ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ L₃ : C ⥤ D
R₁ R₂ R₃ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
α : R₁ ⟶ R₂
β : R₂ ⟶ R₃

⊢ (conjugateEquiv adj₁ adj₂) ((conjugateEquiv adj₁ adj₂).symm α) ≫ (conjugateEquiv adj₂ adj₃) ((conjugateEquiv adj₂ adj₃).symm β) = α ≫ β
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s

⊢ sSup s = sSup univ
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
hs : ¬BddAbove s

⊢ ¬BddAbove univ
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
hs : BddAbove univ

⊢ BddAbove s
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y

⊢ IsCompact (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsCompact s
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y

⊢ IsCompact (⇑h.symm '' s) ↔ IsCompact s
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x y : ℝ*
hx : ¬x.Infinitesimal
hp : 0 < x
hy : y.InfiniteNeg

⊢ (x * y).InfiniteNeg
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x y : ℝ*
hx : ¬x.Infinitesimal
hp : 0 < x
hy : y.InfiniteNeg

⊢ (y * x).InfiniteNeg
-- Mathlib/Data/Fintype/Units.lean
α : Type u_1
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ card α = card αˣ + 1
-- Mathlib/Data/Fintype/Units.lean
α : Type u_1
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ card { a // a ≠ 0 } + 1 = card α
-- Mathlib/Data/Fintype/Units.lean
α : Type u_1
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
this : card ({ a // a = 0 } ⊕ { a // ¬a = 0 }) = card α

⊢ card { a // a ≠ 0 } + 1 = card α
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
θ : ℝ

⊢ (cexp (↑θ * I)).arg = toIocMod ⋯ (-π) θ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
θ : ℝ

⊢ cexp (↑θ * I) = cos ↑(toIocMod ⋯ (-π) θ) + sin ↑(toIocMod ⋯ (-π) θ) * I
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
θ : ℝ

⊢ toIocMod ⋯ (-π) θ ∈ Ioc (-π) π
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
p : Submodule 𝕜 E := (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ

⊢ eigenspace (T.restrict ⋯) μ = ⊥
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
p : Submodule 𝕜 E := (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ

⊢ Disjoint (eigenspace T μ) (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ : 𝕜
p : Submodule 𝕜 E := (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ
H₂ : eigenspace T μ ⟂ p

⊢ Disjoint (eigenspace T μ) (⨆ μ, eigenspace T μ)ᗮ
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set V
x : V
hx : x ∈ ↑(affineSpan k s)

⊢ x ∈ Submodule.span k s
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝² : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b c : 𝒳
R : 𝒮
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsHomLift (𝟙 R) φ
S T : 𝒮
f : S ⟶ T
ψ : b ⟶ c
inst✝ : p.IsHomLift f ψ

⊢ p.IsHomLift f (φ ≫ ψ)
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝² : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b c : 𝒳
R : 𝒮
φ : a ⟶ b
inst✝¹ : p.IsHomLift (𝟙 R) φ
T : 𝒮
ψ : b ⟶ c
f : R ⟶ T
inst✝ : p.IsHomLift f ψ

⊢ p.IsHomLift f (φ ≫ ψ)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
v : Fin 1 → E

⊢ (id 𝕜 E 1) v = v ⟨0, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
x : R
w : p ≠ 0

⊢ x ∈ p.roots ↔ (aeval x) p = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
x : R
w : p ≠ 0

⊢ eval x p = 0 ↔ eval x (map (algebraMap R R) p) = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
f : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
i : ι
hi : ¬c.Rel (c.prev i) i

⊢ f i (c.prev i) ≫ D.d (c.prev i) i = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R

⊢ seminormFromConst' hf1 hc hpm x ≤ f x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R

⊢ ∀ᶠ (c_1 : ℕ) in atTop, seminormFromConst_seq c f x c_1 ≤ f x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R

⊢ ∃ a, ∀ (b : ℕ), a ≤ b → seminormFromConst_seq c f x b ≤ f x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R

⊢ ∀ (b : ℕ), 1 ≤ b → seminormFromConst_seq c f x b ≤ f x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
n : ℕ
hn : 1 ≤ n

⊢ seminormFromConst_seq c f x n ≤ f x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
n : ℕ
hn : 1 ≤ n

⊢ f x * f (c ^ n) / f c ^ n ≤ f x
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
s s' t : Set α
ht : s ∩ frontier t = s' ∩ frontier t

⊢ t.ite s s' ∩ closure t = s ∩ closure t
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
ifp_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n

⊢ 0 ≤ ifp_n.fr ∧ ifp_n.fr < 1
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
b : n
M : Matrix n n α

⊢ (stdBasisMatrix i j c * M) i b = c * M j b
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

⊢ μ ≪ μ.inv
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s✝ : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
s : Set G
x✝ : MeasurableSet s

⊢ μ.inv s = 0 → μ s = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal

⊢ p.1 ≠ 0 ∧ p.2 ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ n.divisorsAntidiagonal
hp₁ : p.1 * p.2 = n
hp₂ : n ≠ 0

⊢ p.1 ≠ 0 ∧ p.2 ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : P.k < s.re
hc1 : MellinConvergent (fun x => P.f x - P.f₀) s

⊢ mellin (fun x => P.f x - P.f₀) s = P.Λ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : P.k < s.re
hc1 : MellinConvergent (fun x => P.f x - P.f₀) s
hc2 : HasMellin P.f_modif s (P.Λ₀ s)

⊢ mellin (fun x => P.f x - P.f₀) s = P.Λ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : P.k < s.re
hc1 : MellinConvergent (fun x => P.f x - P.f₀) s
hc2 : HasMellin P.f_modif s (P.Λ₀ s)
hc3 : mellin (fun x => P.f_modif x - P.f x + P.f₀) s = (1 / s) • P.f₀ + (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀

⊢ mellin (fun x => P.f x - P.f₀) s = P.Λ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : P.k < s.re
hc1 : MellinConvergent (fun x => P.f x - P.f₀) s
hc2 : HasMellin P.f_modif s (P.Λ₀ s)
hc3 : mellin (fun x => P.f_modif x - P.f x + P.f₀) s = (1 / s) • P.f₀ + (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀
this : mellin (fun t => P.f_modif t - (P.f t - P.f₀)) s = mellin P.f_modif s - mellin (fun x => P.f x - P.f₀) s

⊢ mellin (fun x => P.f x - P.f₀) s = P.Λ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : P.k < s.re
hc1 : MellinConvergent (fun x => P.f x - P.f₀) s
hc2 : HasMellin P.f_modif s (P.Λ₀ s)
hc3 : mellin (fun x => P.f_modif x - P.f x + P.f₀) s = (1 / s) • P.f₀ + (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀
this : mellin (fun x => P.f x - P.f₀) s = mellin P.f_modif s - (1 / s) • P.f₀ - (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀

⊢ mellin (fun x => P.f x - P.f₀) s = P.Λ s
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r : R
hr : ‖r‖ < 1

⊢ Summable fun n => ‖↑n ^ k * r ^ n‖
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : NormedRing R
k : ℕ
r : R
hr : ‖r‖ < 1
r' : ℝ
hrr' : ‖r‖ < r'
h : r' < 1

⊢ Summable fun n => ‖↑n ^ k * r ^ n‖
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
V : Set X

⊢ s ⊆ interior V ↔ ∀ x ∈ s, V ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
r' : α → α → Prop
hr' : Reflexive r'
h : ∀ (x y : α), r x y → r' x y
x y : α
hxy : ReflGen r x y

⊢ r' x y
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝ n : ℕ
xs✝ : List α
a : α
xs : List α
z : Sym α 0
ha : a ∈ z
hz : z ∈ List.sym 0 xs

⊢ a ∈ xs
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝ n : ℕ
xs✝ : List α
a : α
xs : List α
ha : a ∈ Sym.nil
hz : Sym.nil ∈ List.sym 0 xs

⊢ a ∈ xs
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
a : α
n : ℕ
x : α
xs : List α
z : Sym α (n + 1)
ha : a ∈ z
hz : z ∈ List.sym (n + 1) (x :: xs)

⊢ a ∈ x :: xs
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs✝¹ ys : List α
n✝¹ n✝ : ℕ
xs✝ : List α
a : α
n : ℕ
x : α
xs : List α
z : Sym α (n + 1)
ha : a ∈ z
hz : (∃ a ∈ List.sym n (x :: xs), x ::ₛ a = z) ∨ z ∈ List.sym (n + 1) xs

⊢ a ∈ x :: xs
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : ¬p = 0

⊢ (k • p).natDegree = p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : ¬p = 0

⊢ k • p ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : k • p = 0

⊢ p = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k
hp : k • p = k • 0

⊢ p = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α✝
inst✝¹ : OrderBot α✝
s✝ s₁ s₂ : Finset β✝
f✝ g : β✝ → α✝
a✝ : α✝
α : Type u_7
β : Type u_8
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s : Finset β
f : β → α
a : α

⊢ (s.sup fun b => f b \ a) = s.sup f \ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v✝ v₁ v₂ : VectorMeasure α M✝
w✝ w₁ w₂ : VectorMeasure α N
M : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
u : Set α
hmu : MeasurableSet u
hu₁ : ∀ t ⊆ u, ↑v t = 0
hu₂ : ∀ t ⊆ uᶜ, ↑w t = 0
s : Set α
hs : s ⊆ u

⊢ ↑(-v) s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M✝ : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : TopologicalSpace N
v✝ v₁ v₂ : VectorMeasure α M✝
w✝ w₁ w₂ : VectorMeasure α N
M : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
u : Set α
hmu : MeasurableSet u
hu₁ : ∀ t ⊆ u, ↑v t = 0
hu₂ : ∀ t ⊆ uᶜ, ↑w t = 0
s : Set α
hs : s ⊆ u

⊢ ↑v s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : Group H
inst✝⁸ : MulAction G α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MulAction H β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
ν : Measure α
h : IsFundamentalDomain G s μ
hν : ν ≪ μ

⊢ (sum fun g => ν.restrict (g • s)) = ν
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M

⊢ ∃ m, ∀ (r : R), r ≠ 0 → r • m ∉ N
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M
this : Module.rank R (M ⧸ N) ≠ 0

⊢ ∃ m, ∀ (r : R), r ≠ 0 → r • m ∉ N
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M
this : ¬∀ (x : M), ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • Submodule.Quotient.mk x = 0

⊢ ∃ m, ∀ (r : R), r ≠ 0 → r • m ∉ N
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M
this : ∃ x, ∀ (a : R), a ≠ 0 → a • Submodule.Quotient.mk x ≠ 0

⊢ ∃ m, ∀ (r : R), r ≠ 0 → r • m ∉ N
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : HasRankNullity.{u, u_1} R
N : Submodule R M
h : Module.rank R ↥N < Module.rank R M
this : ∃ x, ∀ (a : R), ¬a = 0 → a • x ∉ N

⊢ ∃ m, ∀ (r : R), r ≠ 0 → r • m ∉ N
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A

⊢ Tendsto (fun n => ENNReal.ofReal (‖a ^ n‖ ^ (1 / ↑n))) atTop (𝓝 (spectralRadius ℂ a))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A

⊢ (fun n => ENNReal.ofReal (‖a ^ n‖ ^ (1 / ↑n))) = fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
x✝ : ℕ

⊢ ENNReal.ofReal (‖a ^ x✝‖ ^ (1 / ↑x✝)) = ↑‖a ^ x✝‖₊ ^ (1 / ↑x✝)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
x✝ : ℕ

⊢ 0 ≤ 1 / ↑x✝
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(latticeBasis K)) ↔ x ∈ ((mixedEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)).range
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (⇑(mixedEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap '' Set.range ⇑(integralBasis K)) ↔ x ∈ ((mixedEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)).range
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

⊢ x ∈ ⇑(mixedEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap '' ↑(Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(integralBasis K))) ↔ x ∈ ((mixedEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)).range
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

⊢ (∃ a, (mixedEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap ((algebraMap (𝓞 K) K) a) = x) ↔ ∃ x_1, ((mixedEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)) x_1 = x
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x y y₁ y₂ : PGame
hx : x.Numeric
hy✝ : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hy : y₁ < y₂

⊢ ∀ {x₁ x₂ : PGame}, x₁.Numeric → x₂.Numeric → x₁ < x₂ → P3 x₁ x₂ y₁ y₂
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x y y₁ y₂ : PGame
hx : x.Numeric
hy✝ : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hy : y₁ < y₂

⊢ ∀ (x : PGame × PGame), x.1.Numeric → x.2.Numeric → x.1 < x.2 → P3 x.1 x.2 y₁ y₂
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x y y₁ y₂ : PGame
hx : x.Numeric
hy✝ : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hy : y₁ < y₂

⊢ ∀ (x : PGame × PGame), (∀ (y : PGame × PGame), Prod.GameAdd IsOption IsOption y x → y.1.Numeric → y.2.Numeric → y.1 < y.2 → P3 y.1 y.2 y₁ y₂) → x.1.Numeric → x.2.Numeric → x.1 < x.2 → P3 x.1 x.2 y₁ y₂
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x y y₁ y₂ : PGame
hx✝ : x.Numeric
hy✝ : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hy : y₁ < y₂
x₁ x₂ : PGame
ih : ∀ (y : PGame × PGame), Prod.GameAdd IsOption IsOption y (x₁, x₂) → y.1.Numeric → y.2.Numeric → y.1 < y.2 → P3 y.1 y.2 y₁ y₂
hx₁ : (x₁, x₂).1.Numeric
hx₂ : (x₁, x₂).2.Numeric
hx : (x₁, x₂).1 < (x₁, x₂).2

⊢ P3 (x₁, x₂).1 (x₁, x₂).2 y₁ y₂
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x y y₁ y₂ : PGame
hx✝ : x.Numeric
hy✝ : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hy : y₁ < y₂
x₁ x₂ : PGame
ih : ∀ (y : PGame × PGame), Prod.GameAdd IsOption IsOption y (x₁, x₂) → y.1.Numeric → y.2.Numeric → y.1 < y.2 → P3 y.1 y.2 y₁ y₂
hx₁ : (x₁, x₂).1.Numeric
hx₂ : (x₁, x₂).2.Numeric
hx : (x₁, x₂).1 < (x₁, x₂).2
i : (x₁, x₂).2.LeftMoves

⊢ IH3 (x₁, x₂).1 ((x₁, x₂).2.moveLeft i) (x₁, x₂).2 y₁ y₂
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x y y₁ y₂ : PGame
hx✝ : x.Numeric
hy✝ : y.Numeric
hy₁ : y₁.Numeric
hy₂ : y₂.Numeric
hy : y₁ < y₂
x₁ x₂ : PGame
ih : ∀ (y : PGame × PGame), Prod.GameAdd IsOption IsOption y (x₁, x₂) → y.1.Numeric → y.2.Numeric → y.1 < y.2 → P3 y.1 y.2 y₁ y₂
hx₁ : (x₁, x₂).1.Numeric
hx₂ : (x₁, x₂).2.Numeric
hx : (x₁, x₂).1 < (x₁, x₂).2
i : (-(x₁, x₂).1).LeftMoves

⊢ IH3 (-(x₁, x₂).2) ((-(x₁, x₂).1).moveLeft i) (-(x₁, x₂).1) y₁ y₂
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg : StrictConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • f x + b • f y ≤ a • (f x ⊔ g x) + b • (f y ⊔ g y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hg : StrictConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • g x + b • g y ≤ a • (f x ⊔ g x) + b • (f y ⊔ g y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R✝ : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X
h : J.Covers S f
k : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ X), S.arrows g → J.Covers R g

⊢ J.Covers R f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R✝ : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X
h : J.Covers S f
k : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ X), S.arrows g → J.Covers R g

⊢ ∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f_1 : Y_1 ⟶ Y⦄, (Sieve.pullback f S).arrows f_1 → Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f R) ∈ J.sieves Y_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R✝ : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X
h : J.Covers S f
k : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ X), S.arrows g → J.Covers R g
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g

⊢ Sieve.pullback g (Sieve.pullback f R) ∈ J.sieves Z
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R✝ : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X
h : J.Covers S f
k : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ X), S.arrows g → J.Covers R g
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f S).arrows g

⊢ Sieve.pullback (g ≫ f) R ∈ J.sieves Z