ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ

⊢ HasSum (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)!) (sin z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ

⊢ (fun n => (-1) ^ n * z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)!) = fun n => (z * I) ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)! / I
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableAt I I' f x

⊢ HasMFDerivAt I I' f x (mfderiv I I' f x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableAt I I' f x

⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) (mfderiv I I' f x) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : MDifferentiableAt I I' f x

⊢ HasFDerivWithinAt ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (fderivWithin 𝕜 ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
x y : (n : ℕ) → E n
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
H : longestPrefix x s < firstDiff x y
xs : x ∉ s
ys : y ∉ s
l_eq : longestPrefix y s = longestPrefix x s

⊢ cylinder x (longestPrefix x s) = cylinder y (longestPrefix y s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)
x y : (n : ℕ) → E n
s : Set ((n : ℕ) → E n)
hs : IsClosed s
hne : s.Nonempty
H : longestPrefix x s < firstDiff x y
xs : x ∉ s
ys : y ∉ s
l_eq : longestPrefix y s = longestPrefix x s

⊢ x ∈ cylinder y (longestPrefix x s)
-- Mathlib/Data/Int/NatPrime.lean
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
m n : ℤ
k l : ℕ
hpm : ↑(p ^ k) ∣ m
hpn : ↑(p ^ l) ∣ n
hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n
hpm' : p ^ k ∣ m.natAbs
hpn' : p ^ l ∣ n.natAbs

⊢ p ^ (k + l + 1) ∣ m.natAbs * n.natAbs
-- Mathlib/Data/Int/NatPrime.lean
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
m n : ℤ
k l : ℕ
hpm : ↑(p ^ k) ∣ m
hpn : ↑(p ^ l) ∣ n
hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n
hpm' : p ^ k ∣ m.natAbs
hpn' : p ^ l ∣ n.natAbs

⊢ p ^ (k + l + 1) ∣ (m * n).natAbs
-- Mathlib/Data/Int/NatPrime.lean
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
m n : ℤ
k l : ℕ
hpm : ↑(p ^ k) ∣ m
hpn : ↑(p ^ l) ∣ n
hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n
hpm' : p ^ k ∣ m.natAbs
hpn' : p ^ l ∣ n.natAbs
hpmn' : p ^ (k + l + 1) ∣ m.natAbs * n.natAbs
hsd : p ^ (k + 1) ∣ m.natAbs ∨ p ^ (l + 1) ∣ n.natAbs := Nat.succ_dvd_or_succ_dvd_of_succ_sum_dvd_mul p_prime hpm' hpn' hpmn'
hsd1 : p ^ (k + 1) ∣ m.natAbs

⊢ ↑(p ^ (k + 1)) ∣ m
-- Mathlib/Data/Int/NatPrime.lean
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
m n : ℤ
k l : ℕ
hpm : ↑(p ^ k) ∣ m
hpn : ↑(p ^ l) ∣ n
hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n
hpm' : p ^ k ∣ m.natAbs
hpn' : p ^ l ∣ n.natAbs
hpmn' : p ^ (k + l + 1) ∣ m.natAbs * n.natAbs
hsd : p ^ (k + 1) ∣ m.natAbs ∨ p ^ (l + 1) ∣ n.natAbs := Nat.succ_dvd_or_succ_dvd_of_succ_sum_dvd_mul p_prime hpm' hpn' hpmn'
hsd1 : p ^ (k + 1) ∣ m.natAbs

⊢ ↑(p ^ (k + 1)) ∣ ↑m.natAbs
-- Mathlib/Data/Int/NatPrime.lean
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
m n : ℤ
k l : ℕ
hpm : ↑(p ^ k) ∣ m
hpn : ↑(p ^ l) ∣ n
hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n
hpm' : p ^ k ∣ m.natAbs
hpn' : p ^ l ∣ n.natAbs
hpmn' : p ^ (k + l + 1) ∣ m.natAbs * n.natAbs
hsd : p ^ (k + 1) ∣ m.natAbs ∨ p ^ (l + 1) ∣ n.natAbs := Nat.succ_dvd_or_succ_dvd_of_succ_sum_dvd_mul p_prime hpm' hpn' hpmn'
hsd2 : p ^ (l + 1) ∣ n.natAbs

⊢ ↑(p ^ (l + 1)) ∣ n
-- Mathlib/Data/Int/NatPrime.lean
p : ℕ
p_prime : Nat.Prime p
m n : ℤ
k l : ℕ
hpm : ↑(p ^ k) ∣ m
hpn : ↑(p ^ l) ∣ n
hpmn : ↑(p ^ (k + l + 1)) ∣ m * n
hpm' : p ^ k ∣ m.natAbs
hpn' : p ^ l ∣ n.natAbs
hpmn' : p ^ (k + l + 1) ∣ m.natAbs * n.natAbs
hsd : p ^ (k + 1) ∣ m.natAbs ∨ p ^ (l + 1) ∣ n.natAbs := Nat.succ_dvd_or_succ_dvd_of_succ_sum_dvd_mul p_prime hpm' hpn' hpmn'
hsd2 : p ^ (l + 1) ∣ n.natAbs

⊢ ↑(p ^ (l + 1)) ∣ ↑n.natAbs
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂

⊢ S₁.leftHomologyIso.inv ≫ leftHomologyMap φ = homologyMap φ ≫ S₂.leftHomologyIso.inv
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor/Prime.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
a c : K

⊢ ∃ p > n, Nat.Prime p ∧ a * c ^ p < ↑(p - 1)!
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor/Prime.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
a c : K
p : ℕ
pn : p > n
pp : Nat.Prime p
h : ⌈|a|⌉.natAbs * ⌈|c|⌉.natAbs ^ p < (p - 1)!

⊢ ∃ p > n, Nat.Prime p ∧ a * c ^ p < ↑(p - 1)!
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor/Prime.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
a c : K
p : ℕ
pn : p > n
pp : Nat.Prime p
h : ⌈|a|⌉.natAbs * ⌈|c|⌉.natAbs ^ p < (p - 1)!

⊢ a * c ^ p < ↑(p - 1)!
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor/Prime.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
a c : K
p : ℕ
pn : p > n
pp : Nat.Prime p
h : ⌈|a|⌉.natAbs * ⌈|c|⌉.natAbs ^ p < (p - 1)!

⊢ |a * c ^ p| ≤ ↑⌈|a|⌉ * ↑⌈|c|⌉ ^ p
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor/Prime.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
a c : K
p : ℕ
pn : p > n
pp : Nat.Prime p
h : ⌈|a|⌉.natAbs * ⌈|c|⌉.natAbs ^ p < (p - 1)!

⊢ ↑⌈|a|⌉ * ↑⌈|c|⌉ ^ p = ↑(⌈|a|⌉.natAbs * ⌈|c|⌉.natAbs ^ p)
-- Mathlib/GroupTheory/Finiteness.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid N
P : AddSubmonoid N

⊢ P.FG ↔ (toSubmonoid P).FG
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝

⊢ x✝.bsize = utf8Len x✝.toString.data
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (μ.withDensity 1) s = μ s
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)
hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a
b : α
hb : ¬IsMax b

⊢ isSuccLimitRecOn (succ b) hs hl = hs b hb
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)
hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a
b : α
hb : ¬IsMax b
hb' : ¬IsSuccLimit (succ b)

⊢ isSuccLimitRecOn (succ b) hs hl = hs b hb
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)
hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a
b : α
hb : ¬IsMax b
hb' : ¬IsSuccLimit (succ b)
H : ¬IsMax (Classical.choose ⋯) ∧ succ (Classical.choose ⋯) = succ b

⊢ isSuccLimitRecOn (succ b) hs hl = hs b hb
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)
hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a
b : α
hb : ¬IsMax b
hb' : ¬IsSuccLimit (succ b)
H : ¬IsMax (Classical.choose ⋯) ∧ succ (Classical.choose ⋯) = succ b

⊢ (if hb : IsSuccLimit (succ b) then hl (succ b) hb else let_fun H := ⋯; ⋯.mpr (hs (Classical.choose ⋯) ⋯)) = hs b hb
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : SuccOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
hs : (a : α) → ¬IsMax a → C (succ a)
hl : (a : α) → IsSuccLimit a → C a
b : α
hb : ¬IsMax b
hb' : ¬IsSuccLimit (succ b)
H : ¬IsMax (Classical.choose ⋯) ∧ succ (Classical.choose ⋯) = succ b

⊢ HEq (hs (Classical.choose ⋯) ⋯) (hs b hb)
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame

⊢ x.IsOption (-y) ↔ (-x).IsOption y
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame

⊢ ((∃ i, x = (-y).moveRight i) ∨ ∃ i, x = (-y).moveLeft i) ↔ (∃ i, -x = y.moveLeft i) ∨ ∃ i, -x = y.moveRight i
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
f : α → α
n : ℕ
hf : Involutive f
hne : f ≠ id
H : f^[n] = f
hn : Even n

⊢ f = id
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Preorder α
a✝ b c a : α

⊢ ⋃ b, Ioc a b = Ioi a
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α✝
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
α : Type u_3
f : ι → Filter α
s : Set α

⊢ s ∈ ⨅ i, f i ↔ ∃ t, (∀ (i : ι), t i ∈ f i) ∧ s = ⋂ i, t i
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α✝
s✝ t : Set α✝
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
α : Type u_3
f : ι → Filter α
s : Set α

⊢ (∃ t, (∀ (i : ι), t i ∈ f i) ∧ s = ⋂ i, t i) → s ∈ ⨅ i, f i
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f✝ g : Filter α✝
s t✝ : Set α✝
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
α : Type u_3
f : ι → Filter α
t : ι → Set α
ht : ∀ (i : ι), t i ∈ f i

⊢ ⋂ i, t i ∈ ⨅ i, f i
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Over.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X : C
Y : Over X
S : Sieve Y

⊢ S ∈ (J.over X).sieves Y ↔ (Sieve.overEquiv Y) S ∈ J.sieves Y.left
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ sin ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (sin x)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Map.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p✝ p' : Submodule R M
q✝ q' : Submodule R₂ M₂
x : M
F : Type u_9
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
p q : Submodule R M

⊢ Disjoint p q ↔ comap p.subtype q = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
η : Type u_6
Gs : η → Type u_7
inst✝ : (i : η) → Monoid (Gs i)
x : (i : η) → Gs i
h : IsOfFinOrder x
n : ℕ
npos : 0 < n
hn : x ^ n = 1

⊢ ∀ (i : η), IsOfFinOrder (x i)
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α

⊢ fibRec.IsSolution fun x => φ ^ x
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α

⊢ (X ^ 2 - (X + 1)).IsRoot φ
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x : ZFSet
h : ∅ ∉ x
y : ZFSet
yx : y ∈ x
n : ¬∃ y_1, y_1 ∈ y

⊢ ∅ ∈ x
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h0 : a ≠ 0
hI : a ≠ ⊤

⊢ b / a * a = b
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K

⊢ card (InfinitePlace K) = NrRealPlaces K + NrComplexPlaces K
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K

⊢ card (InfinitePlace K) = card { x // x.IsReal ∨ x.IsComplex }
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hs : s ∈ 𝓝 c

⊢ DifferentiableOn ℂ f (s \ {c}) ∧ ContinuousAt f c ↔ DifferentiableOn ℂ f s
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hs : s ∈ 𝓝 c

⊢ DifferentiableOn ℂ f (s \ {c}) ∧ ContinuousAt f c → DifferentiableOn ℂ f s
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hs : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
hc : ContinuousAt f c
x : ℂ
hx : x ∈ s

⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f s x
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
x : ℂ
hx : x ∈ s
hs : s ∈ 𝓝 x
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {x})
hc : ContinuousAt f x

⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f s x
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
c : ℂ
hs : s ∈ 𝓝 c
hd : DifferentiableOn ℂ f (s \ {c})
hc : ContinuousAt f c
x : ℂ
hx : x ∈ s
hne : x ≠ c

⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f s x
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Int.lean
z : ℤ
hz : z ≠ 0

⊢ |z.sign| = 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ α : Type u
β : Type v
c : Cardinal.{max u v}
f : α → β
hf : ∀ (b : β), lift.{v, u} #↑(f ⁻¹' {b}) ≤ c
b : β

⊢ ↑(⇑Equiv.ulift '' ((fun x => { down := f x.down }) ⁻¹' {{ down := b }})) ≃ ↑(f ⁻¹' {b})
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ α : Type u
β : Type v
c : Cardinal.{max u v}
f : α → β
hf : ∀ (b : β), lift.{v, u} #↑(f ⁻¹' {b}) ≤ c
b : β

⊢ ↑(⇑Equiv.ulift.symm ⁻¹' ((fun x => { down := f x.down }) ⁻¹' {{ down := b }})) ≃ ↑(f ⁻¹' {b})
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ α : Type u
β : Type v
c : Cardinal.{max u v}
f : α → β
hf : ∀ (b : β), lift.{v, u} #↑(f ⁻¹' {b}) ≤ c
b : β
this : ⇑Equiv.ulift.symm = ULift.up

⊢ ↑(ULift.up ⁻¹' ((fun x => { down := f x.down }) ⁻¹' {{ down := b }})) ≃ ↑(f ⁻¹' {b})
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ α : Type u
β : Type v
c : Cardinal.{max u v}
f : α → β
hf : ∀ (b : β), lift.{v, u} #↑(f ⁻¹' {b}) ≤ c
b : β
this : ⇑Equiv.ulift.symm = ULift.up

⊢ { x // f x = b } ≃ { x // f x = b }
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R

⊢ Sbtw R 0 x 1 ↔ x ∈ Set.Ioo 0 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R

⊢ (0 ≤ x ∧ x ≤ 1) ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ↔ 0 < x ∧ x < 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Small.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
α : Type w
f : α → C

⊢ Small.{max v w, u} (FullSubcategory (FilteredClosure f))
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Small.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
α : Type w
f : α → C

⊢ ∀ (b : FullSubcategory (FilteredClosure f)), ∃ a, CategoryTheory.IsFiltered.FilteredClosureSmall.abstractFilteredClosureRealization f a = b.obj
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Small.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
α : Type w
f : α → C
j : C
h : FilteredClosure f j

⊢ ∃ a, CategoryTheory.IsFiltered.FilteredClosureSmall.abstractFilteredClosureRealization f a = { obj := j, property := h }.obj
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
x : Cardinal.{v}
m : ℕ∞

⊢ lift.{u, v} x < ↑m ↔ x < ↑m
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α

⊢ s ∪ t = ∅ ↔ s = ∅ ∧ t = ∅
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α

⊢ s ∪ t ⊆ ∅ ↔ s ⊆ ∅ ∧ t ⊆ ∅
-- Mathlib/LinearAlgebra/CrossProduct.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R

⊢ u ⬝ᵥ (crossProduct v) w = v ⬝ᵥ (crossProduct w) u
-- Mathlib/LinearAlgebra/CrossProduct.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R

⊢ u 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0 + u 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1 + u 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2 = v 0 * ![w 1 * u 2 - w 2 * u 1, w 2 * u 0 - w 0 * u 2, w 0 * u 1 - w 1 * u 0] 0 + v 1 * ![w 1 * u 2 - w 2 * u 1, w 2 * u 0 - w 0 * u 2, w 0 * u 1 - w 1 * u 0] 1 + v 2 * ![w 1 * u 2 - w 2 * u 1, w 2 * u 0 - w 0 * u 2, w 0 * u 1 - w 1 * u 0] 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_2
α : ι → Type u_1
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
f : Set ((i : ι) → α i)

⊢ f ∈ squareCylinders C ↔ f ∈ ⋃ s, (fun t => (↑s).pi t) '' univ.pi C
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
hψ : ψ.Even

⊢ (toUnitHom ψ) (-1) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
hψ : ψ.Even

⊢ ψ ↑(-1) = ↑1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hf : Integrable f (Measure.sum μ)

⊢ HasSum (fun i => ∫ (a : α), f a ∂μ i) (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)

⊢ HasSum (fun i => ∫ (a : α), f a ∂μ i) (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)

⊢ Tendsto (fun s => ∫ (a : α), f a ∂∑ i ∈ s, μ i) atTop (𝓝 (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε

⊢ ∀ᶠ (x : Finset ι) in atTop, ∫ (a : α), f a ∂∑ i ∈ x, μ i ∈ Metric.ball (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum μ) ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε

⊢ ∀ᶠ (x : Finset ι) in atTop, ∫ (a : α), f a ∂∑ i ∈ x, μ i ∈ Metric.ball (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum μ) ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
ι : Type u_7
m : MeasurableSpace α
f : α → G
μ : ι → Measure α
hf : Integrable f (Measure.sum μ)
hfi : ∀ (i : ι), Integrable f (μ i)
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hf_lt : ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂Measure.sum μ < ⊤

⊢ ∀ᶠ (x : Finset ι) in atTop, ∫ (a : α), f a ∂∑ i ∈ x, μ i ∈ Metric.ball (∫ (a : α), f a ∂Measure.sum μ) ↑ε