ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
g : F →L[𝕜] G
hf : ContDiff 𝕜 n f
x : E
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n

⊢ iteratedFDeriv 𝕜 i (⇑g ∘ f) x = g.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDeriv 𝕜 i f x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
g : F →L[𝕜] G
hf : ContDiff 𝕜 n f
x : E
i : ℕ
hi : ↑i ≤ n

⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (⇑g ∘ f) univ x = g.compContinuousMultilinearMap (iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ x)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
R' : Type u_4
S : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
f✝ : R →+* S
g : R →+* T
f : R →+* S × T
x : R

⊢ (((fst S T).comp f).prod ((snd S T).comp f)) x = f x
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r s : Setoid α

⊢ r ⊔ s = EqvGen.Setoid (r.Rel ⊔ s.Rel)
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r s : Setoid α

⊢ (EqvGen.Setoid fun x y => r.Rel x y ∨ s.Rel x y) = EqvGen.Setoid (r.Rel ⊔ s.Rel)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β

⊢ infDist x (closure s) = infDist x s
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
R : Presieve X
f : Y ⟶ X
inst✝ : IsSplitEpi f
hf : R f

⊢ generate R = ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
R : Presieve X
f : Y ⟶ X
inst✝ : IsSplitEpi f
hf : R f

⊢ (generate R).arrows (𝟙 X)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FormalMultilinearSeries.lean
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁰ : Ring 𝕜
n : ℕ
inst✝⁹ : AddCommGroup E
inst✝⁸ : Module 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace E
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜 F
inst✝² : TopologicalSpace F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

⊢ p.order = 0 ↔ p = 0 ∨ p 0 ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ

⊢ DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Ici x) x ↔ x ≠ -1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ

⊢ DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Ici x) x → x ≠ -1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
h : DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Ici (-1)) (-1)

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
h : DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Ici (-1)) (-1)
this : sin ∘ arcsin =ᶠ[𝓝[≥] (-1)] id

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
h : DifferentiableWithinAt ℝ arcsin (Ici (-1)) (-1)
this✝ : sin ∘ arcsin =ᶠ[𝓝[≥] (-1)] id
this : HasDerivWithinAt id (cos (arcsin (-1)) * derivWithin arcsin (Ici (-1)) (-1)) (Ici (-1)) (-1)

⊢ False
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
t : Finset κ
f✝ : ι → α
g : κ → α
a✝ : α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α

⊢ s.sup f ⊓ a = s.sup fun i => f i ⊓ a
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
t : Finset κ
f✝ : ι → α
g : κ → α
a✝ : α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α

⊢ (s.sup fun i => a ⊓ f i) = s.sup fun i => f i ⊓ a
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e

⊢ (α_ f (g ≫ h) i).inv ≫ (α_ f g h).inv ▷ i ≫ (α_ (f ≫ g) h i).hom = f ◁ (α_ g h i).hom ≫ (α_ f g (h ≫ i)).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d
i : d ⟶ e

⊢ (f ◁ (α_ g h i).inv ≫ (α_ f (g ≫ h) i).inv ≫ (α_ f g h).inv ▷ i ≫ (α_ (f ≫ g) h i).hom) ≫ (α_ (f ≫ g) h i).inv = (f ◁ (α_ g h i).inv ≫ f ◁ (α_ g h i).hom ≫ (α_ f g (h ≫ i)).inv) ≫ (α_ (f ≫ g) h i).inv
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ 𝓒 u v s
ha : a ∉ s

⊢ (a ⊔ v) \ u ∈ s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a
ha : a ∉ s

⊢ (a ⊔ v) \ u ∈ s
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
x✝ : R⟦X⟧
n✝ : ℕ

⊢ (coeff R n✝) ((rescale 1) x✝) = (coeff R n✝) ((RingHom.id R⟦X⟧) x✝)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M

⊢ (single a b).support ⊆ {a}
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : PartialOrder α
s : Set α

⊢ IsUpperSet s ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → Ioi a ⊆ s
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁷ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁵ : S₁.HasHomology
inst✝⁴ : S₂.HasHomology
inst✝³ : (S₁.map F).HasHomology
inst✝² : (S₂.map F).HasHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂

⊢ F.map (homologyMap φ) ≫ (S₂.mapHomologyIso' F).inv = (S₁.mapHomologyIso' F).inv ≫ homologyMap (F.mapShortComplex.map φ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/BilinearForm.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂

⊢ toMatrix (Pi.basisFun R₂ n) = BilinForm.toMatrix'
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
x : K
h : K[X]
h_splits : Splits i h
h_roots : (map i h).roots = {i x}

⊢ h = C h.leadingCoeff * (X - C x)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
x : K
h : K[X]
h_splits : Splits i h
h_roots : (map i h).roots = {i x}

⊢ map i h = map i (C h.leadingCoeff * (X - C x))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
x : K
h : K[X]
h_splits : Splits i h
h_roots : (map i h).roots = {i x}

⊢ C (i h.leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) {i x}).prod = map i (C h.leadingCoeff * (X - C x))
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hn : N.FG
hin : N ≤ I • N

⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hn : ∃ S, S.Finite ∧ span R S = N
hin : N ≤ I • N

⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s : Set M
hfs : s.Finite

⊢ (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s : Set M
hfs : s.Finite
H : ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R ∅) ∧ ∅ ⊆ ↑N

⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih : (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
H : ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R (insert i s)) ∧ insert i s ⊆ ↑N

⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih : (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn : N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R (insert i s))
hs : insert i s ⊆ ↑N

⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih : (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn : N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)
hs : insert i s ⊆ ↑N

⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih : (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn : N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N

⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih : (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn : N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N
c : R
hc1 : c - 1 ∈ I
hci : c • i ∈ I • span R s

⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih : (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn : N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N
c : R
hc1 : c - 1 ∈ I
hci : c • i ∈ I • span R s

⊢ c * r - 1 ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih : (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn : N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N
c : R
hc1 : c - 1 ∈ I
hci : c • i ∈ I • span R s

⊢ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x✝ : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
x : M
i : ι
a✝ : Nontrivial R

⊢ (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩ = (b.repr x) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x✝ : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
x : M
i : ι
a✝ : Nontrivial R

⊢ ∀ (x y : M), (fun x i => (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩) (x + y) = (fun x i => (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩) x + (fun x i => (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x✝ : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
x : M
i : ι
a✝ : Nontrivial R

⊢ ∀ (c : R) (x : M), (fun x i => (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩) (c • x) = c • (fun x i => (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x✝ : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
x : M
i : ι
a✝ : Nontrivial R

⊢ ∀ (i : ι), (fun x i => (b.reindexRange.repr x) ⟨b i, ⋯⟩) (b i) = ⇑(Finsupp.single i 1)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
hs : s.Finite

⊢ Nat.card ↑s = hs.toFinset.card
-- Mathlib/Order/Interval/Set/SurjOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b : α

⊢ SurjOn f (Ioc a b) (Ioc (f a) (f b))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Ring A✝
A : Type u_4
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ha : (spectrum ℝ a).Nonempty

⊢ (spectralRadius ℝ a).toReal ∈ spectrum ℝ a ∨ -(spectralRadius ℝ a).toReal ∈ spectrum ℝ a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Ring A✝
A : Type u_4
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ha : (spectrum ℝ a).Nonempty
x : ℝ
hx₁ : x ∈ spectrum ℝ a
hx₂ : ↑‖x‖₊ = spectralRadius ℝ a

⊢ (spectralRadius ℝ a).toReal ∈ spectrum ℝ a ∨ -(spectralRadius ℝ a).toReal ∈ spectrum ℝ a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A✝¹ : Type u_2
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Ring A✝
A : Type u_4
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
ha : (spectrum ℝ a).Nonempty
x : ℝ
hx₁ : x ∈ spectrum ℝ a
hx₂ : ↑‖x‖₊ = spectralRadius ℝ a

⊢ |x| ∈ spectrum ℝ a ∨ -|x| ∈ spectrum ℝ a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M ⧸ S

⊢ ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M

⊢ ‖↑x + ↑y‖ ≤ ‖↑x‖ + ‖↑y‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M

⊢ ⨅ a, ‖x + y + ↑a‖ ≤ (⨅ a, ‖x + ↑a‖) + ⨅ a, ‖y + ↑a‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M
a b : ↑↑S

⊢ ⨅ a, ‖x + y + ↑a‖ ≤ ‖x + ↑a‖ + ‖y + ↑b‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x y : M
a b : ↑↑S

⊢ ‖x + y + ↑(a + b)‖ ≤ ‖x + ↑a‖ + ‖y + ↑b‖
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f✝ : α ≃o β
s t : LowerSet α
a : α
b✝ : β
f : α ≃o β
b : β

⊢ b ∈ (map f) s ↔ f.symm b ∈ s
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f✝ : α ≃o β
s t : LowerSet α
a : α
b✝ : β
f : α ≃o β
b : β

⊢ b ∈ (map f.symm).symm s ↔ f.symm b ∈ s
-- Mathlib/Logic/Denumerable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set ℕ
inst✝¹ : Infinite ↑s
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

⊢ Set.range (Subtype.val ∘ ofNat s) = s
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_6, u_3} E
inst✝¹ : L✝.IsLocalization W✝
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
F₁ F₂ : D ⥤ E
τ τ' : F₁ ⟶ F₂
h : ∀ (X : C), τ.app (L.obj X) = τ'.app (L.obj X)

⊢ τ = τ'
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_6, u_3} E
inst✝¹ : L✝.IsLocalization W✝
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
F₁ F₂ : D ⥤ E
τ τ' : F₁ ⟶ F₂
h : ∀ (X : C), τ.app (L.obj X) = τ'.app (L.obj X)
this : L.EssSurj

⊢ τ = τ'
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Predicate.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_5, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W✝ : MorphismProperty C
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_6, u_3} E
inst✝¹ : L✝.IsLocalization W✝
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
F₁ F₂ : D ⥤ E
τ τ' : F₁ ⟶ F₂
h : ∀ (X : C), τ.app (L.obj X) = τ'.app (L.obj X)
this : L.EssSurj
Y : D

⊢ τ.app Y = τ'.app Y
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t s : Set α
inst✝ : Fintype ↑s

⊢ s.toFinset.Nonempty ↔ s.Nonempty
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁✝ s₂✝ t✝ t₁ t₂ u t s₁ s₂ s : Set α
h : s₁ ∩ s = s₂ ∩ s

⊢ t.ite s₁ s₂ ∩ s = s₁ ∩ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Join.lean
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t u : Set E
x y a b c : E

⊢ convexJoin 𝕜 {a} (segment 𝕜 b c) = (convexHull 𝕜) {a, b, c}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X

⊢ IntervalIntegrable (fun x => -(↑(rexp (-x)) * ↑x ^ s)) volume 0 X
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X
x✝ : ℝ

⊢ -(↑(rexp (-x✝)) * ↑x✝ ^ s) = (-fun x => ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s + 1 - 1)) x✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
X : ℝ
hX : 0 ≤ X

⊢ 0 < (s + 1).re
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ

⊢ 1⁻¹ = 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n : ℕ

⊢ 1⁻¹ = 1
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
hn : n ≠ 1

⊢ 1⁻¹ = 1
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
b : Set (Set α)
hb : IsTopologicalBasis b
a : α
s : Set α

⊢ (∃ t ∈ b, a ∈ t ∧ t ⊆ s) ↔ ∃ i, (i ∈ b ∧ a ∈ i) ∧ i ⊆ s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPointApproximants.lean
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x : α

⊢ lfp f ∈ Set.range (lfpApprox f ⊥)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hc : c < 0
p : ℝ≥0∞

⊢ eLpNorm f p μ = 0 ∧ eLpNorm g p μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ
hc : c < 0
p : ℝ≥0∞
h : (∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x = 0) ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, g x = 0

⊢ eLpNorm f p μ = 0 ∧ eLpNorm g p μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
g : α → G
c : ℝ
hc : c < 0
p : ℝ≥0∞
h : f =ᶠ[ae μ] 0 ∧ g =ᶠ[ae μ] 0

⊢ eLpNorm f p μ = 0 ∧ eLpNorm g p μ = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ a

⊢ a - c < b - c ↔ a < b