ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
K : Type w'
f : J → C
c : Bicone f
g : K ≃ J
k k' : K

⊢ (fun k => c.ι (g k)) k ≫ (fun k => c.π (g k)) k' = if h : k = k' then eqToHom ⋯ else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : J → C
K : Type w'
f : J → C
c : Bicone f
g : K ≃ J
k k' : K

⊢ (if h : g k = g k' then eqToHom ⋯ else 0) = if h : k = k' then eqToHom ⋯ else 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedRing α
H₁ H₂ : FloorRing α

⊢ H₁ = H₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedRing α
H₁ H₂ : FloorRing α
this : FloorRing.floor = FloorRing.floor

⊢ H₁ = H₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : LinearOrderedRing α
H₁ H₂ : FloorRing α
this✝ : FloorRing.floor = FloorRing.floor
this : FloorRing.ceil = FloorRing.ceil

⊢ H₁ = H₂
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
s : Set ι'
t : (i : ι) → Set (α i)

⊢ ⇑(piCongrLeft α f) ⁻¹' (⇑f '' s).pi t = s.pi fun i => t (f i)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
s : Set ι'
t : (i : ι) → Set (α i)

⊢ ∀ (x : (a : ι') → α (f a)), x ∈ ⇑(piCongrLeft α f) ⁻¹' (⇑f '' s).pi t ↔ x ∈ s.pi fun i => t (f i)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
s : Set ι'
t : (i : ι) → Set (α i)

⊢ ∀ (a : (b : ι) → α b), (piCongrLeft α f).symm a ∈ ⇑(piCongrLeft α f) ⁻¹' (⇑f '' s).pi t ↔ (piCongrLeft α f).symm a ∈ s.pi fun i => t (f i)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ L (fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv riemannZeta s / riemannZeta s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ deriv (L 1) s = deriv riemannZeta s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ ∃ s_1 ∈ nhds s, Set.EqOn (L 1) riemannZeta s_1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}

⊢ a * b = a ↔ max ℵ₀ b ≤ a ∧ b ≠ 0 ∨ b = 1 ∨ a = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}

⊢ a * b = a ↔ (ℵ₀ ≤ a ∧ b ≤ a) ∧ b ≠ 0 ∨ b = 1 ∨ a = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δseq : ℕ → ℝ
δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n
δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)
E : Set α

⊢ Tendsto (fun n => ⇑(thickenedIndicator ⋯ E)) atTop (𝓝 ((closure E).indicator fun x => 1))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δseq : ℕ → ℝ
δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n
δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)
E : Set α
key : Tendsto (fun n => thickenedIndicatorAux (δseq n) E) atTop (𝓝 ((closure E).indicator fun x => 1))

⊢ Tendsto (fun n => ⇑(thickenedIndicator ⋯ E)) atTop (𝓝 ((closure E).indicator fun x => 1))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δseq : ℕ → ℝ
δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n
δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)
E : Set α
key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x))

⊢ ∀ (x : α), Tendsto (fun i => (thickenedIndicator ⋯ E) x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δseq : ℕ → ℝ
δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n
δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)
E : Set α
key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x))
x : α

⊢ Tendsto (fun i => (thickenedIndicator ⋯ E) x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δseq : ℕ → ℝ
δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n
δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)
E : Set α
key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x))
x : α

⊢ Tendsto (fun i => (thickenedIndicator ⋯ E) x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x).toNNReal)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δseq : ℕ → ℝ
δseq_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δseq n
δseq_lim : Tendsto δseq atTop (𝓝 0)
E : Set α
key : ∀ (x : α), Tendsto (fun i => thickenedIndicatorAux (δseq i) E x) atTop (𝓝 ((closure E).indicator (fun x => 1) x))
x : α

⊢ (closure E).indicator (fun x => 1) x ≠ ⊤
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x

⊢ LiftPropWithinAt P g' s x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x

⊢ P (↑(chartAt H' (g' x)) ∘ g' ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x

⊢ ↑(chartAt H' (g' x)) ∘ g' ∘ ↑(chartAt H x).symm =ᶠ[𝓝[↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s] ↑(chartAt H x) x] ↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x

⊢ ∀ᶠ (x_1 : H) in 𝓝[↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s] ↑(chartAt H x) x, ↑(chartAt H' (g' x)) (g' (↑(chartAt H x).symm x_1)) = ↑(chartAt H' (g x)) (g (↑(chartAt H x).symm x_1))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropWithinAt P g s x
h₁ : g' =ᶠ[𝓝[s] x] g
hx : g' x = g x

⊢ ∀ᶠ (x_1 : M) in 𝓝[s] x, ↑(chartAt H' (g' x)) (g' x_1) = ↑(chartAt H' (g x)) (g x_1)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R

⊢ toOpen R ⊤ = CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away 1)) ≫ toBasicOpen R 1 ≫ (structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R

⊢ toOpen R ⊤ = (CommRingCat.ofHom (algebraMap R (Localization.Away 1)) ≫ toBasicOpen R 1) ≫ (structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R

⊢ toOpen R ⊤ = (toBasicOpen R 1).comp (algebraMap R (Localization.Away 1)) ≫ (structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v v₁ v₂ : VectorMeasure α M
w w₁ w₂ : VectorMeasure α N
R : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : DistribMulAction R N
inst✝ : ContinuousConstSMul R N
r : R
h : v ⟂ᵥ w
s : Set α
hmeas : MeasurableSet s
hs₁ : ∀ t ⊆ s, ↑v t = 0
hs₂ : ∀ t ⊆ sᶜ, ↑w t = 0
t : Set α
ht : t ⊆ sᶜ

⊢ ↑(r • w) t = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/FunctorToTypes.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F G F₁ F₂ : C ⥤ Type w
τ₁ : F₁ ⟶ F
τ₂ : F₂ ⟶ F
x✝² x✝¹ : C
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
x : (coprod F₁ F₂).obj x✝²

⊢ ((coprod F₁ F₂).map x✝ ≫ (fun a x => Sum.casesOn (motive := fun t => x = t → F.obj a) x (fun x_1 h => τ₁.app a x_1) (fun x_1 h => τ₂.app a x_1) ⋯) x✝¹) x = ((fun a x => Sum.casesOn (motive := fun t => x = t → F.obj a) x (fun x_1 h => τ₁.app a x_1) (fun x_1 h => τ₂.app a x_1) ⋯) x✝² ≫ F.map x✝) x
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : IsCyclic H
f : G →* H
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : H
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩

⊢ x ^ m = f a
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : IsCyclic H
f : G →* H
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : H
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a

⊢ x ^ n = f b
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : IsCyclic H
f : G →* H
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : H
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b

⊢ y ^ (-m) * a ∈ f.ker
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : IsCyclic H
f : G →* H
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : H
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G

⊢ y ^ (-n) * b ∈ f.ker
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : IsCyclic H
f : G →* H
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : H
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
hb : y ^ (-n) * b ∈ center G

⊢ a * b = y ^ m * (y ^ (-m) * a * y ^ n) * (y ^ (-n) * b)
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : IsCyclic H
f : G →* H
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : H
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
hb : y ^ (-n) * b ∈ center G

⊢ y ^ m * (y ^ (-m) * a * y ^ n) * (y ^ (-n) * b) = y ^ m * (y ^ n * (y ^ (-m) * a)) * (y ^ (-n) * b)
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : IsCyclic H
f : G →* H
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : H
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
hb : y ^ (-n) * b ∈ center G

⊢ y ^ m * (y ^ n * (y ^ (-m) * a)) * (y ^ (-n) * b) = y ^ m * y ^ n * y ^ (-m) * (a * (y ^ (-n) * b))
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : IsCyclic H
f : G →* H
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : H
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
hb : y ^ (-n) * b ∈ center G

⊢ y ^ m * y ^ n * y ^ (-m) * (a * (y ^ (-n) * b)) = y ^ m * y ^ n * y ^ (-m) * (y ^ (-n) * b * a)
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : IsCyclic H
f : G →* H
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : H
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
hb : y ^ (-n) * b ∈ center G

⊢ y ^ m * y ^ n * y ^ (-m) * (y ^ (-n) * b * a) = b * a
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
hs : (map (fun i => 2 ^ i) n.bitIndices).sum = n

⊢ (map (fun i => 2 ^ i) (bit b n).bitIndices).sum = bit b n
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
hs : (map (fun i => 2 ^ i) n.bitIndices).sum = n
hrw : ((fun i => 2 ^ i) ∘ fun x => x + 1) = fun i => 2 * 2 ^ i

⊢ (map (fun i => 2 ^ i) (bit b n).bitIndices).sum = bit b n
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a n✝ n : ℕ
hs : (map (fun i => 2 ^ i) n.bitIndices).sum = n
hrw : ((fun i => 2 ^ i) ∘ fun x => x + 1) = fun i => 2 * 2 ^ i

⊢ (map (fun i => 2 ^ i) (bit true n).bitIndices).sum = bit true n
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α
h₁ : a ∣ b
h₂ : a ∣ c

⊢ a ∣ b - c
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
i : ℕ
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
x : S

⊢ quotientToQuotientRangePowQuotSuccAux f p P a_mem (Submodule.Quotient.mk x) = Submodule.Quotient.mk ⟨(Quotient.mk (P ^ e)) (a * x), ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ : Set α
t : Set (Set α)
h : t.PairwiseDisjoint id
ht₀ : t.Finite
ht₁ : ∀ x ∈ t, x.Finite

⊢ ∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃₀ t), f a = ∏ᶠ (s : Set α) (_ : s ∈ t) (a : α) (_ : a ∈ s), f a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ : Set α
t : Set (Set α)
h : t.PairwiseDisjoint id
ht₀ : t.Finite
ht₁ : ∀ x ∈ t, x.Finite

⊢ ∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃ i ∈ t, i), f a = ∏ᶠ (s : Set α) (_ : s ∈ t) (a : α) (_ : a ∈ s), f a
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+

⊢ m ∣ n → m.gcd n = m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+

⊢ ↑m ∣ ↑n → m.gcd n = m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+
h : ↑m ∣ ↑n

⊢ m.gcd n = m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+
h : ↑m ∣ ↑n

⊢ ↑(m.gcd n) = ↑m
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
m n : ℕ+
h : ↑m ∣ ↑n

⊢ (↑m).gcd ↑n = ↑m
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ

⊢ bernoulliFun k 1 = bernoulliFun k 0 + if k = 1 then 1 else 0
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ

⊢ (algebraMap ℚ ℝ) (bernoulli' k) = ↑(bernoulli k) + if k = 1 then 1 else 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h : nilpotencyLength R L M ≤ 1
a✝ : Nontrivial M

⊢ IsTrivial L M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h✝ : nilpotencyLength R L M ≤ 1
a✝ : Nontrivial M
h : nilpotencyLength R L M = 0

⊢ IsTrivial L M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
h✝ : nilpotencyLength R L M ≤ 1
a✝ : Nontrivial M
h : nilpotencyLength R L M = 1

⊢ IsTrivial L M
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : HomogeneousLocalization 𝒜 (Submonoid.powers f)

⊢ ¬IsUnit ((mapId 𝒜 ⋯) z) ↔ z ∈ ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.carrier x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)

⊢ ¬IsUnit ((mapId 𝒜 ⋯) (HomogeneousLocalization.mk z)) ↔ HomogeneousLocalization.mk z ∈ ProjIsoSpecTopComponent.ToSpec.carrier x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat
z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)

⊢ ↑{ deg := z.deg, num := ⟨(RingHom.id A) ↑z.num, ⋯⟩, den := ⟨(RingHom.id A) ↑z.den, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }.num ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal.toIdeal.primeCompl ↔ ↑z.num ∈ (↑x).asHomogeneousIdeal
-- Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
ι' : Type u_4
f : ι' ↪ ι
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Set ι'
x : ι'
hx : (p ∘ ⇑f) x ∈ (convexHull 𝕜) (p ∘ ⇑f '' s)

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
ι' : Type u_4
f : ι' ↪ ι
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
s : Set ι'
x : ι'
hx : (p ∘ ⇑f) x ∈ (convexHull 𝕜) (p ∘ ⇑f '' s)

⊢ f x ∈ ⇑f '' s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V

⊢ ∃ v, G.minDegree = G.degree v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
t : ℕ
ht : (image (fun v => G.degree v) univ).min = ↑t

⊢ ∃ v, G.minDegree = G.degree v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
v : V
left✝ : v ∈ univ
ht : (image (fun v => G.degree v) univ).min = ↑(G.degree v)

⊢ ∃ v, G.minDegree = G.degree v
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G

⊢ IsComplement S {g} ↔ S = univ
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
h : IsComplement S {g}
x : G
x✝ : x ∈ ⊤

⊢ x ∈ S
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
h : IsComplement S {g}
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
y : ↑S × ↑{g}
hy : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) y = x * g

⊢ x ∈ S
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
h : IsComplement S {g}
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
y : ↑S × ↑{g}
hy : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) y = x * ↑y.2

⊢ x ∈ S
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
g : G
h : IsComplement S {g}
x : G
x✝ : x ∈ ⊤
y : ↑S × ↑{g}
hy : (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) y = x * ↑y.2

⊢ ↑y.1 ∈ S
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.Stable
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F

⊢ F'.Stable
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.submodule.FG
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F

⊢ F'.submodule.FG
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.submodule.FG
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F

⊢ ∀ (i : ℕ), (F'.N i).FG
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.Stable
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F

⊢ ∀ (i : ℕ), (F.N i).FG
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.submodule.FG
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F
this : IsNoetherian ↥(reesAlgebra I) ↥F.submodule

⊢ F'.submodule.FG
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F'✝ : I.Filtration M
h : F.Stable
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
hF : F.submodule.FG
F' : I.Filtration M
hf : F' ≤ F
this : ∀ s ≤ F.submodule, s.FG

⊢ F'.submodule.FG
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ

⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, 0 ≤ f x