ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
l : Filter α
f : α → E →WOT[𝕜]F
A : E →WOT[𝕜]F
hmain : (∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), Tendsto (fun a => y ((f a) x)) l (𝓝 (y (A x)))) ↔ ∀ (p : E × NormedSpace.Dual 𝕜 F), Tendsto (fun a => p.2 ((f a) p.1)) l (𝓝 (p.2 (A p.1)))

⊢ Tendsto (⇑(inducingFn 𝕜 E F) ∘ f) l (𝓝 ((inducingFn 𝕜 E F) A)) ↔ Tendsto (fun a p => p.2 ((f a) p.1)) l (𝓝 fun p => p.2 (A p.1))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
i : ℕ

⊢ i ∈ (p.toSubring T hp).support ↔ i ∈ p.support
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
i : ℕ

⊢ (p.toSubring T hp).coeff i = 0 ↔ p.coeff i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T
i : ℕ

⊢ (p.toSubring T hp).coeff i = 0 ↔ ↑((p.toSubring T hp).coeff i) = 0
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
p : ι → Prop
h : ∃ i, p i
f : ι → ℝ≥0∞

⊢ a + ⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i = ⨆ i, ⨆ (_ : p i), a + f i
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
q n : ℕ
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP F q
this : Fact (Nat.Prime q)

⊢ ((expand F (q ^ n)) f).natSepDegree = f.natSepDegree
-- Mathlib/Data/Matrix/Notation.lean
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Mul α
a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ b₁₁ b₁₂ b₂₁ b₂₂ : α
i j : Fin 2

⊢ (!![a₁₁, a₁₂; a₂₁, a₂₂] * !![b₁₁, b₁₂; b₂₁, b₂₂]) i j = !![a₁₁ * b₁₁ + a₁₂ * b₂₁, a₁₁ * b₁₂ + a₁₂ * b₂₂; a₂₁ * b₁₁ + a₂₂ * b₂₁, a₂₁ * b₁₂ + a₂₂ * b₂₂] i j
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : α → β
ι : Sort u_2
g : β → γ
t₁ : TopologicalSpace α
t₂ : TopologicalSpace γ

⊢ Continuous g ↔ Continuous (g ∘ f)
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝² : Fintype α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : Fintype { a // p a }

⊢ Multiset.map Subtype.val univ.val = (filter p univ).val
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝² : Fintype α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : Fintype { a // p a }

⊢ (map (Embedding.subtype p) univ).val = (filter p univ).val
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Arrow.lean
T : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
inst✝ : IsIso sq

⊢ sq.right ≫ (inv sq).right = 𝟙 f.right
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
f : Quotient (QuotientGroup.rightRel H) → G
hf : ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), Quotient.mk'' (f q) = q
q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)

⊢ ↑((toEquiv ⋯) q) = f q
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
f : Quotient (QuotientGroup.rightRel H) → G
hf : ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), Quotient.mk'' (f q) = q
q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)

⊢ (toEquiv ⋯) q = ⟨f q, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M
hf : ∀ (j : Fin b), f (natAdd a j) = 1

⊢ ∏ i : Fin (a + b), f i = ∏ i : Fin a, f (castLE ⋯ i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M
hf : ∀ (j : Fin b), f (natAdd a j) = 1

⊢ ∏ i : Fin a, f (castAdd b i) = ∏ i : Fin a, f (castLE ⋯ i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basis.lean
ι : Type ?u.54871
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder ι
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Free R M
Q : QuadraticMap R M N

⊢ ∃ a, a.toQuadraticMap = Q
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basis.lean
ι✝ : Type ?u.54871
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder ι✝
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Free R M
Q : QuadraticMap R M N
ι : Type u_2
b : Basis ι R M

⊢ ∃ a, a.toQuadraticMap = Q
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basis.lean
ι✝ : Type ?u.54871
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder ι✝
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module.Free R M
Q : QuadraticMap R M N
ι : Type u_2
b : Basis ι R M
this : LinearOrder ι := IsWellOrder.linearOrder WellOrderingRel

⊢ ∃ a, a.toQuadraticMap = Q
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
f : V₁ →+ V₂
C : ℝ
h : ∀ (x : V₁), ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
x : V₁

⊢ C ≤ max C 0
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y✝ x y : ℂ

⊢ sin (x + y * I) = sin x * cosh y + cos x * sinh y * I
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hx : f x = x
n : ℕ

⊢ HasStrictDerivAt f^[n] (f' ^ n) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : 𝕜 → 𝕜
f' : 𝕜
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hx : f x = x
n : ℕ
this : HasStrictFDerivAt f^[n] (smulRight 1 f' ^ n) x

⊢ HasStrictDerivAt f^[n] (f' ^ n) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u
humeas : MeasurableSet u

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u
humeas : MeasurableSet u
hfinite : (s \ u).Finite

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u
humeas : MeasurableSet u
hfinite : (s \ u).Finite
this : u ⊆ s

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u✝ : Set α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b x : α
h : s.OrdConnected
u : Set α := ⋃ x ∈ s, ⋃ y ∈ s, Ioo x y
huopen : IsOpen u
humeas : MeasurableSet u
hfinite : (s \ u).Finite
this : u ⊆ s

⊢ MeasurableSet (u ∪ s \ u)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)

⊢ Tendsto (fun m => ∫ (x : γ), κ.density ν a x (seq m) ∂ν a) atTop (𝓝 ((κ a) univ).toReal)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ

⊢ Tendsto (fun m => ∫ (x : γ), κ.density ν a x (seq m) ∂ν a) atTop (𝓝 ((κ a) univ).toReal)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ

⊢ Tendsto (fun m => ((κ a) (univ ×ˢ seq m)).toReal) atTop (𝓝 ((κ a) univ).toReal)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal ((κ a) univ)

⊢ Tendsto (fun m => ((κ a) (univ ×ˢ seq m)).toReal) atTop (𝓝 ((κ a) univ).toReal)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ

⊢ {a | a ≠ ⊤} ∈ 𝓝 ((κ a) univ)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal ((κ a) univ)

⊢ Tendsto (fun m => (κ a) (univ ×ˢ seq m)) atTop (𝓝 ((κ a) univ))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal ((κ a) univ)
h : Tendsto (⇑(κ a) ∘ fun m => univ ×ˢ seq m) atTop (𝓝 ((κ a) (⋃ n, univ ×ˢ seq n)))

⊢ Tendsto (fun m => (κ a) (univ ×ˢ seq m)) atTop (𝓝 ((κ a) univ))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal ((κ a) univ)

⊢ Monotone fun m => univ ×ˢ seq m
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal ((κ a) univ)
h : Tendsto (⇑(κ a) ∘ fun m => univ ×ˢ seq m) atTop (𝓝 ((κ a) (⋃ n, univ ×ˢ seq n)))

⊢ univ = ⋃ n, univ ×ˢ seq n
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
seq : ℕ → Set β
hseq : Monotone seq
hseq_iUnion : ⋃ i, seq i = univ
hseq_meas : ∀ (m : ℕ), MeasurableSet (seq m)
this : IsFiniteKernel κ
h_cont : ContinuousAt ENNReal.toReal ((κ a) univ)
h : Tendsto (⇑(κ a) ∘ fun m => univ ×ˢ seq m) atTop (𝓝 ((κ a) (⋃ n, univ ×ˢ seq n)))

⊢ univ = univ ×ˢ univ
-- Mathlib/Data/List/Iterate.lean
α : Type u_1
f : α → α
a : α
m n : ℕ

⊢ iterate f a (m + n) = iterate f a m ++ iterate f (f^[m] a) n
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : InfinitePlace K
hw₀ : w₀.IsComplex
B : ℝ≥0
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLT'Factor K) * ↑B

⊢ ∃ a, ℚ⟮↑a⟯ = ⊤ ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < √(1 + ↑B ^ 2)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : InfinitePlace K
hw₀ : w₀.IsComplex
B : ℝ≥0
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLT'Factor K) * ↑B
this : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT' K (fun w => if w = w₀ then NNReal.sqrt B else 1) ⟨w₀, hw₀⟩)

⊢ ∃ a, ℚ⟮↑a⟯ = ⊤ ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < √(1 + ↑B ^ 2)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : InfinitePlace K
hw₀ : w₀.IsComplex
B : ℝ≥0
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLT'Factor K) * ↑B
this : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT' K (fun w => if w = w₀ then NNReal.sqrt B else 1) ⟨w₀, hw₀⟩)
a : 𝓞 K
h_nz : a ≠ 0
h_le : ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ ↑⟨w₀, hw₀⟩ → w ↑a < ↑(if w = w₀ then NNReal.sqrt B else 1)
h_le₀ : |((↑⟨w₀, hw₀⟩).embedding ↑a).re| < 1 ∧ |((↑⟨w₀, hw₀⟩).embedding ↑a).im| < ↑(if ↑⟨w₀, hw₀⟩ = w₀ then NNReal.sqrt B else 1) ^ 2

⊢ ∃ a, ℚ⟮↑a⟯ = ⊤ ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < √(1 + ↑B ^ 2)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coverage.lean
C : Type u_1
D : Type ?u.35289
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.35297, ?u.35289} D
K : Coverage C
X : C
S T : Sieve X
h : S ≤ T
hS : K.Saturate X S
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : S.arrows g

⊢ K.Saturate Y (Sieve.pullback g T)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coverage.lean
C : Type u_1
D : Type ?u.35289
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.35297, ?u.35289} D
K : Coverage C
X : C
S T : Sieve X
h : S ≤ T
hS : K.Saturate X S
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : S.arrows g

⊢ K.Saturate Y ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coverage.lean
C : Type u_1
D : Type ?u.35289
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.35297, ?u.35289} D
K : Coverage C
X : C
S T : Sieve X
h : S ≤ T
hS : K.Saturate X S
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : S.arrows g

⊢ S.arrows g
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R
I : PrimeSpectrum R

⊢ I ∈ (zeroLocus {f})ᶜ ↔ f ∉ I.asIdeal
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R
I : PrimeSpectrum R

⊢ f ∉ ↑I.asIdeal ↔ f ∉ I.asIdeal
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤

⊢ #β ≤ #↑(range f)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)

⊢ #β ≤ #↑(range f)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)
h : ¬#β ≤ #↑(range f)

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)
h : #↑(range f) < #β

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)
h : #↑(range f) < #β
u : ∀ (b : β), ∃ a, b ∈ f a := fun b => Eq.mp (Eq.trans Mathlib.Order.SetNotation._auxLemma.3 (congrArg Exists (funext fun i => Mathlib.Data.Finset.Basic._auxLemma.6))) (Eq.ge w (mem_univ b))

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)
h : #↑(range f) < #β
u : ∀ (b : β), ∃ a, b ∈ f a := fun b => Eq.mp (Eq.trans Mathlib.Order.SetNotation._auxLemma.3 (congrArg Exists (funext fun i => Mathlib.Data.Finset.Basic._auxLemma.6))) (Eq.ge w (mem_univ b))
u' : β → ↑(range f) := fun b => ⟨f ⋯.choose, ⋯⟩

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)
h : #↑(range f) < #β
u : ∀ (b : β), ∃ a, b ∈ f a := fun b => Eq.mp (Eq.trans Mathlib.Order.SetNotation._auxLemma.3 (congrArg Exists (funext fun i => Mathlib.Data.Finset.Basic._auxLemma.6))) (Eq.ge w (mem_univ b))
u' : β → ↑(range f) := fun b => ⟨f ⋯.choose, ⋯⟩
v' : ∀ (a : α), u' ⁻¹' {⟨f a, ⋯⟩} ≤ ↑(f a)

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : Infinite β
f : α → Finset β
w : ⋃ a, ↑(f a) = ⊤
k : Infinite ↑(range f)
h : #↑(range f) < #β
u : ∀ (b : β), ∃ a, b ∈ f a := fun b => Eq.mp (Eq.trans Mathlib.Order.SetNotation._auxLemma.3 (congrArg Exists (funext fun i => Mathlib.Data.Finset.Basic._auxLemma.6))) (Eq.ge w (mem_univ b))
u' : β → ↑(range f) := fun b => ⟨f ⋯.choose, ⋯⟩
v' : ∀ (a : α), u' ⁻¹' {⟨f a, ⋯⟩} ≤ ↑(f a)
a : α
p : Infinite ↑(u' ⁻¹' {⟨f a, ⋯⟩})

⊢ False
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : Part α →o Part α
hc : Continuous f
x✝ : Chain (Unit → Part α)

⊢ f (Part.ωSup (x✝.map (Pi.evalOrderHom PUnit.unit))) = Part.ωSup ((x✝.map (toUnitMono f)).map (Pi.evalOrderHom PUnit.unit))
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : Part α →o Part α
hc : Continuous f
x✝ : Chain (Unit → Part α)

⊢ ωSup (x✝.map (f.comp (Pi.evalOrderHom PUnit.unit))) = Part.ωSup (x✝.map (f.comp (Pi.evalOrderHom PUnit.unit)))
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x y : ℝ*

⊢ x.InfinitePos → ¬y.Infinitesimal → y < 0 → (x * y).InfiniteNeg
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x y : ℝ*

⊢ x.InfinitePos → ¬(-y).Infinitesimal → 0 < -y → (x * -y).InfinitePos
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → (ι → ℝ) → E
g : α → F
h : ∀ i ∈ s, HasIntegral I l (f i) vol (g i)

⊢ HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) vol (∑ i ∈ s, g i)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
α : Type u_1
f : α → (ι → ℝ) → E
g : α → F
h : ∀ i ∈ ∅, HasIntegral I l (f i) vol (g i)

⊢ HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ ∅, f i x) vol (∑ i ∈ ∅, g i)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
α : Type u_1
f : α → (ι → ℝ) → E
g : α → F
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
ihs : (∀ i ∈ s, HasIntegral I l (f i) vol (g i)) → HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) vol (∑ i ∈ s, g i)
h : ∀ i ∈ insert a s, HasIntegral I l (f i) vol (g i)

⊢ HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ insert a s, f i x) vol (∑ i ∈ insert a s, g i)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
α : Type u_1
f : α → (ι → ℝ) → E
g : α → F
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
ihs : (∀ i ∈ s, HasIntegral I l (f i) vol (g i)) → HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) vol (∑ i ∈ s, g i)
h : ∀ i ∈ insert a s, HasIntegral I l (f i) vol (g i)

⊢ HasIntegral I l (fun x => f a x + ∑ i ∈ s, f i x) vol (g a + ∑ i ∈ s, g i)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f✝ g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
α : Type u_1
f : α → (ι → ℝ) → E
g : α → F
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
ihs : (∀ i ∈ s, HasIntegral I l (f i) vol (g i)) → HasIntegral I l (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) vol (∑ i ∈ s, g i)
h : HasIntegral I l (f a) vol (g a) ∧ ∀ x ∈ s, HasIntegral I l (f x) vol (g x)

⊢ HasIntegral I l (fun x => f a x + ∑ i ∈ s, f i x) vol (g a + ∑ i ∈ s, g i)
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
a b : ℤ

⊢ IsCoprime a b ↔ a.natAbs.Coprime b.natAbs
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : β →ₛ γ
g : α → β
hgm : Measurable g

⊢ ↑(f.comp g hgm).range ⊆ ↑f.range