ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y✝ z : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x

⊢ y ∈ x
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y✝ z✝ : ZFSet
h : x.IsTransitive
y : ZFSet
hy : y ∈ ⋃₀ x
z : ZFSet
hz : z ∈ x
hz' : y ∈ z

⊢ y ∈ x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
m : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → Complex.abs (f n) ≤ m
s : ℝ
hs : 1 < s

⊢ 1 < (↑s).re
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p : P

⊢ Sbtw R (p -ᵥ x) (p -ᵥ y) (p -ᵥ z) ↔ Sbtw R x y z
-- Mathlib/Analysis/Complex/CauchyIntegral.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
h0✝ : 0 ≤ R
f : ℂ → E
c : ℂ
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ z ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f z
h0 : 0 < R

⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z) = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ (o.oangle (x - y) x).cos = ‖x‖ / ‖x - y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ ((-o).oangle x (x - y)).cos = ‖x‖ / ‖x - y‖
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
ι : Type u_1
f : ι → Cardinal.{max u_1 u_2}
i : ι

⊢ f i ≤ sum f
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
ι : Type u_1
f : ι → Cardinal.{max u_1 u_2}
i : ι

⊢ ⟦Quotient.out (f i)⟧ ≤ sum f
-- Mathlib/Order/CompleteLatticeIntervals.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop

⊢ ↑(⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i) = a ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : p i), ↑(f i)
-- Mathlib/Order/CompleteLatticeIntervals.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop
h✝ : IsEmpty ι

⊢ ↑(⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i) = a ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : p i), ↑(f i)
-- Mathlib/Order/CompleteLatticeIntervals.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop
h✝ : Nonempty ι

⊢ ↑(⨅ i, ⨅ (_ : p i), f i) = a ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : p i), ↑(f i)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (x : γ), ENNReal.ofReal (κ.density ν a x s) ∂ν a = (κ a) (univ ×ˢ s)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (x : γ) in univ, ENNReal.ofReal (κ.density ν a x s) ∂ν a = (κ a) (univ ×ˢ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α →ₘ[μ] β

⊢ f.Integrable ↔ f ∈ Lp β 1 μ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ

⊢ (o.oangle (x - r • y) y).sign = (o.oangle x y).sign
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜

⊢ σ (↑ₐ k) = {k}
-- Mathlib/Topology/LocallyFinite.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
x : X
s : Set X
hsx : s ∈ 𝓝 x
hsf : {i | (f i ∩ s).Nonempty}.Finite

⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, {i | ((fun i => closure (f i)) i ∩ t).Nonempty}.Finite
-- Mathlib/Topology/LocallyFinite.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f g : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
x : X
s : Set X
hsx : s ∈ 𝓝 x
hsf : {i | (f i ∩ s).Nonempty}.Finite
i : ι
hi : i ∈ {i | ((fun i => closure (f i)) i ∩ interior s).Nonempty}

⊢ i ∈ {i | (f i ∩ s).Nonempty}
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ

⊢ r.sign = -1 ∨ r.sign = 0 ∨ r.sign = 1
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
hn : r < 0

⊢ r.sign = -1 ∨ r.sign = 0 ∨ r.sign = 1
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean

⊢ sign 0 = -1 ∨ sign 0 = 0 ∨ sign 0 = 1
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
hp : 0 < r

⊢ r.sign = -1 ∨ r.sign = 0 ∨ r.sign = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
f : M ≃ₗ[A] M

⊢ LinearMap.det ↑f * LinearMap.det ↑f.symm = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
s t : Finset α
h : G.IsUniform ε s t
t' : Finset α
ht' : t' ⊆ t
s' : Finset α
hs' : s' ⊆ s
ht : ↑t.card * ε ≤ ↑t'.card
hs : ↑s.card * ε ≤ ↑s'.card

⊢ |↑(G.edgeDensity t' s') - ↑(G.edgeDensity t s)| < ε
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Uniform.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s✝ t✝ : Finset α
a b : α
s t : Finset α
h : G.IsUniform ε s t
t' : Finset α
ht' : t' ⊆ t
s' : Finset α
hs' : s' ⊆ s
ht : ↑t.card * ε ≤ ↑t'.card
hs : ↑s.card * ε ≤ ↑s'.card

⊢ |↑(G.edgeDensity s' t') - ↑(G.edgeDensity s t)| < ε
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝¹ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i✝ : ι'
i : ι

⊢ (b.repr ((b.prod b') (Sum.inr i✝)).1) i = (b.repr 0) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝¹ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i✝ : ι'
i : ι

⊢ (Finsupp.single (Sum.inr i✝) 1) (Sum.inl i) = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hba : b ≤ a
hdc : d ≤ c

⊢ a * d + b * c ≤ a * c + b * d
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hba : b ≤ a
hdc : d ≤ c

⊢ b * c + a * d ≤ b * d + a * c
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : MulZeroClass α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty

⊢ 0 ⊆ s * 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
inst✝ : (v : V) → Fintype ↑(M.neighborSet v)

⊢ M.IsMatching ↔ ∀ v ∈ M.verts, M.degree v = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.67791, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.67795, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s

⊢ (Q W).map s ≫ Qinv s hs = 𝟙 ((Q W).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.67791, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.67795, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s

⊢ homMk (mk s s hs) = 𝟙 ((Q W).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.67791, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.67795, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s

⊢ LeftFractionRel (mk s s hs) (ofHom W (𝟙 ((Q W).obj X)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.67791, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.67795, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s

⊢ Qinv s hs ≫ (Q W).map s = 𝟙 ((Q W).obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.67791, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.67795, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s

⊢ homMk (ofInv s hs) ≫ homMk (ofHom W s) = 𝟙 ((Q W).obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.67791, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.67795, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s

⊢ homMk ((ofInv s hs).comp₀ (ofHom W s) (ofHom W (𝟙 Y))) = 𝟙 ((Q W).obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.67791, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.67795, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
s : X ⟶ Y
hs : W s

⊢ LeftFractionRel ((ofInv s hs).comp₀ (ofHom W s) (ofHom W (𝟙 Y))) (ofHom W (𝟙 ((Q W).obj Y)))
-- Mathlib/Data/Fintype/Units.lean
α : Type u_1
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ card αˣ = card α - 1
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t : Set α
s : Finset α
inst✝ : Fintype ↑t

⊢ s ⊂ t.toFinset ↔ ↑s ⊂ t
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Curry.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
x : Fin 0 → G

⊢ ‖f x‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Curry.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'

⊢ ‖f 0‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Curry.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'

⊢ ‖f‖ ≤ ‖f 0‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Curry.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => G) G'
this : ‖curry0 𝕜 G f.uncurry0‖ ≤ ‖f.uncurry0‖

⊢ ‖f‖ ≤ ‖f 0‖
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
s : R
r : Rˣ

⊢ r • s ∈ σ (r • a) ↔ s ∈ σ a
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
x : AddCircle T

⊢ (fourier 0) x = 1
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T z✝ : ℝ

⊢ (fourier 0) ↑z✝ = 1
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T z✝ : ℝ

⊢ Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑0 * ↑z✝ / ↑T) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian

⊢ A.det = ∏ i : n, ↑(hA.eigenvalues i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian

⊢ ∏ i : n, ↑(hA.eigenvalues i) = (↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues) * star ↑hA.eigenvectorUnitary).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian

⊢ ∏ i : n, ↑(hA.eigenvalues i) = (↑hA.eigenvectorUnitary * star ↑hA.eigenvectorUnitary * diagonal (RCLike.ofReal ∘ hA.eigenvalues)).det
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a

⊢ ∃ s, a ∈ s ∧ IsOpen s ∧ ApproximatesLinearOn f (↑f') s (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ / 2)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a

⊢ ∃ s, (a ∈ s ∧ IsOpen s) ∧ ApproximatesLinearOn f (↑f') s (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ / 2)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f (↑f') a

⊢ ∃ s ∈ 𝓝 a, ApproximatesLinearOn f (↑f') s (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ / 2)
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Monoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

⊢ (fun x => a + x) '' Ioi b = Ioi (a + b)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : EMetricSpace β
a : β
r : ℝ≥0∞
x y : ↑(EMetric.ball a r)

⊢ edist a ↑x + edist a ↑y < r + r
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : EMetricSpace β
a : β
r : ℝ≥0∞
x y : ↑(EMetric.ball a r)

⊢ edist (↑x) a + edist (↑y) a < r + r
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g : G
j : ℤ
a : α
a_in_fixedBy : a ∈ fixedBy α g

⊢ a ∈ fixedBy α (g ^ j)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g : G
j : ℤ
a : α
a_in_fixedBy : a ∈ fixedBy α g

⊢ 1 ∣ j
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : CPolynomialAt 𝕜 f x
hg : CPolynomialAt 𝕜 g x

⊢ CPolynomialAt 𝕜 (f - g) x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (π i)
x y x' y' : ι → ℝ
hx : x ∈ Icc x' y'
hy : y ∈ Icc x' y'

⊢ dist x y ≤ dist x' y'
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (π i)
x y x' y' : ι → ℝ
hx : x ∈ Icc x' y'
hy : y ∈ Icc x' y'
b : ι

⊢ x b ∈ Icc (x' b) (y' b)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : ι → Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (π i)
x y x' y' : ι → ℝ
hx : x ∈ Icc x' y'
hy : y ∈ Icc x' y'
b : ι

⊢ y b ∈ Icc (x' b) (y' b)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α

⊢ (s ∪ t) ∩ t = t
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
hf : ∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)
a b : M

⊢ f a * f b + f b * f a = f (a + b) * f (a + b) - f a * f a - f b * f b
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
hf : ∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)
a b : M

⊢ f a * f b + f b * f a = f a * f a + f b * f a + (f a * f b + f b * f b) - f a * f a - f b * f b
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
hf : ∀ (x : M), f x * f x = (algebraMap R A) (Q x)
a b : M

⊢ (algebraMap R A) (Q (a + b)) - (algebraMap R A) (Q a) - (algebraMap R A) (Q b) = (algebraMap R A) (Q (a + b) - Q a - Q b)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
hs : s.Finite
g : G

⊢ g ∈ stabilizer G s ↔ s ⊆ g • s
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
hs : s.Finite
g : G

⊢ g⁻¹ • s ⊆ s ↔ s ⊆ g • s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
f : F
s : Set M₂

⊢ span R (⇑f ⁻¹' s) ≤ comap f (span R₂ s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t : Set M
f : F
s : Set M₂

⊢ ⇑f ⁻¹' s ⊆ ⇑f ⁻¹' ↑(span R₂ s)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
n : ℕ
x : α

⊢ (f ^ n) x ∈ f.support ↔ x ∈ f.support
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s t : Set Q
ht : t.Finite
h : t ⊆ interior s

⊢ ∀ᶠ (δ : 𝕜) in 𝓝 1, ⇑(homothety x δ) '' t ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s t : Set Q
ht : t.Finite
h : t ⊆ interior s

⊢ ∀ y ∈ t, ∀ᶠ (δ : 𝕜) in 𝓝 1, (homothety x δ) y ∈ s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
x : Q
s t : Set Q
ht : t.Finite
h : t ⊆ interior s
y : Q
hy : y ∈ t

⊢ ∀ᶠ (δ : 𝕜) in 𝓝 1, (homothety x δ) y ∈ s
-- Mathlib/Topology/Compactification/OnePoint.lean
X : Type u_1
x : OnePoint X

⊢ x ∉ range some ↔ x = ∞
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z : ℂ

⊢ ↑z.re = (z + (starRingEnd ℂ) z) / 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : IntegrableOn f s μ

⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍ (a : α) in s, f a ∂μ}