ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : Semifield R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : HasContinuousInv₀ R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f : R → R
a : A
hf' : ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≠ 0
n : ℕ
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ ↑(cfcUnits f a hf' hf ha ^ n) = ↑(cfcUnits (fun x => f x ^ n) a ⋯ ⋯ ha)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0

⊢ LiouvilleWith p (x * ↑r)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

⊢ LiouvilleWith p (x * ↑r)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

⊢ ∀ (x_1 : ℕ), (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → ∃ m, x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id x_1) ∧ |x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id x_1)| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id x_1) ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

⊢ ∃ m, x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧ |x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id n) ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
h : LiouvilleWith p x
hr : r ≠ 0
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
_hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
A : ↑(r.num * m) / ↑(r.den • id n) = ↑m / ↑n * ↑r

⊢ ∃ m, x * ↑r ≠ ↑m / ↑(r.den • id n) ∧ |x * ↑r - ↑m / ↑(r.den • id n)| < ↑r.den ^ p * (↑|r| * C) / ↑(r.den • id n) ^ p
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α✝
a b c✝ d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeInf α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
x y c : α

⊢ c ≤ x ⊓ y ↔ c ≤ x ⊓ y
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α✝
a b c✝ d : α✝
α : Type u_1
A B : SemilatticeInf α
H : ∀ (x y : α), x ≤ y ↔ x ≤ y
x y c : α

⊢ c ≤ x ⊓ y ↔ c ≤ x ∧ c ≤ y
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
x g : G
hx : x ∈ centralizer ↑P
hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P

⊢ ∃ n ∈ (↑P).normalizer, g⁻¹ * x * g = n⁻¹ * x * n
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
x g : G
hx : x ∈ centralizer ↑P
hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P
h1 : ↑P ≤ centralizer ↑(zpowers x)

⊢ ∃ n ∈ (↑P).normalizer, g⁻¹ * x * g = n⁻¹ * x * n
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
x g : G
hx : x ∈ centralizer ↑P
hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P
h1 : ↑P ≤ centralizer ↑(zpowers x)
h2 : ↑(g • P) ≤ centralizer ↑(zpowers x)

⊢ ∃ n ∈ (↑P).normalizer, g⁻¹ * x * g = n⁻¹ * x * n
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
x g : G
hx : x ∈ centralizer ↑P
hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P
h1 : ↑P ≤ centralizer ↑(zpowers x)
h2 : ↑(g • P) ≤ centralizer ↑(zpowers x)
h : ↥(centralizer ↑(zpowers x))
hh : h • (g • P).subtype h2 = P.subtype h1

⊢ ∃ n ∈ (↑P).normalizer, g⁻¹ * x * g = n⁻¹ * x * n
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
x g : G
hx : x ∈ centralizer ↑P
hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P
h1 : ↑P ≤ centralizer ↑(zpowers x)
h2 : ↑(g • P) ≤ centralizer ↑(zpowers x)
h : ↥(centralizer ↑(zpowers x))
hh : ((↑h * g) • P).subtype ⋯ = P.subtype h1

⊢ ∃ n ∈ (↑P).normalizer, g⁻¹ * x * g = n⁻¹ * x * n
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
x g : G
hx : x ∈ centralizer ↑P
hy : g⁻¹ * x * g ∈ centralizer ↑P
h1 : ↑P ≤ centralizer ↑(zpowers x)
h2 : ↑(g • P) ≤ centralizer ↑(zpowers x)
h : ↥(centralizer ↑(zpowers x))
hh : ((↑h * g) • P).subtype ⋯ = P.subtype h1

⊢ g⁻¹ * x * g = (↑h * g)⁻¹ * x * (↑h * g)
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Defs.lean
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b c : α
inst✝ : Invertible c

⊢ a * ⅟c = b ↔ a = b * c
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ f' x
x : ℝ
hx : x ∈ interior D

⊢ 0 ≤ deriv f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, 0 ≤ f' x
x : ℝ
hx : x ∈ interior D

⊢ 0 ≤ f' x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/MonoCoprod.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : MonoCoprod C
I : Type u_2
J : Type u_3
X : I → C
ι : J → I
hι : Function.Injective ι
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ ι)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
c₂ : Cofan fun k => X ↑k
hc₂ : IsColimit c₂

⊢ Mono (Cofan.IsColimit.desc hc₁ fun i => c.inj (ι i))
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
p : α → β → Bool
hp : Primrec₂ p
a : β
l : List β
n : α

⊢ (bif p (id n) a then 0 else (List.findIdx (p n) l).succ) = List.findIdx (p n) (a :: l)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type v
X : Type u_1
α : Type u_2
ed : EDist α
edist_self✝¹ : ∀ (x : α), edist x x = 0
edist_comm✝¹ : ∀ (x y : α), edist x y = edist y x
edist_triangle✝¹ : ∀ (x y z : α), edist x z ≤ edist x y + edist y z
U : UniformSpace α
hU : 𝓤 α = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | edist p.1 p.2 < ε}
ed' : EDist α
edist_self✝ : ∀ (x : α), edist x x = 0
edist_comm✝ : ∀ (x y : α), edist x y = edist y x
edist_triangle✝ : ∀ (x y z : α), edist x z ≤ edist x y + edist y z
U' : UniformSpace α
hU' : 𝓤 α = ⨅ ε, ⨅ (_ : ε > 0), 𝓟 {p | edist p.1 p.2 < ε}
h : toEDist = toEDist

⊢ U = U'
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Quotient.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : Group α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : MulAction β α
H : Subgroup α
inst✝ : QuotientAction β H
b : β
q : α ⧸ H

⊢ ↑(b • Quotient.out' q) = b • q
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Presheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v
X : C
p : A.obj (op X)
p' : F.obj (op (CostructuredArrow.mk (yonedaEquiv.symm p)))
q : A.obj (op X)
q' : F.obj (op (CostructuredArrow.mk (yonedaEquiv.symm q)))
h : fst ⟨p, p'⟩ = fst ⟨q, q'⟩
h' : F.map (eqToHom ⋯) (snd ⟨q, q'⟩) = snd ⟨p, p'⟩

⊢ ⟨p, p'⟩ = ⟨q, q'⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Presheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v
X : C
p : A.obj (op X)
p' q' : F.obj (op (CostructuredArrow.mk (yonedaEquiv.symm p)))
h : fst ⟨p, p'⟩ = fst ⟨p, q'⟩
h' : F.map (eqToHom ⋯) (snd ⟨p, q'⟩) = snd ⟨p, p'⟩

⊢ ⟨p, p'⟩ = ⟨p, q'⟩
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

⊢ 1 < a⁻¹ ↔ a < 1
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Dilation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace α
inst✝³ : PseudoEMetricSpace β
inst✝² : FunLike F α β
inst✝¹ : Subsingleton α
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α

⊢ edist x y = 0 ∨ edist x y = ⊤
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α

⊢ κ.compProdFun η a ∅ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p : P1
c : k

⊢ (lineMap p p) c = p
-- Mathlib/CategoryTheory/SmallObject/Iteration.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.33491, u_1} C
Φ : C ⥤ C
ε : 𝟭 C ⟶ Φ
J : Type u
inst✝² : LinearOrder J
inst✝¹ : IsWellOrder J fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderBot J
j : J
iter₁ iter₂ iter₃✝ iter₃ : Iteration ε j
f : iter₁.Hom iter₂
g : iter₂.Hom iter₃
i : J
hi : i < j

⊢ (f.natTrans ≫ g.natTrans).app ⟨wellOrderSucc i, ⋯⟩ = (iter₁.isoSucc i hi).hom ≫ whiskerRight ((f.natTrans ≫ g.natTrans).app ⟨i, ⋯⟩) Φ ≫ (iter₃.isoSucc i hi).inv
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : AddCommGroup P
inst✝⁷ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R N
inst✝³ : Module.Finite R N
inst✝² : Module.Free R P
inst✝¹ : Module.Finite R P
inst✝ : IsReduced R
f g : Module.End R M
μ : R
h_comm : Commute f g
n : Module.End R M := g - (algebraMap R (Module.End R M)) μ
hg : IsNilpotent n

⊢ (trace R M) (f ∘ₗ g) = μ * (trace R M) f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : AddCommGroup P
inst✝⁷ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R N
inst✝³ : Module.Finite R N
inst✝² : Module.Free R P
inst✝¹ : Module.Finite R P
inst✝ : IsReduced R
f g : Module.End R M
μ : R
h_comm : Commute f g
n : Module.End R M := g - (algebraMap R (Module.End R M)) μ
hg : (trace R M) (f ∘ₗ n) = 0

⊢ (trace R M) (f ∘ₗ g) = μ * (trace R M) f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : AddCommGroup P
inst✝⁷ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R N
inst✝³ : Module.Finite R N
inst✝² : Module.Free R P
inst✝¹ : Module.Finite R P
inst✝ : IsReduced R
f g : Module.End R M
μ : R
h_comm : Commute f g
n : Module.End R M := g - (algebraMap R (Module.End R M)) μ
hg : (trace R M) (f ∘ₗ n) = 0
hμ : g = (algebraMap R (Module.End R M)) μ + n

⊢ (trace R M) (f ∘ₗ g) = μ * (trace R M) f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup M
inst✝¹¹ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N
inst✝⁹ : Module R N
inst✝⁸ : AddCommGroup P
inst✝⁷ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : Module.Finite R M
inst✝⁴ : Module.Free R N
inst✝³ : Module.Finite R N
inst✝² : Module.Free R P
inst✝¹ : Module.Finite R P
inst✝ : IsReduced R
f g : Module.End R M
μ : R
h_comm : Commute f g
n : Module.End R M := g - (algebraMap R (Module.End R M)) μ
hg : (trace R M) (f ∘ₗ n) = 0
hμ : g = (algebraMap R (Module.End R M)) μ + n
this : f ∘ₗ (algebraMap R (M →ₗ[R] M)) μ = μ • f

⊢ (trace R M) (f ∘ₗ g) = μ * (trace R M) f
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsRefl α r
c : Cardinal.{u_1}

⊢ c ≤ cof r ↔ ∀ {S : Set α}, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) → c ≤ #↑S
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsRefl α r
c : Cardinal.{u_1}

⊢ (∀ b ∈ {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}, c ≤ b) ↔ ∀ {S : Set α}, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) → c ≤ #↑S
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r✝ r : α → α → Prop
inst✝ : IsRefl α r
c : Cardinal.{u_1}

⊢ (∀ {S : Set α}, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) → c ≤ #↑S) → ∀ b ∈ {c | ∃ S, (∀ (a : α), ∃ b ∈ S, r a b) ∧ #↑S = c}, c ≤ b
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
h : e ≈ e'

⊢ e.target = e'.target
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
s : Set G

⊢ (∀ x ∈ s, DifferentiableWithinAt 𝕜 (⇑iso ∘ f) s x) ↔ ∀ x ∈ s, DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
a : R

⊢ (X - C a).degree = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WideEqualizers.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
inst✝ : Nonempty J
s : Trident f
W : C
k l : W ⟶ s.pt
h : k ≫ s.ι = l ≫ s.ι

⊢ k ≫ s.π.app one = l ≫ s.π.app one
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : IsOpen s
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hspec : ∀ (x : X), f x ⤳ g x

⊢ Continuous (s.piecewise f g)
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : IsOpen s
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hspec : ∀ (x : X), f x ⤳ g x
this : ∀ (U : Set Y), IsOpen U → g ⁻¹' U ⊆ f ⁻¹' U

⊢ Continuous (s.piecewise f g)
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : IsOpen s
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hspec : ∀ (x : X), f x ⤳ g x
this : ∀ (U : Set Y), IsOpen U → g ⁻¹' U ⊆ f ⁻¹' U

⊢ ∀ (s_1 : Set Y), IsOpen s_1 → IsOpen (s.piecewise f g ⁻¹' s_1)
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : IsOpen s
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hspec : ∀ (x : X), f x ⤳ g x
this : ∀ (U : Set Y), IsOpen U → g ⁻¹' U ⊆ f ⁻¹' U
U : Set Y
hU : IsOpen U

⊢ IsOpen (s.piecewise f g ⁻¹' U)
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : IsOpen s
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hspec : ∀ (x : X), f x ⤳ g x
this : ∀ (U : Set Y), IsOpen U → g ⁻¹' U ⊆ f ⁻¹' U
U : Set Y
hU : IsOpen U

⊢ IsOpen (f ⁻¹' U ∩ s ∪ g ⁻¹' U)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
ht : MeasurableSet t
hs_finite : μ s ≠ ⊤
ht_finite : μ t ≠ ⊤
h_inter : s ∩ t = ∅
x : F

⊢ (weightedSMul μ (s ∪ t)) x = (weightedSMul μ s + weightedSMul μ t) x
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
n : ℕ

⊢ (p.scaleRoots 0).coeff n = (p.leadingCoeff • X ^ p.natDegree).coeff n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
n : ℕ

⊢ (if p.natDegree ≤ n then p.coeff n else 0) = if n = p.natDegree then p.leadingCoeff else 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
n : ℕ
h : 1 < n

⊢ (fun x => ‖x‖ ^ n) =o[𝓝 0] fun x => x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
n : ℕ
h : 1 < n
this : (fun x => ‖x‖ ^ n) =o[𝓝 0] fun x => ‖x‖ ^ 1

⊢ (fun x => ‖x‖ ^ n) =o[𝓝 0] fun x => x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
n : ℕ
h : 1 < n
this : (fun x => ‖x‖ ^ n) =o[𝓝 0] fun x => ‖x‖

⊢ (fun x => ‖x‖ ^ n) =o[𝓝 0] fun x => x
-- Mathlib/Order/Hom/Lattice.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁸ : FunLike F α β
inst✝⁷ : Lattice α
inst✝⁶ : Lattice β
inst✝⁵ : Lattice γ
inst✝⁴ : Lattice δ
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : BoundedOrder γ
inst✝ : BoundedOrder δ
g : BoundedLatticeHom β γ
f₁ f₂ : BoundedLatticeHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α

⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A

⊢ Algebra.IsAlgebraic R A ↔ ∀ x ∈ ⊤, IsAlgebraic R x
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ r.toNNReal = ⟨r, hr⟩
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α
z : Sym2 α

⊢ z ∈ xs.sym2 ↔ ∀ y ∈ z, y ∈ xs
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α
z : Sym2 α
a b : α

⊢ s(a, b) ∈ xs.sym2 ↔ ∀ y ∈ s(a, b), y ∈ xs
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
H K : Subgroup G
S T✝ : Set G
F : Type u_2
inst✝² : Group F
inst✝¹ : MulAction F G
inst✝ : QuotientAction F H
f : F
T : ↑(leftTransversals ↑H)
q : G ⧸ H

⊢ ↑((toEquiv ⋯) q) = f • ↑((toEquiv ⋯) (f⁻¹ • q))
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)

⊢ comap mk (𝓝ˢ t) = 𝓝ˢ (mk ⁻¹' t)
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
hc : Continuous f

⊢ Part.fix ⇑f = f (Part.fix ⇑f)
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
hc : Continuous f

⊢ ωSup (approxChain f) = ωSup ((approxChain f).map f)
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
hc : Continuous f

⊢ ωSup (approxChain f) ≤ ωSup ((approxChain f).map f)
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α✝ : Type u_1
β : α✝ → Type u_2
α : Type u_3
f : ((a : α✝) → Part (β a)) →o (a : α✝) → Part (β a)
hc : Continuous f

⊢ ωSup ((approxChain f).map f) ≤ ωSup (approxChain f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
D : GlueData
U : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace

⊢ IsOpen U ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(D.ι i).val.base ⁻¹' U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
D : GlueData
U : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace

⊢ IsOpen (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ⁻¹' U) ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(D.ι i).val.base ⁻¹' U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
D : GlueData
U : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace

⊢ (∀ (i : D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.J), IsOpen (⇑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i) ⁻¹' (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ⁻¹' U))) ↔ ∀ (i : D.J), IsOpen (⇑(D.ι i).val.base ⁻¹' U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
D : GlueData
U : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace

⊢ ∀ (a : D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.J), IsOpen (⇑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι a) ⁻¹' (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ⁻¹' U)) ↔ IsOpen (⇑(D.ι a).val.base ⁻¹' U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
D : GlueData
U : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace
i : D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.J

⊢ IsOpen (⇑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i) ⁻¹' (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ⁻¹' U)) ↔ IsOpen (⇑(D.ι i).val.base ⁻¹' U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
D : GlueData
U : Set ↑↑D.glued.toPresheafedSpace
i : D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.J

⊢ IsOpen (⇑(TopCat.homeoOfIso D.isoCarrier.symm) ∘ ⇑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i) ⁻¹' U) ↔ IsOpen (⇑(D.toLocallyRingedSpaceGlueData.toSheafedSpaceGlueData.toPresheafedSpaceGlueData.toTopGlueData.ι i ≫ D.isoCarrier.inv) ⁻¹' U)