ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
i : ℕ
fst✝ : α
snd✝ : β

⊢ (l₁.zip l₂)[i]? = some (fst✝, snd✝) ↔ l₁[i]? = some (fst✝, snd✝).1 ∧ l₂[i]? = some (fst✝, snd✝).2
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l₁ : List α
l₂ : List β
i : ℕ
fst✝ : α
snd✝ : β

⊢ (∃ x y, l₁[i]? = some x ∧ l₂[i]? = some y ∧ (x, y) = (fst✝, snd✝)) ↔ l₁[i]? = some (fst✝, snd✝).1 ∧ l₂[i]? = some (fst✝, snd✝).2
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Measure.lean
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Countable ι

⊢ MeasurableSet ↑I
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Measure.lean
ι : Type u_1
I : Box ι
inst✝ : Countable ι

⊢ MeasurableSet (univ.pi fun i => Ioc (I.lower i) (I.upper i))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w : ι✝ → R
z : ι✝ → E
inst✝ : Fintype ι✝
f : ι✝ → R
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E

⊢ (convexHull R) (Set.range ⇑b) = {x | ∀ (i : ι), 0 ≤ (b.coord i) x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι✝ : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι✝
c : R
t : Finset ι✝
w : ι✝ → R
z : ι✝ → E
inst✝ : Fintype ι✝
f : ι✝ → R
ι : Type u_8
b : AffineBasis ι R E

⊢ {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s ⇑b) w = x} = {x | ∀ (i : ι), 0 ≤ (b.coord i) x}
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Map.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
K : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝⁴ : Semifield K
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : AddCommMonoid V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V →ₗ[K] V₂
p : Submodule K V
a : K

⊢ map (a • f) p = ⨆ (_ : a ≠ 0), map f p
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
h : Finite a b

⊢ ↑((multiplicity a b).get h) ≤ multiplicity a b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
ha : a ≠ 0
c : R

⊢ (C a * X + C c).nextCoeff = c
-- Mathlib/Order/SuccPred/Relation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hr : Reflexive r
h1 : ∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)
h2 : ∀ i ∈ Ico m n, r (succ i) i

⊢ TransGen r n m
-- Mathlib/Order/SuccPred/Relation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
m : α
hr : Reflexive r
h1 : ∀ i ∈ Ico m m, r i (succ i)
h2 : ∀ i ∈ Ico m m, r (succ i) i

⊢ TransGen r m m
-- Mathlib/Order/SuccPred/Relation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
hr : Reflexive r
h1 : ∀ i ∈ Ico n m, r i (succ i)
h2 : ∀ i ∈ Ico m n, r (succ i) i
hmn : m ≠ n

⊢ TransGen r n m
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Normalized.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.8680, u_1} A
inst✝ : Abelian A
X✝ X : SimplicialObject A
n : ℕ

⊢ (fun n => (NormalizedMooreComplex.objX X n).factorThru (PInfty.f n) ⋯) (n + 1) ≫ NormalizedMooreComplex.objD X n = AlternatingFaceMapComplex.objD X n ≫ (fun n => (NormalizedMooreComplex.objX X n).factorThru (PInfty.f n) ⋯) n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Normalized.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.8680, u_1} A
inst✝ : Abelian A
X✝ X : SimplicialObject A
n : ℕ

⊢ PInfty.f (n + 1) ≫ ((alternatingFaceMapComplex A).obj X).d (n + 1) n = ((alternatingFaceMapComplex A).obj X).d (n + 1) n ≫ PInfty.f n
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ

⊢ abs (cos ↑x + sin ↑x * I) = 1
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
this : Real.sin x ^ 2 + Real.cos x ^ 2 = 1

⊢ abs (cos ↑x + sin ↑x * I) = 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α → β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry f)

⊢ MeasurableSet {x | Integrable (f x) (κ x)}
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α → β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry f)

⊢ MeasurableSet {x | HasFiniteIntegral (f x) (κ x)}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂✝ : Type w
V₂ : Type w'
M₃✝ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : Module R M₃✝
inst✝⁴ : Module R M₄
M₂ : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (range f) (range g)

⊢ ker (f.coprod g) = (ker f).prod (ker g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂✝ : Type w
V₂ : Type w'
M₃✝ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : Module R M₃✝
inst✝⁴ : Module R M₄
M₂ : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (range f) (range g)

⊢ ker (f.coprod g) ≤ (ker f).prod (ker g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂✝ : Type w
V₂ : Type w'
M₃✝ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : Module R M₃✝
inst✝⁴ : Module R M₄
M₂ : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (range f) (range g)
y : M
z : M₂
h : (y, z) ∈ ker (f.coprod g)

⊢ (y, z) ∈ (ker f).prod (ker g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂✝ : Type w
V₂ : Type w'
M₃✝ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : Module R M₃✝
inst✝⁴ : Module R M₄
M₂ : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (range f) (range g)
y : M
z : M₂
h : f y + g z = 0

⊢ f y = 0 ∧ g z = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂✝ : Type w
V₂ : Type w'
M₃✝ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : Module R M₃✝
inst✝⁴ : Module R M₄
M₂ : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (range f) (range g)
y : M
z : M₂
h : f y + g z = 0
this : f y ∈ range f ⊓ range g

⊢ f y = 0 ∧ g z = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂✝ : Type w
V₂ : Type w'
M₃✝ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂✝
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R M₂✝
inst✝⁵ : Module R M₃✝
inst✝⁴ : Module R M₄
M₂ : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
hd : Disjoint (range f) (range g)
y : M
z : M₂
h : f y + g z = 0
this : f y = 0

⊢ f y = 0 ∧ g z = 0
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α

⊢ leftLim f x ≤ f y
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x = ⊥

⊢ leftLim f x ≤ f y
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥

⊢ leftLim f x ≤ f y
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
A : (𝓝[<] x).NeBot

⊢ leftLim f x ≤ f y
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
A : (𝓝[<] x).NeBot

⊢ sSup (f '' Iio x) ≤ f y
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
A : (𝓝[<] x).NeBot

⊢ (f '' Iio x).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
hf : Monotone f
x y : α
h : x ≤ y
this✝ : TopologicalSpace α := Preorder.topology α
this : OrderTopology α
h' : 𝓝[<] x ≠ ⊥
A : (𝓝[<] x).NeBot

⊢ ∀ b ∈ f '' Iio x, b ≤ f y
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a

⊢ (f a).Dom
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : b ∈ WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a h₁

⊢ (f a).Dom
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : b ∈ Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => (fun y p => WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) y ⋯) a' ⋯

⊢ (f a).Dom
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
N : Submodule R M

⊢ Ideal.span s • N = s • N
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
hp : 0 < p
f : R[X]
n : ℕ

⊢ ((expand R p) f).coeff (p * n) = f.coeff n
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite

⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ insert a s), f i = f a * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite

⊢ Disjoint {a} s
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite

⊢ ({a} ∩ mulSupport f).Finite
-- Mathlib/Data/Nat/Size.lean
b : Bool
n : ℕ
h : bit b n ≠ 0

⊢ binaryRec 0 (fun x x => succ) (bit b n).div2 + 1 = (binaryRec 0 (fun x x => succ) n).succ
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 1 < s

⊢ term n s = 1 / (s - 1) * (1 / ↑n ^ (s - 1) - 1 / (↑n + 1) ^ (s - 1)) - ↑n / s * (1 / ↑n ^ s - 1 / (↑n + 1) ^ s)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
n : ℕ
hn : 0 < n
s : ℝ
hs : 1 < s
hv : ∀ x ∈ uIcc (↑n) (↑n + 1), 0 < x

⊢ term n s = 1 / (s - 1) * (1 / ↑n ^ (s - 1) - 1 / (↑n + 1) ^ (s - 1)) - ↑n / s * (1 / ↑n ^ s - 1 / (↑n + 1) ^ s)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
H : ∀ (x : S), IsUnit x → x ∈ N

⊢ IsLocalization (Submonoid.comap (algebraMap R S) N) T
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
H : ∀ (x : S), IsUnit x → x ∈ N

⊢ Submonoid.comap (algebraMap R S) N = localizationLocalizationSubmodule M N
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
H : ∀ (x : S), IsUnit x → x ∈ N

⊢ N ⊔ Submonoid.map (algebraMap R S) M = N
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
H : ∀ (x : S), IsUnit x → x ∈ N

⊢ Submonoid.map (algebraMap R S) M ≤ N
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
inst✝¹ : IsLocalization M S
inst✝ : IsLocalization N T
H : ∀ (x : S), IsUnit x → x ∈ N
x : R
hx : x ∈ ↑M

⊢ (algebraMap R S) x ∈ N
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ D
inst✝³ : MeasurableSpace D
inst✝² : BorelSpace D
inst✝¹ : SecondCountableTopology D
inst✝ : FiniteDimensional ℝ D
μ : Measure D
h : μ.HasTemperateGrowth

⊢ Integrable (fun x => (1 + ‖x‖) ^ (-↑μ.integrablePower)) μ
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β

⊢ exterior s ⊆ s ↔ IsOpen s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0

⊢ frontier (sphere x r) = sphere x r
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c

⊢ (α_ f (𝟙 b) g).inv ≫ (ρ_ f).hom ▷ g = f ◁ (λ_ g).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/NaturalTransformation/Oplax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f g : a ⟶ b
β : f ⟶ g
h : G.obj b ⟶ a'

⊢ F.map₂ β ▷ η.app b ▷ h ≫ η.naturality g ▷ h = η.naturality f ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) h).hom ≫ η.app a ◁ G.map₂ β ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map g) h).inv
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ

⊢ #(ULift.{u, 0} (Fin (n + 1))) = #(ULift.{u, 0} (Fin n)) + 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ

⊢ ↑(Fintype.card (ULift.{u, 0} (Fin (n + 1)))) = ↑(Fintype.card (Option (ULift.{u, 0} (Fin n))))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝¹ : ExistsAddOfLE β
𝒜✝ ℬ✝ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
inst✝ : Fintype α
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ (s t : Finset α), f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)

⊢ (∑ s ∈ 𝒜, f₁ s) * ∑ s ∈ ℬ, f₂ s ≤ (∑ s ∈ 𝒜 ⊼ ℬ, f₃ s) * ∑ s ∈ 𝒜 ⊻ ℬ, f₄ s
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ (fun x => -x⁻¹ / log x ^ 2) = fun x => (-x * log x ^ 2)⁻¹
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ (fun x => (-x * log x ^ 2)⁻¹) =o[atTop] fun x => (x * 1)⁻¹
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ (fun x => x * 1) =o[atTop] fun x => -x * log x ^ 2
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, x * 1 = 0 → -x * log x ^ 2 = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
x y : F
hxy : x ≠ y

⊢ basisDivisor x y + basisDivisor y x = 1
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f✝ : α → β
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
H : Injective f

⊢ Disjoint (f '' s) (f '' sᶜ)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c

⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
ceq : c = ∅

⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
cne : c.Nonempty

⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
cne : c.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)

⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
cne : c.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)
P : (x : ↥(sSup (domain '' c))) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }

⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
cne : c.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)
P : (x : ↥(sSup (domain '' c))) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }
f : ↥(sSup (domain '' c)) → F := fun x => ↑↑↑(P x) ⟨↑x, ⋯⟩

⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
c : Set (E →ₗ.[R] F)
hc : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
cne : c.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) (domain '' c)
P : (x : ↥(sSup (domain '' c))) → { p // ↑x ∈ (↑p).domain }
f : ↥(sSup (domain '' c)) → F := fun x => ↑↑↑(P x) ⟨↑x, ⋯⟩
f_eq : ∀ (p : ↑c) (x : ↥(sSup (domain '' c))) (y : ↥(↑p).domain), ↑x = ↑y → f x = ↑↑p y

⊢ ∃ f, { domain := sSup (domain '' c), toFun := f } ∈ upperBounds c
-- Mathlib/SetTheory/Lists.lean
α : Type u_1
b : Bool
l : Lists' α b

⊢ 0 < sizeOf l
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ≠ 0
m : MeasurableSpace α
f : α →ₛ F
μ : Measure α

⊢ integral μ f = ∑ x ∈ filter (fun x => x ≠ 0) f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x