ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : ∃ y, ↑y = (fst✝, snd✝).1 ∧ ↑f y = (fst✝, snd✝).2
h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd

⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).2
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd
y : ↥f.domain
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).1
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).2

⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).2
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd
y : ↥f.domain
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).1
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).2

⊢ ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(-f) y = (x_fst, x_snd).2
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y✝ : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd
y : ↥f.domain
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).1
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).2

⊢ ↑y = (fst✝, -snd✝).1 ∧ ↑(-f) y = (fst✝, -snd✝).2
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R✝ : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹⁰ : Semiring R✝
inst✝⁹ : Semiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ N
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R✝ P
α : Type u_7
β : Type u_8
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f : α × β →₀ M
x : α
y : β

⊢ (((finsuppProdLEquiv R) f) x) y = f (x, y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

⊢ 1 < 1 + ⋯.choose / 4
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α

⊢ |a| ≤ |b| ↔ a * a ≤ b * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α

⊢ |a| ≤ |b| ↔ |a| * |a| ≤ |b| * |b|
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α (β × ℝ)
ν✝ : Kernel α β
x✝ : MeasurableSpace β
f : α × β → StieltjesFunction
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
p : α × β
x : ℝ

⊢ ((toKernel f hf) p) (Iic x) = ENNReal.ofReal (↑(f p) x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α (β × ℝ)
ν✝ : Kernel α β
x✝ : MeasurableSpace β
f : α × β → StieltjesFunction
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
p : α × β
x : ℝ

⊢ ENNReal.ofReal (↑(f p) x - 0) = ENNReal.ofReal (↑(f p) x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Cat/Limit.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X✝ Y : limit (F ⋙ objects)
X : J

⊢ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Cat/Limit.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X✝ Y : limit (F ⋙ objects)
X : J
f : { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj X

⊢ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map (𝟙 X) f = 𝟙 ({ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj X) f
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Cat/Limit.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X✝ Y : limit (F ⋙ objects)
X : J
f : { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj X
this : Category.{v, v} (objects.obj (F.obj X)) := inferInstance

⊢ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map (𝟙 X) f = 𝟙 ({ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj X) f
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Cat/Limit.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X Y : limit (F ⋙ objects)
x✝¹ x✝ Z : J
f : x✝¹ ⟶ x✝
g : x✝ ⟶ Z

⊢ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map (f ≫ g) = { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map f ≫ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Cat/Limit.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X Y : limit (F ⋙ objects)
x✝¹ x✝ Z : J
f : x✝¹ ⟶ x✝
g : x✝ ⟶ Z
h : { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj x✝¹

⊢ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map (f ≫ g) h = ({ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map f ≫ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map g) h
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Cat/Limit.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X Y : limit (F ⋙ objects)
x✝¹ x✝ Z : J
f : x✝¹ ⟶ x✝
g : x✝ ⟶ Z
h : { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj x✝¹
this : Category.{v, v} (objects.obj (F.obj Z)) := inferInstance

⊢ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map (f ≫ g) h = ({ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map f ≫ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y, map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map g) h
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a a✝ : α

⊢ a✝ ∈ (insert a s)ᶜ ↔ a✝ ∈ sᶜ.erase a
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommMonoid ι
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝⁴ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
α : Type u_4
inst✝³ : SMul α R
inst✝² : SMul α A
inst✝¹ : IsScalarTower α R A
inst✝ : IsScalarTower α A A
n : ℤ
y : HomogeneousLocalization 𝒜 x

⊢ (n • y).val = n • y.val
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : R
s : ↥S

⊢ (algebraMap (Localization S) (LocalizedModule S A)) (Localization.mk a s) = mk ((algebraMap R A) a) s
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
T : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring T
inst✝³ : Algebra R T
inst✝² : IsLocalization S T
A : Type u_2
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
a : R
s : ↥S

⊢ (algebraMap (Localization S) (LocalizedModule S A)) (IsLocalization.mk' (Localization S) a s) = mk ((algebraMap R A) a) s
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f

⊢ OpenEmbedding f ↔ ∀ (i : ι), OpenEmbedding ((U i).carrier.restrictPreimage f)
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f

⊢ Embedding f ∧ IsOpen (range f) ↔ ∀ (i : ι), Embedding ((U i).carrier.restrictPreimage f) ∧ IsOpen (range ((U i).carrier.restrictPreimage f))
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f

⊢ Embedding f ∧ IsOpen (range f) ↔ (∀ (x : ι), Embedding ((U x).carrier.restrictPreimage f)) ∧ ∀ (x : ι), IsOpen (range ((U x).carrier.restrictPreimage f))
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f

⊢ Embedding f ↔ ∀ (x : ι), Embedding ((U x).carrier.restrictPreimage f)
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f

⊢ IsOpen (range f) ↔ ∀ (x : ι), IsOpen (range ((U x).carrier.restrictPreimage f))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
m : ↥M

⊢ x • mk' S 1 m = mk' S x m
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
H : p ≠ 0

⊢ p.natDegree ∈ p.support
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
H : p ≠ 0

⊢ p.coeff p.natDegree ≠ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DivisionMonoid α
s t : Finset α

⊢ s * t = 1 ↔ ∃ a b, s = {a} ∧ t = {b} ∧ a * b = 1
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → α
a : α
h : ∃ i, p i

⊢ a ⊔ ⨆ i, ⨆ (h : p i), f i h = ⨆ i, ⨆ (h : p i), a ⊔ f i h
-- Mathlib/Control/Traversable/Equiv.lean
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝⁶ : Traversable t
inst✝⁵ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
inst✝ : Traversable t'
h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), map f = Equiv.map eqv f
h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f
h₂ : ∀ {F : Type u → Type u} [inst : Applicative F] [inst_1 : LawfulApplicative F] {α β : Type u} (f : α → F β), traverse f = Equiv.traverse eqv f
α✝ : Type u
x✝ : t' α✝

⊢ traverse pure x✝ = x✝
-- Mathlib/Control/Traversable/Equiv.lean
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝¹⁰ : Traversable t
inst✝⁹ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁸ : Applicative F
inst✝⁷ : Applicative G
inst✝⁶ : LawfulApplicative F
inst✝⁵ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
inst✝⁴ : Traversable t'
h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), map f = Equiv.map eqv f
h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f
h₂ : ∀ {F : Type u → Type u} [inst : Applicative F] [inst_1 : LawfulApplicative F] {α β : Type u} (f : α → F β), traverse f = Equiv.traverse eqv f
F✝ G✝ : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F✝
inst✝² : Applicative G✝
inst✝¹ : LawfulApplicative F✝
inst✝ : LawfulApplicative G✝
α✝ β✝ γ✝ : Type u
x✝² : β✝ → F✝ γ✝
x✝¹ : α✝ → G✝ β✝
x✝ : t' α✝

⊢ traverse (Comp.mk ∘ map x✝² ∘ x✝¹) x✝ = Comp.mk (traverse x✝² <$> traverse x✝¹ x✝)
-- Mathlib/Control/Traversable/Equiv.lean
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝¹⁰ : Traversable t
inst✝⁹ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁸ : Applicative F
inst✝⁷ : Applicative G
inst✝⁶ : LawfulApplicative F
inst✝⁵ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
inst✝⁴ : Traversable t'
h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), map f = Equiv.map eqv f
h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f
h₂ : ∀ {F : Type u → Type u} [inst : Applicative F] [inst_1 : LawfulApplicative F] {α β : Type u} (f : α → F β), traverse f = Equiv.traverse eqv f
F✝ G✝ : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F✝
inst✝² : Applicative G✝
inst✝¹ : LawfulApplicative F✝
inst✝ : LawfulApplicative G✝
α✝ β✝ γ✝ : Type u
x✝² : β✝ → F✝ γ✝
x✝¹ : α✝ → G✝ β✝
x✝ : t' α✝

⊢ Comp.mk (Equiv.traverse eqv x✝² <$> Equiv.traverse eqv x✝¹ x✝) = Comp.mk (Equiv.traverse eqv x✝² <$> traverse x✝¹ x✝)
-- Mathlib/Control/Traversable/Equiv.lean
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝⁶ : Traversable t
inst✝⁵ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
inst✝ : Traversable t'
h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), map f = Equiv.map eqv f
h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f
h₂ : ∀ {F : Type u → Type u} [inst : Applicative F] [inst_1 : LawfulApplicative F] {α β : Type u} (f : α → F β), traverse f = Equiv.traverse eqv f
α✝ β✝ : Type u
x✝¹ : α✝ → β✝
x✝ : t' α✝

⊢ traverse (pure ∘ x✝¹) x✝ = id.mk (x✝¹ <$> x✝)
-- Mathlib/Control/Traversable/Equiv.lean
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝⁶ : Traversable t
inst✝⁵ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
inst✝ : Traversable t'
h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), map f = Equiv.map eqv f
h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f
h₂ : ∀ {F : Type u → Type u} [inst : Applicative F] [inst_1 : LawfulApplicative F] {α β : Type u} (f : α → F β), traverse f = Equiv.traverse eqv f
α✝ β✝ : Type u
x✝¹ : α✝ → β✝
x✝ : t' α✝

⊢ pure (Equiv.map eqv x✝¹ x✝) = id.mk (Equiv.map eqv x✝¹ x✝)
-- Mathlib/Control/Traversable/Equiv.lean
t t' : Type u → Type u
eqv : (α : Type u) → t α ≃ t' α
inst✝¹⁰ : Traversable t
inst✝⁹ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝⁸ : Applicative F
inst✝⁷ : Applicative G
inst✝⁶ : LawfulApplicative F
inst✝⁵ : LawfulApplicative G
η : ApplicativeTransformation F G
α β γ : Type u
inst✝⁴ : Traversable t'
h₀ : ∀ {α β : Type u} (f : α → β), map f = Equiv.map eqv f
h₁ : ∀ {α β : Type u} (f : β), mapConst f = (Equiv.map eqv ∘ Function.const α) f
h₂ : ∀ {F : Type u → Type u} [inst : Applicative F] [inst_1 : LawfulApplicative F] {α β : Type u} (f : α → F β), traverse f = Equiv.traverse eqv f
F✝ G✝ : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F✝
inst✝² : Applicative G✝
inst✝¹ : LawfulApplicative F✝
inst✝ : LawfulApplicative G✝
x✝⁴ : ApplicativeTransformation F✝ G✝
x✝³ x✝² : Type u
x✝¹ : x✝³ → F✝ x✝²
x✝ : t' x✝³

⊢ (fun {α} => x✝⁴.app α) (traverse x✝¹ x✝) = traverse ((fun {α} => x✝⁴.app α) ∘ x✝¹) x✝
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)

⊢ ∃ n y, (y |_ X.basicOpen f) ⋯ = (f |_ X.basicOpen f) ⋯ ^ n * x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
this : ∀ (z : ↑Γ(X, X.basicOpen f)), ∃ x, z * (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ↑x.2 = (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) x.1

⊢ ∃ n y, (y |_ X.basicOpen f) ⋯ = (f |_ X.basicOpen f) ⋯ ^ n * x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
this : ∀ (z : ↑Γ(X, X.basicOpen f)), ∃ x, z * (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ↑x.2 = (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) x.1
y : ↑Γ(X, U)
n : ℕ
d : x * (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ↑(y, ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩).2 = (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) (y, ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩).1

⊢ ∃ n y, (y |_ X.basicOpen f) ⋯ = (f |_ X.basicOpen f) ⋯ ^ n * x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
this : ∀ (z : ↑Γ(X, X.basicOpen f)), ∃ x, z * (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ↑x.2 = (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) x.1
y : ↑Γ(X, U)
n : ℕ
d : x * (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ↑(y, ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩).2 = (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) (y, ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩).1

⊢ (y |_ X.basicOpen f) ⋯ = (f |_ X.basicOpen f) ⋯ ^ n * x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
this : ∀ (z : ↑Γ(X, X.basicOpen f)), ∃ x, z * (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ↑x.2 = (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) x.1
y : ↑Γ(X, U)
n : ℕ
d : x * (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) ↑(y, ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩).2 = (algebraMap ↑Γ(X, U) ↑Γ(X, X.basicOpen f)) (y, ⟨(fun x => f ^ x) n, ⋯⟩).1

⊢ (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) y = (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f ^ n * x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/GroupWithZero/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
s : Finset ι
f : ι → G₀
h : ∏ i ∈ s, f i ≠ 0

⊢ mk0 (∏ i ∈ s, f i) h = ∏ i ∈ s.attach, mk0 (f ↑i) ⋯
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Cotangent.lean
z : ℍ

⊢ ↑π * (↑π * ↑z).cot = ↑π * I - 2 * ↑π * I * ∑' (n : ℕ), cexp (2 * ↑π * I * ↑z) ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Cotangent.lean
z : ℍ
h1 : ↑π * ((cexp (2 * ↑π * I * ↑z) + 1) / (I * (1 - cexp (2 * ↑π * I * ↑z)))) = -↑π * I * ((cexp (2 * ↑π * I * ↑z) + 1) * (1 / (1 - cexp (2 * ↑π * I * ↑z))))

⊢ ↑π * (↑π * ↑z).cot = ↑π * I - 2 * ↑π * I * ∑' (n : ℕ), cexp (2 * ↑π * I * ↑z) ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Cotangent.lean
z : ℍ
h1 : ↑π * ((cexp (2 * ↑π * I * ↑z) + 1) / (I * (1 - cexp (2 * ↑π * I * ↑z)))) = -↑π * I * ((cexp (2 * ↑π * I * ↑z) + 1) * (1 / (1 - cexp (2 * ↑π * I * ↑z))))

⊢ -↑π * I * (2 * ∑' (i : ℕ), cexp (2 * ↑π * I * ↑z) ^ i - 1) = ↑π * I - 2 * ↑π * I * ∑' (n : ℕ), cexp (2 * ↑π * I * ↑z) ^ n
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h₁ : b = ⊤ → a ≠ 0
h₂ : a = ⊤ → b ≠ 0

⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ 1 ≤ a * b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h₁ : b = ⊤ → a ≠ 0
h₂ : a = ⊤ → b ≠ 0

⊢ a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h₁ : b = ⊤ → a ≠ 0
h₂ : a = ⊤ → b ≠ 0

⊢ a ≠ ⊤ ∨ b ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
ab : a ≠ b
ac : a ≠ c
bc : ¬b = c

⊢ swap a b * swap a c ∈ closure {σ | σ.IsThreeCycle}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

⊢ IntervalIntegrable (fun t => t ^ n * ‖(1 + ↑t * z)⁻¹‖) MeasureTheory.volume 0 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : ContinuousOn (fun t => (1 + t • z)⁻¹) (Set.Icc 0 1)

⊢ IntervalIntegrable (fun t => t ^ n * ‖(1 + ↑t * z)⁻¹‖) MeasureTheory.volume 0 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
n : ℕ
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
this : ContinuousOn (fun t => (1 + t • z)⁻¹) (Set.uIcc 0 1)

⊢ IntervalIntegrable (fun t => t ^ n * ‖(1 + ↑t * z)⁻¹‖) MeasureTheory.volume 0 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Integral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ : Measure α
s : Set E
t : Set α
f : α → E
g : E → ℝ
C : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hg : ConvexOn ℝ s g
hgc : ContinuousOn g s
hsc : IsClosed s
hfs : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ s
hfi : Integrable f μ
hgi : Integrable (g ∘ f) μ

⊢ g (∫ (x : α), f x ∂μ) ≤ ∫ (x : α), g (f x) ∂μ
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
hf : Multipliable fun b => (f b)⁻¹

⊢ Multipliable f
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n : ℕ

⊢ Even a ↔ 2 ∣ a
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Real.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f✝ : ℕ → α
a : α
β : α → Type u_3
f : (x : α) × β x → ℝ≥0

⊢ (Summable fun i => ↑(f i)) ↔ (∀ (x : α), Summable fun y => (fun i => ↑(f i)) ⟨x, y⟩) ∧ Summable fun x => ∑' (y : β x), (fun i => ↑(f i)) ⟨x, y⟩
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
h : a ≤ c * b

⊢ a / b ≤ c
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a c d e : α
m n : ℤ
hc : 0 ≤ c
hb : 0 ≤ 0
h : a ≤ c * 0

⊢ a / 0 ≤ c
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
h : a ≤ c * b
hb' : 0 < b

⊢ a / b ≤ c
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsClosed s

⊢ ⋂ l, {x | ∃ y ∈ s, l x ≤ l y} = s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsClosed s

⊢ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s, i x ≤ i y} = s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalAddGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x✝ y : E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsClosed s
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (i : E →L[ℝ] ℝ), ∃ y ∈ s, i x ≤ i y}

⊢ x ∈ s