ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁✝ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
w₁ : InfinitePlace K

⊢ ∃ u, ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → Real.log (w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u)) < 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁✝ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB✝ : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B

⊢ ∃ u, ∀ (w : InfinitePlace K), w ≠ w₁ → Real.log (w ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u)) < 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁✝ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB✝ : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B

⊢ ∃ n m, n < m ∧ Ideal.span {↑(seq K w₁ hB n)} = Ideal.span {↑(seq K w₁ hB m)}
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁✝ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB✝ : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
n : ℕ

⊢ Ideal.span {↑(seq K w₁ hB n)} ∈ {I | 1 ≤ Ideal.absNorm I ∧ Ideal.absNorm I ≤ B}
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/DirichletTheorem.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w₁✝ : InfinitePlace K
B✝ : ℕ
hB✝ : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B✝
w₁ : InfinitePlace K
B : ℕ
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B

⊢ {I | 1 ≤ Ideal.absNorm I ∧ Ideal.absNorm I ≤ B}.Finite
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Ideal.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C

⊢ ((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)).symm (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((exp.adjunction B).homEquiv A (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))).symm ((unitCompPartialBijective A ⋯).symm (((exp.adjunction B).homEquiv (i.obj ((reflector i).obj A)) (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))) (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ ((exp.adjunction (i.obj ((reflector i).obj A))).homEquiv B (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))).symm ((unitCompPartialBijective B ⋯).symm (((exp.adjunction (i.obj ((reflector i).obj A))).homEquiv (i.obj ((reflector i).obj B)) (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))) ((PreservesLimitPair.iso i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)).inv ≫ i.map (𝟙 ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))))) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))))) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))) = prodComparison (reflector i) A B
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Ideal.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C

⊢ ((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)).symm (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective A ⋯).symm (curry (prod.lift prod.snd prod.fst ≫ uncurry ((unitCompPartialBijective B ⋯).symm (curry ((PreservesLimitPair.iso i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)).inv ≫ i.map (𝟙 ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))))) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))))) ≫ 𝟙 (i.obj ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B))) = prodComparison (reflector i) A B
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Ideal.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C

⊢ ((reflectorAdjunction i).homEquiv (A ⨯ B) ((reflector i).obj A ⨯ (reflector i).obj B)).symm (prod.lift prod.snd (prod.fst ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app A) ≫ prod.lift prod.snd (prod.fst ≫ (reflectorAdjunction i).unit.app B) ≫ (PreservesLimitPair.iso i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)).inv) = prodComparison (reflector i) A B
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Ideal.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C

⊢ prod.map ((reflectorAdjunction i).unit.app A) ((reflectorAdjunction i).unit.app B) = (reflectorAdjunction i).unit.app (A ⨯ B) ≫ i.map (prodComparison (reflector i) A B) ≫ (PreservesLimitPair.iso i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Ideal.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C

⊢ prod.map ((reflectorAdjunction i).unit.app A) ((reflectorAdjunction i).unit.app B) = (reflectorAdjunction i).unit.app (A ⨯ B) ≫ i.map (prodComparison (reflector i) A B) ≫ prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Ideal.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C

⊢ prod.map ((reflectorAdjunction i).unit.app A) ((reflectorAdjunction i).unit.app B) ≫ prod.fst = ((reflectorAdjunction i).unit.app (A ⨯ B) ≫ i.map (prodComparison (reflector i) A B) ≫ prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)) ≫ prod.fst
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Ideal.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₂} D
i : D ⥤ C
inst✝⁴ : HasFiniteProducts C
inst✝³ : Reflective i
inst✝² : CartesianClosed C
inst✝¹ : HasFiniteProducts D
inst✝ : ExponentialIdeal i
A B : C

⊢ prod.map ((reflectorAdjunction i).unit.app A) ((reflectorAdjunction i).unit.app B) ≫ prod.snd = ((reflectorAdjunction i).unit.app (A ⨯ B) ≫ i.map (prodComparison (reflector i) A B) ≫ prodComparison i ((reflector i).obj A) ((reflector i).obj B)) ≫ prod.snd
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] M

⊢ LeftInverse ⇑(map g) ⇑(map f) ↔ LeftInverse ⇑g ⇑f
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] M
h : LeftInverse ⇑(map g) ⇑(map f)
x : M

⊢ g (f x) = x
-- Mathlib/RingTheory/Regular/RegularSequence.lean
R✝ : Type u_1
S : Type u_2
M✝ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁴ : Semiring R✝
inst✝³ : Semiring S
R : Type u_7
inst✝² : CommSemiring R
r : R
rs : List R
M : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M

⊢ ofList (r :: rs) • N = r • N ⊔ ofList rs • N
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : Module 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : RingHomIsometric σ₁₂
inst✝¹ : TopologicalSpace F
hι : Nonempty ι
q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι
hq : WithSeminorms q
inst✝ : TopologicalSpace E
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : Inducing ⇑f

⊢ WithSeminorms (q.comp f)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean

⊢ (↑π).sign = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean

⊢ @takeD = @takeDTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
f : Nat
n : List α
l : α

⊢ takeD f n l = takeDTR f n l
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
k m n : ℕ+

⊢ m.Coprime k → n.Coprime k → (m * n).Coprime k
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
k m n : ℕ+

⊢ (↑m).Coprime ↑k → (↑n).Coprime ↑k → (↑(m * n)).Coprime ↑k
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
k m n : ℕ+

⊢ (↑m).Coprime ↑k → (↑n).Coprime ↑k → (↑m * ↑n).Coprime ↑k
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
x : α
hxs : x ∈ s
hxt : x ∉ t

⊢ insert x (s \ insert x t) = s \ t
-- Mathlib/RingTheory/Congruence/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
ι : Sort u_3
f : ι → RingCon R

⊢ ⇑(iInf f) = ⨅ i, ⇑(f i)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
x c : G
H : x ∈ conjugatesOfSet s

⊢ c * x * c⁻¹ ∈ conjugatesOfSet s
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
x c : G
H : x ∈ conjugatesOfSet s
a : G
h₁ : a ∈ s
h₂ : IsConj a x

⊢ c * x * c⁻¹ ∈ conjugatesOfSet s
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4

⊢ card (α ⊕ β) = card α + card β
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι✝ : Type v
inst✝¹³ : Preorder ι✝
G✝ : ι✝ → Type w
inst✝¹² : (i : ι✝) → L.Structure (G✝ i)
f✝ : (i j : ι✝) → i ≤ j → G✝ i ↪[L] G✝ j
inst✝¹¹ : IsDirected ι✝ fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹⁰ : DirectedSystem G✝ fun i j h => ⇑(f✝ i j h)
inst✝⁹ : Nonempty ι✝
P : Type u₁
inst✝⁸ : L.Structure P
g✝ : (i : ι✝) → G✝ i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι✝) (hij : i ≤ j) (x : G✝ i), (g✝ j) ((f✝ i j hij) x) = (g✝ i) x
G' : ι✝ → Type w'
inst✝⁷ : (i : ι✝) → L.Structure (G' i)
f' : (i j : ι✝) → i ≤ j → G' i ↪[L] G' j
g : (i : ι✝) → G✝ i ≃[L] G' i
H_commuting : ∀ (i j : ι✝) (hij : i ≤ j) (x : G✝ i), (g j) ((f✝ i j hij) x) = (f' i j hij) ((g i) x)
inst✝⁶ : DirectedSystem G' fun i j h => ⇑(f' i j h)
ι : Type u_1
inst✝⁵ : Countable ι
inst✝⁴ : Preorder ι
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : Nonempty ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
h : ∀ (i : ι), CG L (G i)
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

⊢ CG L (DirectLimit G f)
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι✝ : Type v
inst✝¹³ : Preorder ι✝
G✝ : ι✝ → Type w
inst✝¹² : (i : ι✝) → L.Structure (G✝ i)
f✝ : (i j : ι✝) → i ≤ j → G✝ i ↪[L] G✝ j
inst✝¹¹ : IsDirected ι✝ fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹⁰ : DirectedSystem G✝ fun i j h => ⇑(f✝ i j h)
inst✝⁹ : Nonempty ι✝
P : Type u₁
inst✝⁸ : L.Structure P
g✝ : (i : ι✝) → G✝ i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι✝) (hij : i ≤ j) (x : G✝ i), (g✝ j) ((f✝ i j hij) x) = (g✝ i) x
G' : ι✝ → Type w'
inst✝⁷ : (i : ι✝) → L.Structure (G' i)
f' : (i j : ι✝) → i ≤ j → G' i ↪[L] G' j
g : (i : ι✝) → G✝ i ≃[L] G' i
H_commuting : ∀ (i j : ι✝) (hij : i ≤ j) (x : G✝ i), (g j) ((f✝ i j hij) x) = (f' i j hij) ((g i) x)
inst✝⁶ : DirectedSystem G' fun i j h => ⇑(f' i j h)
ι : Type u_1
inst✝⁵ : Countable ι
inst✝⁴ : Preorder ι
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : Nonempty ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
h : ∀ (i : ι), CG L (G i)
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

⊢ (⋃ i, ⇑(of L ι G f i) '' Classical.choose ⋯).Countable
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι✝ : Type v
inst✝¹³ : Preorder ι✝
G✝ : ι✝ → Type w
inst✝¹² : (i : ι✝) → L.Structure (G✝ i)
f✝ : (i j : ι✝) → i ≤ j → G✝ i ↪[L] G✝ j
inst✝¹¹ : IsDirected ι✝ fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹⁰ : DirectedSystem G✝ fun i j h => ⇑(f✝ i j h)
inst✝⁹ : Nonempty ι✝
P : Type u₁
inst✝⁸ : L.Structure P
g✝ : (i : ι✝) → G✝ i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι✝) (hij : i ≤ j) (x : G✝ i), (g✝ j) ((f✝ i j hij) x) = (g✝ i) x
G' : ι✝ → Type w'
inst✝⁷ : (i : ι✝) → L.Structure (G' i)
f' : (i j : ι✝) → i ≤ j → G' i ↪[L] G' j
g : (i : ι✝) → G✝ i ≃[L] G' i
H_commuting : ∀ (i j : ι✝) (hij : i ≤ j) (x : G✝ i), (g j) ((f✝ i j hij) x) = (f' i j hij) ((g i) x)
inst✝⁶ : DirectedSystem G' fun i j h => ⇑(f' i j h)
ι : Type u_1
inst✝⁵ : Countable ι
inst✝⁴ : Preorder ι
inst✝³ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : Nonempty ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
h : ∀ (i : ι), CG L (G i)
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

⊢ (Substructure.closure L).toFun (⋃ i, ⇑(of L ι G f i) '' Classical.choose ⋯) = ⊤
-- .lake/packages/batteries/Batteries/WF.lean

⊢ @ndrec = @Acc.ndrecC
-- .lake/packages/batteries/Batteries/WF.lean
α : Sort u_1
r : α → α → Prop
motive : α → Sort u_2
intro : (x : α) → (∀ (y : α), r y x → Acc r y) → ((y : α) → r y x → motive y) → motive x
a : α
t : Acc r a

⊢ ndrec intro t = Acc.ndrecC intro t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ

⊢ 0 ≤ x ^ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ

⊢ 0 ≤ if x = 0 then if y = 0 then 1 else 0 else rexp (log x * y)
-- Mathlib/Algebra/Tropical/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
x y : Tropical R

⊢ x + y = y ↔ y ≤ x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℤ
x y : E

⊢ inner_ 𝕜 (↑n • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑n * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℤ
x y : E

⊢ inner_ 𝕜 (↑(n.sign * ↑n.natAbs) • x) y = (starRingEnd 𝕜) ↑(n.sign * ↑n.natAbs) * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℤ
x y : E

⊢ inner_ 𝕜 (↑n.sign • ↑n.natAbs • x) y = ↑n.sign * ↑n.natAbs * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℤ
x y : E
hn : n < 0

⊢ inner_ 𝕜 (↑n.sign • ↑n.natAbs • x) y = ↑n.sign * ↑n.natAbs * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E

⊢ inner_ 𝕜 (↑(Int.sign 0) • ↑(Int.natAbs 0) • x) y = ↑(Int.sign 0) * ↑(Int.natAbs 0) * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℤ
x y : E
hn : 0 < n

⊢ inner_ 𝕜 (↑n.sign • ↑n.natAbs • x) y = ↑n.sign * ↑n.natAbs * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂0 ≠ ⊤

⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂0 < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hμ : μ ≠ 0

⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ < ⊤
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α : Type u_1
inst✝ : MonoidWithZero α
p u : α
h₁ : p * u ≠ 0

⊢ p ≠ 0
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
a b : PartENat

⊢ a + b = ⊤ ↔ a = ⊤ ∨ b = ⊤
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
a b : PartENat

⊢ ∀ (n n_1 : ℕ), ¬↑n_1 + ↑n = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/LinearMap.lean
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁸ : Ring K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommGroup V''
inst✝ : Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''

⊢ (f ∘ₗ g).rank ≤ f.rank
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/LinearMap.lean
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁸ : Ring K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommGroup V''
inst✝ : Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''

⊢ range (f ∘ₗ g) ≤ range f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/LinearMap.lean
K : Type u
V V₁ : Type v
V' V'₁ : Type v'
V'' : Type v''
inst✝⁸ : Ring K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module K V₁
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module K V'
inst✝¹ : AddCommGroup V''
inst✝ : Module K V''
g : V →ₗ[K] V'
f : V' →ₗ[K] V''

⊢ Submodule.map f (range g) ≤ range f
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame

⊢ x + -0 = x + 0
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ↑M ≠ ↑m / ↑n
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ↑M ≠ ↑m / ↑n
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n

⊢ ↑n ^ (-1) ≤ |↑M - ↑m / ↑n|
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ↑M ≠ ↑m / ↑n
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n

⊢ 1 ≤ |↑M * ↑n - ↑m|
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ↑M ≠ ↑m / ↑n
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n

⊢ 1 ≤ |M * ↑n - m|
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ↑M ≠ ↑m / ↑n
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n

⊢ M * ↑n ≠ m
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
hp : 1 < p
M : ℤ
h : LiouvilleWith p ↑M
n : ℕ
hn : 0 < n
m : ℤ
hne : ¬↑M * ↑n = ↑m
hlt : |↑M - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-1)
hn' : 0 < ↑n

⊢ M * ↑n ≠ m
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]

⊢ Function.Injective ⇑(quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]

⊢ comap (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]

⊢ P ⊔ comap (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⊥ = P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]

⊢ comap (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⊥ ≤ P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
p : R[X]
hp : p ∈ comap (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⊥
n : ℕ

⊢ (Quotient.mk (comap C P)) (p.coeff n) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Identities.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R

⊢ eval₂ (RingHom.id R) (x + y) f = f.sum fun e a => a * (x ^ e + ↑e * x ^ (e - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Identities.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R

⊢ (f.sum fun e a => (RingHom.id R) a * (x + y) ^ e) = f.sum fun e a => a * (x ^ e + ↑e * x ^ (e - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y e a) * y ^ 2)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Identities.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type x
k : Type y
A : Type z
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x y : R
n : ℕ
z : R

⊢ (RingHom.id R) z * (x + y) ^ n = z * (x ^ n + ↑n * x ^ (n - 1) * y + ↑(Polynomial.polyBinomAux1 x y n z) * y ^ 2)
-- Mathlib/Combinatorics/Derangements/Finite.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ

⊢ card ↑(derangements (Fin (n + 2))) = (n + 1) * card ↑(derangements (Fin n)) + (n + 1) * card ↑(derangements (Fin (n + 1)))
-- Mathlib/Combinatorics/Derangements/Finite.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
h1 : ∀ (a : Fin (n + 1)), card ↑{a}ᶜ = card (Fin n)

⊢ card ↑(derangements (Fin (n + 2))) = (n + 1) * card ↑(derangements (Fin n)) + (n + 1) * card ↑(derangements (Fin (n + 1)))
-- Mathlib/Combinatorics/Derangements/Finite.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
h1 : ∀ (a : Fin (n + 1)), card ↑{a}ᶜ = card (Fin n)
h2 : card (Fin (n + 2)) = card (Option (Fin (n + 1)))

⊢ card ↑(derangements (Fin (n + 2))) = (n + 1) * card ↑(derangements (Fin n)) + (n + 1) * card ↑(derangements (Fin (n + 1)))
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s✝ t : Set α
x y : α
s : Set β

⊢ (f '' s).WellFoundedOn r ↔ s.WellFoundedOn (r on f)
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r r' : α → α → Prop
f : β → α
s✝ t : Set α
x y : α
s : Set β

⊢ (range fun x => f ↑x).WellFoundedOn r ↔ s.WellFoundedOn (r on f)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C

⊢ let D := closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C); Perfect D ∧ D.Nonempty ∧ D ⊆ C ∧ EMetric.diam D ≤ ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)

⊢ let D := closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C); Perfect D ∧ D.Nonempty ∧ D ⊆ C ∧ EMetric.diam D ≤ ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)
this : Perfect (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ∧ (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)).Nonempty

⊢ let D := closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C); Perfect D ∧ D.Nonempty ∧ D ⊆ C ∧ EMetric.diam D ≤ ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
C : Set α
hC : Perfect C
ε : ℝ≥0∞
ε_pos : 0 < ε
x : α
xC : x ∈ C
this✝ : x ∈ EMetric.ball x (ε / 2)
this : Perfect (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)) ∧ (closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C)).Nonempty

⊢ closure (EMetric.ball x (ε / 2) ∩ C) ⊆ C