ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
p : Set X → Prop
he : p ∅
hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → p t → p s
hunion : ∀ ⦃s t : Set X⦄, p s → p t → p (s ∪ t)
hnhds : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, p t
f : Filter X := comk p he ⋯ ⋯

⊢ p s
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
p : Set X → Prop
he : p ∅
hmono : ∀ ⦃s t : Set X⦄, s ⊆ t → p t → p s
hunion : ∀ ⦃s t : Set X⦄, p s → p t → p (s ∪ t)
hnhds : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, p t
f : Filter X := comk p he ⋯ ⋯
this : sᶜ ∈ f

⊢ p s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
x : F
hx : x ∈ f '' s
y : F
hy : y ∈ f '' s
A : PartialEquiv E F := hf.toPartialEquiv hc
Af : ∀ (z : E), ↑A z = f z

⊢ ‖↑A.symm x - ↑A.symm y - ↑f'.symm (x - y)‖ ≤ ↑(‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c) * ‖x - y‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
y : F
hy : y ∈ f '' s
A : PartialEquiv E F := hf.toPartialEquiv hc
Af : ∀ (z : E), ↑A z = f z
x' : E
x's : x' ∈ s
hx : f x' ∈ f '' s

⊢ ‖↑A.symm (f x') - ↑A.symm y - ↑f'.symm (f x' - y)‖ ≤ ↑(‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c) * ‖f x' - y‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
A : PartialEquiv E F := hf.toPartialEquiv hc
Af : ∀ (z : E), ↑A z = f z
x' : E
x's : x' ∈ s
hx : f x' ∈ f '' s
y' : E
y's : y' ∈ s
hy : f y' ∈ f '' s

⊢ ‖↑A.symm (f x') - ↑A.symm (f y') - ↑f'.symm (f x' - f y')‖ ≤ ↑(‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c) * ‖f x' - f y'‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
A : PartialEquiv E F := hf.toPartialEquiv hc
Af : ∀ (z : E), ↑A z = f z
x' : E
x's : x' ∈ s
hx : f x' ∈ f '' s
y' : E
y's : y' ∈ s
hy : f y' ∈ f '' s

⊢ ‖x' - y' - ↑f'.symm (↑A x' - ↑A y')‖ ≤ ↑(‖↑f'.symm‖₊ * (‖↑f'.symm‖₊⁻¹ - c)⁻¹ * c) * ‖↑A x' - ↑A y'‖
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ≥0∞

⊢ ↑x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪↑v, x⟫_𝕜 = ⟪↑v, y⟫_𝕜
u : E
hu : u ∈ K

⊢ ⟪u, x - y⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
x y : E
h : ∀ (v : ↥K), ⟪↑v, x⟫_𝕜 = ⟪↑v, y⟫_𝕜
u : E
hu : u ∈ K

⊢ ⟪u, x⟫_𝕜 = ⟪u, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x ≠ 0
y : ℝ≥0

⊢ (fun y => y ^ x) (y ^ x⁻¹) = y
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
r : ℝ
h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r

⊢ I.distortion = J.distortion
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
r : ℝ
h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r

⊢ (Finset.univ.sup fun i => (Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b) / Real.nnabs r) / (Real.nnabs (J.upper i - J.lower i) / Real.nnabs r)) = Finset.univ.sup fun i => (Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b)) / Real.nnabs (J.upper i - J.lower i)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
r : ℝ
h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r
i : ι

⊢ ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b) / Real.nnabs r) / (Real.nnabs (J.upper i - J.lower i) / Real.nnabs r)) = ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b)) / Real.nnabs (J.upper i - J.lower i))
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
r : ℝ
h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r
i : ι
this : 0 < r

⊢ ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b) / Real.nnabs r) / (Real.nnabs (J.upper i - J.lower i) / Real.nnabs r)) = ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b)) / Real.nnabs (J.upper i - J.lower i))
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
r : ℝ
h : ∀ (i : ι), I.upper i - I.lower i = (J.upper i - J.lower i) / r
i : ι
this : 0 < r
hn0 : Real.nnabs r ≠ 0

⊢ ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b) / Real.nnabs r) / (Real.nnabs (J.upper i - J.lower i) / Real.nnabs r)) = ↑((Finset.univ.sup fun b => Real.nnabs (J.upper b - J.lower b)) / Real.nnabs (J.upper i - J.lower i))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/CancelLeads.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
hp : ¬p = 0

⊢ (p.cancelLeads q).natDegree < q.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/CancelLeads.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
hp : ¬p = 0

⊢ (C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p)).natDegree < q.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/CancelLeads.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
hp : ¬p = 0
h0 : ¬C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p) = 0

⊢ (C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p)).natDegree < q.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/CancelLeads.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
hp : ¬p = 0
h0 : ¬C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p) = 0

⊢ (C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p)).natDegree ≤ q.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/CancelLeads.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
comm : p.leadingCoeff * q.leadingCoeff = q.leadingCoeff * p.leadingCoeff
h : p.natDegree ≤ q.natDegree
hq : 0 < q.natDegree
hp : ¬p = 0
h0 : ¬C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p) = 0

⊢ (C p.leadingCoeff * q + -(C q.leadingCoeff * X ^ (q.natDegree - p.natDegree) * p)).natDegree ≠ q.natDegree
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝¹⁰ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
c : 𝕜
u : E i →L[𝕜] E' i
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

⊢ (mapL (update f i (c • u))) x = (c • mapL (update f i u)) x
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ (a \ b) \ b = a \ b
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z ≠ 0

⊢ W.Nonsingular ![P x / P z ^ 2, W.toAffine.negY (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3), 1]
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t : Finset ι

⊢ ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t : Finset ι

⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι}, a ∉ s → (∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (s.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ s.powerset, f (s.piecewise m m')) → ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f ((insert a s).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert a s).powerset, f (s.piecewise m m')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i

⊢ f ((insert i t).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert i t).powerset, f (s.piecewise m m')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)

⊢ f ((insert i t).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert i t).powerset, f (s.piecewise m m')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''

⊢ f ((insert i t).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert i t).powerset, f (s.piecewise m m')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''

⊢ ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m') + ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m'') = ∑ t ∈ t.powerset, f (t.piecewise m m') + ∑ t ∈ t.powerset, f ((insert i t).piecewise m m')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''

⊢ ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m'') = ∑ t ∈ t.powerset, f ((insert i t).piecewise m m')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
ι : Type uι
n : ℕ
M : Fin n.succ → Type v
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
M₃ : Type v₃
M' : Type v'
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : (i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁹ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → Module R (M i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
f f' : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''
s : Finset ι
hs : s ∈ t.powerset

⊢ f (s.piecewise m m'') = f ((insert i s).piecewise m m')
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
M : Matrix n n α
v : n → α

⊢ M = (diagonal v)ᵀ ↔ M = diagonal v
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
f : Filter α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
u : α → β
b : β
h : b < liminf u f
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝

⊢ ∀ᶠ (a : α) in f, b < u a
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
f : Filter α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
u : α → β
b : β
h : b < liminf u f
hu : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
c : β
hc : c ∈ {c | ∀ᶠ (n : α) in f, c ≤ u n}
hbc : b < c

⊢ ∀ᶠ (a : α) in f, b < u a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℚ
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ

⊢ ∫⁻ (x : α), preCDF ρ r x ∂ρ.fst = (ρ.IicSnd ↑r) univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
hμm : SigmaFinite (μ.trim hm)
hf : ¬Integrable f μ

⊢ ∫ (x : α), (μ[f|m]) x ∂μ = ∫ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsCompact s
h's : MeasurableSet s
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β

⊢ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsCompact s
h's : MeasurableSet s
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β

⊢ AEMeasurable f (μ.restrict s) ∧ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ∈ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsCompact s
h's : MeasurableSet s
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β

⊢ IsSeparable (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsCompact s
h's : MeasurableSet s
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, f x ∈ f '' s
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
wf : WellFounded r
x : α
h : ∃ y, r x y

⊢ r x (wf.succ x)
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ r' r : α → α → Prop
wf : WellFounded r
x : α
h : ∃ y, r x y

⊢ r x (wf.min {y | r x y} h)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α

⊢ (-s).toJordanDecomposition = -s.toJordanDecomposition
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α

⊢ (-s).toJordanDecomposition.toSignedMeasure = (-s.toJordanDecomposition).toSignedMeasure
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

⊢ ∀ (a : α) (u : Set α), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}, a ∈ v ∧ v ⊆ u
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
s : Set α
xs : x ∈ s
hs : IsOpen s

⊢ ∃ v ∈ {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}, x ∈ v ∧ v ⊆ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
s : Set α
xs : x ∈ s
hs : IsOpen s
v : Set α
xv : x ∈ v
hv : IsOpen v
μv : μ v < ⊤

⊢ ∃ v ∈ {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}, x ∈ v ∧ v ⊆ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
x : α
s : Set α
xs : x ∈ s
hs : IsOpen s
v : Set α
xv : x ∈ v
hv : IsOpen v
μv : μ v < ⊤

⊢ μ (v ∩ s) ≤ μ v
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : ℕ → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
hf : Summable f
hg : Summable g
hfg : Summable fun x => f x.1 * g x.2

⊢ (∑' (n : ℕ), f n) * ∑' (n : ℕ), g n = ∑' (n : ℕ), ∑ k ∈ range (n + 1), f k * g (n - k)