ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support
h : ∀ (a : α), f a ∉ l.support
a : β
ha : a ∈ l.support
b : α
hb : b ∈ f ⁻¹' ↑l.support ∧ f b = a

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q r : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
n : ℤ

⊢ eval₂ f (↑n) p = f (eval (↑n) p)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p q r : R[X]
S : Type u_1
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
n : ℤ

⊢ ↑n = f ↑n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NonUnitalSemiring α
s✝ : Multiset α
a x : α
s : Multiset α
ih : (∀ x ∈ s, a ∣ x) → a ∣ s.sum
h : ∀ x_1 ∈ x ::ₘ s, a ∣ x_1

⊢ a ∣ (x ::ₘ s).sum
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NonUnitalSemiring α
s✝ : Multiset α
a x : α
s : Multiset α
ih : (∀ x ∈ s, a ∣ x) → a ∣ s.sum
h : ∀ x_1 ∈ x ::ₘ s, a ∣ x_1

⊢ a ∣ x + s.sum
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
hB : autoParam (B ⊆ M.E) _auto✝

⊢ M.Base B ↔ M✶.Base (M.E \ B)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence

⊢ N ⊨ φ ↔ M ⊨ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence
h : N ⊨ φ

⊢ M ⊨ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence
h : ¬M ⊨ φ

⊢ ¬N ⊨ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : N ⊨ L.completeTheory M
φ : L.Sentence
h : M ⊨ Formula.not φ

⊢ N ⊨ Formula.not φ
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/MonoidWithZero.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoidWithZero M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoidWithZero N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoidWithZero P
p : Type u_4
f : M → ↥S → p
H : ∀ {a c : M} {b d : ↥S}, (r S) (a, b) (c, d) → f a b = f c d

⊢ liftOn 0 f H = f 0 1
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
j : (mk xl xr xL xR).RightMoves

⊢ (xR j).Subsequent (mk xl xr xL xR)
-- Mathlib/Control/Traversable/Lemmas.lean
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t (F (G α))

⊢ sequence (Comp.mk <$> x) = Comp.mk (sequence <$> sequence x)
-- Mathlib/Control/Traversable/Lemmas.lean
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t (F (G α))

⊢ traverse Comp.mk x = Comp.mk (traverse id <$> traverse id x)
-- Mathlib/Control/Traversable/Lemmas.lean
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
x : t (F (G α))

⊢ traverse Comp.mk x = traverse (Comp.mk ∘ map id ∘ id) x
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : Seq α
S : Seq (Seq1 α)

⊢ (cons (a, s) S).join = cons a (s.append S.join)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : Seq α
S : Seq (Seq1 α)

⊢ IsBisimulation fun s1 s2 => s1 = s2 ∨ ∃ a s S, s1 = (cons (a, s) S).join ∧ s2 = cons a (s.append S.join)
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
mem : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), p x ⋯
add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
zero : p 0 ⋯
mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
smul : ∀ (r : R) (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (r • x) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯

⊢ p a ha
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
mem : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), p x ⋯
add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
zero : p 0 ⋯
mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
smul : ∀ (r : R) (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (r • x) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
x : A
hx : x ∈ s ∪ Star.star s

⊢ p x ⋯
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
mem : ∀ (x : A) (hx : x ∈ s), p x ⋯
add : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
zero : p 0 ⋯
mul : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (y : A) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
smul : ∀ (r : R) (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (r • x) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
x : A
hx✝ : x ∈ s ∪ Star.star s
hx : x ∈ s ∨ Star.star x ∈ s

⊢ p x ⋯
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α

⊢ ⨅ i, ⨅ (_ : True), sSup (u '' Ici i) = ⨅ n, ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), u i
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
u : ℕ → α

⊢ ⨅ i, ⨆ a ∈ Ici i, u a = ⨅ n, ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), u i
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
n : ℕ
x : ↑I
k : Fin (n + 1)
m : k ∈ (S f ε h n x)ᶜ

⊢ 1 ≤ δ f ε h ^ (-2) * (↑x - ↑k/ₙ) ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
n : ℕ
x : ↑I
k : Fin (n + 1)
m : δ f ε h ≤ dist k/ₙ x

⊢ 1 ≤ δ f ε h ^ (-2) * (↑x - ↑k/ₙ) ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Bernstein.lean
f : C(↑I, ℝ)
ε : ℝ
h : 0 < ε
n : ℕ
x : ↑I
k : Fin (n + 1)
m : δ f ε h ≤ dist k/ₙ x

⊢ δ f ε h ≤ |↑x - ↑k/ₙ|
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ

⊢ op ((1 - x) * ∑ i ∈ range n, x ^ i) = op (1 - x ^ n)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/ApproximationCorollaries.lean
K : Type u_1
v : K
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ

⊢ (of v).convs (n + 1) = ↑⌊v⌋ + 1 / (of (Int.fract v)⁻¹).convs n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
X : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
F : Set X
x : X
hxF : x ∈ closure F

⊢ 1 ≤ (thickenedIndicator δ_pos F) x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Connected

⊢ H.verts.Nonempty
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H : G.Subgraph
h : H.Preconnected ∧ H.verts.Nonempty

⊢ H.verts.Nonempty
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
c : R
u : s i →ₗ[R] t i
x : (i : ι) → s i

⊢ ((map (update f i (c • u))).compMultilinearMap (tprod R)) x = ((c • map (update f i u)).compMultilinearMap (tprod R)) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ Measurable fun μ => ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ Measurable fun μ => ⨆ n, ∑ x ∈ (SimpleFunc.eapprox f n).range, x * μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {x})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
n : ℕ
i : ℝ≥0∞
x✝ : i ∈ (SimpleFunc.eapprox f n).range

⊢ Measurable fun μ => i * μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {i})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
n : ℕ
i : ℝ≥0∞
x✝ : i ∈ (SimpleFunc.eapprox f n).range

⊢ Measurable fun μ => μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {i})
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Functor.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
i : IsIso (expComparison F A)

⊢ IsIso (frobeniusMorphism F h A)
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Functor.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝⁵ : Category.{v, u'} D
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : HasFiniteProducts D
F : C ⥤ D
L : D ⥤ C
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : CartesianClosed D
inst✝ : PreservesLimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
h : L ⊣ F
A : C
i : IsIso ((conjugateEquiv (h.comp (exp.adjunction A)) ((exp.adjunction (F.obj A)).comp h)) (frobeniusMorphism F h A))

⊢ IsIso (frobeniusMorphism F h A)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ

⊢ ↑p ^ padicValInt p a ∣ a
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ

⊢ a = 0 ∨ padicValInt p a ≤ padicValInt p a
-- Mathlib/Order/Filter/Cofinite.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
p : ℕ → Prop

⊢ (∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, p n) ↔ {n | p n}.Infinite
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
ht : t ∈ P.parts
hat : a ∈ t

⊢ P.part a = t
-- Mathlib/Data/Complex/FiniteDimensional.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℂ E

⊢ Cardinal.lift.{?u.4805, u_1} (Module.rank ℝ E) = Cardinal.lift.{?u.4805, u_1} (2 * Module.rank ℂ E)
-- Mathlib/Data/Complex/FiniteDimensional.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℂ E

⊢ 2 * Cardinal.lift.{0, u_1} (Module.rank ℂ E) = Cardinal.lift.{0, u_1} (2 * Module.rank ℂ E)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MetricSpace β
μ : Measure α
n : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝ : Preorder ι
x : α

⊢ x ∈ notConvergentSeq f g n j ↔ ∃ k ≥ j, 1 / (↑n + 1) < dist (f k x) (g x)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B' I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I

⊢ I ⊆ M.E
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B✝ B' I J D X : Set α
e f : α
hI : M.Indep I
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B

⊢ I ⊆ M.E
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
inst✝ : Finite R
e : AddChar R R'
r : R
hr : ¬IsUnit r

⊢ ¬(e.mulShift r).IsPrimitive
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
inst✝ : Finite R
e : AddChar R R'
r : R
hr : ¬IsUnit r

⊢ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), ¬(e.mulShift r).mulShift x ≠ 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
inst✝ : Finite R
e : AddChar R R'
r : R
hr : ∃ x, ∃ (_ : x * r = 0), ¬x = 0

⊢ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), ¬(e.mulShift r).mulShift x ≠ 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
R' : Type v
inst✝¹ : CommMonoid R'
inst✝ : Finite R
e : AddChar R R'
r x : R
h : x * r = 0
h' : ¬x = 0

⊢ ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), ¬(e.mulShift r).mulShift x ≠ 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f

⊢ ConvexOn 𝕜 univ ⇑f.symm
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ f.symm (a • x + b • y) ≤ a • f.symm x + b • f.symm y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'

⊢ f.symm (a • x + b • y) ≤ a • f.symm x + b • f.symm y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'

⊢ f.symm (a • x + b • y) ≤ a • f.symm x + b • f.symm y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'

⊢ f.symm (a • f x' + b • f y') ≤ a • x' + b • y'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : SMul 𝕜 α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : α ≃o β
hf : ConcaveOn 𝕜 univ ⇑f
x : β
x✝¹ : x ∈ univ
y : β
x✝ : y ∈ univ
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
x' : α
hx'' : x = f x'
y' : α
hy'' : y = f y'

⊢ a • f x' + b • f y' ≤ f (a • x' + b • y')
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' f₀' f₁' : F
s t : Set E
x v : E
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v

⊢ lineDeriv 𝕜 f x v = f'
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : PosNum
d : ZNum

⊢ ↑(Num.pos n % d.abs) = ↑(pos n) % ↑d
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : PosNum
d : ZNum

⊢ ↑(↑(Num.pos n) % (↑d).natAbs) = ↑↑n % ↑d
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : PosNum
d : ZNum

⊢ ↑d.abs - ↑(n.pred' % d.abs).succ = ↑(neg n) % ↑d
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : PosNum
d : ZNum

⊢ subNatNat (↑d).natAbs (↑n.pred' % (↑d).natAbs + 1) = -(↑↑n.pred' + 1) % ↑d
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.42589, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.42593, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
ψ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h₁.IsPreservedBy F
inst✝ : h₂.IsPreservedBy F

⊢ (h₁.map F).p ≫ F.map ψ.φQ = (F.mapShortComplex.map φ).τ₂ ≫ (h₂.map F).p
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.42589, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.42593, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
ψ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h₁.IsPreservedBy F
inst✝ : h₂.IsPreservedBy F

⊢ F.map ψ.φQ ≫ (h₂.map F).g' = (h₁.map F).g' ≫ (F.mapShortComplex.map φ).τ₃
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.42589, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.42593, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
ψ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : h₁.IsPreservedBy F
inst✝ : h₂.IsPreservedBy F

⊢ F.map ψ.φH ≫ (h₂.map F).ι = (h₁.map F).ι ≫ F.map ψ.φQ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
ι : Type u_2
φ : ι → ContDiffBump c
l : Filter ι
hφ : Tendsto (fun i => (φ i).rOut) l (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun i => support fun x => (φ i).normed μ x) l (𝓝 c).smallSets
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
ι : Type u_2
φ : ι → ContDiffBump c
l : Filter ι
hφ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, (φ x).rOut < ε

⊢ Tendsto (fun i => support fun x => (φ i).normed μ x) l (𝓝 c).smallSets
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
ι : Type u_2
φ : ι → ContDiffBump c
l : Filter ι
hφ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, (φ x).rOut < ε

⊢ ∀ (i : ℝ), 0 < i → ∀ᶠ (x : ι) in l, (support fun x_1 => (φ x).normed μ x_1) ∈ 𝒫 ball c i
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
ι : Type u_2
φ : ι → ContDiffBump c
l : Filter ι
hφ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, (φ x).rOut < ε
ε : ℝ
hε : 0 < ε
i : ι
hi : (φ i).rOut < ε

⊢ (support fun x => (φ i).normed μ x) ∈ 𝒫 ball c ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Normed.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : HasContDiffBump E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
μ : Measure E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
ι : Type u_2
φ : ι → ContDiffBump c
l : Filter ι
hφ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, (φ x).rOut < ε
ε : ℝ
hε : 0 < ε
i : ι
hi : (φ i).rOut < ε

⊢ ball c (φ i).rOut ∈ 𝒫 ball c ε
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
h : (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (-LinearMap.id)) f.graph

⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (-f).graph
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
h : ∃ y ∈ f.graph, (LinearMap.id.prodMap (-LinearMap.id)) y = (x_fst, x_snd)

⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (-f).graph
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : (fst✝, snd✝) ∈ f.graph
h : (LinearMap.id.prodMap (-LinearMap.id)) (fst✝, snd✝) = (x_fst, x_snd)

⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (-f).graph
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : (fst✝, snd✝) ∈ f.graph
h : fst✝ = x_fst ∧ -snd✝ = x_snd

⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (-f).graph