ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : IsKernelPair f a b
inst✝ : Mono f

⊢ IsIso a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : IsKernelPair f a b
inst✝ : Mono f

⊢ IsIso ((IsPullback.isLimit ⋯).conePointUniqueUpToIso (IsPullback.isLimit h)).inv
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiCompact.lean
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)

⊢ IsNilpotent f ↔ X.basicOpen f = ⊥
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiCompact.lean
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)
hf : X.basicOpen f = ⊥

⊢ IsNilpotent f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiCompact.lean
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)
hf : X.basicOpen f = ⊥
h : (1 |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0

⊢ IsNilpotent f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiCompact.lean
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)
hf : X.basicOpen f = ⊥
h : (1 |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
n : ℕ
hn : f ^ n * 1 = 0

⊢ IsNilpotent f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiCompact.lean
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
Z X : Scheme
U : X.Opens
hU : IsCompact ↑U
f : ↑Γ(X, U)
hf : X.basicOpen f = ⊥
h : (1 |_ X.basicOpen f) ⋯ = 0
n : ℕ
hn : f ^ n = 0

⊢ IsNilpotent f
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : T3Space α
f : β → γ → α
h : Multipliable (uncurry f)
h₁ : ∀ (b : β), Multipliable (f b)
h₂ : ∀ (c : γ), Multipliable fun b => f b c

⊢ ∏' (c : γ) (b : β), f b c = ∏' (b : β) (c : γ), f b c
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommMonoid α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ContinuousMul α
inst✝ : T3Space α
f : β → γ → α
h : Multipliable (uncurry f)
h₁ : ∀ (b : β), Multipliable (f b)
h₂ : ∀ (c : γ), Multipliable fun b => f b c

⊢ ∏' (p : γ × β), uncurry f p.swap = ∏' (c : γ × β), uncurry f ((Equiv.prodComm γ β) c)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.30241, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0

⊢ 𝟙 S.X₂ ≫ S.g = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.30241, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0

⊢ S.f ≫ 𝟙 S.X₂ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s : Finset ι
S : Set ((i : { x // x ∈ s }) → α ↑i)
f : (i : ι) → α i

⊢ f ∈ (cylinder s S)ᶜ ↔ f ∈ cylinder s Sᶜ
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x t : ℝ

⊢ ‖↑(t * x)‖ = |t| * ‖↑x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x t : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)

⊢ ‖↑(t * x)‖ = |t| * ‖↑x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)

⊢ ‖↑(0 * x)‖ = |0| * ‖↑x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x t : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)
ht : t ≠ 0

⊢ ‖↑(t * x)‖ = |t| * ‖↑x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x t : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)
ht : t ≠ 0
ht' : |t| ≠ 0

⊢ ‖↑(t * x)‖ = |t| * ‖↑x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x t : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)
ht : t ≠ 0
ht' : |t| ≠ 0

⊢ sInf ((fun a => |a|) '' {m | ↑m = ↑(t * x)}) = |t| * sInf ((fun a => |a|) '' {m | ↑m = ↑x})
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x t : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)
ht : t ≠ 0
ht' : |t| ≠ 0

⊢ sInf ((fun a => |a|) '' {m | ↑m = ↑(t * x)}) = sInf (|t| • (fun a => |a|) '' {m | ↑m = ↑x})
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x t : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)
ht : t ≠ 0
ht' : |t| ≠ 0

⊢ sInf ((fun a => |a|) '' {m | m - t * x ∈ zmultiples (t * p)}) = sInf (|t| • (fun a => |a|) '' {m | m - x ∈ zmultiples p})
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x t : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)
ht : t ≠ 0
ht' : |t| ≠ 0
z : ℝ

⊢ z ∈ (fun a => |a|) '' {m | m - t * x ∈ zmultiples (t * p)} ↔ z ∈ |t| • (fun a => |a|) '' {m | m - x ∈ zmultiples p}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x t : ℝ
aux : ∀ {a b c : ℝ}, a ∈ zmultiples b → c * a ∈ zmultiples (c * b)
ht : t ≠ 0
ht' : |t| ≠ 0
z : ℝ

⊢ z ∈ (fun a => |a|) '' {m | m - t * x ∈ zmultiples (t * p)} ↔ |t|⁻¹ • z ∈ (fun a => |a|) '' {m | m - x ∈ zmultiples p}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A B : M
h : Commute A B
n : ℕ

⊢ (A * B) ^ ↑n = A ^ ↑n * B ^ ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A B : M
h : Commute A B
n : ℕ

⊢ (A * B) ^ -[n+1] = A ^ -[n+1] * B ^ -[n+1]
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s : Set β

⊢ 0 ≤ κ.density ν a x s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s : Set β

⊢ ∃ᶠ (x_1 : ℕ) in atTop, 0 ≤ κ.densityProcess ν x_1 a x s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
x : γ
s : Set β

⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun n => κ.densityProcess ν n a x s
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
s n step : Nat

⊢ range' s (n + 1) step = s :: range' (s + step) n step
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
h : M.E = E ∧ M.Indep E

⊢ M = freeOn E
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
h : M.E = E ∧ M.Indep E

⊢ ∀ I ⊆ E, M.Indep I ↔ I ⊆ E
-- Mathlib/Data/List/Iterate.lean
α : Type u_1
f : α → α
a : α
n : ℕ
b : α

⊢ b ∈ iterate f a n ↔ ∃ m < n, b = f^[m] a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
κ : Type u_6
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : Subsingleton M
f : M →ₗ[R] M
b : Basis (Fin 0) R M

⊢ LinearMap.det f = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
κ : Type u_6
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : Subsingleton M
f : M →ₗ[R] M
b : Basis (Fin 0) R M

⊢ ((toMatrix b b) f).det = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]

⊢ (p + q).support ⊆ p.support ∪ q.support
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : IsBigOWith c₁ l f₁ g
h₂ : IsBigOWith c₂ l f₂ g

⊢ IsBigOWith (c₁ + c₂) l (fun x => f₁ x - f₂ x) g
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0

⊢ Inv_divided_by_X_pow_order hf * divided_by_X_pow_order hf = 1
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
f : k⟦X⟧
hf : f ≠ 0

⊢ divided_by_X_pow_order hf * Inv_divided_by_X_pow_order hf = 1
-- Mathlib/Order/Filter/Cofinite.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α

⊢ l ≤ cofinite ↔ ∀ (x : α), {x}ᶜ ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/Cofinite.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
h : ∀ (x : α), {x}ᶜ ∈ l
s : Set α
hs : sᶜ.Finite

⊢ s ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/Cofinite.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
h : ∀ (x : α), {x}ᶜ ∈ l
s : Set α
hs : sᶜ.Finite

⊢ ∀ i ∈ sᶜ, {i}ᶜ ∈ l
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r r₁ r₂ : ℝ≥0
x y : ℝ

⊢ 1 ≤ ↑r ↔ 1 ≤ r
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
H H' : G.Subgraph
hle : ∀ (v w : V), H.Adj v w → H'.Adj v w
hv : H.verts = H'.verts
h : H.Connected

⊢ H'.Connected
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Identities.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R

⊢ verschiebung (x * frobenius y) = verschiebung x * y
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Identities.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R
this : IsPoly₂ p fun {R} [CommRing R] x y => verschiebung (x * frobenius y)

⊢ verschiebung (x * frobenius y) = verschiebung x * y
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Identities.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R
this✝ : IsPoly₂ p fun {R} [CommRing R] x y => verschiebung (x * frobenius y)
this : IsPoly₂ p fun {R} [CommRing R] x y => verschiebung x * y

⊢ verschiebung (x * frobenius y) = verschiebung x * y
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Identities.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
this✝ : IsPoly₂ p fun {R} [CommRing R] x y => verschiebung (x * frobenius y)
this : IsPoly₂ p fun {R} [CommRing R] x y => verschiebung x * y
R : Type u_1
R._inst : CommRing R
x y : 𝕎 R

⊢ ∀ (n : ℕ), (ghostComponent n) (verschiebung (x * frobenius y)) = (ghostComponent n) (verschiebung x * y)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

⊢ a = n.sqrt ↔ a ^ 2 ≤ n ∧ n < (a + 1) ^ 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
X₁ X₂ : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct X₁ X₂
inst✝ : PreservesLimit (pair X₁ X₂) (forget C)
x : (forget C).obj X₁ × (forget C).obj X₂

⊢ prod.fst ((prodEquiv X₁ X₂).symm x) = x.1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
X₁ X₂ : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct X₁ X₂
inst✝ : PreservesLimit (pair X₁ X₂) (forget C)
y : (forget C).obj (X₁ ⨯ X₂)

⊢ prod.fst ((prodEquiv X₁ X₂).symm ((prodEquiv X₁ X₂) y)) = ((prodEquiv X₁ X₂) y).1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α

⊢ a < c / b ↔ a * b < c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Fintype ι
x : EuclideanSpace ℝ ι
r : ℝ

⊢ volume (Metric.ball x r) = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal (√π ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / 2 + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Fintype ι
x : EuclideanSpace ℝ ι
r : ℝ
hr : r ≤ 0

⊢ volume (Metric.ball x r) = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal (√π ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / 2 + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Fintype ι
x : EuclideanSpace ℝ ι
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ volume (Metric.ball x r) = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal (√π ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / 2 + 1))
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M

⊢ l.support = l.splitSupport.sigma fun i => (l.split i).support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M

⊢ ∀ (a : ι) (b : αs a), ⟨a, b⟩ ∈ l.support ↔ (∃ a_1 ∈ l.support, a_1.fst = a) ∧ ⟨a, b⟩ ∈ l.support
-- Mathlib/Algebra/Pointwise/Stabilizer.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction G α
a : G
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α

⊢ a ∈ stabilizer G s ↔ s ⊆ a • s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p

⊢ LpAddConst p = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p

⊢ p ∉ Set.Ioo 0 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
h : p ∈ Set.Ioo 0 1

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s t : Set X

⊢ frontier (s ∪ t) ⊆ frontier s ∩ closure tᶜ ∪ closure sᶜ ∩ frontier t
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
hx : AlgebraicIndependent R x

⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ∀ (x : α), lookup x ⟦s₁⟧ = lookup x ⟦s₂⟧

⊢ ⟦s₁⟧ = ⟦s₂⟧
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ∀ (x : α), dlookup x s₁.entries = dlookup x s₂.entries

⊢ ⟦s₁⟧ = ⟦s₂⟧
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ∀ (x : α), dlookup x s₁.entries = dlookup x s₂.entries

⊢ s₁.entries ~ s₂.entries
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ∀ (x : α), dlookup x s₁.entries = dlookup x s₂.entries

⊢ ∀ (x : α) (y : β x), y ∈ dlookup x s₁.entries ↔ y ∈ dlookup x s₂.entries
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁✝ s₂✝ : Finmap β
s₁ s₂ : AList β
h : ∀ (x : α), dlookup x s₁.entries = dlookup x s₂.entries
x : α
y : β x

⊢ y ∈ dlookup x s₁.entries ↔ y ∈ dlookup x s₂.entries
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
g : β → α
hg : InjOn g (mulSupport (f ∘ g))

⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ range g), f i = ∏ᶠ (j : β), f (g j)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
g : β → α
hg : InjOn g (mulSupport (f ∘ g))

⊢ InjOn g (univ ∩ mulSupport (f ∘ g))
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ

⊢ antidiagonal (n + 2) = cons (0, n + 2) (cons (n + 2, 0) (map ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) (antidiagonal n)) ⋯) ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ

⊢ cons (0, n + 1 + 1) (cons (({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ)) (n + 1, 0)) (map (((Embedding.refl ℕ).prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }).trans ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap (Embedding.refl ℕ))) (antidiagonal n)) ⋯) ⋯ = cons (0, n + 2) (cons (n + 2, 0) (map ({ toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }.prodMap { toFun := Nat.succ, inj' := Nat.succ_injective }) (antidiagonal n)) ⋯) ⋯
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E

⊢ MDifferentiableOn 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/LieGroup.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
s : Set M
hf : ContMDiffOn I' I n f s
hg : ContMDiffOn I' I n g s

⊢ ContMDiffOn I' I n (fun x => f x / g x) s
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Algebra/LieGroup.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
s : Set M
hf : ContMDiffOn I' I n f s
hg : ContMDiffOn I' I n g s

⊢ ContMDiffOn I' I n (fun x => f x * (g x)⁻¹) s
-- Mathlib/Data/Nat/Size.lean
n : ℕ

⊢ n < 2 ^ n.size
-- Mathlib/Data/Nat/Size.lean
n : ℕ

⊢ n < 1 <<< n.size
-- Mathlib/Data/Nat/Size.lean
n✝ : ℕ
this : ∀ {n : ℕ}, n = 0 → n < 1 <<< n.size
b : Bool
n : ℕ
IH : n < 1 <<< n.size
h : ¬bit b n = 0

⊢ bit b n < 1 <<< (bit b n).size
-- Mathlib/Data/Nat/Size.lean
n✝ : ℕ
this : ∀ {n : ℕ}, n = 0 → n < 1 <<< n.size
b : Bool
n : ℕ
IH : n < 1 <<< n.size
h : ¬bit b n = 0

⊢ bit b n < 2 * 2 ^ n.size
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
hf : Bijective f
s : ι → Set α

⊢ f '' ⋂ i, s i = ⋂ i, f '' s i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
hf : Bijective f
s : ι → Set α
h✝ : IsEmpty ι

⊢ f '' ⋂ i, s i = ⋂ i, f '' s i
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
hf : Bijective f
s : ι → Set α
h✝ : Nonempty ι

⊢ f '' ⋂ i, s i = ⋂ i, f '' s i
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R P
r : R
f g : M →ₗ[R] N
x✝ : M

⊢ ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A (f + g))) 1) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (baseChange A f + baseChange A g)) 1) x✝
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x✝ y : α
m n✝ : ℕ
f : α → α
n : ℕ
hn : 0 < n
x : α
hx : x ∈ ptsOfPeriod f n

⊢ f (f^[n.pred] x) = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
v : V

⊢ v ∈ vectorSpan k {p₁, p₂} ↔ ∃ r, r • (p₁ -ᵥ p₂) = v
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : (i : ι) → κ i → α

⊢ ⨆ i, ⨆ j, f i j ≤ a ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), f i j ≤ a
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b✝ c : β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
b : β

⊢ b ∈ filter p (image f s) ↔ b ∈ image f (filter (fun a => p (f a)) s)
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b✝ c : β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
b : β

⊢ (∃ a ∈ s, f a = b) ∧ p b ↔ ∃ a, (a ∈ s ∧ p (f a)) ∧ f a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/EffectiveEpi/Preserves.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
e : C ≌ D
B : C
α : Type u_3
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
W : D
ε : (a : α) → e.functor.obj (X a) ⟶ W
h : ∀ {Z : D} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ e.functor.obj (X a₁)) (g₂ : Z ⟶ e.functor.obj (X a₂)), g₁ ≫ e.functor.map (π a₁) = g₂ ≫ e.functor.map (π a₂) → g₁ ≫ ε a₁ = g₂ ≫ ε a₂
Z : C
a₁ a₂ : α
g₁ : Z ⟶ X a₁
g₂ : Z ⟶ X a₂
hg : g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂
this : e.functor.map g₁ ≫ e.functor.map (π a₁) = e.functor.map g₂ ≫ e.functor.map (π a₂) → e.functor.map g₁ ≫ ε a₁ = e.functor.map g₂ ≫ ε a₂

⊢ g₁ ≫ (fun a => e.unit.app (X a) ≫ e.inverse.map (ε a)) a₁ = g₂ ≫ (fun a => e.unit.app (X a) ≫ e.inverse.map (ε a)) a₂
-- Mathlib/CategoryTheory/EffectiveEpi/Preserves.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_5, u_1} C
D : Type u_2
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
e : C ≌ D
B : C
α : Type u_3
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
W : D
ε : (a : α) → e.functor.obj (X a) ⟶ W
h : ∀ {Z : D} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ e.functor.obj (X a₁)) (g₂ : Z ⟶ e.functor.obj (X a₂)), g₁ ≫ e.functor.map (π a₁) = g₂ ≫ e.functor.map (π a₂) → g₁ ≫ ε a₁ = g₂ ≫ ε a₂
Z : C
a₁ a₂ : α
g₁ : Z ⟶ X a₁
g₂ : Z ⟶ X a₂
hg : g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂
this : True → e.functor.map g₁ ≫ ε a₁ = e.functor.map g₂ ≫ ε a₂

⊢ g₁ ≫ (fun a => e.unit.app (X a) ≫ e.inverse.map (ε a)) a₁ = g₂ ≫ (fun a => e.unit.app (X a) ≫ e.inverse.map (ε a)) a₂