ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q

⊢ ∀ (j : Fin q), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd (a + 2) j))) • (φ ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd (a + 2) j))) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q

⊢ ∑ i : Fin (a + 2), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i))) • (φ ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i))) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + ∑ i : Fin (a + 3), ((-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i)) * (-1) ^ (a + 1)) • (φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ i)) = -(φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q

⊢ ∀ (j : Fin q), ((-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd (a + 3) j)) * (-1) ^ (a + 1)) • (φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩) ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.natAdd (a + 3) j)) = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q

⊢ ∑ x : Fin (a + 2), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ x))) • φ ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ x)) ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + ∑ x : Fin (a + 3), ((-1) ^ ↑(Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ x)) * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ (Fin.cast ⋯ (Fin.castLE ⋯ x)) = -φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q

⊢ ∑ i : Fin (a + 1), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑i) • φ ≫ X.δ ⟨↑i, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + ((-1) ^ a * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + (∑ i : Fin (a + 1), ((-1) ^ ↑i * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ ⟨↑i, ⋯⟩ + ((-1) ^ (a + 1) * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ + ((-1) ^ (a + 2) * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ ⟨a + 2, ⋯⟩) = -φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n a q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnaq : n = a + q
hnaq_shift : ∀ (d : ℕ), n + d = a + d + q
simplif : ∀ (a b c d e f : Y ⟶ X _[n + 1]), b = f → d + e = 0 → c + a = 0 → a + b + (c + d + e) = f

⊢ ∑ i : Fin (a + 1), ((-1) ^ a * (-1) ^ ↑i) • φ ≫ X.δ ⟨↑i, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + ((-1) ^ a * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩ + (∑ i : Fin (a + 1), ((-1) ^ ↑i * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ ⟨↑i, ⋯⟩ + ((-1) ^ (a + 1) * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ + ((-1) ^ (a + 2) * (-1) ^ (a + 1)) • φ ≫ X.σ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.δ ⟨a + 2, ⋯⟩) = -φ ≫ X.δ ⟨a + 1, ⋯⟩ ≫ X.σ ⟨a, ⋯⟩
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ tan (arcsin x) = x / √(1 - x ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ sin (arcsin x) / √(1 - x ^ 2) = x / √(1 - x ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1

⊢ sin (arcsin x) / √(1 - x ^ 2) = x / √(1 - x ^ 2)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g g₁ g₂ : Perm α
s t : Set α
h : SurjOn (⇑g) s t
b : α
hb : b ∈ s
ha : g b ∈ t

⊢ (Subtype.val ∘ ⇑f) (g b) ∈ ⇑(g.extendDomain f) '' (Subtype.val ∘ ⇑f '' s)
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z : ℂ

⊢ abs z ^ 2 - z.re ^ 2 = z.im ^ 2
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : DecidableEq m
d : m × o → α
k : o
i j : m

⊢ (diagonal d).blockDiag k i j = diagonal (fun i => d (i, k)) i j
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : DecidableEq m
d : m × o → α
k : o
i : m

⊢ (diagonal d).blockDiag k i i = diagonal (fun i => d (i, k)) i i
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : DecidableEq o
inst✝ : DecidableEq m
d : m × o → α
k : o
i j : m
hij : i ≠ j

⊢ (diagonal d).blockDiag k i j = diagonal (fun i => d (i, k)) i j
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
x : α
n : ℕ

⊢ spanningSetsIndex μ x = n ↔ x ∈ disjointed (spanningSets μ) n
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v : V
w y : W

⊢ (fderiv ℝ (fun w => ↑(𝐞 (-(L v) w))) w) y = -2 * ↑π * I * ↑((L v) y) * ↑(𝐞 (-(L v) w))
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v : V
w y : W

⊢ 2 * ↑π * I * ↑(𝐞 (-(L v) w)) * ↑((L v) y) = 2 * ↑π * I * ↑((L v) y) * ↑(𝐞 (-(L v) w))
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A R S : ValuationSubring K
hR : A ≤ R
hS : A ≤ S
h : R ≤ S
x : ↥A
hx : x ∈ A.idealOfLE S hS

⊢ R.valuation ↑((A.inclusion R hR) x) < 1
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A R S : ValuationSubring K
hR : A ≤ R
hS : A ≤ S
h : R ≤ S
x : ↥A
hx : x ∈ A.idealOfLE S hS
c : ¬R.valuation ↑((A.inclusion R hR) x) < 1

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A R S : ValuationSubring K
hR : A ≤ R
hS : A ≤ S
h : R ≤ S
x : ↥A
hx : x ∈ A.idealOfLE S hS
c : 1 ≤ R.valuation ↑((A.inclusion R hR) x)

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A R S : ValuationSubring K
hR : A ≤ R
hS : A ≤ S
h : R ≤ S
x : ↥A
hx : x ∈ A.idealOfLE S hS
c : (R.mapOfLE S h) 1 ≤ (R.mapOfLE S h) (R.valuation ↑((A.inclusion R hR) x))

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A R S : ValuationSubring K
hR : A ≤ R
hS : A ≤ S
h : R ≤ S
x : ↥A
hx : x ∈ A.idealOfLE S hS
c : 1 ≤ S.valuation ↑((A.inclusion R hR) x)

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ : E
s✝ t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ : E
s✝ t : Set E
f : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hs : StarConvex 𝕜 (f x) s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ a • f x + b • f y ∈ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
f : Y ≅ Z

⊢ X ◁ f.hom ≫ X ◁ f.inv = 𝟙 (X ⊗ Y)
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A ⊗[R] R[X]

⊢ invFun R A ((toFunAlgHom R A) x) = x
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A ⊗[R] R[X]

⊢ invFun R A ((toFunAlgHom R A) 0) = 0
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A ⊗[R] R[X]

⊢ ∀ (x : A) (y : R[X]), invFun R A ((toFunAlgHom R A) (x ⊗ₜ[R] y)) = x ⊗ₜ[R] y
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
x : A ⊗[R] R[X]

⊢ ∀ (x y : A ⊗[R] R[X]), invFun R A ((toFunAlgHom R A) x) = x → invFun R A ((toFunAlgHom R A) y) = y → invFun R A ((toFunAlgHom R A) (x + y)) = x + y
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommSemigroup G
a b c : G

⊢ a * b * c = b * c * a
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
α : Type u_12
s : Set ι
hs : s.Nonempty
f : ι → Set α
t : Set α

⊢ ⋂ i ∈ s, t ∩ f i = t ∩ ⋂ i ∈ s, f i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
α : Type u_12
s : Set ι
hs : s.Nonempty
f : ι → Set α
t : Set α

⊢ ⋂ i ∈ s, t ∩ f i = ⋂ i ∈ s, f i ∩ t
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
n : ℕ
hn : 2 ≤ n

⊢ p.rightInv i n = -(↑i.symm).compContinuousMultilinearMap (∑ c ∈ {c | 1 < c.length}.toFinset, p.compAlongComposition (p.rightInv i) c)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞

⊢ IsOpen {x | AnalyticAt 𝕜 f x}
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r : ℝ≥0∞

⊢ ∀ x ∈ {x | AnalyticAt 𝕜 f x}, {x | AnalyticAt 𝕜 f x} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p✝ : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x✝ y : E
r✝ : ℝ≥0∞
x : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

⊢ {x | AnalyticAt 𝕜 f x} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Data/Set/MemPartition.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Set α
n : ℕ
a : α

⊢ memPartitionSet f n a ∈ memPartition f n
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ T0Space X ↔ Pairwise fun x y => ¬Inseparable x y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b✝ x y a b : ℝ

⊢ (logb a b)⁻¹ = logb b a
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
s : Set Y

⊢ IsClosed (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsClosed s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s✝ t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
inst✝ : Fintype δ
s : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

⊢ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ = ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂Measure.pi μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s✝ t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
inst✝ : Fintype δ
s : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ
h : IsEmpty ((i : δ) → π i)

⊢ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ = ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂Measure.pi μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s✝ t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y : (i : δ) → π i
i : δ
inst✝ : Fintype δ
s : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ
x : (i : δ) → π i

⊢ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ = ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂Measure.pi μ
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Translations.lean
K : Type u_1
g : GenContFract K
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing K

⊢ g.convs 0 = g.h
-- Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Center.lean
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G

⊢ center G = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Center.lean
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G

⊢ ∀ (x : G), x ∈ center G
-- Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Center.lean
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
x : G

⊢ x ∈ center G
-- Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Center.lean
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
x : G

⊢ ∀ (g : G), g * x = x * g
-- Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Center.lean
G✝ : Type u_1
inst✝¹ : Group G✝
G : Type u_2
inst✝ : CommGroup G
x y : G

⊢ y * x = x * y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : AddCommGroup P
inst✝⁹ : AddCommGroup Q
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R N
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : Module R Q
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Free R N
inst✝¹ : Module.Finite R N
inst✝ : Nontrivial R
x : (M →ₗ[R] P) ⊗[R] (N →ₗ[R] Q)

⊢ (homTensorHomEquiv R M N P Q) x = (homTensorHomMap R M N P Q) x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → (i : α) → E i
this : DecidableEq ι

⊢ (∀ i ∈ s, Memℓp (f i) p) → Memℓp (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → (i : α) → E i
this : DecidableEq ι

⊢ (∀ i ∈ ∅, Memℓp (f i) p) → Memℓp (fun a => ∑ i ∈ ∅, f i a) p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → (i : α) → E i
this : DecidableEq ι

⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → ((∀ i ∈ s, Memℓp (f i) p) → Memℓp (fun a => ∑ i ∈ s, f i a) p) → (∀ i ∈ insert a s, Memℓp (f i) p) → Memℓp (fun a_3 => ∑ i ∈ insert a s, f i a_3) p
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/GaussSum.lean
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
h_ne : gaussSum χ e ≠ 0

⊢ χ.FactorsThrough d
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/GaussSum.lean
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
h_ne : gaussSum χ e ≠ 0

⊢ (ZMod.unitsMap hd).ker ≤ (MulChar.toUnitHom χ).ker
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/GaussSum.lean
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
h_ne : gaussSum χ e ≠ 0
u : (ZMod N)ˣ
hu : u ∈ (ZMod.unitsMap hd).ker

⊢ u ∈ (MulChar.toUnitHom χ).ker
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/GaussSum.lean
N : ℕ
inst✝² : NeZero N
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
inst✝ : IsDomain R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
h_ne : gaussSum χ e ≠ 0
u : (ZMod N)ˣ
hu : u ∈ (ZMod.unitsMap hd).ker

⊢ χ ↑u = ↑1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
inst✝ : Countable α
o : α → Ordinal.{max u_3 u_2}
ho : ∀ (n : α), o n < (aleph 1).ord

⊢ sup o < (aleph 1).ord
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
inst✝ : Countable α
o : α → Ordinal.{max u_3 u_2}
ho : ∀ (n : α), o n < (aleph 1).ord

⊢ Cardinal.lift.{u_3, u_2} #α < (aleph 1).ord.cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
inst✝ : Countable α
o : α → Ordinal.{max u_3 u_2}
ho : ∀ (n : α), o n < (aleph 1).ord

⊢ Cardinal.lift.{u_3, u_2} #α < aleph 1
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F

⊢ UniformSpace.comap F (UniformFun.uniformSpace X α) = UniformSpace.comap F (Pi.uniformSpace fun i => α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F

⊢ UniformSpace.comap F (Pi.uniformSpace fun i => α) ≤ UniformSpace.comap F (UniformFun.uniformSpace X α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F

⊢ comap (fun p => (F p.1, F p.2)) (𝓤 (X → α)) ≤ comap (fun p => (F p.1, F p.2)) (𝓤 (X → α))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F

⊢ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α) ≤ comap (fun p => (F p.1, F p.2)) (𝓤 (X → α))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F

⊢ ∀ i' ∈ 𝓤 α, Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α i' ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α

⊢ Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
Vsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U

⊢ Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
Vsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
Ω : X → Set X := fun x => {y | ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V}

⊢ Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
Vsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
Ω : X → Set X := fun x => {y | ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V}
A : Finset X
Acover : ⋃ x ∈ A, Ω x = ⊤

⊢ Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
Vsymm : SymmetricRel V
hVU : V ○ V ○ V ⊆ U
Ω : X → Set X := fun x => {y | ∀ (i : ι), (F i x, F i y) ∈ V}
A : Finset X
Acover : ⋃ x ∈ A, Ω x = ⊤
this : ⋂ a ∈ A, {ij | (F ij.1 a, F ij.2 a) ∈ V} ⊆ Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U

⊢ Prod.map F F ⁻¹' UniformFun.gen X α U ∈ ⨅ i, comap (fun x => (F x.1 i, F x.2 i)) (𝓤 α)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

⊢ rexp (dist z w / 2) = (dist ↑z ↑w + dist (↑z) ((starRingEnd ℂ) ↑w)) / (2 * √(z.im * w.im))
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean

⊢ 1 ∉ setOf Nat.Prime
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α

⊢ a⁻¹ ≤ 1 ↔ 1 ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α

⊢ a⁻¹ * a ≤ 1 * a ↔ 1 ≤ a
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
k p : ℕ
f : ℕ → α
h : Prime p

⊢ ∏ x ∈ (p ^ k).properDivisors, f x = ∏ x ∈ range k, f (p ^ x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Equivs.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R
c : CliffordAlgebra (Q c₁ c₂)

⊢ toQuaternion (star c) = star (toQuaternion c)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Equivs.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ : R
c : CliffordAlgebra (Q c₁ c₂)

⊢ toQuaternion (involute (reverse c)) = star (toQuaternion c)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e' : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x' : TotalSpace F E
b✝ : B
y✝ : E b✝
inst✝ : (x : B) → Zero (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
y : F

⊢ ↑e { proj := b, snd := e.symm b y } = (b, y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/EquivMon.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
M : Mon_ (C ⥤ C)
X : C

⊢ M.one.app (M.X.obj X) ≫ M.mul.app X = 𝟙 ((𝟭 C).obj (M.X.obj X))