ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (φ i)
S : Type ?u.32694
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f g : (i : ι) → φ i →ₗ[R] M

⊢ (fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i) (f + g) = (fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i) f + (fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i) g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (φ i)
S : Type ?u.32694
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
c : S
f : (i : ι) → φ i →ₗ[R] M

⊢ { toFun := fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i, map_add' := ⋯ }.toFun (c • f) = (RingHom.id S) c • { toFun := fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i, map_add' := ⋯ }.toFun f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (φ i)
S : Type ?u.32694
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : (i : ι) → φ i →ₗ[R] M
i : ι
x : φ i

⊢ ((fun f i => f ∘ₗ single i) ({ toFun := fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun f) i) x = (f i) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (φ i)
S : Type ?u.32694
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : ((i : ι) → φ i) →ₗ[R] M
x : (i : ι) → φ i

⊢ ({ toFun := fun f => ∑ i : ι, f i ∘ₗ proj i, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun f i => f ∘ₗ single i) f)) x = f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : Module R M₃
φ : ι → Type i
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (φ i)
S : Type ?u.32694
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : ((i : ι) → φ i) →ₗ[R] M
x : (i : ι) → φ i

⊢ f (∑ j : ι, Pi.single j (x j)) = f x
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x

⊢ Irrational (x - ↑q)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R

⊢ cyclotomic n R ∣ X ^ n - 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R

⊢ cyclotomic n ℤ ∣ X ^ n - 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R

⊢ cyclotomic 0 ℤ ∣ X ^ 0 - 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
hn : n > 0

⊢ cyclotomic n ℤ ∣ X ^ n - 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
hn : n > 0

⊢ cyclotomic n ℤ ∣ ∏ i ∈ n.divisors, cyclotomic i ℤ
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
K : Option Γ' → Finset Λ'
S : Finset Λ'

⊢ Supports (Finset.univ.biUnion K) S ↔ ∀ (a : Option Γ'), Supports (K a) S
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h : ∀ ε > 0, b - ε ≤ a

⊢ b ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h : a < b

⊢ ∃ ε > 0, a < b - ε
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
r : ℕ
s t : ℤ
r' : ℕ
s' t' : ℤ
h : 0 < r

⊢ r.xgcdAux s t r' s' t' = (r' % r).xgcdAux (s' - ↑r' / ↑r * s) (t' - ↑r' / ↑r * t) r s t
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
s t : ℤ
r' : ℕ
s' t' : ℤ
r : ℕ
h : 0 < r.succ

⊢ r.succ.xgcdAux s t r' s' t' = (r' % r.succ).xgcdAux (s' - ↑r' / ↑r.succ * s) (t' - ↑r' / ↑r.succ * t) r.succ s t
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
l : List α
H : Pairwise R l

⊢ Pairwise (fun l₁ l₂ => Lex R l₁.reverse l₂.reverse) l.sublists
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
l : List α
H : Pairwise R l
this : Pairwise (Lex (swap fun b a => R a b)) l.reverse.sublists'

⊢ Pairwise (fun l₁ l₂ => Lex R l₁.reverse l₂.reverse) l.sublists
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α

⊢ x ∈ closedBall x ε
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α

⊢ 0 ≤ ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : MapsTo f s s
hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ⊤

⊢ edist x (efixedPoint' f hsc hsf hf x hxs hx) ≤ edist x (f x) / (1 - ↑K)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
s : Set α
hsc : IsComplete s
hsf : MapsTo f s s
hf : ContractingWith K (MapsTo.restrict f s s hsf)
x : α
hxs : x ∈ s
hx : edist x (f x) ≠ ⊤

⊢ edist x (f x) = edist x (f x) * ↑K ^ 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char

⊢ { s := { data := l.reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len l } }.Valid
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
inst✝ : FiniteDimensional K V₂

⊢ Injective ⇑B.flip ↔ Surjective ⇑B
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
B : V₁ →ₗ[K] V₂ →ₗ[K] K
inst✝ : FiniteDimensional K V₂

⊢ Injective ⇑B.flip ↔ Injective ⇑B.dualMap
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
n d : ℤ

⊢ (n /. d).num = d.sign * n / ↑(n.gcd d)
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
n d : ℤ
this : ∀ (m : ℕ), (↑m + 1).natAbs = m + 1

⊢ (n /. d).num = d.sign * n / ↑(n.gcd d)
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
f g : CauSeq ℚ abs

⊢ Real.lt { cauchy := ⟦f⟧ } { cauchy := ⟦g⟧ } ↔ f < g
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
f g : CauSeq ℚ abs

⊢ (match { cauchy := ⟦f⟧ }, { cauchy := ⟦g⟧ } with | { cauchy := x }, { cauchy := y } => Quotient.liftOn₂ x y (fun x x_1 => x < x_1) Real.definition.proof_1✝) ↔ f < g
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/CoherenceLemmas.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C

⊢ (λ_ (X ⊗ Y)).inv = ((λ_ X).inv ⊗ 𝟙 Y) ≫ (α_ (𝟙_ C) X Y).hom
-- Mathlib/Order/Directed.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
r r' s✝ : α → α → Prop
s : Set β
f : β → α

⊢ DirectedOn r (f '' s) ↔ DirectedOn (f ⁻¹'o r) s
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ

⊢ Irrational (x / ↑n) ↔ n ≠ 0 ∧ Irrational x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ModuleCat.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
X₁ X₂ X₃ : ModuleCat R
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
hfg : LinearMap.range f = LinearMap.ker g

⊢ (moduleCatMkOfKerLERange f g ⋯).Exact
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Circulant.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : AddGroup n
v : n → α

⊢ (circulant v).IsSymm ↔ ∀ (i : n), v (-i) = v i
-- Mathlib/GroupTheory/Coprod/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
x : M ∗ N

⊢ (fst x, snd x) = toProd x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ (setToL1 hT'') f = (setToL1 hT) f + (setToL1 hT') f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ setToL1 hT'' = setToL1 hT + setToL1 hT'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : ↥(Lp E 1 μ)

⊢ (setToL1 hT + setToL1 hT').comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT''
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ (setToL1 hT) ↑f + (setToL1 hT') ↑f = (setToL1SCLM α E μ hT'') f
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x✝ : P

⊢ x✝ ∈ spanSingleton S 1 ↔ x✝ ∈ 1
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x✝ : P

⊢ ∀ (a : R), a • 1 = x✝ ↔ (algebraMap R P) a = x✝
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x✝ : P
x' : R

⊢ x' • 1 = x✝ ↔ (algebraMap R P) x' = x✝
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : C(AddCircle T, ℂ)
h : Summable (fourierCoeff ⇑f)
x : AddCircle T

⊢ HasSum (fun i => fourierCoeff (⇑f) i • (fourier i) x) (f x)
-- Mathlib/Analysis/Complex/CauchyIntegral.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E

⊢ AnalyticOn ℂ f univ ↔ Differentiable ℂ f
-- Mathlib/Analysis/Complex/CauchyIntegral.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E

⊢ AnalyticOn ℂ f univ ↔ DifferentiableOn ℂ f univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ✝ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ✝
f : X →ᵇ ℝ≥0
μ : Measure X

⊢ (∫⁻ (x : X), ↑(f x) ∂μ).toReal = ∫ (x : X), ↑(f x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ✝ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ✝
f : X →ᵇ ℝ≥0
μ : Measure X

⊢ (∫⁻ (x : X), ↑(f x) ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : X), ENNReal.ofReal ↑(f a) ∂μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ✝ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ✝
f : X →ᵇ ℝ≥0
μ : Measure X

⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun x => ↑(f x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
V : Type uV
inst✝³ : CommRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Free K V

⊢ Function.Surjective (comap (eval K V))
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddZeroClass α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c

⊢ f c = -f 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
p : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
x✝ : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : DistribMulAction R M
b : R
v : α →₀ M

⊢ (fun f => ⇑f) (filter p (b • v)) = (fun f => ⇑f) (b • filter p v)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
p : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
x✝ : Monoid R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : DistribMulAction R M
b : R
v : α →₀ M

⊢ {x | p x}.indicator (b • ⇑v) = b • {x | p x}.indicator ⇑v
-- Mathlib/Topology/Algebra/Constructions.lean
M : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ instTopologicalSpaceUnits = TopologicalSpace.induced val inst✝² ⊓ TopologicalSpace.induced (fun u => ↑u⁻¹) inst✝²
-- Mathlib/Topology/Algebra/Constructions.lean
M : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ TopologicalSpace.induced (Prod.fst ∘ ⇑(embedProduct M)) inst✝² ⊓ TopologicalSpace.induced ((unop ∘ Prod.snd) ∘ ⇑(embedProduct M)) inst✝² = TopologicalSpace.induced val inst✝² ⊓ TopologicalSpace.induced (fun u => ↑u⁻¹) inst✝²
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A

⊢ mrange (inl M N) ⊔ mrange (inr M N) = ⊤
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
n : ℕ
s : Multiset α
l : List α

⊢ powersetCard n ⟦l⟧ ≤ powerset ⟦l⟧
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
n : ℕ
s : Multiset α
l : List α

⊢ List.map ofList (sublistsLen n l) <+~ List.map ofList l.sublists'
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
ha : a ∉ lowerClosure ↑s ⊓ lowerClosure ↑t

⊢ a ∉ lowerClosure ↑(s ⊼ t)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S

⊢ map (RingHom.id R) p = p
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
m✝ : N

⊢ m✝ ∈ LieSubmodule.map f ⊤ ↔ m✝ ∈ f.range
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
m : Basis ι R ↥M
H : LinearMap.ker (mulLeftMap N ⇑m) = ⊥
this : AddCommGroup (ι →₀ ↥N) := Finsupp.instAddCommGroup

⊢ M.LinearDisjoint N
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
n : ℕ

⊢ multiplicity a b = ↑n ↔ a ^ n ∣ b ∧ ¬a ^ (n + 1) ∣ b
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R

⊢ (A * B).rank ≤ B.rank
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
B : Matrix n o R

⊢ finrank R ↥(LinearMap.range (A.mulVecLin ∘ₗ B.mulVecLin)) ≤ finrank R ↥(LinearMap.range B.mulVecLin)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : M → Prop
h : x ∈ span R s
zero : p 0
add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
smul_mem : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p (r • x)

⊢ p x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : M → Prop
h : x ∈ AddSubmonoid.closure (univ • s)
zero : p 0
add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
smul_mem : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p (r • x)

⊢ p x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : M → Prop
h : x ∈ AddSubmonoid.closure (univ • s)
zero : p 0
add : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x + y)
smul_mem : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p (r • x)

⊢ ∀ x ∈ univ • s, p x
-- Mathlib/Topology/Bornology/BoundedOperation.lean
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : BoundedMul R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C

⊢ ∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f * g) x) ((f * g) y) ≤ C
-- Mathlib/Topology/Bornology/BoundedOperation.lean
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : BoundedMul R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
C : ℝ
hC : ∀ ⦃x : R⦄, x ∈ range f * range g → ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ range f * range g → dist x y ≤ C

⊢ ∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f * g) x) ((f * g) y) ≤ C
-- Mathlib/Topology/Bornology/BoundedOperation.lean
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : BoundedMul R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
C : ℝ
hC : ∀ ⦃x : R⦄, x ∈ range f * range g → ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ range f * range g → dist x y ≤ C

⊢ ∀ (x y : X), dist ((f * g) x) ((f * g) y) ≤ C
-- Mathlib/Topology/Bornology/BoundedOperation.lean
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : BoundedMul R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
C : ℝ
hC : ∀ ⦃x : R⦄, x ∈ range f * range g → ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ range f * range g → dist x y ≤ C
x y : X

⊢ dist ((f * g) x) ((f * g) y) ≤ C
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z W : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
a : W ⟶ X
b : W ⟶ Y
w : a ≫ f = b ≫ i
z : (forget Stonean).obj W

⊢ (lift f hi a b w ≫ snd f hi) z = b z
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z W : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
a : W ⟶ X
b : W ⟶ Y
w : a ≫ f = b ≫ i
z : (forget Stonean).obj W
this : (b ≫ i) z = (a ≫ f) z

⊢ (lift f hi a b w ≫ snd f hi) z = b z
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z W : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
a : W ⟶ X
b : W ⟶ Y
w : a ≫ f = b ≫ i
z : (forget Stonean).obj W
this : (b ≫ i) z = (a ≫ f) z
h : i (b z) = f (a z)

⊢ (lift f hi a b w ≫ snd f hi) z = b z
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z W : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
a : W ⟶ X
b : W ⟶ Y
w : a ≫ f = b ≫ i
z : (forget Stonean).obj W
this : (b ≫ i) z = (a ≫ f) z
h : i (b z) = f (a z)

⊢ b z = (Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯).symm ⟨f (a z), ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Limits.lean
X✝ Y✝ Z✝ : Stonean
f✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
hi✝ : OpenEmbedding ⇑i✝
X Y Z W : Stonean
f : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hi : OpenEmbedding ⇑i
a : W ⟶ X
b : W ⟶ Y
w : a ≫ f = b ≫ i
z : (forget Stonean).obj W
this : (b ≫ i) z = (a ≫ f) z
h : i (b z) = f (a z)

⊢ (Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯) (b z) = (Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯) ((Homeomorph.ofEmbedding ⇑i ⋯).symm ⟨f (a z), ⋯⟩)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

⊢ -Ioo a b = Ioo (-b) (-a)
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : SupSet α
f✝ g✝ : ι → α
f : ι → ι'
hf : Surjective f
g : ι' → α

⊢ (range fun x => g (f x)) = range fun y => g y
-- Mathlib/RingTheory/SurjectiveOnStalks.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S

⊢ f.SurjectiveOnStalks ↔ ∀ (I : Ideal S), I.IsMaximal → ∀ (s : S), ∃ x r, ∃ c ∉ I, f r ∉ I ∧ c * f r * s = c * f x
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
n m : ℕ
h : n = m

⊢ n.dist m = 0