ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
n : ℕ

⊢ 0 ≤ Λ n
-- Mathlib/NumberTheory/VonMangoldt.lean
n : ℕ

⊢ 0 ≤ if IsPrimePow n then Real.log ↑n.minFac else 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Filter β
u : β → α
a : α

⊢ Tendsto u f (𝓝 a) ↔ Tendsto (fun x => (u x, a)) f (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
f : Filter β
u : β → α
a : α

⊢ Tendsto ((fun y => (y, a)) ∘ u) f (𝓤 α) ↔ Tendsto (fun x => (u x, a)) f (𝓤 α)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ✝ φ : R →+* A
hφ : Function.Injective ⇑φ
x✝¹ x✝ : EllipticCurve R
h : (fun E => E.map φ) x✝¹ = (fun E => E.map φ) x✝
h1 : x✝¹.map φ = x✝.map φ
h2 : (Units.map ↑φ) x✝¹.Δ' = (Units.map ↑φ) x✝.Δ'

⊢ x✝¹ = x✝
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
E : EllipticCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ✝ φ : R →+* A
hφ : Function.Injective ⇑φ
x✝¹ x✝ : EllipticCurve R
h : (fun E => E.map φ) x✝¹ = (fun E => E.map φ) x✝
h1 : x✝¹.map φ = x✝.map φ
h2 : ↑φ ↑x✝¹.Δ' = ↑φ ↑x✝.Δ'

⊢ x✝¹ = x✝
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i

⊢ x ∈ extremePoints 𝕜 (univ.pi s) ↔ x ∈ univ.pi fun i => extremePoints 𝕜 (s i)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i

⊢ ((∀ (i : ι), x i ∈ s i) ∧ ∀ (x₁ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) → ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x) ↔ (∀ (i : ι), x i ∈ s i) ∧ ∀ (x_1 : ι), ∀ x₁ ∈ s x_1, ∀ x₂ ∈ s x_1, x x_1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x x_1 ∧ x₂ = x x_1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h : ∀ (x₁ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) → ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι

⊢ ∀ x₁ ∈ s i, ∀ x₂ ∈ s i, x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x i ∧ x₂ = x i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h : ∀ (x_1 : ι), ∀ x₁ ∈ s x_1, ∀ x₂ ∈ s x_1, x x_1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x x_1 ∧ x₂ = x x_1

⊢ ∀ (x₁ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) → ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
x y : E
h : dist x y ≠ 0

⊢ dist ((smulTorsor c hk) x) ((smulTorsor c hk) y) = ↑‖k‖₊ * dist x y
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
h : pred a ≤ b

⊢ Icc (pred a) b = insert (pred a) (Icc a b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι✝ : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι✝ → M
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M
ι : Type u_8
s : Set ι
f : ι → M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => f ↑x

⊢ LinearIndependent R fun (x : ↑(f '' s)) => ↑x
-- Mathlib/Algebra/Homology/Bifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.35500, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.35504, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.35508, u_3} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝³ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝² : HasZeroMorphisms D
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ D
I₁ : Type u_4
I₂ : Type u_5
J : Type u_6
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝ : ∀ (X₁ : C₁), (F.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
K₁ K₁' : HomologicalComplex C₁ c₁
f : K₁ ⟶ K₁'
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
i₁✝ i₁'✝ : I₁
i₂✝ : I₂
a✝ : c₁.Rel i₁✝ i₁'✝

⊢ (F.map (f.f i₁✝)).app (K₂.X i₂✝) ≫ (F.map (K₁'.d i₁✝ i₁'✝)).app (K₂.X i₂✝) = (F.map (K₁.d i₁✝ i₁'✝)).app (K₂.X i₂✝) ≫ (F.map (f.f i₁'✝)).app (K₂.X i₂✝)
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
inst✝ : CompleteSpace E

⊢ ∃ f, f ↑v.t₀ = v.x₀ ∧ ∀ t ∈ Icc v.tMin v.tMax, HasDerivWithinAt f (v.toFun t (f t)) (Icc v.tMin v.tMax) t
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
inst✝ : CompleteSpace E
f : v.FunSpace
hf : f.next = f

⊢ ∃ f, f ↑v.t₀ = v.x₀ ∧ ∀ t ∈ Icc v.tMin v.tMax, HasDerivWithinAt f (v.toFun t (f t)) (Icc v.tMin v.tMax) t
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

⊢ Icc (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map (Embedding.inr.trans toLex.toEmbedding) (Icc b₁ b₂)
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : OrderTop α
inst✝² : OrderBot β
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β

⊢ Icc (inrₗ b₁) (inrₗ b₂) = map toLex.toEmbedding (map Embedding.inr (Icc b₁ b₂))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V

⊢ lift.{u, v} (Module.rank K V) < Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
ι : Type v
b : Basis ι K V

⊢ lift.{u, v} (Module.rank K V) < Module.rank Kᵐᵒᵖ (V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
ι : Type v
b : Basis ι K V

⊢ lift.{u, v} #ι < lift.{v, u} #K ^ lift.{u, v} #ι
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
ι : Type v
b : Basis ι K V

⊢ 1 < lift.{v, u} #K
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
V : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
ι : Type v
b : Basis ι K V

⊢ Nontrivial K
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x y
a b : X
γ : Path a b
t : ℝ

⊢ γ.extend (min t t) = γ.extend t
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
t : ℝ
x : ↑I

⊢ (γ.truncate t t) x = ((refl (γ.extend t)).cast ⋯ ⋯) x
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
t : ℝ
x : ↑I

⊢ (γ.truncate t t) x = (refl (γ.extend t)) x
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
γ✝ : Path x✝ y
a b : X
γ : Path a b
t : ℝ
x : ↑I

⊢ γ.extend (if (if ↑x ≤ t then t else ↑x) ≤ t then if ↑x ≤ t then t else ↑x else t) = γ.extend t
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V

⊢ angle x y = π / 2 ↔ ⟪x, y⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
ι : Type u_2
f : ι → Set (α → M)
hf : ∀ (i : ι), A.Definable L (f i)
s : Finset ι

⊢ A.Definable L (⋃ i ∈ s, f i)
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
ι : Type u_2
f : ι → Set (α → M)
hf : ∀ (i : ι), A.Definable L (f i)
s : Finset ι

⊢ A.Definable L (s.sup f)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/UniqueGluing.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
V : Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op V))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = (F.val.map (iUV i).op) t

⊢ s = t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/UniqueGluing.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
V : Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op V))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = (F.val.map (iUV i).op) t
V_eq_supr_U : V = iSup U

⊢ s = t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/UniqueGluing.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
V : Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op V))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = (F.val.map (iUV i).op) t
V_eq_supr_U : V = iSup U

⊢ (F.val.map (eqToHom ⋯).op) s = (F.val.map (eqToHom ⋯).op) t
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/UniqueGluing.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
V : Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op V))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = (F.val.map (iUV i).op) t
V_eq_supr_U : V = iSup U

⊢ ∀ (i : ι), (F.val.map (leSupr U i).op) ((F.val.map (eqToHom ⋯).op) s) = (F.val.map (leSupr U i).op) ((F.val.map (eqToHom ⋯).op) t)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/UniqueGluing.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
V : Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op V))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = (F.val.map (iUV i).op) t
V_eq_supr_U : V = iSup U
i : ι

⊢ (F.val.map (leSupr U i).op) ((F.val.map (eqToHom ⋯).op) s) = (F.val.map (leSupr U i).op) ((F.val.map (eqToHom ⋯).op) t)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/UniqueGluing.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : ConcreteCategory.forget.ReflectsIsomorphisms
inst✝ : PreservesLimits ConcreteCategory.forget
X : TopCat
F : Sheaf C X
ι : Type v
U : ι → Opens ↑X
V : Opens ↑X
iUV : (i : ι) → U i ⟶ V
hcover : V ≤ iSup U
s t : (CategoryTheory.forget C).obj (F.val.obj (op V))
h : ∀ (i : ι), (F.val.map (iUV i).op) s = (F.val.map (iUV i).op) t
V_eq_supr_U : V = iSup U
i : ι

⊢ (F.val.map ((eqToHom ⋯).op ≫ (leSupr U i).op)) s = (F.val.map ((eqToHom ⋯).op ≫ (leSupr U i).op)) t
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y

⊢ x = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : Module.Finite R ↥N'
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))

⊢ x = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))

⊢ x = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : ∀ N' ≤ N, N'.FG → M.LinearDisjoint N'
x y : ↥M ⊗[R] ↥N
hxy : (M.mulMap N) x = (M.mulMap N) y
N' : Submodule R S
hN : N' ≤ N
hFG : N'.FG
h : {x, y} ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)))
x' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hx' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) x' = x
y' : ↥M ⊗[R] ↥N'
hy' : (LinearMap.lTensor (↥M) (inclusion hN)) y' = y

⊢ x' = y'
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char
x✝ : Substring
h : ValidFor l m r x✝

⊢ x✝.isEmpty = true ↔ m = []
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
A : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra A ℝ
c : A
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω

⊢ variance (c • X) μ = c ^ 2 • variance X μ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
A : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra A ℝ
c : A
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω

⊢ variance (c • X) μ = variance ((algebraMap A ℝ) c • X) μ
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ✝ : Measure Ω
A : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra A ℝ
c : A
X : Ω → ℝ
μ : Measure Ω

⊢ c ^ 2 • variance X μ = (algebraMap A ℝ) c ^ 2 * variance X μ
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n✝ p q m n : ℕ
hp : Prime p
hq : Prime q
h : p ^ (m + 1) = q ^ (n + 1)

⊢ p = q ∧ m = n
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n✝ p q m n : ℕ
hp : Prime p
hq : Prime q
h : p ^ (m + 1) = q ^ (n + 1)
H : p = q

⊢ p = q ∧ m = n
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrder α✝
inst✝³ : OrderBot α✝
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α✝
a : α✝
α : Type u_7
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : Nontrivial α
s : Finset ι
f : ι → α

⊢ s.sup f = ⊤ ↔ ∃ b ∈ s, f b = ⊤
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrder α✝
inst✝³ : OrderBot α✝
s✝ : Finset ι
f✝ : ι → α✝
a : α✝
α : Type u_7
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : Nontrivial α
s : Finset ι
f : ι → α

⊢ ⊤ ≤ s.sup f ↔ ∃ b ∈ s, ⊤ ≤ f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Action.lean
G : Type u
M✝ : Type v
α✝ : Type w
s : Set α✝
M : Type uM
N : Type uN
α : Type uα
β : Type uβ
inst✝⁷ : MeasurableSpace M
inst✝⁶ : MeasurableSpace N
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : SMul M α
inst✝² : SMul M β
inst✝¹ : MeasurableSMul M β
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure M α μ
f : α → β
hsmul : ∀ (m : M) (a : α), f (m • a) = m • f a
hf : Measurable f
m : M
S : Set β
hS : MeasurableSet S

⊢ μ (f ⁻¹' ((fun x => m • x) ⁻¹' S)) = μ ((fun x => m • f x) ⁻¹' S)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Action.lean
G : Type u
M✝ : Type v
α✝ : Type w
s : Set α✝
M : Type uM
N : Type uN
α : Type uα
β : Type uβ
inst✝⁷ : MeasurableSpace M
inst✝⁶ : MeasurableSpace N
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : SMul M α
inst✝² : SMul M β
inst✝¹ : MeasurableSMul M β
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure M α μ
f : α → β
hsmul : ∀ (m : M) (a : α), f (m • a) = m • f a
hf : Measurable f
m : M
S : Set β
hS : MeasurableSet S

⊢ μ ((fun x => f (m • x)) ⁻¹' S) = μ ((fun x => m • x) ⁻¹' (f ⁻¹' S))
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Action.lean
G : Type u
M✝ : Type v
α✝ : Type w
s : Set α✝
M : Type uM
N : Type uN
α : Type uα
β : Type uβ
inst✝⁷ : MeasurableSpace M
inst✝⁶ : MeasurableSpace N
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : SMul M α
inst✝² : SMul M β
inst✝¹ : MeasurableSMul M β
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure M α μ
f : α → β
hsmul : ∀ (m : M) (a : α), f (m • a) = m • f a
hf : Measurable f
m : M
S : Set β
hS : MeasurableSet S

⊢ μ ((fun x => m • x) ⁻¹' (f ⁻¹' S)) = μ (f ⁻¹' S)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y✝ : α
s t u : Set α
Φ : α → β
x : α
xs : x ∈ s
y : α
yt : y ∈ t

⊢ hausdorffEdist s t ≤ diam (s ∪ t)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y✝ : α
s t u : Set α
Φ : α → β
x : α
xs : x ∈ s
y : α
yt : y ∈ t

⊢ ∀ x ∈ s, ∃ y ∈ t, edist x y ≤ diam (s ∪ t)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y✝ : α
s t u : Set α
Φ : α → β
x : α
xs : x ∈ s
y : α
yt : y ∈ t

⊢ ∀ x ∈ t, ∃ y ∈ s, edist x y ≤ diam (s ∪ t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Epi f
h : f ≫ g = 0

⊢ g = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Epi f
h✝ : f ≫ g = 0
h : g = 0

⊢ g = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

⊢ (o.oangle x (y - x)).sign = (o.oangle x y).sign
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : 0 < n
hx : IsPeriodicPt f n x

⊢ minimalPeriod f x ≤ n
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : 0 < n
hx : IsPeriodicPt f n x

⊢ Nat.find ⋯ ≤ n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x y : PrimeSpectrum R

⊢ x ≤ y ↔ y ∈ closure {x}
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a✝ : Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u_1}

⊢ 𝓝[<] a = 𝓝[≠] a
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
R : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x : ↥S
P : R[X]

⊢ (aeval ↑x) P = ↑((aeval x) P)
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
R : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x : ↥S
P f g : R[X]
hf : (aeval ↑x) f = ↑((aeval x) f)
hg : (aeval ↑x) g = ↑((aeval x) g)

⊢ (aeval ↑x) (f + g) = ↑((aeval x) (f + g))
-- Mathlib/FieldTheory/IntermediateField.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field L'
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K L'
S : IntermediateField K L
R : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x : ↥S
P : R[X]
n : ℕ
r : R

⊢ (aeval ↑x) ((monomial n) r) = ↑((aeval x) ((monomial n) r))
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ filter p (s₁ ∪ s₂) ↔ x✝ ∈ filter p s₁ ∪ filter p s₂
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P

⊢ y ∈ {y | s.WSameSide x y} ↔ y ∈ Set.image2 (fun t q => t • (x -ᵥ p) +ᵥ q) (Set.Ici 0) ↑s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P

⊢ s.WSameSide x y ↔ ∃ a, 0 ≤ a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/LeftDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive

⊢ HomologicalComplex.opcyclesMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) 0 ≫ Q.fromLeftDerivedZero' F = P.fromLeftDerivedZero' F ≫ F.map f
-- Mathlib/Data/List/Dedup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l₂ : List α
a : α
l₁ : List α
IH : (l₁ ++ l₂).dedup = l₁ ∪ l₂.dedup

⊢ (a :: l₁ ++ l₂).dedup = a :: l₁ ∪ l₂.dedup
-- Mathlib/Data/List/Dedup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l₂ : List α
a : α
l₁ : List α
IH : (l₁ ++ l₂).dedup = l₁ ∪ l₂.dedup

⊢ (a :: l₁ ++ l₂).dedup = List.insert a (l₁ ∪ l₂.dedup)
-- Mathlib/Data/List/Dedup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l₂ : List α
a : α
l₁ : List α
IH : (l₁ ++ l₂).dedup = l₁ ∪ l₂.dedup

⊢ (a :: (l₁ ++ l₂)).dedup = List.insert a (l₁ ++ l₂).dedup
-- Mathlib/Order/Filter/Cocardinal.lean
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
hreg : c.IsRegular
l : Filter α
x : α

⊢ ∀ᶠ (a : α) in cocardinal α hreg, a ≠ x