ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs_nonempty : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)

⊢ Multiset.map (fun i => g i) s.val ≠ ∅
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs_nonempty : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)

⊢ ∀ a ∈ Multiset.map (fun i => g i) s.val, p a
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs_nonempty : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)

⊢ (Multiset.map f (Multiset.map (fun i => g i) s.val)).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f : M → N
p : M → Prop
h_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → f (x * y) ≤ f x * f y
hp_mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)
g : ι → M
s : Finset ι
hs_nonempty : s.Nonempty
hs : ∀ i ∈ s, p (g i)

⊢ (Multiset.map (f ∘ fun i => g i) s.val).prod ≤ ∏ i ∈ s, f (g i)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n✝ m✝ n : ℤ
z₁ : Cochain F G n
f : G ⟶ K
m : ℤ

⊢ δ n m (z₁.comp (Cochain.ofHom f) ⋯) = (δ n m z₁).comp (Cochain.ofHom f) ⋯
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x : α

⊢ ‖(WithLp.equiv p (α × β)).symm (x, 0)‖₊ = ‖x‖₊
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃

⊢ ∡ p₁ s.center p₃ = 2 • ∡ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : ‖p₁ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂ : ‖p₂ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₃ : ‖p₃ -ᵥ s.center‖ = s.radius
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃

⊢ ∡ p₁ s.center p₃ = 2 • ∡ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k

⊢ j.contractNth op g k = g (j.succAbove k)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k
h : ↑k < ↑j

⊢ j.contractNth op g k = g (j.succAbove k)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k
h : ↑k = ↑j

⊢ j.contractNth op g k = g (j.succAbove k)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Type u_1
j : Fin (n + 1)
op : α → α → α
g : Fin (n + 1) → α
k : Fin n
hjk : ↑j ≠ ↑k
h : ↑j < ↑k

⊢ j.contractNth op g k = g (j.succAbove k)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X × Y

⊢ map Prod.fst (𝓝[Prod.snd ⁻¹' {x.2}] x) = 𝓝 x.1
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X × Y
s : Set X
hs : s ∈ map Prod.fst (𝓝[Prod.snd ⁻¹' {x.2}] x)

⊢ s ∈ 𝓝 x.1
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
x : X
y : Y
hs : s ∈ map Prod.fst (𝓝[Prod.snd ⁻¹' {(x, y).2}] (x, y))

⊢ s ∈ 𝓝 (x, y).1
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
x : X
y : Y
hs : ∃ u ∈ 𝓝 x, ∃ v ∈ 𝓝 y, u ×ˢ v ⊆ {x_1 | x_1 ∈ Prod.snd ⁻¹' {(x, y).2} → x_1 ∈ Prod.fst ⁻¹' s}

⊢ s ∈ 𝓝 (x, y).1
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
x : X
y : Y
u : Set X
hu : u ∈ 𝓝 x
v : Set Y
hv : v ∈ 𝓝 y
H : u ×ˢ v ⊆ {x_1 | x_1 ∈ Prod.snd ⁻¹' {(x, y).2} → x_1 ∈ Prod.fst ⁻¹' s}

⊢ s ∈ 𝓝 (x, y).1
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
s : Set X
x : X
y : Y
u : Set X
hu : u ∈ 𝓝 x
v : Set Y
hv : v ∈ 𝓝 y
H : ∀ x ∈ u, ∀ y_1 ∈ v, y_1 = y → x ∈ s

⊢ s ∈ 𝓝 (x, y).1
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ‖x‖ = ‖y‖

⊢ ‖(1 / 2) • (x + y)‖ < ‖x‖ ↔ x ≠ y
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β

⊢ ⊤.prod g = comap Prod.snd g
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a

⊢ ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)

⊢ ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x

⊢ ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x
B : ℝ → ℝ := fun x => C * (x - a)

⊢ ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x
B : ℝ → ℝ := fun x => C * (x - a)
hB : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt B C x

⊢ ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x
B : ℝ → ℝ := fun x => C * (x - a)
hB : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt B C x

⊢ ‖g a‖ ≤ B a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
f' : ℝ → E
C : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Ici x) x
bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C
g : ℝ → E := fun x => f x - f a
hg : ContinuousOn g (Icc a b)
hg' : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (f' x) (Ici x) x
B : ℝ → ℝ := fun x => C * (x - a)
hB : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt B C x

⊢ ‖f a - f a‖ ≤ C * (a - a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
w : ι → Rˣ

⊢ e.det ⇑(e.unitsSMul w) = ∏ i : ι, ↑(w i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Independence.lean
ι : Type u_1
K : Type u_2
V : Type u_3
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : ι → ℙ K V

⊢ Dependent f ↔ ¬Independent f
-- Mathlib/LinearAlgebra/UnitaryGroup.lean
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
α : Type v
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
β : Type v
inst✝ : CommRing β
A : Matrix n n β

⊢ A ∈ orthogonalGroup n β ↔ star A * A = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/UnitaryGroup.lean
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
α : Type v
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
β : Type v
inst✝ : CommRing β
A : Matrix n n β
hA : star A * A = 1

⊢ A * star A = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x

⊢ ¬IsSquare d
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x
hp : a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 = 1

⊢ ¬IsSquare d
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
b : ℤ
a : Solution₁ (b * b)
ha : 1 < a.x
hp : a.x ^ 2 - b * b * a.y ^ 2 = 1

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
b : ℤ
a : Solution₁ (b * b)
ha : 1 < a.x
hp : a.x + b * a.y = 1 ∧ a.x - b * a.y = 1 ∨ a.x + b * a.y = -1 ∧ a.x - b * a.y = -1

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℤ
c w : ℂ
R : ℝ
hn : n < 0
hw : w ∈ sphere c |R|

⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w) ^ n) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℤ
c w : ℂ
hn : n < 0
hw : w ∈ sphere c |0|

⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, 0), (z - w) ^ n) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℤ
c w : ℂ
R : ℝ
hn : n < 0
hw : w ∈ sphere c |R|
h0 : R ≠ 0

⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), (z - w) ^ n) = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N

⊢ x ∈ map f.toMonoidHom H.normalizer ↔ x ∈ (map f.toMonoidHom H).normalizer
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N

⊢ (∀ (h : G), h ∈ H ↔ f.symm x * h * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ ∀ (h : N), f.symm h ∈ H ↔ f.symm (x * h * x⁻¹) ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N

⊢ ∀ (a : G), (a ∈ H ↔ f.symm x * a * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (f.symm (f.toEquiv a) ∈ H ↔ f.symm (x * f.toEquiv a * x⁻¹) ∈ H)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
a✝ : G

⊢ (a✝ ∈ H ↔ f.symm x * a✝ * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (f.symm (f.toEquiv a✝) ∈ H ↔ f.symm (x * f.toEquiv a✝ * x⁻¹) ∈ H)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
a✝ : G

⊢ (a✝ ∈ H ↔ f.symm x * a✝ * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (a✝ ∈ H ↔ f.symm (x * f.toEquiv a✝ * x⁻¹) ∈ H)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ : G →* N
H : Subgroup G
f : G ≃* N
x : N
a✝ : G

⊢ (a✝ ∈ H ↔ f.symm x * a✝ * (f.symm x)⁻¹ ∈ H) ↔ (a✝ ∈ H ↔ f.symm x * f.symm (f.toEquiv a✝) * (f.symm x)⁻¹ ∈ H)
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α

⊢ Monotone (⇑toDual ∘ f ∘ ⇑ofDual) ↔ Monotone f
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
r : R

⊢ constantCoeff (C r) = r
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
o : α → Option β
f : α → σ
g : α → β → σ
ho : Primrec o
hf : Primrec f
hg : Primrec₂ g
a : α

⊢ (Nat.casesOn (encode (o a)) (encode (f a)) fun b => (encode ((decode (encode (a, b).1)).bind fun a => Option.map (g a) (decode b))).pred) = encode (Option.casesOn (o a) (f a) (g a))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
z : S
x : R
y : ↥M
h : z * (algebraMap R S) ↑y = (algebraMap R S) x
hx : x = 0

⊢ z = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
z : S
x : R
y : ↥M
h : z * (algebraMap R S) ↑y = 0
hx : x = 0

⊢ z = 0
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α✝
g g₁ g₂ : Filter β
m : α✝ → β
m' : β → γ
s : Set α✝
t : Set β
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : ∀ (j : ι), Nonempty (α j)
i : ι
f : Filter (α i)

⊢ (comap (eval i) f).NeBot ↔ f.NeBot
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
fs : Finset (Fin (n + 1))
h : fs.Nonempty

⊢ ∑ i : PointsWithCircumcenterIndex n, centroidWeightsWithCircumcenter fs i = 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
fs : Finset (Fin (n + 1))
h : fs.Nonempty

⊢ (∑ x : Fin (n + 1), if x ∈ fs then (↑fs.card)⁻¹ else 0) = ∑ i : Fin (n + 1), (↑fs).indicator (centroidWeights ℝ fs) i
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s

⊢ s ∈ fixedBy (Set α) g
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s

⊢ s ∈ fixedBy (Set α) g⁻¹
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
a : α

⊢ a ∈ g⁻¹ • s ↔ a ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
a : α

⊢ g • a ∈ s ↔ a ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
a : α
h✝ : a ∈ fixedBy α g

⊢ g • a ∈ s ↔ a ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
s : Set α
g : G
s_subset : (fixedBy α g)ᶜ ⊆ s
a : α
h✝ : a ∉ fixedBy α g

⊢ g • a ∈ s ↔ a ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hs₂ : IsOpen s
hx : x ∈ ε • s

⊢ gauge s x < ε
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hs₂ : IsOpen s
hx : x ∈ ε • s
this : ε⁻¹ • x ∈ s

⊢ gauge s x < ε
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
x : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hs₂ : IsOpen s
hx : x ∈ ε • s
this : ε⁻¹ • x ∈ s
h_gauge_lt : gauge s (ε⁻¹ • x) < 1

⊢ gauge s x < ε
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p

⊢ p.factors.prod = FactorSet.prod ↑{⟨p, hp⟩}
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p

⊢ p = match ↑{⟨p, hp⟩} with | none => 0 | some s => (Multiset.map Subtype.val s).prod
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p : Associates α
hp : Irreducible p

⊢ p = {p}.prod
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : C ⥤ D
α : F.op ⟶ G.op
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ (G.map f ≫ (fun X => (α.app (op X)).unop) Y).op = ((fun X => (α.app (op X)).unop) X ≫ F.map f).op
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
x : C(↑s, 𝕜)

⊢ x ∈ ↑(StarAlgebra.adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}) ↔ x ∈ ↑(span 𝕜 {1}) + ↑(adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
s : Set 𝕜
x : C(↑s, 𝕜)

⊢ (∃ y ∈ span 𝕜 {1}, ∃ z ∈ (adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)}).toSubmodule, y + z = x) ↔ x ∈ ↑(span 𝕜 {1}) + ↑(adjoin 𝕜 {restrict s (ContinuousMap.id 𝕜)})
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
point✝ : PointClass F
a✝ : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝)

⊢ (-mk hP).toAffineLift = -(mk hP).toAffineLift
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : b ≠ 0
ha : 2 ≤ a
h : a ^ n ∣ b

⊢ n < b
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : b ≠ 0
ha : 2 ≤ a
h : a ^ n ∣ b

⊢ a ^ n < a ^ b
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
h : Relation.ReflTransGen r a b

⊢ ∃ l, Chain r a l ∧ (a :: l).getLast ⋯ = b
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
h : Relation.ReflTransGen r a b

⊢ ∃ l, Chain r b l ∧ (b :: l).getLast ⋯ = b
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a b : α
h : Relation.ReflTransGen r a b

⊢ ∀ {a c : α}, r a c → Relation.ReflTransGen r c b → (∃ l, Chain r c l ∧ (c :: l).getLast ⋯ = b) → ∃ l, Chain r a l ∧ (a :: l).getLast ⋯ = b
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G

⊢ H = ⊥ ∨ Nontrivial ↥H
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
this : Nontrivial ↥H ↔ H ≠ ⊥

⊢ H = ⊥ ∨ Nontrivial ↥H
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α

⊢ Iio a * Iic b ⊆ Iio (a * b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
this : ∀ (M : Type ?u.10523) (N : Type ?u.10522) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ Iio a * Iic b ⊆ Iio (a * b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
this : ∀ (M : Type ?u.10523) (N : Type ?u.10522) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
y : α
hya : y ∈ Iio a
z : α
hzb : z ∈ Iic b

⊢ (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Iio (a * b)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p : ℕ
z : ℤ
hp : p ≠ 1
hz : z ≠ 0

⊢ padicValRat p ↑z = ↑((multiplicity (↑p) z).get ⋯)