ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y
hu : u ∈ S

⊢ f' < slope f x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y
hu : u ∈ S
this : (f u - f x) / (u - x) < (f y - f x) / (y - x)

⊢ f' < slope f x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y
hu : u ∈ S
this : slope f x u < slope f x y

⊢ f' < slope f x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c c' : E

⊢ indicatorConstLp p hs hμs c + indicatorConstLp p hs hμs c' = indicatorConstLp p hs hμs (c + c')
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c c' : E

⊢ Memℒp.toLp ((s.indicator fun x => c) + s.indicator fun x => c') ⋯ = Memℒp.toLp (fun a => s.indicator (fun x => c) a + s.indicator (fun x => c') a) ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
e : E

⊢ ∫ (x : X) in s, ↑↑(indicatorConstLp p ht hμt e) x ∂μ = ∫ (x : X) in s, t.indicator (fun x => e) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
e : E

⊢ ∫ (x : X) in s, t.indicator (fun x => e) x ∂μ = (μ (t ∩ s)).toReal • e
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s t : ↥S

⊢ Localization.mk r s • mk m t = mk (r • m) (s * t)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
r : R
m : M
s t : ↥S

⊢ IsLocalization.mk' (Localization S) r s • mk m t = mk (r • m) (s * t)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S✝ : Set Ordinal.{u}
S T : Set Ordinal.{u_1}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
hST : S ⊆ T
a : Ordinal.{u_1}

⊢ enumOrd T a ≤ enumOrd S a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S✝ : Set Ordinal.{u}
S T : Set Ordinal.{u_1}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
hST : S ⊆ T
a : Ordinal.{u_1}

⊢ ∀ (j : Ordinal.{u_1}), (∀ k < j, enumOrd T k ≤ enumOrd S k) → enumOrd T j ≤ enumOrd S j
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S✝ : Set Ordinal.{u}
S T : Set Ordinal.{u_1}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
hST : S ⊆ T
a b : Ordinal.{u_1}
H : ∀ k < b, enumOrd T k ≤ enumOrd S k

⊢ enumOrd T b ≤ enumOrd S b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S✝ : Set Ordinal.{u}
S T : Set Ordinal.{u_1}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
hST : S ⊆ T
a b : Ordinal.{u_1}
H : ∀ k < b, enumOrd T k ≤ enumOrd S k

⊢ sInf (T ∩ {b_1 | ∀ c < b, enumOrd T c < b_1}) ≤ enumOrd S b
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α

⊢ image (fun x => x + c) (Ico a b) = Ico (a + c) (b + c)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
x : ℝ≥0∞
n : ℕ

⊢ (x ^ n).log = ↑n * x.log
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
x : ℝ≥0∞
n : ℕ
n_zero : n = 0

⊢ (x ^ n).log = ↑n * x.log
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
x : ℝ≥0∞
n : ℕ
n_pos : n > 0

⊢ (x ^ n).log = ↑n * x.log
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
n : ℕ
n_pos : n > 0

⊢ (0 ^ n).log = ↑n * log 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
n : ℕ
n_pos : n > 0

⊢ (⊤ ^ n).log = ↑n * ⊤.log
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
x : ℝ≥0∞
n : ℕ
n_pos : n > 0
x_real : 0 < x.toReal

⊢ (x ^ n).log = ↑n * x.log
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A

⊢ (W.map φ).b₂ = φ W.b₂
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A

⊢ φ W.a₁ ^ 2 + 4 * φ W.a₂ = φ (W.a₁ ^ 2 + 4 * W.a₂)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q r : ℝ≥0
s : ℝ≥0∞

⊢ (r • s).toReal = r • s.toReal
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q r : ℝ≥0
s : ℝ≥0∞

⊢ ↑r * s.toReal = r • s.toReal
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeSup γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
x : γ
hx : x ∈ lowerBounds (Ioo a b)

⊢ x ≤ a
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeSup γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
x : γ
hx : x ∈ lowerBounds (Ioo a b)
h₁ : a = x ⊔ a

⊢ x ≤ a
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeSup γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
x : γ
hx : x ∈ lowerBounds (Ioo a b)
h₂ : a < x ⊔ a

⊢ x ≤ a
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeSup γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
x : γ
hx : x ∈ lowerBounds (Ioo a b)
h₂ : a < x ⊔ a
y : γ
lty : a < y
ylt : y < x ⊔ a

⊢ x ≤ a
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeSup γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
x : γ
hx : x ∈ lowerBounds (Ioo a b)
h₂ : a < x ⊔ a
y : γ
lty : a < y
ylt : y < x ⊔ a

⊢ x ≤ b
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝¹ : SemilatticeSup γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
a b : γ
h : a < b
x : γ
hx : x ∈ lowerBounds (Ioo a b)
h₂ : a < x ⊔ a
y : γ
lty : a < y
ylt : y < x ⊔ a
u : γ
au : a < u
ub : u < b

⊢ x ≤ b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
x : R

⊢ (toMatrix v₁ v₁) ((algebraMap R (Module.End R M₁)) x) = (scalar n) x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
ε C : ℝ
ε_pos : 0 < ε
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
hf : ∀ (x : E), ε / ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < ε → ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
x : E
hx : ¬x = 0

⊢ ‖f x‖ ≤ C * ‖x‖
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
a b c d c' : List Γ'

⊢ update (elim a b c d) aux c' = elim a b c' d
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
a b c d c' : List Γ'
x : K'

⊢ update (elim a b c d) aux c' x = elim a b c' d x
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ (a ⊔ b) \ (a ⊓ b) = a ∆ b
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : PolishSpace X
inst✝ : T2Space Y
s : Set Y
hs : AnalyticSet s
f : X → Y
hf : Continuous f

⊢ AnalyticSet (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : PolishSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
Z : Type
w✝¹ : TopologicalSpace Z
w✝ : PolishSpace Z
g : Z → Y
hg : Continuous g
hs : AnalyticSet (range g)

⊢ AnalyticSet (f ⁻¹' range g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : PolishSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
Z : Type
w✝¹ : TopologicalSpace Z
w✝ : PolishSpace Z
g : Z → Y
hg : Continuous g
hs : AnalyticSet (range g)
this : IsClosed {x | f x.1 = g x.2}

⊢ AnalyticSet (f ⁻¹' range g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : PolishSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
Z : Type
w✝¹ : TopologicalSpace Z
w✝ : PolishSpace Z
g : Z → Y
hg : Continuous g
hs : AnalyticSet (range g)
this : IsClosed {x | f x.1 = g x.2}

⊢ f ⁻¹' range g = Prod.fst '' {x | f x.1 = g x.2}
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : PolishSpace X
inst✝ : T2Space Y
f : X → Y
hf : Continuous f
Z : Type
w✝¹ : TopologicalSpace Z
w✝ : PolishSpace Z
g : Z → Y
hg : Continuous g
hs : AnalyticSet (range g)
this : IsClosed {x | f x.1 = g x.2}
x : X

⊢ x ∈ f ⁻¹' range g ↔ x ∈ Prod.fst '' {x | f x.1 = g x.2}
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
aux : ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e
α' : ↥H := (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)

⊢ ⁅e, f⁆ = ((killingForm K L) e) f • ↑α'
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
aux : ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e
α' : ↥H := (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)

⊢ ⁅e, f⁆ - ((killingForm K L) e) f • ↑α' ∈ LinearMap.ker (killingForm K L)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
aux : ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e
α' : ↥H := (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)

⊢ ⁅e, f⁆ - ((killingForm K L) e) f • ↑α' ∈ rootSpace H 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L
α : Weight K (↥H) L
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
aux : ∀ (h : ↥H), ⁅h, e⁆ = α h • e
α' : ↥H := (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)

⊢ ∀ y ∈ rootSpace H (-0), ((killingForm K L) (⁅e, f⁆ - ((killingForm K L) e) f • ↑α')) y = 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ : 1 ≠ 0

⊢ StrictMono fun x => x ^ 1
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
x y : ℝ≥0∞
h : x < y

⊢ (fun x => x ^ (n + 2)) x < (fun x => x ^ (n + 2)) y
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
x y : ℝ≥0∞
h : x < y

⊢ x ^ (n + 1) * x < y ^ (n + 1) * y
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ cosh (x - y) = cosh x * cosh y - sinh x * sinh y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0

⊢ LinearMap.range f = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0
v : V₁
hv : f v ≠ 0

⊢ LinearMap.range f = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁵ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K V₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V₁
f : Dual K V₁
hf : f ≠ 0
v : V₁
hv : f v ≠ 0

⊢ ⊤ ≤ LinearMap.range f
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α

⊢ ∀ (a b : α), Setoid.r a b = (a⁻¹ * b ∈ s)
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α

⊢ ∀ (a b : α), Setoid.r a b ↔ a⁻¹ * b ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Pi.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : (i : ι) → E i
i : ι
y : E i
l : E i →L[𝕜] (i : ι) → E i := ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i)))
update_eq : Function.update x i = (fun x_1 => x) + ⇑l ∘ fun x_1 => x_1 - x i

⊢ HasFDerivAt ((fun x_1 => x) + ⇑l ∘ fun x_1 => x_1 - x i) l y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Pi.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : (i : ι) → E i
i : ι
y : E i
l : E i →L[𝕜] (i : ι) → E i := ContinuousLinearMap.pi (Pi.single i (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i)))
update_eq : Function.update x i = (fun x_1 => x) + ⇑l ∘ fun x_1 => x_1 - x i

⊢ l = 0 + l.comp (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i))
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
x✝ : x ∈ univ
this : 0 < 1 + ‖x‖ ^ 2

⊢ (fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x) x ∈ ball 0 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
x✝ : x ∈ univ
this : 0 < 1 + ‖x‖ ^ 2

⊢ ‖x‖ ^ 2 < 1 + ‖x‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
x✝ : x ∈ univ

⊢ (fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y) ((fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x) x) = x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
y : E
hy : y ∈ ball 0 1

⊢ (fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x) ((fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y) y) = y
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
y : E
hy : y ∈ ball 0 1
this : 0 < 1 - ‖y‖ ^ 2

⊢ (fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x) ((fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y) y) = y
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E

⊢ ContinuousOn ↑{ toFun := fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x, invFun := fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y, source := univ, target := ball 0 1, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ } { toFun := fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x, invFun := fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y, source := univ, target := ball 0 1, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.source
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E

⊢ Continuous fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E

⊢ Continuous fun x => √(1 + ‖x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E

⊢ ContinuousOn { toFun := fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x, invFun := fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y, source := univ, target := ball 0 1, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.invFun { toFun := fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x, invFun := fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y, source := univ, target := ball 0 1, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.target
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HomeomorphBall.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
this : ∀ y ∈ ball 0 1, √(1 - ‖y‖ ^ 2) ≠ 0

⊢ ContinuousOn { toFun := fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x, invFun := fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y, source := univ, target := ball 0 1, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.invFun { toFun := fun x => (√(1 + ‖x‖ ^ 2))⁻¹ • x, invFun := fun y => (√(1 - ‖y‖ ^ 2))⁻¹ • y, source := univ, target := ball 0 1, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯ }.target
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ

⊢ Real.one.cauchy = 1
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f'✝ : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f' : α → γ → δ'
g' : δ' → β → ε
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f' a c) b

⊢ image2 f (image2 g ↑s ↑t) ↑u = image2 g' (image2 f' ↑s ↑u) ↑t
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
B₂ : ?m.346325
F₂ : BilinForm R M
f : Module.End R₁ M₁

⊢ f ∈ B₁.skewAdjointSubmodule ↔ B₁.IsSkewAdjoint f
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f' : M →ₗ[R] M'
g g' : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
B₂ : ?m.346325
F₂ : BilinForm R M
f : Module.End R₁ M₁

⊢ f ∈ B₁.skewAdjointSubmodule ↔ (-B₁).IsAdjointPair B₁ f f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

⊢ hU.fromSpec ⁻¹ᵁ X.basicOpen f = (Spec Γ(X, U)).basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

⊢ (Spec Γ(X, U)).basicOpen (((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv ≫ (Spec Γ(X, U)).presheaf.map (eqToHom ⋯).op) f) = (Spec Γ(X, U)).basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso Γ(X, U)).inv f)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
s' : Set α
hf : UniformCauchySeqOn F p s
hss' : s' ⊆ s

⊢ UniformCauchySeqOn F p s'
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s'✝ : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
s' : Set α
hf : UniformCauchySeqOnFilter F p (𝓟 s)
hss' : s' ⊆ s

⊢ UniformCauchySeqOnFilter F p (𝓟 s')
-- Mathlib/Algebra/Ring/NegOnePow.lean
n : ℤ

⊢ (-1) ^ (-n) = (-1) ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W

⊢ ∃ n ω, ω.length = n ∧ cs.wordProd ω = w
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B

⊢ ∃ n ω_1, ω_1.length = n ∧ cs.wordProd ω_1 = cs.wordProd ω
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hβ : β.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
hα : ¬α.IsZero

⊢ β = -α ∨ β = α
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα✝ : α.IsNonZero
hβ : β.IsNonZero
hα : ¬α.IsZero
h : ⇑β = -1 • ⇑α

⊢ β = -α ∨ β = α