ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : 𝓞 K
w : InfinitePlace K
h₁ : x ≠ 0
h₂ : ∀ ⦃w' : InfinitePlace K⦄, w' ≠ w → w' ↑x < 1
h₃ : w.IsReal ∨ |(w.embedding ↑x).re| < 1

⊢ ℚ⟮↑x⟯.toSubalgebra = ⊤
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : LinearOrderedField R
A : Matrix m n R
x : n → R

⊢ x ∈ LinearMap.ker (Aᵀ * A).mulVecLin ↔ x ∈ LinearMap.ker A.mulVecLin
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : LinearOrderedField R
A : Matrix m n R
x : n → R

⊢ Aᵀ *ᵥ A *ᵥ x = 0 ↔ A *ᵥ x = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R

⊢ IsOpen {x | IsUnit x}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R

⊢ ∀ x ∈ {x | IsUnit x}, ∃ ε > 0, Metric.ball x ε ⊆ {x | IsUnit x}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R
x : Rˣ

⊢ ∃ ε > 0, Metric.ball (↑x) ε ⊆ {x | IsUnit x}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R
x : Rˣ
y : R
hy : y ∈ Metric.ball ↑x ‖↑x⁻¹‖⁻¹

⊢ y ∈ {x | IsUnit x}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
a✝ : Nontrivial R
x : Rˣ
y : R
hy : ‖y - ↑x‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹

⊢ y ∈ {x | IsUnit x}
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), IsTrichotomous (β i) s
wf : WellFounded r
a b : (i : ι) → β i

⊢ Pi.Lex r s a b ∨ a = b ∨ Pi.Lex r s b a
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), IsTrichotomous (β i) s
wf : WellFounded r
a b : (i : ι) → β i
hab : a = b

⊢ Pi.Lex r s a b ∨ a = b ∨ Pi.Lex r s b a
-- Mathlib/Order/PiLex.lean
ι : Type u_1
β : ι → Type u_2
r : ι → ι → Prop
s : {i : ι} → β i → β i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), IsTrichotomous (β i) s
wf : WellFounded r
a b : (i : ι) → β i
hab : a ≠ b

⊢ Pi.Lex r s a b ∨ a = b ∨ Pi.Lex r s b a
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
f : Filter α
s : Set α

⊢ Disjoint (𝓟 s) f ↔ sᶜ ∈ f
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : k ≠ 0
n : ℤ

⊢ bernoulliFourierCoeff k n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : k ≠ 0

⊢ bernoulliFourierCoeff k 0 = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑0) ^ k
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : k ≠ 0
n : ℤ
hn : n ≠ 0

⊢ bernoulliFourierCoeff k n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : k ≠ 0
n : ℤ
hn : n ≠ 0

⊢ bernoulliFourierCoeff 1 n = -↑1! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ 1
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k✝ : ℕ
hk✝ : k✝ ≠ 0
n : ℤ
hn : n ≠ 0
k : ℕ
hk : 1 ≤ k
h'k : bernoulliFourierCoeff k n = -↑k ! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ k

⊢ bernoulliFourierCoeff (k + 1) n = -↑(k + 1)! / (2 * ↑π * I * ↑n) ^ (k + 1)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.229352}
f : α → β
s : Set β
h : Injective f

⊢ #↑(f ⁻¹' s) ≤ #↑s
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.229352}
f : α → β
s : Set β
h : Injective f

⊢ lift.{u, u} #↑(f ⁻¹' s) ≤ lift.{u, u} #↑s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z✝ w x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hw : w ≠ 0
h : y + z = w

⊢ x ^ w = x ^ y * x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z✝ w x y z : ℝ
hx : 0 ≤ x
hw : w ≠ 0
h : y + z = w

⊢ y + z ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
hp✝ : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
hp : 0 - Pell.d a1 * y * y = 1

⊢ 1 ≤ { re := ↑0, im := ↑y }
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
hp✝ : x * x - Pell.d a1 * y * y = 1
hp : 0 = 1

⊢ 1 ≤ { re := ↑0, im := ↑y }
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)

⊢ f ^ n ∈ 𝒜 (m * n)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)

⊢ f ^ n ∈ 𝒜 (n * m)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)

⊢ a ∈ carrier f_deg q ↔ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)

⊢ (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ^ m ∈ q.asIdeal) = (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * (n * m), num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ (n * m), ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ∈ q.asIdeal)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)

⊢ HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ^ m = HomogeneousLocalization.mk { deg := m * (n * m), num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ (n * m), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)

⊢ HomogeneousLocalization.val (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨a, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ } ^ m) = (HomogeneousLocalization.mk { deg := m * (n * m), num := ⟨a ^ m, ⋯⟩, den := ⟨f ^ (n * m), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }).val
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
a : A
n : ℕ
hn : a ∈ 𝒜 (n * m)

⊢ Localization.mk (a ^ m) (⟨f ^ n, ⋯⟩ ^ m) = Localization.mk (a ^ m) ⟨(f ^ n) ^ m, ⋯⟩
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
h1 : 0 ≤ x
h2 : x ≤ 1

⊢ 0 ≤ x.negMulLog
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w✝ : σ → M
n : M
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
m : M

⊢ (weightedHomogeneousComponent w m) φ ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w m
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w✝ : σ → M
n : M
φ✝ ψ : MvPolynomial σ R
w : σ → M
φ : MvPolynomial σ R
m : M

⊢ IsWeightedHomogeneous w ((weightedHomogeneousComponent w m) φ) m
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
x : α

⊢ (insert x s).encard ≤ s.encard + 1
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a b : α
s : Set α
x : α

⊢ (s ∪ {x}).encard ≤ s.encard + {x}.encard
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
a : ↥(𝒜 0)

⊢ ↑((projZeroRingHom' 𝒜) ↑a) = ↑a
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Bilinear.lean
ι : Sort uι
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
p : Submodule R M
q : Submodule R N

⊢ map₂ f p q = span R (image2 (fun m n => (f m) n) ↑p ↑q)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V

⊢ Module.rank K (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
h : ℵ₀ ≤ Module.rank K V
ι : Type u_3
b : Basis ι K V

⊢ Module.rank K (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_3
h : Infinite ι
b : Basis ι K V

⊢ Module.rank K (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_3
h : Infinite ι
b : Basis ι K V
e : (V →ₗ[K] K) ≃ₗ[K] ι → K

⊢ Module.rank K (V →ₗ[K] K) = #(V →ₗ[K] K)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/DivisionRing.lean
K✝ R : Type u
V✝ V₁ V₂ V₃ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝³ : DivisionRing K✝
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
ι : Type u_3
h : Infinite ι
b : Basis ι K V
e : (V →ₗ[K] K) ≃ₗ[K] ι → K

⊢ Module.rank K (ι → K) = #(ι → K)
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f' : α → γ → δ'
g' : β → δ' → ε
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' b (f' a c)

⊢ image2 f s (image2 g t u) = image2 g' t (image2 f' s u)
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f' : α → γ → δ'
g' : β → δ' → ε
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' b (f' a c)

⊢ image2 (fun a b => f b a) (image2 g t u) s = image2 g' t (image2 (fun a b => f' b a) u s)
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ : PMF α
f : (a : α) → a ∈ p✝.support → PMF β
p : PMF α

⊢ (p.bindOnSupport fun a x => pure a) = p
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
M : Matrix ι ι ℝ
hM : M.det ≠ 0

⊢ Measure.map (⇑(toLin' M)) volume = ofReal |M.det⁻¹| • volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
M : Matrix ι ι ℝ
hM : M.det ≠ 0

⊢ ∀ (D : ι → ℝ), (Matrix.diagonal D).det ≠ 0 → Measure.map (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D))) volume = ofReal |(Matrix.diagonal D).det⁻¹| • volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
M : Matrix ι ι ℝ
hM : M.det ≠ 0

⊢ ∀ (t : TransvectionStruct ι ℝ), Measure.map (⇑(toLin' t.toMatrix)) volume = ofReal |t.toMatrix.det⁻¹| • volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
M : Matrix ι ι ℝ
hM : M.det ≠ 0

⊢ ∀ (A B : Matrix ι ι ℝ), A.det ≠ 0 → B.det ≠ 0 → Measure.map (⇑(toLin' A)) volume = ofReal |A.det⁻¹| • volume → Measure.map (⇑(toLin' B)) volume = ofReal |B.det⁻¹| • volume → Measure.map (⇑(toLin' (A * B))) volume = ofReal |(A * B).det⁻¹| • volume
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
X₁ X₂ : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct X₁ X₂
inst✝ : PreservesLimit (pair X₁ X₂) (forget C)
x : (forget C).obj X₁ × (forget C).obj X₂

⊢ prod.snd ((prodEquiv X₁ X₂).symm x) = x.2
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
X₁ X₂ : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct X₁ X₂
inst✝ : PreservesLimit (pair X₁ X₂) (forget C)
y : (forget C).obj (X₁ ⨯ X₂)

⊢ prod.snd ((prodEquiv X₁ X₂).symm ((prodEquiv X₁ X₂) y)) = ((prodEquiv X₁ X₂) y).2
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
a b : Cauchy abs

⊢ ({ cauchy := a } - { cauchy := b }).cauchy = { cauchy := a }.cauchy - { cauchy := b }.cauchy
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
a b : Cauchy abs

⊢ ({ cauchy := a } - { cauchy := b }).cauchy = ({ cauchy := a } + -{ cauchy := b }).cauchy
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
u : (ZMod n)ˣ

⊢ ↑u * (↑u)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β
abv : β → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv
G : Type u_3
inst✝¹ : SMul G β
inst✝ : IsScalarTower G β β
f1 f2 : CauSeq β abv
c : G
hf : f1 ≈ f2

⊢ c • f1 ≈ c • f2
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
p : α → Bool
a : List α
l : List (List α)

⊢ countP p (a :: l).join = (map (countP p) (a :: l)).sum
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
f : G →g G'
f' : G' →g G''
u v u' v' : V
p✝ : G.Walk u v
p : G.Walk u u
hinj : Injective ⇑f

⊢ (Walk.map f p).IsCycle ↔ p.IsCycle
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
finj : Injective f
a : α
l : List α
this : (fun x => a == x) = fun x => f a == f x

⊢ map f (l.erase a) = (map f l).erase (f a)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
finj : Injective f
a : α
l : List α
this : (fun x => a == x) = fun x => f a == f x

⊢ map f (eraseP (fun x => f a == f x) l) = map f (eraseP ((fun x => f a == x) ∘ f) l)
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
hmn : m ≤ n

⊢ hitting u s n m ω = m
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
i : ι
ω : Ω
m : ι
hmn : m ≤ m

⊢ hitting u s m m ω = m
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
hmn : m ≤ n
h : m < n

⊢ hitting u s n m ω = m
-- Mathlib/CategoryTheory/CommSq.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.9360, u_1} C
A✝ B✝ X✝ Y✝ : C
f✝ : A✝ ⟶ X✝
i✝ : A✝ ⟶ B✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : B✝ ⟶ Y✝
A B X Y : Cᵒᵖ
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g
l : sq.LiftStruct

⊢ p.unop ≫ l.l.unop = g.unop
-- Mathlib/CategoryTheory/CommSq.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.9360, u_1} C
A✝ B✝ X✝ Y✝ : C
f✝ : A✝ ⟶ X✝
i✝ : A✝ ⟶ B✝
p✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : B✝ ⟶ Y✝
A B X Y : Cᵒᵖ
f : A ⟶ X
i : A ⟶ B
p : X ⟶ Y
g : B ⟶ Y
sq : CommSq f i p g
l : sq.LiftStruct

⊢ l.l.unop ≫ i.unop = f.unop
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
a : Matrix n n 𝕜
ha : a.IsHermitian
x : ℝ

⊢ x ∈ spectrum ℝ a ↔ x ∈ Set.range ha.eigenvalues
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/HermitianFunctionalCalculus.lean
n : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.IsHermitian
a : Matrix n n 𝕜
ha : a.IsHermitian
x : ℝ

⊢ ↑x ∈ Set.range (RCLike.ofReal ∘ ha.eigenvalues) ↔ x ∈ Set.range ha.eigenvalues
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x : ↑C
l : List (LocallyConstant ↑C ℤ)

⊢ l.prod x = (List.map (⇑(LocallyConstant.evalMonoidHom x)) l).prod
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
s : Finset I
x : ↑C
l : List (LocallyConstant ↑C ℤ)

⊢ l.prod x = (LocallyConstant.evalMonoidHom x) l.prod
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Lemmas.lean
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
x y : R
S : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Surjective ⇑f

⊢ (ker f).IsRadical ↔ IsReduced S
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Lemmas.lean
R : Type u_1
S✝ : Type u_2
x y : R
S : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
hf : Surjective ⇑f

⊢ (ker f).IsRadical ↔ ∀ (x : R), (∃ n, x ^ n ∈ ker f) → x ∈ ker f
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : I ⊔ K = ⊤

⊢ I ⊔ J * K = I ⊔ J
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : I ⊔ K = ⊤

⊢ I ⊔ K * J = I ⊔ J
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
l : List α
x : α
h : ¬p x = true

⊢ takeWhile p (x :: l) = []
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
X A : C
inst✝¹ : Nonempty ↑(F.obj X)
inst✝ : IsConnected A
f : X ⟶ A

⊢ Function.Surjective (F.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝³ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝² : FiberFunctor F
X A : C
inst✝¹ : Nonempty ↑(F.obj X)
inst✝ : IsConnected A
f : X ⟶ A
this : Epi f

⊢ Function.Surjective (F.map f)
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X

⊢ Dense s ↔ ∀ (x : X), f x ∈ closure (f '' s)
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
a b : α
h0 : f 0 = 0
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α
ha0 : ¬a = 0
hb0 : ¬b = 0
hf1 : ¬f 1 = 0
this✝ : Nontrivial α
this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid

⊢ f (∏ p ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, p ^ (Multiset.count p (normalizedFactors a) + Multiset.count p (normalizedFactors b))) = f (∏ p ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, p ^ Multiset.count p (normalizedFactors a)) * f (∏ p ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, p ^ Multiset.count p (normalizedFactors b))
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
a b : α
h0 : f 0 = 0
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α
ha0 : ¬a = 0
hb0 : ¬b = 0
hf1 : ¬f 1 = 0
this✝ : Nontrivial α
this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid

⊢ ∀ p ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, Prime p
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
a b : α
h0 : f 0 = 0
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α
ha0 : ¬a = 0
hb0 : ¬b = 0
hf1 : ¬f 1 = 0
this✝ : Nontrivial α
this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid

⊢ ∀ p ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, ∀ q ∈ (normalizedFactors a).toFinset ∪ (normalizedFactors b).toFinset, p ∣ q → p = q
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
a b : α
h0 : f 0 = 0
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α
ha0 : ¬a = 0
hb0 : ¬b = 0
hf1 : ¬f 1 = 0
this✝ : Nontrivial α
this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid

⊢ ∀ (p : α), p ∈ normalizedFactors a ∨ p ∈ normalizedFactors b → Prime p
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
β : Type u_3
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero β
f : α → β
a b : α
h0 : f 0 = 0
h1 : ∀ {x y : α}, IsUnit y → f (x * y) = f x * f y
hpr : ∀ {p : α} (i : ℕ), Prime p → f (p ^ i) = f p ^ i
hcp : ∀ {x y : α}, IsRelPrime x y → f (x * y) = f x * f y
this✝¹ : DecidableEq α := Classical.decEq α
ha0 : ¬a = 0
hb0 : ¬b = 0
hf1 : ¬f 1 = 0
this✝ : Nontrivial α
this : NormalizationMonoid α := UniqueFactorizationMonoid.normalizationMonoid

⊢ ∀ (p : α), p ∈ normalizedFactors a ∨ p ∈ normalizedFactors b → ∀ (q : α), q ∈ normalizedFactors a ∨ q ∈ normalizedFactors b → p ∣ q → p = q
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝¹ : G.IsEquivalence
inst✝ : (F ⋙ G).IsEquivalence

⊢ F.IsEquivalence