ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
n : ℕ

⊢ (map T.subtype (p.toSubring T hp)).coeff n = p.coeff n
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
D : Cocone F
i j : J
x : (forget C).obj (F.obj i)
y : (forget C).obj (F.obj j)
E : Cocone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCocone D
k : J
f : i ⟶ k
g : j ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget C).map f x = (F.map g) y

⊢ (D.ι.app i) x = (D.ι.app j) y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
D : Cocone F
i j : J
x : (forget C).obj (F.obj i)
y : (forget C).obj (F.obj j)
E : Cocone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCocone D
k : J
f : i ⟶ k
g : j ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget C).map f x = (F.map g) y
h1 : (F ⋙ forget C).map f ≫ E.ι.app k = E.ι.app i := E.ι.naturality f

⊢ (D.ι.app i) x = (D.ι.app j) y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
D : Cocone F
i j : J
x : (forget C).obj (F.obj i)
y : (forget C).obj (F.obj j)
E : Cocone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCocone D
k : J
f : i ⟶ k
g : j ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget C).map f x = (F.map g) y
h1 : (F ⋙ forget C).map f ≫ E.ι.app k = E.ι.app i := E.ι.naturality f
h2 : (F ⋙ forget C).map g ≫ E.ι.app k = E.ι.app j := E.ι.naturality g

⊢ (D.ι.app i) x = (D.ι.app j) y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
D : Cocone F
i j : J
x : (forget C).obj (F.obj i)
y : (forget C).obj (F.obj j)
E : Cocone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCocone D
k : J
f : i ⟶ k
g : j ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget C).map f x = (F.map g) y
h1 : (F ⋙ forget C).map f ≫ E.ι.app k = E.ι.app i := E.ι.naturality f
h2 : (F ⋙ forget C).map g ≫ E.ι.app k = E.ι.app j := E.ι.naturality g

⊢ E.ι.app i x = E.ι.app j y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
J : Type w
inst✝ : Category.{r, w} J
F : J ⥤ C
D : Cocone F
i j : J
x : (forget C).obj (F.obj i)
y : (forget C).obj (F.obj j)
E : Cocone (F ⋙ forget C) := (forget C).mapCocone D
k : J
f : i ⟶ k
g : j ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget C).map f x = (F.map g) y
h1 : (F ⋙ forget C).map f ≫ E.ι.app k = E.ι.app i := E.ι.naturality f
h2 : (F ⋙ forget C).map g ≫ E.ι.app k = E.ι.app j := E.ι.naturality g

⊢ E.ι.app k ((F.map g) y) = E.ι.app j y
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
inst✝ : CategoryWithHomology C
f : K ⟶ L

⊢ quasiIso C c f ↔ QuasiIso f
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ Ico a b = ∅ ↔ ¬a < b
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Slope.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a : k

⊢ slope f a a = 0
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ s' s : WSeq α
h : (map ret s).join = s'

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => (map ret s2).join = s1) (map ret s).join.destruct s.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ s' s : WSeq α
h : (map ret s).join = s'

⊢ ∀ {ca cb : Computation (Option (α × WSeq α))}, (∃ s, ca = (map ret s).join.destruct ∧ cb = s.destruct) → LiftRelAux (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => (map ret s2).join = s1) (fun c1 c2 => ∃ s, c1 = (map ret s).join.destruct ∧ c2 = s.destruct) ca.destruct cb.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ s' s : WSeq α
h : (map ret s).join = s'

⊢ ∃ s_1, (map ret s).join.destruct = (map ret s_1).join.destruct ∧ s.destruct = s_1.destruct
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Injective ⇑f
p : R[X]

⊢ (if (map f p).natDegree = 0 then 0 else (map f p).coeff ((map f p).natDegree - 1)) = f (if p.natDegree = 0 then 0 else p.coeff (p.natDegree - 1))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Injective ⇑f
p : R[X]

⊢ (if p.natDegree = 0 then 0 else (map f p).coeff (p.natDegree - 1)) = f (if p.natDegree = 0 then 0 else p.coeff (p.natDegree - 1))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x : ℝ

⊢ ‖↑x‖ = |x|
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x : ℝ

⊢ {y | ↑y = ↑x} = {x}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x y : ℝ

⊢ y ∈ {y | ↑y = ↑x} ↔ y ∈ {x}
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
π : ι → Set (Set Ω)
m : ι → MeasurableSpace Ω
x✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
S : Finset ι
s✝ : ι → Set Ω
s t : Set Ω
μ : Measure Ω

⊢ IndepSet s t μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω), MeasurableSet t1 → MeasurableSet t2 → μ (t1 ∩ t2) = μ t1 * μ t2
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
f : C(AddCircle T, ℂ)
n : ℤ

⊢ ∀ (x : AddCircle T), (fourier (-n)) x = (fourier (-n)) x
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Ker.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
hf : Injective ⇑f

⊢ ker f = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Ker.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
hf : Injective ⇑f
this : Disjoint ⊤ (ker f)

⊢ ker f = ⊥
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
S : Set β
hβ : (𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂

⊢ UniformEquicontinuousOn F S ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
S : Set β
hβ : (𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂

⊢ (∀ (ib : κ₂), p₂ ib → ∃ ia, p₁ ia ∧ ∀ x ∈ s₁ ia, ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ (UniformFun.gen ι α ∘ s₂) ib) ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
κ₁ : Type u_13
κ₂ : Type u_14
p₁ : κ₁ → Prop
s₁ : κ₁ → Set (β × β)
p₂ : κ₂ → Prop
s₂ : κ₂ → Set (α × α)
F : ι → β → α
S : Set β
hβ : (𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S)).HasBasis p₁ s₁
hα : (𝓤 α).HasBasis p₂ s₂

⊢ (∀ (ib : κ₂), p₂ ib → ∃ ia, p₁ ia ∧ ∀ (a b : β), (a, b) ∈ s₁ ia → ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) a, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) b) ∈ (UniformFun.gen ι α ∘ s₂) ib) ↔ ∀ (k₂ : κ₂), p₂ k₂ → ∃ k₁, p₁ k₁ ∧ ∀ (x y : β), (x, y) ∈ s₁ k₁ → ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ s₂ k₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Semigroup α
x y z : α

⊢ ((fun x_1 => x * x_1) ∘ fun x => y * x) z = x * y * z
-- Mathlib/Logic/Function/Iterate.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n✝¹ : ℕ
a : α
g : α → α
hg : LeftInverse g f
n✝ n : ℕ
ihn : LeftInverse g^[n] f^[n]

⊢ LeftInverse g^[n.succ] f^[n.succ]
-- Mathlib/Logic/Function/Iterate.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n✝¹ : ℕ
a : α
g : α → α
hg : LeftInverse g f
n✝ n : ℕ
ihn : LeftInverse g^[n] f^[n]

⊢ LeftInverse (g ∘ g^[n]) (f^[n] ∘ f)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : α → Option β
l : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ l → f x = g x

⊢ filterMap f l = filterMap g l
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : α → Option β
a : α
l : List α
ih : (∀ (x : α), x ∈ l → f x = g x) → filterMap f l = filterMap g l
h : ∀ (x : α), x ∈ a :: l → f x = g x

⊢ (match f a with | none => filterMap f l | some b => b :: filterMap f l) = match g a with | none => filterMap g l | some b => b :: filterMap g l
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f g : α → Option β
a : α
l : List α
ih : (∀ (x : α), x ∈ l → f x = g x) → filterMap f l = filterMap g l
h : ∀ (x : α), x ∈ a :: l → f x = g x

⊢ (match f a with | none => filterMap g l | some b => b :: filterMap g l) = match g a with | none => filterMap g l | some b => b :: filterMap g l
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidableEq α
t : Multiset α

⊢ ∀ (s : Multiset α), filter p (s - t) = filter p s - filter p t
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Multiset α
a : α
t : Multiset α
IH : ∀ (s : Multiset α), filter p (s - t) = filter p s - filter p t
s : Multiset α

⊢ filter p (s - a ::ₘ t) = filter p s - filter p (a ::ₘ t)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidableEq α
t✝ : Multiset α
a : α
t : Multiset α
IH : ∀ (s : Multiset α), filter p (s - t) = filter p s - filter p t
s : Multiset α

⊢ filter p (s.erase a) - filter p t = filter p s - filter p (a ::ₘ t)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalDiffeomorph.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N

⊢ IsLocalDiffeomorph I J n f ↔ ∀ (x : M), IsLocalDiffeomorphAt I J n f x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ (cexp x).im = Real.exp x.re * Real.sin x.im
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ (cexp ↑x.re * (cos ↑x.im + sin ↑x.im * I)).im = Real.exp x.re * Real.sin x.im
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s✝ t : Set α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b)
s : (b : β) → Set (π b)
c : ℝ≥0∞
h : ∀ (b : β), c ≤ (s b).einfsep

⊢ c ≤ (univ.pi s).einfsep
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
s✝ t : Set α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b)
s : (b : β) → Set (π b)
c : ℝ≥0∞
h : ∀ (b : β), c ≤ (s b).einfsep
x : (i : β) → π i
hx : x ∈ univ.pi s
y : (i : β) → π i
hy : y ∈ univ.pi s
hxy : x ≠ y

⊢ c ≤ edist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
s✝ t : Set α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b)
s : (b : β) → Set (π b)
c : ℝ≥0∞
h : ∀ (b : β), c ≤ (s b).einfsep
x : (i : β) → π i
hx : ∀ (i : β), x i ∈ s i
y : (i : β) → π i
hy : ∀ (i : β), y i ∈ s i
hxy : x ≠ y

⊢ c ≤ edist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z : α
s✝ t : Set α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b)
s : (b : β) → Set (π b)
c : ℝ≥0∞
h : ∀ (b : β), c ≤ (s b).einfsep
x : (i : β) → π i
hx : ∀ (i : β), x i ∈ s i
y : (i : β) → π i
hy : ∀ (i : β), y i ∈ s i
hxy : x ≠ y
i : β
hi : x i ≠ y i

⊢ c ≤ edist x y
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p : PrimeSpectrum R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Nontrivial M

⊢ support R M = Set.univ
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p : PrimeSpectrum R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Nontrivial M

⊢ ∀ (x : PrimeSpectrum R), ∃ m, ∀ r ∉ x.asIdeal, ¬r = 0 ∧ ¬m = 0
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p : PrimeSpectrum R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Nontrivial M
x : M
hx : x ≠ 0

⊢ ∀ (x : PrimeSpectrum R), ∃ m, ∀ r ∉ x.asIdeal, ¬r = 0 ∧ ¬m = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Star.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
r : R
x : CliffordAlgebra Q

⊢ star (r • x) = r • star x
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Supported.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s t : Set σ

⊢ supported R ∅ = ⊥
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
f g : R'[A]

⊢ supDegree D (f - g) ≤ supDegree D f ⊔ supDegree D g
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
f g : R'[A]

⊢ supDegree D (f + -g) ≤ supDegree D f ⊔ supDegree D (-g)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t

⊢ 𝓝ˢ (s ∩ t) = 𝓝ˢ s ⊓ 𝓝ˢ t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t

⊢ 𝓝ˢ s ⊓ 𝓝ˢ t ≤ 𝓝ˢ (s ∩ t)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t

⊢ ⨆ x ∈ s, ⨆ x_2 ∈ t, 𝓝 x ⊓ 𝓝 x_2 ≤ ⨆ a ∈ s ∩ t, 𝓝 a
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
x : X
hxs : x ∈ s
y : X
hyt : y ∈ t

⊢ 𝓝 x ⊓ 𝓝 y ≤ ⨆ a ∈ s ∩ t, 𝓝 a
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
x : X
hxs : x ∈ s
hyt : x ∈ t

⊢ 𝓝 x ⊓ 𝓝 x ≤ ⨆ a ∈ s ∩ t, 𝓝 a
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
x : X
hxs : x ∈ s
y : X
hyt : y ∈ t
hne : x ≠ y

⊢ 𝓝 x ⊓ 𝓝 y ≤ ⨆ a ∈ s ∩ t, 𝓝 a
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
inst✝ : Fintype V
h : M.IsPerfectMatching

⊢ Even (Fintype.card V)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n m l : ℕ

⊢ range n = ∅ ↔ n = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char

⊢ (if h : { byteIdx := utf8Len l } < { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } then if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then let_fun this := ⋯; Substring.takeWhileAux { data := l ++ c :: m ++ r } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) else { byteIdx := utf8Len l } else { byteIdx := utf8Len l }) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match p c with | true => c :: List.takeWhile p m | false => []) }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char

⊢ (if p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.get { byteIdx := utf8Len l }) = true then let_fun this := ⋯; Substring.takeWhileAux { data := l ++ c :: m ++ r } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (c :: m) } p ({ data := l ++ c :: m ++ r }.next { byteIdx := utf8Len l }) else { byteIdx := utf8Len l }) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match p c with | true => c :: List.takeWhile p m | false => []) }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char

⊢ (if p c = true then Substring.takeWhileAux { data := l ++ c :: (m ++ r) } { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m + c.utf8Size) } p { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } else { byteIdx := utf8Len l }) = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (match p c with | true => c :: List.takeWhile p m | false => []) }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
l : List Char
c : Char
m r : List Char

⊢ Substring.takeWhileAux { data := l ++ c :: (m ++ r) } { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m + c.utf8Size) } p { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len (List.takeWhile p m) + c.utf8Size) }
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (hermite n).leadingCoeff = 1
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y

⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f | f (inl x, inl y) = dist x y}

⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f | f (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f | f (inr x, inr y) = dist x y}

⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f | f (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f | f (inr x, inr y) = dist x y}
I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, y) = f (y, x)}

⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f | f (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f | f (inr x, inr y) = dist x y}
I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, y) = f (y, x)}
I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z)}

⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f | f (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f | f (inr x, inr y) = dist x y}
I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, y) = f (y, x)}
I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z)}
I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, x) = 0}

⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f | f (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f | f (inr x, inr y) = dist x y}
I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, y) = f (y, x)}
I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z)}
I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, x) = 0}
I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)}

⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y
I1 : ∀ (x y : X), IsClosed {f | f (inl x, inl y) = dist x y}
I2 : ∀ (x y : Y), IsClosed {f | f (inr x, inr y) = dist x y}
I3 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, y) = f (y, x)}
I4 : ∀ (x y z : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z)}
I5 : ∀ (x : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, x) = 0}
I6 : ∀ (x y : X ⊕ Y), IsClosed {f | f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)}
this : GromovHausdorff.candidatesB X Y = (((((⋂ x, ⋂ y, {f | f (inl x, inl y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f | f (inr x, inr y) = dist x y}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f | f (x, y) = f (y, x)}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ z, {f | f (x, z) ≤ f (x, y) + f (y, z)}) ∩ ⋂ x, {f | f (x, x) = 0}) ∩ ⋂ x, ⋂ y, {f | f (x, y) ≤ ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)}

⊢ IsClosed (GromovHausdorff.candidatesB X Y)