ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁸ : Nonempty ι
inst✝⁷ : Nonempty ι'
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
t : TopologicalSpace E
hp : WithSeminorms p
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id

⊢ p.moduleFilterBasis.topology = q.moduleFilterBasis.topology
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁸ : Nonempty ι
inst✝⁷ : Nonempty ι'
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
q : SeminormFamily 𝕜 E ι'
hpq : Seminorm.IsBounded p q LinearMap.id
hqp : Seminorm.IsBounded q p LinearMap.id

⊢ p.moduleFilterBasis.topology = q.moduleFilterBasis.topology
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, Measurable f) → Measurable l.prod
hl : ∀ f_1 ∈ f :: l, Measurable f_1

⊢ Measurable (f :: l).prod
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, Measurable f) → Measurable l.prod
hl : Measurable f ∧ ∀ x ∈ l, Measurable x

⊢ Measurable (f :: l).prod
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : MeasurableSpace M
inst✝ : MeasurableMul₂ M
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → M
l : List (α → M)
ihl : (∀ f ∈ l, Measurable f) → Measurable l.prod
hl : Measurable f ∧ ∀ x ∈ l, Measurable x

⊢ Measurable (f * l.prod)
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)

⊢ sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L

⊢ sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L
i : ↥M →+* ↥L := Subsemiring.inclusion hi
this✝ : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra
this : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul

⊢ sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L
i : ↥M →+* ↥L := Subsemiring.inclusion hi
this✝¹ : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra
this✝ : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower F ↥M ↥L

⊢ sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L
i : ↥M →+* ↥L := Subsemiring.inclusion hi
this✝² : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra
this✝¹ : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul
this✝ : IsScalarTower F ↥M ↥L
this : IsPurelyInseparable ↥M ↥L

⊢ sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L
i : ↥M →+* ↥L := Subsemiring.inclusion hi
this✝² : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra
this✝¹ : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul
this✝ : IsScalarTower F ↥M ↥L
this : IsPurelyInseparable ↥M ↥L
h : Cardinal.lift.{w, v} (sepDegree F E) * Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree E ↥L) = Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree F ↥L)

⊢ sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
S : Set K
inst✝¹ : IsPurelyInseparable F E
M : IntermediateField F K := adjoin F S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥M
L : IntermediateField E K := adjoin E S
E' : IntermediateField F K := (IsScalarTower.toAlgHom F E K).fieldRange
j : E ≃ₐ[F] ↥E' := AlgEquiv.ofInjectiveField (IsScalarTower.toAlgHom F E K)
hi : M ≤ restrictScalars F L
i : ↥M →+* ↥L := Subsemiring.inclusion hi
this✝² : Algebra ↥M ↥L := i.toAlgebra
this✝¹ : SMul ↥M ↥L := Algebra.toSMul
this✝ : IsScalarTower F ↥M ↥L
this : IsPurelyInseparable ↥M ↥L
h : Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree E ↥L) = Cardinal.lift.{v, w} (sepDegree F ↥L)

⊢ sepDegree E ↥L = sepDegree F ↥M
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
y : ↥N
m : R
hm : m * ↑y ∈ M

⊢ IsUnit ((algebraMap R S) ↑y)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
y : ↥N
m : R
hm : m * ↑y ∈ M
this : IsUnit ((algebraMap R S) ↑⟨m * ↑y, hm⟩)

⊢ IsUnit ((algebraMap R S) ↑y)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
y : ↥N
m : R
hm : m * ↑y ∈ M
this : IsUnit ((algebraMap R S) m * (algebraMap R S) ↑y)

⊢ IsUnit ((algebraMap R S) ↑y)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
z : S

⊢ ∃ x, z * (algebraMap R S) ↑x.2 = (algebraMap R S) x.1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
z : S
y : R
s : ↥M
e : z * (algebraMap R S) ↑(y, s).2 = (algebraMap R S) (y, s).1

⊢ ∃ x, z * (algebraMap R S) ↑x.2 = (algebraMap R S) x.1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
x✝¹ x✝ : R

⊢ (algebraMap R S) x✝¹ = (algebraMap R S) x✝ → ∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
M N : Submonoid R
inst✝ : IsLocalization M S
h : M ≤ N
h' : ∀ (x : ↥N), ∃ m, m * ↑x ∈ M
x✝¹ x✝ : R

⊢ (∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝) → ∃ c, ↑c * x✝¹ = ↑c * x✝
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x✝ : P

⊢ x✝ ∈ spanSingleton S 0 ↔ x✝ ∈ 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
l₁ l₂ l : List α
d : l.Nodup
s₁ : l₁ <+ l
s₂ : l₂ <+ l
h : l₁ ~ l₂

⊢ l₁ = l₂
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
i : ι

⊢ range (Sigma.mk i) = Sigma.fst ⁻¹' {i}
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
i : ι

⊢ range (Sigma.mk i) ⊆ Sigma.fst ⁻¹' {i}
-- Mathlib/Data/Set/Sigma.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
u : Set ((i : ι) × α i)
x : (i : ι) × α i
i✝ j : ι
a : α i✝
i : ι

⊢ Sigma.fst ⁻¹' {i} ⊆ range (Sigma.mk i)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : Rat

⊢ a * b = b * a
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean
n : ℕ
a b : Fin n

⊢ (uIcc a b).card = (↑↑b - ↑↑a).natAbs + 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/ComplexDeriv.lean
x : ℂ

⊢ ContinuousAt tan x ↔ cos x ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/ComplexDeriv.lean
x : ℂ
hc : ContinuousAt tan x
h₀ : cos x = 0

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
d : ℝ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d + x) = ∫ (x : ℝ) in d + a..d + b, f x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n✝ m n : ℕ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, sin x ^ (2 * m) * cos x ^ (2 * n) = ∫ (x : ℝ) in a..b, ((1 - cos (2 * x)) / 2) ^ m * ((1 + cos (2 * x)) / 2) ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
i : ι

⊢ aeSeq hf p i x = AEMeasurable.mk (f i) ⋯ x
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp3 : p % 4 = 3
hpi : ¬Irreducible ↑p
a b : ℕ
hab : a ^ 2 + b ^ 2 = p

⊢ ∀ (a b : ZMod 4), a ^ 2 + b ^ 2 ≠ ↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp3 : p % 4 = 3
hpi : ¬Irreducible ↑p
a b : ℕ
hab : a ^ 2 + b ^ 2 = p

⊢ ∀ (a b : ZMod 4), a ^ 2 + b ^ 2 ≠ ↑3
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure G
f✝ : G → E
g : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableInv G
f : G → E
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsInvInvariant

⊢ ∫ (x : G), f x⁻¹ ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ✝ : Measure G
f✝ : G → E
g : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableInv G
f : G → E
μ : Measure G
inst✝ : μ.IsInvInvariant
h : MeasurableEmbedding fun x => x⁻¹

⊢ ∫ (x : G), f x⁻¹ ∂μ = ∫ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Primcodable β
inst✝³ : Primcodable γ
inst✝² : Primcodable δ
inst✝¹ : Primcodable σ
inst✝ : DecidableEq α
a : ℕ × ℕ

⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) a.1 a.2 ∧ (fun x x_1 => x ≤ x_1) a.2 a.1 ↔ (fun a b => a = b) a.1 a.2
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s

⊢ IsClosed ↑(lowerClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι

⊢ IsClosed ↑(lowerClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ ↑(lowerClosure s)
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)

⊢ x ∈ ↑(lowerClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hfg : ∀ (n : ℕ), f n ≤ g n
this : BoundedGENhdsClass ℝ

⊢ x ∈ ↑(lowerClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hfg : ∀ (n : ℕ), f n ≤ g n
this : BoundedGENhdsClass ℝ
a : ι → ℝ
ha : a ∈ lowerBounds (range f)

⊢ x ∈ ↑(lowerClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddAbove s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hfg : ∀ (n : ℕ), f n ≤ g n
this : BoundedGENhdsClass ℝ
a : ι → ℝ
ha : a ∈ lowerBounds (range f)
b : ι → ℝ
hb : b ∈ closure (s ∩ Ici a)
φ : ℕ → ℕ
hφ : StrictMono φ
hbf : Filter.Tendsto (g ∘ φ) Filter.atTop (nhds b)

⊢ x ∈ ↑(lowerClosure s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace M
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M β
inst✝⁵ : MeasurableSMul M β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
f : α → β
μ : Measure α
G : Type u_5
inst✝³ : Group G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MulAction G β
inst✝ : MeasurableSMul G β
c : G
h : AEMeasurable (fun x => c • f x) μ

⊢ AEMeasurable f μ
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S T : Subsemigroup M

⊢ ∀ {x : M}, x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S T : Subsemigroup M
this : S ≤ S ⊔ T

⊢ ∀ {x : M}, x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν✝ : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
a : α

⊢ Measurable ((fun p => κ.density ν p.1 p.2 s) ∘ fun x => (a, x))
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
ψ θ : R ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z : ℤ
hz : z ≠ 0

⊢ z • ψ = z • θ ↔ ∃ k, ψ = θ + ↑(↑k • (p / ↑z))
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
θ : R ⧸ AddSubgroup.zmultiples p
z : ℤ
hz : z ≠ 0
a✝ : R

⊢ z • Quotient.mk'' a✝ = z • θ ↔ ∃ k, Quotient.mk'' a✝ = θ + ↑(↑k • (p / ↑z))
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
a✝¹ a✝ : R

⊢ z • Quotient.mk'' a✝¹ = z • Quotient.mk'' a✝ ↔ ∃ k, Quotient.mk'' a✝¹ = Quotient.mk'' a✝ + ↑(↑k • (p / ↑z))
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
a✝¹ a✝ : R
Zp : AddSubgroup R := AddSubgroup.zmultiples p
this : Quotient.mk'' = mk

⊢ z • ↑a✝¹ = z • ↑a✝ ↔ ∃ k, ↑a✝¹ = ↑a✝ + ↑(↑k • (p / ↑z))
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing R
inst✝ : CharZero R
p : R
z : ℤ
hz : z ≠ 0
a✝¹ a✝ : R
Zp : AddSubgroup R := AddSubgroup.zmultiples p
this : Quotient.mk'' = mk

⊢ z • (a✝¹ - a✝) ∈ Zp ↔ ∃ k, a✝¹ - a✝ - ↑k • (p / ↑z) ∈ Zp
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a✝ : α
f✝ g : ι → α
inst✝ : DivisionSemiring α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α

⊢ (∑ i ∈ s, f i) / a = ∑ i ∈ s, f i / a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∀ i ∈ s, (f i).Monic

⊢ (∏ i ∈ s, f i).natDegree = ∑ i ∈ s, (f i).natDegree
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
x : α
F : Set α
hx : x ∈ F

⊢ x ∈ connectedComponentIn F x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
h : IsBigOWith c l f₁ f₂
hc : c < 1
x : α

⊢ -(-f₂ x - f₁ x) = f₁ x + f₂ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s

⊢ ∑ t ∈ s, weightedVSubVSubWeights k i j t = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s

⊢ ∑ x ∈ s, affineCombinationSingleWeights k i x - ∑ x ∈ s, affineCombinationSingleWeights k j x = 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
p : TangentBundle I M
hg : MDifferentiableWithinAt I' I'' g u (f p.proj)
hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s p.proj
h : s ⊆ f ⁻¹' u
hps : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

⊢ (mfderivWithin I I'' (g ∘ f) s p.proj) p.snd = (mfderivWithin I' I'' g u (f p.proj)) ((mfderivWithin I I' f s p.proj) p.snd)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
p : TangentBundle I M
hg : MDifferentiableWithinAt I' I'' g u (f p.proj)
hf : MDifferentiableWithinAt I I' f s p.proj
h : s ⊆ f ⁻¹' u
hps : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

⊢ ((mfderivWithin I' I'' g u (f p.proj)).comp (mfderivWithin I I' f s p.proj)) p.snd = (mfderivWithin I' I'' g u (f p.proj)) ((mfderivWithin I I' f s p.proj) p.snd)