ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
x : α

⊢ Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (leftLim f x))
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
x : α
h' : 𝓝[<] x = ⊥

⊢ Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (leftLim f x))
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
x : α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥

⊢ Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (leftLim f x))
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x✝ y : α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderTopology α
x : α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥

⊢ Tendsto f (𝓝[<] x) (𝓝 (sSup (f '' Iio x)))
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f g : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α
h : ∀ (x : β), p x → q x
a : α
ha : a ∈ {a | ∀ᶠ (x : β) in f, q x → u x ≤ a}

⊢ ∀ (x : β), (q x → u x ≤ a) → p x → u x ≤ a
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α

⊢ a ⊓ sSup s ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α

⊢ ∀ (c : α), CompleteLattice.IsCompactElement c → c ≤ a ⊓ sSup s → c ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
c : α
hc : CompleteLattice.IsCompactElement c
hcinf : c ≤ a ⊓ sSup s

⊢ c ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
c : α
hc : CompleteLattice.IsCompactElement c
hcinf : c ≤ a ∧ c ≤ sSup s

⊢ c ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
c : α
hc : CompleteLattice.IsCompactElement c
hcinf : c ≤ a ∧ c ≤ sSup s
t : Finset α
ht1 : ↑t ⊆ s
ht2 : c ≤ t.sup id

⊢ c ≤ ⨆ t, ⨆ (_ : ↑t ⊆ s), a ⊓ t.sup id
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
c : α
hc : CompleteLattice.IsCompactElement c
hcinf : c ≤ a ∧ c ≤ sSup s
t : Finset α
ht1 : ↑t ⊆ s
ht2 : c ≤ t.sup id

⊢ a ⊓ t.sup id ≤ a ⊓ t.sup id
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α (n + 1)
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ

⊢ T.SemanticallyEquivalent (∃'φ) (∃'ψ)
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
φ ψ : L.BoundedFormula α (n + 1)
h : T.SemanticallyEquivalent φ ψ

⊢ ∀ (M : T.ModelType) (v : α → ↑M) (xs : Fin n → ↑M), (∃ a, φ.Realize v (Fin.snoc xs a)) ↔ ∃ a, ψ.Realize v (Fin.snoc xs a)
-- Mathlib/Combinatorics/Hall/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Fintype β
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
this : DecidableEq β
r' : α → Finset β := fun a => filter (fun b => r a b) univ
h : ∀ (A : Finset α), filter (fun b => ∃ a ∈ A, r a b) univ = A.biUnion r'
h' : ∀ (f : α → β) (x : α), r x (f x) ↔ f x ∈ r' x

⊢ (∀ (A : Finset α), A.card ≤ (A.biUnion r').card) ↔ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : α), f x ∈ r' x
-- Mathlib/FieldTheory/KrullTopology.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

⊢ IsTotallyDisconnected Set.univ
-- Mathlib/FieldTheory/KrullTopology.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L

⊢ Pairwise fun x y => ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
-- Mathlib/FieldTheory/KrullTopology.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
σ τ : L ≃ₐ[K] L
h_diff : σ ≠ τ

⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ σ ∈ U ∧ τ ∉ U
-- Mathlib/FieldTheory/KrullTopology.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
σ τ : L ≃ₐ[K] L
h_diff : σ ≠ τ
hστ : σ⁻¹ * τ ≠ 1

⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ σ ∈ U ∧ τ ∉ U
-- Mathlib/FieldTheory/KrullTopology.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
σ τ : L ≃ₐ[K] L
h_diff : σ ≠ τ
hστ : σ⁻¹ * τ ≠ 1
x : L
hx : (σ⁻¹ * τ) x ≠ x

⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ σ ∈ U ∧ τ ∉ U
-- Mathlib/FieldTheory/KrullTopology.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
σ τ : L ≃ₐ[K] L
h_diff : σ ≠ τ
hστ : σ⁻¹ * τ ≠ 1
x : L
hx : (σ⁻¹ * τ) x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯

⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ σ ∈ U ∧ τ ∉ U
-- Mathlib/FieldTheory/KrullTopology.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
σ τ : L ≃ₐ[K] L
h_diff : σ ≠ τ
hστ : σ⁻¹ * τ ≠ 1
x : L
hx : (σ⁻¹ * τ) x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
this : FiniteDimensional K ↥K⟮x⟯

⊢ ∃ U, IsClopen U ∧ σ ∈ U ∧ τ ∉ U
-- Mathlib/FieldTheory/KrullTopology.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
σ τ : L ≃ₐ[K] L
h_diff : σ ≠ τ
hστ : σ⁻¹ * τ ≠ 1
x : L
hx : (σ⁻¹ * τ) x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
this : FiniteDimensional K ↥K⟮x⟯

⊢ τ ∉ σ • ↑E.fixingSubgroup
-- Mathlib/FieldTheory/KrullTopology.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra.IsIntegral K L
σ τ : L ≃ₐ[K] L
h_diff : σ ≠ τ
hστ : σ⁻¹ * τ ≠ 1
x : L
hx : (σ⁻¹ * τ) x ≠ x
E : IntermediateField K L := K⟮x⟯
this : FiniteDimensional K ↥K⟮x⟯

⊢ ∃ x, ∃ (_ : x ∈ E), ¬(σ⁻¹ * τ) x = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z✝ : ℝ
n : ℕ
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y z : ℝ

⊢ x ^ (y * z) = (x ^ y) ^ z
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
a b : GradedMonoid fun n => ⨂[R] (x : Fin n), M
h : a.fst = b.fst
h2 : (cast R M h) a.snd = b.snd

⊢ a = b
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
a b : GradedMonoid fun n => ⨂[R] (x : Fin n), M
h : a.fst = b.fst
h2 : (cast R M h) a.snd = b.snd

⊢ (reindex R (fun x => M) (Equiv.cast ⋯)) a.snd = b.snd
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorPower.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
a b : GradedMonoid fun n => ⨂[R] (x : Fin n), M
h : a.fst = b.fst
h2 : (reindex R (fun x => M) (finCongr h)) a.snd = b.snd

⊢ (reindex R (fun x => M) (Equiv.cast ⋯)) a.snd = b.snd
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
cst : ℝ → ℝ := fun x => 1

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
cst : ℝ → ℝ := fun x => 1
cst_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable cst volume 0 t

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
cst : ℝ → ℝ := fun x => 1
cst_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable cst volume 0 t
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, cst t) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} * ENNReal.ofReal (cst t)

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
cst : ℝ → ℝ := fun x => 1
cst_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable cst volume 0 t
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, 1) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
cst : ℝ → ℝ := fun x => 1
cst_intble : ∀ t > 0, IntervalIntegrable cst volume 0 t
key : ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, 1) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a}
ω : α

⊢ ENNReal.ofReal (f ω) = ENNReal.ofReal (∫ (t : ℝ) in 0 ..f ω, 1)
-- Mathlib/Algebra/Module/BigOperators.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r s✝ : R
x y : M
s : Finset α
t : Finset β
f : α → R
g : β → M

⊢ (∑ i ∈ s, f i) • ∑ j ∈ t, g j = ∑ i ∈ s, ∑ j ∈ t, f i • g j
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
G : PGame
inst✝ : G.Impartial

⊢ G ≈ nim G.grundyValue
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
o : Ordinal.{u_1}
h : G ≈ nim o

⊢ G.grundyValue = o
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
G : PGame
inst✝ : G.Impartial
o : Ordinal.{u_1}
h : G ≈ nim o

⊢ nim G.grundyValue ≈ nim o
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
t : Set Y

⊢ frontier (s ×ˢ t) = closure s ×ˢ frontier t ∪ frontier s ×ˢ closure t
-- Mathlib/Data/Subtype.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
p q : α → Prop
a : Subtype p
b : α

⊢ (∃ h, ⟨b, h⟩ = a) ↔ b = ↑a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : LeftCancelMonoid M
L L' : List M
h : L.length = L'.length
h' : ∀ i ≤ L.length, (take i L).prod = (take i L').prod

⊢ L = L'
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : LeftCancelMonoid M
L L' : List M
h : L.length = L'.length
h' : ∀ i ≤ L.length, (take i L).prod = (take i L').prod
i : ℕ
h₁ : i < L.length
h₂ : i < L'.length

⊢ L.get ⟨i, h₁⟩ = L'.get ⟨i, h₂⟩
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : LeftCancelMonoid M
L L' : List M
h : L.length = L'.length
h' : ∀ i ≤ L.length, (take i L).prod = (take i L').prod
i : ℕ
h₁ : i < L.length
h₂ : i < L'.length
this : (take (i + 1) L).prod = (take (i + 1) L').prod

⊢ L.get ⟨i, h₁⟩ = L'.get ⟨i, h₂⟩
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : LeftCancelMonoid M
L L' : List M
h : L.length = L'.length
h' : ∀ i ≤ L.length, (take i L).prod = (take i L').prod
i : ℕ
h₁ : i < L.length
h₂ : i < L'.length
this : (take i L').prod * L[i] = (take i L').prod * L'[i]

⊢ L.get ⟨i, h₁⟩ = L'.get ⟨i, h₂⟩
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝³ : Group H
M : Type x
inst✝² : Monoid M
I : Type w
inst✝¹ : Group I
f : G →* H
inst✝ : f.range.Normal
g : H →* I
h : (mk' f.range).comp g.ker.subtype = 1
x : H
hx : x ∈ g.ker

⊢ ↑x = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
B : ℕ → Set α := spanningSets μ

⊢ ∃ K ⊆ s, (fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤) K ∧ r < μ K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
B : ℕ → Set α := spanningSets μ
hBU : ⋃ n, s ∩ B n = s

⊢ ∃ K ⊆ s, (fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤) K ∧ r < μ K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ s
B : ℕ → Set α := spanningSets μ
hBU : ⋃ n, s ∩ B n = s
this : μ s = ⨆ n, μ (s ∩ B n)

⊢ ∃ K ⊆ s, (fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤) K ∧ r < μ K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r : ℝ≥0∞
B : ℕ → Set α := spanningSets μ
hr : r < ⨆ n, μ (s ∩ B n)
hBU : ⋃ n, s ∩ B n = s
this : μ s = ⨆ n, μ (s ∩ B n)

⊢ ∃ K ⊆ s, (fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤) K ∧ r < μ K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r : ℝ≥0∞
B : ℕ → Set α := spanningSets μ
hr : r < ⨆ n, μ (s ∩ B n)
hBU : ⋃ n, s ∩ B n = s
this : μ s = ⨆ n, μ (s ∩ B n)
n : ℕ
hn : r < μ (s ∩ B n)

⊢ ∃ K ⊆ s, (fun s => MeasurableSet s ∧ μ s ≠ ⊤) K ∧ r < μ K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U s✝ : Set α
ε r✝ : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r : ℝ≥0∞
B : ℕ → Set α := spanningSets μ
hr : r < ⨆ n, μ (s ∩ B n)
hBU : ⋃ n, s ∩ B n = s
this : μ s = ⨆ n, μ (s ∩ B n)
n : ℕ
hn : r < μ (s ∩ B n)

⊢ μ (s ∩ B n) ≠ ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme

⊢ ⨆ i, ↑i = ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme

⊢ ↑(⨆ i, ↑i) = ↑⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme

⊢ ⋃ i, ↑↑i = ↑⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme

⊢ IsTopologicalBasis (Set.range fun i => ↑↑i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme

⊢ IsTopologicalBasis (SetLike.coe '' X.affineOpens)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a : R

⊢ (C a * X).toFinsupp = Finsupp.single 1 a
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d : α
n : ℤ
a : α

⊢ |1 / a| = 1 / |a|
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
x : α

⊢ ContinuousWithinAt f {x} x
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

⊢ n.pred = n ↔ n = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r ε : ℝ
hε : 0 < ε
hr : 0 < r
x : E
L₁ L₂ : E →L[𝕜] F
h₁ : x ∈ A f L₁ r ε
h₂ : x ∈ A f L₂ r ε

⊢ ‖L₁ - L₂‖ ≤ 4 * ‖c‖ * ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r ε : ℝ
hε : 0 < ε
hr : 0 < r
x : E
L₁ L₂ : E →L[𝕜] F
h₁ : x ∈ A f L₁ r ε
h₂ : x ∈ A f L₂ r ε

⊢ ∀ (x : E), r / 2 / ‖c‖ ≤ ‖x‖ → ‖x‖ < r / 2 → ‖(L₁ - L₂) x‖ ≤ 4 * ‖c‖ * ε * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r ε : ℝ
hε : 0 < ε
hr : 0 < r
x : E
L₁ L₂ : E →L[𝕜] F
h₁ : x ∈ A f L₁ r ε
h₂ : x ∈ A f L₂ r ε
y : E
ley : r / 2 / ‖c‖ ≤ ‖y‖
ylt : ‖y‖ < r / 2

⊢ ‖(L₁ - L₂) y‖ ≤ 4 * ‖c‖ * ε * ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
r ε : ℝ
hε : 0 < ε
hr : 0 < r
x : E
L₁ L₂ : E →L[𝕜] F
h₁ : x ∈ A f L₁ r ε
h₂ : x ∈ A f L₂ r ε
y : E
ley : r ≤ 2 * ‖c‖ * ‖y‖
ylt : ‖y‖ < r / 2

⊢ ‖(L₁ - L₂) y‖ ≤ 4 * ‖c‖ * ε * ‖y‖
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra R₁ K
inst✝² : IsFractionRing R₁ K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsFractionRing K L
I : FractionalIdeal K⁰ L

⊢ I = 0 ∨ I = 1
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra R₁ K
inst✝² : IsFractionRing R₁ K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsFractionRing K L
I : FractionalIdeal K⁰ L

⊢ ¬I = 0 → I = 1
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra R₁ K
inst✝² : IsFractionRing R₁ K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsFractionRing K L
I : FractionalIdeal K⁰ L
hI : ¬I = 0

⊢ I = 1
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing P
inst✝⁷ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : Algebra R₁ K
inst✝² : IsFractionRing R₁ K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsFractionRing K L
I : FractionalIdeal K⁰ L
hI : ¬I = 0

⊢ ∀ (x : L), x ∈ I ↔ ∃ x', (algebraMap K L) x' = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ RingHom.ker (map f (AlgHom.id R C)) = Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R C))) = Submodule.restrictScalars R (Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
this : Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R C))) = LinearMap.ker (LinearMap.rTensor C f.toLinearMap)

⊢ Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R C))) = Submodule.restrictScalars R (Ideal.map includeLeft (RingHom.ker f))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
this : Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R C))) = LinearMap.ker (LinearMap.rTensor C f.toLinearMap)

⊢ LinearMap.ker (LinearMap.rTensor C f.toLinearMap) = LinearMap.range (LinearMap.rTensor C (Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker f)).subtype)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
A✝ : Type u_2
B✝ : Type u_3
inst✝¹² : Semiring A✝
inst✝¹¹ : Semiring B✝
inst✝¹⁰ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁹ : Algebra R✝ B✝
R : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_5
B : Type u_6
C : Type u_7
D : Type u_8
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Ring C
inst✝⁴ : Ring D
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Algebra R D
f : A →ₐ[R] B
g : C →ₐ[R] D
hf : Function.Surjective ⇑f
this : Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker (map f (AlgHom.id R C))) = LinearMap.ker (LinearMap.rTensor C f.toLinearMap)

⊢ LinearMap.range (LinearMap.rTensor C (LinearMap.ker f.toLinearMap).subtype) = LinearMap.range (LinearMap.rTensor C (Submodule.restrictScalars R (RingHom.ker f)).subtype)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData

⊢ (leftHomologyMap' (𝟙 S₁) h₁ S₁.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData S₁.homologyData.left) ≫ leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left = leftHomologyMap' φ h₁ h₂ ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) h₂ S₂.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.leftHomologyData S₂.homologyData.left
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorCategories.lean
J : Type u_1
C : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.43805, u_1} J
inst✝ : Category.{?u.43809, u_2} C
P✝ Q : Karoubi (J ⥤ C)
f : P✝ ⟶ Q
X : J
P : Karoubi (J ⥤ C)
j j' : J
φ : j ⟶ j'

⊢ P.p.app j ≫ P.X.map φ = ((fun j => { X := P.X.obj j, p := P.p.app j, idem := ⋯ }) j).p ≫ (P.p.app j ≫ P.X.map φ) ≫ ((fun j => { X := P.X.obj j, p := P.p.app j, idem := ⋯ }) j').p