ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Isocrystal.lean
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b

⊢ Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Isocrystal.lean
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m

⊢ Φ(p, k) ((LinearEquiv.smulOfNeZero K(p, k) (StandardOneDimIsocrystal p k m) b hb ≪≫ₗ F) c) = (LinearEquiv.smulOfNeZero K(p, k) (StandardOneDimIsocrystal p k m) b hb ≪≫ₗ F) (Φ(p, k) c)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Isocrystal.lean
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m

⊢ Φ(p, k) (b • F c) = b • F (Φ(p, k) c)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Isocrystal.lean
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m

⊢ Φ(p, k) (b • F₀ c) = b • F₀ (Φ(p, k) c)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Isocrystal.lean
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m

⊢ Φ(p, k) (b • c • x) = b • Φ(p, k) c • x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Isocrystal.lean
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m

⊢ φ(p, k) b • φ(p, k) c • a • x = b • (↑p ^ m * φ(p, k) c) • x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Isocrystal.lean
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m

⊢ (φ(p, k) b * (φ(p, k) c * a)) • x = (b * (↑p ^ m * φ(p, k) c)) • x
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Isocrystal.lean
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
k✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing k✝
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m

⊢ φ(p, k) b * (φ(p, k) c * a) = b * (↑p ^ m * φ(p, k) c)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
hp : Odd p

⊢ ↑p ^ 2 ∣ ∑ i ∈ range p, (a + ↑p * b) ^ i * a ^ (p - 1 - i) - ↑p * a ^ (p - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
hp : Odd p
h1 : ∀ (i : ℕ), ↑p ^ 2 ∣ (a + ↑p * b) ^ i - (a ^ (i - 1) * (↑p * b) * ↑i + a ^ i)

⊢ ↑p ^ 2 ∣ ∑ i ∈ range p, (a + ↑p * b) ^ i * a ^ (p - 1 - i) - ↑p * a ^ (p - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x y : R
p : ℕ
hp : Odd p
h1 : ∀ (i : ℕ), (Ideal.Quotient.mk (span {↑p ^ 2})) ((a + ↑p * b) ^ i) = (Ideal.Quotient.mk (span {↑p ^ 2})) (a ^ (i - 1) * (↑p * b) * ↑i + a ^ i)

⊢ (Ideal.Quotient.mk (span {↑p ^ 2})) (∑ i ∈ range p, (a + ↑p * b) ^ i * a ^ (p - 1 - i)) = (Ideal.Quotient.mk (span {↑p ^ 2})) (↑p * a ^ (p - 1))
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
z : α
x y : ↑s
h : [[s.ordConnectedProj x, s.ordConnectedProj y]] ⊆ s

⊢ s.ordConnectedProj x = s.ordConnectedProj y
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
x : V → ℝ

⊢ (toLin' (lapMatrix ℝ G)) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Adj i j → x i = x j
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M

⊢ B.SeparatingRight ↔ ∀ (y : M₂), B.flip y = 0 → y = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
j : n

⊢ ↑hA.eigenvectorUnitary *ᵥ Pi.single j 1 = (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j)
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
f : α →₀ M

⊢ (erase a f) a' = if a' = a then 0 else f a'
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
f : α →₀ M

⊢ (if a' = a then 0 else f a') = if a' = a then 0 else f a'
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : ChartedSpace H M
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
h : LiftPropAt P g x
hs : s ∈ 𝓝 x

⊢ LiftPropWithinAt P g s x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/MetricSeparated.lean
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s t : Set X
x y : X
s' : Set X
r : ENNReal
r0 : r ≠ 0
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
r' : ENNReal
r0' : r' ≠ 0
hr' : ∀ x ∈ s', ∀ y ∈ t, r' ≤ edist x y

⊢ IsMetricSeparated (s ∪ s') t
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/MetricSeparated.lean
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s t : Set X
x y : X
s' : Set X
r : ENNReal
r0 : r ≠ 0
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
r' : ENNReal
r0' : r' ≠ 0
hr' : ∀ x ∈ s', ∀ y ∈ t, r' ≤ edist x y

⊢ min r r' ≠ 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/MetricSeparated.lean
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s t : Set X
x✝ y✝ : X
s' : Set X
r : ENNReal
r0 : r ≠ 0
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
r' : ENNReal
r0' : r' ≠ 0
hr' : ∀ x ∈ s', ∀ y ∈ t, r' ≤ edist x y
x : X
hx : x ∈ s ∪ s'
y : X
hy : y ∈ t

⊢ x ∈ s → min r r' ≤ edist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/MetricSeparated.lean
X : Type u_1
inst✝ : EMetricSpace X
s t : Set X
x✝ y✝ : X
s' : Set X
r : ENNReal
r0 : r ≠ 0
hr : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ t, r ≤ edist x y
r' : ENNReal
r0' : r' ≠ 0
hr' : ∀ x ∈ s', ∀ y ∈ t, r' ≤ edist x y
x : X
hx : x ∈ s ∪ s'
y : X
hy : y ∈ t

⊢ x ∈ s' → min r r' ≤ edist x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : Zero β
f : α →ₛ β
x : α

⊢ x ∈ support ↑f ↔ x ∈ ⋃ y ∈ filter (fun y => y ≠ 0) f.range, ↑f ⁻¹' {y}
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.288867, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
F : V ⥤ W
inst✝ : F.Additive
h : HomotopyEquiv C D

⊢ Homotopy ((F.mapHomologicalComplex c).map h.hom ≫ (F.mapHomologicalComplex c).map h.inv) (𝟙 ((F.mapHomologicalComplex c).obj C))
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.288867, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
F : V ⥤ W
inst✝ : F.Additive
h : HomotopyEquiv C D

⊢ Homotopy ((F.mapHomologicalComplex c).map (h.hom ≫ h.inv)) ((F.mapHomologicalComplex c).map (𝟙 C))
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.288867, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
F : V ⥤ W
inst✝ : F.Additive
h : HomotopyEquiv C D

⊢ Homotopy ((F.mapHomologicalComplex c).map h.inv ≫ (F.mapHomologicalComplex c).map h.hom) (𝟙 ((F.mapHomologicalComplex c).obj D))
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i : ι
W : Type u_2
inst✝² : Category.{?u.288867, u_2} W
inst✝¹ : Preadditive W
F : V ⥤ W
inst✝ : F.Additive
h : HomotopyEquiv C D

⊢ Homotopy ((F.mapHomologicalComplex c).map (h.inv ≫ h.hom)) ((F.mapHomologicalComplex c).map (𝟙 D))
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3

⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, ↑b ! / ↑b ^ b ≤ 1 / ↑b
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ ↑n ! / ↑n ^ n ≤ 1 / ↑n
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
hn : 0 < k.succ

⊢ ↑k.succ ! / ↑k.succ ^ k.succ ≤ 1 / ↑k.succ
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
hn : 0 < k.succ

⊢ (∏ k_1 ∈ Finset.range k, ↑(k_1 + 1 + 1) * (↑k + 1)⁻¹) * (↑(0 + 1) * (↑k + 1)⁻¹) ≤ (↑k + 1)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
hn : 0 < k.succ

⊢ (∏ x ∈ Finset.range k, (↑x + 1 + 1) * (↑k + 1)⁻¹) * (↑k + 1)⁻¹ ≤ (↑k + 1)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
hn : 0 < k.succ
x : ℕ
hx : x < k

⊢ 0 ≤ (↑x + 1 + 1) * (↑k + 1)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
k : ℕ
hn : 0 < k.succ
x : ℕ
hx : x < k

⊢ (↑x + 1 + 1) * (↑k + 1)⁻¹ ≤ 1
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equiv.lean
α : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝⁴ : UniformSpace α
inst✝³ : UniformSpace β✝
inst✝² : UniformSpace γ
inst✝¹ : UniformSpace δ
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
β : ι' → Type u_6
inst✝ : (j : ι') → UniformSpace (β j)
e : ι ≃ ι'
i : ι

⊢ UniformContinuous fun x => (Equiv.piCongrLeft β e).toFun x (e i)
-- Mathlib/Algebra/Exact.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : AddCommMonoid N'
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid P'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N'
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R P'
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
e : N ≃ₗ[R] N'

⊢ Exact ⇑(↑e ∘ₗ f) ⇑(g ∘ₗ ↑e.symm) ↔ Exact ⇑f ⇑g
-- Mathlib/Algebra/Exact.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid N
inst✝⁸ : AddCommMonoid N'
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid P'
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R N'
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R P'
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
e : N ≃ₗ[R] N'

⊢ Submodule.map (↑e) (LinearMap.ker g) = Submodule.map (↑e) (LinearMap.range f) ↔ LinearMap.ker g = LinearMap.range f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝¹ : CompleteSpace A
inst✝ : NormOneClass A
a : A
k : 𝕜
h : ‖a‖ < ‖k‖

⊢ ‖a‖ * ‖1‖ < ‖k‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Curry.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin n.succ → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : (i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁴ : (i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
σ : ι ≃ ι'
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun x => G) G'

⊢ ‖domDomCongr σ f‖ = ‖f‖
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a : Ordinal.{u_1}
H : ∀ ⦃b c : Ordinal.{u_1}⦄, b < a → c < a → b + c ≠ a

⊢ Principal (fun x x_1 => x + x_1) a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a : Ordinal.{u_1}
H : ∀ ⦃b c : Ordinal.{u_1}⦄, b < a → c < a → b + c ≠ a
ha : ¬Principal (fun x x_1 => x + x_1) a

⊢ False
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
b c : Ordinal.{u_1}
H : ∀ ⦃b_1 c_1 : Ordinal.{u_1}⦄, b_1 < b + c → c_1 < b + c → b_1 + c_1 ≠ b + c
ha : ¬Principal (fun x x_1 => x + x_1) (b + c)
hb : b < b + c
hc : c < b + c

⊢ False
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
C₁ : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝² : MonoidalCategory C₁
C₂ : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝ : MonoidalCategory C₂

⊢ ∀ {X₁ Y₁ X₂ Y₂ : C₁ × C₂} (f : X₁ ⟶ Y₁) (g : X₂ ⟶ Y₂), f ⊗ g = f ▷ X₂ ≫ Y₁ ◁ g
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.193906, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0

⊢ (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃).τ₁ = S₁.f ≫ h₁ + h₀ + Hom.τ₁ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.193906, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0

⊢ h₀ + S₁.f ≫ h₁ = S₁.f ≫ h₁ + h₀
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.193906, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0

⊢ (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃).τ₂ = S₁.g ≫ h₂ + h₁ ≫ S₂.f + Hom.τ₂ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.193906, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0

⊢ h₁ ≫ S₂.f + S₁.g ≫ h₂ = S₁.g ≫ h₂ + h₁ ≫ S₂.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.193906, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0

⊢ (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃).τ₃ = h₃ + h₂ ≫ S₂.g + Hom.τ₃ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.193906, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0

⊢ h₂ ≫ S₂.g + h₃ = h₃ + h₂ ≫ S₂.g
-- Mathlib/Order/Filter/SmallSets.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β

⊢ ⊤.smallSets = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
s : Multiset R

⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod.natDegree = Multiset.card s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
s : Multiset R

⊢ (Multiset.map (natDegree ∘ fun a => X - C a) s).sum = Multiset.card s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
s : Multiset R

⊢ ∀ f ∈ Multiset.map (fun a => X - C a) s, f.Monic
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z : ℂ
n : ℤ

⊢ (z / ↑n).re = z.re / ↑n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
S : Set α := {x | f x < 0}

⊢ (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) ⟂ₘ μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
hf : Measurable f
S : Set α := {x | f x < 0}
hS : MeasurableSet S

⊢ (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)) ⟂ₘ μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f g : α → β
hf : Measurable f
hg : Measurable g
h : f =ᶠ[ae μ] g
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ((mapₗ f) μ) s = ((mapₗ g) μ) s
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a : FractionRing (𝕎 k)

⊢ a ≠ 0 → ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m, φ b * a = ↑p ^ m * b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a : FractionRing (𝕎 k)

⊢ ∀ (y : 𝕎 k × ↥(nonZeroDivisors (𝕎 k))), Localization.mk y.1 y.2 ≠ 0 → ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m, φ b * Localization.mk y.1 y.2 = ↑p ^ m * b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a : FractionRing (𝕎 k)
r q : 𝕎 k
hq : q ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
hrq : Localization.mk (r, ⟨q, hq⟩).1 (r, ⟨q, hq⟩).2 ≠ 0

⊢ ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m, φ b * Localization.mk (r, ⟨q, hq⟩).1 (r, ⟨q, hq⟩).2 = ↑p ^ m * b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a : FractionRing (𝕎 k)
r q : 𝕎 k
hq : q ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
hrq : Localization.mk (r, ⟨q, hq⟩).1 (r, ⟨q, hq⟩).2 ≠ 0
hq0 : q ≠ 0

⊢ ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m, φ b * Localization.mk (r, ⟨q, hq⟩).1 (r, ⟨q, hq⟩).2 = ↑p ^ m * b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a : FractionRing (𝕎 k)
r q : 𝕎 k
hq : q ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
hrq : Localization.mk (r, ⟨q, hq⟩).1 (r, ⟨q, hq⟩).2 ≠ 0
hq0 : q ≠ 0
hr0 : r ≠ 0

⊢ ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m, φ b * Localization.mk (r, ⟨q, hq⟩).1 (r, ⟨q, hq⟩).2 = ↑p ^ m * b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a : FractionRing (𝕎 k)
q : 𝕎 k
hq : q ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
hq0 : q ≠ 0
m : ℕ
r' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hrq : Localization.mk (↑p ^ m * r', ⟨q, hq⟩).1 (↑p ^ m * r', ⟨q, hq⟩).2 ≠ 0
hr0 : ↑p ^ m * r' ≠ 0

⊢ ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m_1, φ b * Localization.mk (↑p ^ m * r', ⟨q, hq⟩).1 (↑p ^ m * r', ⟨q, hq⟩).2 = ↑p ^ m_1 * b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a : FractionRing (𝕎 k)
m : ℕ
r' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hr0 : ↑p ^ m * r' ≠ 0
n : ℕ
q' : 𝕎 k
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
hq0 : ↑p ^ n * q' ≠ 0
hrq : Localization.mk (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).1 (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).2 ≠ 0

⊢ ∃ b, b ≠ 0 ∧ ∃ m_1, φ b * Localization.mk (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).1 (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).2 = ↑p ^ m_1 * b
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/FrobeniusFractionField.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝² : Field k
inst✝¹ : CharP k p
inst✝ : IsAlgClosed k
a : FractionRing (𝕎 k)
m : ℕ
r' : 𝕎 k
hr' : r'.coeff 0 ≠ 0
hr0 : ↑p ^ m * r' ≠ 0
n : ℕ
q' : 𝕎 k
hq' : q'.coeff 0 ≠ 0
hq : ↑p ^ n * q' ∈ nonZeroDivisors (𝕎 k)
hq0 : ↑p ^ n * q' ≠ 0
hrq : Localization.mk (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).1 (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).2 ≠ 0
b : 𝕎 k := frobeniusRotation p hr' hq'

⊢ φ ((algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b) * Localization.mk (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).1 (↑p ^ m * r', ⟨↑p ^ n * q', hq⟩).2 = ↑p ^ (↑m - ↑n) * (algebraMap (𝕎 k) (FractionRing (𝕎 k))) b
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G

⊢ a / b = c / d ↔ a * d = c * b