ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Bounded.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ x ∉ K, f x = 1

⊢ ∃ R, 0 < R ∧ ∀ (x : α), R ≤ ‖x‖ → f x = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Bounded.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ x ∉ K, f x = 1
S : ℝ
hS : S > 0
hS' : ∀ x ∈ K, ‖x‖ ≤ S

⊢ ∃ R, 0 < R ∧ ∀ (x : α), R ≤ ‖x‖ → f x = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Bounded.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ x ∉ K, f x = 1
S : ℝ
hS : S > 0
hS' : ∀ x ∈ K, ‖x‖ ≤ S
x : α
hx : S + 1 ≤ ‖x‖

⊢ ¬‖x‖ ≤ S
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Bounded.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f
K : Set α
hK1 : IsCompact K
hK2 : ∀ x ∉ K, f x = 1
S : ℝ
hS : S > 0
hS' : ∀ x ∈ K, ‖x‖ ≤ S
x : α
hx : ‖x‖ ≤ S

⊢ ‖x‖ < S + 1
-- Mathlib/Topology/DiscreteQuotient.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
f : C(X, Y)
A A' : DiscreteQuotient X
B B' : DiscreteQuotient Y
g : C(Y, Z)
C : DiscreteQuotient Z

⊢ LEComap g B C → LEComap f A B → LEComap (g.comp f) A C
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ

⊢ ↑((val 0).gcdA (n + 1)) = 0
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ

⊢ ↑(Nat.gcdA 0 (n + 1)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
y : ↥M
hxy : mk' S 0 y ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Matrix n n R
inst✝ : Nontrivial R
i j : n

⊢ (M.charmatrix i j).natDegree = if i = j then 1 else 0
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F'✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'✝
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'✝
inst✝¹ : CompleteSpace F'✝
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u

⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F'✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'✝
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'✝
inst✝¹ : CompleteSpace F'✝
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v

⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F'✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'✝
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'✝
inst✝¹ : CompleteSpace F'✝
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v

⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F'✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'✝
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'✝
inst✝¹ : CompleteSpace F'✝
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ

⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝¹⁴ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝¹³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁴ : μ.IsAddHaarMeasure
F'✝ : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'✝
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'✝
inst✝¹ : CompleteSpace F'✝
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hn : 0 < finrank ℝ E
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
F' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ F))
e : F ≃L[ℝ] F' := toEuclidean
C₁ : ℝ≥0 := ‖↑e.symm‖₊
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p
C₂ : ℝ≥0 := ‖↑e‖₊
v : E → F' := ⇑e ∘ u
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
this : eLpNorm v (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ v) (↑p) μ
h4v : ∀ (x : E), ‖fderiv ℝ v x‖ ≤ ↑C₂ * ‖fderiv ℝ u x‖

⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
x : X'
y : ↑(Set.range fun x => x • ↑(MonoidHom.range f))

⊢ fromCoset ⟨1 • ↑y, ⋯⟩ = fromCoset y
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMaxOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)

⊢ μ = ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMaxOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s

⊢ μ = ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMaxOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
this : (⋃ l ∈ s, ⋃ u ∈ s, ⋃ (_ : l < u), {Ico l u}).Countable

⊢ μ = ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMaxOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
this : {x | ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_2, ∃ (_ : i_2 ∈ s) (_ : i < i_2), x = Ico i i_2}.Countable

⊢ μ = ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMaxOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
this : {x | ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_2, ∃ (_ : i_2 ∈ s) (_ : i < i_2), x = Ico i i_2}.Countable

⊢ {x | ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_2, ∃ (_ : i_2 ∈ s) (_ : i < i_2), x = Ico i i_2} ⊆ {S | ∃ l u, l < u ∧ Ico l u = S}
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMaxOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
this : {x | ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_2, ∃ (_ : i_2 ∈ s) (_ : i < i_2), x = Ico i i_2}.Countable

⊢ ⋃₀ {x | ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_2, ∃ (_ : i_2 ∈ s) (_ : i < i_2), x = Ico i i_2} = univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMaxOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
this : {x | ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_2, ∃ (_ : i_2 ∈ s) (_ : i < i_2), x = Ico i i_2}.Countable

⊢ ∀ s_1 ∈ {x | ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_2, ∃ (_ : i_2 ∈ s) (_ : i < i_2), x = Ico i i_2}, μ s_1 ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s✝ t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : NoMaxOrder α
μ ν : Measure α
hμ : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) ≠ ⊤
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)
s : Set α
hsc : s.Countable
hsd : Dense s
hsb : ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s
right✝ : ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s
this : {x | ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), ∃ i_2, ∃ (_ : i_2 ∈ s) (_ : i < i_2), x = Ico i i_2}.Countable

⊢ ∀ s ∈ {S | ∃ l u, l < u ∧ Ico l u = S}, μ s = ν s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α
hf : f x = x
hg : f (g x) = g x

⊢ (f * g) x = (g * f) x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α
hf : f x = x
hg : g (g x) = g x

⊢ (f * g) x = (g * f) x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α
hg : g x = x
hf : f (f x) = f x

⊢ (f * g) x = (g * f) x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α
hg : g x = x
hf : g (f x) = f x

⊢ (f * g) x = (g * f) x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.199007, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : k ≫ S.g = 0
inst✝ : S.HasLeftHomology
A' : C
α : A' ⟶ A

⊢ (α ≫ k) ≫ S.g = 0
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
n : ℕ
f : Vector ℕ (n + 1) → ℕ
hf : Partrec' ↑f
v : Vector ℕ n
b : ℕ

⊢ (b ∈ (Nat.rfind fun n_1 => Part.some (decide (1 - f (n_1 ::ᵥ v) = 0))).bind fun a => ↑pred (f (a ::ᵥ v))) ↔ b ∈ Nat.rfindOpt fun a => ofNat (Option ℕ) (f (a ::ᵥ v))
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
n : ℕ
f : Vector ℕ (n + 1) → ℕ
hf : Partrec' ↑f
v : Vector ℕ n
b : ℕ

⊢ (∃ a ∈ Nat.rfind fun n_1 => Part.some (decide (1 ≤ f (n_1 ::ᵥ v))), b = (f (a ::ᵥ v)).pred) ↔ ∃ a ∈ Nat.rfind fun n_1 => ↑(some (ofNat (Option ℕ) (f (n_1 ::ᵥ v))).isSome), ofNat (Option ℕ) (f (a ::ᵥ v)) = some b
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
n : ℕ
f : Vector ℕ (n + 1) → ℕ
hf : Partrec' ↑f
v : Vector ℕ n
b a : ℕ

⊢ (a ∈ Nat.rfind fun n_1 => Part.some (decide (1 ≤ f (n_1 ::ᵥ v)))) = (a ∈ Nat.rfind fun n_1 => ↑(some (ofNat (Option ℕ) (f (n_1 ::ᵥ v))).isSome))
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
n : ℕ
f : Vector ℕ (n + 1) → ℕ
hf : Partrec' ↑f
v : Vector ℕ n
b a : ℕ
h : a ∈ Nat.rfind fun n_1 => ↑(some (ofNat (Option ℕ) (f (n_1 ::ᵥ v))).isSome)

⊢ b = (f (a ::ᵥ v)).pred ↔ ofNat (Option ℕ) (f (a ::ᵥ v)) = some b
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
f g : Perm α
s : Multiset α
hs : ∀ (x : α), x ∈ s

⊢ (f * g).signAux3 hs = f.signAux3 hs * g.signAux3 hs ∧ Pairwise fun x y => (swap x y).signAux3 hs = -1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
f g : Perm α
s : Multiset α
hs : ∀ (x : α), x ∈ s
n : ℕ
e : α ≃ Fin n

⊢ (f * g).signAux3 hs = f.signAux3 hs * g.signAux3 hs ∧ Pairwise fun x y => (swap x y).signAux3 hs = -1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
f g : Perm α
n : ℕ
e : α ≃ Fin n
l : List α
hs : ∀ (x : α), x ∈ ⟦l⟧

⊢ (f * g).signAux3 hs = f.signAux3 hs * g.signAux3 hs ∧ Pairwise fun x y => (swap x y).signAux3 hs = -1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
f g : Perm α
n : ℕ
e : α ≃ Fin n
l : List α
hs : ∀ (x : α), x ∈ ⟦l⟧

⊢ signAux2 l (f * g) = signAux2 l f * signAux2 l g ∧ Pairwise fun x y => signAux2 l (swap x y) = -1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Finite α
f g : Perm α
n : ℕ
e : α ≃ Fin n
l : List α
hs : ∀ (x : α), x ∈ ⟦l⟧
hfg : (e.symm.trans (f * g)).trans e = (e.symm.trans f).trans e * (e.symm.trans g).trans e

⊢ signAux2 l (f * g) = signAux2 l f * signAux2 l g ∧ Pairwise fun x y => signAux2 l (swap x y) = -1
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X A B : C
f : A ⟶ X
g : B ⟶ X
a : ↑(F.obj A)
b : ↑(F.obj B)
h : F.map f a = F.map g b

⊢ ((Types.pullbackIsoPullback (F.map f) (F.map g)).inv ≫ (PreservesPullback.iso (F ⋙ FintypeCat.incl) f g).inv ≫ (F ⋙ FintypeCat.incl).map (pullback.snd f g)) ⟨(a, b), h⟩ = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z

⊢ W ◁ g ≫ f ▷ Z = f ▷ Y ≫ X ◁ g
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/ArctanDeriv.lean
x : ℝ

⊢ ContinuousAt tan x ↔ cos x ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/ArctanDeriv.lean
x : ℝ
hc : ContinuousAt tan x
h₀ : cos x = 0

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x

⊢ HasMFDerivWithinAt I I' f₁ s x f'
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x

⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f₁) f' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x

⊢ writtenInExtChartAt I I' x f₁ =ᶠ[𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x] writtenInExtChartAt I I' x f
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
h : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x

⊢ writtenInExtChartAt I I' x f₁ (↑(extChartAt I x) x) = writtenInExtChartAt I I' x f (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
b : β
hb : b ∉ s

⊢ (cons b s hb).sup' ⋯ f = f b ⊔ s.sup' H f
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
b : β
hb : b ∉ s

⊢ ↑((cons b s hb).sup' ⋯ f) = ↑(f b ⊔ s.sup' H f)