ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]

⊢ derivative ((expand R p) f) = (expand R p) (derivative f) * (↑p * X ^ (p - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean

⊢ deriv arcsin = fun x => 1 / √(1 - x ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ

⊢ deriv arcsin x = 1 / √(1 - x ^ 2)
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y : ↥S
w z : N

⊢ z = w * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y)⁻¹ ↔ z * f ↑y = w
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
s : Set Surreal
inst✝ : Small.{u, u + 1} ↑s

⊢ BddBelow s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β

⊢ Isometry f ↔ ∀ (x y : α), nndist (f x) (f y) = nndist x y
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.96057, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y

⊢ homMk f = f.map (Q W) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.96057, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
f : W.LeftFraction X Y
this : IsIso ((Q W).map f.s)

⊢ homMk f = f.map (Q W) ⋯
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
y : (n : ℕ) → E n

⊢ y ∈ ⋃ k, cylinder (update x n k) (n + 1) ↔ y ∈ cylinder x n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n
n : ℕ
y : (n : ℕ) → E n

⊢ (∃ i, ∀ i_1 < n + 1, y i_1 = update x n i i_1) ↔ ∀ i < n, y i = x i
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.16313, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ F G : ComposableArrows C n
app : (i : Fin (n + 1)) → F.obj i ⟶ G.obj i
w : ∀ (i : ℕ) (hi : i < n), F.map' i (i + 1) ⋯ hi ≫ app ⟨i + 1, ⋯⟩ = app ⟨i, ⋯⟩ ≫ G.map' i (i + 1) ⋯ hi

⊢ ∀ ⦃X Y : Fin (n + 1)⦄ (f : X ⟶ Y), F.map f ≫ app Y = app X ≫ G.map f
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.16313, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ F G : ComposableArrows C n
app : (i : Fin (n + 1)) → F.obj i ⟶ G.obj i
w : ∀ (i : ℕ) (hi : i < n), F.map' i (i + 1) ⋯ hi ≫ app ⟨i + 1, ⋯⟩ = app ⟨i, ⋯⟩ ≫ G.map' i (i + 1) ⋯ hi

⊢ ∀ (k i j : ℕ) (hj : i + k = j) (hj' : j ≤ n), F.map' i j ⋯ hj' ≫ app ⟨j, ⋯⟩ = app ⟨i, ⋯⟩ ≫ G.map' i j ⋯ hj'
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
i : ℕ

⊢ i ∈ p.restriction.support ↔ i ∈ p.support
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
i : ℕ

⊢ p.restriction.coeff i = 0 ↔ p.coeff i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
p : R[X]
i : ℕ

⊢ p.restriction.coeff i = 0 ↔ ↑(p.restriction.coeff i) = 0
-- Mathlib/ModelTheory/Basic.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
f : M ≃[L] N

⊢ f.toEmbedding.comp f.symm.toEmbedding = Embedding.refl L N
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b

⊢ limsup (u + v) f < a + b
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
c : EReal
hc : limsup u f < c
hca : c < a

⊢ limsup (u + v) f < a + b
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
c : EReal
hc : limsup u f < c
hca : c < a
d : EReal
hd : limsup v f < d
hdb : d < b

⊢ limsup (u + v) f < a + b
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N

⊢ Injective R (CharacterModule M) ↔ ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N'] (L : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑L → Function.Injective ⇑(rTensor M L)
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type w
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N

⊢ (∀ ⦃X Y : Type v⦄ [inst : AddCommGroup X] [inst_1 : AddCommGroup Y] [inst_2 : Module R X] [inst_3 : Module R Y] (f : X →ₗ[R] Y), Function.Injective ⇑f → ∀ (g : X →ₗ[R] CharacterModule M), ∃ h, ∀ (x : X) (x_1 : M), (h (f x)) x_1 = (g x) x_1) ↔ ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N'] (L : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑L → ∀ (b : N →ₗ[R] CharacterModule M), ∃ a, ∀ (x : N) (x_1 : M), (((lcomp R (CharacterModule M) L) a) x) x_1 = (b x) x_1
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
a : α

⊢ Chain r ↑[a] ↔ r a a
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ

⊢ multichoose (-↑n) (n + 1) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ

⊢ (fun x => ?m.78773.factorial • x) (multichoose (-↑n) (n + 1)) = (fun x => ?m.78773.factorial • x) 0
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ

⊢ ?m.78773.factorial • multichoose (-↑n) (n + 1) = ?m.78773.factorial • 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : NoZeroDivisors R
n : ℤ
hn : 1 < n.natAbs
h : ↑n ≠ 0

⊢ 0 < (W.ΨSq n).natDegree
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c : α
h : IsUnit c

⊢ a = b / c ↔ a * c = b
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ : E
v : ↑(sphere 0 1)

⊢ ↑(stereographic ⋯) (-v) = 0
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s

⊢ { ofColex := insert a s } < { ofColex := insert b s } ↔ a < b
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing R₁
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : AddCommGroup V
inst✝¹² : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M''
inst✝⁹ : Module R M'✝
inst✝⁸ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : FiniteDimensional K V
ι✝ : Type u_10
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Finite ι✝
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB' : B.IsSymm
ι : Type u_11
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : FiniteDimensional K V
b : Basis ι K V

⊢ B.dualBasis hB (B.dualBasis hB b) = b
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Properties.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝²⁰ : CommSemiring R
inst✝¹⁹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁸ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁷ : CommRing R₁
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁵ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : AddCommGroup V
inst✝¹² : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M''
inst✝⁹ : Module R M'✝
inst✝⁸ : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'
inst✝⁶ : Module R M'
inst✝⁵ : FiniteDimensional K V
ι✝ : Type u_10
inst✝⁴ : DecidableEq ι✝
inst✝³ : Finite ι✝
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB' : B.IsSymm
ι : Type u_11
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : FiniteDimensional K V
b : Basis ι K V

⊢ B = B.flip
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α

⊢ s ⊂ t ↔ ∃ a ∈ t, s ⊆ t.erase a
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a b : α
s t : Finset α
h : s ⊂ t

⊢ ∃ a ∈ t, s ⊆ t.erase a
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u v : Finset α
a✝ b : α
s t : Finset α
h : s ⊂ t
a : α
ht : a ∈ t
hs : a ∉ s

⊢ ∃ a ∈ t, s ⊆ t.erase a
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : Fintype ι
f : ι → α

⊢ Independent f ↔ Finset.univ.SupIndep f
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Preorder α
a b✝ c : α
inst✝ : NoMinOrder α
b : α

⊢ ⋃ a, Ioo a b = Iio b
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
f : G ≃* N
K : Subgroup G
x : N

⊢ x ∈ map f.toMonoidHom K ↔ f.symm x ∈ K
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
f : G ≃* N
K : Subgroup G
x : N

⊢ f.symm x ∈ ↑K ↔ f.symm x ∈ K
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
h : f.degree ≠ 0

⊢ span {f} ≠ ⊤
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
f : R[X]
inst✝ : IsDomain R
h : f.degree ≠ 0

⊢ ∀ (x : R), IsUnit x → ¬C x = f
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx : IsUnit x
h : (C x).degree ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f✝ : M →ₗ[R] M₂
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
x✝ : M

⊢ (f.coprod g ∘ₗ inl R M M₂) x✝ = f x✝
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok

⊢ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v) = do let v ← f.fix.eval v eval step (Cfg.ret k v)
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg

⊢ x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v) ↔ x ∈ do let v ← f.fix.eval v eval step (Cfg.ret k v)
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg

⊢ x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v) ↔ ∃ a ∈ f.fix.eval v, x ∈ eval step (Cfg.ret k a)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
h : a ≤ b

⊢ Icc a b = cons a (Ioc a b) ⋯
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x y : EReal

⊢ ⊥ < x + y ↔ ⊥ < x ∧ ⊥ < y
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h : s ⊆ ↑N
a : G
w : a ∈ normalClosure s

⊢ a ∈ N
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h : s ⊆ ↑N
a : G
w : a ∈ normalClosure s
x : G
hx : x ∈ conjugatesOfSet s

⊢ x ∈ N
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h : s ⊆ ↑N
a : G
w : a ∈ normalClosure s

⊢ 1 ∈ N
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h : s ⊆ ↑N
a : G
w : a ∈ normalClosure s
x y : G
ihx : x ∈ N
ihy : y ∈ N

⊢ x * y ∈ N
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
s : Set G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h : s ⊆ ↑N
a : G
w : a ∈ normalClosure s
x : G
ihx : x ∈ N

⊢ x⁻¹ ∈ N
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ

⊢ I.splitLower i x = ↑I ↔ I.upper i ≤ x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝ : Fintype α
f : Perm α

⊢ sign f⁻¹ = sign f
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

⊢ -Ico a b = Ioc (-b) (-a)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
k : α
h : m.size = m.buckets.size

⊢ m.size = ((m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val AssocList.nil ⋯).update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val (AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).size
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
k : α
h : m.size = m.buckets.size

⊢ m.size = (m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val (AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).size
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
k : α
h : m.size = m.buckets.size

⊢ Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) m.buckets.val.data) = Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val (AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β → β
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
k : α
h : m.size = m.buckets.size
w✝¹ w✝ : List (AssocList α β)
h₁ : m.buckets.val.data = w✝¹ ++ m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val] :: w✝
left✝ : w✝¹.length = (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat
eq : (m.buckets.update (mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val (AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat]) ⋯).val.data = w✝¹ ++ AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] :: w✝

⊢ Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) m.buckets.val.data) = Nat.sum (List.map (fun x => x.toList.length) (w✝¹ ++ AssocList.modify k f m.buckets.val[(mkIdx ⋯ (hash k).toUSize).val.toNat] :: w✝))
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
x✝ : Fin (n + 1)
i : ℕ
h : i < n + 1

⊢ (i, n - i) ∈ antidiagonal n
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ
x✝ : Fin (n + 1)
i : ℕ
h : i < n + 1

⊢ i ≤ n
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n : ι

⊢ f n = gramSchmidt 𝕜 f n + ∑ i ∈ Iio n, (⟪gramSchmidt 𝕜 f i, f n⟫_𝕜 / ↑‖gramSchmidt 𝕜 f i‖ ^ 2) • gramSchmidt 𝕜 f i
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
n x✝ : ι
a✝ : x✝ ∈ Iio n

⊢ (⟪gramSchmidt 𝕜 f x✝, f n⟫_𝕜 / ↑‖gramSchmidt 𝕜 f x✝‖ ^ 2) • gramSchmidt 𝕜 f x✝ = ↑((orthogonalProjection (span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f x✝})) (f n))
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝ : SeminormedRing R
f : α →ᵇ R

⊢ ⇑(npowRec 0 f) = ⇑f ^ 0
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace α
R : Type u_2
inst✝ : SeminormedRing R
f : α →ᵇ R
n : ℕ

⊢ ⇑(npowRec (n + 1) f) = ⇑f ^ (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ

⊢ (∀ (p : ℝ), LiouvilleWith p x) ↔ Liouville x
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
H : ∀ (p : ℝ), LiouvilleWith p x
n : ℕ

⊢ ∃ a b, 1 < b ∧ x ≠ ↑a / ↑b ∧ |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
x : ℝ
H : ∀ (p : ℝ), LiouvilleWith p x
n b : ℕ
hb : 1 < b
a : ℤ
hne : x ≠ ↑a / ↑b
hlt : |x - ↑a / ↑b| < ↑b ^ (-↑n)

⊢ ∃ a b, 1 < b ∧ x ≠ ↑a / ↑b ∧ |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N

⊢ ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹ / rexp 1 < ↑(dValue N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N

⊢ 2 / (1 - 2 / rexp 1) ≤ ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N

⊢ log (2 / (1 - 2 / rexp 1)) ≤ log ↑N / ↑(nValue N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N

⊢ 0 < ↑N
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N

⊢ 0 < 2 / (1 - 2 / rexp 1)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 4096 ≤ N

⊢ 0 < ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹
-- Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
hB : B < 0
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B

⊢ p.natDegree = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : p.natDegree ≠ 0

⊢ 0 ≤ B
-- Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : card (map f p).roots ≠ 0

⊢ 0 ≤ B
-- Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : card (map f p).roots ≠ 0
z : K
hz : z ∈ (map f p).roots

⊢ 0 ≤ B
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M

⊢ closure {1} = ⊥
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyInjective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ D
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
hφ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Function.Injective ⇑(φ.app X)
X : Cᵒᵖ
x y : (forget D).obj (F₁.obj X)
h : (φ.app X) x = (φ.app X) y

⊢ equalizerSieve x y ∈ J.sieves (unop X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyInjective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ D
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
hφ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Function.Injective ⇑(φ.app X)
X : Cᵒᵖ
x y : (forget D).obj (F₁.obj X)
h : (φ.app X) x = (φ.app X) y

⊢ equalizerSieve x y = ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyInjective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ D
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
hφ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Function.Injective ⇑(φ.app X)
X : Cᵒᵖ
x y : (forget D).obj (F₁.obj X)
h : (φ.app X) x = (φ.app X) y
Y : C
f : Y ⟶ unop X

⊢ (equalizerSieve x y).arrows f ↔ ⊤.arrows f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyInjective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : ConcreteCategory D
J : GrothendieckTopology C
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ D
φ : F₁ ⟶ F₂
ψ : F₂ ⟶ F₃
hφ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Function.Injective ⇑(φ.app X)
X : Cᵒᵖ
x y : (forget D).obj (F₁.obj X)
h : (φ.app X) x = (φ.app X) y
Y : C
f : Y ⟶ unop X

⊢ (F₁.map f.op) x = (F₁.map f.op) y
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q✝ : ℚ≥0
n₁ n₂ d₁ d₂ d : ℕ
q r : ℚ≥0

⊢ ↑(q * r) = ↑(divNat (q.num * r.num) (q.den * r.den))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν

⊢ QuasiMeasurePreserving Prod.fst (μ.prod ν) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h2s : μ s = 0

⊢ (map Prod.fst (μ.prod ν)) s = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Bivariate.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x x✝ : R

⊢ eval₂ (evalRingHom x) x✝ = evalEval x x✝
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : K

⊢ ∏ w : InfinitePlace K, w x ^ w.mult = ↑|(Algebra.norm ℚ) x|
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : K

⊢ ∏ w : InfinitePlace K, w x ^ w.mult = Complex.abs (∏ σ : K →ₐ[ℚ] ℂ, σ x)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K
x : K

⊢ ↑|(Algebra.norm ℚ) x| = Complex.abs ((algebraMap ℚ ℂ) ((Algebra.norm ℚ) x))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ s : Set α
a : α

⊢ (∀ (i : ℝ), 0 < i → ∃ y ∈ s, y ∈ ball a i) ↔ ∀ ε > 0, ∃ b ∈ s, dist a b < ε
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n : ℕ
h : 2 ≤ n

⊢ (finRotate n).IsCycle
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
m : ℕ
h : 2 ≤ 2 + m

⊢ (finRotate (2 + m)).IsCycle
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
m : ℕ
h : 2 ≤ 2 + m

⊢ (finRotate (m + 2)).IsCycle
-- Mathlib/Topology/Order/PartialSups.lean
L : Type u_1
inst✝³ : SemilatticeSup L
inst✝² : TopologicalSpace L
inst✝¹ : ContinuousSup L
X : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
f : ℕ → X → L
n : ℕ
s : Set X
x : X
hf : ∀ k ≤ n, ContinuousAt (f k) x

⊢ ContinuousAt ((partialSups f) n) x