ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/CharP/Algebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : NonAssocSemiring R
inst✝¹ : NonAssocSemiring A
f : R →+* A
h : Function.Injective ⇑f
inst✝ : CharZero R
x✝² x✝¹ : ℕ
x✝ : ↑x✝² = ↑x✝¹

⊢ f ↑x✝² = f ↑x✝¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : BorelSpace E
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : TendstoInMeasure μ f u g

⊢ AEMeasurable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : BorelSpace E
u : Filter ι
inst✝¹ : u.NeBot
inst✝ : u.IsCountablyGenerated
f : ι → α → E
g : α → E
hf : ∀ (n : ι), AEMeasurable (f n) μ
h_tendsto : TendstoInMeasure μ f u g
ns : ℕ → ι
hns : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))

⊢ AEMeasurable g μ
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
x : ZMod m
hψ : ψ (-1) = -1

⊢ ψ (-x) = -ψ x
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
x : ZMod m
hψ : ψ (-1) = -1

⊢ ψ (-1) * ψ x = -ψ x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cone F
hc : IsLimit c
s : Cocone F.leftOp
j : Jᵒᵖ

⊢ ((coconeLeftOpOfCone c).ι.app j ≫ (fun s => (hc.lift (coneOfCoconeLeftOp s)).unop) s).op = (s.ι.app j).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cone F
hc : IsLimit c
s : Cocone F.leftOp
m : (coconeLeftOpOfCone c).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : Jᵒᵖ), (coconeLeftOpOfCone c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j

⊢ m = (fun s => (hc.lift (coneOfCoconeLeftOp s)).unop) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cone F
hc : IsLimit c
s : Cocone F.leftOp
m : (coconeLeftOpOfCone c).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : Jᵒᵖ), (coconeLeftOpOfCone c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
j : J

⊢ (m.op ≫ c.π.app j).unop = (((fun s => (hc.lift (coneOfCoconeLeftOp s)).unop) s).op ≫ c.π.app j).unop
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsSeparable s

⊢ IsSeparable (f '' s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
hf : ContinuousOn f s
hs : IsSeparable s

⊢ IsSeparable ((fun x => f ↑x) '' univ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : X✝ → E
s✝ t : Set X✝
μ✝ ν : Measure X✝
l l' : Filter X✝
X : Type u_5
m m0 : MeasurableSpace X
μ : Measure X
hm : m ≤ m0
f : X → E
hf_meas : StronglyMeasurable f
s : Set X
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s, f x ∂μ.trim hm
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ

⊢ antidiagonal (n + 1) = cons (n + 1, 0) (map ((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) (antidiagonal n)) ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ

⊢ (antidiagonal (n + 1)).val = (cons (n + 1, 0) (map ((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) (antidiagonal n)) ⋯).val
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ

⊢ (antidiagonal (n + 1)).val = (n + 1, 0) ::ₘ Multiset.map (⇑((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective })) (antidiagonal n).val
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α

⊢ Ico a b ⊆ Ici a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
b : n
c : R
M : Matrix n n R

⊢ (transvection i j c * M) i b = M i b + c * M j b
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀✝
M₀ : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero M₀
a : M₀

⊢ Associates.mk a ∈ (Associates M₀)⁰ ↔ a ∈ M₀⁰
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀✝
M₀ : Type u_2
inst✝ : CommMonoidWithZero M₀
a : M₀

⊢ (¬∀ (x : Associates M₀), x * Associates.mk a = 0 → x = 0) ↔ ¬∀ (x : M₀), x * a = 0 → x = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction X Y
hβ : f'' = β.map L ⋯

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction X Y
hβ : f'' = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : (RightFraction.mk α.s ⋯ β.s).f ≫ γ.s = (RightFraction.mk α.s ⋯ β.s).s ≫ γ.f

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction X Y
hβ : f'' = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.s ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction X Y
hβ : f'' = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.s ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f
ψ : W.LeftFraction₃ X Y := LeftFraction₃.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f' ≫ γ.f) (β.f ≫ γ.s) (β.s ≫ γ.s) ⋯

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction X Y
hβ : f'' = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.s ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f
ψ : W.LeftFraction₃ X Y := LeftFraction₃.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f' ≫ γ.f) (β.f ≫ γ.s) (β.s ≫ γ.s) ⋯
this : IsIso (L.map β.s)

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction X Y
hβ : f'' = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.s ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f
ψ : W.LeftFraction₃ X Y := LeftFraction₃.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f' ≫ γ.f) (β.f ≫ γ.s) (β.s ≫ γ.s) ⋯
this✝ : IsIso (L.map β.s)
this : IsIso (L.map γ.s)

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Fractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f f' f'' : L.obj X ⟶ L.obj Y
α : W.LeftFraction₂ X Y
hα : f = α.fst.map L ⋯
hα' : f' = α.snd.map L ⋯
β : W.LeftFraction X Y
hβ : f'' = β.map L ⋯
γ : W.LeftFraction α.Y' β.Y'
hγ : β.s ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f
ψ : W.LeftFraction₃ X Y := LeftFraction₃.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f' ≫ γ.f) (β.f ≫ γ.s) (β.s ≫ γ.s) ⋯
this✝¹ : IsIso (L.map β.s)
this✝ : IsIso (L.map γ.s)
this : IsIso (L.map (β.s ≫ γ.s))

⊢ ∃ φ, f = φ.fst.map L ⋯ ∧ f' = φ.snd.map L ⋯ ∧ f'' = φ.thd.map L ⋯
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Diffeomorph.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace N
inst✝⁴ : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
hn : 1 ≤ n
s : Set M
hs : UniqueMDiffOn I s

⊢ UniqueMDiffOn J (⇑h '' s)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Diffeomorph.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E'
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace H
H' : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace H'
G : Type u_7
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G
G' : Type u_8
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace G'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
J' : ModelWithCorners 𝕜 F G'
M : Type u_9
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
M' : Type u_10
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
N : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace N
inst✝⁴ : ChartedSpace G N
N' : Type u_12
inst✝³ : TopologicalSpace N'
inst✝² : ChartedSpace G' N'
n : ℕ∞
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners J N
h : M ≃ₘ^n⟮I, J⟯ N
hn : 1 ≤ n
s : Set M
hs : UniqueMDiffOn I s

⊢ ⇑h '' s = h.toHomeomorph.toPartialHomeomorph.target ∩ ↑h.toHomeomorph.toPartialHomeomorph.symm ⁻¹' s
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : ι → α
s t : Set α
n : ℕ

⊢ 0 < n.succ
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰
x✝ : r * x ∣ r * y
z : R'
h✝ : r * y = r * x * z

⊢ y = x * z
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰
x✝ : x ∣ y
z : R'
h : y = x * z

⊢ r * y = r * x * z
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α

⊢ (uniqueBaseOn I E).Indep J ↔ J ⊆ I ∩ E
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace G
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F

⊢ ⟪x, (adjointAux A) y⟫_𝕜 = ⟪A x, y⟫_𝕜
-- Mathlib/Data/Set/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
d : α

⊢ (fun o => o.getD d) '' range l.get? = insert d {x | x ∈ l}
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : SMulWithZero α β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
ht : t.Nonempty

⊢ 0 ⊆ 0 • t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ Y : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
hx : Compatible P π x

⊢ ∃ x', ∀ (i : I), x' (π i) ⋯ = x i
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X✝ Y : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
B : C
I : Type u_1
X : I → C
π : (i : I) → X i ⟶ B
x : (i : I) → P.obj (op (X i))
hx : Compatible P π x
i : {Z : C} → (g : Z ⟶ B) → ofArrows X π g → I
h : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ B) (hg : ofArrows X π g), X (i g hg) = Z
h' : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ B) (hg : ofArrows X π g), g = eqToHom ⋯ ≫ π (i g hg)

⊢ ∃ x', ∀ (i : I), x' (π i) ⋯ = x i
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ ∑ k ∈ range n.succ, ↑(n.choose (n - k)) / (↑n - ↑k + 1) * bernoulli' k = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ ∑ x ∈ range n, (↑(n.choose x) / (↑n - ↑x + 1) * bernoulli' x - ↑(n.choose (n - x)) / (↑n - ↑x + 1) * bernoulli' x) = 0
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
η : ↥(rootsOfUnity ⟨n, hn⟩ K)

⊢ (liftHom (X ^ n - C a) (↑↑η • root (X ^ n - C a)) ⋯) (root (X ^ n - C a)) = ↑↑η • root (X ^ n - C a)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
i : Set ι
s : (a : ι) → Set (π a)
hs : ∀ a ∈ i, IsClosed (s a)

⊢ IsClosed (i.pi s)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
i : Set ι
s : (a : ι) → Set (π a)
hs : ∀ a ∈ i, IsClosed (s a)

⊢ IsClosed (⋂ a ∈ i, eval a ⁻¹' s a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/CoherenceLemmas.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C

⊢ (λ_ (X ⊗ Y)).hom = (α_ (𝟙_ C) X Y).inv ≫ ((λ_ X).hom ⊗ 𝟙 Y)
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set α
a : α

⊢ (insert a s).Countable ↔ s.Countable
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/RightDerived.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
n : ℕ
X : C
inst✝ : Injective X

⊢ IsZero ((F.rightDerived (n + 1)).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/RightDerived.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
n : ℕ
X : C
inst✝ : Injective X

⊢ IsZero ((HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) (n + 1)).obj ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (InjectiveResolution.self X).cocomplex))
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/RightDerived.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝⁴ : Abelian C
inst✝³ : HasInjectiveResolutions C
inst✝² : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.Additive
n : ℕ
X : C
inst✝ : Injective X

⊢ ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj (InjectiveResolution.self X).cocomplex).ExactAt (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y : ι → ℝ

⊢ ¬Disjoint ↑I ↑J ↔ (↑I ∩ ↑J).Nonempty
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean

⊢ ord ∘ aleph = enumOrd {b | b.card.ord = b ∧ ω ≤ b}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean

⊢ StrictMono (ord ∘ aleph) ∧ range (ord ∘ aleph) = {b | b.card.ord = b ∧ ω ≤ b}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean

⊢ range (ord ∘ aleph) = {b | b.card.ord = b ∧ ω ≤ b}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean

⊢ (∀ (a : Ordinal.{u_1}), (ord ∘ aleph) a ∈ {b | b.card.ord = b ∧ ω ≤ b}) ∧ ∀ b ∈ {b | b.card.ord = b ∧ ω ≤ b}, ∃ a, (ord ∘ aleph) a = b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a : Ordinal.{u_1}

⊢ ((ord ∘ aleph) a).card.ord = (ord ∘ aleph) a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a : Ordinal.{u_1}

⊢ ω ≤ (ord ∘ aleph) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0

⊢ μ ≪ μ.withDensity f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : (μ.withDensity f) s = 0

⊢ μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
hf_ne_zero : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ {a | ¬s.indicator f a = 0 a} = 0

⊢ μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ {a | ¬s.indicator f a = 0 a} = 0
hf_ne_zero : μ {a | f a = 0} = 0

⊢ μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf_ne_zero : μ {a | f a = 0} = 0
hμs : μ {a | a ∈ s ∧ ¬f a = 0} = 0

⊢ μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hf_ne_zero : μ {a | f a = 0} = 0
hμs : μ {a | a ∈ s ∧ ¬f a = 0} = 0
hle : s ⊆ {a | a ∈ s ∧ ¬f a = 0} ∪ {a | f a = 0}

⊢ μ s = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ (s + 1).GammaSeq n / s = ↑n / (↑n + 1 + s) * s.GammaSeq n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ ↑n ^ (s + 1) * ↑n ! / ((∏ x ∈ Finset.range n, (s + 1 + ↑x)) * (s + 1 + ↑n) * s) = ↑n / (↑n + 1 + s) * s.GammaSeq n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ ↑n ^ (s + 1) * ↑n ! / ((∏ x ∈ Finset.range n, (s + 1 + ↑x)) * (s + 1 + ↑n) * s) = ↑n * ↑n ^ s * ↑n ! / ((∏ k ∈ Finset.range n, (s + ↑(k + 1))) * (↑n + 1 + s) * s)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hr : r' < r

⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) r')] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r

⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
hr : ↑0 < r

⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑0)] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r
hr'0 : 0 < r'

⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n

⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / ↑r' ^ n

⊢ (fun y => f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2) =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) ↑r')] fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖