ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : ↥(Lp E p μ)

⊢ Tendsto f fi (𝓝 f_lim) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : ↥(Lp E p μ)

⊢ Tendsto (fun b => dist (f b) f_lim) fi (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : ↥(Lp E p μ)

⊢ Tendsto (fun b => (eLpNorm (↑↑(f b) - ↑↑f_lim) p μ).toReal) fi (𝓝 0) ↔ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑f_lim) p μ) fi (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : ↥(Lp E p μ)
n : ι

⊢ eLpNorm (↑↑(f n) - ↑↑f_lim) p μ ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
fi : Filter ι
inst✝ : Fact (1 ≤ p)
f : ι → ↥(Lp E p μ)
f_lim : ↥(Lp E p μ)
n : ι

⊢ eLpNorm (↑↑(f n - f_lim)) p μ ≠ ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₁
k : ℕ

⊢ (toMatrix v₁ v₁) f ^ k = (toMatrix v₁ v₁) (f ^ k)
-- Mathlib/Data/Multiset/Range.lean
a : ℕ
m : Multiset ℕ
x : ℕ
hxa : x ∈ range a
hxb : x ∈ map (fun x => a + x) m

⊢ False
-- Mathlib/Data/Multiset/Range.lean
a : ℕ
m : Multiset ℕ
x : ℕ
hxa : x < a
hxb : x ∈ map (fun x => a + x) m

⊢ False
-- Mathlib/Data/Multiset/Range.lean
a : ℕ
m : Multiset ℕ
c : ℕ
left✝ : c ∈ m
hxa : a + c < a
hxb : a + c ∈ map (fun x => a + x) m

⊢ False
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/Basic.lean
P : PFunctor.{u}
α : Type u
p : α → Prop
a : P.A
f : P.B a → α

⊢ Liftp p ⟨a, f⟩ ↔ ∀ (i : P.B a), p (f i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/Basic.lean
P : PFunctor.{u}
α : Type u
p : α → Prop
a : P.A
f : P.B a → α

⊢ (∃ a_1 f_1, ⟨a, f⟩ = ⟨a_1, f_1⟩ ∧ ∀ (i : P.B a_1), p (f_1 i)) ↔ ∀ (i : P.B a), p (f i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g

⊢ Exact ⇑(lTensor Q f) ⇑(lTensor Q g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g

⊢ ker (lTensor Q g) = ker (lTensor.inverse Q hfg hg ∘ₗ lTensor Q g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g

⊢ ker (lTensor.inverse Q hfg hg ∘ₗ lTensor Q g) = ker (lTensor Q g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g

⊢ ker (lTensor.inverse Q hfg hg) = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g

⊢ Injective ⇑(lTensor.inverse Q hfg hg)
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
k : ℕ

⊢ ↑k ≤ multiplicity a b → a ^ k ∣ b
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K : Subgroup G
f : G →* N

⊢ (f.restrict K).range = map f K
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens

⊢ 𝟙 X ∣_ U = 𝟙 ↑(𝟙 X ⁻¹ᵁ U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens

⊢ (𝟙 X ⁻¹ᵁ U).ι = U.ι
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx : x < -1

⊢ 0 < log x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx : x < -1

⊢ 0 < log (-x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx : x < -1
this : 1 < -x

⊢ 0 < log (-x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
h : p ∈ x.lifts
a : R

⊢ List.map (fun y => (a * y.1, y.2)) p ∈ (a • x).lifts
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
h : (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) p).sum = x
a : R

⊢ (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) (List.map (fun y => (a * y.1, y.2)) p)).sum = a • x
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
h : (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) p).sum = x
a : R

⊢ (List.map ((fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) p).sum = (List.map ((fun x => a • x) ∘ fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) p).sum
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i
p : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))
h : (List.map (fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) p).sum = x
a : R
x✝ : R × ((i : ι) → s i)

⊢ ((fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) ∘ fun y => (a * y.1, y.2)) x✝ = ((fun x => a • x) ∘ fun x => x.1 • ⨂ₜ[R] (i : ι), x.2 i) x✝
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : Kˣ
h : a ∈ A.principalUnitGroup

⊢ a ∈ A.unitGroup
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i✝ : ι
a✝ : β i✝
a b : (i : ι) → β i
h : a ≤ b
hne : ¬toLex a = toLex b
i : ι
hi : i ∈ {i | a i ≠ b i}
hl : ∀ x ∈ {i | a i ≠ b i}, ¬x < i
j : ι
hj : (fun x x_1 => x < x_1) j i

⊢ toLex a j = toLex b j
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : (i : ι) → PartialOrder (β i)
x y : (i : ι) → β i
i✝ : ι
a✝ : β i✝
a b : (i : ι) → β i
h : a ≤ b
hne : ¬toLex a = toLex b
i : ι
hi : i ∈ {i | a i ≠ b i}
j : ι
hj : (fun x x_1 => x < x_1) j i
hl : toLex a j ≠ toLex b j

⊢ ∃ x ∈ {i | a i ≠ b i}, x < i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β✝ : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β✝
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
β : Type u_7
s : Set α
t : Set β
f : α → β
hs : MeasurableSet s

⊢ t ∈ Filter.map f (ae (μ.restrict s)) ↔ μ ((f ⁻¹' t)ᶜ ∩ s) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ

⊢ μ ≪ μ.toFinite
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ

⊢ Measure.sum (sFiniteSeq μ) ≪ μ.toFinite
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ

⊢ μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
this : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]

⊢ μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
this : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]

⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
this✝ : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]
this : f * μ[g|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g|m]

⊢ μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m] =ᶠ[ae μ] f * μ[g|m]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
this✝ : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]
this : f * μ[g|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g|m]

⊢ Integrable (AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Real.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
hf : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfg : Integrable (f * g) μ
hg : Integrable g μ
this✝ : μ[f * g|m] =ᶠ[ae μ] μ[AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g|m]
this : f * μ[g|m] =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * μ[g|m]

⊢ f * g =ᶠ[ae μ] AEStronglyMeasurable'.mk f hf * g
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n : ℕ
hqn : n ≤ q

⊢ (Q (q + 1)).f n = (Q q).f n
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : (s ∩ t).Finite

⊢ s.encard ≤ t.encard ↔ (s \ t).encard ≤ (t \ s).encard
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27982, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : Karoubi (HomologicalComplex C c)
i j : ι
x✝ : c.Rel i j

⊢ P.p.f i ≫ P.p.f i ≫ P.X.d i j = P.X.d i j ≫ P.p.f j
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27982, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : Karoubi (HomologicalComplex C c)
n : ι

⊢ P.p.f n = P.p.f n ≫ P.p.f n ≫ P.p.f n
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27982, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P Q : Karoubi (HomologicalComplex C c)
φ : P ⟶ Q
i✝ : ι

⊢ φ.f.f i✝ ≫ Q.p.f i✝ = P.p.f i✝ ≫ φ.f.f i✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27982, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
P : Karoubi (HomologicalComplex C c)
i j : ι
x✝ : c.Rel i j

⊢ P.p.f i ≫ P.X.d i j = (P.p.f i ≫ P.X.d i j) ≫ P.p.f j
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.27982, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
x✝ : Karoubi (HomologicalComplex C c)
i✝ : ι

⊢ x✝.p.f i✝ ≫ x✝.p.f i✝ = x✝.p.f i✝
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p

⊢ IsIntegralClosure ↥(adjoin ℤ {ζ}) ℤ K
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ 1} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ 1)

⊢ IsIntegralClosure ↥(adjoin ℤ {ζ}) ℤ K
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
n : ℕ
a : Composition n
b : Composition a.length

⊢ (List.map sum (a.blocks.splitWrtComposition b)).length = b.blocks.length
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i j : n

⊢ (fromBlocks M₁₁ M₁₂ 0 M₂₂).charpoly = M₁₁.charpoly * M₂₂.charpoly
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hC : 0 ≤ C

⊢ DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hC : 0 ≤ C
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : μ s < ⊤

⊢ ‖0 s‖ ≤ C * (μ s).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_7
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
T T' : Set α → β
C C' : ℝ
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hC : 0 ≤ C
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : μ s < ⊤

⊢ 0 ≤ C * (μ s).toReal
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : DivisionRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M

⊢ (-x)⁻¹ = -x⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p

⊢ AffineIndependent k fun x => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯

⊢ AffineIndependent k fun x => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x

⊢ AffineIndependent k fun x => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }

⊢ AffineIndependent k fun x => ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }
x✝ : ↑(Set.range p)

⊢ Subtype.val = p ∘ ⇑fe
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
W : Set γ
f : α × β → γ

⊢ s ×ˢ t ⊆ f ⁻¹' W ↔ ∀ (a : α) (b : β), a ∈ s → b ∈ t → f (a, b) ∈ W
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
S : Set (Ultrafilter M) := ⋂ n, {U | ∀ᶠ (m : M) in ↑U, m ∈ FP (Stream'.drop n a)}

⊢ ∃ U, U * U = U ∧ ∀ᶠ (m : M) in ↑U, m ∈ FP a
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
S : Set (Ultrafilter M) := ⋂ n, {U | ∀ᶠ (m : M) in ↑U, m ∈ FP (Stream'.drop n a)}
h : ∃ m ∈ S, m * m = m

⊢ ∃ U, U * U = U ∧ ∀ᶠ (m : M) in ↑U, m ∈ FP a
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
S : Set (Ultrafilter M) := ⋂ n, {U | ∀ᶠ (m : M) in ↑U, m ∈ FP (Stream'.drop n a)}

⊢ ∀ (r : Ultrafilter M), Continuous fun x => x * r
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
S : Set (Ultrafilter M) := ⋂ n, {U | ∀ᶠ (m : M) in ↑U, m ∈ FP (Stream'.drop n a)}

⊢ S.Nonempty
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
S : Set (Ultrafilter M) := ⋂ n, {U | ∀ᶠ (m : M) in ↑U, m ∈ FP (Stream'.drop n a)}

⊢ IsCompact S
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : Semigroup M
a : Stream' M
S : Set (Ultrafilter M) := ⋂ n, {U | ∀ᶠ (m : M) in ↑U, m ∈ FP (Stream'.drop n a)}

⊢ ∀ x ∈ S, ∀ y ∈ S, x * y ∈ S
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I✝ X R J I E : Set α

⊢ (uniqueBaseOn I E)✶ = uniqueBaseOn (E \ I) E
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B I✝ X R J I E : Set α

⊢ (uniqueBaseOn (I ∩ E) E)✶ = uniqueBaseOn (E \ I) E
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B✝ I✝ X R J I E B : Set α
hB : B ⊆ E

⊢ (uniqueBaseOn (I ∩ E) E)✶.Base B ↔ (uniqueBaseOn (E \ I) E).Base B
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E✝ B✝ I✝ X R J I E B : Set α
hB : B ⊆ E

⊢ E \ B = I ∩ E ↔ B = E \ I
-- Mathlib/Order/Filter/SmallSets.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β
f : Filter α

⊢ f.smallSets = generate (powerset '' f.sets)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι✝ : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ q : Seminorm 𝕜 E
x✝ : E
ι : Sort u_13
p : ι → Seminorm 𝕜 E
hp : BddAbove (range p)
x : E

⊢ (⨆ i, p i) x = ⨆ i, (p i) x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
hs : span s = ⊤
n : ℕ

⊢ span ((fun x => x ^ n) '' s) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
hs : span s = ⊤
n : ℕ

⊢ 1 ∈ span ((fun x => x ^ n) '' s)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
hs : span s = ⊤
n : ℕ

⊢ 1 ∈ span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
hs : ∃ l, (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) l = 1
n : ℕ

⊢ 1 ∈ span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
n : ℕ
f : ↑s →₀ α
hf✝ : (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) f = 1
hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1

⊢ 1 ∈ span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
n : ℕ
f : ↑s →₀ α
hf✝ : (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) f = 1
hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1
this : (∑ i ∈ f.support, f i * ↑i) ^ (f.support.card * n + 1) ∈ span ((fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support)

⊢ 1 ∈ span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
n : ℕ
f : ↑s →₀ α
hf✝ : (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) f = 1
hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1
this : 1 ∈ span ((fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support)

⊢ 1 ∈ span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
s : Set α
n : ℕ
f : ↑s →₀ α
hf✝ : (Finsupp.total (↑s) α α Subtype.val) f = 1
hf : ∑ a ∈ f.support, f a * ↑a = 1
this : 1 ∈ span ((fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support)

⊢ (fun i => (f i * ↑i) ^ (n + 1)) '' ↑f.support ⊆ ↑(span ((fun x => x ^ (n + 1)) '' s))