ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
g φ : α → ℝ≥0∞
hφm : Measurable φ
hφ_le : φ ≤ fun a => f a + g a
hφ_eq : ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), φ a ∂μ

⊢ ∫⁻ (a : α), f a + g a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
x : α

⊢ ∃ r, 0 < r ∧ IsCompact (closedBall x r)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
x : α
this : ∀ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, IsCompact (closedBall x r)

⊢ ∃ r, 0 < r ∧ IsCompact (closedBall x r)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G

⊢ a / b = c / d ↔ a / c = b / d
-- Mathlib/Data/Sigma/Basic.lean
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
fst✝¹ : α
snd✝¹ : β fst✝¹
fst✝ : α
snd✝ : β fst✝

⊢ ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩ = ⟨fst✝, snd✝⟩ ↔ ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst = ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ∧ HEq ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.snd ⟨fst✝, snd✝⟩.snd
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N

⊢ iSup p = LinearMap.range ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N

⊢ iSup p ≤ LinearMap.range ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι → Submodule R N

⊢ LinearMap.range ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) ≤ iSup p
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α

⊢ IsClosed {f | LipschitzOnWith K f s}
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α

⊢ IsClosed (⋂ i ∈ s, ⋂ i_1 ∈ s, {x | edist (x i) (x i_1) ≤ ↑K * edist i i_1})
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
x : α
x✝¹ : x ∈ s
y : α
x✝ : y ∈ s

⊢ Continuous fun x_1 => edist (x_1 x) (x_1 y)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s : Set α
x : α
x✝¹ : x ∈ s
y : α
x✝ : y ∈ s

⊢ Continuous fun x_1 => ↑K * edist x y
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k : ℕ
hk0 : k ≠ 0

⊢ ∃ᶠ (p : ℕ) in atTop, Prime p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k : ℕ
hk0 : k ≠ 0
n : ℕ

⊢ ∃ b ≥ n, Prime b ∧ b ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k : ℕ
hk0 : k ≠ 0
n p : ℕ
hp : Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]

⊢ ∃ b ≥ n, Prime b ∧ b ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a : α

⊢ a ∉ ∅
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p : ℝ
x✝ : AddCircle p
hp : p ≠ 0
x : ℝ

⊢ ‖↑x‖ ≤ |p| / 2
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p : ℝ
x✝ : AddCircle p
hp : p ≠ 0
x : ℝ

⊢ |p⁻¹ * x - ↑(round (p⁻¹ * x))| ≤ 1 / 2
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
s : Set α
x : α
hbdd : BddAbove s
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)

⊢ sSup s ∈ s
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
x : α
hbdd : BddAbove ∅
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup ∅)

⊢ sSup ∅ ∈ ∅
-- Mathlib/Order/SuccPred/CompleteLinearOrder.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α
s : Set α
x : α
hbdd : BddAbove s
hlim : ¬IsSuccLimit (sSup s)
hs : s.Nonempty

⊢ sSup s ∈ s
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t✝ : ι → α
a b : α
f : β → γ → α
s : Set β
t : Set γ

⊢ sInf (image2 f s t) = ⨅ a ∈ s, ⨅ b ∈ t, f a b
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Multiset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ card s

⊢ (map (fun i => X + C (r i)) s).prod.coeff k = (map r s).esymm (card s - k)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Multiset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ card s

⊢ k ≤ card s
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x✝ y : 𝕎 R
z : ℤ
x : 𝕎 R

⊢ mapFun (⇑f) (z • x) = z • mapFun (⇑f) x
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module Rᵐᵒᵖ M
r : R
m : M

⊢ 0 •> 0 + m <• r = m <• r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r✝ : ℝ≥0∞
n✝ : ℕ
f : E → F
x : E
s : Set E
h : CPolynomialOn 𝕜 f s
y : E
hy : y ∈ s
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℕ
n : ℝ≥0∞
hp : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p y r n

⊢ CPolynomialAt 𝕜 (_root_.fderiv 𝕜 f) y
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime x y
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
a b : R
h : a * x + b * y = 1

⊢ f a * f x + f b * f y = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.46478, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.46482, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.46486, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
Y : D
g₁ g₂ : StructuredArrow Y L
φ : g₁ ⟶ g₂

⊢ 𝟙 (E.left.obj Y) ≫ E.left.map g₂.hom ≫ E.hom.app g₂.right = (E.left.map g₁.hom ≫ E.hom.app g₁.right) ≫ F.map φ.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.46478, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.46482, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.46486, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
Y : D
g₁ g₂ : StructuredArrow Y L
φ : g₁ ⟶ g₂

⊢ E.left.map g₁.hom ≫ E.left.map (L.map φ.right) ≫ E.hom.app g₂.right = E.left.map g₁.hom ≫ E.hom.app g₁.right ≫ F.map φ.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.46478, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.46482, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.46486, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E E' : L.RightExtension F
Y : D
g₁ g₂ : StructuredArrow Y L
φ : g₁ ⟶ g₂

⊢ E.left.map (L.map φ.right) ≫ E.hom.app g₂.right = E.hom.app g₁.right ≫ F.map φ.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : PreservesColimits S
A : CostructuredArrow S T
P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
hf : Mono f
q : S.obj (unop (Subobject.underlying.obj (projectQuotient (Subobject.mk f)))) ⟶ (Functor.fromPUnit T).obj A.right
hq : S.map (projectQuotient (Subobject.mk f)).arrow.unop ≫ q = A.hom

⊢ liftQuotient (projectQuotient (Subobject.mk f)) hq = Subobject.mk f
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : PreservesColimits S
A : CostructuredArrow S T
P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
hf : Mono f
q : S.obj (unop (Subobject.underlying.obj (projectQuotient (Subobject.mk f)))) ⟶ (Functor.fromPUnit T).obj A.right
hq : S.map (projectQuotient (Subobject.mk f)).arrow.unop ≫ q = A.hom

⊢ op (mk q) ≅ P
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : PreservesColimits S
A : CostructuredArrow S T
P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
hf : Mono f
q : S.obj (unop (Subobject.underlying.obj (projectQuotient (Subobject.mk f)))) ⟶ (Functor.fromPUnit T).obj A.right
hq : S.map (projectQuotient (Subobject.mk f)).arrow.unop ≫ q = A.hom

⊢ ?i.hom ≫ f = (homMk (projectQuotient (Subobject.mk f)).arrow.unop hq).op
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
e : Sym2 V

⊢ e ∈ G.edgeSet \ (s \ {e | e.IsDiag}) ↔ e ∈ G.edgeSet \ s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
e : Sym2 V

⊢ e ∈ G.edgeSet → (e ∈ s → e.IsDiag ↔ e ∉ s)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e✝ : Sym2 V
G₁ G₂ G : SimpleGraph V
s : Set (Sym2 V)
e : Sym2 V
h : e ∈ G.edgeSet

⊢ e ∈ s → e.IsDiag ↔ e ∉ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

⊢ HasSum (fun n => (-1) ^ (n + 1) * z ^ n / ↑n) (log (1 + z))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

⊢ Summable fun i => ‖(-1) ^ (i + 1) * z ^ i / ↑i‖
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ (i + 1) * z ^ i / ↑i) atTop (nhds (log (1 + z)))
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a✝ : α
a b : List α

⊢ a.toFinset = b.toFinset ↔ ∀ (x : α), x ∈ a ↔ x ∈ b
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : IsReduced K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x y : ℕ × K
x✝ : ∃ z, (⇑(frobenius K p))^[y.1 + z] x.2 = (⇑(frobenius K p))^[x.1 + z] y.2
z : ℕ
H : (⇑(frobenius K p))^[y.1 + z] x.2 = (⇑(frobenius K p))^[x.1 + z] y.2

⊢ (⇑(frobenius K p))^[z] ((⇑(frobenius K p))^[y.1] x.2) = (⇑(frobenius K p))^[z] ((⇑(frobenius K p))^[x.1] y.2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
n : ℕ

⊢ log ↑n = n.factorization.sum fun p t => ↑t * log ↑p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ

⊢ log ↑0 = (Nat.factorization 0).sum fun p t => ↑t * log ↑p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ log ↑n = n.factorization.sum fun p t => ↑t * log ↑p
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L✝ : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ : V → E
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
v : V

⊢ ‖L v‖ ≤ ‖L‖ * ‖v‖
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A

⊢ (shiftAdd X i j).inv ≫ (shiftFunctor C (i + j)).map f ≫ (shiftAdd Y i j).hom = (shiftFunctor C j).map ((shiftFunctor C i).map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A

⊢ (shiftFunctorAdd C i j).inv.app X ≫ (shiftFunctor C (i + j)).map f ≫ (shiftAdd Y i j).hom = (shiftFunctor C i ⋙ shiftFunctor C j).map f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : HasCompactSupport f
b : ℝ

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi b, deriv f x = -f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : HasCompactSupport f
b : ℝ
this : ∀ x ∈ Ioi b, HasDerivAt f (deriv f x) x

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi b, deriv f x = -f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : HasCompactSupport f
b : ℝ
this : ∀ x ∈ Ioi b, HasDerivAt f (deriv f x) x

⊢ IntegrableOn (deriv f) (Ioi b) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : HasCompactSupport f
b : ℝ
this : ∀ x ∈ Ioi b, HasDerivAt f (deriv f x) x

⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b✝ l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContDiff ℝ 1 f
h2f : f =ᶠ[cocompact ℝ] 0
b : ℝ
this : ∀ x ∈ Ioi b, HasDerivAt f (deriv f x) x

⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
hv : LinearIndependent R v
l : ι →₀ R
x : ↥(span R (range v))
eq : (Finsupp.total ι M R v) l = ↑x
this : ↑(↑hv.totalEquiv l) = (Finsupp.total ι M R v) l

⊢ hv.repr x = l
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
hv : LinearIndependent R v
l : ι →₀ R
x : ↥(span R (range v))
eq : (Finsupp.total ι M R v) l = ↑x
this✝ : ↑(↑hv.totalEquiv l) = (Finsupp.total ι M R v) l
this : ↑hv.totalEquiv l = x

⊢ hv.repr x = l
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
hv : LinearIndependent R v
l : ι →₀ R
x : ↥(span R (range v))
eq : (Finsupp.total ι M R v) l = ↑x
this✝ : ↑(↑hv.totalEquiv l) = (Finsupp.total ι M R v) l
this : ↑hv.totalEquiv l = x

⊢ hv.repr x = hv.totalEquiv.symm (hv.totalEquiv l)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
a : ↥circle

⊢ LinearEquiv.det (rotation a).toLinearEquiv = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Quotient.lean
C : Type ?u.25950
inst✝¹ : Category.{?u.25954, ?u.25950} C
r : HomRel C
D : Type ?u.25982
inst✝ : Category.{?u.25986, ?u.25982} D
F✝ : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F✝.map f₁ = F✝.map f₂
F G : Quotient r ⥤ D
τ : functor r ⋙ F ≅ functor r ⋙ G

⊢ natTransLift r τ.hom ≫ natTransLift r τ.inv = 𝟙 F
-- Mathlib/CategoryTheory/Quotient.lean
C : Type ?u.25950
inst✝¹ : Category.{?u.25954, ?u.25950} C
r : HomRel C
D : Type ?u.25982
inst✝ : Category.{?u.25986, ?u.25982} D
F✝ : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F✝.map f₁ = F✝.map f₂
F G : Quotient r ⥤ D
τ : functor r ⋙ F ≅ functor r ⋙ G

⊢ natTransLift r τ.inv ≫ natTransLift r τ.hom = 𝟙 G
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x y : ℝ*
r s : ℝ
hxr : x.IsSt r
hys : y.IsSt s
hrs : r < s

⊢ x < y
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
y : ℝ*
r s : ℝ
hys : y.IsSt s
hrs : r < s
f : ℕ → ℝ
hxr : (ofSeq f).IsSt r

⊢ ofSeq f < y
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
r s : ℝ
hrs : r < s
f : ℕ → ℝ
hxr : (ofSeq f).IsSt r
g : ℕ → ℝ
hys : (ofSeq g).IsSt s

⊢ ofSeq f < ofSeq g
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
r s : ℝ
hrs : r < s
f : ℕ → ℝ
hxr : Tendsto f (↑(hyperfilter ℕ)) (𝓝 r)
g : ℕ → ℝ
hys : Tendsto g (↑(hyperfilter ℕ)) (𝓝 s)

⊢ ofSeq f < ofSeq g
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w u' : V
p : G.Walk u' u'

⊢ (p.copy ⋯ ⋯).IsCycle ↔ p.IsCycle
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : Nontrivial R
G : Type u_3
inst✝ : AddCommGroup G
x : G

⊢ x ∈ (torsion ℤ G).toAddSubgroup ↔ x ∈ AddCommGroup.torsion G
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : Nontrivial R
G : Type u_3
inst✝ : AddCommGroup G
x : G

⊢ (∃ n, n ≠ 0 ∧ n • x = 0) ↔ x ∈ (torsion ℤ G).toAddSubgroup
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
I : Type u_1
Y : I → C
X : C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
W : C
g : W ⟶ X
hg : (ofArrows Y f).arrows g

⊢ (ofObjects Y X).arrows g
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ Z : C
f✝ : Y✝ ⟶ X✝
S R : Sieve X✝
I : Type u_1
Y : I → C
X : C
f : (i : I) → Y i ⟶ X
W : C
g : W ⟶ X
hg : ∃ i a, g = a ≫ f i

⊢ (ofObjects Y X).arrows g
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E

⊢ ‖((splitMul 𝕜 E) x).2‖ ^ 2 ≤ ‖((splitMul 𝕜 E) (x⋆ * x)).2‖
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E

⊢ ‖((splitMul 𝕜 E) x).2‖ ≤ √‖((splitMul 𝕜 E) (x⋆ * x)).2‖
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E

⊢ ‖(algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) x.fst + (mul 𝕜 E) x.snd‖ ≤ √‖(algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd‖
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E

⊢ sSup ((fun x_1 => ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) x.fst + (mul 𝕜 E) x.snd) x_1‖) '' Metric.closedBall 0 1) ≤ √‖(algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd‖
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E

⊢ ∀ b ∈ (fun x_1 => ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) x.fst + (mul 𝕜 E) x.snd) x_1‖) '' Metric.closedBall 0 1, b ≤ √‖(algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd‖
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E
b : E
hb : b ∈ Metric.closedBall 0 1

⊢ ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) x.fst + (mul 𝕜 E) x.snd) b‖ ≤ √‖(algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd‖
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E
b : E
hb : b ∈ Metric.closedBall 0 1

⊢ ‖b⋆ * (x.fst⋆ • (x.fst • b + x.snd * b) + x.snd⋆ * (x.fst • b + x.snd * b))‖ ≤ sSup ((fun x_1 => ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd) x_1‖) '' Metric.closedBall 0 1)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E
b : E
hb : b ∈ Metric.closedBall 0 1

⊢ ‖b⋆‖ * ‖x.fst⋆ • (x.fst • b + x.snd * b) + x.snd⋆ * (x.fst • b + x.snd * b)‖ ≤ sSup ((fun x_1 => ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd) x_1‖) '' Metric.closedBall 0 1)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E
b : E
hb : b ∈ Metric.closedBall 0 1

⊢ BddAbove ((fun x_1 => ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd) x_1‖) '' Metric.closedBall 0 1)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁹ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing E
inst✝⁷ : StarRing E
inst✝⁶ : CstarRing E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E E
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E E
inst✝² : StarRing 𝕜
inst✝¹ : CstarRing 𝕜
inst✝ : StarModule 𝕜 E
x : Unitization 𝕜 E
b : E
hb : b ∈ Metric.closedBall 0 1

⊢ ‖((algebraMap 𝕜 (E →L[𝕜] E)) (x⋆ * x).fst + (mul 𝕜 E) (x⋆ * x).snd) b‖ = ‖x.fst⋆ • (x.fst • b + x.snd * b) + x.snd⋆ * (x.fst • b + x.snd * b)‖
-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G
n : ℕ

⊢ f (x + Int.negSucc n • a) = f x + Int.negSucc n • b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommGroup G
x : G
xs : List G

⊢ (x :: xs).prod⁻¹ = (map (fun x => x⁻¹) (x :: xs)).prod
-- Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
s : Set X
hs : IsPreconnected s
x y : X
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
U : Set X := f ⁻¹' {f y}

⊢ f x = f y
-- Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Y
hf : IsLocallyConstant f
s : Set X
hs : IsPreconnected s
x y : X
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
U : Set X := f ⁻¹' {f y}

⊢ x ∉ Uᶜ