ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
y' : S
z' : ↥S⁰
hx : (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})
y : S
z : R
hz0 : z ≠ 0
yz_eq : z • y' = ↑z' * y

⊢ (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
y' : S
z' : ↥S⁰
hx : (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})
y : S
z : R
hz0 : z ≠ 0
yz_eq : z • y' = ↑z' * y
injRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)

⊢ (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
y' : S
z' : ↥S⁰
hx : (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})
y : S
z : R
hz0 : z ≠ 0
yz_eq : z • y' = ↑z' * y
injRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hz0' : (algebraMap R S) z ∈ S⁰

⊢ (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
y' : S
z' : ↥S⁰
hx : (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})
y : S
z : R
hz0 : z ≠ 0
yz_eq : z • y' = ↑z' * y
injRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hz0' : (algebraMap R S) z ∈ S⁰
mk_yz_eq : mk' L y' z' = mk' L y ⟨(algebraMap R S) z, hz0'⟩

⊢ (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
y' : S
z' : ↥S⁰
hx : (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})
y : S
z : R
hz0 : z ≠ 0
yz_eq : z • y' = ↑z' * y
injRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hz0' : (algebraMap R S) z ∈ S⁰
mk_yz_eq : mk' L y' z' = mk' L y ⟨(algebraMap R S) z, hz0'⟩

⊢ (algebraMap S L) (a * y) ∈ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
y' : S
z' : ↥S⁰
hx : (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})
y : S
z : R
hz0 : z ≠ 0
yz_eq : z • y' = ↑z' * y
injRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hz0' : (algebraMap R S) z ∈ S⁰
mk_yz_eq : mk' L y' z' = mk' L y ⟨(algebraMap R S) z, hz0'⟩

⊢ (algebraMap S L) (a * y) ∈ ↑(Submodule.span R (⇑(algebraMap S L) '' b))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
y' : S
z' : ↥S⁰
hx : (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})
y : S
z : R
hz0 : z ≠ 0
yz_eq : z • y' = ↑z' * y
injRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hz0' : (algebraMap R S) z ∈ S⁰
mk_yz_eq : mk' L y' z' = mk' L y ⟨(algebraMap R S) z, hz0'⟩

⊢ (algebraMap S L) (a * y) ∈ ↑(Submodule.map (↑R (Algebra.linearMap S L)) (Submodule.span R b))
-- Mathlib/Order/Interval/Set/UnorderedInterval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α

⊢ a ∈ Ι a b ↔ b < a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
y z : ℝ
n : ℕ
hy : 0 < y
hx : 0 ≤ 0
h : log 0 ≤ z * log y

⊢ 0 ≤ y ^ z
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝¹ : F.Initial
inst✝ : (F ⋙ G).Initial

⊢ G.Initial
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝¹ : F.Initial
inst✝ : (F ⋙ G).Initial

⊢ G.op.Final
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Final.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
inst✝¹ : F.Initial
inst✝ : (F ⋙ G).Initial
this : (F.op ⋙ G.op).Final

⊢ G.op.Final
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Projective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.PreservesEpimorphisms
P : C
hP : Projective P
E✝ X✝ : D
f : F.obj P ⟶ X✝
g : E✝ ⟶ X✝
x✝ : Epi g

⊢ ∃ f', f' ≫ g = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Projective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.PreservesEpimorphisms
P : C
hP : Projective P
E✝ X✝ : D
f : F.obj P ⟶ X✝
g : E✝ ⟶ X✝
x✝ : Epi g
f' : P ⟶ G.obj E✝
hf' : f' ≫ G.map g = adj.unit.app P ≫ G.map f

⊢ ∃ f', f' ≫ g = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Projective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.PreservesEpimorphisms
P : C
hP : Projective P
E✝ X✝ : D
f : F.obj P ⟶ X✝
g : E✝ ⟶ X✝
x✝ : Epi g
f' : P ⟶ G.obj E✝
hf' : f' ≫ G.map g = adj.unit.app P ≫ G.map f

⊢ (F.map f' ≫ adj.counit.app E✝) ≫ g = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Projective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝ : G.PreservesEpimorphisms
P : C
hP : Projective P
E✝ X✝ : D
f : F.obj P ⟶ X✝
g : E✝ ⟶ X✝
x✝ : Epi g
f' : P ⟶ G.obj E✝
hf' : f' ≫ G.map g = adj.unit.app P ≫ G.map f

⊢ F.map (adj.unit.app P ≫ G.map f) ≫ adj.counit.app X✝ = f
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r✝ p q r : ℝ≥0

⊢ ↑r = ENNReal.ofReal ↑r
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
a : ⨁ (i : ι), 𝒜 i
b : ℬ 0

⊢ (gradedComm R 𝒜 ℬ) (a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ 0) b) = (lof R ι ℬ 0) b ⊗ₜ[R] a
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
a : ⨁ (i : ι), 𝒜 i
b : ℬ 0

⊢ ↑(gradedComm R 𝒜 ℬ) ∘ₗ (mk R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i)).flip ((lof R ι ℬ 0) b) = (mk R (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i)) ((lof R ι ℬ 0) b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
a✝ : ⨁ (i : ι), 𝒜 i
b : ℬ 0
i : ι
a : 𝒜 i

⊢ (gradedComm R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ 0) b) = (lof R ι ℬ 0) b ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i) a
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c

⊢ (λ_ f).hom ▷ g = (α_ (𝟙 a) f g).hom ≫ (λ_ (f ≫ g)).hom
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K

⊢ (lift i j p) (i x) = j x
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : CommRing L
inst✝⁷ : CommRing M
inst✝⁶ : CommRing N
i : K →+* L
j : K →+* M
k : K →+* N
f : L →+* M
g : L →+* N
p : ℕ
inst✝⁵ : ExpChar K p
inst✝⁴ : ExpChar L p
inst✝³ : ExpChar M p
inst✝² : ExpChar N p
inst✝¹ : PerfectRing M p
inst✝ : IsPRadical i p
x : K

⊢ (RingEquiv.refl M).symm (j x) = j x
-- Mathlib/Algebra/Ring/Semiconj.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Distrib R
a x y x' y' : R
h : SemiconjBy a x y
h' : SemiconjBy a x' y'

⊢ SemiconjBy a (x + x') (y + y')
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hH : H.index ≠ 0
hK : K.index ≠ 0

⊢ (H ⊓ K).index ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
hH : H.relindex ⊤ ≠ 0
hK : K.relindex ⊤ ≠ 0

⊢ (H ⊓ K).relindex ⊤ ≠ 0
-- Mathlib/Data/Analysis/Topology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
τ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
F : Realizer α
s : F.σ
a : α
m : a ∈ F.F.f s

⊢ 𝓝 a ≤ 𝓟 (F.F.f s)
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]

⊢ natSepDegree 0 = 0
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t : Set (PrimeSpectrum R)
f : R

⊢ f ∈ ↑(vanishingIdeal t) ↔ f ∈ {f | ∀ x ∈ t, f ∈ x.asIdeal}
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t : Set (PrimeSpectrum R)
f : R

⊢ (∀ (i : PrimeSpectrum R), f ∈ ⨅ (_ : i ∈ t), i.asIdeal) ↔ f ∈ {f | ∀ x ∈ t, f ∈ x.asIdeal}
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t : Set (PrimeSpectrum R)
f : R

⊢ ∀ (a : PrimeSpectrum R), f ∈ ⨅ (_ : a ∈ t), a.asIdeal ↔ a ∈ t → f ∈ a.asIdeal
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t : Set (PrimeSpectrum R)
f : R
x : PrimeSpectrum R

⊢ f ∈ ⨅ (_ : x ∈ t), x.asIdeal ↔ x ∈ t → f ∈ x.asIdeal
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : α

⊢ a⁻¹ < 1 ↔ 1 < a
-- Mathlib/Data/Set/MulAntidiagonal.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α

⊢ (s.mulAntidiagonal t a).Finite
-- Mathlib/Data/Set/MulAntidiagonal.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/MulAntidiagonal.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/MulAntidiagonal.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/MulAntidiagonal.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))
m n : ℕ
mn : m < n
h2' : (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))

⊢ False
-- Mathlib/Data/Set/MulAntidiagonal.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
g : ℕ ↪o ℕ
hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))
m n : ℕ
mn : m < n
h2' : (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))

⊢ (Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m) = (Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hsc : IsClosed s
hs : s ⊆ support ↑f

⊢ IsClosed (↑(extChartAt I c) '' s)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hsc : IsClosed s
hs : s ⊆ support ↑f

⊢ IsClosed (closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I ∩ ↑(extChartAt I c).symm ⁻¹' s)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M
s : Set M
hsc : IsClosed s
hs : s ⊆ support ↑f

⊢ IsClosed (closedBall (↑(extChartAt I c) c) f.rOut ∩ range ↑I)
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
h : ¬H.relindex L = 0

⊢ (H ⊓ K).relindex L ≤ H.relindex L * K.relindex L
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
h : ¬H.relindex L = 0

⊢ H.relindex (K ⊓ L) * K.relindex L ≤ H.relindex L * K.relindex L
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
y : ℝ
hy : 0 < y

⊢ x ^ y = ⊤ ↔ x = ⊤
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
pf : Primrec' f

⊢ Primrec f
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝³ : CommMonoid M
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ+
inst✝ : CommMonoid R
ζ : ↥(rootsOfUnity k R)
m : ℕ

⊢ ↑↑(ζ ^ m) = ↑↑ζ ^ m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
ι : Type w
b : Basis ι R M
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal

⊢ ⋃ k, ↑(b.repr (v k)).support = Set.univ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
ι : Type w
b : Basis ι R M
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
h : ¬⋃ k, ↑(b.repr (v k)).support = Set.univ

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
ι : Type w
b : Basis ι R M
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
h : ∃ a, ∀ (x : κ), (b.repr (v x)) a = 0

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
ι : Type w
b : Basis ι R M
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
b' : ι
w : ∀ (x : κ), (b.repr (v x)) b' = 0
v' : Option κ → M := fun o => o.elim (b b') v

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
ι : Type w
b : Basis ι R M
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
b' : ι
w : ∀ (x : κ), (b.repr (v x)) b' = 0
v' : Option κ → M := fun o => o.elim (b b') v
r : range v ⊆ range v'

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
ι : Type w
b : Basis ι R M
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
b' : ι
w : ∀ (x : κ), (b.repr (v x)) b' = 0
v' : Option κ → M := fun o => o.elim (b b') v
r : range v ⊆ range v'
r' : b b' ∉ range v

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι✝¹ : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M✝ : Type u_6
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
ι : Type w
b : Basis ι R M
κ : Type w'
v : κ → M
i : LinearIndependent R v
m : i.Maximal
b' : ι
w : ∀ (x : κ), (b.repr (v x)) b' = 0
v' : Option κ → M := fun o => o.elim (b b') v
r : range v ⊆ range v'
r' : b b' ∉ range v
r'' : range v ≠ range v'

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x

⊢ f' < slope f x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
u : ℝ
hxu : x < u
huy : u < y

⊢ f' < slope f x y