ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R

⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ spectrum R ↑a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
this : {r | ¬IsUnit r} ⊆ spectrum R ↑a

⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ spectrum R ↑a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
this : {r | ¬IsUnit r} ⊆ spectrum R ↑a

⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ quasispectrum R ↑a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : NonUnitalRing A✝
inst✝⁵ : Module R✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝³ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : R
this : {r | ¬IsUnit r} ⊆ spectrum R ↑a
hr : IsUnit r

⊢ ¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • a)) ↔ ¬IsQuasiregular (-(hr.unit⁻¹ • ↑a))
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ toIcoDiv hp a b = toIocDiv hp a b + 1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a : A

⊢ IsQuasiregular ↑a ↔ IsQuasiregular a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a : A
ha : IsQuasiregular ↑a

⊢ IsQuasiregular a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a : A
ha : ∃ y, y + ↑a + ↑a * y = 0 ∧ ↑a + y + y * ↑a = 0

⊢ ∃ y, y + a + a * y = 0 ∧ a + y + y * a = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : IsScalarTower R A A
inst✝ : SMulCommClass R A A
a y : A
hy₁ : ↑y + ↑a + ↑a * ↑y = 0
hy₂ : ↑a + ↑y + ↑y * ↑a = 0

⊢ ∃ y, y + a + a * y = 0 ∧ a + y + y * a = 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Completion.lean
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ

⊢ (((𝓤 α).lift' gen).lift' fun s => s ○ s) = (𝓤 α).lift' fun s => gen s ○ gen s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Completion.lean
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ

⊢ Monotone gen
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Completion.lean
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ

⊢ Monotone fun s => s ○ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Completion.lean
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ

⊢ ((𝓤 α).lift' fun s => gen (s ○ s)) = ((𝓤 α).lift' fun s => s ○ s).lift' gen
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι

⊢ μ[f|hτ.measurableSpace] =ᶠ[ae (μ.restrict {x | τ x = i})] μ[f|↑ℱ i]
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : Ω → E
inst✝¹ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
h_countable : (Set.range τ).Countable
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ι
t : Set Ω

⊢ MeasurableSet ({x | τ x = i} ∩ t) ↔ MeasurableSet ({x | τ x = i} ∩ t)
-- Mathlib/Topology/Sets/Opens.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
s : Opens α

⊢ CompleteLattice.IsCompactElement s ↔ IsCompact ↑s
-- Mathlib/Topology/Sets/Opens.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
s : Opens α

⊢ (∀ (ι : Type u_2) (s_1 : ι → Opens α), s ≤ iSup s_1 → ∃ t, s ≤ t.sup s_1) ↔ ∀ {ι : Type u_2} (U : ι → Set α), (∀ (i : ι), IsOpen (U i)) → ↑s ⊆ ⋃ i, U i → ∃ t, ↑s ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
s : Set X
hs : IsOpen s
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsOpen t → t = s

⊢ s.Subsingleton
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
s : Set X
hs : IsOpen s
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsOpen t → t = s
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
s : Set X
hs : IsOpen s
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsOpen t → t = s
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
U : Set X
hUo : IsOpen U
hU : Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
s : Set X
hs : IsOpen s
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsOpen t → t = s
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
U : Set X
hUo : IsOpen U
hU : Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)
hxU : x ∈ U
hyU : y ∉ U

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T0Space X
s : Set X
hs : IsOpen s
hmin : ∀ t ⊆ s, t.Nonempty → IsOpen t → t = s
x : X
hx : x ∈ s
y : X
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
U : Set X
hUo : IsOpen U
hU : Xor' (x ∈ U) (y ∈ U)
hxU : x ∈ U
hyU : y ∉ U
this : s ∩ U = s

⊢ False
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Defs.lean
n✝ p : ℕ
pp : Prime p
m n : ℕ
hn : p = m * n

⊢ m = 1 ∨ m = p
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Defs.lean
n✝ p : ℕ
pp : Prime p
m n : ℕ
hn : p = m * n
this : IsUnit m ∨ IsUnit n

⊢ m = 1 ∨ m = p
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Defs.lean
n✝ p : ℕ
pp : Prime p
m n : ℕ
hn : p = m * n
this : m = 1 ∨ n = 1

⊢ m = 1 ∨ m = p
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Defs.lean
n✝ p : ℕ
pp : Prime p
m n : ℕ
hn : p = m * n
this : m = 1 ∨ n = 1

⊢ n = 1 → m = p
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Defs.lean
n p : ℕ
pp : Prime p
m : ℕ
hn : p = m * 1
this : m = 1 ∨ 1 = 1

⊢ m = p
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 0
hs' : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0

⊢ DifferentiableAt ℂ (completedCosZeta a) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 0
hs' : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0

⊢ s / 2 ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ
hs : s ≠ 0
hs' : s ≠ 1 ∨ a ≠ 0

⊢ s / 2 ≠ ↑(hurwitzEvenFEPair a).symm.k ∨ (hurwitzEvenFEPair a).symm.g₀ = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
f : β → α
hf : ContinuousOn f s

⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
hs : IsCompact s
ne_s : s.Nonempty
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
x : β
hxs : x ∈ s
hx : f x ∈ lowerBounds (f '' s)

⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
i : ι
m : M i
w : Word M
hmw : w.fstIdx ≠ some i
h1 : m ≠ 1

⊢ ∀ l ∈ ⟨i, m⟩ :: w.toList, l.snd ≠ 1
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
i : ι
m : M i
w : Word M
hmw : w.fstIdx ≠ some i
h1 : m ≠ 1

⊢ ∀ (l : (i : ι) × M i), l = ⟨i, m⟩ ∨ l ∈ w.toList → l.snd ≠ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSpace Ω'
f : Ω → Ω'
f_mble : Measurable f
ν₁ ν₂ : FiniteMeasure Ω
s : Set Ω'
s_mble : MeasurableSet s

⊢ ↑((ν₁ + ν₂).map f) s = ↑(ν₁.map f + ν₂.map f) s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Finite β
f : Perm α
e : α ≃ β
s : Multiset α
t : Multiset β
hs : ∀ (x : α), x ∈ s
ht : ∀ (x : β), x ∈ t

⊢ signAux3 ((e.symm.trans f).trans e) ht = f.signAux3 hs
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Finite β
f : Perm α
e : α ≃ β
t : List β
s : List α
hs : ∀ (x : α), x ∈ ⟦s⟧
ht : ∀ (x : β), x ∈ ⟦t⟧

⊢ signAux3 ((e.symm.trans f).trans e) ht = f.signAux3 hs
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Finite β
f : Perm α
e : α ≃ β
t : List β
s : List α
hs : ∀ (x : α), x ∈ ⟦s⟧
ht : ∀ (x : β), x ∈ ⟦t⟧

⊢ signAux2 t ((e.symm.trans f).trans e) = signAux2 s f
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Finite β
f : Perm α
e : α ≃ β
t : List β
s : List α
hs : ∀ (x : α), x ∈ ⟦s⟧
ht : ∀ (x : β), x ∈ ⟦t⟧
n : ℕ
e' : β ≃ Fin n

⊢ signAux2 t ((e.symm.trans f).trans e) = signAux2 s f
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Finite β
f : Perm α
e : α ≃ β
t : List β
s : List α
hs : ∀ (x : α), x ∈ ⟦s⟧
ht : ∀ (x : β), x ∈ ⟦t⟧
n : ℕ
e' : β ≃ Fin n

⊢ signAux ((e'.symm.trans ((e.symm.trans f).trans e)).trans e') = signAux (((e.trans e').symm.trans f).trans (e.trans e'))
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Ring R'
f g : R⟦X⟧
f' g' : R'⟦X⟧
S : Type u_3
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Module R S
r : R
x : S⟦X⟧
x✝ : ℤ

⊢ ((ofPowerSeries ℤ S) (r • x)).coeff x✝ = (r • (ofPowerSeries ℤ S) x).coeff x✝
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition

⊢ (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts).card = P.parts.card - s.card % P.parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition

⊢ (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts).card = (filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).card + (filter (fun a => ¬a.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts).card - s.card % P.parts.card
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m R
e₁ e₂ : n ≃ m

⊢ (A.submatrix ⇑e₁ ⇑e₂).rank = A.rank
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
l : Filter α

⊢ (∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, dist (f x) 1 < ε) ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.57069, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁

⊢ (ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.mor₁) ((F.shift n₀).map T.mor₂) ⋯).Exact
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.57069, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁

⊢ (shortComplexOfDistTriangle ((shiftFunctor (Triangle C) n₀).obj T) ⋯).map F ≅ ShortComplex.mk ((F.shift n₀).map T.mor₁) ((F.shift n₀).map T.mor₂) ⋯
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β

⊢ ContinuousAt f b ↔ Tendsto (fun x => (f b, f x)) (𝓝 b) (𝓤 α)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)

⊢ μ[f|m] =ᶠ[ae (μ.restrict s)] μ[f|m₂]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)

⊢ s.indicator (μ[f|m]) =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m₂])
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
hs_m₂ : MeasurableSet s

⊢ s.indicator (μ[f|m]) =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m₂])
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
hs_m₂ : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ

⊢ s.indicator (μ[f|m]) =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m₂])
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
hs_m₂ : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ

⊢ μ[s.indicator f|m] =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator f|m₂]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
hs_m₂ : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ

⊢ ∀ (s_1 : Set α), MeasurableSet s_1 → μ s_1 < ⊤ → ∫ (x : α) in s_1, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s_1, (μ[s.indicator f|m₂]) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
hs_m₂ : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ

⊢ AEStronglyMeasurable' m₂ (μ[s.indicator f|m]) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
hs_m₂ : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
a✝ : μ t < ⊤

⊢ ∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m₂]) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
hs_m₂ : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
a✝ : μ t < ⊤
this : ∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s ∩ t, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ

⊢ ∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m₂]) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Indicator.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
μ✝ : Measure α
f : α → E
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m0
inst✝¹ : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm₂)
hs_m : MeasurableSet s
hs : ∀ (t : Set α), MeasurableSet (s ∩ t) ↔ MeasurableSet (s ∩ t)
hs_m₂ : MeasurableSet s
hf_int : Integrable f μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
a✝ : μ t < ⊤
this : ∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in s ∩ t, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ
hst_m : MeasurableSet (s ∩ t)

⊢ ∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α) in t, (μ[s.indicator f|m₂]) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/VitaliFamily.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
f : α → Set (Set α)
s : Set α
h : v.FineSubfamilyOn f s
inst✝ : SecondCountableTopology α
ρ : Measure α
hρ : ρ ≪ μ

⊢ s ⊆ (s \ ⋃ p ∈ h.index, h.covering p) ∪ ⋃ p ∈ h.index, h.covering p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/VitaliFamily.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
f : α → Set (Set α)
s : Set α
h : v.FineSubfamilyOn f s
inst✝ : SecondCountableTopology α
ρ : Measure α
hρ : ρ ≪ μ

⊢ ρ (s \ ⋃ p ∈ h.index, h.covering p) + ρ (⋃ p ∈ h.index, h.covering p) = ∑' (p : ↑h.index), ρ (h.covering ↑p)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x

⊢ map (Embedding.subtype p) (Ioo a b) = Ioo ↑a ↑b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x

⊢ map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Ioo ↑a ↑b)) = Ioo ↑a ↑b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
x : α
hx : x ∈ Ioo ↑a ↑b

⊢ p x
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
x : α
hx : ↑a < x ∧ x < ↑b

⊢ p x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ cfcₙ (g ∘ f) a = cfcₙ g (cfcₙ f a)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (σₙ R a)

⊢ cfcₙ (g ∘ f) a = cfcₙ g (cfcₙ f a)