ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V✝ : Type u
G : SimpleGraph V✝
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹ : Nonempty V
inst✝ : Nonempty W

⊢ (completeBipartiteGraph V W).chromaticNumber = 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V✝ : Type u
G : SimpleGraph V✝
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹ : Nonempty V
inst✝ : Nonempty W

⊢ ∀ (C : (completeBipartiteGraph V W).Coloring (Fin 2)), Surjective ⇑C
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ

⊢ (periodicOrbit f x).Nodup
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ

⊢ ∀ x_1 ∈ List.range (minimalPeriod f x), ∀ y ∈ List.range (minimalPeriod f x), f^[x_1] x = f^[y] x → x_1 = y
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ m : ℕ
hm : m ∈ List.range (minimalPeriod f x)
n : ℕ
hn : n ∈ List.range (minimalPeriod f x)
hmn : f^[m] x = f^[n] x

⊢ m = n
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ m : ℕ
hm : m < minimalPeriod f x
n : ℕ
hn : n < minimalPeriod f x
hmn : f^[m] x = f^[n] x

⊢ m = n
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Prod.lean
A : Type u_1
inst✝⁶ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
inst✝⁵ : Sub A
inst✝⁴ : OrderedSub A
inst✝³ : ContravariantClass A A (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : HasAntidiagonal A
n m : A
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x = m
inst✝ : Decidable (m ≤ n)
this : (fun x => x.2 = m) ∘ Prod.swap = fun x => x.1 = m

⊢ filter (fun x => x.2 = m) (antidiagonal n) = if m ≤ n then {(n - m, m)} else ∅
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Prod.lean
A : Type u_1
inst✝⁶ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid A
inst✝⁵ : Sub A
inst✝⁴ : OrderedSub A
inst✝³ : ContravariantClass A A (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝² : HasAntidiagonal A
n m : A
inst✝¹ : DecidablePred fun x => x = m
inst✝ : Decidable (m ≤ n)
this : (fun x => x.2 = m) ∘ Prod.swap = fun x => x.1 = m

⊢ map { toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ } (filter ((fun x => x.2 = m) ∘ ⇑{ toFun := Prod.swap, inj' := ⋯ }) (antidiagonal n)) = if m ≤ n then {(n - m, m)} else ∅
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Quotient.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : Group α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : MulAction β α
H : Subgroup α
a : α
q : α ⧸ H

⊢ (Quotient.out' q)⁻¹ * a ^ minimalPeriod (fun x => a • x) q * Quotient.out' q ∈ H
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : IsDomain K
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F K[X] R[X]
inst✝ : MonoidHomClass F K[X] R[X]
φ : F
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰
p q : K[X]
hq : q ≠ 0

⊢ (map φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ p) / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ q)
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : IsDomain K
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F K[X] R[X]
inst✝ : MonoidHomClass F K[X] R[X]
φ : F
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰
p q : K[X]
hq : q ≠ 0
hq' : φ q ≠ 0

⊢ (map φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ p) / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ q)
-- Mathlib/Topology/QuasiSeparated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
U V : Set β
hU : U ⊆ f '' s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ f '' s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V

⊢ IsCompact (U ∩ V)
-- Mathlib/Topology/QuasiSeparated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
U V : Set β
hU : U ⊆ f '' s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ f '' s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V

⊢ U ∩ V = f '' (f ⁻¹' U ∩ f ⁻¹' V)
-- Mathlib/Topology/QuasiSeparated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
U V : Set β
hU : U ⊆ f '' s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ f '' s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V

⊢ f ⁻¹' U ⊆ s
-- Mathlib/Topology/QuasiSeparated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
U V : Set β
hU : U ⊆ f '' s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ f '' s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V

⊢ IsCompact (f ⁻¹' U)
-- Mathlib/Topology/QuasiSeparated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
U V : Set β
hU : U ⊆ f '' s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ f '' s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V

⊢ f ⁻¹' V ⊆ s
-- Mathlib/Topology/QuasiSeparated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
H : IsQuasiSeparated s
h : Embedding f
U V : Set β
hU : U ⊆ f '' s
hU' : IsOpen U
hU'' : IsCompact U
hV : V ⊆ f '' s
hV' : IsOpen V
hV'' : IsCompact V

⊢ IsCompact (f ⁻¹' V)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ Y
R : Sieve Z
W : C
h : W ⟶ X
x✝ : (pushforward f (pushforward g R)).arrows h
y : W ⟶ Y
hy : y ≫ f = h
z : W ⟶ Z
hR : z ≫ g = y
hz : R.arrows z

⊢ z ≫ g ≫ f = h ∧ R.arrows z
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f✝ : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ Y
R : Sieve Z
W : C
h : W ⟶ X
x✝ : (pushforward f (pushforward g R)).arrows h
y : W ⟶ Y
hy : y ≫ f = h
z : W ⟶ Z
hR : z ≫ g = y
hz : R.arrows z

⊢ y ≫ f = h ∧ R.arrows z
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
H K L : Subgroup G
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
f : ι → Subgroup G

⊢ (⨅ i, f i).index ≤ ∏ i : ι, (f i).index
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s t : Multiset α
hs : ∃ x ∈ s, x ≠ 0
ht : s = map (fun x => s.gcd * x) t

⊢ s.gcd * t.gcd = s.gcd
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s t : Multiset α
hs : ∃ x ∈ s, x ≠ 0
ht : s = map (fun x => s.gcd * x) t

⊢ ¬s.gcd = 0
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s t : Multiset α
ht : s = map (fun x => s.gcd * x) t
hs : s.gcd = 0

⊢ ∀ x ∈ s, x = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ

⊢ sin (x - π / 2) = -cos x
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R

⊢ 1 + 1 = 2
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R

⊢ ↑(1 + 1) = 2
-- Mathlib/Topology/Sets/Closeds.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Opens α

⊢ (Closeds.compl ∘ ⇑ofDual) ((⇑toDual ∘ compl) s) = s
-- Mathlib/Topology/Sets/Closeds.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s : (Closeds α)ᵒᵈ

⊢ (⇑toDual ∘ compl) ((Closeds.compl ∘ ⇑ofDual) s) = s
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ (exp' ((starRingEnd ℂ) x)).lim = (starRingEnd ℂ) (exp' x).lim
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ (exp' ((starRingEnd ℂ) x)).lim = (cauSeqConj (exp' x)).lim
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
x✝ : ℕ

⊢ ↑(exp' ((starRingEnd ℂ) x)) x✝ = ↑(cauSeqConj (exp' x)) x✝
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
x✝ : ℕ

⊢ ∑ m ∈ range x✝, (starRingEnd ℂ) x ^ m / ↑m.factorial = (starRingEnd ℂ) (∑ m ∈ range x✝, x ^ m / ↑m.factorial)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
x✝ : ℕ

⊢ ∑ m ∈ range x✝, (starRingEnd ℂ) x ^ m / ↑m.factorial = ∑ x_1 ∈ range x✝, (starRingEnd ℂ) (x ^ x_1 / ↑x_1.factorial)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
x✝¹ n : ℕ
x✝ : n ∈ range x✝¹

⊢ (starRingEnd ℂ) x ^ n / ↑n.factorial = (starRingEnd ℂ) (x ^ n / ↑n.factorial)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ cos (x - y) = cos x * cos y + sin x * sin y
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ x ∈ interior s ↔ ∃ t ⊆ s, IsOpen t ∧ x ∈ t
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop

⊢ (x - y).orderTop = x.orderTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop

⊢ (x + -y).orderTop = x.orderTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddGroup R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < (-y).orderTop

⊢ (x + -y).orderTop = x.orderTop
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 1

⊢ 2 ∣ m ^ 2 + n ^ 2 ∧ 2 ∣ m ^ 2 - n ^ 2 ∧ (m ^ 2 - n ^ 2) / 2 % 2 = 0 ∧ ((m ^ 2 - n ^ 2) / 2).gcd ((m ^ 2 + n ^ 2) / 2) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 1
m0 : ℤ
hm2 : m - 1 = m0 * 2

⊢ 2 ∣ m ^ 2 + n ^ 2 ∧ 2 ∣ m ^ 2 - n ^ 2 ∧ (m ^ 2 - n ^ 2) / 2 % 2 = 0 ∧ ((m ^ 2 - n ^ 2) / 2).gcd ((m ^ 2 + n ^ 2) / 2) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 1
m0 : ℤ
hm2 : m - 1 = m0 * 2
n0 : ℤ
hn2 : n - 1 = n0 * 2

⊢ 2 ∣ m ^ 2 + n ^ 2 ∧ 2 ∣ m ^ 2 - n ^ 2 ∧ (m ^ 2 - n ^ 2) / 2 % 2 = 0 ∧ ((m ^ 2 - n ^ 2) / 2).gcd ((m ^ 2 + n ^ 2) / 2) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 1
hn : n % 2 = 1
m0 : ℤ
hm2 : m = m0 * 2 + 1
n0 : ℤ
hn2 : n = n0 * 2 + 1

⊢ 2 ∣ m ^ 2 + n ^ 2 ∧ 2 ∣ m ^ 2 - n ^ 2 ∧ (m ^ 2 - n ^ 2) / 2 % 2 = 0 ∧ ((m ^ 2 - n ^ 2) / 2).gcd ((m ^ 2 + n ^ 2) / 2) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))

⊢ 2 ∣ (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 ∧ 2 ∣ (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 ∧ ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0 ∧ (((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2).gcd (((m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0

⊢ 2 ∣ (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 ∧ 2 ∣ (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 ∧ ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0 ∧ (((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2).gcd (((m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
h20 : 2 ≠ 0

⊢ (((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2).gcd (((m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
h20 : 2 ≠ 0

⊢ (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).gcd (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
h20 : 2 ≠ 0
h4 : ¬(2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).gcd (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1) = 1

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
h20 : 2 ≠ 0
h4 : ¬(2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).gcd (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : p ∣ (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).natAbs
hp2 : p ∣ (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1).natAbs

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
h20 : 2 ≠ 0
h4 : ¬(2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).gcd (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : p ∣ (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).natAbs
hp2 : p ∣ (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1).natAbs

⊢ p ∣ 1
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
h20 : 2 ≠ 0
h4 : ¬(2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).gcd (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : p ∣ (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).natAbs
hp2 : p ∣ (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1).natAbs

⊢ p ∣ (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
h20 : 2 ≠ 0
h4 : ¬(2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).gcd (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ 2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)
hp2 : ↑p ∣ 2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1

⊢ p ∣ (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
h20 : 2 ≠ 0
h4 : ¬(2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).gcd (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ 2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)
hp2 : ↑p ∣ 2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1

⊢ p ∣ (m0 * 2 + 1).natAbs
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
m0 n0 : ℤ
hm : (m0 * 2 + 1) % 2 = 1
hn : (n0 * 2 + 1) % 2 = 1
h : (m0 * 2 + 1).gcd (n0 * 2 + 1) = 1
h1 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 + (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1)
h2 : (m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2 = 2 * (2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0))
h3 : ((m0 * 2 + 1) ^ 2 - (n0 * 2 + 1) ^ 2) / 2 % 2 = 0
h20 : 2 ≠ 0
h4 : ¬(2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)).gcd (2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ 2 * (m0 ^ 2 - n0 ^ 2 + m0 - n0)
hp2 : ↑p ∣ 2 * (m0 ^ 2 + n0 ^ 2 + m0 + n0) + 1

⊢ p ∣ (n0 * 2 + 1).natAbs
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Basic.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace ℝ X
inst✝ : HasContDiffBump E
c : E
f : ContDiffBump c
x : E
n : ℕ∞
hx : f.rOut ≤ dist x c

⊢ ↑f x = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h₁ : k ∣ m
h₂ : k ∣ n

⊢ k ∣ m - n
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h₁ : k ∣ m
h₂ : k ∣ n
H : n ≤ m

⊢ k ∣ m - n
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h₁ : k ∣ m
h₂ : k ∣ n
H : m ≤ n

⊢ k ∣ m - n
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_5
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
this : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F

⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => {f | ∀ x ∈ Si.1, f x ∈ b Si.2}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_5
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F

⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => {f | ∀ x ∈ Si.1, f x ∈ b Si.2}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalAddGroup F
ι : Type u_5
𝔖 : Set (Set E)
h𝔖₁ : 𝔖.Nonempty
h𝔖₂ : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝔖
p : ι → Prop
b : ι → Set F
h : (𝓝 0).HasBasis p b
this✝ : UniformSpace F := TopologicalAddGroup.toUniformSpace F
this : UniformAddGroup F

⊢ (Filter.comap (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) (𝓝 ((⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ DFunLike.coe) 0))).HasBasis (fun Si => Si.1 ∈ 𝔖 ∧ p Si.2) fun Si => {f | ∀ x ∈ Si.1, f x ∈ b Si.2}
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : NormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝ : TopologicalAddGroup E
s t : Set E

⊢ IsVonNBounded 𝕜 (s - t) ↔ s = ∅ ∨ t = ∅ ∨ IsVonNBounded 𝕜 s ∧ IsVonNBounded 𝕜 t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ
hs : -1 < s

⊢ IntegrableOn (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) (Ioi 0) volume
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₁
i j : n

⊢ (toMatrixAlgEquiv v₁) f i j = (v₁.repr (f (v₁ j))) i
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (↑n / ↑d < -1) = true

⊢ 0 < Real.log e
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (↑n / ↑d < -1) = true

⊢ 0 < Real.log (↑n / ↑d)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
e : ℝ
d : ℕ
n : ℤ
inv : Invertible ↑d
eq : e = ↑n * ⅟↑d
h : decide (↑n / ↑d < -1) = true
this : ↑n / ↑d < -1

⊢ 0 < Real.log (↑n / ↑d)
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q✝ : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
q : ℚ
hq : q ≠ 0

⊢ Irrational (x / ↑q)
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q✝ : ℚ
x y : ℝ
h : Irrational x
q : ℚ
hq : q ≠ 0

⊢ Irrational (x * ↑q⁻¹)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
hm : x - ↑m ∈ maximalIdeal ℤ_[p]
hn : x - ↑n ∈ maximalIdeal ℤ_[p]

⊢ ↑m = ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
hm : x - ↑m ∈ Ideal.span {↑p}
hn : x - ↑n ∈ Ideal.span {↑p}

⊢ ↑m = ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
hm : x - ↑m ∈ Ideal.span {↑p}
hn : x - ↑n ∈ Ideal.span {↑p}
this : x - ↑↑m ∈ Ideal.span {↑p ^ 1} → x - ↑↑n ∈ Ideal.span {↑p ^ 1} → ↑↑m = ↑↑n

⊢ ↑m = ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
hm : x - ↑m ∈ Ideal.span {↑p}
hn : x - ↑n ∈ Ideal.span {↑p}
this : x - ↑↑m ∈ Ideal.span {↑p} → x - ↑↑n ∈ Ideal.span {↑p} → ↑↑m = ↑↑n

⊢ ↑m = ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
hm : x - ↑m ∈ Ideal.span {↑p}
hn : x - ↑n ∈ Ideal.span {↑p}
this : ↑↑m = ↑↑n

⊢ ↑m = ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/RingHoms.lean
p : ℕ
hp_prime : Fact (Nat.Prime p)
r : ℚ
x : ℤ_[p]
m n : ℕ
hm : x - ↑m ∈ Ideal.span {↑p}
hn : x - ↑n ∈ Ideal.span {↑p}
this : (ZMod.castHom ⋯ (ZMod p)) ↑↑m = (ZMod.castHom ⋯ (ZMod p)) ↑↑n

⊢ ↑m = ↑n
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1

⊢ a + b ≠ ⊤ ↔ a ≠ ⊤ ∧ b ≠ ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/ConcreteCategory/Basic.lean
C : Type u
D : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : ConcreteCategory D
inst✝ : HasForget₂ C D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x : (forget D).obj ((forget₂ C D).obj X)

⊢ ((forget₂ C D).map (f ≫ g)) x = ((forget₂ C D).map g) (((forget₂ C D).map f) x)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
s_nhd : s ∈ 𝓝 0

⊢ IsBounded (polar 𝕜 s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
s_nhd : s ∈ 𝓝 0
a : 𝕜
ha : 1 < ‖a‖

⊢ IsBounded (polar 𝕜 s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Module/Dual.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
s_nhd : s ∈ 𝓝 0
a : 𝕜
ha : 1 < ‖a‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
r_ball : ball 0 r ⊆ s

⊢ IsBounded (polar 𝕜 s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
mα : MeasurableSpace α
f : α → E
hf : StronglyMeasurable f
a : α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
inst✝ : Decidable (a ∈ s)

⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂Measure.dirac a = if a ∈ s then f a else 0