ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Associator.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₁₂ : Type u_3
C₂₃ : Type u_4
C₃ : Type u_5
C₄ : Type u_6
inst✝⁹ : Category.{u_13, u_1} C₁
inst✝⁸ : Category.{u_15, u_2} C₂
inst✝⁷ : Category.{u_14, u_5} C₃
inst✝⁶ : Category.{u_11, u_6} C₄
inst✝⁵ : Category.{u_17, u_3} C₁₂
inst✝⁴ : Category.{u_12, u_4} C₂₃
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F : C₁ ⥤ C₂₃ ⥤ C₄
G₂₃ : C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₂₃
associator : bifunctorComp₁₂ F₁₂ G ≅ bifunctorComp₂₃ F G₂₃
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r
ρ₂₃ : BifunctorComp₂₃IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝³ : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
inst✝² : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q
inst✝¹ : (((mapBifunctor G₂₃ I₂ I₃).obj X₂).obj X₃).HasMap ρ₂₃.p
inst✝ : (((mapBifunctor F I₁ ρ₂₃.I₂₃).obj X₁).obj (mapBifunctorMapObj G₂₃ ρ₂₃.p X₂ X₃)).HasMap ρ₂₃.q
H₁₂ : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃
H₂₃ : HasGoodTrifunctor₂₃Obj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j

⊢ ιMapBifunctorBifunctor₂₃MapObj F G₂₃ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ (mapBifunctorAssociator associator ρ₁₂ ρ₂₃ X₁ X₂ X₃).inv j = ((associator.inv.app (X₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ιMapBifunctor₁₂BifunctorMapObj F₁₂ G ρ₁₂ X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : V1
c : k

⊢ (lineMap p₀ p₁) c = (1 - c) • p₀ + c • p₁
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : V1
c : k

⊢ c • p₁ - c • p₀ + p₀ = p₀ - c • p₀ + c • p₁
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁴⁵ : Semiring R
S : Type u_2
inst✝⁴⁴ : Semiring S
R₂ : Type u_3
inst✝⁴³ : Semiring R₂
S₂ : Type u_4
inst✝⁴² : Semiring S₂
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
M₂ : Type u_8
N₂ : Type u_9
P₂ : Type u_10
Nₗ : Type u_11
Pₗ : Type u_12
M' : Type u_13
N' : Type u_14
P' : Type u_15
inst✝⁴¹ : AddCommMonoid M
inst✝⁴⁰ : AddCommMonoid N
inst✝³⁹ : AddCommMonoid P
inst✝³⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝³⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝³⁶ : AddCommMonoid P₂
inst✝³⁵ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝³⁴ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝³³ : AddCommGroup M'
inst✝³² : AddCommGroup N'
inst✝³¹ : AddCommGroup P'
inst✝³⁰ : Module R M
inst✝²⁹ : Module S N
inst✝²⁸ : Module R₂ P
inst✝²⁷ : Module S₂ P
inst✝²⁶ : Module R M₂
inst✝²⁵ : Module S N₂
inst✝²⁴ : Module R P₂
inst✝²³ : Module S₂ P₂
inst✝²² : Module R Pₗ
inst✝²¹ : Module S Pₗ
inst✝²⁰ : Module R M'
inst✝¹⁹ : Module S N'
inst✝¹⁸ : Module R₂ P'
inst✝¹⁷ : Module S₂ P'
inst✝¹⁶ : SMulCommClass S₂ R₂ P
inst✝¹⁵ : SMulCommClass S R Pₗ
inst✝¹⁴ : SMulCommClass S₂ R₂ P'
inst✝¹³ : SMulCommClass S₂ R P₂
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
R' : Type u_16
S' : Type u_17
inst✝¹² : Semiring R'
inst✝¹¹ : Semiring S'
inst✝¹⁰ : Module R' M
inst✝⁹ : Module S' N
inst✝⁸ : Module R' Pₗ
inst✝⁷ : Module S' Pₗ
inst✝⁶ : SMulCommClass S' R' Pₗ
inst✝⁵ : SMul S' S
inst✝⁴ : IsScalarTower S' S N
inst✝³ : IsScalarTower S' S Pₗ
inst✝² : SMul R' R
inst✝¹ : IsScalarTower R' R M
inst✝ : IsScalarTower R' R Pₗ
B : M →ₗ[R] N →ₗ[S] Pₗ
r' : R'
m : M
x✝ : N

⊢ (B (r' • m)) x✝ = r' • (B m) x✝
-- Mathlib/Algebra/Lie/Character.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x y : L

⊢ ⁅χ x, χ y⁆ = 0
-- Mathlib/Dynamics/FixedPoints/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
f fa g : α → α
x y : α
fb : β → β
m n k : ℕ
e : Perm α
h : Function.Commute f g

⊢ Set.BijOn g (fixedPoints (f ∘ g)) (fixedPoints (f ∘ g))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x✝ : α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
x : α
hx : f x ≠ x

⊢ (f.toCycle hf).Nontrivial
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x : α → DirectLimit G f

⊢ ∃ i y, x = fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (y a)⟧
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x : α → DirectLimit G f
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Quotient.out (x a)).fst)

⊢ ∃ i y, x = fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (y a)⟧
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x : α → DirectLimit G f
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Quotient.out (x a)).fst)
a : α

⊢ x a = ⟦Structure.Sigma.mk f i (unify f (Quotient.out ∘ x) i hi a)⟧
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x : α → DirectLimit G f
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Quotient.out (x a)).fst)
a : α

⊢ Quotient.out (x a) ≈ Structure.Sigma.mk f i ((f ((Quotient.out ∘ x) a).fst i ⋯) ((Quotient.out ∘ x) a).snd)
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x : α → DirectLimit G f
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Quotient.out (x a)).fst)
a : α
r : ((Quotient.out ∘ x) a).fst ≤ i

⊢ Quotient.out (x a) ≈ Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x : α → DirectLimit G f
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Quotient.out (x a)).fst)
a : α
r : ((Quotient.out ∘ x) a).fst ≤ i
this : (Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)).fst ≤ i

⊢ Quotient.out (x a) ≈ Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x : α → DirectLimit G f
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Quotient.out (x a)).fst)
a : α
r : ((Quotient.out ∘ x) a).fst ≤ i
this : (Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)).fst ≤ i

⊢ (f (Quotient.out (x a)).fst i ⋯) (Quotient.out (x a)).snd = (f (Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)).fst i this) (Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)).snd
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
x : α → DirectLimit G f
i : ι
hi : i ∈ upperBounds (range fun a => (Quotient.out (x a)).fst)
a : α
r : ((Quotient.out ∘ x) a).fst ≤ i
this : (Structure.Sigma.mk f i ((f (Quotient.out (x a)).fst i r) (Quotient.out (x a)).snd)).fst ≤ i

⊢ (Quotient.out (x a)).fst ∈ range fun a => (Quotient.out (x a)).fst
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F✝ : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
ζ : Rˣ
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
e : ZMod ↑n ≃+ Additive ↥(Subgroup.zpowers ζ) := h.zmodEquivZPowers
F : Fintype ↥(Subgroup.zpowers ζ)

⊢ Fintype.card ↥(rootsOfUnity n R) = ↑n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Asymptotics.lean
k : ℕ
b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ (fun x => x ^ k) =o[atTop] fun x => rexp (b * x)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
ι : Type u_1
Γ : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Inhabited (Γ i)
i : ι
L : ListBlank ((i : ι) → Γ i)
n : ℕ

⊢ (ListBlank.map (proj i) L).nth n = L.nth n i
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
ι : Type u_1
Γ : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Inhabited (Γ i)
i : ι
L : ListBlank ((i : ι) → Γ i)
n : ℕ

⊢ (proj i).f (L.nth n) = L.nth n i
-- Mathlib/FieldTheory/IsSepClosed.lean
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed K
f : k →+* K
p : k[X]
hp : p.degree ≠ 0
hsep : p.Separable

⊢ (map f p).degree ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/IsSepClosed.lean
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed K
f : k →+* K
p : k[X]
hp : p.degree ≠ 0
hsep : p.Separable
x : K
hx : (map f p).IsRoot x

⊢ eval₂ f x p = 0
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
h : a :: b :: l ≠ []

⊢ (a :: b :: l).dropLast ++ [(a :: b :: l).getLast h] = a :: b :: l
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
h : a :: b :: l ≠ []

⊢ a :: ((b :: l).dropLast ++ [(b :: l).getLast ⋯]) = a :: b :: l
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a b : α
l : List α
h : a :: b :: l ≠ []

⊢ (b :: l).dropLast ++ [(b :: l).getLast ⋯] = b :: l
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
hw : w.IsReal
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

⊢ (normAtPlace w) x = ‖x.1 ⟨w, hw⟩‖
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : Associates M
n : Associates N
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hn : ¬n = 0
hm : ¬m = 0

⊢ multiplicity p m ≤ multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : Associates M
n : Associates N
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
hn : ¬n = 0
hm : ¬m = 0

⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ^ (multiplicity p m).get ⋯ ∣ n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
h : u ≠ v
p : G.Walk u v

⊢ v ∈ p.support.tail
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
h : u ≠ v
w✝² : V
w✝¹ : G.Adj u w✝²
w✝ : G.Walk w✝² v

⊢ v ∈ (cons w✝¹ w✝).support.tail
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α

⊢ (fun x => x / a) '' [[b, c]] = [[b / a, c / a]]
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α

⊢ |a| ≤ b ↔ -b ≤ a ∧ a ≤ b
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
w z : P
t₁ : R
ht₁ : t₁ ∈ Set.Icc 0 1
t₂ : R
ht₂ : t₂ ∈ Set.Icc 0 1

⊢ Wbtw R w ((lineMap w ((lineMap w z) t₁)) t₂) z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
w z : P
t₁ : R
ht₁ : t₁ ∈ Set.Icc 0 1
t₂ : R
ht₂ : t₂ ∈ Set.Icc 0 1

⊢ (lineMap w z) (t₂ * t₁) = (lineMap w ((lineMap w z) t₁)) t₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
hp1 : p.degree = 1

⊢ Prime p
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
inst✝ : IsArtinianRing R
hN : N.FG
s : Finset M
hs : span R ↑s = N
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq R

⊢ IsArtinian R ↥N
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
inst✝ : IsArtinianRing R
hN : N.FG
s : Finset M
hs : span R ↑s = N
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq R
this : ∀ x ∈ s, x ∈ N

⊢ IsArtinian R ↥N
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
inst✝ : IsArtinianRing R
hN : N.FG
s : Finset M
hs : span R ↑s = N
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq R
this : ∀ x ∈ s, x ∈ N

⊢ (↑↑s →₀ R) →ₗ[R] ↥N
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
N : Submodule R M
inst✝ : IsArtinianRing R
hN : N.FG
s : Finset M
hs : span R ↑s = N
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq R
this : ∀ x ∈ s, x ∈ N

⊢ Surjective ⇑?refine_1
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀

⊢ a / (a / a) = a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ : List α
h₁ : a ∈ l₁
h₂ : ¬a ∈ b :: l₂

⊢ a ∈ l₁.diff (b :: l₂)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ : List α
h₁ : a ∈ l₁
h₂ : ¬a ∈ b :: l₂

⊢ a ∈ (l₁.erase b).diff l₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Subcategory.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
Y Z : C
g : Y ⟶ Z

⊢ S.W g ↔ ∃ X f h, ∃ (_ : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles), S.P X
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Subcategory.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
Y Z : C
g : Y ⟶ Z

⊢ (∃ Z_1 g_1 h, ∃ (_ : Triangle.mk g g_1 h ∈ distinguishedTriangles), S.P Z_1) ↔ ∃ X f h, ∃ (_ : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles), S.P X
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ

⊢ completedSinZeta a (1 - s) = completedHurwitzZetaOdd a s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MetricSpace P
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ : P
V₂ : Type u_3
P₂ : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup V₂
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V₂
inst✝¹ : MetricSpace P₂
inst✝ : NormedAddTorsor V₂ P₂
f : P →ᵃⁱ[ℝ] P₂
p₁ p₂ p₃ : P

⊢ ∠ (f p₁) (f p₂) (f p₃) = ∠ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ (map f H).index ∣ H.index
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ (H ⊔ f.ker).index ∣ H.index
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
hI : I.IsPrime
s : Finset R

⊢ ∏ x ∈ s, x ∈ I ↔ ∃ p ∈ s, p ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I✝ J K L I : Ideal R
hI : I.IsPrime
s : Finset R

⊢ s.val.prod ∈ I ↔ ∃ p ∈ s, p ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
m : ℕ
h : Finite a b
hm : (multiplicity a b).get h < m

⊢ multiplicity a b < ↑m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω
s : Set Ω

⊢ μ s ≤ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Dirac.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
s : Set α
a : α
inst✝ : MeasurableSpace.SeparatesPoints α
x y : α
x_ne_y : (fun x => dirac x) x = (fun x => dirac x) y

⊢ x = y
-- Mathlib/RepresentationTheory/Invariants.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
v : V

⊢ v ∈ ρ.invariants ↔ ∀ (g : G), (ρ g) v = v
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a b : Ordinal.{u_1}
b1 : 0 < b

⊢ a ≤ a ^ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a b : Ordinal.{u_1}
b1 : 0 < b

⊢ a ^ 1 ≤ a ^ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a b : Ordinal.{u_1}
b1 : 0 < b
a1 : a ≤ 1

⊢ a ^ 1 ≤ a ^ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a b : Ordinal.{u_1}
b1 : 0 < b
a1 : a > 1

⊢ a ^ 1 ≤ a ^ b
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b c d e : α
m n✝ : ℤ
a : ℕ
h : 0 < a
n : ℤ

⊢ 0 < ↑a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a✝ b c d e : α
m n✝ : ℤ
a : ℕ
h : 0 < a
n : ℤ

⊢ 0 < ↑a
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I : Ideal α
hI : I.IsMaximal
x : α
hx : x ∉ I

⊢ ∃ y, ∃ i ∈ I, y * x + i = 1
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I : Ideal α
hI : I.IsMaximal
x : α
hx : x ∉ I
H₁ : 1 ∉ I
H₂ : ∀ (J : Ideal α) (x : α), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J

⊢ ∃ y, ∃ i ∈ I, y * x + i = 1
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I : Ideal α
hI : I.IsMaximal
x : α
hx : x ∉ I
H₁ : 1 ∉ I
H₂ : ∀ (J : Ideal α) (x : α), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J
y z : α
hz : z ∈ span ↑I
hy : 1 = y * x + z

⊢ ∃ y, ∃ i ∈ I, y * x + i = 1
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
I : Ideal α
hI : I.IsMaximal
x : α
hx : x ∉ I
H₁ : 1 ∉ I
H₂ : ∀ (J : Ideal α) (x : α), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J
y z : α
hz : z ∈ span ↑I
hy : 1 = y * x + z

⊢ z ∈ I
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ
hr : r ≠ 0

⊢ 2 • o.oangle (r • x) y = 2 • o.oangle x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
x y : M

⊢ (⋯.choose x) y = (Q.polarBilin x) y
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0
c : R
μ : FiniteMeasure Ω

⊢ ⇑(c • μ) = c • ⇑μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0
c : R
μ : FiniteMeasure Ω
x✝ : Set Ω

⊢ (c • μ) x✝ = (c • ⇑μ) x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ (imageIsoImage f).hom ≫ Limits.image.ι f = kernel.ι (cokernel.π f)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
c : ℝ
c_nn : 0 ≤ c

⊢ closedBall 0 c = Icc 0 c.toNNReal
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
c : ℝ
c_nn : 0 ≤ c

⊢ c.toNNReal = ⟨c, c_nn⟩
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : PosNum

⊢ ↑(pos p).pred = (↑(pos p)).pred
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : PosNum

⊢ (↑p).pred = (↑(pos p)).pred
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → 𝕜
g : E → F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x
hg : ContDiffAt 𝕜 n g x

⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => f x • g x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → 𝕜
g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g univ x

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x • g x) univ x
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
hr : r ≠ 0

⊢ 0 < r.sign * r
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
hr : r ≠ 0
h : 0 = r.sign * r

⊢ r = 0
-- Mathlib/Data/Real/Sign.lean
r : ℝ
hr : r ≠ 0
h : 0 = r.sign * r
hs0 : r.sign = 0

⊢ r = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
val✝ : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
property✝ : val✝ ∈ U

⊢ (stalkToFiberRingHom R ↑⟨val✝, property✝⟩) (((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨val✝, property✝⟩) s) = ↑s ⟨val✝, property✝⟩