ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : 1 ≤ ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
p_roots2 : ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card ≤ 3
n : ℕ := ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
hn : 2 ∣ n
key : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card

⊢ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 2
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : 1 ≤ ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
p_roots2 : ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card ≤ 3
n : ℕ := ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
hn : 2 ∣ n
key : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card

⊢ ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card = 2
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : 1 ≤ ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
p_roots2 : ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card ≤ 3
n : ℕ := ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
hn : 2 ∣ n
key : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
k : ℕ
h2 : 1 ≤ 2 * k
h3 : 2 * k ≤ 3

⊢ 2 * k = 2
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝⁴ : NonUnitalSemiring α
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : NonUnitalSemiring β
inst✝¹ : StarRing β
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m α
B : Matrix n m α
hA : A.IsHermitian

⊢ (B * A * Bᴴ).IsHermitian
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
cs cs' : List Char

⊢ { data := cs ++ cs' }.next { byteIdx := utf8Len cs } = { byteIdx := utf8Len cs + (cs'.headD default).utf8Size }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
cs cs' : List Char

⊢ { byteIdx := utf8Len cs } + cs'.headD default = { byteIdx := utf8Len cs + (cs'.headD default).utf8Size }
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.IsCommutative
inst✝ : H.FiniteIndex
α β : ↑(leftTransversals ↑H)
hH : H.Normal
g : Gᵐᵒᵖ
this : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
ϕ : ↥H →* ↥H := { toFun := fun h => ⟨(unop g)⁻¹ * ↑h * unop g, ⋯⟩, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }

⊢ diff (MonoidHom.id ↥H) (g • α) (g • β) = ⟨(unop g)⁻¹ * ↑(diff (MonoidHom.id ↥H) α β) * unop g, ⋯⟩
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.IsCommutative
inst✝ : H.FiniteIndex
α β : ↑(leftTransversals ↑H)
hH : H.Normal
g : Gᵐᵒᵖ
this : Fintype (G ⧸ H) := H.fintypeQuotientOfFiniteIndex
ϕ : ↥H →* ↥H := { toFun := fun h => ⟨(unop g)⁻¹ * ↑h * unop g, ⋯⟩, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }
x : G ⧸ H

⊢ (MonoidHom.id ↥H) ⟨(↑((toEquiv ⋯) x))⁻¹ * ↑((toEquiv ⋯) x), ⋯⟩ = ϕ ((MonoidHom.id ↥H) ⟨(↑((toEquiv ⋯) ((Equiv.symm (toPerm g)) x)))⁻¹ * ↑((toEquiv ⋯) ((Equiv.symm (toPerm g)) x)), ⋯⟩)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
r : R

⊢ (algebraMap R A) r ∈ Set.center A
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a : α
z : ℤ

⊢ ↑z - ↑⌊↑z⌋ = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a : α
z : ℤ

⊢ ↑z - ↑z = 0
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b
s : Set α
a : α

⊢ (∀ (i : Set α), i ∈ b ∧ a ∈ i → (i ∩ s).Nonempty) ↔ ∀ o ∈ b, a ∈ o → (o ∩ s).Nonempty
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
h : a ∈ s
f : α → β
comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
comm' : optParam (∀ x ∈ ↑(s.erase a), ∀ y ∈ ↑(s.erase a), x ≠ y → (fun a b => Commute (f a) (f b)) x y) ⋯

⊢ (s.erase a).noncommProd f comm' * f a = s.noncommProd f comm
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z x : ℝ
h : x ≠ 0

⊢ 0 ^ x = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝¹ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝ : FinitaryExtensive C
n : ℕ
F : Discrete (Fin n) ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
f : Fin n → C := F.obj ∘ Discrete.mk

⊢ IsVanKampenColimit c
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝¹ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝ : FinitaryExtensive C
n : ℕ
F : Discrete (Fin n) ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
f : Fin n → C := F.obj ∘ Discrete.mk
this : F = Discrete.functor f

⊢ IsVanKampenColimit c
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
B : F →L[𝕜] E

⊢ A = adjoint B ↔ ∀ (x : E) (y : F), ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
B : F →L[𝕜] E
h : ∀ (x : E) (y : F), ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜

⊢ A = adjoint B
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
B : F →L[𝕜] E
h : ∀ (x : E) (y : F), ⟪A x, y⟫_𝕜 = ⟪x, B y⟫_𝕜
x : E

⊢ A x = (adjoint B) x
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : IsCancelMul G
h : ∀ (g : G), orderOf g ∣ 2
a b : G

⊢ Commute a b
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : IsCancelMul G
a b : G
h : ∀ (g : G), g ^ 2 = 1

⊢ Commute a b
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : IsCancelMul G
a b : G
h : ∀ (g : G), g ^ 2 = 1

⊢ a * (a * b) * b = a * (b * a) * b
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
k : R
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q

⊢ (z₁.comp (k • z₂) h).v p q hpq = (k • z₁.comp z₂ h).v p q hpq
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Mul α
inst✝² : Mul β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MulHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
hm : Injective ⇑m
s t : Set β
hs : s ⊆ range ⇑m
ht : t ⊆ range ⇑m

⊢ ⇑m '' (⇑m ⁻¹' (s * t)) = ⇑m '' (⇑m ⁻¹' s * ⇑m ⁻¹' t)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℕ

⊢ l.ranges.join = range l.sum
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
h : E → 𝕜
c' : 𝕜
z : E
S : Set E
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hx : c x ≠ 0

⊢ HasDerivWithinAt (fun y => (c y)⁻¹) (-c' / c x ^ 2) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : 𝕜 → 𝕜
h : E → 𝕜
c' : 𝕜
z : E
S : Set E
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hx : c x ≠ 0

⊢ -c' / c x ^ 2 = -(c x ^ 2)⁻¹ * c'
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/OfAlternating.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : ExteriorAlgebra R M

⊢ (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) v = (g ∘ₗ liftAlternating f) v
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/OfAlternating.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : ExteriorAlgebra R M

⊢ (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) v = g ((liftAlternating f) v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/OfAlternating.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
r : R
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N

⊢ (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) ((algebraMap R (CliffordAlgebra 0)) r) = g ((liftAlternating f) ((algebraMap R (CliffordAlgebra 0)) r))
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/OfAlternating.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
x y : CliffordAlgebra 0
hx : ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N), (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) x = g ((liftAlternating f) x)
hy : ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N), (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) y = g ((liftAlternating f) y)
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N

⊢ (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) (x + y) = g ((liftAlternating f) (x + y))
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/OfAlternating.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
x : CliffordAlgebra 0
m : M
hx : ∀ (f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N), (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) x = g ((liftAlternating f) x)
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N

⊢ (liftAlternating fun i => g.compAlternatingMap (f i)) ((CliffordAlgebra.ι 0) m * x) = g ((liftAlternating f) ((CliffordAlgebra.ι 0) m * x))
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module Rᵐᵒᵖ M
r : R
m : M

⊢ r •> m + 0 •> 0 = r •> m
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : CliffordAlgebra Q

⊢ (contractLeft d) ((contractLeft d) x) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R

⊢ (contractLeft d) ((contractLeft d) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x y : CliffordAlgebra Q
hx : (contractLeft d) ((contractLeft d) x) = 0
hy : (contractLeft d) ((contractLeft d) y) = 0

⊢ (contractLeft d) ((contractLeft d) (x + y)) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
m : CliffordAlgebra Q
x : M
hx : (contractLeft d) ((contractLeft d) m) = 0

⊢ (contractLeft d) ((contractLeft d) ((ι Q) x * m)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁷ : HasBesicovitchCovering α
inst✝⁶ : MetricSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : SecondCountableTopology β
inst✝² : HasBesicovitchCovering β
ρ μ : Measure β
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ, Tendsto (fun r => ρ (closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁷ : HasBesicovitchCovering α
inst✝⁶ : MetricSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : SecondCountableTopology β
inst✝² : HasBesicovitchCovering β
ρ μ : Measure β
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
x : β
hx : Tendsto (fun a => ρ a / μ a) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))

⊢ Tendsto (fun r => ρ (closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (ρ.rnDeriv μ x))
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a

⊢ 0 < a ^ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a b : Ordinal.{u_1}
a0 : 0 < a
h0 : 0 < a ^ 0

⊢ 0 < a ^ b
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K

⊢ NumberField.discr K = (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ K) ↑(p ^ k)

⊢ NumberField.discr K = (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ K) ↑(p ^ k)
this : NumberField K

⊢ NumberField.discr K = (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ K) ↑(p ^ k)
this : NumberField K
pB₁ : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis

⊢ NumberField.discr K = (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ K) ↑(p ^ k)
this : NumberField K
pB₁ : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis

⊢ (algebraMap ℤ ℚ) (NumberField.discr K) = (algebraMap ℤ ℚ) ((-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ K) ↑(p ^ k)
this : NumberField K
pB₁ : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis

⊢ Algebra.discr ℚ ⇑(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K pB₁.basis) = (algebraMap ℤ ℚ) ((-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ K) ↑(p ^ k)
this : NumberField K
pB₁ : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis

⊢ Algebra.discr ℚ ⇑(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K pB₁.basis) = Algebra.discr ℚ ⇑(IsPrimitiveRoot.powerBasis ℚ hζ).basis
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ k} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ K) ↑(p ^ k)
this : NumberField K
pB₁ : PowerBasis ℤ (𝓞 K) := hζ.integralPowerBasis

⊢ (algebraMap ℤ ℚ) ((-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))) = (-1) ^ (φ (↑p ^ k) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ (k - 1) * ((↑p - 1) * k - 1))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝³ : _root_.Finite ι
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x✝ : Nonempty (V ≃ₗ[K] Dual K V)
e : V ≃ₗ[K] Dual K V

⊢ FiniteDimensional K V
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝³ : _root_.Finite ι
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x✝ : Nonempty (V ≃ₗ[K] Dual K V)
e : V ≃ₗ[K] Dual K V

⊢ Module.rank K V < ℵ₀
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝³ : _root_.Finite ι
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x✝ : Nonempty (V ≃ₗ[K] Dual K V)
e : V ≃ₗ[K] Dual K V
this : ℵ₀ ≤ Module.rank K V

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝³ : _root_.Finite ι
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x✝ : Nonempty (V ≃ₗ[K] Dual K V)
e : V ≃ₗ[K] Dual K V
this : ℵ₀ ≤ Module.rank K V

⊢ lift.{uK, uV} (Module.rank K V) = Module.rank K (V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝³ : _root_.Finite ι
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x✝ : Nonempty (V ≃ₗ[K] Dual K V)
e : V ≃ₗ[K] Dual K V
this✝ : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
this : lift.{max uK uV, uV} (Module.rank K V) = lift.{uV, max uK uV} (Module.rank K (Dual K V))

⊢ lift.{uK, uV} (Module.rank K V) = Module.rank K (V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

⊢ EqOn f 0 {z | 0 ≤ z.re}
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C

⊢ ∀ (z : ℂ), 0 < z.re → f z = 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
g : ℕ → ℂ → E := fun n z => cexp z ^ n • f z

⊢ ∀ (z : ℂ), 0 < z.re → f z = 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
g : ℕ → ℂ → E := fun n z => cexp z ^ n • f z
hg : ∀ (n : ℕ) (z : ℂ), ‖g n z‖ = expR z.re ^ n * ‖f z‖

⊢ ∀ (z : ℂ), 0 < z.re → f z = 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
g : ℕ → ℂ → E := fun n z => cexp z ^ n • f z
hg : ∀ (n : ℕ) (z : ℂ), ‖g n z‖ = expR z.re ^ n * ‖f z‖
z : ℂ
hz : 0 < z.re

⊢ f z = 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
g : ℕ → ℂ → E := fun n z => cexp z ^ n • f z
hg : ∀ (n : ℕ) (z : ℂ), ‖g n z‖ = expR z.re ^ n * ‖f z‖
z : ℂ
hz : 0 < z.re

⊢ ∀ (n : ℕ), ‖g n z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
g : ℕ → ℂ → E := fun n z => cexp z ^ n • f z
hg : ∀ (n : ℕ) (z : ℂ), ‖g n z‖ = expR z.re ^ n * ‖f z‖
z : ℂ
hz : 0 < z.re
n : ℕ

⊢ ‖g n z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
g : ℕ → ℂ → E := fun n z => cexp z ^ n • f z
hg : ∀ (n : ℕ) (z : ℂ), ‖g n z‖ = expR z.re ^ n * ‖f z‖
z : ℂ
hz : 0 < z.re
n : ℕ

⊢ ∃ c < 2, ∃ B, g n =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C✝ : ℝ
f g✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f {z | 0 < z.re}
hexp : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 {z | 0 < z.re}] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : SuperpolynomialDecay atTop expR fun x => ‖f ↑x‖
C : ℝ
hC : ∀ (x : ℝ), ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
g : ℕ → ℂ → E := fun n z => cexp z ^ n • f z
hg : ∀ (n : ℕ) (z : ℂ), ‖g n z‖ = expR z.re ^ n * ‖f z‖
z : ℂ
hz : 0 < z.re
n : ℕ

⊢ Tendsto (fun x => g n ↑x) atTop (𝓝 0)