ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsSeparating 𝒢

⊢ IsSeparating ((proj S T).obj ⁻¹' 𝒢)
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
S : C ⥤ D
T : D
𝒢 : Set C
h𝒢 : IsSeparating 𝒢
X Y : CostructuredArrow S T
f g : X ⟶ Y
hfg : ∀ G ∈ (proj S T).obj ⁻¹' 𝒢, ∀ (h : G ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
G : C
hG : G ∈ 𝒢
h : G ⟶ X.left

⊢ h ≫ f.left = h ≫ g.left
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn f [[a, b]]
hderiv : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b

⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn f [[a, b]]
hderiv : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
hab : a ≤ b

⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝ : ℝ → E
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hcont : ContinuousOn f [[a, b]]
hderiv : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
hab : b ≤ a

⊢ ∫ (y : ℝ) in a..b, f' y = f b - f a
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
g : γ → δ
f' : β' → α' → δ
g₁ : β → β'
g₂ : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)

⊢ g '' image2 f s t = image2 f' (g₁ '' t) (g₂ '' s)
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
g : γ → δ
f' : β' → α' → δ
g₁ : β → β'
g₂ : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)

⊢ g '' image2 (fun a b => f b a) t s = image2 f' (g₁ '' t) (g₂ '' s)
-- Mathlib/Data/PEquiv.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
a₁ a₂ : α
b : β
h₁ : b ∈ f a₁
h₂ : b ∈ f a₂

⊢ a₁ = a₂
-- Mathlib/Data/PEquiv.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β
a₁ a₂ : α
b : β
h₁ : a₁ ∈ f.symm b
h₂ : a₂ ∈ f.symm b

⊢ a₁ = a₂
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
x y : X ⊕ Y

⊢ Sum.dist x y = Sum.dist y x
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
k : ℕ
h : Odd (k + 1 + 1)

⊢ 0 < ∑ i ∈ range (k + 1 + 1), x ^ i
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
k : ℕ
h : ¬Even (k + 1 + 1)

⊢ 0 < ∑ i ∈ range (k + 1 + 1), x ^ i
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
k : ℕ
h : ¬Even (k + 1 + 1)
hx : x + 1 < 0

⊢ 0 < ∑ i ∈ range (k + 1 + 1), x ^ i
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
k : ℕ
h : ¬Even (k + 1 + 1)
hx : x + 1 = 0

⊢ 0 < ∑ i ∈ range (k + 1 + 1), x ^ i
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
k : ℕ
h : ¬Even (k + 1 + 1)
hx : 0 < x + 1

⊢ 0 < ∑ i ∈ range (k + 1 + 1), x ^ i
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ

⊢ frontier (sphere x r) = sphere x r
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x : ↥K'

⊢ x ∈ ofLe h ↔ ↑x ∈ K
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂
h : K ≤ K'
x : ↥K'

⊢ (∃ y, ⟨↑y, ⋯⟩ = x) ↔ ↑x ∈ K
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β γ : Type u
S S' : Set (α → ℕ)
f : (α → ℕ) → ℕ
g : α → β
d : DiophFn f

⊢ DiophFn fun v => f (v ∘ g)
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
Hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
n : ℕ
hn : ∀ a ∈ t, n ≤ (filter (fun x => f x = a) s).card

⊢ n * t.card = ∑ _a ∈ t, n
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
s : Finset α
t : Finset β
Hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
n : ℕ
hn : ∀ a ∈ t, n ≤ (filter (fun x => f x = a) s).card

⊢ ∑ a ∈ t, (filter (fun x => f x = a) s).card = s.card
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x x' : PGame
h : x' ⧏ x

⊢ x.insertLeft x' ≈ x
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x x' : PGame
h : x' ⧏ x

⊢ x.insertLeft x' ≤ x ∧ x ≤ x.insertLeft x'
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/DensityTheorem.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
R : ℝ := scalingScaleOf μ (max (4 * K + 3) 3)

⊢ VitaliFamily μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/DensityTheorem.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
R : ℝ := scalingScaleOf μ (max (4 * K + 3) 3)
Rpos : 0 < R

⊢ VitaliFamily μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/DensityTheorem.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
R : ℝ := scalingScaleOf μ (max (4 * K + 3) 3)
Rpos : 0 < R
A : ∀ (x : α), ∃ᶠ (r : ℝ) in 𝓝[>] 0, μ (closedBall x (3 * r)) ≤ ↑(scalingConstantOf μ (max (4 * K + 3) 3)) * μ (closedBall x r)

⊢ VitaliFamily μ
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : m = n✝
n : ℕ

⊢ n ∣ m ↔ n ∣ n✝
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a : α

⊢ Irreducible (Associates.mk a) ↔ Irreducible a
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a : α

⊢ (¬IsUnit a ∧ ∀ (a_1 a_2 : α), a_1 * a_2 ~ᵤ a → IsUnit a_1 ∨ IsUnit a_2) ↔ ¬IsUnit a ∧ ∀ (a_1 b : α), a = a_1 * b → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a : α

⊢ (∀ (a_1 a_2 : α), a_1 * a_2 ~ᵤ a → IsUnit a_1 ∨ IsUnit a_2) ↔ ∀ (a_1 b : α), a = a_1 * b → IsUnit a_1 ∨ IsUnit b
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Cofix F α)

⊢ (mk x).dest = x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F (α ::: Cofix F α)
this : mk ∘ dest = _root_.id

⊢ (mk x).dest = x
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop

⊢ pi f = ⊥ ↔ ∃ i, f i = ⊥
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/TerminatedStable.lean
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n

⊢ g.nums m = g.nums n
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : Field F✝
inst✝⁷ : Field E✝
inst✝⁶ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E

⊢ F⟮α⟯ = ⊤ ↔ (minpoly F α).natDegree = finrank F E
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : Field F✝
inst✝⁷ : Field E✝
inst✝⁶ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E

⊢ F⟮α⟯ = ⊤ ↔ finrank F ↥F⟮α⟯ = finrank F ↥⊤
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁸ : Field F✝
inst✝⁷ : Field E✝
inst✝⁶ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁵ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁴ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝³ : Field F
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E
h : F⟮α⟯ = ⊤

⊢ finrank F ↥F⟮α⟯ = finrank F ↥⊤
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l l' : ℝ≥0
hl' : l' ≠ 0
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ s
hfφ : HasConstantSpeedOnWith (f ∘ φ) s l
hf : HasConstantSpeedOnWith f (φ '' s) l'
x : ℝ
xs : x ∈ s
y : ℝ
ys : y ∈ s

⊢ φ y = (fun y => ↑l / ↑l' * (y - x) + φ x) y
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l l' : ℝ≥0
hl' : l' ≠ 0
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ s
hfφ : HasConstantSpeedOnWith (f ∘ φ) s l
hf : HasConstantSpeedOnWith f (φ '' s) l'
x : ℝ
xs : x ∈ s
y : ℝ
ys : y ∈ s

⊢ (φ y - φ x) * ↑l' = (y - x) * ↑l
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l l' : ℝ≥0
hl' : l' ≠ 0
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ s
hfφ : HasConstantSpeedOnWith (f ∘ φ) s l
hf : LocallyBoundedVariationOn f (φ '' s) ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ φ '' s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ φ '' s → variationOnFromTo f (φ '' s) x y = ↑l' * (y - x)
x : ℝ
xs : x ∈ s
y : ℝ
ys : y ∈ s

⊢ (φ y - φ x) * ↑l' = (y - x) * ↑l
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l l' : ℝ≥0
hl' : l' ≠ 0
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ s
hfφ : LocallyBoundedVariationOn (f ∘ φ) s ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → variationOnFromTo (f ∘ φ) s x y = ↑l * (y - x)
hf : LocallyBoundedVariationOn f (φ '' s) ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ φ '' s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ φ '' s → variationOnFromTo f (φ '' s) x y = ↑l' * (y - x)
x : ℝ
xs : x ∈ s
y : ℝ
ys : y ∈ s

⊢ (φ y - φ x) * ↑l' = (y - x) * ↑l
-- Mathlib/Analysis/ConstantSpeed.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l l' : ℝ≥0
hl' : l' ≠ 0
φ : ℝ → ℝ
φm : MonotoneOn φ s
hfφ : LocallyBoundedVariationOn (f ∘ φ) s ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → variationOnFromTo (f ∘ φ) s x y = ↑l * (y - x)
hf : LocallyBoundedVariationOn f (φ '' s) ∧ ∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ φ '' s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ φ '' s → variationOnFromTo f (φ '' s) x y = ↑l' * (y - x)
x : ℝ
xs : x ∈ s
y : ℝ
ys : y ∈ s

⊢ (y - x) * ↑l = (φ y - φ x) * ↑l'
-- Mathlib/Data/Sigma/Basic.lean
α : Sort u_1
β : α → Sort u_2
fst✝¹ : α
snd✝¹ : β fst✝¹
fst✝ : α
snd✝ : β fst✝

⊢ ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩ = ⟨fst✝, snd✝⟩ ↔ ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst = ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ∧ HEq ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.snd ⟨fst✝, snd✝⟩.snd
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
g : S →+* T
f : R →+* S

⊢ Subring.map g f.range = (g.comp f).range
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
x : ℝ

⊢ sinKernel (-a) x = -sinKernel a x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
x a' : ℝ

⊢ sinKernel (-↑a') x = -sinKernel (↑a') x
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n : ℕ
a b : ℤ
c : ℕ

⊢ ↑a = ↑b ↔ ↑c ∣ b - a
-- Mathlib/Control/Fold.lean
m : Type u → Type u
inst✝ : Monad m
α β : Type u
f : β → α → β
x✝ y✝ : FreeMonoid α

⊢ { toFun := fun xs => op (flip (List.foldl f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun (x✝ * y✝) = { toFun := fun xs => op (flip (List.foldl f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun x✝ * { toFun := fun xs => op (flip (List.foldl f) (FreeMonoid.toList xs)), map_one' := ⋯ }.toFun y✝
-- Mathlib/Control/Fold.lean
m : Type u → Type u
inst✝ : Monad m
α β : Type u
f : β → α → β
x✝ y✝ : FreeMonoid α

⊢ (op fun a => List.foldl f (List.foldl f a (FreeMonoid.toList x✝)) (FreeMonoid.toList y✝)) = (op fun a => List.foldl f a (FreeMonoid.toList x✝)) * op fun a => List.foldl f a (FreeMonoid.toList y✝)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MulZeroOneClass M₀
h : 0 = 1
a : M₀

⊢ a = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Conjugation.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
p q : Submodule R (CliffordAlgebra Q)

⊢ Submodule.map reverse (p * q) = Submodule.map reverse q * Submodule.map reverse p
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : LinearOrder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c : M
h : a * b ≤ c ^ 2

⊢ min a b ≤ c
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/IsOpenComapC.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x : PrimeSpectrum R

⊢ x ∈ imageOfDf f ↔ x ∈ ⇑(PrimeSpectrum.comap C) '' (zeroLocus {f})ᶜ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/IsOpenComapC.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x : PrimeSpectrum R
hx : x ∈ imageOfDf f

⊢ { asIdeal := Ideal.map C x.asIdeal, isPrime := ⋯ } ∈ (zeroLocus {f})ᶜ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/IsOpenComapC.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x : PrimeSpectrum R
hx : x ∈ imageOfDf f

⊢ (PrimeSpectrum.comap C) { asIdeal := Ideal.map C x.asIdeal, isPrime := ⋯ } = x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/IsOpenComapC.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
x : PrimeSpectrum R

⊢ x ∈ ⇑(PrimeSpectrum.comap C) '' (zeroLocus {f})ᶜ → x ∈ imageOfDf f
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ

⊢ ↑(↑x).abs = ↑|x|
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ

⊢ ↑↑(Real.nnabs x) = ↑↑(Real.nnabs x)
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
y : β

⊢ y ∈ ω f ϕ s ↔ ∀ n ∈ 𝓝 y, ∃ᶠ (t : τ) in f, (s ∩ ϕ t ⁻¹' n).Nonempty
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
y : β

⊢ (∀ i ∈ f, ∀ t ∈ 𝓝 y, (t ∩ image2 ϕ i s).Nonempty) ↔ ∀ n ∈ 𝓝 y, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (s ∩ ϕ x ⁻¹' n).Nonempty
-- Mathlib/Tactic/NoncommRing.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
r : R
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo

⊢ OfNat.ofNat n * r = n • r
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R

⊢ Wbtw R 1 x 0 ↔ x ∈ Set.Icc 0 1
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l✝ l' l : List α
k : ℕ
this : (l.rotate k).cyclicPermutations.length = (l.cyclicPermutations.rotate k).length

⊢ (l.rotate k).cyclicPermutations = l.cyclicPermutations.rotate k
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l✝ l' l : List α
k : ℕ
this : (l.rotate k).cyclicPermutations.length = (l.cyclicPermutations.rotate k).length
n : ℕ
hn : n < (l.rotate k).cyclicPermutations.length
hn' : n < (l.cyclicPermutations.rotate k).length

⊢ (l.rotate k).cyclicPermutations.get ⟨n, hn⟩ = (l.cyclicPermutations.rotate k).get ⟨n, hn'⟩
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l✝ l' l : List α
k : ℕ
this : (l.rotate k).cyclicPermutations.length = (l.cyclicPermutations.rotate k).length
n : ℕ
hn : n < (l.rotate k).cyclicPermutations.length
hn' : n < (l.cyclicPermutations.rotate k).length

⊢ l.rotate ((↑⟨n, hn⟩ + k) % l.length) = l.cyclicPermutations.get ⟨(↑⟨n, hn'⟩ + k) % l.cyclicPermutations.length, ⋯⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ : ComposableArrows C n
F G : ComposableArrows C 1
left : F.left = G.left
right : F.right = G.right
w : F.hom = eqToHom left ≫ G.hom ≫ eqToHom ⋯

⊢ F.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ (eqToIso right).hom = (eqToIso left).hom ≫ G.map' 0 1 ⋯ ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LeftExact.lean
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
K : Type w'
inst✝² : SmallCategory K
inst✝¹ : FinCategory K
inst✝ : HasLimitsOfShape K D
P : Cᵒᵖ ⥤ D

⊢ J.toSheafify P ≫ (plusPlusIsoSheafify J D P).hom = toSheafify J P
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LeftExact.lean
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
K : Type w'
inst✝² : SmallCategory K
inst✝¹ : FinCategory K
inst✝ : HasLimitsOfShape K D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
e_1✝ : (P ⟶ sheafify J P) = ((𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ D)).obj P ⟶ (sheafToPresheaf J D).obj ((presheafToSheaf J D).obj P))
e_3✝ : P = (𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ D)).obj P
e_4✝ : J.sheafify P = (plusPlusSheaf J D ⋙ sheafToPresheaf J D).obj P

⊢ J.toSheafify = (plusPlusAdjunction J D).unit.app
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LeftExact.lean
C : Type u
inst✝¹⁰ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁹ : Category.{max v u, w} D
inst✝⁸ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝⁷ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝⁶ : ConcreteCategory D
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝⁴ : PreservesLimits (forget D)
inst✝³ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
K : Type w'
inst✝² : SmallCategory K
inst✝¹ : FinCategory K
inst✝ : HasLimitsOfShape K D
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
e_1✝ : (P✝ ⟶ sheafify J P✝) = ((𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ D)).obj P✝ ⟶ (sheafToPresheaf J D).obj ((presheafToSheaf J D).obj P✝))
e_3✝ : P✝ = (𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ D)).obj P✝
e_4✝ : J.sheafify P✝ = (plusPlusSheaf J D ⋙ sheafToPresheaf J D).obj P✝
P : Cᵒᵖ ⥤ D

⊢ J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P) = (J.toPlus P ≫ J.plusMap (J.toPlus P)) ≫ 𝟙 (J.sheafify P)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Injective ⇑f
p : R[X]

⊢ (map f p).coeff (map f p).natDegree = f (p.coeff p.natDegree)
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s✝ t : ι → α
a b : α
s : Set β
f : β → α

⊢ IsLUB (f '' s) (⨆ x ∈ s, f x)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
a : α

⊢ filter (fun x => a == x) l = replicate (count a l) a
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
hy₂ : y₂ = eval x₂ (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))

⊢ span {(mk W) (C (X - C x₂)), (mk W) (Y - C (C (eval x₂ (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁))))} = span {(mk W) (C (X - C x₂)), (mk W) (Y - C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁))}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
hy₂ : y₂ = eval x₂ (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))

⊢ span {(mk W) (C (X - C x₂)), (mk W) (Y - C (C (eval x₂ (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁))) + C (X - C x₂) * C (C (-W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)))} = span {(mk W) (C (X - C x₂)), (mk W) (Y - C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁))}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
hy₂ : y₂ = eval x₂ (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))

⊢ Y - C (C (eval x₂ (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁))) + C (X - C x₂) * C (C (-W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) = Y - C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
hy₂ : y₂ = eval x₂ (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))

⊢ Y - C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ * (x₂ - x₁) + y₁)) + C (X - C x₂) * C (C (-W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) = Y - C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) * (X - C x₁) + C y₁)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W✝ : Affine R
f : R →+* S
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂
hy₂ : y₂ = eval x₂ (linePolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))

⊢ Y - (C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (C (C x₂) - C (C x₁)) + C (C y₁)) + (C X - C (C x₂)) * -C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) = Y - (C (C (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) * (C X - C (C x₁)) + C (C y₁))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

⊢ sinZeta (↑x) (2 * ↑k + 1) = (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k + 1) / 2 / ↑(2 * k + 1)! * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

⊢ ∑' (b : ℕ), ↑(Real.sin (2 * π * x * ↑b)) / ↑b ^ (2 * ↑k + 1) = (-1) ^ (k + 1) * (2 * ↑π) ^ (2 * k + 1) / 2 / ↑(2 * k + 1)! * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

⊢ 1 < (2 * ↑k + 1).re
-- Mathlib/Data/Real/Pointwise.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
r : ℝ
ha : r ≤ 0
f : ι → ℝ

⊢ (⨆ i, f i) * r = ⨅ i, f i * r
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Diagonal.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
K : Type u
inst✝¹ : Semifield K
inst✝ : DecidableEq m
w : m → K

⊢ ker (toLin' (diagonal w)) = ⨆ i ∈ {i | w i = 0}, LinearMap.range (LinearMap.stdBasis K (fun x => K) i)