ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
I : Finset ι
hI : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (support fun i => (ρ i) x) ⊆ ↑I
x : X
hx : (support fun i => (ρ i) x) ⊆ ↑I
x_in : x ∈ s

⊢ ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1
-- Mathlib/Topology/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
I : Finset ι
hI : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (support fun i => (ρ i) x) ⊆ ↑I
x : X
hx : (support fun i => (ρ i) x) ⊆ ↑I
x_in : x ∈ s
this : ∑ᶠ (i : ι), (ρ i) x = ∑ i ∈ I, (ρ i) x

⊢ ∑ i ∈ I, (ρ i) x = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
b : Basis ι R M
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : _root_.Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
bM : Basis m R M
bN : Basis n R N
j : m
i i' : n
j' : m

⊢ (toMatrix bM bN) ((dualTensorHom R M N) (bM.coord j ⊗ₜ[R] bN i)) i' j' = stdBasisMatrix i j 1 i' j'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
b : Basis ι R M
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : _root_.Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
bM : Basis m R M
bN : Basis n R N
j : m
i i' : n
j' : m
hij : ¬(i = i' ∧ j = j')

⊢ Pi.single i (Pi.single j' 1 j) i' = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
b : Basis ι R M
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : _root_.Finite n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : DecidableEq n
bM : Basis m R M
bN : Basis n R N
j : m
i i' : n
j' : m
hij : ¬i = i' ∨ ¬j = j'

⊢ Pi.single i (Pi.single j' 1 j) i' = 0
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter γ
p : α × γ × γ → Prop
h : ∀ᶠ (x : α × γ × γ) in f ×ˢ g ×ˢ g, p x

⊢ ∀ᶠ (x : α × γ) in f ×ˢ g, p (x.1, x.2, x.2)
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t✝ : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter γ
p : α × γ × γ → Prop
h : ∀ᶠ (x : α × γ × γ) in f ×ˢ g ×ˢ g, p x
t : α → Prop
ht : ∀ᶠ (x : α) in f, t x
s : γ × γ → Prop
hs : ∀ᶠ (y : γ × γ) in g ×ˢ g, s y
hst : ∀ {x : α}, t x → ∀ {y : γ × γ}, s y → p (x, y)

⊢ ∀ᶠ (x : α × γ) in f ×ˢ g, p (x.1, x.2, x.2)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
B : Matrix p m R

⊢ B * (A * Aᴴ) = 0 ↔ B * A = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
k : ℕ
hx : 0 < x

⊢ logb b (x ^ k) = ↑k * logb b x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β

⊢ StronglyMeasurable f ↔ Measurable f ∧ IsSeparable (range f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
x✝ : Measurable f ∧ IsSeparable (range f)
Hm : Measurable f
Hsep : IsSeparable (range f)

⊢ StronglyMeasurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
x✝ : Measurable f ∧ IsSeparable (range f)
Hm : Measurable f
Hsep : IsSeparable (range f)
this : SecondCountableTopology ↑(range f)

⊢ StronglyMeasurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f g : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
x✝ : Measurable f ∧ IsSeparable (range f)
Hm : Measurable f
Hsep : IsSeparable (range f)
this : SecondCountableTopology ↑(range f)
Hm' : StronglyMeasurable (rangeFactorization f)

⊢ StronglyMeasurable f
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s

⊢ IsUpperSet (s * t)
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s

⊢ IsUpperSet (t * s)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : WalkingParallelPair ⥤ TopCat
U : Set ↑(colimit F)

⊢ IsOpen U ↔ IsOpen (⇑(colimit.ι F WalkingParallelPair.one) ⁻¹' U)
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : WalkingParallelPair ⥤ TopCat
U : Set ↑(colimit F)

⊢ (∀ (j : WalkingParallelPair), IsOpen (⇑(colimit.ι F j) ⁻¹' U)) ↔ IsOpen (⇑(colimit.ι F WalkingParallelPair.one) ⁻¹' U)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝ : Unique α
b' : M

⊢ single a b = single a' b' ↔ b = b'
-- Mathlib/Data/Complex/Order.lean
x y : ℝ
hxy : x ≤ y

⊢ ↑x ≤ ↑y
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d

⊢ a • c < b • d
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d

⊢ a • d < b • d
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d

⊢ ¬b • d ≤ a • d
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
hbad : b • d ≤ a • d

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a < b
h₂ : c ≤ d
hbad : b • d ≤ a • d
h : b ≤ a

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : Preorder G
inst✝² : Preorder P
inst✝¹ : SMul G P
inst✝ : IsOrderedCancelSMul G P
a b : G
c d : P
h₁ : a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
h₂ : c ≤ d
hbad : b • d ≤ a • d
h : b ≤ a

⊢ False
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

⊢ sublistsLen 1 [] = map (fun x => [x]) [].reverse
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
a : α
s : List α
ih : sublistsLen 1 s = map (fun x => [x]) s.reverse

⊢ sublistsLen 1 (a :: s) = map (fun x => [x]) (a :: s).reverse
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
a : α
s : List α
ih : sublistsLen 1 s = map (fun x => [x]) s.reverse

⊢ map (fun x => [x]) s.reverse ++ map (cons a) [[]] = map (fun x => [x]) s.reverse ++ map (fun x => [x]) [a]
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
h : R ⊆ E

⊢ freeOn E ↾ R = freeOn R
-- Mathlib/Analysis/Convex/Body.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝ : NormedSpace ℝ V
K✝ L✝ K L : ConvexBody V

⊢ EMetric.hausdorffEdist ↑K ↑L ≠ ⊤
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n m l : ℕ

⊢ Ico n m ∩ Ico m l = []
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s✝ s s' : Set (Sym2 V)

⊢ (G'.deleteEdges s).deleteEdges s' = G'.deleteEdges (s ∪ s')
-- Mathlib/NumberTheory/Rayleigh.lean
r s : ℝ
hrs : r.IsConjExponent s

⊢ {x | ∃ k, beattySeq' r k = x}ᶜ = {x | ∃ k, beattySeq s k = x}
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h₁ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h₂ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝

⊢ x ≤ limsup u f ↔ ∀ y < x, ∃ᶠ (a : α) in f, y < u a
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
u : α → β
x : β
h₁ : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h₂ : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f u) _auto✝
h : ∀ y < x, ∃ᶠ (a : α) in f, y < u a

⊢ x ≤ limsup u f
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean

⊢ WithBot.some ∘ WithTop.some ⁻¹' Ioi ⊥ = univ
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean

⊢ WithTop.some ⁻¹' (WithBot.some ⁻¹' Ioi ⊥) = univ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
f : Perm α
x y : α

⊢ f * swap x y = swap (f x) (f y) * f
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M

⊢ LinearIndependent R v ↔ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), (∀ i ∉ s, g i = 0) → ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ (i : ι), g i = 0
-- Mathlib/Data/List/Enum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
i : ℕ
x : α
l : List α

⊢ (i, x) ∈ l.enum ↔ l.get? i = some x
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v

⊢ #↑{f | Surjective f} = 0 ↔ lift.{v, u} #α < lift.{u, v} #β' ∨ #α ≠ 0 ∧ #β' = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v

⊢ #↑{f | Surjective f} ≠ 0 ↔ (#α = 0 ∨ ¬#β' = 0) ∧ Nonempty (β' ↪ α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α

⊢ CompleteSpace α ↔ ∀ (l : Ultrafilter α), Cauchy ↑l → ∃ x, ↑l ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

⊢ hurwitzZeta (↑x) (1 - 2 * ↑k) = -1 / (2 * ↑k) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k)))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

⊢ hurwitzZetaOdd (↑x) (1 - 2 * ↑k) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
k : ℕ
hk : k.succ ≠ 0

⊢ hurwitzZetaOdd (↑x) (1 - 2 * ↑k.succ) = 0
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ u : Finset α
a b : α
r : ℕ
s t : Colex α

⊢ s < t ↔ ∃ (h : s ≠ t), (s.ofColex ∆ t.ofColex).max' ⋯ ∈ t.ofColex
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s✝ t✝ u : Finset α
a b : α
r : ℕ
s t : Colex α

⊢ (∀ (h : s ≠ t), (s.ofColex ∆ t.ofColex).max' ⋯ ∈ t.ofColex) ∧ s ≠ t ↔ ∃ (h : s ≠ t), (s.ofColex ∆ t.ofColex).max' ⋯ ∈ t.ofColex
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
z : ℝ

⊢ x.toReal ^ z = (x ^ z).toReal
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)

⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : f ≫ cokernel.π f = 0

⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : (factorThruImage f ≫ image.ι f) ≫ cokernel.π f = 0

⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)
w : image.ι f ≫ cokernel.π f = 0

⊢ image.ι f ≫ cokernel.π f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)

⊢ f ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝³ : HasImage f
inst✝² : HasCokernel (image.ι f)
inst✝¹ : HasCokernel f
inst✝ : Epi (factorThruImage f)

⊢ (factorThruImage f ≫ image.ι f) ≫ cokernel.π (image.ι f) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
s : Set α

⊢ (c • OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s = (OuterMeasure.ofFunction (c • m) ⋯) s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
s : Set α
this : Nonempty { t // s ⊆ ⋃ i, t i }

⊢ (c • OuterMeasure.ofFunction m m_empty) s = (OuterMeasure.ofFunction (c • m) ⋯) s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
s : Set α
this : Nonempty { t // s ⊆ ⋃ i, t i }

⊢ c * ⨅ x, ∑' (n : ℕ), m (↑x n) = ⨅ x, c * ∑' (i : ℕ), m (↑x i)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommSemigroup G
a b c d : G

⊢ a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Finset α
a b : α

⊢ {b}.preimage (fun x => a * x) ⋯ = {a⁻¹ * b}
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Integral.lean
𝕜 : Type u_1
M : Type u_2
α : Type u_3
G : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure G
f : G → E
g : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
hf' : ∀ (x : G), f (g * x) = -f x

⊢ ∫ (x : G), f x ∂μ = 0
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ

⊢ ∑ k ∈ range (n + 1), ↑((n + 1).choose k) • bernoulli k = (monomial n) (↑n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ

⊢ ∑ k ∈ range (n + 1 - 0), ∑ k_1 ∈ range (n + 1 - (0 + k)), ↑((n + 1).choose (0 + k + k_1)) • (monomial (0 + k)) (_root_.bernoulli (0 + k + k_1 - (0 + k)) * ↑((0 + k + k_1).choose (0 + k))) = (monomial n) (↑n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ

⊢ ∑ x ∈ range (n + 1), ∑ x_1 ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1).choose (x + x_1)) • (monomial x) (_root_.bernoulli x_1 * ↑((x + x_1).choose x)) = (monomial n) ↑n + (monomial n) 1
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ

⊢ ∑ x ∈ range (n + 1), ∑ x_1 ∈ range (n + 1 - x), (monomial x) (↑((n + 1).choose (x + x_1)) * ↑((x + x_1).choose x) * _root_.bernoulli x_1) = (monomial n) ↑n + (monomial n) 1
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ

⊢ ∑ x ∈ range (n + 1), ∑ x_1 ∈ range (n + 1 - x), (↑((n + 1 - x).choose x_1) * _root_.bernoulli x_1) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = (monomial n) ↑n + (monomial n) 1
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ

⊢ ∑ x ∈ range (n + 1), (∑ i ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1 - x).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = (monomial n) ↑n + (monomial n) 1
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ

⊢ (∑ i ∈ range (n + 1 - n), ↑((n + 1 - n).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial n) ↑((n + 1).choose n) + ∑ x ∈ range n, (∑ i ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1 - x).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = (monomial n) ↑n + (monomial n) 1
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ

⊢ ∑ x ∈ range n, (∑ i ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1 - x).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ

⊢ ∀ x ∈ range n, (∑ i ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1 - x).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
f : ∀ x ∈ range n, ¬n + 1 - x = 1

⊢ ∀ x ∈ range n, (∑ i ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1 - x).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
f : ∀ x ∈ range n, ¬n + 1 - x = 1
x : ℕ
hx : x ∈ range n

⊢ (∑ i ∈ range (n + 1 - x), ↑((n + 1 - x).choose i) * _root_.bernoulli i) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
f : ∀ x ∈ range n, ¬n + 1 - x = 1
x : ℕ
hx : x ∈ range n

⊢ (if n + 1 - x = 1 then 1 else 0) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/BernoulliPolynomials.lean
n : ℕ
f : ∀ x ∈ range n, ¬n + 1 - x = 1
x : ℕ
hx : x ∈ range n
g : (if n + 1 - x = 1 then 1 else 0) = 0

⊢ (if n + 1 - x = 1 then 1 else 0) • (monomial x) ↑((n + 1).choose x) = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

⊢ IsBoundedLinearMap 𝕜 fun x => x.1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x : E × F

⊢ ‖(LinearMap.fst 𝕜 E F) x‖ ≤ 1 * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
x : E × F

⊢ ‖(LinearMap.fst 𝕜 E F) x‖ ≤ ‖x‖
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
h : ∀ x ∈ s, f x ∈ t

⊢ (t.biUnion fun a => filter (fun c => f c = a) s) = s
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a b : ℝ
h : a < b

⊢ #↑(Ioo a b) = 𝔠
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a b : ℝ
h : a < b

⊢ 𝔠 ≤ #↑(Ioo a b)
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a b : ℝ
h : a < b
h1 : #↑((fun x => x - a) '' Ioo a b) ≤ #↑(Ioo a b)

⊢ 𝔠 ≤ #↑(Ioo a b)
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a b : ℝ
h : a < b
h1 : #↑((fun x => x - a) '' Ioo a b) ≤ #↑(Ioo a b)

⊢ 𝔠 ≤ #↑((fun x => x - a) '' Ioo a b)
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a b : ℝ
h : a < b
h1 : #↑((fun x => x - a) '' Ioo a b) ≤ #↑(Ioo a b)

⊢ 𝔠 ≤ #↑(Ioo 0 (b - a))
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a b : ℝ
h1 : #↑((fun x => x - a) '' Ioo a b) ≤ #↑(Ioo a b)
h : 0 < b - a

⊢ 𝔠 ≤ #↑(Ioo 0 (b - a))
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a b : ℝ
h1 : #↑((fun x => x - a) '' Ioo a b) ≤ #↑(Ioo a b)
h : 0 < b - a
h2 : #↑(Inv.inv '' Ioo 0 (b - a)) ≤ #↑(Ioo 0 (b - a))

⊢ 𝔠 ≤ #↑(Ioo 0 (b - a))
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
a b : ℝ
h1 : #↑((fun x => x - a) '' Ioo a b) ≤ #↑(Ioo a b)
h : 0 < b - a
h2 : #↑(Inv.inv '' Ioo 0 (b - a)) ≤ #↑(Ioo 0 (b - a))

⊢ 𝔠 ≤ #↑(Inv.inv '' Ioo 0 (b - a))
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Monoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

⊢ BijOn (fun x => x + d) (Ico a b) (Ico (a + d) (b + d))
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Monoid.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid M
inst✝ : ExistsAddOfLE M
a b c d : M

⊢ BijOn (fun x => x + d) (Ici a ∩ Iio b) (Ici (a + d) ∩ Iio (b + d))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E

⊢ ball 1 δ * s = thickening δ s
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0

⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, f x = 0
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this : LocallyCompactSpace H

⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, f x = 0
-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = 0
this✝ : LocallyCompactSpace H
this : LocallyCompactSpace M

⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, f x = 0