ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : ChartedSpace H M
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
e : PartialHomeomorph M H
x✝ : M
m n : ℕ∞
x : H

⊢ (↑I ∘ ↑I.symm) (↑I x) = id (↑I x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S S' : C ⥤ D
X : CostructuredArrow S T

⊢ (eqToHom ⋯).left = eqToHom ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
h_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
h_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

⊢ (fun a => ↑‖f a‖₊) =ᶠ[ae μ] fun a => ENNReal.ofReal (f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
h_nonneg : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
x : α
hx : 0 x ≤ f x

⊢ ↑‖f x‖₊ = ENNReal.ofReal (f x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h₁ : s ≤ᶠ[ae μ] t
h₂ : μ t ≤ μ s
hsm : MeasurableSet s
ht : μ t ≠ ⊤

⊢ s =ᶠ[ae μ] t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h₁ : s ≤ᶠ[ae μ] t
h₂ : μ t ≤ μ s
hsm : MeasurableSet s
ht : μ t ≠ ⊤

⊢ μ (t \ s) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h₁ : s ≤ᶠ[ae μ] t
hsm : MeasurableSet s
ht : μ t ≠ ⊤
h₂ : μ t = μ s

⊢ μ (t \ s) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h₁ : s ≤ᶠ[ae μ] t
hsm : MeasurableSet s
h₂ : μ t = μ s
ht : μ s ≠ ⊤

⊢ μ (t \ s) = 0
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/GelfandDuality.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedCommRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
a✝ : Nontrivial A
a : A

⊢ ‖(gelfandTransform ℂ A) a‖ = ‖a‖
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/GelfandDuality.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedCommRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
a✝ : Nontrivial A
a : A
this : spectralRadius ℂ ((gelfandTransform ℂ A) (star a * a)) = spectralRadius ℂ (star a * a)

⊢ ‖(gelfandTransform ℂ A) a‖ = ‖a‖
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/GelfandDuality.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedCommRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
a✝ : Nontrivial A
a : A
this : ↑‖star ((gelfandTransform ℂ A) a) * (gelfandTransform ℂ A) a‖₊ = ↑‖star a * a‖₊

⊢ ‖(gelfandTransform ℂ A) a‖ = ‖a‖
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/GelfandDuality.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedCommRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
inst✝ : StarModule ℂ A
a✝ : Nontrivial A
a : A
this : ‖(gelfandTransform ℂ A) a‖₊ ^ 2 = ‖a‖₊ ^ 2

⊢ ‖(gelfandTransform ℂ A) a‖ = ‖a‖
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
ih : ∀ (x : ℤ_[p]), x.appr n < p ^ n
x : ℤ_[p]

⊢ x.appr (n + 1) < p ^ (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
ih : ∀ (x : ℤ_[p]), x.appr n < p ^ n
x : ℤ_[p]

⊢ (if h : x - ↑(x.appr n) = 0 then x.appr n else x.appr n + p ^ n * (toZMod ↑(unitCoeff ⋯) * 0 ^ match (x - ↑(x.appr n)).valuation - ↑n with | Int.ofNat m => m | Int.negSucc m => m.succ).val) < p ^ (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
n : ℕ
ih : ∀ (x : ℤ_[p]), x.appr n < p ^ n
x : ℤ_[p]
hp : p ^ n < p ^ (n + 1)

⊢ (if h : x - ↑(x.appr n) = 0 then x.appr n else x.appr n + p ^ n * (toZMod ↑(unitCoeff ⋯) * 0 ^ match (x - ↑(x.appr n)).valuation - ↑n with | Int.ofNat m => m | Int.negSucc m => m.succ).val) < p ^ (n + 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
e : Arrow.mk T₁.mor₁ ≅ Arrow.mk T₂.mor₁

⊢ ∃ e', e'.hom.hom₁ = e.hom.left ∧ e'.hom.hom₂ = e.hom.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
e : Arrow.mk T₁.mor₁ ≅ Arrow.mk T₂.mor₁
φ : T₁ ⟶ T₂ := completeDistinguishedTriangleMorphism T₁ T₂ hT₁ hT₂ e.hom.left e.hom.right ⋯

⊢ ∃ e', e'.hom.hom₁ = e.hom.left ∧ e'.hom.hom₂ = e.hom.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
e : Arrow.mk T₁.mor₁ ≅ Arrow.mk T₂.mor₁
φ : T₁ ⟶ T₂ := completeDistinguishedTriangleMorphism T₁ T₂ hT₁ hT₂ e.hom.left e.hom.right ⋯
this✝ : IsIso φ.hom₁
this : IsIso φ.hom₂

⊢ ∃ e', e'.hom.hom₁ = e.hom.left ∧ e'.hom.hom₂ = e.hom.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
e : Arrow.mk T₁.mor₁ ≅ Arrow.mk T₂.mor₁
φ : T₁ ⟶ T₂ := completeDistinguishedTriangleMorphism T₁ T₂ hT₁ hT₂ e.hom.left e.hom.right ⋯
this✝¹ : IsIso φ.hom₁
this✝ : IsIso φ.hom₂
this : IsIso φ.hom₃

⊢ ∃ e', e'.hom.hom₁ = e.hom.left ∧ e'.hom.hom₂ = e.hom.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T₁ T₂ : Triangle C
hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles
hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles
e : Arrow.mk T₁.mor₁ ≅ Arrow.mk T₂.mor₁
φ : T₁ ⟶ T₂ := completeDistinguishedTriangleMorphism T₁ T₂ hT₁ hT₂ e.hom.left e.hom.right ⋯
this✝² : IsIso φ.hom₁
this✝¹ : IsIso φ.hom₂
this✝ : IsIso φ.hom₃
this : IsIso φ

⊢ ∃ e', e'.hom.hom₁ = e.hom.left ∧ e'.hom.hom₂ = e.hom.right
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
h : TendstoUniformly F f p

⊢ TendstoUniformlyOnFilter F f p ⊤
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
x : Set α
y : Set β

⊢ ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a' a ↔ s (f a') (f a))
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝¹ : AddCommMonoidWithOne α
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset ι

⊢ ↑(filter p s).card = ∑ a ∈ s, if p a then 1 else 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0

⊢ ↑a - ↑a / 2 = ↑a / 2
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α β γ : TypeVec.{u} n
f : α ⟹ β
g : β ⟹ γ
x : F α

⊢ (g ⊚ f) <$$> x = g <$$> f <$$> x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α β γ : TypeVec.{u} n
f : α ⟹ β
g : β ⟹ γ
x : F α

⊢ abs ((g ⊚ f) <$$> repr x) = abs (g <$$> f <$$> repr x)
-- Mathlib/Algebra/Field/Subfield.lean
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : DivisionRing L
inst✝¹ : DivisionRing M
S : Type u_1
inst✝ : SetLike S K
h : SubfieldClass S K
x : K
s : S
q : ℚ≥0
hx : x ∈ s

⊢ q • x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
h : -1 < r.re ∨ r ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑x ^ r = (↑b ^ (r + 1) - ↑a ^ (r + 1)) / (r + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
h : -1 < r.re ∨ r ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑x ^ r = ↑b ^ (r + 1) / (r + 1) - ↑a ^ (r + 1) / (r + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
h : -1 < r.re ∨ r ≠ -1 ∧ 0 ∉ [[a, b]]
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑x ^ r = ↑b ^ (r + 1) / (r + 1) - ↑a ^ (r + 1) / (r + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]
h : -1 < r.re

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑x ^ r = ↑b ^ (r + 1) / (r + 1) - ↑a ^ (r + 1) / (r + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]
h : -1 < r.re

⊢ ∀ (c : ℝ), ∫ (x : ℝ) in 0 ..c, ↑x ^ r = ↑c ^ (r + 1) / (r + 1) - 0 ^ (r + 1) / (r + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]
h : -1 < r.re
c : ℝ

⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..c, ↑x ^ r = ↑c ^ (r + 1) / (r + 1) - 0 ^ (r + 1) / (r + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]
h : -1 < r.re
c : ℝ

⊢ ContinuousOn (fun c => ↑c ^ (r + 1) / (r + 1)) [[0, c]]
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]
h : -1 < r.re
c : ℝ

⊢ ∀ x ∈ Set.Ioo (min 0 c) (max 0 c), HasDerivWithinAt (fun c => ↑c ^ (r + 1) / (r + 1)) (↑x ^ r) (Set.Ioi x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
r : ℂ
hr : r + 1 ≠ 0
hab : ¬0 ∉ [[a, b]]
h : -1 < r.re
c : ℝ

⊢ IntervalIntegrable (fun y => ↑y ^ r) MeasureTheory.volume 0 c
-- Mathlib/Algebra/Order/AbsoluteValue.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : OrderedSemiring S
abv : AbsoluteValue R S
a b c : R

⊢ abv (a - c) ≤ abv (a - b) + abv (b - c)
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α

⊢ DecompositionMonoid (Associates α) ↔ DecompositionMonoid α
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
q : ℚ
r : ℝ

⊢ ↑(q • r) = q • ↑r
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Triangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹¹ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹⁰ : HasShift C ℤ
inst✝⁹ : Preadditive C
inst✝⁸ : HasZeroObject C
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : Pretriangulated C
inst✝⁵ : HasShift D ℤ
inst✝⁴ : L.CommShift ℤ
inst✝³ : L.EssSurj
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms
X : D

⊢ contractibleTriangle X ∈ L.essImageDistTriang
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Triangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹¹ : Category.{u_4, u_2} D
L : C ⥤ D
inst✝¹⁰ : HasShift C ℤ
inst✝⁹ : Preadditive C
inst✝⁸ : HasZeroObject C
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : Pretriangulated C
inst✝⁵ : HasShift D ℤ
inst✝⁴ : L.CommShift ℤ
inst✝³ : L.EssSurj
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms
X : D

⊢ contractibleTriangle X ≅ L.mapTriangle.obj (contractibleTriangle (L.objPreimage X))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f✝ : E → E
f'✝ : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → ℝ
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
f' : ℝ → ℝ
hf' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt f (f' x) x
g : ℝ → ℝ
hg : 0 ≤ᶠ[ae volume] g
hg_int : Integrable g volume

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ f '' s → 0 ≤ g x
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
X : Type u_2
m : X

⊢ Quot.mk (Rel R X) (Pre.of m) = ι R m
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasColimits C
j : J
k : K

⊢ colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).inv ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).inv ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim (Prod.swap K J ⋙ G)).hom = colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasColimits C
j : J
k : K

⊢ ((colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).inv) ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).inv) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim (Prod.swap K J ⋙ G)).hom = colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasColimits C
j : J
k : K

⊢ G.map (𝟙 j, 𝟙 k) ≫ colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k = colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasColimits C
j : J
k : K

⊢ 𝟙 (G.obj (j, k)) ≫ colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k = colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0

⊢ sqrt x = x ^ (1 / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0

⊢ ↑(sqrt x) = ↑(x ^ (1 / 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y z : ℝ
x : ℝ≥0

⊢ √↑x = ↑x ^ (1 / 2)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x : α), f x ≠ x → x ∈ []

⊢ signAux ((e.symm.trans f).trans e) = signAux2 [] f
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x : α), f x ≠ x → x ∈ []
this : f = 1

⊢ signAux ((e.symm.trans f).trans e) = signAux2 [] f
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
a b : E

⊢ Metric.ball a ε + Metric.ball b δ = Metric.ball (a + b) (ε + δ)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsDomain B
I J : Submodule B L

⊢ I ≤ Jᵛ ↔ I * J ≤ 1ᵛ
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
S : Set (Setoid α)
x y : α

⊢ ⟦x⟧ = ⟦y⟧ ↔ ∀ s ∈ S, s.Rel x y
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
ι : Sort u_2
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
u : UniformSpace α
h : (𝓤 α).HasBasis p s

⊢ u = ⊥ ↔ ∃ i, p i ∧ Pairwise fun x y => (x, y) ∉ s i
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ ↑(tan x) = ↑(sin x / cos x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G ⊣ F
X' X : Cᵒᵖ
Y : Dᵒᵖ
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.op.obj Y

⊢ ((h.homEquiv (Opposite.unop Y) (Opposite.unop X')) (g.unop ≫ f.unop)).op = (F.map f.unop).op ≫ ((h.homEquiv (Opposite.unop Y) (Opposite.unop X)) g.unop).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G ⊣ F
X' X : Cᵒᵖ
Y : Dᵒᵖ
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.op.obj Y

⊢ (h.unit.app (Opposite.unop Y) ≫ F.map (g.unop ≫ f.unop)).op = (F.map f.unop).op ≫ (h.unit.app (Opposite.unop Y) ≫ F.map g.unop).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G ⊣ F
X' : Cᵒᵖ
X Y : Dᵒᵖ
f : F.op.obj X' ⟶ X
g : X ⟶ Y

⊢ ((h.homEquiv (Opposite.unop Y) (Opposite.unop X')).symm (g.unop ≫ f.unop)).op = ((h.homEquiv (Opposite.unop X) (Opposite.unop X')).symm f.unop).op ≫ (G.map g.unop).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G ⊣ F
X' : Cᵒᵖ
X Y : Dᵒᵖ
f : F.op.obj X' ⟶ X
g : X ⟶ Y

⊢ (G.map (g.unop ≫ f.unop) ≫ h.counit.app (Opposite.unop X')).op = (G.map f.unop ≫ h.counit.app (Opposite.unop X')).op ≫ (G.map g.unop).op
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

⊢ (K.sc' i j k).homologyπ ≫ (K.homologyIsoSc' i j k hi hk).inv = (K.cyclesIsoSc' i j k hi hk).inv ≫ K.homologyπ j
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
hg : Monotone g
s : Set β

⊢ (∃ i ∈ f, ∃ x ∈ g i, id x ⊆ s) ↔ ∃ t ∈ f, s ∈ g t
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Equivalence.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.4583, u_3} D
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_4} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_5} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G : C₁ ⥤ D₂
G' : D₁ ⥤ D₂
inst✝¹ : Lifting L₁ W₁ G G'
F : C₂ ⥤ D₁
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝ : Lifting L₂ W₂ F F'
α : G ⋙ F' ≅ L₁
β : F ⋙ G' ≅ L₂
X : C₂

⊢ (liftNatTrans L₂ W₂ (F ⋙ G') L₂ (F' ⋙ G') (𝟭 D₂) β.hom).app (L₂.obj X) = (Lifting.iso L₂ W₂ (F ⋙ G') (F' ⋙ G')).hom.app X ≫ β.hom.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Equivalence.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.4583, u_3} D
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_4} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_5} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G : C₁ ⥤ D₂
G' : D₁ ⥤ D₂
inst✝¹ : Lifting L₁ W₁ G G'
F : C₂ ⥤ D₁
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝ : Lifting L₂ W₂ F F'
α : G ⋙ F' ≅ L₁
β : F ⋙ G' ≅ L₂
X : C₂

⊢ (Lifting.iso L₂ W₂ (F ⋙ G') (F' ⋙ G')).hom.app X ≫ β.hom.app X ≫ (Lifting.iso L₂ W₂ L₂ (𝟭 D₂)).inv.app X = (Lifting.iso L₂ W₂ (F ⋙ G') (F' ⋙ G')).hom.app X ≫ β.hom.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Equivalence.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Category.{u_8, u_1} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.4583, u_3} D
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_4} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_5} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G : C₁ ⥤ D₂
G' : D₁ ⥤ D₂
inst✝¹ : Lifting L₁ W₁ G G'
F : C₂ ⥤ D₁
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝ : Lifting L₂ W₂ F F'
α : G ⋙ F' ≅ L₁
β : F ⋙ G' ≅ L₂
X : C₂

⊢ G'.map ((Lifting.iso' W₂).hom.app X) ≫ β.hom.app X ≫ 𝟙 (L₂.obj X) = G'.map ((Lifting.iso' W₂).hom.app X) ≫ β.hom.app X
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x

⊢ map (Embedding.subtype p) (Ico a b) = Ico ↑a ↑b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x

⊢ map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Ico ↑a ↑b)) = Ico ↑a ↑b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
x : α
hx : x ∈ Ico ↑a ↑b

⊢ p x
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
x : α
hx : ↑a ≤ x ∧ x < ↑b

⊢ p x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
r : R

⊢ (expand R p) ((monomial q) r) = (monomial (q * p)) r
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α

⊢ min ↑a ↑b ≤ ↑c ↔ min a b ≤ c
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Matrix n n α → Matrix n n α[X] := fun M => M.map ⇑C + X • 1
f' : Matrix n n α[X] →+* Matrix n n α := (evalRingHom 0).mapMatrix
f'_inv : ∀ (M : Matrix n n α), f' (g M) = M

⊢ (A * B).adjugate = B.adjugate * A.adjugate
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Matrix n n α → Matrix n n α[X] := fun M => M.map ⇑C + X • 1
f' : Matrix n n α[X] →+* Matrix n n α := (evalRingHom 0).mapMatrix
f'_inv : ∀ (M : Matrix n n α), f' (g M) = M
f'_adj : ∀ (M : Matrix n n α), f' (g M).adjugate = M.adjugate

⊢ (A * B).adjugate = B.adjugate * A.adjugate
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Matrix n n α → Matrix n n α[X] := fun M => M.map ⇑C + X • 1
f' : Matrix n n α[X] →+* Matrix n n α := (evalRingHom 0).mapMatrix
f'_inv : ∀ (M : Matrix n n α), f' (g M) = M
f'_adj : ∀ (M : Matrix n n α), f' (g M).adjugate = M.adjugate
f'_g_mul : ∀ (M N : Matrix n n α), f' (g M * g N) = M * N

⊢ (A * B).adjugate = B.adjugate * A.adjugate