ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

⊢ Integrable (μ[f|m]) μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/Flag.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
n : ℕ
b : Basis (Fin n) R M
k : Fin n
a✝ : Nontrivial R

⊢ b.flag k.castSucc ≤ LinearMap.ker (b.dualBasis k)
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q : Associates M
n : ℕ
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i

⊢ IsUnit (c 0)
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q : Associates M
n : ℕ
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
i : Fin (n + 1)
hr : 1 = c i

⊢ IsUnit (c 0)
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero M
q : Associates M
n : ℕ
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
i : Fin (n + 1)
hr : 1 = c i

⊢ c 0 ≤ c i
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedSemiring R
a b x y : R
n m : ℕ
ha : 1 ≤ a
h : m ≠ 0

⊢ a ≤ a ^ m
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
S : Set (LieSubmodule R L M)

⊢ ↑(sInf S) = ⋂ s ∈ S, ↑s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
S : Set (LieSubmodule R L M)

⊢ ⋂ p ∈ {x | ∃ s ∈ S, ↑s = x}, ↑p = ⋂ s ∈ S, ↑s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
S : Set (LieSubmodule R L M)
m : M

⊢ m ∈ ⋂ p ∈ {x | ∃ s ∈ S, ↑s = x}, ↑p ↔ m ∈ ⋂ s ∈ S, ↑s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
c : ℝ≥0

⊢ μ.testAgainstNN (const Ω c) = c * μ.mass
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
hq : ¬q = 0

⊢ (p * q).mirror = p.mirror * q.mirror
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
hq : ¬q = 0

⊢ p.reverse * q.reverse * (X ^ p.natTrailingDegree * X ^ q.natTrailingDegree) = p.reverse * X ^ p.natTrailingDegree * (q.reverse * X ^ q.natTrailingDegree)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
p q : R[X]
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0
hq : ¬q = 0

⊢ p.reverse * (X ^ p.natTrailingDegree * q.reverse * X ^ q.natTrailingDegree) = p.reverse * X ^ p.natTrailingDegree * (q.reverse * X ^ q.natTrailingDegree)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
g : Γ

⊢ (ofFinsupp f).hsum.coeff g = (f.sum fun x => id).coeff g
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
g : Γ

⊢ ∑ᶠ (i : α), (f i).coeff g = (∑ x ∈ f.support, id (f x)).coeff g
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
g : Γ

⊢ ∑ᶠ (i : α), (coeff.addMonoidHom g) (f i) = (coeff.addMonoidHom g) (∑ x ∈ f.support, f x)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
g : Γ

⊢ (Function.support fun i => (coeff.addMonoidHom g) (f i)) ⊆ ↑f.support
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
g : Γ
x : α
h : x ∈ Function.support fun i => (coeff.addMonoidHom g) (f i)

⊢ x ∈ ↑f.support
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
g : Γ
x : α
h : x ∈ Function.support fun i => (coeff.addMonoidHom g) (f i)

⊢ ¬f x = 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Summable.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddCommMonoid R
α : Type u_3
f : α →₀ HahnSeries Γ R
g : Γ
x : α
h : f x = 0

⊢ x ∉ Function.support fun i => (coeff.addMonoidHom g) (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab✝ : a ≤ b
hf✝ : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
c d : ℝ
hca : c ≤ a
hab : a ≤ b
hbd : b ≤ d
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc c d))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ c d

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ≤ ∫ (x : ℝ) in c..d, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab✝ : a ≤ b
hf✝ : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
c d : ℝ
hca : c ≤ a
hab : a ≤ b
hbd : b ≤ d
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc c d))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ c d

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, f x ∂μ ≤ ∫ (x : ℝ) in Ioc c d, f x ∂μ
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ b ∆ (a ⊓ b) = a ⊔ b
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
x y : SimplexCategory
f : x ⟶ y

⊢ Continuous (toTopMap f)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/TopologicalSimplex.lean
x y : SimplexCategory
f : x ⟶ y
i : (forget SimplexCategory).obj y

⊢ Continuous fun a => ∑ j ∈ Finset.filter (fun x_1 => f x_1 = i) Finset.univ, ↑a j
-- Mathlib/Logic/Function/Iterate.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → α
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ f ∘ f^[n.pred] = f^[n]
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n a b : ℤ
h : a ≤ b

⊢ a.toNat ≤ b.toNat
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n a b : ℤ
h : a ≤ b

⊢ a ≤ ↑b.toNat
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R

⊢ (A * B).rank ≤ A.rank
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R

⊢ finrank R ↥(LinearMap.range (A.mulVecLin ∘ₗ B.mulVecLin)) ≤ finrank R ↥(LinearMap.range A.mulVecLin)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/TensorProduct.lean
ι : Type uι
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module A M₁
inst✝³ : SMulCommClass R A M₁
inst✝² : SMulCommClass A R M₁
inst✝¹ : IsScalarTower R A M₁
inst✝ : Module R M₂
B₁ : BilinMap A M₁ A
B₂ : BilinMap R M₂ R
hB₁ : IsSymm B₁
hB₂ : IsSymm B₂

⊢ IsSymm (B₁.tmul B₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/TensorProduct.lean
ι : Type uι
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module A M₁
inst✝³ : SMulCommClass R A M₁
inst✝² : SMulCommClass A R M₁
inst✝¹ : IsScalarTower R A M₁
inst✝ : Module R M₂
B₁ : BilinMap A M₁ A
B₂ : BilinMap R M₂ R
hB₁ : IsSymm B₁
hB₂ : IsSymm B₂

⊢ B₁.tmul B₂ = flip (B₁.tmul B₂)
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+ G j
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
g : (i : ι) → G i →+ P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
G' : ι → Type v'
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+ G' j
G'' : ι → Type v''
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+ G'' j
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
g₁ : (i : ι) → G i →+ G' i
g₂ : (i : ι) → G' i →+ G'' i
hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₁ j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g₁ i)
hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₂ j).comp (f' i j h) = (f'' i j h).comp (g₂ i)
i j : ι
h : i ≤ j

⊢ ((fun i => (g₂ i).comp (g₁ i)) j).comp (f i j h) = (f'' i j h).comp ((fun i => (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
-- Mathlib/Data/Fintype/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s✝ : (a : α) → Finset (γ a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (δ a)
f : (a : α) → γ a → δ a
s : (a : α) → Finset (γ a)
a✝ : (a : α) → δ a

⊢ (a✝ ∈ piFinset fun a => image (f a) (s a)) ↔ a✝ ∈ image (fun b a => f a (b a)) (piFinset s)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hz : z.im < 0

⊢ z.arg = -Real.arccos (z.re / abs z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hz : z.im < 0
h₀ : z ≠ 0

⊢ z.arg = -Real.arccos (z.re / abs z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hz : z.im < 0
h₀ : z ≠ 0

⊢ 0 ≤ -z.arg
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hz : z.im < 0
h₀ : z ≠ 0

⊢ -z.arg ≤ π
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ StrictAntiOn (fun x => 1 / log x) (Set.Ioi 1)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ StrictAntiOn (fun x => (log x)⁻¹) (Set.Ioi 1)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ StrictMonoOn log (Set.Ioi 1)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioi 1

⊢ x ∈ Set.Ioi 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
HB : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace HB
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E
y : ModelProd HB F
hy : y ∈ (chartAt (ModelProd HB F) x).target

⊢ (↑(chartAt (ModelProd HB F) x).symm y).proj = ↑(chartAt HB x.proj).symm y.1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
HB : Type u_7
inst✝³ : TopologicalSpace HB
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E
y : ModelProd HB F
hy : y ∈ (chartAt HB x.proj).target ×ˢ univ ∧ ↑((chartAt HB x.proj).prod (PartialEquiv.refl F)).symm y ∈ (trivializationAt F E x.proj).target

⊢ (↑(trivializationAt F E x.proj).symm (↑((chartAt HB x.proj).prod (PartialHomeomorph.refl F)).symm y)).proj = ↑(chartAt HB x.proj).symm y.1
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : FiniteDimensional F E
inst✝³ : Algebra.IsSeparable F E
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : Algebra F K

⊢ Fintype.card (E →ₐ[F] K) = finrank F E
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
T : Triangle Cᵒᵖ

⊢ T ∈ distinguishedTriangles ↔ Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj T) ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
g : G
P : Sylow p G
h : (↑P).Normal

⊢ g • P = P
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∀ i ∈ s, f i ≠ 0
a✝ : Nontrivial R

⊢ (∏ i ∈ s, f i).natDegree = ∑ i ∈ s, (f i).natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∀ i ∈ s, f i ≠ 0
a✝ : Nontrivial R

⊢ ∏ i ∈ s, (f i).leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∀ i ∈ s, f i ≠ 0
a✝ : Nontrivial R

⊢ ∀ a ∈ s, (f a).leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.eraseLead = 0
hpz : ¬f = 0

⊢ f.support.card ≤ 1
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ : ι → TopologicalSpace β

⊢ Continuous f ↔ ∀ (i : ι), Continuous f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X

⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ContinuousWithinAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X

⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ i ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[S] x₀, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α i}
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
inst✝ : NonAssocRing R
m : ℤ

⊢ m • 1 = ↑m
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
l : List α
is : List (Fin l.length)
h : Pairwise (fun x x_1 => ↑x < ↑x_1) is
n : Nat
l' : List α
hl' : l' = drop n l
his : ∀ (i : Fin l.length), i ∈ is → n ≤ ↑i

⊢ map l.get is <+ l'
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/WithTop.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : LT α
s : Finset ι
f : ι → WithTop α

⊢ ∑ i ∈ s, f i = ⊤ ↔ ∃ i ∈ s, f i = ⊤
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hf : HasFDerivWithinAt f f' s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a

⊢ f' y = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LucasPrimality.lean
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1

⊢ Nat.Prime p
-- Mathlib/NumberTheory/LucasPrimality.lean
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0

⊢ Nat.Prime p
-- Mathlib/NumberTheory/LucasPrimality.lean
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1

⊢ Nat.Prime p
-- Mathlib/NumberTheory/LucasPrimality.lean
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p

⊢ Nat.Prime p
-- Mathlib/NumberTheory/LucasPrimality.lean
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1

⊢ Nat.Prime p
-- Mathlib/NumberTheory/LucasPrimality.lean
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p

⊢ Nat.Prime p
-- Mathlib/NumberTheory/LucasPrimality.lean
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p

⊢ Fintype.card (ZMod p)ˣ = p - 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasPrimality.lean
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p

⊢ p - 1 ≤ Fintype.card (ZMod p)ˣ
-- Mathlib/NumberTheory/LucasPrimality.lean
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p
hp' : p - 2 + 1 = p - 1

⊢ p - 1 ≤ Fintype.card (ZMod p)ˣ
-- Mathlib/NumberTheory/LucasPrimality.lean
p : ℕ
a : ZMod p
ha : a ^ (p - 1) = 1
hd : ∀ (q : ℕ), Nat.Prime q → q ∣ p - 1 → a ^ ((p - 1) / q) ≠ 1
h0 : p ≠ 0
h1 : p ≠ 1
hp1 : 1 < p
order_of_a : orderOf a = p - 1
this : NeZero p
hp' : p - 2 + 1 = p - 1
a' : (ZMod p)ˣ := Units.mkOfMulEqOne a (a ^ (p - 2)) ⋯

⊢ p - 1 ≤ Fintype.card (ZMod p)ˣ
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β

⊢ UniformEmbedding f ↔ Injective f ∧ UniformContinuous f ∧ comap (Prod.map f f) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b p : ℕ
x✝ : 2 ≤ b
hp : Odd p

⊢ (b ^ p - 1) / (b - 1) * ((b ^ p + 1) / (b + 1)) = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b p : ℕ
x✝ : 2 ≤ b
hp : Odd p
q₁ : b - 1 ∣ b ^ p - 1

⊢ (b ^ p - 1) / (b - 1) * ((b ^ p + 1) / (b + 1)) = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b p : ℕ
x✝ : 2 ≤ b
hp : Odd p
q₁ : b - 1 ∣ b ^ p - 1
q₂ : b + 1 ∣ b ^ p + 1

⊢ (b ^ p - 1) / (b - 1) * ((b ^ p + 1) / (b + 1)) = (b ^ (2 * p) - 1) / (b ^ 2 - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
b p : ℕ
x✝ : 2 ≤ b
hp : Odd p
q₁ : b - 1 ∣ b ^ p - 1
q₂ : b + 1 ∣ b ^ p + 1

⊢ b ^ (2 * p) - 1 = (b ^ p) ^ 2 - 1 ^ 2
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n✝ m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hf : Adapted ℱ f
n : ℕ

⊢ StronglyMeasurable fun ω => ∑ k ∈ Finset.range N, ({n | lowerCrossingTime a b f N k ω ≤ n} ∩ {n | n < upperCrossingTime a b f N (k + 1) ω}).indicator 1 n
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n✝ m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hf : Adapted ℱ f
n i : ℕ
x✝ : i ∈ Finset.range N

⊢ MeasurableSet fun ω => {n | n < upperCrossingTime a b f N (i + 1) ω} n
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n✝ m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hf : Adapted ℱ f
n i : ℕ
x✝ : i ∈ Finset.range N

⊢ MeasurableSet fun ω => {n | ¬upperCrossingTime a b f N (i + 1) ω ≤ n} n
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R

⊢ v.valuation ((algebraMap R K) r) = v.intValuation r
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ setToL1 hT = setToL1 hT'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ (setToL1 hT').comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ (setToL1 hT') ↑f = (setToL1SCLM α E μ hT) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C'✝ C'' : ℝ
T T' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : T = T'
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ (setToL1SCLM α E μ hT') f = (setToL1SCLM α E μ hT) f
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
δ K ε x a : ℝ

⊢ HasDerivAt (fun y => gronwallBound δ K ε (y - a)) (K * gronwallBound δ K ε (x - a) + ε) x
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
δ K ε x a : ℝ

⊢ K * gronwallBound δ K ε (x - a) + ε = (K * gronwallBound δ K ε (id x - a) + ε) * 1