ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/MellinInversion.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ |(2 * π)⁻¹| • ∫ (y : ℝ), ↑x ^ (-(↑σ + ↑y * I)) • f (↑σ + ↑y * I) = ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (y : ℝ), cexp (2 * ↑π * (↑y * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I)
-- Mathlib/Analysis/MellinInversion.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx0 : ↑x ≠ 0

⊢ |(2 * π)⁻¹| • ∫ (y : ℝ), ↑x ^ (-(↑σ + ↑y * I)) • f (↑σ + ↑y * I) = ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (y : ℝ), cexp (2 * ↑π * (↑y * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I)
-- Mathlib/Analysis/MellinInversion.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx0 : ↑x ≠ 0

⊢ |(2 * π)⁻¹| • ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (a : ℝ), ↑x ^ (-(↑a * I)) • f (↑σ + ↑a * I) = ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (y : ℝ), cexp (2 * ↑π * (↑y * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I)
-- Mathlib/Analysis/MellinInversion.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx0 : ↑x ≠ 0

⊢ ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (x_1 : ℝ), ↑x ^ (-(↑(2 * π * x_1) * I)) • f (↑σ + ↑(2 * π * x_1) * I) = ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (y : ℝ), cexp (2 * ↑π * (↑y * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I)
-- Mathlib/Analysis/MellinInversion.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx0 : ↑x ≠ 0
x✝ : ℝ

⊢ ↑x ^ (-(↑(2 * π * x✝) * I)) • f (↑σ + ↑(2 * π * x✝) * I) = cexp (2 * ↑π * (↑x✝ * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑x✝ * I)
-- Mathlib/Analysis/MellinInversion.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx0 : ↑x ≠ 0
x✝ : ℝ

⊢ cexp (↑(Real.log x) * -(↑(2 * π * x✝) * I)) • f (↑σ + ↑(2 * π * x✝) * I) = cexp (2 * ↑π * (↑x✝ * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑x✝ * I)
-- Mathlib/Analysis/MellinInversion.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
σ : ℝ
f : ℂ → E
x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ ↑x ^ (-↑σ) • ∫ (y : ℝ), cexp (2 * ↑π * (↑y * -↑(Real.log x)) * I) • f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I) = ↑x ^ (-↑σ) • 𝓕⁻ (fun y => f (↑σ + 2 * ↑π * ↑y * I)) (-Real.log x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
l l' : Filter α
f g : α → β
μ ν : Measure α
h : AEStronglyMeasurable f μ

⊢ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict univ)
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
h : 0 < (minimalPeriod f x).gcd n

⊢ minimalPeriod f^[n] x = minimalPeriod f x / (minimalPeriod f x).gcd n
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
h : 0 < (minimalPeriod f x).gcd n

⊢ minimalPeriod f^[n] x ∣ minimalPeriod f x / (minimalPeriod f x).gcd n
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
h : 0 < (minimalPeriod f x).gcd n

⊢ minimalPeriod f x / (minimalPeriod f x).gcd n ∣ minimalPeriod f^[n] x
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
p q : R
hpq : q ∣ p
hq : ¬q = 0

⊢ p / q ∣ p
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
p q : R
hpq : q ∣ p
hq : ¬q = 0

⊢ p = p / q * q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝¹ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
UX UY : Scheme
iY : UY ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion iY
iX : UX ⟶ X
f' : UX ⟶ UY
h : IsPullback iX f' f iY
H : P f

⊢ P f'
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝¹ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
UX UY : Scheme
iY : UY ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion iY
iX : UX ⟶ X
f' : UX ⟶ UY
h : IsPullback iX f' f iY
H : P f

⊢ P (pullback.snd f iY)
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Tower.lean
R : Type u
S✝ : Type v
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring C
inst✝⁹ : CommSemiring D
inst✝⁸ : CommSemiring E
inst✝⁷ : CommSemiring F
inst✝⁶ : Algebra C D
inst✝⁵ : Algebra C E
inst✝⁴ : Algebra C F
inst✝³ : Algebra D F
inst✝² : Algebra E F
inst✝¹ : IsScalarTower C D F
inst✝ : IsScalarTower C E F
S : Set D
T : Set E
hS : adjoin C S = ⊤
hT : adjoin C T = ⊤

⊢ Subalgebra.restrictScalars C (adjoin E (⇑(algebraMap D F) '' S)) = Subalgebra.restrictScalars C (adjoin D (⇑(algebraMap E F) '' T))
-- Mathlib/Topology/Algebra/GroupWithZero.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace G₀
inst✝¹ : GroupWithZero G₀
inst✝ : ContinuousMul G₀
a : G₀
ha : a ≠ 0

⊢ map (fun x => x * a) (𝓝 1) = 𝓝 a
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
z : ℂ
hD : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)

⊢ ‖f z‖ ≤ sSupNormIm f z.re
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
z : ℂ
hD : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)

⊢ BddAbove (norm ∘ f '' (re ⁻¹' {z.re}))
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f✝ : ℂ → E
z✝ : ℂ
f : ℂ → E
z : ℂ
hD : z ∈ verticalClosedStrip 0 1
hB : BddAbove (norm ∘ f '' verticalClosedStrip 0 1)

⊢ ‖f z‖ ∈ norm ∘ f '' (re ⁻¹' {z.re})
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L

⊢ ((traceForm R L M) z) x = 0 x
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L

⊢ (trace R M) (φ z ∘ₗ φ x) = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)

⊢ (trace R M) (φ z ∘ₗ φ x) = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)

⊢ (algebraMap R A) ((trace R M) (φ z ∘ₗ φ x)) = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)

⊢ (trace A (A ⊗[R] M)) ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z) ∘ₗ (toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z : L
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1

⊢ (trace A (A ⊗[R] M)) ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z) ∘ₗ (toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1
hzc : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ LieAlgebra.center A (A ⊗[R] L)

⊢ (trace A (A ⊗[R] M)) ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z) ∘ₗ (toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1
hzc : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ LieAlgebra.center A (A ⊗[R] L)

⊢ ⨆ μ, ⨆ k, (((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)).genEigenspace μ) k = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1
hzc : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ LieAlgebra.center A (A ⊗[R] L)

⊢ ∀ (μ : A), (trace A ↥(⨆ k, (((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)).genEigenspace μ) k)) (LinearMap.restrict ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z)) ⋯) = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
z x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1
hzc : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ LieAlgebra.center A (A ⊗[R] L)

⊢ Commute ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{w, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁸ : Category.{w', u₃} E
F✝ : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A✝ A' B B' : C
inst✝⁷ : HasBinaryProduct A✝ B
inst✝⁶ : HasBinaryProduct A' B'
inst✝⁵ : HasBinaryProduct (F✝.obj A✝) (F✝.obj B)
inst✝⁴ : HasBinaryProduct (F✝.obj A') (F✝.obj B')
inst✝³ : HasBinaryProduct (G.obj (F✝.obj A✝)) (G.obj (F✝.obj B))
inst✝² : HasBinaryProduct ((F✝ ⋙ G).obj A✝) ((F✝ ⋙ G).obj B)
inst✝¹ : HasBinaryProducts C
inst✝ : HasBinaryProducts D
F : C ⥤ D
A f : C

⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ (f_1 : f ⟶ Y), (prod.functor.obj A ⋙ F).map f_1 ≫ (fun B => prodComparison F A B) Y = (fun B => prodComparison F A B) f ≫ (F ⋙ prod.functor.obj (F.obj A)).map f_1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ

⊢ cos (x - π / 2) = sin x
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h0 : n ≠ 0

⊢ (filter Squarefree n.divisors).val = Multiset.map (fun x => x.val.prod) (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h0 : n ≠ 0

⊢ ∀ (a : ℕ), a ∈ (filter Squarefree n.divisors).val ↔ a ∈ Multiset.map (fun x => x.val.prod) (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
h0 : n ≠ 0

⊢ ∀ x ∈ (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val, ∀ y ∈ (normalizedFactors n).toFinset.powerset.val, x.val.prod = y.val.prod → x = y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ

⊢ (mk W) (W.ψ n) = (mk W) (W.Ψ n)
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : InvolutiveInv α
s : Finset α
a : α

⊢ a ∈ s⁻¹ ↔ a⁻¹ ∈ s
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
S : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : CommSemiring A
inst✝³ : CommSemiring B
inst✝² : Algebra S R
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : Algebra S B
g : R →ₐ[S] A
y : σ → A
x✝ : σ → S
i✝ : σ

⊢ (aevalTower (AlgHom.id S S) x✝) (X i✝) = (aeval x✝) (X i✝)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X

⊢ ∃ r, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, r ∈ Ioi 0 ∩ ENNReal.ofReal ⁻¹' ⋂ i, ⋂ (_ : y ∈ K i), {r | closedBall y r ⊆ U i}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X
this : ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 0, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∀ (i : ι), (ENNReal.ofReal x_1, y).2 ∈ K i → closedBall (ENNReal.ofReal x_1, y).2 (ENNReal.ofReal x_1, y).1 ⊆ U i

⊢ ∃ r, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, r ∈ Ioi 0 ∩ ENNReal.ofReal ⁻¹' ⋂ i, ⋂ (_ : y ∈ K i), {r | closedBall y r ⊆ U i}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X
this : ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 0, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∀ (i : ι), (ENNReal.ofReal x_1, y).2 ∈ K i → closedBall (ENNReal.ofReal x_1, y).2 (ENNReal.ofReal x_1, y).1 ⊆ U i
r : ℝ
hr0 : r > 0
hr : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∀ (i : ι), (ENNReal.ofReal r, y).2 ∈ K i → closedBall (ENNReal.ofReal r, y).2 (ENNReal.ofReal r, y).1 ⊆ U i

⊢ ∃ r, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, r ∈ Ioi 0 ∩ ENNReal.ofReal ⁻¹' ⋂ i, ⋂ (_ : y ∈ K i), {r | closedBall y r ⊆ U i}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : EMetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
x : X
this : ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 0, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∀ (i : ι), (ENNReal.ofReal x_1, y).2 ∈ K i → closedBall (ENNReal.ofReal x_1, y).2 (ENNReal.ofReal x_1, y).1 ⊆ U i
r : ℝ
hr0 : r > 0
hr : ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, ∀ (i : ι), (ENNReal.ofReal r, y).2 ∈ K i → closedBall (ENNReal.ofReal r, y).2 (ENNReal.ofReal r, y).1 ⊆ U i
y : X
hy : ∀ (i : ι), (ENNReal.ofReal r, y).2 ∈ K i → closedBall (ENNReal.ofReal r, y).2 (ENNReal.ofReal r, y).1 ⊆ U i

⊢ r ∈ ENNReal.ofReal ⁻¹' ⋂ i, ⋂ (_ : y ∈ K i), {r | closedBall y r ⊆ U i}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/BilinearForm.lean
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁹ : CommSemiring R
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁷ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : CommRing R₁
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁴ : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹³ : CommSemiring R₂
inst✝¹² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹⁰ : CommRing R₃
inst✝⁹ : AddCommGroup M₃
inst✝⁸ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
A : Type u_11
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Module A M₃
B₃ : BilinForm A M₃
ι : Type u_12
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
M : Matrix ι ι R₃
b : Basis ι R₃ M₃

⊢ ((Matrix.toBilin b) M).Nondegenerate ↔ M.Nondegenerate
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
h0 : ¬a = 0

⊢ a * a⁻¹ = 1
-- Mathlib/Data/Finsupp/ToDFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Zero M
i : ι
m : M
i✝ : ι

⊢ (single i m).toDFinsupp i✝ = (DFinsupp.single i m) i✝
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s

⊢ interior s = ∅
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s
x : α
hx : x ∈ interior s

⊢ False
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s
x : α
hx : s ∈ 𝓝 x

⊢ False
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s
x : α
hx : s ∈ 𝓝 x
this : closure (i '' s) ∈ 𝓝 (i x)

⊢ False
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s
x : α
hx : s ∈ 𝓝 x
this : i '' s ∈ 𝓝 (i x)

⊢ False
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝ : T2Space β
di : DenseInducing i
hd : Dense (range i)ᶜ
s : Set α
hs : IsCompact s
x : α
hx : s ∈ 𝓝 x
this : i '' s ∈ 𝓝 (i x)
y : β
hyi : y ∈ (range i)ᶜ
hys : y ∈ i '' s

⊢ False
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β✝
inst✝ : UniformSpace γ✝
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
ua1 ua2 : UniformSpace α
ub1 ub2 : UniformSpace β
uc1 : UniformSpace γ
h : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2

⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β✝
inst✝ : UniformSpace γ✝
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
ua1 ua2 : UniformSpace α
ub1 ub2 : UniformSpace β
uc1 : UniformSpace γ
h : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
ha : UniformContinuous id

⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β✝
inst✝ : UniformSpace γ✝
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
ua1 ua2 : UniformSpace α
ub1 ub2 : UniformSpace β
uc1 : UniformSpace γ
h : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
ha : UniformContinuous id
hb : UniformContinuous id

⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β✝
inst✝ : UniformSpace γ✝
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
ua1 ua2 : UniformSpace α
ub1 ub2 : UniformSpace β
uc1 : UniformSpace γ
h : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
ha : UniformContinuous id
hb : UniformContinuous id
h_unif_cont_id : UniformContinuous (Prod.map id id)

⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
x : B
hx : x ∈ e.baseSet

⊢ ↑e (zeroSection F E x) = (x, 0)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u_4
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
f : ι → α
i : ι

⊢ bfamilyOfFamily' r f (typein r i) ⋯ = f i
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : CommSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix m n α
a : α
i✝ : m
j✝ : n

⊢ (a • M) i✝ j✝ = (M * diagonal fun x => a) i✝ j✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheafification.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
hR : Presheaf.IsSheaf J R

⊢ sheafifyMap J η ≫ sheafifyLift J γ hR = sheafifyLift J (η ≫ γ) hR
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheafification.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} A
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
hR : Presheaf.IsSheaf J R

⊢ toSheafify J P ≫ sheafifyMap J η ≫ sheafifyLift J γ hR = η ≫ γ
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Seminorm.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
R' : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F E ℝ
inst✝³ : AddGroup E
inst✝² : SMul R ℝ
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ
p✝ : AddGroupSeminorm E
r : R
p q : AddGroupSeminorm E
x y : ℝ

⊢ r • max x y = max (r • x) (r • y)
-- Mathlib/Data/Nat/PrimeFin.lean
a b k m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
a✝ : ℕ

⊢ a✝ ∈ (a.gcd b).primeFactors ↔ a✝ ∈ a.primeFactors ∩ b.primeFactors
-- Mathlib/Data/Nat/PrimeFin.lean
a b k m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
a✝ : ℕ

⊢ Prime a✝ ∧ a✝ ∣ a ∧ a✝ ∣ b ↔ (Prime a✝ ∧ a✝ ∣ a) ∧ Prime a✝ ∧ a✝ ∣ b
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : 2 < ‖a.c i‖
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖

⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / ‖a.c i‖) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : 2 < ‖a.c i‖
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j

⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / ‖a.c i‖) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖