ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝¹ : G.IsEquivalence
inst✝ : (F ⋙ G).IsEquivalence

⊢ (F ⋙ G.asEquivalence.functor ⋙ G.asEquivalence.inverse).IsEquivalence
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α → β
s : Set β
h : (f ⁻¹' s).Finite
hs : s ⊆ range f

⊢ s.Finite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α → β
s : Set β
h : (f ⁻¹' s).Finite
hs : s ⊆ range f

⊢ (f '' (f ⁻¹' s)).Finite
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Pointed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
X Y Z : Pointed
f : X.Hom Y
g : Y.Hom Z

⊢ (g.toFun ∘ f.toFun) X.point = Z.point
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < p.radius

⊢ Summable fun s => ‖p (s.fst + s.snd.fst)‖₊ * r ^ s.snd.fst * r' ^ s.fst
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < p.radius

⊢ Summable ((fun s => ‖p (s.fst + s.snd.fst)‖₊ * r ^ s.snd.fst * r' ^ s.fst) ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < p.radius

⊢ Summable fun x => ‖p (x.fst - x.snd.card + x.snd.card)‖₊ * r ^ x.snd.card * r' ^ (x.fst - x.snd.card)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < p.radius
this : ∀ (n : ℕ), HasSum (fun s => ‖p (n - s.card + s.card)‖₊ * r ^ s.card * r' ^ (n - s.card)) (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)

⊢ Summable fun x => ‖p (x.fst - x.snd.card + x.snd.card)‖₊ * r ^ x.snd.card * r' ^ (x.fst - x.snd.card)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < p.radius
this : ∀ (n : ℕ), HasSum (fun s => ‖p (n - s.card + s.card)‖₊ * r ^ s.card * r' ^ (n - s.card)) (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)

⊢ Summable fun x => ∑' (y : Finset (Fin x)), ‖p (⟨x, y⟩.fst - ⟨x, y⟩.snd.card + ⟨x, y⟩.snd.card)‖₊ * r ^ ⟨x, y⟩.snd.card * r' ^ (⟨x, y⟩.fst - ⟨x, y⟩.snd.card)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r r' : ℝ≥0
hr : ↑r + ↑r' < p.radius
this : ∀ (n : ℕ), HasSum (fun s => ‖p (n - s.card + s.card)‖₊ * r ^ s.card * r' ^ (n - s.card)) (‖p n‖₊ * (r + r') ^ n)

⊢ Summable fun x => ‖p x‖₊ * (r + r') ^ x
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
M₁ M₂ : Matroid α

⊢ M₁ = M₂✶ ↔ M₂ = M₁✶
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M ≃ₗ[R] M
g : N ≃ₗ[R] N
n : ℤ

⊢ congr f g ^ n = congr (f ^ n) (g ^ n)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)

⊢ Mono (app' φ 2 ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)

⊢ ∀ {P : C} (g : P ⟶ R₁.obj' 2 ⋯), g ≫ app' φ 2 ⋯ = 0 → g = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0

⊢ f₂ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0

⊢ f₂ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝ : Epi π₁
f₁ : A₁ ⟶ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).f

⊢ f₂ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝ : Epi π₁
f₁ : A₁ ⟶ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)

⊢ f₂ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝ : Epi π₁
f₁ : A₁ ⟶ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₃ : (f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0

⊢ f₂ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝¹ : Epi π₁
f₁ : A₁ ⟶ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₃ : (f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝ : Epi π₂
g₀ : A₂ ⟶ ((mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hg₀ : π₂ ≫ f₁ ≫ app' φ 1 ⋯ = g₀ ≫ ((mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).f

⊢ f₂ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝² : Epi π₁
f₁ : A₁ ⟶ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₃ : (f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝¹ : Epi π₂
g₀ : A₂ ⟶ ((mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hg₀ : π₂ ≫ f₁ ≫ app' φ 1 ⋯ = g₀ ≫ ((mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).f
A₃ : C
π₃ : A₃ ⟶ A₂
w✝ : Epi π₃
f₀ : A₃ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯
hf₀ : π₃ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯

⊢ f₂ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 3
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
hR₁' : (mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).Exact
hR₂ : (mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact
h₀ : Epi (app' φ 0 ⋯)
h₁✝ : Mono (app' φ 1 ⋯)
h₃✝ : Mono (app' φ 3 ⋯)
A : C
f₂ : A ⟶ R₁.obj' 2 ⋯
h₁ : f₂ ≫ app' φ 2 ⋯ = 0
h₂ : f₂ ≫ R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯ = 0
A₁ : C
π₁ : A₁ ⟶ A
w✝² : Epi π₁
f₁ : A₁ ⟶ ((mk₂ (R₁.map' 1 2 ⋯ ⋯) (R₁.map' 2 3 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hf₁ : π₁ ≫ f₂ = f₁ ≫ R₁.map (homOfLE ⋯)
h₃ : (f₁ ≫ app' φ 1 ⋯) ≫ R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯ = 0
A₂ : C
π₂ : A₂ ⟶ A₁
w✝¹ : Epi π₂
g₀ : A₂ ⟶ ((mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).X₁
hg₀ : π₂ ≫ f₁ ≫ app' φ 1 ⋯ = g₀ ≫ ((mk₂ (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯) (R₂.map' 1 2 ⋯ ⋯)).sc ⋯ 0 ⋯).f
A₃ : C
π₃ : A₃ ⟶ A₂
w✝ : Epi π₃
f₀ : A₃ ⟶ R₁.obj' 0 ⋯
hf₀ : π₃ ≫ g₀ = f₀ ≫ app' φ 0 ⋯
h₄ : f₀ ≫ R₁.map' 0 1 ⋯ ⋯ = π₃ ≫ π₂ ≫ f₁

⊢ f₂ = 0
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : One α
inst✝² : One α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : OneHomClass F α α₂
f : F

⊢ mapDomain (⇑f) 1 = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace α
a : α
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂dirac a = f a
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift

⊢ Tendsto (fun x => x - 1) atTop atTop
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S
p : R[X]
x : S
hx : eval₂ f x p = 0
hx' : eval₂ f x (derivative p) = 0
a b : R[X]
e : eval₂ f x (a * p + b * derivative p) = eval₂ f x 1

⊢ False
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ExtensiveSheaves.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.4626, u_2} D
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
W : C

⊢ IsSheaf (extensiveTopology C) (yoneda.obj W)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ExtensiveSheaves.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.4626, u_2} D
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
W : C

⊢ ∀ {X : C}, ∀ R ∈ (extensiveCoverage C).covering X, IsSheafFor (yoneda.obj W) R
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ExtensiveSheaves.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.4626, u_2} D
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
W X : C
R : Presieve X
Y : Type
α : Finite Y
Z : Y → C
π : (a : Y) → Z a ⟶ X
hR : R = ofArrows Z π
hi : IsIso (Sigma.desc π)
this✝ : IsIso (Sigma.desc (Cofan.mk X π).inj)
this : R.Extensive

⊢ IsSheafFor (yoneda.obj W) R
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
P : ι → α → Prop
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ ⋃ i, {x | P i x} ↔ x✝ ∈ {x | ∃ i, P i x}
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K

⊢ liftAux (RingHom.id K) j p x = j x
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K
this : (Classical.choose ⋯).2 = x ^ p ^ (Classical.choose ⋯).1

⊢ liftAux (RingHom.id K) j p x = j x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0

⊢ ∫⁻ (x : X), ↑(f x) ∂μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0

⊢ ∃ c, ∀ (x : X), ↑(f x) ≤ ↑c
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0
x : X

⊢ ↑(f x) ≤ ↑(nndist f 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0
x : X
key : f x ≤ nndist f 0

⊢ ↑(f x) ≤ ↑(nndist f 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
S : Finset M

⊢ CompleteLattice.IsCompactElement (span R ↑S)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
S : Finset M

⊢ CompleteLattice.IsCompactElement (⨆ x ∈ ↑S, span R {x})
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
S : Finset M

⊢ CompleteLattice.IsCompactElement (⨆ x ∈ S, span R {x})
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
S : Finset M

⊢ CompleteLattice.IsCompactElement (S.sup fun x => span R {x})
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a : ℤ

⊢ (shiftAddHom K L n a) 0 = 0
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k✝ N : ℕ
x : Fin n → ℕ
k n✝¹ n✝ : ℕ

⊢ (sphere (n✝¹ + 1) (n✝ + 1) k).card ≤ rothNumberNat ((2 * (n✝ + 1) - 1) ^ (n✝¹ + 1))
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k✝ N : ℕ
x : Fin n → ℕ
k n✝¹ n✝ : ℕ

⊢ Fin (n✝¹ + 1) → ℕ
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k✝ N : ℕ
x : Fin n → ℕ
k n✝¹ n✝ : ℕ

⊢ ∀ x ∈ image (⇑(map (2 * (n✝ + 1) - 1))) (sphere (n✝¹ + 1) (n✝ + 1) k), x < (2 * (n✝ + 1) - 1) ^ (n✝¹ + 1)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k✝ N : ℕ
x : Fin n → ℕ
k n✝¹ n✝ : ℕ

⊢ Set.InjOn ⇑(map (2 * (n✝ + 1) - 1)) ↑(sphere (n✝¹ + 1) (n✝ + 1) k)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k✝ N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
k n✝¹ n✝ : ℕ
x : Fin (n✝¹ + 1) → ℕ

⊢ x ∈ ↑(sphere (n✝¹ + 1) (n✝ + 1) k) → x ∈ {x | ∀ (i : Fin (n✝¹ + 1)), x i < 2 * (n✝ + 1) - 1}
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k✝ N : ℕ
x✝ : Fin n → ℕ
k n✝¹ n✝ : ℕ
x : Fin (n✝¹ + 1) → ℕ

⊢ (∀ (i : Fin (n✝¹ + 1)), x i < n✝ + 1) → ∑ i : Fin (n✝¹ + 1), x i ^ 2 = k → x ∈ {x | ∀ (i : Fin (n✝¹ + 1)), x i < n✝ + 1 + (n✝ + 1) - 1}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R

⊢ (map W' f).toJacobian.polynomialX = (MvPolynomial.map f) W'.polynomialX
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
hI : I.IsRadical
hJ : J.IsRadical

⊢ (I ⊓ J).IsRadical
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
hI : I.IsRadical
hJ : J.IsRadical

⊢ I.radical ⊓ J.radical ≤ I ⊓ J
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
h : t ≤ s

⊢ card (s - t) + card t = card s
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A✝
inst✝⁷ : Ring B✝
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Algebra R A✝
inst✝⁴ : Algebra R B✝
f✝ : R →+* S
A : Type u_5
B : Type u_6
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : A ≃ₐ[R] B
x : A
h : IsIntegral R (f x)

⊢ IsIntegral R x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.116671, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData

⊢ opcyclesMap' e.hom h₁ h₂ ≫ opcyclesMap' e.inv h₂ h₁ = 𝟙 h₁.Q
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.116671, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
e : S₁ ≅ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData

⊢ opcyclesMap' e.inv h₂ h₁ ≫ opcyclesMap' e.hom h₁ h₂ = 𝟙 h₂.Q
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b✝ x y a b : ℝ
h₁ : a ≠ 0
h₂ : b ≠ 0
c : ℝ

⊢ (logb (a * b) c)⁻¹ = (logb a c)⁻¹ + (logb b c)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b✝ x y a b : ℝ
h₁ : a ≠ 0
h₂ : b ≠ 0
c : ℝ

⊢ logb c (a * b) = logb c a + logb c b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : Set α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, c ∂μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
s : Set α
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤

⊢ c * (μ.restrict s) univ < ⊤
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
h : c ∣ a + b
ha : ¬c ∣ a
hc : ¬c ≤ a % c + b % c

⊢ False
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
h : c ∣ a + b
ha : ¬c ∣ a
hc : ¬c ≤ a % c + b % c
this : (a + b) % c = a % c + b % c

⊢ False
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Finset.lean
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x₀ : α 0
x : (i : Fin n) → α i.succ
s₀ : Finset (α 0)
s : (i : Fin n) → Finset (α i.succ)

⊢ cons x₀ x ∈ piFinset (cons s₀ s) ↔ x₀ ∈ s₀ ∧ x ∈ piFinset s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
i : Fin r ⊕ Unit

⊢ ((listTransvecCol M).prod * M) (inr ()) i = M (inr ()) i
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
y : AdicCompletion I N

⊢ ∃ a, (map I f) a = y
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Surjective ⇑f
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N

⊢ ∃ a, (map I f) a = (mk I N) b
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
s : Finset ι
x y : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι

⊢ (mk s (x - y)) i = (mk s x - mk s y) i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
s : Finset ι
x y : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι

⊢ (if H : i ∈ s then (x - y) ⟨i, H⟩ else 0) = (if H : i ∈ s then x ⟨i, H⟩ else 0) - if H : i ∈ s then y ⟨i, H⟩ else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/FreeGroupoid.lean
V : Type u
inst✝ : Quiver V
X Y : Paths (Quiver.Symmetrify V)
p : X ⟶ Y

⊢ Quot.mk (Quotient.CompClosure redStep) (p ≫ Quiver.Path.reverse p) = Quot.mk (Quotient.CompClosure redStep) (𝟙 X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/FreeGroupoid.lean
V : Type u
inst✝ : Quiver V
X Y : Paths (Quiver.Symmetrify V)
p : X ⟶ Y

⊢ EqvGen (Quotient.CompClosure redStep) (p ≫ Quiver.Path.reverse p) (𝟙 X)
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R

⊢ normEDS b c d 3 = c
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
n : σ →₀ ℕ
a : R

⊢ (coeff R n) ((monomial R n) a) = a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)

⊢ ∫ (a : α), ⟪↑↑f a, ↑↑f a⟫_𝕜 ∂μ = ↑(∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : ↥(Lp E 2 μ)

⊢ ∫ (a : α), ↑‖↑↑f a‖ ^ 2 ∂μ = ↑(∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ^ 2 ∂μ).toReal