ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α

⊢ (a :: l₁).diff l₂ <+~ a :: l₁.diff l₂
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y : P
r : R
hxy : ¬x = y

⊢ Wbtw R x ((lineMap x y) r) y ↔ x = y ∨ r ∈ Set.Icc 0 1
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : IsPurelyInseparable (↥L) E
x : E
hx : x ∈ separableClosure F E

⊢ x ∈ L
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : IsPurelyInseparable (↥L) E
y : ↥L
hx : (algebraMap (↥L) E) y ∈ separableClosure F E

⊢ (algebraMap (↥L) E) y ∈ L
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R

⊢ ∃ π, v.intValuationDef π = ↑(ofAdd (-1))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)

⊢ ∃ π, v.intValuationDef π = ↑(ofAdd (-1))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal

⊢ ∃ π, v.intValuationDef π = ↑(ofAdd (-1))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
π : R
mem : π ∈ v.asIdeal
nmem : π ∉ v.asIdeal ^ 2

⊢ ∃ π, v.intValuationDef π = ↑(ofAdd (-1))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
π : R
mem : π ∈ v.asIdeal
nmem : π ∉ v.asIdeal ^ 2
hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0

⊢ ∃ π, v.intValuationDef π = ↑(ofAdd (-1))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
π : R
mem : π ∈ v.asIdeal
nmem : π ∉ v.asIdeal ^ 2
hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0

⊢ v.intValuationDef π = ↑(ofAdd (-1))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
π : R
mem : π ∈ v.asIdeal
nmem : π ∉ v.asIdeal ^ 2
hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0

⊢ ofAdd (-↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors)) = ofAdd (-1)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
π : R
mem : π ∈ v.asIdeal
nmem : π ∉ v.asIdeal ^ 2
hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0

⊢ -↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors) = -1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
π : R
mem : π ∈ v.asIdeal
nmem : π ∉ v.asIdeal ^ 2
hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0

⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
π : R
mem : Associates.mk v.asIdeal ≤ Associates.mk (Ideal.span {π})
nmem : ¬Associates.mk (v.asIdeal ^ 2) ≤ Associates.mk (Ideal.span {π})
hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0

⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
π : R
mem : 1 ≤ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors
nmem : ¬Associates.mk (v.asIdeal ^ 2) ≤ Associates.mk (Ideal.span {π})
hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0

⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
hlt : v.asIdeal ^ 2 < v.asIdeal
π : R
mem : 1 ≤ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors
nmem : (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors < 2
hπ : Associates.mk (Ideal.span {π}) ≠ 0

⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {π})).factors = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.41, u_3} E
F G : Karoubi C ⥤ D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C

⊢ φ.app P = F.map P.decompId_i ≫ φ.app { X := P.X, p := 𝟙 P.X, idem := ⋯ } ≫ G.map P.decompId_p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.41, u_3} E
F G : Karoubi C ⥤ D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C

⊢ φ.app P = F.map (P.decompId_i ≫ P.decompId_p) ≫ φ.app P
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.41, u_3} E
F G : Karoubi C ⥤ D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C

⊢ F.map (𝟙 P) ≫ φ.app P = F.map (P.decompId_i ≫ P.decompId_p) ≫ φ.app P
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.41, u_3} E
F G : Karoubi C ⥤ D
φ : F ⟶ G
P : Karoubi C

⊢ 𝟙 P = P.decompId_i ≫ P.decompId_p
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R

⊢ primitiveRoots 1 R = {1}
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R

⊢ 1 ∈ primitiveRoots 1 R ∧ ∀ x ∈ primitiveRoots 1 R, x = 1
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
α : E
halg : IsAlgebraic F α

⊢ finSepDegree F ↥F⟮α⟯ = finrank F ↥F⟮α⟯ ↔ IsSeparable F α
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 π

⊢ 0 ≤ sin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
hx : x ∈ closure (Ioo 0 π)

⊢ 0 ≤ sin x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Frobenius.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ

⊢ frobeniusPolyAux p n = X (n + 1) - ∑ i ∈ range n, ∑ j ∈ range (p ^ (n - i)), (X i ^ p) ^ (p ^ (n - i) - (j + 1)) * frobeniusPolyAux p i ^ (j + 1) * C ↑((p ^ (n - i)).choose (j + 1) / p ^ (n - i - v p ⟨j + 1, ⋯⟩) * p ^ (j - v p ⟨j + 1, ⋯⟩))
-- Mathlib/Data/String/Basic.lean
l : List Char
s : String

⊢ l.asString = s ↔ l = s.toList
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : ℝ

⊢ (↑θ).toReal = θ ↔ -π < θ ∧ θ ≤ π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : ℝ

⊢ θ ∈ Set.Ioc (-π) (-π + 2 * π) ↔ -π < θ ∧ θ ≤ π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : ℝ

⊢ θ ∈ Set.Ioc (-π) π ↔ -π < θ ∧ θ ≤ π
-- Mathlib/Order/Filter/SmallSets.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
p : α → Prop

⊢ (∃ s ∈ l, ∀ᶠ (x : α) in l', x ∈ s → p x) ↔ ∃ s ∈ l, ∃ t ∈ l', ∀ x ∈ t, x ∈ s → p x
-- Mathlib/Order/Filter/SmallSets.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
p : α → Prop

⊢ (∃ s ∈ l, ∃ t ∈ l', ∀ x ∈ t, x ∈ s → p x) ↔ ∀ᶠ (x : α) in l ⊓ l', p x
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s t : Set α
f : α → β
hf : Injective f
eq : f '' s = f '' t

⊢ s = t
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₁ d₂ : ManyOneDegree

⊢ d₁ ≤ d₂ → d₂ ≤ d₁ → d₁ = d₂
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₂ : ManyOneDegree
p✝ : Set ℕ

⊢ of p✝ ≤ d₂ → d₂ ≤ of p✝ → of p✝ = d₂
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p✝¹ p✝ : Set ℕ

⊢ of p✝¹ ≤ of p✝ → of p✝ ≤ of p✝¹ → of p✝¹ = of p✝
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p✝¹ p✝ : Set ℕ
hp : of p✝¹ ≤ of p✝
hq : of p✝ ≤ of p✝¹

⊢ of p✝¹ = of p✝
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n d nd : ℕ

⊢ (d, nd) ∈ map { toFun := fun d => (d, n / d), inj' := ⋯ } n.divisors ↔ (d, nd) ∈ n.divisorsAntidiagonal
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n d nd : ℕ

⊢ (d ∣ n ∧ n ≠ 0) ∧ n / d = nd ↔ d * nd = n ∧ n ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : V1 →ᵃ[k] V2
x : V1

⊢ f x = (⇑f.linear + fun x => f 0) x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
R L K : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
ι : Type u
v : ι → K
hv✝ : IsTranscendenceBasis R v
inst✝ : Nontrivial R
hv : IsTranscendenceBasis R v
hR : #R ≤ ℵ₀
hK : ℵ₀ < #K
this : ℵ₀ ≤ #ι

⊢ max (max #R #ι) ℵ₀ = #ι
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
R L K : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
ι : Type u
v : ι → K
hv✝ : IsTranscendenceBasis R v
inst✝ : Nontrivial R
hv : IsTranscendenceBasis R v
hR : #R ≤ ℵ₀
hK : ℵ₀ < #K
this : ℵ₀ ≤ #ι

⊢ #R ≤ #ι
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
R L K : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsAlgClosed K
ι : Type u
v : ι → K
hv✝ : IsTranscendenceBasis R v
inst✝ : Nontrivial R
hv : IsTranscendenceBasis R v
hR : #R ≤ ℵ₀
hK : ℵ₀ < #K
this : ℵ₀ ≤ #ι

⊢ ℵ₀ ≤ max #R #ι
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h : t ⊆ s
ht : Balanced 𝕜 t

⊢ t ⊆ balancedCoreAux 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h : t ⊆ s
ht : Balanced 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ t
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖

⊢ x ∈ r • s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h : t ⊆ s
ht : Balanced 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ t
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖

⊢ r⁻¹ • x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h : t ⊆ s
ht : Balanced 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ t
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖

⊢ ‖r⁻¹‖ ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
h : t ⊆ s
ht : Balanced 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ t
r : 𝕜
hr : 1 ≤ ‖r‖

⊢ ‖r‖⁻¹ ≤ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Count.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s✝ s : Set α
s_fin : s.Finite
s_mble : MeasurableSet s

⊢ count s = ↑s_fin.toFinset.card
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b✝ c d a b : α

⊢ (a * b) ^ (-1) = b ^ (-1) * a ^ (-1)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ sinh (-x) = -sinh x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P

⊢ IsPreconnected {y | s.WSameSide x y}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : ↑s = ∅

⊢ IsPreconnected {y | s.WSameSide x y}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
h : (↑s).Nonempty

⊢ IsPreconnected {y | s.WSameSide x y}
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/AdjointAction.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
D : LieDerivation R L L
x : L

⊢ ⁅D, (ad R L) x⁆ = (ad R L) (D x)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝¹ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
a✝ : ℕ

⊢ a ≠ 0 → a ^ ↑a✝ ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝¹ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
a✝ : ℕ

⊢ a ≠ 0 → a ^ a✝ ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n✝ : ℕ
a : G₀
n : ℕ
ha : a ≠ 0

⊢ a ^ Int.negSucc n ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n✝ : ℕ
a : G₀
n : ℕ
ha : a ≠ 0

⊢ (a ^ (n + 1))⁻¹ ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
inst✝ : Subsingleton ι
p : ι → E
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)
this : ((convexHull 𝕜) (p '' s)).Nonempty

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
s✝ t : Set E
inst✝ : Subsingleton ι
p : ι → E
s : Set ι
x : ι
hx : p x ∈ (convexHull 𝕜) (p '' s)
this : s.Nonempty

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R✝ : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
R : Type u_14
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Module R α
x : R
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
i✝ : (i : o) × m' i
j✝ : (i : o) × n' i

⊢ blockDiagonal' (x • M) i✝ j✝ = (x • blockDiagonal' M) i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R✝ : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝³ : DecidableEq o
R : Type u_14
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Module R α
x : R
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
i✝ : (i : o) × m' i
j✝ : (i : o) × n' i

⊢ (if h : i✝.fst = j✝.fst then x • M i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) else 0) = x • if h : i✝.fst = j✝.fst then M i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) else 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V

⊢ ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ ↔ angle x y = π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V

⊢ ⟪x, y⟫_ℝ = 0 ↔ angle x y = π / 2
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s✝ : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : closure s = ⊤
mem : ∀ x ∈ s, p x
one : p 1
mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)

⊢ p x
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s✝ : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
p : M → Prop
x : M
s : Set M
hs : closure s = ⊤
mem : ∀ x ∈ s, p x
one : p 1
mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
this : ∀ x ∈ closure s, p x

⊢ p x
-- Mathlib/Algebra/Group/Even.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : Monoid α
n : ℕ
a m : α

⊢ IsSquare m ↔ ∃ c, m = c ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
T : ℝ
hT : T ≠ 0
x : AddCircle T

⊢ (homeomorphCircle hT) x = x.toCircle
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
T : ℝ
hT : T ≠ 0
x : ℝ

⊢ (homeomorphCircle hT) ↑x = toCircle ↑x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
T : ℝ
hT : T ≠ 0
x : ℝ

⊢ expMapCircle (x * (T⁻¹ * (2 * π))) = expMapCircle (2 * π / T * x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i

⊢ ↑(v.restrict ∅) i = ↑0 i
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a a' : α
b : M
h : a ≠ a'

⊢ (single a b) a' = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E

⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (f n y - f n x)) (fun y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (g y - g x)) l (𝓝 x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l = ⊥

⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (f n y - f n x)) (fun y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (g y - g x)) l (𝓝 x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥

⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (f n y - f n x)) (fun y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (g y - g x)) l (𝓝 x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
this : l.NeBot

⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (f n y - f n x)) (fun y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (g y - g x)) l (𝓝 x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hl : l ≠ ⊥
this : l.NeBot

⊢ UniformCauchySeqOnFilter (fun n y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (f n y - f n x)) l (𝓝 x)