ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
hx : x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range

⊢ T' (↑f ⁻¹' {x}) = c • T (↑f ⁻¹' {x})
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
hx : x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range

⊢ x ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T T' : Set α → E →L[ℝ] F'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
x : E
hx : x ∈ f.range ∧ x ≠ 0

⊢ x ≠ 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → β → α
f : β → α
h₁ : Tendsto F l (𝓝 f)
h₂ : UniformEquicontinuous F

⊢ UniformContinuous f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
F : ι → β → α
f : β → α
h₁ : ∀ (x : β), Tendsto (fun i => F i x) l (𝓝 (f x))
h₂ : UniformEquicontinuousOn F univ

⊢ UniformContinuousOn f univ
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ

⊢ map₂ m f (pure b) = map (fun x => m x b) f
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ

⊢ map ((fun p => m p.1 p.2) ∘ fun a => (a, b)) f = map (fun x => m x b) f
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m : ℕ

⊢ 0 < ack (m + 1) 0
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m : ℕ

⊢ 0 < ack m 1
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ

⊢ 0 < ack (m + 1) (n + 1)
-- Mathlib/Computability/Ackermann.lean
m n : ℕ

⊢ 0 < ack m (ack (m + 1) n)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
Δ Δ'' : SimplexCategory
φ : Δ ⟶ Δ''
e : Δ ⟶ image φ
inst✝¹ : Epi e
i : image φ ⟶ Δ''
inst✝ : Mono i
fac : e ≫ i = φ

⊢ factorThruImage φ = e
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i0 ≤ i

⊢ 0 ≤ toZ i0 i
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
hi : i0 ≤ i

⊢ 0 ≤ ↑(Nat.find ⋯)
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ

⊢ f ∈ s.finsuppAntidiag n ↔ (f.sum fun x x => x) = n ∧ f.support ⊆ s
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ

⊢ f.support ⊆ s → (s.sum ⇑f = n ↔ (f.sum fun x x => x) = n)
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ
hf : f.support ⊆ s

⊢ s.sum ⇑f = n ↔ (f.sum fun x x => x) = n
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
x y n m : ℕ
hx : x < 2 ^ n
hy : y < 2 ^ m

⊢ y <<< n ||| x < 2 ^ (n + m)
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
x y n m : ℕ
hx : x < 2 ^ n
hy : y < 2 ^ m

⊢ y <<< n < 2 ^ (n + m)
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
x y n m : ℕ
hx : x < 2 ^ n
hy : y < 2 ^ m

⊢ x < 2 ^ (n + m)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
u₁ u₂ : UniformSpace γ

⊢ uniformSpace α γ = uniformSpace α γ ⊓ uniformSpace α γ
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
u₁ u₂ : UniformSpace γ

⊢ ⨅ i, uniformSpace α γ = ⨅ b, bif b then uniformSpace α γ else uniformSpace α γ
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
u₁ u₂ : UniformSpace γ
i : Bool

⊢ uniformSpace α γ = bif i then uniformSpace α γ else uniformSpace α γ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
θ : Real.Angle

⊢ ↑z.arg = θ ↔ z.arg = θ.toReal
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a✝ : α
m : Multiset ι
f g : ι → α
inst✝ : DecidableEq ι
a : ι
h : a ∈ m

⊢ f a * (map f (m.erase a)).prod = (map f m).prod
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
f : E →SL[σ₁₂] F

⊢ ‖-f‖ = ‖f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
h : μ s ≠ ⊤

⊢ μ s * ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g f : α → ℝ≥0∞
h : μ s ≠ ⊤
this : Fact (μ s < ⊤)

⊢ μ s * ⨍⁻ (x : α) in s, f x ∂μ = ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x✝ y z x : ℝ
hx : x ∈ interior (Ici 0)

⊢ 0 < deriv cosh x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x✝ y z x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ 0 < deriv cosh x
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/DensityTheorem.lean
α : Type u_1
inst✝⁸ : MetricSpace α
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁶ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
K : ℝ

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∀ {ι : Type u_3} {l : Filter ι} (w : ι → α) (δ : ι → ℝ), Tendsto δ l (𝓝[>] 0) → (∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)) → Tendsto (fun j => ⨍ (y : α) in closedBall (w j) (δ j), f y ∂μ) l (𝓝 (f x))
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α

⊢ M.Base ∅ ↔ M = loopyOn M.E
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α

⊢ (∀ (I : Set α), M.Indep I → I = ∅) ↔ ∀ I ⊆ M.E, M.Indep I ↔ I = ∅
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p✝ : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p✝
s s' : Multiset α
p p' : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred p'

⊢ s = s' → (∀ x ∈ s, p x = p' x) → countP p s = countP p' s'
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Pi.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝³ : Nontrivial α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : Finite ι
x y : ι → α
h : ∀ (i : ι), x i < y i

⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∀ (i : ι), x i + ε < y i
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Pi.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝³ : Nontrivial α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : Finite ι
x y : ι → α
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι

⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∀ (i : ι), x i + ε < y i
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Pi.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝³ : Nontrivial α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : Finite ι
x y : ι → α
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
h✝ : IsEmpty ι

⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∀ (i : ι), x i + ε < y i
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Pi.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝³ : Nontrivial α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : Finite ι
x y : ι → α
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
h✝ : Nonempty ι

⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∀ (i : ι), x i + ε < y i
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Pi.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝³ : Nontrivial α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : Finite ι
x y : ι → α
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
h✝ : Nonempty ι
ε : ι → α
hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i
hxε : ∀ (i : ι), x i + ε i = y i

⊢ ∃ ε, 0 < ε ∧ ∀ (i : ι), x i + ε < y i
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Pi.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝³ : Nontrivial α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : Finite ι
x : ι → α
val✝ : Fintype ι
h✝ : Nonempty ι
ε : ι → α
hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i
h : ∀ (i : ι), x i < (x + ε) i
hxε : ∀ (i : ι), x i + ε i = (x + ε) i

⊢ ∃ ε_1, 0 < ε_1 ∧ ∀ (i : ι), x i + ε_1 < (x + ε) i
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Pi.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝³ : Nontrivial α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : Finite ι
x : ι → α
val✝ : Fintype ι
h✝ : Nonempty ι
ε : ι → α
hε✝ : ∀ (i : ι), 0 < ε i
h : ∀ (i : ι), x i < (x + ε) i
hxε : ∀ (i : ι), x i + ε i = (x + ε) i
hε : 0 < Finset.univ.inf' ⋯ ε

⊢ ∃ ε_1, 0 < ε_1 ∧ ∀ (i : ι), x i + ε_1 < (x + ε) i
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Pi.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝³ : Nontrivial α
inst✝² : DenselyOrdered α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : Finite ι
x : ι → α
val✝ : Fintype ι
h✝ : Nonempty ι
ε : ι → α
hε✝ : ∀ (i : ι), 0 < ε i
h : ∀ (i : ι), x i < (x + ε) i
hxε : ∀ (i : ι), x i + ε i = (x + ε) i
hε : 0 < Finset.univ.inf' ⋯ ε
δ : α
hδ : 0 < δ
hδε : δ < Finset.univ.inf' ⋯ ε

⊢ ∃ ε_1, 0 < ε_1 ∧ ∀ (i : ι), x i + ε_1 < (x + ε) i
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)

⊢ LSeriesSummable f s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C

⊢ LSeriesSummable f s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
hsum : Summable fun n => ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖

⊢ LSeriesSummable f s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
hsum : Summable fun n => ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
n : ℕ

⊢ ‖term f s n‖ ≤ ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
hsum : Summable fun n => ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖

⊢ ‖term f s 0‖ ≤ ‖↑C / ↑0 ^ (s + (1 - ↑x))‖
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
hsum : Summable fun n => ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
n : ℕ
hn : n > 0

⊢ ‖term f s n‖ ≤ ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
hsum : Summable fun n => ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n ^ s.re

⊢ ‖term f s n‖ ≤ ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
hsum : Summable fun n => ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n ^ s.re

⊢ ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (-(s + (1 - ↑x)).re + s.re)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
x : ℝ
s : ℂ
hs : x < s.re
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
hC₀ : 0 ≤ C
hsum : Summable fun n => ‖↑C / ↑n ^ (s + (1 - ↑x))‖
n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n ^ s.re

⊢ ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ (x - 1)
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
m : γ → β

⊢ comap m (f.lift g) = f.lift (comap m ∘ g)
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
m : γ → β

⊢ ⨅ i ∈ f, comap m (g i) = ⨅ s ∈ f, (comap m ∘ g) s
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α

⊢ Eₘ[s, univ] = Fintype.card α * s.card ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι

⊢ DiscreteTopology ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι)))
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι

⊢ DiscreteTopology ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι)))
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι

⊢ Subtype.val ⁻¹' Metric.ball 0 1 = {0}
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
x : ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι)))

⊢ x ∈ Subtype.val ⁻¹' Metric.ball 0 1 ↔ x ∈ {0}
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
x : ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι)))

⊢ (∀ (i : ι), ‖↑x i‖ < 1) ↔ x = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
x : ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι)))

⊢ (∀ (i : ι), |↑x i| < 1) ↔ ∀ (a : ι), ↑x a = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
x : ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι)))
i : ι

⊢ |↑x i| < 1 ↔ ↑x i = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
x : ↥(span ℤ (Set.range ⇑(Pi.basisFun ℝ ι)))
i : ι

⊢ ∃ y, ↑y = ↑x i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t s : Set α

⊢ μ s = μ.trim s
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α

⊢ x ∈ Ico a b \ {a} ↔ x ∈ Ioo a b
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β

⊢ ⊥.inv = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : IsIntegralClosure A R B
h : optParam (IsIntegral R 0) ⋯

⊢ (algebraMap A B) (mk' A 0 h) = (algebraMap A B) 0
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
s : Set α
inst✝ : NoMinOrder α
a b : α
h : a < b

⊢ frontier (Ico a b) = {a, b}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx1 : -(3 * π / 2) ≤ x
hx2 : x ≤ 3 * π / 2
hx3 : x ≠ 0
y : ℝ
hy1 : 0 < y
hy2 : y ≤ 3 * π / 2

⊢ cos y < 1 / √(y ^ 2 + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx1 : -(3 * π / 2) ≤ x
hx2 : x ≤ 3 * π / 2
hx3 : x ≠ 0
y : ℝ
hy1 : 0 < y
hy2 : y ≤ 3 * π / 2
hy3 : 0 < y ^ 2 + 1

⊢ cos y < 1 / √(y ^ 2 + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx1 : -(3 * π / 2) ≤ x
hx2 : x ≤ 3 * π / 2
hx3 : x ≠ 0
y : ℝ
hy1 : 0 < y
hy2 : y ≤ 3 * π / 2
hy3 : 0 < y ^ 2 + 1
hy2' : y < π / 2

⊢ cos y < 1 / √(y ^ 2 + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
hx1 : -(3 * π / 2) ≤ x
hx2 : x ≤ 3 * π / 2
hx3 : x ≠ 0
y : ℝ
hy1 : 0 < y
hy2 : y ≤ 3 * π / 2
hy3 : 0 < y ^ 2 + 1
hy1' : π / 2 ≤ y

⊢ cos y < 1 / √(y ^ 2 + 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.41960, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.41964, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''

⊢ m + n + a = a''
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p

⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) < r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p)

⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) < r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p)
hr : r ≤ 0

⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) < r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ ∑ i : ι, |x i| ^ p
h₂ : ∀ (x : ι → ℝ), 0 ≤ (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p)
hr : 0 < r

⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) < r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/Data/List/EditDistance/Bounds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
C : Levenshtein.Cost α β δ
inst✝ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid δ
xs : List α
ys₁ ys₂ : List β

⊢ (↑(suffixLevenshtein C xs ys₂)).minimum ≤ (↑(suffixLevenshtein C xs (ys₁ ++ ys₂))).minimum
-- Mathlib/Data/Multiset/Functor.lean
F : Type u → Type u
inst✝⁵ : Applicative F
inst✝⁴ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G H : Type u_1 → Type u_1
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : Applicative H
inst✝¹ : CommApplicative G
inst✝ : CommApplicative H
α β γ : Type u_1
g : α → G β
h : β → H γ
x : Multiset α

⊢ traverse (Comp.mk ∘ Functor.map h ∘ g) x = Comp.mk (traverse h <$> traverse g x)
-- Mathlib/Data/Multiset/Functor.lean
F : Type u → Type u
inst✝⁵ : Applicative F
inst✝⁴ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G H : Type u_1 → Type u_1
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : Applicative H
inst✝¹ : CommApplicative G
inst✝ : CommApplicative H
α β γ : Type u_1
g : α → G β
h : β → H γ
x : Multiset α

⊢ ∀ (a : List α), traverse (Comp.mk ∘ Functor.map h ∘ g) ⟦a⟧ = Comp.mk (traverse h <$> traverse g ⟦a⟧)
-- Mathlib/Data/Multiset/Functor.lean
F : Type u → Type u
inst✝⁵ : Applicative F
inst✝⁴ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G H : Type u_1 → Type u_1
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : Applicative H
inst✝¹ : CommApplicative G
inst✝ : CommApplicative H
α β γ : Type u_1
g : α → G β
h : β → H γ
x : Multiset α
a✝ : List α

⊢ traverse (Comp.mk ∘ Functor.map h ∘ g) ⟦a✝⟧ = Comp.mk (traverse h <$> traverse g ⟦a✝⟧)
-- Mathlib/Data/Multiset/Functor.lean
F : Type u → Type u
inst✝⁵ : Applicative F
inst✝⁴ : CommApplicative F
α' β' : Type u
f : α' → F β'
G H : Type u_1 → Type u_1
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : Applicative H
inst✝¹ : CommApplicative G
inst✝ : CommApplicative H
α β γ : Type u_1
g : α → G β
h : β → H γ
x : Multiset α
a✝ : List α

⊢ Comp.mk (((fun x => ofList <$> x) ∘ Traversable.traverse h) <$> Traversable.traverse g a✝) = Comp.mk ((Quotient.lift (Functor.map ofList ∘ Traversable.traverse h) ⋯ ∘ ofList) <$> Traversable.traverse g a✝)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
s : Subring R
x : R × S

⊢ x ∈ s.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (RingHom.fst R S) s
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i a b : ℕ

⊢ (a, b) ∈ μ.row i ↔ (a, b) ∈ {i} ×ˢ Finset.range (μ.rowLen i)
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i a b : ℕ

⊢ a = i → (b < μ.rowLen a ↔ b < μ.rowLen i)
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
a b : ℕ

⊢ b < μ.rowLen a ↔ b < μ.rowLen a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ r.toNNReal = ‖r‖₊
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ ⟨r, hr⟩ = ‖r‖₊
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ ↑⟨r, hr⟩ = ↑‖r‖₊
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R
h : ∀ d ∈ φ.support, d.degree ≠ n

⊢ (homogeneousComponent n) φ = 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
φ ψ : MvPolynomial σ R
h : ∀ d ∈ φ.support, (weight 1) d ≠ n

⊢ (homogeneousComponent n) φ = 0