ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
f✝ g : X✝ ⟶ Y
X : C
f : X ⟶ X
hf : f ≫ f = f
c : Fork (𝟙 X) f
i : IsLimit c

⊢ c.ι ≫ i.lift (Fork.ofι f ⋯) = 𝟙 (((Functor.const WalkingParallelPair).obj c.pt).obj zero)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
f✝ g : X✝ ⟶ Y
X : C
f : X ⟶ X
hf : f ≫ f = f
c : Fork (𝟙 X) f
i : IsLimit c
this : Mono c.ι := mono_of_isLimit_fork i

⊢ c.ι ≫ i.lift (Fork.ofι f ⋯) = 𝟙 (((Functor.const WalkingParallelPair).obj c.pt).obj zero)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y : C
f✝ g : X✝ ⟶ Y
X : C
f : X ⟶ X
hf : f ≫ f = f
c : Fork (𝟙 X) f
i : IsLimit c
this : Mono c.ι := mono_of_isLimit_fork i

⊢ c.ι ≫ 𝟙 X = c.ι
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K

⊢ insepDegree F ↥⊥ = 1
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
this : Cardinal.lift.{u, v} (insepDegree F ↥⊥) = Cardinal.lift.{v, u} (insepDegree F F)

⊢ insepDegree F ↥⊥ = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R

⊢ cyclotomic n R = (X ^ n - 1) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R

⊢ cyclotomic n R = (cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic x R) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic

⊢ cyclotomic n R = (cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic x R) /ₘ ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic

⊢ 0 + (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R) * cyclotomic n R = cyclotomic n R * ∏ x ∈ n.properDivisors, cyclotomic x R ∧ degree 0 < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic

⊢ (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R) * cyclotomic n R = cyclotomic n R * ∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R ∧ ⊥ < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic

⊢ ⊥ < (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic

⊢ (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).degree ≠ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hpos : 0 < n
a✝ : Nontrivial R
prod_monic : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).Monic
h : (∏ i ∈ n.properDivisors, cyclotomic i R).degree = ⊥

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w

⊢ (cons h p).IsPath ↔ p.IsPath ∧ u ∉ p.support
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i j : ℤ

⊢ i.gcd j = 0 ↔ i = 0 ∧ j = 0
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atBot

⊢ Tendsto (fun x => f x * r) l atBot
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedRing R
inst✝ : Archimedean R
hr : 0 < r
hf : Tendsto (fun x => -f x) l atTop

⊢ Tendsto (fun x => -f x * r) l atTop
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
h : r < 1

⊢ (lineMap a b) r < b ↔ (lineMap a b) r < (lineMap a b) 1
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S

⊢ s • mk' f m s = f m
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atTop

⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ 0 < r
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atTop
hrf : Tendsto (fun x => r * f x) l atTop
hr : r ≤ 0

⊢ False
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atTop
hrf : Tendsto (fun x => r * f x) l atTop
hr : r ≤ 0
x : β
hx : 0 ≤ f x
hrx : 0 < r * f x

⊢ False
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : HasColimitsOfShape K C
E : K ⥤ J
j✝ : K

⊢ ι (E ⋙ F) j✝ ≫ pre F E ≫ colim.map α = ι (E ⋙ F) j✝ ≫ colim.map (whiskerLeft E α) ≫ pre G E
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : HasColimitsOfShape K C
E : K ⥤ J
j✝ : K

⊢ α.app (E.obj j✝) ≫ ι G (E.obj j✝) = (whiskerLeft E α).app j✝ ≫ ι G (E.obj j✝)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LE α
inst✝¹ : MulOneClass α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
ha : MulLECancellable a

⊢ a ≤ a * b ↔ a * 1 ≤ a * b
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

⊢ ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ = (‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖) / 2 - ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

⊢ ‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ = 2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ : ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ + ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ = 2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)

⊢ ‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ = 2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : IsDomain R
S : Submonoid R
inst✝ : StrongRankCondition R

⊢ Nonempty (OreLocalization.OreSet R⁰)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : IsDomain R
S : Submonoid R
inst✝ : StrongRankCondition R
h : ¬Nonempty (OreLocalization.OreSet R⁰)

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : IsDomain R
S : Submonoid R
inst✝ : StrongRankCondition R
h : ¬Nonempty (OreLocalization.OreSet R⁰)
this : ℵ₀ ≤ Module.rank R R

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Localization.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : IsDomain R
S : Submonoid R
inst✝ : StrongRankCondition R
h : ¬Nonempty (OreLocalization.OreSet R⁰)
this : ℵ₀ ≤ 1

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
x y : α
S U Z : Set α
hS : IsClosed S
hxS : x ∈ S

⊢ IsGenericPoint x S ↔ ∀ (Z : Set α), IsClosed Z → x ∈ Z → S ⊆ Z
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
x y : α
S U Z : Set α
hS : IsClosed S
hxS : x ∈ S
this : closure {x} ⊆ S

⊢ IsGenericPoint x S ↔ ∀ (Z : Set α), IsClosed Z → x ∈ Z → S ⊆ Z
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a : Γ

⊢ ((single 0) r * x).coeff a = r * x.coeff a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/PullbackCone.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : PullbackCone f g

⊢ t.π.app WalkingCospan.one = t.fst ≫ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/PullbackCone.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
t : PullbackCone f g
w : ((Functor.const WalkingCospan).obj t.pt).map inl ≫ t.π.app WalkingCospan.one = t.π.app WalkingCospan.left ≫ (cospan f g).map inl

⊢ t.π.app WalkingCospan.one = t.fst ≫ f
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
r : ℝ
s : Simplex ℝ P n
p₁ : P
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)

⊢ dist p₁ s.circumcenter * dist p₁ s.circumcenter = r * r - s.circumradius * s.circumradius
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
r : ℝ
s : Simplex ℝ P n
p₁ : P
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h : s.points 0 ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)

⊢ dist s.circumcenter p₁ * dist s.circumcenter p₁ = dist (s.points 0) ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) * dist (s.points 0) ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) + dist p₁ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) * dist p₁ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) - s.circumradius * s.circumradius
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s

⊢ StrictConvex 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s

⊢ s.Pairwise fun x y => openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
hy' : y ∉ interior s
c : 𝕜
hc : (lineMap x y) c ∈ interior s

⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
hy' : y ∉ interior s
c : 𝕜
hc : (lineMap x y) c ∈ interior s

⊢ openSegment 𝕜 x ((lineMap x y) c) ⊆ interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
hy' : y ∉ interior s
c : 𝕜
hc : (lineMap x y) c ∈ interior s

⊢ openSegment 𝕜 ((lineMap x y) c) y ⊆ interior s
-- Mathlib/Algebra/CharP/LocalRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LocalRing R
q : ℕ
char_R_q : CharP R q

⊢ q = 0 ∨ IsPrimePow q
-- Mathlib/Algebra/CharP/LocalRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LocalRing R
q : ℕ
char_R_q : CharP R q

⊢ ¬q = 0 → IsPrimePow q
-- Mathlib/Algebra/CharP/LocalRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LocalRing R
q : ℕ
char_R_q : CharP R q
q_pos : ¬q = 0
K : Type u_1 := LocalRing.ResidueField R
RM_char : CharP K (ringChar K)
r : ℕ := ringChar K
n : ℕ := q.factorization r

⊢ IsPrimePow q
-- Mathlib/Algebra/CharP/LocalRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LocalRing R
q : ℕ
char_R_q : CharP R q
q_pos : ¬q = 0
K : Type u_1 := LocalRing.ResidueField R
RM_char : CharP K (ringChar K)
r : ℕ := ringChar K
n : ℕ := q.factorization r
r_prime : Nat.Prime r

⊢ IsPrimePow q
-- Mathlib/Algebra/CharP/LocalRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LocalRing R
q : ℕ
char_R_q : CharP R q
q_pos : ¬q = 0
K : Type u_1 := LocalRing.ResidueField R
RM_char : CharP K (ringChar K)
r : ℕ := ringChar K
n : ℕ := q.factorization r
r_zero : r = 0

⊢ IsPrimePow q
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R
j : τ
h : j ∈ ((bind₁ f) φ).vars

⊢ ∃ i ∈ φ.vars, j ∈ (f i).vars
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β

⊢ ⊤.inv = ⊤
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
v : Vector α n.succ
v' : Vector α n
h : v.head = a ∧ v.tail = v'

⊢ v.head ::ᵥ v.tail = a ::ᵥ v'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P

⊢ (lineMap y ((pointReflection R x) y)) 2⁻¹ = x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y : P

⊢ 2⁻¹ • 2 • (x -ᵥ y) +ᵥ y = x
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x : ℝ*
r s : ℝ
hr : x.IsSt r
hs : x.IsSt s

⊢ r = s
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
r s : ℝ
f : ℕ → ℝ
hr : (ofSeq f).IsSt r
hs : (ofSeq f).IsSt s

⊢ r = s
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
r s : ℝ
f : ℕ → ℝ
hr : Tendsto f (↑(hyperfilter ℕ)) (𝓝 r)
hs : Tendsto f (↑(hyperfilter ℕ)) (𝓝 s)

⊢ r = s
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

⊢ (∑ i ∈ Ico m n, x ^ i) * (x - 1) = x ^ n - x ^ m
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Antitone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atBot

⊢ ∀ᵐ (c : β) ∂ν a, Tendsto (fun m => f (a, c) (seq m)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Antitone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atBot

⊢ ∀ (n : ℕ), Integrable (fun c => f (a, c) (seq n)) (ν a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Antitone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atBot

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (a_1 : β), f (a, a_1) (seq i) ∂ν a) atTop (𝓝 (∫ (a : β), 0 ∂ν a))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Antitone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atBot

⊢ ∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, Antitone fun i => f (a, a_1) (seq i)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → ℚ
hseq : Antitone seq
hseq_tendsto : Tendsto seq atTop atBot

⊢ ∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, ∀ (i : ℕ), 0 ≤ f (a, a_1) (seq i)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
h0 : x < 0
h1 : -1 < x

⊢ log x < 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
h0 : x < 0
h1 : -1 < x

⊢ log (-x) < 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
h0 : x < 0
h1 : -1 < x
h0' : 0 < -x
h1' : -x < 1

⊢ log (-x) < 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : CommMonoid α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
inst✝³ : CommMonoid γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
hf : HasProd f a
G : Type u_5
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Continuous ⇑g

⊢ HasProd (⇑g ∘ f) (g a)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : CommMonoid α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
inst✝³ : CommMonoid γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
hf : HasProd f a
G : Type u_5
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Continuous ⇑g
this : (⇑g ∘ fun s => ∏ b ∈ s, f b) = fun s => ∏ b ∈ s, (⇑g ∘ f) b

⊢ HasProd (⇑g ∘ f) (g a)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : CommMonoid α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
f g✝ : β → α
a b : α
s : Finset β
inst✝³ : CommMonoid γ
inst✝² : TopologicalSpace γ
hf : HasProd f a
G : Type u_5
inst✝¹ : FunLike G α γ
inst✝ : MonoidHomClass G α γ
g : G
hg : Continuous ⇑g
this : (⇑g ∘ fun s => ∏ b ∈ s, f b) = fun s => ∏ b ∈ s, (⇑g ∘ f) b

⊢ Tendsto (⇑g ∘ fun s => ∏ b ∈ s, f b) atTop (𝓝 (g a))
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
s : Set α

⊢ kernMap m (𝓟 s) = 𝓟 (kernImage m s)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g✝ g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s✝ : Set α
t : Set β
s : Set α
g : Filter β

⊢ g ≤ kernMap m (𝓟 s) ↔ g ≤ 𝓟 (kernImage m s)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' s : Cycle α
h : s.Subsingleton

⊢ s.formPerm ⋯ = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' : Cycle α
s : List α
h : Subsingleton (Quot.mk Setoid.r s)

⊢ formPerm (Quot.mk Setoid.r s) ⋯ = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' : Cycle α
s : List α
h : Subsingleton (Quot.mk Setoid.r s)

⊢ s.formPerm = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s' : Cycle α
s : List α
h : s.length ≤ 1

⊢ s.formPerm = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y Z : C
f : J → C
g h : X ⊗ Y ⊗ ⨁ f ⟶ Z
w : ∀ (j : J), X ◁ Y ◁ biproduct.ι f j ≫ g = X ◁ Y ◁ biproduct.ι f j ≫ h

⊢ g = h
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y Z : C
f : J → C
g h : X ⊗ Y ⊗ ⨁ f ⟶ Z
w : ∀ (j : J), X ◁ Y ◁ biproduct.ι f j ≫ g = X ◁ Y ◁ biproduct.ι f j ≫ h

⊢ (α_ X Y (⨁ f)).hom ≫ g = (α_ X Y (⨁ f)).hom ≫ h
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix (Fin 3) (Fin 3) α
i j : Fin 3

⊢ A.adjugate i j = !![A 1 1 * A 2 2 - A 1 2 * A 2 1, -(A 0 1 * A 2 2) + A 0 2 * A 2 1, A 0 1 * A 1 2 - A 0 2 * A 1 1; -(A 1 0 * A 2 2) + A 1 2 * A 2 0, A 0 0 * A 2 2 - A 0 2 * A 2 0, -(A 0 0 * A 1 2) + A 0 2 * A 1 0; A 1 0 * A 2 1 - A 1 1 * A 2 0, -(A 0 0 * A 2 1) + A 0 1 * A 2 0, A 0 0 * A 1 1 - A 0 1 * A 1 0] i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix (Fin 3) (Fin 3) α
i j : Fin 3

⊢ (-1) ^ (↑j + ↑i) * (A.submatrix j.succAbove i.succAbove 0 0 * A.submatrix j.succAbove i.succAbove 1 1 - A.submatrix j.succAbove i.succAbove 0 1 * A.submatrix j.succAbove i.succAbove 1 0) = !![A 1 1 * A 2 2 - A 1 2 * A 2 1, -(A 0 1 * A 2 2) + A 0 2 * A 2 1, A 0 1 * A 1 2 - A 0 2 * A 1 1; -(A 1 0 * A 2 2) + A 1 2 * A 2 0, A 0 0 * A 2 2 - A 0 2 * A 2 0, -(A 0 0 * A 1 2) + A 0 2 * A 1 0; A 1 0 * A 2 1 - A 1 1 * A 2 0, -(A 0 0 * A 2 1) + A 0 1 * A 2 0, A 0 0 * A 1 1 - A 0 1 * A 1 0] i j
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogDeriv.lean
x : ℂ
h : x ∈ slitPlane
h0 : x ≠ 0

⊢ HasStrictDerivAt (↑expPartialHomeomorph) x (↑expPartialHomeomorph.symm x)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H✝ K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
H K : Subgroup G

⊢ H.subgroupOf K = ⊥ ↔ Disjoint H K
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ (a ⊔ b) \ b = a \ b
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
g : S →+* T
f : R →+* S

⊢ Subsemiring.map g f.rangeS = (g.comp f).rangeS
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a b : α
ab : a ≠ b
s : Multiset α
l : List α

⊢ count a (erase ⟦l⟧ b) = count a ⟦l⟧
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : ¬n = 0

⊢ φ n * ∏ p ∈ n.primeFactors, p = n * ∏ p ∈ n.primeFactors, (p - 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : ¬n = 0

⊢ (n.factorization.prod fun p k => p ^ (k - 1) * (p - 1)) * ∏ p ∈ n.primeFactors, p = n * ∏ p ∈ n.primeFactors, (p - 1)