ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ

⊢ AEStronglyMeasurable' m (⇑(toSpanSingleton ℝ x) ∘ ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
R S : CommRingCat
φ ψ : R ⟶ S
f : Spec S ⟶ Spec R

⊢ map φ = map ψ ↔ φ = ψ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
R S : CommRingCat
φ ψ : R ⟶ S
f : Spec S ⟶ Spec R

⊢ Scheme.Spec.map φ.op = Scheme.Spec.map ψ.op ↔ map φ = map ψ
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j : J

⊢ ∃ i_1 f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i_1), range ((F.toPreimages s).map f) ⊆ range ((F.toPreimages s).map (g ≫ f))
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j

⊢ ∃ i_1 f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i_1), range ((F.toPreimages s).map f) ⊆ range ((F.toPreimages s).map (g ≫ f))
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)

⊢ ∃ i_1 f, ∀ ⦃k : J⦄ (g : k ⟶ i_1), range ((F.toPreimages s).map f) ⊆ range ((F.toPreimages s).map (g ≫ f))
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁

⊢ (F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁) ⟨x, hx⟩ ∈ range ((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁))
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁
y : F.obj j₃
hy : y ∈ F.eventualRange j₃
h₃ : F.map (f₃ ≫ f₂) y = F.map f₂ x

⊢ (F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁) ⟨x, hx⟩ ∈ range ((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁))
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁
y : F.obj j₃
hy : y ∈ F.eventualRange j₃
h₃ : F.map (f₃ ≫ f₂) y = F.map f₂ x
g₂ : j₃ ⟶ i

⊢ y ∈ F.map g₂ ⁻¹' s
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
j j₁ : J
g₁ : j₁ ⟶ i
f₁ : j₁ ⟶ j
j₂ : J
f₂ : j₂ ⟶ j₁
h₂ : F.eventualRange j₁ = range (F.map f₂)
j₃ : J
f₃ : j₃ ⟶ j₂
x : F.obj j₂
hx : x ∈ ⋂ f, F.map f ⁻¹' s
this : F.map f₂ x ∈ F.eventualRange j₁
y : F.obj j₃
hy : y ∈ F.eventualRange j₃
h₃ : F.map (f₃ ≫ f₂) y = F.map f₂ x

⊢ ↑((F.toPreimages s).map (f₃ ≫ f₂ ≫ f₁) ⟨y, ⋯⟩) = ↑((F.toPreimages s).map (f₂ ≫ f₁) ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α

⊢ 𝓝[<] a = ⊥ ↔ IsBot a ∨ ∃ b, b ⋖ a
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightNhds.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α
a : α
e_1✝ : α = αᵒᵈ
x✝ : α

⊢ x✝ ⋖ a ↔ toDual a ⋖ x✝
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
q : PMF (α → β)
p : PMF α
b✝ b : β

⊢ b ∈ (q.seq p).support ↔ b ∈ ⋃ f ∈ q.support, f '' p.support
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
D : LieDerivation R L L

⊢ D ∈ (ad R L).range
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁴ : Field R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : Module.Finite R L
inst✝ : LieAlgebra.IsKilling R L
D : LieDerivation R L L

⊢ D ∈ ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
s : ℝ
hs : 1 < s

⊢ term_tsum s = 1 / (s - 1) - 1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
s : ℝ
hs : 1 < s

⊢ HasSum (fun b => term (b + 1) s) (1 / (s - 1) - 1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
s : ℝ
hs : 1 < s

⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, term (i + 1) s) atTop (𝓝 (1 / (s - 1) - 1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
s : ℝ
hs : 1 < s

⊢ Tendsto (fun N => term_sum s N) atTop (𝓝 (1 / (s - 1) - 1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
s : ℝ
hs : 1 < s

⊢ Tendsto (fun N => 1 / (s - 1) * (1 - 1 / (↑N + 1) ^ (s - 1)) - 1 / s * (∑ n ∈ Finset.range N, 1 / (↑n + 1) ^ s - ↑N / (↑N + 1) ^ s)) atTop (𝓝 (1 / (s - 1) - 1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
s : ℝ
hs : 1 < s

⊢ Tendsto (fun x => 1 / (s - 1) * (1 - 1 / (↑x + 1) ^ (s - 1))) atTop (𝓝 (1 / (s - 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/ZetaAsymp.lean
s : ℝ
hs : 1 < s

⊢ Tendsto (fun x => 1 / s * (∑ n ∈ Finset.range x, 1 / (↑n + 1) ^ s - ↑x / (↑x + 1) ^ s)) atTop (𝓝 (1 / s * ∑' (n : ℕ), 1 / (↑n + 1) ^ s))
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* MvPolynomial σ S
d : σ →₀ ℕ
r : R

⊢ (bind₂ f) ((monomial d) r) = f r * (monomial d) 1
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f✝ : β → α
s : Finset γ
f : γ ↪ β
g : β → α
hs : (map f s).Nonempty

⊢ (map f s).sup' hs g = s.sup' ⋯ (g ∘ ⇑f)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f✝ : β → α
s : Finset γ
f : γ ↪ β
g : β → α
hs : (map f s).Nonempty

⊢ s.sup ((WithBot.some ∘ g) ∘ ⇑f) = s.sup (WithBot.some ∘ g ∘ ⇑f)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
hs : IsCompact s

⊢ BddBelow s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : Nonempty α
hs : IsCompact ∅

⊢ BddBelow ∅
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Compact.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α
hs : IsCompact s
hne : s.Nonempty

⊢ BddBelow s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
hk : k ∈ ρ a

⊢ HasDerivAt (resolvent a) (-resolvent a k ^ 2) k
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
hk : k ∈ ρ a
H₁ : HasFDerivAt Ring.inverse (-((ContinuousLinearMap.mulLeftRight 𝕜 A) ↑(IsUnit.unit hk)⁻¹) ↑(IsUnit.unit hk)⁻¹) (↑ₐ k - a)

⊢ HasDerivAt (resolvent a) (-resolvent a k ^ 2) k
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A
k : 𝕜
hk : k ∈ ρ a
H₁ : HasFDerivAt Ring.inverse (-((ContinuousLinearMap.mulLeftRight 𝕜 A) ↑(IsUnit.unit hk)⁻¹) ↑(IsUnit.unit hk)⁻¹) (↑ₐ k - a)
H₂ : HasDerivAt (fun k => ↑ₐ k - a) 1 k

⊢ HasDerivAt (resolvent a) (-resolvent a k ^ 2) k
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h₀ : HasMFDerivAt I I' f x f₀'
h₁ : HasMFDerivAt I I' f x f₁'

⊢ f₀' = f₁'
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h₀ : HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f₀'
h₁ : HasMFDerivWithinAt I I' f univ x f₁'

⊢ f₀' = f₁'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume
ha : ContinuousAt f a

⊢ HasStrictDerivAt (fun u => ∫ (x : ℝ) in u..b, f x) (-f a) a
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E

⊢ q.partialSum N (∑ i ∈ Finset.Ico 1 N, (p i) fun _j => z) = ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 N N, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E

⊢ (∑ n ∈ Finset.range N, ∑ r ∈ Fintype.piFinset fun i => Finset.Ico 1 N, (q n) fun i => (p (r i)) fun _j => z) = ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 N N, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E

⊢ (∑ x ∈ (Finset.Ico 0 N).sigma fun n => Fintype.piFinset fun i => Finset.Ico 1 N, (q x.fst) fun i => (p (x.snd i)) fun _j => z) = ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 N N, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E

⊢ ∀ (e : (n : ℕ) × (Fin n → ℕ)) (he : e ∈ compPartialSumSource 0 N N), ((q e.fst) fun i => (p (e.snd i)) fun _j => z) = (q.compAlongComposition p (compChangeOfVariables 0 N N e he).snd) fun _j => z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E
k : ℕ
blocks_fun : Fin k → ℕ
H : ⟨k, blocks_fun⟩ ∈ compPartialSumSource 0 N N

⊢ ((q ⟨k, blocks_fun⟩.fst) fun i => (p (⟨k, blocks_fun⟩.snd i)) fun _j => z) = (q.compAlongComposition p (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd) fun _j => z
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E
k : ℕ
blocks_fun : Fin k → ℕ
H : ⟨k, blocks_fun⟩ ∈ compPartialSumSource 0 N N

⊢ ∀ (i : ℕ) (him : i < ⟨k, blocks_fun⟩.fst) (hin : i < (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.length), ((p (⟨k, blocks_fun⟩.snd ⟨i, him⟩)) fun _j => z) = p.applyComposition (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd (fun _j => z) ⟨i, hin⟩
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E
k : ℕ
blocks_fun : Fin k → ℕ
H : ⟨k, blocks_fun⟩ ∈ compPartialSumSource 0 N N
i✝ : ℕ
him✝ : i✝ < ⟨k, blocks_fun⟩.fst
hin✝ : i✝ < (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.length

⊢ ((p (⟨k, blocks_fun⟩.snd ⟨i✝, him✝⟩)) fun _j => z) = p.applyComposition (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd (fun _j => z) ⟨i✝, hin✝⟩
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H✝ : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H✝
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H✝
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
N : ℕ
z : E
k : ℕ
blocks_fun : Fin k → ℕ
H : ⟨k, blocks_fun⟩ ∈ compPartialSumSource 0 N N
i✝ : ℕ
him✝ : i✝ < ⟨k, blocks_fun⟩.fst
hin✝ : i✝ < (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.length

⊢ ((p ((compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd.blocksFun ⟨↑⟨i✝, him✝⟩, ⋯⟩)) fun _j => z) = p.applyComposition (compChangeOfVariables 0 N N ⟨k, blocks_fun⟩ H).snd (fun _j => z) ⟨i✝, hin✝⟩
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝² : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝¹ : Semiring S
f : R →+* S
inst✝ : Semiring T
g : S →+* T
p : R[X]

⊢ ∀ (n : ℕ), (map g (map f p)).coeff n = (map (g.comp f) p).coeff n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
s : Submodule R M

⊢ Module.rank R ↥s ≤ Module.rank R M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
s : Submodule R M

⊢ Module.rank R ↥s ≤ Module.rank R ↥⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ ψ : ℝ

⊢ ↑(toIcoMod two_pi_pos ψ θ) = ↑θ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ ψ : ℝ

⊢ ∃ k, toIcoMod two_pi_pos ψ θ - θ = 2 * π * ↑k
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ ψ : ℝ

⊢ toIcoMod two_pi_pos ψ θ - θ = 2 * π * ↑(-toIcoDiv two_pi_pos ψ θ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i j k : ι

⊢ K.ExactAt i ↔ (K.sc i).Exact
-- Mathlib/Order/Disjoint.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b c : α
h : a ≤ c ⊔ b
hd : Disjoint a c

⊢ a ≤ b ⊔ c
-- Mathlib/Tactic/Ring/Basic.lean
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁✝ a₂✝ a₃ b b' b₁ b₂ b₃ c c₁ c₂✝ : R
c₂ k a₁ a₂ : ℕ

⊢ a₁ ^ a₂ * (c₂ * k) = a₁ ^ a₂ * c₂ * k
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : NonUnitalCommSemiring α
inst✝ : Fintype n
A : Matrix m n α
x : n → α
x✝ : m

⊢ (x ᵥ* Aᵀ) x✝ = (A *ᵥ x) x✝
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
x y : α

⊢ const x ≤ const y ↔ x ≤ y
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
x y : α

⊢ const x ≤ const y ↔ x < y ∨ x = y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) volume
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ ae volume) (𝓝 cb)

⊢ HasStrictFDerivAt (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x) ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (a, b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) volume
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this : (fun t => ((∫ (x : ℝ) in t.1.1 ..t.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.2.1 ..t.2.2, f x) - ((t.1.2 - t.2.2) • cb - (t.1.1 - t.2.1) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)] fun t => ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖

⊢ HasStrictFDerivAt (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x) ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (a, b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) volume
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this : (fun t => ((∫ (x : ℝ) in t.1.1 ..t.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.2.1 ..t.2.2, f x) - ((t.1.2 - t.2.2) • cb - (t.1.1 - t.2.1) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)] fun t => ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖

⊢ ∀ (x : (ℝ × ℝ) × ℝ × ℝ), ((∫ (x : ℝ) in x.1.1 ..x.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in x.2.1 ..x.2.2, f x) - ((x.1.2 - x.2.2) • cb - (x.1.1 - x.2.1) • ca) = (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x) x.1 - (fun p => ∫ (x : ℝ) in p.1 ..p.2, f x) x.2 - ((snd ℝ ℝ ℝ).smulRight cb - (fst ℝ ℝ ℝ).smulRight ca) (x.1 - x.2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hf : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 a) volume
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f (𝓝 b) volume
ha : Tendsto f (𝓝 a ⊓ ae volume) (𝓝 ca)
hb : Tendsto f (𝓝 b ⊓ ae volume) (𝓝 cb)
this : (fun t => ((∫ (x : ℝ) in t.1.1 ..t.1.2, f x) - ∫ (x : ℝ) in t.2.1 ..t.2.2, f x) - ((t.1.2 - t.2.2) • cb - (t.1.1 - t.2.1) • ca)) =o[𝓝 ((a, b), a, b)] fun t => ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖

⊢ (fun t => ‖t.1.1 - t.2.1‖ + ‖t.1.2 - t.2.2‖) =O[𝓝 ((a, b), a, b)] fun p => p.1 - p.2