ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v✝ : ι → V
s t : Set V
x y z : V
n : ℕ
v : Fin (n + 1) → V

⊢ LinearIndependent K v ↔ LinearIndependent K (Fin.init v) ∧ v (Fin.last n) ∉ span K (range (Fin.init v))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogDeriv.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℂ
x : ℝ
f' : ℂ
h₁ : HasStrictDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ slitPlane

⊢ HasStrictDerivAt (fun t => log (f t)) (f' / f x) x
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Stability.lean
R : Type u
M : Type u_1
Mp : Type u_2
Rp : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : CommRing Rp
inst✝⁶ : Algebra R Rp
inst✝⁵ : AddCommGroup Mp
inst✝⁴ : Module R Mp
inst✝³ : Module Rp Mp
inst✝² : IsScalarTower R Rp Mp
f✝ : M →ₗ[R] Mp
inst✝¹ : Flat R M
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S Rp
f : M →ₗ[R] Mp
h : IsLocalizedModule S f

⊢ Flat Rp Mp
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Stability.lean
R : Type u
M : Type u_1
Mp : Type u_2
Rp : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : CommRing Rp
inst✝⁶ : Algebra R Rp
inst✝⁵ : AddCommGroup Mp
inst✝⁴ : Module R Mp
inst✝³ : Module Rp Mp
inst✝² : IsScalarTower R Rp Mp
f✝ : M →ₗ[R] Mp
inst✝¹ : Flat R M
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S Rp
f : M →ₗ[R] Mp
h : IsLocalizedModule S f

⊢ IsBaseChange Rp ?m.190213
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Stability.lean
R : Type u
M : Type u_1
Mp : Type u_2
Rp : Type v
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : CommRing Rp
inst✝⁶ : Algebra R Rp
inst✝⁵ : AddCommGroup Mp
inst✝⁴ : Module R Mp
inst✝³ : Module Rp Mp
inst✝² : IsScalarTower R Rp Mp
f✝ : M →ₗ[R] Mp
inst✝¹ : Flat R M
S : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization S Rp
f : M →ₗ[R] Mp
h : IsLocalizedModule S f

⊢ M →ₗ[R] Mp
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℍ

⊢ jacobiTheta ↑(ModularGroup.T ^ 2 • τ) = jacobiTheta ↑τ
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℍ

⊢ ↑(ModularGroup.T ^ 2 • τ) = 2 + ↑τ
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℍ
this : ModularGroup.T ^ 2 = ModularGroup.T ^ 2

⊢ ↑(ModularGroup.T ^ 2 • τ) = 2 + ↑τ
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/OneVariable.lean
τ : ℍ
this : ModularGroup.T ^ 2 = ModularGroup.T ^ 2

⊢ ↑↑2 + ↑τ = 2 + ↑τ
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ

⊢ log b (n / b * b) = log b n
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : b ≤ 1

⊢ log b (n / b * b) = log b n
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : 1 < b

⊢ log b (n / b * b) = log b n
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : 1 < b
h : n < b

⊢ log b (n / b * b) = log b n
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : 1 < b
h : b ≤ n

⊢ log b (n / b * b) = log b n
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
s : Set β

⊢ eLpNorm (fun x => κ.density ν a x s) 1 (ν a) ≤ (ν a) univ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
s : Set β
t : γ

⊢ ‖κ.density ν a t s‖ ≤ 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
s : Set β

⊢ (ν a) univ ^ (ENNReal.toReal 1)⁻¹ * ENNReal.ofReal 1 ≤ (ν a) univ
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k✝ : T.LocalizationMap Q
hg : Surjective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
z : Q

⊢ ∃ a, (f.map ⋯ k) a = z
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k✝ : T.LocalizationMap Q
hg : Surjective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
y : P
s : M
hs : s ∈ ↑S

⊢ ∃ a, (f.map ⋯ k) a = k.mk' y ⟨g s, ⋯⟩
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k✝ : T.LocalizationMap Q
hg : Surjective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
s : M
hs : s ∈ ↑S
x : M

⊢ ∃ a, (f.map ⋯ k) a = k.mk' (g x) ⟨g s, ⋯⟩
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg✝ : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k✝ : T.LocalizationMap Q
hg : Surjective ⇑g
k : (Submonoid.map g S).LocalizationMap Q
s : M
hs : s ∈ ↑S
x : M

⊢ (f.map ⋯ k) (f.mk' x ⟨s, hs⟩) = k.mk' (g x) ⟨g s, ⋯⟩
-- Mathlib/FieldTheory/Cardinality.lean
α : Type u
inst✝ : Infinite α
K : Type u := FractionRing (MvPolynomial α (ULift.{u, 0} ℚ))

⊢ Nonempty (Field α)
-- Mathlib/FieldTheory/Cardinality.lean
α : Type u
inst✝ : Infinite α
K : Type u := FractionRing (MvPolynomial α (ULift.{u, 0} ℚ))

⊢ #α = #K
-- Mathlib/FieldTheory/Cardinality.lean
α : Type u
inst✝ : Infinite α
K : Type u := FractionRing (MvPolynomial α (ULift.{u, 0} ℚ))

⊢ #α = #(MvPolynomial α (ULift.{u, 0} ℚ))
-- Mathlib/FieldTheory/Cardinality.lean
α : Type u
inst✝ : Infinite α
K : Type u := FractionRing (MvPolynomial α (ULift.{u, 0} ℚ))

⊢ #α ≤ #(MvPolynomial α (ULift.{u, 0} ℚ))
-- Mathlib/FieldTheory/Cardinality.lean
α : Type u
inst✝ : Infinite α
K : Type u := FractionRing (MvPolynomial α (ULift.{u, 0} ℚ))

⊢ #(MvPolynomial α (ULift.{u, 0} ℚ)) ≤ #α
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
S : Set ι
s : ι → Set α
hc : S.Countable
hs : ⋃ i ∈ S, s i = univ

⊢ μ = ν ↔ ∀ i ∈ S, μ.restrict (s i) = ν.restrict (s i)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E

⊢ Tendsto (fun c => c • (f (x + c⁻¹ • v) - f x)) atTop (𝓝 (f' v))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E

⊢ Tendsto (fun n => ‖n‖) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
f' : E →L[ℝ] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E

⊢ ∀ (b : ℝ), ∃ i, ∀ (a : ℝ), i ≤ a → b ≤ ‖a‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
hF : IsClosed F
h : F =ᶠ[ae μ] univ

⊢ F = univ
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Mul G
a b : G

⊢ (fun a => single a 1) (a * b) = (fun a => single a 1) a * (fun a => single a 1) b
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h : S₂.RightHomologyData
inst✝² : Epi φ.τ₁
inst✝¹ : IsIso φ.τ₂
inst✝ : Mono φ.τ₃

⊢ (ofEpiOfIsIsoOfMono' φ h).g' ≫ φ.τ₃ = h.g'
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
P : PresheafOfModules R
X : Cᵒᵖ
x✝ : ↑(P.obj X)

⊢ (P.map (𝟙 X)) x✝ = id' x✝
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/ClassNumber.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
C : ClassGroup (𝓞 K)

⊢ ∃ I, ClassGroup.mk0 I = C ∧ ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/ClassNumber.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
C : ClassGroup (𝓞 K)
J : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰
hJ : ClassGroup.mk0 J = C⁻¹

⊢ ∃ I, ClassGroup.mk0 I = C ∧ ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/ClassNumber.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
C : ClassGroup (𝓞 K)
J : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰
hJ : ClassGroup.mk0 J = C⁻¹
a : 𝓞 K
ha : a ∈ ↑↑J
h_nz : (Algebra.linearMap (𝓞 K) K) a ≠ 0
h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) ((Algebra.linearMap (𝓞 K) K) a)| ≤ ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑((FractionalIdeal.mk0 K) J)) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|

⊢ ∃ I, ClassGroup.mk0 I = C ∧ ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/ClassNumber.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
C : ClassGroup (𝓞 K)
J : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰
hJ : ClassGroup.mk0 J = C⁻¹
a : 𝓞 K
ha : a ∈ ↑↑J
h_nz : (Algebra.linearMap (𝓞 K) K) a ≠ 0
h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) ((Algebra.linearMap (𝓞 K) K) a)| ≤ ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑((FractionalIdeal.mk0 K) J)) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
I₀ : Ideal (𝓞 K)
hI : Ideal.span {a} = ↑J * I₀

⊢ ∃ I, ClassGroup.mk0 I = C ∧ ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/ClassNumber.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
C : ClassGroup (𝓞 K)
J : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰
hJ : ClassGroup.mk0 J = C⁻¹
a : 𝓞 K
ha : a ∈ ↑↑J
h_nz : (Algebra.linearMap (𝓞 K) K) a ≠ 0
h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) ((Algebra.linearMap (𝓞 K) K) a)| ≤ ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑((FractionalIdeal.mk0 K) J)) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
I₀ : Ideal (𝓞 K)
hI : Ideal.span {a} = ↑J * I₀
this : I₀ ≠ 0

⊢ ∃ I, ClassGroup.mk0 I = C ∧ ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/ClassNumber.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
C : ClassGroup (𝓞 K)
J : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰
hJ : ClassGroup.mk0 J = C⁻¹
a : 𝓞 K
ha : a ∈ ↑↑J
h_nz : (Algebra.linearMap (𝓞 K) K) a ≠ 0
h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) ((Algebra.linearMap (𝓞 K) K) a)| ≤ ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑((FractionalIdeal.mk0 K) J)) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
I₀ : Ideal (𝓞 K)
hI : Ideal.span {a} = ↑J * I₀
this : I₀ ≠ 0
I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ := ⟨I₀, ⋯⟩

⊢ ∃ I, ClassGroup.mk0 I = C ∧ ↑(Ideal.absNorm ↑I) ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * (↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0

⊢ (W.preΨ n).leadingCoeff = ↑(if Even n then n / 2 else n)
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
n : ℕ

⊢ (X ^ n - 1).Separable ↔ ↑n ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
n : ℕ

⊢ (X ^ n - 1).Separable → ↑n ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
n : ℕ

⊢ (∃ a b, a * (X ^ n - 1) + b * (C ↑n * X ^ (n - 1)) = 1) → ↑n ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
n : ℕ
h : IsCoprime (X ^ n - 1) (C ↑n * X ^ (n - 1))
hn' : ↑n = 0

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
n : ℕ
h : IsUnit (X ^ n - 1)
hn' : ↑n = 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
s : Multiset ι
f : ι → R[X]

⊢ derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
i : ι
s : Multiset ι
h : derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum

⊢ derivative (Multiset.map f (i ::ₘ s)).prod = (Multiset.map (fun i_1 => (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase i_1)).prod * derivative (f i_1)) (i ::ₘ s)).sum
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
i : ι
s : Multiset ι
h : derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum

⊢ (Multiset.map f s).prod * derivative (f i) + f i * derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map f s).prod * derivative (f i) + (Multiset.map (fun i_1 => (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase i_1)).prod * derivative (f i_1)) s).sum
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
i : ι
s : Multiset ι
h : derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum

⊢ f i * derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i_1 => (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase i_1)).prod * derivative (f i_1)) s).sum
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
i : ι
s : Multiset ι
h : derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum

⊢ (Multiset.map (HMul.hMul (f i)) (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s)).sum = (Multiset.map (fun i_1 => (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase i_1)).prod * derivative (f i_1)) s).sum
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
i : ι
s : Multiset ι
h : derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum

⊢ (Multiset.map (fun x => f i * ((Multiset.map f (s.erase x)).prod * derivative (f x))) s).sum = (Multiset.map (fun i_1 => (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase i_1)).prod * derivative (f i_1)) s).sum
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
i : ι
s : Multiset ι
h : derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum
j : ι
hj : j ∈ s

⊢ f i * ((Multiset.map f (s.erase j)).prod * derivative (f j)) = (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase j)).prod * derivative (f j)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : DecidableEq ι
s✝ : Multiset ι
f : ι → R[X]
i : ι
s : Multiset ι
h : derivative (Multiset.map f s).prod = (Multiset.map (fun i => (Multiset.map f (s.erase i)).prod * derivative (f i)) s).sum
j : ι
hj : j ∈ s

⊢ (Multiset.map f (i ::ₘ s.erase j)).prod * derivative (f j) = (Multiset.map f ((i ::ₘ s).erase j)).prod * derivative (f j)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiCompact.lean
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
s : Set ↑Γ(X, U)

⊢ X.zeroLocus s = ⊤ ↔ s ⊆ ↑(nilradical ↑Γ(X, U))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α

⊢ s.card * t.card ≤ (s \\ t).card * (t \\ s).card
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
s t : Finset α
this : ∀ (s t : Finset α), map { toFun := ⇑liftLatticeHom, inj' := ⋯ } (s \\ t) = map { toFun := ⇑liftLatticeHom, inj' := ⋯ } s \\ map { toFun := ⇑liftLatticeHom, inj' := ⋯ } t

⊢ s.card * t.card ≤ (s \\ t).card * (t \\ s).card
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
ht : t.Infinite
hst : s ⊆ t
hs : s.Finite
k : ℕ
hsk : s.ncard ≤ k

⊢ ∃ s', s ⊆ s' ∧ s' ⊆ t ∧ s'.ncard = k
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
ht : t.Infinite
hst : s ⊆ t
hs : s.Finite
k : ℕ
hsk : s.ncard ≤ k
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ⊆ t \ s
hs₁fin : s₁.Finite
hs₁card : s₁.ncard = k - s.ncard

⊢ ∃ s', s ⊆ s' ∧ s' ⊆ t ∧ s'.ncard = k
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t✝ : Set α
f : α → β
s t : Set α
ht : t.Infinite
hst : s ⊆ t
hs : s.Finite
k : ℕ
hsk : s.ncard ≤ k
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ⊆ t \ s
hs₁fin : s₁.Finite
hs₁card : s₁.ncard = k - s.ncard

⊢ (s ∪ s₁).ncard = k
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a ≤ b
hb : 0 ≤ b

⊢ a ≤ 1 * b
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : CompactSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
s : Set β
hs : IsCompact s
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
in_s : ∀ (f : α →ᵇ β) (x : α), f ∈ A → f x ∈ s
H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

⊢ IsCompact A
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : CompactSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
s : Set β
hs : IsCompact s
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
in_s : ∀ (f : α →ᵇ β) (x : α), f ∈ A → f x ∈ s
H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
M : LipschitzWith 1 Subtype.val

⊢ IsCompact A
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F✝ : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : CompactSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
s : Set β
hs : IsCompact s
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
in_s : ∀ (f : α →ᵇ β) (x : α), f ∈ A → f x ∈ s
H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
M : LipschitzWith 1 Subtype.val
F : (α →ᵇ ↑s) → α →ᵇ β := comp Subtype.val M

⊢ IsCompact A
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F✝ : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : CompactSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
s : Set β
hs : IsCompact s
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
in_s : ∀ (f : α →ᵇ β) (x : α), f ∈ A → f x ∈ s
H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
M : LipschitzWith 1 Subtype.val
F : (α →ᵇ ↑s) → α →ᵇ β := comp Subtype.val M

⊢ IsCompact (F ⁻¹' A)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F✝ : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : CompactSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
s : Set β
hs : IsCompact s
A : Set (α →ᵇ β)
closed : IsClosed A
in_s : ∀ (f : α →ᵇ β) (x : α), f ∈ A → f x ∈ s
H : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
M : LipschitzWith 1 Subtype.val
F : (α →ᵇ ↑s) → α →ᵇ β := comp Subtype.val M
f : α →ᵇ β
hf : f ∈ A

⊢ f ∈ comp Subtype.val M '' (F ⁻¹' A)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P ≃ₗ[R] Q
f : N ≃ₗ[R] P
m : M
n : N
p : P
x : M ⊗[R] N
y : N ⊗[R] M

⊢ (rTensor M (refl R N)) y = y
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T25Space X
x y : X
h : x ≠ y

⊢ ∃ u, x ∈ u ∧ IsOpen u ∧ ∃ v, y ∈ v ∧ IsOpen v ∧ Disjoint (closure u) (closure v)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

⊢ dist (mk { re := 0, im := z.im } ⋯) (mk { re := 0, im := w.im } ⋯) ≤ dist z w
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

⊢ 2 * arsinh (dist ↑(mk { re := 0, im := z.im } ⋯) ↑(mk { re := 0, im := w.im } ⋯) / (2 * √((mk { re := 0, im := z.im } ⋯).im * (mk { re := 0, im := w.im } ⋯).im))) ≤ 2 * arsinh (dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im)))
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

⊢ 2 * arsinh (dist { re := 0, im := z.im } { re := 0, im := w.im } / (2 * √(z.im * w.im))) ≤ 2 * arsinh (dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im)))
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

⊢ dist { re := 0, im := z.im } { re := 0, im := w.im } ≤ dist ↑z ↑w
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E

⊢ ‖A x‖ = √(re ⟪x, ((adjoint A).comp A) x⟫_𝕜)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Doubling.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ

⊢ ∃ R, 0 < R ∧ ∀ (x : α) (t r : ℝ), t ∈ Ioc 0 K → r ≤ R → μ (closedBall x (t * r)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K) * μ (closedBall x r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Doubling.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
h : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑(Classical.choose ⋯) * μ (closedBall x ε)

⊢ ∃ R, 0 < R ∧ ∀ (x : α) (t r : ℝ), t ∈ Ioc 0 K → r ≤ R → μ (closedBall x (t * r)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K) * μ (closedBall x r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Doubling.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
K : ℝ
h : ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝[>] 0, ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑(Classical.choose ⋯) * μ (closedBall x ε)
R : ℝ
Rpos : R ∈ Ioi 0
hR : Ioc 0 R ⊆ {x | (fun ε => ∀ (x : α), ∀ t ≤ K, μ (closedBall x (t * ε)) ≤ ↑(Classical.choose ⋯) * μ (closedBall x ε)) x}

⊢ ∃ R, 0 < R ∧ ∀ (x : α) (t r : ℝ), t ∈ Ioc 0 K → r ≤ R → μ (closedBall x (t * r)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ K) * μ (closedBall x r)