ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
t : Set Y
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t

⊢ 𝓝ˢ (s ×ˢ t) = 𝓝ˢ s ×ˢ 𝓝ˢ t
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α

⊢ Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s ↔ ∀ (a : α), ∃ b ∈ s, a ≤ b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
hd : HasDerivAt d d' x

⊢ HasDerivAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
hd : HasDerivWithinAt d d' univ x

⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y * d y) (c' * d x + c x * d') univ x
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Finite F
hF : ringChar F ≠ 2

⊢ ∃ a, ¬IsSquare a
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Finite F
hF : ringChar F ≠ 2
h : ¬Function.Injective fun x => x * x

⊢ ∃ a, ¬IsSquare a
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
w : σ → M
n : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
h : weightedTotalDegree w φ < n

⊢ (weightedHomogeneousComponent w n) φ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁹ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid P
inst✝¹³ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝¹⁰ : AddCommGroup N'
inst✝⁹ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
R' : Type u_10
M'' : Type u_11
M₂'' : Type u_12
N'' : Type u_13
N₂'' : Type u_14
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommMonoid M''
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂''
inst✝⁵ : AddCommMonoid N''
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂''
inst✝³ : Module R' M''
inst✝² : Module R' M₂''
inst✝¹ : Module R' N''
inst✝ : Module R' N₂''
n : ℕ
f : M'' [⋀^Fin n.succ]→ₗ[R'] N''
m : M''
v : Fin n → M''
i j : Fin n
hv : v i = v j
hij : i ≠ j

⊢ Matrix.vecCons m v i.succ = Matrix.vecCons m v j.succ
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m✝ n✝ : ℤ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
mn : m < n

⊢ (a ^ n)⁻¹ < (a ^ m)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
u : R[X]ˣ
n : ℕ

⊢ ((↑u).coeff n)⁻¹ = (↑u⁻¹).coeff n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Field R
p q : R[X]
u : R[X]ˣ
n : ℕ

⊢ (1 / if n = 0 then (↑u).coeff 0 else 0) = if n = 0 then (↑u⁻¹).coeff 0 else 0
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
s c : ι → Set α
hc : ∀ (i : ι), (c i).Countable
h'c : ∀ (i : ι), s i ⊆ closure (c i)

⊢ IsSeparable (⋃ i, s i)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
ι : Sort u_2
inst✝ : Countable ι
s c : ι → Set α
hc : ∀ (i : ι), (c i).Countable
h'c : ∀ (i : ι), s i ⊆ closure (c i)
i : ι

⊢ s i ⊆ closure (⋃ i, c i)
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
s : Set α
hs : s ∈ 𝓝 a
u : α
hu : a < u

⊢ ∃ u' ∈ Ioc a u, Ico a u' ⊆ s
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s t : Finset α

⊢ s ∪ insert a t = insert a (s ∪ t)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι →₀ 𝕜

⊢ ⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₁, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₂⟫_𝕜 = l₂.sum fun i y => (starRingEnd 𝕜) (l₁ i) * y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
hSc : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub

⊢ ∃ q ≥ p, q.domain = ⊤ ∧ ∀ (x : ↥q.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑q x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
hSc : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
q : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hqs : q ∈ S
hpq : p ≤ q
hq : ∀ z ∈ S, q ≤ z → z = q

⊢ ∃ q ≥ p, q.domain = ⊤ ∧ ∀ (x : ↥q.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑q x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
hSc : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
q : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hqs : q ∈ S
hpq : p ≤ q
hq : ∀ z ∈ S, q ≤ z → z = q

⊢ q.domain = ⊤
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
hSc : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
q : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hqs : q ∈ S
hpq : p ≤ q
hq : q.domain ≠ ⊤

⊢ ∃ z ∈ S, q ≤ z ∧ z ≠ q
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
hSc : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
q : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hqs : q ∈ S
hpq : p ≤ q
hq : q.domain ≠ ⊤
hqd : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s

⊢ ∃ z ∈ S, q ≤ z ∧ z ≠ q
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f p : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hp_nonneg : ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x
hp_dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
S : Set (E →ₗ.[ℝ] ℝ) := {p | ∀ (x : ↥p.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑p x}
hSc : ∀ c ⊆ S, IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → ∀ y ∈ c, ∃ ub ∈ S, ∀ z ∈ c, z ≤ ub
q : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hqs : q ∈ S
hpq : p ≤ q
hq : q.domain ≠ ⊤
hqd : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
r : E →ₗ.[ℝ] ℝ
hqr : q < r
hr : ∀ (x : ↥r.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑r x

⊢ ∃ z ∈ S, q ≤ z ∧ z ≠ q
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.52987, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁

⊢ (F.shift n₀).map T.mor₁ ≫ (F.shift n₀).map T.mor₂ = 0
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : NoMaxOrder α
hs : IsUpperSet s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ upperBounds s

⊢ False
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : NoMaxOrder α
hs : IsUpperSet s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ upperBounds s
c : α
hc : b < c

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S

⊢ (unitization s).range = Algebra.adjoin R ↑s
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S

⊢ Algebra.adjoin R ↑(NonUnitalAlgHom.range (NonUnitalSubalgebraClass.subtype s)) = Algebra.adjoin R ↑s
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S

⊢ Algebra.adjoin R {x | x ∈ s} = Algebra.adjoin R ↑s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ ν : Kernel α β
hν : IsFiniteKernel ν
hκν : κ ≤ ν

⊢ IsFiniteKernel κ
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.succ
i : Fin n
y : α i.succ
z : α 0
P : ((i : Fin n.succ) → α i) → Sort v
h : (x₀ : α 0) → (x : (i : Fin n) → α i.succ) → P (cons x₀ x)
x₀ : α 0
x : (i : Fin n) → α i.succ

⊢ consCases h (cons x₀ x) = h x₀ x
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x✝ : α 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.succ
i : Fin n
y : α i.succ
z : α 0
P : ((i : Fin n.succ) → α i) → Sort v
h : (x₀ : α 0) → (x : (i : Fin n) → α i.succ) → P (cons x₀ x)
x₀ : α 0
x : (i : Fin n) → α i.succ

⊢ h (cons x₀ x 0) (tail (cons x₀ x)) = h x₀ x
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C * r ^ n
n : ℕ

⊢ dist (∑ i ∈ Finset.range n, f i) (∑ i ∈ Finset.range (n + 1), f i) ≤ C * r ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f : ℕ → α
hf : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C * r ^ n
n : ℕ

⊢ ‖f n‖ ≤ C * r ^ n
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame

⊢ -x ≈ 0 ↔ x ≈ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R
n : ℕ

⊢ rootMultiplicity a p ≤ n ↔ ¬(X - C a) ^ (n + 1) ∣ p
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Inv G✝
inst✝⁴ : ContinuousInv G✝
G : Type u_1
inst✝³ : DivInvMonoid G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : ContinuousMul G
inst✝ : ContinuousInv G
x y : G
h : x ⤳ y
n : ℕ

⊢ (x ^ Int.ofNat n) ⤳ (y ^ Int.ofNat n)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Inv G✝
inst✝⁴ : ContinuousInv G✝
G : Type u_1
inst✝³ : DivInvMonoid G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : ContinuousMul G
inst✝ : ContinuousInv G
x y : G
h : x ⤳ y
n : ℕ

⊢ (x ^ Int.negSucc n) ⤳ (y ^ Int.negSucc n)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
c : F

⊢ HasFDerivAtFilter (fun x => c - f x) (-f') x L
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s₁ s₂ : ↥S

⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (s₂ • m) (s₁ * s₂)) = (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s₁)
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ
h : m ≤ n

⊢ m.gcd (n - m) = m.gcd n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projection.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : M →ₗ[S] M
h : IsProj m f
x : ↥m

⊢ ↑(h.codRestrict ↑x) = ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projection.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
p q : Submodule R E
S : Type u_5
inst✝² : Semiring S
M : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module S M
m : Submodule S M
f : M →ₗ[S] M
h : IsProj m f
x : ↥m

⊢ f ↑x = ↑x
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
a : R

⊢ (coeff R m) (φ * (monomial R n) a) = if n ≤ m then (coeff R (m - n)) φ * a else 0
-- Mathlib/Logic/Embedding/Set.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
s t r : Set α
h : Disjoint s t

⊢ ↑(Sum.inl ⁻¹' (⇑(sumSet h) ⁻¹' r)) = r ∩ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : P.obj (op X)
ht : x.IsAmalgamation t
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : R f₁
h₂ : R f₂
comm : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

⊢ P.map g₁.op (x f₁ h₁) = P.map g₂.op (x f₂ h₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
x : FamilyOfElements P R
t : P.obj (op X)
ht : x.IsAmalgamation t
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ X
f₂ : Y₂ ⟶ X
h₁ : R f₁
h₂ : R f₂
comm : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

⊢ P.map (g₂ ≫ f₂).op t = P.map g₂.op (P.map f₂.op t)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : x ≤ 1
n : ℕ

⊢ x ^ (n + 1) ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
hx : x ≤ 1
n : ℕ

⊢ x ^ n * x ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
m n : ℕ
s : Simplex k P m
e : Fin (n + 1) ≃ Fin (m + 1)

⊢ (s.reindex e.symm).reindex e = s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
l u : ℝ
hfl : Tendsto (↑f) atBot (𝓝 l)
hfu : Tendsto (↑f) atTop (𝓝 u)

⊢ f.measure univ < ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
h : Tendsto (fun n => r ^ n) atTop (𝓝 0)

⊢ r < 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Triangulated.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
n : ℤ

⊢ ((mappingConeCompHomotopyEquiv f g).hom ≫ (triangle (mappingConeCompTriangle f g).mor₁).mor₃).f n = (mappingConeCompTriangle f g).mor₃.f n
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIcoDiv hp a b = toIcoDiv hp 0 (b - a)
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α

⊢ l.inits.length = l.length + 1
-- Mathlib/Computability/Language.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x✝ : List α
l : Language α
x : List α

⊢ x ∈ l∗ ↔ x ∈ ⨆ i, l ^ i
-- Mathlib/Computability/Language.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x✝ : List α
l : Language α
x : List α

⊢ (∃ L, x = L.join ∧ ∀ y ∈ L, y ∈ l) ↔ ∃ i S, x = S.join ∧ S.length = i ∧ ∀ y ∈ S, y ∈ l
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α

⊢ filter (fun x => c ≤ x) (Ico a b) = Ico (max a c) b
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α

⊢ sᶜ.card + s.card = Fintype.card α
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I✝ : C
Fm : I✝ ⟶ Y
m_mono✝¹ : Mono Fm
e✝¹ : X ⟶ I✝
Ffac : e✝¹ ≫ Fm = f
Fm' : I✝ ⟶ Y
m_mono✝ : Mono Fm'
e✝ : X ⟶ I✝
Ffac' : e✝ ≫ Fm' = f
hm : (mk I✝ Fm e✝¹ Ffac).m = eqToHom ⋯ ≫ (mk I✝ Fm' e✝ Ffac').m

⊢ mk I✝ Fm e✝¹ Ffac = mk I✝ Fm' e✝ Ffac'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I✝ : C
Fm : I✝ ⟶ Y
m_mono✝¹ : Mono Fm
e✝¹ : X ⟶ I✝
Ffac : e✝¹ ≫ Fm = f
Fm' : I✝ ⟶ Y
m_mono✝ : Mono Fm'
e✝ : X ⟶ I✝
Ffac' : e✝ ≫ Fm' = f
hm : Fm = Fm'

⊢ mk I✝ Fm e✝¹ Ffac = mk I✝ Fm' e✝ Ffac'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I✝ : C
Fm : I✝ ⟶ Y
m_mono✝¹ : Mono Fm
e✝¹ : X ⟶ I✝
Ffac : e✝¹ ≫ Fm = f
Fm' : I✝ ⟶ Y
m_mono✝ : Mono Fm'
e✝ : X ⟶ I✝
Ffac' : e✝ ≫ Fm' = f
hm : Fm = Fm'

⊢ e✝¹ = e✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I✝ : C
Fm : I✝ ⟶ Y
m_mono✝¹ : Mono Fm
e✝¹ : X ⟶ I✝
Ffac : e✝¹ ≫ Fm = f
Fm' : I✝ ⟶ Y
m_mono✝ : Mono Fm'
e✝ : X ⟶ I✝
Ffac' : e✝ ≫ Fm' = f
hm : Fm = Fm'

⊢ e✝¹ ≫ Fm = e✝ ≫ Fm
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
J : Type
inst✝¹ : Finite J
f : J → C
inst✝ : HasProduct f

⊢ HasBiproduct f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
J : Type
inst✝¹ : Finite J
f : J → C
inst✝ : HasProduct f
val✝ : Fintype J

⊢ HasBiproduct f
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
a : ℤ√d

⊢ a.re.gcd a.im = 0 ↔ a = 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
x : m.ToType

⊢ 0 < count x.fst m
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m : Multiset α
x : m.ToType
this : ↑x.snd < count x.fst m

⊢ 0 < count x.fst m
-- Mathlib/Data/Finset/Piecewise.lean
ι : Type u_1
π : ι → Sort u_2
s : Finset ι
f✝ g✝ : (i : ι) → π i
inst✝² : (j : ι) → Decidable (j ∈ s)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
f g : (i : ι) → π i

⊢ (univ.erase i).piecewise f g = update f i (g i)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
S✝ : WSeq (WSeq α)
T✝ : WSeq (WSeq β)
h : LiftRel (LiftRel R) S✝ T✝
s1 : WSeq α
s2 : WSeq β
x✝ : (fun s1 s2 => ∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) s1 s2
s : WSeq α
t : WSeq β
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
h1 : s1 = s.append S.join
h2 : s2 = t.append T.join
st : LiftRel R s t
ST : LiftRel (LiftRel R) S T

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s1 s2 => ∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) (s.append S.join).destruct (t.append T.join).destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
S✝ : WSeq (WSeq α)
T✝ : WSeq (WSeq β)
h : LiftRel (LiftRel R) S✝ T✝
s1 : WSeq α
s2 : WSeq β
x✝ : (fun s1 s2 => ∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) s1 s2
s : WSeq α
t : WSeq β
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
h1 : s1 = s.append S.join
h2 : s2 = t.append T.join
st : LiftRel R s t
ST : LiftRel (LiftRel R) S T

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s1 s2 => ∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) (s.destruct.bind (destruct_append.aux S.join)) (t.destruct.bind (destruct_append.aux T.join))
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
S✝ : WSeq (WSeq α)
T✝ : WSeq (WSeq β)
h : LiftRel (LiftRel R) S✝ T✝
s1 : WSeq α
s2 : WSeq β
x✝ : (fun s1 s2 => ∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) s1 s2
s : WSeq α
t : WSeq β
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
h1 : s1 = s.append S.join
h2 : s2 = t.append T.join
st : LiftRel R s t
ST : LiftRel (LiftRel R) S T

⊢ ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → Computation.LiftRel (LiftRelO R fun s1 s2 => ∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) (destruct_append.aux S.join a) (destruct_append.aux T.join b)
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q✝ a b c q : ℚ
h : q.isInt = true

⊢ q = ↑q.num
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q✝ a b c q : ℚ
h : q.den = 1

⊢ q = ↑q.num
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
S : Type u_4
S₃ : Type u_5
inst✝²⁹ : Semiring R
inst✝²⁸ : Semiring R₂
inst✝²⁷ : Semiring R₃
inst✝²⁶ : Semiring S
inst✝²⁵ : Semiring S₃
M : Type u_6
inst✝²⁴ : TopologicalSpace M
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Module R M
M₂ : Type u_7
inst✝²¹ : TopologicalSpace M₂
inst✝²⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁹ : Module R₂ M₂
M₃ : Type u_8
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M₃
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹⁶ : Module R₃ M₃
N₂ : Type u_9
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace N₂
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹³ : Module R N₂
N₃ : Type u_10
inst✝¹² : TopologicalSpace N₃
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N₃
inst✝¹⁰ : Module R N₃
inst✝⁹ : Module S₃ M₃
inst✝⁸ : SMulCommClass R₃ S₃ M₃
inst✝⁷ : ContinuousConstSMul S₃ M₃
inst✝⁶ : Module S N₂
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul S N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass R S N₂
inst✝³ : Module S N₃
inst✝² : SMulCommClass R S N₃
inst✝¹ : ContinuousConstSMul S N₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
c : S
h : M₂ →SL[σ₂₃] M₃
f✝ g✝ : M →SL[σ₁₂] M₂
x y z : M
f g : M × N₂ →L[R] N₃

⊢ f = g ↔ f.comp (inl R M N₂) = g.comp (inl R M N₂) ∧ f.comp (inr R M N₂) = g.comp (inr R M N₂)