ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
z : α
zs : z ∈ s
hz : z ∈ Ico x y
zt : z ∈ tᶜ
this : tᶜ ∩ Ioc z y ∈ 𝓝[>] z

⊢ tᶜ ∩ Ioc z y ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
z : α
zs : z ∈ s
hz : z ∈ Ico x y
zt : z ∈ tᶜ
this✝ : tᶜ ∩ Ioc z y ∈ 𝓝[>] z
this : Ioc z y ⊆ s ∪ t

⊢ tᶜ ∩ Ioc z y ⊆ s
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : PredOrder α
h : IsPredLimit (pred a)

⊢ IsMin a
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
a : α
inst✝ : PredOrder α
h : IsPredLimit (pred a)
H : ¬IsMin a

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Gershgorin.lean
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
μ : K
hμ : Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) μ

⊢ ∃ k, μ ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Gershgorin.lean
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
μ : K
hμ : Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) μ
h✝ : IsEmpty n

⊢ ∃ k, μ ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Gershgorin.lean
K : Type u_1
n : Type u_2
inst✝² : NormedField K
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n K
μ : K
hμ : Module.End.HasEigenvalue (Matrix.toLin' A) μ
h✝ : Nonempty n

⊢ ∃ k, μ ∈ Metric.closedBall (A k k) (∑ j ∈ Finset.univ.erase k, ‖A k j‖)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LocallyConvex.lean
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
ts' : ι → TopologicalSpace E
h' : ∀ (i : ι), LocallyConvexSpace 𝕜 E

⊢ LocallyConvexSpace 𝕜 E
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LocallyConvex.lean
ι : Sort u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommMonoid F
inst✝ : Module 𝕜 F
ts' : ι → TopologicalSpace E
h' : ∀ (i : ι), LocallyConvexSpace 𝕜 E

⊢ ∀ t ∈ range fun i => ts' i, LocallyConvexSpace 𝕜 E
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
t : Set F
hl : HasFDerivWithinAt l l' t (f x)
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hst : MapsTo f s t
hy : y = f x

⊢ HasDerivWithinAt (l ∘ f) (l' f') s x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Tower.lean
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
x✝ : A

⊢ x✝ ∈ LinearMap.range (toAlgHom R (↥S) A) ↔ x✝ ∈ toSubmodule S
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Tower.lean
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A
x✝ : A

⊢ (∃ y, (algebraMap (↥S) A) y = x✝) ↔ ∃ y, (toSubmodule S).subtype y = x✝
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X

⊢ IsClosed {p | Inseparable p.1 p.2}
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
h1 : c ≤ a
h2 : c ≤ b

⊢ a - c = b - c ↔ a = b
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K

⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ perfectClosure F E = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K

⊢ (∀ (x : E), ∃ n, x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F E).range) ↔ perfectClosure F E = ⊤
-- Mathlib/Data/List/Enum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
n : ℕ

⊢ l.enum[n]? = Option.map (fun a => (n, a)) l[n]?
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
ol : l.Bounded o₁ ↑x
Or : r.Bounded (↑x) o₂
sl : l.Sized
sr : r.Sized
b : BalancedSz l.size r.size
bl : l.Balanced
br : r.Balanced
ol' : l.dual.Bounded (↑x) o₁
sl' : l.dual.Sized
bl' : l.dual.Balanced
or' : r.dual.Bounded o₂ ↑x
sr' : r.dual.Sized
br' : r.dual.Balanced

⊢ l.size + r.size + 1 = r.dual.size + l.dual.size + 1
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
ol : l.Bounded o₁ ↑x
Or : r.Bounded (↑x) o₂
sl : l.Sized
sr : r.Sized
b : BalancedSz l.size r.size
bl : l.Balanced
br : r.Balanced
ol' : l.dual.Bounded (↑x) o₁
sl' : l.dual.Sized
bl' : l.dual.Balanced
or' : r.dual.Bounded o₂ ↑x
sr' : r.dual.Sized
br' : r.dual.Balanced

⊢ BalancedSz r.dual.size l.dual.size
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
ol : l.Bounded o₁ ↑x
Or : r.Bounded (↑x) o₂
sl : l.Sized
sr : r.Sized
b : BalancedSz l.size r.size
bl : l.Balanced
br : r.Balanced
ol' : l.dual.Bounded (↑x) o₁
sl' : l.dual.Sized
bl' : l.dual.Balanced
or' : r.dual.Bounded o₂ ↑x
sr' : r.dual.Sized
br' : r.dual.Balanced

⊢ BalancedSz r.size l.size
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : List α

⊢ toList xs = xs
-- Mathlib/Control/Fold.lean
α β γ : Type u
t : Type u → Type u
inst✝¹ : Traversable t
inst✝ : LawfulTraversable t
xs : List α

⊢ FreeMonoid.toList (List.traverse (Const.mk' ∘ FreeMonoid.of) xs) = xs
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ b

⊢ a < b - c ↔ c + a < b
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'

⊢ Continuous fun f => ∫ (x : α), ∫ (y : β), ↑↑f (x, y) ∂ν ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'

⊢ ∀ (x : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))), ContinuousAt (fun f => ∫ (x : α), ∫ (y : β), ↑↑f (x, y) ∂ν ∂μ) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))

⊢ ContinuousAt (fun f => ∫ (x : α), ∫ (y : β), ↑↑f (x, y) ∂ν ∂μ) g
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))

⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖∫ (y : β), ↑↑i (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), ↑↑g (x, y) ∂ν‖₊ ∂μ) (𝓝 g) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))

⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖∫ (y : β), ↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y) ∂ν‖₊ ∂μ) (𝓝 g) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))

⊢ ↥(Lp E 1 (μ.prod ν)) → ℝ≥0∞
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))

⊢ Tendsto ?m.114467 (𝓝 g) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))

⊢ (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖∫ (y : β), ↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y) ∂ν‖₊ ∂μ) ≤ ?m.114467
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))

⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), ↑‖↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y)‖₊ ∂ν ∂μ) (𝓝 g) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊

⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ∫⁻ (y : β), ↑‖↑↑i (x, y) - ↑↑g (x, y)‖₊ ∂ν ∂μ) (𝓝 g) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊

⊢ Tendsto (fun x => ENNReal.ofReal ‖x - g‖) (𝓝 g) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊

⊢ Tendsto (fun x => ENNReal.ofReal ‖x - g‖) (𝓝 g) (𝓝 (ENNReal.ofReal 0))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊

⊢ Tendsto (fun x => ‖x - g‖) (𝓝 g) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
g : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))
this : ∀ (i : ↥(Lp E 1 (μ.prod ν))), Measurable fun z => ↑‖↑↑i z - ↑↑g z‖₊

⊢ Tendsto (fun x => x) (𝓝 g) (𝓝 g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Dirac.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
s : Set α
a : α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α

⊢ (sum fun a => μ {a} • dirac a) = μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G

⊢ μ ≪ map (fun x => x * g) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
g : G
s : Set G
hs : MeasurableSet s

⊢ (map (fun x => x * g) μ) s = 0 → μ s = 0
-- Mathlib/Computability/ContextFreeGrammar.lean
T : Type uT
g : ContextFreeGrammar T
v w : List (Symbol T g.NT)
hvw : g.Derives v w
p : List (Symbol T g.NT)

⊢ g.Derives (p ++ v) (p ++ w)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p

⊢ Memℓp (-f) p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f 0

⊢ Memℓp (-f) 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ⊤

⊢ Memℓp (-f) ⊤
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hp : 0 < p.toReal

⊢ Memℓp (-f) p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0

⊢ SameRay R x z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
y z : M
hyz : SameRay R y z
hxy : SameRay R 0 y
hy : y = 0 → 0 = 0 ∨ z = 0

⊢ SameRay R 0 z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0

⊢ SameRay R x z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y : M
hxy : SameRay R x y
hx : x ≠ 0
hyz : SameRay R y 0
hy : y = 0 → x = 0 ∨ 0 = 0

⊢ SameRay R x 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0

⊢ SameRay R x z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x z : M
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hxy : SameRay R x 0
hyz : SameRay R 0 z
hy : 0 = 0 → x = 0 ∨ z = 0

⊢ SameRay R x z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy✝ : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ SameRay R x z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy✝ : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y ≠ 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h₁ : r₁ • x = r₂ • y

⊢ SameRay R x z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy✝ : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y ≠ 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h₁ : r₁ • x = r₂ • y
r₃ r₄ : R
hr₃ : 0 < r₃
hr₄ : 0 < r₄
h₂ : r₃ • y = r₄ • z

⊢ SameRay R x z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
x y z : M
hxy : SameRay R x y
hyz : SameRay R y z
hy✝ : y = 0 → x = 0 ∨ z = 0
hx : x ≠ 0
hz : z ≠ 0
hy : y ≠ 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h₁ : r₁ • x = r₂ • y
r₃ r₄ : R
hr₃ : 0 < r₃
hr₄ : 0 < r₄
h₂ : r₃ • y = r₄ • z

⊢ (r₃ * r₁) • x = (r₂ * r₄) • z
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t s : Set α

⊢ μ (toMeasurable μ s) = μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t s : Set α

⊢ μ (if h : ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ t =ᶠ[ae μ] s then h.choose else if h' : ∃ t ⊇ s, MeasurableSet t ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t ∩ u) = μ (s ∩ u) then h'.choose else ⋯.choose) = μ s
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
e' : PartialHomeomorph Y Z
s : Set X
hs : IsOpen s

⊢ ((ofSet s hs).trans e).source = (e.restr s).source
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean
n : ℕ
a b : Fin n

⊢ (Iio b).card = ↑b
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
x : M ⊗[R] N
h : ∀ (m₁ m₂ : M) (n₁ n₂ : N), ∃ m n, m₁ ⊗ₜ[R] n₁ + m₂ ⊗ₜ[R] n₂ = m ⊗ₜ[R] n

⊢ ∃ m n, x = m ⊗ₜ[R] n
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Linearity.lean
f g : ℕ → ℂ
s a b : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
hg : LSeriesHasSum g s b

⊢ LSeriesHasSum (f - g) s (a - b)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p q : Submodule R M

⊢ Nontrivial ↥p ↔ p ≠ ⊥
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 r

⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x => z) (f (x + y + z - y))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y z : E
hz : z ∈ EMetric.ball 0 r

⊢ x + y + z - y = x + z