ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r

⊢ G.degree s = (filter (G.Adj s) univ).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
a✝ : V

⊢ a✝ ∈ filter (fun x => ¬G.Adj s x) univ ↔ a✝ ∈ h.finpartition.part s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
a✝ : V

⊢ a✝ ∈ univ ∧ ¬G.Adj s a✝ ↔ a✝ ∈ h.finpartition.part s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
a✝ : V

⊢ a✝ ∈ univ ∧ ¬G.Adj s a✝ ↔ Setoid.r s a✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
k : ℕ
μ : K
hx : f.HasEigenvalue μ
hk : 0 < k

⊢ 0 = finrank K ↥⊥
-- Mathlib/Algebra/Order/Rearrangement.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Antivary f g

⊢ ∑ i : ι, f i • g i < ∑ i : ι, f (σ i) • g i ↔ ¬Antivary (f ∘ ⇑σ) g
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Semifield α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulReflectLT α
inst✝ : ZeroLEOneClass α
a b : α

⊢ a⁻¹ < 0 ↔ a < 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : Countable ι
U : ι → Set α
hU : ⋃ i, U i = univ
hμ : μ ≠ 0

⊢ ∃ i, 0 < μ (U i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : Countable ι
U : ι → Set α
hU : ⋃ i, U i = univ
H : ∀ (i : ι), μ (U i) ≤ 0

⊢ μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : Countable ι
U : ι → Set α
hU : ⋃ i, U i = univ
H : ∀ (i : ι), μ (U i) ≤ 0

⊢ μ (⋃ i, U i) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/ContinuousAffineEquiv.lean
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝²⁰ : Ring k
inst✝¹⁹ : AddCommGroup V₁
inst✝¹⁸ : Module k V₁
inst✝¹⁷ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝¹⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝¹⁵ : Module k V₂
inst✝¹⁴ : AddTorsor V₂ P₂
inst✝¹³ : AddCommGroup V₃
inst✝¹² : Module k V₃
inst✝¹¹ : AddTorsor V₃ P₃
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V₄
inst✝⁹ : Module k V₄
inst✝⁸ : AddTorsor V₄ P₄
inst✝⁷ : TopologicalSpace P₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid P₁
inst✝⁵ : Module k P₁
inst✝⁴ : TopologicalSpace P₂
inst✝³ : AddCommMonoid P₂
inst✝² : Module k P₂
inst✝¹ : TopologicalSpace P₃
inst✝ : TopologicalSpace P₄
e : P₁ ≃ᵃL[k] P₂
s : Set P₂

⊢ ⇑e.symm '' s = ⇑e ⁻¹' s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] a, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[≠] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[≠] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[≠] a) l

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[≠] a) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : (∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt f (f' x) x) ∧ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : (∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt g (g' x) x) ∧ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : (∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, g' x ≠ 0) ∧ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0) ∧ Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0) ∧ Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[<] a) l ∧ Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[<] a) l ∧ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
ha : 0 ≤ a

⊢ ⌈a + 1⌉₊ = ⌈a⌉₊ + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → ProbabilityMeasure Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω

⊢ Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → ProbabilityMeasure Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω

⊢ Tendsto (toFiniteMeasure ∘ μs) F (𝓝 μ.toFiniteMeasure) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (ω : Ω), ↑(f ω) ∂↑μ))
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ y \ x ⊔ x = y \ x ⊔ (x ⊔ x ⊓ y)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ y ⊓ x ⊔ y \ x ⊔ x = y ⊔ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y✝ x y : ℝ
hx : x ∈ Ioc (-(π / 2)) (π / 2)

⊢ x ≤ arcsin y ↔ sin x ≤ y
-- Mathlib/Analysis/Complex/Angle.lean
a✝ x✝ y✝ a x y : ℂ

⊢ angle x (y / a) = angle (x * a) y
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a✝ a : α

⊢ s.sup f ≤ a ↔ ∀ b ∈ s, f b ≤ a
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a✝ a : α

⊢ (∀ b ∈ Multiset.map f s.val, b ≤ a) ↔ ∀ b ∈ s, f b ≤ a
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ s₂ : Finset β
f g : β → α
a✝ a : α

⊢ (∀ (b : α), ∀ x ∈ s.val, f x = b → b ≤ a) ↔ ∀ b ∈ s, f b ≤ a
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h₂ : IsZero T.obj₂
h₃ : IsZero T.obj₃

⊢ IsZero T.obj₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h₂ : IsZero T.obj₂
h₃ : IsZero T.obj₃

⊢ T.mor₁ = 0 ∧ T.mor₃ = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c d : α

⊢ Ico a b ∩ Ico c d = Ico (max a c) (min b d)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens

⊢ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens
e₁ : Hom.app ((X.restrictFunctor.map i).left ≫ V.ι) (V.ι ''ᵁ W) = Hom.app U.ι (V.ι ''ᵁ W) ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map (eqToHom ⋯).op

⊢ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens
e₁ : Hom.app ((X.restrictFunctor.map i).left ≫ V.ι) (V.ι ''ᵁ W) = Hom.app U.ι (V.ι ''ᵁ W) ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
this : V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W = W

⊢ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens
e₁ : Hom.app ((X.restrictFunctor.map i).left ≫ V.ι) (V.ι ''ᵁ W) = Hom.app U.ι (V.ι ''ᵁ W) ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
this : V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W = W
e₂ : (X.restrictFunctor.obj V).left.presheaf.map (eqToIso this).hom.op ≫ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left (V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W) = Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map ((Opens.map (X.restrictFunctor.map i).left.val.base).map (eqToIso this).hom.op.unop).op

⊢ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens
e₁ : Hom.app ((X.restrictFunctor.map i).left ≫ V.ι) (V.ι ''ᵁ W) = Hom.app U.ι (V.ι ''ᵁ W) ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
this : V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W = W
e₂ : (X.restrictFunctor.obj V).left.presheaf.map (eqToIso this).hom.op ≫ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left (V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W) = Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map ((Opens.map (X.restrictFunctor.map i).left.val.base).map (eqToIso this).hom.op.unop).op
e₃ : Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map ((Opens.map (X.restrictFunctor.map i).left.val.base).map (eqToIso this).hom.op.unop).op = Hom.app U.ι (V.ι ''ᵁ W) ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map (eqToHom ⋯).op

⊢ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens
e₁ : Hom.app ((X.restrictFunctor.map i).left ≫ V.ι) (V.ι ''ᵁ W) = Hom.app U.ι (V.ι ''ᵁ W) ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
this : V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W = W
e₂ : (X.restrictFunctor.obj V).left.presheaf.map (eqToIso this).hom.op ≫ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left (V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W) = Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map ((Opens.map (X.restrictFunctor.map i).left.val.base).map (eqToIso this).hom.op.unop).op
e₃ : Hom.app (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯) W ≫ X.presheaf.map ((Hom.opensFunctor U.ι).map ((Opens.map (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯).val.base).map (eqToHom this))).op = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ X.presheaf.map ((Hom.opensFunctor U.ι).map (eqToHom ⋯)).op

⊢ Hom.app (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯) W = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens
e₁ : Hom.app ((X.restrictFunctor.map i).left ≫ V.ι) (V.ι ''ᵁ W) = Hom.app U.ι (V.ι ''ᵁ W) ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
this : V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W = W
e₂ : (X.restrictFunctor.obj V).left.presheaf.map (eqToIso this).hom.op ≫ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left (V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W) = Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map ((Opens.map (X.restrictFunctor.map i).left.val.base).map (eqToIso this).hom.op.unop).op
e₃ : Hom.app (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯) W = X.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ ((Hom.opensFunctor U.ι).map (eqToHom ⋯)).op) ≫ X.presheaf.map (inv ((Hom.opensFunctor U.ι).map ((Opens.map (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯).val.base).map (eqToHom this))).op)

⊢ Hom.app (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯) W = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ U V : X.Opens
i : U ⟶ V
W : (↑V).Opens
e₁ : Hom.app ((X.restrictFunctor.map i).left ≫ V.ι) (V.ι ''ᵁ W) = Hom.app U.ι (V.ι ''ᵁ W) ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
this : V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W = W
e₂ : (X.restrictFunctor.obj V).left.presheaf.map (eqToIso this).hom.op ≫ Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left (V.ι ⁻¹ᵁ V.ι ''ᵁ W) = Hom.app (X.restrictFunctor.map i).left W ≫ (X.restrictFunctor.obj U).left.presheaf.map ((Opens.map (X.restrictFunctor.map i).left.val.base).map (eqToIso this).hom.op.unop).op
e₃ : Hom.app (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯) W = X.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ ((Hom.opensFunctor U.ι).map (eqToHom ⋯)).op) ≫ X.presheaf.map (inv ((Hom.opensFunctor U.ι).map ((Opens.map (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯).val.base).map (eqToHom this))).op)

⊢ X.presheaf.map (((homOfLE ⋯).op ≫ ((Hom.opensFunctor U.ι).map (eqToHom ⋯)).op) ≫ inv ((Hom.opensFunctor U.ι).map ((Opens.map (IsOpenImmersion.lift V.ι U.ι ⋯).val.base).map (eqToHom this))).op) = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/Data/List/Enum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
x : ℕ × α
l : List α
h : x ∈ l.enum

⊢ x.1 < l.length
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2

⊢ IsSquare (-2) ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 3
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2

⊢ p % 8 ≠ 5 ∧ p % 8 ≠ 7 ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 3
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 2 = 1

⊢ p % 8 ≠ 5 ∧ p % 8 ≠ 7 ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 3
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 8 % 2 = 1

⊢ p % 8 ≠ 5 ∧ p % 8 ≠ 7 ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 3
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticReciprocity.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
h₁ : p % 8 % 2 = 1
h₂ : p % 8 < 8

⊢ p % 8 ≠ 5 ∧ p % 8 ≠ 7 ↔ p % 8 = 1 ∨ p % 8 = 3
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I

⊢ IsCompl ↑I ↑(orthogonal Φ hΦ_inv I)
-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : IsAtom I

⊢ Disjoint I (orthogonal Φ hΦ_inv I)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
N : E → ℝ
N_hom : ∀ (c : ℝ), 0 < c → ∀ (x : E), N (c • x) = c * N x
N_add : ∀ (x y : E), N (x + y) ≤ N x + N y
hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x

⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ N x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
N : E → ℝ
N_hom : ∀ (c : ℝ), 0 < c → ∀ (x : E), N (c • x) = c * N x
N_add : ∀ (x y : E), N (x + y) ≤ N x + N y
hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x
s : ConvexCone ℝ (E × ℝ) := { carrier := {p | N p.1 ≤ p.2}, smul_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯ }

⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ N x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
N : E → ℝ
N_hom : ∀ (c : ℝ), 0 < c → ∀ (x : E), N (c • x) = c * N x
N_add : ∀ (x y : E), N (x + y) ≤ N x + N y
hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x
s : ConvexCone ℝ (E × ℝ) := { carrier := {p | N p.1 ≤ p.2}, smul_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯ }
f' : E × ℝ →ₗ.[ℝ] ℝ := (-f).coprod (LinearMap.id.toPMap ⊤)

⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ N x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
N : E → ℝ
N_hom : ∀ (c : ℝ), 0 < c → ∀ (x : E), N (c • x) = c * N x
N_add : ∀ (x y : E), N (x + y) ≤ N x + N y
hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x
s : ConvexCone ℝ (E × ℝ) := { carrier := {p | N p.1 ≤ p.2}, smul_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯ }
f' : E × ℝ →ₗ.[ℝ] ℝ := (-f).coprod (LinearMap.id.toPMap ⊤)
hf'_nonneg : ∀ (x : ↥f'.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f' x

⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ N x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
N : E → ℝ
N_hom : ∀ (c : ℝ), 0 < c → ∀ (x : E), N (c • x) = c * N x
N_add : ∀ (x y : E), N (x + y) ≤ N x + N y
hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x
s : ConvexCone ℝ (E × ℝ) := { carrier := {p | N p.1 ≤ p.2}, smul_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯ }
f' : E × ℝ →ₗ.[ℝ] ℝ := (-f).coprod (LinearMap.id.toPMap ⊤)
hf'_nonneg : ∀ (x : ↥f'.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f' x
hf'_dense : ∀ (y : E × ℝ), ∃ x, ↑x + y ∈ s

⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ N x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
N : E → ℝ
N_hom : ∀ (c : ℝ), 0 < c → ∀ (x : E), N (c • x) = c * N x
N_add : ∀ (x y : E), N (x + y) ≤ N x + N y
hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x
s : ConvexCone ℝ (E × ℝ) := { carrier := {p | N p.1 ≤ p.2}, smul_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯ }
f' : E × ℝ →ₗ.[ℝ] ℝ := (-f).coprod (LinearMap.id.toPMap ⊤)
hf'_nonneg : ∀ (x : ↥f'.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f' x
hf'_dense : ∀ (y : E × ℝ), ∃ x, ↑x + y ∈ s
g : E × ℝ →ₗ[ℝ] ℝ
g_eq : ∀ (x : ↥f'.domain), g ↑x = ↑f' x
g_nonneg : ∀ x ∈ s, 0 ≤ g x

⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ N x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
N : E → ℝ
N_hom : ∀ (c : ℝ), 0 < c → ∀ (x : E), N (c • x) = c * N x
N_add : ∀ (x y : E), N (x + y) ≤ N x + N y
hf : ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ N ↑x
s : ConvexCone ℝ (E × ℝ) := { carrier := {p | N p.1 ≤ p.2}, smul_mem' := ⋯, add_mem' := ⋯ }
f' : E × ℝ →ₗ.[ℝ] ℝ := (-f).coprod (LinearMap.id.toPMap ⊤)
hf'_nonneg : ∀ (x : ↥f'.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f' x
hf'_dense : ∀ (y : E × ℝ), ∃ x, ↑x + y ∈ s
g : E × ℝ →ₗ[ℝ] ℝ
g_nonneg : ∀ x ∈ s, 0 ≤ g x
g_eq : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ℝ), g (↑x, y) = y - ↑f x

⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ N x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasRightHomology
inst✝² : S₂.HasRightHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂

⊢ F.map (rightHomologyMap φ) ≫ (S₂.mapRightHomologyIso F).inv = (S₁.mapRightHomologyIso F).inv ≫ rightHomologyMap (F.mapShortComplex.map φ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A B : Matrix m m R
hA : A.PosSemidef
hB : B.PosSemidef
x : m → R

⊢ 0 ≤ star x ⬝ᵥ (A + B) *ᵥ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : PartialOrder R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : RCLike 𝕜
A B : Matrix m m R
hA : A.PosSemidef
hB : B.PosSemidef
x : m → R

⊢ 0 ≤ star x ⬝ᵥ A *ᵥ x + star x ⬝ᵥ B *ᵥ x
-- Mathlib/Data/Nat/Pairing.lean
a₁ a₂ b : ℕ
h : a₁ < a₂

⊢ pair a₁ b < pair a₂ b
-- Mathlib/Data/Nat/Pairing.lean
a₁ a₂ b : ℕ
h : a₁ < a₂
h₁ : a₁ < b

⊢ b * b + a₁ < if a₂ < b then b * b + a₂ else a₂ * a₂ + (a₂ + b)
-- Mathlib/Data/Nat/Pairing.lean
a₁ a₂ b : ℕ
h : a₁ < a₂
h₁ : ¬a₁ < b

⊢ a₁ * a₁ + (a₁ + b) < if a₂ < b then b * b + a₂ else a₂ * a₂ + (a₂ + b)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
g f : K[X]
hf0 : g * f ≠ 0
hf : Splits i (g * f)

⊢ Splits i g
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Pointwise.lean
k : Type u_1
inst✝⁹ : Ring k
V : Type u_2
P : Type u_3
V₁ : Type u_4
P₁ : Type u_5
V₂ : Type u_6
P₂ : Type u_7
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module k V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
v : V
x✝ : P

⊢ x✝ ∈ v +ᵥ ⊤ ↔ x✝ ∈ ⊤
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z : ℂ

⊢ -(z * I) * I = z
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : j.castSucc < i

⊢ X.map (SimplexCategory.σ j.castSucc).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.succ).op = X.map (SimplexCategory.δ i).op ≫ X.map (SimplexCategory.σ j).op
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
assoc : Std.Associative op
s : Multiset α
inst✝ : Std.Commutative op
a : α

⊢ noncommFold op s ⋯ a = fold op a s
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : α → β → β
op : α → α → α
assoc : Std.Associative op
inst✝ : Std.Commutative op
a : α
a✝ : List α

⊢ noncommFold op ⟦a✝⟧ ⋯ a = fold op a ⟦a✝⟧
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s

⊢ Gamma s = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s

⊢ (↑s).GammaIntegral.re = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s

⊢ (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (↑s - 1)).re = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s

⊢ (∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ ↑(s - 1)).re = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ ↑(s - 1) = ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-x) * x ^ (s - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

⊢ ↑(rexp (-x)) * ↑x ^ ↑(s - 1) = ↑(rexp (-x) * x ^ (s - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

⊢ Complex.exp (-↑x) * ↑x ^ (↑s - 1) = Complex.exp (-↑x) * ↑(x ^ (s - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

⊢ Complex.exp (-↑x) * ↑x ^ (↑s - 1) = Complex.exp (-↑x) * ↑x ^ ↑(s - 1)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
hf : AnalyticAt 𝕜 f z₀
hg : AnalyticAt 𝕜 g z₀

⊢ (∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = g z) ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, f z = g z
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α

⊢ ∀ t ∈ {∅}, MeasurableSet t