ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
h : a :: l₁ ~ l₂

⊢ a ∈ l₂ ∧ l₁ ~ l₂.erase a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
h : a :: l₁ ~ l₂
this : a ∈ l₂

⊢ a ∈ l₂ ∧ l₁ ~ l₂.erase a
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v m n✝ n : ℤ

⊢ ¬2 ∣ 2 * n + 1
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
a b : α

⊢ 0 ∪ s = s
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Free.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

⊢ Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inl))) (span R (range (u ∘ Sum.inr)))
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Free.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

⊢ Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inr))) (span R (range (⇑S.f ∘ v)))
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Free.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

⊢ Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inr))) (span R (range ⇑S.f))
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Free.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)
hS : S.Exact
hS' : S.ShortExact
v : ι → ↑S.X₁
hv : LinearIndependent R v
u : ι ⊕ ι' → ↑S.X₂
hw : LinearIndependent R (⇑S.g ∘ u ∘ Sum.inr)
hm : Mono S.f
huv : u ∘ Sum.inl = ⇑S.f ∘ v

⊢ Disjoint (span R (range (u ∘ Sum.inr))) (LinearMap.ker S.g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p1 : P
hp1 : p1 ∈ s
p2 p : P

⊢ p ∈ affineSpan k (insert p2 ↑s) ↔ ∃ r, ∃ p0 ∈ s, p = r • (p2 -ᵥ p1) +ᵥ p0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s
p2 p : P

⊢ p ∈ affineSpan k (insert p2 ↑s) ↔ ∃ r, ∃ p0 ∈ s, p = r • (p2 -ᵥ p1) +ᵥ p0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p1 : P
hp1 : p1 ∈ ↑s
p2 p : P

⊢ (∃ y ∈ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1}, ∃ z ∈ s.direction, y + z = p -ᵥ p1) ↔ ∃ r, ∃ p0 ∈ s, p = r • (p2 -ᵥ p1) +ᵥ p0
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
a : α
b : β
l : List (α × β)

⊢ ((a, b) :: l).unzip.1.zip ((a, b) :: l).unzip.2 = (a, b) :: l
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z✝ : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
y' : E
hy' : y' ∈ s

⊢ (fun x => z + x) (a • x + b • y') = a • (z + x) + b • (fun x => z + x) y'
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]

⊢ f.reverse.leadingCoeff = f.trailingCoeff
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat

⊢ StructureSheaf.toStalk (↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))) ((toSpec 𝒜 f).val.base x) ≫ LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (toSpec 𝒜 f) x = awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat

⊢ StructureSheaf.toOpen ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f)) ⊤ ≫ (Spec.structureSheaf ↑(CommRingCat.of (A⁰_ f))).presheaf.germ ⟨(toSpec 𝒜 f).val.base x, True.intro⟩ ≫ LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (toSpec 𝒜 f) x = awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat

⊢ StructureSheaf.toOpen (A⁰_ f) ⊤ ≫ (Spec.structureSheaf (A⁰_ f)).presheaf.germ ⟨(toSpec 𝒜 f).val.base x, True.intro⟩ ≫ LocallyRingedSpace.Hom.stalkMap (toSpec 𝒜 f) x = awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat

⊢ StructureSheaf.toOpen (A⁰_ f) ⊤ ≫ (toSpec 𝒜 f).val.c.app (op ⊤) ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.germ ⟨x, True.intro⟩ = awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Scheme.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↑(Proj.restrict ⋯).toTopCat

⊢ awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.germ ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) ⟨x, True.intro⟩) = awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).presheaf.Γgerm x
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : 0 < b

⊢ b < a * b ↔ 1 < a
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : LinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
hf : SuperpolynomialDecay l k f

⊢ SuperpolynomialDecay l k (k⁻¹ * f)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x : α
y : β

⊢ (x, y) ∈ s ×ˢ (t₁ ∪ t₂) ↔ (x, y) ∈ s ×ˢ t₁ ∪ s ×ˢ t₂
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ

⊢ sin (x + π / 2) = cos x
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Sort u_5
ι'✝ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ' : ι'✝ → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g✝ s✝ t : ι✝ → α
a b : α
ι : Type u_9
ι' : Type u_10
g : ι' → α
e : ι ≃ ι'
s : Set ι'

⊢ ⨆ i ∈ ⇑e.symm '' s, g (e i) = ⨆ i ∈ s, g i
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : OrderBot α
a : α

⊢ Ico ⊥ a = Iio a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/EraseIdx.lean
α : Type u
β : Type v
x : α
l : List α
k : Nat

⊢ x ∈ l.eraseIdx k ↔ ∃ i, i ≠ k ∧ l.get? i = some x
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c

⊢ Periodic f (2 • c)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K ↥E1

⊢ (E1 ⊔ E2).toSubalgebra = E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁶ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K ↥E1
this : (E2 ⊔ E1).toSubalgebra = E2.toSubalgebra ⊔ E1.toSubalgebra

⊢ (E1 ⊔ E2).toSubalgebra = E1.toSubalgebra ⊔ E2.toSubalgebra
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
p : α → Prop
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ 0

⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂c • μ, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
hst : s =ᶠ[ae μ] t

⊢ ∫ (x : X) in s, f x ∂μ = ∫ (x : X) in t, f x ∂μ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
hr : IsUnit r

⊢ p.scaleRoots r ∣ q.scaleRoots r ↔ p ∣ q
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/ScaleRoots.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p q : R[X]
r : R
hr : IsUnit r

⊢ (p.scaleRoots r).scaleRoots ↑hr.unit⁻¹ ∣ (q.scaleRoots r).scaleRoots ↑hr.unit⁻¹ → p ∣ q
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝⁸ : NormedField 𝕜₁
inst✝⁷ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜₂ F
inst✝¹ : UniformSpace F
inst✝ : UniformAddGroup F
𝔖 : Set (Set E)

⊢ instUniformSpace σ F 𝔖 = UniformSpace.comap DFunLike.coe (UniformOnFun.uniformSpace E F 𝔖)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable

⊢ f.closure.IsClosed
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/LinearPMap.lean
R : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module R E
inst✝⁷ : Module R F
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : ContinuousAdd E
inst✝³ : ContinuousAdd F
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : ContinuousSMul R E
inst✝ : ContinuousSMul R F
f : E →ₗ.[R] F
hf : f.IsClosable

⊢ _root_.IsClosed ↑f.graph.topologicalClosure
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
m : (i : ι) → E i
x y : G

⊢ (fun x => (f x) m) (x + y) = (fun x => (f x) m) x + (fun x => (f x) m) y
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
m : (i : ι) → E i
c : 𝕜
x : G

⊢ { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯ }.toFun (c • x) = (RingHom.id 𝕜) c • { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯ }.toFun x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
m : (i : ι) → E i
x : G

⊢ ‖{ toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x‖ ≤ (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
m : (i : ι) → E i
x : G

⊢ ‖{ toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹³ : Fintype ι
inst✝¹² : Fintype ι'
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁵ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → E i
i : ι
x y : E i
x✝ : G

⊢ ((fun m => { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯) (update m i (x + y))) x✝ = ((fun m => { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯) (update m i x) + (fun m => { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯) (update m i y)) x✝
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹³ : Fintype ι
inst✝¹² : Fintype ι'
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁵ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → E i
i : ι
c : 𝕜
x : E i
x✝ : G

⊢ ((fun m => { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯) (update m i (c • x))) x✝ = (c • (fun m => { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯) (update m i x)) x✝
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
m : (i : ι) → E i

⊢ ‖{ toFun := fun m => { toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } m‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : G →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G'
m : (i : ι) → E i

⊢ ‖{ toFun := fun x => (f x) m, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.mkContinuous (‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖) ⋯‖ ≤ ‖f‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
h : W.Equation x y
hΔ : Δ W ≠ 0

⊢ Δ (variableChange W { u := 1, r := x, s := 0, t := y }).toAffine ≠ 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/WalkCounting.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
inst✝¹ : DecidableEq V
inst✝ : G.LocallyFinite
u v : V
n : ℕ
p : G.Walk u v

⊢ p ∈ G.finsetWalkLength n u v ↔ p ∈ {p | p.length = n}
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b✝ c u a : αˣ
b : α

⊢ ↑a⁻¹ * (↑a * b) = b
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
p : R[X]
hp : p ∈ degreeLT R n

⊢ (degreeLTEquiv R n) ⟨p, hp⟩ = 0 ↔ p = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R⟦X⟧
n d : ℕ

⊢ (coeff R (d + n)) (X ^ n * p) = (coeff R d) p
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R⟦X⟧
n d : ℕ

⊢ ∀ b ∈ antidiagonal (d + n), b ≠ (n, d) → (coeff R b.1) (X ^ n) * (coeff R b.2) p = 0
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p : R⟦X⟧
n d : ℕ

⊢ (n, d) ∉ antidiagonal (d + n) → (coeff R (n, d).1) (X ^ n) * (coeff R (n, d).2) p = 0
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R

⊢ ⊥.jacobson ≤ sInf (map C '' {J | J.IsMaximal})
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J

⊢ ⊥.jacobson ≤ J
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal

⊢ ⊥.jacobson ≤ J
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal

⊢ J.jacobson = J
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal

⊢ ⊥.jacobson = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
f : (R ⧸ j)[X]
hf : f ∈ ⊥.jacobson

⊢ f ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
f : (R ⧸ j)[X]
hf : f ∈ ⊥.jacobson
r1 : X ≠ 0

⊢ f ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
f : (R ⧸ j)[X]
hf : f ∈ ⊥.jacobson
r1 : X ≠ 0
r2 : f * X + 1 = C ((f * X + 1).coeff 0)

⊢ f ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
f : (R ⧸ j)[X]
hf : f ∈ ⊥.jacobson
r1 : X ≠ 0
r2 : f * X + 1 = C 1

⊢ f ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝ : CommRing R
J : Ideal R[X]
j : Ideal R
hj : j ∈ {J | J.IsMaximal} ∧ map C j = J
this : j.IsMaximal
f : (R ⧸ j)[X]
hf : f ∈ ⊥.jacobson
r1 : X ≠ 0
r2 : f * X = 0

⊢ f ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Localization/InvSubmonoid.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
x : S

⊢ x ∈ invSubmonoid M S ↔ ∃ m, mk' S 1 m = x
-- Mathlib/RingTheory/Localization/InvSubmonoid.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
x : S

⊢ x ∈ invSubmonoid M S ↔ ∃ m, ↑((toInvSubmonoid M S) m) = x
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Cast.lean
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
p : Path u v

⊢ HEq (cast hu hv p) p
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Cast.lean
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
p : Path u v

⊢ HEq (_root_.cast ⋯ p) p
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Basic.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} D
P : MorphismProperty C
inst✝¹ : P.RespectsIso
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence

⊢ (P.map F).inverseImage F = P
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ φ₁ φ₂ φ₃ : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ

⊢ (coeff R n) (φ₁ * φ₂ * φ₃) = (coeff R n) (φ₁ * (φ₂ * φ₃))
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean

⊢ WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Iio ↑⊤ = univ
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean

⊢ WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Iio ↑⊤) = univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/OneDim.lean
x y : ℝ
hxy : x < y

⊢ Icc x y ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt y
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/OneDim.lean
x y : ℝ
hxy : x < y

⊢ Metric.closedBall ((x + y) / 2) ((y - x) / 2) ∈ (vitaliFamily volume 1).setsAt y
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/OneDim.lean
x y : ℝ
hxy : x < y

⊢ dist y ((x + y) / 2) ≤ 1 * ((y - x) / 2)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support

⊢ comapDomain f l ⋯ = 0 → l = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support

⊢ { support := l.support.preimage f ⋯, toFun := fun a => l (f a), mem_support_toFun := ⋯ }.support = ∅ → l.support = ∅
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support

⊢ (∀ (a : α), f a ∉ l.support) → ∀ (a : β), a ∉ l.support
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
l : β →₀ M
hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑l.support) ↑l.support
h : ∀ (a : α), f a ∉ l.support
a : β
ha : a ∈ l.support

⊢ False