ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hA : A.Nonempty
hAB : A ⊆ B
h : ∀ A' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(A * C).card / ↑A.card ≤ ↑(A' * C).card / ↑A'.card
hAA' : ∅ ⊆ A

⊢ (A * C).card * ∅.card ≤ (∅ * C).card * A.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hA : A.Nonempty
hAB : A ⊆ B
h : ∀ A' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(A * C).card / ↑A.card ≤ ↑(A' * C).card / ↑A'.card
A' : Finset α
hAA' : A' ⊆ A
hA' : A'.Nonempty

⊢ (A * C).card * A'.card ≤ (A' * C).card * A.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hA : A.Nonempty
hAB : A ⊆ B
h : ∀ A' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(A * C).card / ↑A.card ≤ ↑(A' * C).card / ↑A'.card
A' : Finset α
hAA' : A' ⊆ A
hA' : A'.Nonempty
hA₀ : 0 < ↑A.card

⊢ (A * C).card * A'.card ≤ (A' * C).card * A.card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B C : Finset α
hA : A.Nonempty
hAB : A ⊆ B
h : ∀ A' ∈ B.powerset.erase ∅, ↑(A * C).card / ↑A.card ≤ ↑(A' * C).card / ↑A'.card
A' : Finset α
hAA' : A' ⊆ A
hA' : A'.Nonempty
hA₀ : 0 < ↑A.card
hA₀' : 0 < ↑A'.card

⊢ (A * C).card * A'.card ≤ (A' * C).card * A.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Equivs.lean
x : CliffordAlgebra Q

⊢ reverse x = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (⇑g) (ENNReal.ofReal p) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)

⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (⇑g) (ENNReal.ofReal p) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0

⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (⇑g) (ENNReal.ofReal p) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0

⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (⇑g) (ENNReal.ofReal p) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α →ᵇ E
hg : eLpNorm (f - ⇑g) (↑p.toNNReal) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p))
g_mem : Memℒp (⇑g) (↑p.toNNReal) μ

⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (⇑g) (ENNReal.ofReal p) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α →ᵇ E
g_mem : Memℒp (⇑g) (↑p.toNNReal) μ
hg : eLpNorm (f - ⇑g) (ENNReal.ofReal p) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p))

⊢ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α →ᵇ E
g_mem : Memℒp (⇑g) (↑p.toNNReal) μ
hg : (∫ (a : α), ‖(f - ⇑g) a‖ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ε ^ p⁻¹

⊢ 0 ≤ ∫ (a : α), ‖(f - ⇑g) a‖ ^ p ∂μ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α

⊢ Tendsto (fun δ => (thickening δ E).mulIndicator f) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α

⊢ ∀ (x : α), Tendsto (fun i => (thickening i E).mulIndicator f x) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
x : α

⊢ Tendsto (fun i => (thickening i E).mulIndicator f x) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
β : Type u_2
inst✝¹ : One β
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
E : Set α
x : α

⊢ Tendsto (fun x_1 => (closure E).mulIndicator f x) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((closure E).mulIndicator f x))
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂✝ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
R : outParam (Type u_17)
M : outParam (Type u_18)
M₂ : outParam (Type u_19)
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
F : Type u_20
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : LinearMapClass F R M M₂
f : F
r : R
x : M

⊢ f (r • x) = r • f x
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Center.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : Center C

⊢ (α_ X Y Z).inv.f = (α_ X.fst Y.fst Z.fst).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Center.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : Center C

⊢ (α_ X.fst Y.fst Z.fst).hom ≫ (α_ X Y Z).inv.f = 𝟙 ((X ⊗ Y) ⊗ Z).fst
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Center.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y Z : Center C

⊢ (𝟙 ((X ⊗ Y) ⊗ Z)).f = 𝟙 ((X ⊗ Y) ⊗ Z).fst
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
P : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q 1 → Prop
ι : ∀ (v : M), P ((CliffordAlgebra.ι Q) v) ⋯
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1) (hy : y ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P y hy → P (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul : ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁ * (CliffordAlgebra.ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ evenOdd Q 1

⊢ P x hx
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
P : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q 1 → Prop
ι : ∀ (v : M), P ((CliffordAlgebra.ι Q) v) ⋯
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1) (hy : y ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P y hy → P (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul : ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁ * (CliffordAlgebra.ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ evenOdd Q 1
ιv : CliffordAlgebra Q

⊢ ∀ (h : ιv ∈ LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q) ^ ZMod.val 1), P ιv ⋯
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
P : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q 1 → Prop
ι : ∀ (v : M), P ((CliffordAlgebra.ι Q) v) ⋯
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1) (hy : y ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P y hy → P (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul : ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁ * (CliffordAlgebra.ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ evenOdd Q 1
ιv : CliffordAlgebra Q
h : ιv ∈ LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q) ^ ZMod.val 1

⊢ P ιv ⋯
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
P : (x : CliffordAlgebra Q) → x ∈ evenOdd Q 1 → Prop
ι : ∀ (v : M), P ((CliffordAlgebra.ι Q) v) ⋯
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1) (hy : y ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P y hy → P (x + y) ⋯
ι_mul_ι_mul : ∀ (m₁ m₂ : M) (x : CliffordAlgebra Q) (hx : x ∈ evenOdd Q 1), P x hx → P ((CliffordAlgebra.ι Q) m₁ * (CliffordAlgebra.ι Q) m₂ * x) ⋯
x : CliffordAlgebra Q
hx : x ∈ evenOdd Q 1
ιv : CliffordAlgebra Q
h✝ : ιv ∈ LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q) ^ ZMod.val 1
h : ιv ∈ LinearMap.range (CliffordAlgebra.ι Q)

⊢ P ιv ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ

⊢ (μ.toFinite.withDensity fun x => if μ.densityToFinite x ≠ ⊤ then μ.densityToFinite x else 1).restrict μ.sigmaFiniteSet = μ.restrict μ.sigmaFiniteSet
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
this : μ.restrict μ.sigmaFiniteSet = (μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSet

⊢ (μ.toFinite.withDensity fun x => if μ.densityToFinite x ≠ ⊤ then μ.densityToFinite x else 1).restrict μ.sigmaFiniteSet = μ.restrict μ.sigmaFiniteSet
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
this : μ.restrict μ.sigmaFiniteSet = (μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSet
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ((μ.toFinite.withDensity fun x => if μ.densityToFinite x ≠ ⊤ then μ.densityToFinite x else 1).restrict μ.sigmaFiniteSet) s = ((μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSet) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
this : μ.restrict μ.sigmaFiniteSet = (μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSet
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (a : α) in s ∩ μ.sigmaFiniteSet, if μ.densityToFinite a ≠ ⊤ then μ.densityToFinite a else 1 ∂μ.toFinite = ∫⁻ (a : α) in s ∩ μ.sigmaFiniteSet, μ.densityToFinite a ∂μ.toFinite
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
this : μ.restrict μ.sigmaFiniteSet = (μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSet
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : x ∈ s ∩ μ.sigmaFiniteSet

⊢ μ.densityToFinite x = if μ.densityToFinite x ≠ ⊤ then μ.densityToFinite x else 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s✝ t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
this : μ.restrict μ.sigmaFiniteSet = (μ.toFinite.withDensity μ.densityToFinite).restrict μ.sigmaFiniteSet
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : x ∈ s ∧ ¬μ.densityToFinite x = ⊤

⊢ μ.densityToFinite x = if μ.densityToFinite x ≠ ⊤ then μ.densityToFinite x else 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Embedding.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : CommSemigroup G
inst✝ : IsCancelMul G
g x✝ : G

⊢ (mulLeftEmbedding g) x✝ = (mulRightEmbedding g) x✝
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
G : Type u_2
inst✝ : Group G
n : ℕ
v : Vector G n

⊢ v.toList.prod⁻¹ ::ᵥ v ∈ vectorsProdEqOne G (n + 1)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
G : Type u_2
inst✝ : Group G
n : ℕ
v : ↑(vectorsProdEqOne G (n + 1))

⊢ (↑v).head * (↑v).tail.toList.prod = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
G : Type u_2
inst✝ : Group G
n : ℕ
v : ↑(vectorsProdEqOne G (n + 1))

⊢ (↑v).toList.prod = 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.80198, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting

⊢ Epi S.g
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.80198, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s : S.Splitting
this : IsSplitEpi S.g

⊢ Epi S.g
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ₁ χ₂ : MulChar R R'
a : Rˣ

⊢ (equivToUnitHom (χ₁ * χ₂)) a = (equivToUnitHom χ₁) a * (equivToUnitHom χ₂) a
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ₁ χ₂ : MulChar R R'
a : Rˣ

⊢ ↑((equivToUnitHom (χ₁ * χ₂)) a) = ↑((equivToUnitHom χ₁) a * (equivToUnitHom χ₂) a)
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero R'
χ₁ χ₂ : MulChar R R'
a : Rˣ

⊢ ↑((equivToUnitHom (χ₁ * χ₂)) a) = ↑((equivToUnitHom χ₁) a) * ↑((equivToUnitHom χ₂) a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M N P : Matrix m m R

⊢ (M * N * P).det = (M * P * N).det
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y z : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0

⊢ o.oangle x z - o.oangle y z = o.oangle x y
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
s : Set PGame
inst✝ : Small.{u, u + 1} ↑s

⊢ BddBelow s
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a✝ b c a : α

⊢ a / b < a / c ↔ c < b
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Adjunction.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₁ : Type u_3
D₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{u_8, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_3} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_4} D₂
G : C₁ ⥤ C₂
F : C₂ ⥤ C₁
adj : G ⊣ F
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
inst✝³ : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝² : L₂.IsLocalization W₂
G' : D₁ ⥤ D₂
F' : D₂ ⥤ D₁
inst✝¹ : CatCommSq G L₁ L₂ G'
inst✝ : CatCommSq F L₂ L₁ F'
X₁ : C₁

⊢ (adj.localization L₁ W₁ L₂ W₂ G' F').unit.app (L₁.obj X₁) = L₁.map (adj.unit.app X₁) ≫ (CatCommSq.iso F L₂ L₁ F').hom.app (G.obj X₁) ≫ F'.map ((CatCommSq.iso G L₁ L₂ G').hom.app X₁)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : CommMonoid α✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
f✝ g : β✝ → α✝
a✝ b✝ : α✝
s : Finset β✝
inst✝⁵ : ContinuousMul α✝
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
a a' : α
hf : HasProd f a
b : β
x : α
hf' : HasProd (update f b x) a'
this : ∀ (b' : β), (f b' * if b' = b then x else 1) = update f b x b' * if b' = b then f b else 1

⊢ a * x = a' * f b
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : CommMonoid α✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
f✝ g : β✝ → α✝
a✝ b✝ : α✝
s : Finset β✝
inst✝⁵ : ContinuousMul α✝
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
a a' : α
hf : HasProd f a
b : β
x : α
hf' : HasProd (update f b x) a'
this : ∀ (b' : β), (f b' * if b' = b then x else 1) = update f b x b' * if b' = b then f b else 1
h : HasProd (fun b_1 => f b_1 * if b_1 = b then x else 1) (a * x)

⊢ a * x = a' * f b
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : CommMonoid α✝
inst✝⁶ : TopologicalSpace α✝
f✝ g : β✝ → α✝
a✝ b✝ : α✝
s : Finset β✝
inst✝⁵ : ContinuousMul α✝
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : T2Space α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : DecidableEq β
f : β → α
a a' : α
hf : HasProd f a
b : β
x : α
hf' : HasProd (update f b x) a'
this : ∀ (b' : β), (f b' * if b' = b then x else 1) = update f b x b' * if b' = b then f b else 1
h : HasProd (fun b_1 => update f b x b_1 * if b_1 = b then f b else 1) (a * x)

⊢ a * x = a' * f b
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F

⊢ quadraticCharFun F 0 = 0
-- Mathlib/Combinatorics/Optimization/ValuedCSP.lean
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
a b : D
mcf : HasMaxCutPropertyAt f a b
hab : a ≠ b
ω : FractionalOperation D 2
symmega : ω.IsSymmetric
r : Fin 2 → D
rin : r ∈ ω.tt ![![a, b], ![b, a]]

⊢ f ![a, b] < f r
-- Mathlib/Combinatorics/Optimization/ValuedCSP.lean
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
a b : D
mcf : HasMaxCutPropertyAt f a b
hab : a ≠ b
ω : FractionalOperation D 2
symmega : ω.IsSymmetric
r : Fin 2 → D
rin : ∃ a_1 ∈ ω, (fun i => a_1 (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) = r

⊢ f ![a, b] < f r
-- Mathlib/Combinatorics/Optimization/ValuedCSP.lean
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
a b : D
mcf : HasMaxCutPropertyAt f a b
hab : a ≠ b
ω : FractionalOperation D 2
symmega : ω.IsSymmetric
r : Fin 2 → D
rin : ∃ a_1 ∈ ω, (fun i => a_1 (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) = r

⊢ f ![a, b] < f ![r 0, r 1]
-- Mathlib/Combinatorics/Optimization/ValuedCSP.lean
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
a b : D
mcf : HasMaxCutPropertyAt f a b
hab : a ≠ b
ω : FractionalOperation D 2
symmega : ω.IsSymmetric
r : Fin 2 → D
rin : ∃ a_1 ∈ ω, (fun i => a_1 (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) = r

⊢ f ![a, b] ≠ f ![r 0, r 1]
-- Mathlib/Combinatorics/Optimization/ValuedCSP.lean
D : Type u_1
C✝ : Type u_2
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid C✝
m : ℕ
C : Type u_3
inst✝ : OrderedCancelAddCommMonoid C
f : (Fin 2 → D) → C
a b : D
mcf : HasMaxCutPropertyAt f a b
hab : a ≠ b
ω : FractionalOperation D 2
symmega : ω.IsSymmetric
o : (Fin 2 → D) → D
in_omega : o ∈ ω
equ : f ![a, b] = f ![(fun i => o (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) 0, (fun i => o (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) 1]
asymm : (fun i => o (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) 0 ≠ (fun i => o (swap ![![a, b], ![b, a]] i)) 1

⊢ (o fun j => ![![a, b], ![b, a]] j 0) = o fun j => ![![a, b], ![b, a]] j 1
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
k : ℕ
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ F_int k (↑a) t = F_nat k a t + F_nat k (1 - a) t
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
k : ℕ
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ ∑' (n : ℤ), f_int k a t n = ∑' (n : ℕ), f_nat k a t n + ∑' (n : ℕ), f_nat k (1 - a) t n
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
k : ℕ
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
t : ℝ
ht : 0 < t
n : ℤ

⊢ f_int k a t n = Int.rec (f_nat k a t) (f_nat k (1 - a) t) n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
p q r : R[X]
f : A →ₐ[R] B

⊢ mapAlgHom f = eval₂AlgHom' (CAlgHom.comp f) X ⋯
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
p q r : R[X]
f : A →ₐ[R] B

⊢ ∀ (x : A[X]), (mapAlgHom f) x = (eval₂AlgHom' (CAlgHom.comp f) X ⋯) x
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
a : α
l : List α
h : f a = none

⊢ lookmap f (a :: l) = a :: lookmap f l
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
a : α
l : List α
h : f a = none

⊢ (match f a with | some b => b :: l | none => lookmap.go f l (#[].push a)) = a :: lookmap.go f l #[]
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
a : α
l : List α
h : f a = none

⊢ (match none with | some b => b :: l | none => (#[].push a).toListAppend (lookmap f l)) = a :: lookmap.go f l #[]
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
g : N →* G
hl : LeftInverse ⇑g ⇑f
hr : Function.RightInverse ⇑g ⇑f
H : Subgroup G

⊢ ↑(map f H) = ↑(comap g H)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
n : ℕ
l l' : List α
h : l.rotate n = l'.rotate n

⊢ l = l'
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
n : ℕ
l l' : List α
h : l.rotate n = l'.rotate n
hle : l.length = l'.length

⊢ l = l'
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
n : ℕ
l l' : List α
h : drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l = drop (n % l'.length) l' ++ take (n % l'.length) l'
hle : l.length = l'.length

⊢ l = l'
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
n : ℕ
l l' : List α
h : drop (n % l.length) l ++ take (n % l.length) l = drop (n % l'.length) l' ++ take (n % l'.length) l'
hle : l.length = l'.length
hd : drop (n % l.length) l = drop (n % l'.length) l'
ht : take (n % l.length) l = take (n % l'.length) l'

⊢ l = l'
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
l : List ι
i : ℕ
h : i < l.length

⊢ (l.eraseIdx i).length + 1 = (take i l ++ drop (i + 1) l).length + 1
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
l : List ι
i : ℕ
h : i < l.length

⊢ (take i l ++ drop (i + 1) l).length + 1 = (take i l).length + (drop (i + 1) l).length + 1
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
l : List ι
i : ℕ
h : i < l.length

⊢ (take i l).length + (drop (i + 1) l).length + 1 = i + (drop (i + 1) l).length + 1
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
l : List ι
i : ℕ
h : i < l.length

⊢ i + (drop (i + 1) l).length + 1 = i + (l.length - (i + 1)) + 1