ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M
hy : (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R (⇑fₐ '' ↑T)

⊢ IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M
hy : (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R (⇑fₐ '' ↑T)
H : Algebra.adjoin R (⇑(algebraMap S S') '' ↑T) ≤ Subalgebra.restrictScalars R (Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T))

⊢ IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M
hy : (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R (⇑fₐ '' ↑T)
H : Algebra.adjoin R (⇑(algebraMap S S') '' ↑T) ≤ Subalgebra.restrictScalars R (Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T))

⊢ IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y = IsLocalization.mk' R' 1 ⟨r, hr⟩ • (algebraMap S S') y
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M
hy : (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R (⇑fₐ '' ↑T)
H : Algebra.adjoin R (⇑(algebraMap S S') '' ↑T) ≤ Subalgebra.restrictScalars R (Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T))

⊢ IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y = (algebraMap R' S') (IsLocalization.mk' R' 1 ⟨r, hr⟩) * (algebraMap S S') y
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝¹³ : CommRing R✝
inst✝¹² : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R'✝ S'✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R'✝
inst✝¹⁰ : CommRing S'✝
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ R'✝
inst✝⁸ : Algebra S✝ S'✝
R S : Type u_1
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
f : R →+* S
M : Submonoid R
R' S' : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
inst✝¹ : IsLocalization M R'
inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map f M) S'
hf : f.FiniteType
this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra
this✝¹ : Algebra R S' := ((algebraMap S S').comp f).toAlgebra
f' : R' →+* S' := IsLocalization.map S' f ⋯
this✝ : Algebra R' S' := f'.toAlgebra
this : IsScalarTower R R' S'
fₐ : S →ₐ[R] S' := AlgHom.mk' (algebraMap S S') ⋯
T : Finset S
hT : Algebra.adjoin R ↑T = ⊤
y : S
r : R
hr : r ∈ ↑M
hy : (algebraMap S S') y ∈ Algebra.adjoin R (⇑fₐ '' ↑T)
H : Algebra.adjoin R (⇑(algebraMap S S') '' ↑T) ≤ Subalgebra.restrictScalars R (Algebra.adjoin R' (⇑(algebraMap S S') '' ↑T))

⊢ IsLocalization.mk' S' 1 ⟨f r, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y = IsLocalization.mk' S' (f 1) ⟨f ↑⟨r, hr⟩, ⋯⟩ * (algebraMap S S') y
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ⇔ b ⇔ a = b
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝² : Mul G
inst✝¹ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
inst✝ : Subsingleton G

⊢ UniqueMul A B a0 b0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R

⊢ q.degree + (p /ₘ q).degree = p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
hdiv0 : p /ₘ q ≠ 0

⊢ q.degree + (p /ₘ q).degree = p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
hdiv0 : p /ₘ q ≠ 0
hlc : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0

⊢ q.degree + (p /ₘ q).degree = p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
hq : q.Monic
h : q.degree ≤ p.degree
a✝ : Nontrivial R
hdiv0 : p /ₘ q ≠ 0
hlc : q.leadingCoeff * (p /ₘ q).leadingCoeff ≠ 0
hmod : (p %ₘ q).degree < (q * (p /ₘ q)).degree

⊢ q.degree + (p /ₘ q).degree = p.degree
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

⊢ cs.IsLeftInversion w (cs.simple i) ↔ cs.IsLeftDescent w i
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R R' : Type u
M M' : Type v
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousConstSMul R M
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R' M'
inst✝ : ContinuousAdd M
s : Submodule R M

⊢ Dense ↑s ↔ s.topologicalClosure = ⊤
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R R' : Type u
M M' : Type v
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : TopologicalSpace M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousConstSMul R M
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R' M'
inst✝ : ContinuousAdd M
s : Submodule R M

⊢ closure ↑s = Set.univ ↔ ↑s.topologicalClosure = ↑⊤
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
F : ι → Submodule 𝕜 E
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
hsp : ⊤ ≤ (span 𝕜 (Set.range v)).topologicalClosure

⊢ ⨆ i, LinearMap.range (LinearIsometry.toSpanSingleton 𝕜 E ⋯).toLinearMap = span 𝕜 (Set.range v)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β

⊢ Integrable f Measure.count ↔ Summable fun x => ‖f x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β

⊢ (Summable fun x => ‖f x‖) → AEStronglyMeasurable f Measure.count
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
hs : Summable fun x => ‖f x‖

⊢ AEStronglyMeasurable f Measure.count
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
hs : Summable fun x => ‖f x‖
hs' : (Function.support f).Countable

⊢ AEStronglyMeasurable f Measure.count
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
hs : Summable fun x => ‖f x‖
hs' : (Function.support f).Countable
this✝ : MeasurableSpace β := borel β
this : BorelSpace β

⊢ AEStronglyMeasurable f Measure.count
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
hs : Summable fun x => ‖f x‖
hs' : (Function.support f).Countable
this✝ : MeasurableSpace β := borel β
this : BorelSpace β

⊢ AEMeasurable f Measure.count
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : NormedAddCommGroup β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
f : α → β
hs : Summable fun x => ‖f x‖
hs' : (Function.support f).Countable
this✝ : MeasurableSpace β := borel β
this : BorelSpace β

⊢ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂Measure.count, f x ∈ t
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Sheaf/Generators.lean
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R : Sheaf J RingCat
inst✝³ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : J.HasSheafCompose (forget₂ RingCat AddCommGrp)
M N P : SheafOfModules R
σ : M.GeneratingSections
p : M ⟶ N
inst✝ : Epi p

⊢ Epi (N.freeHomEquiv.symm fun i => sectionsMap p (σ.s i))
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Sheaf/Generators.lean
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R : Sheaf J RingCat
inst✝³ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : J.HasSheafCompose (forget₂ RingCat AddCommGrp)
M N P : SheafOfModules R
σ : M.GeneratingSections
p : M ⟶ N
inst✝ : Epi p

⊢ Epi (M.freeHomEquiv.symm σ.s ≫ p)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ

⊢ (↑z.arg).toReal = z.arg
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p

⊢ (fun x => rexp (-b * x ^ p)) =o[atTop] fun x => rexp (-x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p

⊢ Tendsto (fun x => -x - -b * x ^ p) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p

⊢ Tendsto (fun x => x * (b * x ^ (p - 1) + -1)) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p

⊢ Tendsto (fun x => b * x ^ (p - 1) + -1) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
p b : ℝ
hb : 0 < b
hp : 1 < p

⊢ Tendsto (fun x => b * x ^ (p - 1)) atTop atTop
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ : Basis ι R M
N O : Submodule R M
b : Basis ι R ↥O
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
hgen : generator (ϕ.submoduleImage N) = 0

⊢ N = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ : Basis ι R M
N O : Submodule R M
b : Basis ι R ↥O
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
hgen : generator (ϕ.submoduleImage N) = 0

⊢ ∀ x ∈ N, x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ : Basis ι R M
N O : Submodule R M
b : Basis ι R ↥O
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
hgen : generator (ϕ.submoduleImage N) = 0
x : M
hx : x ∈ N

⊢ x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ : Basis ι R M
N O : Submodule R M
b : Basis ι R ↥O
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
hgen : generator (ϕ.submoduleImage N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι

⊢ (b.repr ⟨x, ⋯⟩) i = (b.repr 0) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ : Basis ι R M
N O : Submodule R M
b : Basis ι R ↥O
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬⊥ < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
hgen : generator (ϕ.submoduleImage N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι

⊢ (b.repr ⟨x, ⋯⟩) i = (b.repr 0) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ : Basis ι R M
N O : Submodule R M
b : Basis ι R ↥O
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬⊥ < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
hgen : generator (ϕ.submoduleImage N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι

⊢ (b.repr ⟨x, ⋯⟩) i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_1
b✝ : Basis ι R M
N O : Submodule R M
b : Basis ι R ↥O
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬⊥ < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
hgen : generator (ϕ.submoduleImage N) = 0
x : M
hx : x ∈ N
i : ι

⊢ (b.repr ⟨x, ⋯⟩) i ∈ (Finsupp.lapply i ∘ₗ ↑b.repr).submoduleImage N
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w : V
hM : M.IsMatching
hM' : M'.IsMatching
hd : Disjoint M.support M'.support
v : V
hv : v ∈ (M ⊔ M').verts

⊢ ∃! w, (M ⊔ M').Adj v w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v✝ w : V
hM : M.IsMatching
hM' : M'.IsMatching
hd : Disjoint M.support M'.support
v : V
hv : v ∈ (M ⊔ M').verts
aux : ∀ {N N' : G.Subgraph}, N.IsMatching → Disjoint N.support N'.support → v ∈ N.verts → ∃! w, (N ⊔ N').Adj v w

⊢ ∃! w, (M ⊔ M').Adj v w
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/BilinearForm.lean
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing R₁
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁵ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommSemiring R₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹¹ : CommRing R₃
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₃
inst✝⁹ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Fintype o
inst✝³ : DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
M₂' : Type u_13
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R₂ M₂'
c : Basis o R₂ M₂'
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
P Q : Matrix n o R₂
x y : M₂'

⊢ ((((toBilin b) M).comp ((toLin c b) P) ((toLin c b) Q)) x) y = (((toBilin c) (Pᵀ * M * Q)) x) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/BilinearForm.lean
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁸ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing R₁
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁵ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommSemiring R₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹² : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹¹ : CommRing R₃
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₃
inst✝⁹ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Fintype o
inst✝³ : DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
M₂' : Type u_13
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R₂ M₂'
c : Basis o R₂ M₂'
inst✝ : DecidableEq o
M : Matrix n n R₂
P Q : Matrix n o R₂
x y : M₂'

⊢ ((((toLinearMap₂ b b) M).comp ((toLin c b) P) ((toLin c b) Q)) x) y = ((((toLinearMap₂ b b) M).compl₁₂ ((toLin c b) P) ((toLin c b) Q)) x) y
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : b < a
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

⊢ (fun t => log t • f t) =O[atTop] fun x => x ^ (-b)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : b < a
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ (fun x => x ^ (a - b) • x ^ (-a)) t = (fun x => x ^ (-b)) t
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f : ℝ → E
hab : b < a
hf : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ t ^ (a - b) • t ^ (-a) = t ^ (-b)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
p : ι' → Prop
q : ι → ι' → Prop
s : (x : ι) → (y : ι') → p y ∧ q x y → Set α

⊢ ⋃ x, ⋃ y, ⋃ (h : p y ∧ q x y), s x y h = ⋃ y, ⋃ (hy : p y), ⋃ x, ⋃ (hx : q x y), s x y ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : ∀ x ∈ Icc a b, f x ≤ g x

⊢ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b
h : ∀ x ∈ Icc a b, f x ≤ g x
H : ∀ x ∈ Ioc a b, f x ≤ g x := fun x hx => h x (Ioc_subset_Icc_self hx)

⊢ ∫ (u : ℝ) in a..b, f u ∂μ ≤ ∫ (u : ℝ) in a..b, g u ∂μ
-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r : R
h : Function.Injective ⇑(DistribMulAction.toLinearMap R M r)

⊢ IsSMulRegular (M ⧸ N) r ↔ r • ⊤ ⊓ N ≤ r • N
-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
I : Ideal R
N : Submodule R M
r : R
h : Function.Injective ⇑(DistribMulAction.toLinearMap R M r)

⊢ map ((LinearMap.lsmul R M) r) ⊤ ⊓ N ≤ map ((LinearMap.lsmul R M) r) N ↔ r • ⊤ ⊓ N ≤ r • N
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/LinearMap.lean
ι : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
inst✝ : DecidableEq ι
A : Matrix ι ι R
f : Module.End R M
h : (PiToModule.fromMatrix R b) A = (PiToModule.fromEnd R b) f
r : R

⊢ (PiToModule.fromMatrix R b) (r • A) = (PiToModule.fromEnd R b) (r • f)
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
m : Multiset α
f f' : α → Multiset β
hf : ∀ a ∈ m, HEq (f a) (f' a)

⊢ HEq (m.bind f) (m.bind f')
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
m : Multiset α
f f' : α → Multiset β
hf : ∀ a ∈ m, f a = f' a

⊢ HEq (m.bind f) (m.bind f')
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Seminorm.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
R' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F E ℝ
inst✝³ : Group E
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
r : R
p q : GroupSeminorm E
x y : ℝ

⊢ r • max x y = max (r • x) (r • y)
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : S
w : R[X]
hzw : h.map w = z

⊢ eval₂ i x (h.repr z) = eval₂ i x w
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : S
w : R[X]
hzw : f ∣ h.repr z - w

⊢ eval₂ i x (h.repr z) = eval₂ i x w
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : S
w y : R[X]
hy : h.repr z - w = f * y

⊢ eval₂ i x (h.repr z) = eval₂ i x w
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B I : Set α
h : BijOn f E N.E

⊢ (N.comapOn E f)✶ = N✶.comapOn E f
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B✝ I : Set α
h : BijOn f E N.E
B : Set α
hB : B ⊆ (N.comapOn E f)✶.E

⊢ (N.comapOn E f)✶.Base B ↔ (N✶.comapOn E f).Base B
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B✝ I : Set α
h : BijOn f E N.E
B : Set α
hB : B ⊆ (N.comapOn E f)✶.E

⊢ f '' B ⊆ N.E
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MulAction G β
g : G
a : α

⊢ a ∈ orbit G (g • a)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Hasse.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
u v : Fin 2

⊢ (pathGraph 2).Adj u v ↔ ⊤.Adj u v