ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/RightDerived.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F G : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : G.Additive
α : F ⟶ G
X : C
P : InjectiveResolution X
n : ℕ

⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map ((HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex)) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map ((NatTrans.mapHomologicalComplex α (ComplexShape.up ℕ)).app P.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).inv.app ((G.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj P.cocomplex) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (P.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj G).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Localization.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝³ : L.IsLocalization W
A : Type w
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : HasShift C A
inst✝ : W.IsCompatibleWithShift A
a : A
x✝¹ x✝ : C
f : x✝¹ ⟶ x✝
hf : W f

⊢ W ((shiftFunctor C a).map f)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
hl : l.Nodup
i j : ℕ

⊢ l.rotate i = l.rotate j ↔ i % l.length = j % l.length ∨ l = []
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
i j : ℕ
hl : [].Nodup

⊢ [].rotate i = [].rotate j ↔ i % [].length = j % [].length ∨ [] = []
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
hl : l.Nodup
i j : ℕ
hn : l ≠ []

⊢ l.rotate i = l.rotate j ↔ i % l.length = j % l.length ∨ l = []
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)

⊢ sSup S = conGen (sSup (DFunLike.coe '' S))
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)

⊢ (conGen fun x y => ∃ c ∈ S, c x y) = conGen (⨆ a ∈ S, ⇑a)
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
S : Set (Con M)
x y : M

⊢ (∃ c ∈ S, c x y) ↔ (⨆ a ∈ S, ⇑a) x y
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : Ring α
inst✝³ : AddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ -s • t = -(s • t)
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : Ring α
inst✝³ : AddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ image (fun x => -x) s • t = image (fun x => -x) (s • t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝¹² : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
A : Type u₃
inst✝¹¹ : Category.{v₃, u₃} A
inst✝¹⁰ : EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} C
B : Type u_1
inst✝⁹ : Category.{?u.115187, u_1} B
F : A ⥤ B
inst✝⁸ : HasSheafify ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J) A
inst✝⁷ : ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J).HasSheafCompose F
inst✝⁶ : G.IsCoverDense J
inst✝⁵ : G.IsContinuous K J
inst✝⁴ : G.Full
inst✝³ : (G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj
inst✝² : G.IsCocontinuous K J
hG : CoverPreserving K J G
inst✝¹ : ConcreteCategory A
inst✝ : K.WEqualsLocallyBijective A
X✝ Y✝ : Cᵒᵖ ⥤ A
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ J.W f ↔ Presheaf.IsLocallyInjective J f ∧ Presheaf.IsLocallySurjective J f
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n : ℕ

⊢ ((List.map (fun n => f^[n] x) (List.range (minimalPeriod f x))).rotate n).length = (List.map (fun n_1 => f^[n_1] (f^[n] x)) (List.range (minimalPeriod f (f^[n] x)))).length
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n m : ℕ
x✝¹ : m < ((List.map (fun n => f^[n] x) (List.range (minimalPeriod f x))).rotate n).length
x✝ : m < (List.map (fun n_1 => f^[n_1] (f^[n] x)) (List.range (minimalPeriod f (f^[n] x)))).length

⊢ ((List.map (fun n => f^[n] x) (List.range (minimalPeriod f x))).rotate n).get ⟨m, x✝¹⟩ = (List.map (fun n_1 => f^[n_1] (f^[n] x)) (List.range (minimalPeriod f (f^[n] x)))).get ⟨m, x✝⟩
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E

⊢ span 𝕜 (Set.range (gramSchmidtNormed 𝕜 f)) = span 𝕜 (Set.range (gramSchmidt 𝕜 f))
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring R✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
P : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid P
inst✝⁵ : Module R✝ P
f : M✝ →ₗ[R✝] P
R : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
I : Submodule R N
x : ↥I ⊗[R] M

⊢ ∃ J, ∃ (_ : J.FG) (hle : J ≤ I), ∃ y, x = (rTensor M (inclusion hle)) y
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : s ∈ measurableCylinders α
ht : t ∈ measurableCylinders α

⊢ s ∩ t ∈ measurableCylinders α
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
s t : Set ((i : ι) → α i)
hs : ∃ s_1 S, MeasurableSet S ∧ s = cylinder s_1 S
ht : ∃ s S, MeasurableSet S ∧ t = cylinder s S

⊢ ∃ s_1 S, MeasurableSet S ∧ s ∩ t = cylinder s_1 S
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Completion.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set (Completion α × Completion α)

⊢ s ∈ 𝓤 (Completion α) ↔ s ∈ ⨅ ε, 𝓟 {p | dist p.1 p.2 < ↑ε}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Completion.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set (Completion α × Completion α)

⊢ s ∈ 𝓤 (Completion α) ↔ ∃ i, s ∈ 𝓟 {p | dist p.1 p.2 < ↑i}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Completion.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set (Completion α × Completion α)

⊢ Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun ε => 𝓟 {p | dist p.1 p.2 < ↑ε}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f p : R[X]
n : ℕ

⊢ (X ^ n * p).reverse = p.reverse
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
t u : Set α

⊢ u ∈ l ⊔ 𝓟 t ↔ ∃ i, p i ∧ s i ∪ t ⊆ u
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Array/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : Array α
n : Nat

⊢ (a.shrink n).size = min a.size n
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Array/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : Array α
n : Nat

⊢ a.size - (a.size - n) = min a.size n
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n✝ a✝ b✝ c d b a n : ℕ
h : a * b ≡ 1 [MOD n]

⊢ a.Coprime n
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n✝ a✝ b✝ c d b a n : ℕ
h : a * b ≡ 1 [MOD n]
g : ℕ
hh : n = a.gcd n * g

⊢ a.Coprime n
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n✝ a✝ b✝ c d b a n : ℕ
h : a * b ≡ 1 [MOD n]
g : ℕ
hh : n = a.gcd n * g

⊢ 1 ≡ 0 [MOD a.gcd n]
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
inst✝ : CompleteSpace A
u v u' v' : ℝ → A
hu : ContinuousOn u [[a, b]]
hv : ContinuousOn v [[a, b]]
huu' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt u (u' x) (Ioi x) x
hvv' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt v (v' x) (Ioi x) x
hu' : IntervalIntegrable u' volume a b
hv' : IntervalIntegrable v' volume a b

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, u' x * v x + u x * v' x = u b * v b - u a * v a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
i✝ x✝ : m

⊢ (toLinearMapRight' 1 ∘ₗ single i✝) 1 x✝ = (LinearMap.id ∘ₗ single i✝) 1 x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
S : Submodule R E
x : ↥(S ⊓ f.domain)
y : ↥f.domain
h : ↑x = ↑y
this : (Submodule.inclusion ⋯) x = y

⊢ ↑(f.domRestrict S) x = ↑f ((Submodule.inclusion ⋯) x)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R

⊢ IsCoprime I J ↔ ∃ i ∈ I, ∃ j ∈ J, i + j = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
w : ι → Rˣ

⊢ LinearIndependent R (w • v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
w : ι → Rˣ

⊢ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • (w • v) i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
w : ι → Rˣ
s : Finset ι
g : ι → R
hgs : ∀ i ∉ s, g i = 0
hsum : ∑ i ∈ s, g i • (w • v) i = 0
i : ι

⊢ g i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v✝ : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
w : ι → Rˣ
s : Finset ι
g : ι → R
hgs : ∀ i ∉ s, g i = 0
hsum : ∑ i ∈ s, g i • (w • v) i = 0
i : ι

⊢ g i * ↑(w i) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g : β → E
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ eLpNorm g p (Measure.map f μ) = eLpNorm (g ∘ f) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g : β → E
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ (∫⁻ (x : β), ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal ∂Measure.map f μ) ^ (1 / p.toReal) = (∫⁻ (x : α), ↑‖(g ∘ f) x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g : β → E
hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)
hf : AEMeasurable f μ
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖g (f a)‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal) = (∫⁻ (x : α), ↑‖(g ∘ f) x‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix m p R

⊢ A * Aᴴ * B = 0 ↔ Aᴴ * B = 0
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n

⊢ c.boundary (Fin.last c.length) = Fin.last n
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P

⊢ IsPreconnected {y | s.SSameSide x y}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : ↑s = ∅

⊢ IsPreconnected {y | s.SSameSide x y}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : (↑s).Nonempty

⊢ IsPreconnected {y | s.SSameSide x y}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Holder.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
h0 : 0 < r

⊢ UniformContinuousOn f s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Holder.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
h0 : 0 < r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0

⊢ ∃ δ > 0, ∀ {a : X}, a ∈ s → ∀ {b : X}, b ∈ s → edist a b < δ → edist (f a) (f b) < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Holder.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
h0 : 0 < r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)

⊢ ∃ δ > 0, ∀ {a : X}, a ∈ s → ∀ {b : X}, b ∈ s → edist a b < δ → edist (f a) (f b) < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Holder.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hf : HolderOnWith C r f s
h0 : 0 < r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : Iio δ ⊆ (fun d => ↑C * d ^ ↑r) ⁻¹' {x | (fun x => x < ε) x}

⊢ ∃ δ > 0, ∀ {a : X}, a ∈ s → ∀ {b : X}, b ∈ s → edist a b < δ → edist (f a) (f b) < ε
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
hf : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ

⊢ SuperpolynomialDecay l k fun a => k a ^ z * f a
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
hf : ∀ (z : ℤ), Tendsto (fun a => k a ^ z * f a) l (𝓝 0)
z : ℤ

⊢ ∀ (z_1 : ℤ), Tendsto (fun a => k a ^ z_1 * (k a ^ z * f a)) l (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
hf : ∀ (z : ℤ), Tendsto (fun a => k a ^ z * f a) l (𝓝 0)
z z' : ℤ
x : α
hx : k x ≠ 0

⊢ k x ^ (z' + z) * f x = (fun a => k a ^ z' * (k a ^ z * f a)) x
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModuleIntegers.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
hx : f x ∈ Submodule.span R ↑s
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s

⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModuleIntegers.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
hx : f x ∈ Submodule.span R ↑s
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • ↑s = ⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s)

⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModuleIntegers.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
hx : f x ∈ Submodule.span R ↑s
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : Submodule.span R (↑y • ↑s) = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))

⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModuleIntegers.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
hx : f x ∈ Submodule.span R ↑s
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))

⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModuleIntegers.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
hx : S.subtype y • f x ∈ y • Submodule.span R ↑s

⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModuleIntegers.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
hx : f (S.subtype y • x) ∈ Submodule.map f (Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))

⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModuleIntegers.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
x' : M
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
hx'' : f x' = f (S.subtype y • x)

⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModuleIntegers.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
x' : M
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
hx'' : f x' = f (S.subtype y • x)
a : ↥S
ha : a • x' = a • S.subtype y • x

⊢ ∃ m, m • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModuleIntegers.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
x' : M
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
hx'' : f x' = f (S.subtype y • x)
a : ↥S
ha : a • x' = a • S.subtype y • x

⊢ (a * y) • x ∈ Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModuleIntegers.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
x' : M
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
hx'' : f x' = f (S.subtype y • x)
a : ↥S
ha : a • x' = a • S.subtype y • x

⊢ (a * y) • x = ↑a • x'
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModuleIntegers.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
x' : M
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
hx'' : f x' = f (S.subtype y • x)
a : ↥S
ha : a • x' = a • S.subtype y • x

⊢ (a * y) • x = a • S.subtype y • x
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModuleIntegers.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝¹ : IsLocalizedModule S f
inst✝ : DecidableEq M
x : M
s : Finset M'
y : ↥S := commonDenomOfFinset S f s
hx₁ : ↑y • Submodule.span R ↑s = Submodule.span R (⇑f '' ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
x' : M
hx' : x' ∈ ↑(Submodule.span R ↑(finsetIntegerMultiple S f s))
hx'' : f x' = f (S.subtype y • x)
a : ↥S
ha : a • x' = a • S.subtype y • x

⊢ ↑(a * y) • x = ↑a • ↑y • x
-- Mathlib/GroupTheory/Subsemigroup/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
z : M

⊢ z ∈ center M ↔ ∀ (g : M), g * z = z * g
-- Mathlib/GroupTheory/Subsemigroup/Center.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
z : M

⊢ z ∈ center M ↔ z ∈ Set.center M