ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Finset/Sort.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
h : s.card - 1 < s.card

⊢ s.Nonempty
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/RootPositive.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι

⊢ P.coxeterWeight i j = 0 ↔ P.IsOrthogonal i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/RootPositive.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι

⊢ P.pairing i j = 0 ∨ P.pairing j i = 0 ↔ P.IsOrthogonal i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/RootPositive.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrderedCommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] R
inst✝ : P.IsRootPositive B
i j : ι
h : P.pairing i j = 0 ∨ P.pairing j i = 0

⊢ P.IsOrthogonal i j
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b c : α

⊢ lcm (b * a) (c * a) = lcm b c * normalize a
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤

⊢ s = univ
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤
p : P
hp : p ∈ s

⊢ s = univ
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h₁ : s.Subsingleton
h₂ : affineSpan k s = ⊤
p : P
hp : p ∈ s
this : s = {p}

⊢ s = univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

⊢ ¬μ univ = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

⊢ HasSum (fun n => z ^ n / ↑n) (-log (1 - z))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

⊢ HasSum (fun n => - -(z ^ n / ↑n)) (-log (1 - z))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

⊢ HasSum (fun n => -(z ^ n / ↑n)) (log (1 - z))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
n : ℕ

⊢ -(z ^ n / ↑n) = (-1) ^ (n + 1) * (-z) ^ n / ↑n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1

⊢ -(z ^ 0 / ↑0) = (-1) ^ (0 + 1) * (-z) ^ 0 / ↑0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
n : ℕ
hn : n > 0

⊢ -(z ^ n / ↑n) = (-1) ^ (n + 1) * (-z) ^ n / ↑n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
n : ℕ
hn : n > 0

⊢ -z ^ n / ↑n = (-1) ^ (n + 1) * (-z) ^ n / ↑n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : ‖z‖ < 1
n : ℕ
hn : n > 0

⊢ ↑n ≠ 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
hx : eval (W.addX x₁ x₂ L) (derivative (W.addPolynomial x₁ y₁ L)) ≠ 0

⊢ W.Nonsingular (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
hx : eval (W.addX x₁ x₂ L) (derivative (W.addPolynomial x₁ y₁ L)) ≠ 0

⊢ evalEval (W.addX x₁ x₂ L) (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) (C (C W.a₁) * Y - C (C 3 * X ^ 2 + C (2 * W.a₂) * X + C W.a₄)) ≠ 0 ∨ evalEval (W.addX x₁ x₂ L) (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) (C (C 2) * Y + C (C W.a₁ * X + C W.a₃)) ≠ 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
hx : eval (W.addX x₁ x₂ L) (derivative (W.addPolynomial x₁ y₁ L)) ≠ 0

⊢ W.a₁ * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - (3 * W.addX x₁ x₂ L ^ 2 + 2 * W.a₂ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₄) ≠ 0 ∨ 2 * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) + (W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₃) ≠ 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
hx : W.a₁ * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - (3 * W.addX x₁ x₂ L ^ 2 + 2 * W.a₂ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₄) = 0 ∧ 2 * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) + (W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₃) = 0

⊢ eval (W.addX x₁ x₂ L) (derivative (W.addPolynomial x₁ y₁ L)) = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
hx : W.a₁ * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - (3 * W.addX x₁ x₂ L ^ 2 + 2 * W.a₂ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₄) = 0 ∧ 2 * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) + (W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₃) = 0

⊢ eval (W.addX x₁ x₂ L) (derivative (eval (C L * (X - C x₁) + C y₁) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)))) = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
hx : W.a₁ * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - (3 * W.addX x₁ x₂ L ^ 2 + 2 * W.a₂ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₄) = 0 ∧ 2 * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) + (W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₃) = 0

⊢ eval (W.addX x₁ x₂ L) (derivative ((C L * (X - C x₁) + C y₁) ^ 2 + (C W.a₁ * X + C W.a₃) * (C L * (X - C x₁) + C y₁) - (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))) = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
hx : W.a₁ * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - (3 * W.addX x₁ x₂ L ^ 2 + 2 * W.a₂ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₄) = 0 ∧ 2 * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) + (W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₃) = 0

⊢ eval (W.addX x₁ x₂ L) (C 2 * (C L * (X - C x₁) + C y₁) * (0 * (X - C x₁) + C L * (1 - 0) + 0) + ((0 * X + C W.a₁ * 1 + 0) * (C L * (X - C x₁) + C y₁) + (C W.a₁ * X + C W.a₃) * (0 * (X - C x₁) + C L * (1 - 0) + 0)) - (C ↑3 * X ^ (3 - 1) + (0 * X ^ 2 + C W.a₂ * (C 2 * X * 1)) + (0 * X + C W.a₄ * 1) + 0)) = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
hx : W.a₁ * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - (3 * W.addX x₁ x₂ L ^ 2 + 2 * W.a₂ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₄) = 0 ∧ 2 * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) + (W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₃) = 0

⊢ eval (W.addX x₁ x₂ L) (C 2 * (C L * (X - C x₁) + C y₁) * C L + (C W.a₁ * (C L * (X - C x₁) + C y₁) + (C W.a₁ * X + C W.a₃) * C L) - (C ↑3 * X ^ (3 - 1) + C W.a₂ * (C 2 * X) + C W.a₄)) = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x₁ x₂ y₁ L : R
hx' : W.Equation (W.addX x₁ x₂ L) (W.negAddY x₁ x₂ y₁ L)
hx : W.a₁ * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) - (3 * W.addX x₁ x₂ L ^ 2 + 2 * W.a₂ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₄) = 0 ∧ 2 * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) + (W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₃) = 0

⊢ 2 * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) * L + (W.a₁ * (L * (W.addX x₁ x₂ L - x₁) + y₁) + (W.a₁ * W.addX x₁ x₂ L + W.a₃) * L) - (↑3 * W.addX x₁ x₂ L ^ (3 - 1) + W.a₂ * (2 * W.addX x₁ x₂ L) + W.a₄) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FinallySmall.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : InitiallySmall J
i : J

⊢ ∃ j ∈ Set.range (fromInitialModel J).obj, Nonempty (j ⟶ i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FinallySmall.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} J
inst✝ : InitiallySmall J
i : J
f : CostructuredArrow (fromInitialModel J) i

⊢ ∃ j ∈ Set.range (fromInitialModel J).obj, Nonempty (j ⟶ i)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Sum/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α ⊕ β

⊢ x.getLeft? = none ↔ x.isRight = true
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : Zero R
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnModule Γ' R V
x✝ : Γ'

⊢ ((of R).symm (0 • x)).coeff x✝ = ((of R).symm 0).coeff x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m✝ : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m✝
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
A : Matrix n n R
hA : A.PosSemidef
m : Type u_5
inst✝ : Fintype m
B : Matrix m n R

⊢ (B * A * Bᴴ).PosSemidef
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
ι' : Sort u_3
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s

⊢ Iio a ∩ Iio b ∈ Iio '' s
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l✝ l₁ l₂ : List α
a b✝ : α
f : β → α
b : β
l : List β

⊢ Chain R (f b) (map f l) ↔ Chain (fun a b => R (f a) (f b)) b l
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a✝ b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ b
a : α

⊢ a + b - c = a + (b - c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Reflective.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : C

⊢ (reflectorAdjunction i).unit.app (i.obj ((reflector i).obj X)) = i.map ((reflector i).map ((reflectorAdjunction i).unit.app X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Reflective.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
i : D ⥤ C
inst✝ : Reflective i
X : C

⊢ (reflectorAdjunction i).unit.app (i.obj ((reflector i).obj X)) ≫ i.map ((reflectorAdjunction i).counit.app ((reflector i).obj X)) = i.map ((reflector i).map ((reflectorAdjunction i).unit.app X) ≫ (reflectorAdjunction i).counit.app ((reflector i).obj X))
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n✝ a✝ b✝ c✝ d a b n c : ℤ
ha : a ≡ b [ZMOD n]

⊢ b + 0 ≡ b [ZMOD n]
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α

⊢ u ∈ (s ∪ t).powerset ↔ u ∈ s.powerset ⊻ t.powerset
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α

⊢ u ⊆ s ∪ t ↔ ∃ a ⊆ s, ∃ b ⊆ t, a ∪ b = u
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α
h : u ⊆ s ∪ t

⊢ s ∩ u ∪ t ∩ u = u
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ : Finset α
a : α
s t u : Finset α

⊢ (∃ a ⊆ s, ∃ b ⊆ t, a ∪ b = u) → u ⊆ s ∪ t
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
x✝ : E
hs : Convex 𝕜 s
z x : E
hx : x ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h : a • (fun x => z + x) x + b • (fun x => z + x) y ∈ s

⊢ a • x + b • y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : p = 0

⊢ (p /ₘ q).degree ≤ p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree

⊢ (p /ₘ q).degree ≤ p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree
this : Nontrivial R

⊢ (p /ₘ q).degree ≤ p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree
this : Nontrivial R

⊢ ↑(p /ₘ q).natDegree ≤ ↑q.natDegree + ↑(p /ₘ q).natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hp0 : ¬p = 0
hq : q.Monic
h : ¬q.degree ≤ p.degree

⊢ (if h : q.Monic then (if h_1 : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0 then let z := C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree); let_fun _wf := ⋯; let dm := (p - q * z).divModByMonicAux ⋯; (z + dm.1, dm.2) else (0, p)).1 else 0).degree ≤ p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
f : R[X] →ₐ[R] A

⊢ eval₂ (algebraMap R A) (f X) p = f p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
f : R[X] →ₐ[R] A

⊢ eval₂ (algebraMap R A) (f X) p = f (p.sum fun n a => C a * X ^ n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
f : R[X] →ₐ[R] A

⊢ ∑ n ∈ p.support, (algebraMap R A) (p.coeff n) * f X ^ n = f (∑ n ∈ p.support, C (p.coeff n) * X ^ n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R✝
inst✝⁶ : Semiring A✝
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R✝ A✝
inst✝³ : Algebra R✝ B
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : R[X]
f : R[X] →ₐ[R] A

⊢ ∑ n ∈ p.support, (algebraMap R A) (p.coeff n) * f X ^ n = ∑ x ∈ p.support, f (C (p.coeff x)) * f X ^ x
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Small.{v, u} R

⊢ Flat R M ↔ ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N'] (L : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑L → Function.Injective ⇑(lTensor M L)
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
_hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
n m : ℕ
hdvd : p ^ m ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
hnm✝ : n ≤ m
hnm : n < m
h0m : 0 < m
_wf : m - 1 < m
hnm1 : n ≤ m - 1
K : Subgroup G
hK : Nat.card ↥K = p ^ (m - 1) ∧ H ≤ K

⊢ p ^ (m - 1 + 1) ∣ Nat.card G
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
_hp✝ : Fact (Nat.Prime p)
n m : ℕ
hdvd : p ^ m ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
hnm✝ : n ≤ m
hnm : n < m
h0m : 0 < m
_wf : m - 1 < m
hnm1 : n ≤ m - 1
K : Subgroup G
hK : Nat.card ↥K = p ^ (m - 1) ∧ H ≤ K
hdvd' : p ^ (m - 1 + 1) ∣ Nat.card G
K' : Subgroup G
hK' : Nat.card ↥K' = p ^ (m - 1 + 1) ∧ K ≤ K'

⊢ Nat.card ↥K' = p ^ m
-- Mathlib/Deprecated/Ring.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
f : α → β
hf✝ : IsSemiringHom f
x y : α
hf : IsSemiringHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Semiring γ
g : β → γ
hg : IsSemiringHom g

⊢ (g ∘ f) 0 = 0
-- Mathlib/Deprecated/Ring.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
f : α → β
hf✝ : IsSemiringHom f
x y : α
hf : IsSemiringHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Semiring γ
g : β → γ
hg : IsSemiringHom g

⊢ (g ∘ f) 1 = 1
-- Mathlib/Deprecated/Ring.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
f : α → β
hf✝ : IsSemiringHom f
x✝ y✝ : α
hf : IsSemiringHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Semiring γ
g : β → γ
hg : IsSemiringHom g
x y : α

⊢ (g ∘ f) (x + y) = (g ∘ f) x + (g ∘ f) y
-- Mathlib/Deprecated/Ring.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : Semiring β
f : α → β
hf✝ : IsSemiringHom f
x✝ y✝ : α
hf : IsSemiringHom f
γ : Type u_1
inst✝ : Semiring γ
g : β → γ
hg : IsSemiringHom g
x y : α

⊢ (g ∘ f) (x * y) = (g ∘ f) x * (g ∘ f) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
k : ℕ
μ : R
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

⊢ (genEigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ) k = Submodule.comap p.subtype ((f.genEigenspace μ) k)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
k : ℕ
μ : R
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

⊢ LinearMap.ker ((LinearMap.restrict f hfp - (algebraMap R (End R ↥p)) μ) ^ k) = LinearMap.ker (((f - (algebraMap R (End R M)) μ) ^ k) ∘ₗ p.subtype)
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
hh : Monotone h

⊢ (∀ s ∈ f, (𝓟 (h s)).NeBot) ↔ ∀ s ∈ f, (h s).Nonempty
-- Mathlib/Algebra/Regular/Pow.lean
R : Type u_1
a b : R
inst✝ : Monoid R
n : ℕ
rra : IsRightRegular a

⊢ IsRightRegular (a ^ n)
-- Mathlib/Algebra/Regular/Pow.lean
R : Type u_1
a b : R
inst✝ : Monoid R
n : ℕ
rra : IsRightRegular a

⊢ Function.Injective (fun x => x * a)^[n]
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
s : Set X
hx : x ∈ e.source

⊢ (∀ᶠ (y : Y) in 𝓝[↑e.symm ⁻¹' s] ↑e x, p (↑e.symm y)) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, p x
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
s : Set X
hx : x ∈ e.source

⊢ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, p (↑e.symm (↑e x))) ↔ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[s] x, p x
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
p : X → Prop
s : Set X
hx : x ∈ e.source
y : X
hy : ↑e.symm (↑e y) = y

⊢ p (↑e.symm (↑e y)) ↔ p y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - (‖x‖ * ‖x‖ - 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ * ‖y‖)) / 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s✝ t✝ : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s t : Finset δ
hst : Disjoint s t

⊢ ∫⋯∫⁻_s ∪ t, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_t, ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ p₃ : ι
h₂₁ : p₂ = p₁
h₂₃ : p₂ = p₃

⊢ eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β

⊢ map f ⊤ = 𝓟 (range f)
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f✝ g : α → β
s✝ : Finset α
t✝ : Finset β
a : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
s t : Finset α
hf : Set.InjOn f (↑s ∪ ↑t)

⊢ f '' (↑s ∩ ↑t) = f '' ↑s ∩ f '' ↑t
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : P1 →ᵃ[k] P2
p : P1

⊢ Function.Surjective ⇑f.linear ↔ Function.Surjective ⇑f
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : P1 →ᵃ[k] P2
p : P1
h : ⇑f.linear = ⇑(Equiv.vaddConst (f p)).symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(Equiv.vaddConst p)

⊢ Function.Surjective ⇑f.linear ↔ Function.Surjective ⇑f
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop

⊢ SuperpolynomialDecay l k f ↔ ∀ (z : ℤ), Tendsto (fun a => k a ^ z * f a) l (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ

⊢ Tendsto (fun a => k a ^ z * f a) l (𝓝 0)
-- Mathlib/CategoryTheory/ClosedUnderIsomorphisms.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q : C → Prop
X : C

⊢ isoClosure P X ↔ ∃ Y x, Nonempty (X ≅ Y)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → LinearOrder (α i)
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : m ∈ Icc (x i₀) (y i₀)

⊢ ((univ.pi fun i => Ioc (x i) (update y i₀ m i)) ∪ univ.pi fun i => Ioc (update x i₀ m i) (y i)) = univ.pi fun i => Ioc (x i) (y i)