ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Finset/Update.lean
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
x : (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
hst : Disjoint s t
y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i
z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i
e : { x // x ∈ s } ⊕ { x // x ∈ t } ≃ { x // x ∈ s ∪ t } := Finset.union s t hst
i : ι
his : i ∈ s
hit : i ∉ t

⊢ y ⟨i, ⋯⟩ = (piFinsetUnion π hst) (y, z) ⟨i, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Finset/Update.lean
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
x : (i : ι) → π i
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
hst : Disjoint s t
y : (i : { x // x ∈ s }) → π ↑i
z : (i : { x // x ∈ t }) → π ↑i
e : { x // x ∈ s } ⊕ { x // x ∈ t } ≃ { x // x ∈ s ∪ t } := Finset.union s t hst
i : ι
his : i ∉ s
hit : i ∈ t

⊢ z ⟨i, ⋯⟩ = (piFinsetUnion π hst) (y, z) ⟨i, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
U : Set R

⊢ U ∈ 𝓝 0 ↔ ∃ i, True ∧ ↑(I ^ i) ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
U : Set R

⊢ (∃ i ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, id i ⊆ U) ↔ ∃ i, True ∧ ↑(I ^ i) ⊆ U
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g

⊢ pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).fst = s.fst
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g

⊢ (pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).fst).base = s.fst.base
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
x : (Opens ↑↑X)ᵒᵖ

⊢ ((pullbackConeOfLeftLift f g s ≫ (pullbackConeOfLeft f g).fst).c ≫ whiskerRight (eqToHom ⋯) s.pt.presheaf).app x = s.fst.c.app x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
a p P : R[X]

⊢ P ∈ R[X]⁰ ↔ ∀ (a : R), a • P = 0 → a = 0
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι✝ → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
ι : Type u_9
f : ι → A
hf : AlgebraicIndependent R f
a✝ : Nontrivial R

⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
hl : DifferentiableAt 𝕜 l (f x)
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
hy : y = f x

⊢ deriv (l ∘ f) x = (fderiv 𝕜 l (f x)) (deriv f x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
S : Type u_10
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M'
inst✝ : SMulCommClass R S M'
f : M' →ₗ[R] M'
v : ι → M'
i : ι

⊢ ((b.constr S) (⇑f ∘ v)) (b i) = (f ∘ₗ (b.constr S) v) (b i)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x : ℝ≥0∞

⊢ x.toReal = 0 ↔ x = 0 ∨ x = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : Group G'
inst✝⁵ : Group G''
A : Type u_4
inst✝⁴ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝³ : Group N
inst✝² : Group P
K : Subgroup G
M✝ : Type u_7
inst✝¹ : MulOneClass M✝
M : Type u_8
inst✝ : Monoid M
f : G →* M
x : G

⊢ x ∈ f.toHomUnits.ker ↔ x ∈ f.ker
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x + y ≠ 0

⊢ min (⋯.min ⋯) (⋯.min ⋯) ≤ ⋯.min ⋯
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x + y ≠ 0

⊢ ⋯.min ⋯ ≤ ⋯.min ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝¹ : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
i : I

⊢ (limitRightOpIsoOpColimit F).hom ≫ (colimit.ι F (op i)).op = limit.π F.rightOp i
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')

⊢ setToFun (μ + μ') T hT_add f = setToFun μ T hT f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')

⊢ μ ≤ 1 • (μ + μ')
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')

⊢ μ ≤ μ + μ'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')

⊢ μ + 0 ≤ μ + μ'
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
p : ℝ[X]
x : ℝ

⊢ HasDerivAt (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : x < 0

⊢ HasDerivAt (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
p : ℝ[X]

⊢ HasDerivAt (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (Polynomial.eval 0⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue 0) 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/SmoothTransition.lean
p : ℝ[X]
x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ HasDerivAt (fun x => Polynomial.eval x⁻¹ p * expNegInvGlue x) (Polynomial.eval x⁻¹ (X ^ 2 * (p - derivative p)) * expNegInvGlue x) x
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α

⊢ toIcoDiv hp (a - c) b = toIcoDiv hp a (b + c)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p p'✝ : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
p' : Submodule R ↥p

⊢ map p.subtype p' ≤ p
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
x✝ : Iterator
h : x✝.Valid
hn : x✝.hasNext = true

⊢ x✝.next.Valid
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
x✝ : Iterator
h✝ : x✝.Valid
hn : x✝.hasNext = true
l r : List Char
h : ValidFor l r x✝

⊢ x✝.next.Valid
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
x✝ : Iterator
h✝ : x✝.Valid
hn : x✝.hasNext = true
l : List Char
c : Char
r : List Char
h : ValidFor l (c :: r) x✝

⊢ x✝.next.Valid
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂

⊢ A.rank = finrank R ↥(LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A))
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m

⊢ A.rank = finrank R ↥(LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A))
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)

⊢ A.rank = finrank R ↥(LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A))
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

⊢ A.rank = finrank R ↥(LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A))
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

⊢ Submodule.map (↑e₁) (LinearMap.range A.mulVecLin) = LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A)
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

⊢ LinearMap.range (↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) = LinearMap.range ((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂)
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

⊢ ↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin = (toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤

⊢ ∀ (i : n), (↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i = ((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
i : n

⊢ (↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i = ((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
i : n

⊢ ((↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i) 1 = (((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i) 1
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
i : n
aux₁ : ((toLin (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m)) A) ((Pi.basisFun R n) i) = ∑ j : m, A j i • (Pi.basisFun R m) j

⊢ ((↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i) 1 = (((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i) 1
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
i : n
aux₁ : ((toLin (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m)) A) ((Pi.basisFun R n) i) = ∑ j : m, A j i • (Pi.basisFun R m) j
aux₂ : ∀ (e : n ≃ n), ((Pi.basisFun R n).equiv v₂ e) ((Pi.basisFun R n) i) = v₂ (e i)

⊢ ((↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i) 1 = (((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i) 1
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
i : n
aux₁ : A.mulVecLin ((Pi.basisFun R n) i) = ∑ j : m, A j i • (Pi.basisFun R m) j
aux₂ : ∀ (e : n ≃ n), ((Pi.basisFun R n).equiv v₂ e) ((Pi.basisFun R n) i) = v₂ (e i)

⊢ ((↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i) 1 = (((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i) 1
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype o
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
A : Matrix m n R
v₁ : Basis m R M₁
v₂ : Basis n R M₂
val✝ : Fintype m
e₁ : (m → R) ≃ₗ[R] M₁ := (Pi.basisFun R m).equiv v₁ (Equiv.refl m)
e₂ : (n → R) ≃ₗ[R] M₂ := (Pi.basisFun R n).equiv v₂ (Equiv.refl n)
range_e₂ : LinearMap.range e₂ = ⊤
i : n
aux₁ : A.mulVecLin (Pi.single i 1) = ∑ j : m, A j i • (Pi.basisFun R m) j
aux₂ : ∀ (e : n ≃ n), ((Pi.basisFun R n).equiv v₂ e) (Pi.single i 1) = v₂ (e i)

⊢ ((↑e₁ ∘ₗ A.mulVecLin) ∘ₗ LinearMap.single i) 1 = (((toLin v₂ v₁) A ∘ₗ ↑e₂) ∘ₗ LinearMap.single i) 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
H✝ : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
M : Type u_11
N : Type u_12
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : SMul M N
H : ∀ (x : M) (y : N), y * x • 1 = x • y
x : M
y z : N

⊢ x • y • z = y • x • z
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
s✝ : Finset ι
f : ι → Set α
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
hs : (s.sup f).WellFoundedOn r ↔ ∀ i ∈ s, (f i).WellFoundedOn r

⊢ ((cons a s ha).sup f).WellFoundedOn r ↔ ∀ i ∈ cons a s ha, (f i).WellFoundedOn r
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X

⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 x ∧ IsOpen s) fun x => x
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝¹ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
x✝ : Set X

⊢ x✝ ∈ 𝓝 x ∧ IsOpen x✝ ↔ x ∈ x✝ ∧ IsOpen x✝
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T1Space X
A : Set X
h : A.Subsingleton

⊢ IsClosed A
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T1Space X
h : ∅.Subsingleton

⊢ IsClosed ∅
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : T1Space X
x : X
h : {x}.Subsingleton

⊢ IsClosed {x}
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y✝ x y : ℂ

⊢ cos (x + y * I) = cos x * cosh y - sin x * sinh y * I
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E

⊢ a.toBasis.toMatrix ⇑b ∈ Matrix.unitaryGroup ι 𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E

⊢ star (a.toBasis.toMatrix ⇑b) * a.toBasis.toMatrix ⇑b = 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
i j : ι

⊢ (star (a.toBasis.toMatrix ⇑b) * a.toBasis.toMatrix ⇑b) i j = 1 i j
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
i j : ι

⊢ 1 i j = ⟪b i, b j⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
a b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
i j : ι

⊢ 1 i j = if i = j then 1 else 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : PseudoEMetricSpace γ
inst✝¹ : Unique ι
inst✝ : Fintype ι
x hx : ι → α

⊢ edist ((Equiv.funUnique ι α).toFun x) ((Equiv.funUnique ι α).toFun hx) = edist x hx
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : f.support ⊆ g.support
h' : ∀ x ∈ f.support, f x = g x

⊢ f = g
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : f.support ⊆ g.support
h' : ∀ x ∈ f.support, f x = g x
this : f.support = g.support

⊢ f = g
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
hg : g.IsCycle
h : f.support ⊆ g.support
h' : ∀ x ∈ f.support, f x = g x
this : f.support = g.support

⊢ ∀ x ∈ g.support, f x = g x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Uniform.lean
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F

⊢ LipschitzWith 1 norm
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z✝ w x y z : ℝ
ι : Type u_1
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
s : Finset ι
f : ι → ℝ
h : ∀ x ∈ s, 0 ≤ f x

⊢ a ^ ∑ x ∈ s, f x = ∏ x ∈ s, a ^ f x