ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0

⊢ ∀ (i : Fin 2), ↑f.toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) i) = ↑(o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) i)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0

⊢ ↑(o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) ⟨1, ⋯⟩) = ↑f.toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) ⟨1, ⋯⟩)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V
hd : 0 < LinearMap.det ↑f.toLinearEquiv
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : o.oangle (o.rightAngleRotation x) (f (o.rightAngleRotation x)) = o.oangle x (f x)

⊢ ↑(o.rotation (o.oangle x (f x))).toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) ⟨1, ⋯⟩) = ↑f.toLinearEquiv ((o.basisRightAngleRotation x hx) ⟨1, ⋯⟩)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace H
inst✝² : InvolutiveInv G
inst✝¹ : MeasurableInv G
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
A : Set G

⊢ μ A⁻¹ = μ A
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R

⊢ (cyclotomic n R).natDegree = n.totient
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R

⊢ WithBot.unbot' 0 ↑n.totient = n.totient
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i : Fin (n + 1)
h : i ≠ 0
h' : optParam (i.rev ≠ last n) ⋯

⊢ (i.pred h).rev = i.rev.castPred h'
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Cast.lean
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
a b : ℕ

⊢ ↑(a.descFactorial 2) = ↑a * (↑a - 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Cast.lean
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
a b : ℕ

⊢ Polynomial.eval (↑(a - (2 - 1))) (ascPochhammer S 2) = ↑a * (↑a - 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w✝ : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
f : ℂ → E
z w : ℂ
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
hw : w ∈ ball z R

⊢ Continuous (circleTransform R z w f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w✝ : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
f : ℂ → E
z w : ℂ
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
hw : w ∈ ball z R

⊢ Continuous (deriv (circleMap z R))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w✝ : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
f : ℂ → E
z w : ℂ
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
hw : w ∈ ball z R

⊢ Continuous fun x => (circleMap z R x - w)⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w✝ : ℂ
R : ℝ
hR : 0 < R
f : ℂ → E
z w : ℂ
hf : ContinuousOn f (sphere z R)
hw : w ∈ ball z R

⊢ Continuous fun x => f (circleMap z R x)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ

⊢ (N₁Γ₀.app K).inv = (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).inv ≫ (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.hom
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ

⊢ ((Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.symm ≪≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).mapIso (Γ₀NondegComplexIso K)).inv = (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).inv ≫ (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C

⊢ S.L₀.Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C

⊢ ∀ ⦃A : C⦄ (x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂), x₂ ≫ S.L₀.g = 0 → ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0

⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
hπ₁ : Epi π₁
y₁ : A₁ ⟶ S.L₁.X₁
hy₁ : π₁ ≫ x₂ ≫ S.v₀₁.τ₂ = y₁ ≫ S.L₁.f

⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
hπ₁ : Epi π₁
y₁ : A₁ ⟶ S.L₁.X₁
hy₁ : π₁ ≫ x₂ ≫ S.v₀₁.τ₂ = y₁ ≫ S.L₁.f
hy₁' : y₁ ≫ S.v₁₂.τ₁ = 0

⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
hπ₁ : Epi π₁
y₁ : A₁ ⟶ S.L₁.X₁
hy₁ : π₁ ≫ x₂ ≫ S.v₀₁.τ₂ = y₁ ≫ S.L₁.f
hy₁' : y₁ ≫ S.v₁₂.τ₁ = 0
x₁ : A₁ ⟶ S.L₀.X₁
hx₁ : x₁ ≫ S.v₀₁.τ₁ = y₁

⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.L₀.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.L₀.g = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
hπ₁ : Epi π₁
y₁ : A₁ ⟶ S.L₁.X₁
hy₁ : π₁ ≫ x₂ ≫ S.v₀₁.τ₂ = y₁ ≫ S.L₁.f
hy₁' : y₁ ≫ S.v₁₂.τ₁ = 0
x₁ : A₁ ⟶ S.L₀.X₁
hx₁ : x₁ ≫ S.v₀₁.τ₁ = y₁

⊢ π₁ ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀.f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
l : ι →₀ R
i : ι

⊢ (ε i) (lc e l) = l i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
l : ι →₀ R
i : ι

⊢ (ε i) (l i • e i) = l i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
l : ι →₀ R
i : ι

⊢ ∀ (b : ι), l b ≠ 0 → b ≠ i → (ε i) (l b • e b) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
e : ι → M
ε : ι → Dual R M
inst✝ : DecidableEq ι
h : DualBases e ε
l : ι →₀ R
i : ι

⊢ l i = 0 → (ε i) (0 • e i) = 0
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Sort u
β : α → Sort v
f : (a : α) → β a
β' : α → Sort v
f' : (a : α) → β' a
h : ∀ (a a' : α), HEq a a' → HEq (f a) (f' a')
this : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)

⊢ HEq f f'
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Sort u
β : α → Sort v
f : (a : α) → β a
β' : α → Sort v
f' : (a : α) → β' a
h : ∀ (a a' : α), HEq a a' → HEq (f a) (f' a')
this✝ : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)
this : β = β'

⊢ HEq f f'
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Sort u
β : α → Sort v
f f' : (a : α) → β a
h : ∀ (a a' : α), HEq a a' → HEq (f a) (f' a')
this : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)

⊢ HEq f f'
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Sort u
β : α → Sort v
f f' : (a : α) → β a
h : ∀ (a a' : α), HEq a a' → HEq (f a) (f' a')
this : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)

⊢ f = f'
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Sort u
β : α → Sort v
f f' : (a : α) → β a
h : ∀ (a a' : α), HEq a a' → HEq (f a) (f' a')
this : ∀ (a : α), HEq (f a) (f' a)
a : α

⊢ f a = f' a
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X

⊢ (colimMap (J.diagramPullback P f) ≫ colimit.pre (J.diagram P Y) (J.pullback f).op) ((colimit.ι (J.diagram P X) (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)) = (colimit.ι (J.diagram P Y) (op (S.pullback f))) ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X

⊢ (colimit.ι (J.diagram P Y) ((J.pullback f).op.obj (op S))) (((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)) = (colimit.ι (J.diagram P Y) (op (S.pullback f))) ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X

⊢ ((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x) = (Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X

⊢ (Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) (((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)) = (Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X

⊢ (Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) (((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x)) = x.pullback f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
i : (unop ((J.pullback f).op.obj (op S))).Arrow

⊢ ↑((Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) (((J.diagramPullback P f).app (op S)) ((Meq.equiv P S).symm x))) i = ↑(x.pullback f) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
i : (unop ((J.pullback f).op.obj (op S))).Arrow

⊢ (Multiequalizer.ι ((S.pullback f).index P) i) ((Multiequalizer.lift ((S.pullback f).index P) (multiequalizer (S.index P)) (fun I => Multiequalizer.ι (S.index P) (Cover.Arrow.base I)) ⋯) ((Meq.equiv P S).symm x)) = ↑x { Y := i.Y, f := i.f ≫ f, hf := ⋯ }
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
i : (unop ((J.pullback f).op.obj (op S))).Arrow

⊢ ↑x i.base = ↑x { Y := i.Y, f := i.f ≫ f, hf := ⋯ }
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DenselyOrdered α

⊢ Ioo a b = 0 ↔ ¬a < b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : F
h0 : p ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
h_top : ¬p = ⊤

⊢ eLpNorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/DegreewiseSplit.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
n : ℤ

⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map S.f ≫ (mappingConeHomOfDegreewiseSplitIso S σ).inv).f n = (-mappingCone.inr (homOfDegreewiseSplit S σ)).f n
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/DegreewiseSplit.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
n : ℤ
h : (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (n + 1))).f ≫ (σ (n + 1)).r = 𝟙 (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (n + 1))).X₁

⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) 1).map S.f ≫ (mappingConeHomOfDegreewiseSplitIso S σ).inv).f n = (-mappingCone.inr (homOfDegreewiseSplit S σ)).f n
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/DegreewiseSplit.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)
σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
n : ℤ
h : S.f.f (n + 1) ≫ (σ (n + 1)).r = 𝟙 (S.X₁.X (n + 1))

⊢ S.f.f (n + 1) ≫ (S.g.f (n + 1) ≫ (mappingCone.inl (homOfDegreewiseSplit S σ)).v (n + 1) n ⋯ - (σ (n + 1)).r ≫ 𝟙 (S.X₁.X (n + 1)) ≫ (mappingCone.inr (homOfDegreewiseSplit S σ)).f n) = -(mappingCone.inr (homOfDegreewiseSplit S σ)).f n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, g (b * x) = b⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Ioi (b * a), g x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a b : ℝ
hb : 0 < b
this : ∀ (c : ℝ), MeasurableSet (Ioi c)

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, g (b * x) = b⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Ioi (b * a), g x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a b : ℝ
hb : 0 < b
this : ∀ (c : ℝ), MeasurableSet (Ioi c)

⊢ ∫ (x : ℝ), (Ioi a).indicator (fun x => g (b * x)) x ∂volume = ∫ (x : ℝ), (Ioi (b * a)).indicator g (b * x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a b : ℝ
hb : 0 < b
this : ∀ (c : ℝ), MeasurableSet (Ioi c)
x : ℝ

⊢ (Ioi a).indicator (fun x => g (b * x)) x = (Ioi (b * a)).indicator g (b * x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
f : ℝ → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : ℝ → E
a b : ℝ
hb : 0 < b
this : ∀ (c : ℝ), MeasurableSet (Ioi c)
x : ℝ

⊢ (Ioi a).indicator (fun x => g (b * x)) x = (Ioi a).indicator (g ∘ HMul.hMul b) x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
hvw : G.Adj v w

⊢ (G.subgraphOfAdj hvw).neighborSet u = (if u = v then {w} else ∅) ∪ if u = w then {v} else ∅
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V

⊢ lift.{u, v} (Module.rank K V) < Module.rank K (V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V

⊢ lift.{u, v} (Module.rank K V) < Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/Probability/Process/Adapted.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝² : MeasurableSpace ι
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : ContinuousMul β
U : γ → ι → Ω → β
s : Finset γ
h : ∀ c ∈ s, ProgMeasurable f (U c)

⊢ ProgMeasurable f fun i a => ∏ c ∈ s, U c i a
-- Mathlib/Probability/Process/Adapted.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝² : MeasurableSpace ι
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : ContinuousMul β
U : γ → ι → Ω → β
s : Finset γ
h : ∀ c ∈ s, ProgMeasurable f (U c)

⊢ (fun i a => ∏ c ∈ s, U c i a) = ∏ c ∈ s, U c
-- Mathlib/Probability/Process/Adapted.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : Preorder ι
u v : ι → Ω → β
f : Filtration ι m
inst✝² : MeasurableSpace ι
γ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : ContinuousMul β
U : γ → ι → Ω → β
s : Finset γ
h : ∀ c ∈ s, ProgMeasurable f (U c)
i : ι
a : Ω

⊢ ∏ c ∈ s, U c i a = (∏ c ∈ s, U c) i a
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
x y : E

⊢ ⟪(r • x, y).1, (r • x, y).2⟫_𝕜 = r • ⟪(x, y).1, (x, y).2⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
r : ℝ
x y : E

⊢ ⟪(x, r • y).1, (x, r • y).2⟫_𝕜 = r • ⟪(x, y).1, (x, y).2⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y : E

⊢ ‖⟪(x, y).1, (x, y).2⟫_𝕜‖ ≤ 1 * ‖x‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y : E

⊢ ‖⟪(x, y).1, (x, y).2⟫_𝕜‖ ≤ ‖x‖ * ‖y‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

⊢ QuasiMeasurePreserving Inv.inv μ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant

⊢ QuasiMeasurePreserving Inv.inv μ.inv.inv μ.inv.inv
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R

⊢ (cyclotomic n R).Monic
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : Ring R

⊢ (map (Int.castRingHom R) (cyclotomic n ℤ)).Monic
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
δ : Type u_3
inst✝ : CommGroup δ
f : ℕ → δ
m n : ℕ
h : m ≤ n

⊢ ∏ k ∈ Ico m n, f k = (∏ k ∈ range n, f k) / ∏ k ∈ range m, f k
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : AddCommMonoid P
F : Type u_13
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : AddMonoidHomClass F M N
f : M →+ N
a b : α →₀ M

⊢ mapRange ⇑f ⋯ (a + b) = mapRange ⇑f ⋯ a + mapRange ⇑f ⋯ b
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
i : ι
r : A
x✝ : r ∈ ⊤

⊢ ↑(((decompose 𝒜) r) i) ∈ ⊤
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2

⊢ ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p2 = π / 2
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Free R M'
ι : Type w

⊢ Module.rank R (ι →₀ R) = lift.{u, w} #ι
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Finset α
a b : α

⊢ preimage 1 (fun x => x * b) ⋯ = {b⁻¹}
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
hp : WithSeminorms p
U : Set E

⊢ IsOpen U ↔ ∀ x ∈ U, ∃ s, ∃ r > 0, (s.sup p).ball x r ⊆ U
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Semigroup α
s : Set α
a b : α

⊢ op b • op a • s = op (a * b) • s
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R

⊢ ∃ n, Associated x (ϖ ^ n)