ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T3Space X
x y : X
h : x ≠ y
U₁ U₂ : Set X
U₁_op : IsOpen U₁
U₂_op : IsOpen U₂
x_in : x ∈ U₁
y_in : y ∈ U₂
H : Disjoint U₁ U₂
V₁ : Set X
V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 x
V₁_closed : IsClosed V₁
h₁ : V₁ ⊆ U₁

⊢ ∃ U₁ ∈ 𝓝 x, ∃ V₁ ∈ 𝓝 x, ∃ U₂ ∈ 𝓝 y, ∃ V₂ ∈ 𝓝 y, IsClosed V₁ ∧ IsClosed V₂ ∧ IsOpen U₁ ∧ IsOpen U₂ ∧ V₁ ⊆ U₁ ∧ V₂ ⊆ U₂ ∧ Disjoint U₁ U₂
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T3Space X
x y : X
h : x ≠ y
U₁ U₂ : Set X
U₁_op : IsOpen U₁
U₂_op : IsOpen U₂
x_in : x ∈ U₁
y_in : y ∈ U₂
H : Disjoint U₁ U₂
V₁ : Set X
V₁_in : V₁ ∈ 𝓝 x
V₁_closed : IsClosed V₁
h₁ : V₁ ⊆ U₁
V₂ : Set X
V₂_in : V₂ ∈ 𝓝 y
V₂_closed : IsClosed V₂
h₂ : V₂ ⊆ U₂

⊢ ∃ U₁ ∈ 𝓝 x, ∃ V₁ ∈ 𝓝 x, ∃ U₂ ∈ 𝓝 y, ∃ V₂ ∈ 𝓝 y, IsClosed V₁ ∧ IsClosed V₂ ∧ IsOpen U₁ ∧ IsOpen U₂ ∧ V₁ ⊆ U₁ ∧ V₂ ⊆ U₂ ∧ Disjoint U₁ U₂
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedRing 𝕝
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕝 E
inst✝ : TopologicalSpace E
p : Seminorm 𝕝 E
hp : Continuous ⇑p
r : ℝ
hr : 0 < r
this : Tendsto (⇑p) (𝓝 0) (𝓝 0)

⊢ p.ball 0 r ∈ 𝓝 0
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f g : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α

⊢ ∀ (x : β), p x ∧ q x → p x
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f g : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α

⊢ ∀ (x : β), p x ∧ q x → q x
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
m n : ℕ

⊢ ↑m < ↑n ↔ m < n
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
n : ℕ

⊢ (2 * n + 1).choose n ≤ 4 ^ n
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
n : ℕ
t : (2 * n + 1).choose n ≤ ∑ i ∈ range (n + 1), (2 * n + 1).choose i

⊢ (2 * n + 1).choose n ≤ 4 ^ n
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ Integrable (fun x => ((κ x) s).toReal) μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
x : α

⊢ ‖((κ x) s).toReal‖ ≤ (IsFiniteKernel.bound κ).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
κ : Kernel α β
inst✝ : IsFiniteKernel κ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
x : α

⊢ (κ x) s ≤ IsFiniteKernel.bound κ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ ℵ₀ * ↑n = ℵ₀
-- Mathlib/Data/W/Cardinal.lean
α : Type u
β✝ : α → Type v
β : α → Type u
inst✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)

⊢ max (lift.{u, u} #α) ℵ₀ = max #α ℵ₀
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a✝ b c✝ d a c : G₀
hb : b ≠ 0
hd : d ≠ 0
h : a / b = c / d

⊢ a * d = c * b
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
a✝ : α
b✝ : β
h₀ : ∀ (b : β), Monotone (swap f b)
h₁ : ∀ (a : α), Antitone (f a)
a : α
ha : a ∈ upperBounds s
b : β
hb : b ∈ lowerBounds t

⊢ BddAbove (image2 f s t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : Cocone F
α : Type u
f : Quot F → α
hc : IsColimit c
x : Quot F

⊢ hc.desc (toCocone f) (desc c x) = f x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : Cocone F
α : Type u
f : Quot F → α
hc : IsColimit c
j : J
y : F.obj j

⊢ hc.desc (toCocone f) (desc c (ι F j y)) = f (ι F j y)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hm : m = rootMultiplicity t p

⊢ eval t ((⇑derivative)^[m] p) = m.factorial • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ m)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hm : m = rootMultiplicity t p

⊢ eval t ((⇑derivative)^[m] ((X - C t) ^ m * (p /ₘ (X - C t) ^ m))) = m.factorial • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ m)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hm : m = rootMultiplicity t p

⊢ eval t (m.choose 0 • ((⇑derivative)^[m - 0] ((X - C t) ^ m) * (⇑derivative)^[0] (p /ₘ (X - C t) ^ m))) = m.factorial • eval t (p /ₘ (X - C t) ^ m)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
m : ℕ := rootMultiplicity t p
hm : m = rootMultiplicity t p

⊢ ∀ b ∈ range m.succ, b ≠ 0 → eval t (m.choose b • ((⇑derivative)^[m - b] ((X - C t) ^ m) * (⇑derivative)^[b] (p /ₘ (X - C t) ^ m))) = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
T : F →L[ℝ] F
hT : (↑T).IsSymmetric
x₀ : F

⊢ HasStrictFDerivAt T.reApplyInnerSelf (2 • (innerSL ℝ) (T x₀)) x₀
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
T : F →L[ℝ] F
hT : (↑T).IsSymmetric
x₀ : F
e_7✝ : Real.normedAddCommGroup = NonUnitalNormedRing.toNormedAddCommGroup
he✝ : InnerProductSpace.toNormedSpace = NormedAlgebra.toNormedSpace'

⊢ 2 • (innerSL ℝ) (T x₀) = (fderivInnerCLM ℝ (T x₀, id x₀)).comp (T.prod (ContinuousLinearMap.id ℝ F))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
T : F →L[ℝ] F
hT : (↑T).IsSymmetric
x₀ : F
e_7✝ : Real.normedAddCommGroup = NonUnitalNormedRing.toNormedAddCommGroup
he✝ : InnerProductSpace.toNormedSpace = NormedAlgebra.toNormedSpace'
y : F

⊢ (2 • (innerSL ℝ) (T x₀)) y = ((fderivInnerCLM ℝ (T x₀, id x₀)).comp (T.prod (ContinuousLinearMap.id ℝ F))) y
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R

⊢ (C a).degree = (C a * T 0).degree
-- Mathlib/RingTheory/Flat/EquationalCriterion.lean
R M : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Flat R M
K N : Type u
inst✝⁶ : AddCommGroup K
inst✝⁵ : Module R K
inst✝⁴ : Finite R K
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Free R N
inst✝ : Finite R N
f : K →ₗ[R] N
x : N →ₗ[R] M
h : x ∘ₗ f = 0
this : ∀ (K' : Submodule R K), K'.FG → ∃ κ x_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ K' ≤ ker (a ∘ₗ f)

⊢ ∃ κ x_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ a ∘ₗ f = 0
-- Mathlib/RingTheory/Flat/EquationalCriterion.lean
R M : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Flat R M
K N : Type u
inst✝⁶ : AddCommGroup K
inst✝⁵ : Module R K
inst✝⁴ : Finite R K
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Free R N
inst✝ : Finite R N
f : K →ₗ[R] N
x : N →ₗ[R] M
h : x ∘ₗ f = 0
this : ∀ (K' : Submodule R K), K'.FG → ∃ κ x_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ K' ≤ ker (a ∘ₗ f)
x✝³ : Type u
x✝² : Fintype x✝³
x✝¹ : N →ₗ[R] x✝³ →₀ R
x✝ : (x✝³ →₀ R) →ₗ[R] M

⊢ x✝¹ ∘ₗ f = 0 ↔ ⊤ ≤ ker (x✝¹ ∘ₗ f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y : R
h : W.Equation x y

⊢ Equation (WeierstrassCurve.map W f) (f x) (f y)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x y : R
h : W.Equation x y

⊢ f (evalEval x y W.polynomial) = f 0
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
R : Type u₁
inst✝³ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CharP R p
S : Type u₂
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CharP S p
φ : R →+* S
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ

⊢ (fun n => φ ((coeff R p n) f)) (n + 1) ^ p = (fun n => φ ((coeff R p n) f)) n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Misc.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R
hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin (n + 1), M i j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)

⊢ (M.submatrix id j₁.succAbove).det = (↑↑j₁ - ↑↑j₂).negOnePow • (M.submatrix id j₂.succAbove).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Misc.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R
hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin (n + 1), M i j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)

⊢ ∑ j : Fin (n + 1), Mᵀ j = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Misc.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
M : Matrix (Fin n) (Fin (n + 1)) R
hv : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin (n + 1), M i j = 0
j₁ j₂ : Fin (n + 1)
x✝ : Fin n

⊢ (∑ j : Fin (n + 1), Mᵀ j) x✝ = 0 x✝
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}

⊢ c ^< ℵ₀ ≤ max c ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c

⊢ c ^< ℵ₀ ≤ max c ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀

⊢ c ^< ℵ₀ ≤ max c ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀

⊢ ∀ x < ℵ₀, c ^ x ≤ max c ℵ₀
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n x✝² x✝¹ x✝ : ℕ
hk : x✝ ≤ x✝¹

⊢ x✝² <<< (x✝¹ - x✝) = x✝² <<< x✝¹ >>> x✝
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
K : α
H : ∀ (i : ℕ), |↑f i| < K
i : ℕ
x✝ : i ≥ 0

⊢ 1 ≤ ↑(const (K + 1) - f) i
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
K : α
H : ∀ (i : ℕ), |↑f i| < K
i : ℕ
x✝ : i ≥ 0

⊢ ↑f i ≤ K
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set X

⊢ IsClosed sᶜ ↔ IsOpen s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J

⊢ (pullbackP1Iso 𝒰 f g i).hom ≫ Multicoequalizer.π (gluing 𝒰 f g).diagram i = pullback.fst (p1 𝒰 f g) (𝒰.map i)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
C : ℕ
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu_strict : StrictMono u
hC_nonzero : C ≠ 0
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

⊢ (Summable fun k => (↑(u (k + 1)) - ↑(u k)) * f (u k)) ↔ Summable f
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
C : ℕ
u : ℕ → ℕ
f : ℕ → ℝ≥0
hf : ∀ ⦃m n : ℕ⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m
h_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu_strict : StrictMono u
hC_nonzero : C ≠ 0
h_succ_diff : SuccDiffBounded C u

⊢ ∑' (b : ℕ), ↑(↑(u (b + 1)) - ↑(u b)) * ↑(f (u b)) = ⊤ ↔ ∑' (b : ℕ), ↑(f b) = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν κ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite κ
hμν : μ ≪ ν

⊢ μ.rnDeriv ν * ν.rnDeriv κ =ᶠ[ae κ] μ.rnDeriv κ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν κ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite κ
hμν : μ ≪ ν

⊢ AEMeasurable (μ.rnDeriv ν) κ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν κ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite κ
hμν : μ ≪ ν

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂ν, μ.rnDeriv ν x ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν κ : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite κ
hμν : μ ≪ ν

⊢ (ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).rnDeriv κ =ᶠ[ae κ] μ.rnDeriv κ
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Finset α
a : α

⊢ mulRothNumber (map (mulRightEmbedding a) s) = mulRothNumber s
-- Mathlib/Algebra/Homology/Opposite.lean
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.51124, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X✝ Y✝ : HomologicalComplex V c.symm
f : X✝ ⟶ Y✝
i j : ι
x✝ : c.Rel i j

⊢ (fun i => (f.f i).op) i ≫ X✝.opSymm.d i j = Y✝.opSymm.d i j ≫ (fun i => (f.f i).op) j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R

⊢ (1 + X • M.map ⇑C).det = 1 + M.trace • X + (1 + X • M.map ⇑C).det.divX.divX * X ^ 2
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R

⊢ (1 + X • M.map ⇑C).det = (1 + X • M.map ⇑C).det.divX * X + C 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ M : Matrix n n R

⊢ 1 = (1 + X • M.map ⇑C).det.coeff 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hgi : IntervalIntegrable g μ a b
hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g
hlt : (μ.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ < ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hgi : IntervalIntegrable g μ a b
hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g
hlt : (μ.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0

⊢ 0 < (μ.restrict (Ioc a b)) (support fun x => g x - f x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hgi : IntervalIntegrable g μ a b
hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g
hlt : (μ.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0

⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] fun x => g x - f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hab : a ≤ b
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hgi : IntervalIntegrable g μ a b
hle : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] g
hlt : (μ.restrict (Ioc a b)) {x | f x < g x} ≠ 0

⊢ Integrable (fun x => g x - f x) (μ.restrict (Ioc a b))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : Small.{u, max u v} ↑F.sections
j j' : J
f : j ⟶ j'

⊢ ((Functor.const J).obj (Shrink.{u, max u v} ↑F.sections)).map f ≫ (fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j' = (fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j ≫ F.map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : Small.{u, max u v} ↑F.sections
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ((Functor.const J).obj (Shrink.{u, max u v} ↑F.sections)).obj j

⊢ (((Functor.const J).obj (Shrink.{u, max u v} ↑F.sections)).map f ≫ (fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j') x = ((fun j u => ↑((equivShrink ↑F.sections).symm u) j) j ≫ F.map f) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z v : ι → E

⊢ (convexHull R) (Set.range v) = {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z v : ι → E

⊢ Set.range v ⊆ {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z v : ι → E

⊢ Convex R {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z v : ι → E

⊢ {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x} ⊆ (convexHull R) (Set.range v)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean

⊢ ↑(0 / 0) = ↑0 / ↑0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n d : PosNum

⊢ ↑(n.div' d) = ↑(pos n) / ↑(pos d)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n d : PosNum

⊢ ↑↑(n.div' d) = ↑(pos n) / ↑(pos d)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n d : PosNum

⊢ -↑(n.div' d) = ↑(pos n) / ↑(neg d)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n d : PosNum

⊢ -↑↑(n.div' d) = ↑(pos n) / ↑(neg d)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n d : PosNum

⊢ -↑(n.pred' / Num.pos d).succ' = -↑n / ↑d
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n d : PosNum

⊢ -↑(↑n.pred' / ↑(Num.pos d) + 1) = -(↑↑n.pred' + 1) / (↑↑d.pred' + 1)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n d : PosNum

⊢ -[↑n.pred' / ↑d+1] = -[↑n.pred' / (↑d.pred' + 1)+1]
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n d : PosNum

⊢ ↑(n.pred' / Num.pos d).succ' = -↑n / -↑d
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n d : PosNum

⊢ ↑(↑n.pred' / ↑(Num.pos d) + 1) = -(↑↑n.pred' + 1) / -(↑↑d.pred' + 1)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n d : PosNum

⊢ ↑(↑n.pred' / ↑d).succ = ↑(↑n.pred' / (↑d.pred' + 1)).succ
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
f : ℂ →ₐ[ℝ] ℂ

⊢ f = AlgHom.id ℝ ℂ ∨ f = ↑conjAe
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
f : ℂ →ₐ[ℝ] ℂ
h : f I = I

⊢ f I = (AlgHom.id ℝ ℂ) I
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
f : ℂ →ₐ[ℝ] ℂ
h : f I = -I

⊢ f I = ↑conjAe I
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q a✝ b✝ c✝ : ℚ
a b c : ℤ
h : ¬c = 0

⊢ (a + b) /. c = a /. c + b /. c
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q a✝ b✝ c✝ : ℚ
a b c : ℤ
h : ¬c = 0

⊢ (a + b) * (c * c) = (a * c + b * c) * c
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g✝ : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hl : l ≤ Henstock
B : ι →ᵇᵃ[↑I] ℝ
hB0 : ∀ (J : Box ι), 0 ≤ B J
g : ι →ᵇᵃ[↑I] F
s : Set (ι → ℝ)
hs : s.Countable
H₁ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I ∩ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε
H₂ : ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → x ∈ Box.Icc J → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
A : l.bHenstock = true

⊢ ∀ (c : ℝ≥0), ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ J ≤ I, Box.Icc J ⊆ Metric.closedBall x δ → (l.bHenstock = true → x ∈ Box.Icc J) → (l.bDistortion = true → J.distortion ≤ c) → dist ((vol J) (f x)) (g J) ≤ ε * B J
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Bilinear.lean
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Submodule R M
t : ι → Submodule R N

⊢ map₂ f s (⨆ i, t i) = ⨆ i, map₂ f s (t i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Bilinear.lean
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
s : Submodule R M
t : ι → Submodule R N

⊢ map₂ f (span R ↑s) (⨆ i, span R ↑(t i)) = ⨆ i, map₂ f (span R ↑s) (span R ↑(t i))
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
R : Type u
S : Type v
S' : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : CommSemiring S'
inst✝² : Algebra S' R
inst✝¹ : Algebra S S'
inst✝ : IsScalarTower S S' R
I : Ideal R

⊢ Submodule.map (Submodule.subtype I) (LinearMap.ker I.toCotangent) = I ^ 2
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ∣ Nat.card G

⊢ ↑P ≠ ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ∣ Nat.card G
h : ↑P = ⊥

⊢ p ∣ 1
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ∣ Nat.card G
h : ↑P = ⊥
key : p ∣ Nat.card ↥↑P

⊢ p ∣ 1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : StarModule R A
s : NonUnitalStarSubalgebra R A

⊢ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R ↑s).toSubalgebra = span R {1} ⊔ s.toSubmodule
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (0 < ↑n / ↑d) = true
h₂ : decide (↑n / ↑d < 1) = true

⊢ Real.log e ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (0 < ↑n / ↑d) = true
h₂ : decide (↑n / ↑d < 1) = true

⊢ Real.log (↑n / ↑d) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (0 < ↑n / ↑d) = true
h₂ : decide (↑n / ↑d < 1) = true
h₁' : 0 < ↑n / ↑d

⊢ Real.log (↑n / ↑d) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h₁ : decide (0 < ↑n / ↑d) = true
h₂ : decide (↑n / ↑d < 1) = true
h₁' : 0 < ↑n / ↑d
h₂' : ↑n / ↑d < 1

⊢ Real.log (↑n / ↑d) ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Ring/BooleanRing.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
f : α →+* β
a b : AsBoolAlg α

⊢ toBoolAlg (f (ofBoolAlg a + ofBoolAlg b + ofBoolAlg a * ofBoolAlg b)) = toBoolAlg (f (ofBoolAlg a)) ⊔ toBoolAlg (f (ofBoolAlg b))