ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : IsClosed ↑g.graph

⊢ Continuous ⇑g
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : IsClosed ↑g.graph
this : CompleteSpace ↥g.graph := completeSpace_coe_iff_isComplete.mpr (IsClosed.isComplete hg)

⊢ Continuous ⇑g
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : IsClosed ↑g.graph
this✝ : CompleteSpace ↥g.graph := completeSpace_coe_iff_isComplete.mpr (IsClosed.isComplete hg)
φ₀ : E →ₗ[𝕜] E × F := id.prod g
this : LeftInverse Prod.fst ⇑φ₀

⊢ Continuous ⇑g
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : IsClosed ↑g.graph
this✝ : CompleteSpace ↥g.graph := completeSpace_coe_iff_isComplete.mpr (IsClosed.isComplete hg)
φ₀ : E →ₗ[𝕜] E × F := id.prod g
this : LeftInverse Prod.fst ⇑φ₀
φ : E ≃ₗ[𝕜] ↥g.graph := LinearEquiv.ofLeftInverse this ≪≫ₗ LinearEquiv.ofEq (range φ₀) g.graph ⋯

⊢ Continuous ⇑g
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝¹² : RingHomInvPair σ σ'
inst✝¹¹ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝¹⁰ : RingHomIsometric σ
inst✝⁹ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F✝ : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F✝
f : E →SL[σ] F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
g : E →ₗ[𝕜] F
hg : IsClosed ↑g.graph
this✝ : CompleteSpace ↥g.graph := completeSpace_coe_iff_isComplete.mpr (IsClosed.isComplete hg)
φ₀ : E →ₗ[𝕜] E × F := id.prod g
this : LeftInverse Prod.fst ⇑φ₀
φ : E ≃ₗ[𝕜] ↥g.graph := LinearEquiv.ofLeftInverse this ≪≫ₗ LinearEquiv.ofEq (range φ₀) g.graph ⋯
ψ : ↥g.graph ≃L[𝕜] E := φ.symm.toContinuousLinearEquivOfContinuous ⋯

⊢ Continuous ⇑g
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ θ.toReal = -π / 2 ↔ θ = ↑(-π / 2)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/Flag.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
n : ℕ
b : Basis (Fin n) K V
i : Fin n

⊢ b.flag i.castSucc ⋖ b.flag i.succ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/Flag.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
n : ℕ
b : Basis (Fin n) K V
i : Fin n

⊢ b.flag i.castSucc ⋖ span K {b i} ⊔ b.flag i.castSucc
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/Flag.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
n : ℕ
b : Basis (Fin n) K V
i : Fin n

⊢ b i ∉ b.flag i.castSucc
-- Mathlib/Analysis/Convex/Normed.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
δ : ℝ

⊢ Convex ℝ (Metric.cthickening δ s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Normed.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
δ : ℝ
hδ : 0 ≤ δ

⊢ Convex ℝ (Metric.cthickening δ s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Normed.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
hs : Convex ℝ s
δ : ℝ
hδ : δ ≤ 0

⊢ Convex ℝ (Metric.cthickening δ s)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → X → α
S : Set X
x₀ : X
hA : EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) S x₀
hu₁ : Continuous (S.restrict ∘ u)
hu₂ : Continuous (eval x₀ ∘ u)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α

⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[S] x₀, ∀ (i : ↑(closure A)), ((u ∘ Subtype.val) i x₀, (u ∘ Subtype.val) i x) ∈ U
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → X → α
S : Set X
x₀ : X
hA : EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) S x₀
hu₁ : Continuous (S.restrict ∘ u)
hu₂ : Continuous (eval x₀ ∘ u)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U

⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝[S] x₀, ∀ (i : ↑(closure A)), ((u ∘ Subtype.val) i x₀, (u ∘ Subtype.val) i x) ∈ U
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → X → α
S : Set X
x₀ : X
hA : EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) S x₀
hu₁ : Continuous (S.restrict ∘ u)
hu₂ : Continuous (eval x₀ ∘ u)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
x : X
hx : ∀ (i : ↑A), ((u ∘ Subtype.val) i x₀, (u ∘ Subtype.val) i x) ∈ V
hxS : x ∈ S

⊢ ∀ (i : ↑(closure A)), ((u ∘ Subtype.val) i x₀, (u ∘ Subtype.val) i x) ∈ U
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → X → α
S : Set X
x₀ : X
hA : EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) S x₀
hu₁ : Continuous (S.restrict ∘ u)
hu₂ : Continuous (eval x₀ ∘ u)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
x : X
hx : ∀ (x_1 : Y) (h : x_1 ∈ A), ((u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ x₀, (u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ x) ∈ V
hxS : x ∈ S

⊢ ∀ (x_1 : Y) (h : x_1 ∈ closure A), ((u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ x₀, (u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ x) ∈ U
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → X → α
S : Set X
x₀ : X
hA : EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) S x₀
hu₁ : Continuous (S.restrict ∘ u)
hu₂ : Continuous (eval x₀ ∘ u)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
x : X
hxS : x ∈ S
hx : A ⊆ (fun f => (u f x₀, u f x)) ⁻¹' V

⊢ ∀ (x_1 : Y) (h : x_1 ∈ closure A), ((u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ x₀, (u ∘ Subtype.val) ⟨x_1, h⟩ x) ∈ U
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
A : Set Y
u : Y → X → α
S : Set X
x₀ : X
hA : EquicontinuousWithinAt (u ∘ Subtype.val) S x₀
hu₁ : Continuous (S.restrict ∘ u)
hu₂ : Continuous (eval x₀ ∘ u)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α
hVclosed : IsClosed V
hVU : V ⊆ U
x : X
hxS : x ∈ S
hx : A ⊆ (fun f => (u f x₀, u f x)) ⁻¹' V

⊢ Continuous fun f => u f x
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α →𝒄 Part β
g : α →𝒄 β → Part γ
c : Chain α

⊢ ((↑f).partBind g.toOrderHom) (ωSup c) = ωSup (c.map ((↑f).partBind g.toOrderHom))
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
α' : Type u_1
β✝ : Type v
β' : Type u_2
γ✝ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β✝
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ✝
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
β γ : Type v
f : α →𝒄 Part β
g : α →𝒄 β → Part γ
c : Chain α

⊢ ((↑f).partBind ↑g) (ωSup c) = f (ωSup c) >>= g (ωSup c)
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s : Sym α n
a b : α
e : α ≃ β
x : Sym α n

⊢ map (⇑e.symm) (map (⇑e) x) = x
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s : Sym α n
a b : α
e : α ≃ β
x : Sym β n

⊢ map (⇑e) (map (⇑e.symm) x) = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ (∃ r, 0 < r ∧ r • x = y) ↔ SameRay R x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y : M
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h : ∃ r, 0 < r ∧ r • x = y

⊢ SameRay R x y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x : M
hx : x ≠ 0
r : R
hr : 0 < r
hy : r • x ≠ 0

⊢ SameRay R x (r • x)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → ℕ → Prop
h : ∀ (n : ℕ), ∃ᶠ (k : ℕ) in atTop, P n k

⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P n (φ n)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → ℕ → Prop
h : ∀ (n a : ℕ), ∃ b > a, P n b

⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P n (φ n)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → ℕ → Prop
u : ℕ → ℕ → ℕ
hu : ∀ (n a : ℕ), u n a > a
hu' : ∀ (n a : ℕ), P n (u n a)

⊢ ∃ φ, StrictMono φ ∧ ∀ (n : ℕ), P n (φ n)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
P : ℕ → ℕ → Prop
u : ℕ → ℕ → ℕ
hu : ∀ (n a : ℕ), u n a > a
hu' : ∀ (n a : ℕ), P n (u n a)

⊢ (StrictMono fun n => Nat.recOn n (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v) ∧ ∀ (n : ℕ), P n (Nat.recOn n (u 0 0) fun n v => u (n + 1) v)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a : Cardinal.{u}

⊢ a < 2 ^ a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β α : Type u

⊢ #α < 2 ^ #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β α : Type u

⊢ #α < #(Set α)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β α : Type u

⊢ ¬Quotient.liftOn₂ (#(Set α)) (#α) (fun α β => Nonempty (α ↪ β)) instLE.proof_1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β α : Type u
f : Set α → α
hf : Injective f

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
a✝ : ι → μ

⊢ a✝ ∈ s.piAntidiag 0 ↔ a✝ ∈ {0}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α

⊢ pkg.compare pkg' ∘ pkg'.compare pkg = id
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
uc : UniformContinuous (pkg.compare pkg')

⊢ pkg.compare pkg' ∘ pkg'.compare pkg = id
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
uc : UniformContinuous (pkg.compare pkg')
uc' : UniformContinuous (pkg'.compare pkg)

⊢ pkg.compare pkg' ∘ pkg'.compare pkg = id
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
uc : UniformContinuous (pkg.compare pkg')
uc' : UniformContinuous (pkg'.compare pkg)

⊢ ∀ (a : α), (pkg.compare pkg' ∘ pkg'.compare pkg) (pkg'.coe a) = id (pkg'.coe a)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
uc : UniformContinuous (pkg.compare pkg')
uc' : UniformContinuous (pkg'.compare pkg)
a : α

⊢ (pkg.compare pkg' ∘ pkg'.compare pkg) (pkg'.coe a) = id (pkg'.coe a)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝ : UniformSpace β
pkg' : AbstractCompletion α
uc : UniformContinuous (pkg.compare pkg')
uc' : UniformContinuous (pkg'.compare pkg)
a : α

⊢ pkg'.coe a = id (pkg'.coe a)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α

⊢ Eₘ[s, t] = ∑ a ∈ s * t, (filter (fun x => match x with | (x, y) => x * y = a) (s ×ˢ t)).card ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α

⊢ (filter (fun x => x.1.1 * x.1.2 = x.2.1 * x.2.2) ((s ×ˢ t) ×ˢ s ×ˢ t)).card = ∑ x ∈ s * t, (filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t) ×ˢ filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t)).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α

⊢ (filter (fun x => x.1.1 * x.1.2 = x.2.1 * x.2.2) ((s ×ˢ t) ×ˢ s ×ˢ t)).card = ((s * t).disjiUnion (fun x => filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t) ×ˢ filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t)) ?h).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α

⊢ (↑(s * t)).PairwiseDisjoint fun x => filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t) ×ˢ filter (fun x_1 => x_1.1 * x_1.2 = x) (s ×ˢ t)
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
w : Word M
h : w ≠ empty

⊢ ∃ i j w', w'.toWord = w
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
w : Word M
h : w ≠ empty

⊢ ∃ i j w', w'.toWord.toList = w.toList
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ

⊢ μ n ≠ 0 ↔ μ n = 1 ∨ μ n = -1
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ
this : μ n = 0 ∨ μ n = 1 ∨ μ n = -1

⊢ μ n ≠ 0 ↔ μ n = 1 ∨ μ n = -1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
inst✝ : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})

⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : α), ‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖ ∂μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
inst✝ : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
n : ℕ

⊢ ∫ (x : α), ‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖ ∂μ = (ENNReal.toReal ∘ fun n => ∫⁻ (x : α), ↑‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖₊ ∂μ) n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
inst✝ : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
n : ℕ

⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖₊ ∂μ).toReal = (ENNReal.toReal ∘ fun n => ∫⁻ (x : α), ↑‖↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x‖₊ ∂μ) n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
f : α → E
fmeas : Measurable f
hf : Integrable f μ
inst✝ : SeparableSpace ↑(range f ∪ {0})
n : ℕ

⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ↑(approxOn f fmeas (range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) x - f x) μ
-- Mathlib/Order/Zorn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
ih : ∀ c ⊆ Ici a, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hax : a ≤ x

⊢ ∃ m, x ≤ m ∧ ∀ (z : α), m ≤ z → z ≤ m
-- Mathlib/Order/Zorn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
ih : ∀ c ⊆ Ici a, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hax : a ≤ x
m : α
left✝ : m ∈ Ici a
hxm : x ≤ m
hm : ∀ z ∈ Ici a, m ≤ z → z ≤ m

⊢ ∃ m, x ≤ m ∧ ∀ (z : α), m ≤ z → z ≤ m
-- Mathlib/Order/Zorn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ : Set α
inst✝ : Preorder α
a : α
ih : ∀ c ⊆ Ici a, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
x : α
hax : a ≤ x
c : Set α
hca : c ⊆ Ici a
hc : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
y : α
hy : y ∈ c

⊢ ∃ ub ∈ Ici a, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
θ : ℝ

⊢ (cos ↑θ + sin ↑θ * I).arg - θ = 2 * π * ↑⌊(π - θ) / (2 * π)⌋
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R

⊢ I.radical = I ↔ I.IsRadical
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
hq0_ne : q ≠ 0
hμ : μ ≠ 0
f : α → F
hf_zero : f =ᶠ[ae μ] 0

⊢ eLpNorm' f q μ = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v w : E

⊢ ↑((orthogonalProjection (Submodule.span 𝕜 {v})) (↑‖v‖ ^ 2 • w)) = ⟪v, w⟫_𝕜 • v
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v w : E

⊢ ⟪v, w⟫_𝕜 • v ∈ Submodule.span 𝕜 {v}
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v w : E

⊢ ∀ w_1 ∈ Submodule.span 𝕜 {v}, ⟪↑‖v‖ ^ 2 • w - ⟪v, w⟫_𝕜 • v, w_1⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m m₁ m₂ : OuterMeasure α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ m₁.trim s ≤ m₂ s ↔ m₁ s ≤ m₂ s
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R

⊢ sInf I.minimalPrimes = I.radical
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R

⊢ sInf I.minimalPrimes = sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R

⊢ sInf I.minimalPrimes ≤ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I J : Ideal R

⊢ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime} ≤ sInf I.minimalPrimes
-- Mathlib/Data/Fintype/Powerset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
k : ℕ

⊢ s.powerset = univ ↔ s = univ
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
k : ℕ
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
n : ℕ

⊢ f_int k a t (Int.ofNat n) = f_nat k a t n
-- Mathlib/GroupTheory/Abelianization.lean
G : Type u
inst✝ : Group G

⊢ ⇑(closureCommutatorRepresentatives G).subtype '' commutatorSet ↥(closureCommutatorRepresentatives G) = commutatorSet G