ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (β × β)
F : ι → β → α
hβ : (𝓤 β).HasBasis p s

⊢ (∀ ib ∈ 𝓤 α, ∃ ia, p ia ∧ ∀ (a b : β), (a, b) ∈ s ia → ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) a, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) b) ∈ UniformFun.gen ι α ib) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s k → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ U
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Unitor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : C ⥤ D ⥤ D
X : C
e : F.obj X ≅ 𝟭 D
inst✝² : (Y : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.flip.obj Y)
p : I × J → J
hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j
Y Y' : GradedObject J D
φ : Y ⟶ Y'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap p
j : J

⊢ ιMapBifunctorMapObj F p ((single₀ I).obj X) Y 0 j j ⋯ ≫ (CofanMapObjFun.iso (mapBifunctorLeftUnitorCofanIsColimit F X e p hp Y j)).inv = (F.map (singleObjApplyIso 0 X).hom).app (Y j) ≫ e.hom.app (Y j)
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Unitor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
I : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁵ : Zero I
inst✝⁴ : DecidableEq I
inst✝³ : HasInitial C
F : C ⥤ D ⥤ D
X : C
e : F.obj X ≅ 𝟭 D
inst✝² : (Y : D) → PreservesColimit (Functor.empty C) (F.flip.obj Y)
p : I × J → J
hp : ∀ (j : J), p (0, j) = j
Y Y' : GradedObject J D
φ : Y ⟶ Y'
inst✝¹ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y).HasMap p
inst✝ : (((mapBifunctor F I J).obj ((single₀ I).obj X)).obj Y').HasMap p
j : J

⊢ Cofan.inj (mapBifunctorLeftUnitorCofan F X e p hp Y j) ⟨(0, j), ⋯⟩ = (F.map (singleObjApplyIso 0 X).hom).app (Y j) ≫ e.hom.app (Y j)
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
a : α
b b' : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h : ⟨a, b⟩ ∈ l
h' : ⟨a, b'⟩ ∈ l

⊢ b = b'
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
a : α
b : β a
l : List (Sigma β)
nd : l.NodupKeys
h h' : ⟨a, b⟩ ∈ l

⊢ b = b
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
x n m : ℕ
hcop : n.Coprime m
h : x.gcd n * x.gcd m = x

⊢ x ∣ n * m
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
x n m : ℕ
hcop : n.Coprime m
x✝ : x ∣ n * m

⊢ x.gcd n * x.gcd m ∣ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean

⊢ Gammaℂ 1 = 1 / ↑π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean

⊢ 2 * (2 * ↑π)⁻¹ * 1 = 1 / ↑π
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α

⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ ∃ V ∈ 𝓤 α, SymmetricRel V ∧ ball x V ⊆ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α

⊢ (∃ V ∈ 𝓤 α, ball x V ⊆ s) ↔ ∃ V ∈ 𝓤 α, SymmetricRel V ∧ ball x V ⊆ s
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α

⊢ s.card ^ 2 * t.card ^ 2 = (filter (fun x => match x with | (a, b) => a * b ∈ s * t) (s ×ˢ t)).card ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α

⊢ ∀ x ∈ s ×ˢ t, match x with | (a, b) => a * b ∈ s * t
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : R
hx : IsQuasiregular x

⊢ IsUnit (1 + x)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : R
hx : IsQuasiregular x
y : R
hy₁ : y + x + x * y = 0
hy₂ : x + y + y * x = 0

⊢ IsUnit (1 + x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hνμ : ν ≪ μ

⊢ (μ.rnDeriv ν)⁻¹ =ᶠ[ae μ] ν.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hνμ : ν ≪ μ

⊢ μ.withDensity (μ.rnDeriv ν)⁻¹ = μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hνμ : ν ≪ μ

⊢ (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv ν)⁻¹ = ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hνμ : ν ≪ μ

⊢ (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity (μ.rnDeriv ν)⁻¹ = ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hνμ : ν ≪ μ

⊢ ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity fun x => (μ.rnDeriv ν x)⁻¹) = ν
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α

⊢ s ○ t ⊆ s ⊻ t
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α

⊢ ∀ ⦃x : α⦄, (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x) → ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a ⊔ b = x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁰ : Semiring R₁
inst✝¹⁹ : Semiring R₂
inst✝¹⁸ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₂
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M'₁
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝² : Module R₁ M₂
inst✝¹ : TopologicalSpace R₁
inst✝ : ContinuousSMul R₁ M₂
f f' : M₂

⊢ smulRight 1 f = smulRight 1 f' ↔ f = f'
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞

⊢ a⁻¹ * a ≤ 1
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
hf : UniformInducing f
F : Filter α

⊢ Cauchy (map f F) ↔ Cauchy F
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
hf : HasFiniteIntegral f μ
x : α

⊢ ‖max (f x) 0‖ ≤ ‖f x‖
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (n + 1).succ * (n + 1).choose 0 = (n + 1).succ.choose (succ 0) * succ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ (n + 1).succ * (n + 1).choose (k + 1) = (n + 1).succ.choose (k + 1).succ * (k + 1).succ
-- Mathlib/Algebra/Group/Nat.lean
m n : ℕ
h : n ≤ m

⊢ Even (m - n) ↔ (Even m ↔ Even n)
-- Mathlib/Algebra/Group/Nat.lean
m n : ℕ
h : n ≤ m

⊢ Even (m - n) ↔ ((Even (m - n) ↔ Even n) ↔ Even n)
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r : ℝ
p : ℝ≥0
ha : 0 ≤ r

⊢ r.toNNReal < p ↔ r < ↑p
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
m : γ → β
l : Filter γ

⊢ Tendsto m l (f.lift' h) ↔ ∀ s ∈ f, ∀ᶠ (a : γ) in l, m a ∈ h s
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M

⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
S : Set (Submonoid M)
Sne : S.Nonempty
hS : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
this : Nonempty ↑S

⊢ x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ

⊢ (fun x => ‖f' x‖) =o[l] g ↔ f' =o[l] g
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ

⊢ (∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => ‖f' x‖) g) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f' g
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ

⊢ a % c * b % c = a * b % c
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ

⊢ edist (toL1 f hf) 0 = ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
hf : Integrable f μ

⊢ (if 1 = ⊤ then eLpNormEssSup f μ else ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ) = ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : PresheafedSpace C
α : X ⟶ Y
β : Y ⟶ Z
x : ↑↑X

⊢ colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op (α ≫ β).c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x).op = (colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op β.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map β.base (α.base x) ⋙ OpenNhds.inclusion (α.base x)).op) Y.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion (α.base x)).op ⋙ Y.presheaf) (OpenNhds.map β.base (α.base x)).op) ≫ colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (α.base x)).op α.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map α.base x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map α.base x).op
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : PresheafedSpace C
α : X ⟶ Y
β : Y ⟶ Z
x : ↑↑X

⊢ ∀ (j : (OpenNhds (β.base (α.base x)))ᵒᵖ), colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (β.base (α.base x)))ᵒᵖ (Opens ↑↑Z)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op).obj Z.presheaf) j ≫ colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op (α ≫ β).c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x).op = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (β.base (α.base x)))ᵒᵖ (Opens ↑↑Z)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op).obj Z.presheaf) j ≫ (colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (β.base (α.base x))).op β.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map β.base (α.base x) ⋙ OpenNhds.inclusion (α.base x)).op) Y.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion (α.base x)).op ⋙ Y.presheaf) (OpenNhds.map β.base (α.base x)).op) ≫ colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (α.base x)).op α.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map α.base x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map α.base x).op
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space Y
s t : Set X
f g : X → Y
h : EqOn f g s
hf : ContinuousOn f t
hg : ContinuousOn g t
hst : s ⊆ t
hts : t ⊆ closure s
x : X
hx : x ∈ t

⊢ f x = g x
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space Y
s t : Set X
f g : X → Y
h : EqOn f g s
hf : ContinuousOn f t
hg : ContinuousOn g t
hst : s ⊆ t
hts : t ⊆ closure s
x : X
hx : x ∈ t
this : (𝓝[s] x).NeBot

⊢ f x = g x
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t : Set α

⊢ 𝓝 a ⊓ 𝓟 (s ∩ t) = 𝓝 a ⊓ 𝓟 s ⊓ (𝓝 a ⊓ 𝓟 t)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq α
a : α

⊢ a ^ count a s = (filter (Eq a) s).prod
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
h : l₁.length ≤ [].length

⊢ (l₁.zip []).unzip.1 = l₁
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
h : l₁.length ≤ [].length

⊢ ([].zip []).unzip.1 = []
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
a : α
l₁ : List α
b : β
l₂ : List β
h : (a :: l₁).length ≤ (b :: l₂).length

⊢ ((a :: l₁).zip (b :: l₂)).unzip.1 = a :: l₁
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean

⊢ FermatLastTheoremFor 3
-- Mathlib/Algebra/FreeMonoid/Count.lean
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidableEq α
x y : α

⊢ (count x) (of y) = Pi.single x 1 y
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
x y : M
hsrc : x ∈ (chartAt H y).source

⊢ mfderiv I I (↑(chartAt H y)) x = tangentCoordChange I x y x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Atlas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
x y : M
hsrc : x ∈ (chartAt H y).source
this : MDifferentiableAt I I (↑(ChartedSpace.chartAt y)) x

⊢ mfderiv I I (↑(chartAt H y)) x = tangentCoordChange I x y x
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n p✝ p r i : ℕ
hr : ¬p ∣ r

⊢ (p * i + r).factorization p = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n p✝ p r i : ℕ
hr : ¬p ∣ r

⊢ ¬p ∣ p * i + r
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X : T
U V : Under X
f g : U ⟶ V
left✝¹ : U.left ⟶ V.left
b : U.right ⟶ V.right
w✝¹ : (Functor.fromPUnit X).map left✝¹ ≫ V.hom = U.hom ≫ (𝟭 T).map b
left✝ : U.left ⟶ V.left
e : U.right ⟶ V.right
w✝ : (Functor.fromPUnit X).map left✝ ≫ V.hom = U.hom ≫ (𝟭 T).map e
h : { left := left✝¹, right := b, w := w✝¹ }.right = { left := left✝, right := e, w := w✝ }.right

⊢ left✝¹ = left✝
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
h : TendstoLocallyUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p

⊢ Tendsto F p (𝓝 f)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
h : TendstoLocallyUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p

⊢ ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K✝ : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
h : TendstoLocallyUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p
K : Set α
hK : IsCompact K

⊢ TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K✝ : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
h : TendstoLocallyUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p
K : Set α
hK : IsCompact K

⊢ TendstoLocallyUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : Module.rank R M = 0

⊢ toNat (Module.rank R M) = 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
u : Set ℝ≥0∞
h : s.OrdConnected

⊢ (ENNReal.ofReal '' s).OrdConnected
-- Mathlib/Algebra/Module/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulWithZero R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
a : α
h✝ : a ∈ s

⊢ r a • f a = r a • f a
-- Mathlib/Algebra/Module/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulWithZero R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
a : α
h✝ : a ∉ s

⊢ 0 = 0 • f a
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x : E
m : ℕ
hm : m ∉ ?m.378525

⊢ ((p m) fun x_1 => x) = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
n✝ m✝ : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x : E
m : ℕ
hm : ?m.378946 ≤ m

⊢ ((p m) fun x_1 => x) = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ : E
r r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0
x : E

⊢ ℕ
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ
P : ℕ → Prop
h✝ : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
seed : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
hs : P seed
hi : ∀ (x : ℕ), seed ≤ x → P x → ∃ y, x < y ∧ P y
n : ℕ

⊢ P n
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ
P : ℕ → Prop
h✝ : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
seed : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
hs : P seed
hi : ∀ (x : ℕ), seed ≤ x → P x → ∃ y, x < y ∧ P y
n : ℕ

⊢ {x | P x}.Finite → False
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ
P : ℕ → Prop
h✝ : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
seed : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
hs : P seed
hi : ∀ (x : ℕ), seed ≤ x → P x → ∃ y, x < y ∧ P y
n : ℕ
hf : {x | P x}.Finite

⊢ False
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ
P : ℕ → Prop
h✝ : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
seed : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
hs : P seed
hi : ∀ (x : ℕ), seed ≤ x → P x → ∃ y, x < y ∧ P y
n : ℕ
hf : {x | P x}.Finite
m : ℕ
hP : m ∈ {x | P x}
hm : ∀ a' ∈ {x | P x}, id m ≤ id a' → id m = id a'

⊢ False
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ
P : ℕ → Prop
h✝ : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
seed : ℕ
h : ∀ (n : ℕ), P (n + 1) → P n
hs : P seed
hi : ∀ (x : ℕ), seed ≤ x → P x → ∃ y, x < y ∧ P y
n : ℕ
hf : {x | P x}.Finite
m : ℕ
hP : m ∈ {x | P x}
hm : ∀ a' ∈ {x | P x}, id m ≤ id a' → id m = id a'
y : ℕ
hl : m < y
hy : P y

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
ha : a < 0
k : ℤ

⊢ a ^ (2 * k + 1) < 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
ha : a < 0
k : ℤ

⊢ a ^ (2 * k) * a < 0
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : ¬[] ∈ l₁ :: l₂ :: L

⊢ Chain' R (l₁ :: l₂ :: L).join ↔ (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₁ :: l₂ :: L)
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ ¬[] ∈ l₂ :: L

⊢ Chain' R (l₁ :: l₂ :: L).join ↔ (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₁ :: l₂ :: L)