ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)

⊢ ‖(f ∘ cexp) ζ‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)

⊢ ∃ c < π / (π / 2 - 0), ∃ B, (f ∘ cexp) =O[comap (_root_.abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)

⊢ ∀ (z : ℂ), z.im = 0 → ‖(f ∘ cexp) z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)

⊢ ∀ (z : ℂ), z.im = π / 2 → ‖(f ∘ cexp) z‖ ≤ C
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ

⊢ p * X ^ n * q = p * q * X ^ n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]

⊢ f.eraseLead + C f.leadingCoeff * X ^ f.natDegree = f
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
φ : K →+* ℂ
hx : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))

⊢ (starRingEnd ℂ) (x φ) = x (ComplexEmbedding.conjugate φ)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
φ : K →+* ℂ
hx : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))

⊢ ∀ x ∈ Set.range ⇑(canonicalEmbedding K), (starRingEnd ℂ) (x φ) = x (ComplexEmbedding.conjugate φ)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
φ : K →+* ℂ
hx : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))

⊢ (starRingEnd ℂ) (0 φ) = 0 (ComplexEmbedding.conjugate φ)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
φ : K →+* ℂ
hx✝ : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))
x✝¹ x✝ : (K →+* ℂ) → ℂ
hx : (starRingEnd ℂ) (x✝¹ φ) = x✝¹ (ComplexEmbedding.conjugate φ)
hy : (starRingEnd ℂ) (x✝ φ) = x✝ (ComplexEmbedding.conjugate φ)

⊢ (starRingEnd ℂ) ((x✝¹ + x✝) φ) = (x✝¹ + x✝) (ComplexEmbedding.conjugate φ)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
x : (K →+* ℂ) → ℂ
φ : K →+* ℂ
hx✝ : x ∈ Submodule.span ℝ (Set.range ⇑(canonicalEmbedding K))
a : ℝ
x✝ : (K →+* ℂ) → ℂ
hx : (starRingEnd ℂ) (x✝ φ) = x✝ (ComplexEmbedding.conjugate φ)

⊢ (starRingEnd ℂ) ((a • x✝) φ) = (a • x✝) (ComplexEmbedding.conjugate φ)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/House.lean
K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : DecidableEq (K →+* ℂ)

⊢ 0 ≤ NumberField.house.supOfBasis K
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : (x : M) → x ∈ span R s → Prop
mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
add : ∀ (x : M) (hx : x ∈ span R s) (y : M) (hy : y ∈ span R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
smul : ∀ (a : R) (x : M) (hx : x ∈ span R s), p x hx → p (a • x) ⋯
x : M
hx : x ∈ span R s

⊢ p x hx
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
p : (x : M) → x ∈ span R s → Prop
mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
zero : p 0 ⋯
add : ∀ (x : M) (hx : x ∈ span R s) (y : M) (hy : y ∈ span R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
smul : ∀ (a : R) (x : M) (hx : x ∈ span R s), p x hx → p (a • x) ⋯
x : M
hx : x ∈ span R s

⊢ ∃ (x_1 : x ∈ span R s), p x x_1
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/End.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
h : Bijective ⇑f'
n : ℕ

⊢ Bijective ⇑(f' ^ (n + 1))
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/End.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
h : Bijective ⇑f'
n : ℕ

⊢ Bijective ⇑((f' ^ n) ∘ₗ f')
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x y z : ℝ

⊢ sinh x ≤ 0 ↔ x ≤ 0
-- Mathlib/Logic/Embedding/Basic.lean
α : Sort u
β : Sort v
f x✝¹ x✝ : α ≃ β
h : x✝¹.toEmbedding = x✝.toEmbedding

⊢ x✝¹ = x✝
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
η : Kernel β γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

⊢ ((η ∘ₖ κ) a) s = ((κ ⊗ₖ prodMkLeft α η).snd a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
η : Kernel β γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (b : β), (η b) s ∂κ a = ∫⁻ (b : β), ((prodMkLeft α η) (a, b)) {c | (b, c) ∈ {p | p.2 ∈ s}} ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
η : Kernel β γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

⊢ MeasurableSet {p | p.2 ∈ s}
-- Mathlib/SetTheory/Game/Impartial.lean
G✝ : PGame
inst✝¹ : G✝.Impartial
G : PGame
inst✝ : G.Impartial

⊢ G ≤ 0 ↔ 0 ≤ G
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X

⊢ X ∩ M.E = X
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
x : ↥(unop U)
V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
m : ↑x ∈ V
i : V ⟶ unop U
j : ℕ
r : A
r_mem : r ∈ 𝒜 j
s : A
s_mem : s ∈ 𝒜 j
nin : ∀ (x : ↥V), ↑⟨s, s_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
hy : ∀ (x : ↥V), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := j, num := ⟨r, r_mem⟩, den := ⟨s, s_mem⟩, den_mem := ⋯ }

⊢ ∃ V, ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ i, (isFractionPrelocal 𝒜).pred fun x => (-a) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
x : ↥(unop U)
V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
m : ↑x ∈ V
i : V ⟶ unop U
j : ℕ
r : A
r_mem : r ∈ 𝒜 j
s : A
s_mem : s ∈ 𝒜 j
nin : ∀ (x : ↥V), ↑⟨s, s_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
hy : ∀ (x : ↥V), (fun x => a ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) x = HomogeneousLocalization.mk { deg := j, num := ⟨r, r_mem⟩, den := ⟨s, s_mem⟩, den_mem := ⋯ }
y : ↥V

⊢ (fun x => (-a) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) y = HomogeneousLocalization.mk { deg := j, num := ⟨-r, ⋯⟩, den := ⟨s, s_mem⟩, den_mem := ⋯ }
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
U : (Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜))ᵒᵖ
a : (x : ↥(unop U)) → at ↑x
ha : (isLocallyFraction 𝒜).pred a
x : ↥(unop U)
V : Opens ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
m : ↑x ∈ V
i : V ⟶ unop U
j : ℕ
r : A
r_mem : r ∈ 𝒜 j
s : A
s_mem : s ∈ 𝒜 j
nin : ∀ (x : ↥V), ↑⟨s, s_mem⟩ ∉ (↑x).asHomogeneousIdeal
y : ↥V
hy : ∀ (x : ↥V), val (a ⟨↑x, ⋯⟩) = Localization.mk r ⟨s, ⋯⟩

⊢ (fun x => (-a) ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)) y = HomogeneousLocalization.mk { deg := j, num := ⟨-r, ⋯⟩, den := ⟨s, s_mem⟩, den_mem := ⋯ }
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
x y : α

⊢ ‖x ⊔ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/Lattice.lean
α : Type u_1
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup α
x y : α
h : ‖x ⊔ y - 0 ⊔ 0‖ ≤ ‖x - 0‖ + ‖y - 0‖

⊢ ‖x ⊔ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a✝ b✝ a b : α
l₁ l₂ : List α

⊢ Chain R a (l₁ ++ b :: l₂) ↔ Chain R a (l₁ ++ [b]) ∧ Chain R b l₂
-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddGroupWithOne G
inst✝¹ : AddGroup H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
x : G
n : ℤ

⊢ f (x - ↑n) = f x - n • b
-- Mathlib/Topology/Instances/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : a < 0

⊢ ContinuousAt (⇑SignType.sign) a
-- Mathlib/Topology/Instances/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : a < 0

⊢ (fun x => -1) =ᶠ[nhds a] ⇑SignType.sign
-- Mathlib/Topology/Instances/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : OrderTopology α
a : α
h : a < 0

⊢ ∃ t, (∀ y ∈ t, -1 = SignType.sign y) ∧ IsOpen t ∧ a ∈ t
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Degree.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ (x * y).intDegree = x.intDegree + y.intDegree
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Degree.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ ↑(x * y).num.natDegree + (↑x.denom.natDegree + ↑y.denom.natDegree) = ↑x.num.natDegree + ↑y.num.natDegree + ↑(x * y).denom.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Degree.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x y : RatFunc K
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ (x * y).num.natDegree + (x.denom.natDegree + y.denom.natDegree) = x.num.natDegree + y.num.natDegree + (x * y).denom.natDegree
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLinearOrder α
f : ι → α

⊢ iSup f = ⊤ ↔ ∀ b < ⊤, ∃ i, b < f i
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
U : Set α
hu : U.Nontrivial
h : IsPreconnected U
x : α
hx : x ∈ U

⊢ AccPt x (𝓟 U)
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
U : Set α
hu : U.Nontrivial
h : ∀ (t t' : Set α), IsClosed t → IsClosed t' → U ⊆ t ∪ t' → (U ∩ t).Nonempty → (U ∩ t').Nonempty → (U ∩ (t ∩ t')).Nonempty
x : α
hx : x ∈ U

⊢ AccPt x (𝓟 U)
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
U : Set α
hu : U.Nontrivial
h : ∀ (t t' : Set α), IsClosed t → IsClosed t' → U ⊆ t ∪ t' → (U ∩ t).Nonempty → (U ∩ t').Nonempty → (U ∩ (t ∩ t')).Nonempty
x : α
hx : x ∈ U

⊢ U ⊆ {x} ∪ closure (U \ {x})
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
U : Set α
hu : U.Nontrivial
h : ∀ (t t' : Set α), IsClosed t → IsClosed t' → U ⊆ t ∪ t' → (U ∩ t).Nonempty → (U ∩ t').Nonempty → (U ∩ (t ∩ t')).Nonempty
x : α
hx : x ∈ U

⊢ (U ∩ {x}).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
U : Set α
hu : U.Nontrivial
h : ∀ (t t' : Set α), IsClosed t → IsClosed t' → U ⊆ t ∪ t' → (U ∩ t).Nonempty → (U ∩ t').Nonempty → (U ∩ (t ∩ t')).Nonempty
x : α
hx : x ∈ U

⊢ (U ∩ closure (U \ {x})).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
U : Set α
hu : U.Nontrivial
x : α
hx : x ∈ U
h : (U ∩ ({x} ∩ closure (U \ {x}))).Nonempty

⊢ AccPt x (𝓟 U)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] F

⊢ MeasurePreserving (⇑f) volume volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] F

⊢ map (⇑f) volume = volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
w : Finset E
b : OrthonormalBasis { x // x ∈ w } ℝ E
_hw : ⇑b = Subtype.val

⊢ map (⇑f) volume = volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝⁶ : MeasurableSpace F
inst✝⁵ : BorelSpace F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : E ≃ₗᵢ[ℝ] F
w : Finset E
b : OrthonormalBasis { x // x ∈ w } ℝ E
_hw : ⇑b = Subtype.val

⊢ (b.toBasis.map f.toContinuousLinearEquiv.toLinearEquiv).addHaar = (b.map f).toBasis.addHaar
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝

⊢ cfc (g ∘ f) a = cfc g (cfc f a)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (spectrum R a)

⊢ cfc (g ∘ f) a = cfc g (cfc f a)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (spectrum R a)
sp_eq : spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ }) = f '' spectrum R a

⊢ cfc (g ∘ f) a = cfc g (cfc f a)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (spectrum R a)
sp_eq : spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ }) = f '' spectrum R a

⊢ (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict (g ∘ f), continuous_toFun := ⋯ } = (cfcHom ⋯) ({ toFun := (spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ })).restrict g, continuous_toFun := ⋯ }.comp ?f')
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (spectrum R a)
sp_eq : spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ }) = f '' spectrum R a

⊢ C(↑(spectrum R a), ↑(spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ })))
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : MetricSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSemiring R
inst✝⁶ : ContinuousStar R
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : StarRing A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
g f : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (f '' spectrum R a)) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
this : ContinuousOn (g ∘ f) (spectrum R a)
sp_eq : spectrum R ((cfcHom ⋯) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ }) = f '' spectrum R a

⊢ ∀ (x : ↑(spectrum R a)), { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } x = ↑(?f' x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R

⊢ count K v ↑v.asIdeal = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
hv : ↑v.asIdeal ≠ 0

⊢ count K v ↑v.asIdeal = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
hv : ↑v.asIdeal ≠ 0
h_self : ↑v.asIdeal = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑v.asIdeal

⊢ count K v ↑v.asIdeal = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
hv : ↑v.asIdeal ≠ 0
h_self : ↑v.asIdeal = spanSingleton R⁰ ((algebraMap R K) 1)⁻¹ * ↑v.asIdeal
hv_irred : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)

⊢ count K v ↑v.asIdeal = 1
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s t : WSeq α
h : s ~ʷ t
n : ℕ

⊢ s.drop n ~ʷ t.drop n
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
r : α → α → Prop
hr : ∀ (a : α), 1 < count a l → r a a
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b

⊢ Pairwise r l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
r : α → α → Prop
hr : ∀ (a : α), 1 < count a l → r a a
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b

⊢ ∀ {a b : α}, [a, b] <+ l → r a b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
r : α → α → Prop
hr : ∀ (a : α), 1 < count a l → r a a
h : ∀ (a : α), a ∈ l → ∀ (b : α), b ∈ l → a ≠ b → r a b
a b : α
hab : [a, b] <+ l

⊢ r a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs : NullMeasurableSet s μ

⊢ s =ᶠ[ae μ] univ ↔ μ s = μ univ