ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M✝ : Matrix n n R
i j : n
M : Matrix n n R
h : matPolyEquiv (M.charpoly • 1) = matPolyEquiv (M.charmatrix.adjugate * M.charmatrix)

⊢ (aeval M) M.charpoly = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M✝ : Matrix n n R
i j : n
M : Matrix n n R
h : matPolyEquiv (M.charpoly • 1) = matPolyEquiv M.charmatrix.adjugate * (X - C M)

⊢ (aeval M) M.charpoly = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M✝ : Matrix n n R
i j : n
M : Matrix n n R
h : eval M (matPolyEquiv (M.charpoly • 1)) = eval M (matPolyEquiv M.charmatrix.adjugate * (X - C M))

⊢ (aeval M) M.charpoly = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M✝ : Matrix n n R
i j : n
M : Matrix n n R
h : eval M (matPolyEquiv (M.charpoly • 1)) = 0

⊢ (aeval M) M.charpoly = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M✝ : Matrix n n R
i j : n
M : Matrix n n R
h : eval₂ (algebraMap R (Matrix n n R)) M M.charpoly = 0

⊢ (aeval M) M.charpoly = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : CategoryWithHomology C
inst✝ : (quasiIso C c).HasLocalization
i : ι
x✝² x✝¹ : HomologicalComplex C c
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
hf : quasiIso C c x✝

⊢ IsIso ((homologyFunctor C c i).map x✝)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : CategoryWithHomology C
inst✝ : (quasiIso C c).HasLocalization
i : ι
x✝² x✝¹ : HomologicalComplex C c
x✝ : x✝² ⟶ x✝¹
hf : QuasiIso x✝

⊢ IsIso ((homologyFunctor C c i).map x✝)
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E

⊢ Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = minpoly E x
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x

⊢ Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = minpoly E x
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x

⊢ Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = minpoly E x
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x

⊢ (Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x)).natDegree = (minpoly E x).natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x
hsep' : IsSeparable E x

⊢ (Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x)).natDegree = (minpoly E x).natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x
hsep' : IsSeparable E x
this : Algebra.IsSeparable F ↥F⟮x⟯

⊢ (Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x)).natDegree = (minpoly E x).natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x
hsep' : IsSeparable E x
this✝ : Algebra.IsSeparable F ↥F⟮x⟯
this : Algebra.IsSeparable E ↥E⟮x⟯

⊢ (Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x)).natDegree = (minpoly E x).natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
x : K
hsep : IsSeparable F x
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
hi : IsIntegral F x
hi' : IsIntegral E x
hsep' : IsSeparable E x
this✝² : Algebra.IsSeparable F ↥F⟮x⟯
this✝¹ : Algebra.IsSeparable E ↥E⟮x⟯
this✝ : Algebra.IsAlgebraic F ↥F⟮x⟯
this : Algebra.IsAlgebraic E ↥E⟮x⟯

⊢ (Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x)).natDegree = (minpoly E x).natDegree
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t x : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x_le : x ≤ t

⊢ t.truncateToReal x = x.toReal
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t x : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x_le : x ≤ t
x_lt_top : x < ⊤

⊢ t.truncateToReal x = x.toReal
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
t x : ℝ≥0∞
t_ne_top : t ≠ ⊤
x_le : x ≤ t
x_lt_top : x < ⊤
obs : min t x ≠ ⊤

⊢ t.truncateToReal x = x.toReal
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α

⊢ (freeOn E).Base B ↔ B = E
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuotientPi.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
x : ((i : ι) → Ms i) ⧸ pi Set.univ p
x' : (i : ι) → Ms i

⊢ invFun p (toFun p (Quotient.mk'' x')) = Quotient.mk'' x'
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuotientPi.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
x : ((i : ι) → Ms i) ⧸ pi Set.univ p
x' : (i : ι) → Ms i

⊢ invFun p (toFun p (Quotient.mk x')) = Quotient.mk x'
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuotientPi.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
x : ((i : ι) → Ms i) ⧸ pi Set.univ p
x' : (i : ι) → Ms i

⊢ (piQuotientLift p (pi Set.univ p) single ⋯) ((quotientPiLift p (fun i => (p i).mkQ) ⋯) (Quotient.mk x')) = Quotient.mk x'
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M : Type x
inst✝³ : Monoid M
φ : G →* H
A B C : Type u
inst✝² : CommGroup A
inst✝¹ : CommGroup B
inst✝ : CommGroup C
f : A →* B
g : B →* A
e : A ≃* B
d : B ≃* C
n : ℤ
x : A ⧸ (zpowGroupHom n).range

⊢ (MulEquiv.refl (A ⧸ (zpowGroupHom n).range)) x = (equivQuotientZPowOfEquiv (MulEquiv.refl A) n) x
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝⁵ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝⁴ : Group H
M : Type x
inst✝³ : Monoid M
φ : G →* H
A B C : Type u
inst✝² : CommGroup A
inst✝¹ : CommGroup B
inst✝ : CommGroup C
f : A →* B
g : B →* A
e : A ≃* B
d : B ≃* C
n : ℤ
x : A ⧸ (zpowGroupHom n).range

⊢ (MulEquiv.refl (A ⧸ (zpowGroupHom n).range)) (Quotient.mk'' (Quotient.out' x)) = (equivQuotientZPowOfEquiv (MulEquiv.refl A) n) (Quotient.mk'' (Quotient.out' x))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E
hv : v ∈ Kᗮ

⊢ ↑((orthogonalProjection K) v) = ↑0
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
h : ∀ (i : ι), p i → ∃ i', p' i' ∧ s' i' ⊆ s i
h' : ∀ (i' : ι'), p' i' → ∃ i, p i ∧ s i ⊆ s' i'

⊢ l = l'
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
h : ∀ (i : ι), p i → ∃ i', p' i' ∧ s' i' ⊆ s i
h' : ∀ (i' : ι'), p' i' → ∃ i, p i ∧ s i ⊆ s' i'

⊢ l ≤ l'
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'
h : ∀ (i : ι), p i → ∃ i', p' i' ∧ s' i' ⊆ s i
h' : ∀ (i' : ι'), p' i' → ∃ i, p i ∧ s i ⊆ s' i'

⊢ l' ≤ l
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.num ≠ 0

⊢ ↑(q / r) = ↑q / ↑r
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.num ≠ 0

⊢ ↑(q.num * r.den) / ↑(q.den * r.num) = ↑q.num * ↑r.den / (↑q.den * ↑r.num)
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.num ≠ 0

⊢ ↑(q.den * r.num) ≠ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C

⊢ (α_ X (𝟙_ C) Y).inv ≫ (ρ_ X).hom ▷ Y = X ◁ (λ_ Y).hom
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R

⊢ ⋃ p ∈ associatedPrimes R M, ↑p = {r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r • x = 0}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R

⊢ ⋃ p ∈ associatedPrimes R M, ↑p = {r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r ∈ (Submodule.span R {x}).annihilator}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R

⊢ ∀ i ∈ associatedPrimes R M, ↑i ⊆ {r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r ∈ (Submodule.span R {x}).annihilator}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsNoetherianRing R

⊢ {r | ∃ x, x ≠ 0 ∧ r ∈ (Submodule.span R {x}).annihilator} ⊆ ⋃ p ∈ associatedPrimes R M, ↑p
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : IsOpenMap f
s : Set Y

⊢ f ⁻¹' frontier s ⊆ frontier (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M✝ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g : α → M✝
a b : α
s t : Set α
M : Type u_7
inst✝ : OrderedCommMonoid M
i : α
f : α → M
hf : (mulSupport f).Finite
h : ∀ (j : α), 1 ≤ f j

⊢ f i ≤ ∏ᶠ (j : α), f j
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d

⊢ a = 1 ∨ a = -1 ↔ a.y = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
H : a.y = 0

⊢ a = 1 ∨ a = -1
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
H : a.y = 0
prop : a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 = 1

⊢ a = 1 ∨ a = -1
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
H : a.y = 0
prop : a.x = 1 ∨ a.x = -1

⊢ a = 1 ∨ a = -1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
hf : ker f = ⊥
p p' : Submodule R M

⊢ map f p ≤ map f p' ↔ p ≤ p'
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n

⊢ x = ↑x.valMinAbs ∧ x.valMinAbs * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
y : ℤ
h : x = ↑y ∧ y * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n

⊢ x.valMinAbs = y
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
y : ℤ
h : x = ↑y ∧ y * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n

⊢ x.valMinAbs - y = 0
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
y : ℤ
h : x = ↑y ∧ y * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n

⊢ ↑n ∣ x.valMinAbs - y
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
y : ℤ
h : x = ↑y ∧ y * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n

⊢ |x.valMinAbs - y| < ↑n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
y : ℤ
h : x = ↑y ∧ y * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n

⊢ |x.valMinAbs - y| * 2 < ↑n * 2
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
y : ℤ
h : x = ↑y ∧ y * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n

⊢ |x.valMinAbs - y| * |2| < ↑n * 2
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x : ZMod n
y : ℤ
h : x = ↑y ∧ y * 2 ∈ Set.Ioc (-↑n) ↑n

⊢ -(↑n * 2) < x.valMinAbs * 2 - y * 2 ∧ x.valMinAbs * 2 - y * 2 < ↑n * 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⊢ (o.areaForm x) y = -(o.areaForm y) x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⊢ o.volumeForm ![x, y] = -o.volumeForm ![y, x]
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⊢ ![x, y] = ![y, x] ∘ ⇑(Equiv.swap 0 1)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⊢ 0 ≠ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α✝ : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α✝ i)
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (α✝ i)
μ✝ : (i : ι) → Measure (α✝ i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ✝ i)
α : Type u_4
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : IsEmpty α
β : α → Type u_5
m : (α : α) → MeasurableSpace (β α)
μ : (a : α) → Measure (β a)

⊢ (Measure.pi μ) univ = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V

⊢ e ∈ (G.replaceVertex s t).edgeSet ↔ e ∈ (G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) \ {s(t, t)}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V

⊢ ∀ (x y : V), s(x, y) ∈ (G.replaceVertex s t).edgeSet ↔ s(x, y) ∈ (G.edgeSet \ G.incidenceSet t ∪ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) \ {s(t, t)}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V

⊢ ∀ (x y : V), (if x = t then if y = t then False else G.Adj s y else if y = t then G.Adj x s else G.Adj x y) ↔ (G.Adj x y ∧ ¬(G.Adj x y ∧ (t = x ∨ t = y)) ∨ s(x, y) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) ∧ s(x, y) ∉ {s(t, t)}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : x✝ = t
h✝ : y✝ = t

⊢ False ↔ (G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) ∧ s(x✝, y✝) ∉ {s(t, t)}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : x✝ = t
h✝ : ¬y✝ = t

⊢ G.Adj s y✝ ↔ (G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) ∧ s(x✝, y✝) ∉ {s(t, t)}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : ¬x✝ = t
h✝ : y✝ = t

⊢ G.Adj x✝ s ↔ (G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) ∧ s(x✝, y✝) ∉ {s(t, t)}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
ha : G.Adj s t
e : Sym2 V
x✝ y✝ : V
h✝¹ : ¬x✝ = t
h✝ : ¬y✝ = t

⊢ G.Adj x✝ y✝ ↔ (G.Adj x✝ y✝ ∧ ¬(G.Adj x✝ y✝ ∧ (t = x✝ ∨ t = y✝)) ∨ s(x✝, y✝) ∈ (fun x => s(x, t)) '' G.neighborSet s) ∧ s(x✝, y✝) ∉ {s(t, t)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
h : b ≤ a

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = -∫ (x : ℝ) in Ioc b a, f x ∂μ
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integer.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : S
b' : R
hb : (algebraMap R S) b' = b

⊢ IsInteger R (a • b)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integer.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝ : CommSemiring P
a : R
b : S
b' : R
hb : (algebraMap R S) b' = b

⊢ (algebraMap R S) (a * b') = a • b
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Dyadic.lean
m : ℤ
n : ℕ

⊢ ↑m * powHalf (Submonoid.log (Submonoid.pow 2 n)) = ↑m * powHalf n
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
H : Set.range ⇑g.base ⊆ Set.range ⇑f.base

⊢ lift f g H ≫ f = g
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
H : Set.range ⇑g.base ⊆ Set.range ⇑f.base

⊢ inv (pullback.snd f g) ≫ pullback.fst f g ≫ f = g
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Z
hf : IsOpenImmersion f
g : Y ⟶ Z
s : PullbackCone f g
H : Set.range ⇑g.base ⊆ Set.range ⇑f.base

⊢ pullback.fst f g ≫ f = pullback.snd f g ≫ g
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n

⊢ p.rev.succAbove i = (p.succAbove i.rev).rev
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
h : i.succ ≤ p.rev

⊢ p.rev.succAbove i = (p.succAbove i.rev).rev
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p : Fin (n + 1)
i : Fin n
h : p.rev ≤ i.castSucc

⊢ p.rev.succAbove i = (p.succAbove i.rev).rev
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H✝ K : Subgroup G
k : Set G
H H' : Subgroup G

⊢ H ⊔ H' = closure (↑H ∪ ↑H')
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (μ.restrict t).restrict s = (μ.restrict s).restrict t
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hst : s ⊆ t
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

⊢ ∫⋯∫⁻_t, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_t, g ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/ExistsOfLE.lean
α : Type u
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : ExistsMulOfLE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : ∀ (ε : α), 1 < ε → a ≤ b * ε
x : α
hxb : b < x

⊢ a ≤ x
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/ExistsOfLE.lean
α : Type u
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : DenselyOrdered α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : ExistsMulOfLE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : ∀ (ε : α), 1 < ε → a ≤ b * ε
ε : α
hxb : b < b * ε

⊢ a ≤ b * ε
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Subsingleton R

⊢ p.degree = ⊥
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
n : ℤ
hpn : IsCoprime n ↑p
this✝ : Fact (Nat.Prime p)
this : ¬↑n = 0

⊢ n ^ (p - 1) ≡ 1 [ZMOD ↑p]
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s t : Set X

⊢ 𝓝ˢ s = 𝓝ˢ t ↔ s = t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s t : Set X

⊢ 𝓝ˢ s ≤ 𝓝ˢ t ∧ 𝓝ˢ t ≤ 𝓝ˢ s ↔ s ≤ t ∧ t ≤ s
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MulOneClass α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a * b < b

⊢ a * b < 1 * b