ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Roth.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree (Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A))
this✝¹ : ↑A = Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A)
this✝ : IsAddFreimanIso 2 (Set.Iio ↑n) (Set.Iio n) Fin.val
this : ThreeAPFree ↑(image (fun x => ↑x) A)

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Roth.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree (Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A))
this✝¹ : ↑A = Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A)
this✝ : IsAddFreimanIso 2 (Set.Iio ↑n) (Set.Iio n) Fin.val
this : ThreeAPFree ↑(image (fun x => ↑x) A)

⊢ ε / 3 * ↑(Fintype.card (Fin (2 * n + 1))) ≤ ↑(image (fun x => ↑x) A).card
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
α : Type u_1
l : List α
c : Composition l.length
i : ℕ

⊢ map length (l.splitWrtComposition c) = c.blocks
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}

⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h < o.bsup f) → (o.bsup f).cof ≤ o.card
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u}

⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (h : i < o), f i h < o.bsup f) → (o.bsup f).cof ≤ Cardinal.lift.{u, u} o.card
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε a b r : ℝ
ha : 0 ≤ a
hr : 0 < r
this : EqOn (fun x => ‖x‖) id (Ioo a b)
x : E

⊢ x ∈ (fun x => ‖x‖) ⁻¹' Ioo (a * r) (b * r) ↔ x ∈ ball 0 (b * r) \ closedBall 0 (a * r)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
t : Finset ((i : ι) × β i)
ht : t ⊆ s.sigma g
i : ι
b : β i
hi : ⟨i, b⟩ ∈ s.sigma g
hit : ⟨i, b⟩ ∉ t

⊢ Disjoint (f ⟨i, b⟩) (t.sup f)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
t : Finset ((i : ι) × β i)
ht : t ⊆ s.sigma g
i : ι
b : β i
hi : ⟨i, b⟩ ∈ s.sigma g
hit : ⟨i, b⟩ ∉ t

⊢ ∀ ⦃i_1 : (i : ι) × β i⦄, i_1 ∈ t → Disjoint (f ⟨i, b⟩) (f i_1)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
t : Finset ((i : ι) × β i)
ht : t ⊆ s.sigma g
i : ι
b : β i
hi : ⟨i, b⟩ ∈ s.sigma g
hit : ⟨i, b⟩ ∉ t
j : ι
c : β j
hj : ⟨j, c⟩ ∈ t

⊢ Disjoint (f ⟨i, b⟩) (f ⟨j, c⟩)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
t : Finset ((i : ι) × β i)
ht : t ⊆ s.sigma g
i : ι
b : β i
hi : ⟨i, b⟩ ∈ s.sigma g
hit : ⟨i, b⟩ ∉ t
j : ι
c : β j
hj : ⟨j, c⟩ ∈ t
hbc : ⟨i, b⟩ ≠ ⟨j, c⟩

⊢ Disjoint (f ⟨i, b⟩) (f ⟨j, c⟩)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
t : Finset ((i : ι) × β i)
ht : t ⊆ s.sigma g
i : ι
b : β i
hi : ⟨i, b⟩ ∈ s.sigma g
hit : ⟨i, b⟩ ∉ t
j : ι
c : β j
hbc : ⟨i, b⟩ ≠ ⟨j, c⟩
hj : ⟨j, c⟩ ∈ s.sigma g

⊢ Disjoint (f ⟨i, b⟩) (f ⟨j, c⟩)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
t : Finset ((i : ι) × β i)
ht : t ⊆ s.sigma g
i : ι
b : β i
hi : ⟨i, b⟩.fst ∈ s ∧ ⟨i, b⟩.snd ∈ g ⟨i, b⟩.fst
hit : ⟨i, b⟩ ∉ t
j : ι
c : β j
hbc : ⟨i, b⟩ ≠ ⟨j, c⟩
hj : ⟨j, c⟩.fst ∈ s ∧ ⟨j, c⟩.snd ∈ g ⟨j, c⟩.fst

⊢ Disjoint (f ⟨i, b⟩) (f ⟨j, c⟩)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
t : Finset ((i : ι) × β i)
ht : t ⊆ s.sigma g
i : ι
b : β i
hi : ⟨i, b⟩.fst ∈ s ∧ ⟨i, b⟩.snd ∈ g ⟨i, b⟩.fst
hit : ⟨i, b⟩ ∉ t
c : β i
hbc : ⟨i, b⟩ ≠ ⟨i, c⟩
hj : ⟨i, c⟩.fst ∈ s ∧ ⟨i, c⟩.snd ∈ g ⟨i, c⟩.fst

⊢ Disjoint (f ⟨i, b⟩) (f ⟨i, c⟩)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α
β : ι → Type u_5
s : Finset ι
g : (i : ι) → Finset (β i)
f : Sigma β → α
hs : s.SupIndep fun i => (g i).sup fun b => f ⟨i, b⟩
hg : ∀ i ∈ s, (g i).SupIndep fun b => f ⟨i, b⟩
t : Finset ((i : ι) × β i)
ht : t ⊆ s.sigma g
i : ι
b : β i
hi : ⟨i, b⟩.fst ∈ s ∧ ⟨i, b⟩.snd ∈ g ⟨i, b⟩.fst
hit : ⟨i, b⟩ ∉ t
j : ι
c : β j
hbc : ⟨i, b⟩ ≠ ⟨j, c⟩
hj : ⟨j, c⟩.fst ∈ s ∧ ⟨j, c⟩.snd ∈ g ⟨j, c⟩.fst
hij : i ≠ j

⊢ Disjoint (f ⟨i, b⟩) (f ⟨j, c⟩)
-- Mathlib/Logic/Denumerable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β

⊢ ofNat (ℕ × ℕ) = unpair
-- Mathlib/Logic/Denumerable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
x✝ : ℕ

⊢ ofNat (ℕ × ℕ) x✝ = unpair x✝
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ

⊢ x * x + y * y = z * z ↔ y * y + x * x = z * z
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
c : 𝕜
f : ↥(lpMeas F 𝕜 m p μ)

⊢ ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm (c • f)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] ↑↑(c • lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
c : 𝕜
f : ↥(lpMeas F 𝕜 m p μ)

⊢ ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm (c • f)) =ᶠ[ae (μ.trim hm)] c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
c : 𝕜
f : ↥(lpMeas F 𝕜 m p μ)

⊢ StronglyMeasurable (c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
c : 𝕜
f : ↥(lpMeas F 𝕜 m p μ)

⊢ ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm (c • f)) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
c : 𝕜
f : ↥(lpMeas F 𝕜 m p μ)

⊢ ↑↑↑(c • f) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
c : 𝕜
f : ↥(lpMeas F 𝕜 m p μ)

⊢ c • ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
c : 𝕜
f : ↥(lpMeas F 𝕜 m p μ)
x : α
hx : ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f) x = ↑↑↑f x

⊢ (c • ↑↑↑f) x = (c • ↑↑(lpMeasToLpTrim F 𝕜 p μ hm f)) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
r : ℝ
hr : r ≠ 0
s : Set E

⊢ (map (fun x => r • x) μ) s = ENNReal.ofReal |(r ^ finrank ℝ E)⁻¹| * μ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

⊢ (g ⊗ f.inv) ≫ (h ⊗ f.hom) = (g ⊗ 𝟙 W) ≫ (h ⊗ 𝟙 W)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

⊢ g ≫ h ⊗ 𝟙 W = (g ⊗ 𝟙 W) ≫ (h ⊗ 𝟙 W)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean

⊢ 1 < ω
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
F : ι → β → α
f : β → α
p : Filter ι

⊢ TendstoLocallyUniformly F f p ↔ ∀ ε > 0, ∀ (x : β), ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, dist (f y) (F n y) < ε
-- Mathlib/Data/List/InsertNth.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a✝ a b : α
i j : ℕ
c : α
l : List α
h₀ : i + 1 ≤ j + 1
h₁ : j + 1 ≤ (c :: l).length

⊢ insertNth (j + 1 + 1) b (insertNth (i + 1) a (c :: l)) = insertNth (i + 1) a (insertNth (j + 1) b (c :: l))
-- Mathlib/Data/List/InsertNth.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a✝ a b : α
i j : ℕ
c : α
l : List α
h₀ : i + 1 ≤ j + 1
h₁ : j + 1 ≤ (c :: l).length

⊢ insertNth (j + 1) b (insertNth i a l) = insertNth i a (insertNth j b l)
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b b' : ℕ
c : ℤ
h : ↑b ∣ ↑b' - c
n : ℕ

⊢ b ∣ n ↔ ↑b ∣ ofDigits c (b'.digits n)
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b b' : ℕ
c : ℤ
h : ↑b ∣ ↑b' - c
n : ℕ

⊢ ↑b ∣ ↑n ↔ ↑b ∣ ofDigits c (b'.digits n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
p : R[X]

⊢ (a • p).degree ≤ p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
p : R[X]
m : ℕ
hm : p.degree < ↑m

⊢ (a • p).coeff m = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
a : R
p : R[X]
m : ℕ
hm : ∀ (m_1 : ℕ), m ≤ m_1 → p.coeff m_1 = 0

⊢ (a • p).coeff m = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f'✝ : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖

⊢ ‖f'‖ ≤ C * ‖v‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f'✝ : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖

⊢ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + x • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖x - 0‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f'✝ : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A : Continuous fun t => x₀ + t • v
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖

⊢ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + x • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖x - 0‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f'✝ : F
s t✝ : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A : Continuous fun t => x₀ + t • v
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
t : 𝕜
ht : t ∈ (fun t => x₀ + t • v) ⁻¹' {x | ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖}

⊢ ‖f (x₀ + t • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖t - 0‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f'✝ : F
s t✝ : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
f' : F
x₀ : E
hf : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x₀ v
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A : Continuous fun t => x₀ + t • v
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
t : 𝕜
ht : ‖f (x₀ + t • v) - f x₀‖ ≤ C * (‖v‖ * ‖t‖)

⊢ ‖f (x₀ + t • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖t - 0‖
-- Mathlib/Data/List/ToFinsupp.lean
M : Type u_1
inst✝² : Zero M
l : List M
inst✝¹ : DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0
n : ℕ
x : M
inst✝ : DecidablePred fun x_1 => [x].getD x_1 0 ≠ 0

⊢ [x].toFinsupp = Finsupp.single 0 x
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α

⊢ (s ∩ t).Nonempty ↔ ∃ x ∈ t, x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
s : Set (Submodule R M)
p : Submodule R M := { toAddSubmonoid := sSup (toAddSubmonoid '' s), smul_mem' := ⋯ }

⊢ (sSup s).toAddSubmonoid = sSup (toAddSubmonoid '' s)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
s : Set (Submodule R M)
p : Submodule R M := { toAddSubmonoid := sSup (toAddSubmonoid '' s), smul_mem' := ⋯ }

⊢ sSup s ≤ p
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
s : Set (Submodule R M)
p : Submodule R M := { toAddSubmonoid := sSup (toAddSubmonoid '' s), smul_mem' := ⋯ }

⊢ sSup (toAddSubmonoid '' s) ≤ (sSup s).toAddSubmonoid
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
σ✝ : α → Type u_4
a : α
s : Multiset α
t✝ : (a : α) → Multiset (σ✝ a)
σ : α → Type u_5
t : (a : α) → Multiset (σ a)
l₁ : List α

⊢ Nodup (Quot.mk Setoid.r l₁) → (∀ (a : α), (t a).Nodup) → (Multiset.sigma (Quot.mk Setoid.r l₁) t).Nodup
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
σ✝ : α → Type u_4
a : α
s : Multiset α
t✝ : (a : α) → Multiset (σ✝ a)
σ : α → Type u_5
t : (a : α) → Multiset (σ a)
l₁ : List α
f : (a : α) → List (σ a)
hf : ∀ (a : α), ⟦f a⟧ = t a

⊢ Nodup (Quot.mk Setoid.r l₁) → (∀ (a : α), (t a).Nodup) → (Multiset.sigma (Quot.mk Setoid.r l₁) t).Nodup
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
s : Set α

⊢ Summable (s.indicator f)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
s : Set α
a : α

⊢ (if a ∈ s then f a else 0) ≤ f a
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b

⊢ a⁻¹ ≤ b⁻¹ ↔ b ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : p.degree < q.degree

⊢ (p - q).leadingCoeff = -q.leadingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
h : p.degree < (-q).degree

⊢ (p - q).leadingCoeff = -q.leadingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Prod.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
f : A →ₐ[R] B
g : A →ₐ[R] C
r : R

⊢ (↑↑__src✝).toFun ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R (B × C)) r
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hfg : (f - g).LimZero

⊢ (g - f).LimZero
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable

⊢ IsGalois F E
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E

⊢ IsGalois F E
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
this : DecidableEq E := Classical.decEq E
s : Set E := p.rootSet E

⊢ IsGalois F E
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
this : DecidableEq E := Classical.decEq E
s : Set E := p.rootSet E
adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤

⊢ IsGalois F E
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
this : DecidableEq E := Classical.decEq E
s : Set E := p.rootSet E
adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤
P : IntermediateField F E → Prop := fun K => Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K

⊢ IsGalois F E
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
this : DecidableEq E := Classical.decEq E
s : Set E := p.rootSet E
adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤
P : IntermediateField F E → Prop := fun K => Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K

⊢ P (IntermediateField.adjoin F s)
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
this : DecidableEq E := Classical.decEq E
s : Set E := p.rootSet E
adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤
P : IntermediateField F E → Prop := fun K => Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K

⊢ P ⊥
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
this : DecidableEq E := Classical.decEq E
s : Set E := p.rootSet E
adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤
P : IntermediateField F E → Prop := fun K => Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K

⊢ ∀ (K : IntermediateField F E), ∀ x ∈ (p.aroots E).toFinset, P K → P (IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p : F[X]
sp : Polynomial.IsSplittingField F E p
hp : p.Separable
hFE : FiniteDimensional F E
this✝¹ : DecidableEq E := Classical.decEq E
s : Set E := p.rootSet E
adjoin_root : IntermediateField.adjoin F s = ⊤
P : IntermediateField F E → Prop := fun K => Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K
K : IntermediateField F E
x : E
hx : x ∈ (p.aroots E).toFinset
hK : Fintype.card (↥K →ₐ[F] E) = finrank F ↥K
this✝ : Module ↥K ↥(↥K)⟮x⟯ := (↥K)⟮x⟯.module
this : IsScalarTower F ↥K ↥(↥K)⟮x⟯ := IntermediateField.isScalarTower (↥K)⟮x⟯

⊢ Fintype.card (↥(IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯) →ₐ[F] E) = finrank F ↥(IntermediateField.restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)