ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Convolution.lean
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : HasContDiffBump G
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
φ✝ : ContDiffBump 0
x₀✝ : G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
ι : Type u_1
φ : ι → ContDiffBump 0
l : Filter ι
K : ℝ
hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)
h'φ : ∀ᶠ (i : ι) in l, (φ i).rOut ≤ K * (φ i).rIn
hg : LocallyIntegrable g μ
this✝ : μ.IsAddHaarMeasure
x₀ : G
h₀ : Tendsto (fun a => ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x₀) (𝓝 0)
hφ' : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝[>] 0)
this : Tendsto (fun x => ⨍ (y : G) in closedBall x₀ (φ x).rOut, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) l (𝓝 0)

⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, (support fun y => (φ i).normed μ (x₀ - y)) ⊆ closedBall x₀ (φ i).rOut
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Convolution.lean
G : Type uG
E' : Type uE'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
g : G → E'
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : HasContDiffBump G
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
φ✝ : ContDiffBump 0
x₀✝ : G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ G
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
ι : Type u_1
φ : ι → ContDiffBump 0
l : Filter ι
K : ℝ
hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)
h'φ : ∀ᶠ (i : ι) in l, (φ i).rOut ≤ K * (φ i).rIn
hg : LocallyIntegrable g μ
this✝ : μ.IsAddHaarMeasure
x₀ : G
h₀ : Tendsto (fun a => ⨍ (y : G) in a, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x₀) (𝓝 0)
hφ' : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝[>] 0)
this : Tendsto (fun x => ⨍ (y : G) in closedBall x₀ (φ x).rOut, ‖g y - g x₀‖ ∂μ) l (𝓝 0)

⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : G), |(φ i).normed μ (x₀ - x)| ≤ K ^ FiniteDimensional.finrank ℝ G / (μ (closedBall x₀ (φ i).rOut)).toReal
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hx : x ≠ 0
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0

⊢ legendreSym p a = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hx : x ≠ 0
hxy : x ^ 2 - ↑a * y ^ 2 = 0
hy : y ≠ 0

⊢ legendreSym p a = 1
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ

⊢ (starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂ z τ) = jacobiTheta₂ ((starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ

⊢ ∑' (a : ℤ), (starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂_term a (-z) τ) = jacobiTheta₂ ((starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
n : ℤ

⊢ (starRingEnd ℂ) (jacobiTheta₂_term n (-z) τ) = jacobiTheta₂_term n ((starRingEnd ℂ) z) (-(starRingEnd ℂ) τ)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
α : Type u_1
I : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I

⊢ IsRelPrime x (∏ i ∈ t, s i) ↔ ∀ i ∈ t, IsRelPrime x (s i)
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Add α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α

⊢ (equivShrink α) (x + y) = (equivShrink α) x + (equivShrink α) y
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Add α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : α

⊢ (equivShrink α) (x + y) = (equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm ((equivShrink α) x) + (equivShrink α).symm ((equivShrink α) y))
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m✝ n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
m : ℕ
h : m.succ * n = n + m * n

⊢ repeat m.succ a = append a (repeat m a) ∘ cast h
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m✝ n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
m : ℕ
h : m.succ * n = n + m * n

⊢ ∀ (x : Fin (m.succ * n)), repeat m.succ a x = (append a (repeat m a) ∘ cast h) x
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m✝ n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
m : ℕ
h : m.succ * n = n + m * n

⊢ ∀ (x : Fin (n + m * n)), repeat m.succ a (cast ⋯ x) = (append a (repeat m a) ∘ cast h) (cast ⋯ x)
-- Mathlib/Order/Heyting/Regular.lean
α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α
hb : IsRegular b

⊢ Disjoint a bᶜ ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
a b : α
l : List α
h : f a = some b

⊢ lookmap f (a :: l) = b :: l
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
a b : α
l : List α
h : f a = some b

⊢ (match f a with | some b => b :: l | none => lookmap.go f l (#[].push a)) = b :: l
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n k : ℕ

⊢ (m + n * k).Coprime n ↔ m.Coprime n
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S

⊢ absNorm ⊥ = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R

⊢ ∀ᶠ (t : R) in 𝓝 0, inverse (↑x + t) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R

⊢ ∃ ε > 0, ∀ ⦃y : R⦄, dist y 0 < ε → inverse (↑x + y) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * y) * ↑x⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R
t : R
ht : dist t 0 < ‖↑x⁻¹‖⁻¹

⊢ inverse (↑x + t) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
a✝ : Nontrivial R
t : R
ht : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹

⊢ inverse (↑x + t) = inverse (1 + ↑x⁻¹ * t) * ↑x⁻¹
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
r : R

⊢ (optionEquivLeft R S₁) (C r) = Polynomial.C (C r)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk v w
he : s(t, u) ∈ p.edges

⊢ t ∈ p.support
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk v w
he✝ : s(t, u) ∈ p.edges
d : G.Dart
hd : d ∈ p.darts
he : d.edge = s(t, u)

⊢ t ∈ p.support
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
t u v w : V
p : G.Walk v w
he✝ : s(t, u) ∈ p.edges
d : G.Dart
hd : d ∈ p.darts
he : d.toProd.1 = t ∧ d.toProd.2 = u ∨ d.toProd.1 = u ∧ d.toProd.2 = t

⊢ t ∈ p.support
-- Mathlib/RingTheory/ReesAlgebra.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R

⊢ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I) = reesAlgebra I
-- Mathlib/RingTheory/ReesAlgebra.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R

⊢ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I) ≤ reesAlgebra I
-- Mathlib/RingTheory/ReesAlgebra.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R

⊢ reesAlgebra I ≤ Algebra.adjoin R ↑(Submodule.map (monomial 1) I)
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c✝ d c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]

⊢ a * c ≡ b * c [MOD n]
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c✝ d c : ℕ
h : a ≡ b [MOD n]

⊢ c * a ≡ c * b [MOD n]
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0

⊢ x = 0 ∨ y = 0 ∨ o.oangle x y = ↑(π / 2) ∨ o.oangle x y = ↑(-π / 2) ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0

⊢ o.oangle x y = ↑(π / 2) ∨ o.oangle x y = ↑(-π / 2) ↔ InnerProductGeometry.angle x y = π / 2
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t

⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (x : β × Ω) in Set.univ ×ˢ t, f x ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : β × Ω → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α
t : Set Ω
ht : MeasurableSet t

⊢ ∫⁻ (b : β), ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫⁻ (b : β) in Set.univ, ∫⁻ (ω : Ω) in t, f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
a : ℤ√d
hgcd : 0 < a.re.gcd a.im

⊢ ∃ b, a = ↑↑(a.re.gcd a.im) * b ∧ IsCoprime b.re b.im
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
a : ℤ√d
hgcd : 0 < a.re.gcd a.im
re im : ℤ
H1 : re.gcd im = 1
Hre : a.re = re * ↑(a.re.gcd a.im)
Him : a.im = im * ↑(a.re.gcd a.im)

⊢ ∃ b, a = ↑↑(a.re.gcd a.im) * b ∧ IsCoprime b.re b.im
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
a : ℤ√d
hgcd : 0 < a.re.gcd a.im
re im : ℤ
H1 : re.gcd im = 1
Hre : a.re = ↑(a.re.gcd a.im) * re
Him : a.im = ↑(a.re.gcd a.im) * im

⊢ ∃ b, a = ↑↑(a.re.gcd a.im) * b ∧ IsCoprime b.re b.im
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ a₂ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
h : solution p a₁ a₂ = 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ a₂ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
h : solution p a₁ a₂ = 0
this : solution p a₁ a₂ ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ a₂ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
h : solution p a₁ a₂ = 0
this : 0 = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
a₁ a₂ : 𝕎 k
ha₁ : a₁.coeff 0 ≠ 0
ha₂ : a₂.coeff 0 ≠ 0
h : solution p a₁ a₂ = 0
this : 0 ^ (p - 1) = a₂.coeff 0 / a₁.coeff 0

⊢ p - 1 ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIocDiv hp a b • p + toIocMod hp a b = b
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
hf : MDifferentiableAt I I' f x

⊢ mfderiv I I'' (g ∘ f) x = (mfderiv I' I'' g (f x)).comp (mfderiv I I' f x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : MDifferentiableAt I' I'' g (f x)
hf : MDifferentiableAt I I' f x

⊢ HasMFDerivAt I I'' (g ∘ f) x ((mfderiv I' I'' g (f x)).comp (mfderiv I I' f x))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]

⊢ ↑z = 0 ↔ z = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ

⊢ 2 < s.card ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, ∃ c ∈ s, a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ (f.comp g).Dom ↔ x✝ ∈ g.preimage f.Dom
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
x✝ : α

⊢ (∃ y, ∃ a ∈ g x✝, y ∈ f a) ↔ ∃ y, ∃ x ∈ f y, y ∈ g x✝
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
x✝ : α

⊢ (∃ b a, b ∈ g x✝ ∧ a ∈ f b) ↔ ∃ y, ∃ x ∈ f y, y ∈ g x✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y✝ z : ℝ
x : ℝ≥0
y : ℝ

⊢ x ^ y = 0 ↔ x = 0 ∧ y ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y✝ z : ℝ
x : ℝ≥0
y : ℝ

⊢ ↑x ^ y = ↑0 ↔ ↑x = 0 ∧ y ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ

⊢ a / b ≤ 1 ↔ 0 < b ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0

⊢ a / b ≤ 1 ↔ 0 < b ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a c d : α
n : ℤ

⊢ a / 0 ≤ 1 ↔ 0 < 0 ∧ a ≤ 0 ∨ 0 = 0 ∨ 0 < 0 ∧ 0 ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : 0 < b

⊢ a / b ≤ 1 ↔ 0 < b ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∨ b < 0 ∧ b ≤ a
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Transfer.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
this : PreservesColimits G

⊢ HasCokernel f
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Transfer.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
this✝ : PreservesColimits G
this : i.inv.app X✝ ≫ (F ⋙ G).map f ≫ i.hom.app Y✝ = (𝟭 C).map f

⊢ HasCokernel f
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Transfer.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v, u₁} C
inst✝³ : Preadditive C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
i : F ⋙ G ≅ 𝟭 C
adj : G ⊣ F
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
this✝ : PreservesColimits G
this : i.inv.app X✝ ≫ G.map (F.map f) ≫ i.hom.app Y✝ = f

⊢ HasCokernel f
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰

⊢ r * x = r * y ↔ x = y
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

⊢ (z₁ + z₂) ^ p ≤ 2 ^ (p - 1) * (z₁ ^ p + z₂ ^ p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

⊢ (z₁ + z₂) ^ p = (1 / 2 * (2 * z₁) + 1 / 2 * (2 * z₂)) ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
z₁ z₂ : ℝ≥0∞
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

⊢ 2 ^ (p - 1) * (z₁ ^ p + z₂ ^ p) = 1 / 2 * (2 * z₁) ^ p + 1 / 2 * (2 * z₂) ^ p
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : ↑n < φ.order

⊢ (coeff R n) φ = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
n : ℕ
h : (coeff R n) φ ≠ 0

⊢ φ.order ≤ ↑n
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
a : α

⊢ (s ∪ t).erase a = s.erase a ∪ t.erase a
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.133780, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄

⊢ (φ₁ - φ₃).τ₁ = S₁.f ≫ (h.h₁ - h'.h₁) + (h.h₀ - h'.h₀) + (φ₂ - φ₄).τ₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.133780, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄

⊢ S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀ + φ₂.τ₁ - (S₁.f ≫ h'.h₁ + h'.h₀ + φ₄.τ₁) = S₁.f ≫ h.h₁ - S₁.f ≫ h'.h₁ + (h.h₀ - h'.h₀) + (φ₂.τ₁ - φ₄.τ₁)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.133780, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄

⊢ (φ₁ - φ₃).τ₂ = S₁.g ≫ (h.h₂ - h'.h₂) + (h.h₁ - h'.h₁) ≫ S₂.f + (φ₂ - φ₄).τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.133780, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄

⊢ S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f + φ₂.τ₂ - (S₁.g ≫ h'.h₂ + h'.h₁ ≫ S₂.f + φ₄.τ₂) = S₁.g ≫ h.h₂ - S₁.g ≫ h'.h₂ + (h.h₁ ≫ S₂.f - h'.h₁ ≫ S₂.f) + (φ₂.τ₂ - φ₄.τ₂)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.133780, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄

⊢ (φ₁ - φ₃).τ₃ = h.h₃ - h'.h₃ + (h.h₂ - h'.h₂) ≫ S₂.g + (φ₂ - φ₄).τ₃
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.133780, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄

⊢ h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃ - (h'.h₃ + h'.h₂ ≫ S₂.g + φ₄.τ₃) = h.h₃ - h'.h₃ + (h.h₂ ≫ S₂.g - h'.h₂ ≫ S₂.g) + (φ₂.τ₃ - φ₄.τ₃)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P

⊢ dist p₁ ((reflection s) p₂) = dist p₁ p₂
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p₁ : P
hp₁ : (reflection s) p₁ = p₁
p₂ : P

⊢ dist p₁ ((reflection s) p₂) = dist p₁ p₂
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p₁ : P
hp₁ : (reflection s) p₁ = p₁
p₂ : P

⊢ p₁ = (reflection s) p₁
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
h : L (fun n => χ ↑n) s = 0

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
a b : ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
h : a ≠ ⊤ ∧ b ≠ ⊤

⊢ a * b ≤ a ^ p / ENNReal.ofReal p + b ^ q / ENNReal.ofReal q
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
a b : ℝ≥0∞
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
h : a ≠ ⊤ ∧ b ≠ ⊤

⊢ a.toNNReal * b.toNNReal ≤ a.toNNReal ^ p / p.toNNReal + b.toNNReal ^ q / q.toNNReal
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m

⊢ Nat.Prime p
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m

⊢ Irreducible p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian

⊢ A.rank = (diagonal hA.eigenvalues).rank
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian

⊢ (↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues) * ↑(star hA.eigenvectorUnitary)).rank = (diagonal hA.eigenvalues).rank
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
ho : lift.{v, u} o.card < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c.ord, f i hi b < c.ord
a : Ordinal.{max u v}

⊢ lift.{v, u} #(Quotient.out o).α < c
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ sin (x - y) = sin x * cos y - cos x * sin y
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

⊢ (-1) ^ p = -1
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

⊢ (-1) ^ p + 1 = 0
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

⊢ (-1) ^ p + 1 ^ p = 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ

⊢ ↑u * inverse ↑u = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
φ : ℕ → Set α
hφ : AECover μ atTop φ
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ

⊢ Tendsto (fun x => ∫⁻ (x : α) in φ x, f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), f x ∂μ))