ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
s : Finset α
f : ℕ → β
a : Finset α
ha : a ∈ powersetCard n s

⊢ f a.card = f n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X

⊢ μH[d₂] s = 0 ∨ μH[d₁] s = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤

⊢ ∀ (c : ℝ≥0), c ≠ 0 → μH[d₂] s ≤ ↑c * μH[d₁] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0

⊢ μH[d₂] s ≤ ↑c * μH[d₁] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0

⊢ (fun r => r ^ d₂) ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] ↑c • fun r => r ^ d₁
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹

⊢ (fun r => r ^ d₂) ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] ↑c • fun r => r ^ d₁
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹

⊢ ∀ a ∈ Ico 0 (↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹), a ^ d₂ ≤ (↑c • fun r => r ^ d₁) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0∞
hr₀ : 0 ≤ r
hrc : r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹

⊢ r ^ d₂ ≤ (↑c • fun r => r ^ d₁) r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0
hr₀ : 0 ≤ ↑r
hrc : ↑r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹

⊢ ↑r ^ d₂ ≤ (↑c • fun r => r ^ d₁) ↑r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0
hr₀ : 0 ≤ ↑r
hrc : ↑r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹

⊢ ↑r ^ d₂ / ↑r ^ d₁ ≤ ↑c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : 0 ≤ ↑0
hrc : ↑0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹

⊢ ↑0 ^ d₂ / ↑0 ^ d₁ ≤ ↑c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d₁ d₂ : ℝ
h : d₁ < d₂
s : Set X
H : μH[d₂] s ≠ 0 ∧ μH[d₁] s ≠ ⊤
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
this : 0 < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
r : ℝ≥0
hr₀✝ : 0 ≤ ↑r
hrc : ↑r < ↑c ^ (d₂ - d₁)⁻¹
hr₀ : r ≠ 0

⊢ ↑r ^ d₂ / ↑r ^ d₁ ≤ ↑c
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
a : α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂

⊢ a ∈ l₁ ↔ a ∈ l₂
-- Mathlib/Data/Sum/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a : α

⊢ ∃ b, a < b
-- Mathlib/Data/Sum/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a b : α
h : inl a < inl b

⊢ ∃ b, a < b
-- Mathlib/Data/Sum/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a : α
b : β
h : inl a < inr b

⊢ ∃ b, a < b
-- Mathlib/Data/Sum/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a : β

⊢ ∃ b, a < b
-- Mathlib/Data/Sum/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a : β
b : α
h : inr a < inl b

⊢ ∃ b, a < b
-- Mathlib/Data/Sum/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : LT α
inst✝ : LT β
x✝ : NoMaxOrder (α ⊕ β)
a b : β
h : inr a < inr b

⊢ ∃ b, a < b
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : g ≅ h

⊢ f ◁ η.hom ≫ f ◁ η.inv = 𝟙 (f ≫ g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X
S R✝ : Sieve X
R : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
f : R ⟶ yoneda.obj X
Y Z : C
t : R.obj (Opposite.op Y)
g : Z ⟶ Y

⊢ f.app (Opposite.op Z) (R.map g.op t) = g ≫ f.app (Opposite.op Y) t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y✝ Z✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X
S R✝ : Sieve X
R : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
f : R ⟶ yoneda.obj X
Y Z : C
t : R.obj (Opposite.op Y)
g : Z ⟶ Y

⊢ (yoneda.obj X).map g.op (f.app (Opposite.op Y) t) = g ≫ f.app (Opposite.op Y) t
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
r s t w : 𝓞 K
hr : ¬λ ∣ r
hs : ¬λ ∣ s
Hp : ∀ {p : 𝓞 K}, Prime p → p ∣ t → p ∣ w → Associated p λ
H₁ : ∀ {q : 𝓞 K}, q ∣ r → q ∣ t
H₂ : ∀ {q : 𝓞 K}, q ∣ s → q ∣ w

⊢ IsCoprime r s
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
r s t w : 𝓞 K
hr : ¬λ ∣ r
hs : ¬λ ∣ s
Hp : ∀ {p : 𝓞 K}, Prime p → p ∣ t → p ∣ w → Associated p λ
H₁ : ∀ {q : 𝓞 K}, q ∣ r → q ∣ t
H₂ : ∀ {q : 𝓞 K}, q ∣ s → q ∣ w
p : 𝓞 K
hp : Prime p
p_dvd_r : p ∣ r
p_dvd_s : p ∣ s

⊢ λ ∣ r
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K

⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x ^ k = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K

⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x ^ k = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1

⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x ^ k = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1

⊢ (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val

⊢ (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val
h_multiset_map_sum : (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val).sum

⊢ (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val
h_multiset_map_sum : (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum * ↑↑a ^ k

⊢ (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val
h_multiset_map_sum : (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum * ↑↑a ^ k
hzero : (↑↑a ^ k - 1) * (Multiset.map (fun i => ↑↑i ^ k) univ.val).sum = 0

⊢ (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val
h_multiset_map_sum : (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum * ↑↑a ^ k
hzero : ↑↑a ^ k - 1 = 0 ∨ (Multiset.map (fun i => ↑↑i ^ k) univ.val).sum = 0

⊢ (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val
h_multiset_map_sum : (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum * ↑↑a ^ k
hzero : ↑↑a ^ k - 1 = 0 ∨ (Multiset.map (fun i => ↑↑i ^ k) univ.val).sum = 0
h : ↑↑a ^ k - 1 = 0

⊢ a ^ k = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val
h_multiset_map_sum : (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum * ↑↑a ^ k
hzero : ↑↑a ^ k - 1 = 0 ∨ (Multiset.map (fun i => ↑↑i ^ k) univ.val).sum = 0
h : ↑↑a ^ k - 1 = 0

⊢ ↑↑(a ^ k) = ↑↑1
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
k : ℕ
k_pos : k ≠ 0
k_lt_card_G : k < Fintype.card ↥G
a✝ : Nontrivial K
this : IsDomain K
a : ↥G
ha : a ^ k ≠ 1
h_multiset_map : Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val = Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k * ↑↑a ^ k) univ.val
h_multiset_map_sum : (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum = (Multiset.map (fun x => ↑↑x ^ k) univ.val).sum * ↑↑a ^ k
hzero : ↑↑a ^ k - 1 = 0 ∨ (Multiset.map (fun i => ↑↑i ^ k) univ.val).sum = 0
h : ↑↑a ^ k - 1 = 0

⊢ ↑↑(a ^ k) - ↑↑1 = 0
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t✝ : Finset ι
f : ι → α
i✝ : ι
hs : s.SupIndep f
t : Finset { x // x ∈ s }
a✝¹ : t ⊆ s.attach
i : { x // x ∈ s }
a✝ : i ∈ s.attach
hi : i ∉ t

⊢ Disjoint ((fun a => f ↑a) i) (t.sup fun a => f ↑a)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Simple.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : IsSimpleModule R N
l : M →ₗ[R] N

⊢ IsClosed ↑(ker l) ∨ Dense ↑(ker l)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Simple.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : IsSimpleModule R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l

⊢ IsClosed ↑(ker l) ∨ Dense ↑(ker l)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Simple.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : ContinuousAdd M
inst✝ : IsSimpleModule R N

⊢ IsClosed ↑(ker 0) ∨ Dense ↑(ker 0)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrongEpi.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
inst✝¹ : StrongMono (f ≫ g)
X Y : C
z : X ⟶ Y
inst✝ : Epi z
u : X ⟶ P
v : Y ⟶ Q
sq : CommSq u z f v

⊢ sq.HasLift
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrongEpi.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
P Q R : C
f : P ⟶ Q
g : Q ⟶ R
inst✝¹ : StrongMono (f ≫ g)
X Y : C
z : X ⟶ Y
inst✝ : Epi z
u : X ⟶ P
v : Y ⟶ Q
sq : CommSq u z f v
h₀ : u ≫ f ≫ g = z ≫ v ≫ g

⊢ sq.HasLift
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : OpenEmbedding ⇑g

⊢ OpenEmbedding ⇑(pullback.fst f g)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : OpenEmbedding ⇑g

⊢ ⇑(pullback.fst f g) = ⇑(homeoOfIso (asIso (pullback.fst f (𝟙 S)))) ∘ ⇑(pullback.map f g f (𝟙 S) (𝟙 X) g (𝟙 S) ⋯ ⋯)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z : TopCat
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : OpenEmbedding ⇑g

⊢ ⇑(pullback.fst f g) = ⇑(pullback.map f g f (𝟙 S) (𝟙 X) g (𝟙 S) ⋯ ⋯ ≫ (asIso (pullback.fst f (𝟙 S))).hom)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
x : M

⊢ (ι R) x ≠ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Nontrivial R
x : M

⊢ ¬(x = 0 ∧ 1 = 0)
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q a b c : ℚ

⊢ a + 0 = a
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
x✝ : IsFractional S I

⊢ IsFractional S (0 • I)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
x✝ : IsFractional S I

⊢ IsFractional S 0
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
x✝ : IsFractional S I

⊢ 0 = ↑↑0
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
n : ℕ
h : IsFractional S I

⊢ IsFractional S ((n + 1) • I)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : Submodule R P
n : ℕ
h : IsFractional S I

⊢ IsFractional S (n • I + I)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
P : α → Prop

⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ Ι a b → P x) ↔ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ Ioc a b → P x) ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ Ioc b a → P x
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s : Set α
hm : Monotone m

⊢ (map Subtype.val ∘ₗ comap Subtype.val) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) = OuterMeasure.ofFunction (fun t => m (t ∩ s)) ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s : Set α
hm : Monotone m

⊢ (map Subtype.val) ((comap Subtype.val) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) = OuterMeasure.ofFunction (fun t => m (s ∩ t)) ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
s : Set α
hm : Monotone m

⊢ (map Subtype.val) (OuterMeasure.ofFunction (fun s_1 => m (Subtype.val '' s_1)) ⋯) = OuterMeasure.ofFunction (fun t => m (s ∩ t)) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

⊢ (f ⊗ g) ≫ (inv f ⊗ h) = (𝟙 V ⊗ g) ≫ (𝟙 V ⊗ h)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝³ : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
U V✝ W✝ X✝ Y✝ Z✝ V W X Y Z : C
f : V ⟶ W
inst✝ : IsIso f
g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

⊢ 𝟙 V ⊗ g ≫ h = (𝟙 V ⊗ g) ≫ (𝟙 V ⊗ h)
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
g : β → γ
f : α → β
o : Part α

⊢ map g (map f o) = map (g ∘ f) o
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : CompactSpace α
inst✝² : MetricSpace β
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : C(α, β)
C : ℝ
inst✝ : Nonempty α

⊢ dist f g < C ↔ ∀ (x : α), dist (f x) (g x) < C
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

⊢ a⁻¹ < b ↔ b⁻¹ < a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a : Cardinal.{u_1}
n : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a

⊢ ↑n + a = a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedRing 𝕜'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormOneClass 𝕜'
x y : 𝕜

⊢ dist ((algebraMap 𝕜 𝕜') x) ((algebraMap 𝕜 𝕜') y) = dist x y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/HasPullback.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : HasPullback f g

⊢ (pullbackSymmetry f g).inv ≫ pullback.snd f g = pullback.fst g f
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulZeroClass α β
s✝ : Set α
t : Set β
a : α
s : Set α

⊢ s • 0 ⊆ 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J

⊢ t' 𝒰 f g i j k ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g j k) (fV 𝒰 f g j i) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map j ≫ f) g ≫ 𝒰.map j) (𝒰.map k) ≫ pullback.snd (𝒰.map j ≫ f) g = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.fst (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) ≫ pullback.snd (𝒰.map i ≫ f) g
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Union α
a b : Part α
hab : (a ∪ b).Dom

⊢ (a ∪ b).get hab = a.get ⋯ ∪ b.get ⋯
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Union α
a b : Part α
hab : (a ∪ b).Dom

⊢ (a.bind fun y => map (fun x => y ∪ x) b).get ⋯ = a.get ⋯ ∪ b.get ⋯
-- Mathlib/Order/Closure.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : PartialOrder α
c : ClosureOperator α
x✝ y x : α

⊢ x ∈ {x | c.IsClosed x} ↔ x ∈ range ⇑c
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X

⊢ ⋃ n, compactCovering X n = univ
-- Mathlib/Topology/Compactness/SigmaCompact.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : SigmaCompactSpace X

⊢ ⋃ x, ⋯.choose x = univ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
s : ↥(nonZeroDivisors R)

⊢ v.valuation (IsLocalization.mk' K r s) = v.intValuation r / v.intValuation ↑s
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
s : ↥(nonZeroDivisors R)

⊢ ↑((IsUnit.liftRight ((↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom).restrict (nonZeroDivisors R)) ⋯) s)⁻¹ = (v.intValuation ↑s)⁻¹ ∨ ↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom r = 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
s : ↥(nonZeroDivisors R)

⊢ ↑((IsUnit.liftRight ((↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom).restrict (nonZeroDivisors R)) ⋯) s)⁻¹ = (v.intValuation ↑s)⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
r : R
s : ↥(nonZeroDivisors R)

⊢ ↑((IsUnit.liftRight ((↑v.intValuation.toMonoidWithZeroHom).restrict (nonZeroDivisors R)) ⋯) s) = v.intValuation ↑s
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
r p q : α → Prop
P Q : (x : α) → p x → Prop
b : Prop
a : α

⊢ (∃ x x_1, p x) ↔ p a
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* S
x✝ : R

⊢ ((map f).comp C) x✝ = (C.comp f) x✝
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean

⊢ (powHalf 1).birthday = 2
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean

⊢ max (Ordinal.lsub fun i => ((powHalf 1).moveLeft i).birthday) (Ordinal.lsub fun i => ((powHalf 1).moveRight i).birthday) = 2
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Defs.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : DivInvMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (a : G), f a⁻¹ = (f a)⁻¹
a b : G

⊢ f (a / b) = f a / f b
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

⊢ cgf X μ 0 = 0
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : BooleanAlgebra α

⊢ x \ yᶜ = x ⊓ y