ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
x y : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

⊢ (normAtPlace w) (x + y) ≤ (normAtPlace w) x + (normAtPlace w) y
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
x y : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

⊢ (if hw : w.IsReal then ‖(x + y).1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖(x + y).2 ⟨w, ⋯⟩‖) ≤ (if hw : w.IsReal then ‖x.1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖x.2 ⟨w, ⋯⟩‖) + if hw : w.IsReal then ‖y.1 ⟨w, hw⟩‖ else ‖y.2 ⟨w, ⋯⟩‖
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
I : Ideal R

⊢ I * annihilator I = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α

⊢ cramer 1 = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i j : n

⊢ (cramer 1 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j = (1 ∘ₗ LinearMap.single i) 1 j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i j : n

⊢ 1 = det 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i j : n

⊢ ∀ (j : n), Pi.single i 1 j = 1 j i
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/WF.lean
α : Type u_1
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α

⊢ (l.balRight v r).reverse = r.reverse.balLeft v l.reverse
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/WF.lean
α : Type u_1
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α

⊢ (l.balRight v r).reverse = (r.reverse.balLeft v l.reverse).reverse.reverse
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n✝ b m n : ℕ

⊢ ofDigits b (b.digits n ++ b.digits m) = n + b ^ (b.digits n).length * m
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p < r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃

⊢ Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p < r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃

⊢ p₂ ≠ p₁
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : NormedSpace ℝ V
inst✝² : StrictConvexSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₁ p₂ p₃ : P
r : ℝ
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}
hp₁ : dist p₁ p = r
hp₂ : dist p₂ p < r
hp₃ : dist p₃ p = r
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃

⊢ p₂ ≠ p₃
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω

⊢ Nonempty Ω
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
maybe_empty : ¬Nonempty Ω

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
maybe_empty : ¬Nonempty Ω
zero : ↑μ univ = 0

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
maybe_empty : ¬Nonempty Ω
zero : 1 = 0

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂

⊢ InjOn f (s₁ ∪ s₂) ↔ InjOn f s₁ ∧ InjOn f s₂ ∧ ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂
H : InjOn f (s₁ ∪ s₂)

⊢ ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : Disjoint s₁ s₂

⊢ (InjOn f s₁ ∧ InjOn f s₂ ∧ ∀ x ∈ s₁, ∀ y ∈ s₂, f x ≠ f y) → InjOn f (s₁ ∪ s₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasPullbacks C
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
G : ModuleCat R
x y : Over G
P : ModuleCat R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom

⊢ LinearMap.range x.hom = LinearMap.range y.hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasPullbacks C
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
G : ModuleCat R
x y : Over G
P : ModuleCat R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : ↑((Functor.fromPUnit G).obj x.right)
ha : a ∈ LinearMap.range x.hom

⊢ a ∈ LinearMap.range y.hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasPullbacks C
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
G : ModuleCat R
x y : Over G
P : ModuleCat R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : ↑((Functor.fromPUnit G).obj x.right)
ha : a ∈ LinearMap.range y.hom

⊢ a ∈ LinearMap.range x.hom
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
n : ℕ
hn : n ≤ Fintype.card α
h𝒜 : Set.Sized n ↑𝒜ᶜˢ

⊢ Set.Sized (Fintype.card α - n) ↑𝒜
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
n : ℕ
hn : n ≤ Fintype.card α
h𝒜 : Set.Sized (Fintype.card α - n) ↑𝒜

⊢ Set.Sized n ↑𝒜ᶜˢ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : StandardBorelSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T0Space Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
f : X → Z
inst✝ : CountablySeparated ↑(range f)
hf : Measurable f
hr : MeasurableSet (range f)
s : Set Z

⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s) ↔ MeasurableSet (s ∩ range f)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : β) in s, ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, x)) ↑q ∂ν a) = (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ Integrable (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q) ((ν a).restrict s)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ 0 ≤ᶠ[ae ((ν a).restrict s)] fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑q
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
Sopen : ∀ t ∈ S, IsOpen t
Scount : S.Countable
T : Set (Set X)
Topen : ∀ t ∈ T, IsOpen t
Tcount : T.Countable

⊢ IsGδ (⋂₀ S ∪ ⋂₀ T)
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
Sopen : ∀ t ∈ S, IsOpen t
Scount : S.Countable
T : Set (Set X)
Topen : ∀ t ∈ T, IsOpen t
Tcount : T.Countable

⊢ IsGδ (⋂ p ∈ S ×ˢ T, p.1 ∪ p.2)
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
Sopen : ∀ t ∈ S, IsOpen t
Scount : S.Countable
T : Set (Set X)
Topen : ∀ t ∈ T, IsOpen t
Tcount : T.Countable

⊢ ∀ i ∈ S ×ˢ T, IsOpen (i.1 ∪ i.2)
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
Sopen : ∀ t ∈ S, IsOpen t
Scount : S.Countable
T : Set (Set X)
Topen : ∀ t ∈ T, IsOpen t
Tcount : T.Countable
a b : Set X
ha : (a, b).1 ∈ S
hb : (a, b).2 ∈ T

⊢ IsOpen ((a, b).1 ∪ (a, b).2)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/EpiWithInjectiveKernel.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f

⊢ epiWithInjectiveKernel f
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/EpiWithInjectiveKernel.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f

⊢ ∃ I, ∃ (_ : Injective I), ∃ f_1, ∃ (w : f_1 ≫ f = 0), Nonempty (ShortComplex.mk f_1 f w).Splitting
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
ι : Type u_3
μ : Measure α
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
hu : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))

⊢ AEMeasurable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
ι : Type u_3
μ : Measure α
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
hu : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u

⊢ AEMeasurable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
ι : Type u_3
μ : Measure α
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
hu : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ
p : α → (ℕ → β) → Prop := fun x f' => Tendsto (fun n => f' n) atTop (𝓝 (g x))

⊢ AEMeasurable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
ι : Type u_3
μ : Measure α
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
hu : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ
p : α → (ℕ → β) → Prop := fun x f' => Tendsto (fun n => f' n) atTop (𝓝 (g x))
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f (v n) x

⊢ AEMeasurable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
ι : Type u_3
μ : Measure α
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
hu : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ
p : α → (ℕ → β) → Prop := fun x f' => Tendsto (fun n => f' n) atTop (𝓝 (g x))
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f (v n) x
aeSeqLim : α → β := fun x => if x ∈ aeSeqSet h'f p then g x else ⋯.some

⊢ AEMeasurable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
ι : Type u_3
μ : Measure α
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
hu : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ
p : α → (ℕ → β) → Prop := fun x f' => Tendsto (fun n => f' n) atTop (𝓝 (g x))
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f (v n) x
aeSeqLim : α → β := fun x => if x ∈ aeSeqSet h'f p then g x else ⋯.some
x : α

⊢ Tendsto (fun i => aeSeq h'f p i x) atTop (𝓝 (aeSeqLim x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Metrizable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
ι : Type u_3
μ : Measure α
f : ι → α → β
g : α → β
u : Filter ι
hu : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) u (𝓝 (g x))
v : ℕ → ι
hv : Tendsto v atTop u
h'f : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f (v n)) μ
p : α → (ℕ → β) → Prop := fun x f' => Tendsto (fun n => f' n) atTop (𝓝 (g x))
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f (v n) x
aeSeqLim : α → β := fun x => if x ∈ aeSeqSet h'f p then g x else ⋯.some

⊢ g =ᶠ[ae μ] aeSeqLim
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
hy : M ≤ Submonoid.comap g T
inst✝¹ : Algebra P Q
inst✝ : IsLocalization T Q
x : S
z : R

⊢ (map Q g hy) (z • x) = g z • (map Q g hy) x
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x y : n → α

⊢ (u + v) ⬝ᵥ w = u ⬝ᵥ w + v ⬝ᵥ w
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
inst✝ : Fintype α
e : α ↪ α

⊢ map e univ = univ
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
o : Ordinal.{u_1}

⊢ o.toPGame.birthday = o
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, k.toPGame.birthday = k

⊢ o.toPGame.birthday = o
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, k.toPGame.birthday = k

⊢ max (lsub fun i => (typein (fun x x_1 => x < x_1) i).toPGame.birthday) (lsub fun i => i.elim.birthday) = o
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, k.toPGame.birthday = k

⊢ (lsub fun i => (typein (fun x x_1 => x < x_1) i).toPGame.birthday) = o
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, k.toPGame.birthday = k

⊢ (lsub fun i => (typein (fun x x_1 => x < x_1) i).toPGame.birthday) = lsub (typein fun x x_1 => x < x_1)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, k.toPGame.birthday = k
x : (Quotient.out o).α

⊢ (typein (fun x x_1 => x < x_1) x).toPGame.birthday = typein (fun x x_1 => x < x_1) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁵ : BorelSpace X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝² : OrderTopology X
inst✝¹ : OrderTopology E
inst✝ : SecondCountableTopology E
hmono : MonotoneOn f s
a b : X
ha : IsLeast s a
hb : IsGreatest s b
hs : μ s ≠ ⊤
h's : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E

⊢ IntegrableOn f s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
inst✝⁵ : BorelSpace X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝² : OrderTopology X
inst✝¹ : OrderTopology E
inst✝ : SecondCountableTopology E
a b : X
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
hmono : MonotoneOn f ∅
ha : IsLeast ∅ a
hb : IsGreatest ∅ b
hs : μ ∅ ≠ ⊤
h's : MeasurableSet ∅

⊢ IntegrableOn f ∅ μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁵ : BorelSpace X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝² : OrderTopology X
inst✝¹ : OrderTopology E
inst✝ : SecondCountableTopology E
hmono : MonotoneOn f s
a b : X
ha : IsLeast s a
hb : IsGreatest s b
hs : μ s ≠ ⊤
h's : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
h✝ : s.Nonempty

⊢ IntegrableOn f s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁵ : BorelSpace X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝² : OrderTopology X
inst✝¹ : OrderTopology E
inst✝ : SecondCountableTopology E
hmono : MonotoneOn f s
a b : X
ha : IsLeast s a
hb : IsGreatest s b
hs : μ s ≠ ⊤
h's : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
h✝ : s.Nonempty
hbelow : BddBelow (f '' s)

⊢ IntegrableOn f s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁵ : BorelSpace X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝² : OrderTopology X
inst✝¹ : OrderTopology E
inst✝ : SecondCountableTopology E
hmono : MonotoneOn f s
a b : X
ha : IsLeast s a
hb : IsGreatest s b
hs : μ s ≠ ⊤
h's : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
h✝ : s.Nonempty
hbelow : BddBelow (f '' s)
habove : BddAbove (f '' s)

⊢ IntegrableOn f s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁵ : BorelSpace X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝² : OrderTopology X
inst✝¹ : OrderTopology E
inst✝ : SecondCountableTopology E
hmono : MonotoneOn f s
a b : X
ha : IsLeast s a
hb : IsGreatest s b
hs : μ s ≠ ⊤
h's : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
h✝ : s.Nonempty
hbelow : BddBelow (f '' s)
habove : BddAbove (f '' s)
this : IsBounded (f '' s)

⊢ IntegrableOn f s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁵ : BorelSpace X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝² : OrderTopology X
inst✝¹ : OrderTopology E
inst✝ : SecondCountableTopology E
hmono : MonotoneOn f s
a b : X
ha : IsLeast s a
hb : IsGreatest s b
hs : μ s ≠ ⊤
h's : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
h✝ : s.Nonempty
hbelow : BddBelow (f '' s)
habove : BddAbove (f '' s)
this : IsBounded (f '' s)
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ f '' s, ‖x‖ ≤ C

⊢ IntegrableOn f s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝⁵ : BorelSpace X
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder X
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder E
inst✝² : OrderTopology X
inst✝¹ : OrderTopology E
inst✝ : SecondCountableTopology E
hmono : MonotoneOn f s
a b : X
ha : IsLeast s a
hb : IsGreatest s b
hs : μ s ≠ ⊤
h's : MeasurableSet s
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
h✝ : s.Nonempty
hbelow : BddBelow (f '' s)
habove : BddAbove (f '' s)
this : IsBounded (f '' s)
C : ℝ
hC : ∀ x ∈ f '' s, ‖x‖ ≤ C
A : IntegrableOn (fun x => C) s μ

⊢ IntegrableOn f s μ
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
ha : 0 ≤ a
hbc : b ≤ c

⊢ (fun x => a * x) '' Icc b c = Icc (a * b) (a * c)
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K

⊢ im z⁻¹ = -im z / normSq z
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ

⊢ n + 1 + (n + 1 - 1) = 2 * (n + 1) - 1
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ

⊢ n + 1 + (n + 1 - 1) = n + 1 + (n + 1) - 1
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f

⊢ comap (Prod.map f f) (𝓤 β) ≤ 𝓤 α
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
ε : ℝ≥0∞
h₀ : 0 < ε

⊢ ∃ i, 0 < i ∧ Prod.map f f ⁻¹' {p | edist p.1 p.2 < i} ⊆ {p | edist p.1 p.2 < ε}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Antilipschitz.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f : α → β
hf : AntilipschitzWith K f
ε : ℝ≥0∞
h₀ : 0 < ε

⊢ Prod.map f f ⁻¹' {p | edist p.1 p.2 < (↑K)⁻¹ * ε} ⊆ {p | edist p.1 p.2 < ε}