ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0

⊢ (b + 2) ^ (l.dropLast ++ [l.getLast hl]).length ≤ (b + 2) * ofDigits (b + 2) (l.dropLast ++ [l.getLast hl])
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0

⊢ (b + 2) * (b + 2) ^ (l.length - 1) ≤ (b + 2) * (ofDigits (b + 2) l.dropLast + (b + 2) ^ (l.length - 1) * l.getLast hl)
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0

⊢ (b + 2) ^ (l.length - 1) ≤ ofDigits (b + 2) l.dropLast + (b + 2) ^ (l.length - 1) * l.getLast hl
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0

⊢ (b + 2) ^ (l.length - 1) ≤ (b + 2) ^ (l.length - 1) * l.getLast hl
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
this : 0 < l.getLast hl

⊢ (b + 2) ^ (l.length - 1) ≤ (b + 2) ^ (l.length - 1) * l.getLast hl
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n b : ℕ
l : List ℕ
hl : l ≠ []
hl2 : l.getLast hl ≠ 0
this : 0 < l.getLast hl

⊢ (b + 2) ^ (l.length - 1) = (b + 2) ^ (l.length - 1) * succ 0
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizationMonoid α
a : α
b : Associates α

⊢ ∀ (a_1 : α), Associates.out ⟦a_1⟧ ∣ a ↔ ⟦a_1⟧ ≤ Associates.mk a
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ
f : Fin n → E
h : ∀ (i : Fin n), ‖f i‖ ≤ 2
h' : Pairwise fun i j => 1 - goodδ E ≤ ‖f i - f j‖

⊢ n ≤ multiplicity E
-- Mathlib/InformationTheory/Hamming.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y : (i : ι) → β i

⊢ 0 < hammingDist x y ↔ x ≠ y
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
ι : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} ι
B : ι ⥤ Opens ↑X

⊢ B.IsCoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) ↔ Opens.IsBasis (Set.range B.obj)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
ι : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} ι
B : ι ⥤ Opens ↑X

⊢ B.IsCoverDense (Opens.grothendieckTopology ↑X) ↔ ∀ {U : Opens ↑X} {x : ↑X}, x ∈ U → ∃ U' ∈ Set.range B.obj, x ∈ U' ∧ U' ≤ U
-- Mathlib/Algebra/Lie/OfAssociative.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
e : L ≃ₗ⁅R⁆ L'
x : L
y' : L'

⊢ (e.toLinearEquiv.conj ((ad R L) x)) y' = ((ad R L') (e x)) y'
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivInvMonoid G
a b c x y : G

⊢ x * (1 / y) = x / y
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq (α × β)
s : Finset α
t : Finset β

⊢ Prod.swap '' ↑t ×ˢ ↑s = ↑s ×ˢ ↑t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/AEval.lean
R : Type u_1
A : Type u_3
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
a : A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
m : AEval R M a

⊢ (of R M a).symm (X • m) = a • (of R M a).symm m
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
e : A →ₐ[R] B
x : A

⊢ Subalgebra.map e (adjoin R {x}) = adjoin R {e x}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m n α
B : Matrix n m α

⊢ (A * B + 1).det = (B * A + 1).det
-- Mathlib/FieldTheory/IsSepClosed.lean
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
p : k[X]
hsep : p.Separable

⊢ p.roots = 0 ↔ p = C (p.coeff 0)
-- Mathlib/FieldTheory/IsSepClosed.lean
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
p : k[X]
hsep : p.Separable
h : p.roots = 0

⊢ p = C (p.coeff 0)
-- Mathlib/FieldTheory/IsSepClosed.lean
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
p : k[X]
hsep : p.Separable
h : p.roots = 0
hd : p.degree ≤ 0

⊢ p = C (p.coeff 0)
-- Mathlib/FieldTheory/IsSepClosed.lean
k : Type u
inst✝² : Field k
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsSepClosed k
p : k[X]
hsep : p.Separable
h : p.roots = 0
hd : 0 < p.degree

⊢ p = C (p.coeff 0)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
a : α

⊢ stieltjesFunctionAux (fun p => f p.2) ((), a) = stieltjesFunctionAux f a
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α
ι : Type u_6
R : Type u_7
F : Filter ι
inst✝ : CompleteLattice R
a : ι → R

⊢ limsup a F = sInf ((fun I => sSup (a '' I)) '' F.sets)
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α
ι : Type u_6
R : Type u_7
F : Filter ι
inst✝ : CompleteLattice R
a : ι → R

⊢ limsup a F ≤ sInf ((fun I => sSup (a '' I)) '' F.sets)
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteLattice α
ι : Type u_6
R : Type u_7
F : Filter ι
inst✝ : CompleteLattice R
a : ι → R

⊢ sInf ((fun I => sSup (a '' I)) '' F.sets) ≤ limsup a F
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ

⊢ Primrec₂ fun x x_1 => x / x_1
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ

⊢ PrimrecRel fun a b => (fun x x_1 => x / x_1) a.1 a.2 = b
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
this : PrimrecRel fun a b => a.2 = 0 ∧ b = 0 ∨ 0 < a.2 ∧ b * a.2 ≤ a.1 ∧ a.1 < (b + 1) * a.2

⊢ PrimrecRel fun a b => (fun x x_1 => x / x_1) a.1 a.2 = b
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
this : PrimrecRel fun a b => a.2 = 0 ∧ b = 0 ∨ 0 < a.2 ∧ b * a.2 ≤ a.1 ∧ a.1 < (b + 1) * a.2

⊢ ∀ (a : ℕ × ℕ) (b : ℕ), a.2 = 0 ∧ b = 0 ∨ 0 < a.2 ∧ b * a.2 ≤ a.1 ∧ a.1 < (b + 1) * a.2 ↔ (fun x x_1 => x / x_1) a.1 a.2 = b
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
this : PrimrecRel fun a b => a.2 = 0 ∧ b = 0 ∨ 0 < a.2 ∧ b * a.2 ≤ a.1 ∧ a.1 < (b + 1) * a.2
a k q : ℕ

⊢ (a, k).2 = 0 ∧ q = 0 ∨ 0 < (a, k).2 ∧ q * (a, k).2 ≤ (a, k).1 ∧ (a, k).1 < (q + 1) * (a, k).2 ↔ (fun x x_1 => x / x_1) (a, k).1 (a, k).2 = q
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K

⊢ mixedEmbedding.norm ((mixedEmbedding K) x) = ↑|(Algebra.norm ℚ) x|
-- Mathlib/Data/Finset/MulAntidiagonal.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
u : Set α
hu : u.IsPWO
x : α × α

⊢ x ∈ mulAntidiagonal hs ht a ↔ x.1 ∈ s ∧ x.2 ∈ t ∧ x.1 * x.2 = a
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
k : Type u_2
inst✝² : Field k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra

⊢ ∃ σ, φ.comp ↑σ.symm = ψ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
k : Type u_2
inst✝² : Field k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this : IsScalarTower k K ℂ

⊢ ∃ σ, φ.comp ↑σ.symm = ψ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
k : Type u_2
inst✝² : Field k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this : IsScalarTower k K ℂ
ψ' : K →ₐ[k] ℂ := { toRingHom := ψ, commutes' := ⋯ }

⊢ ∃ σ, φ.comp ↑σ.symm = ψ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
k : Type u_2
inst✝² : Field k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this : IsScalarTower k K ℂ
ψ' : K →ₐ[k] ℂ := { toRingHom := ψ, commutes' := ⋯ }

⊢ φ.comp ↑(ψ'.restrictNormal' K).symm.symm = ψ
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
k : Type u_2
inst✝² : Field k
inst✝¹ : Algebra k K
inst✝ : IsGalois k K
φ ψ : K →+* ℂ
h : φ.comp (algebraMap k K) = ψ.comp (algebraMap k K)
this✝¹ : Algebra k ℂ := (φ.comp (algebraMap k K)).toAlgebra
this✝ : Algebra K ℂ := φ.toAlgebra
this : IsScalarTower k K ℂ
ψ' : K →ₐ[k] ℂ := { toRingHom := ψ, commutes' := ⋯ }
x : K

⊢ (φ.comp ↑(ψ'.restrictNormal' K).symm.symm) x = ψ x
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α

⊢ [s.head] ++ₛ s.tail = s
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
s : Set A
z : A

⊢ (∀ g ∈ s ∪ star s, g * z = z * g) ↔ ∀ g ∈ s, g * z = z * g ∧ star g * z = z * star g
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S : NonUnitalStarSubalgebra R A
s : Set A
z : A

⊢ (∀ x ∈ s, x * z = z * x) → ((∀ x ∈ star s, x * z = z * x) ↔ ∀ x ∈ s, star x * z = z * star x)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
g : Perm α

⊢ ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
g f✝ : Perm α

⊢ fun {g} => ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
g f✝ : Perm α

⊢ ∀ (σ : Perm α), σ.IsCycle → fun {g} => ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
g f✝ : Perm α

⊢ ∀ (σ τ : Perm α), σ.Disjoint τ → σ.IsCycle → (fun {g} => ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}) → (fun {g} => ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}) → fun {g} => ∀ {f : Perm α}, f ∈ g.cycleFactorsFinset → (g * f⁻¹).cycleFactorsFinset = g.cycleFactorsFinset \ {f}
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

⊢ m ≤ n.sqrt ↔ m ^ 2 ≤ n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

⊢ W.negAddY P Q = (-addU P Q) ^ 3
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1

⊢ J = I⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0

⊢ J = I⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0

⊢ I * (1 / I) = 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0

⊢ I * (1 / I) ≤ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0

⊢ 1 ≤ I * (1 / I)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0

⊢ I * J ≤ I * (I * J / I)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0

⊢ J ≤ I * J / I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0

⊢ ∀ x ∈ J, ∀ y ∈ I, x * y ∈ I * J
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
y : K
hy : y ∈ J
x : K
hx : x ∈ I

⊢ y * x ∈ I * J
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
y : K
hy : y ∈ J
x : K
hx : x ∈ I

⊢ x * y ∈ I * J
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R θ : ℝ

⊢ circleMap c R θ = c ↔ R = 0
-- Mathlib/Topology/Order/Lattice.lean
L : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace L
inst✝³ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
inst✝² : SemilatticeSup L
inst✝¹ : OrderBot L
inst✝ : ContinuousSup L
s : Finset ι
f : ι → X → L
t : Set X
x : X
hs : ∀ i ∈ s, ContinuousAt (f i) x

⊢ ContinuousAt (s.sup f) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
f : X →ᵇ E

⊢ ∫⁻ (x : X), ↑‖f x‖₊ ∂μ ≤ ↑‖f‖₊ * μ Set.univ
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/FilteredColimits.lean
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r s : R
x : ↑(M F)

⊢ (r + s) • x = r • x + s • x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/FilteredColimits.lean
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r s : R
x : ↑(M F)

⊢ ∀ (a : (j : J) × ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat).obj j), (r + s) • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) a = r • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) a + s • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) a
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/FilteredColimits.lean
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r s : R
j : J
x : ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat).obj j

⊢ (r + s) • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) ⟨j, x⟩ = r • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) ⟨j, x⟩ + s • Quot.mk (Types.Quot.Rel ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat)) ⟨j, x⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/FilteredColimits.lean
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r s : R
j : J
x : ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat).obj j

⊢ M.mk F ⟨⟨j, x⟩.fst, r • ⟨j, x⟩.snd + s • ⟨j, x⟩.snd⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk (((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⟨j, ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat).map (𝟙 j)) ⟨j, r • ⟨j, x⟩.snd⟩.snd + ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat).map (𝟙 j)) ⟨j, s • ⟨j, x⟩.snd⟩.snd⟩
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/FilteredColimits.lean
R : Type u
inst✝² : Ring R
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ ModuleCatMax R
r s : R
j : J
x : ((((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⋙ forget AddMonCat).obj j

⊢ M.mk F ⟨j, r • x + s • x⟩ = AddMonCat.FilteredColimits.M.mk (((F ⋙ forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp) ⋙ forget₂ AddCommGrp AddGrp) ⋙ forget₂ AddGrp AddMonCat) ⟨j, ((forget₂ AddGrp AddMonCat).map ((forget₂ AddCommGrp AddGrp).map (LinearMap.toAddMonoidHom (𝟙 (F.obj j))))) (r • x) + ((forget₂ AddGrp AddMonCat).map ((forget₂ AddCommGrp AddGrp).map (LinearMap.toAddMonoidHom (𝟙 (F.obj j))))) (s • x)⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Algebra S R
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
f g : M →ₗ[R] R
x✝¹ x✝ : M

⊢ ((associated (linMulLin f g)) x✝¹) x✝ = ((⅟2 • ((mul R R).compl₁₂ f g + (mul R R).compl₁₂ g f)) x✝¹) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Algebra S R
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
f g : M →ₗ[R] R
x✝¹ x✝ : M

⊢ ⅟2 * ((f x✝¹ + f x✝) * (g x✝¹ + g x✝) - f x✝¹ * g x✝¹ - f x✝ * g x✝) = ⅟2 * (f x✝¹ * g x✝) + ⅟2 * (g x✝¹ * f x✝)
-- Mathlib/Topology/Category/CompHausLike/Limits.lean
P : TopCat → Prop
α : Type w
inst✝¹ : Finite α
X : α → CompHausLike P
inst✝ : HasExplicitFiniteCoproduct X
B : CompHausLike P
π : (a : α) → X a ⟶ B
a : α
x : (forget (CompHausLike P)).obj (X a)

⊢ (ι X a ≫ desc X π) x = (π a) x
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ

⊢ map { toFun := fun d => (n / d, d), inj' := ⋯ } n.divisors = n.divisorsAntidiagonal
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ

⊢ map (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding (map { toFun := fun d => (n / d, d), inj' := ⋯ } n.divisors) = map (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding n.divisorsAntidiagonal
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
a✝ : ℕ × ℕ

⊢ a✝ ∈ map (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding (map { toFun := fun d => (n / d, d), inj' := ⋯ } n.divisors) ↔ a✝ ∈ map (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding n.divisorsAntidiagonal
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
a✝ : ℕ × ℕ

⊢ a✝ ∈ map ({ toFun := fun d => (n / d, d), inj' := ⋯ }.trans (Equiv.prodComm ℕ ℕ).toEmbedding) n.divisors ↔ a✝ ∈ map { toFun := fun d => (d, n / d), inj' := ⋯ } n.divisors
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ℤ

⊢ ↑(toCircle ↑j) = cexp (2 * ↑π * I * ↑j / ↑N)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ℤ

⊢ cexp (↑(2 * π / 1 * (↑j / ↑N)) * I) = cexp (2 * ↑π * I * ↑j / ↑N)
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r s : R
x y : M

⊢ -r • x + r • x = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x : P
hs : IsClosed (Subtype.val ⁻¹' s)

⊢ intrinsicClosure 𝕜 s = s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : Ring 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module 𝕜 V
inst✝¹ : TopologicalSpace P
inst✝ : AddTorsor V P
s t : Set P
x : P
hs : IsClosed (Subtype.val ⁻¹' s)

⊢ s ⊆ range Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ

⊢ |x⁻¹.arg| = |x.arg|
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ

⊢ |if x.arg = π then π else -x.arg| = |x.arg|
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommMonoid P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : ℕ →o Submodule R M

⊢ EventuallyConst (⇑f) atTop