ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/TensorProduct.lean
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
p q : N
this : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq

⊢ (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i (p + q)) = (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i p) + (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i q)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/TensorProduct.lean
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
p q : N
this✝ : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq
this : DecidableEq ι₂ := ⋯.decidableEq

⊢ (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i (p + q)) = (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i p) + (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i q)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/TensorProduct.lean
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
c : R
p : N

⊢ (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i (c • p)) = c • (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i p)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/TensorProduct.lean
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
c : R
p : N
this : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq

⊢ (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i (c • p)) = c • (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i p)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/TensorProduct.lean
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
c : R
p : N
this✝ : DecidableEq ι₁ := ⋯.decidableEq
this : DecidableEq ι₂ := ⋯.decidableEq

⊢ (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i (c • p)) = c • (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i p)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C

⊢ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ ((α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ (𝟙_ C)).hom ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).hom ≫ (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ ((ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
this : (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv = (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (ρ_ X₂).inv ▷ 𝟙_ C

⊢ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ ((α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ (𝟙_ C)).hom ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).hom ≫ (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ ((ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C
this : (X₁ ⊗ X₂) ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv = (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (ρ_ X₂).inv ▷ 𝟙_ C

⊢ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (((((α_ X₁ X₂ (𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (ρ_ X₂).inv ▷ 𝟙_ C) ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ (𝟙_ C)).hom ▷ 𝟙_ C) ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).hom) ≫ (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ ((ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C

⊢ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (((((α_ X₁ X₂ (𝟙_ C)).hom ≫ X₁ ◁ (ρ_ X₂).inv ▷ 𝟙_ C) ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ (𝟙_ C)).hom ▷ 𝟙_ C) ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).hom) ≫ (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ ((ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ : C

⊢ (ρ_ (X₁ ⊗ X₂)).hom = (α_ X₁ X₂ (𝟙_ C)).hom ≫ ((X₁ ◁ (λ_ X₂).inv ▷ 𝟙_ C ≫ X₁ ◁ (α_ (𝟙_ C) X₂ (𝟙_ C)).hom) ≫ (α_ X₁ (𝟙_ C) (X₂ ⊗ 𝟙_ C)).inv) ≫ ((ρ_ X₁).hom ⊗ (ρ_ X₂).hom)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Subsingleton R
p : MvPolynomial σ R

⊢ p.coeffs = ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : LinearOrder E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ ℝ
a✝ : α

⊢ ↑(map norm f.posPart) a✝ = ↑f.posPart a✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : LinearOrder E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ ℝ
a✝ : α

⊢ 0 ≤ ↑f.posPart a✝
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
u : α → β
hu : UniformInducing u

⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ EquicontinuousWithinAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) S x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
u : α → β
hu : UniformInducing u
this : Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun)

⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ EquicontinuousWithinAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) S x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
u : α → β
hu : UniformInducing u
this : Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun)

⊢ ContinuousWithinAt ((⇑UniformFun.ofFun ∘ (fun x => u ∘ x) ∘ ⇑toFun) ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) S x₀ ↔ ContinuousWithinAt (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap ((fun x => u ∘ x) ∘ F)) S x₀
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α

⊢ 𝓝[∅] a = ⊥
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (n : ℕ), 1 < c n
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (n : ℕ), 1 < c n
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
this : ∀ (k : ℕ), ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c k ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (n : ℕ), 1 < c n
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
this : ∀ (k : ℕ), ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c k ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c i ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c i ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))

⊢ Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range n, X i ω) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (n : ℕ), 1 < c n
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
this : ∀ (k : ℕ), ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c k ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c i ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c i ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))

⊢ Monotone fun n => ∑ i ∈ range n, X i ω
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (n : ℕ), 1 < c n
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
this : ∀ (k : ℕ), ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c k ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
ω : Ω
hω : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c i ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c i ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))

⊢ ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c k ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c k ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ

⊢ -(π / 2) ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.re ∨ 0 ≤ z.im
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hre : 0 ≤ z.re

⊢ -(π / 2) ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.re ∨ 0 ≤ z.im
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0

⊢ -(π / 2) ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.re ∨ 0 ≤ z.im
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0

⊢ -(π / 2) ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.im
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : 0 ≤ z.im

⊢ -(π / 2) ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.im
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0
him : z.im < 0

⊢ -(π / 2) ≤ z.arg ↔ 0 ≤ z.im
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α

⊢ (s ○ t).Nonempty → t.Nonempty
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α

⊢ (∃ x, ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, Disjoint a b ∧ a ⊔ b = x) → ∃ x, x ∈ t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ sin (2 * ↑π) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
h : x ≠ 0

⊢ ∃ x_1 y, x_1 ≠ y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
h : x ≠ 0

⊢ 0 ≠ ⟨x, ⋯⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
h : x ≠ 0
H : 0 = ⟨x, ⋯⟩

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
h : x ≠ 0
H : x = 0

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
η : Type u_2
ιs : η → Type u_3
Ms : η → Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : (i : η) → AddCommMonoid (Ms i)
inst✝² : (i : η) → Module R (Ms i)
inst✝¹ : Finite η
inst✝ : DecidableEq η
i : η

⊢ (basisFun R η) i = (stdBasis R (fun x => R) i) 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
v : V
hv : v ∈ W
hv' : v ∈ B.orthogonal W

⊢ v ∈ map W.subtype (ker (B.restrict W))
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
W : Submodule K V
b₁ : B.IsRefl
v : V
hv : v ∈ W
hv' : v ∈ B.orthogonal W

⊢ (B v).domRestrict W = 0 ∧ v ∈ W
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.37850, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
inst✝¹ : Preregular C
inst✝ : FinitaryPreExtensive C

⊢ IsSheaf (coherentTopology C) F ↔ IsSheaf (extensiveTopology C) F ∧ IsSheaf (regularTopology C) F
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.37850, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
inst✝¹ : Preregular C
inst✝ : FinitaryPreExtensive C

⊢ IsSheaf (Coverage.toGrothendieck C (extensiveCoverage C ⊔ regularCoverage C)) F ↔ IsSheaf (extensiveTopology C) F ∧ IsSheaf (regularTopology C) F
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
r : ℝ

⊢ ‖(canonicalEmbedding K) x‖ ≤ r ↔ ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ x‖ ≤ r
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
r : ℝ
hr : r < 0

⊢ ‖(canonicalEmbedding K) x‖ ≤ r ↔ ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ x‖ ≤ r
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ ‖(canonicalEmbedding K) x‖ ≤ r ↔ ∀ (φ : K →+* ℂ), ‖φ x‖ ≤ r
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

⊢ Ioc a b ∪ Ioc b c ∪ Ioc c a = Ioc (min a (min b c)) (max a (max b c))
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemiring G
a : G
ha₀ : 0 ≤ a
ha✝ : IsOfFinOrder a
n : ℕ
hn : 0 < n
ha : a ^ n = 1

⊢ a = 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
m a : ℤ
γ' : Cochain L ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj M) m
nm : ℤ
hnm : n + m = nm
nm' : ℤ
hnm' : nm + a = nm'
m' : ℤ
hm' : m + a = m'
p q : ℤ
hpq : p + nm' = q

⊢ ((γ.comp γ' hnm).rightUnshift nm' hnm').v p q hpq = (γ.comp (γ'.rightUnshift m' hm') ⋯).v p q hpq
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
p : ℕ
hf : GrowsPolynomially f
hf_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x

⊢ GrowsPolynomially fun x => f x ^ p
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
p : ℕ
hf : GrowsPolynomially f
hf_nonneg : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, 0 ≤ f x

⊢ GrowsPolynomially fun x => f x ^ ↑p
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι✝ : Type u_3
γ : Path x y
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace ι
a b c : ι → X
γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h₁ : Continuous ↿γ₁
γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)
h₂ : Continuous ↿γ₂

⊢ Continuous ↿fun t => (γ₁ t).trans (γ₂ t)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι✝ : Type u_3
γ : Path x y
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace ι
a b c : ι → X
γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h₁ : Continuous ↿γ₁
γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)
h₂ : Continuous ↿γ₂
h₁' : Continuous ↿fun t => (γ₁ t).extend

⊢ Continuous ↿fun t => (γ₁ t).trans (γ₂ t)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι✝ : Type u_3
γ : Path x y
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace ι
a b c : ι → X
γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h₁ : Continuous ↿γ₁
γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)
h₂ : Continuous ↿γ₂
h₁' : Continuous ↿fun t => (γ₁ t).extend
h₂' : Continuous ↿fun t => (γ₂ t).extend

⊢ Continuous ↿fun t => (γ₁ t).trans (γ₂ t)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι✝ : Type u_3
γ : Path x y
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace ι
a b c : ι → X
γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h₁ : Continuous ↿γ₁
γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)
h₂ : Continuous ↿γ₂
h₁' : Continuous ↿fun t => (γ₁ t).extend
h₂' : Continuous ↿fun t => (γ₂ t).extend

⊢ Continuous fun p => { toFun := fun x => if ↑x ≤ 1 / 2 then (γ₁ p.1).extend (2 * ↑x) else (γ₂ p.1).extend (2 * ↑x - 1), continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } p.2
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι✝ : Type u_3
γ : Path x y
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace ι
a b c : ι → X
γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h₁ : Continuous ↿γ₁
γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)
h₂ : Continuous ↿γ₂
h₁' : Continuous ↿fun t => (γ₁ t).extend
h₂' : Continuous ↿fun t => (γ₂ t).extend

⊢ Continuous fun p => (γ₁ p.1).extend (2 * ↑p.2)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι✝ : Type u_3
γ : Path x y
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace ι
a b c : ι → X
γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h₁ : Continuous ↿γ₁
γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)
h₂ : Continuous ↿γ₂
h₁' : Continuous ↿fun t => (γ₁ t).extend
h₂' : Continuous ↿fun t => (γ₂ t).extend

⊢ Continuous fun p => (γ₂ p.1).extend (2 * ↑p.2 - 1)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι✝ : Type u_3
γ : Path x y
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace ι
a b c : ι → X
γ₁ : (t : ι) → Path (a t) (b t)
h₁ : Continuous ↿γ₁
γ₂ : (t : ι) → Path (b t) (c t)
h₂ : Continuous ↿γ₂
h₁' : Continuous ↿fun t => (γ₁ t).extend
h₂' : Continuous ↿fun t => (γ₂ t).extend

⊢ ∀ (x : ι × ↑I), ↑x.2 = 1 / 2 → (γ₁ x.1).extend (2 * ↑x.2) = (γ₂ x.1).extend (2 * ↑x.2 - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean

⊢ (↑π).toReal = π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean

⊢ -π < π ∧ π ≤ π
-- Mathlib/Algebra/CharP/Algebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring A
f : R →+* A
H : Function.Injective ⇑f
p : ℕ
inst✝ : CharP A p

⊢ CharP R p
-- Mathlib/Algebra/CharP/Algebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring A
f : R →+* A
H : Function.Injective ⇑f
p : ℕ
inst✝ : CharP A p
q : ℕ
h : CharP R q

⊢ CharP R p