ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
U : Subring R := Subring.mk' (⋃ i, ↑(S i)) (⨆ i, (S i).toSubmonoid) (⨆ i, (S i).toAddSubgroup) ⋯ ⋯

⊢ x ∈ ⨆ i, S i → ∃ i, x ∈ S i
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R
U : Subring R := Subring.mk' (⋃ i, ↑(S i)) (⨆ i, (S i).toSubmonoid) (⨆ i, (S i).toAddSubgroup) ⋯ ⋯

⊢ ⨆ i, S i ≤ U
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Arsinh.lean
x y : ℝ

⊢ arsinh x ≤ 0 ↔ x ≤ 0
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Balanced
hr : r.Balanced
sl : l.Sized
sr : r.Sized
H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'

⊢ l.balanceL x r = l.balance' x r
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Balanced
hr : r.Balanced
sl : l.Sized
sr : r.Sized
H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'

⊢ l.size = 0 → r.size ≤ 1
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
hl : l.Balanced
hr : r.Balanced
sl : l.Sized
sr : r.Sized
H : (∃ l', Raised l' l.size ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r.size r' ∧ BalancedSz l.size r'

⊢ 1 ≤ l.size → 1 ≤ r.size → r.size ≤ delta * l.size
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Small.{v, u} R

⊢ Flat R M ↔ ∀ ⦃N N' N'' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : AddCommGroup N''] [inst_3 : Module R N] [inst_4 : Module R N'] [inst_5 : Module R N''] ⦃f : N →ₗ[R] N'⦄ ⦃g : N' →ₗ[R] N''⦄, Function.Exact ⇑f ⇑g → Function.Exact ⇑(rTensor M f) ⇑(rTensor M g)
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Small.{v, u} R
H : ∀ ⦃N N' N'' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : AddCommGroup N''] [inst_3 : Module R N] [inst_4 : Module R N'] [inst_5 : Module R N''] ⦃f : N →ₗ[R] N'⦄ ⦃g : N' →ₗ[R] N''⦄, Function.Exact ⇑f ⇑g → Function.Exact ⇑(rTensor M f) ⇑(rTensor M g)
N' N'' : Type v
x✝³ : AddCommGroup N'
x✝² : AddCommGroup N''
x✝¹ : Module R N'
x✝ : Module R N''
L : N' →ₗ[R] N''
hL : Function.Injective ⇑L
x : N' ⊗[R] M
hx : (rTensor M L) x = 0

⊢ x ∈ ⊥
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R

⊢ preNormEDS b c d 3 = c
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c

⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Ioc a b = Ioc (a / c) (b / c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
g : α → ℝ := Exists.choose h_meas

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
g : α → ℝ := Exists.choose h_meas
hg_meas : StronglyMeasurable g

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
g : α → ℝ := Exists.choose h_meas
hg_meas : StronglyMeasurable g
hg_eq : g =ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
g : α → ℝ := Exists.choose h_meas
hg_meas : StronglyMeasurable g
hg_eq : g =ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_eq_restrict : g =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
g : α → ℝ := Exists.choose h_meas
hg_meas : StronglyMeasurable g
hg_eq : g =ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_eq_restrict : g =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_nnnorm_eq : (fun x => ↑‖g x‖₊) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
g : α → ℝ := Exists.choose h_meas
hg_meas : StronglyMeasurable g
hg_eq : g =ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_eq_restrict : g =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_nnnorm_eq : (fun x => ↑‖g x‖₊) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊

⊢ ∫⁻ (a : α) in s, ↑‖g a‖₊ ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖↑↑f x‖₊ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
g : α → ℝ := Exists.choose h_meas
hg_meas : StronglyMeasurable g
hg_eq : g =ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_eq_restrict : g =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_nnnorm_eq : (fun x => ↑‖g x‖₊) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊

⊢ IntegrableOn (↑↑f) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
g : α → ℝ := Exists.choose h_meas
hg_meas : StronglyMeasurable g
hg_eq : g =ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_eq_restrict : g =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_nnnorm_eq : (fun x => ↑‖g x‖₊) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊

⊢ StronglyMeasurable g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
g : α → ℝ := Exists.choose h_meas
hg_meas : StronglyMeasurable g
hg_eq : g =ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_eq_restrict : g =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_nnnorm_eq : (fun x => ↑‖g x‖₊) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊

⊢ IntegrableOn g s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
f : ↥(Lp ℝ 2 μ)
h_meas : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)) μ := lpMeas.aeStronglyMeasurable' ((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
g : α → ℝ := Exists.choose h_meas
hg_meas : StronglyMeasurable g
hg_eq : g =ᶠ[ae μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_eq_restrict : g =ᶠ[ae (μ.restrict s)] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f)
hg_nnnorm_eq : (fun x => ↑‖g x‖₊) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑‖↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) f) x‖₊

⊢ ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, ↑↑f x ∂μ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ✝ : Type w
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
g : β → γ
K : ℝ≥0
h : Isometry g

⊢ LipschitzWith K (g ∘ f) ↔ LipschitzWith K f
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime

⊢ p.IsMaximal
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
P : Ideal Rₘ
hpP : p < P
hPm : P.IsMaximal

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
P : Ideal Rₘ
hpP : p < P
hPm : P.IsMaximal
hpP' : ⟨p, hpp⟩ < ⟨P, ⋯⟩

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
P : Ideal Rₘ
hpP : p < P
hPm : P.IsMaximal
hpP' : (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨p, hpp⟩ < (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨P, ⋯⟩

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
P : Ideal Rₘ
hpP : p < P
hPm : P.IsMaximal
hpP' : (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨p, hpp⟩ < (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨P, ⋯⟩
this : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p).IsPrime

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
P : Ideal Rₘ
hpP : p < P
hPm : P.IsMaximal
hpP' : (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨p, hpp⟩ < (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨P, ⋯⟩
this✝ : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p).IsPrime
this : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) P).IsPrime

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
P : Ideal Rₘ
hpP : p < P
hPm : P.IsMaximal
hpP' : (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨p, hpp⟩ < (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨P, ⋯⟩
this✝ : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p).IsPrime
this : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) P).IsPrime
hlt : Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p < Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) P

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Dvr.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R✝
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : Field K
R : Type u_4
Rₘ : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : CommRing Rₘ
inst✝¹ : Algebra R Rₘ
M : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M Rₘ
hM : M ≤ R⁰
h : DimensionLEOne R
p : Ideal Rₘ
hp0 : p ≠ ⊥
hpp : p.IsPrime
P : Ideal Rₘ
hpP : p < P
hPm : P.IsMaximal
hpP' : (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨p, hpp⟩ < (IsLocalization.orderIsoOfPrime M Rₘ) ⟨P, ⋯⟩
this✝ : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p).IsPrime
this : (Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) P).IsPrime
hlt : Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p < Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) P

⊢ ⊥ < Ideal.comap (algebraMap R Rₘ) p
-- Mathlib/Algebra/Homology/ComplexShapeSigns.lean
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
I : Type u_4
inst✝¹ : AddMonoid I
c : ComplexShape I
inst✝ : c.TensorSigns
p q : I

⊢ c.ε (p + q) = c.ε p * c.ε q
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftedHom.lean
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.24327, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.24334, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.24341, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
a : M
f : ShiftedHom X Y a
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0

⊢ m₀ + a = a
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftedHom.lean
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{?u.24334, u_2} D
E : Type u_3
inst✝⁴ : Category.{?u.24341, u_3} E
M : Type u_4
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : HasShift C M
inst✝¹ : HasShift D M
inst✝ : HasShift E M
X Y Z T : C
a : M
f : ShiftedHom X Y a
m₀ : M
hm₀ : m₀ = 0

⊢ f.comp (mk₀ m₀ hm₀ (𝟙 Y)) ⋯ = f
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hab : a + b ≤ 1
hp1 : 1 ≤ p

⊢ a ^ p + b ^ p ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hab : a + b ≤ 1
hp1 : 1 ≤ p
h_le_one : ∀ x ≤ 1, x ^ p ≤ x

⊢ a ^ p + b ^ p ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hab : a + b ≤ 1
hp1 : 1 ≤ p
h_le_one : ∀ x ≤ 1, x ^ p ≤ x
ha : a ≤ 1

⊢ a ^ p + b ^ p ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
p : ℝ
a b : ℝ≥0
hab : a + b ≤ 1
hp1 : 1 ≤ p
h_le_one : ∀ x ≤ 1, x ^ p ≤ x
ha : a ≤ 1
hb : b ≤ 1

⊢ a ^ p + b ^ p ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Chebyshev.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s

⊢ s.card • ∑ i ∈ s, f i • g i ≤ (∑ i ∈ s, f i) • ∑ i ∈ s, g i
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
hw : w ∈ (Submodule.span ℝ {v})ᗮ
h₁ : 0 < ‖w‖ ^ 2 + 4

⊢ stereoInvFunAux v w ∈ sphere 0 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
hw : w ∈ (Submodule.span ℝ {v})ᗮ
h₁ : 0 < ‖w‖ ^ 2 + 4

⊢ ‖4 • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v‖ = ‖w‖ ^ 2 + 4
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
hw : w ∈ (Submodule.span ℝ {v})ᗮ
h₁ : 0 < ‖w‖ ^ 2 + 4

⊢ ‖4 • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v‖ ^ 2 = (‖w‖ ^ 2 + 4) ^ 2
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
hw : ⟪w, v⟫_ℝ = 0
h₁ : 0 < ‖w‖ ^ 2 + 4

⊢ ‖4 • w + (‖w‖ ^ 2 - 4) • v‖ ^ 2 = (‖w‖ ^ 2 + 4) ^ 2
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E
hv : ‖v‖ = 1
w : E
hw : ⟪w, v⟫_ℝ = 0
h₁ : 0 < ‖w‖ ^ 2 + 4

⊢ 4 ^ 2 * ‖w‖ ^ 2 + (‖w‖ ^ 2 - 4) ^ 2 = (‖w‖ ^ 2 + 4) ^ 2
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : K_hat R K
hx : x.IsFiniteAdele
hy : y.IsFiniteAdele

⊢ (x * y).IsFiniteAdele
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : K_hat R K
hx : {x_1 | x x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite
hy : {x | y x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite

⊢ {x_1 | (x * y) x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite