ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
hn : f ^ n * f ∈ Ideal.span (h '' ↑t)

⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
hn : ∃ l ∈ Finsupp.supported R R ↑t, (Finsupp.total ι R R h) l = f ^ (n + 1)

⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : (Finsupp.total ι R R h) b = f ^ (n + 1)

⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i • h i = f ^ (n + 1)

⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

⊢ ∃ a, (toBasicOpen R f) a = s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

⊢ (toBasicOpen R f) (IsLocalization.mk' (Localization.Away f) (∑ i ∈ t, b i * a i) ⟨f ^ (n + 1), ⋯⟩) = s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)

⊢ const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (↑⟨f ^ (n + 1), ⋯⟩) (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t

⊢ const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (↑⟨f ^ (n + 1), ⋯⟩) (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯ = s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t

⊢ PrimeSpectrum.basicOpen f ≤ ⨆ i, PrimeSpectrum.basicOpen (h ↑i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t

⊢ ∀ (i : tt), ((structureSheaf R).val.map (iDh ↑i).op) (const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (↑⟨f ^ (n + 1), ⋯⟩) (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯) = ((structureSheaf R).val.map (iDh ↑i).op) s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
i : ι
hi : i ∈ ↑t

⊢ ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) (const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (f ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen f) ⋯) = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
i : ι
hi : i ∈ ↑t

⊢ const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (f ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ?h.h.mk.hv = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
i : ι
hi : i ∈ ↑t

⊢ ∀ x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen (h i), f ^ (n + 1) ∈ x.asIdeal.primeCompl
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
i : ι
hi : i ∈ ↑t

⊢ const R (∑ i ∈ t, b i * a i) (f ^ (n + 1)) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
i : ι
hi : i ∈ ↑t

⊢ (∑ i ∈ t, b i * a i) * h i = a i * f ^ (n + 1)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
i : ι
hi : i ∈ ↑t

⊢ ∑ i_1 ∈ t, b i_1 * a i_1 * h i = ∑ i_1 ∈ t, a i * (b i_1 * h i_1)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
i : ι
hi : i ∈ ↑t

⊢ ∀ x ∈ t, b x * a x * h i = a i * (b x * h x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
i : ι
hi : i ∈ ↑t
j : ι
hj : j ∈ t

⊢ b j * a j * h i = a i * (b j * h j)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : R
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op (PrimeSpectrum.basicOpen f)))
ι : Type u := ↥(PrimeSpectrum.basicOpen f)
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen f
ah_ha : ∀ i ∈ t, ∀ j ∈ t, a i * h j = h i * a j
s_eq : ∀ i ∈ t, ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s = const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯
ht_cover : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f) ⊆ ⋃ i ∈ t, ↑(PrimeSpectrum.basicOpen (h i))
n : ℕ
b : ι →₀ R
b_supp : b ∈ Finsupp.supported R R ↑t
hb : ∑ i ∈ t, b i * h i = f ^ (n + 1)
tt : Type u := ↑↑t
i : ι
hi : i ∈ ↑t
j : ι
hj : j ∈ t

⊢ b j * (h j * a i) = a i * (b j * h j)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
S : Type u_4
S₃ : Type u_5
inst✝³³ : Semiring R
inst✝³² : Semiring R₂
inst✝³¹ : Semiring R₃
inst✝³⁰ : Monoid S
inst✝²⁹ : Monoid S₃
M : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace M
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : Module R M
M₂ : Type u_7
inst✝²⁵ : TopologicalSpace M₂
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝²³ : Module R₂ M₂
M₃ : Type u_8
inst✝²² : TopologicalSpace M₃
inst✝²¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝²⁰ : Module R₃ M₃
N₂ : Type u_9
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace N₂
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁷ : Module R N₂
N₃ : Type u_10
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N₃
inst✝¹⁴ : Module R N₃
inst✝¹³ : DistribMulAction S₃ M₃
inst✝¹² : SMulCommClass R₃ S₃ M₃
inst✝¹¹ : ContinuousConstSMul S₃ M₃
inst✝¹⁰ : DistribMulAction S N₃
inst✝⁹ : SMulCommClass R S N₃
inst✝⁸ : ContinuousConstSMul S N₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : DistribMulAction S₃ M₂
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul S₃ M₂
inst✝⁴ : SMulCommClass R₂ S₃ M₂
inst✝³ : DistribMulAction S N₂
inst✝² : ContinuousConstSMul S N₂
inst✝¹ : SMulCommClass R S N₂
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul N₂ N₃ S R
hₗ : N₂ →L[R] N₃
c : S
fₗ : M →L[R] N₂
x : M

⊢ (hₗ.comp (c • fₗ)) x = (c • hₗ.comp fₗ) x
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : ℕ
hpq : p < q

⊢ Tendsto (fun x => x ^ p / x ^ q) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : ℕ
hpq : p < q

⊢ Tendsto (fun x => x ^ (↑p - ↑q)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : ℕ
hpq : p < q

⊢ ↑p - ↑q < 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
n : Nat

⊢ list (n + 1) = 0 :: List.map succ (list n)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
n : Nat

⊢ (list (n + 1)).length = (0 :: List.map succ (list n)).length
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
n : Nat

⊢ ∀ (n_1 : Nat) (h₁ : n_1 < (list (n + 1)).length) (h₂ : n_1 < (0 :: List.map succ (list n)).length), (list (n + 1)).get ⟨n_1, h₁⟩ = (0 :: List.map succ (list n)).get ⟨n_1, h₂⟩
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/CommRing.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
r : R

⊢ max p.totalDegree (C r).totalDegree = p.totalDegree
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
j : J
Finj : ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
i : J
f : i ⟶ j

⊢ Function.Injective fun s => ↑s j
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
j : J
Finj : ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : ↑F.sections
h : (fun s => ↑s j) s₀ = (fun s => ↑s j) s₁
k : J

⊢ ↑s₀ k = ↑s₁ k
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
j : J
Finj : ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : ↑F.sections
h : (fun s => ↑s j) s₀ = (fun s => ↑s j) s₁
k m : J
mi : m ⟶ i
mk : m ⟶ k
h✝ : True

⊢ ↑s₀ k = ↑s₁ k
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
j : J
Finj : ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : ↑F.sections
h : ↑s₀ j = ↑s₁ j
k m : J
mi : m ⟶ i
mk : m ⟶ k
h✝ : True

⊢ ↑s₀ k = ↑s₁ k
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
j : J
Finj : ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : ↑F.sections
k m : J
mi : m ⟶ i
h : F.map (mi ≫ f) (↑s₀ m) = F.map (mi ≫ f) (↑s₁ m)
mk : m ⟶ k
h✝ : True

⊢ ↑s₀ k = ↑s₁ k
-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
J : Type u
inst✝¹ : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k✝ : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
j : J
Finj : ∀ (i : J) (f : i ⟶ j), Function.Injective (F.map f)
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : ↑F.sections
k m : J
mi : m ⟶ i
h : F.map (mi ≫ f) (↑s₀ m) = F.map (mi ≫ f) (↑s₁ m)
mk : m ⟶ k
h✝ : True

⊢ F.map mk (↑s₀ m) = F.map mk (↑s₁ m)
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/HomEquiv.lean
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_10, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.40310, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.40314, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.40318, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.40330, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
G : D₁ ⥤ D₂
e : L₁ ⋙ G ≅ L₂
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y

⊢ (homEquiv W L₁ L₂) f = e.inv.app X ≫ G.map f ≫ e.hom.app Y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (E i)
s : ι → Set ((i : ι) × E i) := fun i => Sigma.fst ⁻¹' {i}
U : Set (((k : ι) × E k) × (k : ι) × E k) := {p | dist p.1 p.2 < 1}

⊢ CompleteSpace ((i : ι) × E i)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (E i)
s : ι → Set ((i : ι) × E i) := fun i => Sigma.fst ⁻¹' {i}
U : Set (((k : ι) × E k) × (k : ι) × E k) := {p | dist p.1 p.2 < 1}
hc : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)

⊢ CompleteSpace ((i : ι) × E i)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (E i)
s : ι → Set ((i : ι) × E i) := fun i => Sigma.fst ⁻¹' {i}
U : Set (((k : ι) × E k) × (k : ι) × E k) := {p | dist p.1 p.2 < 1}
hc : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j

⊢ CompleteSpace ((i : ι) × E i)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (E i)
s : ι → Set ((i : ι) × E i) := fun i => Sigma.fst ⁻¹' {i}
U : Set (((k : ι) × E k) × (k : ι) × E k) := {p | dist p.1 p.2 < 1}
hc : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j

⊢ IsComplete univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), CompleteSpace (E i)
s : ι → Set ((i : ι) × E i) := fun i => Sigma.fst ⁻¹' {i}
U : Set (((k : ι) × E k) × (k : ι) × E k) := {p | dist p.1 p.2 < 1}
hc : ∀ (i : ι), IsComplete (s i)
hd : ∀ (i j : ι), ∀ x ∈ s i, ∀ y ∈ s j, (x, y) ∈ U → i = j

⊢ univ = ⋃ i, s i
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Basic.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
c : E
f : ContDiffBump c

⊢ 1 < f.rOut / f.rIn
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/Basic.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
c : E
f : ContDiffBump c

⊢ f.rIn < f.rOut
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

⊢ sinh (dist z w / 2) = dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im))
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Indep (I ∪ J)

⊢ M.closure (I ∩ J) = M.closure I ∩ M.closure J
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Indep (I ∪ J)

⊢ ⋂ i, M.closure (bif i then I else J) = ⋂ b, bif b then M.closure I else M.closure J
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Indep (I ∪ J)

⊢ M.Indep (⋃ i, bif i then I else J)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤

⊢ hausdorffDist s t = 0 ↔ closure s = closure t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι✝ : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : Fintype ι✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ F✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ F✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace F✝
inst✝⁶ : BorelSpace F✝
ι : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
b : OrthonormalBasis ι ℝ F

⊢ b.toBasis.addHaar = volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι✝ : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
inst✝¹¹ : Fintype ι✝
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁹ : InnerProductSpace ℝ F✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ F✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace F✝
inst✝⁶ : BorelSpace F✝
ι : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
b : OrthonormalBasis ι ℝ F

⊢ volume ↑b.toBasis.parallelepiped = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
x : α
y : β

⊢ (x, y) ∈ (s ∪ s') ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ s ×ˢ t ∪ s' ×ˢ t
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
hf : Integrable f μ
hg_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
hg_eq : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, g x ∂μ = ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
hgm : AEStronglyMeasurable' m g μ

⊢ g =ᶠ[ae μ] μ[f|m]