ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
hk : MeasurableSet k
h's : IntegrableOn f s μ
A : ∀ (u : Set X), ∫ (x : X) in u ∩ k, f x ∂μ = 0

⊢ ∫ (x : X) in t \ k ∪ s \ k, f x ∂μ = ∫ (x : X) in s \ k, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
hk : MeasurableSet k
h's : IntegrableOn f s μ
A : ∀ (u : Set X), ∫ (x : X) in u ∩ k, f x ∂μ = 0

⊢ t \ k ∪ s \ k =ᶠ[ae μ] s \ k
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
hk : MeasurableSet k
h's : IntegrableOn f s μ
A : ∀ (u : Set X), ∫ (x : X) in u ∩ k, f x ∂μ = 0

⊢ μ ((t \ k) \ (s \ k)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
hk : MeasurableSet k
h's : IntegrableOn f s μ
A : ∀ (u : Set X), ∫ (x : X) in u ∩ k, f x ∂μ = 0

⊢ μ (t \ k) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ht_eq : ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict t, f x = 0
haux : StronglyMeasurable f
H : IntegrableOn f (s ∪ t) μ
k : Set X := f ⁻¹' {0}
hk : MeasurableSet k
h's : IntegrableOn f s μ
A : ∀ (u : Set X), ∫ (x : X) in u ∩ k, f x ∂μ = 0

⊢ ∀ᵐ (a : X) ∂μ, a ∉ t \ k
-- Mathlib/Order/Rel/GaloisConnection.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
I : Set β

⊢ R.rightDual I ∈ R.leftFixedPoints
-- Mathlib/Order/Rel/GaloisConnection.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
I : Set β

⊢ R.rightDual (R.leftDual (R.rightDual I)) ≤ R.rightDual I
-- Mathlib/Order/Rel/GaloisConnection.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Rel α β
I : Set β

⊢ R.rightDual I ≤ R.rightDual (R.leftDual (R.rightDual I))
-- Mathlib/Data/Matrix/RowCol.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
inst✝ : Nonempty ι
inhabited_h : Inhabited ι

⊢ Function.Injective (col ι)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1

⊢ σ.supportᶜ.card ≡ Fintype.card α [MOD p]
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1

⊢ p ∣ σ.cycleType.sum
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1

⊢ σ.supportᶜ.card ≤ Fintype.card α
-- Mathlib/Data/Real/Pointwise.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
s : Set ℝ

⊢ sInf (a • s) = a • sInf s
-- Mathlib/Data/Real/Pointwise.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a

⊢ sInf (a • ∅) = a • sInf ∅
-- Mathlib/Data/Real/Pointwise.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝ : OrderedSMul α ℝ
a : α
ha : 0 ≤ a
s : Set ℝ
hs : s.Nonempty

⊢ sInf (a • s) = a • sInf s
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Surjective ⇑f
p : MvPolynomial σ S₁

⊢ ∃ a, (map f) a = p
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Surjective ⇑f
i : σ →₀ ℕ
fr : S₁

⊢ ∃ a, (map f) a = (monomial i) fr
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Surjective ⇑f
a b : MvPolynomial σ S₁
ha : ∃ a_1, (map f) a_1 = a
hb : ∃ a, (map f) a = b

⊢ ∃ a_1, (map f) a_1 = a + b
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
i j : ℕ
hij : i ≤ j
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ν a[fun x => κ.densityProcess ν j a x s|↑(countableFiltration γ) i] =ᶠ[ae (ν a)] fun x => κ.densityProcess ν i a x s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
i j : ℕ
hij : i ≤ j
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ Integrable (fun x => κ.densityProcess ν j a x s) (ν a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
i j : ℕ
hij : i ≤ j
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ (s_1 : Set γ), MeasurableSet s_1 → (ν a) s_1 < ⊤ → IntegrableOn (fun x => κ.densityProcess ν i a x s) s_1 (ν a)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
i j : ℕ
hij : i ≤ j
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ (s_1 : Set γ), MeasurableSet s_1 → (ν a) s_1 < ⊤ → ∫ (x : γ) in s_1, κ.densityProcess ν i a x s ∂ν a = ∫ (x : γ) in s_1, κ.densityProcess ν j a x s ∂ν a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
i j : ℕ
hij : i ≤ j
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ AEStronglyMeasurable' (↑(countableFiltration γ) i) (fun x => κ.densityProcess ν i a x s) (ν a)
-- Mathlib/FieldTheory/KrullTopology.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : L ≃ₐ[K] L

⊢ f ∈ ⊥.fixingSubgroup ↔ f ∈ ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/KrullTopology.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : L ≃ₐ[K] L
x✝ : f ∈ ⊤

⊢ f ∈ ⊥.fixingSubgroup
-- Mathlib/FieldTheory/KrullTopology.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : L ≃ₐ[K] L
x✝ : f ∈ ⊤
x : L
hx : x ∈ ⊥

⊢ f • ↑⟨x, hx⟩ = ↑⟨x, hx⟩
-- Mathlib/FieldTheory/KrullTopology.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : L ≃ₐ[K] L
x✝ : f ∈ ⊤
x : L
hx✝ : x ∈ ⊥
hx : x ∈ Set.range ⇑(algebraMap K L)

⊢ f • ↑⟨x, hx✝⟩ = ↑⟨x, hx✝⟩
-- Mathlib/FieldTheory/KrullTopology.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
f : L ≃ₐ[K] L
x✝ : f ∈ ⊤
y : K
hx : (algebraMap K L) y ∈ ⊥

⊢ f • ↑⟨(algebraMap K L) y, hx⟩ = ↑⟨(algebraMap K L) y, hx⟩
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
i : ι
a : α i
b : β i
x : γ i

⊢ ⟨i, x⟩ ∈ sigmaLift f ⟨i, a⟩ ⟨i, b⟩ ↔ x ∈ f a b
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
γ : ι → Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
f : ⦃i : ι⦄ → α i → β i → Finset (γ i)
i : ι
a : α i
b : β i
x : γ i

⊢ (∃ a_1 ∈ f (⋯ ▸ ⟨i, a⟩.snd) ⟨i, b⟩.snd, (Embedding.sigmaMk ⟨i, b⟩.fst) a_1 = ⟨i, x⟩) ↔ x ∈ f a b
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
x : α
y : Set α
hx : x ∈ s
hy : y ⊆ s
hxy : x ∉ y

⊢ Disjoint x (sSup y)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
x : α
y : Set α
hx : x ∈ s
hy : y ⊆ s
hxy : x ∉ y
this : Disjoint x (sSup (insert x y \ {x}))

⊢ Disjoint x (sSup y)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
x : α
y : Set α
hx : x ∈ s
hy : y ⊆ s
hxy : x ∉ y
this : Disjoint x (sSup y)

⊢ Disjoint x (sSup y)
-- Mathlib/Algebra/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : AddTorsor G P
v : G
p₁ p₂ : P

⊢ v +ᵥ p₁ -ᵥ (v +ᵥ p₂) = p₁ -ᵥ p₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
a : R
n : ℕ

⊢ derivative (C a * X ^ n) = C (a * ↑n) * X ^ (n - 1)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable

⊢ ∃! f', f.graph.topologicalClosure = f'.graph
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable
x✝¹ x✝ : E →ₗ.[R] F
hy₁ : f.graph.topologicalClosure = x✝¹.graph
hy₂ : f.graph.topologicalClosure = x✝.graph

⊢ x✝¹.graph = x✝.graph
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X✝ : Scheme
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
h : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this : IsAffine ↑U

⊢ ((↑U).isoSpec.hom ≫ Spec.map (X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op)).val.base ⟨genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace, ⋯⟩ = genericPoint ↑↑(Spec Γ(X, U)).toPresheafedSpace
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X✝ : Scheme
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
h : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this : IsAffine ↑U
e_1✝ : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U) = ↑↑(Spec (X.presheaf.obj (op U))).toPresheafedSpace

⊢ ⟨genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace, ⋯⟩ = genericPoint ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/FunctionField.lean
X✝ : Scheme
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
h : Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace
this : IsAffine ↑U
e_1✝ : PrimeSpectrum ↑Γ(X, U) = ↑↑(Spec (X.presheaf.obj (op U))).toPresheafedSpace

⊢ ↑⟨genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace, ⋯⟩ = ↑(genericPoint ↑↑(↑U).toPresheafedSpace)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s✝ : Set E
f : E → F
R : ℝ
s : Set E
hR : 0 < R

⊢ ∫ (x : E) in s, f (R • x) ∂μ = (R ^ finrank ℝ E)⁻¹ • ∫ (x : E) in R • s, f x ∂μ
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]

⊢ ∃ n < p, x - ↑n ∈ maximalIdeal ℤ_[p]
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]

⊢ ∃ n < p, ‖x - ↑n‖ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1

⊢ ∃ n < p, ‖x - ↑n‖ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1

⊢ ∃ n < p, ‖x - ↑n‖ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℤ
hzn : 0 ≤ n
hnp : n < ↑p
hn : ‖⟨↑r, H⟩ - ↑n‖ < 1

⊢ ∃ n < p, ‖x - ↑n‖ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℕ
hnp : ↑n < ↑p
hn : ‖⟨↑r, H⟩ - ↑↑n‖ < 1

⊢ ∃ n < p, ‖x - ↑n‖ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℕ
hnp : ↑n < ↑p
hn : ‖⟨↑r, H⟩ - ↑↑n‖ < 1

⊢ n < p ∧ ‖x - ↑n‖ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℕ
hnp : ↑n < ↑p
hn : ‖⟨↑r, H⟩ - ↑↑n‖ < 1

⊢ ‖x - ↑n‖ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℕ
hnp : ↑n < ↑p
hn : ‖↑r - ↑↑↑n‖ < 1

⊢ ‖↑x - ↑n‖ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℕ
hnp : ↑n < ↑p
hn : ‖↑r - ↑↑↑n‖ < 1

⊢ ‖↑x - ↑r + (↑r - ↑n)‖ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℕ
hnp : ↑n < ↑p
hn : ‖↑r - ↑↑↑n‖ < 1

⊢ max ‖↑x - ↑r‖ ‖↑r - ↑n‖ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ : ℚ
x : ℤ_[p]
r : ℚ
hr : ‖↑x - ↑r‖ < 1
H : ‖↑r‖ ≤ 1
n : ℕ
hnp : ↑n < ↑p
hn : ‖↑r - ↑↑↑n‖ < 1

⊢ ‖↑r - ↑n‖ < 1
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F ↥L
x : E
h : x ∈ L

⊢ IsSeparable F x
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : SurjOn f₁ s t
H : EqOn f₁ f₂ s

⊢ SurjOn f₂ s t
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Products.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf : Embedding ⇑f
hg : Embedding ⇑g

⊢ Function.Injective ⇑(prod.map f g)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Products.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf : Embedding ⇑f
hg : Embedding ⇑g
this : Mono f

⊢ Function.Injective ⇑(prod.map f g)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Products.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
W X Y Z : TopCat
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z
hf : Embedding ⇑f
hg : Embedding ⇑g
this✝ : Mono f
this : Mono g

⊢ Function.Injective ⇑(prod.map f g)
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Lemmas.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar F R
a : F
ha : a ≠ 0

⊢ ∃ ζ ∈ rootsOfUnity ⟨orderOf χ, ⋯⟩ R, ↑ζ = χ a
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Lemmas.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar F R
a : F
ha : a ≠ 0
hu : IsUnit (χ a)

⊢ ∃ ζ ∈ rootsOfUnity ⟨orderOf χ, ⋯⟩ R, ↑ζ = χ a
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Lemmas.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar F R
a : F
ha : a ≠ 0
hu : IsUnit (χ a)

⊢ hu.unit ∈ rootsOfUnity ⟨orderOf χ, ⋯⟩ R
-- Mathlib/Deprecated/Subfield.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
S : Set F
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : F →+* K
s : Set K
hs : IsSubfield s
a : F
ha : f a ∈ s

⊢ f a⁻¹ ∈ s
-- Mathlib/Deprecated/Subfield.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
S : Set F
K : Type u_2
inst✝ : Field K
f : F →+* K
s : Set K
hs : IsSubfield s
a : F
ha : f a ∈ s

⊢ (f a)⁻¹ ∈ s
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
f g : ι → α
B : BddAbove (range g)
H : ∀ (x : ι), f x ≤ g x

⊢ iSup f ≤ iSup g
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
f g : ι → α
B : BddAbove (range g)
H : ∀ (x : ι), f x ≤ g x
h✝ : IsEmpty ι

⊢ iSup f ≤ iSup g
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s t : Set α
a b : α
f g : ι → α
B : BddAbove (range g)
H : ∀ (x : ι), f x ≤ g x
h✝ : Nonempty ι

⊢ iSup f ≤ iSup g
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
c : α

⊢ c ∈ Ici (⨆ i, f i) ↔ c ∈ ⨆ i, Ici (f i)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
f u v : R⟦X⟧
hu : u * v = 1
hv : v * u = 1
hf : ↑{ val := u, inv := v, val_inv := hu, inv_val := hv } = f

⊢ f.order = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
f u v : R⟦X⟧
hu : u * v = 1
hv : v * u = 1
hf : ↑{ val := u, inv := v, val_inv := hu, inv_val := hv } = f

⊢ f.order = 0 ∧ ?intro.mk.b
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
f u v : R⟦X⟧
hu : u * v = 1
hv : v * u = 1
hf : ↑{ val := u, inv := v, val_inv := hu, inv_val := hv } = f

⊢ Prop
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
f u v : R⟦X⟧
hu : u * v = 1
hv : v * u = 1
hf : ↑{ val := u, inv := v, val_inv := hu, inv_val := hv } = f

⊢ (↑{ val := u, inv := v, val_inv := hu, inv_val := hv }).order + ?m.101103 ≤ (u * v).order
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
f u v : R⟦X⟧
hu : u * v = 1
hv : v * u = 1
hf : ↑{ val := u, inv := v, val_inv := hu, inv_val := hv } = f

⊢ PartENat
-- Mathlib/Data/List/Lattice.lean
α : Type u_1
l l₁ l₂✝ : List α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₂ : List α

⊢ a ∈ [].bagInter l₂ ↔ a ∈ [] ∧ a ∈ l₂
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

⊢ 0 < a / b ↔ a ≠ 0 ∧ b ≠ ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfHasFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C

⊢ (α_ X Y Z).hom ≫ prod.fst = prod.fst ≫ prod.fst
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
f : P ≃ᵃ[R] P'

⊢ Wbtw R (f x) (f y) (f z) ↔ Wbtw R x y z
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q : Λ'
s : Option Γ'
n : ℕ
c d : List Γ'

⊢ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.succ, var := s, stk := elim (trList [n]) [] c d } { l := some q, var := none, stk := elim (trList [n.succ]) [] c d }
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q : Λ'
s : Option Γ'
n : ℕ
c d : List Γ'

⊢ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.succ, var := s, stk := elim (trNum ↑n ++ [Γ'.cons]) [] c d } { l := some q, var := none, stk := elim (trNum (↑n).succ ++ [Γ'.cons]) [] c d }
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q : Λ'
s : Option Γ'
n : ℕ
c d : List Γ'
a : PosNum

⊢ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.succ, var := s, stk := elim (trPosNum a ++ [Γ'.cons]) [] c d } { l := some q, var := none, stk := elim (trPosNum a.succ ++ [Γ'.cons]) [] c d }
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q : Λ'
s : Option Γ'
n : ℕ
c d : List Γ'
a : PosNum

⊢ ∀ (l₁ : List Γ'), ∃ l₁' l₂' s', l₁.reverseAux (trPosNum a.succ) = l₁'.reverseAux l₂' ∧ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.succ, var := s, stk := elim (trPosNum a ++ [Γ'.cons]) l₁ c d } { l := some (unrev q), var := s', stk := elim (l₂' ++ [Γ'.cons]) l₁' c d }
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m c : ℤ

⊢ 1 + (2 * c + 1) / 2 * 2 = 2 * c + 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Pi.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset γ
f : γ → α
g : γ → β
this : DecidableEq γ

⊢ ∀ ⦃a : γ⦄ {s : Finset γ}, a ∉ s → (∏ x ∈ s, f x, ∏ x ∈ s, g x) = ∏ x ∈ s, (f x, g x) → (∏ x ∈ insert a s, f x, ∏ x ∈ insert a s, g x) = ∏ x ∈ insert a s, (f x, g x)
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Defs.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
g : N →ₙ* P
f₁ f₂ : M →ₙ* N
hg : Function.Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
x : M

⊢ g (f₁ x) = g (f₂ x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h0 : p ≠ 0
h_top : ¬p = ⊤

⊢ eLpNorm f p μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h0 : p ≠ 0
h_top : ¬p = ⊤

⊢ eLpNorm' f p.toReal μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/Data/List/Forall2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
p : α → Prop
u : List β

⊢ Forall₂ (fun a b => p a ∧ R a b) [] u ↔ (∀ (a : α), a ∈ [] → p a) ∧ Forall₂ R [] u
-- Mathlib/Data/List/Forall2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
p : α → Prop
a : α
l : List α
u : List β

⊢ Forall₂ (fun a b => p a ∧ R a b) (a :: l) u ↔ (∀ (a_1 : α), a_1 ∈ a :: l → p a_1) ∧ Forall₂ R (a :: l) u
-- Mathlib/Data/List/Forall2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
p : α → Prop
a : α
l : List α
u : List β

⊢ (p a ∧ ∃ x, R a x ∧ (∀ (a : α), a ∈ l → p a) ∧ ∃ x_1, Forall₂ R l x_1 ∧ u = x :: x_1) ↔ p a ∧ (∀ (a : α), a ∈ l → p a) ∧ ∃ b, R a b ∧ ∃ x, Forall₂ R l x ∧ u = b :: x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α
x : α
δ : ℝ

⊢ cthickening δ ∅ = ∅
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shatter.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ

⊢ 𝒜.shatterer = 𝒜 ↔ IsLowerSet ↑𝒜
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shatter.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : 𝒜.shatterer = 𝒜

⊢ IsLowerSet ↑𝒜
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shatter.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s✝ t : Finset α
a : α
n : ℕ
h : IsLowerSet ↑𝒜
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜.shatterer

⊢ s ∈ 𝒜