ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z

⊢ (algebraMap K E) ((Algebra.norm K) (ζ - 1)) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this✝ : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z
this : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L

⊢ (algebraMap K E) ((Algebra.norm K) (ζ - 1)) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this✝¹ : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z
this✝ : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L
this : IsGalois K L := isGalois n K L

⊢ (algebraMap K E) ((Algebra.norm K) (ζ - 1)) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this✝¹ : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z
this✝ : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L
this : IsGalois K L := isGalois n K L

⊢ ∏ σ : L →ₐ[K] E, σ (ζ - 1) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this✝¹ : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z
this✝ : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L
this : IsGalois K L := isGalois n K L

⊢ ∏ x : L →ₐ[K] E, -1 * (1 - x ζ) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this✝¹ : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z
this✝ : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L
this : IsGalois K L := isGalois n K L

⊢ ∏ x : L →ₐ[K] E, (1 - x ζ) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this✝¹ : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z
this✝ : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L
this : IsGalois K L := isGalois n K L
Hprod : ∏ σ : L →ₐ[K] E, (1 - σ ζ) = eval 1 (cyclotomic' (↑n) E)

⊢ ∏ x : L →ₐ[K] E, (1 - x ζ) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
p n : ℕ+
A : Type w
B : Type z
K : Type u
L : Type v
C : Type w
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B
inst✝³ : Field L
ζ : L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {n} K L
h : 2 < ↑n
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑n) K)
this✝² : NeZero ↑↑n
E : Type v := AlgebraicClosure L
z : E
hz : (cyclotomic (↑n) E).IsRoot z
this✝¹ : FiniteDimensional K L := finiteDimensional {n} K L
this✝ : IsGalois K L := isGalois n K L
Hprod : ∏ σ : L →ₐ[K] E, (1 - σ ζ) = eval 1 (cyclotomic' (↑n) E)
this : NeZero ↑↑n

⊢ ∏ x : L →ₐ[K] E, (1 - x ζ) = (algebraMap K E) ↑(eval 1 (cyclotomic ↑n ℤ))
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
x y : S
d : ℕ
hd : d ≠ 0

⊢ y ∈ Submodule.span R (Set.range fun i => x ^ ↑i) ↔ ∃ f, f.natDegree < d ∧ y = (aeval x) f
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : IsDomain B
inst✝¹ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝ : Field K
x y : S
d : ℕ
hd : d ≠ 0

⊢ (∃ f, f.degree < ↑d ∧ y = (aeval x) f) ↔ ∃ f, f.natDegree < d ∧ y = (aeval x) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f : α → β
μ : ι → Measure α
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (μ i) s ≤ (sum μ) s
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b c : α
u₁ u₂ : αˣ

⊢ ↑(u₁ / u₂) = ↑u₁ /ₚ u₂
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x y✝ : G
n m : ℕ
inst✝ : Monoid β
y : β
hx : IsOfFinOrder x
h : orderOf y ∣ orderOf x

⊢ IsOfFinOrder y
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Monoid G
a b x y✝ : G
n m : ℕ
inst✝ : Monoid β
y : β
hx : 0 < orderOf x
h : orderOf y ∣ orderOf x

⊢ 0 < orderOf y
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
hf : ∀ (x : X), f x ∈ 𝓝 x

⊢ ∃ s, s.Countable ∧ ⋃ x ∈ s, f x = univ
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
hf : ∀ (x : X), f x ∈ 𝓝[univ] x

⊢ ∃ s, s.Countable ∧ ⋃ x ∈ s, f x = univ
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
f : X → Set X
hf : ∀ (x : X), f x ∈ 𝓝[univ] x
s : Set X
hsc : s.Countable
hsU : univ ⊆ ⋃ x ∈ s, f x

⊢ ∃ s, s.Countable ∧ ⋃ x ∈ s, f x = univ
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Partition.lean
n✝ : ℕ
σ : Type u_1
τ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : DecidableEq τ
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ (indiscrete n).parts = {n}
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : (a : Prop) → Decidable a

⊢ HasSum (fun n => if ↑n + a = 0 then 0 else rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) (evenKernel (↑a) t - if ↑a = 0 then 1 else 0)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a t : ℝ
ht : 0 < t
this : (a : Prop) → Decidable a

⊢ HasSum (fun n => if ↑n + a = 0 then 0 else rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * t)) (evenKernel (↑a) t - if ∃ n, ↑n = a then 1 else 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
y : Q ⊗[R] N

⊢ (inverse Q hfg hg) ((lTensor Q g) y) = Submodule.Quotient.mk y
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
h1 : 1 ∈ T
hg : g ∈ S

⊢ ↑(hST.equiv g).2 = ↑⟨1, h1⟩
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
o : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x✝ : m
m✝ : n →₀ ℕ

⊢ coeff m✝ (toMvPolynomial 0 x✝) = coeff m✝ (0 x✝)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ

⊢ n ≤ n.sqrt * n.sqrt + n.sqrt + n.sqrt
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ

⊢ n ≤ n.sqrt.succ * n.sqrt + n.sqrt
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ToNat.lean
α : Type u
c d : Cardinal.{u}

⊢ toNat c = 0 ↔ c = 0 ∨ ℵ₀ ≤ c
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p : α → Prop
q : β → Prop

⊢ of p = of q ↔ ManyOneEquiv p q
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p : α → Prop
q : β → Prop

⊢ Setoid.r (toNat p) (toNat q) ↔ ManyOneEquiv p q
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G

⊢ s ∈ fixedBy (Set α) g ↔ ∀ (x : α), g • x ∈ s ↔ x ∈ s
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c d : α

⊢ ↑(Ico a b * Icc c d) ⊆ ↑(Ico (a * c) (b * d))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/LocallyRingedSpace.lean
X✝ X : LocallyRingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
f : ↑(X.presheaf.obj (op U))
n : ℕ
hn : f ^ n = 0

⊢ X.toRingedSpace.basicOpen f = ⊥
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
h : a = ⊤ → b = ⊤
h_nnreal : a ≠ ⊤ → b ≠ ⊤ → a.toNNReal ≤ b.toNNReal

⊢ a ≤ b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
h : a = ⊤ → b = ⊤
h_nnreal : a ≠ ⊤ → b ≠ ⊤ → a.toNNReal ≤ b.toNNReal
hlt : b < a

⊢ False
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
b : ℝ≥0
h : a = ⊤ → ↑b = ⊤
h_nnreal : a ≠ ⊤ → ↑b ≠ ⊤ → a.toNNReal ≤ (↑b).toNNReal
hlt : ↑b < a

⊢ False
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b a : ℝ≥0
h : ↑a = ⊤ → ↑b = ⊤
h_nnreal : ↑a ≠ ⊤ → ↑b ≠ ⊤ → (↑a).toNNReal ≤ (↑b).toNNReal
hlt : ↑b < ↑a

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
x✝ : (i : ι) → s i

⊢ ((map fun i => g i ∘ₗ f i).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((map g ∘ₗ map f).compMultilinearMap (tprod R)) x✝
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : OfLocalizationSpanTarget fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
R S : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set S
hs : Ideal.span s = ⊤
hT✝ : ∀ (r : ↑s), ∃ T x x_1, ∃ (_ : IsLocalization.Away (↑r) T), P ((algebraMap S T).comp f)
r : ↑s
T : Type u
w✝² : CommRing T
w✝¹ : Algebra S T
w✝ : IsLocalization.Away (↑r) T
hT : P ((algebraMap S T).comp f)

⊢ P ((algebraMap S (Localization.Away ↑r)).comp f)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f✝ : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : OfLocalizationSpanTarget fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
hP' : RespectsIso fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => P
R S : Type u
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
s : Set S
hs : Ideal.span s = ⊤
hT✝ : ∀ (r : ↑s), ∃ T x x_1, ∃ (_ : IsLocalization.Away (↑r) T), P ((algebraMap S T).comp f)
r : ↑s
T : Type u
w✝² : CommRing T
w✝¹ : Algebra S T
w✝ : IsLocalization.Away (↑r) T
hT : P ((algebraMap S T).comp f)

⊢ (algebraMap S (Localization.Away ↑r)).comp f = (Localization.algEquiv (Submonoid.powers ↑r) T).symm.toRingEquiv.toRingHom.comp ((algebraMap S T).comp f)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
M : Type u
inst✝² : Monoid M
α : Type v
inst✝¹ : MulAction M α
β : Type u_1
inst✝ : MulAction M β
a : α

⊢ (fun m => m • a) 1 = a
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s

⊢ l = generate {U | ∃ i, p i ∧ s i = U}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q p : R[X]
hp : p ≠ 0
s : Multiset R

⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod ∣ p ↔ s ≤ p.roots
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
h : p₁ ≠ p₂

⊢ ∡ p₁ s.center p₂ = ↑π - 2 • ∡ p₂ p₁ s.center
-- Mathlib/Data/Matroid/Sum.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary

⊢ (Matroid.sum' M).Finitary
-- Mathlib/Data/Matroid/Sum.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : ι → Matroid α
h : ∀ (i : ι), (M i).Finitary
this : (Matroid.sigma M).Finitary

⊢ (Matroid.sum' M).Finitary
-- Mathlib/Data/Fintype/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
t : (a : α) → Finset (δ a)
x : (a : α) → δ a

⊢ x ∈ ↑(piFinset t) ↔ x ∈ Set.univ.pi fun a => ↑(t a)
-- Mathlib/Data/Fintype/Pi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
γ : α → Type u_2
δ : α → Type u_3
s : (a : α) → Finset (γ a)
t : (a : α) → Finset (δ a)
x : (a : α) → δ a

⊢ x ∈ ↑(piFinset t) ↔ ∀ (i : α), x i ∈ ↑(t i)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Defs.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s

⊢ IsCorner (Prod.map f f '' A) (f x₁) (f y₁) (f x₂) (f y₂) ↔ IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Defs.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)

⊢ IsCorner (Prod.map f f '' A) (f x₁) (f y₁) (f x₂) (f y₂) ↔ IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Defs.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)

⊢ (f x₁, f y₁) ∈ Prod.map f f '' A ∧ (f x₁, f y₂) ∈ Prod.map f f '' A ∧ (f x₂, f y₁) ∈ Prod.map f f '' A ∧ f x₁ + f y₂ = f x₂ + f y₁ ↔ (x₁, y₁) ∈ A ∧ (x₁, y₂) ∈ A ∧ (x₂, y₁) ∈ A ∧ x₁ + y₂ = x₂ + y₁
-- Mathlib/Order/IsWellOrderLimitElement.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
a✝ : α
ha : IsWellOrderLimitElement a✝
inst✝¹ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderBot α
a : α

⊢ a = ⊥ ∨ (∃ b, a = wellOrderSucc b ∧ b < a) ∨ IsWellOrderLimitElement a
-- Mathlib/Order/IsWellOrderLimitElement.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
a✝ : α
ha : IsWellOrderLimitElement a✝
inst✝¹ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderBot α
a : α
h₁ : ¬a = ⊥
h₂ : ¬∃ b, a = wellOrderSucc b ∧ b < a

⊢ IsWellOrderLimitElement a
-- Mathlib/Order/IsWellOrderLimitElement.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
a✝ : α
ha : IsWellOrderLimitElement a✝
inst✝¹ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderBot α
a : α
h₁ : ¬a = ⊥
h₂ : ¬∃ b, a = wellOrderSucc b ∧ b < a
b : α
hb : b < a

⊢ ∃ c, b < c ∧ c < a
-- Mathlib/Order/IsWellOrderLimitElement.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
a : α
ha : IsWellOrderLimitElement a
inst✝¹ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderBot α
b : α
h₁ : ¬wellOrderSucc b = ⊥
h₂ : ¬∃ b_1, wellOrderSucc b = wellOrderSucc b_1 ∧ b_1 < wellOrderSucc b
hb : b < wellOrderSucc b

⊢ ∃ c, b < c ∧ c < wellOrderSucc b
-- Mathlib/Order/IsWellOrderLimitElement.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
a✝ : α
ha : IsWellOrderLimitElement a✝
inst✝¹ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderBot α
a : α
h₁ : ¬a = ⊥
h₂ : ¬∃ b, a = wellOrderSucc b ∧ b < a
b : α
hb : b < a
h₃ : wellOrderSucc b < a

⊢ ∃ c, b < c ∧ c < a
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝¹⁰ : Category.{?u.100947, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{?u.100951, u_2} D
inst✝⁸ : Category.{?u.100955, u_3} E
inst✝⁷ : Category.{?u.100959, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : HasShift D A
inst✝⁴ : HasShift E A
inst✝³ : HasShift E' A
F G✝ H : SingleFunctors C D A
G G' : D ⥤ E
e : G ≅ G'
inst✝² : G.CommShift A
inst✝¹ : G'.CommShift A
inst✝ : NatTrans.CommShift e.hom A
n a a' : A
ha' : n + a = a'
X : C

⊢ ((F.postcomp G).shiftIso n a a' ha').hom.app X ≫ e.hom.app ((F.functor a).obj X) = (shiftFunctor E n).map (e.hom.app ((F.functor a').obj X)) ≫ ((F.postcomp G').shiftIso n a a' ha').hom.app X
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ g✝ : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
f : Ultrafilter α
g : Filter α

⊢ Disjoint (↑f) g ↔ ¬↑f ≤ g
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → E
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ Integrable (⇑g) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : NormalSpace α
inst✝⁵ : R1Space α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : α → E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal 1) μ

⊢ ∃ g, ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ∂μ ≤ ε ∧ Memℒp (⇑g) (ENNReal.ofReal 1) μ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
l : List (Perm α)
x : α
hx : x ∈ l.prod.support

⊢ ∃ f ∈ l, x ∈ f.support
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
l : List (Perm α)
x : α
hx : ∀ f ∈ l, x ∉ f.support

⊢ x ∉ l.prod.support
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α
l : List (Perm α)
x : α
hx : ∀ f ∈ l, f x = x

⊢ l.prod x = x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ModuleCat.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
x : ↑S.X₁

⊢ S.moduleCatHomologyπ (((ModuleCat.kernelIsLimit S.g).lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)) x) = 0 x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ModuleCat.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
x : ↑S.X₁

⊢ ((ModuleCat.kernelIsLimit S.g).lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)) x ∈ LinearMap.range S.moduleCatToCycles
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ModuleCat.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
x : ↑S.X₁

⊢ ∃ y, S.moduleCatToCycles y = ((ModuleCat.kernelIsLimit S.g).lift (KernelFork.ofι S.f ⋯)) x
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
x✝ : IsUnit 0
a : M₀
a0 : 0 * a = 1
inv_val✝ : a * 0 = 1

⊢ 0 = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h : IntegrableAtFilter f l μ
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)

⊢ a = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h : IntegrableAtFilter f l μ
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h : IntegrableAtFilter f l μ
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖
u : Set α
ul : u ∈ l
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := u ∩ {b | ε < ‖f b‖}

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖
u : Set α
ul : u ∈ l
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := u ∩ {b | ε < ‖f b‖}
hv : IntegrableOn f v μ

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
h' : ∀ s ∈ l, μ s = ⊤
a : E
hf : Tendsto f l (𝓝 a)
H : ¬a = 0
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : ε < ‖a‖
u : Set α
ul : u ∈ l
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := u ∩ {b | ε < ‖f b‖}
hv : IntegrableOn f v μ
vl : v ∈ l

⊢ False