ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Complex/FiniteDimensional.lean

⊢ Module.rank ℚ ℂ = 𝔠
-- Mathlib/Data/Complex/FiniteDimensional.lean

⊢ Cardinal.lift.{0, 0} #ℚ < Cardinal.lift.{0, 0} #ℂ
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Covering.lean
U : Type ?u.16921
inst✝⁴ : Quiver U
V : Type ?u.16927
inst✝³ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.16949
inst✝² : Quiver W
ψ : V ⥤q W
inst✝¹ : HasInvolutiveReverse U
inst✝ : HasInvolutiveReverse V
u : U
e : Star u

⊢ (fun e => ⟨e.fst, reverse e.snd⟩) ((fun e => ⟨e.fst, reverse e.snd⟩) e) = e
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Covering.lean
U : Type ?u.16921
inst✝⁴ : Quiver U
V : Type ?u.16927
inst✝³ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.16949
inst✝² : Quiver W
ψ : V ⥤q W
inst✝¹ : HasInvolutiveReverse U
inst✝ : HasInvolutiveReverse V
u : U
e : Costar u

⊢ (fun e => ⟨e.fst, reverse e.snd⟩) ((fun e => ⟨e.fst, reverse e.snd⟩) e) = e
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s₁ s₂ : ↥S

⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (s₁ • m) (s₁ * s₂)) = (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s₂)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s

⊢ f '' (s₁ ∩ s) = f' ⁻¹' (s₁ ∩ s) ∩ f '' s
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s

⊢ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s = f' ⁻¹' (s₁ ∩ s) ∩ f '' s
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s

⊢ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s ⊆ f' ⁻¹' (s₁ ∩ s) ∩ f '' s
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s
x : α
hx : x ∈ s
h₁ : f x ∈ f' ⁻¹' s₁

⊢ f x ∈ f' ⁻¹' (s₁ ∩ s) ∩ f '' s
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y : ℂ
x : ℝ

⊢ (cosh ↑x).im = 0
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a✝ : α
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : SupHomClass F α β
hs : SupClosed s
f : F
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s

⊢ f a ⊔ f b ∈ ⇑f '' s
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a✝ : α
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : SupHomClass F α β
hs : SupClosed s
f : F
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s

⊢ f (a ⊔ b) ∈ ⇑f '' s
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
I B X : Set α
h : M.Base B

⊢ M✶.Base (M.E \ B)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J✝ K L : Ideal R
x y : R
I J : Ideal R

⊢ span {x} * I ≤ span {y} * J ↔ ∀ zI ∈ I, ∃ zJ ∈ J, x * zI = y * zJ
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
M : Matrix m n R
i : m
c : n → R

⊢ (eval c) (M.toMvPolynomial i) = (M *ᵥ c) i
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
a : R

⊢ a / 2 - a = -(a / 2)
-- Mathlib/Topology/NhdsSet.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X

⊢ s ∈ 𝓝ˢ t ↔ ∃ U, IsOpen U ∧ t ⊆ U ∧ U ⊆ s
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
ha : a ∉ s

⊢ insert a s ⊆ insert a t ↔ s ⊆ t
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
ha : a ∉ s
h : insert a s ⊆ insert a t
x : α
hx : x ∈ s

⊢ x ∈ t
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
x : α
hx : x ∈ s
ha : x ∉ s
h : insert x s ⊆ insert x t

⊢ x ∈ t
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
ha : a ∉ s
h : insert a s ⊆ insert a t
x : α
hx : x ∈ s
hxt : x ∈ t

⊢ x ∈ t
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]

⊢ normSq (star a) = normSq a
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeInf α
a b c d : α

⊢ a ⊓ b ≤ b ∧ b ≤ a ⊓ b ↔ b ≤ a
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsAlgClosed K
h : ∀ a ∈ S, NeZero ↑↑a

⊢ IsCyclotomicExtension S K K
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsAlgClosed K
h : ∀ a ∈ S, NeZero ↑↑a
a : ℕ+
ha : a ∈ S

⊢ ∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑a
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsAlgClosed K
h : ∀ a ∈ S, NeZero ↑↑a
a : ℕ+
ha : a ∈ S
r : K
hr : (aeval r) (cyclotomic (↑a) K) = 0

⊢ ∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑a
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsAlgClosed K
h : ∀ a ∈ S, NeZero ↑↑a
a : ℕ+
ha : a ∈ S
r : K
hr : (aeval r) (cyclotomic (↑a) K) = 0
this : NeZero ↑↑a

⊢ IsPrimitiveRoot r ↑a
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1

⊢ 0 < z * z
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1

⊢ 0 < x ^ 2 + y ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hc' : x.gcd y ≠ 0

⊢ 0 < x ^ 2 + y ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hc' : x.gcd y ≠ 0
hxz : x ≠ 0

⊢ 0 < x ^ 2 + y ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
hc : x.gcd y = 1
hc' : x.gcd y ≠ 0
hyz : y ≠ 0

⊢ 0 < x ^ 2 + y ^ 2
-- Mathlib/Data/DList/Defs.lean
α : Type u
app : List α → List α
inv : ∀ (l : List α), app l = app [] ++ l

⊢ (fun x => app [] ++ x) = app
-- Mathlib/Data/DList/Defs.lean
α : Type u
app : List α → List α
inv : ∀ (l : List α), app l = app [] ++ l
x : List α

⊢ app [] ++ x = app x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
hs : IsClosed s
a : α

⊢ a ∈ s ↔ ∀ ε > 0, ∃ b ∈ s, dist a b < ε
-- Mathlib/Init/Order/LinearOrder.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α

⊢ max a b = if a ≤ b then b else a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Subcategory.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
P : C → Prop
inst✝² : MonoidalPredicate P
P' : C → Prop
inst✝¹ : MonoidalPredicate P'
inst✝ : BraidedCategory C
h : ∀ ⦃X : C⦄, P X → P' X
X Y : FullSubcategory P

⊢ (fullMonoidalSubcategory.map h).map (β_ X Y).hom = inv ((fullMonoidalSubcategory.map h).μ X Y) ≫ (β_ ((fullMonoidalSubcategory.map h).obj X) ((fullMonoidalSubcategory.map h).obj Y)).hom ≫ (fullMonoidalSubcategory.map h).μ Y X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Subcategory.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
P : C → Prop
inst✝² : MonoidalPredicate P
P' : C → Prop
inst✝¹ : MonoidalPredicate P'
inst✝ : BraidedCategory C
h : ∀ ⦃X : C⦄, P X → P' X
X Y : FullSubcategory P

⊢ (fullMonoidalSubcategory.map h).μ X Y ≫ (fullMonoidalSubcategory.map h).map (β_ X Y).hom = (β_ ((fullMonoidalSubcategory.map h).obj X) ((fullMonoidalSubcategory.map h).obj Y)).hom ≫ (fullMonoidalSubcategory.map h).μ Y X
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : OrderedCommGroup α
inst✝ : OrderedCommGroup β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β

⊢ Antivary f g⁻¹ ↔ Monovary f g
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
C : Ordinal.{u_4} → Sort u_5
o : Ordinal.{u_4}
H₁ : C 0
H₂ : (o : Ordinal.{u_4}) → C o → C (succ o)
H₃ : (o : Ordinal.{u_4}) → o.IsLimit → ((o' : Ordinal.{u_4}) → o' < o → C o') → C o
h : o.IsLimit

⊢ o.limitRecOn H₁ H₂ H₃ = H₃ o h fun x _h => x.limitRecOn H₁ H₂ H₃
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
d₁ d₂ n₁ n₂ : Int
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0

⊢ n₁ /. d₁ = n₂ /. d₂ ↔ n₁ * d₂ = n₂ * d₁
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a b : α
inst✝ : OrderTop α

⊢ succ ⊤ = ⊤
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
m : ℤ
p : ↥(Submonoid.powers 2)

⊢ dyadicMap (IsLocalization.mk' (Localization (Submonoid.powers 2)) m p) = ↑m * powHalf (Submonoid.log p)
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
m : ℤ
p : ↥(Submonoid.powers 2)

⊢ dyadicMap (Localization.mk m p) = ↑m * powHalf (Submonoid.log p)
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ H

⊢ H.index ∣ (map f H).index
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ H

⊢ H.index ∣ H.index * f.range.index
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y : C
g h : (⨁ f) ⊗ X ⟶ Y
w : ∀ (j : J), biproduct.ι f j ▷ X ≫ g = biproduct.ι f j ▷ X ≫ h

⊢ g = h
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y : C
g h : (⨁ f) ⊗ X ⟶ Y
w : ∀ (j : J), biproduct.ι f j ▷ X ≫ g = biproduct.ι f j ▷ X ≫ h

⊢ (rightDistributor f X).inv ≫ g = (rightDistributor f X).inv ≫ h
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y : C
g h : (⨁ f) ⊗ X ⟶ Y
w : ∀ (j : J), biproduct.ι f j ▷ X ≫ g = biproduct.ι f j ▷ X ≫ h
j✝ : J

⊢ biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j✝ ≫ (rightDistributor f X).inv ≫ g = biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j✝ ≫ (rightDistributor f X).inv ≫ h
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X Y : C
g h : (⨁ f) ⊗ X ⟶ Y
w : ∀ (j : J), biproduct.ι f j ▷ X ≫ g = biproduct.ι f j ▷ X ≫ h
j✝ : J

⊢ biproduct.ι f j✝ ▷ X ≫ g = biproduct.ι f j✝ ▷ X ≫ h
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ ⁅⊥, N⁆ = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ ⁅⊥, N⁆ ≤ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
m : M
x : L
n : ↥N
hx : x ∈ ⊥
hn : ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ = m

⊢ ⁅↑⟨x, hx⟩, ↑n⁆ ∈ ↑⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
m : M
x : L
n : ↥N
hx✝ : x ∈ ⊥
hx : x = 0
hn : ⁅↑⟨x, hx✝⟩, ↑n⁆ = m

⊢ ⁅↑⟨x, hx✝⟩, ↑n⁆ ∈ ↑⊥
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ V = n
hc : Cospherical ps
this : Nonempty ↥⊤

⊢ ∃ r, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ ↥⊤.direction = n
hc : Cospherical ps
this : Nonempty ↥⊤

⊢ ∃ r, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ps : Set P
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hd : finrank ℝ ↥⊤.direction = n
hc : Cospherical ps
this : Nonempty ↥⊤

⊢ ps ⊆ ↑⊤
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : R
i : ℕ

⊢ h.coeff ((algebraMap R S) x) i = Pi.single 0 x i
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : R
i : ℕ

⊢ x * Pi.single 0 1 i = Pi.single 0 x i
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f
x : R
i : ℕ

⊢ ∀ (i : ℕ), (fun x_1 y => x * y) i 0 = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x
hr : ‖f'‖ < r

⊢ ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, (z - x)⁻¹ * (‖f z‖ - ‖f x‖) < r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x
hr : ‖f'‖ < r
this : ∃ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] x, ‖x_1 - x‖⁻¹ * (‖f x_1‖ - ‖f x‖) < r

⊢ ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, (z - x)⁻¹ * (‖f z‖ - ‖f x‖) < r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' (Ici x) x
hr : ‖f'‖ < r
this : ∃ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] x, ‖x_1 - x‖⁻¹ * (‖f x_1‖ - ‖f x‖) < r
z : ℝ
hxz : x < z
hz : ‖z - x‖⁻¹ * (‖f z‖ - ‖f x‖) < r

⊢ (z - x)⁻¹ * (‖f z‖ - ‖f x‖) < r
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/NeZero.lean
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R
h : NeZero ↑0

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x ≠ 0

⊢ o.oangle x (-x) = ↑π
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : ↑u = a

⊢ a * ↑u⁻¹ = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ 2 * ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p μ
hmeas : StronglyMeasurable f
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hMpos : 0 < M
hM : eLpNorm ({x | M ≤ ↑‖f x‖₊}.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ 2 * ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Canonical.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : a < b
hcd : c < d

⊢ a * c < b * d
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Canonical.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : a < b
hcd : c < d
this : MulPosStrictMono α

⊢ a * c < b * d
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Canonical.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
a b d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : a < b
this : MulPosStrictMono α
hcd : 0 < d

⊢ a * 0 < b * d
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Canonical.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝¹ : CanonicallyOrderedCommSemiring α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
hab : a < b
hcd : c < d
this : MulPosStrictMono α
hc : 0 < c

⊢ a * c < b * d
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/IntegrationByParts.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ✝ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure (E × ℝ)
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
ν : Measure E := addHaar

⊢ ∫ (x : E × ℝ), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E × ℝ), (B (f' x)) (g x) ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/IntegrationByParts.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ✝ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure (E × ℝ)
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
ν : Measure E := addHaar
A : ν.prod volume = (ν.prod volume).addHaarScalarFactor μ • μ

⊢ ∫ (x : E × ℝ), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E × ℝ), (B (f' x)) (g x) ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/IntegrationByParts.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ✝ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure (E × ℝ)
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
ν : Measure E := addHaar
A : ν.prod volume = (ν.prod volume).addHaarScalarFactor μ • μ
Hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (ν.prod volume)

⊢ ∫ (x : E × ℝ), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E × ℝ), (B (f' x)) (g x) ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/IntegrationByParts.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ✝ : Measure E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure (E × ℝ)
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
ν : Measure E := addHaar
A : ν.prod volume = (ν.prod volume).addHaarScalarFactor μ • μ
Hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (ν.prod volume)
Hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (ν.prod volume)

⊢ ∫ (x : E × ℝ), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E × ℝ), (B (f' x)) (g x) ∂μ