ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hab : a < b
c : ℝ≥0
ac : a < ↑c
cb : ↑c < b

⊢ ∃ r, 0 < r ∧ a + ↑r < b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q c : ℝ≥0
cb : ↑c < b
a : ℝ≥0
hab : ↑a < b
ac : ↑a < ↑c

⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ↑a + ↑r < b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q c : ℝ≥0
cb : ↑c < b
a : ℝ≥0
hab : ↑a < b
ac : a < c

⊢ ∃ r, 0 < r ∧ ↑a + ↑r < b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q c : ℝ≥0
cb : ↑c < b
a : ℝ≥0
hab : ↑a < b
ac : a < c

⊢ ↑a + ↑(c - a) < b
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : HeytingAlgebra α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α

⊢ a < aᶜ ↔ a = ⊥
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : HeytingAlgebra α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α

⊢ a ≤ aᶜ ∧ a ≠ aᶜ ↔ a = ⊥
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V
h : G.chromaticNumber = 0

⊢ IsEmpty V
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V
h : G.chromaticNumber = 0
h' : G.Colorable G.chromaticNumber.toNat

⊢ IsEmpty V
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G✝ : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G✝.Coloring α
G : SimpleGraph V
inst✝ : Finite V
h : G.chromaticNumber = 0
h' : G.Colorable (ENat.toNat 0)

⊢ IsEmpty V
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : NonAssocSemiring α
v : V
vec : V → α

⊢ vec ⬝ᵥ adjMatrix α G v = ∑ u ∈ G.neighborFinset v, vec u
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N

⊢ f.ker = ⊥ ↔ Function.Injective ⇑f
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
h₁ : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
h₂ : ∀ (a b : α) (ha : a ∈ s) (hb : b ∈ s), f a ha = f b hb → a = b
h₃ : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b

⊢ s.ncard = t.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
h₁ : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
h₂ : ∀ (a b : α) (ha : a ∈ s) (hb : b ∈ s), f a ha = f b hb → a = b
h₃ : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩

⊢ s.ncard = t.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
h₁ : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
h₂ : ∀ (a b : α) (ha : a ∈ s) (hb : b ∈ s), f a ha = f b hb → a = b
h₃ : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩
hbij : Function.Bijective f'

⊢ s.ncard = t.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t✝ : Set α
f✝ : α → β
t : Set β
f : (a : α) → a ∈ s → β
h₁ : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
h₂ : ∀ (a b : α) (ha : a ∈ s) (hb : b ∈ s), f a ha = f b hb → a = b
h₃ : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
f' : ↑s → ↑t := fun x => ⟨f ↑x ⋯, ⋯⟩
hbij : Function.Bijective f'

⊢ Nat.card ↑s = Nat.card ↑t
-- Mathlib/Combinatorics/Young/SemistandardTableau.lean
μ : YoungDiagram
T T' : SemistandardYoungTableau μ
h : ∀ (i j : ℕ), T i j = T' i j
x✝ : ℕ

⊢ T x✝ = T' x✝
-- Mathlib/Combinatorics/Young/SemistandardTableau.lean
μ : YoungDiagram
T T' : SemistandardYoungTableau μ
h : ∀ (i j : ℕ), T i j = T' i j
x✝¹ x✝ : ℕ

⊢ T x✝¹ x✝ = T' x✝¹ x✝
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
iic : IsIntegrallyClosedIn R A
hRA : Function.Injective ⇑(algebraMap R A)

⊢ integralClosure R A = ⊥ ↔ IsIntegrallyClosedIn R A
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
iic : IsIntegrallyClosedIn R A
hRA : Function.Injective ⇑(algebraMap R A)

⊢ integralClosure R A ≤ ⊥ ↔ IsIntegrallyClosedIn R A
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
π : ι ⊕ ι' → Type u_4
t : (i : ι ⊕ ι') → Set (π i)
x✝ : ((i : ι) → π (Sum.inl i)) × ((i' : ι') → π (Sum.inr i'))

⊢ x✝ ∈ ⇑(sumPiEquivProdPi π).symm ⁻¹' univ.pi t ↔ x✝ ∈ (univ.pi fun i => t (Sum.inl i)) ×ˢ univ.pi fun i => t (Sum.inr i)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
π : ι ⊕ ι' → Type u_4
t : (i : ι ⊕ ι') → Set (π i)
x✝ : ((i : ι) → π (Sum.inl i)) × ((i' : ι') → π (Sum.inr i'))

⊢ (∀ (i : ι ⊕ ι'), Sum.rec x✝.1 x✝.2 i ∈ t i) ↔ (∀ (i : ι), x✝.1 i ∈ t (Sum.inl i)) ∧ ∀ (i : ι'), x✝.2 i ∈ t (Sum.inr i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₂
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
N : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R M
c : Basis κ R N
c' : Basis κ' R N
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : Finite κ
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Finite κ'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : DecidableEq ι'

⊢ (toLin b c') ((toMatrix b' c') f * b'.toMatrix ⇑b) = (toLin b c') ((toMatrix b c') f)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/InfiniteSum.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : SeminormedAddCommGroup F
f : ι → E
g : ι → ℝ
a : E
b : ℝ
hf : HasSum f a
hg : HasSum g b
h : ∀ (i : ι), ‖f i‖ ≤ g i

⊢ ‖a‖ ≤ b
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
inst✝ : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)

⊢ s.pi t = ∅ ↔ ∃ i ∈ s, t i = ∅
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/FreeGroupoid.lean
V : Type u
inst✝ : Quiver V
X Y : Paths (Quiver.Symmetrify V)
p : X ⟶ Y

⊢ Quot.mk (Quotient.CompClosure redStep) (Quiver.Path.reverse p ≫ p) = Quot.mk (Quotient.CompClosure redStep) (𝟙 Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/FreeGroupoid.lean
V : Type u
inst✝ : Quiver V
X Y : Paths (Quiver.Symmetrify V)
p : X ⟶ Y

⊢ Quot.mk (Quotient.CompClosure redStep) (Quiver.Path.reverse p ≫ (Quiver.Path.reverse p).reverse) = Quot.mk (Quotient.CompClosure redStep) (𝟙 Y)
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
A B : Preorder α
le✝ A_lt : α → α → Prop
le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
A_iff : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
B_lt : α → α → Prop
le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
B_iff : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a

⊢ mk le_refl✝¹ le_trans✝¹ A_iff = mk le_refl✝ le_trans✝ B_iff
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
A B : Preorder α
le✝ A_lt : α → α → Prop
le_refl✝¹ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝¹ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
A_iff : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
B_lt : α → α → Prop
le_refl✝ : ∀ (a : α), a ≤ a
le_trans✝ : ∀ (a b c : α), a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
B_iff : ∀ (a b : α), a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
this : A_lt = B_lt

⊢ mk le_refl✝¹ le_trans✝¹ A_iff = mk le_refl✝ le_trans✝ B_iff
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : DistribSMul R V
x : HahnSeries Γ R
y z : HahnModule Γ' R V
k : Γ'

⊢ ((of R).symm (x • (y + z))).coeff k = ((of R).symm (x • y + x • z)).coeff k
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : DistribSMul R V
x : HahnSeries Γ R
y z : HahnModule Γ' R V
k : Γ'
hwf : (((of R).symm y).support ∪ ((of R).symm z).support).IsPWO

⊢ ((of R).symm (x • (y + z))).coeff k = ((of R).symm (x • y + x • z)).coeff k
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : DistribSMul R V
x : HahnSeries Γ R
y z : HahnModule Γ' R V
k : Γ'
hwf : (((of R).symm y).support ∪ ((of R).symm z).support).IsPWO

⊢ ∑ ij ∈ VAddAntidiagonal ⋯ hwf k, x.coeff ij.1 • ((of R).symm y + (of R).symm z).coeff ij.2 = ((of R).symm (x • y + x • z)).coeff k
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : DistribSMul R V
x : HahnSeries Γ R
y z : HahnModule Γ' R V
k : Γ'
hwf : (((of R).symm y).support ∪ ((of R).symm z).support).IsPWO

⊢ ((of R).symm (y + z)).support ⊆ ((of R).symm y).support ∪ ((of R).symm z).support
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝²⁵ : CommRing R
S : Type v
inst✝²⁴ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝²³ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝²² : Field K
inst✝²¹ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝²⁰ : Field L
inst✝¹⁹ : Algebra S L
inst✝¹⁸ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V
inst✝¹⁶ : Module R V
inst✝¹⁵ : Module K V
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R K V
inst✝¹³ : AddCommGroup V'
inst✝¹² : Module R V'
inst✝¹¹ : Module S V'
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R S V'
inst✝⁹ : AddCommGroup V''
inst✝⁸ : Module R V''
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
hp : p.IsMaximal
inst✝ : IsNoetherian R S
this : Field (R ⧸ p) := Quotient.field p
ι : Type v := Module.Free.ChooseBasisIndex (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)
b : Basis ι (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) := Module.Free.chooseBasis (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)

⊢ finrank (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) = finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝²⁵ : CommRing R
S : Type v
inst✝²⁴ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝²³ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝²² : Field K
inst✝²¹ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝²⁰ : Field L
inst✝¹⁹ : Algebra S L
inst✝¹⁸ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V
inst✝¹⁶ : Module R V
inst✝¹⁵ : Module K V
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R K V
inst✝¹³ : AddCommGroup V'
inst✝¹² : Module R V'
inst✝¹¹ : Module S V'
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R S V'
inst✝⁹ : AddCommGroup V''
inst✝⁸ : Module R V''
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
hp : p.IsMaximal
inst✝ : IsNoetherian R S
this : Field (R ⧸ p) := Quotient.field p
ι : Type v := Module.Free.ChooseBasisIndex (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)
b : Basis ι (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) := Module.Free.chooseBasis (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)
b' : ι → S := fun i => ⋯.choose

⊢ finrank (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) = finrank K L
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝²⁵ : CommRing R
S : Type v
inst✝²⁴ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝²³ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝²² : Field K
inst✝²¹ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝²⁰ : Field L
inst✝¹⁹ : Algebra S L
inst✝¹⁸ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁷ : AddCommGroup V
inst✝¹⁶ : Module R V
inst✝¹⁵ : Module K V
inst✝¹⁴ : IsScalarTower R K V
inst✝¹³ : AddCommGroup V'
inst✝¹² : Module R V'
inst✝¹¹ : Module S V'
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R S V'
inst✝⁹ : AddCommGroup V''
inst✝⁸ : Module R V''
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : IsDedekindDomain R
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
hp : p.IsMaximal
inst✝ : IsNoetherian R S
this : Field (R ⧸ p) := Quotient.field p
ι : Type v := Module.Free.ChooseBasisIndex (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)
b : Basis ι (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) := Module.Free.chooseBasis (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p)
b' : ι → S := fun i => ⋯.choose
b_eq_b' : ⇑b = ⇑(↑R (Submodule.mkQ (map (algebraMap R S) p))) ∘ b'

⊢ finrank (R ⧸ p) (S ⧸ map (algebraMap R S) p) = finrank K L
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
r : R
u : Rˣ
ϖ : R
hϖ : Irreducible ϖ
n : ℕ
hr : r = ↑u * ϖ ^ n

⊢ (addVal R) r = ↑n
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
A : C
f₁ f₂ : S.opcycles ⟶ A
h : S.pOpcycles ≫ f₁ = S.pOpcycles ≫ f₂

⊢ f₁ = f₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F

⊢ IntegrableOn g (f '' s) μ ↔ IntegrableOn (fun x => |(f' x).det| • g (f x)) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F

⊢ Integrable (g ∘ s.restrict f) (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) ↔ IntegrableOn (fun x => |(f' x).det| • g (f x)) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F

⊢ Integrable ((g ∘ f) ∘ Subtype.val) (Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ↑|(f' x).det|.toNNReal)) ↔ IntegrableOn (fun x => |(f' x).det| • g (f x)) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F

⊢ Integrable (fun x => ↑|(f' x).det|.toNNReal • (g ∘ f) x) (μ.restrict s) ↔ IntegrableOn (fun x => |(f' x).det| • g (f x)) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F

⊢ AEMeasurable (fun x => |(f' x).det|.toNNReal) (μ.restrict s)
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
I' : Ideal R
hI : ↑I = ↑I'

⊢ mk I = 1 ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ I' = Ideal.span {x}
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
I' : Ideal R
hI : ↑I = ↑I'

⊢ (∃ x y, x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ Ideal.span {x} * I' = Ideal.span {y} * ⊤) ↔ ∃ x, x ≠ 0 ∧ I' = Ideal.span {x}
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
I' : Ideal R
hI : ↑I = ↑I'

⊢ ↑1 = ↑⊤
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
ha : b * a = 1

⊢ Tendsto (fun x => a * x) (cocompact M) (cocompact M)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
ha : b * a = 1

⊢ Tendsto ((fun b_1 => b * b_1) ∘ fun x => a * x) (cocompact M) (cocompact M)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
ha : b * a = 1

⊢ ((fun b_1 => b * b_1) ∘ fun x => a * x) = id
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
a b : M
ha : b * a = 1
x : M

⊢ ((fun b_1 => b * b_1) ∘ fun x => a * x) x = id x
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : ConcreteCategory.forget.obj (pullback f g)

⊢ f ((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x).1 = g ((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x).2
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : ConcreteCategory.forget.obj (pullback f g)

⊢ (pullbackIsoProdSubtype f g).hom x = ⟨((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x), ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : ConcreteCategory.forget.obj (pullback f g)

⊢ ↑((pullbackIsoProdSubtype f g).hom x) = ↑⟨((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x), ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : ConcreteCategory.forget.obj (pullback f g)

⊢ (↑((pullbackIsoProdSubtype f g).hom x)).1 = (↑⟨((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x), ⋯⟩).1
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
x : ConcreteCategory.forget.obj (pullback f g)

⊢ (↑((pullbackIsoProdSubtype f g).hom x)).2 = (↑⟨((pullback.fst f g) x, (pullback.snd f g) x), ⋯⟩).2
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I' : ClassGroup S

⊢ ∃ a, mkMMem bS adm a = I'
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : Ideal S
hI : I ∈ (Ideal S)⁰

⊢ ∃ a, mkMMem bS adm a = mk0 ⟨I, hI⟩
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/Finite.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁸ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : IsDomain S
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra R K
inst✝¹² : IsFractionRing R K
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional K L
inst✝⁹ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁸ : IsScalarTower R K L
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝³ : Infinite R
inst✝² : DecidableEq R
inst✝¹ : IsDedekindDomain S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
I : Ideal S
hI : I ∈ (Ideal S)⁰
J : ↥(Ideal S)⁰
mk0_eq_mk0 : mk0 ⟨I, hI⟩ = mk0 J
J_dvd : (algebraMap R S) (∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m) ∈ ↑J

⊢ ∃ a, mkMMem bS adm a = mk0 ⟨I, hI⟩
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α

⊢ filter p s ∩ filter (fun a => ¬p a) t = ∅
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁷ : HasZeroObject C
inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁵ : Preadditive C
inst✝¹⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹³ : Pretriangulated C
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹¹ : HasZeroObject D
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁷ : Pretriangulated D
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_3} A
inst✝⁵ : Abelian A
F✝ : C ⥤ A
inst✝⁴ : F✝.IsHomological
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.CommShift ℤ
inst✝² : L.IsTriangulated
inst✝¹ : L.mapArrow.EssSurj
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
inst✝ : G.IsHomological

⊢ F.IsHomological
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁸ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹⁷ : HasZeroObject C
inst✝¹⁶ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁵ : Preadditive C
inst✝¹⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹³ : Pretriangulated C
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} D
inst✝¹¹ : HasZeroObject D
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁷ : Pretriangulated D
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_3} A
inst✝⁵ : Abelian A
F✝ : C ⥤ A
inst✝⁴ : F✝.IsHomological
L : C ⥤ D
inst✝³ : L.CommShift ℤ
inst✝² : L.IsTriangulated
inst✝¹ : L.mapArrow.EssSurj
F : D ⥤ A
G : C ⥤ A
e : L ⋙ F ≅ G
inst✝ : G.IsHomological
this : F.PreservesZeroMorphisms

⊢ F.IsHomological