ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n

⊢ ∀ (i : { s // LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val }), #↑↑i ≤ ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n
s : Set M
li : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) R Subtype.val

⊢ #↑↑⟨s, li⟩ ≤ ↑n
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι✝ : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι✝
F : ι✝ → ℂ → E
f✝ g✝ : ℂ → E
ι : Type u_3
p : Filter ι
f : ι → ℂ → ℂ
g : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
hs : IsOpen s
x : ↑s
hF : TendstoLocallyUniformlyOn f g p s
hf : ∀ᶠ (n : ι) in p, DifferentiableOn ℂ (f n) s
hg : g ↑x ≠ 0

⊢ Tendsto (fun n => (deriv (f n) / f n) ↑x) p (𝓝 ((deriv g / g) ↑x))
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
f : ℕ → β

⊢ ∏ k ∈ range 1, f k = f 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
s : Set α
f : α → β
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s

⊢ UniformContinuousOn f s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
s : Set α
f : α → β
hs : IsCompact s
hf : ContinuousOn f s

⊢ UniformContinuous (s.restrict f)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
s : Set α
f : α → β
hs : CompactSpace ↑s
hf : ContinuousOn f s

⊢ UniformContinuous (s.restrict f)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Compact.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
s : Set α
f : α → β
hs : CompactSpace ↑s
hf : Continuous (s.restrict f)

⊢ UniformContinuous (s.restrict f)
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraTower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'

⊢ (b.smulTower c) (i, j) = b (i, j).1 • c (i, j).2
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraTower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'

⊢ (b.smulTower c).repr (b (i, j).1 • c (i, j).2) = single (i, j) 1
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraTower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
i' : ι
j' : ι'

⊢ ((b.smulTower c).repr (b (i, j).1 • c (i, j).2)) (i', j') = (single (i, j) 1) (i', j')
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraTower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
ι : Type v₁
ι' : Type w₁
b : Basis ι R S
c : Basis ι' S A
i : ι
j : ι'
i' : ι
j' : ι'

⊢ (b.repr (b (i, j).1 • if (i, j).2 = (i', j').2 then 1 else 0)) (i', j').1 = (single (i, j) 1) (i', j')
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R✝
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
h : I.radical.FG

⊢ ∃ n, I.radical ^ n ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R✝
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
h : I.radical.FG
this : I.radical ≤ I.radical

⊢ ∃ n, I.radical ^ n ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R✝
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
h : I.radical.FG

⊢ I.radical ≤ I.radical → ∃ n, I.radical ^ n ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R✝
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
h : I.radical.FG

⊢ ∀ (x : R), (fun J => J ≤ I.radical → ∃ n, J ^ n ≤ I) (Submodule.span R {x})
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R✝
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R✝ M
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
I : Ideal R
h : I.radical.FG

⊢ ∀ (M₁ M₂ : Submodule R R), (fun J => J ≤ I.radical → ∃ n, J ^ n ≤ I) M₁ → (fun J => J ≤ I.radical → ∃ n, J ^ n ≤ I) M₂ → (fun J => J ≤ I.radical → ∃ n, J ^ n ≤ I) (M₁ ⊔ M₂)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a : α
m : M

⊢ (single (Option.some a) m).some = single a m
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
t : ⨂[R] (i : ι), s i
x✝¹ : R
x✝ : (i : ι) → s i

⊢ (tprod R) x✝ ∈ Set.range ⇑(tprod R)
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ
h : m ≤ n

⊢ m.Coprime (n - m) ↔ m.Coprime n
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N : L.Substructure M

⊢ N.FG ↔ ∃ n s, (closure L).toFun (range s) = N
-- Mathlib/ModelTheory/FinitelyGenerated.lean
L : Language
M : Type u_1
inst✝ : L.Structure M
N : L.Substructure M

⊢ (∃ S, S.Finite ∧ (closure L).toFun S = N) ↔ ∃ n s, (closure L).toFun (range s) = N
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
hy : 0 ≤ y
hz : 0 < z

⊢ x ≤ y ^ z⁻¹ ↔ x ^ z ≤ y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R

⊢ dblU (map W' f) (⇑f ∘ P) = f (W'.dblU P)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.2943, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.2947, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.2951, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
Y : D
g₁ g₂ : CostructuredArrow L Y
φ : g₁ ⟶ g₂

⊢ F.map φ.left ≫ E.hom.app g₂.left ≫ E.right.map g₂.hom = (E.hom.app g₁.left ≫ E.right.map g₁.hom) ≫ 𝟙 (E.right.obj Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Pointwise.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
H : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.2943, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.2947, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.2951, u_3} H
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
E : L.LeftExtension F
Y : D
g₁ g₂ : CostructuredArrow L Y
φ : g₁ ⟶ g₂

⊢ F.map φ.left ≫ E.hom.app g₂.left ≫ E.right.map g₂.hom = (E.hom.app g₁.left ≫ E.right.map (L.map φ.left ≫ g₂.hom)) ≫ 𝟙 (E.right.obj Y)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice β
f : α → β
h_mono : Monotone f
s : Set α
hs : s.Nonempty
B : α
hB : B ∈ lowerBounds s
f' : αᵒᵈ → βᵒᵈ := f

⊢ f B ≤ sInf (f '' s)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent R L M
m : M

⊢ m ∈ weightSpace M 0 ↔ m ∈ ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent R L M
m : M

⊢ ∀ (a : L), ∃ k, ((toEnd R L M) a ^ k) m = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent R L M
m : M
x : L

⊢ ∃ k, ((toEnd R L M) x ^ k) m = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNilpotent R L M
m : M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ (x : L), (toEnd R L M) x ^ k = 0

⊢ ∃ k, ((toEnd R L M) x ^ k) m = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
e : X ≃ᵢ Y
d : ℝ
s : Set Y

⊢ μH[d] (⇑e ⁻¹' s) = μH[d] s
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/BinomialHeap/Basic.lean

⊢ @Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode.rankTR = @rank
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/BinomialHeap/Basic.lean
α : Type u_1
s : HeapNode α

⊢ Batteries.BinomialHeap.Imp.HeapNode.rankTR s = s.rank
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
x : E

⊢ Tendsto (fun a => ‖a / x‖) (𝓝 x) (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
a : α
s : Set α

⊢ 𝓝[insert a s] a = pure a ⊔ 𝓝[s] a
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle

⊢ o.oangle x ((o.rotation θ) y) = o.oangle x y + θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle

⊢ ↑(↑θ.expMapCircle * (o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg + θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle

⊢ θ + ↑((o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg + θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle

⊢ ↑θ.expMapCircle ≠ 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle

⊢ (o.kahler x) y ≠ 0
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ a = ⊥
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : OrderedCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i : ι
h : f ≤ g
hi : f i < g i
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂

⊢ a₁ < a₂
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : OrderedCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i : ι
h : f ≤ g
hi : f i < g i
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
this : update f i 1 ≤ update g i 1

⊢ a₁ < a₂
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Order.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : OrderedCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalGroup α
inst✝ : OrderClosedTopology α
f g : ι → α
a₁ a₂ : α
i : ι
h : f ≤ g
hi : f i < g i
hf : HasProd f a₁
hg : HasProd g a₂
this✝ : update f i 1 ≤ update g i 1
this : 1 / f i * a₁ ≤ 1 / g i * a₂

⊢ a₁ < a₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ a b c : α
this : DistribLattice α := CommGroup.toDistribLattice α

⊢ mabs ((a ⊔ c) / (b ⊔ c)) * mabs ((a ⊓ c) / (b ⊓ c)) = mabs (a / b)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring k
inst✝⁵ : Monoid G
inst✝⁴ : Monoid H
A : Type u₃
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra k A
B : Type u_3
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra k B
F : G →* A
a : G
b : k

⊢ ((lift k G A) F) (single a b) = b • F a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

⊢ adjoin R ⊥ = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

⊢ GaloisConnection (adjoin R) ?u
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B

⊢ NonUnitalSubalgebra R A → Set A
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p

⊢ count p (nth p 0) = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Nth.lean
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p

⊢ ∀ ⦃x : ℕ⦄, x ∈ range (sInf (setOf p)) → ¬p x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V

⊢ Pairwise fun c c' => Disjoint c.supp c'.supp
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V

⊢ Pairwise fun c c' => ∀ ⦃a : V⦄, a ∈ c.supp → a ∉ c'.supp
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
i✝ j✝ : G.ConnectedComponent
h : i✝ ≠ j✝
a : V
hsx : a ∈ i✝.supp
hsy : a ∈ j✝.supp

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G✝ : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
G : SimpleGraph V
i✝ j✝ : G.ConnectedComponent
h : i✝ ≠ j✝
a : V
hsx : G.connectedComponentMk a = i✝
hsy : G.connectedComponentMk a = j✝

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Closed.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R

⊢ (ihom.ev M).app N = (TensorProduct.uncurry R (↑M) (↑M →ₗ[R] ↑N) ↑N) LinearMap.id.flip
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Closed.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N : ModuleCat R

⊢ ∀ (x : ↑M) (y : ↑((ihom M).obj N)), ((ihom.ev M).app N) (x ⊗ₜ[R] y) = ((TensorProduct.uncurry R (↑M) (↑M →ₗ[R] ↑N) ↑N) LinearMap.id.flip) (x ⊗ₜ[R] y)
-- Mathlib/Algebra/Regular/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Monoid R
a b : R
h : b * a = 1

⊢ IsLeftRegular 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle

⊢ o.oangle ((o.rotation θ) x) y = o.oangle x y - θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle

⊢ ↑(↑(-θ).expMapCircle * (o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg - θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle

⊢ -θ + ↑((o.kahler x) y).arg = ↑((o.kahler x) y).arg - θ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle

⊢ ↑(-θ).expMapCircle ≠ 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
n d : F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hd : d ≠ 0

⊢ W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (n / (P z * Q z * d)) = (n ^ 2 + W.a₁ * n * P z * Q z * d - W.a₂ * P z ^ 2 * Q z ^ 2 * d ^ 2 - P x * Q z ^ 2 * d ^ 2 - Q x * P z ^ 2 * d ^ 2) / (P z * Q z * d) ^ 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
n d : F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hd : d ≠ 0

⊢ (((n ^ 2 * (P z * Q z * d) + W.toAffine.a₁ * n * (P z * Q z * d) ^ 2 - (P z * Q z * d) ^ 2 * (P z * Q z * d) * W.toAffine.a₂) * P z ^ 2 - (P z * Q z * d) ^ 2 * (P z * Q z * d) * P x) * Q z ^ 2 - (P z * Q z * d) ^ 2 * (P z * Q z * d) * P z ^ 2 * Q x) * (P z * Q z * d) ^ 2 = (n ^ 2 + W.a₁ * n * P z * Q z * d - W.a₂ * P z ^ 2 * Q z ^ 2 * d ^ 2 - P x * Q z ^ 2 * d ^ 2 - Q x * P z ^ 2 * d ^ 2) * ((P z * Q z * d) ^ 2 * (P z * Q z * d) * P z ^ 2 * Q z ^ 2)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
h : a ≤ b

⊢ f b * ∏ x ∈ Ico a b, f x = ∏ x ∈ Icc a b, f x
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
x✝ : ℕ

⊢ x✝ ∈ Nat.cast ⁻¹' Iio a ↔ x✝ ∈ Iio ⌈a⌉₊
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f : β → α
x : Filter β
a : α

⊢ Tendsto f x (𝓝 a) ↔ Tendsto (fun b => dist (f b) a) x (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
a : α

⊢ ContinuousWithinAt f {a} a
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
M : Type u
inst✝² : Monoid M
α : Type v
inst✝¹ : MulAction M α
β : Type u_1
inst✝ : MulAction M β
y : α × β
g : M

⊢ ((fun m => m • y) g).2 ∈ orbit M y.2
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
s : Set Ω
_s_mble : MeasurableSet s

⊢ ↑μ.normalize s = (μ.mass⁻¹ • ↑μ) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
s : Set Ω
_s_mble : MeasurableSet s

⊢ ↑μ.mass⁻¹ * ↑μ s = (μ.mass⁻¹ • ↑μ) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : HasKernels C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
f : X ⟶ Y
I : IsIso f
h : f = 0

⊢ False
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : HasKernels C
X Y : C
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
f : X ⟶ Y
I : IsIso f
h : f = 0

⊢ 𝟙 X = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : CommRing B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
a : A
hp0 : ¬p = 0

⊢ rootMultiplicity a p = rootMultiplicity (f a) (map f p)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : CommRing B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
a : A
hp0 : ¬p = 0

⊢ rootMultiplicity (f a) (map f p) ≤ rootMultiplicity a p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : CommRing B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
a : A
hp0 : ¬p = 0

⊢ (X - C (f a)) ^ rootMultiplicity (f a) (map f p) ∣ map f p
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrderIso.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
a b : α

⊢ ⇑e '' Ioo a b = Ioo (e a) (e b)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ

⊢ (coeff R n) (X ^ n) = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ

⊢ μ s ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : Group H
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MulAction H β
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝¹ : Countable G
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
hμ : μ ≠ 0
h : IsFundamentalDomain G s μ
hc : 0 < μ univ

⊢ μ s ≠ 0