ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Over.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : SheafOfTypes (J.over Y)
Z : Over X
T : Presieve Z
x : Presieve.FamilyOfElements ((Over.map f).op ⋙ F.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : Over X
W : Over Y
f₁ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₁
f₂ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
h : f₁ ≫ (Over.map f).map g₁ = f₂ ≫ (Over.map f).map g₂
W' : Over X := Over.mk (f₁.left ≫ Y₁.hom)
g₁' : W' ⟶ Y₁ := Over.homMk f₁.left ⋯
g₂' : W' ⟶ Y₂ := Over.homMk f₂.left ⋯
e : (Over.map f).obj W' ≅ W := Over.isoMk (Iso.refl ((Over.map f).obj W').left) ⋯

⊢ F.val.map f₁.op (x g₁ hg₁) = F.val.map e.inv.op (((Over.map f).op ⋙ F.val).map g₁'.op (x g₁ hg₁))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Over.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
F : SheafOfTypes (J.over Y)
Z : Over X
T : Presieve Z
x : Presieve.FamilyOfElements ((Over.map f).op ⋙ F.val) T
hx : x.Compatible
Y₁ Y₂ : Over X
W : Over Y
f₁ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₁
f₂ : W ⟶ (Over.map f).obj Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z
g₂ : Y₂ ⟶ Z
hg₁ : T g₁
hg₂ : T g₂
h : f₁ ≫ (Over.map f).map g₁ = f₂ ≫ (Over.map f).map g₂
W' : Over X := Over.mk (f₁.left ≫ Y₁.hom)
g₁' : W' ⟶ Y₁ := Over.homMk f₁.left ⋯
g₂' : W' ⟶ Y₂ := Over.homMk f₂.left ⋯
e : (Over.map f).obj W' ≅ W := Over.isoMk (Iso.refl ((Over.map f).obj W').left) ⋯

⊢ F.val.map f₂.op (x g₂ hg₂) = F.val.map e.inv.op (((Over.map f).op ⋙ F.val).map g₂'.op (x g₂ hg₂))
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset ι
i : ι
a : α
f✝ g✝ : ι → α
inst✝¹ : CommSemiring α
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ι → α
s : Finset ι

⊢ ∏ i ∈ s, (f i + g i) = ∑ t ∈ s.powerset, (∏ i ∈ t, f i) * ∏ i ∈ s \ t, g i
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Surreal

⊢ BddAbove (Set.range f)
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Subtype Numeric

⊢ BddAbove (Set.range fun i => ⟦f i⟧)
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Subtype Numeric
g : ι → PGame := Subtype.val ∘ f

⊢ BddAbove (Set.range fun i => ⟦f i⟧)
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Subtype Numeric
g : ι → PGame := Subtype.val ∘ f
hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric

⊢ BddAbove (Set.range fun i => ⟦f i⟧)
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
g : ι → PGame
hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric
x : PGame := PGame.mk ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (g ((equivShrink ι).symm i)).LeftMoves) PEmpty.{u + 1} (fun x => (g ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveLeft x.snd) PEmpty.elim

⊢ BddAbove (Set.range fun i => mk (g i) ⋯)
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
g : ι → PGame
hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric
x : PGame := PGame.mk ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (g ((equivShrink ι).symm i)).LeftMoves) PEmpty.{u + 1} (fun x => (g ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveLeft x.snd) PEmpty.elim
i : ι

⊢ mk (g i) ⋯ ≤ mk x ⋯
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
g : ι → PGame
hg : ∀ (i : ι), (g i).Numeric
x : PGame := PGame.mk ((i : Shrink.{u, u_1} ι) × (g ((equivShrink ι).symm i)).LeftMoves) PEmpty.{u + 1} (fun x => (g ((equivShrink ι).symm x.fst)).moveLeft x.snd) PEmpty.elim
i : ι

⊢ (∀ (i_1 : (g ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).LeftMoves), (g ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i))).moveLeft i_1 ⧏ x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), g ((equivShrink ι).symm ((equivShrink ι) i)) ⧏ x.moveRight j
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t u : Set α
Φ : α → β

⊢ hausdorffEdist s (closure s) = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)

⊢ (f * g).signAux = f.signAux * g.signAux
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)

⊢ (f * g).signAux = f.signAux * g⁻¹.signAux
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)

⊢ (∏ x ∈ finPairsLT n, if (f * g) x.fst ≤ (f * g) x.snd then -1 else 1) = (∏ x ∈ finPairsLT n, if f x.fst ≤ f x.snd then -1 else 1) * ∏ x ∈ finPairsLT n, if g⁻¹ x.fst ≤ g⁻¹ x.snd then -1 else 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)

⊢ (∏ x ∈ finPairsLT n, if (f * g) x.fst ≤ (f * g) x.snd then -1 else 1) = ∏ x ∈ finPairsLT n, (if f x.fst ≤ f x.snd then -1 else 1) * if g⁻¹ x.fst ≤ g⁻¹ x.snd then -1 else 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)

⊢ ∀ a ∈ finPairsLT n, (if (f * g) a.fst ≤ (f * g) a.snd then -1 else 1) = (if f (g.signBijAux a).fst ≤ f (g.signBijAux a).snd then -1 else 1) * if g⁻¹ (g.signBijAux a).fst ≤ g⁻¹ (g.signBijAux a).snd then -1 else 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)
a b : Fin n
hab : ⟨a, b⟩ ∈ finPairsLT n

⊢ (if (f * g) a ≤ (f * g) b then -1 else 1) = (if f (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).fst ≤ f (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).snd then -1 else 1) * if g⁻¹ (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).fst ≤ g⁻¹ (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).snd then -1 else 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)
a b : Fin n
hab : ⟨a, b⟩ ∈ finPairsLT n

⊢ (if f (g a) ≤ f (g b) then -1 else 1) = (if f (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).fst ≤ f (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).snd then -1 else 1) * if g⁻¹ (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).fst ≤ g⁻¹ (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).snd then -1 else 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
β : Type v
n : ℕ
f g : Perm (Fin n)
a b : Fin n
hab : ⟨a, b⟩.snd < ⟨a, b⟩.fst

⊢ (if f (g a) ≤ f (g b) then -1 else 1) = (if f (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).fst ≤ f (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).snd then -1 else 1) * if g⁻¹ (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).fst ≤ g⁻¹ (if x : g b < g a then ⟨g a, g b⟩ else ⟨g b, g a⟩).snd then -1 else 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/TensorProduct.lean
R : Type u
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
S : Type ?u.131591
inst✝¹³ : Semiring S
inst✝¹² : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁴ : Module R M₁'
inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
i : ι₁
x : M₁ i
y : M₂'

⊢ (directSumLeft R M₁ M₂').symm ((lof R ι₁ (fun i => M₁ i ⊗[R] M₂') i) (x ⊗ₜ[R] y)) = (lof R ι₁ M₁ i) x ⊗ₜ[R] y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ

⊢ (-I).arg = -(π / 2)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
g' : S →ₗ[R] N

⊢ map f g ∘ₗ lTensor M g' = map f (g ∘ₗ g')
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x y z : α
h : x ∈ y :: z :: l
hx : x = y

⊢ (y :: z :: l).prev x h = (z :: l).getLast ⋯
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ cfcₙ f a = (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := hf0 }
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 p4 p5 : P
hapc : ∠ p1 p5 p3 = π
hbpd : ∠ p2 p5 p4 = π

⊢ ∠ p1 p5 p2 = ∠ p3 p5 p4
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
a b : ℝ

⊢ IntervalIntegrable (fun x => x⁻¹) volume a b ↔ a = b ∨ 0 ∉ [[a, b]]
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A

⊢ map (↑(opLinearEquiv R)) (M * N) = map (↑(opLinearEquiv R)) N * map (↑(opLinearEquiv R)) M
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A

⊢ map (↑(opLinearEquiv R)) (M * N) ≤ map (↑(opLinearEquiv R)) N * map (↑(opLinearEquiv R)) M
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A

⊢ map (↑(opLinearEquiv R)) N * map (↑(opLinearEquiv R)) M ≤ map (↑(opLinearEquiv R)) (M * N)
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N : L.Substructure M

⊢ N.CG ↔ ↑N = ∅ ∨ ∃ s, (closure L).toFun (range s) = N
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N : L.Substructure M

⊢ (∃ S, S.Countable ∧ (closure L).toFun S = N) ↔ ↑N = ∅ ∨ ∃ s, (closure L).toFun (range s) = N
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)

⊢ ↑z.num ∈ carrier f_deg q ↔ HomogeneousLocalization.mk z ∈ q.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
n : ℕ
hn : f ^ n = ↑z.den

⊢ ↑z.num ∈ carrier f_deg q ↔ HomogeneousLocalization.mk z ∈ q.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
n : ℕ
hn : f ^ n = ↑z.den
this : f ^ n ≠ 0

⊢ ↑z.num ∈ carrier f_deg q ↔ HomogeneousLocalization.mk z ∈ q.asIdeal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
n : ℕ
hn : f ^ n = ↑z.den
this : f ^ n ≠ 0

⊢ HomogeneousLocalization.mk z = HomogeneousLocalization.mk { deg := m * n, num := ⟨↑z.num, ⋯⟩, den := ⟨f ^ n, ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
q : ↑↑(Spec A⁰_ f).toPresheafedSpace
z : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f)
n : ℕ
hn : f ^ n = ↑z.den
this : f ^ n ≠ 0

⊢ ↑z.num ∈ 𝒜 (n * m)
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : P.a ≠ 0

⊢ Splits φ P.toPoly ↔ card (map φ P).roots = 3
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : (map φ P).a ≠ 0

⊢ Splits φ P.toPoly ↔ card (map φ P).roots = 3
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P : Cubic F
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Field K
φ : F →+* K
x y z : K
ha : (map φ P).a ≠ 0

⊢ Splits ((RingHom.id K).comp φ) P.toPoly ↔ card (map φ P).roots = 3
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N

⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n

⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N

⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N

⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n

⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N

⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) < ↑(rothNumberNat N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N

⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ (↑N ^ (↑(nValue N))⁻¹ / rexp 1) ^ (n - 2) / ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N

⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑N * (↑N ^ (2 / ↑n) * (rexp (↑n - 2) * ↑n))⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N

⊢ rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ (↑N ^ (2 / ↑n) * (rexp (↑n - 2) * ↑n))⁻¹
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N

⊢ rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑N ^ (-(2 / ↑n)) * (rexp (2 - ↑n) / ↑n)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this✝ : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
this : rexp (-4 * √(log ↑N)) = rexp (-2 * √(log ↑N)) * rexp (-2 * √(log ↑N))

⊢ rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑N ^ (-(2 / ↑n)) * (rexp (2 - ↑n) / ↑n)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this✝ : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
this : rexp (-4 * √(log ↑N)) = rexp (-2 * √(log ↑N)) * rexp (-2 * √(log ↑N))

⊢ rexp (-2 * √(log ↑N)) * rexp (-2 * √(log ↑N)) ≤ ↑N ^ (-(2 / ↑n)) * (rexp (2 - ↑n) / ↑n)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this✝ : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
this : rexp (-4 * √(log ↑N)) = rexp (-2 * √(log ↑N)) * rexp (-2 * √(log ↑N))

⊢ rexp (-2 * √(log ↑N)) ≤ ↑N ^ (-(2 / ↑n))
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
hN : 4096 ≤ N
n : ℕ := nValue N
hn : 0 < ↑n
hd : 0 < dValue N
hN₀ : 0 < ↑N
hn₂ : 2 < n
this✝ : (2 * dValue N - 1) ^ n ≤ N
this : rexp (-4 * √(log ↑N)) = rexp (-2 * √(log ↑N)) * rexp (-2 * √(log ↑N))

⊢ 1 < ↑N
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b : α
inst✝ : Nonempty ι

⊢ ⨆ x, a = a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module.Free R M₁
cnd : lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')

⊢ Nonempty (M ≃ₗ[R] M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module.Free R M₁
cnd : lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')
α : Type v
B : Basis α R M

⊢ Nonempty (M ≃ₗ[R] M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module.Free R M₁
cnd : lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')
α : Type v
B : Basis α R M
β : Type v'
B' : Basis β R M'

⊢ Nonempty (M ≃ₗ[R] M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Free.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module.Free R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : AddCommGroup M₁
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module.Free R M₁
cnd : lift.{v', v} (Module.rank R M) = lift.{v, v'} (Module.rank R M')
α : Type v
B : Basis α R M
β : Type v'
B' : Basis β R M'
this : lift.{v', v} #α = lift.{v, v'} #β

⊢ Nonempty (M ≃ₗ[R] M')
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/BigOperators.lean
ι : Type u_1
x : ℕ
t : Finset ι
s : ι → ℕ

⊢ x.Coprime (∏ i ∈ t, s i) ↔ ∀ i ∈ t, x.Coprime (s i)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝⁵ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
m : (i : ι) → E i

⊢ (tprodL 𝕜).toMultilinearMap m = (tprod 𝕜) m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M

⊢ CompleteLattice.IsCompactElement (span R {x})
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M

⊢ ∀ (s : Set (Submodule R M)), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → span R {x} ≤ sSup s → ∃ x_1 ∈ s, span R {x} ≤ x_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
d : Set (Submodule R M)
hemp : d.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
hsup : span R {x} ≤ sSup d

⊢ ∃ x_1 ∈ d, span R {x} ≤ x_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
d : Set (Submodule R M)
hemp : d.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
hsup : span R {x} ≤ sSup d
this : x ∈ sSup d

⊢ ∃ x_1 ∈ d, span R {x} ≤ x_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M
d : Set (Submodule R M)
hemp : d.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) d
hsup : span R {x} ≤ sSup d
this : x ∈ sSup d
y : Submodule R M
hyd : y ∈ d
hxy : x ∈ y

⊢ ∃ x_1 ∈ d, span R {x} ≤ x_1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
hi : i ∉ s
w : ι → k
hw : s.sum w = 1

⊢ (b.coord i) ((Finset.affineCombination k s ⇑b) w) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/IsConnected.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : IsPreconnected J
r : J → J → Prop
hr : _root_.Equivalence r
h : ∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → r j₁ j₂
j₁ j₂ : J

⊢ r j₁ j₂
-- Mathlib/CategoryTheory/IsConnected.lean
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : IsPreconnected J
r : J → J → Prop
hr : _root_.Equivalence r
h : ∀ {j₁ j₂ : J}, (j₁ ⟶ j₂) → r j₁ j₂
j₁ j₂ : J
z : ∀ (j : J), r j₁ j

⊢ r j₁ j₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X

⊢ ∫ (x : X) in univ, f x ∂μ = ∫ (x : X), f x ∂μ
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ t : Finset ι
f✝ : ι → α
i✝ i : ι
f : ι → α
s : Finset ι
hs : s ⊆ {i}
j : ι
hji : j ∈ {i}
hj : j ∉ s

⊢ Disjoint (f j) (s.sup f)