ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/FiniteAdeleRing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : K_hat R K
hx : {x_1 | x x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite
hy : {x | y x ∉ adicCompletionIntegers K x}.Finite
h_subset : {v | (x * y) v ∉ adicCompletionIntegers K v} ⊆ {v | x v ∉ adicCompletionIntegers K v} ∪ {v | y v ∉ adicCompletionIntegers K v}

⊢ {x_1 | (x * y) x_1 ∉ adicCompletionIntegers K x_1}.Finite
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j k : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : K.HasHomology k

⊢ K.d i j ≫ K.toCycles j k = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ : ℝ → E
μ : Measure ℝ
inst✝ : Countable ι
f : ι → C(ℝ, E)
hf_sum : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f i)‖
hE : CompleteSpace E

⊢ HasSum (fun i => ∫ (x : ℝ) in a..b, (f i) x) (∫ (x : ℝ) in a..b, ∑' (i : ι), (f i) x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ : ℝ → E
μ : Measure ℝ
inst✝ : Countable ι
f : ι → C(ℝ, E)
hf_sum : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f i)‖
hE : CompleteSpace E

⊢ ∀ (n : ι), ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ι a b → ‖(f n) t‖ ≤ ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f n)‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ : ℝ → E
μ : Measure ℝ
inst✝ : Countable ι
f : ι → C(ℝ, E)
hf_sum : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f i)‖
hE : CompleteSpace E

⊢ ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ι a b → Summable fun n => ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f n)‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ : ℝ → E
μ : Measure ℝ
inst✝ : Countable ι
f : ι → C(ℝ, E)
hf_sum : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f i)‖
hE : CompleteSpace E

⊢ IntervalIntegrable (fun t => ∑' (n : ι), ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f n)‖) volume a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f✝ : ℝ → E
μ : Measure ℝ
inst✝ : Countable ι
f : ι → C(ℝ, E)
hf_sum : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑{ carrier := uIcc a b, isCompact' := ⋯ }) (f i)‖
hE : CompleteSpace E

⊢ ∀ᵐ (t : ℝ), t ∈ Ι a b → HasSum (fun n => (f n) t) (∑' (i : ι), (f i) t)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
f : σ → R
s : Finset σ
n : ℕ

⊢ (map f s.val).esymm n = ∑ t ∈ Finset.powersetCard n s, t.prod f
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
σ : Type u_2
f : σ → R
s : Finset σ
n : ℕ

⊢ (map ((fun x => x.prod) ∘ (fun x => map f x) ∘ Finset.val) (Finset.powersetCard n s).val).sum = ∑ t ∈ Finset.powersetCard n s, t.prod f
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s✝ t✝ : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β
s t : Set α

⊢ exterior s ≤ t ↔ s ≤ interior t
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Prop
b : Prop
ha : Nonempty α
a : α

⊢ (∀ (x : α), p x) → b ↔ ∃ x, p x → b
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Prop
b : Prop
ha : Nonempty α
a : α
h : (∀ (x : α), p x) → b
h' : ∀ (x : α), ¬(p x → b)

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
t : M ⊗[R] (ι →₀ R)
i : ι

⊢ ((finsuppScalarRight R M ι) t) i = (TensorProduct.rid R M) ((lTensor M (Finsupp.lapply i)) t)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ

⊢ (mk W) (W.Ψ n) ^ 2 = (mk W) (C (W.ΨSq n))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
f : M →ₗ[R] α → R
s : Surjective ⇑f

⊢ f ∘ₗ f.splittingOfFunOnFintypeSurjective s = id
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S✝ : Type v
K : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
f✝ : R[X]
inst✝³ : CommRing S✝
i : R →+* S✝
a : S✝
h : eval₂ i a f✝ = 0
inst✝² : Algebra R S✝
hfx : (aeval a) f✝ = 0
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : R
f g : AdjoinRoot (C r * X - 1) →ₐ[R] S

⊢ (algebraMap R S) r * f (root (C r * X - 1)) = 1
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S✝ : Type v
K : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
f✝ : R[X]
inst✝³ : CommRing S✝
i : R →+* S✝
a : S✝
h : eval₂ i a f✝ = 0
inst✝² : Algebra R S✝
hfx : (aeval a) f✝ = 0
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
r : R
f g : AdjoinRoot (C r * X - 1) →ₐ[R] S

⊢ (algebraMap R S) r * g (root (C r * X - 1)) = 1
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : β → Option (α × β)
b : β
h✝ : corec' (Corec.f f) (some b) 0 = (Corec.f f (some b)).1
a : α
b' : β
h : f b = some (a, b')

⊢ tail ⟨corec' (Corec.f f) (some b), ⋯⟩ = ⟨corec' (Corec.f f) (some b'), ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : β → Option (α × β)
b : β
h✝ : corec' (Corec.f f) (some b) 0 = (Corec.f f (some b)).1
a : α
b' : β
h : f b = some (a, b')

⊢ ↑(tail ⟨corec' (Corec.f f) (some b), ⋯⟩) = ↑⟨corec' (Corec.f f) (some b'), ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : β → Option (α × β)
b : β
h✝ : corec' (Corec.f f) (some b) 0 = (Corec.f f (some b)).1
a : α
b' : β
h : f b = some (a, b')

⊢ (corec' (Corec.f f) (some b)).tail = corec' (Corec.f f) (some b')
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : β → Option (α × β)
b : β
h✝ : corec' (Corec.f f) (some b) 0 = (Corec.f f (some b)).1
a : α
b' : β
h : f b = some (a, b')

⊢ corec' (Corec.f f) (Corec.f f (some b)).2 = corec' (Corec.f f) (some b')
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : 𝕎 (ZMod p)

⊢ ((fromPadicInt p).comp (toPadicInt p)) x = (RingHom.id (𝕎 (ZMod p))) x
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
s t : Set β
hf : Surjective f

⊢ f ⁻¹' s ⊆ f ⁻¹' t ↔ s ⊆ t
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
s t : Set β
hf : Surjective f

⊢ s ⊆ range f
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
s t : Set β
hf : Surjective f

⊢ s ⊆ univ
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Frobenius.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ
x : 𝕎 R

⊢ (ghostComponent n) x.frobeniusFun = (ghostComponent (n + 1)) x
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f

⊢ a ⊓ ⨆ i, f i = ⨆ i, a ⊓ f i
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FormalMultilinearSeries.lean
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
y : Fin n → 𝕜

⊢ p.coeff n = 0 ↔ p n = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v₂ : M
r : Rˣ
hr : 0 < ↑r

⊢ SameRay R (r • v₂) v₂
-- Mathlib/Order/Chain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
inst✝ : IsRefl α r
f : β → α
c : Set β
h : IsChain (f ⁻¹'o r) c
x✝¹ x✝ : { a // a ∈ c }
a : β
ha : a ∈ c
b : β
hb : b ∈ c
hab : a = b

⊢ ∃ z, r ((fun x => f ↑x) ⟨a, ha⟩) ((fun x => f ↑x) z) ∧ r ((fun x => f ↑x) ⟨b, hb⟩) ((fun x => f ↑x) z)
-- Mathlib/Order/Chain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
inst✝ : IsRefl α r
f : β → α
c : Set β
h : IsChain (f ⁻¹'o r) c
x✝¹ x✝ : { a // a ∈ c }
a : β
ha : a ∈ c
b : β
hb : b ∈ c
hab : a = b

⊢ ∃ a ∈ c, r (f b) (f a)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L : Ideal R
x y : R
I : Ideal R

⊢ x ∈ span {y} * I ↔ ∃ z ∈ I, y * z = x
-- Mathlib/Data/TypeVec.lean
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n

⊢ prod.snd ⊚ prod.diag = id
-- Mathlib/Data/TypeVec.lean
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} n
i : Fin2 n

⊢ (prod.snd ⊚ prod.diag) i = id i
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
inst✝ : SecondCountableTopology β
hf : Inducing f

⊢ SecondCountableTopology α
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Conjugation.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : M
xs : List M

⊢ involute (List.map (⇑(ι Q)) (x :: xs)).prod = (-1) ^ (x :: xs).length • (List.map (⇑(ι Q)) (x :: xs)).prod
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w a b : K
r : ℝ
hr : 0 < r
hab : a ≤ b

⊢ r • a ≤ r • b
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w a b : K
r : ℝ
hr : 0 < r
hab : re a ≤ re b ∧ im a = im b

⊢ r • a ≤ r • b
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w a b : K
r : ℝ
hr : 0 < r
hab : re a ≤ re b ∧ im a = im b

⊢ r * re a ≤ r * re b ∧ r * im a = r * im b
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅

⊢ (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑(insert a s)) => ↑i

⊢ LinearIndependent F fun (i : ↑↑(insert a s)) => (toFun G F) ↑i
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑(insert a ↑s)) => ↑i

⊢ LinearIndependent F fun (i : ↑(insert a ↑s)) => (toFun G F) ↑i
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s

⊢ LinearIndependent F fun (i : ↑(insert a ↑s)) => (toFun G F) ↑i
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s

⊢ (LinearIndependent F fun (x : ↑↑s) => (toFun G F) ↑x) ∧ (toFun G F) a ∉ Submodule.span F (⇑(toFun G F) '' ↑s)
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
ha : (toFun G F) a ∈ Submodule.span F (⇑(toFun G F) '' ↑s)

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
ha : ∃ l ∈ Finsupp.supported F F ↑s, (Finsupp.total F (G → F) F ⇑(toFun G F)) l = (toFun G F) a

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : (Finsupp.total F (G → F) F ⇑(toFun G F)) l = (toFun G F) a

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a

⊢ ∀ i ∈ s, l i ∈ subfield G F
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a
i : F
his : i ∈ s
g : G

⊢ g • l i = l i
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a
i : F
his : i ∈ s
g : G

⊢ ∑ i ∈ s.attach, (fun i => g • l ↑i - l ↑i) i • (toFun G F) ↑i = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a
i : F
his : i ∈ s
g : G

⊢ ∑ x ∈ s, (g • l x - l x) • (toFun G F) x = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a
i : F
his : i ∈ s
g g' : G

⊢ ∑ x ∈ s, (g • l x * (toFun G F) x g' - l x • (toFun G F) x g') = 0 g'
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a
i : F
his : i ∈ s
g g' : G

⊢ ∑ x ∈ s, g • l x * (toFun G F) x g' = ∑ x ∈ s, l x • (toFun G F) x g'
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a
i : F
his : i ∈ s
g g' : G

⊢ ∑ x ∈ s, g • (fun y => l y • (toFun G F) y) x (g⁻¹ * g') = ∑ x ∈ s, (fun y => l y • (toFun G F) y) x g'
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m : M
s✝ : Finset F
this : IsEmpty ↑↑∅
a : F
s : Finset F
has : a ∉ s
ih : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (i : ↑↑s) => ↑i) → LinearIndependent F fun (i : ↑↑s) => (toFun G F) ↑i
hs : (LinearIndependent ↥(subfield G F) fun (b : ↑↑s) => ↑b) ∧ a ∉ Submodule.span ↥(subfield G F) ↑s
l : F →₀ F
hl : l ∈ Finsupp.supported F F ↑s
hla : ∑ i ∈ s, l i • (toFun G F) i = (toFun G F) a
i : F
his : i ∈ s
g g' : G

⊢ g • (∑ c ∈ s, l c • (toFun G F) c) (g⁻¹ * g') = (∑ c ∈ s, l c • (toFun G F) c) g'
-- Mathlib/Init/Order/LinearOrder.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a < b
h₂ : a < c
h : b ≤ c

⊢ a < min b c
-- Mathlib/Init/Order/LinearOrder.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b c : α
h₁ : a < b
h₂ : a < c
h : b > c

⊢ a < min b c
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞

⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)