ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ (f : ℕ → Set ℝ), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun s => Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s) (f i)) → (fun s => Measurable fun b => (condCDF ρ b).measure s) (⋃ i, f i)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι

⊢ (s₁ ∪ s₂).pi t = s₁.pi t ∩ s₂.pi t
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
s : Set M
inst✝ : Fintype ↑s
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

⊢ Module.rank R ↥(span R s) = ↑s.toFinset.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
s : Set M
inst✝ : Fintype ↑s
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
this : Module.rank R ↥(span R s) = #↑s

⊢ Module.rank R ↥(span R s) = ↑s.toFinset.card
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Tendsto m f (𝓝 b)
hb : b ≠ 0 ∨ a ≠ ⊤
this : a = 0

⊢ Tendsto (fun b => a * m b) f (𝓝 (a * b))
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fintype.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
e : Perm α
f : α ↪ β
b : β
h : b ∉ Set.range ⇑f

⊢ (e.viaFintypeEmbedding f) b = b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
g : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s

⊢ essSup (s.piecewise f g) μ = max (essSup f (μ.restrict s)) (essSup g (μ.restrict sᶜ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
g : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s

⊢ limsup f (ae μ ⊓ 𝓟 {x | x ∈ s}) ⊔ limsup g (ae μ ⊓ 𝓟 {x | x ∉ s}) = max (limsup f (ae μ ⊓ 𝓟 s)) (limsup g (ae μ ⊓ 𝓟 sᶜ))
-- Mathlib/Data/Matroid/Sum.lean
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
I : Set α
hI : (M.disjointSum N h).Indep I

⊢ ∃ IM IN, M.Indep IM ∧ N.Indep IN ∧ Disjoint IM IN ∧ I = IM ∪ IN
-- Mathlib/Data/Matroid/Sum.lean
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
I : Set α
hI : M.Indep (I ∩ M.E) ∧ N.Indep (I ∩ N.E) ∧ I ⊆ M.E ∪ N.E

⊢ ∃ IM IN, M.Indep IM ∧ N.Indep IN ∧ Disjoint IM IN ∧ I = IM ∪ IN
-- Mathlib/Data/Matroid/Sum.lean
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
I : Set α
hI : M.Indep (I ∩ M.E) ∧ N.Indep (I ∩ N.E) ∧ I ⊆ M.E ∪ N.E

⊢ I = I ∩ M.E ∪ I ∩ N.E
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/MulOpposite.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set M

⊢ (closure s).op = closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/MulOpposite.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set M

⊢ sInf {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} = sInf {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/MulOpposite.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set M
a : Submonoid Mᵐᵒᵖ

⊢ a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
μ : Measure E
s : Set ↑(sphere 0 1)
r : ↑(Ioi 0)

⊢ μ (Subtype.val '' (⇑(homeomorphUnitSphereProd E) ⁻¹' s ×ˢ Iio r)) = μ (Ioo 0 ↑r • Subtype.val '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
μ : Measure E
s : Set ↑(sphere 0 1)
r : ↑(Ioi 0)

⊢ μ ((fun x => ↑((homeomorphUnitSphereProd E).symm x)) '' s ×ˢ Iio r) = μ ((fun x => SMul.smul ↑x.2 ↑x.1) '' s ×ˢ Iio r)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

⊢ ‖x + y‖ * ‖x + y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

⊢ Ioc a b ∪ Ioc a c = Ioc a (max b c)
-- Mathlib/Data/Fintype/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq β
t : Finset β
a : α

⊢ image (fun f => f a) (piFinset fun _i => t) = t
-- Mathlib/Data/Fintype/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq β
a : α

⊢ image (fun f => f a) (piFinset fun _i => ∅) = ∅
-- Mathlib/Data/Fintype/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
β : Type u_4
inst✝ : DecidableEq β
t : Finset β
a : α
ht : t.Nonempty

⊢ image (fun f => f a) (piFinset fun _i => t) = t
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : OrderedRing α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l atBot

⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : OrderedRing α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l atBot
this : Tendsto (fun x => f x * (Neg.neg ∘ g) x) l atTop

⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Basic.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasPullbacks C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
g₁ : Y ⟶ W
inst✝¹ : Epi g₁
g₂ : W ⟶ Z
inst✝ : Mono g₂
hg : g₁ ≫ g₂ = g
f' : X ⟶ W
hf : f' ≫ g₂ = f
t : PullbackCone f g
ht : IsLimit t

⊢ Epi t.fst
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}

⊢ lift.{u, v} o = 0 ↔ o = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
H : ∀ a < lift.{u, v} o, succ a < lift.{u, v} o
a : Ordinal.{v}
h : a < o

⊢ lift.{u, v} (succ a) < lift.{u, v} o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
H : ∀ a < o, succ a < o
a : Ordinal.{max u v}
h : a < lift.{u, v} o

⊢ succ a < lift.{u, v} o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
H : ∀ a < o, succ a < o
a' : Ordinal.{v}
h : lift.{u, v} a' < lift.{u, v} o

⊢ succ (lift.{u, v} a') < lift.{u, v} o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{v}
H : ∀ a < o, succ a < o
a' : Ordinal.{v}
h : lift.{u, v} a' < lift.{u, v} o

⊢ succ a' < o
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i i' j : ι
rij : c.Rel i j
rij' : c.Rel i' j

⊢ eqToHom ⋯ ≫ C.d i' j = C.d i j
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
rij rij' : c.Rel i j

⊢ eqToHom ⋯ ≫ C.d i j = C.d i j
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (cosZeta (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2) (completedCosZeta (↑a) s / s.Gammaℝ)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℤ

⊢ cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2 = s.Gammaℝ * cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑|n| ^ s / 2 / s.Gammaℝ
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
x y : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (x - ↑m)

⊢ Irrational (x - ↑↑m)
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R✝ M✝
inst✝³ : Module R✝ M₂
R : Type u_17
M : Type u_18
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
c : R

⊢ IsLinearMap R fun z => c • z
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R✝ M✝
inst✝³ : Module R✝ M₂
R : Type u_17
M : Type u_18
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
c : R

⊢ ∀ (c_1 : R) (x : M), c • c_1 • x = c_1 • c • x
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R✝ M✝
inst✝³ : Module R✝ M₂
R : Type u_17
M : Type u_18
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
c c✝ : R
x✝ : M

⊢ c • c✝ • x✝ = c✝ • c • x✝
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
b✝ : Basis ι ℝ E
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℝ (ι → ℝ)

⊢ volume (fundamentalDomain b) = ENNReal.ofReal |(Matrix.of ⇑b).det|
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
b✝ : Basis ι ℝ E
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℝ (ι → ℝ)

⊢ ENNReal.ofReal |(Pi.basisFun ℝ ι).det ⇑b| = ENNReal.ofReal |(Matrix.of ⇑b).transpose.det|
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : ∀ (x : E), finrank F ↥F⟮x⟯ ≤ 1

⊢ ⊥ = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
α : E
S : Set E
K L : IntermediateField F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
h : ∀ (x : E), finrank F ↥F⟮x⟯ ≤ 1

⊢ ∀ (x : E), finrank F ↥F⟮x⟯ = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L

⊢ ((traceForm R L M) ⁅x, y⁆) z = ((traceForm R L M) x) ⁅y, z⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L

⊢ (trace R M) (φ ⁅x, y⁆ ∘ₗ φ z) = (trace R M) ((φ x * φ y - φ y * φ x) * φ z)
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L

⊢ (trace R M) ((φ x * φ y - φ y * φ x) * φ z) = (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ y * (φ x * φ z))
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L

⊢ (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ y * (φ x * φ z)) = (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ x * (φ z * φ y))
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
x y z : L

⊢ (trace R M) (φ x * (φ y * φ z)) - (trace R M) (φ x * (φ z * φ y)) = ((traceForm R L M) x) ⁅y, z⁆
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
X : Type u_2
S : Subalgebra R (FreeAlgebra R X) := Algebra.adjoin R (Set.range (ι R))

⊢ S = ⊤
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
X : Type u_2
S : Subalgebra R (FreeAlgebra R X) := Algebra.adjoin R (Set.range (ι R))
x : FreeAlgebra R X
hx : x ∈ ⊤

⊢ x ∈ S
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
X : Type u_2
S : Subalgebra R (FreeAlgebra R X) := Algebra.adjoin R (Set.range (ι R))
x : FreeAlgebra R X

⊢ x ∈ S
-- Mathlib/Data/Nat/PrimeFin.lean
a b k m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ Disjoint a.primeFactors b.primeFactors ↔ a.Coprime b
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ cos (x * I) = cosh x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ cosh (x * I * I) = cosh x
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α

⊢ insert a s ∈ 𝓝 a ↔ s ∈ 𝓝[≠] a
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a₁ a₂ : α
s : Stream' α

⊢ corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) (a₁ :: a₂ :: s) = a₁ :: corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) s
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a₁ a₂ : α
s : Stream' α

⊢ (a₁ :: a₂ :: s).head :: corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) (a₁ :: a₂ :: s).tail.tail = a₁ :: corec (fun s => s.head) (fun s => s.tail.tail) s
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : DecidableEq β
f✝ g✝ : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
β' : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq β'
inst✝ : DecidableEq γ
f : β → γ
g : α → β
f' : α → β'
g' : β' → γ
h_comm : ∀ (a : α), f (g a) = g' (f' a)

⊢ image f (image g s) = image g' (image f' s)
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)

⊢ IsVonNBounded 𝕜 S
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)

⊢ ∀ (i : Set E), i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i → Absorbs 𝕜 (id i) S
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
H' : ∃ i, (i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i) ∧ ¬Absorbs 𝕜 (id i) S

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
this : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∃ x, ε n • ↑x ∉ V

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
this : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∃ x, ε n • ↑x ∉ V
x : ι → ↑S
hx : ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ε x_1 • ↑(x x_1) ∉ V

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
this : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∃ x, ε n • ↑x ∉ V
x : ι → ↑S
hx : ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ε x_1 • ↑(x x_1) ∉ V

⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, False
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
a : S

⊢ (h.aequiv h) a = AlgEquiv.refl a
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasRightHomology
inst✝² : S₂.HasRightHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂

⊢ opcyclesMap' (F.mapShortComplex.map φ) (F.mapShortComplex.obj S₁).rightHomologyData (F.mapShortComplex.obj S₂).rightHomologyData ≫ opcyclesMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).rightHomologyData (S₂.rightHomologyData.map F) = opcyclesMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).rightHomologyData (S₁.rightHomologyData.map F) ≫ F.map (opcyclesMap' φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData)
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsBezout R
a b c : R
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
h : a * b = c ^ k

⊢ ∃ d, Associated (d ^ k) a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
x : (Quotient.out 1).α

⊢ typein (fun x x_1 => x < x_1) x = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X

⊢ Presieve.IsSheafFor (Functor.closedSieves J₁) S.arrows
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J₁.sieves X

⊢ Presieve.IsSeparatedFor (Functor.closedSieves J₁) S.arrows ∧ ∀ (x : Presieve.FamilyOfElements (Functor.closedSieves J₁) S.arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
b₁ b₂ : P

⊢ (s.weightedVSubOfPoint p b₁) w +ᵥ b₁ = (s.weightedVSubOfPoint p b₂) w +ᵥ b₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
b₁ b₂ : P

⊢ b₁ -ᵥ b₂ + ∑ x ∈ s, (w x • (p x -ᵥ b₁) - w x • (p x -ᵥ b₂)) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p : ι → P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
b₁ b₂ : P

⊢ b₁ -ᵥ b₂ + ∑ x ∈ s, w x • (b₂ -ᵥ b₁) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : NullMeasurableSet s (μ.restrict t)
u : Set α
hu : MeasurableSet u

⊢ ((μ.restrict t).restrict s) u = (μ.restrict (s ∩ t)) u
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ IsCoatom (ker f)
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsSimpleModule R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ IsSimpleModule R (M ⧸ ker f)
-- Mathlib/Data/Finset/Pairwise.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
a b : α
h : {a} ≠ {b}

⊢ (Disjoint on id) {a} {b}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f

⊢ Metric.diam (range f) = Metric.diam univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f

⊢ Metric.diam (f '' univ) = Metric.diam univ
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
H : Transitive R
s✝ t✝ u✝ : WSeq α
h1✝ : LiftRel R s✝ t✝
h2✝ : LiftRel R t✝ u✝
s u t : WSeq α
h1 : LiftRel R s t
h2 : LiftRel R t u

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s u => ∃ t, LiftRel R s t ∧ LiftRel R t u) s.destruct u.destruct