ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h : ∀ ⦃c : α⦄, a₁ < c → ¬c < a₂
c : α × β
h₁ : (a₁, b) < c
h₂ : c < (a₂, b)
this : c.2 = b

⊢ False
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h : ∀ ⦃c : α⦄, a₁ < c → ¬c < a₂
c : α × β
h₁ : a₁ < c.1
h₂ : c.1 < a₂
this : c.2 = b

⊢ False
-- Mathlib/Data/ZMod/Units.lean
n m : ℕ
hm : NeZero m
h : n ∣ m

⊢ Function.Surjective ⇑(unitsMap h)
-- Mathlib/Data/ZMod/Units.lean
n m : ℕ
hm : NeZero m
h : n ∣ m

⊢ ∀ (x : ℕ), x.Coprime n → ∃ k, (x + k * n).Coprime m
-- Mathlib/Data/ZMod/Units.lean
n m : ℕ
hm : NeZero m
h : n ∣ m
x : ℕ
hx : x.Coprime n
ps : Finset ℕ := Finset.filter (fun p => ¬p ∣ x) m.primeFactors

⊢ ∃ k, (x + k * n).Coprime m
-- Mathlib/Data/ZMod/Units.lean
n m : ℕ
hm : NeZero m
h : n ∣ m
x : ℕ
hx : x.Coprime n
ps : Finset ℕ := Finset.filter (fun p => ¬p ∣ x) m.primeFactors

⊢ (x + ps.prod id * n).Coprime m
-- Mathlib/Data/ZMod/Units.lean
n m : ℕ
hm : NeZero m
h : n ∣ m
x : ℕ
hx : x.Coprime n
ps : Finset ℕ := Finset.filter (fun p => ¬p ∣ x) m.primeFactors

⊢ ∀ (k : ℕ), Nat.Prime k → k ∣ x + ps.prod id * n → ¬k ∣ m
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g₁ g₂ : G

⊢ (hSK.equiv g₁).1 = (hSK.equiv g₂).1 ↔ LeftCosetEquivalence (↑K) g₁ g₂
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g₁ g₂ : G

⊢ (hSK.equiv g₁).1 = (hSK.equiv g₂).1 ↔ g₁⁻¹ * g₂ ∈ K
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y

⊢ f.c.app (op U) ≫ invApp f ((Opens.map f.base).obj U) = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y

⊢ (f.c.app (op U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯)) ≫ inv (f.c.app (op ((opensFunctor f).obj ((Opens.map f.base).obj U)))) = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y

⊢ f.c.app (op U) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = f.c.app (op U) ≫ ((TopCat.Presheaf.pushforward C f.base).obj X.presheaf).map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g✝ : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : F →ₛₗᵢ[σ₂₃] G
g : E →SL[σ₁₂] F
x : E

⊢ ‖(f.toContinuousLinearMap.comp g) x‖ = ‖g x‖
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
hgi : IntegrableOn g k volume

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
hgi : IntegrableOn g k volume
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hsub : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ k
hfd : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], ‖deriv f z‖ ≤ C * ‖g z‖

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hsub : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ k
hfd : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], ‖deriv f z‖ ≤ C * ‖g z‖
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hsub : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ k
hfd : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], ‖deriv f z‖ ≤ C * ‖g z‖
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
d : ℝ
hd : d ∈ s
hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hg : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], ‖deriv f z‖ ≤ C * ‖g z‖
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
d : ℝ
hd : d ∈ s
hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖
hsub : [[c, d]] ⊆ k
hfd : ∀ z ∈ [[c, d]], DifferentiableAt ℝ f z

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
d : ℝ
hd : d ∈ s
hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖
hsub : [[c, d]] ⊆ k
hfd : ∀ z ∈ [[c, d]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ Ι c d, ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
d : ℝ
hd : d ∈ s
hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖
hsub : [[c, d]] ⊆ k
hfd : ∀ z ∈ [[c, d]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ Ι c d, ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hg_ae : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ι c d), ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
d : ℝ
hd : d ∈ s
hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖
hsub : [[c, d]] ⊆ k
hfd : ∀ z ∈ [[c, d]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ Ι c d, ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hg_ae : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ι c d), ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hsub' : Ι c d ⊆ k

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
d : ℝ
hd : d ∈ s
hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖
hsub : [[c, d]] ⊆ k
hfd : ∀ z ∈ [[c, d]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ Ι c d, ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hg_ae : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ι c d), ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hsub' : Ι c d ⊆ k
hfi : IntervalIntegrable (deriv f) volume c d

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
d : ℝ
hd : d ∈ s
hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖
hsub : [[c, d]] ⊆ k
hfd : ∀ z ∈ [[c, d]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ Ι c d, ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hg_ae : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ι c d), ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hsub' : Ι c d ⊆ k
hfi : IntervalIntegrable (deriv f) volume c d

⊢ ‖f d‖ - ‖f c‖ ≤ ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hn : 0 < a
hm : 1 < b

⊢ a < a * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hn : 0 < a
hm : 1 < b

⊢ a = a * 1
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ rexp (-π * t) < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
r C : ℝ≥0∞
hr : r < 1
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n

⊢ CauchySeq f
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
r C : ℝ≥0∞
hr : r < 1
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n

⊢ ∑' (n : ℕ), C * r ^ n ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
r C : ℝ≥0∞
hr : r < 1
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n

⊢ C * (1 - r)⁻¹ ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
r C : ℝ≥0∞
hr : r < 1
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n

⊢ 1 - r ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α

⊢ round x = ⌊x + 1 / 2⌋
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α

⊢ (if fract x < 1 / 2 then ⌊x⌋ else ⌈x⌉) = ⌊x + 1 / 2⌋
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
hx : fract x < 1 / 2

⊢ (if fract x < 1 / 2 then ⌊x⌋ else ⌈x⌉) = ⌊x + 1 / 2⌋
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α
hx : 1 / 2 ≤ fract x

⊢ (if fract x < 1 / 2 then ⌊x⌋ else ⌈x⌉) = ⌊x + 1 / 2⌋
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Polish.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
ht : TopologicalSpace α
h : PolishSpace α

⊢ CompleteSpace α
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Polish.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
ht : TopologicalSpace α
h : PolishSpace α

⊢ polishSpaceMetric α = ⋯.choose
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

⊢ Iio a ⊆ Iio b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : Iio a ⊆ Iio b

⊢ a ≤ b
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : Iio a ⊆ Iio b
ab : ¬a ≤ b

⊢ False
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
c : Set (Set α)
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ t ∈ c, IsOpen t
hc₂ : s ⊆ ⋃₀ c

⊢ ∃ δ > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ c, ball x δ ⊆ t
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
c : Set (Set α)
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ t ∈ c, IsOpen t
hc₂ : s ⊆ ⋃ i, ↑i

⊢ ∃ δ > 0, ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ c, ball x δ ⊆ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/TorusIntegral.lean
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : CompleteSpace E
f✝ g : (Fin n → ℂ) → E
c✝ : Fin n → ℂ
R✝ : Fin n → ℝ
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 ℂ E
a : 𝕜
f : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ

⊢ (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), a • f x) = a • ∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
hs : s ∈ (if hUcard : U.card = m * 4 ^ P.parts.card + (Fintype.card α / P.parts.card - m * 4 ^ P.parts.card) then equitabilise ⋯ else equitabilise ⋯).parts

⊢ s.card = m ∨ s.card = m + 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer

⊢ ∃ K', IsEngelian R ↥K' ∧ K < K'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K

⊢ ∃ K', IsEngelian R ↥K' ∧ K < K'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }

⊢ ∃ K', IsEngelian R ↥K' ∧ K < K'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'

⊢ ∃ K', IsEngelian R ↥K' ∧ K < K'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'

⊢ ∃ K', IsEngelian R ↥K' ∧ K < K'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer

⊢ ∃ K', IsEngelian R ↥K' ∧ K < K'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer

⊢ IsEngelian R ↥K'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule (↥K') M
_i4 : LieModule R (↥K') M
h : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)

⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥K') M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule (↥K') M
_i4 : LieModule R (↥K') M
h : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)
I : LieIdeal R ↥K'
hI₁ : lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'

⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥K') M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule (↥K') M
_i4 : LieModule R (↥K') M
h : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)
I : LieIdeal R ↥K'
hI₁ : lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'
hI₂ : Submodule.span R {⟨x, hxK'⟩} ⊔ ↑I = ⊤

⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥K') M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule (↥K') M
_i4 : LieModule R (↥K') M
h : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)
I : LieIdeal R ↥K'
hI₁ : lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'
hI₂ : Submodule.span R {⟨x, hxK'⟩} ⊔ ↑I = ⊤
e : ↥K ≃ₗ⁅R⁆ ↥↑I

⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥K') M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Engel.lean
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M✝ : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M✝
inst✝² : Module R M✝
inst✝¹ : LieRingModule L M✝
inst✝ : LieModule R L M✝
K : LieSubalgebra R L
hK₁ : IsEngelian R ↥K
hK₂ : K < K.normalizer
x : L
hx₁ : x ∈ K.normalizer
hx₂ : x ∉ K
K' : LieSubalgebra R L := let __src := Submodule.span R {x} ⊔ K.toSubmodule; { toSubmodule := __src, lie_mem' := ⋯ }
hxK' : x ∈ K'
hKK' : K ≤ K'
hK' : K' ≤ K.normalizer
M : Type u₄
_i1 : AddCommGroup M
_i2 : Module R M
_i3 : LieRingModule (↥K') M
_i4 : LieModule R (↥K') M
h : ∀ (x : ↥K'), _root_.IsNilpotent ((toEnd R (↥K') M) x)
I : LieIdeal R ↥K'
hI₁ : lieIdealSubalgebra R (↥K') I = LieSubalgebra.ofLe hKK'
hI₂ : Submodule.span R {⟨x, hxK'⟩} ⊔ ↑I = ⊤
e : ↥K ≃ₗ⁅R⁆ ↥↑I
hI₃ : IsEngelian R ↥↑I

⊢ LieModule.IsNilpotent R (↥K') M
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ≃ β
D : Set β

⊢ (M.mapEquiv f).Dep D ↔ M.Dep (⇑f.symm '' D)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ≃ β
D : Set β

⊢ (∃ D₀, M.Dep D₀ ∧ D = ⇑f '' D₀) ↔ M.Dep (⇑f.symm '' D)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a) μ
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝³ : l.IsCountablyGenerated
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
a✝ b : ι → ℝ
f : ℝ → E
a : ℝ
hfi : IntegrableOn f (Ioi a) μ
hb : Tendsto b l atTop
φ : ι → Set ℝ := fun i => Iic (b i)
hφ : AECover (μ.restrict (Ioi a)) l φ

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b i, f x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : ℝ) in Ioi a, f x ∂μ))