ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y L : R

⊢ eval (C L * (X - C x) + C y) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) = -(C { a := 1, b := -L ^ 2 - W.a₁ * L + W.a₂, c := 2 * x * L ^ 2 + (W.a₁ * x - 2 * y - W.a₃) * L + (-W.a₁ * y + W.a₄), d := -x ^ 2 * L ^ 2 + (2 * x * y + W.a₃ * x) * L - (y ^ 2 + W.a₃ * y - W.a₆) }.a * X ^ 3 + C { a := 1, b := -L ^ 2 - W.a₁ * L + W.a₂, c := 2 * x * L ^ 2 + (W.a₁ * x - 2 * y - W.a₃) * L + (-W.a₁ * y + W.a₄), d := -x ^ 2 * L ^ 2 + (2 * x * y + W.a₃ * x) * L - (y ^ 2 + W.a₃ * y - W.a₆) }.b * X ^ 2 + C { a := 1, b := -L ^ 2 - W.a₁ * L + W.a₂, c := 2 * x * L ^ 2 + (W.a₁ * x - 2 * y - W.a₃) * L + (-W.a₁ * y + W.a₄), d := -x ^ 2 * L ^ 2 + (2 * x * y + W.a₃ * x) * L - (y ^ 2 + W.a₃ * y - W.a₆) }.c * X + C { a := 1, b := -L ^ 2 - W.a₁ * L + W.a₂, c := 2 * x * L ^ 2 + (W.a₁ * x - 2 * y - W.a₃) * L + (-W.a₁ * y + W.a₄), d := -x ^ 2 * L ^ 2 + (2 * x * y + W.a₃ * x) * L - (y ^ 2 + W.a₃ * y - W.a₆) }.d)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y L : R

⊢ (C L * (X - C x) + C y) ^ 2 + (C W.a₁ * X + C W.a₃) * (C L * (X - C x) + C y) - (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆) = -(C 1 * X ^ 3 + C (-L ^ 2 - W.a₁ * L + W.a₂) * X ^ 2 + C (2 * x * L ^ 2 + (W.a₁ * x - 2 * y - W.a₃) * L + (-W.a₁ * y + W.a₄)) * X + C (-x ^ 2 * L ^ 2 + (2 * x * y + W.a₃ * x) * L - (y ^ 2 + W.a₃ * y - W.a₆)))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y L : R

⊢ (C L * (X - C x) + C y) ^ 2 + (C W.a₁ * X + C W.a₃) * (C L * (X - C x) + C y) - (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆) = -(1 * X ^ 3 + (-C L ^ 2 - C W.a₁ * C L + C W.a₂) * X ^ 2 + (2 * C x * C L ^ 2 + (C W.a₁ * C x - 2 * C y - C W.a₃) * C L + (-C W.a₁ * C y + C W.a₄)) * X + (-C x ^ 2 * C L ^ 2 + (2 * C x * C y + C W.a₃ * C x) * C L - (C y ^ 2 + C W.a₃ * C y - C W.a₆)))
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α ≃ₜ β
g : β ≃ₜ γ

⊢ f.symm.toContinuousMap.comp f.toContinuousMap = ContinuousMap.id α
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
heX : e ∈ X
h : autoParam (e ∈ M.E) _auto✝

⊢ e ∈ M.closure X
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
heX : e ∈ X
h : autoParam (e ∈ M.E) _auto✝

⊢ e ∈ M.closure (X ∩ M.E)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧

⊢ (coeff R n) (inv.aux a φ) = if n = 0 then a else -a * ∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) (inv.aux a φ) else 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧

⊢ (if single () n = 0 then a else -a * ∑ x ∈ antidiagonal (single () n), if x.2 < single () n then (MvPowerSeries.coeff R x.1) φ * (MvPowerSeries.coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0) = if n = 0 then a else -a * ∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧

⊢ (if n = 0 then a else -a * ∑ x ∈ antidiagonal (single () n), if x.2 < single () n then (MvPowerSeries.coeff R x.1) φ * (MvPowerSeries.coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0) = if n = 0 then a else -a * ∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧
h✝ : ¬n = 0

⊢ (∑ x ∈ antidiagonal n, if x.2 < n then (coeff R x.1) φ * (coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0) = ∑ x ∈ antidiagonal (single () n), if x.2 < single () n then (MvPowerSeries.coeff R x.1) φ * (MvPowerSeries.coeff R x.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧
h✝ : ¬n = 0

⊢ ∀ a ∈ antidiagonal n, (match a with | (a, b) => (single () a, single () b)) ∈ antidiagonal (single () n)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧
h✝ : ¬n = 0

⊢ ∀ a ∈ antidiagonal (single () n), (match a with | (f, g) => (f (), g ())) ∈ antidiagonal n
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧
h✝ : ¬n = 0

⊢ ∀ a ∈ antidiagonal n, (match match a with | (a, b) => (single () a, single () b) with | (f, g) => (f (), g ())) = a
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧
h✝ : ¬n = 0

⊢ ∀ a ∈ antidiagonal (single () n), (match match a with | (f, g) => (f (), g ()) with | (a, b) => (single () a, single () b)) = a
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
a : R
φ : R⟦X⟧
h✝ : ¬n = 0

⊢ ∀ a_1 ∈ antidiagonal n, (if a_1.2 < n then (coeff R a_1.1) φ * (coeff R a_1.2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0) = if (match a_1 with | (a, b) => (single () a, single () b)).2 < single () n then (MvPowerSeries.coeff R (match a_1 with | (a, b) => (single () a, single () b)).1) φ * (MvPowerSeries.coeff R (match a_1 with | (a, b) => (single () a, single () b)).2) (MvPowerSeries.inv.aux a φ) else 0
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
hfg : ConvolutionExists f g L μ
hfg' : ConvolutionExists f' g L μ
x : G

⊢ ((f + f') ⋆[L, μ] g) x = (f ⋆[L, μ] g + f' ⋆[L, μ] g) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hn : LinearIndependent R n

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hn : LinearIndependent R n
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hn : LinearIndependent R n
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup
m : Fin 2 →₀ ↥M := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hn : LinearIndependent R n
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup
m : Fin 2 →₀ ↥M := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩
hm : (M.mulRightMap n) m = 0

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hn : LinearIndependent R n
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup
m : Fin 2 →₀ ↥M := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩
hm : m = 0

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Module.Flat R ↥M
a b : ↥(M ⊓ N)
hc : Commute ↑a ↑b
h : LinearIndependent R ![a, b]
n : Fin 2 → ↥N := ⇑(inclusion ⋯) ∘ ![a, b]
hn : LinearIndependent R n
this : AddCommGroup (Fin 2 →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup
m : Fin 2 →₀ ↥M := Finsupp.single 0 ⟨↑b, ⋯⟩ - Finsupp.single 1 ⟨↑a, ⋯⟩
hm : b = 0 ∧ a = 0

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f g : α → β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s

⊢ s.piecewise f g =ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
f g : α → β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s

⊢ s.piecewise f g =ᶠ[ae μ ⊓ 𝓟 s] f
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame

⊢ -x ≤ 0 ↔ 0 ≤ x
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : DecidableEq F

⊢ (primitiveChar_to_Complex F).IsPrimitive
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : DecidableEq F

⊢ Function.Injective ⇑↑(IsCyclotomicExtension.algEquiv (primitiveChar F ℂ ⋯).n ℂ (CyclotomicField (primitiveChar F ℂ ⋯).n ℂ) ℂ)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Finite F
inst✝ : DecidableEq F
nn : ℕ+ := (primitiveChar F ℂ ⋯).n

⊢ Function.Injective ⇑↑(IsCyclotomicExtension.algEquiv (primitiveChar F ℂ ⋯).n ℂ (CyclotomicField (primitiveChar F ℂ ⋯).n ℂ) ℂ)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F
hf : HasDerivAtFilter f f' x L

⊢ HasDerivAtFilter (fun x => c - f x) (-f') x L
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
ι'' : Type u_6
E' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E'
E'' : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E''
f : E →ₗᵢ[𝕜] E'
x y : E

⊢ ⟪f x, f y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Lax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : LaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b

⊢ (ρ_ (F.map f)).hom = F.map f ◁ F.mapId b ≫ F.mapComp f (𝟙 b) ≫ F.map₂ (ρ_ f).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Lax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F : LaxFunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b

⊢ (F.map₂Iso (ρ_ f)).inv = (ρ_ (F.map f)).inv ≫ F.map f ◁ F.mapId b ≫ F.mapComp f (𝟙 b)
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ

⊢ e.trans e.symm ≈ ofSet e.source
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
A : (e.trans e.symm).source = e.source

⊢ e.trans e.symm ≈ ofSet e.source
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
A : (e.trans e.symm).source = e.source
x : α
hx : x ∈ (e.trans e.symm).source

⊢ ↑(e.trans e.symm) x = ↑(ofSet e.source) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α

⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ μ.everywherePosSubset s = s \ u
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α

⊢ IsOpen {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α

⊢ ∀ x ∈ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0}, {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : α
n : Set α
ns : n ∈ 𝓝[s] x
hx : μ n = 0

⊢ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : α
n : Set α
ns : n ∈ 𝓝[s] x
hx : μ n = 0
v : Set α
vx : v ∈ 𝓝 x
hv : v ∩ s ⊆ n

⊢ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : α
n : Set α
ns : n ∈ 𝓝[s] x
hx : μ n = 0
v : Set α
vx : v ∈ 𝓝 x
hv : v ∩ s ⊆ n
w : Set α
wv : w ⊆ v
w_open : IsOpen w
xw : x ∈ w

⊢ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : α
n : Set α
ns : n ∈ 𝓝[s] x
hx : μ n = 0
v : Set α
vx : v ∈ 𝓝 x
hv : v ∩ s ⊆ n
w : Set α
wv : w ⊆ v
w_open : IsOpen w
xw : x ∈ w
A : w ⊆ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0}

⊢ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : α
n : Set α
ns : n ∈ 𝓝[s] x
hx : μ n = 0
v : Set α
vx : v ∈ 𝓝 x
hv : v ∩ s ⊆ n
w : Set α
wv : w ⊆ v
w_open : IsOpen w
xw : x ∈ w
A : w ⊆ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0}
B : w ∈ 𝓝 x

⊢ {x | ∃ n ∈ 𝓝[s] x, μ n = 0} ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
m n : α
hm : IsPrimal m
hn : IsPrimal n

⊢ IsPrimal (m * n)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
n : α
hn : IsPrimal n
hm : IsPrimal 0

⊢ IsPrimal (0 * n)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
m n : α
hm : IsPrimal m
hn : IsPrimal n
h0 : m ≠ 0

⊢ IsPrimal (m * n)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
m n : α
hm : IsPrimal m
hn : IsPrimal n
h0 : m ≠ 0
b c : α
h : m * n ∣ b * c

⊢ ∃ a₁ a₂, a₁ ∣ b ∧ a₂ ∣ c ∧ m * n = a₁ * a₂
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
n : α
hn : IsPrimal n
a₁ a₂ b c : α
hm : IsPrimal (a₁ * a₂)
h0 : a₁ * a₂ ≠ 0
h : a₁ * a₂ * n ∣ a₁ * b * (a₂ * c)

⊢ ∃ a₁_1 a₂_1, a₁_1 ∣ a₁ * b ∧ a₂_1 ∣ a₂ * c ∧ a₁ * a₂ * n = a₁_1 * a₂_1
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
n : α
hn : IsPrimal n
a₁ a₂ b c : α
hm : IsPrimal (a₁ * a₂)
h0 : a₁ * a₂ ≠ 0
h : n ∣ b * c

⊢ ∃ a₁_1 a₂_1, a₁_1 ∣ a₁ * b ∧ a₂_1 ∣ a₂ * c ∧ a₁ * a₂ * n = a₁_1 * a₂_1
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : MonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
a₁ a₂ b c : α
hm : IsPrimal (a₁ * a₂)
h0 : a₁ * a₂ ≠ 0
a₁' a₂' : α
h₁ : a₁' ∣ b
h₂ : a₂' ∣ c
hn : IsPrimal (a₁' * a₂')
h : a₁' * a₂' ∣ b * c

⊢ ∃ a₁_1 a₂_1, a₁_1 ∣ a₁ * b ∧ a₂_1 ∣ a₂ * c ∧ a₁ * a₂ * (a₁' * a₂') = a₁_1 * a₂_1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Supported.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q : MvPolynomial σ R
s t : Set σ
p : MvPolynomial σ R

⊢ p ∈ supported R ↑p.vars
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/RiemannZeta.lean
s : ℂ
hs : ∀ (n : ℕ), s ≠ -↑n
hs' : s ≠ 1

⊢ riemannZeta (1 - s) = 2 * (2 * ↑π) ^ (-s) * Complex.Gamma s * Complex.cos (↑π * s / 2) * riemannZeta s
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)

⊢ AffineIndependent k p
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
h : IsEmpty ι

⊢ AffineIndependent k p
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
h : Nonempty ι

⊢ AffineIndependent k p
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
i : ι

⊢ AffineIndependent k p
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
hai : AffineIndependent k (⇑f ∘ p)
i : ι

⊢ LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
p : ι → P
f : P →ᵃ[k] P₂
i : ι
hai : LinearIndependent k fun i_1 => f.linear (p ↑i_1 -ᵥ p i)

⊢ LinearIndependent k fun i_1 => p ↑i_1 -ᵥ p i
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
h₁ : π₁.IsPartition
h₂ : π₂.IsPartition

⊢ (π₁ ⊓ π₂).iUnion = ↑I
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ

⊢ UniformIntegrable f p μ
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
hfmeas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ

⊢ UniformIntegrable f p μ
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
hfmeas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
g : ι → α → E := fun i => Exists.choose ⋯

⊢ UniformIntegrable f p μ
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
hfmeas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
g : ι → α → E := fun i => Exists.choose ⋯
hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)

⊢ UniformIntegrable f p μ
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
hfmeas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
g : ι → α → E := fun i => Exists.choose ⋯
hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)
hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᶠ[ae μ] f i

⊢ UniformIntegrable f p μ
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
E : Type u_5
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ι : Type u_6
f : ι → α → E
j : ι
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
hℒp : Memℒp (f j) p μ
hf : ∀ (i : ι), IdentDistrib (f i) (f j) μ μ
hfmeas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
g : ι → α → E := fun i => Exists.choose ⋯
hgmeas : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (g i)
hgeq : ∀ (i : ι), g i =ᶠ[ae μ] f i
hgℒp : Memℒp (g j) p μ

⊢ UniformIntegrable f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
ι : Type u_2
L : Filter ι
μ : Measure X
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure X
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), 0 ≤ f → ∫ (x : X), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L
f : X →ᵇ ℝ

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : X), f x ∂μs i) L (𝓝 (∫ (x : X), f x ∂μ))