ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)
g : ↥(Lp F' 1 (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g

⊢ ∀ (c : F') {s : Set α} (hs : MeasurableSet s) (hμs : (μ.trim hm) s < ⊤), (fun g => (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)) ↑(simpleFunc.indicatorConst 1 hs ⋯ c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)
g : ↥(Lp F' 1 (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g

⊢ ∀ ⦃f g : α → F'⦄ (hf : Memℒp f 1 (μ.trim hm)) (hg : Memℒp g 1 (μ.trim hm)), Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → (fun g => (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)) (Memℒp.toLp f hf) → (fun g => (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)) (Memℒp.toLp g hg) → (fun g => (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)) (Memℒp.toLp f hf + Memℒp.toLp g hg)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
f : ↥(lpMeas F' ℝ m 1 μ)
g : ↥(Lp F' 1 (μ.trim hm)) := (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm) f
hfg : f = (lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g

⊢ IsClosed {f | (fun g => (condexpL1CLM F' hm μ) ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g) = ↑((lpMeasToLpTrimLie F' ℝ 1 μ hm).symm g)) f}
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hs : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ht : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t

⊢ Continuous (gaugeRescale s t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hs : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ht : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
hta : Absorbent ℝ t

⊢ Continuous (gaugeRescale s t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hs : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ht : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
hta : Absorbent ℝ t
x : E

⊢ ContinuousAt (gaugeRescale s t) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hs : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ht : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
hta : Absorbent ℝ t

⊢ ContinuousAt (gaugeRescale s t) 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/GaugeRescale.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : T1Space E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t✝ s t : Set E
hs : Convex ℝ s
hs₀ : s ∈ 𝓝 0
ht : Convex ℝ t
ht₀ : t ∈ 𝓝 0
htb : IsVonNBounded ℝ t
hta : Absorbent ℝ t
x : E
hx : x ≠ 0

⊢ ContinuousAt (gaugeRescale s t) x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
x y : 𝕎 k

⊢ peval (polyOfInterest p n) ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i] = (x * y).coeff (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * x.coeff (n + 1) * y.coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * x.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i) - x.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * y.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
x y : 𝕎 k

⊢ (aeval (Function.uncurry ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i])) (wittMul p (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * X (1, n + 1)) - x.coeff (n + 1) * (aeval (Function.uncurry ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i])) ((rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) - y.coeff (n + 1) * (aeval (Function.uncurry ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i])) ((rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) = (x * y).coeff (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * x.coeff (n + 1) * y.coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * x.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i) - x.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * y.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝ : CommRing k
n : ℕ
x y : 𝕎 k

⊢ (aeval (Function.uncurry ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i])) (wittMul p (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * X (0, n + 1) * X (1, n + 1)) - y.coeff (n + 1) * (aeval (Function.uncurry ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i])) ((rename (Prod.mk 0)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) - x.coeff (n + 1) * (aeval (Function.uncurry ![fun i => x.coeff i, fun i => y.coeff i])) ((rename (Prod.mk 1)) (wittPolynomial p ℤ (n + 1))) = (x * y).coeff (n + 1) + ↑p ^ (n + 1) * x.coeff (n + 1) * y.coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * x.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i) - x.coeff (n + 1) * ∑ i ∈ range (n + 1 + 1), ↑p ^ i * y.coeff i ^ p ^ (n + 1 - i)
-- Mathlib/Topology/Order/NhdsSet.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
a : α
inst✝ : (𝓝[>] a).NeBot

⊢ (𝓝ˢ (Iic a)).HasBasis (fun x => a < x) Iic
-- Mathlib/Topology/Order/NhdsSet.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
a : α
inst✝ : (𝓝[>] a).NeBot
this : Nonempty ↑(Ioi a)

⊢ (𝓝ˢ (Iic a)).HasBasis (fun x => a < x) Iic
-- Mathlib/Topology/Order/NhdsSet.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
a : α
inst✝ : (𝓝[>] a).NeBot
this : Nonempty ↑(Ioi a)
c : α
hc : a < c

⊢ ∃ i', a < i' ∧ Iic i' ⊆ Iio c
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ

⊢ 1 < s.card ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, a ≠ b
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ

⊢ ¬1 < s.card ↔ ¬∃ a ∈ s, ∃ b ∈ s, a ≠ b
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ

⊢ s.card ≤ 1 ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
m : α → β
f : Filter α

⊢ Tendsto m f atTop ↔ ∀ (b : β), ∀ᶠ (a : α) in f, b ≤ m a
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)

⊢ F.Initial
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)

⊢ F.op.Final
-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝² : IsCofilteredOrEmpty D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
h : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
d : Dᵒᵖ

⊢ ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.op.obj c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
α β : Type u
f : α ⟶ β
F' : MonoFactorisation f

⊢ lift F' ≫ F'.m = ι f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
α β : Type u
f : α ⟶ β
F' : MonoFactorisation f
x : Image f

⊢ (lift F' ≫ F'.m) x = ι f x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
α β : Type u
f : α ⟶ β
F' : MonoFactorisation f
x : Image f

⊢ (F'.e ≫ F'.m) ↑(Classical.indefiniteDescription (fun x_1 => f x_1 = ↑x) ⋯) = ι f x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
α β : Type u
f : α ⟶ β
F' : MonoFactorisation f
x : Image f

⊢ ↑x = ι f x
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a b : ℤ

⊢ Finite a b ↔ a.natAbs ≠ 1 ∧ b ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Flat/EquationalCriterion.lean
R M : Type u
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
x : ι → M
h : IsTrivialRelation f x

⊢ ∑ i : ι, f i • x i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M

⊢ Q (-x) = Q x
-- Mathlib/Order/Fin/Tuple.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
n✝ : ℕ
f : Fin (n✝ + 1) → α
a : α
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
h : p ≠ last n
x : { x // x ≠ p }

⊢ (finSuccAboveEquiv p).symm x = (p.castLT ⋯).predAbove ↑x
-- Mathlib/Order/Fin/Tuple.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
n✝ : ℕ
f : Fin (n✝ + 1) → α
a : α
n : ℕ
p : Fin (n + 1)
h : p ≠ last n
x : { x // x ≠ p }

⊢ some ((finSuccAboveEquiv p).symm x) = some ((p.castLT ⋯).predAbove ↑x)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
ι : Type u_1
t : ι → Set α
h : s ⊆ ⋃ i, t i

⊢ ∃ I, I.Finite ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ I, t i
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
ι : Type u_1
t : ι → Set α
h : s ⊆ ⋃ i, t i
this : Finite ↑s

⊢ ∃ I, I.Finite ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ I, t i
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
ι : Type u_1
t : ι → Set α
h : s ⊆ ⋃ i, t i
this : Finite ↑s
f : ↑s → ι
hf : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ t (f x)

⊢ ∃ I, I.Finite ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ I, t i
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
ι : Type u_1
t : ι → Set α
h : s ⊆ ⋃ i, t i
this : Finite ↑s
f : ↑s → ι
hf : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ t (f x)
x : α
hx : x ∈ s

⊢ x ∈ ⋃ i ∈ range f, t i
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
ι : Type u_1
t : ι → Set α
h : s ⊆ ⋃ i, t i
this : Finite ↑s
f : ↑s → ι
hf : ∀ (x : ↑s), ↑x ∈ t (f x)
x : α
hx : x ∈ s

⊢ ∃ i, x ∈ t (f i)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/SheafedSpace.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasColimits C
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝¹ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝ : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : SheafedSpace C
f : ↑X.toPresheafedSpace ⟶ ↑Y.toPresheafedSpace
fc gc : Y.presheaf ⟶ (pushforward C f).obj X.presheaf
h' : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), { base := f, c := fc }.stalkMap x = (Y.presheaf.stalkCongr ⋯).hom ≫ { base := f, c := gc }.stalkMap x
U : Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace
s : (CategoryTheory.forget C).obj (Y.presheaf.obj (op U))

⊢ (fc.app (op U)) s = (gc.app (op U)) s
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/SheafedSpace.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : ConcreteCategory C
inst✝⁴ : HasColimits C
inst✝³ : HasLimits C
inst✝² : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝¹ : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C)
inst✝ : (CategoryTheory.forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : SheafedSpace C
f : ↑X.toPresheafedSpace ⟶ ↑Y.toPresheafedSpace
fc gc : Y.presheaf ⟶ (pushforward C f).obj X.presheaf
h' : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), { base := f, c := fc }.stalkMap x = (Y.presheaf.stalkCongr ⋯).hom ≫ { base := f, c := gc }.stalkMap x
U : Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace
s : (CategoryTheory.forget C).obj (Y.presheaf.obj (op U))
x : ↥((Opens.map f).obj (unop (op U)))

⊢ (X.presheaf.germ x) ((fc.app (op U)) s) = (X.presheaf.germ x) ((gc.app (op U)) s)
-- Mathlib/Control/Traversable/Instances.lean
σ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝² : Applicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
f : β → F γ
g : α → G β
x : σ ⊕ α

⊢ Sum.traverse (Comp.mk ∘ (fun x => f <$> x) ∘ g) x = Comp.mk (Sum.traverse f <$> Sum.traverse g x)
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G

⊢ (↑P).normalizer.normalizer = (↑P).normalizer
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
this : (↑(P.subtype ⋯)).normalizer.Normal → (↑(P.subtype ⋯)).Normal

⊢ (↑P).normalizer.normalizer = (↑P).normalizer
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
this : True → (↑P).normalizer.subgroupOf (↑P).normalizer.normalizer = ⊤

⊢ (↑P).normalizer.normalizer = (↑P).normalizer
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝² : Group G
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Finite (Sylow p G)
P : Sylow p G
this : True → (↑P).normalizer.subgroupOf (↑P).normalizer.normalizer = ⊤

⊢ Subgroup.map (↑P).normalizer.normalizer.subtype ((↑P).normalizer.subgroupOf (↑P).normalizer.normalizer) = (↑P).normalizer
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E✝ : EllipticCurve R
C✝ C C' : WeierstrassCurve.VariableChange R
E : EllipticCurve R

⊢ E.variableChange (C.comp C') = (E.variableChange C').variableChange C
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
E✝ : EllipticCurve R
C✝ C C' : WeierstrassCurve.VariableChange R
E : EllipticCurve R

⊢ { toWeierstrassCurve := (E.variableChange C').variableChange C, Δ' := (C.comp C').u⁻¹ ^ 12 * E.Δ', coe_Δ' := ⋯ } = { toWeierstrassCurve := (E.variableChange C').variableChange C, Δ' := C.u⁻¹ ^ 12 * (C'.u⁻¹ ^ 12 * E.Δ'), coe_Δ' := ⋯ }
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean

⊢ map cexp (comap re atTop) = cobounded ℂ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean

⊢ {0}ᶜ ∈ cobounded ℂ
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
xR : xr → PGame
i : xl
xL : xl → PGame
j : (xL i).LeftMoves

⊢ ((xL i).moveLeft j).Subsequent (mk xl xr xL xR)
-- Mathlib/Order/CompleteLatticeIntervals.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s✝ : Set α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
t : Set ↑s
c : ↑s
hct : c ∈ t
B : ↑s
hB : B ∈ lowerBounds t

⊢ sInf (Subtype.val '' t) ∈ s
-- Mathlib/Order/CompleteLatticeIntervals.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s✝ : Set α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
t : Set ↑s
c : ↑s
hct : c ∈ t
B : ↑s
hB : B ∈ lowerBounds t

⊢ ↑B ≤ sInf (Subtype.val '' t)
-- Mathlib/Order/CompleteLatticeIntervals.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s✝ : Set α
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s : Set α
hs : s.OrdConnected
t : Set ↑s
c : ↑s
hct : c ∈ t
B : ↑s
hB : B ∈ lowerBounds t

⊢ sInf (Subtype.val '' t) ≤ ↑c
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β

⊢ comap m g ≤ f ↔ g ≤ kernMap m f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Sum/Lemmas.lean
β✝¹ : Type u_1
β✝ : Type u_2
s : β✝¹ → β✝ → Prop
α✝¹ : Type u_3
α✝ : Type u_4
r : α✝¹ → α✝ → Prop
x : α✝¹ ⊕ β✝¹
y : α✝ ⊕ β✝
h : LiftRel s r x.swap y.swap

⊢ LiftRel r s x y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Sum/Lemmas.lean
β✝¹ : Type u_1
β✝ : Type u_2
s : β✝¹ → β✝ → Prop
α✝¹ : Type u_3
α✝ : Type u_4
r : α✝¹ → α✝ → Prop
x : α✝¹ ⊕ β✝¹
y : α✝ ⊕ β✝
h : LiftRel s r x.swap y.swap

⊢ LiftRel r s x.swap.swap y.swap.swap
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
x : α
s : Set α

⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ {p | p.1 = x → p.2 ∈ s} ∈ 𝓤 α
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E✝ : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E✝
F : Type uF
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝⁸ : TopologicalSpace H✝
I✝ : ModelWithCorners ℝ E✝ H✝
M✝ : Type uM
inst✝⁷ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁶ : ChartedSpace H✝ M✝
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I✝ M✝
E : Type uE
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
f : BumpCovering ι M s
hf : ∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)
i : ι

⊢ LocallyFinite fun i => mulSupport ((fun x => 1) - ⇑(f i))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E✝ : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E✝
F : Type uF
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
H✝ : Type uH
inst✝⁸ : TopologicalSpace H✝
I✝ : ModelWithCorners ℝ E✝ H✝
M✝ : Type uM
inst✝⁷ : TopologicalSpace M✝
inst✝⁶ : ChartedSpace H✝ M✝
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I✝ M✝
E : Type uE
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
H : Type uH
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s : Set M
f : BumpCovering ι M s
hf : ∀ (i : ι), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) ⇑(f i)
i : ι

⊢ LocallyFinite fun i => support ⇑(f i)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d a : α
k : ℤ

⊢ 0 ≤ a ^ (k + k)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Power.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ b c d a : α
k : ℤ

⊢ 0 ≤ a ^ k * a ^ k
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike S R
s✝ : S
inst✝¹ : AddSubmonoidWithOneClass S R
s : S
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo

⊢ OfNat.ofNat n ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : AddMonoidWithOne R
inst✝² : SetLike S R
s✝ : S
inst✝¹ : AddSubmonoidWithOneClass S R
s : S
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo

⊢ ↑n ∈ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
i j : n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
e : n ≃ p
t_i t_j : n
hij✝ : t_i ≠ t_j
c✝ : R
a b : p

⊢ (reindexEquiv e { i := t_i, j := t_j, hij := hij✝, c := c✝ }).toMatrix a b = (reindexAlgEquiv R R e) { i := t_i, j := t_j, hij := hij✝, c := c✝ }.toMatrix a b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
i j : n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
e : n ≃ p
t_i t_j : n
hij✝ : t_i ≠ t_j
c✝ : R
a b : p

⊢ (1 + stdBasisMatrix (e t_i) (e t_j) c✝) a b = (1 + stdBasisMatrix t_i t_j c✝) (e.symm a) (e.symm b)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f g h i : α → β

⊢ (∏ a ∈ s, f a * g a) * ∏ a ∈ s, h a * i a = (∏ a ∈ s, f a * h a) * ∏ a ∈ s, g a * i a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Constructions.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (π i)
i : ι
y : π i

⊢ ‖single i y‖₊ = ‖y‖₊
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Constructions.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (π i)
i : ι
y : π i
H : ∀ (b : ι), ‖single i y b‖₊ = single i ‖y‖₊ b

⊢ ‖single i y‖₊ = ‖y‖₊
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
ψ : ↥K →+* ℂ
hc : UniformContinuous ⇑ψ
this✝ : TopologicalDivisionRing ℂ := TopologicalDivisionRing.mk
this : TopologicalRing ↥K.topologicalClosure := Subring.instTopologicalRing K.topologicalClosure.toSubring

⊢ (↑↑ψ).toFun = ⇑K.subtype ∨ (↑↑ψ).toFun = ⇑(starRingEnd ℂ) ∘ ⇑K.subtype
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
ψ : ↥K →+* ℂ
hc : UniformContinuous ⇑ψ
this✝ : TopologicalDivisionRing ℂ := TopologicalDivisionRing.mk
this : TopologicalRing ↥K.topologicalClosure := Subring.instTopologicalRing K.topologicalClosure.toSubring
ι : ↥K → ↥K.topologicalClosure := ⇑(Subfield.inclusion ⋯)

⊢ (↑↑ψ).toFun = ⇑K.subtype ∨ (↑↑ψ).toFun = ⇑(starRingEnd ℂ) ∘ ⇑K.subtype
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
ψ : ↥K →+* ℂ
hc : UniformContinuous ⇑ψ
this✝ : TopologicalDivisionRing ℂ := TopologicalDivisionRing.mk
this : TopologicalRing ↥K.topologicalClosure := Subring.instTopologicalRing K.topologicalClosure.toSubring
ι : ↥K → ↥K.topologicalClosure := ⇑(Subfield.inclusion ⋯)
ui : UniformInducing ι

⊢ (↑↑ψ).toFun = ⇑K.subtype ∨ (↑↑ψ).toFun = ⇑(starRingEnd ℂ) ∘ ⇑K.subtype
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
ψ : ↥K →+* ℂ
hc : UniformContinuous ⇑ψ
this✝ : TopologicalDivisionRing ℂ := TopologicalDivisionRing.mk
this : TopologicalRing ↥K.topologicalClosure := Subring.instTopologicalRing K.topologicalClosure.toSubring
ι : ↥K → ↥K.topologicalClosure := ⇑(Subfield.inclusion ⋯)
ui : UniformInducing ι
di : DenseInducing ι := UniformInducing.denseInducing ui ?refine_1

⊢ (↑↑ψ).toFun = ⇑K.subtype ∨ (↑↑ψ).toFun = ⇑(starRingEnd ℂ) ∘ ⇑K.subtype
-- Mathlib/Topology/Instances/Complex.lean
K : Subfield ℂ
ψ : ↥K →+* ℂ
hc : UniformContinuous ⇑ψ
this✝ : TopologicalDivisionRing ℂ := TopologicalDivisionRing.mk
this : TopologicalRing ↥K.topologicalClosure := Subring.instTopologicalRing K.topologicalClosure.toSubring
ι : ↥K → ↥K.topologicalClosure := ⇑(Subfield.inclusion ⋯)
ui : UniformInducing ι

⊢ DenseRange ι
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n R

⊢ matPolyEquiv.symm (C M) = M.map ⇑C
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
A : C
f₁ f₂ : A ⟶ S.rightHomology

⊢ f₁ = f₂ ↔ f₁ ≫ S.rightHomologyι = f₂ ≫ S.rightHomologyι
-- Mathlib/Data/Int/SuccPred.lean
z : ℤ

⊢ z - 1 ⋖ z
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

⊢ o.brange f = range (o.familyOfBFamily f)