ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/List/ToFinsupp.lean
M : Type u_1
inst✝² : Zero M
l✝ : List M
inst✝¹ : DecidablePred fun x => l✝.getD x 0 ≠ 0
n : ℕ
R : Type u_2
inst✝ : AddMonoid R
l : List R

⊢ ∀ [inst : DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0], l.toFinsupp = (map (fun nr => Finsupp.single nr.1 nr.2) l.enum).sum
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Arctan.lean

⊢ 2 * arctan 2⁻¹ - arctan 7⁻¹ = π / 4
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : Codisjoint a b

⊢ a ⇔ b = a ⊓ b
-- Mathlib/Control/Basic.lean
α β γ : Type u
m : Type u → Type v
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
x : m α
g : α → m β
f : β → γ

⊢ f <$> (x >>= g) = do let a ← x f <$> g a
-- Mathlib/Control/Basic.lean
α β γ : Type u
m : Type u → Type v
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
x : m α
g : α → m β
f : β → γ

⊢ (do let x ← x let a ← g x pure (f a)) = do let a ← x f <$> g a
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Defs.lean
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible a

⊢ ⅟a * (a * b) = b
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

⊢ X.content = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α

⊢ toList 1 x = []
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y z : R

⊢ x ◃⁻¹ y ◃⁻¹ z = (x ◃⁻¹ y) ◃⁻¹ x ◃⁻¹ z
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
R : Type u_1
inst✝ : Rack R
x y z : R

⊢ (x ◃ x ◃⁻¹ y) ◃ x ◃ x ◃⁻¹ y ◃⁻¹ z = z
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty

⊢ ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) * edgeDensity r s₂ t₂ ≤ edgeDensity r s₁ t₁
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
hst : ↑s₂.card * ↑t₂.card ≠ 0

⊢ ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) * edgeDensity r s₂ t₂ ≤ edgeDensity r s₁ t₁
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
hst : ↑s₂.card * ↑t₂.card ≠ 0

⊢ ↑(interedges r s₂ t₂).card / (↑s₁.card * ↑t₁.card) ≤ ↑(interedges r s₁ t₁).card / (↑s₁.card * ↑t₁.card)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty
hst : ↑s₂.card * ↑t₂.card ≠ 0

⊢ interedges r s₂ t₂ ⊆ interedges r s₁ t₁
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝² : Zero M
inst✝¹ : Zero N
inst✝ : Zero P
f : M → N
hf : f 0 = 0
x✝ : α

⊢ (mapRange f hf 0) x✝ = 0 x✝
-- Mathlib/Algebra/Ring/Hom/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
x✝¹ : NonAssocSemiring α
x✝ : NonAssocSemiring β
f : α →+* β
x y : α

⊢ 0 = 1 ↔ f 1 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R

⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹) = 2 * ↑π * I
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R

⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w)⁻¹) = 2 * ↑π * I
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R

⊢ HasSum (fun n => ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ n * (z - c)⁻¹) (2 * ↑π * I)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R
H : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c) ^ (-↑n - 1)) = 0

⊢ HasSum (fun n => ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ n * (z - c)⁻¹) (2 * ↑π * I)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R
H : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c) ^ (-↑n - 1)) = 0
this : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ 0 * (z - c)⁻¹) = 2 * ↑π * I

⊢ HasSum (fun n => ∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ n * (z - c)⁻¹) (2 * ↑π * I)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R
H : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c) ^ (-↑n - 1)) = 0
this : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ 0 * (z - c)⁻¹) = 2 * ↑π * I
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ n * (z - c)⁻¹) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R
H : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c) ^ (-↑n - 1)) = 0
this : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ 0 * (z - c)⁻¹) = 2 * ↑π * I
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ ((w - c) ^ n * ∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c)⁻¹ ^ n * (z - c)⁻¹) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R
H : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c) ^ (-↑n - 1)) = 0
this : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ 0 * (z - c)⁻¹) = 2 * ↑π * I
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ ∀ z ∈ sphere c R, (z - c)⁻¹ ^ n * (z - c)⁻¹ = (z - c) ^ (-↑n - 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
R : ℝ
hw : w ∈ ball c R
hR : 0 < R
H : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - c) ^ (-↑n - 1)) = 0
this : (∮ (z : ℂ) in C(c, R), ((w - c) / (z - c)) ^ 0 * (z - c)⁻¹) = 2 * ↑π * I
n : ℕ
hn : n ≠ 0
z : ℂ
hz✝ : z ∈ sphere c R

⊢ (z - c)⁻¹ ^ n * (z - c)⁻¹ = (z - c) ^ (-↑n - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z✝ : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
z : ℝ

⊢ (x / y) ^ z = x ^ z / y ^ z
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring α
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Monoid R
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝¹ : DistribMulAction R S
inst✝ : IsScalarTower R S S
M : Matrix n m S
b : R
v : n → S
i : m

⊢ ((b • v) ᵥ* M) i = (b • v ᵥ* M) i
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedRing 𝕝
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a✝ b✝ : 𝕜
hs : Balanced 𝕝 s
a : 𝕝
b : 𝕜
h : ‖a‖ ≤ ‖b‖

⊢ a • s ⊆ b • s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedRing 𝕝
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a✝ b : 𝕜
hs : Balanced 𝕝 s
a : 𝕝
h : ‖a‖ ≤ ‖0‖

⊢ a • s ⊆ 0 • s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedRing 𝕝
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 𝕝
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : SMulWithZero 𝕝 E
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕝 E
s t u v A B : Set E
x : E
a✝ b✝ : 𝕜
hs : Balanced 𝕝 s
a : 𝕝
b : 𝕜
h : ‖a‖ ≤ ‖b‖
hb : b ≠ 0

⊢ a • s ⊆ b • s
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CharZero α
m n : ℕ

⊢ 1 < ↑n ↔ 1 < n
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type ?u.724724
S' : Type ?u.724727
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type ?u.727158
S'' : Type ?u.727161
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
r : R
x : P.Cotangent

⊢ (r • x).val = r • x.val
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogDeriv.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℂ
s : Set ℝ
x : ℝ
f' : ℂ
h₁ : HasDerivWithinAt f f' s x
h₂ : f x ∈ slitPlane

⊢ HasDerivWithinAt (fun t => log (f t)) (f' / f x) s x
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PID.lean
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

⊢ IsPrincipalIdealRing (𝓞 K)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PID.lean
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

⊢ ↑|discr K| < (2 * (π / 4) ^ NrComplexPlaces K * (↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K) ^ FiniteDimensional.finrank ℚ K / ↑(FiniteDimensional.finrank ℚ K)!)) ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PID.lean
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

⊢ ↑|(-1) ^ ((↑3 - 1) / 2) * ↑↑3 ^ (↑3 - 2)| < (2 * (π / 4) ^ ((↑3 - 1) / 2) * (↑(↑3 - 1) ^ (↑3 - 1) / ↑(↑3 - 1)!)) ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PID.lean
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

⊢ 3 < (2 * (π / 4) * (2 ^ 2 / 2)) ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PID.lean
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

⊢ (2 * (3 / 4) * (2 ^ 2 / 2)) ^ 2 < (2 * (π / 4) * (2 ^ 2 / 2)) ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PID.lean
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

⊢ 3 < π
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Algebra R S
a : A
f : S → R
inst✝ : IsScalarTower R S A
h : QuasispectrumRestricts a f

⊢ f '' quasispectrum S a = quasispectrum R a
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H✝ : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : MulOneClass N
f g : Multiplicative (α →₀ M) →* N
H : ∀ (x : α) (y : M), f (Multiplicative.ofAdd (single x y)) = g (Multiplicative.ofAdd (single x y))

⊢ f = g
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H✝ : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : MulOneClass N
f g : Multiplicative (α →₀ M) →* N
H : ∀ (x : α) (y : M), f (Multiplicative.ofAdd (single x y)) = g (Multiplicative.ofAdd (single x y))
this : MonoidHom.toAdditive'' f = MonoidHom.toAdditive'' g

⊢ f = g
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H✝ : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : MulOneClass N
f g : Multiplicative (α →₀ M) →* N
H : ∀ (x : α) (y : M), f (Multiplicative.ofAdd (single x y)) = g (Multiplicative.ofAdd (single x y))
this : MonoidHom.toAdditive'' f = MonoidHom.toAdditive'' g
x✝ : Multiplicative (α →₀ M)

⊢ f x✝ = g x✝
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H✝ : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
inst✝ : MulOneClass N
f g : Multiplicative (α →₀ M) →* N
H : ∀ (x : α) (y : M), f (Multiplicative.ofAdd (single x y)) = g (Multiplicative.ofAdd (single x y))
this : ∀ (x : α →₀ M), (MonoidHom.toAdditive'' f) x = (MonoidHom.toAdditive'' g) x
x✝ : Multiplicative (α →₀ M)

⊢ f x✝ = g x✝
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ (a ⊔ b) \ a = b \ a
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p : ℕ

⊢ a.factorizationLCMLeft b ∣ a
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
b m n p : ℕ

⊢ factorizationLCMLeft 0 b ∣ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0

⊢ a.factorizationLCMLeft b ∣ a
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a m n p : ℕ
ha : a ≠ 0

⊢ a.factorizationLCMLeft 0 ∣ a
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ a.factorizationLCMLeft b ∣ a
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ a.factorizationLCMLeft b ∣ a.factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ a.factorizationLCMLeft b ∣ ∏ x ∈ (a.lcm b).factorization.support, x ^ a.factorization x
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ a.factorization.support ⊆ (a.lcm b).factorization.support
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ ∀ i ∈ (a.lcm b).factorization.support, i ^ 0 = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ

⊢ IntegrableOn f (iUnion s) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ

⊢ ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)

⊢ ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)

⊢ ∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
S' : Summable fun i => ⟨∫ (x : X) in s i, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩

⊢ ∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
S' : Summable fun i => ⟨∫ (x : X) in s i, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩
S'' : ∑' (a : ι), ↑⟨∫ (x : X) in s a, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩ = ↑(∑' (b : ι), ⟨∫ (x : X) in s b, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩)

⊢ ∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝¹ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : X → E
s : ι → Set X
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
hi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (s i) μ
h : Summable fun i => ∫ (x : X) in s i, ‖f x‖ ∂μ
B : ∀ (i : ι), ∫⁻ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ = ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s i, ↑‖f a‖₊ ∂μ)
S' : Summable fun i => ⟨∫ (x : X) in s i, ↑‖f x‖₊ ∂μ, ⋯⟩
S'' : ∑' (a : ι), ENNReal.ofReal (∫ (x : X) in s a, ‖f x‖ ∂μ) = ENNReal.ofReal ↑(∑' (b : ι), ⟨∫ (x : X) in s b, ‖f x‖ ∂μ, ⋯⟩)

⊢ ∑' (b : ι), ENNReal.ofReal (∫ (a : X) in s b, ↑‖f a‖₊ ∂μ) < ⊤
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
g : ℝ[X]
a✝ : X

⊢ ((g.toContinuousMapOn (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).comp (↑f).attachBound) a✝ = ↑((Polynomial.aeval f) g) a✝
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
g : ℝ[X]
a✝ : X

⊢ Polynomial.eval (↑((↑f).attachBound a✝)) g = Polynomial.eval (↑f a✝) g
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
G₁ G₂ : SimpleGraph V
inst✝³ : Fintype ↑G.edgeSet
inst✝² : Fintype ↑G₁.edgeSet
inst✝¹ : Fintype ↑G₂.edgeSet
inst✝ : Fintype V

⊢ G.edgeFinset.card ≤ (Fintype.card V).choose 2
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤

⊢ QuasiSober α
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤

⊢ ∀ {S : Set α}, IsIrreducible S → IsClosed S → ∃ x, IsGenericPoint x S
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t

⊢ ∃ x, IsGenericPoint x t
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t

⊢ ∃ x, IsGenericPoint x t
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this : QuasiSober ↑U

⊢ ∃ x, IsGenericPoint x t
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this : QuasiSober ↑U
H : IsPreirreducible (Subtype.val ⁻¹' t)

⊢ ∃ x, IsGenericPoint x t
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this : QuasiSober ↑U
H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)

⊢ ∃ x, IsGenericPoint x t
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this : QuasiSober ↑U
H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)

⊢ IsGenericPoint (↑H.genericPoint) t
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this✝ : QuasiSober ↑U
H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)
this : H.genericPoint ∈ Subtype.val ⁻¹' closure t

⊢ IsGenericPoint (↑H.genericPoint) t
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this✝ : QuasiSober ↑U
H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)
this : H.genericPoint ∈ Subtype.val ⁻¹' t

⊢ IsGenericPoint (↑H.genericPoint) t
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this✝ : QuasiSober ↑U
H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)
this : H.genericPoint ∈ Subtype.val ⁻¹' t

⊢ closure {↑H.genericPoint} ≤ t
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this✝ : QuasiSober ↑U
H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)
this : H.genericPoint ∈ Subtype.val ⁻¹' t

⊢ t ≤ closure {↑H.genericPoint}
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
S : Set (Set α)
hS : ∀ (s : ↑S), IsOpen ↑s
hS' : ∀ (s : ↑S), QuasiSober ↑↑s
hS'' : ⋃₀ S = ⊤
t : Set α
h : IsIrreducible t
h' : IsClosed t
x : α
hx : x ∈ t
U : Set α
hU : U ∈ S
hU' : x ∈ U
this✝ : QuasiSober ↑U
H : IsIrreducible (Subtype.val ⁻¹' t)
this : H.genericPoint ∈ Subtype.val ⁻¹' t

⊢ t ≤ closure (Subtype.val '' closure (Subtype.val ⁻¹' t))