ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → diagonal v i j * w j = 0

⊢ diagonal v i ⬝ᵥ w = v i * w i
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X

⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => x ∈ s ∧ IsOpen s) fun s => s
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X

⊢ (⨅ s ∈ {s | x ∈ s ∧ IsOpen s}, 𝓟 s).HasBasis (fun s => x ∈ s ∧ IsOpen s) fun s => s
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
p : MonoidAlgebra k G → Prop
f : MonoidAlgebra k G
hM : ∀ (g : G), p ((of k G) g)
hadd : ∀ (f g : MonoidAlgebra k G), p f → p g → p (f + g)
hsmul : ∀ (r : k) (f : MonoidAlgebra k G), p f → p (r • f)

⊢ p f
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
p : MonoidAlgebra k G → Prop
f : MonoidAlgebra k G
hM : ∀ (g : G), p ((of k G) g)
hadd : ∀ (f g : MonoidAlgebra k G), p f → p g → p (f + g)
hsmul : ∀ (r : k) (f : MonoidAlgebra k G), p f → p (r • f)

⊢ p 0
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Monoid G
p : MonoidAlgebra k G → Prop
f : MonoidAlgebra k G
hM : ∀ (g : G), p ((of k G) g)
hadd : ∀ (f g : MonoidAlgebra k G), p f → p g → p (f + g)
hsmul : ∀ (r : k) (f : MonoidAlgebra k G), p f → p (r • f)
g : G
r : k

⊢ p (Finsupp.single g r)
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t

⊢ s ⊆ balancedCore 𝕜 t
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t

⊢ s ⊆ ⋂ r, ⋂ (_ : 1 ≤ ‖r‖), r • t
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
a : 𝕜
ha : 1 ≤ ‖a‖

⊢ s ⊆ a • t
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
a : 𝕜
ha : 1 ≤ ‖a‖

⊢ a • a⁻¹ • s ⊆ a • t
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
a : 𝕜
ha : 1 ≤ ‖a‖

⊢ ‖a⁻¹‖ ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
ht : 0 ∈ t
hst : ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • s ⊆ t
a : 𝕜
ha : 1 ≤ ‖a‖

⊢ ‖a‖⁻¹ ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁵ : Ring k
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1
inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1
inst✝¹² : AddCommGroup V2
inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3
inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁸ : Module k V1
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)

⊢ f = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁵ : Ring k
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1
inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1
inst✝¹² : AddCommGroup V2
inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3
inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁸ : Module k V1
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)

⊢ f 0 = g 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁵ : Ring k
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1
inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1
inst✝¹² : AddCommGroup V2
inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3
inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁸ : Module k V1
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
inhabited_h : Inhabited ι

⊢ f 0 = g 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁵ : Ring k
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1
inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1
inst✝¹² : AddCommGroup V2
inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3
inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁸ : Module k V1
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι) (x : φv i), f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
inhabited_h : Inhabited ι

⊢ f (Pi.single default 0) = g (Pi.single default 0)
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
F : Type u
inst✝ : Field F
p q : F[X]
f g : RatFunc F
P : F[X]

⊢ (ofPowerSeries ℤ F) ↑P = ↑↑P
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
b : ℝ≥0∞

⊢ (↑a * b).toNNReal = a * b.toNNReal
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
n m : ℕ
H : Raised n m

⊢ n.dist m ≤ 1
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
n m : ℕ
H : Raised n m
H1 : n ≤ m
H2 : m ≤ n + 1

⊢ n.dist m ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder ι
s : Finset ι
f : ι → α

⊢ ∏ i ∈ s, (1 - f i) = 1 - ∑ i ∈ s, f i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (1 - f j)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g : ι → α
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : LinearOrder ι
s : Finset ι
f : ι → α

⊢ ∏ i ∈ s, 1 - ∑ i ∈ s, (f i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (1 - f j)) * ∏ j ∈ filter (fun j => i < j) s, 1 = 1 - ∑ i ∈ s, f i * ∏ j ∈ filter (fun x => x < i) s, (1 - f j)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
h : ‖x‖ = ‖y‖

⊢ SameRay ℝ x y ↔ x = y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
h : ‖x‖ = ‖0‖

⊢ SameRay ℝ x 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Ray.lean
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : F
h : ‖x‖ = ‖y‖
hy : y ≠ 0

⊢ SameRay ℝ x y ↔ x = y
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥

⊢ liminf (u + v) f = ⊤
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥

⊢ ∀ (z : ℝ), ↑z < ⊤ → ↑z ≤ liminf (u + v) f
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
x : ℝ

⊢ ↑x < ⊤ → ↑x ≤ liminf (u + v) f
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
x y : ℝ
left✝ : ⊥ < ↑y
hy : ↑y < liminf v f

⊢ ↑x < ⊤ → ↑x ≤ liminf (u + v) f
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
x y : ℝ
left✝ : ⊥ < ↑y
hy : ↑y < liminf v f
a✝ : ↑x < ⊤

⊢ ↑x ≤ liminf (u + v) f
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
h : liminf u f = ⊤
h' : liminf v f ≠ ⊥
x y : ℝ
left✝ : ⊥ < ↑y
hy : ↑y < liminf v f
a✝ : ↑x < ⊤

⊢ ↑(x - y) + ↑y ≤ liminf (u + v) f
-- Mathlib/Data/Finsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq α
inst✝⁴ : DecidableEq M
inst✝³ : Zero M
inst✝² : DecidableEq P
inst✝¹ : Zero P
inst✝ : Zero N
F : M → N → P
F0 : F 0 0 = 0
f₁ f₂ : α →₀ M
g : α →₀ N
hF : ∀ (g : N), Function.Injective fun f => F f g
a✝ : α

⊢ a✝ ∈ (zipWith F F0 f₁ g).neLocus (zipWith F F0 f₂ g) ↔ a✝ ∈ f₁.neLocus f₂
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂

⊢ dist p₁ p₂ / (∡ p₂ p₁ s.center).cos = 2 * s.radius
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝¹ n✝ a n : ℕ
x y : ℤ
he : ↑x = ↑y
hl : x.natAbs ≤ n / 2

⊢ x.natAbs ≤ y.natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝¹ n✝ a n : ℕ
x y : ℤ
he : ↑n ∣ y - x
hl : x.natAbs ≤ n / 2

⊢ x.natAbs ≤ y.natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x y : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
he : y - x = ↑n * m

⊢ x.natAbs ≤ y.natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x y : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
he : y = ↑n * m + x

⊢ x.natAbs ≤ y.natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ

⊢ x.natAbs ≤ (↑n * m + x).natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2

⊢ x.natAbs ≤ (↑n * 0 + x).natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0

⊢ x.natAbs ≤ (↑n * m + x).natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0

⊢ n / 2 ≤ (↑n * m + x).natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0

⊢ n / 2 + x.natAbs ≤ (↑n * m + x).natAbs + x.natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0

⊢ n / 2 + n / 2 ≤ (↑n * m + x - x).natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0

⊢ n / 2 + n / 2 ≤ n * m.natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0

⊢ n / 2 + n / 2 ≤ n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m✝ n✝¹ n✝ a n : ℕ
x : ℤ
hl : x.natAbs ≤ n / 2
m : ℤ
hm : m ≠ 0

⊢ n / 2 * 2 ≤ n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
x : R
y : R[X]

⊢ y ∈ RingHom.ker (evalRingHom x) ↔ y ∈ Ideal.span {X - C x}
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Tower.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommSemiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : σ → A
p : MvPolynomial σ R

⊢ (aeval (⇑(algebraMap A B) ∘ x)) p = (algebraMap A B) ((aeval x) p)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Tower.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : CommSemiring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra A B
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : IsScalarTower R A B
x : σ → A
p : MvPolynomial σ R

⊢ (eval₂Hom (algebraMap R B) (⇑(algebraMap A B) ∘ x)) p = (eval₂Hom (algebraMap R B) fun i => (algebraMap A B) (x i)) p
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G

⊢ Differentiable 𝕜 (f ∘ ⇑iso) ↔ Differentiable 𝕜 f
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
q n : ℕ
x y : R
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)

⊢ (x + y) ^ q ^ n = x ^ q ^ n + y ^ q ^ n
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α →₀ M

⊢ filter p f = f ↔ ∀ (x : α), f x ≠ 0 → p x
-- Mathlib/Analysis/Quaternion.lean
a : ℝ

⊢ ‖↑a‖ = ‖a‖
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : DiscreteTopology α
β : Type u_2
x : α
s : Set α

⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ x ∈ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
f : α → S.obj (op PUnit.{u + 1})

⊢ eval S α (typesGlue S hs α f) = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
f : α → S.obj (op PUnit.{u + 1})
x : α

⊢ eval S α (typesGlue S hs α f) x = f x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
S : Type uᵒᵖ ⥤ Type u
hs : IsSheaf typesGrothendieckTopology S
α : Type u
f : α → S.obj (op PUnit.{u + 1})
x : α

⊢ S.map (↾fun x => PUnit.unit).op (f ((↾fun x_1 => x) (Classical.choose ⋯))) = f x
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β

⊢ (a₁, b) ⋖ (a₂, b) ↔ a₁ ⋖ a₂
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0

⊢ (x ^ n) ^ (↑n)⁻¹ = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0

⊢ (x ^ n) ^ (↑n)⁻¹ = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G

⊢ ∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ↑‖f i x‖₊) μ

⊢ ∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ↑‖f i x‖₊) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊

⊢ ∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ↑‖f i x‖₊) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊

⊢ ∀ (n : ι), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f n a‖ ≤ (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ↑‖f i x‖₊) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊

⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ∑' (n : ι), (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ↑‖f i x‖₊) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊

⊢ HasFiniteIntegral (fun a => ∑' (n : ι), (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ↑‖f i a‖₊ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ↑‖f i x‖₊) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasSum (fun n => f n a) (∑' (i : ι), f i a)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
h : n ≠ 0

⊢ (C a).coeff n = 0
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g✝ g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
x✝ : ∃ g, ∀ (x : ↑s), f ↑x = ↑(g x)
x : α
hx : x ∈ s
g : ↑s → ↑t
hg : ∀ (x : ↑s), f ↑x = ↑(g x)

⊢ ↑(g ⟨x, hx⟩) ∈ t
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Indicator.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : LinearOrder M
s : Set α
f : α → M
a : α

⊢ s.indicator f a ≤ {a | 0 ≤ f a}.indicator f a
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x y : PartENat
hx : x ≠ ⊤

⊢ x + 1 ≤ y ↔ x < y
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x y : PartENat
hx : x ≠ ⊤
h : x + 1 ≤ y

⊢ x < y
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
y : PartENat
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
h : ↑m + 1 ≤ y

⊢ ↑m < y
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
h : ↑m + 1 ≤ ⊤

⊢ ↑m < ⊤
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
n : ℕ
h : ↑m + 1 ≤ ↑n

⊢ ↑m < ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
n : ℕ
h : ↑m + 1 ≤ ↑n

⊢ m < n
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
m : ℕ
hx : ↑m ≠ ⊤
n : ℕ
h : ↑m + 1 ≤ ↑n

⊢ m.succ ≤ n
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ

⊢ p ^ e * n ∈ p.succ.smoothNumbers
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ
hp' : p ^ e ≠ 0

⊢ p ^ e * n ∈ p.succ.smoothNumbers
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList

⊢ q < p.succ
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList
H : q ∈ (p ^ e).primeFactorsList

⊢ q < p.succ
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
p n : ℕ
hp : p ≠ 0
e : ℕ
hn : n ∈ p.smoothNumbers
this : NoZeroDivisors ℕ
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList
H : q ∈ n.primeFactorsList

⊢ q < p.succ
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≤ b

⊢ insert b (Ico a b) = Icc a b
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝² : CommRing S✝
inst✝¹ : Algebra R S✝
inst✝ : IsLocalization M S✝
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
I : Ideal R

⊢ I = ⨅ f ∈ S, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away f)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away f)) I)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝² : CommRing S✝
inst✝¹ : Algebra R S✝
inst✝ : IsLocalization M S✝
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
I : Ideal R

⊢ I ≤ ⨅ f ∈ S, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away f)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away f)) I)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
M : Submonoid R
S✝ : Type u_2
inst✝² : CommRing S✝
inst✝¹ : Algebra R S✝
inst✝ : IsLocalization M S✝
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
I : Ideal R

⊢ ⨅ f ∈ S, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away f)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away f)) I) ≤ I
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle

⊢ { f := ofReal' ∘ evenKernel (-a), g := ofReal' ∘ cosKernel (-a), k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if -a = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ } = { f := ofReal' ∘ evenKernel a, g := ofReal' ∘ cosKernel a, k := 1 / 2, ε := 1, f₀ := if a = 0 then 1 else 0, g₀ := 1, hf_int := ⋯, hg_int := ⋯, hk := hurwitzEvenFEPair.proof_4, hε := hurwitzEvenFEPair.proof_5, h_feq := ⋯, hf_top := ⋯, hg_top := ⋯ }
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R

⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R

⊢ x ∈ ⨆ i, S i → ∃ i, x ∈ S i