ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Finset/Sort.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k
hz : 0 < k

⊢ (s.orderEmbOfFin h) ⟨0, hz⟩ = s.min' ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
sm : SplitMono f
Z✝ : C
g h : Z✝ ⟶ X
w : g ≫ f = h ≫ f

⊢ g = h
-- Mathlib/CategoryTheory/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
sm : SplitMono f
Z✝ : C
g h : Z✝ ⟶ X
w : (g ≫ f) ≫ sm.retraction = (h ≫ f) ≫ sm.retraction

⊢ g = h
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
inst✝ : NoMinOrder α

⊢ pred a = pred b ↔ a = b
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Projective.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ ν : Measure ((i : ι) → α i)
inst✝ : ∀ (i : Finset ι), IsProbabilityMeasure (P i)
hμ : IsProjectiveLimit μ P

⊢ μ univ = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Projective.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
P : (J : Finset ι) → Measure ((j : { x // x ∈ J }) → α ↑j)
μ ν : Measure ((i : ι) → α i)
inst✝ : ∀ (i : Finset ι), IsProbabilityMeasure (P i)
hμ : IsProjectiveLimit μ P

⊢ (P ∅) univ = 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
x : G
m n : ℤ
h : x ^ n = 1

⊢ x ^ m = x ^ (m % n + n * (m / n))
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n✝ : ℤ
x : G
m n : ℤ
h : x ^ n = 1

⊢ x ^ (m % n + n * (m / n)) = x ^ (m % n)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N✝ : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : Zero M'
inst✝² : CommMonoid N✝
inst✝¹ : DecidableEq α
N : Type u_16
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α →₀ N
a : α

⊢ (if a ∈ f.support then f a else 0) = f a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N✝ : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : Zero M'
inst✝² : CommMonoid N✝
inst✝¹ : DecidableEq α
N : Type u_16
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α →₀ N
a : α

⊢ f a = 0 → 0 = f a
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
inst✝ : CommMonoid N
s t : Submonoid N
x : N

⊢ x ∈ s ⊔ t ↔ ∃ y ∈ s, ∃ z ∈ t, y * z = x
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p n : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

⊢ (-1) ^ p ^ n = -1
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p n : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

⊢ (-1) ^ p ^ n + 1 = 0
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Ring R
p n : ℕ
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

⊢ (-1) ^ p ^ n + 1 ^ p ^ n = 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R

⊢ I + J = 1 ↔ ∃ i ∈ I, ∃ j ∈ J, i + j = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℤ
n : ℕ
this : ↑p ^ (-↑n) = ↑↑p ^ (-↑n)

⊢ ‖↑k‖ ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ ↑p ^ n ∣ k
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℤ
n : ℕ
this : ↑p ^ (-↑n) = ↑↑p ^ (-↑n)

⊢ ↑(padicNorm p ↑k) ≤ ↑↑p ^ (-↑n) ↔ ↑p ^ n ∣ k
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℤ
n : ℕ
this : ↑p ^ (-↑n) = ↑↑p ^ (-↑n)

⊢ padicNorm p ↑k ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ ↑(p ^ n) ∣ k
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/IsometricSMul.lean
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : PseudoMetricSpace X
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ

⊢ (fun x => c • x) ⁻¹' sphere x r = sphere (c⁻¹ • x) r
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c

⊢ c ^ c = 2 ^ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c

⊢ 2 ^ c ≤ c ^ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c

⊢ (2 ^ c) ^ c ≤ 2 ^ c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
s : Set X
μ : Measure X
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : T2Space X
h₂s : μ s = 0
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcover : ⋃ n, K n = s

⊢ IsMeagre s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
s : Set X
μ : Measure X
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : T2Space X
h₂s : μ s = 0
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcover : ⋃ n, K n = s
h : ∀ (n : ℕ), IsNowhereDense (K n)

⊢ IsMeagre s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
s : Set X
μ : Measure X
inst✝¹ : μ.IsOpenPosMeasure
inst✝ : T2Space X
h₂s : μ s = 0
K : ℕ → Set X
hcompact : ∀ (n : ℕ), IsCompact (K n)
hcover : ⋃ n, K n = s
h : ∀ (n : ℕ), IsNowhereDense (K n)

⊢ ∃ S, (∀ t ∈ S, IsNowhereDense t) ∧ S.Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ S
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
L : List (List α)
i : ℕ
h : i < L.length

⊢ drop (take i (map length L)).sum (take (take (i + 1) (map length L)).sum L.join) = L[i]
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
hμν : μ ≤ ν
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ g

⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), g a ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
hμν : μ ≤ ν
f g : α → ℝ≥0∞
hfg : f ≤ g

⊢ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => g a), g_1.lintegral ν
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/FiberwiseLinear.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
φ φ' : B → F ≃L[𝕜] F
U U' : Set B
hU : IsOpen U
hφ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x)) U
h2φ : ContinuousOn (fun x => ↑(φ x).symm) U
hU' : IsOpen U'
hφ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x)) U'
h2φ' : ContinuousOn (fun x => ↑(φ' x).symm) U'

⊢ ({ toFun := fun x => (x.1, (φ x.1) x.2), invFun := fun x => (x.1, (φ x.1).symm x.2), source := U ×ˢ univ, target := U ×ˢ univ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯, open_source := ⋯, open_target := ⋯, continuousOn_toFun := ⋯, continuousOn_invFun := ⋯ } ≫ₕ { toFun := fun x => (x.1, (φ' x.1) x.2), invFun := fun x => (x.1, (φ' x.1).symm x.2), source := U' ×ˢ univ, target := U' ×ˢ univ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯, open_source := ⋯, open_target := ⋯, continuousOn_toFun := ⋯, continuousOn_invFun := ⋯ }).target = (U ∩ U') ×ˢ univ
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C

⊢ (h.F n).obj X = (h.F (0 + n)).obj X
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C

⊢ (h.add 0 n).inv.app X = (h.F n).map (h.zero.hom.app X) ≫ eqToHom ⋯
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ¬p a = true

⊢ eraseP p l = l
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹³ : Category.{?u.318300, u_1} C
inst✝¹² : Category.{?u.318304, u_2} D
inst✝¹¹ : Category.{?u.318308, u_3} E
inst✝¹⁰ : HasShift C ℤ
inst✝⁹ : HasShift D ℤ
inst✝⁸ : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝⁷ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝⁶ : G.CommShift ℤ
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : Preadditive D
inst✝³ : F.Additive
F₁ F₂ : C ⥤ D
e : F₁ ≅ F₂
inst✝² : F₁.CommShift ℤ
inst✝¹ : F₂.CommShift ℤ
inst✝ : NatTrans.CommShift e.hom ℤ
T : Triangle C

⊢ (F₁.map T.mor₃ ≫ (F₁.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (e.hom.app T.obj₁) = e.hom.app T.obj₃ ≫ F₂.map T.mor₃ ≫ (F₂.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f x

⊢ AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - x) ^ 0 • f z) x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hb : Acc r b
h : r a b

⊢ succ ⋯.rank ≤ hb.rank
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hb : Acc r b
h : r a b

⊢ succ ⋯.rank ≤ sup fun b_1 => succ ⋯.rank
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hb : Acc r b
h : r a b

⊢ succ ⋯.rank ≤ succ ⋯.rank
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
f : α → β
g : α → γ
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s

⊢ (fun x => (f x, g x)) x ∈ (f '' s) ×ˢ (g '' s)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx : 0 < x

⊢ rexp (log x) = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx : 0 < x

⊢ |x| = x
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ (a : α), a ∈ l → p a

⊢ pmap f l H = map (fun x => f ↑x ⋯) l.attach
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
l : List α
H : ∀ (a : α), a ∈ l → p a

⊢ pmap f l H = pmap (fun a h => f ↑⟨a, h⟩ ⋯) l ⋯
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : α → β
hf : Surjective f
l : Filter β

⊢ range f ∈ l
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.Regular
inst✝ : μ'.Regular

⊢ μ' = μ'.haarScalarFactor μ • μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.Regular
inst✝ : μ'.Regular
A : ∀ (U : Set G), IsOpen U → μ' U = (μ'.haarScalarFactor μ • μ) U

⊢ μ' = μ'.haarScalarFactor μ • μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.Regular
inst✝ : μ'.Regular
A : ∀ (U : Set G), IsOpen U → μ' U = (μ'.haarScalarFactor μ • μ) U
s : Set G
_hs : MeasurableSet s

⊢ μ' s = (μ'.haarScalarFactor μ • μ) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : TopologicalGroup G
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝⁴ : μ.IsHaarMeasure
inst✝³ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝² : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝¹ : μ.Regular
inst✝ : μ'.Regular
A : ∀ (U : Set G), IsOpen U → μ' U = (μ'.haarScalarFactor μ • μ) U
s : Set G
_hs : MeasurableSet s

⊢ ⨅ U, ⨅ (_ : s ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), μ' U = ⨅ U, ⨅ (_ : s ⊆ U), ⨅ (_ : IsOpen U), (μ'.haarScalarFactor μ • μ) U
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S : Type u
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : CommRing S
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁴ : CommRing R'
inst✝³ : CommRing S'
f : R✝ →+* S
inst✝² : Algebra R✝ R'
inst✝¹ : Algebra S S'
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
h : ∀ (J : Ideal R) (x : J.IsMaximal), (fun R hR => IsReduced R) (Localization.AtPrime J) OreLocalization.instCommRing
x : R
hx : IsNilpotent x

⊢ x = 0
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S : Type u
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : CommRing S
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁴ : CommRing R'
inst✝³ : CommRing S'
f : R✝ →+* S
inst✝² : Algebra R✝ R'
inst✝¹ : Algebra S S'
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
h : ∀ (J : Ideal R) (x : J.IsMaximal), (fun R hR => IsReduced R) (Localization.AtPrime J) OreLocalization.instCommRing
x : R
hx : IsNilpotent x

⊢ ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) x = 0
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S : Type u
inst✝⁶ : CommRing R✝
inst✝⁵ : CommRing S
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁴ : CommRing R'
inst✝³ : CommRing S'
f : R✝ →+* S
inst✝² : Algebra R✝ R'
inst✝¹ : Algebra S S'
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x : R
hx : IsNilpotent x
J : Ideal R
hJ : J.IsMaximal
h : IsReduced (Localization.AtPrime J)

⊢ (algebraMap R (Localization.AtPrime J)) x = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
n : σ
f : MvPolynomial σ R

⊢ degreeOf n f = f.support.sup fun m => m n
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a✝ : Ordinal.{u_3}
α : Type u_3
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
a x : α
x✝ : ∀ (y : α), r y x → Acc r y
IH : ∀ (y : α), r y x → Acc (fun x x_1 => x < x_1) (typein r y)
o : Ordinal.{u_3}
h : o < typein r x

⊢ Acc (fun x x_1 => x < x_1) o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a✝ : Ordinal.{u_3}
α : Type u_3
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
a x : α
x✝ : ∀ (y : α), r y x → Acc r y
IH : ∀ (y : α), r y x → Acc (fun x x_1 => x < x_1) (typein r y)
b : α
h : typein r b < typein r x

⊢ Acc (fun x x_1 => x < x_1) (typein r b)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : IsDomain R
hpos : 0 < n
μ : R
h : IsPrimitiveRoot μ n

⊢ (cyclotomic n R).IsRoot μ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
n : ℕ
inst✝ : IsDomain R
hpos : 0 < n
μ : R
h : IsPrimitiveRoot μ n

⊢ μ ∈ primitiveRoots n R
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ

⊢ (ascPochhammer ℕ (k + 1)).smeval (r + 1) = (k + 1).factorial • multichoose (r + 1) k + (ascPochhammer ℕ (k + 1)).smeval r
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ

⊢ ((X + ↑k) * ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = (k + 1).factorial • multichoose (r + 1) k + (X * (ascPochhammer ℕ k).comp (X + 1)).smeval r
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ

⊢ ((r + 1) ^ 1 + (↑k).smeval (r + 1)) * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = (k + 1).factorial • multichoose (r + 1) k + r ^ 1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r ^ 1 + smeval 1 r)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ

⊢ ((r + 1) ^ 1 + (↑k).smeval (r + 1)) * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = k.succ • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r ^ 1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r ^ 1 + smeval 1 r)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ

⊢ (r + 1 + (↑k).smeval (r + 1)) * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) = k.succ • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ

⊢ r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + (↑↑k * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + 1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)) = k.succ • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ

⊢ ↑k • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + (1 * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1)) = k • (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + ((ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1) + r * (ascPochhammer ℕ k).smeval (r + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
m : Set (Measure α)
h : μ ∈ m
this : sInf (toOuterMeasure '' m) ≤ μ.toOuterMeasure
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (sInf m) s ≤ μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
m : Set (Measure α)
h : μ ∈ m
this : sInf (toOuterMeasure '' m) ≤ μ.toOuterMeasure
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (sInf (toOuterMeasure '' m)) s ≤ μ s
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
f g : M[ι]

⊢ (f * g).toDirectSum = f.toDirectSum * g.toDirectSum
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
f g : M[ι]
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }

⊢ (f * g).toDirectSum = f.toDirectSum * g.toDirectSum
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring

⊢ ∀ (f g : M[ι]), to_hom (f * g) = to_hom f * to_hom g
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring

⊢ AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom = (AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M

⊢ ((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv = (((AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M

⊢ ((((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv).comp (Finsupp.singleAddHom yi)) yv = (((((AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom).comp (Finsupp.singleAddHom xi)) xv).comp (Finsupp.singleAddHom yi)) yv
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M

⊢ ((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (Finsupp.single yi yv) = (((AddMonoidHom.mul.comp to_hom).compl₂ to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (Finsupp.single yi yv)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M

⊢ ((AddMonoidHom.mul.compr₂ to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (Finsupp.single yi yv) = ((AddMonoidHom.mul.comp to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (to_hom (Finsupp.single yi yv))
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M

⊢ { toFun := ⇑to_hom ∘ ⇑(AddMonoidHom.mul (Finsupp.single xi xv)), map_zero' := ⋯ } (Finsupp.single yi yv) = ((AddMonoidHom.mul.comp to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (to_hom (Finsupp.single yi yv))
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M

⊢ (⇑to_hom ∘ ⇑(AddMonoidHom.mul (Finsupp.single xi xv))) (Finsupp.single yi yv) = ((AddMonoidHom.mul.comp to_hom) (Finsupp.single xi xv)) (to_hom (Finsupp.single yi yv))
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/ToDirectSum.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : Semiring M
to_hom : M[ι] →+ ⨁ (x : ι), M := { toFun := toDirectSum, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
x✝ : NonUnitalNonAssocSemiring (ι →₀ M) := nonUnitalNonAssocSemiring
xi : ι
xv : M
yi : ι
yv : M

⊢ to_hom (Finsupp.single xi xv * Finsupp.single yi yv) = to_hom (Finsupp.single xi xv) * to_hom (Finsupp.single yi yv)