ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), ‖-x‖ = ‖x‖

⊢ volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), ‖-x‖ = ‖x‖
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖

⊢ volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)

⊢ volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖

⊢ volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, abs ((r • x) x_1) ^ p) ^ (1 / p) ≤ ‖r‖ * (∑ x_1 : ι, abs (x x_1) ^ p) ^ (1 / p)

⊢ volume {x | ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p < 1} = ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, abs ((r • x) x_1) ^ p) ^ (1 / p) ≤ ‖r‖ * (∑ x_1 : ι, abs (x x_1) ^ p) ^ (1 / p)
x✝ : ι → ℂ

⊢ ∑ i : ι, ‖x✝ i‖ ^ p < 1 ↔ (∑ i : ι, ‖x✝ i‖ ^ p) ^ (1 / p) < 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, abs ((r • x) x_1) ^ p) ^ (1 / p) ≤ ‖r‖ * (∑ x_1 : ι, abs (x x_1) ^ p) ^ (1 / p)

⊢ (π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι = ∫ (x : ι → ℂ), rexp (-((∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p)) ^ p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h₁ : 0 < p
h₂ : ∀ (x : ι → ℂ), 0 ≤ ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, abs ((r • x) x_1) ^ p) ^ (1 / p) ≤ ‖r‖ * (∑ x_1 : ι, abs (x x_1) ^ p) ^ (1 / p)

⊢ 2 * ↑(card ι) / p + 1 = ↑(finrank ℝ (ι → ℂ)) / p + 1
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
c0 : c ≠ 0

⊢ a ≤ b / c ↔ c * a ≤ b
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M'✝ : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
a b : R
x y : M
R' : Type u_8
M' : Type u_9
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : R' → R
j : M →+ M'
hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m

⊢ LinearIndependent R' (⇑j ∘ v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M'✝ : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
a b : R
x y : M
R' : Type u_8
M' : Type u_9
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
i : R' → R
j : M →+ M'
hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m

⊢ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R'), ∑ i ∈ s, g i • (⇑j ∘ v) i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M'✝ : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
a b : R
x y : M
R' : Type u_8
M' : Type u_9
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
i : R' → R
j : M →+ M'
hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m
S : Finset ι
r' : ι → R'
H : ∑ i ∈ S, r' i • (⇑j ∘ v) i = 0
s : ι
hs : s ∈ S

⊢ r' s = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M'✝ : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M''
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'✝
inst✝³ : Module R M''
a b : R
x y : M
R' : Type u_8
M' : Type u_9
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
i : R' → R
j : M →+ M'
hi : ∀ (r : R'), i r = 0 → r = 0
hj : ∀ (m : M), j m = 0 → m = 0
hc : ∀ (r : R') (m : M), j (i r • m) = r • j m
S : Finset ι
r' : ι → R'
s : ι
hs : s ∈ S
H : j (∑ x ∈ S, i (r' x) • v x) = 0

⊢ r' s = 0
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a✝ b a : α
f : ι → α

⊢ a ⊓ ⨆ i, f i = ⨆ i, a ⊓ f i
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ ↑(cos (x + y)) = ↑(cos x * cos y - sin x * sin y)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))

⊢ Irreducible (f.comp g)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0

⊢ Irreducible (f.comp g)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0

⊢ Irreducible (f.comp g)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0

⊢ Irreducible (f.comp g)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)

⊢ Irreducible (f.comp g)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g

⊢ Irreducible (f.comp g)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g

⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p

⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))

⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)

⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree

⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ : Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) = minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)

⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ : Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) = minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
key₂' : finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = g.natDegree

⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁴ : Field F
E : Type u_2
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
α : E
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : K[X]
hfm : f.Monic
hgm : g.Monic
hf : Irreducible f
hg : ∀ (E : Type u) [inst : Field E] [inst_1 : Algebra K E] (x : E), minpoly K x = f → Irreducible (Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮x⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K x))
hf' : f.natDegree ≠ 0
hg' : g.natDegree ≠ 0
H₁ : f.comp g ≠ 0
H₂ : ¬IsUnit (f.comp g)
p : K[X]
hp₁ : Irreducible p
hp₂ : p ∣ f.comp g
this✝¹ : Fact (Irreducible p)
Kx : Type u := AdjoinRoot p
this✝ : Module.Finite K (AdjoinRoot p) := PowerBasis.finite (powerBasis (Irreducible.ne_zero hp₁))
key₁ : f = minpoly K ((aeval (root p)) g)
key₁' : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ = f.natDegree
key₂ : Polynomial.map (algebraMap K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) g - C (AdjoinSimple.gen K ((aeval (root p)) g)) = minpoly (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) (root p)
key₂' : finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = g.natDegree
this : finrank K ↥K⟮(aeval (root p)) g⟯ * finrank (↥K⟮(aeval (root p)) g⟯) Kx = finrank K Kx

⊢ p.natDegree = f.natDegree * g.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Group/Pi/Basic.lean
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x✝ y : (i : I) → f i
i✝ : I
inst✝³ : DecidableEq I
inst✝² : (i : I) → One (f i)
inst✝¹ : (i : I) → One (g i)
inst✝ : (i : I) → One (h i)
f' : (i : I) → f i → g i
hf' : ∀ (i : I), f' i 1 = 1
i : I
x : f i
j : I

⊢ f' j (mulSingle i x j) = mulSingle i (f' i x) j
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty

⊢ ∀ (C : G.ComponentCompl K), ∃ ck, ck.1 ∈ C ∧ ck.2 ∈ K ∧ G.Adj ck.1 ck.2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K

⊢ ∃ ck, ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK ∧ ck.2 ∈ K ∧ G.Adj ck.1 ck.2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK

⊢ ∃ ck, ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK ∧ ck.2 ∈ K ∧ G.Adj ck.1 ck.2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)

⊢ ∃ ck, ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK ∧ ck.2 ∈ K ∧ G.Adj ck.1 ck.2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)
h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)
h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2

⊢ Set.univ = ↑C
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)
h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2

⊢ ↑C = Set.univ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)
h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2

⊢ ∀ (x : V), x ∈ ↑C
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)
h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2
u : V

⊢ u ∈ ↑C
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)
h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2
u : V
unC : u ∉ ↑C

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)
h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2
u : V
unC : u ∉ ↑C
p : G.Walk v u

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Ends/Defs.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
K L L' M : Set V
Gc : G.Preconnected
hK : K.Nonempty
v : V
vnK : v ∉ K
C : G.ComponentCompl K := G.componentComplMk vnK
dis : K ∩ ↑C ⊆ ∅ := Set.disjoint_iff.mp (ComponentCompl.disjoint_right C)
h : ∀ (ck : V × V), ck.1 ∈ G.componentComplMk vnK → ck.2 ∈ K → ¬G.Adj ck.1 ck.2
u : V
unC : u ∉ ↑C
p : G.Walk v u
x y : V
xy : G.Adj (x, y).1 (x, y).2
xC : { toProd := (x, y), adj := xy }.toProd.1 ∈ ↑C
ynC : { toProd := (x, y), adj := xy }.toProd.2 ∉ ↑C

⊢ False
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s₁ s₂ : Stream' α

⊢ (s₁ ⋈ s₂).get (2 * n).succ.succ = s₁.get n.succ
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s₁ s₂ : Stream' α

⊢ (s₁.tail ⋈ s₂.tail).get (2 * n) = s₁.get n.succ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

⊢ o.oangle x y + o.oangle y x = 0