ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : Limits.IsInitial X
M : PresheafOfModules R
c₁ c₂ : Cᵒᵖ
f : c₁ ⟶ c₂
r : ↑(R.obj X)
m : ↑((ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c₁))).obj (M.obj c₁))

⊢ (R.map f) ((R.map (hX.to c₁)) r) • (M.presheaf.map f) m = r • (M.presheaf.map f) m
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : Limits.IsInitial X
M : PresheafOfModules R
c₁ c₂ : Cᵒᵖ
f : c₁ ⟶ c₂
r : ↑(R.obj X)
m : ↑((ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c₁))).obj (M.obj c₁))

⊢ (R.map (hX.to c₁ ≫ f)) r • (M.presheaf.map f) m = r • (M.presheaf.map f) m
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : Limits.IsInitial X
M : PresheafOfModules R
c₁ c₂ : Cᵒᵖ
f : c₁ ⟶ c₂
r : ↑(R.obj X)
m : ↑((ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c₁))).obj (M.obj c₁))

⊢ hX.to c₁ ≫ f = hX.to c₂
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : Limits.IsInitial X
M : PresheafOfModules R
c : Cᵒᵖ
x✝ : ↑({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.obj c)

⊢ ({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.map (𝟙 c)) x✝ = (𝟙 ({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.obj c)) x✝
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : Limits.IsInitial X
M : PresheafOfModules R
c : Cᵒᵖ
x✝ : ↑({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.obj c)

⊢ { toFun := fun x => (𝟙 (M.presheaf.obj c)) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x✝ = (𝟙 ((ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c))) x✝
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : Limits.IsInitial X
M : PresheafOfModules R
c₁ c₂ c₃ : Cᵒᵖ
f : c₁ ⟶ c₂
g : c₂ ⟶ c₃
x : ↑({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.obj c₁)

⊢ ({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.map (f ≫ g)) x = ({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.map f ≫ { obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.map g) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
X : Cᵒᵖ
hX : Limits.IsInitial X
M : PresheafOfModules R
c₁ c₂ c₃ : Cᵒᵖ
f : c₁ ⟶ c₂
g : c₂ ⟶ c₃
x : ↑({ obj := fun c => (ModuleCat.restrictScalars (R.map (hX.to c))).obj (M.obj c), map := fun {c₁ c₂} f => { toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } }.obj c₁)

⊢ { toFun := fun x => (M.presheaf.map f ≫ M.presheaf.map g) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x = ({ toFun := fun x => (M.presheaf.map f) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } ≫ { toFun := fun x => (M.presheaf.map g) x, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) x
-- Mathlib/Order/Filter/Extr.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝ : OrderedAddCommGroup β
f g : α → β
a : α
s : Set α
l : Filter α
hf : IsMaxFilter f l a
hg : IsMinFilter g l a

⊢ IsMaxFilter (fun x => f x - g x) l a
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
f g : ArithmeticFunction R
x✝ : ℕ

⊢ (f.pmul g) x✝ = (g.pmul f) x✝
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n✝ m n : ℕ
h : m ∈ n.properDivisors

⊢ 1 < n / m
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n✝ m n : ℕ
h : m ∈ n.properDivisors
h_dvd : m ∣ n
h_lt : m < n

⊢ 1 < n / m
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α

⊢ Eₘ[s, t] = 0 ↔ s = ∅ ∨ t = ∅
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℝ

⊢ logDeriv sin x✝ = x✝.cot
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
h : p * p.mirror = q * q.mirror

⊢ p.IsUnitTrinomial ↔ q.IsUnitTrinomial
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ExpDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 ℂ
n : ℕ

⊢ deriv^[n + 1] cexp = cexp
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
hs' : μ s ≠ 0

⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[m] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
hs' : μ s ≠ 0
N : ℕ
hN : μ univ < ↑N * μ s

⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[m] x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
μ : Measure α
f : α → α
s : Set α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : MeasurePreserving f μ μ
hs : NullMeasurableSet s μ
hs' : μ s ≠ 0
N : ℕ
hN : μ univ < ↑N * μ s
x : α
hx : x ∈ s
m : ℕ
hm : m ∈ Ioo 0 N
hmx : f^[m] x ∈ s

⊢ ∃ x ∈ s, ∃ m, m ≠ 0 ∧ f^[m] x ∈ s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsLocallyNoetherian Y
U : ↑X.affineOpens

⊢ IsNoetherianRing ↑Γ(X, ↑U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsLocallyNoetherian Y
U : ↑X.affineOpens
V : ↑Y.affineOpens := ⟨f ''ᵁ ↑U, ⋯⟩

⊢ IsNoetherianRing ↑Γ(X, ↑U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsLocallyNoetherian Y
U : ↑X.affineOpens
V : ↑Y.affineOpens := ⟨f ''ᵁ ↑U, ⋯⟩

⊢ Γ(X, ↑U) ≅ Γ(Y, ↑V)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : IsOpenImmersion f
inst✝ : IsLocallyNoetherian Y
U : ↑X.affineOpens
V : ↑Y.affineOpens := ⟨f ''ᵁ ↑U, ⋯⟩

⊢ Γ(X, f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ ↑U) ≅ Γ(Y, ↑V)
-- Mathlib/Algebra/CharP/Reduced.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Finite R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : CharP R 2
a : R

⊢ IsSquare a
-- Mathlib/Algebra/CharP/Reduced.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Finite R
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
inst✝ : CharP R 2
a : R
val✝ : Fintype R

⊢ IsSquare a
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/NaturalTransformation/Oplax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G : OplaxFunctor B C
η θ ι : F ⟶ G
app : (a : B) → η.app a ≅ θ.app a
naturality : ∀ {a b : B} (f : a ⟶ b), F.map f ◁ (app b).hom ≫ θ.naturality f = η.naturality f ≫ (app a).hom ▷ G.map f
a b : B
f : a ⟶ b

⊢ F.map f ◁ (fun a => (app a).inv) b ≫ η.naturality f = θ.naturality f ≫ (fun a => (app a).inv) a ▷ G.map f
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
M : Type w
inst✝ : L.Structure M
φ : L.Sentence

⊢ φ ∈ L.completeTheory M ∨ Formula.not φ ∈ L.completeTheory M
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
m n : ℕ
h : m ≤ n

⊢ I ^ n ≤ I ^ m
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
m n : ℕ
h : m ≤ n
k : ℕ
hk : n = m + k

⊢ I ^ n ≤ I ^ m
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
m n : ℕ
h : m ≤ n
k : ℕ
hk : n = m + k

⊢ I ^ m * I ^ k ≤ I ^ m
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

⊢ a ∈ liminf s 𝓕 ↔ ∀ᶠ (i : ι) in 𝓕, a ∈ s i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive

⊢ (p * q).IsPrimitive
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0

⊢ ↑(dual A K 1) = 1ᵛ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0

⊢ 1 ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
r : ℝ
z : K

⊢ re (r • z) = r * re z
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α →ₘ[μ] β

⊢ f.Integrable → g.Integrable → (f + g).Integrable
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f✝ g✝ : α →ₘ[μ] β
f : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
g : α → β
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hfi : (mk f hf).Integrable
hgi : (mk g hg).Integrable

⊢ (mk f hf + mk g hg).Integrable
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f✝ g✝ : α →ₘ[μ] β
f : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
g : α → β
hg : AEStronglyMeasurable g μ
hfi : MeasureTheory.Integrable f μ
hgi : MeasureTheory.Integrable g μ

⊢ MeasureTheory.Integrable (f + g) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Sub.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
h_le : μ.restrict s ≤ ν.restrict s
h_meas_s : MeasurableSet s

⊢ (μ - ν) s = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/FiniteLimits.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J✝ : Type v
inst✝ : HasFiniteColimits C
J : Type
x✝ : Finite J

⊢ HasColimitsOfShape (WidePushoutShape J) C
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/FiniteLimits.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J✝ : Type v
inst✝ : HasFiniteColimits C
J : Type
x✝ : Finite J
val✝ : Fintype J

⊢ HasColimitsOfShape (WidePushoutShape J) C
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ

⊢ p.ball 0 (‖k‖ * r) ⊆ k • p.ball 0 r
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ

⊢ p.ball 0 (‖0‖ * r) ⊆ 0 • p.ball 0 r
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
A B : Set E
a : 𝕜
r✝ : ℝ
x : E
p : Seminorm 𝕜 E
k : 𝕜
r : ℝ
hk : k ≠ 0

⊢ p.ball 0 (‖k‖ * r) ⊆ k • p.ball 0 r
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0

⊢ a ^ (p - 1) = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
ha : a ≠ 0
h : a ^ (Fintype.card (ZMod p) - 1) = 1

⊢ a ^ (p - 1) = 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
s : Set E

⊢ EMetric.diam (c • s) = ‖c‖₊ • EMetric.diam s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
s : Set E

⊢ ‖c‖₊ • EMetric.diam s ≤ EMetric.diam (c • s)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
s : Set E

⊢ ‖0‖₊ • EMetric.diam s ≤ EMetric.diam (0 • s)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
s : Set E
hc : c ≠ 0

⊢ ‖c‖₊ • EMetric.diam s ≤ EMetric.diam (c • s)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s

⊢ insert a s ⊆ insert a t ↔ s ⊆ t
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s

⊢ ↑(insert a s) ⊆ ↑(insert a t) ↔ ↑s ⊆ ↑t
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
hι : Nonempty ι
K : ι → Subgroup G
hK : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G

⊢ x ∈ iSup K ↔ ∃ i, x ∈ K i
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
hι : Nonempty ι
K : ι → Subgroup G
hK : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G

⊢ x ∈ iSup K → ∃ i, x ∈ K i
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
hι : Nonempty ι
K : ι → Subgroup G
hK : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G

⊢ x ∈ closure (⋃ i, ↑(K i)) → ∃ i, x ∈ K i
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
hι : Nonempty ι
K : ι → Subgroup G
hK : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(K i))

⊢ ∃ i, 1 ∈ K i
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
hι : Nonempty ι
K : ι → Subgroup G
hK : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(K i))

⊢ ∀ (x y : G), (∃ i, x ∈ K i) → (∃ i, y ∈ K i) → ∃ i, x * y ∈ K i
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
ι : Sort u_5
hι : Nonempty ι
K : ι → Subgroup G
hK : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(K i))

⊢ ∀ (x : G), (∃ i, x ∈ K i) → ∃ i, x⁻¹ ∈ K i
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hint : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤

⊢ ∃ x, ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ f x
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x : ℝ*
hx : x.Infinitesimal

⊢ (-x).Infinitesimal
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hpu : ¬IsUnit p

⊢ Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Finset.Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hpu : ¬IsUnit p
this : p * C p.leadingCoeff⁻¹ ≠ 1

⊢ Irreducible p ↔ ∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Finset.Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hpu : ¬IsUnit p
this : p * C p.leadingCoeff⁻¹ ≠ 1

⊢ (∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Finset.Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p * C p.leadingCoeff⁻¹) ↔ ∀ (q : R[X]), q.Monic → q.natDegree ∈ Finset.Ioc 0 (p.natDegree / 2) → ¬q ∣ p
-- Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Center.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
u : ↥(center G₀ˣ)
r : G₀

⊢ r * ↑↑u = ↑↑u * r
-- Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Center.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
u : ↥(center G₀ˣ)

⊢ 0 * ↑↑u = ↑↑u * 0
-- Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Center.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
u : ↥(center G₀ˣ)
r : G₀
hr : r ≠ 0

⊢ r * ↑↑u = ↑↑u * r
-- Mathlib/GroupTheory/PresentedGroup.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Group G
f : α → G
rels : Set (FreeGroup α)
h : ∀ r ∈ rels, (FreeGroup.lift f) r = 1
g : PresentedGroup rels →* G
hg : ∀ (x : α), g (PresentedGroup.of x) = f x
x : PresentedGroup rels

⊢ g x = (toGroup h) x
-- Mathlib/GroupTheory/PresentedGroup.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝ : Group G
f : α → G
rels : Set (FreeGroup α)
h : ∀ r ∈ rels, (FreeGroup.lift f) r = 1
g : PresentedGroup rels →* G
hg : ∀ (x : α), g (PresentedGroup.of x) = f x
x : PresentedGroup rels

⊢ ∀ (z : FreeGroup α), g ↑z = (toGroup h) ↑z
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : LocalizedModule S M
m : M
s : ↥S

⊢ mk m s + 0 = mk m s
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type v
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
T : Type u_1
inst✝² : CommSemiring T
inst✝¹ : Algebra R T
inst✝ : IsLocalization S T
x : LocalizedModule S M
m : M
s : ↥S

⊢ ∃ u, u • s • s • m = u • (s * s) • m
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)

⊢ ∃ A f a, IsGalois A ∧ F.map f a = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
A : C
a : ↑(F.obj A)
h1 : IsGalois A
h2 : Function.Bijective fun f => F.map f a

⊢ ∃ A f a, IsGalois A ∧ F.map f a = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Decomposition.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
x : ↑(F.obj X)
A : C
a : ↑(F.obj A)
h1 : IsGalois A
h2 : Function.Bijective fun f => F.map f a
f : A ⟶ X
hf : (fun f => F.map f a) f = x

⊢ ∃ A f a, IsGalois A ∧ F.map f a = x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
h : IsSFiniteKernel η

⊢ κ ⊗ₖ η = Kernel.sum fun n => κ.seq n ⊗ₖ η
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
h : IsSFiniteKernel η

⊢ (Kernel.sum fun n => Kernel.sum fun m => κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) = Kernel.sum fun n => κ.seq n ⊗ₖ η
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
h : IsSFiniteKernel η
n : ℕ
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s

⊢ ((Kernel.sum fun m => κ.seq n ⊗ₖ η.seq m) a) s = ((κ.seq n ⊗ₖ η) a) s
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Invariants.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
f g : α → α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ f ∘ g ⁻¹' s = s
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace X
s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
s_sub : s₁ ⊆ s₂
t_sub : t₁ ⊆ t₂
u : ℕ → Set X
u_cov : s₂ ⊆ ⋃ n, u n
u_props : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n) ∧ Disjoint (closure (u n)) t₂

⊢ HasSeparatingCover s₁ t₁
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Ineq.lean
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat db) ≤ num✝.mul (Int.ofNat da)) = true

⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da ≤ ↑num✝ * ⅟↑db
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Ineq.lean
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h✝ : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat db) ≤ num✝.mul (Int.ofNat da)) = true
h : ↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) ≤ ↑(num✝.mul (Int.ofNat da))

⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da ≤ ↑num✝ * ⅟↑db
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Ineq.lean
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h✝ : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat db) ≤ num✝.mul (Int.ofNat da)) = true
h : ↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) ≤ ↑(num✝.mul (Int.ofNat da))
ha : 0 ≤ ⅟↑da

⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da ≤ ↑num✝ * ⅟↑db
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Ineq.lean
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h✝ : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat db) ≤ num✝.mul (Int.ofNat da)) = true
h : ↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) ≤ ↑(num✝.mul (Int.ofNat da))
ha : 0 ≤ ⅟↑da
hb : 0 ≤ ⅟↑db

⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da ≤ ↑num✝ * ⅟↑db
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Ineq.lean
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
num✝¹ num✝ : ℤ
da db : ℕ
inv✝¹ : Invertible ↑da
inv✝ : Invertible ↑db
h✝¹ : decide (num✝¹.mul (Int.ofNat db) ≤ num✝.mul (Int.ofNat da)) = true
h✝ : ↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) ≤ ↑(num✝.mul (Int.ofNat da))
ha : 0 ≤ ⅟↑da
hb : 0 ≤ ⅟↑db
h : ⅟↑db * (↑(num✝¹.mul (Int.ofNat db)) * ⅟↑da) ≤ ⅟↑db * (↑(num✝.mul (Int.ofNat da)) * ⅟↑da)

⊢ ↑num✝¹ * ⅟↑da ≤ ↑num✝ * ⅟↑db