ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
g : γ → β
s : Finset γ

⊢ (image g s).gcd f = s.gcd (f ∘ g)
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
s t : Set α
a b : α

⊢ ∀ (x : Set α), InfClosed ((fun s => {a | ∃ t, ∃ (ht : t.Nonempty), ↑t ⊆ s ∧ t.inf' ht id = a}) x)
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
s t✝ : Set α
a b : α
s₁ s₂ : Set α
hs : s₁ ≤ s₂
h₂ : InfClosed s₂
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s₁

⊢ t.inf' ht id ∈ s₂
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
E : EllipticCurve R
F : Type u
inst✝¹ : Field F
j : F
inst✝ : DecidableEq F
h0 : j ≠ 0
h1728 : j ≠ 1728

⊢ ofJ j = ofJ' j
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f

⊢ IsClosedMap f
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
h : IsProperMap f

⊢ ∀ (s : Set X) (y : Y), MapClusterPt y (𝓟 s) f → ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x (𝓟 s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring E
inst✝ : Algebra F E

⊢ Module.rank F ↥⊤ = Module.rank F ↥⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
F : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : CommRing F
inst✝¹ : Ring E
inst✝ : Algebra F E

⊢ Module.rank F ↥⊤ = Module.rank F ↥(Subalgebra.toSubmodule ⊤)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ

⊢ cthickening δ E = ⋃ x ∈ closure E, closedBall x δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
hδ : 0 ≤ δ

⊢ cthickening δ ∅ = ⋃ x ∈ closure ∅, closedBall x δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty

⊢ cthickening δ E = ⋃ x ∈ closure E, closedBall x δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty

⊢ cthickening δ (closure E) = ⋃ x ∈ closure E, closedBall x δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty
x : α
hx : x ∈ cthickening δ (closure E)

⊢ x ∈ ⋃ x ∈ closure E, closedBall x δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty
x : α
hx : x ∈ cthickening δ (closure E)
y : α
yE : y ∈ closure E
hy : infDist x (closure E) = dist x y

⊢ x ∈ ⋃ x ∈ closure E, closedBall x δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
δ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
E : Set α
hδ : 0 ≤ δ
hne : E.Nonempty
x : α
hx : x ∈ cthickening δ (closure E)
y : α
yE : y ∈ closure E
hy : dist x y ≤ δ

⊢ x ∈ ⋃ x ∈ closure E, closedBall x δ
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a b : α
inst✝ : LE α

⊢ ↑a ≤ ↑b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ →+* ℂ
hf : Continuous ⇑f

⊢ f = RingHom.id ℂ ∨ f = starRingEnd ℂ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
g : α → α
x y : α
hx : IsFixedPt f x
hy : IsFixedPt g y
C : ℝ
hfg : ∀ (z : α), dist (f z) (g z) ≤ C

⊢ dist y (f y) / (1 - ↑K) = dist (f y) (g y) / (1 - ↑K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
f : α → α'
g : M →ₗ[R] M'
h : ∀ (i : α), g (v i) = v' (f i)
l : α

⊢ ((Finsupp.total α' M' R v' ∘ₗ lmapDomain R R f) ∘ₗ lsingle l) 1 = ((g ∘ₗ Finsupp.total α M R v) ∘ₗ lsingle l) 1
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a = b + c

⊢ a - b = c
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : S ∈ leftTransversals ↑H

⊢ Finite ↑S ↔ H.FiniteIndex
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : S ∈ leftTransversals ↑H

⊢ Finite (G ⧸ H) ↔ H.FiniteIndex
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Variables.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
t : Finset ι
φ : ι → MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ

⊢ (∑ i ∈ t, φ i).vars ⊆ t.biUnion fun i => (φ i).vars
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R✝ : Type u
A✝ : Type v
B : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R✝ B
S✝ : Subalgebra R✝ A✝
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
S : Subalgebra R A

⊢ (algebraMap (↥S) A).range = S.toSubring
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : CommGroup G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
n : G
hn : n ∈ s
g : G

⊢ g * n * g⁻¹ ∈ s
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
this : ∀ (f : ℕ →. ℕ), Partrec f → Partrec' fun v => f v.head
n : ℕ
f : Vector ℕ n →. ℕ
hf : _root_.Partrec f
g : ℕ → Part ℕ := fun n₁ => (↑(decode n₁)).bind fun a => Part.map encode (f a)

⊢ Partrec' f
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
f : ℕ →. ℕ
hf : Partrec f

⊢ Partrec' fun v => f v.head
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
c : Code
hf : Partrec c.eval

⊢ Partrec' fun v => c.eval v.head
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : β → Set α
h₁ : Unbounded r (⋃ x, s x)
h₂ : #β < StrictOrder.cof r

⊢ ∃ x, Unbounded r (s x)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : β → Set α
h₁ : Unbounded r (⋃₀ range s)
h₂ : #β < StrictOrder.cof r

⊢ ∃ x, Unbounded r (s x)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
s : β → Set α
h₁ : Unbounded r (⋃₀ range s)
h₂ : #β < StrictOrder.cof r
x : β
u : Unbounded r (s x)

⊢ ∃ x, Unbounded r (s x)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
q : ι → Prop
hq : ∀ (i : ι), p i → ∃ j, p j ∧ q j ∧ s j ⊆ s i

⊢ l.HasBasis (fun i => p i ∧ q i) s
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
q : ι → Prop
hq : ∀ (i : ι), p i → ∃ j, p j ∧ q j ∧ s j ⊆ s i
t : Set α
ht : t ∈ l

⊢ ∃ i, (p i ∧ q i) ∧ s i ⊆ t
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i✝ : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
q : ι → Prop
hq : ∀ (i : ι), p i → ∃ j, p j ∧ q j ∧ s j ⊆ s i
t : Set α
ht : t ∈ l
i : ι
hpi : p i
hti : s i ⊆ t

⊢ ∃ i, (p i ∧ q i) ∧ s i ⊆ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → β
φ : α → 𝕜
hφ : Integrable φ μ
hf : Memℒp f ⊤ μ

⊢ Integrable (φ • f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → β
φ : α → 𝕜
hφ : Memℒp φ 1 μ
hf : Memℒp f ⊤ μ

⊢ Memℒp (φ • f) 1 μ
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a b : α
m : Multiset α

⊢ {a} = b ::ₘ m ↔ a = b ∧ m = 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a b : α
m : Multiset α

⊢ (a = b ∧ 0 = m ∨ a ≠ b ∧ ∃ cs, 0 = b ::ₘ cs ∧ m = a ::ₘ cs) ↔ a = b ∧ m = 0
-- Mathlib/Data/Matrix/Kronecker.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : Zero γ
inst✝ : DecidableEq n
f : α → β → γ
hf : ∀ (a : α), f a 0 = 0
A : Matrix l m α
b : n → β
i₁ : l
i₂ : n
j₁ : m
j₂ : n

⊢ kroneckerMap f A (diagonal b) (i₁, i₂) (j₁, j₂) = blockDiagonal (fun i => A.map fun a => f a (b i)) (i₁, i₂) (j₁, j₂)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ

⊢ a ^ (n + 1) ≤ xn a1 (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ

⊢ a ^ n * a ≤ xn a1 n * a + Pell.d a1 * yn a1 n
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
s : Set ι

⊢ LinearIndependent (ι := ↑s) R (v ∘ Subtype.val) ↔ Disjoint (Finsupp.supported R R s) (LinearMap.ker (Finsupp.total ι M R v))
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β

⊢ LiftRel R ca cb.think ↔ LiftRel R ca cb
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β

⊢ LiftRel (swap R) cb.think ca ↔ LiftRel (swap R) cb ca
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ toIocMod hp a b = a + p
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ

⊢ (∃ z, b = a + z • p) → toIocMod hp a b = a + p
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h : toIocMod hp a b = a + p

⊢ b = a + (toIocDiv hp a b + 1) • p
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Assoc.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
inst✝³ : HasPushout g₁ g₂
inst✝² : HasPushout g₃ g₄
inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)

⊢ pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄ ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).hom = pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Assoc.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
inst✝³ : HasPushout g₁ g₂
inst✝² : HasPushout g₃ g₄
inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)

⊢ pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄ ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).hom = pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.desc (pushout.inl g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) (pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Assoc.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
inst✝³ : HasPushout g₁ g₂
inst✝² : HasPushout g₃ g₄
inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)

⊢ pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.desc (pushout.inl g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) (pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)) ⋯ = pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallySurjective.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Sheaf J A
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget A)
F G : Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ G

⊢ Presheaf.IsLocallySurjective J f.val ↔ IsIso (imageSheafι f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallySurjective.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Sheaf J A
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget A)
F G : Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ G

⊢ IsIso (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)).ι ↔ IsIso { val := (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)).ι }
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a b : α

⊢ ae (μ.restrict (Ι a b)) = ae (μ.restrict (Ioc a b)) ⊔ ae (μ.restrict (Ioc b a))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X

⊢ Continuous reflTransSymmAux
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X

⊢ Continuous fun x => ↑x.2
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X

⊢ Continuous fun x => 1 / 2
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X

⊢ Continuous fun x => ↑x.1 * 2 * ↑x.2
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X

⊢ Continuous fun x => ↑x.1 * (2 - 2 * ↑x.2)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X

⊢ ∀ (x : ↑I × ↑I), ↑x.2 = 1 / 2 → ↑x.1 * 2 * ↑x.2 = ↑x.1 * (2 - 2 * ↑x.2)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
x : ↑I × ↑I
hx : ↑x.2 = 1 / 2

⊢ ↑x.1 * 2 * ↑x.2 = ↑x.1 * (2 - 2 * ↑x.2)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
x : α
y : β
s t : Set β
h : ContinuousWithinAt f (f ⁻¹' s) x
ht : t ∈ 𝓝[s] f x
hxy : y = f x

⊢ f ⁻¹' t ∈ 𝓝[f ⁻¹' s] x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α

⊢ A.adjugate * A = (Aᵀ * Aᵀ.adjugate)ᵀ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α

⊢ (Aᵀ * Aᵀ.adjugate)ᵀ = A.det • 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
ε : ℝ

⊢ IsUpperSet (thickening ε s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : NormedOrderedGroup α
s : Set α
hs : IsUpperSet s
ε : ℝ

⊢ IsUpperSet (ball 1 ε * s)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.237519}
α : Type u_1
h : 3 ≤ #α
x y : α
this : ↑3 ≤ #α

⊢ ∃ z, z ≠ x ∧ z ≠ y
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.237519}
α : Type u_1
h : 3 ≤ #α
x y : α
this✝ : ↑3 ≤ #α
this : ↑2 < #α

⊢ ∃ z, z ≠ x ∧ z ≠ y
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.237519}
α : Type u_1
h : 3 ≤ #α
x y : α
this✝¹ : ↑3 ≤ #α
this✝ : ↑2 < #α
this : ∃ z, z ∉ [x, y]

⊢ ∃ z, z ≠ x ∧ z ≠ y
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
p : γ → Prop

⊢ (∀ z ∈ image₂ f s t, p z) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, p (f x y)
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) s = (κ a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
this : η.withDensity (κ.rnDeriv η) = ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal).withDensity (κ.rnDeriv η)

⊢ ((η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a) s = (κ a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
this : η.withDensity (κ.rnDeriv η) = ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal).withDensity (κ.rnDeriv η)

⊢ ∫⁻ (b : γ) in s, ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal * κ.rnDeriv η a b ∂(κ + η) a = (κ a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
this : η.withDensity (κ.rnDeriv η) = ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal).withDensity (κ.rnDeriv η)

⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal * κ.rnDeriv η a x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
this : η.withDensity (κ.rnDeriv η) = ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal).withDensity (κ.rnDeriv η)

⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal)
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
this : η.withDensity (κ.rnDeriv η) = ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal).withDensity (κ.rnDeriv η)

⊢ Measurable (Function.uncurry (κ.rnDeriv η))
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
this : η.withDensity (κ.rnDeriv η) = ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal).withDensity (κ.rnDeriv η)

⊢ ∫⁻ (b : γ) in s, ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal * (ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a b) / ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b)) ∂(κ + η) a = (κ a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hsm : MeasurableSet s
hs : s ⊆ (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ
h_coe : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b
this : η.withDensity (κ.rnDeriv η) = ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal).withDensity (κ.rnDeriv η)
hs' : ∀ x ∈ s, κ.rnDerivAux (κ + η) a x < 1

⊢ ∫⁻ (b : γ) in s, ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal * (ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a b) / ENNReal.ofReal (1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a b)) ∂(κ + η) a = (κ a) s
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁹ : Monoid M
G✝ : Type u
inst✝⁸ : Group G✝
F✝ : Type v
inst✝⁷ : Field F✝
inst✝⁶ : MulSemiringAction M F✝
inst✝⁵ : MulSemiringAction G✝ F✝
m : M
G : Type u
F : Type v
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Field F
inst✝² : Finite G
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
inst✝ : FaithfulSMul G F

⊢ Function.Bijective (MulSemiringAction.toAlgHom (↥(subfield G F)) F)