ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α

⊢ {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X ∩ M.E} = {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X}
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I✝ J X Y : Set α
e : α
I : Set α

⊢ I ∈ {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X ∩ M.E} ↔ I ∈ {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X}
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I✝ J X Y : Set α
e : α
I : Set α

⊢ M.Indep I → I ⊆ X → I ⊆ M.E
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ ⁅I, J⁆ ≤ I ⊓ J
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ ⁅I, J⁆ ≤ I ∧ ⁅I, J⁆ ≤ J
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b

⊢ ContinuousWithinAt f (Ioc a b) b ↔ ContinuousWithinAt f (Iic b) b
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C

⊢ IsCoseparator G ↔ (preadditiveYonedaObj G).Faithful
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Generator.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
G : C

⊢ (preadditiveYonedaObj G ⋙ forget₂ (ModuleCat (End G)) AddCommGrp).Faithful ↔ (preadditiveYonedaObj G).Faithful
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ

⊢ ∑ c : Composition n, p.compAlongComposition (id 𝕜 E) c = p n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ

⊢ p.compAlongComposition (id 𝕜 E) (Composition.ones n) = p n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ

⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ Composition.ones n → p.compAlongComposition (id 𝕜 E) b = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ

⊢ Composition.ones n ∉ Finset.univ → p.compAlongComposition (id 𝕜 E) (Composition.ones n) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
α : Fin 2 → Type u
m : (i : Fin 2) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin 2) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : Fin 2), SigmaFinite (μ i)

⊢ MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piFinTwo α)) (Measure.pi μ) ((μ 0).prod (μ 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
α : Fin 2 → Type u
m : (i : Fin 2) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin 2) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : Fin 2), SigmaFinite (μ i)
s : Set (α 0)
t : Set (α 1)
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : MeasurableSet t

⊢ (Measure.map (⇑(MeasurableEquiv.piFinTwo α)) (Measure.pi μ)) (s ×ˢ t) = (μ 0) s * (μ 1) t
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
α : Fin 2 → Type u
m : (i : Fin 2) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : Fin 2) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : Fin 2), SigmaFinite (μ i)
s : Set (α 0)
t : Set (α 1)
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : MeasurableSet t

⊢ (μ 0) (Fin.cons s (Fin.cons t finZeroElim) 0) * (μ 1) (Fin.cons s (Fin.cons t finZeroElim) 1) = (μ 0) s * (μ 1) t
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
p : R[X]
hsep : p.Separable
x : R
hp : ¬p = 0

⊢ rootMultiplicity x p ≤ 1
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
p : R[X]
hsep : p.Separable
x : R
hp : ¬p = 0

⊢ multiplicity (X - C x) p ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
q : Seminorm 𝕜 E
hq : Continuous ⇑q

⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ q ≤ C • s.sup p
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
q : Seminorm 𝕜 E
hq : Continuous ⇑q
V : Set E
hV : V ∈ p.basisSets
hε : id V ⊆ q.ball 0 1

⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ q ≤ C • s.sup p
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
q : Seminorm 𝕜 E
hq : Continuous ⇑q
s : Finset ι
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hV : (s.sup p).ball 0 ε ∈ p.basisSets
hε : id ((s.sup p).ball 0 ε) ⊆ q.ball 0 1

⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ q ≤ C • s.sup p
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
q : Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hV : (s.sup p).ball 0 ε ∈ p.basisSets
hε : id ((s.sup p).ball 0 ε) ⊆ q.ball 0 1
x✝ : SeminormedAddCommGroup E := (s.sup p).toSeminormedAddCommGroup

⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ q ≤ C • s.sup p
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
q : Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hV : (s.sup p).ball 0 ε ∈ p.basisSets
hε : id ((s.sup p).ball 0 ε) ⊆ q.ball 0 1
x✝¹ : SeminormedAddCommGroup E := (s.sup p).toSeminormedAddCommGroup
x✝ : NormedSpace 𝕜 E := NormedSpace.mk ⋯

⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ q ≤ C • s.sup p
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
q : Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hV : (s.sup p).ball 0 ε ∈ p.basisSets
hε : id ((s.sup p).ball 0 ε) ⊆ q.ball 0 1
x✝¹ : SeminormedAddCommGroup E := (s.sup p).toSeminormedAddCommGroup
x✝ : NormedSpace 𝕜 E := NormedSpace.mk ⋯
this : Continuous ⇑q

⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ q ≤ C • s.sup p
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : Nonempty ι
q : Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
hV : (s.sup p).ball 0 ε ∈ p.basisSets
hε : id ((s.sup p).ball 0 ε) ⊆ q.ball 0 1
x✝¹ : SeminormedAddCommGroup E := (s.sup p).toSeminormedAddCommGroup
x✝ : NormedSpace 𝕜 E := NormedSpace.mk ⋯
this : Continuous ⇑q
C : ℝ
C_pos : 0 < C
hC : ∀ (x : E), q x ≤ C * ‖x‖

⊢ ∃ s C, C ≠ 0 ∧ q ≤ C • s.sup p
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Degeneracies.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.28, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q

⊢ b < n + 1 + 1
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Degeneracies.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q

⊢ (φ ≫ X.σ ⟨b, ⋯⟩) ≫ X.δ j.succ = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Degeneracies.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q

⊢ ⟨b, ⋯⟩.succ < j.succ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Degeneracies.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q

⊢ j ≠ 0
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
f✝ : Filter α
b : α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
inst✝¹ : Countable (Subtype p)
inst✝ : Nonempty (Subtype p)
hv : v.HasBasis p s
f : ι → α
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

⊢ liminf f v = if ∃ j, s ↑j = ∅ then sSup univ else if ∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f ↑i) then sSup ∅ else ⨆ j, ⨅ i, f ↑i
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
f✝ : Filter α
b : α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
inst✝¹ : Countable (Subtype p)
inst✝ : Nonempty (Subtype p)
hv : v.HasBasis p s
f : ι → α
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅

⊢ liminf f v = if ∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f ↑i) then sSup ∅ else ⨆ j, ⨅ i, f ↑i
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
f✝ : Filter α
b : α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
inst✝¹ : Countable (Subtype p)
inst✝ : Nonempty (Subtype p)
hv : v.HasBasis p s
f : ι → α
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
H' : ¬∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f ↑i)

⊢ liminf f v = if ∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f ↑i) then sSup ∅ else ⨆ j, ⨅ i, f ↑i
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
f✝ : Filter α
b : α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
inst✝¹ : Countable (Subtype p)
inst✝ : Nonempty (Subtype p)
hv : v.HasBasis p s
f : ι → α
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
H' : ¬∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f ↑i)

⊢ liminf f v = ⨆ j, ⨅ i, f ↑i
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
f✝ : Filter α
b : α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
inst✝¹ : Countable (Subtype p)
inst✝ : Nonempty (Subtype p)
hv : v.HasBasis p s
f : ι → α
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
H' : ¬∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f ↑i)

⊢ ∀ (j : Subtype p), (s ↑j).Nonempty
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder α
f✝ : Filter α
b : α
v : Filter ι
p : ι' → Prop
s : ι' → Set ι
inst✝¹ : Countable (Subtype p)
inst✝ : Nonempty (Subtype p)
hv : v.HasBasis p s
f : ι → α
H : ¬∃ j, s ↑j = ∅
H' : ¬∀ (j : Subtype p), ¬BddBelow (range fun i => f ↑i)

⊢ ∃ j, BddBelow (range fun i => f ↑i)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
H : m * n = 1

⊢ n * m = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
L : Type u_6
inst✝ : RCLike L
r : L
f : α → L

⊢ ∫ (a : α), f a * r ∂μ = (∫ (a : α), f a ∂μ) * r
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
L : Type u_6
inst✝ : RCLike L
r : L
f : α → L

⊢ ∫ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s t : Multiset α

⊢ a ::ₘ s + t = a ::ₘ (s + t)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x

⊢ ∏ i ∈ s, z i ^ w i = ∏ i ∈ s, x ^ w i
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ z i ^ w i = x ^ w i
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
i : ι
hi : i ∈ s
h₀ : w i = 0

⊢ z i ^ w i = x ^ w i
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
i : ι
hi : i ∈ s
h₀ : w i ≠ 0

⊢ z i ^ w i = x ^ w i
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x

⊢ ∏ i ∈ s, x ^ w i = x
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x

⊢ 0 ≤ x
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
this : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0

⊢ 0 ≤ x
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
x : ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
hx : ∀ i ∈ s, w i ≠ 0 → z i = x
this : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
i : ι
his : i ∈ s
hi : w i ≠ 0

⊢ 0 ≤ x
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/WithTop.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Sub α
inst✝² : Bot α
inst✝¹ : Sub β
inst✝ : Bot β
f : α → β
h : ∀ (x y : α), f (x - y) = f x - f y
h₀ : f ⊥ = ⊥
x✝ : WithTop α

⊢ map f (x✝ - ⊤) = map f x✝ - map f ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/WithTop.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Sub α
inst✝² : Bot α
inst✝¹ : Sub β
inst✝ : Bot β
f : α → β
h : ∀ (x y : α), f (x - y) = f x - f y
h₀ : f ⊥ = ⊥
x y : α

⊢ map f (↑x - ↑y) = map f ↑x - map f ↑y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
p : GHSpace

⊢ toGHSpace ↥(Quot.out p) = p
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
p : GHSpace

⊢ ⟦Quot.out p⟧ = p
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
x : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), r • m ⊗ₜ[R] n = (r • m) ⊗ₜ[R] n

⊢ 0 • 0 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
x : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), r • m ⊗ₜ[R] n = (r • m) ⊗ₜ[R] n
m : M
n : N

⊢ 0 • m ⊗ₜ[R] n = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
x✝ : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), r • m ⊗ₜ[R] n = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : 0 • x = 0
ihy : 0 • y = 0

⊢ 0 • (x + y) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
h : map f p ≠ 0

⊢ Multiset.card p.roots ≤ Multiset.card (map f p).roots
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
h : map f p ≠ 0

⊢ Multiset.card (Multiset.map (⇑f) p.roots) ≤ Multiset.card (map f p).roots
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : G
g : G →L[𝕜] E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s (g x)
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert (g x) s] g x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u

⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x (⇑g ⁻¹' s)] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (f ∘ ⇑g) p u
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : G
g : G →L[𝕜] E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s (g x)
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert (g x) s] g x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u

⊢ ⇑g ⁻¹' u ∈ 𝓝[insert x (⇑g ⁻¹' s)] x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : G
g : G →L[𝕜] E
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s (g x)
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert (g x) s] g x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u

⊢ MapsTo (⇑g) (insert x (⇑g ⁻¹' s)) (insert (g x) s)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : s.Countable
B : Basis ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E) ℝ E

⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∃ L, ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f g : E → ℝ
s✝ : Set E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : s.Countable
B : Basis ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E) ℝ E
I1 : ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∀ v ∈ s, lineDeriv ℝ f x (∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • B i) = ∑ i : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex ℝ E), (B.repr v) i • lineDeriv ℝ f x (B i)

⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, ∃ L, ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v