ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : Group H
inst✝⁷ : MulAction G α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MulAction H β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
h : IsFundamentalDomain G s μ
g g' : G

⊢ (fun g' => g * g' * g⁻¹) ((fun g' => g⁻¹ * g' * g) g') = g'
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : Group H
inst✝⁷ : MulAction G α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MulAction H β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
h : IsFundamentalDomain G s μ
g g' : G

⊢ (fun g' => g⁻¹ * g' * g) ((fun g' => g * g' * g⁻¹) g') = g'
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁹ : Group G
inst✝⁸ : Group H
inst✝⁷ : MulAction G α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MulAction H β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
h : IsFundamentalDomain G s μ
g g' : G
x : α

⊢ (MulAction.toPerm g) ((fun x => { toFun := fun g' => g⁻¹ * g' * g, invFun := fun g' => g * g' * g⁻¹, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } g' • x) x) = (fun x => g' • x) ((MulAction.toPerm g) x)
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α

⊢ a ∈ ⨆ i, f i ↔ ∀ (i : ι), a ∈ f i
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : ι → UpperSet α

⊢ a ∈ ⋂ i, ↑(f i) ↔ ∀ (i : ι), a ∈ f i
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j

⊢ P.d 0 ((ComplexShape.down ℕ).next 0) ≫ f ((ComplexShape.down ℕ).next 0) 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j

⊢ ¬(ComplexShape.down ℕ).Rel 0 ((ComplexShape.down ℕ).next 0)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : ChainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j

⊢ ¬(ComplexShape.down ℕ).Rel 0 0
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a n✝ n : ℕ

⊢ (2 * n + 1).bitIndices = 0 :: map (fun x => x + 1) n.bitIndices
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
m₁ m₂ _mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
s✝ t : Set Ω
S T : Set (Set Ω)
s : ι → Set Ω

⊢ iIndepSets (fun i => {s i}) μ ↔ ∀ (t : Finset ι), μ (⋂ i ∈ t, s i) = ∏ i ∈ t, μ (s i)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V

⊢ o.oangle x x = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V

⊢ ↑(↑(‖x‖ ^ 2)).arg = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
e_1✝ : Real.Angle = (ℝ ⧸ AddSubgroup.zmultiples (2 * π))

⊢ (↑(‖x‖ ^ 2)).arg = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
e_1✝ : Real.Angle = (ℝ ⧸ AddSubgroup.zmultiples (2 * π))

⊢ 0 ≤ ‖x‖ ^ 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/FactorThru.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y Z : C
P : Subobject Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P.Factors g

⊢ P.Factors (f ≫ g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/FactorThru.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
P : MonoOver Z
h : Factors (Quotient.mk'' P) g

⊢ Factors (Quotient.mk'' P) (f ≫ g)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ

⊢ l.rotate n ~ l
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ

⊢ l.rotate' n ~ l
-- Mathlib/Algebra/Category/GrpWithZero.lean
α β : GrpWithZero
e : ↑α ≃* ↑β
x✝ : (forget GrpWithZero).obj α

⊢ (↑e ≫ ↑e.symm) x✝ = (𝟙 α) x✝
-- Mathlib/Algebra/Category/GrpWithZero.lean
α β : GrpWithZero
e : ↑α ≃* ↑β
x✝ : (forget GrpWithZero).obj β

⊢ (↑e.symm ≫ ↑e) x✝ = (𝟙 β) x✝
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Mirror.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
p q : R[X]
inst✝ : NoZeroDivisors R
hp : ¬p = 0

⊢ (p * p.mirror).natDegree = 2 * p.natDegree
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 0 f s x‖ = ‖f x‖
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f✝ f : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
N : Submodule R M
hfn : (map f N).FG
t : Finset P
ht : span R ↑t = map f N

⊢ map f (span R ↑(t.preimage ⇑f ⋯)) = map f N
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f✝ f : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
N : Submodule R M
hfn : (map f N).FG
t : Finset P
ht : span R ↑t = map f N

⊢ ↑t ⊆ range ⇑f
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f✝ f : M →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
N : Submodule R M
hfn : (map f N).FG
t : Finset P
ht : span R ↑t = map f N

⊢ map f N ≤ map f ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ

⊢ ↑(padicNormE ↑q) = ↑(padicNorm p q)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)

⊢ Submodule.span ℤ (eval {fun x => false} '' {nil}) = ⊤
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)

⊢ ⊤ ≤ Submodule.span ℤ {eval {fun x => false} nil}
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ
a✝ : f ∈ ⊤

⊢ f ∈ Submodule.span ℤ {eval {fun x => false} nil}
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ
a✝ : f ∈ ⊤

⊢ ∃ a, a • eval {fun x => false} nil = f
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ
a✝ : f ∈ ⊤

⊢ f default • eval {fun x => false} nil = f
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ
a✝ : f ∈ ⊤

⊢ ↑(f default) = f
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
x : ↑{fun x => false}

⊢ ↑(f default) x = f x
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
f : LocallyConstant ↑{fun x => false} ℤ
a✝ : f ∈ ⊤

⊢ ↑(f default) default = f default
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolarCoord.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℂ → E

⊢ ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑Complex.polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℂ), f p
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/PolarCoord.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℂ → E

⊢ ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (↑Complex.polarCoord.symm p) = ∫ (p : ℝ × ℝ) in polarCoord.target, p.1 • f (measurableEquivRealProd.symm (↑polarCoord.symm p))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
θ : ℝ

⊢ (cos ↑θ + sin ↑θ * I).arg = toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inverse.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : HasDerivAt f f' x
hf' : f' ≠ 0
z : 𝕜

⊢ ‖z‖ ≤ ‖f'‖⁻¹ * ‖(ContinuousLinearMap.smulRight 1 f') z‖
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hq : q.leadingCoeff = -1
hpq : p.degree < q.degree

⊢ (p - q).Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hq : q.leadingCoeff = -1
hpq : p.degree < q.degree
this : (-q).coeff (-q).natDegree = 1

⊢ (p - q).Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hq : q.leadingCoeff = -1
hpq : p.degree < q.degree
this : (-q).coeff (-q).natDegree = 1

⊢ (p + -q).Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Ring R
p✝ p q : R[X]
hq : q.leadingCoeff = -1
hpq : p.degree < q.degree
this : (-q).coeff (-q).natDegree = 1

⊢ p.degree < (-q).degree
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
q : ℚ

⊢ Measurable fun t => f (a, t) q
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
q : ℚ
h : Measurable f := hf.measurable

⊢ Measurable fun t => f (a, t) q
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
a : α
q : ℚ
h : ∀ (a : ℚ), Measurable fun x => f x a

⊢ Measurable fun t => f (a, t) q
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype p
k : Subtype pᶜ

⊢ biproduct.ι (Subtype.restrict pᶜ f) k ≫ (biproduct.fromSubtype f pᶜ ≫ biproduct.toSubtype f p) ≫ biproduct.π (Subtype.restrict p f) j = biproduct.ι (Subtype.restrict pᶜ f) k ≫ 0 ≫ biproduct.π (Subtype.restrict p f) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype p
k : Subtype pᶜ

⊢ (if h : p ↑k then biproduct.ι (Subtype.restrict p f) ⟨↑k, h⟩ else 0) ≫ biproduct.π (Subtype.restrict p f) j = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
j : Subtype p
k : Subtype pᶜ

⊢ 0 ≫ biproduct.π (Subtype.restrict p f) j = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
W' : C
g' : W' ⟶ ⨁ f
w : g' ≫ biproduct.toSubtype f p = 0
j : K

⊢ ((fun {W} g x => g ≫ biproduct.toSubtype f pᶜ) g' w ≫ biproduct.fromSubtype f pᶜ) ≫ biproduct.π f j = g' ≫ biproduct.π f j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K✝ : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
K : Type
inst✝¹ : Finite K
inst✝ : HasFiniteBiproducts C
f : K → C
p : Set K
W' : C
g' : W' ⟶ ⨁ f
w : g' ≫ biproduct.toSubtype f p = 0
j : K

⊢ (g' ≫ biproduct.π f j ≫ if (p j)ᶜ then 𝟙 (f j) else 0) = g' ≫ biproduct.π f j
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a : α
ha : a ≠ 0
b c : α
h : a < 0

⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' [[b, c]] = [[b / a, c / a]]
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a : α
ha✝ : a ≠ 0
b c : α
ha : 0 < a

⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' [[b, c]] = [[b / a, c / a]]
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1

⊢ g = T ^ ↑g 0 0 * S * T ^ ↑g 1 1
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : 1 = (↑g).det

⊢ g = T ^ ↑g 0 0 * S * T ^ ↑g 1 1
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : ↑g 0 1 = ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1

⊢ g = T ^ ↑g 0 0 * S * T ^ ↑g 1 1
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : ↑g 0 1 = ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1

⊢ ↑g = ↑(T ^ ↑g 0 0 * S * T ^ ↑g 1 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : ↑g 0 1 = ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1

⊢ !![↑g 0 0, ↑g 0 1; ↑g 1 0, ↑g 1 1] = ↑(T ^ ↑g 0 0 * S * T ^ ↑g 1 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : ↑g 0 1 = ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1

⊢ !![↑g 0 0, ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1; 1, ↑g 1 1] = ↑(T ^ ↑g 0 0 * S * T ^ ↑g 1 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hc : ↑g 1 0 = 1
hg : ↑g 0 1 = ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1

⊢ !![↑g 0 0, ↑g 0 0 * ↑g 1 1 - 1; 1, ↑g 1 1] = !![(1 * 0 + ↑g 0 0 * 1) * 1 + (1 * -1 + ↑g 0 0 * 0) * 0, (1 * 0 + ↑g 0 0 * 1) * ↑g 1 1 + (1 * -1 + ↑g 0 0 * 0) * 1; (0 * 0 + 1 * 1) * 1 + (0 * -1 + 1 * 0) * 0, (0 * 0 + 1 * 1) * ↑g 1 1 + (0 * -1 + 1 * 0) * 1]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hs_nonempty : s.Nonempty
hs_ne_univ : s ≠ univ
x y : β

⊢ (piecewise s hs (const α x) (const α y)).range = {x, y}
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α

⊢ a⁻¹ < b⁻¹ ↔ b < a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α

⊢ a * a⁻¹ * b < a * b⁻¹ * b ↔ b < a
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W

⊢ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
this : Set.range cs.simple = Set.range cs.simple ∪ (Set.range cs.simple)⁻¹

⊢ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) = ⊤
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
inst✝ : Nonempty ι
l : ι → Filter α
s : (i : ι) → ι' i → Set α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
t : Set α

⊢ t ∈ ⨅ i, l i ↔ ∃ i, p i.fst i.snd ∧ s i.fst i.snd ⊆ t
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
inst✝ : Nonempty ι
l : ι → Filter α
s : (i : ι) → ι' i → Set α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
h : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) l
t : Set α

⊢ (∃ i, t ∈ l i) ↔ ∃ a b, p ⟨a, b⟩.fst ⟨a, b⟩.snd ∧ s ⟨a, b⟩.fst ⟨a, b⟩.snd ⊆ t
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fintype.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq β
e : Perm α
f : α ↪ β
a : α

⊢ (e.extendDomain f.toEquivRange) (f a) = f (e a)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : dist p₁ p₂ = dist p₁ p₃

⊢ |(∡ p₁ p₂ p₃).toReal| < π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖

⊢ |(∡ p₁ p₂ p₃).toReal| < π / 2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ‖p₁ -ᵥ p₂‖ = ‖p₁ -ᵥ p₃‖

⊢ |(o.oangle (p₁ -ᵥ p₂) (p₁ -ᵥ p₂ - (p₁ -ᵥ p₃))).toReal| < π / 2
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
h : Bornology.IsBounded E

⊢ Bornology.IsBounded (Metric.cthickening δ E)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
h : Bornology.IsBounded E
this : Bornology.IsBounded (thickening (max (δ + 1) 1) E)

⊢ Bornology.IsBounded (Metric.cthickening δ E)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α✝
δ✝ ε : ℝ
s t : Set α✝
x : α✝
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α
h : Bornology.IsBounded E
this : Bornology.IsBounded (thickening (max (δ + 1) 1) E)

⊢ Metric.cthickening δ E ⊆ thickening (max (δ + 1) 1) E
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : InfClosed s
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s

⊢ t.sup' ht id ⊓ u.sup' hu id ∈ supClosure s
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s : Set α
hs : InfClosed s
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : ↑t ⊆ s
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s

⊢ ((t ×ˢ u).sup' ⋯ fun i => id i.1 ⊓ id i.2) ∈ supClosure s
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ

⊢ ¬a ≡ b [PMOD p] ↔ ∀ (z : ℤ), b ≠ a + z • p
-- Mathlib/Algebra/Module/Bimodule.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module B M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : IsScalarTower R B M
inst✝ : SMulCommClass A B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
b : B
m : M
hm : m ∈ p

⊢ b • m ∈ p
-- Mathlib/Algebra/Module/Bimodule.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Module A M
inst✝⁵ : Module B M
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : IsScalarTower R A M
inst✝¹ : IsScalarTower R B M
inst✝ : SMulCommClass A B M
p : Submodule (A ⊗[R] B) M
b : B
m : M
hm : m ∈ p

⊢ b • m = 1 ⊗ₜ[R] b • m
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : L.Structure M
inst✝³ : L.Structure N
inst✝² : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T✝ : L.Theory
inst✝¹ : L'.Structure M
φ : L →ᴸ L'
inst✝ : φ.IsExpansionOn M
T : L.Theory

⊢ M ⊨ φ.onTheory T ↔ M ⊨ T
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
a c : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
c_mem : c ∈ P ^ i

⊢ ∃ d, ∃ e ∈ P ^ (i + 1), a * d + e = c
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
a c : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
c_mem : c ∈ P ^ i

⊢ P ^ i = span {a} ⊔ P ^ (i + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
a c : S
a_mem : a ∈ P ^ i
a_not_mem : a ∉ P ^ (i + 1)
c_mem : c ∈ P ^ i

⊢ P ^ (i + 1) ≠ span {a} ⊔ P ^ (i + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
a c : S
a_mem : a ∈ P ^ i
c_mem : c ∈ P ^ i
this : P ^ (i + 1) = span {a} ⊔ P ^ (i + 1)

⊢ a ∈ P ^ (i + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
P : Ideal S
P_prime : P.IsPrime
hP : P ≠ ⊥
inst✝ : IsDedekindDomain S
i : ℕ
a c : S
a_mem : a ∈ P ^ i
c_mem : c ∈ P ^ i
this : P ^ (i + 1) = span {a} ⊔ P ^ (i + 1)

⊢ a ∈ span {a} ⊔ P ^ (i + 1)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ht : t ∈ 𝓝 x

⊢ fderivWithin 𝕜 f (s ∩ t) x = fderivWithin 𝕜 f s x