ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
f : ι → α✝
α : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
k : α
hk : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → k ≤ sSup s → ∃ x ∈ s, k ≤ x
s : Set α
hemp : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hbelow : ∀ x ∈ s, x < k

⊢ sSup s < k
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
f : ι → α✝
α : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
k : α
hk : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → k ≤ sSup s → ∃ x ∈ s, k ≤ x
s : Set α
hemp : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hbelow : ∀ x ∈ s, x < k
h : ¬sSup s < k

⊢ False
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
f : ι → α✝
α : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
k : α
hk : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → k ≤ sSup s → ∃ x ∈ s, k ≤ x
s : Set α
hemp : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hbelow : ∀ x ∈ s, x < k
h : ¬sSup s < k
sSup' : sSup s ≤ k

⊢ False
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
f : ι → α✝
α : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
k : α
hk : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → k ≤ SupSet.sSup s → ∃ x ∈ s, k ≤ x
s : Set α
hemp : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hbelow : ∀ x ∈ s, x < k
h : ¬SupSet.sSup s < k
sSup' : SupSet.sSup s ≤ k
sSup : SupSet.sSup s = k

⊢ False
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α✝
f : ι → α✝
α : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice α
k : α
hk : ∀ (s : Set α), s.Nonempty → DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s → k ≤ SupSet.sSup s → ∃ x ∈ s, k ≤ x
s : Set α
hemp : s.Nonempty
hdir : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
hbelow : ∀ x ∈ s, x < k
h : ¬SupSet.sSup s < k
sSup' : SupSet.sSup s ≤ k
sSup : SupSet.sSup s = k
x : α
hxs : x ∈ s
hkx : k ≤ x

⊢ False
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{?u.13901, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.13905, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.13909, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.13913, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m mn : A
hnm : m + n = mn
a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''

⊢ mn + a = a''
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.13909, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.13913, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
n m a a' a'' : A
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''

⊢ F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯ = isoWhiskerLeft (F.functor a'') (shiftFunctorAdd' D m n (m + n) ⋯) ≪≫ ((F.functor a'').associator (shiftFunctor D m) (shiftFunctor D n)).symm ≪≫ isoWhiskerRight (F.shiftIso m a' a'' ha'') (shiftFunctor D n) ≪≫ F.shiftIso n a a' ha'
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r

⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (f y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Oplax.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : OplaxFunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d

⊢ F.mapComp f (g ≫ h) ≫ F.map f ◁ F.mapComp g h = F.map₂ (α_ f g h).inv ≫ F.mapComp (f ≫ g) h ≫ F.mapComp f g ▷ F.map h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Oplax.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : OplaxFunctor B C
a b c d : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : c ⟶ d

⊢ F.mapComp f (g ≫ h) ≫ F.map f ◁ F.mapComp g h = F.map₂ ((α_ f g h).inv ≫ (α_ f g h).hom) ≫ F.mapComp f (g ≫ h) ≫ F.map f ◁ F.mapComp g h
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n k : ℕ

⊢ ↑m >>> (↑n + ↑k) = ↑m >>> ↑n >>> ↑k
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m n k : ℕ

⊢ -[m+1] >>> (↑n + ↑k) = -[m+1] >>> ↑n >>> ↑k
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
p : α → Bool
l : List α
x : α
h : p x = true

⊢ takeWhile p (x :: l) = x :: takeWhile p l
-- Mathlib/Analysis/Subadditive.lean
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
L : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hL : u n / ↑n < L

⊢ ∀ᶠ (p : ℕ) in atTop, u p / ↑p < L
-- Mathlib/Analysis/Subadditive.lean
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
L : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hL : u n / ↑n < L
r : ℕ
x✝ : r < n

⊢ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, u (n * a + r) / ↑(n * a + r) < L
-- Mathlib/Analysis/Subadditive.lean
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
L : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hL : u n / ↑n < L
r : ℕ
x✝ : r < n
A : Tendsto (fun x => (u n + u r / x) / (↑n + ↑r / x)) atTop (𝓝 ((u n + 0) / (↑n + 0)))

⊢ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, u (n * a + r) / ↑(n * a + r) < L
-- Mathlib/Analysis/Subadditive.lean
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
L : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hL : u n / ↑n < L
r : ℕ
x✝ : r < n
A : Tendsto (fun x => (u n + u r / x) / (↑n + ↑r / x)) atTop (𝓝 ((u n + 0) / (↑n + 0)))
B : Tendsto (fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) atTop (𝓝 (u n / ↑n))

⊢ ∀ᶠ (a : ℕ) in atTop, u (n * a + r) / ↑(n * a + r) < L
-- Mathlib/Analysis/Subadditive.lean
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
L : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hL : u n / ↑n < L
r : ℕ
x✝ : r < n
A : Tendsto (fun x => (u n + u r / x) / (↑n + ↑r / x)) atTop (𝓝 ((u n + 0) / (↑n + 0)))
B : Tendsto (fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) atTop (𝓝 (u n / ↑n))
k : ℕ
hk : ((fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) ∘ Nat.cast) k < L

⊢ u (n * k + r) / ↑(n * k + r) < L
-- Mathlib/Analysis/Subadditive.lean
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
L : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hL : u n / ↑n < L
r : ℕ
x✝ : r < n
A : Tendsto (fun x => (u n + u r / x) / (↑n + ↑r / x)) atTop (𝓝 ((u n + 0) / (↑n + 0)))
B : Tendsto (fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) atTop (𝓝 (u n / ↑n))
k : ℕ
hk : ((fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) ∘ Nat.cast) k < L

⊢ u (k * n + r) / ↑(k * n + r) < L
-- Mathlib/Analysis/Subadditive.lean
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
L : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hL : u n / ↑n < L
r : ℕ
x✝ : r < n
A : Tendsto (fun x => (u n + u r / x) / (↑n + ↑r / x)) atTop (𝓝 ((u n + 0) / (↑n + 0)))
B : Tendsto (fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) atTop (𝓝 (u n / ↑n))
k : ℕ
hk : ((fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) ∘ Nat.cast) k < L

⊢ u (k * n + r) / ↑(k * n + r) ≤ ((fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) ∘ Nat.cast) k
-- Mathlib/Analysis/Subadditive.lean
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
L : ℝ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hL : u n / ↑n < L
r : ℕ
x✝ : r < n
A : Tendsto (fun x => (u n + u r / x) / (↑n + ↑r / x)) atTop (𝓝 ((u n + 0) / (↑n + 0)))
B : Tendsto (fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) atTop (𝓝 (u n / ↑n))
k : ℕ
hk : ((fun x => (x * u n + u r) / (x * ↑n + ↑r)) ∘ Nat.cast) k < L

⊢ u (k * n + r) / ↑(k * n + r) ≤ (↑k * u n + u r) / ↑(k * n + r)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
y : ι → ℝ

⊢ I.splitUpper i x = ↑I ↔ x ≤ I.lower i
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Basic.lean
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g

⊢ let den := ad * b.den; let num := a.num * ↑bd - b.num * ↑ad; num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Basic.lean
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
this : let den := ad * (-b).den; let num := a.num * ↑bd + (-b).num * ↑ad; num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den

⊢ let den := ad * b.den; let num := a.num * ↑bd - b.num * ↑ad; num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Basic.lean
a b : Rat
g ad bd : Nat
hg : g = a.den.gcd b.den
had : ad = a.den / g
hbd : bd = b.den / g
this : (a.num * ↑bd + -(b.num * ↑ad)).natAbs.gcd g = (a.num * ↑bd + -(b.num * ↑ad)).natAbs.gcd (ad * (-b).den)

⊢ let den := ad * b.den; let num := a.num * ↑bd - b.num * ↑ad; num.natAbs.gcd g = num.natAbs.gcd den
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Injective ⇑f
x : R
h : x ∈ Module.annihilator R M'

⊢ x ∈ Module.annihilator R M
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : Function.Injective ⇑f
x : R
h : ∀ (m : M'), x • m = 0

⊢ ∀ (m : M), x • m = 0
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝[≥] f a

⊢ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝[≥] f a
b : β
hb : b > f a

⊢ ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝[≥] f a
b : β
hb : b > f a
b' : β
hb' : Ico (f a) b' ⊆ closure (f '' s)
hab' : f a < b'
hbb' : b' ≤ b

⊢ ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝[≥] f a
b : β
hb : b > f a
b' : β
hb' : Ico (f a) b' ⊆ closure (f '' s)
hab' : f a < b'
hbb' : b' ≤ b
c' : β
hc' : f a < c' ∧ c' < b'

⊢ ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : LinearOrder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : OrderTopology α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology β
inst✝ : DenselyOrdered β
f : α → β
s : Set α
a : α
h_mono : MonotoneOn f s
hs : s ∈ 𝓝[≥] a
hfs : closure (f '' s) ∈ 𝓝[≥] f a
b : β
hb : b > f a
b' : β
hb' : Ico (f a) b' ⊆ closure (f '' s)
hab' : f a < b'
hbb' : b' ≤ b
c' : β
hc' : f a < c' ∧ c' < b'
c : α
hcs : c ∈ s
hc : f c ∈ Ioo (f a) b'

⊢ ∃ c ∈ s, f c ∈ Ioo (f a) b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
inst✝ : Subsingleton E

⊢ ‖f‖ = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
inst✝ : Subsingleton E

⊢ ‖f‖ ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
inst✝ : Subsingleton E

⊢ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ 0 * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝³ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝² : FunLike 𝓕 E F
inst✝¹ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
inst✝ : Subsingleton E
x : E

⊢ ‖f x‖ ≤ 0 * ‖x‖
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ s₁ \ s₂ ↔ x✝ ∈ filter (fun x => x ∉ s₂) s₁
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
num : Int
den : Nat
nz : den ≠ 0
c : num.natAbs.Coprime den

⊢ { num := num, den := den, den_nz := nz, reduced := c } = mkRat num den
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s : Finset α
a b : α

⊢ {a} ⊆ ↑s ↔ {a} ⊆ s
-- Mathlib/RingTheory/Flat/EquationalCriterion.lean
R M : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Flat R M
N : Type u
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Free R N
inst✝ : Finite R N
f : N
x : N →ₗ[R] M
h : x f = 0

⊢ ∃ κ x_1 a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
Hlt : ∏ i ∈ s, f i < ∏ i ∈ s, g i

⊢ ∃ i ∈ s, f i < g i
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : LinearOrderedCancelCommMonoid M
f g : ι → M
s t : Finset ι
Hle : ∀ i ∈ s, g i ≤ f i

⊢ ∏ i ∈ s, g i ≤ ∏ i ∈ s, f i
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α

⊢ IsPiSystem (⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b})
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α

⊢ ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b} = {S | ∃ l u, ↑l < ↑u ∧ Ioo ↑l ↑u = S}
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
x : Set ℝ

⊢ x ∈ ⋃ a, ⋃ b, ⋃ (_ : a < b), {Ioo ↑a ↑b} ↔ x ∈ {S | ∃ l u, ↑l < ↑u ∧ Ioo ↑l ↑u = S}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M

⊢ span R {x} = ⊤ ↔ ∀ (v : M), ∃ r, r • x = v
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
x : M

⊢ (∀ v ∈ ⊤, ∃ r, r • x = v) ↔ ∀ (v : M), ∃ r, r • x = v
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{u}
f : α → β
hf : ∀ (b : β), #↑(f ⁻¹' {b}) ≤ c

⊢ #α ≤ #β * c
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u s t : Set α
x : α

⊢ x ∈ s ∧ x ∉ t ↔ x ∈ s ∩ tᶜ
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Complex.lean
ζ : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
h : IsPrimitiveRoot ζ n

⊢ ∃ i < n, ∃ (_ : i.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = ζ
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Complex.lean
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n

⊢ ∃ i_1 < n, ∃ (_ : i_1.Coprime n), cexp (2 * ↑π * I * (↑i_1 / ↑n)) = cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Complex.lean
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n

⊢ cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Complex.lean
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n

⊢ cexp (2 * ↑π * I * (↑i / ↑n)) = cexp (↑i * (2 * ↑π * I / ↑n))
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Complex.lean
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn0 : ↑n ≠ 0
i : ℕ
hi : i < n
h : IsPrimitiveRoot (cexp (2 * ↑π * I / ↑n) ^ i) n

⊢ 2 * ↑π * I * (↑i / ↑n) = ↑i * (2 * ↑π * I / ↑n)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (Set α)

⊢ ⋃₀ s = ⋃ i ∈ s, i
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Ideal.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set (σ →₀ ℕ)

⊢ x ∈ Ideal.span ((fun s => (monomial s) 1) '' s) ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ s, si ≤ xi
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Ideal.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set (σ →₀ ℕ)

⊢ (∀ m ∈ x.support, ∃ m' ∈ s, ∃ d, m = d + m') ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ s, si ≤ xi
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Ideal.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set (σ →₀ ℕ)

⊢ (∀ m ∈ x.support, ∃ m' ∈ s, ∃ d, m = m' + d) ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ s, ∃ c, xi = si + c
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x✝ y✝ z : α
s : Set α
inst✝ : Subsingleton α
x y : α

⊢ edist (f x) (f y) = edist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x✝ y✝ z : α
s : Set α
inst✝ : Subsingleton α
x y : α

⊢ edist (f y) (f y) = edist y y
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/IsHomeomorphicTrivialBundle.lean
B : Type u_1
F : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalSpace Z
proj : Z → B
h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F proj

⊢ IsOpenMap proj
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/IsHomeomorphicTrivialBundle.lean
B : Type u_1
F : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : TopologicalSpace F
inst✝ : TopologicalSpace Z
e : Z ≃ₜ B × F
h : IsHomeomorphicTrivialFiberBundle F (Prod.fst ∘ ⇑e)

⊢ IsOpenMap (Prod.fst ∘ ⇑e)
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ✝ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝¹⁰ : DecidableEq α'
inst✝⁹ : DecidableEq β'
inst✝⁸ : DecidableEq γ✝
inst✝⁷ : DecidableEq γ'
inst✝⁶ : DecidableEq δ✝
inst✝⁵ : DecidableEq δ'
inst✝⁴ : DecidableEq ε
inst✝³ : DecidableEq ε'
f✝ f'✝ : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ✝
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
δ : Type u_15
u : Finset γ
v : Finset δ
inst✝² : DecidableEq ζ
inst✝¹ : DecidableEq ζ'
inst✝ : DecidableEq ν
f : ε → ζ → ν
g : α → β → ε
h : γ → δ → ζ
f' : ε' → ζ' → ν
g' : α → γ → ε'
h' : β → δ → ζ'
h_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ) (d : δ), f (g a b) (h c d) = f' (g' a c) (h' b d)

⊢ image2 f (image2 g ↑s ↑t) (image2 h ↑u ↑v) = image2 f' (image2 g' ↑s ↑u) (image2 h' ↑t ↑v)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
j : Fin (Composition.single n hn).length

⊢ p.applyComposition (Composition.single n hn) v j = (p n) v
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
j : Fin (Composition.single n hn).length
i : ℕ
hi1 : i < (Composition.single n hn).blocksFun j
hi2 : i < n

⊢ (v ∘ ⇑((Composition.single n hn).embedding j)) ⟨i, hi1⟩ = v ⟨i, hi2⟩
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
j : Fin (Composition.single n hn).length
i : ℕ
hi1 : i < (Composition.single n hn).blocksFun j
hi2 : i < n

⊢ ((Composition.single n hn).embedding j) ⟨i, hi1⟩ = ⟨i, hi2⟩