ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/Basic.lean
P : PFunctor.{u}
α : Type u
p : α → Prop
x : ↑P α
a : P.A
f : P.B a → α
xeq : x = ⟨a, f⟩
pf : ∀ (i : P.B a), p (f i)

⊢ Subtype.val <$> ⟨a, fun i => ⟨f i, ⋯⟩⟩ = x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H K : G.Subgraph
hH : H.Connected
hK : K.Connected
hn : (H ⊓ K).verts.Nonempty

⊢ (H ⊔ K).Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H K : G.Subgraph
hH : H.Connected
hK : K.Connected
hn : (H ⊓ K).verts.Nonempty

⊢ ∃ v, ∀ (w : ↑(H ⊔ K).verts), (H ⊔ K).coe.Reachable v w
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean

⊢ Principal (fun x x_1 => x * x_1) 1
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean

⊢ 0 * 0 = 0
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ IsClosed (frontier s)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ IsClosed (closure s ∩ closure sᶜ)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
K : Compacts ℝ

⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖) =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
K : Compacts ℝ
r : ℝ
hr : ↑K ⊆ Metric.closedBall 0 r

⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖) =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
K : Compacts ℝ
r : ℝ
hr : ↑K ⊆ Icc (-r) r

⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖) =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
K : Compacts ℝ
r : ℝ
hr : ↑K ⊆ Icc (-r) r
this : ∀ (x : ℝ), ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖ ≤ ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x - r) (x + r)) f‖

⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖) =O[cocompact ℝ] fun x => |x| ^ (-b)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
K : Compacts ℝ
r : ℝ
hr : ↑K ⊆ Icc (-r) r
this : ∀ (x : ℝ), ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖ ≤ ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x - r) (x + r)) f‖
hf : (⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)) ∧ ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)

⊢ ((fun x => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖) =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)) ∧ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (↑K) (f.comp (ContinuousMap.addRight x))‖) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : Unique J
f : J → C
j : J

⊢ default = j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : Unique J
f : J → C
j : J

⊢ j = default
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : ↥(Lp G' 1 μ)
hfg : f ≤ g

⊢ (setToL1 hT) f ≤ (setToL1 hT) g
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : ↥(Lp G' 1 μ)
hfg : 0 ≤ g - f

⊢ 0 ≤ (setToL1 hT) g - (setToL1 hT) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
T✝ T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C✝ C' C'' : ℝ
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝³ : NormedSpace ℝ G''
inst✝² : CompleteSpace G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T : Set α → G' →L[ℝ] G''
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : G'), 0 ≤ x → 0 ≤ (T s) x
f g : ↥(Lp G' 1 μ)
hfg : 0 ≤ g - f

⊢ 0 ≤ (setToL1 hT) (g - f)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Iterate.lean
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
n : ℤ
s : Set G
hs : (fun x => x ^ n) ⁻¹' s = s
g : G
j : ℕ
hg : g ^ n ^ j = 1

⊢ g • s = s
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Iterate.lean
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
n : ℤ
s : Set G
hs : (fun x => x ^ n) ⁻¹' s = s
g : G
j : ℕ
hg : g ^ n ^ j = 1

⊢ ∀ {g' : G}, g' ^ n ^ j = 1 → g' • s ⊆ s
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Iterate.lean
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
n : ℤ
s : Set G
hs : (fun x => x ^ n) ⁻¹' s = s
g : G
j : ℕ
hg : g ^ n ^ j = 1

⊢ ∀ {g' : G}, g' ^ n ^ j = 1 → g' • (fun x => x ^ n)^[j] ⁻¹' s ⊆ (fun x => x ^ n)^[j] ⁻¹' s
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Iterate.lean
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
n : ℤ
s : Set G
hs : (fun x => x ^ n) ⁻¹' s = s
g : G
j : ℕ
hg : g ^ n ^ j = 1
g' y : G
hy : y ∈ (fun x => x ^ n)^[j] ⁻¹' s
hg' : (⇑(zpowGroupHom n))^[j] g' = 1

⊢ (⇑(zpowGroupHom n))^[j] (g' * y) ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : M

⊢ a * a ^ (n - 1) = a ^ n
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
x' : M
hx' : x' ∈ (chartAt H x).source

⊢ ContMDiffAt I I' n f x' ↔ ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x')
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

⊢ (μ.prod ν) s = 0 ↔ (fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
x✝ : ∃ s, s.card = n ∧ LinearIndependent R Subtype.val
s : Finset M
h₁ : s.card = n
h₂ : LinearIndependent R Subtype.val

⊢ ↑n ≤ Module.rank R M
-- Mathlib/Order/Category/BddOrd.lean
α β : BddOrd
e : ↑α.toPartOrd ≃o ↑β.toPartOrd
x✝ : (forget BddOrd).obj α

⊢ (↑e ≫ ↑e.symm) x✝ = (𝟙 α) x✝
-- Mathlib/Order/Category/BddOrd.lean
α β : BddOrd
e : ↑α.toPartOrd ≃o ↑β.toPartOrd
x✝ : (forget BddOrd).obj β

⊢ (↑e.symm ≫ ↑e) x✝ = (𝟙 β) x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
i j : Ordinal.{u}
hij : i ≤ j

⊢ ⋃ j, ball (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ≤ ⋃ j_1, ball (p.c (p.index ↑j_1)) (p.r (p.index ↑j_1))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p => (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}

⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = (∡ p₁ p₃ p₂).sign
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p => (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp

⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = (∡ p₁ p₃ p₂).sign
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p => (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
hf : ContinuousOn (fun p => ∡ p.1 p.2.1 p.2.2) sp

⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = (∡ p₁ p₃ p₂).sign
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p => (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
hf : ContinuousOn (fun p => ∡ p.1 p.2.1 p.2.2) sp
hsp : ∀ p ∈ sp, ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ 0 ∧ ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ ↑π

⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = (∡ p₁ p₃ p₂).sign
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p => (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
hf : ContinuousOn (fun p => ∡ p.1 p.2.1 p.2.2) sp
hsp : ∀ p ∈ sp, ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ 0 ∧ ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ ↑π
hp₃ : (p₁, p₃, p₂) ∈ sp

⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = (∡ p₁ p₃ p₂).sign
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : AffineSubspace ℝ P
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃p₄ : s.SSameSide p₃ p₄
h : ¬p₁ = p₂
sp : Set (P × P × P) := (fun p => (p₁, p, p₂)) '' {p | s.SSameSide p₃ p}
hc : IsConnected sp
hf : ContinuousOn (fun p => ∡ p.1 p.2.1 p.2.2) sp
hsp : ∀ p ∈ sp, ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ 0 ∧ ∡ p.1 p.2.1 p.2.2 ≠ ↑π
hp₃ : (p₁, p₃, p₂) ∈ sp
hp₄ : (p₁, p₄, p₂) ∈ sp

⊢ (∡ p₁ p₄ p₂).sign = (∡ p₁ p₃ p₂).sign
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Submodule.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
x : S
a : Set R

⊢ x ∈ Ideal.span (⇑(algebraMap R S) '' a) ↔ ∃ y ∈ Ideal.span a, ∃ z, x = mk' S y z
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Submodule.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing P
g : R →+* P
T : Submonoid P
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
Q : Type u_4
inst✝³ : CommRing Q
inst✝² : Algebra P Q
inst✝¹ : IsLocalization T Q
inst✝ : IsLocalization M S
x : S
a : Set R

⊢ (∃ y ∈ Submodule.span R (⇑(algebraMap R S) '' a), ∃ z, x = mk' S 1 z • y) ↔ ∃ y ∈ Ideal.span a, ∃ z, x = mk' S y z
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝ : CommMonoid α
S : Multiset (Multiset α)

⊢ S.join.prod = (map prod S).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero α
a b c d : α
m n : ℕ
hc : c ≠ 0

⊢ a / c ≤ b ↔ a ≤ b * c
-- Mathlib/Data/Option/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f g : α → Option β
x : Option α
h : ∀ (a : α), a ∈ x → f a = g a

⊢ x.bind f = x.bind g
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/DilationEquiv.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
e : X ≃ᵈ Y
e' : Y ≃ᵈ Z
hX : ∃ x y, edist x y ≠ 0 ∧ edist x y ≠ ⊤

⊢ ratio (e.trans e') = ratio e * ratio e'
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedDeriv n f) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ

⊢ 𝓕 (iteratedDeriv n f) x = (2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • 𝓕 f x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedDeriv n f) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) volume

⊢ 𝓕 (iteratedDeriv n f) x = (2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • 𝓕 f x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedDeriv n f) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) volume

⊢ 𝓕 (fun x => iteratedDeriv n f x) x = (2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • 𝓕 f x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f✝ : V → E
f : ℝ → E
N : ℕ∞
n : ℕ
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedDeriv n f) volume
hn : ↑n ≤ N
x : ℝ
A : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) volume

⊢ ((fourierPowSMulRight (-innerSL ℝ) (𝓕 f) x n) fun x => 1) = (2 * ↑π * I * ↑x) ^ n • 𝓕 f x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FunctorCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} K
F : J ⥤ K ⥤ C
c : (k : K) → LimitCone (F.flip.obj k)
j₁ j₂ : J
g : j₁ ⟶ j₂
k : K

⊢ (((const J).obj { obj := fun k => (c k).cone.pt, map := fun {k₁ k₂} f => (c k₂).isLimit.lift { pt := (c k₁).cone.pt, π := (c k₁).cone.π ≫ F.flip.map f }, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).map g ≫ (fun j => { app := fun k => (c k).cone.π.app j, naturality := ⋯ }) j₂).app k = ((fun j => { app := fun k => (c k).cone.π.app j, naturality := ⋯ }) j₁ ≫ F.map g).app k
-- Mathlib/Logic/Equiv/Option.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Option α ≃ Option β
x : α
h : ∃ x', e (some x) = some x'

⊢ some (e.removeNone_aux x) = e (some x)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α

⊢ M.Coindep X ↔ ∃ B, M.Base B ∧ X ⊆ M.E \ B
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α

⊢ (∃ B, M.Base B ∧ B ⊆ M.E ∧ Disjoint B X) ∧ X ⊆ M.E ↔ ∃ B, M.Base B ∧ X ⊆ M.E ∧ Disjoint X B
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a✝ : α
b✝ : β
p : α → Prop
q : β → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
a : α
b : β

⊢ (a, b) ∈ filter (fun x => p x.1 ∧ q x.2) (s ×ˢ t) ↔ (a, b) ∈ filter p s ×ˢ filter q t
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
v : V

⊢ v ∈ s.direction ↔ ∃ p1 ∈ s, ∃ p2 ∈ s, v = p1 -ᵥ p2
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : (↑s).Nonempty
v : V

⊢ (∃ x ∈ ↑s, ∃ y ∈ ↑s, x -ᵥ y = v) ↔ ∃ p1 ∈ s, ∃ p2 ∈ s, v = p1 -ᵥ p2
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ

⊢ Surjective f ↔ ∀ (i : ι), Surjective ((U i).restrictPreimage f)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ
H : ∀ (i : ι), Surjective ((U i).restrictPreimage f)
x : β

⊢ ∃ a, f a = x
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ
H : ∀ (i : ι), Surjective ((U i).restrictPreimage f)
x : β
i : ι
hi : x ∈ U i

⊢ ∃ a, f a = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s t : Set α
μ✝ ν : Measure α
l l' : Filter α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
μ : Measure β

⊢ IntegrableAtFilter f (map e l) μ ↔ IntegrableAtFilter (f ∘ e) l (Measure.comap e μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s t : Set α
μ✝ ν : Measure α
l l' : Filter α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E
μ : Measure β

⊢ (∃ s ∈ map e l, IntegrableOn f s μ) ↔ ∃ s ∈ map e l, IntegrableOn f s (μ.restrict (range e))
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y : ℂ
x : ℝ

⊢ (starRingEnd ℂ) (↑x).cot = (↑x).cot
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : PrimeMultiset

⊢ ↑v.prod = v.toNatMultiset.prod
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : PrimeMultiset
h : ↑v.prod = (Multiset.map Coe.coe (Multiset.map Coe.coe v)).prod := MonoidHom.map_multiset_prod PNat.coeMonoidHom v.toPNatMultiset

⊢ ↑v.prod = v.toNatMultiset.prod
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : PrimeMultiset
h : ↑v.prod = (Multiset.map (Coe.coe ∘ Coe.coe) v).prod

⊢ ↑v.prod = v.toNatMultiset.prod
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : PrimeMultiset
h : ↑v.prod = (Multiset.map (Coe.coe ∘ Coe.coe) v).prod
this : Coe.coe ∘ Coe.coe = Coe.coe

⊢ ↑v.prod = v.toNatMultiset.prod
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a✝ b : Γ
r✝ : R
a : Γ
r : R

⊢ ((single a) r).leadingCoeff = r
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a✝ b : Γ
r✝ : R
a : Γ
r : R

⊢ (if h : r = 0 then 0 else ((single a) r).coeff (⋯.min ⋯)) = r
-- Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
A : Type v
inst✝ : Ring A
h₁ : (Std.Commutative fun x x_1 => x * x_1) ↔ ∀ (a b : A), a * b = b * a

⊢ (Std.Commutative fun x x_1 => x * x_1) ↔ IsLieAbelian A
-- Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
A : Type v
inst✝ : Ring A
h₁ : (Std.Commutative fun x x_1 => x * x_1) ↔ ∀ (a b : A), a * b = b * a
h₂ : IsLieAbelian A ↔ ∀ (a b : A), ⁅a, b⁆ = 0

⊢ (Std.Commutative fun x x_1 => x * x_1) ↔ IsLieAbelian A
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
s t : Finset α

⊢ Eₘ[s, t] = Eₘ[t, s]
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
s t : Finset α

⊢ (filter ((fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) ∘ ⇑(Equiv.prodComm (α × α) (α × α)).symm) (map (Equiv.prodComm (α × α) (α × α)).toEmbedding ((s ×ˢ s) ×ˢ t ×ˢ t))).card = Eₘ[t, s]
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
X' Y' : C
f' : X' ⟶ Y'
inst✝ : HasKernel f'
p : X ≅ X'
q : Y ≅ Y'
w : f ≫ q.hom = p.hom ≫ f'

⊢ f' ≫ q.inv = p.inv ≫ f