ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : 0 < b
x✝ : c + b * d = a ∧ c < b
h₁ : c + b * d = a
h₂ : c < b

⊢ (c + b * d) / b = d ∧ (c + b * d) % b = c
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : 0 < b
x✝ : c + b * d = a ∧ c < b
h₁ : c + b * d = a
h₂ : c < b

⊢ c / b + d = d ∧ c % b = c
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Lemmas.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : Fintype M
inst✝¹ : DecidableEq M
R : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R
ζ : Rˣ
hζ : ζ ∈ rootsOfUnity (Monoid.orderUnits M) R
g : Mˣ
hg : ∀ (x : Mˣ), x ∈ Subgroup.zpowers g

⊢ (ofRootOfUnity hζ hg) ↑g = ↑ζ
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
x✝ : a₁ ≡ b₁ [PMOD p]
m : ℤ
hm : b₁ - a₁ = m • p

⊢ (∃ b, b₁ + b₂ - (a₁ + a₂) = (Equiv.symm (Equiv.addLeft m)).symm b • p) ↔ a₂ ≡ b₂ [PMOD p]
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : M ⊗[R] N

⊢ (lTensor M (g ∘ₗ f)) x = (lTensor M g) ((lTensor M f) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : M ⊗[R] N

⊢ (⇑(lTensor M g) ∘ ⇑(lTensor M f)) x = (lTensor M g) ((lTensor M f) x)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f g : R[X]
N n✝ : ℕ

⊢ (reflect N (f + g)).coeff n✝ = (reflect N f + reflect N g).coeff n✝
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AlgHomClass F R A B
φ ψ : F

⊢ equalizer φ ψ = ⊤ ↔ φ = ψ
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
r : α → α → Prop
inst✝ : IsWellOrder α r
o₁ o₂ : Ordinal.{u}
h₁ : o₁ < type r
h₂ : o₂ < type r

⊢ r (enum r o₁ h₁) (enum r o₂ h₂) ↔ o₁ < o₂
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E

⊢ Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F E
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
hα : F⟮α⟯ = ⊤

⊢ Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F E
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
hα : F⟮α⟯ = ⊤
iso : ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] E := { toFun := fun e => ↑e, invFun := fun e => ⟨e, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }

⊢ Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F E
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
hα : F⟮α⟯ = ⊤
iso : ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] E := { toFun := fun e => ↑e, invFun := fun e => ⟨e, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
H : IsIntegral F α

⊢ Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F E
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
hα : F⟮α⟯ = ⊤
iso : ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] E := { toFun := fun e => ↑e, invFun := fun e => ⟨e, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
H : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α

⊢ Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F E
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
hα : F⟮α⟯ = ⊤
iso : ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] E := { toFun := fun e => ↑e, invFun := fun e => ⟨e, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
H : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F E) (minpoly F α)

⊢ Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F E
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
hα : F⟮α⟯ = ⊤
iso : ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] E := { toFun := fun e => ↑e, invFun := fun e => ⟨e, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
H : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F ↥F⟮α⟯) (minpoly F α)

⊢ Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F E
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
hα : F⟮α⟯ = ⊤
iso : ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] E := { toFun := fun e => ↑e, invFun := fun e => ⟨e, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
H : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F ↥F⟮α⟯) (minpoly F α)

⊢ Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = finrank F ↥F⟮α⟯
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
hα : F⟮α⟯ = ⊤
iso : ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] E := { toFun := fun e => ↑e, invFun := fun e => ⟨e, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
H : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F ↥F⟮α⟯) (minpoly F α)

⊢ Fintype.card (E ≃ₐ[F] E) = Fintype.card (↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] ↥F⟮α⟯)
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : IsGalois F E
α : E
hα : F⟮α⟯ = ⊤
iso : ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] E := { toFun := fun e => ↑e, invFun := fun e => ⟨e, ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
H : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F ↥F⟮α⟯) (minpoly F α)

⊢ (E ≃ₐ[F] E) ≃ ↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] ↥F⟮α⟯
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Generators R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
s : S

⊢ (aeval fun x => IsLocalization.Away.invSelf r) ((fun s => C (IsLocalization.Away.sec r s).1 * X () ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2) s) = s
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Generators R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
s : S

⊢ (algebraMap R S) (IsLocalization.Away.sec r s).1 * IsLocalization.Away.invSelf r ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 = s
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Generators R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
s : S

⊢ s * (algebraMap R S) r ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 * IsLocalization.mk' S 1 ⟨r, ⋯⟩ ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 = s
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Generators R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
s : S

⊢ s * IsLocalization.mk' S r 1 ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 * IsLocalization.mk' S 1 (⟨r, ⋯⟩ ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2) = s
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Generators R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
s : S

⊢ s * IsLocalization.mk' S (r ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 * 1) (1 * ⟨r, ⋯⟩ ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2) = s
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Generators R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S
s : S

⊢ s * IsLocalization.mk' S r ⟨r, ⋯⟩ ^ (IsLocalization.Away.sec r s).2 = s
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
f : β → γ
g : α → β
x : Filter α
y : Filter γ

⊢ Tendsto f (map g x) y ↔ Tendsto (f ∘ g) x y
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Rat.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝¹ : Module ℚ α
inst✝ : PosSMulMono ℚ α
q : ℚ
a : α

⊢ |q • a| = |q| • |a|
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
W : Projective R✝
R : Type u
inst✝ : CommRing R
P : Fin 3 → R
u : Rˣ

⊢ (u • P) 0 = ↑u * P 0 ∧ (u • P) 1 = ↑u * P 1 ∧ (u • P) 2 = ↑u * P 2
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α

⊢ A.cramer b = A.adjugate *ᵥ b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α

⊢ A.cramer b = Aᵀᵀ.adjugate *ᵥ b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α

⊢ A.cramer b = (of fun i => Aᵀᵀ.cramer (Pi.single i 1))ᵀ *ᵥ b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
this : b = ∑ i : n, b i • Pi.single i 1

⊢ A.cramer b = (of fun i => Aᵀᵀ.cramer (Pi.single i 1))ᵀ *ᵥ b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
this : b = ∑ i : n, b i • Pi.single i 1
k : n

⊢ A.cramer (∑ i : n, b i • Pi.single i 1) k = ((of fun i => Aᵀᵀ.cramer (Pi.single i 1))ᵀ *ᵥ b) k
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean

⊢ riemannZeta 2 = ↑π ^ 2 / 6
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean

⊢ riemannZeta 2 = ↑(∑' (b : ℕ), 1 / ↑b ^ 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean

⊢ ↑π ^ 2 / 6 = ↑(π ^ 2 / 6)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
x : Step k n

⊢ ((ofStep k (n + 1)).comp (toStepSucc k n)) x = (ofStep k n) x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
x : Step k n
hx : AlgebraicClosure.toStepOfLE' k n (n + 1) ⋯ x = (toStepSucc k n) x

⊢ ((ofStep k (n + 1)).comp (toStepSucc k n)) x = (ofStep k n) x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
x : Step k n
hx : AlgebraicClosure.toStepOfLE' k n (n + 1) ⋯ x = (toStepSucc k n) x

⊢ ((Ring.DirectLimit.of (Step k) (fun i j h => ⇑(toStepOfLE k i j h)) (n + 1)).comp (toStepSucc k n)) x = (Ring.DirectLimit.of (Step k) (fun i j h => ⇑(toStepOfLE k i j h)) n) x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
x : Step k n
hx : AlgebraicClosure.toStepOfLE' k n (n + 1) ⋯ x = (toStepSucc k n) x

⊢ (Ring.DirectLimit.of (Step k) (fun i j h => ⇑(toStepOfLE k i j h)) (n + 1)) ((toStepSucc k n) x) = (Ring.DirectLimit.of (Step k) (fun i j h => ⇑(toStepOfLE k i j h)) n) x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
x : Step k n
hx : AlgebraicClosure.toStepOfLE' k n (n + 1) ⋯ x = (toStepSucc k n) x

⊢ (Ring.DirectLimit.of (Step k) (AlgebraicClosure.toStepOfLE' k) (n + 1)) (AlgebraicClosure.toStepOfLE' k n (n + 1) ⋯ x) = (Ring.DirectLimit.of (Step k) (AlgebraicClosure.toStepOfLE' k) n) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P

⊢ IsPreconnected {y | s.SOppSide x y}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : ↑s = ∅

⊢ IsPreconnected {y | s.SOppSide x y}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : (↑s).Nonempty

⊢ IsPreconnected {y | s.SOppSide x y}
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
inst✝ : RegularSpace E

⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 0 ∧ IsClosed s ∧ Balanced 𝕜 s) id
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
inst✝ : RegularSpace E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0 ∧ IsClosed s

⊢ ∃ i', (i' ∈ 𝓝 0 ∧ IsClosed i' ∧ Balanced 𝕜 i') ∧ id i' ⊆ id s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
U : Set E
inst✝ : RegularSpace E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0 ∧ IsClosed s

⊢ IsClosed (balancedCore 𝕜 s) ∧ Balanced 𝕜 (balancedCore 𝕜 s)
-- Mathlib/NumberTheory/KummerDedekind.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x : S
h : adjoin R {x} = ⊤

⊢ conductor R x = ⊤
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s✝ : Finset α
f : α ↪ β
s : Finset α

⊢ ∀ (x : β), x ∈ ↑(map f s) ↔ x ∈ ⇑f '' ↑s
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
k : α
hk : a = 2 * k + 1

⊢ Odd (-a)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Ring α
a b : α
n : ℕ
k : α
hk : a = 2 * k + 1

⊢ -a = 2 * -(k + 1) + 1
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalStrip 0 1

⊢ ‖f z‖ ≤ ‖interpStrip f z‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalStrip 0 1

⊢ Tendsto (fun x => ‖f z‖) (𝓝[>] 0) (𝓝 ‖f z‖)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (verticalStrip 0 1)
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)
hz : z ∈ verticalStrip 0 1

⊢ Tendsto (fun ε => ‖(↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (1 - z) * (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ z‖) (𝓝[>] 0) (𝓝 ‖interpStrip f z‖)
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/MvPolynomial.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommSemiring N
inst✝² : Algebra R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
m : σ →₀ ℕ
a : A

⊢ (algebraTensorAlgEquiv R A).symm ((monomial m) a) = a ⊗ₜ[R] (monomial m) 1
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/MvPolynomial.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommSemiring N
inst✝² : Algebra R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
m : σ →₀ ℕ
a : A

⊢ (algebraTensorAlgEquiv R A).symm ((monomial 0) a) = a ⊗ₜ[R] (monomial 0) 1
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/MvPolynomial.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommSemiring N
inst✝² : Algebra R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
m : σ →₀ ℕ
a : A

⊢ ∀ (a_1 : σ) (b : ℕ) (f : σ →₀ ℕ), a_1 ∉ f.support → b ≠ 0 → (algebraTensorAlgEquiv R A).symm ((monomial f) a) = a ⊗ₜ[R] (monomial f) 1 → (algebraTensorAlgEquiv R A).symm ((monomial (Finsupp.single a_1 b + f)) a) = a ⊗ₜ[R] (monomial (Finsupp.single a_1 b + f)) 1
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
E : Set X
x : X

⊢ x ∈ thickening δ E ↔ ∃ z ∈ E, dist x z < δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
E : Set X
x : X
key_iff : ∀ (z : X), edist x z < ENNReal.ofReal δ ↔ dist x z < δ

⊢ x ∈ thickening δ E ↔ ∃ z ∈ E, dist x z < δ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
U : TopCat
X : Scheme
f : U ⟶ TopCat.of ↑↑X.toPresheafedSpace
h : OpenEmbedding ⇑f
V : X.Opens
W : (X.restrict h).Opens
e : W ≤ X.ofRestrict h ⁻¹ᵁ V

⊢ X.ofRestrict h ''ᵁ unop (op W) ≤ V
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
U : TopCat
X : Scheme
f : U ⟶ TopCat.of ↑↑X.toPresheafedSpace
h : OpenEmbedding ⇑f
V : X.Opens
W : (X.restrict h).Opens
e : W ≤ X.ofRestrict h ⁻¹ᵁ V

⊢ X.presheaf.map (⋯.adjunction.counit.app V).op ≫ (X.restrict h).presheaf.map (homOfLE e).op = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

⊢ m.sqrt < n ↔ m < n ^ 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α

⊢ IntegrableOn f ∅ μ
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
z : ℤ
hp : p ≠ 1
hz : z ≠ 0

⊢ (multiplicity (↑p) z).Dom
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
z : ℤ
hp : p ≠ 1
hz : z ≠ 0

⊢ (↑p).natAbs ≠ 1 ∧ z ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
z : ℤ
hp : p ≠ 1
hz : z ≠ 0

⊢ padicValInt p z = (multiplicity (↑p) z).get ⋯
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
z : ℤ
hp : p ≠ 1
hz : z ≠ 0

⊢ (multiplicity p z.natAbs).get ⋯ = (multiplicity (↑p) z).get ⋯
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
f : (i : ι) → π i

⊢ IsAtom f → ∃ i a, IsAtom a ∧ f = Function.update ⊥ i a
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
f : (i : ι) → π i

⊢ (∃ i a, IsAtom a ∧ f = Function.update ⊥ i a) → IsAtom f
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : ι → Filter α
s : Set α
hs : s ∈ iInf f
p : Set α → Prop
uni : p univ
ins : ∀ {i : ι} {s₁ s₂ : Set α}, s₁ ∈ f i → p s₂ → p (s₁ ∩ s₂)

⊢ p s
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : ι → Filter α
s : Set α
hs : ∃ t, s ∈ ⨅ i ∈ t, f i.down
p : Set α → Prop
uni : p univ
ins : ∀ {i : ι} {s₁ s₂ : Set α}, s₁ ∈ f i → p s₂ → p (s₁ ∩ s₂)

⊢ p s
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : ι → Filter α
s : Set α
p : Set α → Prop
uni : p univ
ins : ∀ {i : ι} {s₁ s₂ : Set α}, s₁ ∈ f i → p s₂ → p (s₁ ∩ s₂)
hs : ∃ t, s ∈ t.inf fun a => f a.down

⊢ p s
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : ι → Filter α
s : Set α
p : Set α → Prop
uni : p univ
ins : ∀ {i : ι} {s₁ s₂ : Set α}, s₁ ∈ f i → p s₂ → p (s₁ ∩ s₂)
is : Finset (PLift ι)
his : s ∈ is.inf fun a => f a.down

⊢ p s
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ

⊢ ⌈1⌉₊ = 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

⊢ W.ΨSq 4 = W.preΨ₄ ^ 2 * W.Ψ₂Sq
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p : ℕ
hp : Prime p

⊢ φ p = p - 1
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x : ℝ*
h : x ≠ 0

⊢ x.Infinitesimal ↔ x⁻¹⁻¹.Infinitesimal
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℤ

⊢ translate (Multiplicative.ofAdd x) ^ n = translate (Multiplicative.ofAdd (↑n * x))
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

⊢ (fun x => x + a) ⁻¹' Ioo b c = Ioo (b - a) (c - a)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

⊢ |(∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) - ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))| ≤ ε ^ 5 / 49
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

⊢ (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) - ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤ ε ^ 5 / 49 ∧ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ ε ^ 5 / 49
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU✝ : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts

⊢ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑A.card * ↑B.card) ≤ ε ^ 5 / 49