✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p

⊢ (if h : ↑j = ↑j✝ then eqToHom ⋯ else 0) = if h : j = j✝ then eqToHom ⋯ else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
h₁ : ↑j = ↑j✝
h₂ : j = j✝

⊢ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
h₁ : ↑j = ↑j✝
h₂ : ¬j = j✝

⊢ eqToHom ⋯ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
h₁ : ¬↑j = ↑j✝
h₂ : j = j✝

⊢ 0 = eqToHom ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
j j✝ : Subtype p
h₁ : ¬↑j = ↑j✝
h₂ : ¬j = j✝

⊢ 0 = 0
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean

⊢ φ⁻¹ = -ψ
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
this : 1 + √5 ≠ 0

⊢ φ⁻¹ = -ψ
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
h : s.Countable
default x : α
hx : x ∈ s
this : Encodable ↑s := h.toEncodable

⊢ enumerateCountable h default (encode ⟨x, hx⟩) = x
-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddMonoidWithOne G
inst✝¹ : AddMonoid H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
n : ℕ

⊢ f (x + ↑n) = f x + n • b
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v

⊢ (toCostructuredArrow F).rightOp ⋙ fromCostructuredArrow F = 𝟭 F.Elements
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v

⊢ ∀ (X : F.Elements), ((toCostructuredArrow F).rightOp ⋙ fromCostructuredArrow F).obj X = (𝟭 F.Elements).obj X
-- Mathlib/CategoryTheory/Elements.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v

⊢ ∀ (X Y : F.Elements) (f : X ⟶ Y), ((toCostructuredArrow F).rightOp ⋙ fromCostructuredArrow F).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 F.Elements).map f ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nontrivial α

⊢ 2 * card ↥(alternatingGroup α) = card (Perm α)
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nontrivial α
this : Perm α ⧸ sign.ker ≃ ℤˣ := (QuotientGroup.quotientKerEquivOfSurjective sign ⋯).toEquiv

⊢ 2 * card ↥(alternatingGroup α) = card (Perm α)
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nontrivial α
this : Perm α ⧸ sign.ker ≃ ℤˣ := (QuotientGroup.quotientKerEquivOfSurjective sign ⋯).toEquiv

⊢ card (Perm α ⧸ sign.ker) * card ↥(alternatingGroup α) = card (Perm α)
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Alternating.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Nontrivial α
this : Perm α ⧸ sign.ker ≃ ℤˣ := (QuotientGroup.quotientKerEquivOfSurjective sign ⋯).toEquiv

⊢ Nat.card (Perm α ⧸ sign.ker) * Nat.card ↥(alternatingGroup α) = Nat.card (Perm α)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
m n✝ i n : ℕ

⊢ i + (n + 1)! ≤ (i + (n + 1))!
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
m n✝ i n : ℕ
h✝ : 2 ≤ i

⊢ i + (n + 1)! ≤ (i + (n + 1))!
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
m n✝ i n : ℕ
h✝ : i < 2

⊢ i + (n + 1)! ≤ (i + (n + 1))!
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Kernels.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
G : C ⥤ D
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms

⊢ G.map f ≫ G.map (Cofork.π c) = 0
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ

⊢ T.SemanticallyEquivalent (∼φ) ∼ψ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α n
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ

⊢ ∀ (M : T.ModelType) (v : α → ↑M) (xs : Fin n → ↑M), ¬φ.Realize v xs ↔ ¬ψ.Realize v xs
-- Mathlib/Order/Filter/ZeroAndBoundedAtFilter.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Zero 𝕜
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero 𝕜 β
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 β
l : Filter α
f : α → β
c : 𝕜
hf : l.ZeroAtFilter f

⊢ l.ZeroAtFilter (c • f)
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α

⊢ (s₁.ndunion s₂).lcm = GCDMonoid.lcm s₁.lcm s₂.lcm
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α

⊢ ∀ (a : α), a ∈ s₁.ndunion s₂ ↔ a ∈ s₁ + s₂
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n : ℕ
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ Fin.last n

⊢ (finSuccEquiv' (Fin.last n)) i = some (i.castLT ⋯)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n : ℕ
i : Fin n
h : i.castSucc ≠ Fin.last n

⊢ (finSuccEquiv' (Fin.last n)) i.castSucc = some (i.castSucc.castLT ⋯)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n : ℕ
i : Fin n
h : i.castSucc ≠ Fin.last n

⊢ some i = some (i.castSucc.castLT ⋯)
-- Mathlib/Order/RelClasses.lean
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsRefl α r
inst✝ : IsAntisymm α r
a : α

⊢ r a a ∧ r a a
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
n : ℕ
hn : x ^ n = 0

⊢ IsNilpotent (-x)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Ring R
n : ℕ
hn : x ^ n = 0

⊢ (-x) ^ n = 0
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
x y : G
h : orderOf x = orderOf y
n : ℕ

⊢ (zpowersEquivZPowers h) ⟨x ^ n, ⋯⟩ = ⟨y ^ n, ⋯⟩
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
x y : G
h : orderOf x = orderOf y
n : ℕ

⊢ (finCongr h) ⟨n % orderOf x, ⋯⟩ = ⟨n % orderOf y, ⋯⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z Z' : C
h : Z ⟶ Z'

⊢ (𝟙 (X ⊗ Y) ⊗ h) ≫ (α_ X Y Z').hom = (α_ X Y Z).hom ≫ (𝟙 X ⊗ 𝟙 Y ⊗ h)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
x : P
I J : FractionalIdeal S P

⊢ I = spanSingleton S x * J ↔ (∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zJ = zI) ∧ ∀ z ∈ J, x * z ∈ I
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.51945, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasHomology
inst✝ : HasKernel S.g

⊢ S.Exact ↔ Epi (kernel.lift S.g S.f ⋯)