ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯

⊢ Nonempty (α ↪o β)
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
a₁ a₂ : α

⊢ a₁ < a₂ → (fun a => ↑(F a)) a₁ < (fun a => ↑(F a)) a₂
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
a₁ a₂ : α
f : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hf : f ∈ our_ideal
ha₁ : (a₁, ↑(F a₁)) ∈ ↑f

⊢ a₁ < a₂ → (fun a => ↑(F a)) a₁ < (fun a => ↑(F a)) a₂
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
a₁ a₂ : α
f : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hf : f ∈ our_ideal
ha₁ : (a₁, ↑(F a₁)) ∈ ↑f
g : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hg : g ∈ our_ideal
ha₂ : (a₂, ↑(F a₂)) ∈ ↑g

⊢ a₁ < a₂ → (fun a => ↑(F a)) a₁ < (fun a => ↑(F a)) a₂
-- Mathlib/Order/CountableDenseLinearOrder.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : Countable α
inst✝¹ : DenselyOrdered β
inst✝ : Nontrivial β
val✝ : Encodable α
x y : β
hxy : x < y
a : β
ha : x < a ∧ a < y
this : Nonempty ↑(Set.Ioo x y)
our_ideal : Ideal (PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)) := idealOfCofinals default (definedAtLeft ↑(Set.Ioo x y))
F : (a : α) → { b // ∃ f ∈ our_ideal, (a, b) ∈ ↑f } := fun a => funOfIdeal a our_ideal ⋯
a₁ a₂ : α
f : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hf : f ∈ our_ideal
ha₁ : (a₁, ↑(F a₁)) ∈ ↑f
g : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
hg : g ∈ our_ideal
ha₂ : (a₂, ↑(F a₂)) ∈ ↑g
m : PartialIso α ↑(Set.Ioo x y)
_hm : m ∈ ↑our_ideal
fm : f ≤ m
gm : g ≤ m

⊢ a₁ < a₂ → (fun a => ↑(F a)) a₁ < (fun a => ↑(F a)) a₂
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (aeval pb.gen) p = 0

⊢ pb.dim ≤ p.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (aeval pb.gen) p = 0
hlt : p.natDegree < pb.dim

⊢ p = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (aeval pb.gen) p = 0
hlt : p.natDegree < pb.dim

⊢ ∑ i : Fin pb.dim, (monomial ↑i) (p.coeff ↑i) = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
root : (aeval pb.gen) p = 0
hlt : p.natDegree < pb.dim
i : Fin pb.dim

⊢ (monomial ↑i) (p.coeff ↑i) = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
hlt : p.natDegree < pb.dim
i : Fin pb.dim
root : ∑ x : Fin pb.dim, p.coeff ↑x • pb.basis x = 0

⊢ (monomial ↑i) (p.coeff ↑i) = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S
p : A[X]
ne_zero : p ≠ 0
hlt : p.natDegree < pb.dim
i : Fin pb.dim
root : ∑ x : Fin pb.dim, p.coeff ↑x • pb.basis x = 0
this : ∀ (i : Fin pb.dim), p.coeff ↑i = 0

⊢ (monomial ↑i) (p.coeff ↑i) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R

⊢ preNormEDS b c d 0 = 0
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i
hi_min : ¬IsMin i

⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i
hi_min : ¬IsMin i
seq : ℕ → ι
h_tendsto : Tendsto seq atTop (𝓝 i)
h_bound : ∀ (j : ℕ), seq j < i

⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i
hi_min : ¬IsMin i
seq : ℕ → ι
h_tendsto : Tendsto seq atTop (𝓝 i)
h_bound : ∀ (j : ℕ), seq j < i
h_Ioi_eq_Union : Set.Iio i = ⋃ j, {k | k ≤ seq j}

⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i
hi_min : ¬IsMin i
seq : ℕ → ι
h_tendsto : Tendsto seq atTop (𝓝 i)
h_bound : ∀ (j : ℕ), seq j < i
h_Ioi_eq_Union : Set.Iio i = ⋃ j, {k | k ≤ seq j}
h_lt_eq_preimage : {ω | τ ω < i} = τ ⁻¹' Set.Iio i

⊢ MeasurableSet {ω | τ ω < i}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i
hi_min : ¬IsMin i
seq : ℕ → ι
h_tendsto : Tendsto seq atTop (𝓝 i)
h_bound : ∀ (j : ℕ), seq j < i
h_Ioi_eq_Union : Set.Iio i = ⋃ j, {k | k ≤ seq j}
h_lt_eq_preimage : {ω | τ ω < i} = τ ⁻¹' Set.Iio i

⊢ MeasurableSet (τ ⁻¹' ⋃ j, {k | k ≤ seq j})
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
h_lub : IsLUB (Set.Iio i) i
hi_min : ¬IsMin i
seq : ℕ → ι
h_tendsto : Tendsto seq atTop (𝓝 i)
h_bound : ∀ (j : ℕ), seq j < i
h_Ioi_eq_Union : Set.Iio i = ⋃ j, {k | k ≤ seq j}
h_lt_eq_preimage : {ω | τ ω < i} = τ ⁻¹' Set.Iio i

⊢ MeasurableSet (⋃ i, {a | τ a ≤ seq i})
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/LinearMap.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
A A' : Matrix ι ι R
f f' : Module.End R M
h : (PiToModule.fromMatrix R b) A = (PiToModule.fromEnd R b) f
h' : (PiToModule.fromMatrix R b) A' = (PiToModule.fromEnd R b) f'

⊢ (PiToModule.fromMatrix R b) (A + A') = (PiToModule.fromEnd R b) (f + f')
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
hp : Nat.blt 1 p = true
h : sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2) = 0

⊢ LucasLehmerTest p
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
hp : 1 < p
h : sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2) = 0

⊢ LucasLehmerTest p
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ
hp : 1 < p
h : sMod' (2 ^ p - 1) (p - 2) = 0

⊢ ↑0 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CrossProduct.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v w : Fin 3 → R

⊢ (crossProduct v) w + (crossProduct w) v = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
inst✝ : PartialOrder 𝕜

⊢ HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x ↔ HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : Archimedean α
a : α

⊢ ⋃ n, Ico (↑n) (↑n + 1) = univ
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
A X : C
inst✝ : IsConnected A
a : ↑(F.obj A)
f g : A ⟶ X
h : F.map f a = F.map g a

⊢ f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
A X : C
inst✝ : IsConnected A
a : ↑(F.obj A)
f g : A ⟶ X
h : F.map f a = F.map g a
this : IsIso (equalizer.ι f g)

⊢ f = g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ
h : a ≠ 0
s : Set ℝ

⊢ (Measure.map (fun x => a * x) volume) s = ofReal |a⁻¹| * volume s
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u s : Set α

⊢ ¬IsEmpty ↑s ↔ ¬s = ∅
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b✝ : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
b : B

⊢ Multiset.count b (Multiset.map (⇑f) p.roots) ≤ rootMultiplicity b (map f p)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b✝ : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
b : B

⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.replicate (Multiset.count b (Multiset.map (⇑f) p.roots)) b)).prod ∣ map f p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b✝ : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
b : B

⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.filter (Eq b) (Multiset.map (⇑f) p.roots))).prod ∣ map f p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b✝ : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
b : B

⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.map (⇑f) p.roots)).prod ∣ map f p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b✝ : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
b : B

⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.map (⇑f) p.roots)).prod = map f (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b✝ : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
b : B

⊢ (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ ⇑f) p.roots).prod = (Multiset.map (map f ∘ fun a => X - C a) p.roots).prod
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b✝ : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : DecidableEq B
p : A[X]
f : A →+* B
hmap : map f p ≠ 0
b : B
x✝ : A

⊢ ((fun a => X - C a) ∘ ⇑f) x✝ = (map f ∘ fun a => X - C a) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M✝ : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M✝
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M✝
inst✝³ : Module.Free R M'
ι : Type v
M : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M i)
B : (i : ι) → Basis (ChooseBasisIndex R (M i)) R (M i) := fun i => chooseBasis R (M i)
b : Basis ((i : ι) × ChooseBasisIndex R (M i)) R (⨁ (i : ι), M i) := DFinsupp.basis fun i => B i

⊢ Module.rank R (⨁ (i : ι), M i) = sum fun i => Module.rank R (M i)
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v : ℤ
n : ℕ

⊢ IsUnit ↑n ↔ IsUnit n
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
hx : 0 < x

⊢ √x ≤ √y ↔ x ≤ y
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
hx : 0 < x
hy : y ≤ 0

⊢ √x ≤ √y ↔ x ≤ y
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
hx : 0 < x
hy : 0 ≤ y

⊢ √x ≤ √y ↔ x ≤ y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
f : ι →₀ R
i : ι

⊢ ((Finsupp.total ι (Dual R M) R ⇑b.dualBasis) f) (b i) = f i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
f : ι →₀ R
i : ι
val✝ : Fintype ι

⊢ ((Finsupp.total ι (Dual R M) R ⇑b.dualBasis) f) (b i) = f i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
f : ι →₀ R
i : ι
val✝ : Fintype ι

⊢ ∑ d : ι, (f d • b.dualBasis d) (b i) = f i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
f : ι →₀ R
i : ι
val✝ : Fintype ι

⊢ ∀ (i : ι), 0 • b.dualBasis i = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Linearity.lean
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
hg : LSeriesSummable g s

⊢ LSeriesSummable (f + g) s
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : 2 ≤ k

⊢ Summable fun n => -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
this : ∀ (n : ℤ), -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k = -↑k ! / (2 * ↑π * I) ^ k * (1 / ↑n ^ k)

⊢ Summable fun n => -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
this : ∀ (n : ℤ), -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k = -↑k ! / (2 * ↑π * I) ^ k * (1 / ↑n ^ k)

⊢ Summable fun n => -↑k ! / (2 * ↑π * I) ^ k * (1 / ↑n ^ k)
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
this : ∀ (n : ℤ), -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k = -↑k ! / (2 * ↑π * I) ^ k * (1 / ↑n ^ k)

⊢ Summable fun a => ‖1 / ↑a ^ k‖
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
this✝ : ∀ (n : ℤ), -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k = -↑k ! / (2 * ↑π * I) ^ k * (1 / ↑n ^ k)
this : (fun x => ‖1 / ↑x ^ k‖) = fun x => |1 / ↑x ^ k|

⊢ Summable fun a => ‖1 / ↑a ^ k‖
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : 2 ≤ k
this✝ : ∀ (n : ℤ), -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k = -↑k ! / (2 * ↑π * I) ^ k * (1 / ↑n ^ k)
this : (fun x => ‖1 / ↑x ^ k‖) = fun x => |1 / ↑x ^ k|

⊢ Summable fun x => |1 / ↑x ^ k|
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hs : s ≠ ∅

⊢ (indiscrete hs).IsEquipartition
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hs : s ≠ ∅

⊢ {s}.EquitableOn Finset.card
-- Mathlib/Topology/Instances/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Zero α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : a ≠ 0

⊢ ContinuousAt (⇑SignType.sign) a
-- Mathlib/Topology/Instances/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Zero α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : a ≠ 0
h_neg : a < 0

⊢ ContinuousAt (⇑SignType.sign) a
-- Mathlib/Topology/Instances/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Zero α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : a ≠ 0
h_pos : 0 < a

⊢ ContinuousAt (⇑SignType.sign) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

⊢ (μ.prod ν) s = ∫⁻ (x : α), ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂μ
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R

⊢ 1 * 1 + 0 * x = 1
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c : ℕ
h : a ≤ b

⊢ Ico a (b + 1) = insert b (Ico a b)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0✝ : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
ι : Type u_3
f : ι → R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (∀ (i : ι), ContinuousOn (f i) (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (∀ (i : ι), f i 0 = 0) _auto✝
i : ι

⊢ cfcₙ (f i) a = (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict (f i), continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ }
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f < g
gh : g < h

⊢ (h - f).Pos
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g h : CauSeq α abs
fg : f < g
gh : g < h

⊢ h - f = g - f + (h - g)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m n : ℤ

⊢ ¬Odd n ↔ n % 2 = 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
inst✝ : Nonempty ι
u : ι → UniformSpace β
l : Filter β

⊢ l.NeBot ∧ l ×ˢ l ≤ 𝓤 β ↔ ∀ (i : ι), l.NeBot ∧ l ×ˢ l ≤ 𝓤 β
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
r : ℝ≥0

⊢ HasSum f r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
r : ℝ≥0

⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, ↑(f i)) atTop (𝓝 ↑r) ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : ℕ → ℝ≥0
r : ℝ≥0

⊢ Tendsto (fun n => ↑(∑ a ∈ Finset.range n, f a)) atTop (𝓝 ↑r) ↔ Tendsto (fun n => ∑ a ∈ Finset.range n, f a) atTop (𝓝 r)
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀ : ∀ (b : β), Antitone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
a : α
ha : a ∈ lowerBounds s
b : β
hb : b ∈ lowerBounds t

⊢ BddAbove (image2 f s t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F P : Sheaf J A

⊢ (sheafComposeNatIso J U (sheafificationAdjunction J A) (sheafificationAdjunction J B)).hom.app ((sheafToPresheaf J A).obj P) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app P) = (sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj P)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F P : Sheaf J A

⊢ ((sheafificationAdjunction J B).homEquiv (P.val ⋙ U) ((sheafCompose J U).obj ((presheafToSheaf J A).obj P.val))).symm (whiskerRight (toSheafify J P.val) U) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app P) = (sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj P)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹³ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_5, u_2} A
inst✝¹¹ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹⁰ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁷ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁶ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁵ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J A).Full
inst✝³ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝² : (constantSheaf J B).Full
inst✝¹ : J.PreservesSheafification U
inst✝ : J.HasSheafCompose U
F P : Sheaf J A

⊢ ((presheafToSheaf J B).map (whiskerRight (toSheafify J P.val) U) ≫ (sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj ((presheafToSheaf J A).obj P.val))) ≫ (sheafCompose J U).map ((sheafificationAdjunction J A).counit.app P) = (sheafificationAdjunction J B).counit.app ((sheafCompose J U).obj P)