ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K

⊢ ((limitIsoLimitCurryCompLim G).inv ≫ (HasLimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).inv ≫ (limitIsoLimitCurryCompLim (Prod.swap K J ⋙ G)).hom) ≫ limit.π (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ lim) k ≫ limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j = limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K

⊢ (limitIsoLimitCurryCompLim G).inv ≫ limit.π G ((Prod.braiding K J).functor.obj (k, j)) ≫ (𝟙 ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G)).app (k, j) = limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasLimits C
j : J
k : K

⊢ (limitIsoLimitCurryCompLim G).inv ≫ limit.π G ((Prod.braiding K J).functor.obj (k, j)) ≫ 𝟙 (((Prod.braiding K J).functor ⋙ G).obj (k, j)) = limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k
-- Mathlib/Topology/Category/Sequential.lean
X✝ : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : SequentialSpace X✝
X Y : Sequential
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
x : (forget Sequential).obj X

⊢ ({ toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ }) x = (𝟙 X) x
-- Mathlib/Topology/Category/Sequential.lean
X✝ : Type u
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : SequentialSpace X✝
X Y : Sequential
f : ↑X.toTop ≃ₜ ↑Y.toTop
x : (forget Sequential).obj Y

⊢ ({ toFun := ⇑f.symm, continuous_toFun := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑f, continuous_toFun := ⋯ }) x = (𝟙 Y) x
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : MulZeroClass α
s t : Finset α
hs : s.Nonempty

⊢ 0 ⊆ 0 * s
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ

⊢ IsIntegral A (discr K ⇑b • a * x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det

⊢ IsIntegral A (discr K ⇑b • a * x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : (traceMatrix K ⇑b *ᵥ (traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)

⊢ IsIntegral A (discr K ⇑b • a * x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : (traceMatrix K ⇑b *ᵥ (traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec

⊢ IsIntegral A (discr K ⇑b • a * x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec

⊢ IsIntegral A (discr K ⇑b • a * x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec

⊢ IsIntegral A (∑ i : ι, b.equivFun (discr K ⇑b • a * x) i • b i)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec

⊢ ∀ x_1 ∈ Finset.univ, IsIntegral A (b.equivFun (discr K ⇑b • a * x) x_1 • b x_1)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ

⊢ IsIntegral A (b.equivFun (discr K ⇑b • a * x) i • b i)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ

⊢ IsIntegral A ((algebraMap K L) ((traceMatrix K ⇑b).cramer (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) i) * b i)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ

⊢ (algebraMap A L).IsIntegralElem ((algebraMap K L) ((traceMatrix K ⇑b).cramer (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) i))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ

⊢ IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).cramer (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) i)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ

⊢ IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).updateColumn i fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)).det
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ

⊢ ∀ (i_1 j : ι), IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).updateColumn i (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) i_1 j)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
j k : ι

⊢ IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).updateColumn i (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) j k)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing A
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : CommRing B
inst✝¹⁷ : Field L
inst✝¹⁶ : Algebra A K
inst✝¹⁵ : Algebra B L
inst✝¹⁴ : Algebra A B
inst✝¹³ : Algebra K L
inst✝¹² : Algebra A L
inst✝¹¹ : IsScalarTower A K L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A B L
inst✝⁹ : IsDomain A
inst✝⁸ : IsFractionRing A K
inst✝⁷ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁶ : IsFractionRing B L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
j k : ι

⊢ IsIntegral A (if k = i then (Algebra.trace K L) (x * a * b j) else traceMatrix K (⇑b) j k)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
F' : ι → 𝕜 → 𝕜 →L[𝕜] G := fun n z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)
G' : 𝕜 → 𝕜 →L[𝕜] G := fun z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' z)

⊢ HasDerivAt g (g' x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hfg : ∀ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
F' : ι → 𝕜 → 𝕜 →L[𝕜] G := fun n z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)
G' : 𝕜 → 𝕜 →L[𝕜] G := fun z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' z)
hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1 n.2)) n.2

⊢ HasFDerivAt g (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' x)) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
inst✝ : l.NeBot
hf'✝ : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hfg : ∀ᶠ (y : 𝕜) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
F' : ι → 𝕜 → 𝕜 →L[𝕜] G := fun n z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)
G' : 𝕜 → 𝕜 →L[𝕜] G := fun z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' z)
hf : ∀ᶠ (n : ι × 𝕜) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1 n.2)) n.2
hf' : TendstoUniformlyOnFilter F' G' l (𝓝 x)

⊢ HasFDerivAt g (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' x)) x
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
ι : Type u_5
κ : Type u_6
f : ι → Y
g : κ → Z
hf : DenseRange f
hg : DenseRange g

⊢ DenseRange (Prod.map f g)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
a : K

⊢ mixedEmbedding.norm ((mixedEmbedding K) a) = 0 ↔ (mixedEmbedding K) a = 0
-- Mathlib/Data/Matroid/Sum.lean
α : Type u
β : Type v
M✝ N✝ M : Matroid α
N : Matroid β
I : Set (α ⊕ β)

⊢ (M.sum N).Indep I ↔ M.Indep (Sum.inl ⁻¹' I) ∧ N.Indep (Sum.inr ⁻¹' I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Sum.lean
α : Type u
β : Type v
M✝ N✝ M : Matroid α
N : Matroid β
I : Set (α ⊕ β)

⊢ M.Indep ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk false ⁻¹' ((fun a => (Equiv.sumEquivSigmaBool (ULift.{v, u} α) (ULift.{u, v} β)) a) '' ((fun a => Sum.map (⇑Equiv.ulift.symm) (⇑Equiv.ulift.symm) a) '' I)))) ∧ N.Indep ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk true ⁻¹' ((fun a => (Equiv.sumEquivSigmaBool (ULift.{v, u} α) (ULift.{u, v} β)) a) '' ((fun a => Sum.map (⇑Equiv.ulift.symm) (⇑Equiv.ulift.symm) a) '' I)))) ↔ M.Indep (Sum.inl ⁻¹' I) ∧ N.Indep (Sum.inr ⁻¹' I)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R

⊢ wittMul p 0 = X (0, 0) * X (1, 0)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R

⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittMul p 0) = (map (Int.castRingHom ℚ)) (X (0, 0) * X (1, 0))
-- Mathlib/Algebra/Ring/BooleanRing.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b : α

⊢ a * (a + b + a * b) = a
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/CommShift.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.89019, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0

⊢ F.map ((shiftFunctorCompIsoId C a b h).inv.app X) = (shiftFunctorCompIsoId D a b h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso b).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/CommShift.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.89019, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : AddMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : HasShift C A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift C B
inst✝¹ : HasShift D B
inst✝ : F.CommShift A
X : C
a b : A
h : a + b = 0

⊢ 𝟙 (F.obj ((shiftFunctor C a ⋙ shiftFunctor C b).obj X)) = ((F.commShiftIso b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).hom.app X) ≫ (shiftFunctorCompIsoId D a b h).hom.app (F.obj X)) ≫ (shiftFunctorCompIsoId D a b h).inv.app (F.obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map ((F.commShiftIso a).inv.app X) ≫ (F.commShiftIso b).inv.app ((shiftFunctor C a).obj X)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq α
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : MulZeroOneClass R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : MulZeroOneClass S
inst✝¹ : DecidableEq S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →*₀ S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : WithTop R

⊢ { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun x * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq α
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : MulZeroOneClass R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : MulZeroOneClass S
inst✝¹ : DecidableEq S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →*₀ S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : WithTop R
this : ∀ (z : WithTop R), map (⇑f) z = 0 ↔ z = 0

⊢ { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun x * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq α
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : MulZeroOneClass R
inst✝⁴ : DecidableEq R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : MulZeroOneClass S
inst✝¹ : DecidableEq S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →*₀ S
hf : Function.Injective ⇑f
y : WithTop R
this : ∀ (z : WithTop R), map (⇑f) z = 0 ↔ z = 0

⊢ { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun (0 * y) = { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun 0 * { toFun := map ⇑f, map_zero' := ⋯ }.toFun y