ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b : β
q : ℚ
x y : α

⊢ sSup (cutMap β x + cutMap β y) = inducedMap α β x + inducedMap α β y
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
M : o → Matrix m n α
N : o → Matrix n p α
i : m
k : o
j : p
k' : o

⊢ blockDiagonal (fun k => M k * N k) (i, k) (j, k') = (blockDiagonal M * blockDiagonal N) (i, k) (j, k')
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
M : o → Matrix m n α
N : o → Matrix n p α
i : m
k : o
j : p
k' : o

⊢ (if k = k' then ∑ j_1 : n, M k i j_1 * N k j_1 j else 0) = ∑ x : n, ∑ x_1 : o, (if k = x_1 then M k i x else 0) * if x_1 = k' then N x_1 x j else 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
S : Set α
V : Set (α × α)
x_in : x ∈ S
V_in : V ∈ 𝓤 α ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)

⊢ ball x V ∈ 𝓝[S] x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
S : Set α
V : Set (α × α)
x_in : x ∈ S
V_in : V ∈ 𝓤 α ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)

⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), Prod.mk x ⁻¹' t ⊆ ball x V
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
r : ℕ+
H : 1 < sumInv {2, 3, r}
h6 : 0 < 6

⊢ r < 6
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
r : ℕ+
h6 : 0 < 6
H : 6 ≤ r

⊢ sumInv {2, 3, r} ≤ 1
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
r : ℕ+
h6 : 0 < 6
H : 6 ≤ r

⊢ (↑↑2)⁻¹ + (↑↑3)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹ ≤ 1
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
r : ℕ+
h6 : 0 < 6
H : 6 ≤ r
hr : (↑↑r)⁻¹ ≤ 6⁻¹

⊢ (↑↑2)⁻¹ + (↑↑3)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹ ≤ 1
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
Z : C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
F : (A : IndexSet Δ) → s.N (unop A.fst).len ⟶ Z
A : IndexSet Δ

⊢ (s.cofan Δ).inj A ≫ s.desc Δ F = F A
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P

⊢ Wbtw R x y z ↔ SameRay R (y -ᵥ x) (z -ᵥ y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P
h : SameRay R (y -ᵥ x) (z -ᵥ y)

⊢ Wbtw R x y z
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z : ℂ
hz : z = 0

⊢ |z.re / abs z| ≤ 1
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z : ℂ
hz : ¬z = 0

⊢ |z.re / abs z| ≤ 1
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
cf cg : Code

⊢ encode cf < encode (cf.comp cg) ∧ encode cg < encode (cf.comp cg)
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
cf cg : Code
this : encode (cf.pair cg) < encode (cf.comp cg)

⊢ encode cf < encode (cf.comp cg) ∧ encode cg < encode (cf.comp cg)
-- Mathlib/Topology/Baire/Lemmas.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
s t : Set X
ts : t ⊆ s
ho : IsGδ t
hd : Dense t

⊢ s ∈ residual X
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t : Set α
p : Set β → Prop

⊢ (∀ t ⊆ f '' s, p t) ↔ ∀ t ⊆ s, p (f '' t)
-- Mathlib/Analysis/Complex/CauchyIntegral.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
s : Set ℂ
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f s
hz : s ∈ 𝓝 z

⊢ AnalyticAt ℂ f z
-- Mathlib/Analysis/Complex/CauchyIntegral.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
s : Set ℂ
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f s
hz : s ∈ 𝓝 z
R : ℝ
hR0 : 0 < R
hRs : closedBall z R ⊆ s

⊢ AnalyticAt ℂ f z
-- Mathlib/Analysis/Complex/CauchyIntegral.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
s : Set ℂ
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f s
hz : s ∈ 𝓝 z
R : ℝ≥0
hR0 : 0 < ↑R
hRs : closedBall z ↑R ⊆ s

⊢ AnalyticAt ℂ f z
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a x : α

⊢ insert x {x}ᶜ = univ
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
u : E →L[𝕜] F
M : ℝ
hM : 0 ≤ M
hu : ∀ (i : ι), ‖u (v i)‖ ≤ M

⊢ ‖u‖ ≤ Fintype.card ι • ‖↑v.equivFunL‖ * M
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
a : Filter α
b : β

⊢ Tendsto f a (pure b) ↔ ∀ᶠ (x : α) in a, f x = b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
M : Type u_6
inst✝ : CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ

⊢ f n = f 0 * ∏ i ∈ range n, f (i + 1) / f i
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c

⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1 ∧ 0 < c0
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0
hc : a0 % 2 = 1

⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1 ∧ 0 < c0
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0
hc : a0 % 2 = 1
h1 : 0 < c0

⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1 ∧ 0 < c0
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0
hc : a0 % 2 = 1
h1 : 0 = c0

⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1 ∧ 0 < c0
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0
hc : a0 % 2 = 1
h1 : c0 < 0

⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1 ∧ 0 < c0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
a : E →ₗᵢ[ℝ] UniformSpace.Completion E := UniformSpace.Completion.toComplₗᵢ
f' : ℝ → UniformSpace.Completion E := ⇑a ∘ f

⊢ ¬IntegrableOn g k volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
a : E →ₗᵢ[ℝ] UniformSpace.Completion E := UniformSpace.Completion.toComplₗᵢ
f' : ℝ → UniformSpace.Completion E := ⇑a ∘ f
h'd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f' x

⊢ ¬IntegrableOn g k volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
a : E →ₗᵢ[ℝ] UniformSpace.Completion E := UniformSpace.Completion.toComplₗᵢ
f' : ℝ → UniformSpace.Completion E := ⇑a ∘ f
h'd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f' x
h'f : Tendsto (fun x => ‖f' x‖) l atTop

⊢ ¬IntegrableOn g k volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
a : E →ₗᵢ[ℝ] UniformSpace.Completion E := UniformSpace.Completion.toComplₗᵢ
f' : ℝ → UniformSpace.Completion E := ⇑a ∘ f
h'd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f' x
h'f : Tendsto (fun x => ‖f' x‖) l atTop
h'fg : deriv f' =O[l] g

⊢ ¬IntegrableOn g k volume
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q : ℚ

⊢ 0 < q.toNNRat ↔ 0 < q
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : Cofork f g

⊢ s.ι.app zero = f ≫ s.π
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ

⊢ (↑(n + 1)).toZNumNeg = -↑(n + 1)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ

⊢ (↑n).toZNum.succ = (↑n).succ
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
x : M

⊢ ((lift R) f) ((ι R) x) = f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
x : M

⊢ ((lift R) f) ((ι R) x) = (((lift R) f).toLinearMap ∘ₗ ι R) x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
k : S
x : A
hx : x ∈ span R t

⊢ k • x ∈ span R (s • t)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
k : S
x : A
hx : x ∈ span R t

⊢ k • x ∈ restrictScalars R (span S t)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
N : Type u_9
f : N → H
g : N → H'
ϕ : N → E →L[𝕜] E'
x₀ : N

⊢ inTangentCoordinates I I' f g ϕ x₀ = ϕ
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
h : Disjoint π₁.iUnion π₂.iUnion

⊢ (π₁.disjUnion π₂ h).iUnion = π₁.iUnion ∪ π₂.iUnion
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : (P F).W α

⊢ abs ((P F).wDest' x) = abs ((P F).wDest' y) → WEquiv x y
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : (P F).W α

⊢ ∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), abs ((P F).wDest' ((P F).wMk a f' f)) = abs ((P F).wDest' y) → WEquiv ((P F).wMk a f' f) y
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : (P F).W α
a₀ : (P F).A
f'₀ : (P F).drop.B a₀ ⟹ α
f₀ : (P F).last.B a₀ → (P F).W α

⊢ abs ((P F).wDest' ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀)) = abs ((P F).wDest' y) → WEquiv ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) y
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : (P F).W α
a₀ : (P F).A
f'₀ : (P F).drop.B a₀ ⟹ α
f₀ : (P F).last.B a₀ → (P F).W α

⊢ ∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), abs ((P F).wDest' ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀)) = abs ((P F).wDest' ((P F).wMk a f' f)) → WEquiv ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) ((P F).wMk a f' f)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
j k : ℕ
A : IndexSet (op [j])
hA : ¬A.EqId

⊢ (s.cofan (op [j])).inj A ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
j k : ℕ
A : IndexSet (op [j])
hA : ¬Mono A.e

⊢ (s.cofan (op [j])).inj A ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : CommRing R
x : V → R

⊢ x ⬝ᵥ degMatrix R G *ᵥ x = ∑ i : V, ↑(G.degree i) * x i * x i
-- Mathlib/Data/Bool/Basic.lean
n m : Nat
h : n ≤ m

⊢ ofNat n ≤ ofNat m
-- Mathlib/Data/Bool/Basic.lean
n m : Nat
h : n ≤ m

⊢ (!decide (n = 0)) ≤ !decide (m = 0)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g

⊢ G.map f ≫ G.map q = G.map p ≫ G.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g

⊢ G.map (kernel.ι f) ≫ G.map f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g

⊢ G.map (kernel.ι g) ≫ G.map g = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g

⊢ G.map (kernel.ι f) ≫ G.map p = G.map (kernel.map f g p q hpq) ≫ G.map (kernel.ι g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝⁴ : G.PreservesZeroMorphisms
X' Y' : C
inst✝³ : HasKernel f
inst✝² : HasKernel (G.map f)
g : X' ⟶ Y'
inst✝¹ : HasKernel g
inst✝ : HasKernel (G.map g)
p : X ⟶ X'
q : Y ⟶ Y'
hpq : f ≫ q = p ≫ g

⊢ G.map (kernel.ι f ≫ p) = G.map (kernel.map f g p q hpq ≫ kernel.ι g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α

⊢ IsUnit A ↔ IsUnit A.det
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnected.lean
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x✝ y✝ : α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
z : α
hz : z ∈ Icc x y

⊢ z ∈ s
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnected.lean
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x✝ y : α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : α
hx : x ∈ s
z : α
hy : x ∈ s
hz : z ∈ Icc x x

⊢ z ∈ s
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnected.lean
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α
x✝ y : α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : α
hx : x ∈ s
z : α
hy : x ∈ s
hz : z = x

⊢ z ∈ s
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
val✝¹ : List I
property✝¹ : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) val✝¹
val✝ : List I
property✝ : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) val✝

⊢ ⟨val✝¹, property✝¹⟩ < ⟨val✝, property✝⟩ ↔ List.Lex (fun x x_1 => x < x_1) ↑⟨val✝¹, property✝¹⟩ ↑⟨val✝, property✝⟩
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
val✝¹ : List I
property✝¹ : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) val✝¹
val✝ : List I
property✝ : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) val✝

⊢ val✝¹ < val✝ ↔ List.Lex (fun x x_1 => x < x_1) ↑⟨val✝¹, property✝¹⟩ ↑⟨val✝, property✝⟩
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Path.lean
V : Type u
inst✝¹ : Quiver V
a✝ b c✝ d : V
inst✝ : ∀ (a b : V), Subsingleton (a ⟶ b)
a x✝ c : V
p : Path a c
f : c ⟶ x✝
C : Path a c
D : c ⟶ x✝
hAC : p.toList = C.toList

⊢ p.cons f = C.cons D
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Trifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁸ : Category.{u_14, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_13, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{u_12, u_3} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_4} C₄
inst✝⁴ : Category.{?u.275553, u_5} C₁₂
inst✝³ : Category.{u_15, u_6} C₂₃
F✝ F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄
G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝² : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p
inst✝¹ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q
H : HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃
F₁₂ : ?m.277908
G : ?m.277911
ρ₁₂ : ?m.277914
inst✝ : ((((mapTrifunctor (bifunctorComp₂₃ F G₂₃) I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap r
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j

⊢ ιMapTrifunctorMapObj (bifunctorComp₂₃ F G₂₃) r X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (CofanMapObjFun.iso (isColimitCofan₃MapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ j)).inv = ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h
-- Mathlib/GroupTheory/Coprod/Basic.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
K : Type u_3
inst✝ : Group K
f : G →* K
g : H →* K

⊢ (lift f g).range = f.range ⊔ g.range
-- Mathlib/Data/Finsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N

⊢ (-f).neLocus g = f.neLocus (-g)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hxy : x < y
hz : 0 < z

⊢ x ^ z < y ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 = x ∨ 0 < x
hxy : x < y
hz : 0 < z

⊢ x ^ z < y ^ z
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : MetricSpace E
f✝ : ℕ → α → E
g✝ : α → E
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f u g

⊢ ∃ ns, TendstoInMeasure μ (fun n => f (ns n)) atTop g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : MetricSpace E
f✝ : ℕ → α → E
g✝ : α → E
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f u g
ns : ℕ → ι
h_tendsto_ns : Tendsto ns atTop u

⊢ ∃ ns, TendstoInMeasure μ (fun n => f (ns n)) atTop g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞

⊢ ∑ x ∈ (const α c).range, x * μ (↑(const α c) ⁻¹' {x}) = c * μ univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
h✝ : IsEmpty α

⊢ ∑ x ∈ (const α c).range, x * μ (↑(const α c) ⁻¹' {x}) = c * μ univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
h✝ : Nonempty α

⊢ ∑ x ∈ (const α c).range, x * μ (↑(const α c) ⁻¹' {x}) = c * μ univ
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0

⊢ ∃ i, (p i) x ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y

⊢ ∃ i, (p i) x ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
h : ∀ (i : ι), (p i) x = 0

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
h : ∀ (i : ι), (p i) x = 0

⊢ x ⤳ 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
h : ∀ (i : ι), (p i) x = 0

⊢ ∀ (i : Finset ι × ℝ), 0 < i.2 → x ∈ (i.1.sup p).ball 0 i.2
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : T1Space E
hp : WithSeminorms p
x : E
hx : x ≠ 0
this : ∀ ⦃x y : E⦄, x ⤳ y → x = y
h : ∀ (i : ι), (p i) x = 0
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r

⊢ x ∈ ((s, r).1.sup p).ball 0 (s, r).2