ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
p q : MvPolynomial σ R
h : (map f) p = (map f) q

⊢ p = q
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q✝ : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
hf : Injective ⇑f
p q : MvPolynomial σ R
h : ∀ (m : σ →₀ ℕ), f (coeff m p) = f (coeff m q)

⊢ ∀ (m : σ →₀ ℕ), coeff m p = coeff m q
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
A B : Submodule R M
hAB : A ≤ B
f : Submodule R ↥B ≃o ↑(Set.Iic B) := B.mapIic
hf : f = B.mapIic

⊢ A ⋖ B ↔ IsSimpleModule R (↥B ⧸ Submodule.comap B.subtype A)
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : Ring S
M : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
m : Submodule R M
N : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
A B : Submodule R M
hAB : A ≤ B
f : Submodule R ↥B ≃o ↑(Set.Iic B) := B.mapIic
hf : f = B.mapIic

⊢ IsCoatom ⟨A, hAB⟩ ↔ IsCoatom (B.mapIic (Submodule.comap B.subtype A))
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
inst✝ : Nonempty α
l : List α
h : l.rotate 1 = l
n✝ n : ℕ
hn : l.rotate n = l

⊢ l.rotate n.succ = l
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ

⊢ 0 < μ {x | ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ f x}
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
f✝ : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
M₀ : Type u_4
inst✝ : Zero M₀
f : X → M₀

⊢ f =ᶠ[𝓝 x] 0 ↔ x ∉ closure (Function.support f)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
f✝ : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
M₀ : Type u_4
inst✝ : Zero M₀
f : X → M₀

⊢ {x | f x = 0 x} ∈ 𝓝 x ↔ {x | f x = 0} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasLeftHomology
inst✝ : HasKernel S.g
h : S.LeftHomologyData := S.leftHomologyData
this : HasColimit (parallelPair h.f' 0)

⊢ HasCokernel (kernel.lift S.g S.f ⋯)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝¹ : S.HasLeftHomology
inst✝ : HasKernel S.g
h : S.LeftHomologyData := S.leftHomologyData
this : HasColimit (parallelPair h.f' 0)
e : parallelPair (kernel.lift S.g S.f ⋯) 0 ≅ parallelPair h.f' 0 := parallelPair.ext (Iso.refl ((parallelPair (kernel.lift S.g S.f ⋯) 0).obj WalkingParallelPair.zero)) ((kernelIsKernel S.g).conePointUniqueUpToIso h.hi) ⋯ ⋯

⊢ HasCokernel (kernel.lift S.g S.f ⋯)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
x : R
hpq : p * q ≠ 0

⊢ rootMultiplicity x p + rootMultiplicity x q ≤ rootMultiplicity x (p * q)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
x : R
hpq : p * q ≠ 0

⊢ (X - C x) ^ rootMultiplicity x p * (X - C x) ^ rootMultiplicity x q ∣ p * q
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Finite J
F : J → Karoubi C
j✝¹ j✝ : J

⊢ biproduct.ι (fun j => (F j).X) j✝ ≫ ((biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j✝¹ = biproduct.ι (fun j => (F j).X) j✝ ≫ (biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ biproduct.π (fun j => (F j).X) j✝¹
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Finite J
F : J → Karoubi C
j : J

⊢ (biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ (biproduct.bicone fun j => (F j).X).π j = { X := ⨁ fun j => (F j).X, p := biproduct.map fun j => (F j).p, idem := ⋯ }.p ≫ ((biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ (biproduct.bicone fun j => (F j).X).π j) ≫ (F j).p
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Biproducts.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{v, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Finite J
F : J → Karoubi C
j : J

⊢ (biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.map fun j => (F j).p) = (F j).p ≫ (biproduct.ι (fun j => (F j).X) j ≫ biproduct.map fun j => (F j).p) ≫ { X := ⨁ fun j => (F j).X, p := biproduct.map fun j => (F j).p, idem := ⋯ }.p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ

⊢ LiouvilleWith 1 x
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ

⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n

⊢ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n
this : x < ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n

⊢ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n
this : x < ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n

⊢ |x - ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n| < 2 / ↑n ^ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n
this : x < ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n

⊢ ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n < (x * ↑n + 2) / ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
hn' : 0 < ↑n
this : x < ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) / ↑n

⊢ ↑(⌊x * ↑n⌋ + 1) < x * ↑n + 2
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : G →* K

⊢ IsPGroup p ↥(Subgroup.map ϕ H)
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : G →* K

⊢ IsPGroup p ↥(ϕ.comp H.subtype).range
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
f : α → β

⊢ f '' ⋂₀ S ⊆ ⋂ s ∈ S, f '' s
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
f : α → β

⊢ f '' ⋂ i ∈ S, i ⊆ ⋂ s ∈ S, f '' s
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
x : M ⊗[R] N

⊢ ∃ S, x = (Multiset.map (fun i => i.1 ⊗ₜ[R] i.2) S).sum
-- Mathlib/Control/Traversable/Instances.lean
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : Applicative G
inst✝¹ : LawfulApplicative G
inst✝ : LawfulApplicative F
η : ApplicativeTransformation F G
α : Type u_1
β : Type u
f : α → F β
x : List α

⊢ (fun {α} => η.app α) (List.traverse f x) = List.traverse ((fun {α} => η.app α) ∘ f) x
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
f : Filter α✝
g : Filter β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
ι : Type u_8
a : α
b : β
i : ι

⊢ (map (fun x => b) (𝓟 {a})).coprod (map id (𝓟 {i})) = 𝓟 ({b} ×ˢ univ ∪ univ ×ˢ {i})
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : PrimeMultiset
p : ℕ+
h : p ∈ v.toPNatMultiset

⊢ p.Prime
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : PrimeMultiset
p : ℕ+
h : p ∈ v.toPNatMultiset
val✝ : ℕ
hp' : Nat.Prime val✝
left✝ : ⟨val✝, hp'⟩ ∈ v
h_eq : Coe.coe ⟨val✝, hp'⟩ = p

⊢ p.Prime
-- Mathlib/Algebra/Star/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x : R

⊢ IsRegular (star x) ↔ IsRegular x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Normed.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
s t : Set E
x z : P
a : ℝ
ha₀ : 0 ≤ a
ha₁ : a ≤ 1

⊢ dist x ((AffineMap.lineMap x z) a) + dist ((AffineMap.lineMap x z) a) z = dist x z
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
t : Set γ

⊢ (r • s).preimage t = r.preimage (s.preimage t)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Wronskian.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a : R[X]

⊢ wronskian 0 a = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Wronskian.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a : R[X]

⊢ 0 a = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.59648, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A : C
k : K.X i ⟶ A
j : ι
hj : c.prev i = j
i' : ι
x : K.X i' ⟶ A
hx : k = K.d i i' ≫ x

⊢ K.d j i ≫ k = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
i j : α
σ : Perm α

⊢ swap i j * σ = σ ↔ i = j
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun x => x.2
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x : E × F

⊢ ‖(LinearMap.snd 𝕜 E F) x‖ ≤ 1 * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x : E × F

⊢ ‖(LinearMap.snd 𝕜 E F) x‖ ≤ ‖x‖
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ

⊢ T R ↑n.natAbs = T R n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
h : n = -↑n.natAbs

⊢ T R ↑n.natAbs = T R (-↑n.natAbs)
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : EuclideanDomain R
a b c : R
h : c ∣ b

⊢ c ∣ a % b ↔ c ∣ a
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α

⊢ ∂ a ≤ ∂ (a ⊔ b) ⊔ ∂ (a ⊓ b)
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α

⊢ ((a ⊓ ￢a ≤ a ⊔ (a ⊔ b) ∧ a ⊓ ￢a ≤ a ⊔ ￢(a ⊔ b)) ∧ a ⊓ ￢a ≤ a ⊔ b ∧ a ⊓ ￢a ≤ ￢(a ⊔ b) ⊔ b) ∧ a ⊓ ￢a ≤ a ⊔ (b ⊔ ￢(a ⊓ b)) ∧ a ⊓ ￢a ≤ ￢(a ⊔ b) ⊔ ￢(a ⊓ b)
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α

⊢ ￢a ≤ ￢(a ⊔ b) ⊔ b
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α

⊢ ￢a ≤ ￢(a ⊔ b) ⊔ ￢(a ⊓ b)
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
r' : α → α → Prop
hr₁ : Reflexive r'
hr₂ : Transitive r'
h : ∀ (x y : α), r x y → r' x y
x y : α
hxy : ReflTransGen r x y

⊢ r' x y
-- Mathlib/Algebra/Ring/Rat.lean
q : ℚ

⊢ ↑q.den * q = ↑q.num
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Mono f
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Mono g
Z : C
a b : Z ⟶ X
w : a ≫ f ≫ g = b ≫ f ≫ g

⊢ a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Mono f
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Mono g
Z : C
a b : Z ⟶ X
w : a ≫ f ≫ g = b ≫ f ≫ g

⊢ a ≫ f = b ≫ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Mono f
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Mono g
Z : C
a b : Z ⟶ X
w : a ≫ f ≫ g = b ≫ f ≫ g

⊢ (a ≫ f) ≫ g = (b ≫ f) ≫ g
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P

⊢ Collinear k {p}
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p : P

⊢ Module.rank k ↥⊥ ≤ 1
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
h : φ.order ≠ ψ.order

⊢ (φ + ψ).order = φ.order ⊓ ψ.order
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
h : φ.order ≠ ψ.order

⊢ (φ + ψ).order ≤ φ.order ⊓ ψ.order
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ✝ φ ψ : R⟦X⟧
h : φ.order ≠ ψ.order
H₁ : ¬φ.order < ψ.order
H₂ : ¬ψ.order < φ.order

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ tan (π / 4) = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ √2 / 2 / (√2 / 2) = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
h : √2 / 2 > 0

⊢ √2 / 2 / (√2 / 2) = 1
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s₁ s₂ : Set (Set Ω)
h : IndepSets s₁ s₂ κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ s₂
ht2 : t2 ∈ s₁

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s₁ s₂ : Set (Set Ω)
h : IndepSets s₁ s₂ κ μ
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ s₂
ht2 : t2 ∈ s₁
a : α
ha : (κ a) (t2 ∩ t1) = (κ a) t2 * (κ a) t1

⊢ (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
-- Mathlib/Data/Finsupp/AList.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : DecidableEq α
f : α →₀ M
a✝ : α

⊢ a✝ ∈ f.toAList.keys.toFinset ↔ a✝ ∈ f.support
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a : ℕ

⊢ (↑a)⁻¹.den = if a = 0 then 1 else a
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Bases.lean
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
a : A
s : Set A

⊢ s ∈ 𝓝 a ↔ ∃ i, True ∧ {b | b - a ∈ B i} ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Bases.lean
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
a : A
s : Set A

⊢ (∃ i ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, (fun y => a + y) '' i ⊆ s) ↔ ∃ i, True ∧ {b | b - a ∈ B i} ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Bases.lean
A : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Nonempty ι
B : ι → AddSubgroup A
hB : RingSubgroupsBasis B
a : A
s : Set A

⊢ (∃ i ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, (fun y => a + y) '' i ⊆ s) ↔ ∃ i, {b | b - a ∈ B i} ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ

⊢ HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) (cos z)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ

⊢ HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun i => ((z * I) ^ i / ↑i ! + (-z * I) ^ i / ↑i !) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)

⊢ HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum ((fun i => ((z * I) ^ i / ↑i ! + (-z * I) ^ i / ↑i !) / 2) ∘ ⇑(Nat.divModEquiv 2).symm) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)

⊢ HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2) / ↑(x.1 * 2 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (x.1 * 2 + ↑x.2) / ↑(x.1 * 2 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)

⊢ HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)

⊢ HasSum (fun n => (z * I) ^ (2 * n) / ↑(2 * n)!) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
k : ℕ

⊢ HasSum (fun c => ((z * I) ^ (2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2) / ↑(2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2)! + (-z * I) ^ (2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2) / ↑(2 * (k, c).1 + ↑(k, c).2)!) / 2) ((z * I) ^ (2 * k) / ↑(2 * k)!)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
k : ℕ

⊢ HasSum (fun c => ((z * I) ^ (2 * k + ↑c) / ↑(2 * k + ↑c)! + (-z * I) ^ (2 * k + ↑c) / ↑(2 * k + ↑c)!) / 2) ((z * I) ^ (2 * k) / ↑(2 * k)!)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
k : ℕ

⊢ (z * I) ^ (2 * k) / ↑(2 * k)! = ∑ b : Fin 2, ((z * I) ^ (2 * k + ↑b) / ↑(2 * k + ↑b)! + (-z * I) ^ (2 * k + ↑b) / ↑(2 * k + ↑b)!) / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ
this : HasSum (fun x => ((z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)! + (-z * I) ^ (2 * x.1 + ↑x.2) / ↑(2 * x.1 + ↑x.2)!) / 2) ((NormedSpace.exp ℂ (z * I) + NormedSpace.exp ℂ (-z * I)) / 2)
k : ℕ

⊢ (z * I) ^ (2 * k) / ↑(2 * k)! = ((z * I) ^ (2 * k + ↑0) / ↑(2 * k + ↑0)! + (-z * I) ^ (2 * k + ↑0) / ↑(2 * k + ↑0)!) / 2 + ((z * I) ^ (2 * k + ↑1) / ↑(2 * k + ↑1)! + (-z * I) ^ (2 * k + ↑1) / ↑(2 * k + ↑1)!) / 2
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char
x✝ : Substring
h : ValidFor l m r x✝

⊢ Iterator.ValidFor l.reverse (m ++ r) { s := x✝.str, i := x✝.startPos }
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/Integral.lean

⊢ StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] f => f.IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/Integral.lean

⊢ ∀ ⦃R S T : Type u_1⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], (algebraMap R T).IsIntegral → includeLeftRingHom.IsIntegral
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/Integral.lean
R S T : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
h : (algebraMap R T).IsIntegral
x : S ⊗[R] T

⊢ includeLeftRingHom.IsIntegralElem x
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/Integral.lean
R S T : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
h : (algebraMap R T).IsIntegral
x : S ⊗[R] T

⊢ includeLeftRingHom.IsIntegralElem 0
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/Integral.lean
R S T : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
h : (algebraMap R T).IsIntegral
x : S ⊗[R] T

⊢ ∀ (x : S) (y : T), includeLeftRingHom.IsIntegralElem (x ⊗ₜ[R] y)
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/Integral.lean
R S T : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T
h : (algebraMap R T).IsIntegral
x : S ⊗[R] T

⊢ ∀ (x y : S ⊗[R] T), includeLeftRingHom.IsIntegralElem x → includeLeftRingHom.IsIntegralElem y → includeLeftRingHom.IsIntegralElem (x + y)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂

⊢ B₁.ncard = B₂.ncard
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α

⊢ (∃ i, ∃ (_ : i ∈ S), a ∈ ↑i) ↔ ∃ s ∈ S, a ∈ s
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y

⊢ (a * a₁⁻¹).x < a.x
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y

⊢ a.x * a₁.x < d * (a.y * a₁.y) + a.x
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y

⊢ a₁.y * (a.x * a₁.x) < a₁.y * (d * (a.y * a₁.y) + a.x)
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y

⊢ a.x * a₁.y * a₁.x < a₁.y * (d * (a.y * a₁.y) + a.x)
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y

⊢ a.y * a₁.x * a₁.x < a₁.y * (d * (a.y * a₁.y) + a.x)
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y

⊢ a.y * (1 + d * a₁.y ^ 2) - a₁.y * (d * (a.y * a₁.y) + a.x) < 0
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y

⊢ a.y - a.x * a₁.y < 0
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a₁ : Solution₁ d
h : IsFundamental a₁
a : Solution₁ d
hax : 1 < a.x
hay : 0 < a.y

⊢ a.y ^ 2 < (1 + d * a.y ^ 2) * a₁.y ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommRing R
t : Multiset R
ht : 0 < Multiset.card t
a✝ : Nontrivial R

⊢ (Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.coeff (Multiset.card t - 1) = -t.sum
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommRing R
t : Multiset R
ht : 0 < Multiset.card t
a✝ : Nontrivial R

⊢ (Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.coeff (Multiset.card t - 1) = (Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.nextCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommRing R
t : Multiset R
ht : 0 < Multiset.card t
a✝ : Nontrivial R

⊢ (Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.coeff (Multiset.card t - 1) = (Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.coeff ((Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.natDegree - 1)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommRing R
t : Multiset R
ht : 0 < Multiset.card t
a✝ : Nontrivial R

⊢ ¬(Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.natDegree = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
k : ℕ

⊢ Summable fun s => ‖p (k + s.fst)‖₊ * r ^ s.fst