ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hcd : IntervalIntegrable f μ c d
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in c..d, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..d, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in c..b, f x ∂μ
-- Mathlib/RepresentationTheory/Character.lean
k : Type u
inst✝³ : Field k
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
V : FDRep k G

⊢ ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ g : G, V.character g = ↑(finrank k ↥(invariants V.ρ))
-- Mathlib/RepresentationTheory/Character.lean
k : Type u
inst✝³ : Field k
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
V : FDRep k G

⊢ ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ g : G, V.character g = (trace k (CoeSort.coe V)) (averageMap V.ρ)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ : Set α
I : Set ι
t : ι → Set α
h : I.PairwiseDisjoint t
hI : I.Finite
ht : ∀ i ∈ I, (t i).Finite
this : Fintype ↑I

⊢ ∏ᶠ (a : α) (_ : a ∈ ⋃ x ∈ I, t x), f a = ∏ᶠ (i : ι) (_ : i ∈ I) (j : α) (_ : j ∈ t i), f j
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ : Set α
I : Set ι
t : ι → Set α
h : I.PairwiseDisjoint t
hI : I.Finite
ht : ∀ i ∈ I, (t i).Finite
this : Fintype ↑I

⊢ Pairwise (Disjoint on fun x => t ↑x)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t✝ : Set α
I : Set ι
t : ι → Set α
h : I.PairwiseDisjoint t
hI : I.Finite
ht : ∀ i ∈ I, (t i).Finite
this : Fintype ↑I

⊢ ∀ (i : ↑I), (t ↑i).Finite
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s t : Set α
f : α → β

⊢ LocallyLipschitzOn s f ↔ LocallyLipschitz (s.restrict f)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0
s t : Set α
f : α → β

⊢ (∀ (x : ↑s), ∃ K, ∃ t ∈ 𝓝[s] ↑x, LipschitzOnWith K f t) ↔ ∀ (x : ↑s), ∃ K t, (∃ t_1 ∈ 𝓝[s] ↑x, Subtype.val ⁻¹' t_1 ⊆ t) ∧ LipschitzOnWith K f (s ∩ Subtype.val '' t)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
c : ℝ≥0
hc : 0 < c

⊢ ∃ s ∈ 𝓝 a, ApproximatesLinearOn f f' s c
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
this : ∀ᶠ (x : E × E) in 𝓝 (a, a), ‖f x.1 - f x.2 - f' (x.1 - x.2)‖ ≤ (fun a => ↑a) c * ‖x.1 - x.2‖

⊢ ∃ s ∈ 𝓝 a, ApproximatesLinearOn f f' s c
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
this : ∃ t ∈ 𝓝 a, t ×ˢ t ⊆ {x | ‖f x.1 - f x.2 - f' (x.1 - x.2)‖ ≤ (fun a => ↑a) c * ‖x.1 - x.2‖}

⊢ ∃ s ∈ 𝓝 a, ApproximatesLinearOn f f' s c
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
a : E
hf : HasStrictFDerivAt f f' a
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
s : Set E
has : s ∈ 𝓝 a
hs : s ×ˢ s ⊆ {x | ‖f x.1 - f x.2 - f' (x.1 - x.2)‖ ≤ (fun a => ↑a) c * ‖x.1 - x.2‖}

⊢ ∃ s ∈ 𝓝 a, ApproximatesLinearOn f f' s c
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν

⊢ ∀ {f : α × β → ℝ≥0∞}, Measurable f → Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
m : ∀ {α : Type ?u.28006} {β : Type ?u.28005} {m : MeasurableSpace α} {mβ : MeasurableSpace β} {x : α}, Measurable (Prod.mk x)

⊢ ∀ {f : α × β → ℝ≥0∞}, Measurable f → Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
m : ∀ {α : Type ?u.28006} {β : Type ?u.28005} {m : MeasurableSpace α} {mβ : MeasurableSpace β} {x : α}, Measurable (Prod.mk x)

⊢ ∀ (c : ℝ≥0∞) ⦃s : Set (α × β)⦄, MeasurableSet s → (fun f => Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν) (s.indicator fun x => c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
m : ∀ {α : Type ?u.28006} {β : Type ?u.28005} {m : MeasurableSpace α} {mβ : MeasurableSpace β} {x : α}, Measurable (Prod.mk x)

⊢ ∀ ⦃f g : α × β → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (support f) (support g) → Measurable f → Measurable g → (fun f => Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν) f → (fun f => Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν) g → (fun f => Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν) (f + g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
m : ∀ {α : Type ?u.28006} {β : Type ?u.28005} {m : MeasurableSpace α} {mβ : MeasurableSpace β} {x : α}, Measurable (Prod.mk x)

⊢ ∀ ⦃f : ℕ → α × β → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), (fun f => Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν) (f n)) → (fun f => Measurable fun x => ∫⁻ (y : β), f (x, y) ∂ν) fun x => ⨆ n, f n x
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n

⊢ (Matrix.map 1 fun x => X * (algebraMap R R[X]) x) = diagonal fun x => X
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n

⊢ ((diagonal fun x => 1).map fun x => X * (algebraMap R R[X]) x) = diagonal fun x => X
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
l : List α

⊢ (l.erase a).erase b = (l.erase b).erase a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
l : List α
ab : ¬(a == b) = true

⊢ (l.erase a).erase b = (l.erase b).erase a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
l : List α
ab : ¬(a == b) = true
ha : a ∈ l

⊢ (l.erase a).erase b = (l.erase b).erase a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a b : α
l : List α
ab : ¬(a == b) = true
ha : a ∈ l
hb : b ∈ l

⊢ (l.erase a).erase b = (l.erase b).erase a
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Stability.lean
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Flat R S
inst✝ : Flat S M

⊢ Flat R M
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Stability.lean
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Flat R S
inst✝ : Flat S M

⊢ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I))
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Stability.lean
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Flat R S
inst✝ : Flat S M
I : Ideal R

⊢ Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I))
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Stability.lean
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Flat R S
inst✝ : Flat S M
I : Ideal R

⊢ Function.Injective (⇑(TensorProduct.rid R M) ∘ ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I)))
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Stability.lean
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Flat R S
inst✝ : Flat S M
I : Ideal R
h : ⇑(TensorProduct.rid R M) ∘ ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I)) = ⇑(↑(TensorProduct.rid R M) ∘ₗ lTensor M (Submodule.subtype I))

⊢ Function.Injective (⇑(TensorProduct.rid R M) ∘ ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I)))
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Stability.lean
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : Flat R S
inst✝ : Flat S M
I : Ideal R
h : ⇑(TensorProduct.rid R M) ∘ ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I)) = ⇑(↑(TensorProduct.rid R M) ∘ₗ lTensor M (Submodule.subtype I))

⊢ Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype (Module.Flat.J R S I)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ

⊢ μ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}

⊢ ∃ u ∈ 𝓝[{x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}] x, μ u = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤

⊢ ∃ u ∈ 𝓝[{x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}] x, μ u = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} ∩ o

⊢ ∃ u ∈ 𝓝[{x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}] x, μ u = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} ∩ o

⊢ μ s ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} ∩ o
ρs : ρ s ≠ ⊤

⊢ μ s ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} ∩ o
ρs : ρ s ≠ ⊤
A : ∀ (q : ℝ≥0), 1 ≤ q → μ s ≤ (↑q)⁻¹ * ρ s

⊢ μ s ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} ∩ o
ρs : ρ s ≠ ⊤
A : ∀ (q : ℝ≥0), 1 ≤ q → μ s ≤ (↑q)⁻¹ * ρ s
B : Tendsto (fun q => (↑q)⁻¹ * ρ s) atTop (𝓝 (⊤⁻¹ * ρ s))

⊢ μ s ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} ∩ o
ρs : ρ s ≠ ⊤
A : ∀ (q : ℝ≥0), 1 ≤ q → μ s ≤ (↑q)⁻¹ * ρ s
B : Tendsto (fun q => (↑q)⁻¹ * ρ s) atTop (𝓝 0)

⊢ μ s ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : ρ o < ⊤
s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = ⊤} ∩ o
ρs : ρ s ≠ ⊤
A : ∀ (q : ℝ≥0), 1 ≤ q → μ s ≤ (↑q)⁻¹ * ρ s
B : Tendsto (fun q => (↑q)⁻¹ * ρ s) atTop (𝓝 0)

⊢ ∀ᶠ (c : ℝ≥0) in atTop, μ s ≤ (↑c)⁻¹ * ρ s
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝ : Fintype n
v : n → α
x y : Matrix m✝ n α
m : m✝

⊢ { toFun := fun M => M *ᵥ v, map_zero' := ⋯ }.toFun (x + y) m = ({ toFun := fun M => M *ᵥ v, map_zero' := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun M => M *ᵥ v, map_zero' := ⋯ }.toFun y) m
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
k : Fin n

⊢ k + 0 = k
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
x : α
E : Set α

⊢ 0 < infEdist x (closure E) ↔ x ∉ closure E
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasEqualizers C
X Y : C
inst✝¹ : Simple Y
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
w : f ≠ 0

⊢ Epi f
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasEqualizers C
X Y : C
inst✝¹ : Simple Y
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
w : f ≠ 0

⊢ Epi (factorThruImage f ≫ image.ι f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
inst✝² : HasEqualizers C
X Y : C
inst✝¹ : Simple Y
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
w : f ≠ 0
this : IsIso (image.ι f)

⊢ Epi (factorThruImage f ≫ image.ι f)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ

⊢ (Function.support fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a)).IsPWO
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ

⊢ (Function.support fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a)) = x.support
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ

⊢ (Function.support fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a)).IsPWO
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ

⊢ (Function.support fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a)) = (AddOpposite.unop x).support
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ

⊢ (fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }) ((fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }) x) = x
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ

⊢ AddOpposite.unop ((fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }) ((fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }) x)) = AddOpposite.unop x
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ

⊢ { toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x + y) = { toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ

⊢ AddOpposite.unop ({ toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x + y)) = AddOpposite.unop ({ toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x + { toFun := fun x => AddOpposite.op { coeff := fun a => AddOpposite.unop (x.coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, invFun := fun x => { coeff := fun a => AddOpposite.op ((AddOpposite.unop x).coeff a), isPWO_support' := ⋯ }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α
t : Set α

⊢ ⋃ i, ⋃ j, s i j ⊆ t ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), s i j ⊆ t
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
t : Finset M
h : finrank R M + 1 < t.card

⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
t : Finset M
h : finrank R M + 1 < t.card
x₀ : M
x₀_mem : x₀ ∈ t

⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0
-- Mathlib/ModelTheory/Basic.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
toEmbedding✝¹ : M ↪ N
map_fun'✝¹ : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n) (x : Fin n → M), toEmbedding✝¹.toFun (funMap f x) = funMap f (toEmbedding✝¹.toFun ∘ x)
map_rel'✝¹ : ∀ {n : ℕ} (r : L.Relations n) (x : Fin n → M), RelMap r (toEmbedding✝¹.toFun ∘ x) ↔ RelMap r x
toEmbedding✝ : M ↪ N
map_fun'✝ : ∀ {n : ℕ} (f : L.Functions n) (x : Fin n → M), toEmbedding✝.toFun (funMap f x) = funMap f (toEmbedding✝.toFun ∘ x)
map_rel'✝ : ∀ {n : ℕ} (r : L.Relations n) (x : Fin n → M), RelMap r (toEmbedding✝.toFun ∘ x) ↔ RelMap r x
h : ⇑{ toEmbedding := toEmbedding✝¹, map_fun' := map_fun'✝¹, map_rel' := map_rel'✝¹ } = ⇑{ toEmbedding := toEmbedding✝, map_fun' := map_fun'✝, map_rel' := map_rel'✝ }
x : M

⊢ toEmbedding✝¹ x = toEmbedding✝ x