ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s κ μ
S T : Set ι
hST : Disjoint S T
t : Set Ω
ht : t ∈ piiUnionInter (fun k => {s k}) T

⊢ ∀ (n : ι), generateFrom {s n} ≤ _mΩ
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s κ μ
S T : Set ι
hST : Disjoint S T

⊢ IsPiSystem (piiUnionInter (fun k => {s k}) S)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s κ μ
S T : Set ι
hST : Disjoint S T

⊢ IsPiSystem (piiUnionInter (fun k => {s k}) T)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
inst✝ : IsMarkovKernel κ
s : ι → Set Ω
hsm : ∀ (n : ι), MeasurableSet (s n)
hs : iIndepSet s κ μ
S T : Set ι
hST : Disjoint S T

⊢ IndepSets (piiUnionInter (fun k => {s k}) S) (piiUnionInter (fun k => {s k}) T) κ μ
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
F : Filter X
f_closed : IsClosedMap f
f_cont : Continuous f
y : Y

⊢ MapClusterPt y F f ↔ (F.lift' closure ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' {y})).NeBot
-- Mathlib/Topology/NoetherianSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β

⊢ NoetherianSpace α ↔ ∀ (s : Opens α), IsCompact ↑s
-- Mathlib/Topology/NoetherianSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β

⊢ (∀ (k : Opens α), CompleteLattice.IsCompactElement k) ↔ ∀ (s : Opens α), IsCompact ↑s
-- Mathlib/Topology/Algebra/GroupWithZero.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝³ : DivInvMonoid G₀
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : ContinuousMul G₀
f : α → G₀
s : Set α
l : Filter α
inst✝ : TopologicalSpace α
hf : Continuous f
y : G₀

⊢ Continuous fun x => f x / y
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hr : ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), (fun x => dist x p = r) (s.points i)

⊢ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p) = s.circumcenter
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hr✝ : ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), (fun x => dist x p = r) (s.points i)
hr : ∃ r, ∀ a ∈ Set.range fun i => s.points i, dist a p = r

⊢ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p) = s.circumcenter
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hr✝ : ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), (fun x => dist x p = r) (s.points i)
hr : ∃ r, ∀ p1 ∈ Set.range fun i => s.points i, dist p1 ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range fun i => s.points i))) p) = r

⊢ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p) = s.circumcenter
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p : P
hr✝ : ∃ r, ∀ (i : Fin (n + 1)), (fun x => dist x p = r) (s.points i)
r : ℝ
hr : ∀ p1 ∈ Set.range fun i => s.points i, dist p1 ↑((EuclideanGeometry.orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range fun i => s.points i))) p) = r

⊢ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p) = s.circumcenter
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
hι : (n : β) → Fintype (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

⊢ (mkMetric m) s ≤ liminf (fun n => ∑ i : ι n, m (diam (t n i))) l
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
X Y : C
b : Bicone (pairFunction X Y)

⊢ b.ι WalkingPair.left ≫ b.π WalkingPair.left = 𝟙 X
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
X Y : C
b : Bicone (pairFunction X Y)

⊢ b.ι WalkingPair.right ≫ b.π WalkingPair.left = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
X Y : C
b : Bicone (pairFunction X Y)

⊢ b.ι WalkingPair.left ≫ b.π WalkingPair.right = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
X Y : C
b : Bicone (pairFunction X Y)

⊢ b.ι WalkingPair.right ≫ b.π WalkingPair.right = 𝟙 Y
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
a : α
ha : 0 ≤ a

⊢ ↑⌊a⌋₊ = ↑⌊a⌋
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G

⊢ H = ⊥ ∨ ∃ x ∈ H, x ≠ 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G

⊢ (∃ x ∈ H, x ≠ 1) ↔ Nontrivial ↥H
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p q : α → Prop
a' : α

⊢ ∃! a, a' = a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0

⊢ HasDerivAt (fun x => x * log x) (log x + 1) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0

⊢ DifferentiableAt ℝ (fun x => x * log x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : x ≠ 0

⊢ {0}ᶜ ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0

⊢ I / J = I * J⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0

⊢ I / J * J ≤ I * J⁻¹ * J
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra A K
inst✝¹ : IsFractionRing A K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I J : FractionalIdeal A⁰ K
hJ : ¬J = 0

⊢ I * J⁻¹ * J ≤ I
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V

⊢ midpoint R (x + y) (x - y) = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V

⊢ midpoint R (x - y) (x + y) = x
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₁'
hp₃p₂ : p₃ ≠ p₂

⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₁' p₂ p₃ + ↑π
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X

⊢ IsMeagre s ↔ ∃ S, (∀ t ∈ S, IsNowhereDense t) ∧ S.Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ S
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X

⊢ (∃ x, (∀ t ∈ compl '' x, IsOpen t) ∧ (∀ t ∈ compl '' x, Dense t) ∧ (compl '' x).Countable ∧ ⋂₀ (compl '' x) ⊆ sᶜ) ↔ ∃ S, (∀ t ∈ S, IsNowhereDense t) ∧ S.Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ S
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X

⊢ (∃ x, (∀ ⦃x_1 : Set X⦄, x_1 ∈ x → IsClosed x_1 ∧ IsNowhereDense x_1) ∧ (compl '' x).Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ x) ↔ ∃ S, (∀ t ∈ S, IsNowhereDense t) ∧ S.Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ S
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X
x✝ : ∃ x, (∀ ⦃x_1 : Set X⦄, x_1 ∈ x → IsClosed x_1 ∧ IsNowhereDense x_1) ∧ (compl '' x).Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ x
S : Set (Set X)
hS : ∀ ⦃x : Set X⦄, x ∈ S → IsClosed x ∧ IsNowhereDense x
hc : (compl '' S).Countable
hsub : s ⊆ ⋃₀ S

⊢ S.Countable
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
X : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X

⊢ (∃ S, (∀ t ∈ S, IsNowhereDense t) ∧ S.Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ S) → ∃ x, (∀ ⦃x_1 : Set X⦄, x_1 ∈ x → IsClosed x_1 ∧ IsNowhereDense x_1) ∧ (compl '' x).Countable ∧ s ⊆ ⋃₀ x
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ x y p : R
h : p ∣ x - y

⊢ p ∣ ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) ↔ p ∣ ↑n * y ^ (n - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ x y p : R
h : (Ideal.Quotient.mk (span {p})) x = (Ideal.Quotient.mk (span {p})) y

⊢ p ∣ ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) ↔ p ∣ ↑n * y ^ (n - 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean

⊢ addHaarMeasure Icc01 = volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean

⊢ addHaarMeasure Icc01 = volume ↑Icc01 • addHaarMeasure Icc01
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun _i => F) G
v : Fin n → E

⊢ ‖f‖ * ∏ i : Fin c.length, ‖p.applyComposition c v i‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖ * ∏ j : Fin (c.blocksFun i), ‖(v ∘ ⇑(c.embedding i)) j‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun _i => F) G
v : Fin n → E

⊢ ∏ i : Fin c.length, ‖p.applyComposition c v i‖ ≤ ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖ * ∏ j : Fin (c.blocksFun i), ‖(v ∘ ⇑(c.embedding i)) j‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun _i => F) G
v : Fin n → E
i : Fin c.length
_hi : i ∈ Finset.univ

⊢ ‖p.applyComposition c v i‖ ≤ ‖p (c.blocksFun i)‖ * ∏ j : Fin (c.blocksFun i), ‖(v ∘ ⇑(c.embedding i)) j‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun _i => F) G
v : Fin n → E

⊢ ‖f‖ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖ * ∏ j : Fin (c.blocksFun i), ‖(v ∘ ⇑(c.embedding i)) j‖ = (‖f‖ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖) * ∏ i : Fin c.length, ∏ j : Fin (c.blocksFun i), ‖(v ∘ ⇑(c.embedding i)) j‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun _i => F) G
v : Fin n → E

⊢ (‖f‖ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖) * ∏ i : Fin c.length, ∏ j : Fin (c.blocksFun i), ‖(v ∘ ⇑(c.embedding i)) j‖ = (‖f‖ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖) * ∏ i : Fin n, ‖v i‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
c : Composition n
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun _i => F) G
v : Fin n → E

⊢ (‖f‖ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖) * ∏ i : Fin c.length, ∏ j : Fin (c.blocksFun i), ‖(v ∘ ⇑(c.embedding i)) j‖ = (‖f‖ * ∏ i : Fin c.length, ‖p (c.blocksFun i)‖) * ∏ a : Fin c.length, ∏ s : Fin (c.blocksFun a), ‖v (c.blocksFinEquiv ⟨a, s⟩)‖
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
w : f ≫ h = g ≫ h
inst✝² : HasCoequalizer f g
inst✝¹ : HasCoequalizer (G.map f) (G.map g)
inst✝ : PreservesColimit (parallelPair f g) G

⊢ G.map (coequalizer.π f g) ≫ (PreservesCoequalizer.iso G f g).inv = coequalizer.π (G.map f) (G.map g)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c

⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0

⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0
hap : a0 % 2 = 0

⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
a b c : ℤ
h : Fermat42 a b c
a0 b0 c0 : ℤ
hf : Minimal a0 b0 c0
hap : a0 % 2 = 1

⊢ ∃ a0 b0 c0, Minimal a0 b0 c0 ∧ a0 % 2 = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : LieRingModule L M₂
inst✝² : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : Codisjoint N₁ N₂

⊢ LieSubmodule.map N₁.incl (posFittingComp R L ↥↑N₁) ⊔ LieSubmodule.map N₂.incl (posFittingComp R L ↥↑N₂) = posFittingComp R L M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : LieRingModule L M₂
inst✝² : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : Codisjoint N₁ N₂
l : ℕ
hl : ∀ b ≥ l, ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥↑N₁) k = lowerCentralSeries R L (↥↑N₁) b ∧ ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥↑N₂) k = lowerCentralSeries R L (↥↑N₂) b ∧ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = lowerCentralSeries R L M b

⊢ LieSubmodule.map N₁.incl (posFittingComp R L ↥↑N₁) ⊔ LieSubmodule.map N₂.incl (posFittingComp R L ↥↑N₂) = posFittingComp R L M
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : LieRing L
inst✝¹¹ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
M₂ : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : LieRingModule L M₂
inst✝² : LieModule R L M₂
χ : L → R
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
h : Codisjoint N₁ N₂
l : ℕ
hl : ∀ b ≥ l, ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥↑N₁) k = lowerCentralSeries R L (↥↑N₁) b ∧ ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥↑N₂) k = lowerCentralSeries R L (↥↑N₂) b ∧ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = lowerCentralSeries R L M b
hl₁ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥↑N₁) k = lowerCentralSeries R L (↥↑N₁) l
hl₂ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L (↥↑N₂) k = lowerCentralSeries R L (↥↑N₂) l
hl₃ : ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = lowerCentralSeries R L M l

⊢ LieSubmodule.map N₁.incl (posFittingComp R L ↥↑N₁) ⊔ LieSubmodule.map N₂.incl (posFittingComp R L ↥↑N₂) = posFittingComp R L M
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.3910, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : Karoubi (HomologicalComplex C c)
n : ι

⊢ P.p.f n ≫ P.p.f n = P.p.f n
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.3910, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : Karoubi (HomologicalComplex C c)
i j : ι
hij : ¬c.Rel i j

⊢ (fun i j => { f := P.p.f i ≫ P.X.d i j, comm := ⋯ }) i j = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.3910, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : Karoubi (HomologicalComplex C c)
i j : ι
hij : ¬c.Rel i j

⊢ P.p.f i ≫ P.X.d i j = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

⊢ hU.fromSpec ⁻¹ᵁ X.basicOpen f = PrimeSpectrum.basicOpen f
-- Mathlib/Order/Disjoint.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderTop α
a b c : α
h : b ⊓ a ≤ c
hd : Codisjoint b c

⊢ a ⊓ b ≤ c
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v : V
e : Sym2 V
p : G.Path v v

⊢ e ∉ (↑p).edges
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X

⊢ e.restr (e.source ∩ s) = e.restr s
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X

⊢ (e.restr (e.source ∩ s)).source = (e.restr s).source
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x y z : ℝ

⊢ ∀ (x : ℝ), 0 < deriv sinh x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x y z : ℝ

⊢ ∀ (x : ℝ), 0 < cosh x
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
m : ℕ+
p : Nat.Primes
k : ℕ

⊢ ↑p ^ k ∣ m ↔ k ≤ Multiset.count p m.factorMultiset
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
m : ℕ+
p : Nat.Primes
k : ℕ

⊢ k • PrimeMultiset.ofPrime p ≤ m.factorMultiset ↔ Multiset.replicate k p ≤ m.factorMultiset
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
m : ℕ+
p : Nat.Primes
k : ℕ
e_1✝ : PrimeMultiset = Multiset Nat.Primes

⊢ k • PrimeMultiset.ofPrime p = Multiset.replicate k p
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
m : ℕ+
p : Nat.Primes
k : ℕ
e_1✝ : PrimeMultiset = Multiset Nat.Primes

⊢ Multiset.card (k • PrimeMultiset.ofPrime p) = k ∧ ∀ b ∈ k • PrimeMultiset.ofPrime p, b = p
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Basic.lean
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
M : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
i j : ι
x : ↥(A i)

⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) i) x) j) = ↑(if i = j then x else 0)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Basic.lean
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
M : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
i : ι
x : ↥(A i)

⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) i) x) i) = ↑(if i = i then x else 0)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Basic.lean
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
M : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SetLike S M
inst✝ : AddSubmonoidClass S M
A : ι → S
i j : ι
x : ↥(A i)
h : i ≠ j

⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) i) x) j) = ↑(if i = j then x else 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν

⊢ ∫⁻ (x : α), μ.rnDeriv ν x * f x ∂ν = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν

⊢ ∫⁻ (x : α), μ.rnDeriv ν x * f x ∂ν = ∫⁻ (x : α), f x ∂ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
hμν : μ ≪ ν
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f ν

⊢ ∫⁻ (x : α), μ.rnDeriv ν x * f x ∂ν = ∫⁻ (a : α), (μ.rnDeriv ν * f) a ∂ν
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
𝕜 : Type u_3
G : Type u_4
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → G
C : ℝ
s : Set E
x y✝ : E
f' g' : E → E →L[𝕜] G
φ : E →L[𝕜] G
hs : Convex ℝ s
hf : DifferentiableOn 𝕜 f s
hg : DifferentiableOn 𝕜 g s
hs' : UniqueDiffOn 𝕜 s
hf' : ∀ x ∈ s, fderivWithin 𝕜 f s x = fderivWithin 𝕜 g s x
hx : x ∈ s
hfgx : f x = g x
y : E
hy : y ∈ s

⊢ f y = g y