ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Lifting.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝² : Category.{v₃, u₃} C
U : B ⥤ C
F : C ⥤ B
R : A ⥤ B
F' : C ⥤ A
adj₁ : F ⊣ U
adj₂ : F' ⊣ R ⋙ U
inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A
inst✝ : (X : B) → RegularEpi (adj₁.counit.app X)
Y : A
X : B
f : F'.obj (U.obj X) ⟶ Y

⊢ U.map (F.map (adj₂.unit.app (U.toPrefunctor.1 X)) ≫ F.map (U.map (R.map f)) ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y)) = U.map (adj₁.counit.app X) ≫ adj₂.unit.app (U.obj ((𝟭 B).obj X)) ≫ (R ⋙ U).map f ↔ U.map (F.map (adj₂.unit.app (U.obj X)) ≫ F.map ((R ⋙ U).map f) ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y)) = U.map (adj₁.counit.app X) ≫ adj₂.unit.app (U.obj X) ≫ (R ⋙ U).map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Lifting.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝² : Category.{v₃, u₃} C
U : B ⥤ C
F : C ⥤ B
R : A ⥤ B
F' : C ⥤ A
adj₁ : F ⊣ U
adj₂ : F' ⊣ R ⋙ U
inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A
inst✝ : (X : B) → RegularEpi (adj₁.counit.app X)
Y : A
X : B
g : U.obj X ⟶ U.obj (R.obj Y)

⊢ U.map (F.map g ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y)) = U.map (adj₁.counit.app X) ≫ g ↔ F.map (U.map (adj₁.counit.app X)) ≫ (adj₁.homEquiv (U.obj X) (R.obj Y)).symm g = adj₁.counit.app (F.obj (U.obj X)) ≫ (adj₁.homEquiv (U.obj X) (R.obj Y)).symm g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Lifting.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝² : Category.{v₃, u₃} C
U : B ⥤ C
F : C ⥤ B
R : A ⥤ B
F' : C ⥤ A
adj₁ : F ⊣ U
adj₂ : F' ⊣ R ⋙ U
inst✝¹ : HasReflexiveCoequalizers A
inst✝ : (X : B) → RegularEpi (adj₁.counit.app X)
Y : A
X : B
g : U.obj X ⟶ U.obj (R.obj Y)

⊢ adj₁.counit.app (F.obj (U.obj X)) ≫ F.map g ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y) = F.map (U.map (adj₁.counit.app X)) ≫ F.map g ≫ adj₁.counit.app ((𝟭 B).obj (R.obj Y)) ↔ F.map (U.map (adj₁.counit.app X)) ≫ F.map g ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y) = adj₁.counit.app (F.obj (U.obj X)) ≫ F.map g ≫ adj₁.counit.app (R.obj Y)
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/DirichletLSeries.lean
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re

⊢ ∑' (n : ℕ), { toFun := fun n => χ ↑n * ↑n ^ (-s), map_zero' := ⋯, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } n = ∑' (n : ℕ), if n = 0 then 0 else χ ↑n / ↑n ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/DirichletLSeries.lean
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
n : ℕ

⊢ { toFun := fun n => χ ↑n * ↑n ^ (-s), map_zero' := ⋯, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } n = if n = 0 then 0 else χ ↑n / ↑n ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/DirichletLSeries.lean
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re

⊢ { toFun := fun n => χ ↑n * ↑n ^ (-s), map_zero' := ⋯, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } 0 = if 0 = 0 then 0 else χ ↑0 / ↑0 ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/DirichletLSeries.lean
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ { toFun := fun n => χ ↑n * ↑n ^ (-s), map_zero' := ⋯, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } n = if n = 0 then 0 else χ ↑n / ↑n ^ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 y t

⊢ StarConvex 𝕜 (x - y) (s - t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
ht : StarConvex 𝕜 y t

⊢ StarConvex 𝕜 (x + -y) (s + -t)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
X : Type u_2
Y : Sort u_3
Z : Type u_1
f : X → Y
g : Z → Y
p₁ p₂ : Pullback f g
he : (p₁, p₂).1.snd = (p₁, p₂).2.snd

⊢ ⟨(p₁, p₂), he⟩ ∈ map_fst ⁻¹' pullbackDiagonal f ↔ ⟨(p₁, p₂), he⟩ ∈ pullbackDiagonal snd
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
X : Type u_2
Y : Sort u_3
Z : Type u_1
f : X → Y
g : Z → Y
p₁ p₂ : Pullback f g
he : (p₁, p₂).1.snd = (p₁, p₂).2.snd

⊢ ⟨(p₁, p₂), he⟩ ∈ map_fst ⁻¹' {p | p.fst = p.snd} ↔ (↑(fst ⟨(p₁, p₂), he⟩)).1 = (↑(snd ⟨(p₁, p₂), he⟩)).1 ∧ (↑(fst ⟨(p₁, p₂), he⟩)).2 = (↑(snd ⟨(p₁, p₂), he⟩)).2
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
ht : ∀ (x : M), Convex ℝ (t x)
U : M → Set M
hU : ∀ (x : M), U x ∈ 𝓝 x
g : M → M → F
hgs : ∀ (x : M), ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, F) n (g x) (U x)
hgt : ∀ (x y : M), y ∈ U x → g x y ∈ t y

⊢ ∃ g, ∀ (x : M), g x ∈ t x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
ht : ∀ (x : M), Convex ℝ (t x)
U : M → Set M
hU : ∀ (x : M), U x ∈ 𝓝 x
g : M → M → F
hgs : ∀ (x : M), ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, F) n (g x) (U x)
hgt : ∀ (x y : M), y ∈ U x → g x y ∈ t y
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate fun x => interior (U x)

⊢ ∃ g, ∀ (x : M), g x ∈ t x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
ht : ∀ (x : M), Convex ℝ (t x)
U : M → Set M
hU : ∀ (x : M), U x ∈ 𝓝 x
g : M → M → F
hgs : ∀ (x : M), ContMDiffOn I 𝓘(ℝ, F) n (g x) (U x)
hgt : ∀ (x y : M), y ∈ U x → g x y ∈ t y
f : SmoothPartitionOfUnity M I M
hf : f.IsSubordinate fun x => interior (U x)
x i : M
hi : (f i) x ≠ 0

⊢ x ∈ U i
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.245881}
b c a : Cardinal.{u}
h : c < b

⊢ a ^ c ≤ a ^< b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.245881}
b c a : Cardinal.{u}
h : c < b

⊢ BddAbove (range fun y => a ^ ↑y)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c✝ : Cardinal.{?u.245881}
b c a : Cardinal.{u}
h : c < b

⊢ BddAbove (HPow.hPow a '' Iio b)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w

⊢ (p.append q).toSubgraph = p.toSubgraph ⊔ q.toSubgraph
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K

⊢ 0 < normSq z ↔ z ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K

⊢ 0 ≤ normSq z ∧ ¬normSq z = 0 ↔ z ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ

⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ ∃ z, b = a + z • p
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Biproducts.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
b : Bicone f
j j' : J

⊢ (fun j => F.map (b.ι j)) j ≫ (fun j => F.map (b.π j)) j' = if h : j = j' then eqToHom ⋯ else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Biproducts.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.PreservesZeroMorphisms
J : Type w₁
f : J → C
b : Bicone f
j j' : J

⊢ F.map (b.ι j ≫ b.π j') = if h : j = j' then eqToHom ⋯ else 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Pi.lean
ι : Type u_1
I : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : I → Type u_6
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝¹ : One γ
inst✝ : LE γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ
hg : 1 ≤ g
he : 1 ≤ e
_b : β

⊢ 1 _b ≤ extend f g e _b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ Tendsto tan (𝓝[<] (π / 2)) atTop
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0

⊢ W'.negAddY P Q = (P x * Q z) ^ 3 * W'.negY Q
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularSheaves.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.127674, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.127678, u_3} E
X : C
S : Presieve X
inst✝¹ : S.regular
inst✝ : Projective X
F : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4

⊢ IsSheafFor F S
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularSheaves.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.127674, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.127678, u_3} E
X : C
inst✝¹ : Projective X
F : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : EffectiveEpi f
inst✝ : (ofArrows (fun x => Y) fun x => f).regular

⊢ IsSheafFor F (ofArrows (fun x => Y) fun x => f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularSheaves.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.127674, u_2} D
inst✝² : Category.{?u.127678, u_3} E
X : C
inst✝¹ : Projective X
F : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : EffectiveEpi f
inst✝ : (ofArrows (fun x => Y) fun x => f).regular

⊢ ∀ (x : Unit → F.obj (op Y)), Arrows.Compatible F (fun x => f) x → ∃! t, ∀ (i : Unit), F.map f.op t = x i
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
v : V

⊢ op ((toBaseChange A Q) (reverse ((ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (1 ⊗ₜ[R] v)))) = (Algebra.TensorProduct.opAlgEquiv R A A (CliffordAlgebra Q)) ((Algebra.TensorProduct.map (↑(AlgEquiv.toOpposite A A)) reverseOp) ((toBaseChange A Q) ((ι (QuadraticForm.baseChange A Q)) (1 ⊗ₜ[R] v))))
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/BaseChange.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Module R V
inst✝² : Module A V
inst✝¹ : IsScalarTower R A V
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R V
v : V

⊢ op (1 ⊗ₜ[R] (ι Q) v) = op (unop (↑(AlgEquiv.toOpposite A A) 1) ⊗ₜ[R] unop (op ((ι Q) v)))
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
x✝ : ℤ

⊢ x✝ ∈ Int.cast ⁻¹' Ioi a ↔ x✝ ∈ Ioi ⌊a⌋
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' s : Cycle α
h : s.Nodup
x : α
hx : x ∉ s

⊢ (s.formPerm h) x = x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
x : α
a✝ : List α
h : Nodup (Quot.mk Setoid.r a✝)
hx : x ∉ Quot.mk Setoid.r a✝

⊢ (formPerm (Quot.mk Setoid.r a✝) h) x = x
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Hom.lean
M' : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
φ : M → N
ψ : N → P
χ : M → P
X : Type u_5
inst✝⁴ : SMul M X
inst✝³ : SMul M' X
Y : Type u_6
inst✝² : SMul N Y
inst✝¹ : SMul M' Y
Z : Type u_7
inst✝ : SMul P Z
f : X →ₑ[φ] Y
x : X

⊢ ((MulActionHom.id N).comp f) x = f x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α

⊢ dist x y ≤ dist z x + dist z y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α

⊢ dist x y ≤ dist x z + dist z y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin 1 → ℂ) → E
c : Fin 1 → ℂ
R : Fin 1 → ℝ

⊢ (∯ (x : Fin 1 → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (z : ℂ) in C(c 0, R 0), f fun x => z
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin 1 → ℂ) → E
c : Fin 1 → ℂ
R : Fin 1 → ℝ
H₁ : (⇑(MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ).symm ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π)

⊢ (∯ (x : Fin 1 → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (z : ℂ) in C(c 0, R 0), f fun x => z
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin 1 → ℂ) → E
c : Fin 1 → ℂ
R : Fin 1 → ℝ
H₁ : (⇑(MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ).symm ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π)
H₂ : torusMap c R = fun θ x => circleMap (c 0) (R 0) (θ 0)

⊢ (∯ (x : Fin 1 → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (z : ℂ) in C(c 0, R 0), f fun x => z
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
f : (Fin 1 → ℂ) → E
c : Fin 1 → ℂ
R : Fin 1 → ℝ
H₁ : (⇑(MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ).symm ⁻¹' Icc 0 fun x => 2 * π) = Icc 0 (2 * π)
H₂ : torusMap c R = fun θ x => circleMap (c 0) (R 0) (θ 0)

⊢ ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), (∏ i : Fin 1, ↑(R i) * cexp (↑((MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ).symm x i) * I) * I) • f ((fun θ x => circleMap (c 0) (R 0) (θ 0)) ((MeasurableEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ).symm x)) = ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (2 * π), deriv (circleMap (c 0) (R 0)) x • f fun x_1 => circleMap (c 0) (R 0) x ∂volume
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f✝ : α × β → StieltjesFunction
inst✝ : IsFiniteKernel κ
f : α × β → StieltjesFunction
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ

⊢ ∫⁻ (b : β), ENNReal.ofReal (↑(f (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (univ ×ˢ Iic x)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Bilinear.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
x : A

⊢ IsUnit ((Algebra.lmul R A) x) ↔ IsUnit x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Bilinear.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
x : A

⊢ IsUnit x ↔ Function.Bijective ⇑((Algebra.lmul R A) x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
f' g' : E →L[ℂ] ℂ
x : E
s : Set E
c : ℂ
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hg : HasStrictFDerivAt g g' x
h0 : f x ∈ slitPlane

⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => f x ^ g x) ((g x * f x ^ (g x - 1)) • f' + (f x ^ g x * Complex.log (f x)) • g') x
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : Ordinal.{u_2}
h : b ≠ 0

⊢ (a + b).cof = b.cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : Ordinal.{u_2}
h : 0 ≠ 0

⊢ (a + 0).cof = cof 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a c : Ordinal.{u_2}
h : succ c ≠ 0

⊢ (a + succ c).cof = (succ c).cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a b : Ordinal.{u_2}
h : b ≠ 0
hb : b.IsLimit

⊢ (a + b).cof = b.cof
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ≥0

⊢ sqrt x = 1 ↔ x = 1
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j

⊢ a.get i * a.get j ∈ FP a
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j

⊢ a.get i * a.get j ∈ FP (Stream'.drop i a)
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j

⊢ (Stream'.drop i a).head * a.get j ∈ FP (Stream'.drop i a)
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j

⊢ FP (Stream'.drop i a).tail (a.get j)
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
d : ℕ
hd : j = i.succ + d

⊢ FP (Stream'.drop i a).tail (a.get j)
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
d : ℕ
hd : j = i.succ + d

⊢ a.get j ∈ FP (Stream'.drop i a).tail
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
d : ℕ
hd : j = i.succ + d
this : (Stream'.drop i a).tail.get d ∈ FP (Stream'.drop i a).tail

⊢ a.get j ∈ FP (Stream'.drop i a).tail
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
d : ℕ
hd : j = i.succ + d
this : a.get (d + 1 + i) ∈ FP (Stream'.drop 1 (Stream'.drop i a))

⊢ a.get j ∈ FP (Stream'.drop i a).tail
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
i j : ℕ
ij : i < j
d : ℕ
hd : j = i.succ + d
this : a.get (d + 1 + i) ∈ FP (Stream'.drop 1 (Stream'.drop i a))

⊢ j = d + 1 + i
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hc : c ≠ 0
h : c * a = b

⊢ a = b / c
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
c : β

⊢ Tendsto (↿F) (p ×ˢ 𝓟 s) (𝓝 c) ↔ TendstoUniformlyOn F (fun x => c) p s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
c : β

⊢ Tendsto (↿F) (p ×ˢ 𝓟 s) (𝓝 c) ↔ TendstoUniformlyOnFilter F (fun x => c) p (𝓟 s)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n

⊢ (MvPolynomial.eval₂ f g φ).IsHomogeneous (n * m)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n

⊢ ∀ i ∈ φ.support, ((fun s a => f a * s.prod fun n e => g n ^ e) i (φ i)).IsHomogeneous (n * m)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n
i : σ →₀ ℕ
hi : i ∈ φ.support

⊢ ((fun s a => f a * s.prod fun n e => g n ^ e) i (φ i)).IsHomogeneous (n * m)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n
i : σ →₀ ℕ
hi : i ∈ φ.support

⊢ ((fun s a => f a * s.prod fun n e => g n ^ e) i (φ i)).IsHomogeneous (0 + n * m)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n
i : σ →₀ ℕ
hi : i ∈ φ.support

⊢ (i.prod fun n e => g n ^ e).IsHomogeneous (n * m)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n
i : σ →₀ ℕ
hi : i ∈ φ.support

⊢ n * m = ∑ i_1 ∈ i.support, n * i i_1
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
f : R →+* MvPolynomial τ S
g : σ → MvPolynomial τ S
hf : ∀ (r : R), (f r).IsHomogeneous 0
hg : ∀ (i : σ), (g i).IsHomogeneous n
i : σ →₀ ℕ
hi : i ∈ φ.support

⊢ ∀ i_1 ∈ i.support, ((fun n e => g n ^ e) i_1 (i i_1)).IsHomogeneous ((fun k => n * i k) i_1)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ

⊢ Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ) = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ

⊢ ⊤ ≤ Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ

⊢ {σ | σ.IsSwap} ⊆ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
ih : i ≠ j.castSucc → i < j.castSucc → swap i j.castSucc ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
ne : i ≠ j.succ
lt : i < j.succ

⊢ swap i j.succ ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
ih : i ≠ j.castSucc → i < j.castSucc → swap i j.castSucc ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
ne : i ≠ j.succ
lt : i < j.succ
mem : swap j.castSucc j.succ ∈ Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ)

⊢ swap i j.succ ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
j : Fin n
mem : swap j.castSucc j.succ ∈ Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ)
ih : j.castSucc ≠ j.castSucc → j.castSucc < j.castSucc → swap j.castSucc j.castSucc ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
ne : j.castSucc ≠ j.succ
lt : j.castSucc < j.succ

⊢ swap j.castSucc j.succ ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
ih : i ≠ j.castSucc → i < j.castSucc → swap i j.castSucc ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
ne : i ≠ j.succ
lt : i < j.succ
mem : swap j.castSucc j.succ ∈ Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ)
lts : i < j.castSucc

⊢ swap i j.succ ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
j : Fin n
ih : i ≠ j.castSucc → i < j.castSucc → swap i j.castSucc ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
ne : i ≠ j.succ
lt : i < j.succ
mem : swap j.castSucc j.succ ∈ Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ)
lts : i < j.castSucc

⊢ swap j.castSucc j.succ * swap i j.castSucc * swap j.castSucc j.succ ∈ ↑(Submonoid.closure (Set.range fun i => swap i.castSucc i.succ))
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X

⊢ ∃ f, HasCompactSupport ⇑f ∧ 0 ≤ ⇑f ∧ f x ≠ 0
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
k : Set X
hk : IsCompact k
k_mem : k ∈ 𝓝 x

⊢ ∃ f, HasCompactSupport ⇑f ∧ 0 ≤ ⇑f ∧ f x ≠ 0