ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =O[l] g
c : ℝ
h₀ : c ≥ 0
hc : IsBigOWith c l f g
x : α
hx : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖

⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ‖f x / g x‖ c
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α✝ → E
g✝ : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
l : Filter α
f g : α → 𝕜
h : f =O[l] g
c : ℝ
h₀ : c ≥ 0
hc : IsBigOWith c l f g
x : α
hx : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖

⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (‖f x‖ / ‖g x‖) c
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁ : b ≤ 1

⊢ Antitone fun x => b ^ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
b : ℝ
hb₀ : 0 < b
hb₁✝ : b ≤ 1
hb₁ : b < 1

⊢ Antitone fun x => b ^ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hb₀ : 0 < 1
hb₁ : 1 ≤ 1

⊢ Antitone fun x => 1 ^ x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r✝ : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
x : Fin n → ℝ
r : ℝ
hr : 0 < r

⊢ dimH (Metric.ball x r) = ↑n
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a b m : ℝ
x y : E
f : E → ℝ

⊢ StrongConvexOn s m f ↔ ConvexOn ℝ s fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strong.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
φ ψ : ℝ → ℝ
s : Set E
a✝ b✝ m : ℝ
x✝³ y✝ : E
f : E → ℝ
x✝² : Convex ℝ s
x : E
x✝¹ : x ∈ s
y : E
x✝ : y ∈ s
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ f (a • x + b • y) ≤ a • f x + b • f y - a * b * (fun r => m / 2 * r ^ 2) ‖x - y‖ ↔ (fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2) (a • x + b • y) ≤ a • (fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2) x + b • (fun x => f x - m / 2 * ‖x‖ ^ 2) y
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : Algebra S B
g : R →ₐ[S] A
y x✝ : σ → A
i✝ : σ

⊢ (aevalTower (Algebra.ofId S A) x✝) (X i✝) = (aeval x✝) (X i✝)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Trunc.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
f g : R⟦X⟧

⊢ trunc n (↑(trunc n f) * ↑(trunc n g)) = trunc n (f * g)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0

⊢ Real.sin (angle x (x - y)) = ‖y‖ / ‖x - y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0

⊢ Real.sin (angle x (x - y)) = ‖y‖ / ‖x - y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ -y ≠ 0

⊢ Real.sin (angle x (x - y)) = ‖y‖ / ‖x - y‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
u : M

⊢ ∑ i : ι, b.equivFun u i • b i = u
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹² : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝³ : Fintype ι
V : Type u_8
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
S : Submodule 𝕜 V
L✝ L : ↥S →ₗᵢ[𝕜] V
s : ↥S

⊢ L.extend ↑s = L s
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹² : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝³ : Fintype ι
V : Type u_8
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
S : Submodule 𝕜 V
L✝ L : ↥S →ₗᵢ[𝕜] V
s : ↥S
this : CompleteSpace ↥S

⊢ L.extend ↑s = L s
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹² : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝³ : Fintype ι
V : Type u_8
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 V
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 V
S : Submodule 𝕜 V
L✝ L : ↥S →ₗᵢ[𝕜] V
s : ↥S
this : CompleteSpace ↥S

⊢ (L.toLinearMap ∘ₗ ↑(orthogonalProjection S) + ((LinearMap.range L.toLinearMap)ᗮ.subtypeₗᵢ.comp ((stdOrthonormalBasis 𝕜 ↥Sᗮ).repr.trans ((stdOrthonormalBasis 𝕜 ↥(LinearMap.range L.toLinearMap)ᗮ).reindex (finCongr ⋯)).repr.symm).toLinearIsometry).toLinearMap ∘ₗ ↑(orthogonalProjection Sᗮ)) ↑s = L.toLinearMap s
-- Mathlib/Data/Set/Enumerate.lean
α : Type u_1
sel : Set α → Option α
h_sel : ∀ (s : Set α) (a : α), sel s = some a → a ∈ s
s : Set α
n : ℕ
a : α

⊢ enumerate sel s (n + 1) = some a → a ∈ s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
x : E
U : Set E

⊢ U ∈ 𝓝 x ↔ ∃ s, ∃ r > 0, (s.sup p).ball x r ⊆ U
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/LieGroup.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : GroupWithZero G
inst✝⁶ : SmoothInv₀ I G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
a : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiff I' I n f
hg : ContMDiff I' I n g
h₀ : ∀ (x : M), g x ≠ 0

⊢ ContMDiff I' I n (f / g)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
d : ℝ≥0∞

⊢ s.einfsep < d ↔ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ edist x y < d
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
m : ℕ∞

⊢ 0 = m ↔ m = 0
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y✝ : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y✝
inst✝ : TopologicalSpace Z
p✝ : X → Prop
Y : Type u_5
p : X → Prop
l : Filter Y
f : Y → Subtype p
a : X
ha : p a

⊢ Tendsto f l (𝓝 ⟨a, ha⟩) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 ↑⟨a, ha⟩)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y✝ : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y✝
inst✝ : TopologicalSpace Z
p✝ : X → Prop
Y : Type u_5
p : X → Prop
l : Filter Y
f : Y → Subtype p
a : X
ha : p a

⊢ Tendsto (Subtype.val ∘ f) l (𝓝 a) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝 ↑⟨a, ha⟩)
-- Mathlib/Order/Antichain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
t : Set α
a b : α
inst✝ : Preorder α

⊢ IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) {a} ∧ IsGreatest {a} a
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
inst✝ : IsIso g
H : P (f ≫ g)

⊢ P f
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : S ⟶ T
inst✝ : IsIso g
H : P (f ≫ g)

⊢ f = (asIso g).symm.commRingCatIsoToRingEquiv.toRingHom.comp (f ≫ g)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ interior s = ∅ ↔ Dense sᶜ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{u}
c : Ordinal.{u}
hι : #ι < c.cof

⊢ Cardinal.lift.{u, u} #ι < c.cof
-- Mathlib/Order/Sublattice.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M : Sublattice α
f : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α

⊢ ↑L = univ ↔ L = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ
c : ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => c) a ∂μ = c * μ s
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iCondIndep m hm s μ
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iCondIndep m hm s μ
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
h : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, ((condexpKernel μ m) x) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) x) t = 1

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iCondIndep m hm s μ
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
h : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, ((condexpKernel μ m) x) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) x) t = 1
ht : MeasurableSet t

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iCondIndep m hm s μ
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
h : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, ((condexpKernel μ m) x) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) x) t = 1
ht : MeasurableSet t
ω : Ω
hω_eq : (((condexpKernel μ m) ω) t).toReal = (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω
hω : ((condexpKernel μ m) ω) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) ω) t = 1

⊢ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 0 ∨ (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω = 1
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm : m ≤ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iCondIndep m hm s μ
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t
h : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, ((condexpKernel μ m) x) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) x) t = 1
ht : MeasurableSet t
ω : Ω
hω_eq : (((condexpKernel μ m) ω) t).toReal = (μ[t.indicator fun ω => 1|m]) ω
hω : ((condexpKernel μ m) ω) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) ω) t = 1

⊢ (((condexpKernel μ m) ω) t = 0 ∨ ((condexpKernel μ m) ω) t = ⊤) ∨ ((condexpKernel μ m) ω) t = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

⊢ t ∈ ∂⁺ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, s ⊆ t ∧ (t \ s).card = k
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

⊢ (∃ u, u.card = k ∧ u ⊆ t ∧ t \ u ∈ 𝒜) ↔ ∃ s ∈ 𝒜, s ⊆ t ∧ (t \ s).card = k
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 4 = 1
hr : jacobiSymNat b a = r

⊢ jacobiSymNat a b = r
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α

⊢ a ∈ ⨅ i, f i ↔ ∀ (i : ι), a ∈ f i
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α

⊢ a ∈ ⋂ i, ↑(f i) ↔ ∀ (i : ι), a ∈ f i
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y1 y2 : HomogeneousLocalization 𝒜 x

⊢ (y1 - y2).val = y1.val - y2.val
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y1 y2 : HomogeneousLocalization 𝒜 x

⊢ (y1 - y2).val = (y1 + -y2).val
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : N₁.normalizer = N₁
k : ℕ

⊢ ucs k ⊥ ≤ N₁
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : N₁.normalizer = N₁
k : ℕ

⊢ ucs k ⊥ ≤ ucs k N₁
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f'✝ : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f' : α → E' × F'

⊢ (fun x => (f' x).2) =O[l] f'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W a : Submodule R M
a✝ : Submodule R (Module.Dual R M)

⊢ (⇑OrderDual.toDual ∘ dualAnnihilator) a ≤ OrderDual.toDual a✝ ↔ a ≤ (dualCoannihilator ∘ ⇑OrderDual.ofDual) (OrderDual.toDual a✝)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W a : Submodule R M
a✝ : Submodule R (Module.Dual R M)

⊢ a✝ ≤ a.dualAnnihilator ↔ a ≤ a✝.dualCoannihilator
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i j : ι

⊢ b.equivFun (b i) j = if i = j then 1 else 0
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
t : ℕ → Set α

⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (μ (⨆ i, t i)) (∑' (i : ℕ), μ (t i))
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α

⊢ e = s((Quot.out e).2, (Quot.out e).1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
X' X : C
Y Y' : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y'
h : X' ⟶ G.obj Y
k : Y ⟶ Y'
w : f ≫ g = h ≫ G.map k

⊢ F.map f ≫ (adj.homEquiv X Y').symm g = (adj.homEquiv X' Y).symm h ≫ k
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles C
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles C
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ
hT₁ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₂ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁

⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ
hT₁ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₂ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
c : (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂)).obj₁ ⟶ (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁)).obj₁
hc₁ : (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂)).mor₁ ≫ b.unop = c ≫ (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁)).mor₁
hc₂ : (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂)).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map c = a.unop ≫ (Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁)).mor₃

⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a = c ≫ T₂.mor₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle Cᵒᵖ
hT₁ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₁) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
hT₂ : Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T₂) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
comm : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
c : Opposite.unop T₂.obj₃ ⟶ Opposite.unop T₁.obj₃
hc₁ : T₂.mor₂.unop ≫ b.unop = c ≫ T₁.mor₂.unop
hc₂ : (((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₂.obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map T₂.mor₃.unop) ≫ (shiftFunctor C 1).map c = a.unop ≫ ((opShiftFunctorEquivalence C 1).unitIso.inv.app T₁.obj₁).unop ≫ (shiftFunctor C 1).map T₁.mor₃.unop

⊢ ∃ c, T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map a = c ≫ T₂.mor₃