ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
P : (H → H') → Set H → H → Prop
f : M → M'
x : M

⊢ LiftPropAt P f x ↔ ContinuousAt f x ∧ P (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
hh : HasStrictDerivAt h₂ h₂' (f x)
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hy : y = f x

⊢ HasStrictFDerivAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike K
z : K
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace K E
n : ℕ
x : E

⊢ ‖n • x‖ = n • ‖x‖
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ mapFun (⇑f) (x ^ n) = mapFun (⇑f) x ^ n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
c : Cardinal.{u}

⊢ #{ t // #↑t ≤ c } ≤ max #α ℵ₀ ^ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
c : Cardinal.{u}

⊢ #(ULift.{u, 0} ℕ ⊕ α) ^ c ≤ max #α ℵ₀ ^ c
-- Mathlib/Data/Finset/Sort.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝³ : DecidableRel r
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTotal α r
s : Finset α

⊢ sort r s ~ s.toList
-- Mathlib/Data/Finset/Sort.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
inst✝³ : DecidableRel r
inst✝² : IsTrans α r
inst✝¹ : IsAntisymm α r
inst✝ : IsTotal α r
s : Finset α

⊢ ↑(sort r s) = ↑s.toList
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x y : ℝ

⊢ Real.toEReal '' Ioc x y = Ioc ↑x ↑y
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x y : ℝ

⊢ WithBot.some '' (WithTop.some '' Ioc x y) = Ioc ↑x ↑y
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x y : ℝ

⊢ Ioc ↑↑x ↑↑y = Ioc ↑x ↑y
-- Mathlib/CategoryTheory/Products/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F G : A ⥤ B
H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
fst✝¹ : A
snd✝¹ : C
fst✝ : A
snd✝ : C
f : (fst✝¹, snd✝¹) ⟶ (fst✝, snd✝)

⊢ (F.prod H).map f ≫ (fun X => (α.app X.1, β.app X.2)) (fst✝, snd✝) = (fun X => (α.app X.1, β.app X.2)) (fst✝¹, snd✝¹) ≫ (G.prod I).map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Products/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F G : A ⥤ B
H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
fst✝¹ : A
snd✝¹ : C
fst✝ : A
snd✝ : C
f : (fst✝¹, snd✝¹) ⟶ (fst✝, snd✝)

⊢ (F.map f.1 ≫ α.app fst✝, H.map f.2 ≫ β.app snd✝) = (α.app fst✝¹ ≫ G.map f.1, β.app snd✝¹ ≫ I.map f.2)
-- Mathlib/CategoryTheory/Products/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F G : A ⥤ B
H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
fst✝¹ : A
snd✝¹ : C
fst✝ : A
snd✝ : C
f : (fst✝¹, snd✝¹) ⟶ (fst✝, snd✝)

⊢ F.map f.1 ≫ α.app fst✝ = α.app fst✝¹ ≫ G.map f.1 ∧ H.map f.2 ≫ β.app snd✝ = β.app snd✝¹ ≫ I.map f.2
-- Mathlib/CategoryTheory/Products/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F G : A ⥤ B
H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
fst✝¹ : A
snd✝¹ : C
fst✝ : A
snd✝ : C
f : (fst✝¹, snd✝¹) ⟶ (fst✝, snd✝)

⊢ F.map f.1 ≫ α.app fst✝ = α.app fst✝¹ ≫ G.map f.1
-- Mathlib/CategoryTheory/Products/Basic.lean
A : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} A
B : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} B
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F G : A ⥤ B
H I : C ⥤ D
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
fst✝¹ : A
snd✝¹ : C
fst✝ : A
snd✝ : C
f : (fst✝¹, snd✝¹) ⟶ (fst✝, snd✝)

⊢ H.map f.2 ≫ β.app snd✝ = β.app snd✝¹ ≫ I.map f.2
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
m : Ordnode α
y : α
r : Ordnode α

⊢ (l.node4R x m y r).dual = r.dual.node4L y m.dual x l.dual
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
a : ↑A

⊢ g (f a) = h (f a)
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/EpiMono.lean
A B : Grp
f : A ⟶ B
a : ↑A
this : f a ∈ {b | h b = g b}

⊢ g (f a) = h (f a)
-- Mathlib/RingTheory/SurjectiveOnStalks.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
h : Function.Surjective ⇑f
x✝¹ : Ideal S
x✝ : x✝¹ ≠ ⊤
s : S
r : R
hr : f r = s

⊢ 1 ∉ x✝¹
-- Mathlib/RingTheory/SurjectiveOnStalks.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
h : Function.Surjective ⇑f
x✝¹ : Ideal S
x✝ : x✝¹ ≠ ⊤
s : S
r : R
hr : f r = s

⊢ f 1 ∉ x✝¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Fold.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
l : List M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : N), (f m) ((f m) x) = Q m • x
n : N

⊢ ((foldl Q f hf) n) (List.map (⇑(ι Q)) l).prod = List.foldl (fun m n => (f n) m) n l
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : ∃ a, o = succ a
a : Ordinal.{u_4}
e : o = succ a

⊢ o.pred ≤ o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : ∃ a, o = succ a
a : Ordinal.{u_4}
e : o = succ a

⊢ a ≤ succ a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : ¬∃ a, o = succ a

⊢ o.pred ≤ o
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M

⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M

⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAtProp I I' (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ

⊢ (N₁Γ₀.hom.app K).f.f n = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv.f.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ
n : ℕ

⊢ ((Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).hom).f.f n = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv.f.f n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]

⊢ Splits i f ↔ f = 0 ∨ ∀ {g : L[X]}, Irreducible g → g ∣ map i f → g.degree = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'

⊢ I ≤ comap f (map f I)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
hs : a ∈ s ↔ b ∈ s

⊢ BijOn (⇑(swap a b)) s s
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
hs : a ∈ s ↔ b ∈ s
x : α
hx : x ∈ s

⊢ (swap a b) x ∈ s
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
hs : a ∈ s ↔ b ∈ s
x : α
hx : x ∈ s

⊢ x ∈ ⇑(swap a b) '' s
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
b : α
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
hs : x ∈ s ↔ b ∈ s

⊢ x ∈ ⇑(swap x b) '' s
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
hs : a ∈ s ↔ b ∈ s
x : α
hx : x ∈ s
hxa : x ≠ a

⊢ x ∈ ⇑(swap a b) '' s
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
hxa : x ≠ a
hs : a ∈ s ↔ x ∈ s

⊢ x ∈ ⇑(swap a x) '' s
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
hs : a ∈ s ↔ b ∈ s
x : α
hx : x ∈ s
hxa : x ≠ a
hxb : x ≠ b

⊢ x ∈ ⇑(swap a b) '' s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
this : ∀ S ∈ 𝔖, UniformFun.uniformSpace (↑S) β = ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)

⊢ uniformSpace α β 𝔖 = ⨅ i, UniformSpace.comap (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace (δ i) β (𝔗 i))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
this : ∀ S ∈ 𝔖, UniformFun.uniformSpace (↑S) β = ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
i : ι

⊢ uniformSpace α β 𝔖 ≤ UniformSpace.comap (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace (δ i) β (𝔗 i))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
δ : ι → Type u_5
φ : (i : ι) → δ i → α
𝔗 : (i : ι) → Set (Set (δ i))
h_image : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i '' x) (𝔗 i) 𝔖
h_preimage : ∀ (i : ι), MapsTo (fun x => φ i ⁻¹' x) 𝔖 (𝔗 i)
h_cover : ∀ S ∈ 𝔖, ∃ I, I.Finite ∧ S ⊆ ⋃ i ∈ I, range (φ i)
ψ : (S : Set α) → (i : ι) → ↑(φ i ⁻¹' S) → ↑S := fun S i => S.restrictPreimage (φ i)
this : ∀ S ∈ 𝔖, UniformFun.uniformSpace (↑S) β = ⨅ i, UniformSpace.comap (fun x => x ∘ ψ S i) (UniformFun.uniformSpace (↑(φ i ⁻¹' S)) β)
S : Set α
hS : S ∈ 𝔖

⊢ ⨅ i, UniformSpace.comap (⇑(ofFun (𝔗 i)) ∘ (fun x => x ∘ φ i) ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (uniformSpace (δ i) β (𝔗 i)) ≤ UniformSpace.comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ S.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) (UniformFun.uniformSpace (↑S) β)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
r : A
x : ProjectiveSpectrum 𝒜

⊢ x ∈ ↑(basicOpen 𝒜 r) ↔ x ∈ (zeroLocus 𝒜 {r})ᶜ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
r : A
x : ProjectiveSpectrum 𝒜

⊢ x ∈ ↑(basicOpen 𝒜 r) ↔ r ∉ ↑x.asHomogeneousIdeal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
hab : a ≤ b

⊢ IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f (Ioo a b) μ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α

⊢ {x | l.formPerm x ≠ x} ≤ ↑l.toFinset
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α

⊢ ↑(l.toFinset ⊔ l.tail.toFinset) ≤ ↑l.toFinset
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/HasseDeriv.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k : ℕ
f : R[X]

⊢ (hasseDeriv 0) f = f
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ

⊢ Bijective f ↔ ∀ (i : ι), Bijective ((U i).restrictPreimage f)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
U : ι → Set β
hU : iUnion U = univ

⊢ ((∀ (i : ι), Injective ((U i).restrictPreimage f)) ∧ ∀ (i : ι), Surjective ((U i).restrictPreimage f)) ↔ ∀ (i : ι), Bijective ((U i).restrictPreimage f)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i

⊢ y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι

⊢ y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i

⊢ y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : dist x z < ε

⊢ y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε

⊢ y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz : ∀ (i : ι), z i < y i

⊢ y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), z i < y i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), z i + δ < y i

⊢ y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), z i < y i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), z i + δ < y i

⊢ ball y δ ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), z i < y i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), z i + δ < y i
w : ι → ℝ
hw : w ∈ ball y δ
i : ι

⊢ z i ≤ w i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s : Set (ι → ℝ)
x y : ι → ℝ
hs : IsUpperSet s
hx : x ∈ closure s
h : ∀ (i : ι), x i < y i
val✝ : Fintype ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hxy : ∀ (i : ι), x i + ε < y i
z : ι → ℝ
hz : z ∈ s
hxz : ∀ (b : ι), dist (x b) (z b) < ε
hyz✝ : ∀ (i : ι), z i < y i
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hyz : ∀ (i : ι), z i + δ < y i
w : ι → ℝ
i : ι
hw : w ∈ univ.pi fun b => Ioo (y b - δ) (y b + δ)

⊢ z i ≤ w i
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ColimitLimit.lean
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J × K ⥤ C
inst✝³ : HasLimitsOfShape J C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : Small.{v, u₁} J
inst✝ : Small.{v, u₂} K
F : J × K ⥤ Type v
j : J
k : K
f : (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim).obj k

⊢ limit.π (curry.obj F ⋙ colim) j (limit.lift (curry.obj F ⋙ colim) { pt := colimit (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim), π := { app := fun j => colimit.desc (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) { pt := colimit ((curry.obj F).obj j), ι := { app := fun k => limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j ≫ colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k, naturality := ⋯ } }, naturality := ⋯ } } (colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) k f)) = colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k (limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ColimitLimit.lean
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J × K ⥤ C
inst✝³ : HasLimitsOfShape J C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : Small.{v, u₁} J
inst✝ : Small.{v, u₂} K
F : J × K ⥤ Type v
j : J
k : K
f : (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim).obj k

⊢ { pt := colimit (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim), π := { app := fun j => colimit.desc (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) { pt := colimit ((curry.obj F).obj j), ι := { app := fun k => limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j ≫ colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k, naturality := ⋯ } }, naturality := ⋯ } }.π.app j (colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) k f) = colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k (limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ColimitLimit.lean
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J × K ⥤ C
inst✝³ : HasLimitsOfShape J C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : Small.{v, u₁} J
inst✝ : Small.{v, u₂} K
F : J × K ⥤ Type v
j : J
k : K
f : (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim).obj k

⊢ colimit.desc (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) { pt := colimit ((curry.obj F).obj j), ι := { app := fun k => limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j ≫ colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k, naturality := ⋯ } } (colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim) k f) = colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k (limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ColimitLimit.lean
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J × K ⥤ C
inst✝³ : HasLimitsOfShape J C
inst✝² : HasColimitsOfShape K C
inst✝¹ : Small.{v, u₁} J
inst✝ : Small.{v, u₂} K
F : J × K ⥤ Type v
j : J
k : K
f : (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F) ⋙ lim).obj k

⊢ { pt := colimit ((curry.obj F).obj j), ι := { app := fun k => limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j ≫ colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k, naturality := ⋯ } }.ι.app k f = colimit.ι ((curry.obj F).obj j) k (limit.π ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ F)).obj k) j f)
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : InfSet α
inst✝ : InfSet β
f : ι → α × β

⊢ (iInf f).swap = ⨅ i, (f i).swap
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
x : β
p : Fin n → β

⊢ insertNth 0 x p = cons x p
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Lemmas.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharZero R
u : Rˣ

⊢ u ≠ -u
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Gradient/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s✝ : Set F
L : Filter F
frechet : F →L[𝕜] 𝕜
s : Set F

⊢ HasFDerivWithinAt f frechet s x ↔ HasGradientWithinAt f ((toDual 𝕜 F).symm frechet) s x
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/OneDim.lean
x : ℝ

⊢ Tendsto (fun y => Icc x y) (𝓝[>] x) ((vitaliFamily volume 1).filterAt x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/OneDim.lean
x : ℝ

⊢ ∀ᶠ (i : ℝ) in 𝓝[>] x, Icc x i ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt x
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/OneDim.lean
x : ℝ

⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (i : ℝ) in 𝓝[>] x, Icc x i ⊆ Metric.closedBall x ε
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.185407, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
h : n + 1 = m
p₁ p₂ : ℤ
h₁₂ : p₁ + n = p₂

⊢ (liftCochain φ α β h).v p₁ p₂ h₁₂ ≫ (snd φ).v p₂ p₂ ⋯ = β.v p₁ p₂ h₁₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
this : Invertible 1

⊢ (fromBlocks 1 B C D).det = (D - C * B).det
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Closeds.lean
α : Type u
inst✝ : EMetricSpace α
s : Set α

⊢ Continuous fun p => infEdist p.1 ↑p.2
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Closeds.lean
α : Type u
inst✝ : EMetricSpace α
s : Set α

⊢ ∀ (x y : α × Closeds α), infEdist x.1 ↑x.2 ≤ infEdist y.1 ↑y.2 + 2 * edist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Closeds.lean
α : Type u
inst✝ : EMetricSpace α
s✝ : Set α
x : α
s : Closeds α
y : α
t : Closeds α

⊢ infEdist (x, s).1 ↑(x, s).2 ≤ infEdist (y, t).1 ↑(y, t).2 + 2 * edist (x, s) (y, t)
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Nat.lean
z : ℤ
h : 0 ≤ z

⊢ normalize z = z