ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n✝ : ℕ
i✝ : Fin (n✝ + 1).succ
i : Fin (n✝ + 1)

⊢ (if i = Fin.last n✝ then 0 else ↑i.succ + 1) = ↑((swap 0 1) ((finRotate (n✝ + 1)) i).succ)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/SatisfiesM.lean
m : Type u_1 → Type u_2
α ρ : Type u_1
p : α → Prop
x : StateT ρ m α
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m

⊢ SatisfiesM p x ↔ ∀ (s : ρ), SatisfiesM (fun x => p x.fst) (x s)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/SatisfiesM.lean
m : Type u_1 → Type u_2
α ρ : Type u_1
p : α → Prop
x : StateT ρ m α
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
x✝ : SatisfiesM p x
f : StateT ρ m { a // p a }
eq : Subtype.val <$> f = x

⊢ ∃ f_1, ∀ (x : ρ), Subtype.val <$> f_1 x = (Subtype.val <$> f) x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Classes/SatisfiesM.lean
m : Type u_1 → Type u_2
α ρ : Type u_1
p : α → Prop
x : StateT ρ m α
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
x✝ : ∃ f, ∀ (x_1 : ρ), Subtype.val <$> f x_1 = x x_1
f : ρ → m { a // (fun x => p x.fst) a }
h : ∀ (x_1 : ρ), Subtype.val <$> f x_1 = x x_1

⊢ SatisfiesM p x
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace B
inst✝² : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e : Trivialization F proj
x : Z
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
p : F

⊢ ↑e.symm (b, p) ∈ proj ⁻¹' {b}
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
φ : L[[α]].Sentence

⊢ ((equivSentence.symm φ).Realize fun a => ↑(L.con a)) ↔ M ⊨ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
φ : L[[α]].Sentence

⊢ (BoundedFormula.constantsVarsEquiv φ).Realize (fun x => ↑(L.con ((Equiv.sumEmpty α Empty) x))) default ↔ M ⊨ φ
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
φ : L[[α]].Sentence

⊢ (BoundedFormula.constantsVarsEquiv φ).Realize (fun x => ↑(L.con ((Equiv.sumEmpty α Empty) x))) default ↔ (BoundedFormula.constantsVarsEquiv φ).Realize (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) default) default
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
inst✝¹ : L[[α]].Structure M
inst✝ : (L.lhomWithConstants α).IsExpansionOn M
φ : L[[α]].Sentence

⊢ (BoundedFormula.constantsVarsEquiv φ).Realize (fun x => ↑(L.con ((Equiv.sumEmpty α Empty) x))) default = (BoundedFormula.constantsVarsEquiv φ).Realize (Sum.elim (fun a => ↑(L.con a)) default) default
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ_[p]

⊢ ‖q * r‖ = ‖q‖ * ‖r‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AffineIsometry.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁴ : NormedField 𝕜
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹³ : MetricSpace P₁'
inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄
f : P →ᵃ[𝕜] P₂
inhabited_h : Inhabited P
this : ⇑f.linear = ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 (f default)).toHomeomorph.symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 default).toHomeomorph

⊢ IsOpenMap (⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 (f default)).toHomeomorph.symm ∘ ⇑f ∘ ⇑(AffineIsometryEquiv.vaddConst 𝕜 default).toHomeomorph) ↔ IsOpenMap ⇑f
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ERealExp.lean
x : EReal

⊢ x.exp = 0 ↔ x = ⊥
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
b c : Ordinal.{u_4}

⊢ b * c % b = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Ordinal.{u_4}

⊢ 0 * c % 0 = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
b c : Ordinal.{u_4}
hb : b ≠ 0

⊢ b * c % b = 0
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
h : s.Subsingleton

⊢ maximals r s = s
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
t : Set α
a b x : α
h : ∅.Subsingleton

⊢ maximals r ∅ = ∅
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
t : Set α
a b x✝ x : α
h : {x}.Subsingleton

⊢ maximals r {x} = {x}
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
s : Set (α × β)

⊢ ContinuousOn f s ↔ ∀ (b : β), ContinuousOn (fun x => f (x, b)) {a | (a, b) ∈ s}
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
s : Set (α × β)

⊢ (∀ (a : α) (b : β), (a, b) ∈ s → ContinuousWithinAt (fun x => f (x, b)) {a | (a, b) ∈ s} a) ↔ ∀ (b : β), ∀ x ∈ {a | (a, b) ∈ s}, ContinuousWithinAt (fun x => f (x, b)) {a | (a, b) ∈ s} x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Lifts.lean
R✝ : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
S✝ : Type v
inst✝⁴ : Semiring S✝
inst✝³ : Algebra R✝ S✝
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
S : Type v
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
p : S[X]

⊢ p ∈ lifts (algebraMap R S) ↔ p ∈ (mapAlg R S).range
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : α → ℝ≥0∞

⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ

⊢ Real.sin (if 0 ≤ x.re then Real.arcsin (x.im / abs x) else if 0 ≤ x.im then Real.arcsin ((-x).im / abs x) + π else Real.arcsin ((-x).im / abs x) - π) = x.im / abs x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : X → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
g : X → E
hE : CompleteSpace E
hg : Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x))

⊢ (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : X → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
g : X → E
hE : CompleteSpace E
hg : Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x))

⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set X⦄, MeasurableSet s → (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) s < ⊤ → (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) (s.indicator fun x => c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : X → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
g : X → E
hE : CompleteSpace E
hg : Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x))

⊢ ∀ ⦃f_1 g : X → E⦄, Disjoint (support f_1) (support g) → Integrable f_1 (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) → Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) → (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) f_1 → (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) g → (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) (f_1 + g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : X → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
g : X → E
hE : CompleteSpace E
hg : Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x))

⊢ IsClosed {f_1 | (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) ↑↑f_1}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : X → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
g : X → E
hE : CompleteSpace E
hg : Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x))

⊢ ∀ ⦃f_1 g : X → E⦄, f_1 =ᶠ[ae (μ.withDensity fun x => ↑(f x))] g → Integrable f_1 (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) → (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) f_1 → (fun g => (∫ (x : X), g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X), f x • g x ∂μ) g
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : q.degree < p.degree

⊢ (p + q).leadingCoeff = p.leadingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : q.degree < p.degree

⊢ (q + p).leadingCoeff = p.leadingCoeff
-- Mathlib/Analysis/Complex/Conformal.lean
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
c : ℝ
li : ℂ ≃ₗᵢ[ℝ] ℂ

⊢ (∃ map, restrictScalars ℝ map = c • li.toLinearIsometry.toContinuousLinearMap) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (c • li.toLinearIsometry.toContinuousLinearMap).comp ↑conjCLE
-- Mathlib/Analysis/Complex/Conformal.lean
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
c : ℝ
a : ↥circle

⊢ (∃ map, restrictScalars ℝ map = c • (rotation a).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (c • (rotation a).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap).comp ↑conjCLE
-- Mathlib/Analysis/Complex/Conformal.lean
f : ℂ → ℂ
z : ℂ
c : ℝ
a : ↥circle

⊢ (∃ map, restrictScalars ℝ map = c • (conjLIE.trans (rotation a)).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap) ∨ ∃ map, restrictScalars ℝ map = (c • (conjLIE.trans (rotation a)).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap).comp ↑conjCLE
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : Semiring β
b : α
m n : ℕ
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
f : F
a : α

⊢ Odd (f (2 * a + 1))
-- Mathlib/Analysis/Complex/Convex.lean
s t : Set ℝ

⊢ (convexHull ℝ) (⇑equivRealProdLm ⁻¹' s ×ˢ t) = ⇑equivRealProdLm ⁻¹' (convexHull ℝ) (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Convex.lean
s t : Set ℝ

⊢ ⇑equivRealProdLm ⁻¹' (convexHull ℝ) (s ×ˢ t) = (convexHull ℝ) s ×ℂ (convexHull ℝ) t
-- Mathlib/Analysis/Complex/Convex.lean
s t : Set ℝ

⊢ ⇑equivRealProdLm ⁻¹' (convexHull ℝ) s ×ˢ (convexHull ℝ) t = (convexHull ℝ) s ×ℂ (convexHull ℝ) t
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f : ℍ → ℂ
α : Type u_1
inst✝¹ : SMul α ℂ
inst✝ : IsScalarTower α ℂ ℂ
k : ℤ
A : ↥GL(2, ℝ)⁺
x✝ : ℍ

⊢ (0 ∣[k]A) x✝ = 0 x✝
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
P : Set X → Prop := fun x => True

⊢ ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
P : Set X → Prop := fun x => True
c : Urysohns.CU P := { C := s, U := tᶜ, P_C := trivial, closed_C := hs, open_U := ⋯, subset := ⋯, hP := ⋯ }

⊢ ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)

⊢ ∃ C ≤ A + B, HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)
hp' : p ≠ 0

⊢ ∃ C ≤ A + B, HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)
hp' : p ≠ 0
H₁ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
H₂ : (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)

⊢ ∃ C ≤ A + B, HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)
hp' : p ≠ 0
H₁ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
H₂ : (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
hA : A = (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p)

⊢ ∃ C ≤ A + B, HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
A B : ℝ≥0
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
hf : HasSum (fun i => f i ^ p) (A ^ p)
hg : HasSum (fun i => g i ^ p) (B ^ p)
hp' : p ≠ 0
H₁ : Summable fun i => (f i + g i) ^ p
H₂ : (∑' (i : ι), (f i + g i) ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p) + (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)
hA : A = (∑' (i : ι), f i ^ p) ^ (1 / p)
hB : B = (∑' (i : ι), g i ^ p) ^ (1 / p)

⊢ ∃ C ≤ A + B, HasSum (fun i => (f i + g i) ^ p) (C ^ p)
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

⊢ (adjoinRootXPowSubCEquiv hζ H hα) (root (X ^ n - C a)) = α
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
l₁ l₂ : List α
a : α

⊢ l₁.diff (a :: l₂) = (l₁.erase a).diff l₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : StrictOrderedCommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
x y z : M
S : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMulPosMono S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
a : S
h : SameRay R x y
ha : 0 ≤ a
hy : y = 0

⊢ a • y = 0
-- Mathlib/GroupTheory/FixedPointFree.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : (⇑φ)^[2] = _root_.id
g : G

⊢ φ g = g⁻¹
-- Mathlib/GroupTheory/FixedPointFree.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
φ : G →* G
inst✝ : Finite G
hφ : FixedPointFree ⇑φ
h2 : (⇑φ)^[2] = _root_.id
g : G
key : 1 * g * φ g = 1

⊢ φ g = g⁻¹
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s : ι → Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) s
inst✝ : Nonempty ι
t : Set α

⊢ t ∈ ⨅ i, 𝓟 (s i) ↔ ∃ i, True ∧ s i ⊆ t
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
s : Set α
f : α →₀ M

⊢ ↑f.support ⊆ s ↔ ∀ a ∉ s, f a = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
s : Set α
f : α →₀ M

⊢ (∀ (x : α), f x ≠ 0 → x ∈ s) ↔ ∀ a ∉ s, f a = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α

⊢ closedBall x ε \ ball x ε = sphere x ε
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝²⁴ : Semiring R₁
inst✝²³ : Semiring R₂
inst✝²² : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
inst✝²¹ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝²⁰ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝¹⁹ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝¹⁸ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝¹⁷ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
inst✝¹⁶ : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
inst✝¹⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
M₁ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹² : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₄
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : Module R₁ M'₁
inst✝¹ : Module R₂ M₂
inst✝ : Module R₃ M₃
e : M₁ ≃SL[σ₁₂] M₂
x : M₁

⊢ (⇑e.symm ∘ ⇑e) x = id x
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁

⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁

⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁
hR₂ : 0 < R₂

⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁
hR₂ : 0 < R₂
hc : dslope f c z = 0

⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁
hR₂ : 0 < R₂
hc : dslope f c z ≠ 0

⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁
hR₂ : 0 < R₂
hc : dslope f c z ≠ 0
g : E →L[ℂ] ℂ
hg : ‖g‖ = 1
hgf : g (dslope f c z) = ↑‖dslope f c z‖

⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁
hR₂ : 0 < R₂
hc : dslope f c z ≠ 0
g : E →L[ℂ] ℂ
hg : ‖g‖ = 1
hgf : g (dslope f c z) = ↑‖dslope f c z‖
hg' : ‖g‖₊ = 1

⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
hz : z ∈ ball c R₁
hR₁ : 0 < R₁
hR₂ : 0 < R₂
hc : dslope f c z ≠ 0
g : E →L[ℂ] ℂ
hg : ‖g‖ = 1
hgf : g (dslope f c z) = ↑‖dslope f c z‖
hg' : ‖g‖₊ = 1
hg₀ : ‖g‖₊ ≠ 0

⊢ ‖dslope f c z‖ ≤ R₂ / R₁
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne R
H : ∀ (n : ℕ), ↑n = 0 → n = 0
m : ℕ
ih : ∀ (n : ℕ), ↑m = ↑n → m = n
n : ℕ
h : ↑(m + 1) = ↑(n + 1)

⊢ m + 1 = n + 1
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne R
H : ∀ (n : ℕ), ↑n = 0 → n = 0
m : ℕ
ih : ∀ (n : ℕ), ↑m = ↑n → m = n
n : ℕ
h : ↑m = ↑n

⊢ m + 1 = n + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
s : Finset α
f✝ : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
ha : a ∉ s
f : α → ℕ

⊢ multinomial (cons a s ha) f = (f a + ∑ i ∈ s, f i).choose (f a) * multinomial s f
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
s : Finset α
f✝ : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
ha : a ∉ s
f : α → ℕ

⊢ 0 < ∏ i ∈ cons a s ha, (f i)!
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ

⊢ (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (1 - x) = 1 - x ^ n
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
this : -((∑ i ∈ range n, x ^ i) * (x - 1)) = -(x ^ n - 1)

⊢ (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (1 - x) = 1 - x ^ n
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
this : (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (1 - x) = 1 - x ^ n

⊢ (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (1 - x) = 1 - x ^ n
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M✝ N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
n : ℕ
M : Submodule R Aᵐᵒᵖ

⊢ map (↑(opLinearEquiv R).symm) (M ^ n) = map (↑(opLinearEquiv R).symm) M ^ n
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : Nontrivial S
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Free ℤ S
inst✝ : Module.Finite ℤ S
r : S
s : Set S

⊢ absNorm (span {r}) ∣ ((Algebra.norm ℤ) r).natAbs
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α

⊢ s.toFinset.card = 1 ↔ Multiset.card s ≠ 0 ∧ ∃ a, s = Multiset.card s • {a}