ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x y : P.Elements
f : x ⟶ y
eq₁ : yoneda.map (↑f).unop ≫ yonedaEquiv.symm x.snd = yonedaEquiv.symm y.snd
eq₂ : (G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst))) ((G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.1))).map (F.map (↑f).unop).op ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop x.fst))))) = (G.obj P).map (F.map (↑f).unop).op ((G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop x.fst)))))
eq₃ : (φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst)) ≫ F.map (↑f).unop) = (G.map (yoneda.map (↑f).unop)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) ((φ.app (Opposite.unop y.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))))
eq₄ : ∀ (a : F.obj (Opposite.unop x.fst) ⟶ F.obj (Opposite.unop x.fst)), (φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst))) (F.map (↑f).unop ≫ a) = (G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.fst))).map (F.map (↑f).unop).op ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) a)

⊢ yoneda.map (↑f).unop ≫ coconeApp φ x = coconeApp φ y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x y : P.Elements
f : x ⟶ y
eq₁ : yoneda.map (↑f).unop ≫ yonedaEquiv.symm x.snd = yonedaEquiv.symm y.snd
eq₂ : (G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst))) ((G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.1))).map (F.map (↑f).unop).op ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop x.fst))))) = (G.obj P).map (F.map (↑f).unop).op ((G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop x.fst)))))
eq₃ : (φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst)) ≫ F.map (↑f).unop) = (G.map (yoneda.map (↑f).unop)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) ((φ.app (Opposite.unop y.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))))
eq₄ : ∀ (a : F.obj (Opposite.unop x.fst) ⟶ F.obj (Opposite.unop x.fst)), (φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst))) (F.map (↑f).unop ≫ a) = (G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.fst))).map (F.map (↑f).unop).op ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) a)

⊢ yonedaEquiv (yoneda.map (↑f).unop ≫ coconeApp φ x) = yonedaEquiv (coconeApp φ y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x y : P.Elements
f : x ⟶ y
eq₁ : yoneda.map (↑f).unop ≫ yonedaEquiv.symm x.snd = yonedaEquiv.symm y.snd
eq₂ : (G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst))) ((G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.1))).map (F.map (↑f).unop).op ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop x.fst))))) = (G.obj P).map (F.map (↑f).unop).op ((G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop x.fst)))))
eq₃ : (φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst)) ≫ F.map (↑f).unop) = (G.map (yoneda.map (↑f).unop)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) ((φ.app (Opposite.unop y.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))))
eq₄ : ∀ (a : F.obj (Opposite.unop x.fst) ⟶ F.obj (Opposite.unop x.fst)), (φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst))) (F.map (↑f).unop ≫ a) = (G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.fst))).map (F.map (↑f).unop).op ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) a)

⊢ yonedaEquiv (yoneda.map (↑f).unop ≫ yonedaEquiv.symm ((G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop x.fst))) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop x.fst)))))))) = yonedaEquiv (yonedaEquiv.symm ((G.map (yonedaEquiv.symm y.snd)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop y.fst))) ((φ.app (Opposite.unop y.fst)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop y.fst))))))))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
ℰ : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₂} ℰ
A✝ A : C ⥤ ℰ
inst✝² : yoneda.HasPointwiseLeftKanExtension A
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁), F.op.HasLeftKanExtension P
X : C
G : (Cᵒᵖ ⥤ Type v₁) ⥤ Dᵒᵖ ⥤ Type v₁
φ : F ⋙ yoneda ⟶ yoneda ⋙ G
P : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
x y : P.Elements
f : x ⟶ y
eq₁ : yoneda.map (↑f).unop ≫ yonedaEquiv.symm x.snd = yonedaEquiv.symm y.snd
eq₂ : (G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst))) ((G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.1))).map (F.map (↑f).unop).op ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop x.fst))))) = (G.obj P).map (F.map (↑f).unop).op ((G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (F.obj (Opposite.unop x.fst)))))
eq₃ : (φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst)) ≫ F.map (↑f).unop) = (G.map (yoneda.map (↑f).unop)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) ((φ.app (Opposite.unop y.fst)).app (Opposite.op (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (F.toPrefunctor.1 (Opposite.unop y.fst))))
eq₄ : ∀ (a : F.obj (Opposite.unop x.fst) ⟶ F.obj (Opposite.unop x.fst)), (φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop y.fst))) (F.map (↑f).unop ≫ a) = (G.obj (yoneda.obj (Opposite.unop x.fst))).map (F.map (↑f).unop).op ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (Opposite.op (F.obj (Opposite.unop x.fst))) a)

⊢ (F.op ⋙ G.obj P).map (↑f).unop.op ((G.map (yonedaEquiv.symm x.snd)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop x.fst))) ((φ.app (Opposite.unop x.fst)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop x.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop x.fst))))))) = (G.map (yonedaEquiv.symm y.snd)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop y.fst))) ((φ.app (Opposite.unop y.fst)).app (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop y.fst))) (𝟙 (Opposite.unop (F.op.obj (Opposite.op (Opposite.unop y.fst))))))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
x : α

⊢ Tendsto (fun n => f^[n] x) atTop (𝓝 (fixedPoint f hf))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
x : α

⊢ fixedPoint f hf = efixedPoint f hf x ⋯
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
x : α

⊢ IsFixedPt f (efixedPoint f hf x ⋯)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCancelCommMonoid E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z x : E
hx : x ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • x + b • y ∈ interior ((fun x => z + x) ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCancelCommMonoid E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z x : E
hx : x ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • x + b • y ∈ (fun b => z + b) ⁻¹' interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCancelCommMonoid E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z x : E
hx : x ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ (fun x => z + x) ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
h : a • (fun x => z + x) x + b • (fun x => z + x) y ∈ interior s

⊢ a • x + b • y ∈ (fun b => z + b) ⁻¹' interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M

⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {x | ‖x‖ < ε}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
this : ∀ (ε : ℝ), mk '' ball 0 ε = {x | ‖x‖ < ε}

⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun ε => {x | ‖x‖ < ε}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
this : ∀ (ε : ℝ), mk '' ball 0 ε = {x | ‖x‖ < ε}

⊢ (Filter.map mk (𝓝 0)).HasBasis (fun ε => 0 < ε) fun x => mk '' ball 0 x
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y

⊢ QuotientMap (⇑h ∘ ⇑h.symm)
-- Mathlib/Topology/Bornology/BoundedOperation.lean
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Sub R
inst✝ : BoundedSub R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C

⊢ ∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f - g) x) ((f - g) y) ≤ C
-- Mathlib/Topology/Bornology/BoundedOperation.lean
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Sub R
inst✝ : BoundedSub R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
C : ℝ
hC : ∀ ⦃x : R⦄, x ∈ Set.range f - Set.range g → ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ Set.range f - Set.range g → dist x y ≤ C

⊢ ∃ C, ∀ (x y : X), dist ((f - g) x) ((f - g) y) ≤ C
-- Mathlib/Topology/Bornology/BoundedOperation.lean
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Sub R
inst✝ : BoundedSub R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
C : ℝ
hC : ∀ ⦃x : R⦄, x ∈ Set.range f - Set.range g → ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ Set.range f - Set.range g → dist x y ≤ C

⊢ ∀ (x y : X), dist ((f - g) x) ((f - g) y) ≤ C
-- Mathlib/Topology/Bornology/BoundedOperation.lean
R : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace R
inst✝¹ : Sub R
inst✝ : BoundedSub R
f g : X → R
f_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (f x) (f y) ≤ C
g_bdd : ∃ C, ∀ (x y : X), dist (g x) (g y) ≤ C
C : ℝ
hC : ∀ ⦃x : R⦄, x ∈ Set.range f - Set.range g → ∀ ⦃y : R⦄, y ∈ Set.range f - Set.range g → dist x y ≤ C
x y : X

⊢ dist ((f - g) x) ((f - g) y) ≤ C
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n : PartENat

⊢ φ.order = n ↔ (∀ (i : ℕ), ↑i = n → (coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < n → (coeff R i) φ = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧

⊢ φ.order = ⊤ ↔ (∀ (i : ℕ), ↑i = ⊤ → (coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ⊤ → (coeff R i) φ = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ : R⟦X⟧
n✝ : ℕ

⊢ φ.order = ↑n✝ ↔ (∀ (i : ℕ), ↑i = ↑n✝ → (coeff R i) φ ≠ 0) ∧ ∀ (i : ℕ), ↑i < ↑n✝ → (coeff R i) φ = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c : β

⊢ c ≥ fold max b f s ↔ b ≤ c ∧ ∀ x ∈ s, f x ≤ c
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c : β

⊢ ∀ {x y z : β}, x ≥ max y z ↔ x ≥ y ∧ x ≥ z
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s : Finset α
a : α
inst✝ : LinearOrder β
c x y z : β

⊢ max y z ≤ x ↔ x ≥ y ∧ x ≥ z
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
x : ℝ≥0
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝

⊢ ↑x ∈ spectrum ℝ a ↔ x ∈ spectrum ℝ≥0 a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1

⊢ 0 ≤ p.degree ↔ p ≠ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Grade.lean
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ t ⋖ s ↔ t ⊆ s ∧ (s \ t).card = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Grade.lean
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ (∃ a ∉ t, insert a t = s) ↔ t ⊆ s ∧ (s \ t).card = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f : E →ₗ.[R] F
fst✝¹ : E
snd✝¹ : F
hx : (fst✝¹, snd✝¹) ∈ f.graph
fst✝ : E
snd✝ : F
hy : (fst✝, snd✝) ∈ f.graph
hxy : (fst✝¹, snd✝¹).1 = (fst✝, snd✝).1

⊢ (fst✝¹, snd✝¹).2 = (fst✝, snd✝).2
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompactSpace α

⊢ 𝓝ˢ (diagonal α) = 𝓤 α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompactSpace α

⊢ 𝓤 α ≤ 𝓝ˢ (diagonal α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompactSpace α
this : (𝓤 (α × α)).HasBasis (fun U => U ∈ 𝓤 α) fun U => (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ⁻¹' U ×ˢ U

⊢ 𝓤 α ≤ 𝓝ˢ (diagonal α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : CompactSpace α
this : (𝓤 (α × α)).HasBasis (fun U => U ∈ 𝓤 α) fun U => (fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ⁻¹' U ×ˢ U
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α

⊢ ⋃ x ∈ diagonal α, ball x ((fun p => ((p.1.1, p.2.1), p.1.2, p.2.2)) ⁻¹' U ×ˢ U) ∈ 𝓤 α
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β

⊢ AEStronglyMeasurable f μ ↔ AEMeasurable f μ ∧ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β

⊢ (AEMeasurable f μ ∧ ∃ t, IsSeparable t ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t) → AEStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
H : AEMeasurable f μ
t : Set β
t_sep : IsSeparable t
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t

⊢ AEStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
H : AEMeasurable f μ
t_sep : IsSeparable ∅
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ ∅

⊢ AEStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
H : AEMeasurable f μ
t : Set β
t_sep : IsSeparable t
ht : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ∈ t
h₀ : t.Nonempty

⊢ AEStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
s : Set ι
f : ι → M
x : M

⊢ x ∈ I • span R (f '' s) ↔ ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ↑s), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f ↑i) = x
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝ : LinearOrder ι
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
i : ι
ω : Ω
h : τ ω ≤ i

⊢ stoppedProcess u τ i ω = u (τ ω) ω
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t F : Set G
hF : IsClosed F

⊢ F * closure {1} = F
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t F : Set G
hF : IsClosed F

⊢ F * closure {1} ⊆ F
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x n r
hg : HasFiniteFPowerSeriesOnBall g pg x m r

⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall (f - g) (pf - pg) x (max n m) r
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
y : R
hI : I.IsRadical

⊢ Disjoint ↑(Submonoid.powers y) ↑I ↔ y ∉ I.toAddSubmonoid
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
y : R
hI : I.IsRadical
h : y ∉ I.toAddSubmonoid

⊢ ↑(Submonoid.powers y) ⊓ ↑I ≤ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
y : R
hI : I.IsRadical
h : y ∉ I.toAddSubmonoid
n : ℕ
hx' : (fun x => y ^ x) n ∈ ↑I

⊢ (fun x => y ^ x) n ∈ ⊥
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ ↑x.cot = ↑(cos x / sin x)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ComplexShapeSigns.lean
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂
inst✝ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂
p q : ℤ

⊢ (p * q).negOnePow * 1 = q.negOnePow * ((p + 1) * q).negOnePow
-- Mathlib/Algebra/Homology/ComplexShapeSigns.lean
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂
inst✝ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂
p q : ℤ

⊢ (p * q).negOnePow * p.negOnePow = 1 * (p * (q + 1)).negOnePow
-- Mathlib/Data/Multiset/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β

⊢ x ∈ s.disjSum t ↔ (∃ a ∈ s, inl a = x) ∨ ∃ b ∈ t, inr b = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y

⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n

⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
hxq : max 0 x ^ (↑n)⁻¹ < ↑q
hqy : ↑q < y ^ (↑n)⁻¹

⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
hxq : max 0 x ^ (↑n)⁻¹ < ↑q
hqy : ↑q < y ^ (↑n)⁻¹
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹

⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
hxq : max 0 x ^ (↑n)⁻¹ < ↑q
hqy : ↑q < y ^ (↑n)⁻¹
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q

⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
hqy : ↑q < y ^ (↑n)⁻¹
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
hxq : (max 0 x ^ (↑n)⁻¹) ^ ↑n < ↑q ^ ↑n

⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
hxq : (max 0 x ^ (↑n)⁻¹) ^ ↑n < ↑q ^ ↑n
hqy : ↑q ^ ↑n < (y ^ (↑n)⁻¹) ^ ↑n

⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
hxq : max 0 x < ↑q ^ n
hqy : ↑q ^ n < y

⊢ ∃ q, 0 < q ∧ x < ↑q ^ n ∧ ↑q ^ n < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
hxq : max 0 x < ↑q ^ n
hqy : ↑q ^ n < (y ^ (↑n)⁻¹) ^ n

⊢ 0 ≤ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
z x✝ y✝ : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x y : ℝ
h : x < y
hy : 0 < y
hn' : 0 < ↑n
q : ℚ
this : 0 ≤ max 0 x ^ (↑n)⁻¹
hq : 0 < ↑q
hxq : (max 0 x ^ (↑n)⁻¹) ^ n < ↑q ^ n
hqy : ↑q ^ n < (y ^ (↑n)⁻¹) ^ n

⊢ 0 ≤ max 0 x
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α

⊢ Fintype.card { a // a.IsDiag } = Fintype.card α
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α

⊢ Fintype.card { a // a.IsDiag } = (image Sym2.mk univ.diag).card