ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/IsPoly.lean
p : ℕ
R S : Type u
σ : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f g : ℕ → MvPolynomial ℕ ℤ
n : ℕ
h : ((fun fam => (bind₁ (⇑(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ∘ fam)) (xInTermsOfW p ℚ n)) fun n => (bind₁ f) (wittPolynomial p ℤ n)) = (fun fam => (bind₁ (⇑(MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) ∘ fam)) (xInTermsOfW p ℚ n)) fun n => (bind₁ g) (wittPolynomial p ℤ n)

⊢ (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (f n) = (MvPolynomial.map (Int.castRingHom ℚ)) (g n)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
L : List α

⊢ IsUnit L.prod ↔ ∀ m ∈ L, IsUnit m
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
L : List α
h : IsUnit L.prod

⊢ ∀ m ∈ L, IsUnit m
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
m : α
L : List α
ih : IsUnit L.prod → ∀ m ∈ L, IsUnit m
h : IsUnit (m :: L).prod

⊢ ∀ m_1 ∈ m :: L, IsUnit m_1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a : M
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
m : α
L : List α
ih : IsUnit L.prod → ∀ m ∈ L, IsUnit m
h : IsUnit m ∧ IsUnit L.prod

⊢ ∀ m_1 ∈ m :: L, IsUnit m_1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)

⊢ ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(-π / 2)

⊢ ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₃ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ⟦f⟧ ≠ 0

⊢ ⟦f⟧ * (⟦f⟧)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero

⊢ ⟦f⟧ * (⟦f⟧)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero

⊢ mk (f * f.inv ⋯) = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H✝ : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
H : SimpleGraph β
f : H ↪g G
h : G.CliqueFree n

⊢ H.CliqueFree n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H✝ : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
H : SimpleGraph β
f : H ↪g G
h : ¬H.CliqueFree n

⊢ ¬G.CliqueFree n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s t : Set (PrimeSpectrum R)
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t

⊢ s ⊂ t ↔ vanishingIdeal t < vanishingIdeal s
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Frobenius.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ

⊢ (bind₁ fun n => (bind₁ (wittPolynomial p ℚ ∘ fun n => n + 1)) (xInTermsOfW p ℚ n)) (wittPolynomial p ℚ n) = wittPolynomial p ℚ (n + 1)
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s : ι → Set Ω
hπ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

⊢ iCondIndepSets m' hm' (fun i => {s i}) μ ↔ ∀ (S : Finset ι), μ[(⋂ i ∈ S, s i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ S, μ[(s i).indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s : ι → Set Ω
hπ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

⊢ (∀ (s_1 : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s_1, f i ∈ {s i}) → μ[(⋂ i ∈ s_1, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s_1, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ↔ ∀ (S : Finset ι), μ[(⋂ i ∈ S, s i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ S, μ[(s i).indicator fun ω => 1|m']
-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s : ι → Set Ω
hπ : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

⊢ ∀ (i : ι), ∀ s_1 ∈ {s i}, MeasurableSet s_1
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u_1
m₁ m₂ : OuterMeasure α
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
t : Set α
hs₁ : s ∈ (fun m => {t | MeasurableSet t}) m₁.caratheodory
hs₂ : s ∈ (fun m => {t | MeasurableSet t}) m₂.caratheodory

⊢ (m₁ + m₂) t = (m₁ + m₂) (t ∩ s) + (m₁ + m₂) (t \ s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroObjects.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroObject D
F : C ⥤ D
hF : IsZero F
X : C
G : C ⥤ D := (Functor.const C).obj 0

⊢ IsZero (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroObjects.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroObject D
F : C ⥤ D
hF : IsZero F
X : C
G : C ⥤ D := (Functor.const C).obj 0
hG : IsZero G

⊢ IsZero (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroObjects.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroObject D
F : C ⥤ D
hF : IsZero F
X : C
G : C ⥤ D := (Functor.const C).obj 0
hG : IsZero G
e : F ≅ G := hF.iso hG

⊢ IsZero (F.obj X)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ
z : α × β

⊢ z ∈ closedBall x r ×ˢ closedBall y r ↔ z ∈ closedBall (x, y) r
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x✝ : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hcb : c ≤ b
x : α

⊢ x ∈ filter (fun x => x < c) (Ico a b) ↔ x ∈ Ico a c
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x✝ : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hcb : c ≤ b
x : α

⊢ (a ≤ x ∧ x < c) ∧ x < b ↔ a ≤ x ∧ x < c
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
hax : 0 < a.x
n : ℤ

⊢ 0 < (a ^ n).x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : AddCommMonoid B
inst✝ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15

⊢ (∑ x ∈ s, f x).sum t = ∑ x ∈ s, (f x).sum t
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
h : IsPushout f g inl inr
inst✝ : HasPushout f g

⊢ inr ≫ h.isoPushout.hom = pushout.inr f g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁

⊢ dualAnnihilator (W ⊓ W') = dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁

⊢ dualAnnihilator (W ⊓ W') ≤ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')

⊢ dualAnnihilator (W ⊓ W') ≤ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'

⊢ dualAnnihilator (W ⊓ W') ≤ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'

⊢ LinearMap.range F.dualMap ≤ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
φ : Dual K V₁

⊢ φ ∈ LinearMap.range F.dualMap → φ ∈ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
φ : Dual K V₁

⊢ (∃ y, F.dualMap y = φ) → φ ∈ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
x : Dual K ((V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W')

⊢ F.dualMap x ∈ dualAnnihilator W ⊔ dualAnnihilator W'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
x : Dual K ((V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W')

⊢ ∃ y ∈ dualAnnihilator W, ∃ z ∈ dualAnnihilator W', y + z = F.dualMap x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
a : Dual K (V₁ ⧸ W)
b : Dual K (V₁ ⧸ W')

⊢ ∃ y ∈ dualAnnihilator W, ∃ z ∈ dualAnnihilator W', y + z = F.dualMap ((dualProdDualEquivDual K (V₁ ⧸ W) (V₁ ⧸ W')) (a, b))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
b : Dual K (V₁ ⧸ W')
a' : ↥(dualAnnihilator W)

⊢ ∃ y ∈ dualAnnihilator W, ∃ z ∈ dualAnnihilator W', y + z = F.dualMap ((dualProdDualEquivDual K (V₁ ⧸ W) (V₁ ⧸ W')) ((dualQuotEquivDualAnnihilator W).symm a', b))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
a' : ↥(dualAnnihilator W)
b' : ↥(dualAnnihilator W')

⊢ ∃ y ∈ dualAnnihilator W, ∃ z ∈ dualAnnihilator W', y + z = F.dualMap ((dualProdDualEquivDual K (V₁ ⧸ W) (V₁ ⧸ W')) ((dualQuotEquivDualAnnihilator W).symm a', (dualQuotEquivDualAnnihilator W').symm b'))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
W W' : Subspace K V₁
F : V₁ →ₗ[K] (V₁ ⧸ W) × V₁ ⧸ W' := (mkQ W).prod (mkQ W')
this : LinearMap.ker F = W ⊓ W'
a' : ↥(dualAnnihilator W)
b' : ↥(dualAnnihilator W')

⊢ ↑a' + ↑b' = F.dualMap ((dualProdDualEquivDual K (V₁ ⧸ W) (V₁ ⧸ W')) ((dualQuotEquivDualAnnihilator W).symm a', (dualQuotEquivDualAnnihilator W').symm b'))
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
a u : β
hu : IsUnit u

⊢ u * a ~ᵤ a
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
a u : β
hu : IsUnit u

⊢ a * u ~ᵤ a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : Module 𝕜 E

⊢ Pointed 0
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α

⊢ _root_.Disjoint (s ∪ t) u ↔ _root_.Disjoint s u ∧ _root_.Disjoint t u
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b : α
s₁ s₂ : Finset α
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ s₁ ∩ s₂ ↔ x✝ ∈ s₂ ∩ s₁
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/GroupWithZero/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoidWithZero M₀
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : ι → M₀
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
h : f i = 0

⊢ ∏ j ∈ s, f j = 0
-- Mathlib/Order/Hom/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
ι : Sort u_3
inst✝ : CompleteLattice β
f : ι → α →o β

⊢ ⇑(⨆ i, f i) = ⨆ i, ⇑(f i)
-- Mathlib/Order/Hom/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
ι : Sort u_3
inst✝ : CompleteLattice β
f : ι → α →o β
x : α

⊢ (⨆ i, f i) x = (⨆ i, ⇑(f i)) x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.771514) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
r : R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, x ≤ r
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ a ≤ (algebraMap R A) r
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : OrderedCommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : StarOrderedRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.771514) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
r : R
a : A
h : ∀ x ∈ spectrum R a, x ≤ r
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ cfc id a ≤ (algebraMap R A) r
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hf : Measurable (Function.uncurry f)
a : α

⊢ (κ.withDensity f) a = (κ a).withDensity (f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : Integrable f μ
hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))

⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ = ∫ (x : G ⧸ Γ), automorphize f x ∂Measure.map mk (μ.restrict 𝓕)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : Integrable f μ
hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))

⊢ ∑' (γ : ↥Γ.op), ∫ (x : G) in 𝓕, f (γ • x) ∂μ = ∫ (x : G) in 𝓕, ∑' (γ : ↥Γ.op), f (γ • x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : Integrable f μ
hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))

⊢ ∀ (i : ↥Γ.op), AEStronglyMeasurable (fun x => f (i • x)) (μ.restrict 𝓕)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁰ : Group G
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
μ : Measure G
Γ : Subgroup G
𝓕 : Set G
h𝓕 : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) 𝓕 μ
inst✝⁵ : Countable ↥Γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace (G ⧸ Γ)
inst✝³ : BorelSpace (G ⧸ Γ)
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
f : G → E
hf₁ : Integrable f μ
hf₂ : AEStronglyMeasurable (automorphize f) (Measure.map mk (μ.restrict 𝓕))

⊢ ∑' (i : ↥Γ.op), ∫⁻ (a : G) in 𝓕, ↑‖f (i • a)‖₊ ∂μ ≠ ⊤
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
inst✝ : DecidableEq V
v : V
x✝ : ↑(G.neighborSet v)
w : V
hw : w ∈ G.neighborSet v

⊢ (fun e => ⟨G.otherVertexOfIncident ⋯, ⋯⟩) ((fun w => ⟨s(v, ↑w), ⋯⟩) ⟨w, hw⟩) = ⟨w, hw⟩
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
inst✝ : DecidableEq V
v : V
x✝ : ↑(G.neighborSet v)
w : V
hw : w ∈ G.neighborSet v

⊢ G.otherVertexOfIncident ⋯ = w
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α

⊢ s.attach = ∅ ↔ s = ∅
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ f ▷ 𝟙_ C = (ρ_ X).hom ≫ f ≫ (ρ_ Y).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ f ▷ 𝟙_ C = (f ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ Y).hom) ≫ (ρ_ Y).inv
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0

⊢ Real.cos (angle x (x + y)) = ‖x‖ / ‖x + y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0

⊢ ‖x‖ ≤ ‖x + y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0

⊢ ‖x‖ * ‖x‖ ≤ ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
δ : ℝ
E : Set α
h : y ∈ E
h' : dist x y ≤ δ

⊢ x ∈ cthickening δ E
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
δ : ℝ
E : Set α
h : y ∈ E
h' : dist x y ≤ δ

⊢ edist x y ≤ ENNReal.ofReal δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
δ : ℝ
E : Set α
h : y ∈ E
h' : dist x y ≤ δ

⊢ ENNReal.ofReal (dist x y) ≤ ENNReal.ofReal δ
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂

⊢ f₁.lift g₁ ×ˢ f₂.lift g₂ = f₁.lift fun s => f₂.lift fun t => g₁ s ×ˢ g₂ t
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂

⊢ (f₁.lift fun s => (g₁ s).lift fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = f₁.lift fun s => f₂.lift fun t => (g₁ s).lift fun s => (g₂ t).lift' fun t => s ×ˢ t
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂

⊢ (fun s => (g₁ s).lift fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = fun s => f₂.lift fun t => (g₁ s).lift fun s => (g₂ t).lift' fun t => s ×ˢ t
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
x : Set α₁

⊢ ((g₁ x).lift fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = f₂.lift fun t => (g₁ x).lift fun s => (g₂ t).lift' fun t => s ×ˢ t
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
x : Set α₁

⊢ ((g₁ x).lift fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = (g₁ x).lift fun t => f₂.lift fun s => (g₂ s).lift' fun t_1 => t ×ˢ t_1
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
x : Set α₁

⊢ (fun s => (f₂.lift g₂).lift' fun t => s ×ˢ t) = fun t => f₂.lift fun s => (g₂ s).lift' fun t_1 => t ×ˢ t_1
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f : Filter α
α₁ : Type u_5
α₂ : Type u_6
β₁ : Type u_7
β₂ : Type u_8
f₁ : Filter α₁
f₂ : Filter α₂
g₁ : Set α₁ → Filter β₁
g₂ : Set α₂ → Filter β₂
hg₁ : Monotone g₁
hg₂ : Monotone g₂
x : Set α₁
y : Set β₁

⊢ ((f₂.lift g₂).lift' fun t => y ×ˢ t) = f₂.lift fun s => (g₂ s).lift' fun t => y ×ˢ t
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
S : Subsemigroup M
s : Subsemigroup N
x : M × N

⊢ x ∈ ⊤.prod s ↔ x ∈ comap (MulHom.snd M N) s