ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : { x // x.SieveCompatible }
f f' : S.arrows.categoryᵒᵖ
g : f ⟶ f'

⊢ 𝟙 (unop E) ≫ ↑x (unop f').obj.hom ⋯ = ↑x (g.unop.left ≫ (unop f).obj.hom) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : { x // x.SieveCompatible }
f f' : S.arrows.categoryᵒᵖ
g : f ⟶ f'

⊢ ↑x (unop f').obj.hom ⋯ = ↑x (g.unop.left ≫ (unop f).obj.hom) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : { x // x.SieveCompatible }
f f' : S.arrows.categoryᵒᵖ
g : f ⟶ f'

⊢ g.unop.left ≫ (unop f).obj.hom = (unop f').obj.hom
-- Mathlib/InformationTheory/Hamming.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i

⊢ hammingDist x y = 0 → x = y
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ω
hb : ↑n < ω

⊢ ↑m * ↑n < ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ω
hb : ↑n < ω

⊢ ↑(m * n) < ω
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≤ b

⊢ Icc a b \ Ioc a b = {a}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Div G✝
inst✝³ : ContinuousDiv G✝
G : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousSub G
b c : G
f : α → G
l : Filter α

⊢ Tendsto (fun x => f x - b) l (𝓝 (c - b)) ↔ Tendsto f l (𝓝 c)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Div G✝
inst✝³ : ContinuousDiv G✝
G : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousSub G
b c : G
f : α → G
l : Filter α
h : Tendsto (fun x => f x - b) l (𝓝 (c - b))

⊢ Tendsto f l (𝓝 c)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p : P

⊢ Coplanar k (insert p s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p : P
this : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)

⊢ Coplanar k (insert p s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
h : Collinear k s
p : P
this : FiniteDimensional k ↥(vectorSpan k s)

⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (insert p s)) ≤ 2
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α

⊢ ⋃ i, ⋃ j, s i j = univ ↔ ∀ (a : α), ∃ i j, a ∈ s i j
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

⊢ p1 𝒰 f g ≫ f = p2 𝒰 f g ≫ g
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

⊢ ∀ (b : (gluing 𝒰 f g).diagram.R), Multicoequalizer.π (gluing 𝒰 f g).diagram b ≫ p1 𝒰 f g ≫ f = Multicoequalizer.π (gluing 𝒰 f g).diagram b ≫ p2 𝒰 f g ≫ g
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : Infinite α
s : Set β
f : α → β
hi : Injective f
hf : ∀ (x : α), f x ∈ s

⊢ s.Infinite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : Infinite α
s : Set β
f : α → β
hi : Injective f
hf : range f ⊆ s

⊢ s.Infinite
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q✝ : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational (-x)
x✝ : x ∈ Set.range Rat.cast
q : ℚ
hx : ↑q = x

⊢ ↑(-q) = -x
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b : EReal
h : a ≤ -b

⊢ b ≤ -a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ

⊢ UnifTight (-f) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ

⊢ ∀ ⦃ε : ℝ≥0⦄, 0 < ε → ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ
a b : R
h : ↑n * a = ↑n * b
w : n ≠ 0

⊢ a = b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)

⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1

⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1

⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)

⊢ IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
I : IntegrableOn (φ i) t μ

⊢ IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
I : IntegrableOn (φ i) t μ
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u) μ

⊢ IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
I : IntegrableOn (φ i) t μ
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u) μ
B : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s ∩ u) μ

⊢ IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
I : IntegrableOn (φ i) t μ
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u) μ
B : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s ∩ u) μ

⊢ s = s \ u ∪ s ∩ u
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatibleSheafification.lean
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁹ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁸ : Category.{max v u, w₂} E
F✝ : D ⥤ E
inst✝⁷ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁶ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝⁵ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁴ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝³ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F✝
inst✝² : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F✝
P✝ P : Cᵒᵖ ⥤ D
F : D ⥤ E
inst✝¹ : (F : D ⥤ E) → (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝ : (F : D ⥤ E) → (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

⊢ (𝟙 (J.plusObj (J.plusObj (P ⋙ F))) ≫ J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv) ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv = J.plusMap (J.plusCompIso F P).inv ≫ (J.plusCompIso F (J.plusObj P)).inv
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CommSemigroup α
inst✝ : CommSemigroup β
f : α → β
a b : α

⊢ f (max a b) * f (min a b) = f a * f b
-- Mathlib/Data/Sigma/Basic.lean
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
γ : Type u_7
inst✝ : Nonempty γ
a : α
f : γ → β a
i : γ
g : γ → β a
h : mk a ∘ f = mk a ∘ g

⊢ a = a ∧ HEq f g
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : Monoid γ
inst✝² : (i : ι) → AddMonoid (β i)
inst✝¹ : (i : ι) → DistribMulAction γ (β i)
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
r : γ
f : Π₀ (i : ι), β i
i✝ : ι

⊢ (filter p (r • f)) i✝ = (r • filter p f) i✝
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z : ℂ
x : ℚ

⊢ (z / ↑x).im = z.im / ↑x
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M

⊢ mulSupport f = ∅ ↔ f = 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M

⊢ (∀ x ∉ ∅, f x = 1) ↔ ∀ (a : α), f a = 1 a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
c : Ordinal.{u}
hc : ℵ₀ < c.cof
hc' : #ι < c.cof
hf : ∀ (i : ι), ∀ b < c, f i b < c
a : Ordinal.{u}

⊢ Cardinal.lift.{u, u} #ι < c.cof
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M

⊢ (φ ⊔ ψ).Realize v xs ↔ φ.Realize v xs ∨ ψ.Realize v xs
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v : α → M
xs : Fin l → M

⊢ (∼φ ⟹ ψ).Realize v xs ↔ φ.Realize v xs ∨ ψ.Realize v xs
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

⊢ EventuallyConst s⁻¹ (ae μ) ↔ EventuallyConst s (ae μ)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
hn : N ≠ 0
χ : DirichletCharacter ℂ N

⊢ (abscissaOfAbsConv fun n => χ ↑n) = 1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/PDeriv.lean
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
f g : MvPolynomial σ R

⊢ (pderiv i) (f * g) = (pderiv i) f * g + f * (pderiv i) g
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.RespectsIso
X Y S : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
h : P.diagonal g

⊢ P.diagonal (pullback.fst f g)
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.RespectsIso
X Y S : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
h : P.diagonal g

⊢ P ((Over.pullback f).map (Over.homMk (pullback.diagonal g) ⋯)).left
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ

⊢ ∑ i ∈ range n, a / b ^ i ≤ a * b / (b - 1)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ

⊢ (∑ i ∈ range n, a / b ^ i) * (b - 1) ≤ a * b
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ

⊢ (∑ i ∈ range (n + 1), a / b ^ i) * (b - 1) ≤ a * b
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
b : ℕ
hb : 2 ≤ b
a n : ℕ

⊢ (b - 1) * ∑ i ∈ range (n + 1), a / b ^ i ≤ a * b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n✝ : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f✝ g : 𝕜 → F
n : ℕ
f : 𝕜 → F
a : 𝕜

⊢ iteratedDeriv n (fun x => -f x) a = -iteratedDeriv n f a
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

⊢ map (addRightEmbedding c) (Ioc a b) = Ioc (a + c) (b + c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

⊢ ⇑(addRightEmbedding c) '' Set.Ioc a b = Set.Ioc (a + c) (b + c)
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
a b c : ℤ
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
hk : Odd k
h : a * b = c ^ k

⊢ b * a = ?m.13357 ^ k
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t

⊢ tᶜ * closure {1} = tᶜ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t

⊢ tᶜ * closure {1} ⊆ tᶜ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
x : G
hx : x ∈ tᶜ
g : G
hg : g ∈ closure {1}

⊢ (fun x x_1 => x * x_1) x g ∈ tᶜ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
x : G
hx : x ∈ tᶜ
g : G
hg : g ∈ closure {1}
H : (fun x x_1 => x * x_1) x g ∉ tᶜ

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H✝ : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
ht : t * closure {1} = t
x : G
hx : x ∈ tᶜ
g : G
hg : g ∈ closure {1}
H : (fun x x_1 => x * x_1) x g ∉ tᶜ
this : x ∈ t * closure {1}

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra

⊢ Finite A₂ B₂
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁

⊢ Finite A₂ B₂
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝¹ : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }

⊢ Finite A₂ B₂
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R N
A₁ : Type u_6
B₁ : Type u_7
A₂ : Type u_8
B₂ : Type u_9
inst✝⁶ : CommRing A₁
inst✝⁵ : CommRing B₁
inst✝⁴ : CommRing A₂
inst✝³ : CommRing B₂
inst✝² : Algebra A₁ B₁
inst✝¹ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
inst✝ : Finite A₁ B₁
this✝² : Algebra A₁ A₂ := e₁.toRingHom.toAlgebra
this✝¹ : Algebra A₂ B₁ := ((algebraMap A₁ B₁).comp e₁.symm.toRingHom).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower A₁ A₂ B₁
e : B₁ ≃ₐ[A₂] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
this : Finite A₂ B₁

⊢ Finite A₂ B₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Commute/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : DivisionMonoid G
a b c d : G
hbc : Commute b c
hbd : Commute b⁻¹ d
hcd : Commute c⁻¹ d

⊢ a / b / (c / d) = a / c / (b / d)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs' : s.Nonempty
s_mble : MeasurableSet s

⊢ count s ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs' : s.Nonempty
s_mble : MeasurableSet s

⊢ ¬s = ∅
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ ((fun X => { X := A.X.obj X, one := A.one.app X, mul := A.mul.app X, one_mul := ⋯, mul_one := ⋯, mul_assoc := ⋯ }) X✝).one ≫ A.X.map f = ((fun X => { X := A.X.obj X, one := A.one.app X, mul := A.mul.app X, one_mul := ⋯, mul_one := ⋯, mul_assoc := ⋯ }) Y✝).one
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ 𝟙 (𝟙_ D) ≫ A.one.app Y✝ = ((fun X => { X := A.X.obj X, one := A.one.app X, mul := A.mul.app X, one_mul := ⋯, mul_one := ⋯, mul_assoc := ⋯ }) Y✝).one
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Internal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
A : Mon_ (C ⥤ D)
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ 𝟙 (𝟙_ D) ≫ A.one.app Y✝ = A.one.app Y✝