ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
this : SmoothManifoldWithCorners 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ↑(sphere 0 1)

⊢ Continuous Subtype.val ∧ ∀ (x : { x // x ∈ sphere 0 1 }) (y : E), ContDiffOn ℝ ⊤ (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, E) y) ∘ Subtype.val ∘ ↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) x).symm) ((extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) x).target ∩ ↑(extChartAt 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) x).symm ⁻¹' (Subtype.val ⁻¹' (extChartAt 𝓘(ℝ, E) y).source))
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
f g f₁ g₁ : Filter α
f₂ g₂ : Filter β

⊢ IsUnit f ↔ ∃ a, f = pure a
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i

⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this : LocallyCompactSpace H

⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M

⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝¹ : LocallyCompactSpace H
this✝ : LocallyCompactSpace M
this : ∃ f, (∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)) ∧ f.IsSubordinate U

⊢ ∃ f, f.IsSubordinate U
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
U : ι → Set M
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hU : s ⊆ ⋃ i, U i
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M

⊢ ∀ (s t : Set M), IsClosed s → IsClosed t → Disjoint s t → ∃ f, Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑f ∧ EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : M), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
n m : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin (n + 1) → M
hmn : m ≤ n

⊢ (liftAt 1 m φ).Realize v xs ↔ φ.Realize v (xs ∘ fun i => if ↑i < m then i.castSucc else i.succ)
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝ : IsFiniteKernel η
hκη : κ ≤ η
a : α

⊢ κ.rnDerivAux η a ≤ᶠ[ae (η a)] 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝ : IsFiniteKernel η
hκη : κ ≤ η
a : α
x : γ
hx_le_one : (∂κ a/∂η a) x ≤ 1 x

⊢ κ.rnDerivAux η a x ≤ 1 x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ

⊢ Integrable (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) (ν a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
this : (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) = fun b => (ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x)).toReal

⊢ Integrable (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) (ν a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
this : (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) = fun b => (ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x)).toReal

⊢ Integrable (fun b => (ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x)).toReal) (ν a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
this : (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) = fun b => (ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x)).toReal

⊢ AEMeasurable (fun b => ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x)) (ν a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
this : (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) = fun b => (ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x)).toReal

⊢ ∫⁻ (x_1 : β), ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, x_1)) x) ∂ν a ≠ ⊤
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
m n i h : ℕ
a✝ : Nat.le 1 h

⊢ i + h.succ ! ≤ (i + h.succ)!
-- Mathlib/Order/Directed.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s✝ : α → α → Prop
s : Set α

⊢ DirectedOn r s ↔ Directed r Subtype.val
-- Mathlib/Order/Directed.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s✝ : α → α → Prop
s : Set α

⊢ (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∃ z ∈ s, r x z ∧ r y z) ↔ ∀ a ∈ s, ∀ a_1 ∈ s, ∃ a_2, r a a_2 ∧ a_2 ∈ s ∧ r a_1 a_2
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f✝ : β → γ
g : γ → α
μ : Measure α
f : α → β
hf : Measurable f
x : γ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ (((const γ μ).map f hf) x) s = ((const γ (Measure.map f μ)) x) s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : Mul M✝
inst✝³ : ContinuousMul M✝
M : Type u_6
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
h : a ⤳ b
n : ℕ

⊢ (a ^ Nat.zero) ⤳ (b ^ Nat.zero)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : Mul M✝
inst✝³ : ContinuousMul M✝
M : Type u_6
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
h : a ⤳ b
n x✝ : ℕ
ihn : (a ^ x✝) ⤳ (b ^ x✝)

⊢ (a ^ x✝.succ) ⤳ (b ^ x✝.succ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FinallySmall.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : FinallySmall J
i : J

⊢ ∃ j ∈ Set.range (fromFinalModel J).obj, Nonempty (i ⟶ j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FinallySmall.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : FinallySmall J
i : J
f : StructuredArrow i (fromFinalModel J)

⊢ ∃ j ∈ Set.range (fromFinalModel J).obj, Nonempty (i ⟶ j)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ

⊢ MonotoneOn (fun x => dist x y) (Ici y)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
y₁ : ι → ℝ
hy₁ : y₁ ∈ Ici y
y₂ : ι → ℝ
hy₂ : y₂ ∈ Ici y
hy : y₁ ≤ y₂
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ

⊢ nndist (y₁ i) (y i) ≤ nndist (y₂ i) (y i)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
y₁ : ι → ℝ
hy₁ : y₁ ∈ Ici y
y₂ : ι → ℝ
hy₂ : y₂ ∈ Ici y
hy : y₁ ≤ y₂
i : ι
x✝ : i ∈ Finset.univ

⊢ (y₁ i - y i).toNNReal ≤ (y₂ i - y i).toNNReal
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.61456, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
n : ℤ
X : Cᵒᵖ

⊢ ((shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).inv.app (Opposite.unop ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj X)) ≫ 𝟙 (Opposite.unop ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj (Opposite.op ((shiftFunctor C n).obj (Opposite.unop ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj X))))))) ≫ ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).map (((shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op ≫ ((shiftFunctor C n).map (𝟙 ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj X)).unop).op)).unop = 𝟙 (Opposite.unop ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.61456, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
n : ℤ
X : Cᵒᵖ

⊢ (shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).inv.app (Opposite.unop ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj X)) ≫ ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).map ((shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).hom.app (Opposite.unop X)).op).unop = 𝟙 (Opposite.unop ((shiftFunctor Cᵒᵖ n).obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.61456, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
n : ℤ
X : Cᵒᵖ

⊢ (shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).inv.app ((shiftFunctor C (-n)).obj (Opposite.unop X)) ≫ (shiftFunctor C (-n)).map ((shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).hom.app (Opposite.unop X)) = 𝟙 ((𝟭 C).obj ((shiftFunctor C (-n)).obj (Opposite.unop X)))
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : f.natDegree = 0

⊢ f.natSepDegree = 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Prod.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' I : Ideal S
h : (⊤.prod I).IsPrime

⊢ I.IsPrime
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Prod.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' I : Ideal S
h : (⊤.prod I).IsPrime

⊢ (I.prod ⊤).IsPrime
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Prod.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J J' I : Ideal S
h : (⊤.prod I).IsPrime

⊢ (map (↑RingEquiv.prodComm) (⊤.prod I)).IsPrime
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z x y : ℝ

⊢ rexp (x * y) = rexp x ^ y
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Finite
hf : ∀ i ∈ s, IsCompact (f i)
l : Ultrafilter X
hl : ⋃ i ∈ s, f i ∈ l

⊢ ∃ x ∈ ⋃ i ∈ s, f i, ↑l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Finite
hf : ∀ i ∈ s, IsCompact (f i)
l : Ultrafilter X
hl : ∃ i ∈ s, f i ∈ l

⊢ ∃ x ∈ ⋃ i ∈ s, f i, ↑l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Finite
hf : ∀ i ∈ s, IsCompact (f i)
l : Ultrafilter X
i : ι
his : i ∈ s
hi : f i ∈ l

⊢ ∃ x ∈ ⋃ i ∈ s, f i, ↑l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
s : Set ι
f : ι → Set X
hs : s.Finite
hf : ∀ i ∈ s, IsCompact (f i)
l : Ultrafilter X
i : ι
his : i ∈ s
hi : f i ∈ l
x : X
hxi : x ∈ f i
hlx : ↑l ≤ 𝓝 x

⊢ ∃ x ∈ ⋃ i ∈ s, f i, ↑l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)

⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)
F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }

⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)
F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t

⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)
F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t
ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1

⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)
F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t
ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1
this : t'.OrdConnected

⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)
F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t
ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1
this : t'.OrdConnected
hFt : ∀ (x : X), F x ∈ t'

⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)
F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t
ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1
this : t'.OrdConnected
hFt : ∀ (x : X), F x ∈ t'
G : Y →ᵇ ℝ
hG : ∀ (y : Y), G y ∈ t'
hGF : ⇑G ∘ e = ⇑F

⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)
F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t
ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1
this : t'.OrdConnected
hFt : ∀ (x : X), F x ∈ t'
G : Y →ᵇ ℝ
hG : ∀ (y : Y), G y ∈ t'
hGF : ⇑G ∘ e = ⇑F
g : C(Y, ℝ) := { toFun := ⇑h.symm ∘ Set.codRestrict (⇑G) (Ioo (-1) 1) ⋯, continuous_toFun := ⋯ }

⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/Topology/TietzeExtension.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : NormalSpace Y
f : C(X, ℝ)
t : Set ℝ
e : X → Y
hs : t.OrdConnected
hf : ∀ (x : X), f x ∈ t
hne : t.Nonempty
he : ClosedEmbedding e
h : ℝ ≃o ↑(Ioo (-1) 1)
F : X →ᵇ ℝ := { toFun := Subtype.val ∘ ⇑h ∘ ⇑f, continuous_toFun := ⋯, map_bounded' := ⋯ }
t' : Set ℝ := Subtype.val ∘ ⇑h '' t
ht_sub : t' ⊆ Ioo (-1) 1
this : t'.OrdConnected
hFt : ∀ (x : X), F x ∈ t'
G : Y →ᵇ ℝ
hG : ∀ (y : Y), G y ∈ t'
hGF : ⇑G ∘ e = ⇑F
g : C(Y, ℝ) := { toFun := ⇑h.symm ∘ Set.codRestrict (⇑G) (Ioo (-1) 1) ⋯, continuous_toFun := ⋯ }
hgG : ∀ {y : Y} {a : ℝ}, g y = a ↔ G y = ↑(h a)

⊢ ∃ g, (∀ (y : Y), g y ∈ t) ∧ ⇑g ∘ e = ⇑f
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : C

⊢ e.counitInv.app (e.functor.obj X) ≫ e.functor.map (e.unitInv.app X) = 𝟙 (e.functor.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : C ≌ D
X : C

⊢ (e.functor.mapIso (e.unitIso.app X) ≪≫ e.counitIso.app (e.functor.obj X)).hom = (Iso.refl (e.functor.obj ((𝟭 C).obj X))).hom
-- Mathlib/Algebra/Module/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Zero R
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : SMulWithZero R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
c : R
g : α → M
hc : c ≠ 0
x : α

⊢ x ∈ support (c • g) ↔ x ∈ support g
-- Mathlib/Algebra/Lie/Solvable.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
s₁ : Set ℕ := {k | derivedSeries R (↥↑I) k = ⊥}
s₂ : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
k : ℕ

⊢ k ∈ s₁ ↔ k ∈ s₂
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
x y : ℂ

⊢ cos x - cos y = 0 ↔ -2 * sin ((x + y) / 2) * sin ((x - y) / 2) = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
x y : ℂ

⊢ sin ((x - y) / 2) = 0 ∨ sin ((x + y) / 2) = 0 ↔ (∃ k, y = 2 * ↑k * ↑π + x) ∨ ∃ k, y = 2 * ↑k * ↑π - x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
x y : ℂ

⊢ (∃ k, x = ↑k * ↑π * 2 + y) ↔ ∃ k, y = ↑k * ↑π * 2 + x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x y z : ℂ
hx : x ≠ 0

⊢ x ^ (y - z) = x ^ y / x ^ z
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean

⊢ ¬{x | ∀ ⦃a : ℝ⦄, (a ∈ range fun x => ↑x) → a ≤ x}.Nonempty
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean

⊢ {x | ∀ ⦃a : ℝ⦄, (a ∈ range fun x => ↑x) → a ≤ x} = ∅
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
x✝ : ℝ

⊢ x✝ ∈ {x | ∀ ⦃a : ℝ⦄, (a ∈ range fun x => ↑x) → a ≤ x} ↔ x✝ ∈ ∅
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Products.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
X✝ Y✝ : (coprodMonad X).Algebra
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ ((fun A => Under.mk (coprod.inl ≫ A.a)) X✝).hom ≫ f.f = ((fun A => Under.mk (coprod.inl ≫ A.a)) Y✝).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Products.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : C
inst✝ : HasBinaryCoproducts C
X✝ Y✝ : (coprodMonad X).Algebra
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ coprod.inl ≫ (coprodMonad X).map f.f ≫ Y✝.a = ((fun A => Under.mk (coprod.inl ≫ A.a)) Y✝).hom
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set M

⊢ (LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x) ↔ LinearMap.ker (Finsupp.totalOn M M R id s) = ⊥
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
i✝ j✝ : ι
hi : p i✝
hj : p j✝

⊢ ∃ k, p k ∧ s k ⊆ s i✝ ∩ s j✝
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α

⊢ nndist x y = (edist x y).toNNReal
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplexSymmetry.lean
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝² : K.HasTotal c
inst✝¹ : K.flip.HasTotal c
inst✝ : DecidableEq J
j j' : J

⊢ (K.totalFlipIso c).hom.f j ≫ K.D₂ c j j' = K.flip.D₁ c j j' ≫ (K.totalFlipIso c).hom.f j'
-- Mathlib/Algebra/Ring/Semiconj.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
a b x y x' y' : R
ha : SemiconjBy a x y
hb : SemiconjBy b x y

⊢ SemiconjBy (a - b) x y
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
g : β → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (b : β), g b ∂(piecewise hs κ η) a = if a ∈ s then ∫⁻ (b : β), g b ∂κ a else ∫⁻ (b : β), g b ∂η a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
a : α
g : β → ℝ≥0∞

⊢ (∫⁻ (b : β), g b ∂if a ∈ s then κ a else η a) = if a ∈ s then ∫⁻ (b : β), g b ∂κ a else ∫⁻ (b : β), g b ∂η a
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Derivative.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
r : R
n : ℕ

⊢ (coeff R n) ((C R) r).derivativeFun = (coeff R n) 0
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ image id s ↔ x✝ ∈ s
-- Mathlib/Data/Nat/Pairing.lean
α : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice α
f : ℕ → ℕ → α

⊢ ⨆ n, f (unpair n).1 (unpair n).2 = ⨆ i, ⨆ j, f i j
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasDerivAt h h' x
hy : y = h x

⊢ HasDerivAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') x