ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
x y : (forget D).obj (P.obj (op X))
h : mk (Meq.mk ⊤ x) = mk (Meq.mk ⊤ y)

⊢ x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hsep : ∀ (X : C) (S : J.Cover X) (x y : (forget D).obj (P.obj (op X))), (∀ (I : S.Arrow), (P.map I.f.op) x = (P.map I.f.op) y) → x = y
X : C
x y : (forget D).obj (P.obj (op X))
h : ∃ W h1 h2, (Meq.mk ⊤ x).refine h1 = (Meq.mk ⊤ y).refine h2

⊢ x = y
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
P : IntermediateField F E → Prop
base : P ⊥
ih : ∀ (K : IntermediateField F E) (x : E), P K → P (restrictScalars F (↥K)⟮x⟯)
S : Finset E

⊢ P (adjoin F ↑S)
-- Mathlib/Order/Closure.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
β : Type u_4
inst✝ : SetLike α β
l : LowerAdjoint SetLike.coe
x y : α

⊢ l.toFun (↑(l.toFun ↑x) ∪ ↑(l.toFun ↑y)) = l.toFun (↑x ∪ ↑y)
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
h : √x = y

⊢ y * y = x
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
h : y * y = x

⊢ √x = y
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α

⊢ Ioo a b ⊆ Ioi a
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0

⊢ X ^ 2 - C (2 * z.re) * X + C (‖z‖ ^ 2) ∣ p
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0

⊢ map (algebraMap ℝ ℂ) (X ^ 2 - C (2 * z.re) * X + C (‖z‖ ^ 2)) ∣ map (algebraMap ℝ ℂ) p
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℝ[X]
z : ℂ
h0 : (aeval z) p = 0
hz : z.im ≠ 0

⊢ map (algebraMap ℝ ℂ) (X ^ 2 - C (2 * z.re) * X + C (‖z‖ ^ 2)) = (X - C ((starRingEnd ℂ) z)) * (X - C z)
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r✝ r : R → R → Prop

⊢ Function.Surjective ⇑(mkRingHom r)
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝³ : Semiring R
S : Type uS
inst✝² : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra S A
r✝ r : R → R → Prop

⊢ Function.Surjective fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel r) x }
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α

⊢ image (fun x => c + x) (Ioc a b) = Ioc (c + a) (c + b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M

⊢ (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m) = (ι R) m
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
m : M

⊢ (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m) = { toFun := fun m => (RingQuot.mkAlgHom R (Rel R M)) (FreeAlgebra.ι R m), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } m
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β✝ : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t : (a : α) → Finset (β✝ a)
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → β

⊢ (s.pi fun a => {f a}) = {fun a x => f a}
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β✝ : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t : (a : α) → Finset (β✝ a)
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → β

⊢ ((fun a x => f a) ∈ s.pi fun a => {f a}) ∧ ∀ x ∈ s.pi fun a => {f a}, x = fun a x => f a
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β✝ : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t : (a : α) → Finset (β✝ a)
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → β
a : (a : α) → a ∈ s → β
ha : a ∈ s.pi fun a => {f a}
i : α
hi : i ∈ s

⊢ a i hi = f i
-- Mathlib/Data/Finset/Pi.lean
α : Type u_1
β✝ : α → Type u
δ : α → Sort v
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Finset α
t : (a : α) → Finset (β✝ a)
β : Type u_2
s : Finset α
f : α → β
a : (a : α) → a ∈ s → β
ha : ∀ (a_1 : α) (h : a_1 ∈ s), a a_1 h ∈ {f a_1}
i : α
hi : i ∈ s

⊢ a i hi = f i
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : IsAffine S
H : Q g

⊢ P (pullback.fst f g)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : IsAffine S
H : Q g
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P

⊢ P (pullback.fst f g)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : IsAffine S
H : Q g
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P

⊢ ∀ (i : (X.affineCover.pullbackCover (pullback.fst f g)).J), Q (X.affineCover.pullbackHom (pullback.fst f g) i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : IsAffine S
H : Q g
this✝ : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
i : (X.affineCover.pullbackCover (pullback.fst f g)).J
e : pullback (pullback.fst f g) (X.affineCover.map i) ≅ pullback (X.affineCover.map i ≫ f) g := pullbackSymmetry (pullback.fst f g) (X.affineCover.map i) ≪≫ pullbackRightPullbackFstIso f g (X.affineCover.map i)
this : e.hom ≫ pullback.fst (X.affineCover.map i ≫ f) g = X.affineCover.pullbackHom (pullback.fst f g) i

⊢ Q (X.affineCover.pullbackHom (pullback.fst f g) i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : IsAffine S
H : Q g
this✝ : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
i : (X.affineCover.pullbackCover (pullback.fst f g)).J
e : pullback (pullback.fst f g) (X.affineCover.map i) ≅ pullback (X.affineCover.map i ≫ f) g := pullbackSymmetry (pullback.fst f g) (X.affineCover.map i) ≪≫ pullbackRightPullbackFstIso f g (X.affineCover.map i)
this : e.hom ≫ pullback.fst (X.affineCover.map i ≫ f) g = X.affineCover.pullbackHom (pullback.fst f g) i

⊢ Q (pullback.fst (X.affineCover.map i ≫ f) g)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝¹ : HasAffineProperty P Q
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
hP' : Q.StableUnderBaseChange
X Y S : Scheme
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
inst✝ : IsAffine S
H : Q g
this✝ : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
i : (X.affineCover.pullbackCover (pullback.fst f g)).J
e : pullback (pullback.fst f g) (X.affineCover.map i) ≅ pullback (X.affineCover.map i ≫ f) g := pullbackSymmetry (pullback.fst f g) (X.affineCover.map i) ≪≫ pullbackRightPullbackFstIso f g (X.affineCover.map i)
this : e.hom ≫ pullback.fst (X.affineCover.map i ≫ f) g = X.affineCover.pullbackHom (pullback.fst f g) i

⊢ Q g
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 3 ≠ 0

⊢ W.Ψ₃.leadingCoeff = 3
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f✝ : StieltjesFunction
c : ℝ≥0
f : StieltjesFunction

⊢ (c • f).measure = c • f.measure
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f✝ : StieltjesFunction
c : ℝ≥0
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
x✝ : a < b

⊢ (c • f).measure (Ioc a b) = (c • f.measure) (Ioc a b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f✝ : StieltjesFunction
c : ℝ≥0
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
x✝ : a < b

⊢ ofReal (↑(c • f) b - ↑(c • f) a) = c • ofReal (↑f b - ↑f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f✝ : StieltjesFunction
c : ℝ≥0
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
x✝ : a < b

⊢ ofReal (↑c * ↑f b - ↑c * ↑f a) = c • ofReal (↑f b - ↑f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f✝ : StieltjesFunction
c : ℝ≥0
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
x✝ : a < b

⊢ ↑c • ofReal (↑f b - ↑f a) = c • ofReal (↑f b - ↑f a)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b

⊢ a / b ≤ c ↔ a ≤ b * c + (b - 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b

⊢ a < b * c + b ↔ a ≤ b * c + (b - 1)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X

⊢ IsTopologicalBasis (SetLike.coe '' Set.range X.basicOpen)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X

⊢ SetLike.coe '' Set.range X.basicOpen = Set.preimage ⇑(TopCat.homeoOfIso (Scheme.forgetToTop.mapIso X.isoSpec)) '' (SetLike.coe '' Set.range PrimeSpectrum.basicOpen)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X
x✝ : Set ↑↑X.toPresheafedSpace

⊢ x✝ ∈ SetLike.coe '' Set.range X.basicOpen ↔ x✝ ∈ Set.preimage ⇑(TopCat.homeoOfIso (Scheme.forgetToTop.mapIso X.isoSpec)) '' (SetLike.coe '' Set.range PrimeSpectrum.basicOpen)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
inst✝ : IsAffine X
x✝ : Set ↑↑X.toPresheafedSpace

⊢ (∃ x ∈ Set.range X.basicOpen, ↑x = x✝) ↔ ∃ x, (∃ x_1 ∈ Set.range PrimeSpectrum.basicOpen, ↑x_1 = x) ∧ ⇑(TopCat.homeoOfIso (Scheme.forgetToTop.mapIso X.isoSpec)) ⁻¹' x = x✝
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E

⊢ inner_ 𝕜 (I • x) y = (starRingEnd 𝕜) I * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1

⊢ inner_ 𝕜 (I • x) y = (starRingEnd 𝕜) I * inner_ 𝕜 x y
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1

⊢ 4⁻¹ * (𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • I • x - y‖) = 4⁻¹ * (-I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1

⊢ 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • I • x - y‖ = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1

⊢ 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - I * 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ - 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ + I * 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - I * 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1

⊢ 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - I * 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖) - -I * (𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖) + 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖

⊢ 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - I * 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖) - -I * (𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖) + 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
h₂ : ‖-x + y‖ = ‖x - y‖

⊢ 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖-x + y‖ * 𝓚 ‖-x + y‖ - I * 𝓚 ‖-x - y‖ * 𝓚 ‖-x - y‖ = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖) - -I * (𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖) + 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
h₂ : ‖-x + y‖ = ‖x - y‖

⊢ 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖ + I * 𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖ - I * 𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖ = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖) - -I * (𝓚 ‖x - y‖ * 𝓚 ‖x - y‖) + 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ - 𝓚 ‖I • x - y‖ * 𝓚 ‖I • x - y‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
h₂ : ‖-x + y‖ = ‖x - y‖

⊢ 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ + -(𝓚 ‖I • x + -y‖ * 𝓚 ‖I • x + -y‖) + I * (𝓚 ‖x + -y‖ * 𝓚 ‖x + -y‖) + -(I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖)) = -I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖) + -(-I * (𝓚 ‖x + -y‖ * 𝓚 ‖x + -y‖)) + 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ + -(𝓚 ‖I • x + -y‖ * 𝓚 ‖I • x + -y‖)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
hI : ¬I = 0
x y : E
hI' : -I * I = 1
h₁ : ‖-x - y‖ = ‖x + y‖
h₂ : ‖-x + y‖ = ‖x - y‖

⊢ 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ + -(𝓚 ‖I • x + -y‖ * 𝓚 ‖I • x + -y‖) + I * (𝓚 ‖x + -y‖ * 𝓚 ‖x + -y‖) + -(I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖)) = -(I * (𝓚 ‖x + y‖ * 𝓚 ‖x + y‖)) + - -(I * (𝓚 ‖x + -y‖ * 𝓚 ‖x + -y‖)) + 𝓚 ‖I • x + y‖ * 𝓚 ‖I • x + y‖ + -(𝓚 ‖I • x + -y‖ * 𝓚 ‖I • x + -y‖)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₁

⊢ (toLinAlgEquiv v₁) ((toMatrixAlgEquiv v₁) f) = f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (f.restrict s).lintegral μ = f.lintegral (μ.restrict s)
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q

⊢ (↑p).IsConjExponent ↑q ↔ p.IsConjExponent q
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q

⊢ 1 < p → ((↑p)⁻¹ + (↑q)⁻¹ = 1 ↔ p⁻¹ + q⁻¹ = 1)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Directed.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
ι : Type u_4
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → Subalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
T : Subalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
x : ↥(K i)
h : K i ≤ T

⊢ Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑T ⋯ (Set.inclusion h x) = (f i) x
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean

⊢ φ ^ 2 = φ + 1
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean

⊢ ((1 + √5) / 2) ^ 2 - ((1 + √5) / 2 + 1) = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
x : β

⊢ f.lim * x = (f * const abv x).lim
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f 0 x r

⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝 x, f z = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IndYoneda.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
I : Type v₁
inst✝¹ : Category.{v₂, v₁} I
F : Iᵒᵖ ⥤ C
inst✝ : HasColimit F
i : I

⊢ (coyonedaOpColimitIsoLimitCoyoneda' F).hom ≫ limit.π (F.rightOp ⋙ coyoneda) i = coyoneda.map (colimit.ι F (op i)).op
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ (deriv fun x => 1 - ε x) =ᶠ[atTop] fun z => -deriv ε z
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x

⊢ deriv (fun x => 1 - ε x) x = -deriv ε x
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ (fun z => -deriv ε z) =o[atTop] fun x => x⁻¹
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ deriv ε =o[atTop] fun x => x⁻¹
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s✝ : Set ℝ≥0∞
R : Type u_4
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
c : R

⊢ c • sSup s = ⨆ i ∈ s, c • i
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L
b' : Basis ι' R L

⊢ φ.nilRankAux b = (φ.polyCharpoly b').natTrailingDegree
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] norm
a : ℝ
ha : 0 < a
hf : ∀ (i : ℕ), ‖↑f i‖ ≤ a

⊢ ‖f.lim‖ ≤ a
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] norm
a : ℝ
ha : 0 < a
hf : ∀ (i : ℕ), ‖↑f i‖ ≤ a
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ‖↑(f - const norm f.lim) j‖ < a

⊢ ‖f.lim‖ ≤ a
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] norm
a : ℝ
ha : 0 < a
hf : ∀ (i : ℕ), ‖↑f i‖ ≤ a
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ‖↑(f - const norm f.lim) j‖ < a

⊢ ‖f.lim - ↑f N + ↑f N‖ ≤ a
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] norm
a : ℝ
ha : 0 < a
hf : ∀ (i : ℕ), ‖↑f i‖ ≤ a
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ‖↑(f - const norm f.lim) j‖ < a

⊢ max ‖f.lim - ↑f N‖ ‖↑f N‖ ≤ a
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] norm
a : ℝ
ha : 0 < a
hf : ∀ (i : ℕ), ‖↑f i‖ ≤ a
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ‖↑(f - const norm f.lim) j‖ < a

⊢ max ‖↑f N - f.lim‖ ‖↑f N‖ ≤ a
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p

⊢ ↑(p * q).toNNReal = ↑(p.toNNReal * q.toNNReal)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α

⊢ ∏' (x : β), 1 = 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0

⊢ o.oangle (x + r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) (r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0

⊢ (-o).oangle (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x + x) = ↑(Real.arctan r⁻¹)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • ((-o).rotation ↑(π / 2)) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)

⊢ (-o).oangle (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x + r⁻¹ • ((-o).rotation ↑(π / 2)) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)) = ↑(Real.arctan r⁻¹)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • ((-o).rotation ↑(π / 2)) (r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x)

⊢ r • ((-o).rotation (-↑(π / 2))) x ≠ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J

⊢ D.t' j i i = pullback.fst (D.f j i) (D.f j i) ≫ D.t j i ≫ inv (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j))
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J

⊢ D.t' j i i = (D.t' j i i ≫ pullback.snd (D.f i i) (D.f i j)) ≫ inv (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ι → α → β
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → ℝ
hf : UniformIntegrable f p μ

⊢ UniformIntegrable (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, f i) / ↑n) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ι → α → β
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → ℝ
hf : UniformIntegrable f p μ
n : ℕ

⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, f i) / ↑n = (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, f i
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f✝ : ι → α → β
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → ℝ
hf : UniformIntegrable f p μ
n : ℕ
x : α

⊢ ((∑ i ∈ Finset.range n, f i) / ↑n) x = ((↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, f i) x