ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
x : M
prop : (fun n => p ^ n • x = 0) = fun n => Associates.mk (generator (torsionOf R M x)) ∣ Associates.mk p ^ n
this : ∃ n, Associates.mk (generator (torsionOf R M x)) ∣ Associates.mk p ^ n

⊢ Associates.mk (generator (torsionOf R M x)) = Associates.mk p ^ Nat.find ⋯
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a✝ b : α
hι : Nonempty ι
a : α

⊢ ⨆ x, a = a
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
g : β → β
x : α × β
a : α
b : β
m n : ℕ

⊢ minimalPeriod f x.1 ∣ minimalPeriod (Prod.map f g) x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → α
g : β → β
x : α × β
a : α
b : β
m n : ℕ

⊢ minimalPeriod f x.1 ∣ (minimalPeriod f x.1).lcm (minimalPeriod g x.2)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Metric.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V

⊢ G.edist u v = 0 ↔ u = v
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset β
f : β → α
h : s.Nonempty

⊢ ∃ x ∈ s, ∀ x' ∈ s, f x' ≤ f x
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset β
f : β → α
h : s.Nonempty
y : α
hy : (image f s).max = ↑y

⊢ ∃ x ∈ s, ∀ x' ∈ s, f x' ≤ f x
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset β
f : β → α
h : s.Nonempty
x : β
hx : x ∈ s
hy : (image f s).max = ↑(f x)

⊢ ∃ x ∈ s, ∀ x' ∈ s, f x' ≤ f x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0

⊢ (C a * X + C b).degree = 1
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : c ≤ max a b

⊢ Ioc a b ∪ Ioi c = Ioi (min a c)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
h : c ≤ b

⊢ Ioc a b ∪ Ioi c = Ioi (min a c)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
h : c ≤ a

⊢ Ioc a b ∪ Ioi c = Ioi (min a c)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
n : ℕ

⊢ (contract 1 f).coeff n = f.coeff n
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
H : a % b = 0

⊢ a = b * (a / b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Integrable f μ

⊢ Integrable (fun x => RCLike.im (f x)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ

⊢ Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) 1 μ
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
i : ℕ
s : Stream' α
n✝ : ℕ

⊢ (drop i s).tail.get n✝ = (drop (i + 1) s).get n✝
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/Order.lean
α✝ : Sort u_1
cmp : α✝ → α✝ → Ordering
x y : α✝
inst✝ : OrientedCmp cmp

⊢ cmp x y = Ordering.gt ↔ cmp y x = Ordering.lt
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/Order.lean
α✝ : Sort u_1
cmp : α✝ → α✝ → Ordering
x y : α✝
inst✝ : OrientedCmp cmp

⊢ cmp y x = Ordering.gt.swap ↔ cmp y x = Ordering.lt
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Basic.lean
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x : ⨁ (i : ι), β i

⊢ ∑ i : ι, (of β i) (x i) = x
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Basic.lean
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x : ⨁ (i : ι), β i
i : ι

⊢ (∑ i : ι, (of β i) (x i)) i = x i
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Basic.lean
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x : ⨁ (i : ι), β i
i : ι

⊢ ∑ a : ι, ((of β a) (x a)) i = x i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Associated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (Associated a)
s : Multiset α
n : α
h : ∀ a ∈ s, Prime a
div : ∀ a ∈ s, a ∣ n
uniq : ∀ (a : α), countP (Associated a) s ≤ 1

⊢ s.prod ∣ n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Associated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (Associated a)
n : α
h : ∀ a ∈ 0, Prime a
div : ∀ a ∈ 0, a ∣ n
uniq : ∀ (a : α), countP (Associated a) 0 ≤ 1

⊢ prod 0 ∣ n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Associated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (Associated a)
a : α
s : Multiset α
induct : ∀ (n : α), (∀ a ∈ s, Prime a) → (∀ a ∈ s, a ∣ n) → (∀ (a : α), countP (Associated a) s ≤ 1) → s.prod ∣ n
n : α
h : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, Prime a_1
div : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, a_1 ∣ n
uniq : ∀ (a_1 : α), countP (Associated a_1) (a ::ₘ s) ≤ 1

⊢ (a ::ₘ s).prod ∣ n
-- Mathlib/LinearAlgebra/SModEq.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy : x ≡ y [SMOD U]
c : R

⊢ c • x ≡ c • y [SMOD U]
-- Mathlib/LinearAlgebra/SModEq.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
hxy : Submodule.Quotient.mk x = Submodule.Quotient.mk y
c : R

⊢ Submodule.Quotient.mk (c • x) = Submodule.Quotient.mk (c • y)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
iR : DecidableEq R
p : R[X]
ip0 : Decidable (p = 0)

⊢ p.roots = if h : p = 0 then ∅ else Classical.choose ⋯
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
ip0 : Decidable (p = 0)

⊢ p.roots = if h : p = 0 then ∅ else Classical.choose ⋯
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]

⊢ p.roots = if h : p = 0 then ∅ else Classical.choose ⋯
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)

⊢ IsConnected (univ.pi s) ↔ ∀ (i : ι), IsConnected (s i)
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)

⊢ (univ.pi s).Nonempty → (IsPreconnected (univ.pi s) ↔ ∀ (x : ι), IsPreconnected (s x))
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
hne : (univ.pi s).Nonempty
hc : IsPreconnected (univ.pi s)
i : ι

⊢ IsPreconnected (s i)
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
hne : (univ.pi s).Nonempty
hc : IsPreconnected (univ.pi s)
i : ι

⊢ IsPreconnected ((fun f => f i) '' univ.pi s)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).sin * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1

⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).sin * dist p₁ p₃ = dist p₁ p₂
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module 𝕜 V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℂ G
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W

⊢ fourierIntegral e μ L (r • f) w = (r • fourierIntegral e μ L f) w
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module 𝕜 V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℂ G
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W

⊢ ∫ (v : V), e (-(L v) w) • r • f v ∂μ = ∫ (a : V), r • e (-(L a) w) • f a ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module 𝕜 V
inst✝⁸ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup W
inst✝⁶ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℂ G
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
r : ℂ
w : W
v : V

⊢ e (-(L v) w) • r • f v = r • e (-(L v) w) • f v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/ConcreteColorings.lean
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
u : α
p : G.Walk u u
hOdd : Odd p.length
h : ¬3 ≤ G.chromaticNumber

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/ConcreteColorings.lean
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
u : α
p : G.Walk u u
hOdd : Odd p.length
h : ¬3 ≤ G.chromaticNumber
h' : G.chromaticNumber ≤ 2

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/ConcreteColorings.lean
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
u : α
p : G.Walk u u
hOdd : Odd p.length
h : ¬3 ≤ G.chromaticNumber
h' : G.chromaticNumber ≤ 2
c : G.Coloring (Fin 2) := Nonempty.some ⋯

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/ConcreteColorings.lean
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
u : α
p : G.Walk u u
hOdd : Odd p.length
h : ¬3 ≤ G.chromaticNumber
h' : G.chromaticNumber ≤ 2
c : G.Coloring (Fin 2) := Nonempty.some ⋯
c' : G.Coloring Bool := (G.recolorOfEquiv finTwoEquiv) c

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/ConcreteColorings.lean
α : Type u_1
G : SimpleGraph α
u : α
p : G.Walk u u
hOdd : Odd p.length
h : ¬3 ≤ G.chromaticNumber
h' : G.chromaticNumber ≤ 2
c : G.Coloring (Fin 2) := Nonempty.some ⋯
c' : G.Coloring Bool := (G.recolorOfEquiv finTwoEquiv) c
this : ¬c' u = true ↔ c' u = true

⊢ False
-- Mathlib/Order/Max.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : NoBotOrder α
a : α

⊢ ∃ b, b < a
-- Mathlib/RepresentationTheory/Maschke.lean
k : Type u
inst✝⁹ : CommRing k
G : Type u
inst✝⁸ : Group G
V : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module k V
inst✝⁵ : Module (MonoidAlgebra k G) V
inst✝⁴ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) V
W : Type w
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module k W
inst✝¹ : Module (MonoidAlgebra k G) W
inst✝ : IsScalarTower k (MonoidAlgebra k G) W
π : W →ₗ[k] V
i : V →ₗ[MonoidAlgebra k G] W
h : ∀ (v : V), π (i v) = v
g : G
v : V

⊢ (π.conjugate g) (i v) = v
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p q : α → Prop
a' : α

⊢ ∃! a, a = a'
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g : β → γ
hg : MeasurableEmbedding g
hf : MeasurableEmbedding f
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ MeasurableSet (g ∘ f '' s)
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
a b x : α

⊢ ⊥ ⋖ a ↔ IsAtom a
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
I✝ J : FractionalIdeal S P
g : P →ₐ[R] P'
I : Ideal R
x✝ : P'

⊢ x✝ ∈ (canonicalEquiv S P P') ↑I ↔ x✝ ∈ ↑I
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W

⊢ IsClosed (range inl)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W

⊢ IsOpen (range inr)
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
hp : Fact (Nat.Prime 2)

⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < 2 ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * 2
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p

⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]

⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 - -1 = ↑p * k

⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = k * ↑p

⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = k * ↑p
hk₀ : 0 < k

⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = ↑k * ↑p
hk₀ : 0 < ↑k

⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = ↑k * ↑p
hk₀ : 0 < ↑k

⊢ k < p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p

⊢ k < p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p

⊢ 2 * a < p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p

⊢ 2 * b < p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p

⊢ 2 * 1 < p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p

⊢ 2 * 0 < p
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
g : G
q : G ⧸ H

⊢ ↑(H.transferFunction g q) = q
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0

⊢ ∃ n, n • x = ⁅coroot α, x⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
h e f : L
isSl2 : IsSl2Triple h e f
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

⊢ ∃ n, n • x = ⁅coroot α, x⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f

⊢ ∃ n, n • x = ⁅coroot α, x⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
this : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ((chainTop (⇑α) β) (coroot α))

⊢ ∃ n, n • x = ⁅coroot α, x⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
x : L
hx : x ∈ rootSpace H ⇑(chainTop (⇑α) β)
hx' : ¬x = 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
this : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ((chainTop (⇑α) β) (coroot α))
μ : ℕ
hμ : (chainTop (⇑α) β) (coroot α) = ↑μ

⊢ ∃ n, n • x = ⁅coroot α, x⁆
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β✝
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β✝
β : Type u_5
inst✝ : AddMonoid β
f g : α →ₛ β
hf : f.FinMeasSupp μ
hg : g.FinMeasSupp μ

⊢ (f + g).FinMeasSupp μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β✝
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β✝
β : Type u_5
inst✝ : AddMonoid β
f g : α →ₛ β
hf : f.FinMeasSupp μ
hg : g.FinMeasSupp μ

⊢ (map (fun p => p.1 + p.2) (f.pair g)).FinMeasSupp μ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Kuratowski.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n : ℕ
C : ℝ
inst✝² : MetricSpace α✝
x : ℕ → α✝
a b : α✝
α : Type u
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : SeparableSpace α

⊢ ∃ f, Isometry f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Kuratowski.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n : ℕ
C : ℝ
inst✝² : MetricSpace α✝
x : ℕ → α✝
a b : α✝
α : Type u
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : SeparableSpace α
h : univ = ∅

⊢ ∃ f, Isometry f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Kuratowski.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
f g : ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
n : ℕ
C : ℝ
inst✝² : MetricSpace α✝
x : ℕ → α✝
a b : α✝
α : Type u
inst✝¹ : MetricSpace α
inst✝ : SeparableSpace α
h : univ.Nonempty

⊢ ∃ f, Isometry f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hroot : ∀ m ≤ n, ((⇑derivative)^[m] p).IsRoot t
hnzd : ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R

⊢ n < rootMultiplicity t p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hroot : ∀ m ≤ n, ((⇑derivative)^[m] p).IsRoot t
hnzd : ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R
h' : rootMultiplicity t p ≤ n

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hnzd : ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R
h' : rootMultiplicity t p ≤ n
hroot : ((⇑derivative)^[rootMultiplicity t p] p).IsRoot t

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hnzd : ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R
h' : rootMultiplicity t p ≤ n
hroot : (rootMultiplicity t p).factorial • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
hnzd : ↑n.factorial ∈ nonZeroDivisors R
h' : rootMultiplicity t p ≤ n
hroot : (rootMultiplicity t p).factorial • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = 0
q : R
hq : ↑n.factorial = ↑(rootMultiplicity t p).factorial * q

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
h' : rootMultiplicity t p ≤ n
hroot : (rootMultiplicity t p).factorial • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = 0
q : R
hnzd : ↑(rootMultiplicity t p).factorial ∈ nonZeroDivisors R ∧ q ∈ nonZeroDivisors R
hq : ↑n.factorial = ↑(rootMultiplicity t p).factorial * q

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
n : ℕ
h : p ≠ 0
h' : rootMultiplicity t p ≤ n
hroot : eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = 0
q : R
hnzd : ↑(rootMultiplicity t p).factorial ∈ nonZeroDivisors R ∧ q ∈ nonZeroDivisors R
hq : ↑n.factorial = ↑(rootMultiplicity t p).factorial * q

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
inst✝ : Countable ι
μ : ι → Measure α
s : Set α

⊢ (sum μ) s = 0 ↔ ∀ (i : ι), (μ i) s = 0