ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
β : Type u_3
m : β → (i : ι) → α i
l : Filter β

⊢ (∀ (i : ι), Tendsto (eval i ∘ m) l (f i)) ↔ ∀ (i : ι), Tendsto (fun x => m x i) l (f i)
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
I : Ideal R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), IsLocalization.coeSubmodule (Localization.AtPrime J) I = ⊥
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
x : R
hx : x ∈ I

⊢ x ∈ RingHom.ker (algebraMap R (Localization.AtPrime P))
-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties.lean
R S : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid R
N : Submonoid S
R' S' : Type u
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : CommRing S'
f : R →+* S
inst✝¹ : Algebra R R'
inst✝ : Algebra S S'
I : Ideal R
h : ∀ (J : Ideal R) (hJ : J.IsMaximal), IsLocalization.coeSubmodule (Localization.AtPrime J) I = ⊥
P : Ideal R
hP : P.IsMaximal
x : R
hx : x ∈ I

⊢ ∃ y ∈ I, (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) y = (algebraMap R (Localization.AtPrime P)) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
l : ι →₀ R
hl : (Finsupp.total ι M R ⇑b) l = 0

⊢ b.repr ((Finsupp.total ι M R ⇑b) l) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝¹ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
n✝ n : ℕ
ih : derivative (p ^ (n + 1)) = C (↑n + 1) * p ^ n * derivative p

⊢ derivative (p ^ (n.succ + 1)) = C (↑n.succ + 1) * p ^ n.succ * derivative p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝¹ : ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
n✝ n : ℕ
ih : derivative (p ^ (n + 1)) = C (↑n + 1) * p ^ n * derivative p

⊢ (C ↑n * p ^ n * p + p ^ n * p) * derivative p + p ^ n * p * derivative p = C (↑n.succ + 1) * p ^ n * p * derivative p
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : KernelFork f

⊢ Fork.ι s ≫ f = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/AdjointAction.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x : L

⊢ x ∈ (ad R L).ker ↔ x ∈ LieAlgebra.center R L
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/AdjointAction.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
x : L

⊢ (ad R L) x = 0 ↔ ∀ (m : L), ⁅x, m⁆ = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

⊢ W.Ψ 3 = C W.Ψ₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Basic.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ : Triangle C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
inst✝⁴ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝¹ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
inst✝ : HasZeroMorphisms C
h : ∀ (j : J), (T j).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (T j).mor₁ = 0
this : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₂

⊢ ((Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫ inv (piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁)) ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => Pi.π (fun j => (T j).obj₁) j ≫ (T j).mor₁) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Basic.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ : Triangle C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
inst✝⁴ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝¹ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
inst✝ : HasZeroMorphisms C
h : ∀ (j : J), (T j).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (T j).mor₁ = 0
this : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₂

⊢ ((Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫ inv (piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁) ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => Pi.π (fun j => (T j).obj₁) j ≫ (T j).mor₁) ≫ piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₂) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Basic.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ : Triangle C
J : Type u_1
T : J → Triangle C
inst✝⁴ : HasProduct fun j => (T j).obj₁
inst✝³ : HasProduct fun j => (T j).obj₂
inst✝² : HasProduct fun j => (T j).obj₃
inst✝¹ : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₁
inst✝ : HasZeroMorphisms C
h : ∀ (j : J), (T j).mor₃ ≫ (shiftFunctor C 1).map (T j).mor₁ = 0
this : HasProduct fun j => (shiftFunctor C 1).obj (T j).obj₂
j : J

⊢ ((Pi.map fun j => (T j).mor₃) ≫ inv (piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₁) ≫ (shiftFunctor C 1).map (Pi.lift fun j => Pi.π (fun j => (T j).obj₁) j ≫ (T j).mor₁) ≫ piComparison (shiftFunctor C 1) fun j => (T j).obj₂) ≫ Pi.π (fun b => (shiftFunctor C 1).obj (T b).obj₂) j = 0 ≫ Pi.π (fun b => (shiftFunctor C 1).obj (T b).obj₂) j
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β
inst✝³ : FloorSemiring α
inst✝² : FloorSemiring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
n : ℕ

⊢ ↑n ≤ f a ↔ ↑n ≤ a
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : α ≃ₜ β
b : β
f : β → E
g : β → F

⊢ f =O[𝓝 b] g ↔ (f ∘ ⇑e) =O[𝓝 (e.symm b)] (g ∘ ⇑e)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
E : Type u_3
inst✝¹ : Norm E
F : Type u_4
inst✝ : Norm F
e : α ≃ₜ β
b : β
f : β → E
g : β → F

⊢ (∃ c, IsBigOWith c (𝓝 b) f g) ↔ ∃ c, IsBigOWith c (𝓝 (e.symm b)) (f ∘ ⇑e) (g ∘ ⇑e)
-- Mathlib/Data/Multiset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b₁ b₂ : α
s₁ s₂ : Multiset α

⊢ fold op (op b₁ b₂) (s₁ + 0) = op (fold op b₁ s₁) (fold op b₂ 0)
-- Mathlib/Data/Multiset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
b₁ b₂ : α
s₁ s₂ : Multiset α
a : α
b : Multiset α
h : fold op (op b₁ b₂) (s₁ + b) = op (fold op b₁ s₁) (fold op b₂ b)

⊢ fold op (op b₁ b₂) (s₁ + a ::ₘ b) = op (fold op b₁ s₁) (fold op b₂ (a ::ₘ b))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))

⊢ Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ ∈ lpMeasSubgroup F m p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))
hf_mem_ℒp : Memℒp (↑↑f) p μ := memℒp_of_memℒp_trim hm (Lp.memℒp f)

⊢ Memℒp.toLp ↑↑f ⋯ ∈ lpMeasSubgroup F m p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))
hf_mem_ℒp : Memℒp (↑↑f) p μ := memℒp_of_memℒp_trim hm (Lp.memℒp f)

⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(Memℒp.toLp ↑↑f ⋯)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))
hf_mem_ℒp : Memℒp (↑↑f) p μ := memℒp_of_memℒp_trim hm (Lp.memℒp f)

⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
ι : Type u_6
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : ↥(Lp F p (μ.trim hm))
hf_mem_ℒp : Memℒp (↑↑f) p μ := memℒp_of_memℒp_trim hm (Lp.memℒp f)

⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) (μ.trim hm)
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
i : ι
x : G i

⊢ (lift L ι G f g Hg).toFun ⟦Structure.Sigma.mk f i x⟧ = (g i) x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : (x : α) → Decidable ¬p x
f : α → β
this : DecidableEq α

⊢ (∏ x ∈ filter p s, f x) * ∏ x ∈ filter (fun x => ¬p x) s, f x = ∏ x ∈ s, f x
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
y : ℕ
hxy : p ∣ x + (y + 1)

⊢ padicValNat p (x ^ n + (y + 1) ^ n) = padicValNat p (x + (y + 1)) + padicValNat p n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
y : ℕ
hxy : p ∣ x + (y + 1)

⊢ ↑(padicValNat p (x ^ n + (y + 1) ^ n)) = ↑(padicValNat p (x + (y + 1))) + ↑(padicValNat p n)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
y : ℕ
hxy : p ∣ x + (y + 1)

⊢ multiplicity p (x ^ n + (y + 1) ^ n) = multiplicity p (x + (y + 1)) + multiplicity p n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
y : ℕ
hxy : p ∣ x + (y + 1)

⊢ 0 < n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
y : ℕ
hxy : p ∣ x + (y + 1)

⊢ 0 < x + (y + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ x p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hp1 : Odd p
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n
y : ℕ
hxy : p ∣ x + (y + 1)

⊢ 0 < x ^ n + (y + 1) ^ n
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
a : α

⊢ (l ++ [a]).sublists = l.sublists ++ map (fun x => x ++ [a]) l.sublists
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r p q : R[X]
n : ℕ
hp : p.natDegree ≤ n
hq : q.natDegree ≤ n

⊢ p = q ↔ ∀ i ≤ n, p.coeff i = q.coeff i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r p q : R[X]
n : ℕ
hp : p.natDegree ≤ n
hq : q.natDegree ≤ n

⊢ (∀ (n : ℕ), p.coeff n = q.coeff n) ↔ ∀ i ≤ n, p.coeff i = q.coeff i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r p q : R[X]
n : ℕ
hp : p.natDegree ≤ n
hq : q.natDegree ≤ n
i : ℕ
h : i ≤ n → p.coeff i = q.coeff i

⊢ p.coeff i = q.coeff i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q✝ r p q : R[X]
n : ℕ
hp : p.natDegree ≤ n
hq : q.natDegree ≤ n
i : ℕ
h : i ≤ n → p.coeff i = q.coeff i
k : n < i

⊢ p.coeff i = q.coeff i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M
f : M ≃ₗ[R] N
v : Ray R M

⊢ (map f) (-v) = -(map f) v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M
f : M ≃ₗ[R] N
g : M
hg : g ≠ 0

⊢ (map f) (-rayOfNeZero R g hg) = -(map f) (rayOfNeZero R g hg)
-- Mathlib/Algebra/Regular/SMul.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
b : R
s : S
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
a : Rˣ

⊢ IsSMulRegular M ↑a
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β✝ : Type v
δ : Type w
a : α
β : Type u
fr : Stream' α → β
ch : fr (cycle [a] ⋯) = fr (const a)

⊢ fr (cycle [a] ⋯).tail = fr (const a).tail
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n ≠ 0

⊢ a ^ n = 1 ↔ a = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A✝ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : NonUnitalRing A
inst✝² : Module ℝ A
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝ : SMulCommClass ℝ A A
a : A

⊢ QuasispectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal ↔ ∀ x ∈ σₙ ℝ a, 0 ≤ x
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
ha : IsOfFinOrder a

⊢ Nat.card ↑↑(powers a) ≤ orderOf a
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialCategory/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : SimplicialCategory C
K L : C

⊢ sHomWhiskerRight (𝟙 K) L = 𝟙 (sHom K L)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J✝ J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J
πi' : Box ι → (J : Box ι) → Prepartition J
J : Box ι

⊢ (J ∈ π.biUnion fun J => (πi J).biUnion (πi' J)) ↔ J ∈ (π.biUnion πi).biUnion fun J => πi' (π.biUnionIndex πi J) J
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J✝ J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J
πi' : Box ι → (J : Box ι) → Prepartition J
J : Box ι

⊢ (∃ J' ∈ π, ∃ J'_1 ∈ πi J', J ∈ πi' J' J'_1) ↔ ∃ J', (∃ J'_1 ∈ π, J' ∈ πi J'_1) ∧ J ∈ πi' (π.biUnionIndex πi J') J'
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
hd : HasFDerivWithinAt d d' s x

⊢ HasFDerivWithinAt (fun y => c y * d y) (c x • d' + d x • c') s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
hd : HasFDerivWithinAt d d' s x

⊢ d x • c' = c'.smulRight (d x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
hd : HasFDerivWithinAt d d' s x
z : E

⊢ (d x • c') z = (c'.smulRight (d x)) z
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic E K

⊢ finSepDegree F E * finSepDegree E K = finSepDegree F K
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S

⊢ lift' S g h (mk a b + mk a' b') = lift' S g h (mk a b) + lift' S g h (mk a' b')
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S

⊢ ↑⋯.unit⁻¹ (g ((a', b').2 • (a, b).1 + (a, b).2 • (a', b').1)) = ↑⋯.unit⁻¹ (g a) + ↑⋯.unit⁻¹ (g a')
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x y : LocalizedModule S M
a a' : M
b b' : ↥S

⊢ g ((a', b').2 • (a, b).1) + g ((a, b).2 • (a', b').1) = ↑⋯.unit⁻¹ (g (↑((a, b).2 * (a', b').2) • a)) + ↑⋯.unit⁻¹ (↑((a, b).2 * (a', b').2) • g a')
-- Mathlib/Algebra/Star/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : StarRing R
a : R
ha : ¬IsUnit a

⊢ inverse (star a) = star (inverse a)
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hG : Group.FG G
inst✝ : H.FiniteIndex
this : Group.FG ↥H

⊢ Group.rank ↥H ≤ H.index * Group.rank G
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S✝ : Set G
hG : Group.FG G
inst✝ : H.FiniteIndex
this : Group.FG ↥H
S : Finset G
hS₀ : S.card = Group.rank G
hS : closure ↑S = ⊤

⊢ Group.rank ↥H ≤ H.index * Group.rank G
-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
R S✝ : Set G
hG : Group.FG G
inst✝ : H.FiniteIndex
this : Group.FG ↥H
S : Finset G
hS₀ : S.card = Group.rank G
hS : closure ↑S = ⊤
T : Finset ↥H
hT₀ : T.card ≤ H.index * S.card
hT : closure ↑T = ⊤

⊢ Group.rank ↥H ≤ H.index * Group.rank G
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g✝ : α → β
κ : Type u_6
inst✝ : DecidableEq κ
s : Finset ι
t : Finset κ
g : ι → κ

⊢ ∑ j ∈ t, (filter (fun i => g i = j) s).card = (filter (fun i => g i ∈ t) s).card
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹⁰ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : OrderTopology α
inst✝⁷ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : OrderTopology β
inst✝⁴ : Nonempty γ
inst✝³ : DenselyOrdered α
a✝ b✝ : α
δ : Type u_1
inst✝² : LinearOrder δ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : OrderClosedTopology δ
a b : α
f : α → δ
hf : ContinuousOn f (uIcc a b)

⊢ uIcc (f a) (f b) ⊆ f '' uIcc a b
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
hf : Continuous f
t : Set Y

⊢ closure (f ⁻¹' t) ⊆ f ⁻¹' closure t
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y
hf : Continuous f
t : Set Y

⊢ closure (f ⁻¹' t) ⊆ closure (f ⁻¹' closure t)
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
α : Type u_3
k : ℕ
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype (Sym α k)

⊢ Fintype.card (Sym α k) = (Fintype.card α).multichoose k
-- Mathlib/Data/Sym/Card.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
α : Type u_3
k : ℕ
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype (Sym α k)

⊢ Fintype.card (Sym α k) = Fintype.card (Sym (Fin (Fintype.card α)) k)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X

⊢ IsPathConnected F ↔ PathConnectedSpace ↑F
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X

⊢ (F.Nonempty ∧ ∀ x ∈ F, ∀ y ∈ F, JoinedIn F x y) ↔ PathConnectedSpace ↑F
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
x y : X
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s

⊢ x ≤ y ∨ y ≤ x
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
y : X
hy : y ∈ s
i : Fin (s.length + 1)
hx : s.toFun i ∈ s

⊢ s.toFun i ≤ y ∨ y ≤ s.toFun i
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
i : Fin (s.length + 1)
hx : s.toFun i ∈ s
j : Fin (s.length + 1)
hy : s.toFun j ∈ s

⊢ s.toFun i ≤ s.toFun j ∨ s.toFun j ≤ s.toFun i
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
i : Fin (s.length + 1)
hx : s.toFun i ∈ s
j : Fin (s.length + 1)
hy : s.toFun j ∈ s

⊢ i ≤ j ∨ j ≤ i
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
x✝ : α × α
a b : α

⊢ (a, b) ∈ Prod.swap '' idRel ↔ (a, b) ∈ idRel