ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
j k : ι
hjk : c.Rel j k

⊢ (desc φ α hα).f j = fstX φ j k hjk ≫ hα.hom k j + sndX φ j ≫ α.f j
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
j : ι
hjk : c.Rel j (c.next j)

⊢ (desc φ α hα).f j = fstX φ j (c.next j) hjk ≫ hα.hom (c.next j) j + sndX φ j ≫ α.f j
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α

⊢ 1 < a⁻¹ ↔ a < 1
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ

⊢ {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}.Infinite ↔ Irrational ξ
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
h : {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}.Infinite
a b : ℤ
H : ξ = ↑a / ↑b

⊢ {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}.Finite
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
h : {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}.Infinite
a b : ℤ
H : ξ = ↑a / ↑b
q : ℚ

⊢ |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2 ↔ |↑a / ↑b - q| < 1 / ↑q.den ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
h : {q | |ξ - ↑q| < 1 / ↑q.den ^ 2}.Infinite
a b : ℤ
H : ξ = ↑a / ↑b
q : ℚ

⊢ |↑a / ↑b - ↑q| < ↑(1 / ↑q.den ^ 2) ↔ |↑a / ↑b - q| < 1 / ↑q.den ^ 2
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α

⊢ (equivShrink α).symm (x - y) = (equivShrink α).symm x - (equivShrink α).symm y
-- Mathlib/Logic/Small/Group.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : Small.{u_2, u_1} α
x y : Shrink.{u_2, u_1} α

⊢ (equivShrink α).symm ((equivShrink α).symm.symm ((equivShrink α).symm x - (equivShrink α).symm y)) = (equivShrink α).symm x - (equivShrink α).symm y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den : Nat
nz : den ≠ 0
c : num.natAbs.Coprime den

⊢ { num := num, den := den, den_nz := nz, reduced := c } = normalize num den nz
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ ⁅I, N⁆ ≤ N
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
m : M
x : ↥I
n : ↥N
hn : ⁅↑x, ↑n⁆ = m

⊢ ⁅↑x, ↑n⁆ ∈ ↑N
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
r : R

⊢ nthRoots 0 r = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -(2 * ↑n + 1)

⊢ s.Gammaℝ / (1 - s).Gammaℝ = s.Gammaℂ * cos (↑π * s / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -(2 * ↑n + 1)
this : (s + 1).Gammaℝ ≠ 0

⊢ s.Gammaℝ / (1 - s).Gammaℝ = s.Gammaℂ * cos (↑π * s / 2)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : ℝ
h : y ∈ uIcc x z

⊢ dist y z ≤ dist x z
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Units.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
H : IsRelPrime x y
H1 : x ∣ z
H2 : y ∣ z
hx : IsPrimal x

⊢ x * y ∣ z
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Units.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
x y z : α
H : IsRelPrime x y
H1 : x ∣ z
H2 : y ∣ z
hx : IsPrimal x

⊢ y * x ∣ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
f : ℝ → ℝ
μ ν : Measure ℝ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
c d : ℝ
h : ∀ x ∈ [[a, b]], f x ≠ 0
hf : ContinuousOn f [[a, b]]

⊢ IntervalIntegrable (fun x => (f x)⁻¹) μ a b
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
h : b ≤ 1

⊢ a * b ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
S : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : Module S A
inst✝² : IsScalarTower S A A
inst✝¹ : SMulCommClass S A A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
f : S → R

⊢ QuasispectrumRestricts a f ↔ SpectrumRestricts (↑a) f
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G.op ⊣ F.op
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y

⊢ ((h.homEquiv (Opposite.op Y) (Opposite.op X')) (g.op ≫ f.op)).unop = F.map f ≫ ((h.homEquiv (Opposite.op Y) (Opposite.op X)) g.op).unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G.op ⊣ F.op
X' X : C
Y : D
f : X' ⟶ X
g : X ⟶ G.obj Y

⊢ (h.unit.app (Opposite.op Y) ≫ F.op.map (g.op ≫ f.op)).unop = F.map f ≫ (h.unit.app (Opposite.op Y) ≫ F.op.map g.op).unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G.op ⊣ F.op
X : C
Y Y' : D
f : F.obj X ⟶ Y
g : Y ⟶ Y'

⊢ ((h.homEquiv (Opposite.op Y') (Opposite.op X)).symm (g.op ≫ f.op)).unop = ((h.homEquiv (Opposite.op Y) (Opposite.op X)).symm f.op).unop ≫ G.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
h : G.op ⊣ F.op
X : C
Y Y' : D
f : F.obj X ⟶ Y
g : Y ⟶ Y'

⊢ (G.op.map (g.op ≫ f.op) ≫ h.counit.app (Opposite.op X)).unop = (G.op.map f.op ≫ h.counit.app (Opposite.op X)).unop ≫ G.map g
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ

⊢ ContinuousAt f x ↔ LowerSemicontinuousAt f x ∧ UpperSemicontinuousAt f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix (Fin 2) (Fin 2) α
i j : Fin 2

⊢ A.adjugate i j = !![A 1 1, -A 0 1; -A 1 0, A 0 0] i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix (Fin 2) (Fin 2) α
i j : Fin 2

⊢ (-1) ^ (↑j + ↑i) * (A.submatrix j.succAbove i.succAbove).det = !![A 1 1, -A 0 1; -A 1 0, A 0 0] i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
m : M
n : N

⊢ (((TensorProduct.mk R M N).compr₂ (lTensor M (g ∘ₗ f))) m) n = (((TensorProduct.mk R M N).compr₂ (lTensor M g ∘ₗ lTensor M f)) m) n
-- Mathlib/GroupTheory/Abelianization.lean
G : Type u
inst✝¹ : Group G
A : Type v
inst✝ : CommGroup A
f : G →* A

⊢ commutator G ≤ f.ker
-- Mathlib/GroupTheory/Abelianization.lean
G : Type u
inst✝¹ : Group G
A : Type v
inst✝ : CommGroup A
f : G →* A

⊢ commutatorSet G ⊆ ↑f.ker
-- Mathlib/GroupTheory/Abelianization.lean
G : Type u
inst✝¹ : Group G
A : Type v
inst✝ : CommGroup A
f : G →* A
p q : G

⊢ ⁅p, q⁆ ∈ ↑f.ker
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0

⊢ ∃ g, orderOf g = exponent G
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty

⊢ ∃ g, orderOf g = exponent G
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite

⊢ ∃ g, orderOf g = exponent G
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)

⊢ ∃ g, orderOf g = exponent G
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)

⊢ orderOf t = exponent G
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)

⊢ exponent G ∣ orderOf t
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)

⊢ (exponent G).primeFactorsList.Subperm (orderOf t).primeFactorsList
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)

⊢ ∀ x ∈ (exponent G).primeFactorsList, List.count x (exponent G).primeFactorsList ≤ List.count x (orderOf t).primeFactorsList
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
h : ∃ x ∈ (exponent G).primeFactorsList, List.count x (orderOf t).primeFactorsList < List.count x (exponent G).primeFactorsList

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : p ∈ (exponent G).primeFactorsList
hpe : List.count p (orderOf t).primeFactorsList < List.count p (exponent G).primeFactorsList

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hpe : List.count p (orderOf t).primeFactorsList < List.count p (exponent G).primeFactorsList
hp : Nat.Prime p

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpe : (orderOf t).factorization p < (exponent G).factorization p

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p
g : G
hg : orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p
g : G
hg : orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p

⊢ orderOf t < orderOf (t ^ p ^ k * g)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p
g : G
hg : orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
hpk : p ^ k ∣ orderOf t

⊢ orderOf t < orderOf (t ^ p ^ k * g)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p
g : G
hg : orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
hpk : p ^ k ∣ orderOf t
hpk' : orderOf (t ^ p ^ k) = orderOf t / p ^ k

⊢ orderOf t < orderOf (t ^ p ^ k * g)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p
g : G
hg : orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
hpk : p ^ k ∣ orderOf t
hpk' : orderOf (t ^ p ^ k) = orderOf t / p ^ k
a : ℕ
ha : (exponent G).factorization p = k + a + 1

⊢ orderOf t < orderOf (t ^ p ^ k * g)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p
g : G
hg : orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
hpk : p ^ k ∣ orderOf t
hpk' : orderOf (t ^ p ^ k) = orderOf t / p ^ k
a : ℕ
ha : (exponent G).factorization p = k + a + 1
hcoprime : (orderOf (t ^ p ^ k)).Coprime (orderOf g)

⊢ orderOf t < orderOf (t ^ p ^ k * g)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p
g : G
hg : orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
hpk : p ^ k ∣ orderOf t
hpk' : orderOf (t ^ p ^ k) = orderOf t / p ^ k
a : ℕ
ha : (exponent G).factorization p = k + a + 1
hcoprime : (orderOf (t ^ p ^ k)).Coprime (orderOf g)

⊢ 1 < p ^ (a + 1)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : CommMonoid G
hG : ExponentExists G
he : exponent G ≠ 0
hne : (Set.range orderOf).Nonempty
hfin : (Set.range orderOf).Finite
t : G
ht : orderOf t = sSup (Set.range orderOf)
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
k : ℕ := (orderOf t).factorization p
hpe : k < (exponent G).factorization p
hk : k = (orderOf t).factorization p
g : G
hg : orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
hpk : p ^ k ∣ orderOf t
hpk' : orderOf (t ^ p ^ k) = orderOf t / p ^ k
a : ℕ
ha : (exponent G).factorization p = k + a + 1
hcoprime : (orderOf (t ^ p ^ k)).Coprime (orderOf g)

⊢ p ^ (orderOf t).factorization p ∣ orderOf t
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a b : K

⊢ (-a)⁻¹ = -a⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
h_integral : ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ < ⊤

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
h_integral : ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ < ⊤
rpow_ae_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊) ^ p < ⊤

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
p : ℝ
hp1 : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h : (∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ ∑' (i : ℕ), B i
hp_pos : 0 < p
h_integral : ∫⁻ (a : α), (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) a - f i a‖₊) ^ p ∂μ < ⊤
rpow_ae_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊) ^ p < ⊤
x : α
hx : (∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊) ^ p < ⊤

⊢ ∑' (i : ℕ), ↑‖f (i + 1) x - f i x‖₊ < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
R : Type u_9
inst✝ : NonAssocSemiring R
m : ℕ

⊢ m • 1 = ↑m
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ts : List α

⊢ map (map f) ts.permutations' = (map f ts).permutations'
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
E B I : Set α

⊢ (N.comapOn E f).Indep I ↔ N.Indep (f '' I) ∧ InjOn f I ∧ I ⊆ E
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Sheaf/Free.lean
C : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} C
J✝ : GrothendieckTopology C
R : Sheaf J✝ RingCat
inst✝² : HasWeakSheafify J✝ AddCommGrp
inst✝¹ : J✝.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : J✝.HasSheafCompose (forget₂ RingCat AddCommGrp)
I J : Type u
f : I → J
i : I

⊢ sectionsMap (freeMap f) (freeSection i) = freeSection (f i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Ulift.lean
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
f : c.pt → lc.pt

⊢ f = descFun hc lc ↔ ∀ (j : J), f ∘ c.ι.app j = lc.ι.app j ∘ ULift.up
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Ulift.lean
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
f : c.pt → lc.pt

⊢ f = descFun hc lc → ∀ (j : J), f ∘ c.ι.app j = lc.ι.app j ∘ ULift.up
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Ulift.lean
J : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} J
K : J ⥤ Type u
c : Cocone K
hc : IsColimit c
lc : Cocone (K ⋙ uliftFunctor.{v, u})
f : c.pt → lc.pt
he : ∀ (j : J), f ∘ c.ι.app j = lc.ι.app j ∘ ULift.up
x : c.pt

⊢ x ∈ descSet hc {f x}
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S

⊢ X.Separable
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S

⊢ IsCoprime X 1
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)

⊢ MeasurableSet (⋃ b ∈ s, f b)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)

⊢ MeasurableSet (⋃ x, f ↑x)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s✝ t u : Set α
m : MeasurableSpace α
f : β → Set α
s : Set β
hs : s.Countable
h : ∀ b ∈ s, MeasurableSet (f b)
this : Countable ↑s

⊢ MeasurableSet (⋃ x, f ↑x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 = Q y * P z ^ 3
hy' : P y * Q z ^ 3 = W'.negY Q * P z ^ 3

⊢ (fun a => a * Q z ^ 3) (P y) = (fun a => a * Q z ^ 3) (W'.negY P)
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
f✝ : α → α
s : Set α
μ✝ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : α → α
μ : Measure α
h : Conservative f μ

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Conservative.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
f✝ : α → α
s : Set α
μ✝ : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
f : α → α
μ : Measure α
h : Conservative f μ
this : ∀ s ∈ countableBasis α, ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ s ∈ 𝓝 x, ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f^[n] x ∈ s