ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/Sl2.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
h e f : L
m : M
μ : R
t : IsSl2Triple h e f
P : t.HasPrimitiveVectorWith m μ
inst✝³ : IsNoetherian R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : CharZero R
hs : (range fun n => μ - 2 * ↑n).Infinite
contra : ∀ (n : ℕ), ((toEnd R L M) f ^ n) m ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
hm : m ≠ 0

⊢ Irrational (x * ↑m)
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
hm : m ≠ 0

⊢ Irrational (x * ↑↑m)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α

⊢ ⋃ i, Iio (f i) = univ ↔ ¬BddAbove (range f)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : AtPrime 𝒜 𝔭

⊢ IsUnit (val f) ↔ IsUnit f
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : AtPrime 𝒜 𝔭
h1 : IsUnit (val f)

⊢ IsUnit f
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : AtPrime 𝒜 𝔭
b : at 𝔭.primeCompl
eq0 : val f * b = 1
eq1 : b * val f = 1

⊢ IsUnit f
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
b : at 𝔭.primeCompl
f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl
eq0 : (mk f).val * b = 1
eq1 : b * (mk f).val = 1

⊢ IsUnit (mk f)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl
b : A
s : ↥𝔭.primeCompl
eq0 : (mk f).val * IsLocalization.mk' (at 𝔭.primeCompl) b s = 1
eq1 : IsLocalization.mk' (at 𝔭.primeCompl) b s * (mk f).val = 1

⊢ IsUnit (mk f)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl
b : A
s : ↥𝔭.primeCompl
eq0 : ∃ c, ↑c * (↑f.num * b) = ↑c * ↑(⟨↑f.den, ⋯⟩ * s)
eq1 : IsLocalization.mk' (at 𝔭.primeCompl) b s * (mk f).val = 1

⊢ IsUnit (mk f)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl
b : A
s : ↥𝔭.primeCompl
eq1 : IsLocalization.mk' (at 𝔭.primeCompl) b s * (mk f).val = 1
c : ↥𝔭.primeCompl
hc : ↑c * (↑f.num * b) = ↑c * (↑f.den * ↑s)

⊢ IsUnit (mk f)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl
b : A
s : ↥𝔭.primeCompl
eq1 : IsLocalization.mk' (at 𝔭.primeCompl) b s * (mk f).val = 1
c : ↥𝔭.primeCompl
hc : ↑c * (↑f.num * b) = ↑c * (↑f.den * ↑s)
this : ↑f.num ∉ 𝔭

⊢ IsUnit (mk f)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl
b : A
s : ↥𝔭.primeCompl
eq1 : IsLocalization.mk' (at 𝔭.primeCompl) b s * (mk f).val = 1
c : ↥𝔭.primeCompl
hc : ↑c * (↑f.num * b) = ↑c * (↑f.den * ↑s)
this : ↑f.num ∉ 𝔭

⊢ mk f * Quotient.mk'' { deg := f.deg, num := f.den, den := f.num, den_mem := this } = 1
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
𝔭 : Ideal A
inst✝ : 𝔭.IsPrime
f : NumDenSameDeg 𝒜 𝔭.primeCompl
b : A
s : ↥𝔭.primeCompl
eq1 : IsLocalization.mk' (at 𝔭.primeCompl) b s * (mk f).val = 1
c : ↥𝔭.primeCompl
hc : ↑c * (↑f.num * b) = ↑c * (↑f.den * ↑s)
this : ↑f.num ∉ 𝔭

⊢ Localization.mk ↑(f * { deg := f.deg, num := f.den, den := f.num, den_mem := this }).num ⟨↑(f * { deg := f.deg, num := f.den, den := f.num, den_mem := this }).den, ⋯⟩ = val 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/SemiNormedGrp/Kernels.lean
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
e : explicitCokernel f ⟶ Z
he : explicitCokernelπ f ≫ e = g

⊢ e = explicitCokernelDesc w
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/SemiNormedGrp/Kernels.lean
X Y Z : SemiNormedGrp
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = 0
e : explicitCokernel f ⟶ Z
he : explicitCokernelπ f ≫ e = g

⊢ ∀ (j : WalkingParallelPair), (cokernelCocone f).ι.app j ≫ e = (Cofork.ofπ g ⋯).ι.app j
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/Resolution.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : ofMulAction k G (Fin (n + 1) → G) ⟶ A
x : Fin n → G

⊢ f.hom ((diagonalSucc k G n).inv.hom (Finsupp.single 1 1 ⊗ₜ[k] Finsupp.single x 1)) = f.hom (Finsupp.single (Fin.partialProd x) 1)
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace F
ν : Measure F
X : Ω → E
Y : Ω → F
inst✝³ : IsFiniteMeasure ℙ
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : HasPDF (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν)

⊢ IndepFun X Y ℙ ↔ pdf (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν) =ᶠ[ae (μ.prod ν)] fun z => pdf X ℙ μ z.1 * pdf Y ℙ ν z.2
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace F
ν : Measure F
X : Ω → E
Y : Ω → F
inst✝³ : IsFiniteMeasure ℙ
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : HasPDF (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν)
this : HasPDF X ℙ μ

⊢ IndepFun X Y ℙ ↔ pdf (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν) =ᶠ[ae (μ.prod ν)] fun z => pdf X ℙ μ z.1 * pdf Y ℙ ν z.2
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace F
ν : Measure F
X : Ω → E
Y : Ω → F
inst✝³ : IsFiniteMeasure ℙ
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : HasPDF (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν)
this✝ : HasPDF X ℙ μ
this : HasPDF Y ℙ ν

⊢ IndepFun X Y ℙ ↔ pdf (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν) =ᶠ[ae (μ.prod ν)] fun z => pdf X ℙ μ z.1 * pdf Y ℙ ν z.2
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace F
ν : Measure F
X : Ω → E
Y : Ω → F
inst✝³ : IsFiniteMeasure ℙ
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : HasPDF (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν)
this✝ : HasPDF X ℙ μ
this : HasPDF Y ℙ ν
h₀ : (map X ℙ).prod (map Y ℙ) = (μ.prod ν).withDensity fun z => pdf X ℙ μ z.1 * pdf Y ℙ ν z.2

⊢ IndepFun X Y ℙ ↔ pdf (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν) =ᶠ[ae (μ.prod ν)] fun z => pdf X ℙ μ z.1 * pdf Y ℙ ν z.2
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
F : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace F
ν : Measure F
X : Ω → E
Y : Ω → F
inst✝³ : IsFiniteMeasure ℙ
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : HasPDF (fun ω => (X ω, Y ω)) ℙ (μ.prod ν)
this✝ : HasPDF X ℙ μ
this : HasPDF Y ℙ ν
h₀ : (map X ℙ).prod (map Y ℙ) = (μ.prod ν).withDensity fun z => pdf X ℙ μ z.1 * pdf Y ℙ ν z.2

⊢ AEMeasurable (fun z => pdf X ℙ μ z.1 * pdf Y ℙ ν z.2) (μ.prod ν)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
ss : List String

⊢ (join ss).data = (List.map data ss).join
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
h : f ≠ 1

⊢ 1 < f.support.card
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
h : f ≠ 1

⊢ ∃ a b, ¬(f a = a ∨ f b = b ∨ a = b)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
h : ∀ (a b : α), f a = a ∨ f b = b ∨ a = b

⊢ f = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
a : α
h : f (f a) = f a ∨ f a = a ∨ f a = a

⊢ f a = 1 a
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Pseudofunctor.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b

⊢ (F.mapComp f (𝟙 b)).inv = F.map f ◁ (F.mapId b).hom ≫ (ρ_ (F.map f)).hom ≫ F.map₂ (ρ_ f).inv
-- Mathlib/NumberTheory/SiegelsLemma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β

⊢ ↑S.card < ↑T.card
-- Mathlib/NumberTheory/SiegelsLemma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
A : Matrix α β ℤ
v : β → ℤ
hn : m < n
hm : 0 < m
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β

⊢ ∏ i : α, (P i - N i + 1) < ↑((B + 1) ^ n)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
h : j ≠ i

⊢ (stdBasisMatrix i j c).trace = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M

⊢ SameRay R (-x) (-y) ↔ SameRay R x y
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞

⊢ iSup f * a = ⨆ i, f i * a
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞

⊢ ⨆ i, a * f i = ⨆ i, f i * a
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞

⊢ (fun i => a * f i) = fun i => f i * a
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
x✝ : ι

⊢ a * f x✝ = f x✝ * a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
v : Fin n → R

⊢ (vandermonde v).det ≠ 0 ↔ ∀ ⦃a₁ a₂ : Fin n⦄, v a₁ = v a₂ → a₁ = a₂
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
hs : s.card = Fintype.card α

⊢ univ.card ≤ s.card
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
h : MeromorphicAt f⁻¹ x

⊢ MeromorphicAt f x
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
F : PointedMap Γ Γ'
f : Γ → Γ
f' : Γ' → Γ'
H : ∀ (x : Γ), F.f (f x) = f' (F.f x)
n : ℕ
L : ListBlank Γ

⊢ map F (modifyNth f n L) = modifyNth f' n (map F L)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k₁ k₂ : ℕ
hk : k₁ ≤ k₂

⊢ (TruncatedWittVector.truncate hk).comp ((zmodEquivTrunc p k₂).toRingHom.comp (PadicInt.toZModPow k₂)) = (zmodEquivTrunc p k₁).toRingHom.comp (PadicInt.toZModPow k₁)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
n : ℕ

⊢ (f * δ) n = (f 1 • δ) n
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
n : ℕ

⊢ (if n = 1 then f n else 0) = if n = 1 then f 1 else 0
-- Mathlib/ModelTheory/Ultraproducts.lean
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : Language
inst✝ : (a : α) → L.Structure (M a)
β : Type u_3
x : β → (a : α) → M a
t : L.Term β

⊢ Term.realize (fun i => Quotient.mk' (x i)) t = Quotient.mk' fun a => Term.realize (fun i => x i a) t
-- Mathlib/ModelTheory/Ultraproducts.lean
α : Type u_1
M : α → Type u_2
u : Ultrafilter α
L : Language
inst✝ : (a : α) → L.Structure (M a)
β : Type u_3
x : β → (a : α) → M a
t : L.Term β

⊢ (fun a => Term.realize (fun i => x i a) t) = Term.realize x t
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
s : Set E
hd : DifferentiableOn ℂ f s

⊢ IsOpen {z | s ∈ 𝓝 z ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) s z}
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
s : Set E
hd : DifferentiableOn ℂ f s
z : E
hz : z ∈ {z | s ∈ 𝓝 z ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) s z}

⊢ Filter.Eventually (IsMaxOn (norm ∘ f) s) (𝓝 z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℂ F
f : E → F
s : Set E
z : E
hz : z ∈ {z | s ∈ 𝓝 z ∧ IsMaxOn (norm ∘ f) s z}
hd : ∀ᶠ (w : E) in 𝓝 z, DifferentiableAt ℂ f w

⊢ Filter.Eventually (IsMaxOn (norm ∘ f) s) (𝓝 z)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : V
p : P

⊢ z +ᵥ p ∈ affineSegment R (x +ᵥ p) (y +ᵥ p) ↔ z ∈ affineSegment R x y
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsPrime
hk : RingHom.ker f ≤ I

⊢ (map f I).IsPrime
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsPrime
hk : RingHom.ker f ≤ I
h : map f I = ⊤

⊢ ⊤ ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
hf : Function.Surjective ⇑f
I : Ideal R
H : I.IsPrime
hk : RingHom.ker f ≤ I
x y : S

⊢ x * y ∈ map f I → x ∈ map f I ∨ y ∈ map f I
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hf : UniformContinuous f
hg : UniformContinuous g

⊢ mk ∘ g ∘ f = (map g ∘ map f) ∘ mk
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.132496, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.RightHomologyData
inst✝ : Epi S.g

⊢ IsIso h.g'
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.132496, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.RightHomologyData
inst✝ : Epi S.g
this : Mono h.g'

⊢ IsIso h.g'
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.132496, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Preadditive D
S : ShortComplex C
inst✝¹ : Balanced C
hS : S.Exact
h : S.RightHomologyData
inst✝ : Epi S.g
this✝ : Mono h.g'
this : Epi h.g'

⊢ IsIso h.g'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P

⊢ intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q

⊢ intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' ∅) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 ∅
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty

⊢ intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s

⊢ intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
f : ↥(affineSpan 𝕜 s) ≃ₜ ↥(map φ.toAffineMap (affineSpan 𝕜 s)) := (isometryEquivMap φ (affineSpan 𝕜 s)).toHomeomorph

⊢ intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this✝ : Nonempty ↑s
f : ↥(affineSpan 𝕜 s) ≃ₜ ↥(map φ.toAffineMap (affineSpan 𝕜 s)) := (isometryEquivMap φ (affineSpan 𝕜 s)).toHomeomorph
this : ⇑φ.toAffineMap ∘ Subtype.val ∘ ⇑f.symm = Subtype.val

⊢ intrinsicClosure 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicClosure 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1

⊢ SameRay R ((lineMap x z) t -ᵥ x) (z -ᵥ (lineMap x z) t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1

⊢ SameRay R (t • (z -ᵥ x) +ᵥ x -ᵥ x) (z -ᵥ (t • (z -ᵥ x) +ᵥ x))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
ht0' : 0 < t
ht1' : t < 1

⊢ SameRay R (t • (z -ᵥ x) +ᵥ x -ᵥ x) (z -ᵥ (t • (z -ᵥ x) +ᵥ x))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
ht0' : 0 < t
ht1' : t < 1

⊢ (1 - t) • (t • (z -ᵥ x) +ᵥ x -ᵥ x) = t • (z -ᵥ (t • (z -ᵥ x) +ᵥ x))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
ht0' : 0 < t
ht1' : t < 1

⊢ ((1 - t) * t) • (z -ᵥ x) = (t - t * t) • (z -ᵥ x)
-- Mathlib/Data/PEquiv.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
a : α
h : (f a).isSome = true

⊢ f.symm ((f a).get h) = some a
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

⊢ (K.sc' i j k).pOpcycles ≫ ShortComplex.opcyclesMap ((natIsoSc' C c i j k hi hk).inv.app K) = K.pOpcycles j
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

⊢ (K.sc j).pOpcycles = K.pOpcycles j
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x y : n → α
e : n ≃ m

⊢ u ⬝ᵥ x ∘ ⇑e.symm = u ∘ ⇑e ⬝ᵥ x
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L

⊢ (algebraMap K E) ((Algebra.trace K L) x) = ∑ σ : L →ₐ[K] E, σ x
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L
hx : IsIntegral K x

⊢ (algebraMap K E) ((Algebra.trace K L) x) = ∑ σ : L →ₐ[K] E, σ x