ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → count x l₁ ≤ count x l₂
x : α
hx : count x l₁ < count x l₂

⊢ ∀ (x_1 : α), x_1 ∈ x :: l₁ → count x_1 (x :: l₁) ≤ count x_1 l₂
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
h : ∀ (x : α), x ∈ l₁ → count x l₁ ≤ count x l₂
x : α
hx : count x l₁ < count x l₂
y : α
hy : y ∈ x :: l₁

⊢ count y (x :: l₁) ≤ count y l₂
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι✝ : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
ι : Type u_1
s : Finset ι
x : ι → A

⊢ ∏ i ∈ s, span R {x i} = span R {∏ i ∈ s, x i}
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹² : MeasurableSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α'
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β
inst✝⁹ : MeasurableSpace β'
inst✝⁸ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : SFinite ν
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
𝕜 : Type u_8
inst✝¹ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hE : CompleteSpace E
h : ¬Integrable (fun z => f z.1 • g z.2) (μ.prod ν)

⊢ ∫ (z : α × β), f z.1 • g z.2 ∂μ.prod ν = (∫ (x : α), f x ∂μ) • ∫ (y : β), g y ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹² : MeasurableSpace α
inst✝¹¹ : MeasurableSpace α'
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β
inst✝⁹ : MeasurableSpace β'
inst✝⁸ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : SFinite ν
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace ℝ E'
𝕜 : Type u_8
inst✝¹ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : α → 𝕜
g : β → E
hE : CompleteSpace E
h : ¬Integrable (fun z => f z.1 • g z.2) (μ.prod ν)
H : ¬Integrable f μ ∨ ¬Integrable g ν

⊢ ∫ (z : α × β), f z.1 • g z.2 ∂μ.prod ν = (∫ (x : α), f x ∂μ) • ∫ (y : β), g y ∂ν
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c d : Ordinal.{u}

⊢ a ⨳ b ≤ c ↔ ∀ a' < a, ∀ b' < b, a' ⨳ b ♯ a ⨳ b' < c ♯ a' ⨳ b'
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c d : Ordinal.{u}

⊢ ¬a ⨳ b ≤ c ↔ ¬∀ a' < a, ∀ b' < b, a' ⨳ b ♯ a ⨳ b' < c ♯ a' ⨳ b'
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}

⊢ o.nfpBFamily f a ∈ ⋂ i, ⋂ (hi : i < o), fixedPoints (f i hi)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max u v}

⊢ ∀ (i : Ordinal.{u}) (j : i < o), o.nfpBFamily f a ∈ fixedPoints (f i j)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/WittPolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Invertible ↑p
n : ℕ

⊢ xInTermsOfW p R n * C (↑p ^ n) = X n - ∑ i ∈ range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p R i ^ p ^ (n - i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : PolishSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Continuous f
hsurj : Surjective f
this✝¹ : MeasurableSpace X := borel X
this✝ : BorelSpace X

⊢ MeasurableSpace.map f (borel X) = borel Y
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrderIso.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a : α

⊢ ⇑e '' Iic a = Iic (e a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : Presieve.IsSheaf J F
hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
x : F.obj U
hx : x ∈ (sheafify J G).obj U

⊢ x ∈ G'.obj U
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : Presieve.IsSheaf J F
hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
x : F.obj U
hx : x ∈ (sheafify J G).obj U

⊢ x = ↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app U ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : Presieve.IsSheaf J F
hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
x : F.obj U
hx : x ∈ (sheafify J G).obj U

⊢ ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ unop U⦄, (G.sieveOfSection x).arrows f → F.map f.op x = F.map f.op ↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app U ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : Presieve.IsSheaf J F
hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
x : F.obj U
hx : x ∈ (sheafify J G).obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : (G.sieveOfSection x).arrows i

⊢ F.map i.op x = F.map i.op ↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app U ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : Presieve.IsSheaf J F
hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
x : F.obj U
hx : x ∈ (sheafify J G).obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : (G.sieveOfSection x).arrows i
this : (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift (homOfLe h) hG') = (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe h)

⊢ F.map i.op x = F.map i.op ↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app U ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : Presieve.IsSheaf J F
hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
x : F.obj U
hx : x ∈ (sheafify J G).obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : (G.sieveOfSection x).arrows i
this : (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift (homOfLe h) hG') = (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe h)

⊢ F.map i.op ↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app U ⟨x, hx⟩) = (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift (homOfLe h) hG')
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : G ≤ G'
hF : Presieve.IsSheaf J F
hG' : Presieve.IsSheaf J G'.toPresheaf
U : Cᵒᵖ
x : F.obj U
hx : x ∈ (sheafify J G).obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : (G.sieveOfSection x).arrows i
this : (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift (homOfLe h) hG') = (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe h)

⊢ ↑((G.sheafifyLift (homOfLe h) hG').app (op V) ((sheafify J G).toPresheaf.map i.op ⟨x, hx⟩)) = (fun f => ↑(f.app (op V) ⟨F.map i.op x, hi⟩)) (homOfLe ⋯ ≫ G.sheafifyLift (homOfLe h) hG')
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hdn : d ∣ n
a : ℕ

⊢ a < n / d ↔ d * a < n
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b c m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a : ℕ
hdn : 0 ∣ n

⊢ a < n / 0 ↔ 0 * a < n
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hdn : d ∣ n
a : ℕ
hd : d > 0

⊢ a < n / d ↔ d * a < n
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E : Set α
hE : E.Finite
f : Matroid α → Set α × Set (Set α) := fun M => (M.E, {B | M.Base B})

⊢ {M | M.E ⊆ E}.Finite
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E : Set α
hE : E.Finite
f : Matroid α → Set α × Set (Set α) := fun M => (M.E, {B | M.Base B})
hf : Function.Injective f

⊢ {M | M.E ⊆ E}.Finite
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E : Set α
hE : E.Finite
f : Matroid α → Set α × Set (Set α) := fun M => (M.E, {B | M.Base B})
hf : Function.Injective f

⊢ (f '' {M | M.E ⊆ E}).Finite
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E : Set α
hE : E.Finite
f : Matroid α → Set α × Set (Set α) := fun M => (M.E, {B | M.Base B})
hf : Function.Injective f

⊢ f '' {M | M.E ⊆ E} ⊆ {b | b ⊆ E} ×ˢ {b | b ⊆ {b | b ⊆ E}}
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E : Set α
hE✝ : E.Finite
f : Matroid α → Set α × Set (Set α) := fun M => (M.E, {B | M.Base B})
hf : Function.Injective f
M : Matroid α
hE : M.E ⊆ E

⊢ f M ∈ {b | b ⊆ E} ×ˢ {b | b ⊆ {b | b ⊆ E}}
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
E : Set α
hE✝ : E.Finite
f : Matroid α → Set α × Set (Set α) := fun M => (M.E, {B | M.Base B})
hf : Function.Injective f
M : Matroid α
hE : M.E ⊆ E

⊢ M.E ⊆ E ∧ ∀ (a : Set α), M.Base a → a ⊆ E
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ rexp x < 1 ↔ x < 0
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R
inst✝⁹ : Module.Free ℤ R
inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝³ : Algebra ℚ K
inst✝² : NoZeroDivisors K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ R
I : FractionalIdeal R⁰ K
bI : Basis ι ℤ ↥↑I

⊢ |(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).det (Subtype.val ∘ ⇑bI)| = absNorm I
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R
inst✝⁹ : Module.Free ℤ R
inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝³ : Algebra ℚ K
inst✝² : NoZeroDivisors K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ R
I : FractionalIdeal R⁰ K
bI : Basis ι ℤ ↥↑I
this : Nontrivial K

⊢ |(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).det (Subtype.val ∘ ⇑bI)| = absNorm I
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R
inst✝⁹ : Module.Free ℤ R
inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝³ : Algebra ℚ K
inst✝² : NoZeroDivisors K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ R
I : FractionalIdeal R⁰ K
bI : Basis ι ℤ ↥↑I
this : Nontrivial K
b₀ : Basis ι ℚ K := Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b

⊢ |(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).det (Subtype.val ∘ ⇑bI)| = absNorm I
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R
inst✝⁹ : Module.Free ℤ R
inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝³ : Algebra ℚ K
inst✝² : NoZeroDivisors K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ R
I : FractionalIdeal R⁰ K
bI : Basis ι ℤ ↥↑I
this : Nontrivial K
b₀ : Basis ι ℚ K := Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b
bI.num : Basis ι ℤ ↥I.num := bI.map (LinearEquiv.restrictScalars ℤ (equivNum ⋯))

⊢ |(Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).det (Subtype.val ∘ ⇑bI)| = absNorm I
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R
inst✝⁹ : Module.Free ℤ R
inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝³ : Algebra ℚ K
inst✝² : NoZeroDivisors K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ R
I : FractionalIdeal R⁰ K
bI : Basis ι ℤ ↥↑I
this : Nontrivial K
b₀ : Basis ι ℚ K := Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b
bI.num : Basis ι ℤ ↥I.num := bI.map (LinearEquiv.restrictScalars ℤ (equivNum ⋯))

⊢ |((Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).toMatrix (Subtype.val ∘ ⇑bI)).det| = |↑(b.toMatrix (Subtype.val ∘ ⇑bI.num)).det| / |↑((Algebra.norm ℤ) ↑I.den)|
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R
inst✝⁹ : Module.Free ℤ R
inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝³ : Algebra ℚ K
inst✝² : NoZeroDivisors K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ R
I : FractionalIdeal R⁰ K
bI : Basis ι ℤ ↥↑I
this : Nontrivial K
b₀ : Basis ι ℚ K := Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b
bI.num : Basis ι ℤ ↥I.num := bI.map (LinearEquiv.restrictScalars ℤ (equivNum ⋯))

⊢ |((Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).toMatrix (Subtype.val ∘ ⇑bI)).det| = |(algebraMap ℤ ℚ) (b.toMatrix (Subtype.val ∘ ⇑bI.num)).det| / |↑((Algebra.norm ℤ) ↑I.den)|
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : IsDedekindDomain R
inst✝⁹ : Module.Free ℤ R
inst✝⁸ : Module.Finite ℤ R
K : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing K
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : IsLocalization (Algebra.algebraMapSubmonoid R ℤ⁰) K
inst✝³ : Algebra ℚ K
inst✝² : NoZeroDivisors K
ι : Type u_3
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ R
I : FractionalIdeal R⁰ K
bI : Basis ι ℤ ↥↑I
this : Nontrivial K
b₀ : Basis ι ℚ K := Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b
bI.num : Basis ι ℤ ↥I.num := bI.map (LinearEquiv.restrictScalars ℤ (equivNum ⋯))

⊢ |((Basis.localizationLocalization ℚ ℤ⁰ K b).toMatrix (Subtype.val ∘ ⇑bI)).det| = |(b₀.toMatrix ((algebraMap R K) ↑I.den • Subtype.val ∘ ⇑bI)).det| / |↑((Algebra.norm ℤ) ↑I.den)|
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ (a * b).primeFactorsList ~ a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ (a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList).prod = a * b
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ ∀ p ∈ a.primeFactorsList ++ b.primeFactorsList, Prime p
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p 0) 1) ^ p ^ 0 = 1
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

⊢ (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {↑p})) 1 ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)

⊢ 1 ≠ 0
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s✝ : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
s t : Set α

⊢ Disjoint (𝓟 s) (𝓟 t) ↔ Disjoint s t
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l l' : List α
h : l ~r l'
hn : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l

⊢ l.prev x hx = l'.prev x ⋯
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l l' : List α
h : l ~r l'
hn : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l

⊢ l.reverse.next x ⋯ = l'.reverse.next x ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q R : C
f : Q ⟶ R
a : P ⟶ Q
h : a ≫ f = 0

⊢ pseudoApply f (Quot.mk (PseudoEqual Q) (Over.mk a)) = 0
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ

⊢ image₂ f s t = ∅ ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
h : Step (FreeGroup.invRev L₁) (FreeGroup.invRev L₂)

⊢ Step L₁ L₂
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
x : ℝ

⊢ ‖cexp (-b * ↑x ^ 2)‖ = rexp (-b.re * x ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
hf : HasIntegral I l f vol y

⊢ HasIntegral I l (-f) vol (-y)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
ι : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
A' : Type u_4
inst✝¹ : NormedCommRing A'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A'
f g : E → A
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : E
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N

⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 n (fun y => f y * g y) x‖ ≤ ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f x‖ * ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n - i) g x‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
s s₁ t u : Set E
ι : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
A' : Type u_4
inst✝¹ : NormedCommRing A'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A'
f g : E → A
N : ℕ∞
hf : ContDiff 𝕜 N f
hg : ContDiff 𝕜 N g
x : E
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N

⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => f y * g y) univ x‖ ≤ ∑ x_1 ∈ Finset.range (n + 1), ↑(n.choose x_1) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 x_1 f univ x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - x_1) g univ x‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P

⊢ (Pᵀ * J * P).IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) A₁ A₂ ↔ J.IsAdjointPair J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₂ * P⁻¹)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
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M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det

⊢ (Pᵀ * J * P).IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) A₁ A₂ ↔ J.IsAdjointPair J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₂ * P⁻¹)
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R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
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inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'

⊢ (Pᵀ * J * P).IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) A₁ A₂ ↔ J.IsAdjointPair J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₂ * P⁻¹)
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R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
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M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
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m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
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inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯

⊢ (Pᵀ * J * P).IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) A₁ A₂ ↔ J.IsAdjointPair J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₂ * P⁻¹)
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R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
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M₂' : Type u_10
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J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂

⊢ x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
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R : Type u_1
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M₂' : Type u_10
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ι : Type u_16
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inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
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inst✝³ : Fintype n
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J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂

⊢ x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x * ↑u = y
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n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : CommRing R
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inst✝⁶ : Module R M₁
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J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ A₂ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit P.det
u : (Matrix n n R)ˣ := P.nonsingInvUnit h'
v : (Matrix n n R)ˣ := Pᵀ.nonsingInvUnit ⋯
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₂

⊢ x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * (x * ↑u) = y