ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : SemilatticeSup α
b c : α
inst✝ : OrderBot α
s : Finset ι
f : ι → α
ha : SupPrime ⊥

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a✝ b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ insert a s \ s ↔ x✝ ∈ {a}
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a✝ b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
a : α
s : Set α
h : a ∉ s
x✝ : α

⊢ x✝ = a → x✝ ∉ s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
h : DifferentiableAt 𝕜 (fun y => c + f y) x

⊢ DifferentiableAt 𝕜 f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
inst✝ : Nontrivial R

⊢ (nodal s v).natDegree = s.card
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α

⊢ 2 ≤ (f.cycleOf x).support.card ↔ f x ≠ x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
h : 2 ≤ (f.cycleOf x).support.card

⊢ f x ≠ x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
h : f x = x

⊢ (f.cycleOf x).support.card < 2
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
h : f.cycleOf x = 1

⊢ (f.cycleOf x).support.card < 2
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ

⊢ LiouvilleWith p (↑m + x) ↔ LiouvilleWith p x
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
f : α →ᵇ β

⊢ ‖f‖ = sInf {C | 0 ≤ C ∧ ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ C}
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : { p // p ∣ I }

⊢ comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X)) ∣ J
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : { p // p ∣ I }
this : RingHom.ker (Ideal.Quotient.mk J) ≤ comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X))

⊢ comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X)) ∣ J
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : { p // p ∣ I }
this : J ≤ comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X))

⊢ comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X)) ∣ J
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : Ideal R
hX : X ∣ I
Y : Ideal R
hY : Y ∣ I
h : ⟨X, hX⟩ ≤ ⟨Y, hY⟩

⊢ (fun X => ⟨comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X)), ⋯⟩) ⟨X, hX⟩ ≤ (fun X => ⟨comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X)), ⋯⟩) ⟨Y, hY⟩
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : Ideal R
hX : X ∣ I
Y : Ideal R
hY : Y ∣ I
h : X ≤ Y

⊢ comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) X)) ≤ ↑((fun X => ⟨comap (Ideal.Quotient.mk J) (map f (map (Ideal.Quotient.mk I) ↑X)), ⋯⟩) ⟨Y, hY⟩)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : Ideal R
hX : X ∣ I
Y : Ideal R
hY : Y ∣ I
h : X ≤ Y

⊢ map (Ideal.Quotient.mk I) X ≤ map (Ideal.Quotient.mk I) Y ⊔ comap f ⊥
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
f : R ⧸ I →+* A ⧸ J
hf : Function.Surjective ⇑f
X : Ideal R
hX : X ∣ I
Y : Ideal R
hY : Y ∣ I
h : X ≤ Y

⊢ map (Ideal.Quotient.mk I) X ≤ map (Ideal.Quotient.mk I) Y
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β

⊢ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)

⊢ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0

⊢ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h0' : (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ 0

⊢ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h0' : (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ 0

⊢ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≤ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h0' : (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ 0

⊢ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν ν' : Kernel α γ
hνν' : ν ≤ ν'
hκν : κ.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h_le : (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h0' : (ν' a) (countablePartitionSet n x) ≠ 0

⊢ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Mul M
inst✝⁵ : ContinuousMul M
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousMul β
f : F
tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ

⊢ ContinuousMul α
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Mul M
inst✝⁵ : ContinuousMul M
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousMul β
f : F
tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ

⊢ Continuous (⇑f ∘ fun p => p.1 * p.2)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : Mul M
inst✝⁵ : ContinuousMul M
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : MulOneClass β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousMul β
f : F
tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ

⊢ Continuous fun x => f x.1 * f x.2
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
hx : x ∈ thickening δ E

⊢ x ∈ cthickening δ E
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x✝ : α
δ : ℝ
E : Set α
x : α
hx : infEdist x E < ENNReal.ofReal δ

⊢ x ∈ cthickening δ E
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a

⊢ ContinuousAt (dslope f a) b ↔ ContinuousAt f b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : Module.Free R M₁
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Finite R M'

⊢ finrank R (M × M') = finrank R M + finrank R M'
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b : ℕ
h : 1 ≤ b

⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, n.FermatPsp b
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b : ℕ
h : 1 ≤ b
n : ℕ

⊢ ∃ b_1 ≥ n, b_1.FermatPsp b
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b : ℕ
h : 1 ≤ b
n p : ℕ
hp : p.FermatPsp b ∧ n ≤ p

⊢ ∃ b_1 ≥ n, b_1.FermatPsp b
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t

⊢ Disjoint (span R (v '' s)) (span R (v '' t))
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t

⊢ ∀ (x : M), (∃ l ∈ Finsupp.supported R R s, (Finsupp.total ι M R v) l = x) → (∃ l ∈ Finsupp.supported R R t, (Finsupp.total ι M R v) l = x) → x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
l₂ : ι →₀ R
hl₂ : l₂ ∈ Finsupp.supported R R t
H : (Finsupp.total ι M R v) l₂ = (Finsupp.total ι M R v) l₁

⊢ (Finsupp.total ι M R v) l₁ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
l₂ : ι →₀ R
hl₂ : l₂ ∈ Finsupp.supported R R t
H : l₂ = l₁

⊢ (Finsupp.total ι M R v) l₁ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
hl₂ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R t

⊢ (Finsupp.total ι M R v) l₁ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s t : Set ι
hs : Disjoint s t
l₁ : ι →₀ R
hl₁ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R s
hl₂ : l₁ ∈ Finsupp.supported R R t
this : l₁ = 0

⊢ (Finsupp.total ι M R v) l₁ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
b : ι → M
h : LinearIndependent R b

⊢ Fintype.card ι ≤ finrank R M
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
la : Filter α
lb : Filter β
p : α × β → Prop
h : ∀ᶠ (x : α × β) in la ×ˢ lb, p x

⊢ ∀ᶠ (x : α) in la, ∀ᶠ (y : β) in lb, p (x, y)
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
la : Filter α
lb : Filter β
p : α × β → Prop
h✝ : ∀ᶠ (x : α × β) in la ×ˢ lb, p x
pa : α → Prop
ha : ∀ᶠ (x : α) in la, pa x
pb : β → Prop
hb : ∀ᶠ (y : β) in lb, pb y
h : ∀ {x : α}, pa x → ∀ {y : β}, pb y → p (x, y)

⊢ ∀ᶠ (x : α) in la, ∀ᶠ (y : β) in lb, p (x, y)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d✝ m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n d : ℕ

⊢ d * (n / d) = n ↔ d * (n / d) = d * (n / d) + n % d
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d✝ m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n d : ℕ

⊢ d * (n / d) = d * (n / d) + n % d ↔ d ∣ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht : MeasurableSet t

⊢ ∫ (x : X) in s, t.indicator f x ∂μ = ∫ (x : X) in s ∩ t, f x ∂μ
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k✝ : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁹ : CommSemiring k✝
inst✝⁸ : Monoid G
inst✝⁷ : Monoid H
A✝ : Type u₃
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Algebra k✝ A✝
B : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra k✝ B
k : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : CommSemiring k
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra k A
x✝ : MonoidAlgebra A G

⊢ (mapDomainAlgHom k A (MonoidHom.id G)) x✝ = (AlgHom.id k (MonoidAlgebra A G)) x✝
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Hom.lean
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁵ : SMul M X
inst✝⁴ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝³ : SMul N Y
inst✝² : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝¹ : SMul P Z
φ' : N → M
Y₁ : Type u_8
inst✝ : SMul M Y₁
f : X →ₑ[id] Y₁
g : Y₁ → X
h₁ : Function.LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
m : M
x : Y₁

⊢ g (m • f (g x)) = g (f (m • g x))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
h0 : p 0 = 0

⊢ (p.leftInv i).comp (id 𝕜 F) = (p.leftInv i).comp (p.comp (p.rightInv i))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
h0 : p 0 = 0

⊢ (p.leftInv i).comp (p.comp (p.rightInv i)) = ((p.leftInv i).comp p).comp (p.rightInv i)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
h : p 1 = (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F).symm ↑i
h0 : p 0 = 0

⊢ ((p.leftInv i).comp p).comp (p.rightInv i) = (id 𝕜 E).comp (p.rightInv i)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0

⊢ ¬p ^ (padicValNat p n + 1) ∣ n
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0

⊢ padicValNat p n < padicValNat p n + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α

⊢ AEStronglyMeasurable f 0
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
a b : α
s : Set α
f : ι → α

⊢ (iSup f)ᶜᶜ = (⨅ i, (f i)ᶜ)ᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
x : G

⊢ condexpIndSMul hm ⋯ ⋯ x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
x : G

⊢ (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) 0) = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
g : F →L[𝕜] G
h : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y✝ : E
hy : y✝ ∈ EMetric.ball 0 r

⊢ HasSum (fun n => (g.compFormalMultilinearSeries p n) fun x => y✝) ((⇑g ∘ f) (x + y✝))
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ b

⊢ a + b = max a b
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀

⊢ 0 / a = 0
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
i : ℕ
l : List α
l' : List β
h : i < (zipWith f l l').length

⊢ i < l.length
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
i : ℕ
l : List α
l' : List β
h : i < min l.length l'.length

⊢ i < l.length
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
a b : ℝ
nb : ℕ
num : ℤ
den : ℕ
pb : IsNat b nb
pe' : IsRat (a ^ nb) num den

⊢ IsRat (a ^ b) num den
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜

⊢ 𝔠 ≤ #𝕜
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜

⊢ ∃ f, range f ⊆ Set.univ ∧ Continuous f ∧ Injective f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜

⊢ Perfect Set.univ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x

⊢ ∃ y ∈ U ∩ Set.univ, y ≠ x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
x : 𝕜
x✝ : x ∈ Set.univ
U : Set 𝕜
hU : U ∈ 𝓝 x
c : 𝕜
c_pos : 0 < ‖c‖
hc : ‖c‖ < 1

⊢ ∃ y ∈ U ∩ Set.univ, y ≠ x