ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y✝ : α
s t : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x (closure s) < ⊤
ε0 : 0 < ↑ε / 2
this : infEdist x (closure s) < infEdist x (closure s) + ↑ε / 2
y : α
ycs : y ∈ closure s
hy : edist x y < infEdist x (closure s) + ↑ε / 2
z : α
zs : z ∈ s
dyz : edist y z < ↑ε / 2

⊢ infEdist x s ≤ infEdist x (closure s) + ↑ε
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
n : ℕ

⊢ Splits (RingHom.id K) (cyclotomic' n K)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
n : ℕ

⊢ ∀ j ∈ primitiveRoots n K, Splits (RingHom.id K) (X - C j)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
n : ℕ
z : K
a✝ : z ∈ primitiveRoots n K

⊢ Splits (RingHom.id K) (X - C z)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Monotone.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : OrderBot α
n : α
φ : α → α

⊢ StrictMonoOn φ (Iic n) → ∀ m ≤ n, m ≤ φ m
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Monotone.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : OrderBot α
n : α
φ : α → α

⊢ ∀ (a : α), (fun n => StrictMonoOn φ (Iic n) → ∀ m ≤ n, m ≤ φ m) a → (fun n => StrictMonoOn φ (Iic n) → ∀ m ≤ n, m ≤ φ m) (succ a)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Monotone.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : OrderBot α
n : α
φ : α → α
k : α
ih : StrictMonoOn φ (Iic k) → ∀ m ≤ k, m ≤ φ m
hφ : StrictMonoOn φ (Iic (succ k))
m : α
hm : m ≤ succ k
hk : ¬IsMax k

⊢ m ≤ φ m
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Monotone.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : OrderBot α
n : α
φ : α → α
k : α
ih : StrictMonoOn φ (Iic k) → ∀ m ≤ k, m ≤ φ m
hφ : StrictMonoOn φ (Iic (succ k))
hk : ¬IsMax k
hm : succ k ≤ succ k

⊢ succ k ≤ φ (succ k)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Monotone.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : IsSuccArchimedean α
inst✝ : OrderBot α
n : α
φ : α → α
k : α
ih : StrictMonoOn φ (Iic k) → ∀ m ≤ k, m ≤ φ m
hφ : StrictMonoOn φ (Iic (succ k))
m : α
hm : m ≤ succ k
hk : ¬IsMax k
h : m ≤ k

⊢ m ≤ φ m
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
hA : 0 ∈ A

⊢ schnirelmannDensity A = 1 ↔ A = Set.univ
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
hA : 0 ∈ A

⊢ {0}ᶜ ⊆ A ↔ A = Set.univ
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Residual.lean

⊢ {x | Liouville x} = {x | Irrational x} ∩ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Residual.lean

⊢ {x | Liouville x} ⊆ {x | Irrational x} ∩ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Residual.lean

⊢ {x | Irrational x} ∩ ⋂ n, ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : 1 < b), ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ n) ⊆ {x | Liouville x}
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C

⊢ (α_ X Y Z).inv ≫ (β_ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ≫ (α_ Y Z X).inv ≫ (β_ Y Z).hom ▷ X ≫ (α_ Z Y X).hom = X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom ≫ Z ◁ (β_ X Y).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C

⊢ ((β_ X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (β_ Y Z).hom ▷ X ≫ (α_ Z Y X).hom) ≫ (α_ Z Y X).inv = (X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom ≫ Z ◁ (β_ X Y).hom) ≫ (α_ Z Y X).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C

⊢ (β_ X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (β_ Y Z).hom ▷ X ≫ (α_ Z Y X).hom ≫ (α_ Z Y X).inv = X ◁ (β_ Y Z).hom ≫ (α_ X Z Y).inv ≫ (β_ X Z).hom ▷ Y ≫ (α_ Z X Y).hom ≫ Z ◁ (β_ X Y).hom ≫ (α_ Z Y X).inv
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/LieGroup.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
s : Set M
x₀ : M
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s x₀
hg : ContMDiffWithinAt I' I n g s x₀

⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => f x / g x) s x₀
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/LieGroup.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
s : Set M
x₀ : M
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s x₀
hg : ContMDiffWithinAt I' I n g s x₀

⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => f x * (g x)⁻¹) s x₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SpecialFunctions/RCLike.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → 𝕜
μ : MeasureTheory.Measure α
hre : AEMeasurable (fun x => RCLike.re (f x)) μ
him : AEMeasurable (fun x => RCLike.im (f x)) μ

⊢ AEMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SpecialFunctions/RCLike.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → 𝕜
μ : MeasureTheory.Measure α
hre : AEMeasurable (fun x => RCLike.re (f x)) μ
him : AEMeasurable (fun x => RCLike.im (f x)) μ
x✝ : α

⊢ f x✝ = (RCLike.ofReal ∘ fun x => RCLike.re (f x)) x✝ + (RCLike.ofReal ∘ fun x => RCLike.im (f x)) x✝ * RCLike.I
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
u : Rˣ
v : Module.Ray R M

⊢ u • v = v ↔ 0 < ↑u
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
u : Rˣ
v : M
hv : v ≠ 0

⊢ u • rayOfNeZero R v hv = rayOfNeZero R v hv ↔ 0 < ↑u
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (ν.restrict s).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] s.indicator 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (ν.withDensity (s.indicator 1)).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] s.indicator 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : IsKilling K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
h : α.IsNonZero
e : (-α).IsZero

⊢ α.IsZero
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ

⊢ (∏ x ∈ finPairsLT n, if 1 x.fst ≤ 1 x.snd then -1 else 1) = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ

⊢ (∏ x ∈ finPairsLT n, if 1 x.fst ≤ 1 x.snd then -1 else 1) = ∏ _x ∈ finPairsLT n, 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
H : μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen

⊢ μ.WeaklyRegular
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
H : μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen
hfin : ∀ {s : Set α}, μ s ≠ ⊤

⊢ μ.WeaklyRegular
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
H : μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen
hfin : ∀ {s : Set α}, μ s ≠ ⊤

⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε ≠ 0 → ∃ F ⊆ s, ∃ U ⊇ s, IsClosed F ∧ IsOpen U ∧ μ s ≤ μ F + ε ∧ μ U ≤ μ s + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
H : μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen
hfin : ∀ {s : Set α}, μ s ≠ ⊤

⊢ ∀ (U : Set α), IsOpen U → ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε ≠ 0 → ∃ F ⊆ U, ∃ U_1 ⊇ U, IsClosed F ∧ IsOpen U_1 ∧ μ U ≤ μ F + ε ∧ μ U_1 ≤ μ U + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
H : μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen
hfin : ∀ {s : Set α}, μ s ≠ ⊤

⊢ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → (∀ (ε : ℝ≥0∞), ε ≠ 0 → ∃ F ⊆ t, ∃ U ⊇ t, IsClosed F ∧ IsOpen U ∧ μ t ≤ μ F + ε ∧ μ U ≤ μ t + ε) → ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε ≠ 0 → ∃ F ⊆ tᶜ, ∃ U ⊇ tᶜ, IsClosed F ∧ IsOpen U ∧ μ tᶜ ≤ μ F + ε ∧ μ U ≤ μ tᶜ + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s : Set α
ε r : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
H : μ.InnerRegularWRT IsClosed IsOpen
hfin : ∀ {s : Set α}, μ s ≠ ⊤

⊢ ∀ (f : ℕ → Set α), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ) (ε : ℝ≥0∞), ε ≠ 0 → ∃ F ⊆ f i, ∃ U ⊇ f i, IsClosed F ∧ IsOpen U ∧ μ (f i) ≤ μ F + ε ∧ μ U ≤ μ (f i) + ε) → ∀ (ε : ℝ≥0∞), ε ≠ 0 → ∃ F ⊆ ⋃ i, f i, ∃ U ⊇ ⋃ i, f i, IsClosed F ∧ IsOpen U ∧ μ (⋃ i, f i) ≤ μ F + ε ∧ μ U ≤ μ (⋃ i, f i) + ε
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]

⊢ X ∣ p - C (p.coeff 0)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R

⊢ v.valuation ((algebraMap R K) r) ≤ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R

⊢ v.intValuation r ≤ 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0

⊢ Irreducible (X ^ n - X - 1)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n

⊢ Irreducible (X ^ n - X - 1)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1

⊢ Irreducible (X ^ n - X - 1)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1

⊢ Irreducible (trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1

⊢ ∀ (z : ℂ), ¬((aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1) = 0 ∧ (aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1).mirror = 0)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
z : ℂ
h1 : (aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1) = 0
h2 : (aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1).mirror = 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
z : ℂ
h1 : (aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1) = 0
h2 : (aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1).mirror = 0

⊢ z ^ n = z + 1 ∧ z ^ n + z ^ 2 = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
z : ℂ
h1 : (aeval z) (trinomial 0 1 n ↑(-1) ↑(-1) ↑1) = 0
h2 : (aeval z) (trinomial 0 (n - 1 + 0) n ↑1 ↑(-1) ↑(-1)) = 0

⊢ z ^ n = z + 1 ∧ z ^ n + z ^ 2 = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
z : ℂ
h1 : -1 * z ^ 0 + -1 * z ^ 1 + 1 * z ^ n = 0
h2 : 1 * z ^ 0 + -1 * z ^ (n - 1 + 0) + -1 * z ^ n = 0

⊢ z ^ n = z + 1 ∧ z ^ n + z ^ 2 = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
z : ℂ
h2 : 1 * z ^ 0 + -1 * z ^ (n - 1 + 0) + -1 * z ^ n = 0
h1 : z ^ n = z + 1

⊢ z ^ n = z + 1 ∧ z ^ n + z ^ 2 = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
z : ℂ
h1 : z ^ n = z + 1
h2 : (1 * z ^ 0 + -1 * z ^ (n - 1 + 0) + -1 * z ^ n) * z = 0

⊢ z ^ n = z + 1 ∧ z ^ n + z ^ 2 = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
z : ℂ
h1 : z ^ n = z + 1
h2 : 1 * z ^ 0 * z + -1 * z ^ n + -1 * z ^ n * z = 0

⊢ z ^ n = z + 1 ∧ z ^ n + z ^ 2 = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hn : 1 < n
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
z : ℂ
h1 : z ^ n = z + 1
h2 : 1 * z ^ 0 * z + -1 * (z + 1) + -1 * (z + 1) * z = 0

⊢ z + 1 = z + 1 ∧ z + 1 + z ^ 2 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x

⊢ Submodule.span K {x} ⊓ B.orthogonal (Submodule.span K {x}) = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x

⊢ Submodule.span K ↑{x} ⊓ B.orthogonal (Submodule.span K ↑{x}) = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
y : V
h : y ∈ Submodule.span K ↑{x} ⊓ B.orthogonal (Submodule.span K ↑{x})

⊢ y ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
μ : V → K
h : ∑ i ∈ {x}, μ i • i ∈ Submodule.span K ↑{x} ⊓ B.orthogonal (Submodule.span K ↑{x})

⊢ ∑ i ∈ {x}, μ i • i ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
μ : V → K
h : ∑ i ∈ {x}, μ i • i ∈ Submodule.span K ↑{x} ⊓ B.orthogonal (Submodule.span K ↑{x})
this : B.IsOrtho x (∑ i ∈ {x}, μ i • i)

⊢ ∑ i ∈ {x}, μ i • i ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x
μ : V → K
h : ∑ i ∈ {x}, μ i • i ∈ Submodule.span K ↑{x} ⊓ B.orthogonal (Submodule.span K ↑{x})

⊢ x ∈ Submodule.span K ↑{x}
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp2 : p = 2
x✝ : Irreducible ↑p
not_unit✝ : ¬IsUnit ↑p
h : ∀ (a b : ℤ[i]), ↑p = a * b → IsUnit a ∨ IsUnit b

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp2 : p = 2
x✝ : Irreducible ↑p
not_unit✝ : ¬IsUnit ↑p
h : ∀ (a b : ℤ[i]), ↑p = a * b → IsUnit a ∨ IsUnit b
this : IsUnit { re := 1, im := 1 } ∨ IsUnit { re := 1, im := -1 }

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp2 : p = 2
x✝ : Irreducible ↑p
not_unit✝ : ¬IsUnit ↑p
h : ∀ (a b : ℤ[i]), ↑p = a * b → IsUnit a ∨ IsUnit b
this : { re := 1, im := 1 }.norm.natAbs = 1 ∨ { re := 1, im := -1 }.norm.natAbs = 1

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ZMod p
hk : -1 = k * k

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hpk : p ∣ k ^ 2 + 1
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
hpk₂ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 }

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
hpk₂ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 }
y : ℕ
hy : k ^ 2 + 1 = p * y

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hpi : Prime ↑p
hp1 : p % 2 = 1
hp3 : p % 4 ≠ 3
hp41 : p % 4 = 1
k : ℕ
k_lt_p : k < p
hk : -1 = ↑k * ↑k
hkmul : ↑k ^ 2 + 1 = { re := ↑k, im := 1 } * { re := ↑k, im := -1 }
hkltp : 1 + k * k < p * p
hpk₁ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }
hpk₂ : ¬↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 }
y : ℕ
hy : k ^ 2 + 1 = p * y
this : ↑p ∣ { re := ↑k, im := 1 } ∨ ↑p ∣ { re := ↑k, im := -1 }

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIocDiv hp a (-b) = -(toIcoDiv hp (-a) b + 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ

⊢ (shiftFunctorZero Cᵒᵖ ℤ).inv.app X = ((shiftFunctorZero C ℤ).hom.app (Opposite.unop X)).op ≫ (shiftFunctorOpIso C 0 0 ⋯).inv.app X
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H K : Subgroup G
hK : H ≤ K
hN : (H.subgroupOf K).Normal
a b : G
hb : b ∈ K
h : a * b ∈ H

⊢ b * a ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H K : Subgroup G
hK : H ≤ K
hN : (H.subgroupOf K).Normal
a b : G
hb : b ∈ K
h : a * b ∈ H
this : b * (a * b) * b⁻¹ ∈ H

⊢ b * a ∈ H
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
f : E → F
fa : AnalyticOn 𝕜 f univ

⊢ Continuous f
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
f : E → F
fa : AnalyticOn 𝕜 f univ

⊢ ContinuousOn f univ
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁸ : Ring R✝
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : Module R✝ M✝
inst✝⁵ : NoZeroSMulDivisors R✝ M✝
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : CharZero R
z : ℤ
x : M
h : z • x = 0

⊢ z = 0 ∨ x = 0