ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
x✝ : ∀ i < 0, m.IsCaratheodory (s i)

⊢ m.IsCaratheodory (⋃ i, ⋃ (_ : i < 0), s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
n : ℕ
h : ∀ i < n + 1, m.IsCaratheodory (s i)

⊢ m.IsCaratheodory (⋃ i, ⋃ (_ : i < n + 1), s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Caratheodory.lean
α : Type u
m : OuterMeasure α
s✝ s₁ s₂ : Set α
s : ℕ → Set α
n : ℕ
h : ∀ i < n + 1, m.IsCaratheodory (s i)

⊢ m.IsCaratheodory ((⋃ k, ⋃ (_ : k < n), s k) ∪ s n)
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Presheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v
X : C
s : CostructuredArrow yoneda A
x : F.obj (op s)

⊢ op s = op (CostructuredArrow.mk (YonedaCollection.fst (counitForward F s x).val))
-- Mathlib/Algebra/Jordan/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b : A

⊢ 2 • (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (b * a)⁆) = ⁅L (a * a), L b⁆ + ⁅L (b * b), L a⁆
-- Mathlib/Algebra/Jordan/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b : A

⊢ 2 • ⁅L a, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L b, L (b * a)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ = 0
-- Mathlib/Algebra/Jordan/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b : A

⊢ 2 • ⁅L a, L (a * b)⁆ + 2 • ⁅L b, L (b * a)⁆ + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ = ⁅L (a + b), L ((a + b) * (a + b))⁆
-- Mathlib/Algebra/Jordan/Basic.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocCommRing A
inst✝ : IsCommJordan A
a b : A

⊢ ⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L a, L (a * b)⁆ + (⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + ⁅L b, L (a * a)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆ = ⁅L b, L (a * a)⁆ + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆) + (⁅L a, L (a * b)⁆ + ⁅L b, L (a * b)⁆ + ⁅L a, L (b * b)⁆)
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Currying.lean
B : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} B
C : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D
E : Type u₄
inst✝¹ : Category.{v₄, u₄} E
H : Type u₅
inst✝ : Category.{v₅, u₅} H
F₁ : B ⥤ C
F₂ : D ⥤ E
G : C × E ⥤ H
x✝² x✝¹ : B × D
x₁ : B
x₂ : D
y₁ : B
y₂ : D
x✝ : (x₁, x₂) ⟶ (y₁, y₂)
f₁ : (x₁, x₂).1 ⟶ (y₁, y₂).1
f₂ : (x₁, x₂).2 ⟶ (y₁, y₂).2

⊢ G.map (F₁.map f₁, 𝟙 (F₂.obj x₂)) ≫ G.map (𝟙 (F₁.obj y₁), F₂.map f₂) = 𝟙 (G.obj (F₁.obj x₁, F₂.obj x₂)) ≫ G.map (F₁.map f₁, F₂.map f₂) ≫ 𝟙 (G.obj (F₁.obj y₁, F₂.obj y₂))
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ : Subgroup α
a b : α
N : Subgroup α
s : Set α

⊢ ∀ (x : ↥N), (fun x_1 => x_1 * ↑x⁻¹) '' s = (fun x_1 => x_1 * ↑x) ⁻¹' s
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
a : A
r : R

⊢ supDegree D (single a r) = if r = 0 then ⊥ else D a
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p i : Fin (n + 1)
h : i < p
hi : optParam (i ≠ last n) ⋯

⊢ p.succAbove (i.castPred hi) = i
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a b : α
h : ¬Finite a b
n : ℕ

⊢ a ^ zero ∣ b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a b : α
h : ¬Finite a b
n : ℕ

⊢ 1 ∣ b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a b : α
h : ¬Finite a b
n : ℕ

⊢ ∀ (n : ℕ), a ^ n.succ ∣ b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a b : α

⊢ (∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b) → ¬Finite a b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : Monoid β
a b : α

⊢ (∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b) → ∀ (x : ℕ), a ^ (x + 1) ∣ b
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly (↥L) s)

⊢ ∃ φ, φ.comp (IsScalarTower.toAlgHom F ↥L ↥(adjoin (↥L) S)) = f
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly (↥L) s)
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ
hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ

⊢ ∃ φ, φ.comp (IsScalarTower.toAlgHom F ↥L ↥(adjoin (↥L) S)) = f
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly (↥L) s)
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ
hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ
s : E
h : s ∈ S

⊢ s ∈ ↑(extendScalars ⋯)
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly (↥L) s)
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ
hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ
s : E
h : s ∈ S
this✝¹ : Algebra ↥{ carrier := L, emb := f }.carrier ↥φ.carrier := (inclusion ⋯).toAlgebra
this✝ : SMul ↥L ↥φ.carrier := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower (↥L) (↥φ.carrier) E

⊢ s ∈ ↑(extendScalars ⋯)
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly (↥L) s)
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ
hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ
s : E
h : s ∈ S
this✝² : Algebra ↥{ carrier := L, emb := f }.carrier ↥φ.carrier := (inclusion ⋯).toAlgebra
this✝¹ : SMul ↥L ↥φ.carrier := Algebra.toSMul
this✝ : IsScalarTower (↥L) (↥φ.carrier) E
this : ∃ y, φ ≤ y ∧ s ∈ y.carrier

⊢ s ∈ ↑(extendScalars ⋯)
-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : ↥L →ₐ[F] K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ Splits f.toRingHom (minpoly (↥L) s)
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f } ≤ φ
hφ : ∀ (z : Lifts F E K), φ ≤ z → z ≤ φ
s : E
h : s ∈ S
this✝¹ : Algebra ↥{ carrier := L, emb := f }.carrier ↥φ.carrier := (inclusion ⋯).toAlgebra
this✝ : SMul ↥L ↥φ.carrier := Algebra.toSMul
this : IsScalarTower (↥L) (↥φ.carrier) E

⊢ Splits (φ.emb.comp (algebraMap ↥L ↥φ.carrier)) (minpoly (↥L) s)
-- Mathlib/Data/List/Lex.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsOrderConnected α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ l₃ : List α
h : Lex r l₁ l₃

⊢ Lex r (a :: l₁) (b :: l₂) ∨ Lex r (b :: l₂) (a :: l₃)
-- Mathlib/Data/List/Lex.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsOrderConnected α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ l₃ : List α
h : Lex r l₁ l₃
ab : r a b

⊢ Lex r (a :: l₁) (b :: l₂) ∨ Lex r (b :: l₂) (a :: l₃)
-- Mathlib/Data/List/Lex.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsOrderConnected α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ l₂ l₃ : List α
h : Lex r l₁ l₃

⊢ Lex r (a :: l₁) (a :: l₂) ∨ Lex r (a :: l₂) (a :: l₃)
-- Mathlib/Data/List/Lex.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : IsOrderConnected α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a : α
l₁ : List α
b : α
l₂ l₃ : List α
h : Lex r l₁ l₃
ab : r b a

⊢ Lex r (a :: l₁) (b :: l₂) ∨ Lex r (b :: l₂) (a :: l₃)
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts

⊢ ∃ c ∈ P.parts, c ≤ b
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
H : ¬∃ c ∈ P.parts, c ≤ b

⊢ False
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
H : ¬∃ c ∈ P.parts, c ≤ b

⊢ Disjoint b a
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
H : ¬∃ c ∈ P.parts, c ≤ b

⊢ ∀ ⦃i : α⦄, i ∈ P.parts → Disjoint b (id i)
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
H : ¬∃ c ∈ P.parts, c ≤ b
c : α
hc : c ∈ P.parts
d : α
hd : d ∈ Q.parts
hcd : c ≤ d

⊢ Disjoint b (id c)
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
H : ¬∃ c ∈ P.parts, c ≤ b
c : α
hc : c ∈ P.parts
d : α
hd : d ∈ Q.parts
hcd : c ≤ d

⊢ b ≠ d
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
H : ¬∃ c ∈ P.parts, c ≤ b
c : α
hc : c ∈ P.parts
hd : b ∈ Q.parts
hcd : c ≤ b

⊢ False
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b : α
P Q : Finpartition a
h : P ≤ Q
hb : b ∈ Q.parts
c : α
hc : c ∈ P.parts
hd : b ∈ Q.parts
hcd : c ≤ b
H : ∀ x ∈ P.parts, ¬x ≤ b

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
inst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddBelow s

⊢ sSup s⁻¹ = (sInf s)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Order/Pointwise.lean
α : Type u_1
inst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddBelow s

⊢ sSup (Inv.inv '' s) = (sInf s)⁻¹
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
M : Matrix n n α
v : n → α

⊢ M = (diagonal v)ᴴ ↔ M = diagonal (star v)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_covers : ⋃₀ 𝔖 = univ
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K

⊢ Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ↔ Inducing F
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K

⊢ Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ↔ Inducing F
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
φ : (↑(⋃₀ 𝔖) → α) ≃ₜ (X → α) := Homeomorph.piCongrLeft (Equiv.subtypeUnivEquiv 𝔖_covers)

⊢ Inducing (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F) ↔ Inducing F
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Ascoli.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : TopologicalSpace ι
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_covers : ∀ (x : X), x ∈ ⋃₀ 𝔖
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
φ : (↑(⋃₀ 𝔖) → α) ≃ₜ (X → α) := Homeomorph.piCongrLeft (Equiv.subtypeUnivEquiv 𝔖_covers)

⊢ Inducing (⇑φ.symm ∘ F) ↔ Inducing F
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
inst✝ : MulOneClass M

⊢ 1 ∈ S.centralizer
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α

⊢ m.toEnumFinset.card = card m
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α

⊢ card (map Prod.fst m.toEnumFinset.val) = card m
-- Mathlib/Data/Multiset/Fintype.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
m✝ m : Multiset α

⊢ map Prod.fst m.toEnumFinset.val = m
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
n : ℕ

⊢ drop n l.tail = drop (n + 1) l
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulAction G M
f : G → M
hf : IsMulOneCocycle f

⊢ f 1 = 1
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
newLast : α
rel : r p.last newLast

⊢ (p.append (singleton r newLast) rel).head = p.head
-- Mathlib/Data/List/Iterate.lean
α : Type u_1
f : α → α
a : α
n : ℕ

⊢ iterate f a n = [] ↔ n = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

⊢ ∫⁻ (x : α), μ.rnDeriv ν x ∂ν < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ

⊢ ∫⁻ (x : α) in univ, μ.rnDeriv ν x ∂ν < ⊤
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i →ₗᵢ[𝕜] E₁ i

⊢ ‖g.compContinuousLinearMap fun i => (f i).toContinuousLinearMap‖ ≤ ‖g‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i →ₗᵢ[𝕜] E₁ i
m : (i : ι) → E i

⊢ ‖(g.compContinuousLinearMap fun i => (f i).toContinuousLinearMap) m‖ ≤ ‖g‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i →ₗᵢ[𝕜] E₁ i
m : (i : ι) → E i

⊢ ‖g‖ * ∏ i : ι, ‖((fun i => ↑((fun i => (f i).toContinuousLinearMap) i)) i) (m i)‖ ≤ ‖g‖ * ∏ i : ι, ‖m i‖
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1

⊢ Irreducible p ↔ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f = 1 ∨ g = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1
h : ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f = 1 ∨ g = 1
f g : R[X]
hfg : p = f * g

⊢ (g * C f.leadingCoeff).Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1
h : ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f = 1 ∨ g = 1
f g : R[X]
hfg : p = f * g

⊢ (f * C g.leadingCoeff).Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : p ≠ 1
h : ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f = 1 ∨ g = 1
f g : R[X]
hfg : p = f * g

⊢ g * C f.leadingCoeff * (f * C g.leadingCoeff) = p
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ

⊢ ‖fderiv 𝕜 (iteratedFDeriv 𝕜 n f) x‖ = ‖iteratedFDeriv 𝕜 (n + 1) f x‖
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hxy : x + y ∈ s
hy : y ≠ 0
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1

⊢ x + t • y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hxy : x + y ∈ s
hy : y ≠ 0
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
h : x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y)

⊢ x + t • y ∈ interior s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s t✝ : Set E
x y : E
hs : StrictConvex 𝕜 s
hx : x ∈ s
hxy : x + y ∈ s
hy : y ≠ 0
t : 𝕜
ht₀ : 0 < t
ht₁ : t < 1
h : x + t • y = (1 - t) • x + t • (x + y)

⊢ (1 - t) • x + t • (x + y) ∈ interior s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : MeasurableMul₂ G
inst✝ : MeasurableInv G
μ : Measure α
f g : α → G
hf : AEMeasurable f μ
h : AEMeasurable (f * g) μ

⊢ g = f * g * f⁻¹
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c : Chain α
f : α → β
hf : ScottContinuous f

⊢ IsLUB (Set.range ⇑(c.map { toFun := f, monotone' := ⋯ })) (f (ωSup c))
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c : Chain α
f : α → β
hf : ScottContinuous f

⊢ IsLUB (Set.range (f ∘ ⇑c)) (f (ωSup c))
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder γ
c : Chain α
f : α → β
hf : ScottContinuous f

⊢ IsLUB (f '' Set.range ⇑c) (f (ωSup c))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasRightDual X
inst✝¹ : HasRightDual Y
inst✝ : HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ (f ≫ g)ᘁ = gᘁ ≫ fᘁ
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasRightDual X
inst✝¹ : HasRightDual Y
inst✝ : HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ (f ≫ g)ᘁ = (ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ Y Yᘁ ≫ Zᘁ ◁ (g ⊗ fᘁ) ≫ (α_ Zᘁ Z Xᘁ).inv ≫ ε_ Z Zᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasRightDual X
inst✝¹ : HasRightDual Y
inst✝ : HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ (ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Zᘁ ◁ (f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ) ≫ (α_ Zᘁ Z Xᘁ).inv ≫ ε_ Z Zᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom = (ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ Y Yᘁ ≫ Zᘁ ◁ (g ⊗ (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom) ≫ (α_ Zᘁ Z Xᘁ).inv ≫ ε_ Z Zᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasRightDual X
inst✝¹ : HasRightDual Y
inst✝ : HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ (((((ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ X Xᘁ) ≫ Zᘁ ◁ (f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ)) ≫ (α_ Zᘁ Z Xᘁ).inv) ≫ ε_ Z Zᘁ ▷ Xᘁ) ≫ (λ_ Xᘁ).hom = (((((ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ Y Yᘁ) ≫ Zᘁ ◁ (g ⊗ (((((ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ) ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ) ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv) ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ) ≫ (λ_ Xᘁ).hom)) ≫ (α_ Zᘁ Z Xᘁ).inv) ≫ ε_ Z Zᘁ ▷ Xᘁ) ≫ (λ_ Xᘁ).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasRightDual X
inst✝¹ : HasRightDual Y
inst✝ : HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ ((ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ X Xᘁ) ≫ Zᘁ ◁ (f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ) = ((ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ Y Yᘁ) ≫ Zᘁ ◁ (g ⊗ (((((ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ) ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ) ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv) ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ) ≫ (λ_ Xᘁ).hom)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasRightDual X
inst✝¹ : HasRightDual Y
inst✝ : HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ (ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Zᘁ ◁ (f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ) = (ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ η_ Y Yᘁ ≫ Zᘁ ◁ (g ⊗ (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasRightDual X
inst✝¹ : HasRightDual Y
inst✝ : HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ (ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ (η_ X Xᘁ ≫ f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ) = (ρ_ Zᘁ).inv ≫ Zᘁ ◁ (η_ Y Yᘁ ≫ (g ⊗ (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X Y Z : C
inst✝² : HasRightDual X
inst✝¹ : HasRightDual Y
inst✝ : HasRightDual Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ η_ Y Yᘁ ≫ (g ⊗ (ρ_ Yᘁ).inv ≫ Yᘁ ◁ η_ X Xᘁ ≫ Yᘁ ◁ f ▷ Xᘁ ≫ (α_ Yᘁ Y Xᘁ).inv ≫ ε_ Y Yᘁ ▷ Xᘁ ≫ (λ_ Xᘁ).hom) = η_ X Xᘁ ≫ f ▷ Xᘁ ≫ g ▷ Xᘁ
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf : Measurable f
hg : Measurable g

⊢ IndepFun f g κ μ ↔ ∀ (s : Set β) (t : Set β'), MeasurableSet s → MeasurableSet t → IndepSet (f ⁻¹' s) (g ⁻¹' t) κ μ