ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : min c d < b

⊢ Iic b ∪ Ioc c d = Iic (max b d)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : c ≤ d
h : c < b

⊢ Iic b ∪ Ioc c d = Iic (max b d)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : d ≤ c
h : d < b

⊢ Iic b ∪ Ioc c d = Iic (max b d)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Linearity.lean
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
hg : LSeriesSummable g s

⊢ LSeries (f - g) s = LSeries f s - LSeries g s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hg : HasDerivWithinAt g g' s x
h : 0 < f x

⊢ HasDerivWithinAt (fun x => f x ^ g x) (f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x)) s x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hg : HasDerivWithinAt g g' s x
h : 0 < f x

⊢ f' * g x * f x ^ (g x - 1) + g' * f x ^ g x * Real.log (f x) = ((g x * f x ^ (g x - 1)) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 f' + (f x ^ g x * Real.log (f x)) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 g') 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iic x)

⊢ Measurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iic x)

⊢ ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ioi x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iic x)

⊢ ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iic x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α →ₛ E
hfi : Memℒp (↑f) p μ

⊢ ↑(toSimpleFunc (toLp f hfi)) =ᶠ[ae μ] ↑f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α →ₛ E
hfi : Memℒp (↑f) p μ

⊢ AEEqFun.mk ↑(toSimpleFunc (toLp f hfi)) ?m.235803 = AEEqFun.mk ↑f ?m.235804
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α →ₛ E
hfi : Memℒp (↑f) p μ

⊢ AEStronglyMeasurable (↑(toSimpleFunc (toLp f hfi))) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α →ₛ E
hfi : Memℒp (↑f) p μ

⊢ AEStronglyMeasurable (↑f) μ
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
inst✝ : NoMinOrder α
h : a < b

⊢ Ioo (pred a) b = insert a (Ioo a b)
-- Mathlib/Algebra/Star/RingQuot.lean
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
r : R → R → Prop
inst✝ : StarRing R
hr : ∀ (a b : R), r a b → r (Star.star a) (Star.star b)
a b : R
h : Rel r a b

⊢ Rel r (Star.star a) (Star.star b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R r : ℝ
hr : r < R
z : ℂ

⊢ ContinuousOn (fun w => (circleMap z R w.2 - w.1)⁻¹ ^ 2) (closedBall z r ×ˢ univ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R r : ℝ
hr : r < R
z : ℂ

⊢ ContinuousOn (fun w => (1 / (circleMap z R w.2 - w.1)) ^ 2) (closedBall z r ×ˢ univ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R r : ℝ
hr : r < R
z : ℂ

⊢ ContinuousOn (fun x => circleMap z R x.2 - x.1) (closedBall z r ×ˢ univ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R✝ : ℝ
z✝ w : ℂ
R r : ℝ
hr : r < R
z : ℂ

⊢ ∀ x ∈ closedBall z r ×ˢ univ, circleMap z R x.2 - x.1 ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
R : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Fintype n'
inst✝² : Fintype m'
inst✝¹ : DecidableEq n'
inst✝ : DecidableEq m'
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] R
M : Matrix n' n R

⊢ M * (toMatrix₂' R) B = (toMatrix₂' R) (B ∘ₗ toLin' Mᵀ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
p : β → Prop
μ : Measure α

⊢ (∀ᵐ (x : β) ∂Measure.map f μ, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p (f x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0

⊢ W'.dblY P = (P x ^ 2) ^ 3
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
toFinsupp✝ : R[ℕ]

⊢ (-{ toFinsupp := toFinsupp✝ }).support = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.support
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
toFinsupp✝ : R[ℕ]

⊢ (match { toFinsupp := -toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => p.support) = match { toFinsupp := toFinsupp✝ } with | { toFinsupp := p } => p.support
-- Mathlib/Algebra/Order/AbsoluteValue.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
abv : AbsoluteValue R S
a b : R

⊢ abv b - abv a ≤ abv (a - b)
-- Mathlib/Algebra/Order/AbsoluteValue.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
abv : AbsoluteValue R S
a b : R

⊢ abv b - abv a ≤ abv (b - a)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Pointwise.lean
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
x : R
h : x ∈ a • S

⊢ a⁻¹ • x ∈ S
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Pointwise.lean
M : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Group M
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : MulSemiringAction M R
a : M
S : Ideal R
x : R
h : a⁻¹ • x ∈ S

⊢ x ∈ a • S
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
n : ℤ
z τ : ℂ

⊢ ‖jacobiTheta₂_term n z τ‖ = rexp (-π * ↑n ^ 2 * τ.im - 2 * π * ↑n * z.im)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
n : ℤ
z τ : ℂ

⊢ rexp (-(π * (2 * ↑n) * z.im) + -(π * ↑n ^ 2 * τ.im)) = rexp (-π * ↑n ^ 2 * τ.im - 2 * π * ↑n * z.im)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝³ : Ring R₂
inst✝² : AddCommGroup M₂
inst✝¹ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
q : Submodule R₂ M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : p ≤ ker f

⊢ range (p.liftQ f h) = range f
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fact (1 ≤ p)

⊢ p = ⊤ ∨ 0 < p.toReal ∧ 1 ≤ p.toReal
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)
a2 : α
ha2 : a2 > 0
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this✝ : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)
a2 : α
ha2 : a2 > 0
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)
this : 0 < a1 * a2
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, abv (↑(f * g) j) < a1 * a2
i : ℕ := max N (max N1 N2)

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this✝ : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)
a2 : α
ha2 : a2 > 0
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)
this : 0 < a1 * a2
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, abv (↑(f * g) j) < a1 * a2
i : ℕ := max N (max N1 N2)
hN' : abv (↑(f * g) i) < a1 * a2

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this✝ : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)
a2 : α
ha2 : a2 > 0
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)
this : 0 < a1 * a2
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, abv (↑(f * g) j) < a1 * a2
i : ℕ := max N (max N1 N2)
hN' : abv (↑(f * g) i) < a1 * a2
hN1' : a1 ≤ abv (↑f i)

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this✝ : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)
a2 : α
ha2 : a2 > 0
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)
this : 0 < a1 * a2
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, abv (↑(f * g) j) < a1 * a2
i : ℕ := max N (max N1 N2)
hN' : abv (↑(f * g) i) < a1 * a2
hN1'✝ : a1 ≤ abv (↑f i)
hN1' : a2 ≤ abv (↑g i)

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this✝ : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)
a2 : α
ha2 : a2 > 0
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)
this : 0 < a1 * a2
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, abv (↑(f * g) j) < a1 * a2
i : ℕ := max N (max N1 N2)
hN' : abv (↑(f * g) i) < a1 * a2
hN1'✝ : a1 ≤ abv (↑f i)
hN1' : a2 ≤ abv (↑g i)

⊢ a1 * a2 ≤ abv (↑(f * g) i)
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this✝ : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)
a2 : α
ha2 : a2 > 0
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)
this : 0 < a1 * a2
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, abv (↑(f * g) j) < a1 * a2
i : ℕ := max N (max N1 N2)
hN' : abv (↑(f * g) i) < a1 * a2
hN1'✝ : a1 ≤ abv (↑f i)
hN1' : a2 ≤ abv (↑g i)

⊢ a1 * a2 ≤ abv (↑f i * ↑g i)
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0
this✝ : (f * g - 0).LimZero
hlz : (f * g).LimZero
hf' : ¬f.LimZero
hg' : ¬g.LimZero
a1 : α
ha1 : a1 > 0
N1 : ℕ
hN1 : ∀ j ≥ N1, a1 ≤ abv (↑f j)
a2 : α
ha2 : a2 > 0
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, a2 ≤ abv (↑g j)
this : 0 < a1 * a2
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, abv (↑(f * g) j) < a1 * a2
i : ℕ := max N (max N1 N2)
hN' : abv (↑(f * g) i) < a1 * a2
hN1'✝ : a1 ≤ abv (↑f i)
hN1' : a2 ≤ abv (↑g i)

⊢ a1 * a2 ≤ abv (↑f i) * abv (↑g i)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n✝ : ℕ
i : Fin (n✝ + 1 + 1)

⊢ (finRotate (n✝ + 1 + 1)) i = i + 1
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n✝ : ℕ

⊢ (finRotate (n✝ + 1 + 1)) (Fin.last (n✝ + 1)) = Fin.last (n✝ + 1) + 1
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n✝ : ℕ
i : Fin (n✝ + 1 + 1)
h : i < Fin.last (n✝ + 1)

⊢ (finRotate (n✝ + 1 + 1)) i = i + 1
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x y : P

⊢ spanSingleton S x * spanSingleton S y = spanSingleton S (x * y)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
x y : P

⊢ (fun I => ↑I) (spanSingleton S x * spanSingleton S y) = (fun I => ↑I) (spanSingleton S (x * y))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b : ι

⊢ ∀ a < b, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f b⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b : ι

⊢ ∀ (x : ι), (∀ y < x, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0) → ∀ a < x, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f x⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b

⊢ ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f b⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b

⊢ ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, f b⟫_𝕜 - ∑ x ∈ Iio b, ⟪gramSchmidt 𝕜 f x, f b⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f x‖ ^ 2) * ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f x⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b

⊢ ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, f b⟫_𝕜 - ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, f b⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f a‖ ^ 2) * ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f a⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b

⊢ ∀ b_1 ∈ Iio b, b_1 ≠ a → ⟪gramSchmidt 𝕜 f b_1, f b⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f b_1‖ ^ 2) * ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f b_1⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b
i : ι
hi : i ∈ Iio b
hia : i ≠ a

⊢ ⟪gramSchmidt 𝕜 f i, f b⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f i‖ ^ 2) * ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f i⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b
i : ι
hi : i ∈ Iio b
hia : i ≠ a

⊢ (⟪gramSchmidt 𝕜 f i, f b⟫_𝕜 = 0 ∨ ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f i‖ ^ 2) = 0) ∨ ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f i⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b
i : ι
hi : i ∈ Iio b
hia : i ≠ a

⊢ ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f i⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b
i : ι
hi : i ∈ Iio b
hia : i ≠ a
hia₁ : i < a

⊢ ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f i⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
b✝ b : ι
ih : ∀ y < b, ∀ a < y, ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f y⟫_𝕜 = 0
a : ι
h₀ : a < b
i : ι
hi : i ∈ Iio b
hia : i ≠ a
hia₂ : a < i

⊢ ⟪gramSchmidt 𝕜 f a, gramSchmidt 𝕜 f i⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
S : Ideal R
inst✝ : IsPrincipal S
x a : R

⊢ x = a • generator S ↔ x = generator S * a
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α

⊢ x = yᶜ ↔ y = xᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ν, μ.rnDeriv ν x ≠ ⊤
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β

⊢ s ×ˢ t = ⋃ b ∈ t, (fun a => (a, b)) '' s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : T1Space E
hs : Absorbent ℝ s
hb : Bornology.IsVonNBounded ℝ s

⊢ 0 < gauge s x ↔ x ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
inst✝ : _root_.Finite ι
l : Dual R M
i : ι

⊢ b.dualBasis.equivFun l i = l (b i)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J✝ X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hX : autoParam (X ⊆ M.E) _auto✝
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
J : Set α
hJ : M.Basis J Y
I : Set α
hI : M.Basis I (X ∪ Y) ∧ I ∩ Y = J

⊢ M.Basis (I ∩ Y) Y
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/ImageHyperplane.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c

⊢ inversion c R x ∈ perpBisector c (inversion c R y) ↔ dist x y = dist y c ∧ x ≠ c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/ImageHyperplane.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ x

⊢ inversion x R x ∈ perpBisector x (inversion x R y) ↔ dist x y = dist y x ∧ x ≠ x
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/ImageHyperplane.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c
hx : x ≠ c

⊢ inversion c R x ∈ perpBisector c (inversion c R y) ↔ dist x y = dist y c ∧ x ≠ c
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean

⊢ ¬{x | ∀ ⦃a : ℝ⦄, (a ∈ range fun x => ↑x) → x ≤ a}.Nonempty
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean

⊢ {x | ∀ ⦃a : ℝ⦄, (a ∈ range fun x => ↑x) → x ≤ a} = ∅
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
x✝ : ℝ

⊢ x✝ ∈ {x | ∀ ⦃a : ℝ⦄, (a ∈ range fun x => ↑x) → x ≤ a} ↔ x✝ ∈ ∅
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean

⊢ Tendsto (fun s => 1 / (s - 1) - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
h : HasDerivAt Gammaℝ (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2) 1

⊢ Tendsto (fun s => 1 / (s - 1) - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
h : Tendsto (fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))

⊢ Tendsto (fun s => 1 / (s - 1) - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
h : Tendsto (fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
this : Tendsto ((fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) / Gammaℝ) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2 / Gammaℝ 1))

⊢ Tendsto (fun s => 1 / (s - 1) - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
h : Tendsto (fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))
this : Tendsto ((fun b => (b.Gammaℝ - 1) / (b - 1)) / Gammaℝ) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))

⊢ Tendsto (fun s => 1 / (s - 1) - 1 / s.Gammaℝ / (s - 1)) (𝓝[≠] 1) (𝓝 (-(↑γ + Complex.log (4 * ↑π)) / 2))