ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
x n m : ℕ
h : x < 2 ^ n

⊢ x <<< m < 2 ^ (n + m)
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
this : Dioph fun v => (v &2 = 0 ∨ v &0 < v &2) ∧ ∃ x, v &0 + v &2 * x = v &1
z x y : ℕ
x✝ : (y = 0 ∨ z < y) ∧ ∃ c, z + y * c = x
c : ℕ
hc : z + y * c = x
hl : z < y

⊢ z % y = z
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g
this : Dioph fun v => (v &2 = 0 ∨ v &0 < v &2) ∧ ∃ x, v &0 + v &2 * x = v &1
z x y : ℕ
e : x % y = z

⊢ (y = 0 ∨ x % y < y) ∧ ∃ c, x % y + y * c = x
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Martingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ¬Tendsto (fun n => f n ω) atTop atBot
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G

⊢ eLpNormEssSup 0 μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G

⊢ essSup (fun x => ⊥) μ = ⊥
-- Mathlib/Data/Nat/Periodic.lean
a : ℕ

⊢ Periodic a.gcd a
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ (o.oangle x y).cos = Real.cos (InnerProductGeometry.angle x y)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
γ : Cochain F G n
p q' : ℤ
hpq : p + n = q'

⊢ γ.v p q' hpq ≫ (HomologicalComplex.XIsoOfEq G ⋯).inv = γ.v p q' ⋯
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Group α
a b : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : 1 ≤ a
hab : a ≤ b

⊢ mabs a ≤ mabs b
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m n✝ n : ℤ

⊢ ∃ k, Xor' (n = 2 * k) (n = 2 * k + 1)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m n k : ℤ

⊢ Xor' (k + k = 2 * k) (k + k = 2 * k + 1)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m n k : ℤ

⊢ Xor' (2 * k + 1 = 2 * k) (2 * k + 1 = 2 * k + 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Card.lean
α : Type u
s : Set (Set α)
hs : #↑s ≤ 𝔠

⊢ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀ ≤ 𝔠
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Card.lean
α : Type u
s : Set (Set α)
hs : #↑s ≤ 𝔠

⊢ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀ ≤ 𝔠 ^ ℵ₀
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/WF.lean
α : Type u_1
p : α → Prop
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α

⊢ All p (match l, v, r with | node red (node red a x b) y c, z, d => node red (node black a x b) y (node black c z d) | node red a x (node red b y c), z, d => node red (node black a x b) y (node black c z d) | a, x, b => node black a x b) ↔ p v ∧ All p l ∧ All p r
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.98653, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.99132, u_2} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
X : C
s : ↑(F ⋙ yoneda.obj X).sections
j j' : J
f : j ⟶ j'

⊢ 𝟙 (op X) ≫ (↑s j').op = (↑s j).op ≫ F.map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.98653, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.99132, u_2} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
X : C
s : ↑(F ⋙ yoneda.obj X).sections
j j' : J
f : j ⟶ j'

⊢ (↑s j').op = (↑s j).op ≫ F.map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.98653, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.99132, u_2} C
F : J ⥤ Cᵒᵖ
X : C
τ : (const J).obj (op X) ⟶ F
j j' : J
f : j ⟶ j'

⊢ Quiver.Hom.op ((F ⋙ yoneda.obj X).map f ((fun j => (τ.app j).unop) j)) = ((fun j => (τ.app j).unop) j').op
-- Mathlib/RingTheory/Congruence/Opposite.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c d : RingCon R

⊢ { toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } c ≤ { toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } d ↔ c ≤ d
-- Mathlib/RingTheory/Congruence/Opposite.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
c d : RingCon R

⊢ (∀ {x y : Rᵐᵒᵖ}, ({ toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } c) x y → ({ toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } d) x y) ↔ ∀ {x y : R}, c x y → d x y
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
n : ℕ

⊢ (a + b) ^ (n + n) ≤ 2 ^ (n + n - 1) * (a ^ (n + n) + b ^ (n + n))
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m : ℕ
inst✝ : ExistsAddOfLE R
n : ℕ

⊢ ((a + b) ^ 2) ^ n ≤ 2 ^ (2 * n - 1) * (a ^ (2 * n) + b ^ (2 * n))
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ b a : α
s t : Multiset α
h : a ∈ t

⊢ (s + t).erase a = s + t.erase a
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
p : R[X]
m : ℕ
i j : n

⊢ (matPolyEquiv (p • 1)).coeff m i j = (Polynomial.map (algebraMap R (Matrix n n R)) p).coeff m i j
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
p : R[X]
m : ℕ
i j : n

⊢ (if i = j then p else 0).coeff m = if i = j then p.coeff m else 0
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ

⊢ x ≠ ↑m
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
x : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ

⊢ x ≠ ↑↑m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x✝ y✝ : M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
x y : M

⊢ Setoid.r x y ↔ -(x - y) ∈ p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x✝ y✝ : M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' : Submodule R M
x y : M

⊢ -x + y ∈ p.toAddSubgroup ↔ -x + y ∈ p
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ

⊢ Fintype.card (Fin n → Fin m) = Fintype.card (Fin (m ^ n))
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n✝ : ℕ
ih : ∀ (f : Fin n → Fin (n✝ + 1)), ∑ i : Fin n, ↑(f i) * (n✝ + 1) ^ ↑i < (n✝ + 1) ^ n
f : Fin (n + 1) → Fin (n✝ + 1)

⊢ ∑ i : Fin (n + 1), ↑(f i) * (n✝ + 1) ^ ↑i < (n✝ + 1) ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n✝ : ℕ
ih : ∀ (f : Fin n → Fin (n✝ + 1)), ∑ i : Fin n, ↑(f i) * (n✝ + 1) ^ ↑i < (n✝ + 1) ^ n
f : Fin (n + 1) → Fin (n✝ + 1)

⊢ ∑ x : Fin n, ↑(f x.castSucc) * (n✝ + 1) ^ ↑x + ↑(f (Fin.last n)) * (n✝ + 1) ^ n < (n✝ + 1) ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n✝ : ℕ
ih : ∀ (f : Fin n → Fin (n✝ + 1)), ∑ i : Fin n, ↑(f i) * (n✝ + 1) ^ ↑i < (n✝ + 1) ^ n
f : Fin (n + 1) → Fin (n✝ + 1)

⊢ (n✝ + 1) ^ n + n✝ * (n✝ + 1) ^ n = (n✝ + 1) ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
ih : ∀ (a : Fin (m ^ n)), ⟨∑ i : Fin n, ↑a / m ^ ↑i % m * m ^ ↑i, ⋯⟩ = a
a : Fin (m ^ (n + 1))

⊢ ⟨∑ i : Fin (n + 1), ↑a / m ^ ↑i % m * m ^ ↑i, ⋯⟩ = a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
a : Fin (m ^ (n + 1))
ih : ∀ i < m ^ n, ∑ x : Fin n, i / m ^ ↑x % m * m ^ ↑x = i

⊢ ⟨∑ i : Fin (n + 1), ↑a / m ^ ↑i % m * m ^ ↑i, ⋯⟩ = a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
a : Fin (m ^ (n + 1))
ih : ∀ i < m ^ n, ∑ x : Fin n, i / m ^ ↑x % m * m ^ ↑x = i

⊢ ↑⟨∑ i : Fin (n + 1), ↑a / m ^ ↑i % m * m ^ ↑i, ⋯⟩ = ↑a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
a : Fin (m ^ (n + 1))
ih : ∀ i < m ^ n, ∑ x : Fin n, i / m ^ ↑x % m * m ^ ↑x = i

⊢ ↑a % m + m * ∑ i : Fin n, ↑a / m / m ^ ↑i % m * m ^ ↑i = ↑a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
a : Fin (m ^ (n + 1))
ih : ∀ i < m ^ n, ∑ x : Fin n, i / m ^ ↑x % m * m ^ ↑x = i

⊢ ↑a < m * m ^ n
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurve γ v
a : ℝ

⊢ IsIntegralCurve (γ ∘ fun x => x * a) (a • v)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v univ
a : ℝ

⊢ IsIntegralCurveOn (γ ∘ fun x => x * a) (a • v) univ
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SequentialSpace X
s : Set X

⊢ IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SequentialSpace X
s : Set X
h : ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
u : ℕ → X
p : X
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)

⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, u x ∈ s ∩ insert p (range u)
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : SequentialSpace X
s : Set X
h : ∀ ⦃K : Set X⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
u : ℕ → X
p : X
hu : ∀ (n : ℕ), u n ∈ s
hup : Tendsto u atTop (𝓝 p)

⊢ ∃ a, ∀ (b : ℕ), a ≤ b → u b ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIocMod hp a b = toIocMod hp 0 (b - a) + a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
hL : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f

⊢ (fderiv 𝕜 f₁ x) 1 = (fderiv 𝕜 f x) 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
ε : C ≌ D
h : IsIdempotentComplete C
X' : D
p : X' ⟶ X'
hp : p ≫ p = p
φ : (𝟭 D).obj X' ≅ (ε.inverse ⋙ ε.functor).obj X' := ε.counitIso.symm.app X'

⊢ ∃ Y i e, i ≫ e = 𝟙 Y ∧ e ≫ i = p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
ε : C ≌ D
h : IsIdempotentComplete C
X' : D
p : X' ⟶ X'
hp : p ≫ p = p
φ : (𝟭 D).obj X' ≅ (ε.inverse ⋙ ε.functor).obj X' := ε.counitIso.symm.app X'

⊢ ∃ Y' i' e', i' ≫ e' = 𝟙 Y' ∧ e' ≫ i' = φ.inv ≫ p ≫ φ.hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
ε : C ≌ D
h : IsIdempotentComplete C
X' : D
p : X' ⟶ X'
hp : p ≫ p = p
φ : (𝟭 D).obj X' ≅ (ε.inverse ⋙ ε.functor).obj X' := ε.counitIso.symm.app X'
Y : C
i : Y ⟶ ε.inverse.obj X'
e : ε.inverse.obj X' ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = ε.inverse.map p

⊢ ∃ Y' i' e', i' ≫ e' = 𝟙 Y' ∧ e' ≫ i' = φ.inv ≫ p ≫ φ.hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
D : Type u_2
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
ε : C ≌ D
h : IsIdempotentComplete C
X' : D
p : X' ⟶ X'
hp : p ≫ p = p
φ : (𝟭 D).obj X' ≅ (ε.inverse ⋙ ε.functor).obj X' := ε.counitIso.symm.app X'
Y : C
i : Y ⟶ ε.inverse.obj X'
e : ε.inverse.obj X' ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = ε.inverse.map p

⊢ ε.functor.map i ≫ ε.functor.map e = 𝟙 (ε.functor.obj Y) ∧ ε.functor.map e ≫ ε.functor.map i = φ.inv ≫ p ≫ φ.hom
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
g : β → γ
hg : Injective g

⊢ HasProd (extend g f 1) a ↔ HasProd f a
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
g : β → γ
hg : Injective g

⊢ ∀ x ∉ Set.range g, extend g f 1 x = 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.25479, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p : ℤ

⊢ ((inl φ).comp ↑(fst φ) ⋯).v p p ⋯ = (Cochain.ofHom (𝟙 F)).v p p ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ

⊢ (image₂ f s t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ

⊢ (image2 f ↑s ↑t).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ t.Nonempty
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
k : ℕ
hkn : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCauchySequence I N
hker : ∀ (n : ℕ), g (↑x n) ∈ I ^ n • ⊤
x✝ n : ℕ

⊢ g (↑x (k + n)) ∈ Submodule.map g (I ^ (k + n) • ⊤)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
k : ℕ
hkn : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCauchySequence I N
hker : ∀ (n : ℕ), g (↑x n) ∈ I ^ n • ⊤
x✝ n : ℕ

⊢ g (↑x (k + n)) ∈ I ^ (k + n) • ⊤
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
k : ℕ
hkn : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCauchySequence I N
hker : ∀ (n : ℕ), g (↑x n) ∈ I ^ n • ⊤
x✝ n : ℕ
d : N
hdmem : d ∈ ↑(I ^ (k + n) • ⊤)
hd : g d = g (↑x (k + n))

⊢ ∃ d y, d ∈ I ^ (k + n) • ⊤ ∧ f y = ↑x (k + n) - d
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
k : ℕ
hkn : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCauchySequence I N
hker : ∀ (n : ℕ), g (↑x n) ∈ I ^ n • ⊤
x✝ n : ℕ
d : N
hdmem : d ∈ ↑(I ^ (k + n) • ⊤)
hd : g d = g (↑x (k + n))
y : M
hdy : f y = ↑x (k + n) - d

⊢ ∃ d y, d ∈ I ^ (k + n) • ⊤ ∧ f y = ↑x (k + n) - d
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
s : Finset α
t : Finset β

⊢ 0 ≤ edgeDensity r s t
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : r < 0
x✝ : E

⊢ x✝ ∈ p.closedBall x r ↔ x✝ ∈ ∅
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
x : E
r : ℝ
hr : r < 0
x✝ : E

⊢ r < p (x✝ - x)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β

⊢ BijOn f {a} {b} ↔ f a = b
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
f : ℕ → ℝ
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
h_mono : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_succ_diff : SuccDiffBounded 2 fun x => 2 ^ x

⊢ (Summable fun k => 2 ^ k * f (2 ^ k)) ↔ Summable f
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
f : ℕ → ℝ
h_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
h_mono : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_succ_diff : SuccDiffBounded 2 fun x => 2 ^ x
x✝ : ℕ

⊢ 2 ^ x✝ = ↑(2 ^ (x✝ + 1)) - ↑(2 ^ x✝)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F₁ : A ⥤ C
U₁ : C ⥤ A
F₂ : B ⥤ D
U₂ : D ⥤ B
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : C ⥤ D
R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : F₁ ⊣ U₁
adj₄ : F₂ ⊣ U₂
α : F₁ ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ F₂
d : D

⊢ ({ toFun := fun α => whiskerLeft (U₂ ⋙ R₁) adj₃.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft U₂ α) U₁ ≫ whiskerRight adj₄.counit (R₂ ⋙ U₁), invFun := fun β => whiskerRight adj₄.unit (R₁ ⋙ F₁) ≫ whiskerRight (whiskerLeft F₂ β) F₁ ≫ whiskerLeft (F₂ ⋙ R₂) adj₃.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ({ toFun := fun α => whiskerLeft (R₁ ⋙ F₁) adj₂.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft R₁ α) R₂ ≫ whiskerRight adj₁.counit (F₂ ⋙ R₂), invFun := fun β => whiskerRight adj₁.unit (F₁ ⋙ L₂) ≫ whiskerRight (whiskerLeft L₁ β) L₂ ≫ whiskerLeft (L₁ ⋙ F₂) adj₂.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } α)).app d = ((Trans.trans (Trans.trans ((F₁ ⋙ L₂).leftUnitor.homCongr (L₁ ⋙ F₂).rightUnitor).symm { toFun := fun α => whiskerLeft ((U₂ ⋙ R₁) ⋙ 𝟭 A) { homEquiv := fun X Z => (adj₂.homEquiv (F₁.obj X) Z).trans (adj₃.homEquiv X (R₂.obj Z)), unit := adj₃.unit ≫ whiskerLeft F₁ (whiskerRight adj₂.unit U₁) ≫ (F₁.associator (L₂ ⋙ R₂) U₁).inv, counit := (R₂.associator U₁ (F₁ ⋙ L₂)).hom ≫ whiskerLeft R₂ (whiskerRight adj₃.counit L₂) ≫ adj₂.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.unit ≫ whiskerRight (whiskerLeft (U₂ ⋙ R₁) α) (R₂ ⋙ U₁) ≫ whiskerRight { homEquiv := fun X Z => (adj₄.homEquiv (L₁.obj X) Z).trans (adj₁.homEquiv X (U₂.obj Z)), unit := adj₁.unit ≫ whiskerLeft L₁ (whiskerRight adj₄.unit R₁) ≫ (L₁.associator (F₂ ⋙ U₂) R₁).inv, counit := (U₂.associator R₁ (L₁ ⋙ F₂)).hom ≫ whiskerLeft U₂ (whiskerRight adj₁.counit F₂) ≫ adj₄.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.counit (𝟭 D ⋙ R₂ ⋙ U₁), invFun := fun β => whiskerRight { homEquiv := fun X Z => (adj₄.homEquiv (L₁.obj X) Z).trans (adj₁.homEquiv X (U₂.obj Z)), unit := adj₁.unit ≫ whiskerLeft L₁ (whiskerRight adj₄.unit R₁) ≫ (L₁.associator (F₂ ⋙ U₂) R₁).inv, counit := (U₂.associator R₁ (L₁ ⋙ F₂)).hom ≫ whiskerLeft U₂ (whiskerRight adj₁.counit F₂) ≫ adj₄.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.unit (𝟭 A ⋙ F₁ ⋙ L₂) ≫ whiskerRight (whiskerLeft (L₁ ⋙ F₂) β) (F₁ ⋙ L₂) ≫ whiskerLeft ((L₁ ⋙ F₂) ⋙ 𝟭 D) { homEquiv := fun X Z => (adj₂.homEquiv (F₁.obj X) Z).trans (adj₃.homEquiv X (R₂.obj Z)), unit := adj₃.unit ≫ whiskerLeft F₁ (whiskerRight adj₂.unit U₁) ≫ (F₁.associator (L₂ ⋙ R₂) U₁).inv, counit := (R₂.associator U₁ (F₁ ⋙ L₂)).hom ≫ whiskerLeft R₂ (whiskerRight adj₃.counit L₂) ≫ adj₂.counit, homEquiv_unit := ⋯, homEquiv_counit := ⋯ }.counit, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }) ((U₂ ⋙ R₁).rightUnitor.homCongr (R₂ ⋙ U₁).leftUnitor)) α).app d
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α

⊢ (s \ {a}).ncard ≤ s.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α
hs : s.Finite

⊢ (s \ {a}).ncard ≤ s.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α
hs : s.Infinite

⊢ (s \ {a}).ncard ≤ s.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
a : α
hs : s.Infinite

⊢ (s \ {a}).ncard = 0
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
b : Bool
n : ℕ

⊢ bit b ↑n = ↑(Nat.bit b n)
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
b : Bool
n : ℕ

⊢ (2 * ↑n + bif b then 1 else 0) = ↑(2 * n + bif b then 1 else 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Iic a) a
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)
hcont : ContinuousOn f (Iic a)

⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic a, f' x = f a - m
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Iic a) a
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)
hcont : ContinuousOn f (Iic a)

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in id i..a, f' x) atBot (𝓝 (f a - m))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f f' : ℝ → E
g g' : ℝ → ℝ
a b l : ℝ
m : E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hcont✝ : ContinuousWithinAt f (Iic a) a
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume
hf : Tendsto f atBot (𝓝 m)
hcont : ContinuousOn f (Iic a)

⊢ (fun k => f a - f k) =ᶠ[atBot] fun i => ∫ (x : ℝ) in id i..a, f' x