ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
W : C
h : Z ⟶ W
inst✝³ : HasImage (g ≫ h)
inst✝² : HasImage (f ≫ g ≫ h)
inst✝¹ : HasImage h
inst✝ : HasImage ((f ≫ g) ≫ h)

⊢ (lift (MonoFactorisation.mk (image (g ≫ h)) (ι (g ≫ h)) (f ≫ factorThruImage (g ≫ h)) ⋯) ≫ lift (MonoFactorisation.mk (image h) (ι h) (g ≫ factorThruImage h) ⋯)) ≫ ι h = (lift (MonoFactorisation.mk (image ((f ≫ g) ≫ h)) (ι ((f ≫ g) ≫ h)) (factorThruImage ((f ≫ g) ≫ h)) ⋯) ≫ lift (MonoFactorisation.mk (image h) (ι h) ((f ≫ g) ≫ factorThruImage h) ⋯)) ≫ ι h
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Images.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
Z : C
g : Y ⟶ Z
W : C
h : Z ⟶ W
inst✝³ : HasImage (g ≫ h)
inst✝² : HasImage (f ≫ g ≫ h)
inst✝¹ : HasImage h
inst✝ : HasImage ((f ≫ g) ≫ h)

⊢ ι (f ≫ g ≫ h) = lift (MonoFactorisation.mk (image ((f ≫ g) ≫ h)) (ι ((f ≫ g) ≫ h)) (factorThruImage ((f ≫ g) ≫ h)) ⋯) ≫ lift (MonoFactorisation.mk (image h) (ι h) ((f ≫ g) ≫ factorThruImage h) ⋯) ≫ ι h
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Even.lean
R : Type uR
M : Type uM
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
A : Type uA
B : Type uB
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : EvenHom Q A
this : AddCommGroup ↥(CliffordAlgebra.even.lift.S f) := AddSubgroupClass.toAddCommGroup (CliffordAlgebra.even.lift.S f)

⊢ CliffordAlgebra Q →ₗ[R] A
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : WSeq α

⊢ Seq.map (Option.map (g ∘ f)) s = Seq.map (Option.map g) (Seq.map (Option.map f) s)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : WSeq α

⊢ Seq.map (Option.map (g ∘ f)) s = Seq.map (Option.map g ∘ Option.map f) s
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
g : β → γ
s : WSeq α

⊢ Option.map (g ∘ f) = Option.map g ∘ Option.map f
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p✝ p r i : ℕ
pp : Prime p
hr0 : r ≠ 0

⊢ ¬p ∣ r ↔ (p * i + r).factorization p = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p✝ p r i : ℕ
pp : Prime p
hr0 : r ≠ 0
h : (p * i + r).factorization p = 0

⊢ ¬p ∣ r
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p✝ p r i : ℕ
pp : Prime p
hr0 : r ≠ 0
h : ¬Prime p ∨ ¬p ∣ p * i + r ∨ p * i + r = 0

⊢ ¬p ∣ r
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p✝ p r i : ℕ
pp : Prime p
hr0 : r ≠ 0
h : p ∣ r

⊢ Prime p ∧ p ∣ p * i + r ∧ p * i + r ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜✝ : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedRing A
f✝ g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
𝕜 : Type u_6
f : ℝ → 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜
h : IntervalIntegrable f μ a b
c : 𝕜

⊢ IntervalIntegrable (fun x => f x / c) μ a b
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Units.lean
M : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : M
x y : Mˣ
h : SemiconjBy a ↑x ↑y
n : ℕ

⊢ SemiconjBy a ↑(x ^ ↑n) ↑(y ^ ↑n)
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Units.lean
M : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a : M
x y : Mˣ
h : SemiconjBy a ↑x ↑y
n : ℕ

⊢ SemiconjBy a ↑(x ^ -[n+1]) ↑(y ^ -[n+1])
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝² : CommSemiring S
p✝ q : ℕ
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : ℕ
P : R[X]
r : A

⊢ (aeval r) ((expand R p) P) = (aeval (r ^ p)) P
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝² : CommSemiring S
p✝ q : ℕ
A : Type u_1
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
p : ℕ
P : R[X]
r : A
f g : R[X]
hf : (aeval r) ((expand R p) f) = (aeval (r ^ p)) f
hg : (aeval r) ((expand R p) g) = (aeval (r ^ p)) g

⊢ (aeval r) ((expand R p) (f + g)) = (aeval (r ^ p)) (f + g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

⊢ fst R M M₂ ⊔ snd R M M₂ = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

⊢ ⊤ ≤ fst R M M₂ ⊔ snd R M M₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
m : M
n : M₂

⊢ (m, 0) + (0, n) ∈ fst R M M₂ ⊔ snd R M M₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
m : M
n : M₂

⊢ (m, 0) ∈ fst R M M₂ ⊔ snd R M M₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
m : M
n : M₂

⊢ (0, n) ∈ fst R M M₂ ⊔ snd R M M₂
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : NonUnitalSemiring α
h : ∀ i ∈ s, a ∣ f i
y : α
hy : y ∈ Multiset.map (fun i => f i) s.val

⊢ a ∣ y
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f g : ι → α
inst✝ : NonUnitalSemiring α
h : ∀ i ∈ s, a ∣ f i
x : ι
hx : x ∈ s.val
hy : f x ∈ Multiset.map (fun i => f i) s.val

⊢ a ∣ f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/SModEq.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N

⊢ x ≡ y [SMOD ⊥] ↔ x = y
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s

⊢ ∀ (a : α) (b : β), Prod.Lex s r (b, a) (enum (Prod.Lex s r) c l)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s
a : α
b : β

⊢ Prod.Lex s r (b, a) (enum (Prod.Lex s r) c l)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s
a : α
b : β

⊢ typein (Prod.Lex s r) (b, a) < c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s
a : α
b : β
this : type r * succ (typein s b) ≤ c

⊢ typein (Prod.Lex s r) (b, a) < c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s
a : α
b : β
this : type r * typein s b + type r ≤ c

⊢ typein (Prod.Lex s r) (b, a) < c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s
a : α
b : β
this✝ : type r * typein s b + type r ≤ c
this : type r * typein s b + typein r a < c

⊢ typein (Prod.Lex s r) (b, a) < c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s
a✝ : α
b : β
this✝ : type r * typein s b + type r ≤ c
this : type r * typein s b + typein r a✝ < c
a : ↑{b_1 | Prod.Lex s r b_1 (b, a✝)}

⊢ ↑{b_1 | s b_1 b} × α ⊕ ↑{b | r b a✝}
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
c : Ordinal.{u_4}
h : (type s).IsLimit
H : ∀ b' < type s, type r * b' ≤ c
l : c < type r * type s
a✝ : α
b✝ : β
this✝ : type r * typein s b✝ + type r ≤ c
this : type r * typein s b✝ + typein r a✝ < c
a b : ↑{b | Prod.Lex s r b (b✝, a✝)}

⊢ Subrel (Prod.Lex s r) {b | Prod.Lex s r b (b✝, a✝)} a b → Sum.Lex (Prod.Lex (Subrel s {b | s b b✝}) r) (Subrel r {b | r b a✝}) ((fun a => ?m.90264 a) a) ((fun a => ?m.90264 a) b)
-- Mathlib/Data/Real/Pi/Bounds.lean
n : ℕ
a : ℝ
h : (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n ≤ 2 - (a / 2 ^ (n + 1)) ^ 2

⊢ a < π
-- Mathlib/Data/Real/Pi/Bounds.lean
n : ℕ
a : ℝ
h : (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n ≤ 2 - (a / 2 ^ (n + 1)) ^ 2

⊢ a ≤ 2 ^ (n + 1) * √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n)
-- Mathlib/Data/Real/Pi/Bounds.lean
n : ℕ
a : ℝ
h : (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n ≤ 2 - (a / 2 ^ (n + 1)) ^ 2

⊢ a ≤ √(2 - sqrtTwoAddSeries 0 n) * 2 ^ (n + 1)
-- Mathlib/Data/Real/Pi/Bounds.lean
n : ℕ
a : ℝ
h : (↑0 / ↑1).sqrtTwoAddSeries n ≤ 2 - (a / 2 ^ (n + 1)) ^ 2

⊢ (a / 2 ^ (n + 1)) ^ 2 ≤ 2 - sqrtTwoAddSeries 0 n
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m✝ n m : ℕ
a b : Fin m

⊢ natAdd n a = natAdd n b → a = b
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
n✝ : M
φ ψ : MvPolynomial σ R
n : M
r : R

⊢ (weightedHomogeneousComponent w n) (C r * φ) = C r * (weightedHomogeneousComponent w n) φ
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x

⊢ Submodule.span K {x} ⊔ B.orthogonal (Submodule.span K {x}) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
N L : Submodule R M
B : BilinForm K V
x : V
hx : ¬B.IsOrtho x x

⊢ Submodule.span K {x} ⊔ ker (B.toLinHomAux₁ x) = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f volume a b
hpos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 < f x
hab : a < b

⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in a..b, f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f volume a b
hpos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 < f x
hab : a < b
hsupp : Ioo a b ⊆ support f ∩ Ioc a b

⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in a..b, f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f volume a b
hpos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 < f x
hab : a < b
hsupp : Ioo a b ⊆ support f ∩ Ioc a b
h₀ : 0 ≤ᶠ[ae (volume.restrict (Ι a b))] f

⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in a..b, f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f✝ g : ℝ → ℝ
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
f : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hfi : IntervalIntegrable f volume a b
hpos : ∀ x ∈ Ioo a b, 0 < f x
hab : a < b
hsupp : Ioo a b ⊆ support f ∩ Ioc a b
h₀ : 0 ≤ᶠ[ae (volume.restrict (Ι a b))] f

⊢ a < b ∧ 0 < volume (support f ∩ Ioc a b)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P

⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑π ↔ Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsLowerSet α
s : Set α
a : α

⊢ closure {a} = Ici a
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsLowerSet α
s : Set α
a : α

⊢ ↑(UpperSet.Ici a) = Ici a
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x✝ : α
X : Type u
inst✝ : PseudoMetricSpace X
x : X
E : Set X
hx : x ∈ E
δ : ℝ

⊢ ball x δ ⊆ thickening δ {x}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
R S T : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : CommRing T
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra R T

⊢ (pullbackSpecIso R S T).hom ≫ Spec.map (ofHom ↑includeRight) = pullback.snd (Spec.map (ofHom (algebraMap R S))) (Spec.map (ofHom (algebraMap R T)))
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y

⊢ Inducing (⇑h.symm ∘ ⇑h)
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i

⊢ b ∈ (P.bind Q).parts ↔ ∃ A, ∃ (hA : A ∈ P.parts), b ∈ (Q A hA).parts
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i

⊢ (∃ a_1 ∈ P.parts.attach, b ∈ (Q ↑a_1 ⋯).parts) ↔ ∃ A, ∃ (hA : A ∈ P.parts), b ∈ (Q A hA).parts
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G

⊢ finrank (↥(subfield G F)) F ≤ Fintype.card G
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁵ : Monoid M
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
F : Type v
inst✝³ : Field F
inst✝² : MulSemiringAction M F
inst✝¹ : MulSemiringAction G F
m : M
inst✝ : Fintype G

⊢ Module.rank (↥(subfield G F)) F ≤ ↑(Fintype.card G)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a c : α
h : c < 0

⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Ici a = Iic (a / c)
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
b : Con (M × ↥S)
H : b ∈ {c | ∀ (y : ↥S), c 1 (↑y, y)}
x✝² x✝¹ : M × ↥S
p : M
q : ↥S
x : M
y : ↥S
x✝ : (r' S) (p, q) (x, y)
t : ↥S
ht : ↑t * (↑(x, y).2 * (p, q).1) = ↑t * (↑(p, q).2 * (x, y).1)

⊢ b (p, q) (x, y)
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
b : Con (M × ↥S)
H : b ∈ {c | ∀ (y : ↥S), c 1 (↑y, y)}
x✝² x✝¹ : M × ↥S
p : M
q : ↥S
x : M
y : ↥S
x✝ : (r' S) (p, q) (x, y)
t : ↥S
ht : ↑t * (↑(x, y).2 * (p, q).1) = ↑t * (↑(p, q).2 * (x, y).1)

⊢ b (1 * (p, q)) (1 * (x, y))
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
b : Con (M × ↥S)
H : b ∈ {c | ∀ (y : ↥S), c 1 (↑y, y)}
x✝² x✝¹ : M × ↥S
p : M
q : ↥S
x : M
y : ↥S
x✝ : (r' S) (p, q) (x, y)
t : ↥S
ht : ↑t * (↑(x, y).2 * (p, q).1) = ↑t * (↑(p, q).2 * (x, y).1)

⊢ b ((↑(t * y), t * y) * (p, q)) (1 * (x, y))
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
b : Con (M × ↥S)
H : b ∈ {c | ∀ (y : ↥S), c 1 (↑y, y)}
x✝² x✝¹ : M × ↥S
p : M
q : ↥S
x : M
y : ↥S
x✝ : (r' S) (p, q) (x, y)
t : ↥S
ht : ↑t * (↑(x, y).2 * (p, q).1) = ↑t * (↑(p, q).2 * (x, y).1)

⊢ (↑(t * y), t * y) * (p, q) = (↑(t * q), t * q) * (x, y)
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
b : Con (M × ↥S)
H : b ∈ {c | ∀ (y : ↥S), c 1 (↑y, y)}
x✝² x✝¹ : M × ↥S
p : M
q : ↥S
x : M
y : ↥S
x✝ : (r' S) (p, q) (x, y)
t : ↥S
ht : ↑t * (↑y * p) = ↑t * (↑q * x)

⊢ (↑t * ↑y * p, t * y * q) = (↑t * ↑q * x, t * q * y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : (Matrix m m R)ˣ
N : Matrix m m R

⊢ (↑M * N * ↑M⁻¹).det = N.det
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : LinearOrder α
a b c d : α

⊢ a < b ⊔ c ↔ a < b ∨ a < c
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-b * x ^ 2) = √(π / b) / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : b ≤ 0

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-b * x ^ 2) = √(π / b) / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-b * x ^ 2) = √(π / b) / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, ↑(rexp (-b * x ^ 2)) = ↑(√(π / b) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b
x✝ : ℝ

⊢ ↑(rexp (-b * x✝ ^ 2)) = cexp (-↑b * ↑x✝ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ ↑(√(π / b) / 2) = (↑π / ↑b) ^ (1 / 2) / 2
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
hs : s.Finite
g : G
this✝ : Fintype ↑s
this : Fintype ↑(g • s)

⊢ g ∈ stabilizer G s ↔ g • s ⊆ s
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
hs : s.Finite
g : G
this✝ : Fintype ↑s
this : Fintype ↑(g • s)

⊢ g • s = s ↔ g • s ⊆ s
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
hlm : l ≤ m

⊢ filter (fun x => decide (x < l)) (Ico n m) = Ico n l
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
hlm : l ≤ m
hnl : n ≤ l

⊢ filter (fun x => decide (x < l)) (Ico n m) = Ico n l
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ
hlm : l ≤ m
hln : l ≤ n

⊢ filter (fun x => decide (x < l)) (Ico n m) = Ico n l
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ
ih : ∀ (l : ℕ), lcs (l + k) N₁ ≤ N₂ ↔ lcs l N₁ ≤ ucs k N₂
l : ℕ

⊢ lcs (l + (k + 1)) N₁ ≤ N₂ ↔ lcs l N₁ ≤ ucs (k + 1) N₂
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0

⊢ (n ^ k).minFac = n.minFac
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n k : ℕ
hk : k ≠ 0

⊢ (1 ^ k).minFac = minFac 1
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0
hn : n ≠ 1

⊢ (n ^ k).minFac = n.minFac
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0
hn : n ≠ 1
hnk : n ^ k ≠ 1

⊢ (n ^ k).minFac = n.minFac
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0
hn : n ≠ 1
hnk : n ^ k ≠ 1

⊢ n.minFac ≤ (n ^ k).minFac
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X

⊢ s ∈ coclosedCompact X ↔ ∃ t, IsClosed t ∧ IsCompact t ∧ sᶜ ⊆ t
-- Mathlib/Order/ModularLattice.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsUpperModularLattice α
a b : α

⊢ a ⊓ b ⋖ b → a ⋖ a ⊔ b
-- Mathlib/Order/ModularLattice.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsUpperModularLattice α
a b : α

⊢ b ⊓ a ⋖ b → a ⋖ b ⊔ a
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
f : (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)) ⟶ X.presheaf.obj (op (X.toΓSpecMapBasicOpen r))
loc_inst : IsLocalization.Away r ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))

⊢ toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r) ≫ f = X.toToΓSpecMapBasicOpen r ↔ f = X.toΓSpecCApp r
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
f : (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)) ⟶ X.presheaf.obj (op (X.toΓSpecMapBasicOpen r))
loc_inst : IsLocalization.Away r ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))

⊢ toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen r) ≫ f = (IsLocalization.Away.lift r ⋯).comp (algebraMap ↑(Γ.obj (op X)) ↑((structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).val.obj (op (basicOpen r)))) ↔ f = X.toΓSpecCApp r
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g

⊢ inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ rTensor Q g = (range (rTensor Q f)).mkQ
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g

⊢ ∀ (x : N ⊗[R] Q), (inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ rTensor Q g) x = (range (rTensor Q f)).mkQ x