ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hσ : Finite σ
p : Polynomial (MvPolynomial σ R)
hp : ((optionEquivLeft R σ).symm p).IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
k : ℕ
e : σ ≃ Fin k
e' : Option σ ≃ Fin (k + 1) := e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv k).symm
F : MvPolynomial σ R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin k) R := renameEquiv R e
F' : MvPolynomial (Option σ) R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := renameEquiv R e'
φ : MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := F' ((optionEquivLeft R σ).symm p)
hφ : φ.IsHomogeneous n

⊢ (F (p.coeff i)).IsHomogeneous j
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hσ : Finite σ
p : Polynomial (MvPolynomial σ R)
hp : ((optionEquivLeft R σ).symm p).IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
k : ℕ
e : σ ≃ Fin k
e' : Option σ ≃ Fin (k + 1) := e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv k).symm
F : MvPolynomial σ R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin k) R := renameEquiv R e
F' : MvPolynomial (Option σ) R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := renameEquiv R e'
φ : MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := F' ((optionEquivLeft R σ).symm p)
hφ : φ.IsHomogeneous n

⊢ F (p.coeff i) = ((finSuccEquiv R k) φ).coeff i
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hσ : Finite σ
p : Polynomial (MvPolynomial σ R)
hp : ((optionEquivLeft R σ).symm p).IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
k : ℕ
e : σ ≃ Fin k
e' : Option σ ≃ Fin (k + 1) := e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv k).symm
F : MvPolynomial σ R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin k) R := renameEquiv R e
F' : MvPolynomial (Option σ) R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := renameEquiv R e'
φ : MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := F' ((optionEquivLeft R σ).symm p)
hφ : φ.IsHomogeneous n

⊢ (rename ⇑e) (p.coeff i) = ((finSuccEquiv R k) ((rename ⇑e') ((optionEquivLeft R σ).symm p))).coeff i
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hσ : Finite σ
p : Polynomial (MvPolynomial σ R)
hp : ((optionEquivLeft R σ).symm p).IsHomogeneous n
i j : ℕ
h : i + j = n
k : ℕ
e : σ ≃ Fin k
e' : Option σ ≃ Fin (k + 1) := e.optionCongr.trans (_root_.finSuccEquiv k).symm
F : MvPolynomial σ R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin k) R := renameEquiv R e
F' : MvPolynomial (Option σ) R ≃ₐ[R] MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := renameEquiv R e'
φ : MvPolynomial (Fin (k + 1)) R := F' ((optionEquivLeft R σ).symm p)
hφ : φ.IsHomogeneous n

⊢ (rename ⇑e) (p.coeff i) = (Polynomial.map (rename ⇑e).toRingHom p).coeff i
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : s.Nontrivial

⊢ s.einfsep ≠ ⊤
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : s.einfsep = ⊤

⊢ ¬s.Nontrivial
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
hs : s.einfsep = ⊤

⊢ s.Subsingleton
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
l : List α✝
S : α✝ → α✝ → Prop
hR : Pairwise R l
hS : Pairwise S l

⊢ Pairwise (fun a b => R a b ∧ S a b) l
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite

⊢ ∏ᶠ (a : α), ∏ b ∈ s, f a b = ∏ b ∈ s, ∏ᶠ (a : α), f a b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset

⊢ ∏ᶠ (a : α), ∏ b ∈ s, f a b = ∏ b ∈ s, ∏ᶠ (a : α), f a b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset

⊢ ∏ y ∈ s, ∏ x ∈ ⋯.toFinset, f x y = ∏ b ∈ s, ∏ᶠ (a : α), f a b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b✝ : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset
b : β
hb : b ∈ s

⊢ (mulSupport fun x => f x b) ⊆ ↑⋯.toFinset
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a✝ b✝ : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset
b : β
hb : b ∈ s
a : α
ha : a ∈ mulSupport fun x => f x b

⊢ a ∈ ↑⋯.toFinset
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a✝ b✝ : α
s✝ t : Set α
s : Finset β
f : α → β → M
h : ∀ b ∈ s, (mulSupport fun a => f a b).Finite
hU : (mulSupport fun a => ∏ b ∈ s, f a b) ⊆ ↑⋯.toFinset
b : β
hb : b ∈ s
a : α
ha : a ∈ mulSupport fun x => f x b

⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ ↑s), a ∈ mulSupport fun a => f a i
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M'✝
inst✝⁵ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : FiniteDimensional K V
ι : Type u_10
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι K V
i j : ι

⊢ (B ((B.dualBasis hB b) i)) (b j) = if j = i then 1 else 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : Module R M'✝
inst✝⁵ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : FiniteDimensional K V
ι : Type u_10
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι K V
i j : ι
this : FiniteDimensional K V

⊢ (B ((B.dualBasis hB b) i)) (b j) = if j = i then 1 else 0
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
hmt : MeasurableSet t

⊢ μ[|s] t = (μ s)⁻¹ * μ[|t] s * μ t
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
x y : α × β
h₁ : x.1 ≤ y.1
h₂ : x.2 < y.2

⊢ x < y
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : Group α
inst✝² : DivisionMonoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
m : F
s✝ t✝ : Set α
s t : Set β
w✝¹ : α
left✝¹ : w✝¹ ∈ ⇑m ⁻¹' s
w✝ : α
left✝ : w✝ ∈ ⇑m ⁻¹' t

⊢ (fun x x_1 => x / x_1) w✝¹ w✝ ∈ ⇑m ⁻¹' (s / t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfHasFiniteProducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasTerminal C
inst✝ : HasBinaryProducts C
X Y Z : C

⊢ (α_ X Y Z).inv ≫ prod.snd = prod.snd ≫ prod.snd
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : Unique α
f g : α →₀ M
h : f default = g default
a : α

⊢ f a = g a
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
p : ℤ
hp : Prime p
a b c : ℤ
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0

⊢ p ∣ c
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n : ℕ
p : ℤ
hp : Prime p
a b c : ℤ
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b
HF : a ^ 0 + b ^ 0 + c ^ 0 = 0

⊢ p ∣ c
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
p : ℤ
hp : Prime p
a b c : ℤ
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0
hn : n ≠ 0

⊢ p ∣ c
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
p : ℤ
hp : Prime p
a b c : ℤ
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b
HF : a ^ n + b ^ n + c ^ n = 0
hn : n ≠ 0

⊢ p ∣ -c ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NoZeroDivisors α
m n✝ n : ℕ
p : ℤ
hp : Prime p
a b c : ℤ
hpa : p ∣ a
hpb : p ∣ b
HF : a ^ n + b ^ n = -c ^ n
hn : n ≠ 0

⊢ p ∣ -c ^ n
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → SemilatticeInf (π i)
f : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i
j : ι

⊢ update f i (a ⊓ b) j = (update f i a ⊓ update f i b) j
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 ≤ δ
x : E

⊢ thickening ε (Metric.closedBall x δ) = Metric.ball x (ε + δ)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι

⊢ ∫ (v : EuclideanSpace ℝ ι), cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ) = (↑π / b) ^ (↑(Fintype.card ι) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm) volume volume

⊢ ∫ (v : EuclideanSpace ℝ ι), cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, v⟫_ℝ) = (↑π / b) ^ (↑(Fintype.card ι) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm) volume volume

⊢ ∫ (x : ι → ℝ), cexp (-b * ↑‖(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm x‖ ^ 2 + c * ↑⟪w, (EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm x⟫_ℝ) ∂volume = (↑π / b) ^ (↑(Fintype.card ι) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm) volume volume

⊢ ∫ (x : ι → ℝ), cexp (-(b * ↑‖(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm x‖ ^ 2) + c * ↑⟪w, (EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm x⟫_ℝ) ∂volume = (↑π / b) ^ (↑(Fintype.card ι) / 2) * cexp (c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 / (4 * b))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm) volume volume
y : ι → ℝ

⊢ -(b * ↑‖(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm y‖ ^ 2) = -b * ∑ i : ι, ↑(y i) ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm) volume volume
y : ι → ℝ

⊢ c * ↑⟪w, (EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm y⟫_ℝ = ∑ i : ι, c * ↑(w i) * ↑(y i)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
hb : 0 < b.re
c : ℂ
w : EuclideanSpace ℝ ι
this : MeasurePreserving (⇑(EuclideanSpace.measurableEquiv ι).symm) volume volume

⊢ c ^ 2 * ↑‖w‖ ^ 2 = ∑ i : ι, (c * ↑(w i)) ^ 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
f : R →+* S
g : S →+* P
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)
W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top P)
hUV : ∀ p ∈ V, (PrimeSpectrum.comap f) p ∈ U
hVW : ∀ p ∈ W, (PrimeSpectrum.comap g) p ∈ V
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
p : ↥(unop (op W))

⊢ ↑((comap (g.comp f) U W ⋯) s) p = ↑(((comap g V W hVW).comp (comap f U V hUV)) s) p
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
f : R →+* S
g : S →+* P
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top S)
W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top P)
hUV : ∀ p ∈ V, (PrimeSpectrum.comap f) p ∈ U
hVW : ∀ p ∈ W, (PrimeSpectrum.comap g) p ∈ V
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
p : ↥(unop (op W))

⊢ (Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap (g.comp f)) ↑p).asIdeal (↑p).asIdeal (g.comp f) ⋯) (↑s ⟨(PrimeSpectrum.comap (g.comp f)) ↑p, ⋯⟩) = ↑(((comap g V W hVW).comp (comap f U V hUV)) s) p
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.57383, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A A' : C
k : K.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
hk : K.d j i ≫ k = 0
α : A ⟶ A'

⊢ K.d j i ≫ k ≫ α = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A A' : C
k : K.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
hk : K.d j i ≫ k = 0
α : A ⟶ A'

⊢ K.descOpcycles k j hj hk ≫ α = K.descOpcycles (k ≫ α) j hj ⋯
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝¹ : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝ : AddCommMonoid M
s✝ : Multiset M
a✝ : α
a : M
s : Multiset M
ih : single a✝ s.sum = (Multiset.map (single a✝) s).sum

⊢ single a✝ (a ::ₘ s).sum = (Multiset.map (single a✝) (a ::ₘ s)).sum
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/LinearMap.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb✝ hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
x y : Module.End R M
e : (fromEnd R b) x = (fromEnd R b) y
m : M

⊢ x m = y m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/LinearMap.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
R : Type u_3
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
b : ι → M
hb✝ hb : Submodule.span R (Set.range b) = ⊤
x y : Module.End R M
e : (fromEnd R b) x = (fromEnd R b) y
m : ι → R

⊢ x (((Fintype.total R R) b) m) = y (((Fintype.total R R) b) m)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : y ∈ t
H : hausdorffDist s t < r
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤

⊢ ∃ x ∈ s, dist x y < r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : y ∈ t
H : hausdorffDist t s < r
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤

⊢ ∃ x ∈ s, dist x y < r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
r : ℝ
h : y ∈ t
H : hausdorffDist t s < r
fin : hausdorffEdist t s ≠ ⊤

⊢ ∃ x ∈ s, dist x y < r
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M✝ : Type u_2
M'✝ : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'✝
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M✝
inst✝⁸ : Module R M'✝
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'✝
f✝ : M✝ →ₗ[R] M'✝
g : M✝ →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S

⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (-m) s) = -(fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s)
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : ι → α
s t : Set α
f : ι → α
x : α

⊢ range f ⊆ {x} ↔ f = const ι x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
s : Set β

⊢ ContinuousWithinAt f s b ↔ Tendsto (fun x => (f b, f x)) (𝓝[s] b) (𝓤 α)
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → α
g✝ : β → β
x : α × β
a : α
b : β
m n : ℕ
f : α → α
g : β → β
fst✝ : α
snd✝ : β

⊢ ∀ (c : ℕ), minimalPeriod (Prod.map f g) (fst✝, snd✝) ∣ c ↔ (minimalPeriod f (fst✝, snd✝).1).lcm (minimalPeriod g (fst✝, snd✝).2) ∣ c
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/LeftDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ

⊢ (P.isoLeftDerivedObj F n).inv ≫ (F.leftDerived n).map f = (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ) ⋙ HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map φ ≫ (Q.isoLeftDerivedObj F n).inv
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
s : Set X
hs : IsClosed s

⊢ IsGδ s
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
s : Set X
hs : IsClosed s
U : ℕ → Set (X × X)
hUo : ∀ (i : ℕ), U i ∈ 𝓤 X ∧ IsOpen (U i)
hU : (𝓤 X).HasBasis (fun x => True) fun i => id (U i)

⊢ IsGδ s
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
s : Set X
hs : IsClosed s
U : ℕ → Set (X × X)
hUo : ∀ (i : ℕ), U i ∈ 𝓤 X ∧ IsOpen (U i)
hU : (𝓤 X).HasBasis (fun x => True) fun i => id (U i)

⊢ IsGδ (⋂ i, ⋂ (_ : True), ⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x (id (U i)))
-- Mathlib/Topology/GDelta.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝² : TopologicalSpace X✝
X : Type u_5
inst✝¹ : UniformSpace X
inst✝ : (𝓤 X).IsCountablyGenerated
s : Set X
hs : IsClosed s
U : ℕ → Set (X × X)
hUo : ∀ (i : ℕ), U i ∈ 𝓤 X ∧ IsOpen (U i)
hU : (𝓤 X).HasBasis (fun x => True) fun i => id (U i)
n : ℕ
x✝ : n ∈ fun i => True

⊢ IsOpen (⋃ x ∈ s, UniformSpace.ball x (id (U n)))
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/ZeroAtInfty.lean
F✝ : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : PseudoMetricSpace β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : FunLike F✝ α β
inst✝ : ZeroAtInftyContinuousMapClass F✝ α β
C : ℝ
f✝ g : α →C₀ β
ι : Type u_2
F : ι → α →C₀ β
f : α →C₀ β
l : Filter ι

⊢ Tendsto F l (𝓝 f) ↔ TendstoUniformly (fun i => ⇑(F i)) (⇑f) l
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs ys : List α
n : ℕ

⊢ List.sym 1 xs = map (fun x => x ::ₛ Sym.nil) xs
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → β → α
hα : (𝓤 α).HasBasis p s

⊢ UniformEquicontinuous F ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β, ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ s k
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → β → α
hα : (𝓤 α).HasBasis p s

⊢ (∀ (i : κ), p i → ∀ᶠ (x : β × β) in 𝓤 β, ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ (UniformFun.gen ι α ∘ s) i) ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β, ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ s k
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hx : x ∉ periodicPts f

⊢ minimalPeriod f x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ β
p : β → Prop

⊢ (∀ y ∈ f.range, p y) ↔ ∀ (x : α), p (↑f x)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b

⊢ multinomial {a, b} (Function.update (Function.update f a (f a).succ) b (f b).succ) = multinomial {a, b} (Function.update f a (f a).succ) + multinomial {a, b} (Function.update f b (f b).succ)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b

⊢ ((f a).succ + (f b).succ).choose (f a).succ = ((f a).succ + if b = a then (f a).succ else f b).choose (f a).succ + (f a + (f b).succ).choose (f a)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
h : a ≠ b

⊢ ((f a).succ + (f b).succ).choose (f a).succ = ((f a).succ + f b).choose (f a).succ + (f a + (f b).succ).choose (f a)