ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ ∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), (LinearMap.rTensor (Module.Dual K V) (contractLeft K V)) (((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V) x) ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ ∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), ((Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j) ((Basis.ofVectorSpace K V) x) ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).dualBasis j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ (∑ x : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V), if x = j then 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord x else 0) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Coevaluation.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
V : Type v
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
this : DecidableEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V) := Classical.decEq ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)
j : ↑(Basis.ofVectorSpaceIndex K V)

⊢ (if j ∈ Finset.univ then 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord j else 0) = 1 ⊗ₜ[K] (Basis.ofVectorSpace K V).coord j
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
a : Stream' M
s : Finset ℕ
hs : s.Nonempty

⊢ ∏ i ∈ s, a.get i ∈ FP a
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
a : Stream' M
s : Finset ℕ
hs : s.Nonempty

⊢ ∏ i ∈ s, a.get i ∈ FP (Stream'.drop (s.min' hs) a)
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
a : Stream' M
s : Finset ℕ
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ (hs : t.Nonempty), ∏ i ∈ t, a.get i ∈ FP (Stream'.drop (t.min' hs) a)
hs : s.Nonempty

⊢ ∏ i ∈ s, a.get i ∈ FP (Stream'.drop (s.min' hs) a)
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
a : Stream' M
s : Finset ℕ
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ (hs : t.Nonempty), ∏ i ∈ t, a.get i ∈ FP (Stream'.drop (t.min' hs) a)
hs : s.Nonempty

⊢ (Stream'.drop (s.min' hs) a).head * ∏ x ∈ s.erase (s.min' hs), a.get x ∈ FP (Stream'.drop (s.min' hs) a)
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
a : Stream' M
s : Finset ℕ
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ (hs : t.Nonempty), ∏ i ∈ t, a.get i ∈ FP (Stream'.drop (t.min' hs) a)
hs : s.Nonempty
h : s.erase (s.min' hs) = ∅

⊢ (Stream'.drop (s.min' hs) a).head * ∏ x ∈ s.erase (s.min' hs), a.get x ∈ FP (Stream'.drop (s.min' hs) a)
-- Mathlib/Combinatorics/Hindman.lean
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
a : Stream' M
s : Finset ℕ
ih : ∀ t ⊂ s, ∀ (hs : t.Nonempty), ∏ i ∈ t, a.get i ∈ FP (Stream'.drop (t.min' hs) a)
hs : s.Nonempty
h : (s.erase (s.min' hs)).Nonempty

⊢ (Stream'.drop (s.min' hs) a).head * ∏ x ∈ s.erase (s.min' hs), a.get x ∈ FP (Stream'.drop (s.min' hs) a)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ

⊢ ↑x⁻¹.arg = -↑x.arg
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r✝ r₁ r₂ : ℝ
a b : E
r : ℝ
c : E

⊢ c ∈ (fun x => b * x) ⁻¹' sphere a r ↔ c ∈ sphere (a / b) r
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
h : Splits (algebraMap F E) f

⊢ f.natSepDegree = (f.aroots E).toFinset.card
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/LeftDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ

⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (F.leftDerivedToHomotopyCategory.map f) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (Q.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj Q.complex) = ((HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex)) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) n
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/LeftDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ

⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ) ⋙ HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map φ) ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj Q.complex) = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) n
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/LeftDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ

⊢ (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ (HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) = (HomotopyCategory.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map (P.isoLeftDerivedToHomotopyCategoryObj F).hom ≫ (HomotopyCategory.homologyFunctorFactors D (ComplexShape.down ℕ) n).hom.app ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P.complex) ≫ HomologicalComplex.homologyMap ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) n
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
hx : x ≠ 0
hr : 0 < r

⊢ ⟪x, r • x⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖r • x‖) = 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F
r : ℝ
hx : x ≠ 0
hr : 0 < r

⊢ r * (‖x‖ * ‖x‖) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x ε : ℝ
hx : 0 ≤ x
hε : 0 < ε
h : 0 < x

⊢ log x ≤ x ^ ε / ε
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x ε : ℝ
hx : 0 ≤ x
hε : 0 < ε
h : 0 < x

⊢ ε * log x ≤ x ^ ε
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Sheaf/Smooth.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : M
r : R

⊢ ∃ a, (eval IM I M R x) a = r
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Sheaf/Smooth.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : M
y : (smoothSheaf IM I M R).presheaf.stalk x

⊢ ∃ a, (eval IM I M R x) a = smoothSheaf.eval IM I R x y
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Sheaf/Smooth.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝²¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst✝²⁰ : NormedAddCommGroup EM
inst✝¹⁹ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst✝¹¹ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H N
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : ChartedSpace H G
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : ChartedSpace H A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A'
inst✝⁴ : ChartedSpace H' A'
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : ChartedSpace H R
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : SmoothRing I R
x : M
y : (smoothSheaf IM I M R).presheaf.stalk x

⊢ (eval IM I M R x) ((forgetStalk IM I M R x).inv y) = smoothSheaf.eval IM I R x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s

⊢ x = y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
hz : z ∈ s

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
f : E → β
s : Set E
x y : E
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
hfx : IsMinOn f s x
hfy : IsMinOn f s y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxy : ¬x = y
z : E := 2⁻¹ • x + 2⁻¹ • y
hz : z ∈ s

⊢ f z < f z
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
h : p x = true

⊢ rdropWhile p (l ++ [x]) = rdropWhile p l
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M

⊢ (contractLeft d) 1 = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Defs.lean
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y a x : G

⊢ a * x = a * x * a⁻¹ * a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.333125, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.333132, u_2} D
inst✝ : HasInitial C
ι : Type u_3
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsVanKampenColimit c
i j : Discrete ι
hi : i ≠ j

⊢ IsPullback (initial.to (F.obj i)) (initial.to (F.obj j)) (c.ι.app i) (c.ι.app j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
I : R →+* R
B F : M →ₗ[R] M →ₛₗ[I] M₃
B' : M₁ →ₗ[R] M₁ →ₛₗ[I] M₃
B'' : M₂ →ₗ[R] M₂ →ₛₗ[I] M₃
f f' : M →ₗ[R] M₁
g g' : M₁ →ₗ[R] M
x✝¹ : M
x✝ : M₁

⊢ (B' (0 x✝¹)) x✝ = (B x✝¹) (0 x✝)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
ha : a < 2
hb : b < 2
h₂ : succ 1 = 2

⊢ a * b < 2
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
ha : a ≤ 1
hb : b ≤ 1
h₂ : succ 1 = 2

⊢ a * b ≤ 1
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
ha : a ≤ 1
hb : b ≤ 1
h₂ : succ 1 = 2

⊢ 1 = 1 * 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α

⊢ a ≤ b * a ↔ 1 * a ≤ b * a
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x✝ y✝ z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
x y : α

⊢ x \ y ⊓ (x ⊓ y) = ⊥
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace

⊢ Continuous X.toΓSpecFun
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace

⊢ ∀ s ∈ Set.range fun r => ↑(basicOpen r), IsOpen (X.toΓSpecFun ⁻¹' s)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))

⊢ IsOpen (X.toΓSpecFun ⁻¹' (fun r => ↑(basicOpen r)) r)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))

⊢ IsOpen (X.toRingedSpace.basicOpen r).carrier
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : Subsingleton αˣ

⊢ 1 * 1 = 1
-- Mathlib/AlgebraicTopology/CechNerve.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
f✝ : Arrow C
inst✝² : ∀ (n : ℕ), HasWidePushout f✝.left (fun x => f✝.right) fun x => f✝.hom
f g : Arrow C
inst✝¹ : ∀ (n : ℕ), HasWidePushout f.left (fun x => f.right) fun x => f.hom
inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePushout g.left (fun x => g.right) fun x => g.hom
F : f ⟶ g
n : SimplexCategory
i : Fin (n.len + 1)

⊢ f.hom ≫ (fun i => F.right ≫ WidePushout.ι (fun x => g.hom) i) i = F.left ≫ WidePushout.head fun x => g.hom
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α

⊢ Ico a b - Ico a c = Ico (max a c) b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
x : idx × ℕ
hx : x ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars

⊢ x ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.range (n + 1)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
x : idx × ℕ
hx : x ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars

⊢ x.2 < n + 1
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
x : idx × ℕ
hx : x ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars
k : ℕ
hk : k ∈ (xInTermsOfW p ℚ n).vars
hx' : x ∈ ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ).vars

⊢ x.2 < n + 1
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n : ℕ
x : idx × ℕ
hx : x ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars
k : ℕ
hk : k ∈ (xInTermsOfW p ℚ n).vars
hx' : x ∈ ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ).vars
i : idx
hx'' : x ∈ ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)).vars

⊢ x.2 < n + 1
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n k : ℕ
hk : k ∈ (xInTermsOfW p ℚ n).vars
i : idx
j : ℕ
hj : j ∈ (W_ ℚ k).vars
hx : (i, j) ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars
hx' : (i, j) ∈ ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ).vars
hx'' : (i, j) ∈ ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)).vars

⊢ (i, j).2 < n + 1
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n k : ℕ
hk : k ∈ (xInTermsOfW p ℚ n).vars
i : idx
j : ℕ
hj : j < k + 1
hx : (i, j) ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars
hx' : (i, j) ∈ ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ).vars
hx'' : (i, j) ∈ ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)).vars

⊢ (i, j).2 < n + 1
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n k : ℕ
i : idx
j : ℕ
hj : j < k + 1
hx : (i, j) ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars
hx' : (i, j) ∈ ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ).vars
hx'' : (i, j) ∈ ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)).vars
hk : k ∈ Finset.range (n + 1)

⊢ (i, j).2 < n + 1
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : Fintype idx
Φ : MvPolynomial idx ℚ
n k : ℕ
i : idx
j : ℕ
hj : j < k + 1
hx : (i, j) ∈ ((bind₁ fun k => (bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ) (xInTermsOfW p ℚ n)).vars
hx' : (i, j) ∈ ((bind₁ fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)) Φ).vars
hx'' : (i, j) ∈ ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℚ k)).vars
hk : k < n + 1

⊢ (i, j).2 < n + 1
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α

⊢ s.erase a = s ↔ a ∉ s
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α

⊢ s.sdiff {a} = s ↔ a ∉ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Trim.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : (μ.trim hm) s = 0

⊢ (μ.trim hm) (toMeasurable (μ.trim hm) s) = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5}

⊢ o.bmex f ∉ o.brange f
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
f : (a : Ordinal.{u_4}) → a < o → Ordinal.{max u_4 u_5}

⊢ o.bmex f ∉ range (o.familyOfBFamily f)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E

⊢ IsIntegral F (gen F α) ↔ IsIntegral F α
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E

⊢ IsIntegral F (gen F α) ↔ IsIntegral F ((algebraMap (↥F⟮α⟯) E) (gen F α))
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

⊢ μ (fundamentalDomain b) ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

⊢ Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑b)).toAddSubgroup
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
b : Basis ι ℝ E
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

⊢ Countable ↥(span ℤ (Set.range ⇑b))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

⊢ Embedding ⇑(inducingFn 𝕜 E F)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
A B : E →WOT[𝕜]F
hAB : (inducingFn 𝕜 E F) A = (inducingFn 𝕜 E F) B

⊢ A = B
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
A B : E →WOT[𝕜]F
hAB : (inducingFn 𝕜 E F) A = (inducingFn 𝕜 E F) B

⊢ ∀ (x : E) (y : NormedSpace.Dual 𝕜 F), y (A x) = y (B x)
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M✝ : Type u_1
N✝ : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
M : Type ?u.36861
N : Type ?u.36864
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
x y : M

⊢ { toFun := fun x => x • 1, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x => x • 1, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => x • 1, map_one' := ⋯ }.toFun y