ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf₀ : ∀ {m : (i : ι) → E i} {i : ι}, ‖m i‖ = 0 → ‖f m‖ = 0
ε : ι → ℝ
C : ℝ
hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i
c : ι → 𝕜
hc : ∀ (i : ι), 1 < ‖c i‖
hf : ∀ (m : (i : ι) → E i), (∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖m i‖) → (∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε i) → ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
m : (i : ι) → E i
hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ ≠ 0
δ : ι → 𝕜
hδ0 : ∀ (i : ι), δ i ≠ 0
hδm_lt : ∀ (i : ι), ‖δ i • m i‖ < ε i
hle_δm : ∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖δ i • m i‖
a✝ : ∀ (i : ι), ‖δ i‖⁻¹ ≤ (ε i)⁻¹ * ‖c i‖ * ‖m i‖

⊢ ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f : MultilinearMap 𝕜 E G
hf₀ : ∀ {m : (i : ι) → E i} {i : ι}, ‖m i‖ = 0 → ‖f m‖ = 0
ε : ι → ℝ
C : ℝ
hε : ∀ (i : ι), 0 < ε i
c : ι → 𝕜
hc : ∀ (i : ι), 1 < ‖c i‖
hf : ∀ (m : (i : ι) → E i), (∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖m i‖) → (∀ (i : ι), ‖m i‖ < ε i) → ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
m : (i : ι) → E i
hm : ∀ (i : ι), ‖m i‖ ≠ 0
δ : ι → 𝕜
hδ0✝ : ∀ (i : ι), δ i ≠ 0
hδm_lt : ∀ (i : ι), ‖δ i • m i‖ < ε i
hle_δm : ∀ (i : ι), ε i / ‖c i‖ ≤ ‖δ i • m i‖
a✝ : ∀ (i : ι), ‖δ i‖⁻¹ ≤ (ε i)⁻¹ * ‖c i‖ * ‖m i‖
hδ0 : 0 < ∏ i : ι, ‖δ i‖

⊢ ‖f m‖ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
s t : Set α
x✝ : α × α
a : α
h : Disjoint s t
x : α × α

⊢ x ∈ (s ∪ t).offDiag ↔ x ∈ s.offDiag ∪ t.offDiag ∪ s ×ˢ t ∪ t ×ˢ s
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
s t : Set α
x✝ : α × α
a : α
h : Disjoint s t
x : α × α

⊢ (x.1 ∈ s ∨ x.1 ∈ t) ∧ (x.2 ∈ s ∨ x.2 ∈ t) ∧ ¬x.1 = x.2 ↔ ((x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ s ∧ ¬x.1 = x.2 ∨ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ t ∧ ¬x.1 = x.2) ∨ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t) ∨ x.1 ∈ t ∧ x.2 ∈ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x y : ℂ

⊢ ↑x.arg = ↑y.arg ↔ x.arg = y.arg
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α

⊢ Ioi a * Ici b ⊆ Ioi (a * b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
this : ∀ (M : Type ?u.11614) (N : Type ?u.11613) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ Ioi a * Ici b ⊆ Ioi (a * b)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
a b : α
this : ∀ (M : Type ?u.11614) (N : Type ?u.11613) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1
y : α
hya : y ∈ Ioi a
z : α
hzb : z ∈ Ici b

⊢ (fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ioi (a * b)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : ¬x = 0

⊢ 0 ≤ x.valuation
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : ¬x = 0
h : 1 < ↑p

⊢ 0 ≤ x.valuation
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : ¬x = 0
h : 1 < ↑p

⊢ ↑p ^ (-x.valuation) ≤ ↑p ^ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
hx : ¬x = 0
h : 1 < ↑p

⊢ ‖x‖ ≤ ↑p ^ 0
-- Mathlib/Algebra/Field/Subfield.lean
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subfield K
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K

⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
-- Mathlib/Algebra/Field/Subfield.lean
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subfield K
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K
s : Subfield K := let __spread.0 := (⨆ i, (S i).toSubring).copy (⋃ i, ↑(S i).toSubring) ⋯; { toSubring := __spread.0, inv_mem' := ⋯ }

⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
-- Mathlib/Algebra/Field/Subfield.lean
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
ι : Sort u_1
hι : Nonempty ι
S : ι → Subfield K
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : K
s : Subfield K := let __spread.0 := (⨆ i, (S i).toSubring).copy (⋃ i, ↑(S i).toSubring) ⋯; { toSubring := __spread.0, inv_mem' := ⋯ }
this : iSup S = s

⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i
-- Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Center.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
z : G

⊢ z ∈ center G ↔ ∀ (g : G), g * z = z * g
-- Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Center.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
z : G

⊢ z ∈ center G ↔ z ∈ Set.center G
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ZMod m
this : NeZero m

⊢ ¬Summable ({n | ↑n = k}.indicator fun n => 1 / ↑n)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ZMod m
this : NeZero m

⊢ ¬Summable fun n => {n | ↑n = k}.indicator (fun n => 1 / ↑n) (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ZMod m
this : NeZero m
h : ∀ (n : ℕ), {n | ↑n = k - 1}.indicator (fun n => 1 / ↑(n + 1)) n = if ↑n = k - 1 then 1 / (↑n + 1) else 0

⊢ ¬Summable fun n => {n | ↑n = k}.indicator (fun n => 1 / ↑n) (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ZMod m
this : NeZero m
h : ∀ (n : ℕ), {n | ↑n = k - 1}.indicator (fun n => 1 / ↑(n + 1)) n = if ↑n = k - 1 then 1 / (↑n + 1) else 0

⊢ ¬Summable fun n => {n | ↑n = k - 1}.indicator (fun n => 1 / ↑(n + 1)) n
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
m : ℕ
hm : m ≠ 0
k : ZMod m
this : NeZero m
h : ∀ (n : ℕ), {n | ↑n = k - 1}.indicator (fun n => 1 / ↑(n + 1)) n = if ↑n = k - 1 then 1 / (↑n + 1) else 0

⊢ ¬Summable fun n => 1 / ↑(n + 1)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ ∃ s ∈ S, ‖m + s‖ < ‖(mk' S) m‖ + ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : M
hn : (mk' S) n = (mk' S) m
hn' : ‖n‖ < ‖(mk' S) m‖ + ε

⊢ ∃ s ∈ S, ‖m + s‖ < ‖(mk' S) m‖ + ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : M
hn : -m + n ∈ S
hn' : ‖n‖ < ‖(mk' S) m‖ + ε

⊢ ∃ s ∈ S, ‖m + s‖ < ‖(mk' S) m‖ + ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
m : M
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : M
hn : -m + n ∈ S
hn' : ‖n‖ < ‖(mk' S) m‖ + ε

⊢ ‖m + (-m + n)‖ < ‖(mk' S) m‖ + ε
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Setoid α

⊢ s = ⊤ ↔ ∀ (x y : α), s.Rel x y
-- Mathlib/Data/Setoid/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Setoid α

⊢ (∀ {x y : α}, ⊤ x y → s.Rel x y) ↔ ∀ (x y : α), s.Rel x y
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
n : ℕ
h : c ≤ ↑n

⊢ ∃ m ≤ n, c = ↑m
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n c : ℕ
h : ↑c ≤ ↑n

⊢ ∃ m ≤ n, ↑c = ↑m
-- Mathlib/Algebra/Group/Prod.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : CommMonoid P
f✝ : M →* P
g : N →* P
f : M × N →* P
x : M × N

⊢ ((f.comp (inl M N)).coprod (f.comp (inr M N))) x = f x
-- Mathlib/GroupTheory/Submonoid/Inverses.lean
M : Type u_1
inst✝ : Group M
S : Submonoid M
x : ↥S.leftInv

⊢ ↑(S.fromLeftInv x) = (↑x)⁻¹
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : ℝ

⊢ dist x 0 = |x|
-- Mathlib/Data/PNat/Basic.lean
a b : ℕ+
hab : a < b

⊢ a ≤ b - 1
-- Mathlib/Data/PNat/Basic.lean
a b : ℕ+
hab : a < b

⊢ ↑a ≤ if 1 < b then ↑b - ↑1 else 1
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x

⊢ deriv ε x = -x⁻¹ / log x ^ 2
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
this : log x ≠ 0

⊢ deriv ε x = -x⁻¹ / log x ^ 2
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
this : log x ≠ 0

⊢ deriv (fun z => 1 / log z) x = -x⁻¹ / log x ^ 2
-- Mathlib/Dynamics/Newton.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
h' : IsUnit ((aeval x) (derivative P))

⊢ ∃! r, IsNilpotent (x - r) ∧ (aeval r) P = 0
-- Mathlib/Dynamics/Newton.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
h' : IsUnit ((aeval x) (derivative P))

⊢ ∃! r, IsNilpotent (r - x) ∧ (aeval r) P = 0
-- Mathlib/Dynamics/Newton.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
h' : IsUnit ((aeval x) (derivative P))

⊢ ∃ x_1, IsNilpotent (x_1 - x) ∧ (aeval x_1) P = 0
-- Mathlib/Dynamics/Newton.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent ((aeval x) P)
h' : IsUnit ((aeval x) (derivative P))
r₁ r₂ : S
x✝¹ : IsNilpotent (r₁ - x) ∧ (aeval r₁) P = 0
x✝ : IsNilpotent (r₂ - x) ∧ (aeval r₂) P = 0
hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)
hr₁' : (aeval r₁) P = 0
hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)
hr₂' : (aeval r₂) P = 0

⊢ r₁ = r₂
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
c : Ordinal.{u_2}
hc : ℵ₀ < c.cof
hf : ∀ i < c, f i < c
a : Ordinal.{u_2}

⊢ Cardinal.lift.{u_2, 0} #Unit < c.cof
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ Prime ↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ (maximalIdeal ℤ_[p]).IsPrime
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ ↑p ≠ 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H

⊢ Tendsto (fun a => a⁻¹) (𝓟 (Ioi a)) (𝓟 (Iio a⁻¹))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : μ sᶜ = 0

⊢ (fun x => if x ∈ s then f x else g x) =ᶠ[ae μ] f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : s ∈ ae μ

⊢ (fun x => if x ∈ s then f x else g x) =ᶠ[ae μ] f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
γ : Type u_5
f g : α → γ
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs_zero : s ∈ ae μ

⊢ ∀ a ∈ s, (if a ∈ s then f a else g a) = f a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
int_nonzero : ∫ (x : G), f x ∂μ ≠ 0

⊢ ↑(μ'.haarScalarFactor μ) = (∫ (x : G), f x ∂μ') / ∫ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
int_nonzero : ∫ (x : G), f x ∂μ ≠ 0
this : ∫ (x : G), f x ∂μ' = ∫ (x : G), f x ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ

⊢ ↑(μ'.haarScalarFactor μ) = (∫ (x : G), f x ∂μ') / ∫ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
int_nonzero : ∫ (x : G), f x ∂μ ≠ 0
this : ∫ (x : G), f x ∂μ' = μ'.haarScalarFactor μ • ∫ (x : G), f x ∂μ

⊢ ↑(μ'.haarScalarFactor μ) = (∫ (x : G), f x ∂μ') / ∫ (x : G), f x ∂μ
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

⊢ 1 + m ≤ n ↔ m < n
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
ι✝ : Type u_1
R✝ : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι✝
inst✝⁸ : CommSemiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ N
ι : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
w : ι → R

⊢ ((piEquiv ι R M) v) w = ∑ i : ι, w i • v i
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
ι✝ : Type u_1
R✝ : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁹ : Finite ι✝
inst✝⁸ : CommSemiring R✝
inst✝⁷ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R✝ M✝
inst✝⁴ : Module R✝ N
ι : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
w : ι → R

⊢ ∑ x : ι, ((Pi.basisFun R ι).repr w) x • v x = ∑ i : ι, w i • v i
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
a b : Prop

⊢ Xor' a b ↔ (¬a ↔ b)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf : ContractingWith K f
x y : α
this : dist x y ≤ dist x (f x) + dist y (f y) + ↑K * dist x y

⊢ dist x y ≤ (dist x (f x) + dist y (f y)) / (1 - ↑K)
-- Mathlib/Data/Finset/Sort.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
k : ℕ
h : s.card = k

⊢ Set.range ⇑(s.orderEmbOfFin h) = ↑s
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
p : A
hp : p ∈ restrictScalars R (span S t)
s0 : S
y : A
hy : y ∈ t

⊢ s0 • y ∈ span R (s • t)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
p : A
hp : p ∈ restrictScalars R (span S t)
s0 : S
y : A
hy : y ∈ t

⊢ 0 • y ∈ span R (s • t)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
p : A
hp : p ∈ restrictScalars R (span S t)
s0 : S
y : A
hy : y ∈ t

⊢ ∀ (x y_1 : S), x • y ∈ span R (s • t) → y_1 • y ∈ span R (s • t) → (x + y_1) • y ∈ span R (s • t)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
s : Set S
hs : span R s = ⊤
t : Set A
p : A
hp : p ∈ restrictScalars R (span S t)
s0 : S
y : A
hy : y ∈ t

⊢ ∀ (a : R) (x : S), x • y ∈ span R (s • t) → (a • x) • y ∈ span R (s • t)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u}
hb : 0 < b
hba : b ≤ a ^ ω

⊢ nfp (fun x => a * x) b = a ^ ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u}
hb : 0 < b
hba : b ≤ a ^ ω
ha : a = 0

⊢ nfp (fun x => a * x) b = a ^ ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u}
hb : 0 < b
hba : b ≤ a ^ ω
ha : 0 < a

⊢ nfp (fun x => a * x) b = a ^ ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u}
hb : 0 < b
hba : b ≤ a ^ ω
ha : 0 < a

⊢ nfp (fun x => a * x) b ≤ a ^ ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u}
hb : 0 < b
hba : b ≤ a ^ ω
ha : 0 < a

⊢ a ^ ω ≤ nfp (fun x => a * x) b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a b : Ordinal.{u}
hb : 0 < b
hba : b ≤ a ^ ω
ha : 0 < a

⊢ nfp (fun x => a * x) 1 ≤ nfp (fun x => a * x) b
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ

⊢ Integrable (truncation f A) μ
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
A : ℝ

⊢ Memℒp (truncation f A) 1 μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Closed.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J₁ J₂ : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Sieve X
hS : J₁.IsClosed S
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : J₁.Covers (Sieve.pullback f S) g

⊢ J₁.Covers S (g ≫ f)
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ : α
l l' : List α
h : l ~r l'
hn : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l

⊢ l.next x hx = l'.next x ⋯
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l l' : List α
h : l ~r l'
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l

⊢ l.next (l.get k) hx = l'.next (l.get k) ⋯
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
n : ℕ
h : l ~r l.rotate n

⊢ l.next (l.get k) hx = (l.rotate n).next (l.get k) ⋯
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
n : ℕ
h : l ~r l.rotate n

⊢ l.get ⟨(↑k + 1) % l.length, ⋯⟩ = (l.rotate n).next (l.get k) ⋯
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
n : ℕ
h : l ~r l.rotate n

⊢ l.get ⟨(↑k + 1) % l.length, ⋯⟩ = (l.rotate n).next ((l.rotate n).get ⟨(l.length - n % l.length + ↑k) % l.length, ⋯⟩) ⋯
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x : α
l : List α
hn : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
n : ℕ
h : l ~r l.rotate n

⊢ (l.rotate n).get ⟨(l.length - n % l.length + ↑⟨(↑k + 1) % l.length, ⋯⟩) % l.length, ⋯⟩ = (l.rotate n).get ⟨(↑⟨(l.length - n % l.length + ↑k) % l.length, ⋯⟩ + 1) % (l.rotate n).length, ⋯⟩
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℤ
h : ↑n ≠ 0

⊢ W.preΨ n ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ ψ : Angle
h : θ.toReal = ψ.toReal

⊢ θ = ψ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
ψ : Angle
x✝ : ℝ
h : (↑x✝).toReal = ψ.toReal

⊢ ↑x✝ = ψ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝¹ x✝ : ℝ
h : (↑x✝¹).toReal = (↑x✝).toReal

⊢ ↑x✝¹ = ↑x✝
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hUV : U = V
p : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hpV : p ∈ V.carrier

⊢ p ∈ ⇑(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ⁻¹' U.carrier
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hUV : U = V

⊢ comap (RingHom.id R) U V ⋯ = eqToHom ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Vitali.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) := {u | u ⊆ t ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}

⊢ ∃ u ⊆ t, u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ b
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Vitali.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) := {u | u ⊆ t ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
uT : u ∈ T
hu : ∀ v ∈ T, u ⊆ v → v = u

⊢ ∃ u ⊆ t, u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ b
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Vitali.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) := {u | u ⊆ t ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
uT : u ∈ T
hu : ∀ v ∈ T, u ⊆ v → v = u
a : ι
hat : a ∈ t

⊢ ∃ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ b
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Vitali.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) := {u | u ⊆ t ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
uT : u ∈ T
a : ι
hat : a ∈ t
hu : ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → τ * δ b < δ a

⊢ ∃ v ∈ T, u ⊆ v ∧ v ≠ u
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Vitali.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
B : ι → Set α
t : Set ι
δ : ι → ℝ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
δnonneg : ∀ a ∈ t, 0 ≤ δ a
R : ℝ
δle : ∀ a ∈ t, δ a ≤ R
hne : ∀ a ∈ t, (B a).Nonempty
T : Set (Set ι) := {u | u ⊆ t ∧ u.PairwiseDisjoint B ∧ ∀ a ∈ t, ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → ∃ c ∈ u, (B a ∩ B c).Nonempty ∧ δ a ≤ τ * δ c}
u : Set ι
uT : u ∈ T
a : ι
hat : a ∈ t
hu : ∀ b ∈ u, (B a ∩ B b).Nonempty → τ * δ b < δ a
a_disj : ∀ c ∈ u, Disjoint (B a) (B c)

⊢ ∃ v ∈ T, u ⊆ v ∧ v ≠ u