ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ

⊢ nndist x y = 0 ↔ x = y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V ⟶ X
f' : V ⟶ U
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f

⊢ Q.diagonal f'
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V ⟶ X
f' : V ⟶ U
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P

⊢ Q.diagonal f'
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V ⟶ X
f' : V ⟶ U
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P

⊢ Q.diagonal (pullback.snd f g)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U✝ V✝ : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U✝
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V✝ ⟶ X
f' : V✝ ⟶ U✝
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
U V : Scheme
f₁ : U ⟶ pullback f g
f₂ : V ⟶ pullback f g
hU : IsAffine U
hV : IsAffine V
hf₁ : IsOpenImmersion f₁
hf₂ : IsOpenImmersion f₂

⊢ Q (pullback.mapDesc f₁ f₂ (pullback.snd f g))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U✝ V✝ : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U✝
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V✝ ⟶ X
f' : V✝ ⟶ U✝
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
U V : Scheme
f₁ : U ⟶ pullback f g
f₂ : V ⟶ pullback f g
hU : IsAffine U
hV : IsAffine V
hf₁ : IsOpenImmersion f₁
hf₂ : IsOpenImmersion f₂

⊢ Q ((pullbackDiagonalMapIso f g f₁ f₂).hom ≫ pullback.mapDesc f₁ f₂ (pullback.snd f g))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U✝ V✝ : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U✝
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V✝ ⟶ X
f' : V✝ ⟶ U✝
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
U V : Scheme
f₁ : U ⟶ pullback f g
f₂ : V ⟶ pullback f g
hU : IsAffine U
hV : IsAffine V
hf₁ : IsOpenImmersion f₁
hf₂ : IsOpenImmersion f₂
e_1✝ : pullback (pullback.diagonal f) (pullback.map (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) f f (f₁ ≫ pullback.fst f g) (f₂ ≫ pullback.fst f g) g ⋯ ⋯) = pullback (pullback.diagonal f) (pullback.map (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) f f (f₁ ≫ pullback.fst f g) (f₂ ≫ pullback.fst f g) g ⋯ ⋯)
e_2✝ : pullback (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) = pullback (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g)

⊢ (pullbackDiagonalMapIso f g f₁ f₂).hom ≫ pullback.mapDesc f₁ f₂ (pullback.snd f g) = pullback.snd (pullback.diagonal f) (pullback.map (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) f f (f₁ ≫ pullback.fst f g) (f₂ ≫ pullback.fst f g) g ⋯ ⋯)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U✝ V✝ : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U✝
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V✝ ⟶ X
f' : V✝ ⟶ U✝
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
U V : Scheme
f₁ : U ⟶ pullback f g
f₂ : V ⟶ pullback f g
hU : IsAffine U
hV : IsAffine V
hf₁ : IsOpenImmersion f₁
hf₂ : IsOpenImmersion f₂

⊢ IsAffine (pullback (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Constructors.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : HasAffineProperty P Q
X Y U✝ V✝ : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝¹ : IsAffine U✝
inst✝ : IsOpenImmersion g
iV : V✝ ⟶ X
f' : V✝ ⟶ U✝
h : IsPullback iV f' f g
H : P.diagonal f
this : Q.IsLocal := isLocal_affineProperty P
U V : Scheme
f₁ : U ⟶ pullback f g
f₂ : V ⟶ pullback f g
hU : IsAffine U
hV : IsAffine V
hf₁ : IsOpenImmersion f₁
hf₂ : IsOpenImmersion f₂

⊢ IsOpenImmersion (pullback.map (f₁ ≫ pullback.snd f g) (f₂ ≫ pullback.snd f g) f f (f₁ ≫ pullback.fst f g) (f₂ ≫ pullback.fst f g) g ⋯ ⋯)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
f : α → β
s : Set α
a : α
has : a ∉ s

⊢ InjOn f (insert a s) ↔ InjOn f s ∧ f a ∉ f '' s
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
f : α → β
s : Set α
a : α
has : a ∉ s

⊢ (InjOn f s ∧ InjOn f {a} ∧ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ {a}, f x ≠ f y) ↔ InjOn f s ∧ f a ∉ f '' s
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G

⊢ H = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
this : Nonempty ↥H

⊢ H = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
this : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0

⊢ H = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
this✝ : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0
this : Finite G

⊢ H = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : Nat.card ↥H = Nat.card G
this✝² : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0
this✝¹ : Finite G
this✝ : Fintype G
this : Fintype ↥H

⊢ H = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
this✝² : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0
this✝¹ : Finite G
this✝ : Fintype G
this : Fintype ↥H
h : Fintype.card ↥H = Fintype.card G

⊢ H = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Finite.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
this✝² : Nonempty ↥H
h' : Nat.card ↥H ≠ 0
this✝¹ : Finite G
this✝ : Fintype G
this : Fintype ↥H
h : Fintype.card ↥H = Fintype.card G

⊢ Fintype.card ↑↑H = Fintype.card ↥H
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s : ↥S
t : R
hst : t * ↑s ∈ S

⊢ r /ₒ s = t • r /ₒ ⟨t * ↑s, hst⟩
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s : ↥S
t : R
hst : t * ↑s ∈ S

⊢ (r, s) ≈ (t • r, ⟨t * ↑s, hst⟩)
-- Mathlib/Order/Fin/Tuple.lean
α : Type u_1
n : ℕ
r : α → α → Prop
inst✝ : IsTrans α r
f : Fin (n + 1) → α
a : α

⊢ ((fun x x_1 => x < x_1) ⇒ r) (vecCons a f) (vecCons a f) ↔ r a (f 0) ∧ ((fun x x_1 => x < x_1) ⇒ r) f f
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Comap.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial σ R
hf : ∀ (φ : MvPolynomial σ R), f φ = φ
x : σ → R

⊢ comap f x = x
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Comap.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial σ R
hf : ∀ (φ : MvPolynomial σ R), f φ = φ
x : σ → R

⊢ f = AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Comap.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
f : MvPolynomial σ R →ₐ[R] MvPolynomial σ R
hf : ∀ (φ : MvPolynomial σ R), f φ = φ
x : σ → R
φ : σ

⊢ f (X φ) = (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) (X φ)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
c : 𝕜

⊢ HasSum f c ↔ HasSum (fun x => re (f x)) (re c) ∧ HasSum (fun x => im (f x)) (im c)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
c : 𝕜

⊢ HasSum (fun x => re (f x)) (re c) ∧ HasSum (fun x => im (f x)) (im c) → HasSum f c
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
c : 𝕜
h₁ : HasSum (fun x => re (f x)) (re c)
h₂ : HasSum (fun x => im (f x)) (im c)

⊢ HasSum f c
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
r : R
x✝ : IsUnit (X - C r)
g : R[X]
_hfg : (X - C r) * g = 1
hgf : g * (X - C r) = 1

⊢ 0 = 1
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n

⊢ ↑(fill a (filterNe a m).fst (filterNe a m).snd) = ↑m
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n

⊢ filter (fun x => a ≠ x) ↑m + ↑(replicate (count a ↑m) a) = ↑m
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
b : α

⊢ count b (filter (fun x => ¬a = x) ↑m + ↑(replicate (count a ↑m) a)) = count b ↑m
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
b : α

⊢ ((if ¬a = b then count b ↑m else 0) + if b = a then count a ↑m else 0) = count b ↑m
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n

⊢ ((if ¬a = a then count a ↑m else 0) + if a = a then count a ↑m else 0) = count a ↑m
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s : Sym α n
a✝ b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
m : Sym α n
b : α
h : a ≠ b

⊢ ((if ¬a = b then count b ↑m else 0) + if b = a then count a ↑m else 0) = count b ↑m
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜

⊢ ↑𝒜.card / ↑((Fintype.card α).choose r) ≤ ↑(∂ 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (r - 1))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
hr' : Fintype.card α < r

⊢ ↑𝒜.card / ↑((Fintype.card α).choose r) ≤ ↑(∂ 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (r - 1))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
hr' : r ≤ Fintype.card α

⊢ ↑𝒜.card / ↑((Fintype.card α).choose r) ≤ ↑(∂ 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (r - 1))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
hr' : r ≤ Fintype.card α
h𝒜 : 𝒜.card * r ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α - r + 1)

⊢ ↑𝒜.card / ↑((Fintype.card α).choose r) ≤ ↑(∂ 𝒜).card / ↑((Fintype.card α).choose (r - 1))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
hr' : r ≤ Fintype.card α
h𝒜 : 𝒜.card * r ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α - r + 1)

⊢ 𝒜.card * (Fintype.card α).choose (r - 1) ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α).choose r
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
hr' : r ≤ Fintype.card α
h𝒜 : 𝒜.card * r ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α - r + 1)

⊢ 0 < (Fintype.card α).choose r
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
hr : r ≠ 0
hr' : r ≤ Fintype.card α
h𝒜 : 𝒜.card * r ≤ (∂ 𝒜).card * (Fintype.card α - r + 1)

⊢ 0 < (Fintype.card α).choose (r - 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
n : ℕ

⊢ 0 ≤ a ^ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
n : ℕ

⊢ 0 ≤ a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
n : ℕ

⊢ 0 ≤ a ^ (-↑(n + 1))
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulMono α
ha : 0 ≤ a
n : ℕ

⊢ 0 ≤ a ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset α
f : α → β →₀ M

⊢ (s.sum f).support ⊆ s.biUnion fun x => (f x).support
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset α
f : α → β →₀ M

⊢ (s.sum f).support ⊆ s.sup fun x => (f x).support
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β →₀ M

⊢ (∅.sum f).support ⊆ ∅.sup fun x => (f x).support
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β →₀ M
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
ih : (s.sum f).support ⊆ s.sup fun x => (f x).support

⊢ ((Finset.cons a s ha).sum f).support ⊆ (Finset.cons a s ha).sup fun x => (f x).support
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ

⊢ c.sizeUpTo i ≤ n
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ

⊢ c.sizeUpTo i ≤ (take i c.blocks).sum + (drop i c.blocks).sum
-- Mathlib/Data/ENat/Lattice.lean
ι : Sort u_1
f✝ : ι → ℕ
s✝ : Set ℕ
f : ι → ℕ∞
s : Set ℕ∞

⊢ sInf s = 0 ↔ 0 ∈ s
-- Mathlib/Data/ENat/Lattice.lean
ι : Sort u_1
f✝ : ι → ℕ
s✝ : Set ℕ
f : ι → ℕ∞
s : Set ℕ∞

⊢ sInf s < 1 ↔ 0 ∈ s
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Polynomial.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
a : σ → K
a✝ : Nontrivial K

⊢ (eval a) (indicator a) = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Polynomial.lean
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : CommRing K
a : σ → K
a✝ : Nontrivial K
this : 0 < Fintype.card K - 1

⊢ (eval a) (indicator a) = 1
-- Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

⊢ mrange (noncommPiCoprod ϕ hcomm) = ⨆ i, mrange (ϕ i)
-- Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

⊢ mrange (noncommPiCoprod ϕ hcomm) ≤ ⨆ i, mrange (ϕ i)
-- Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean
M : Type u_1
inst✝³ : Monoid M
ι : Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
N : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Monoid (N i)
ϕ : (i : ι) → N i →* M
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : N i) (y : N j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
f g : (i : ι) → N i
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

⊢ ⨆ i, mrange (ϕ i) ≤ mrange (noncommPiCoprod ϕ hcomm)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Differentials/Basic.lean
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
b : ↑B
this✝³ : Algebra ↑A ↑B := RingHom.toAlgebra f
this✝² : Algebra ↑A' ↑B' := RingHom.toAlgebra f'
this✝¹ : Algebra ↑A ↑A' := RingHom.toAlgebra g
this✝ : Algebra ↑B ↑B' := RingHom.toAlgebra g'
this : Algebra ↑A ↑B' := (RingHom.comp f' g).toAlgebra

⊢ (map fac) (d b) = d (g' b)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Differentials/Basic.lean
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
b : ↑B
this✝⁴ : Algebra ↑A ↑B := RingHom.toAlgebra f
this✝³ : Algebra ↑A' ↑B' := RingHom.toAlgebra f'
this✝² : Algebra ↑A ↑A' := RingHom.toAlgebra g
this✝¹ : Algebra ↑B ↑B' := RingHom.toAlgebra g'
this✝ : Algebra ↑A ↑B' := (RingHom.comp f' g).toAlgebra
this : IsScalarTower ↑A ↑A' ↑B'

⊢ (map fac) (d b) = d (g' b)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Differentials/Basic.lean
A B A' B' : CommRingCat
f : A ⟶ B
f' : A' ⟶ B'
g : A ⟶ A'
g' : B ⟶ B'
fac : g ≫ f' = f ≫ g'
b : ↑B
this✝⁵ : Algebra ↑A ↑B := RingHom.toAlgebra f
this✝⁴ : Algebra ↑A' ↑B' := RingHom.toAlgebra f'
this✝³ : Algebra ↑A ↑A' := RingHom.toAlgebra g
this✝² : Algebra ↑B ↑B' := RingHom.toAlgebra g'
this✝¹ : Algebra ↑A ↑B' := (RingHom.comp f' g).toAlgebra
this✝ : IsScalarTower ↑A ↑A' ↑B'
this : IsScalarTower ↑A ↑B ↑B'

⊢ (map fac) (d b) = d (g' b)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n

⊢ eval 1 (cyclotomic n R) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ 0

⊢ eval 1 (cyclotomic 0 R) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0

⊢ eval 1 (cyclotomic n R) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n

⊢ eval 1 (cyclotomic n R) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n

⊢ eval 1 (cyclotomic n ℤ) = 1 ∨ eval 1 (cyclotomic n ℤ) = -1
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n

⊢ ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ¬p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpe : p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
this : Fact (Nat.Prime p)

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpe : p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : ∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i ℤ = ∑ i ∈ range n, X ^ i

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpe : p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : eval 1 (∏ i ∈ n.divisors.erase 1, cyclotomic i ℤ) = eval 1 (∑ i ∈ range n, X ^ i)

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpe : p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : ↑n = (∏ x ∈ n.divisors.erase 1 \ image (fun t => p ^ (t + 1)) (range (padicValNat p n)), eval 1 (cyclotomic x ℤ)) * ∏ x ∈ range (padicValNat p n), eval 1 (cyclotomic (p ^ (x + 1)) ℤ)

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℕ
h : ∀ {p : ℕ}, Nat.Prime p → ∀ (k : ℕ), p ^ k ≠ n
hn' : n > 0
hn : 1 < n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpe : p ∣ (eval 1 (cyclotomic n ℤ)).natAbs
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : ↑n = (∏ x ∈ n.divisors.erase 1 \ image (fun t => p ^ (t + 1)) (range (padicValNat p n)), eval 1 (cyclotomic x ℤ)) * ∏ x ∈ image (fun t => p ^ (t + 1)) (range (padicValNat p n)), eval 1 (cyclotomic x ℤ)

⊢ ∀ x ∈ range (padicValNat p n), ∀ y ∈ range (padicValNat p n), p ^ (x + 1) = p ^ (y + 1) → x = y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x r y : ℝ

⊢ y ∈ ball x r ↔ y ∈ Ioo (x - r) (x + r)
-- Mathlib/Order/Filter/EventuallyConst.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
l : Filter α
f g : α → β
h : f =ᶠ[l] g

⊢ EventuallyConst f l ↔ EventuallyConst g l
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P

⊢ s ∥ ⊥ ↔ s = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
h : s ∥ ⊥

⊢ s = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
v : V
h : ⊥ = map (↑(constVAdd k P v)) s

⊢ s = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R

⊢ content 1 = 1
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : ℕ
b : ℤ

⊢ multiplicity a b.natAbs = multiplicity (↑a) b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
a : ℕ
b : ℤ
h : b = ↑b.natAbs

⊢ multiplicity a b.natAbs = multiplicity ↑a ↑b.natAbs