ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Pow.lean
a b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
an : ℤ
ad b : ℕ
inv✝ : Invertible ↑ad
this : Invertible ↑(ad ^ b)

⊢ IsRat ((↑an * ⅟↑ad) ^ b) (an ^ b) (ad ^ b)
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Pow.lean
a b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
an : ℤ
ad b : ℕ
inv✝ : Invertible ↑ad
this : Invertible ↑(ad ^ b)

⊢ (↑an * ⅟↑ad) ^ b = ↑(an ^ b) * ⅟↑(ad ^ b)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι

⊢ univ.pi t₁ ⊆ univ.pi t₂ ↔ (∀ (i : ι), t₁ i ⊆ t₂ i) ∨ ∃ i, t₁ i = ∅
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K

⊢ ¬IsUnramified k w ↔ w.IsComplex ∧ (w.comap (algebraMap k K)).IsReal
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K

⊢ (¬(if (w.comap (algebraMap k K)).IsReal then 1 else 2) = if w.IsReal then 1 else 2) ↔ ¬w.IsReal ∧ (w.comap (algebraMap k K)).IsReal
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁷ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : NumberField K
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : Algebra k F
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
h₁ : ¬(w.comap (algebraMap k K)).IsReal
h₂ : w.IsReal

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
f : Q₂ →qᵢ Q₃
g : Q₁ →qᵢ Q₂
m : M₁

⊢ (((map f).comp (map g)).toLinearMap ∘ₗ ι Q₁) m = ((map (f.comp g)).toLinearMap ∘ₗ ι Q₁) m
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
f : Q₂ →qᵢ Q₃
g : Q₁ →qᵢ Q₂
m : M₁

⊢ (map f) ((map g) ((ι Q₁) m)) = (map (f.comp g)) ((ι Q₁) m)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Nontrivial A
I : FiniteDimensional 𝕜 A
a : A

⊢ (σ a).Nonempty
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Nontrivial A
I : FiniteDimensional 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
h_mon : p.Monic
h_eval_p : eval₂ ↑ₐ a p = 0

⊢ (σ a).Nonempty
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Nontrivial A
I : FiniteDimensional 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
h_mon : p.Monic
h_eval_p : eval₂ ↑ₐ a p = 0
nu : ¬IsUnit ((aeval a) p)

⊢ (σ a).Nonempty
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Nontrivial A
I : FiniteDimensional 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
h_mon : p.Monic
h_eval_p : eval₂ ↑ₐ a p = 0
nu : ¬IsUnit ((aeval a) (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod)

⊢ (σ a).Nonempty
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
inst✝¹ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝ : Nontrivial A
I : FiniteDimensional 𝕜 A
a : A
p : 𝕜[X]
h_mon : p.Monic
h_eval_p : eval₂ ↑ₐ a p = 0
nu : ¬IsUnit ((aeval a) (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod)
k : 𝕜
hk : k ∈ σ a
right✝ : eval k p = 0

⊢ (σ a).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y : E
s t : Set E
h : s ∈ 𝓝 x

⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.map t = s' ≫ F.map t

⊢ F.Final
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsFilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.obj c)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : d ⟶ F.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.map t = s' ≫ F.map t

⊢ ∀ (d : D), IsFiltered (StructuredArrow d F)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/ErdosGinzburgZiv.lean
ι : Type u_1
n : ℕ
s : Finset ι
a : ι → ZMod n
hs : 2 * n - 1 ≤ s.card

⊢ ∃ t ⊆ s, t.card = n ∧ ∑ i ∈ t, a i = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* S
g : τ → S
h : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R

⊢ (eval₂Hom f g) ((bind₁ h) φ) = (eval₂Hom f fun i => (eval₂Hom f g) (h i)) φ
-- Mathlib/Analysis/Complex/CauchyIntegral.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)
hw : w ∈ ball c R

⊢ ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = f w
-- Mathlib/Analysis/Complex/CauchyIntegral.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R

⊢ ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = f w
-- Mathlib/Analysis/Complex/CauchyIntegral.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R

⊢ ContinuousOn f (closedBall c R)
-- Mathlib/Analysis/Complex/CauchyIntegral.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
hf : DiffContOnCl ℂ f (ball c R)
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R

⊢ ∀ x ∈ ball c R \ ∅, DifferentiableAt ℂ f x
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
S : Set G
inst✝ : Finite ↑S
x : G
h : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S
this : (a : Prop) → Decidable a

⊢ x ∈ setNormalizer S
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
S : Set G
inst✝ : Finite ↑S
x : G
h : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype ↑S

⊢ x ∈ setNormalizer S
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
S : Set G
inst✝ : Finite ↑S
x : G
h : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S
this✝ : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype ↑S
this : Fintype ↑((fun n => x * n * x⁻¹) '' S)

⊢ x ∈ setNormalizer S
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}
c : Ordinal.{u}
ho : o.card < c.cof
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi < c

⊢ Cardinal.lift.{u, u} o.card < c.cof
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : p.leadingCoeff ∈ R⁰

⊢ p ∈ R[X]⁰
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : p.leadingCoeff ∈ R⁰
x : R[X]
hx : x * p = 0

⊢ x.leadingCoeff = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : p.leadingCoeff ∈ R⁰
x : R[X]
hx : x * p = 0
hx' : ¬x.leadingCoeff = 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : p.leadingCoeff ∈ R⁰
x : R[X]
hx : x * p = 0
hx' : ¬x.leadingCoeff * p.leadingCoeff = 0

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ'✝ : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
μ' : Measure α
inst✝ : SFinite μ'

⊢ (μ + μ').prod ν = μ.prod ν + μ'.prod ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ'✝ : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
μ' : Measure α
inst✝ : SFinite μ'

⊢ (sum fun p => (sFiniteSeq μ p.1 + sFiniteSeq μ' p.1).prod (sFiniteSeq ν p.2)) = sum fun n => (sFiniteSeq μ n.1).prod (sFiniteSeq ν n.2) + (sFiniteSeq μ' n.1).prod (sFiniteSeq ν n.2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ'✝ : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
μ' : Measure α
inst✝ : SFinite μ'
i : ℕ × ℕ

⊢ (sFiniteSeq μ i.1 + sFiniteSeq μ' i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2) = (sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2) + (sFiniteSeq μ' i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α'
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β'
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
μ μ'✝ : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
μ' : Measure α
inst✝ : SFinite μ'
i : ℕ × ℕ
s : Set α
t : Set β
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : MeasurableSet t

⊢ ((sFiniteSeq μ i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2) + (sFiniteSeq μ' i.1).prod (sFiniteSeq ν i.2)) (s ×ˢ t) = (sFiniteSeq μ i.1 + sFiniteSeq μ' i.1) s * (sFiniteSeq ν i.2) t
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n

⊢ 0 ≤ x.valMinAbs ↔ x.val ≤ n / 2
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n

⊢ (0 ≤ if x.val ≤ n / 2 then ↑x.val else ↑x.val - ↑n) ↔ x.val ≤ n / 2
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ a b : α
h : IsCompl a b

⊢ a ⇔ b = ⊥
-- Mathlib/Analysis/Complex/Circle.lean
x y : ℝ

⊢ ↑(expMapCircle (x + y)) = ↑(expMapCircle x * expMapCircle y)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
ι : Type u_5
s : Finset α
f : α → ι → ℝ≥0∞
hf : ∀ (i j : ι), ∃ k, ∀ (a : α), f a i ≤ f a k ∧ f a j ≤ f a k

⊢ ∑ a ∈ s, ⨆ i, f a i = ⨆ i, ∑ a ∈ s, f a i
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
hd : Disjoint I J
hu : univ ⊆ I ∪ J
hI : I.Finite

⊢ ⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i) = ⨅ i ∈ J, ker (proj i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
hd : Disjoint I J
hu : univ ⊆ I ∪ J
hI : I.Finite

⊢ ⨅ i ∈ J, ker (proj i) ≤ ⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
hd : Disjoint I J
hu : univ ⊆ I ∪ J
hI : I.Finite
this : univ ⊆ ↑hI.toFinset ∪ J

⊢ ⨅ i ∈ J, ker (proj i) ≤ ⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
hd : Disjoint I J
hu : univ ⊆ I ∪ J
hI : I.Finite
this : univ ⊆ ↑hI.toFinset ∪ J
i : ι

⊢ ⨆ (_ : i ∈ hI.toFinset), range (stdBasis R φ i) ≤ ⨆ (_ : i ∈ I), range (stdBasis R φ i)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
M✝ : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M✝
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M N : AddSubmonoid R
C : R → Prop
r : R
hr : r ∈ M * N
hm : ∀ m ∈ M, ∀ n ∈ N, C (m * n)
ha : ∀ (x y : R), C x → C y → C (x + y)

⊢ 0 ∈ { carrier := setOf C, add_mem' := ⋯ }.carrier
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t s : Set α

⊢ (μ.restrict s) univ = μ s
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den : Nat

⊢ num /. ↑den = mkRat num den
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
ζ : ℂ
n : ℕ
h : ζ ^ n = 1
hn : n ≠ 0

⊢ ‖ζ‖₊ ^ n = 1 ^ n
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/Finite.lean

⊢ StableUnderBaseChange @Finite
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/Finite.lean

⊢ ∀ ⦃R S T : Type u_1⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], (algebraMap R T).Finite → includeLeftRingHom.Finite
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Equiv.lean
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e✝ e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e' : A₁' ≃ₐ[R] A₂'
ψ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
a✝ : A₁

⊢ ((fun ψ => e.trans (ψ.trans e'.symm)) ((fun ψ => e.symm.trans (ψ.trans e')) ψ)) a✝ = ψ a✝
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Equiv.lean
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e✝ e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e' : A₁' ≃ₐ[R] A₂'
ψ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
a✝ : A₂

⊢ ((fun ψ => e.symm.trans (ψ.trans e')) ((fun ψ => e.trans (ψ.trans e'.symm)) ψ)) a✝ = ψ a✝
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Symmetric.lean
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝² : Quiver U
inst✝¹ : Quiver V
inst✝ : Quiver W
h : HasInvolutiveReverse V
a b : V
f : a ⟶ b

⊢ reverse (reverse f) = f
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
p i : ℕ
hp : Nat.Prime p

⊢ (σ 0) (p ^ i) = i + 1
-- Mathlib/Order/Interval/Set/ProjIcc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x : α

⊢ projIic b x = ⟨b, ⋯⟩ ↔ b ≤ x
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.432254, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅ = app₄ ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯

⊢ 5 < 5 + 1
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
s : Set X
h : ∀ x ∈ s, (↑f).IsConstant
hs : IsPreconnected s
x' : X
x_in : x ∈ s
x'_in : x' ∈ s
i : ↑s → X := fun x => ↑x

⊢ (f ∘ i) ⟨x, x_in⟩ = (f ∘ i) ⟨x', x'_in⟩
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
s : Set X
h : ∀ x ∈ s, (↑f).IsConstant
hs : IsPreconnected s
x' : X
x_in : x ∈ s
x'_in : x' ∈ s
i : ↑s → X := fun x => ↑x
this : PreconnectedSpace ↑s

⊢ (f ∘ i) ⟨x, x_in⟩ = (f ∘ i) ⟨x', x'_in⟩
-- Mathlib/Topology/Baire/Lemmas.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
s t : Set X
hs : IsGδ s
ht : IsGδ t
hsc : Dense s
htc : Dense t

⊢ Dense (s ∩ t)
-- Mathlib/Topology/Baire/Lemmas.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
s t : Set X
hs : IsGδ s
ht : IsGδ t
hsc : Dense s
htc : Dense t

⊢ Dense (⋂ b, bif b then s else t)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
x : I → Bool
h : ∀ (i : I), x i ≠ false → J i
i : I

⊢ Proj J x i = x i
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
x : I → Bool
h : ∀ (i : I), x i ≠ false → J i
i : I

⊢ ¬J i → false = x i
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
x : I → Bool
h : ∀ (i : I), x i ≠ false → J i
i : I

⊢ false ≠ x i → J i
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x
hx : x ≤ π / 2

⊢ 2 / π * x ≤ sin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x
hx : x ≤ π / 2

⊢ 0 ≤ sin x - 2 / π * x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
hx₀ : 0 ≤ x
hx : x ≤ π / 2

⊢ ConcaveOn ℝ (Icc 0 (π / 2)) fun x => sin x - 2 / π * x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Finset β
t : β → Set α
hd : (↑s).Pairwise (AEDisjoint μ on t)
hm : ∀ b ∈ s, NullMeasurableSet (t b) μ
f : α → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (a : α) in ⋃ b ∈ s, t b, f a ∂μ = ∑ b ∈ s, ∫⁻ (a : α) in t b, f a ∂μ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R : CommRingCat
M : Submonoid ↑R
x : PrimeSpectrum (Localization M)

⊢ IsIso (PresheafedSpace.Hom.stalkMap (Spec.toPresheafedSpace.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op) x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R : CommRingCat
M : Submonoid ↑R
x : PrimeSpectrum (Localization M)

⊢ IsIso ((stalkIso (↑(unop (op (CommRingCat.of ↑R)))) ((PrimeSpectrum.comap (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op.unop) x)).hom ≫ Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op.unop) x).asIdeal x.asIdeal (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization M))).op.unop ⋯ ≫ (stalkIso (↑(unop (op (CommRingCat.of (Localization M))))) x).inv)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
a : α
ha : 0 ≤ a

⊢ ↑⌈a⌉₊ = ↑⌈a⌉
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
d : ℝ

⊢ Measure.map ⇑e μH[d] = μH[d]
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
M₀ : Type u_6
M₀' : ?m.1161840
inst✝⁵ : AddCommGroup M₀
inst✝⁴ : Module R M₀
M₁ : Type u_7
M₁' : ?m.1162365
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
M₂ : Type u_8
M₂' : ?m.1162890
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
ex : Exact ⇑g ⇑h
y : LocalizedModule S M₁
m : M₁
s : ↥S
hy : ((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₁) (mkLinearMap S M₂)) h) (mk m s) = 0

⊢ mk m s ∈ Set.range ⇑((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
M₀ : Type u_6
M₀' : ?m.1161840
inst✝⁵ : AddCommGroup M₀
inst✝⁴ : Module R M₀
M₁ : Type u_7
M₁' : ?m.1162365
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
M₂ : Type u_8
M₂' : ?m.1162890
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
ex : Exact ⇑g ⇑h
y : LocalizedModule S M₁
m : M₁
s : ↥S
hy : ∃ u, u • h m = u • 0

⊢ mk m s ∈ Set.range ⇑((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
M₀ : Type u_6
M₀' : ?m.1161840
inst✝⁵ : AddCommGroup M₀
inst✝⁴ : Module R M₀
M₁ : Type u_7
M₁' : ?m.1162365
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
M₂ : Type u_8
M₂' : ?m.1162890
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
ex : Exact ⇑g ⇑h
y : LocalizedModule S M₁
m : M₁
s : ↥S
hy : ∃ u, u • h m = u • 0
a : R
aS : a ∈ S
ha : ⟨a, aS⟩ • h m = ⟨a, aS⟩ • 0

⊢ mk m s ∈ Set.range ⇑((IsLocalizedModule.map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g)