ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S : CommRingCat
f✝ : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑R
inst✝ : Algebra ↑R ↑S
y : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk p)
r : ↑R
hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r
s' : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen r)))
e : (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y
s : ↑S
n : ℕ
hsn : s' * (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) ((algebraMap ↑R ↑S) r ^ n) = (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) s
f : ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen r)) ⟶ ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk ↑⟨p, hpr⟩ := ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩

⊢ f (s' * (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op) ((toOpen ↑S ⊤) ((algebraMap ↑R ↑S) ↑(s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2))) = f ((((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op) ((toOpen ↑S ⊤) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R S : CommRingCat
f✝ : R ⟶ S
p : PrimeSpectrum ↑R
inst✝ : Algebra ↑R ↑S
y : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk p)
r : ↑R
hpr : p ∈ PrimeSpectrum.basicOpen r
s' : ↑(((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen r)))
e : (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩) s' = y
s : ↑S
n : ℕ
hsn : s' * (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) ((algebraMap ↑R ↑S) (r ^ n)) = (algebraMap ↑S ↑((structureSheaf ↑S).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap ↑R ↑S) r))))) s
f : ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen r)) ⟶ ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).stalk ↑⟨p, hpr⟩ := ((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).germ ⟨p, hpr⟩

⊢ f (s' * (((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op) ((toOpen ↑S ⊤) ((algebraMap ↑R ↑S) ↑(s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).2))) = f ((((TopCat.Presheaf.pushforward CommRingCat (Spec.topMap (algebraMap ↑R ↑S))).obj (structureSheaf ↑S).val).map (homOfLE ⋯).op) ((toOpen ↑S ⊤) (s, ⟨r, hpr⟩ ^ n).1))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ y

⊢ x (firstDiff x y) ≠ y (firstDiff x y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ y

⊢ x (Nat.find ⋯) ≠ y (Nat.find ⋯)
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x✝ x : B
hx : IsIntegral A x
y : A
h : (minpoly A x).IsRoot y

⊢ (algebraMap A B) y = x
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x✝ x : B
hx : IsIntegral A x
y : A
h : (minpoly A x).IsRoot y
key : minpoly A x = X - C y

⊢ (algebraMap A B) y = x
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : Field A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : Algebra A B
x✝ x : B
hx : IsIntegral A x
y : A
h : (minpoly A x).IsRoot y
key : minpoly A x = X - C y
this : (Polynomial.aeval x) (minpoly A x) = 0

⊢ (algebraMap A B) y = x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/LieGroup.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : GroupWithZero G
inst✝⁶ : SmoothInv₀ I G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
f g : M → G
s : Set M
a : M
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I' I n f s a
hg : ContMDiffWithinAt I' I n g s a
h₀ : g a ≠ 0

⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (f / g) s a
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
α : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (α i)
inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)
f : (i : ι) → α i → E
l : Π₀ (i : ι), α i
x : E

⊢ ⟪x, l.sum f⟫_𝕜 = l.sum fun i a => ⟪x, f i a⟫_𝕜
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P

⊢ AffineIndependent k p ↔ ∀ (w1 w2 : ι → k), ∑ i : ι, w1 i = 1 → ∑ i : ι, w2 i = 1 → (affineCombination k univ p) w1 = (affineCombination k univ p) w2 → w1 = w2
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P

⊢ (∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k), ∑ i ∈ s1, w1 i = 1 → ∑ i ∈ s2, w2 i = 1 → (affineCombination k s1 p) w1 = (affineCombination k s2 p) w2 → (↑s1).indicator w1 = (↑s2).indicator w2) ↔ ∀ (w1 w2 : ι → k), ∑ i : ι, w1 i = 1 → ∑ i : ι, w2 i = 1 → (affineCombination k univ p) w1 = (affineCombination k univ p) w2 → w1 = w2
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J : Box ι
x✝ y✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι
i : ι
c : ℝ≥0
h : I.distortion ≤ c
this : 0 ≤ ↑c * (I.upper i - I.lower i)
x : ι → ℝ
hx : x ∈ Box.Icc I
y : ι → ℝ
hy : y ∈ Box.Icc I

⊢ 0 ≤ I.upper i - I.lower i
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Lemmas.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : SMul M R
inst✝¹ : Semigroup R
inst✝ : SMulCommClass M R R
x y : R
m : M
h : x ∣ y
k : R
hk : y = x * k

⊢ m • y = x * m • k
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
f : ℕ → ℕ →. ℕ
h : _root_.Partrec fun v => f v.head v.tail.head
v : ℕ × ℕ

⊢ f (v.1 ::ᵥ v.2 ::ᵥ nil).head (v.1 ::ᵥ v.2 ::ᵥ nil).tail.head = f v.1 v.2
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
s : Set E
x : E
h : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
n : ℕ∞

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : NormedAddCommGroup H
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
s : Set E
x : E
h : AnalyticWithinAt 𝕜 f s x
n : ℕ∞
g : E → F
fx : f x = g x
fg : f =ᶠ[𝓝[s] x] g
hg : AnalyticAt 𝕜 g x

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot
h : Tendsto f l atBot

⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atTop ↔ r < 0
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝⁶ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝⁵ : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝⁴ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝³ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
M₀' : PresheafOfModules R₀
A' : Sheaf J AddCommGrp
φ' : M₀'.presheaf ⟶ A'.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ'
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ'
τ₀ : M₀ ⟶ M₀'
τ : A ⟶ A'
fac : τ₀.hom ≫ φ' = φ ≫ τ.val

⊢ ∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.val.obj X)) (x : ↑((sheafify α φ).val.presheaf.obj X)), (τ.val.app X) (r • x) = r • (τ.val.app X) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝⁶ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝⁵ : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝⁴ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝³ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
M₀' : PresheafOfModules R₀
A' : Sheaf J AddCommGrp
φ' : M₀'.presheaf ⟶ A'.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ'
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ'
τ₀ : M₀ ⟶ M₀'
τ : A ⟶ A'
fac : τ₀.hom ≫ φ' = φ ≫ τ.val
f : (sheafify α φ).val ⟶ (sheafify α φ').val := (sheafifyHomEquiv' α φ ⋯).symm (τ₀ ≫ toSheafify α φ')

⊢ ∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.val.obj X)) (x : ↑((sheafify α φ).val.presheaf.obj X)), (τ.val.app X) (r • x) = r • (τ.val.app X) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafify.lean
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝⁶ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝⁵ : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝⁴ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝³ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
M₀' : PresheafOfModules R₀
A' : Sheaf J AddCommGrp
φ' : M₀'.presheaf ⟶ A'.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ'
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ'
τ₀ : M₀ ⟶ M₀'
τ : A ⟶ A'
fac : τ₀.hom ≫ φ' = φ ≫ τ.val
f : (sheafify α φ).val ⟶ (sheafify α φ').val := (sheafifyHomEquiv' α φ ⋯).symm (τ₀ ≫ toSheafify α φ')
eq : τ.val = f.hom

⊢ ∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.val.obj X)) (x : ↑((sheafify α φ).val.presheaf.obj X)), (τ.val.app X) (r • x) = r • (τ.val.app X) x
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁✝ π₂✝ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
π₁ π₂ : Prepartition I

⊢ (π₁ ⊓ π₂).iUnion = π₁.iUnion ∩ π₂.iUnion
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
J : Type w
F : J → C
inst✝¹ : HasProduct F
inst✝ : PreservesLimit (Discrete.functor F) (forget C)
x : (j : J) → (forget C).obj (F j)
j : J

⊢ (Pi.π F j) ((productEquiv F).symm x) = x j
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Finite ι
x : E

⊢ ∃! v, v +ᵥ x ∈ fundamentalDomain b
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Finite ι
x : E
val✝ : Fintype ι

⊢ ∃! v, v +ᵥ x ∈ fundamentalDomain b
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Images.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
G H : ModuleCat R
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : ↑(image f)

⊢ (F'.e ≫ F'.m) ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => f x_1 = ↑x) ⋯) = (ι f) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Images.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
G H : ModuleCat R
f : G ⟶ H
F' : MonoFactorisation f
x : ↑(image f)

⊢ ↑x = (ι f) x
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
one_mem : 1 ∈ s
div_mem : ∀ {a b : G}, a ∈ s → b ∈ s → a * b⁻¹ ∈ s
a : G
ha : a ∈ s
this : 1 * a⁻¹ ∈ s

⊢ a⁻¹ = 1 * a⁻¹
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
one_mem : 1 ∈ s
div_mem : ∀ {a b : G}, a ∈ s → b ∈ s → a * b⁻¹ ∈ s
inv_mem : ∀ a ∈ s, a⁻¹ ∈ s
a b : G
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
this : a * b⁻¹⁻¹ ∈ s

⊢ b = b⁻¹⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : Module R M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
M : Matrix n m N₂
i✝¹ : n
i✝ : m

⊢ (((toLinearMap₂ (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m)) M ∘ₗ single i✝¹) 1 ∘ₗ single i✝) 1 = (((toLinearMap₂' R) M ∘ₗ single i✝¹) 1 ∘ₗ single i✝) 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f

⊢ head arrows ≫ desc f fs w = f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
I : Type u_3
B : I → Type u_4
inst✝¹ : (i : I) → NormedRing (B i)
inst✝ : ∀ (i : I), NormOneClass (B i)
i : I

⊢ (fun i => ‖1 i‖) i ≤ 1
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
x : α
hx : f x ≤ g x
n : ℕ

⊢ f^[n] x ≤ g^[n] x
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
x : α
hx : f x ≤ g x
n : ℕ

⊢ f^[0] x ≤ g^[0] x
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
x : α
hx : f x ≤ g x
n : ℕ

⊢ ∀ (k : ℕ), k < n → f^[k + 1] x ≤ f (f^[k] x)
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : Monotone g
x : α
hx : f x ≤ g x
n : ℕ

⊢ ∀ (k : ℕ), k < n → f (g^[k] x) ≤ g^[k + 1] x
-- Mathlib/Algebra/Ring/Regular.lean
α : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
k : α
h : ∀ (x : α), k * x = 0 → x = 0

⊢ IsLeftRegular k
-- Mathlib/Algebra/Ring/Regular.lean
α : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
k : α
h : ∀ (x : α), k * x = 0 → x = 0
x y : α
h' : k * x = k * y

⊢ k * (x - y) = 0
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n✝ a✝ b✝ c d : ℤ
a b n : ℕ

⊢ ↑a % ↑n = ↑b % ↑n ↔ a % n = b % n
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n✝ a✝ b✝ c d : ℤ
a b n : ℕ

⊢ ↑a % ↑n = ↑b % ↑n ↔ ↑(a % n) = ↑(b % n)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
x : G

⊢ comap (fun x_1 => x_1 / x) (𝓝 1) = 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞

⊢ ⨅ l, ⨅ (_ : ⊥ < l), 𝓟 (Iio l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ 0), 𝓟 (Iio a)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝⁶ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝⁵ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝⁴ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f g : Module.End R M
h_comm : Commute f g
hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
hg : ∀ (μ : R), (trace R ↥(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) (restrict g ⋯) = 0

⊢ (trace R M) (g ∘ₗ f) = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝⁶ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝⁵ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝⁴ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f g : Module.End R M
h_comm : Commute f g
hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
hg : ∀ (μ : R), (trace R ↥(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) (restrict g ⋯) = 0
hfg : ∀ (μ : R), MapsTo ⇑(g ∘ₗ f) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)

⊢ (trace R M) (g ∘ₗ f) = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝⁶ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝⁵ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝⁴ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f g : Module.End R M
h_comm : Commute f g
hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
hg : ∀ (μ : R), (trace R ↥(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) (restrict g ⋯) = 0
hfg : ∀ (μ : R), MapsTo ⇑(g ∘ₗ f) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)

⊢ ∀ (μ : R), (trace R ↥(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) ((g ∘ₗ f).restrict ⋯) = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝⁶ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝⁵ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝⁴ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f g : Module.End R M
h_comm : Commute f g
hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
hg : ∀ (μ : R), (trace R ↥(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) (restrict g ⋯) = 0
hfg : ∀ (μ : R), MapsTo ⇑(g ∘ₗ f) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)
μ : R

⊢ (trace R ↥(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) ((g ∘ₗ f).restrict ⋯) = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
N : ι → Submodule R M
inst✝⁶ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
inst✝⁵ : ∀ (i : ι), Module.Finite R ↥(N i)
inst✝⁴ : ∀ (i : ι), Module.Free R ↥(N i)
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f g : Module.End R M
h_comm✝ : Commute f g
hf : ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
hg : ∀ (μ : R), (trace R ↥(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) (restrict g ⋯) = 0
hfg : ∀ (μ : R), MapsTo ⇑(g ∘ₗ f) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)
μ : R
h_comm : Commute (restrict g ⋯) (restrict f ⋯)

⊢ (trace R ↥(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) ((g ∘ₗ f).restrict ⋯) = 0
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I X R✝ J E R : Set α

⊢ loopyOn E ↾ R = loopyOn R
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I X R✝ J E R : Set α

⊢ ∀ I ⊆ (loopyOn E ↾ R).E, (loopyOn E ↾ R).Indep I ↔ (loopyOn R).Indep I
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I X R✝ J E R : Set α

⊢ ∀ I ⊆ R, I = ∅ → I ⊆ R
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E

⊢ (‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ - ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2 = ‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E

⊢ (2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ - (2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖)) / 2 = ‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖
-- Mathlib/Computability/ContextFreeGrammar.lean
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
v w : List (Symbol T N)
hvw : r.Rewrites v w
p : List (Symbol T N)

⊢ r.Rewrites (p ++ v) (p ++ w)
-- Mathlib/Computability/ContextFreeGrammar.lean
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
v w : List (Symbol T N)
hvw : ∃ p q, v = p ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ w = p ++ r.output ++ q
p : List (Symbol T N)

⊢ ∃ p_1 q, p ++ v = p_1 ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ p ++ w = p_1 ++ r.output ++ q
-- Mathlib/Computability/ContextFreeGrammar.lean
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
v w p x y : List (Symbol T N)
hxy : v = x ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ y ∧ w = x ++ r.output ++ y

⊢ ∃ p_1 q, p ++ v = p_1 ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ q ∧ p ++ w = p_1 ++ r.output ++ q
-- Mathlib/Computability/ContextFreeGrammar.lean
T : Type uT
N : Type uN
r : ContextFreeRule T N
v w p x y : List (Symbol T N)
hxy : v = x ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ y ∧ w = x ++ r.output ++ y

⊢ p ++ v = p ++ x ++ [Symbol.nonterminal r.input] ++ y ∧ p ++ w = p ++ x ++ r.output ++ y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
M✝ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
K✝ : Type u_3
inst✝⁶ : Field K✝
inst✝⁵ : Module K✝ M✝
f✝ : End K✝ M✝
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
K : Type u_3
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Module K M
f g : End K M
t : K
h : f.IsSemisimple
ht : t ≠ 0

⊢ (t • f).IsSemisimple
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x y : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

⊢ convexBodySumFun (x + y) ≤ convexBodySumFun x + convexBodySumFun y
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x y : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

⊢ ∑ w : InfinitePlace K, ↑w.mult * (normAtPlace w) (x + y) ≤ ∑ x_1 : InfinitePlace K, ↑x_1.mult * ((normAtPlace x_1) x + (normAtPlace x_1) y)
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R

⊢ IsJacobson R ↔ ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R

⊢ (∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P) → ∀ (I : Ideal R), I.IsRadical → I.jacobson = I
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
x : R
hx : x ∈ I.jacobson

⊢ x ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
x : R
hx : x ∈ I.jacobson

⊢ ∀ ⦃I_1 : Ideal R⦄, I_1 ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime} → x ∈ I_1
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
x : R
hx : x ∈ I.jacobson
P : Ideal R
hP : P ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}

⊢ x ∈ P
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
x : R
hx : x ∈ I.jacobson
P : Ideal R
hP : I ≤ P ∧ P.IsPrime

⊢ x ∈ P
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ : Ideal R
h : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → P.jacobson = P
I : Ideal R
hI : I.IsRadical
x : R
hx : ∀ ⦃I_1 : Ideal R⦄, I_1 ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal} → x ∈ I_1
P : Ideal R
hP : I ≤ P ∧ P.IsPrime

⊢ x ∈ P