ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
hR : Presheaf.IsSheaf J R

⊢ J.sheafifyMap η ≫ J.sheafifyLift γ hR = J.sheafifyLift (η ≫ γ) hR
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
hR : Presheaf.IsSheaf J R

⊢ J.toSheafify P ≫ J.sheafifyMap η ≫ J.sheafifyLift γ hR = η ≫ γ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
s : Set ℝ

⊢ volume s = StieltjesFunction.id.measure s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R

⊢ derivative (X ^ 2) = C 2 * X
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/NewtonIdentities.lean
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a✝ : Finset σ × σ

⊢ a✝ ∈ filter (fun x => match x with | (s, snd) => s.card < k) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k) ↔ a✝ ∈ (range k).disjiUnion (fun x => powersetCard x univ) ⋯ ×ˢ univ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
qn : q.natDegree ≤ n

⊢ (p - q).natDegree ≤ n ↔ p.natDegree ≤ n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Ring R
p q : R[X]
qn : (-q).natDegree ≤ n

⊢ (p - q).natDegree ≤ n ↔ p.natDegree ≤ n
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : G₁ ⋙ L₃ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : H₁ ⋙ L₄ ⟶ L₂ ⋙ K₁
γ : G₂ ⋙ L₅ ⟶ L₃ ⋙ H₂
δ : H₂ ⋙ L₆ ⟶ L₄ ⋙ K₂

⊢ (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.comp α β γ δ) = rightAdjointSquare.comp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β) ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ) ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : G₁ ⋙ L₃ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : H₁ ⋙ L₄ ⟶ L₂ ⋙ K₁
γ : G₂ ⋙ L₅ ⟶ L₃ ⋙ H₂
δ : H₂ ⋙ L₆ ⟶ L₄ ⋙ K₂
vcomp : (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.vcomp (leftAdjointSquare.hcomp α β) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ)) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₃.comp adj₄)) (leftAdjointSquare.hcomp α β)) ((mateEquiv (adj₃.comp adj₄) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ))

⊢ (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.comp α β γ δ) = rightAdjointSquare.comp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β) ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ) ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : G₁ ⋙ L₃ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : H₁ ⋙ L₄ ⟶ L₂ ⋙ K₁
γ : G₂ ⋙ L₅ ⟶ L₃ ⋙ H₂
δ : H₂ ⋙ L₆ ⟶ L₄ ⋙ K₂
vcomp : (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.vcomp (leftAdjointSquare.hcomp α β) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ)) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₃.comp adj₄)) (leftAdjointSquare.hcomp α β)) ((mateEquiv (adj₃.comp adj₄) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ))
hcomp1 : (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₃.comp adj₄)) (leftAdjointSquare.hcomp α β) = rightAdjointSquare.hcomp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β)

⊢ (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.comp α β γ δ) = rightAdjointSquare.comp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β) ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ) ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
C : Type u₃
D : Type u₄
E : Type u₅
F : Type u₆
X : Type u₇
Y : Type u₈
Z : Type u₉
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} E
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} F
inst✝² : Category.{v₇, u₇} X
inst✝¹ : Category.{v₈, u₈} Y
inst✝ : Category.{v₉, u₉} Z
G₁ : A ⥤ D
H₁ : B ⥤ E
K₁ : C ⥤ F
G₂ : D ⥤ X
H₂ : E ⥤ Y
K₂ : F ⥤ Z
L₁ : A ⥤ B
R₁ : B ⥤ A
L₂ : B ⥤ C
R₂ : C ⥤ B
L₃ : D ⥤ E
R₃ : E ⥤ D
L₄ : E ⥤ F
R₄ : F ⥤ E
L₅ : X ⥤ Y
R₅ : Y ⥤ X
L₆ : Y ⥤ Z
R₆ : Z ⥤ Y
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
adj₃ : L₃ ⊣ R₃
adj₄ : L₄ ⊣ R₄
adj₅ : L₅ ⊣ R₅
adj₆ : L₆ ⊣ R₆
α : G₁ ⋙ L₃ ⟶ L₁ ⋙ H₁
β : H₁ ⋙ L₄ ⟶ L₂ ⋙ K₁
γ : G₂ ⋙ L₅ ⟶ L₃ ⋙ H₂
δ : H₂ ⋙ L₆ ⟶ L₄ ⋙ K₂
vcomp : (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.vcomp (leftAdjointSquare.hcomp α β) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ)) = rightAdjointSquare.vcomp ((mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₃.comp adj₄)) (leftAdjointSquare.hcomp α β)) ((mateEquiv (adj₃.comp adj₄) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ))
hcomp1 : (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₃.comp adj₄)) (leftAdjointSquare.hcomp α β) = rightAdjointSquare.hcomp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β)
hcomp2 : (mateEquiv (adj₃.comp adj₄) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.hcomp γ δ) = rightAdjointSquare.hcomp ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ) ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ)

⊢ (mateEquiv (adj₁.comp adj₂) (adj₅.comp adj₆)) (leftAdjointSquare.comp α β γ δ) = rightAdjointSquare.comp ((mateEquiv adj₁ adj₃) α) ((mateEquiv adj₂ adj₄) β) ((mateEquiv adj₃ adj₅) γ) ((mateEquiv adj₄ adj₆) δ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
x : F

⊢ (weightedSMul μ ∅) x = 0 x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
x : F

⊢ (μ ∅).toReal • x = 0 x
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime x (y * z)

⊢ IsCoprime x y
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
H : IsCoprime (y * z) x

⊢ IsCoprime y x
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
C : α → Sort u_2
h : ¬IsPredLimit a

⊢ a ∈ range pred
-- Mathlib/Order/SuccPred/Limit.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a b✝ : α
C : α → Sort u_2
h : ¬IsPredLimit a
b : α
hb : ¬IsMin b ∧ pred b = a

⊢ a ∈ range pred
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝⁴ : μ.IsOpenPosMeasure
s U✝ F : Set X
x : X
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : BorelSpace Z
f : X → Z
hf : Continuous f
hf_surj : Surjective f
U : Set Z
hUo : IsOpen U
hUne : U.Nonempty

⊢ (map f μ) U ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝⁴ : μ.IsOpenPosMeasure
s U✝ F : Set X
x : X
inst✝³ : OpensMeasurableSpace X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : BorelSpace Z
f : X → Z
hf : Continuous f
hf_surj : Surjective f
U : Set Z
hUo : IsOpen U
hUne : U.Nonempty

⊢ μ (f ⁻¹' U) ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
m : ℕ
hpm : ¬p ∣ m

⊢ f ↑m = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
m : ℕ
hpm : ¬p ∣ m

⊢ 1 ≤ f ↑m
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
m : ℕ
hpm : ¬p ∣ m
hm : f ↑m < 1

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
m : ℕ
hpm : ¬p ∣ m
hm : f ↑m < 1
M : ℝ := f ↑p ⊔ f ↑m
hM : M = f ↑p ⊔ f ↑m
k : ℕ := ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1
hk : k = ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
m : ℕ
hpm : ¬p ∣ m
hm : f ↑m < 1
M : ℝ := f ↑p ⊔ f ↑m
hM : M = f ↑p ⊔ f ↑m
k : ℕ := ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1
hk : k = ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1
a b : ℤ
bezout : a * ↑p ^ k + b * ↑m ^ k = 1

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
m : ℕ
hpm : ¬p ∣ m
hm : f ↑m < 1
M : ℝ := f ↑p ⊔ f ↑m
hM : M = f ↑p ⊔ f ↑m
k : ℕ := ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1
hk : k = ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1
a b : ℤ
bezout : a * ↑p ^ k + b * ↑m ^ k = 1
le_half : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → x < 1 → x ≤ M → x ^ k < 1 / 2

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
hf_nontriv : f ≠ 1
bdd : ∀ (n : ℕ), f ↑n ≤ 1
p : ℕ
hp0 : 0 < f ↑p
hp1 : f ↑p < 1
hmin : ∀ (m : ℕ), 0 < f ↑m ∧ f ↑m < 1 → p ≤ m
m : ℕ
hpm : ¬p ∣ m
hm : f ↑m < 1
M : ℝ := f ↑p ⊔ f ↑m
hM : M = f ↑p ⊔ f ↑m
k : ℕ := ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1
hk : k = ⌈logb M (1 / 2)⌉₊ + 1
a b : ℤ
bezout : a * ↑p ^ k + b * ↑m ^ k = 1
le_half : ∀ {x : ℝ}, 0 < x → x < 1 → x ≤ M → x ^ k < 1 / 2

⊢ 1 < 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
h_deg_le : f.degree ≤ ↑s.card
h_deg_eq : f.degree = g.degree
hlc : f.leadingCoeff = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g

⊢ f = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
g : R[X]
s : Finset R
h_deg_le : degree 0 ≤ ↑s.card
h_deg_eq : degree 0 = g.degree
hlc : leadingCoeff 0 = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ x ∈ s, eval x 0 = eval x g

⊢ 0 = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
s : Finset R
h_deg_le : f.degree ≤ ↑s.card
h_deg_eq : f.degree = g.degree
hlc : f.leadingCoeff = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ x ∈ s, eval x f = eval x g
hf : f ≠ 0

⊢ f = g
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : β × γ → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
t : Set γ
ht : MeasurableSet t

⊢ ∫⁻ (z : β × γ) in Set.univ ×ˢ t, f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫⁻ (x : β), ∫⁻ (y : γ) in t, f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
-- Mathlib/Algebra/Star/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2

⊢ A ≃ₗ[R] ↥(selfAdjoint A) × ↥(skewAdjoint A)
-- Mathlib/Algebra/Star/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2

⊢ (selfAdjointPart R).prod (skewAdjointPart R) ∘ₗ (selfAdjoint.submodule R A).subtype.coprod (skewAdjoint.submodule R A).subtype = LinearMap.id
-- Mathlib/Data/Matrix/ColumnRowPartitioned.lean
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
x1 x2 : Matrix m₁ n R
y1 y2 : Matrix m₂ n R

⊢ x1.fromRows y1 = x2.fromRows y2 → x1 = x2 ∧ y1 = y2
-- Mathlib/Data/Matrix/ColumnRowPartitioned.lean
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹¹ : Fintype m
inst✝¹⁰ : Fintype m₁
inst✝⁹ : Fintype m₂
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype n₁
inst✝⁶ : Fintype n₂
inst✝⁵ : DecidableEq m
inst✝⁴ : DecidableEq m₁
inst✝³ : DecidableEq m₂
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq n₁
inst✝ : DecidableEq n₂
x1 x2 : Matrix m₁ n R
y1 y2 : Matrix m₂ n R

⊢ (∀ (i : m₁ ⊕ m₂) (j : n), x1.fromRows y1 i j = x2.fromRows y2 i j) → (∀ (i : m₁) (j : n), x1 i j = x2 i j) ∧ ∀ (i : m₂) (j : n), y1 i j = y2 i j
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
b c : ℤ

⊢ ↑(b * c / b) = ↑(b * c) / ↑b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α

⊢ Ioc a b ⊆ Iic b
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝ : Group G
n : ℕ
hG : Nat.card G = p ^ n
g : G

⊢ g ^ p ^ n = 1
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/WellKnown.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
u : Rˣ

⊢ (constantCoeff R) (invUnitsSub u) = 1 /ₚ u
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
v : n → R
c : R
i : n

⊢ v ⬝ᵥ (LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) c = v i * c
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
v : n → R
c : R
i : n

⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → v b * (LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) c b = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
v : n → R
c : R
i : n

⊢ i ∉ Finset.univ → v i * (LinearMap.stdBasis R (fun x => R) i) c i = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
H : SimpleGraph V
s✝ s₁ s₂ s s' : Set (Sym2 V)

⊢ (G.deleteEdges s).deleteEdges s' = G.deleteEdges (s ∪ s')
-- Mathlib/Order/Zorn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
h : ∀ (c : Set α), IsChain r c → ∃ ub, ∀ a ∈ c, r a ub
trans : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → r a c
this✝ : ∃ ub, ∀ a ∈ maxChain r, r a ub
ub : α
hub : ∀ a ∈ maxChain r, r a ub
a : α
ha : r ub a
this : IsChain r (insert a (maxChain r))

⊢ a ∈ maxChain r
-- Mathlib/Order/Zorn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c : Set α
h : ∀ (c : Set α), IsChain r c → ∃ ub, ∀ a ∈ c, r a ub
trans : ∀ {a b c : α}, r a b → r b c → r a c
this✝ : ∃ ub, ∀ a ∈ maxChain r, r a ub
ub : α
hub : ∀ a ∈ maxChain r, r a ub
a : α
ha : r ub a
this : IsChain r (insert a (maxChain r))

⊢ a ∈ insert a (maxChain r)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
a : Ordinal.{u_1}

⊢ a.IsLimit ↔ a ≠ 0 ∧ ω ∣ a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
a : Ordinal.{u_1}
l : a.IsLimit

⊢ a ≤ ω * (a / ω)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
a : Ordinal.{u_1}
h : a ≠ 0 ∧ ω ∣ a

⊢ a.IsLimit
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integral.lean
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hpx : eval₂ (algebraMap O R) x p = 0
hvx : 1 < v x

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integral.lean
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hpx : x ^ p.natDegree = -∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i)
hvx : 1 < v x

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integral.lean
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hvx : 1 < v x
hpx : v (x ^ p.natDegree) = v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i))

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integral.lean
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hvx : 1 < v x
hpx : v (x ^ p.natDegree) = v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i))

⊢ v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i)) < v (x ^ p.natDegree)
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integral.lean
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hvx : 1 < v x
hpx : v (x ^ p.natDegree) = v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i))

⊢ v (∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i)) < v x ^ p.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integral.lean
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hvx : 1 < v x
hpx : v (x ^ p.natDegree) = v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i))
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range p.natDegree

⊢ v (eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i)) < v x ^ p.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integral.lean
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hvx : 1 < v x
hpx : v (x ^ p.natDegree) = v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i))
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range p.natDegree

⊢ v ((algebraMap O R) (p.coeff i)) * v x ^ i < 1 * v x ^ p.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integral.lean
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hvx : 1 < v x
hpx : v (x ^ p.natDegree) = v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i))
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range p.natDegree
hvpi : v ((algebraMap O R) (p.coeff i)) < 1

⊢ v ((algebraMap O R) (p.coeff i)) * v x ^ i < 1 * v x ^ p.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Integral.lean
R : Type u
Γ₀ : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
O : Type w
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O R
hv : v.Integers O
x : R
hx : IsIntegral O x
p : O[X]
hpm : p.Monic
hvx : 1 < v x
hpx : v (x ^ p.natDegree) = v (-∑ i ∈ Finset.range p.natDegree, eval₂ (algebraMap O R) x (C (p.coeff i) * X ^ i))
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range p.natDegree
hvpi : v ((algebraMap O R) (p.coeff i)) = 1

⊢ v ((algebraMap O R) (p.coeff i)) * v x ^ i < 1 * v x ^ p.natDegree
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t

⊢ (G.replaceVertex s t).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t
inc : G.incidenceFinset t ⊆ G.edgeFinset

⊢ (G.replaceVertex s t).edgeFinset.card = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t
inc : G.incidenceFinset t ⊆ G.edgeFinset

⊢ G.edgeFinset.card + (image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)).card - G.degree t = G.edgeFinset.card + G.degree s - G.degree t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t
inc : G.incidenceFinset t ⊆ G.edgeFinset

⊢ (image (fun x => s(x, t)) (G.neighborFinset s)).card = G.degree s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
hn : ¬G.Adj s t
inc : G.incidenceFinset t ⊆ G.edgeFinset

⊢ Function.Injective fun x => s(x, t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℤ
hm : m ≤ 0
hn : n ≤ 0

⊢ A ^ (m + n) = A ^ m * A ^ n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℤ
hm : m ≤ 0
hn : n ≤ 0
h : A⁻¹ * A = 1
right✝ : A * A⁻¹ = 1

⊢ A ^ (m + n) = A ^ m * A ^ n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℤ
hm : m ≤ 0
hn : n ≤ 0
h : A⁻¹ = 0

⊢ A ^ (m + n) = A ^ m * A ^ n
-- Mathlib/Combinatorics/Schnirelmann.lean
A : Set ℕ
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ A
hA : A.Finite

⊢ schnirelmannDensity A = 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f g : Perm α

⊢ support 1 = ∅
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R✝
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p✝ q✝ r : R✝[X]
x✝ : R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p q : R[X]
x : R
h : p.IsRoot x
hpq : p ∣ q

⊢ q.IsRoot x
-- Mathlib/Algebra/Ring/BooleanRing.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : BooleanRing α
inst✝¹ : BooleanRing β
inst✝ : BooleanRing γ
a b c : α

⊢ a * a + b * c + a * (b * c) + (a * b + a * a * b) + (a * c + a * a * c) + (a * b * c + a * a * b * c) = a + b * c + a * (b * c)