ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → F) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Memℒp f p μ → Memℒp g p μ → StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → F⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f p μ → P f → P g
f : α → F
hf : Memℒp f p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
f_Lp : ↥(Lp F p μ) := toLp f hf
hfm_Lp : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f_Lp) μ

⊢ P ↑↑(toLp f hf)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → F) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Memℒp f p μ → Memℒp g p μ → StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → F⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f p μ → P f → P g
f : α → F
hf : Memℒp f p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
f_Lp : ↥(Lp F p μ) := toLp f hf
hfm_Lp : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f_Lp) μ

⊢ P ↑↑f_Lp
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → F) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Memℒp f p μ → Memℒp g p μ → StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → F⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f p μ → P f → P g
f : α → F
hf : Memℒp f p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
f_Lp : ↥(Lp F p μ) := toLp f hf
hfm_Lp : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f_Lp) μ

⊢ ∀ (c : F) {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s < ⊤), (fun f => P ↑↑f) ↑(Lp.simpleFunc.indicatorConst p ⋯ ⋯ c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁹ : CompleteSpace E'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hm : m ≤ m0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → F) → Prop
h_ind : ∀ (c : F) ⦃s : Set α⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → P (s.indicator fun x => c)
h_add : ∀ ⦃f g : α → F⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Memℒp f p μ → Memℒp g p μ → StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → P f → P g → P (f + g)
h_closed : IsClosed {f | P ↑↑↑f}
h_ae : ∀ ⦃f g : α → F⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Memℒp f p μ → P f → P g
f : α → F
hf : Memℒp f p μ
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
f_Lp : ↥(Lp F p μ) := toLp f hf
hfm_Lp : AEStronglyMeasurable' m (↑↑f_Lp) μ

⊢ ∀ ⦃f g : α → F⦄ (hf : Memℒp f p μ) (hg : Memℒp g p μ), StronglyMeasurable f → StronglyMeasurable g → Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → (fun f => P ↑↑f) (toLp f hf) → (fun f => P ↑↑f) (toLp g hg) → (fun f => P ↑↑f) (toLp f hf + toLp g hg)
-- Mathlib/Data/Nat/Count.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
n : ℕ

⊢ count p n < count p (n + 1) ↔ p n
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x y : α
h4 : x ≠ y
h5 : τ = swap x y

⊢ closure {σ, τ} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x y : α
h4 : x ≠ y
h5 : τ = swap x y
i : ℕ
hi : (σ ^ i) x = y

⊢ closure {σ, τ} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x y : α
h4 : x ≠ y
h5 : τ = swap x y
i : ℕ
hi : (σ ^ i) x = y

⊢ closure {σ, swap x ((σ ^ i) x)} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x y : α
h4 : x ≠ y
h5 : τ = swap x y
i : ℕ
hi : (σ ^ i) x = y
h : Fintype.card α ∣ i

⊢ x = y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Finite β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ τ : Perm α
h0 : Nat.Prime (Fintype.card α)
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x y : α
h4 : x ≠ y
h5 : τ = swap x y
i : ℕ
hi : (σ ^ i) x = y
m : ℕ
hm : i = Fintype.card α * m

⊢ x = y
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
n n' : ℤ
hf : (a ^ n).x = (-a ^ n').x

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
n n' : ℤ
hf : (a ^ n).x = (-a ^ n').x
H : 0 < (a ^ n).x

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
h : IsFundamental a
n n' : ℤ
hf : (a ^ n).x = (-a ^ n').x
H : (a ^ n').x < 0

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
x : β
f✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → β

⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : β) in map f (ae μ), n ≤ a} = sInf {a | μ {x | a < f x} = 0}
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a c : α
h : c < 0

⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Iio a = Ioi (a / c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ

⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (c * x)) volume (a / c) (b / c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ
hc : c = 0

⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (c * x)) volume (a / c) (b / c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ
hc : c ≠ 0

⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (c * x)) volume (a / c) (b / c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntegrableOn f [[a, b]] volume
c : ℝ
hc : c ≠ 0

⊢ IntegrableOn (fun x => f (c * x)) [[a / c, b / c]] volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A✝
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntegrableOn f [[a, b]] volume
c : ℝ
hc : c ≠ 0
A : MeasurableEmbedding fun x => x * c⁻¹

⊢ IntegrableOn (fun x => f (c * x)) [[a / c, b / c]] volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A✝
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntegrableOn f [[a, b]] volume
c : ℝ
hc : c ≠ 0
A : MeasurableEmbedding fun x => x * c⁻¹

⊢ IntegrableOn ((fun x => f (c * x)) ∘ fun x => x * c⁻¹) ((fun x => x * c⁻¹) ⁻¹' [[a / c, b / c]]) volume
-- Mathlib/Order/Ideal.lean
P : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeSup P
inst✝ : OrderBot P
x : P
I J K : Ideal P
S : Set (Ideal P)

⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ s ∈ S, x ∈ s
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x : ℝ*

⊢ |x|.Infinite ↔ x.Infinite
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : ℝ
f : ℕ → ℝ≥0

⊢ HasSum (fun i => ↑(f i)) r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (fun i => ↑(f i)) i) atTop (𝓝 r)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : ℝ
f : ℕ → ℝ≥0

⊢ (∃ (hx : 0 ≤ r), Tendsto (fun a => ∑ a ∈ a, f a) atTop (𝓝 ⟨r, hx⟩)) ↔ ∃ (hx : 0 ≤ r), Tendsto (fun a => ∑ a ∈ Finset.range a, f a) atTop (𝓝 ⟨r, hx⟩)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
n : ℤ
x : ℝ

⊢ ↑(toCircle (n • ↑x)) = Complex.exp (2 * ↑π * Complex.I * ↑n * ↑x / ↑T)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x y : 𝓞 K
hy : x - 1 = λ * y

⊢ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x y : 𝓞 K
hy : x - 1 = λ * y
this : x ^ 3 - 1 = λ ^ 3 * (y * (y - 1) * (y - (↑η + 1)))

⊢ λ ^ 4 ∣ x ^ 3 - 1
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Three.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
u : (𝓞 K)ˣ
x✝ x y : 𝓞 K
hy : x - 1 = λ * y
this : x ^ 3 - 1 = λ ^ 3 * (y * (y - 1) * (y - (↑η + 1)))

⊢ λ ^ 3 * λ ∣ λ ^ 3 * (y * (y - 1) * (y - (↑η + 1)))
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
t : Finset β
i : (a : α) → a ∈ s → β
j : (a : β) → a ∈ t → α
hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
hj : ∀ (a : β) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s
left_inv : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a
right_inv : ∀ (a : β) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a

⊢ s.card = t.card
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
t : Finset β
i : (a : α) → a ∈ s → β
j : (a : β) → a ∈ t → α
hi : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), i a ha ∈ t
hj : ∀ (a : β) (ha : a ∈ t), j a ha ∈ s
left_inv : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), j (i a ha) ⋯ = a
right_inv : ∀ (a : β) (ha : a ∈ t), i (j a ha) ⋯ = a
a1 : α
h1 : a1 ∈ s
a2 : α
h2 : a2 ∈ s
eq : i a1 h1 = i a2 h2

⊢ a1 = a2
-- Mathlib/CategoryTheory/ChosenFiniteProducts/FunctorCategory.lean
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F₁ F₂ F₃ : J ⥤ C
j : J

⊢ (α_ F₁ F₂ F₃).hom.app j = (α_ (F₁.obj j) (F₂.obj j) (F₃.obj j)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/ChosenFiniteProducts/FunctorCategory.lean
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F₁ F₂ F₃ : J ⥤ C
j : J

⊢ (α_ F₁ F₂ F₃).hom.app j ≫ fst (F₁.obj j) ((F₂ ⊗ F₃).obj j) = (α_ (F₁.obj j) (F₂.obj j) (F₃.obj j)).hom ≫ fst (F₁.obj j) ((F₂ ⊗ F₃).obj j)
-- Mathlib/CategoryTheory/ChosenFiniteProducts/FunctorCategory.lean
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} J
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} C
inst✝ : ChosenFiniteProducts C
F₁ F₂ F₃ : J ⥤ C
j : J

⊢ (α_ F₁ F₂ F₃).hom.app j ≫ snd (F₁.obj j) ((F₂ ⊗ F₃).obj j) = (α_ (F₁.obj j) (F₂.obj j) (F₃.obj j)).hom ≫ snd (F₁.obj j) ((F₂ ⊗ F₃).obj j)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/IntegralNormalization.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0

⊢ eval₂ f (z * f p.leadingCoeff) p.integralNormalization = ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.integralNormalization.coeff ↑i * p.leadingCoeff ^ ↑i) * z ^ ↑i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/IntegralNormalization.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0

⊢ ∑ n ∈ p.support, f (p.integralNormalization.coeff n) * (z * f p.leadingCoeff) ^ n = ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.integralNormalization.coeff ↑i * p.leadingCoeff ^ ↑i) * z ^ ↑i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/IntegralNormalization.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0

⊢ ∑ x ∈ p.support, f (p.integralNormalization.coeff x) * (f p.leadingCoeff ^ x * z ^ x) = ∑ x ∈ p.support.attach, f (p.integralNormalization.coeff ↑x) * (f p.leadingCoeff ^ ↑x * z ^ ↑x)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/IntegralNormalization.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
hp : ¬p = 0

⊢ ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.integralNormalization.coeff ↑i * p.leadingCoeff ^ ↑i) * z ^ ↑i = ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.coeff ↑i * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1)) * z ^ ↑i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/IntegralNormalization.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0
hp : ¬p = 0
one_le_deg : 1 ≤ p.natDegree

⊢ ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.integralNormalization.coeff ↑i * p.leadingCoeff ^ ↑i) * z ^ ↑i = ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.coeff ↑i * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1)) * z ^ ↑i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/IntegralNormalization.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0

⊢ ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.coeff ↑i * p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1)) * z ^ ↑i = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * eval₂ f z p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/IntegralNormalization.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0

⊢ f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.coeff ↑i) * z ^ ↑i = f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * ∑ n ∈ p.support, f (p.coeff n) * z ^ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/IntegralNormalization.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0

⊢ ∑ i ∈ p.support.attach, f (p.coeff ↑i) * z ^ ↑i = ∑ n ∈ p.support, f (p.coeff n) * z ^ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/IntegralNormalization.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CommSemiring S
p : R[X]
f : R →+* S
z : S
hz : eval₂ f z p = 0
inj : ∀ (x : R), f x = 0 → x = 0

⊢ f p.leadingCoeff ^ (p.natDegree - 1) * eval₂ f z p = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.23741, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.23745, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
ψ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h₁.IsPreservedBy F
inst✝ : h₂.IsPreservedBy F

⊢ F.map ψ.φK ≫ (h₂.map F).i = (h₁.map F).i ≫ (F.mapShortComplex.map φ).τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.23741, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.23745, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
ψ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h₁.IsPreservedBy F
inst✝ : h₂.IsPreservedBy F

⊢ (h₁.map F).f' ≫ F.map ψ.φK = (F.mapShortComplex.map φ).τ₁ ≫ (h₂.map F).f'
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.23741, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.23745, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
ψ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h₁.IsPreservedBy F
inst✝ : h₂.IsPreservedBy F

⊢ (h₁.map F).π ≫ F.map ψ.φH = F.map ψ.φK ≫ (h₂.map F).π
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
α : Sort u_1
inst✝ : IsEmpty α
f : α → ℝ

⊢ sSup (Set.range fun i => f i) = 0
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
α : Sort u_1
inst✝ : IsEmpty α
f : α → ℝ

⊢ (Set.range fun i => f i) = ∅
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
α : Sort u_1
inst✝ : IsEmpty α
f : α → ℝ

⊢ IsEmpty α
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hs : Convex ℝ s

⊢ (intrinsicInterior ℝ s).Nonempty → s.Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
s : Set V
hs : Convex ℝ s

⊢ intrinsicInterior ℝ s ≠ ∅ → s ≠ ∅
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hs : Convex ℝ ∅
h : intrinsicInterior ℝ ∅ ≠ ∅

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w u' v' : V
p : G.Walk u' v'

⊢ (p.copy ⋯ ⋯).IsTrail ↔ p.IsTrail
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q✝ f g q r : R[X]
hg : g.Monic
h : r + g * q = f ∧ r.degree < g.degree
a✝ : Nontrivial R

⊢ f /ₘ g = q ∧ f %ₘ g = r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q✝ f g q r : R[X]
hg : g.Monic
h : r + g * q = f ∧ r.degree < g.degree
a✝ : Nontrivial R
h₁ : r - f %ₘ g = -g * (q - f /ₘ g)

⊢ f /ₘ g = q ∧ f %ₘ g = r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q✝ f g q r : R[X]
hg : g.Monic
h : r + g * q = f ∧ r.degree < g.degree
a✝ : Nontrivial R
h₁ : r - f %ₘ g = -g * (q - f /ₘ g)
h₂ : (r - f %ₘ g).degree = (g * (q - f /ₘ g)).degree

⊢ f /ₘ g = q ∧ f %ₘ g = r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q✝ f g q r : R[X]
hg : g.Monic
h : r + g * q = f ∧ r.degree < g.degree
a✝ : Nontrivial R
h₁ : r - f %ₘ g = -g * (q - f /ₘ g)
h₂ : (r - f %ₘ g).degree = (g * (q - f /ₘ g)).degree
h₄ : (r - f %ₘ g).degree < g.degree

⊢ f /ₘ g = q ∧ f %ₘ g = r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q✝ f g q r : R[X]
hg : g.Monic
h : r + g * q = f ∧ r.degree < g.degree
a✝ : Nontrivial R
h₁ : r - f %ₘ g = -g * (q - f /ₘ g)
h₂ : (r - f %ₘ g).degree = (g * (q - f /ₘ g)).degree
h₄ : (r - f %ₘ g).degree < g.degree
h₅ : q - f /ₘ g = 0

⊢ f /ₘ g = q ∧ f %ₘ g = r
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
φ : R →+* S

⊢ (map φ P).toPoly = Polynomial.map φ P.toPoly
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
x : α

⊢ (𝓝[≠] x).NeBot
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
x : α

⊢ ∀ ε > 0, ∃ b ∈ {x}ᶜ, dist x b < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
x : α
ε : ℝ
ε0 : ε > 0

⊢ ∃ b ∈ {x}ᶜ, dist x b < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
x : α
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
b : α
hb0 : 0 < ‖b‖
hbε : ‖b‖ < ε

⊢ ∃ b ∈ {x}ᶜ, dist x b < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
x : α
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
b : α
hb0 : 0 < ‖b‖
hbε : ‖b‖ < ε

⊢ dist x (x + b) < ε
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
l : List α

⊢ Tendsto (fun p => p.1 :: p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (a :: l))
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
l : List α

⊢ (Filter.map (fun a b => (a, b).1 :: (a, b).2) (𝓝 a)).seq (𝓝 l) ≤ Seq.seq (cons <$> 𝓝 a) fun x => 𝓝 l
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommRing R
a b : R

⊢ (a - b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2 * a * b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/WF.lean
α : Type u_1
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α

⊢ (l.balance2 v r).reverse = r.reverse.balance1 v l.reverse
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/WF.lean
α : Type u_1
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α

⊢ (l.balance2 v r).reverse = (r.reverse.balance1 v l.reverse).reverse.reverse
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/WF.lean
α : Type u_1
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α

⊢ (l.balance2 v r).reverse = (l.reverse.reverse.balance2 v r.reverse.reverse).reverse
-- Mathlib/Data/List/Enum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
x : ℕ × α
n : ℕ
l : List α
h : x ∈ enumFrom n l

⊢ x.1 < n + l.length
-- Mathlib/Data/List/Enum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
l : List α
i : Fin (enumFrom n l).length
h : (enumFrom n l).get i ∈ enumFrom n l

⊢ ((enumFrom n l).get i).1 < n + l.length
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.225052, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
α : Cocycle K F 1
β : Cochain K G 0
eq : δ 0 1 β + (↑α).comp (Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0
p q : ℤ
hpq : p + 1 = q

⊢ (lift φ α β eq).f p = (↑α).v p q hpq ≫ (inl φ).v q p ⋯ + β.v p p ⋯ ≫ (inr φ).f p
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y✝ : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : P.obj (op X)
f : P ⟶ Q
h : x.IsAmalgamation t
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : R g

⊢ (f.app (op X) ≫ Q.map g.op) t = f.app (op Y) (x g hg)
-- Mathlib/Data/Finset/PImage.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq β
f g : α →. β
inst✝² : (x : α) → Decidable (f x).Dom
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
s t : Finset α
b : β
inst✝ : DecidableEq α

⊢ ↑(pimage f (s ∪ t)) = ↑(pimage f s ∪ pimage f t)