ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ

⊢ (derivative p).coeff n = p.coeff (n + 1) * (↑n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ

⊢ (p.sum fun n a => C (a * ↑n) * X ^ (n - 1)).coeff n = p.coeff (n + 1) * (↑n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ

⊢ (p.sum fun a b => b * ↑a * if n = a - 1 then 1 else 0) = p.coeff (n + 1) * (↑n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ

⊢ (p.coeff (n + 1) * ↑(n + 1) * if n = n + 1 - 1 then 1 else 0) = p.coeff (n + 1) * (↑n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ

⊢ ∀ b ∈ p.support, b ≠ n + 1 → (p.coeff b * ↑b * if n = b - 1 then 1 else 0) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
n : ℕ

⊢ n + 1 ∉ p.support → (p.coeff (n + 1) * ↑(n + 1) * if n = n + 1 - 1 then 1 else 0) = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

⊢ (ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ρ ({x} ×ˢ s)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
this : IsSFiniteKernel ρCond

⊢ (ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ρ ({x} ×ˢ s)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
this : IsSFiniteKernel ρCond

⊢ (ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * (ρ.fst ⊗ₘ ρCond) ({x} ×ˢ s)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mΩ : MeasurableSpace Ω
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝² : IsFiniteMeasure ρ
ρCond : Kernel α Ω
inst✝¹ : ρ.IsCondKernel ρCond
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
x : α
hx : ρ.fst {x} ≠ 0
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
this : IsSFiniteKernel ρCond

⊢ (ρCond x) s = (ρ.fst {x})⁻¹ * ∫⁻ (a : α), (ρCond a) (Prod.mk a ⁻¹' {x} ×ˢ s) ∂ρ.fst
-- Mathlib/Tactic/Abel.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommMonoid α
n₁ : ℕ
x a₁ : α
n₂ : ℕ
a₂ : α
n' : ℕ
a' : α
h₁ : n₁ + n₂ = n'
h₂ : a₁ + a₂ = a'

⊢ term n₁ x a₁ + term n₂ x a₂ = term n' x a'
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n✝ n : ℕ

⊢ n.divisors.sup id = n
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n✝ n : ℕ

⊢ n ≤ n.divisors.sup id
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ

⊢ 0 ≤ (divisors 0).sup id
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n✝ n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ n ≤ n.divisors.sup id
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α

⊢ (∃ i, ∃ (_ : i ∈ S), a ∈ ↑i) ↔ ∃ s ∈ S, a ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : μ ≠ 0
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < g x

⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ < ∫⁻ (x : α), g x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : ¬μ univ = 0
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < g x

⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ < ∫⁻ (x : α), g x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hμ : ¬μ univ = 0
hg : AEMeasurable g μ
hfi : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x < g x

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ univ → f x < g x
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
hω : ¬IsSuccLimit (⨆ i, f i)

⊢ ∃ i, f i = ⨆ i, f i
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
hω : ¬IsSuccLimit (⨆ i, f i)

⊢ BddAbove (range f)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
hf : ¬BddAbove (range f)

⊢ IsSuccLimit (⨆ i, f i)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{v}
hf : ¬BddAbove (range f)

⊢ IsSuccLimit ⊥
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set X
h : X ≃ₜ Y
x : X
hx : x ∈ s

⊢ ⇑h '' connectedComponentIn s x = connectedComponentIn (⇑h '' s) (h x)
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set X
h : X ≃ₜ Y
x : X
hx : x ∈ s

⊢ connectedComponentIn (⇑h '' s) (h x) ⊆ ⇑h '' connectedComponentIn s x
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set X
h : X ≃ₜ Y
x : X
hx : x ∈ s
this : ⇑h.symm '' connectedComponentIn (⇑h '' s) (h x) ⊆ connectedComponentIn (⇑h.symm '' (⇑h '' s)) (h.symm (h x))

⊢ connectedComponentIn (⇑h '' s) (h x) ⊆ ⇑h '' connectedComponentIn s x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
hx : ∀ (y : R), f (x * y) = f x * f y
hseq : seminormFromConst_seq c f x = fun _n => f x

⊢ Tendsto (fun _n => f x) atTop (𝓝 (f x))
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ

⊢ 2 ∣ (n + 1).centralBinom
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ

⊢ (n + 1).centralBinom = 2 * (n + 1 + n).choose n
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q p : MvPolynomial σ R
hz : 0 ∈ p.coeffs

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q p : MvPolynomial σ R
hz : 0 ∈ p.coeffs
n : σ →₀ ℕ
hnsupp : n ∈ p.support
hn : 0 = coeff n p

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f g : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Zero β
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hf_meas : StronglyMeasurable f
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hft_zero : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ this : SigmaFinite (μ.restrict t)
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.restrict t)

⊢ FinStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f g : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Zero β
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hf_meas : StronglyMeasurable f
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hft_zero : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ this : SigmaFinite (μ.restrict t)
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.restrict t)
hS_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)

⊢ FinStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f g : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Zero β
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hf_meas : StronglyMeasurable f
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hft_zero : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ this : SigmaFinite (μ.restrict t)
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.restrict t)
hS_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)
f_approx : ℕ → α →ₛ β := hf_meas.approx
fs : ℕ → α →ₛ β := fun n => (f_approx n).restrict (S n ∩ t)

⊢ FinStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f g : α → β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : Zero β
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hf_meas : StronglyMeasurable f
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hft_zero : ∀ x ∈ tᶜ, f x = 0
htμ this : SigmaFinite (μ.restrict t)
S : ℕ → Set α := spanningSets (μ.restrict t)
hS_meas : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (S n)
f_approx : ℕ → α →ₛ β := hf_meas.approx
fs : ℕ → α →ₛ β := fun n => (f_approx n).restrict (S n ∩ t)
h_fs_t_compl : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∉ t, ↑(fs n) x = 0

⊢ FinStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommRing R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalRing R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type ?u.1260451) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
a : A
ha : p a
f g : C(↑(σₙ R a), R)₀

⊢ (cfcₙHom ha) f ≤ (cfcₙHom ha) g ↔ f ≤ g
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1

⊢ x - x ^ 3 / 4 < sin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x

⊢ x - x ^ 3 / 4 < sin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : -(|x| ^ 4 * (5 / 96)) ≤ sin x - (x - x ^ 3 / 6)

⊢ x - x ^ 3 / 4 < sin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : -(x ^ 4 * (5 / 96)) + (x - x ^ 3 / 6) ≤ sin x

⊢ x - x ^ 3 / 4 < sin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : -(x ^ 4 * (5 / 96)) + (x - x ^ 3 / 6) ≤ sin x

⊢ x - x ^ 3 / 4 < -(x ^ 4 * (5 / 96)) + (x - x ^ 3 / 6)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this✝ : -(x ^ 4 * (5 / 96)) + (x - x ^ 3 / 6) ≤ sin x
this : x ^ 3 / 4 - x ^ 3 / 6 = x ^ 3 * 12⁻¹

⊢ x - x ^ 3 / 4 < -(x ^ 4 * (5 / 96)) + (x - x ^ 3 / 6)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this✝ : -(x ^ 4 * (5 / 96)) + (x - x ^ 3 / 6) ≤ sin x
this : x ^ 3 / 4 - x ^ 3 / 6 = x ^ 3 * 12⁻¹

⊢ x ^ 4 * (5 / 96) < x ^ 3 * 12⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this✝ : -(x ^ 4 * (5 / 96)) + (x - x ^ 3 / 6) ≤ sin x
this : x ^ 3 / 4 - x ^ 3 / 6 = x ^ 3 * 12⁻¹

⊢ x ^ 4 ≤ x ^ 3
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this✝ : -(x ^ 4 * (5 / 96)) + (x - x ^ 3 / 6) ≤ sin x
this : x ^ 3 / 4 - x ^ 3 / 6 = x ^ 3 * 12⁻¹

⊢ 3 ≤ 4
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i
v : Z.Fiber b

⊢ (Trivialization.continuousLinearMapAt R (Z.localTriv i) b) v = (Z.coordChange (Z.indexAt b) i b) v
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i
v : Z.Fiber b

⊢ (fun y => (↑(Z.localTriv i) { proj := b, snd := y }).2) v = (Z.coordChange (Z.indexAt b) i b) v
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace R F
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝ : FiberBundle F E
ι : Type u_5
Z : VectorBundleCore R B F ι
b✝ : B
a : F
i j : ι
b : B
hb : b ∈ Z.baseSet i
v : Z.Fiber b

⊢ b ∈ (Z.localTriv i).baseSet
-- Mathlib/LinearAlgebra/UnitaryGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α

⊢ A ∈ unitaryGroup n α ↔ star A * A = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/UnitaryGroup.lean
n : Type u
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α : Type v
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : StarRing α
A : Matrix n n α
hA : star A * A = 1

⊢ A * star A = 1
-- Mathlib/Logic/Hydra.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsIrrefl α r
s : Multiset α

⊢ ¬CutExpand r s 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l : List α
x : α
h : l.formPerm x ≠ x

⊢ x ∈ l
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l : List α
x : α
h : l.formPerm x ≠ x

⊢ x ∈ {y | l.formPerm y ≠ y}
-- Mathlib/GroupTheory/Commutator.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁ K₂ : Subgroup G

⊢ ⁅H₁, H₂⁆ = ⊥ ↔ H₁ ≤ centralizer ↑H₂
-- Mathlib/GroupTheory/Commutator.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁ K₂ : Subgroup G

⊢ (∀ g₁ ∈ H₁, ∀ g₂ ∈ H₂, ⁅g₁, g₂⁆ ∈ ⊥) ↔ H₁ ≤ centralizer ↑H₂
-- Mathlib/GroupTheory/Commutator.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : FunLike F G G'
inst✝ : MonoidHomClass F G G'
f : F
g₁ g₂ g₃ g : G
H₁ H₂ H₃ K₁ K₂ : Subgroup G
p : G
_hp : p ∈ H₁
q : G
hq : q ∈ H₂

⊢ ⁅p, q⁆ ∈ ⊥ ↔ q * p = p * q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q f : R[X]
hf : f ≠ 0
hfR : ↑f.natDegree < #R

⊢ ∃ r, eval r f ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q f : R[X]
hfR : ↑f.natDegree < #R
hf : ∀ (r : R), eval r f = 0

⊢ f = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
f : α → E
hf : Integrable f μ

⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∑' (a : α), (μ {a}).toReal • f a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
f : α → E
hf : Integrable f (Measure.sum fun a => μ {a} • Measure.dirac a)

⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ = ∑' (a : α), (μ {a}).toReal • f a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
f : α → E
hf : Integrable f (Measure.sum fun a => μ {a} • Measure.dirac a)

⊢ ∑' (i : α), ∫ (a : α), f a ∂μ {i} • Measure.dirac i = ∑' (a : α), ((Measure.sum fun a => μ {a} • Measure.dirac a) {a}).toReal • f a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝¹ : Countable α
inst✝ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
f : α → E
hf : Integrable f (Measure.sum fun a => μ {a} • Measure.dirac a)
a : α

⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ {a} • Measure.dirac a = ((Measure.sum fun a => μ {a} • Measure.dirac a) {a}).toReal • f a
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ

⊢ (m + n).gcd n = m.gcd n
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞

⊢ HasSum f r ↔ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)

⊢ HasSum f r
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)

⊢ HasSum f (∑' (i : ℕ), f i)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i) atTop (𝓝 r)

⊢ Monotone fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
hm : m ≠ 0

⊢ Irrational (x / ↑m)
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
hm : m ≠ 0

⊢ Irrational (x / ↑↑m)
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
m : ℤ
hm : m ≠ 0

⊢ ↑m ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x x' y : M

⊢ polar (⇑Q) (x - x') y = polar (⇑Q) x y - polar (⇑Q) x' y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean

⊢ -π < -π / 2 ∧ -π / 2 ≤ π
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : MulOneClass G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
x a : G

⊢ a * 1 = x ↔ a = x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (dslope f a) s b ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s b

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (dslope f a) s b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s b

⊢ dslope f a =ᶠ[𝓝[s] b] fun y => (id y - a)⁻¹ • (f y - f a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Dslope.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
a b : 𝕜
s : Set 𝕜
h : b ≠ a
hd : DifferentiableWithinAt 𝕜 f s b

⊢ {a}ᶜ ∈ 𝓝[s] b
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s s₁ s₂ : UpperSet α
t t₁ t₂ : UpperSet β
x : α × β

⊢ Codisjoint (s₁ ×ˢ t₁) (s₂ ×ˢ t₂) ↔ Codisjoint s₁ s₂ ∨ Codisjoint t₁ t₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
k : Rˣ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂

⊢ (k • z₁).comp z₂ h = k • z₁.comp z₂ h
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

⊢ sSup s ⊓ a = ⨆ b ∈ s, b ⊓ a
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n k : ℕ

⊢ m.Coprime (k * m + n) ↔ m.Coprime n
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α

⊢ atBot ≤ 𝓝 ⊥
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderBot α

⊢ pure ⊥ ≤ 𝓝 ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β
μ : Measure α

⊢ ∑ y ∈ f.range, μ (↑f ⁻¹' {y}) = μ univ
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α

⊢ s.min = ⊤ ↔ s = ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : Countable ι
f g : α → β
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup β
m m0 : MeasurableSpace α
hm : m ≤ m0
hf : StronglyMeasurable f
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

⊢ ∃ s, (∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n) ∧ μ (s n) < ⊤ ∧ ∀ x ∈ s n, ‖f x‖ ≤ ↑n) ∧ ⋃ i, s i = univ