ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafification.lean
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
X✝ Y✝ Z✝ : PresheafOfModules R₀
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map (x✝¹ ≫ x✝)).val = ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map x✝¹ ≫ { obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map x✝).val
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Sheafification.lean
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
X✝ Y✝ Z✝ : PresheafOfModules R₀
x✝¹ : X✝ ⟶ Y✝
x✝ : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ (toPresheaf R.val).map ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map (x✝¹ ≫ x✝)).val = (toPresheaf R.val).map ({ obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map x✝¹ ≫ { obj := fun M₀ => sheafify α (CategoryTheory.toSheafify J M₀.presheaf), map := fun {X Y} f => sheafifyMap α (CategoryTheory.toSheafify J X.presheaf) (CategoryTheory.toSheafify J Y.presheaf) f ((presheafToSheaf J AddCommGrp).map f.hom) ⋯ }.map x✝).val
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x : ℝ
hp : p ≠ 0

⊢ ‖↑x‖ = |x| ↔ |x| ≤ |p| / 2
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x : ℝ
hp : p ≠ 0
hx : |x| ≤ |p| / 2

⊢ ‖↑x‖ = |x|
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p✝ x : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |x| ≤ p / 2

⊢ ‖↑x‖ = |x|
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p✝ : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |p / 2| ≤ p / 2

⊢ ‖↑(p / 2)‖ = |p / 2|
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p✝ x : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |x| ≤ p / 2
hx' : x ≠ p / 2

⊢ ‖↑x‖ = |x|
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p✝ x : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |x| ≤ p / 2
hx' : x ≠ p / 2

⊢ round (p⁻¹ * x) = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p✝ x : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |x| ≤ p / 2
hx' : x ≠ p / 2

⊢ p⁻¹ * x ∈ Ico (-(1 / 2)) (1 / 2)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p✝ x : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |x| ≤ p / 2
hx' : x ≠ p / 2
hx₁ : -(p / 2) ≤ x
hx₂ : x ≤ p / 2

⊢ p⁻¹ * x ∈ Ico (-(1 / 2)) (1 / 2)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p✝ x : ℝ
hp✝ : p✝ ≠ 0
p : ℝ
hp : 0 < p
hx : |x| ≤ p / 2
hx' : x ≠ p / 2
hx₁ : -(p / 2) ≤ x
hx₂ : x < p / 2

⊢ p⁻¹ * x ∈ Ico (-(1 / 2)) (1 / 2)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : List Char

⊢ go₂ s { byteIdx := 0 } { byteIdx := utf8Len s } = s
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
h : p 0

⊢ nth p 0 = 0
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
h : b ∈ eval f a
c : σ
x✝ : Reaches₁ f b c
bc : Reaches₁ f b c := x✝

⊢ False
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
h : b ∈ eval f a
c : σ
x✝ : Reaches₁ f b c
bc : Reaches₁ f b c := x✝
left✝ : Reaches f a b
b0 : f b = none

⊢ False
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ : Type u_1
f : σ → Option σ
a b : σ
h : b ∈ eval f a
c : σ
x✝ : Reaches₁ f b c
bc : Reaches₁ f b c := x✝
left✝ : Reaches f a b
b0 : f b = none
b' : σ
h' : b' ∈ f b
right✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f a) b' c

⊢ False
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : (ball x ε₁ ∩ closedBall y ε₂).Nonempty

⊢ dist x y < ε₁ + ε₂
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : (closedBall y ε₂ ∩ ball x ε₁).Nonempty

⊢ dist x y < ε₁ + ε₂
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : (closedBall y ε₂ ∩ ball x ε₁).Nonempty

⊢ dist y x < ε₂ + ε₁
-- Mathlib/Data/Setoid/Partition.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
x✝ : hs.Quotient
x y : α

⊢ y ∈ hs.proj ⁻¹' {Quotient.mk'' x} ↔ y ∈ s (hs.equivQuotient.symm (Quotient.mk'' x))
-- Mathlib/Data/Setoid/Partition.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : ι → Set α
hs : IndexedPartition s
x✝ : hs.Quotient
x y : α

⊢ hs.proj y = Quotient.mk'' x ↔ hs.index y = hs.equivQuotient.symm (Quotient.mk'' x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
x : PrimeSpectrum A
hx : x ∈ support A M

⊢ x ∈ ⇑(PrimeSpectrum.comap (algebraMap R A)) ⁻¹' support R M
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : IsScalarTower R A M
x : PrimeSpectrum A
hx : ∃ m, ∀ (r : A), r • m = 0 → r ∈ x.asIdeal

⊢ ∃ m, ∀ (r : R), r • m = 0 → (algebraMap R A) r ∈ x.asIdeal
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
b : FactorSet α
h : ⊤ ≤ b

⊢ ⊤.prod ≤ b.prod
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
b : FactorSet α
h : ⊤ ≤ b
this : b = ⊤

⊢ ⊤.prod ≤ b.prod
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
hf : Integrable f (κ a)

⊢ ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω), f x ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
hf : Integrable f (κ a)

⊢ ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω), f x ∂(κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
hf : Integrable f ((κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a)

⊢ ∫ (b : β), ∫ (ω : Ω), f (b, ω) ∂κ.condKernel (a, b) ∂κ.fst a = ∫ (x : β × Ω), f x ∂(κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a
-- Mathlib/Topology/Algebra/FilterBasis.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
B : ModuleFilterBasis R M
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalRing R
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
p : ι → Prop
b : ι → Set M
h : (𝓝 0).HasBasis p b
hsmul : ∀ {i : ι}, p i → ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ j, p j ∧ V • b j ⊆ b i
hsmul_left : ∀ (x₀ : R) {i : ι}, p i → ∃ j, p j ∧ MapsTo (fun x => x₀ • x) (b j) (b i)
hsmul_right : ∀ (m₀ : M) {i : ι}, p i → ∀ᶠ (x : R) in 𝓝 0, x • m₀ ∈ b i

⊢ ContinuousSMul R M
-- Mathlib/Topology/Algebra/FilterBasis.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
B : ModuleFilterBasis R M
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalRing R
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
p : ι → Prop
b : ι → Set M
h : (𝓝 0).HasBasis p b
hsmul : ∀ {i : ι}, p i → ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ j, p j ∧ V • b j ⊆ b i
hsmul_left : ∀ (x₀ : R) {i : ι}, p i → ∃ j, p j ∧ MapsTo (fun x => x₀ • x) (b j) (b i)
hsmul_right : ∀ (m₀ : M) {i : ι}, p i → ∀ᶠ (x : R) in 𝓝 0, x • m₀ ∈ b i

⊢ Tendsto (fun p => p.1 • p.2) (𝓝 0 ×ˢ 𝓝 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Algebra/FilterBasis.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
B : ModuleFilterBasis R M
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalRing R
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
p : ι → Prop
b : ι → Set M
h : (𝓝 0).HasBasis p b
hsmul : ∀ {i : ι}, p i → ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ j, p j ∧ V • b j ⊆ b i
hsmul_left : ∀ (x₀ : R) {i : ι}, p i → ∃ j, p j ∧ MapsTo (fun x => x₀ • x) (b j) (b i)
hsmul_right : ∀ (m₀ : M) {i : ι}, p i → ∀ᶠ (x : R) in 𝓝 0, x • m₀ ∈ b i

⊢ ∀ (m : M), Tendsto (fun a => a • m) (𝓝 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Algebra/FilterBasis.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : TopologicalSpace R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
B : ModuleFilterBasis R M
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalRing R
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
p : ι → Prop
b : ι → Set M
h : (𝓝 0).HasBasis p b
hsmul : ∀ {i : ι}, p i → ∃ V ∈ 𝓝 0, ∃ j, p j ∧ V • b j ⊆ b i
hsmul_left : ∀ (x₀ : R) {i : ι}, p i → ∃ j, p j ∧ MapsTo (fun x => x₀ • x) (b j) (b i)
hsmul_right : ∀ (m₀ : M) {i : ι}, p i → ∀ᶠ (x : R) in 𝓝 0, x • m₀ ∈ b i

⊢ ∀ (a : R), Tendsto (fun m => a • m) (𝓝 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Extend.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
i : ι
hi : e.f i = i'
hi' : ¬c.Rel i (c.next i)

⊢ (K.extend e).d i' j' = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Extend.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
i : ι
hi : e.f i = i'
hi' : ¬c.Rel i (c.next i)
hj' : e.r j' = none

⊢ (K.extend e).d i' j' = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Extend.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
i' j' : ι'
i : ι
hi : e.f i = i'
hi' : ¬c.Rel i (c.next i)
j : ι
hj : e.r j' = some j

⊢ (K.extend e).d i' j' = 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/PDeriv.lean
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S
φ : R →+* S
f : MvPolynomial σ R
i : σ

⊢ (pderiv i) ((map φ) f) = (map φ) ((pderiv i) f)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/PDeriv.lean
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S
φ : R →+* S
f : MvPolynomial σ R
i : σ
p : MvPolynomial σ R
j : σ
eq : (pderiv i) ((map φ) p) = (map φ) ((pderiv i) p)

⊢ (pderiv i) ((map φ) (p * X j)) = (map φ) ((pderiv i) (p * X j))
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/PDeriv.lean
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S
φ : R →+* S
f p : MvPolynomial σ R
j : σ
eq : (pderiv j) ((map φ) p) = (map φ) ((pderiv j) p)

⊢ (pderiv j) ((map φ) (p * X j)) = (map φ) ((pderiv j) (p * X j))
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/PDeriv.lean
R : Type u
σ : Type v
a a' a₁ a₂ : R
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝ : CommSemiring S
φ : R →+* S
f : MvPolynomial σ R
i : σ
p : MvPolynomial σ R
j : σ
eq : (pderiv i) ((map φ) p) = (map φ) ((pderiv i) p)
h : j ≠ i

⊢ (pderiv i) ((map φ) (p * X j)) = (map φ) ((pderiv i) (p * X j))
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : SemilatticeSup δ
inst✝ : OrderBot δ
g : γ → δ
a : δ

⊢ (image₂ f s t).sup g ≤ a ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, g (f x y) ≤ a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X

⊢ IsBlock G B ↔ ∀ {g : G} {b : X}, b ∈ B → b ∈ g • B → g • B ⊆ B
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
B : Set X

⊢ (∀ (g : G), (g • B ∩ B).Nonempty → g • B = B) ↔ ∀ {g : G} {b : X}, b ∈ B → b ∈ g • B → g • B ⊆ B
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β

⊢ MeasurableSet (support ↑f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : Zero γ
μ : Measure α
f✝ : α →ₛ β
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β

⊢ MeasurableSet (⋃ y ∈ filter (fun y => y ≠ 0) f.range, ↑f ⁻¹' {y})
-- Mathlib/Algebra/Order/Hom/Basic.lean
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝ : GroupNormClass F α β
f : F

⊢ f 1 = 0
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f✝ g : ℕ → Bool
n✝ : ℕ
f : ℕ → Bool
n : ℕ

⊢ cantorFunctionAux c f (n + 1) = c * cantorFunctionAux c (fun n => f (n + 1)) n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M✝
inst✝⁹ : Module R M✝
M'✝ : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
ι : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M✝
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
m : Type u_6
n : Type u_7
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n m A
N M' : Matrix m n A
hMM' : M * M' = 1
hM'M : M' * M = 1
a✝ : Nontrivial A
e : n ≃ m := indexEquivOfInv hMM' hM'M

⊢ (M * N).det = (N * M).det
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
j : Fin (n + 1)
h : j ≠ 0

⊢ (predAbove 0 j).succ = j
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
k : Fin n
h : k.succ ≠ 0

⊢ (predAbove 0 k.succ).succ = k.succ
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ

⊢ properDivisors 1 = ∅
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0

⊢ divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯

⊢ divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯

⊢ divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯
dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯
hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯

⊢ divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯
dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯
hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯
H_add_d : df + dg = dfg

⊢ divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯
dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯
hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯
H_add_d : df + dg = dfg
H : X ^ (f * g).order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order ⋯ = f * g

⊢ divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯
dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯
hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯
H_add_d : df + dg = dfg
H : X ^ (f * g).order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order ⋯ = f * g
this : f * g = X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)

⊢ divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯
dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯
hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯
H_add_d : df + dg = dfg
this : f * g = X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)
H : X ^ (X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)).order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order ⋯ = X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)

⊢ divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg = divided_by_X_pow_order ⋯
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R⟦X⟧
hf : f ≠ 0
hg : g ≠ 0
df : ℕ := f.order.get ⋯
dg : ℕ := g.order.get ⋯
dfg : ℕ := (f * g).order.get ⋯
hdfg : dfg = (f * g).order.get ⋯
H_add_d : df + dg = dfg
this : f * g = X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)
H : X ^ (X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)).order.get ⋯ * divided_by_X_pow_order ⋯ = X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)

⊢ X ^ dfg * divided_by_X_pow_order ⋯ = X ^ dfg * (divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hg)
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
h : A ∈ symplecticGroup l R

⊢ -A ∈ symplecticGroup l R
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
h : A * J l R * Aᵀ = J l R

⊢ -A * J l R * (-A)ᵀ = J l R
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M
u : Rˣ
hu : ↑u < 0
v : Ray R M

⊢ u • v = -v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M
u : Rˣ
hu : ↑u < 0
v : Ray R M

⊢ 0 < ↑(-u)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ

⊢ (p.update n 0).support = p.support.erase n
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
q : S₂ → MvPolynomial σ R
p : MvPolynomial S₂ R

⊢ eval₂ f (fun t => eval₂ f g (q t)) p = (eval₂Hom f g) (eval₂ C q p)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
q : S₂ → MvPolynomial σ R
p : MvPolynomial S₂ R

⊢ eval₂ f (fun t => eval₂ f g (q t)) p = eval₂ ((eval₂Hom f g).comp C) (⇑(eval₂Hom f g) ∘ q) p
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Defs.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι

⊢ P.IsOrthogonal i j ↔ P.IsOrthogonal j i
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q

⊢ p * q = p + q
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
θ : Angle

⊢ (-θ).expMapCircle = θ.expMapCircle⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
x✝ : ℝ

⊢ (-↑x✝).expMapCircle = (↑x✝).expMapCircle⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : TopologicalSpace V
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁷ : T2Space V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
inst✝⁵ : BorelSpace V
inst✝⁴ : Module ℝ V
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
V' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ V))
A : V ≃L[ℝ] V'
this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'
this✝ : BorelSpace V'
Aₘ : V ≃ᵐ V' := A.toHomeomorph.toMeasurableEquiv

⊢ Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : TopologicalSpace V
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁷ : T2Space V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
inst✝⁵ : BorelSpace V
inst✝⁴ : Module ℝ V
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
V' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ V))
A : V ≃L[ℝ] V'
this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'
this✝ : BorelSpace V'
Aₘ : V ≃ᵐ V' := A.toHomeomorph.toMeasurableEquiv
Adualₗ : (V →L[ℝ] ℝ) ≃ₗ[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toFun := fun t => t.comp ↑A.symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun t => t.comp ↑A, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }

⊢ Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : TopologicalSpace V
inst✝⁸ : TopologicalAddGroup V
inst✝⁷ : T2Space V
inst✝⁶ : MeasurableSpace V
inst✝⁵ : BorelSpace V
inst✝⁴ : Module ℝ V
inst✝³ : ContinuousSMul ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
V' : Type := EuclideanSpace ℝ (Fin (finrank ℝ V))
A : V ≃L[ℝ] V'
this✝¹ : MeasurableSpace V' := borel V'
this✝ : BorelSpace V'
Aₘ : V ≃ᵐ V' := A.toHomeomorph.toMeasurableEquiv
Adualₗ : (V →L[ℝ] ℝ) ≃ₗ[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toFun := fun t => t.comp ↑A.symm, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := fun t => t.comp ↑A, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
Adual : (V →L[ℝ] ℝ) ≃L[ℝ] V' →L[ℝ] ℝ := { toLinearEquiv := Adualₗ, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }

⊢ Tendsto (fun w => ∫ (v : V), 𝐞 (-w v) • f v ∂μ) (cocompact (V →L[ℝ] ℝ)) (𝓝 0)