ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : Nonempty α
h₀ : G.FarFromTriangleFree ε
h₁ : G.CliqueFree 3

⊢ ε ≤ 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : Nonempty α
h₀ : G.FarFromTriangleFree ε
h₁ : G.CliqueFree 3
this : (fun H => H.CliqueFree 3) (G.deleteEdges ↑∅) → ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ ↑∅.card

⊢ ε ≤ 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
G H : SimpleGraph α
ε δ : 𝕜
n : ℕ
s : Finset α
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : DecidableRel H.Adj
inst✝ : Nonempty α
h₀ : G.FarFromTriangleFree ε
h₁ : G.CliqueFree 3
this : (fun H => H.CliqueFree 3) G → ε * ↑(Fintype.card α ^ 2) ≤ 0

⊢ ε ≤ 0
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v

⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s

⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : f '' s ⊆ u ∪ v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s

⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'

⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'
z : α
hz : z ∈ s ∩ (u' ∩ v')

⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
H : IsPreconnected s
f : α → β
hf : ContinuousOn f s
u v : Set β
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
x : α
xs : x ∈ s
xu : f x ∈ u
y : α
ys : y ∈ s
yv : f y ∈ v
u' : Set α
hu' : IsOpen u'
u'_eq : f ⁻¹' u ∩ s = u' ∩ s
v' : Set α
hv' : IsOpen v'
v'_eq : f ⁻¹' v ∩ s = v' ∩ s
huv : s ⊆ u' ∪ v'
z : α
hz : z ∈ f ⁻¹' u ∩ s ∩ (f ⁻¹' v ∩ s)

⊢ (f '' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ
b : ℝ≥0
ha : 0 ≤ a

⊢ a < (↑b).toReal ↔ a < ↑b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
a b : α

⊢ {a, b}.prod = a * b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
f : R[X]
s : R

⊢ eval (s - r) ((taylor r) f) = eval s f
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g : G
a : α
h : G

⊢ h ∈ stabilizer G (g • a) ↔ h ∈ Subgroup.map (MulEquiv.toMonoidHom (MulAut.conj g)) (stabilizer G a)
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Defs.lean
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible a

⊢ a * (⅟a * b) = b
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
L L' : List (List α)
join_eq : L.join = L'.join
length_eq : map length L = map length L'

⊢ L = L'
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
L L' : List (List α)
join_eq : L.join = L'.join
length_eq : map length L = map length L'

⊢ L.length = L'.length
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
L L' : List (List α)
join_eq : L.join = L'.join
length_eq : map length L = map length L'

⊢ ∀ (n : ℕ) (h₁ : n < L.length) (h₂ : n < L'.length), L[n] = L'[n]
-- Mathlib/Algebra/Lie/Rank.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
ι : Type u_5
ιₘ : Type u_6
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : Nontrivial R
inst✝¹⁵ : CommRing A
inst✝¹⁴ : Algebra R A
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : Module.Finite R L
inst✝¹⁰ : Module.Free R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ιₘ
inst✝ : DecidableEq ιₘ
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιₘ R M
x : L

⊢ rank R L M = ((↑(toEnd R L M)).polyCharpoly b).natTrailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
r : R
i : ℕ

⊢ ((hasseDeriv k) ((monomial n) r)).coeff i = ((monomial (n - k)) (↑(n.choose k) * r)).coeff i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
r : R
i : ℕ

⊢ (↑((i + k).choose k) * if n = i + k then r else 0) = if n - k = i then ↑(n.choose k) * r else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
f : yoneda.obj X ⟶ F
g : Y ⟶ X

⊢ (f.app (op X) ≫ F.map g.op) (𝟙 X) = f.app (op Y) (𝟙 Y ≫ g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
f : yoneda.obj X ⟶ F
g : Y ⟶ X

⊢ ((yoneda.obj X).map g.op ≫ f.app (op Y)) (𝟙 X) = f.app (op Y) (𝟙 Y ≫ g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
a : α

⊢ ∫⁻ (x : α) in {a}, f x ∂μ = f a * μ {a}
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
a b : α

⊢ Ico a b ⊆ closure (interior (Ico a b))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0

⊢ (sec M x).1 ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0
hsec : x * (algebraMap R S) ↑(sec M x).2 = (algebraMap R S) (sec M x).1

⊢ (sec M x).1 ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0
hsec : x * (algebraMap R S) ↑(sec M x).2 = (algebraMap R S) (sec M x).1
hfst : (sec M x).1 = 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0
hsec : x = 0 ∨ ↑(sec M x).2 = 0
hfst : (sec M x).1 = 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommRing P
K : Type u_4
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroDivisors S
hM : M ≤ nonZeroDivisors R
x : S
hx : x ≠ 0
hsec : x = 0 ∨ (algebraMap R S) ↑(sec M x).2 = 0
hfst : (sec M x).1 = 0

⊢ Injective ⇑(algebraMap R S)
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x : G
n : ℕ
hxn : x ∈ lowerCentralSeries G n
g : G

⊢ x * g * x⁻¹ * g⁻¹ ∈ lowerCentralSeries G (n + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactorsList

⊢ p ≤ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
p : ℕ
h : p ∈ primeFactorsList 0

⊢ p ≤ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n p : ℕ
h : p ∈ n.primeFactorsList
hn : n > 0

⊢ p ≤ n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
f : Fin 2 → β

⊢ ∏ i : Fin 2, f i = f 0 * f 1
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : EReal
h : x < 0

⊢ ⊥ * x = ⊤
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : EReal
h : x < 0

⊢ x * ⊥ = ⊤
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/W.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α γ : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ γ
a : P.A
f' : P.drop.B a ⟹ α
f : P.last.B a → P.W α

⊢ (g ::: P.wMap g) <$$> P.objAppend1 a f' f = P.objAppend1 a (g ⊚ f') fun x => P.wMap g (f x)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/W.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α γ : TypeVec.{u} n
g : α ⟹ γ
a : P.A
f' : P.drop.B a ⟹ α
f : P.last.B a → P.W α

⊢ ⟨a, splitFun (g ⊚ f') (P.wMap g ∘ f)⟩ = ⟨a, splitFun (g ⊚ f') fun x => P.wMap g (f x)⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_2} A
inst✝⁸ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
D : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_3} D
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁴ : HasWeakSheafify K A
G : C ⥤ D
inst✝³ : ∀ (X : Dᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X G.op) A
inst✝² : IsDenseSubsite J K G
ht' : IsTerminal (G.obj t)
inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝ : (constantSheaf J A).Full
F : Sheaf K A
e : Sheaf J A ≌ Sheaf K A := sheafEquiv G J K A

⊢ IsDiscrete J ht (e.inverse.obj F) ↔ IsDiscrete K ht' F
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_2} A
inst✝⁸ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
D : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_3} D
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁴ : HasWeakSheafify K A
G : C ⥤ D
inst✝³ : ∀ (X : Dᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X G.op) A
inst✝² : IsDenseSubsite J K G
ht' : IsTerminal (G.obj t)
inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝ : (constantSheaf J A).Full
F : Sheaf K A
e : Sheaf J A ≌ Sheaf K A := sheafEquiv G J K A
this : (constantSheaf K A).Faithful

⊢ IsDiscrete J ht (e.inverse.obj F) ↔ IsDiscrete K ht' F
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_2} A
inst✝⁸ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
D : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_3} D
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁴ : HasWeakSheafify K A
G : C ⥤ D
inst✝³ : ∀ (X : Dᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X G.op) A
inst✝² : IsDenseSubsite J K G
ht' : IsTerminal (G.obj t)
inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝ : (constantSheaf J A).Full
F : Sheaf K A
e : Sheaf J A ≌ Sheaf K A := sheafEquiv G J K A
this✝ : (constantSheaf K A).Faithful
this : (constantSheaf K A).Full

⊢ IsDiscrete J ht (e.inverse.obj F) ↔ IsDiscrete K ht' F
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_5, u_2} A
inst✝⁸ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
D : Type u_3
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_3} D
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁴ : HasWeakSheafify K A
G : C ⥤ D
inst✝³ : ∀ (X : Dᵒᵖ), HasLimitsOfShape (StructuredArrow X G.op) A
inst✝² : IsDenseSubsite J K G
ht' : IsTerminal (G.obj t)
inst✝¹ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝ : (constantSheaf J A).Full
F : Sheaf K A
e : Sheaf J A ≌ Sheaf K A := sheafEquiv G J K A
this✝ : (constantSheaf K A).Faithful
this : (constantSheaf K A).Full

⊢ e.inverse.obj F ∈ (constantSheaf J A).essImage ↔ F ∈ (constantSheaf K A).essImage
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' f₀' f₁' : F
s t : Set E
x v : E

⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v ↔ Tendsto (fun t => t⁻¹ • (f (x + t • v) - f x)) (𝓝[≠] 0) (𝓝 f')
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y

⊢ Tendsto (fun x => x ^ y) (𝓝 ⊤) (𝓝 ⊤)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y

⊢ ∀ (x : ℝ≥0), ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞) in 𝓝 ⊤, ↑x < a ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y
x : ℝ≥0

⊢ ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞) in 𝓝 ⊤, ↑x < a ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y
x c : ℝ≥0
left✝ : True
hc : ∀ x_1 ∈ Set.Ioi c, x_1 ^ y ∈ Set.Ioi x

⊢ ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞) in 𝓝 ⊤, ↑x < a ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y
x c : ℝ≥0
left✝ : True
hc : ∀ x_1 ∈ Set.Ioi c, x_1 ^ y ∈ Set.Ioi x
hc' : Set.Ioi ↑c ∈ 𝓝 ⊤

⊢ ∀ᶠ (a : ℝ≥0∞) in 𝓝 ⊤, ↑x < a ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y
x c : ℝ≥0
left✝ : True
hc : ∀ x_1 ∈ Set.Ioi c, x_1 ^ y ∈ Set.Ioi x
hc' : Set.Ioi ↑c ∈ 𝓝 ⊤
a : ℝ≥0∞
ha : a ∈ Set.Ioi ↑c

⊢ ↑x < a ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y
x c : ℝ≥0
left✝ : True
hc : ∀ x_1 ∈ Set.Ioi c, x_1 ^ y ∈ Set.Ioi x
hc' : Set.Ioi ↑c ∈ 𝓝 ⊤
a : ℝ≥0
ha : ↑a ∈ Set.Ioi ↑c

⊢ ↑x < ↑a ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y
x c : ℝ≥0
left✝ : True
hc' : Set.Ioi ↑c ∈ 𝓝 ⊤
a : ℝ≥0
ha : c < a
hc : ∀ (x_1 : ℝ≥0), c < x_1 → x < x_1 ^ y

⊢ ↑x < ↑a ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y
x c : ℝ≥0
left✝ : True
hc' : Set.Ioi ↑c ∈ 𝓝 ⊤
a : ℝ≥0
ha : c < a
hc : ∀ (x_1 : ℝ≥0), c < x_1 → x < x_1 ^ y

⊢ ↑x < ↑(a ^ y)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V

⊢ G.edgeSet.Nonempty ↔ G ≠ ⊥
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype K
i : ℕ
h : i < q - 1
hi : ¬i = 0

⊢ ∑ x : K, x ^ i = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M

⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M

⊢ x ∈ ⨆ i, S i → ∃ i, x ∈ S i
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M

⊢ x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i)) → ∃ i, x ∈ S i
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))

⊢ ∃ i, 1 ∈ S i
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))

⊢ ∀ (x y : M), (∃ i, x ∈ S i) → (∃ i, y ∈ S i) → ∃ i, x * y ∈ S i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Associated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s : Multiset α

⊢ (∀ r ∈ 0, Prime r) → p ∣ Multiset.prod 0 → ∃ q ∈ 0, p ~ᵤ q
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Associated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
ih : (∀ r ∈ s, Prime r) → p ∣ s.prod → ∃ q ∈ s, p ~ᵤ q
hs : ∀ r ∈ a ::ₘ s, Prime r
hps : p ∣ (a ::ₘ s).prod

⊢ ∃ q ∈ a ::ₘ s, p ~ᵤ q
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Associated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
ih : (∀ r ∈ s, Prime r) → p ∣ s.prod → ∃ q ∈ s, p ~ᵤ q
hs : ∀ r ∈ a ::ₘ s, Prime r
hps : p ∣ a * s.prod

⊢ ∃ q ∈ a ::ₘ s, p ~ᵤ q
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Associated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
ih : (∀ r ∈ s, Prime r) → p ∣ s.prod → ∃ q ∈ s, p ~ᵤ q
hs : ∀ r ∈ a ::ₘ s, Prime r
hps : p ∣ a * s.prod
h : p ∣ a

⊢ ∃ q ∈ a ::ₘ s, p ~ᵤ q
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Associated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
ih : (∀ r ∈ s, Prime r) → p ∣ s.prod → ∃ q ∈ s, p ~ᵤ q
hs : ∀ r ∈ a ::ₘ s, Prime r
hps : p ∣ a * s.prod
h : p ∣ s.prod

⊢ ∃ q ∈ a ::ₘ s, p ~ᵤ q
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H : Subgroup N
hH : H.Normal
f : G →* N
x✝ : G

⊢ x✝ ∈ Subgroup.comap f H → ∀ (g : G), g * x✝ * g⁻¹ ∈ Subgroup.comap f H
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a x : ℝ

⊢ ↑(sinKernel (↑a) x) = jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x) / (-2 * ↑π)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a x : ℝ

⊢ (jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x) / (-2 * ↑π) + jacobiTheta₂' ((starRingEnd ℂ) ↑a) (-(starRingEnd ℂ) (I * ↑x)) / (starRingEnd ℂ) (-2 * ↑π)) / 2 = jacobiTheta₂' (↑a) (I * ↑x) / (-2 * ↑π)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype κ
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
f : (j : ι) → j = i → α

⊢ (∏ j : ι, if h : j = i then f j h else 1) = f i ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type uC
inst✝⁴ : Category.{uC', uC} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
G : C ⥤ D
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
A : Bicone F
i j : J

⊢ G.map (A.ι i ≫ A.π j) = if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type uC
inst✝⁴ : Category.{uC', uC} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
G : C ⥤ D
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
A : Bicone F
i j : J

⊢ G.map (if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0) = if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type uC
inst✝⁴ : Category.{uC', uC} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
G : C ⥤ D
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : Bicone F
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J

⊢ G.map f.hom ≫ ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := fun j => G.map (A.π j), ι := fun j => G.map (A.ι j), ι_π := ⋯ }) Y✝).π j = ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := fun j => G.map (A.π j), ι := fun j => G.map (A.ι j), ι_π := ⋯ }) X✝).π j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type uC
inst✝⁴ : Category.{uC', uC} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
G : C ⥤ D
inst✝ : G.PreservesZeroMorphisms
X✝ Y✝ : Bicone F
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J

⊢ ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := fun j => G.map (A.π j), ι := fun j => G.map (A.ι j), ι_π := ⋯ }) X✝).ι j ≫ G.map f.hom = ((fun A => { pt := G.obj A.pt, π := fun j => G.map (A.π j), ι := fun j => G.map (A.ι j), ι_π := ⋯ }) Y✝).ι j
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ s.ncard ≤ 1 ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Semigroup α
s : Set α
a b : α

⊢ op b • a • s = a • op b • s
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α

⊢ map Prod.snd l.revzip = l.reverse
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : x ∈ closedBall z r
hy : y ∈ closedBall z r
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • x + b • y ∈ ball z r
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b : ℝ
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx : x ∈ closedBall z 0
hy : y ∈ closedBall z 0

⊢ a • x + b • y ∈ ball z 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : x ∈ closedBall z r
hy : y ∈ closedBall z r
hne : x ≠ y
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hr : r ≠ 0

⊢ a • x + b • y ∈ ball z r
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P

⊢ s.SOppSide x y ↔ s.SOppSide y x
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α

⊢ (∃ h, a ≠ b) ↔ P ∧ a ≠ b
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b

⊢ c * (a + b) = c * a + c * b
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b

⊢ (a + b) * c = c * a + c * b
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b

⊢ (a + b) * c = a * c + c * b
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b

⊢ (a + b) * c = a * c + b * c
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
s✝ : Set α
t s : Set β
h : s.Nonempty

⊢ 0 • s = 0
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ : α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
l : List α
a : α

⊢ count a l = count a (filter (fun b => decide (P b)) l) + count a (filter (fun x => decide ¬P x) l)