ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g b' = b
x : R
hx : (algebraMap R P) x = a • b'

⊢ IsInteger R (a • b)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
P' : Type u_3
inst✝³ : CommRing P'
inst✝² : Algebra R P'
loc' : IsLocalization S P'
P'' : Type u_4
inst✝¹ : CommRing P''
inst✝ : Algebra R P''
loc'' : IsLocalization S P''
g : P →ₐ[R] P'
I : Submodule R P
a : R
a_nonzero : a ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (a • b)
b : P'
hb : b ∈ Submodule.map g.toLinearMap I
b' : P
b'_mem : b' ∈ I
hb' : g b' = b
x : R
hx : (algebraMap R P) x = a • b'

⊢ (algebraMap R P') x = a • b
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/RightDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ

⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (F.rightDerivedToHomotopyCategory.map f) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (J.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj J.cocomplex) = ((HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex)) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) n
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/RightDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ

⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.up ℕ)).map φ) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj J.cocomplex) = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) n
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/RightDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasInjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ

⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex) ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.up ℕ) n).map (I.isoRightDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.up ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).obj I.cocomplex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℕ)).map φ) n
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u : XgcdType
hs : u.wp + u.zp + u.wp * u.zp = u.x * u.y

⊢ u.wp + (u.y * u.qp + u.zp) + u.wp * (u.y * u.qp + u.zp) = ((u.wp + 1) * u.qp + u.x) * u.y
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u : XgcdType
hs : u.wp + u.zp + u.wp * u.zp = u.x * u.y

⊢ u.wp + (u.y * u.qp + u.zp) + u.wp * (u.y * u.qp + u.zp) = u.wp + u.zp + u.wp * u.zp + (u.wp + 1) * u.qp * u.y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c T : ℝ
hT : 0 ≤ T
vert_norm_bound : ∀ {T : ℝ}, 0 ≤ T → ∀ {c y : ℝ}, |y| ≤ |c| → ‖cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)‖ ≤ rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))

⊢ ‖verticalIntegral b c T‖ ≤ 2 * |c| * rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c T : ℝ
hT : 0 ≤ T
vert_norm_bound : ∀ {T : ℝ}, 0 ≤ T → ∀ {c y : ℝ}, |y| ≤ |c| → ‖cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)‖ ≤ rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))

⊢ ?m.32390 * |c - 0| ≤ 2 * |c| * rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c T : ℝ
hT : 0 ≤ T
vert_norm_bound : ∀ {T : ℝ}, 0 ≤ T → ∀ {c y : ℝ}, |y| ≤ |c| → ‖cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)‖ ≤ rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))

⊢ ℝ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c T : ℝ
hT : 0 ≤ T
vert_norm_bound : ∀ {T : ℝ}, 0 ≤ T → ∀ {c y : ℝ}, |y| ≤ |c| → ‖cexp (-b * (↑T + ↑y * I) ^ 2)‖ ≤ rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * |b.im| * |c| * T - b.re * c ^ 2))

⊢ ∀ x ∈ Ι 0 c, ‖I * (cexp (-b * (↑T + ↑x * I) ^ 2) - cexp (-b * (↑T - ↑x * I) ^ 2))‖ ≤ ?m.32390
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℕ
a b : α
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
hab : a ≠ b

⊢ (f a)! * (f b)! * multinomial {a, b} f = (f a + f b)!
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
s : Set X

⊢ StableUnderSpecialization s ↔ ∃ S, (∀ s ∈ S, IsClosed s) ∧ ⋃₀ S = s
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
s : Set X
H : StableUnderSpecialization s

⊢ ∀ s_1 ∈ (fun x => closure {x}) '' s, IsClosed s_1
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
s : Set X
H : StableUnderSpecialization s

⊢ ⋃₀ ((fun x => closure {x}) '' s) = s
-- Mathlib/Algebra/Order/Kleene.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : KleeneAlgebra α
a b c : α
h : a∗ = a

⊢ a * a = a
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
M : Type u_11
N : Type u_12
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : SMul M N
inst✝² : MulAction N α
inst✝¹ : SMul M α
inst✝ : IsScalarTower M N α
x : M
y : α

⊢ (x • 1) • y = x • y
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞

⊢ ∑' (n : ℕ), r ^ (n + 1) = r * (1 - r)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)

⊢ S.SupIndep fun i => torsionBy R M (q i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R
ι : Type u_3
p : ι → Ideal R
S : Finset ι
hp : (↑S).Pairwise fun i j => p i ⊔ p j = ⊤
q : ι → R
hq : (↑S).Pairwise (IsCoprime on q)
x✝ : ι

⊢ torsionBy R M (q x✝) = torsionBySet R M ↑(Ideal.span {q x✝})
-- Mathlib/Dynamics/BirkhoffSum/NormedSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
x : α
h : Bornology.IsBounded (range fun x_1 => g (f^[x_1] x))

⊢ Tendsto (fun n => birkhoffAverage 𝕜 f g n (f x) - birkhoffAverage 𝕜 f g n x) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Dynamics/BirkhoffSum/NormedSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
x : α
h : Bornology.IsBounded (range fun x_1 => g (f^[x_1] x))
C : ℝ
hC : ∀ (x_1 y : ℕ), dist (g (f^[x_1] x)) (g (f^[y] x)) ≤ C

⊢ Tendsto (fun n => birkhoffAverage 𝕜 f g n (f x) - birkhoffAverage 𝕜 f g n x) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Dynamics/BirkhoffSum/NormedSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
x : α
h : Bornology.IsBounded (range fun x_1 => g (f^[x_1] x))
C : ℝ
hC : ∀ (x_1 y : ℕ), dist (g (f^[x_1] x)) (g (f^[y] x)) ≤ C
this : Tendsto (fun n => C / ↑n) atTop (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun n => birkhoffAverage 𝕜 f g n (f x) - birkhoffAverage 𝕜 f g n x) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Dynamics/BirkhoffSum/NormedSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
x : α
h : Bornology.IsBounded (range fun x_1 => g (f^[x_1] x))
C : ℝ
hC : ∀ (x_1 y : ℕ), dist (g (f^[x_1] x)) (g (f^[y] x)) ≤ C
this : Tendsto (fun n => C / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ

⊢ ‖birkhoffAverage 𝕜 f g n (f x) - birkhoffAverage 𝕜 f g n x‖ ≤ C / ↑n
-- Mathlib/Dynamics/BirkhoffSum/NormedSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
f : α → α
g : α → E
x : α
h : Bornology.IsBounded (range fun x_1 => g (f^[x_1] x))
C : ℝ
hC : ∀ (x_1 y : ℕ), dist (g (f^[x_1] x)) (g (f^[y] x)) ≤ C
this : Tendsto (fun n => C / ↑n) atTop (𝓝 0)
n : ℕ

⊢ dist (g (f^[n] x)) (g x) / ↑n ≤ C / ↑n
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F

⊢ ContinuousOn p.sum (EMetric.ball 0 p.radius)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F
h : 0 = p.radius

⊢ ContinuousOn p.sum (EMetric.ball 0 p.radius)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
inst✝ : CompleteSpace F
h : 0 < p.radius

⊢ ContinuousOn p.sum (EMetric.ball 0 p.radius)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U V : Y.Opens
e : U = V

⊢ Hom.app f U = Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ Hom.app f V ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Scheme.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U V : Y.Opens
e : U = V

⊢ f.val.c.app (op V) ≫ ((Presheaf.pushforward CommRingCat f.val.base).obj X.presheaf).map (inv (eqToHom ⋯).op) = Hom.app f V ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β → E
μ : Measure β
a : α

⊢ ∫ (x : β), f x ∂(const α μ) a = ∫ (x : β), f x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/UnitizationL1.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NonUnitalNormedRing A
inst✝² : NormedSpace 𝕜 A
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕜 A A
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 A A
x : A

⊢ ‖(WithLp.equiv 1 (Unitization 𝕜 A)).symm ↑x‖ = ‖x‖
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f✝ : α → β
f : β → ↑(Ioi a)

⊢ Tendsto f l atBot ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[>] a)
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f✝ : α → β
f : β → ↑(Ioi a)

⊢ Tendsto (Subtype.val ∘ f) l (𝓝[>] a) ↔ Tendsto (fun x => ↑(f x)) l (𝓝[>] a)
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
h₁ : S.Nonempty
h₂ : BddAbove S

⊢ IsLUB S (sSup S)
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
h₁ : S.Nonempty
h₂ : BddAbove S

⊢ IsLUB S (Classical.choose ⋯)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

⊢ (∀ k ∈ Ico m n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → ∑ k ∈ Finset.Ico m n, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a m..a n, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

⊢ (∀ k ∈ Ico m m, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → ∑ k ∈ Finset.Ico m m, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a m..a m, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

⊢ ∀ (n : ℕ), m ≤ n → ((∀ k ∈ Ico m n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → ∑ k ∈ Finset.Ico m n, ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a m..a n, f x ∂μ) → (∀ k ∈ Ico m (n + 1), IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → ∑ k ∈ Finset.Ico m (n + 1), ∫ (x : ℝ) in a k..a (k + 1), f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a m..a (n + 1), f x ∂μ
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧

⊢ X ∣ φ ↔ (constantCoeff R) φ = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
φ : R⟦X⟧

⊢ (∀ m < 1, (coeff R m) φ = 0) ↔ (coeff R 0) φ = 0
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
x y : List α
s : σ
hx : M.evalFrom s x = s
hy : y ∈ {x}∗

⊢ M.evalFrom s y = s
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
x y : List α
s : σ
hx : M.evalFrom s x = s
hy : ∃ L, y = L.join ∧ ∀ y ∈ L, y ∈ {x}

⊢ M.evalFrom s y = s
-- Mathlib/FieldTheory/Cardinality.lean
α : Type u

⊢ Nonempty (Field α) ↔ IsPrimePow #α
-- Mathlib/FieldTheory/Cardinality.lean
α : Type u

⊢ Nonempty (Field α) ↔ ℵ₀ ≤ #α ∨ ∃ n, #α = ↑n ∧ IsPrimePow n
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
t : Ordnode α
x : α

⊢ findMax' x t.dual = t.findMin' x
-- Mathlib/Data/Multiset/Sections.lean
α : Type u_1
s : Multiset (Multiset α)

⊢ ∀ {a : Multiset α}, a ∈ s.Sections ↔ Rel (fun s a => a ∈ s) s a
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z : ℂ

⊢ z.re ^ 2 ≤ normSq z
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
z : ℂ

⊢ z.re ^ 2 ≤ z.re ^ 2 + z.im * z.im
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M✝
inst✝⁸ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsNoetherianRing R
ι : Type
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → R) →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
x : ↥(LinearMap.ker f)

⊢ f ((LinearMap.ker f).subtype x) = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p

⊢ HasDerivWithinAt (fun y => f y ^ p) (f' * p * f x ^ (p - 1)) s x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Deriv.lean
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p

⊢ f' * p * f x ^ (p - 1) = p * f x ^ (p - 1) * f'
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
n : ℕ

⊢ hurwitzZetaOdd a (-2 * ↑n - 1) = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
p : α → Prop
D : DecidablePred p
f : α →₀ M

⊢ (subtypeDomain p f).support = Finset.subtype p f.support
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Interval.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝² : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i

⊢ (Ioc f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
k : ℕ

⊢ ‖z ^ (k + 1)‖ = ‖z‖ ^ (k + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]
k : ℕ

⊢ ‖z ^ k‖ * ‖z‖ = ‖z‖ ^ k * ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F

⊢ b ∈ map f K → ∀ (y : F), (adjoint f) y ∈ K.dual → 0 ≤ ⟪y, b⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F

⊢ ∀ (x : ℕ → F), (∀ (n : ℕ), ∃ x_1 ∈ K, f x_1 = x n) → Tendsto x atTop (nhds b) → ∀ (y : F), (∀ ⦃x : E⦄, x ∈ K → 0 ≤ ⟪f x, y⟫_ℝ) → 0 ≤ ⟪y, b⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
seq : ℕ → F
hmem : ∀ (n : ℕ), ∃ x ∈ K, f x = seq n
htends : Tendsto seq atTop (nhds b)
y : F
hinner : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ K → 0 ≤ ⟪f x, y⟫_ℝ

⊢ 0 ≤ ⟪y, b⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
seq : ℕ → F
hmem : ∀ (n : ℕ), ∃ x ∈ K, f x = seq n
htends : Tendsto seq atTop (nhds b)
y : F
hinner : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ K → 0 ≤ ⟪f x, y⟫_ℝ

⊢ ∀ (n : ℕ), 0 ≤ ⟪y, seq n⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
seq : ℕ → F
hmem : ∀ (n : ℕ), ∃ x ∈ K, f x = seq n
htends : Tendsto seq atTop (nhds b)
y : F
hinner : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ K → 0 ≤ ⟪f x, y⟫_ℝ
n : ℕ
w✝ : E
h : w✝ ∈ K
hseq : f w✝ = seq n

⊢ 0 ≤ ⟪y, seq n⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : ∀ (y : F), (adjoint f) y ∈ K.dual → 0 ≤ ⟪y, b⟫_ℝ

⊢ b ∈ map f K
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K

⊢ ∃ y, (adjoint f) y ∈ K.dual ∧ ⟪y, b⟫_ℝ < 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)

⊢ ∃ y, (adjoint f) y ∈ K.dual ∧ ⟪y, b⟫_ℝ < 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0

⊢ ∃ y, (adjoint f) y ∈ K.dual ∧ ⟪y, b⟫_ℝ < 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0

⊢ (adjoint f) y ∈ K.dual
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0

⊢ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ K → 0 ≤ ⟪f x, y⟫_ℝ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
x : E
hxK : x ∈ K

⊢ f x ∈ C
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
x : E
hxK : x ∈ K

⊢ f x ∈ ↑(PointedCone.map ↑f ↑K).closure
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Proper.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
K : ProperCone ℝ E
f : E →L[ℝ] F
b : F
h : b ∉ map f K
C : ConvexCone ℝ F := ↑↑(map f K)
y : F
hxy : ∀ x ∈ C, 0 ≤ ⟪x, y⟫_ℝ
hyb : ⟪y, b⟫_ℝ < 0
x : E
hxK : x ∈ K

⊢ f x ∈ ↑↑(PointedCone.map ↑f ↑K)