ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
x y : E
hx : Algebra.IsSeparable F ↥F⟮x⟯
hy : Algebra.IsSeparable ↥F⟮x⟯ ↥(↥F⟮x⟯)⟮y⟯

⊢ Algebra.IsSeparable F ↥(restrictScalars F (↥F⟮x⟯)⟮y⟯)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
K L : Subgroup N
hf : Surjective ⇑f

⊢ comap f K < comap f L ↔ K < L
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Rename.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
c : ℤ →+* R
g : τ → R
p : MvPolynomial σ ℤ

⊢ eval₂ c (g ∘ f) p = eval₂ c g ((rename f) p)
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
x : E

⊢ egauge 𝕜 s x / ↑‖c‖₊ ≤ egauge 𝕜 (c • s) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
x : E

⊢ ∀ (c_1 : 𝕜), x ∈ (c_1 * c) • s → egauge 𝕜 s x / ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖c_1‖₊
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
a : 𝕜
x : E
hx : x ∈ s

⊢ egauge 𝕜 s ((fun x => (a * c) • x) x) / ↑‖c‖₊ ≤ ↑‖a‖₊
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
a : 𝕜
x : E
hx : x ∈ s

⊢ egauge 𝕜 s ((fun x => (a * c) • x) x) ≤ ↑‖a‖₊ * ↑‖c‖₊
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
a : 𝕜
x : E
hx : x ∈ s

⊢ egauge 𝕜 s ((fun x => (a * c) • x) x) ≤ ↑‖a * c‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)

⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ⊤

⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤

⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this : 0 < μ {x | x ∈ s ∧ (f x).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ}

⊢ 0 < μ {x | x ∈ s ∧ f x ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this : 0 < μ {x | x ∈ s ∧ (f x).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ}

⊢ 0 < (μ.restrict s) {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this : 0 < (μ.restrict s) ({a | (f a).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ} \ {x | f x = ⊤})

⊢ 0 < (μ.restrict s) {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this : 0 < (μ.restrict s) ({a | (f a).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ} \ {x | f x = ⊤})

⊢ {a | (f a).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ} \ {x | f x = ⊤} ⊆ {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this : 0 < (μ.restrict s) ({a | (f a).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ} \ {x | f x = ⊤})
x : α
hfx : (f x).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ
hx : x ∉ {x | f x = ⊤}

⊢ x ∈ {a | f a ≤ ⨍⁻ (a : α) in s, f a ∂μ}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this : 0 < (μ.restrict s) ({a | (f a).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ} \ {x | f x = ⊤})
x : α
hfx : (f x).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ
hx : x ∉ {x | f x = ⊤}

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
hμ : μ s ≠ 0
hμ₁ : μ s ≠ ⊤
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
h : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≠ ⊤
this : 0 < (μ.restrict s) ({a | (f a).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ} \ {x | f x = ⊤})
x : α
hfx : (f x).toReal ≤ ⨍ (a : α) in s, (f a).toReal ∂μ
hx : x ∉ {x | f x = ⊤}

⊢ (μ.restrict s) {a | f a = ⊤} = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X

⊢ Continuous transReflReparamAux
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X

⊢ ∀ (x : ↑I), ↑x = 1 / 2 → 2 * ↑x = 1
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p n d : ℕ

⊢ d ∣ n ↔ ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p d : ℕ

⊢ d ∣ 0 ↔ ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p n d : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ d ∣ n ↔ ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ 0 ∣ n ↔ ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ 0 → p ^ k ∣ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p n d : ℕ
hn : n ≠ 0
hd : d ≠ 0

⊢ d ∣ n ↔ ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p n d : ℕ
hn : n ≠ 0
hd : d ≠ 0

⊢ (∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n) → d ∣ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p n d : ℕ
hn : n ≠ 0
hd : d ≠ 0

⊢ (∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n) → ∀ (p : ℕ), Prime p → d.factorization p ≤ n.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n d : ℕ
hn : n ≠ 0
hd : d ≠ 0
h : ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n
p : ℕ
pp : Prime p

⊢ d.factorization p ≤ n.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n d : ℕ
hn : n ≠ 0
hd : d ≠ 0
h : ∀ (p k : ℕ), Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n
p : ℕ
pp : Prime p

⊢ p ^ d.factorization p ∣ n
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ

⊢ Injective fun a => b / a
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ

⊢ Injective fun a => b * a⁻¹
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b : Ordinal.{u_1}

⊢ a ⨳ succ b = a ⨳ b ♯ a
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean

⊢ schnirelmannDensity (setOf Odd) = 2⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
h : setOf Odd = {n | n % 2 = 1}

⊢ schnirelmannDensity (setOf Odd) = 2⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
h : setOf Odd = {n | n % 2 = 1}

⊢ schnirelmannDensity {n | n % 2 = 1} = 2⁻¹
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ≅ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ.hom

⊢ f ≫ eqToHom ⋯ ≫ (p.mapIso φ).inv ≫ eqToHom ⋯ = 𝟙 R
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ≅ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ.hom) φ.hom

⊢ p.map φ.hom ≫ eqToHom ⋯ ≫ (p.mapIso φ).inv ≫ eqToHom ⋯ = 𝟙 (p.obj a✝)
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ≅ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ.hom

⊢ (eqToHom ⋯ ≫ (p.mapIso φ).inv ≫ eqToHom ⋯) ≫ f = 𝟙 S
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a✝ b✝ : 𝒳
φ : a✝ ≅ b✝
R S : 𝒮
a b : 𝒳
inst✝ : p.IsHomLift (p.map φ.hom) φ.hom

⊢ (eqToHom ⋯ ≫ (p.mapIso φ).inv ≫ eqToHom ⋯) ≫ p.map φ.hom = 𝟙 (p.obj b✝)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hs : Convex ℝ s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hf' : ∀ x ∈ s, fderivWithin 𝕜 f s x = 0
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s

⊢ f x = f y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hs : Convex ℝ s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hf' : ∀ x ∈ s, fderivWithin 𝕜 f s x = 0
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
bound : ∀ x ∈ s, ‖fderivWithin 𝕜 f s x‖ ≤ 0

⊢ f x = f y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
x : M
h : f.HasEigenvector μ x

⊢ f.HasEigenvalue μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
x : M
h : f.HasEigenvector μ x

⊢ ∃ x ∈ f.eigenspace μ, x ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
μ : R
x : M
h : f.HasEigenvector μ x

⊢ x ∈ f.eigenspace μ ∧ x ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
n i j : ℤ
h : n + i = j

⊢ QuasiIsoAt ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).map φ) i ↔ QuasiIsoAt φ j
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
n i j : ℤ
h : n + i = j

⊢ IsIso (homologyMap ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (up ℤ)) n).map φ) i) ↔ IsIso (homologyMap φ j)
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
s t : Multiset α

⊢ ∀ (a b : List α), ⟦a⟧ ∈ powerset ⟦b⟧ ↔ ⟦a⟧ ≤ ⟦b⟧
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
A : Mon_ Cᵒᵖ

⊢ A.mul.unop ≫ A.one.unop ▷ unop A.X = (λ_ (unop A.X)).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
A : Mon_ Cᵒᵖ

⊢ (λ_ A.X).hom.unop = (λ_ (unop A.X)).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
A : Mon_ Cᵒᵖ

⊢ A.mul.unop ≫ unop A.X ◁ A.one.unop = (ρ_ (unop A.X)).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
A : Mon_ Cᵒᵖ

⊢ (ρ_ A.X).hom.unop = (ρ_ (unop A.X)).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
A : Mon_ Cᵒᵖ

⊢ A.mul.unop ≫ unop A.X ◁ A.mul.unop = A.mul.unop ≫ A.mul.unop ▷ unop A.X ≫ (α_ (unop A.X) (unop A.X) (unop A.X)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
A : Mon_ Cᵒᵖ

⊢ ((α_ A.X A.X A.X).inv ≫ A.mul ▷ A.X ≫ A.mul).unop = (A.mul ▷ A.X ≫ A.mul).unop ≫ (α_ (unop A.X) (unop A.X) (unop A.X)).hom
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)

⊢ I.IsMaximal ↔ ∃ x, I = vanishingIdeal {x}
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ

⊢ I.IsMaximal ↔ ∃ x, I = vanishingIdeal {x}
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal

⊢ ∃ x, I = vanishingIdeal {x}
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal
this✝ : I.IsMaximal := hI
this : Field (MvPolynomial σ k ⧸ I) := Quotient.field I
ϕ : k →+* MvPolynomial σ k ⧸ I := (Ideal.Quotient.mk I).comp C

⊢ ∃ x, I = vanishingIdeal {x}
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal
this✝ : I.IsMaximal := hI
this : Field (MvPolynomial σ k ⧸ I) := Quotient.field I
ϕ : k →+* MvPolynomial σ k ⧸ I := (Ideal.Quotient.mk I).comp C
hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ

⊢ ∃ x, I = vanishingIdeal {x}
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal
this✝ : I.IsMaximal := hI
this : Field (MvPolynomial σ k ⧸ I) := Quotient.field I
ϕ : k →+* MvPolynomial σ k ⧸ I := (Ideal.Quotient.mk I).comp C
hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ
φ : MvPolynomial σ k ⧸ I → k
hφ : Function.RightInverse φ ⇑ϕ

⊢ ∃ x, I = vanishingIdeal {x}
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal
this✝ : I.IsMaximal := hI
this : Field (MvPolynomial σ k ⧸ I) := Quotient.field I
ϕ : k →+* MvPolynomial σ k ⧸ I := (Ideal.Quotient.mk I).comp C
hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ
φ : MvPolynomial σ k ⧸ I → k
hφ : Function.RightInverse φ ⇑ϕ
x : σ → k := fun s => φ ((Ideal.Quotient.mk I) (X s))
hx : ∀ (s : σ), ϕ (x s) = (Ideal.Quotient.mk I) (X s)

⊢ ∃ x, I = vanishingIdeal {x}
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal
this✝ : I.IsMaximal := hI
this : Field (MvPolynomial σ k ⧸ I) := Quotient.field I
ϕ : k →+* MvPolynomial σ k ⧸ I := (Ideal.Quotient.mk I).comp C
hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ
φ : MvPolynomial σ k ⧸ I → k
hφ : Function.RightInverse φ ⇑ϕ
x : σ → k := fun s => φ ((Ideal.Quotient.mk I) (X s))
hx : ∀ (s : σ), ϕ (x s) = (Ideal.Quotient.mk I) (X s)

⊢ vanishingIdeal {x} ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal
this✝ : I.IsMaximal := hI
this : Field (MvPolynomial σ k ⧸ I) := Quotient.field I
ϕ : k →+* MvPolynomial σ k ⧸ I := (Ideal.Quotient.mk I).comp C
hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ
φ : MvPolynomial σ k ⧸ I → k
hφ : Function.RightInverse φ ⇑ϕ
x : σ → k := fun s => φ ((Ideal.Quotient.mk I) (X s))
hx : ∀ (s : σ), ϕ (x s) = (Ideal.Quotient.mk I) (X s)
p : MvPolynomial σ k
hp : p ∈ vanishingIdeal {x}

⊢ p ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal
this✝ : I.IsMaximal := hI
this : Field (MvPolynomial σ k ⧸ I) := Quotient.field I
ϕ : k →+* MvPolynomial σ k ⧸ I := (Ideal.Quotient.mk I).comp C
hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ
φ : MvPolynomial σ k ⧸ I → k
hφ : Function.RightInverse φ ⇑ϕ
x : σ → k := fun s => φ ((Ideal.Quotient.mk I) (X s))
hx : ∀ (s : σ), ϕ (x s) = (Ideal.Quotient.mk I) (X s)
p : MvPolynomial σ k
hp : p ∈ vanishingIdeal {x}

⊢ ∑ d ∈ p.support, ((Ideal.Quotient.mk I).comp C) (coeff d p) * ∏ i : σ, (Ideal.Quotient.mk I) (X i) ^ d i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
σ : Type u_2
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Finite σ
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
val✝ : Fintype σ
hI : I.IsMaximal
this✝ : I.IsMaximal := hI
this : Field (MvPolynomial σ k ⧸ I) := Quotient.field I
ϕ : k →+* MvPolynomial σ k ⧸ I := (Ideal.Quotient.mk I).comp C
hϕ : Function.Bijective ⇑ϕ
φ : MvPolynomial σ k ⧸ I → k
hφ : Function.RightInverse φ ⇑ϕ
x : σ → k := fun s => φ ((Ideal.Quotient.mk I) (X s))
hx : ∀ (s : σ), ϕ (x s) = (Ideal.Quotient.mk I) (X s)
p : MvPolynomial σ k
hp : ∑ d ∈ p.support, coeff d p * ∏ i : σ, x i ^ d i = 0

⊢ ∑ d ∈ p.support, ((Ideal.Quotient.mk I).comp C) (coeff d p) * ∏ i : σ, (Ideal.Quotient.mk I) (X i) ^ d i = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0

⊢ ‖x‖ / Real.cos (angle x (x - y)) = ‖x - y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y = 0

⊢ ‖x‖ / Real.cos (angle x (x - y)) = ‖x - y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, -y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ -y = 0

⊢ ‖x‖ / Real.cos (angle x (x - y)) = ‖x - y‖
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : 1 < p

⊢ padicValNat p p = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : 1 < p
neq_one : ¬p = 1 ↔ True

⊢ padicValNat p p = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : 1 < p
neq_one : ¬p = 1 ↔ True
eq_zero_false : p = 0 ↔ False

⊢ padicValNat p p = 1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HSpaces.lean
t : ↑I

⊢ ↑(qRight (t, 0)) = if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HSpaces.lean
t : ↑I

⊢ ↑(Set.projIcc 0 1 qRight.proof_1 (2 * ↑t)) = if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1
-- Mathlib/RingTheory/TwoSidedIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R

⊢ I.ringCon x y ↔ x - y ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/TwoSidedIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R

⊢ I.ringCon x y ↔ I.ringCon (x - y) 0
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Finset α

⊢ a ∈ stabilizer G ↑s ↔ ↑s ⊆ a • ↑s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSemiring R
p✝ : R[X]
inst✝ : Semiring S
p : S[X]
f : S →+* R

⊢ Continuous fun x => eval₂ f x p
-- Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : TopologicalSemiring R
p✝ : R[X]
inst✝ : Semiring S
p : S[X]
f : S →+* R

⊢ Continuous fun x => p.sum fun e a => f a * x ^ e
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hg : S.g = 0

⊢ 𝟙 S.X₂ ≫ S.g = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hg : S.g = 0

⊢ h.i ≫ h.liftK (𝟙 S.X₂) ⋯ = 𝟙 h.K
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
c : ℝ≥0
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c

⊢ Summable f
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
c : ℝ≥0
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
H : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop atTop

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
c : ℝ≥0
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ Finset.range n, f i ≤ c
H : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop atTop
n : ℕ
hn : c < ∑ i ∈ Finset.range n, f i

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f

⊢ a.cof.ord ≤ o
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}
hf : a.IsFundamentalSequence o f

⊢ (o.blsub f).cof.ord ≤ o
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : Mul α
inst✝² : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Preorder α

⊢ PosMulReflectLE α ↔ MulPosReflectLE α
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
f : R[M]

⊢ f ∈ adjoin R (of' R M '' ↑f.support)
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : AddMonoid M
f : R[M]

⊢ span R (of' R M '' ↑f.support) ≤ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R (of' R M '' ↑f.support))