ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : Nat
a : α
l : List α

⊢ (leftpad n a l).length = max n l.length
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys

⊢ lookupAll a l = (dlookup a l).toList
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys

⊢ lookupAll a l = (lookupAll a l).head?.toList
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l✝ l₁ l₂ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List (Sigma β)
h : l.NodupKeys
h1 : (lookupAll a l).length ≤ 1

⊢ lookupAll a l = (lookupAll a l).head?.toList
-- Mathlib/Data/Finset/Piecewise.lean
ι : Type u_1
π✝ : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f✝ g✝ : (i : ι) → π✝ i
inst✝ : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
π : ι → Type u_3
t : Set ι
t' : (i : ι) → Set (π i)
f g f' g' h : (i : ι) → π i
hf : f ∈ t.pi t'
hg : g ∈ t.pi t'

⊢ s.piecewise f g ∈ t.pi t'
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : (α : Type u_4) → [inst : Fintype α] → Prop
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
hbase : ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α] [inst_1 : Subsingleton α], P α
hstep : ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α] [inst_1 : Nontrivial α], (∀ (β : Type u_4) [inst_2 : Fintype β], card β < card α → P β) → P α
n : ℕ
hn : card α = n

⊢ P α
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : (α : Type u_4) → [inst : Fintype α] → Prop
hbase : ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α] [inst_1 : Subsingleton α], P α
hstep : ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α] [inst_1 : Nontrivial α], (∀ (β : Type u_4) [inst_2 : Fintype β], card β < card α → P β) → P α
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α], card α = m → P α
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
hn : card α = n

⊢ P α
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : (α : Type u_4) → [inst : Fintype α] → Prop
hbase : ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α] [inst_1 : Subsingleton α], P α
hstep : ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α] [inst_1 : Nontrivial α], (∀ (β : Type u_4) [inst_2 : Fintype β], card β < card α → P β) → P α
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α], card α = m → P α
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
hn : card α = n
hsing : Subsingleton α

⊢ P α
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
P : (α : Type u_4) → [inst : Fintype α] → Prop
hbase : ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α] [inst_1 : Subsingleton α], P α
hstep : ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α] [inst_1 : Nontrivial α], (∀ (β : Type u_4) [inst_2 : Fintype β], card β < card α → P β) → P α
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ (α : Type u_4) [inst : Fintype α], card α = m → P α
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
hn : card α = n
hnontriv : Nontrivial α

⊢ P α
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α

⊢ Multiset.map Subtype.val (factors' a) = Multiset.map Associates.mk (factors a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf : f ≤ᶠ[ae μ] 0

⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf✝ : f ≤ᶠ[ae μ] 0
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] -f

⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
hf✝ : f ≤ᶠ[ae μ] 0
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] -f
this : 0 ≤ ∫ (a : α), -f a ∂μ

⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
A : Set α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U ≤ μ A + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
A : Set α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
H : μ A = ⊤

⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U ≤ μ A + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
A : Set α
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
H : μ A ≠ ⊤

⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ μ U ≤ μ A + ε
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s : ι → M
indep : Set ι → Prop := fun I => LinearIndependent (ι := ↑I) R (s ∘ Subtype.val)
X : Type u' := { I // indep I }
r : X → X → Prop := fun I J => ↑I ⊆ ↑J
key : ∀ (c : Set X), IsChain r c → indep (⋃ I ∈ c, ↑I)

⊢ ∃ I, (LinearIndependent R fun (x : ↑I) => s ↑x) ∧ ∀ (J : Set ι), I ⊆ J → (LinearIndependent R fun (x : ↑J) => s ↑x) → I = J
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s : ι → M
indep : Set ι → Prop := fun I => LinearIndependent (ι := ↑I) R (s ∘ Subtype.val)
X : Type u' := { I // indep I }
r : X → X → Prop := fun I J => ↑I ⊆ ↑J
key : ∀ (c : Set X), IsChain r c → indep (⋃ I ∈ c, ↑I)
trans : Transitive r

⊢ ∃ I, (LinearIndependent R fun (x : ↑I) => s ↑x) ∧ ∀ (J : Set ι), I ⊆ J → (LinearIndependent R fun (x : ↑J) => s ↑x) → I = J
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
hv : LinearIndependent R v
s : ι → M
indep : Set ι → Prop := fun I => LinearIndependent (ι := ↑I) R (s ∘ Subtype.val)
X : Type u' := { I // indep I }
r : X → X → Prop := fun I J => ↑I ⊆ ↑J
key : ∀ (c : Set X), IsChain r c → indep (⋃ I ∈ c, ↑I)
trans : Transitive r
I : Set ι
hli : indep I
hmax : ∀ (a : X), r ⟨I, hli⟩ a → r a ⟨I, hli⟩

⊢ ∃ I, (LinearIndependent R fun (x : ↑I) => s ↑x) ∧ ∀ (J : Set ι), I ⊆ J → (LinearIndependent R fun (x : ↑J) => s ↑x) → I = J
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

⊢ IsFiniteMeasure (t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))

⊢ IsFiniteMeasure (t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

⊢ IsFiniteMeasure (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal ((-f) x))

⊢ IsFiniteMeasure (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f

⊢ s.toJordanDecomposition = JordanDecomposition.mk (t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)) ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))

⊢ s.toJordanDecomposition = JordanDecomposition.mk (t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)) ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
this✝ : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal ((-f) x))

⊢ s.toJordanDecomposition = JordanDecomposition.mk (t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)) ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
this✝ : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal ((-f) x))

⊢ s = (JordanDecomposition.mk (t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)) ⋯).toSignedMeasure
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s t : SignedMeasure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
hfi : Integrable f μ
htμ : t ⟂ᵥ μ.toENNRealVectorMeasure
hadd : s = t + μ.withDensityᵥ f
this✝ : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal ((-f) x))
i : Set α
hi : MeasurableSet i

⊢ ↑(t + μ.withDensityᵥ f) i = ↑((t.toJordanDecomposition.posPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)).toSignedMeasure - (t.toJordanDecomposition.negPart + μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).toSignedMeasure) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : ¬IsIso f

⊢ Nat.card ↑(F.obj X) < Nat.card ↑(F.obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : ¬IsIso f
hlt : ¬Nat.card ↑(F.obj X) < Nat.card ↑(F.obj Y)

⊢ False
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : ¬IsIso f
hlt : ¬Nat.card ↑(F.obj X) < Nat.card ↑(F.obj Y)

⊢ IsIso f
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : ¬IsIso f
hlt : ¬Nat.card ↑(F.obj X) < Nat.card ↑(F.obj Y)

⊢ Nat.card ↑(F.obj X) = Nat.card ↑(F.obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : Mono f
h : ¬IsIso f
hlt : Nat.card ↑(F.obj Y) ≤ Nat.card ↑(F.obj X)

⊢ Nat.card ↑(F.obj X) = Nat.card ↑(F.obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Small.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
α : Type w
f : α → C

⊢ Small.{max v w, u} (FullSubcategory (CofilteredClosure f))
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Small.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
α : Type w
f : α → C

⊢ ∀ (b : FullSubcategory (CofilteredClosure f)), ∃ a, CategoryTheory.IsCofiltered.CofilteredClosureSmall.abstractCofilteredClosureRealization f a = b.obj
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Small.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
α : Type w
f : α → C
j : C
h : CofilteredClosure f j

⊢ ∃ a, CategoryTheory.IsCofiltered.CofilteredClosureSmall.abstractCofilteredClosureRealization f a = { obj := j, property := h }.obj
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
a : α

⊢ Icc ⊥ a = Iic a
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hD : M.Dep D

⊢ D.Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hD : M.Dep D

⊢ D ≠ ∅
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J X : Set α
e f : α
hD : M.Dep ∅

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a✝ : M
inst✝ : DecidableEq M
a : M
h : ∀ (a' : M), a' ≠ a → a' ∈ l → a' = 1

⊢ l.prod = (map id l).prod
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I✝ : MultispanIndex C
K : Multicofork I✝
I : MultispanIndex C
P : C
π : (b : I.R) → I.right b ⟶ P
w : ∀ (a : I.L), I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) = I.snd a ≫ π (I.sndFrom a)

⊢ ∀ ⦃X Y : WalkingMultispan I.fstFrom I.sndFrom⦄ (f : X ⟶ Y), I.multispan.map f ≫ (fun x => match x with | WalkingMultispan.left a => I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) | WalkingMultispan.right b => π b) Y = (fun x => match x with | WalkingMultispan.left a => I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) | WalkingMultispan.right b => π b) X ≫ ((Functor.const (WalkingMultispan I.fstFrom I.sndFrom)).obj P).map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I✝ : MultispanIndex C
K : Multicofork I✝
I : MultispanIndex C
P : C
π : (b : I.R) → I.right b ⟶ P
w : ∀ (a : I.L), I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) = I.snd a ≫ π (I.sndFrom a)
a✝ : I.L

⊢ I.snd a✝ ≫ π (I.sndFrom a✝) = I.fst a✝ ≫ π (I.fstFrom a✝)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsColimit t.toCocone

⊢ t.fst = ht.desc (BinaryCofan.mk (𝟙 X) 0)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsColimit t.toCocone

⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), t.toCocone.ι.app j ≫ t.fst = (BinaryCofan.mk (𝟙 X) 0).ι.app j
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α

⊢ (blimsup u f fun x => False) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Vertex/HVertexOperator.lean
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
u : U

⊢ (Function.support fun g' => A ((B.coeff g') u)).IsPWO
-- Mathlib/Algebra/Vertex/HVertexOperator.lean
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
u : U

⊢ (Function.support fun g' => A ((B.coeff g') u)) ⊆ Function.support ((of R).symm (B u)).coeff
-- Mathlib/Algebra/Vertex/HVertexOperator.lean
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
u : U

⊢ ∀ (x : Γ'), ¬A (((of R).symm (B u)).coeff x) = 0 → ¬((of R).symm (B u)).coeff x = 0
-- Mathlib/Algebra/Vertex/HVertexOperator.lean
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
u : U
g' : Γ'
hg' : ¬A (((of R).symm (B u)).coeff g') = 0
hAB : ((of R).symm (B u)).coeff g' = 0

⊢ A 0 = 0
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂
c₁ : γ₁

⊢ inl c₁ ∈ sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ a b ↔ (∃ a₁ b₁, a = inl a₁ ∧ b = inl b₁ ∧ c₁ ∈ f₁ a₁ b₁) ∨ ∃ a₁ b₂, a = inl a₁ ∧ b = inr b₂ ∧ c₁ ∈ g₁ a₁ b₂
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : F
x : E

⊢ iteratedFDeriv 𝕜 n (fun x => c) x = 0 x
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
hsC : contained C o
p : LocallyConstant ↑C ℤ

⊢ p ∈ range C ↔ p ∈ ⋃ e, smaller C ↑e
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
ho : o.IsLimit
hsC : contained C o
p : LocallyConstant ↑C ℤ

⊢ (∃ a, ∃ (b : Products.isGood C a), eval C ⟨a, b⟩ = p) ↔ ∃ a, ∃ (h : a < o), ∃ x, (∃ a_1, ∃ (h_1 : Products.isGood (π C fun x => ord I x < a) a_1), eval (π C fun x => ord I x < a) ⟨a_1, ⋯⟩ = x) ∧ (πs C a) x = p
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
p : ℕ → Prop
u : ℕ → α

⊢ blimsup u atTop p = ⨅ i, ⨆ j, ⨆ (_ : p j ∧ i ≤ j), u j
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y

⊢ IsOpen (s ×ˢ t) ↔ IsOpen s ∧ IsOpen t ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
h : s ×ˢ t = ∅

⊢ IsOpen (s ×ˢ t) ↔ IsOpen s ∧ IsOpen t ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y
h : (s ×ˢ t).Nonempty

⊢ IsOpen (s ×ˢ t) ↔ IsOpen s ∧ IsOpen t ∨ s = ∅ ∨ t = ∅
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
α : Type u_1
r c : ℝ
l : Filter α
f g : α → ℝ
hfg : f =o[l] g
hg : 0 ≤ᶠ[l] g

⊢ (fun x => √(f x)) =o[l] fun x => √(g x)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α

⊢ (fun f => f.toFun) 0 x ≤ (fun f => f.toFun) (const α ‖f‖ - f) x
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α →ᵇ ℝ
x : α

⊢ f x ≤ ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxz : x < z
hxz' : x ≠ z

⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z

⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y

⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)