ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C

⊢ HasExt C
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasDerivedCategory C

⊢ ∀ (X Y : C) (n : ℤ), Small.{w, w} ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).obj X ⟶ (shiftFunctor (DerivedCategory C) n).obj ((DerivedCategory.singleFunctor C 0).obj Y))
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
a : α
s : List α
p : α → Bool
a✝ : α

⊢ a✝ ∈ (filter p s).toFinset ↔ a✝ ∈ Finset.filter (fun x => p x = true) s.toFinset
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Continuous f
c : Set α
c_count : c.Countable
hc : s ⊆ closure c

⊢ IsSeparable (f '' s)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Continuous f
c : Set α
c_count : c.Countable
hc : s ⊆ closure c

⊢ f '' s ⊆ closure (f '' c)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
f : α → β
hf : Continuous f
c : Set α
c_count : c.Countable
hc : s ⊆ closure c

⊢ s ⊆ f ⁻¹' closure (f '' c)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R

⊢ (X ^ n + C a).degree = ↑n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 0 < n
a : R
this : (C a).degree < (X ^ n).degree

⊢ (X ^ n + C a).degree = ↑n
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k✝ : Type u
inst✝⁵ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
hk : IsAlgClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsIntegral k K
x : K

⊢ (algebraMap k K) (-(minpoly k x).coeff 0) = x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k✝ : Type u
inst✝⁵ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
hk : IsAlgClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsIntegral k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1

⊢ (algebraMap k K) (-(minpoly k x).coeff 0) = x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k✝ : Type u
inst✝⁵ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
hk : IsAlgClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsIntegral k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1
h : (minpoly k x).degree = 1

⊢ (algebraMap k K) (-(minpoly k x).coeff 0) = x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k✝ : Type u
inst✝⁵ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
hk : IsAlgClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsIntegral k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1
h : (minpoly k x).degree = 1
this : (aeval x) (minpoly k x) = 0

⊢ (algebraMap k K) (-(minpoly k x).coeff 0) = x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k✝ : Type u
inst✝⁵ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
hk : IsAlgClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : Algebra.IsIntegral k K
x : K
hq : (minpoly k x).leadingCoeff = 1
h : (minpoly k x).degree = 1
this : x = -(algebraMap k K) ((minpoly k x).coeff 0)

⊢ (algebraMap k K) (-(minpoly k x).coeff 0) = x
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x : PartENat
n : ℕ

⊢ x < ↑n ↔ ∃ (h : x.Dom), x.get h < n
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : H = ⊤

⊢ Nat.card ↥H = Nat.card G
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
U : Set 𝕜
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hg : AnalyticOn 𝕜 g U
hU : IsPreconnected U
h₀ : z₀ ∈ U
hfg : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = g z

⊢ EqOn f g U
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
U : Set 𝕜
hf : AnalyticOn 𝕜 f U
hg : AnalyticOn 𝕜 g U
hU : IsPreconnected U
h₀ : z₀ ∈ U
hfg : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = g z
hfg' : ∃ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, (f - g) z = 0

⊢ EqOn f g U
-- Mathlib/Data/Int/Interval.lean
a b : ℤ
h : a ≤ b

⊢ ↑(Fintype.card ↑(Set.Ico a b)) = b - a
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ

⊢ n + 1 ≤ (n + 1) * (n + 1)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ

⊢ (N₁Γ₀.app K).hom = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).hom
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/GammaCompN.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
K : ChainComplex C ℕ

⊢ ((Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.symm ≪≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).mapIso (Γ₀NondegComplexIso K)).hom = (Γ₀.splitting K).toKaroubiNondegComplexIsoN₁.inv ≫ (toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).map (Γ₀NondegComplexIso K).hom
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
hg : G ≠ ⊥

⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
hg : ∃ a, a ≠ 1

⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
a : ↥G
ha : a ≠ 1
a_mul_emb : ↥G ↪ ↥G := mulLeftEmbedding a
h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ

⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
a : ↥G
ha : a ≠ 1
a_mul_emb : ↥G ↪ ↥G := mulLeftEmbedding a
h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ
h_sum_map : ∑ x ∈ map a_mul_emb univ, ↑↑x = ∑ x : ↥G, ↑↑(a_mul_emb x)

⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
a : ↥G
ha : a ≠ 1
a_mul_emb : ↥G ↪ ↥G := mulLeftEmbedding a
h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ
h_sum_map : ∑ x : ↥G, ↑↑x = ↑↑a * ∑ x : ↥G, ↑↑x

⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
a : ↥G
ha : a ≠ 1
a_mul_emb : ↥G ↪ ↥G := mulLeftEmbedding a
h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ
h_sum_map : ∑ x : ↥G, ↑↑x = ↑↑a * ∑ x : ↥G, ↑↑x
hzero : ↑↑a - 1 = 0 ∨ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0

⊢ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
a : ↥G
ha : a ≠ 1
a_mul_emb : ↥G ↪ ↥G := mulLeftEmbedding a
h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ
h_sum_map : ∑ x : ↥G, ↑↑x = ↑↑a * ∑ x : ↥G, ↑↑x
hzero : ↑↑a - 1 = 0 ∨ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0

⊢ ¬↑↑a - 1 = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
a : ↥G
a_mul_emb : ↥G ↪ ↥G := mulLeftEmbedding a
h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ
h_sum_map : ∑ x : ↥G, ↑↑x = ↑↑a * ∑ x : ↥G, ↑↑x
hzero : ↑↑a - 1 = 0 ∨ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0
ha : ↑↑a - 1 = 0

⊢ a = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Ring K
inst✝¹ : NoZeroDivisors K
G : Subgroup Kˣ
inst✝ : Fintype ↥G
a : ↥G
a_mul_emb : ↥G ↪ ↥G := mulLeftEmbedding a
h_unchanged : map a_mul_emb univ = univ
h_sum_map : ∑ x : ↥G, ↑↑x = ↑↑a * ∑ x : ↥G, ↑↑x
hzero : ↑↑a - 1 = 0 ∨ ∑ x : ↥G, ↑↑x = 0
ha : ↑↑a - 1 = 0

⊢ ↑↑a = ↑↑1
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : AEStronglyMeasurable X ℙ
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0

⊢ ℙ {ω | ↑c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} ≤ evariance X ℙ / ↑c ^ 2
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : AEStronglyMeasurable X ℙ
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
A : ↑c ≠ 0

⊢ ℙ {ω | ↑c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} ≤ evariance X ℙ / ↑c ^ 2
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : AEStronglyMeasurable X ℙ
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
A : ↑c ≠ 0
B : AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (a : Ω), X a) ℙ

⊢ ℙ {ω | ↑c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} ≤ evariance X ℙ / ↑c ^ 2
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : AEStronglyMeasurable X ℙ
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
A : ↑c ≠ 0
B : AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (a : Ω), X a) ℙ

⊢ ℙ {ω | ↑c ≤ |X ω - ∫ (a : Ω), X a|} = ℙ {x | ↑c ≤ ↑‖(X - fun x => ∫ (a : Ω), X a) x‖₊}
-- Mathlib/Probability/Variance.lean
Ω : Type u_1
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
μ : Measure Ω
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : AEStronglyMeasurable X ℙ
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
A : ↑c ≠ 0
B : AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (a : Ω), X a) ℙ

⊢ evariance X ℙ / ↑c ^ 2 = (↑c)⁻¹ ^ ENNReal.toReal 2 * eLpNorm (X - fun x => ∫ (a : Ω), X a) 2 ℙ ^ ENNReal.toReal 2
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ

⊢ n.sqrt * n.sqrt + n.sqrt ≤ n.sqrt.succ.succ.mul (n.sqrt + 1)
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s✝ : Set X
f✝ g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
f : X → Y → α
hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d
x : X
y : Y
s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)
l : Filter α

⊢ Tendsto (uncurry (lift₂ f hf)) (𝓝[s] (mk x, mk y)) l ↔ Tendsto (uncurry f) (𝓝[Prod.map mk mk ⁻¹' s] (x, y)) l
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y✝ z : X
s✝ : Set X
f✝ g : X → Y
t : Set (SeparationQuotient X)
f : X → Y → α
hf : ∀ (a : X) (b : Y) (c : X) (d : Y), (a ~ᵢ c) → (b ~ᵢ d) → f a b = f c d
x : X
y : Y
s : Set (SeparationQuotient X × SeparationQuotient Y)
l : Filter α

⊢ Tendsto (uncurry (lift₂ f hf)) (Filter.map (Prod.map mk mk) (𝓝 (x, y) ⊓ 𝓟 (Prod.map mk mk ⁻¹' s))) l ↔ Tendsto (uncurry f) (𝓝[Prod.map mk mk ⁻¹' s] (x, y)) l
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s

⊢ 0 < Gamma s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s

⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
this : (Function.support fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ∩ Ioi 0 = Ioi 0

⊢ 0 < ∫ (x : ℝ) in Ioi 0, rexp (-x) * x ^ (s - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
this : (Function.support fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ∩ Ioi 0 = Ioi 0

⊢ 0 < volume ((Function.support fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ∩ Ioi 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
this : (Function.support fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ∩ Ioi 0 = Ioi 0

⊢ 0 ≤ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℝ
hs : 0 < s
this : (Function.support fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) ∩ Ioi 0 = Ioi 0

⊢ IntegrableOn (fun x => rexp (-x) * x ^ (s - 1)) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x✝ : E × F
e : E
f : F

⊢ ‖(fst 𝕜 E F) (e, f)‖ ≤ 1 * ‖(e, f)‖
-- Mathlib/SetTheory/Game/Domineering.lean
b : Board
m : ℤ × ℤ
h : m ∈ left b

⊢ Finset.card (moveLeft b m) / 2 < Finset.card b / 2
-- Mathlib/GroupTheory/CommutingProbability.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Finite M
G : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
H : Subgroup G
n : ℕ
h1 : n ≠ 1
h2 : Odd n
h0 : n ≠ 0

⊢ reciprocalFactors n = n % 4 * n :: reciprocalFactors (n / 4 + 1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))

⊢ ∃ S y, x = mk y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))
S : (J.Cover X)ᵒᵖ
y : (forget D).obj ((J.diagram P X).obj S)
h : (colimit.ι (J.diagram P X) S) y = x

⊢ ∃ S y, x = mk y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁴ : ConcreteCategory D
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x : (forget D).obj ((J.plusObj P).obj (op X))
S : (J.Cover X)ᵒᵖ
y : (forget D).obj ((J.diagram P X).obj S)
h : (colimit.ι (J.diagram P X) S) y = x

⊢ x = mk ((Meq.equiv P (unop S)) y)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α

⊢ count a [b] = if a = b then 1 else 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J✝ K L : Ideal R
s : Finset ι
J : ι → Ideal R
h : ∀ i ∈ s, I ⊔ J i = ⊤

⊢ (fun J => I ⊔ J = ⊤) 1
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ

⊢ x ∈ π.iUnion ↔ ∃ J ∈ π, x ∈ J
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
x✝ : Box ι

⊢ x✝ ∈ π ∧ x ∈ x✝ ↔ ∃ (_ : x✝ ∈ π), x ∈ ↑x✝
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Monoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

⊢ (fun x => a + x) '' Ioo b c = Ioo (a + b) (a + c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : NeZero μ
t : Set β
h : NullMeasurableSet (Prod.snd ⁻¹' t) (μ.prod ν)

⊢ NullMeasurableSet (?m.120828 ×ˢ t) (?m.120825.prod ν)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
this : NumberField K

⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
s : ℕ
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
this : NumberField K

⊢ (Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger ^ ↑p ^ s - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) (↑↑p ^ ↑p ^ s)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Yoneda.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ TopCat
Y : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace Y
α : Type
X : α → TopCat

⊢ (piComparison (yonedaPresheaf' Y) fun x => op (X x)) = (yonedaPresheaf' Y).map ((opCoproductIsoProduct X).inv ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma X).inv.op) ≫ (equivEquivIso (sigmaEquiv Y fun x => ↑(X x))).inv ≫ (Types.productIso fun i => C(↑(X i), Y)).inv
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Yoneda.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ TopCat
Y : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace Y
α : Type
X : α → TopCat

⊢ (piComparison (yonedaPresheaf' Y) fun x => op (X x)) ≫ (Types.productIso fun i => C(↑(X i), Y)).hom = (yonedaPresheaf' Y).map ((opCoproductIsoProduct X).inv ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma X).inv.op) ≫ (equivEquivIso (sigmaEquiv Y fun x => ↑(X x))).inv
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Yoneda.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ TopCat
Y : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace Y
α : Type
X : α → TopCat
a✝¹ : (yonedaPresheaf' Y).obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
x✝ : α
a✝ : ↑(X x✝)

⊢ (((piComparison (yonedaPresheaf' Y) fun x => op (X x)) ≫ (Types.productIso fun i => C(↑(X i), Y)).hom) a✝¹ x✝) a✝ = (((yonedaPresheaf' Y).map ((opCoproductIsoProduct X).inv ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma X).inv.op) ≫ (equivEquivIso (sigmaEquiv Y fun x => ↑(X x))).inv) a✝¹ x✝) a✝
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Yoneda.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ TopCat
Y : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace Y
α : Type
X : α → TopCat
a✝¹ : (yonedaPresheaf' Y).obj (∏ᶜ fun x => op (X x))
x✝ : α
a✝ : ↑(X x✝)

⊢ a✝¹ ((Sigma.ι X x✝ ≫ (opCoproductIsoProduct X).inv.unop) a✝) = a✝¹ (((TopCat.sigmaIsoSigma X).inv ≫ (opCoproductIsoProduct X).inv.unop) ⟨x✝, a✝⟩)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Opposites.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
toFinsupp✝ : AddMonoidAlgebra R ℕ

⊢ ((opRingEquiv R) (op { toFinsupp := toFinsupp✝ })).support = (unop (op { toFinsupp := toFinsupp✝ })).support
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
y : M

⊢ polar (⇑Q) 0 y = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X : Scheme
inst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : IsNilpotent s

⊢ s = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X : Scheme
inst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : IsNilpotent s

⊢ ∀ (x : ↥U), (X.sheaf.presheaf.germ x) s = (X.sheaf.presheaf.germ x) 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X : Scheme
inst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : IsNilpotent s
x : ↥U

⊢ (X.sheaf.presheaf.germ x) s = (X.sheaf.presheaf.germ x) 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X : Scheme
inst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : IsNilpotent s
x : ↥U

⊢ (X.sheaf.presheaf.germ x) s = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Properties.lean
X : Scheme
inst✝ : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), _root_.IsReduced ↑(X.presheaf.stalk x)
U : X.Opens
s : ↑Γ(X, U)
hs : IsNilpotent s
x : ↥U

⊢ (X.presheaf.germ x) s = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ f = default
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ 0 = default
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
Y : C
f : Y ⟶ X

⊢ f = default
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
h : 𝟙 X = 0
Y : C
f : Y ⟶ X

⊢ 0 = default
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
p : ι → Prop
q : ι' → Prop
hp : ∃ i, p i
hq : ∃ j, q j
f : ι → ℝ≥0∞
g : ι' → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), p i → ∀ (j : ι'), q j → f i + g j ≤ a

⊢ (⨆ i, ⨆ (_ : p i), f i) + ⨆ j, ⨆ (_ : q j), g j ≤ a
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
p : ι → Prop
q : ι' → Prop
hp : ∃ i, p i
hq : ∃ j, q j
f : ι → ℝ≥0∞
g : ι' → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : ∀ (i : ι), p i → ∀ (j : ι'), q j → f i + g j ≤ a

⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : p i), ⨆ i_1, ⨆ (_ : q i_1), f i + g i_1 ≤ a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set α

⊢ LinearMap.range (Finsupp.totalOn α M R v s) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R P
α' : Type u_7
M' : Type u_8
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
v : α → M
v' : α' → M'
s : Set α

⊢ span R (v '' s) ≤ map (Finsupp.total α M R v) (supported R R s)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p✝ q✝ : ℝ≥0
p q : ℝ
hp : 0 ≤ p

⊢ ENNReal.ofReal p < ENNReal.ofReal q ↔ p < q
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : Simple Y
i : X ≅ Y
Y✝ : C
f : Y✝ ⟶ X
m : Mono f

⊢ IsIso f ↔ f ≠ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
inst✝ : Simple Y
i : X ≅ Y
Y✝ : C
f : Y✝ ⟶ X
m : Mono f
this : Mono (f ≫ i.hom)

⊢ IsIso f ↔ f ≠ 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}

⊢ o.card = 0 ↔ o = 0
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : CommRing B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : CommRing C
inst✝³ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι'
b : Basis ι A B
f : ι ≃ ι'

⊢ discr A (⇑b ∘ ⇑f.symm) = discr A ⇑b
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n a : ℕ
h : a < n

⊢ (↑a).val = a
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : NeZero 1
n : ℕ

⊢ 0 < ↑n ↔ 0 < n