ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Finsupp/BigOperators.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Multiset (ι →₀ M)
hs : Pairwise (_root_.Disjoint on Finsupp.support) s

⊢ s.sum.support = (map Finsupp.support s).sup
-- Mathlib/Data/Finsupp/BigOperators.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
a : List (ι →₀ M)
hs : Pairwise (_root_.Disjoint on Finsupp.support) (Quot.mk Setoid.r a)

⊢ (sum (Quot.mk Setoid.r a)).support = (map Finsupp.support (Quot.mk Setoid.r a)).sup
-- Mathlib/Data/Finsupp/BigOperators.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
a l : List (ι →₀ M)
hl : Quot.mk Setoid.r a = ↑l
hd : List.Pairwise (_root_.Disjoint on Finsupp.support) l

⊢ List.Pairwise (_root_.Disjoint on Finsupp.support) a
-- Mathlib/Data/Finsupp/BigOperators.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
a l : List (ι →₀ M)
hd : List.Pairwise (_root_.Disjoint on Finsupp.support) l
hl : a.Perm l

⊢ List.Pairwise (_root_.Disjoint on Finsupp.support) a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : Set (Set E)
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X
h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty

⊢ (⋂₀ F).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : Set (Set E)
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X
h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty

⊢ ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : Set (Set E)
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X
h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : ↑I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1

⊢ (⋂₀ ↑I).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : Set (Set E)
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X
h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : ↑I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Set (Set E)
left✝ : ↑I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.encard = ↑(finrank 𝕜 E) + 1

⊢ (⋂₀ ↑I).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : Set (Set E)
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X
h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : ↑I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Set (Set E)
left✝ : ↑I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.encard = ↑(finrank 𝕜 E) + 1

⊢ (⋂₀ J).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : Set (Set E)
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X
h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : ↑I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Set (Set E)
left✝ : ↑I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.encard = ↑(finrank 𝕜 E) + 1
hJ_fin : Fintype ↑J

⊢ (⋂₀ J).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : Set (Set E)
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X
h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : ↑I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Set (Set E)
left✝ : ↑I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.encard = ↑(finrank 𝕜 E) + 1
hJ_fin : Fintype ↑J
J' : Finset (Set E) := J.toFinset

⊢ (⋂₀ J).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T2Space E
F : Set (Set E)
h_card : ↑(finrank 𝕜 E) + 1 ≤ F.encard
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_compact : ∀ X ∈ F, IsCompact X
h_inter : ∀ (G : Finset (Set E)), ↑G ⊆ F → G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : ↑I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Set (Set E)
left✝ : ↑I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.encard = ↑(finrank 𝕜 E) + 1
hJ_fin : Fintype ↑J
J' : Finset (Set E) := J.toFinset

⊢ (⋂₀ ↑J.toFinset).Nonempty
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S
f : R →* S
g : R →+* S
p m n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : ExpChar S p
x y : R

⊢ (iterateFrobenius R p (m + n)) x = (iterateFrobenius R p m) ((iterateFrobenius R p n) x)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : CommSemigroup α
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n α
N : Matrix n l α
i✝ : l
j✝ : m

⊢ (M * N)ᵀ i✝ j✝ = (Nᵀ * Mᵀ) i✝ j✝
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice β
f : α → β
h_mono : Monotone f
s : Set α
c : α
hcs : c ∈ s
h_bdd : BddBelow s
f' : αᵒᵈ → βᵒᵈ := f

⊢ sInf (f '' s) ≤ f c
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t u : Set α
f : α → β
p q : Prop

⊢ q ∈ {p}ᶜ ↔ q ∈ {¬p}
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α

⊢ s = t ∪ s ↔ t ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι'✝ : Type u_9
inst✝⁷ : NormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedField 𝕜₂
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
ι' : Type u_10
inst✝ : Nonempty ι'
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F

⊢ IsBounded p (fun x => q) f ↔ ∃ s C, q.comp f ≤ C • s.sup p
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Basic.lean
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f

⊢ OpenEmbedding ((forget TopCat).map f ≫ (forget TopCat).map g) ↔ OpenEmbedding ⇑g
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Basic.lean
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f

⊢ OpenEmbedding ((forget TopCat).map (f ≫ g)) ↔ OpenEmbedding ⇑g
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
cf cg : Code

⊢ encode cf < encode (cf.prec cg) ∧ encode cg < encode (cf.prec cg)
-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
cf cg : Code
this : encode (cf.pair cg) < encode (cf.prec cg)

⊢ encode cf < encode (cf.prec cg) ∧ encode cg < encode (cf.prec cg)
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : Karoubi C
f g : P ⟶ Q
h : f.f = g.f

⊢ f = g
-- Mathlib/NumberTheory/FermatPsp.lean
n : ℕ
h₁ : 1 < n
h₂ : ¬Prime n

⊢ n ∣ 1 ^ (n - 1) - 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A A' B B' : C
inst✝⁴ : HasBinaryCoproduct A B
inst✝³ : HasBinaryCoproduct A' B'
inst✝² : HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝ : IsIso (coprodComparison F A B)

⊢ F.map coprod.inl ≫ inv (coprodComparison F A B) = coprod.inl
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R

⊢ M.det = (-1) ^ Fintype.card n * M.charpoly.coeff 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R

⊢ M.det = (-1 • eval ((scalar n) 0) (X - C M)).det
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b : B
y : E b
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
z : TotalSpace F E
hz : z.proj ∈ e.baseSet

⊢ e.symm z.proj (↑e z).2 = z.snd
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α := {x | ¬∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a}
hs : s = {x | ¬∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a}

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α := {x | ¬∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a}
hs : s = {x | ∃ᶠ (x : Set α) in v.filterAt x, μ x = 0}

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α := {x | ¬∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a}
hs : s = {x | ∃ᶠ (x : Set α) in v.filterAt x, μ x = 0}
f : α → Set (Set α) := fun x => {a | μ a = 0}

⊢ μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α := {x | ¬∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a}
hs : s = {x | ∃ᶠ (x : Set α) in v.filterAt x, μ x = 0}
f : α → Set (Set α) := fun x => {a | μ a = 0}
h : v.FineSubfamilyOn f s

⊢ μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α := {x | ¬∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a}
hs : s = {x | ∃ᶠ (x : Set α) in v.filterAt x, μ x = 0}
f : α → Set (Set α) := fun x => {a | μ a = 0}
h : v.FineSubfamilyOn f s

⊢ μ s ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
N : LieSubmodule R L M

⊢ ↑⁅⊤, N⁆ = Submodule.map ((toEnd R L M) x) ↑N ⊔ ↑⁅I, N⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
N : LieSubmodule R L M

⊢ Submodule.span R {m | ∃ x, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} = Submodule.span R ((fun a => ⁅x, a⁆) '' ↑↑N ∪ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m})
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
N : LieSubmodule R L M

⊢ {m | ∃ x, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m} ⊆ ↑(Submodule.span R ((fun a => ⁅x, a⁆) '' ↑↑N ∪ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
N : LieSubmodule R L M
z : M
hz : z ∈ (fun a => ⁅x, a⁆) '' ↑↑N ∪ {m | ∃ x ∈ I, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}

⊢ z ∈ {m | ∃ x, ∃ n ∈ N, ⁅x, n⁆ = m}
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
d : ℕ := a.gcd b

⊢ φ a * φ b ≤ φ (a * b)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
b : ℕ
d : ℕ := gcd 0 b

⊢ φ 0 * φ b ≤ φ (0 * b)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
d : ℕ := a.gcd b
ha0 : 0 < a

⊢ φ a * φ b ≤ φ (a * b)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
d : ℕ := a.gcd b
ha0 : 0 < a
hd0 : 0 < d

⊢ φ a * φ b ≤ φ (a * b)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
d : ℕ := a.gcd b
ha0 : 0 < a
hd0 : 0 < d

⊢ φ a * φ b * d ≤ φ (a * b) * d
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a b : ℕ
d : ℕ := a.gcd b
ha0 : 0 < a
hd0 : 0 < d

⊢ φ (a * b) * φ (a.gcd b) ≤ φ (a * b) * d
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
l : List α

⊢ l.tail = l.tail?.getD []
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x y : ℝ

⊢ (x * y).negMulLog = y * x.negMulLog + x * y.negMulLog
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x y : ℝ

⊢ -(x * y * log (x * y)) = y * -(x * log x) + x * -(y * log y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x y : ℝ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0

⊢ -(x * y * log (x * y)) = y * -(x * log x) + x * -(y * log y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x y : ℝ
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0

⊢ -(x * y * (log x + log y)) = y * -(x * log x) + x * -(y * log y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
S : Type u_10
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module S M'
inst✝¹ : SMulCommClass R S M'
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : ι → M'
x : M

⊢ ((b.constr S) f) x = ∑ i : ι, b.equivFun x i • f i
-- Mathlib/Algebra/Group/AddChar.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ : AddChar A M
ψ : AddChar B M
hψ : Injective ⇑ψ
f g : A →+ B
h : (fun f => ψ.compAddMonoidHom f) f = (fun f => ψ.compAddMonoidHom f) g

⊢ f = g
-- Mathlib/Algebra/Group/AddChar.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid B
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
ψ✝ : AddChar A M
ψ : AddChar B M
hψ : Injective ⇑ψ
f g : A →+ B
h : ⇑((fun f => ψ.compAddMonoidHom f) f) = ⇑((fun f => ψ.compAddMonoidHom f) g)

⊢ ⇑f = ⇑g
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
s : Multiset R
hs : (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod.Separable

⊢ s.Nodup
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
s : Multiset R
hs : (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod.Separable

⊢ ∀ (a : R) (t : Multiset R), s ≠ a ::ₘ a ::ₘ t
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
a : R
t : Multiset R
hs : (Multiset.map (fun a => X - C a) (a ::ₘ a ::ₘ t)).prod.Separable

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
a : R
t : Multiset R
hs : (Multiset.map (fun a => X - C a) (a ::ₘ a ::ₘ t)).prod.Separable

⊢ (X - C a) * (X - C a) ∣ (Multiset.map (fun a => X - C a) (a ::ₘ a ::ₘ t)).prod
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : DifferentiableOn 𝕜 (fun y => -f y) s

⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R✝ : Type u_1
R' : Type u_2
A✝ : Type u_3
T : Type u_4
B✝ : Type u_5
ι✝ : Type u_6
inst✝¹² : Semiring R✝
inst✝¹¹ : Ring R'
inst✝¹⁰ : AddZeroClass A✝
inst✝⁹ : SemilatticeSup B✝
inst✝⁸ : Add B✝
inst✝⁷ : OrderBot B✝
D✝ : A✝ → B✝
p q : R✝[A✝]
hadd✝ : ∀ (a1 a2 : A✝), D✝ (a1 + a2) = D✝ a1 + D✝ a2
R : Type u_7
A : Type u_8
B : Type u_9
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : SemilatticeSup B
inst✝² : OrderBot B
inst✝¹ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
D : A → B
hzero : D 0 = 0
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
ι : Type u_10
s : Finset ι
f : ι → R[A]

⊢ supDegree D (∏ i ∈ s, f i) ≤ ∑ i ∈ s, supDegree D (f i)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R✝ : Type u_1
R' : Type u_2
A✝ : Type u_3
T : Type u_4
B✝ : Type u_5
ι✝ : Type u_6
inst✝¹² : Semiring R✝
inst✝¹¹ : Ring R'
inst✝¹⁰ : AddZeroClass A✝
inst✝⁹ : SemilatticeSup B✝
inst✝⁸ : Add B✝
inst✝⁷ : OrderBot B✝
D✝ : A✝ → B✝
p q : R✝[A✝]
hadd✝ : ∀ (a1 a2 : A✝), D✝ (a1 + a2) = D✝ a1 + D✝ a2
R : Type u_7
A : Type u_8
B : Type u_9
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : SemilatticeSup B
inst✝² : OrderBot B
inst✝¹ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
D : A → B
hzero : D 0 = 0
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
ι : Type u_10
s : Finset ι
f : ι → R[A]

⊢ supDegree D (∏ i ∈ ∅, f i) ≤ ∑ i ∈ ∅, supDegree D (f i)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R✝ : Type u_1
R' : Type u_2
A✝ : Type u_3
T : Type u_4
B✝ : Type u_5
ι✝ : Type u_6
inst✝¹² : Semiring R✝
inst✝¹¹ : Ring R'
inst✝¹⁰ : AddZeroClass A✝
inst✝⁹ : SemilatticeSup B✝
inst✝⁸ : Add B✝
inst✝⁷ : OrderBot B✝
D✝ : A✝ → B✝
p q : R✝[A✝]
hadd✝ : ∀ (a1 a2 : A✝), D✝ (a1 + a2) = D✝ a1 + D✝ a2
R : Type u_7
A : Type u_8
B : Type u_9
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : AddCommMonoid B
inst✝³ : SemilatticeSup B
inst✝² : OrderBot B
inst✝¹ : CovariantClass B B (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass B B (Function.swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
D : A → B
hzero : D 0 = 0
hadd : ∀ (a1 a2 : A), D (a1 + a2) = D a1 + D a2
ι : Type u_10
s : Finset ι
f : ι → R[A]

⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → supDegree D (∏ i ∈ s, f i) ≤ ∑ i ∈ s, supDegree D (f i) → supDegree D (∏ i ∈ insert a s, f i) ≤ ∑ i ∈ insert a s, supDegree D (f i)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommSemiring R
f : α → R
s : Finset α
inst✝ : CommSemiring R
x : α → R
n : ℕ

⊢ s.sum x ^ n = ∑ k ∈ s.sym n, ↑(↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑k).prod
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommSemiring R
f : α → R
s : Finset α
inst✝ : CommSemiring R
x : α → R
n : ℕ

⊢ s.sum x ^ n = ∑ i : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑i).multinomial * (Multiset.map x ↑↑i).prod
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommSemiring R
f : α → R
s : Finset α
inst✝ : CommSemiring R
x : α → R
n : ℕ
x✝ : { x // x ∈ s.sym n }
a✝ : x✝ ∈ univ

⊢ (Multiset.map x ↑↑x✝).prod = (Multiset.map x ↑↑x✝).noncommProd ⋯
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a p q : ℤ
hpq : p + n = q

⊢ (γ.shift a).v p q hpq = γ.v (p + a) (q + a) ⋯
-- Mathlib/Logic/Encodable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Encodable α
inst✝ : Encodable β
n : ℕ

⊢ decode n = (decode (unpair n).1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a) (decode (unpair n).2)
-- Mathlib/Logic/Encodable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Encodable α
inst✝ : Encodable β
n : ℕ

⊢ Option.map (⇑(Equiv.sigmaEquivProd α β)) ((decode (unpair n).1).bind fun a => Option.map (Sigma.mk a) (decode (unpair n).2)) = (decode (unpair n).1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a) (decode (unpair n).2)
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
g : γ → δ
f' : α' → β' → δ
g₁ : α → α'
g₂ : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ a) (g₂ b)

⊢ g '' image2 f s t = image2 f' (g₁ '' s) (g₂ '' t)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set X
x : ↑S

⊢ (𝓝[≠] x).NeBot ↔ (𝓝[≠] ↑x ⊓ 𝓟 S).NeBot
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/CompareExp.lean
l : Filter ℂ
hre : Tendsto re l atTop
him : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun z => |z.im|

⊢ im =O[l] fun z => z.re ^ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

⊢ s.toFinset ⊆ t.toFinset ↔ s ⊆ t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U V : X.Opens
W : (↑U).Opens
e : W ≤ U.ι ⁻¹ᵁ V

⊢ Hom.appLE U.ι V W e = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U V : X.Opens
W : (↑U).Opens
e : W ≤ U.ι ⁻¹ᵁ V

⊢ X.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (homOfLE ⋯).op) = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Finite ι
f : ι → Set X

⊢ interior (⋂ i, f i) = ⋂ i, interior (f i)
-- Mathlib/FieldTheory/PolynomialGaloisGroup.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
p q : F[X]
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
hpq : p ∣ q
hq : q ≠ 0

⊢ Function.Surjective ⇑(restrictDvd hpq)
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α

⊢ a \ c ≤ a \ b ⊔ b \ c
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α

⊢ a \ (a \ b) ≤ c ⊔ b \ c
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : Multiset (MvPolynomial σ R)

⊢ s.prod.totalDegree ≤ (Multiset.map totalDegree s).sum