ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/ClassNumber.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : ↑|discr K| < (2 * (π / 4) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K / ↑(finrank ℚ K).factorial)) ^ 2
this : 0 < finrank ℚ K

⊢ IsPrincipalIdealRing (𝓞 K)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/ClassNumber.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|) < 2
this : 0 < finrank ℚ K

⊢ IsPrincipalIdealRing (𝓞 K)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/ClassNumber.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|) < 2
this : 0 < finrank ℚ K

⊢ ∃ x, ∀ (y : ClassGroup (𝓞 K)), y = x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/ClassNumber.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|) < 2
this : 0 < finrank ℚ K
C : ClassGroup (𝓞 K)

⊢ C = 1
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/ClassNumber.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|) < 2
this : 0 < finrank ℚ K
I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰
hI : ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)

⊢ ClassGroup.mk0 I = 1
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/ClassNumber.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|) < 2
this✝ : 0 < finrank ℚ K
I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰
hI : ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)
this : Ideal.absNorm ↑I = 1

⊢ ClassGroup.mk0 I = 1
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/ClassNumber.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
h : (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|) < 2
this✝ : 0 < finrank ℚ K
I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰
hI : ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)
this : Ideal.absNorm ↑I = 1

⊢ Submodule.IsPrincipal ⊤
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α

⊢ (∃ h, a ≠ b) ↔ ¬P ∧ a ≠ b
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Set α
hs : s ≠ Set.univ
f : α → ↑s
hf : Injective f
h : Fintype α

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s

⊢ ConvexOn 𝕜 s (f • g)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ (f • g) (a • x + b • y) ≤ a • (f • g) x + b • (f • g) y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ f (a * x + b * y) • g (a * x + b * y) ≤ a • f x • g x + b • f y • g y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ (a • f x + b • f y) • (a • g x + b • g y) ≤ a • f x • g x + b • f y • g y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ (a • f x + b • f y) • (a • g x + b • g y) = (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + (a * b) • (f x • g y + f y • g x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : MonovaryOn f g s
x : 𝕜
hx : x ∈ s
y : 𝕜
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ (a • f x) • a • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y) = (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : π₁.IsPartition
h₂ : π₂.IsPartition

⊢ integralSum f vol π₁ - integralSum f vol π₂ = ∑ J ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes, ((vol J) (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J)) - (vol J) (f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J)))
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h₁ : π₁.IsPartition
h₂ : π₂.IsPartition

⊢ ∑ J ∈ (π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).boxes, (vol J) (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag J)) - ∑ J ∈ (π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).boxes, (vol J) (f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag J)) = ∑ x ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes, (vol x) (f ((π₁.infPrepartition π₂.toPrepartition).tag x)) - ∑ x ∈ (π₁.toPrepartition ⊓ π₂.toPrepartition).boxes, (vol x) (f ((π₂.infPrepartition π₁.toPrepartition).tag x))
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
φ : α → β
θ : α → γ
ψ : β → δ
ρ : γ → δ
H : ψ ∘ φ = ρ ∘ θ
F : Filter α

⊢ map ψ (map φ F) = map ρ (map θ F)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G M : Type
inst✝² : Group G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulDistribMulAction G M
f : ↥(oneCoboundaries (Rep.ofMulDistribMulAction G M))

⊢ IsMulOneCoboundary (⇑Additive.ofMul ∘ ↑↑f)
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G M : Type
inst✝² : Group G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulDistribMulAction G M
f : ↥(oneCoboundaries (Rep.ofMulDistribMulAction G M))
x : CoeSort.coe (Rep.ofMulDistribMulAction G M)
hx : (dZero (Rep.ofMulDistribMulAction G M)) x = ↑↑f

⊢ IsMulOneCoboundary (⇑Additive.ofMul ∘ ↑↑f)
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
hax : 0 < a.x
hay : 0 < a.y
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ 0 < (a ^ n).y
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
hax : 0 < a.x
hay : 0 < a.y
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ 0 < (a ^ n.pred.succ).y
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
k : ↥K

⊢ hSK.equiv (g * ↑k) = ((hSK.equiv g).1, (hSK.equiv g).2 * k)
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
k : ↥K
this : (hSK.equiv (g * ↑k)).1 = (hSK.equiv g).1

⊢ hSK.equiv (g * ↑k) = ((hSK.equiv g).1, (hSK.equiv g).2 * k)
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a✝ b : α
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
hts : { ofColex := t } ≤ { ofColex := s }
a : α
has : a ∈ s

⊢ a ∈ t
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a✝ b : α
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
hts : { ofColex := t } ≤ { ofColex := s }
a : α
has : a ∈ s
hat : a ∉ t

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a✝ b : α
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
hts : { ofColex := t } ≤ { ofColex := s }
a : α
has : a ∈ s
hat : a ∉ t
_b : α
hb₁ : _b ∈ s
hb₂ : _b ∉ s
right✝ : a ≤ _b

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
w x y z : P
h₁ : Wbtw R w x z
h₂ : Wbtw R x y z

⊢ Wbtw R w x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
w x y z : P
h₁ : Wbtw R z x w
h₂ : Wbtw R z y x

⊢ Wbtw R y x w
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B✝ : Type u_2
inst✝⁴ : Field A
inst✝³ : Ring B✝
inst✝² : Algebra A B✝
x✝ : B✝
B : Type u_3
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
a : A

⊢ minpoly A (x + (algebraMap A B) a) = (minpoly A x).comp (X - C a)
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B✝ : Type u_2
inst✝⁴ : Field A
inst✝³ : Ring B✝
inst✝² : Algebra A B✝
x✝ : B✝
B : Type u_3
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
a : A

⊢ (Polynomial.aeval (x + (algebraMap A B) a)) ((minpoly A x).comp (X - C a)) = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B✝ : Type u_2
inst✝⁴ : Field A
inst✝³ : Ring B✝
inst✝² : Algebra A B✝
x✝ : B✝
B : Type u_3
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
a : A
q : A[X]
qmo : q.Monic
hq : (Polynomial.aeval (x + (algebraMap A B) a)) q = 0

⊢ ((minpoly A x).comp (X - C a)).degree ≤ q.degree
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : Group H
inst✝⁹ : MulAction G α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MulAction H β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSMul G α
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝¹ : Countable G
ν : Measure α
inst✝ : Finite G
h : IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α
ht : ∀ (g : G), g • t =ᶠ[ae μ] t
this : Fintype G

⊢ μ t = Nat.card G • μ (t ∩ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : Group H
inst✝⁹ : MulAction G α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MulAction H β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSMul G α
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝¹ : Countable G
ν : Measure α
inst✝ : Finite G
h : IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α
ht : ∀ (g : G), g • t =ᶠ[ae μ] t
this : Fintype G

⊢ ∑' (g : G), μ (g • t ∩ s) = Nat.card G • μ (t ∩ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : Group H
inst✝⁹ : MulAction G α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : MulAction H β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
s t✝ : Set α
μ : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSMul G α
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝¹ : Countable G
ν : Measure α
inst✝ : Finite G
h : IsFundamentalDomain G s μ
t : Set α
this : Fintype G
ht : ∀ (g : G), g • t ∩ s =ᶠ[ae μ] t ∩ s

⊢ ∑' (g : G), μ (g • t ∩ s) = Nat.card G • μ (t ∩ s)
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℤ

⊢ f (preNormEDS b c d n) = preNormEDS (f b) (f c) (f d) n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R

⊢ A.det = A 0 0 * A 1 1 - A 0 1 * A 1 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (Fin 2) (Fin 2) R

⊢ (-1) ^ 0 * A 0 0 * A 1 1 + (-1) ^ (0 + 1) * A 0 1 * A 1 0 = A 0 0 * A 1 1 - A 0 1 * A 1 0
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m✝ n a b c d m : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD m * n]

⊢ a ≡ b [ZMOD n]
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m✝ n a b c d m : ℤ
h : m * n ∣ b - a

⊢ n ∣ b - a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x ≤ y

⊢ derivWithin f S y ≤ derivWithin f S x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx hy : x ∈ S
hxy : x ≤ x

⊢ derivWithin f S x ≤ derivWithin f S x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y

⊢ derivWithin f S y ≤ derivWithin f S x
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

⊢ tanh (dist z w / 2) = dist ↑z ↑w / dist (↑z) ((starRingEnd ℂ) ↑w)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

⊢ 2 * √(z.im * w.im) ≠ 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a b : Ordinal.{max v u}
hb : b < o.nfpBFamily f a
i : Ordinal.{u}
hi : i < o

⊢ f i hi b < o.nfpBFamily f a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a b : Ordinal.{max v u}
hb : b < o.nfpBFamily f a
i : Ordinal.{u}
hi : i < o

⊢ o.familyOfBFamily f (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯) b < o.nfpBFamily f a
-- Mathlib/Data/Multiset/Dedup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
h : s.Disjoint t

⊢ (s + t).dedup = s.dedup + t.dedup
-- Mathlib/Data/Multiset/Dedup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
a✝ b✝ : List α
h : Disjoint (Quot.mk Setoid.r a✝) (Quot.mk Setoid.r b✝)

⊢ (Quot.mk Setoid.r a✝ + Quot.mk Setoid.r b✝).dedup = dedup (Quot.mk Setoid.r a✝) + dedup (Quot.mk Setoid.r b✝)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ

⊢ mk (ComplexEmbedding.conjugate φ) = mk φ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
φ : K →+* ℂ
x : K

⊢ (mk (ComplexEmbedding.conjugate φ)) x = (mk φ) x
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ

⊢ (y - x) * ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = y ^ n - x ^ n
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ

⊢ MulOpposite.op ((y - x) * ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) = MulOpposite.op (y ^ n - x ^ n)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ

⊢ MulOpposite.op (∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (MulOpposite.op y - MulOpposite.op x) = MulOpposite.op y ^ n - MulOpposite.op x ^ n
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S B
x : R

⊢ (algebraMap R A) x = ((algebraMap S A).comp (algebraMap R S)) x
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : Field K
a b c : K
hc : c ≠ 0

⊢ a / c - b = (a - c * b) / c
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ

⊢ ↑(x ^ y) = ↑x ^ ↑y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ

⊢ ↑(if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (Real.log x * y)) = if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else cexp (log ↑x * ↑y)
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B

⊢ cs.length (cs.simple i) = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B

⊢ cs.length (cs.simple i) ≤ 1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B

⊢ 1 ≤ cs.length (cs.simple i)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝³ : Nonempty ↥s₁
inst✝² : Nonempty ↥s₂
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection s₁.direction
inst✝ : HasOrthogonalProjection s₂.direction
p : P

⊢ (reflection s₁) p = (reflection s₂) p ↔ ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ↑((orthogonalProjection s₂) p)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
s₁ s₂ : AffineSubspace ℝ P
inst✝³ : Nonempty ↥s₁
inst✝² : Nonempty ↥s₂
inst✝¹ : HasOrthogonalProjection s₁.direction
inst✝ : HasOrthogonalProjection s₂.direction
p : P

⊢ ↑((orthogonalProjection s₁) p) -ᵥ p +ᵥ ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ↑((orthogonalProjection s₂) p) -ᵥ p +ᵥ ↑((orthogonalProjection s₂) p) ↔ ↑((orthogonalProjection s₁) p) = ↑((orthogonalProjection s₂) p)
-- Mathlib/RingTheory/EisensteinCriterion.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
P : Ideal R
hP : P.IsPrime
q : R[X]
c : (R ⧸ P)[X]
hq : map (mk P) q = c * X ^ n
hc0 : c.degree = 0

⊢ ↑n = (map (mk P) q).degree
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/CommRing.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
p q : MvPolynomial σ R

⊢ (p - q).degrees ≤ p.degrees ⊔ q.degrees
-- Mathlib/Order/Birkhoff.lean
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s : UpperSet α
a : α

⊢ InfIrred (Ici a)
-- Mathlib/Order/Birkhoff.lean
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s✝ : UpperSet α
a : α
s t : UpperSet α
hst : s ⊓ t = Ici a

⊢ s = Ici a ∨ t = Ici a
-- Mathlib/Order/Birkhoff.lean
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s✝ : UpperSet α
a : α
s t : UpperSet α
hst : s ⊓ t = Ici a
this : a ∈ Ici a

⊢ s = Ici a ∨ t = Ici a
-- Mathlib/Order/Birkhoff.lean
α : Type u_1
inst✝ : PartialOrder α
s✝ : UpperSet α
a : α
s t : UpperSet α
hst : s ⊓ t = Ici a
this : a ∈ s ⊓ t

⊢ s = Ici a ∨ t = Ici a
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y : ZFSet
h : ↑x = ↑y
z : ZFSet

⊢ ↑x z ↔ ↑y z
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f✝ g : RatFunc F
f : F[X]
hf : f ≠ 0

⊢ ↑f ≠ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Types.lean
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
F G : J ⥤ Type w
φ : F ⟶ G
x : (fun F => ↑F.sections) F
j j' : J
f : j ⟶ j'

⊢ (F.map f ≫ φ.app j') (↑x j) = (fun j => φ.app j (↑x j)) j'
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y

⊢ ∀ (b : ℝ≥0), ∃ i, ∀ (a : ℝ≥0), i ≤ a → b ≤ a ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ≥0

⊢ ∃ i, ∀ (a : ℝ≥0), i ≤ a → b ≤ a ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ≥0
c : ℝ
hc : ∀ (a : ℝ), c ≤ a → ↑b ≤ a ^ y

⊢ ∃ i, ∀ (a : ℝ≥0), i ≤ a → b ≤ a ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ≥0
c : ℝ
hc : ∀ (a : ℝ), c ≤ a → ↑b ≤ a ^ y

⊢ ∀ (a : ℝ≥0), c.toNNReal ≤ a → b ≤ a ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
y : ℝ
hy : 0 < y
b : ℝ≥0
c : ℝ
hc : ∀ (a : ℝ), c ≤ a → ↑b ≤ a ^ y
a : ℝ≥0
ha : c.toNNReal ≤ a

⊢ b ≤ a ^ y
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V →ₗ[K] V →ₗ[K] K
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x

⊢ Submodule.span K {x} ⊔ (Submodule.span K {x}).orthogonalBilin B = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
inst✝⁴ : Field K₁
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K₁ V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
J : K →+* K
J₁ J₁' : K₁ →+* K
B : V →ₗ[K] V →ₗ[K] K
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x

⊢ Submodule.span K {x} ⊔ ker (B x) = ⊤
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
f : ι → α✝
α : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
k : α
hk : IsCompactElement k
s : Set α
hemp : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hbelow : ∀ x ∈ s, x < k

⊢ sSup s < k