ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
N k n : ℕ
hn : n ∈ N.smoothNumbersUpTo k
hn₁ : n ≤ N
hn₂ : n ∈ k.smoothNumbers
s : Finset ℕ
hs : s ∈ k.primesBelow.powerset
m : ℕ
hm : n = m ^ 2 * s.prod id

⊢ m < N.sqrt.succ
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝ : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S

⊢ x ∈ L
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝ : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this : Algebra.IsSeparable (↥L) K

⊢ x ∈ L
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝ : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯

⊢ x ∈ L
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul

⊢ x ∈ L
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝ : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower (↥S) (↥L) K

⊢ x ∈ L
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝¹ : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this✝ : IsScalarTower (↥S) (↥L) K
this : Algebra.IsAlgebraic F K

⊢ x ∈ L
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝² : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this✝¹ : IsScalarTower (↥S) (↥L) K
this✝ : Algebra.IsAlgebraic F K
this : IsPurelyInseparable (↥S) K

⊢ x ∈ L
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
x : K
x✝² : x ∈ ⊤
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝³ : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝¹ : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this✝² : IsScalarTower (↥S) (↥L) K
this✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F K
this✝ : IsPurelyInseparable (↥S) K
this : IsPurelyInseparable (↥L) K

⊢ x ∈ L
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁸ : Field F
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Algebra F K
inst✝³ : Algebra E K
inst✝² : IsScalarTower F E K
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable E K
S : IntermediateField F K := separableClosure F K
L : IntermediateField E K := adjoin E ↑S
this✝³ : Algebra.IsSeparable (↥L) K
i : ↥S →+* ↥L := Subsemiring.inclusion ⋯
x✝² : Algebra ↥S ↥L := i.toAlgebra
x✝¹ : SMul ↥S ↥L := Algebra.toSMul
this✝² : IsScalarTower (↥S) (↥L) K
this✝¹ : Algebra.IsAlgebraic F K
this✝ : IsPurelyInseparable (↥S) K
this : IsPurelyInseparable (↥L) K
y : ↥L
x✝ : (algebraMap (↥L) K) y ∈ ⊤

⊢ (algebraMap (↥L) K) y ∈ L
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
size✝ sz : ℕ
l' : Ordnode α
y : α
r' : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

⊢ (node size✝ (node sz l' y r') x r).eraseMin.dual = (node size✝ (node sz l' y r') x r).dual.eraseMax
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
v : Set τ
hv : v ∈ f

⊢ ω f ϕ s = ⋂ u, closure (image2 ϕ (↑u ∩ v) s)
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
v : Set τ
hv : v ∈ f

⊢ ⋂ u ∈ f, closure (image2 ϕ (u ∩ v) s) = ⋂ u, closure (image2 ϕ (↑u ∩ v) s)
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → Set (Set Ω)
s' : Set (Set Ω)
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
u : Set ι
t1 t2 : Set Ω
ht1 : t1 ∈ ⋂ n ∈ u, s n
ht2 : t2 ∈ s'
n : ι
hn : n ∈ u
h : IndepSets (s n) s' κ μ

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Set X

⊢ setOfIdeal (idealOfSet 𝕜 s) = interior s
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Set X
x : X
hx : x ∈ interior s

⊢ x ∈ setOfIdeal (idealOfSet 𝕜 s)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Set X
x : X
hx : x ∈ (closure sᶜ)ᶜ

⊢ x ∈ setOfIdeal (idealOfSet 𝕜 s)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Set X
x : X
hx : x ∈ (closure sᶜ)ᶜ

⊢ ∃ f, (∀ ⦃x : X⦄, x ∈ sᶜ → f x = 0) ∧ f x ≠ 0
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
s : Set X
x : X
hx : x ∈ (closure sᶜ)ᶜ
g : C(X, ℝ)
hgs : Set.EqOn (⇑g) 0 (closure sᶜ)
hgx : Set.EqOn (⇑g) 1 {x}

⊢ ∃ f, (∀ ⦃x : X⦄, x ∈ sᶜ → f x = 0) ∧ f x ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : ¬r = 0

⊢ (C r).support.gcd (C r).coeff = normalize r
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
h0 : ¬r = 0
h : (C r).support = {0}

⊢ (C r).support.gcd (C r).coeff = normalize r
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
x : α
hx : x ∉ s
this : ↑⟨x, ⋯⟩ ∈ sᶜ

⊢ (Trans.trans (Trans.trans (Set.union ⋯).symm (Set.ofEq ⋯)) (Set.univ α)).symm x = Sum.inr ⟨x, hx⟩
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
f✝ g : α → β
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : α → β
a b : α

⊢ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ι a b)) ↔ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ioc a b)) ∧ AEStronglyMeasurable f (μ.restrict (Ioc b a))
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ : P

⊢ dist p₂ (midpoint 𝕜 p₁ p₂) = ‖2‖⁻¹ * dist p₁ p₂
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ z₁ z₂ : ℝ≥0
hw' : w₁ + w₂ = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

⊢ (w₁ * z₁ + w₂ * z₂) ^ p ≤ w₁ * z₁ ^ p + w₂ * z₂ ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ z₁ z₂ : ℝ≥0
hw' : w₁ + w₂ = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
h : (∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![w₁, w₂] i * ![z₁, z₂] i) ^ p ≤ ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![w₁, w₂] i * ![z₁, z₂] i ^ p

⊢ (w₁ * z₁ + w₂ * z₂) ^ p ≤ w₁ * z₁ ^ p + w₂ * z₂ ^ p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
ι : Type u
s : Finset ι
w₁ w₂ z₁ z₂ : ℝ≥0
hw' : w₁ + w₂ = 1
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

⊢ ∑ i : Fin (Nat.succ 0).succ, ![w₁, w₂] i = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
h₁ : m.IsCaratheodory s₁
h₂ : m.IsCaratheodory s₂
t : Set α

⊢ m t = m (t ∩ (s₁ ∪ s₂)) + m (t \ (s₁ ∪ s₂))
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u
m : OuterMeasure α
s s₁ s₂ : Set α
h₁ : m.IsCaratheodory s₁
h₂ : m.IsCaratheodory s₂
t : Set α

⊢ m (t ∩ s₁ ∩ s₂) + m ((t ∩ s₁) \ s₂) + (m (t \ s₁ ∩ s₂) + m ((t \ s₁) \ s₂)) = m (t ∩ s₁ ∩ s₂) + m ((t ∩ s₁) \ s₂) + m (t ∩ (s₂ \ s₁)) + m (t \ (s₁ ∪ s₂))
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

⊢ toIocMod hp (m • p + a) b = m • p + toIocMod hp a b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q✝ : R[X]
x : A
p q : R[X]
hpq : p.comp q = X
hqp : q.comp p = X

⊢ R[X] ≃ₐ[R] R[X]
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n : ℕ
a₁ b₁ : ℝ
m : ℕ
en : n + 1 = m
h : |rexp 1 - expNear m 1 ((a₁ - 1) * ↑m)| ≤ |1| ^ m / ↑m.factorial * (b₁ * ↑m)

⊢ |rexp 1 - expNear n 1 a₁| ≤ |1| ^ n / ↑n.factorial * b₁
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n : ℕ
a₁ b₁ : ℝ
m : ℕ
en : n + 1 = m
h : |rexp 1 - expNear m 1 ((a₁ - 1) * ↑m)| ≤ |1| ^ m / ↑m.factorial * (b₁ * ↑m)

⊢ |1 + 1 / ↑m * ((a₁ - 1) * ↑m) - a₁| ≤ b₁ - |1| / ↑m * (b₁ * ↑m)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hxy : x ≠ y

⊢ {x, y}.einfsep ≤ edist y x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s t : Set α
hxy : x ≠ y

⊢ {y, x}.einfsep ≤ edist y x
-- Mathlib/Data/Finset/PImage.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq β
f g : α →. β
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (f x).Dom
inst✝ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
s t : Finset α
b x : β

⊢ x ∈ pimage f s ↔ x ∈ image (fun x => (f ↑x).get ⋯) (filter (fun x => (f x).Dom) s).attach
-- Mathlib/Data/Finset/PImage.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq β
f g : α →. β
inst✝¹ : (x : α) → Decidable (f x).Dom
inst✝ : (x : α) → Decidable (g x).Dom
s t : Finset α
b x : β

⊢ (∃ a ∈ s, ∃ (h : (f a).Dom), (f a).get h = x) ↔ ∃ a, ∃ (hp : a ∈ s) (hq : (f a).Dom), (f a).get ⋯ = x
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
q : ℕ
x y : R
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)

⊢ (x - y) ^ q = x ^ q - y ^ q
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I J X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝

⊢ ∃ I J, M.Basis I X ∧ M.Basis (I ∪ J) Y ∧ Disjoint X J
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
I I' : Set α
hI : M.Basis I X
hI' : M.Basis I' Y
hII' : I ⊆ I'

⊢ ∃ I J, M.Basis I X ∧ M.Basis (I ∪ J) Y ∧ Disjoint X J
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
I I' : Set α
hI : M.Basis I X
hI' : M.Basis I' Y
hII' : I ⊆ I'

⊢ Disjoint X (I' \ I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
I I' : Set α
hI : M.Basis I X
hI' : M.Basis I' Y
hII' : I ⊆ I'

⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ X → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ I' \ I → a ≠ b
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B I✝ J X✝ Y✝ : Set α
e✝ : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
hY : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
I I' : Set α
hI : M.Basis I X
hI' : M.Basis I' Y
hII' : I ⊆ I'
e : α
heX : e ∈ X
heI' : e ∈ I'
heI : e ∉ I

⊢ False
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
inst✝ : Nonempty β
x : (b : β) → π b
r : ℝ
hr : r < 0

⊢ closedBall x r = Set.univ.pi fun b => closedBall (x b) r
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
h : Pairwise fun x y => T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0

⊢ setToSimpleFunc T (map Prod.fst (f.pair g)) = setToSimpleFunc T (map Prod.snd (f.pair g))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
h : Pairwise fun x y => T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ

⊢ setToSimpleFunc T (map Prod.fst (f.pair g)) = setToSimpleFunc T (map Prod.snd (f.pair g))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
h : Pairwise fun x y => T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ

⊢ ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.1 = setToSimpleFunc T (map Prod.snd (f.pair g))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
h : Pairwise fun x y => T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ

⊢ ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.1 = ∑ x ∈ (f.pair g).range, (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {x})) x.2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
h : Pairwise fun x y => T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ
p : E × E
hp : p ∈ (f.pair g).range

⊢ (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {p})) p.1 = (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {p})) p.2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
hg : Integrable (↑g) μ
h : Pairwise fun x y => T (↑f ⁻¹' {x} ∩ ↑g ⁻¹' {y}) = 0
h_pair : Integrable (↑(f.pair g)) μ
a : α
hp : ↑(f.pair g) a ∈ (f.pair g).range

⊢ (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {↑(f.pair g) a})) (↑(f.pair g) a).1 = (T (↑(f.pair g) ⁻¹' {↑(f.pair g) a})) (↑(f.pair g) a).2
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₂ : ι → P
p₁ : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 1

⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ -ᵥ p₂ i) = p₁ -ᵥ (affineCombination k s p₂) w
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]

⊢ a * c ≡ b * c [ZMOD n * c]
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R✝ : Type u
M : Type v
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R✝ M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝⁷ : StrongRankCondition R✝
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : IsDomain S
inst✝² : Algebra R S
n : Type u_3
m : Type u_4
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
b : Basis n R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
c : Basis m R ↥I

⊢ Fintype.card m = Fintype.card n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R✝ : Type u
M : Type v
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R✝ M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝⁷ : StrongRankCondition R✝
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : IsDomain S
inst✝² : Algebra R S
n : Type u_3
m : Type u_4
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
b : Basis n R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
c : Basis m R ↥I
a : ↥I
ha : a ≠ 0

⊢ Fintype.card m = Fintype.card n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R✝ : Type u
M : Type v
inst✝¹⁰ : Ring R✝
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R✝ M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝⁷ : StrongRankCondition R✝
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : IsDomain S
inst✝² : Algebra R S
n : Type u_3
m : Type u_4
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype m
b : Basis n R S
I : Ideal S
hI : I ≠ ⊥
c : Basis m R ↥I
a : ↥I
ha : a ≠ 0
this : LinearIndependent R fun i => b i • a

⊢ Fintype.card m = Fintype.card n
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

⊢ s ∩ t = 0 ↔ s.Disjoint t
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

⊢ s ∩ t ⊆ 0 ↔ s.Disjoint t
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasHomology

⊢ leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ = h₁.homologyIso.inv ≫ h₂.homologyIso.hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasHomology

⊢ leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ S.homologyData.left ≫ S.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right h₂ = h₁.homologyIso.inv ≫ h₂.homologyIso.hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasHomology

⊢ leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ S.homologyData.left ≫ S.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right h₂ = (leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ S.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S) S.leftHomologyData S.homologyData.left) ≫ (S.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right S.rightHomologyData) ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.rightHomologyData h₂
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α

⊢ (τ * σ * τ⁻¹).cycleType = σ.cycleType
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U

⊢ ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y), F'.map f_1 ≫ (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) Y = (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) X ≫ G.toPresheaf.map f_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U
this : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), f.app Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (f.app X x)

⊢ ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y), F'.map f_1 ≫ (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) Y = (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) X ≫ G.toPresheaf.map f_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U
this : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), f.app Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (f.app X x)
X✝ Y✝ : Cᵒᵖ
f✝ : X✝ ⟶ Y✝

⊢ F'.map f✝ ≫ (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) Y✝ = (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) X✝ ≫ G.toPresheaf.map f✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U
this : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), f.app Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (f.app X x)
X✝ Y✝ : Cᵒᵖ
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
x : F'.obj X✝

⊢ ↑((F'.map f✝ ≫ (fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) Y✝) x) = ↑(((fun U x => ⟨f.app U x, ⋯⟩) X✝ ≫ G.toPresheaf.map f✝) x)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
hf : ∀ (U : Cᵒᵖ) (x : F'.obj U), f.app U x ∈ G.obj U
this : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), f.app Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (f.app X x)
X✝ Y✝ : Cᵒᵖ
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
x : F'.obj X✝

⊢ f.app Y✝ (F'.map f✝ x) = ↑(G.toPresheaf.map f✝ ⟨f.app X✝ x, ⋯⟩)
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : x.orderTop < y.orderTop

⊢ (x + y).leadingCoeff = x.leadingCoeff