ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0
m : MeasurableSpace α
f : α →ₛ F
μ : Measure α

⊢ ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (weightedSMul μ (↑f ⁻¹' {x})) x = ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0
m : MeasurableSpace α
f : α →ₛ F
μ : Measure α

⊢ ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x = ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
-- Mathlib/GroupTheory/Finiteness.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝ : Monoid M'
P : Submonoid M
e : M →* M'
he : Function.Injective ⇑e
s : Finset M'
hs : closure ↑s = Submonoid.map e P

⊢ P.FG
-- Mathlib/GroupTheory/Finiteness.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝ : Monoid M'
P : Submonoid M
e : M →* M'
he : Function.Injective ⇑e
s : Finset M'
hs : closure ↑s = Submonoid.map e P

⊢ closure ↑(s.preimage ⇑e ⋯) = P
-- Mathlib/GroupTheory/Finiteness.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝ : Monoid M'
P : Submonoid M
e : M →* M'
he : Function.Injective ⇑e
s : Finset M'
hs : closure ↑s = Submonoid.map e P

⊢ Submonoid.map e (closure ↑(s.preimage ⇑e ⋯)) = Submonoid.map e P
-- Mathlib/GroupTheory/Finiteness.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝ : Monoid M'
P : Submonoid M
e : M →* M'
he : Function.Injective ⇑e
s : Finset M'
hs : closure ↑s = Submonoid.map e P

⊢ closure (⇑e '' (⇑e ⁻¹' ↑s)) = closure ↑s
-- Mathlib/GroupTheory/Finiteness.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝ : Monoid M'
P : Submonoid M
e : M →* M'
he : Function.Injective ⇑e
s : Finset M'
hs : closure ↑s = Submonoid.map e P

⊢ ⇑e '' (⇑e ⁻¹' ↑s) = ↑s
-- Mathlib/GroupTheory/Finiteness.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝ : Monoid M'
P : Submonoid M
e : M →* M'
he : Function.Injective ⇑e
s : Finset M'
hs : closure ↑s = Submonoid.map e P

⊢ Submonoid.map e P ≤ Submonoid.map e ⊤
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
h : x ≠ 1
n : ℕ

⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i = (x ^ n - 1) / (x - 1)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
h : x ≠ 1
n : ℕ
this : x - 1 ≠ 0

⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i = (x ^ n - 1) / (x - 1)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ¬p₃ = p₂

⊢ ∡ p₁ p₂ (midpoint ℝ p₃ p₂) = ∡ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
h : ∀ x ∈ s, x = 1

⊢ s.prod = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
l : List α
h : ∀ x ∈ ⟦l⟧, x = 1

⊢ prod ⟦l⟧ = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
n : ℕ
x : Fin n → 𝔸

⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, (List.map x (List.take (↑i) (List.finRange n))).prod • (proj ((List.finRange n).get i)).smulRight (List.map x (List.drop (↑i).succ (List.finRange n))).prod = (List.map x (List.take (↑((finCongr ⋯) i)) (List.finRange n))).prod • (proj ((finCongr ⋯) i)).smulRight (List.map x (List.drop (↑((finCongr ⋯) i)).succ (List.finRange n))).prod
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K✝ : ℝ≥0
s t : Set α
f : α → β
hf : LocallyLipschitzOn t f
h : s ⊆ t
x : α
hx : x ∈ s
K : ℝ≥0
u : Set α
hu : u ∈ 𝓝[t] x
hfu : LipschitzOnWith K f u

⊢ ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, LipschitzOnWith K f t
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/FullyFaithful.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F F' : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝ : F.Full
α : F ≅ F'
X Y : C
f : F'.obj X ⟶ F'.obj Y

⊢ F'.map (F.preimage ((α.app X).hom ≫ f ≫ (α.app Y).inv)) = f
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Binomial.lean
p : ℝ≥0∞
h : p ≤ 1
i : Fin (1 + 1)

⊢ (binomial p h 1) i = (map (fun x => bif x then 1 else 0) (bernoulli p h)) i
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
B : ℝ
h : minkowskiBound K 1 ≤ volume (convexBodySum K B)

⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
B : ℝ
h : minkowskiBound K 1 ≤ volume (convexBodySum K B)
w✝ : K
h_mem : w✝ ∈ ↑1
h_nz : w✝ ≠ 0
h_bd : ↑|(Algebra.norm ℚ) w✝| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K

⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
B : ℝ
h : minkowskiBound K 1 ≤ volume (convexBodySum K B)
a : 𝓞 K
h_mem : (algebraMap (𝓞 K) K) a ∈ ↑1
h_nz : (algebraMap (𝓞 K) K) a ≠ 0
h_bd : ↑|(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) a)| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K

⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a| ≤ (B / ↑(finrank ℚ K)) ^ finrank ℚ K
-- Mathlib/RepresentationTheory/Basic.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M
r : MonoidAlgebra k G
m : (ofModule M).asModule

⊢ (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) (((ofModule M).asAlgebraHom r) ((ofModule M).asModuleEquiv m)) = r • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) ((ofModule M).asModuleEquiv m)
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝ : SemilatticeInf P
x✝ y✝ : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime
x y : P

⊢ x ⊓ y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝ : SemilatticeInf P
x✝ y✝ : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime
x y : P

⊢ x ∉ I ∧ y ∉ I → x ⊓ y ∉ I
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝ : SemilatticeInf P
x✝ y✝ : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime
x y : P
F : PFilter P := ⋯.toPFilter

⊢ x ∉ I ∧ y ∉ I → x ⊓ y ∉ I
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝ : SemilatticeInf P
x✝ y✝ : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime
x y : P
F : PFilter P := ⋯.toPFilter

⊢ x ∈ F ∧ y ∈ F → x ⊓ y ∈ F
-- Mathlib/RepresentationTheory/Basic.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : Module k W
ρV : Representation k G V
ρW : Representation k G W
g : G
x✝² : Module.Dual k V
x✝¹ : W
x✝ : V

⊢ (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (dualTensorHom k V W ∘ₗ TensorProduct.map (ρV.dual g) (ρW g))) x✝²) x✝¹) x✝ = (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((ρV.linHom ρW) g ∘ₗ dualTensorHom k V W)) x✝²) x✝¹) x✝
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
b : α

⊢ toIcoMod ⋯ 0 b = Int.fract b
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x x' y y' : P

⊢ midpoint R x y = midpoint R x' y' ↔ x -ᵥ x' = y' -ᵥ y
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ b = ⊤ ↔ IsCompl a b
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
nH : H.Normal
a b : G
h : a * b ∈ H

⊢ b * a ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
nH : H.Normal
a b : G
h : a * b ∈ H
this : a⁻¹ * (a * b) * a⁻¹⁻¹ ∈ H

⊢ b * a ∈ H
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
t : Set Y
x : X
y : Y

⊢ e.IsImage s t ↔ e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' (e.source ∩ s) = e.target ∩ t
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
n : ℕ

⊢ n.smoothNumbers = factoredNumbers (Finset.range n)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : 0 < x

⊢ b ^ logb b x = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : 0 < x

⊢ |x| = x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
h : Differentiable 𝕜 fun y => c + f y

⊢ Differentiable 𝕜 f
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
n : ℕ
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane

⊢ HasDerivAt (fun z => log (1 + z) - logTaylor (n + 1) z) ((-z) ^ n * (1 + z)⁻¹) z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
n : ℕ
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane

⊢ (-z) ^ n * (1 + z)⁻¹ = (1 + z)⁻¹ - ∑ j ∈ Finset.range n, (-1) ^ j * z ^ j
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
n : ℕ
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane
hz' : -z ≠ 1

⊢ (-z) ^ n * (1 + z)⁻¹ = (1 + z)⁻¹ - ∑ j ∈ Finset.range n, (-1) ^ j * z ^ j
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
n : ℕ
z : ℂ
hz : 1 + z ∈ slitPlane
hz' : -z ≠ 1

⊢ (-z) ^ n * (1 + z)⁻¹ = (1 + z)⁻¹ - -(((-z) ^ n - 1) / (1 + z))
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a < b

⊢ Ico a b \ Ioo a b = {a}
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), f (a, b) ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ Measurable (uncurry fun a b => f (a, b))
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α × β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
this : (uncurry fun a b => f (a, b)) = f

⊢ Measurable (uncurry fun a b => f (a, b))
-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddMonoid G
inst✝¹ : AddMonoid H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
n : ℕ

⊢ f (n • a) = f 0 + n • b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Basic.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
inst✝² : NormedSpace ℝ X
inst✝¹ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E

⊢ HasCompactSupport ↑f
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h₁ : x.1 < y.1
h₂ : x.2 ≤ y.2

⊢ x < y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
x y : R

⊢ (map W f).toAffine.Equation (f x) (f y) ↔ W.Equation x y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
ab : a ≠ b
l : List α

⊢ count a (l.erase b) = count a l
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ o.oangle x (x + y) = ↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x + y‖))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1

⊢ o.oangle x (x + y) = ↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x + y‖))
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Defs.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
n : ℕ
hn : x ^ n = 0

⊢ IsNilpotent (x * y)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Defs.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
n : ℕ
hn : x ^ n = 0

⊢ (x * y) ^ n = 0
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R✝ J : Set α
h : I ⊆ E
R : Set α

⊢ uniqueBaseOn I E ↾ R = uniqueBaseOn (I ∩ R) R
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean
n : ℕ
a b : Fin n

⊢ Fintype.card ↑(Set.Ioc a b) = ↑b - ↑a
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData

⊢ h₁.π ≫ (leftHomologyMap' (𝟙 S₁) h₁ S₁.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData S₁.homologyData.left) ≫ leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left ≫ ((S₂.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.homologyData.right S₂.rightHomologyData) ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.rightHomologyData h₂) ≫ h₂.ι = h₁.i ≫ φ.τ₂ ≫ h₂.p
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n

⊢ n.centralBinom = ∏ p ∈ Finset.range (2 * n / 3 + 1), p ^ n.centralBinom.factorization p
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n

⊢ ∏ p ∈ Finset.range (2 * n / 3 + 1), p ^ n.centralBinom.factorization p = ∏ p ∈ Finset.range (2 * n + 1), p ^ n.centralBinom.factorization p
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n

⊢ Finset.range (2 * n / 3 + 1) ⊆ Finset.range (2 * n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n

⊢ ∀ x ∈ Finset.range (2 * n + 1), x ∉ Finset.range (2 * n / 3 + 1) → x ^ n.centralBinom.factorization x = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
x : ℕ
hx : x ∈ Finset.range (2 * n + 1)
h2x : x ∉ Finset.range (2 * n / 3 + 1)

⊢ x ^ n.centralBinom.factorization x = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
x : ℕ
hx : x ≤ 2 * n
h2x : ¬x ≤ 2 * n / 3

⊢ x ^ n.centralBinom.factorization x = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
no_prime : ¬∃ p, Nat.Prime p ∧ n < p ∧ p ≤ 2 * n
x : ℕ
hx : x ≤ 2 * n
h2x : 2 * n < 3 * x

⊢ x ^ n.centralBinom.factorization x = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
x : ℕ
hx : x ≤ 2 * n
h2x : 2 * n < 3 * x
no_prime : ¬(Nat.Prime x ∧ n < x ∧ x ≤ 2 * n)

⊢ x ^ n.centralBinom.factorization x = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 2 < n
x : ℕ
hx : x ≤ 2 * n
h2x : 2 * n < 3 * x
no_prime : x ≤ 2 * n → ¬Nat.Prime x ∨ x ≤ n

⊢ x ^ n.centralBinom.factorization x = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
hn : (↑P).normalizer.Normal

⊢ (↑P).Normal
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
ih : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0 → (p ^ n).leadingCoeff = p.leadingCoeff ^ n
h : p.leadingCoeff ^ n.succ ≠ 0

⊢ (p ^ n.succ).leadingCoeff = p.leadingCoeff ^ n.succ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
ih : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0 → (p ^ n).leadingCoeff = p.leadingCoeff ^ n
h : p.leadingCoeff ^ n.succ ≠ 0
h₁ : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0

⊢ (p ^ n.succ).leadingCoeff = p.leadingCoeff ^ n.succ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
n : ℕ
ih : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0 → (p ^ n).leadingCoeff = p.leadingCoeff ^ n
h : p.leadingCoeff ^ n.succ ≠ 0
h₁ : p.leadingCoeff ^ n ≠ 0
h₂ : p.leadingCoeff * (p ^ n).leadingCoeff ≠ 0

⊢ (p ^ n.succ).leadingCoeff = p.leadingCoeff ^ n.succ
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : MorphismProperty C
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : P.universally f

⊢ P f
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
n m k : ℕ
h : m ∈ n.smoothNumbers
h' : k ∣ m

⊢ k ∈ n.smoothNumbers
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
n m k : ℕ
h' : k ∣ m
h : m ∈ factoredNumbers (Finset.range n)

⊢ k ∈ factoredNumbers (Finset.range n)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
inst✝ : HasGroupoid M G
s U V : Opens M
hUV : U ≤ V
x : ↥U
e : PartialHomeomorph M H := chartAt H ↑x

⊢ ↑(chartAt H (inclusion hUV x)).symm =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H (inclusion hUV x)) (inclusion hUV x))] inclusion hUV ∘ ↑(chartAt H x).symm
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace H
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
inst✝ : HasGroupoid M G
s U V : Opens M
hUV : U ≤ V
x : ↥U
e : PartialHomeomorph M H := chartAt H ↑x
heUx_nhds : (e.subtypeRestr ⋯).target ∈ 𝓝 (↑e ↑x)

⊢ ↑(chartAt H (inclusion hUV x)).symm =ᶠ[𝓝 (↑(chartAt H (inclusion hUV x)) (inclusion hUV x))] inclusion hUV ∘ ↑(chartAt H x).symm
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Zeckendorf.lean
l : List ℕ
a m n✝ n : ℕ

⊢ (map fib n.zeckendorf).sum = n
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
x y : G
m n : ℤ

⊢ x ^ m = x ^ n ↔ m ≡ n [ZMOD ↑(orderOf x)]
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x z
H2 : x ∣ y * z
a b : R
H : a * x + b * z = 1

⊢ x ∣ y
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H1 : IsCoprime x z
H2 : x ∣ y * z
a b : R
H : a * x + b * z = 1

⊢ x ∣ y * a * x + b * (y * z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y

⊢ Tendsto (fun x => x ^ y) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y

⊢ ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℝ), i ≤ a → b ≤ a ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ

⊢ ∃ i, ∀ (a : ℝ), i ≤ a → b ≤ a ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ

⊢ ∀ (a : ℝ), max b 0 ^ (1 / y) ≤ a → b ≤ a ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y
b x : ℝ
hx : max b 0 ^ (1 / y) ≤ x

⊢ b ≤ x ^ y
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =o[l] g'

⊢ (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f' g'

⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x