ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Coherence.lean
B : Type u
inst✝ : Quiver B
a b c : B
f g : Hom b c
η' : Hom₂ f g

⊢ (fun p => normalizeAux p f) = fun p => normalizeAux p g
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h : S.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData

⊢ leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ = leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ h.left ≫ h.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) h.right h₂
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z✝ : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ
hy : y ∈ {y | 0 ≤ y}
z : ℝ
hz : z ∈ {y | 0 ≤ y}
hyz : y ^ x = z ^ x

⊢ y = z
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
a b : Cauchy abs

⊢ (Real.mul { cauchy := a } { cauchy := b }).cauchy = { cauchy := a }.cauchy * { cauchy := b }.cauchy
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
a b : α
h : s ∈ 𝓝 b

⊢ s * {a} ∈ 𝓝 (b * a)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
a b : α
h : s ∈ 𝓝 b

⊢ op a • s ∈ 𝓝 (b * a)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
Δ : SimplexCategory
f : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)

⊢ ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (𝟙 Δ)) f = (𝟙 ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)) f
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
Δ : SimplexCategory
f : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)

⊢ ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (𝟙 Δ)) f) = ↑((𝟙 ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)) f)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
Δ : SimplexCategory
f : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)
i : (forget SimplexCategory).obj Δ

⊢ ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (𝟙 Δ)) f) i = ↑((𝟙 ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)) f) i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
Δ : SimplexCategory
f : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)
i : (forget SimplexCategory).obj Δ

⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => x = i) Finset.univ, ↑f j = ↑((𝟙 ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj Δ)) f) i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)

⊢ ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (f ≫ g)) h = ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map g) h
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)

⊢ ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (f ≫ g)) h) = ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map g) h)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
i : (forget SimplexCategory).obj Z✝

⊢ ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map (f ≫ g)) h) i = ↑(({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.map g) h) i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
i : (forget SimplexCategory).obj Z✝

⊢ ∑ j ∈ Finset.filter (fun x => (f ≫ g) x = i) Finset.univ, ↑h j = ↑(({ toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := toTopMap g, continuous_toFun := ⋯ }) h) i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
i : (forget SimplexCategory).obj Z✝

⊢ ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => g (f x) = i) Finset.univ, ↑h x = ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => g x = i) Finset.univ, ∑ x ∈ Finset.filter (fun x_1 => f x_1 = x) Finset.univ, ↑h x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
i : (forget SimplexCategory).obj Z✝

⊢ ∑ x ∈ Finset.filter (fun x => g (f x) = i) Finset.univ, ↑h x = ∑ x ∈ (Finset.filter (fun x => g x = i) Finset.univ).biUnion fun x => Finset.filter (fun x_1 => f x_1 = x) Finset.univ, ↑h x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
X✝ Y✝ Z✝ : SimplexCategory
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
h : (forget TopCat).obj ({ obj := fun x => TopCat.of ↑x.toTopObj, map := fun {X Y} f => { toFun := toTopMap f, continuous_toFun := ⋯ } }.obj X✝)
i : (forget SimplexCategory).obj Z✝

⊢ (↑(Finset.filter (fun x => g x = i) Finset.univ)).PairwiseDisjoint fun x => Finset.filter (fun x_1 => f x_1 = x) Finset.univ
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ IsClosed s ↔ ∀ (x : X) (F : Filter X), F.NeBot → F ≤ 𝓟 s → F ≤ 𝓝 x → x ∈ s
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ (∀ (a : X), ClusterPt a (𝓟 s) → a ∈ s) ↔ ∀ (x : X) (F : Filter X), F.NeBot → F ≤ 𝓟 s → F ≤ 𝓝 x → x ∈ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
φ ψ : W.RightFraction X Y

⊢ φ.map L ⋯ = ψ.map L ⋯ ↔ RightFractionRel φ ψ
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasRightCalculusOfFractions
X Y : C
φ ψ : W.RightFraction X Y

⊢ φ.map L ⋯ = ψ.map L ⋯ ↔ (φ.map L ⋯).op = (ψ.map L ⋯).op
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℚ
f : ℚ → ℤ × ℕ := fun q => (q.num, q.den)
s : Set ℚ := {q | |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2}

⊢ s.Finite
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℚ
f : ℚ → ℤ × ℕ := fun q => (q.num, q.den)
s : Set ℚ := {q | |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2}
hinj : Function.Injective f

⊢ s.Finite
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℚ
f : ℚ → ℤ × ℕ := fun q => (q.num, q.den)
s : Set ℚ := {q | |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2}
hinj : Function.Injective f
H : f '' s ⊆ ⋃ y ∈ Ioc 0 ξ.den, Icc (⌈ξ * ↑y⌉ - 1) (⌊ξ * ↑y⌋ + 1) ×ˢ {y}

⊢ s.Finite
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℚ
f : ℚ → ℤ × ℕ := fun q => (q.num, q.den)
s : Set ℚ := {q | |ξ - q| < 1 / ↑q.den ^ 2}
hinj : Function.Injective f
H : f '' s ⊆ ⋃ y ∈ Ioc 0 ξ.den, Icc (⌈ξ * ↑y⌉ - 1) (⌊ξ * ↑y⌋ + 1) ×ˢ {y}

⊢ (⋃ y ∈ Ioc 0 ξ.den, Icc (⌈ξ * ↑y⌉ - 1) (⌊ξ * ↑y⌋ + 1) ×ˢ {y}).Finite
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : S
n : ℕ
x : R

⊢ eval₂ C X ((monomial n) x) = (monomial n) x
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]

⊢ ‖↑z‖ = ‖z‖
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
this : Field (R ⧸ I) := Quotient.field I

⊢ ⊥.IsMaximal
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n✝ : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ∞
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s ↔ (∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContinuousOn (iteratedDerivWithin m f s) s) ∧ ∀ (m : ℕ), ↑m < n → DifferentiableOn 𝕜 (iteratedDerivWithin m f s) s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : WithLp 2 (α × β)

⊢ ‖x‖ = √(‖x.1‖ ^ 2 + ‖x.2‖ ^ 2)
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f g : Filter α
s : Set α

⊢ IsCobounded r (𝓟 s) ↔ ∃ b, ∀ (a : α), (∀ x ∈ s, r x a) → r b a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : s ∈ 𝓝 0

⊢ ContinuousAt (gauge s) 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
hs : s ∈ 𝓝 0

⊢ Tendsto (gauge s) (𝓝 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F

⊢ (sesqFormOfInner (↑A x)) y = (sesqFormOfInner x) (↑(adjoint A) y)
-- Mathlib/Topology/Sets/Opens.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
Us : Set (Opens α)
x : α

⊢ x ∈ sSup Us ↔ ∃ u ∈ Us, x ∈ u
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ZMod N

⊢ ↑(toCircle j) = cexp (2 * ↑π * I * ↑j.val / ↑N)
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
z : N

⊢ f.mk' x y = z ↔ f.toMap x = z * f.toMap ↑y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
hc : p.IsTrail
h : u ∈ p.support

⊢ (?m.20281.append (p.dropUntil u h)).IsTrail
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a✝ : α

⊢ a✝ ∈ filter p s ∩ t ↔ a✝ ∈ filter p (s ∩ t)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
hp : 1 ≤ 1

⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ 1) ^ (1 / 1) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ 1) ^ (1 / 1) + (∑ i ∈ s, g i ^ 1) ^ (1 / 1)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p

⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent

⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
this : IsGreatest ((fun g_1 => ∑ i ∈ s, (f + g) i * g_1 i) '' {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}) ((∑ i ∈ s, (f + g) i ^ p) ^ (1 / p))

⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
this : IsGreatest ((fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) '' {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}) ((∑ x ∈ s, (f x + g x) ^ p) ^ (1 / p))

⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
this : IsGreatest ((fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) '' {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}) ((∑ x ∈ s, (f x + g x) ^ p) ^ (1 / p))
φ : ι → ℝ≥0
hφ : φ ∈ {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}
H : (fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) φ = (∑ x ∈ s, (f x + g x) ^ p) ^ (1 / p)

⊢ (∑ i ∈ s, (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p
hpq : p.IsConjExponent p.conjExponent
this : IsGreatest ((fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) '' {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}) ((∑ x ∈ s, (f x + g x) ^ p) ^ (1 / p))
φ : ι → ℝ≥0
hφ : φ ∈ {g | ∑ i ∈ s, g i ^ p.conjExponent ≤ 1}
H : (fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) φ = (∑ x ∈ s, (f x + g x) ^ p) ^ (1 / p)

⊢ (fun a => ∑ x ∈ s, f x * a x + ∑ x ∈ s, g x * a x) φ ≤ (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑ i ∈ s, g i ^ p) ^ (1 / p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m✝ m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)

⊢ (OuterMeasure.pi m) (univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (m i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m✝ m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h : univ.pi s = ∅

⊢ (OuterMeasure.pi m) (univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (m i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m✝ m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h : (univ.pi s).Nonempty

⊢ (OuterMeasure.pi m) (univ.pi s) ≤ ∏ i : ι, (m i) (s i)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DecidableEq M
φ : MvPolynomial σ R
i : M
hi : i ∉ Finset.image (⇑(weight w)) φ.support

⊢ (weightedHomogeneousComponent w i) φ = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DecidableEq M
φ : MvPolynomial σ R
i : M
hi : i ∉ Finset.image (⇑(weight w)) φ.support

⊢ ∀ d ∈ φ.support, (weight w) d ≠ i
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
σ : Type u_3
w : σ → M
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : DecidableEq M
φ : MvPolynomial σ R
i : M
hi : ∀ (x : σ →₀ ℕ), ¬coeff x φ = 0 → ¬(weight w) x = i

⊢ ∀ d ∈ φ.support, (weight w) d ≠ i
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
x y : X
hm : IsMaximal x (x ⊔ y)

⊢ Iso (x, x ⊔ y) (x ⊓ y, y)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Defs.lean
α✝ α : Type u
inst✝ : OrderedCommGroup α
a b c : α
bc : a * b ≤ a * c

⊢ b ≤ c
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
g : R[X]
inst✝ : Field K
f : K[X]
hf : f.Monic
hf' : optParam (f ≠ 0) ⋯

⊢ minpoly K (powerBasis hf').gen = f
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'

⊢ ker (map g g') = range (lTensor N f') ⊔ range (rTensor N' f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'

⊢ ker (lTensor P g' ∘ₗ rTensor N' g) = range (lTensor N f') ⊔ range (rTensor N' f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'

⊢ Submodule.comap (rTensor N' g) (ker (lTensor P g')) = range (lTensor N f') ⊔ range (rTensor N' f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'

⊢ Submodule.comap (rTensor N' g) (ker (lTensor P g')) = range (lTensor N f') ⊔ ker (rTensor N' g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'

⊢ Submodule.comap (rTensor N' g) (ker (lTensor P g')) = Submodule.comap (rTensor N' g) (Submodule.map (rTensor N' g) (range (lTensor N f')))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'

⊢ ker (lTensor P g') = Submodule.map (rTensor N' g) (range (lTensor N f'))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'

⊢ ker (lTensor P g') = range (map g f')
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'

⊢ ker (lTensor P g') = Submodule.map (lTensor P f') (range (rTensor M' g))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R M
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : AddCommGroup P'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R N'
inst✝ : Module R P'
f' : M' →ₗ[R] N'
g' : N' →ₗ[R] P'
hfg' : Exact ⇑f' ⇑g'
hg' : Surjective ⇑g'

⊢ ker (lTensor P g') = range (lTensor P f')
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length

⊢ modifyNth f n l = l.set n (f (l.get ⟨n, h⟩))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length

⊢ ((fun a => l.set n (f a)) <$> some (l.get ⟨n, h⟩)).getD l = l.set n (f (l.get ⟨n, h⟩))