ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S

⊢ (univ R n).coeff (Fintype.card n) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S

⊢ (univ ℤ n).coeff (Fintype.card n) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S

⊢ (univ ℤ n).coeff (univ ℤ n).natDegree = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ ψ : Angle
h : 2 • θ = 2 • ψ

⊢ θ.tan = ψ.tan
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ ψ : Angle
h : θ = ψ ∨ θ = ψ + ↑π

⊢ θ.tan = ψ.tan
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
f : P1 →ᵃ[k] P2
p₀ p₁ : P1
c : k

⊢ f ((lineMap p₀ p₁) c) = (lineMap (f p₀) (f p₁)) c
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HSpaces.lean
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y

⊢ delayReflLeft 0 γ = (refl x).trans γ
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Biproducts.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X Y
inst✝ : PreservesBinaryBiproduct X Y F
W : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y

⊢ lift (F.map f) (F.map g) ≫ (F.mapBiprod X Y).inv = F.map (lift f g)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), x • y • z = y • x • z

⊢ SMulCommClass M N α
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), x • y • z = y • x • z
x : M

⊢ ∀ (n : N) (a : α), 1 • n • a = n • 1 • a
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), x • y • z = y • x • z
x : M

⊢ ∀ x ∈ s, ∀ (y : M), (∀ (n : N) (a : α), y • n • a = n • y • a) → ∀ (n : N) (a : α), (x * y) • n • a = n • (x * y) • a
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

⊢ Set.range (sum_to C ho) = GoodProducts (π C fun x => ord I x < o) ∪ MaxProducts C ho
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
h : Set.range (sum_to C ho) = Set.range Subtype.val ∪ Set.range Subtype.val

⊢ Set.range (sum_to C ho) = GoodProducts (π C fun x => ord I x < o) ∪ MaxProducts C ho
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/CongruenceSubgroups.lean
N✝ N : ℕ
g : ConjAct SL(2, ℤ)

⊢ g • Gamma N = Gamma N
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : TopologicalSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace δ
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β
inst✝⁹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁸ : BorelSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : PseudoMetrizableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : SecondCountableTopologyEither β γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : PseudoMetrizableSpace δ
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace δ
inst✝ : SecondCountableTopology δ
g : β → γ → δ
hg : Measurable (uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ

⊢ comp₂Measurable g hg f₁ f₂ = mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹⁴ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝¹³ : TopologicalSpace β
inst✝¹² : TopologicalSpace γ
inst✝¹¹ : TopologicalSpace δ
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace β
inst✝⁹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝⁸ : BorelSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : PseudoMetrizableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : SecondCountableTopologyEither β γ
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : PseudoMetrizableSpace δ
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace δ
inst✝ : SecondCountableTopology δ
g : β → γ → δ
hg : Measurable (uncurry g)
f₁ : α →ₘ[μ] β
f₂ : α →ₘ[μ] γ

⊢ mk (uncurry g ∘ fun x => (↑f₁ x, ↑f₂ x)) ⋯ = mk (fun a => g (↑f₁ a) (↑f₂ a)) ⋯
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hcs' : μ s ≠ ⊤
t : Set Ω

⊢ μ[|s] t * μ s = μ (s ∩ t)
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hcs' : μ s ≠ ⊤
t : Set Ω
hcs : μ s = 0

⊢ μ[|s] t * μ s = μ (s ∩ t)
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t✝ : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hcs' : μ s ≠ ⊤
t : Set Ω
hcs : μ s ≠ 0

⊢ μ[|s] t * μ s = μ (s ∩ t)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Lattice (α i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i
i : ι
a : α i

⊢ update f i '' uIcc a (f i) = uIcc (update f i a) f
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Module R M
S : Submodule R M
inst✝ : S.IsPrincipal

⊢ S = ⊥ ↔ generator S = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Subcategory.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h : S.P T.obj₁

⊢ S.W T.mor₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Subcategory.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
T : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
h : S.P T.obj₁

⊢ ∃ X f h, ∃ (_ : Triangle.mk f T.mor₂ h ∈ distinguishedTriangles), S.P X
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y z x✝ : R

⊢ x✝ ∈ span {x + y * z, y} ↔ x✝ ∈ span {x, y}
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y z x✝ : R

⊢ (∃ a b, a * (x + y * z) + b * y = x✝) ↔ ∃ a b, a * x + b * y = x✝
-- Mathlib/Topology/Compactness/Paracompact.lean
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
α : Type v
s : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen (s a)
hu : ⋃ a, s a = univ

⊢ ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ s a
-- Mathlib/Topology/Compactness/Paracompact.lean
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
α : Type v
s : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen (s a)
hu : ⋃ a, s a = univ
U : α → Set Y
hUo : ∀ (a : α), IsOpen (U a)
hU : ∀ (a : α), e ⁻¹' U a = s a

⊢ ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ s a
-- Mathlib/Topology/Compactness/Paracompact.lean
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
α : Type v
s : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen (s a)
U : α → Set Y
hUo : ∀ (a : α), IsOpen (U a)
hU : ∀ (a : α), e ⁻¹' U a = s a
hu : ⋃ a, e ⁻¹' U a = univ

⊢ ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ e ⁻¹' U a
-- Mathlib/Topology/Compactness/Paracompact.lean
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
α : Type v
s : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen (s a)
U : α → Set Y
hUo : ∀ (a : α), IsOpen (U a)
hU : ∀ (a : α), e ⁻¹' U a = s a
hu : ⋃ a, e ⁻¹' U a = univ
heU : range e ⊆ ⋃ i, U i

⊢ ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ e ⁻¹' U a
-- Mathlib/Topology/Compactness/Paracompact.lean
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
α : Type v
s : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen (s a)
U : α → Set Y
hUo : ∀ (a : α), IsOpen (U a)
hU : ∀ (a : α), e ⁻¹' U a = s a
hu : ⋃ a, e ⁻¹' U a = univ
heU : range e ⊆ ⋃ i, U i
V : α → Set Y
hVo : ∀ (i : α), IsOpen (V i)
heV : range e ⊆ ⋃ i, V i
hVf : LocallyFinite V
hVU : ∀ (i : α), V i ⊆ U i

⊢ ∃ β t, (∀ (b : β), IsOpen (t b)) ∧ ⋃ b, t b = univ ∧ LocallyFinite t ∧ ∀ (b : β), ∃ a, t b ⊆ e ⁻¹' U a
-- Mathlib/Topology/Compactness/Paracompact.lean
ι : Type u
X : Type v
Y : Type w
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : ParacompactSpace Y
e : X → Y
he : ClosedEmbedding e
α : Type v
s : α → Set X
ho : ∀ (a : α), IsOpen (s a)
U : α → Set Y
hUo : ∀ (a : α), IsOpen (U a)
hU : ∀ (a : α), e ⁻¹' U a = s a
hu : ⋃ a, e ⁻¹' U a = univ
heU : range e ⊆ ⋃ i, U i
V : α → Set Y
hVo : ∀ (i : α), IsOpen (V i)
heV : range e ⊆ ⋃ i, V i
hVf : LocallyFinite V
hVU : ∀ (i : α), V i ⊆ U i

⊢ ⋃ b, (fun a => e ⁻¹' V a) b = univ
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
β : ι✝ → Type u_4
inst✝⁵ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → PseudoMetricSpace (α✝ i)
inst✝³ : (i : ι✝) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝² : Fintype ι✝
ι : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
α : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
f g : PiLp ⊤ α

⊢ ⨆ i, edist (f i) (g i) ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
β : ι✝ → Type u_4
inst✝⁵ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → PseudoMetricSpace (α✝ i)
inst✝³ : (i : ι✝) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝² : Fintype ι✝
ι : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
α : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
f g : PiLp ⊤ α
val✝ : Fintype ι

⊢ ⨆ i, edist (f i) (g i) ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
β : ι✝ → Type u_4
inst✝⁵ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → PseudoMetricSpace (α✝ i)
inst✝³ : (i : ι✝) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝² : Fintype ι✝
ι : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
α : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
f g : PiLp ⊤ α
val✝ : Fintype ι
M : { r // 0 ≤ r }
hM : ∀ (i : ι), ⟨dist (f i) (g i), ⋯⟩ ≤ M

⊢ ⨆ i, edist (f i) (g i) ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
β : ι✝ → Type u_4
inst✝⁵ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → PseudoMetricSpace (α✝ i)
inst✝³ : (i : ι✝) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝² : Fintype ι✝
ι : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
α : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
f g : PiLp ⊤ α
val✝ : Fintype ι
M : { r // 0 ≤ r }
hM : ∀ (i : ι), ⟨dist (f i) (g i), ⋯⟩ ≤ M
i : ι

⊢ edist (f i) (g i) ≤ ↑M
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι✝ : Type u_2
α✝ : ι✝ → Type u_3
β : ι✝ → Type u_4
inst✝⁵ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁴ : (i : ι✝) → PseudoMetricSpace (α✝ i)
inst✝³ : (i : ι✝) → PseudoEMetricSpace (β i)
inst✝² : Fintype ι✝
ι : Type u_5
inst✝¹ : Finite ι
α : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → PseudoMetricSpace (α i)
f g : PiLp ⊤ α
val✝ : Fintype ι
M : { r // 0 ≤ r }
hM : ∀ (i : ι), ⟨dist (f i) (g i), ⋯⟩ ≤ M
i : ι

⊢ ↑⟨dist (f i) (g i), ⋯⟩ ≤ ↑M
-- Mathlib/RingTheory/TwoSidedIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
I : TwoSidedIdeal R
x y : R
hy : y ∈ I

⊢ x * y ∈ I
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ t : Set α
s : Finset α
inst✝ : Fintype ↑t

⊢ s ⊆ t.toFinset ↔ ↑s ⊆ t
-- Mathlib/Algebra/Homology/ComplexShapeSigns.lean
I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : TotalComplexShape c₂ c₁ c₁₂
inst✝ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c₁₂
i₁ : I₁
i₂ : I₂

⊢ c₂.π c₁ c₁₂ (i₂, i₁) = c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLog.lean
x : ℝ≥0∞

⊢ x⁻¹.log = -x.log
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
V : ι → Type u_4
hc : Fintype.card ι < n

⊢ (completeMultipartiteGraph V).CliqueFree n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
V : ι → Type u_4
hc : Fintype.card ι < n

⊢ ⊤ ↪g completeMultipartiteGraph V → False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
V : ι → Type u_4
hc : Fintype.card ι < n
f : ⊤ ↪g completeMultipartiteGraph V

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
V : ι → Type u_4
hc : Fintype.card ι < n
f : ⊤ ↪g completeMultipartiteGraph V
v w : Fin n
hn : v ≠ w
he : (Sigma.fst ∘ ⇑f) v = (Sigma.fst ∘ ⇑f) w

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
ι : Type u_3
inst✝ : Fintype ι
V : ι → Type u_4
hc : Fintype.card ι < n
f : ⊤ ↪g completeMultipartiteGraph V
v w : Fin n
hn : (f v).fst ≠ (f w).fst
he : (Sigma.fst ∘ ⇑f) v = (Sigma.fst ∘ ⇑f) w

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : X →ᵇ E

⊢ ‖∫ (x : X), f x ∂μ‖ ≤ ‖f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
f : X →ᵇ E

⊢ ‖f‖ = (μ Set.univ).toReal * ‖f‖
-- Mathlib/Order/Filter/CardinalInter.lean
ι α β : Type u
c : Cardinal.{u}
l : Filter α
inst✝¹ : CardinalInterFilter l c
g : Set (Set α)
f : Filter α
inst✝ : CardinalInterFilter f c
hc : 2 < c
h : g ⊆ f.sets
s : Set α
hs : s ∈ cardinalGenerate g hc

⊢ s ∈ f
-- Mathlib/InformationTheory/Hamming.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
x y z : (i : ι) → β i

⊢ hammingDist x z ≤ hammingDist x y + hammingDist y z
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Trim.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0

⊢ Measure.trim 0 hm = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(Lp E 1 μ)
hC : 0 ≤ C

⊢ ‖setToFun μ T hT ↑↑f‖ ≤ C * ‖f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
f : ↥(Lp E 1 μ)
hC : 0 ≤ C

⊢ ‖(L1.setToL1 hT) f‖ ≤ C * ‖f‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
t : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (s n)

⊢ μ (limsup s atTop) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
t : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (s n)
ht : ∑' (i : ℕ), μ (t i) ≠ ⊤

⊢ μ (limsup s atTop) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
t : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (s n)
ht : ∑' (i : ℕ), μ (t i) ≠ ⊤

⊢ μ (limsup t atTop) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
t : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (s n)
ht : ∑' (i : ℕ), μ (t i) ≠ ⊤

⊢ μ (⋂ n, ⋃ i, t (i + n)) ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
t : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (s n)
ht : ∑' (i : ℕ), μ (t i) ≠ ⊤

⊢ Antitone fun n => ⋃ i, t (i + n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
t : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (s n)
ht : ∑' (i : ℕ), μ (t i) ≠ ⊤
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
x : α

⊢ x ∈ (fun n => ⋃ i, t (i + n)) m → x ∈ (fun n => ⋃ i, t (i + n)) n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
hs : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
t : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (s n)
ht : ∑' (i : ℕ), μ (t i) ≠ ⊤
n m : ℕ
hnm : n ≤ m
x : α

⊢ (∃ i, x ∈ t (i + m)) → ∃ i, x ∈ t (i + n)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n : ℕ
x y : ZMod n

⊢ (x * y).cast = x.cast * y.cast % ↑n
-- Mathlib/Topology/Order/Hom/Esakia.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : Preorder δ
g : PseudoEpimorphism β γ
f₁ f₂ : PseudoEpimorphism α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α

⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Lemmas.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
n : ℕ
x : 𝕜
s : Set 𝕜
hx : x ∈ s
h : UniqueDiffOn 𝕜 s
f g : 𝕜 → F

⊢ iteratedDerivWithin n (-f) s x = -iteratedDerivWithin n f s x
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
f : J → C
X : C
j : J

⊢ biproduct.ι f j ▷ X ≫ (rightDistributor f X).hom = biproduct.ι (fun j => f j ⊗ X) j
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
c : Char
l r : List Char
it : Iterator
h : ValidFor (c :: l) r it

⊢ ValidFor l (c :: r) it.prev
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
c : Char
l r : List Char
h : ValidFor (c :: l) r { s := { data := (c :: l).reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len (c :: l).reverse } }

⊢ ValidFor l (c :: r) { s := { data := (c :: l).reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len (c :: l).reverse } }.prev
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
c : Char
l r : List Char
h : ValidFor (c :: l) r { s := { data := (c :: l).reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len (c :: l).reverse } }
this : { data := l.reverse ++ c :: r }.prev { byteIdx := utf8Len l.reverse + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l.reverse }

⊢ ValidFor l (c :: r) { s := { data := (c :: l).reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len (c :: l).reverse } }.prev
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
c : Char
l r : List Char
h : ValidFor (c :: l) r { s := { data := (c :: l).reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len (c :: l).reverse } }
this : { data := l.reverse ++ c :: r }.prev { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l }

⊢ ValidFor l (c :: r) { s := { data := (c :: l).reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len (c :: l).reverse } }.prev
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
c : Char
l r : List Char
h : ValidFor (c :: l) r { s := { data := (c :: l).reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len (c :: l).reverse } }
this : { data := l.reverse ++ c :: r }.prev { byteIdx := utf8Len l + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l }

⊢ ValidFor l (c :: r) { s := { data := l.reverse ++ c :: r }, i := { byteIdx := utf8Len l } }
-- Mathlib/Data/Matrix/ColumnRowPartitioned.lean
R : Type u_1
m : Type u_2
m₁ : Type u_3
m₂ : Type u_4
n : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
inst✝¹² : Fintype m
inst✝¹¹ : Fintype m₁
inst✝¹⁰ : Fintype m₂
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Fintype n₁
inst✝⁷ : Fintype n₂
inst✝⁶ : DecidableEq m
inst✝⁵ : DecidableEq m₁
inst✝⁴ : DecidableEq m₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq n₁
inst✝¹ : DecidableEq n₂
inst✝ : Semiring R
A₁ : Matrix m m₁ R
A₂ : Matrix m m₂ R
B₁₁ : Matrix m₁ n₁ R
B₁₂ : Matrix m₁ n₂ R
B₂₁ : Matrix m₂ n₁ R
B₂₂ : Matrix m₂ n₂ R

⊢ A₁.fromColumns A₂ * fromBlocks B₁₁ B₁₂ B₂₁ B₂₂ = (A₁ * B₁₁ + A₂ * B₂₁).fromColumns (A₁ * B₁₂ + A₂ * B₂₂)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Impartial.lean
G✝ : PGame
inst✝¹ : G✝.Impartial
G : PGame
inst✝ : G.Impartial

⊢ G ⧏ 0 ↔ 0 ⧏ G
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b : ℕ
hb₀ : (b / 2).beq 0 = false
ha : a % 2 = 0
hb₁ : b % 2 = 0

⊢ jacobiSymNat a b = 0
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b : ℕ
hb₀ : (b / 2).beq 0 = false
ha : a % 2 = 0
hb₁ : b % 2 = 0
hf : (↑a).gcd ↑b = 1

⊢ False
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b : ℕ
hb₀ : (b / 2).beq 0 = false
ha : a % 2 = 0
hb₁ : b % 2 = 0
hf : (↑a).gcd ↑b = 1
h : 2 ∣ a.gcd b

⊢ False
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b : ℕ
hb₀ : (b / 2).beq 0 = false
ha : a % 2 = 0
hb₁ : b % 2 = 0
hf : (↑a).gcd ↑b = 1
h : 2 ∣ (↑a).gcd ↑b

⊢ False
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b : ℕ
hb₀ : (b / 2).beq 0 = false
ha : a % 2 = 0
hb₁ : b % 2 = 0
hf : (↑a).gcd ↑b = 1
h : Even 1

⊢ False