ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Matrix.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
τ : Type u_9
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁸ : DecidableEq ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq κ
inst✝¹⁶ : DecidableEq τ
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype κ
inst✝¹³ : Fintype τ
inst✝¹² : Finite ι'
inst✝¹¹ : Finite κ'
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bP : Basis τ R P
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
i : κ
j i' : ι
j' : κ

⊢ (toMatrix (bM.tensorProduct bN) (bN.tensorProduct bM)) ↑(TensorProduct.comm R M N) (i, j) (i', j') = submatrix 1 Prod.swap _root_.id (i, j) (i', j')
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂m.join = ∫⁻ (μ : Measure α), ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ∂m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ ⨆ n, ∑ x ∈ (SimpleFunc.eapprox f n).range, x * ∫⁻ (μ : Measure α), μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {x}) ∂m = ∫⁻ (μ : Measure α), ⨆ n, ∑ x ∈ (SimpleFunc.eapprox f n).range, x * μ (↑(SimpleFunc.eapprox f n) ⁻¹' {x}) ∂m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f✝ : α → ℝ≥0∞
hf✝ : Measurable f✝
s : ℕ → Finset ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ≥0∞), Measurable (f n r)
hm : Monotone fun n μ => ∑ r ∈ s n, r * f n r μ

⊢ ⨆ n, ∑ r ∈ s n, r * ∫⁻ (μ : Measure α), f n r μ ∂m = ∫⁻ (μ : Measure α), ⨆ n, ∑ r ∈ s n, r * f n r μ ∂m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f✝ : α → ℝ≥0∞
hf✝ : Measurable f✝
s : ℕ → Finset ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ≥0∞), Measurable (f n r)
hm : Monotone fun n μ => ∑ r ∈ s n, r * f n r μ

⊢ ⨆ n, ∑ r ∈ s n, r * ∫⁻ (μ : Measure α), f n r μ ∂m = ⨆ n, ∫⁻ (a : Measure α), ∑ r ∈ s n, r * f n r a ∂m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f✝ : α → ℝ≥0∞
hf✝ : Measurable f✝
s : ℕ → Finset ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ≥0∞), Measurable (f n r)
hm : Monotone fun n μ => ∑ r ∈ s n, r * f n r μ

⊢ ∀ (n : ℕ), Measurable fun μ => ∑ r ∈ s n, r * f n r μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f✝ : α → ℝ≥0∞
hf✝ : Measurable f✝
s : ℕ → Finset ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ≥0∞), Measurable (f n r)
hm : Monotone fun n μ => ∑ r ∈ s n, r * f n r μ

⊢ (fun n => ∑ r ∈ s n, r * ∫⁻ (μ : Measure α), f n r μ ∂m) = fun n => ∫⁻ (a : Measure α), ∑ r ∈ s n, r * f n r a ∂m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f✝ : α → ℝ≥0∞
hf✝ : Measurable f✝
s : ℕ → Finset ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ≥0∞), Measurable (f n r)
hm : Monotone fun n μ => ∑ r ∈ s n, r * f n r μ
n : ℕ

⊢ ∑ r ∈ s n, r * ∫⁻ (μ : Measure α), f n r μ ∂m = ∫⁻ (a : Measure α), ∑ r ∈ s n, r * f n r a ∂m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f✝ : α → ℝ≥0∞
hf✝ : Measurable f✝
s : ℕ → Finset ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ≥0∞), Measurable (f n r)
hm : Monotone fun n μ => ∑ r ∈ s n, r * f n r μ
n : ℕ

⊢ ∑ r ∈ s n, r * ∫⁻ (μ : Measure α), f n r μ ∂m = ∑ b ∈ s n, ∫⁻ (a : Measure α), b * f n b a ∂m
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
m : Measure (Measure α)
f✝ : α → ℝ≥0∞
hf✝ : Measurable f✝
s : ℕ → Finset ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞ → Measure α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ) (r : ℝ≥0∞), Measurable (f n r)
hm : Monotone fun n μ => ∑ r ∈ s n, r * f n r μ
n : ℕ

⊢ ∀ b ∈ s n, Measurable fun a => b * f n b a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ

⊢ ∫⁻ (a : α), ↑((f * g) a) ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), ↑(f a) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑(g a) ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/MeanInequalities.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
f g : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ

⊢ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) * ↑(g a) ∂μ ≤ (∫⁻ (a : α), ↑(f a) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) * (∫⁻ (a : α), ↑(g a) ^ q ∂μ) ^ (1 / q)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0

⊢ f.eraseLead.leadingCoeff = f.nextCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
this : 0 < f.natDegree

⊢ f.eraseLead.leadingCoeff = f.nextCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
h : f.nextCoeff ≠ 0
this : 0 < f.natDegree

⊢ ¬f.natDegree = 0
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F✝ : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F✝
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F✝
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F✝
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
F : Type u_10
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕝₂ F
inst✝ : TopologicalSpace E
p : ι → Seminorm 𝕝 E
hp : WithSeminorms p
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : ∃ s C, (normSeminorm 𝕝₂ F).comp f ≤ C • s.sup p

⊢ Continuous ⇑f
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F✝ : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : AddCommGroup E
inst✝¹⁴ : Module 𝕜 E
inst✝¹³ : NormedField 𝕝
inst✝¹² : Module 𝕝 E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝¹⁰ : AddCommGroup F✝
inst✝⁹ : Module 𝕜₂ F✝
inst✝⁸ : NormedField 𝕝₂
inst✝⁷ : Module 𝕝₂ F✝
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ₁₂
τ₁₂ : 𝕝 →+* 𝕝₂
inst✝⁵ : RingHomIsometric τ₁₂
inst✝⁴ : Nonempty ι
inst✝³ : Nonempty ι'
F : Type u_10
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕝₂ F
inst✝ : TopologicalSpace E
p : ι → Seminorm 𝕝 E
hp : WithSeminorms p
f : E →ₛₗ[τ₁₂] F
hf : IsBounded p (fun x => normSeminorm 𝕝₂ F) f

⊢ Continuous ⇑f
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰
x✝ : x * r ∣ y * r
z : R'
h✝ : y * r = x * r * z

⊢ y = x * z
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀ : Type u_1
inst✝⁵ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁴ : MonoidWithZero M
inst✝³ : MonoidWithZero M'
inst✝² : CommMonoidWithZero M₁
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CommRing R'
x y r : R'
hr : r ∈ R'⁰
x✝ : x ∣ y
z : R'
h : y = x * z

⊢ y * r = x * r * z
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/PartialFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2

⊢ PartialFun ⥤ Pointed
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
U : Set ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace
hU : _root_.IsOpen U

⊢ _root_.IsOpen (⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
U : Set ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace
hU : _root_.IsOpen U

⊢ ∀ x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U, ∃ t ⊆ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U, _root_.IsOpen t ∧ x ∈ t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
U : Set ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace
hU : _root_.IsOpen U
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U

⊢ ∃ t ⊆ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U, _root_.IsOpen t ∧ x ∈ t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
U : Set ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace
hU : ∀ (i : 𝒰.gluedCover.J), _root_.IsOpen (⇑(𝒰.gluedCover.ι i).val.base ⁻¹' U)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U

⊢ ∃ t ⊆ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U, _root_.IsOpen t ∧ x ∈ t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
U : Set ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace
hU : ∀ (i : 𝒰.gluedCover.J), _root_.IsOpen (⇑(𝒰.gluedCover.ι i).val.base ⁻¹' U)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U

⊢ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∩ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base ⊆ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∧ _root_.IsOpen (⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∩ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base) ∧ x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∩ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Gluing.lean
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
U : Set ↑↑𝒰.gluedCover.glued.toPresheafedSpace
hU : ∀ (i : 𝒰.gluedCover.J), _root_.IsOpen (⇑(𝒰.gluedCover.ι i).val.base ⁻¹' U)
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
hx : x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U

⊢ _root_.IsOpen (⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∩ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base) ∧ x ∈ ⇑𝒰.fromGlued.val.base '' U ∩ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
S : Finset ι
p : ι → Ideal R
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)

⊢ ⨆ i, torsionBySet R M ↑(p ↑i) = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
S : Finset ι
p : ι → Ideal R
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
hM : Module.IsTorsionBySet R M ↑(⨅ i ∈ S, p i)

⊢ ⨆ t ∈ ↑S, torsionBySet R M ↑(p t) = ⊤
-- Mathlib/Data/Finset/Grade.lean
α : Type u_1
s : Multiset α
a✝ a : α

⊢ s ⋖ a ::ₘ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
s : Finset V
hs : s.Nonempty
lin_ind : LinearIndependent K Subtype.val
card_eq : s.card = finrank K V

⊢ ⇑(basisOfLinearIndependentOfCardEqFinrank lin_ind ⋯) = Subtype.val
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α

⊢ ∂ (a ⊔ b) ≤ ∂ a ⊔ ∂ b
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α

⊢ a ⊓ ￢(a ⊔ b) ⊔ b ⊓ ￢(a ⊔ b) ≤ ∂ a ⊔ ∂ b
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (x + z) s

⊢ StarConvex 𝕜 x ((fun x => x + z) ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 (z + x) s

⊢ StarConvex 𝕜 x ((fun x => x + z) ⁻¹' s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Products/Bifunctor.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F : C × D ⥤ E
X Y Z : C
W : D
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ F.map (f ≫ g, 𝟙 W) = F.map (f, 𝟙 W) ≫ F.map (g, 𝟙 W)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/EquivalencePseudoabelian.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : IsIdempotentComplete C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : ChainComplex C ℕ
i✝ : ℕ

⊢ (N₂.map (isoΓ₀.hom.app X)).f.f i✝ = PInfty.f i✝
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
c : ℝ
hc : 0 < c

⊢ ℙ {ω | c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} ≤ ENNReal.ofReal (variance X ℙ / c ^ 2)
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
c : ℝ
hc : 0 < c

⊢ ℙ {ω | c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} ≤ evariance X ℙ / ENNReal.ofReal (c ^ 2)
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
c : ℝ
hc : 0 < c

⊢ ℙ {ω | c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} = ℙ {ω | ↑c.toNNReal ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|}
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝¹ : MeasureSpace Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure ℙ
X : Ω → ℝ
hX : Memℒp X 2 ℙ
c : ℝ
hc : 0 < c

⊢ evariance X ℙ / ENNReal.ofReal (c ^ 2) = evariance X ℙ / ↑c.toNNReal ^ 2
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q a b c : ℚ
n₁ : ℤ
d₁ : ℕ
h₁ : d₁ ≠ 0
n₂ : ℤ
d₂ : ℕ
h₂ : d₂ ≠ 0
n₃ : ℤ
d₃ : ℕ
h₃ : d₃ ≠ 0

⊢ n₁ /. ↑d₁ * (n₂ /. ↑d₂) * (n₃ /. ↑d₃) = n₁ /. ↑d₁ * (n₂ /. ↑d₂ * (n₃ /. ↑d₃))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ

⊢ (bind₁ (wittStructureInt p Φ)) (W_ ℤ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ

⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ (wittStructureInt p Φ)) (W_ ℤ n)) = (map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ
this : (bind₁ (wittStructureRat p ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ))) (W_ ℚ n) = (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ n)) ((map (Int.castRingHom ℚ)) Φ)

⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ (wittStructureInt p Φ)) (W_ ℤ n)) = (map (Int.castRingHom ℚ)) ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n)) Φ)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x : A
hx : x ∈ carrier f_deg q

⊢ ∀ (c : A), c • x ∈ carrier f_deg q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x : A
hx : x ∈ carrier f_deg q

⊢ 0 • x ∈ carrier f_deg q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x : A
hx : x ∈ carrier f_deg q

⊢ ∀ {i : ℕ} (m_1 : ↥(𝒜 i)), ↑m_1 • x ∈ carrier f_deg q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
x : A
hx : x ∈ carrier f_deg q

⊢ ∀ (m_1 m' : A), m_1 • x ∈ carrier f_deg q → m' • x ∈ carrier f_deg q → (m_1 + m') • x ∈ carrier f_deg q
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
U : Set (α × α)
hs : Dense s
hU : U ∈ 𝓤 α

⊢ ⋃ x ∈ s, ball x U = univ
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
U : Set (α × α)
hs : Dense s
hU : U ∈ 𝓤 α
y : α

⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), y ∈ ball i U
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set α
U : Set (α × α)
hs : Dense s
hU : U ∈ 𝓤 α
y x : α
hxs : x ∈ s
hxy : (x, y) ∈ U

⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ s), y ∈ ball i U
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
z : ℤ

⊢ |x - ↑(round x)| ≤ |x - ↑z|
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
z : ℤ

⊢ fract x ≤ |x - ↑z| ∨ 1 - fract x ≤ |x - ↑z|
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
z : ℤ
hx : ↑z ≤ x

⊢ fract x ≤ |x - ↑z|
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
x : α
z : ℤ
hx : x < ↑z

⊢ 1 - fract x ≤ |x - ↑z|
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/LIntegral.lean
G : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ≥0∞
g : G

⊢ ∫⁻ (x : G), f (g * x) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/LIntegral.lean
G : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ≥0∞
g : G

⊢ μ = map (⇑(MeasurableEquiv.mulLeft g)) μ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
h : ∀ (v : E), ⟪v, x⟫_𝕜 = ⟪v, y⟫_𝕜

⊢ x = y
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ volume (Metric.closedBall a r) = ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ι → ℝ
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ ofReal (2 * r) ^ Finset.univ.card = ofReal ((2 * r) ^ Fintype.card ι)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞

⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContMDiffWithinAt I I' (↑m) f s x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
h : ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ n → ContMDiffWithinAt I I' (↑m) f s x

⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝³ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝² : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
inst✝ : Fintype Γ
S : Finset Λ
ss : Supports M S
q : Λ'
h : q ∈ trSupp M S

⊢ SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝³ : Inhabited Γ
Λ : Type u_2
inst✝² : Inhabited Λ
σ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited σ
n : ℕ
enc : Γ → Vector Bool n
dec : Vector Bool n → Γ
enc0 : enc default = Vector.replicate n false
M : Λ → Stmt₁
encdec : ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a
inst✝ : Fintype Γ
S : Finset Λ
ss : Supports M S
q : Λ'
h : q ∈ trSupp M S

⊢ ∀ (q : Stmt₁), SupportsStmt S q → (∀ q' ∈ writes q, q' ∈ trSupp M S) → SupportsStmt (trSupp M S) (trNormal dec q) ∧ ∀ q' ∈ writes q, SupportsStmt (trSupp M S) (tr enc dec M q')
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝² : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ k)
hk : 2 ≤ k
H : IsCyclotomicExtension {2 ^ k} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (2 ^ k) K)

⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = 2
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : CommRing B
inst✝⁴ : Algebra A B
inst✝³ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝² : Field L
ζ : L
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (2 ^ k)
hk : 2 ≤ k
H : IsCyclotomicExtension {2 ^ k} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (2 ^ k) K)
this : 2 < 2 ^ k

⊢ (Algebra.norm K) (ζ - 1) = 2