ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CommRing S
L : Type u_3
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a b : S
hb : b ≠ 0
c : ↥(integralClosure R L)
d : R
d_ne : d ≠ 0
hx : (algebraMap S L) a / (algebraMap S L) b * (algebraMap R L) d = ↑c

⊢ ∃ c d, d ≠ 0 ∧ d • a = b * c
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CommRing S
L : Type u_3
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a b : S
hb : b ≠ 0
c : ↥(integralClosure R L)
d : R
d_ne : d ≠ 0
hx : (algebraMap S L) a / (algebraMap S L) b * (algebraMap R L) d = ↑c

⊢ (algebraMap S L) (d • a) = (algebraMap S L) (b * mk' S ↑c ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CommRing S
L : Type u_3
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a b : S
hb : b ≠ 0
c : ↥(integralClosure R L)
d : R
d_ne : d ≠ 0
hx : (algebraMap S L) a / (algebraMap S L) b * (algebraMap R L) d = ↑c

⊢ (algebraMap R L) d * (algebraMap S L) a = (algebraMap S L) b * ((algebraMap S L) a / (algebraMap S L) b * (algebraMap R L) d)
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : CommRing S
L : Type u_3
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Algebra S L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsIntegralClosure S R L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a b : S
hb : b ≠ 0
c : ↥(integralClosure R L)
d : R
d_ne : d ≠ 0
hx : (algebraMap S L) a / (algebraMap S L) b * (algebraMap R L) d = ↑c

⊢ (algebraMap S L) b ≠ 0
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
a : α

⊢ ∃ s, a = sSup s ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
h : sSup S = ⊤
a : α
s : Set α
hs : s ⊆ S
hs' : a = sSup s

⊢ ∃ s, a = sSup s ∧ ∀ a ∈ s, IsAtom a
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
H1 : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
H2 : Red ((x1, b1) :: L₁) ((x2, b2) :: L₂)
this : Red ((x1, b1) :: L₁) ([(x2, b2)] ++ L₂)

⊢ Red L₁ ((x1, !b1) :: (x2, b2) :: L₂)
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄✝ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
H1 : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
H2 : Red ((x1, b1) :: L₁) ((x2, b2) :: L₂)
this : Red ((x1, b1) :: L₁) ([(x2, b2)] ++ L₂)
L₄ : List (α × Bool)
eq : (x1, b1) :: L₁ = [] ++ L₄
h₁ : Red [] [(x2, b2)]
h₂ : Red L₄ L₂

⊢ Red L₁ ((x1, !b1) :: (x2, b2) :: L₂)
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃✝ L₄✝ : List (α × Bool)
x1 : α
b1 : Bool
x2 : α
b2 : Bool
H1 : (x1, b1) ≠ (x2, b2)
H2 : Red ((x1, b1) :: L₁) ((x2, b2) :: L₂)
this : Red ((x1, b1) :: L₁) ([(x2, b2)] ++ L₂)
p : α × Bool
L₃ L₄ : List (α × Bool)
eq : (x1, b1) :: L₁ = p :: L₃ ++ L₄
h₁ : Red (p :: L₃) [(x2, b2)]
h₂ : Red L₄ L₂

⊢ Red L₁ ((x1, !b1) :: (x2, b2) :: L₂)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
x y : α

⊢ swap (f x) (f y) = f * swap x y * f⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0

⊢ ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae μ] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0

⊢ ν.rnDeriv (r • μ) =ᶠ[ae (r • μ)] r⁻¹ • ν.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0

⊢ (r • μ).withDensity (ν.rnDeriv (r • μ)) = (r • μ).withDensity (r⁻¹ • ν.rnDeriv μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0

⊢ AEMeasurable (ν.rnDeriv (r • μ)) (r • μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0

⊢ AEMeasurable (r⁻¹ • ν.rnDeriv μ) (r • μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ ν μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure ν
inst✝ : ν.HaveLebesgueDecomposition μ
r : ℝ≥0
hr : r ≠ 0

⊢ ∫⁻ (x : α), ν.rnDeriv (r • μ) x ∂r • μ ≠ ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13153, u_1} D
P : MorphismProperty C
inst✝ : P.RespectsIso
f g : Arrow C
e : f ≅ g

⊢ P f.hom ↔ P g.hom
-- Mathlib/Topology/IndicatorConstPointwise.lean
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
b : β
nhd_b : {0}ᶜ ∈ 𝓝 b
nhd_o : {b}ᶜ ∈ 𝓝 0

⊢ Tendsto (fun i => (As i).indicator fun x => b) L (𝓝 (A.indicator fun x => b)) ↔ Tendsto As L (pi fun x => pure (x ∈ A))
-- Mathlib/Topology/IndicatorConstPointwise.lean
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
b : β
nhd_b : {0}ᶜ ∈ 𝓝 b
nhd_o : {b}ᶜ ∈ 𝓝 0

⊢ (∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A) ↔ ∀ (i : α), Tendsto (fun x => As x i) L (pure (i ∈ A))
-- Mathlib/Topology/IndicatorConstPointwise.lean
α : Type u_1
A : Set α
β : Type u_2
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : TopologicalSpace β
ι : Type u_3
L : Filter ι
As : ι → Set α
b : β
nhd_b : {0}ᶜ ∈ 𝓝 b
nhd_o : {b}ᶜ ∈ 𝓝 0

⊢ (∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A) ↔ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ι) in L, As x i = (i ∈ A)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X

⊢ IsBlock G B ↔ ∀ (g : G), g • B ∩ B ≠ ∅ → g • B = B
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iio x)

⊢ Measurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iio x)

⊢ inst✝⁸ = MeasurableSpace.generateFrom ?convert_2
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iio x)

⊢ Set (Set α)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iio x)

⊢ ∀ t ∈ ?convert_2, MeasurableSet (f ⁻¹' t)
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝¹ : CommGroupWithZero G₀
inst✝ : DecidableEq G₀
a : G₀
h0 : a ≠ 0

⊢ normalize a = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ

⊢ sin (π / 3) ^ 2 = 3 / 4
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ

⊢ cos (π / 2 - π / 3) ^ 2 = cos (π / 6) ^ 2
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
l : List α
l' : List β
i : ℕ
h : i < (zipWith f l l').length

⊢ (zipWith f l l')[i] = f l[i] l'[i]
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
l : List α
l' : List β
i : ℕ
h : i < (zipWith f l l').length

⊢ ∃ x y, l[i]? = some x ∧ l'[i]? = some y ∧ f x y = f l[i] l'[i]
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx : x < 0

⊢ rexp (log x) = -x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx : x < 0

⊢ |x| = -x
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
f g : α → List β
h : ∀ a ∈ l, f a ~ g a

⊢ Forall₂ (fun x x_1 => x ~ x_1) (List.map f l) (List.map g l)
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
g : α → β
f : α → α
a : α

⊢ corec g f a = g a :: corec g f (f a)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
xs : List α
p : α → Bool
w : findIdx? p xs = none
i : Nat

⊢ match xs.get? i with | some a => ¬p a = true | none => true = true
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α

⊢ 𝓝 a = (⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b)) ⊓ ⨅ b ∈ Ioi a, 𝓟 (Iio b)
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α

⊢ ⨅ s ∈ {s | a ∈ s ∧ s ∈ {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a}}, 𝓟 s = (⨅ b ∈ Iio a, 𝓟 (Ioi b)) ⊓ ⨅ b ∈ Ioi a, 𝓟 (Iio b)
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
x : M
hx : x ∈ N

⊢ generator (map ϕ N) ∣ ϕ x
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
ϕ : M →ₗ[R] R
inst✝ : (map ϕ N).IsPrincipal
x : M
hx : x ∈ N

⊢ ∃ y ∈ N, ϕ y = ϕ x
-- Mathlib/Data/Sigma/Basic.lean
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
γ : (a : α) → β a → Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
f : (i : (a : α) × β a) → γ i.fst i.snd
ia : α
ib : β ia
x : γ ⟨ia, ib⟩.fst ⟨ia, ib⟩.snd
ja : α
jb : β ja

⊢ update f ⟨ia, ib⟩ x ⟨ja, jb⟩ = update (fun x y => f ⟨x, y⟩) ⟨ia, ib⟩.fst (update (fun y => f ⟨⟨ia, ib⟩.fst, y⟩) ⟨ia, ib⟩.snd x) ja jb
-- Mathlib/Data/Sigma/Basic.lean
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
γ : (a : α) → β a → Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
f : (i : (a : α) × β a) → γ i.fst i.snd
ia : α
ib : β ia
x : γ ⟨ia, ib⟩.fst ⟨ia, ib⟩.snd
jb : β ia

⊢ update f ⟨ia, ib⟩ x ⟨ia, jb⟩ = update (fun x y => f ⟨x, y⟩) ⟨ia, ib⟩.fst (update (fun y => f ⟨⟨ia, ib⟩.fst, y⟩) ⟨ia, ib⟩.snd x) ia jb
-- Mathlib/Data/Sigma/Basic.lean
α : Type u_1
α₁ : Type u_2
α₂ : Type u_3
β : α → Type u_4
β₁ : α₁ → Type u_5
β₂ : α₂ → Type u_6
γ : (a : α) → β a → Type u_7
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (β a)
f : (i : (a : α) × β a) → γ i.fst i.snd
ia : α
ib : β ia
x : γ ⟨ia, ib⟩.fst ⟨ia, ib⟩.snd
ja : α
jb : β ja
ha : ia ≠ ja

⊢ update f ⟨ia, ib⟩ x ⟨ja, jb⟩ = update (fun x y => f ⟨x, y⟩) ⟨ia, ib⟩.fst (update (fun y => f ⟨⟨ia, ib⟩.fst, y⟩) ⟨ia, ib⟩.snd x) ja jb
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f g : Π₀ (i : ι), α i

⊢ Disjoint f g ↔ Disjoint f.support g.support
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f g : Π₀ (i : ι), α i

⊢ f.support ∩ g.support = ∅ ↔ f.support ⊓ g.support = ⊥
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/WeaklyInitial.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasWideEqualizers C
T : C
hT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)
endos : Type v := T ⟶ T
i : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id
this : Nonempty endos

⊢ HasInitial C
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/WeaklyInitial.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasWideEqualizers C
T : C
hT : ∀ (X : C), Nonempty (T ⟶ X)
endos : Type v := T ⟶ T
i : wideEqualizer id ⟶ T := wideEqualizer.ι id
this✝ : Nonempty endos
this : (X : C) → Unique (wideEqualizer id ⟶ X)

⊢ HasInitial C
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : C

⊢ R.map (L.map (R.map (h.counit.app (L.obj X)))) ≫ R.map (h.counit.app (L.obj X)) = R.map (h.counit.app (L.obj (R.obj (L.obj X)))) ≫ R.map (h.counit.app (L.obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : C

⊢ R.map (L.map (R.map (h.counit.app (L.obj X))) ≫ h.counit.app (L.obj X)) = R.map (h.counit.app (L.obj (R.obj (L.obj X)))) ≫ R.map (h.counit.app (L.obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : C

⊢ R.map (L.map (h.unit.app X)) ≫ R.map (h.counit.app (L.obj X)) = 𝟙 (R.obj (L.obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : C

⊢ R.map (L.map (h.unit.app X) ≫ h.counit.app (L.obj X)) = 𝟙 (R.obj (L.obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Predicate.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
P : C → Prop
A : Type u_2
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : HasShift C A
a b c : A
h : a + b = c
inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms P
X : C

⊢ PredicateShift (PredicateShift P b) a X ↔ PredicateShift P c X
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b✝ c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
a : WithBot ℕ
b : ℕ
hp : p.degree ≤ a

⊢ (p ^ b).degree ≤ ↑b * a
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Support.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
a : G

⊢ image₂ (fun x x_1 => x * x_1) {a} f.support ⊆ image (fun x => a * x) f.support
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ

⊢ n ^ 0 ≤ n.ascFactorial 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ n ^ (k + 1) ≤ n.ascFactorial (k + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ n * n ^ k ≤ n * n.succ.ascFactorial k
-- Mathlib/Data/Fintype/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
c : Fin n → β

⊢ ∏ i : Fin n, c i = ∏ i ∈ range n, if h : i < n then c ⟨i, h⟩ else 1
-- Mathlib/Data/Fintype/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
c : Fin n → β

⊢ ∀ x ∈ univ, c x = if h : ↑x < n then c ⟨↑x, h⟩ else 1
-- Mathlib/Data/Fintype/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
c : Fin n → β
i : ℕ
hi : i < n
a✝ : ⟨i, hi⟩ ∈ univ

⊢ c ⟨i, hi⟩ = if h : ↑⟨i, hi⟩ < n then c ⟨↑⟨i, hi⟩, h⟩ else 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial F

⊢ ‖snd 𝕜 E F‖ = 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial F

⊢ 1 ≤ ‖snd 𝕜 E F‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial F
f : F
hf : f ≠ 0

⊢ 1 ≤ ‖snd 𝕜 E F‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial F
f : F
hf : f ≠ 0
this : ‖f‖ ≤ ‖snd 𝕜 E F‖ * max ‖0‖ ‖f‖

⊢ 1 ≤ ‖snd 𝕜 E F‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial F
f : F
hf : f ≠ 0
this : ‖f‖ ≤ ‖snd 𝕜 E F‖ * ‖f‖

⊢ 1 ≤ ‖snd 𝕜 E F‖
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n : ℕ

⊢ (finRotate (n + 1)) ⟨n, ⋯⟩ = ⟨0, ⋯⟩
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n : ℕ

⊢ Fin.cast ⋯ (finAddFlip ⟨n, ⋯⟩) = 0
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n : ℕ

⊢ Fin.cast ⋯ ⟨n - n, ⋯⟩ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDense.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
N : ℕ
ihN : ↑(nearestPtInd e N) x ≤ N

⊢ ↑(nearestPtInd e (N + 1)) x ≤ N + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDense.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
N : ℕ
ihN : ↑(nearestPtInd e N) x ≤ N

⊢ (if ∀ k ≤ N, edist (e (N + 1)) x < edist (e k) x then N + 1 else ↑(nearestPtInd e N) x) ≤ N + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDense.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
N : ℕ
ihN : ↑(nearestPtInd e N) x ≤ N
h✝ : ∀ k ≤ N, edist (e (N + 1)) x < edist (e k) x

⊢ N + 1 ≤ N + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDense.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
e : ℕ → α
x : α
N : ℕ
ihN : ↑(nearestPtInd e N) x ≤ N
h✝ : ¬∀ k ≤ N, edist (e (N + 1)) x < edist (e k) x

⊢ ↑(nearestPtInd e N) x ≤ N + 1
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
p' : Filter ι'
s' : Set α'
h : TendstoUniformlyOn F f p s
h' : TendstoUniformlyOn F' f' p' s'

⊢ TendstoUniformlyOn (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ p') (s ×ˢ s')
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x : α
p : Filter ι
p'✝ : Filter α
g : ι → α
ι' : Type u_1
α' : Type u_2
β' : Type u_3
inst✝ : UniformSpace β'
F' : ι' → α' → β'
f' : α' → β'
p' : Filter ι'
s' : Set α'
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)
h' : TendstoUniformlyOnFilter F' f' p' (𝓟 s')

⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun i => Prod.map (F i.1) (F' i.2)) (Prod.map f f') (p ×ˢ p') (𝓟 (s ×ˢ s'))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a

⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)

⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n

⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n

⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b

⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)

⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)
h₃ : exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) = 1 + (a - ↑ₐ z) * b

⊢ exp 𝕜 z ∈ spectrum 𝕜 (exp 𝕜 a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
z : 𝕜
hz : z ∈ spectrum 𝕜 a
hexpmul : exp 𝕜 a = exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) * ↑ₐ (exp 𝕜 z)
b : A := ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
hb : Summable fun n => (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ n
h₀ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = (a - ↑ₐ z) * b
h₁ : ∑' (n : ℕ), (↑(n + 1).factorial)⁻¹ • (a - ↑ₐ z) ^ (n + 1) = b * (a - ↑ₐ z)
h₃ : exp 𝕜 (a - ↑ₐ z) = 1 + (a - ↑ₐ z) * b

⊢ ¬((IsUnit (a - ↑ₐ z) ∧ IsUnit b) ∧ IsUnit (↑ₐ (exp 𝕜 z)))
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∉ s
h₁ : f a = 1

⊢ multinomial (insert a s) f = (s.sum f).succ * multinomial s f