ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝² : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝¹ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
inst✝ : DecidablePred p
j : J
i : Subtype p

⊢ (ι f j ≫ toSubtype f p) ≫ π (Subtype.restrict p f) i = (if h : p j then ι (Subtype.restrict p f) ⟨j, h⟩ else 0) ≫ π (Subtype.restrict p f) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
f : J → C
inst✝² : HasBiproduct f
p : J → Prop
inst✝¹ : HasBiproduct (Subtype.restrict p f)
inst✝ : DecidablePred p
j : J
i : Subtype p

⊢ (if h : j = ↑i then eqToHom ⋯ else 0) = (if h : p j then ι (Subtype.restrict p f) ⟨j, h⟩ else 0) ≫ π (Subtype.restrict p f) i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
h_mon : f.Monic
h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)

⊢ Irreducible f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
h_mon : f.Monic
h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)
a b : R[X]
h : f = a * b

⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
h_mon : f.leadingCoeff = 1
h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)
a b : R[X]
h : f = a * b

⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
h_mon : f.leadingCoeff = 1
h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)
a b : R[X]
h : f = a * b
q : a.leadingCoeff * b.leadingCoeff = (a * b).leadingCoeff

⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
h_mon : f.leadingCoeff = 1
h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)
a b : R[X]
h : f = a * b
q : a.leadingCoeff * b.leadingCoeff = 1

⊢ IsUnit a ∨ IsUnit b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
h_mon : f.leadingCoeff = 1
h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)
a b : R[X]
h : f = a * b
q : a.leadingCoeff * b.leadingCoeff = 1

⊢ a.leadingCoeff * ?refine_1.hf.b = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
h_mon : f.leadingCoeff = 1
h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)
a b : R[X]
h : f = a * b
q : a.leadingCoeff * b.leadingCoeff = 1

⊢ R
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
φ : R →+* S
f : R[X]
h_mon : f.leadingCoeff = 1
h_irr : Irreducible (Polynomial.map φ f)
a b : R[X]
h : f = a * b
q : a.leadingCoeff * b.leadingCoeff = 1

⊢ b.leadingCoeff * ?refine_2.hf.b = 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S

⊢ (W.map f).ψ₂ = Polynomial.map (mapRingHom f) W.ψ₂
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Equiv.lean
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
f : A₁ →ₐ[R] A₂

⊢ (fun f => ((↑e₂.symm).comp f).comp ↑e₁) ((fun f => ((↑e₂).comp f).comp ↑e₁.symm) f) = f
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Equiv.lean
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
f : A₁ →ₐ[R] A₂

⊢ (↑e₂.symm).comp ((↑e₂).comp (f.comp (AlgHom.id R A₁))) = f
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Equiv.lean
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
f : A₁' →ₐ[R] A₂'

⊢ (fun f => ((↑e₂).comp f).comp ↑e₁.symm) ((fun f => ((↑e₂.symm).comp f).comp ↑e₁) f) = f
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Equiv.lean
R : Type uR
A₁ : Type uA₁
A₂ : Type uA₂
A₃ : Type uA₃
A₁' : Type uA₁'
A₂' : Type uA₂'
A₃' : Type uA₃'
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Semiring A₁
inst✝¹⁰ : Semiring A₂
inst✝⁹ : Semiring A₃
inst✝⁸ : Semiring A₁'
inst✝⁷ : Semiring A₂'
inst✝⁶ : Semiring A₃'
inst✝⁵ : Algebra R A₁
inst✝⁴ : Algebra R A₂
inst✝³ : Algebra R A₃
inst✝² : Algebra R A₁'
inst✝¹ : Algebra R A₂'
inst✝ : Algebra R A₃'
e : A₁ ≃ₐ[R] A₂
e₁ : A₁ ≃ₐ[R] A₁'
e₂ : A₂ ≃ₐ[R] A₂'
f : A₁' →ₐ[R] A₂'

⊢ (↑e₂).comp ((↑e₂.symm).comp (f.comp (AlgHom.id R A₁'))) = f
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A

⊢ map (↑(opLinearEquiv R).symm) 1 = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsLimit t.toCone

⊢ t.inl = ht.lift (BinaryFan.mk (𝟙 X) 0)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsLimit t.toCone

⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), t.inl ≫ t.toCone.π.app j = (BinaryFan.mk (𝟙 X) 0).π.app j
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧
n : ℕ
a : R
h : a ≠ 0

⊢ ((monomial R n) a).order = ↑n
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set (Setoid α)
x✝¹ x✝ : α

⊢ (sInf s).Rel x✝¹ x✝ ↔ sInf (Rel '' s) x✝¹ x✝
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set (Setoid α)
x✝¹ x✝ : α

⊢ (sInf s).Rel x✝¹ x✝ ↔ ∀ i ∈ s, i.Rel x✝¹ x✝
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Div G✝
inst✝³ : ContinuousDiv G✝
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousDiv G
b c : G
f : α → G
l : Filter α

⊢ Tendsto (fun k => b / f k) l (𝓝 (b / c)) ↔ Tendsto f l (𝓝 c)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Div G✝
inst✝³ : ContinuousDiv G✝
G : Type u_1
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : ContinuousDiv G
b c : G
f : α → G
l : Filter α
h : Tendsto (fun k => b / f k) l (𝓝 (b / c))

⊢ Tendsto f l (𝓝 c)
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
x✝ : [].Nodup
i : Fin [].length

⊢ [].next ([].get i) ⋯ = [].get ⟨(↑i + 1) % [].length, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
_h : (x :: y :: l).Nodup
h0 : 0 < (x :: y :: l).length
h₁ : (x :: y :: l).get ⟨0, h0⟩ = x

⊢ (x :: y :: l).next ((x :: y :: l).get ⟨0, h0⟩) ⋯ = (x :: y :: l).get ⟨(↑⟨0, h0⟩ + 1) % (x :: y :: l).length, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
_h : (x :: y :: l).Nodup
h0 : 0 < (x :: y :: l).length
h₁ : (x :: y :: l).get ⟨0, h0⟩ = x

⊢ y = (x :: y :: l).get ⟨(↑⟨0, h0⟩ + 1) % (x :: y :: l).length, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
hn : (x :: y :: l).Nodup
i : ℕ
hi : i + 1 < (x :: y :: l).length

⊢ (x :: y :: l).next ((x :: y :: l).get ⟨i + 1, hi⟩) ⋯ = (x :: y :: l).get ⟨(↑⟨i + 1, hi⟩ + 1) % (x :: y :: l).length, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
hn : (x :: y :: l).Nodup
i : ℕ
hi : i + 1 < (x :: y :: l).length
hx' : (x :: y :: l).get ⟨i + 1, hi⟩ ≠ x

⊢ (x :: y :: l).next ((x :: y :: l).get ⟨i + 1, hi⟩) ⋯ = (x :: y :: l).get ⟨(↑⟨i + 1, hi⟩ + 1) % (x :: y :: l).length, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
hn : (x :: y :: l).Nodup
i : ℕ
hi : i + 1 < (x :: y :: l).length
hx' : (x :: y :: l).get ⟨i + 1, hi⟩ ≠ x
hi' : i ≤ l.length

⊢ (x :: y :: l).next ((x :: y :: l).get ⟨i + 1, hi⟩) ⋯ = (x :: y :: l).get ⟨(↑⟨i + 1, hi⟩ + 1) % (x :: y :: l).length, ⋯⟩
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ ν : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (s : Set Ω), MeasurableSet s → μ s = ν s
s : Set Ω
s_mble : MeasurableSet s

⊢ ↑μ s = ↑ν s
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A →ₙₐ[R] C
c : Subalgebra R C

⊢ (lift f).range ≤ c ↔ Algebra.adjoin R ↑(NonUnitalAlgHom.range f) ≤ c
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A →ₙₐ[R] C
c : Subalgebra R C

⊢ NonUnitalAlgHom.range f ≤ c.toNonUnitalSubalgebra ↔ ↑(NonUnitalAlgHom.range f) ⊆ ↑c
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ x.arg = y.arg ↔ ↑(abs y) / ↑(abs x) * x = y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ x.arg = y.arg ↔ (↑(abs y) / ↑(abs x) * x).arg = y.arg
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x y : ℂ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ 0 < abs y / abs x
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
M' : Type u_2
inst✝ : Mul M'

⊢ commProb (M × M') = commProb M * commProb M'
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
M' : Type u_2
inst✝ : Mul M'

⊢ ↑(Nat.card { p // (p.1 * p.2).1 = (p.2 * p.1).1 ∧ (p.1 * p.2).2 = (p.2 * p.1).2 }) / (↑(Nat.card M) ^ 2 * ↑(Nat.card M') ^ 2) = ↑(Nat.card ({ p // p.1 * p.2 = p.2 * p.1 } × { p // p.1 * p.2 = p.2 * p.1 })) / (↑(Nat.card M) ^ 2 * ↑(Nat.card M') ^ 2)
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Mul M
M' : Type u_2
inst✝ : Mul M'

⊢ Nat.card { p // (p.1 * p.2).1 = (p.2 * p.1).1 ∧ (p.1 * p.2).2 = (p.2 * p.1).2 } = Nat.card ({ p // p.1 * p.2 = p.2 * p.1 } × { p // p.1 * p.2 = p.2 * p.1 })
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/NaturalTransformation/Strong.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : StrongOplaxNatTrans F G
θ : StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
g h : a ⟶ b
β : g ⟶ h

⊢ f ◁ G.map₂ β ▷ θ.app b ≫ f ◁ (θ.naturality h).hom = f ◁ (θ.naturality g).hom ≫ f ◁ θ.app a ◁ H.map₂ β
-- Mathlib/RepresentationTheory/Character.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
G : Type u
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G

⊢ character (Action.FunctorCategoryEquivalence.inverse.obj (Action.FunctorCategoryEquivalence.functor.obj V ⊗ Action.FunctorCategoryEquivalence.functor.obj W)) = V.character * W.character
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x✝ : α × β

⊢ x✝ ∈ s ×ˢ ∅ ↔ x✝ ∈ ∅
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/IsInvertedBy.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
W : MorphismProperty C
F₁ F₂ : C ⥤ D
e : F₁ ≅ F₂

⊢ (∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f → IsIso (F₁.map f)) ↔ ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), W f → IsIso (F₂.map f)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/ENorm.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
c : 𝕜
x : V

⊢ ↑e (c • x) = ↑‖c‖₊ * ↑e x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/ENorm.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
c : 𝕜
x : V

⊢ ↑‖c‖₊ * ↑e x ≤ ↑e (c • x)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/ENorm.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
c : 𝕜
x : V
hc : ¬c = 0

⊢ ↑‖c‖₊ * ↑e x ≤ ↑e (c • x)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α

⊢ a⁻¹ ≤ 1 ↔ 1 ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α

⊢ a * a⁻¹ ≤ a * 1 ↔ 1 ≤ a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/BinomialHeap/Basic.lean
α : Type u_1
s : Heap α
le : α → α → Bool
n : Nat
hwf : WF le n s

⊢ WF le 0 ((Heap.tail? le s).getD Heap.nil)
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n✝ c n : ℕ
hn : n ≥ 2 * (c ^ 2 + 1)

⊢ c ^ n < (n - 1)!
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n c d : ℕ
hn : 2 * (c ^ 2 + 1) + d ≥ 2 * (c ^ 2 + 1)

⊢ c ^ (2 * (c ^ 2 + 1) + d) < (2 * (c ^ 2 + 1) + d - 1)!
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n d : ℕ
hn : 2 * (0 ^ 2 + 1) + d ≥ 2 * (0 ^ 2 + 1)

⊢ 0 ^ (2 * (0 ^ 2 + 1) + d) < (2 * (0 ^ 2 + 1) + d - 1)!
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n c d : ℕ
hn : 2 * (c ^ 2 + 1) + d ≥ 2 * (c ^ 2 + 1)
c0 : c > 0

⊢ c ^ (2 * (c ^ 2 + 1) + d) < (2 * (c ^ 2 + 1) + d - 1)!
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n c d : ℕ
hn : 2 * (c ^ 2 + 1) + d ≥ 2 * (c ^ 2 + 1)
c0 : c > 0

⊢ c ^ (2 * (c ^ 2 + 1) + d) * c ^ d < (2 * (c ^ 2 + 1) + d - 1)!
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n c d : ℕ
hn : 2 * (c ^ 2 + 1) + d ≥ 2 * (c ^ 2 + 1)
c0 : c > 0

⊢ (c ^ 2) ^ (c ^ 2 + d + 1) < (c ^ 2 + (c ^ 2 + d + 1))!
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n c d : ℕ
hn : 2 * (c ^ 2 + 1) + d ≥ 2 * (c ^ 2 + 1)
c0 : c > 0

⊢ (c ^ 2) ^ (c ^ 2 + d + 1) < (c ^ 2)! * (c ^ 2 + 1) ^ (c ^ 2 + d + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n c d : ℕ
hn : 2 * (c ^ 2 + 1) + d ≥ 2 * (c ^ 2 + 1)
c0 : c > 0

⊢ 1 * (c ^ 2) ^ (c ^ 2 + d + 1) < (c ^ 2)! * (c ^ 2 + 1) ^ (c ^ 2 + d + 1)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α

⊢ ∑ a ∈ s.toFinset, count a s • {a} = s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/SplitEqualizer.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
W : C
ι : W ⟶ X
q : IsSplitEqualizer f g ι
F : C ⥤ D

⊢ F.map ι ≫ F.map f = F.map ι ≫ F.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/SplitEqualizer.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
W : C
ι : W ⟶ X
q : IsSplitEqualizer f g ι
F : C ⥤ D

⊢ F.map ι ≫ F.map q.leftRetraction = 𝟙 (F.obj W)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/SplitEqualizer.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
W : C
ι : W ⟶ X
q : IsSplitEqualizer f g ι
F : C ⥤ D

⊢ F.map g ≫ F.map q.rightRetraction = 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/SplitEqualizer.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y : C
f g : X ⟶ Y
W : C
ι : W ⟶ X
q : IsSplitEqualizer f g ι
F : C ⥤ D

⊢ F.map f ≫ F.map q.rightRetraction = F.map q.leftRetraction ≫ F.map ι
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'

⊢ (map f H).index = (H ⊔ f.ker).index * f.range.index
-- Mathlib/RingTheory/FinitePresentation.lean
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : FinitePresentation R A
e : A ≃ₐ[R] B

⊢ FinitePresentation R B
-- Mathlib/RingTheory/FinitePresentation.lean
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : FinitePresentation R A
e : A ≃ₐ[R] B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

⊢ FinitePresentation R B
-- Mathlib/RingTheory/FinitePresentation.lean
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : FinitePresentation R A
e : A ≃ₐ[R] B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

⊢ Surjective ⇑((↑e).comp f) ∧ (RingHom.ker ((↑e).comp f).toRingHom).FG
-- Mathlib/RingTheory/FinitePresentation.lean
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : FinitePresentation R A
e : A ≃ₐ[R] B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

⊢ (RingHom.ker ((↑e).comp f).toRingHom).FG
-- Mathlib/RingTheory/FinitePresentation.lean
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : FinitePresentation R A
e : A ≃ₐ[R] B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

⊢ RingHom.ker ((↑e).comp f).toRingHom = RingHom.ker f.toRingHom
-- Mathlib/RingTheory/FinitePresentation.lean
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : FinitePresentation R A
e : A ≃ₐ[R] B
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f ∧ (RingHom.ker f.toRingHom).FG
hco : ((↑e).comp f).toRingHom = (↑e.toRingEquiv).comp f.toRingHom

⊢ RingHom.ker ((↑e).comp f).toRingHom = RingHom.ker f.toRingHom
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
h : MkCore
i j : h.J
x : ↥(h.V j i)

⊢ (h.t i j) ((h.t j i) x) = x
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
h : MkCore
i j : h.J
x : ↥(h.V j i)
this : ↑((h.t i j) ⟨↑((h.t j i) x), ⋯⟩) = ↑((h.t j j) ⟨↑x, ?refine_1⟩)

⊢ (h.t i j) ((h.t j i) x) = x
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
h : MkCore
i j : h.J
x : ↥(h.V j i)

⊢ ↑x ∈ h.V j j
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
h : MkCore
i j : h.J
x : ↥(h.V j i)

⊢ ↑x ∈ ⊤
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ sinh (-x) = -sinh x
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁

⊢ dist (f z) (f c) ≤ R₂ / R₁ * dist z c
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball z R₁)
h_maps : MapsTo f (ball z R₁) (ball (f z) R₂)
hz : z ∈ ball z R₁

⊢ dist (f z) (f z) ≤ R₂ / R₁ * dist z z
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hne : z ≠ c

⊢ dist (f z) (f c) ≤ R₂ / R₁ * dist z c
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ x : ι → ℝ
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ π
hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁
J₂ : Box ι
h₂ : J₂ ∈ π
hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂
H : {i | J₁.lower i = x i} = {i | J₂.lower i = x i}

⊢ J₁ = J₂
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ x : ι → ℝ
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ π
hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁
J₂ : Box ι
h₂ : J₂ ∈ π
hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂
H : {i | J₁.lower i = x i} = {i | J₂.lower i = x i}

⊢ ∀ (i : ι), (Set.Ioc (J₁.lower i) (J₁.upper i) ∩ Set.Ioc (J₂.lower i) (J₂.upper i)).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ x : ι → ℝ
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ π
hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁
J₂ : Box ι
h₂ : J₂ ∈ π
hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂
H : {i | J₁.lower i = x i} = {i | J₂.lower i = x i}
i : ι

⊢ (Set.Ioc (J₁.lower i) (J₁.upper i) ∩ Set.Ioc (J₂.lower i) (J₂.upper i)).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ x : ι → ℝ
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ π
hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁
J₂ : Box ι
h₂ : J₂ ∈ π
hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂
i : ι
H : ∀ (x_1 : ι), J₁.lower x_1 = x x_1 ↔ J₂.lower x_1 = x x_1

⊢ (Set.Ioc (J₁.lower i) (J₁.upper i) ∩ Set.Ioc (J₂.lower i) (J₂.upper i)).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ x : ι → ℝ
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ π
hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁
J₂ : Box ι
h₂ : J₂ ∈ π
hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂
i : ι
H : ∀ (x_1 : ι), J₁.lower x_1 = x x_1 ↔ J₂.lower x_1 = x x_1
hi₁ : J₁.lower i = x i

⊢ (Set.Ioc (J₁.lower i) (J₁.upper i) ∩ Set.Ioc (J₂.lower i) (J₂.upper i)).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂✝ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x✝ x : ι → ℝ
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ π
hx₁ : x ∈ Box.Icc J₁
J₂ : Box ι
h₂ : J₂ ∈ π
hx₂ : x ∈ Box.Icc J₂
i : ι
H : ∀ (x_1 : ι), J₁.lower x_1 = x x_1 ↔ J₂.lower x_1 = x x_1
hi₁ : J₁.lower i < x i

⊢ (Set.Ioc (J₁.lower i) (J₁.upper i) ∩ Set.Ioc (J₂.lower i) (J₂.upper i)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Order/Priestley.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PriestleySpace α
x y : α
h : x ≠ y

⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ (IsUpperSet U ∨ IsLowerSet U) ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
-- Mathlib/Topology/Order/Priestley.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PriestleySpace α
x y : α
h✝ : x ≠ y
h : ¬x ≤ y

⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ (IsUpperSet U ∨ IsLowerSet U) ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
-- Mathlib/Topology/Order/Priestley.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PriestleySpace α
x y : α
h✝ : x ≠ y
h : ¬y ≤ x

⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ (IsUpperSet U ∨ IsLowerSet U) ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : 1 < finrank ℚ K

⊢ 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K ≤ ↑|discr K|
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : 1 < finrank ℚ K
x : 𝓞 K
h_nz : x ≠ 0
h_bd : ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|

⊢ 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K ≤ ↑|discr K|
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : 1 < finrank ℚ K
x : 𝓞 K
h_nz : x ≠ 0
h_bd : ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
h_nm : 1 ≤ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x|

⊢ 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K ≤ ↑|discr K|
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : 1 < finrank ℚ K
x : 𝓞 K
h_nz : x ≠ 0
h_nm : 1 ≤ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑x|
h_bd : 1 ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|

⊢ 4 / 9 * (3 * π / 4) ^ finrank ℚ K ≤ ↑|discr K|