ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : Subsingleton E'
c : ℝ
hc : 0 < c

⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f' x‖ ≤ c * ‖g' x‖
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
s : Set β

⊢ (p.bindOnSupport f).toOuterMeasure s = ∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h).toOuterMeasure s
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p.support → PMF β
s : Set β

⊢ (∑' (x : β), if x ∈ s then ∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else (f a h) x else 0) = ∑' (a : α), p a * if h : p a = 0 then 0 else ∑' (x : β), if x ∈ s then (f a ⋯) x else 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian

⊢ A.rank = Fintype.card { i // hA.eigenvalues i ≠ 0 }
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s : Set E
h_conv : Convex 𝕜 s
p q : 𝕜
hp : 0 ≤ p
hq : 0 ≤ q
v₁ : E
h₁ : v₁ ∈ s
v₂ : E
h₂ : v₂ ∈ s

⊢ (fun x x_1 => x + x_1) ((fun x => p • x) v₁) ((fun x => q • x) v₂) ∈ (p + q) • s
-- Mathlib/Algebra/Homology/Single.lean
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
C : ChainComplex V ℕ
X : V
φ : C ⟶ (single₀ V).obj X

⊢ C.d 1 0 ≫ φ.f 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Single.lean
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
C : ChainComplex V ℕ
X : V
f : { f // C.d 1 0 ≫ f = 0 }
i : ℕ
hi : (ComplexShape.down ℕ).Rel i 0

⊢ C.d i 0 ≫ ↑f = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Single.lean
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
inst✝ : HasZeroObject V
C : ChainComplex V ℕ
X : V
f : { f // C.d 1 0 ≫ f = 0 }
hi : (ComplexShape.down ℕ).Rel 1 0

⊢ C.d 1 0 ≫ ↑f = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁹ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁸ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝¹³ : AddCommMonoid S
inst✝¹² : AddCommMonoid T
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module R P
inst✝⁸ : Module R Q
inst✝⁷ : Module R S
inst✝⁶ : Module R T
inst✝⁵ : DistribMulAction R' M
inst✝⁴ : Module R'' M
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
r : R
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N

⊢ (((mk R M N).compr₂ (map f (r • g))) x✝¹) x✝ = (((mk R M N).compr₂ (r • map f g)) x✝¹) x✝
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
s t : LowerSet α
a : α
S : Set (LowerSet α)

⊢ ↑(sSup S).compl = ↑(⨆ s ∈ S, s.compl)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
n : Nat
h✝ : a = b

⊢ count a (replicate n b) = n
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
n : Nat
h✝ : ¬a = b

⊢ count a (replicate n b) = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A S
inst✝ : Nontrivial A
pb : PowerBasis A S

⊢ (minpoly A pb.gen).natDegree = pb.dim
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Basic.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B

⊢ (f.comp S.val).range = map f S
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
s : Set α

⊢ μ.toFinite s = (μ.toFiniteAux Set.univ)⁻¹ * μ.toFiniteAux s
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionRing K
a✝ b✝ c d a b : K
h : b ≠ 0

⊢ (b - a) / b = 1 - a / b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.eraseLead = 0

⊢ f.nextCoeff = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.eraseLead = 0
h₂ : ¬f.nextCoeff = 0

⊢ False
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝⁶ : Zero α
inst✝⁵ : LinearOrder α
a✝ : α
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : ZeroHomClass F α β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α

⊢ sign (f a) = sign a
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

⊢ ((Quotient.mk P).comp C).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

⊢ (quotientMap P C ⋯).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P

⊢ (quotientMap P C ⋯).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
hp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0

⊢ (quotientMap P C ⋯).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
hp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') pX).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a

⊢ (quotientMap P C ⋯).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
hp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') pX).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯

⊢ (quotientMap P C ⋯).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
hp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') pX).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
hP'_prime : P'.IsPrime

⊢ (quotientMap P C ⋯).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
hp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') pX).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
hP'_prime : P'.IsPrime
hM : 0 ∉ M

⊢ (quotientMap P C ⋯).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
hp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') pX).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
hP'_prime : P'.IsPrime
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M

⊢ (quotientMap P C ⋯).IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
hp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') pX).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
hP'_prime : P'.IsPrime
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M

⊢ Function.Injective ⇑(algebraMap (R[X] ⧸ P) (Localization M'))
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
inst✝ : Nontrivial R
hR : IsJacobson R
hP' : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
P' : Ideal R := comap C P
pX : R[X]
hpX : pX ∈ P
hp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) pX ≠ 0
a : R ⧸ P' := (Polynomial.map (Quotient.mk P') pX).leadingCoeff
M : Submonoid (R ⧸ P') := Submonoid.powers a
φ : R ⧸ P' →+* R[X] ⧸ P := quotientMap P C ⋯
hP'_prime : P'.IsPrime
hM : 0 ∉ M
M' : Submonoid (R[X] ⧸ P) := Submonoid.map φ M

⊢ ((algebraMap (R[X] ⧸ P) (Localization M')).comp φ).IsIntegral
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i i' : ι
b : β i

⊢ (single i b) i' = if h : i = i' then Eq.recOn h b else 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ i i' : ι
b : β i

⊢ (if h : i' = i then ⋯ ▸ b else 0 i') = if h : i = i' then Eq.recOn h b else 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → E'
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)

⊢ ∫ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) - g (x, y) ∂ν) ∂μ = ∫ (x : α), F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → E'
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)

⊢ (fun x => F (∫ (y : β), f (x, y) - g (x, y) ∂ν)) =ᶠ[ae μ] fun x => F (∫ (y : β), f (x, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (x, y) ∂ν)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f g : α × β → E
F : E → E'
hf : Integrable f (μ.prod ν)
hg : Integrable g (μ.prod ν)
a✝ : α
h2f : Integrable (fun y => f (a✝, y)) ν
h2g : Integrable (fun y => g (a✝, y)) ν

⊢ F (∫ (y : β), f (a✝, y) - g (a✝, y) ∂ν) = F (∫ (y : β), f (a✝, y) ∂ν - ∫ (y : β), g (a✝, y) ∂ν)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End R M
p : Submodule R M
k : ℕ
μ : R
hfp : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

⊢ p ⊓ (f.genEigenspace μ) k = Submodule.map p.subtype ((genEigenspace (LinearMap.restrict f hfp) μ) k)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hε_top : ¬ε = ⊤

⊢ ∀ᶠ (s : Set α) in μ.cofinite.smallSets, ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hε_top : ¬ε = ⊤
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfs : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε.toNNReal

⊢ ∀ᶠ (s : Set α) in μ.cofinite.smallSets, ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hε_top : ¬ε = ⊤
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfs : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε.toNNReal

⊢ ∀ ⦃s t : Set α⦄, s ⊆ t → (∀ (i : ι), eLpNorm (t.indicator (f i)) p μ ≤ ε) → ∀ (i : ι), eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifTight f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hε_top : ¬ε = ⊤
s : Set α
hμs : μ s ≠ ⊤
hfs : ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ↑ε.toNNReal

⊢ sᶜ ∈ μ.cofinite
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
q : ℕ+
w : 1 < q
this : Fact (1 < ↑q)

⊢ Fintype.card (X q)ˣ < ↑q ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
q : ℕ+
w : 1 < q
this : Fact (1 < ↑q)

⊢ ↑q ^ 2 = Fintype.card (X q)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y1 y2 : NumDenSameDeg 𝒜 x

⊢ (Quotient.mk'' y1 + Quotient.mk'' y2).val = val (Quotient.mk'' y1) + val (Quotient.mk'' y2)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
y1 y2 : NumDenSameDeg 𝒜 x

⊢ Localization.mk ↑(y1 + y2).num ⟨↑(y1 + y2).den, ⋯⟩ = Localization.mk (↑⟨↑y1.den, ⋯⟩ * ↑y2.num + ↑⟨↑y2.den, ⋯⟩ * ↑y1.num) (⟨↑y1.den, ⋯⟩ * ⟨↑y2.den, ⋯⟩)
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
a b c : ℤ
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
hk : Odd k
h : a * b = c ^ k

⊢ ∃ d, a = d ^ k
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
a b c : ℤ
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
hk : Odd k
h : a * b = c ^ k
d : ℤ
hd : Associated (d ^ k) a

⊢ ∃ d, a = d ^ k
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
a b c : ℤ
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
hk : Odd k
h : a * b = c ^ k
d : ℤ
hd : Associated a (d ^ k)

⊢ ∃ d, a = d ^ k
-- Mathlib/RingTheory/Int/Basic.lean
a b c : ℤ
hab : IsCoprime a b
k : ℕ
hk : Odd k
h : a * b = c ^ k
d : ℤ
hd : a = d ^ k ∨ a = (-d) ^ k

⊢ ∃ d, a = d ^ k
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
u : Set ι
hyp : ∀ n ∈ u, IndepSets (s n) s' κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ ⋃ n ∈ u, s n
ht2 : t2 ∈ s'

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
u : Set ι
hyp : ∀ n ∈ u, IndepSets (s n) s' κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht2 : t2 ∈ s'
ht1 : ∃ i, ∃ (_ : i ∈ u), t1 ∈ s i

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : ∀ (k : ℕ), padicNorm p (↑f k) = padicNorm p (↑g k)
hf : f ≈ 0

⊢ f.norm = g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : ∀ (k : ℕ), padicNorm p (↑f k) = padicNorm p (↑g k)
hf : f ≈ 0
hg : g ≈ 0

⊢ f.norm = g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : ∀ (k : ℕ), padicNorm p (↑f k) = padicNorm p (↑g k)
hf : ¬f ≈ 0

⊢ f.norm = g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : ∀ (k : ℕ), padicNorm p (↑f k) = padicNorm p (↑g k)
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0

⊢ f.norm = g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
h : ∀ (k : ℕ), padicNorm p (↑f k) = padicNorm p (↑g k)
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0

⊢ padicNorm p (↑f (stationaryPoint ⋯)) = padicNorm p (↑g (stationaryPoint ⋯))
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X

⊢ ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x₀, ρ.fintsupport y ⊆ ρ.fintsupport x₀
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X

⊢ ∀ (x : X), {i | x ∈ closure (support ⇑(ρ i))} ⊆ {i | x₀ ∈ closure (support ⇑(ρ i))} → ρ.fintsupport x ⊆ ρ.fintsupport x₀
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ y : X
hy : {i | y ∈ closure (support ⇑(ρ i))} ⊆ {i | x₀ ∈ closure (support ⇑(ρ i))}
z : ι
hz : z ∈ ρ.fintsupport y

⊢ z ∈ ρ.fintsupport x₀
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ y : X
hy : {i | y ∈ closure (support ⇑(ρ i))} ⊆ {i | x₀ ∈ closure (support ⇑(ρ i))}
z : ι
hz : y ∈ tsupport ⇑(ρ z)

⊢ x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ z)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ (o.oangle (x - y) x).sin * ‖x - y‖ = ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ ((-o).oangle x (x - y)).sin * ‖x - y‖ = ‖y‖
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m₁ m₂ r : List Char
s : Substring
h : ValidFor l (m₁ ++ m₂) r s
n : Nat

⊢ s.nextn n (s.next { byteIdx := utf8Len m₁ }) = { byteIdx := utf8Len m₁ + utf8Len (List.take (n + 1) m₂) }
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α

⊢ (a ⊔ b)ᶜ = aᶜ ⊓ bᶜ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : Splits (RingHom.id K) f

⊢ Multiset.card f.roots = f.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]
hf : Splits (RingHom.id K) f

⊢ f = map (RingHom.id K) f
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α

⊢ 0 < ⌊a⌋ ↔ 1 ≤ a
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
X : Type u_2
C : FreeAlgebra R X → Prop
h_grade0 : ∀ (r : R), C ((algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r)
h_grade1 : ∀ (x : X), C (ι R x)
h_mul : ∀ (a b : FreeAlgebra R X), C a → C b → C (a * b)
h_add : ∀ (a b : FreeAlgebra R X), C a → C b → C (a + b)
a : FreeAlgebra R X
s : Subalgebra R (FreeAlgebra R X) := { carrier := C, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := h_grade0 }
of : X → ↥s := Subtype.coind (ι R) h_grade1
of_id : AlgHom.id R (FreeAlgebra R X) = s.val.comp ((lift R) of)

⊢ C a
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
X : Type u_2
C : FreeAlgebra R X → Prop
h_grade0 : ∀ (r : R), C ((algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r)
h_grade1 : ∀ (x : X), C (ι R x)
h_mul : ∀ (a b : FreeAlgebra R X), C a → C b → C (a * b)
h_add : ∀ (a b : FreeAlgebra R X), C a → C b → C (a + b)
a : FreeAlgebra R X
s : Subalgebra R (FreeAlgebra R X) := { carrier := C, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := h_grade0 }
of : X → ↥s := Subtype.coind (ι R) h_grade1
of_id : AlgHom.id R (FreeAlgebra R X) = s.val.comp ((lift R) of)

⊢ a = ↑(((lift R) of) a)
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
X : Type u_2
C : FreeAlgebra R X → Prop
h_grade0 : ∀ (r : R), C ((algebraMap R (FreeAlgebra R X)) r)
h_grade1 : ∀ (x : X), C (ι R x)
h_mul : ∀ (a b : FreeAlgebra R X), C a → C b → C (a * b)
h_add : ∀ (a b : FreeAlgebra R X), C a → C b → C (a + b)
a : FreeAlgebra R X
s : Subalgebra R (FreeAlgebra R X) := { carrier := C, mul_mem' := ⋯, one_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯, zero_mem' := ⋯, algebraMap_mem' := h_grade0 }
of : X → ↥s := Subtype.coind (ι R) h_grade1
of_id : ∀ (x : FreeAlgebra R X), x = ↑(((lift R) of) x)

⊢ a = ↑(((lift R) of) a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
μ ν : Measure Ω
h_le : ε₁ ≤ ε₂
B : Set Ω
hε₁ : μ B ≤ ν (thickening ε₁.toReal B) + ε₁
ε_top : ¬ε₂ = ⊤

⊢ μ B ≤ ν (thickening ε₂.toReal B) + ε₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
μ ν : Measure Ω
h_le : ε₁ ≤ ε₂
B : Set Ω
hε₁ : μ B ≤ ν (thickening ε₁.toReal B) + ε₁
ε_top : ¬ε₂ = ⊤

⊢ ν (thickening ε₁.toReal B) ≤ ν (thickening ε₂.toReal B)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝ : DivisionRing K

⊢ max ℵ₀ #K ≤ Module.rank K (ℕ → K)