ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : Epi f
inst✝ : HasCokernel g

⊢ g ≫ cokernel.π (f ≫ g) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : HasCokernel f✝
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : Epi f
inst✝ : HasCokernel g

⊢ (f ≫ g) ≫ cokernel.π (f ≫ g) = f ≫ 0
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m✝ n✝ m n : ℤ

⊢ 4 ∣ 2 * m + 1 + (2 * n + 1) ∨ 4 ∣ 2 * m + 1 - (2 * n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m✝ n✝ m n : ℤ
h : Even (m + n)

⊢ 4 ∣ 2 * m + 1 + (2 * n + 1) ∨ 4 ∣ 2 * m + 1 - (2 * n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m✝ n✝ m n : ℤ
h : Odd (m + n)

⊢ 4 ∣ 2 * m + 1 + (2 * n + 1) ∨ 4 ∣ 2 * m + 1 - (2 * n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
s : S
a : G
ha : a ∈ s
x✝ : G

⊢ x✝ ∈ a • ↑s ↔ x✝ ∈ ↑s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
E : K ⥤ J
F : J ⥤ C
G : C ⥤ D
inst✝² : HasLimit F
inst✝¹ : HasLimit (E ⋙ F)
inst✝ : HasLimit (F ⋙ G)
h : HasLimit ((E ⋙ F) ⋙ G)
this : HasLimit (E ⋙ F ⋙ G)
j✝ : K

⊢ (G.map (pre F E) ≫ post (E ⋙ F) G) ≫ π ((E ⋙ F) ⋙ G) j✝ = (post F G ≫ pre (F ⋙ G) E) ≫ π ((E ⋙ F) ⋙ G) j✝
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L

⊢ ⨅ α, Weight.ker = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : IsKilling K L

⊢ ⨆ i, Weight.ker.dualAnnihilator = ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]

⊢ (Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (mk W) Y) = p ^ 2 - p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃) - q ^ 2 * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
p q : R[X]

⊢ (p * 1 + q * 0) * ((q * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆) * if 0 = 1 then 1 else 0) + (p - q * (C W.a₁ * X + C W.a₃)) * 1) - (q * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆) * 1 + (p - q * (C W.a₁ * X + C W.a₃)) * 0) * ((p * if 0 = 1 then 1 else 0) + q * 1) = p ^ 2 - p * q * (C W.a₁ * X + C W.a₃) - q ^ 2 * (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/CantorNormalForm.lean
b o : Ordinal.{u_1}
ho : o ≠ 0
hb : o < b

⊢ CNF b o = [(0, o)]
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : (ι → ℝ) →ₗ[ℝ] ι → ℝ
hf : LinearMap.det f ≠ 0

⊢ Measure.map (⇑f) volume = ofReal |(LinearMap.det f)⁻¹| • volume
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f✝ g : ℕ → Bool
n : ℕ
f : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1

⊢ cantorFunction c f = (bif f 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => f (n + 1)
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f✝ g : ℕ → Bool
n : ℕ
f : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1

⊢ cantorFunctionAux c f 0 + ∑' (b : ℕ), cantorFunctionAux c f (b + 1) = (bif f 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => f (n + 1)
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f✝ g : ℕ → Bool
n : ℕ
f : ℕ → Bool
h1 : 0 ≤ c
h2 : c < 1

⊢ (bif f 0 then 1 else 0) + c * ∑' (x : ℕ), cantorFunctionAux c (fun n => f (n + 1)) x = (bif f 0 then 1 else 0) + c * cantorFunction c fun n => f (n + 1)
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m n : ℕ

⊢ (↑(powers a)).Finite ↔ IsOfFinOrder a
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m n : ℕ
h : (↑(powers a)).Finite

⊢ IsOfFinOrder a
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n✝ : ℕ
h : (↑(powers a)).Finite
m n : ℕ
hmn : m < n
ha : a ^ m = a ^ n

⊢ IsOfFinOrder a
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : LeftCancelMonoid G
x y a : G
m✝ n✝ : ℕ
h : (↑(powers a)).Finite
m n : ℕ
hmn : m < n
ha : a ^ m = a ^ n

⊢ a ^ (n - m) = 1
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Intervals.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
b : ↑(Iic a)
h : CompleteLattice.IsCompactElement ↑b

⊢ CompleteLattice.IsCompactElement b
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Intervals.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
b : ↑(Iic a)
h : ∀ (ι : Type u_2) (s : ι → α), ↑b ≤ iSup s → ∃ t, ↑b ≤ ⨆ a ∈ t, s a

⊢ ∀ (ι : Type u_2) (s : ι → ↑(Iic a)), b ≤ iSup s → ∃ t, b ≤ ⨆ a_2 ∈ t, s a_2
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Intervals.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
b : ↑(Iic a)
h : ∀ (ι : Type u_2) (s : ι → α), ↑b ≤ iSup s → ∃ t, ↑b ≤ ⨆ a ∈ t, s a
ι : Type u_2
s : ι → ↑(Iic a)
hb : b ≤ iSup s

⊢ ∃ t, b ≤ ⨆ a_1 ∈ t, s a_1
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Intervals.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
b : ↑(Iic a)
h : ∀ (ι : Type u_2) (s : ι → α), ↑b ≤ iSup s → ∃ t, ↑b ≤ ⨆ a ∈ t, s a
ι : Type u_2
s : ι → ↑(Iic a)
hb : ↑b ≤ iSup (Subtype.val ∘ s)

⊢ ∃ t, b ≤ ⨆ a_1 ∈ t, s a_1
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K : Subgroup G
x : G
xH : x ∈ H
n : G

⊢ n ∈ H ↔ x * n * x⁻¹ ∈ H
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Associated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p : Multiset (Associates α)

⊢ ∀ (a : Associates α) (s : Multiset (Associates α)), (s.prod = 1 ↔ ∀ a ∈ s, a = 1) → ((a ::ₘ s).prod = 1 ↔ ∀ a_2 ∈ a ::ₘ s, a_2 = 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Extension.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
s t : LeftLift f g
i : s ⟶ t
x : B
h : x ⟶ c

⊢ (s.whisker h).hom ≫ (postcomp x f).map (h ◁ i.right) = (t.whisker h).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Extension.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : b ⟶ a
g : c ⟶ a
s t : LeftLift f g
i : s ⟶ t
x : B
h : x ⟶ c

⊢ ((s.whisker h).hom ≫ (postcomp x f).map (h ◁ i.right)) ≫ (α_ h t.lift f).hom = (t.whisker h).hom ≫ (α_ h t.lift f).hom
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a✝ b : α
m n : ℕ
a d : α

⊢ a * b ∣ a * (b * d)
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a✝ b : α
m n : ℕ
a d : α

⊢ a * (b * d) = a * b * d
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : c ≤ max a b

⊢ Icc a b ∪ Ici c = Ici (min a c)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
h : c ≤ b

⊢ Icc a b ∪ Ici c = Ici (min a c)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b < a
h : c ≤ a ∨ c ≤ b

⊢ Icc a b ∪ Ici c = Ici (min a c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
s : Set α

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in s, F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α) in s, f x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
s : Set α

⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝³ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝² : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
s : Set α

⊢ Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α) in s, ↑‖F i x - f x‖₊ ∂μ) l (𝓝 0)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1

⊢ ↑p ∣ r.num - r.num * r.den.gcdA p % ↑p * ↑r.den
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1

⊢ ↑(r.num - r.num * r.den.gcdA p % ↑p * ↑r.den) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1

⊢ ↑r.num - ↑(r.num * r.den.gcdA p % ↑p) * ↑r.den = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : (fun x => ↑x % ↑p) ↑(r.den.gcd p) = (fun x => ↑x % ↑p) (↑r.den * r.den.gcdA p + ↑p * r.den.gcdB p)

⊢ ↑r.num - ↑(r.num * r.den.gcdA p % ↑p) * ↑r.den = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)

⊢ ↑r.num - ↑(r.num * r.den.gcdA p % ↑p) * ↑r.den = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)

⊢ ↑r.num - ↑r.num * ↑(r.den.gcdA p) * ↑r.den = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)

⊢ ↑r.num - ↑r.num * ↑(r.den.gcd p) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)

⊢ r.den.Coprime p
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)

⊢ p.Coprime r.den
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)

⊢ ¬p ∣ r.den
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)

⊢ 1 ≤ ‖↑↑r.den‖
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)

⊢ ‖↑↑r.den‖ = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r✝ r : ℚ
h : ‖↑r‖ ≤ 1
this : ↑(r.den.gcd p) = ↑r.den * ↑(r.den.gcdA p)

⊢ IsUnit ↑↑r.den
-- Mathlib/FieldTheory/NormalClosure.lean
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L

⊢ normalClosure F (↥K) L = ⨆ f, map f K
-- Mathlib/FieldTheory/NormalClosure.lean
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
f : ↥K →ₐ[F] L

⊢ f.fieldRange ≤ ⨆ f, map f K
-- Mathlib/FieldTheory/NormalClosure.lean
F : Type u_1
K✝ : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K✝
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K✝
inst✝¹ : Algebra F L
K K' : IntermediateField F L
inst✝ : Normal F L
f : L →ₐ[F] L

⊢ map f K ≤ ⨆ f, f.fieldRange
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α✝ : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
x y x' y' : α
ex : x = gcd x y * x'
ey : y = gcd x y * y'
h : gcd x y ≠ 0

⊢ IsUnit (gcd x' y')
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α✝ : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
x y x' y' : α
ex : x = gcd x y * x'
ey : y = gcd x y * y'
h : gcd x y ≠ 0

⊢ Associated (gcd x' y') 1
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α✝ : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
x y x' y' : α
ex : x = gcd x y * x'
ey : y = gcd x y * y'
h : gcd x y ≠ 0

⊢ Associated (gcd x y * gcd x' y') (gcd x y * 1)
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α✝ : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α✝
α : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : GCDMonoid α
x y x' y' : α
ex : x = gcd x y * x'
ey : y = gcd x y * y'
h : gcd x y ≠ 0

⊢ gcd x y * 1 = gcd (gcd x y * x') (gcd x y * y')
-- Mathlib/Order/OrderIsoNat.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α r
f : ℕ → α

⊢ ∃ g, (∀ (m n : ℕ), m < n → r (f (g m)) (f (g n))) ∨ ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f (g m)) (f (g n))
-- Mathlib/Order/OrderIsoNat.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α r
f : ℕ → α
g : ℕ ↪o ℕ
hr : ∀ (n : ℕ), r (f (g n)) (f (g (n + 1)))

⊢ ∃ g, (∀ (m n : ℕ), m < n → r (f (g m)) (f (g n))) ∨ ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f (g m)) (f (g n))
-- Mathlib/Order/OrderIsoNat.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α r
f : ℕ → α
g : ℕ ↪o ℕ
hnr : ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f (g m)) (f (g n))

⊢ ∃ g, (∀ (m n : ℕ), m < n → r (f (g m)) (f (g n))) ∨ ∀ (m n : ℕ), m < n → ¬r (f (g m)) (f (g n))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (-f)) = -SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
this : ↑(toSimpleFunc (-f)) =ᶠ[ae μ] ↑(-toSimpleFunc f)

⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (-f)) = -SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
this : ↑(toSimpleFunc (-f)) =ᶠ[ae μ] ↑(-toSimpleFunc f)

⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (-toSimpleFunc f) = -SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G

⊢ prehaar (↑K₀) U ⊥ = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ ‖x‖ / (o.oangle (x + y) y).sin = ‖x + y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ ‖x‖ / ((-o).oangle y (x + y)).sin = ‖x + y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ ‖x‖ / ((-o).oangle y (y + x)).sin = ‖y + x‖
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : (i : ι) → κ i → α

⊢ Ici (⨆ i, ⨆ j, f i j) = ⨆ i, ⨆ j, Ici (f i j)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : List Char
i e n : Nat

⊢ go₂ s { byteIdx := i + n } { byteIdx := e + n } = go₂ s { byteIdx := i } { byteIdx := e }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : List Char
i e n : Nat

⊢ ∀ (c : Char) (cs : List Char) (i : Pos), ¬i = { byteIdx := e } → go₂ cs { byteIdx := i.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs (i + c) { byteIdx := e } → (if { byteIdx := i.byteIdx + n } = { byteIdx := e + n } then [] else c :: go₂ cs ({ byteIdx := i.byteIdx + n } + c) { byteIdx := e + n }) = if i = { byteIdx := e } then [] else c :: go₂ cs (i + c) { byteIdx := e }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : List Char
i✝ e n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
h : ¬{ byteIdx := i } = { byteIdx := e }
ih : go₂ cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }

⊢ (if { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + n } = { byteIdx := e + n } then [] else c :: go₂ cs ({ byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + n } + c) { byteIdx := e + n }) = if { byteIdx := i } = { byteIdx := e } then [] else c :: go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : List Char
i✝ e n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
ih : go₂ cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }
h : ¬i = e

⊢ (if i + n = e + n then [] else c :: go₂ cs { byteIdx := i + n + c.utf8Size } { byteIdx := e + n }) = if i = e then [] else c :: go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := e }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : List Char
i✝ e n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
ih : go₂ cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }
h : ¬i = e

⊢ go₂ cs { byteIdx := i + n + c.utf8Size } { byteIdx := e + n } = go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := e }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
s : List Char
i✝ e n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
ih : go₂ cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }
h : ¬i = e

⊢ go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := e }
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
a : α
h : -f < const a

⊢ (f - const (-a)).Pos
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e✝ : Pretrivialization F proj
x : Z
e f : Pretrivialization F proj

⊢ (f.symm.trans e.toPartialEquiv).source = (e.baseSet ∩ f.baseSet) ×ˢ univ
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m n : ℕ
i : Fin n.succ
hi : i ∈ Set.range castSucc

⊢ ↑((Equiv.ofInjective castSucc ⋯).symm ⟨i, hi⟩) = ↑i
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m n : ℕ
i : Fin n.succ
hi : i ∈ Set.range castSucc

⊢ ↑((Equiv.ofInjective castSucc ⋯).symm ⟨i, hi⟩).castSucc = ↑i
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ≥0

⊢ EMetric.closedBall x ↑ε = closedBall x ↑ε
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S

⊢ smeval 1 x = 1 • x ^ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S

⊢ 1 • x ^ 0 = 1 • x ^ 0
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : min a b ≤ max c d
h₂ : min c d ≤ max a b

⊢ Ico a b ∪ Ico c d = Ico (min a c) (max b d)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
h₁ : a ≤ d
h₂ : c ≤ b

⊢ Ico a b ∪ Ico c d = Ico (min a c) (max b d)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
hcd : d ≤ c
h₁ : a ≤ c
h₂ : d ≤ b

⊢ Ico a b ∪ Ico c d = Ico (min a c) (max b d)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
hcd : c ≤ d
h₁ : b ≤ d
h₂ : c ≤ a

⊢ Ico a b ∪ Ico c d = Ico (min a c) (max b d)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
hcd : d ≤ c
h₁ : b ≤ c
h₂ : d ≤ a

⊢ Ico a b ∪ Ico c d = Ico (min a c) (max b d)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
s : Set X

⊢ {x}ᶜ ∈ 𝓝ˢ s ↔ x ∉ s
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ b \ a ∆ b = a ⊓ b
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i j : Fin n
a : Fin (n + 2)
h : a ≠ last (n + 1)

⊢ a.succAbove (last n) = last (n + 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
x : α
hx : x ∈ aeSeqSet hf p
i : ι

⊢ aeSeq hf p i x = f i x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Invertible M
hM : M.BlockTriangular b
k : α
p : m → Prop := fun i => b i < k
q : m → Prop := fun i => ¬b i < k

⊢ (M⁻¹.toBlock (fun i => k ≤ b i) fun i => b i < k) = 0