ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α

⊢ (∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)) → (∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α

⊢ ((∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1) → ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d

⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
hda : d ≤ a

⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d

⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hac : a ≤ c

⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y a b : α
hab : a ≤ b
hfba : f b < f a
c d : α
hcd : c ≤ d
hfcd : f c < f d
had : a ≤ d
hca : c ≤ a

⊢ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
fi : (i : ι) → M i →* N

⊢ ∀ (x y : FreeMonoid ((i : ι) × M i)), Rel M x y → (Con.ker (FreeMonoid.lift fun p => (fi p.fst) p.snd)) x y
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
fi : (i : ι) → M i →* N

⊢ ∀ (x y : FreeMonoid ((i : ι) × M i)), Rel M x y → (FreeMonoid.lift fun p => (fi p.fst) p.snd) x = (FreeMonoid.lift fun p => (fi p.fst) p.snd) y
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
fi : (i : ι) → M i →* N
i : ι
x : M i

⊢ ((fun f i => f.comp of) ((fun fi => (conGen (Rel M)).lift (FreeMonoid.lift fun p => (fi p.fst) p.snd) ⋯) fi) i) x = (fi i) x
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
is ts : List α

⊢ (is ++ ts).permutations = map (fun x => x ++ ts) is.permutations ++ ts.permutationsAux is.reverse
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
R : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
h : ∀ x ∈ s, ∏ a ∈ filter (fun y => y ≈ x) s, f a = 1

⊢ ∏ x ∈ s, f x = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
R : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
h : ∀ x ∈ s, ∏ a ∈ filter (fun y => y ≈ x) s, f a = 1

⊢ ∀ x ∈ image Quotient.mk'' s, ∏ y ∈ filter (fun x_1 => ⟦x_1⟧ = x) s, f y = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
R : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
h : ∀ x ∈ s, ∏ a ∈ filter (fun y => y ≈ x) s, f a = 1
xbar : Quotient R
xbar_in_s : xbar ∈ image Quotient.mk'' s

⊢ ∏ y ∈ filter (fun x => ⟦x⟧ = xbar) s, f y = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
R : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
h : ∀ x ∈ s, ∏ a ∈ filter (fun y => y ≈ x) s, f a = 1
x : α
x_in_s : x ∈ s
xbar_in_s : Quotient.mk'' x ∈ image Quotient.mk'' s

⊢ ∏ y ∈ filter (fun x_1 => ⟦x_1⟧ = Quotient.mk'' x) s, f y = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
R : Setoid α
inst✝ : DecidableRel Setoid.r
x : α
x_in_s : x ∈ s
xbar_in_s : Quotient.mk'' x ∈ image Quotient.mk'' s
h : ∀ x ∈ s, ∏ x ∈ filter (fun y => ⟦y⟧ = ⟦x⟧) s, f x = 1

⊢ ∏ y ∈ filter (fun x_1 => ⟦x_1⟧ = Quotient.mk'' x) s, f y = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u✝ v : Finset α
a b : α
s t u : Finset α
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ s ∪ (t ∪ u) ↔ x✝ ∈ t ∪ (s ∪ u)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
s : List α

⊢ s.prod = ∏ m ∈ s.toFinset, m ^ count m s
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : ContinuousAt (⇑p) 0

⊢ UniformContinuous ⇑p
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp✝ : ContinuousAt (⇑p) 0
hp : Tendsto (⇑p) (𝓝 0) (𝓝 0)

⊢ UniformContinuous ⇑p
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedRing 𝕝
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module 𝕝 E
inst✝¹ : UniformSpace E
inst✝ : UniformAddGroup E
p : Seminorm 𝕝 E
hp✝ : ContinuousAt (⇑p) 0
hp : Tendsto (⇑p) (𝓝 0) (𝓝 0)

⊢ Tendsto ((fun p => dist p.1 p.2) ∘ fun x => (p x.1, p x.2)) (comap (fun x => x.1 - x.2) (𝓝 0)) (𝓝 0)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α

⊢ (M.restrictSubtype X).Indep (X ↓∩ I) ↔ M.Indep (X ∩ I)
-- Mathlib/FieldTheory/Tower.lean
F✝ : Type u
K✝ : Type v
A✝ : Type w
inst✝¹⁰ : DivisionRing F✝
inst✝⁹ : DivisionRing K✝
inst✝⁸ : AddCommGroup A✝
inst✝⁷ : Module F✝ K✝
inst✝⁶ : Module K✝ A✝
inst✝⁵ : Module F✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower F✝ K✝ A✝
F : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : Algebra F A
hp : Nat.Prime (finrank F A)
K : Subalgebra F A

⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/Tower.lean
F✝ : Type u
K✝ : Type v
A✝ : Type w
inst✝¹⁰ : DivisionRing F✝
inst✝⁹ : DivisionRing K✝
inst✝⁸ : AddCommGroup A✝
inst✝⁷ : Module F✝ K✝
inst✝⁶ : Module K✝ A✝
inst✝⁵ : Module F✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower F✝ K✝ A✝
F : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : Algebra F A
hp : Nat.Prime (finrank F A)
K : Subalgebra F A
this : FiniteDimensional F A

⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/Tower.lean
F✝ : Type u
K✝ : Type v
A✝ : Type w
inst✝¹⁰ : DivisionRing F✝
inst✝⁹ : DivisionRing K✝
inst✝⁸ : AddCommGroup A✝
inst✝⁷ : Module F✝ K✝
inst✝⁶ : Module K✝ A✝
inst✝⁵ : Module F✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower F✝ K✝ A✝
F : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : Algebra F A
hp : Nat.Prime (finrank F A)
K : Subalgebra F A
this✝ : FiniteDimensional F A
this : DivisionRing ↥K := divisionRingOfFiniteDimensional F ↥K

⊢ K = ⊥ ∨ K = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/Tower.lean
F✝ : Type u
K✝ : Type v
A✝ : Type w
inst✝¹⁰ : DivisionRing F✝
inst✝⁹ : DivisionRing K✝
inst✝⁸ : AddCommGroup A✝
inst✝⁷ : Module F✝ K✝
inst✝⁶ : Module K✝ A✝
inst✝⁵ : Module F✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower F✝ K✝ A✝
F : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : Algebra F A
hp : Nat.Prime (finrank F A)
K : Subalgebra F A
this✝ : FiniteDimensional F A
this : DivisionRing ↥K := divisionRingOfFiniteDimensional F ↥K

⊢ finrank F ↥K = 1 → K = ⊥
-- Mathlib/FieldTheory/Tower.lean
F✝ : Type u
K✝ : Type v
A✝ : Type w
inst✝¹⁰ : DivisionRing F✝
inst✝⁹ : DivisionRing K✝
inst✝⁸ : AddCommGroup A✝
inst✝⁷ : Module F✝ K✝
inst✝⁶ : Module K✝ A✝
inst✝⁵ : Module F✝ A✝
inst✝⁴ : IsScalarTower F✝ K✝ A✝
F : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : Field F
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : Algebra F A
hp : Nat.Prime (finrank F A)
K : Subalgebra F A
this✝ : FiniteDimensional F A
this : DivisionRing ↥K := divisionRingOfFiniteDimensional F ↥K
h : finrank F ↥K = finrank F A

⊢ K = ⊤
-- Mathlib/Order/Interval/Set/SurjOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b x : α
hp : f x ∈ Ioo (f a) (f b)

⊢ f x ∈ f '' Ioo a b
-- Mathlib/Order/Interval/Set/SurjOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b x : α
hp : f x ∈ Ioo (f a) (f b)

⊢ a < x ∧ x < b
-- Mathlib/Order/Interval/Set/SurjOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
h_mono : Monotone f
h_surj : Surjective f
a b x : α
hp : a < x → b ≤ x

⊢ f x ∉ Ioo (f a) (f b)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : Char → α → α
l m r : List Char
a : α

⊢ foldrAux f a { data := l ++ m ++ r } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } { byteIdx := utf8Len l } = List.foldr f a m
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : Char → α → α
l m r : List Char
a : α

⊢ foldrAux f a { data := l ++ m.reverse.reverse ++ r } { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m.reverse.reverse } { byteIdx := utf8Len l } = List.foldr f a m.reverse.reverse
-- Mathlib/Algebra/Lie/Free.lean
R : Type u
X : Type v
inst✝ : CommRing R
a b c : lib R X
h : Rel R X b c

⊢ Rel R X (a + b) (a + c)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Free.lean
R : Type u
X : Type v
inst✝ : CommRing R
a b c : lib R X
h : Rel R X b c

⊢ Rel R X (b + a) (c + a)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : ℕ
hn : Fact (Nat.Prime p)

⊢ cyclotomic p R * (X - 1) = X ^ p - 1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Path.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
p₁ p₂ : Path x₀ x₁
hp : ∀ (t : ↑I), p₁ t = p₂ t

⊢ HEq ⟦p₁⟧ ⟦p₂⟧
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Path.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀ x₁ : X
p₁ p₂ : Path x₀ x₁
hp : ∀ (t : ↑I), p₁ t = p₂ t

⊢ ⟦p₁⟧ = ⟦p₂⟧
-- Mathlib/Data/Seq/Parallel.lean
α : Type u
β : Type v

⊢ ∀ {l : List (Computation α)} {S : WSeq (Computation α)} {c : Computation α}, c ∈ l → c.Terminates → (corec parallel.aux1 (l, S)).Terminates
-- Mathlib/Data/Seq/Parallel.lean
α : Type u
β : Type v
lem1 : ∀ (l : List (Computation α)) (S : WSeq (Computation α)), (∃ a, parallel.aux2 l = Sum.inl a) → (corec parallel.aux1 (l, S)).Terminates

⊢ ∀ {l : List (Computation α)} {S : WSeq (Computation α)} {c : Computation α}, c ∈ l → c.Terminates → (corec parallel.aux1 (l, S)).Terminates
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i
hi : i = 0

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 3)
j : Fin (n + 2)
H : j.succ < i

⊢ X.map (SimplexCategory.σ j).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i).op = X.map (SimplexCategory.δ (i.pred ⋯)).op ≫ X.map (SimplexCategory.σ (j.castLT ⋯)).op
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝² : NormedDivisionRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

⊢ HasSum (fun n => x ^ n / ↑n !) (exp 𝕂 x)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝² : NormedDivisionRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

⊢ HasSum (fun n => (expSeries 𝕂 𝔸 n) fun x_1 => x) (exp 𝕂 x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/RightDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : InjectiveResolution X
Q : InjectiveResolution Y
g : P.cocomplex ⟶ Q.cocomplex
w : P.ι ≫ g = (CochainComplex.single₀ C).map f ≫ Q.ι

⊢ (F.rightDerived n).map f = (P.isoRightDerivedObj F n).hom ≫ (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map g ≫ (Q.isoRightDerivedObj F n).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/RightDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : InjectiveResolution X
Q : InjectiveResolution Y
g : P.cocomplex ⟶ Q.cocomplex
w : P.ι ≫ g = (CochainComplex.single₀ C).map f ≫ Q.ι

⊢ P.ι.f 0 ≫ g.f 0 = f ≫ Q.ι.f 0
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b

⊢ BddAbove {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
k : ℕ
hk : upperCrossingTime a b f N k ω = N

⊢ BddAbove {n | upperCrossingTime a b f N n ω < N}
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n✝ m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
k : ℕ
hk : upperCrossingTime a b f N k ω = N
n : ℕ
hn : upperCrossingTime a b f N n ω < N

⊢ n ≤ k
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n✝ m : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
k : ℕ
hk : upperCrossingTime a b f N k ω = N
n : ℕ
hn : upperCrossingTime a b f N n ω < N
hn' : ¬n ≤ k

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
b : β
p : β → Prop
s : (x : β) → x = b ∨ p x → Set α

⊢ ⋃ x, ⋃ (h : x = b ∨ p x), s x h = s b ⋯ ∪ ⋃ x, ⋃ (h : p x), s x ⋯
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : s.Nonempty → ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s })

⊢ comap Subtype.val (𝓝[<] b) = atTop
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs : s.Nonempty → ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s })
this : Nonempty ↑s

⊢ comap Subtype.val (𝓝[<] b) = atTop
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝¹ b : α
s : Set α
hb : s ⊆ Iio b
hs✝ : s.Nonempty → ∃ a < b, Ioo a b ⊆ s
a✝ : Nontrivial (Filter { x // x ∈ s })
this : Nonempty ↑s
a : α
h : a < b
hs : Ioo a b ⊆ s

⊢ comap Subtype.val (𝓝[<] b) = atTop
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X ≫ actRight P Q = (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ ((α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/BasedCategory.lean
𝒮 : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : BasedCategory 𝒮
𝒴 : BasedCategory 𝒮
F G H : 𝒳 ⥤ᵇ 𝒴
α : BasedNatTrans F G
β : BasedNatTrans G H
a : 𝒳.obj

⊢ 𝒴.p.IsHomLift (𝟙 (𝒳.p.obj a)) ((α.vcomp β.toNatTrans).app a)
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/BasedCategory.lean
𝒮 : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} 𝒮
𝒳 : BasedCategory 𝒮
𝒴 : BasedCategory 𝒮
F G H : 𝒳 ⥤ᵇ 𝒴
α : BasedNatTrans F G
β : BasedNatTrans G H
a : 𝒳.obj

⊢ 𝒴.p.IsHomLift (𝟙 (𝒳.p.obj a)) (α.app a ≫ β.app a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
m : Type u_3
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
b : Basis m R S
x : S
i j : m

⊢ (toMatrix b b) ((lmul R S) x) i j = (b.repr (x * b j)) i
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝¹ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
a✝ : α

⊢ a✝ ∈ (op a • s)⁻¹ ↔ a✝ ∈ a⁻¹ • s⁻¹
-- Mathlib/Logic/Nontrivial/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : DecidableEq α
x : α

⊢ ∃ y, y ≠ x
-- Mathlib/Logic/Nontrivial/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : DecidableEq α
x y y' : α
h : y ≠ y'

⊢ ∃ y, y ≠ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ (↑(π / 2) - θ).cos = θ.sin
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝ : ℝ

⊢ (↑(π / 2) - ↑x✝).cos = (↑x✝).sin
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)

⊢ ((𝟙 N₂ ◫ N₂Γ₂.inv) ≫ (N₂.associator Γ₂ N₂).inv ≫ Γ₂N₂.natTrans ◫ 𝟙 N₂).app P = (𝟙 N₂).app P
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
P : Karoubi (SimplicialObject C)

⊢ (N₂Γ₂.inv.app (N₂.obj P) ≫ N₂.map (Γ₂.map (𝟙 (N₂.obj P)))) ≫ 𝟙 (N₂.obj (Γ₂.obj (N₂.obj P))) ≫ 𝟙 (N₂.obj (Γ₂.obj (N₂.obj P))) ≫ N₂.map (Γ₂N₂.natTrans.app P) = 𝟙 (N₂.obj P)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : NormedRing 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝³ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 F
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
φ : α → 𝕜
hf : Memℒp f ⊤ μ
hφ : Memℒp φ p μ

⊢ Memℒp (φ • f) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : NormedRing 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : MulActionWithZero 𝕜 E
inst✝³ : BoundedSMul 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : MulActionWithZero 𝕜 F
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 F
f✝ : α → E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
φ : α → 𝕜
hf : Memℒp f ⊤ μ
hφ : Memℒp φ p μ

⊢ 1 / p = 1 / p + 1 / ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a x : ℝ

⊢ ↑(⋯.lift ↑a) = cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
y : L

⊢ y ∈ LieModule.ker R L L ↔ y ∈ center R L
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.25079, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.25131, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : C
i : G.obj X ⟶ G.obj Y
x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)

⊢ ℱ'.val.map i.op (α.app (op Y) x) = α.app (op X) (ℱ.map i.op x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.25079, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.25131, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : C
i : G.obj X ⟶ G.obj Y
x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)
this : ∀ {X Y : C} (i : X ⟶ Y) (x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)), ℱ'.val.map (G.map i).op (α.app (op Y) x) = α.app (op X) (ℱ.map (G.map i).op x)

⊢ ℱ'.val.map i.op (α.app (op Y) x) = α.app (op X) (ℱ.map i.op x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.25079, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.25131, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X Y : C
i : G.obj X ⟶ G.obj Y
x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)
this : ∀ {X Y : C} (i : X ⟶ Y) (x : (G.op ⋙ ℱ).obj (op Y)), ℱ'.val.map (G.map i).op (α.app (op Y) x) = α.app (op X) (ℱ.map (G.map i).op x)
V : C
iVX : V ⟶ X
iVY : V ⟶ Y
e : G.map iVY = G.map iVX ≫ i

⊢ ℱ'.val.map (G.map iVX).op (ℱ'.val.map i.op (α.app (op Y) x)) = ℱ'.val.map (G.map iVX).op (α.app (op X) (ℱ.map i.op x))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
α : Type u_1
l m r : List Char
f : Char → α → α
init : α

⊢ Substring.foldr f init { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } } = List.foldr f init m
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIocDiv hp a b ⩿ toIcoDiv hp a b
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIocDiv hp a b = toIcoDiv hp a b ∨ toIocDiv hp a b + 1 = toIcoDiv hp a b