ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/SecondInter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0

⊢ s.secondInter (s.secondInter p v) v = p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/SecondInter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
hv' : ⟪v, v⟫_ℝ ≠ 0

⊢ s.secondInter (s.secondInter p v) v = p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/SecondInter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
hv' : ⟪v, v⟫_ℝ ≠ 0

⊢ (-2 * (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ + ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) / ⟪v, v⟫_ℝ) • v + (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ / ⟪v, v⟫_ℝ) • v +ᵥ p = p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/SecondInter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
hv' : ⟪v, v⟫_ℝ ≠ 0

⊢ ((-2 * (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ + ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) + -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) / ⟪v, v⟫_ℝ) • v = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/SecondInter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
hv' : ⟪v, v⟫_ℝ ≠ 0

⊢ (-2 * (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ + ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) + -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) / ⟪v, v⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/SecondInter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p : P
v : V
hv : ¬v = 0
hv' : ⟪v, v⟫_ℝ ≠ 0

⊢ -2 * (-2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ + ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ) + -2 * ⟪v, p -ᵥ s.center⟫_ℝ = 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/Basic.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M
r : MonoidAlgebra k G
m : RestrictScalars k (MonoidAlgebra k G) M

⊢ ((ofModule M).asAlgebraHom r) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm (r • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Basic.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M
r : MonoidAlgebra k G
m : RestrictScalars k (MonoidAlgebra k G) M

⊢ ∀ (g : G), ((ofModule M).asAlgebraHom ((of k G) g)) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm ((of k G) g • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Basic.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M
r : MonoidAlgebra k G
m : RestrictScalars k (MonoidAlgebra k G) M

⊢ ∀ (f g : MonoidAlgebra k G), ((ofModule M).asAlgebraHom f) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm (f • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m) → ((ofModule M).asAlgebraHom g) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm (g • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m) → ((ofModule M).asAlgebraHom (f + g)) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm ((f + g) • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Basic.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
ρ : Representation k G V
M : Type u_4
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module (MonoidAlgebra k G) M
r : MonoidAlgebra k G
m : RestrictScalars k (MonoidAlgebra k G) M

⊢ ∀ (r : k) (f : MonoidAlgebra k G), ((ofModule M).asAlgebraHom f) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm (f • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m) → ((ofModule M).asAlgebraHom (r • f)) m = (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M).symm ((r • f) • (RestrictScalars.addEquiv k (MonoidAlgebra k G) M) m)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Interval.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝² : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f g : Π₀ (i : ι), α i

⊢ (Ioo f g).card = ∏ i ∈ f.support ∪ g.support, (Icc (f i) (g i)).card - 2
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n : ℕ

⊢ antidiagonal n = image (fun i => (i, n - i)) (range (n + 1))
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct.lean
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass R A M₁
inst✝³ : SMulCommClass A R M₁
inst✝² : IsScalarTower R A M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Invertible 2
Q₁ Q₂ : QuadraticForm A (A ⊗[R] M₂)
h : ∀ (m : M₂), Q₁ (1 ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (1 ⊗ₜ[R] m)

⊢ Q₁ = Q₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct.lean
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass R A M₁
inst✝³ : SMulCommClass A R M₁
inst✝² : IsScalarTower R A M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Invertible 2
Q₁ Q₂ : QuadraticForm A (A ⊗[R] M₂)
h : ∀ (a : A) (m : M₂), Q₁ (a ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (a ⊗ₜ[R] m)

⊢ Q₁ = Q₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct.lean
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : CommRing A
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₂
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass R A M₁
inst✝³ : SMulCommClass A R M₁
inst✝² : IsScalarTower R A M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Invertible 2
Q₁ Q₂ : QuadraticForm A (A ⊗[R] M₂)
h : ∀ (a : A) (m : M₂), Q₁ (a ⊗ₜ[R] m) = Q₂ (a ⊗ₜ[R] m)
x : A ⊗[R] M₂

⊢ Q₁ x = Q₂ x
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ

⊢ ↑(mersenne p) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p : ℕ

⊢ (2 ^ p - 1).minFac ∣ 2 ^ p - 1
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
π : δ → Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : (a : δ) → MeasurableSpace (π a)
inst✝ : MeasurableSpace γ
i : δ

⊢ Measurable ⋯.mp
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ (b ⇨ c) ⊓ (a ⇨ b) ⊓ a ≤ c
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
f : α → β → γ
g : γ → δ

⊢ g '' image2 f ↑s ↑t = image2 (fun a b => g (f a b)) ↑s ↑t
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
hsc : sᶜ.Finite

⊢ Finite α
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
hsc : sᶜ.Finite

⊢ (s ∪ sᶜ).Finite
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r : ℝ

⊢ r.toNNReal < 1 ↔ r < 1
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α

⊢ ↑(toIcoMod hp a z✝) = ↑z✝
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a z✝ : α

⊢ -toIcoDiv hp a z✝ • p ∈ AddSubgroup.zmultiples p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
k : ℝ
hk_ne_one : k ≠ 1
hk : x + y = k • (x - y)
r : ℝ := (k - 1)⁻¹ * (k + 1)

⊢ ‖x - y‖ * ‖x + y‖ = |‖z + y‖ ^ 2 - ‖z - x‖ ^ 2|
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
k : ℝ
hk_ne_one : k ≠ 1
hk : x + y = k • (x - y)
r : ℝ := (k - 1)⁻¹ * (k + 1)
hxy : x = r • y

⊢ ‖x - y‖ * ‖x + y‖ = |‖z + y‖ ^ 2 - ‖z - x‖ ^ 2|
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
k : ℝ
hk_ne_one : k ≠ 1
hk : x + y = k • (x - y)
r : ℝ := (k - 1)⁻¹ * (k + 1)
hxy : x = r • y
hzy : ⟪z, y⟫_ℝ = 0

⊢ ‖x - y‖ * ‖x + y‖ = |‖z + y‖ ^ 2 - ‖z - x‖ ^ 2|
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y z : V
h₂ : ‖z - y‖ = ‖z + y‖
k : ℝ
hk_ne_one : k ≠ 1
hk : x + y = k • (x - y)
r : ℝ := (k - 1)⁻¹ * (k + 1)
hxy : x = r • y
hzy : ⟪z, y⟫_ℝ = 0
hzx : ⟪z, x⟫_ℝ = 0

⊢ ‖x - y‖ * ‖x + y‖ = |‖z + y‖ ^ 2 - ‖z - x‖ ^ 2|
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Semiring α
m✝ n✝ m n : ℕ

⊢ ↑(m ^ (n + 1)) = ↑m ^ (n + 1)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M

⊢ (f.extend I).target = ↑I '' f.target
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
f : α →. β
h : Partrec f
n : α
x✝ : Unit

⊢ x✝ ∈ Part.map (fun b => ()) (f n) ↔ x✝ ∈ Part.assert ((fun a => (f a).Dom) n) fun x => Part.some ()
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0

⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
n : ℕ
hk0 : 1 ≠ 0

⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD 1]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k

⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !

⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs

⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac

⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac
hprime : Fact (Prime p)

⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac
hprime : Fact (Prime p)
hroot : (cyclotomic k (ZMod p)).IsRoot ((castRingHom (ZMod p)) b)

⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac
hprime : Fact (Prime p)
hroot : (cyclotomic k (ZMod p)).IsRoot ((castRingHom (ZMod p)) b)
hpb : ¬p ∣ b

⊢ ∃ p, Prime p ∧ n < p ∧ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac
hprime : Fact (Prime p)
hroot : (cyclotomic k (ZMod p)).IsRoot ((castRingHom (ZMod p)) b)
hpb : ¬p ∣ b
habs : p ≤ n

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/PrimesCongruentOne.lean
k n : ℕ
hk0 : k ≠ 0
hk1 : 1 < k
b : ℕ := k * n !
hgt : 1 < (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs
p : ℕ := (eval (↑b) (cyclotomic k ℤ)).natAbs.minFac
hprime : Fact (Prime p)
hroot : (cyclotomic k (ZMod p)).IsRoot ((castRingHom (ZMod p)) b)
hpb : ¬p ∣ b

⊢ p ≡ 1 [MOD k]
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
c : E
x : α

⊢ ‖⟪f x, c⟫_𝕜‖ ≤ ?m.10083 * ‖f x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
c : E
x : α

⊢ ‖⟪f x, c⟫_𝕜‖ ≤ ‖f x‖ * ?m.10603
-- Mathlib/Topology/Instances/Discrete.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α

⊢ ⊥ = generateFrom {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a}
-- Mathlib/Topology/Instances/Discrete.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α

⊢ IsOpen {a}
-- Mathlib/Topology/Instances/Discrete.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
h_singleton_eq_inter : {a} = Iio (succ a) ∩ Ioi (pred a)

⊢ IsOpen {a}
-- Mathlib/Topology/Instances/Discrete.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
h_singleton_eq_inter : {a} = Iio (succ a) ∩ Ioi (pred a)
this : TopologicalSpace α := Preorder.topology α

⊢ IsOpen (Iio (succ a) ∩ Ioi (pred a))
-- Mathlib/Topology/Instances/Discrete.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
h_singleton_eq_inter : {a} = Iio (succ a) ∩ Ioi (pred a)
this : TopologicalSpace α := Preorder.topology α

⊢ IsOpen (Iio (succ a))
-- Mathlib/Topology/Instances/Discrete.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : PredOrder α
inst✝² : SuccOrder α
inst✝¹ : NoMinOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
h_singleton_eq_inter : {a} = Iio (succ a) ∩ Ioi (pred a)
this : TopologicalSpace α := Preorder.topology α

⊢ IsOpen (Ioi (pred a))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
F : Filter R

⊢ Cauchy F ↔ F.NeBot ∧ ∀ (γ : Γ₀ˣ), ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, v (y - x) < ↑γ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
F : Filter R

⊢ (F.NeBot ∧ ∀ U ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U) ↔ F.NeBot ∧ ∀ (γ : Γ₀ˣ), ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, v (y - x) < ↑γ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
F : Filter R

⊢ (∀ U ∈ RingFilterBasis.toAddGroupFilterBasis, ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U) ↔ ∀ (γ : Γ₀ˣ), ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, v (y - x) < ↑γ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
F : Filter R

⊢ (∀ (U : Set R), (∃ i, U = ↑(v.ltAddSubgroup i)) → ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, y - x ∈ U) ↔ ∀ (γ : Γ₀ˣ), ∃ M ∈ F, ∀ x ∈ M, ∀ y ∈ M, v (y - x) < ↑γ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source

⊢ LiftPropWithinAt P g s x ↔ ContinuousWithinAt g s x ∧ LiftPropWithinAt P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source

⊢ ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) → ContinuousWithinAt (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
h : ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)

⊢ ContinuousWithinAt (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
h : ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
h1 : ContinuousWithinAt (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e.symm.symm x)

⊢ ContinuousWithinAt (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : TopologicalSpace H'
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : HasGroupoid M' G'
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
hf : f ∈ maximalAtlas M' G'
xf : g x ∈ f.source
h : ContinuousWithinAt g s x ∧ P (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
h1 : ContinuousWithinAt (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e.symm.symm x)
this : ContinuousAt (↑f) ((g ∘ ↑e.symm) (↑e x))

⊢ ContinuousWithinAt (↑f ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s

⊢ f.lintegral μ = ∑ x ∈ s, x * μ (↑f ⁻¹' {x})
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s

⊢ ∀ (a : ℝ≥0∞) (h₁ : a ∈ f.range) (h₂ : a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ 0), (fun r x x => r) a h₁ h₂ ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s

⊢ ∀ (a₁ : ℝ≥0∞) (h₁₁ : a₁ ∈ f.range) (h₁₂ : a₁ * μ (↑f ⁻¹' {a₁}) ≠ 0) (a₂ : ℝ≥0∞) (h₂₁ : a₂ ∈ f.range) (h₂₂ : a₂ * μ (↑f ⁻¹' {a₂}) ≠ 0), (fun r x x => r) a₁ h₁₁ h₁₂ = (fun r x x => r) a₂ h₂₁ h₂₂ → a₁ = a₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s

⊢ ∀ b ∈ s, b * μ (↑f ⁻¹' {b}) ≠ 0 → ∃ a, ∃ (h₁ : a ∈ f.range) (h₂ : a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ 0), (fun r x x => r) a h₁ h₂ = b
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : Finset ℝ≥0∞
hs : ∀ (x : α), ↑f x ≠ 0 → μ (↑f ⁻¹' {↑f x}) ≠ 0 → ↑f x ∈ s

⊢ ∀ (a : ℝ≥0∞) (h₁ : a ∈ f.range) (h₂ : a * μ (↑f ⁻¹' {a}) ≠ 0), a * μ (↑f ⁻¹' {a}) = (fun r x x => r) a h₁ h₂ * μ (↑f ⁻¹' {(fun r x x => r) a h₁ h₂})
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
n p : ℕ

⊢ p ∈ n.primeFactorsList ↔ Prime p ∧ p ∣ n ∧ n ≠ 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫ (x : γ), κ.density ν a x s ∂ν a = ((κ a) (univ ×ˢ s)).toReal
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ

⊢ ∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), (x * y).coeff (n + 1) = x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/MulCoeff.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : CharP k p
n : ℕ
f : TruncatedWittVector p (n + 1) k → TruncatedWittVector p (n + 1) k → k
hf : ∀ (x y : 𝕎 k), f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y) = (x * y).coeff (n + 1) - y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) - x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1)

⊢ ∃ f, ∀ (x y : 𝕎 k), (x * y).coeff (n + 1) = x.coeff (n + 1) * y.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + y.coeff (n + 1) * x.coeff 0 ^ p ^ (n + 1) + f (truncateFun (n + 1) x) (truncateFun (n + 1) y)