ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℤ

⊢ derivative ↑n = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℤ

⊢ derivative (C ↑n) = 0
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/FiberwiseLinear.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace B
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
EB : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup EB
inst✝² : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace HB
inst✝ : ChartedSpace HB B
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
e : PartialHomeomorph (B × F) (B × F)

⊢ e ∈ ⋃ φ, ⋃ U, ⋃ (hU : IsOpen U), ⋃ (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) U), ⋃ (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) U), {e | e.EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)} ↔ ∃ φ U, ∃ (hU : IsOpen U) (hφ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x)) U) (h2φ : SmoothOn IB 𝓘(𝕜, F →L[𝕜] F) (fun x => ↑(φ x).symm) U), e.EqOnSource (FiberwiseLinear.partialHomeomorph φ hU ⋯ ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Induced.lean
C : Type u_5
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_5} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
X : C

⊢ (zero F s i).hom.app (F.obj X) = (i 0).hom.app X ≫ F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Induced.lean
C : Type u_5
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_5} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
X : C
h : whiskerLeft F (zero F s i).hom = (i 0 ≪≫ isoWhiskerRight (shiftFunctorZero C A) F ≪≫ F.leftUnitor ≪≫ F.rightUnitor.symm).hom

⊢ (zero F s i).hom.app (F.obj X) = (i 0).hom.app X ≫ F.map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ

⊢ ∑ i ∈ range n, x⁻¹ ^ i = (x - 1)⁻¹ * (x - x⁻¹ ^ n * x)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ
h₁ : x⁻¹ ≠ 1

⊢ ∑ i ∈ range n, x⁻¹ ^ i = (x - 1)⁻¹ * (x - x⁻¹ ^ n * x)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ
h₁ : x⁻¹ ≠ 1
h₂ : x⁻¹ - 1 ≠ 0

⊢ ∑ i ∈ range n, x⁻¹ ^ i = (x - 1)⁻¹ * (x - x⁻¹ ^ n * x)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ
h₁ : x⁻¹ ≠ 1
h₂ : x⁻¹ - 1 ≠ 0
h₃ : x - 1 ≠ 0

⊢ ∑ i ∈ range n, x⁻¹ ^ i = (x - 1)⁻¹ * (x - x⁻¹ ^ n * x)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ
h₁ : x⁻¹ ≠ 1
h₂ : x⁻¹ - 1 ≠ 0
h₃ : x - 1 ≠ 0
h₄ : x * (x ^ n)⁻¹ = (x ^ n)⁻¹ * x

⊢ ∑ i ∈ range n, x⁻¹ ^ i = (x - 1)⁻¹ * (x - x⁻¹ ^ n * x)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ
h₁ : x⁻¹ ≠ 1
h₂ : x⁻¹ - 1 ≠ 0
h₃ : x - 1 ≠ 0
h₄ : x * (x ^ n)⁻¹ = (x ^ n)⁻¹ * x

⊢ 1 * (x - x⁻¹ ^ n * x) * (x⁻¹ - 1) = (x - 1) * (x⁻¹ ^ n - 1)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx1 : x ≠ 1
hx0 : x ≠ 0
n : ℕ
h₁ : x⁻¹ ≠ 1
h₂ : x⁻¹ - 1 ≠ 0
h₃ : x - 1 ≠ 0
h₄ : x * (x ^ n)⁻¹ = (x ^ n)⁻¹ * x

⊢ (x ^ n)⁻¹ * x + -x + (-(x ^ n)⁻¹ + 1) = -x + ((x ^ n)⁻¹ * x + -(x ^ n)⁻¹ + 1)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ

⊢ W.Nonsingular ((fun m => m • Q) u) ↔ W.Nonsingular Q
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : ℕ → α
l : Filter α
k : ℕ

⊢ Tendsto (f ∘ fun n => n + k) atTop l ↔ Tendsto f atTop l
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ

⊢ (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (x - 1) = x ^ n - 1
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
this : (∑ i ∈ range n, x ^ i * 1 ^ (n - 1 - i)) * (x - 1) = x ^ n - 1 ^ n

⊢ (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (x - 1) = x ^ n - 1
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
this : (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (x - 1) = x ^ n - 1

⊢ (∑ i ∈ range n, x ^ i) * (x - 1) = x ^ n - 1
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
s : ℕ
h : s ≠ 0

⊢ (s.xgcdAux 1 0 0 0 1).2.1 = 1
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
s : ℕ
h : s.succ ≠ 0

⊢ (s.succ.xgcdAux 1 0 0 0 1).2.1 = 1
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : T1Space Y
f : X → Y
x : X
y : Y
h : Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 y)

⊢ ContinuousAt f x
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), r i n < n
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : R.n₀ ≤ n

⊢ ∀ (i : α), r i n < n
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
P : Set X → Prop
hP : ∀ (s t : Set X), s ⊆ t → P s → P t

⊢ (∀ (i : Set X), x ∈ i ∧ IsOpen i → P i) ↔ ∀ (s : Set X), IsOpen s → x ∈ s → P s
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M
a b : ℕ
hab : a ≤ b
f : ℕ → M

⊢ ∏ k ∈ Ico a (b + 1), f k = (∏ k ∈ Ico a b, f k) * f b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Hasse.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
u v : Fin n

⊢ u ⋖ v ∨ v ⋖ u ↔ ↑u + 1 = ↑v ∨ ↑v + 1 = ↑u
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n : ℕ

⊢ 0 ≠ 1 ↔ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ 0
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n : ℕ

⊢ 1 ≠ 1 ↔ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ 1
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n✝ n : ℕ
a : ℕ := n + 2

⊢ n + 2 ≠ 1 ↔ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ n + 2
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n✝ n : ℕ
a : ℕ := n + 2
ha : a ≠ 1 := succ_succ_ne_one n

⊢ n + 2 ≠ 1 ↔ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ n + 2
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n✝ n : ℕ
a : ℕ := n + 2
ha : a ≠ 1 := succ_succ_ne_one n

⊢ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ n + 2
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Quotient.lean
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀

⊢ (v.onQuot ⋯).supp = 0
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Quotient.lean
R : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀

⊢ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk v.supp) v.supp = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R

⊢ ∀ (i j : ℕ), ∃ k, I ^ k • ⊤ ≤ I ^ i • ⊤ ⊓ I ^ j • ⊤
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R

⊢ ∀ (i j : ℕ), ∃ k, I ^ k ≤ I ^ i ∧ I ^ k ≤ I ^ j
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
i j : ℕ

⊢ ∃ k, I ^ k ≤ I ^ i ∧ I ^ k ≤ I ^ j
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R

⊢ ∀ (a : R) (i : ℕ), ∃ j, a • I ^ j • ⊤ ≤ I ^ i • ⊤
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R

⊢ ∀ (a : R) (i : ℕ), ∃ j, a • I ^ j ≤ I ^ i
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
r : R
n : ℕ

⊢ ∃ j, r • I ^ j ≤ I ^ n
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
r : R
n : ℕ

⊢ r • I ^ n ≤ I ^ n
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
r : R
n : ℕ
x : R
hx : x ∈ ↑(I ^ n)

⊢ (DistribMulAction.toLinearMap R R r) x ∈ I ^ n
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R

⊢ ∀ (i : ℕ), ∃ j, ↑(I ^ j • ⊤) * ↑(I ^ j • ⊤) ⊆ ↑(I ^ i • ⊤)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R

⊢ ∀ (i : ℕ), ∃ j, ↑(I ^ j) * ↑(I ^ j) ⊆ ↑(I ^ i)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
n : ℕ

⊢ ∃ j, ↑(I ^ j) * ↑(I ^ j) ⊆ ↑(I ^ n)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
n : ℕ

⊢ ↑(I ^ n) * ↑(I ^ n) ⊆ ↑(I ^ n)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
n : ℕ
x : R
_hx : x ∈ ↑(I ^ n)
b : R
hb : b ∈ ↑(I ^ n)

⊢ (fun x x_1 => x * x_1) x b ∈ ↑(I ^ n)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.217769, u_2} D
inst✝¹ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
J : C
f : S.X₂ ⟶ J
inst✝ : Injective J
hf : S.f ≫ f = 0

⊢ S.g ≫ hS.descToInjective f hf = f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.217769, u_2} D
inst✝¹ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
J : C
f : S.X₂ ⟶ J
inst✝ : Injective J
hf : S.f ≫ f = 0
this : Mono S.fromOpcycles

⊢ S.g ≫ hS.descToInjective f hf = f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.217769, u_2} D
inst✝¹ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
J : C
f : S.X₂ ⟶ J
inst✝ : Injective J
hf : S.f ≫ f = 0
this : Mono S.fromOpcycles

⊢ S.g ≫ Injective.factorThru (S.descOpcycles f hf) S.fromOpcycles = f
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G

⊢ S ∈ rightTransversals ↑H ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G

⊢ (∀ (g : G), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = Quotient.mk'' g) ↔ ∀ (q : Quotient (QuotientGroup.rightRel H)), ∃! s, Quotient.mk'' ↑s = q
-- Mathlib/Dynamics/FixedPoints/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
f fa g : α → α
x y : α
fb : β → β
m n k : ℕ
e : Perm α
h : Function.Commute f g

⊢ Set.InvOn f g (fixedPoints (f ∘ g)) (fixedPoints (f ∘ g))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NontriviallyNormedField α
r : ℝ
w : α
hw : 1 < ‖w‖
n : ℕ
hn : r < ‖w‖ ^ n

⊢ r < ‖w ^ n‖
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p✝ p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
l : Filter X
p : ι → Prop
s : ι → Set X
h : l.HasBasis p s
ho : ∀ (i : ι), p i → IsOpen (s i)
i : ι
hi : p i

⊢ interior (s i) ∈ l
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
i j : ι
hij : i ≤ j

⊢ f i ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 f '' Set.Iic j)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
i j : ι
hij : i ≤ j

⊢ gramSchmidt 𝕜 f i + ∑ i_1 ∈ Finset.Iio i, ↑((orthogonalProjection (span 𝕜 {gramSchmidt 𝕜 f i_1})) (f i)) ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 f '' Set.Iic j)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/GramSchmidtOrtho.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_3
inst✝² : LinearOrder ι
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot ι
inst✝ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
f : ι → E
i j : ι
hij : i ≤ j

⊢ gramSchmidt 𝕜 f i + ∑ x ∈ Finset.Iio i, (⟪gramSchmidt 𝕜 f x, f i⟫_𝕜 / ↑(‖gramSchmidt 𝕜 f x‖ ^ 2)) • gramSchmidt 𝕜 f x ∈ span 𝕜 (gramSchmidt 𝕜 f '' Set.Iic j)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))

⊢ ¬∃ n, ↑↑p ∣ hζ✝.toInteger - ↑n
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι✝
m✝¹ : (i : ι✝) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (α✝ i)
inst✝³ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝² : Fintype ι'
ι : Type u
α : ι → Type v
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : IsEmpty ι
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
e : ((i : ι) → α i) ≃ᵐ Unit := MeasurableEquiv.ofUniqueOfUnique ((i : ι) → α i) Unit

⊢ MeasurePreserving (⇑e) (Measure.pi μ) (Measure.dirac ())
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι✝
m✝¹ : (i : ι✝) → OuterMeasure (α✝ i)
m✝ : (i : ι✝) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι✝) → Measure (α✝ i)
inst✝³ : ∀ (i : ι✝), SigmaFinite (μ✝ i)
inst✝² : Fintype ι'
ι : Type u
α : ι → Type v
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : IsEmpty ι
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
e : ((i : ι) → α i) ≃ᵐ Unit := MeasurableEquiv.ofUniqueOfUnique ((i : ι) → α i) Unit

⊢ Measure.map (⇑e) (Measure.pi μ) = Measure.dirac ()
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0

⊢ a / b ≤ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0

⊢ a * b⁻¹ ≤ 0
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i j : Fin n✝
n : ℕ

⊢ Set.range succ = {0}ᶜ
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n✝ m : ℕ
p : Fin (n✝ + 1)
i j : Fin n✝
n : ℕ

⊢ Set.range (succAbove 0) = {0}ᶜ
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f

⊢ comap f (coLindelof Y) ≤ coLindelof X
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f

⊢ ∀ (i' : Set X), IsLindelof i' → ∃ i, IsLindelof i ∧ f ⁻¹' iᶜ ⊆ i'ᶜ
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
t : Set X
ht : IsLindelof t

⊢ ∃ i, IsLindelof i ∧ f ⁻¹' iᶜ ⊆ tᶜ
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : X → Y
hf : Continuous f
t : Set X
ht : IsLindelof t

⊢ f ⁻¹' (f '' t)ᶜ ⊆ tᶜ
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset γ
t : γ → Finset α
t' : Finset α
s' : α → Finset γ
h : ∀ (x : γ) (y : α), x ∈ s ∧ y ∈ t x ↔ x ∈ s' y ∧ y ∈ t'
f : γ → α → β

⊢ ∏ x ∈ s, ∏ y ∈ t x, f x y = ∏ y ∈ t', ∏ x ∈ s' y, f x y
-- Mathlib/Topology/Covering.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
x : E
I : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace I
h✝ : IsEvenlyCovered f (f x) I
e : Trivialization I f := Classical.choose ⋯
h : f x ∈ (Classical.choose ⋯).baseSet := Classical.choose_spec h✝.right
he : (f x, (↑e x).2) = ↑e x := Trivialization.mk_proj_snd' e h

⊢ (f x, (↑e x).2) ∈ e.target
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
f : γ → α
g : α → β
s : Finset γ

⊢ ⨆ x ∈ image f s, g x = ⨆ y ∈ s, g (f y)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial R

⊢ (p * q).nextCoeff = p.nextCoeff + q.nextCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q.Monic
a✝ : Nontrivial R

⊢ (p * q).reverse.coeff 1 = p.reverse.coeff 1 + q.reverse.coeff 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Compact.lean
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : SeminormedRing 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup M₁
inst✝⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₁ M₁
inst✝² : Module 𝕜₂ M₂
inst✝¹ : ContinuousConstSMul 𝕜₂ M₂
inst✝ : T2Space M₂
f : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : IsCompactOperator ⇑f
S : Set M₁
hS : Bornology.IsBounded S

⊢ IsVonNBounded 𝕜₁ S
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
m : ℕ
hm : multiplicity a b < ↑m
h : a ^ m ∣ b

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a b : α
m : ℕ
hm : ∃ (h : (multiplicity a b).Dom), (multiplicity a b).get h < m
h : a ^ m ∣ b

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u_1}
ha : 0 < a

⊢ a * b ≤ b ↔ a ^ ω ∣ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u_1}
ha : 0 < a

⊢ a * b ≤ b ↔ a * b = b
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Set α
t✝ t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α × β → γ
s : Set α
t : Set β

⊢ image2 (fun a b => f (a, b)) s t = f '' s ×ˢ t
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p

⊢ multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p

⊢ multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1

⊢ multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1

⊢ multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1
hm : multiplicity p (p * n)! ≠ ⊤

⊢ multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1

⊢ multiplicity p (p * n)! ≠ ⊤ → multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1
h4 : ∀ m ∈ Ico (p * n + 1) (p * (n + 1)), multiplicity p m = 0

⊢ multiplicity p (p * n)! ≠ ⊤ → multiplicity p (p * (n + 1))! = multiplicity p (p * n)! + multiplicity p (n + 1) + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1
h4 : ∀ m ∈ Ico (p * n + 1) (p * (n + 1)), multiplicity p m = 0

⊢ ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x ≠ ⊤ → ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x + ∑ x ∈ Ico (p * n + 1) (p * (n + 1) + 1), multiplicity p x = ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x + (multiplicity p (n + 1) + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
n p : ℕ
hp : Prime p
hp' : _root_.Prime p
h0 : 2 ≤ p
h1 : 1 ≤ p * n + 1
h2 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1)
h3 : p * n + 1 ≤ p * (n + 1) + 1
h4 : ∀ m ∈ Ico (p * n + 1) (p * (n + 1)), multiplicity p m = 0
h : ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x ≠ ⊤

⊢ ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x + ∑ x ∈ Ico (p * n + 1) (p * (n + 1) + 1), multiplicity p x = ∑ x ∈ Ico 1 (p * n + 1), multiplicity p x + (multiplicity p (n + 1) + 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b : β
q : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a : α

⊢ BddAbove (cutMap β a)
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : LinearOrderedField β
a✝ a₁ a₂ : α
b : β
q✝ : ℚ
inst✝ : Archimedean α
a : α
q : ℚ
hq : a < ↑q

⊢ BddAbove (cutMap β a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AnnihilatingPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
f : Module.End 𝕜 M

⊢ Ideal.span {minpoly 𝕜 f} = Module.annihilator 𝕜[X] (Module.AEval' f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AnnihilatingPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
f : Module.End 𝕜 M

⊢ annIdeal 𝕜 f = Module.annihilator 𝕜[X] (Module.AEval' f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AnnihilatingPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
f : Module.End 𝕜 M
x✝ : 𝕜[X]

⊢ x✝ ∈ annIdeal 𝕜 f ↔ x✝ ∈ Module.annihilator 𝕜[X] (Module.AEval' f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AnnihilatingPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Algebra 𝕜 A
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M
f : Module.End 𝕜 M
x✝ : 𝕜[X]

⊢ (∀ (x : M), ((aeval f) x✝) x = 0 x) ↔ ∀ (m : Module.AEval' f), x✝ • m = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : p.leadingCoeff = 0

⊢ (p * q).leadingCoeff = p.leadingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : p.leadingCoeff ≠ 0

⊢ (p * q).leadingCoeff = p.leadingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
H : p.leadingCoeff ≠ 0

⊢ p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → ℝ
h : Summable fun x => ↑(f x)

⊢ Summable f
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs_nonempty : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)

⊢ f (∏ i ∈ s, g i) ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)