ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
inst✝⁸ : CommMonoid G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
s : Set M
x x₀ : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
p : ι → Prop
hc : ∀ (i : ι), p i → ContMDiff I' I n (f i)
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)

⊢ ContMDiff I' I n fun x => ∏ᶠ (j : Subtype p), f (↑j) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sigma/Basic.lean
I : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝¹ : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : (i : I) → C i ⥤ D
i : I
X : C i

⊢ { obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.map (𝟙 ⟨i, X⟩) = 𝟙 ({ obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.obj ⟨i, X⟩)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sigma/Basic.lean
I : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝¹ : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : (i : I) → C i ⥤ D
i : I
X Y✝¹ : C i
f : X ⟶ Y✝¹
Y✝ : C i
g : Y✝¹ ⟶ Y✝

⊢ { obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.map (SigmaHom.mk f ≫ SigmaHom.mk g) = { obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.map (SigmaHom.mk f) ≫ { obj := fun X => (F X.fst).obj X.snd, map := fun {X Y} g => descMap F X Y g }.map (SigmaHom.mk g)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
x✝ y✝ z✝ : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ≥0∞
z : α × β

⊢ z ∈ closedBall x r ×ˢ closedBall y r ↔ z ∈ closedBall (x, y) r
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π

⊢ ∠ p2 p3 p1 = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p3 p2 p1 = π

⊢ ∠ p2 p3 p1 = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x✝ : V₁

⊢ ‖0 x✝‖ = 0 * ‖x✝‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
x✝ : V₁

⊢ ‖0 x✝‖ = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
a : α
h✝ : a ∈ s

⊢ r a • f a = r a • f a
-- Mathlib/Algebra/Module/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
s : Set α
r : α → R
f : α → M
a : α
h✝ : a ∉ s

⊢ 0 = r a • 0
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
u : α
h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a → α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f '' univ
p : α → Prop

⊢ Liftp p x → p u
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
u : α
h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a → α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f '' univ
p : α → Prop

⊢ (∃ a f, x = abs ⟨a, f⟩ ∧ ∀ (i : (P F).B a), p (f i)) → p u
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
u : α
h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a → α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f '' univ
p : α → Prop
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : x = abs ⟨a, f⟩
h' : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)

⊢ p u
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
α : Type u
x : F α
u : α
h : ∀ (a : (P F).A) (f : (P F).B a → α), abs ⟨a, f⟩ = x → u ∈ f '' univ
p : α → Prop
a : (P F).A
f : (P F).B a → α
xeq : x = abs ⟨a, f⟩
h' : ∀ (i : (P F).B a), p (f i)
i : (P F).B a
left✝ : i ∈ univ
hi : f i = u

⊢ p u
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
n : ℕ
hn : upperCentralSeries G n = ⊤

⊢ Group.IsNilpotent G'
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
n : ℕ
hn : upperCentralSeries G n = ⊤

⊢ upperCentralSeries G' n = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
G' : Type u_2
inst✝ : Group G'
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
n : ℕ
hn : upperCentralSeries G n = ⊤

⊢ ⊤ ≤ upperCentralSeries G' n
-- Mathlib/Data/Bool/Count.lean
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool

⊢ l.length / 2 ≤ count b l
-- Mathlib/Data/Bool/Count.lean
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool

⊢ l.length - (2 - 1) ≤ 2 * count b l
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type u
inst✝ : Semiring R
M : Mat R
i j : ↑M
h : i ≠ j

⊢ 𝟙 M i j = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R

⊢ Y - W.negPolynomial = W.polynomialY
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/UnitizationL1.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
x : A

⊢ ‖(WithLp.equiv 1 (Unitization 𝕜 A)).symm ↑x‖₊ = ‖x‖₊
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
s t : Submodule R M

⊢ Module.rank R ↥(s ⊔ t) ≤ Module.rank R ↥s + Module.rank R ↥t
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
s t : Submodule R M

⊢ Module.rank R ↥(s ⊔ t) ≤ Module.rank R ↥(s ⊔ t) + Module.rank R ↥(s ⊓ t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Vandermonde.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
v : Fin n → R
p : Fin n → R[X]
h_deg : ∀ (i : Fin n), (p i).natDegree = ↑i
h_monic : ∀ (i : Fin n), (p i).Monic

⊢ (vandermonde v).det = (of fun i j => eval (v i) (p j)).det
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x : P

⊢ (intrinsicClosure 𝕜 s).Nonempty → s.Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x : P

⊢ intrinsicClosure 𝕜 s ≠ ∅ → s ≠ ∅
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
t : Set P
x : P
h : intrinsicClosure 𝕜 ∅ ≠ ∅

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : ℝ → α

⊢ Tendsto (fun x => f (rexp x)) atTop l ↔ Tendsto f atTop l
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU : U ∈ p.basisSets

⊢ ∃ V ∈ p.basisSets, V + V ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r

⊢ ∃ V ∈ p.basisSets, V + V ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r

⊢ (s.sup p).ball 0 (r / 2) ∈ p.basisSets ∧ (s.sup p).ball 0 (r / 2) + (s.sup p).ball 0 (r / 2) ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r

⊢ (s.sup p).ball 0 (r / 2) + (s.sup p).ball 0 (r / 2) ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU✝ : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
hr : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r

⊢ (s.sup p).ball (0 + 0) (r / 2 + r / 2) ⊆ U
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LE.le
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c d : α

⊢ ↑(Icc a b * Icc c d) ⊆ ↑(Icc (a * c) (b * d))
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : 0 < b

⊢ a * b⁻¹ ≤ c ↔ a ≤ c * b
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ StrictAnti fun p => ∑ i : α, a i * b i ^ p
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ StrictAnti (∑ c : α, fun p => a c * b c ^ p)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ x ∈ univ, StrictAnti fun p => a x * b x ^ p
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
x✝ : i ∈ univ

⊢ StrictAnti (HPow.hPow (b i))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
h : Convex 𝕜 s
x : E
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : 1 ≤ t

⊢ x ∈ t • s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
h : Convex 𝕜 s
x : E
zero_mem : 0 ∈ s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : 1 ≤ t

⊢ t⁻¹ • x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ

⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ

⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T

⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable

⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
T'_ne : T'.Nonempty

⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
T : Set (Set X)
T_count : T.Countable
T_open : ∀ u ∈ T, IsOpen u
sT : s ⊆ ⋃ u ∈ T, u
hT : ∀ u ∈ T, IntegrableOn f (u ∩ s) μ
T' : Set (Set X) := insert ∅ T
T'_count : T'.Countable
T'_ne : T'.Nonempty
u : ℕ → Set X
hu : T' = range u

⊢ ∃ u, (∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)) ∧ s ⊆ ⋃ n, u n ∧ ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n ∩ s) μ
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Defs.lean
K : Type u
inst✝ : CommRing K
P : Sort v
x : RatFunc K
f : K[X] → K[X] → P
H : ∀ {p q p' q' : K[X]}, q ∈ K[X]⁰ → q' ∈ K[X]⁰ → q' * p = q * p' → f p q = f p' q'
p p' : K[X]
q q' : ↥K[X]⁰
h : (Localization.r K[X]⁰) (p, q) (p', q')

⊢ (fun p q => f p ↑q) p q = (fun p q => f p ↑q) p' q'
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x : E
r : ℝ

⊢ ThreeAPFree (sphere x r)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x : E

⊢ ThreeAPFree (sphere x 0)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0

⊢ ThreeAPFree (sphere x r)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I

⊢ (eval₂RingHom (C.comp (Quotient.mk I)) X) a = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I

⊢ (eval₂RingHom (C.comp (Quotient.mk I)) X) (a.sum fun n a => (monomial n) a) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I

⊢ eval₂ (C.comp (Quotient.mk I)) X (a.sum fun n a => (monomial n) a) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I

⊢ (a.sum fun n a => eval₂ (C.comp (Quotient.mk I)) X ((monomial n) a)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support

⊢ (fun n a => eval₂ (C.comp (Quotient.mk I)) X ((monomial n) a)) n (a.coeff n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support

⊢ eval₂ (C.comp (Quotient.mk I)) X ((monomial n) (a.coeff n)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support

⊢ (C.comp (Quotient.mk I)) (a.coeff n) * X ^ n = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support
m : ℕ

⊢ ((C.comp (Quotient.mk I)) (a.coeff n)).coeff m = coeff 0 m
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a : R[X]
ha : a ∈ map C I
n : ℕ
x✝ : n ∈ a.support
m : ℕ

⊢ (if m = 0 then (Quotient.mk I) (a.coeff n) else 0) = coeff 0 m
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction G α
a : G
s : Finset α

⊢ a ∈ stabilizer G ↑s ↔ ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ ↑s → a • b ∈ ↑s
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

⊢ spectrum R (cfc f a) = f '' spectrum R a
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIcoDiv hp (p + a) b = toIcoDiv hp a b - 1
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : List Γ
i j : ℕ
h : (l ++ List.replicate i default).length ≤ (l ++ List.replicate j default).length

⊢ BlankExtends (l ++ List.replicate i default) (l ++ List.replicate j default)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : List Γ
i j : ℕ
h : (l ++ List.replicate i default).length ≤ (l ++ List.replicate j default).length

⊢ l ++ List.replicate j default = l ++ List.replicate i default ++ List.replicate (j - i) default
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l : List Γ
i j : ℕ
h : i ≤ j

⊢ l ++ List.replicate j default = l ++ List.replicate i default ++ List.replicate (j - i) default
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f f' : α → E
s : Set α
h : EqOn f f' s
x : α
xs : x ∈ s

⊢ edist (f x) (f' x) = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : String
p : Char → Bool

⊢ s.all p = true ↔ ∀ (c : Char), c ∈ s.data → p c = true
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

⊢ o.oangle (-x) y = o.oangle x (-y)
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i

⊢ update x i a ≤ update y i b ↔ a ≤ b ∧ ∀ (j : ι), j ≠ i → x j ≤ y j
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
E : EllipticCurve R
F : Type u
inst✝¹ : Field F
j : F
inst✝ : DecidableEq F
h2 : 2 = 0

⊢ ofJ 1728 = ofJ0 F
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α

⊢ a / b < c / d ↔ a * d < c * b
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β
f : ↑s ≃o ↑t
x : α
hx : x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

⊢ ↑(f ⟨x, ⋯⟩) ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β
f : ↑s ≃o ↑t
x : α
hx✝ : x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hx : x ∈ Subtype.val '' minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) univ

⊢ ↑(f ⟨x, ⋯⟩) ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β
f : ↑s ≃o ↑t
x : { x // x ∈ s }
h : x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) univ
hx : ↑x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

⊢ ↑(f ⟨↑x, ⋯⟩) ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝¹ t✝ : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
inst✝¹ : LE α
inst✝ : LE β
s : Set α
t : Set β
f : ↑s ≃o ↑t
x : { x // x ∈ s }
h : x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) univ
hx : ↑x ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

⊢ t = Subtype.val ∘ ⇑f '' univ
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
j1 j2 : ℕ
hj : j1 ≤ j2

⊢ μ.colLen j2 ≤ μ.colLen j1
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : Nonempty α
p : α × α → Prop

⊢ (∀ᶠ (x : α × α) in atBot, p x) ↔ ∃ a, ∀ (k l : α), k ≤ a → l ≤ a → p (k, l)
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
hn : p ^ n ≤ Nat.card G
this : Fact (Nat.Prime p)

⊢ ∃ H, Nat.card ↥H = p ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
hn : p ^ n ≤ Nat.card G
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : Finite G

⊢ ∃ H, Nat.card ↥H = p ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : Group G
n p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h : IsPGroup p G
hn : p ^ n ≤ Nat.card G
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : Finite G
m : ℕ
hm : Nat.card G = p ^ m

⊢ ∃ H, Nat.card ↥H = p ^ n