ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁹ : Nonempty ι
inst✝⁸ : Nonempty ι'
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p

⊢ WithSeminorms fun s => s.sup p
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁹ : Nonempty ι
inst✝⁸ : Nonempty ι'
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p

⊢ Seminorm.IsBounded p (fun s => s.sup p) LinearMap.id
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁹ : Nonempty ι
inst✝⁸ : Nonempty ι'
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p

⊢ Seminorm.IsBounded (fun s => s.sup p) p LinearMap.id
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s✝ : Finset α
f : α ↪ β
g : β ↪ γ
s : Finset α

⊢ (map g (map f s)).val = (map (f.trans g) s).val
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s✝ : Finset α
f : α ↪ β
g : β ↪ γ
s : Finset α

⊢ Multiset.map (⇑g ∘ ⇑f) s.val = Multiset.map (⇑(f.trans g)) s.val
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x✝¹ x✝ : α

⊢ Setoid.r x✝¹ x✝ ↔ RightCosetEquivalence (↑s) x✝¹ x✝
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x✝¹ x✝ : α

⊢ (fun x y => y * x⁻¹ ∈ s) x✝¹ x✝ ↔ RightCosetEquivalence (↑s) x✝¹ x✝
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
R : α → α → Prop
S : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
d : Pairwise R l₁

⊢ Pairwise R l₂
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/RCLike.lean
n✝ : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
n : ℕ∞
hf : HasCompactSupport f
h'f : ContDiff 𝕂 n f
hn : 1 ≤ n

⊢ ∃ C, LipschitzWith C f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/RCLike.lean
n✝ : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
n : ℕ∞
hf : HasCompactSupport f
h'f : ContDiff 𝕂 n f
hn : 1 ≤ n
C : ℝ
hC : ∀ (x : E'), ‖fderiv 𝕂 f x‖ ≤ C

⊢ ∃ C, LipschitzWith C f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/RCLike.lean
n✝ : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
n : ℕ∞
hf : HasCompactSupport f
h'f : ContDiff 𝕂 n f
hn : 1 ≤ n
C : ℝ
hC : ∀ (x : E'), ‖fderiv 𝕂 f x‖ ≤ C

⊢ LipschitzWith ⟨max C 0, ⋯⟩ f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/RCLike.lean
n✝ : ℕ∞
𝕂 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕂
E' : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕂 E'
F' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace 𝕂 F'
f : E' → F'
n : ℕ∞
hf : HasCompactSupport f
h'f : ContDiff 𝕂 n f
hn : 1 ≤ n
C : ℝ
hC : ∀ (x : E'), ‖fderiv 𝕂 f x‖ ≤ C
x : E'

⊢ ‖fderiv 𝕂 f x‖₊ ≤ ⟨max C 0, ⋯⟩
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0

⊢ ‖y‖ / Real.sin (angle x (x - y)) = ‖x - y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0

⊢ ‖y‖ / Real.sin (angle x (x - y)) = ‖x - y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ -y ≠ 0

⊢ ‖y‖ / Real.sin (angle x (x - y)) = ‖x - y‖
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
k n m : ℕ

⊢ (k + n).dist (k + m) = n.dist m
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
k n m : ℕ

⊢ (n + k).dist (m + k) = n.dist m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z = 0

⊢ toAffine W P = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : 1 < p

⊢ padicValInt p ↑p = 1
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s✝ : Set α
t✝ : Set β
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set β

⊢ image2 f (⋃ i, ⋃ j, s i j) t = ⋃ i, ⋃ j, image2 f (s i j) t
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ (o.oangle (x - y) x).sin = ‖y‖ / ‖x - y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ ((-o).oangle x (x - y)).sin = ‖y‖ / ‖x - y‖
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Bound.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

⊢ 4 ^ P.parts.card ≤ m
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : SMulZeroClass R M
b : R
g : α →₀ M
a : α

⊢ a ∈ (b • g).support → a ∈ g.support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : SMulZeroClass R M
b : R
g : α →₀ M
a : α

⊢ ¬b • g a = 0 → ¬g a = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean
n : ℕ
a b : Fin n

⊢ Fintype.card ↑(Set.Ico a b) = ↑b - ↑a
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Reflective.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
A : C
h : A ∈ i.essImage

⊢ IsIso ((reflectorAdjunction i).unit.app A)
-- Mathlib/Combinatorics/Pigeonhole.lean
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
ht : t.Nonempty
hb : ↑s.card ≤ t.card • b

⊢ ∃ y ∈ t, ↑(filter (fun x => f x = y) s).card ≤ b
-- Mathlib/Combinatorics/Pigeonhole.lean
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
ht : t.Nonempty
hb : ∑ a ∈ s, 1 ≤ t.card • b

⊢ ∃ y ∈ t, ∑ a ∈ filter (fun x => f x = y) s, 1 ≤ b
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
hfg : ∀ (a : α), g a ≤ᶠ[ae (κ a)] f a

⊢ (κ.withDensity fun a x => f a x - g a x) + κ.withDensity g = κ.withDensity f
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
hfg : ∀ (a : α), g a ≤ᶠ[ae (κ a)] f a

⊢ κ.withDensity ((fun a x => f a x - g a x) + g) = κ.withDensity f
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
hfg : ∀ (a : α), g a ≤ᶠ[ae (κ a)] f a

⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => f a x - g a x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
hfg : ∀ (a : α), g a ≤ᶠ[ae (κ a)] f a
a : α

⊢ ((fun a x => f a x - g a x) + g) a =ᶠ[ae (κ a)] f a
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
hfg : ∀ (a : α), g a ≤ᶠ[ae (κ a)] f a
a : α
x : β
hx : g a x ≤ f a x

⊢ ((fun a x => f a x - g a x) + g) a x = f a x
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.2896
L : Type ?u.2899
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S

⊢ map (algebraMap R S) (minpoly R x) /ₘ (X - C x) * (X - C x) = map (algebraMap R S) (minpoly R x)
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset

⊢ map Prod.fst s.val ≤ m
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset

⊢ ∀ (a : α), card (filter (fun a_1 => a = a_1.1) s.val) ≤ count a m
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset
a : α

⊢ card (filter (fun a_1 => a = a_1.1) s.val) ≤ count a m
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset
a : α
ha : card (filter (fun x => a = x.1) s.val) = 0

⊢ card (filter (fun a_1 => a = a_1.1) s.val) ≤ count a m
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset
a : α
ha : card (filter (fun x => a = x.1) s.val) > 0

⊢ card (filter (fun a_1 => a = a_1.1) s.val) ≤ count a m
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
s : Finset (α × ℕ)
hsm : s ⊆ m.toEnumFinset
a : α
ha : card (filter (fun x => a = x.1) s.val) > 0
n : ℕ
han : n ≥ card (filter (fun x => a = x.1) s.val) - 1
hn : (a, n) ∈ s

⊢ card (filter (fun a_1 => a = a_1.1) s.val) ≤ count a m
-- Mathlib/Data/Matrix/PEquiv.lean
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
f : l ≃. m
g : m ≃. n
i : l
j : n

⊢ (f.trans g).toMatrix i j = (f.toMatrix * g.toMatrix) i j
-- Mathlib/Data/Matrix/PEquiv.lean
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Semiring α
f : l ≃. m
g : m ≃. n
i : l
j : n

⊢ (f.trans g).toMatrix i j = Option.casesOn (f i) 0 fun fi => g.toMatrix fi j
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Canonical/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c d : α
h : a < b

⊢ ∃ c x, a * c = b
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Canonical/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c✝ d : α
h : a < b
c : α
hc : b = a * c

⊢ ∃ c x, a * c = b
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Canonical/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c✝ d : α
h : a < b
c : α
hc : b = a * c

⊢ c ≠ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Canonical/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
a b c d : α
h : a < b
hc : b = a * 1

⊢ False
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
a : ℝ

⊢ LipschitzWith Kf fun x => min (f x) a
-- Mathlib/GroupTheory/DoubleCoset.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G
h : ¬Disjoint (doset a ↑H ↑K) (doset b ↑H ↑K)

⊢ b ∈ doset a ↑H ↑K
-- Mathlib/GroupTheory/DoubleCoset.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G
h : ∃ x ∈ doset a ↑H ↑K, x ∈ doset b ↑H ↑K

⊢ b ∈ doset a ↑H ↑K
-- Mathlib/GroupTheory/DoubleCoset.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b : G
h : ∃ x, (∃ x_1 ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, x = x_1 * a * y) ∧ ∃ x_1 ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, x = x_1 * b * y

⊢ ∃ x ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, b = x * a * y
-- Mathlib/GroupTheory/DoubleCoset.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b l : G
hl : l ∈ ↑H
r : G
hr : r ∈ ↑K
y : G
hy : y ∈ ↑H
r' : G
hr' : r' ∈ ↑K
hrx : y * b * r' = l * a * r

⊢ ∃ x ∈ ↑H, ∃ y ∈ ↑K, b = x * a * y
-- Mathlib/GroupTheory/DoubleCoset.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : Mul α
J : Subgroup G
g : G
H K : Subgroup G
a b l : G
hl : l ∈ ↑H
r : G
hr : r ∈ ↑K
y : G
hy : y ∈ ↑H
r' : G
hr' : r' ∈ ↑K
hrx : y * b * r' = l * a * r

⊢ b = y⁻¹ * l * a * (r * r'⁻¹)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ι → α → M
l✝ : Multiset (α → M)
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ Quot.mk Setoid.r l, Measurable f

⊢ Measurable (prod (Quot.mk Setoid.r l))
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) → ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) → ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
hωb : BddAbove (Set.range fun n => f n ω)

⊢ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
hωb : (upperBounds (Set.range fun n => f n ω)).Nonempty

⊢ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
hωb : (upperBounds (Set.range fun n => f n ω)).Nonempty
i : ℕ
hi : hωb.some < ↑i

⊢ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
hωb : (upperBounds (Set.range fun n => f n ω)).Nonempty
i : ℕ
hi : hωb.some < ↑i
hib : ∀ (n : ℕ), f n ω < ↑i

⊢ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
ht : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), ∃ c, Tendsto (fun n => stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω) atTop (𝓝 c)
hωb : (upperBounds (Set.range fun n => f n ω)).Nonempty
i : ℕ
hi : hωb.some < ↑i
hib : ∀ (n : ℕ), f n ω < ↑i
heq : ∀ (n : ℕ), stoppedValue f (leastGE f (↑i) n) ω = f n ω

⊢ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x y : M

⊢ LinearMap.IsOrtho Q.polarBilin x y ↔ Q.IsOrtho x y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
G : SimpleGraph V
v : V
inst✝ : Fintype ↑(G.neighborSet v ∪ Gᶜ.neighborSet v)

⊢ (G.neighborSet v ∪ Gᶜ.neighborSet v).toFinset.card = Fintype.card V - 1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q a b : MvPolynomial σ R

⊢ ∀ {a b : σ →₀ ℕ}, ((a + b).sum fun x e => e) ≤ (a.sum fun x e => e) + b.sum fun x e => e
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
p s : ℝ
hs : -1 < s
hp : 1 ≤ p

⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-x ^ p)) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
p s : ℝ
hs : -1 < s
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p

⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-x ^ p)) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
p s : ℝ
hs : -1 < s
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 = p

⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-x ^ p)) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n✝ n : ℕ
S : Set (Vector3 ℕ n.succ)
d : Dioph S
v : Fin2 n → ℕ
x : ℕ

⊢ ((x ::ₒ v) ∘ none :: some) ∈ S ↔ (x :: v) ∈ S
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
m : ℕ
φ : L[[↑A]].Formula (α ⊕ Fin m)
x : α → M

⊢ x ∈ (fun g => g ∘ Sum.inl) '' setOf φ.Realize ↔ x ∈ setOf (BoundedFormula.relabel id φ).exs.Realize
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
m : ℕ
φ : L[[↑A]].Formula (α ⊕ Fin m)
x : α → M

⊢ (∃ x_1, φ.Realize x_1 ∧ x_1 ∘ Sum.inl = x) ↔ ∃ xs, BoundedFormula.Realize φ (Sum.elim x xs) (xs ∘ Fin.natAdd m)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hF_meas : AEMeasurable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hF_meas : AEMeasurable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
h_bound_finite : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F a ≠ ⊤

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
mα : MeasurableSpace α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
hf_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
hF_meas : AEMeasurable F μ
hf_tendsto : Tendsto (fun i => ∫⁻ (a : α), f i a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), F a ∂μ))
hf_mono : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Monotone fun i => f i a
h_bound : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ (i : ℕ), f i a ≤ F a
h_int_finite : ∫⁻ (a : α), F a ∂μ ≠ ⊤
h_bound_finite : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, F a ≠ ⊤
h_exists : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 l)

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f i a) atTop (𝓝 (F a))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Subspace.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V

⊢ span Set.univ = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Subspace.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V

⊢ ∀ ⦃x : ℙ K V⦄, x ∈ ⊤ → x ∈ span Set.univ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Subspace.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : ℙ K V
_hx : x ∈ ⊤

⊢ x ∈ span Set.univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ

⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ' T C'
f : α → E
hfμ : Integrable f μ
h_int : ∀ (g : α → E), Integrable g μ → Integrable g μ'

⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ' T hT' f