ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
U : Set G
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty
h : μ U = 0

⊢ μ K ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
U : Set G
hU : IsOpen U
hne : (interior U).Nonempty
h : μ U = 0

⊢ μ K ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Measure.lean
𝕜 : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : MeasurableSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ : Measure G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
U : Set G
hU : IsOpen U
hne : (interior U).Nonempty
h : μ U = 0
t : Finset G
hKt : K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' U

⊢ μ K ≤ 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char

⊢ { str := { data := l ++ (m₁ ++ c :: m₂) ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (m₁ ++ c :: m₂) } }.next { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char

⊢ (if { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + (utf8Len m₂ + c.utf8Size)) } then { byteIdx := utf8Len m₁ } else { byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.next ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ })).byteIdx - utf8Len l }) = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char

⊢ { byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.next ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ })).byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char

⊢ ¬({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ }).byteIdx = { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + (utf8Len m₂ + c.utf8Size)) }.byteIdx
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this : { data := l ++ m₁ ++ c :: (m₂ ++ r) }.next { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) } = { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) + c.utf8Size }

⊢ { byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.next ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ })).byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this : { data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ + c.utf8Size }

⊢ { byteIdx := ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }).byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this : { data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.next { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ } = { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ + c.utf8Size }

⊢ { byteIdx := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ + c.utf8Size }.byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
inst✝ : Epi f
qbar : Pseudoelement Q
q : Over Q

⊢ 𝟙 (pullback f q.hom) ≫ ((fun g => app f g) (Over.mk (pullback.fst f q.hom))).hom = pullback.snd f q.hom ≫ q.hom
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E

⊢ o.rightAngleRotationAux₁ (o.rightAngleRotationAux₁ x) = -x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E

⊢ ∀ (v : E), ⟪v, o.rightAngleRotationAux₁ (o.rightAngleRotationAux₁ x)⟫_ℝ = ⟪v, -x⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⊢ ⟪y, o.rightAngleRotationAux₁ (o.rightAngleRotationAux₁ x)⟫_ℝ = ⟪y, -x⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E
this : ⟪o.rightAngleRotationAux₁ y, o.rightAngleRotationAux₁ x⟫_ℝ = ⟪y, x⟫_ℝ

⊢ ⟪y, o.rightAngleRotationAux₁ (o.rightAngleRotationAux₁ x)⟫_ℝ = ⟪y, -x⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ

⊢ rexp 1 ^ n = rexp ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α

⊢ (X • 1 + A.map ⇑C).det.leadingCoeff = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h✝ : Subsingleton α

⊢ (X • 1 + A.map ⇑C).det.leadingCoeff = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h✝ : Nontrivial α

⊢ (X • 1 + A.map ⇑C).det.leadingCoeff = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h✝ : Nontrivial α

⊢ (X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (X • 1 + A.map ⇑C).det.natDegree = (X • Matrix.map 1 ⇑C + A.map ⇑C).det.coeff (Fintype.card n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h✝ : Nontrivial α

⊢ (X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (X • 1 + A.map ⇑C).det.natDegree = (X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (Fintype.card n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h✝ : Nontrivial α
h : (X • Matrix.map 1 ⇑C + A.map ⇑C).det.natDegree = Fintype.card n

⊢ (X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (X • 1 + A.map ⇑C).det.natDegree = (X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (Fintype.card n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h✝ : Nontrivial α
h : (X • Matrix.map 1 ⇑C + A.map ⇑C).det.natDegree < Fintype.card n

⊢ (X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (X • 1 + A.map ⇑C).det.natDegree = (X • 1 + A.map ⇑C).det.coeff (Fintype.card n)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x = sin b - sin a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ

⊢ deriv sin = cos
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ

⊢ ∀ x ∈ [[a, b]], DifferentiableAt ℝ sin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ

⊢ ContinuousOn cos [[a, b]]
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a✝ b : R
inst✝ : Nontrivial R
hx : IsTranscendenceBasis R x
a : A

⊢ _root_.IsAlgebraic (↥(adjoin R (range x))) a
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a✝ b : R
inst✝ : Nontrivial R
hx : IsTranscendenceBasis R x
a : A

⊢ ¬AlgebraicIndependent R fun o => o.elim a x
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a✝ b : R
inst✝ : Nontrivial R
hx : IsTranscendenceBasis R x
a : A
ai : AlgebraicIndependent R fun o => o.elim a x
h₁ : range x ⊆ range fun o => o.elim a x

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing A'
inst✝⁴ : CommRing A''
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R A'
inst✝¹ : Algebra R A''
a✝ b : R
inst✝ : Nontrivial R
hx : IsTranscendenceBasis R x
a : A
ai : AlgebraicIndependent R fun o => o.elim a x
h₁ : range x ⊆ range fun o => o.elim a x
h₂ : range x ≠ range fun o => o.elim a x

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommMonoid R
inst✝³ : Pow R ℕ
inst✝² : BinomialRing R
inst✝¹ : MulOneClass R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R

⊢ multichoose r 0 = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/TensorProduct.lean
R : Type u
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
S : Type ?u.116938
inst✝¹³ : Semiring S
inst✝¹² : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁴ : Module R M₁'
inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
i : ι₁
x : M₁ i
y : M₂'

⊢ (directSumLeft R M₁ M₂') ((lof R ι₁ M₁ i) x ⊗ₜ[R] y) = (lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i) (x ⊗ₜ[R] y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/TensorProduct.lean
R : Type u
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
S : Type ?u.116938
inst✝¹³ : Semiring S
inst✝¹² : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁴ : Module R M₁'
inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
i : ι₁
x : M₁ i
y : M₂'

⊢ ((toModule R ι₁ (M₂' →ₗ[R] ⨁ (i : ι₁), M₁ i ⊗[R] M₂') fun i => (mk R (M₁ i) M₂').compr₂ (lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i)) ((lof R ι₁ M₁ i) x)) y = (lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i) (x ⊗ₜ[R] y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/TensorProduct.lean
R : Type u
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
S : Type ?u.116938
inst✝¹³ : Semiring S
inst✝¹² : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁴ : Module R M₁'
inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
i : ι₁
x : M₁ i
y : M₂'

⊢ (((mk R (M₁ i) M₂').compr₂ (lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i)) x) y = (lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i) (x ⊗ₜ[R] y)
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E B I X R J : Set α
M : Matroid α

⊢ M = emptyOn α ∨ M.Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E B I X R J : Set α
M : Matroid α

⊢ M.E = ∅ ∨ M.Nonempty
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj (P.obj (op X))

⊢ (Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) x = (colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) ((Meq.equiv P ⊤).symm (Meq.mk ⊤ x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj (P.obj (op X))

⊢ (colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x) = (colimit.ι (J.diagram P X) (op ⊤)) ((Meq.equiv P ⊤).symm (Meq.mk ⊤ x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj (P.obj (op X))

⊢ (Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x = (Meq.equiv P ⊤).symm (Meq.mk ⊤ x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj (P.obj (op X))

⊢ (Meq.equiv P ⊤) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x) = (Meq.equiv P ⊤) ((Meq.equiv P ⊤).symm (Meq.mk ⊤ x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
i : ⊤.Arrow

⊢ ↑((Meq.equiv P ⊤) ((Multiequalizer.lift (⊤.index P) (P.obj (op X)) (fun I => P.map I.f.op) ⋯) x)) i = ↑((Meq.equiv P ⊤) ((Meq.equiv P ⊤).symm (Meq.mk ⊤ x))) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
inst✝³ : ConcreteCategory D
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj (P.obj (op X))
i : ⊤.Arrow

⊢ (P.map i.f.op) x = ↑(Meq.mk ⊤ x) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W Y Z
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ (equiv W W.Q) ((mk W f).comp (mk W g)) = (equiv W W.Q) (mk W (f ≫ g))
-- Mathlib/CategoryTheory/Grothendieck.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.19181, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.19185, u_2} D
F : C ⥤ Cat
X Y Z : Grothendieck F
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ (F.map (f ≫ g).base).obj X.fiber = (F.map g.base).obj ((F.map f.base).obj X.fiber)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
F : Type u
K : Type v
A : Type w
inst✝¹⁰ : Ring F
inst✝⁹ : Ring K
inst✝⁸ : AddCommGroup A
inst✝⁷ : Module F K
inst✝⁶ : Module K A
inst✝⁵ : Module F A
inst✝⁴ : IsScalarTower F K A
inst✝³ : StrongRankCondition F
inst✝² : StrongRankCondition K
inst✝¹ : Module.Free F K
inst✝ : Module.Free K A
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex F K) F K := Module.Free.chooseBasis F K
c : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex K A) K A := Module.Free.chooseBasis K A

⊢ lift.{w, v} (Module.rank F K) * lift.{v, w} (Module.rank K A) = lift.{v, w} (Module.rank F A)
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
l : List (Set (α → ℕ))
d : List.Forall Dioph l

⊢ Dioph {v | List.Forall (fun S => v ∈ S) l}
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
l : List (Set (α → ℕ))
d : List.Forall Dioph l

⊢ ∃ β pl, ∀ (v : α → ℕ), List.Forall (fun S => S v) l ↔ ∃ t, List.Forall (fun p => p (v ⊗ t) = 0) pl
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β γ : Type u
S✝ S' S : Set (α → ℕ)
l : List (Set (α → ℕ))
IH : List.Forall Dioph l → ∃ β pl, ∀ (v : α → ℕ), List.Forall (fun S => S v) l ↔ ∃ t, List.Forall (fun p => p (v ⊗ t) = 0) pl
d : List.Forall Dioph (S :: l)

⊢ ∃ β pl, ∀ (v : α → ℕ), List.Forall (fun S => S v) (S :: l) ↔ ∃ t, List.Forall (fun p => p (v ⊗ t) = 0) pl
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β γ : Type u
S✝ S' S : Set (α → ℕ)
l : List (Set (α → ℕ))
IH : List.Forall Dioph l → ∃ β pl, ∀ (v : α → ℕ), List.Forall (fun S => S v) l ↔ ∃ t, List.Forall (fun p => p (v ⊗ t) = 0) pl
d : Dioph S ∧ List.Forall Dioph l

⊢ ∃ β pl, ∀ (v : α → ℕ), List.Forall (fun S => S v) (S :: l) ↔ ∃ t, List.Forall (fun p => p (v ⊗ t) = 0) pl
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
f : M ≃ₗ[A] M

⊢ LinearMap.det ↑f.symm * LinearMap.det ↑f = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : WellPowered C
inst✝ : HasWidePullbacks C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
k : ∀ g ∈ s, f ≤ g

⊢ f ≤ sInf s
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : WellPowered C
inst✝ : HasWidePullbacks C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
k : ∀ g ∈ s, f ≤ g

⊢ underlying.obj f ⟶ underlying.obj (sInf s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Lattice.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : WellPowered C
inst✝ : HasWidePullbacks C
A : C
s : Set (Subobject A)
f : Subobject A
k : ∀ g ∈ s, f ≤ g

⊢ ?f ≫ (sInf s).arrow = f.arrow
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : ∃ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + t • y ∈ s

⊢ y ∈ posTangentConeAt s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a✝ x y : E
h : ∃ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + t • y ∈ s
a : ℕ → ℝ
ha : Tendsto a atTop (𝓝[>] 0)
has : ∀ (n : ℕ), x + a n • y ∈ s

⊢ y ∈ posTangentConeAt s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a✝ x y : E
h : ∃ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + t • y ∈ s
a : ℕ → ℝ
ha : Tendsto a atTop (𝓝[>] 0)
has : ∀ (n : ℕ), x + a n • y ∈ s

⊢ Tendsto (fun n => a⁻¹ n • (fun x => a x • y) n) atTop (𝓝 y)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a✝ x y : E
h : ∃ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + t • y ∈ s
a : ℕ → ℝ
ha : Tendsto a atTop (𝓝[>] 0)
has : ∀ (n : ℕ), x + a n • y ∈ s

⊢ (fun x => y) =ᶠ[atTop] fun n => a⁻¹ n • (fun x => a x • y) n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a✝ x y : E
h : ∃ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + t • y ∈ s
a : ℕ → ℝ
ha : Tendsto a atTop (𝓝[>] 0)
has : ∀ (n : ℕ), x + a n • y ∈ s
n : ℕ
hn : 0 < a n

⊢ y = a⁻¹ n • a n • y
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite β
f : α → β
hf : Injective f

⊢ Nat.card α ≤ Nat.card β
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x

⊢ 0 < μ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n

⊢ 0 < μ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n
A : 0 < μ (u ∩ s)

⊢ 0 < μ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n
A : 0 < μ (u ∩ s)
B : u ∩ μ.everywherePosSubset s =ᶠ[ae μ] u ∩ s

⊢ 0 < μ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : μ.InnerRegular
hs : MeasurableSet s
x : α
hx : x ∈ μ.everywherePosSubset s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[μ.everywherePosSubset s] x
u : Set α
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ μ.everywherePosSubset s ⊆ n
A : 0 < μ (u ∩ μ.everywherePosSubset s)
B : u ∩ μ.everywherePosSubset s =ᶠ[ae μ] u ∩ s

⊢ 0 < μ n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
I : Ideal S

⊢ ⇑(comap f) '' zeroLocus ↑I = zeroLocus ↑(Ideal.comap f I)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f
I : Ideal S

⊢ ∀ (x : PrimeSpectrum R), (∃ x_1, I ≤ x_1.asIdeal ∧ (comap f) x_1 = x) ↔ Ideal.comap f I ≤ x.asIdeal
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set β
hs : IsPreconnected s
f : α → β
hinj : Injective f
hf : IsClosedMap f
hsf : s ⊆ range f
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
hsuv : f ⁻¹' s ⊆ u ∪ v
hsu : (f ⁻¹' s ∩ u).Nonempty
hsv : (f ⁻¹' s ∩ v).Nonempty

⊢ (f ⁻¹' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set β
hs : IsPreconnected s
f : α → β
hinj : Injective f
hf : IsClosedMap f
u v : Set α
hu : IsClosed u
hv : IsClosed v
hsuv : f ⁻¹' s ⊆ u ∪ v
hsu : (f ⁻¹' s ∩ u).Nonempty
hsv : (f ⁻¹' s ∩ v).Nonempty
hsf : f '' (f ⁻¹' s) = s

⊢ (f ⁻¹' s ∩ (u ∩ v)).Nonempty