ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X

⊢ EquicontinuousWithinAt F univ x₀ ↔ EquicontinuousAt F x₀
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Units.lean
M : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : Mˣ
x y : M
h : SemiconjBy (↑a) x y

⊢ ↑a⁻¹ * y = ↑a⁻¹ * (y * ↑a * ↑a⁻¹)
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Units.lean
M : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : Mˣ
x y : M
h : SemiconjBy (↑a) x y

⊢ ↑a⁻¹ * (y * ↑a * ↑a⁻¹) = x * ↑a⁻¹
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
s : Set α
p : α → Prop

⊢ (∃ᶠ (x : α) in f ⊓ 𝓟 s, p x) ↔ ∃ᶠ (x : α) in f, x ∈ s ∧ p x
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ split I i x
h₂ : y ∈ J
h₃ : y i ≤ x

⊢ ↑J = ↑I ∩ {y | y i ≤ x}
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ split I i x
h₂ : y ∈ J
h₃ : y i ≤ x
H : ↑J = ↑I ∩ {y | x < y i}

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ
h₁ : J ∈ split I i x
h₂ : y ∈ ↑I ∩ {y | x < y i}
h₃ : y i ≤ x
H : ↑J = ↑I ∩ {y | x < y i}

⊢ False
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
M : Matrix m n α

⊢ Mᴴ = 0 ↔ M = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Set.lean
α : Type u_1
f : ℕ → α

⊢ {f 0} ∪ range (f ∘ succ) = range f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : AffineTargetMorphismProperty
inst✝ : P.toProperty.RespectsIso
X Y X' Y' : Scheme
f : X ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk f'
h : IsAffine Y

⊢ P f ↔ P f'
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y

⊢ a + b = b + a
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y

⊢ a - -b = b + a
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y

⊢ - -a - -b = b + a
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y

⊢ 0 - 0 - (0 - a - b) = b + a
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b : X ⟶ Y

⊢ 0 - 0 - (-b - a) = b + a
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ

⊢ a ≡ b [PMOD 0] ↔ a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.25322, u_1} A'
inst✝¹ : Category.{?u.25326, u_2} B'
inst✝ : Category.{?u.25330, u_3} T'
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T
R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T
L' : A' ⥤ T'
R' : B' ⥤ T'
F₁ : A ⥤ A'
F₂ : B ⥤ B'
F : T ⥤ T'
α : F₁ ⋙ L' ⟶ L ⋙ F
β : R ⋙ F ⟶ F₂ ⋙ R'
X Y : Comma L R
φ : X ⟶ Y

⊢ L'.map (F₁.map φ.left) ≫ α.app Y.left ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = (α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ β.app X.right) ≫ R'.map (F₂.map φ.right)
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.25322, u_1} A'
inst✝¹ : Category.{?u.25326, u_2} B'
inst✝ : Category.{?u.25330, u_3} T'
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T
R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T
L' : A' ⥤ T'
R' : B' ⥤ T'
F₁ : A ⥤ A'
F₂ : B ⥤ B'
F : T ⥤ T'
α : F₁ ⋙ L' ⟶ L ⋙ F
β : R ⋙ F ⟶ F₂ ⋙ R'
X Y : Comma L R
φ : X ⟶ Y

⊢ L'.map (F₁.map φ.left) ≫ α.app Y.left ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ β.app X.right ≫ R'.map (F₂.map φ.right)
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.25322, u_1} A'
inst✝¹ : Category.{?u.25326, u_2} B'
inst✝ : Category.{?u.25330, u_3} T'
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T
R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T
L' : A' ⥤ T'
R' : B' ⥤ T'
F₁ : A ⥤ A'
F₂ : B ⥤ B'
F : T ⥤ T'
α : F₁ ⋙ L' ⟶ L ⋙ F
β : R ⋙ F ⟶ F₂ ⋙ R'
X Y : Comma L R
φ : X ⟶ Y

⊢ α.app X.left ≫ (L ⋙ F).map φ.left ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ (R ⋙ F).map φ.right ≫ β.app Y.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} B
T : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} T
A' : Type u_1
B' : Type u_2
T' : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.25322, u_1} A'
inst✝¹ : Category.{?u.25326, u_2} B'
inst✝ : Category.{?u.25330, u_3} T'
L : A ⥤ T
R : B ⥤ T
L₁ L₂ L₃ : A ⥤ T
R₁ R₂ R₃ : B ⥤ T
L' : A' ⥤ T'
R' : B' ⥤ T'
F₁ : A ⥤ A'
F₂ : B ⥤ B'
F : T ⥤ T'
α : F₁ ⋙ L' ⟶ L ⋙ F
β : R ⋙ F ⟶ F₂ ⋙ R'
X Y : Comma L R
φ : X ⟶ Y

⊢ α.app X.left ≫ F.map (L.map φ.left) ≫ F.map Y.hom ≫ β.app Y.right = α.app X.left ≫ F.map X.hom ≫ F.map (R.map φ.right) ≫ β.app Y.right
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m m₁ m₂ : Multiset α
h : m₁ ≤ m₂
p : α × ℕ

⊢ p ∈ m₁.toEnumFinset → p ∈ m₂.toEnumFinset
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m m₁ m₂ : Multiset α
h : m₁ ≤ m₂
p : α × ℕ

⊢ p.2 < count p.1 m₁ → p.2 < count p.1 m₂
-- Mathlib/Data/Nat/PSub.lean
m n k : ℕ

⊢ m.psub (n + k) = do let __do_lift ← m.psub n __do_lift.psub k
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : closure s ⊆ s

⊢ IsClosed s
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h : closure s ⊆ s

⊢ IsClosed (closure s)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
a x✝¹ : { x // x ∈ s }
x✝ : x✝¹ ∈ s.attach

⊢ (a = x✝¹) = (↑a = ↑x✝¹)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α

⊢ Nonempty (α ≃ α ⊕ β')
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α

⊢ lift.{max u v, u} #α = lift.{max v u, u} #α + lift.{u, v} #β'
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α

⊢ lift.{v, u} #α + lift.{u, v} #β' = lift.{v, u} #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α
e : α ≃ α ⊕ β'
f g : α → β'
h : (fun f => ⟨fun a => Sum.elim f id (e a), ⋯⟩) f = (fun f => ⟨fun a => Sum.elim f id (e a), ⋯⟩) g
a : α

⊢ f a = g a
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β
h : Surjective (map f)
x : β
y : α
hxy : map f [y] = [x]

⊢ ∃ a, f a = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
j j' : J
x : F.obj j
x' : F.obj j'
j'' : J
f : j ⟶ j''
f' : j' ⟶ j''
w : F.map f x = F.map f' x'

⊢ colimit.ι F j x = colimit.ι F j' x'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
j j' : J
x : F.obj j
x' : F.obj j'
j'' : J
f : j ⟶ j''
f' : j' ⟶ j''
w : F.map f x = F.map f' x'

⊢ (F.map f ≫ colimit.ι F j'') x = (F.map f' ≫ colimit.ι F j'') x'
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞

⊢ (a * ⊤).toReal = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
m : P := midpoint ℝ p1 p2

⊢ ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
m : P := midpoint ℝ p1 p2
h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)

⊢ ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : dist p3 p1 = dist p3 p2
m : P := midpoint ℝ p1 p2
h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)
h2 : p3 -ᵥ p2 = p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m)

⊢ ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
m : P := midpoint ℝ p1 p2
h : ‖p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)‖ = ‖p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m)‖
h1 : p3 -ᵥ p1 = p3 -ᵥ m - (p1 -ᵥ m)
h2 : p3 -ᵥ p2 = p3 -ᵥ m + (p1 -ᵥ m)

⊢ ∠ p3 (midpoint ℝ p1 p2) p1 = π / 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
j : J

⊢ (T.η.app c.pt ≫ t.lift (newCone D c)) ≫ c.π.app j = 𝟙 c.pt ≫ c.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
j : J

⊢ c.π.app j ≫ 𝟙 (D.obj j).A = 𝟙 c.pt ≫ c.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
j : J

⊢ (T.μ.app c.pt ≫ t.lift (newCone D c)) ≫ c.π.app j = (T.map (t.lift (newCone D c)) ≫ t.lift (newCone D c)) ≫ c.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
T : Monad C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
D : J ⥤ T.Algebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
j : J

⊢ (T.toFunctor ⋙ T.toFunctor).map (c.π.app j) ≫ T.map (D.obj j).a ≫ (D.obj j).a = T.map (T.map (c.π.app j)) ≫ T.map (D.obj j).a ≫ (D.obj j).a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r

⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) < ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r

⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) < ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r
h_int : ∀ x ∈ Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) ≤ ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n)))

⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) < ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r
h_int : ∀ x ∈ Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) ≤ ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n)))

⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in Ioc 0 1, ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n))) < ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r
h_int : ∀ x ∈ Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) ≤ ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n)))

⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ (-(r⁻¹ * ↑n))) (Ioc 0 1) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r
h_int : ∀ x ∈ Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) ≤ ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n)))

⊢ IntervalIntegrable (fun x => x ^ (-(r⁻¹ * ↑n))) volume 0 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
r : ℝ
n : ℕ
hnr : ↑n < r
hr : 0 < r
h_int : ∀ x ∈ Ioc 0 1, ENNReal.ofReal ((x ^ (-r⁻¹) - 1) ^ n) ≤ ENNReal.ofReal (x ^ (-(r⁻¹ * ↑n)))

⊢ -1 < -(r⁻¹ * ↑n)
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W

⊢ cs.length w⁻¹ = cs.length w
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W

⊢ cs.length w⁻¹ ≤ cs.length w
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W

⊢ cs.length w ≤ cs.length w⁻¹
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Division.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
s : σ →₀ ℕ
x : MvPolynomial σ R
d : σ →₀ ℕ
h : ¬s ≤ s + d

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x : ℝ

⊢ (log ↑x).re = Real.log x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
t₁ : UniformSpace α
t₂ : UniformSpace β
a : Set (α × α)
b : Set (β × β)
ha : a ∈ 𝓤 α
hb : b ∈ 𝓤 β

⊢ {p | (p.1.1, p.2.1) ∈ a ∧ (p.1.2, p.2.2) ∈ b} ∈ 𝓤 (α × β)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
t₁ : UniformSpace α
t₂ : UniformSpace β
a : Set (α × α)
b : Set (β × β)
ha : a ∈ 𝓤 α
hb : b ∈ 𝓤 β

⊢ {p | (p.1.1, p.2.1) ∈ a ∧ (p.1.2, p.2.2) ∈ b} ∈ comap (fun p => (p.1.1, p.2.1)) (𝓤 α) ⊓ comap (fun p => (p.1.2, p.2.2)) (𝓤 β)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x

⊢ x + 1 ≤ rexp x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ
hx : 0 ≤ 0

⊢ 0 + 1 ≤ rexp 0
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ
hx : 0 ≤ x
h : 0 < x

⊢ x + 1 ≤ rexp x
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n a : ℕ
h' : n * a ≠ 0

⊢ n.primeFactorsList <+ (n * a).primeFactorsList
-- Mathlib/Order/Cover.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Set α
a✝ a : α
ha : a ∉ s

⊢ s ⋖ insert a s
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c : α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α

⊢ (Ico a b).erase a = Ioo a b
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U

⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)

⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hwU : w ∈ closure U
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w

⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hwU : w ∈ interior U ∨ w ∈ frontier U
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w

⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U

⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ

⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z

⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
x : E
hx : x ∈ closure U

⊢ (norm ∘ f) w = (norm ∘ f) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
x : E
hx : x ∈ closure U

⊢ ball w (dist z w) ⊆ U
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
x : E
hx : x ∈ closure U

⊢ ball w (infDist w (interior U)ᶜ) ⊆ U
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α

⊢ a ∈ ⨆ i, f i ↔ ∃ i, a ∈ f i
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : ι → LowerSet α

⊢ a ∈ ⋃ i, ↑(f i) ↔ ∃ i, a ∈ f i
-- Mathlib/CategoryTheory/ConcreteCategory/Basic.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝ : ConcreteCategory D
F G : C ⥤ D
φ : F ⟶ G
X Y : C
f : X ⟶ Y
x : (forget D).obj (F.obj X)

⊢ (φ.app Y) ((F.map f) x) = (G.map f) ((φ.app X) x)
-- Mathlib/Data/Finset/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder G
inst✝² : LinearOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
a : G
b : P

⊢ (a, b) ∈ SMulAntidiagonal ⋯ ⋯ (hs.min hns • ht.min hnt) ↔ (a, b) ∈ {(hs.min hns, ht.min hnt)}
-- Mathlib/Data/Finset/SMulAntidiagonal.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder G
inst✝² : LinearOrder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
s : Set G
t : Set P
hs : s.IsWF
ht : t.IsWF
hns : s.Nonempty
hnt : t.Nonempty
a : G
b : P

⊢ a ∈ s ∧ b ∈ t ∧ a • b = hs.min hns • ht.min hnt ↔ a = hs.min hns ∧ b = ht.min hnt
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β

⊢ mulRothNumber s * mulRothNumber t ≤ mulRothNumber (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u

⊢ mulRothNumber s * mulRothNumber t ≤ mulRothNumber (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u
v : Finset β
hvt : v ⊆ t
hvcard : v.card = mulRothNumber t
hv : ThreeGPFree ↑v

⊢ mulRothNumber s * mulRothNumber t ≤ mulRothNumber (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u
v : Finset β
hvt : v ⊆ t
hvcard : v.card = mulRothNumber t
hv : ThreeGPFree ↑v

⊢ (u ×ˢ v).card ≤ mulRothNumber (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u
v : Finset β
hvt : v ⊆ t
hvcard : v.card = mulRothNumber t
hv : ThreeGPFree ↑v

⊢ ThreeGPFree ↑(u ×ˢ v)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : Monoid α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid β
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β
u : Finset α
hus : u ⊆ s
hucard : u.card = mulRothNumber s
hu : ThreeGPFree ↑u
v : Finset β
hvt : v ⊆ t
hvcard : v.card = mulRothNumber t
hv : ThreeGPFree ↑v

⊢ ThreeGPFree (↑u ×ˢ ↑v)
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P

⊢ (∀ (f : ℕ →o Submodule R M), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m) ↔ IsNoetherian R M