ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ

⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) (Icc a b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
aux : (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) = fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ

⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) (Icc a b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
inst✝ : NoAtoms μ
h_int : IntegrableOn f (Icc a b) μ
aux : (fun x => ∫ (t : ℝ) in Icc a x, f t ∂μ) = fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ

⊢ ContinuousOn (fun x => ∫ (t : ℝ) in Ioc a x, f t ∂μ) (Icc a b)
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup P
inst✝² : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L✝ : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : μ.IsNegInvariant
L : E' →L[𝕜] E →L[𝕜] F
f : G → E
n : ℕ∞
g : P → G → E'
s : Set P
k : Set G
hs : IsOpen s
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContDiffOn 𝕜 n (↿g) (s ×ˢ univ)

⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun q => (g q.1 ⋆[L, μ] f) q.2) (s ×ˢ univ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N

⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
this : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)

⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
this✝ : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this : IsCentralScalar R M

⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
this✝¹ : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this✝ : IsCentralScalar R M
this : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom N ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)

⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
this✝² : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this✝¹ : IsCentralScalar R M
this✝ : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom N ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this : IsCentralScalar R N

⊢ (TrivSqZeroExt.sndHom R N ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap) ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ TrivSqZeroExt.sndHom R M ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
this✝² : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this✝¹ : IsCentralScalar R M
this✝ : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom N ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this : IsCentralScalar R N

⊢ (f ∘ₗ TrivSqZeroExt.sndHom R M) ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap = f ∘ₗ TrivSqZeroExt.sndHom R M ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S
x : P.Ring
i : P.vars

⊢ (P.cotangentSpaceBasis.repr (1 ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) x)) i = (aeval P.val) ((pderiv i) x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ : ℝ

⊢ ∑ k ∈ Finset.range (n + 1 + 1), (PolynomialModule.comp (Polynomial.X - Polynomial.C x₀)) ((PolynomialModule.single ℝ k) (taylorCoeffWithin f k s x₀)) = ∑ k ∈ Finset.range (n + 1), (PolynomialModule.comp (Polynomial.X - Polynomial.C x₀)) ((PolynomialModule.single ℝ k) (taylorCoeffWithin f k s x₀)) + (PolynomialModule.comp (Polynomial.X - Polynomial.C x₀)) ((PolynomialModule.single ℝ (n + 1)) (taylorCoeffWithin f (n + 1) s x₀))
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b

⊢ ∃ n, upperCrossingTime a b f N n ω = N
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
h : ¬∃ n, upperCrossingTime a b f N n ω = N

⊢ False
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
h : ∀ (n : ℕ), upperCrossingTime a b f N n ω ≠ N

⊢ False
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
h : ∀ (n : ℕ), upperCrossingTime a b f N n ω ≠ N
this : StrictMono fun n => upperCrossingTime a b f N n ω

⊢ False
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f✝ : ℕ → Ω → ℝ
N✝ n m : ℕ
ω✝ : Ω
f : ℕ → Ω → ℝ
N : ℕ
ω : Ω
hab : a < b
h : ∀ (n : ℕ), upperCrossingTime a b f N n ω ≠ N
this : StrictMono fun n => upperCrossingTime a b f N n ω
k : ℕ
hk : N < (fun n => upperCrossingTime a b f N n ω) k

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Maps.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : G ≃g G'
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype W

⊢ Fintype.card V = Fintype.card W
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Maps.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
f : G ≃g G'
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype W

⊢ Fintype.card W = Fintype.card W
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K

⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), (minpoly F x).natSepDegree = 1
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q

⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), (minpoly F x).natSepDegree = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Finset β

⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique ↑t ↔ t.card ≤ 1 ∨ ∃ s, G.IsClique ↑s ∧ map f s = t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Finset β
ht : t.card ≤ 1

⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique ↑t ↔ t.card ≤ 1 ∨ ∃ s, G.IsClique ↑s ∧ map f s = t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Finset β
ht : 1 < t.card

⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique ↑t ↔ t.card ≤ 1 ∨ ∃ s, G.IsClique ↑s ∧ map f s = t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Finset β
ht : 1 < t.card

⊢ (∃ s, G.IsClique ↑s ∧ map f s = t) ↔ ¬1 < t.card ∨ ∃ s, G.IsClique ↑s ∧ map f s = t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Finset β
ht : 1 < t.card

⊢ t.Nontrivial
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
x : X
hx : x ∈ s

⊢ ∃ i, 0 < (f i) x
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
x : X
hx : x ∈ s
H : ∑ᶠ (i : ι), (f i) x = 1

⊢ ∃ i, 0 < (f i) x
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s
x : X
hx : x ∈ s
H : ∀ (i : ι), (f i) x ≤ 0

⊢ ∑ᶠ (i : ι), (f i) x ≠ 1
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/CharZero.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : DivisionRing α
inst✝ : CharZero α
a b : ℤ

⊢ ↑(a /. b) = ↑a / ↑b
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : FractionalIdeal A⁰ (FractionRing A) ≃+* FractionalIdeal A⁰ K := mapEquiv (FractionRing.algEquiv A K)

⊢ IsDedekindDomainInv A ↔ ∀ (I : FractionalIdeal A⁰ K), I ≠ ⊥ → I * I⁻¹ = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : FractionalIdeal A⁰ (FractionRing A) ≃+* FractionalIdeal A⁰ K := mapEquiv (FractionRing.algEquiv A K)
x : FractionalIdeal A⁰ (FractionRing A)

⊢ x ≠ ⊥ → x * x⁻¹ = 1 ↔ h.toEquiv x ≠ ⊥ → h.toEquiv x * (h.toEquiv x)⁻¹ = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : FractionalIdeal A⁰ (FractionRing A) ≃+* FractionalIdeal A⁰ K := mapEquiv (FractionRing.algEquiv A K)
x : FractionalIdeal A⁰ (FractionRing A)

⊢ x ≠ ⊥ → h.toEquiv (x * x⁻¹) = h.toEquiv 1 ↔ h.toEquiv x ≠ ⊥ → h.toEquiv x * (h.toEquiv x)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Division.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
j : σ →₀ ℕ
r : R

⊢ X i ∣ (monomial j) r ↔ r = 0 ∨ j i ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Division.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
i : σ
j : σ →₀ ℕ
r : R

⊢ (r = 0 ∨ Finsupp.single i 1 ≤ j) ∧ 1 ∣ r ↔ r = 0 ∨ j i ≠ 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
C : G.ConnectedComponent
φ : G →g G'
ψ : G' →g G''

⊢ map ψ (map φ C) = map (ψ.comp φ) C
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
C : G.ConnectedComponent
φ : G →g G'
ψ : G' →g G''

⊢ ∀ (v : V), map ψ (map φ (G.connectedComponentMk v)) = map (ψ.comp φ) (G.connectedComponentMk v)
-- Mathlib/Data/Holor.lean
α : Type
d : ℕ
ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ
p : HolorIndex (d :: ds) → Prop
t : HolorIndex (d :: ds)
i : ℕ
is : List ℕ
h : ↑t = i :: is

⊢ Forall₂ (fun x x_1 => x < x_1) (↑t) (d :: ds)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
l₁ l₂ : List (List α)
h : l₁ ~ l₂

⊢ l₁.join ~ l₂.join
-- Mathlib/Order/Heyting/Hom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CoheytingAlgebra α
inst✝¹ : CoheytingAlgebra β
inst✝ : CoheytingHomClass F α β
f : F
a : α

⊢ f (￢a) = ￢f a
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
π : δ' → Type u_6
π' : δ' → Type u_7
inst✝² : (x : δ') → MeasurableSpace (π x)
inst✝¹ : (x : δ') → MeasurableSpace (π' x)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_8
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
i : Fin (n + 1)

⊢ Measurable fun x => (Equiv.piFinSuccAbove α i).symm x i
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
π : δ' → Type u_6
π' : δ' → Type u_7
inst✝² : (x : δ') → MeasurableSpace (π x)
inst✝¹ : (x : δ') → MeasurableSpace (π' x)
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_8
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → MeasurableSpace (α i)
i : Fin (n + 1)
j : Fin n

⊢ Measurable fun x => (Equiv.piFinSuccAbove α i).symm x (i.succAbove j)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
X : Sort ?u.71899
inst✝ : DecidableEq X
x : X
Y : Sort ?u.71935
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y

⊢ (fun x' => if h : x' ≠ x then f ⟨x', h⟩ else y) ∘ Subtype.val = f
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
X : Sort ?u.71899
inst✝ : DecidableEq X
x : X
Y : Sort ?u.71935
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y
x' : { x' // x' ≠ x }

⊢ ((fun x' => if h : x' ≠ x then f ⟨x', h⟩ else y) ∘ Subtype.val) x' = f x'
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
X : Sort ?u.71899
inst✝ : DecidableEq X
x : X
Y : Sort ?u.71935
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y
x' : { x' // x' ≠ x }

⊢ ↑x' = x → y = f x'
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
X : Sort ?u.71899
inst✝ : DecidableEq X
x : X
Y : Sort ?u.71935
f : { x' // x' ≠ x } → Y
y : Y
x' : { x' // x' ≠ x }
w : ↑x' = x

⊢ False
-- Mathlib/Data/Finset/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
u : Finset α

⊢ u ∈ Ico s t ↔ u ∈ image (fun x => s ∪ x) (t \ s).ssubsets
-- Mathlib/Data/Finset/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
h : s ⊆ t
u : Finset α

⊢ s ≤ u ∧ u < t ↔ ∃ a ⊂ t \ s, s ∪ a = u
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/UnderlyingMap.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x✝² x✝¹ : Scheme
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹

⊢ Surjective x✝ ↔ topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => Function.Surjective) x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)

⊢ (mkMetric m) s ≤ liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)

⊢ ⨆ r, ⨆ (_ : 0 < r), ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε

⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c

⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i

⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
u : ℕ → Set X := fun j => ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b

⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), m (diam (t n)) ≤ c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
u : ℕ → Set X := fun j => ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b

⊢ ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (u n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (u n).Nonempty), m (diam (u n)) ≤ c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
u : ℕ → Set X := fun j => ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b
j : ℕ

⊢ diam (u j) ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι✝ : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁴ : EMetricSpace X
inst✝³ : EMetricSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : BorelSpace X
β : Type u_4
ι : β → Type u_5
inst✝ : ∀ (n : β), Countable (ι n)
s : Set X
l : Filter β
r : β → ℝ≥0∞
hr : Tendsto r l (𝓝 0)
t : (n : β) → ι n → Set X
ht : ∀ᶠ (n : β) in l, ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hst : ∀ᶠ (n : β) in l, s ⊆ ⋃ i, t n i
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
this : (n : β) → Encodable (ι n)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
c : ℝ≥0∞
hc : liminf (fun n => ∑' (i : ι n), m (diam (t n i))) l < c
n : β
hn : ∑' (i : ι n), m (diam (t n i)) < c
hrn : r n < ε
htn : ∀ (i : ι n), diam (t n i) ≤ r n
hstn : s ⊆ ⋃ i, t n i
u : ℕ → Set X := fun j => ⋃ b ∈ decode₂ (ι n) j, t n b

⊢ ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (u n).Nonempty), m (diam (u n)) ≤ c
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
a : α

⊢ Measurable ((fun p => κ.rnDerivAux η p.1 p.2) ∘ fun x => (a, x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : IsCompact s

⊢ IsCompact (μ.everywherePosSubset s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : IsCompact s
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : μ.everywherePosSubset s = s \ u

⊢ IsCompact (μ.everywherePosSubset s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : IsCompact s
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : μ.everywherePosSubset s = s \ u

⊢ IsCompact (s \ u)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α

⊢ ↑(round x) ≤ x + 1 / 2
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
x : α

⊢ ↑⌊x + 1 / 2⌋ ≤ x + 1 / 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsConnected.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimit (constPUnitFunctor C)
x✝ : Nonempty (colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1})
h : colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1}

⊢ IsConnected C
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsConnected.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimit (constPUnitFunctor C)
x✝ : Nonempty (colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1})
h : colimit (constPUnitFunctor C) ≅ PUnit.{w + 1}
this : Nonempty C

⊢ IsConnected C