ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ t ∈ Icc 0 1, x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : ℝ → F := fun t => f (x + h • v + (t * h) • w) - (t * h) • (f' x) w - (t * h ^ 2) • (f'' v) w - ((t * h) ^ 2 / 2) • (f'' w) w
g' : ℝ → F := fun t => (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w
hg' : g' = fun t => (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w
g_deriv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt g (g' t) (Icc 0 1) t
g'_bound : ∀ t ∈ Ico 0 1, ‖g' t‖ ≤ ε * ((‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖) * h ^ 2

⊢ ‖f (x + h • v + h • w) - f (x + h • v) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * h ^ 2‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ t ∈ Icc 0 1, x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : ℝ → F := fun t => f (x + h • v + (t * h) • w) - (t * h) • (f' x) w - (t * h ^ 2) • (f'' v) w - ((t * h) ^ 2 / 2) • (f'' w) w
g' : ℝ → F := fun t => (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w
hg' : g' = fun t => (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w
g_deriv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt g (g' t) (Icc 0 1) t
g'_bound : ∀ t ∈ Ico 0 1, ‖g' t‖ ≤ ε * ((‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖) * h ^ 2
I : ‖g 1 - g 0‖ ≤ ε * ((‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖) * h ^ 2

⊢ ‖f (x + h • v + h • w) - f (x + h • v) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * h ^ 2‖
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
x y z : 𝕜
h : x ≤ y

⊢ z ∈ Icc x y ↔ ∃ a b, 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∧ a + b = 1 ∧ a * x + b * y = z
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s

⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s → x ∈ t
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t

⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s → x ∈ t
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t

⊢ (t ∪ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})) ∩ s ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t

⊢ ((t ∪ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})) ∩ s).Countable
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t

⊢ Dense ((t ∪ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})) ∩ s)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t

⊢ ∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s → x ∈ (t ∪ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})) ∩ s
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t

⊢ ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s → x ∈ (t ∪ ({x | IsBot x} ∪ {x | IsTop x})) ∩ s
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f

⊢ sᶜ ∈ f
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f
x : X
hx : x ∈ s

⊢ sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f
x : X
hx : x ∈ s
t : Set X
ht : t ∈ 𝓝[s] x
hst : tᶜ ∈ f

⊢ sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f
x : X
hx : x ∈ s
t : Set X
hst : tᶜ ∈ f
ht : {x | x ∈ s → x ∈ t} ∈ 𝓝 x

⊢ sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
f : Filter X
hf : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, tᶜ ∈ f
x : X
hx : x ∈ s
t : Set X
hst : tᶜ ∈ f
ht : {x | x ∈ s → x ∈ t} ∈ 𝓝 x

⊢ {x | x ∈ s → x ∈ t} ∩ tᶜ ⊆ sᶜ
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbsoluteValue.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : ι → R
h : abv.IsAdmissible

⊢ ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : ι), t i₀ = t i₁ → ↑(abv (A i₁ % b - A i₀ % b)) < abv b • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbsoluteValue.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : ι → R
h : abv.IsAdmissible
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n

⊢ ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : ι), t i₀ = t i₁ → ↑(abv (A i₁ % b - A i₀ % b)) < abv b • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbsoluteValue.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : ι → R
h : abv.IsAdmissible
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n
t : Fin n → Fin (h.card ε)
ht : ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑(abv ((A ∘ ⇑e.symm) i₁ % b - (A ∘ ⇑e.symm) i₀ % b)) < abv b • ε

⊢ ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : ι), t i₀ = t i₁ → ↑(abv (A i₁ % b - A i₀ % b)) < abv b • ε
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleAbsoluteValue.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : EuclideanDomain R
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : R
hb : b ≠ 0
A : ι → R
h✝ : abv.IsAdmissible
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n
t : Fin n → Fin (h✝.card ε)
ht : ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ → ↑(abv ((A ∘ ⇑e.symm) i₁ % b - (A ∘ ⇑e.symm) i₀ % b)) < abv b • ε
i₀ i₁ : ι
h : (t ∘ ⇑e) i₀ = (t ∘ ⇑e) i₁

⊢ ↑(abv (A i₁ % b - A i₀ % b)) < abv b • ε
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
x : F.M

⊢ M.mk x.dest = x
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
x : F.M

⊢ ∀ (i : ℕ), (M.mk x.dest).approx i = x.approx i
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
x : F.M
n : ℕ
a✝ : Approx.sMk x.dest n = x.approx n
hd : F.A
h' : hd = head' (x.approx 1)
ch : F.B (head' (x.approx 1)) → CofixA F n
h : x.approx n.succ = CofixA.intro (head' (x.approx 1)) ch
a : F.B (head' (x.approx 1))
a'' : F.B (head' (x.approx n.succ))
hh : cast ⋯ a = a''

⊢ children' (x.approx n.succ) a'' = ch a
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f : X → ↑F X
x : F.M
n : ℕ
a✝ : Approx.sMk x.dest n = x.approx n
hd : F.A
h' : hd = head' (x.approx 1)
ch : F.B (head' (x.approx 1)) → CofixA F n
h : x.approx n.succ = CofixA.intro (head' (x.approx 1)) ch
a : F.B (head' (x.approx 1))
a'' : F.B (head' (x.approx n.succ))
hh : HEq a a''

⊢ children' (x.approx n.succ) a'' = ch a
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
e : r ≃r s
x : α
y : β

⊢ r x (e.symm y) ↔ s (e x) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
g h : M ⊗[R] N →ₗ[R] P
H : (mk R M N).compr₂ g = (mk R M N).compr₂ h

⊢ g = h
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/NewtonIdentities.lean
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ

⊢ ↑k * esymm σ R k = (-1) ^ k * ∑ t ∈ filter (fun t => t.1.card = k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k), MvPolynomial.NewtonIdentities.weight σ R k t
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : T2Space X
hs : IsClosed s ∨ IsOpen s

⊢ LocallyIntegrableOn f s μ ↔ ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn f k μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : T2Space X
hs : IsClosed s ∨ IsOpen s
hf : ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn f k μ
x : X
hx : x ∈ s

⊢ IntegrableAtFilter f (𝓝[s] x) μ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
pn : p.natDegree ≤ n

⊢ (p - q).natDegree ≤ n ↔ q.natDegree ≤ n
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
f : C(X, R)

⊢ f ∈ idealOfSet R ∅ ↔ f ∈ ⊥
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hsu : (s ∩ u).Nonempty
hs : IsPreconnected s

⊢ Disjoint s v
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hsu : (s ∩ u).Nonempty
hs : IsPreconnected s
hsv : ¬Disjoint s v

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hsu : (s ∩ u).Nonempty
hs : IsPreconnected s
hsv : (s ∩ v).Nonempty

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
huv : Disjoint u v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
hsu : (s ∩ u).Nonempty
hs : IsPreconnected s
hsv : (s ∩ v).Nonempty
x : α
left✝ : x ∈ s
hx : x ∈ u ∩ v

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
h : 1 / a ≠ 0
ha : a = 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
h : 0 ≠ 0
ha : a = 0

⊢ False
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : Num

⊢ 0 + n.succ = (0 + n).succ
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : PosNum

⊢ pos (p + 1) = (pos p + 0).succ
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
t : Set ↑s
ht : IsOpen t
hs : IsOpen s

⊢ IsOpen (Subtype.val '' t)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s
s' : Set X
hs' : IsOpen s'
ht : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s')

⊢ IsOpen (Subtype.val '' (Subtype.val ⁻¹' s'))
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
hs : IsOpen s
s' : Set X
hs' : IsOpen s'
ht : IsOpen (Subtype.val ⁻¹' s')

⊢ IsOpen (s ∩ s')
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
Q✝ Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i

⊢ (P.bind Q).parts.card = ∑ A ∈ P.parts.attach, (Q ↑A ⋯).parts.card
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
Q✝ Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i

⊢ ∀ x ∈ P.parts.attach, ∀ y ∈ P.parts.attach, x ≠ y → Disjoint (Q ↑x ⋯).parts (Q ↑y ⋯).parts
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b✝ c✝ : α
P : Finpartition a
Q✝ Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
b : α
hb : b ∈ P.parts
c : α
hc : c ∈ P.parts
hbc : ⟨b, hb⟩ ≠ ⟨c, hc⟩

⊢ Disjoint (Q ↑⟨b, hb⟩ ⋯).parts (Q ↑⟨c, hc⟩ ⋯).parts
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b✝ c✝ : α
P : Finpartition a
Q✝ Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
b : α
hb : b ∈ P.parts
c : α
hc : c ∈ P.parts
hbc : ⟨b, hb⟩ ≠ ⟨c, hc⟩

⊢ ∀ ⦃a_1 : α⦄, a_1 ∈ (Q ↑⟨b, hb⟩ ⋯).parts → a_1 ∉ (Q ↑⟨c, hc⟩ ⋯).parts
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b✝ c✝ : α
P : Finpartition a
Q✝ Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
b : α
hb : b ∈ P.parts
c : α
hc : c ∈ P.parts
hbc : ⟨b, hb⟩ ≠ ⟨c, hc⟩
d : α
hdb : d ∈ (Q ↑⟨b, hb⟩ ⋯).parts
hdc : d ∈ (Q ↑⟨c, hc⟩ ⋯).parts

⊢ False
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b✝ c✝ : α
P : Finpartition a
Q✝ Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
b : α
hb : b ∈ P.parts
c : α
hc : c ∈ P.parts
hbc : ¬b = c
d : α
hdb : d ∈ (Q ↑⟨b, hb⟩ ⋯).parts
hdc : d ∈ (Q ↑⟨c, hc⟩ ⋯).parts

⊢ False
-- Mathlib/Data/Int/Interval.lean
a b : ℤ
h : a ≤ b

⊢ ↑(Ico a b).card = b - a
-- Mathlib/CategoryTheory/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
se : SplitEpi f
Z✝ : C
g h : Y ⟶ Z✝
w : f ≫ g = f ≫ h

⊢ g = h
-- Mathlib/CategoryTheory/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
se : SplitEpi f
Z✝ : C
g h : Y ⟶ Z✝
w : se.section_ ≫ f ≫ g = se.section_ ≫ f ≫ h

⊢ g = h
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Holder.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f : X → Y

⊢ HolderOnWith C r f univ ↔ HolderWith C r f
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s : Finset α
a b : ℕ

⊢ _root_.Disjoint (range a) (map (addRightEmbedding a) (range b))
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s : Finset α
a b : ℕ

⊢ ∀ ⦃a_1 : ℕ⦄, a_1 < a → ∀ x < b, ¬x + a = a_1
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : InjOn f s
h₁ : s₁ ⊆ s
h₂ : s₂ ⊆ s

⊢ f '' s₁ ⊂ f '' s₂ ↔ s₁ ⊂ s₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν

⊢ (μ.rnDeriv ν)⁻¹ =ᶠ[ae μ] ν.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν

⊢ (μ.rnDeriv ν)⁻¹ =ᶠ[ae μ] (μ.rnDeriv (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)))⁻¹ ∧ ν.rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] (μ.withDensity (ν.rnDeriv μ)).rnDeriv μ
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
inst✝ : DenselyOrdered α

⊢ Disjoint (Ioo a₁ a₂) (Ioo b₁ b₂) ↔ min a₂ b₂ ≤ max a₁ b₁
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsUpperSet α
s : Set α

⊢ IsOpen s ↔ IsUpperSet s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Maps.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
G'' : SimpleGraph X
s : Set V
t : Set W
r : Set X
φ : G →g G'
φst : Set.MapsTo (⇑φ) s t
ψ : G' →g G''
ψtr : Set.MapsTo (⇑ψ) t r
hi : Set.InjOn (⇑φ) s

⊢ Injective ⇑(induceHom φ φst)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℂ
hx : cos x ≠ 0

⊢ tan x ^ 2 / (1 + tan x ^ 2) = sin x ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
b : ℕ
ha4 : a % 4 = 0
hb2 : b % 2 = 1

⊢ J(a / 4 | b) = J(a | b)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
b : ℕ
hb2 : b % 2 = 1
a : ℤ
ha4 : 4 * a % 4 = 0

⊢ J(4 * a / 4 | b) = J(4 * a | b)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
b : ℕ
hb2 : b % 2 = 1
a : ℤ
ha4 : 4 * a % 4 = 0
this : (↑2).gcd ↑b = 1

⊢ J(4 * a / 4 | b) = J(4 * a | b)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Exponential.lean
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℝ
h : 0 ≤ x

⊢ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, exponentialPDF r y = ENNReal.ofReal (1 - rexp (-(r * x)))
-- Mathlib/Probability/Distributions/Exponential.lean
r : ℝ
hr : 0 < r
x : ℝ
h : ¬0 ≤ x

⊢ ∫⁻ (y : ℝ) in Iic x, exponentialPDF r y = ENNReal.ofReal 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

⊢ (f =O[l] fun x => -g' x) ↔ f =O[l] g'
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

⊢ (∃ c, IsBigOWith c l f fun x => -g' x) ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f g'
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ

⊢ (m + n).Coprime m ↔ n.Coprime m
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α

⊢ ‖diagonal v‖₊ = ‖v‖₊
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α

⊢ (Finset.univ.sup fun i => ∑ j : m, ‖diagonal v i j‖₊) = Finset.univ.sup fun b => ‖v b‖₊
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α
i : m

⊢ ∑ j : m, ‖diagonal v i j‖₊ = ‖v i‖₊
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α
i j : m
_hj : j ∈ Finset.univ
hij : j ≠ i

⊢ ‖diagonal v i j‖₊ = 0
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : DecidableEq m
v : m → α
i : m

⊢ ‖diagonal v i i‖₊ = ‖v i‖₊
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/IntegrationByParts.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W

⊢ ∫ (x : E), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E), (B (f' x)) (g x) ∂μ