ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hx : x ∈ nonZeroDivisorsRight R

⊢ IsNilpotent (x * y) → IsNilpotent y
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hx : x ∈ nonZeroDivisorsRight R
k : ℕ
hk : (x * y) ^ k = 0

⊢ IsNilpotent y
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hx : x ∈ nonZeroDivisorsRight R
k : ℕ
hk : x ^ k * y ^ k = 0

⊢ IsNilpotent y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 3 ≠ 0

⊢ W.Ψ₃.coeff 4 ≠ 0
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
U : Set α

⊢ U ∈ ⋯.filter ↔ U ∈ l
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n → α
i : Fin n

⊢ (ofFn f).get i = f i
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n → α
i : Fin n

⊢ (ofFn f).get i = (List.ofFn f).get ⟨↑i, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n → α
i : Fin n

⊢ (ofFn f).toList.get (Fin.cast ⋯ i) = (List.ofFn f).get ⟨↑i, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulMono α β
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b₁

⊢ 0 ≤ a • b₁
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R

⊢ torsionBySet R M s = torsionBySet R M ↑(Ideal.span s)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
hx : x ∈ torsionBySet R M s

⊢ x ∈ torsionBySet R M ↑(Ideal.span s)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
hx : ∀ (a : ↑s), ↑a • x = 0

⊢ ∀ (a : ↑↑(Ideal.span s)), ↑a • x = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
hx : ∀ (a : ↑s), ↑a • x = 0

⊢ Ideal.span s ≤ Ideal.torsionOf R M x
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
x : M
hx : ∀ (a : ↑s), ↑a • x = 0

⊢ s ⊆ ↑(Ideal.torsionOf R M x)
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n : ℕ
hst : s ⊆ t

⊢ s ^ 0 ⊆ t ^ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n✝ : ℕ
hst : s ⊆ t
n : ℕ

⊢ s ^ (n + 1) ⊆ t ^ (n + 1)
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Monoid α
s t : Finset α
a : α
m n✝ : ℕ
hst : s ⊆ t
n : ℕ

⊢ s ^ n * s ⊆ t ^ (n + 1)
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
refl : ∀ (x : α), R x x
symm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
trans : ∀ {x y z : α}, R x y → R y z → R x z

⊢ ∀ {x y : Computation α}, LiftRel R x y → LiftRel R y x
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
refl : ∀ (x : α), R x x
symm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
trans : ∀ {x y z : α}, R x y → R y z → R x z

⊢ Symmetric R
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
refl : ∀ (x : α), R x x
symm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
trans : ∀ {x y z : α}, R x y → R y z → R x z

⊢ ∀ {x y z : Computation α}, LiftRel R x y → LiftRel R y z → LiftRel R x z
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → α → Prop
refl : ∀ (x : α), R x x
symm : ∀ {x y : α}, R x y → R y x
trans : ∀ {x y z : α}, R x y → R y z → R x z

⊢ Transitive R
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a r : ℝ

⊢ volume (Metric.closedBall a r) = ofReal (2 * r)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ o.oangle y (y - x) = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖y - x‖))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1

⊢ o.oangle y (y - x) = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖y - x‖))
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Indicator.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝ : MulZeroClass M₀
f g : ι → M₀
x : ι
hfg : x ∈ support fun x => f x * g x
hf : f x = 0

⊢ (fun x => f x * g x) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Pretriangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.101289, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.101293, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃

⊢ φ₁ ≫ b ≫ b' = (a ≫ a') ≫ φ₃
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Pretriangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.101293, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
K₁ L₁ K₂ L₂ K₃ L₃ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
φ₃ : K₃ ⟶ L₃
a : K₁ ⟶ K₂
b : L₁ ⟶ L₂
comm : φ₁ ≫ b = a ≫ φ₂
a' : K₂ ⟶ K₃
b' : L₂ ⟶ L₃
comm' : φ₂ ≫ b' = a' ≫ φ₃
n : ℤ

⊢ (map φ₁ φ₃ (a ≫ a') (b ≫ b') ⋯).f n = (map φ₁ φ₂ a b comm ≫ map φ₂ φ₃ a' b' comm').f n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K✝ L L' M : Set V
K : (Finset V)ᵒᵖ
C : G.componentComplFunctor.obj K

⊢ (ComponentCompl.supp C).Infinite ↔ C ∈ G.componentComplFunctor.eventualRange K
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K✝ L L' M : Set V
K : (Finset V)ᵒᵖ
C : G.componentComplFunctor.obj K

⊢ (∀ (L : Finset V) (h : Opposite.unop K ⊆ L), ∃ D, ComponentCompl.hom h D = C) ↔ ∀ (i : (Finset V)ᵒᵖ) (i_1 : i ⟶ K), ∃ y, ComponentCompl.hom ⋯ y = C
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x y : R
x✝ : ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
c : ↥M
h : (algebraMap R S) (↑c * x) = (algebraMap R S) (↑c * y)

⊢ (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x y : R
x✝ : ∃ c, ↑c * x = ↑c * y
c : ↥M
h : (algebraMap R S) ↑c * (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) ↑c * (algebraMap R S) y

⊢ (algebraMap R S) x = (algebraMap R S) y
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
A : PointedGaloisObject F
σ : Aut A.obj
this : ∀ (i : PointedGaloisObject F), Finite ((autGaloisSystem F ⋙ forget Grp).obj i)

⊢ ∃ a, (π F A) a = σ
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
k : κ
x : β (h k)
i : κ

⊢ (comapDomain h hh (single (h k) x)) i = (single k x) i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
k : κ
x : β (h k)
i : κ

⊢ (single (h k) x) (h i) = (single k x) i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
i : κ
x : β (h i)

⊢ (single (h i) x) (h i) = (single i x) i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
hh : Function.Injective h
k : κ
x : β (h k)
i : κ
hik : i ≠ k

⊢ (single (h k) x) (h i) = (single k x) i
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁷ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁶ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝⁵ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝³ : S₁.HasRightHomology
inst✝² : S₂.HasRightHomology
inst✝¹ : F.PreservesRightHomologyOf S₁
inst✝ : F.PreservesRightHomologyOf S₂

⊢ rightHomologyMap' (F.mapShortComplex.map φ) (F.mapShortComplex.obj S₁).rightHomologyData (F.mapShortComplex.obj S₂).rightHomologyData ≫ rightHomologyMap' (𝟙 (S₂.map F)) (S₂.map F).rightHomologyData (S₂.rightHomologyData.map F) = rightHomologyMap' (𝟙 (S₁.map F)) (S₁.map F).rightHomologyData (S₁.rightHomologyData.map F) ≫ F.map (rightHomologyMap' φ S₁.rightHomologyData S₂.rightHomologyData)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
f : ι → ℝ≥0∞
g : ι' → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), f i + g j ≤ a

⊢ iSup f + iSup g ≤ a
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
f : ι → ℝ≥0∞
g : ι' → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), f i + g j ≤ a

⊢ ⨆ b, ⨆ b_1, f b + g b_1 ≤ a
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b

⊢ ContinuousWithinAt f (Icc a b) b ↔ ContinuousWithinAt f (Iic b) b
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Isometry.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
M₄ : Type u_7
N : Type u_8
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticMap R M₁ N
Q₂ : QuadraticMap R M₂ N
Q₃ : QuadraticMap R M₃ N
Q₄ : QuadraticMap R M₄ N
g : Q₂ →qᵢ Q₃
f : Q₁ →qᵢ Q₂
x : M₁

⊢ Q₃ ({ toFun := fun x => g (f x), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x) = Q₁ x
-- Mathlib/Control/Traversable/Lemmas.lean
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x✝ : t β
η : ApplicativeTransformation F G
x : t (F α)

⊢ (fun {α} => η.app α) (sequence x) = sequence ((fun {α} => η.app α) <$> x)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}
o : Ordinal.{max u_1 u}

⊢ derivFamily f o < derivFamily f (succ o)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}
o : Ordinal.{max u_1 u}

⊢ succ (derivFamily f o) ≤ nfpFamily f (succ (derivFamily f o))
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f✝ : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
f : ι → Ordinal.{max u u_1} → Ordinal.{max u u_1}
o : Ordinal.{max u_1 u}
l : o.IsLimit
a : Ordinal.{max u_1 u}

⊢ derivFamily f o ≤ a ↔ ∀ b < o, derivFamily f b ≤ a
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q : ℝ≥0
p : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ ENNReal.ofReal p < ↑n ↔ p < ↑n
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜

⊢ Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
x✝ : ℕ

⊢ (↑x✝)⁻¹ = (⇑(algebraMap ℝ 𝕜) ∘ fun n => (↑n)⁻¹) x✝
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
hxy : ‖x + y‖ ^ 2 ≠ 0

⊢ angle x (x + y) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
hxy : ‖x + y‖ ^ 2 ≠ 0

⊢ Real.arcsin √((‖x + y‖ ^ 2 - ‖x‖ ^ 2) / ‖x + y‖ ^ 2) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
hxy : ‖x + y‖ ^ 2 ≠ 0

⊢ Real.arcsin √((‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x‖ ^ 2) / ‖x + y‖ ^ 2) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
p : Finset α

⊢ p ∈ filter (fun p => ¬p.card = s.card / P.parts.card + 1) P.parts ↔ p ∈ filter (fun p => p.card = s.card / P.parts.card) P.parts
-- Mathlib/Order/Partition/Equipartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
P : Finpartition s
hP : P.IsEquipartition
p : Finset α

⊢ p ∈ P.parts → (¬p.card = s.card / P.parts.card + 1 ↔ p.card = s.card / P.parts.card)
-- Mathlib/Combinatorics/Configuration.lean
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
p : P

⊢ lineCount L p = order P L + 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype pᶜ
k : Subtype p

⊢ biproduct.ι (Subtype.restrict p f) k ≫ (biproduct.fromSubtype f p ≫ biproduct.toSubtype f pᶜ) ≫ biproduct.π (Subtype.restrict pᶜ f) j = biproduct.ι (Subtype.restrict p f) k ≫ 0 ≫ biproduct.π (Subtype.restrict pᶜ f) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype pᶜ
k : Subtype p

⊢ (if h : (p ↑k)ᶜ then biproduct.ι (Subtype.restrict pᶜ f) ⟨↑k, ⋯⟩ else 0) ≫ biproduct.π (Subtype.restrict pᶜ f) j = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype pᶜ
k : Subtype p

⊢ 0 ≫ biproduct.π (Subtype.restrict pᶜ f) j = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype pᶜ
k : Subtype p

⊢ ¬(p ↑k)ᶜ
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
W : C
g' : ⨁ f ⟶ W
w : biproduct.fromSubtype f p ≫ g' = 0
j : K

⊢ biproduct.ι f j ≫ biproduct.toSubtype f pᶜ ≫ (fun {W} g x => biproduct.fromSubtype f pᶜ ≫ g) g' w = biproduct.ι f j ≫ g'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
W : C
g' : ⨁ f ⟶ W
w : biproduct.fromSubtype f p ≫ g' = 0
j : K

⊢ (if (p j)ᶜ then 𝟙 (f j) else 0) ≫ biproduct.ι f j ≫ g' = biproduct.ι f j ≫ g'
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F
hf : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f s
hg : ContDiffOn 𝕜 (↑n) g s

⊢ iteratedDerivWithin n (f - g) s x = iteratedDerivWithin n f s x - iteratedDerivWithin n g s x
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a \ b = b \ a ↔ a = b
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f g : ι → N
s t : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, 1 ≤ f i

⊢ 1 ≤ ∏ i ∈ s, 1
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
m₁ : α → γ
m₂ : β → δ

⊢ ∀ (x : γ × δ), x ∈ (m₁ '' s) ×ˢ (m₂ '' t) ↔ x ∈ (fun p => (m₁ p.1, m₂ p.2)) '' s ×ˢ t
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module S M₃
σ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f✝ g✝ : M →ₛₗ[σ] M₃
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
x : R

⊢ f x = g x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ

⊢ setToSimpleFunc T (c • f) = ∑ x ∈ f.range, (T (↑f ⁻¹' {x})) (c • x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ

⊢ c • 0 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
b : E
x✝ : b ∈ f.range

⊢ (T (↑f ⁻¹' {b})) (c • b) = c • (T (↑f ⁻¹' {b})) b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
c : ℝ
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ

⊢ ∑ x ∈ f.range, c • (T (↑f ⁻¹' {x})) x = c • setToSimpleFunc T f
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n m : ℕ
h : n ≤ m

⊢ clog b n ≤ clog b m
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n m : ℕ
h : n ≤ m
hb : b ≤ 1

⊢ clog b n ≤ clog b m
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n m : ℕ
h : n ≤ m
hb : 1 < b

⊢ clog b n ≤ clog b m
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ L : List α
i : ℕ
h : i < L.attach.length

⊢ ↑L.attach[i] = (map Subtype.val L.attach)[i]
-- Mathlib/SetTheory/Game/Ordinal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
h : a < b

⊢ a.toPGame ⧏ b.toPGame
-- Mathlib/SetTheory/Game/Ordinal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
h : a < b

⊢ a.toPGame = b.toPGame.moveLeft (toLeftMovesToPGame ⟨a, h⟩)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
χ₁ χ₂ : L → R
h : χ₁ ≠ χ₂

⊢ Disjoint (weightSpace M χ₁) (weightSpace M χ₂)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
χ₁ χ₂ : L → R
h : χ₁ ≠ χ₂
x : L
hx : χ₁ x ≠ χ₂ x

⊢ Disjoint (weightSpace M χ₁) (weightSpace M χ₂)
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℂ
s : ℂ
hf : MellinConvergent f s
a : ℂ

⊢ MellinConvergent (fun t => f t / a) s
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t

⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ closure u ⊆ t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
this : Disjoint s tᶜ

⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ closure u ⊆ t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
this : Disjoint s tᶜ
s' t' : Set X
hs' : IsOpen s'
ht' : IsOpen t'
hss' : s ⊆ s'
htt' : tᶜ ⊆ t'
hs't' : Disjoint s' t'

⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ s ⊆ u ∧ closure u ⊆ t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
s t : Set X
hs : IsClosed s
ht : IsOpen t
hst : s ⊆ t
this : Disjoint s tᶜ
s' t' : Set X
hs' : IsOpen s'
ht' : IsOpen t'
hss' : s ⊆ s'
htt' : tᶜ ⊆ t'
hs't' : Disjoint s' t'

⊢ s' ⊆ t'ᶜ
-- Mathlib/Algebra/Homology/Functor.lean
V : Type u
inst✝² : Category.{v, u} V
inst✝¹ : HasZeroMorphisms V
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
T : Type u_2
inst✝ : Category.{?u.78, u_2} T
C : HomologicalComplex (T ⥤ V) c
t : T
i j k : ι
x✝¹ : c.Rel i j
x✝ : c.Rel j k

⊢ (fun i j => (C.d i j).app t) i j ≫ (fun i j => (C.d i j).app t) j k = 0