ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Prod.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂

⊢ W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₁).flip = W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₂).flip
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Prod.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂

⊢ (W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₁).flip).flip = (W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₂).flip).flip
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Prod.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
D₁ : Type u₃
D₂ : Type u₄
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D₁
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} D₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
W₁ : MorphismProperty C₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
W₂ : MorphismProperty C₂
E : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} E
F : C₁ × C₂ ⥤ E
F₁ F₂ : W₁.Localization × W₂.Localization ⥤ E
h : W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₁ = W₁.Q.prod W₂.Q ⋙ F₂

⊢ uncurry.obj (W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₁).flip).flip = uncurry.obj (W₂.Q ⋙ (W₁.Q ⋙ curry.obj F₂).flip).flip
-- Mathlib/Topology/Sequences.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
h₁ : SequentialSpace X
h₂ : SequentialSpace X

⊢ SequentialSpace X
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
H : LocalizationPreserves P
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
hf : P f

⊢ P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : Algebra S S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
H : LocalizationPreserves P
r : R
inst✝¹ : IsLocalization.Away r R'
inst✝ : IsLocalization.Away (f r) S'
hf : P f
this : IsLocalization (Submonoid.map f (Submonoid.powers r)) S'

⊢ P (IsLocalization.Away.map R' S' f r)
-- Mathlib/Data/List/Prime.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : Unique Mˣ
a : M
l₁ : List M
b : M
l₂ : List M
h : (a :: l₁).prod = (b :: l₂).prod
hl₁ : ∀ p ∈ a :: l₁, Prime p
hl₂ : ∀ p ∈ b :: l₂, Prime p

⊢ a :: l₁ ~ b :: l₂
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a b : α

⊢ BddBelow s ∧ BddAbove s ↔ ∃ a b, s ⊆ Icc a b
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
p : ℕ
pp : Fact (Nat.Prime p)
a r : ℤ
hr : IsInt (jacobiSym a p) r

⊢ IsInt (legendreSym p a) r
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Uniform.lean
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : E → F
K : ℝ≥0
h : AntilipschitzWith K f
hf : f 1 = 1
x : E

⊢ ‖x‖ ≤ ↑K * ‖f x‖
-- Mathlib/Control/Functor/Multivariate.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u_1
inst✝¹ : MvFunctor F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
pp : β → Prop
rr : β → β → Prop
x y : F (α ::: β)

⊢ (∃ u, (fun i t => (↑t).1) <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> u = y) ↔ ∃ u, (fun i t => (↑t).1) <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> u = y
-- Mathlib/Control/Functor/Multivariate.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u_1
inst✝¹ : MvFunctor F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
pp : β → Prop
rr : β → β → Prop
x y : F (α ::: β)

⊢ MvFunctor.f' rr n α ⊚ MvFunctor.g' rr n α = TypeVec.id
-- Mathlib/Control/Functor/Multivariate.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u_1
inst✝¹ : MvFunctor F
inst✝ : LawfulMvFunctor F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
pp : β → Prop
rr : β → β → Prop
x y : F (α ::: β)

⊢ ∀ (u : F fun i => { p_1 // ofRepeat (α.RelLast' rr i (prod.mk i p_1.1 p_1.2)) }), (fun i t => (↑t).1) <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> u = y ↔ (fun i t => (↑t).1) <$$> MvFunctor.f' rr n α <$$> u = x ∧ (fun i t => (↑t).2) <$$> MvFunctor.f' rr n α <$$> u = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A B : Matrix m m R
hA : A.PosDef
hB : B.PosSemidef
x : m → R
hx : x ≠ 0

⊢ 0 < star x ⬝ᵥ (A + B) *ᵥ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A B : Matrix m m R
hA : A.PosDef
hB : B.PosSemidef
x : m → R
hx : x ≠ 0

⊢ 0 < star x ⬝ᵥ A *ᵥ x + star x ⬝ᵥ B *ᵥ x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ↑(μ.withDensityᵥ f) s = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ↑{ measureOf' := fun s => if MeasurableSet s then ∫ (x : α) in s, f x ∂μ else 0, empty' := ⋯, not_measurable' := ⋯, m_iUnion' := ⋯ } s = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f₁ f₂ f₃ : ArithmeticFunction R
x✝ : ℕ

⊢ ((f₁.pmul f₂).pmul f₃) x✝ = (f₁.pmul (f₂.pmul f₃)) x✝
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α

⊢ Nat.card { x // x ∈ s } = s.card
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsArtinian R M
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

⊢ s.Finite
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsArtinian R M
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hf : ¬s.Finite

⊢ (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsArtinian R M
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hf : ¬s.Finite
f : ℕ ↪ ↑s

⊢ (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsArtinian R M
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hf : ¬s.Finite
f : ℕ ↪ ↑s
this : ∀ (n : ℕ), Subtype.val ∘ ⇑f '' {m | n ≤ m} ⊆ s

⊢ (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : IsArtinian R M
s : Set M
hs : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val
hf : ¬s.Finite
f : ℕ ↪ ↑s
this✝ : ∀ (n : ℕ), Subtype.val ∘ ⇑f '' {m | n ≤ m} ⊆ s
this : ∀ (a b : ℕ), a ≤ b ↔ span R (Subtype.val ∘ ⇑f '' {m | b ≤ m}) ≤ span R (Subtype.val ∘ ⇑f '' {m | a ≤ m})

⊢ (fun x x_1 => x > x_1) ↪r fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X₀ X₁ X₂ : V
d₀ : X₀ ⟶ X₁
d₁ : X₁ ⟶ X₂
s : d₀ ≫ d₁ = 0
succ : (S : ShortComplex V) → (X₄ : V) ×' (d₂ : S.X₃ ⟶ X₄) ×' S.g ≫ d₂ = 0

⊢ (if 1 = 0 + 1 then d₀ ≫ 𝟙 X₁ else 0) = d₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν

⊢ ν.withDensity (μ.rnDeriv ν) = μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν

⊢ μ.singularPart ν = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν

⊢ (μ.singularPart ν) Set.univ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν
h_sing : μ.singularPart ν ⟂ₘ ν

⊢ (μ.singularPart ν) Set.univ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν
h_sing : μ.singularPart ν ⟂ₘ ν

⊢ (μ.singularPart ν) h_sing.nullSet + (μ.singularPart ν) h_sing.nullSetᶜ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν
h_sing : μ.singularPart ν ⟂ₘ ν

⊢ (μ.singularPart ν) h_sing.nullSetᶜ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν
h_sing : μ.singularPart ν ⟂ₘ ν

⊢ (μ.singularPart ν) h_sing.nullSetᶜ ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : μ.HaveLebesgueDecomposition ν
h : μ ≪ ν
h_sing : μ.singularPart ν ⟂ₘ ν

⊢ μ h_sing.nullSetᶜ = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/HasPullback.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : HasPullback f g

⊢ (pullbackSymmetry f g).inv ≫ pullback.fst f g = pullback.snd g f
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

⊢ constantCoeff (W_ R n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

⊢ (∑ x ∈ range (n + 1), if single x (p ^ (n - x)) = 0 then ↑p ^ x else 0) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ

⊢ ∀ x ∈ range (n + 1), (if single x (p ^ (n - x)) = 0 then ↑p ^ x else 0) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n i : ℕ
a✝ : i ∈ range (n + 1)

⊢ (if single i (p ^ (n - i)) = 0 then ↑p ^ i else 0) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n i : ℕ
a✝ : i ∈ range (n + 1)

⊢ ¬single i (p ^ (n - i)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
hp : Fact (Nat.Prime p)
n i : ℕ
a✝ : i ∈ range (n + 1)

⊢ ¬p ^ (n - i) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyInjective.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
inst✝² : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : Sheaf J D
φ : F₁ ⟶ F₂
inst✝¹ : J.HasSheafCompose (forget D)
inst✝ : IsLocallyInjective φ

⊢ Mono φ
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyInjective.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
inst✝² : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : Sheaf J D
φ : F₁ ⟶ F₂
inst✝¹ : J.HasSheafCompose (forget D)
inst✝ : IsLocallyInjective φ

⊢ ∀ (X : Cᵒᵖ), Function.Injective ⇑(φ.val.app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyInjective.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
inst✝² : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ : Sheaf J D
φ : F₁ ⟶ F₂
inst✝¹ : J.HasSheafCompose (forget D)
inst✝ : IsLocallyInjective φ

⊢ IsLocallyInjective φ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R : CommRingCatᵒᵖ

⊢ locallyRingedSpaceMap (𝟙 (unop R)) = 𝟙 (locallyRingedSpaceObj (unop R))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
X✝ Y✝ Z✝ : CommRingCatᵒᵖ
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ locallyRingedSpaceMap (g.unop ≫ f.unop) = locallyRingedSpaceMap f.unop ≫ locallyRingedSpaceMap g.unop
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ c d : Con M

⊢ c ⊔ d = conGen fun x y => c x y ∨ d x y
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ c d : Con M

⊢ c ⊔ d = sInf {s | ∀ (x y : M), c x y ∨ d x y → s x y}
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ c d : Con M

⊢ {x | c ≤ x ∧ d ≤ x} = {s | ∀ (x y : M), c x y ∨ d x y → s x y}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ t : Set G
h : tᶜ * closure {1} = tᶜ

⊢ t * closure {1} = t
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c d a' b' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
hb : b' < b

⊢ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b' < a ⨳ b ♯ a' ⨳ b'
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c d a' b' : Ordinal.{u}
ha : a' < a
hb : b' < b

⊢ a' ⨳ b ♯ a ⨳ b' < sInf {c | ∀ a' < a, ∀ b' < b, a' ⨳ b ♯ a ⨳ b' < c ♯ a' ⨳ b'} ♯ a' ⨳ b'
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
a : ℝ

⊢ LipschitzWith Kf fun x => min a (f x)
-- Mathlib/Topology/Instances/Real.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w

⊢ ∀ u ∈ ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b}, IsOpen u
-- Mathlib/Topology/Instances/Real.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : ℝ
v : Set ℝ
hav : a ∈ v
hv : IsOpen v
l u : ℝ
hl : l < a
hu : a < u
h : Ioo l u ⊆ v
q : ℚ
hlq : l < ↑q
hqa : ↑q < a
p : ℚ
hap : a < ↑p
hpu : ↑p < u

⊢ Ioo ↑q ↑p ∈ ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b}
-- Mathlib/Topology/Instances/Real.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : ℝ
v : Set ℝ
hav : a ∈ v
hv : IsOpen v
l u : ℝ
hl : l < a
hu : a < u
h : Ioo l u ⊆ v
q : ℚ
hlq : l < ↑q
hqa : ↑q < a
p : ℚ
hap : a < ↑p
hpu : ↑p < u

⊢ ∃ i i_1, ∃ (_ : i < i_1), Ioo ↑q ↑p ∈ {Ioo ↑i ↑i_1}
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hf0 : f 0 = 0
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, BddAbove (Set.range fun n => f n ω) ↔ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Interval.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
s : Finset ι
f : Π₀ (i : ι), α i
t : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

⊢ f ∈ s.dfinsupp t ↔ f.support ⊆ s ∧ ∀ i ∈ s, f i ∈ t i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Interval.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
s : Finset ι
f : Π₀ (i : ι), α i
t : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

⊢ (∃ a ∈ s.pi t, { toFun := fun f => DFinsupp.mk s fun i => f ↑i ⋯, inj' := ⋯ } a = f) → f.support ⊆ s ∧ ∀ i ∈ s, f i ∈ t i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Interval.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
s : Finset ι
f : Π₀ (i : ι), α i
t : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)

⊢ (f.support ⊆ s ∧ ∀ i ∈ s, f i ∈ t i) → ∃ a ∈ s.pi t, { toFun := fun f => DFinsupp.mk s fun i => f ↑i ⋯, inj' := ⋯ } a = f
-- Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
x : E
hx : x ∈ K.vertices
hs : s ∈ K.faces

⊢ x ∈ (convexHull 𝕜) ↑s ↔ x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/SimplicialComplex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
K : SimplicialComplex 𝕜 E
s t : Finset E
x : E
hx : x ∈ K.vertices
hs : s ∈ K.faces
h : x ∈ (convexHull 𝕜) ↑s

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj

⊢ Disjoint (G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t) (image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj

⊢ ∀ a ∈ G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t, ∀ b ∈ image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s), a ≠ b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t

⊢ ∀ b ∈ image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s), e ≠ b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeFinset \ G.incidenceFinset t
this : t ∉ e

⊢ ∀ b ∈ image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s), e ≠ b
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : StrictOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y z : E
h : x ∈ [y-[𝕜]z]

⊢ SameRay 𝕜 (x - y) (z - x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : StrictOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y z : E
h : x ∈ (fun θ => y + θ • (z - y)) '' Icc 0 1

⊢ SameRay 𝕜 (x - y) (z - x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : StrictOrderedCommRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
y z : E
θ : 𝕜
hθ₀ : 0 ≤ θ
hθ₁ : θ ≤ 1

⊢ SameRay 𝕜 ((fun θ => y + θ • (z - y)) θ - y) (z - (fun θ => y + θ • (z - y)) θ)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ R
a : Γ
ha : a ∈ (x + y).support

⊢ a ∈ x.support ∪ y.support
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ R
a : Γ
ha : x.coeff a + y.coeff a ≠ 0

⊢ a ∈ x.support ∪ y.support
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ R
a : Γ
ha : x.coeff a + y.coeff a ≠ 0

⊢ x.coeff a ≠ 0 ∨ y.coeff a ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x y : HahnSeries Γ R
a : Γ
ha : x.coeff a = 0 ∧ y.coeff a = 0

⊢ x.coeff a + y.coeff a = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}

⊢ (lsub f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} #ι
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}

⊢ (lsub f).cof ≤ #(ULift.{v, u} ι)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}

⊢ lsub f = lsub fun i => f i.down
-- Mathlib/Data/Nat/WithBot.lean
x : WithBot ℕ

⊢ ¬x < 1 ↔ ¬x ≤ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R
b : CliffordAlgebra Q

⊢ (contractLeft d) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r * b) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r * (contractLeft d) b
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
hA : IsUnit A.det
b : Basis m R (m → R) := Pi.basisFun R m

⊢ (A * B).rank = B.rank
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
b : Basis m R (m → R) := Pi.basisFun R m
hA : IsUnit ((LinearMap.toMatrix b b) A.mulVecLin).det

⊢ (A * B).rank = B.rank
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : DecidableEq m
A : Matrix m m R
B : Matrix m n R
b : Basis m R (m → R) := Pi.basisFun R m
hA : IsUnit ((LinearMap.toMatrix b b) A.mulVecLin).det
hAB : (A * B).mulVecLin = ↑(LinearEquiv.ofIsUnitDet hA) ∘ₗ B.mulVecLin

⊢ (A * B).rank = B.rank
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2

⊢ (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) =O[atTop] fun n => deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'

⊢ (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) =O[atTop] fun n => deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1

⊢ (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) =O[atTop] fun n => deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1

⊢ (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) =O[atTop] fun n => deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i

⊢ (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) =O[atTop] fun n => deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)