ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Array/Lemmas.lean
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_1
inst✝ : Monad m
as : Array α
b : β
f : α → β → m (ForInStep β)

⊢ forIn (List.drop 0 as.data) b f = forIn as.data b f
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
s : Set α
t : Set ↑s
x : α
x✝ : x ∈ val '' t
y : { x // x ∈ s }
left✝ : y ∈ t
yvaleq : ↑y = x

⊢ ↑y ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
inst✝ : CommSemiring R
f✝ : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
f : ι → R[X]
n : ℕ
l : Multiset ι
hl : l.Nodup
h : ∀ p ∈ { val := l, nodup := hl }, (f p).natDegree ≤ n

⊢ (∏ i ∈ { val := l, nodup := hl }, f i).coeff ({ val := l, nodup := hl }.card * n) = ∏ i ∈ { val := l, nodup := hl }, (f i).coeff n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
inst✝ : CommSemiring R
f✝ : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
f : ι → R[X]
n : ℕ
l : Multiset ι
hl : l.Nodup
h : ∀ p ∈ { val := l, nodup := hl }, (f p).natDegree ≤ n

⊢ { val := l, nodup := hl }.card = Multiset.card (Multiset.map f l)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
inst✝ : CommSemiring R
f✝ : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
f : ι → R[X]
n : ℕ
l : Multiset ι
hl : l.Nodup
h : ∀ p ∈ { val := l, nodup := hl }, (f p).natDegree ≤ n

⊢ ∏ i ∈ { val := l, nodup := hl }, (f i).coeff n = (Multiset.map (fun p => p.coeff n) (Multiset.map f l)).prod
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
inst✝ : CommSemiring R
f✝ : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
f : ι → R[X]
n : ℕ
l : Multiset ι
hl : l.Nodup
h : ∀ p ∈ { val := l, nodup := hl }, (f p).natDegree ≤ n

⊢ ∀ p ∈ Multiset.map f l, p.natDegree ≤ n
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Center.lean
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a b : G₀

⊢ center G₀ˣ ⊆ Units.val ⁻¹' center G₀
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Center.lean
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a b : G₀

⊢ ∀ (x : G₀ˣ), (∀ (g : G₀ˣ), g * x = x * g) → ∀ (g : G₀), g * ↑x = ↑x * g
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Center.lean
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a✝ b : G₀
u : G₀ˣ
hu : ∀ (g : G₀ˣ), g * u = u * g
a : G₀

⊢ a * ↑u = ↑u * a
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Center.lean
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a b : G₀
u : G₀ˣ
hu : ∀ (g : G₀ˣ), g * u = u * g

⊢ 0 * ↑u = ↑u * 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Center.lean
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a✝ b : G₀
u : G₀ˣ
hu : ∀ (g : G₀ˣ), g * u = u * g
a : G₀
ha : a ≠ 0

⊢ a * ↑u = ↑u * a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
p q : Perm α
x : α

⊢ x ∈ {x | p⁻¹ x ≠ x} ↔ x ∈ {x | p x ≠ x}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
p q : Perm α
x : α

⊢ ¬p⁻¹ x = x ↔ ¬p x = x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology

⊢ homologyMap e.hom ≫ homologyMap e.inv = 𝟙 S₁.homology
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
e : S₁ ≅ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology

⊢ homologyMap e.inv ≫ homologyMap e.hom = 𝟙 S₂.homology
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ e ∈ G₂, LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : PartialHomeomorph H₃ H₂
he : e ∈ atlas H₂ H₃
f : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : PartialHomeomorph H₃ H₂
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
f' : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂

⊢ (e ≫ₕ f).symm ≫ₕ e' ≫ₕ f' ∈ G₁
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ e ∈ G₂, LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : PartialHomeomorph H₃ H₂
he : e ∈ atlas H₂ H₃
f : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : PartialHomeomorph H₃ H₂
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
f' : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂

⊢ ∀ x ∈ ((e ≫ₕ f).symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').source, ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ ((e ≫ₕ f).symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').restr s ∈ G₁
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ e ∈ G₂, LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : PartialHomeomorph H₃ H₂
he : e ∈ atlas H₂ H₃
f : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : PartialHomeomorph H₃ H₂
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
f' : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx : (x ∈ f.target ∧ ↑f.symm x ∈ e.target) ∧ ↑e.symm (↑f.symm x) ∈ e'.source ∧ ↑e' (↑e.symm (↑f.symm x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source
hxs' : x ∈ f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ((e.symm ≫ₕ e').source ∩ ↑(e.symm ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)

⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ ((e ≫ₕ f).symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').restr s ∈ G₁
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ e ∈ G₂, LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : PartialHomeomorph H₃ H₂
he : e ∈ atlas H₂ H₃
f : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : PartialHomeomorph H₃ H₂
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
f' : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx : (x ∈ f.target ∧ ↑f.symm x ∈ e.target) ∧ ↑e.symm (↑f.symm x) ∈ e'.source ∧ ↑e' (↑e.symm (↑f.symm x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source
hxs' : x ∈ f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ((e.symm ≫ₕ e').source ∩ ↑(e.symm ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : PartialHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ : EqOn (↑f' ∘ ↑(e.symm ≫ₕ e') ∘ ↑f.symm) (↑φ.toPartialEquiv) (↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ φ.source)
hφ_dom : x ∈ φ.source

⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ ((e ≫ₕ f).symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').restr s ∈ G₁
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ e ∈ G₂, LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : PartialHomeomorph H₃ H₂
he : e ∈ atlas H₂ H₃
f : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : PartialHomeomorph H₃ H₂
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
f' : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx : (x ∈ f.target ∧ ↑f.symm x ∈ e.target) ∧ ↑e.symm (↑f.symm x) ∈ e'.source ∧ ↑e' (↑e.symm (↑f.symm x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source
hxs' : x ∈ f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ((e.symm ≫ₕ e').source ∩ ↑(e.symm ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : PartialHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ : EqOn (↑(f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toPartialEquiv) (↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ φ.source)

⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ ((e ≫ₕ f).symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').restr s ∈ G₁
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ e ∈ G₂, LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : PartialHomeomorph H₃ H₂
he : e ∈ atlas H₂ H₃
f : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : PartialHomeomorph H₃ H₂
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
f' : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx : (x ∈ f.target ∧ ↑f.symm x ∈ e.target) ∧ ↑e.symm (↑f.symm x) ∈ e'.source ∧ ↑e' (↑e.symm (↑f.symm x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source
hxs' : x ∈ f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ((e.symm ≫ₕ e').source ∩ ↑(e.symm ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : PartialHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ : EqOn (↑(f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toPartialEquiv) (↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ φ.source)

⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').restr s ∈ G₁
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ e ∈ G₂, LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : PartialHomeomorph H₃ H₂
he : e ∈ atlas H₂ H₃
f : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : PartialHomeomorph H₃ H₂
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
f' : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx : (x ∈ f.target ∧ ↑f.symm x ∈ e.target) ∧ ↑e.symm (↑f.symm x) ∈ e'.source ∧ ↑e' (↑e.symm (↑f.symm x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source
hxs' : x ∈ f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ((e.symm ≫ₕ e').source ∩ ↑(e.symm ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : PartialHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ : EqOn (↑(f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toPartialEquiv) (↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ φ.source)
hs : IsOpen (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').source

⊢ ∃ s, IsOpen s ∧ x ∈ s ∧ (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').restr s ∈ G₁
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ e ∈ G₂, LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : PartialHomeomorph H₃ H₂
he : e ∈ atlas H₂ H₃
f : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : PartialHomeomorph H₃ H₂
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
f' : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx : (x ∈ f.target ∧ ↑f.symm x ∈ e.target) ∧ ↑e.symm (↑f.symm x) ∈ e'.source ∧ ↑e' (↑e.symm (↑f.symm x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source
hxs' : x ∈ f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ((e.symm ≫ₕ e').source ∩ ↑(e.symm ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : PartialHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ : EqOn (↑(f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toPartialEquiv) (↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ φ.source)
hs : IsOpen (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').source

⊢ x ∈ (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').source ∩ φ.source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H✝ : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H✝ M
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H'
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M'
inst✝⁹ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H✝
G' : StructureGroupoid H'
e✝ e'✝ : PartialHomeomorph M H✝
f✝ f'✝ : PartialHomeomorph M' H'
P : (H✝ → H') → Set H✝ → H✝ → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x✝¹ : M
Q : (H✝ → H✝) → Set H✝ → H✝ → Prop
H₁ : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H₁
H₂ : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace H₂
H₃ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace H₃
inst✝⁴ : ChartedSpace H₁ H₂
inst✝³ : ChartedSpace H₂ H₃
G₁ : StructureGroupoid H₁
inst✝² : HasGroupoid H₂ G₁
inst✝¹ : ClosedUnderRestriction G₁
G₂ : StructureGroupoid H₂
inst✝ : HasGroupoid H₃ G₂
H : ∀ e ∈ G₂, LiftPropOn G₁.IsLocalStructomorphWithinAt (↑e) e.source
x✝ : ChartedSpace H₁ H₃ := ChartedSpace.comp H₁ H₂ H₃
e : PartialHomeomorph H₃ H₂
he : e ∈ atlas H₂ H₃
f : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf : f ∈ atlas H₁ H₂
e' : PartialHomeomorph H₃ H₂
he' : e' ∈ atlas H₂ H₃
f' : PartialHomeomorph H₂ H₁
hf' : f' ∈ atlas H₁ H₂
x : H₁
hx : (x ∈ f.target ∧ ↑f.symm x ∈ e.target) ∧ ↑e.symm (↑f.symm x) ∈ e'.source ∧ ↑e' (↑e.symm (↑f.symm x)) ∈ f'.source
hxs : x ∈ ↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source
hxs' : x ∈ f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ((e.symm ≫ₕ e').source ∩ ↑(e.symm ≫ₕ e') ⁻¹' f'.source)
φ : PartialHomeomorph H₁ H₁
hφG₁ : φ ∈ G₁
hφ_dom : x ∈ φ.source
hφ : EqOn (↑(f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f')) (↑φ.toPartialEquiv) (↑f.symm ⁻¹' (e.symm ≫ₕ e').source ∩ φ.source)
hs : IsOpen (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').source

⊢ (f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').restr ((f.symm ≫ₕ e.symm ≫ₕ e' ≫ₕ f').source ∩ φ.source) ∈ G₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S✝ R✝ : Sieve X
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X

⊢ pullback f (S ⊓ R) = pullback f S ⊓ pullback f R
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
inst✝ : DecidableEq (Set α)

⊢ ⋃₀ ↑(I ∪ hC.diffFinset₀ hs hI) = s
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
inst✝ : DecidableEq (Set α)

⊢ ⋃₀ ↑(I ∪ hC.diffFinset₀ hs hI) = ⋃₀ ↑I ∪ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
I : Finset (Set α)
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
hI : ↑I ⊆ C
hI_ss : ∀ t ∈ I, t ⊆ s
inst✝ : DecidableEq (Set α)

⊢ ⋃₀ (↑I ∪ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)) = ⋃₀ ↑I ∪ ⋃₀ ↑(hC.diffFinset₀ hs hI)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
a b : ZMod n
h : a.val * b.val < n

⊢ (a * b).val = a.val * b.val
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
a b : ZMod n
h : a.val * b.val < n

⊢ a.val * b.val % n = a.val * b.val
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R

⊢ (x * y).coeff 0 = x.coeff 0 * y.coeff 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R

⊢ X n ^ e = (monomial (Finsupp.single n e)) 1
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α

⊢ Disjoint aᶜᶜ b ↔ Disjoint a b
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
a b : A
f g : End R M

⊢ (tensorProduct R A M M) ((a * b) ⊗ₜ[R] (f * g)) = (tensorProduct R A M M) (a ⊗ₜ[R] f) * (tensorProduct R A M M) (b ⊗ₜ[R] g)
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
a b : A
f g : End R M

⊢ ∀ (x : A ⊗[R] M), ((tensorProduct R A M M) ((a * b) ⊗ₜ[R] (f * g))) x = ((tensorProduct R A M M) (a ⊗ₜ[R] f) * (tensorProduct R A M M) (b ⊗ₜ[R] g)) x
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
a b : A
f g : End R M
x : A ⊗[R] M

⊢ ((tensorProduct R A M M) ((a * b) ⊗ₜ[R] (f * g))) x = ((tensorProduct R A M M) (a ⊗ₜ[R] f) * (tensorProduct R A M M) (b ⊗ₜ[R] g)) x
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N

⊢ (tensorProduct R A M M) (1 ⊗ₜ[R] 1) = 1
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N

⊢ ∀ (x : A ⊗[R] M), ((tensorProduct R A M M) (1 ⊗ₜ[R] 1)) x = 1 x
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
x : A ⊗[R] M

⊢ ((tensorProduct R A M M) (1 ⊗ₜ[R] 1)) x = 1 x
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Order.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p q : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K

⊢ ↑q ≤ 0 ↔ q ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Restriction.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.313, u_3} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
i j : ι
hij : ¬c.Rel i j

⊢ ¬c'.Rel (e.f i) (e.f j)
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n : ℤ
k : ℕ

⊢ (m.lor n).testBit k = (m.testBit k || n.testBit k)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (n + 1).ascFactorial 0 ≤ (n + 0) ^ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ (n + 1).ascFactorial (k + 1) ≤ (n + (k + 1)) ^ (k + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ (n + 1).ascFactorial k * (n + k + 1) ≤ (n + k + 1) ^ k * (n + k + 1)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiffMFDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²³ : NormedAddCommGroup E
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝²¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁹ : ChartedSpace H M
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁴ : ChartedSpace H' M'
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
inst✝⁹ : ChartedSpace G N
Js : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_13
inst✝⁵ : TopologicalSpace N'
inst✝⁴ : ChartedSpace G' N'
J's : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_14
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_15
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₂
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
hf : ContMDiffOn I I' n f s
hmn : m + 1 ≤ n
hs : UniqueMDiffOn I s

⊢ ContMDiffOn I.tangent I'.tangent m (tangentMapWithin I I' f s) (TotalSpace.proj ⁻¹' s)