ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s✝ : Set M
f✝ : SmoothPartitionOfUnity ι I M s✝
n : ℕ∞
s : Set E
f : SmoothPartitionOfUnity ι 𝓘(ℝ, E) E s
x₀ : E
g : ι → E → F
hφ : ∀ (i : ι), x₀ ∈ tsupport ⇑(f i) → ContMDiffAt 𝓘(ℝ, E) 𝓘(ℝ, F) n (g i) x₀

⊢ ContMDiffAt 𝓘(ℝ, E) 𝓘(ℝ, F) n (fun x => ∑ᶠ (i : ι), (f i) x • g i x) x₀
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
m : Type u_8
n : Type u_9
inst✝ : Fintype n
A B : Matrix m n 𝕜
i j : m

⊢ ⟪(WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)).symm (A i), (WithLp.equiv 2 (n → 𝕜)).symm (B j)⟫_𝕜 = (B * Aᴴ) j i
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H

⊢ I.target = range ↑I
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H

⊢ I.target = ↑I '' I.source
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : CommRing α
n k : ℕ

⊢ ∏ i ∈ range k, (↑n - ↑i) = ↑(∏ i ∈ range k, (n - i))
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : CommRing α
n k : ℕ

⊢ ∏ i ∈ range k, (↑n - ↑i) = ∏ i ∈ range k, ↑(n - i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : CommRing α
n k : ℕ
hkn : k ≤ n

⊢ ∏ i ∈ range k, (↑n - ↑i) = ∏ i ∈ range k, ↑(n - i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : CommRing α
n k : ℕ
hnk : n < k

⊢ ∏ i ∈ range k, (↑n - ↑i) = ∏ i ∈ range k, ↑(n - i)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

⊢ a < b⁻¹ ↔ b < a⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
p0 : p ≠ 0
a : R

⊢ ¬(X - C a) ^ (rootMultiplicity a p + 1) ∣ p
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ

⊢ f.measure (Ioo a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - ↑f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : b ≤ a

⊢ f.measure (Ioo a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - ↑f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : a < b

⊢ f.measure (Ioo a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - ↑f a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
h_meas : NullMeasurableSet s μ
h_exists : ∀ (x : α), ∃! g, g • x ∈ s
a b : G
hab : a ≠ b
x : α
hxa : x ∈ (fun g => g • s) a
hxb : x ∈ (fun g => g • s) b

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MulAction H β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
h_meas : NullMeasurableSet s μ
h_exists : ∀ (x : α), ∃! g, g • x ∈ s
a b : G
hab : a ≠ b
x : α
hxa : a⁻¹ • x ∈ s
hxb : b⁻¹ • x ∈ s

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n✝ : ℕ
a : G
n : ℤ

⊢ a ^ (n % ↑(Nat.card G)) = a ^ n
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P

⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (insert p s)) ≤ finrank k ↥(vectorSpan k s) + 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P

⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (insert p ↑(affineSpan k s))) ≤ finrank k ↥(vectorSpan k s) + 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p : P

⊢ finrank k ↥(affineSpan k s).direction ≤ finrank k ↥(vectorSpan k s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
s : S
t : (ι →₀ M) ⊗[R] N

⊢ (finsuppLeft R M N ι) (s • t) = s • (finsuppLeft R M N ι) t
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = if n + 1 = 0 then 1 else 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ

⊢ ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0

⊢ ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1

⊢ ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1
H : ∑ k ∈ antidiagonal n.succ, ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli' k.1 = 1

⊢ ∑ k ∈ antidiagonal (n + 1), ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli k.1 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1
H : ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli' (1, n).1 + ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1 = 1

⊢ ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli (1, n).1 + ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1
H : ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli' (1, n).1 + ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1 = 1

⊢ ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1 = 0 - ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli (1, n).1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1
H : ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli' (1, n).1 + ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1 = 1

⊢ ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli x.1 = ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ
h₁ : (1, n) ∈ antidiagonal n.succ
h₂ : ↑n + 1 ≠ 0
h₃ : (1 + n).choose n = n + 1
H : ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli' (1, n).1 + ∑ x ∈ antidiagonal n.succ \ {(1, n)}, ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1 = 1

⊢ 0 - ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli (1, n).1 = 1 - ↑(((1, n).1 + (1, n).2).choose (1, n).2) / (↑(1, n).2 + 1) * bernoulli' (1, n).1
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K

⊢ 0 ≤ z ↔ ∃ x ≥ 0, ↑x = z
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K

⊢ 0 ≤ re z ∧ im z = 0 ↔ ∃ x ≥ 0, re ↑x = re z ∧ im ↑x = im z
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G

⊢ ∀ (n : ℕ), (∃ H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤) → ∃ H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
inst✝ : H.Normal
hG : Group.IsNilpotent G

⊢ ∀ (n : ℕ), (∃ H, IsDescendingCentralSeries H ∧ H n = ⊥) → ∃ H, IsAscendingCentralSeries H ∧ H n = ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 ≤ d
a : Solution₁ d
hx : a.x = 0

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 ≤ d
a : Solution₁ d
hx : a.x = 0
h : 0 ≤ d * a.y ^ 2

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 ≤ d
a : Solution₁ d
hx : a.x = 0
h : 0 ≤ -1

⊢ False
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (bit true n).fastFibAux = let p := n.fastFibAux; (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (if true = true then ((binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 ^ 2 + (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 ^ 2, (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 * (2 * (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 + (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2)) else ((binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 * (2 * (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 - (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1), (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).2 ^ 2 + (binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n).1 ^ 2)) = let p := binaryRec (fib 0, fib 1) (fun b x p => if b = true then (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2)) else (p.1 * (2 * p.2 - p.1), p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2)) n; (p.2 ^ 2 + p.1 ^ 2, p.2 * (2 * p.1 + p.2))
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (if false = true then ((fib 0, fib 1).2 ^ 2 + (fib 0, fib 1).1 ^ 2, (fib 0, fib 1).2 * (2 * (fib 0, fib 1).1 + (fib 0, fib 1).2)) else ((fib 0, fib 1).1 * (2 * (fib 0, fib 1).2 - (fib 0, fib 1).1), (fib 0, fib 1).2 ^ 2 + (fib 0, fib 1).1 ^ 2)) = (fib 0, fib 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P

⊢ IsIso (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
hP : Presheaf.IsSheaf J P
this : IsIso (J.toPlus P)

⊢ IsIso (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)

⊢ IsUnit P
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k

⊢ IsUnit P
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
hdeg : P.natDegree = 0

⊢ IsUnit P
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
hdeg : ¬P.natDegree = 0

⊢ IsUnit P
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
hdeg : ¬P.natDegree = 0
P₁ : R[X] := P.eraseLead
hP₁ : P₁ = P.eraseLead

⊢ IsUnit P
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
hdeg : ¬P.natDegree = 0
P₁ : R[X] := P.eraseLead
hP₁ : P₁ = P.eraseLead

⊢ IsUnit P₁
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Nilpotent.lean
R : Type u_1
r : R
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
hind : ∀ m < k, ∀ {P : R[X]}, IsUnit (P.coeff 0) → (∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)) → P.natDegree = m → IsUnit P
P : R[X]
hunit : IsUnit (P.coeff 0)
hnil : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → IsNilpotent (P.coeff i)
h : P.natDegree = k
hdeg : ¬P.natDegree = 0
P₁ : R[X] := P.eraseLead
hP₁ : P₁ = P.eraseLead
hdeg₂ : P.eraseLead.natDegree < P.natDegree

⊢ IsUnit P₁
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x⁻¹ = Real.log (b / a)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
h : 0 ∉ [[a, b]]
h' : ∀ x ∈ [[a, b]], x ≠ 0

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, x⁻¹ = Real.log (b / a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f : X' ⟶ Y'
g₁ g₂ : Y' ⟶ Z'

⊢ f ≫ add W eY eZ g₁ g₂ = add W eX eZ (f ≫ g₁) (f ≫ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
g₁ g₂ : Y' ⟶ Z'
f : L.obj X ⟶ L.obj Y

⊢ (homEquiv eX eY).symm f ≫ add W eY eZ g₁ g₂ = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f ≫ g₁) ((homEquiv eX eY).symm f ≫ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
g₂ : Y' ⟶ Z'
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ : L.obj Y ⟶ L.obj Z

⊢ (homEquiv eX eY).symm f ≫ add W eY eZ ((homEquiv eY eZ).symm g₁) g₂ = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f ≫ (homEquiv eY eZ).symm g₁) ((homEquiv eX eY).symm f ≫ g₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
X' Y' Z' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
eZ : L.obj Z ≅ Z'
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ g₂ : L.obj Y ⟶ L.obj Z

⊢ (homEquiv eX eY).symm f ≫ add W eY eZ ((homEquiv eY eZ).symm g₁) ((homEquiv eY eZ).symm g₂) = add W eX eZ ((homEquiv eX eY).symm f ≫ (homEquiv eY eZ).symm g₁) ((homEquiv eX eY).symm f ≫ (homEquiv eY eZ).symm g₂)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology

⊢ (S.rightHomologyIso.inv ≫ S.rightHomologyι) ≫ S.fromOpcycles = 0
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X

⊢ 𝓝 x = ⨅ s, ⨅ (_ : IsOpen s), ⨅ (_ : x ∈ s), 𝓟 s
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C

⊢ ∀ (x y : A), (↑{ toFun := fun a => a ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun (x + y) = (↑{ toFun := fun a => a ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun x + (↑{ toFun := fun a => a ⊗ₜ[R] 1, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ }).toFun y
-- Mathlib/Algebra/Tropical/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
x y z : Tropical R

⊢ x + y = z ↔ x = z ∧ x ≤ y ∨ y = z ∧ y ≤ x
-- Mathlib/Algebra/Tropical/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
x y z : Tropical R

⊢ min (untrop x) (untrop y) = untrop z ↔ x = z ∧ x ≤ y ∨ y = z ∧ y ≤ x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/EuclideanDist.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E

⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun r => 0 < r) (ball x)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/EuclideanDist.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
x : E

⊢ (Filter.comap (⇑toEuclidean.toHomeomorph) (𝓝 (toEuclidean.toHomeomorph x))).HasBasis (fun r => 0 < r) (ball x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional k V
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1

⊢ Nonempty (AffineBasis ι k P)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional k V
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1
s : Set P
b : AffineBasis (↑s) k P
hb : ⇑b = Subtype.val

⊢ Nonempty (AffineBasis ι k P)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional k V
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1
s : Finset P
b : AffineBasis (↑↑s) k P
hb : ⇑b = Subtype.val

⊢ Nonempty (AffineBasis ι k P)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : FiniteDimensional k V
h : Fintype.card ι = FiniteDimensional.finrank k V + 1
s : Finset P
b : AffineBasis (↑↑s) k P
hb : ⇑b = Subtype.val

⊢ Fintype.card ↑↑s = Fintype.card ι
-- Mathlib/Data/Finset/Sigma.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
t✝ t₁ t₂ : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : DecidableEq ((i : ι) × α i)
s : Finset ι
t : (i : ι) → Finset (α i)
x : ι
y : α x

⊢ ⟨x, y⟩ ∈ s.sigma t ↔ ⟨x, y⟩ ∈ s.biUnion fun i => map (Embedding.sigmaMk i) (t i)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
S s : Subsemigroup M
x : M × N

⊢ x ∈ s.prod ⊤ ↔ x ∈ comap (MulHom.fst M N) s
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0

⊢ ∫⁻ (x : ℝ), ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x) = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0

⊢ (∫⁻ (x : ℝ), ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x)).toReal = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ

⊢ (∫⁻ (x : ℝ), ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x)).toReal = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v

⊢ (∫⁻ (x : ℝ), ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x)).toReal = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v

⊢ ∫ (a : ℝ), gaussianPDFReal μ v a = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v

⊢ (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * ∫ (a : ℝ), rexp (-(a - μ) ^ 2 / (2 * ↑v)) = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v

⊢ (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * ∫ (x : ℝ), rexp (-x ^ 2 / (2 * ↑v)) = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
h : v ≠ 0
hfm : AEStronglyMeasurable (gaussianPDFReal μ v) ℙ
hf : 0 ≤ᶠ[ae ℙ] gaussianPDFReal μ v

⊢ (√(2 * π * ↑v))⁻¹ * ∫ (x : ℝ), rexp (-((↑v)⁻¹ * 2⁻¹ * x ^ 2)) = 1