ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
s t : Set β
hs : Disjoint s t
ha : HasProd (s.mulIndicator f) a
hb : HasProd (t.mulIndicator f) b

⊢ HasProd ((s ∪ t).mulIndicator f) (a * b)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
s t : Set β
hs : Disjoint s t
ha : HasProd (s.mulIndicator f) a
hb : HasProd (t.mulIndicator f) b

⊢ HasProd (fun a => s.mulIndicator f a * t.mulIndicator f a) (a * b)
-- Mathlib/Algebra/Ring/CentroidHom.lean
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : NonUnitalNonAssocCommSemiring α
a : α

⊢ a ∈ NonUnitalSubsemiring.center α ↔ ∀ (b : α), Commute (L b) (L a)
-- Mathlib/Algebra/Ring/CentroidHom.lean
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : NonUnitalNonAssocCommSemiring α
a : α

⊢ (L a = L a ∧ ∀ g ∈ Set.range ⇑L, g * L a = L a * g) ↔ ∀ (b : α), Commute (L b) (L a)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

⊢ ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : PerfectField K
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

⊢ ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.75564, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting

⊢ s.r ≫ S.f = 𝟙 S.X₂ - S.g ≫ s.s
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegral/Basic.lean
R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A✝
inst✝⁷ : Ring B✝
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R A✝
inst✝⁴ : Algebra R B✝
f✝ : R →+* S
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
x : A

⊢ IsIntegral R (f x) ↔ IsIntegral R x
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegral/Basic.lean
R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A✝
inst✝⁷ : Ring B✝
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R A✝
inst✝⁴ : Algebra R B✝
f✝ : R →+* S
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Function.Injective ⇑f
x : A
x✝ : IsIntegral R (f x)
p : R[X]
hp : p.Monic
hx : eval₂ (algebraMap R B) (f x) p = 0

⊢ eval₂ (algebraMap R A) x p = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/MeanErgodic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →L[𝕜] E
hf : ‖f‖ ≤ 1
x : E

⊢ Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 ↑((orthogonalProjection (LinearMap.eqLocus f 1)) x))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/MeanErgodic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →L[𝕜] E
hf : ‖f‖ ≤ 1
x : E

⊢ ∀ (x : ↥(LinearMap.eqLocus (↑f) 1)), (orthogonalProjection (LinearMap.eqLocus f 1)) ↑x = x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/MeanErgodic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →L[𝕜] E
hf : ‖f‖ ≤ 1
x : E

⊢ ↑(LinearMap.ker (orthogonalProjection (LinearMap.eqLocus f 1))) ⊆ closure ↑(LinearMap.range (↑f - 1))
-- Mathlib/Order/CompleteSublattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
carrier : Set α
sSupClosed' : ∀ ⦃s : Set α⦄, s ⊆ carrier → sSup s ∈ carrier
sInfClosed' : ∀ ⦃s : Set α⦄, s ⊆ carrier → sInf s ∈ carrier
x : α
hx : x ∈ carrier
y : α
hy : y ∈ carrier

⊢ x ⊔ y = sSup {x, y}
-- Mathlib/Order/CompleteSublattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
carrier : Set α
sSupClosed' : ∀ ⦃s : Set α⦄, s ⊆ carrier → sSup s ∈ carrier
sInfClosed' : ∀ ⦃s : Set α⦄, s ⊆ carrier → sInf s ∈ carrier
x : α
hx : x ∈ carrier
y : α
hy : y ∈ carrier

⊢ x ⊓ y = sInf {x, y}
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι✝ : Sort uι
s t u : Set α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
π : δ' → Type u_6
π' : δ' → Type u_7
inst✝² : (x : δ') → MeasurableSpace (π x)
inst✝¹ : (x : δ') → MeasurableSpace (π' x)
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
e : ι ≃ ι'
β : ι' → Type u_10
inst✝ : (i' : ι') → MeasurableSpace (β i')
x : (i : ι) → β (e i)
i : ι

⊢ (piCongrLeft (fun i' => β i') e) x (e i) = x i
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₁ w₂ : ι → k
p : ι → P

⊢ (s.weightedVSub p) w₁ +ᵥ (affineCombination k s p) w₂ = (affineCombination k s p) (w₁ + w₂)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → R⟦X⟧
d : ℕ
s : Finset ι

⊢ (MvPowerSeries.coeff R (single () d)) (∏ j ∈ s, f j) = ∑ x ∈ s.finsuppAntidiag d, ∏ x_1 ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (single () (x x_1))) (f x_1)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → R⟦X⟧
d : ℕ
s : Finset ι

⊢ ∀ x ∈ s.finsuppAntidiag d, ∏ i ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (((Finsupp.mapRange.addEquiv AddEquiv.finsuppUnique.symm).toEmbedding x) i)) (f i) = ∏ x_1 ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (single () (x x_1))) (f x_1)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → R⟦X⟧
d : ℕ
s : Finset ι
x : ι →₀ ℕ
a✝ : x ∈ s.finsuppAntidiag d

⊢ ∏ i ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (((Finsupp.mapRange.addEquiv AddEquiv.finsuppUnique.symm).toEmbedding x) i)) (f i) = ∏ x_1 ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (single () (x x_1))) (f x_1)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → R⟦X⟧
d : ℕ
s : Finset ι
x : ι →₀ ℕ
a✝ : x ∈ s.finsuppAntidiag d

⊢ ∀ x_1 ∈ s, (MvPowerSeries.coeff R (((Finsupp.mapRange.addEquiv AddEquiv.finsuppUnique.symm).toEmbedding x) x_1)) (f x_1) = (MvPowerSeries.coeff R (single () (x x_1))) (f x_1)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → R⟦X⟧
d : ℕ
s : Finset ι
x : ι →₀ ℕ
a✝¹ : x ∈ s.finsuppAntidiag d
i : ι
a✝ : i ∈ s

⊢ ((Finsupp.mapRange.addEquiv AddEquiv.finsuppUnique.symm).toEmbedding x) i = single () (x i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ eval (v i) (nodal s v) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v : ι → R
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ ∏ i_1 ∈ s, (v i - v i_1) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
hG : IsSeparator G
X Y : C
f g : X ⟶ Y
hfg : ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
H : C
hH : H ∈ {G}
h : H ⟶ X

⊢ h ≫ f = h ≫ g
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
H : C
h : H ⟶ X
hG : IsSeparator H
hfg : ∀ (h : H ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
hH : H ∈ {H}

⊢ h ≫ f = h ≫ g
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ d : ℤ
hd : d ≤ 0
x : ℤ√d
u : (ℤ√d)ˣ

⊢ x.norm = (x * ↑u).norm
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
c : E
hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c

⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 c, f y = f c
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℂ F
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ F
f : E → F
c : E
hd : ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 c, DifferentiableAt ℂ f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
r : ℝ
hr₀ : 0 < r
hr : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ closedBall c r → DifferentiableAt ℂ f x ∧ (norm ∘ f) x ≤ (norm ∘ f) c

⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 c, f y = f c
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R

⊢ Prime X
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R

⊢ (Ideal.span {X}).IsPrime
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R

⊢ X ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/SemiNormedGrp/Kernels.lean
A B C D B' D' : SemiNormedGrp
fab : A ⟶ B
fbd : B ⟶ D
fac : A ⟶ C
fcd : C ⟶ D
h : fab ≫ fbd = fac ≫ fcd
fbb' : B ⟶ B'
fdd' : D ⟶ D'
condb : fab ≫ fbb' = 0
condd : fcd ≫ fdd' = 0
g : B' ⟶ D'
h' : fbb' ≫ g = fbd ≫ fdd'

⊢ explicitCokernelDesc condb ≫ g = explicitCokernelDesc ⋯ ≫ explicitCokernelDesc condd
-- Mathlib/ModelTheory/Basic.lean
L : Language
L' : Language

⊢ (L.sum L').card = lift.{max u' v', max u v} L.card + lift.{max u v, max u' v'} L'.card
-- Mathlib/ModelTheory/Basic.lean
L : Language
L' : Language

⊢ ((sum fun i => lift.{max u' v v', u} #(L.Functions i)) + sum fun i => lift.{max u v v', u'} #(L'.Functions i)) + ((sum fun i => lift.{max v' u u', v} #(L.Relations i)) + sum fun i => lift.{max v u u', v'} #(L'.Relations i)) = ((sum fun i => lift.{max v u' v', u} #(L.Functions i)) + sum fun i => lift.{max u u' v', v} #(L.Relations i)) + ((sum fun i => lift.{max v' u v, u'} #(L'.Functions i)) + sum fun i => lift.{max u' u v, v'} #(L'.Relations i))
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M✝ N✝ P Q : Submodule R A
m n : A
M N : Submodule R Aᵐᵒᵖ

⊢ comap (↑(opLinearEquiv R)) (M * N) = comap (↑(opLinearEquiv R)) N * comap (↑(opLinearEquiv R)) M
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ

⊢ Injective fun a => a / b
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ

⊢ Injective fun a => a * b⁻¹
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
F : Ultrafilter X

⊢ ↑F ≤ 𝓝 F.lim
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
F : Ultrafilter X
x : X
h : ↑F ≤ 𝓝 x

⊢ ↑F ≤ 𝓝 F.lim
-- Mathlib/Order/Filter/ModEq.lean
n : ℕ
h : n ≠ 0
d m : ℕ

⊢ ((fun a => a + d) ∘ fun x => n • id x) m ≡ d [MOD n]
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : SuccOrder α
h : IsSuccLimit (succ a)

⊢ IsMax a
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : SuccOrder α
h : IsSuccLimit (succ a)
H : ¬IsMax a

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
hdnf : ∀ x ∈ -Iio a, HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
hdnf : ∀ x ∈ -Iio a, HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
hdng : ∀ x ∈ -Iio a, HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
hdnf : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
hdng : ∀ x ∈ -Iio a, HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
hdnf : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
hdng : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
hdnf : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
hdng : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x
this : Tendsto (fun x => (f ∘ Neg.neg) x / (g ∘ Neg.neg) x) atTop l

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
hdnf : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
hdng : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x
this✝ : Tendsto (fun x => (f ∘ Neg.neg) x / (g ∘ Neg.neg) x) atTop l
this : Tendsto ((fun x => (f ∘ Neg.neg) x / (g ∘ Neg.neg) x) ∘ Neg.neg) atBot l

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ x ∈ Iio a, g' x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) atBot l
hdnf : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (f ∘ Neg.neg) (f' (-x) * -1) x
hdng : ∀ x ∈ Ioi (-a), HasDerivAt (g ∘ Neg.neg) (g' (-x) * -1) x
this✝ : Tendsto (fun x => (f ∘ Neg.neg) x / (g ∘ Neg.neg) x) atTop l
this : Tendsto (fun x => (fun x => f (-x) / g (-x)) (-x)) atBot l

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/IsIntegral.lean
R : Type u
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

⊢ ((cyclotomic (p ^ (n + 1)) ℤ).comp (X + 1)).IsEisensteinAt (Submodule.span ℤ {↑p})
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/IsIntegral.lean
R : Type u
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

⊢ ((cyclotomic (p ^ (n + 1)) ℤ).comp (X + 1)).Monic
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/IsIntegral.lean
R : Type u
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

⊢ ∀ {n_1 : ℕ}, n_1 < ((cyclotomic (p ^ (n + 1)) ℤ).comp (X + 1)).natDegree → ((cyclotomic (p ^ (n + 1)) ℤ).comp (X + 1)).coeff n_1 ∈ Submodule.span ℤ {↑p}
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/IsIntegral.lean
R : Type u
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

⊢ ((cyclotomic (p ^ (n + 1)) ℤ).comp (X + 1)).coeff 0 ∉ Submodule.span ℤ {↑p} ^ 2
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_right : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (w * cs.simple i)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w

⊢ p w
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_right : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (w * cs.simple i)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)

⊢ p w
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_right : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (w * cs.simple i)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)

⊢ p' 1 ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_right : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (w * cs.simple i)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)

⊢ ∀ (x : W) (hx : x ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)) (y : W) (hy : y ∈ Set.range cs.simple), p' x hx → p' (x * y) ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_right : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (w * cs.simple i)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)

⊢ w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
R : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField R
a b : ℍ[R]
q : ℚ

⊢ ↑(normSq ↑q) = ↑q ^ 2
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : ι
hi : i ∉ range ⇑snf.f
m : M
hm : m ∈ N

⊢ (snf.bM.repr ↑⟨m, hm⟩) i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : ι
hi : i ∉ range ⇑snf.f
c : Fin n →₀ R
hm : (c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i)) ∈ N

⊢ (snf.bM.repr ↑⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm⟩) i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b : ι → M
n : ℕ
N : Submodule R M
snf : SmithNormalForm N ι n
i : ι
c : Fin n →₀ R
hm : (c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i)) ∈ N
hi : ∀ (j : Fin n), snf.f j ≠ i

⊢ (snf.bM.repr ↑⟨c.sum fun i x => x • ↑(snf.bN i), hm⟩) i = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z x a : ℝ

⊢ a = 0 ^ x ↔ x ≠ 0 ∧ a = 0 ∨ x = 0 ∧ a = 1
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p r : α
h : ∀ {m : α}, m ∈ normalizedFactors r → m = p
hr : r ≠ 0

⊢ ∃ i, p ^ i ~ᵤ r
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p r : α
h : ∀ {m : α}, m ∈ normalizedFactors r → m = p
hr : r ≠ 0

⊢ p ^ (↑Multiset.card).toFun (normalizedFactors r) ~ᵤ r
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
p r : α
h : ∀ {m : α}, m ∈ normalizedFactors r → m = p
hr : r ≠ 0
this : (normalizedFactors r).prod ~ᵤ r

⊢ p ^ (↑Multiset.card).toFun (normalizedFactors r) ~ᵤ r
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
b : β

⊢ LipschitzWith 1 fun a => (a, b)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
hyp : n = 0 ∨ ¬(of v).TerminatedAt (n - 1)

⊢ ↑(fib (n + 1)) ≤ (of v).dens n
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
hyp : n = 0 ∨ ¬(of v).TerminatedAt (n - 1)

⊢ ↑(fib (n + 1)) ≤ ((of v).contsAux (n + 1)).b
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
hyp : n = 0 ∨ ¬(of v).TerminatedAt (n - 1)
this : n + 1 ≤ 1 ∨ ¬(of v).TerminatedAt (n - 1)

⊢ ↑(fib (n + 1)) ≤ ((of v).contsAux (n + 1)).b
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
a : Subtype P
m : M
a' : α

⊢ (single a m).extendDomain a' = (single (↑a) m) a'
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
a : Subtype P
m : M
a' : α

⊢ (if h : P a' then (single a m) ⟨a', h⟩ else 0) = (single (↑a) m) a'
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
a : Subtype P
m : M

⊢ (if h : P ↑a then (single a m) ⟨↑a, h⟩ else 0) = (single (↑a) m) ↑a
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P✝ : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
M : Type u_13
inst✝¹ : Zero M
P : α → Prop
inst✝ : DecidablePred P
a : Subtype P
m : M
a' : α
ha : ↑a ≠ a'

⊢ (if h : P a' then (single a m) ⟨a', h⟩ else 0) = (single (↑a) m) a'
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π
heq : dist p1 p2 = 0

⊢ False