ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CompatiblePlus.lean
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w₁
inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D
E : Type w₂
inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E
F : D ⥤ E
inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : Cᵒᵖ
W : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
a : ((unop W).index (Q ⋙ F)).L

⊢ F.map (Multiequalizer.lift ((unop W).index Q) (multiequalizer ((unop W).index P)) (fun i => Multiequalizer.ι ((unop W).index P) i ≫ η.app (op i.Y)) ⋯) ≫ F.map (Multiequalizer.ι ((unop W).index Q) a) = F.map (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) a) ≫ F.map (η.app (op a.Y))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S

⊢ ((optionEquivLeft R (n × n)).symm (univ R n)).IsHomogeneous (Fintype.card n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1

⊢ ((optionEquivLeft R (n × n)).symm (univ R n)).IsHomogeneous (Fintype.card n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1

⊢ (∑ x : Equiv.Perm n, ↑↑(Equiv.Perm.sign x) * ∏ x_1 : n, ((Polynomial.aevalTower (rename some) (X none)) (if x x_1 = x_1 then Polynomial.X else 0) - X (some (x x_1, x_1)))).IsHomogeneous (0 + ∑ i : n, 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1

⊢ ∀ i ∈ Finset.univ, (↑↑(Equiv.Perm.sign i) * ∏ x : n, ((Polynomial.aevalTower (rename some) (X none)) (if i x = x then Polynomial.X else 0) - X (some (i x, x)))).IsHomogeneous (0 + ∑ i : n, 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1
i : Equiv.Perm n

⊢ (↑↑(Equiv.Perm.sign i) * ∏ x : n, ((Polynomial.aevalTower (rename some) (X none)) (if i x = x then Polynomial.X else 0) - X (some (i x, x)))).IsHomogeneous (0 + ∑ i : n, 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1
i : Equiv.Perm n

⊢ (↑↑(Equiv.Perm.sign i)).IsHomogeneous 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
aux : Fintype.card n = 0 + ∑ i : n, 1
i : Equiv.Perm n

⊢ (∏ x : n, ((Polynomial.aevalTower (rename some) (X none)) (if i x = x then Polynomial.X else 0) - X (some (i x, x)))).IsHomogeneous (∑ i : n, 1)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.803, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ
Δ₁ : SimplexCategoryᵒᵖ
α₁ : unop Δ ⟶ unop Δ₁
hα₁ : Epi α₁
α₂ : unop Δ ⟶ unop Δ₁
hα₂ : Epi α₂
h₂ : e ⟨Δ₁, ⟨α₁, hα₁⟩⟩ ≫ eqToHom ⋯ = e ⟨Δ₁, ⟨α₂, hα₂⟩⟩

⊢ ⟨Δ₁, ⟨α₁, hα₁⟩⟩ = ⟨Δ₁, ⟨α₂, hα₂⟩⟩
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.803, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ
Δ₁ : SimplexCategoryᵒᵖ
α₁ : unop Δ ⟶ unop Δ₁
hα₁ : Epi α₁
α₂ : unop Δ ⟶ unop Δ₁
hα₂ : Epi α₂
h₂ : α₁ = α₂

⊢ ⟨Δ₁, ⟨α₁, hα₁⟩⟩ = ⟨Δ₁, ⟨α₂, hα₂⟩⟩
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R B
inst✝ : Algebra R S
f : A →ₐ[R] S
g : B →ₐ[R] S

⊢ (productMap f g).range = f.range ⊔ g.range
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M

⊢ (derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ∘ₗ Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S) = (kerTotal R S).mkQ
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M

⊢ ∀ (a b : S), ((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ∘ₗ Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) (single a b) = b𝖣a
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
a b : S

⊢ ((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ∘ₗ Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) (single a b) = b𝖣a
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
a b : S

⊢ ((derivationQuotKerTotal R S).liftKaehlerDifferential ∘ₗ Finsupp.total S (Ω[S⁄R]) S ⇑(D R S)) (single a b) = b • 1𝖣a
-- Mathlib/Order/Disjointed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
hf : Monotone f
n : ℕ

⊢ disjointed f (n + 1) = f (n + 1) \ f n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
m k : ℤ

⊢ 2 * T R m * T R k = T R (m + k) + T R (m - k)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype (Sym2 V)
inst✝ : DecidableEq V
v : V

⊢ (filter (fun d => d.toProd.1 = v) univ).card = G.degree v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hg : HasFDerivAtFilter g g' x L
x✝ : E

⊢ f x✝ - f x - f' (x✝ - x) + (g x✝ - g x - g' (x✝ - x)) = f x✝ + g x✝ - (f x + g x) - (f' + g') (x✝ - x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasFDerivAtFilter f f' x L
hg : HasFDerivAtFilter g g' x L
x✝ : E

⊢ f x✝ - f x - (f' x✝ - f' x) + (g x✝ - g x - (g' x✝ - g' x)) = f x✝ + g x✝ - (f x + g x) - (f' x✝ + g' x✝ - (f' x + g' x))
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Monoid α
inst✝⁴ : Monoid β
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
F : Type u_3
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : MulEquivClass F α β
f : F
a b : α
n : ℕ

⊢ f a ^ n ∣ f b ↔ a ^ n ∣ b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : Monoid α
inst✝⁴ : Monoid β
inst✝³ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝² : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
F : Type u_3
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : MulEquivClass F α β
f : F
a b : α
n : ℕ

⊢ f (a ^ n) ∣ f b ↔ a ^ n ∣ b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Maps.lean
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v : V
x✝² : SimpleGraph V
x✝¹ x✝ : V

⊢ ((Equiv.refl V).simpleGraph x✝²).Adj x✝¹ x✝ ↔ ((Equiv.refl (SimpleGraph V)) x✝²).Adj x✝¹ x✝
-- Mathlib/Algebra/FreeMonoid/Count.lean
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x : α

⊢ (countP p) (of x) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else Multiplicative.ofAdd 0
-- Mathlib/Algebra/FreeMonoid/Count.lean
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x : α

⊢ (if p x = (true = true) then 1 else 0) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else Multiplicative.ofAdd 0
-- Mathlib/Algebra/FreeMonoid/Count.lean
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x : α

⊢ (if p x then 1 else 0) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else 1
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β

⊢ (x, y) ∈ s₁ ×ˢ t₁ ∩ s₂ ×ˢ t₂ ↔ (x, y) ∈ (s₁ ∩ s₂) ×ˢ (t₁ ∩ t₂)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0

⊢ (x ^ (↑n)⁻¹) ^ n = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0

⊢ (x ^ (↑n)⁻¹) ^ n = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Defs.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst✝ : CharZero R
h : P.root i = 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : Field K
a b c : K
hc : c ≠ 0

⊢ b - a / c = (b * c - a) / c
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : ⇑f '' ↑I = ↑J

⊢ map f I = J
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : ⇑f '' ↑I = ↑J

⊢ map f I ≤ J
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : ⇑f '' ↑I = ↑J

⊢ J ≤ map f I
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α

⊢ ￢a \ b = ￢b \ a
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
s : Set M
x : M

⊢ UniqueMDiffWithinAt I s x ↔ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ (extChartAt I x).target) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
s : Set M
x : M

⊢ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x = 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ (extChartAt I x).target] ↑(extChartAt I x) x
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
α : Type u_1
inst✝ : GroupWithZero α
a b : α
m n : ℕ
hab : Commute a b
hmn : m.Coprime n

⊢ a ^ m = b ^ n ↔ ∃ c, a = c ^ n ∧ b = c ^ m
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
α : Type u_1
inst✝ : GroupWithZero α
a b : α
m n : ℕ
hab : Commute a b
hmn : m.Coprime n
h : a ^ m = b ^ n

⊢ ∃ c, a = c ^ n ∧ b = c ^ m
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : Integrable f μ
hN : μ N = 0

⊢ ∃ x ∉ N, ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
-- Mathlib/Data/Nat/Set.lean

⊢ range succ = {i | 0 < i}
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplexBiprod.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (i : ι), HasBinaryBiproduct (K.X i) (L.X i)
i : ι

⊢ biprod.inr.f i ≫ biprod.fst.f i = 0
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x y : E
r✝ : ℝ
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
H : s.Nonempty
e : E
r : ℝ

⊢ (s.sup' H p).ball e r = s.inf' H fun i => (p i).ball e r
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
a : α
k : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField k
x : k
hx : 0 < x

⊢ (fun y => x * y) '' Ioi 0 = Ioi 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u_1
s : Set α

⊢ s.Countable ↔ #↑s < aleph 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl L
h : K ⊆ L
h' : M ⊆ K

⊢ ConnectedComponent.map (induceHom Hom.id ⋯) C = ConnectedComponent.map (induceHom Hom.id ⋯) (ConnectedComponent.map (induceHom Hom.id ⋯) C)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
C : G.ComponentCompl L
h : K ⊆ L
h' : M ⊆ K

⊢ ConnectedComponent.map (induceHom Hom.id ⋯) C = ConnectedComponent.map (induceHom (Hom.id.comp Hom.id) ⋯) C
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a✝ b c✝ d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
c : ℝ
a : ℝ≥0∞
h : 0 ≤ c

⊢ (ENNReal.ofReal c * a).toReal = c * a.toReal
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ cos x - sin x * I = cexp (-x * I)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : G ≃ₗᵢ[𝕜] E
f : E → F
x : G
i : ℕ

⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 i (f ∘ ⇑g) x‖ = ‖iteratedFDeriv 𝕜 i f (g x)‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
g : G ≃ₗᵢ[𝕜] E
f : E → F
x : G
i : ℕ

⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f ∘ ⇑g) univ x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f univ (g x)‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
ι : Type u_1
n : Basis ι R ↥N
H : LinearMap.ker (M.mulRightMap ⇑n) = ⊥
this : AddCommGroup (ι →₀ ↥M) := Finsupp.instAddCommGroup

⊢ M.LinearDisjoint N
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasImage f
w : image.ι f = 0

⊢ f = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
ι : Sort ?u.161801
inst✝² : _root_.Finite ι
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val

⊢ (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val)).FG
-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
ι : Sort ?u.161801
inst✝² : _root_.Finite ι
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π

⊢ (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val)).FG
-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
ι : Sort ?u.161801
inst✝² : _root_.Finite ι
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))

⊢ (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val)).FG
-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
ι : Sort ?u.161801
inst✝² : _root_.Finite ι
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
this : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance
f : ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) →ₗ[R] ↥(LinearMap.ker l) := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype = (LinearMap.ker l).subtype ∘ₗ f

⊢ (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val)).FG
-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
ι : Sort ?u.161801
inst✝² : _root_.Finite ι
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
this : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance
f : ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) →ₗ[R] ↥(LinearMap.ker l) := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype = (LinearMap.ker l).subtype ∘ₗ f
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ (LinearMap.ker (Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val)).FG
-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
ι : Sort ?u.161801
inst✝² : _root_.Finite ι
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
this : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance
f : ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) →ₗ[R] ↥(LinearMap.ker l) := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype = (LinearMap.ker l).subtype ∘ₗ f
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ (LinearMap.ker π).FG
-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
ι : Sort ?u.161801
inst✝² : _root_.Finite ι
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
this✝ : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance
f : ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) →ₗ[R] ↥(LinearMap.ker l) := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype = (LinearMap.ker l).subtype ∘ₗ f
hf : Function.Surjective ⇑f
this : LinearMap.ker π ≤ LinearMap.ker (l ∘ₗ π)

⊢ (LinearMap.ker π).FG
-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
ι : Sort ?u.161801
inst✝² : _root_.Finite ι
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.total { x // x ∈ s } M R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
this✝ : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance
f : ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) →ₗ[R] ↥(LinearMap.ker l) := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype = (LinearMap.ker l).subtype ∘ₗ f
hf : Function.Surjective ⇑f
this : LinearMap.ker π ≤ LinearMap.ker (l ∘ₗ π)

⊢ (Submodule.map (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype (LinearMap.ker f)).FG
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a n : ℕ
h : a.AtLeastTwo

⊢ (OfNat.ofNat a).coeff (n + 1) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a n : ℕ
h : a.AtLeastTwo

⊢ (↑a).coeff (n + 1) = 0