ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v (y - x) < v x

⊢ v y = v x
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v (y - x) < v x
this : v (y - x + x) = max (v (y - x)) (v x)

⊢ v y = v x
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝² : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x y z : R
h : v (y - x) < v x
this : v (y - x + x) = v x

⊢ v y = v x
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
f : Filter α
g : Filter β
hg : g.NeBot
s : Set β
hs : s ∈ g

⊢ (fun x => 0 • x) '' s ∈ 0
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : SMulWithZero α β
f : Filter α
g : Filter β
hg : g.NeBot
s : Set β
hs : s ∈ g

⊢ {0} ∈ 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q

⊢ ENNReal.ofReal (p - q) = ENNReal.ofReal p - ENNReal.ofReal q
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q
h : p ≤ q

⊢ ENNReal.ofReal (p - q) = ENNReal.ofReal p - ENNReal.ofReal q
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q
h : q ≤ p

⊢ ENNReal.ofReal (p - q) = ENNReal.ofReal p - ENNReal.ofReal q
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hq : 0 ≤ q
h : q ≤ p

⊢ ENNReal.ofReal (p - q) + ENNReal.ofReal q = ENNReal.ofReal p
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R

⊢ WittVector.ghostFun (x + y) = WittVector.ghostFun x + WittVector.ghostFun y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card

⊢ IsConj σ τ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card

⊢ ∀ (x : α) (hx : x ∈ ↑σ.support), ↑((hσ.zpowersEquivSupport.symm.trans ((zpowersEquivZPowers ⋯).trans hτ.zpowersEquivSupport)) ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑((hσ.zpowersEquivSupport.symm.trans ((zpowersEquivZPowers ⋯).trans hτ.zpowersEquivSupport)) ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
x : α
hx : x ∈ ↑σ.support

⊢ ↑((hσ.zpowersEquivSupport.symm.trans ((zpowersEquivZPowers ⋯).trans hτ.zpowersEquivSupport)) ⟨σ x, ⋯⟩) = τ ↑((hσ.zpowersEquivSupport.symm.trans ((zpowersEquivZPowers ⋯).trans hτ.zpowersEquivSupport)) ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
x : α
hx : x ∈ ↑σ.support

⊢ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨σ x, ⋯⟩))) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨x, hx⟩)))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
n : ℕ
hx : (σ ^ n) (Classical.choose hσ) ∈ ↑σ.support

⊢ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨σ ((σ ^ n) (Classical.choose hσ)), ⋯⟩))) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨(σ ^ n) (Classical.choose hσ), hx⟩)))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
n : ℕ
hx : (σ ^ n) (Classical.choose hσ) ∈ ↑σ.support

⊢ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨σ ((σ ^ n) (Classical.choose hσ)), ⋯⟩))) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) ⟨σ ^ n, ⋯⟩))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
n : ℕ
hx : (σ ^ n) (Classical.choose hσ) ∈ ↑σ.support

⊢ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) (hσ.zpowersEquivSupport.symm ⟨(σ ^ (n + 1)) (Classical.choose hσ), ⋯⟩))) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) ⟨σ ^ n, ⋯⟩))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
n : ℕ
hx : (σ ^ n) (Classical.choose hσ) ∈ ↑σ.support

⊢ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) ⟨σ ^ (n + 1), ⋯⟩)) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ((zpowersEquivZPowers ⋯) ⟨σ ^ n, ⋯⟩))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
n : ℕ
hx : (σ ^ n) (Classical.choose hσ) ∈ ↑σ.support

⊢ ↑⟨(τ ^ (n + 1)) (Classical.choose hτ), ⋯⟩ = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ⟨τ ^ n, ⋯⟩)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
hσ : σ.IsCycle
hτ : τ.IsCycle
h : σ.support.card = τ.support.card
n : ℕ
hx : (σ ^ n) (Classical.choose hσ) ∈ ↑σ.support

⊢ τ ((τ ^ n) (Classical.choose hτ)) = τ ↑(hτ.zpowersEquivSupport ⟨τ ^ n, ⋯⟩)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹³ : TopologicalSpace α
inst✝¹² : MeasurableSpace α
inst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β
inst✝⁹ : MeasurableSpace β
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁷ : TopologicalSpace γ
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ₂
inst✝³ : MeasurableSpace γ₂
inst✝² : BorelSpace γ₂
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
inst✝ : R1Space γ
K s : Set γ
hK : IsCompact K
hs : MeasurableSet s
hKs : K ⊆ s

⊢ closure K ⊆ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s✝ t u : Set α
inst✝¹³ : TopologicalSpace α
inst✝¹² : MeasurableSpace α
inst✝¹¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β
inst✝⁹ : MeasurableSpace β
inst✝⁸ : OpensMeasurableSpace β
inst✝⁷ : TopologicalSpace γ
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : TopologicalSpace γ₂
inst✝³ : MeasurableSpace γ₂
inst✝² : BorelSpace γ₂
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
inst✝ : R1Space γ
K s : Set γ
hK : IsCompact K
hs : MeasurableSet s
hKs : K ⊆ s

⊢ ∀ i ∈ K, {y | Inseparable i y} ⊆ s
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ

⊢ ↑x = ↑↑x.toNNReal - ↑↑(-x).toNNReal
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ
h : 0 ≤ x

⊢ ↑x = ↑↑x.toNNReal - ↑↑(-x).toNNReal
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ
h : x ≤ 0

⊢ ↑x = ↑↑x.toNNReal - ↑↑(-x).toNNReal
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
x y : ℝ

⊢ x + y ∉ Set.range Rat.cast → x ∉ Set.range Rat.cast ∨ y ∉ Set.range Rat.cast
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
x y : ℝ

⊢ x ∈ Set.range Rat.cast ∧ y ∈ Set.range Rat.cast → x + y ∈ Set.range Rat.cast
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q rx ry : ℚ

⊢ ↑rx + ↑ry ∈ Set.range Rat.cast
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalAverage.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ

⊢ ⨍ (x : ℝ) in a..b, f x = (∫ (x : ℝ) in a..b, f x) / (b - a)
-- Mathlib/Combinatorics/Derangements/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α

⊢ fiber none = ∅
-- Mathlib/Combinatorics/Derangements/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α

⊢ ∀ (x : Perm α), x ∉ fiber none
-- Mathlib/Combinatorics/Derangements/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hyp : f ∈ fiber none

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Derangements/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hyp : ∃ F ∈ derangements (Option α), F none = none ∧ removeNone F = f

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f✝ g✝ : X → Y
f g : (i : ι) → π i

⊢ (f ~ᵢ g) ↔ ∀ (i : ι), f i ~ᵢ g i
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Splits (algebraMap F K) (minpoly F α)

⊢ Fintype.card (↥F⟮α⟯ →ₐ[F] K) = (minpoly F α).natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
h : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Splits (algebraMap F K) (minpoly F α)

⊢ (minpoly F α).Separable
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : U ∈ 𝓝ˢ K

⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ closure V ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : U ∈ 𝓝ˢ K
hd : Disjoint (𝓝ˢ K) (𝓝ˢ Uᶜ)

⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ closure V ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : U ∈ 𝓝ˢ K
hd : Disjoint (𝓝ˢ K) (𝓝ˢ Uᶜ)
V : Set X
hVo : IsOpen V
hKV : K ⊆ V
W : Set X
hVW : Disjoint V W
hW : IsOpen W
hUW : Uᶜ ⊆ W

⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ closure V ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : RegularSpace X
x : X
s K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : U ∈ 𝓝ˢ K
hd : Disjoint (𝓝ˢ K) (𝓝ˢ Uᶜ)
V : Set X
hVo : IsOpen V
hKV : K ⊆ V
W : Set X
hVW : Disjoint V W
hW : IsOpen W
hUW : Uᶜ ⊆ W

⊢ closure V ⊆ Wᶜ
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
x : Lifts F E K
s : E
h1 : IsIntegral F s
h2 : Splits (algebraMap F K) (minpoly F s)

⊢ Splits (x.emb.comp (algebraMap F ↥x.carrier)) (minpoly F s)
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
x y : α

⊢ cmpLE x y = cmp x y
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
x y : α
xy : ¬x ≤ y
yx : ¬y ≤ x

⊢ False
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a b : α
h : ∀ (c : α), IsAtom c → c ≤ a → c ≤ b

⊢ a ≤ b
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
a b : α
h : ∀ (c : α), IsAtom c → c ≤ a → c ≤ b

⊢ sSup {a_1 | IsAtom a_1 ∧ a_1 ≤ a} ≤ sSup {a | IsAtom a ∧ a ≤ b}
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
s t : Set α
a : α
h1 : s ∈ 𝓝 a
h2 : t ∈ 𝓝[s] a

⊢ t ∈ 𝓝 a
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
s t : Set α
a : α
h1 : s ∈ 𝓝 a
h2 : t ∈ 𝓝[s] a
w✝ : Set α
Hw : w✝ ∈ 𝓝 a
hw : w✝ ∩ s ⊆ t

⊢ t ∈ 𝓝 a
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Defs.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | x ^ k = 0}

⊢ nilpotencyClass x = k + 1 ↔ x ^ (k + 1) = 0 ∧ x ^ k ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Defs.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : MonoidWithZero R
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | x ^ k = 0}
this : ∀ (k₁ k₂ : ℕ), k₁ ≤ k₂ → k₁ ∈ s → k₂ ∈ s

⊢ nilpotencyClass x = k + 1 ↔ x ^ (k + 1) = 0 ∧ x ^ k ≠ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a b : α
s : Finset α

⊢ (∃ a, s = {a}) ↔ ∃! a, a ∈ s
-- Mathlib/Data/List/Range.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ

⊢ (enumFrom n l).unzip = (range' n l.length, l)
-- Mathlib/Topology/Instances/Rat.lean
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
a✝ b✝ : ℚ
h : dist a✝ b✝ < ε

⊢ dist (-a✝) (-b✝) < ε
-- Mathlib/Topology/Instances/Rat.lean
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
a✝ b✝ : ℚ
h : dist b✝ a✝ < ε

⊢ dist (-a✝) (-b✝) < ε
-- Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : IsAbsoluteValue norm
inst✝ : ProperSpace R
p : R[X]
hp0 : ¬0 < p.degree

⊢ ∀ (y : R), ‖eval (p.coeff 0) p‖ ≤ ‖eval y p‖
-- Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : NormedRing R
inst✝¹ : IsAbsoluteValue norm
inst✝ : ProperSpace R
p : R[X]
hp0 : ¬0 < p.degree

⊢ ∀ (y : R), ‖eval ((C (p.coeff 0)).coeff 0) (C (p.coeff 0))‖ ≤ ‖eval y (C (p.coeff 0))‖
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Preorder α
a✝ b c : α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α

⊢ ⋃ b, Ico a b = Ici a
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/SetInterval.lean
a : ℕ

⊢ Nat.cast '' Iio a = Ico 0 ↑a
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/SetInterval.lean
a : ℕ

⊢ Ico ↑⊥ ↑a = Ico 0 ↑a
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
a b c : ZNum

⊢ a ≤ b → c + a ≤ c + b
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
a b c : ZNum

⊢ ↑a ≤ ↑b → ↑c + ↑a ≤ ↑c + ↑b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
g : β →ₛ ℝ≥0∞
ν : Measure β
H : ∀ (y : ℝ≥0∞), μ (↑f ⁻¹' {y}) = ν (↑g ⁻¹' {y})

⊢ ∑ x ∈ f.range, x * μ (↑f ⁻¹' {x}) = ∑ x ∈ g.range, x * μ (↑f ⁻¹' {x})
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
g : β →ₛ ℝ≥0∞
ν : Measure β
H : ∀ (y : ℝ≥0∞), μ (↑f ⁻¹' {y}) = ν (↑g ⁻¹' {y})

⊢ ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ g.range
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : α →ₛ ℝ≥0∞
g : β →ₛ ℝ≥0∞
ν : Measure β
H : ∀ (y : ℝ≥0∞), μ (↑f ⁻¹' {y}) = ν (↑g ⁻¹' {y})
x✝ : α
a✝¹ : ↑f x✝ ≠ 0
a✝ : ν (↑g ⁻¹' {↑f x✝}) ≠ 0

⊢ ↑f x✝ ∈ g.range
-- Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
C₁ C₂ : Set X
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
h : C₁ ∪ C₂ = univ
f : LocallyConstant (↑C₁) Z
g : LocallyConstant (↑C₂) Z
hfg : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f ⟨x, ⋯⟩ = g ⟨x, ⋯⟩
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁
x : X
hx : x ∈ C₂

⊢ (piecewise h₁ h₂ h f g hfg) x = g ⟨x, hx⟩
-- Mathlib/Topology/LocallyConstant/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace X
C₁ C₂ : Set X
h₁ : IsClosed C₁
h₂ : IsClosed C₂
h : C₁ ∪ C₂ = univ
f : LocallyConstant (↑C₁) Z
g : LocallyConstant (↑C₂) Z
hfg : ∀ (x : X) (hx : x ∈ C₁ ∩ C₂), f ⟨x, ⋯⟩ = g ⟨x, ⋯⟩
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ C₁
x : X
hx : x ∈ C₂

⊢ (if hi : x ∈ C₁ then f ⟨x, hi⟩ else g ⟨x, ⋯⟩) = g ⟨x, hx⟩
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
i j : ℕ
e : l₁ ++ List.replicate i default = l₂ ++ List.replicate j default
h : l₁.length ≤ l₂.length

⊢ BlankExtends l₁ l₂
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
i j : ℕ
e : l₁ ++ List.replicate i default = l₂ ++ List.replicate j default
h : l₁.length ≤ l₂.length

⊢ l₂ = l₁ ++ List.replicate (i - j) default
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
i j : ℕ
e : l₁ ++ List.replicate i default = l₂ ++ List.replicate j default
h : l₁.length ≤ l₂.length

⊢ l₁ ++ List.replicate i default = l₁ ++ List.replicate (i - j) default ++ List.replicate j default
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
i j : ℕ
e : l₁ ++ List.replicate i default = l₂ ++ List.replicate j default
h : l₁.length ≤ l₂.length

⊢ j ≤ i
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
i j : ℕ
h : l₁.length ≤ l₂.length
e : (l₁ ++ List.replicate i default).length = (l₂ ++ List.replicate j default).length

⊢ j ≤ i
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
i j : ℕ
h : l₁.length ≤ l₂.length
e : l₁.length + i = l₂.length + j

⊢ j ≤ i
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
B✝ : Type u
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : Algebra R B✝
I✝ : Ideal B✝
B : Type u
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : FormallyUnramified R A
I : Ideal B
hI : IsNilpotent I

⊢ ∀ [_RB : Algebra R B], Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
B✝ : Type u
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : Algebra R B✝
I✝ : Ideal B✝
B : Type u
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : FormallyUnramified R A
I : Ideal B
hI : IsNilpotent I

⊢ ∀ ⦃S : Type u⦄ [inst : CommRing S] (I : Ideal S), I ^ 2 = ⊥ → ∀ [_RB : Algebra R S], Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp
-- Mathlib/RingTheory/Unramified/Basic.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
B✝ : Type u
inst✝³ : CommRing B✝
inst✝² : Algebra R B✝
I✝ : Ideal B✝
B : Type u
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : FormallyUnramified R A
I : Ideal B
hI : IsNilpotent I

⊢ ∀ ⦃S : Type u⦄ [inst : CommRing S] (I J : Ideal S), I ≤ J → (∀ [_RB : Algebra R S], Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp) → (∀ [_RB : Algebra R (S ⧸ I)], Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R (Ideal.map (Ideal.Quotient.mk I) J)).comp) → ∀ [_RB : Algebra R S], Function.Injective (Ideal.Quotient.mkₐ R J).comp
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIocDiv hp (a - p) b = toIocDiv hp a b + 1
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Z → X

⊢ IsOpenMap (⇑h ∘ f) ↔ IsOpenMap f
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Z → X

⊢ IsOpenMap (⇑h ∘ f) → IsOpenMap f
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Z → X
hf : IsOpenMap (⇑h ∘ f)

⊢ IsOpenMap f
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
f : Z → X
hf : IsOpenMap (⇑h ∘ f)

⊢ IsOpenMap (⇑h.symm ∘ ⇑h ∘ f)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : G ≃L[𝕜] E

⊢ ContDiffAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (e.symm x) ↔ ContDiffAt 𝕜 n f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : G ≃L[𝕜] E

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (?m.434150 ⁻¹' univ) (e.symm x) ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : G ≃L[𝕜] E

⊢ Type ?u.434146
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : G ≃L[𝕜] E

⊢ G → ?m.434149
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

⊢ (((κ + η).withDensity fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) a) s = (κ a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (b : γ) in s, ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a b).toNNReal ∂(κ + η) a = (κ a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α
s : Set γ
hs : MeasurableSet s

⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal)