ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r₁
b : E
hb : p b ≤ r₂

⊢ ‖a‖ * p b < r₁ * r₂
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r₁
b : E
hb : p b ≤ r₂

⊢ p b * ‖a‖ < r₂ * r₁
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ p : Seminorm 𝕜 E
r₁ r₂ : ℝ
hr₂ : r₂ ≠ 0
a : 𝕜
ha : ‖a‖ < r₁
b : E
hb : p b ≤ r₂

⊢ ¬r₂ < 0
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, x ≤ 0

⊢ sInf S ≤ 0
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
hS : ∀ x ∈ ∅, x ≤ 0

⊢ sInf ∅ ≤ 0
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
hS : ∀ x ∈ S, x ≤ 0
y : ℝ
hy : y ∈ S

⊢ sInf S ≤ 0
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : Injective m
h : m '' s ∈ map m f

⊢ s ∈ f
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Ring/List.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
inst✝ : Nontrivial α
x : α
xs : List α

⊢ 0 < (x :: xs).prod ↔ ∀ x_1 ∈ x :: xs, 0 < x_1
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a : EReal
h : 0 ≤ a

⊢ 0 ≤ a⁻¹
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
sep : IsSeparatedMap f
g : A → X
cont : Continuous g
inj : Function.Injective g

⊢ IsSeparatedMap (f ∘ g)
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
sep : IsClosed (Function.pullbackDiagonal f)
g : A → X
cont : Continuous g
inj : Function.Injective g

⊢ IsClosed (Function.pullbackDiagonal (f ∘ g))
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Sort u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y
sep : IsClosed (Function.pullbackDiagonal f)
g : A → X
cont : Continuous g
inj : Function.Injective g

⊢ IsClosed (Function.mapPullback g id g ⋯ ⋯ ⁻¹' Function.pullbackDiagonal f)
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝³ : Traversable t
inst✝² : LawfulTraversable t
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m α
x : β

⊢ (⇑(foldlM.ofFreeMonoid f) ∘ FreeMonoid.of) x = (foldlM.mk ∘ flip f) x
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝³ : Traversable t
inst✝² : LawfulTraversable t
m : Type u → Type u
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
f : α → β → m α
x : β

⊢ (fun a => f a x) = fun a => f a x
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Norm.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : Algebra F R
inst✝² : Algebra F S
inst✝¹ : IsScalarTower F R S
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
f : S
hf : f ≠ 0

⊢ Associated ((Algebra.norm R) f) (∏ i : ι, smithCoeffs b (span {f}) ⋯ i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Norm.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : Algebra F R
inst✝² : Algebra F S
inst✝¹ : IsScalarTower F R S
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
f : S
hf : f ≠ 0
hI : ¬span {f} = ⊥

⊢ Associated ((Algebra.norm R) f) (∏ i : ι, smithCoeffs b (span {f}) ⋯ i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Norm.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing F
inst✝³ : Algebra F R
inst✝² : Algebra F S
inst✝¹ : IsScalarTower F R S
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
f : S
hf : f ≠ 0
hI : ¬span {f} = ⊥
b' : Basis ι R S := ringBasis b (span {f}) hI

⊢ Associated ((Algebra.norm R) f) (∏ i : ι, smithCoeffs b (span {f}) ⋯ i)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
H' : ¬((∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ⊤ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p) = ⊤)

⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
H' : ¬((∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) = ⊤ ∨ (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p) = ⊤)
pos : 0 < p

⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
pos : 0 < p
H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤

⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
pos : 0 < p
H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤
this : ↑((∑ i ∈ s, ((fun i => (f i).toNNReal) i + (fun i => (g i).toNNReal) i) ^ p) ^ (1 / p)) ≤ ↑((∑ i ∈ s, (fun i => (f i).toNNReal) i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, (fun i => (g i).toNNReal) i ^ p) ^ (1 / p))

⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0∞
p q : ℝ
hp : 1 ≤ p
pos : 0 < p
H' : (∀ i ∈ s, f i ≠ ⊤) ∧ ∀ i ∈ s, g i ≠ ⊤
this : (∑ x ∈ s, (↑(f x).toNNReal + ↑(g x).toNNReal) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x ∈ s, ↑(f x).toNNReal ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x ∈ s, ↑(g x).toNNReal ^ p) ^ (1 / p)

⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIcoDiv hp (a + p) b = toIcoDiv hp a b - 1
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a x : α
s t : List α
h : permutations'Aux x s = permutations'Aux x t

⊢ s = t
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a x : α
s t : List α
h : permutations'Aux x s = permutations'Aux x t

⊢ insertNth s.length x s = insertNth s.length x t
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a x : α
s t : List α
h : permutations'Aux x s = permutations'Aux x t
hl : s.length = t.length

⊢ insertNth s.length x s = insertNth s.length x t
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a x : α
s t : List α
h : permutations'Aux x s = permutations'Aux x t
hl : s.length = t.length

⊢ (permutations'Aux x s).get ⟨s.length, ⋯⟩ = (permutations'Aux x t).get ⟨s.length, ⋯⟩
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f g : ℕ → ℂ
h : ∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = g n
s : ℂ
n : ℕ

⊢ term f s n = term g s n
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/InjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : EnoughInjectives C
Z : C

⊢ Injective.ι Z ≫ (ofCocomplex Z).d 0 1 = 0
-- Mathlib/Tactic/Ring/Basic.lean
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
a✝ a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂ : R✝
n : ℤ
d : ℕ
R : Type u_2
inst✝ : DivisionRing R
a : R
inv✝ : Invertible ↑d
e : a = ↑n * ⅟↑d

⊢ a = Rat.rawCast n d + 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ToNat.lean
α : Type u
c✝ d : Cardinal.{u}
c : ℕ

⊢ ↑(toNat ↑c) = ↑c
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplexBiprod.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
M : HomologicalComplex C c
α : M ⟶ K
β : M ⟶ L
i : ι

⊢ (biprod.lift α β).f i ≫ biprod.snd.f i = β.f i
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
α : Sort u_1
n : Nat
f : α → Fin n → α
x : α

⊢ foldr n (fun i x => f x i.rev) x = foldl n f x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
e' : Cardinal.lift.{v, u} #α = (type s).card

⊢ ∃ a', lift.{v, u} a' = type s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
e' : Nonempty (α ≃ β)

⊢ ∃ a', lift.{v, u} a' = type s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
f : α ≃ β
g : ⇑f ⁻¹'o s ≃r s

⊢ ∃ a', lift.{v, u} a' = type s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
f : α ≃ β
g : ⇑f ⁻¹'o s ≃r s
this : IsWellOrder α (⇑f ⁻¹'o s)

⊢ ∃ a', lift.{v, u} a' = type s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
f : α ≃ β
g : ⇑f ⁻¹'o s ≃r s
this✝ : IsWellOrder α (⇑f ⁻¹'o s)
this : lift.{max u v, u} (type (⇑f ⁻¹'o s)) = lift.{max u v, max u v} (type s)

⊢ ∃ a', lift.{v, u} a' = type s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Cardinal.{u}
b : Ordinal.{max u v}
h : b.card ≤ Cardinal.lift.{v, u} a
c : Cardinal.{u}
e : Cardinal.lift.{v, u} c = b.card
α : Type u
β : Type (max u v)
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
f : α ≃ β
g : ⇑f ⁻¹'o s ≃r s
this✝ : IsWellOrder α (⇑f ⁻¹'o s)
this : lift.{v, u} (type (⇑f ⁻¹'o s)) = type s

⊢ ∃ a', lift.{v, u} a' = type s
-- Mathlib/RingTheory/Localization/BaseChange.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Algebra R A
inst✝⁹ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module A M'
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
Q : Type (max u_3 u_4 u_2)
x✝³ : AddCommMonoid Q
x✝² : Module R Q
x✝¹ : Module A Q
x✝ : IsScalarTower R A Q
g : M →ₗ[R] Q

⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = g
-- Mathlib/RingTheory/Localization/BaseChange.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Algebra R A
inst✝⁹ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : IsScalarTower R A M
M' : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module A M'
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
Q : Type (max u_3 u_4 u_2)
x✝³ : AddCommMonoid Q
x✝² : Module R Q
x✝¹ : Module A Q
x✝ : IsScalarTower R A Q
ℓ : M' →ₗ[R] Q
h₂ : ∀ (y : M' →ₗ[R] Q), (fun l => l ∘ₗ f = ℓ ∘ₗ f) y → y = ℓ

⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ f = ℓ ∘ₗ f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{?u.102334, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ✝ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
hk : k ≫ K.d i j = 0
φ : K ⟶ L

⊢ (k ≫ φ.f i) ≫ L.d i j = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ✝ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝² : K.HasHomology i
inst✝¹ : L.HasHomology i
inst✝ : M.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
hk : k ≫ K.d i j = 0
φ : K ⟶ L

⊢ K.liftCycles k j hj hk ≫ cyclesMap φ i = L.liftCycles (k ≫ φ.f i) j hj ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f✝ g✝ : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → A
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : ContinuousOn g [[a, b]]

⊢ IntervalIntegrable (fun x => g x * f x) μ a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f✝ g✝ : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
f g : ℝ → A
hf : IntegrableOn f (Ι a b) μ
hg : ContinuousOn g [[a, b]]

⊢ IntegrableOn (fun x => g x * f x) (Ι a b) μ
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x : α
n : ℕ
ih : normalizedFactors (x ^ n) = n • normalizedFactors x
h0 : ¬x = 0

⊢ normalizedFactors (x ^ (n + 1)) = (n + 1) • normalizedFactors x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → β → α'

⊢ UniformEquicontinuous F ↔ ∀ (k : κ), UniformEquicontinuous F
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
u : κ → UniformSpace α'
F : ι → β → α'

⊢ UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) ↔ ∀ (k : κ), UniformContinuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ |θ.toReal| = π / 2 ↔ θ = ↑(π / 2) ∨ θ = ↑(-π / 2)
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : (↥A)ˣ

⊢ A.valuation ↑↑a = 1
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : (↥A)ˣ

⊢ ∃ a_1, ↑↑a_1 * 1 = ↑↑a
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : (↥A)ˣ

⊢ ↑↑a * 1 = ↑↑a
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a b : α

⊢ sSup s ⊓ sSup t = ⨆ p ∈ s ×ˢ t, p.1 ⊓ p.2
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g κ μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, g =ᶠ[ae (κ a)] g'
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (f' ⁻¹' A ∩ g' ⁻¹' B) = (κ a) (f' ⁻¹' A) * (κ a) (g' ⁻¹' B)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g κ μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, g =ᶠ[ae (κ a)] g'
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B
a : α
hf' : f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg' : g =ᶠ[ae (κ a)] g'
hfg' : (κ a) (f ⁻¹' A ∩ g ⁻¹' B) = (κ a) (f ⁻¹' A) * (κ a) (g ⁻¹' B)

⊢ (κ a) (f' ⁻¹' A ∩ g' ⁻¹' B) = (κ a) (f' ⁻¹' A) * (κ a) (g' ⁻¹' B)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g κ μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, g =ᶠ[ae (κ a)] g'
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B
a : α
hf' : f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg' : g =ᶠ[ae (κ a)] g'
hfg' : (κ a) (f ⁻¹' A ∩ g ⁻¹' B) = (κ a) (f ⁻¹' A) * (κ a) (g ⁻¹' B)
h1 : f ⁻¹' A =ᶠ[ae (κ a)] f' ⁻¹' A

⊢ (κ a) (f' ⁻¹' A ∩ g' ⁻¹' B) = (κ a) (f' ⁻¹' A) * (κ a) (g' ⁻¹' B)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g κ μ
hf : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, g =ᶠ[ae (κ a)] g'
A : Set β
hA : MeasurableSet A
B : Set β'
hB : MeasurableSet B
a : α
hf' : f =ᶠ[ae (κ a)] f'
hg' : g =ᶠ[ae (κ a)] g'
hfg' : (κ a) (f ⁻¹' A ∩ g ⁻¹' B) = (κ a) (f ⁻¹' A) * (κ a) (g ⁻¹' B)
h1 : f ⁻¹' A =ᶠ[ae (κ a)] f' ⁻¹' A
h2 : g ⁻¹' B =ᶠ[ae (κ a)] g' ⁻¹' B

⊢ (κ a) (f' ⁻¹' A ∩ g' ⁻¹' B) = (κ a) (f' ⁻¹' A) * (κ a) (g' ⁻¹' B)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Set β
f : β → Set α
hs : s.Finite
hfin : ∀ i ∈ s, μ (f i) ≠ ⊤

⊢ μ (⋃ i ∈ s, f i) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Set β
f : β → Set α
hs : s.Finite
hfin : ∀ i ∈ s, μ (f i) ≠ ⊤

⊢ (fun i => ⋃ (_ : i ∈ s), f i) = fun i => ⋃ (_ : i ∈ hs.toFinset), f i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Set β
f : β → Set α
hs : s.Finite
hfin : ∀ i ∈ s, μ (f i) ≠ ⊤

⊢ ∑ i ∈ hs.toFinset, μ (f i) < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
H : Subgroup N
h : H ≤ f.range

⊢ map f (comap f H) = H
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
a : Rˣ

⊢ 1 ↑a = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Group α
a : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
ha : a < 1

⊢ 1 < a⁻ᵐ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)

⊢ integral f = ‖posPart f‖ - ‖negPart f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
ae_eq₁ : ↑(toSimpleFunc f).posPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)))

⊢ integral f = ‖posPart f‖ - ‖negPart f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
ae_eq₁ : ↑(toSimpleFunc f).posPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)))
ae_eq₂ : ↑(toSimpleFunc f).negPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))

⊢ integral f = ‖posPart f‖ - ‖negPart f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
ae_eq₁ : ↑(toSimpleFunc f).posPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)))
ae_eq₂ : ↑(toSimpleFunc f).negPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))

⊢ MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (toSimpleFunc f) = MeasureTheory.SimpleFunc.integral μ (SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)) - SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
F' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
E' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : ↥(simpleFunc ℝ 1 μ)
ae_eq₁ : ↑(toSimpleFunc f).posPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)))
ae_eq₂ : ↑(toSimpleFunc f).negPart =ᶠ[ae μ] ↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (negPart f)))

⊢ Integrable (↑(SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc (posPart f)))) μ