ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
hri : r ∉ I.radical
m : Ideal R
hrm : r ∉ m.radical
him : I ≤ m
hm : ∀ z ∈ {K | r ∉ K.radical}, m ≤ z → z = m
this : ∀ x ∉ m, r ∈ (m ⊔ span {x}).radical
x y : R
hxym : x * y ∈ m
hxm : x ∉ m
hym : y ∉ m
n : ℕ
hrn : r ^ n ∈ m ⊔ span {x}
p : R
hpm : p ∈ m
q : R
hq : q ∈ span {x}
hpqrn : p + q = r ^ n
c : R
hcxq : c * x = q
k : ℕ
hrk : r ^ k ∈ m ⊔ span {y}
f : R
hfm : f ∈ m
g : R
hg : g ∈ span {y}
hfgrk : f + g = r ^ k
d : R
hdyg : d * y = g

⊢ r ^ (n + k) ∈ m
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
r : R
hr : r ∈ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
hri : r ∉ I.radical
m : Ideal R
hrm : r ∉ m.radical
him : I ≤ m
hm : ∀ z ∈ {K | r ∉ K.radical}, m ≤ z → z = m
this : ∀ x ∉ m, r ∈ (m ⊔ span {x}).radical
x y : R
hxym : x * y ∈ m
hxm : x ∉ m
hym : y ∉ m
n : ℕ
hrn : r ^ n ∈ m ⊔ span {x}
p : R
hpm : p ∈ m
q : R
hq : q ∈ span {x}
hpqrn : p + q = r ^ n
c : R
hcxq : c * x = q
k : ℕ
hrk : r ^ k ∈ m ⊔ span {y}
f : R
hfm : f ∈ m
g : R
hg : g ∈ span {y}
hfgrk : f + g = r ^ k
d : R
hdyg : d * y = g

⊢ p * (f + d * y) + (c * x * f + c * d * (x * y)) ∈ m
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g g₁ g₂ : Perm α
s t : Set α
h : LeftInvOn (⇑g₁) (⇑g₂) s
a : α
ha : a ∈ s

⊢ (g₁.extendDomain f) ((g₂.extendDomain f) ((Subtype.val ∘ ⇑f) a)) = (Subtype.val ∘ ⇑f) a
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

⊢ IsIntegralClosure (CyclotomicRing (p ^ k) ℤ ℚ) ℤ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)) ↑(p ^ k)

⊢ IsIntegralClosure (CyclotomicRing (p ^ k) ℤ ℚ) ℤ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)) ↑(p ^ k)
x : CyclotomicField (p ^ k) ℚ
h : IsIntegral ℤ x

⊢ x ∈ adjoin ℤ {b | b ^ ↑(p ^ k) = 1}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot (zeta (p ^ k) ℚ (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)) ↑(p ^ k)
x : CyclotomicField (p ^ k) ℚ

⊢ (∃ y, (algebraMap (CyclotomicRing (p ^ k) ℤ ℚ) (CyclotomicField (p ^ k) ℚ)) y = x) → IsIntegral ℤ x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E

⊢ 0 < ‖a / b‖ ↔ a ≠ b
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E

⊢ ‖a / b‖ ≠ 0 ↔ a ≠ b
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
L' L₁' L₂' : LieSubalgebra R L
h : L₁'.toSubmodule = L₂'.toSubmodule

⊢ L₁' = L₂'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
L' L₁' L₂' : LieSubalgebra R L
h : ↑L₁'.toSubmodule = ↑L₂'.toSubmodule

⊢ L₁' = L₂'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
L' L₁' L₂' : LieSubalgebra R L
h : ↑L₁'.toSubmodule = ↑L₂'.toSubmodule

⊢ ↑L₁' = ↑L₂'
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t u : Seq α

⊢ (s.append t).append u = s.append (t.append u)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t u : Seq α

⊢ IsBisimulation fun s1 s2 => ∃ s t u, s1 = (s.append t).append u ∧ s2 = s.append (t.append u)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t u : Seq α

⊢ ∃ s_1 t_1 u_1, (s.append t).append u = (s_1.append t_1).append u_1 ∧ s.append (t.append u) = s_1.append (t_1.append u_1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
x : M₃

⊢ x ∈ range (f.coprod g) ↔ x ∈ range f ⊔ range g
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
h : S.HomologyData
inst✝ : S.HasHomology

⊢ h.right.homologyIso = h.left.homologyIso ≪≫ h.iso
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
h : S.HomologyData
inst✝ : S.HasHomology

⊢ h.iso = h.left.homologyIso.symm ≪≫ h.right.homologyIso
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
h : S.HomologyData
inst✝ : S.HasHomology

⊢ h.iso.hom = h.left.homologyIso.inv ≫ h.right.homologyIso.hom
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ sinh (log x) = (x - x⁻¹) / 2
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shatter.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜 ⊆ ℬ
x✝ : Finset α

⊢ x✝ ∈ 𝒜.shatterer → x✝ ∈ ℬ.shatterer
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R

⊢ (monomial n) (-a) = -(monomial n) a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 ≠ b

⊢ Tendsto (fun x => x ^ n / (b * rexp x + c)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 ≠ b
H : ∀ (d e : ℝ), 0 < d → Tendsto (fun x => x ^ n / (d * rexp x + e)) atTop (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun x => x ^ n / (b * rexp x + c)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 ≠ b
H : ∀ (d e : ℝ), 0 < d → Tendsto (fun x => x ^ n / (d * rexp x + e)) atTop (𝓝 0)
h : 0 < b

⊢ Tendsto (fun x => x ^ n / (b * rexp x + c)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 ≠ b
H : ∀ (d e : ℝ), 0 < d → Tendsto (fun x => x ^ n / (d * rexp x + e)) atTop (𝓝 0)
h : 0 > b

⊢ Tendsto (fun x => x ^ n / (b * rexp x + c)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Data/PNat/Interval.lean
a b : ℕ+

⊢ Fintype.card ↑(Set.Ico a b) = ↑b - ↑a
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b

⊢ a ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a⁻¹
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
X Y : C
inst✝ : Simple Y
f : X ⟶ Y
w : f ≠ 0

⊢ cokernel.π f = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ HasSum (fun n => rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) (evenKernel (↑a) t)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ HasSum (fun x => ↑(rexp (-π * (↑x + a) ^ 2 * t))) (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑t) (I * ↑t))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : ∀ (n : ℤ), ↑(rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) = cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑t) (I * ↑t)

⊢ HasSum (fun x => ↑(rexp (-π * (↑x + a) ^ 2 * t))) (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑t) (I * ↑t))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : ∀ (n : ℤ), ↑(rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) = cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑t) (I * ↑t)

⊢ HasSum (fun x => cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂_term x (↑a * I * ↑t) (I * ↑t)) (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑t) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑t) (I * ↑t))
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ 0
hr_ne_top : r ≠ ⊤

⊢ ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite μ
r : ℝ≥0∞
hr : r ≠ 0
hr_ne_top : r ≠ ⊤
h : ν.rnDeriv (r.toNNReal • μ) =ᶠ[ae μ] r.toNNReal⁻¹ • ν.rnDeriv μ

⊢ ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α

⊢ 1 < mabs a ↔ a ≠ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : a < 1

⊢ 1 < mabs a ↔ a ≠ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
b c : α

⊢ 1 < mabs 1 ↔ 1 ≠ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α
ha : 1 < a

⊢ 1 < mabs a ↔ a ≠ 1
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁵ : UniformSpace α✝
inst✝⁴ : UniformSpace β
inst✝³ : UniformSpace γ
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : DiscreteTopology α
inst✝ : T0Space β
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s

⊢ ClosedEmbedding f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : UniformSpace γ
α : Type u_1
inst✝¹ : T0Space β
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
inst✝ : DiscreteTopology α

⊢ ClosedEmbedding f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : UniformSpace α✝
inst✝³ : UniformSpace β
inst✝² : UniformSpace γ
α : Type u_1
inst✝¹ : T0Space β
f : α → β
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
hf : Pairwise fun x y => (f x, f y) ∉ s
inst✝ : DiscreteTopology α
x✝ : UniformSpace α := ⊥

⊢ ClosedEmbedding f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)

⊢ ∃ B ε, 0 < ε ∧ ball x ε ⊆ ball z R ∧ ∀ (t : ℝ), ∀ y ∈ ball x ε, ‖circleTransformDeriv R z y f t‖ ≤ B
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r

⊢ ∃ B ε, 0 < ε ∧ ball x ε ⊆ ball z R ∧ ∀ (t : ℝ), ∀ y ∈ ball x ε, ‖circleTransformDeriv R z y f t‖ ≤ B
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r

⊢ ∃ B ε, 0 < ε ∧ ball x ε ⊆ ball z R ∧ ∀ (t : ℝ), ∀ y ∈ ball x ε, ‖circleTransformDeriv R z y f t‖ ≤ B
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)

⊢ ∃ B ε, 0 < ε ∧ ball x ε ⊆ ball z R ∧ ∀ (t : ℝ), ∀ y ∈ ball x ε, ‖circleTransformDeriv R z y f t‖ ≤ B
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ

⊢ ∃ B ε, 0 < ε ∧ ball x ε ⊆ ball z R ∧ ∀ (t : ℝ), ∀ y ∈ ball x ε, ‖circleTransformDeriv R z y f t‖ ≤ B
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ
X : ℂ
HX2 : IsMaxOn (fun x => ‖f x‖) (sphere z R) X

⊢ ∃ B ε, 0 < ε ∧ ball x ε ⊆ ball z R ∧ ∀ (t : ℝ), ∀ y ∈ ball x ε, ‖circleTransformDeriv R z y f t‖ ≤ B
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ
X : ℂ
HX2 : IsMaxOn (fun x => ‖f x‖) (sphere z R) X
y : ℝ
v : ℂ
hv : v ∈ ball x ε'

⊢ ‖circleTransformDeriv R z v f y‖ ≤ abs (V b a) * abs (f X)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ
X : ℂ
HX2 : IsMaxOn (fun x => ‖f x‖) (sphere z R) X
y : ℝ
v : ℂ
hv : v ∈ ball x ε'
y1 : ℝ
hy1 : y1 ∈ Ico 0 (2 * π)
hfun : circleTransformDeriv R z v f y = circleTransformDeriv R z v f y1

⊢ ‖circleTransformDeriv R z v f y‖ ≤ abs (V b a) * abs (f X)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ
X : ℂ
HX2 : IsMaxOn (fun x => ‖f x‖) (sphere z R) X
y : ℝ
v : ℂ
hv : v ∈ ball x ε'
y1 : ℝ
hy1 : y1 ∈ Ico 0 (2 * π)
hfun : circleTransformDeriv R z v f y = circleTransformDeriv R z v f y1
hy2 : y1 ∈ [[0, 2 * π]]

⊢ ‖circleTransformDeriv R z v f y‖ ≤ abs (V b a) * abs (f X)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ
X : ℂ
y : ℝ
v : ℂ
hv : v ∈ ball x ε'
y1 : ℝ
hy1 : y1 ∈ Ico 0 (2 * π)
hfun : circleTransformDeriv R z v f y = circleTransformDeriv R z v f y1
hy2 : y1 ∈ [[0, 2 * π]]
HX2 : ∀ (x : ℂ), abs (x - z) = R → abs (f x) ≤ abs (f X)

⊢ ‖circleTransformDeriv R z v f y‖ ≤ abs (V b a) * abs (f X)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ
X : ℂ
y : ℝ
v : ℂ
hv : v ∈ ball x ε'
y1 : ℝ
hy1 : y1 ∈ Ico 0 (2 * π)
hfun : circleTransformDeriv R z v f y = circleTransformDeriv R z v f y1
hy2 : y1 ∈ [[0, 2 * π]]
HX2 : ∀ (x : ℂ), abs (x - z) = R → abs (f x) ≤ abs (f X)
this : abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(v, y1), ⋯⟩) * abs (f (circleMap z R y1)) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩) * abs (f X)

⊢ ‖circleTransformDeriv R z v f y‖ ≤ abs (V b a) * abs (f X)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
z x : ℂ
f : ℂ → ℂ
hx : x ∈ ball z R
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
r : ℝ
hr : r < R
hrx : x ∈ ball z r
ε' : ℝ
hε' : ε' > 0
H : ball x ε' ⊆ ball z r
a : ℂ
b : ℝ
ha : (a, b).1 ∈ closedBall z r
hb : (a, b).2 ∈ [[0, 2 * π]]
hab : ∀ (y : ↑(closedBall z r ×ˢ [[0, 2 * π]])), abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑y) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩)
V : ℝ → ℂ → ℂ := fun θ w => circleTransformDeriv R z w (fun x => 1) θ
X : ℂ
y : ℝ
v : ℂ
hv : v ∈ ball x ε'
y1 : ℝ
hy1 : y1 ∈ Ico 0 (2 * π)
hfun : circleTransformDeriv R z v f y = circleTransformDeriv R z v f y1
hy2 : y1 ∈ [[0, 2 * π]]
HX2 : ∀ (x : ℂ), abs (x - z) = R → abs (f x) ≤ abs (f X)
this : abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(v, y1), ⋯⟩) * abs (f (circleMap z R y1)) ≤ abs (circleTransformBoundingFunction R z ↑⟨(a, b), ⋯⟩) * abs (f X)

⊢ ‖circleTransformDeriv R z v f y1‖ ≤ abs (V b a) * abs (f X)
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z : ℂ
x✝ : ∃ r, z = ↑r
h : ℝ
e : z = ↑h

⊢ (starRingEnd ℂ) z = z
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s'✝ : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
s' t : Set α

⊢ t ∈ l ⊓ 𝓟 s' ↔ ∃ i, p i ∧ s i ∩ s' ⊆ t
-- Mathlib/Data/Finsupp/Indicator.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i✝ i : ι
hi : i ∈ ↑(indicator s f).support

⊢ i ∈ ↑s
-- Mathlib/Data/Finsupp/Indicator.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i✝ i : ι
hi : (indicator s f) i ≠ 0

⊢ i ∈ ↑s
-- Mathlib/Data/Finsupp/Indicator.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i✝ i : ι
hi : (indicator s f) i ≠ 0
h : i ∉ ↑s

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
P : R[X]
hmo : P.Monic
f : R →+* S

⊢ (Polynomial.map f P).natDegree = P.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
P : R[X]
hmo : P.Monic
f : R →+* S

⊢ (Polynomial.map f P).coeff P.natDegree ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Nontrivial S
P : R[X]
hmo : P.Monic
f : R →+* S

⊢ 1 ≠ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq (α × β)
s : Finset α
t : Finset β
x✝ : α × β
x : α
y : β

⊢ (x, y) ∈ s ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ s.biUnion fun a => image (fun b => (a, b)) t
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
I : Type u
X : I → TopCat

⊢ piToPiTop X ⋙ CategoryTheory.Functor.pi' (proj X) = 𝟭 ((i : I) → ↑(π.obj (X i)))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
I : Type u
X : I → TopCat

⊢ ∀ (X_1 : (i : I) → ↑(π.obj (X i))), (piToPiTop X ⋙ CategoryTheory.Functor.pi' (proj X)).obj X_1 = (𝟭 ((i : I) → ↑(π.obj (X i)))).obj X_1
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
I : Type u
X : I → TopCat

⊢ ∀ (X_1 Y : (i : I) → ↑(π.obj (X i))) (f : X_1 ⟶ Y), (piToPiTop X ⋙ CategoryTheory.Functor.pi' (proj X)).map f = CategoryTheory.eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 ((i : I) → ↑(π.obj (X i)))).map f ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
I : Type u
X : I → TopCat

⊢ CategoryTheory.Functor.pi' (proj X) ⋙ piToPiTop X = 𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of ((i : I) → ↑(X i))))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
I : Type u
X : I → TopCat

⊢ autoParam (∀ (X_1 Y : ↑(π.obj (TopCat.of ((i : I) → ↑(X i))))) (f : X_1 ⟶ Y), (CategoryTheory.Functor.pi' (proj X) ⋙ piToPiTop X).map f = CategoryTheory.eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of ((i : I) → ↑(X i))))).map f ≫ CategoryTheory.eqToHom ⋯) _auto✝
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Product.lean
I : Type u
X : I → TopCat

⊢ ∀ (X_1 : ↑(π.obj (TopCat.of ((i : I) → ↑(X i))))), (CategoryTheory.Functor.pi' (proj X) ⋙ piToPiTop X).obj X_1 = (𝟭 ↑(π.obj (TopCat.of ((i : I) → ↑(X i))))).obj X_1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]

⊢ (p * X).comp r = p.comp r * r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0

⊢ p.degree < (p * X).degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0
this : Nontrivial R

⊢ p.degree < (p * X).degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0
this✝ : Nontrivial R
this : p.leadingCoeff * X.leadingCoeff ≠ 0

⊢ p.degree < (p * X).degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
hp : p ≠ 0
this✝ : Nontrivial R
this : p.leadingCoeff * X.leadingCoeff ≠ 0

⊢ ↑p.natDegree < ↑p.natDegree + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : X → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : X → E
f' : X → ℝ≥0 := AEMeasurable.mk f hf

⊢ (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ