ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
n : ℕ

⊢ (∏ _i ∈ Finset.range n, φ).IsHomogeneous (m * n)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n✝ : ℕ
hφ : φ.IsHomogeneous m
n : ℕ

⊢ (∏ _i ∈ Finset.range n, φ).IsHomogeneous (∑ _i ∈ Finset.range n, m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι✝ : Type u_4
s✝ : Finset ι✝
w✝ w₁ w₂ : ι✝ → k
p✝ : ι✝ → V
ι : Type u_5
p : ι → V
s : Finset ι
w : ι → k
hw : ∑ i ∈ s, w i = 0

⊢ ((s.weightedVSub p) w = 0 → ∀ i ∈ s, w i = 0) ↔ ∑ e ∈ s, w e • p e = 0 → ∀ e ∈ s, w e = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M

⊢ (GradedAlgebra.ι Q) m * (GradedAlgebra.ι Q) m = (algebraMap R (⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))) (Q m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
m : M

⊢ (DirectSum.of (fun i => ↥(evenOdd Q i)) (1 + 1)) (GradedMonoid.GMul.mul ⟨(ι Q) m, ⋯⟩ ⟨(ι Q) m, ⋯⟩) = (DirectSum.of (fun i => ↥(evenOdd Q i)) 0) (DirectSum.GAlgebra.toFun (Q m))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'' : DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior D)
hf''_nonneg : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ deriv^[2] f x

⊢ DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior (interior D))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
hf'' : DifferentiableOn ℝ (deriv f) (interior D)
hf''_nonneg : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ deriv^[2] f x

⊢ ∀ x ∈ interior (interior D), 0 ≤ deriv (deriv f) x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α

⊢ f⁻¹ x = x ∨ g x = x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
h : f.Disjoint g
x : α

⊢ f x = x ∨ g x = x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : HasContDiffBump E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝⁶ : BorelSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝³ : μ.IsOpenPosMeasure
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : CompleteSpace X
z : X

⊢ ∫ (x : E), f.normed μ x • z ∂μ = z
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/CongruenceSubgroups.lean
N✝ : ℕ
N : ℕ+
A : SL(2, ℤ)
hA : A ∈ Gamma ↑N

⊢ A ∈ Gamma1 ↑N
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/CongruenceSubgroups.lean
N✝ : ℕ
N : ℕ+
A : SL(2, ℤ)
hA : ↑(↑A 0 0) = 1 ∧ ↑(↑A 0 1) = 0 ∧ ↑(↑A 1 0) = 0 ∧ ↑(↑A 1 1) = 1

⊢ ↑(↑A 0 0) = 1 ∧ ↑(↑A 1 1) = 1 ∧ ↑(↑A 1 0) = 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A

⊢ 0 ∉ σ a ↔ IsUnit a
-- Mathlib/Topology/Baire/Lemmas.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
p : X → Prop

⊢ (∀ᶠ (x : X) in residual X, p x) ↔ ∃ t, IsGδ t ∧ Dense t ∧ ∀ x ∈ t, p x
-- Mathlib/Topology/Baire/Lemmas.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
ι : Sort u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : BaireSpace X
p : X → Prop

⊢ (∃ t, (∀ x ∈ t, p x) ∧ IsGδ t ∧ Dense t) ↔ ∃ t, IsGδ t ∧ Dense t ∧ ∀ x ∈ t, p x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Diffeomorph.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝¹ : TopologicalSpace N'
inst✝ : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
α : Sort u_13
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
f : α → M

⊢ range (⇑h ∘ f) = ⇑h.symm ⁻¹' range f
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
T : Finset ι
hT : T ⊆ S
i : ι
hi : i ∈ S
hiT : i ∉ T

⊢ Disjoint ((fun i => torsionBySet R M ↑(p i)) i) (T.sup fun i => torsionBySet R M ↑(p i))
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
T : Finset ι
hT : T ⊆ S
i : ι
hi : i ∈ S
hiT : i ∉ T

⊢ (fun i => torsionBySet R M ↑(p i)) i ⊓ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ T, p i) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
T : Finset ι
hT : T ⊆ S
i : ι
hi : i ∈ S
hiT : i ∉ T
this : torsionBySet R M ↑(OrderDual.ofDual (OrderDual.toDual (p i) ⊓ OrderDual.toDual (⨅ i ∈ T, p i))) = torsionBySet R M ↑(OrderDual.ofDual (OrderDual.toDual (p i))) ⊓ torsionBySet R M ↑(OrderDual.ofDual (OrderDual.toDual (⨅ i ∈ T, p i)))

⊢ (fun i => torsionBySet R M ↑(p i)) i ⊓ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ T, p i) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
T : Finset ι
hT : T ⊆ S
i : ι
hi : i ∈ S
hiT : i ∉ T
this : torsionBySet R M ↑(p i ⊔ ⨅ i ∈ T, p i) = torsionBySet R M ↑(p i) ⊓ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ T, p i)

⊢ torsionBySet R M ↑(p i) ⊓ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ T, p i) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
T : Finset ι
hT : T ⊆ S
i : ι
hi : i ∈ S
hiT : i ∉ T
this : torsionBySet R M ↑(p i ⊔ ⨅ i ∈ T, p i) = torsionBySet R M ↑(p i) ⊓ torsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ T, p i)

⊢ ∀ i_1 ∈ T, p i ⊔ p i_1 = ⊤
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε

⊢ ∃ g, ‖↑g - f‖ < ε
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w✝ : A.SeparatesPoints
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
w : ∃ᶠ (x : C(X, ℝ)) in 𝓝 f, x ∈ ↑A.toSubsemiring

⊢ ∃ g, ‖↑g - f‖ < ε
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w✝ : A.SeparatesPoints
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
w : ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ x ∈ Metric.ball f i, x ∈ ↑A.toSubsemiring

⊢ ∃ g, ‖↑g - f‖ < ε
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w✝ : A.SeparatesPoints
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
w : ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ x ∈ Metric.ball f i, x ∈ ↑A.toSubsemiring
g : C(X, ℝ)
H : g ∈ Metric.ball f ε
m : g ∈ ↑A.toSubsemiring

⊢ ∃ g, ‖↑g - f‖ < ε
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w✝ : A.SeparatesPoints
f : C(X, ℝ)
ε : ℝ
pos : 0 < ε
w : ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ x ∈ Metric.ball f i, x ∈ ↑A.toSubsemiring
g : C(X, ℝ)
H : ‖g - f‖ < ε
m : g ∈ ↑A.toSubsemiring

⊢ ∃ g, ‖↑g - f‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
μ : 𝕜
v : E
T : E →ₗ[𝕜] E
h : v ∈ eigenspace T μ

⊢ ⟪v, T v⟫_𝕜 = μ * ↑‖v‖ ^ 2
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α

⊢ A.det • A.adjugate.adjugate = A.det ^ (Fintype.card n - 1) • A
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
this : A * (A.adjugate * A.adjugate.adjugate) = A * A.det ^ (Fintype.card n - 1) • 1

⊢ A.det • A.adjugate.adjugate = A.det ^ (Fintype.card n - 1) • A
-- Mathlib/Topology/NhdsSet.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s✝ t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
ι : Sort u_3
s : ι → Set X
P : X → Prop

⊢ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (⋃ i, s i), P x) ↔ ∀ (i : ι), ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (s i), P x
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s

⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ U ∩ s = {x}
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
U : Set X
hU_nhds : U ∈ 𝓝 x
hU_inter : U ∩ s = {x}

⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ U ∩ s = {x}
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
U : Set X
hU_nhds : U ∈ 𝓝 x
hU_inter : U ∩ s = {x}
t : Set X
ht_sub : t ⊆ U
ht_open : IsOpen t
ht_x : x ∈ t

⊢ ∃ U, IsOpen U ∧ U ∩ s = {x}
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
U : Set X
hU_nhds : U ∈ 𝓝 x
hU_inter : U ∩ s = {x}
t : Set X
ht_sub : t ⊆ U
ht_open : IsOpen t
ht_x : x ∈ t

⊢ t ∩ s ⊆ {x}
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
s : Set X
inst✝ : DiscreteTopology ↑s
x : X
hx : x ∈ s
U : Set X
hU_nhds : U ∈ 𝓝 x
hU_inter : U ∩ s = {x}
t : Set X
ht_sub : t ⊆ U
ht_open : IsOpen t
ht_x : x ∈ t

⊢ {x} ⊆ t ∩ s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A

⊢ (E.map φ).j = φ E.j
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
t : Finset β
x : β

⊢ x ∈ s.biUnion f ∩ t ↔ x ∈ s.biUnion fun x => f x ∩ t
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
f : α → Finset β
t : Finset β
x : β

⊢ (∃ a ∈ s, x ∈ f a) ∧ x ∈ t ↔ ∃ a ∈ s, x ∈ f a ∧ x ∈ t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverPreserving.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
h : x.Compatible
Z₁ Z₂ W : D
g₁ : W ⟶ Z₁
g₂ : W ⟶ Z₂
X₁ : C
f₁ : X₁ ⟶ Z
h₁ : Z₁ ⟶ G.obj X₁
hf₁ : T f₁
H₁ : Presieve.functorPushforward G T (h₁ ≫ G.map f₁)
X₂ : C
f₂ : X₂ ⟶ Z
h₂ : Z₂ ⟶ G.obj X₂
hf₂ : T f₂
H₂ : Presieve.functorPushforward G T (h₂ ≫ G.map f₂)
eq : g₁ ≫ h₁ ≫ G.map f₁ = g₂ ≫ h₂ ≫ G.map f₂

⊢ ℱ.val.map (g₁ ≫ h₁).op (x f₁ hf₁) = ℱ.val.map (g₂ ≫ h₂).op (x f₂ hf₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverPreserving.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology A
G : C ⥤ D
hG : CompatiblePreserving K G
ℱ : SheafOfTypes K
Z : C
T : Presieve Z
x : FamilyOfElements (G.op ⋙ ℱ.val) T
h : x.Compatible
Z₁ Z₂ W : D
g₁ : W ⟶ Z₁
g₂ : W ⟶ Z₂
X₁ : C
f₁ : X₁ ⟶ Z
h₁ : Z₁ ⟶ G.obj X₁
hf₁ : T f₁
H₁ : Presieve.functorPushforward G T (h₁ ≫ G.map f₁)
X₂ : C
f₂ : X₂ ⟶ Z
h₂ : Z₂ ⟶ G.obj X₂
hf₂ : T f₂
H₂ : Presieve.functorPushforward G T (h₂ ≫ G.map f₂)
eq : g₁ ≫ h₁ ≫ G.map f₁ = g₂ ≫ h₂ ≫ G.map f₂

⊢ (g₁ ≫ h₁) ≫ G.map f₁ = (g₂ ≫ h₂) ≫ G.map f₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
e₁ e₂ : Basis ι R M

⊢ SameRay R e₁.det e₂.det ↔ SameRay R (e₁.det ⇑e₂ • e₂.det) e₂.det
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
inst✝ : StrongRankCondition R

⊢ Module.rank R ℍ[R,c₁,c₂] = 4
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
inst✝ : StrongRankCondition R

⊢ ↑4 = 4
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
x✝ : P

⊢ (reflection s).symm x✝ = (reflection s) x✝
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
x✝ : P

⊢ (reflection s) ((reflection s).symm x✝) = (reflection s) ((reflection s) x✝)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ θ.cos = 0 ↔ θ = ↑(π / 2) ∨ θ = ↑(-π / 2)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a : Cardinal.{u}
b : Cardinal.{v}

⊢ lift.{max v w, u} a = lift.{max u w, v} b ↔ lift.{v, u} a = lift.{u, v} b
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
x✝ : ℕ

⊢ Disjoint (closure ((fun x => univ) x✝)) ∅
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot

⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atTop ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atBot
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
hr : r < 0

⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atTop ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atBot
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
inst✝ : l.NeBot

⊢ Tendsto (fun x => 0 * f x) l atTop ↔ 0 < 0 ∧ Tendsto f l atTop ∨ 0 < 0 ∧ Tendsto f l atBot
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
hr : 0 < r

⊢ Tendsto (fun x => r * f x) l atTop ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atTop ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atBot
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕝 E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 𝕝
s : Set E
x : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
c : 𝕝

⊢ StrictConvex 𝕜 (c • s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕝 E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 𝕝
s : Set E
x : E
hs : StrictConvex 𝕜 s

⊢ StrictConvex 𝕜 (0 • s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹⁰ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalSpace F
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module 𝕜 F
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕝
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕝 E
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul E E 𝕜 𝕝
s : Set E
x : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
c : 𝕝
hc : c ≠ 0

⊢ StrictConvex 𝕜 (c • s)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

⊢ Continuous fun f i => if ord I i = o then true else f i
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

⊢ ∀ (i : I), Continuous fun a => if ord I i = o then true else a i
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
i : I

⊢ Continuous fun a => if ord I i = o then true else a i
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
i : I

⊢ Continuous (ite (ord I i = o) true)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
i : I

⊢ Continuous fun x => x i
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o o' : Ordinal.{max u v}
f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Ordinal.{max u v}
hg : o'.blsub g = o

⊢ (o'.bsup fun a ha => f (g a ha) ⋯) = o.bsup f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o o' : Ordinal.{max u v}
f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Ordinal.{max u v}
hg : o'.blsub g = o
i : Ordinal.{max u v}
hi : i < o'

⊢ f (g i hi) ⋯ ≤ o.bsup f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o o' : Ordinal.{max u v}
f : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o → Ordinal.{max u v w}
hf : ∀ {i j : Ordinal.{max u v}} (hi : i < o) (hj : j < o), i ≤ j → f i hi ≤ f j hj
g : (a : Ordinal.{max u v}) → a < o' → Ordinal.{max u v}
hg : o'.blsub g = o
i : Ordinal.{max u v}
hi : i < o

⊢ f i hi ≤ o'.bsup fun a ha => f (g a ha) ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E

⊢ ‖indicatorConstLp p hs hμs c‖ ≤ ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E

⊢ (eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ).toReal ≤ ‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E

⊢ eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ENNReal.ofReal (‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E

⊢ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal) = ENNReal.ofReal (‖c‖ * (μ s).toReal ^ (1 / p.toReal))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E

⊢ μ s ^ (1 / p.toReal) ≠ ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic K L
inst✝ : PerfectField K
f : L[X]
hf : Irreducible f

⊢ f.Separable
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra K L
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic K L
inst✝ : PerfectField K
f : L[X]
hf : Irreducible f
w✝ : K[X]
left✝ : w✝.Monic
hi : Irreducible w✝
h : f ∣ map (algebraMap K L) w✝

⊢ f.Separable
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
σ : Perm n
M : Matrix n n R

⊢ (M.submatrix id ⇑σ).det = ↑↑(sign σ) * M.det
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : SemilatticeSup β
f g : β → α
hf : Monotone f
hg : Antitone g
h : f ≤ g

⊢ ⨆ n, f n ∈ ⋂ n, Icc (f n) (g n)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : SemilatticeSup β
f g : β → α
hf : Monotone f
hg : Antitone g
h : f ≤ g
n : β

⊢ ⨆ n, f n ∈ Icc (f n) (g n)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : SemilatticeSup β
f g : β → α
hf : Monotone f
hg : Antitone g
h : f ≤ g
n : β
this : Nonempty β

⊢ ⨆ n, f n ∈ Icc (f n) (g n)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
inst✝ : SemilatticeSup β
f g : β → α
hf : Monotone f
hg : Antitone g
h : f ≤ g
n : β
this✝ : Nonempty β
this : ∀ (m : β), f m ≤ g n

⊢ ⨆ n, f n ∈ Icc (f n) (g n)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b : ℝ≥0
hb : 1 ≤ ↑r * ↑b

⊢ r⁻¹ ≤ b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b : ℝ≥0
hb : 1 ≤ ↑r * ↑b

⊢ 1 ≤ r * b