ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ✝ : Type x
γ : Type u_1
P : γ → Set γ → Prop
this : Nonempty γ
c : Set γ → γ
hc : ∀ (t : Set γ), t.Finite → P (c t) t
f : (n : ℕ) → ((m : ℕ) → m < n → γ) → γ := fun n g => c (range fun k => g ↑k ⋯)
u : ℕ → γ := fun n => n.strongRecOn' f
n : ℕ

⊢ u n = c (range fun x => u ↑x)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Translations.lean
α : Type u_1
g : GenContFract α
n : ℕ

⊢ g.TerminatedAt n ↔ g.partDens.get? n = none
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℕ
f : α → ℕ

⊢ (Multiset.map (fun x => x % n) (Multiset.map (fun i => f i) s.val)).sum % n = (∑ i ∈ s, f i % n) % n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
s : Finset α
n : ℕ
f : α → ℕ

⊢ (Multiset.map ((fun x => x % n) ∘ fun i => f i) s.val).sum % n = (Multiset.map (fun i => f i % n) s.val).sum % n
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
k : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ k f
n : ℕ

⊢ ContDiff ℝ k fun v => VectorFourier.fourierPowSMulRight L f v n
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
k : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ k f
n : ℕ

⊢ ContDiff ℝ k fun v => (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L v)) (f v)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
k : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ k f
n : ℕ

⊢ ContDiff ℝ k fun y => ((smulRightL ℝ (fun x => W) E) ((ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x => L y)) (f y)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
k : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ k f
n : ℕ

⊢ ContDiff ℝ k fun x => (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ).compContinuousLinearMapLRight fun x_1 => L x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f✝ f : V → E
k : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ k f
n : ℕ

⊢ ContDiff ℝ k fun x x_1 => L x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → M
g : β → M
e : α → β
he₀ : BijOn e s t
he₁ : ∀ x ∈ s, f x = g (e x)

⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (j : β) (_ : j ∈ t), g j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s✝ t✝ s : Set α
t : Set β
f : α → M
g : β → M
e : α → β
he₀ : BijOn e s t
he₁ : ∀ x ∈ s, f x = g (e x)

⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i = ∏ᶠ (j : α) (_ : j ∈ s), g (e j)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x✝ y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : G.Dart
hx : x ∈ (p.takeUntil u h).darts

⊢ x ∈ p.darts
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ x✝ y : V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
x : G.Dart
hx : x ∈ (p.takeUntil u h).darts

⊢ x ∈ (p.takeUntil u h).darts ∨ x ∈ (p.dropUntil u h).darts
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : Subsingleton n
A : Matrix n n α
i j : n

⊢ A.adjugate i j = 1 i j
-- Mathlib/Order/Interval/Set/SurjOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a : α

⊢ SurjOn f (Ici a) (Ici (f a))
-- Mathlib/Order/Interval/Set/SurjOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a : α

⊢ SurjOn f (Ioi a ∪ {a}) (Ioi (f a) ∪ {f a})
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' g' x c : ℂ
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hg : HasStrictDerivAt g g' x
h0 : f x ∈ slitPlane

⊢ HasStrictDerivAt (fun x => f x ^ g x) (g x * f x ^ (g x - 1) * f' + f x ^ g x * Complex.log (f x) * g') x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict sᶜ)] 0

⊢ s.indicator f =ᶠ[ae μ] f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sᶜ → f x = 0 x

⊢ s.indicator f =ᶠ[ae μ] f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ sᶜ → f x = 0 x
x : α
hx : x ∈ sᶜ → f x = 0 x

⊢ s.indicator f x = f x
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

⊢ ∀ (s : ℕ → Set α), extend m (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), extend m (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

⊢ ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
f : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)

⊢ m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
f : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)

⊢ m (⋃ n, disjointed f n) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
f : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)

⊢ ∑' (i : ℕ), m (disjointed f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
f : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
i : ℕ

⊢ m (disjointed f i) ⋯ ≤ m (f i) ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : (s : Set α) → MeasurableSet s → ℝ≥0∞
m0 : m ∅ ⋯ = 0
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
f : ℕ → Set α
h : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
i : ℕ

⊢ extend m (disjointed f i) ≤ extend m (f i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/UnitaryGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
A B : ↥(unitaryGroup n α)

⊢ ↑(toGL (A * B)) = ↑(toGL A * toGL B)
-- Mathlib/LinearAlgebra/UnitaryGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
A B : ↥(unitaryGroup n α)

⊢ toLin' A ∘ₗ toLin' B = ↑(toGL A * toGL B)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x y z : ℝ

⊢ 0 ≤ sinh x ↔ 0 ≤ x
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/DerivabilityStructure/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
D₁ : Type u_1
D₂ : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} D₁
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : L₂.IsLocalization W₂
F : D₁ ⥤ D₂
h : Φ.IsRightDerivabilityStructure
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ F

⊢ TwoSquare.GuitartExact e.hom
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
b : β
a a' : α
hb : b ∈ f.fix a
ha' : Sum.inr a' ∈ f a

⊢ b ∈ f.fix a'
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e s

⊢ min r s ≤ (p.prod q).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e s

⊢ min r s ≤ min p.radius q.radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e s
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min r s)

⊢ HasSum (fun n => (p.prod q n) fun x => y) (f (e + y), g (e + y))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e s
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min r s)

⊢ HasSum (fun n => ((p n) fun x => y, (q n) fun x => y)) (f (e + y), g (e + y))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e s
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min r s)

⊢ y ∈ EMetric.ball 0 r
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Constructions.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 H
𝕝 : Type u_7
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕝
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕝
A : Type u_8
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
e : E
f : E → F
g : E → G
r s : ℝ≥0∞
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p e r
hg : HasFPowerSeriesOnBall g q e s
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min r s)

⊢ y ∈ EMetric.ball 0 s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
A B : E →WOT[𝕜]F
h : ∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), y (A x) = y (B x)

⊢ A = B
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
A B : E →WOT[𝕜]F
h : ∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), y (A x) = y (B x)

⊢ ∀ (x : E), A x = B x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
A B : E →WOT[𝕜]F
x : E
h : ∀ (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), y (A x) = y (B x)

⊢ A x = B x
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/BasedCategory.lean
𝒮 : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : BasedCategory 𝒮
𝒴 : BasedCategory 𝒮
F : 𝒳 ⥤ᵇ 𝒴
a : 𝒳.obj

⊢ 𝒴.p.obj (F.obj a) = 𝒳.p.obj a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝³ : Zero M
inst✝² : Zero M'
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ M
a : α
b : α → M → N

⊢ (∏ a_1 ∈ f.support, if a = a_1 then b a_1 (f a_1) else 1) = if a ∈ f.support then b a (f a) else 1
-- Mathlib/Analysis/Distribution/FourierSchwartz.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℂ 𝕜 E
V : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
inst✝ : CompleteSpace E
f : 𝓢(V, E)
x : V

⊢ ((fourierTransformCLE 𝕜).symm f) x = 𝓕⁻ (⇑f) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
ι : Type u_5
p : Filter ι
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
a : ι → UniformConvergenceCLM σ F 𝔖
a₀ : UniformConvergenceCLM σ F 𝔖

⊢ Filter.Tendsto a p (𝓝 a₀) ↔ ∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (fun x x_1 => (a x) x_1) (⇑a₀) p s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
ι : Type u_5
p : Filter ι
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)
a : ι → UniformConvergenceCLM σ F 𝔖
a₀ : UniformConvergenceCLM σ F 𝔖

⊢ (∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (⇑(UniformOnFun.toFun 𝔖) ∘ (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) ∘ a) ((UniformOnFun.toFun 𝔖) ((⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) a₀)) p s) ↔ ∀ s ∈ 𝔖, TendstoUniformlyOn (fun x x_1 => (a x) x_1) (⇑a₀) p s
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n✝ : ℕ
c✝ : Composition n✝
n : ℕ
c : Composition n
n' : ℕ
c' : Composition n'
H : ⟨n, c⟩.snd.blocks = ⟨n', c'⟩.snd.blocks

⊢ ⟨n, c⟩ = ⟨n', c'⟩
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n✝ : ℕ
c✝ : Composition n✝
n : ℕ
c : Composition n
n' : ℕ
c' : Composition n'
H : ⟨n, c⟩.snd.blocks = ⟨n', c'⟩.snd.blocks
this : n = n'

⊢ ⟨n, c⟩ = ⟨n', c'⟩
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m n : ι →₀ ℕ
h : m < n

⊢ (m.sum fun x => id) < n.sum fun x => id
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m n : ι →₀ ℕ
h : m < n

⊢ Multiset.card (toMultiset m) < Multiset.card (toMultiset n)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m n : ι →₀ ℕ
h : m < n

⊢ toMultiset m < toMultiset n
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α

⊢ corec id tail s.tail = s.tail :: corec id tail s.tail.tail
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α

⊢ id s.tail :: corec id tail s.tail.tail = s.tail :: corec id tail s.tail.tail
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
g : M' → M''
x : M
hf : ContMDiffAt I I' n f x
hg : ContMDiffAt I' I'' n g (f x)

⊢ ContMDiffAt I I'' n (g ∘ f) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤

⊢ ∫⁻ (x : α), c ∂μ < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
r : R
x✝¹ x✝ : R[X]

⊢ X - C r ∣ x✝¹ * x✝ → X - C r ∣ x✝¹ ∨ X - C r ∣ x✝
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
r : R
x✝¹ x✝ : R[X]

⊢ eval r x✝¹ = 0 ∨ eval r x✝ = 0 → eval r x✝¹ = 0 ∨ eval r x✝ = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ LSeriesHasSum (fun x => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑x))) s (cosZeta (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

⊢ LSeries.term (fun x => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑x))) s n = ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ LSeries.term (fun x => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑x))) s 0 = ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑0)) / ↑0 ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ LSeries.term (fun x => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑x))) s n = ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C

⊢ S.v₁₂.τ₁ ≫ S.v₂₃.τ₁ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)

⊢ ρ.snd univ = ρ univ
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α

⊢ MonovaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → 0 ≤ (f j - f i) * (g j - g i)
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : DenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f

⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : DenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map g (comap g (𝓝 d)) ≤ 𝓝 d

⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : DenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map h (map g (comap g (𝓝 d))) ≤ map h (𝓝 d)

⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : DenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map f (comap g (𝓝 d)) ≤ comap i (map h (𝓝 d))

⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)