ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
hg : Surjective ⇑g
h : P → N
hgh : Function.RightInverse h ⇑g
y : N ⊗[R] Q

⊢ (inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ rTensor Q g) y = (range (rTensor Q f)).mkQ y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Option.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
e : Perm α

⊢ Perm.sign (optionCongr e) = Perm.sign e
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Option.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
e : Perm α

⊢ Perm.sign (optionCongr 1) = Perm.sign 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Option.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
e : Perm α

⊢ ∀ (f : Perm α) (x y : α), x ≠ y → Perm.sign (optionCongr f) = Perm.sign f → Perm.sign (optionCongr (swap x y * f)) = Perm.sign (swap x y * f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ

⊢ ‖Memℒp.toLp f hf‖ = (eLpNorm f p μ).toReal
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Logic.lean
α✝ : Sort u_1
x₁ x₂ : α✝

⊢ x₁ = x₂ ↔ x₁ = x₂
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L
hx : IsIntegral R x

⊢ IsIntegral R ((norm K) x)
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L
hx : IsIntegral R x
hx' : IsIntegral K x

⊢ IsIntegral R ((norm K) x)
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L
hx : IsIntegral R x
hx' : IsIntegral K x

⊢ IsIntegral R (((minpoly K x).aroots (AlgebraicClosure L)).prod ^ finrank (↥K⟮x⟯) L)
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Ring S
inst✝¹² : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra K E
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra R K
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L
hx : IsIntegral R x
hx' : IsIntegral K x

⊢ Splits (algebraMap K (AlgebraicClosure L)) (minpoly K x)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
f : ι → Set X
hf : LocallyFinite f
hne : ∀ (i : ι), (f i).Nonempty

⊢ univ.Finite
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L

⊢ f x ∈ f.idealRange
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
x : L

⊢ f x ∈ LieIdeal.map f ⊤
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)

⊢ X.σ i ≫ X.δ i.succ = 𝟙 (X _[n])
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
r : R
M : Matrix n n R

⊢ (1 + r • M).det = 1 + M.trace * r + eval r (1 + X • M.map ⇑C).det.divX.divX * r ^ 2
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hroots : card p.roots = p.natDegree
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree

⊢ p.coeff k = p.leadingCoeff * (-1) ^ (p.natDegree - k) * p.roots.esymm (p.natDegree - k)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hroots : card p.roots = p.natDegree
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree

⊢ (C p.leadingCoeff * (map (fun a => X - C a) p.roots).prod).coeff k = p.leadingCoeff * (-1) ^ (p.natDegree - k) * p.roots.esymm (p.natDegree - k)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hroots : card p.roots = p.natDegree
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree

⊢ p.leadingCoeff * (map (fun a => X - C a) p.roots).prod.coeff k = p.leadingCoeff * ((-1) ^ (p.natDegree - k) * p.roots.esymm (p.natDegree - k))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Vieta.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p : R[X]
hroots : card p.roots = p.natDegree
k : ℕ
h : k ≤ p.natDegree
this : k ≤ card p.roots

⊢ (map (fun a => X - C a) p.roots).prod.coeff k = (-1) ^ (p.natDegree - k) * p.roots.esymm (p.natDegree - k)
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝¹ t✝ : Finset α
n : ?m.30699
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq (Finset α)
s : Finset α

⊢ s.powerset = (range (s.card + 1)).biUnion fun i => powersetCard i s
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l₁ l₂ : List α
f : α → Option β
s : l₁ <+ l₂

⊢ filterMap f l₁ <+ filterMap f l₂
-- Mathlib/Algebra/Group/NatPowAssoc.lean
M : Type u_1
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : Pow M ℕ
inst✝ : NatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ

⊢ x ^ (m * n) = (x ^ m) ^ n
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Div α
a b : Part α
hab : (a / b).Dom

⊢ (a / b).get hab = a.get ⋯ / b.get ⋯
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Div α
a b : Part α
hab : (a / b).Dom

⊢ (a.bind fun y => map (fun x => y / x) b).get ⋯ = a.get ⋯ / b.get ⋯
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ

⊢ IsIntegralCurveAt γ v t₀ ↔ ∃ s ∈ 𝓝 t₀, IsIntegralCurveOn γ v s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f f' g : ↥(Lp E 2 μ)

⊢ ⟪f + f', g⟫_𝕜 = ⟪f, g⟫_𝕜 + ⟪f', g⟫_𝕜
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f f' g : ↥(Lp E 2 μ)

⊢ ∫ (a : α), ⟪↑↑(f + f') a, ↑↑g a⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (a : α), ⟪↑↑f a + ↑↑f' a, ↑↑g a⟫_𝕜 ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f f' g : ↥(Lp E 2 μ)
x : α
hx : ↑↑(f + f') x = (↑↑f + ↑↑f') x

⊢ (fun a => ⟪↑↑(f + f') a, ↑↑g a⟫_𝕜) x = (fun a => ⟪↑↑f a + ↑↑f' a, ↑↑g a⟫_𝕜) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f f' g : ↥(Lp E 2 μ)
x : α
hx : ↑↑(f + f') x = (↑↑f + ↑↑f') x

⊢ ⟪↑↑(f + f') x, ↑↑g x⟫_𝕜 = ⟪↑↑f x + ↑↑f' x, ↑↑g x⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
c : F

⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => f x - c) f' x
-- Mathlib/Algebra/Module/Rat.lean
M : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
F : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝³ : DivisionRing R
inst✝² : DivisionRing S
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module S M₂
c : ℚ
x : M

⊢ f (↑c • x) = ↑c • f x
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f✝ : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
N : Type ?u.1048911
N' : Type ?u.1048914
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S g
f : M →ₗ[R] LocalizedModule S M := mkLinearMap S M

⊢ iso S (mkLinearMap S M) = LinearEquiv.refl R (LocalizedModule S M)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f✝ : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
N : Type ?u.1048911
N' : Type ?u.1048914
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S g
f : M →ₗ[R] LocalizedModule S M := mkLinearMap S M
e : LocalizedModule S M →ₗ[R] LocalizedModule S M
left✝ : e ∘ₗ f = f
univ : ∀ (y : LocalizedModule S M →ₗ[R] LocalizedModule S M), (fun l => l ∘ₗ f = f) y → y = e

⊢ iso S (mkLinearMap S M) = LinearEquiv.refl R (LocalizedModule S M)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹³ : CommSemiring A
inst✝¹² : Algebra R A
inst✝¹¹ : Module A M'
inst✝¹⁰ : IsLocalization S A
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R M'
inst✝⁷ : Module R M''
inst✝⁶ : IsScalarTower R A M'
f✝ : M →ₗ[R] M'
g✝ : M →ₗ[R] M''
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f✝
N : Type ?u.1048911
N' : Type ?u.1048914
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R N'
g : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S g
f : M →ₗ[R] LocalizedModule S M := mkLinearMap S M
e : LocalizedModule S M →ₗ[R] LocalizedModule S M
left✝ : e ∘ₗ f = f
univ : ∀ (y : LocalizedModule S M →ₗ[R] LocalizedModule S M), (fun l => l ∘ₗ f = f) y → y = e

⊢ e = ↑(LinearEquiv.refl R (LocalizedModule S M))
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
xs✝ ys : List α
ls : List (List α)
f : List α → List α
x : α
xs : List α

⊢ (if p x = true then [].reverse :: splitOnP.go p xs [] else splitOnP.go p xs [x]) = if p x = true then [] :: splitOnP p xs else modifyHead (cons x) (splitOnP p xs)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
c : ℝ≥0∞
h : levyProkhorovEDist μ ν < c
B : Set Ω
B_mble : MeasurableSet B

⊢ ν B ≤ μ (thickening c.toReal B) + c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LevyProkhorovMetric.lean
ι : Type u_1
Ω : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : PseudoEMetricSpace Ω
μ ν : Measure Ω
c : ℝ≥0∞
h : levyProkhorovEDist μ ν < c
B : Set Ω
B_mble : MeasurableSet B
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ∈ {ε | ∀ (B : Set Ω), MeasurableSet B → μ B ≤ ν (thickening ε.toReal B) + ε ∧ ν B ≤ μ (thickening ε.toReal B) + ε}
lt_c : c' < c

⊢ ν B ≤ μ (thickening c.toReal B) + c
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
p' : G.Walk v w

⊢ (p.append p').support.tail = p.support.tail ++ p'.support.tail
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α

⊢ TransGen r a c ↔ ∃ b, ReflTransGen r a b ∧ r b c
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
h : TransGen r a c

⊢ ∃ b, ReflTransGen r a b ∧ r b c
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
x : R⟦X⟧
n : ℕ

⊢ (coeff R n) ((rescale 0) x) = (coeff R n) (((C R).comp (constantCoeff R)) x)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
x : R⟦X⟧
n : ℕ

⊢ (coeff R n) ({ toFun := fun f => mk fun n => 0 ^ n * (coeff R n) f, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } x) = if n = 0 then (constantCoeff R) x else 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝¹³ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
ψ : ι → Type u_2
χ : ι → Type u_3
inst✝¹² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (ψ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (ψ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (χ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (χ i)
S : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : ι → M
g : ι → R

⊢ ((piRing R M ι S).symm f) g = ∑ i : ι, g i • f i
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
ι' : Sort u_2
inst✝ : UniformSpace β
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
ha : (𝓤 α).HasBasis p s
q : ι' → Prop
t : ι' → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis q t
f : α → β

⊢ (∀ (ib : ι'), q ib → ∃ ia, p ia ∧ ∀ x ∈ s ia, (f x.1, f x.2) ∈ t ib) ↔ ∀ (i : ι'), q i → ∃ j, p j ∧ ∀ (x y : α), (x, y) ∈ s j → (f x, f y) ∈ t i
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t✝ : Finset β
a : α
b c : β
t : Finset α
hf : Injective f

⊢ image f s ⊂ image f t ↔ s ⊂ t
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t✝ : Finset β
a : α
b c : β
t : Finset α
hf : Injective f

⊢ image f s < image f t ↔ s < t
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P

⊢ ⊥.direction = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂
p q : ℤ
hpq : p + n₁₂ = q

⊢ ((-z₁).comp z₂ h).v p q hpq = (-z₁.comp z₂ h).v p q hpq
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
s : Stream' α
x✝ : a ∈ s.odd
n : ℕ
h : (fun b => a = b) (s.odd.get n)

⊢ (fun b => a = b) (s.get (2 * n + 1))
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length

⊢ findIdx p xs = i ↔ p (xs.get ⟨i, h⟩) = true ∧ ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length
x✝ : p (xs.get ⟨i, h⟩) = true ∧ ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
h1 : p (xs.get ⟨i, h⟩) = true
h2 : ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true

⊢ findIdx p xs = i
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length
x✝ : p (xs.get ⟨i, h⟩) = true ∧ ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
h1 : p (xs.get ⟨i, h⟩) = true
h2 : ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true

⊢ findIdx p xs ≤ i
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
p : α → Bool
xs : List α
i : ℕ
h : i < xs.length
x✝ : p (xs.get ⟨i, h⟩) = true ∧ ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
h2 : ∀ (j : ℕ) (hji : j < i), ¬p (xs.get ⟨j, ⋯⟩) = true
h1 : i < findIdx p xs

⊢ p (xs.get ⟨i, h⟩) ≠ true
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X

⊢ IsClosed s ↔ ∀ (x : X), f x ∈ closure (f '' s) → x ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s

⊢ y ∈ ⇑(homothety x t) '' interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0

⊢ y ∈ ⇑(homothety x t) '' interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0

⊢ (homothety x t⁻¹) y ∈ openSegment ℝ x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0

⊢ (lineMap x y) t⁻¹ ∈ (fun x_1 => (lineMap x y) x_1⁻¹) '' Ioi 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x✝ x : P

⊢ intrinsicInterior 𝕜 {x} = {x}
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F

⊢ ‖1‖₊ = 0
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
t : Set β

⊢ (s ×ˢ t).Finite ↔ (s.Finite ∨ t = ∅) ∧ (t.Finite ∨ s = ∅)
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
f : α → β

⊢ Tendsto f l₁ l₂ ↔ RTendsto' (Function.graph f) l₁ l₂
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u

⊢ lift.{u, v} 2 = 2
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i
hs : s.Nonempty

⊢ eval x (nodal s v) * ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ o.oangle (x - y) x = ↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x - y‖))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ (-o).oangle x (x - y) = ↑(Real.arccos (‖x‖ / ‖x - y‖))
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n

⊢ qrSign m n = (-1) ^ (m / 2 * (n / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n

⊢ J(χ₄ ↑m | n) = χ₄ ↑m ^ (n / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
h : m % 4 = 1

⊢ J(χ₄ ↑m | n) = χ₄ ↑m ^ (n / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n
h : m % 4 = 3

⊢ J(χ₄ ↑m | n) = χ₄ ↑m ^ (n / 2)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M
h : x ≠ 0

⊢ (coord R M x h) ⟨x, ⋯⟩ = 1
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
g : S →+* T
hmap : ∀ (a : R), g ((algebraMap R S) a) = i a
hroot : g h.root = x
a : S

⊢ g a = (lift i x hx h) a
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
g : S →+* T
hmap : ∀ (a : R), g ((algebraMap R S) a) = i a
hroot : g h.root = x
a : S

⊢ g (h.map (∑ i ∈ Finset.range ((h.repr a).natDegree + 1), C ((h.repr a).coeff i) * X ^ i)) = (lift i x hx h) (h.map (∑ i ∈ Finset.range ((h.repr a).natDegree + 1), C ((h.repr a).coeff i) * X ^ i))
-- Mathlib/Data/Rat/Sqrt.lean
z : ℤ

⊢ sqrt ↑z = ↑(Int.sqrt z)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
n : ℕ

⊢ (X ^ n).eraseLead = 0
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
η : Type u_5
α : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
l✝ : Subspace η α ι
x✝ : η → α
i✝ : ι
a : α
e : η
η' : Type u_9
α' : Type u_10
ι' : Type u_11
l : Subspace η α ι
eη : η ≃ η'
eα : α ≃ α'
eι : ι ≃ ι'
x : η' → α'
i : ι'

⊢ ↑(l.reindex eη eα eι) x i = eα (↑l (⇑eα.symm ∘ x ∘ ⇑eη) (eι.symm i))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasureProd.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β
s : Set (α × β)
s_mble : MeasurableSet s

⊢ (μ.prod ν) s = (∫⁻ (x : α), ↑ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂↑μ).toNNReal