ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁✝ y₂✝ y₃ y' y₁ y₂ : PGame
h : ∀ (i : x₂.LeftMoves), IH3 x₁ (x₂.moveLeft i) x₂ y₁ y₂
hs : ∀ (i : (-x₁).LeftMoves), IH3 (-x₂) ((-x₁).moveLeft i) (-x₁) y₁ y₂
hl : x₁ < x₂
i : x₂.LeftMoves
hi : x₁ ≤ x₂.moveLeft i

⊢ P3 x₁ x₂ y₁ y₂
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁✝ y₂✝ y₃ y' y₁ y₂ : PGame
h : ∀ (i : x₂.LeftMoves), IH3 x₁ (x₂.moveLeft i) x₂ y₁ y₂
hs : ∀ (i : (-x₁).LeftMoves), IH3 (-x₂) ((-x₁).moveLeft i) (-x₁) y₁ y₂
hl : x₁ < x₂
i : x₁.RightMoves
hi : x₁.moveRight i ≤ x₂

⊢ P3 x₁ x₂ y₁ y₂
-- Mathlib/Algebra/IsPrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k✝ : ℕ
n : R
hn✝ : IsPrimePow n
k : ℕ
hk : k ≠ 0
p : R
k' : ℕ
hp : Prime p
hk' : 0 < k'
hn : p ^ k' = n

⊢ p ^ (k * k') = n ^ k
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Pochhammer.lean
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
r✝ n r k : ℕ

⊢ (k + 1) * eval (k + 1 + 1) (ascPochhammer ℕ r) = (k + 1 + r) * eval (k + 1) (ascPochhammer ℕ r)
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
s : Set ℂ
x : ℂ
f' : E
h : HasDerivWithinAt f f' s x

⊢ HasFDerivWithinAt f (reCLM.smulRight f' + I • imCLM.smulRight f') s x
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin n → α
i : Fin (n + 1)

⊢ vecCons x u (i + i) = vecAlt0 ⋯ (vecAppend ⋯ (vecCons x u) (vecCons x u)) i
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin n → α
i : Fin (n + 1)

⊢ vecCons x u (i + i) = (vecCons x u ∘ fun n_1 => n_1 + n_1) i
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y✝ z✝ : ℝ
x y : ℝ≥0
z : ℝ
hz : z ≠ 0

⊢ x = y ^ (1 / z) ↔ x ^ z = y
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R

⊢ IsTorsionBy R M a ↔ torsionBy R M a = ⊤
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π

⊢ ∀ (i : ι), MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ i})
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι

⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j})
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j}

⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j})
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j}

⊢ MeasurableSet ({ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j})
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j}

⊢ MeasurableSet {ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j}

⊢ Measurable fun a => min (τ a) j
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝⁴ : TopologicalSpace ι
inst✝³ : SecondCountableTopology ι
inst✝² : OrderTopology ι
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
inst✝ : BorelSpace ι
hτ : IsStoppingTime f τ
hπ : IsStoppingTime f π
j : ι
this : {ω | τ ω ≤ π ω} ∩ {ω | τ ω ≤ j} = {ω | min (τ ω) j ≤ min (π ω) j} ∩ {ω | τ ω ≤ j}

⊢ Measurable fun a => min (π a) j
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]

⊢ a + star a = ↑(2 * a.re)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x✝ x : ℝ
h : cos x ≠ 0

⊢ HasDerivAt (fun y => tan y - y) (1 / cos x ^ 2 - 1) x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x : α
xs : List α

⊢ (x :: xs).formPerm (x :: xs)[xs.length] = x
-- Mathlib/Combinatorics/Pigeonhole.lean
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.Nonempty
hb : t.card • b ≤ ↑s.card

⊢ ∃ y ∈ t, b ≤ ↑(filter (fun x => f x = y) s).card
-- Mathlib/Combinatorics/Pigeonhole.lean
α : Type u
β : Type v
M : Type w
inst✝¹ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
w : α → M
b : M
n : ℕ
inst✝ : LinearOrderedCommSemiring M
hf : ∀ a ∈ s, f a ∈ t
ht : t.Nonempty
hb : t.card • b ≤ ∑ a ∈ s, 1

⊢ ∃ y ∈ t, b ≤ ∑ a ∈ filter (fun x => f x = y) s, 1
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
x : ℝ

⊢ 0 ≤ sSupNormIm f x
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
x : ℝ

⊢ ∀ x_1 ∈ norm ∘ f '' (re ⁻¹' {x}), 0 ≤ x_1
-- Mathlib/Analysis/Complex/Hadamard.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → E
z : ℂ
x y : ℝ
z1 : ℂ
left✝ : z1 ∈ re ⁻¹' {x}
hz2 : (norm ∘ f) z1 = y

⊢ 0 ≤ y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean

⊢ typesGrothendieckTopology = Sheaf.canonicalTopology (Type u)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean

⊢ typesGrothendieckTopology ∈ Sheaf.finestTopologySingle '' Set.range yoneda.obj
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean

⊢ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves = typesGrothendieckTopology.sieves
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
α : Type u

⊢ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α = typesGrothendieckTopology.sieves α
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
α : Type u
S : Sieve α

⊢ S ∈ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α ↔ S ∈ typesGrothendieckTopology.sieves α
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
α : Type u
S : Sieve α
hs : S ∈ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α
x : α

⊢ S.arrows fun x_1 => x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
α : Type u
S : Sieve α
hs : S ∈ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α
x : α
hsx : ¬S.arrows fun x_1 => x

⊢ False
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Types.lean
α : Type u
S : Sieve α
hs : S ∈ (Sheaf.finestTopologySingle (yoneda.obj (ULift.{u, 0} Bool))).sieves α
x : α
hsx : ¬S.arrows fun x_1 => x
this : (fun x => { down := true }) = fun x => { down := false }

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₁ n₂ n₁₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G n₁
k : Rˣ
z₂ : Cochain G K n₂
h : n₁ + n₂ = n₁₂

⊢ z₁.comp (k • z₂) h = k • z₁.comp z₂ h
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν✝ ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
μ ν : Measure α
f : α → β
hf : Measurable f

⊢ map f (μ + ν) = map f μ + map f ν
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ℕ

⊢ toAddCircle ↑j = ↑(↑j / ↑N)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : RankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤

⊢ Fintype.card ι ≤ Fintype.card ↑w
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : RankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤

⊢ (↑w →₀ R) →ₗ[R] ι →₀ R
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝² : RankCondition R
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
b : Basis ι R M
w : Set M
inst✝ : Fintype ↑w
s : span R w = ⊤

⊢ Surjective ⇑?f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedRing α✝
α : Type u_5
inst✝ : NormedCommRing α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α

⊢ ∏ i ∈ s, ‖f i‖ = (fun a => ↑a) (∏ i ∈ s, ‖f i‖₊)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h : a ∣ b * c

⊢ ∃ a₁ a₂, a₁ ∣ b ∧ a₂ ∣ c ∧ a = a₁ * a₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h : f a ∣ f b * f c

⊢ ∃ a₁ a₂, a₁ ∣ b ∧ a₂ ∣ c ∧ a = a₁ * a₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h✝ : f a ∣ f b * f c
a₁ a₂ : β
h : a₁ ∣ f b ∧ a₂ ∣ f c ∧ f a = a₁ * a₂

⊢ ∃ a₁ a₂, a₁ ∣ b ∧ a₂ ∣ c ∧ a = a₁ * a₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h✝ : f a ∣ f b * f c
a₁ a₂ : β
h : a₁ ∣ f b ∧ a₂ ∣ f c ∧ f a = a₁ * a₂

⊢ (↑f).symm a₁ ∣ b ∧ (↑f).symm a₂ ∣ c ∧ a = (↑f).symm a₁ * (↑f).symm a₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h✝ : f a ∣ f b * f c
a₁ a₂ : β
h : a₁ ∣ f b ∧ a₂ ∣ f c ∧ f a = a₁ * a₂

⊢ f ((↑f).symm a₁) ∣ f b ∧ f ((↑f).symm a₂) ∣ f c ∧ ↑f a = a₁ * a₂
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : Semigroup α
inst✝³ : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝² : EquivLike F α β
inst✝¹ : MulEquivClass F α β
f : F
inst✝ : DecompositionMonoid β
a b c : α
h✝ : f a ∣ f b * f c
a₁ a₂ : β
h : a₁ ∣ f b ∧ a₂ ∣ f c ∧ f a = a₁ * a₂

⊢ a₁ ∣ f b ∧ a₂ ∣ f c ∧ ↑f a = a₁ * a₂
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t : Set α
a b c : α
inst✝ : Subsingleton α
s : Set α

⊢ s.Intersecting ↔ s = ∅
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t : Set α
a b c : α
inst✝ : Subsingleton α
s : Set α
h : ¬s = ∅

⊢ ⊥ ∈ s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Intersecting.lean
α : Type u_1
inst✝² : SemilatticeInf α
inst✝¹ : OrderBot α
s✝ t : Set α
a b c : α
inst✝ : Subsingleton α
s : Set α

⊢ s = ∅ → s ≠ {⊥}
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
a : α
m n : ℕ
inst✝ : Subsingleton αˣ
c d : α
hcd : a = a * c * d

⊢ a = a * c
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Divisibility.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
a : α
m n : ℕ
inst✝ : Subsingleton αˣ
c d : α
hcd : c = 1 ∧ d = 1 ∨ a = 0

⊢ a = a * c
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n ≠ 0

⊢ a ^ n ≤ 1 ↔ a ≤ 1
-- Mathlib/Data/Multiset/Antidiagonal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α

⊢ x ∈ antidiagonal ⟦l⟧ ↔ x.1 + x.2 = ⟦l⟧
-- Mathlib/Data/Multiset/Antidiagonal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α

⊢ x ∈ ↑(powersetAux l).revzip ↔ x.1 + x.2 = ↑l
-- Mathlib/Data/Multiset/Antidiagonal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α
h : x.1 + x.2 = ↑l

⊢ x ∈ ↑(powersetAux l).revzip
-- Mathlib/Data/Multiset/Antidiagonal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α
h : x.1 + x.2 = ↑l
this : DecidableEq α

⊢ x ∈ ↑(powersetAux l).revzip
-- Mathlib/Data/Multiset/Antidiagonal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
x : Multiset α × Multiset α
l : List α
h : x.1 + x.2 = ↑l
this : DecidableEq α

⊢ ∃ a ≤ x.1 + x.2, (a, x.1 + x.2 - a) = x
-- Mathlib/Data/Multiset/Antidiagonal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
l : List α
this : DecidableEq α
x₁ x₂ : Multiset α
h : (x₁, x₂).1 + (x₁, x₂).2 = ↑l

⊢ ∃ a ≤ (x₁, x₂).1 + (x₁, x₂).2, (a, (x₁, x₂).1 + (x₁, x₂).2 - a) = (x₁, x₂)
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α

⊢ (initsCore [s.head] s.tail).tail = initsCore [s.head, s.tail.head] s.tail.tail
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α

⊢ ([s.head] :: initsCore ([s.head] ++ [s.tail.head]) s.tail.tail).tail = initsCore [s.head, s.tail.head] s.tail.tail
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i' : ZMod 2
x' : ↥(evenOdd Q i')

⊢ ∀ (m : M), (GradedAlgebra.ι Q) m * (GradedAlgebra.ι Q) m = (algebraMap R (⨁ (i : ZMod 2), ↥(evenOdd Q i))) (Q m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i' : ZMod 2
x' : CliffordAlgebra Q
hx' : x' ∈ evenOdd Q i'

⊢ ((lift Q) ⟨GradedAlgebra.ι Q, ⋯⟩) ↑⟨x', hx'⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(evenOdd Q i)) i') ⟨x', hx'⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Grading.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
i' : ZMod 2
x' : CliffordAlgebra Q
hx' : x' ∈ evenOdd Q i'

⊢ ((lift Q) ⟨GradedAlgebra.ι Q, ⋯⟩) x' = (DirectSum.of (fun i => ↥(evenOdd Q i)) i') ⟨x', hx'⟩
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α

⊢ (modifyNth f n l).get? n = f <$> l.get? n
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : ∀ a ∉ s, f a = x

⊢ Tendsto f (l ⊓ 𝓟 s) (𝓝 x) ↔ Tendsto f l (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : ∀ a ∉ s, f a = x

⊢ l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x) ↔ l ≤ comap f (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)

⊢ l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x) ↔ l ≤ comap f (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)
h' : l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x)

⊢ l ≤ comap f (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)
h' : l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x)
this : l ⊓ 𝓟 s ⊔ 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)

⊢ l ≤ comap f (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
f : α → X
l : Filter α
s : Set α
h : 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)
h' : l ⊓ 𝓟 s ≤ comap f (𝓝 x)
this : l ≤ comap f (𝓝 x) ∧ 𝓟 sᶜ ≤ comap f (𝓝 x)

⊢ l ≤ comap f (𝓝 x)
-- Mathlib/Combinatorics/Configuration.lean
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : ProjectivePlane P L
inst✝¹ : Finite P
inst✝ : Finite L
l m : L

⊢ pointCount P l = pointCount P m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Subspace.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
W : Subspace K V

⊢ span S ⊔ W = span (S ∪ ↑W)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
x : R

⊢ x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s) ↔ x ∈ closure s
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)

⊢ x ∈ closure s
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : Subsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}

⊢ x ∈ (fun h => ↑H) J
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : Subsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}
y : R
hy : y ∈ ↑(Submonoid.closure ↑(AddSubmonoid.closure s))

⊢ y ∈ ↑H.toAddSubmonoid
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonAssocSemiring R
M : Submonoid R
inst✝¹ : NonAssocSemiring S
inst✝ : NonAssocSemiring T
s : Set R
x : R
hx : x ∈ closure ↑(AddSubmonoid.closure s)
H : Subsemiring R
J : H ∈ {S | s ⊆ ↑S}
y : R
hy : y ∈ ↑(Submonoid.closure ↑(AddSubmonoid.closure s))
z : R
hz : z ∈ ↑(AddSubmonoid.closure s)

⊢ z ∈ ↑H.toSubmonoid
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ

⊢ 0 + ↑n = ofNat n
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n✝ : ℤ
n : ℕ

⊢ ↑n = ofNat n
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)

⊢ s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃

⊢ s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
hs : Set.range t.points = Set.range t₀.points

⊢ s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedGT α
H_pred : (a : α) → ¬IsMin a → C a → C (pred a)
H_lim : (a : α) → IsPredLimit a → ((b : α) → b > a → C b) → C a
ha : IsPredLimit a

⊢ PredOrder.limitRecOn a H_pred H_lim = H_lim a ha fun x x_1 => PredOrder.limitRecOn x H_pred H_lim
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
inst✝ : WellFoundedGT α
H_pred : (a : α) → ¬IsMin a → C a → C (pred a)
H_lim : (a : α) → IsPredLimit a → ((b : α) → b > a → C b) → C a
ha : IsPredLimit a

⊢ (H_lim a ha fun y x => ⋯.fix (fun a IH => if h : IsPredLimit a then H_lim a h IH else let x := Classical.indefiniteDescription (fun x => ¬IsMin x ∧ pred x = a) ⋯; ⋯ ▸ H_pred ↑x ⋯ (IH ↑x ⋯)) y) = H_lim a ha fun x x_1 => PredOrder.limitRecOn x H_pred H_lim
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hy : y ∈ s

⊢ edist x y ≤ infEdist x s + diam s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hy : y ∈ s

⊢ edist x y ≤ ⨅ i ∈ s, edist x i + diam s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hy : y ∈ s
i : α
hi : i ∈ s

⊢ edist x y ≤ edist x i + diam s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Dilation.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
F✝ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁶ : PseudoEMetricSpace α✝
inst✝⁵ : PseudoEMetricSpace β✝
inst✝⁴ : FunLike F✝ α✝ β✝
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
inst✝² : PseudoMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
x y : α

⊢ nndist (f x) (f y) = ratio f * nndist x y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Fin/Lemmas.lean
n : Nat

⊢ (list n).reverse = List.map rev (list n)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3

⊢ StrictMono ⇑toMultiset
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
f : X → Y → Z
x : X
y : Y
s : Set X
t : Set Y
u : Set Z
hf : Continuous (uncurry f)
hx : x ∈ closure s
hy : y ∈ closure t
h : ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, f a b ∈ u

⊢ (x, y) ∈ closure (s ×ˢ t)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Energy.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Finset α
P : Finpartition s
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj

⊢ 0 ≤ P.energy G