ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
x y : α
hf✝ : x ∈ orbit (↥(closure S)) y
h : swap x y ∉ closure S
f : Equiv.Perm α
hf : f ∈ S

⊢ f⁻¹ ∈ S
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
x y : α
hf : x ∈ orbit (↥(closure S)) y
h : swap x y ∉ closure S
z : α
hz : z ∈ {x | swap x y ∈ closure S}

⊢ z ∈ orbit (↥(closure S)) x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/ClosureSwap.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : DecidableEq α
S : Set (Equiv.Perm α)
hS : ∀ f ∈ S, f.IsSwap
x y : α
hf : x ∈ orbit (↥(closure S)) y
h : swap x y ∉ closure S

⊢ y ∈ {x | swap x y ∈ closure S}
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
inst✝² : Fintype I
inst✝¹ : Nonempty I
inst✝ : DecidableEq I

⊢ (∃ μ, ∑ i : I, μ i * ∏ j ∈ {i}ᶜ, s j = 1) ↔ Pairwise (IsCoprime on s)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
inst✝² : Fintype I
inst✝¹ : Nonempty I
inst✝ : DecidableEq I

⊢ Pairwise (IsCoprime on s) ↔ Pairwise (IsCoprime on fun i => s ↑i)
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
x : F
hx : x ≠ 0

⊢ (x • f).natSepDegree = f.natSepDegree
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : SupClosed s
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s

⊢ t.inf' ht id ⊔ u.inf' hu id ∈ infClosure s
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : SupClosed s
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s

⊢ ((t ×ˢ u).inf' ⋯ fun i => id i.1 ⊔ id i.2) ∈ infClosure s
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
a✝ b✝ : Prop
α : Sort u_1
a b : α
p : Prop

⊢ p ∧ a = b ↔ p ∧ b = a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}

⊢ lsub f = 0 ↔ IsEmpty ι
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : lsub f = 0
i : ι

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : lsub f = 0
i : ι
this : 0 < lsub f

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
h : lsub f = 0
i : ι
this : 0 < 0

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/CauchyDavenport.lean
α : Type u_1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s t : Finset (ZMod p)
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty

⊢ min p (s.card + t.card - 1) ≤ (s + t).card
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
b : ℝ
hb : ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.map (fun x => |(g x).im|) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x b

⊢ (fun x => rexp ((f x).arg * (g x).im)) =Θ[l] fun x => 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
b : ℝ
hb : ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.map (fun x => |(g x).im|) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x b

⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in Filter.map (fun x => |(f x).arg * (g x).im|) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x (π * b)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
b : ℝ
hb : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) |(g a).im| b

⊢ ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) |(f a).arg * (g a).im| (π * b)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
b : ℝ
hb : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) |(g a).im| b
x : α
hx : (fun x x_1 => x ≤ x_1) |(g x).im| b

⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) |(f x).arg * (g x).im| (π * b)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
α : Type u_1
l : Filter α
f g : α → ℂ
b : ℝ
hb : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) |(g a).im| b
x : α
hx : (fun x x_1 => x ≤ x_1) |(g x).im| b

⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) (|(f x).arg| * |(g x).im|) (π * b)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E

⊢ re ⟪x, x⟫_𝕜 = ‖x‖ ^ 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ

⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
A : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), AEMeasurable.mk f hf a ∂μ

⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
A : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), AEMeasurable.mk f hf a ∂μ
B : ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ = ∫⁻ (a : α), r * AEMeasurable.mk f hf a ∂μ

⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Dilation.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
F✝ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝⁴ : FunLike F✝ α✝ β✝
α : Type u_7
β : Type u_8
F : Type u_6
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α
r : ℝ≥0
hxy : dist x y ≠ 0
hr : dist (f x) (f y) = ↑r * dist x y

⊢ ↑(nndist (f x) (f y)) = ↑(r * nndist x y)
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
inst✝ : HasDerivedCategory C
α : Ext X Y n

⊢ (-α).hom = -α.hom
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Cast.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroupWithOne R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : ZeroLEOneClass R
inst✝¹ : NeZero 1
inst✝ : Nontrivial R
m n : ℤ

⊢ ↑n < 0 ↔ n < 0
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

⊢ toIcoDiv hp (a - m • p) b = toIcoDiv hp a b + m
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
x : E

⊢ ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x ≤ egauge 𝕜 s (c • x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
x : E

⊢ ∀ (c_1 : 𝕜), c • x ∈ c_1 • s → ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x ≤ ↑‖c_1‖₊
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
x : E
a : 𝕜
y : E
hy : y ∈ s
hxy : (fun x => a • x) y = c • x

⊢ ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x ≤ ↑‖a‖₊
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
r : ℝ≥0∞
s : Set E
x : E
a : 𝕜
y : E
hy : y ∈ s
hxy : (fun x => a • x) y = 0 • x

⊢ ↑‖0‖₊ * egauge 𝕜 s x ≤ ↑‖a‖₊
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c✝ : 𝕜
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
r : ℝ≥0∞
c : 𝕜
s : Set E
x : E
a : 𝕜
y : E
hy : y ∈ s
hxy : (fun x => a • x) y = c • x
hc : c ≠ 0

⊢ ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x ≤ ↑‖a‖₊
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ : S₁ ⟶ S₂
φ₂ : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
h₃ : S₃.LeftHomologyData
γ₁ : LeftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂ := leftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂
γ₂ : LeftHomologyMapData φ₂ h₂ h₃ := leftHomologyMapData φ₂ h₂ h₃

⊢ cyclesMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = cyclesMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ cyclesMap' φ₂ h₂ h₃
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
c : ℝ
hc : c ≠ 0
h : IntervalIntegrable (fun x => f (c * x)) volume (a / c) (b / c)

⊢ IntervalIntegrable f volume a b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : StrictOrderedSemiring R
a x y : R
n m : ℕ
h₀ : 0 < a
h₁ : a < 1
hn : 1 < n

⊢ a ^ n < a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ
g : α → ℝ

⊢ (μ.tilted f).tilted g = μ.tilted (f + g)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Trails.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
u v : V
p : G.Walk u v
h : p.IsEulerian
e : Sym2 V

⊢ e ∈ ⋯.edgesFinset ↔ e ∈ G.edgeFinset
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
rk : α → ℕ
s : Set α

⊢ s.PartiallyWellOrderedOn r ↔ ¬∃ f, IsBadSeq r s f ∧ ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq r rk s n f
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
rk : α → ℕ
s : Set α

⊢ (∃ x, IsBadSeq r s x) ↔ ∃ f, IsBadSeq r s f ∧ ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq r rk s n f
-- Mathlib/Dynamics/BirkhoffSum/NormedSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
n : ℕ
x y : α

⊢ dist (birkhoffSum f g n x) (birkhoffSum f g n y) ≤ ∑ k ∈ Finset.range n, dist (g (f^[k] x)) (g (f^[k] y))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
χ✝ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
x : L
χ : L → R

⊢ LieSubmodule.map (weightSpaceOf M (χ x) x).incl (weightSpace (↥↑(weightSpaceOf M (χ x) x)) χ) = weightSpace M χ
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
r C : ℝ≥0∞
hr : r < 1
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ

⊢ edist (f n) a ≤ C * r ^ n / (1 - r)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
r C : ℝ≥0∞
hr : r < 1
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C * r ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)
n : ℕ

⊢ C * r ^ n / (1 - r) = ∑' (m : ℕ), C * r ^ (n + m)
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
φ : L[[α]].Sentence

⊢ {p | φ ∈ p} = Set.univ ↔ (L.lhomWithConstants α).onTheory T ⊨ᵇ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
φ : L[[α]].Sentence

⊢ {p | Formula.not φ ∈ p} = ∅ ↔ {p | {Formula.not φ} ⊆ ↑p} = ∅
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝ m n : ℕ

⊢ IsUnit ↑m ↔ m.Coprime n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝ m n : ℕ
H : IsUnit ↑m

⊢ m.Coprime n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝ m n : ℕ
H : IsUnit ↑m
H' : (↑H.unit).val.Coprime n

⊢ m.Coprime n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝ m n : ℕ
H : IsUnit ↑m
H' : (m % n).gcd n = 1

⊢ m.Coprime n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝ m n : ℕ
H : IsUnit ↑m
H' : (m % n).gcd n = 1

⊢ n.gcd m = (m % n).gcd n
-- Mathlib/Data/Matrix/Hadamard.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_6
A B C : Matrix m n α
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Semiring α
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
v : m → α
w : n → α

⊢ v ᵥ* A ⊙ B ⬝ᵥ w = (diagonal v * A * (B * diagonal w)ᵀ).trace
-- Mathlib/Data/Matrix/Hadamard.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
R : Type u_6
A B C : Matrix m n α
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Semiring α
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
v : m → α
w : n → α

⊢ v ᵥ* A ⊙ B ⬝ᵥ w = ∑ y : n, ∑ x : m, ((diagonal v * A) ⊙ (B * diagonal w)) x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/CrossProduct.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R

⊢ u ⬝ᵥ (crossProduct v) w = det ![u, v, w]
-- Mathlib/LinearAlgebra/CrossProduct.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
u v w : Fin 3 → R

⊢ u 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0 + u 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1 + u 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2 = ![u, v, w] 0 0 * ![u, v, w] 1 1 * ![u, v, w] 2 2 - ![u, v, w] 0 0 * ![u, v, w] 1 2 * ![u, v, w] 2 1 - ![u, v, w] 0 1 * ![u, v, w] 1 0 * ![u, v, w] 2 2 + ![u, v, w] 0 1 * ![u, v, w] 1 2 * ![u, v, w] 2 0 + ![u, v, w] 0 2 * ![u, v, w] 1 0 * ![u, v, w] 2 1 - ![u, v, w] 0 2 * ![u, v, w] 1 1 * ![u, v, w] 2 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Fintype β
e : Perm α
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p

⊢ sign (e.extendDomain f) = sign e
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝
ht : autoParam t.Finite _auto✝

⊢ s.ncard ≤ t.ncard ↔ (s \ t).ncard ≤ (t \ s).ncard
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit

⊢ lift b.fst b.snd ≫ desc b.inl b.inr = 𝟙 b.pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
P Q X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
b : BinaryBicone X Y
hb : b.IsBilimit

⊢ desc b.inl b.inr ≫ lift b.fst b.snd = 𝟙 (X ⊞ Y)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Opposites.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
n : ℕ

⊢ (opRingEquiv R) (op (C r * X ^ n)) = C (op r) * X ^ n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

⊢ (bind₁ 0) (wittPolynomial p R n) = 0
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n : ℕ

⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i / ↑i ! ≤ CauSeq.lim ⟨fun n => (↑(exp' ↑x) n).re, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n j : ℕ
hj : j ≥ n

⊢ ↑(const _root_.abs (∑ i ∈ range n, x ^ i / ↑i !)) j ≤ ↑⟨fun n => (↑(exp' ↑x) n).re, ⋯⟩ j
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n j : ℕ
hj : j ≥ n

⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i / ↑i ! ≤ ∑ i ∈ range j, (↑x ^ i / ↑i !).re
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n j : ℕ
hj : j ≥ n

⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i / ↑i ! ≤ ∑ i ∈ range j, x ^ i / ↑i !
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝³ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n j : ℕ
hj : j ≥ n
x✝² : ℕ
x✝¹ : x✝² ∈ range j
x✝ : x✝² ∉ range n

⊢ 0 ≤ x ^ x✝² / ↑x✝²!
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
n : ℕ

⊢ CauSeq.lim ⟨fun n => (↑(exp' ↑x) n).re, ⋯⟩ = rexp x
-- Mathlib/Algebra/Vertex/HVertexOperator.lean
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
u v : U
g : Lex (Γ' × Γ)

⊢ ((of R).symm ((fun u => (of R) (A.compHahnSeries B u).ofIterate) (u + v))).coeff g = ((of R).symm ((fun u => (of R) (A.compHahnSeries B u).ofIterate) u + (fun u => (of R) (A.compHahnSeries B u).ofIterate) v)).coeff g
-- Mathlib/Algebra/Vertex/HVertexOperator.lean
Γ✝ : Type u_1
inst✝¹⁴ : PartialOrder Γ✝
R✝ : Type u_2
V✝ : Type u_3
W✝ : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : AddCommGroup V✝
inst✝¹¹ : Module R✝ V✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup W✝
inst✝⁹ : Module R✝ W✝
Γ : Type u_5
Γ' : Type u_6
inst✝⁸ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝⁷ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ'
R : Type u_7
inst✝⁶ : CommRing R
U : Type u_8
V : Type u_9
W : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommGroup U
inst✝⁴ : Module R U
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module R V
inst✝¹ : AddCommGroup W
inst✝ : Module R W
A : HVertexOperator Γ R V W
B : HVertexOperator Γ' R U V
r : R
x : U
g : Lex (Γ' × Γ)

⊢ ((of R).symm ({ toFun := fun u => (of R) (A.compHahnSeries B u).ofIterate, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x))).coeff g = ((of R).symm ((RingHom.id R) r • { toFun := fun u => (of R) (A.compHahnSeries B u).ofIterate, map_add' := ⋯ }.toFun x)).coeff g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projection.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] E
h : IsProj p f

⊢ f = (p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯).conj (id.prodMap 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projection.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
p : Submodule R E
f : E →ₗ[R] E
h : IsProj p f

⊢ f = (↑(p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯) ∘ₗ id.prodMap 0) ∘ₗ ↑(p.prodEquivOfIsCompl (ker f) ⋯).symm
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
p : ℕ
hp : p ≠ 0
hdiv : p ∣ k

⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ p) (k / p)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
p : ℕ
hp : p ≠ 0
hdiv : p ∣ k

⊢ orderOf (ζ ^ p) = k / p
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → X → α
x₀ : X
hA : EquicontinuousAt (u ∘ Subtype.val) x₀
hu : Continuous u

⊢ EquicontinuousAt (u ∘ Subtype.val) x₀
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → X → α
x₀ : X
hA : EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) univ x₀
hu : Continuous u

⊢ EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) univ x₀
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j : J

⊢ 1 = M.mk F ⟨j, 1⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/MonCat/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
F : J ⥤ MonCatMax
inst✝ : IsFiltered J
j : J

⊢ ∃ k f g, (F.map f) ⟨⋯.some, 1⟩.snd = (F.map g) ⟨j, 1⟩.snd
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hf : Martingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ = ∫ (ω : Ω) in s, f j ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hf : Martingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, (μ[f j|↑ℱ i]) x ∂μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
hf : Martingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, x ∈ s → f i x = (μ[f j|↑ℱ i]) x
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Trifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_14, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_13, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{u_12, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{u_11, u_4} C₄
inst✝² : Category.{?u.63581, u_5} C₁₂
inst✝¹ : Category.{?u.63585, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
Y : C₄
j : J
inst✝ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
φ φ' : mapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ j ⟶ Y
h : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (i₃ : I₃) (h : p (i₁, i₂, i₃) = j), ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ φ = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ φ'

⊢ φ = φ'
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Trifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_14, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_13, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{u_12, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{u_11, u_4} C₄
inst✝² : Category.{?u.63581, u_5} C₁₂
inst✝¹ : Category.{?u.63585, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
Y : C₄
j : J
inst✝ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
φ φ' : mapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ j ⟶ Y
h : ∀ (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (i₃ : I₃) (h : p (i₁, i₂, i₃) = j), ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ φ = ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ φ'

⊢ ∀ (i : I₁ × I₂ × I₃) (hij : p i = j), ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).ιMapObj p i j hij ≫ φ = ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).ιMapObj p i j hij ≫ φ'
-- Mathlib/Logic/Nontrivial/Defs.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3

⊢ Subsingleton α ∨ Nontrivial α
-- Mathlib/Logic/Nontrivial/Defs.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3

⊢ Nontrivial α ∨ ¬Nontrivial α
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Basic.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
u v : ℙ K V
h : u.submodule = v.submodule

⊢ u = v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Basic.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ℙ K V
u : V
hu : u ≠ 0
h : (mk K u hu).submodule = v.submodule

⊢ mk K u hu = v