ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b✝ : α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi : P a s

⊢ P {x} a
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝¹ b✝ : α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a✝ b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi✝ : P a✝ s
a : α
t : Finset α
_ta : a ∉ t
hi : P {x} t

⊢ P (insert a t) {x}
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝¹ b✝ : α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a✝ b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi✝ : P a✝ s
a : α
t : Finset α
_ta : a ∉ t
hi : P {x} t

⊢ P ({a} ∪ t) {x}
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

⊢ (g ⊗ f.hom) ≫ (h ⊗ f.inv) = (g ⊗ 𝟙 V) ≫ (h ⊗ 𝟙 V)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ≅ W
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

⊢ g ≫ h ⊗ 𝟙 V = (g ⊗ 𝟙 V) ≫ (h ⊗ 𝟙 V)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace X
inst✝³ : T2Space X
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : X → E
g : X → 𝕜
s : Set X
hs : IsOpen s
hf : LocallyIntegrableOn f s μ
hg : ContinuousOn g s

⊢ LocallyIntegrableOn (fun x => g x • f x) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹¹ : MeasurableSpace X
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace X
inst✝⁹ : MeasurableSpace Y
inst✝⁸ : TopologicalSpace Y
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f✝ g✝ : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace X
A K : Set X
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace X
inst✝³ : T2Space X
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SecondCountableTopologyEither X 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : X → E
g : X → 𝕜
s : Set X
hs : IsOpen s
hf : ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn f k μ
hg : ContinuousOn g s

⊢ ∀ k ⊆ s, IsCompact k → IntegrableOn (fun x => g x • f x) k μ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Sites/BigZariski.lean
Y : Scheme
U : Y.OpenCover

⊢ zariskiTopology.sieves Y (Sieve.generate (Presieve.ofArrows U.obj U.map))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Sites/BigZariski.lean
Y : Scheme
U : Y.OpenCover
V : Y.OpenCover := { J := ↑↑Y.toPresheafedSpace, obj := fun y => U.obj (U.f y), map := fun y => U.map (U.f y), f := id, covers := ⋯, IsOpen := ⋯ }

⊢ zariskiTopology.sieves Y (Sieve.generate (Presieve.ofArrows U.obj U.map))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Sites/BigZariski.lean
Y : Scheme
U : Y.OpenCover
V : Y.OpenCover := { J := ↑↑Y.toPresheafedSpace, obj := fun y => U.obj (U.f y), map := fun y => U.map (U.f y), f := id, covers := ⋯, IsOpen := ⋯ }

⊢ Presieve.ofArrows V.obj V.map ≤ (Sieve.generate (Presieve.ofArrows U.obj U.map)).arrows
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q✝ p : ℕ
hp : p ≠ 0
f : R →+* S
q : R[X]
n : ℕ

⊢ (map f (contract p q)).coeff n = (contract p (map f q)).coeff n
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Computation α
m : a ∈ s

⊢ f a ∈ map f s
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Computation α
m : a ∈ s

⊢ f a ∈ s.bind (pure ∘ f)
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
a : α
s : Computation α
m : a ∈ s

⊢ f a ∈ (pure ∘ f) a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/UnivLE.lean

⊢ UnivLE.{u, v} ∨ UnivLE.{v, u}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/UnivLE.lean

⊢ univ.{u, v + 1} ≤ univ.{v, u + 1} ∨ univ.{v, u + 1} ≤ univ.{u, v + 1}
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Lemmas.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : CommSemiring R

⊢ IsRadical y ↔ (Ideal.span {y}).IsRadical
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Lemmas.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : CommSemiring R

⊢ (∀ (n : ℕ) (x : R), x ^ n ∈ Ideal.span {y} → x ∈ Ideal.span {y}) ↔ (Ideal.span {y}).IsRadical
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R

⊢ multichoose r 0 = r ^ 0
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R

⊢ (fun x => Nat.factorial 0 • x) (multichoose r 0) = (fun x => Nat.factorial 0 • x) (r ^ 0)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
r : R

⊢ Nat.factorial 0 • multichoose r 0 = Nat.factorial 0 • r ^ 0
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

⊢ sᶜ ∈ coclosedCompact X ↔ IsCompact (closure s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝¹ : CharZero k
inst✝ : Fintype ι
h : s.Nonempty

⊢ ∑ i : ι, centroidWeightsIndicator k s i = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁵ : DivisionRing k
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module k V
inst✝² : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝¹ : CharZero k
inst✝ : Fintype ι
h : s.Nonempty

⊢ ∑ i ∈ s, centroidWeights k s i = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x y : E
hx : x ∈ closure s
hy : y ∈ interior s
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • x + b • y ∈ interior s
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b : α
x✝ : a ∣ 1 ∧ b ∣ 1
c : α
hc : 1 = a * c
d : α
hd : 1 = b * d

⊢ lcm ↑(Units.mkOfMulEqOne a c ⋯) ↑(Units.mkOfMulEqOne b d ⋯) = 1
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n : ℕ

⊢ n.choose 1 = n
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c d : X ⟶ Y

⊢ prod.lift a b - prod.lift c d = prod.lift (a - c) (b - d)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c d : X ⟶ Y

⊢ prod.lift (prod.lift a b) (prod.lift c d) ≫ σ = prod.lift (prod.lift a c ≫ σ) (prod.lift b d ≫ σ)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t : Set β
f : α → β
inst✝ : Nonempty α
h : s ⊆ invFunOn f s '' (f '' s)
x : α
hx' : x ∈ s
hx : invFunOn f s (f x) ∈ s

⊢ invFunOn f s (f (invFunOn f s (f x))) = invFunOn f s (f x)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
e : β → α
a : α

⊢ (∀ (i : ℕ), True → ∃ y ∈ range e, y ∈ ball a (1 / (↑i + 1))) ↔ ∀ (n : ℕ), ∃ k, dist a (e k) < 1 / (↑n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S

⊢ μ ^ (↑((autToPow R hμ) f)).val = f μ
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S

⊢ μ ^ (↑⋯.choose).val = f μ
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S
h : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m

⊢ μ ^ (↑h.choose).val = f μ
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S
h : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
this : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose

⊢ μ ^ (↑h.choose).val = f μ
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S
h : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
this : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose

⊢ ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ (↑h.choose).val = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S
h : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
this : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose

⊢ ↑↑(hμ.toRootsOfUnity ^ (↑h.choose).val) = ↑↑(hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S
h : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
this : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose

⊢ hμ.toRootsOfUnity ^ (↑h.choose).val = hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : CommMonoid M
inst✝⁵ : CommMonoid N
inst✝⁴ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
μ : S
n : ℕ+
hμ : IsPrimitiveRoot μ ↑n
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Algebra R S
f : S ≃ₐ[R] S
h : ∃ m, f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ m
this : f ↑↑hμ.toRootsOfUnity = ↑↑hμ.toRootsOfUnity ^ h.choose

⊢ h.choose % orderOf μ ≡ h.choose [MOD orderOf ↑↑hμ.toRootsOfUnity]
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).cos = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1

⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).cos = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ map (f ≫ g) = map f ⋙ map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ ∀ (X_1 : Over X), (map (f ≫ g)).obj X_1 = (map f ⋙ map g).obj X_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Over.lean
T : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} T
X✝ X Y Z : T
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ autoParam (∀ (X_1 Y_1 : Over X) (f_1 : X_1 ⟶ Y_1), (map (f ≫ g)).map f_1 = eqToHom ⋯ ≫ (map f ⋙ map g).map f_1 ≫ eqToHom ⋯) _auto✝
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b x : α

⊢ x ∈ Icc a b ↔ a ≤ x ∧ x ≤ b
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
h : P ≈ Q
u v : R
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v

⊢ W'.add (u • P) (v • Q) = u ^ 4 • W'.add P Q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
h : P ≈ Q
u v : R
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v
smul : P ≈ Q ↔ u • P ≈ v • Q

⊢ W'.add (u • P) (v • Q) = u ^ 4 • W'.add P Q
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f✝ : α → E
s✝ : Set α
f : α → E
s : Set α
hf : LocallyBoundedVariationOn f s
a b c : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s
hc : c ∈ s

⊢ variationOnFromTo f s a b = variationOnFromTo f s a c ↔ variationOnFromTo f s b c = 0
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x✝ y : ℕ → α
β : Type u_2
g : β → β
h : β → α
hf : Monotone f
H : h ∘ g ≤ f ∘ h
n : ℕ
x : β

⊢ (h ∘ g^[n]) x ≤ (f^[n] ∘ h) x
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
f : α → α
x✝ y : ℕ → α
β : Type u_2
g : β → β
h : β → α
hf : Monotone f
H : h ∘ g ≤ f ∘ h
n : ℕ
x : β
k✝ : ℕ
a✝ : k✝ < n

⊢ h (g (g^[k✝] x)) ≤ f (h (g^[k✝] x))
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂

⊢ B₁.encard = B₂.encard
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
f✝ : R →+* S
I✝ J : Ideal S
inst✝ : Algebra R S
f : R →+* S
I : Ideal R
hf₁ : Function.Injective ⇑f
hf₂ : f.IsIntegral

⊢ RingHom.ker f ≤ I
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0
hc : 1 < ‖c‖
x : E

⊢ egauge 𝕜 (ball 0 1) x ≤ ↑‖c‖₊ * ↑‖x‖₊
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
hΦ : Isometry Φ

⊢ infDist (Φ x) (Φ '' t) = infDist x t
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S

⊢ ((ρ_ P.X).inv ≫ P.X ◁ S.one ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ S.X) ((α_ P.X S.X S.X).hom ≫ P.X ◁ S.mul)) ≫ coequalizer.desc P.actRight ⋯ = 𝟙 P.X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S

⊢ (ρ_ P.X).inv ≫ P.X ◁ S.one ≫ P.actRight = 𝟙 P.X
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : OrderClosedTopology β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
i : ℕ → β
f : α → β
a : α
hf : Measurable f
h_zero : 0 = ⊥

⊢ ⨆ n, ↑(approx i f n) a = ⨆ k, ⨆ (_ : i k ≤ f a), i k
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : OrderClosedTopology β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
i : ℕ → β
f : α → β
a : α
hf : Measurable f
h_zero : 0 = ⊥
n : ℕ

⊢ ↑(approx i f n) a ≤ ⨆ k, ⨆ (_ : i k ≤ f a), i k
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : CompleteLattice β
inst✝³ : OrderClosedTopology β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
i : ℕ → β
f : α → β
a : α
hf : Measurable f
h_zero : 0 = ⊥
k : ℕ
hk : i k ≤ f a

⊢ i k ≤ ⨆ n, ↑(approx i f n) a
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a b : α
h : a ~ᵤ b
u : αˣ
hu : a * ↑u = b
x✝ : IsUnit a
v : αˣ
hv : ↑v = a

⊢ ↑(v * u) = b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ

⊢ (map f p).coeff n = f (p.coeff n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ

⊢ ∑ n_1 ∈ p.support, ((C.comp f) (p.coeff n_1) * X ^ n_1).coeff n = f (p.coeff n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ

⊢ ∑ n_1 ∈ p.support, ((C.comp f) (p.coeff n_1) * X ^ n_1).coeff n = ∑ x ∈ p.support, f ((C (p.coeff x) * X ^ x).coeff n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n x : ℕ
_hx : x ∈ p.support

⊢ ((C.comp f) (p.coeff x) * X ^ x).coeff n = f ((C (p.coeff x) * X ^ x).coeff n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n x : ℕ
_hx : x ∈ p.support

⊢ (if n = x then f (p.coeff x) else 0) = f (if n = x then p.coeff x else 0)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ addValuationDef 0 = ⊤
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : NoZeroDivisors M₀
n : ℕ
f : ι → M₀
hn : n ≠ 0
x✝ : ι

⊢ (x✝ ∈ support fun a => f a ^ n) ↔ x✝ ∈ support f
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
ha : 2 ≤ a

⊢ Injective fun x => a ^ x
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t

⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b

⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty

⊢ Icc x y ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty

⊢ ∀ x_1 ∈ s ∩ Ico x y, s ∈ 𝓝[>] x_1
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
z : α
zs : z ∈ s
hz : z ∈ Ico x y

⊢ s ∈ 𝓝[>] z
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
z : α
zs : z ∈ s
hz : z ∈ Ico x y
zt : z ∈ tᶜ

⊢ s ∈ 𝓝[>] z
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OrderTopology α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : Nonempty γ
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
z : α
zs : z ∈ s
hz : z ∈ Ico x y
zt : z ∈ tᶜ
this : tᶜ ∩ Ioc z y ∈ 𝓝[>] z

⊢ s ∈ 𝓝[>] z