ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/ModelTheory/Encoding.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'

⊢ lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{v, max u u'} (ℵ₀ + (lift.{u, u'} #α + lift.{u', u} #((i : ℕ) × L.Functions i))) + lift.{max u u', v} (lift.{0, v} #((n : ℕ) × L.Relations n) + lift.{v, 0} ℵ₀)) ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u u') v, max (max u u') v} (lift.{max u v, u'} #α + lift.{u', max u v} L.card))
-- Mathlib/ModelTheory/Encoding.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'

⊢ ℵ₀ + (lift.{max (max u v) (max u u') v, u'} #α + lift.{max (max u' v) (max u u') v, u} #((i : ℕ) × L.Functions i)) + (lift.{max (max u u') v, v} #((n : ℕ) × L.Relations n) + ℵ₀) ≤ max ℵ₀ (lift.{max (max u v) (max u u') v, u'} #α + lift.{max u' (max u u') v, max u v} L.card)
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf : ¬Measurable (Function.uncurry f)

⊢ κ.withDensity f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝⁵ : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝⁴ : HasSmallLocalizedHom W X Z
inst✝³ : HasSmallLocalizedHom W X T
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y T
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W Z T
α : SmallHom W X Y
β : SmallHom W Y Z
γ : SmallHom W Z T

⊢ (α.comp β).comp γ = α.comp (β.comp γ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝⁵ : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝⁴ : HasSmallLocalizedHom W X Z
inst✝³ : HasSmallLocalizedHom W X T
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y T
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W Z T
α : SmallHom W X Y
β : SmallHom W Y Z
γ : SmallHom W Z T

⊢ (equiv W W.Q) ((α.comp β).comp γ) = (equiv W W.Q) (α.comp (β.comp γ))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X

⊢ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inl z) ≤ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inr y) + glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr y) (Sum.inl z)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X

⊢ dist x z ≤ (⨅ p, dist x (Φ p) + dist y (Ψ p)) + ((⨅ p, dist z (Φ p) + dist y (Ψ p)) + (ε + ε))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
p : Z

⊢ dist x z ≤ dist x (Φ p) + dist y (Ψ p) + ((⨅ p, dist z (Φ p) + dist y (Ψ p)) + (ε + ε))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
p : Z

⊢ dist x z ≤ (⨅ p, dist z (Φ p) + dist y (Ψ p)) + (dist x (Φ p) + (dist y (Ψ p) + 2 * ε))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
p q : Z

⊢ dist x z ≤ dist z (Φ q) + dist y (Ψ q) + (dist x (Φ p) + (dist y (Ψ p) + 2 * ε))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
p q : Z

⊢ dist x z ≤ dist (Φ q) z + dist y (Ψ q) + (dist x (Φ p) + (dist y (Ψ p) + 2 * ε))
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

⊢ (mapL fun i => (g i).comp (f i)) = (mapL g).comp (mapL f)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

⊢ ↑(mapL fun i => (g i).comp (f i)) = ↑((mapL g).comp (mapL f))
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁹ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
x✝ : (i : ι) → E i

⊢ ((↑(mapL fun i => (g i).comp (f i))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝ = ((↑((mapL g).comp (mapL f))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : (f '' s).Subsingleton

⊢ eVariationOn f s = 0
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : (f '' s).Subsingleton

⊢ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, edist (f x) (f y) = 0
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
hf : (f '' s).Subsingleton
x : α
xs : x ∈ s
y : α
ys : y ∈ s

⊢ edist (f x) (f y) = 0
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift

⊢ Tendsto (fun n => (f ^ (n + 1)) 0 / (↑n + 1)) atTop (𝓝 (τ f))
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ

⊢ dist ((f ^ (n + 1)) 0 / (↑n + 1)) (τ f) ≤ ((fun n => 1 / ↑n) ∘ fun a => a + 1) n
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ

⊢ dist ((f ^ (n + 1)) 0 / (↑n + 1)) (τ f) ≤ 1 / ↑(n + 1)
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
this : 0 < ↑n + 1

⊢ dist ((f ^ (n + 1)) 0 / (↑n + 1)) (τ f) ≤ 1 / ↑(n + 1)
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ
this : 0 < ↑n + 1

⊢ dist ((f ^ (n + 1)) 0) (↑(n + 1) * τ f) ≤ 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsMarkovKernel η
x : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ((κ ⊗ₖ η).fst x) s = (κ x) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsMarkovKernel η
x : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (b : β), (η (x, b)) {c | (b, c) ∈ {p | p.1 ∈ s}} ∂κ x = (κ x) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsMarkovKernel η
x : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ MeasurableSet {p | p.1 ∈ s}
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsMarkovKernel η
x : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (b : β), (η (x, b)) {c | b ∈ s} ∂κ x = (κ x) s
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d✝ m n : ℤ
h : b ∣ a
hb : b ≠ 0
d : ℤ

⊢ c = a / b * d ↔ b * c = a * d
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d✝ m n : ℤ
h : b ∣ a
hb : b ≠ 0
d : ℤ
this : b ∣ d * a

⊢ c = a / b * d ↔ b * c = a * d
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : b₁ < b₂

⊢ Ioc a b₁ ⊆ Ioo a b₂
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : b₁ < b₂

⊢ Set.Ioc a b₁ ⊆ Set.Ioo a b₂
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : AddMonoid G
A : Type u₃
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra k A
B : Type u_3
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra k B
F : Multiplicative G →* A
f : MonoidAlgebra k G

⊢ ((lift k G A) F) f = sum f fun a b => b • F (Multiplicative.ofAdd a)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.78745, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting

⊢ Mono S.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.78745, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting
this : IsSplitMono S.f

⊢ Mono S.f
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a✝ b✝ c✝ d m n a b c : ℤ
hab : a = b

⊢ b ≤ b
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y

⊢ seminormFromBounded' f 1 = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y

⊢ ⨆ y, f y / f y = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y

⊢ ⨆ y, f y / f y ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y

⊢ 1 ≤ ⨆ y, f y / f y
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
h : Function.Injective ⇑(frobenius R p)
x : R

⊢ x ∈ pNilradical R p → x ∈ ⊥
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
p : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
h : Function.Injective ⇑(frobenius R p)
x : R

⊢ (∃ n, x ^ p ^ n = 0) → x = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x : α
y : β

⊢ (x, y) ∈ s ×ˢ (t ∪ t') ↔ (x, y) ∈ s ×ˢ t ∪ s ×ˢ t'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d : ℝ
f : ℝ → E
c : ℝ

⊢ c • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x * c) = ∫ (x : ℝ) in a * c..b * c, f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
f g : End K M
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : PerfectField K
comm : Commute f g
hf : f.IsSemisimple
hg : g.IsSemisimple
a : End K M
ha : a ∈ Algebra.adjoin K {f, g}
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {minpoly K f}
S : Type u_3 := AdjoinRoot (map (algebraMap K R) (minpoly K g))

⊢ a.IsSemisimple
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
f g : End K M
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : PerfectField K
comm : Commute f g
hf : f.IsSemisimple
hg : g.IsSemisimple
a : End K M
ha : a ∈ Algebra.adjoin K {f, g}
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {minpoly K f}
S : Type u_3 := AdjoinRoot (map (algebraMap K R) (minpoly K g))
this : Finite K R

⊢ a.IsSemisimple
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Module K M
f g : End K M
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : PerfectField K
comm : Commute f g
hf : f.IsSemisimple
hg : g.IsSemisimple
a : End K M
ha : a ∈ Algebra.adjoin K {f, g}
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {minpoly K f}
S : Type u_3 := AdjoinRoot (map (algebraMap K R) (minpoly K g))
this✝ : Finite K R
this : Finite R S

⊢ a.IsSemisimple
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra

⊢ ∃ σ, φ.comp ↑σ.symm = ψ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this : IsScalarTower k K ℂ

⊢ ∃ σ, φ.comp ↑σ.symm = ψ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this : IsScalarTower k K ℂ
ψ' : K →ₐ[k] ℂ := { toRingHom := ψ, commutes' := ⋯ }

⊢ ∃ σ, φ.comp ↑σ.symm = ψ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this : IsScalarTower k K ℂ
ψ' : K →ₐ[k] ℂ := { toRingHom := ψ, commutes' := ⋯ }

⊢ φ.comp ↑(ψ'.restrictNormal' K).symm.symm = ψ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w : InfinitePlace K
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this : IsScalarTower k K ℂ
ψ' : K →ₐ[k] ℂ := { toRingHom := ψ, commutes' := ⋯ }
x : K

⊢ (φ.comp ↑(ψ'.restrictNormal' K).symm.symm) x = ψ x
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
I : Box ι

⊢ ∃ J, (∀ (n : ℕ), Box.Icc (J n) ⊆ Box.Ioo I) ∧ Tendsto (lower ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.lower) ∧ Tendsto (upper ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.upper)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x y : ι → ℝ
I : Box ι
a b : ι → ℕ → ℝ
ha_anti : ∀ (i : ι), StrictAnti (a i)
hb_mono : ∀ (i : ι), StrictMono (b i)
ha_mem : ∀ (i : ι) (k : ℕ), a i k ∈ Ioo (I.lower i) (I.upper i)
hb_mem : ∀ (i : ι) (l : ℕ), b i l ∈ Ioo (I.lower i) (I.upper i)
hab : ∀ (i : ι) (k l : ℕ), a i k < b i l
ha_tendsto : ∀ (i : ι), Tendsto (a i) atTop (𝓝 (I.lower i))
hb_tendsto : ∀ (i : ι), Tendsto (b i) atTop (𝓝 (I.upper i))

⊢ ∃ J, (∀ (n : ℕ), Box.Icc (J n) ⊆ Box.Ioo I) ∧ Tendsto (lower ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.lower) ∧ Tendsto (upper ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.upper)
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : StrictOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
r : R
n : ℕ
hn : -r ≤ ↑n

⊢ ↑(-↑n) ≤ r
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : TopologicalRing R
inst✝ : TopologicalAddGroup M
hmul : Tendsto (fun p => p.1 • p.2) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
hmulleft : ∀ (m : M), Tendsto (fun a => a • m) (𝓝 0) (𝓝 0)
hmulright : ∀ (a : R), Tendsto (fun m => a • m) (𝓝 0) (𝓝 0)

⊢ Continuous fun p => p.1 • p.2
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
c : Set (Ideal R)
hs : c ⊆ nonPrincipals R
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
K : Ideal R
hKmem : K ∈ c

⊢ ∃ I ∈ nonPrincipals R, ∀ J ∈ c, J ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
c : Set (Ideal R)
hs : c ⊆ nonPrincipals R
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
K : Ideal R
hKmem : K ∈ c

⊢ sSup c ∈ nonPrincipals R
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
c : Set (Ideal R)
hs : c ⊆ nonPrincipals R
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
K : Ideal R
hKmem : K ∈ c
x : R
hx : sSup c = Submodule.span R {x}

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
c : Set (Ideal R)
hs : c ⊆ nonPrincipals R
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
K : Ideal R
hKmem : K ∈ c
x : R
hx : sSup c = Submodule.span R {x}
hxmem : x ∈ sSup c

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
c : Set (Ideal R)
hs : c ⊆ nonPrincipals R
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
K : Ideal R
hKmem : K ∈ c
x : R
hx : sSup c = Submodule.span R {x}
hxmem : x ∈ sSup c
J : Submodule R R
hJc : J ∈ c
hxJ : x ∈ J

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
c : Set (Ideal R)
hs : c ⊆ nonPrincipals R
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
K : Ideal R
hKmem : K ∈ c
x : R
hx : sSup c = Submodule.span R {x}
hxmem : x ∈ sSup c
J : Submodule R R
hJc : J ∈ c
hxJ : x ∈ J
hsSupJ : sSup c = J

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
c : Set (Ideal R)
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
K : Ideal R
hKmem : K ∈ c
x : R
hx : sSup c = Submodule.span R {x}
hxmem : x ∈ sSup c
J : Submodule R R
hJc : J ∈ c
hxJ : x ∈ J
hsSupJ : sSup c = J
hs : J ∈ nonPrincipals R

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝ : CommRing R
c : Set (Ideal R)
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
K : Ideal R
hKmem : K ∈ c
x : R
hx : sSup c = Submodule.span R {x}
hxmem : x ∈ sSup c
J : Submodule R R
hJc : J ∈ c
hxJ : x ∈ J
hsSupJ : sSup c = J
hs : ¬(Submodule.span R {x}).IsPrincipal

⊢ False
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair X Y

⊢ Continuous fun p => p.1 p.2
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair X Y

⊢ ∀ (x : C(X, Y) × X) (i : Set Y), x.1 x.2 ∈ i ∧ IsOpen i → ∀ᶠ (x : C(X, Y) × X) in 𝓝 x, x.1 x.2 ∈ i
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K : Set X
U✝ : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
f : C(X, Y)
x : X
U : Set Y
hx : f x ∈ U
hU : IsOpen U

⊢ ∀ᶠ (x : C(X, Y) × X) in 𝓝 (f, x), x.1 x.2 ∈ U
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace T
K✝ : Set X
U✝ : Set Y
inst✝ : LocallyCompactPair X Y
f : C(X, Y)
x : X
U : Set Y
hx : f x ∈ U
hU : IsOpen U
K : Set X
hxK : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
hKU : MapsTo (⇑f) K U

⊢ ∀ᶠ (x : C(X, Y) × X) in 𝓝 (f, x), x.1 x.2 ∈ U
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
T : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup T
inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
x : AdicCompletion I M

⊢ (map I g ∘ₗ map I f) x = (map I (g ∘ₗ f)) x
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K : Set X
hK : IsCompact K
x✝ : X

⊢ x✝ ∈ closure K ↔ x✝ ∈ ⋃ x ∈ K, {y | Inseparable x y}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
hs : TotallyBounded s
hf : UniformContinuous f
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
this : {p | (f p.1, f p.2) ∈ t} ∈ 𝓤 α
c : Set α
hfc : c.Finite
hct : s ⊆ ⋃ y ∈ c, {x | (x, y) ∈ {p | (f p.1, f p.2) ∈ t}}

⊢ f '' s ⊆ ⋃ y ∈ f '' c, {x | (x, y) ∈ t}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
hs : TotallyBounded s
hf : UniformContinuous f
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
this : {p | (f p.1, f p.2) ∈ t} ∈ 𝓤 α
c : Set α
hfc : c.Finite
hct : s ⊆ ⋃ y ∈ c, {x | (x, y) ∈ {p | (f p.1, f p.2) ∈ t}}

⊢ s ⊆ ⋃ i ∈ c, {a | (f a, f i) ∈ t}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
f : α → β
s : Set α
hs : TotallyBounded s
hf : UniformContinuous f
t : Set (β × β)
ht : t ∈ 𝓤 β
this : {p | (f p.1, f p.2) ∈ t} ∈ 𝓤 α
c : Set α
hfc : c.Finite
hct : ∀ x ∈ s, ∃ i ∈ c, (f x, f i) ∈ t

⊢ s ⊆ ⋃ i ∈ c, {a | (f a, f i) ∈ t}