ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₂ : R₂.Exact
hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Epi (app' φ 2 ⋯)
ψ : mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 ⟶ mk₃ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 := homMk₃ (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) (𝟙 ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).obj' 3 ⋯)) ⋯ ⋯ ⋯

⊢ (ShortComplex.mk ((mk₂ ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 1 2 ⋯ ⋯) ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 2 3 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₂ ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 1 2 ⋯ ⋯) ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 2 3 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯) ⋯).Exact
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₂ : R₂.Exact
hR₁' : Epi (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Epi (app' φ 2 ⋯)
ψ : mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 ⟶ mk₃ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0 := homMk₃ (app' φ 0 ⋯) (app' φ 1 ⋯) (app' φ 2 ⋯) (𝟙 ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).obj' 3 ⋯)) ⋯ ⋯ ⋯

⊢ Epi (ShortComplex.mk ((mk₂ ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 1 2 ⋯ ⋯) ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 2 3 ⋯ ⋯)).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((mk₂ ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 1 2 ⋯ ⋯) ((mk₃ (R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) 0).map' 2 3 ⋯ ⋯)).map' 1 2 ⋯ ⋯) ⋯).f
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ x : Z
ex : x ∈ e.source

⊢ ↑e.symm (proj x, (↑e x).2) = x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l (𝓝 C)

⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atTop
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l atTop
hg : Tendsto g l (𝓝 C)

⊢ (fun x => f x * (C / 2)) ≤ᶠ[l] fun x => f x * g x
-- Mathlib/CategoryTheory/LiftingProperties/Adjunction.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : A ⟶ F.obj X
v : B ⟶ F.obj Y
sq : CommSq u i (F.map p) v
adj : G ⊣ F

⊢ ⋯.HasLift ↔ sq.HasLift
-- Mathlib/CategoryTheory/LiftingProperties/Adjunction.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
F : D ⥤ C
A B : C
X Y : D
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
u : A ⟶ F.obj X
v : B ⟶ F.obj Y
sq : CommSq u i (F.map p) v
adj : G ⊣ F

⊢ Nonempty ⋯.LiftStruct ↔ Nonempty sq.LiftStruct
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t✝ s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
v : ℕ → Set α
hv : t ⊆ ⋃ n, v n
h'v : ∀ (n : ℕ), μ (t ∩ v n) ≠ ⊤
A : ∃ t' ⊇ t, MeasurableSet t' ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t' ∩ u) = μ (t ∩ u)

⊢ μ (toMeasurable μ t ∩ s) = μ (t ∩ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t✝ s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : Set α
v : ℕ → Set α
hv : t ⊆ ⋃ n, v n
h'v : ∀ (n : ℕ), μ (t ∩ v n) ≠ ⊤
A : ∃ t' ⊇ t, MeasurableSet t' ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t' ∩ u) = μ (t ∩ u)

⊢ μ ((if h : ∃ t_1 ⊇ t, MeasurableSet t_1 ∧ t_1 =ᶠ[ae μ] t then h.choose else if h' : ∃ t_1 ⊇ t, MeasurableSet t_1 ∧ ∀ (u : Set α), MeasurableSet u → μ (t_1 ∩ u) = μ (t ∩ u) then h'.choose else ⋯.choose) ∩ s) = μ (t ∩ s)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
S : E →L[𝕜] F

⊢ IsSelfAdjoint (S.comp (T.comp (adjoint S)))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : adjoint T = T
S : E →L[𝕜] F

⊢ adjoint (S.comp (T.comp (adjoint S))) = S.comp (T.comp (adjoint S))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : adjoint T = T
S : E →L[𝕜] F

⊢ (S.comp T).comp (adjoint S) = S.comp (T.comp (adjoint S))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)

⊢ ContDiff 𝕜 n Φ ↔ ∀ (i : ι), ContDiff 𝕜 n fun x => Φ x i
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Icc a b))] g

⊢ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Icc a b))] g
H : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ioc a b), f x ≤ g x := Eventually.filter_mono (ae_mono (Measure.restrict_mono Ioc_subset_Icc_self (le_refl μ))) h

⊢ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

⊢ QuasiMeasurePreserving Inv.inv μ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hsm : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0

⊢ (map Inv.inv μ) s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hsm : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0

⊢ μ s⁻¹ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hsm : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0
hf : Measurable fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)

⊢ μ s⁻¹ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hsm : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0
hf : Measurable fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)

⊢ (map (fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)) (μ.prod μ)) (s⁻¹ ×ˢ s⁻¹) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
hsm : MeasurableSet s
hμs : μ s = 0
hf : Measurable fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)
hsm' : MeasurableSet (s⁻¹ ×ˢ s⁻¹)

⊢ (map (fun z => (z.2 * z.1, z.1⁻¹)) (μ.prod μ)) (s⁻¹ ×ˢ s⁻¹) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
h : IsColimit t
W : C
f f' : t.pt ⟶ W
w : ∀ (j : J), t.ι.app j ≫ f = t.ι.app j ≫ f'

⊢ f = f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
h : IsColimit t
W : C
f f' : t.pt ⟶ W
w : ∀ (j : J), t.ι.app j ≫ f = t.ι.app j ≫ f'

⊢ h.desc { pt := W, ι := { app := fun b => t.ι.app b ≫ f, naturality := ⋯ } } = h.desc { pt := W, ι := { app := fun b => t.ι.app b ≫ f', naturality := ⋯ } }
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsLimit.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} C
F : J ⥤ C
t : Cocone F
h : IsColimit t
W : C
f f' : t.pt ⟶ W
w : ∀ (j : J), t.ι.app j ≫ f = t.ι.app j ≫ f'

⊢ (fun b => t.ι.app b ≫ f) = fun b => t.ι.app b ≫ f'
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.IsRefl
W : Submodule R₁ M₁
hW : Disjoint W (B.orthogonal W)
x : M₁
hx : x ∈ W
b₁ : ∀ (n : ↥W), ((B.restrict W) ⟨x, hx⟩) n = 0

⊢ ⟨x, hx⟩ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.IsRefl
W : Submodule R₁ M₁
hW : Disjoint W (B.orthogonal W)
x : M₁
hx : x ∈ W
b₁ : ∀ (n : ↥W), ((B.restrict W) ⟨x, hx⟩) n = 0

⊢ x ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.IsRefl
W : Submodule R₁ M₁
hW : Disjoint W (B.orthogonal W)
x : M₁
hx : x ∈ W
b₁ : ∀ (n : ↥W), ((B.restrict W) ⟨x, hx⟩) n = 0
y : M₁
hy : y ∈ W

⊢ B.IsOrtho y x
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.IsRefl
W : Submodule R₁ M₁
hW : Disjoint W (B.orthogonal W)
x : M₁
hx : x ∈ W
y : M₁
hy : y ∈ W
b₁ : ((B.restrict W) ⟨x, hx⟩) ⟨y, hy⟩ = 0

⊢ B.IsOrtho y x
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R₁
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂'
inst✝ : Module R M₂'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.IsRefl
W : Submodule R₁ M₁
hW : Disjoint W (B.orthogonal W)
x : M₁
hx : x ∈ W
y : M₁
hy : y ∈ W
b₁ : (B x) y = 0

⊢ B.IsOrtho y x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Unitization.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNormedRing A
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝² : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝ : RegularNormedAlgebra 𝕜 A
a : A

⊢ ‖↑a‖ = ‖a‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f✝ : α → ℝ≥0∞
s : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s

⊢ essSup (s.indicator f) μ = essSup f (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂

⊢ MeasurableSet (s₁ ∪ s₂)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂

⊢ MeasurableSet (⋃ b, bif b then s₁ else s₂)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ : R[X]
N i : ℕ
f : AddMonoidAlgebra R ℕ

⊢ (embDomain (revAt N) f) i = f ((revAt N) i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Iso.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsIso f

⊢ inv (pullback.snd f g) ≫ pullback.fst f g = g ≫ inv f
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp x y = cmp x' y'

⊢ x < y ↔ x' < y'
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, abs' (↑f j - ↑f i) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ i

⊢ abs' ((fun n => (starRingEnd ℂ) (↑f n)) j - (fun n => (starRingEnd ℂ) (↑f n)) i) < ε
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, abs' (↑f j - ↑f i) < ε
j : ℕ
hj : j ≥ i

⊢ abs' (↑f j - ↑f i) < ε
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0

⊢ fract (-x) = 1 - fract x
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0

⊢ 0 ≤ 1 - fract x ∧ 1 - fract x < 1 ∧ ∃ z, -x - (1 - fract x) = ↑z
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0

⊢ 1 - fract x < 1 ∧ ∃ z, -x - (1 - fract x) = ↑z
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0

⊢ -x - (1 - fract x) = ↑(-⌊x⌋ - 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0

⊢ -x + fract x = -↑⌊x⌋
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α
hx : fract x ≠ 0

⊢ -(↑⌊x⌋ + fract x) + fract x = -↑⌊x⌋
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ x y : E

⊢ openSegment 𝕜 x y = (fun p => p.1 • x + p.2 • y) '' {p | 0 < p.1 ∧ 0 < p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
X✝ Y✝ : (Mon_ Cᵒᵖ)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ f.unop.hom.unop ≫ ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) Y✝).counit = ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) X✝).counit
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
X✝ Y✝ : (Mon_ Cᵒᵖ)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (f.unop.hom.unop ≫ ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) Y✝).counit).op = ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) X✝).counit.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
X✝ Y✝ : (Mon_ Cᵒᵖ)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ f.unop.hom.unop ≫ ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) Y✝).comul = ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) X✝).comul ≫ (f.unop.hom.unop ⊗ f.unop.hom.unop)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
X✝ Y✝ : (Mon_ Cᵒᵖ)ᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (f.unop.hom.unop ≫ ((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) Y✝).comul).op = (((fun A => Mon_OpOpToComon_obj' C (unop A)) X✝).comul ≫ (f.unop.hom.unop ⊗ f.unop.hom.unop)).op
-- Mathlib/Order/IsWellOrderLimitElement.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝ : OrderBot α

⊢ ⊥ < a
-- Mathlib/Order/IsWellOrderLimitElement.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝ : OrderBot α
h : ⊥ = a

⊢ ⊥ < a
-- Mathlib/Order/IsWellOrderLimitElement.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝ : OrderBot α
h : ⊥ < a

⊢ ⊥ < a
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : μH[↑d] s = ⊤

⊢ ↑d ≤ dimH s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
d : ℝ≥0
h : μH[↑d] s = ⊤

⊢ ↑d ≤ ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
u : PrimeMultiset
n : ℕ+

⊢ u.prod ∣ n ↔ u ≤ n.factorMultiset
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
u : PrimeMultiset
n : ℕ+
h : u.prod ∣ n.factorMultiset.prod ↔ u ≤ n.factorMultiset := prod_dvd_iff

⊢ u.prod ∣ n ↔ u ≤ n.factorMultiset
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
u : PrimeMultiset
n : ℕ+
h : u.prod ∣ n ↔ u ≤ n.factorMultiset

⊢ u.prod ∣ n ↔ u ≤ n.factorMultiset
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
f : α → β
hf : ∀ (i : ι), InjOn f (s i)
x : α
hx : x ∈ ⋃ i, s i
y : α
hy : y ∈ ⋃ i, s i
hxy : f x = f y

⊢ x = y
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
f : α → β
hf : ∀ (i : ι), InjOn f (s i)
x : α
hx✝ : x ∈ ⋃ i, s i
y : α
hy : y ∈ ⋃ i, s i
hxy : f x = f y
i : ι
hx : x ∈ s i

⊢ x = y
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set α
hs : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
f : α → β
hf : ∀ (i : ι), InjOn f (s i)
x : α
hx✝ : x ∈ ⋃ i, s i
y : α
hy✝ : y ∈ ⋃ i, s i
hxy : f x = f y
i : ι
hx : x ∈ s i
j : ι
hy : y ∈ s j

⊢ x = y
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
n : ℤ
h : 1 < |n|
f : AddCircle T → AddCircle T := fun y => n • y + x
e : AddCircle T ≃ᵐ AddCircle T := MeasurableEquiv.addLeft (DivisibleBy.div x (n - 1))

⊢ Ergodic f volume
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
n : ℤ
h : 1 < |n|
f : AddCircle T → AddCircle T := fun y => n • y + x
e : AddCircle T ≃ᵐ AddCircle T := MeasurableEquiv.addLeft (DivisibleBy.div x (n - 1))
he : MeasurePreserving (⇑e) volume volume

⊢ Ergodic f volume
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
n : ℤ
h : 1 < |n|
f : AddCircle T → AddCircle T := fun y => n • y + x
e : AddCircle T ≃ᵐ AddCircle T := MeasurableEquiv.addLeft (DivisibleBy.div x (n - 1))
he : MeasurePreserving (⇑e) volume volume

⊢ ⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm = fun y => n • y
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
n : ℤ
f : AddCircle T → AddCircle T := fun y => n • y + x
e : AddCircle T ≃ᵐ AddCircle T := MeasurableEquiv.addLeft (DivisibleBy.div x (n - 1))
he : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
h : n - 1 ≠ 0

⊢ ⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm = fun y => n • y
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
n : ℤ
f : AddCircle T → AddCircle T := fun y => n • y + x
e : AddCircle T ≃ᵐ AddCircle T := MeasurableEquiv.addLeft (DivisibleBy.div x (n - 1))
he : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
h : n - 1 ≠ 0
hnx : n • DivisibleBy.div x (n - 1) = x + DivisibleBy.div x (n - 1)

⊢ ⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm = fun y => n • y
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
n : ℤ
f : AddCircle T → AddCircle T := fun y => n • y + x
e : AddCircle T ≃ᵐ AddCircle T := MeasurableEquiv.addLeft (DivisibleBy.div x (n - 1))
he : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
h : n - 1 ≠ 0
hnx : n • DivisibleBy.div x (n - 1) = x + DivisibleBy.div x (n - 1)
y : AddCircle T

⊢ (⇑e ∘ f ∘ ⇑e.symm) y = n • y
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
x : AddCircle T
n : ℤ
f : AddCircle T → AddCircle T := fun y => n • y + x
e : AddCircle T ≃ᵐ AddCircle T := MeasurableEquiv.addLeft (DivisibleBy.div x (n - 1))
he : MeasurePreserving (⇑e) volume volume
h : n - 1 ≠ 0
hnx : n • DivisibleBy.div x (n - 1) = x + DivisibleBy.div x (n - 1)
y : AddCircle T

⊢ DivisibleBy.div x (n - 1) + (-DivisibleBy.div x (n - 1) + -x + n • y + x) = n • y
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n✝ : ℕ
h : a * b ∈ I ^ (n✝ + 1)
hI0 : ¬I = ⊥

⊢ a ∈ I ∨ b ∈ I ^ (n✝ + 1)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n✝ : ℕ
hI0 : ¬I = ⊥
h : I ^ (n✝ + 1) ∣ span {a} * span {b}

⊢ I ∣ span {a} ∨ I ^ (n✝ + 1) ∣ span {b}
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n✝ : ℕ
hI0 : ¬I = ⊥
h : I ^ (n✝ + 1) ∣ span {a} * span {b}
ha : ¬I ∣ span {a}

⊢ I ∣ span {a} ∨ I ^ (n✝ + 1) ∣ span {b}
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n✝ : ℕ
hI0 : ¬I = ⊥
h : I ^ (n✝ + 1) ∣ span {b} * span {a}
ha : ¬I ∣ span {a}

⊢ I ∣ span {a} ∨ I ^ (n✝ + 1) ∣ span {b}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h : l.formPerm x ∈ l

⊢ x ∈ l