ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : S →ₐ[R] S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2
x : S
e₁ : (TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift (f x) = (quotientCotangentIdealRingEquiv R S) ((Ideal.Quotient.mk (ideal R S).cotangentIdeal) (f x))

⊢ ((Ideal.Quotient.mkₐ R (ideal R S).cotangentIdeal).comp f) x = (IsScalarTower.toAlgHom R S ((S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2) ⧸ (ideal R S).cotangentIdeal)) x ↔ ((TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift.comp f) x = (AlgHom.id R S) x
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : S →ₐ[R] S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2
x : S
e₁ : (TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift (f x) = (quotientCotangentIdealRingEquiv R S) ((Ideal.Quotient.mk (ideal R S).cotangentIdeal) (f x))
e₂ : x = (quotientCotangentIdealRingEquiv R S) ((IsScalarTower.toAlgHom R S ((S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2) ⧸ (ideal R S).cotangentIdeal)) x)

⊢ ((Ideal.Quotient.mkₐ R (ideal R S).cotangentIdeal).comp f) x = (IsScalarTower.toAlgHom R S ((S ⊗[R] S ⧸ ideal R S ^ 2) ⧸ (ideal R S).cotangentIdeal)) x ↔ ((TensorProduct.lmul' R).kerSquareLift.comp f) x = (AlgHom.id R S) x
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X : Compactum
x : X.A

⊢ (β.η.app X.A ≫ X.a) x = x
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X : Compactum
x : X.A

⊢ 𝟙 X.A x = x
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DistribLattice α
a b✝ c✝ : α
h : ∀ ⦃b c : α⦄, b ⊓ c = a → b = a ∨ c = a
b c : α

⊢ b ⊓ c ≤ a → b ≤ a ∨ c ≤ a
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : DistribLattice α
a b✝ c✝ : α
h : ∀ ⦃b c : α⦄, b ⊓ c = a → b = a ∨ c = a
b c : α

⊢ (a ⊔ b) ⊓ (a ⊔ c) = a → a ⊔ b = a ∨ a ⊔ c = a
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝² : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLinearOrder γ
inst✝ : DenselyOrdered γ
f : α → γ

⊢ LowerSemicontinuousAt f x ↔ f x ≤ liminf f (𝓝 x)
-- Mathlib/Data/Int/Interval.lean
a b : ℤ

⊢ Fintype.card ↑(Set.uIcc a b) = (b - a).natAbs + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Gamma.lean
p q b : ℝ
hp : 1 ≤ p
hq : -2 < q
hb : 0 < b

⊢ ∫ (x : ℂ), ‖x‖ ^ q * rexp (-b * ‖x‖ ^ p) = 2 * π / p * b ^ (-(q + 2) / p) * Real.Gamma ((q + 2) / p)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

⊢ f =O[l] g ↔ ∃ c, IsBigOWith c l f g
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
f g : Cauchy abs

⊢ { cauchy := f / g } = { cauchy := f } / { cauchy := g }
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • s + b • interior s ⊆ interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ b • interior s + a • s ⊆ interior s
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ x y : MvPolynomial σ R
h : Coe.coe x = Coe.coe y
m✝ : σ →₀ ℕ

⊢ coeff m✝ x = coeff m✝ y
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ x y : MvPolynomial σ R
h : Coe.coe x = Coe.coe y
m✝ : σ →₀ ℕ

⊢ (MvPowerSeries.coeff R m✝) ↑x = (MvPowerSeries.coeff R m✝) ↑y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
a : α

⊢ ‖‖a‖‖₊ = ‖a‖₊
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
a : α

⊢ ⟨‖a‖, ⋯⟩ = ‖a‖₊
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ^ (1 - (↑#ι - 1) * p) * ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ p ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ (1 + p)
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h✝ : IsEmpty ((i : ι) → A i)

⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ^ (1 - (↑#ι - 1) * p) * ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ p ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ (1 + p)
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h✝ : Nonempty ((i : ι) → A i)

⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ^ (1 - (↑#ι - 1) * p) * ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ p ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ (1 + p)
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h✝ : Nonempty ((i : ι) → A i)
inhabited_h : Inhabited ((i : ι) → A i)

⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ^ (1 - (↑#ι - 1) * p) * ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ p ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ (1 + p)
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
h✝ : Nonempty ((i : ι) → A i)
inhabited_h : Inhabited ((i : ι) → A i)
H : ∅ ≤ Finset.univ

⊢ ∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ^ (1 - (↑#ι - 1) * p) * ∏ i : ι, (∫⁻ (xᵢ : A i), f (update x i xᵢ) ∂μ i) ^ p ∂Measure.pi μ ≤ (∫⁻ (x : (i : ι) → A i), f x ∂Measure.pi μ) ^ (1 + p)
-- Mathlib/RingTheory/LaurentSeries.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝ : Field K
s : ℕ

⊢ Valued.v ((ofPowerSeries ℤ K) PowerSeries.X ^ s) = ↑(Multiplicative.ofAdd (-↑s))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂c • μ = c * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α

⊢ ‖Aᵀ‖₊ = ‖A‖₊
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α

⊢ (∑ y : m, ∑ x : n, ‖Aᵀ x y‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2) = (∑ i : m, ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)
-- Mathlib/Order/IsWellOrderLimitElement.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < wellOrderSucc b

⊢ a ≤ b
-- Mathlib/Order/IsWellOrderLimitElement.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : IsWellOrder α fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < wellOrderSucc b
this : b < a

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : (𝓝 x).HasBasis p s

⊢ (∀ (i : ι), p i → (s i ∩ t).Nonempty) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∃ y ∈ t, y ∈ s i
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝² : MulZeroClass α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
hb : 0 < b

⊢ 0 < a * b
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Abelian C
A : Type u₁
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝² : Abelian A
inst✝¹ : Abelian B
L : A ⥤ B
inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms
hL : ∀ (S : ShortComplex A), S.Exact → (S.map L).Exact
X✝ Y✝ : A
f : X✝ ⟶ Y✝
hf : Epi f

⊢ Epi (L.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Abelian C
A : Type u₁
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝² : Abelian A
inst✝¹ : Abelian B
L : A ⥤ B
inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms
hL : ∀ (S : ShortComplex A), S.Exact → (S.map L).Exact
X✝ Y✝ : A
f : X✝ ⟶ Y✝
hf : Epi f

⊢ (ShortComplex.mk (L.map f) 0 ⋯).Exact
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Exact.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Abelian C
A : Type u₁
B : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝² : Abelian A
inst✝¹ : Abelian B
L : A ⥤ B
inst✝ : L.PreservesZeroMorphisms
hL : ∀ (S : ShortComplex A), S.Exact → (S.map L).Exact
X✝ Y✝ : A
f : X✝ ⟶ Y✝
hf : Epi f

⊢ (ShortComplex.mk f 0 ⋯).map L ≅ ShortComplex.mk (L.map f) 0 ⋯
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M
inst✝¹³ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹² : CommRing R₁
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M''
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
B : BilinForm R M
B₁✝ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B₁ B₂ : BilinForm K V
b₂ : B₂.Nondegenerate
v w : V

⊢ (B₂ ((B₁.symmCompOfNondegenerate B₂ b₂) w)) v = (B₁ w) v
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p a b c d x y k1 : R
hk1 : a * x + b * y = p * k1
k2 : R
hk2 : c * x + d * y = p * k2

⊢ (a * d - b * c) * x = p * (d * k1 - b * k2)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p a b c d x y k1 : R
hk1 : a * x + b * y = p * k1
k2 : R
hk2 : c * x + d * y = p * k2

⊢ (p * k1 - b * y) * d - (p * k2 - d * y) * b = p * (d * k1 - b * k2)
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c d : α
h : b ≤ c
x : α
hab : x ∈ Ico a b
hbc : x ∈ Ico c d

⊢ False
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c d : α
h : b ≤ c
x : α
hab : a ≤ x ∧ x < b
hbc : c ≤ x ∧ x < d

⊢ False
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n p : ℕ
hp : Nat.Prime p

⊢ IsUnit ↑p ↔ ¬p ∣ n
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
t : Set ι
s : ι → Set α
H : Nonempty α
w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤

⊢ t.Nonempty
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
t : Set ι
s : ι → Set α
H : Nonempty α
w : ⋃ i ∈ t, s i = ⊤
x : ι
m : x ∈ t

⊢ t.Nonempty
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι✝ : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
ι : Type u_2
f : ι → Set α
I : Set ι
x : α

⊢ infEdist x (⋃ i ∈ I, f i) = ⨅ i ∈ I, infEdist x (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ q : α → Prop
inst✝ : Countable ι
p : ι → α → Prop
hp : ∀ (i : ι), Measurable (p i)

⊢ MeasurableSet {a | ∀ (i : ι), p i a}
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ q : α → Prop
inst✝ : Countable ι
p : ι → α → Prop
hp : ∀ (i : ι), Measurable (p i)

⊢ MeasurableSet (⋂ i, {x | p i x})
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
c : R
a : α

⊢ (Finsupp.total α M R v) (single a c) = c • v a
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
e : ℕ
hn : n ∈ factoredNumbers s

⊢ p ^ e * n ∈ factoredNumbers (insert p s)
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
e : ℕ
hn : n ∈ factoredNumbers s
hp' : p ^ e ≠ 0

⊢ p ^ e * n ∈ factoredNumbers (insert p s)
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
e : ℕ
hn : n ∈ factoredNumbers s
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList

⊢ q ∈ insert p s
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
e : ℕ
hn : n ∈ factoredNumbers s
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList
H : q ∈ (p ^ e).primeFactorsList

⊢ q ∈ insert p s
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
p n : ℕ
hp : Prime p
e : ℕ
hn : n ∈ factoredNumbers s
hp' : p ^ e ≠ 0
q : ℕ
hq : q ∈ (p ^ e * n).primeFactorsList
H : q ∈ n.primeFactorsList

⊢ q ∈ insert p s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L

⊢ (∃ I, lieIdealSubalgebra R L I = K) ↔ ∀ (x y : L), y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
K : LieSubalgebra R L

⊢ (∀ (x m : L), m ∈ K.toSubmodule → ⁅x, m⁆ ∈ K.toSubmodule) ↔ ∀ (x y : L), y ∈ K → ⁅x, y⁆ ∈ K
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
h : indexOf a (b :: l) < (b :: l).length

⊢ (b :: l)[indexOf a (b :: l)] = a
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l✝ l' l : List α
hn : l.Nodup

⊢ l.cyclicPermutations.Nodup
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l l' : List α
hn : [].Nodup

⊢ [].cyclicPermutations.Nodup
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l✝ l' l : List α
hn : l.Nodup
hl : l ≠ []

⊢ l.cyclicPermutations.Nodup
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
hw : w ≠ 1

⊢ ∃ i, cs.IsLeftDescent w i
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hw : cs.wordProd ω ≠ 1
h : ω.length = cs.length (cs.wordProd ω)

⊢ ∃ i, cs.IsLeftDescent (cs.wordProd ω) i
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
hw : cs.wordProd ω ≠ 1
h : ω.length = cs.length (cs.wordProd ω)
h₁ : ω ≠ []

⊢ ∃ i, cs.IsLeftDescent (cs.wordProd ω) i
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
ω' : List B
hw : cs.wordProd (i :: ω') ≠ 1
h : (i :: ω').length = cs.length (cs.wordProd (i :: ω'))
h₁ : i :: ω' ≠ []

⊢ ∃ i_1, cs.IsLeftDescent (cs.wordProd (i :: ω')) i_1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
ω' : List B
hw : cs.wordProd (i :: ω') ≠ 1
h : (i :: ω').length = cs.length (cs.wordProd (i :: ω'))
h₁ : i :: ω' ≠ []

⊢ cs.IsLeftDescent (cs.wordProd (i :: ω')) i
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Length.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
i : B
ω' : List B
hw : cs.wordProd (i :: ω') ≠ 1
h : (i :: ω').length = cs.length (cs.wordProd (i :: ω'))
h₁ : i :: ω' ≠ []

⊢ cs.length (cs.wordProd ω') < (i :: ω').length
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
v : V

⊢ AffineIndependent k (v +ᵥ p) ↔ AffineIndependent k p
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : Part α
ha : a.Dom
b : α
h : a.get ha = b

⊢ a = some b
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
i j : ι
hf : ∀ i ∈ s, 1 ≤ f i
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hne : i ≠ j

⊢ f i * f j = ∏ k ∈ cons i {j} ⋯, f k
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
i j : ι
hf : ∀ i ∈ s, 1 ≤ f i
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hne : i ≠ j

⊢ ∏ k ∈ cons i {j} ⋯, f k ≤ ∏ k ∈ s, f k
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
i j : ι
hf : ∀ i ∈ s, 1 ≤ f i
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hne : i ≠ j

⊢ cons i {j} ⋯ ⊆ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s ≤ᶠ[ae μ] s
h_fin : μ s ≠ ⊤

⊢ s =ᶠ[ae μ] ∅ ∨ s =ᶠ[ae μ] univ
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s ≤ᶠ[ae μ] s
h_fin : μ s ≠ ⊤

⊢ f ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : Ergodic f μ
hs : MeasurableSet s
hs' : f ⁻¹' s ≤ᶠ[ae μ] s
h_fin : μ s ≠ ⊤

⊢ MeasurableSet (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : OreSet R⁰
inst✝ : NoZeroDivisors R

⊢ 0⁻¹ = 0
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : OreSet R⁰
inst✝ : NoZeroDivisors R

⊢ (if hr : 0 = 0 then 0 else ↑1 /ₒ ⟨0, ⋯⟩) = 0 /ₒ 1
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f✝ : X → Y
g✝ : Y → Z
f : X → Y
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
g_inj : Injective g
ℱ : Filter X
y : Y
h : MapClusterPt y ℱ f

⊢ ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x ℱ
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f✝ : X → Y
g✝ : Y → Z
f : X → Y
g : Y → Z
hf : Continuous f
hg : Continuous g
hgf : IsProperMap (g ∘ f)
g_inj : Injective g
ℱ : Filter X
y : Y
h : MapClusterPt y ℱ f
x : X
hx1 : (g ∘ f) x = g y
hx2 : ClusterPt x ℱ

⊢ ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x ℱ
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Monoidal.lean
I : Type u
inst✝⁵ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : DecidableEq I
inst✝¹ : HasInitial C
inst✝ : (X₁ : C) → PreservesColimit (Functor.empty C) ((curriedTensor C).obj X₁)
X X' : GradedObject I C
φ : X ⟶ X'

⊢ tensorHom φ (𝟙 tensorUnit) ≫ (rightUnitor X').hom = (rightUnitor X).hom ≫ φ
-- Mathlib/Data/Finset/Preimage.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset β
hf : BijOn f (f ⁻¹' ↑s) ↑s

⊢ ↑(image f (s.preimage f ⋯)) = ↑s
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasImage f✝
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
inst✝² : HasImage f
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasImage g
sq : Arrow.mk f ⟶ Arrow.mk g
inst✝ : HasImageMap sq

⊢ (image.map sq ≫ (imageSubobjectIso (Arrow.mk g).hom).inv) ≫ (imageSubobject (Arrow.mk g).hom).arrow = ((imageSubobjectIso f).inv ≫ imageSubobjectMap sq) ≫ (imageSubobject (Arrow.mk g).hom).arrow
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hf : Injective (f a)

⊢ (image₂ f {a} t).card = t.card
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hX : Measurable X
hY : AEMeasurable Y μ
hf : StronglyMeasurable f
hf_int : Integrable (fun a => f (X a, Y a)) μ

⊢ Integrable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)
-- Mathlib/Algebra/SMulWithZero.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁶ : MonoidWithZero R
inst✝⁵ : MonoidWithZero R'
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : MulActionWithZero R M
inst✝² : Zero M'
inst✝¹ : SMul R M'
p : Prop
inst✝ : Decidable p
a : R
b : M

⊢ (if p then a else 0) • b = if p then a • b else 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Conj.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
f : α →* β
a b : α
c : αˣ
hc : SemiconjBy (↑c) a b

⊢ SemiconjBy (↑((Units.map f) c)) (f a) (f b)
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
s : Set ι
t : Set ι'
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → Set α
h : ¬s.PairwiseDisjoint f

⊢ ∃ i ∈ s, ∃ j ∈ s, i < j ∧ ∃ x, x ∈ f i ∩ f j