ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/NormalClosure.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
x : ↥(⨆ f, f.fieldRange)
x✝ : x ∈ ⊤
f : K →ₐ[F] L

⊢ f.fieldRange ≤ ⨆ i, IntermediateField.map (⨆ f, f.fieldRange).val i.fieldRange
-- Mathlib/FieldTheory/NormalClosure.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Algebra F K
inst✝¹ : Algebra F L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
splits : ∀ (x : K), Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
x : ↥(⨆ f, f.fieldRange)
x✝ : x ∈ ⊤
f : K →ₐ[F] L

⊢ f.fieldRange ≤ IntermediateField.map (⨆ f, f.fieldRange).val (f.codRestrict (⨆ f, f.fieldRange).toSubalgebra ⋯).fieldRange
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Symmetric.lean
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : Quiver U
inst✝³ : Quiver V
inst✝² : Quiver W
V' : Type u_4
inst✝¹ : Quiver V'
inst✝ : HasReverse V'
Φ : Symmetrify V ⥤q V'
hΦinv : ∀ {X Y : Symmetrify V} (f : X ⟶ Y), Φ.map (reverse f) = reverse (Φ.map f)

⊢ Φ = lift (of ⋙q Φ)
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Symmetric.lean
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : Quiver U
inst✝³ : Quiver V
inst✝² : Quiver W
V' : Type u_4
inst✝¹ : Quiver V'
inst✝ : HasReverse V'
Φ : Symmetrify V ⥤q V'
hΦinv : ∀ {X Y : Symmetrify V} (f : X ⟶ Y), Φ.map (reverse f) = reverse (Φ.map f)

⊢ ∀ (X : Symmetrify V), Φ.obj X = (lift (of ⋙q Φ)).obj X
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Symmetric.lean
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : Quiver U
inst✝³ : Quiver V
inst✝² : Quiver W
V' : Type u_4
inst✝¹ : Quiver V'
inst✝ : HasReverse V'
Φ : Symmetrify V ⥤q V'
hΦinv : ∀ {X Y : Symmetrify V} (f : X ⟶ Y), Φ.map (reverse f) = reverse (Φ.map f)

⊢ ∀ (X Y : Symmetrify V) (f : X ⟶ Y), Φ.map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ ((lift (of ⋙q Φ)).map f))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V'
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V'

⊢ ((map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o).oangle x y = o.oangle (f.symm x) (f.symm y)
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Finite I
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : I → S
he : OrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : I), e i ∈ f.range

⊢ ∃ e', OrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Finite I
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : I → S
he : OrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : I), e i ∈ f.range
val✝ : Fintype I

⊢ ∃ e', OrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e✝ : I → R
he✝ : OrthogonalIdempotents e✝
inst✝ : Finite I
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e : I → S
he : OrthogonalIdempotents e
he' : ∀ (i : I), e i ∈ f.range
val✝ : Fintype I
e' : Fin (Fintype.card I) → R
h₁ : OrthogonalIdempotents e'
h₂ : ⇑f ∘ e' = e ∘ ⇑(Fintype.equivFin I).symm.toEmbedding

⊢ ∃ e', OrthogonalIdempotents e' ∧ ⇑f ∘ e' = e
-- Mathlib/Analysis/Complex/Angle.lean
a x✝ y : ℂ
x : ℝ

⊢ angle (cexp (↑x * I)) 1 = |toIocMod Real.two_pi_pos (-π) x|
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
ι : Type u_5
s : Finset ι
f : ι → NormedAddGroupHom V₁ V₂
v : V₁

⊢ (∑ i ∈ s, f i) v = ∑ i ∈ s, (f i) v
-- Mathlib/Logic/IsEmpty.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
p : α → Prop

⊢ IsEmpty (Subtype p) ↔ ∀ (x : α), ¬p x
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : b ≠ 0

⊢ 0 < a / b ↔ b ≤ a
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α

⊢ (a :: l).reverse = l.reverse.concat a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f p : R[X]
a✝ : Nontrivial R

⊢ (p * X).reverse = p.reverse
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
a✝ : Nontrivial R

⊢ (0 * X).reverse = reverse 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f p : R[X]
a✝ : Nontrivial R
hp : p ≠ 0

⊢ (p * X).reverse = p.reverse
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
G' : ℕ → Type w
inst✝ : (i : ℕ) → L.Structure (G' i)
f' : (n : ℕ) → G' n ↪[L] G' (n + 1)
m n : ℕ
h : m ≤ n

⊢ ⇑(natLERec f' m n h) = fun a => Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) a
-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
L : Language
ι : Type v
inst✝² : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
G' : ℕ → Type w
inst✝ : (i : ℕ) → L.Structure (G' i)
f' : (n : ℕ) → G' n ↪[L] G' (n + 1)
m k : ℕ
h : m ≤ m + k

⊢ ⇑(natLERec f' m (m + k) h) = fun a => Nat.leRecOn h (fun k => ⇑(f' k)) a
-- Mathlib/Deprecated/Subfield.lean
F : Type u_1
inst✝ : Field F
S : Set F
p : F
hp : p ∈ Ring.closure S
q : F
hq : q ∈ Ring.closure S
ha : p / q ∈ closure S
r : F
hr : r ∈ Ring.closure S
s : F
hs : s ∈ Ring.closure S
hb : r / s ∈ closure S
hq0 : ¬q = 0
hs0 : ¬s = 0

⊢ p / q + r / s ∈ closure S
-- Mathlib/Deprecated/Subfield.lean
F : Type u_1
inst✝ : Field F
S : Set F
p : F
hp : p ∈ Ring.closure S
q : F
hq : q ∈ Ring.closure S

⊢ -(p / q) ∈ closure S
-- Mathlib/Deprecated/Subfield.lean
F : Type u_1
inst✝ : Field F
S : Set F
p : F
hp : p ∈ Ring.closure S
q : F
hq : q ∈ Ring.closure S

⊢ (p / q)⁻¹ ∈ closure S
-- Mathlib/Data/Nat/PrimeFin.lean
a b k m n p : ℕ
hk : k ≠ 0
hp : Prime p

⊢ (p ^ k).primeFactors = {p}
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a✝ : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
y : E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : a ≠ 0
x✝ : E

⊢ x✝ ∈ (fun x => a • x) ⁻¹' p.ball y r ↔ x✝ ∈ p.ball (a⁻¹ • y) (r / ‖a‖)
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i : ℕ
h : i < μ.rowLens.length

⊢ μ.rowLens[i] = μ.rowLen i
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : DecidableEq (Associates α)
inst✝ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
p : Associates α
hp : Irreducible p

⊢ p.count 0 = 0
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
f : Ultrafilter γ
m : α → β
n : β → γ
inj₀ : Injective n
large₀ : range n ∈ f
inj₁ : Injective m
large₁ : range m ∈ f.comap inj₀ large₀
inj₂ : optParam (Injective (n ∘ m)) ⋯

⊢ range (n ∘ m) ∈ f
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
f : Ultrafilter γ
m : α → β
n : β → γ
inj₀ : Injective n
large₀ : range n ∈ f
inj₁ : Injective m
large₁ : range m ∈ f.comap inj₀ large₀
inj₂ : optParam (Injective (n ∘ m)) ⋯

⊢ n '' range m ∈ f
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle

⊢ ∃! s, (↑s).formPerm ⋯ = f
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
hf : f.IsCycle
s : Cycle α
hn : s.Nodup
hs : (↑⟨s, hn⟩).formPerm ⋯ = f
hs' : ∀ (y : { s // s.Nodup }), (fun s => (↑s).formPerm ⋯ = f) y → y = ⟨s, hn⟩

⊢ ∃! s, (↑s).formPerm ⋯ = f
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
b✝ : ClassGroup R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ

⊢ ∃ a, mk0 a = Quot.mk Setoid.r I
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : DecidableEq L
inst✝⁷ : Algebra R K
inst✝⁶ : IsFractionRing R K
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : Algebra R L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
b✝ : ClassGroup R
I : (FractionalIdeal R⁰ (FractionRing R))ˣ

⊢ mk0 ⟨integralRep ↑I, ⋯⟩ = Quot.mk Setoid.r I
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
inst✝ : g.NeBot

⊢ map₂ (fun x x_1 => x) f g = f
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime (x * y) z
a b : R
h : a * (x * y) + b * z = 1

⊢ a * y * x + b * z = 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Triangulated.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
X₁ X₂ X₃ : CochainComplex C ℤ
f : X₁ ⟶ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
n : ℤ

⊢ (hom f g ≫ inv f g).f n = (𝟙 (mappingCone g)).f n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Root.lean
a✝ b n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : ℕ

⊢ n.ceilRoot (a ^ n) = a
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Root.lean
a✝ b n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : ℕ

⊢ (if a = 0 then 0 else a.factorization.prod fun x x_1 => x ^ x_1) = a
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : IsBigOWith c₁ l f₁ g
h₂ : IsBigOWith c₂ l f₂ g

⊢ IsBigOWith (c₁ + c₂) l (fun x => f₁ x + f₂ x) g
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E'
g₁ g₂ : α → F'
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g x‖

⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x + f₂ x‖ ≤ (c₁ + c₂) * ‖g x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Action.lean
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
c : G
μ : Measure α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul G α
inst✝ : MulAction.IsMinimal G α
K U : Set α
hU : IsOpen U
hne : U.Nonempty
hμU : μ U ≠ ⊤
x : α
g : G
hg : g • x ∈ U

⊢ μ ((fun x => g • x) ⁻¹' U) ≠ ⊤
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : M →* N
g : α → M
h : (mulSupport (g ∘ PLift.down)).Finite

⊢ f (∏ᶠ (x : α), g x) = ∏ᶠ (x : α), f (g x)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : M →* N
g : α → M
h : (mulSupport (g ∘ PLift.down)).Finite

⊢ mulSupport ((fun x => f (g x)) ∘ PLift.down) ⊆ ↑h.toFinset
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
α : Sort u_4
β : Sort u_5
ι : Sort u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : M →* N
g : α → M
h : (mulSupport (g ∘ PLift.down)).Finite

⊢ mulSupport ((fun x => f (g x)) ∘ PLift.down) ⊆ mulSupport (g ∘ PLift.down)
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R

⊢ zeroLocus {f} ⊆ zeroLocus {g} ↔ g ∈ (Ideal.span {f}).radical
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)

⊢ ∀ (s : Multiset α), s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)

⊢ 0 ≠ ∅ → (∀ a ∈ 0, p a) → f (prod 0) ≤ (map f 0).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)

⊢ ∀ (a : α) (s : Multiset α), (s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod) → a ::ₘ s ≠ ∅ → (∀ a_2 ∈ a ::ₘ s, p a_2) → f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

⊢ f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

⊢ f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅

⊢ f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x

⊢ f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x
hp_sup : p s.prod

⊢ f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : OrderedCommMonoid β
f : α → β
p : α → Prop
h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b
hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)
a : α
s : Multiset α
hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod
hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1
hs_empty : ¬s = ∅
hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x
hp_sup : p s.prod
hp_a : p a

⊢ f (a * s.prod) ≤ f a * (map f s).prod
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Period.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
m : M
a : α

⊢ period m a ∣ Monoid.exponent M
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
a : α
hs : s✝.Finite
ht : t.Finite
s : Finset α

⊢ s ⊂ ht.toFinset ↔ ↑s ⊂ t
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d a b : ℕ

⊢ Nonnegg c d (↑a) (-↑b) ↔ SqLe b c a d
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d a b : ℕ

⊢ Nonnegg d c (-↑b) ↑a ↔ SqLe b c a d
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Int.lean
a b : ℤ
H1 : 0 ≤ a
H2✝ : a < |b|
n : ℕ
H2 : a < ↑-[n+1].natAbs

⊢ -(a / -[n+1]) = -0
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Int.lean
a b : ℤ
H1 : 0 ≤ a
H2✝ : a < |b|
n : ℕ
H2 : a < ↑-[n+1].natAbs

⊢ a / - -[n+1] = -0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
s : ℂ

⊢ completedHurwitzZetaEven₀ a (1 - s) = completedCosZeta₀ a s
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
g : SL(2, ℝ)
hc : ↑↑g 1 0 = 0

⊢ ∃ u v, (fun x => g • x) = (fun x => v +ᵥ x) ∘ fun x => u • x
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
a b : ℝ
ha : a ≠ 0
hc : ↑↑⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ 1 0 = 0

⊢ ∃ u v, (fun x => ⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ • x) = (fun x => v +ᵥ x) ∘ fun x => u • x
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
a b : ℝ
ha : a ≠ 0
hc : ↑↑⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ 1 0 = 0

⊢ (fun x => ⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ • x) = (fun x => b * a +ᵥ x) ∘ fun x => ⟨a * a, ⋯⟩ • x
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
a b : ℝ
ha : a ≠ 0
hc : ↑↑⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ 1 0 = 0
z : ℂ
hz : 0 < z.im

⊢ ↑(⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ • ⟨z, hz⟩) = ↑(((fun x => b * a +ᵥ x) ∘ fun x => ⟨a * a, ⋯⟩ • x) ⟨z, hz⟩)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
a b : ℝ
ha : a ≠ 0
hc : ↑↑⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩ 1 0 = 0
z : ℂ
hz : 0 < z.im

⊢ ↑a * z * ↑a + ↑b * ↑a = ↑b * ↑a + ↑a * ↑a * z
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
b a : α

⊢ some (b, s) ∈ (cons b s).destruct
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
a : R

⊢ (p - C a).natDegree = p.natDegree
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q✝ q : ℚ
n : ℕ

⊢ q.den ^ n ≠ 0
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q✝ q : ℚ
n : ℕ

⊢ (q.num ^ n).natAbs.Coprime (q.den ^ n)
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q✝ q : ℚ
n : ℕ

⊢ (q.num.natAbs ^ n).Coprime (q.den ^ n)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
b : α
l : List α
a : α
h : a ∈ (b :: l).head?

⊢ a :: (b :: l).tail = b :: l
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
b : α
l : List α
a : α
h : b = a

⊢ a :: (b :: l).tail = b :: l
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
hn : 0 < n
h : x ^ n = 1

⊢ IsPeriodicPt (fun x_1 => x * x_1) n 1
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : γ → Prop
pmeas : MeasurableSet {x | p x}
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p (f x)

⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂ν, p (g x)
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : γ → Prop
pmeas : MeasurableSet {x | p x}
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p (f x)

⊢ ∀ᵐ (y : γ) ∂Measure.map g ν, p y
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : γ → Prop
pmeas : MeasurableSet {x | p x}
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p (f x)

⊢ ∀ᵐ (y : γ) ∂Measure.map f μ, p y
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α

⊢ Nat.card ↑s = s.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
h : s.Finite

⊢ Nat.card ↑s = s.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
h : s.Infinite

⊢ Nat.card ↑s = s.ncard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
h : s.Infinite
this : Infinite ↑s

⊢ Nat.card ↑s = s.ncard
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : Unique Rˣ
p₁ p₂ : R
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₂
h : p₁ ^ k₁ = p₂ ^ k₂

⊢ p₁ = p₂
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : Unique Rˣ
p₁ p₂ : R
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₂
h : p₁ ^ k₁ ~ᵤ p₂ ^ k₂

⊢ p₁ ~ᵤ p₂
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
z x✝ y x p : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p

⊢ HasDerivAt (fun x => x ^ p) (p * x ^ (p - 1)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
z x✝ y x p : ℝ
h : x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
hx : x ≠ 0

⊢ HasDerivAt (fun x => x ^ p) (p * x ^ (p - 1)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
z x y p : ℝ
h : 0 ≠ 0 ∨ 1 ≤ p

⊢ HasDerivAt (fun x => x ^ p) (p * 0 ^ (p - 1)) 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
z x y p : ℝ
h : 1 ≤ p

⊢ HasDerivAt (fun x => x ^ p) (p * 0 ^ (p - 1)) 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
z x y p : ℝ
h : 1 ≤ p

⊢ ContinuousAt (fun x => x ^ p) 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
z x y p : ℝ
h : 1 ≤ p

⊢ ContinuousAt (fun x => p * x ^ (p - 1)) 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f g : PiLp p β

⊢ edist f g = edist g f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f g : PiLp 0 β

⊢ edist f g = edist g f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f g : PiLp ⊤ β

⊢ edist f g = edist g f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → PseudoEMetricSpace (β i)
f g : PiLp p β
h : 0 < p.toReal

⊢ edist f g = edist g f
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ

⊢ rdropWhile p l <+: l
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ

⊢ dropWhile p l.reverse <:+ l.reverse