ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
b : β a
s : AList β

⊢ a' ∈ replace a b s ↔ a' ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hf : S.f = 0
inst✝ : S.HasHomology

⊢ IsIso S.homologyπ
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
hf : S.f = 0
inst✝ : S.HasHomology
this : IsIso S.leftHomologyπ

⊢ IsIso S.homologyπ
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g : Filter β
f : α → β
F : Filter α
G : Filter γ

⊢ map f F ×ˢ G = map (Prod.map f id) (F ×ˢ G)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.64473, u_1} C
inst✝⁴ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
inst✝³ : Mono S.f
i : ι
inst✝² : S.X₁.HasHomology i
inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i
inst✝ : S.X₃.HasHomology i

⊢ cyclesMap S.f i ≫ cyclesMap S.g i = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
inst✝³ : Mono S.f
i : ι
inst✝² : S.X₁.HasHomology i
inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i
inst✝ : S.X₃.HasHomology i
this : Mono (S.map (eval C c i)).f

⊢ (ShortComplex.mk (cyclesMap S.f i) (cyclesMap S.g i) ⋯).Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
inst✝³ : Mono S.f
i : ι
inst✝² : S.X₁.HasHomology i
inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i
inst✝ : S.X₃.HasHomology i
this : Mono (S.map (eval C c i)).f
hi : IsLimit (KernelFork.ofι (S.map (eval C c i)).f ⋯)

⊢ (ShortComplex.mk (cyclesMap S.f i) (cyclesMap S.g i) ⋯).Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequence.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.Exact
inst✝³ : Mono S.f
i : ι
inst✝² : S.X₁.HasHomology i
inst✝¹ : S.X₂.HasHomology i
inst✝ : S.X₃.HasHomology i
this : Mono (S.map (eval C c i)).f
hi : IsLimit (KernelFork.ofι (S.map (eval C c i)).f ⋯)

⊢ IsLimit (KernelFork.ofι (ShortComplex.mk (cyclesMap S.f i) (cyclesMap S.g i) ⋯).f ⋯)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ

⊢ Nontrivial (ZMod n) ↔ n ≠ 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Semisimple/Basic.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L

⊢ HasTrivialRadical R L ↔ ∀ (I : LieIdeal R L), IsLieAbelian ↥↑I → I = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Semisimple/Basic.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L

⊢ (∀ (I : LieIdeal R L), IsSolvable R ↥↑I → I = ⊥) ↔ ∀ (I : LieIdeal R L), IsLieAbelian ↥↑I → I = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/PerfectPairing.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R (Dual R N)

⊢ (map e.flip.symm p).dualAnnihilator = map e p.dualCoannihilator
-- Mathlib/LinearAlgebra/PerfectPairing.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R (Dual R N)
this : IsReflexive R N

⊢ (map e.flip.symm p).dualAnnihilator = map e p.dualCoannihilator
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x y : EReal
h1 : x ≠ ⊥ ∨ y ≠ ⊤
h2 : x ≠ ⊤ ∨ y ≠ ⊥

⊢ -(x + y) = -x - y
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a✝¹ a✝ : ℝ
h1 : ↑a✝¹ ≠ ⊥ ∨ ↑a✝ ≠ ⊤
h2 : ↑a✝¹ ≠ ⊤ ∨ ↑a✝ ≠ ⊥

⊢ -(↑a✝¹ + ↑a✝) = -↑a✝¹ - ↑a✝
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Box.lean
α : Type u_1
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ

⊢ Monotone fun n => Icc (-↑n) ↑n
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
l : List α

⊢ powersetCard (n + 1) (a ::ₘ ⟦l⟧) = powersetCard (n + 1) ⟦l⟧ + map (cons a) (powersetCard n ⟦l⟧)
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
f₁ f₂ : v.FunSpace
n : ℕ

⊢ dist (next^[n] f₁) (next^[n] f₂) ≤ (↑v.L * v.tDist) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
f₁ f₂ : v.FunSpace
n : ℕ
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)

⊢ (↑v.L * |↑t - ↑v.t₀|) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂ ≤ (↑v.L * v.tDist) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
inst✝ : CompleteSpace E
f₁ f₂ : v.FunSpace
n : ℕ
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)
this : |↑t - ↑v.t₀| ≤ v.tDist

⊢ (↑v.L * |↑t - ↑v.t₀|) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂ ≤ (↑v.L * v.tDist) ^ n / ↑n ! * dist f₁ f₂
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
p m n : ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : PerfectRing R p
x : R

⊢ (iterateFrobeniusEquiv R p (m + n)) ((iterateFrobeniusEquiv R p (m + n)).symm x) = (iterateFrobeniusEquiv R p (m + n)) ((iterateFrobeniusEquiv R p m).symm ((iterateFrobeniusEquiv R p n).symm x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hμν : ν ≪ μ

⊢ essSup f ν ≤ essSup f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hμν : ν ≪ μ

⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae ν) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α → β
hμν : ν ≪ μ

⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
h : f x ≤ x + ↑m
n : ℕ

⊢ (⇑f)^[n] x ≤ x + ↑n * ↑m
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
α β : Type u
f : α ⟶ β
F : ℕᵒᵖ ⥤ Type u
c : Cone F
hc✝ : IsLimit c
hF✝ : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (homOfLE ⋯).op)
hc : IsLimit c
hF : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (homOfLE ⋯).op)
i : c.pt ≅ (limitCone F).pt := hc.conePointUniqueUpToIso (limitConeIsLimit F)
this : c.π.app (Opposite.op 0) = i.hom ≫ (limitCone F).π.app (Opposite.op 0)

⊢ Function.Surjective (i.hom ≫ (limitCone F).π.app (Opposite.op 0))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
α β : Type u
f : α ⟶ β
F : ℕᵒᵖ ⥤ Type u
c : Cone F
hc✝ : IsLimit c
hF✝ : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (homOfLE ⋯).op)
hc : IsLimit c
hF : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (homOfLE ⋯).op)
i : c.pt ≅ (limitCone F).pt := hc.conePointUniqueUpToIso (limitConeIsLimit F)
this : c.π.app (Opposite.op 0) = i.hom ≫ (limitCone F).π.app (Opposite.op 0)

⊢ Function.Surjective ((limitCone F).π.app (Opposite.op 0))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
α β : Type u
f : α ⟶ β
F : ℕᵒᵖ ⥤ Type u
c : Cone F
hc✝ : IsLimit c
hF✝ : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (homOfLE ⋯).op)
hc : IsLimit c
hF : ∀ (n : ℕ), Function.Surjective (F.map (homOfLE ⋯).op)
i : c.pt ≅ (limitCone F).pt := hc.conePointUniqueUpToIso (limitConeIsLimit F)
this : c.π.app (Opposite.op 0) = i.hom ≫ (limitCone F).π.app (Opposite.op 0)

⊢ Function.Surjective i.hom
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]

⊢ X.natSepDegree = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hu : HasStrictDerivAt u u' x

⊢ HasStrictDerivAt (fun y => (c y) (u y)) (c' (u x) + (c x) u') x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hu : HasStrictDerivAt u u' x
this : HasStrictDerivAt (fun y => (c y) (u y)) (((c x).comp (smulRight 1 u') + (smulRight 1 c').flip (u x)) 1) x

⊢ HasStrictDerivAt (fun y => (c y) (u y)) (c' (u x) + (c x) u') x
-- Mathlib/Order/Bounds/OrderIso.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α ≃o β
s : Set α
x : α

⊢ IsLUB (⇑f '' s) (f x) ↔ IsLUB s x
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0

⊢ Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // x ∉ s }), f ↑b) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0

⊢ Tendsto (fun a => ∑' (a_1 : { x // x ∉ a }), ↑(f ↑a_1)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
x y : R

⊢ IsCoprime (span {x}) (span {y}) ↔ IsCoprime x y
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
x y : R

⊢ (∃ a b, y ∣ b ∧ a * x + b = 1) ↔ IsCoprime x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : α → F'

⊢ condexpL1 hm μ (c • f) = c • condexpL1 hm μ f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g : α → F'
s : Set α
c : 𝕜
f : α → F'

⊢ ∀ (c : 𝕜) (s : Set α) (x : F'), (condexpInd F' hm μ s) (c • x) = c • (condexpInd F' hm μ s) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
θ : ℂ

⊢ tan θ ≠ 0 ↔ ∀ (k : ℤ), ↑k * ↑π / 2 ≠ θ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤

⊢ IntegrableOn (fun x => (μ.rnDeriv ν x).toReal) s ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, μ.rnDeriv ν x ∂ν ≠ ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a b : R
h : IsCoprime a b
h' : a ^ 2 + b ^ 2 = 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
a b : R
h : IsCoprime a b
h' : a ^ 2 + b ^ 2 = 0
ha : a ^ 2 = 0
hb : b ^ 2 = 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
b : R
hb : b ^ 2 = 0
h : IsCoprime 0 b
h' : 0 ^ 2 + b ^ 2 = 0
ha : 0 ^ 2 = 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing R
ha hb : 0 ^ 2 = 0
h : IsCoprime 0 0
h' : 0 ^ 2 + 0 ^ 2 = 0

⊢ False
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n

⊢ 0 = 1 ↔ n = 1
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : α → β
x : Filter α
y₁ y₂ : Filter β

⊢ Tendsto f x (y₁ ⊓ y₂) ↔ Tendsto f x y₁ ∧ Tendsto f x y₂
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
this : Fintype α

⊢ Nat.card α = 0 ↔ IsEmpty α
-- Mathlib/ModelTheory/Basic.lean
L : Language
L' : Language

⊢ Language.empty.card = 0
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
n : ℕ+

⊢ ↑(PrimeMultiset.ofNatList (↑n).primeFactorsList ⋯).prod = ↑n
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
n : ℕ+

⊢ (↑n).primeFactorsList.prod = ↑n
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : IsOpen s

⊢ {x | gauge s x < 1} = s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : IsOpen s

⊢ s ⊆ {x | gauge s x < 1}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : IsOpen s

⊢ s = interior s
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
i j a : α

⊢ (swap i j) ((swap i j) a) = a
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
h : 0 < y

⊢ √x = y ↔ y * y = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean

⊢ Differentiable ℂ fun s => s.Gammaℝ⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean

⊢ Differentiable ℂ fun s => (↑π ^ (-s / 2))⁻¹ * (Gamma (s / 2))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ

⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => ↑π ^ (-s / 2)) s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean

⊢ Differentiable ℂ fun s => (Gamma (s / 2))⁻¹
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Funext.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
p q : MvPolynomial σ R
h : ∀ (x : σ → R), (eval x) p = (eval x) q

⊢ p = q
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Funext.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
p q : MvPolynomial σ R
h : ∀ (x : σ → R), (eval x) p = (eval x) q

⊢ ∀ (p : MvPolynomial σ R), (∀ (x : σ → R), (eval x) p = 0) → p = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Funext.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
p : MvPolynomial σ R
h : ∀ (x : σ → R), (eval x) p = 0

⊢ p = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Funext.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
n : ℕ
f : Fin n → σ
hf : Function.Injective f
p : MvPolynomial (Fin n) R
h : ∀ (x : σ → R), (eval x) ((rename f) p) = 0

⊢ (rename f) p = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Funext.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
n : ℕ
f : Fin n → σ
hf : Function.Injective f
p : MvPolynomial (Fin n) R
h : ∀ (x : σ → R), (eval x) ((rename f) p) = 0

⊢ p = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Funext.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
n : ℕ
f : Fin n → σ
hf : Function.Injective f
p : MvPolynomial (Fin n) R
h : ∀ (x : σ → R), (eval x) ((rename f) p) = 0

⊢ ∀ (x : Fin n → R), (eval x) p = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Funext.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : Infinite R
σ : Type u_2
n : ℕ
f : Fin n → σ
hf : Function.Injective f
p : MvPolynomial (Fin n) R
h : ∀ (x : σ → R), (eval x) ((rename f) p) = 0
x : Fin n → R

⊢ (eval x) p = 0
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ S.a + ↑η * S.b = S.a + S.b + λ * S.b
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ S.a + hζ.toInteger * S.b = S.a + S.b + λ * S.b
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α

⊢ ∃ r ⊆ s, Set.BijOn P.part ↑r ↑P.parts
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
r : Set α
hrs : r ⊆ ↑s
hr : Set.BijOn P.part r ↑P.parts

⊢ ∃ r ⊆ s, Set.BijOn P.part ↑r ↑P.parts
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
r : Finset α
hrs : ↑r ⊆ ↑s
hr : Set.BijOn P.part ↑r ↑P.parts

⊢ ∃ r ⊆ s, Set.BijOn P.part ↑r ↑P.parts
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d✝ k N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
d : ℕ
x y : Fin n → ℕ
h : x ≤ y

⊢ ∑ i : Fin n, x i * d ^ ↑i ≤ ∑ i : Fin n, y i * d ^ ↑i
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Away/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
x : R
B : Type u_2
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsLocalization.Away x B

⊢ selfZPow x B 0 = 1
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u
β : α → Sort v
α' : Sort w
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq α'
f g : (a : α) → β a
a : α
b : β a

⊢ f = update f a b ↔ f a = b
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G

⊢ ∀ (n : ℕ), upperCentralSeries G n = ⊤ → ∃ H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G

⊢ ∀ (n : ℕ), (∃ H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤) → upperCentralSeries G n = ⊤
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}

⊢ sInf {c | ∀ a' < a, ∀ b' < 1, a' ⨳ 1 ♯ a ⨳ b' < c ♯ a' ⨳ b'} = a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}

⊢ sInf {c | ∀ a' < a, a' ⨳ 1 < c} = a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b c d : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}

⊢ {c | ∀ a' < a, a' ⨳ 1 < c} = Set.Ici a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b✝ c d : Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u_1}

⊢ b ∈ {c | ∀ a' < a, a' ⨳ 1 < c} ↔ b ∈ Set.Ici a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b✝ c d : Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u_1}

⊢ (∀ a' < a, a' ⨳ 1 < b) ↔ a ≤ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u_1}
H : ∀ a' < a, a' ⨳ 1 < b
c : Ordinal.{u_1}
hc : c < a

⊢ c < b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b✝ c✝ d : Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u_1}
ha : a ≤ b
c : Ordinal.{u_1}
hc : c < a

⊢ c ⨳ 1 < b
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a : α
s : Set (β × γ)

⊢ κ.compProdFun η a s = ∑' (n : ℕ), (κ.seq n).compProdFun η a s
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q a b c : ℚ

⊢ a * (b + c) = a * b + a * c
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
hM : IsNilpotent M
a✝ : Nontrivial R
p : R[X] := M.charpolyRev

⊢ IsNilpotent (M.charpoly - X ^ Fintype.card n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
hM : IsNilpotent M
a✝ : Nontrivial R
p : R[X] := M.charpolyRev
hp : p - 1 = X * (p /ₘ X)

⊢ IsNilpotent (M.charpoly - X ^ Fintype.card n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
hM : IsNilpotent M
a✝ : Nontrivial R
p : R[X] := M.charpolyRev
hp : p - 1 = X * (p /ₘ X)
this : IsNilpotent (p /ₘ X)

⊢ IsNilpotent (M.charpoly - X ^ Fintype.card n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
hM : IsNilpotent M
a✝ : Nontrivial R
p : R[X] := M.charpolyRev
hp : p - 1 = X * (p /ₘ X)
this : IsNilpotent (p /ₘ X)
aux : (M.charpoly - X ^ Fintype.card n).natDegree ≤ M.charpoly.natDegree

⊢ IsNilpotent (M.charpoly - X ^ Fintype.card n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
hM : IsNilpotent M
a✝ : Nontrivial R
p : R[X] := M.charpolyRev
hp : p - 1 = X * (p /ₘ X)
this : IsNilpotent (p /ₘ X)
aux : (M.charpoly - X ^ Fintype.card n).natDegree ≤ M.charpoly.natDegree

⊢ IsNilpotent (M.charpolyRev - reflect M.charpoly.natDegree (X ^ Fintype.card n))
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α
p : β → Prop

⊢ blimsup u f p = limsup u (f ⊓ 𝓟 {x | p x})
-- Mathlib/Data/Fintype/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
hl : (a :: l).Nodup

⊢ (permsOfList (a :: l)).Nodup
-- Mathlib/Data/Fintype/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
hl : (a :: l).Nodup
hl' : l.Nodup

⊢ (permsOfList (a :: l)).Nodup
-- Mathlib/Data/Fintype/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
hl : (a :: l).Nodup
hl' : l.Nodup
hln' : (permsOfList l).Nodup

⊢ (permsOfList (a :: l)).Nodup
-- Mathlib/Data/Fintype/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
hl : (a :: l).Nodup
hl' : l.Nodup
hln' : (permsOfList l).Nodup
hmeml : ∀ {f : Equiv.Perm α}, f ∈ permsOfList l → f a = a

⊢ (permsOfList (a :: l)).Nodup
-- Mathlib/Data/Fintype/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
a : α
l : List α
hl : (a :: l).Nodup
hl' : l.Nodup
hln' : (permsOfList l).Nodup
hmeml : ∀ {f : Equiv.Perm α}, f ∈ permsOfList l → f a = a

⊢ (permsOfList l).Nodup ∧ ((∀ x ∈ l, (List.map (fun f => Equiv.swap a x * f) (permsOfList l)).Nodup) ∧ ∀ (i j : Fin l.length), i < j → (List.map (fun f => Equiv.swap a (l.get i) * f) (permsOfList l)).Disjoint (List.map (fun f => Equiv.swap a (l.get j) * f) (permsOfList l))) ∧ (permsOfList l).Disjoint (l.bind fun b => List.map (fun f => Equiv.swap a b * f) (permsOfList l))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean
x y : ℝ
h : ((∀ (k : ℤ), x ≠ (2 * ↑k + 1) * π / 2) ∧ ∀ (l : ℤ), y ≠ (2 * ↑l + 1) * π / 2) ∨ (∃ k, x = (2 * ↑k + 1) * π / 2) ∧ ∃ l, y = (2 * ↑l + 1) * π / 2

⊢ tan (x + y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x * tan y)