ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Computability/EpsilonNFA.lean
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S✝ : Set σ
x : List α
s✝ : σ
a : α
M : NFA α σ
start S : Set σ
s : α
x✝ : σ

⊢ (∃ i ∈ S, x✝ ∈ M.toεNFA.εClosure (M.toεNFA.step i (some s))) ↔ ∃ i ∈ S, x✝ ∈ M.step i s
-- Mathlib/Computability/EpsilonNFA.lean
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S✝ : Set σ
x : List α
s✝ : σ
a : α
M : NFA α σ
start S : Set σ
s : α
x✝ : σ

⊢ ∀ (a : σ), a ∈ S ∧ x✝ ∈ M.toεNFA.εClosure (M.toεNFA.step a (some s)) ↔ a ∈ S ∧ x✝ ∈ M.step a s
-- Mathlib/Computability/EpsilonNFA.lean
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S✝ : Set σ
x : List α
s✝ : σ
a : α
M : NFA α σ
start S : Set σ
s : α
x✝ : σ

⊢ ∀ a ∈ S, x✝ ∈ M.toεNFA.εClosure (M.toεNFA.step a (some s)) ↔ x✝ ∈ M.step a s
-- Mathlib/Computability/EpsilonNFA.lean
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S✝ : Set σ
x : List α
s✝ : σ
a : α
M : NFA α σ
start S : Set σ
s : α
x✝ a✝¹ : σ
a✝ : a✝¹ ∈ S

⊢ x✝ ∈ M.toεNFA.εClosure (M.toεNFA.step a✝¹ (some s)) ↔ x✝ ∈ M.step a✝¹ s
-- Mathlib/Computability/EpsilonNFA.lean
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S✝ : Set σ
x : List α
s✝ : σ
a : α
M : NFA α σ
start S : Set σ
s : α
x✝ a✝¹ : σ
a✝ : a✝¹ ∈ S

⊢ x✝ ∈ M.toεNFA.step a✝¹ (some s) ↔ x✝ ∈ M.step a✝¹ s
-- Mathlib/Data/Multiset/Functor.lean
F : Type u → Type u
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
α : Type u_1
x : Multiset α

⊢ traverse pure x = x
-- Mathlib/Data/Multiset/Functor.lean
F : Type u → Type u
inst✝¹ : Applicative F
inst✝ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
α : Type u_1
x : Multiset α

⊢ ∀ (a : List α), traverse pure ⟦a⟧ = ⟦a⟧
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
C : Set (Set β)

⊢ s ×ˢ ⋃₀ C = ⋃₀ ((fun t => s ×ˢ t) '' C)
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ 0 < s.ncard ↔ s.Nonempty
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X'
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y'
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace Z'
f : X → Y
h : OpenEmbedding f
inst✝ : Nonempty X
x : Y
hx : x ∈ range f

⊢ f (↑(toPartialHomeomorph f h).symm x) = x
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X'
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y'
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace Z'
f : X → Y
h : OpenEmbedding f
inst✝ : Nonempty X
x : Y
hx : x ∈ range f

⊢ x ∈ (toPartialHomeomorph f h).target
-- Mathlib/Data/Matrix/PEquiv.lean
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : One α
i✝ j✝ : n

⊢ (PEquiv.refl n).toMatrix i✝ j✝ = 1 i✝ j✝
-- Mathlib/Tactic/Ring/Basic.lean
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ : R
h : IsNat (a₁ + b₁) 0

⊢ a₁ + a₂ + (b₁ + b₂) = a₂ + b₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0

⊢ ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0

⊢ ∫⁻ (a : α), (f * g) a ∂μ = lintegral μ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0

⊢ f * g =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0

⊢ f * g =ᶠ[ae μ] 0 * g
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ
hp0 : 0 ≤ p
f g : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_zero : ∫⁻ (a : α), f a ^ p ∂μ = 0
hf_eq_zero : f =ᶠ[ae μ] 0

⊢ f * g =ᶠ[ae μ] 0 * g
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ
h : m ≤ n

⊢ n.Coprime (n - m) ↔ n.Coprime m
-- Mathlib/Algebra/Module/Card.lean
R : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R E

⊢ lift.{v, u} #R ≤ lift.{u, v} #E
-- Mathlib/Algebra/Module/Card.lean
R : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R E
x : E
hx : x ≠ 0

⊢ lift.{v, u} #R ≤ lift.{u, v} #E
-- Mathlib/Algebra/Module/Card.lean
R : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Module R E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R E
x : E
hx : x ≠ 0
this : Injective fun k => k • x

⊢ lift.{v, u} #R ≤ lift.{u, v} #E
-- Mathlib/Data/Matrix/Notation.lean
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : SMul R α
x : R
a₀ a₁ a₂ : α

⊢ x • ![a₀, a₁, a₂] = ![x • a₀, x • a₁, x • a₂]
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
h : 1 < s.card

⊢ ∃ i, 1 < (image (fun x => x i) s).card ∧ ∀ (ai : α i), filter (fun x => x i = ai) s ⊂ s
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
h : ∃ a b, a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ ∃ a_1, a a_1 ≠ b a_1

⊢ ∃ i, (∃ a b, a ∈ image (fun x => x i) s ∧ b ∈ image (fun x => x i) s ∧ a ≠ b) ∧ ∀ (ai : α i), filter (fun x => x i = ai) s ⊂ s
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
a1 a2 : (i : ι) → α i
h1 : a1 ∈ s
h2 : a2 ∈ s
i : ι
hne : a1 i ≠ a2 i

⊢ ∃ i, (∃ a b, a ∈ image (fun x => x i) s ∧ b ∈ image (fun x => x i) s ∧ a ≠ b) ∧ ∀ (ai : α i), filter (fun x => x i = ai) s ⊂ s
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
a1 a2 : (i : ι) → α i
h1 : a1 ∈ s
h2 : a2 ∈ s
i : ι
hne : a1 i ≠ a2 i
ai : α i

⊢ filter (fun x => x i = ai) s ⊂ s
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
a1 a2 : (i : ι) → α i
h1 : a1 ∈ s
h2 : a2 ∈ s
i : ι
hne : a1 i ≠ a2 i
ai : α i

⊢ ∃ x ∈ s, ¬x i = ai
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
a1 a2 : (i : ι) → α i
h1 : a1 ∈ s
h2 : a2 ∈ s
i : ι
hne : a1 i ≠ a2 i

⊢ ∃ x ∈ s, ¬x i = a2 i
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α✝
f : α✝ → β
n : ℕ
ι : Type u_4
α : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : Finset ((i : ι) → α i)
a1 a2 : (i : ι) → α i
h1 : a1 ∈ s
h2 : a2 ∈ s
i : ι
hne✝ : a1 i ≠ a2 i
ai : α i
hne : a2 i ≠ ai

⊢ ∃ x ∈ s, ¬x i = ai
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
F : Presheaf C X
U V : Opens ↑X
i : U ⟶ V
x : ↥U
inst✝ : ConcreteCategory C
s : (forget C).obj (F.obj (op V))

⊢ (F.germ x) ((F.map i.op) s) = (F.germ ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) s
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c ^ n⌋₊

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c ^ n⌋₊
ω : Ω
hω : (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊
h'ω : (fun n => ∑ i ∈ range n, truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ range n, X i ω) =o[atTop] fun n => ↑n

⊢ Tendsto (fun n => (∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, X i ω) / ↑⌊c ^ n⌋₊) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), X 0 a))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c ^ n⌋₊
ω : Ω
hω : (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊
h'ω : (fun n => ∑ i ∈ range n, truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ range n, X i ω) =o[atTop] fun n => ↑n

⊢ (fun x => (∑ i ∈ range ⌊c ^ x⌋₊, X i ω) / ↑⌊c ^ x⌋₊ - ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun _x => 1
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure ℙ
X : ℕ → Ω → ℝ
hint : Integrable (X 0) ℙ
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
hnonneg : ∀ (i : ℕ) (ω : Ω), 0 ≤ X i ω
c : ℝ
c_one : 1 < c
H : ∀ (n : ℕ), 0 < ↑⌊c ^ n⌋₊
ω : Ω
hω : (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, truncation (X i) (↑i) ω - ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊
h'ω : (fun n => ∑ i ∈ range n, truncation (X i) (↑i) ω - ∑ i ∈ range n, X i ω) =o[atTop] fun n => ↑n
L : (fun n => ∑ i ∈ range ⌊c ^ n⌋₊, X i ω - ↑⌊c ^ n⌋₊ * ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun n => ↑⌊c ^ n⌋₊

⊢ (fun x => (∑ i ∈ range ⌊c ^ x⌋₊, X i ω) / ↑⌊c ^ x⌋₊ - ∫ (a : Ω), X 0 a) =o[atTop] fun _x => 1
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
a : α
f : (a' : α) → a' ∈ (pure a).support → PMF β

⊢ (pure a).bindOnSupport f = f a ⋯
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
a : α
f : (a' : α) → a' ∈ (pure a).support → PMF β
b : β

⊢ ((pure a).bindOnSupport f) b = (f a ⋯) b
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
a : α
f : (a' : α) → a' ∈ (pure a).support → PMF β
b : β

⊢ (∑' (a_1 : α), (if a_1 = a then 1 else 0) * if h : (if a_1 = a then 1 else 0) = 0 then 0 else (f a_1 h) b) = (f a ⋯) b
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f✝ : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
a : α
f : (a' : α) → a' ∈ (pure a).support → PMF β
b : β
a' : α

⊢ ((if a' = a then 1 else 0) * if h : (if a' = a then 1 else 0) = 0 then 0 else (f a' h) b) = if a' = a then (f a ⋯) b else 0
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
K₁ K₂ S : Finset Λ'

⊢ Supports (K₁ ∪ K₂) S ↔ Supports K₁ S ∧ Supports K₂ S
-- Mathlib/Algebra/Star/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : AddMonoid R
inst✝ : StarAddMonoid R
x : R

⊢ star x ≠ 0 ↔ x ≠ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F✝
F F' : Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ F'

⊢ Presheaf.IsSheaf J (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)).toPresheaf
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F✝
F F' : Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ F'

⊢ Presieve.IsSheaf J (Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f.val)).toPresheaf
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F✝
F F' : Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ F'

⊢ Presieve.IsSheaf J F'.val
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F✝ F'✝ F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F✝
F F' : Sheaf J (Type w)
f : F ⟶ F'

⊢ Presheaf.IsSheaf J F'.val
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X

⊢ IsOpen s ↔ ∃ t, IsOpen t ∧ f ⁻¹' t = s
-- Mathlib/Logic/Lemmas.lean
a b c : Prop

⊢ ((a ↔ b) ↔ c) ↔ ((a ↔ c) ↔ b)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C

⊢ X ◁ (λ_ Y).inv ≫ (α_ X (𝟙_ C) Y).inv = (ρ_ X).inv ▷ Y
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapb : ∃ k₁, k₁ ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
hcpd : ∃ k₂, k₂ ≠ 1 ∧ d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)

⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapb : ∃ k₁, k₁ ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
hcpd : ∃ k₂, k₂ ≠ 1 ∧ d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)
q : P
r : ℝ
h' : ∀ p ∈ {a, b, c, d}, dist p q = r

⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hapb : ∃ k₁, k₁ ≠ 1 ∧ b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
hcpd : ∃ k₂, k₂ ≠ 1 ∧ d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)
q : P
r : ℝ
h' : ∀ p ∈ {a, b, c, d}, dist p q = r
ha : dist a q = dist b q
hb : dist b q = r
hc : dist c q = dist d q
hd : dist d q = r

⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
f : (i : ι) → α i
i : ι
a b : α i

⊢ update f i '' Ioo a b = Ioo (update f i a) (update f i b)
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℕ

⊢ normEDS b c d ↑n = preNormEDS' (b ^ 4) c d n * if Even n then b else 1
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
hf : Bijective f
s : (i : ι) → κ i → Set α

⊢ f '' ⋂ i, ⋂ j, s i j = ⋂ i, ⋂ j, f '' s i j
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
y₁ y₂ : F

⊢ (fun y => (x, y)) '' [y₁-[𝕜]y₂] = [(x, y₁)-[𝕜](x, y₂)]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
y₁ y₂ : F

⊢ (fun x_1 => (x, x_1.1 • y₁ + x_1.2 • y₂)) '' {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1} = (fun p => p.1 • (x, y₁) + p.2 • (x, y₂)) '' {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x : E
y₁ y₂ : F
a : 𝕜 × 𝕜
ha : a ∈ {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}

⊢ (x, a.1 • y₁ + a.2 • y₂) = a.1 • (x, y₁) + a.2 • (x, y₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Hom.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : AddCommMonoid M''
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
e : M ≃ₗ[R] M'
x✝¹ : BilinForm R M'
x✝ y✝ : M

⊢ (((congr e).symm x✝¹) x✝) y✝ = (((congr e.symm) x✝¹) x✝) y✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Hom.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : AddCommMonoid M''
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
e : M ≃ₗ[R] M'
x✝¹ : BilinForm R M'
x✝ y✝ : M

⊢ (((congr e).symm x✝¹) x✝) y✝ = (x✝¹ (e x✝)) (e y✝)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a
hf : ¬DifferentiableWithinAt ℝ f s a

⊢ (fderivWithin ℝ f s a) y = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : IsLocalMinOn f s a
hy : y ∈ posTangentConeAt s a
hy' : -y ∈ posTangentConeAt s a
hf : ¬DifferentiableWithinAt ℝ f s a

⊢ 0 y = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
p q : α → Bool
n : Nat
l : List α

⊢ countP.go p l n = n + countP.go p l 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝² : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝¹ : PreservesColimit F G
inst✝ : HasColimit F
t : Cocone F
j✝ : J

⊢ colimit.ι (F ⋙ G) j✝ ≫ (preservesColimitIso G F).inv ≫ G.map (colimit.desc F t) = colimit.ι (F ⋙ G) j✝ ≫ colimit.desc (F ⋙ G) (G.mapCocone t)
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁴ : CommRing R
inst✝²³ : CommRing S
inst✝²² : CommRing T
inst✝²¹ : Algebra R S
inst✝²⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁹ : Field K
inst✝¹⁸ : Field L
inst✝¹⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁵ : Field F
inst✝¹⁴ : Algebra R L
inst✝¹³ : Algebra L F
inst✝¹² : Algebra R F
inst✝¹¹ : IsScalarTower R L F
A : Type u
B : Type v
C : Type z
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : CommRing B
inst✝⁸ : Algebra A B
inst✝⁷ : CommRing C
inst✝⁶ : Algebra A C
E : Type z
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K E
inst✝³ : Module.Finite K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
b : κ → L
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Fintype κ
e : κ ≃ (L →ₐ[K] E)

⊢ (traceMatrix K b).map ⇑(algebraMap K E) = embeddingsMatrixReindex K E b e * (embeddingsMatrixReindex K E b e)ᵀ
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T1Space Y

⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ IsClosedMap f ∧ Tendsto f (cocompact X) cofinite
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T1Space Y

⊢ (Continuous f ∧ IsClosedMap f ∧ ∀ (y : Y), IsCompact (f ⁻¹' {y})) ↔ Continuous f ∧ IsClosedMap f ∧ ∀ (x : Y), (f ⁻¹' {x})ᶜ ∈ cocompact X
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T1Space Y
f_cont : Continuous f
x✝ : IsClosedMap f
H : ∀ (x : Y), (f ⁻¹' {x})ᶜ ∈ cocompact X
y : Y

⊢ IsCompact (f ⁻¹' {y})
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T1Space Y
f_cont : Continuous f
x✝ : IsClosedMap f
H : ∀ (x : Y), (f ⁻¹' {x})ᶜ ∈ cocompact X
y : Y
K : Set X
hK : IsCompact K
hKy : Kᶜ ⊆ (f ⁻¹' {y})ᶜ

⊢ IsCompact (f ⁻¹' {y})
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

⊢ cs.IsRightDescent w i ↔ ¬cs.IsRightDescent (w * cs.simple i) i
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

⊢ cs.length (w * cs.simple i) + 1 = cs.length w ↔ cs.length w = cs.length (w * cs.simple i) + 1
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

⊢ blimsup s cofinite p = {x | {n | p n ∧ x ∈ s n}.Infinite}
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

⊢ ⋂₀ {a | {x | p x ∧ ¬s x ⊆ a}.Finite} = {x | {n | p n ∧ x ∈ s n}.Infinite}
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a x : α

⊢ x ∈ ⋂₀ {a | {x | p x ∧ ¬s x ⊆ a}.Finite} ↔ x ∈ {x | {n | p n ∧ x ∈ s n}.Infinite}
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a x : α
h : x ∉ {x | {n | p n ∧ x ∈ s n}.Infinite}

⊢ x ∉ ⋂₀ {a | {x | p x ∧ ¬s x ⊆ a}.Finite}
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a x : α
hx : x ∈ {x | {n | p n ∧ x ∈ s n}.Infinite}
t : Set α
h : x ∉ t

⊢ t ∉ {a | {x | p x ∧ ¬s x ⊆ a}.Finite}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Intersectivity.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0∞
inst✝ : Infinite ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hr₀ : r ≠ 0
hr : ∀ (i : ι), r ≤ μ (s i)

⊢ ∃ t, t.Infinite ∧ ∀ ⦃u : Set ι⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ i ∈ u, s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Intersectivity.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0∞
inst✝ : Infinite ι
s : ι → Set α
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hr₀ : r ≠ 0
hr : ∀ (i : ι), r ≤ μ (s i)
t : Set ℕ
ht : t.Infinite
h : ∀ ⦃u : Set ℕ⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ n ∈ u, s ((Infinite.natEmbedding ι) n))

⊢ ∃ t, t.Infinite ∧ ∀ ⦃u : Set ι⦄, u ⊆ t → u.Finite → 0 < μ (⋂ i ∈ u, s i)