ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Finite α
x : α
m : M
x✝ : α

⊢ equivFunOnFinite (single x m) x✝ = Pi.single x m x✝
-- Mathlib/Algebra/Module/CharacterModule.lean
R : Type uR
inst✝⁶ : CommRing R
A : Type uA
inst✝⁵ : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝³ : AddCommGroup B
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R A'
inst✝ : Module R B
f : A →ₗ[R] A'
h : Function.Surjective ⇑(dual f)
a : A
h0 : f a = 0
c : CharacterModule A'

⊢ ((dual f) c) a = 0
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ

⊢ Primrec fun a => ↑a.succ
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : AddGroup ι
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : CovariantClass ι ι (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
hi : 0 ≤ i
j : ι

⊢ MeasurableSet {ω | (fun ω => τ ω + i) ω ≤ j}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : AddGroup ι
inst✝² : Preorder ι
inst✝¹ : CovariantClass ι ι (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass ι ι (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
hi : 0 ≤ i
j : ι

⊢ MeasurableSet {ω | τ ω ≤ j - i}
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
b : Bool
n : Num

⊢ ↑(bit b n) = Nat.bit b ↑n
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
ht : IsAntichain r t
h : minimals r s ⊆ t
hs : ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → ∃ b ∈ minimals r s, r a b
a : α
ha : a ∈ t
b : α
hb : b ∈ minimals r s
hr : r a b

⊢ a ∈ minimals r s
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A

⊢ (toFunLinear R A) (1 ⊗ₜ[R] 1) = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extrema.lean
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x

⊢ x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extrema.lean
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a

⊢ x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extrema.lean
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x

⊢ x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extrema.lean
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x
hgc : Continuous ⇑g

⊢ x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extrema.lean
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x
hgc : Continuous ⇑g
h_maps : MapsTo (⇑g) (Icc 0 1) s

⊢ x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extrema.lean
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x
hgc : Continuous ⇑g
h_maps : MapsTo (⇑g) (Icc 0 1) s
fg_local_min_on : IsLocalMinOn (f ∘ ⇑g) (Icc 0 1) 0

⊢ x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extrema.lean
E : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : Module ℝ E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module ℝ β
inst✝ : OrderedSMul ℝ β
s : Set E
f : E → β
a : E
a_in_s : a ∈ s
h_localmin : IsLocalMinOn f s a
h_conv : ConvexOn ℝ s f
x : E
x_in_s : x ∈ s
g : ℝ →ᵃ[ℝ] E := AffineMap.lineMap a x
hg0 : g 0 = a
hg1 : g 1 = x
hgc : Continuous ⇑g
h_maps : MapsTo (⇑g) (Icc 0 1) s
fg_local_min_on : IsLocalMinOn (f ∘ ⇑g) (Icc 0 1) 0
fg_min_on : IsMinOn (f ∘ ⇑g) (Icc 0 1) 0

⊢ x ∈ {x | (fun x => f a ≤ f x) x}
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ

⊢ U R n = 2 * X * U R (n - 1) - U R (n - 2)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤

⊢ Continuous t.truncateToReal
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤

⊢ ∀ (x : ℝ≥0∞), ((fun p => min p.1 p.2) ∘ fun y => (t, y)) x ∈ {a | a ≠ ⊤}
-- Mathlib/Algebra/Group/Ext.lean
M : Type u
m₁ m₂ : Monoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul

⊢ m₁ = m₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Ext.lean
M : Type u
m₁ m₂ : Monoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
this : toMulOneClass = toMulOneClass

⊢ m₁ = m₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Ext.lean
M : Type u
m₁ m₂ : Monoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
this : toMulOneClass = toMulOneClass
h₁ : One.one = One.one
f : M →* M := { toFun := id, map_one' := h₁, map_mul' := ⋯ }

⊢ m₁ = m₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Ext.lean
M : Type u
m₁ m₂ : Monoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
this✝ : toMulOneClass = toMulOneClass
h₁ : One.one = One.one
f : M →* M := { toFun := id, map_one' := h₁, map_mul' := ⋯ }
this : Monoid.npow = Monoid.npow

⊢ m₁ = m₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Quotient.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
h : Congruence r
X Y : C
f f' : X ⟶ Y

⊢ Quot.mk (CompClosure r) f = Quot.mk (CompClosure r) f' ↔ r f f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Quotient.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
h : Congruence r
X Y : C
f f' : X ⟶ Y

⊢ _root_.Equivalence (CompClosure r)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Ext.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ

⊢ IsZero (((Ext R C (n + 1)).obj (Opposite.op X)).obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Ext.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ

⊢ IsZero (HomologicalComplex.homology ((ProjectiveResolution.self X).complex.linearYonedaObj R Y) (n + 1))
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Ext.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ

⊢ (HomologicalComplex.sc ((ProjectiveResolution.self X).complex.linearYonedaObj R Y) (n + 1)).Exact
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Ext.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ

⊢ IsZero (HomologicalComplex.sc ((ProjectiveResolution.self X).complex.linearYonedaObj R Y) (n + 1)).X₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Ext.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ

⊢ IsZero (ModuleCat.of R (((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y))
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Ext.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ

⊢ 𝟙 (ModuleCat.of R (((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y)) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Ext.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ
x : ((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y

⊢ (𝟙 (ModuleCat.of R (((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y))) x = 0 x
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Ext.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
C : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : Linear R C
inst✝¹ : EnoughProjectives C
X Y : C
inst✝ : Projective X
n : ℕ

⊢ (𝟙 (ModuleCat.of R (((ChainComplex.single₀ C).obj X).X (n + 1) ⟶ Y))) 0 = 0 0
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M

⊢ (f.lift hg) (f.toMap x) = g x
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x : M

⊢ g (f.sec (f.toMap x)).1 = g (↑(f.sec (f.toMap x)).2 * x)
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ⊓ b ⊔ a ∆ b = a ⊔ b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommSemiring α
s : Multiset ι
f g : ι → α

⊢ (map (fun i => f i + g i) s).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) s.antidiagonal).sum
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommSemiring α
s : Multiset ι
f g : ι → α

⊢ (map (fun i => f i + g i) 0).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) (antidiagonal 0)).sum
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CommSemiring α
s✝ : Multiset ι
f g : ι → α
a : ι
s : Multiset ι
ih : (map (fun i => f i + g i) s).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) s.antidiagonal).sum

⊢ (map (fun i => f i + g i) (a ::ₘ s)).prod = (map (fun p => (map f p.1).prod * (map g p.2).prod) (a ::ₘ s).antidiagonal).sum
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z

⊢ (g ⊗ 𝟙 W) ≫ (𝟙 Z ⊗ f) = g ⊗ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z

⊢ g ≫ 𝟙 Z ⊗ 𝟙 W ≫ f = g ⊗ f
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α

⊢ a / d < b / c → a < b ∨ c < d
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α

⊢ b ≤ a ∧ d ≤ c → b / c ≤ a / d
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
A : Continuous fun x => rexp (t * x)

⊢ mgf (X + Y) μ t = mgf X μ t * mgf Y μ t
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
A : Continuous fun x => rexp (t * x)
h'X : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

⊢ mgf (X + Y) μ t = mgf X μ t * mgf Y μ t
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
A : Continuous fun x => rexp (t * x)
h'X : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
h'Y : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ

⊢ mgf (X + Y) μ t = mgf X μ t * mgf Y μ t
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α

⊢ IsInitSeg 𝒜 r ∧ 𝒜.Nonempty ↔ ∃ s, s.card = r ∧ 𝒜 = initSeg s
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
r : ℕ
inst✝ : Fintype α

⊢ (∃ s, s.card = r ∧ 𝒜 = initSeg s) → IsInitSeg 𝒜 r ∧ 𝒜.Nonempty
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t u : Finset α
a b : α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α

⊢ IsInitSeg (initSeg s) s.card ∧ (initSeg s).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s

⊢ IsClosed (Prod.swap '' s)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s

⊢ IsClosed (Prod.swap ⁻¹' s)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
s : Ordinal.{u}
hs : s ∈ S

⊢ enumOrd S (sSup {a | enumOrd S a ≤ s}) = s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
s : Ordinal.{u}
hs : s ∈ S

⊢ enumOrd S (sSup {a | enumOrd S a ≤ s}) ≤ s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
s : Ordinal.{u}
hs : s ∈ S

⊢ s ≤ enumOrd S (sSup {a | enumOrd S a ≤ s})
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean

⊢ Gamma 1 = 1
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
P : α → Prop
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

⊢ Any P (node size✝ l x r) ↔ ∃ x_1, Any (Eq x_1) (node size✝ l x r) ∧ P x_1
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean

⊢ HasDerivAt Gamma (-γ) 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α ≃ᵐ δ
g : δ → β

⊢ Integrable g (Measure.map (⇑f) μ) ↔ Integrable (g ∘ ⇑f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α ≃ᵐ δ
g : δ → β

⊢ Memℒp g 1 (Measure.map (⇑f) μ) ↔ Memℒp (g ∘ ⇑f) 1 μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → F
inst✝ : NormedAddCommGroup F
hm : m ≤ mΩ
hf : Integrable f μ

⊢ Integrable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (id ω, id ω)) μ)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → F
inst✝ : NormedAddCommGroup F
hm : m ≤ mΩ
hf : Integrable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (id ω, ω)) μ)

⊢ Integrable (fun x => f x.2) (Measure.map (fun ω => (id ω, id ω)) μ)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a : α
h : _root_.Disjoint s {a}

⊢ s.disjUnion {a} h = cons a s ⋯
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
m n : ℤ
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : ↑p ∣ m * n

⊢ ↑p ∣ m ∨ ↑p ∣ n
-- Mathlib/Data/Int/CardIntervalMod.lean
a b r : ℤ
hr : 0 < r
v : ℤ

⊢ ↑(filter (fun x => x ≡ v [ZMOD r]) (Ico a b)).card = max (⌈(↑b - ↑v) / ↑r⌉ - ⌈(↑a - ↑v) / ↑r⌉) 0
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ : G

⊢ x✝ ∈ upperCentralSeriesStep H ↔ x✝ ∈ comap (mk' H) (center (G ⧸ H))
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ : G

⊢ x✝ ∈ upperCentralSeriesStep H ↔ ∀ (x : G), ↑x * (mk' H) x✝ = (mk' H) x✝ * ↑x
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ : G

⊢ ∀ (a : G), x✝ * a * x✝⁻¹ * a⁻¹ ∈ H ↔ ↑a * (mk' H) x✝ = (mk' H) x✝ * ↑a
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
x✝ y : G

⊢ x✝ * y * x✝⁻¹ * y⁻¹ ∈ H ↔ ↑y * (mk' H) x✝ = (mk' H) x✝ * ↑y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
f : Char → Bool
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝

⊢ x✝.all f = x✝.toString.data.all f
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ ∑ k ∈ antidiagonal n, ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli' k.1 = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ ∑ k ∈ range n.succ, ↑(((k, n - k).1 + (k, n - k).2).choose (k, n - k).2) / (↑(k, n - k).2 + 1) * bernoulli' (k, n - k).1 = ∑ k ∈ range n.succ, ↑(n.choose (n - k)) / (↑n - ↑k + 1) * bernoulli' k
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n x : ℕ
hx : x ∈ range n.succ

⊢ ↑(((x, n - x).1 + (x, n - x).2).choose (x, n - x).2) / (↑(x, n - x).2 + 1) * bernoulli' (x, n - x).1 = ↑(n.choose (n - x)) / (↑n - ↑x + 1) * bernoulli' x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure

⊢ ∫ (x : E), ↑f x ∂μ ≤ (μ (closedBall c f.rOut)).toReal
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α

⊢ s.bind pure = s
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α

⊢ IsBisimulation fun c₁ c₂ => c₁ = c₂ ∨ ∃ s, c₁ = s.bind pure ∧ c₂ = s
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α

⊢ s.bind pure = s ∨ ∃ s_1, s.bind pure = s_1.bind pure ∧ s = s_1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
t : Finset α
ht : t ∈ 𝒜
ha : a ∉ t
hu : insert a t ∈ 𝒜

⊢ collapse 𝒜 a f t = f t + f (insert a t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S✝ R✝ : Sieve X
S : Presieve X
R : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → S f → Sieve Y
f : Y ⟶ X
h : S f

⊢ R h ≤ pullback f (bind S R)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S✝ R✝ : Sieve X
S : Presieve X
R : ⦃Y : C⦄ → ⦃f : Y ⟶ X⦄ → S f → Sieve Y
f : Y ⟶ X
h : S f

⊢ pushforward f (R h) ≤ bind S R
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
s✝ : Set M
A : Type u_2
inst✝ : AddMonoid A
t : Set A
s : Set M
a : M
h : a ∈ Closure s

⊢ ∃ l, (∀ x ∈ l, x ∈ s) ∧ l.prod = a
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z

⊢ ‖f z‖ ≤ c / r * ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c

⊢ ‖f z‖ ≤ c / r * ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0

⊢ ‖f z‖ ≤ c / r * ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0
eq : f z = ↑‖z‖ / ↑r * f z₁

⊢ ‖f z‖ ≤ c / r * ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0
eq : f z = ↑‖z‖ / ↑r * f z₁

⊢ ‖f z₁‖ * ‖z‖ / r ≤ c * ‖z‖ / r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0
eq : f z = ↑‖z‖ / ↑r * f z₁

⊢ 0 ≤ c * ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
r_pos : 0 < r
c : ℝ
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
h : ∀ z ∈ sphere 0 r, ‖f z‖ ≤ c
z : E
z_zero : ¬z = 0
z₁ : E := (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
hz₁ : z₁ = (↑r * (↑‖z‖)⁻¹) • z
norm_f_z₁ : ‖f z₁‖ ≤ c
r_ne_zero : ↑r ≠ 0
eq : f z = ↑‖z‖ / ↑r * f z₁

⊢ ‖f z₁‖ * ‖z‖ ≤ c * ‖z‖
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ

⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, Tendsto (fun n => (μ[g|↑ℱ n]) x) atTop (𝓝 ((μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x))