ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ' : Kernel α (γ × β)
hκκ' : κ ≤ κ'
hκ'ν : κ'.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0

⊢ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ' : Kernel α (γ × β)
hκκ' : κ ≤ κ'
hκ'ν : κ'.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h_le : (κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)

⊢ ((κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal ≤ ((κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ' : Kernel α (γ × β)
hκκ' : κ ≤ κ'
hκ'ν : κ'.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h_le : (κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)

⊢ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≤ (κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ' : Kernel α (γ × β)
hκκ' : κ ≤ κ'
hκ'ν : κ'.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h_le : (κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)

⊢ (κ a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ' : Kernel α (γ × β)
hκκ' : κ ≤ κ'
hκ'ν : κ'.fst ≤ ν
n : ℕ
a : α
x : γ
s : Set β
h0 : ¬(ν a) (countablePartitionSet n x) = 0
h_le : (κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) ≤ (ν a) (countablePartitionSet n x)

⊢ (κ' a) (countablePartitionSet n x ×ˢ s) / (ν a) (countablePartitionSet n x) ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
x : ℂ

⊢ sin x = 1 ↔ ∃ k, ↑π / 2 + ↑k * (2 * ↑π) = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
x : ℂ

⊢ (∃ k, ↑k * (2 * ↑π) = x - ↑π / 2) ↔ ∃ k, ↑π / 2 + ↑k * (2 * ↑π) = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
a : ℂ
r : ℝ
ha : 0 < a.re
hr : 0 < r

⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (a - 1) * cexp (-(↑r * ↑t)) = (1 / ↑r) ^ a * Gamma a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
a : ℂ
r : ℝ
ha : 0 < a.re
hr : 0 < r
aux : (1 / ↑r) ^ a = 1 / ↑r * (1 / ↑r) ^ (a - 1)

⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, ↑t ^ (a - 1) * cexp (-(↑r * ↑t)) = (1 / ↑r) ^ a * Gamma a
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
h : 1 * n = n

⊢ repeat 1 a = a ∘ cast h
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
h : 1 * n = n

⊢ ∀ (x : Fin (1 * n)), repeat 1 a x = (a ∘ cast h) x
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i : Fin n
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
h : 1 * n = n

⊢ ∀ (x : Fin n), repeat 1 a (cast ⋯ x) = (a ∘ cast h) (cast ⋯ x)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α✝ : Fin (n + 1) → Type u
x : α✝ 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n) → α✝ i.succ
i✝ : Fin n
y : α✝ i✝.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
a : Fin n → α
h : 1 * n = n
i : Fin n

⊢ repeat 1 a (cast ⋯ i) = (a ∘ cast h) (cast ⋯ i)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℂ

⊢ ‖↑n ^ s‖ = ↑n ^ s.re
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M

⊢ 2 • x = x + x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g [[a, b]]
hderiv : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt g (g' x) x
hpos : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ g' x

⊢ IntervalIntegrable g' volume a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g [[a, b]]
hderiv : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt g (g' x) x
hpos : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ g' x
hab : a ≤ b

⊢ IntervalIntegrable g' volume a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn g [[a, b]]
hderiv : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivAt g (g' x) x
hpos : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), 0 ≤ g' x
hab : b ≤ a

⊢ IntervalIntegrable g' volume a b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ι : Sort u_2
f : ι → ℝ≥0
s : Set ℝ≥0

⊢ ↑r ∈ upperBounds (ofNNReal '' s) ↔ r ∈ upperBounds s
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ
hn : ∀ (hf : (setOf p).Finite), n < hf.toFinset.card

⊢ count p (nth p n + 1) = n + 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hy : 0 < y

⊢ x < log y ↔ rexp x < y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R

⊢ zeroLocus ∘ SetLike.coe '' minimalPrimes R = irreducibleComponents (PrimeSpectrum R)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R

⊢ Set.EqOn ((zeroLocus ∘ SetLike.coe) ∘ vanishingIdeal) id (irreducibleComponents (PrimeSpectrum R))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommSemiring R
s : Set (PrimeSpectrum R)
hs : s ∈ irreducibleComponents (PrimeSpectrum R)

⊢ ((zeroLocus ∘ SetLike.coe) ∘ vanishingIdeal) s = id s
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
n : ℕ

⊢ ∑ m ∈ range (n + 1), (-1) ^ m * ↑(n.choose m) = if n = 0 then 1 else 0
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ t✝ : WSeq α
h✝ : ∀ (n : ℕ), s✝.get? n ~ t✝.get? n
s t : WSeq α
h : (fun s t => ∀ (n : ℕ), s.get? n ~ t.get? n) s t

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s t => ∀ (n : ℕ), s.get? n ~ t.get? n) s.destruct t.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ t✝ : WSeq α
h✝ : ∀ (n : ℕ), s✝.get? n ~ t✝.get? n
s t : WSeq α
h : (fun s t => ∀ (n : ℕ), s.get? n ~ t.get? n) s t

⊢ s.destruct.Terminates ↔ t.destruct.Terminates
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ t✝ : WSeq α
h✝ : ∀ (n : ℕ), s✝.get? n ~ t✝.get? n
s t : WSeq α
h : (fun s t => ∀ (n : ℕ), s.get? n ~ t.get? n) s t

⊢ ∀ {a b : Option (α × WSeq α)}, a ∈ s.destruct → b ∈ t.destruct → LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) (fun s t => ∀ (n : ℕ), s.get? n ~ t.get? n) a b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
n : ℕ

⊢ ((WittVector.map g) (f x)).coeff n = (f ((WittVector.map g) x)).coeff n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
n : ℕ

⊢ (eval₂Hom (g.comp (algebraMap ℤ R)) fun i => g (x.coeff i)) (φ n) = (aeval ((WittVector.map g) x).coeff) (φ n)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
n : ℕ

⊢ (fun i => g (x.coeff i)) = ((WittVector.map g) x).coeff
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : ⦃R : Type u⦄ → [inst : CommRing R] → 𝕎 R → 𝕎 R
g : R →+* S
x : 𝕎 R
φ : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
hf : ∀ ⦃R : Type u⦄ [inst : CommRing R] (x : 𝕎 R), (f x).coeff = fun n => (aeval x.coeff) (φ n)
n x✝ : ℕ

⊢ g (x.coeff x✝) = ((WittVector.map g) x).coeff x✝
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/CongruenceSubgroups.lean
N : ℕ
x✝ : SL(2, ℤ)

⊢ x✝ ∈ Gamma 1 ↔ x✝ ∈ ⊤
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y✝ : α
Φ : α → β
y : α
hy : y ∈ s

⊢ infEdist x s ≠ ⊤
-- Mathlib/Data/Bool/AllAny.lean
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
l : List α
a : α

⊢ (l.all fun a => decide (p a)) = true ↔ ∀ (a : α), a ∈ l → p a
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n k : ℕ
h₁ : m ≤ k
h₂ : k < m + n

⊢ finAddFlip ⟨k, h₂⟩ = ⟨k - m, ⋯⟩
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n k : ℕ
h₁ : m ≤ k
h₂ : k < m + n

⊢ k = ↑(Fin.natAdd m ⟨k - m, ⋯⟩)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Bilinear.lean
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
q : Submodule R N
m : M
hm : m ∈ ⊥
n : N
hn : n ∈ q

⊢ (f m) n ∈ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Bilinear.lean
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
q : Submodule R N
m : M
hm : m = 0
n : N
hn : n ∈ q

⊢ (f m) n = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPointApproximants.lean
α : Type u
g : Ordinal.{u} → α
h_inj : InjOn g (Iio (succ #α).ord)

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPointApproximants.lean
α : Type u
g : Ordinal.{u} → α
h_inj : InjOn g (Iio (succ #α).ord)
h : lift.{u, u + 1} #↑(Iio (succ #α).ord) ≤ lift.{u + 1, u} #α

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPointApproximants.lean
α : Type u
g : Ordinal.{u} → α
h_inj : InjOn g (Iio (succ #α).ord)
h : lift.{u, u + 1} #↑(Iio (succ #α).ord) ≤ lift.{u + 1, u} #α
mk_initialSeg_subtype : #↑(Iio (succ #α).ord) = lift.{u + 1, u} (succ #α)

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPointApproximants.lean
α : Type u
g : Ordinal.{u} → α
h_inj : InjOn g (Iio (succ #α).ord)
h : succ #α ≤ #α
mk_initialSeg_subtype : #↑(Iio (succ #α).ord) = lift.{u + 1, u} (succ #α)

⊢ False
-- Mathlib/Topology/LocallyClosed.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y

⊢ closure s ∩ coborder s = s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformContinuous f

⊢ UniformContinuous (⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝¹ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
inst✝ : UniformSpace γ
f : γ → β
hf : UniformContinuous f

⊢ uniformSpace α γ 𝔖 ≤ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔖) ∘ (fun x => f ∘ x) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace α β 𝔖)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : IsUnit x
hfx : f x ≠ 0
n : ℕ
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y

⊢ f (x ^ n) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : IsUnit x
hfx : f x ≠ 0
n : ℕ
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
h1 : f 1 ≠ 0

⊢ f (x ^ n) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : IsUnit x
hfx : f x ≠ 0
n : ℕ
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
h1 : f 1 ≠ 0
hxn : f (x ^ n) = 0

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
x : R
hx : IsUnit x
hfx : f x ≠ 0
n : ℕ
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
h1 : f 1 ≠ 0
hxn : f (x ^ n) = 0
this : f 1 ≤ 0

⊢ False
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
x : α
hx : x ∈ e.source

⊢ x ∈ ↑e ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s) ↔ x ∈ s
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Div α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α

⊢ (equivShrink α).symm (x / y) = (equivShrink α).symm x / (equivShrink α).symm y
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Div α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α

⊢ (equivShrink α).symm ((equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm x / (equivShrink α).symm y)) = (equivShrink α).symm x / (equivShrink α).symm y
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosMono α
hb : 0 ≤ b
h : 1 ≤ a

⊢ b ≤ a * b
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
r : List α

⊢ l₁ ++ drop l₁.length (l₁ ++ r) = l₁ ++ r
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J J' : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ' : J' ≠ 0

⊢ I ≤ J / J' ↔ I * J' ≤ J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J J' : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ' : J' ≠ 0

⊢ I ≤ ⟨↑J / ↑J', ⋯⟩ ↔ I * J' ≤ J
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J✝ I J J' : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ' : J' ≠ 0

⊢ I ≤ ⟨↑J / ↑J', ⋯⟩ ↔ ↑I * ↑J' ≤ ↑J
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

⊢ ContDiff ℝ n ↑univUnitBall
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

⊢ ContDiff ℝ n fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
h : ∀ (x : E), 0 < 1 + ‖x‖ ^ 2

⊢ ContDiff ℝ n fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
n : ℕ∞
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
h : ∀ (x : E), 0 < 1 + ‖x‖ ^ 2

⊢ ContDiff ℝ n fun x => √(1 + ‖x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

⊢ o.oangle x y = ↑π ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ SameRay ℝ x (-y)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

⊢ o.oangle x y = ↑π ↔ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ o.oangle x (-y) = 0
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)

⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico a b, f ↑(i + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑b, f x
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)

⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico a (b - a + a), f ↑(i + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑(b - a) + ↑a, f x
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)

⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico (0 + a) (b - a + a), f ↑(i + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)

⊢ ∑ x ∈ Finset.range (b - a), f ↑(a + x + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x
-- Mathlib/Analysis/SumIntegralComparisons.lean
x₀ : ℝ
a b : ℕ
f : ℝ → ℝ
hab : a ≤ b
hf : AntitoneOn f (Icc ↑a ↑b)

⊢ ∑ x ∈ Finset.range (b - a), f (↑a + ↑(x + 1)) ≤ ∫ (x : ℝ) in ↑a..↑a + ↑(b - a), f x
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring K
inst✝ : Algebra F K
x : K
h : IsSeparable F x

⊢ IsIntegral F x
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring K
inst✝ : Algebra F K
x : K
h : IsSeparable F x
h✝ : Subsingleton F

⊢ IsIntegral F x
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring K
inst✝ : Algebra F K
x : K
h : IsSeparable F x
h✝ : Nontrivial F

⊢ IsIntegral F x
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.134154, u_2} D
L : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W✝
W : MorphismProperty Cᵒᵖ
X Y : Cᵒᵖ
z₁ z₂ : W.LeftFraction X Y
Z : Cᵒᵖ
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z
hs : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hf : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)

⊢ RightFractionRel z₁.unop z₂.unop
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing P
inst✝⁵ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
I : FractionalIdeal S P
inst✝ : (↑I).IsPrincipal

⊢ I = spanSingleton S (generator ↑I)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
l : List α

⊢ map Prod.fst l.enum = range l.length
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

⊢ W.ΨSq 2 = W.Ψ₂Sq
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l r : List α
h1 : (a :: l).length - 1 - 0 < ((a :: l).reverseAux r).length
x✝ : 0 < (a :: l).length

⊢ ((a :: l).reverseAux r)[(a :: l).length - 1 - 0] = (a :: l)[0]
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l r : List α
h1 : (a :: l).length - 1 - 0 < ((a :: l).reverseAux r).length
x✝ : 0 < (a :: l).length
aux : ∀ (h1 : 0 + l.length < (l.reverseAux (a :: r)).length) (h2 : 0 < (a :: r).length), (l.reverseAux (a :: r)).get ⟨0 + l.length, h1⟩ = (a :: r).get ⟨0, h2⟩

⊢ ((a :: l).reverseAux r)[(a :: l).length - 1 - 0] = (a :: l)[0]
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l r : List α
h1 : (a :: l).length - 1 - 0 < ((a :: l).reverseAux r).length
x✝ : 0 < (a :: l).length
aux : ∀ (h1 : l.length < (l.reverseAux (a :: r)).length) (h2 : 0 < (a :: r).length), (l.reverseAux (a :: r)).get ⟨l.length, h1⟩ = (a :: r).get ⟨0, h2⟩

⊢ ((a :: l).reverseAux r)[(a :: l).length - 1 - 0] = (a :: l)[0]
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
u : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι

⊢ WithSeminorms p ↔ u = ⨅ i, PseudoMetricSpace.toUniformSpace
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
u : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι

⊢ 𝓝 0 = ⨅ i, comap (⇑(p i)) (𝓝 0) ↔ 𝓝 0 = ⨅ i, 𝓝 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
u : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
i : ι

⊢ comap (⇑(p i)) (𝓝 0) = 𝓝 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Floor.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
b : ℤ

⊢ b ≤ ⌊↑(b + 1)⌋
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Floor.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
b : ℤ

⊢ b ≤ b + 1
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Hom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroHomClass F α β
a : α
f : F
neZero : NeZero (f a)
h : a = 0

⊢ f 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'

⊢ f.ker = ⊥ ↔ Function.Injective ⇑f
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y z : α
h : x ∈ y :: z :: l
hx : x = y

⊢ (y :: z :: l).next x h = z
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
this : (a :: const a).tail = const a

⊢ (const a).tail = const a
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
a✝ a : R

⊢ a + a = 0 ↔ a = 0
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf γ
F : Filter α
G : Filter β
f : α → γ
g : β → γ
hf : Tendsto f F atBot
hg : Tendsto g G atBot

⊢ Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) atBot