ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
x y : G × G → CoeSort.coe A
g : G × G × G

⊢ (A.ρ g.1) (x (g.2.1, g.2.2) + y (g.2.1, g.2.2)) - (x (g.1 * g.2.1, g.2.2) + y (g.1 * g.2.1, g.2.2)) + (x (g.1, g.2.1 * g.2.2) + y (g.1, g.2.1 * g.2.2)) - (x (g.1, g.2.1) + y (g.1, g.2.1)) = (A.ρ g.1) (x (g.2.1, g.2.2)) - x (g.1 * g.2.1, g.2.2) + x (g.1, g.2.1 * g.2.2) - x (g.1, g.2.1) + ((A.ρ g.1) (y (g.2.1, g.2.2)) - y (g.1 * g.2.1, g.2.2) + y (g.1, g.2.1 * g.2.2) - y (g.1, g.2.1))
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
r : k
x : G × G → CoeSort.coe A
g : G × G × G

⊢ (A.ρ g.1) (r • x (g.2.1, g.2.2)) - r • x (g.1 * g.2.1, g.2.2) + r • x (g.1, g.2.1 * g.2.2) - r • x (g.1, g.2.1) = r • ((A.ρ g.1) (x (g.2.1, g.2.2)) - x (g.1 * g.2.1, g.2.2) + x (g.1, g.2.1 * g.2.2) - x (g.1, g.2.1))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
cs cs' : List Char
c : Char
i p : Nat
hp : i + (utf8Len cs + c.utf8Size) = p

⊢ utf8PrevAux (cs ++ c :: cs') { byteIdx := i } { byteIdx := p } = { byteIdx := i + utf8Len cs }
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : D

⊢ R.map (h.counit.app (L.obj (R.obj X))) ≫ R.map (h.counit.app X) = R.map (L.map (R.map (h.counit.app X))) ≫ R.map (h.counit.app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X✝ Y✝ : D
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ R.map (L.map (R.map f)) ≫ R.map (h.counit.app Y✝) = R.map (h.counit.app X✝) ≫ R.map f
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α

⊢ Disjoint xᶜ y ↔ y ≤ x
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁹ : Ring R✝
inst✝⁸ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R✝ M
m : Submodule R✝ M
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R✝ N
inst✝³ : IsSemisimpleModule R✝ M
R : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSemisimpleModule R M

⊢ (Module.annihilator R M).IsRadical
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁹ : Ring R✝
inst✝⁸ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R✝ M
m : Submodule R✝ M
N : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R✝ N
inst✝³ : IsSemisimpleModule R✝ M
R : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSemisimpleModule R M

⊢ (⨅ i, (↑i).annihilator).IsRadical
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasEqualizers C
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : f = 0
inst✝ : HasImage f

⊢ ι f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasEqualizers C
X Y : C
f : X ⟶ Y
h : f = 0
inst✝ : HasImage f

⊢ (eqToIso h).hom ≫ ι 0 = 0
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ

⊢ Function.Commute ⇑f fun x => ↑n + x
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f

⊢ UniformContinuous fun x => (f x)⁻¹
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : UniformGroup α
inst✝ : UniformSpace β
f : β → α
hf : UniformContinuous f
this : UniformContinuous fun x => 1 / f x

⊢ UniformContinuous fun x => (f x)⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integer.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S

⊢ ⇑(algebraMap R S) '' ↑(Finset.image (fun t => integerMultiple M s id t) s.attach) = commonDenomOfFinset M s • ↑s
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integer.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝² : CommSemiring P
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : DecidableEq R
s : Finset S

⊢ ⇑(algebraMap R S) '' ((fun t => integerMultiple M s id t) '' ↑s.attach) = commonDenomOfFinset M s • ↑s
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Y → Z
s : Set Y
h : s ⊆ e.target

⊢ ContinuousOn f s ↔ ContinuousOn (f ∘ ↑e) (e.source ∩ ↑e ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Y → Z
s : Set Y
h : s ⊆ e.target

⊢ (∀ x ∈ s, ContinuousWithinAt f s x) ↔ ∀ ⦃x : Y⦄, x ∈ s → ContinuousWithinAt (f ∘ ↑e) (↑e.symm '' s) (↑e.symm x)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Y → Z
s : Set Y
h : s ⊆ e.target
x : Y
hx : x ∈ s

⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (f ∘ ↑e) (↑e.symm '' s) (↑e.symm x)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
f : Y → Z
s : Set Y
h : s ⊆ e.target
x : Y
hx : x ∈ s

⊢ e.source ∈ 𝓝 (↑e.symm x)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
𝒜 : Finset (Finset α)

⊢ ∑ s : Finset α, ↑(𝒜ᶜˢ.truncatedInf s).card / (↑s.card * ↑((card α).choose s.card)) + ∑ s : Finset α, ↑(𝒜.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹ + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
𝒜✝ ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
𝒜 : Finset (Finset α)

⊢ ∑ x : Finset α, ↑(𝒜ᶜˢ.truncatedInf ({ toFun := compl, inj' := ⋯ } x)).card / (↑({ toFun := compl, inj' := ⋯ } x).card * ↑((card α).choose ({ toFun := compl, inj' := ⋯ } x).card)) + ∑ s ∈ map { toFun := compl, inj' := ⋯ } univ, ↑(𝒜.truncatedSup s).card / ((↑(card α) - ↑s.card) * ↑((card α).choose s.card)) = ↑(card α) * ∑ k ∈ range (card α), (↑k)⁻¹ + 1
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ f.preimage Set.univ ↔ x✝ ∈ f.Dom
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Ordinal.{max u v}
hc : ℵ₀ < c.cof
hc' : Cardinal.lift.{v, u} o.card < c.cof
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c, f i hi b < c
a : Ordinal.{max u v}

⊢ Cardinal.lift.{v, u} #(Quotient.out o).α < c.cof
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β

⊢ hausdorffEdist s (closure t) = hausdorffEdist s t
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : ι → E
hon : Orthonormal 𝕜 v
hsp : ⊤ ≤ span 𝕜 (range v)

⊢ ⇑(OrthonormalBasis.mk hon hsp) = v
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Field.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : CharZero α
m n d : ℕ
hn : d ∣ n
hm : d ∣ m

⊢ ↑(m / d) / ↑(n / d) = ↑m / ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Field.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : CharZero α
m n : ℕ
hn : 0 ∣ n
hm : 0 ∣ m

⊢ ↑(m / 0) / ↑(n / 0) = ↑m / ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Field.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : CharZero α
m n d : ℕ
hn : d ∣ n
hm : d ∣ m
hd : d ≠ 0

⊢ ↑(m / d) / ↑(n / d) = ↑m / ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Field.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionSemiring α
inst✝ : CharZero α
m n d : ℕ
hn : d ∣ n
hm : d ∣ m
hd : ↑d ≠ 0

⊢ ↑(m / d) / ↑(n / d) = ↑m / ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (n + 1 - 0) * (n + 1).descFactorial 0 = (n + 1) * n.descFactorial 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ (n + 1 - (k + 1)) * (n + 1).descFactorial (k + 1) = (n + 1) * n.descFactorial (k + 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸

⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y * d) (c' * d) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸

⊢ c' * d = c' * d + c x * 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2) / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
full_integral : ∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2)

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2) / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
full_integral : ∫ (x : ℝ), cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2)
this : MeasurableSet (Ioi 0)

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2) / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
full_integral : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume + ∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume = (↑π / b) ^ (1 / 2)
this : MeasurableSet (Ioi 0)

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) = (↑π / b) ^ (1 / 2) / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
full_integral : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume + ∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume = (↑π / b) ^ (1 / 2)
this : MeasurableSet (Ioi 0)

⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
full_integral : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume + ∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume = (↑π / b) ^ (1 / 2)
this✝ : MeasurableSet (Ioi 0)
this : ∀ (c : ℝ), ∫ (x : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * ↑x ^ 2) = ∫ (x : ℝ) in -c..0, cexp (-b * ↑x ^ 2)

⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
full_integral : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume + ∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume = (↑π / b) ^ (1 / 2)
this✝ : MeasurableSet (Ioi 0)
this : ∀ (c : ℝ), ∫ (x : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * ↑x ^ 2) = ∫ (x : ℝ) in -c..0, cexp (-b * ↑x ^ 2)
t1 : Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in 0 ..id i, cexp (-b * ↑x ^ 2)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume))

⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
full_integral : ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume + ∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume = (↑π / b) ^ (1 / 2)
this✝ : MeasurableSet (Ioi 0)
this : ∀ (c : ℝ), ∫ (x : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * ↑x ^ 2) = ∫ (x : ℝ) in -c..0, cexp (-b * ↑x ^ 2)
t1 : Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in 0 ..id i, cexp (-b * ↑x ^ 2)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) ∂volume))
t2 : Tendsto (fun c => ∫ (x : ℝ) in 0 ..c, cexp (-b * ↑x ^ 2)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2)))

⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic 0, cexp (-b * ↑x ^ 2) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, cexp (-b * ↑x ^ 2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
s t : Set α
ht : MeasurableSet t

⊢ ((sum μ).restrict s) t = (sum fun i => (μ i).restrict s) t
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℤ → M
hf : HasProd f m

⊢ HasProd (fun n => f ↑n * f (-↑n)) (m * f 0)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℤ → M
hf : HasProd f m
u : Finset ℤ

⊢ ∃ v, ∀ (v' : Finset ℕ), v ⊆ v' → ∃ u', u ⊆ u' ∧ (∏ x ∈ u', f x * if x = 0 then f 0 else 1) = ∏ b ∈ v', f ↑b * f (-↑b)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/SpecificDegree.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3

⊢ Irreducible p ↔ p.roots = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/SpecificDegree.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0

⊢ Irreducible p ↔ p.roots = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/SpecificDegree.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
hp1 : p ≠ 1

⊢ Irreducible p ↔ p.roots = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/SpecificDegree.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
hp1 : p ≠ 1

⊢ (∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Finset.Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p) ↔ p.roots = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/SpecificDegree.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
hp1 : p ≠ 1

⊢ (∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree = 1 → ¬q ∣ p) ↔ ∀ (a : R), ¬X - C a ∣ p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/SpecificDegree.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
hp1 : p ≠ 1
h : ∀ (a : R), ¬X - C a ∣ p
q : R[X]
hq : q.Monic
hq1 : q.natDegree = 1

⊢ ¬q ∣ p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/SpecificDegree.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hp : p.Monic
hp2 : 2 ≤ p.natDegree
hp3 : p.natDegree ≤ 3
hp0 : p ≠ 0
hp1 : p ≠ 1
h : ∀ (a : R), ¬X - C a ∣ p
q : R[X]
hq : q.Monic
hq1 : q.natDegree = 1

⊢ ¬X - C (-q.coeff 0) ∣ p
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : Cone F
t : IsLimit c
x : ↑F.sections
j : J

⊢ c.π.app j ((isLimitEquivSections t).symm x) = ↑x j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : Cone F
t : IsLimit c
x : ↑F.sections
j : J

⊢ c.π.app j ((isLimitEquivSections t).symm x) = ↑((isLimitEquivSections t).toFun ((isLimitEquivSections t).invFun x)) j
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
a✝ b✝ : R
a b : Rˣ

⊢ a ^ 2 = b ^ 2 ↔ a = b ∨ a = -b
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
p : ZFSet → ZFSet → Prop
x y z : ZFSet

⊢ z ∈ pairSep p x y ↔ ∃ a ∈ x, ∃ b ∈ y, z = a.pair b ∧ p a b
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
p : ZFSet → ZFSet → Prop
x y z : ZFSet
e : ∃ a ∈ x, ∃ b ∈ y, z = a.pair b ∧ p a b

⊢ z ∈ (x ∪ y).powerset.powerset
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
p : ZFSet → ZFSet → Prop
x y a : ZFSet
ax : a ∈ x
b : ZFSet
bY : b ∈ y
pab : p a b

⊢ a.pair b ∈ (x ∪ y).powerset.powerset
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
p : ZFSet → ZFSet → Prop
x y a : ZFSet
ax : a ∈ x
b : ZFSet
bY : b ∈ y
pab : p a b

⊢ ∀ ⦃z : ZFSet⦄, z = {a} ∨ z = {a, b} → ∀ ⦃z_1 : ZFSet⦄, z_1 ∈ z → z_1 ∈ x ∨ z_1 ∈ y
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
p : ZFSet → ZFSet → Prop
x y a : ZFSet
ax : a ∈ x
b : ZFSet
bY : b ∈ y
pab : p a b
v : ZFSet

⊢ v = a → v ∈ x ∨ v ∈ y
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
p : ZFSet → ZFSet → Prop
x y a : ZFSet
ax : a ∈ x
b : ZFSet
bY : b ∈ y
pab : p a b
v : ZFSet

⊢ v = a ∨ v = b → v ∈ x ∨ v ∈ y
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
z τ : ℂ

⊢ jacobiTheta₂'' (z + 1) τ = jacobiTheta₂'' z τ
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
z τ : ℂ

⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (jacobiTheta₂' (z * τ) τ - 2 * ↑π * I * jacobiTheta₂ (z * τ) τ) / (2 * ↑π * I) + (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * jacobiTheta₂ (z * τ) τ) + cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * jacobiTheta₂ (z * τ) τ)) = cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (jacobiTheta₂' (z * τ) τ / (2 * ↑π * I) + z * jacobiTheta₂ (z * τ) τ)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
z τ J J' : ℂ

⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (J' - 2 * ↑π * I * J) / (2 * ↑π * I) + (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) + cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J)) = cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (J' / (2 * ↑π * I) + z * J)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
z τ J J' : ℂ

⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (J' - 2 * ↑π * I * J) + (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) + cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) * (2 * ↑π * I)) / (2 * ↑π * I) = cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (J' + z * J * (2 * ↑π * I)) / (2 * ↑π * I)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
z τ J J' : ℂ

⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ) * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (J' - 2 * ↑π * I * J) + (z * (cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) + cexp (-↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * J) * (2 * ↑π * I)) = cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (J' + z * J * (2 * ↑π * I))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
z τ J J' : ℂ

⊢ cexp (↑π * I * (z + 1) ^ 2 * τ + -↑π * I * (τ + 2 * (z * τ))) * (J' - 2 * ↑π * I * J + (z * J + J) * (2 * ↑π * I)) = cexp (↑π * I * z ^ 2 * τ) * (J' + z * J * (2 * ↑π * I))
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α (n + 1)

⊢ v.reverse.head = v.last
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α (n + 1)

⊢ v.reverse.toList.get (Fin.cast ⋯ 0) = v.toList.get (Fin.cast ⋯ (Fin.last n))
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α (n + 1)

⊢ v.toList.reverse.get (Fin.cast ⋯ 0) = v.toList.get (Fin.cast ⋯ (Fin.last n))
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α (n + 1)

⊢ v.toList[v.toList.length - 1 - ↑⟨↑0, ⋯⟩]? = v.toList[↑⟨↑(Fin.last n), ⋯⟩]?
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
v : Vector α (n + 1)

⊢ ↑⟨↑0, ⋯⟩ < v.toList.length
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
b : α i

⊢ update f i '' Icc (f i) b = Icc f (update f i b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
s t : Interval α
a : α

⊢ (s - t).length ≤ s.length + t.length
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N✝ : Matroid β
X I : Set α
M N : Matroid α
hN : N.E = M.E
h : M.restrictSubtype M.E = N.restrictSubtype M.E

⊢ M = N
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝¹ s : Set α
M✝ : Matroid α
N✝ : Matroid β
X I✝ : Set α
M N : Matroid α
hN : N.E = M.E
h : M.restrictSubtype M.E = N.restrictSubtype M.E
I : Set α
hI : I ⊆ M.E

⊢ M.Indep I ↔ N.Indep I
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E

⊢ finrank F ↥K = 1 ↔ K = ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α

⊢ t ∈ ae (μ.restrict s) ↔ t ∈ ae μ ⊓ 𝓟 s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α

⊢ μ (tᶜ ∩ s) = 0 ↔ μ {a | a ∉ t ∧ a ∈ s} = 0
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/DirichletLSeries.lean
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ HasProd (fun p => (1 - ↑↑p ^ (-s))⁻¹) (riemannZeta s)
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/DirichletLSeries.lean
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ HasProd (fun p => (1 - ↑↑p ^ (-s))⁻¹) (∑' (n : ℕ), (riemannZetaSummandHom ⋯) n)
-- Mathlib/CategoryTheory/SmallObject/Iteration.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.11479, u_1} C
Φ : C ⥤ C
ε : 𝟭 C ⟶ Φ
J : Type u
inst✝² : LinearOrder J
inst✝¹ : IsWellOrder J fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderBot J
j : J
F : { i // i ≤ j } ⥤ C
i : J
hi : i ≤ j
x✝² x✝¹ : { k // k < i }
k₁ : J
hk₁ : k₁ < i
k₂ : J
hk₂ : k₂ < i
x✝ : ⟨k₁, hk₁⟩ ⟶ ⟨k₂, hk₂⟩

⊢ (restrictionLT F hi).map x✝ ≫ (fun x => match x with | ⟨k, hk⟩ => F.map (homOfLE ⋯)) ⟨k₂, hk₂⟩ = (fun x => match x with | ⟨k, hk⟩ => F.map (homOfLE ⋯)) ⟨k₁, hk₁⟩ ≫ ((const { k // k < i }).obj (F.obj ⟨i, hi⟩)).map x✝
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/SemiNormedGrp/Kernels.lean
X Y : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
x : ↑X

⊢ (f ≫ explicitCokernelπ f) x = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/SemiNormedGrp/Kernels.lean
X Y : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
x : ↑X

⊢ 0 x = 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : DecidableEq (K →+* ℂ)
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
a : Matrix α β (𝓞 K)
ha : a ≠ 0
p q : ℕ
cardα : Fintype.card α = p
cardβ : Fintype.card β = q
h0p : 0 < p
hpq : p < q
x : β × (K →+* ℂ) → ℤ
hxl : x ≠ 0
hmulvec0 : NumberField.house.asiegel K a *ᵥ x = 0
hxbound : ‖x‖ ≤ (↑q * ↑(finrank ℚ K) * ‖NumberField.house.asiegel K a‖) ^ (↑p / (↑q - ↑p))
l : β
k : α
r : K →+* ℂ

⊢ a k l * (NumberField.house.newBasis K) r = ∑ u : K →+* ℂ, ↑(NumberField.house.a' K a k l r u) * (NumberField.house.newBasis K) u
-- Mathlib/Data/Nat/PrimeFin.lean
a b k m n p : ℕ
hp : Prime p

⊢ p.primeFactors = {p}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/IsometricSMul.lean
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ≥0∞

⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' closedBall b r = closedBall (b / a) r