ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n
B : HasSum (fun x => r ^ x) (1 - r)⁻¹
hr' : r ≠ 1

⊢ ∑' (b : ℕ), ↑b * r ^ b = r / (1 - r) ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n
B : HasSum (fun x => r ^ x) (1 - r)⁻¹
hr' : r ≠ 1
s : 𝕜 := ∑' (n : ℕ), ↑n * r ^ n

⊢ s = r / (1 - r) ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n
B : HasSum (fun x => r ^ x) (1 - r)⁻¹
hr' : r ≠ 1
s : 𝕜 := ∑' (n : ℕ), ↑n * r ^ n
this : Commute (1 - r) s

⊢ s = r / (1 - r) ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t : Multiset ι
f : ι → R[X]

⊢ (∀ i ∈ t, (f i).Monic) → (Multiset.map f t).prod.Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t : Multiset ι
f : ι → R[X]

⊢ (∀ i ∈ 0, (f i).Monic) → (Multiset.map f 0).prod.Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t : Multiset ι
f : ι → R[X]

⊢ ∀ (a : ι) (s : Multiset ι), ((∀ i ∈ s, (f i).Monic) → (Multiset.map f s).prod.Monic) → (∀ i ∈ a ::ₘ s, (f i).Monic) → (Multiset.map f (a ::ₘ s)).prod.Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
a : ι
t : Multiset ι
ih : (∀ i ∈ t, (f i).Monic) → (Multiset.map f t).prod.Monic
ht : ∀ i ∈ a ::ₘ t, (f i).Monic

⊢ (Multiset.map f (a ::ₘ t)).prod.Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
t✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
a : ι
t : Multiset ι
ih : (∀ i ∈ t, (f i).Monic) → (Multiset.map f t).prod.Monic
ht : ∀ i ∈ a ::ₘ t, (f i).Monic

⊢ (f a * (Multiset.map f t).prod).Monic
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Finset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ s.card

⊢ (∏ i ∈ s, (X + C (r i))).coeff k = ∑ t ∈ Finset.powersetCard (s.card - k) s, ∏ i ∈ t, r i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
s : Finset σ
r : σ → R
k : ℕ
h : k ≤ s.card

⊢ ∑ t ∈ Finset.powersetCard (card s.val - k) s, t.prod r = ∑ t ∈ Finset.powersetCard (s.card - k) s, ∏ i ∈ t, r i
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
h'f : Measurable f

⊢ Measure.map f ((μ.restrict s).withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) = μ.restrict (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
h'f : Measurable f
t : Set E
ht : MeasurableSet t

⊢ (Measure.map f ((μ.restrict s).withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|)) t = (μ.restrict (f '' s)) t
-- Mathlib/Data/Finset/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs✝ : s.IsPWO
ht✝ : t.IsPWO
a✝ : P
u : Set G
hu : u.IsPWO
v : Set P
hv : v.IsPWO
x : G × P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
x✝ : a ∈ {a | (SMulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}
b : G × P
hb : b ∈ SMulAntidiagonal hs ht a

⊢ a ∈ s • t
-- Mathlib/Data/Finset/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs✝ : s.IsPWO
ht✝ : t.IsPWO
a✝ : P
u : Set G
hu : u.IsPWO
v : Set P
hv : v.IsPWO
x : G × P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
x✝ : a ∈ {a | (SMulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}
b : G × P
hb : b.1 ∈ s ∧ b.2 ∈ t ∧ b.1 • b.2 = a

⊢ a ∈ s • t
-- Mathlib/Data/Finset/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs✝ : s.IsPWO
ht✝ : t.IsPWO
a✝ : P
u : Set G
hu : u.IsPWO
v : Set P
hv : v.IsPWO
x : G × P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
x✝ : a ∈ {a | (SMulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}
b : G × P
hb : b.1 ∈ s ∧ b.2 ∈ t ∧ b.1 • b.2 = a

⊢ ∃ x ∈ s, ∃ y ∈ t, x • y = a
-- Mathlib/Data/Finset/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs✝ : s.IsPWO
ht✝ : t.IsPWO
a✝ : P
u : Set G
hu : u.IsPWO
v : Set P
hv : v.IsPWO
x : G × P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
x✝ : a ∈ {a | (SMulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}
b : G × P
hb : b.1 ∈ s ∧ b.2 ∈ t ∧ b.1 • b.2 = a

⊢ b.1 ∈ s ∧ ∃ y ∈ t, b.1 • y = a
-- Mathlib/Data/Finset/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs✝ : s.IsPWO
ht✝ : t.IsPWO
a✝ : P
u : Set G
hu : u.IsPWO
v : Set P
hv : v.IsPWO
x : G × P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
x✝ : a ∈ {a | (SMulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}
b : G × P
hb : b.1 ∈ s ∧ b.2 ∈ t ∧ b.1 • b.2 = a

⊢ ∃ y ∈ t, b.1 • y = a
-- Mathlib/Data/Finset/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder G
inst✝² : PartialOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs✝ : s.IsPWO
ht✝ : t.IsPWO
a✝ : P
u : Set G
hu : u.IsPWO
v : Set P
hv : v.IsPWO
x : G × P
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : P
x✝ : a ∈ {a | (SMulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}
b : G × P
hb : b.1 ∈ s ∧ b.2 ∈ t ∧ b.1 • b.2 = a

⊢ b.2 ∈ t ∧ b.1 • b.2 = a
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A S
S' : Type u_7
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
y : S'
hy : (aeval y) (minpoly A pb.gen) = 0

⊢ ((pb.basis.constr A) fun i => y ^ ↑i) pb.gen = y
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
n : ℕ

⊢ ∑ d ∈ n.divisors, ↑(μ d) * log d = -Λ n
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
n : ℕ

⊢ ∑ x ∈ n.divisors, ↑(μ x) * Real.log ↑x = ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, ↑(μ x.1) * -Real.log ↑x.2
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
n : ℕ

⊢ ∑ x ∈ n.divisors, ↑(μ x) * Real.log ↑x = ∑ i ∈ n.divisors, ↑(μ i) * -Real.log ↑(n / i)
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
n : ℕ
this : ∑ i ∈ n.divisors, ↑(μ i) * -Real.log ↑(n / i) = ∑ i ∈ n.divisors, (↑(μ i) * Real.log ↑i - ↑(μ i) * Real.log ↑n)

⊢ ∑ x ∈ n.divisors, ↑(μ x) * Real.log ↑x = ∑ i ∈ n.divisors, ↑(μ i) * -Real.log ↑(n / i)
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
n : ℕ
this : ∑ i ∈ n.divisors, ↑(μ i) * -Real.log ↑(n / i) = ∑ i ∈ n.divisors, (↑(μ i) * Real.log ↑i - ↑(μ i) * Real.log ↑n)

⊢ ↑(1 n) * Real.log ↑n = 0
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t.Finite
inst✝¹ : Fintype α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
h : {x | p x}.Finite
a✝ : α

⊢ a✝ ∈ h.toFinset ↔ a✝ ∈ Finset.filter p Finset.univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : ι → α × α
p : Filter ι

⊢ Tendsto f p (𝓤 α) ↔ Tendsto (fun x => dist (f x).1 (f x).2) p (𝓝 0)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α

⊢ s < {a} ↔ s = 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α
a : α

⊢ s = 0 → ¬s = {a}
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
t : Multiset α
a : α

⊢ ¬0 = {a}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n ℝ
hM : M.IsSymm
hMq : M.toQuadraticMap'.PosDef
x : n → ℝ
hx : x ≠ 0

⊢ 0 < star x ⬝ᵥ M *ᵥ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n ℝ
hM : M.IsSymm
x : n → ℝ
hx : x ≠ 0
hMq : ∀ (x : n → ℝ), x ≠ 0 → 0 < x ⬝ᵥ M *ᵥ x

⊢ 0 < star x ⬝ᵥ M *ᵥ x
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter γ
t : Set α

⊢ t ∈ rcomap' r (rcomap' s l) ↔ t ∈ rcomap' (r.comp s) l
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter γ
t : Set α

⊢ (∃ t_1, (∃ t ∈ l, s.preimage t ⊆ t_1) ∧ r.preimage t_1 ⊆ t) ↔ ∃ t_1 ∈ l, r.preimage (s.preimage t_1) ⊆ t
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
s : Rel β γ
l : Filter γ
t✝ : Set α
t : Set γ
tsets : t ∈ l
ht : r.preimage (s.preimage t) ⊆ t✝

⊢ ∃ t, (∃ t_1 ∈ l, s.preimage t_1 ⊆ t) ∧ r.preimage t ⊆ t✝
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
hS : S.Finite
h : ∀ s ∈ S, IsGδ s

⊢ IsGδ (⋃₀ S)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup N

⊢ ↑(map f (comap f H)) = ↑(f.range ⊓ H)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ
hz : z = 0

⊢ padicNorm p ↑z ≤ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ
hz : ¬z = 0

⊢ (if ↑z = 0 then 0 else ↑p ^ (-padicValRat p ↑z)) ≤ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ
hz : ¬z = 0

⊢ ↑p ^ (-padicValRat p ↑z) ≤ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ
hz : ¬z = 0

⊢ ¬↑z = 0
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1

⊢ ⨅ l, ⨅ (_ : ⊥ < l), 𝓟 (Set.Iio l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ 0), 𝓟 (Set.Iio a)
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1

⊢ ⨅ l, ⨅ (_ : l ≠ ⊥), 𝓟 (Set.Iio l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ 0), 𝓟 (Set.Iio a)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h : Perm α
H1 : f.Disjoint g
H2 : f.Disjoint h

⊢ f.Disjoint (g * h)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h : Perm α
H1 : f.Disjoint g
H2 : f.Disjoint h

⊢ (g * h).Disjoint f
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p

⊢ Fintype.card ι ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) + 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
h✝ : IsEmpty ι

⊢ Fintype.card ι ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) + 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
h✝ : Nonempty ι

⊢ Fintype.card ι ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) + 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
h✝ : Nonempty ι

⊢ Fintype.card ι - 1 ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : Fact (1 ≤ p)

⊢ Lp.boundedContinuousFunction E p μ = (toLpHom p μ).range
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)

⊢ CompleteSpace F
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f

⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
v : E
hv : v ≠ 0

⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
v : E
hv : v ≠ 0
φ : E →L[𝕜] 𝕜
hφ : φ v = 1

⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
v : E
hv : v ≠ 0
φ : E →L[𝕜] 𝕜
hφ : φ v = 1
g : ℕ → E →L[𝕜] F := fun n => ((ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 E F) φ) (f n)

⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
v : E
hv : v ≠ 0
φ : E →L[𝕜] 𝕜
hφ : φ v = 1
g : ℕ → E →L[𝕜] F := fun n => ((ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 E F) φ) (f n)
this : CauchySeq g

⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
v : E
hv : v ≠ 0
φ : E →L[𝕜] 𝕜
hφ : φ v = 1
g : ℕ → E →L[𝕜] F := fun n => ((ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 E F) φ) (f n)
this : CauchySeq g
a : E →L[𝕜] F
ha : Tendsto g atTop (𝓝 a)

⊢ ∃ a, Tendsto f atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
v : E
hv : v ≠ 0
φ : E →L[𝕜] 𝕜
hφ : φ v = 1
g : ℕ → E →L[𝕜] F := fun n => ((ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 E F) φ) (f n)
this : CauchySeq g
a : E →L[𝕜] F
ha : Tendsto g atTop (𝓝 a)

⊢ Tendsto f atTop (𝓝 (a v))
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/SeparatingDual.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹⁵ : Field R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V
inst✝¹³ : TopologicalSpace R
inst✝¹² : TopologicalSpace V
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : SeparatingDual R V
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : SeparatingDual 𝕜 E
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : CompleteSpace (E →L[𝕜] F)
f : ℕ → F
hf : CauchySeq f
v : E
hv : v ≠ 0
φ : E →L[𝕜] 𝕜
hφ : φ v = 1
g : ℕ → E →L[𝕜] F := fun n => ((ContinuousLinearMap.smulRightL 𝕜 E F) φ) (f n)
this✝ : CauchySeq g
a : E →L[𝕜] F
ha : Tendsto g atTop (𝓝 a)
this : Tendsto (fun n => (g n) v) atTop (𝓝 (a v))

⊢ Tendsto f atTop (𝓝 (a v))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : MonoidalPreadditive C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g h : Y ⟶ Z

⊢ f ⊗ (g + h) = f ⊗ g + f ⊗ h
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u✝ v : Finset α
a b : α
s t u : Finset α
x : α

⊢ x ∈ (s ∩ t) \ u ↔ x ∈ s ∩ (t \ u)
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : One M
f : α → M
s : Set β
g : β → α

⊢ g '' s ∩ mulSupport f = g '' (s ∩ mulSupport (f ∘ g))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/Alter.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
parent : Path α
x : α
b a : RBNode α
ha : RBNode.Ordered cmp a
hp : Ordered cmp parent
xb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b
xp : RootOrdered cmp parent x
bp : All (RootOrdered cmp parent) b
hb : RBNode.Ordered cmp b
H : All (RootOrdered cmp (left c✝ parent x b)) a

⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.del (node red a x b) c✝)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/Alter.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
parent : Path α
x : α
b a : RBNode α
ha : RBNode.Ordered cmp a
hp : Ordered cmp parent
xb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b
xp : RootOrdered cmp parent x
bp : All (RootOrdered cmp parent) b
hb : RBNode.Ordered cmp b
H : All (RootOrdered cmp (left c✝ parent x b)) a
ax : All (fun a => cmpLT cmp a x) a
ap : All (RootOrdered cmp parent) a

⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.del (node red a x b) c✝)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/Alter.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
a : RBNode α
x : α
parent : Path α
b : RBNode α
hb : RBNode.Ordered cmp b
hp : Ordered cmp parent
ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a
xp : RootOrdered cmp parent x
ap : All (RootOrdered cmp parent) a
ha : RBNode.Ordered cmp a
H : All (RootOrdered cmp (right c✝ a x parent)) b

⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.del (node red a x b) c✝)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/Alter.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
a : RBNode α
x : α
parent : Path α
b : RBNode α
hb : RBNode.Ordered cmp b
hp : Ordered cmp parent
ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a
xp : RootOrdered cmp parent x
ap : All (RootOrdered cmp parent) a
ha : RBNode.Ordered cmp a
H : All (RootOrdered cmp (right c✝ a x parent)) b
xb : All (cmpLT cmp x) b
bp : All (RootOrdered cmp parent) b

⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.del (node red a x b) c✝)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/Alter.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
parent : Path α
x : α
b a : RBNode α
ha : RBNode.Ordered cmp a
hp : Ordered cmp parent
xb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b
xp : RootOrdered cmp parent x
bp : All (RootOrdered cmp parent) b
hb : RBNode.Ordered cmp b
H : All (RootOrdered cmp (left c✝ parent x b)) a

⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.del (a.balLeft x b) c✝)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/Alter.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
parent : Path α
x : α
b a : RBNode α
ha : RBNode.Ordered cmp a
hp : Ordered cmp parent
xb : All (fun x_1 => cmpLT cmp x x_1) b
xp : RootOrdered cmp parent x
bp : All (RootOrdered cmp parent) b
hb : RBNode.Ordered cmp b
H : All (RootOrdered cmp (left c✝ parent x b)) a
ax : All (fun a => cmpLT cmp a x) a
ap : All (RootOrdered cmp parent) a

⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.del (a.balLeft x b) c✝)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/Alter.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
a : RBNode α
x : α
parent : Path α
b : RBNode α
hb : RBNode.Ordered cmp b
hp : Ordered cmp parent
ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a
xp : RootOrdered cmp parent x
ap : All (RootOrdered cmp parent) a
ha : RBNode.Ordered cmp a
H : All (RootOrdered cmp (right c✝ a x parent)) b

⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.del (a.balRight x b) c✝)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/Alter.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
c✝ : RBColor
a : RBNode α
x : α
parent : Path α
b : RBNode α
hb : RBNode.Ordered cmp b
hp : Ordered cmp parent
ax : All (fun x_1 => cmpLT cmp x_1 x) a
xp : RootOrdered cmp parent x
ap : All (RootOrdered cmp parent) a
ha : RBNode.Ordered cmp a
H : All (RootOrdered cmp (right c✝ a x parent)) b
xb : All (cmpLT cmp x) b
bp : All (RootOrdered cmp parent) b

⊢ RBNode.Ordered cmp (parent.del (a.balRight x b) c✝)
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n

⊢ Nat.card ↥H.normalizer ≡ Nat.card G [MOD p ^ (n + 1)]