ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius
hr' : ↑‖x‖₊ < p.radius

⊢ ↑r ≤ (p.changeOrigin x).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius
hr' : ↑‖x‖₊ < p.radius

⊢ Summable fun n => ‖p.changeOrigin x n‖₊ * r ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius
hr' : ↑‖x‖₊ < p.radius
this : ∀ (k : ℕ), ‖p.changeOrigin x k‖₊ * r ^ k ≤ (∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst) * r ^ k

⊢ Summable fun n => ‖p.changeOrigin x n‖₊ * r ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius
hr' : ↑‖x‖₊ < p.radius
this : ∀ (k : ℕ), ‖p.changeOrigin x k‖₊ * r ^ k ≤ (∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst) * r ^ k

⊢ Summable fun b => (∑' (s : (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖p (b + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst) * r ^ b
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ₁ : Type u_5
δ₂ : Type u_6
φ₁ : δ₁ → α
φ₂ : δ₂ → α
𝔗₁ : Set (Set δ₁)
𝔗₂ : Set (Set δ₂)
h_image₁ : MapsTo (fun x => φ₁ '' x) 𝔗₁ 𝔖
h_image₂ : MapsTo (fun x => φ₂ '' x) 𝔗₂ 𝔖
h_preimage₁ : MapsTo (fun x => φ₁ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₁
h_preimage₂ : MapsTo (fun x => φ₂ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₂
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, S ⊆ range φ₁ ∪ range φ₂
ψ₁ : (S : Set α) → ↑(φ₁ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₁
ψ₂ : (S : Set α) → ↑(φ₂ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₂
this : ∀ S ∈ 𝔖, UniformFun.uniformSpace (↑S) β = UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₁ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₁ ⁻¹' S)) β) ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₂ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₂ ⁻¹' S)) β)

⊢ uniformSpace α β 𝔖 = UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₁) ∘ (fun x => x ∘ φ₁) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₁ β 𝔗₁) ⊓ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₂) ∘ (fun x => x ∘ φ₂) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₂ β 𝔗₂)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ₁ : Type u_5
δ₂ : Type u_6
φ₁ : δ₁ → α
φ₂ : δ₂ → α
𝔗₁ : Set (Set δ₁)
𝔗₂ : Set (Set δ₂)
h_image₁ : MapsTo (fun x => φ₁ '' x) 𝔗₁ 𝔖
h_image₂ : MapsTo (fun x => φ₂ '' x) 𝔗₂ 𝔖
h_preimage₁ : MapsTo (fun x => φ₁ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₁
h_preimage₂ : MapsTo (fun x => φ₂ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₂
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, S ⊆ range φ₁ ∪ range φ₂
ψ₁ : (S : Set α) → ↑(φ₁ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₁
ψ₂ : (S : Set α) → ↑(φ₂ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₂
this : ∀ S ∈ 𝔖, UniformFun.uniformSpace (↑S) β = UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₁ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₁ ⁻¹' S)) β) ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₂ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₂ ⁻¹' S)) β)

⊢ uniformSpace α β 𝔖 ≤ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₁) ∘ (fun x => x ∘ φ₁) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₁ β 𝔗₁)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ₁ : Type u_5
δ₂ : Type u_6
φ₁ : δ₁ → α
φ₂ : δ₂ → α
𝔗₁ : Set (Set δ₁)
𝔗₂ : Set (Set δ₂)
h_image₁ : MapsTo (fun x => φ₁ '' x) 𝔗₁ 𝔖
h_image₂ : MapsTo (fun x => φ₂ '' x) 𝔗₂ 𝔖
h_preimage₁ : MapsTo (fun x => φ₁ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₁
h_preimage₂ : MapsTo (fun x => φ₂ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₂
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, S ⊆ range φ₁ ∪ range φ₂
ψ₁ : (S : Set α) → ↑(φ₁ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₁
ψ₂ : (S : Set α) → ↑(φ₂ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₂
this : ∀ S ∈ 𝔖, UniformFun.uniformSpace (↑S) β = UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₁ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₁ ⁻¹' S)) β) ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₂ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₂ ⁻¹' S)) β)

⊢ uniformSpace α β 𝔖 ≤ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₂) ∘ (fun x => x ∘ φ₂) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₂ β 𝔗₂)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ₁ : Type u_5
δ₂ : Type u_6
φ₁ : δ₁ → α
φ₂ : δ₂ → α
𝔗₁ : Set (Set δ₁)
𝔗₂ : Set (Set δ₂)
h_image₁ : MapsTo (fun x => φ₁ '' x) 𝔗₁ 𝔖
h_image₂ : MapsTo (fun x => φ₂ '' x) 𝔗₂ 𝔖
h_preimage₁ : MapsTo (fun x => φ₁ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₁
h_preimage₂ : MapsTo (fun x => φ₂ ⁻¹' x) 𝔖 𝔗₂
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, S ⊆ range φ₁ ∪ range φ₂
ψ₁ : (S : Set α) → ↑(φ₁ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₁
ψ₂ : (S : Set α) → ↑(φ₂ ⁻¹' S) → ↑S := fun S => S.restrictPreimage φ₂
this : ∀ S ∈ 𝔖, UniformFun.uniformSpace (↑S) β = UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₁ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₁ ⁻¹' S)) β) ⊓ UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ₂ S) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ₂ ⁻¹' S)) β)
S : Set α
hS : S ∈ 𝔖

⊢ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₁) ∘ (fun x => x ∘ φ₁) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₁ β 𝔗₁) ⊓ UniformSpace.comap (⇑(ofFun 𝔗₂) ∘ (fun x => x ∘ φ₂) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace δ₂ β 𝔗₂) ≤ UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ S.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑S) β)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = 0
hnR : ↑n ≤ #R

⊢ F = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hnR : ↑n ≤ #R
h : F ≠ 0

⊢ ∃ r, (eval r) F ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hnR : ↑n ≤ #R
k : ℕ
f : Fin k → σ
hf : Function.Injective f
F : MvPolynomial (Fin k) R
hF : ((rename f) F).IsHomogeneous n
h : (rename f) F ≠ 0

⊢ ∃ r, (eval r) ((rename f) F) ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hnR : ↑n ≤ #R
k : ℕ
f : Fin k → σ
hf : Function.Injective f
F : MvPolynomial (Fin k) R
hF : ((rename f) F).IsHomogeneous n
h : (rename f) F ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0

⊢ ∃ r, (eval r) ((rename f) F) ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hnR : ↑n ≤ #R
k : ℕ
f : Fin k → σ
hf : Function.Injective f
F : MvPolynomial (Fin k) R
hF✝ : ((rename f) F).IsHomogeneous n
h : (rename f) F ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hF : F.IsHomogeneous n

⊢ ∃ r, (eval r) ((rename f) F) ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hnR : ↑n ≤ #R
k : ℕ
f : Fin k → σ
hf : Function.Injective f
F : MvPolynomial (Fin k) R
hF✝ : ((rename f) F).IsHomogeneous n
h : (rename f) F ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hF : F.IsHomogeneous n
r : Fin k → R
hr : (eval r) F ≠ 0

⊢ ∃ r, (eval r) ((rename f) F) ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hnR : ↑n ≤ #R
k : ℕ
f : Fin k → σ
hf : Function.Injective f
F : MvPolynomial (Fin k) R
hF✝ : ((rename f) F).IsHomogeneous n
h : (rename f) F ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hF : F.IsHomogeneous n
r : σ → R
hr : (eval (r ∘ f)) F ≠ 0

⊢ ∃ r, (eval r) ((rename f) F) ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁴ inst✝³ : CommSemiring R✝
inst✝² : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hnR : ↑n ≤ #R
k : ℕ
f : Fin k → σ
hf : Function.Injective f
F : MvPolynomial (Fin k) R
hF✝ : ((rename f) F).IsHomogeneous n
h : (rename f) F ≠ 0
hF₀ : F ≠ 0
hF : F.IsHomogeneous n
r : σ → R
hr : (eval (r ∘ f)) F ≠ 0

⊢ (eval r) ((rename f) F) ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
hf : Injective f
m : ι → OuterMeasure α

⊢ (map f) (⨅ i, m i) = (restrict (range f)) (⨅ i, (map f) (m i))
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
β : Type u_3
f : α → β
hf : Injective f
m : ι → OuterMeasure α

⊢ (map f) (⨅ i, m i) = (map f) ((comap f) (⨅ i, (map f) (m i)))
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ p a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hpb : p ∈ b.primeFactorsList

⊢ (a * b).factorization p = b.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ p a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hpb : p ∈ b.primeFactorsList

⊢ (b * a).factorization p = b.factorization p
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
c₁ c₂ : R

⊢ #↑Set.univ = #R ^ 4
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
r : R
x : ⨂[R] (i : ι), s i

⊢ (liftAux φ) (r • x) = r • (liftAux φ) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
r : R
x : ⨂[R] (i : ι), s i

⊢ ∀ (r_1 : R) (f : (i : ι) → s i), (liftAux φ) (r • tprodCoeff R r_1 f) = r • (liftAux φ) (tprodCoeff R r_1 f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
φ : MultilinearMap R s E
r : R
x : ⨂[R] (i : ι), s i

⊢ ∀ (x y : ⨂[R] (i : ι), s i), (liftAux φ) (r • x) = r • (liftAux φ) x → (liftAux φ) (r • y) = r • (liftAux φ) y → (liftAux φ) (r • (x + y)) = r • (liftAux φ) (x + y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Iso.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f f' : X ⟶ Y
g : Y ≅ Z

⊢ f ≫ g.hom = f' ≫ g.hom ↔ f = f'
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : a < b / c

⊢ a * c < b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
h : b ≤ a * c

⊢ b / c ≤ a
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X] →+* MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R := eval₂RingHom C (X PUnit.unit)
g : MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R →+* R[X] := eval₂Hom Polynomial.C fun x => Polynomial.X

⊢ ∀ (p : MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R), (f.comp g) p = p
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X] →+* MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R := eval₂RingHom C (X PUnit.unit)
g : MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R →+* R[X] := eval₂Hom Polynomial.C fun x => Polynomial.X

⊢ (f.comp g).comp C = C
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X] →+* MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R := eval₂RingHom C (X PUnit.unit)
g : MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R →+* R[X] := eval₂Hom Polynomial.C fun x => Polynomial.X

⊢ ∀ (n : PUnit.{?u.2149 + 1}), (f.comp g) (X n) = X n
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
a : R

⊢ eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C a)) = Polynomial.C a
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ p q : R[X]
hp : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) p) = p
hq : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) q) = q

⊢ eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (p + q)) = p + q
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Equiv.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ : R[X]
p : ℕ
n : R
x✝ : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C n * Polynomial.X ^ p)) = Polynomial.C n * Polynomial.X ^ p

⊢ eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C n * Polynomial.X ^ (p + 1))) = Polynomial.C n * Polynomial.X ^ (p + 1)
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
a b : R
ha : Irreducible a
hb : Irreducible b

⊢ Associated a b
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
a b : R
ha : maximalIdeal R = span {a}
hb : maximalIdeal R = span {b}

⊢ Associated a b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f (insert x s) x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
n : ℕ
G : Type u
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
hN1 : ¬Nat.card ↥N = 0
hN2 : ¬N.index = 0

⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
n : ℕ
G : Type u
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
hN1 : ¬Nat.card ↥N = 0
hN2 : ¬N.index = 0
hN3 : Nat.card G ≠ 0

⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
n : ℕ
G : Type u
inst✝¹ : Group G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
hN : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
hN1 : ¬Nat.card ↥N = 0
hN2 : ¬N.index = 0
hN3 : Nat.card G ≠ 0
this : Fintype G

⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Pointwise.lean
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
ha : Function.Surjective fun r => a • r
x✝ : R

⊢ x✝ ∈ Submodule.toAddSubgroup (a • S) ↔ x✝ ∈ a • Submodule.toAddSubgroup S
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
hG : IsPGroup p G
n : ℕ
hn : p.Coprime n
g : G

⊢ (hG.powEquiv hn).symm g = g ^ (orderOf g).gcdB n
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
hG : IsPGroup p G
n : ℕ
hn : p.Coprime n
g : G

⊢ (hG.powEquiv hn).symm g = g ^ (Nat.card ↥(Subgroup.zpowers g)).gcdB n
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b✝ c d : α
h : IsUnit a
b : α

⊢ a * (b / a) = b
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : WfDvdMonoid R
r : R
hr : r ≠ 0

⊢ Squarefree r ↔ ∀ (x : R), Irreducible x → ¬x * x ∣ r
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
ha : s ⊆ Ioi a
hs : ∀ b' > a, ∃ b > a, Ioo a b ⊆ s

⊢ map Subtype.val atBot = 𝓝[>] a
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
ha : s ⊆ Ioi a
hs : ∀ b' > a, ∃ b > a, Ioo a b ⊆ s
b' : αᵒᵈ
hb' : b' < toDual a

⊢ ∃ a_1 < toDual a, Ioo a_1 (toDual a) ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Floor.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedRing R
inst✝⁴ : FloorRing R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : OpensMeasurableSpace R
x : R

⊢ MeasurableSet (floor ⁻¹' {⌊x⌋})
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
hf : Function.Injective ⇑f
x y : A

⊢ (baseChange W B).toAffine.Nonsingular (f x) (f y) ↔ (baseChange W A).toAffine.Nonsingular x y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
hf : Function.Injective ⇑f
x y : A

⊢ (baseChange W B).toAffine.Nonsingular (f x) (f y) ↔ (baseChange W B).toAffine.Nonsingular (f.toRingHom x) (f.toRingHom y)
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ : PMF α
s t : Set α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
p q : PMF α
h : p.toMeasure = q.toMeasure
x : α

⊢ p x = q x
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2

⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
this : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ 0 - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ 0

⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
this : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p

⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
htwo : p ^ (k + 1) ≠ 2
this : (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p

⊢ Prime ↑↑p
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G

⊢ a / b = c / b * (a / c)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a✝ b : Γ
r✝ : R
a : Γ
r s : R
rs : (single a) r = (single a) s

⊢ r = s
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Finite
h : (f '' s).encard = s.encard

⊢ InjOn f s
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Finite
h : (f '' s).encard = s.encard
h' : IsEmpty α

⊢ InjOn f s
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Finite
h : (f '' s).encard = s.encard
hne : Nonempty α

⊢ InjOn f s
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Finite
hne : Nonempty α
h : (Function.invFunOn f s '' (f '' s)).encard = s.encard

⊢ InjOn f s
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : s.Finite
hne : Nonempty α
h : (Function.invFunOn f s '' (f '' s)).encard = s.encard

⊢ Function.invFunOn f s '' (f '' s) = s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ

⊢ ∫ (x : ℝ), rexp (-b * x ^ 2) = √(π / b)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : b ≤ 0

⊢ ∫ (x : ℝ), rexp (-b * x ^ 2) = √(π / b)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ ∫ (x : ℝ), rexp (-b * x ^ 2) = √(π / b)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ (∫ (x : ℝ), rexp (-b * x ^ 2)) ^ 2 = √(π / b) ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ (∫ (x : ℝ), ↑(rexp (-b * x ^ 2))) ^ 2 = ↑π / ↑b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b
x : ℝ

⊢ ↑(rexp (-b * x ^ 2)) = cexp (-↑b * ↑x ^ 2)
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
g : HNNExtension G A B φ
w : NormalWord d

⊢ ReducedWord.prod φ (g • w).toReducedWord = g * ReducedWord.prod φ w.toReducedWord
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r

⊢ ContinuousWithinAt f s x