ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ ¬[] ∈ l₂ :: L

⊢ (Chain' R l₁ ∧ ((Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)) ∧ ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ (l₂ :: L).join.head? → R x y) ↔ (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧ (∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ [] ≠ l₂ ∧ ¬[] ∈ L

⊢ (Chain' R l₁ ∧ ((Chain' R l₂ ∧ ∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)) ∧ ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ (l₂ :: L).join.head? → R x y) ↔ (∀ (l : List α), l ∈ l₁ :: l₂ :: L → Chain' R l) ∧ (∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ : List α
L : List (List α)
hL : [] ≠ l₁ ∧ [] ≠ l₂ ∧ ¬[] ∈ L

⊢ (Chain' R l₁ ∧ Chain' R l₂ ∧ (∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L) ∧ ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ↔ Chain' R l₁ ∧ Chain' R l₂ ∧ (∀ (x : List α), x ∈ L → Chain' R x) ∧ (∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) ∧ Chain' (fun l₁ l₂ => ∀ (x : α), x ∈ l₁.getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₂.head? → R x y) (l₂ :: L)
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : PartialOrder α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
a : α
x✝ : a ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑(upperClosure s)
b : α
hb : b ∈ s
hba : b ≤ a
right✝ : ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ ↑(upperClosure s) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a → (fun x x_1 => x ≤ x_1) a b

⊢ a ∈ s
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : PartialOrder α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
x✝ : b ∈ ↑(upperClosure s)
hba : (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a
c : α
hc : c ∈ s
hcb : c ≤ b

⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) a b
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d n : ℤ

⊢ ofInt n = ↑n
-- Mathlib/Data/Analysis/Filter.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
f : Filter α
F : f.Realizer

⊢ f ≠ ⊥ ↔ ∀ (a : F.σ), (F.F.f a).Nonempty
-- Mathlib/Data/Analysis/Filter.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
f : Filter α
F : f.Realizer

⊢ (∃ x, ¬(F.F.f x).Nonempty) ↔ ∀ (b : Realizer.bot.σ), ∃ a, F.F.f a ≤ Realizer.bot.F.f b
-- Mathlib/Data/Analysis/Filter.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
f : Filter α
F : f.Realizer

⊢ (∃ x, F.F.f x = ∅) ↔ ∀ (b : Realizer.bot.σ), ∃ a, F.F.f a ≤ Realizer.bot.F.f b
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

⊢ t ∈ ∂ 𝒜 ↔ ∃ a ∉ t, insert a t ∈ 𝒜
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

⊢ (∃ s ∈ 𝒜, ∃ a ∉ t, insert a t = s) ↔ ∃ a ∉ t, insert a t ∈ 𝒜
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C

⊢ S.Exact ↔ IsIso (imageToKernel S.f S.g ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Abelian C
S : ShortComplex C

⊢ Epi (imageToKernel S.f S.g ⋯) ↔ IsIso (imageToKernel S.f S.g ⋯)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α → Option β
s : Multiset α
l : List α

⊢ List.filterMap f (List.filter (fun b => decide (p b)) l) = List.filterMap (fun x => if p x then f x else none) l
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
p q : α
h : p ~ᵤ q
hp : Irreducible p
u : αˣ
hu : p * ↑u = q
a b : α
hab : q = a * b

⊢ q * ↑u⁻¹ = a * (b * ↑u⁻¹)
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/Cartesian.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝² : p.IsStronglyCartesian f φ
R' R'' : 𝒮
a' a'' : 𝒳
f' : R' ⟶ S
f'' : R'' ⟶ S
g : R' ⟶ R
g' : R'' ⟶ R'
H : f' = g ≫ f
H' : f'' = g' ≫ f'
φ' : a' ⟶ b
φ'' : a'' ⟶ b
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian f' φ'
inst✝ : p.IsHomLift f'' φ''

⊢ f'' = (g' ≫ g) ≫ f
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/Cartesian.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝² : p.IsStronglyCartesian f φ
R' R'' : 𝒮
a' a'' : 𝒳
f' : R' ⟶ S
f'' : R'' ⟶ S
g : R' ⟶ R
g' : R'' ⟶ R'
H : f' = g ≫ f
H' : f'' = g' ≫ f'
φ' : a' ⟶ b
φ'' : a'' ⟶ b
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian f' φ'
inst✝ : p.IsHomLift f'' φ''

⊢ map p f' φ' H' φ'' ≫ map p f φ H φ' = map p f φ ⋯ φ''
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/Cartesian.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} 𝒳
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝² : p.IsStronglyCartesian f φ
R' R'' : 𝒮
a' a'' : 𝒳
f' : R' ⟶ S
f'' : R'' ⟶ S
g : R' ⟶ R
g' : R'' ⟶ R'
H : f' = g ≫ f
H' : f'' = g' ≫ f'
φ' : a' ⟶ b
φ'' : a'' ⟶ b
inst✝¹ : p.IsStronglyCartesian f' φ'
inst✝ : p.IsHomLift f'' φ''

⊢ (map p f' φ' H' φ'' ≫ map p f φ H φ') ≫ φ = φ''
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
inst✝ : HasPullback f g

⊢ h.isoPullback.inv ≫ fst = pullback.fst f g
-- Mathlib/Data/Finsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ : ι →₀ α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
f g : ι →₀ α
i : ι
a b : α
f1 f2 : ι →₀ α

⊢ (f1 - f2).support ⊆ f1.support
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝¹⁰ : Module R A
inst✝⁹ : Star A
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁷ : Module R B
inst✝⁶ : Star B
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring C
inst✝⁴ : Module R C
inst✝³ : Star C
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A
h : S.toNonUnitalSubalgebra = T.toNonUnitalSubalgebra
x : A

⊢ x ∈ S ↔ x ∈ T
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H

⊢ IsClosed ↑s.innerDualCone
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H

⊢ IsClosed (⋂ i, ↑{↑i}.innerDualCone)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H

⊢ ∀ (i : ↑s), IsClosed ↑{↑i}.innerDualCone
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
x : ↑s

⊢ IsClosed ↑{↑x}.innerDualCone
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
x : ↑s
h : ↑{↑x}.innerDualCone = inner ↑x ⁻¹' Ici 0

⊢ IsClosed ↑{↑x}.innerDualCone
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H
x : ↑s
h : ↑{↑x}.innerDualCone = inner ↑x ⁻¹' Ici 0

⊢ IsClosed (inner ↑x ⁻¹' Ici 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Matrix.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
j : ι

⊢ (b₂.coords x ᵥ* b.toMatrix ⇑b₂) j = (b.coord j) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Matrix.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
j : ι

⊢ (b₂.coords x ᵥ* b.toMatrix ⇑b₂) j = (b.coord j) ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b₂) fun i => (b₂.coord i) x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Matrix.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
j : ι

⊢ (b₂.coords x ᵥ* b.toMatrix ⇑b₂) j = (Finset.affineCombination k Finset.univ (⇑(b.coord j) ∘ ⇑b₂)) fun i => (b₂.coord i) x
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r

⊢ min (padicValRat p q) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p (q + r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p q ≤ padicValRat p r

⊢ padicValRat p q ≤ padicValRat p (q + r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p r ≤ padicValRat p q

⊢ min (padicValRat p q) (padicValRat p r) ≤ padicValRat p (q + r)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ
hqr : q + r ≠ 0
h : padicValRat p r ≤ padicValRat p q

⊢ padicValRat p r ≤ padicValRat p (r + q)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q

⊢ ENNReal.ofReal p = ENNReal.ofReal q ↔ p = q
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : LinearOrder α
a✝ b✝ c d a b : α
p : α → Prop
ha : p a
hb : p b
h : a ≤ b

⊢ p (a ⊔ b)
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : LinearOrder α
a✝ b✝ c d a b : α
p : α → Prop
ha : p a
hb : p b
h : b ≤ a

⊢ p (a ⊔ b)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
u v : F
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0

⊢ addU (u • P) (v • Q) = (u * v) ^ 2 * addU P Q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
u v : F
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0

⊢ (v ^ 3 * Q y * (u * P z) ^ 3 - u ^ 3 * P y * (v * Q z) ^ 3) * (P z * Q z) = (u * v) ^ 2 * (Q y * P z ^ 3 - P y * Q z ^ 3) * (u * P z * (v * Q z))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ : ℝ
s✝ t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ε : ℝ≥0

⊢ diam (cthickening (↑ε) s) ≤ diam s + 2 * ↑ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ : ℝ
s✝ t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ε : ℝ≥0

⊢ EMetric.diam s = ⊤ → EMetric.diam (cthickening (↑ε) s) = ⊤
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ : ℝ
s✝ t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ε : ℝ≥0

⊢ 2 * ↑ε = ⊤ → EMetric.diam (cthickening (↑ε) s) = ⊤
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ : ℝ
s✝ t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ε : ℝ≥0

⊢ (EMetric.diam s).toReal + (2 * ↑ε).toReal = diam s + 2 * ↑ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
inst✝ : LocallyCompactSpace α
hs : IsCompact s

⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ IsCompact (cthickening δ s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
inst✝ : LocallyCompactSpace α
hs : IsCompact s
K : Set α
K_compact : IsCompact K
hK : s ⊆ interior K

⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ IsCompact (cthickening δ s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
inst✝ : LocallyCompactSpace α
hs : IsCompact s
K : Set α
K_compact : IsCompact K
hK : s ⊆ interior K
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : cthickening δ s ⊆ interior K

⊢ ∃ δ, 0 < δ ∧ IsCompact (cthickening δ s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
inst✝ : LocallyCompactSpace α
hs : IsCompact s
K : Set α
K_compact : IsCompact K
hK : s ⊆ interior K
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : cthickening δ s ⊆ interior K

⊢ IsCompact (cthickening δ s)
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
f : α → β

⊢ map (fun x => (f x, x)) l = (map f l).zip l
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
f : α → β

⊢ (map f l).zip (map (fun x => x) l) = (map f l).zip l
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α
f : α → β

⊢ map (fun x => x) l = l
-- Mathlib/Data/Bool/AllAny.lean
α : Type u_1
p✝ : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p✝
l✝ : List α
a✝ : α
p : α → Bool
a : α
l : List α
ih : l.any p = true ↔ ∃ a, a ∈ l ∧ p a = true

⊢ (a :: l).any p = true ↔ ∃ a_1, a_1 ∈ a :: l ∧ p a_1 = true
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : MulPosMono α
inst✝ : MulPosReflectLE α
a0 : 0 < a

⊢ a ≤ b * a ↔ 1 * a ≤ b * a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ

⊢ UniformIntegrable f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
val✝ : Fintype ι

⊢ UniformIntegrable f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
inst✝ : Finite ι
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), Memℒp (f i) p μ
val✝ : Fintype ι

⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ

⊢ (o.oangle (r • y - x) y).sign = -(o.oangle x y).sign
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

⊢ num (-g) z / denom (-g) z = num g z / denom g z
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

⊢ num (-g) z * denom g z = num g z * denom (-g) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

⊢ (-(↑(↑↑g 0 0) * ↑z) + -↑(↑↑g 0 1)) * (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1)) = (↑(↑↑g 0 0) * ↑z + ↑(↑↑g 0 1)) * (-(↑(↑↑g 1 0) * ↑z) + -↑(↑↑g 1 1))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 E
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E

⊢ A = adjoint B ↔ ∀ (i : ι) (y : F), ⟪A (b i), y⟫_𝕜 = ⟪b i, B y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 E
inst✝¹ : FiniteDimensional 𝕜 F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 G
ι : Type u_5
b : Basis ι 𝕜 E
A : E →ₗ[𝕜] F
B : F →ₗ[𝕜] E
h : ∀ (i : ι) (y : F), ⟪A (b i), y⟫_𝕜 = ⟪b i, B y⟫_𝕜
i : ι

⊢ A (b i) = (adjoint B) (b i)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

⊢ t ∈ ∂ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ (s \ t).card = k
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k r : ℕ

⊢ (∃ u, u.card = k ∧ Disjoint t u ∧ t ∪ u ∈ 𝒜) ↔ ∃ s ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ (s \ t).card = k
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
ne_zero : p ≠ 0
aeval_eq : (aeval ↑x) p = 0

⊢ (↑x)⁻¹ ∈ A
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
ne_zero : p ≠ 0
aeval_eq : (aeval x) p = 0

⊢ (↑x)⁻¹ ∈ A
-- Mathlib/Data/Fintype/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : CommMonoid α
f : ℕ → α
n : ℕ

⊢ ∏ i : { x // x ∈ range n }, f ↑i = ∏ i ∈ range n, f i
-- Mathlib/Data/SetLike/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
i : SetLike A B
p q : A

⊢ p < q ↔ p ≤ q ∧ ∃ x ∈ q, x ∉ p
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m✝ : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
m : ℕ
hm : n ≤ m

⊢ f y = p.partialSum m (y - x)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m✝ : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
y : E
hy : y - x ∈ EMetric.ball 0 r
m : ℕ
hm : n ≤ m

⊢ f y = p.partialSum m (y - x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
hx : x < 0

⊢ x < sin x
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a : Cardinal.{u}

⊢ 1 = lift.{v, u} a ↔ 1 = a
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0

⊢ DiffContOnCl ℂ (fun z => invInterpStrip f z ε) (verticalStrip 0 1)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0

⊢ Differentiable ℂ fun z => invInterpStrip f z ε
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0

⊢ Differentiable ℂ fun y => (↑ε + ↑(sSupNormIm f 0)) ^ (y - 1)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
ε : ℝ
hε : ε > 0

⊢ Differentiable ℂ fun y => (↑ε + ↑(sSupNormIm f 1)) ^ (-y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V

⊢ (LinearIndependent K fun o => o.casesOn' x v) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V

⊢ LinearIndependent K (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inl) ∧ (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inr) default ≠ 0 ∧ ((((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inr) default ∈ span K (range (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inl)) → (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inr) default = 0) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V

⊢ LinearIndependent K (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inl) ∧ ¬x = 0 ∧ (x ∈ span K (range (((fun o => o.casesOn' x v) ∘ ⇑(Equiv.optionEquivSumPUnit ι).symm) ∘ Sum.inl)) → x = 0) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
h : LinearIndependent K v ∧ x ∉ span K (range v)

⊢ ¬x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
y z : V
h : LinearIndependent K v ∧ 0 ∉ span K (range v)

⊢ False
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
s : Set α
h : s ⊆ e.source

⊢ ↑e '' s = e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' s
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
s t : Set β
hs : IsCompl s t
ha : HasProd (f ∘ Subtype.val) a
hb : HasProd (f ∘ Subtype.val) b

⊢ HasProd f (a * b)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean

⊢ arctan 2⁻¹ + arctan 3⁻¹ = π / 4
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
x y : ↑(ofOpenSubsets U).glued
e : (fromOpenSubsetsGlue U) x = (fromOpenSubsetsGlue U) y

⊢ x = y
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
α : Type u
inst✝ : TopologicalSpace α
J : Type u
U : J → Opens α
y : ↑(ofOpenSubsets U).glued
i : (ofOpenSubsets U).J
x : ↑(of α)
hx : x ∈ U i
e : (fromOpenSubsetsGlue U) (((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx⟩) = (fromOpenSubsetsGlue U) y

⊢ ((ofOpenSubsets U).ι i) ⟨x, hx⟩ = y