ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
this✝² : ↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv ∘ₗ Algebra.linearMap B (FractionRing B) = Algebra.linearMap B L
H : (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B)).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).symm.toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).symm.toRingEquiv).comp (algebraMap K L)
this✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : Algebra.IsIntegral A B

⊢ Submodule.map (↑(FractionRing.algEquiv B L)).toLinearMap (Submodule.traceDual A (FractionRing A) 1) = Submodule.traceDual A K 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing A
inst✝¹⁸ : Field K
inst✝¹⁷ : CommRing B
inst✝¹⁶ : Field L
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : Algebra B L
inst✝¹³ : Algebra A B
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Algebra A L
inst✝¹⁰ : IsScalarTower A K L
inst✝⁹ : IsScalarTower A B L
inst✝⁸ : IsDomain A
inst✝⁷ : IsFractionRing A K
inst✝⁶ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁵ : IsFractionRing B L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsIntegrallyClosed A
inst✝¹ : IsDedekindDomain B
inst✝ : NoZeroSMulDivisors A B
this✝² : ↑(FractionRing.algEquiv B L).toLinearEquiv ∘ₗ Algebra.linearMap B (FractionRing B) = Algebra.linearMap B L
H : (algebraMap (FractionRing A) (FractionRing B)).comp ↑(FractionRing.algEquiv A K).symm.toRingEquiv = (↑(FractionRing.algEquiv B L).symm.toRingEquiv).comp (algebraMap K L)
this✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
this✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : Algebra.IsIntegral A B

⊢ Submodule.traceDual A K (Submodule.map (FractionRing.algEquiv B L) 1) = Submodule.traceDual A K 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
h' : ∀ (y : E), f₀' y = f₁' y

⊢ HasStrictFDerivAt f₀ f₀' x ↔ HasStrictFDerivAt f₁ f₁' x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : f₀ =ᶠ[𝓝 x] f₁
h' : ∀ (y : E), f₀' y = f₁' y

⊢ ∀ (x : E × E), f₀ x.1 = f₁ x.1 ∧ f₀ x.2 = f₁ x.2 → (fun p => f₀ p.1 - f₀ p.2 - f₀' (p.1 - p.2)) x = (fun p => f₁ p.1 - f₁ p.2 - f₁' (p.1 - p.2)) x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/WF.lean
c : RBColor
α✝ : Type u_1
t : RBNode α✝
n : Nat
h : match c with | black => ∃ n', n = n' + 1 ∧ RedRed True t n' | red => ∃ c, t.Balanced c n

⊢ ∃ n', RedRed (c = black) t n'
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ

⊢ (m + n).Coprime n ↔ m.Coprime n
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Set α
inst✝ : Bornology α
S : Set (Set α)
hs : S.Finite

⊢ IsBounded (⋃₀ S) ↔ ∀ s ∈ S, IsBounded s
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
k : ℕ
hi : (X ^ k).content = 1

⊢ (X ^ (k + 1)).content = 1
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves

⊢ -⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧ = ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight (Sum.inl (i, j))⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves

⊢ -⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧ = ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight (Sum.inr (i, j))⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : (∀ (i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)) ∧ ∀ (i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)

⊢ ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : (∀ (i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)) ∧ ∀ (i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)
i : α✝¹
j : β✝

⊢ ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight (Sum.inl (i, j))⟧ = -⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : (∀ (i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)) ∧ ∀ (i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)
i : β✝¹
j : α✝

⊢ ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight (Sum.inr (i, j))⟧ = -⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves

⊢ -⟦a✝³ i * -mk α✝ β✝ a✝¹ a✝⟧ = ⟦a✝³ i * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves

⊢ -⟦mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * -a✝ j⟧ = ⟦mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * a✝ j⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves

⊢ -⟦a✝³ i * -a✝ j⟧ = ⟦a✝³ i * a✝ j⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves

⊢ -⟦-a✝² i * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝⟧ = ⟦a✝² i * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves

⊢ -⟦-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * a✝¹ j⟧ = ⟦mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * a✝¹ j⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : ∀ (k : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), P ⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight k⟧
i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves
j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves

⊢ -⟦-a✝² i * a✝¹ j⟧ = ⟦a✝² i * a✝¹ j⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : (∀ (i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)) ∧ ∀ (i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)
i : α✝¹
j : β✝

⊢ ⟦a✝³ i * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝⟧ = -⟦a✝³ i * -mk α✝ β✝ a✝¹ a✝⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : (∀ (i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)) ∧ ∀ (i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)
i : α✝¹
j : β✝

⊢ ⟦mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * a✝ j⟧ = -⟦mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * -a✝ j⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : (∀ (i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)) ∧ ∀ (i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)
i : α✝¹
j : β✝

⊢ ⟦a✝³ i * a✝ j⟧ = -⟦a✝³ i * -a✝ j⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : (∀ (i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)) ∧ ∀ (i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)
i : β✝¹
j : α✝

⊢ ⟦a✝² i * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝⟧ = -⟦-a✝² i * mk α✝ β✝ a✝¹ a✝⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : (∀ (i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)) ∧ ∀ (i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)
i : β✝¹
j : α✝

⊢ ⟦mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * a✝¹ j⟧ = -⟦-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝² * a✝¹ j⟧
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
P : Game → Prop
α✝¹ β✝¹ : Type u_1
a✝³ : α✝¹ → PGame
a✝² : β✝¹ → PGame
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
h : (∀ (i : (mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (-mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)) ∧ ∀ (i : (-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), P (-⟦(-mk α✝¹ β✝¹ a✝³ a✝²).mulOption (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝) i j⟧)
i : β✝¹
j : α✝

⊢ ⟦a✝² i * a✝¹ j⟧ = -⟦-a✝² i * a✝¹ j⟧
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
mβ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
_mα : MeasurableSpace α
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
s : ι → Set Ω
S : Finset ι
f : (x : ι) → Ω → β x
inst✝ : Fintype ι
h : iIndep m κ μ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (⋂ i, s i) = ∏ i : ι, (κ a) (s i)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : ι → Type u_4
mβ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
_mα : MeasurableSpace α
m : ι → MeasurableSpace Ω
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
π : ι → Set (Set Ω)
s : ι → Set Ω
S : Finset ι
f : (x : ι) → Ω → β x
inst✝ : Fintype ι
h : iIndep m κ μ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
a : α
ha : (κ a) (⋂ i ∈ Finset.univ, s i) = ∏ i : ι, (κ a) (s i)

⊢ (κ a) (⋂ i, s i) = ∏ i : ι, (κ a) (s i)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
I : Ideal S
inst✝¹¹ : Module.Finite R S
inst✝¹⁰ : Module.Free R S
M : Submonoid R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing Rₘ
inst✝⁸ : Algebra R Rₘ
inst✝⁷ : CommRing Sₘ
inst✝⁶ : Algebra S Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ

⊢ spanNorm Rₘ (map (algebraMap S Sₘ) I) = map (algebraMap R Rₘ) (spanNorm R I)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
I : Ideal S
inst✝¹¹ : Module.Finite R S
inst✝¹⁰ : Module.Free R S
M : Submonoid R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing Rₘ
inst✝⁸ : Algebra R Rₘ
inst✝⁷ : CommRing Sₘ
inst✝⁶ : Algebra S Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
h✝ : Subsingleton R

⊢ spanNorm Rₘ (map (algebraMap S Sₘ) I) = map (algebraMap R Rₘ) (spanNorm R I)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
I : Ideal S
inst✝¹¹ : Module.Finite R S
inst✝¹⁰ : Module.Free R S
M : Submonoid R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing Rₘ
inst✝⁸ : Algebra R Rₘ
inst✝⁷ : CommRing Sₘ
inst✝⁶ : Algebra S Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
h✝ : Nontrivial R

⊢ spanNorm Rₘ (map (algebraMap S Sₘ) I) = map (algebraMap R Rₘ) (spanNorm R I)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
I : Ideal S
inst✝¹¹ : Module.Finite R S
inst✝¹⁰ : Module.Free R S
M : Submonoid R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing Rₘ
inst✝⁸ : Algebra R Rₘ
inst✝⁷ : CommRing Sₘ
inst✝⁶ : Algebra S Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S

⊢ spanNorm Rₘ (map (algebraMap S Sₘ) I) = map (algebraMap R Rₘ) (spanNorm R I)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
I : Ideal S
inst✝¹¹ : Module.Finite R S
inst✝¹⁰ : Module.Free R S
M : Submonoid R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing Rₘ
inst✝⁸ : Algebra R Rₘ
inst✝⁷ : CommRing Sₘ
inst✝⁶ : Algebra S Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S

⊢ spanNorm Rₘ (map (algebraMap S Sₘ) I) = span (⇑(algebraMap R Rₘ) ∘ ⇑(Algebra.norm R) '' ↑I)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
I : Ideal S
inst✝¹¹ : Module.Finite R S
inst✝¹⁰ : Module.Free R S
M : Submonoid R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing Rₘ
inst✝⁸ : Algebra R Rₘ
inst✝⁷ : CommRing Sₘ
inst✝⁶ : Algebra S Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S

⊢ ↑(map (algebraMap S Sₘ) I) ⊆ ⇑(Algebra.norm Rₘ) ⁻¹' ↑(Submodule.span Rₘ (⇑(algebraMap R Rₘ) ∘ ⇑(Algebra.norm R) '' ↑I))
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
I : Ideal S
inst✝¹¹ : Module.Finite R S
inst✝¹⁰ : Module.Free R S
M : Submonoid R
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing Rₘ
inst✝⁸ : Algebra R Rₘ
inst✝⁷ : CommRing Sₘ
inst✝⁶ : Algebra S Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : IsLocalization M Rₘ
inst✝ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S

⊢ ↑I ⊆ ⇑(algebraMap R Rₘ) ∘ ⇑(Algebra.norm R) ⁻¹' ↑(Submodule.span Rₘ (⇑(Algebra.norm Rₘ) '' ↑(map (algebraMap S Sₘ) I)))
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α

⊢ z + 1 ≤ ⌈a⌉ ↔ ↑z < a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/BinomialHeap/Basic.lean
α : Type u_1
s : Heap α
le : α → α → Bool
n : Nat
tl : Heap α
hwf : WF le n s
eq : Option.map (fun x => x.snd) (Heap.deleteMin le s) = some tl

⊢ WF le 0 tl
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
n : ℕ
f g : Vector ℕ n → ℕ
h : Vector ℕ (n + 2) → ℕ
hf : Primrec' f
hg : Primrec' g
hh : Primrec' h

⊢ Primrec' fun v => Nat.rec (g v) (fun y IH => h (y ::ᵥ IH ::ᵥ v)) (f v)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ ⊥ = x ⊓ y ⊓ x \ y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ x ⊓ y ⊓ x \ y = x ⊓ (y ⊓ x ⊔ y \ x) ⊓ x \ y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ x ⊓ (y ⊓ x ⊔ y \ x) ⊓ x \ y = (x ⊓ (y ⊓ x) ⊔ x ⊓ y \ x) ⊓ x \ y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ (y ⊓ (x ⊓ x) ⊔ x ⊓ y \ x) ⊓ x \ y = (y ⊓ x ⊔ x ⊓ y \ x) ⊓ x \ y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ (y ⊓ x ⊔ x ⊓ y \ x) ⊓ x \ y = x ⊓ y ⊓ x \ y ⊔ x ⊓ y \ x ⊓ x \ y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ x ⊓ y ⊓ x \ y ⊔ x ⊓ y \ x ⊓ x \ y = x ⊓ y \ x ⊓ x \ y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ x ⊓ x \ y ⊓ y \ x = x \ y ⊓ y \ x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E

⊢ ⟪0, x⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
hP : (↑P).relindex (↑P).normalizer ≠ 0

⊢ ¬p ∣ (↑P).index
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
hP : (↑P).relindex (↑P).normalizer ≠ 0

⊢ ¬p ∣ (↑P).relindex (↑P).normalizer * Nat.card (Sylow p G)
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
hP : (↑P).relindex (↑P).normalizer ≠ 0
this : (↑(P.subtype ⋯)).Normal

⊢ ¬p ∣ (↑P).relindex (↑P).normalizer * Nat.card (Sylow p G)
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
hP : (↑P).relindex (↑P).normalizer ≠ 0
this✝ : (↑(P.subtype ⋯)).Normal
this : (↑(P.subtype ⋯)).FiniteIndex

⊢ ¬p ∣ (↑P).relindex (↑P).normalizer * Nat.card (Sylow p G)
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
this✝ : (↑(P.subtype ⋯)).Normal
this : (↑(P.subtype ⋯)).FiniteIndex
hP : ¬p ∣ (↑(P.subtype ⋯)).index

⊢ ¬p ∣ (↑P).relindex (↑P).normalizer * Nat.card (Sylow p G)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
g✝ : α → E
l : Filter ι
x₀✝ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
x₀ : F
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g x₀
f : F → E := fun x => g (x₀ - x)

⊢ Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • (x₀ - x))) • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
g✝ : α → E
l : Filter ι
x₀✝ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
x₀ : F
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g x₀
f : F → E := fun x => g (x₀ - x)
If : Integrable f μ

⊢ Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • (x₀ - x))) • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α
inst✝⁹ : BorelSpace α
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
g✝ : α → E
l : Filter ι
x₀✝ : α
s t : Set α
φ✝ : ι → α → ℝ
a : E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
x₀ : F
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g x₀
f : F → E := fun x => g (x₀ - x)
If : Integrable f μ
this : Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) • f x ∂μ) atTop (𝓝 (f 0))

⊢ Tendsto (fun c => ∫ (x : F), (c ^ finrank ℝ F * φ (c • (x₀ - x))) • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g x₀))