ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Disjoint.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : BoundedOrder α
a b c : α
hab : Disjoint a b
hbc : Codisjoint b c

⊢ a ⊓ (b ⊔ c) ≤ (a ⊔ c) ⊓ (b ⊔ c)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : n < ν

⊢ bernsteinPolynomial R n ν = 0
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
a b : α
f : α → β
hcf : Continuous f
h : stoneCechUnit a = stoneCechUnit b

⊢ f a = f b
-- Mathlib/Topology/StoneCech.lean
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : T2Space β
inst✝ : CompactSpace β
g : α → β
hg : Continuous g
a b : α
f : α → β
hcf : Continuous f
h : stoneCechUnit a = stoneCechUnit b

⊢ (stoneCechExtend hcf ∘ stoneCechUnit) a = (stoneCechExtend hcf ∘ stoneCechUnit) b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w x y t u v : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj t u

⊢ notNilRec (fun {u v w} x q => q) (cons h p) ⋯ = p
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t

⊢ diam (s ∪ t) ≤ diam s + edist x y + diam t
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t

⊢ diam (s ∪ t) ≤ diam s + edist x y + diam t
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
a : α
ha : a ∈ s ∪ t
b : α
hb : b ∈ s ∪ t

⊢ edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
a : α
ha : a ∈ s ∪ t
b : α
hb : b ∈ s ∪ t
h'a : a ∈ s
h'b : b ∈ s

⊢ edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
a : α
ha : a ∈ s ∪ t
b : α
hb : b ∈ s ∪ t
h'a : a ∈ s
h'b : b ∈ t

⊢ edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
a : α
ha : a ∈ s ∪ t
b : α
hb : b ∈ s ∪ t
h'a : a ∈ t
h'b : b ∈ s

⊢ edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ t : Set α
xs : x ∈ s
yt : y ∈ t
A : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
a : α
ha : a ∈ s ∪ t
b : α
hb : b ∈ s ∪ t
h'a : a ∈ t
h'b : b ∈ t

⊢ edist a b ≤ diam s + edist x y + diam t
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a₁₂₃ : A
h₁₂ : a₁ + a₂ = a₁₂
h₂₃ : a₂ + a₃ = a₂₃
h₁₂₃ : a₁ + a₂ + a₃ = a₁₂₃
X : C

⊢ a₁ + a₂₃ = a₁₂₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ a₁₂ a₂₃ a₁₂₃ : A
h₁₂ : a₁ + a₂ = a₁₂
h₂₃ : a₂ + a₃ = a₂₃
h₁₂₃ : a₁ + a₂ + a₃ = a₁₂₃
X : C

⊢ (shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd' C a₁ a₂ a₁₂ h₁₂).inv.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' C a₁₂ a₃ a₁₂₃ ⋯).inv.app X = (shiftFunctorAdd' C a₂ a₃ a₂₃ h₂₃).inv.app ((shiftFunctor C a₁).obj X) ≫ (shiftFunctorAdd' C a₁ a₂₃ a₁₂₃ ⋯).inv.app X
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Multiset { a // Irreducible a }

⊢ ↑a ⊔ ↑b + ↑a ⊓ ↑b = ↑a + ↑b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Multiset { a // Irreducible a }

⊢ a ⊔ b + a ⊓ b = a + b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hij : i ≠ j

⊢ Lagrange.basis {i, j} v j = basisDivisor (v j) (v i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hij : i ≠ j

⊢ Lagrange.basis {j, i} v j = basisDivisor (v j) (v i)
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
X₁ : C₁
a : X₂ ⟶ T.obj X₁
b : L.obj X₁ ⟶ X₃
comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g
f : w.CostructuredArrowDownwards g

⊢ ∃ X₁ a b, ∃ (comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g), f = mk w g X₁ a b comm
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g✝ : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
X₁ : C₁
a : X₂ ⟶ T.obj X₁
b : L.obj X₁ ⟶ X₃
comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g✝
g : StructuredArrow X₂ T
φ : (w.structuredArrowDownwards X₂).obj g ⟶ StructuredArrow.mk g✝

⊢ ∃ X₁ a b, ∃ (comm : R.map a ≫ w.app X₁ ≫ B.map b = g✝), CostructuredArrow.mk φ = mk w g✝ X₁ a b comm
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
X₁✝ : C₁
a✝ : X₂ ⟶ T.obj X₁✝
b : L.obj X₁✝ ⟶ X₃
comm : R.map a✝ ≫ w.app X₁✝ ≫ B.map b = g
X₁ : C₁
a : X₂ ⟶ T.obj X₁
φ : (w.structuredArrowDownwards X₂).obj (StructuredArrow.mk a) ⟶ StructuredArrow.mk g

⊢ ∃ X₁_1 a_1 b, ∃ (comm : R.map a_1 ≫ w.app X₁_1 ≫ B.map b = g), CostructuredArrow.mk φ = mk w g X₁_1 a_1 b comm
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B
X₂ : C₂
X₃ : C₃
g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃
X₁✝ : C₁
a✝ : X₂ ⟶ T.obj X₁✝
b✝ : L.obj X₁✝ ⟶ X₃
comm : R.map a✝ ≫ w.app X₁✝ ≫ B.map b✝ = g
X₁ : C₁
a : X₂ ⟶ T.obj X₁
b : ((w.structuredArrowDownwards X₂).obj (StructuredArrow.mk a)).right ⟶ (StructuredArrow.mk g).right
hb : ((w.structuredArrowDownwards X₂).obj (StructuredArrow.mk a)).hom ≫ B.map b = (StructuredArrow.mk g).hom

⊢ ∃ X₁_1 a_1 b_1, ∃ (comm : R.map a_1 ≫ w.app X₁_1 ≫ B.map b_1 = g), CostructuredArrow.mk (StructuredArrow.homMk b hb) = mk w g X₁_1 a_1 b_1 comm
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

⊢ ⟪x + y, x + y⟫_ℝ = ⟪x, x⟫_ℝ + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ⟪y, y⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
this : ⟪y, x⟫_ℝ = ⟪x, y⟫_ℝ

⊢ ⟪x + y, x + y⟫_ℝ = ⟪x, x⟫_ℝ + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ⟪y, y⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
this : ⟪y, x⟫_ℝ = ⟪x, y⟫_ℝ

⊢ ⟪x, x⟫_ℝ + ⟪x, y⟫_ℝ + ⟪x, y⟫_ℝ = ⟪x, x⟫_ℝ + 2 * ⟪x, y⟫_ℝ
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

⊢ Iio a ∩ Ioo b c = Ioo b (min a c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
s : Set α
x : α

⊢ x ∈ fract ⁻¹' s ↔ x ∈ ⋃ m, (fun x => x - ↑m) ⁻¹' (s ∩ Ico 0 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
s : Set α
x : α

⊢ fract x ∈ s ↔ ∃ i, x - ↑i ∈ s ∧ x - ↑i ∈ Ico 0 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
s : Set α
x : α

⊢ (∃ i, x - ↑i ∈ s ∧ x - ↑i ∈ Ico 0 1) → fract x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
s : Set α
x : α
m : ℤ
hms : x - ↑m ∈ s
hm0 : 0 ≤ x - ↑m
hm1 : x - ↑m < 1

⊢ fract x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
s : Set α
x : α
hms : x - ↑⌊x⌋ ∈ s
hm0 : 0 ≤ x - ↑⌊x⌋
hm1 : x - ↑⌊x⌋ < 1

⊢ fract x ∈ s
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I
he : CompleteOrthogonalIdempotents e

⊢ ∑ i : I, (⇑f ∘ e) i = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
x✝ x : E

⊢ x ∈ K.vertices ↔ x ∈ ⋃ k ∈ K.faces, ↑k
-- Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
x✝ x : E
h : x ∈ ⋃ k ∈ K.faces, ↑k

⊢ x ∈ K.vertices
-- Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s✝ t : Finset E
x✝ x : E
h : x ∈ ⋃ k ∈ K.faces, ↑k
s : Finset E
hs : s ∈ K.faces
hx : x ∈ ↑s

⊢ x ∈ K.vertices
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
x : α

⊢ x ∈ cthickening ε (cthickening δ s) → x ∈ cthickening (ε + δ) s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x✝ : α
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 ≤ δ
s : Set α
x : α

⊢ infEdist x (cthickening δ s) ≤ ENNReal.ofReal ε → infEdist x s ≤ ENNReal.ofReal ε + ENNReal.ofReal δ
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/NaturalTransformation/Oplax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G : OplaxFunctor B C
η θ ι : F ⟶ G
Γ : Modification η θ
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ F.obj b
g : b ⟶ c

⊢ f ◁ F.map g ◁ Γ.app c ≫ f ◁ θ.naturality g = f ◁ η.naturality g ≫ f ◁ Γ.app b ▷ G.map g
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝

⊢ ‖a‖₊ ∈ spectrum ℝ≥0 a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
this : IsSelfAdjoint a

⊢ ‖a‖₊ ∈ spectrum ℝ≥0 a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
this : IsSelfAdjoint a

⊢ ‖a‖₊ = (spectralRadius ℝ a).toNNReal
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝
this : IsSelfAdjoint a

⊢ (spectrum ℝ a).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x y : ℂ
n : ℤ

⊢ x ^ (y * ↑n) = (x ^ y) ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

⊢ (fun y => f (x + y) - p.partialSum n y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r

⊢ (fun y => f (x + y) - p.partialSum n y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
a C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n

⊢ (fun y => f (x + y) - p.partialSum n y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
r'0 : 0 < ↑r'
h : ↑r' < r
a C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n

⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 0, ‖f (x + x_1) - p.partialSum n x_1‖ ≤ C * (a / ↑r') ^ n * ‖‖x_1‖ ^ n‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
h : ↑r' < r
a C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
r'0 : 0 < ↑r'

⊢ ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝 0, ‖f (x + x_1) - p.partialSum n x_1‖ ≤ C * (a / ↑r') ^ n * ‖‖x_1‖ ^ n‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r'✝ : ℝ≥0∞
n : ℕ
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
h : ↑r' < r
a C : ℝ
hp : ∀ y ∈ Metric.ball 0 ↑r', ∀ (n : ℕ), ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n
r'0 : 0 < ↑r'
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'

⊢ ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a / ↑r') ^ n * ‖‖y‖ ^ n‖
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a : ℤ
b ab' : ℕ
ab r b' : ℤ
hb' : ↑b = b'
hab : a % b' = ab
h : ↑ab' = ab
hr : jacobiSymNat ab' b = r

⊢ jacobiSym a b = r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f

⊢ Continuous fun ν => ν.map f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω'
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω'
inst✝ : BorelSpace Ω'
f : Ω → Ω'
f_cont : Continuous f

⊢ ∀ (x : FiniteMeasure Ω), ContinuousAt (fun ν => ν.map f) x
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p

⊢ p ^ n.factorization p ∣ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p

⊢ p ^ count p n.primeFactorsList ∣ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p

⊢ (p ^ count p n.primeFactorsList).primeFactorsList <+~ n.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p

⊢ ∀ x ∈ replicate (count p n.primeFactorsList) p, count x (replicate (count p n.primeFactorsList) p) ≤ count x n.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
q : ℕ
hq : q ∈ replicate (count p n.primeFactorsList) p

⊢ count q (replicate (count p n.primeFactorsList) p) ≤ count q n.primeFactorsList
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type u_4
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜' (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜' (E i)
hp : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)

⊢ ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type u_4
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜' (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜' (E i)
c : 𝕜
hp : 0 ≠ 0
f : ↥(lp E 0)

⊢ ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type u_4
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜' (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜' (E i)
c : 𝕜
hp : ⊤ ≠ 0
f : ↥(lp E ⊤)

⊢ ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
𝕜' : Type u_4
inst✝⁵ : NormedRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedRing 𝕜'
inst✝³ : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜' (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜' (E i)
hp✝ : p ≠ 0
c : 𝕜
f : ↥(lp E p)
hp : 0 < p.toReal

⊢ ‖c • f‖ ≤ ‖c‖ * ‖f‖
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x : M
h : v x = 0
t : ℝ

⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (fun x_1 => x) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v ((fun x_1 => x) t)))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
x : M
h : v x = 0
t : ℝ

⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (fun x_1 => x) t 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
a : α
ha : 0 ≤ a

⊢ ↑⌈a⌉₊ = ⌈a⌉
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/AdditiveFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝⁴ : Category.{?u.22516, u_3} E
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : Preadditive E
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
G : C ⥤ D
e : F ≅ G
X Y : C
f g : X ⟶ Y

⊢ G.map (f + g) = G.map f + G.map g
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
n : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ n

⊢ χ ↑1 = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 1 < x

⊢ 0 < logb b x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 1 < x

⊢ 1 < x
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x y1 y2 : ℕ × K
H : R K p y1 y2
n : ℕ
y : K

⊢ R K p (x.1 + (n, y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n, y).1] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n, y).2) (x.1 + (n + 1, (frobenius K p) y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n + 1, (frobenius K p) y).1] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n + 1, (frobenius K p) y).2)
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x y1 y2 : ℕ × K
H : R K p y1 y2
n : ℕ
y : K

⊢ R K p (x.1 + (n, y).1, (⇑(frobenius K p))^[(n, y).1] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] (n, y).2) (x.1 + (n + 1, (frobenius K p) y).1, (frobenius K p) ((⇑(frobenius K p))^[n] x.2 * (⇑(frobenius K p))^[x.1] y))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
v w : M
i : ι

⊢ (h.coeffs (v + w)) i = (h.coeffs v + h.coeffs w) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
c : R
v : M
i : ι

⊢ ({ toFun := h.coeffs, map_add' := ⋯ }.toFun (c • v)) i = ((RingHom.id R) c • { toFun := h.coeffs, map_add' := ⋯ }.toFun v) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Over/Products.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X B : C
F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ Over B
s : Cone F
m : s.pt ⟶ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt
x✝ : ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), m ≫ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.π.app j = s.π.app j

⊢ m.left = (homMk s.pt.hom ⋯).left
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/Over/Products.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X B : C
F : Discrete PEmpty.{1} ⥤ Over B
s : Cone F
m : s.pt ⟶ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.pt
x✝ : ∀ (j : Discrete PEmpty.{1}), m ≫ { pt := mk (𝟙 B), π := { app := fun p => p.as.elim, naturality := ⋯ } }.π.app j = s.π.app j

⊢ m.left = s.pt.hom