ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
a✝ b✝ : R✝
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : Ring R
a b : R[X]

⊢ (a - b).toFinsupp = (a + -b).toFinsupp
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ

⊢ (bit b n).bodd = b
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ

⊢ (2 * n + bif b then 1 else 0).bodd = b
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ

⊢ (bif b then 1 else 0).bodd = b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R

⊢ mapFun (⇑f) 0 = 0
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
hI : 1 ≤ I

⊢ I ≤ I * I
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
hI : 1 ≤ I

⊢ I = (fun x => I * x) 1
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
x : FreeGroup α

⊢ x.norm = 0 ↔ x = 1
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
n : ℕ
l : List α

⊢ powersetCardAux n l = List.map ofList (sublistsLen n l)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f : M → N
x x' y : M

⊢ polar f (x + x') y = polar f x y + polar f x' y ↔ f (x + x' + y) + (f x + f x' + f y) = f (x + x') + f (x' + y) + f (y + x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f : M → N
x x' y : M

⊢ polar f (x + x') y = polar f x y + polar f x' y ↔ f (x + x' + y) + f x + f x' + f y = f (x + x') + f (x' + y) + f (y + x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f : M → N
x x' y : M

⊢ f (x + x' + y) + f y + f x' + f y + f x = f (x + y) + f (x' + y) + f y + f (x + x') ↔ f (x + x' + y) + f x + f x' + f y = f (x + x') + f (x' + y) + f (y + x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup N
f : M → N
x x' y : M

⊢ f (x + x' + y) + f x + f x' + f y + f y = f (x + y) + f (x' + y) + f (x + x') + f y ↔ f (x + x' + y) + f x + f x' + f y = f (x + x') + f (x' + y) + f (y + x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x✝ : M

⊢ x✝ ∈ ↑(p ⊔ p') ↔ x✝ ∈ ↑p + ↑p'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x✝ : M

⊢ (∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x✝) ↔ ∃ x ∈ ↑p, ∃ y ∈ ↑p', x + y = x✝
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : (map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x y : E

⊢ (o.kahler x) y = (starRingEnd ℂ) (f x) * f y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ
hf : (map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o = Complex.orientation
x y : E

⊢ (o.kahler x) y = (o.kahler (f.symm (f x))) (f.symm (f y))
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
m : ℕ
hm : m ∣ n
hm' : m ≠ 1
b : K

⊢ b ^ m ≠ a
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
m : ℕ
hm : m ∣ n
hm' : m ≠ 1
b : K
hn : n ≠ 0

⊢ b ^ m ≠ a
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
m : ℕ
hm' : m ≠ 1
b : K
k : ℕ
hn : m * k ≠ 0
H : Irreducible (X ^ (m * k) - C (b ^ m))

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
m : ℕ
hm' : m ≠ 1
b : K
k : ℕ
hn : m * k ≠ 0
H : Irreducible (X ^ (m * k) - C (b ^ m))
q : K[X]
hq : (X ^ k) ^ m - C b ^ m = (X ^ k - C b) * q

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
m : ℕ
hm' : m ≠ 1
b : K
k : ℕ
hn : m * k ≠ 0
q : K[X]
H : Irreducible ((X ^ k - C b) * q)
hq : (X ^ k) ^ m - C b ^ m = (X ^ k - C b) * q

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
m : ℕ
hm' : m ≠ 1
b : K
k : ℕ
hn : m * k ≠ 0
q : K[X]
H : Irreducible ((X ^ k - C b) * q)
hq : (X ^ k) ^ m - C b ^ m = (X ^ k - C b) * q
this : q.degree = 0

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
m : ℕ
hm' : m ≠ 1
b : K
k : ℕ
hn : m * k ≠ 0
q : K[X]
H : Irreducible ((X ^ k - C b) * q)
this : q.degree = 0
hq : ((X ^ k) ^ m - C b ^ m).degree = ((X ^ k - C b) * q).degree

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
m : ℕ
hm' : m ≠ 1
b : K
k : ℕ
hn : m * k ≠ 0
q : K[X]
H : Irreducible ((X ^ k - C b) * q)
this : q.degree = 0
hq : m * k = k

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X : Compactum
F : Ultrafilter X.A

⊢ F.lim = X.str F
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X : Compactum
F : Ultrafilter X.A

⊢ ∀ (s : Set X.A), X.str F ∈ s → IsOpen s → s ∈ ↑F
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b : ℕ
h : 2 ≤ b
f n e : ℕ
hlt : n < b ^ e
h_e_pos : 0 < e

⊢ (b.toDigitsCore f n []).length ≤ e
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
i j : ι
a : 𝒜 i
b : ℬ j

⊢ (DirectSum.toModule R (ι × ι) (⨁ (i : ι × ι), ℬ i.1 ⊗[R] 𝒜 i.2) fun i => ((-1) ^ (i.1 * i.2) • lof R (ι × ι) (fun i => ℬ i.1 ⊗[R] 𝒜 i.2) i.swap) ∘ₗ ↑(TensorProduct.comm R (𝒜 i.1) (ℬ i.2))) ((lof R (ι × ι) (fun i => 𝒜 i.1 ⊗[R] ℬ i.2) (i, j)) (a ⊗ₜ[R] b)) = (-1) ^ (j * i) • (lof R (ι × ι) (fun i => ℬ i.1 ⊗[R] 𝒜 i.2) (j, i)) (b ⊗ₜ[R] a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_surj : range f = ⊤
C : Set V' := Basis.ofVectorSpaceIndex K V'
hC : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V')) K V' := Basis.ofVectorSpace K V'
this : Inhabited V

⊢ ∃ g, f ∘ₗ g = id
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_surj : range f = ⊤
C : Set V' := Basis.ofVectorSpaceIndex K V'
hC : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V')) K V' := Basis.ofVectorSpace K V'
this : Inhabited V
c : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V')

⊢ (f ∘ₗ (hC.constr ℕ) (C.restrict (invFun ⇑f))) (hC c) = id (hC c)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
f : V →ₗ[K] V'
hf_surj : range f = ⊤
C : Set V' := Basis.ofVectorSpaceIndex K V'
hC : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V')) K V' := Basis.ofVectorSpace K V'
this : Inhabited V
c : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V')

⊢ f (C.restrict (invFun ⇑f) c) = id (hC c)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source

⊢ P (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ↔ P (g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' s) (↑e' x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source

⊢ P ((g ∘ ↑e.symm) ∘ ↑(e.symm ≫ₕ e').symm) (↑(e.symm ≫ₕ e').symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s)) (↑(e.symm ≫ₕ e') (↑e x)) ↔ P (g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' s) (↑e' x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source

⊢ ↑e x ∈ (e.symm ≫ₕ e').source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source

⊢ P ((g ∘ ↑e.symm) ∘ ↑(e.symm ≫ₕ e').symm) (↑(e.symm ≫ₕ e').symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s)) (↑e' x) ↔ P (g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' s) (↑e' x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source

⊢ P ?m.19557 (↑(e.symm ≫ₕ e').symm ⁻¹' (↑e.symm ⁻¹' s)) (↑e' x) ↔ P (g ∘ ↑e'.symm) (↑e'.symm ⁻¹' s) (↑e' x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source

⊢ (g ∘ ↑e.symm) ∘ ↑(e.symm ≫ₕ e').symm =ᶠ[𝓝 (↑e' x)] ?m.19557
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g✝ g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
g : M → H'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
he' : e' ∈ maximalAtlas M G
xe' : x ∈ e'.source

⊢ H → H'
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ

⊢ (↑(unitLattice K) ∩ Metric.closedBall 0 r).Finite
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ
hr : r < 0

⊢ (↑(unitLattice K) ∩ Metric.closedBall 0 r).Finite
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ (↑(unitLattice K) ∩ Metric.closedBall 0 r).Finite
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
hd : P.d = 0

⊢ P.toPoly.degree = ⊥
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
h : 0 ≤ q

⊢ ENNReal.ofReal p ≤ ENNReal.ofReal q ↔ p ≤ q
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, f ^ n • val z ∈ ⇑(algebraMap A (at Submonoid.powers f)) '' ↑(𝒜 (n • m))
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
k : ℕ
hk : f ^ k = den z

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in Filter.atTop, f ^ n • val z ∈ ⇑(algebraMap A (at Submonoid.powers f)) '' ↑(𝒜 (n • m))
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
k : ℕ
hk : f ^ k = den z

⊢ Set.Ici k ⊆ {x | (fun n => f ^ n • val z ∈ ⇑(algebraMap A (at Submonoid.powers f)) '' ↑(𝒜 (n • m))) x}
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
k : ℕ
hk : f ^ k = den z
k' : ℕ
hk' : k ≤ k'

⊢ k' ∈ {x | (fun n => f ^ n • val z ∈ ⇑(algebraMap A (at Submonoid.powers f)) '' ↑(𝒜 (n • m))) x}
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
k : ℕ
hk : f ^ k = den z
k' : ℕ
hk' : k ≤ k'

⊢ ∃ x ∈ 𝒜 (k' • m), (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) x = f ^ k' • val z
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
k : ℕ
hk : f ^ k = den z
k' : ℕ
hk' : k ≤ k'
hfk : ¬f ^ k = 0

⊢ ∃ x ∈ 𝒜 (k' • m), (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) x = f ^ k' • val z
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
k : ℕ
hk : f ^ k = den z
k' : ℕ
hk' : k ≤ k'
hfk : ¬f ^ k = 0

⊢ ∃ x ∈ 𝒜 ((k' - k + k) • m), (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) x = (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) (f ^ (k' - k) * num z)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : A
m : ι
hf : f ∈ 𝒜 m
z : Away 𝒜 f
k : ℕ
hk : f ^ k = den z
k' : ℕ
hk' : k ≤ k'
hfk : ¬f ^ k = 0

⊢ ∃ x ∈ 𝒜 ((k' - k) • m + deg z), (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) x = (algebraMap A (at Submonoid.powers f)) (f ^ (k' - k) • num z)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid α
l : List α

⊢ ∏ i : Fin l.length, l[↑i] = l.prod
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct W Y
inst✝ : HasBinaryProduct X Z
g : W ⟶ X
g' : Y ⟶ Z

⊢ lift (fst ≫ g) (snd ≫ g') = map g g'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct W Y
inst✝ : HasBinaryProduct X Z
g : W ⟶ X
g' : Y ⟶ Z

⊢ lift fst snd ≫ map g g' = map g g'
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsLindelof s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)

⊢ ∃ x ∈ f '' s, ClusterPt x l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsLindelof s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot

⊢ ∃ x ∈ f '' s, ClusterPt x l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsLindelof s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)

⊢ ∃ x ∈ f '' s, ClusterPt x l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsLindelof s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this✝ : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)
this : (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)).NeBot

⊢ ∃ x ∈ f '' s, ClusterPt x l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsLindelof s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this✝ : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)
this : (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)).NeBot

⊢ ClusterPt (f x) l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hs : IsLindelof s
hf : ContinuousOn f s
l : Filter Y
lne : l.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter l
ls : l ≤ 𝓟 (f '' s)
this✝¹ : (comap f l ⊓ 𝓟 s).NeBot
x : X
hxs : x ∈ s
hx : ClusterPt x (comap f l ⊓ 𝓟 s)
this✝ : (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)).NeBot
this : Tendsto f (𝓝 x ⊓ (comap f l ⊓ 𝓟 s)) (𝓝 (f x) ⊓ l)

⊢ ClusterPt (f x) l
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
x✝ : D

⊢ 𝟙 (R₁.obj x✝) ≫ (adj₁.unit.app (R₁.obj x✝) ≫ R₁.map (𝟙 (L₁.obj (R₁.obj x✝)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj x✝)) ≫ 𝟙 (L₁.obj (R₁.obj x✝))) ≫ R₁.map (adj₁.counit.app x✝)) ≫ 𝟙 (R₁.obj x✝) = 𝟙 (R₁.obj x✝)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : AntivaryOn f g s

⊢ ConcaveOn 𝕜 s (f • g)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : AntivaryOn f g s

⊢ ConvexOn 𝕜 s (f • -g)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
L M : Ideal R
hL : L ∣ I
hM : M ∣ I

⊢ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨L, hL⟩) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨M, hM⟩) ↔ L ∣ M
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝ : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
L M : Ideal R
hL : L ∣ I
hM : M ∣ I

⊢ (idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨M, hM⟩ ≤ (idealFactorsEquivOfQuotEquiv f) ⟨L, hL⟩ ↔ ⟨M, hM⟩ ≤ ⟨L, hL⟩
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d : ℕ

⊢ (X ^ n * p).coeff d = if n ≤ d then p.coeff (d - n) else 0