ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : (P F).W α

⊢ ∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), recF g ((P F).wMk a f' f) = g (abs ((TypeVec.id ::: recF g) <$$> (P F).wDest' ((P F).wMk a f' f)))
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : (P F).W α
a : (P F).A
f' : (P F).drop.B a ⟹ α
f : (P F).last.B a → (P F).W α

⊢ recF g ((P F).wMk a f' f) = g (abs ((TypeVec.id ::: recF g) <$$> (P F).wDest' ((P F).wMk a f' f)))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ

⊢ (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q) =ᶠ[ae (ν a)] fun b => f (a, b) q
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a✝ : α
q : ℚ
a : β
ha : IsRatStieltjesPoint f (a✝, a)

⊢ ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a✝, a)) ↑q = f (a✝, a) q
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
n : ℕ

⊢ n.smoothNumbers = factoredNumbers n.primesBelow
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
n : ℕ

⊢ factoredNumbers (Finset.range n) = factoredNumbers n.primesBelow
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
n m : ℕ
hm : m ∈ factoredNumbers (Finset.range n)

⊢ m ∈ factoredNumbers n.primesBelow
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
n m : ℕ
hm : ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ Finset.range n

⊢ ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ m → p ∈ n.primesBelow
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
x : A

⊢ x ∈ Submodule.span R ↑(NonUnitalSubsemiring.closure ∅) ↔ x = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g σ : Perm α

⊢ σ.support = ∅ ↔ σ = 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2

⊢ Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0

⊢ Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ last n

⊢ b < (a.castPred ha).succ ↔ b ≤ a
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⟶ R₂
c : C

⊢ adj₁.unit.app c ≫ α.app (L₁.obj c) = adj₂.unit.app c ≫ R₂.map (((conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⟶ R₂
c : C

⊢ adj₁.unit.app c ≫ ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).toFun ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).invFun α)).app (L₁.obj c) = adj₂.unit.app c ≫ R₂.map (((conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app c)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (n + 1 + 1).choose (n + 1) = n + 1 + 1
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ

⊢ nndist z ((starRingEnd ℂ) z) = 2 * Real.nnabs z.im
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
s : Multiset α
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
p_one : p 1
p_s : ∀ a ∈ s, p a

⊢ p s.prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
p : α → Prop
s : Multiset α
p_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
p_one : p 1
p_s : ∀ a ∈ s, p a

⊢ p (foldr (fun x x_1 => x * x_1) ⋯ 1 s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : Preadditive C
J : Type
inst✝³ : Fintype J
f✝ : J → C
inst✝² : HasBiproduct f✝
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : J → C
g : K → C
P : C
x : (j : J) → P ⟶ f j
m : (j : J) → (k : K) → f j ⟶ g k
j✝ : K

⊢ (lift x ≫ matrix m) ≫ π g j✝ = (lift fun k => ∑ j : J, x j ≫ m j k) ≫ π g j✝
-- Mathlib/RingTheory/EisensteinCriterion.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
P : Ideal R
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < f.degree → f.coeff n ∈ P
n : ℕ
hf0 : ¬f = 0

⊢ (map (mk P) f).coeff n = (C ((mk P) f.leadingCoeff) * X ^ f.natDegree).coeff n
-- Mathlib/RingTheory/EisensteinCriterion.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
P : Ideal R
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < f.degree → f.coeff n ∈ P
n : ℕ
hf0 : ¬f = 0
h : ↑n < f.degree

⊢ (map (mk P) f).coeff n = (C ((mk P) f.leadingCoeff) * X ^ f.natDegree).coeff n
-- Mathlib/RingTheory/EisensteinCriterion.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
P : Ideal R
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < f.degree → f.coeff n ∈ P
n : ℕ
hf0 : ¬f = 0
h : ↑n = f.degree

⊢ (map (mk P) f).coeff n = (C ((mk P) f.leadingCoeff) * X ^ f.natDegree).coeff n
-- Mathlib/RingTheory/EisensteinCriterion.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
P : Ideal R
hfP : ∀ (n : ℕ), ↑n < f.degree → f.coeff n ∈ P
n : ℕ
hf0 : ¬f = 0
h : f.degree < ↑n

⊢ (map (mk P) f).coeff n = (C ((mk P) f.leadingCoeff) * X ^ f.natDegree).coeff n
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
b : β
s : Multiset α
t : Multiset β
l₁ : List α
l₂ : List β
d₁ : Nodup ⟦l₁⟧
d₂ : Nodup ⟦l₂⟧

⊢ (⟦l₁⟧ ×ˢ ⟦l₂⟧).Nodup
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
ι✝ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι✝
inst✝¹ : Fintype ι✝
e✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_5
inst✝ : Finite ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
h : f ⇑e = 0

⊢ f = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
ι✝ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι✝
inst✝¹ : Fintype ι✝
e✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_5
inst✝ : Finite ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
h : f ⇑e = 0
val✝ : Fintype ι

⊢ f = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R M'
ι✝ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι✝
inst✝¹ : Fintype ι✝
e✝ : Basis ι✝ R M
ι : Type u_5
inst✝ : Finite ι
e : Basis ι R M
f : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
h : f ⇑e = 0
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

⊢ f = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
P : Subgroup G
hP : IsPGroup p ↥P
c : Set (Subgroup G)
hc1 : c ⊆ {Q | IsPGroup p ↥Q}
hc2 : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
Q : Subgroup G
hQ : Q ∈ c
x✝ : ↥{ carrier := ⋃ R, ↑↑R, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, inv_mem' := ⋯ }
g : G
S : ↑c
hg : g ∈ (fun R => ↑↑R) S

⊢ ∃ k, ⟨g, ⋯⟩ ^ p ^ k = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
P : Subgroup G
hP : IsPGroup p ↥P
c : Set (Subgroup G)
hc1 : c ⊆ {Q | IsPGroup p ↥Q}
hc2 : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
Q : Subgroup G
hQ : Q ∈ c
x✝ : ↥{ carrier := ⋃ R, ↑↑R, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, inv_mem' := ⋯ }
g : G
S : ↑c
hg : g ∈ (fun R => ↑↑R) S
k : ℕ
hk : ⟨g, hg⟩ ^ p ^ k = 1

⊢ ⟨g, ⋯⟩ ^ p ^ k = 1
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
f : κ → Ideal A
h : ∀ (i : κ), IsHomogeneous 𝒜 (f i)
i : ι
x : A
hx : x ∈ ⨅ i, f i

⊢ ↑(((decompose 𝒜) x) i) ∈ ⨅ i, f i
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
κ : Sort u_5
f : κ → Ideal A
h : ∀ (i : κ), IsHomogeneous 𝒜 (f i)
i : ι
x : A
hx : ∀ (i : κ), x ∈ f i

⊢ ∀ (i_1 : κ), ↑(((decompose 𝒜) x) i) ∈ f i_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Function.Surjective ⇑g
z : P ⊗[R] Q

⊢ ∃ a, (rTensor Q g) a = z
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
h₀ : t ∈ 𝓝 0
hc : Convex ℝ t
x : E
hx : x ∈ interior s

⊢ gaugeRescale s t x ∈ interior t
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
h₀ : t ∈ 𝓝 0
hc : Convex ℝ t
x : E
hx : x ∈ interior s

⊢ gauge t (gaugeRescale s t x) < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x y : ℂ

⊢ cexp x = cexp y ↔ ∃ n, x = y + ↑n * (2 * ↑π * I)
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X : C
inst✝ : Simple X

⊢ ¬IsZero X
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
q : ℝ
hq_pos : 0 < q

⊢ eLpNorm' f q μ ≤ eLpNormEssSup f μ * μ Set.univ ^ (1 / q)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
q : ℝ
hq_pos : 0 < q
h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), eLpNormEssSup f μ ^ q ∂μ

⊢ eLpNorm' f q μ ≤ eLpNormEssSup f μ * μ Set.univ ^ (1 / q)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
q : ℝ
hq_pos : 0 < q
h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), eLpNormEssSup f μ ^ q ∂μ

⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≤ eLpNormEssSup f μ ^ 1 * μ Set.univ ^ (1 / q)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
q : ℝ
hq_pos : 0 < q
h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), eLpNormEssSup f μ ^ q ∂μ

⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) ≤ eLpNormEssSup f μ ^ (q * q⁻¹) * μ Set.univ ^ (1 / q)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
q : ℝ
hq_pos : 0 < q
h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), eLpNormEssSup f μ ^ q ∂μ

⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ q⁻¹ ≤ (eLpNormEssSup f μ ^ q * μ Set.univ) ^ q⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
f : α → E
q : ℝ
hq_pos : 0 < q
h_le : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), eLpNormEssSup f μ ^ q ∂μ

⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ ≤ eLpNormEssSup f μ ^ q * μ Set.univ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀

⊢ σ 𝕜 ((cfcₙAux ⋯ a ha) f) = Set.range ⇑f
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀

⊢ σ 𝕜 (↑(cfcHom ⋯) (((↑(Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯))).comp ContinuousMapZero.toContinuousMapHom) f)) = Set.range ⇑f
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀

⊢ σ 𝕜 ((cfcHom ⋯) ((Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯)) (ContinuousMapZero.toContinuousMapHom f))) = Set.range ⇑f
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 A
inst✝³ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝² : SMulCommClass 𝕜 A A
inst✝¹ : StarModule 𝕜 A
p : A → Prop
p₁ : Unitization 𝕜 A → Prop
hp₁ : ∀ {x : A}, p₁ ↑x ↔ p x
a : A
ha : p a
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus 𝕜 p₁
f : C(↑(σₙ 𝕜 a), 𝕜)₀

⊢ Set.range ⇑((Homeomorph.compStarAlgEquiv' 𝕜 𝕜 (Homeomorph.setCongr ⋯)) (ContinuousMapZero.toContinuousMapHom f)) = Set.range ⇑f
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I J : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
I' J' : Ideal R
hI : ↑I = ↑I'
hJ : ↑J = ↑J'

⊢ mk I = mk J ↔ ∃ x y, x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ Ideal.span {x} * I' = Ideal.span {y} * J'
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I J : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ
I' J' : Ideal R
hI : ↑I = ↑I'
hJ : ↑J = ↑J'

⊢ (∃ x, I * (toPrincipalIdeal R (FractionRing R)) x = J) ↔ ∃ x y, x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ Ideal.span {x} * I' = Ideal.span {y} * J'
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : ContinuousSMul R M
f : (ι → R) →ₗ[R] M

⊢ Continuous ⇑f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁷ : Finite ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : ContinuousSMul R M
f : (ι → R) →ₗ[R] M
val✝ : Fintype ι

⊢ Continuous ⇑f
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsLowerSet α
s : Set α

⊢ IsClosed s ↔ IsUpperSet s
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
F : Filter X

⊢ ClusterPt x F ↔ (F.lift' closure ⊓ pure x).NeBot
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d

⊢ d * a.y ^ 2 = a.x ^ 2 - 1
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d

⊢ d * a.y ^ 2 = a.x ^ 2 - (a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
ho : ∀ a < o, succ a < o

⊢ ∀ a < type LT.lt, succ a < type LT.lt
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
m : α → β
s : Set α
g : Ultrafilter β
h : m '' s ∈ g
f : Filter α := Filter.comap m ↑g ⊓ 𝓟 s

⊢ map m (ofComapInfPrincipal h) = g
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
m : α → β
s : Set α
g : Ultrafilter β
h : m '' s ∈ g
f : Filter α := Filter.comap m ↑g ⊓ 𝓟 s
this : f.NeBot

⊢ map m (ofComapInfPrincipal h) = g
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
m : α → β
s : Set α
g : Ultrafilter β
h : m '' s ∈ g
f : Filter α := Filter.comap m ↑g ⊓ 𝓟 s
this : f.NeBot

⊢ ↑(map m (ofComapInfPrincipal h)) ≤ ↑g
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Verschiebung.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
x : 𝕎 R

⊢ x.verschiebungFun.coeff 0 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
w w' : InfinitePlace K
h : w.comap (algebraMap k K) = w'.comap (algebraMap k K)

⊢ ∃ σ, σ • w = w'
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝⁹ : Field k
K : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
F : Type u_3
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : NumberField K
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : Algebra k F
inst✝³ : Algebra K F
inst✝² : IsScalarTower k K F
σ : K ≃ₐ[k] K
w✝ : InfinitePlace K
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
w w' : InfinitePlace K
h : w.embedding.comp (algebraMap k K) = w'.embedding.comp (algebraMap k K) ∨ ComplexEmbedding.conjugate (w.embedding.comp (algebraMap k K)) = w'.embedding.comp (algebraMap k K)

⊢ ∃ σ, σ • w = w'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
x : E

⊢ x ∈ (convexHull R) ↑s ↔ ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ s, w y • y = x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
x : E

⊢ (∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x) ↔ ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ ∑ y ∈ s, w y • y = x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
x : E
w : E → R
hw : ∑ y ∈ s, w y = 1

⊢ s.centerMass w id = x ↔ ∑ y ∈ s, w y • y = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

⊢ ∃ φ, (∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x) ∧ ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

⊢ ∃ φ, (∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x) ∧ ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ < (⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ) + ε

⊢ ∃ φ, (∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x) ∧ ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ < ⨆ i ∈ fun φ => ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x, (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ + ε

⊢ ∃ φ, (∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x) ∧ ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
this : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ fun φ => ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), ∃ b < (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ + ε, ∀ (i : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ ≤ b

⊢ ∃ φ, (∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x) ∧ ∀ (ψ : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
φ : α →ₛ ℝ≥0
hle : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x
b : ℝ≥0∞
hbφ : b < (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ + ε
hb : ∀ (i : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ ≤ b
ψ : α →ₛ ℝ≥0
hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x

⊢ (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
h : ⨆ φ, ⨆ (_ : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x), (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
φ : α →ₛ ℝ≥0
hle : ∀ (x : α), ↑(↑φ x) ≤ f x
b : ℝ≥0∞
hbφ : b < (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ + ε
hb : ∀ (i : α →ₛ ℝ≥0), (∀ (x : α), ↑(↑i x) ≤ f x) → (SimpleFunc.map ofNNReal i).lintegral μ ≤ b
ψ : α →ₛ ℝ≥0
hψ : ∀ (x : α), ↑(↑ψ x) ≤ f x
this : (SimpleFunc.map ofNNReal φ).lintegral μ ≠ ⊤

⊢ (SimpleFunc.map ofNNReal (ψ - φ)).lintegral μ < ε