ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁷ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁴ : L.NeBot
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
ex : ∃ rs, Tendsto rs atTop (𝓝 0) ∧ ∀ (n : ℕ), 0 < rs n ∧ μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
rs : ℕ → ℝ := Classical.choose ex
rs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < rs n
rs_null : ∀ (n : ℕ), μ (frontier (Metric.thickening (rs n) F)) = 0
Fthicks_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (Metric.thickening (rs n) F)
key : ∀ (n : ℕ), Tendsto (fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs n) F)) L (𝓝 (μ (Metric.thickening (rs n) F)))
ε : ℝ≥0
ε_pos : 0 < ε
μF_finite : μ F < ⊤
keyB : Tendsto (fun r => μ (Metric.cthickening r F)) (𝓝 0) (𝓝 (μ F))
nhd : Iio (μ F + ↑ε) ∈ 𝓝 (μ F)
m : ℕ
hm : ∀ b ≥ m, μ (Metric.cthickening (rs b) F) < μ F + ↑ε
aux' : ∀ (i : ι), (μs i) F ≤ (μs i) (Metric.thickening (rs m) F)
aux : (fun i => (μs i) F) ≤ᶠ[L] fun i => (μs i) (Metric.thickening (rs m) F)

⊢ μ (Metric.thickening (rs m) F) ≤ μ F + ↑ε
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ { ofColex := s \ t } < { ofColex := t \ s } ↔ { ofColex := s } < { ofColex := t }
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
this : Unique ι

⊢ (⇑b = fun x => 1) ∨ ⇑b = fun x => -1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
this✝ : Unique ι
this : b default = 1 ∨ b default = -1

⊢ (⇑b = fun x => 1) ∨ ⇑b = fun x => -1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : Set E
A : ι → Submodule 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
b : OrthonormalBasis ι ℝ ℝ
this✝ : Unique ι
this : b default = 1 ∨ b default = -1

⊢ (const ι (b default) = fun x => 1) ∨ const ι (b default) = fun x => -1
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
f : α → R
f' : α → M
x : α
hf : HasCompactSupport f'

⊢ HasCompactSupport (f • f')
-- Mathlib/Topology/Support.lean
X : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
M : Type u_7
E : Type u_8
R : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
f : α → R
f' : α → M
x : α
hf : f' =ᶠ[coclosedCompact α] 0

⊢ f • f' =ᶠ[coclosedCompact α] 0
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
a : α
l : List α
a✝ : (∀ a ∈ ↑l, ∀ b ∈ ↑l, r a b) → Chain r ↑l
hs : ∀ a_1 ∈ ↑(a :: l), ∀ b ∈ ↑(a :: l), r a_1 b
Ha : a ∈ ↑(a :: l)
Hl : ∀ {b : α}, b ∈ l → b ∈ ↑(a :: l)

⊢ Chain r ↑(a :: l)
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
a : α
l : List α
a✝ : (∀ a ∈ ↑l, ∀ b ∈ ↑l, r a b) → Chain r ↑l
hs : ∀ a_1 ∈ ↑(a :: l), ∀ b ∈ ↑(a :: l), r a_1 b
Ha : a ∈ ↑(a :: l)
Hl : ∀ {b : α}, b ∈ l → b ∈ ↑(a :: l)

⊢ List.Chain r a (l ++ [a])
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
a : α
l : List α
a✝ : (∀ a ∈ ↑l, ∀ b ∈ ↑l, r a b) → Chain r ↑l
hs : ∀ a_1 ∈ ↑(a :: l), ∀ b ∈ ↑(a :: l), r a_1 b
Ha : a ∈ ↑(a :: l)
Hl : ∀ {b : α}, b ∈ l → b ∈ ↑(a :: l)

⊢ List.Pairwise r (a :: (l ++ [a]))
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
a : α
l : List α
a✝ : (∀ a ∈ ↑l, ∀ b ∈ ↑l, r a b) → Chain r ↑l
hs : ∀ a_1 ∈ ↑(a :: l), ∀ b ∈ ↑(a :: l), r a_1 b
Ha : a ∈ ↑(a :: l)
Hl : ∀ {b : α}, b ∈ l → b ∈ ↑(a :: l)

⊢ (∀ a' ∈ l ++ [a], r a a') ∧ List.Pairwise r (l ++ [a])
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
a : α
l : List α
a✝ : (∀ a ∈ ↑l, ∀ b ∈ ↑l, r a b) → Chain r ↑l
hs : ∀ a_1 ∈ ↑(a :: l), ∀ b ∈ ↑(a :: l), r a_1 b
Ha : a ∈ ↑(a :: l)
Hl : ∀ {b : α}, b ∈ l → b ∈ ↑(a :: l)
b : α
hb : b ∈ l ++ [a]

⊢ r a b
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s : Cycle α
a : α
l : List α
a✝ : (∀ a ∈ ↑l, ∀ b ∈ ↑l, r a b) → Chain r ↑l
hs : ∀ a_1 ∈ ↑(a :: l), ∀ b ∈ ↑(a :: l), r a_1 b
Ha : a ∈ ↑(a :: l)
Hl : ∀ {b : α}, b ∈ l → b ∈ ↑(a :: l)
b : α
hb : b ∈ l
c : α
hc : c ∈ [a]

⊢ r b c
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤

⊢ affineSpan k ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤

⊢ (affineSpan k ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s)).direction = ⊤.direction
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤

⊢ Submodule.span k (range Subtype.val) ≤ Submodule.span k ((fun x => x -ᵥ p) '' ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s))
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤

⊢ range Subtype.val ⊆ (fun x => x -ᵥ p) '' ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤
v' : { x // x ∈ s }

⊢ ↑v' ∈ (fun x => x -ᵥ p) '' ({p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set V
p : P
h : Submodule.span k (range Subtype.val) = ⊤
v' : { x // x ∈ s }

⊢ ↑v' +ᵥ p ∈ {p} ∪ (fun v => v +ᵥ p) '' s ∧ (fun x => x -ᵥ p) (↑v' +ᵥ p) = ↑v'
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Preorder (α i)
x y✝ y : (i : ι) → α i

⊢ (y ∈ univ.pi fun i => Icc (x i) (y✝ i)) ↔ y ∈ Icc x y✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f
c : KernelFork f
i : IsLimit c

⊢ (Fork.ι c ≫ let c' := KernelFork.ofι (Fork.ι c) ⋯; let i' := isKernelCompMono i (section_ f) ⋯; let i'' := isLimitForkOfKernelFork i'; (splitMonoOfIdempotentOfIsLimitFork C ⋯ i'').retraction) = 𝟙 c.pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f
c : KernelFork f
i : IsLimit c

⊢ section_ f ≫ (splitMonoOfIdempotentOfIsLimitFork C ⋯ (isLimitForkOfKernelFork (isKernelCompMono i (section_ f) ⋯))).retraction = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f
c : KernelFork f
i : IsLimit c

⊢ section_ f ≫ i.lift (Fork.ofι (Fork.ι (kernelForkOfFork (Fork.ofι (𝟙 X - f ≫ section_ f) ⋯))) ⋯) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f
c : KernelFork f
i : IsLimit c

⊢ section_ f ≫ i.lift (Fork.ofι (Fork.ofι (𝟙 X - f ≫ section_ f) ⋯).ι ⋯) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f
c : KernelFork f
i : IsLimit c
this : Mono (Fork.ι c) := mono_of_isLimit_fork i

⊢ section_ f ≫ i.lift (Fork.ofι (Fork.ofι (𝟙 X - f ≫ section_ f) ⋯).ι ⋯) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X✝ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsSplitEpi f
c : KernelFork f
i : IsLimit c
this : Mono (Fork.ι c) := mono_of_isLimit_fork i

⊢ (section_ f ≫ i.lift (Fork.ofι (Fork.ofι (𝟙 X - f ≫ section_ f) ⋯).ι ⋯)) ≫ Fork.ι c = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Presheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v
X : C
s : yoneda.obj X ⟶ A
p : OverArrows (yonedaCollectionPresheafToA F) s

⊢ YonedaCollection.fst p.val = s
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β

⊢ f ×ˢ (g₁ ⊓ g₂) = f ×ˢ g₁ ⊓ f ×ˢ g₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/LimitsOfProductsAndEqualizers.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ C
c₁ : Fan F.obj
c₂ : Fan fun f => F.obj f.fst.2
s t : c₁.pt ⟶ c₂.pt
hs : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), s ≫ c₂.π.app { as := f } = c₁.π.app { as := f.fst.1 } ≫ F.map f.snd
ht : ∀ (f : (p : J × J) × (p.1 ⟶ p.2)), t ≫ c₂.π.app { as := f } = c₁.π.app { as := f.fst.2 }
i : Fork s t
j₁ j₂ : J
f : j₁ ⟶ j₂

⊢ 𝟙 i.pt ≫ i.ι ≫ c₁.π.app { as := j₂ } = (i.ι ≫ c₁.π.app { as := j₁ }) ≫ F.map f
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ p a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hpa : p ∈ a.primeFactorsList

⊢ (a * b).factorization p = a.factorization p
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P

⊢ s.WOppSide x y ↔ ∃ p ∈ s, Wbtw R x p y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.WOppSide x y

⊢ ∃ p ∈ s, Wbtw R x p y
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, log u ∈ Set.Icc (c₁ * log x) (c₂ * log x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb₀ : 0 < b

⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, log u ∈ Set.Icc (c₁ * log x) (c₂ * log x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb₀ : 0 < b

⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, log u ∈ Set.Icc (1 / 2 * log x) (1 * log x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb₀ : 0 < b
h_tendsto : Tendsto (fun x => 1 / 2 * log x) atTop atTop

⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, log u ∈ Set.Icc (1 / 2 * log x) (1 * log x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb₀ : 0 < b
h_tendsto : Tendsto (fun x => 1 / 2 * log x) atTop atTop
x : ℝ
hx_pos : 1 < x
hx : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → -log b < 1 / 2 * log y

⊢ ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, log u ∈ Set.Icc (1 / 2 * log x) (1 * log x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb₀ : 0 < b
h_tendsto : Tendsto (fun x => 1 / 2 * log x) atTop atTop
x : ℝ
hx_pos : 1 < x
hx : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → -log b < 1 / 2 * log y
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x

⊢ 1 / 2 * log x ≤ log u
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb₀ : 0 < b
h_tendsto : Tendsto (fun x => 1 / 2 * log x) atTop atTop
x : ℝ
hx_pos : 1 < x
hx : ∀ (y : ℝ), b * id x ≤ y → -log b < 1 / 2 * log y
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x

⊢ log u ≤ 1 * log x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/BilinearForm.lean
R : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommSemiring R
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝¹⁵ : Module R M✝
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R₁
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R₁ M₁
R₂ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝¹¹ : CommSemiring R₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : Module R₂ M₂
R₃ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁸ : CommRing R₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M₃
inst✝⁶ : Module R₃ M₃
V : Type u_9
K : Type u_10
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B : BilinForm R M✝
B₁ : BilinForm R₁ M₁
B₂ : BilinForm R₂ M₂
n : Type u_11
o : Type u_12
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq n
b : Basis n R₂ M₂
M : Matrix n n R₂
x y : M₂

⊢ ∑ i : n, ∑ j : n, (b.repr x) i • (b.repr y) j • M i j = ∑ i : n, ∑ j : n, (b.repr x) i * M i j * (b.repr y) j
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
Pb : P ≠ ⊥
hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0

⊢ ∃ p ∈ P, Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) p ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
Pb : P ≠ ⊥
hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
m : ↥P
hm : m ≠ 0

⊢ ∃ p ∈ P, Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) p ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
Pb : P ≠ ⊥
hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
m : ↥P
hm : m ≠ 0
pp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) ↑m = 0

⊢ ↑m = 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
Pb : P ≠ ⊥
hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
m : ↥P
hm : m ≠ 0
pp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) ↑m = 0

⊢ Function.Injective ⇑(mapRingHom (Quotient.mk (comap C P)))
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
Pb : P ≠ ⊥
hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
m : ↥P
hm : m ≠ 0
pp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) ↑m = 0

⊢ RingHom.ker (Quotient.mk (comap C P)) = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
P : Ideal R[X]
Pb : P ≠ ⊥
hP : ∀ (x : R), C x ∈ P → x = 0
m : ↥P
hm : m ≠ 0
pp0 : Polynomial.map (Quotient.mk (comap C P)) ↑m = 0

⊢ comap C P = ⊥
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : BooleanAlgebra β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
a : β
b : α

⊢ (u aᶜ)ᶜ ≤ b ↔ a ≤ (l bᶜ)ᶜ
-- Mathlib/Data/List/Enum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
n i : ℕ
h : i < (enumFrom n l).length

⊢ i < l.length
-- Mathlib/Data/List/Enum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
n i : ℕ
h : i < (enumFrom n l).length

⊢ (enumFrom n l)[i] = (n + i, l[i])
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
m : ℕ

⊢ 1 + ↑m = ↑(succ m)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
m : ℕ

⊢ ↑(m + 1) = ↑(succ m)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f✝ f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)

⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (-f) u ∈ Set.Icc (c₂ * (-f) x) (c₁ * (-f) x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f✝ f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)

⊢ ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (-f) u ∈ Set.Icc (c₂ * (-f) x) (c₁ * (-f) x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f✝ f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x

⊢ (-f) u ∈ Set.Icc (c₂ * (-f) x) (c₁ * (-f) x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f✝ f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
u : ℝ
hu : u ∈ Set.Icc (b * x) x

⊢ f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Square.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
sq : Square C
F : C ⥤ D

⊢ F.map sq.f₁₂ ≫ F.map sq.f₂₄ = F.map sq.f₁₃ ≫ F.map sq.f₃₄
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : HasDerivWithinAt h₂ h₂' s' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hst : MapsTo h s s'
hy : y = h x

⊢ HasDerivWithinAt (h₂ ∘ h) (h₂' * h') s x
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
n : ℕ
f : α ≃ Fin n

⊢ Nat.card α = n
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 1 ≤ a

⊢ a⁻¹ ≤ 1
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ

⊢ φ (n + 3) = 1 ↔ n + 3 = 1 ∨ n + 3 = 2
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
this : 3 ≤ n + 3

⊢ φ (n + 3) = 1 ↔ n + 3 = 1 ∨ n + 3 = 2
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
this : 3 ≤ n + 3

⊢ φ (n + 3) = 1 ↔ n + 3 = 2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
p : Subspace ℝ E
f : ↥p →L[ℝ] ℝ

⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
p : Subspace ℝ E
f : ↥p →L[ℝ] ℝ
g : E →ₗ[ℝ] ℝ
g_eq : ∀ (x : ↥{ domain := p, toFun := ↑f }.domain), g ↑x = ↑{ domain := p, toFun := ↑f } x
g_le : ∀ (x : E), g x ≤ ‖f‖ * ‖x‖

⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
p : Subspace ℝ E
f : ↥p →L[ℝ] ℝ
g : E →ₗ[ℝ] ℝ
g_eq : ∀ (x : ↥{ domain := p, toFun := ↑f }.domain), g ↑x = ↑{ domain := p, toFun := ↑f } x
g_le : ∀ (x : E), g x ≤ ‖f‖ * ‖x‖
g' : E →L[ℝ] ℝ := g.mkContinuous ‖f‖ ⋯

⊢ ∃ g, (∀ (x : ↥p), g ↑x = f x) ∧ ‖g‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
p : Subspace ℝ E
f : ↥p →L[ℝ] ℝ
g : E →ₗ[ℝ] ℝ
g_eq : ∀ (x : ↥{ domain := p, toFun := ↑f }.domain), g ↑x = ↑{ domain := p, toFun := ↑f } x
g_le : ∀ (x : E), g x ≤ ‖f‖ * ‖x‖
g' : E →L[ℝ] ℝ := g.mkContinuous ‖f‖ ⋯

⊢ ‖g'‖ = ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
p : Subspace ℝ E
f : ↥p →L[ℝ] ℝ
g : E →ₗ[ℝ] ℝ
g_eq : ∀ (x : ↥{ domain := p, toFun := ↑f }.domain), g ↑x = ↑{ domain := p, toFun := ↑f } x
g_le : ∀ (x : E), g x ≤ ‖f‖ * ‖x‖
g' : E →L[ℝ] ℝ := g.mkContinuous ‖f‖ ⋯

⊢ ‖f‖ ≤ ‖g.mkContinuous ‖f‖ ⋯‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
p : Subspace ℝ E
f : ↥p →L[ℝ] ℝ
g : E →ₗ[ℝ] ℝ
g_eq : ∀ (x : ↥{ domain := p, toFun := ↑f }.domain), g ↑x = ↑{ domain := p, toFun := ↑f } x
g_le : ∀ (x : E), g x ≤ ‖f‖ * ‖x‖
g' : E →L[ℝ] ℝ := g.mkContinuous ‖f‖ ⋯
x : ↥p

⊢ ‖f x‖ ≤ ‖g.mkContinuous ‖f‖ ⋯‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Extension.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
p : Subspace ℝ E
f : ↥p →L[ℝ] ℝ
g : E →ₗ[ℝ] ℝ
g_eq : ∀ (x : ↥p), g ↑x = f x
g_le : ∀ (x : E), g x ≤ ‖f‖ * ‖x‖
g' : E →L[ℝ] ℝ := g.mkContinuous ‖f‖ ⋯
x : ↥p

⊢ ‖g ↑x‖ ≤ ‖g.mkContinuous ‖f‖ ⋯‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
c : F

⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => c - f x) (-f') x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.62056, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
inst✝ : S.HasHomology

⊢ S.Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.62056, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
inst✝ : S.HasHomology

⊢ Mono S.fromOpcycles
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.62056, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
inst✝ : S.HasHomology
this : IsSplitMono S.fromOpcycles

⊢ Mono S.fromOpcycles
-- Mathlib/RingTheory/PolynomialAlgebra.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
p : (Matrix n n R)[X]
i j : n
k : ℕ
t : p = matPolyEquiv (matPolyEquiv.symm p)

⊢ (matPolyEquiv.symm p i j).coeff k = (matPolyEquiv (matPolyEquiv.symm p)).coeff k i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/MidpointZero.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : CharZero k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AddTorsor V P
a b : P

⊢ (homothety a (1 / 2)) b = midpoint k a b