ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
h : ¬IsSFiniteKernel κ

⊢ κ ⊗ₖ η = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
h : ¬IsSFiniteKernel κ

⊢ ¬(IsSFiniteKernel κ ∧ IsSFiniteKernel η)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
G : SimpleGraph V
v w : V
vK : v ∉ K
wK : w ∉ K
a : G.Adj v w

⊢ G.componentComplMk vK = G.componentComplMk wK
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
G : SimpleGraph V
v w : V
vK : v ∉ K
wK : w ∉ K
a : G.Adj v w

⊢ (induce Kᶜ G).Reachable ⟨v, vK⟩ ⟨w, wK⟩
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
G : SimpleGraph V
v w : V
vK : v ∉ K
wK : w ∉ K
a : G.Adj v w

⊢ (induce Kᶜ G).Adj ⟨v, vK⟩ ⟨w, wK⟩
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (x + y * z) y
a b : R
H : a * (x + y * z) + b * y = 1

⊢ a * x + (a * z + b) * y = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s

⊢ (map (fun t => X - C t) s).prod.coeff k = (-1) ^ (card s - k) * s.esymm (card s - k)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s

⊢ (map (fun x => X + C (-x)) s).prod.coeff k = (-1) ^ (card s - k) * s.esymm (card s - k)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s

⊢ (map (fun x => X + C (-x)) s).prod.coeff k = (map (fun r => X + C r) (map (fun t => -t) s)).prod.coeff ?convert_1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s

⊢ (-1) ^ (card s - k) * s.esymm (card s - k) = (map (fun t => -t) s).esymm (card (map (fun t => -t) s) - ?convert_1)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s

⊢ ℕ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
s : Multiset R
k : ℕ
h : k ≤ card s

⊢ ?convert_1 ≤ card (map (fun t => -t) s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Hull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ t : Set E
x✝ y : E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
hx : x ∉ (convexHull 𝕜) (s \ {x})

⊢ Convex 𝕜 (s \ {x})
-- Mathlib/Analysis/Convex/Hull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ t : Set E
x✝ y : E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E
hx : x ∉ (convexHull 𝕜) (s \ {x})

⊢ s \ {x} = (convexHull 𝕜) (s \ {x})
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/CompTypeclasses.lean
M' : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M'
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
φ : M →* N
ψ : N →* M
h : Function.RightInverse ⇑φ ⇑ψ
χ : M →* M
inst✝ : IsId χ

⊢ ψ.comp φ = χ
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/CompTypeclasses.lean
M' : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M'
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
φ : M →* N
ψ : N →* M
h : Function.RightInverse ⇑φ ⇑ψ
χ : M →* M
inst✝ : IsId χ

⊢ _root_.id = ⇑(id M)
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b m n : ℕ
hb : 0 < b

⊢ b.digits n ++ b.digits m = b.digits (n + b ^ (b.digits n).length * m)
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ m n : ℕ
hb : 0 < succ 0

⊢ (succ 0).digits n ++ (succ 0).digits m = (succ 0).digits (n + succ 0 ^ ((succ 0).digits n).length * m)
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b m n : ℕ
hb✝ : 0 < b
hb : succ 0 < b

⊢ b.digits n ++ b.digits m = b.digits (n + b ^ (b.digits n).length * m)
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b m n : ℕ
hb✝ : 0 < b
hb : succ 0 < b

⊢ b.digits n ++ b.digits m = b.digits (ofDigits b (b.digits n ++ b.digits m))
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b m n : ℕ
hb✝ : 0 < b
hb : succ 0 < b
l : ℕ
hl : l ∈ b.digits n ++ b.digits m

⊢ l < b
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b m n : ℕ
hb✝ : 0 < b
hb : succ 0 < b
h_append : b.digits n ++ b.digits m ≠ []

⊢ (b.digits n ++ b.digits m).getLast h_append ≠ 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
s : Set (Sym2 V)
p : G.Walk v w
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∉ s

⊢ Walk.map (Hom.mapSpanningSubgraphs ⋯) (toDeleteEdges s p hp) = p
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
s : Set (Sym2 V)
p : G.Walk v w
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∉ s

⊢ ∀ e ∈ (p.transfer (G.deleteEdges s) ⋯).edges, e ∈ G.edgeSet
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
s : Set (Sym2 V)
p : G.Walk v w
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∉ s
e : Sym2 V

⊢ e ∈ (p.transfer (G.deleteEdges s) ⋯).edges → e ∈ G.edgeSet
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
s : Set (Sym2 V)
p : G.Walk v w
hp : ∀ e ∈ p.edges, e ∉ s
e : Sym2 V

⊢ e ∈ p.edges → e ∈ G.edgeSet
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v' x ≤ 1
x y : K
hy : ¬y = 0

⊢ v x ≤ v y ↔ v' x ≤ v' y
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v' x ≤ 1
x y : K
hy : ¬y = 0

⊢ v x ≤ v (1 * y) ↔ v' x ≤ v' (1 * y)
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v' x ≤ 1
x y : K
hy : ¬y = 0

⊢ v (x * y⁻¹ * y) ≤ v (1 * y) ↔ v' (x * y⁻¹ * y) ≤ v' (1 * y)
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v' x ≤ 1
x y : K
hy : ¬y = 0

⊢ v (x * y⁻¹) * v y ≤ v 1 * v y ↔ v' (x * y⁻¹) * v' y ≤ v' 1 * v' y
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x ≤ 1 ↔ v' x ≤ 1
x y : K
hy : ¬y = 0

⊢ v (x * y⁻¹) * v y ≤ 1 * v y ↔ v' (x * y⁻¹) * v' y ≤ 1 * v' y
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g

⊢ Exact ⇑(rTensor Q f) ⇑(rTensor Q g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g

⊢ ker (rTensor Q g) = ker (rTensor.inverse Q hfg hg ∘ₗ rTensor Q g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g

⊢ ker (rTensor.inverse Q hfg hg ∘ₗ rTensor Q g) = ker (rTensor Q g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g

⊢ ker (rTensor.inverse Q hfg hg) = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g

⊢ Injective ⇑(rTensor.inverse Q hfg hg)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M✝
inst✝⁹ : Module R M✝
M'✝ : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M✝
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
m : Type u_6
n : Type u_7
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix m n A
M' : Matrix n m A
N : Matrix n n A
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1

⊢ (M * N * M').det = N.det
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIocDiv hp (p + a) b = toIocDiv hp a b - 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c

⊢ c + c ≤ c
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E

⊢ (cobounded E).NeBot
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : Nontrivial E

⊢ ¬Bornology.IsBounded univ
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
p : α × Bool
LL₁ : List (α × Bool)
eq₁ : p :: L₁ = LL₁
LL₂ : List (α × Bool)
eq₂ : p :: L₂ = LL₂
h : Red LL₁ LL₂

⊢ Red L₁ L₂
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₃ L₄ : List (α × Bool)
p : α × Bool
LL₁ LL₂ L₁ L₂ : List (α × Bool)
eq₁ : p :: L₁ = LL₂
eq₂ : p :: L₂ = LL₂

⊢ Red L₁ L₂
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₃ L₄ : List (α × Bool)
p : α × Bool
LL₁ LL₂ L₁✝ L₂✝ : List (α × Bool)
h₁₂ : Step L₁✝ L₂✝
h : ReflTransGen Step L₂✝ LL₂
ih : ∀ {L₁ L₂ : List (α × Bool)}, p :: L₁ = L₂✝ → p :: L₂ = LL₂ → Red L₁ L₂
L₁ L₂ : List (α × Bool)
eq₁ : p :: L₁ = L₁✝
eq₂ : p :: L₂ = LL₂

⊢ Red L₁ L₂
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
ι : Sort u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
hf : f.HasBasis p s
hh : Monotone h
t : Set β

⊢ (∃ i, p i ∧ ∃ x, True ∧ h (s i) ⊆ t) ↔ ∃ i, p i ∧ (h ∘ s) i ⊆ t
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε

⊢ ∃ δ > 0, ∀ {a₁ a₂ b₁ b₂ : β}, abv a₁ < K₁ → abv b₂ < K₂ → abv (a₁ - b₁) < δ → abv (a₂ - b₂) < δ → abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)

⊢ ∃ δ > 0, ∀ {a₁ a₂ b₁ b₂ : β}, abv a₁ < K₁ → abv b₂ < K₂ → abv (a₁ - b₁) < δ → abv (a₂ - b₂) < δ → abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)
εK : 0 < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)

⊢ ∃ δ > 0, ∀ {a₁ a₂ b₁ b₂ : β}, abv a₁ < K₁ → abv b₂ < K₂ → abv (a₁ - b₁) < δ → abv (a₂ - b₂) < δ → abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)
εK : 0 < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
ha₁ : abv a₁ < K₁
hb₂ : abv b₂ < K₂
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)

⊢ abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)
εK : 0 < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
hb₂ : abv b₂ < K₂
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
ha₁ : abv a₁ < max 1 (max K₁ K₂)

⊢ abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < max 1 (max K₁ K₂)
εK : 0 < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2 / max 1 (max K₁ K₂)
ha₁ : abv a₁ < max 1 (max K₁ K₂)
hb₂ : abv b₂ < max 1 (max K₁ K₂)

⊢ abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
M : α := max 1 (max K₁ K₂)
K0 : 0 < M
εK : 0 < ε / 2 / M
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2 / M
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2 / M
ha₁ : abv a₁ < M
hb₂ : abv b₂ < M
this : abv (a₁ - b₁) * abv b₂ + abv (a₂ - b₂) * abv a₁ < ε / 2 / M * M + ε / 2 / M * M

⊢ abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K₁ K₂ : α
ε0 : 0 < ε
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
M : α := max 1 (max K₁ K₂)
K0 : 0 < M
εK : 0 < ε / 2 / M
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2 / M
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2 / M
ha₁ : abv a₁ < M
hb₂ : abv b₂ < M
this : abv ((a₁ - b₁) * b₂) + abv (a₁ * (a₂ - b₂)) < ε

⊢ abv (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) < ε
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : MonovaryOn f g s

⊢ ConvexOn 𝕜 s (f • g)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : MonovaryOn f g s

⊢ ConcaveOn 𝕜 s (f • -g)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M

⊢ (Formula.iAlls f φ).Realize v ↔ ∀ (i : γ → M), φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯

⊢ (Formula.iAlls f φ).Realize v ↔ ∀ (i : γ → M), φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯

⊢ (let e := Classical.choice ⋯; (relabel (fun a => Sum.map id (⇑e) (f a)) φ).alls).Realize v ↔ ∀ (i : γ → M), φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯

⊢ (∀ (xs : Fin (Classical.choose ⋯) → M), Realize φ (fun x => Sum.elim (fun x => v x) (fun x => xs (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x))) (f x)) fun x => xs (natAdd (Classical.choose ⋯) x)) ↔ ∀ (i : γ → M), φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯

⊢ (Fin (Classical.choose ⋯) → M) ≃ (γ → M)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯

⊢ ∀ (a : Fin (Classical.choose ⋯) → M), (Realize φ (fun x => Sum.elim (fun x => v x) (fun x => a (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x))) (f x)) fun x => a (natAdd (Classical.choose ⋯) x)) ↔ φ.Realize fun a_1 => Sum.elim v (?refine_1 a) (f a_1)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.284404, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
F : V ⥤ W
inst✝ : F.Additive
f g : C ⟶ D
h : Homotopy f g
i j : ι
w : ¬c.Rel j i

⊢ F.map (h.hom i j) = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.284404, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
F : V ⥤ W
inst✝ : F.Additive
f g : C ⟶ D
h : Homotopy f g
i : ι

⊢ ((F.mapHomologicalComplex c).map f).f i = (((dNext i) fun i j => F.map (h.hom i j)) + (prevD i) fun i j => F.map (h.hom i j)) + ((F.mapHomologicalComplex c).map g).f i
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.284404, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
F : V ⥤ W
inst✝ : F.Additive
f g : C ⟶ D
h : Homotopy f g
i : ι
H : f.f i = (dNext i) h.hom + (prevD i) h.hom + g.f i

⊢ ((F.mapHomologicalComplex c).map f).f i = (((dNext i) fun i j => F.map (h.hom i j)) + (prevD i) fun i j => F.map (h.hom i j)) + ((F.mapHomologicalComplex c).map g).f i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ ‖x + y‖ ^ 2 = ‖x‖ ^ 2 + 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ ^ 2
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β

⊢ Disjoint (s₁ ×ˢ t₁) (s₂ ×ˢ t₂) ↔ Disjoint s₁ s₂ ∨ Disjoint t₁ t₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n : ℕ
a : M
m : ℕ

⊢ a ^ (m + 0) = a ^ m * a ^ 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n✝ : ℕ
a : M
m n : ℕ

⊢ a ^ (m + (n + 1)) = a ^ m * a ^ (n + 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
inst✝ : EnoughProjectives C
Z : C

⊢ (ofComplex Z).d 1 0 ≫ Projective.π Z = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
K : Type ?u.601713
L : Type ?u.601716
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
h_eq : p = q

⊢ (aeval (root q)) p = 0
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t

⊢ s.tail ~ʷ t.tail
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t

⊢ Computation.LiftRel Equiv ((fun o => Option.recOn o nil Prod.snd) <$> s.destruct) ((fun o => Option.recOn o nil Prod.snd) <$> t.destruct)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t

⊢ Computation.LiftRel Equiv (Computation.map (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct) (Computation.map (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) t.destruct)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t

⊢ Computation.LiftRel Equiv (s.destruct.bind (Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o)) (t.destruct.bind (Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o))
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t

⊢ ∀ {a b : Option (α × WSeq α)}, BisimO (fun x x_1 => x ~ʷ x_1) a b → Computation.LiftRel Equiv ((Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o) a) ((Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o) b)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h✝ : s ~ʷ t
a b : Option (α × WSeq α)
h : BisimO (fun x x_1 => x ~ʷ x_1) a b

⊢ Computation.LiftRel Equiv ((Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o) a) ((Computation.pure ∘ fun o => Option.rec nil Prod.snd o) b)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h✝ : s ~ʷ t
a b : Option (α × WSeq α)
h : BisimO (fun x x_1 => x ~ʷ x_1) a b

⊢ Option.rec nil Prod.snd a ~ʷ Option.rec nil Prod.snd b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n k : ℕ
ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k) = π * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 1) / (2 * ↑i + 2)

⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * (k + 1)) = π * ∏ i ∈ Finset.range (k + 1), (2 * ↑i + 1) / (2 * ↑i + 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n k : ℕ
ih : ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k) = π * ∏ i ∈ Finset.range k, (2 * ↑i + 1) / (2 * ↑i + 2)

⊢ (sin 0 ^ (2 * k + 1) * cos 0 - sin π ^ (2 * k + 1) * cos π) / (↑(2 * k) + 2) + (↑(2 * k) + 1) / (↑(2 * k) + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k) = (2 * ↑k + 1) / (2 * ↑k + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (2 * k)