ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/IsLocalHomeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
cont : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
x : X
hx : x ∈ s
g : PartialHomeomorph Y Z
hxg : f x ∈ g.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (↑g ∘ f) s
hg : IsLocalHomeomorphOn (↑g) (f '' s)
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : ↑g ∘ f = ↑gf
y : X
hy : y ∈ ((gf.restr (f ⁻¹' g.source)).trans g.symm).source

⊢ f y = ↑((gf.restr (f ⁻¹' g.source)).trans g.symm) y
-- Mathlib/Topology/IsLocalHomeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
cont : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
x : X
hx : x ∈ s
g : PartialHomeomorph Y Z
hxg : f x ∈ g.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (↑g ∘ f) s
hg : IsLocalHomeomorphOn (↑g) (f '' s)
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : ↑g ∘ f = ↑gf
y : X
hy : y ∈ ((gf.restr (f ⁻¹' g.source)).trans g.symm).source

⊢ f y = ↑g.symm (↑gf y)
-- Mathlib/Topology/IsLocalHomeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
t : Set Y
cont : ∀ x ∈ s, ContinuousAt f x
x : X
hx : x ∈ s
g : PartialHomeomorph Y Z
hxg : f x ∈ g.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (↑g ∘ f) s
hg : IsLocalHomeomorphOn (↑g) (f '' s)
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : ↑g ∘ f = ↑gf
y : X
hy : y ∈ ((gf.restr (f ⁻¹' g.source)).trans g.symm).source
this : f y ∈ g.source

⊢ f y = ↑g.symm (↑gf y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
δ : ℝ≥0∞
h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), δ < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε
δ_top : ¬δ = ⊤

⊢ levyProkhorovEDist μ ν ≤ δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
δ : ℝ≥0∞
h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), δ < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε
δ_top : ¬δ = ⊤

⊢ ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), 0 < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening (δ + ε).toReal B) + δ + ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
δ : ℝ≥0∞
h : ∀ (ε : ℝ≥0∞) (B : Set Ω), δ < ε → ε < ⊤ → MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε
δ_top : ¬δ = ⊤
x : ℝ≥0∞
B : Set Ω
x_pos : 0 < x
x_lt_top : x < ⊤
B_mble : MeasurableSet B

⊢ μ B ≤ ν (thickening (δ + x).toReal B) + δ + x ∧ ν B ≤ μ (thickening (δ + x).toReal B) + δ + x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Floor.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedRing R
inst✝⁴ : FloorRing R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : BorelSpace R
s : Set R
hs : MeasurableSet s

⊢ MeasurableSet (Int.fract ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Floor.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedRing R
inst✝⁴ : FloorRing R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : BorelSpace R
s : Set R
hs : MeasurableSet s

⊢ MeasurableSet (⋃ m, (fun x => x - ↑m) ⁻¹' (s ∩ Ico 0 1))
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ✝ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
κ : Type u_6
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α

⊢ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ j ∈ t, g j = ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ t, f i * g j
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'

⊢ (leftShiftAddEquiv K L n a n' hn').symm 0 = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Pochhammer.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
k : ℤ

⊢ ↑(eval k (descPochhammer ℤ n)) = eval (↑k) (descPochhammer R n)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Pochhammer.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
n : ℕ
k : ℤ

⊢ (algebraMap ℤ R) (eval k (descPochhammer ℤ n)) = eval₂ (algebraMap ℤ R) (↑k) (descPochhammer ℤ n)
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : LowerSet α
a : α
S : Set (LowerSet α)

⊢ ↑(sInf S).compl = ↑(⨅ s ∈ S, s.compl)
-- Mathlib/Tactic/CancelDenoms/Core.lean
α : Type u_1
inst✝ : Field α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : ad ≠ 0
hbd : bd ≠ 0
hgcd : gcd ≠ 0

⊢ (a = b) = (1 / gcd * (bd * a') = 1 / gcd * (ad * b'))
-- Mathlib/Tactic/CancelDenoms/Core.lean
α : Type u_1
inst✝ : Field α
a b ad bd a' b' gcd : α
ha : ad * a = a'
hb : bd * b = b'
had : ad ≠ 0
hbd : bd ≠ 0
hgcd : gcd ≠ 0

⊢ (a = b) = (1 / gcd * (ad * bd * a) = 1 / gcd * (ad * bd * b))
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
inst✝ : LinearOrder β
s : Set α
f : α → β
h1 : s.Finite
x : α
hx : x ∈ s

⊢ ∃ a ∈ s, ∀ b ∈ s, f b ≤ f a
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : LaurentSeries R
n : ℤ

⊢ ((single (order x)) 1 * (ofPowerSeries ℤ R) x.powerSeriesPart).coeff n = x.coeff n
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
x : LaurentSeries R
n : ℤ

⊢ ((ofPowerSeries ℤ R) x.powerSeriesPart).coeff (n - order x) = x.coeff n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ cos ↑π = -1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ ↑(-1) = -1
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Balanced C
𝒢 : Set C

⊢ IsCoseparating 𝒢 → IsCodetecting 𝒢
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ

⊢ antidiagonal (n + 1) = cons (0, n + 1) (map ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ)) (antidiagonal n)) ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ

⊢ (antidiagonal (n + 1)).val = (cons (0, n + 1) (map ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ)) (antidiagonal n)) ⋯).val
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ

⊢ (antidiagonal (n + 1)).val = (0, n + 1) ::ₘ Multiset.map (⇑({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ))) (antidiagonal n).val
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
X : C
f : X ⟶ T.obj₂
hf : f ≫ T.mor₂ = 0

⊢ ∃ g, f = g ≫ T.mor₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
X : C
f : X ⟶ T.obj₂
hf : f ≫ T.mor₂ = 0
a : (contractibleTriangle X).obj₁ ⟶ T.obj₁
ha₁ : (contractibleTriangle X).mor₁ ≫ f = a ≫ T.mor₁
right✝ : (contractibleTriangle X).mor₃ ≫ (CategoryTheory.shiftFunctor C 1).map a = 0 ≫ T.mor₃

⊢ ∃ g, f = g ≫ T.mor₁
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
m : ℕ∞

⊢ ↑m + ℵ₀ = ℵ₀
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.chromaticNumber < ↑n
hne : G.chromaticNumber ≠ ⊤

⊢ G.CliqueFree n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.chromaticNumber < ↑n
hne : G.chromaticNumber ≠ ⊤
m : ℕ
hc' : G.Colorable m

⊢ G.CliqueFree n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.chromaticNumber < ↑n
hne : G.chromaticNumber ≠ ⊤
m : ℕ
hc' : G.Colorable m
this : G.Colorable G.chromaticNumber.toNat

⊢ G.CliqueFree n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.chromaticNumber < ↑n
hne : G.chromaticNumber ≠ ⊤
m : ℕ
hc' : G.Colorable m
this : G.Colorable G.chromaticNumber.toNat

⊢ G.chromaticNumber.toNat < n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hc : G.chromaticNumber < ↑n
hne : ↑G.chromaticNumber.toNat = G.chromaticNumber
m : ℕ
hc' : G.Colorable m
this : G.Colorable G.chromaticNumber.toNat

⊢ G.chromaticNumber.toNat < n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Comp.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivAt f f' x
hx : f x = x
n : ℕ

⊢ HasFDerivAt f^[n] (f' ^ n) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Comp.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivAt f f' x
hx : f x = x
n : ℕ

⊢ Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Comp.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → E
f' : E →L[𝕜] E
hf : HasFDerivAt f f' x
hx : f x = x
n : ℕ

⊢ x = f x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
α : Sort u_1
o b : Ordinal.{u_2}
hb : 1 < b
ho : o.IsLimit
f : α → Ordinal.{u_2}
H : ∀ ⦃a : Ordinal.{u_2}⦄, a < o → ∃ i, a < f i
a : Ordinal.{u_2}
h : a < b ^ o

⊢ ∃ i, a < b ^ f i
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
α : Sort u_1
o b : Ordinal.{u_2}
hb : 1 < b
ho : o.IsLimit
f : α → Ordinal.{u_2}
H : ∀ ⦃a : Ordinal.{u_2}⦄, a < o → ∃ i, a < f i
a : Ordinal.{u_2}
h : a < b ^ o
d : Ordinal.{u_2}
hd : d < o
h' : a < b ^ d

⊢ ∃ i, a < b ^ f i
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i✝ j : Fin n✝
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : Fin n

⊢ castSucc 0 < i.succ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
r : R
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝
this : (fun z => r + f z) = fun z => (fun x => r) z + f z

⊢ cfc (fun x => r + f x) a = (algebraMap R A) r + cfc f a
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → E'
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)

⊢ ∫ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) + g (x, y) ∂ν) ∂μ = ∫ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν + ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → E'
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)

⊢ (fun x => F (∫ (y : β), f (x, y) + g (x, y) ∂ν)) =ᶠ[ae μ] fun x => F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν + ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → E'
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)
a✝ : α
h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) ν
h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) ν

⊢ F (∫ (y : β), f (a✝, y) + g (a✝, y) ∂ν) = F (∫ (y : β), f (a✝, y) ∂ν + ∫ (y : β), g (a✝, y) ∂ν)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X Y : C
inst✝¹ : HasTerminal C
P : C
inst✝ : HasBinaryProduct (⊤_ C) P

⊢ snd ≫ lift (terminal.from P) (𝟙 P) = 𝟙 ((⊤_ C) ⨯ P)
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A

⊢ ↑(centralizer R Set.univ) = ↑(center R A)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f : α → β
x✝ y✝ : α
r K : ℝ
h : ∀ (x y : α), dist (f x) (f y) ≤ K * dist x y
x y : α

⊢ K ≤ ↑K.toNNReal
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Array/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
as : Array α
bs : Array β
i : Nat
cs : Array γ
hia : i ≤ as.size
hib : i ≤ bs.size
h : ¬(i = as.size ∨ i = bs.size)

⊢ (if h : i < as.size then let a := as[i]; if h : i < bs.size then let b := bs[i]; zipWithAux f as bs (i + 1) (cs.push (f a b)) else cs else cs).data = cs.data ++ List.zipWith f (List.drop i as.data) (List.drop i bs.data)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

⊢ IsCompact s ↔ ∀ (f : Ultrafilter X), s ∈ f → ∃ x ∈ s, ↑f ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E✝
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ F
K✝ : Submodule 𝕜 E✝
inst✝⁵ : HasOrthogonalProjection K✝
E : Type u_4
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] E'
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
x : E'

⊢ (reflection (Submodule.map (↑f.toLinearEquiv) K)) x = f ((reflection K) (f.symm x))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : Fintype ι
x✝ : ι → R

⊢ (MultilinearMap.mkPiRing R ι 0) x✝ = 0 x✝
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean

⊢ ↑↑0 = 0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : ℕ

⊢ ↑↑(n + 1) = n + 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f₁ f₂ : X ⟶ Y

⊢ L.map (f₁ + f₂) = L.map f₁ + L.map f₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f₁ f₂ : X ⟶ Y

⊢ L.map (f₁ + f₂) = add W (Iso.refl (L.obj X)) (Iso.refl (L.obj Y)) (L.map f₁) (L.map f₂)
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
S : Type u_2
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
H : IsNoetherianRing R

⊢ IsNoetherianRing S
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
S : Type u_2
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
H : WellFounded fun x x_1 => x > x_1

⊢ WellFounded fun x x_1 => x > x_1
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J

⊢ J₁ ∈ π.restrict J ↔ ∃ J' ∈ π, ↑J₁ = ↑J ⊓ ↑J'
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)

⊢ LeftFractionRel z₁ z₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : (RightFraction.mk (z₁.s ≫ t₁) ht (z₃.s ≫ u₃)).f ≫ (LeftFraction.mk v₄ v₅ hv₅).s = (RightFraction.mk (z₁.s ≫ t₁) ht (z₃.s ≫ u₃)).s ≫ (LeftFraction.mk v₄ v₅ hv₅).f

⊢ LeftFractionRel z₁ z₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄

⊢ LeftFractionRel z₁ z₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄
eq : z₂.s ≫ u₂ ≫ v₅ = z₂.s ≫ t₂ ≫ v₄

⊢ LeftFractionRel z₁ z₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄
eq : z₂.s ≫ u₂ ≫ v₅ = z₂.s ≫ t₂ ≫ v₄
Z₇ : C
w : Y'✝ ⟶ Z₇
hw : W w
fac' : (u₂ ≫ v₅) ≫ w = (t₂ ≫ v₄) ≫ w

⊢ LeftFractionRel z₁ z₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.22533, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z₁ z₂ z₃ : W.LeftFraction X Y
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
Z₄ : C
t₁ : z₁.Y' ⟶ Z₄
t₂ : z₂.Y' ⟶ Z₄
hst : z₁.s ≫ t₁ = z₂.s ≫ t₂
hft : z₁.f ≫ t₁ = z₂.f ≫ t₂
ht : W (z₁.s ≫ t₁)
Z₅ : C
u₂ : z₂.Y' ⟶ Z₅
u₃ : z₃.Y' ⟶ Z₅
hsu : z₂.s ≫ u₂ = z₃.s ≫ u₃
hfu : z₂.f ≫ u₂ = z₃.f ≫ u₃
hu : W (z₂.s ≫ u₂)
Y'✝ : C
v₄ : Z₄ ⟶ Y'✝
v₅ : Z₅ ⟶ Y'✝
hv₅ : W v₅
fac : z₃.s ≫ u₃ ≫ v₅ = z₁.s ≫ t₁ ≫ v₄
eq : z₂.s ≫ u₂ ≫ v₅ = z₂.s ≫ t₂ ≫ v₄
Z₇ : C
w : Y'✝ ⟶ Z₇
hw : W w
fac' : u₂ ≫ v₅ ≫ w = t₂ ≫ v₄ ≫ w

⊢ LeftFractionRel z₁ z₃
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α

⊢ min a b = if b ≤ a then b else a
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α

⊢ (if a ≤ b then a else b) = if b ≤ a then b else a
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
lt : a < b

⊢ (if a ≤ b then a else b) = if b ≤ a then b else a
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
eq : a = b

⊢ (if a ≤ b then a else b) = if b ≤ a then b else a
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
gt : b < a

⊢ (if a ≤ b then a else b) = if b ≤ a then b else a
-- Mathlib/Data/Finset/Update.lean
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
x : (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
hst : Disjoint s t
y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i
z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i
e : { x // x ∈ s } ⊕ { x // x ∈ t } ≃ { x // x ∈ s ∪ t } := Finset.union s t hst
i : ι

⊢ updateFinset (updateFinset x s y) t z i = updateFinset x (s ∪ t) ((piFinsetUnion π hst) (y, z)) i
-- Mathlib/Data/Finset/Update.lean
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
x : (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
hst : Disjoint s t
y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i
z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i
e : { x // x ∈ s } ⊕ { x // x ∈ t } ≃ { x // x ∈ s ∪ t } := Finset.union s t hst
i : ι
his : i ∈ s
hit : i ∈ t

⊢ z ⟨i, ⋯⟩ = (piFinsetUnion π hst) (y, z) ⟨i, ⋯⟩