ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0
hf : BddAbove (range f)
this : ∀ (i : ι), f i * c ≤ (⨆ i, f i) * c
bdd : BddAbove (range fun x => f x * c)
hs : ⨆ i, f i < ℵ₀

⊢ (⨆ i, f i) * c ≤ ⨆ i, f i * c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0
hf : BddAbove (range f)
this : ∀ (i : ι), f i * c ≤ (⨆ i, f i) * c
bdd : BddAbove (range fun x => f x * c)
hs : ℵ₀ ≤ ⨆ i, f i

⊢ (⨆ i, f i) * c ≤ ⨆ i, f i * c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0
hf : BddAbove (range f)
this : ∀ (i : ι), f i * c ≤ (⨆ i, f i) * c
bdd : BddAbove (range fun x => f x * c)
hs : ℵ₀ ≤ ⨆ i, f i

⊢ ⨆ i, f i ≤ ⨆ i, f i * c ∧ c ≤ ⨆ i, f i * c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0
hf : BddAbove (range f)
this : ∀ (i : ι), f i * c ≤ (⨆ i, f i) * c
bdd : BddAbove (range fun x => f x * c)
hs : ℵ₀ ≤ ⨆ i, f i
i : ι
hi : 1 < f i

⊢ ⨆ i, f i ≤ ⨆ i, f i * c ∧ c ≤ ⨆ i, f i * c
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ 𝟙_ C ◁ f = (λ_ X).hom ≫ f ≫ (λ_ Y).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ 𝟙_ C ◁ f = (𝟙_ C ◁ f ≫ (λ_ Y).hom) ≫ (λ_ Y).inv
-- Mathlib/Order/Filter/ENNReal.lean
α : Type u_1
f✝ : Filter α
β : Type u_2
inst✝¹ : Countable β
f : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter f
g : Filter β
u : α → β → ℝ≥0∞

⊢ ∀ᶠ (a : α) in f, ∀ (b : β), u a b ≤ limsup (fun a' => u a' b) f
-- Mathlib/Order/Filter/ENNReal.lean
α : Type u_1
f✝ : Filter α
β : Type u_2
inst✝¹ : Countable β
f : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter f
g : Filter β
u : α → β → ℝ≥0∞

⊢ ∀ (i : β), ∀ᶠ (x : α) in f, u x i ≤ limsup (fun a' => u a' i) f
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s✝ : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
s : Set M
p : (x : M) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
one : p 1 ⋯
mul : ∀ (x : M) (hx : x ∈ closure s) (y : M) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
x : M
hx : x ∈ closure s

⊢ p x hx
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s✝ : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S : Submonoid M
s : Set M
p : (x : M) → x ∈ closure s → Prop
mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯
one : p 1 ⋯
mul : ∀ (x : M) (hx : x ∈ closure s) (y : M) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
x : M
hx : x ∈ closure s

⊢ ∃ (x_1 : x ∈ closure s), p x x_1
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
m n : ℕ
h : m.Coprime n
hmn0 : m * n = 0

⊢ φ (m * n) = φ m * φ n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
m n : ℕ
h : m.Coprime n
hmn0 : ¬m * n = 0
this : NeZero (m * n)

⊢ φ (m * n) = φ m * φ n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
m n : ℕ
h : m.Coprime n
hmn0 : ¬m * n = 0
this✝ : NeZero (m * n)
this : NeZero m

⊢ φ (m * n) = φ m * φ n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
m n : ℕ
h : m.Coprime n
hmn0 : ¬m * n = 0
this✝¹ : NeZero (m * n)
this✝ : NeZero m
this : NeZero n

⊢ φ (m * n) = φ m * φ n
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
m n : ℕ
h : m.Coprime n
hmn0 : ¬m * n = 0
this✝¹ : NeZero (m * n)
this✝ : NeZero m
this : NeZero n

⊢ Fintype.card (ZMod (m * n))ˣ = Fintype.card (ZMod m)ˣ * Fintype.card (ZMod n)ˣ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v

⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re

⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re

⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x

⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ (v + 1 - 1)) - v * (↑x ^ (u + 1 - 1) * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1

⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1

⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
int_ev : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, u * (↑y ^ (u - 1) * (1 - ↑y) ^ v) - v * (↑y ^ u * (1 - ↑y) ^ (v - 1)) = F 1 - F 0

⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
int_ev : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, u * (↑y ^ (u - 1) * (1 - ↑y) ^ v) - v * (↑y ^ u * (1 - ↑y) ^ (v - 1)) = F 1 - F 0
hF0 : F 0 = 0

⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
int_ev : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, u * (↑y ^ (u - 1) * (1 - ↑y) ^ v) - v * (↑y ^ u * (1 - ↑y) ^ (v - 1)) = F 1 - F 0
hF0 : F 0 = 0
hF1 : F 1 = 0

⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
int_ev : (u * ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1) = 0
hF0 : F 0 = 0
hF1 : F 1 = 0

⊢ u * u.betaIntegral (v + 1) = v * (u + 1).betaIntegral v
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
int_ev : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, u * (↑y ^ (u - 1) * (1 - ↑y) ^ v) - v * (↑y ^ u * (1 - ↑y) ^ (v - 1)) = 0
hF0 : F 0 = 0
hF1 : F 1 = 0

⊢ IntervalIntegrable (fun y => u * (↑y ^ (u - 1) * (1 - ↑y) ^ v)) volume 0 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
u v : ℂ
hu : 0 < u.re
hv : 0 < v.re
F : ℝ → ℂ := fun x => ↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ v
hu' : 0 < (u + 1).re
hv' : 0 < (v + 1).re
hc : ContinuousOn F (Icc 0 1)
hder : ∀ x ∈ Ioo 0 1, HasDerivAt F (u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) x
h_int : IntervalIntegrable (fun x => u * (↑x ^ (u - 1) * (1 - ↑x) ^ v) - v * (↑x ^ u * (1 - ↑x) ^ (v - 1))) volume 0 1
int_ev : ∫ (y : ℝ) in 0 ..1, u * (↑y ^ (u - 1) * (1 - ↑y) ^ v) - v * (↑y ^ u * (1 - ↑y) ^ (v - 1)) = 0
hF0 : F 0 = 0
hF1 : F 1 = 0

⊢ IntervalIntegrable (fun y => v * (↑y ^ u * (1 - ↑y) ^ (v - 1))) volume 0 1
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Inter α
a b : Part α
hab : (a ∩ b).Dom

⊢ (a ∩ b).get hab = a.get ⋯ ∩ b.get ⋯
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Inter α
a b : Part α
hab : (a ∩ b).Dom

⊢ (a.bind fun y => map (fun x => y ∩ x) b).get ⋯ = a.get ⋯ ∩ b.get ⋯
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
h : p a
_l : List α

⊢ count a (filter p (Quot.mk Setoid.r _l)) = count a (Quot.mk Setoid.r _l)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
h : p a
_l : List α

⊢ List.count a (List.filter (fun b => decide (p b)) _l) = List.count a _l
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
a : α
s : Multiset α
h : p a
_l : List α

⊢ decide (p a) = true
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
x₀ : E'
m : ℕ
h : 1 < m

⊢ (fun x => ‖x - x₀‖ ^ m) =o[𝓝 x₀] fun x => x - x₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α →ₛ ℝ≥0∞

⊢ (f + g).lintegral μ = ∑ x ∈ (f.pair g).range, (x.1 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) + x.2 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α →ₛ ℝ≥0∞

⊢ ∑ x ∈ (f.pair g).range, (x.1 + x.2) * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) = ∑ x ∈ (f.pair g).range, (x.1 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) + x.2 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α →ₛ ℝ≥0∞

⊢ ∑ x ∈ (f.pair g).range, (x.1 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) + x.2 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) = ∑ x ∈ (f.pair g).range, x.1 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) + ∑ x ∈ (f.pair g).range, x.2 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α →ₛ ℝ≥0∞

⊢ ∑ x ∈ (f.pair g).range, x.1 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) + ∑ x ∈ (f.pair g).range, x.2 * μ (↑(f.pair g) ⁻¹' {x}) = (map Prod.fst (f.pair g)).lintegral μ + (map Prod.snd (f.pair g)).lintegral μ
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic F ↥(f i)
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i

⊢ ∃ s, x ∈ ⨆ i ∈ s, adjoin F ((minpoly F i.snd).rootSet E)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic F ↥(f i)
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
i : ι

⊢ f i ≤ ⨆ i, adjoin F ((minpoly F i.snd).rootSet E)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic F ↥(f i)
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
i : ι
x1 : E
hx1 : x1 ∈ f i

⊢ x1 ∈ ⨆ i, adjoin F ((minpoly F i.snd).rootSet E)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic F ↥(f i)
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
i : ι
x1 : E
hx1 : x1 ∈ f i

⊢ adjoin F ((minpoly F x1).rootSet E) ≤ adjoin F ((minpoly F ⟨i, ⟨x1, hx1⟩⟩.snd).rootSet E)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
h : ∀ (i : ι), Algebra.IsAlgebraic F ↥(f i)
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
i : ι
x1 : E
hx1 : x1 ∈ f i

⊢ x1 ∈ (minpoly F x1).rootSet E
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
α : Sort u_1
inst✝ : IsEmpty α
f : α → ℝ

⊢ ⨅ i, f i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
not_field : ¬IsField R
h : M = ⊥
_h1 : ⊥ ≠ ⊤
h2 : ∀ (b : Ideal R), ⊥ < b → b = ⊤

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Nontrivial R
M : Ideal R
not_field : ¬IsField R
h : M = ⊥
_h1 : ⊥ ≠ ⊤
h2 : ∀ (b : Ideal R), ⊥ < b → b = ⊤
I : Ideal R
hIbot : ⊥ < I
hItop : I < ⊤

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/SetSemiring.lean
α : Type u_1
C : Set (Set α)
s t : Set α
hC : IsSetSemiring C
hs : s ∈ C
ht : t ∈ C

⊢ ∅ ∉ hC.diffFinset hs ht
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x y✝ z y : ℝ
hy : 0 < y

⊢ (orderIsoRpow y hy).symm = orderIsoRpow (1 / y) ⋯
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x y✝ z y : ℝ
hy : 0 < y

⊢ (StrictMono.orderIsoOfRightInverse (fun x => x ^ y) ⋯ (fun x => x ^ (1 / y)) ⋯).symm = StrictMono.orderIsoOfRightInverse (fun x => x ^ (1 / y)) ⋯ (fun x => x ^ y) ⋯
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
n : ℤ

⊢ cos (↑n * (2 * π) + π) = -1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
ha : a ∉ s
hf : 0 ≤ f
hts : t = insert a s
ht : t ∈ 𝒜

⊢ f t ≤ collapse 𝒜 a f s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
inst✝ : ExistsAddOfLE β
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
a : α
f f₁ f₂ f₃ f₄ g μ : Finset α → β
s t u : Finset α
ha : a ∉ s
hf : 0 ≤ f
hts : t = insert a s
ht : t ∈ 𝒜

⊢ f t ≤ (if s ∈ 𝒜 then f s else 0) + f t
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
f : Fin 0 → α

⊢ (ofFn f).toList = List.ofFn f
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α

⊢ (ofFn f).toList = List.ofFn f
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/RCLike.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
hx : x ≠ 0
this : ‖x‖ ≠ 0

⊢ ‖(↑‖x‖)⁻¹ • x‖ = 1
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
n : ℕ

⊢ ↑(Nat.fib (n + 1)) - φ * ↑(Nat.fib n) = ψ ^ n
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
n : ℕ

⊢ (φ ^ (n + 1) - ψ ^ (n + 1)) / √5 - φ * ((φ ^ n - ψ ^ n) / √5) = ψ ^ n
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
n : ℕ

⊢ (φ ^ (n + 1) - ψ ^ (n + 1) - (φ ^ (n + 1) - φ * ψ ^ n)) / √5 = ψ ^ n
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
n : ℕ
nz : √5 ≠ 0

⊢ √5 * (√5)⁻¹ * (1 / 2 + √5 * (-1 / 2)) ^ n = (1 / 2 + √5 * (-1 / 2)) ^ n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α

⊢ #{ s // #↑s < (#α).ord.cof } = #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α = 0

⊢ #{ s // #↑s < (#α).ord.cof } = #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α ≠ 0

⊢ #{ s // #↑s < (#α).ord.cof } = #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit

⊢ #{ s // #↑s < (#α).ord.cof } = #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r

⊢ #{ s // #↑s < (#α).ord.cof } = #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
this : IsWellOrder α r

⊢ #{ s // #↑s < (#α).ord.cof } = #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
this : IsWellOrder α r

⊢ #{ s // #↑s < (#α).ord.cof } ≤ #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
α : Type u_2
h : ∀ x < #α, 2 ^ x < #α
ha : #α ≠ 0
h' : (#α).IsStrongLimit
r : α → α → Prop
wo : IsWellOrder α r
hr : (#α).ord = type r
this : IsWellOrder α r

⊢ #α ≤ #{ s // #↑s < (#α).ord.cof }
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
h : angle x y = 0

⊢ ‖x + y‖ = ‖x‖ + ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
h : angle x y = 0

⊢ ‖x‖ ^ 2 + 2 * (‖x‖ * ‖y‖) + ‖y‖ ^ 2 = (‖x‖ + ‖y‖) ^ 2
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E

⊢ {x} / ball 1 δ = ball x δ
-- Mathlib/Algebra/Lie/TensorProduct.lean
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
P : Type w₂
Q : Type w₃
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : AddCommGroup N
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : LieRingModule L N
inst✝⁸ : LieModule R L N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
inst✝⁵ : LieRingModule L P
inst✝⁴ : LieModule R L P
inst✝³ : AddCommGroup Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : LieRingModule L Q
inst✝ : LieModule R L Q
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N →ₗ[R] P
m : M
n : N

⊢ ((liftLie R L M N P) f) (m ⊗ₜ[R] n) = (f m) n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Seminorm.lean
F : Type u_1
R✝ : Type u_2
S : Type u_3
x y : R✝
r : ℝ
R : Type u_4
inst✝ : Ring R
n : ℕ
f : MulRingNorm R

⊢ f ↑n ≤ ↑n
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x : E

⊢ φ (o.rightAngleRotation x) = o.rightAngleRotation (φ x)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x : E

⊢ x = φ.symm (φ x)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x : E

⊢ o = (map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β

⊢ s ⊆ ⇑e.symm '' t ↔ ⇑e.symm.symm '' s ⊆ t
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β✝ : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
e : α ≃ β
s : Set α
t : Set β

⊢ ⇑e.symm.symm '' s ⊆ t ↔ ⇑e '' s ⊆ t
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : PreservesColimits S
A : CostructuredArrow S T
P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
hf : Mono f

⊢ S.map (Subobject.mk f.unop.left.op).arrow.unop ≫ S.map (Subobject.underlyingIso f.unop.left.op).inv.unop ≫ (unop P).hom = A.hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Comma.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
inst✝¹ : HasColimits C
inst✝ : PreservesColimits S
A : CostructuredArrow S T
P : (CostructuredArrow S T)ᵒᵖ
f : P ⟶ op A
hf : Mono f

⊢ S.map ((Subobject.underlyingIso f.unop.left.op).inv ≫ (Subobject.mk f.unop.left.op).arrow).unop ≫ (unop P).hom = A.hom
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T

⊢ (p.toSubring T hp).Monic ↔ p.Monic
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]
T : Subring R
hp : ↑p.coeffs ⊆ ↑T

⊢ (p.toSubring T hp).coeff p.natDegree = 1 ↔ ↑((p.toSubring T hp).coeff p.natDegree) = 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f ρ

⊢ (∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Integrable (fun ω => f (a, ω)) (ρ.condKernel a)) ∧ Integrable (fun a => ∫ (ω : Ω), ‖f (a, ω)‖ ∂ρ.condKernel a) ρ.fst ↔ Integrable f ρ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel)

⊢ (∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Integrable (fun ω => f (a, ω)) (ρ.condKernel a)) ∧ Integrable (fun a => ∫ (ω : Ω), ‖f (a, ω)‖ ∂ρ.condKernel a) ρ.fst ↔ Integrable f ρ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
ρ : Measure (α × Ω)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
f : α × Ω → F
hf : AEStronglyMeasurable f (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel)

⊢ (∀ᵐ (a : α) ∂ρ.fst, Integrable (fun ω => f (a, ω)) (ρ.condKernel a)) ∧ Integrable (fun a => ∫ (ω : Ω), ‖f (a, ω)‖ ∂ρ.condKernel a) ρ.fst ↔ Integrable f (ρ.fst ⊗ₘ ρ.condKernel)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
hx : x ∈ Icc (-1) 1

⊢ sin (arcsin x) = x