ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
r : K[X]
hr : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) q * r
d' : R[X]
hr' : Polynomial.map (algebraMap R K) d' * C r.leadingCoeff = r

⊢ q ∣ p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
r : K[X]
hr : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) q * r
d' : R[X]
hr' : Polynomial.map (algebraMap R K) d' = r

⊢ q ∣ p
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/GaussLemma.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsFractionRing R K
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
r : K[X]
hr : Polynomial.map (algebraMap R K) p = Polynomial.map (algebraMap R K) q * r
d' : R[X]
hr' : Polynomial.map (algebraMap R K) d' * C r.leadingCoeff = r

⊢ r.Monic
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero

⊢ β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) β)
x_ne0 : x ≠ 0

⊢ β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) β)
x_ne0 : x ≠ 0
this : ↑(chainLength α β) • x = ⁅coroot α, x⁆

⊢ β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) β)
x_ne0 : x ≠ 0
this : ↑(chainLength α β) = ↑(chainTopCoeff (⇑α) β) * 2 + β (coroot α)

⊢ β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
hval : padicValRat p q ≠ padicValRat p r

⊢ padicValRat p (q + r) = min (padicValRat p q) (padicValRat p r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
hval : padicValRat p q ≠ padicValRat p r
h1 : min (padicValRat p q) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p (q + r)

⊢ padicValRat p (q + r) = min (padicValRat p q) (padicValRat p r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
hval : padicValRat p q ≠ padicValRat p r
h1 : min (padicValRat p q) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p (q + r)
h2 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p (-r)) ≤ padicValRat p (q + r + -r)

⊢ padicValRat p (q + r) = min (padicValRat p q) (padicValRat p r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
hval : padicValRat p q ≠ padicValRat p r
h1 : min (padicValRat p q) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p (q + r)
h2 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p (-r)) ≤ padicValRat p (q + r + -r)
h3 : min (padicValRat p (r + q)) (padicValRat p (-q)) ≤ padicValRat p (r + q + -q)

⊢ padicValRat p (q + r) = min (padicValRat p q) (padicValRat p r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
hval : padicValRat p q ≠ padicValRat p r
h1 : min (padicValRat p q) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p (q + r)
h2 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p q
h3 : min (padicValRat p (r + q)) (padicValRat p q) ≤ padicValRat p r

⊢ padicValRat p (q + r) = min (padicValRat p q) (padicValRat p r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
hval : padicValRat p q ≠ padicValRat p r
h1 : min (padicValRat p q) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p (q + r)
h2 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p q
h3 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p q) ≤ padicValRat p r

⊢ padicValRat p (q + r) = min (padicValRat p q) (padicValRat p r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
hval : padicValRat p q ≠ padicValRat p r
h1 : min (padicValRat p q) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p (q + r)
h2 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p q
h3 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p q) ≤ padicValRat p r

⊢ padicValRat p (q + r) ≤ padicValRat p q
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
hq : q ≠ 0
hr : r ≠ 0
hval : padicValRat p q ≠ padicValRat p r
h1 : min (padicValRat p q) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p (q + r)
h2 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p q
h3 : min (padicValRat p (q + r)) (padicValRat p q) ≤ padicValRat p r

⊢ padicValRat p (q + r) ≤ padicValRat p r
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
p : Submodule R M
h : LinearMap.ker f ≤ p

⊢ comap f (map f p) = p
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LogDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜' → 𝕜'
g : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜' f (g x)
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x

⊢ logDeriv (f ∘ g) x = logDeriv f (g x) * deriv g x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LogDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : 𝕜' → 𝕜'
g : 𝕜 → 𝕜'
x : 𝕜
hf : DifferentiableAt 𝕜' f (g x)
hg : DifferentiableAt 𝕜 g x

⊢ deriv f (g x) * deriv g x / f (g x) = deriv f (g x) / f (g x) * deriv g x
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z w : K

⊢ im (z / w) = im z * re w / normSq w - re z * im w / normSq w
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : ChartedSpace H M
inst✝²⁶ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²³ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²² : TopologicalSpace M'
inst✝²¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁰ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_16
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_17
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
f✝ f₁ : M → M'
s t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : E → E'

⊢ ContMDiff 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') n f ↔ ContDiff 𝕜 n f
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Internal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Algebra S R
A : ι → Submodule S R
inst✝ : GradedOne A
s : S

⊢ (algebraMap S R) s ∈ A 0
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Internal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
S : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁴ : Zero ι
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Algebra S R
A : ι → Submodule S R
inst✝ : GradedOne A
s : S

⊢ s • 1 ∈ A 0
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
ι : Sort u_2
inst✝ : Finite ι
l : Filter α
p : ι → α → Prop

⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (i : ι), p i x) ↔ ∀ (i : ι), ∀ᶠ (x : α) in l, p i x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝² : UniformSpace β
δ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → UniformSpace (δ i)
inst✝ : TopologicalSpace α

⊢ IsClosed {f | Continuous (toFun f)}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝² : UniformSpace β
δ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → UniformSpace (δ i)
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵤ β
u : Filter (α →ᵤ β)
x✝ : u.NeBot
hu : u ≤ 𝓟 {f | Continuous (toFun f)}
huf : u ≤ 𝓝 f

⊢ f ∈ {f | Continuous (toFun f)}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝² : UniformSpace β
δ : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → UniformSpace (δ i)
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵤ β
u : Filter (α →ᵤ β)
x✝ : u.NeBot
hu : u ≤ 𝓟 {f | Continuous (toFun f)}
huf : TendstoUniformly (⇑toFun ∘ id) (toFun f) u

⊢ f ∈ {f | Continuous (toFun f)}
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Nonempty F.M
bisim : IsBisimulation R
inhabited_h : Inhabited F.M
s₁ s₂ : F.M
Hr : R s₁ s₂

⊢ s₁ = s₂
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
R : F.M → F.M → Prop
inst✝ : Nonempty F.M
bisim : IsBisimulation R
inhabited_h : Inhabited F.M
s₁ s₂ : F.M
Hr : R s₁ s₂

⊢ ∀ (ps : Path F), iselect ps s₁ = iselect ps s₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
A B : Cᵒᵖ
g : A ⟶ B

⊢ (imageUnopOp g).inv ≫ (factorThruImage g.unop).op = image.ι g
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Basic.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G

⊢ (d n A) f g = (diagonalHomEquiv (n + 1) A) ((resolution k G).d (n + 1) n ≫ (diagonalHomEquiv n A).symm f) g
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Basic.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G

⊢ (d n A) f g = ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom ((resolution.d k G (n + 1)) (Finsupp.single (Fin.partialProd g) 1))
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Basic.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G

⊢ (d n A) f g = ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom (∑ p : Fin (n + 1 + 1), Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ p.succAbove) ((-1) ^ ↑p))
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Basic.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G

⊢ (d n A) f g = ∑ x : Fin (n + 1 + 1), ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom ((-1) ^ ↑x • Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ x.succAbove) 1)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Basic.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G

⊢ (A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g) = (A.ρ ((Fin.partialProd g ∘ Fin.succ) 0)) (f fun i => ((Fin.partialProd g ∘ Fin.succ) i.castSucc)⁻¹ * (Fin.partialProd g ∘ Fin.succ) i.succ) + ∑ i : Fin (n + 1), ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom ((-1) ^ ↑i.succ • Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ i.succ.succAbove) 1)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Basic.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : (Fin n → G) → CoeSort.coe A
g : Fin (n + 1) → G

⊢ (A.ρ (g 0)) (f fun i => g i.succ) + ∑ j : Fin (n + 1), (-1) ^ (↑j + 1) • f (j.contractNth (fun x x_1 => x * x_1) g) = (A.ρ (g 0)) (f fun i => (Fin.partialProd g i.castSucc.castSucc * g i.castSucc)⁻¹ * (Fin.partialProd g i.succ.castSucc * g i.succ)) + ∑ i : Fin (n + 1), ((diagonalHomEquiv n A).symm f).hom ((-1) ^ ↑i.succ • Finsupp.single (Fin.partialProd g ∘ i.succ.succAbove) 1)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α

⊢ wrepr ((P F).wMk a f' f) = (P F).wMk' (repr (abs ((TypeVec.id ::: wrepr) <$$> ⟨a, (P F).appendContents f' f⟩)))
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α

⊢ ((P F).wMk' ∘ repr) (abs ((TypeVec.id ::: recF ((P F).wMk' ∘ repr)) <$$> ⟨a, splitFun f' f⟩)) = (P F).wMk' (repr (abs ((TypeVec.id ::: recF ((P F).wMk' ∘ repr)) <$$> ⟨a, (P F).appendContents f' f⟩)))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
x : E

⊢ x ∈ {x | gauge s x ≤ a} ↔ x ∈ ⋂ r, ⋂ (_ : a < r), r • s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
x : E

⊢ gauge s x ≤ a ↔ ∀ (i : ℝ), a < i → x ∈ i • s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
x : E
h : gauge s x ≤ a
r : ℝ
hr : a < r

⊢ x ∈ r • s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs₁ : Convex ℝ s
hs₀ : 0 ∈ s
hs₂ : Absorbent ℝ s
ha : 0 ≤ a
x : E
h : ∀ (i : ℝ), a < i → x ∈ i • s
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ gauge s x < a + ε
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIcoMod hp a b - b = -toIcoDiv hp a b • p
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z (dist w z)) z

⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball w (dist w w))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball w (dist w w)) w

⊢ ‖f w‖ = ‖f w‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z (dist w z)) z
hne : w ≠ z

⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : ℂ → F
z w : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (ball z (dist w z))
hz : IsMaxOn (norm ∘ f) (ball z (dist w z)) z
hne : dist w z ≠ 0

⊢ ‖f w‖ = ‖f z‖
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α✝ : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝³ : Primcodable α✝
inst✝² : Primcodable σ
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
n : ℕ

⊢ Nat.unpaired (fun z n => Nat.casesOn n 0 fun y => Nat.unpaired (fun z n => Nat.casesOn n 0 fun y => (Nat.unpair (Nat.pair z y)).2.succ) (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.pair z y)).2 (encode (decode (Nat.unpair (Nat.pair z y)).1)))) (Nat.pair (Nat.unpair n).2 (encode (decode (Nat.unpair n).1))) = encode (Option.map Prod.snd (decode n))
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α✝ : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝³ : Primcodable α✝
inst✝² : Primcodable σ
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
n : ℕ

⊢ Nat.rec 0 (fun n_1 n_ih => Nat.rec 0 (fun n n_ih => n.succ) (encode (decode (Nat.unpair n).2))) (encode (decode (Nat.unpair n).1)) = encode (Option.map Prod.snd ((decode (Nat.unpair n).1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a) (decode (Nat.unpair n).2)))
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝³ : AddCommMonoid α
inst✝² : Neg β
inst✝¹ : DivisionSemiring γ
inst✝ : Module γ α
h : Antiperiodic f c
a : γ
ha : a ≠ 0
x : α

⊢ (fun x => f (a • x)) (x + a⁻¹ • c) = -(fun x => f (a • x)) x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Defs.lean
R✝ : Type u
S : Type v
A✝ : Type w
B : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Semiring A✝
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R✝ B
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝ : Semiring A
P Q : Algebra R A
h : ∀ (r : R), (algebraMap R A) r = (algebraMap R A) r

⊢ P = Q
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Defs.lean
R✝ : Type u
S : Type v
A✝ : Type w
B : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Semiring A✝
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R✝ B
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
A : Type u_3
inst✝ : Semiring A
P Q : Algebra R A
h : toRingHom = toRingHom

⊢ P = Q
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x + y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n

⊢ multiplicity (↑p) (x ^ n + y ^ n) = multiplicity (↑p) (x + y) + multiplicity p n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x - -y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n

⊢ multiplicity (↑p) (x ^ n + y ^ n) = multiplicity (↑p) (x + y) + multiplicity p n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℤ
hxy : ↑p ∣ x - -y
hx : ¬↑p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n

⊢ multiplicity (↑p) (x ^ n - (-y) ^ n) = multiplicity (↑p) (x - -y) + multiplicity p n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
x✝ : E

⊢ x✝ ∈ parallelepiped v ↔ x✝ ∈ ∑ i : ι, segment ℝ 0 (v i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ι'
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module ℝ F
v : ι → E
x✝ : E

⊢ (∃ t, (∀ (i : ι), t i ∈ Icc (0 i) (1 i)) ∧ x✝ = ∑ i : ι, t i • v i) ↔ ∃ g, ∃ (_ : ∀ {i : ι}, g i ∈ (fun a => a • v i) '' Icc 0 1), ∑ i : ι, g i = x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁵ : CommRing R₂
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v✝ : ι' → M
i✝ : ι
j : ι'
S : Type u_9
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
v : ι' → S
i : ι'

⊢ (⇑b ᵥ* (b.toMatrix v).map ⇑(algebraMap R S)) i = v i
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n : ℕ

⊢ ↑(↑(n + 1))⁻¹ = (↑(n + 1))⁻¹
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
D : GlueData
i : D.J

⊢ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i ≫ ((PresheafedSpace.forget CommRingCat).mapIso (SheafedSpace.forgetToPresheafedSpace.mapIso (LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace.mapIso D.isoLocallyRingedSpace ≪≫ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.isoSheafedSpace) ≪≫ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.isoPresheafedSpace) ≪≫ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.gluedIso (PresheafedSpace.forget CommRingCat)).inv = (D.ι i).val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
D : GlueData
i : D.J

⊢ (D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.ι i ≫ D.toLocallyRingedSpaceGlueData.isoSheafedSpace.inv ≫ (LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace.mapIso D.isoLocallyRingedSpace).inv).base = (D.ι i).val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
D : GlueData
i : D.J

⊢ ((D.toLocallyRingedSpaceGlueData.ι i).val ≫ (LocallyRingedSpace.forgetToSheafedSpace.mapIso D.isoLocallyRingedSpace).inv).base = (D.ι i).val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
D : GlueData
i : D.J

⊢ (D.toLocallyRingedSpaceGlueData.ι i ≫ D.isoLocallyRingedSpace.inv).val.base = (D.ι i).val.base
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle

⊢ ContinuousOn (oddKernel a) (Ioi 0)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ

⊢ ContinuousOn (oddKernel ↑a) (Ioi 0)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ

⊢ ContinuousOn (fun x => ↑(oddKernel (↑a) x)) (Ioi 0)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ

⊢ ContinuousOn (fun x => cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))) (Ioi 0)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

⊢ Continuous fun x => cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

⊢ ContinuousAt (fun x => jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R M₂
B F : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₂
e : M₁ ≃ₗ[R] M
f : Module.End R M

⊢ B.IsPairSelfAdjoint F f ↔ (B.compl₁₂ ↑e ↑e).IsPairSelfAdjoint (F.compl₁₂ ↑e ↑e) (e.symm.conj f)