ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

⊢ IsBigOWith c l (fun x => -f' x) g ↔ IsBigOWith c l f' g
-- Mathlib/Algebra/Order/Rearrangement.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : AntivaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s

⊢ ∑ i ∈ s, f i • g i < ∑ i ∈ s, f (σ i) • g i ↔ ¬AntivaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x : E
a r : ℝ

⊢ 0 < r ∧ x ∈ r • s ↔ r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.21579, u_2} D
W : MorphismProperty C
X Y : C
z : W.LeftFraction X Y

⊢ W (z.s ≫ 𝟙 z.Y')
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f✝ f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
hc : ContinuousWithinAt f s x

⊢ 𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x = 𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)] ↑(extChartAt I x) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f✝ f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
hc : ContinuousWithinAt f s x

⊢ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈ 𝓝[s] x
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
b : ℕ
h : a.gcd ↑b = 1

⊢ J(a | b) ^ 2 = 1
-- Mathlib/Condensed/Light/Explicit.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13, u_1} A
F : LightProfiniteᵒᵖ ⥤ A
inst✝ : PreservesFiniteProducts F
hF : EqualizerCondition F

⊢ IsSheaf (coherentTopology LightProfinite) F
-- Mathlib/Condensed/Light/Explicit.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.13, u_1} A
F : LightProfiniteᵒᵖ ⥤ A
inst✝ : PreservesFiniteProducts F
hF : EqualizerCondition F

⊢ Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : Integrable f μ

⊢ Integrable g ν
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : BorelSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
hf : Memℒp f 1 μ

⊢ Memℒp g 1 ν
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H✝ : Type u
H'✝ : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
H : Type u_5
H' : Type u_6
α : Type u_7
f : H → α

⊢ (range fun p => (f p.1, p.2)) = range f ×ˢ univ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H✝ : Type u
H'✝ : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
H : Type u_5
H' : Type u_6
α : Type u_7
f : H → α

⊢ (range fun p => (f p.1, p.2)) = range fun p => (f p.1, p.2)
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α

⊢ (l₁ ++ l₂).sublists = do let x ← l₂.sublists map (fun x_1 => x_1 ++ x) l₁.sublists
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α

⊢ foldr (fun a acc => acc.bind fun x => [x, a :: x]) (foldr (fun a acc => acc.bind fun x => [x, a :: x]) [[]] l₂) l₁ = do let x ← foldr (fun a acc => acc.bind fun x => [x, a :: x]) [[]] l₂ map (fun x_1 => x_1 ++ x) (foldr (fun a acc => acc.bind fun x => [x, a :: x]) [[]] l₁)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n

⊢ p < p.succAbove i ↔ p ≤ i.castSucc
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
H : i.castSucc < p

⊢ p < p.succAbove i ↔ p ≤ i.castSucc
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
H : p < i.succ

⊢ p < p.succAbove i ↔ p ≤ i.castSucc
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)

⊢ p.comp (↑f).attachBound ∈ A.topologicalClosure
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)
mem_closure : p ∈ (polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).topologicalClosure

⊢ p.comp (↑f).attachBound ∈ A.topologicalClosure
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)
mem_closure : p ∈ (polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).topologicalClosure
frequently_mem_polynomials : ∃ᶠ (x : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)) in nhds p, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).toSubsemiring

⊢ p.comp (↑f).attachBound ∈ A.topologicalClosure
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)
mem_closure : p ∈ (polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).topologicalClosure
frequently_mem_polynomials : ∃ᶠ (x : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)) in nhds p, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).toSubsemiring

⊢ ∃ᶠ (x : C(X, ℝ)) in nhds (p.comp (↑f).attachBound), x ∈ ↑A.toSubsemiring
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)
mem_closure : p ∈ (polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).topologicalClosure
frequently_mem_polynomials : ∃ᶠ (x : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)) in nhds p, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).toSubsemiring

⊢ ∀ x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).toSubsemiring, (compRightContinuousMap ℝ (↑f).attachBound) x ∈ ↑A.toSubsemiring
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)
mem_closure : p ∈ (polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).topologicalClosure
frequently_mem_polynomials : ∃ᶠ (x : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)) in nhds p, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).toSubsemiring
g : ℝ[X]

⊢ (compRightContinuousMap ℝ (↑f).attachBound) (↑(Polynomial.toContinuousMapOnAlgHom (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)) g) ∈ ↑A.toSubsemiring
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f : ↥A
p : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)
mem_closure : p ∈ (polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).topologicalClosure
frequently_mem_polynomials : ∃ᶠ (x : C(↑(Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖), ℝ)) in nhds p, x ∈ ↑(polynomialFunctions (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).toSubsemiring
g : ℝ[X]

⊢ (g.toContinuousMapOn (Set.Icc (-‖f‖) ‖f‖)).comp (↑f).attachBound ∈ A.toSubsemiring
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m (f^[n] x)
r : ℕ
hr : r > 0
hr' : IsPeriodicPt f r x

⊢ IsPeriodicPt f m x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m (f^[n] x)
r : ℕ
hr : r > 0
hr' : IsPeriodicPt f r x

⊢ n ≤ (n / r + 1) * r
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m (f^[n] x)
r : ℕ
hr : r > 0
hr' : IsPeriodicPt f r x

⊢ n ≤ n / r * r + r
-- Mathlib/CategoryTheory/GuitartExact/Basic.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
C₄ : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝ : Category.{v₄, u₄} C₄
T : C₁ ⥤ C₂
L : C₁ ⥤ C₃
R : C₂ ⥤ C₄
B : C₃ ⥤ C₄
w : TwoSquare T L R B

⊢ w.GuitartExact ↔ ∀ {X₂ : C₂} {X₃ : C₃} (g : R.obj X₂ ⟶ B.obj X₃), IsConnected (w.CostructuredArrowDownwards g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ≥0∞
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hf : AEMeasurable f μ

⊢ 0 < μ {x | f x ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
p : ℝ
hp_nonneg : 0 ≤ p
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f_lim a‖₊ ^ p ∂μ = ∫⁻ (a : α), liminf (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
p : ℝ
hp_nonneg : 0 ≤ p
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
a : α
ha : Tendsto (fun n => f n a) atTop (𝓝 (f_lim a))

⊢ (fun a => ↑‖f_lim a‖₊ ^ p) a = (fun a => liminf (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
p : ℝ
hp_nonneg : 0 ≤ p
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
a : α
ha : Tendsto (fun n => f n a) atTop (𝓝 (f_lim a))

⊢ ↑‖f_lim a‖₊ ^ p = liminf (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
p : ℝ
hp_nonneg : 0 ≤ p
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
a : α
ha : Tendsto (fun n => f n a) atTop (𝓝 (f_lim a))

⊢ Tendsto (fun m => ↑‖f m a‖₊ ^ p) atTop (𝓝 (↑‖f_lim a‖₊ ^ p))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
p : ℝ
hp_nonneg : 0 ≤ p
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
a : α
ha : Tendsto (fun n => f n a) atTop (𝓝 (f_lim a))

⊢ Tendsto (fun a_1 => ‖f a_1 a‖₊ ^ p) atTop (𝓝 (‖f_lim a‖₊ ^ p))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
p : ℝ
hp_nonneg : 0 ≤ p
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
a : α
ha : Tendsto (fun n => f n a) atTop (𝓝 (f_lim a))

⊢ Tendsto (fun a_1 => ‖f a_1 a‖₊) atTop (𝓝 ‖f_lim a‖₊)
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Contractible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
g : C(Y, Z)
y : Y
hy : f.Homotopic (const X y)

⊢ (g.comp f).Nullhomotopic
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Contractible.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
g : C(Y, Z)
y : Y
hy : f.Homotopic (const X y)

⊢ (g.comp f).Homotopic (const X (g y))
-- Mathlib/Deprecated/Subfield.lean
F : Type u_1
inst✝ : Field F
S : Set F
p : F
hp : p ∈ Ring.closure S
q : F
hq : q ∈ Ring.closure S
r : F
hr : r ∈ Ring.closure S
s : F
hs : s ∈ Ring.closure S

⊢ p / q * (r / s) ∈ closure S
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/SuperFactorial.lean
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

⊢ sf 2 * (n + 1) = (∏ i ∈ range (n + 1), (2 * i + 1)!) ^ 2 * 2 ^ (n + 1) * (n + 1)!
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/SuperFactorial.lean
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

⊢ (2 * n + 1 + 1) * ((2 * n + 1) * (2 * n)!) * ((2 * n + 1) * (2 * n)! * ((∏ x ∈ range n, (2 * x + 1) * (2 * x)!) ^ 2 * 2 ^ n * n !)) = (∏ x ∈ range n, (2 * x + 1) * (2 * x)!) ^ 2 * ((2 * n + 1) ^ 2 * (2 * n)! ^ 2) * 2 ^ (n + 1) * ((n + 1) * n !)
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
h : Perfect (closure C)
x : α
xC : x ∈ C

⊢ AccPt x (𝓟 C)
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
h : Perfect (closure C)
x : α
xC : x ∈ C
H : AccPt x (𝓟 (closure C))

⊢ AccPt x (𝓟 C)
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
h : Perfect (closure C)
x : α
xC : x ∈ C
H : ∃ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ≠ x ∧ y ∈ closure C

⊢ ∃ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ≠ x ∧ y ∈ C
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
h : Perfect (closure C)
x : α
xC : x ∈ C
H : ∃ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ≠ x ∧ y ∈ closure C
this : ∀ (y : α), y ≠ x ∧ y ∈ closure C → ∃ᶠ (z : α) in 𝓝 y, z ≠ x ∧ z ∈ C

⊢ ∃ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ≠ x ∧ y ∈ C
-- Mathlib/Topology/Perfect.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
C : Set α
inst✝ : T1Space α
h : Perfect (closure C)
x : α
xC : x ∈ C
H : ∃ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ≠ x ∧ y ∈ closure C
this : ∀ (y : α), y ≠ x ∧ y ∈ closure C → ∃ᶠ (z : α) in 𝓝 y, z ≠ x ∧ z ∈ C

⊢ ∃ᶠ (x' : α) in 𝓝 x, ∃ᶠ (x'' : α) in 𝓝 x', x'' ≠ x ∧ x'' ∈ C
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
N : ι → Submodule R✝ M
inst✝⁹ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
R : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
N₁ : ι → Submodule R M₁
h₁ : IsInternal N₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
N₂ : ι → Submodule R M₂
h₂ : IsInternal N₂
κ₁ : ι → Type u_7
κ₂ : ι → Type u_8
inst✝³ : (i : ι) → Fintype (κ₁ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), Finite (κ₂ i)
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (κ₁ i)
inst✝ : Fintype ι
b₁ : (i : ι) → Basis (κ₁ i) R ↥(N₁ i)
b₂ : (i : ι) → Basis (κ₂ i) R ↥(N₂ i)
f : M₁ →ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N₁ i) ↑(N₂ i)
i : ι
snd✝¹ : κ₂ i
j : ι
snd✝ : κ₁ j

⊢ (toMatrix (h₁.collectedBasis b₁) (h₂.collectedBasis b₂)) f ⟨i, snd✝¹⟩ ⟨j, snd✝⟩ = Matrix.blockDiagonal' (fun i => (toMatrix (b₁ i) (b₂ i)) (f.restrict ⋯)) ⟨i, snd✝¹⟩ ⟨j, snd✝⟩
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
N : ι → Submodule R✝ M
inst✝⁹ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
R : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
N₁ : ι → Submodule R M₁
h₁ : IsInternal N₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
N₂ : ι → Submodule R M₂
h₂ : IsInternal N₂
κ₁ : ι → Type u_7
κ₂ : ι → Type u_8
inst✝³ : (i : ι) → Fintype (κ₁ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), Finite (κ₂ i)
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (κ₁ i)
inst✝ : Fintype ι
b₁ : (i : ι) → Basis (κ₁ i) R ↥(N₁ i)
b₂ : (i : ι) → Basis (κ₂ i) R ↥(N₂ i)
f : M₁ →ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N₁ i) ↑(N₂ i)
i : ι
snd✝¹ : κ₂ i
j : ι
snd✝ : κ₁ j

⊢ ((h₂.collectedBasis b₂).repr (f ((h₁.collectedBasis b₁) ⟨j, snd✝⟩))) ⟨i, snd✝¹⟩ = if h : i = j then ((b₂ i).repr ((f.restrict ⋯) ((b₁ i) (cast ⋯ snd✝)))) snd✝¹ else 0
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
N : ι → Submodule R✝ M
inst✝⁹ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
R : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
N₁ : ι → Submodule R M₁
h₁ : IsInternal N₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
N₂ : ι → Submodule R M₂
h₂ : IsInternal N₂
κ₁ : ι → Type u_7
κ₂ : ι → Type u_8
inst✝³ : (i : ι) → Fintype (κ₁ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), Finite (κ₂ i)
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (κ₁ i)
inst✝ : Fintype ι
b₁ : (i : ι) → Basis (κ₁ i) R ↥(N₁ i)
b₂ : (i : ι) → Basis (κ₂ i) R ↥(N₂ i)
f : M₁ →ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N₁ i) ↑(N₂ i)
i : ι
snd✝¹ : κ₂ i
snd✝ : κ₁ i

⊢ ((h₂.collectedBasis b₂).repr (f ((h₁.collectedBasis b₁) ⟨i, snd✝⟩))) ⟨i, snd✝¹⟩ = if h : i = i then ((b₂ i).repr ((f.restrict ⋯) ((b₁ i) (cast ⋯ snd✝)))) snd✝¹ else 0
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/LinearMap.lean
ι : Type u_1
R✝ : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
N : ι → Submodule R✝ M
inst✝⁹ : DecidableEq ι
h : IsInternal N
R : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
N₁ : ι → Submodule R M₁
h₁ : IsInternal N₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
N₂ : ι → Submodule R M₂
h₂ : IsInternal N₂
κ₁ : ι → Type u_7
κ₂ : ι → Type u_8
inst✝³ : (i : ι) → Fintype (κ₁ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), Finite (κ₂ i)
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (κ₁ i)
inst✝ : Fintype ι
b₁ : (i : ι) → Basis (κ₁ i) R ↥(N₁ i)
b₂ : (i : ι) → Basis (κ₂ i) R ↥(N₂ i)
f : M₁ →ₗ[R] M₂
hf : ∀ (i : ι), MapsTo ⇑f ↑(N₁ i) ↑(N₂ i)
i : ι
snd✝¹ : κ₂ i
j : ι
snd✝ : κ₁ j
hij : i ≠ j

⊢ ((h₂.collectedBasis b₂).repr (f ((h₁.collectedBasis b₁) ⟨j, snd✝⟩))) ⟨i, snd✝¹⟩ = if h : i = j then ((b₂ i).repr ((f.restrict ⋯) ((b₁ i) (cast ⋯ snd✝)))) snd✝¹ else 0
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜₂ E₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂
x : E
r : ℝ
x✝ : E

⊢ x✝ ∈ (p.comp f).closedBall x r ↔ x✝ ∈ ⇑f ⁻¹' p.closedBall (f x) r
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Basic.lean
f : ℕ → ℂ
h : f 1 = 1

⊢ f * δ = δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

⊢ Continuous fun μ => μ.mass
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁵ : SMul R ℝ≥0
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝³ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω

⊢ Continuous fun μ => μ.testAgainstNN 1
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ

⊢ fourierCoeff (liftIco T a f) n = fourierCoeffOn ⋯ f n
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ

⊢ (1 / T) • ∫ (x : ℝ) in a..a + T, (fourier (-n)) ↑x • liftIco T a f ↑x = (1 / T) • ∫ (x : ℝ) in a..a + T, (fourier (-n)) ↑x • f x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..a + T, (fourier (-n)) ↑x • liftIco T a f ↑x = ∫ (x : ℝ) in a..a + T, (fourier (-n)) ↑x • f x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a (a + T), (fourier (-n)) ↑x • liftIco T a f ↑x ∂volume = ∫ (x : ℝ) in Ioc a (a + T), (fourier (-n)) ↑x • f x ∂volume
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ

⊢ ∫ (t : ℝ) in Ioo a (a + T), (fourier (-n)) ↑t • liftIco T a f ↑t ∂volume = ∫ (t : ℝ) in Ioo a (a + T), (fourier (-n)) ↑t • f t ∂volume
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a : ℝ
f : ℝ → ℂ
n : ℤ
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a (a + T)

⊢ (fourier (-n)) ↑x • liftIco T a f ↑x = (fourier (-n)) ↑x • f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
hv : v ∈ s.direction
p : P
hp : p ∈ s

⊢ v +ᵥ p ∈ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
hv : ∃ p1 ∈ s, ∃ p2 ∈ s, v = p1 -ᵥ p2
p : P
hp : p ∈ s

⊢ v +ᵥ p ∈ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
p : P
hp : p ∈ s
p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s
hv : v = p1 -ᵥ p2

⊢ p1 -ᵥ p2 +ᵥ p ∈ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
p : P
hp : p ∈ s
p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s
hv : v = p1 -ᵥ p2

⊢ p1 -ᵥ p2 +ᵥ p ∈ s ↔ 1 • (p1 -ᵥ p2) +ᵥ p ∈ s.carrier
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
p : P
hp : p ∈ s
p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
p2 : P
hp2 : p2 ∈ s
hv : v = p1 -ᵥ p2

⊢ p1 -ᵥ p2 +ᵥ p ∈ s ↔ p1 -ᵥ p2 +ᵥ p ∈ s.carrier