ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P
f : M →ₗ[R'] N
r : R'

⊢ (map f) (inl r) = inl r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Ultra/Basic.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r✝ s r : ℝ
hr : r ≠ 0

⊢ IsOpen (sphere x r)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Ultra/Basic.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : IsUltrametricDist X
x y z : X
r✝ s r : ℝ
hr : r ≠ 0

⊢ IsOpen (closedBall x r ⊓ (ball x r)ᶜ)
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
s : Sym2 α
h : ∀ x ∈ s, f x = g x
y : β

⊢ y ∈ map f s ↔ y ∈ map g s
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
s : Sym2 α
h : ∀ x ∈ s, f x = g x
y : β

⊢ (∃ a ∈ s, f a = y) ↔ ∃ a ∈ s, g a = y
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ IsClosed s ↔ ∀ (x : X), (∀ U ∈ 𝓝 x, (U ∩ s).Nonempty) → x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
hm : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
hfi : IntegrableOn f (⋃ i, s i) μ

⊢ HasSum (fun n => ∫ (x : X) in s n, f x ∂μ) (∫ (x : X) in ⋃ n, s n, f x ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s✝ t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set X
hm : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (s i) μ
hd : Pairwise (AEDisjoint μ on s)
hfi : Integrable f (Measure.sum fun i => μ.restrict (s i))

⊢ HasSum (fun n => ∫ (x : X) in s n, f x ∂μ) (∫ (x : X), f x ∂Measure.sum fun i => μ.restrict (s i))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsDomain A
inst✝⁵ : IsFractionRing A K
inst✝⁴ : IsIntegralClosure B A L
inst✝³ : IsFractionRing B L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : IsDomain B
x✝ : L

⊢ x✝ ∈ ⊥ᵛ ↔ x✝ ∈ ⊤
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Sigma σ → X

⊢ Continuous f ↔ ∀ (i : ι), Continuous fun a => f ⟨i, a⟩
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
f : Sigma σ → X

⊢ (∀ (i : ι), Continuous f) ↔ ∀ (i : ι), Continuous fun a => f ⟨i, a⟩
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V
r : ℝ
hr : r < 0

⊢ angle x (r • y) = angle x (-y)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
A : Type u_1
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra ℝ A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : T2Space A
s : Set ℝ
inst✝ : CompactSpace ↑s
φ ψ : C(↑s, ℝ) →ₐ[ℝ] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)

⊢ φ = ψ
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
A : Type u_1
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra ℝ A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : T2Space A
s : Set ℝ
inst✝ : CompactSpace ↑s
φ ψ : C(↑s, ℝ) →ₐ[ℝ] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)

⊢ ⊤ ≤ AlgHom.equalizer φ ψ
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
A : Type u_1
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra ℝ A
inst✝² : TopologicalSpace A
inst✝¹ : T2Space A
s : Set ℝ
inst✝ : CompactSpace ↑s
φ ψ : C(↑s, ℝ) →ₐ[ℝ] A
hφ : Continuous ⇑φ
hψ : Continuous ⇑ψ
h : φ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X) = ψ ((toContinuousMapOnAlgHom s) X)

⊢ (polynomialFunctions s).topologicalClosure ≤ AlgHom.equalizer φ ψ
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀

⊢ a * a / a = a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x

⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun x => -f x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => -f x) univ x
-- Mathlib/Init/Order/LinearOrder.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : b ≤ a

⊢ max a b = a
-- Mathlib/Init/Order/LinearOrder.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : b ≤ a

⊢ a = max a b
-- Mathlib/Init/Order/LinearOrder.lean
α : Type u
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : b ≤ a

⊢ ∀ {d : α}, a ≤ d → b ≤ d → a ≤ d
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ

⊢ (X ^ n).order = ↑n
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ

⊢ 1 ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedRing α
a : α

⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Ioc (a + ↑n) (a + ↑n + 1))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : HasKernel f
F : MonoFactorisation f

⊢ kernel.ι f ≫ F.e = 0
-- Mathlib/Order/Antichain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrichotomous α r
h : IsAntichain r s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s

⊢ a = b
-- Mathlib/Order/Antichain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrichotomous α r
h : IsAntichain r s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r a b

⊢ a = b
-- Mathlib/Order/Antichain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrichotomous α r
h : IsAntichain r s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : a = b

⊢ a = b
-- Mathlib/Order/Antichain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
r' : β → β → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ : α
inst✝ : IsTrichotomous α r
h : IsAntichain r s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : r b a

⊢ a = b
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
p✝ : ℕ
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
p : ℕ
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
N : Subgroup G
inst✝¹ : N.Normal
inst✝ : Finite (Sylow p ↥N)
P : Sylow p G
hP : ↑P ≤ N

⊢ (↑P).normalizer ⊔ N = ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Subcategory.lean
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁵ : HasZeroObject C
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
inst✝ : ClosedUnderIsomorphisms S.P
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h₁ : S.P T.obj₁
h₃ : S.P T.obj₃

⊢ S.P T.obj₂
-- Mathlib/Data/Matrix/Reflection.lean
l m✝ n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
P : Matrix (Fin (m + 1)) (Fin n) α → Prop

⊢ Exists P ↔ ∃ x, P x
-- Mathlib/Data/Matrix/Reflection.lean
l m✝ n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
m n : ℕ
P : Matrix (Fin (m + 1)) (Fin n) α → Prop

⊢ (∃ r A, P (of (vecCons r A))) ↔ ∃ x, P x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/PreservesHomology.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁✝ : S.LeftHomologyData
h₂✝ : S.RightHomologyData
F✝ : C ⥤ D
inst✝³ : F✝.PreservesZeroMorphisms
hl : S.LeftHomologyData
hr : S.RightHomologyData
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : S.HasLeftHomology
inst✝ : F.PreservesLeftHomologyOf S

⊢ (S.mapCyclesIso F).hom ≫ F.map S.iCycles = (S.map F).iCycles
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
n : ℕ

⊢ n.dist n = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasColimit F
E : K ⥤ J
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
L : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} L
D : L ⥤ K
h : HasColimit (D ⋙ E ⋙ F)
j : L

⊢ ι (D ⋙ E ⋙ F) j ≫ pre (E ⋙ F) D ≫ pre F E = ι (D ⋙ E ⋙ F) j ≫ pre F (D ⋙ E)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasColimit F
E : K ⥤ J
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
L : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} L
D : L ⥤ K
h : HasColimit (D ⋙ E ⋙ F)
j : L

⊢ ι F (E.obj (D.obj j)) = ι (D ⋙ E ⋙ F) j ≫ pre F (D ⋙ E)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasColimit F
E : K ⥤ J
inst✝¹ : HasColimit (E ⋙ F)
L : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} L
D : L ⥤ K
h : HasColimit (D ⋙ E ⋙ F)
j : L
this : HasColimit ((D ⋙ E) ⋙ F)

⊢ ι F (E.obj (D.obj j)) = ι (D ⋙ E ⋙ F) j ≫ pre F (D ⋙ E)
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v v₁ : Valuation R Γ₀
v₂ : Valuation R Γ'₀
v₃ : Valuation R Γ''₀
h : v₁.IsEquiv v₂
r : R

⊢ v₁ r ≠ 0 ↔ v₂ r ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
K : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁴ : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
Γ''₀ : Type u_6
inst✝³ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ''₀
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ'₀
v v₁ : Valuation R Γ₀
v₂ : Valuation R Γ'₀
v₃ : Valuation R Γ''₀
h : v₁.IsEquiv v₂
r : R
this : v₁ r ≠ v₁ 0 ↔ v₂ r ≠ v₂ 0

⊢ v₁ r ≠ 0 ↔ v₂ r ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hy : 0 < y
hz : z < 0

⊢ x ^ z⁻¹ ≤ y ↔ y ^ z ≤ x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
n : ℕ
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫ (x : γ), κ.densityProcess ν n a x s ∂ν a = ((κ a) (univ ×ˢ s)).toReal
-- Mathlib/Algebra/Ring/Basic.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Semiring α

⊢ IsCancelMulZero α ↔ IsDomain α ∨ Subsingleton α
-- Mathlib/Algebra/Ring/Basic.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Semiring α
t : IsCancelMulZero α

⊢ IsDomain α ∨ Subsingleton α
-- Mathlib/Algebra/Ring/Basic.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Semiring α
t : IsCancelMulZero α

⊢ Nontrivial α → IsDomain α
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
x : P.last.M
a₁ : P.A
f₁ : P.last.B a₁ → P.last.M
h₁ : x.dest = ⟨a₁, f₁⟩
a₂ : P.A
f₂ : P.last.B a₂ → P.last.M
h₂ : x.dest = ⟨a₂, f₂⟩
f' : Path P x ⟹ α

⊢ dest' P h₁ f' = dest' P h₂ f'
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
x : P.last.M
a₁ : P.A
f₁ : P.last.B a₁ → P.last.M
h₁ : x.dest = ⟨a₁, f₁⟩
f' : Path P x ⟹ α
h₂ : x.dest = ⟨a₁, f₁⟩

⊢ dest' P h₁ f' = dest' P h₂ f'
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Game

⊢ BddAbove (Set.range f)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Game
x : PGame
hx : x ∈ upperBounds (Set.range (Quotient.out ∘ f))

⊢ BddAbove (Set.range f)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Small.{u, u_1} ι
f : ι → Game
x : PGame
hx : x ∈ upperBounds (Set.range (Quotient.out ∘ f))
i : ι

⊢ f i ≤ ⟦x⟧
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ a b : A
h : a * b = 1

⊢ D a = -a ^ 2 • D b
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ a b : A
h : a * b = 1

⊢ D a = -(a ^ 2 • D b)
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module A M
inst✝ : Module R M
D D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ a b : A
h : a * b = 1

⊢ D a + a ^ 2 • D b = 0
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Catalan.lean
n : ℕ

⊢ catalan (n + 1) = ∑ ij ∈ antidiagonal n, catalan ij.1 * catalan ij.2
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
hI : I ⊆ E
hX : X ⊆ E

⊢ (uniqueBaseOn I E).Basis (X ∩ I) X
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ

⊢ multichoose (r + 1) (k + 1) = multichoose r (k + 1) + multichoose (r + 1) k
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ

⊢ (fun x => (k + 1).factorial • x) (multichoose (r + 1) (k + 1)) = (fun x => (k + 1).factorial • x) (multichoose r (k + 1) + multichoose (r + 1) k)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : AddCommMonoid R✝
inst✝⁵ : Pow R✝ ℕ
inst✝⁴ : BinomialRing R✝
R : Type u_2
inst✝³ : NonAssocSemiring R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : NatPowAssoc R
inst✝ : BinomialRing R
r : R
k : ℕ

⊢ (ascPochhammer ℕ (k + 1)).smeval (r + 1) = (ascPochhammer ℕ (k + 1)).smeval r + (k + 1).factorial • multichoose (r + 1) k
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
m n : ℕ
f : Fin (m * n) → α
i : Fin m
j : Fin n

⊢ ↑i * n + n = (↑i + 1) * n
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
x✝ : X

⊢ (⇑((lift R) f) ∘ ι R) x✝ = f x✝
-- Mathlib/Algebra/FreeAlgebra.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
x✝ : X

⊢ ({ toFun := FreeAlgebra.liftAux R, invFun := fun F => ⇑F ∘ ι R, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } f) (Quot.mk (Rel R X) (Pre.of x✝)) = f x✝
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Linearity.lean
f g : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s
hg : LSeriesSummable g s

⊢ LSeries (f + g) s = LSeries f s + LSeries g s
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R

⊢ WittVector.ghostFun (x * y) = WittVector.ghostFun x * WittVector.ghostFun y
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Action.lean
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α

⊢ EventuallyConst (c • s) (ae μ) ↔ EventuallyConst s (ae μ)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁹ : Semiring R₁
inst✝¹⁸ : Semiring R₂
inst✝¹⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M'₁
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝¹ : ContinuousAdd M₁
inst✝ : ContinuousAdd M'₁

⊢ (inl R₁ M₁ M'₁).coprod (inr R₁ M₁ M'₁) = id R₁ (M₁ × M'₁)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
inst✝¹⁹ : Semiring R₁
inst✝¹⁸ : Semiring R₂
inst✝¹⁷ : Semiring R₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M₁
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M₁
M'₁ : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M'₁
inst✝¹³ : AddCommMonoid M'₁
M₂ : Type u_6
inst✝¹² : TopologicalSpace M₂
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace M₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
M₄ : Type u_8
inst✝⁸ : TopologicalSpace M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M'₁
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
F : Type u_9
inst✝¹ : ContinuousAdd M₁
inst✝ : ContinuousAdd M'₁

⊢ ↑((inl R₁ M₁ M'₁).coprod (inr R₁ M₁ M'₁)) = ↑(id R₁ (M₁ × M'₁))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ StandardBorelSpace ↑s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
w✝ : TopologicalSpace α
left✝¹ : BorelSpace α
left✝ : PolishSpace α
s_closed : IsClosed s
right✝ : IsOpen s

⊢ StandardBorelSpace ↑s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : StandardBorelSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet s
w✝ : TopologicalSpace α
left✝¹ : BorelSpace α
left✝ : PolishSpace α
s_closed : IsClosed s
right✝ : IsOpen s
this : PolishSpace ↑s

⊢ StandardBorelSpace ↑s
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ m n : ℕ
hm : m < minimalPeriod f x
hmn : f^[m] x = f^[n] x

⊢ m ≤ n
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ m n : ℕ
hm : m < minimalPeriod f x
hmn : f^[m] x = f^[n] x
hmn' : n < m

⊢ False
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m✝ n✝ m n : ℕ
hm : m < minimalPeriod f x
hmn : f^[m - n] (f^[n] x) = f^[n] x
hmn' : n < m

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hI : comap (algebraMap R S) I = ⊥

⊢ I = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Over.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing S
f : R →+* S
I J : Ideal S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hI : comap (algebraMap R S) I = ⊥
x : S
hx : x ∈ I

⊢ x ∈ ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ

⊢ volume {a} = 0
-- Mathlib/SetTheory/Game/Basic.lean
b✝ : Game
b : PGame
c✝ : Game
c : PGame
h : Quot.mk Setoid.r b ⧏ Quot.mk Setoid.r c
a✝ : Game
a : PGame

⊢ Quot.mk Setoid.r a + Quot.mk Setoid.r b ⧏ Quot.mk Setoid.r a + Quot.mk Setoid.r c
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ≤ b

⊢ Icc a b \ Ioc a b = {a}
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
hn : ‖f‖ = 0
x : E

⊢ ‖f‖ * ‖x‖ = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NormedSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝² : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂

⊢ ‖0‖ = 0
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β

⊢ (List.map f s.toList).prod = s.prod f
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ sinh x ^ 2 = cosh x ^ 2 - 1
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ ↑(sinh x ^ 2) = ↑(cosh x ^ 2 - 1)
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x y : ℝ*
hx : x.Infinitesimal
hy : y.Infinitesimal

⊢ (x * y).Infinitesimal
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Set M
inst✝ : Finite ↑w
s : range v ≤ ↑(span R w)
this : Fintype ↑w := Fintype.ofFinite ↑w
t : Finset ι
v' : ↑↑t → M := fun x => v ↑x

⊢ t.card ≤ Fintype.card ↑w