ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝² : Add α
inst✝¹ : DivisionMonoid β
inst✝ : HasDistribNeg β
hf : Antiperiodic f c
hg : Antiperiodic g c

⊢ Periodic (f / g) c
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosStrictMono α β
ha : a < 0
hb : 0 < b

⊢ a • b < 0
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G

⊢ (H ⊓ K).index ≤ H.index * K.index
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Basic.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.59011, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.59015, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
φ : S₁ ⟶ S₂

⊢ φ.τ₃.op ≫ S₁.g.op = S₂.g.op ≫ φ.τ₂.op
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Basic.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.59011, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.59015, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
φ : S₁ ⟶ S₂

⊢ φ.τ₂.op ≫ S₁.f.op = S₂.f.op ≫ φ.τ₁.op
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s₁ s₂ : α

⊢ R (m (s₁ ⊔ s₂)) (m s₁ * m s₂)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s₁ s₂ : α

⊢ s₁ ⊔ s₂ = ⨆ b, bif b then s₁ else s₂
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/NatInt.lean
M : Type u_1
inst✝⁵ : CommMonoid M
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
m✝ m' : M
G : Type u_2
inst✝³ : CommGroup G
g g' : G
inst✝² : T2Space M
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Countable β
inst✝ : CompleteLattice α
m : α → M
m0 : m ⊥ = 1
R : M → M → Prop
m_iSup : ∀ (s : ℕ → α), R (m (⨆ i, s i)) (∏' (i : ℕ), m (s i))
s₁ s₂ : α

⊢ m s₁ * m s₂ = ∏' (b : Bool), m (bif b then s₁ else s₂)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
f : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)
n : ℕ

⊢ ↑((sum I M ∘ₗ sumInv I M) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) f)) n = ↑(LinearMap.id ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) f)) n
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
f : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)
n : ℕ

⊢ ↑((sum I M) ((sumInv I M) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) f))) n = Submodule.Quotient.mk (↑f n)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
f : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)
n : ℕ

⊢ ↑((sum I M) (∑ i : ι, (DirectSum.of (fun i => AdicCompletion I (M i)) i) (((sumInv I M) ((mk I (⨁ (j : ι), M j)) f)) i))) n = Submodule.Quotient.mk (↑f n)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
f : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)
n : ℕ

⊢ ∑ x : ι, Submodule.Quotient.mk ((lof R ι M x) ((component R ι M x) (↑f n))) = Submodule.Quotient.mk (↑f n)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
I : Ideal R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
N : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
T : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommGroup T
inst✝⁴ : Module (AdicCompletion I R) T
ι : Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
M : ι → Type u_7
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝ : Fintype ι
f : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)
n : ℕ

⊢ (I ^ n • ⊤).mkQ (∑ x : ι, (lof R ι M x) ((component R ι M x) (↑f n))) = (I ^ n • ⊤).mkQ (↑f n)
-- Mathlib/Algebra/Category/BoolRing.lean
α β : BoolRing
e : ↑α ≃+* ↑β
x✝ : (forget BoolRing).obj α

⊢ (↑e ≫ ↑e.symm) x✝ = (𝟙 α) x✝
-- Mathlib/Algebra/Category/BoolRing.lean
α β : BoolRing
e : ↑α ≃+* ↑β
x✝ : (forget BoolRing).obj β

⊢ (↑e.symm ≫ ↑e) x✝ = (𝟙 β) x✝
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
p : R[ℕ]

⊢ (C a * { toFinsupp := p }).coeff n = a * { toFinsupp := p }.coeff n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
p : R[ℕ]

⊢ (Finsupp.single 0 a * p) n = a * p n
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'

⊢ (fun x => k₁ x • f' x) =O[l] fun x => k₂ x • g' x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁✝ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁✝ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'
c₁ : ℝ
h₁ : IsBigOWith c₁ l k₁ k₂

⊢ (fun x => k₁ x • f' x) =O[l] fun x => k₂ x • g' x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁✝ c₂✝ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜' F'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜' F'
k₁ : α → R
k₂ : α → 𝕜'
h₁✝ : k₁ =O[l] k₂
h₂✝ : f' =O[l] g'
c₁ : ℝ
h₁ : IsBigOWith c₁ l k₁ k₂
c₂ : ℝ
h₂ : IsBigOWith c₂ l f' g'

⊢ (fun x => k₁ x • f' x) =O[l] fun x => k₂ x • g' x
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LeftCancelMonoid G
inst✝ : Finite G
x y : G
n✝ : ℕ
h : orderOf x = orderOf y
n : ℕ

⊢ (powersEquivPowers h) ⟨x ^ n, ⋯⟩ = ⟨y ^ n, ⋯⟩
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LeftCancelMonoid G
inst✝ : Finite G
x y : G
n✝ : ℕ
h : orderOf x = orderOf y
n : ℕ

⊢ (finCongr h) ⟨n % orderOf x, ⋯⟩ = ⟨n % orderOf y, ⋯⟩
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝¹¹ : CommRing R'
inst✝¹⁰ : CommRing S'
inst✝⁹ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝⁸ : Algebra R R'
inst✝⁷ : Algebra S S'
inst✝⁶ : Algebra R S'
inst✝⁵ : IsScalarTower R R' S'
inst✝⁴ : IsScalarTower R S S'
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
f g : P.Hom P'
x : P.Ring

⊢ (f.sub g) (1 ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) x) = Cotangent.mk ((f.subToKer g) x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularSheaves.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.23250, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.23254, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpi π
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
this : HasPullback π π
hP : Function.Bijective (MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯)

⊢ Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (P.map π.op) ⋯))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularSheaves.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.23250, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.23254, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpi π
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
this : HasPullback π π
hP : Function.Bijective (MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯)

⊢ ∀ (y : P.obj (op X)), P.map c.fst.op y = P.map c.snd.op y → ∃! x, P.map π.op x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularSheaves.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.23250, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.23254, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpi π
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
this : HasPullback π π
hP : ∀ (b : ↑{x | P.map (pullback.fst π π).op x = P.map (pullback.snd π π).op x}), ∃! a, MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯ a = b

⊢ ∀ (y : P.obj (op X)), P.map c.fst.op y = P.map c.snd.op y → ∃! x, P.map π.op x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularSheaves.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.23250, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.23254, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpi π
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
this : HasPullback π π
hP : ∀ (b : ↑{x | P.map (pullback.fst π π).op x = P.map (pullback.snd π π).op x}), ∃! a, MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯ a = b
b : P.obj (op X)
hb : P.map c.fst.op b = P.map c.snd.op b
h₁ : ((pullbackIsPullback π π).conePointUniqueUpToIso hc).hom ≫ c.fst = pullback.fst π π

⊢ ∃! x, P.map π.op x = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/RegularSheaves.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.23250, u_2} D
inst✝¹ : Category.{?u.23254, u_3} E
P : Cᵒᵖ ⥤ Type u_4
X B : C
π : X ⟶ B
inst✝ : EffectiveEpi π
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
this : HasPullback π π
hP : ∀ (b : ↑{x | P.map (pullback.fst π π).op x = P.map (pullback.snd π π).op x}), ∃! a, MapToEqualizer P π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯ a = b
b : P.obj (op X)
hb : P.map c.fst.op b = P.map c.snd.op b
h₁ : ((pullbackIsPullback π π).conePointUniqueUpToIso hc).hom ≫ c.fst = pullback.fst π π
hb' : P.map (pullback.fst π π).op b = P.map (pullback.snd π π).op b

⊢ ∃! x, P.map π.op x = b
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
m : ℕ
inst✝ : CharP R m
n✝ : ℕ
h : m ∣ n✝ + 1
a b : ZMod (n✝ + 1)

⊢ ↑a.val + ↑b.val = ↑(val (a + b))
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
m : ℕ
inst✝ : CharP R m
n✝ : ℕ
h : m ∣ n✝ + 1
a b : ZMod (n✝ + 1)

⊢ m ∣ a.val + b.val - (a.val + b.val) % n✝.succ
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Prod.lean
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R N
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Qₙ : QuadraticForm R N
f₁ : Q₁ →qᵢ Qₙ
f₂ : Q₂ →qᵢ Qₙ
hf : ∀ (x : M₁) (y : M₂), QuadraticMap.IsOrtho Qₙ (f₁ x) (f₂ y)
m₁ : CliffordAlgebra Q₁
m₂ : CliffordAlgebra Q₂
i₁ i₂ : ZMod 2
hm₁ : m₁ ∈ evenOdd Q₁ i₁
hm₂ : m₂ ∈ evenOdd Q₂ i₂

⊢ (map f₁) m₁ * (map f₂) m₂ = (-1) ^ (i₂ * i₁) • ((map f₂) m₂ * (map f₁) m₁)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
m : M

⊢ (ι Q') m = ((changeFormAux Q' B) m) 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ

⊢ b ∈ ball a r ↔ ‖a / b‖ < r
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
h : t.Valid

⊢ (insert' x t).Valid
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : IsTotal α fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordnode α
h : t.Valid

⊢ (insertWith id x t).Valid
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
c : R

⊢ (⇑derivative)^[n] ((X - C c) ^ n) = ↑n.factorial
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
p : P

⊢ affineSpan ℝ {p, s.points i} = s.altitude i ↔ p ≠ s.points i ∧ p ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points) ∧ p -ᵥ s.points i ∈ (affineSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i))).directionᗮ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)
p : P

⊢ vectorSpan ℝ {p, s.points i} = (s.altitude i).direction ↔ p ≠ s.points i ∧ p -ᵥ s.points i ∈ vectorSpan ℝ (Set.range s.points) ∧ p -ᵥ s.points i ∈ (vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)))ᗮ
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S✝ : Submonoid M
ι : Sort u_4
S : ι → Submonoid M

⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
-- Mathlib/RingTheory/Congruence/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
S : Set (RingCon R)

⊢ sSup S = ringConGen (sSup (DFunLike.coe '' S))
-- Mathlib/RingTheory/Congruence/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
S : Set (RingCon R)

⊢ (ringConGen fun x y => ∃ c ∈ S, c x y) = ringConGen (⨆ a ∈ S, ⇑a)
-- Mathlib/RingTheory/Congruence/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Add R
inst✝ : Mul R
S : Set (RingCon R)
x y : R

⊢ (∃ c ∈ S, c x y) ↔ (⨆ a ∈ S, ⇑a) x y
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M

⊢ map N.incl (lowerCentralSeries R L (↥↑N) k) = lcs k N
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M

⊢ lcs k N ≤ N
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIocMod hp (a - p) b = toIocMod hp a b - p
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x✝ : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
δ : ℝ
hδ : 0 ≤ δ
y : α

⊢ y ∈ cthickening δ {x} ↔ y ∈ closedBall x δ
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝¹ t✝¹ : Finset α
n✝ : ?m.33453
s✝ t✝ : Finset α
β : Type u_2
f : α ↪ β
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β

⊢ t ∈ powersetCard n (map f s) ↔ t ∈ map (mapEmbedding f).toEmbedding (powersetCard n s)
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝¹ t✝¹ : Finset α
n✝ : ?m.33453
s✝ t✝ : Finset α
β : Type u_2
f : α ↪ β
n : ℕ
s : Finset α
t : Finset β

⊢ t ⊆ map f s ∧ t.card = n ↔ ∃ a, (a ⊆ s ∧ a.card = n) ∧ (mapEmbedding f).toEmbedding a = t
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ

⊢ toZ i0 (succ^[n] i0) ≤ ↑n
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ

⊢ ↑(Nat.find ⋯) ≤ ↑n
-- Mathlib/Order/SuccPred/LinearLocallyFinite.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ

⊢ Nat.find ⋯ ≤ n
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₃ : A ⟶ S.L₀.X₃
x₂ : A ⟶ S.L₁.X₂
x₁ : A ⟶ S.L₂.X₁
h₂ : x₂ ≫ S.L₁.g = x₃ ≫ S.v₀₁.τ₃
h₁ : x₁ ≫ S.L₂.f = x₂ ≫ S.v₁₂.τ₂

⊢ x₃ ≫ S.δ = x₁ ≫ S.v₂₃.τ₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₃ : A ⟶ S.L₀.X₃
x₂ : A ⟶ S.L₁.X₂
x₁ : A ⟶ S.L₂.X₁
h₂ : x₂ ≫ S.L₁.g = x₃ ≫ S.v₀₁.τ₃
h₁ : x₁ ≫ S.L₂.f = x₂ ≫ S.v₁₂.τ₂
H : pullback.lift x₂ x₃ h₂ ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃ ≫ S.δ = pullback.lift x₂ x₃ h₂ ≫ S.φ₁ ≫ S.v₂₃.τ₁

⊢ x₃ ≫ S.δ = x₁ ≫ S.v₂₃.τ₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₃ : A ⟶ S.L₀.X₃
x₂ : A ⟶ S.L₁.X₂
x₁ : A ⟶ S.L₂.X₁
h₂ : x₂ ≫ S.L₁.g = x₃ ≫ S.v₀₁.τ₃
h₁ : x₁ ≫ S.L₂.f = x₂ ≫ S.v₁₂.τ₂
H : x₃ ≫ S.δ = pullback.lift x₂ x₃ h₂ ≫ S.φ₁ ≫ S.v₂₃.τ₁

⊢ x₃ ≫ S.δ = x₁ ≫ S.v₂₃.τ₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₃ : A ⟶ S.L₀.X₃
x₂ : A ⟶ S.L₁.X₂
x₁ : A ⟶ S.L₂.X₁
h₂ : x₂ ≫ S.L₁.g = x₃ ≫ S.v₀₁.τ₃
h₁ : x₁ ≫ S.L₂.f = x₂ ≫ S.v₁₂.τ₂
H : x₃ ≫ S.δ = pullback.lift x₂ x₃ h₂ ≫ S.φ₁ ≫ S.v₂₃.τ₁

⊢ (pullback.lift x₂ x₃ h₂ ≫ S.φ₁) ≫ S.v₂₃.τ₁ = x₁ ≫ S.v₂₃.τ₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₃ : A ⟶ S.L₀.X₃
x₂ : A ⟶ S.L₁.X₂
x₁ : A ⟶ S.L₂.X₁
h₂ : x₂ ≫ S.L₁.g = x₃ ≫ S.v₀₁.τ₃
h₁ : x₁ ≫ S.L₂.f = x₂ ≫ S.v₁₂.τ₂
H : x₃ ≫ S.δ = pullback.lift x₂ x₃ h₂ ≫ S.φ₁ ≫ S.v₂₃.τ₁

⊢ pullback.lift x₂ x₃ h₂ ≫ S.φ₁ = x₁
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hY : AEMeasurable Y μ
hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)

⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (y : Ω), f (x, y) ∂(condDistrib Y X μ) x) (Measure.map X μ)
-- Mathlib/Probability/Kernel/CondDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
hY : AEMeasurable Y μ
hf : AEStronglyMeasurable f (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ)

⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (y : Ω), f (x, y) ∂(Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).condKernel x) (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N

⊢ (2 * dValue N - 1) ^ nValue N ≤ N
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
this : (2 * dValue N - 1) ^ nValue N ≤ (2 * dValue N) ^ nValue N

⊢ (2 * dValue N - 1) ^ nValue N ≤ N
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
this : (2 * dValue N - 1) ^ nValue N ≤ (2 * dValue N) ^ nValue N

⊢ (2 * ↑(dValue N)) ^ nValue N ≤ ↑N
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
this : (2 * dValue N - 1) ^ nValue N ≤ (2 * dValue N) ^ nValue N

⊢ 2 * ↑(dValue N) ≤ ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
this : (2 * dValue N - 1) ^ nValue N ≤ (2 * dValue N) ^ nValue N

⊢ ↑(dValue N) ≤ ↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹ / 2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : 2 ≤ N
this : (2 * dValue N - 1) ^ nValue N ≤ (2 * dValue N) ^ nValue N

⊢ 0 < 2
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
c : Cardinal.{u_3}
n : ℕ

⊢ toPartENat c = ↑n ↔ c = ↑n
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α

⊢ ∃ f, ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ (f a).fst = (f b).fst
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α

⊢ ∀ (a b : { x // x ∈ s }), P.part ↑a = P.part ↑b ↔ ((P.equivSigmaParts.trans ((Equiv.refl { x // x ∈ P.parts }).sigmaCongr fun t => (↑t).equivFin)) a).fst = ((P.equivSigmaParts.trans ((Equiv.refl { x // x ∈ P.parts }).sigmaCongr fun t => (↑t).equivFin)) b).fst