ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
inst✝¹⁴ : StarRing R
inst✝¹³ : MetricSpace R
inst✝¹² : TopologicalSemiring R
inst✝¹¹ : ContinuousStar R
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : Ring A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
inst✝⁵ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A
S : Type u_3
inst✝⁴ : SMul S R
inst✝³ : ContinuousConstSMul S R
inst✝² : SMulZeroClass S A
inst✝¹ : IsScalarTower S R A
inst✝ : IsScalarTower S R (R → R)
s : S
f : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => s • x) '' spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ cfc (fun x => f (s • x)) a = cfc f (s • a)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : ConcreteCategory C
inst✝⁵ : HasForget₂ C Ab
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝² : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝¹ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
inst✝ : S.HasHomology

⊢ S.Exact ↔ ∀ (x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj S.X₂)), ((forget₂ C Ab).map S.g) x₂ = 0 → ∃ x₁, ((forget₂ C Ab).map S.f) x₁ = x₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
inst✝⁶ : ConcreteCategory C
inst✝⁵ : HasForget₂ C Ab
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝² : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝¹ : HasZeroObject C
S : ShortComplex C
inst✝ : S.HasHomology

⊢ (∀ (x₂ : ↑(S.map (forget₂ C Ab)).X₂), (S.map (forget₂ C Ab)).g x₂ = 0 → ∃ x₁, (S.map (forget₂ C Ab)).f x₁ = x₂) ↔ ∀ (x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj S.X₂)), ((forget₂ C Ab).map S.g) x₂ = 0 → ∃ x₁, ((forget₂ C Ab).map S.f) x₁ = x₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝¹ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
α : Type u
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ

⊢ MeasurePreserving (⇑MeasurableEquiv.finTwoArrow) (Measure.pi fun x => μ) (μ.prod μ)
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝¹ : DivisionMonoid K
inst✝ : HasDistribNeg K
a✝ b✝ a b : K

⊢ -(b / a) = -b / a
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X
e : Y → X
he : ClosedEmbedding e

⊢ ⋃ n, (fun n => e ⁻¹' compactCovering X n) n = univ
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b : ℕ
hb : 1 < b
x : ℕ
hx : 1 < x

⊢ b ^ (clog b x).pred < x
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b : ℕ
hb : 1 < b
x : ℕ
hx : 1 < x

⊢ (clog b x).pred < clog b x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
n : ℤ

⊢ (fourier n) 0 = 1
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0

⊢ 0 < o / b ^ log b o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0

⊢ 0 < o / 0 ^ log 0 o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
hb : 0 < b

⊢ 0 < o / b ^ log b o
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
n : ℕ

⊢ ↑(bif (↑n).bodd then 1 else 0) + 2 * (↑n).div2 = ↑n
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
n : ℕ

⊢ (bif -[n+1].bodd then 1 else 0) + 2 * -[n+1].div2 = -[n+1]
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
n : ℕ

⊢ (bif -[n+1].bodd then 1 else 0) + 2 * -[n+1].div2 = -[(bif n.bodd then 1 else 0) + 2 * n.div2+1]
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
y : E
f g : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y
hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g
hl : l.bRiemann = false

⊢ HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul y
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
I : Box ι
y : E
f g : (ι → ℝ) → E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hf : HasIntegral I l f μ.toBoxAdditive.toSMul y
hfg : f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] g
hl : l.bRiemann = false
this : g - f =ᶠ[ae (μ.restrict ↑I)] 0

⊢ HasIntegral I l g μ.toBoxAdditive.toSMul y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E

⊢ openSegment 𝕜 x y = (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Ioo 0 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Ioo 0 1

⊢ x + a✝¹ • (y - x) = (1 - a✝¹) • x + a✝¹ • y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Ioo 0 1

⊢ x + (a✝¹ • y - a✝¹ • x) = x - a✝¹ • x + a✝¹ • y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LagrangeMultipliers.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
htop : LinearMap.range (f'.prod φ') = ⊤
fφ : E → F × ℝ := fun x => (f x, φ x)

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LagrangeMultipliers.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
φ : E → ℝ
x₀ : E
f' : E →L[ℝ] F
φ' : E →L[ℝ] ℝ
hextr : IsLocalExtrOn φ {x | f x = f x₀} x₀
hf' : HasStrictFDerivAt f f' x₀
hφ' : HasStrictFDerivAt φ φ' x₀
htop : LinearMap.range (f'.prod φ') = ⊤
fφ : E → F × ℝ := fun x => (f x, φ x)
A : map φ (𝓝[f ⁻¹' {f x₀}] x₀) = 𝓝 (φ x₀)

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPointApproximants.lean
α : Type u
inst✝ : CompleteLattice α
f : α →o α
x a : α
h_a : a ∈ fixedPoints ⇑f
h_le_init : x ≤ a
i : Ordinal.{u}

⊢ lfpApprox f x i ≤ a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/GelfandDuality.lean
A : Type u_1
inst✝³ : NormedCommRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
I : Ideal A
inst✝ : I.IsMaximal
a : A
ha : a ∈ I

⊢ (CharacterSpace.equivAlgHom.symm ((↑(NormedRing.algEquivComplexOfComplete ⋯).symm).comp (Quotient.mkₐ ℂ I))) a = 0
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/GelfandDuality.lean
A : Type u_1
inst✝³ : NormedCommRing A
inst✝² : NormedAlgebra ℂ A
inst✝¹ : CompleteSpace A
I : Ideal A
inst✝ : I.IsMaximal
a : A
ha : a ∈ I

⊢ ⋯.some = 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s

⊢ ((κ ×ₖ η) a) s = ((κ a).prod (η a)) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel α γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (b : β), (η a) {c | (b, c) ∈ s} ∂κ a = ∫⁻ (x : β), (η a) (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂κ a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y✝ z✝ x : ℝ
hx : x ≠ 0
y z : ℝ≥0
hyz : (fun y => y ^ x) y = (fun y => y ^ x) z

⊢ y = z
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f

⊢ ContDiff 𝕜 n f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f

⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f

⊢ Differentiable 𝕜 f ∧ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => _root_.fderiv 𝕜 f y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f

⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => _root_.fderiv 𝕜 f y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hf : IsBoundedLinearMap 𝕜 f

⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ fun y => hf.toContinuousLinearMap
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M

⊢ Flat R M ↔ ∀ ⦃I : Ideal R⦄, I.FG → Function.Injective ⇑(lTensor M (Submodule.subtype I))
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsClosed (range f)
K : Set Y
hK : IsLindelof K

⊢ IsLindelof (f ⁻¹' K)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f
hf' : IsClosed (range f)
K : Set Y
hK : IsLindelof (K ∩ range f)

⊢ IsLindelof (f ⁻¹' K)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s

⊢ IsTopologicalBasis (insert ∅ s)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s

⊢ ∀ t₁ ∈ insert ∅ s, ∀ t₂ ∈ insert ∅ s, ∀ x ∈ t₁ ∩ t₂, ∃ t₃ ∈ insert ∅ s, x ∈ t₃ ∧ t₃ ⊆ t₁ ∩ t₂
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
h : IsTopologicalBasis s

⊢ t = generateFrom (insert ∅ s)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E

⊢ IsClosed ↑Kᗮ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E

⊢ IsClosed ↑(⨅ v, LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
this : ∀ (v : ↥K), IsClosed ↑(LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v))

⊢ IsClosed ↑(⨅ v, LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E
this : ∀ (v : ↥K), IsClosed ↑(LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v))

⊢ ↑(⨅ v, LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v)) = ⋂ i, ↑(LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : BorelSpace α✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : MeasurableSpace δ
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
p : Prop
f : δ → α
hf : Measurable f

⊢ Measurable fun b => ⨆ (_ : p), f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝⁸ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : BorelSpace α✝
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : MeasurableSpace δ
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
p : Prop
f : δ → α
hf : Measurable f

⊢ Measurable fun b => if h : p then f b else sSup ∅
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : ℕ), f x ≠ ⊤

⊢ Tendsto f atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : ℕ), f x ≠ ⊤

⊢ Tendsto f cofinite (𝓝 0)
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Ideal.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : CartesianClosed C
h : ∀ (B : D) (A : C), (A ⟹ i.obj B) ∈ i.essImage
B✝ A : C
B' : D
iB' : i.obj B' ≅ B✝

⊢ (A ⟹ B✝) ∈ i.essImage
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
m n : ℤ
H : (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧ m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)

⊢ h.IsClassified
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
m n : ℤ
H : (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧ m.gcd n = 1 ∧ (m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0)

⊢ (x = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2) ∧ y = 1 * (2 * m * n) ∨ x = 1 * (2 * m * n) ∧ y = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2)) ∧ m.gcd n = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
m n : ℤ
t : x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2
co : m.gcd n = 1
right✝ : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0

⊢ (x = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2) ∧ y = 1 * (2 * m * n) ∨ x = 1 * (2 * m * n) ∧ y = 1 * (m ^ 2 - n ^ 2)) ∧ m.gcd n = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
m n : ℤ
t : x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2
co : m.gcd n = 1
right✝ : m % 2 = 0 ∧ n % 2 = 1 ∨ m % 2 = 1 ∧ n % 2 = 0

⊢ (x = m ^ 2 - n ^ 2 ∧ y = 2 * m * n ∨ x = 2 * m * n ∧ y = m ^ 2 - n ^ 2) ∧ m.gcd n = 1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integer.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → S
this : (a : Prop) → Decidable a
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ (algebraMap R S) (↑(∏ j ∈ s.erase i, (sec M (f j)).2) * (sec M (f i)).1) = ↑(∏ i ∈ s, (sec M (f i)).2) • f i
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integer.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → S
this : (a : Prop) → Decidable a
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ (↑(∏ j ∈ s.erase i, (sec M (f j)).2) * ↑(sec M (f i)).2) • f i = ↑(∏ i ∈ s, (sec M (f i)).2) • f i
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integer.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → S
this : (a : Prop) → Decidable a
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ ↑(∏ j ∈ s.erase i, (sec M (f j)).2) * ↑(sec M (f i)).2 = ↑(∏ i ∈ s, (sec M (f i)).2)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integer.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → S
this : (a : Prop) → Decidable a
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ ↑(∏ j ∈ s.erase i, (sec M (f j)).2) * ↑(sec M (f i)).2 = ∏ x ∈ s, M.subtype (sec M (f x)).2
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integer.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → S
this : (a : Prop) → Decidable a
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ ∏ x ∈ s, ↑(sec M (f x)).2 = ∏ x ∈ s, M.subtype (sec M (f x)).2
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ closure sᶜ = (interior s)ᶜ
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ

⊢ n + 1 ∣ n.centralBinom
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ
h_s : (n + 1).Coprime (2 * n + 1)

⊢ n + 1 ∣ n.centralBinom
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ
h_s : (n + 1).Coprime (2 * n + 1)

⊢ n + 1 ∣ (2 * n + 1) * n.centralBinom
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ
h_s : (n + 1).Coprime (2 * n + 1)

⊢ 2 * (n + 1) ∣ 2 * ((2 * n + 1) * n.centralBinom)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Central.lean
n : ℕ
h_s : (n + 1).Coprime (2 * n + 1)

⊢ (n + 1) * 2 ∣ (n + 1) * (n + 1).centralBinom
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n k : ℕ
hnk : n < k

⊢ (hermite n).coeff k = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Hermite/Basic.lean
n k : ℕ
hnk : n < n + k + 1

⊢ (hermite n).coeff (n + k + 1) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/DomCoprod.lean
ιa : Type u_1
ιb : Type u_2
inst✝¹⁰ : Fintype ιa
inst✝⁹ : Fintype ιb
R' : Type u_3
Mᵢ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup N₁
inst✝⁶ : Module R' N₁
inst✝⁵ : AddCommGroup N₂
inst✝⁴ : Module R' N₂
inst✝³ : AddCommMonoid Mᵢ
inst✝² : Module R' Mᵢ
inst✝¹ : DecidableEq ιa
inst✝ : DecidableEq ιb
a : Mᵢ [⋀^ιa]→ₗ[R'] N₁
b : Mᵢ [⋀^ιb]→ₗ[R'] N₂

⊢ alternatization ((↑a).domCoprod ↑b) = ((Fintype.card ιa).factorial * (Fintype.card ιb).factorial) • a.domCoprod b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AffineIsometry.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
V₁ : Type u_3
V₁' : Type u_4
V₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
V₄ : Type u_7
P₁ : Type u_8
P₁' : Type u_9
P : Type u_10
P₂ : Type u_11
P₃ : Type u_12
P₄ : Type u_13
inst✝²⁴ : NormedField 𝕜
inst✝²³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝²² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝²¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝²⁰ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹⁹ : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 V₁
inst✝¹⁷ : PseudoMetricSpace P₁
inst✝¹⁶ : NormedAddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup V₁'
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 V₁'
inst✝¹³ : MetricSpace P₁'
inst✝¹² : NormedAddTorsor V₁' P₁'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 V₂
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace P₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor V₂ P₂
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V₃
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 V₃
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace P₃
inst✝⁴ : NormedAddTorsor V₃ P₃
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V₄
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V₄
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P₄
inst✝ : NormedAddTorsor V₄ P₄
f : P →ᵃⁱ[𝕜] P₂
f₁ : P₁' →ᵃⁱ[𝕜] P₂
x y : P

⊢ dist (f x) (f y) = dist x y
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R

⊢ cyclotomic 1 R = X - 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
hspec : map (Int.castRingHom ℂ) (X - 1) = cyclotomic' 1 ℂ

⊢ cyclotomic 1 R = X - 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
hspec : map (Int.castRingHom ℂ) (X - 1) = cyclotomic' 1 ℂ

⊢ X - 1 = cyclotomic 1 R
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
hspec : map (Int.castRingHom ℂ) (X - 1) = cyclotomic' 1 ℂ

⊢ X - 1 = map (Int.castRingHom R) (X - 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/Assoc.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
W X Y Z X₁ X₂ X₃ Z₁ Z₂ : C
g₁ : Z₁ ⟶ X₁
g₂ : Z₁ ⟶ X₂
g₃ : Z₂ ⟶ X₂
g₄ : Z₂ ⟶ X₃
inst✝³ : HasPushout g₁ g₂
inst✝² : HasPushout g₃ g₄
inst✝¹ : HasPushout (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
inst✝ : HasPushout g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄)

⊢ pushout.inl g₃ g₄ ≫ pushout.inr g₁ (g₂ ≫ pushout.inl g₃ g₄) ≫ (pushoutAssoc g₁ g₂ g₃ g₄).inv = pushout.inr g₁ g₂ ≫ pushout.inl (g₃ ≫ pushout.inr g₁ g₂) g₄
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N

⊢ (finsuppLeft R M N ι) (p ⊗ₜ[R] n) = p.sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N

⊢ (finsuppLeft R M N ι) (0 ⊗ₜ[R] n) = Finsupp.sum 0 fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N

⊢ ∀ (f g : ι →₀ M), ((finsuppLeft R M N ι) (f ⊗ₜ[R] n) = f.sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)) → ((finsuppLeft R M N ι) (g ⊗ₜ[R] n) = g.sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)) → (finsuppLeft R M N ι) ((f + g) ⊗ₜ[R] n) = (f + g).sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
p : ι →₀ M
n : N

⊢ ∀ (a : ι) (b : M), (finsuppLeft R M N ι) (Finsupp.single a b ⊗ₜ[R] n) = (Finsupp.single a b).sum fun i m => Finsupp.single i (m ⊗ₜ[R] n)