ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/SheafHom.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
hG : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → IsLimit (G.mapCone (Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)
x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
Y : C
g : Y ⟶ X
c : Cone ((Sieve.pullback g S).arrows.diagram.op ⋙ G) := { pt := F.obj (op Y), π := { app := fun x_1 => match x_1 with | op { obj := Z, property := hZ } => F.map Z.hom.op ≫ (x (Z.hom ≫ g) hZ).app (op (Over.mk (𝟙 (unop (op ((𝟭 C).obj Z.left)))))), naturality := ⋯ } }

⊢ ∀ {Z : C} (p : Z ⟶ Y) (hp : S.arrows (p ≫ g)), (hG g).lift c ≫ G.map p.op = F.map p.op ≫ (x (p ≫ g) hp).app (op (Over.mk (𝟙 Z)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/SheafHom.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
hG : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → IsLimit (G.mapCone (Sieve.pullback f S).arrows.cocone.op)
x : Presieve.FamilyOfElements (presheafHom F G) S.arrows
hx : x.Compatible
Y : C
g : Y ⟶ X
c : Cone ((Sieve.pullback g S).arrows.diagram.op ⋙ G) := { pt := F.obj (op Y), π := { app := fun x_1 => match x_1 with | op { obj := Z, property := hZ } => F.map Z.hom.op ≫ (x (Z.hom ≫ g) hZ).app (op (Over.mk (𝟙 (unop (op ((𝟭 C).obj Z.left)))))), naturality := ⋯ } }
Z : C
p : Z ⟶ Y
hp : S.arrows (p ≫ g)

⊢ (hG g).lift c ≫ G.map p.op = F.map p.op ≫ (x (p ≫ g) hp).app (op (Over.mk (𝟙 Z)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
α : Type u_1
x : ℂ
h : x ∈ slitPlane

⊢ ContinuousAt log x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
α : Type u_1
x : ℂ
h : x ∈ slitPlane

⊢ ContinuousAt (fun x => ↑(Real.log (Complex.abs x))) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
α : Type u_1
x : ℂ
h : x ∈ slitPlane

⊢ ContinuousAt (fun x => ↑x.arg * I) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean

⊢ Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[<] 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
h : Tendsto (fun x => log x * x ^ 1) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[<] 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
h : Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[<] 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
h : Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
h_eq : ∀ x ∈ Set.Iio 0, (-(fun x => log x * x) ∘ fun x => |x|) x = log x * x

⊢ Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[<] 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
h : Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
h_eq : ∀ x ∈ Set.Iio 0, (-(fun x => log x * x) ∘ fun x => |x|) x = log x * x

⊢ Tendsto (-(fun x => log x * x) ∘ fun x => |x|) (𝓝[<] 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
h : Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
h_eq : ∀ x ∈ Set.Iio 0, (-(fun x => log x * x) ∘ fun x => |x|) x = log x * x

⊢ Tendsto (-(fun x => log x * x) ∘ fun x => |x|) (𝓝[<] 0) (𝓝 (-0))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
h : Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
h_eq : ∀ x ∈ Set.Iio 0, (-(fun x => log x * x) ∘ fun x => |x|) x = log x * x

⊢ 𝓝[<] 0 ≤ 𝓝[≠] 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
h : Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
h_eq : ∀ x ∈ Set.Iio 0, (-(fun x => log x * x) ∘ fun x => |x|) x = log x * x
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Iio 0

⊢ x ∈ {0}ᶜ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
h : Tendsto (fun x => log x * x) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
h_eq : ∀ x ∈ Set.Iio 0, (-(fun x => log x * x) ∘ fun x => |x|) x = log x * x
x : ℝ
hx : x < 0

⊢ x ∈ {0}ᶜ
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ

⊢ P.symm.Λ₀ s = P.symm.Λ s + (1 / s) • P.g₀ + (P.ε⁻¹ / (↑P.k - s)) • P.f₀
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ

⊢ P.symm.Λ s + (1 / s) • P.symm.f₀ + (P.symm.ε / (↑P.symm.k - s)) • P.symm.g₀ = P.symm.Λ s + (1 / s) • P.g₀ + (P.ε⁻¹ / (↑P.k - s)) • P.f₀
-- Mathlib/Algebra/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
v₁ v₂ : G
p₁ p₂ : P

⊢ v₁ +ᵥ p₁ = v₂ +ᵥ p₂ ↔ v₂ - v₁ = p₁ -ᵥ p₂
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace α
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s

⊢ 0 < s.infsep ↔ s.Nontrivial
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace α
s : Set α
inst✝ : Finite ↑s

⊢ s.Nontrivial → 0 < s.einfsep
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
f : Aut F
A : C
inst✝ : IsGalois A
a : ↑(F.obj A)

⊢ F.map ((AutGalois.π F { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }) ((endEquivAutGalois F) ↑((Aut.unitsEndEquivAut F).symm f))).hom a = f.hom.app A a
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
f : Aut F
A : C
inst✝ : IsGalois A
a : ↑(F.obj A)

⊢ (↑((Aut.unitsEndEquivAut F).symm f)).app { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }.obj { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }.pt = f.hom.app A a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ
hs : s ≠ 0

⊢ (s + 1).Gammaℂ = s.Gammaℂ * s / 2 / ↑π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ
hs : s ≠ 0

⊢ 2 * ((2 * ↑π) ^ (-s) * (2 * ↑π)⁻¹) * (s * Gamma s) = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Gamma s * s / 2 / ↑π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ
hs : s ≠ 0

⊢ 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * (s * Gamma s) = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Gamma s * s
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝¹¹ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : ChartedSpace HB B
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F E
x : B

⊢ ContMDiffAt IB (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) ⊤ (fun x => { proj := x, snd := 0 }) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝¹¹ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : ChartedSpace HB B
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F E
x : B

⊢ ContMDiffAt IB 𝓘(𝕜, F) ⊤ (fun x_1 => (↑(trivializationAt F E x) { proj := x_1, snd := 0 }).2) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝¹² : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝¹¹ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
inst✝⁴ : ChartedSpace HB B
inst✝³ : FiberBundle F E
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module 𝕜 (E x)
inst✝ : VectorBundle 𝕜 F E
x : B

⊢ (fun x_1 => (↑(trivializationAt F E x) { proj := x_1, snd := 0 }).2) =ᶠ[𝓝 x] fun x => 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
α : Type u_1
a b : ℂ
ha : a ≠ 0

⊢ ContinuousAt (fun x => a ^ x) b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
α : Type u_1
a b : ℂ
ha : a ≠ 0
cpow_eq : (fun x => a ^ x) = fun x => cexp (Complex.log a * x)

⊢ ContinuousAt (fun x => a ^ x) b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
α : Type u_1
a b : ℂ
ha : a ≠ 0
cpow_eq : (fun x => a ^ x) = fun x => cexp (Complex.log a * x)

⊢ ContinuousAt (fun x => cexp (Complex.log a * x)) b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
inst✝¹ : HasProduct I.left
inst✝ : HasProduct I.right
K : Multifork I

⊢ ∀ (j : WalkingMulticospan I.fstTo I.sndTo), ((𝟭 (Multifork I)).obj K).π.app j = (Iso.refl ((𝟭 (Multifork I)).obj K).pt).hom ≫ ((I.toPiForkFunctor ⋙ I.ofPiForkFunctor).obj K).π.app j
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

⊢ MeasurePreserving (fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)) (μ.prod ν) (μ.prod ν)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant

⊢ (fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)) = (fun z => (z.2, z.2⁻¹ * z.1)) ∘ fun z => (z.2, z.2 * z.1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : SFinite μ
s : Set G
inst✝² : MeasurableInv G
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : ν.IsMulLeftInvariant
x y : G

⊢ ((x, y).2 * (x, y).1, (x, y).1⁻¹) = ((fun z => (z.2, z.2⁻¹ * z.1)) ∘ fun z => (z.2, z.2 * z.1)) (x, y)
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/GaussSum.lean
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
hχ : χ.IsPrimitive
he : ¬e.IsPrimitive

⊢ gaussSum χ e = 0
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/GaussSum.lean
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
he : ¬e.IsPrimitive
hχ : gaussSum χ e ≠ 0

⊢ ¬χ.IsPrimitive
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/GaussSum.lean
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
he : ¬e.IsPrimitive
hχ : gaussSum χ e ≠ 0
d : ℕ
hd₁ : d ∣ N
hd₂ : d < N
hed : e.mulShift ↑d = 1

⊢ ¬χ.IsPrimitive
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/GaussSum.lean
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
he : ¬e.IsPrimitive
hχ : gaussSum χ e ≠ 0
d : ℕ
hd₁ : d ∣ N
hd₂ : d < N
hed : e.mulShift ↑d = 1
this : χ.conductor ≤ d

⊢ ¬χ.IsPrimitive
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle

⊢ ∀ (x : V), ((-o).rotation θ) x = (o.rotation (-θ)) x
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s t : Subgroup α
ι : Type u_2
f : ι → Subgroup α
H : Subgroup α

⊢ ∀ (a₁ a₂ : ↥H), (fun q i => quotientSubgroupOfMapOfLE H ⋯ q) (Quotient.mk'' a₁) = (fun q i => quotientSubgroupOfMapOfLE H ⋯ q) (Quotient.mk'' a₂) → Quotient.mk'' a₁ = Quotient.mk'' a₂
-- Mathlib/Algebra/Jordan/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b c : A

⊢ 0 = 2 • (⁅L a, L (b * c)⁆ + ⁅L b, L (c * a)⁆ + ⁅L c, L (a * b)⁆)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra

⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FiniteType
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯

⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FiniteType
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this : Algebra R' S' := f'.toAlgebra

⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FiniteType
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'

⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FiniteType
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯

⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FiniteType
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤

⊢ (IsLocalization.map S' f ⋯).FiniteType
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤

⊢ Algebra.adjoin R' ↑(Finset.image (⇑(algebraMap S S')) T) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤

⊢ ⊤ ≤ Algebra.adjoin R' ↑(Finset.image (⇑(algebraMap S S')) T)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
x : S'

⊢ x ∈ Algebra.adjoin R' ↑(Finset.image (⇑(algebraMap S S')) T)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M

⊢ IsLocalization.mk' S' y ⟨f r, ⋯⟩ ∈ Algebra.adjoin R' ↑(Finset.image (⇑(algebraMap S S')) T)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M

⊢ IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M
hy : y ∈ Algebra.adjoin R ↑T

⊢ IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M
hy : (algebraMap S S') y ∈ Subalgebra.map fₐ (Algebra.adjoin R ↑T)

⊢ IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T)