ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : f =O[cofinite] g''
C : ℝ
C₀ : C > 0
hC : {x | ¬‖f x‖ ≤ C * ‖g'' x‖}.Finite
C' : ℝ
hC' : ∀ i ∈ Finset.image (fun x => ‖f x‖ / ‖g'' x‖) hC.toFinset, i ≤ C'
this : ∀ (x : α), C * ‖g'' x‖ < ‖f x‖ → ‖f x‖ / ‖g'' x‖ ≤ C'
x : α
h₀ : g'' x ≠ 0

⊢ C * ‖g'' x‖ < ‖f x‖ → ‖f x‖ ≤ C' * ‖g'' x‖
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S T : Set E

⊢ restrictScalars F (adjoin (↥(adjoin F S)) T) = restrictScalars F (adjoin (↥(adjoin F T)) S)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r₁ r₂ : ℝ

⊢ ⟪r₁ • (o.rotation ↑(π / 2)) x, r₂ • x⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Fin/Basic.lean
m n✝ : ℕ
k : Fin (n✝ + 1 + 1)

⊢ k ≤ k - 1 ↔ k = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Fin/Basic.lean
m n✝ : ℕ
k : Fin (n✝ + 1 + 1)

⊢ ↑k ≤ ↑(k - 1) ↔ k = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Fin/Basic.lean
m n✝ : ℕ
k : Fin (n✝ + 1 + 1)

⊢ k = k + 1 → k = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
ι' : Type u_7
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : DecidableEq ι'
tb : Trunc (Basis ι A M)
b' : Basis ι' A M
f : M →ₗ[A] M

⊢ (detAux tb) f = ((toMatrix b' b') f).det
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
i : ι

⊢ MeasurableSet {ω | (fun ω => min (τ ω) (π ω)) ω ≤ i}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
i : ι

⊢ MeasurableSet ({a | τ a ≤ i} ∪ {a | π a ≤ i})
-- Mathlib/Topology/Order/Bounded.lean
ι : Type u_1
F : Filter ι
f : ι → ℝ
h : Bornology.IsBounded (range f)

⊢ IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (map f F)
-- Mathlib/Topology/Order/Bounded.lean
ι : Type u_1
F : Filter ι
f : ι → ℝ
h : Bornology.IsBounded (range f)
c : ℝ
hc : c ∈ upperBounds (range f)

⊢ IsBounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (map f F)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/HasColimits.lean
J : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j : J
U : (Opens ↑↑(F.obj j))ᵒᵖ

⊢ (F.map (𝟙 j)).c.app U = (Pushforward.id (F.obj j).presheaf).inv.app U ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j).presheaf).hom.app U
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α

⊢ 𝓝[{a}] a = pure a
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
r : ℝ

⊢ ⟪r • (o.rotation ↑(π / 2)) x, x⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
h : α ≃ᵢ β
x : β
r : ℝ≥0∞

⊢ ⇑h ⁻¹' EMetric.ball x r = EMetric.ball (h.symm x) r
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
A : Type u_2
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : IsScalarTower R A M
N : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module A N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsScalarTower R A N
r : R
m : M

⊢ r • m = (algebraMap R A) r • m
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α

⊢ y ∈ ball x ε ↔ edist x y < ε
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ λ ^ 2 ∣ ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 = λ ^ 2 * (λ ^ (3 * S.multiplicity - 5) * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S ^ 3)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
this : 3 * (S.multiplicity - 1) = 2 + (3 * S.multiplicity - 5)

⊢ ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 = λ ^ 2 * (λ ^ (3 * S.multiplicity - 5) * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S ^ 3)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V

⊢ ‖x - y‖ * ‖x - y‖ = ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - 2 * ‖x‖ * ‖y‖ * Real.cos (angle x y)
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r

⊢ ↑b ^ (clog b r - 1) < r
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r

⊢ r⁻¹ < ↑b ^ (log b r⁻¹ + 1)
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r : R
hb : 1 < b
hr : 0 < r

⊢ 0 < ↑b ^ (log b r⁻¹ + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : ⋯.IsPrimitiveClassified

⊢ h.IsClassified
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : ⋯.IsPrimitiveClassified

⊢ ↑(x.gcd y) ∣ x
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : ⋯.IsPrimitiveClassified

⊢ ↑(x.gcd y) ∣ y
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : ⋯.IsPrimitiveClassified

⊢ ↑(x.gcd y) ∣ z
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LogLikelihoodRatio.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hfμ : Integrable f μ
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
hfν : Integrable (fun x => rexp (f x)) ν

⊢ Integrable (llr μ (ν.tilted f)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LogLikelihoodRatio.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hfμ : Integrable f μ
h_int : Integrable (llr μ ν) μ
hfν : Integrable (fun x => rexp (f x)) ν

⊢ Integrable (fun x => -f x + log (∫ (z : α), rexp (f z) ∂ν) + llr μ ν x) μ
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
H K : Subgroup G

⊢ map f H ≤ map f K ↔ H ≤ K ⊔ f.ker
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop atTop
r : ℝ
hf' : ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ f a
i : ℕ
hi : ∀ (a : ℕ), i ≤ a → r + 1 ≤ f a
hi' : ∀ (a : ℕ), f a < r + 1 → a < i

⊢ {a | r < f a}ᶜ ⊆ {a | a ≤ i}
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
f : ℕ → ℝ
hf : Tendsto f atTop atTop
r : ℝ
hf' : ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℕ), i ≤ a → b ≤ f a
i : ℕ
hi : ∀ (a : ℕ), i ≤ a → r + 1 ≤ f a
hi' : ∀ (a : ℕ), f a < r + 1 → a < i

⊢ {a | f a ≤ r} ⊆ {a | a ≤ i}
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/MvPolynomial.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
s : σ
n : N
d : σ →₀ ℕ

⊢ (rTensor (X s ⊗ₜ[R] n)) d = if Finsupp.single s 1 = d then 1 ⊗ₜ[R] n else 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
a b c✝ d e : α
m n : ℤ
β : Type u_4
inst✝ : Preorder β
f : β → α
hf : StrictMono f
c : α
hc : 0 < c

⊢ StrictMono fun x => f x / c
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : p ∣ Nat.card α
a : α
ha : a ∈ fixedPoints G α

⊢ ∃ b ∈ fixedPoints G α, a ≠ b
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : p ∣ Nat.card α
a : α
ha : a ∈ fixedPoints G α
hpf : p ∣ Nat.card ↑(fixedPoints G α)

⊢ ∃ b ∈ fixedPoints G α, a ≠ b
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : p ∣ Nat.card α
a : α
ha : a ∈ fixedPoints G α
hpf : p ∣ Nat.card ↑(fixedPoints G α)
hα : 1 < Nat.card ↑(fixedPoints G α)

⊢ ∃ b ∈ fixedPoints G α, a ≠ b
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝² : Group G
hG : IsPGroup p G
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_2
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : Finite α
hpα : p ∣ Nat.card α
a : α
ha : a ∈ fixedPoints G α
hpf : p ∣ Nat.card ↑(fixedPoints G α)
hα : Nontrivial ↑(fixedPoints G α)

⊢ ∃ b ∈ fixedPoints G α, a ≠ b
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A✝ B C A X Y : Rep k G
f : X ⟶ Y
g : ↑(MonCat.of G)
x : ↑((fun B => of (A.ρ.linHom B.ρ)) X).V
y : CoeSort.coe A

⊢ f.hom ((X.ρ g) ((x ∘ₗ A.ρ g⁻¹) y)) = ((ModuleCat.ofHom ((LinearMap.llcomp k (CoeSort.coe A) (CoeSort.coe X) (CoeSort.coe Y)) f.hom) ≫ ((fun B => of (A.ρ.linHom B.ρ)) Y).ρ g) x) y
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A✝ B C A X Y : Rep k G
f : X ⟶ Y
g : ↑(MonCat.of G)
x : ↑((fun B => of (A.ρ.linHom B.ρ)) X).V
y : CoeSort.coe A

⊢ (Y.ρ g) (f.hom ((x ∘ₗ A.ρ g⁻¹) y)) = ((ModuleCat.ofHom ((LinearMap.llcomp k (CoeSort.coe A) (CoeSort.coe X) (CoeSort.coe Y)) f.hom) ≫ (of (A.ρ.linHom Y.ρ)).ρ g) x) y
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
u : γ → α
v : δ → β
hu : CauchySeq u
hv : CauchySeq v

⊢ CauchySeq (Prod.map u v)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
m n : ℕ

⊢ ↑(m - n) = ↑m - ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℤ

⊢ A⁻¹ ^ n = A ^ (-n)
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n k : ℕ

⊢ (n * k + m).Coprime n ↔ m.Coprime n
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
s : Finset α
f : α → Filter β
t : Set β

⊢ t ∈ ⨅ a ∈ s, f a ↔ ∃ p, (∀ a ∈ s, p a ∈ f a) ∧ t = ⋂ a ∈ s, p a
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t✝ : Set α
s : Finset α
f : α → Filter β
t : Set β

⊢ t ∈ ⨅ x, f ↑x ↔ ∃ p, (∀ a ∈ s, p a ∈ f a) ∧ t = ⋂ x, p ↑x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Complex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s t : SignedMeasure α

⊢ { re := ↑s ∅, im := ↑t ∅ } = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Complex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s t : SignedMeasure α

⊢ { re := 0, im := 0 } = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Complex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s t : SignedMeasure α
i : Set α
hi : ¬MeasurableSet i

⊢ { re := ↑s i, im := ↑t i } = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Complex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s t : SignedMeasure α
i : Set α
hi : ¬MeasurableSet i

⊢ { re := 0, im := 0 } = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R

⊢ p.support ∆ q.support ⊆ (p + q).support
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R

⊢ p.support \ q.support ∪ q.support \ p.support ⊆ (p + q).support
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R

⊢ p.support \ q.support ⊆ (p + q).support
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R

⊢ q.support \ p.support ⊆ (p + q).support
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/DirectLimit.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
ι : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
i : ι
g : G i
m : M

⊢ (toDirectLimit f M) ((of R ι G f i) g ⊗ₜ[R] m) = (of R ι (fun x => G x ⊗[R] M) (fun i j h => LinearMap.rTensor M (f i j h)) i) (g ⊗ₜ[R] m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/DirectLimit.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
ι : Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
i : ι
g : G i
m : M

⊢ (((mk R (G i) M).compr₂ (of R ι (fun _i => G _i ⊗[R] M) (fun _i _j h => LinearMap.rTensor M (f _i _j h)) i)) g) m = (of R ι (fun x => G x ⊗[R] M) (fun i j h => LinearMap.rTensor M (f i j h)) i) (g ⊗ₜ[R] m)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝² : Type u_1
α✝¹ : Type u_2
α✝ : Type u_3
f : α✝² → α✝¹ → α✝
l : List α✝²
l' : List α✝¹

⊢ (zipWith f l l').tail = zipWith f l.tail l'.tail
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝² : Type u_1
α✝¹ : Type u_2
α✝ : Type u_3
f : α✝² → α✝¹ → α✝
l : List α✝²
l' : List α✝¹

⊢ drop 1 (zipWith f l l') = zipWith f l.tail l'.tail
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g h : G
comm : Commute g h
x : α

⊢ x ∈ h • fixedBy α g ↔ x ∈ fixedBy α g
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0

⊢ (C b * X ^ 2 + C c * X + C d).degree < (C a * X ^ 3).degree
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P

⊢ IsLocalAtTarget (stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : (RingHom.toMorphismProperty fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso

⊢ IsLocalAtTarget (stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : (RingHom.toMorphismProperty fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso
this : (stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso := stalkwise_respectsIso hP

⊢ IsLocalAtTarget (stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : (RingHom.toMorphismProperty fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso
this : (stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso := stalkwise_respectsIso hP

⊢ ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (U : Y.Opens), stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f → stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (f ∣_ U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : RingHom.RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : (RingHom.toMorphismProperty fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso
this : (stalkwise fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P).RespectsIso := stalkwise_respectsIso hP

⊢ ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) {ι : Type u} (U : ι → Y.Opens), iSup U = ⊤ → (∀ (i : ι), stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) (f ∣_ U i)) → stalkwise (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P) f
-- Mathlib/Topology/Instances/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : 0 < a

⊢ ContinuousAt (⇑SignType.sign) a
-- Mathlib/Topology/Instances/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : 0 < a

⊢ (fun x => 1) =ᶠ[nhds a] ⇑SignType.sign
-- Mathlib/Topology/Instances/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : 0 < a

⊢ ∃ t, (∀ y ∈ t, 1 = SignType.sign y) ∧ IsOpen t ∧ a ∈ t
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝ : T2Space M

⊢ tsupport ↑f ⊆ ↑(extChartAt I c).symm '' (closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
inst✝ : T2Space M

⊢ closure (↑(extChartAt I c).symm '' (ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)) ⊆ ↑(extChartAt I c).symm '' (closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (p.append q).IsPath

⊢ q.IsPath
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (p.append q).reverse.IsPath

⊢ q.reverse.IsPath
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (q.reverse.append p.reverse).IsPath

⊢ q.reverse.IsPath
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
f : α → γ → γ
a : α
h : ∀ (b : γ), f a b = b
t : Finset γ

⊢ ↑(image₂ f {a} t) = ↑t
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Pullback.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.14175, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ a₃ : A
h : a₁ + a₂ = a₃
b₁ b₂ b₃ : B
h₁ : b₁ = φ a₁
h₂ : b₂ = φ a₂
h₃ : b₃ = φ a₃

⊢ b₁ + b₂ = b₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Pullback.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ : A
b₃ : B
h₃ : b₃ = φ (a₁ + a₂)

⊢ (shiftFunctorAdd' (PullbackShift C φ) a₁ a₂ (a₁ + a₂) ⋯).inv.app X = (shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₂).map ((pullbackShiftIso C φ a₁ (φ a₁) ⋯).hom.app X) ≫ (pullbackShiftIso C φ a₂ (φ a₂) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C (φ a₁)).obj X) ≫ (shiftFunctorAdd' C (φ a₁) (φ a₂) b₃ ⋯).inv.app X ≫ (pullbackShiftIso C φ (a₁ + a₂) b₃ h₃).inv.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Pullback.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ : A
h₃ : φ a₁ + φ a₂ = φ (a₁ + a₂)

⊢ (shiftFunctorAdd' (PullbackShift C φ) a₁ a₂ (a₁ + a₂) ⋯).inv.app X = (shiftFunctor (PullbackShift C φ) a₂).map ((pullbackShiftIso C φ a₁ (φ a₁) ⋯).hom.app X) ≫ (pullbackShiftIso C φ a₂ (φ a₂) ⋯).hom.app ((shiftFunctor C (φ a₁)).obj X) ≫ (shiftFunctorAdd' C (φ a₁) (φ a₂) (φ a₁ + φ a₂) ⋯).inv.app X ≫ (pullbackShiftIso C φ (a₁ + a₂) (φ a₁ + φ a₂) h₃).inv.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Pullback.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ : A
h₃ : φ a₁ + φ a₂ = φ (a₁ + a₂)

⊢ (shiftFunctorAdd (PullbackShift C φ) a₁ a₂).inv.app X = (shiftFunctorAdd C (φ a₁) (φ a₂)).inv.app X ≫ (pullbackShiftIso C φ (a₁ + a₂) (φ a₁ + φ a₂) h₃).inv.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Pullback.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝² : AddMonoid A
inst✝¹ : AddMonoid B
φ : A →+ B
inst✝ : HasShift C B
X : PullbackShift C φ
a₁ a₂ : A
h₃ : φ a₁ + φ a₂ = φ (a₁ + a₂)

⊢ HasShift.shift.map (eqToHom ⋯) = (pullbackShiftIso C φ (a₁ + a₂) (φ a₁ + φ a₂) h₃).inv
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x✝ y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t✝ t : Set α
h : (s ∩ t).Nonempty
x : α
xs : x ∈ s
xt : x ∈ t

⊢ diam (s ∪ t) ≤ diam s + diam t