ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Complemented.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
f : E →L[𝕜] F
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 ↥(range f)
f' : E →L[𝕜] ↥(range f) := f.codRestrict (range f) ⋯
g : ↥(range f) →L[𝕜] E
hg : f'.comp g = id 𝕜 ↥(range f)

⊢ (ker f).ClosedComplemented
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
a : Args

⊢ a.Numeric → P124 a
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
a : Args

⊢ ∀ (x : Args), (∀ (y : Args), ArgsRel y x → y.Numeric → P124 y) → x.Numeric → P124 x
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
a✝ a : Args
ih : ∀ (y : Args), ArgsRel y a → y.Numeric → P124 y
ha : a.Numeric

⊢ P124 a
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
a✝ a : Args
ha : a.Numeric
ih : ∀ (a' : Args), ArgsRel a' a → P124 a'

⊢ P124 a
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M✝ : Type u_1
inst✝² : Monoid M✝
s✝ : Set M✝
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t✝ : Set A
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s t : Set M
x : M
hx : x ∈ Closure (s ∪ t)
L : List M
HL1✝ : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∪ t
HL2 : L.prod = x
hd : M
tl : List M
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∪ t) → ∃ y ∈ Closure s, ∃ z ∈ Closure t, y * z = tl.prod
HL1 : ∀ x ∈ hd :: tl, x ∈ s ∪ t
y : M
hy : y ∈ Closure s
z : M
hz : z ∈ Closure t
hyzx : y * z = tl.prod
hs : hd ∈ s

⊢ hd * y * z = (hd :: tl).prod
-- Mathlib/Deprecated/Submonoid.lean
M✝ : Type u_1
inst✝² : Monoid M✝
s✝ : Set M✝
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
t✝ : Set A
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
s t : Set M
x : M
hx : x ∈ Closure (s ∪ t)
L : List M
HL1✝ : ∀ x ∈ L, x ∈ s ∪ t
HL2 : L.prod = x
hd : M
tl : List M
ih : (∀ x ∈ tl, x ∈ s ∪ t) → ∃ y ∈ Closure s, ∃ z ∈ Closure t, y * z = tl.prod
HL1 : ∀ x ∈ hd :: tl, x ∈ s ∪ t
y : M
hy : y ∈ Closure s
z : M
hz : z ∈ Closure t
hyzx : y * z = tl.prod
ht : hd ∈ t

⊢ y * (z * hd) = (hd :: tl).prod
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ

⊢ completedCosZeta₀ a (1 - s) = completedHurwitzZetaEven₀ a s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype (Sym2 V)
this : DecidableEq V

⊢ Fintype.card G.Dart = ∑ v : V, G.degree v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Fintype (Sym2 V)
this : DecidableEq V

⊢ univ.card = ∑ x : V, (filter (fun d => d.toProd.1 = x) univ).card
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ : Finset β
f✝ f g : β → α
hfg : ∀ a ∈ s₁, f a = g a

⊢ s₁.gcd f = s₁.gcd g
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
n : ℕ

⊢ normalizedFactors (n + 1) = ↑(n + 1).primeFactorsList
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
n : ℕ

⊢ Multiset.Rel (fun x x_1 => x ~ᵤ x_1) (normalizedFactors (n + 1)) ↑(n + 1).primeFactorsList
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
n : ℕ

⊢ (normalizedFactors (n + 1)).prod ~ᵤ (↑(n + 1).primeFactorsList).prod
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
n : ℕ

⊢ ∀ x ∈ ↑(n + 1).primeFactorsList, Irreducible x
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : ι → Filter α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) f
inst✝ : Nonempty ι
s : Set α

⊢ s ∈ iInf f ↔ ∃ i, s ∈ f i
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s : Set X

⊢ Integrable f μ ↔ IntegrableAtFilter f (cocompact X) μ ∧ LocallyIntegrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
x✝ : IntegrableAtFilter f (cocompact X) μ ∧ LocallyIntegrable f μ
s : Set X
hsc : s ∈ cocompact X
hs : IntegrableOn f s μ
hloc : LocallyIntegrable f μ

⊢ Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
x✝ : IntegrableAtFilter f (cocompact X) μ ∧ LocallyIntegrable f μ
s : Set X
hsc : s ∈ cocompact X
hs : IntegrableOn f s μ
hloc : LocallyIntegrable f μ
t : Set X
htc : IsCompact t
ht : sᶜ ⊆ t

⊢ Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
x✝ : IntegrableAtFilter f (cocompact X) μ ∧ LocallyIntegrable f μ
s : Set X
hsc : s ∈ cocompact X
hs : IntegrableOn f s μ
hloc : LocallyIntegrable f μ
t : Set X
htc : IsCompact t
ht : sᶜ ⊆ t

⊢ IntegrableOn f sᶜ μ ∧ IntegrableOn f s μ
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S : AddSubmonoid R
m : R
x✝ : m ∈ S
n : R
hn : n ∈ ⊥

⊢ m * n ∈ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S : AddSubmonoid R
m : R
x✝ : m ∈ S
n : R
hn : n = 0

⊢ m * n = 0
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x : ℝ

⊢ 0 < ↑x ↔ 0 < x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z

⊢ SameRay R (x + y) z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hy : SameRay R y z
hx : SameRay R 0 z

⊢ SameRay R (0 + y) z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
hx₀ : x ≠ 0

⊢ SameRay R (x + y) z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hx₀ : x ≠ 0
hy : SameRay R 0 z

⊢ SameRay R (x + 0) z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0

⊢ SameRay R (x + y) z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
hx : SameRay R x 0
hy : SameRay R y 0

⊢ SameRay R (x + y) 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
hz₀ : z ≠ 0

⊢ SameRay R (x + y) z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
hz₀ : z ≠ 0
rx rz₁ : R
hrx : 0 < rx
hrz₁ : 0 < rz₁
Hx : rx • x = rz₁ • z

⊢ SameRay R (x + y) z
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
hx : SameRay R x z
hy : SameRay R y z
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
hz₀ : z ≠ 0
rx rz₁ : R
hrx : 0 < rx
hrz₁ : 0 < rz₁
Hx : rx • x = rz₁ • z
ry rz₂ : R
hry : 0 < ry
hrz₂ : 0 < rz₂
Hy : ry • y = rz₂ • z

⊢ SameRay R (x + y) z
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u_1
f : Perm α
s : Set α

⊢ MapsTo (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), MapsTo (⇑(f ^ n)) s s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u_1
f : Perm α
s : Set α

⊢ MapsTo (⇑f) s s → ∀ (n : ℕ), MapsTo (⇑f)^[n] s s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n✝ n : ℕ
hz : z ≠ 0

⊢ (1 - z ^ 2 / (↑n + 1) ^ 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n + 2) = (2 * ↑n + 1) / (2 * ↑n + 2) * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, Complex.cos (2 * z * ↑x) * ↑(cos x) ^ (2 * n)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n✝ n : ℕ
hz : z ≠ 0

⊢ z ^ 2 / (↑n + 1) ^ 2 = 4 * z ^ 2 / ↑(2 * n + 2) ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n✝ n : ℕ
hz : z ≠ 0

⊢ 2 * ↑n + 1 = ↑(2 * n + 2) - 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n✝ n : ℕ
hz : z ≠ 0

⊢ 2 * ↑n + 2 = ↑(2 * n + 2)
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
n : ℕ
hn : Squarefree n

⊢ IsSquare (-1) ↔ ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
n : ℕ
hn : Squarefree n
H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3

⊢ IsSquare (-1)
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
hn : Squarefree 0
H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ 0 → q % 4 ≠ 3

⊢ IsSquare (-1)
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
hn : Squarefree 1
H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ 1 → q % 4 ≠ 3

⊢ IsSquare (-1)
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
p n : ℕ
hpp : Nat.Prime p
ih : Squarefree n → (∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3) → IsSquare (-1)
hn : Squarefree (p * n)
H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ p * n → q % 4 ≠ 3

⊢ IsSquare (-1)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ

⊢ ∑ i ∈ Ioo k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ ∑ i ∈ Ioc k (max (k + 1) n), (↑i ^ 2)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ

⊢ Ioo k n ⊆ Ioc k (max (k + 1) n)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ

⊢ ∀ i ∈ Ioc k (max (k + 1) n), i ∉ Ioo k n → 0 ≤ (↑i ^ 2)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ

⊢ ∑ i ∈ Ioc k (max (k + 1) n), (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ ((↑k + 1) ^ 2)⁻¹ + ∑ i ∈ Ioc k.succ (max (k + 1) n), (↑i ^ 2)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ

⊢ (↑k.succ ^ 2)⁻¹ + ∑ k ∈ Ico (k.succ + 1) (max (k + 1) n).succ, (↑k ^ 2)⁻¹ ≤ ((↑k + 1) ^ 2)⁻¹ + ∑ i ∈ Ioc k.succ (max (k + 1) n), (↑i ^ 2)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ

⊢ k.succ < (max (k + 1) n).succ
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ

⊢ ((↑k + 1) ^ 2)⁻¹ + ∑ i ∈ Ioc k.succ (max (k + 1) n), (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ ((↑k + 1) ^ 2)⁻¹ + (↑k + 1)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ

⊢ k.succ ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ

⊢ (↑k.succ)⁻¹ - (↑(max k.succ n))⁻¹ ≤ (↑k + 1)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ

⊢ ((↑k + 1) ^ 2)⁻¹ + (↑k + 1)⁻¹ ≤ 1 / (↑k + 1) + 1 / (↑k + 1)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
A : 1 ≤ ↑k + 1

⊢ ((↑k + 1) ^ 2)⁻¹ + (↑k + 1)⁻¹ ≤ 1 / (↑k + 1) + 1 / (↑k + 1)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
A : 1 ≤ ↑k + 1

⊢ 1 / (↑k + 1) ^ 2 + 1 / (↑k + 1) ≤ 1 / (↑k + 1) + 1 / (↑k + 1)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
A : 1 ≤ ↑k + 1

⊢ ↑k + 1 ≤ (↑k + 1) ^ 2
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x✝¹ : ℝ
x✝ : 𝕜

⊢ { toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun (x✝¹ • x✝) = (RingHom.id ℝ) x✝¹ • { toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯ }.toFun x✝
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x✝¹ : ℝ
x✝ : 𝕜

⊢ ↑x✝¹ * ↑(RCLike.im x✝) * I = ↑x✝¹ * (↑(RCLike.im x✝) * I)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x✝ : 𝕜

⊢ ‖{ toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := __spread✝⁻⁰.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } x✝‖ = ‖x✝‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z : ℂ
E : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
h : RCLike.im RCLike.I = 1
x✝ : 𝕜

⊢ normSq ({ toFun := __spread✝⁻⁰.toFun, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯, invFun := __spread✝⁻⁰.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } x✝) = RCLike.re x✝ * RCLike.re x✝ + RCLike.im x✝ * RCLike.im x✝
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s✝ t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
n : ℕ

⊢ (f ^ Int.negSucc n) a = a ↔ ↑s.card ∣ Int.negSucc n
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s✝ t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
n : ℕ

⊢ (f⁻¹ ^ (n + 1)) a = a ↔ ↑s.card ∣ Int.negSucc n
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/Down.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
a : α

⊢ memberSubfamily a (image (fun x => x.erase a) 𝒜) = ∅
-- Mathlib/Topology/Order/LawsonTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
L S : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLawson α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
h : IsLowerSet s

⊢ IsClosed s ↔ IsClosed s
-- Mathlib/Order/RelClasses.lean
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : ¬r b a
h₂ : r b c

⊢ r a c
-- Mathlib/Order/RelClasses.lean
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : ¬r b a
h₂ : r b c
h₃ : r a b

⊢ r a c
-- Mathlib/Order/RelClasses.lean
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a c : α
h₁ : ¬r a a
h₂ : r a c

⊢ r a c
-- Mathlib/Order/RelClasses.lean
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : ¬r b a
h₂ : r b c
h₃ : r b a

⊢ r a c
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
h : HasIntegral I l f vol y
h' : HasIntegral I l g vol y'

⊢ HasIntegral I l (f - g) vol (y - y')
-- Mathlib/Data/Vector/Zip.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ
f : α → β → γ
x : Vector α n
y : Vector β n
m✝ : Fin (n - 1)

⊢ (zipWith f x y).tail.get m✝ = (zipWith f x.tail y.tail).get m✝
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E

⊢ (-o).rightAngleRotation x = -o.rightAngleRotation x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x : E

⊢ ∀ (v : E), ⟪(-o).rightAngleRotation x, v⟫_ℝ = ⟪-o.rightAngleRotation x, v⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⊢ ⟪(-o).rightAngleRotation x, y⟫_ℝ = ⟪-o.rightAngleRotation x, y⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⊢ ((-o).areaForm x) y = ⟪-o.rightAngleRotation x, y⟫_ℝ
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
h : ¬ringChar R = 2

⊢ orderOf (-1) = 2
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
h : ¬ringChar R = 2

⊢ (-1) ^ 2 = 1
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
h : ¬ringChar R = 2

⊢ -1 ≠ 1
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G

⊢ H.index = 2 ↔ ∃ a, ∀ (b : G), Xor' (b * a ∈ H) (b ∈ H)
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G

⊢ (∃ x ∉ H, ∀ x_1 ∉ H, x_1⁻¹ * x ∈ H) ↔ ∃ a, ∀ (b : G), b * a ∈ H ↔ b ∉ H
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
a : G
ha : a ∉ H ∧ ∀ x ∉ H, x⁻¹ * a ∈ H
b : G
hba : b * a ∈ H
hb : b ∈ H

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
a : G
ha : a ∉ H ∧ ∀ x ∉ H, x⁻¹ * a ∈ H
b : G
hb : b ∉ H

⊢ b * a ∈ H
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
a : G
ha : ∀ (b : G), b * a ∈ H ↔ b ∉ H

⊢ a ∉ H
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
a : G
ha : ∀ (b : G), b * a ∈ H ↔ b ∉ H
b : G
hb : b ∉ H

⊢ b⁻¹ * a ∈ H
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
f : Cauchy abs

⊢ { cauchy := f⁻¹ } = Real.inv' { cauchy := f }
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H✝ : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H✝
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L

⊢ zeroRootSubalgebra R L H = H
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H✝ : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H✝
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L

⊢ zeroRootSubalgebra R L H ≤ H
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H✝ : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H✝
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L

⊢ rootSpace H 0 ≤ H.toLieSubmodule
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H✝ : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H✝
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
k : ℕ
hk : rootSpace H 0 ≤ LieSubmodule.ucs k ⊥

⊢ rootSpace H 0 ≤ H.toLieSubmodule
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ

⊢ setToSimpleFunc T' f = c • setToSimpleFunc T f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ

⊢ ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (T' (↑f ⁻¹' {x})) x = c • ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ

⊢ ∀ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, T' (↑f ⁻¹' {x}) = c • T (↑f ⁻¹' {x})