ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'

⊢ map f I = ⊥ ↔ I ≤ f.ker
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'

⊢ map f I ≤ ⊥ ↔ I ≤ f.ker
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
this : cs.simple = ⇑cs.mulEquiv.symm ∘ PresentedGroup.of

⊢ Subgroup.closure (Set.range cs.simple) = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
this : cs.simple = ⇑cs.mulEquiv.symm ∘ PresentedGroup.of

⊢ cs.mulEquiv.symm.toMonoidHom.range = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)

⊢ MeasurableSpace.generateFrom (measurableCylinders α) = MeasurableSpace.pi
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)

⊢ MeasurableSpace.generateFrom (measurableCylinders α) ≤ MeasurableSpace.pi
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)

⊢ MeasurableSpace.pi ≤ MeasurableSpace.generateFrom (measurableCylinders α)
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
p : β → Prop

⊢ (∃ y ∈ e.target, p y) ↔ ∃ x ∈ e.source, p (↑e x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Free K V
inst✝ : Finite K V

⊢ finrank K V ≤ 1 ↔ ⊤.IsPrincipal
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n : ℕ
φ : L[[α]].BoundedFormula β n
v : β → M
xs : Fin n → M

⊢ (constantsVarsEquiv φ).Realize (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) v) xs ↔ φ.Realize v xs
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝¹ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝¹ : Fin l → M
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n✝ : ℕ
φ : L[[α]].BoundedFormula β n✝
v : β → M
xs✝ : Fin n✝ → M
n : ℕ
R : L[[α]].Relations n
xs : Fin n → M

⊢ RelMap (((fun x => Equiv.sumEmpty (L.Relations x) ((constantsOn α).Relations x)) n) R) xs = RelMap R xs
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝¹ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝¹ : Fin l → M
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
n✝ : ℕ
φ : L[[α]].BoundedFormula β n✝
v : β → M
xs✝ : Fin n✝ → M
n : ℕ
R : L[[α]].Relations n
xs : Fin n → M

⊢ RelMap ((L.lhomWithConstants α).onRelation ((Equiv.sumEmpty (L.Relations n) ((constantsOn α).Relations n)) R)) xs = RelMap R xs
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x✝ : G

⊢ (f ⋆[L, μ] 0) x✝ = 0 x✝
-- Mathlib/Control/Functor.lean
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
inst✝³ : Functor F
inst✝² : Functor G
inst✝¹ : LawfulFunctor F
inst✝ : LawfulFunctor G
α β γ : Type v
x : F (G α)

⊢ Comp.map id (mk x) = mk x
-- Mathlib/Control/Functor.lean
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
inst✝³ : Functor F
inst✝² : Functor G
inst✝¹ : LawfulFunctor F
inst✝ : LawfulFunctor G
α β γ : Type v
x : F (G α)

⊢ mk (mk x) = mk x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K

⊢ ¬w.IsReal ↔ w.IsComplex
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : SFinite ν✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : SFinite μ✝
E' : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
X : Type u_8
Y : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
h'f : HasCompactSupport (uncurry f)
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
U : Set X := Prod.fst '' tsupport (uncurry f)

⊢ ∫ (x : X), ∫ (y : Y), f x y ∂ν ∂μ = ∫ (y : Y), ∫ (x : X), f x y ∂μ ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : SFinite ν✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : SFinite μ✝
E' : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
X : Type u_8
Y : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
h'f : HasCompactSupport (uncurry f)
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
U : Set X := Prod.fst '' tsupport (uncurry f)
this : Fact (μ U < ⊤)

⊢ ∫ (x : X), ∫ (y : Y), f x y ∂ν ∂μ = ∫ (y : Y), ∫ (x : X), f x y ∂μ ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : SFinite ν✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : SFinite μ✝
E' : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
X : Type u_8
Y : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
h'f : HasCompactSupport (uncurry f)
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
U : Set X := Prod.fst '' tsupport (uncurry f)
this : Fact (μ U < ⊤)
V : Set Y := Prod.snd '' tsupport (uncurry f)

⊢ ∫ (x : X), ∫ (y : Y), f x y ∂ν ∂μ = ∫ (y : Y), ∫ (x : X), f x y ∂μ ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : MeasurableSpace α
inst✝¹⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝¹⁶ : MeasurableSpace β
inst✝¹⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ' : Measure α
ν✝ ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : SFinite ν✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : SFinite μ✝
E' : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
X : Type u_8
Y : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace Y
f : X → Y → E
hf : Continuous (uncurry f)
h'f : HasCompactSupport (uncurry f)
μ : Measure X
ν : Measure Y
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : IsFiniteMeasureOnCompacts ν
U : Set X := Prod.fst '' tsupport (uncurry f)
this✝ : Fact (μ U < ⊤)
V : Set Y := Prod.snd '' tsupport (uncurry f)
this : Fact (ν V < ⊤)

⊢ ∫ (x : X), ∫ (y : Y), f x y ∂ν ∂μ = ∫ (y : Y), ∫ (x : X), f x y ∂μ ∂ν
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α

⊢ countP p (filter q l) = countP (fun a => decide (p a = true ∧ q a = true)) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F

⊢ ContDiff 𝕜 n f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
inst✝ : Subsingleton F

⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => 0
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ (deriv fun x => 1 + ε x) =ᶠ[atTop] fun z => deriv ε z
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227041}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : Injective f

⊢ lift.{v, u} #↑(f ⁻¹' s) ≤ lift.{u, v} #↑s
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227041}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : Injective f

⊢ Nonempty (↑(f ⁻¹' s) ↪ ↑s)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227041}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : Injective f

⊢ Injective (Subtype.coind (fun x => f ↑x) ⋯)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
c : Cardinal.{?u.227041}
α : Type u
β : Type v
f : α → β
s : Set β
h : Injective f

⊢ Injective fun x => f ↑x
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mod_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B

⊢ A.one ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = (λ_ M.X).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mod_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B

⊢ (A.one ≫ f.hom) ▷ M.X ≫ M.act = (λ_ M.X).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mod_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B

⊢ A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = (α_ A.X A.X M.X).hom ≫ A.X ◁ (f.hom ▷ M.X ≫ M.act) ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mod_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B

⊢ A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = (α_ A.X A.X M.X).hom ≫ (f.hom ▷ (A.X ⊗ M.X) ≫ B.X ◁ (f.hom ▷ M.X ≫ M.act)) ≫ M.act
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mod_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B

⊢ A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = f.hom ▷ A.X ▷ M.X ≫ (α_ B.X A.X M.X).hom ≫ B.X ◁ f.hom ▷ M.X ≫ B.X ◁ M.act ≫ M.act
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mod_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B

⊢ A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = f.hom ▷ A.X ▷ M.X ≫ (α_ B.X A.X M.X).hom ≫ B.X ◁ f.hom ▷ M.X ≫ (α_ B.X B.X M.X).inv ≫ B.mul ▷ M.X ≫ M.act
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mod_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B

⊢ A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = f.hom ▷ A.X ▷ M.X ≫ (α_ B.X A.X M.X).hom ≫ (((α_ B.X A.X M.X).inv ≫ (B.X ◁ f.hom) ▷ M.X) ≫ B.mul ▷ M.X) ≫ M.act
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mod_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B

⊢ A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = f.hom ▷ A.X ▷ M.X ≫ ((B.X ◁ f.hom) ▷ M.X ≫ B.mul ▷ M.X) ≫ M.act
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mod_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B

⊢ A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = ((A.X ◁ f.hom ≫ f.hom ▷ B.X) ▷ M.X ≫ B.mul ▷ M.X) ≫ M.act
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mod_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M✝ : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
M : Mod_ B

⊢ A.mul ▷ M.X ≫ f.hom ▷ M.X ≫ M.act = (A.mul ≫ f.hom) ▷ M.X ≫ M.act
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mod_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
X✝ Y✝ : Mod_ B
g : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (f.hom ▷ X✝.X ≫ X✝.act) ≫ g.hom = A.X ◁ g.hom ≫ f.hom ▷ Y✝.X ≫ Y✝.act
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mod_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
X✝ Y✝ : Mod_ B
g : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (f.hom ▷ X✝.X ≫ X✝.act) ≫ g.hom = (f.hom ▷ X✝.X ≫ B.X ◁ g.hom) ≫ Y✝.act
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mod_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
A✝ : Mon_ C
M : Mod_ A✝
A B : Mon_ C
f : A ⟶ B
X✝ Y✝ : Mod_ B
g : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (f.hom ▷ X✝.X ≫ X✝.act) ≫ g.hom = f.hom ▷ X✝.X ≫ X✝.act ≫ g.hom
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i : ι
xi : β i

⊢ single i xi = 0 ↔ xi = 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i : ι
xi : β i

⊢ i = i ∧ HEq xi 0 ∨ xi = 0 ∧ 0 = 0 ↔ xi = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hst : s ⊆ t
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

⊢ ∫⋯∫⁻_t, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_t, g ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hst : s ⊆ t
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

⊢ ∫⋯∫⁻_t \ s, ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_t \ s, ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ ∂μ
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : α → β
e : γ ≃ᵐ α
h : MeasurePreserving (⇑e) μc μa

⊢ MeasurePreserving (g ∘ ⇑e) μc μb ↔ MeasurePreserving g μa μb
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : α → β
e : γ ≃ᵐ α
h : MeasurePreserving (⇑e) μc μa
hg : MeasurePreserving (g ∘ ⇑e) μc μb

⊢ MeasurePreserving g μa μb
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
g : α → β
e : γ ≃ᵐ α
h : MeasurePreserving (⇑e) μc μa
hg : MeasurePreserving (g ∘ ⇑e) μc μb

⊢ g = (g ∘ ⇑e) ∘ ⇑e.symm
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V

⊢ G.Colorable G.chromaticNumber.toNat
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V
val✝ : Fintype V

⊢ G.Colorable G.chromaticNumber.toNat
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure G
f✝ : G → E
g : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → E
μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
x' : G

⊢ ∫ (x : G), f (x' / x) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure G
f✝ : G → E
g : G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul G
inst✝² : MeasurableInv G
f : G → E
μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsInvInvariant
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
x' : G

⊢ ∫ (x : G), f (x' * x⁻¹) ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h : IsFiniteMeasure μ

⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∀ (s : Set α), ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h : IsFiniteMeasure μ
this : ∀ (n : ℕ), ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ g ≤ ↑n ∧ ∫⁻ (a : α), min (f a) ↑n ∂μ = ∫⁻ (a : α), g a ∂μ

⊢ ∃ g, Measurable g ∧ g ≤ f ∧ ∀ (s : Set α), ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α) in s, g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h : IsFiniteMeasure μ
g : ℕ → α → ℝ≥0∞
hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f
hgle : ∀ (n : ℕ), g n ≤ ↑n
hgint : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), min (f a) ↑n ∂μ = ∫⁻ (a : α), g n a ∂μ
φ : α → ℝ≥0∞ := fun x => ⨆ n, g n x
hφm : Measurable φ
hφle : φ ≤ f
s : Set α

⊢ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α) in s, φ a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h : IsFiniteMeasure μ
g : ℕ → α → ℝ≥0∞
hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f
hgle : ∀ (n : ℕ), g n ≤ ↑n
hgint : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), min (f a) ↑n ∂μ = ∫⁻ (a : α), g n a ∂μ
φ : α → ℝ≥0∞ := fun x => ⨆ n, g n x
hφm : Measurable φ
hφle : φ ≤ f
s : Set α

⊢ ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral (μ.restrict s) ≤ ∫⁻ (a : α) in s, φ a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h : IsFiniteMeasure μ
g : ℕ → α → ℝ≥0∞
hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f
hgle : ∀ (n : ℕ), g n ≤ ↑n
hgint : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), min (f a) ↑n ∂μ = ∫⁻ (a : α), g n a ∂μ
φ : α → ℝ≥0∞ := fun x => ⨆ n, g n x
hφm : Measurable φ
hφle : φ ≤ f
s : Set α
ψ : α →ₛ ℝ≥0
hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x

⊢ (SimpleFunc.map ofNNReal ψ).lintegral (μ.restrict s) ≤ ∫⁻ (a : α) in s, φ a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
h : IsFiniteMeasure μ
g : ℕ → α → ℝ≥0∞
hgm : ∀ (n : ℕ), Measurable (g n)
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f
hgle : ∀ (n : ℕ), g n ≤ ↑n
hgint : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), min (f a) ↑n ∂μ = ∫⁻ (a : α), g n a ∂μ
φ : α → ℝ≥0∞ := fun x => ⨆ n, g n x
hφm : Measurable φ
hφle : φ ≤ f
s : Set α
ψ : α →ₛ ℝ≥0
hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x
n : ℕ
hn : ∀ (x : α), ↑ψ x ≤ ↑n

⊢ (SimpleFunc.map ofNNReal ψ).lintegral (μ.restrict s) ≤ ∫⁻ (a : α) in s, φ a ∂μ
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame

⊢ -x ≈ y ↔ x ≈ -y
-- Mathlib/Data/Int/AbsoluteValue.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
abv : AbsoluteValue R S
x : ℤˣ
y : R

⊢ abv (x • y) = abv y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
R : α → α → Prop
s : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
a : α
l₁ l₂ : List α

⊢ Pairwise R (l₁ ++ ([a] ++ l₂)) ↔ Pairwise R ([a] ++ l₁ ++ l₂)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
R : α → α → Prop
s : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
a : α
l₁ l₂ : List α

⊢ (Pairwise (fun {x y} => R x y) ([a] ++ l₁) ∧ Pairwise R l₂ ∧ ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ l₁ ++ [a] → ∀ (b : α), b ∈ l₂ → R a_1 b) ↔ Pairwise R ([a] ++ l₁) ∧ Pairwise R l₂ ∧ ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ [a] ++ l₁ → ∀ (b : α), b ∈ l₂ → R a_1 b
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → β → α
S : Set β
hA : UniformEquicontinuousOn (u ∘ Subtype.val) S
hu : Continuous (S.restrict ∘ u)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α

⊢ ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), ∀ (i : ↑(closure A)), ((u ∘ Subtype.val) i xy.1, (u ∘ Subtype.val) i xy.2) ∈ U