ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → β
hf : Integrable f μ
h : Integrable (f + g) μ

⊢ g = f + g + -f
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
hRA : FiniteType R A
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f

⊢ ⊤.FG
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
hRA : FiniteType R A
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f

⊢ ⊤ = Subalgebra.map f ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K

⊢ x ∈ r • Iio a ↔ x ∈ Iio (r • a)
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField K
a b r : K
hr : 0 < r
x : K

⊢ (∃ y < a, r * y = x) ↔ x < r * a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
c : ℝ

⊢ IntegrableOn rexp (Iic c) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
c y : ℝ
x✝ : y ∈ Iic 0

⊢ ∫ (x : ℝ) in id y..c, ‖rexp x‖ ≤ rexp c
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
c y : ℝ
x✝ : y ∈ Iic 0

⊢ 0 ≤ rexp (id y)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0

⊢ (C a * X ^ 2 + C b * X + C c).leadingCoeff = a
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
z : ℤ

⊢ (↑z).sign = ↑z.sign
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
z : ℤ
hn : z < 0

⊢ (↑z).sign = ↑z.sign
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean

⊢ (↑0).sign = ↑(Int.sign 0)
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
z : ℤ
hp : 0 < z

⊢ (↑z).sign = ↑z.sign
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hc : c ≠ 0
hd : d ≠ 0

⊢ (a * d - b * c) / (c * d) ≤ 0 ↔ a / c ≤ b / d
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.succ
i : Fin n
y✝ : α i.succ
z : α 0
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
x₀ y₀ : α 0
x y : (i : Fin n) → α i.succ

⊢ (∀ (i : Fin n), cons x₀ x i.succ ≤ cons y₀ y i.succ) ↔ x ≤ y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n'
inst✝² : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StarRing R
A : M
n : ℕ

⊢ (A ^ ↑n)ᴴ = Aᴴ ^ ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq n'
inst✝² : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StarRing R
A : M
n : ℕ

⊢ (A ^ -[n+1])ᴴ = Aᴴ ^ -[n+1]
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1)|↑𝒢 i] ≤ᶠ[ae μ] f i

⊢ Supermartingale f 𝒢 μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1)|↑𝒢 i] ≤ᶠ[ae μ] f i

⊢ Supermartingale (- -f) 𝒢 μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1)|↑𝒢 i] ≤ᶠ[ae μ] f i
i : ℕ

⊢ (-f) i ≤ᶠ[ae μ] -μ[f (i + 1)|↑𝒢 i]
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : p = 0
hn0 : ¬n = 0

⊢ (p ^ n).natDegree = n * p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : p = 0
hn0 : ¬n = 0

⊢ natDegree 0 = n * natDegree 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hpn0 : p ^ n = 0
h1 : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
h : 0 ≠ 0
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hpn0 : p ^ n = 0
h1 : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hpn : p ^ n ≠ 0

⊢ ↑(p ^ n).natDegree = ↑(n * p.natDegree)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
h : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hpn : p ^ n ≠ 0

⊢ n • ↑p.natDegree = ↑(n * p.natDegree)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α

⊢ insert a s ∪ t = insert a (s ∪ t)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n : ℕ

⊢ (cycleRange 2).IsThreeCycle
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α

⊢ countP (fun x => true) l = l.length
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α

⊢ ∀ (a : α), a ∈ l → true = true
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
x : M

⊢ x ∈ ↑(lieSpan R L s) ↔ ∀ (N : LieSubmodule R L M), s ⊆ ↑N → x ∈ N
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
s : Set M
x : M

⊢ x ∈ ⋂ s_1 ∈ {N | s ⊆ ↑N}, ↑s_1 ↔ ∀ (N : LieSubmodule R L M), s ⊆ ↑N → x ∈ N
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Trim.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s : Set α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0

⊢ (μ.trim hm).toOuterMeasure = μ.trim
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
hf₁ : ∀ (a : α₁) (b : β₁), f₁ a b ⊆ f₁' a b
hf₂ : ∀ (a : α₂) (b : β₂), f₂ a b ⊆ f₂' a b
hg₁ : ∀ (a : α₁) (b : β₂), g₁ a b ⊆ g₁' a b
hg₂ : ∀ (a : α₁) (b : β₂), g₂ a b ⊆ g₂' a b
val✝¹ : α₁
val✝ : β₁

⊢ sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ (inl val✝¹) (inl val✝) ⊆ sumLexLift f₁' f₂' g₁' g₂' (inl val✝¹) (inl val✝)
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
hf₁ : ∀ (a : α₁) (b : β₁), f₁ a b ⊆ f₁' a b
hf₂ : ∀ (a : α₂) (b : β₂), f₂ a b ⊆ f₂' a b
hg₁ : ∀ (a : α₁) (b : β₂), g₁ a b ⊆ g₁' a b
hg₂ : ∀ (a : α₁) (b : β₂), g₂ a b ⊆ g₂' a b
val✝¹ : α₁
val✝ : β₂

⊢ sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ (inl val✝¹) (inr val✝) ⊆ sumLexLift f₁' f₂' g₁' g₂' (inl val✝¹) (inr val✝)
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
hf₁ : ∀ (a : α₁) (b : β₁), f₁ a b ⊆ f₁' a b
hf₂ : ∀ (a : α₂) (b : β₂), f₂ a b ⊆ f₂' a b
hg₁ : ∀ (a : α₁) (b : β₂), g₁ a b ⊆ g₁' a b
hg₂ : ∀ (a : α₁) (b : β₂), g₂ a b ⊆ g₂' a b
val✝¹ : α₂
val✝ : β₁

⊢ sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ (inr val✝¹) (inl val✝) ⊆ sumLexLift f₁' f₂' g₁' g₂' (inr val✝¹) (inl val✝)
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
hf₁ : ∀ (a : α₁) (b : β₁), f₁ a b ⊆ f₁' a b
hf₂ : ∀ (a : α₂) (b : β₂), f₂ a b ⊆ f₂' a b
hg₁ : ∀ (a : α₁) (b : β₂), g₁ a b ⊆ g₁' a b
hg₂ : ∀ (a : α₁) (b : β₂), g₂ a b ⊆ g₂' a b
val✝¹ : α₂
val✝ : β₂

⊢ sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ (inr val✝¹) (inr val✝) ⊆ sumLexLift f₁' f₂' g₁' g₂' (inr val✝¹) (inr val✝)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α

⊢ xᶜ = y ↔ yᶜ = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hy : 0 < y

⊢ x < logb b y ↔ b ^ x < y
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
s : Finset ι
n : ℕ

⊢ toMultiset (∑ i ∈ s, single i n) = n • s.val
-- Mathlib/Topology/LocallyClosed.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y

⊢ coborder s = s ∪ (frontier s)ᶜ
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α

⊢ (permutations'Aux x s).Nodup ↔ x ∉ s
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : (permutations'Aux x s).Nodup

⊢ x ∉ s
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : (permutations'Aux x s).Nodup
H : x ∈ s

⊢ False
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : (permutations'Aux x s).Nodup
H : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x

⊢ False
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x

⊢ False
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x

⊢ k < (permutations'Aux x s).length
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x

⊢ k + 1 < (permutations'Aux x s).length
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x

⊢ (permutations'Aux x s).nthLe k ?intro.intro.refine_1 = (permutations'Aux x s).nthLe (k + 1) ?intro.intro.refine_2
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x

⊢ (permutations'Aux x s).nthLe k ⋯ = (permutations'Aux x s).nthLe (k + 1) ⋯
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x

⊢ insertNth k x s = insertNth (k + 1) x s
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x
hl : (insertNth k x s).length = (insertNth (k + 1) x s).length

⊢ insertNth k x s = insertNth (k + 1) x s
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x
hl : (insertNth k x s).length = (insertNth (k + 1) x s).length
n : ℕ
hn : n < (insertNth k x s).length
hn' : n < (insertNth (k + 1) x s).length

⊢ (insertNth k x s).nthLe n hn = (insertNth (k + 1) x s).nthLe n hn'
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H✝ : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x
hl : (insertNth k x s).length = (insertNth (k + 1) x s).length
n : ℕ
hn : n < (insertNth k x s).length
hn' : n < (insertNth (k + 1) x s).length
H : n < k

⊢ (insertNth k x s).nthLe n hn = (insertNth (k + 1) x s).nthLe n hn'
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H : x ∈ s
n : ℕ
hk : n < s.length
hk' : s.nthLe n hk = x
hl : (insertNth n x s).length = (insertNth (n + 1) x s).length
hn : n < (insertNth n x s).length
hn' : n < (insertNth (n + 1) x s).length

⊢ (insertNth n x s).nthLe n hn = (insertNth (n + 1) x s).nthLe n hn'
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
h : ∀ (i j : ℕ) (h₁ : i < (permutations'Aux x s).length) (h₂ : j < (permutations'Aux x s).length), (permutations'Aux x s).nthLe i h₁ = (permutations'Aux x s).nthLe j h₂ → i = j
H✝ : x ∈ s
k : ℕ
hk : k < s.length
hk' : s.nthLe k hk = x
hl : (insertNth k x s).length = (insertNth (k + 1) x s).length
n : ℕ
hn : n < (insertNth k x s).length
hn' : n < (insertNth (k + 1) x s).length
H : k < n

⊢ (insertNth k x s).nthLe n hn = (insertNth (k + 1) x s).nthLe n hn'
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ

⊢ T R (n - 2) = 2 * X * T R (n - 1) - T R n
-- Mathlib/Topology/Algebra/ContinuousMonoidHom.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : Monoid A
inst✝⁹ : Monoid B
inst✝⁸ : Monoid C
inst✝⁷ : Monoid D
inst✝⁶ : CommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace C
inst✝² : TopologicalSpace D
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalGroup E
f g : ContinuousMonoidHom A B
h : f.toContinuousMap = g.toContinuousMap

⊢ ∀ (x : A), f x = g x
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
j j' : J
f : j ⟶ j'

⊢ (((Functor.const J).obj (limit F)).map f ≫ (fun j => { hom := limit.π (F ⋙ forget C) j, one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) j').hom = ((fun j => { hom := limit.π (F ⋙ forget C) j, one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) j ≫ F.map f).hom
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx : 1 < x
hz : 0 < z

⊢ 1 < x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z✝ : ℝ
n : ℕ
x z : ℝ
hx : 1 < x
hz : 0 < z

⊢ 1 ^ z < x ^ z
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
hc : IsComplete ↑(iSup V)
this : CompleteSpace ↥(iSup V)

⊢ DirectSum.IsInternal V ↔ (iSup V)ᗮ = ⊥
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t l l' : Multiset α
hl : l.Nodup
hl' : l'.Nodup
h : l.toFinset = l'.toFinset

⊢ l = l'
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ⟦s₁⟧.Disjoint ⟦s₂⟧

⊢ ⟦s₁⟧ ∪ ⟦s₂⟧ = ⟦s₂⟧ ∪ ⟦s₁⟧
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]

⊢ (List.map (fun f => f.support.inf degt) l).sum ≤ l.prod.support.inf degt
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]

⊢ Quot.lift (fun l => List.foldr (fun x x_1 => x ⊓ x_1) ⊤ l) ⋯ (Multiset.map degt l.prod.support.val) ≤ List.foldl (fun x x_1 => x + x_1) 0 (List.map (fun f => f.support.inf degt) l)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]

⊢ degt 0 ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹¹ : SemilatticeSup B
inst✝¹⁰ : OrderBot B
inst✝⁹ : SemilatticeInf T
inst✝⁸ : OrderTop T
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddMonoid B
inst✝⁴ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝³ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : CovariantClass T T (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass T T (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
degb : A → B
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]

⊢ ∀ (a b : A), degt (a + b) ≤ degt a + degt b
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable σ
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : PrimrecPred p
f : α → Subtype p
this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp

⊢ (Primrec fun a => ↑(f a)) ↔ Primrec f
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable σ
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : PrimrecPred p
f : α → Subtype p
this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp
h : Primrec fun a => ↑(f a)

⊢ Primrec f
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable σ
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
hp : PrimrecPred p
f : α → Subtype p
this : Primcodable (Subtype p) := Primcodable.subtype hp
h : Primrec fun a => ↑(f a)
n : ℕ

⊢ encode (Option.map (fun a => ↑(f a)) (decode n)) = encode (Option.map f (decode n))
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : ι → Filter α
m : α → β
hf : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
inst✝ : Nonempty ι
s : Set β
hs : m ⁻¹' s ∈ iInf f
i : ι
hi : m ⁻¹' s ∈ f i

⊢ map m (f i) ≤ 𝓟 s
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W

⊢ ‖fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)) w n‖ ≤ (2 * π) ^ k * (2 * ↑k + 2) ^ n * ‖L‖ ^ k * ∑ p ∈ Finset.range (k + 1) ×ˢ Finset.range (n + 1), ∫ (v : V), ‖v‖ ^ p.1 * ‖iteratedFDeriv ℝ p.2 f v‖ ∂μ