ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ m₁ : M
hm₀ : m₀ ∈ weightSpace M 0
hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M
hB : ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n

⊢ (B m₀) m₁ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ m₁ : M
hm₀ : m₀ ∈ weightSpace M 0
hm₁ : m₁ ∈ posFittingComp R L M
hB : ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n

⊢ ∀ (x : L), ∀ m ∈ posFittingCompOf R M x, (B m₀) m = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ : M
hm₀ : m₀ ∈ weightSpace M 0
hB : ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
x : L
m₁ : M
hm₁ : m₁ ∈ posFittingCompOf R M x

⊢ (B m₀) m₁ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ : M
hB : ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
x : L
m₁ : M
hm₁ : m₁ ∈ posFittingCompOf R M x
hm₀ : ∀ (x : L), ∃ k, (φ x ^ k) m₀ = 0

⊢ (B m₀) m₁ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ : M
hB : ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
x : L
m₁ : M
hm₁ : m₁ ∈ posFittingCompOf R M x
hm₀ : ∀ (x : L), ∃ k, (φ x ^ k) m₀ = 0
k : ℕ
hk : (φ x ^ k) m₀ = 0

⊢ (B m₀) m₁ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ : M
hB : ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M), (B m) ((φ x ^ k) n) = (-1) ^ k • (B ((φ x ^ k) m)) n
x : L
hm₀ : ∀ (x : L), ∃ k, (φ x ^ k) m₀ = 0
k : ℕ
hk : (φ x ^ k) m₀ = 0
m : M
hm₁ : (φ x ^ k) m ∈ posFittingCompOf R M x

⊢ (B m₀) ((φ x ^ k) m) = 0
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : ¬gcd x y = 0

⊢ x * y / gcd x y ∣ z
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : ¬gcd x y = 0
r : R
hr : x = gcd x y * r
s : R
hs : y = gcd x y * s

⊢ x * y / gcd x y ∣ z
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : ¬gcd x y = 0
r : R
hr : x = gcd x y * r
s : R
hs : y = gcd x y * s

⊢ x * y ∣ z * gcd x y
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : ¬gcd x y = 0
r : R
hr : x = gcd x y * r
s : R
hs : y = gcd x y * s

⊢ x * y ∣ z * (x * gcdA x y) + z * (y * gcdB x y)
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : ¬gcd x y = 0
r : R
hr : x = gcd x y * r
s : R
hs : y = gcd x y * s

⊢ x * y ∣ z * (x * gcdA x y)
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y z : R
hxz : x ∣ z
hyz : y ∣ z
hxy : ¬gcd x y = 0
r : R
hr : x = gcd x y * r
s : R
hs : y = gcd x y * s

⊢ x * y ∣ z * (y * gcdB x y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
hc : c ≠ 0
d : ℝ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (c * x - d) = c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in c * a - d..c * b - d, f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h : Fintype.card n ≠ 1
n✝ : ℕ
h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1
A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ

⊢ A.adjugate.adjugate = A.det ^ (Fintype.card n - 2) • A
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h : Fintype.card n ≠ 1
n✝ : ℕ
h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1
A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ

⊢ A'.adjugate.adjugate = A'.det ^ (Fintype.card n - 2) • A'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h : Fintype.card n ≠ 1
n✝ : ℕ
h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1
A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ
h_card' : Fintype.card n - 2 + 1 = Fintype.card n - 1

⊢ A'.adjugate.adjugate = A'.det ^ (Fintype.card n - 2) • A'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h : Fintype.card n ≠ 1
n✝ : ℕ
h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1
A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ
h_card' : Fintype.card n - 2 + 1 = Fintype.card n - 1
is_reg : IsSMulRegular (MvPolynomial (n × n) ℤ) A'.det

⊢ A'.adjugate.adjugate = A'.det ^ (Fintype.card n - 2) • A'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h : Fintype.card n ≠ 1
n✝ : ℕ
h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1
A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ
h_card' : Fintype.card n - 2 + 1 = Fintype.card n - 1
is_reg : IsSMulRegular (MvPolynomial (n × n) ℤ) A'.det

⊢ (fun x => A'.det • x) A'.adjugate.adjugate = (fun x => A'.det • x) (A'.det ^ (Fintype.card n - 2) • A')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
h : Fintype.card n ≠ 1
n✝ : ℕ
h_card : Fintype.card n = n✝ + 1 + 1
A' : Matrix n n (MvPolynomial (n × n) ℤ) := mvPolynomialX n n ℤ
h_card' : Fintype.card n - 2 + 1 = Fintype.card n - 1
is_reg : IsSMulRegular (MvPolynomial (n × n) ℤ) A'.det

⊢ A'.det • A'.adjugate.adjugate = A'.det • A'.det ^ (Fintype.card n - 2) • A'
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Bousfield.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
P₁ P₂ : D
f : P₁ ⟶ P₂

⊢ W (fun x => x ∈ Set.range F.obj) f ↔ (MorphismProperty.isomorphisms C).inverseImage G f
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Bousfield.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : G ⊣ F
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
P₁ P₂ : D
f : P₁ ⟶ P₂

⊢ IsIso (G.map f) ↔ (MorphismProperty.isomorphisms C).inverseImage G f
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanIso 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A

⊢ f a * f b = f c * f d ↔ a * b = c * d
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : CommMonoid γ
A A₁ A₂ : Set α
B B₁ B₂ : Set β
C : Set γ
f f₁ f₂ : α → β
g : β → γ
m n : ℕ
hf : IsMulFreimanIso 2 A B f
a b c d : α
ha : a ∈ A
hb : b ∈ A
hc : c ∈ A
hd : d ∈ A

⊢ {f a, f b}.prod = {f c, f d}.prod ↔ {a, b}.prod = {c, d}.prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M

⊢ indicator s f = ∑ x ∈ s.attach, single (↑x) (f ↑x ⋯)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M

⊢ ∑ x ∈ s.attach, single (↑x) ((indicator s f) ↑x) = ∑ x ∈ s.attach, single (↑x) (f ↑x ⋯)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M

⊢ ∀ x ∈ s, x ∉ (indicator s f).support → single x ((indicator s f) x) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : IsNoetherian R M
f : End R M
μ : R
h : optParam (MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) ⋯

⊢ IsNilpotent (LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) h)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : IsNoetherian R M
f : End R M
μ : R
h : optParam (MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) ⋯
l : ℕ
hl : ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = (f.genEigenspace μ) l

⊢ IsNilpotent (LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) h)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : IsNoetherian R M
f : End R M
μ : R
h : optParam (MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) ⋯
l : ℕ
hl : ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = (f.genEigenspace μ) l

⊢ LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) h ^ l = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : IsNoetherian R M
f : End R M
μ : R
h : optParam (MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k) ↑(⨆ k, (f.genEigenspace μ) k)) ⋯
l : ℕ
hl : ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = (f.genEigenspace μ) l
x : M
hx : x ∈ ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k

⊢ ↑((LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ) h ^ l) ⟨x, hx⟩) = ↑(0 ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t✝ s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝² : s.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝¹ : t.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : (s + t).HaveLebesgueDecomposition μ

⊢ (s + t).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] s.rnDeriv μ + t.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t✝ s t : SignedMeasure α
μ : Measure α
inst✝² : s.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝¹ : t.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : (s + t).HaveLebesgueDecomposition μ

⊢ μ.withDensityᵥ ((s + t).rnDeriv μ) = μ.withDensityᵥ (s.rnDeriv μ + t.rnDeriv μ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/SingleHomology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A✝ A : C
i : ι
hi : i ≠ j

⊢ IsZero (((single C c j).obj A).homology i)
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
rk : α → ℕ
s : Set α
f0 : ℕ → α
hf0 : IsBadSeq r s f0
fs : (n : ℕ) → { f // IsBadSeq r s f ∧ IsMinBadSeq r rk s n f } := fun t => Nat.rec ⟨↑(minBadSeqOfBadSeq r rk s 0 f0 hf0), ⋯⟩ (fun n fn => ⟨↑(minBadSeqOfBadSeq r rk s (n + 1) ↑fn ⋯), ⋯⟩) t
h : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → ↑(fs m) m = ↑(fs n) m

⊢ ∃ f, IsBadSeq r s f ∧ ∀ (n : ℕ), IsMinBadSeq r rk s n f
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
rk : α → ℕ
s : Set α
f0 : ℕ → α
hf0 : IsBadSeq r s f0
fs : (n : ℕ) → { f // IsBadSeq r s f ∧ IsMinBadSeq r rk s n f } := fun t => Nat.rec ⟨↑(minBadSeqOfBadSeq r rk s 0 f0 hf0), ⋯⟩ (fun n fn => ⟨↑(minBadSeqOfBadSeq r rk s (n + 1) ↑fn ⋯), ⋯⟩) t
h : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → ↑(fs m) m = ↑(fs n) m
m n : ℕ
mn : m < n

⊢ ¬r ((fun n => ↑(fs n) n) m) ((fun n => ↑(fs n) n) n)
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
r✝ r : α → α → Prop
rk : α → ℕ
s : Set α
f0 : ℕ → α
hf0 : IsBadSeq r s f0
fs : (n : ℕ) → { f // IsBadSeq r s f ∧ IsMinBadSeq r rk s n f } := fun t => Nat.rec ⟨↑(minBadSeqOfBadSeq r rk s 0 f0 hf0), ⋯⟩ (fun n fn => ⟨↑(minBadSeqOfBadSeq r rk s (n + 1) ↑fn ⋯), ⋯⟩) t
h : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → ↑(fs m) m = ↑(fs n) m
n : ℕ
g : ℕ → α
hg1 : ∀ m < n, (fun n => ↑(fs n) n) m = g m
hg2 : rk (g n) < rk ((fun n => ↑(fs n) n) n)

⊢ ¬IsBadSeq r s g
-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : Add G
inst✝¹ : AddZeroClass H
a : G
b : H
inst✝ : DistribSMul K H
c : K
f : G →+c[a, b] H
x : G

⊢ (c • ⇑f) (x + a) = (c • ⇑f) x + c • b
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Limits.lean
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : Profinite
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget Profinite).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z

⊢ a z = b z
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Limits.lean
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : Profinite
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget Profinite).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z

⊢ ↑(a z) = ↑(b z)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Limits.lean
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : Profinite
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget Profinite).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z

⊢ (↑(a z)).1 = (↑(b z)).1
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Limits.lean
X Y B : Profinite
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : Profinite
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget Profinite).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z

⊢ (↑(a z)).2 = (↑(b z)).2
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

⊢ toIcoMod hp (a - m • p) b = toIcoMod hp a b - m • p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic

⊢ p.degree ≤ 0 ↔ p = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
𝔸' : Type u_3
inst✝¹ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → 𝕜 → 𝔸'
f' : ι → 𝔸'
hf : ∀ i ∈ u, HasStrictDerivAt (f i) (f' i) x

⊢ HasStrictDerivAt (fun x => ∏ i ∈ u, f i x) (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, f j x) • f' i) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ

⊢ ∫⁻ (ω : α), ENNReal.ofReal (f ω) ∂μ = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ

⊢ ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t ≤ f a} = ∫⁻ (t : ℝ) in Ioi 0, μ {a | t < f a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ

⊢ (fun a => μ {a_1 | a ≤ f a_1}) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun a => μ {a_1 | a < f a_1}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
f : α → ℝ
g : ℝ → ℝ
s : Set α
μ : Measure α
f_nn : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
f_mble : AEMeasurable f μ
t : ℝ
ht : μ {a | t ≤ f a} = μ {a | t < f a}

⊢ μ {a | t ≤ f a} = μ {a | t < f a}
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : M

⊢ ∃ n y, (f.comp i) y = x ^ p ^ n
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : M
n : ℕ
y : L
hy : f y = x ^ p ^ n

⊢ ∃ n y, (f.comp i) y = x ^ p ^ n
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : M
n : ℕ
y : L
hy : f y = x ^ p ^ n
m : ℕ
z : K
hz : i z = y ^ p ^ m

⊢ ∃ n y, (f.comp i) y = x ^ p ^ n
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : K
h : x ∈ RingHom.ker (f.comp i)

⊢ x ∈ pNilradical K p
-- Mathlib/FieldTheory/IsPerfectClosure.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring K
inst✝⁶ : CommSemiring L
inst✝⁵ : CommSemiring M
i : K →+* L
j : K →+* M
f : L →+* M
p : ℕ
inst✝⁴ : ExpChar K p
inst✝³ : ExpChar L p
inst✝² : ExpChar M p
inst✝¹ : IsPRadical i p
inst✝ : IsPRadical f p
x : K
h : i x ∈ RingHom.ker f

⊢ x ∈ pNilradical K p
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
M : Matroid α
h : I = ∅

⊢ M.Basis I ∅
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Partition.lean
n : ℕ
b : Multiset ℕ
hb₁ : ∀ {i : ℕ}, i ∈ b → 0 < i
hb₂ : b.sum = n

⊢ ∃ a, ofComposition n a = { parts := b, parts_pos := hb₁, parts_sum := hb₂ }
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Partition.lean
n : ℕ
b : List ℕ
hb₁ : ∀ {i : ℕ}, i ∈ ⟦b⟧ → 0 < i
hb₂ : sum ⟦b⟧ = n

⊢ ∃ a, ofComposition n a = { parts := ⟦b⟧, parts_pos := hb₁, parts_sum := hb₂ }
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
c : ℝ
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : TaggedPrepartition I

⊢ integralSum (c • f) vol π = c • integralSum f vol π
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b : CauSeq α abs
h : a ≤ b

⊢ a ⊓ b ≈ a
-- Mathlib/Data/Option/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p✝ : α → Prop
f✝ : (a : α) → p✝ a → β
x✝ : Option α
p : α → Prop
f : α → β
x : Option α
H : ∀ (a : α), a ∈ x → p a

⊢ pmap (fun a x => f a) x H = Option.map f x
-- Mathlib/NumberTheory/ZetaValues.lean
k : ℕ
hk : k ≠ 1

⊢ bernoulliFun k 1 = bernoulliFun k 0
-- Mathlib/Topology/Category/CompactlyGenerated.lean
X : Type w
inst✝ : TopologicalSpace X
Y : Type u_1
t : TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : ∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)

⊢ Continuous f
-- Mathlib/Topology/Category/CompactlyGenerated.lean
X : Type w
inst✝ : TopologicalSpace X
Y : Type u_1
t : TopologicalSpace Y
f : X → Y
h : ∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)

⊢ Continuous (f ∘ fun x => match x with | ⟨⟨fst, i⟩, s⟩ => i s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

⊢ map (LinearMap.snd R M M₂) (snd R M M₂) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂

⊢ ⊤ ≤ map (LinearMap.snd R M M₂) (snd R M M₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
p : Submodule R M
q : Submodule R M₂
x : M₂

⊢ x ∈ map (LinearMap.snd R M M₂) (snd R M M₂)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : CommMonoid M
a : M
l : List M
ha : a ∈ l

⊢ a ∣ l.prod