ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Derived/RightDerived.lean
C : Type u_5
C' : Type ?u.64843
D : Type u_3
D' : Type ?u.64849
H : Type u_4
H' : Type ?u.64855
inst✝⁹ : Category.{u_6, u_5} C
inst✝⁸ : Category.{?u.64863, ?u.64843} C'
inst✝⁷ : Category.{u_1, u_3} D
inst✝⁶ : Category.{?u.64871, ?u.64849} D'
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_4} H
inst✝⁴ : Category.{?u.64879, ?u.64855} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
inst✝² : RF.IsRightDerivedFunctor α W
inst✝¹ : RF'.IsRightDerivedFunctor α' W
inst✝ : RF''.IsRightDerivedFunctor α'' W
G : D ⥤ H
β : F ⟶ L ⋙ G
this : RF.IsLeftKanExtension α

⊢ G.IsLeftKanExtension β ↔ IsIso (RF.rightDerivedDesc α W G β)
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
m : ℕ
f : Fin m → α

⊢ ofFn f = ofFn fun i => f (Fin.cast ⋯ i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B

⊢ (baseChange W B).toAffine.polynomialY = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) (baseChange W A).toAffine.polynomialY
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
f : α →ₛ E
g : α →ₛ F

⊢ Integrable (↑f) μ → Integrable (↑g) μ → Integrable (↑(f.pair g)) μ
-- Mathlib/Data/Fintype/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
val✝ : Multiset α
l : List α
hs : Multiset.Nodup (Quot.mk Setoid.r l)
f : Equiv.Perm α

⊢ f ∈ permsOfFinset { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hs } ↔ ∀ {x : α}, f x ≠ x → x ∈ { val := Quot.mk Setoid.r l, nodup := hs }
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
w : f ≠ 0

⊢ kernel.ι f = 0
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m' _mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s t : Set Ω
a✝ : s ∈ {s | MeasurableSet s}
ht : t ∈ {s | MeasurableSet s}

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (s ∩ t) = (κ a) s * (κ a) t
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m' _mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s t : Set Ω
a✝ : s ∈ {s | MeasurableSet s}
ht : t = ∅ ∨ t = Set.univ

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (s ∩ t) = (κ a) s * (κ a) t
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m' _mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s t : Set Ω
a✝ : s ∈ {s | MeasurableSet s}
ht : t = ∅ ∨ t = Set.univ
a : α

⊢ (κ a) (s ∩ t) = (κ a) s * (κ a) t
-- Mathlib/Order/Hom/Lattice.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : SemilatticeInf β
f : F
inst✝ : InfHomClass F α β
hf : Injective ⇑f
x y : α

⊢ f x ≤ f y ↔ x ≤ y
-- Mathlib/Order/Hom/Lattice.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : SemilatticeInf β
f : F
inst✝ : InfHomClass F α β
hf : Injective ⇑f
x y : α
h : f x ≤ f y

⊢ x ≤ y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Symmetric.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X Y Z : C

⊢ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).hom ≫ ((ℬ X (tensorObj ℬ Y Z)).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ (tensorObj ℬ Y Z) X).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y Z X).hom = (ℬ (ℬ Y X).cone.pt Z).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ X Y).cone.pt Z).cone ≫ ((ℬ X Y).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Y X).isLimit.swapBinaryFan).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ X Y).cone.pt Z).cone ≫ 𝟙 Z)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y X Z).hom ≫ (ℬ Y (ℬ Z X).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ Y (ℬ X Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 Y) (BinaryFan.snd (ℬ Y (ℬ X Z).cone.pt).cone ≫ ((ℬ X Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z X).isLimit.swapBinaryFan).hom))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Symmetric.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
𝒯 : LimitCone (Functor.empty C)
ℬ : (X Y : C) → LimitCone (pair X Y)
X Y Z : C

⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), ((BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ X Y Z).hom ≫ ((ℬ X (tensorObj ℬ Y Z)).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ (tensorObj ℬ Y Z) X).isLimit.swapBinaryFan).hom ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y Z X).hom) ≫ (ℬ Y (ℬ Z X).cone.pt).cone.π.app j = ((ℬ (ℬ Y X).cone.pt Z).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ (ℬ X Y).cone.pt Z).cone ≫ ((ℬ X Y).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Y X).isLimit.swapBinaryFan).hom) (BinaryFan.snd (ℬ (ℬ X Y).cone.pt Z).cone ≫ 𝟙 Z)) ≫ (BinaryFan.associatorOfLimitCone ℬ Y X Z).hom ≫ (ℬ Y (ℬ Z X).cone.pt).isLimit.lift (BinaryFan.mk (BinaryFan.fst (ℬ Y (ℬ X Z).cone.pt).cone ≫ 𝟙 Y) (BinaryFan.snd (ℬ Y (ℬ X Z).cone.pt).cone ≫ ((ℬ X Z).isLimit.conePointUniqueUpToIso (ℬ Z X).isLimit.swapBinaryFan).hom))) ≫ (ℬ Y (ℬ Z X).cone.pt).cone.π.app j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List (List α)
i : Fin L.length

⊢ drop (take (↑i) (map length L)).sum (take (take (↑i + 1) (map length L)).sum L.join) = L.get i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List (List α)
i : Fin L.length

⊢ L[↑i] = L.get i
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
c : ℕ
H : a % d = b % d

⊢ (c + a) % d = (c + b) % d
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m₂ m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h2 : m₂ ≤ m
hp2 : IsPiSystem p2
hpm2 : m₂ = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ p1
ht1m : MeasurableSet t1
ht2m : MeasurableSet t2

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m₂ m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h2 : m₂ ≤ m
hp2 : IsPiSystem p2
hpm2 : m₂ = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ p1
ht1m : MeasurableSet t1
ht2m : MeasurableSet t2

⊢ (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) ∅
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m₂ m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h2 : m₂ ≤ m
hp2 : IsPiSystem p2
hpm2 : m₂ = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ p1
ht1m : MeasurableSet t1
ht2m : MeasurableSet t2

⊢ ∀ t ∈ p2, (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) t
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m₂ m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h2 : m₂ ≤ m
hp2 : IsPiSystem p2
hpm2 : m₂ = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ p1
ht1m : MeasurableSet t1
ht2m : MeasurableSet t2

⊢ ∀ (t : Set Ω), MeasurableSet t → (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) t → (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) tᶜ
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
m₂ m : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
p1 p2 : Set (Set Ω)
h2 : m₂ ≤ m
hp2 : IsPiSystem p2
hpm2 : m₂ = generateFrom p2
hyp : IndepSets p1 p2 κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ p1
ht1m : MeasurableSet t1
ht2m : MeasurableSet t2

⊢ ∀ (f : ℕ → Set Ω), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) (f i)) → (fun t => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t) = (κ a) t1 * (κ a) t) (⋃ i, f i)
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ
n : ℕ

⊢ ↑(↑n).toNNReal = ↑↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p1 : P
p : ι → P
h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)

⊢ ∃ w, ∑ i : ι, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) w
-- Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Multiset R

⊢ trop s.inf = (map trop s).sum
-- Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R

⊢ trop (inf 0) = (map trop 0).sum
-- Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : R
x : Multiset R
IH : trop x.inf = (map trop x).sum

⊢ trop (s ::ₘ x).inf = (map trop (s ::ₘ x)).sum
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

⊢ a - ⨅ i, f i = ⨆ i, a - f i
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
c : ℝ≥0∞

⊢ a - ⨅ i, f i ≤ c ↔ ⨆ i, a - f i ≤ c
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
c : ℝ≥0∞

⊢ a ≤ ⨅ i, f i + c ↔ ⨆ i, a - f i ≤ c
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Units.lean
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b : α
u : αˣ
x✝ : a ∣ b * ↑u
c : α
Eq : b * ↑u = a * c

⊢ b = a * (c * ↑u⁻¹)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f p : R[X]
t : R

⊢ (C t + p).reverse = C t * X ^ p.natDegree + p.reverse
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M✝ N : Submodule R A
m n a : A
M : Submodule R A

⊢ Set.up {a} • M = map (LinearMap.mulLeft R a) M
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M✝ N : Submodule R A
m n a : A
M : Submodule R A

⊢ Set.up {a} • span R ↑M = map (LinearMap.mulLeft R a) M
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M✝ N : Submodule R A
m n a : A
M : Submodule R A

⊢ span R ((fun x => a * x) '' ↑M) = map (LinearMap.mulLeft R a) M
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ

⊢ a ^ 2 - b ^ 2 = (a + b) * (a - b)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ : Finset α
a b : α
hr✝ hr : Symmetric r
s t : Finset α

⊢ edgeDensity r s t = edgeDensity r t s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v

⊢ p.reverse.support = p.support.reverse
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
hl : HasFDerivAt l l' (f x)
hf : HasDerivAt f f' x
hy : y = f x

⊢ HasDerivAt (l ∘ f) (l' f') x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q : R[X]
h : 0 = 1
p : R[X]

⊢ p = 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/SInteger.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
S : Set (HeightOneSpectrum R)
K : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
x✝ : K

⊢ x✝ ∈ {x | ∀ v ∉ S, v.valuation x ≤ 1} ↔ x✝ ∈ ↑(⨅ v, ⨅ (_ : v ∉ S), v.valuation.valuationSubring.toSubring)
-- Mathlib/Data/Finsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N

⊢ (f₁ - g).neLocus (f₂ - g) = f₁.neLocus f₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ : S₁ ⟶ S₂
φ₂ : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
h₃ : S₃.RightHomologyData
γ₁ : RightHomologyMapData φ₁ h₁ h₂ := rightHomologyMapData φ₁ h₁ h₂
γ₂ : RightHomologyMapData φ₂ h₂ h₃ := rightHomologyMapData φ₂ h₂ h₃

⊢ opcyclesMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = opcyclesMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ opcyclesMap' φ₂ h₂ h₃
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ

⊢ ∃ T, T.Countable ∧ (∀ u ∈ T, IsOpen u) ∧ s ⊆ ⋃ u ∈ T, u ∧ ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
this : ∀ (x : ↑s), ∃ u, IsOpen u ∧ ↑x ∈ u ∧ IntegrableOn f (u ∩ s) μ

⊢ ∃ T, T.Countable ∧ (∀ u ∈ T, IsOpen u) ∧ s ⊆ ⋃ u ∈ T, u ∧ ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
u : ↑s → Set X
u_open : ∀ (x : ↑s), IsOpen (u x)
xu : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ u x
hu : ∀ (x : ↑s), IntegrableOn f (u x ∩ s) μ

⊢ ∃ T, T.Countable ∧ (∀ u ∈ T, IsOpen u) ∧ s ⊆ ⋃ u ∈ T, u ∧ ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
u : ↑s → Set X
u_open : ∀ (x : ↑s), IsOpen (u x)
xu : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ u x
hu : ∀ (x : ↑s), IntegrableOn f (u x ∩ s) μ
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : s ⊆ ⋃ i ∈ T, u i

⊢ ∃ T, T.Countable ∧ (∀ u ∈ T, IsOpen u) ∧ s ⊆ ⋃ u ∈ T, u ∧ ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
u : ↑s → Set X
u_open : ∀ (x : ↑s), IsOpen (u x)
xu : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ u x
hu : ∀ (x : ↑s), IntegrableOn f (u x ∩ s) μ
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : s ⊆ ⋃ i ∈ T, u i

⊢ ∀ u_1 ∈ u '' T, IsOpen u_1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
u : ↑s → Set X
u_open : ∀ (x : ↑s), IsOpen (u x)
xu : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ u x
hu : ∀ (x : ↑s), IntegrableOn f (u x ∩ s) μ
T : Set ↑s
T_count : T.Countable
hT : s ⊆ ⋃ i ∈ T, u i

⊢ ∀ u_1 ∈ u '' T, IntegrableOn f (u_1 ∩ s) μ
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f : Ordinal.{u_4} → Ordinal.{u_5}
o : Ordinal.{u_5}
H : IsNormal f
p : Set α
p0 : p.Nonempty
g : α → Ordinal.{u_4}
b : Ordinal.{u_4}
H₂ : ∀ (o : Ordinal.{u_4}), b ≤ o ↔ ∀ a ∈ p, g a ≤ o

⊢ f b ≤ o ↔ ∀ a ∈ p, f (g a) ≤ o
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fintype.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : ¬p x

⊢ (e.subtypeCongr e.toCompl) x = ↑(e.toCompl ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fintype.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : ¬p x

⊢ (sumCompl q) (Sum.map (⇑e) (⇑e.toCompl) ((sumCompl p).symm x)) = ↑(e.toCompl ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α

⊢ (hf.stieltjesFunction a).measure univ = 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : IsMeasurableRatCDF f
a : α

⊢ (hf.stieltjesFunction a).measure univ = ENNReal.ofReal (1 - 0)
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/CharZero.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
n : ℚ

⊢ ↑n = 0 ↔ n = 0
-- Mathlib/Data/Multiset/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ

⊢ map Prod.swap (antidiagonal n) = antidiagonal n
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : DivisionRing 𝕜
inst✝³ : HasKernels C
inst✝² : Linear 𝕜 C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : (X ≅ Y) → False
f : X ⟶ Y

⊢ f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : DivisionRing 𝕜
inst✝³ : HasKernels C
inst✝² : Linear 𝕜 C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : (X ≅ Y) → False
f : X ⟶ Y
p : ¬IsIso f ↔ ¬f ≠ 0

⊢ f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : DivisionRing 𝕜
inst✝³ : HasKernels C
inst✝² : Linear 𝕜 C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : (X ≅ Y) → False
f : X ⟶ Y
p : ¬IsIso f ↔ f = 0

⊢ f = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι

⊢ volume = StieltjesFunction.id.measure
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
this : StieltjesFunction.id.measure.IsAddLeftInvariant

⊢ volume = StieltjesFunction.id.measure
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
this : StieltjesFunction.id.measure.IsAddLeftInvariant
A : StieltjesFunction.id.measure ↑(stdOrthonormalBasis ℝ ℝ).toBasis.parallelepiped = 1

⊢ volume = StieltjesFunction.id.measure
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
this : StieltjesFunction.id.measure.IsAddLeftInvariant
A : StieltjesFunction.id.measure ↑(stdOrthonormalBasis ℝ ℝ).toBasis.parallelepiped = 1

⊢ volume = 1 • addHaarMeasure (stdOrthonormalBasis ℝ ℝ).toBasis.parallelepiped
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Triangularizable.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial M
f : End R M
hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤

⊢ ∃ μ, f.HasEigenvalue μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Triangularizable.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial M
f : End R M
hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
contra : ∀ (μ : R), ¬f.HasEigenvalue μ

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Triangularizable.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial M
f : End R M
hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
contra : ∀ (μ : R), ¬f.HasEigenvalue μ
μ : R

⊢ ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Triangularizable.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial M
f : End R M
hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
μ : R
contra : ∀ (k : ℕ), (f.genEigenspace μ) k = ⊥

⊢ ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊥
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]

⊢ ((toZModPow n) x).cast = (toZModPow m) x
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x✝ : ℤ_[p]
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : ℤ_[p]

⊢ ((toZModPow n) x).cast = ((ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ m))).comp (toZModPow n)) x
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Balanced
hr : r.Balanced
sl : l.Sized
sr : r.Sized
H : (∃ l', Raised l.size l' ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r' r.size ∧ BalancedSz l.size r'

⊢ (l.balanceR x r).size = l.size + r.size + 1
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/TerminatedStable.lean
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n

⊢ g.dens m = g.dens n
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)

⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u

⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₁ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c₁ * ↑n ≤ ↑(r i n)
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hc₂ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (c₁ * ↑n) ↑n, c₂ * g ↑n ≤ g u
c₃ : ℝ
hc₃_mem : c₃ ∈ Set.Ioo 0 1
hc₃ : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c₃ * ↑n

⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), c * g ↑n ≤ sumTransform (p a b) g (r i n) n