ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ConeCategory.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
X✝ Y✝ : StructuredArrow F (const J)
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J
e_1✝ : (F.obj j ⟶ ((fun c => { pt := c.right, ι := c.hom }) Y✝).pt) = (((fromPUnit F).obj X✝.left).obj j ⟶ ((const J).obj Y✝.right).obj j)
e_5✝ : F = (fromPUnit F).obj X✝.left

⊢ ((fun c => { pt := c.right, ι := c.hom }) Y✝).ι = (fromPUnit F).map f.left ≫ Y✝.hom
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M : Type x
inst✝³ : Monoid M
φ : G →* H
A B C : Type u
inst✝² : CommGroup A
inst✝¹ : CommGroup B
inst✝ : CommGroup C
f : A →* B
g : B →* A
e : A ≃* B
d : B ≃* C
n : ℤ
x : A ⧸ (zpowGroupHom n).range

⊢ ((equivQuotientZPowOfEquiv e n).trans (equivQuotientZPowOfEquiv d n)) x = (equivQuotientZPowOfEquiv (e.trans d) n) x
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M : Type x
inst✝³ : Monoid M
φ : G →* H
A B C : Type u
inst✝² : CommGroup A
inst✝¹ : CommGroup B
inst✝ : CommGroup C
f : A →* B
g : B →* A
e : A ≃* B
d : B ≃* C
n : ℤ
x : A ⧸ (zpowGroupHom n).range

⊢ ((equivQuotientZPowOfEquiv e n).trans (equivQuotientZPowOfEquiv d n)) (Quotient.mk'' (Quotient.out' x)) = (equivQuotientZPowOfEquiv (e.trans d) n) (Quotient.mk'' (Quotient.out' x))
-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
N : Submodule R M
r : R
f : M →ₗ[R] M'
g : M' →ₗ[R] M''
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : LinearMap.range f = LinearMap.ker g
h1 : IsSMulRegular M r
h2 : IsSMulRegular M'' r

⊢ IsSMulRegular M' r
-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
N : Submodule R M
r : R
f : M →ₗ[R] M'
g : M' →ₗ[R] M''
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : LinearMap.range f = LinearMap.ker g
h1 : IsSMulRegular M r
h2 : IsSMulRegular M'' r

⊢ ∀ (x : M'), r • x = 0 → x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
N : Submodule R M
r : R
f : M →ₗ[R] M'
g : M' →ₗ[R] M''
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : LinearMap.range f = LinearMap.ker g
h1 : IsSMulRegular M r
h2 : IsSMulRegular M'' r
y : M
hx : r • f y = 0

⊢ f y = 0
-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
N : Submodule R M
r : R
f : M →ₗ[R] M'
g : M' →ₗ[R] M''
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : LinearMap.range f = LinearMap.ker g
h1 : IsSMulRegular M r
h2 : IsSMulRegular M'' r
y : M
hx : r • f y = 0

⊢ r • y = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
a : α

⊢ (l₁.diff l₂).erase a = (l₁.erase a).diff l₂
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
l : Filter β
f : β → α

⊢ Cauchy (map f l) ↔ l.NeBot ∧ Tendsto (fun p => (f p.1, f p.2)) (l ×ˢ l) (𝓤 α)
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K
n : ℕ

⊢ im ↑n = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Group α
a✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a : α

⊢ a⁺ᵐ / a⁻ᵐ = a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
y : E
a b : 𝕜
a✝¹ : 0 ≤ a
a✝ : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ a • y + b • y ∈ {y}
-- Mathlib/Data/Complex/Cardinality.lean

⊢ #ℂ = 𝔠
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Operations.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
H : ∀ (i : ι), ∃ n, s i ^ n • x ∈ S'
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'

⊢ x ∈ S'
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Operations.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
H : ∀ (i : ι), ∃ n, s i ^ n • x ∈ S'
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'

⊢ x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Operations.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩

⊢ x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Operations.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1

⊢ x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Operations.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1
this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤

⊢ x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Operations.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1
this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤
N : ℕ := ι'.sup n

⊢ x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Operations.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1
this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤
N : ℕ := ι'.sup n
hN : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' (s' '' ↑ι')) = ⊤

⊢ x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Operations.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1
this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤
N : ℕ := ι'.sup n
hN : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' (s' '' ↑ι')) = ⊤

⊢ ∀ (r : ↑((fun x => x ^ N) '' (s' '' ↑ι'))), ↑r • x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Operations.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1
this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤
N : ℕ := ι'.sup n
hN : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' (s' '' ↑ι')) = ⊤
i : ι
hi : i ∈ ↑ι'

⊢ s' i ^ N • x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Operations.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1
this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤
N : ℕ := ι'.sup n
hN : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' (s' '' ↑ι')) = ⊤
i : ι
hi : i ∈ ↑ι'

⊢ s' i ^ (N - n i) • s' i ^ n i • x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Operations.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
S' : Subalgebra R S
ι : Type u_3
ι' : Finset ι
s l : ι → S
e : ∑ i ∈ ι', l i * s i = 1
hs : ∀ (i : ι), s i ∈ S'
hl : ∀ (i : ι), l i ∈ S'
x : S
_i : Algebra ↥S' ↥S' := Algebra.id ↥S'
n : ι → ℕ
hn : ∀ (i : ι), s i ^ n i • x ∈ S'
s' : ι → ↥S' := fun x => ⟨s x, ⋯⟩
l' : ι → ↥S' := fun x => ⟨l x, ⋯⟩
e' : ∑ i ∈ ι', l' i * s' i = 1
this : Ideal.span (s' '' ↑ι') = ⊤
N : ℕ := ι'.sup n
hN : Ideal.span ((fun x => x ^ N) '' (s' '' ↑ι')) = ⊤
i : ι
hi : i ∈ ↑ι'

⊢ s' i ^ n i • x ∈ toSubmodule (ofId (↥S') S).range
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι2 : Type u_5
f : ι2 ↪ ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p

⊢ AffineIndependent k (p ∘ ⇑f)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
hq : q ≠ 0
h : ¬p = 1

⊢ p * q ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
hq : q ≠ 0
h : ¬p = 1

⊢ ¬q = 0 ∧ ¬p.degree = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
hq : q ≠ 0
h : ¬p = 1

⊢ ¬p.degree = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
hq : q ≠ 0
h : 0 < p.degree

⊢ ¬p.degree = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
hq : q ≠ 0
h : 0 < p.degree

⊢ ⊥ < 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}

⊢ o.pred < o ↔ ¬o.pred = o
-- Mathlib/Analysis/Complex/ReImTopology.lean
a : ℝ

⊢ interior {z | z.im ≤ a} = {z | z.im < a}
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
hf : Injective f
x : α →₀ M
a : α

⊢ (mapDomain f x) (f a) = x a
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
hf : Injective f
x : α →₀ M
a : α

⊢ ∀ (b : α), x b ≠ 0 → b ≠ a → (single (f b) (x b)) (f a) = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
v v₁ v₂ : α →₀ M
f : α → β
hf : Injective f
x : α →₀ M
a : α

⊢ x a = 0 → (single (f a) 0) (f a) = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : Submodule 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
b : Basis (Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))) 𝕜 ↥(LinearMap.range f) := finBasis 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
e : ↥(LinearMap.range f) ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → 𝕜 := b.equivFunL

⊢ ∃ g, f = g.comp p.subtypeL
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : Submodule 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
b : Basis (Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))) 𝕜 ↥(LinearMap.range f) := finBasis 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
e : ↥(LinearMap.range f) ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → 𝕜 := b.equivFunL
fi : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → ↥p →L[𝕜] 𝕜 := fun i => (LinearMap.toContinuousLinearMap (b.coord i)).comp (f.codRestrict (LinearMap.range f) ⋯)

⊢ ∃ g, f = g.comp p.subtypeL
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : Submodule 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
b : Basis (Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))) 𝕜 ↥(LinearMap.range f) := finBasis 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
e : ↥(LinearMap.range f) ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → 𝕜 := b.equivFunL
fi : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → ↥p →L[𝕜] 𝕜 := fun i => (LinearMap.toContinuousLinearMap (b.coord i)).comp (f.codRestrict (LinearMap.range f) ⋯)
gi : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → E →L[𝕜] 𝕜
hgf : ∀ (i : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))) (x : ↥p), (gi i) ↑x = (fi i) x
a✝ : ∀ (i : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))), ‖gi i‖ = ‖fi i‖

⊢ ∃ g, f = g.comp p.subtypeL
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : Submodule 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
b : Basis (Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))) 𝕜 ↥(LinearMap.range f) := finBasis 𝕜 ↥(LinearMap.range f)
e : ↥(LinearMap.range f) ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → 𝕜 := b.equivFunL
fi : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → ↥p →L[𝕜] 𝕜 := fun i => (LinearMap.toContinuousLinearMap (b.coord i)).comp (f.codRestrict (LinearMap.range f) ⋯)
gi : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f)) → E →L[𝕜] 𝕜
hgf : ∀ (i : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))) (x : ↥p), (gi i) ↑x = (fi i) x
a✝ : ∀ (i : Fin (finrank 𝕜 ↥(LinearMap.range f))), ‖gi i‖ = ‖fi i‖

⊢ f = ((LinearMap.range f).subtypeL.comp ((↑e.symm).comp (pi gi))).comp p.subtypeL
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ 3 = cos a - cos b - (cos a ^ 3 - cos b ^ 3) / 3
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
this : ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (2 * 1 + 1) * cos x ^ 0 = ∫ (u : ℝ) in cos b..cos a, u ^ 0 * (1 - u ^ 2) ^ 1

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ 3 = cos a - cos b - (cos a ^ 3 - cos b ^ 3) / 3
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : F
h0 : p ≠ 0
h_top : p ≠ ⊤

⊢ eLpNorm (fun x => c) p μ = ↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source

⊢ Tendsto (↑e.symm) (𝓝 (↑e x)) (𝓝 x)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Nontrivial S
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p q : R[X]
h : IsCoprime p q
s : S

⊢ (aeval s) p ≠ 0 ∨ (aeval s) q ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Nontrivial S
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p q : R[X]
h : IsCoprime p q
s : S
hpq : (aeval s) p = 0 ∧ (aeval s) q = 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Nontrivial S
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p q : R[X]
s : S
hpq : (aeval s) p = 0 ∧ (aeval s) q = 0
w✝¹ w✝ : R[X]
h : (aeval s) (w✝¹ * p + w✝ * q) = (aeval s) 1

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Prod.lean
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
f₁ : Q₁ →qᵢ Qₙ
f₂ : Q₂ →qᵢ Qₙ
hf : ∀ (x : M₁) (y : M₂), QuadraticMap.IsOrtho Qₙ (f₁ x) (f₂ y)
m₁ : CliffordAlgebra Q₁
m₂ : CliffordAlgebra Q₂
hm₁ : m₁ ∈ evenOdd Q₁ 1
hm₂ : m₂ ∈ evenOdd Q₂ 1

⊢ (map f₁) m₁ * (map f₂) m₂ = -(map f₂) m₂ * (map f₁) m₁
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
h : y ∈ ball x ε
this : 0 < ε - edist y x

⊢ ∃ ε' > 0, ball y ε' ⊆ ball x ε
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
h : y ∈ ball x ε
this : 0 < ε - edist y x

⊢ edist y x + (ε - edist y x) ≤ ε
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
f : R[X]
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : Algebra R T
h : IsAdjoinRoot S f
h' : IsAdjoinRoot T f
z : R[X]

⊢ (h.aequiv h') (h.map z) = h'.map z
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
E₀ E E₁ : Set Ω
E₀_subset : E₀ ⊆ E
subset_E₁ : E ⊆ E₁
nulldiff : μ (E₁ \ E₀) = 0
h_E₀ : μ E₀ ≤ liminf (fun i => (μs i) E₀) L
h_E₁ : limsup (fun i => (μs i) E₁) L ≤ μ E₁

⊢ Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
E₀ E E₁ : Set Ω
E₀_subset : E₀ ⊆ E
subset_E₁ : E ⊆ E₁
nulldiff : μ (E₁ \ E₀) = 0
h_E₀ : μ E₀ ≤ liminf (fun i => (μs i) E₀) L
h_E₁ : limsup (fun i => (μs i) E₁) L ≤ μ E₁

⊢ μ E ≤ liminf (fun i => (μs i) E) L
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
E₀ E E₁ : Set Ω
E₀_subset : E₀ ⊆ E
subset_E₁ : E ⊆ E₁
nulldiff : μ (E₁ \ E₀) = 0
h_E₀ : μ E₀ ≤ liminf (fun i => (μs i) E₀) L
h_E₁ : limsup (fun i => (μs i) E₁) L ≤ μ E₁

⊢ limsup (fun i => (μs i) E) L ≤ μ E
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
E₀ E E₁ : Set Ω
E₀_subset : E₀ ⊆ E
subset_E₁ : E ⊆ E₁
nulldiff : μ (E₁ \ E₀) = 0
h_E₀ : μ E₀ ≤ liminf (fun i => (μs i) E₀) L
h_E₁ : limsup (fun i => (μs i) E₁) L ≤ μ E₁

⊢ autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => (μs i) E) _auto✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure Ω
μs : ι → Measure Ω
E₀ E E₁ : Set Ω
E₀_subset : E₀ ⊆ E
subset_E₁ : E ⊆ E₁
nulldiff : μ (E₁ \ E₀) = 0
h_E₀ : μ E₀ ≤ liminf (fun i => (μs i) E₀) L
h_E₁ : limsup (fun i => (μs i) E₁) L ≤ μ E₁

⊢ autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => (μs i) E) _auto✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ (2 • θ).toReal = 2 * θ.toReal + 2 * π ↔ θ.toReal ≤ -π / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ (2 • ↑θ.toReal).toReal = 2 * θ.toReal + 2 * π ↔ θ.toReal ≤ -π / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ -3 * π < 2 * θ.toReal ∧ 2 * θ.toReal ≤ -π ↔ θ.toReal ≤ -π / 2
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
l : List Γ

⊢ (List.map f.f l).headI = f.f l.headI
-- Mathlib/Data/DFinsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝⁵ : DecidableEq α
M : α → Type u_3
P : α → Type u_4
inst✝⁴ : (a : α) → Zero (N a)
inst✝³ : (a : α) → Zero (M a)
inst✝² : (a : α) → Zero (P a)
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → DecidableEq (P a)
F : (a : α) → M a → N a → P a
F0 : ∀ (a : α), F a 0 0 = 0
f : Π₀ (a : α), M a
g₁ g₂ : Π₀ (a : α), N a
hF : ∀ (a : α) (f : M a), Function.Injective fun g => F a f g
a : α

⊢ a ∈ (zipWith F F0 f g₁).neLocus (zipWith F F0 f g₂) ↔ a ∈ g₁.neLocus g₂
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/FunctorGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.38366, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ✝ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
x✝ : Discrete (Splitting.IndexSet Δ)
A : Splitting.IndexSet Δ

⊢ colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ A) { as := A } ≫ Obj.map K (𝟙 Δ) = colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ A) { as := A } ≫ 𝟙 (Obj.obj₂ K Δ)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/FunctorGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.38366, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ✝ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
x✝ : Discrete (Splitting.IndexSet Δ)
A : Splitting.IndexSet Δ
fac : A.e ≫ 𝟙 (unop A.fst) = (𝟙 Δ).unop ≫ A.e

⊢ colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ A) { as := A } ≫ Obj.map K (𝟙 Δ) = colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ A) { as := A } ≫ 𝟙 (Obj.obj₂ K Δ)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/FunctorGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.38366, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K✝ K' : ChainComplex C ℕ
f : K✝ ⟶ K'
Δ✝ Δ' Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
x✝ : Discrete (Splitting.IndexSet Δ)
A : Splitting.IndexSet Δ
fac : A.e ≫ 𝟙 (unop A.fst) = (𝟙 Δ).unop ≫ A.e

⊢ Sigma.ι (Obj.summand K Δ) (Splitting.IndexSet.mk A.e) = colimit.ι (Discrete.functor fun A => Obj.summand K Δ A) { as := A }