ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
hx' : a - a ^ 2 ∈ RingHom.ker f

⊢ ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = f e₁ ∧ e' * e₂ = 0
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
hx' : a - a ^ 2 ∈ RingHom.ker f
n : ℕ
hn : (a - a ^ 2) ^ n = 0

⊢ ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = f e₁ ∧ e' * e₂ = 0
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
hx' : a - a ^ 2 ∈ RingHom.ker f
n : ℕ
hn : (a - a ^ 2) ^ n = 0

⊢ f (1 - (1 - a ^ n) ^ n) = f e₁
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
hx' : a - a ^ 2 ∈ RingHom.ker f
n : ℕ
hn : (a - a ^ 2) ^ n = 0

⊢ (1 - (1 - a ^ n) ^ n) * e₂ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] 0

⊢ s.indicator f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = 0 x

⊢ s.indicator f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f : α → β
inst✝ : Zero β
hs : MeasurableSet s
hf : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x = 0 x
x : α
hx : x ∈ s → f x = 0 x

⊢ s.indicator f x = 0 x
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i)
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx : Quot.mk Setoid.r x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)

⊢ ∃ a_1, (quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem) a_1 = Quot.mk Setoid.r ⟨Quot.mk Setoid.r x, hx⟩
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i)
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx : Quot.mk Setoid.r x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i

⊢ ∃ a_1, (quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem) a_1 = Quot.mk Setoid.r ⟨Quot.mk Setoid.r x, hx⟩
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i)
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx✝ : Quot.mk Setoid.r x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
hx : x ∈ P ^ i
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i

⊢ ∃ a_1, (quotientToQuotientRangePowQuotSucc f p P a_mem) a_1 = Quot.mk Setoid.r ⟨Quot.mk Setoid.r x, hx✝⟩
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i)
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx✝ : Quot.mk Setoid.r x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
hx : x ∈ P ^ i
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i

⊢ x ∈ span {a} ⊔ P ^ (i + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i)
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx✝ : Quot.mk Setoid.r x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
hx : x ∈ P ^ i
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i
this : DecidableEq (Ideal S) := Classical.decEq (Ideal S)

⊢ x ∈ span {a} ⊔ P ^ (i + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i)
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx✝ : Quot.mk Setoid.r x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
hx : x ∈ P ^ i
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i
this : DecidableEq (Ideal S) := Classical.decEq (Ideal S)

⊢ x ∈ P ^ min (Multiset.count P (normalizedFactors (span {a}))) (i + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝ : IsDedekindDomain S
hP0 : P ≠ ⊥
hP : P.IsPrime
i : ℕ
hi : i < e
a : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
b✝ : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)) ⧸ LinearMap.range (powQuotSuccInclusion f p P i)
val✝ : S ⧸ P ^ e
x : S
hx✝ : Quot.mk Setoid.r x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ i)
hx : x ∈ P ^ i
Pe_le_Pi : P ^ e ≤ P ^ i
this : DecidableEq (Ideal S) := Classical.decEq (Ideal S)

⊢ span {a} ≠ ⊥
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜

⊢ deriv (fun y => -f y) x = -deriv f x
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
x : { x // x ∈ s }

⊢ map val (s.attach.erase x) = s.erase ↑x
-- Mathlib/FieldTheory/Laurent.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R

⊢ (laurentAux r) ((algebraMap R[X] (RatFunc R)) p) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) ((taylor r) p)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsLimit t.toCone

⊢ t.inr = ht.lift (BinaryFan.mk 0 (𝟙 Y))
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
X Y : C
t : BinaryBicone X Y
ht : IsLimit t.toCone

⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), t.inr ≫ t.toCone.π.app j = (BinaryFan.mk 0 (𝟙 Y)).π.app j
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq

⊢ map (g ∘ f) ⟨s, al⟩ = map g (map f ⟨s, al⟩)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq

⊢ ↑(map (g ∘ f) ⟨s, al⟩) = ↑(map g (map f ⟨s, al⟩))
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq

⊢ Option.map (g ∘ f) = Option.map g ∘ Option.map f
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)

⊢ ⋃₀ S = (⋂₀ (compl '' S))ᶜ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

⊢ (↑m).coeff n = ↑(if n = 0 then m else 0)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
f : Filter β
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)
h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝

⊢ ∃ c, Tendsto u f (𝓝 c)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in ⊥, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in ⊥, b < u n)
h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) ⊥ u) _auto✝
h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) ⊥ u) _auto✝

⊢ ∃ c, Tendsto u ⊥ (𝓝 c)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
f : Filter β
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)
h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
hbot : f.NeBot

⊢ ∃ c, Tendsto u f (𝓝 c)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
f : Filter β
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)
h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
hbot : f.NeBot

⊢ Tendsto u f (𝓝 (limsup u f))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
f : Filter β
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)
h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
hbot : f.NeBot

⊢ limsup u f ≤ liminf u f
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
f : Filter β
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)
h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
hbot : f.NeBot
hlt : liminf u f < limsup u f

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
f : Filter β
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)
h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
hbot : f.NeBot
hlt : liminf u f < limsup u f
a : α
as : a ∈ s
la : liminf u f < a
au : a < limsup u f

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
f : Filter β
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)
h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
hbot : f.NeBot
hlt : liminf u f < limsup u f
a : α
as : a ∈ s
la : liminf u f < a
au : a < limsup u f
b : α
bs : b ∈ s
ab : a < b
bu : b < limsup u f

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
f : Filter β
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)
h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
hbot : f.NeBot
hlt : liminf u f < limsup u f
a : α
as : a ∈ s
la : liminf u f < a
au : a < limsup u f
b : α
bs : b ∈ s
ab : a < b
bu : b < limsup u f
A : ∃ᶠ (n : β) in f, u n < a

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
f : Filter β
u : β → α
s : Set α
hs : Dense s
H : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a < b → ¬((∃ᶠ (n : β) in f, u n < a) ∧ ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n)
h : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h' : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u) _auto✝
hbot : f.NeBot
hlt : liminf u f < limsup u f
a : α
as : a ∈ s
la : liminf u f < a
au : a < limsup u f
b : α
bs : b ∈ s
ab : a < b
bu : b < limsup u f
A : ∃ᶠ (n : β) in f, u n < a
B : ∃ᶠ (n : β) in f, b < u n

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : CommSemigroup α
inst✝ : CommSemigroup β
f : α → β
a b : α

⊢ f (min a b) * f (max a b) = f a * f b
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s✝ t : Set E
ι : Sort u_4
s : ι → Set E
hs : ∀ (i : ι), StarConvex 𝕜 x (s i)
y : E
hy : y ∈ ⋃ i, s i
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ a • x + b • y ∈ ⋃ i, s i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
x : E
s✝ t : Set E
ι : Sort u_4
s : ι → Set E
hs : ∀ (i : ι), StarConvex 𝕜 x (s i)
y : E
hy : ∃ i, y ∈ s i
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ ∃ i, a • x + b • y ∈ s i
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Group G✝
inst✝³ : TopologicalGroup G✝
inst✝² : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : TopologicalSpace G
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)

⊢ ∀ (x₀ : G), Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
-- Mathlib/Topology/Compactification/OnePoint.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (OnePoint X)
t : Set X
α : Type u_2
f : OnePoint X → α
l : Filter α

⊢ Tendsto f (pure ∞) l ∧ Tendsto (f ∘ some) (coclosedCompact X) l ↔ ∀ s ∈ l, f ∞ ∈ s ∧ ∃ t, IsClosed t ∧ IsCompact t ∧ MapsTo (f ∘ some) tᶜ s
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y✝ : E
r✝ : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
x₁ x₂ y : E
r : ℝ

⊢ x₁ - x₂ ∈ p.ball y r ↔ x₁ ∈ p.ball (x₂ + y) r
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ p₆ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₄ p₅ p₆

⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃} ↔ Collinear ℝ {p₄, p₅, p₆}
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α

⊢ a ∈ filter (fun a => ¬p a) s ↔ a ∈ s \ filter p s
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Ring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f g : M →ₗ[R] N
x✝ : M

⊢ ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A (-f))) 1) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (-baseChange A f)) 1) x✝
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝⁵ : Group G
H : Subgroup G
inst✝⁴ : H.Normal
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
inst✝³ : Group G₁
inst✝² : Group G₂
inst✝¹ : Group.IsNilpotent G₁
inst✝ : Group.IsNilpotent G₂

⊢ Group.nilpotencyClass (G₁ × G₂) = max (Group.nilpotencyClass G₁) (Group.nilpotencyClass G₂)
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝⁵ : Group G
H : Subgroup G
inst✝⁴ : H.Normal
G₁ : Type u_2
G₂ : Type u_3
inst✝³ : Group G₁
inst✝² : Group G₂
inst✝¹ : Group.IsNilpotent G₁
inst✝ : Group.IsNilpotent G₂
k : ℕ

⊢ Group.nilpotencyClass (G₁ × G₂) ≤ k ↔ max (Group.nilpotencyClass G₁) (Group.nilpotencyClass G₂) ≤ k
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
n : ℕ

⊢ 2 * powHalf (n + 1) = powHalf n
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
n : ℕ

⊢ powHalf (n + 1) + powHalf (n + 1) = powHalf n
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Theta.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α
g : α → ℝ
h : (fun x => ‖f' x‖) =ᶠ[l] g
x : α
hx : (fun x => ‖f' x‖) x = g x

⊢ (fun x => ‖f' x‖) x = (fun x => ‖g x‖) x
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ

⊢ WithTop.map (⇑ofDual) s.min = (image (⇑ofDual) s).max
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ

⊢ WithTop.map (⇑ofDual) s.min = s.sup (WithBot.some ∘ ⇑ofDual)
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k a b : ℕ
hab : a.Coprime b

⊢ Disjoint (Finset.filter IsPrimePow a.divisors) (Finset.filter IsPrimePow b.divisors)
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p : R
k a b : ℕ
hab : a.Coprime b

⊢ ∀ ⦃a_1 : ℕ⦄, a_1 ∣ a → a ≠ 0 → IsPrimePow a_1 → a_1 ∣ b → b ≠ 0 → ¬IsPrimePow a_1
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k a b : ℕ
hab : a.Coprime b
n : ℕ
han : n ∣ a
_ha : a ≠ 0
hn : IsPrimePow n
hbn : n ∣ b
_hb : b ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R

⊢ (eval P) W.polynomialZ = P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 - (W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R

⊢ (eval P) (X 1 ^ 2 + C W.a₁ * X 0 * X 1 + C (2 * W.a₃) * X 1 * X 2 - (C W.a₂ * X 0 ^ 2 + C (2 * W.a₄) * X 0 * X 2 + C (3 * W.a₆) * X 2 ^ 2)) = P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 - (W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2)
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : f.NeBot
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hs : s.Nonempty
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c

⊢ (ω f ϕ s).Nonempty
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : f.NeBot
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hs : s.Nonempty
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c

⊢ (⋂ u, closure (image2 ϕ (↑u ∩ v) s)).Nonempty
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : f.NeBot
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hs : s.Nonempty
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c

⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) fun i => closure (image2 ϕ (↑i ∩ v) s)
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : f.NeBot
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hs : s.Nonempty
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c

⊢ ∀ (i : ↑f.sets), (closure (image2 ϕ (↑i ∩ v) s)).Nonempty
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : f.NeBot
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hs : s.Nonempty
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c

⊢ ∀ (i : ↑f.sets), IsCompact (closure (image2 ϕ (↑i ∩ v) s))
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
inst✝ : f.NeBot
c : Set β
hc₁ : IsCompact c
hs : s.Nonempty
v : Set τ
hv₁ : v ∈ f
hv₂ : closure (image2 ϕ v s) ⊆ c

⊢ ∀ (i : ↑f.sets), IsClosed (closure (image2 ϕ (↑i ∩ v) s))
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
s : Subgroup G
hx : x ∈ s

⊢ orderOf x ∣ Nat.card ↥s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
E : Set α
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hδε : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ.restrict E) s ≤ ENNReal.ofReal δ

⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p (μ.restrict E) ≤ ENNReal.ofReal ε