ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ Measurable fun u => f (u.1.2, u.2)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
α : Sort u_1
n m : Nat
f : α → Fin n → α
x : α
h : m < n

⊢ foldl.loop n f x m = foldl.loop n f (f x ⟨m, h⟩) (m + 1)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a✝ a : α
ha : a ≠ 0
x y : α

⊢ edist ((Equiv.mulRight₀ a ha).toFun x) ((Equiv.mulRight₀ a ha).toFun y) = ↑‖a‖₊ * edist x y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
i j : α
σ : Perm α

⊢ σ * swap i j * swap i j = σ
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C

⊢ (h.F n).obj X = (h.F (n + 0)).obj X
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C

⊢ (h.add n 0).inv.app X = h.zero.hom.app ((h.F n).obj X) ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y Z : C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
W : C
h : W ⟶ X
w : (kernelSubobject f).Factors h

⊢ h ≫ f = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ

⊢ ‖x‖ ≤ ↑p ^ n ↔ ‖x‖ < ↑p ^ (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ
aux : ∀ (n : ℤ), 0 < ↑p ^ n

⊢ ‖x‖ ≤ ↑p ^ n ↔ ‖x‖ < ↑p ^ (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ
aux : ∀ (n : ℤ), 0 < ↑p ^ n
hx0 : ¬x = 0

⊢ ‖x‖ ≤ ↑p ^ n ↔ ‖x‖ < ↑p ^ (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ
aux : ∀ (n : ℤ), 0 < ↑p ^ n
hx0 : ¬x = 0

⊢ ↑p ^ (-x.valuation) ≤ ↑p ^ n ↔ ↑p ^ (-x.valuation) < ↑p ^ (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ
aux : ∀ (n : ℤ), 0 < ↑p ^ n
hx0 : ¬x = 0
h1p : 1 < ↑p

⊢ ↑p ^ (-x.valuation) ≤ ↑p ^ n ↔ ↑p ^ (-x.valuation) < ↑p ^ (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℚ_[p]
n : ℤ
aux : ∀ (n : ℤ), 0 < ↑p ^ n
hx0 : ¬x = 0
h1p : 1 < ↑p
H : StrictMono fun x => ↑p ^ x

⊢ ↑p ^ (-x.valuation) ≤ ↑p ^ n ↔ ↑p ^ (-x.valuation) < ↑p ^ (n + 1)
-- Mathlib/Topology/NhdsSet.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
p : X → Prop

⊢ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (s ∪ t), p x) ↔ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ s, p x) ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ t, p x
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
he : x₁ ≈ x₃
h₁ : P2 x₁ x₃ y₁
h₃ : P2 x₁ x₃ y₃
h3 : P3 x₁ x₂ y₂ y₃

⊢ P1 x₁ x₂ x₃ y₁ y₂ y₃
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
he : x₁ ≈ x₃
h₁ : P2 x₁ x₃ y₁
h₃ : P2 x₁ x₃ y₃
h3 : P3 x₁ x₂ y₂ y₃

⊢ ⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ + ⟦x₁ * y₃⟧ < ⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₃⟧ + ⟦x₁ * y₂⟧
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R K
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g.Monic
hd : g ∣ map (algebraMap R K) f

⊢ g ∈ lifts (algebraMap (↥(integralClosure R K)) K)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R K
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g.Monic
hd : g ∣ map (algebraMap R K) f
this : map (algebraMap K g.SplittingField) g ∈ lifts (algebraMap (↥(integralClosure R g.SplittingField)) g.SplittingField)

⊢ g ∈ lifts (algebraMap (↥(integralClosure R K)) K)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R K
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g.Monic
hd : g ∣ map (algebraMap R K) f
a : g.SplittingField
ha : a ∈ (map (algebraMap K g.SplittingField) g).roots

⊢ a ∈ f.aroots g.SplittingField
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R K
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g.Monic
hd : g ∣ map (algebraMap R K) f
a : g.SplittingField
ha : a ∈ (map (algebraMap K g.SplittingField) g).roots

⊢ a ∈ (map (algebraMap K g.SplittingField) (map (algebraMap R K) f)).roots
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra R K
f : R[X]
hf : f.Monic
g : K[X]
hg : g.Monic
hd : g ∣ map (algebraMap R K) f
a : g.SplittingField
ha : a ∈ (map (algebraMap K g.SplittingField) g).roots

⊢ map (algebraMap K g.SplittingField) g ∣ map (algebraMap K g.SplittingField) (map (algebraMap R K) f)
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
f : ℕ → ℝ
h_bdd : BddAbove (range f)
h_mon : Monotone f

⊢ ∃ r, Tendsto f atTop (𝓝 r)
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
f : ℕ → ℝ
h_bdd : BddAbove (range f)
h_mon : Monotone f
B : ℝ
hB : IsLUB (range f) B

⊢ ∃ r, Tendsto f atTop (𝓝 r)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
C : Set X

⊢ AccPt x (𝓟 C) ↔ ∀ U ∈ 𝓝 x, ∃ y ∈ U ∩ C, y ≠ x
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
k : ℕ
x✝ : autoParam (k + 2 ≤ 4) _auto✝

⊢ ((AdicCompletion.firstRow I M f).sc ⋯ k ⋯).Exact
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
k : ℕ
x✝ : autoParam (k + 2 ≤ 4) _auto✝

⊢ ∀ (x₂ : ↑((AdicCompletion.firstRow I M f).sc ⋯ k ⋯).X₂), ((AdicCompletion.firstRow I M f).sc ⋯ k ⋯).g x₂ = 0 → ∃ x₁, ((AdicCompletion.firstRow I M f).sc ⋯ k ⋯).f x₁ = x₂
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}

⊢ nim o₁ ≈ nim o₂ ↔ o₁ = o₂
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Finite R S
inst✝ : Module.Free R S

⊢ (relNorm R) ⊤ = ⊤
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ✝ : α → Sort u_6
s✝ : Set α
f g : (i : α) → δ✝ i
inst✝² : (j : α) → Decidable (j ∈ s✝)
δ : α → Type u_7
inst✝¹ : (i : α) → Preorder (δ i)
s : Set α
inst✝ : (j : α) → Decidable (j ∈ s)
f₁ f₂ g₁ g₂ : (i : α) → δ i
h₁ : ∀ i ∈ s, f₁ i ≤ g₁ i
h₂ : ∀ i ∉ s, f₂ i ≤ g₂ i

⊢ s.piecewise f₁ f₂ ≤ s.piecewise g₁ g₂
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H

⊢ HasFDerivWithinAt f f' t y ↔ ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => f x i) ((EuclideanSpace.proj i).comp f') t y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Calculus.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : Fintype ι
f : H → EuclideanSpace 𝕜 ι
f' : H →L[𝕜] EuclideanSpace 𝕜 ι
t : Set H
y : H

⊢ (∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => (⇑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜) ∘ f) x i) ((proj i).comp ((↑(EuclideanSpace.equiv ι 𝕜)).comp f')) t y) ↔ ∀ (i : ι), HasFDerivWithinAt (fun x => f x i) ((EuclideanSpace.proj i).comp f') t y
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Extension.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
s t : LeftLift f g
x : B
h : x ⟶ c
X✝ Y✝ : LeftLift f g
η : X✝ ⟶ Y✝

⊢ ((fun t => t.whisker h) X✝).unit ≫ (h ◁ η.right) ▷ f = ((fun t => t.whisker h) Y✝).unit
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Extension.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
s t : LeftLift f g
x : B
h : x ⟶ c
X✝ Y✝ : LeftLift f g
η : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (h ◁ X✝.unit ≫ (α_ h X✝.lift f).inv) ≫ (h ◁ η.right) ▷ f = h ◁ Y✝.unit ≫ (α_ h Y✝.lift f).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Extension.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
s t : LeftLift f g
x : B
h : x ⟶ c
X✝ Y✝ : LeftLift f g
η : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (h ◁ X✝.unit ≫ (α_ h X✝.lift f).inv) ≫ (h ◁ η.right) ▷ f = h ◁ (X✝.unit ≫ η.right ▷ f) ≫ (α_ h Y✝.lift f).inv
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : Nontrivial α

⊢ xᶜ < x ↔ x = ⊤
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : TopologicalSpace M
m m' : M
G : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup G
g g' : G
inst✝ : ContinuousMul M
f : ℤ → M
hf₁ : HasProd (fun n => f ↑n) m
hf₂ : HasProd (fun n => f (-(↑n + 1))) m'
hi₂ : Injective Int.negSucc
this : IsCompl (Set.range Nat.cast) (Set.range Int.negSucc)

⊢ HasProd f (m * m')
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
k : ℕ

⊢ (bind₁ (xInTermsOfW p R)) (W_ R k) = X k
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
k : ℕ

⊢ ∑ x ∈ range (k + 1), (bind₁ (xInTermsOfW p R)) (C (↑p ^ x) * X x ^ p ^ (k - x)) = X k
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
k : ℕ

⊢ ∑ x ∈ range (k + 1), C ↑p ^ x * (bind₁ (xInTermsOfW p R)) (X x) ^ p ^ (k - x) = X k
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
k : ℕ

⊢ X k - ∑ i ∈ range k, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p R i ^ p ^ (k - i) + ∑ x ∈ range k, C ↑p ^ x * (bind₁ (xInTermsOfW p R)) (X x) ^ p ^ (k - x) = X k
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_mem : x ∈ closure E

⊢ (thickenedIndicator δ_pos E) x = 1
-- Mathlib/Order/Hom/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : LE α
inst✝² : LE β
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : OrderIsoClass F α β
f : F
a : α
b : β

⊢ EquivLike.inv f b ≤ a ↔ b ≤ f a
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
M' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
x : M'

⊢ x ∈ ϕ.submoduleImage N ↔ ∃ y, ∃ (yO : y ∈ O), y ∈ N ∧ ϕ ⟨y, yO⟩ = x
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
M' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
x : M'

⊢ (∃ y, O.subtype y ∈ N ∧ ϕ y = x) → ∃ y, ∃ (yO : y ∈ O), y ∈ N ∧ ϕ ⟨y, yO⟩ = x
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
M' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
x : M'

⊢ (∃ y, ∃ (yO : y ∈ O), y ∈ N ∧ ϕ ⟨y, yO⟩ = x) → ∃ y, O.subtype y ∈ N ∧ ϕ y = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Finite n
A : Matrix m n R

⊢ (Function.Surjective fun v => v ᵥ* A) ↔ ∃ B, B * A = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Finite n
A : Matrix m n R
val✝ : Fintype n

⊢ (Function.Surjective fun v => v ᵥ* A) ↔ ∃ B, B * A = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Finite n
A : Matrix m n R
val✝ : Fintype n
h : Function.Surjective fun v => v ᵥ* A
rows : n → m → R
hrows : ∀ (x : n), (fun v => v ᵥ* A) (rows x) = Pi.single x 1

⊢ ∃ B, B * A = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Finite n
A : Matrix m n R
val✝ : Fintype n
h : Function.Surjective fun v => v ᵥ* A
rows : n → m → R
hrows : ∀ (x : n), (fun v => v ᵥ* A) (rows x) = Pi.single x 1
i j : n

⊢ (of rows * A) i j = 1 i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Finite n
A : Matrix m n R
val✝ : Fintype n
h : Function.Surjective fun v => v ᵥ* A
rows : n → m → R
hrows : ∀ (x : n), (fun v => v ᵥ* A) (rows x) = Pi.single x 1
i j : n

⊢ (of rows i ᵥ* A) j = (fun v => v ᵥ* A) (rows i) j
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H : Subgroup N
x : G × N

⊢ x ∈ ⊤.prod H ↔ x ∈ comap (MonoidHom.snd G N) H
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hs : s ⊆ s'
ht : t ⊆ t'

⊢ image₂ f s t ⊆ image₂ f s' t'
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hs : s ⊆ s'
ht : t ⊆ t'

⊢ image2 f ↑s ↑t ⊆ image2 f ↑s' ↑t'
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
m : M

⊢ (B (v i)) m = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R

⊢ (B (v i)) (v.repr.symm vi) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R

⊢ ∑ x ∈ vi.support, (B (v i)) (vi x • v x) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R

⊢ ∀ x ∈ vi.support, (B (v i)) (vi x • v x) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n

⊢ (B (v i)) (vi j • v j) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n

⊢ I' (vi j) • (B (v i)) (v j) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n

⊢ (B (v i)) (v j) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R

⊢ (B (v i)) (v i) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
I I' : R →+* R
inst✝ : Nontrivial R
B : M →ₛₗ[I] M →ₛₗ[I'] M₁
v : Basis n R M
h : B.IsOrthoᵢ ⇑v
hB : B.SeparatingLeft
i : n
ho : B.IsOrtho (v i) (v i)
vi : n →₀ R
j : n
hij : i ≠ j

⊢ (B (v i)) (v j) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Diagonal.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
inst✝⁴ : HasPullbacks C
S T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
i : T ⟶ S
inst✝³ : HasPullback i i
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)
inst✝ : HasPullback (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)

⊢ (pullbackDiagonalMapIdIso f g i).inv ≫ snd (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≫ fst (f ≫ i) (g ≫ i) = fst f g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Diagonal.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
X Y Z : C
inst✝⁴ : HasPullbacks C
S T : C
f : X ⟶ T
g : Y ⟶ T
i : T ⟶ S
inst✝³ : HasPullback i i
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback (f ≫ i) (g ≫ i)
inst✝ : HasPullback (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯)

⊢ snd (diagonal i) (map (f ≫ i) (g ≫ i) i i f g (𝟙 S) ⋯ ⋯) ≫ fst (f ≫ i) (g ≫ i) = (pullbackDiagonalMapIdIso f g i).hom ≫ fst f g
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : IsOpenMap f
s : Set Y

⊢ f ⁻¹' closure s ⊆ closure (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : IsOpenMap f
s : Set Y

⊢ (closure (f ⁻¹' s))ᶜ ⊆ (f ⁻¹' closure s)ᶜ