ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₁ : f₁ =O[l] g₁
h₂ : f₂ =o[l] g₂

⊢ (fun x => f₁ x * f₂ x) =o[l] fun x => g₁ x * g₂ x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₁ : f₁ =O[l] g₁
h₂ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₂ g₂

⊢ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₁ : f₁ =O[l] g₁
h₂ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₂ g₂
c : ℝ
cpos : 0 < c

⊢ IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c'✝ c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
h₁ : f₁ =O[l] g₁
h₂ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₂ g₂
c : ℝ
cpos : 0 < c
c' : ℝ
c'pos : c' > 0
hc' : IsBigOWith c' l f₁ g₁

⊢ IsBigOWith c l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f✝ f : R[X]

⊢ (taylor 0) f = f
-- Mathlib/Topology/Algebra/GroupCompletion.lean
M : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : UniformSpace α
inst✝⁴ : AddGroup α
inst✝³ : UniformAddGroup α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : UniformAddGroup β
x : Completion α

⊢ (completion 0 ⋯) x = 0 x
-- Mathlib/Topology/Algebra/GroupCompletion.lean
M : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : UniformSpace α
inst✝⁴ : AddGroup α
inst✝³ : UniformAddGroup α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : UniformAddGroup β
x : Completion α

⊢ IsClosed {a | (completion 0 ⋯) a = 0 a}
-- Mathlib/Topology/Algebra/GroupCompletion.lean
M : Type u_1
R : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝⁵ : UniformSpace α
inst✝⁴ : AddGroup α
inst✝³ : UniformAddGroup α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : AddGroup β
inst✝ : UniformAddGroup β
x : Completion α

⊢ ∀ (a : α), (completion 0 ⋯) (↑α a) = 0 (↑α a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
hp_top : ¬p = ⊤
hp1 : 1 ≤ p.toReal

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
hp : 1 ≤ p
B : ℕ → ℝ≥0∞
hB : ∑' (i : ℕ), B i ≠ ⊤
h_cau : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm (f n - f m) p μ < B N
hp_top : ¬p = ⊤
hp1 : 1 ≤ p.toReal
h_cau' : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → eLpNorm' (f n - f m) p.toReal μ < B N

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : IsEmpty α

⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α

⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}

⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = ⋃₀ S

⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = univ

⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = univ
T_ne : T.Nonempty

⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = univ
T_ne : T.Nonempty
f : ℕ → Set α
hf : T = range f

⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = univ
T_ne : T.Nonempty
f : ℕ → Set α
hf : T = range f
fS : ∀ (n : ℕ), f n ∈ S

⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn {K | IsOpen K})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = univ
T_ne : T.Nonempty
f : ℕ → Set α
hf : T = range f
fS : ∀ (n : ℕ), f n ∈ S

⊢ ⋃ i, f i = univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = univ
T_ne : T.Nonempty
f : ℕ → Set α
hf : T = range f
fS : ∀ (n : ℕ), f n ∈ S
x : α

⊢ x ∈ ⋃ i, f i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = univ
T_ne : T.Nonempty
f : ℕ → Set α
hf : T = range f
fS : ∀ (n : ℕ), f n ∈ S
x : α
t : Set α
tT : t ∈ range f
xt : x ∈ t

⊢ x ∈ ⋃ i, f i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SecondCountableTopology α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
h✝ : Nonempty α
inhabited_h : Inhabited α
S : Set (Set α) := {s | IsOpen s ∧ μ s < ⊤}
T : Set (Set α)
T_count : T.Countable
TS : T ⊆ S
hT : ⋃₀ T = univ
T_ne : T.Nonempty
f : ℕ → Set α
hf : T = range f
fS : ∀ (n : ℕ), f n ∈ S
x : α
n : ℕ
tT : f n ∈ range f
xt : x ∈ f n

⊢ x ∈ ⋃ i, f i
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
k l m n : α
u v : M
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0

⊢ single k u + single l v = single m u + single n v ↔ k = m ∧ l = n ∨ u = v ∧ k = n ∧ l = m ∨ u + v = 0 ∧ k = l ∧ m = n
-- Mathlib/Algebra/Star/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : Semifield R
inst✝ : StarRing R
x y : R

⊢ star (x / y) = star x / star y
-- Mathlib/Algebra/Star/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : Semifield R
inst✝ : StarRing R
x y : R

⊢ op (star (x / y)) = op (star x / star y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace α
cs : CompleteSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
h : edist x y ≠ ⊤
hy : IsFixedPt f y

⊢ edist x y ≤ edist x (f x) / (1 - ↑K)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/ApproximationCorollaries.lean
K : Type u_1
v : K
inst✝² : LinearOrderedField K
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Archimedean K
ε : K
ε_pos : ε > 0

⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, |v - (of v).convs n| < ε
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/ApproximationCorollaries.lean
K : Type u_1
v : K
inst✝² : LinearOrderedField K
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Archimedean K
ε : K
ε_pos : ε > 0
N' : ℕ
one_div_ε_lt_N' : 1 / ε < ↑N'

⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, |v - (of v).convs n| < ε
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/ApproximationCorollaries.lean
K : Type u_1
v : K
inst✝² : LinearOrderedField K
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Archimedean K
ε : K
ε_pos : ε > 0
N' : ℕ
one_div_ε_lt_N' : 1 / ε < ↑N'
N : ℕ := max N' 5
n : ℕ
n_ge_N : n ≥ N
g : GenContFract K := of v

⊢ |v - (of v).convs n| < ε
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/ApproximationCorollaries.lean
K : Type u_1
v : K
inst✝² : LinearOrderedField K
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Archimedean K
ε : K
ε_pos : ε > 0
N' : ℕ
one_div_ε_lt_N' : 1 / ε < ↑N'
N : ℕ := max N' 5
n : ℕ
n_ge_N : n ≥ N
g : GenContFract K := of v
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n

⊢ |v - (of v).convs n| < ε
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/ApproximationCorollaries.lean
K : Type u_1
v : K
inst✝² : LinearOrderedField K
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Archimedean K
ε : K
ε_pos : ε > 0
N' : ℕ
one_div_ε_lt_N' : 1 / ε < ↑N'
N : ℕ := max N' 5
n : ℕ
n_ge_N : n ≥ N
g : GenContFract K := of v
not_terminatedAt_n : ¬g.TerminatedAt n

⊢ |v - (of v).convs n| < ε
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ a.factorizationLCMLeft b * a.factorizationLCMRight b = a.lcm b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ ((a.lcm b).factorization.prod fun a_1 b_1 => (if b.factorization a_1 ≤ a.factorization a_1 then a_1 ^ b_1 else 1) * if b.factorization a_1 ≤ a.factorization a_1 then 1 else a_1 ^ b_1) = (a.lcm b).factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K

⊢ (starRingEnd K) (↑(re z) + ↑(im z) * I) = ↑(re z) - ↑(im z) * I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n : ℕ
h : a * b ∈ I ^ n

⊢ a ∈ I ^ n ∨ b ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n : ℕ
h : b * a ∈ I ^ n

⊢ a ∈ I ^ n ∨ b ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
a b : R
n : ℕ
h : b * a ∈ I ^ n

⊢ b ∈ I ∨ a ∈ I ^ n
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p m : Associates α
hp : Prime p
hle : m ≤ p

⊢ m = 1 ∨ m = p
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
m : Associates α
p : α
hp : Prime (Associates.mk p)
hle : m ≤ Associates.mk p

⊢ m = 1 ∨ m = Associates.mk p
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime (Associates.mk p)
m : α
hle : Associates.mk m ≤ Associates.mk p

⊢ Associates.mk m = 1 ∨ Associates.mk m = Associates.mk p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0

⊢ LipschitzWith K f ↔ ∀ (i : ι), LipschitzWith K fun a => ↑(f a) i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0

⊢ LipschitzOnWith K f Set.univ ↔ ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) Set.univ
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n : A
X : C

⊢ (shiftFunctor C (-n)).map ((shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).inv.app X) = (shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).inv.app ((shiftFunctor C (-n)).obj X)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0

⊢ padicNorm p (↑(f + g) (stationaryPoint hfg)) ≤ max (padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf))) (padicNorm p (↑g (stationaryPoint hg)))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0

⊢ padicNorm p (↑(f + g) (max (stationaryPoint hfg) (max ?v2 ?v3))) ≤ max (padicNorm p (↑f (max ?v1 (max (stationaryPoint hf) ?v3)))) (padicNorm p (↑g (max ?v1 (max ?v2 (stationaryPoint hg)))))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : ¬g ≈ 0

⊢ ℕ
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H
g : G

⊢ ∃ a, (rangeKerLift φ) a = ⟨φ g, ⋯⟩
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H
g : G

⊢ (rangeKerLift φ) ↑g = ⟨φ g, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
h : TendstoLocallyUniformlyOn F f p s
h' : s' ⊆ s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β
x : α
hx : x ∈ s'
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝[s] x
H : ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u

⊢ ∃ t ∈ 𝓝[s'] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
m n b : ℕ
hm : m ≠ 1
hn : 0 < n
hb : log m n < b
i : ℕ

⊢ i ∈ Ico 1 ((multiplicity m n).get ⋯ + 1) ↔ i ∈ filter (fun i => m ^ i ∣ n) (Ico 1 b)
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
m n b : ℕ
hm : m ≠ 1
hn : 0 < n
hb : log m n < b
i : ℕ

⊢ 1 ≤ i ∧ m ^ i ∣ n ↔ (1 ≤ i ∧ m ^ i ∣ n) ∧ i < b
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
m n b : ℕ
hm : m ≠ 1
hn : 0 < n
hb : log m n < b
i : ℕ
h : 1 ≤ i ∧ m ^ i ∣ n

⊢ i ≤ log m n
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n b : ℕ
hn : 0 < n
i m : ℕ
hm : m + 1 ≠ 1
hb : log (m + 1) n < b
h : 1 ≤ i ∧ (m + 1) ^ i ∣ n

⊢ i ≤ log (m + 1) n
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
inst✝ : Nontrivial α
x : α

⊢ {x}ᶜ.Nonempty
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α
inst✝ : Nontrivial α
x y : α
hy : y ≠ x

⊢ {x}ᶜ.Nonempty
-- Mathlib/LinearAlgebra/Charpoly/ToMatrix.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : Nontrivial R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M₁
inst✝⁷ : Module.Finite R M₁
inst✝⁶ : Module.Free R M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module.Finite R M₂
inst✝² : Module.Free R M₂
f : M →ₗ[R] M
ι : Type w
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
A : Matrix ι ι R := (toMatrix b b) f
b' : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
ι' : Type u_2 := ChooseBasisIndex R M
A' : Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := (toMatrix b' b') f
e : ι ≃ ChooseBasisIndex R M := b.indexEquiv b'
φ : Matrix ι ι R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R e e
φ₁ : Matrix ι ι' R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι' R := reindexLinearEquiv R R e (Equiv.refl ι')
φ₂ : Matrix ι' ι' R ≃ₗ[R] Matrix ι' ι' R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') (Equiv.refl ι')
φ₃ : Matrix ι' ι R ≃ₗ[R] Matrix ι' (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') e
P : Matrix ι (ChooseBasisIndex R M) R := b.toMatrix ⇑b'
Q : Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι R := b'.toMatrix ⇑b

⊢ ((toMatrix b b) f).charpoly = f.charpoly
-- Mathlib/LinearAlgebra/Charpoly/ToMatrix.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : Nontrivial R
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M₁
inst✝⁷ : Module.Finite R M₁
inst✝⁶ : Module.Free R M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module.Finite R M₂
inst✝² : Module.Free R M₂
f : M →ₗ[R] M
ι : Type w
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
A : Matrix ι ι R := (toMatrix b b) f
b' : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
ι' : Type u_2 := ChooseBasisIndex R M
A' : Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := (toMatrix b' b') f
e : ι ≃ ChooseBasisIndex R M := b.indexEquiv b'
φ : Matrix ι ι R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R e e
φ₁ : Matrix ι ι' R ≃ₗ[R] Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι' R := reindexLinearEquiv R R e (Equiv.refl ι')
φ₂ : Matrix ι' ι' R ≃ₗ[R] Matrix ι' ι' R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') (Equiv.refl ι')
φ₃ : Matrix ι' ι R ≃ₗ[R] Matrix ι' (ChooseBasisIndex R M) R := reindexLinearEquiv R R (Equiv.refl ι') e
P : Matrix ι (ChooseBasisIndex R M) R := b.toMatrix ⇑b'
Q : Matrix (ChooseBasisIndex R M) ι R := b'.toMatrix ⇑b
hPQ : C.mapMatrix (φ₁ P) * C.mapMatrix (φ₃ Q) = 1

⊢ ((toMatrix b b) f).charpoly = f.charpoly
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Continuum.lean
c : Cardinal.{u}

⊢ 𝔠 < lift.{v, u} c ↔ 𝔠 < c
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x a b c : α
h : (fun b => [[b, a]]) b = (fun b => [[b, a]]) c

⊢ b = c
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x a b c : α
h : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ (fun b => [[b, a]]) b ↔ a_1 ∈ (fun b => [[b, a]]) c

⊢ b = c
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ p x
inst✝ : Fintype { x // p x }

⊢ card { x // p x } = s.card
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop
s : Finset α
H : ∀ (x : α), x ∈ s ↔ p x
inst✝ : Fintype { x // p x }

⊢ card { x // p x } = card { x // p x }
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Ultra/Basic.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x✝ y✝ z : X
r✝ s : ℝ
x y : X
r : ℝ

⊢ y ∈ ball x r ↔ x ∈ ball y r