ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup N✝
N : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ s ∈ S, f s = 0
g : NormedAddGroupHom (M ⧸ S) N
h : g.comp S.normedMk = f
x : M ⧸ S

⊢ g x = (lift S f hf) x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝² : SeminormedAddCommGroup M
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup N✝
N : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
f : NormedAddGroupHom M N
hf : ∀ s ∈ S, f s = 0
g : NormedAddGroupHom (M ⧸ S) N
h : g.comp S.normedMk = f
x : M

⊢ g (S.normedMk x) = (lift S f hf) (S.normedMk x)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab : b₂ ∈ eval f₂ a₂

⊢ ∃ b₁, tr b₁ b₂ ∧ b₁ ∈ eval f₁ a₁
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₂ ∈ eval f₂ a₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
b0 : f₂ b₂ = none

⊢ ∃ b₁, tr b₁ b₂ ∧ b₁ ∈ eval f₁ a₁
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₂ ∈ eval f₂ a₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
b0 : f₂ b₂ = none
c₁ : σ₁
c₂ : σ₂
bc : Reaches f₂ b₂ c₂
cc : tr c₁ c₂
ac : Reaches f₁ a₁ c₁

⊢ ∃ b₁, tr b₁ b₂ ∧ b₁ ∈ eval f₁ a₁
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₂ ∈ eval f₂ a₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
b0 : f₂ b₂ = none
c₁ : σ₁
ac : Reaches f₁ a₁ c₁
bc : Reaches f₂ b₂ b₂
cc : tr c₁ b₂

⊢ ∃ b₁, tr b₁ b₂ ∧ b₁ ∈ eval f₁ a₁
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₂ ∈ eval f₂ a₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
b0 : f₂ b₂ = none
c₁ : σ₁
ac : Reaches f₁ a₁ c₁
bc : Reaches f₂ b₂ b₂
cc : tr c₁ b₂

⊢ f₁ c₁ = none
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₂ ∈ eval f₂ a₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
b0 : f₂ b₂ = none
c₁ : σ₁
ac : Reaches f₁ a₁ c₁
bc : Reaches f₂ b₂ b₂
cc : tr c₁ b₂
d₁ : σ₁
hfc : f₁ c₁ = some d₁
d₂ : σ₂
left✝ : tr d₁ d₂
bd : Reaches₁ f₂ b₂ d₂

⊢ some d₁ = none
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
b₂ a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
ab✝ : b₂ ∈ eval f₂ a₂
ab : Reaches f₂ a₂ b₂
b0 : f₂ b₂ = none
c₁ : σ₁
ac : Reaches f₁ a₁ c₁
bc : Reaches f₂ b₂ b₂
cc : tr c₁ b₂
d₁ : σ₁
hfc : f₁ c₁ = some d₁
d₂ : σ₂
left✝ : tr d₁ d₂
bd : Reaches₁ f₂ b₂ d₂
e : σ₂
h : e ∈ f₂ b₂
right✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) e d₂

⊢ some d₁ = none
-- Mathlib/Tactic/PushNeg.lean
p q : Prop
α : Sort u_1
s✝ : α → Prop
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
s : Set β

⊢ (s ≠ ∅) = s.Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : AffineSubspace ℝ E
hs : s ≠ ⊤

⊢ μ ↑s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : ⊥ ≠ ⊤

⊢ μ ↑⊥ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : AffineSubspace ℝ E
hs : s ≠ ⊤
hne : (↑s).Nonempty

⊢ μ ↑s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : AffineSubspace ℝ E
hs : ¬s.direction = ⊤
hne : (↑s).Nonempty

⊢ μ ↑s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : AffineSubspace ℝ E
hs : ¬s.direction = ⊤
x : E
hx : x ∈ s

⊢ μ ↑s = 0
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι

⊢ ofTensorProduct I (ι → R) ∘ₗ ↑((piEquivOfFintype I fun x => R).trans (piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm) = LinearMap.id
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι

⊢ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R).symm ∘ₗ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι) ∘ₗ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm ∘ₗ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R) = LinearMap.id
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
ι : Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι

⊢ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R).symm ∘ₗ (↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι) ∘ₗ ↑(piScalarRight R (AdicCompletion I R) (AdicCompletion I R) ι).symm) ∘ₗ ↑(piEquivOfFintype I fun x => R) = LinearMap.id
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α

⊢ (s₁ ∪ s₂).gcd = GCDMonoid.gcd s₁.gcd s₂.gcd
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
𝒢 : Set Cᵒᵖ

⊢ IsSeparating 𝒢.unop ↔ IsCoseparating 𝒢
-- Mathlib/Analysis/Complex/Angle.lean
x✝ y x : ℂ
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖1‖ = 1

⊢ ‖x - 1‖ ∈ Icc (2 / π * angle x 1) (angle x 1)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Angle.lean
x✝ y x : ℂ
hx : ∃ θ ∈ Ioc (-π) π, cexp (↑θ * I) = x
hy : ‖1‖ = 1

⊢ ‖x - 1‖ ∈ Icc (2 / π * angle x 1) (angle x 1)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Angle.lean
x y : ℂ
hy : ‖1‖ = 1
θ : ℝ
hθ : θ ∈ Ioc (-π) π

⊢ ‖cexp (↑θ * I) - 1‖ ∈ Icc (2 / π * angle (cexp (↑θ * I)) 1) (angle (cexp (↑θ * I)) 1)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Angle.lean
x y : ℂ
hy : ‖1‖ = 1
θ : ℝ
hθ : θ ∈ Ioc (-π) π

⊢ ‖cos ↑θ - 1 + sin ↑θ * I‖ ∈ Icc (2 / π * |θ|) |θ|
-- Mathlib/Analysis/Complex/Angle.lean
x y : ℂ
hy : ‖1‖ = 1
θ : ℝ
hθ : θ ∈ Ioc (-π) π

⊢ θ ∈ Ioc (-π) (-π + 2 * π)
-- Mathlib/Order/Filter/Germ/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝ g✝ h : α → β
f : l.Germ β
lc : Filter γ
g : γ → α
hf : f.IsConstant
hg : Tendsto g lc l

⊢ (f.compTendsto g hg).IsConstant
-- Mathlib/Order/Filter/Germ/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f✝ g✝ h : α → β
lc : Filter γ
g : γ → α
hg : Tendsto g lc l
f : α → β
hf : IsConstant ⟦f⟧

⊢ (compTendsto ⟦f⟧ g hg).IsConstant
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Finite/Matrix.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module.Free R M
inst✝⁹ : Module.Finite R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : SMulCommClass R S N
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : StrongRankCondition S
inst✝² : Module.Free S N
inst✝¹ : Module R S
inst✝ : SMulCommClass R S S

⊢ Module.rank S (M →ₗ[R] S) = lift.{u', v} (Module.rank R M)
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : SemilatticeSup γ
a b : γ
s : Set γ
hs : IsLUB s b

⊢ IsLUB (insert a s) (a ⊔ b)
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : SemilatticeSup γ
a b : γ
s : Set γ
hs : IsLUB s b

⊢ IsLUB ({a} ∪ s) (a ⊔ b)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Exponential.lean
r x : ℝ
hx : 0 ≤ x

⊢ exponentialPDF r x = ENNReal.ofReal (r * rexp (-(r * x)))
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β
l : List α

⊢ mapIdx f l = [] ↔ l = []
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_5
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (i : ι) → Ω → β i
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

⊢ iCondIndepFun m' hm' m f μ ↔ ∀ (S : Finset ι) {sets : (i : ι) → Set (β i)}, (∀ i ∈ S, MeasurableSet (sets i)) → μ[(⋂ i ∈ S, f i ⁻¹' sets i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ S, μ[(f i ⁻¹' sets i).indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_5
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (i : ι) → Ω → β i
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

⊢ (∀ (s : Finset ι) {g : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, MeasurableSet (g i)) → μ[(⋂ i ∈ s, g i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(g i).indicator fun ω => 1|m']) ↔ ∀ (S : Finset ι) {sets : (i : ι) → Set (β i)}, (∀ i ∈ S, MeasurableSet (sets i)) → μ[(⋂ i ∈ S, f i ⁻¹' sets i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ S, μ[(f i ⁻¹' sets i).indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
β' : Type u_4
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_5
m : (x : ι) → MeasurableSpace (β x)
f : (i : ι) → Ω → β i
hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

⊢ ∀ (i : ι), Measurable (f i)
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α

⊢ Pairwise fun x y => Disjoint (Ioc (a * b ^ x) (a * b ^ (x + 1))) (Ioc (a * b ^ y) (a * b ^ (y + 1)))
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α

⊢ Pairwise fun x y => Ioc (a * b ^ x) (a * b ^ (x + 1)) ∩ Ioc (a * b ^ y) (a * b ^ (y + 1)) ⊆ ∅
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ioc (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ioc (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))

⊢ m = n
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ioc (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ioc (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
hb : 1 < b

⊢ m = n
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ioc (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ioc (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
hb : 1 < b
i1 : a * b ^ m < a * b ^ (n + 1)

⊢ m = n
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ioc (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ioc (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
hb : 1 < b
i1 : a * b ^ m < a * b ^ (n + 1)
i2 : a * b ^ n < a * b ^ (m + 1)

⊢ m = n
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b : α
m n : ℤ
hmn : m ≠ n
x : α
hx : x ∈ Ioc (a * b ^ m) (a * b ^ (m + 1)) ∩ Ioc (a * b ^ n) (a * b ^ (n + 1))
hb : 1 < b
i1 : m ≤ n
i2 : n ≤ m

⊢ m = n
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : RegularSpace α
γ : β → Type u_5
f : (b : β) × γ b → α
g : β → α
a : α
ha : HasProd f a
hf : ∀ (b : β), HasProd (fun c => f ⟨b, c⟩) (g b)

⊢ HasProd g a
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b

⊢ upcrossingsBefore 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N ω = upcrossingsBefore a b f N ω
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯
φ' : W.LeftFraction X Y
hφ' : f' = φ'.map L ⋯

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯
φ' : W.LeftFraction X Y
hφ' : f' = φ'.map L ⋯
α : W.LeftFraction φ.Y' φ'.Y'
hα : (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).f ≫ α.s = (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).s ≫ α.f

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯
φ' : W.LeftFraction X Y
hφ' : f' = φ'.map L ⋯
α : W.LeftFraction φ.Y' φ'.Y'
hα : (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).f ≫ α.s = (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).s ≫ α.f
ψ : W.LeftFraction₂ X Y := LeftFraction₂.mk (φ.f ≫ α.f) (φ'.f ≫ α.s) (φ'.s ≫ α.s) ⋯

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯
φ' : W.LeftFraction X Y
hφ' : f' = φ'.map L ⋯
α : W.LeftFraction φ.Y' φ'.Y'
hα : (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).f ≫ α.s = (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).s ≫ α.f
ψ : W.LeftFraction₂ X Y := LeftFraction₂.mk (φ.f ≫ α.f) (φ'.f ≫ α.s) (φ'.s ≫ α.s) ⋯
this : IsIso (L.map φ'.s)

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯
φ' : W.LeftFraction X Y
hφ' : f' = φ'.map L ⋯
α : W.LeftFraction φ.Y' φ'.Y'
hα : (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).f ≫ α.s = (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).s ≫ α.f
ψ : W.LeftFraction₂ X Y := LeftFraction₂.mk (φ.f ≫ α.f) (φ'.f ≫ α.s) (φ'.s ≫ α.s) ⋯
this✝ : IsIso (L.map φ'.s)
this : IsIso (L.map α.s)

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' : L.obj X ⟶ L.obj Y
φ : W.LeftFraction X Y
hφ : f = φ.map L ⋯
φ' : W.LeftFraction X Y
hφ' : f' = φ'.map L ⋯
α : W.LeftFraction φ.Y' φ'.Y'
hα : (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).f ≫ α.s = (RightFraction.mk φ.s ⋯ φ'.s).s ≫ α.f
ψ : W.LeftFraction₂ X Y := LeftFraction₂.mk (φ.f ≫ α.f) (φ'.f ≫ α.s) (φ'.s ≫ α.s) ⋯
this✝¹ : IsIso (L.map φ'.s)
this✝ : IsIso (L.map α.s)
this : IsIso (L.map (φ'.s ≫ α.s))

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯
-- Mathlib/Order/CompleteSublattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
a b : ↥L

⊢ IsCompl a b ↔ IsCompl ↑a ↑b
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : k ≤ n

⊢ (p - 1) * padicValNat p (n.choose k) = (p.digits k).sum + (p.digits (n - k)).sum - (p.digits n).sum
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p k n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : k ≤ n

⊢ n = n - k + k
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : Group α
a✝ : α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α

⊢ a⁺ᵐ ⊓ a⁻ᵐ = 1
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
M : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid M
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
f : Box ι → M

⊢ ∑ J ∈ π.boxes.biUnion fun J => (πi J).boxes, f J = ∑ J ∈ π.boxes, ∑ J' ∈ (πi J).boxes, f J'
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π✝ π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
M : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid M
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → Prepartition J
f : Box ι → M
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ ↑π.boxes
J₂ : Box ι
h₂ : J₂ ∈ ↑π.boxes
hne : J₁ ≠ J₂
J' : Box ι
h₁' : J' ∈ (fun J => (πi J).boxes) J₁
h₂' : J' ∈ (fun J => (πi J).boxes) J₂

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R

⊢ (x ◃ x) ◃⁻¹ y = x ◃⁻¹ y
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R

⊢ (x ◃ x) ◃ (x ◃ x) ◃⁻¹ y = (x ◃ x) ◃ x ◃⁻¹ y
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R

⊢ y = (x ◃ x) ◃ x ◃⁻¹ y
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y : R

⊢ y = x ◃ x ◃⁻¹ y
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E

⊢ LipschitzWith 1 ⇑equivRealProd
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ

⊢ volume (Iic a) = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ

⊢ volume (Iio a) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I J : Ideal R
h : I ≤ J

⊢ map (Quotient.mk J) I = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I J : Ideal R
h : I ≤ J

⊢ I ≤ J
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Prelax.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : PrelaxFunctor B C
a b : B
f g : a ⟶ b
η : f ≅ g

⊢ F.map₂ η.inv ≫ F.map₂ η.hom = 𝟙 (F.map g)
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n✝ n : ℕ
ih : ∀ {m : Sym α n}, m ∈ s.sym n ↔ ∀ a ∈ m, a ∈ s
m : Sym α (n + 1)

⊢ m ∈ s.sym (n + 1) ↔ ∀ a ∈ m, a ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n✝ n : ℕ
ih : ∀ {m : Sym α n}, m ∈ s.sym n ↔ ∀ a ∈ m, a ∈ s
m : Sym α (n + 1)

⊢ (∃ v ∈ s, m ∈ image (Sym.cons v) (s.sym n)) → ∀ a ∈ m, a ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α
n✝ n : ℕ
ih : ∀ {m : Sym α n}, m ∈ s.sym n ↔ ∀ a ∈ m, a ∈ s
m : Sym α (n + 1)
h : ∀ a ∈ m, a ∈ s

⊢ ∃ v ∈ s, m ∈ image (Sym.cons v) (s.sym n)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
hd : s ⊆ interior t

⊢ ∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 1) ∧ (∀ x ∉ t, f x = 0) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
hd : s ⊆ interior t
f : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
h0 : ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ (interior t)ᶜ, f x = 0
h1 : ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 1
hf : ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1

⊢ ∃ f, (∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 1) ∧ (∀ x ∉ t, f x = 0) ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝² : T2Space M
inst✝¹ : NormalSpace M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s t : Set M
hs : IsClosed s
hd : s ⊆ interior t
f : C^⊤⟮I, M; 𝓘(ℝ, ℝ), ℝ⟯
h0 : ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ (interior t)ᶜ, f x = 0
h1 : ∀ᶠ (x : M) in 𝓝ˢ s, f x = 1
hf : ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
x : M
hx : x ∉ t

⊢ f x = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
hfp : map f p = 0
x : R

⊢ f x = f x * f p.leadingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
hfp : map f p = 0
x : R

⊢ f x * (map f p).coeff p.natDegree = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
h : ∀ (x : R), f x = 0
n : ℕ

⊢ (map f p).coeff n = coeff 0 n