ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)

⊢ 1 / ↑(b - a) * (f b * (↑(b - a) * (1 / (-2 * ↑π * I * ↑n)) * (fourier (-n)) ↑b) - f a * (↑(b - a) * (1 / (-2 * ↑π * I * ↑n)) * (fourier (-n)) ↑a) - ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑(b - a) * (1 / (-2 * ↑π * I * ↑n)) * (f' x * (fourier (-n)) ↑x)) = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((f b - f a) * (fourier (-n)) ↑a - ↑(b - a) * (1 / ↑(b - a) * ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x * (fourier (-n)) ↑x))
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
s2 : ↑b = ↑a

⊢ 1 / ↑(b - a) * (f b * (↑(b - a) * (1 / (-2 * ↑π * I * ↑n)) * (fourier (-n)) ↑b) - f a * (↑(b - a) * (1 / (-2 * ↑π * I * ↑n)) * (fourier (-n)) ↑a) - ∫ (x : ℝ) in a..b, ↑(b - a) * (1 / (-2 * ↑π * I * ↑n)) * (f' x * (fourier (-n)) ↑x)) = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((f b - f a) * (fourier (-n)) ↑a - ↑(b - a) * (1 / ↑(b - a) * ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x * (fourier (-n)) ↑x))
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T a b : ℝ
hab : a < b
f f' : ℝ → ℂ
n : ℤ
hn : n ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : IntervalIntegrable f' volume a b
hT : Fact (0 < b - a)
this : ∀ (u v w : ℂ), u * (↑(b - a) / v * w) = ↑(b - a) / v * (u * w)
s2 : ↑b = ↑a

⊢ 1 / ↑(b - a) * ((f b - f a) * (↑(b - a) * (1 / (-2 * ↑π * I * ↑n)) * (fourier (-n)) ↑a)) - 1 / ↑(b - a) * (↑(b - a) * (1 / (-2 * ↑π * I * ↑n)) * ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x * (fourier (-n)) ↑x) = 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * ((f b - f a) * (fourier (-n)) ↑a) - 1 / (-2 * ↑π * I * ↑n) * (↑(b - a) * (1 / ↑(b - a) * ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x * (fourier (-n)) ↑x))
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
m k : ℕ
h' : k ∣ m
h₁ : m ≠ 0
h₂ : ∀ p ∈ m.primeFactorsList, p ∈ s

⊢ k ∈ factoredNumbers s
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
m k : ℕ
h' : k ∣ m
h₁ : m ≠ 0
h₂ : ∀ p ∈ m.primeFactorsList, p ∈ s
hk : k ≠ 0

⊢ k ∈ factoredNumbers s
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
m k : ℕ
h' : k ∣ m
h₁ : m ≠ 0
h₂ : ∀ p ∈ m.primeFactorsList, p ∈ s
hk : k ≠ 0
p : ℕ
hp : p ∈ k.primeFactorsList

⊢ p ∈ m.primeFactorsList
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
m k : ℕ
h' : k ∣ m
h₁ : m ≠ 0
h₂ : ∀ p ∈ m.primeFactorsList, p ∈ s
hk : k ≠ 0
p : ℕ
hp : Prime p ∧ p ∣ k

⊢ Prime p ∧ p ∣ m
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char

⊢ { data := l ++ r }.offsetOfPos { byteIdx := utf8Len l } = l.length
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ProperSpace/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r

⊢ ∃ r' < r, s ⊆ ball x r'
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ProperSpace/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hr : r ≤ 0

⊢ ∃ r' < r, s ⊆ ball x r'
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ProperSpace/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hr : 0 < r

⊢ ∃ r' < r, s ⊆ ball x r'
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
α : ι → Type u_2
δ : (i : ι) → α i → Type v
inst✝² : (i : ι) → (j : α i) → Zero (δ i j)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
i : ι
j : α i
x : δ i j
i' : ι
j' : α i'

⊢ (single i (single j x)).sigmaUncurry ⟨i', j'⟩ = (single ⟨i, j⟩ x) ⟨i', j'⟩
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
α : ι → Type u_2
δ : (i : ι) → α i → Type v
inst✝² : (i : ι) → (j : α i) → Zero (δ i j)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
i : ι
j : α i
x : δ i j
i' : ι
j' : α i'

⊢ ((single i (single j x)) i') j' = (single ⟨i, j⟩ x) ⟨i', j'⟩
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
α : ι → Type u_2
δ : (i : ι) → α i → Type v
inst✝² : (i : ι) → (j : α i) → Zero (δ i j)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
i : ι
j : α i
x : δ i j
j' : α i

⊢ ((single i (single j x)) i) j' = (single ⟨i, j⟩ x) ⟨i, j'⟩
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
α : ι → Type u_2
δ : (i : ι) → α i → Type v
inst✝² : (i : ι) → (j : α i) → Zero (δ i j)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
i : ι
j : α i
x : δ i j
i' : ι
j' : α i'
hi : i ≠ i'

⊢ ((single i (single j x)) i') j' = (single ⟨i, j⟩ x) ⟨i', j'⟩
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d

⊢ ∃ a, 1 < a.x ∧ 0 < a.y
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
h : x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1
hy : y ≠ 0

⊢ ∃ a, 1 < a.x ∧ 0 < a.y
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
h : x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1
hy : y ≠ 0

⊢ 1 < (mk |x| |y| ⋯).x
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
h : x ^ 2 - d * y ^ 2 = 1
hy : y ≠ 0

⊢ 0 < d * y ^ 2
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ

⊢ PInfty.f n ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) = s.πSummand (IndexSet.id (op [n]))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ

⊢ PInfty.f n ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) = 𝟙 (X _[n]) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n]))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ

⊢ 𝟙 (X _[n]) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) = PInfty.f n ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n]))
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Finite R
inst✝ : CharP R 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Finite R
inst✝ : CharP R 0
this : CharZero R

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/CharP/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Finite R
inst✝ : CharP R 0
this : CharZero R
val✝ : Fintype R

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
c : M'
inst✝ : One M'

⊢ ContMDiff I I' n 1
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R 2
x : R

⊢ -x = x
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c : Ordinal.{u}

⊢ succ a ♯ b = succ (a ♯ b)
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
p : γ → Prop
a : α
l₁ : List α
b : β
l₂ : List β
h : (a :: l₁).length = (b :: l₂).length

⊢ Forall p (zipWith f (a :: l₁) (b :: l₂)) ↔ Forall₂ (fun x y => p (f x y)) (a :: l₁) (b :: l₂)
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
f : α → β → γ
p : γ → Prop
a : α
l₁ : List α
b : β
l₂ : List β
h : l₁.length = l₂.length

⊢ Forall p (zipWith f (a :: l₁) (b :: l₂)) ↔ Forall₂ (fun x y => p (f x y)) (a :: l₁) (b :: l₂)
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LocallyLipschitz f

⊢ LocallyLipschitz f^[0]
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LocallyLipschitz f
n : ℕ

⊢ LocallyLipschitz f^[n + 1]
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : LocallyLipschitz f
n : ℕ

⊢ LocallyLipschitz (f^[n] ∘ f)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
h : HomologyMapData φ h₁ h₂

⊢ h.left.φH ≫ h₂.iso.hom = h₁.iso.hom ≫ h.right.φH
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasLimit (F ⋙ G)
j : J

⊢ post F G ≫ π (F ⋙ G) j = G.map (π F j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimit F
G : C ⥤ D
inst✝ : HasLimit (F ⋙ G)
j : J

⊢ (G.mapCone (cone F)).π.app j = G.map (π F j)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
h : l.Nodup
hl : 1 < l.length

⊢ l.formPerm (l.nthLe 0 ⋯) = l.nthLe 1 hl
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α
h : MeasurableSet s
t : Set α

⊢ (sum m) t = (sum m) (t ∩ s) + (sum m) (t \ s)
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q : ℚ

⊢ q.toNNRat = 0 ↔ q ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
S : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid S
inst✝² : Pow S ℕ
inst✝¹ : Module R✝ S
x : S
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
r : R

⊢ ⇑(leval r) = fun p => p.smeval r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
S : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid S
inst✝² : Pow S ℕ
inst✝¹ : Module R✝ S
x : S
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
r : R

⊢ ∀ (a : R[X]), (leval r) a = a.smeval r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
S : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid S
inst✝² : Pow S ℕ
inst✝¹ : Module R✝ S
x : S
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
r : R
a✝ : R[X]

⊢ (leval r) a✝ = a✝.smeval r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
S : Type u_2
inst✝³ : AddCommMonoid S
inst✝² : Pow S ℕ
inst✝¹ : Module R✝ S
x : S
R : Type u_3
inst✝ : Semiring R
r : R
a✝ : R[X]

⊢ (a✝.sum fun e a => a * r ^ e) = a✝.sum (smul_pow r)
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
j : ℤ
g : G
a : α

⊢ g ^ (j % ↑(period g a)) • a = g ^ j • a
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
x : α
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
w : Set α
w_nhds : w ∈ 𝓝 x
hw : IntegrableOn f w μ

⊢ ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, IntegrableOn f a μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
x : α
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
w : Set α
w_nhds : w ∈ 𝓝 x
hw : IntegrableOn f w μ
a : Set α
ha : a ⊆ w

⊢ IntegrableOn f a μ
-- Mathlib/Tactic/NormNum/DivMod.lean
a q m : ℤ
b' r : ℕ
hm : q * ↑b' = m
h₂ : r.blt b' = true
h : ↑r + m = a

⊢ a % ↑b' = ↑r
-- Mathlib/Tactic/NormNum/DivMod.lean
a q m : ℤ
b' r : ℕ
hm : q * ↑b' = m
h₂ : r.blt b' = true
h : ↑r + m = a

⊢ ↑r % ↑b' = ↑r
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : IsSemisimpleRing R
this✝ : Module R S := Module.compHom S f
this : RingHomSurjective f
e : S →ₛₗ[f] S := let __src := AddMonoidHom.id S; { toFun := (↑__src).toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }

⊢ IsSemisimpleRing S
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
inst✝ : IsSemisimpleRing R
this✝ : Module R S := Module.compHom S f
this : RingHomSurjective f
e : S →ₛₗ[f] S := let __src := AddMonoidHom.id S; { toFun := (↑__src).toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }

⊢ IsSemisimpleModule R S
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
h : IsClosed s
hs : s.Nonempty

⊢ x ∈ s ↔ infDist x s = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.69654
L : Type ?u.69657
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x✝ : S
hx : IsIntegral R x✝
x : S
i : ℕ

⊢ (minpolyDiv R x).coeff i ∈ Algebra.adjoin R {x}
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.69654
L : Type ?u.69657
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x✝ : S
hx : IsIntegral R x✝
x : S
i : ℕ
H : (minpolyDiv R x).coeff i ∉ Algebra.adjoin R {x}

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.69654
L : Type ?u.69657
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x✝ : S
hx : IsIntegral R x✝
x : S
i : ℕ
H : (minpolyDiv R x).coeff i ∉ Algebra.adjoin R {x}
this : ∀ (j : ℕ), (minpolyDiv R x).coeff (i + j) ∉ Algebra.adjoin R {x}

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.69654
L : Type ?u.69657
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x✝ : S
hx : IsIntegral R x✝
x : S
i : ℕ
H : (minpolyDiv R x).coeff i ∉ Algebra.adjoin R {x}
this : ∀ (j : ℕ), (minpolyDiv R x).coeff (i + j) ∉ Algebra.adjoin R {x}

⊢ (minpolyDiv R x).coeff (i + ((minpolyDiv R x).natDegree + 1)) ∈ Algebra.adjoin R {x}
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.69654
L : Type ?u.69657
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x✝ : S
hx : IsIntegral R x✝
x : S
i : ℕ
H : (minpolyDiv R x).coeff i ∉ Algebra.adjoin R {x}
this : ∀ (j : ℕ), (minpolyDiv R x).coeff (i + j) ∉ Algebra.adjoin R {x}

⊢ 0 ∈ Algebra.adjoin R {x}
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.69654
L : Type ?u.69657
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x✝ : S
hx : IsIntegral R x✝
x : S
i : ℕ
H : (minpolyDiv R x).coeff i ∉ Algebra.adjoin R {x}
this : ∀ (j : ℕ), (minpolyDiv R x).coeff (i + j) ∉ Algebra.adjoin R {x}

⊢ (minpolyDiv R x).natDegree < i + ((minpolyDiv R x).natDegree + 1)
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R

⊢ IsRadical 0
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R

⊢ IsReduced R
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : β → γ
g : α →𝒄 Part β
x✝ : α

⊢ f <$> g x✝ = (g.bind (const (pure ∘ f))) x✝
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
g : G
u : ℤˣ
w : NormalWord d
h1 : w.head ∈ d.set u
h2 : ∀ u' ∈ Option.map Prod.fst w.toList.head?, w.head ∈ toSubgroup A B u → u = u'

⊢ ReducedWord.prod φ (cons g u w h1 h2).toReducedWord = of g * (t ^ ↑u * ReducedWord.prod φ w.toReducedWord)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 ⇑v

⊢ ⇑(v.toOrthonormalBasis hv) = ⇑(v.toOrthonormalBasis hv).toBasis
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α

⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ball x ε ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K

⊢ z ≤ 0 ↔ ∃ x ≤ 0, ↑x = z
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K

⊢ re z ≤ 0 ∧ im z = 0 ↔ ∃ x ≤ 0, re ↑x = re z ∧ im ↑x = im z
-- Mathlib/Algebra/Module/CharacterModule.lean
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
h : (ofSpanSingleton a) ⟨a, ⋯⟩ = 0

⊢ a = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/CharacterModule.lean
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
h : ∃ n, n • 1 = (↑(if addOrderOf a = 0 then 2 else addOrderOf a))⁻¹

⊢ a = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/CharacterModule.lean
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
n : ℤ
hn : (n • 1).den = (↑(if addOrderOf a = 0 then 2 else addOrderOf a))⁻¹.den

⊢ a = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/CharacterModule.lean
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
n : ℤ
hn : 1 = if addOrderOf a = 0 then 2 else addOrderOf a

⊢ a = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/CharacterModule.lean
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
n : ℤ
hn : 1 = (↑(if addOrderOf a = 0 then 2 else addOrderOf a))⁻¹.den

⊢ 0 < if addOrderOf a = 0 then 2 else addOrderOf a
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d x y z : P
r R : ℝ

⊢ inversion c R x = c ↔ x = c ∨ R = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Group G✝
inst✝³ : TopologicalGroup G✝
inst✝² : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hright : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)
x₀ : G

⊢ map (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) = 𝓝 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Group G✝
inst✝³ : TopologicalGroup G✝
inst✝² : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
hmul : Tendsto (uncurry fun x x_1 => x * x_1) (𝓝 1 ×ˢ 𝓝 1) (𝓝 1)
hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hright : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x * x₀) (𝓝 1)
x₀ : G

⊢ map ((fun x => x * x₀⁻¹) ∘ fun x => x * x₀) (𝓝 1) = 𝓝 1
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/NeZero.lean
n : ℕ
inst✝ : NeZero n

⊢ 1 ≤ n
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/NeZero.lean
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
this : n ≠ 0

⊢ 1 ≤ n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

⊢ (mk W) W.ψ₂ ^ 2 = (mk W) (C W.Ψ₂Sq)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹

⊢ ContinuousOn (↑(hf.toPartialEquiv hc).symm) (f '' s)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹

⊢ Continuous ((f '' s).restrict ↑(hf.toPartialEquiv hc).symm)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹

⊢ MapsTo (hf.toPartialEquiv hc).invFun (hf.toPartialEquiv hc).target s
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : IsDomain B
inst✝³ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A S
inst✝ : Nontrivial A
pb : PowerBasis A S

⊢ (minpoly A pb.gen).degree = ↑pb.dim