ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/NaturalTransformation/Oplax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
g : a ⟶ b
h : b ⟶ c

⊢ f ◁ θ.naturality (g ≫ h) ≫ f ◁ θ.app a ◁ H.mapComp g h = f ◁ G.mapComp g h ▷ θ.app c ≫ f ◁ (α_ (G.map g) (G.map h) (θ.app c)).hom ≫ f ◁ G.map g ◁ θ.naturality h ≫ f ◁ (α_ (G.map g) (θ.app b) (H.map h)).inv ≫ f ◁ θ.naturality g ▷ H.map h ≫ f ◁ (α_ (θ.app a) (H.map g) (H.map h)).hom
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V

⊢ Module.rank K V ≤ 1 ↔ ⊤.IsPrincipal
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V
this : Free K ↥⊤

⊢ Module.rank K V ≤ 1 ↔ ⊤.IsPrincipal
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : M →* N

⊢ mrange (f.restrict S) = map f S
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
a : R

⊢ (if a = 0 then ⊥ else sum 0 fun x e => e) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p p' : Submodule R M

⊢ map f p ≤ map f p' ↔ p ≤ p' ⊔ ker f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ ‖setToFun μ T hT ↑↑f‖ ≤ max C 0 * ‖f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ ‖(L1.setToL1 hT) f‖ ≤ max C 0 * ‖f‖
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
as : Multiset α
bs₀ bs₁ : Multiset β

⊢ Rel r as (bs₀ + bs₁) ↔ ∃ as₀ as₁, Rel r as₀ bs₀ ∧ Rel r as₁ bs₁ ∧ as = as₀ + as₁
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
as : Multiset α
bs₀ bs₁ : Multiset β

⊢ (∃ bs₀_1 bs₁_1, Rel (flip r) bs₀ bs₀_1 ∧ Rel (flip r) bs₁ bs₁_1 ∧ as = bs₀_1 + bs₁_1) ↔ ∃ as₀ as₁, Rel r as₀ bs₀ ∧ Rel r as₁ bs₁ ∧ as = as₀ + as₁
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
a b : ℝ≥0
hp_pos : 0 < p
hpq : p ≤ q

⊢ (a ^ q + b ^ q) ^ (1 / q) ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
a b : ℝ≥0
hp_pos : 0 < p
hpq : p ≤ q
h_rpow : ∀ (a : ℝ≥0), a ^ q = (a ^ p) ^ (q / p)

⊢ (a ^ q + b ^ q) ^ (1 / q) ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
a b : ℝ≥0
hp_pos : 0 < p
hpq : p ≤ q
h_rpow : ∀ (a : ℝ≥0), a ^ q = (a ^ p) ^ (q / p)
h_rpow_add_rpow_le_add : ((a ^ p) ^ (q / p) + (b ^ p) ^ (q / p)) ^ (1 / (q / p)) ≤ a ^ p + b ^ p

⊢ (a ^ q + b ^ q) ^ (1 / q) ≤ (a ^ p + b ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p q : ℝ
a b : ℝ≥0
hp_pos : 0 < p
hpq : p ≤ q
h_rpow : ∀ (a : ℝ≥0), a ^ q = (a ^ p) ^ (q / p)
h_rpow_add_rpow_le_add : ((a ^ p) ^ (q / p) + (b ^ p) ^ (q / p)) ^ (1 / (q / p)) ≤ a ^ p + b ^ p

⊢ ((a ^ p) ^ (q / p) + (b ^ p) ^ (q / p)) ^ (p / q) ≤ a ^ p + b ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℚ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z1‖
hne : ¬‖z1‖ = ‖z2‖

⊢ ‖z1 + z2‖ ≥ ‖z1‖
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z1 z2 : ℚ_[p]
h : ‖z1 + z2‖ < ‖z1‖
hne : ¬‖z1‖ = ‖z2‖

⊢ max ‖z1‖ ‖z2‖ ≥ ‖z1‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
t : Set 𝕜
s : Set F
x : 𝕜

⊢ derivWithin f t x ∈ s ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x ∧ derivWithin f t x ∈ s ∨ ¬DifferentiableWithinAt 𝕜 f t x ∧ 0 ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f✝ g✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : MetrizableSpace E
f g : α → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
this✝¹ : MeasurableSpace (E × E) := borel (E × E)
this✝ : BorelSpace (E × E)

⊢ MeasurableSet {x | f x = g x}
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : RatFunc K

⊢ (Polynomial.idealX K).valuation P = (PowerSeries.idealX K).valuation ↑P
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : RatFunc K

⊢ ∀ (p q : K[X]), q ≠ 0 → (Polynomial.idealX K).valuation (RatFunc.mk p q) = (PowerSeries.idealX K).valuation ↑(RatFunc.mk p q)
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : RatFunc K
f g : K[X]
h : g ≠ 0

⊢ (Polynomial.idealX K).valuation (RatFunc.mk f g) = (PowerSeries.idealX K).valuation ↑(RatFunc.mk f g)
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : RatFunc K
f g : K[X]
h : g ≠ 0

⊢ (PowerSeries.idealX K).valuation ↑(IsLocalization.mk' (RatFunc K) f ⟨g, ⋯⟩) = (Polynomial.idealX K).intValuation f / (Polynomial.idealX K).intValuation g
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : RatFunc K
f g : K[X]
h : g ≠ 0

⊢ ↑(IsLocalization.mk' (RatFunc K) f ⟨g, ⋯⟩) = IsLocalization.mk' (LaurentSeries K) ↑f ⟨↑g, ⋯⟩
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : RatFunc K
f g : K[X]
h : g ≠ 0

⊢ (Polynomial.idealX K).intValuation f = (PowerSeries.idealX K).intValuation ↑f
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
P : RatFunc K
f g : K[X]
h : g ≠ 0

⊢ (Polynomial.idealX K).intValuation g = (PowerSeries.idealX K).intValuation ↑⟨↑g, ⋯⟩
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
x✝¹ : f.SameCycle x y
x✝ : f.SameCycle y z
i : ℤ
hi : (f ^ i) x = y
j : ℤ
hj : (f ^ j) y = z

⊢ (f ^ (j + i)) x = z
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
l : List α
f : ℕ → α → β
i : ℕ
h : i < l.length
h' : optParam (i < (mapIdx f l).length) ⋯

⊢ (mapIdx f l).nthLe i h' = f i (l.nthLe i h)
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
f : 𝓢(D, V)
k : ℕ

⊢ Integrable (fun x => ‖x‖ ^ k * ‖f x‖) μ
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ V
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝² : MeasurableSpace D
inst✝¹ : BorelSpace D
inst✝ : SecondCountableTopology D
μ : Measure D
hμ : μ.HasTemperateGrowth
f : 𝓢(D, V)
k : ℕ
x : D

⊢ ‖f x‖ = ‖iteratedFDeriv ℝ 0 (⇑f) x‖
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y : ℂ
x : ℝ

⊢ (sin ↑x).im = 0
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf α
a : α
f : α → β
l : Filter β

⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atBot l ↔ Tendsto f atBot l
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
e : α ≃ᵐ β

⊢ Measure.map (⇑e) (Measure.map (⇑e.symm) ν) = ν
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles

⊢ IsZero T.obj₁ ↔ T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₃ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles

⊢ T.invRotate.mor₁ = 0 ∧ T.invRotate.mor₂ = 0 ↔ T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₃ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles

⊢ -(CategoryTheory.shiftFunctor C (-1)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app T.obj₁ = 0 ∧ T.mor₁ = 0 ↔ T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₃ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles

⊢ T.mor₃ = 0 ∧ T.mor₁ = 0 ↔ T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₃ = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
f : G →g G'
p : G.Walk u v

⊢ (Walk.map f p).toSubgraph = Subgraph.map f p.toSubgraph
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≠ 1

⊢ log x < x - 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx1 : 0 < x
hx2 : x ≠ 1
h : log x ≠ 0

⊢ log x < x - 1
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t : Set α
p : Set β → Prop

⊢ (∃ t ⊆ f '' s, p t) ↔ ∃ t ⊆ s, p (f '' t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/TriangleShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
n : ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₁) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₂ = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₁ ≫ (n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map Y✝.mor₁)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/TriangleShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
n : ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₂) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₃ = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₂ ≫ (n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map Y✝.mor₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/TriangleShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
n : ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app X✝.obj₁) ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₁) = (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₃ ≫ (n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map Y✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app Y✝.obj₁)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/TriangleShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
n : ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app X✝.obj₁ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₁) = n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map f.hom₁) ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app Y✝.obj₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/TriangleShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasShift C ℤ
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
n : ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app X✝.obj₁ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map ((CategoryTheory.shiftFunctor C n).map f.hom₁) = n.negOnePow • (CategoryTheory.shiftFunctor C n).map X✝.mor₃ ≫ (shiftFunctorComm C 1 n).hom.app X✝.obj₁ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C n ⋙ CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map f.hom₁
-- Mathlib/Probability/Process/PartitionFiltration.lean
α : Type u_1
m✝ : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
n : ℕ
m : MeasurableSpace ↑(memPartition t n)

⊢ Measurable fun a => ⟨memPartitionSet t n a, ⋯⟩
-- Mathlib/Probability/Process/PartitionFiltration.lean
α : Type u_1
m✝ : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
n : ℕ
m : MeasurableSpace ↑(memPartition t n)
s : ↑(memPartition t n)

⊢ MeasurableSet ((fun a => ⟨memPartitionSet t n a, ⋯⟩) ⁻¹' {s})
-- Mathlib/Probability/Process/PartitionFiltration.lean
α : Type u_1
m✝ : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
n : ℕ
m : MeasurableSpace ↑(memPartition t n)
s : Set α
hs : s ∈ memPartition t n

⊢ MeasurableSet {x | memPartitionSet t n x = s}
-- Mathlib/Probability/Process/PartitionFiltration.lean
α : Type u_1
m✝ : MeasurableSpace α
t : ℕ → Set α
ht : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (t n)
n : ℕ
m : MeasurableSpace ↑(memPartition t n)
s : Set α
hs : s ∈ memPartition t n

⊢ MeasurableSet {x | x ∈ s}
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq β
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : F
s t : Finset α
a b : α

⊢ 1 ∈ s / t ↔ ¬Disjoint s t
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S S' : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} B
f g : CostructuredArrow S T
h : f.IsUniversal
c : C
η η' : c ⟶ f.left
w : S.map η ≫ f.hom = S.map η' ≫ f.hom

⊢ η = η'
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors

⊢ (X ^ d - 1) * cyclotomic n R ∣ X ^ n - 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hdn : d < n

⊢ (X ^ d - 1) * cyclotomic n R ∣ X ^ n - 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hdn : d < n

⊢ X ^ n - 1 = (X ^ d - 1) * cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors \ d.divisors, cyclotomic x R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hdn : d < n

⊢ (X ^ d - 1) * cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors \ d.divisors, cyclotomic x R = X ^ n - 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hdn : d < n

⊢ (X ^ d - 1) * cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors \ d.divisors, cyclotomic x R = (X ^ d - 1) * ∏ x ∈ n.divisors \ d.divisors, cyclotomic x R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hdn : d < n

⊢ (X ^ d - 1) * (cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors \ d.divisors, cyclotomic x R) = (X ^ d - 1) * ∏ x ∈ n.divisors \ d.divisors, cyclotomic x R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hdn : d < n

⊢ cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors \ d.divisors, cyclotomic x R = ∏ x ∈ n.divisors \ d.divisors, cyclotomic x R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hdn : d < n

⊢ n ∉ n.properDivisors \ d.divisors
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
d n : ℕ
h : d ∈ n.properDivisors
hdn : d < n

⊢ n ∉ d.divisors
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
i : Ordinal.{u}
hi : i < a.cof.ord

⊢ a.cof.ord ≤ o
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f

⊢ a.IsFundamentalSequence a.cof.ord fun i hi => f i ⋯
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f
H : a.cof.ord = o

⊢ a.IsFundamentalSequence a.cof.ord fun i hi => f i ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
d : D
X✝ Y✝ : (StructuredArrow (op d) F.op)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ F.map f.unop.right.unop ≫ (unop Y✝).hom.unop = (unop X✝).hom.unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
d : D
X✝ Y✝ : (StructuredArrow (op d) F.op)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (𝟙 (op d) ≫ (unop X✝).hom).unop = (unop X✝).hom.unop
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : a ≤ b

⊢ Metric.diam (Ioo a b) = b - a
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
p : E := orthogonalProjectionFn K v

⊢ ‖v‖ * ‖v‖ = ‖v - p‖ * ‖v - p‖ + ‖p‖ * ‖p‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
p : E := orthogonalProjectionFn K v
h' : ⟪v - p, p⟫_𝕜 = 0

⊢ ‖v‖ * ‖v‖ = ‖v - p‖ * ‖v - p‖ + ‖p‖ * ‖p‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
a b : E

⊢ Metric.ball a ε - Metric.ball b δ = Metric.ball (a - b) (ε + δ)
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalStopping.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (τ π : Ω → ℕ), IsStoppingTime 𝒢 τ → IsStoppingTime 𝒢 π → τ ≤ π → (∃ N, ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N) → ∫ (x : Ω), stoppedValue f τ x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), stoppedValue f π x ∂μ

⊢ Submartingale f 𝒢 μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalStopping.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝒢 : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (τ π : Ω → ℕ), IsStoppingTime 𝒢 τ → IsStoppingTime 𝒢 π → τ ≤ π → (∃ N, ∀ (ω : Ω), π ω ≤ N) → ∫ (x : Ω), stoppedValue f τ x ∂μ ≤ ∫ (x : Ω), stoppedValue f π x ∂μ
i j : ℕ
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
-- Mathlib/Order/Directed.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
a : α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : IsDirected β fun x x_1 => x ≥ x_1
inst✝ : Nontrivial β

⊢ ∃ a b, a < b
-- Mathlib/Order/Directed.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
a✝ : α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : IsDirected β fun x x_1 => x ≥ x_1
inst✝ : Nontrivial β
a b : β
hne : a ≠ b

⊢ ∃ a b, a < b
-- Mathlib/Order/Directed.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
a✝ : α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : IsDirected β fun x x_1 => x ≥ x_1
inst✝ : Nontrivial β
a b : β
hne : a ≠ b
ha : IsBot a

⊢ ∃ a b, a < b
-- Mathlib/Order/Directed.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s : α → α → Prop
inst✝³ : Preorder α
a✝ : α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : IsDirected β fun x x_1 => x ≥ x_1
inst✝ : Nontrivial β
a b : β
hne : a ≠ b
c : β
hc : c < a

⊢ ∃ a b, a < b
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
x : S₁

⊢ (optionEquivRight R S₁) (X (Option.some x)) = X x
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
a : M₀
m n✝ n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0

⊢ 0 ^ (n + 1) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Finite/Matrix.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type w
inst✝¹⁴ : Ring R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module.Free R M
inst✝⁹ : Module.Finite R M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : SMulCommClass R S N
inst✝⁴ : StrongRankCondition R
inst✝³ : StrongRankCondition S
inst✝² : Module.Free S N
inst✝¹ : Module R S
inst✝ : SMulCommClass R S S

⊢ finrank S (M →ₗ[R] S) = finrank R M
-- Mathlib/Topology/IsLocalHomeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
cont : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
x : X
hx : x ∈ s
g : PartialHomeomorph Y Z
hxg : f x ∈ g.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (↑g ∘ f) s
hg : IsLocalHomeomorphOn (↑g) (f '' s)
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : ↑g ∘ f = ↑gf

⊢ ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source