ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b

⊢ a + b = a + b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hmo : q.Monic
a✝ : Nontrivial R

⊢ q * p /ₘ q = p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hmo : q.Monic
a✝ : Nontrivial R

⊢ degree 0 < q.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hmo : q.Monic
a✝ : Nontrivial R

⊢ ⊥ < q.degree
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ

⊢ eLpNorm (stoppedValue f (leastGE f r i)) 1 μ ≤ 2 * μ Set.univ * ENNReal.ofReal (r + ↑R)
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ

⊢ 0 ≤ ∫ (x : Ω), stoppedValue f (leastGE f r i) x ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ

⊢ 0 ≤ ∫ (x : Ω) in Set.univ, stoppedValue f (leastGE f r i) x ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hr : 0 ≤ r
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R
i : ℕ

⊢ 0 ≤ ∫ (ω : Ω) in Set.univ, stoppedValue f (leastGE f r 0) ω ∂μ
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq

⊢ map f (cons a ⟨s, al⟩) = cons (f a) (map f ⟨s, al⟩)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq

⊢ ↑(map f (cons a ⟨s, al⟩)) = ↑(cons (f a) (map f ⟨s, al⟩))
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq

⊢ Stream'.map (Option.map f) (some a :: s) = some (f a) :: Stream'.map (Option.map f) s
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq

⊢ Option.map f (some a) :: Stream'.map (Option.map f) s = some (f a) :: Stream'.map (Option.map f) s
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝² : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝¹ : PerfectRing R p
inst✝ : DecidableEq R

⊢ Finset.image (⇑(frobenius R p)) ((expand R p) f).roots.toFinset = f.roots.toFinset
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝² : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
h : IsInternal A
i j : ι
hij : i ≠ j
x : ↥(A i)

⊢ ((LinearEquiv.ofBijective (coeLinearMap A) h).symm ↑x) j = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
h : LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x (c • v)

⊢ LineDifferentiableWithinAt 𝕜 f s x v
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ ↑‖r‖₊ = ENNReal.ofReal r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
x : α

⊢ thickenedIndicatorAux δ E x ≤ 1
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s t u : Set α
h₀ : a ∈ s
h₁ : IsOpen s
h₂ : t ∩ s = u ∩ s

⊢ 𝓝[t] a = 𝓝[u] a
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : ℤ√d

⊢ a.re ^ 2 - d * a.im ^ 2 = 1 ↔ a ∈ unitary (ℤ√d)
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame

⊢ x < y ∨ x ≈ y ∨ y ⧏ x
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame

⊢ x < y ∨ x ≈ y ∨ y < x ∨ x ‖ y
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsNormalSubgroup s
a b : G
hab : a * b ∈ s

⊢ b * a ∈ s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
h : b.IsLimit
H : ∀ b' < b, a * b' ≤ c

⊢ ¬c < a * b
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ

⊢ xn a1 (4 * n + j) + xn a1 (2 * n + j) ≡ xn a1 j + xn a1 (2 * n + j) [MOD xn a1 n]
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ

⊢ xn a1 (4 * n + j) + xn a1 (2 * n + j) ≡ 0 [MOD xn a1 n]
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n j : ℕ

⊢ xn a1 (2 * n + (2 * n + j)) + xn a1 (2 * n + j) ≡ 0 [MOD xn a1 n]
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
a b✝ x b : α

⊢ b < a → b = ⊥ ↔ b ≠ ⊥ → b ≤ a → a ≤ b
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
C : ℕ → Sort u_1
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
next : {k : ℕ} → C k → C (k + 1)
Hnext : ∀ (n : ℕ), Surjective next

⊢ Surjective (leRecOn hnm fun {k} => next)
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
u v : PrimeMultiset

⊢ (coePNatMonoidHom (u + v)).prod = u.prod * v.prod
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
u v : PrimeMultiset

⊢ (coePNatMonoidHom u + coePNatMonoidHom v).prod = u.prod * v.prod
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n : ℕ

⊢ (finRotate (n + 2)).cycleType = {n + 2}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n : ℕ

⊢ ↑[n + 2] = {n + 2}
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
q : (DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h))[X]
z : DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h)
i : ι
x : G i
h : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = z

⊢ Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) (C x) = C z
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
q : (DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h))[X]
q₁ q₂ : (DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h))[X]
x✝¹ : ∃ i p, Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) p = q₁
x✝ : ∃ i p, Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) p = q₂
i₁ : ι
p₁ : (G i₁)[X]
ih₁ : Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i₁) p₁ = q₁
i₂ : ι
p₂ : (G i₂)[X]
ih₂ : Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i₂) p₂ = q₂
i : ι
h1 : i₁ ≤ i
h2 : i₂ ≤ i

⊢ Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) (Polynomial.map (f' i₁ i h1) p₁ + Polynomial.map (f' i₂ i h2) p₂) = q₁ + q₂
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
q : (DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h))[X]
q₁ q₂ : (DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h))[X]
x✝¹ : ∃ i p, Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) p = q₁
x✝ : ∃ i p, Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) p = q₂
i₁ : ι
p₁ : (G i₁)[X]
ih₁ : Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i₁) p₁ = q₁
i₂ : ι
p₂ : (G i₂)[X]
ih₂ : Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i₂) p₂ = q₂
i : ι
h1 : i₁ ≤ i
h2 : i₂ ≤ i

⊢ Polynomial.map ((of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i).comp (f' i₁ i h1)) p₁ + Polynomial.map ((of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i).comp (f' i₂ i h2)) p₂ = Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i₁) p₁ + Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i₂) p₂
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
q : (DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h))[X]
n : ℕ
z : DirectLimit G fun i j h => ⇑(f' i j h)
x✝ : ∃ i p, Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) p = C z * X ^ n
i : ι
x : G i
h : (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) x = z

⊢ Polynomial.map (of G (fun i j h => ⇑(f' i j h)) i) (C x * X ^ (n + 1)) = C z * X ^ (n + 1)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsClosed s

⊢ interior (frontier s) = ∅
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsClosed s
A : frontier s = s \ interior s

⊢ interior (frontier s) = ∅
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsClosed s
A : frontier s = s \ interior s
B : interior (frontier s) ⊆ interior s

⊢ interior (frontier s) = ∅
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsClosed s
A : frontier s = s \ interior s
B : interior (frontier s) ⊆ interior s
C : interior (frontier s) ⊆ frontier s

⊢ interior (frontier s) = ∅
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : IsClosed s
A : frontier s = s \ interior s
B : interior (frontier s) ⊆ interior s
C : interior (frontier s) ⊆ frontier s
this : interior (frontier s) ⊆ interior s ∩ (s \ interior s)

⊢ interior (frontier s) = ∅
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : CommSemiring β
inst✝¹ : ContinuousAdd β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
p✝ p q : β[X]
hp : SuperpolynomialDecay l k fun x => eval (k x) p * f x
hq : SuperpolynomialDecay l k fun x => eval (k x) q * f x

⊢ SuperpolynomialDecay l k fun x => eval (k x) (p + q) * f x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : CommSemiring β
inst✝¹ : ContinuousAdd β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
p : β[X]
n : ℕ
c : β

⊢ SuperpolynomialDecay l k fun x => eval (k x) ((monomial n) c) * f x
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n✝ m n : ℕ
hmn : m ≤ n

⊢ x ^ n = x ^ m ↔ n ≡ m [MOD orderOf x]
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n m k : ℕ
hmn : m ≤ m + k

⊢ x ^ (m + k) = x ^ m ↔ m + k ≡ m [MOD orderOf x]
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n m k : ℕ
hmn : m ≤ m + k

⊢ k ≡ 0 [MOD orderOf x] ↔ m + k ≡ m [MOD orderOf x]
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]

⊢ derivative (p.comp q) = derivative q * (derivative p).comp q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
q p✝ q✝ : R[X]
a✝¹ : derivative (p✝.comp q) = derivative q * (derivative p✝).comp q
a✝ : derivative (q✝.comp q) = derivative q * (derivative q✝).comp q

⊢ derivative ((p✝ + q✝).comp q) = derivative q * (derivative (p✝ + q✝)).comp q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
q : R[X]
n✝ : ℕ
a✝ : R

⊢ derivative (((monomial n✝) a✝).comp q) = derivative q * (derivative ((monomial n✝) a✝)).comp q
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommSemiring R
inst✝²⁸ : CommSemiring S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' := let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv; { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }

⊢ IsPushout R R' S S'
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommSemiring R
inst✝²⁸ : CommSemiring S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' := let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv; { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
this : (toAlgHom R S S').toLinearMap = ↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1

⊢ IsPushout R R' S S'
-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝³¹ : AddCommMonoid M
inst✝³⁰ : AddCommMonoid N
inst✝²⁹ : CommSemiring R
inst✝²⁸ : CommSemiring S
inst✝²⁷ : Algebra R S
inst✝²⁶ : Module R M
inst✝²⁵ : Module R N
inst✝²⁴ : Module S N
inst✝²³ : IsScalarTower R S N
f : M →ₗ[R] N
h✝ : IsBaseChange S f
P : Type u_2
Q : Type u_3
inst✝²² : AddCommMonoid P
inst✝²¹ : Module R P
inst✝²⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝¹⁹ : Module S Q
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommSemiring T
inst✝¹⁷ : Algebra R T
inst✝¹⁶ : Algebra S T
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid O
inst✝¹³ : Module R O
inst✝¹² : Module S O
inst✝¹¹ : Module T O
inst✝¹⁰ : IsScalarTower S T O
inst✝⁹ : IsScalarTower R S O
inst✝⁸ : IsScalarTower R T O
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' := let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv; { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
this : (toAlgHom R S S').toLinearMap = ↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1

⊢ IsBaseChange R' (↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f g₁ g₂ : R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hu₁ : ∀ x ∈ U, g₁ ∈ x.asIdeal.primeCompl
hu₂ : ∀ x ∈ U, g₂ ∈ x.asIdeal.primeCompl

⊢ const R f g₁ U hu₁ * const R g₁ g₂ U hu₂ = const R f g₂ U hu₂
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f g₁ g₂ : R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hu₁ : ∀ x ∈ U, g₁ ∈ x.asIdeal.primeCompl
hu₂ : ∀ x ∈ U, g₂ ∈ x.asIdeal.primeCompl

⊢ f * g₁ * g₂ = f * (g₁ * g₂)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]

⊢ ({ toFinsupp := toFinsupp✝ } ^ n).toFinsupp = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.toFinsupp ^ n
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Defs.lean
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Semigroup S
a b x y z x' y' : S
ha : SemiconjBy a y z
hb : SemiconjBy b x y

⊢ a * b * x = z * (a * b)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R

⊢ IsCoprime (x + y * z + y * -z) y
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α

⊢ (⋂ i, ⋂ j, s i j) ∪ t = ⋂ i, ⋂ j, s i j ∪ t
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α

⊢ a ∈ upperClosure ↑(s ⊻ t) ↔ a ∈ upperClosure ↑s ∧ a ∈ upperClosure ↑t
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a

⊢ a⁻¹ ≤ b ↔ 1 ≤ b * a
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a

⊢ 1 / a ≤ b ↔ 1 ≤ b * a
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : α → β
hf : Surjective f
o : ∀ {a b : α}, r a b ↔ s (f a) (f b)
a✝ b✝ : β
h : s a✝ b✝

⊢ r (surjInv hf a✝) (surjInv hf b✝)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
hf : LipschitzWith K f
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u

⊢ CauchySeq (f ∘ u)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
hf : LipschitzWith K f
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
b : ℕ → ℝ
b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) ≤ b N
blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)

⊢ CauchySeq (f ∘ u)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
hf : LipschitzWith K f
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
b : ℕ → ℝ
b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) ≤ b N
blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)

⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ (fun n => ↑K * b n) n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
hf : LipschitzWith K f
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
b : ℕ → ℝ
b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) ≤ b N
blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)

⊢ ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist ((f ∘ u) n) ((f ∘ u) m) ≤ (fun n => ↑K * b n) N
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ
hf : LipschitzWith K f
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
b : ℕ → ℝ
b_nonneg : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n
hb : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) ≤ b N
blim : Tendsto b atTop (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun n => ↑K * b n) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : DenselyOrdered α
w : α
hw : w < a

⊢ ∃ a_1 ∈ Iio a, w < a_1
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x z : ℝ
h : ↑x + ⊤ ≤ ↑x + ↑z

⊢ ⊤ ≤ ↑z
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x y z : ℝ
h : ↑x + ↑y ≤ ↑x + ↑z

⊢ ↑y ≤ ↑z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v : ι → M
v' : ι → M'
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j

⊢ f (update (update v j (v i)) i (v j)) + f v = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid P
inst✝⁹ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommGroup N'
inst✝⁵ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝² : AddCommMonoid M₃
inst✝¹ : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v : ι → M
v' : ι → M'
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hij : i ≠ j

⊢ f (update (update v j (v i)) i (v j)) + f v = f (update (update v i (v i + v j)) j (v i + v j))
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n : ℤ
k : ℕ

⊢ (m.ldiff n).testBit k = (m.testBit k && !n.testBit k)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
W : C
h : Z ⟶ W
inst✝³ : HasImage (g ≫ h)
inst✝² : HasImage (f ≫ g ≫ h)
inst✝¹ : HasImage h
inst✝ : HasImage ((f ≫ g) ≫ h)

⊢ preComp f (g ≫ h) ≫ preComp g h = eqToHom ⋯ ≫ preComp (f ≫ g) h
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
W : C
h : Z ⟶ W
inst✝³ : HasImage (g ≫ h)
inst✝² : HasImage (f ≫ g ≫ h)
inst✝¹ : HasImage h
inst✝ : HasImage ((f ≫ g) ≫ h)

⊢ (preComp f (g ≫ h) ≫ preComp g h) ≫ ι h = (eqToHom ⋯ ≫ preComp (f ≫ g) h) ≫ ι h