ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf γ
F : Filter α
G : Filter β
f : α → γ
g : β → γ
hf : Tendsto f F atBot
hg : Tendsto g G atBot

⊢ Tendsto (Prod.map f g) (F ×ˢ G) (atBot ×ˢ atBot)
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
hb : b ≤ 1
r : R

⊢ clog b r = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
s : Finset ι
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α

⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂∑ i ∈ s, μ i = ∑ i ∈ s, ∫⁻ (a : α), f a ∂μ i
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
s : Finset ι
f : α → ℝ≥0∞
μ : ι → Measure α

⊢ ∑' (i : { x // x ∈ s }), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ↑i = ∑' (x : ↑↑s), ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ↑x
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
inst✝ : DecidableEq τ
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R

⊢ ((bind₁ f) φ).vars ⊆ φ.vars.biUnion fun i => (f i).vars
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
inst✝ : DecidableEq τ
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R

⊢ (φ.support.biUnion fun d => (C (coeff d φ) * ∏ i ∈ d.support, f i ^ d i).vars) ≤ φ.support.biUnion fun d => d.support.biUnion fun i => (f i).vars
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
inst✝ : DecidableEq τ
f : σ → MvPolynomial τ R
φ : MvPolynomial σ R

⊢ (φ.support.biUnion fun d => d.support.biUnion fun i => (f i).vars) ≤ φ.vars.biUnion fun i => (f i).vars
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Subspace 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] 𝕜
this✝¹ : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E
this✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E := RestrictScalars.isScalarTower ℝ 𝕜 E
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
fr : ↥p →L[ℝ] ℝ := reCLM.comp (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f)

⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Subspace 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] 𝕜
this✝¹ : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E
this✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E := RestrictScalars.isScalarTower ℝ 𝕜 E
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
fr : ↥p →L[ℝ] ℝ := reCLM.comp (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f)
g : E →L[ℝ] ℝ
hextends : ∀ (x : ↥(Submodule.restrictScalars ℝ p)), g ↑x = fr x
hnormeq : ‖g‖ = ‖fr‖

⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Subspace 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] 𝕜
this✝¹ : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E
this✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E := RestrictScalars.isScalarTower ℝ 𝕜 E
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
fr : ↥p →L[ℝ] ℝ := reCLM.comp (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f)
g : E →L[ℝ] ℝ
hextends : ∀ (x : ↥(Submodule.restrictScalars ℝ p)), g ↑x = fr x
hnormeq : ‖g‖ = ‖fr‖
h : ∀ (x : ↥p), g.extendTo𝕜 ↑x = f x

⊢ (∀ (x : ↥p), g.extendTo𝕜 ↑x = f x) ∧ ‖g.extendTo𝕜‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Subspace 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] 𝕜
this✝¹ : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E
this✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E := RestrictScalars.isScalarTower ℝ 𝕜 E
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
fr : ↥p →L[ℝ] ℝ := reCLM.comp (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f)
g : E →L[ℝ] ℝ
hextends : ∀ (x : ↥(Submodule.restrictScalars ℝ p)), g ↑x = fr x
hnormeq : ‖g‖ = ‖fr‖
h : ∀ (x : ↥p), g.extendTo𝕜 ↑x = f x

⊢ ‖g.extendTo𝕜‖ ≤ ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : Subspace 𝕜 E
f : ↥p →L[𝕜] 𝕜
this✝¹ : Module ℝ E := RestrictScalars.module ℝ 𝕜 E
this✝ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E := RestrictScalars.isScalarTower ℝ 𝕜 E
this : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
fr : ↥p →L[ℝ] ℝ := reCLM.comp (ContinuousLinearMap.restrictScalars ℝ f)
g : E →L[ℝ] ℝ
hextends : ∀ (x : ↥(Submodule.restrictScalars ℝ p)), g ↑x = fr x
hnormeq : ‖g‖ = ‖fr‖
h : ∀ (x : ↥p), g.extendTo𝕜 ↑x = f x

⊢ ‖f‖ ≤ ‖g.extendTo𝕜‖
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0

⊢ f ↑n = f 1 + log ↑(n - 1)!
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!

⊢ f ↑(m + 1) = f 1 + log ↑(m + 1 - 1)!
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
A : 0 < ↑m

⊢ f ↑(m + 1) = f 1 + log ↑(m + 1 - 1)!
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
A : 0 < ↑m

⊢ f ↑m + log ↑m = f 1 + log ↑m !
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
A : 0 < ↑m

⊢ f 1 + log ↑((m - 1)! * m) = f 1 + log ↑m !
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
A : 0 < ↑m

⊢ f 1 + log ↑((m - 1)! * m) = f 1 + log ↑(m.pred ! * (m.pred + 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hn : n ≠ 0
m : ℕ
hm : 1 ≤ m
IH : f ↑m = f 1 + log ↑(m - 1)!
A : 0 < ↑m

⊢ m = m.pred + 1
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α

⊢ s ⊂ t ↔ ∃ a ∈ t, s ⊆ t \ {a}
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α

⊢ (∃ a ∉ s, a ∈ t ∧ s ⊆ t) ↔ ∃ a ∈ t, s ⊆ t ∧ a ∉ s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H

⊢ ((traceForm K (↥H) L) (coroot α)) x = 2 • (α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)))⁻¹ • α x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H
this : ((cartanEquivDual H) ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))) x = α x

⊢ ((traceForm K (↥H) L) (coroot α)) x = 2 • (α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)))⁻¹ • α x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
x : ↥H
this : ((cartanEquivDual H) ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))) x = α x

⊢ 2 • (α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)))⁻¹ • ((traceForm K (↥H) L) ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α))) x = 2 • (α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)))⁻¹ • α x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : X →ᵇ ℝ
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) ⊥ ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) ⊥ (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i

⊢ ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
f : X →ᵇ ℝ
hL : L.NeBot
obs : Bornology.IsBounded (Set.range fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i)
bdd_above : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i
bdd_below : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) L fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i

⊢ limsup (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L ≤ ∫ (x : X), f x ∂μ
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T

⊢ IsSatisfiable (⋃ i, T i) ↔ ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
h' : ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable

⊢ IsSatisfiable (⋃ i, T i)
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
h' : ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable

⊢ ∀ (T0 : Finset L.Sentence), ↑T0 ⊆ ⋃ i, T i → IsSatisfiable ↑T0
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
h' : ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable
T0 : Finset L.Sentence
hT0 : ↑T0 ⊆ ⋃ i, T i

⊢ IsSatisfiable ↑T0
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
T : ι → L.Theory
h : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) T
h' : ∀ (i : ι), (T i).IsSatisfiable
T0 : Finset L.Sentence
hT0 : ↑T0 ⊆ ⋃ i, T i
i : ι
hi : ↑T0 ⊆ T i

⊢ IsSatisfiable ↑T0
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D
inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D
inst✝⁵ : FinitaryExtensive C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
inst✝² : ∀ (X : D) (Y : C) (f : X ⟶ Gl.obj Y), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app Y)
inst✝¹ : (X : D) → (Y : C) → (f : X ⟶ Gl.obj Y) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app Y)) Gl
inst✝ : PreservesPullbacksOfInclusions Gl
this : PreservesColimitsOfSize.{?u.89276, ?u.89275, v, v'', u, u''} Gl
X Y : D
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c

⊢ IsVanKampenColimit c
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D
inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D
inst✝⁵ : FinitaryExtensive C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
inst✝² : ∀ (X : D) (Y : C) (f : X ⟶ Gl.obj Y), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app Y)
inst✝¹ : (X : D) → (Y : C) → (f : X ⟶ Gl.obj Y) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app Y)) Gl
inst✝ : PreservesPullbacksOfInclusions Gl
this : PreservesColimitsOfSize.{?u.89276, ?u.89275, v, v'', u, u''} Gl
X Y : D
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c

⊢ IsVanKampenColimit ((Cocones.precompose (isoWhiskerLeft (pair X Y) (asIso adj.counit) ≪≫ (pair X Y).rightUnitor).hom).obj c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D
inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D
inst✝⁵ : FinitaryExtensive C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
inst✝² : ∀ (X : D) (Y : C) (f : X ⟶ Gl.obj Y), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app Y)
inst✝¹ : (X : D) → (Y : C) → (f : X ⟶ Gl.obj Y) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app Y)) Gl
inst✝ : PreservesPullbacksOfInclusions Gl
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{?u.89276, ?u.89275, v, v'', u, u''} Gl
X Y : D
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
this : (Z : C) → (i : Discrete WalkingPair) → (f : Z ⟶ (colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)).pt) → PreservesLimit (cospan f ((colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)).ι.app i)) Gl

⊢ IsVanKampenColimit ((Cocones.precompose (isoWhiskerLeft (pair X Y) (asIso adj.counit) ≪≫ (pair X Y).rightUnitor).hom).obj c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D
inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D
inst✝⁵ : FinitaryExtensive C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
inst✝² : ∀ (X : D) (Y : C) (f : X ⟶ Gl.obj Y), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app Y)
inst✝¹ : (X : D) → (Y : C) → (f : X ⟶ Gl.obj Y) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app Y)) Gl
inst✝ : PreservesPullbacksOfInclusions Gl
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{?u.89276, ?u.89275, v, v'', u, u''} Gl
X Y : D
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
this : (Z : C) → (i : Discrete WalkingPair) → (f : Z ⟶ (colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)).pt) → PreservesLimit (cospan f ((colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)).ι.app i)) Gl

⊢ IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝¹⁰ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁹ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁸ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝⁷ : HasFiniteCoproducts D
inst✝⁶ : HasPullbacksOfInclusions D
inst✝⁵ : FinitaryExtensive C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
inst✝² : ∀ (X : D) (Y : C) (f : X ⟶ Gl.obj Y), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app Y)
inst✝¹ : (X : D) → (Y : C) → (f : X ⟶ Gl.obj Y) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app Y)) Gl
inst✝ : PreservesPullbacksOfInclusions Gl
this✝ : PreservesColimitsOfSize.{?u.89276, ?u.89275, v, v'', u, u''} Gl
X Y : D
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
this : (Z : C) → (i : Discrete WalkingPair) → (f : Z ⟶ (colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)).pt) → PreservesLimit (cospan f ((colimit.cocone (pair X Y ⋙ Gr)).ι.app i)) Gl

⊢ IsColimit ((Cocones.precompose (isoWhiskerLeft (pair X Y) (asIso adj.counit) ≪≫ (pair X Y).rightUnitor).hom).obj c)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/MidpointZero.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : CharZero R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
a b : P

⊢ (lineMap a b) (1 / 2) = midpoint R a b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MatrixExponential.lean
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : Field 𝕂
inst✝⁴ : CommRing 𝔸
inst✝³ : TopologicalSpace 𝔸
inst✝² : TopologicalRing 𝔸
inst✝¹ : Algebra 𝕂 𝔸
inst✝ : T2Space 𝔸
A : Matrix m m 𝔸

⊢ exp 𝕂 Aᵀ = (exp 𝕂 A)ᵀ
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)

⊢ (B.domRestrict₁₂ W W).Nondegenerate
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)

⊢ (B.domRestrict₁₂ W W).SeparatingLeft
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
b₁ : ∀ (y : ↥W), ((B.domRestrict₁₂ W W) ⟨x, hx⟩) y = 0

⊢ ⟨x, hx⟩ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
b₁ : ∀ (y : ↥W), ((B.domRestrict₁₂ W W) ⟨x, hx⟩) y = 0

⊢ x ∈ ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
b₁ : ∀ (y : ↥W), ((B.domRestrict₁₂ W W) ⟨x, hx⟩) y = 0
y : M
hy : y ∈ W

⊢ B.IsOrtho y x
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
y : M
hy : y ∈ W
b₁ : ((B.domRestrict₁₂ W W) ⟨x, hx⟩) ⟨y, hy⟩ = 0

⊢ B.IsOrtho y x
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
W : Submodule R M
hW : Disjoint W (W.orthogonalBilin B)
x : M
hx : x ∈ W
y : M
hy : y ∈ W
b₁ : (B x) y = 0

⊢ B.IsOrtho y x