ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝¹ : μ
s : Finset ι
n✝ : μ
f : ι → μ
n x₁ x₂ : μ

⊢ (∃ a ∈ univ.piAntidiag n, a = (Equiv.boolArrowEquivProd μ).symm (x₁, x₂)) ↔ (x₁, x₂) ∈ antidiagonal n
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
s : Set (β → M)
h : A.Definable L s
f : α ≃ β

⊢ A.Definable L ((fun g => g ∘ ⇑f) '' s)
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
s : Set (β → M)
h : A.Definable L s
f : α ≃ β

⊢ (fun g => g ∘ ⇑f.symm) ⁻¹' s = (fun g => g ∘ ⇑f) '' s
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
s : Set (β → M)
h : A.Definable L s
f : α ≃ β

⊢ Function.LeftInverse (fun g => g ∘ ⇑f.symm) fun g => g ∘ ⇑f
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s✝ : Set (α → M)
s : Set (β → M)
h : A.Definable L s
f : α ≃ β

⊢ Function.RightInverse (fun g => g ∘ ⇑f.symm) fun g => g ∘ ⇑f
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
e : ι ≃ ι₂
f : (i : ι) → s i

⊢ (lift { toFun := ⇑(tprod R) ∘ ⇑(Equiv.piCongrLeft' s e), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) ((tprod R) f) = (tprod R) fun i => f (e.symm i)
-- Mathlib/Data/Finset/NatDivisors.lean
m n k : ℕ

⊢ k ∈ (m * n).divisors ↔ k ∈ m.divisors * n.divisors
-- Mathlib/Data/Finset/NatDivisors.lean
m n k : ℕ

⊢ (∃ x x_1, (x ∣ m ∧ x_1 ∣ n ∧ x * x_1 = k) ∧ m ≠ 0 ∧ n ≠ 0) ↔ ∃ y x, (y ∣ m ∧ m ≠ 0) ∧ (x ∣ n ∧ n ≠ 0) ∧ y * x = k
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
inst✝ : NoAtoms μ

⊢ μ {b} ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/ZPow.lean
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m : ℤ
n : ℕ
x : 𝕜
k : ℕ

⊢ deriv^[k] (fun x => x ^ n) x = (∏ i ∈ Finset.range k, (↑n - ↑i)) * x ^ (n - k)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/ZPow.lean
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m : ℤ
n : ℕ
x : 𝕜
k : ℕ

⊢ (∏ x ∈ Finset.range k, (↑n - ↑x)) * x ^ (↑n - ↑k) = (∏ i ∈ Finset.range k, (↑n - ↑i)) * x ^ ↑(n - k)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/ZPow.lean
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m : ℤ
n : ℕ
x : 𝕜
k : ℕ
hkn : k ≤ n

⊢ (∏ x ∈ Finset.range k, (↑n - ↑x)) * x ^ (↑n - ↑k) = (∏ i ∈ Finset.range k, (↑n - ↑i)) * x ^ ↑(n - k)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/ZPow.lean
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m : ℤ
n : ℕ
x : 𝕜
k : ℕ
hnk : n < k

⊢ (∏ x ∈ Finset.range k, (↑n - ↑x)) * x ^ (↑n - ↑k) = (∏ i ∈ Finset.range k, (↑n - ↑i)) * x ^ ↑(n - k)
-- Mathlib/Topology/Algebra/GroupWithZero.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : TopologicalSpace G₀
inst✝ : HasContinuousInv₀ G₀
x : G₀
hx : x ≠ 0

⊢ 𝓝 x⁻¹ = (𝓝 x)⁻¹
-- Mathlib/Topology/Algebra/GroupWithZero.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G₀ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : TopologicalSpace G₀
inst✝ : HasContinuousInv₀ G₀
x : G₀
hx : x ≠ 0

⊢ (𝓝 x⁻¹)⁻¹ ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι R M
Q : QuadraticMap R M N
w : ι → R

⊢ (Q.basisRepr v) w = Q (∑ i : ι, w i • v i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_8
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι R M
Q : QuadraticMap R M N
w : ι → R

⊢ (Q.basisRepr v) w = Q (v.equivFun.symm w)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
c : C

⊢ G.map (adj₁.unit.app c) ≫ α.app (L₁.obj c) = adj₂.unit.app (G.obj ((𝟭 C).obj c)) ≫ R₂.map (((mateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app ((𝟭 C).obj c))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
c : C

⊢ G.map (adj₁.unit.app c) ≫ ((mateEquiv adj₁ adj₂).toFun ((mateEquiv adj₁ adj₂).invFun α)).app (L₁.obj c) = adj₂.unit.app (G.obj ((𝟭 C).obj c)) ≫ R₂.map (((mateEquiv adj₁ adj₂).symm α).app ((𝟭 C).obj c))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Types.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : KleisliCat m
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map f ≫ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Types.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : KleisliCat m
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
t : { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.obj X✝

⊢ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map (f ≫ g) t = ({ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map f ≫ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map g) t
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Types.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : KleisliCat m
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
t : { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.obj X✝

⊢ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map (f ≫ g) t = joinM (g <$> f t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Types.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : KleisliCat m
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
t : { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.obj X✝

⊢ (f ≫ g) t = f t >>= g
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Types.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : Kleisli (ofTypeMonad m)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
this✝ : _root_.Monad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this
this : LawfulMonad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this

⊢ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map (f ≫ g) = { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map f ≫ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Types.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : Kleisli (ofTypeMonad m)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
this✝ : _root_.Monad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this
this : LawfulMonad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this
t : { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.obj X✝

⊢ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map (f ≫ g) t = ({ obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map f ≫ { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.map g) t
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Types.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : Kleisli (ofTypeMonad m)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
this✝ : _root_.Monad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this
this : LawfulMonad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this
t : { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.obj X✝

⊢ joinM (g <$> f t) = (f ≫ g) t
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Types.lean
m : Type u → Type u
inst✝¹ : _root_.Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
X✝ Y✝ Z✝ : Kleisli (ofTypeMonad m)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
this✝ : _root_.Monad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this
this : LawfulMonad (ofTypeMonad m).obj := let_fun this := inferInstance; this
t : { obj := fun X => X, map := fun {X Y} f => f }.obj X✝

⊢ f t >>= g = (f ≫ g) t
-- Mathlib/CategoryTheory/Pi/Basic.lean
I : Type w₀
J : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝ : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
X Y : (i : I) → C i
f : X ≅ Y
i : I

⊢ f.hom i ≫ f.inv i = 𝟙 (X i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Pi/Basic.lean
I : Type w₀
J : Type w₁
C : I → Type u₁
inst✝ : (i : I) → Category.{v₁, u₁} (C i)
X Y : (i : I) → C i
f : X ≅ Y
i : I

⊢ f.inv i ≫ f.hom i = 𝟙 (Y i)
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁶ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁵ : (i : ι) → CommRing (G i)
f✝ : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f'✝ : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
P : Type u₁
inst✝⁴ : CommRing P
g✝ : (i : ι) → G i →+* P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g✝ j) (f✝ i j hij x) = (g✝ i) x
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
G' : ι → Type v'
inst✝³ : (i : ι) → CommRing (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+* G' j
G'' : ι → Type v''
inst✝² : (i : ι) → CommRing (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+* G'' j
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
e : (i : ι) → G i ≃+* G' i
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (e j).toRingHom.comp (f i j h) = (f' i j h).comp ↑(e i)
i : ι
g : G' i

⊢ (congr e he).symm ((of G' (fun x x_1 h => ⇑(f' x x_1 h)) i) g) = (of G (fun x x_1 h => ⇑(f x x_1 h)) i) ((e i).symm g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/PerfectPairing.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R N

⊢ map e.flip.symm p.dualAnnihilator = (map e p).dualCoannihilator
-- Mathlib/LinearAlgebra/PerfectPairing.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : N ≃ₗ[R] Dual R M
p : Submodule R N
this : IsReflexive R N

⊢ map e.flip.symm p.dualAnnihilator = (map e p).dualCoannihilator
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h0 : q ≠ 0
hl : q.natDegree < p.natDegree
hcontra : p ∣ q

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
f : E → F
v : E
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜
this✝ : BorelSpace 𝕜
g : E × E → 𝕜 → F := fun p t => f (p.1 + t • p.2)

⊢ Measurable fun p => lineDeriv 𝕜 f p.1 p.2
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : LocallyCompactSpace 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : MeasurableSpace E
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : CompleteSpace F
f : E → F
v : E
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
hf : Continuous f
this✝¹ : MeasurableSpace 𝕜 := borel 𝕜
this✝ : BorelSpace 𝕜
g : E × E → 𝕜 → F := fun p t => f (p.1 + t • p.2)
this : Continuous (Function.uncurry g)

⊢ Measurable fun p => lineDeriv 𝕜 f p.1 p.2
-- Mathlib/Data/List/ReduceOption.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)

⊢ l.reduceOption.length ≤ l.length
-- Mathlib/Data/List/ReduceOption.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)

⊢ l.reduceOption.length ≤ l.reduceOption.length + (filter Option.isNone l).length
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.57189, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j k : ι
hij : c.Rel i j
hjk : c.Rel j k

⊢ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) i j ≫ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) j k = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.57189, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j k : ι
hij : c.Rel i j
hjk : c.Rel j k

⊢ homotopyCofiber.inlX φ j i hij ≫ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) i j ≫ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) j k = homotopyCofiber.inlX φ j i hij ≫ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{?u.57189, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j k : ι
hij : c.Rel i j
hjk : c.Rel j k

⊢ homotopyCofiber.inrX φ i ≫ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) i j ≫ (fun i j => homotopyCofiber.d φ i j) j k = homotopyCofiber.inrX φ i ≫ 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

⊢ hurwitzZeta (↑x) (-(2 * ↑k)) = -1 / (2 * ↑k + 1) * Polynomial.eval (↑x) (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℂ) (Polynomial.bernoulli (2 * k + 1)))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
k : ℕ
x : ℝ
hk : k ≠ 0
hx : x ∈ Icc 0 1

⊢ hurwitzZetaEven (↑x) (-(2 * ↑k)) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaValues.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Icc 0 1
k : ℕ
hk : k.succ ≠ 0

⊢ hurwitzZetaEven (↑x) (-(2 * ↑k.succ)) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
h : 0 < (1 - r) * (b - a)

⊢ f ((lineMap a b) r) ≤ (lineMap (f a) (f b)) r ↔ slope f a b ≤ slope f ((lineMap a b) r) b
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
f : k → E
a b r : k
h : 0 < (1 - r) * (b - a)

⊢ f ((lineMap b a) (1 - r)) ≤ (lineMap (f b) (f a)) (1 - r) ↔ slope f a b ≤ slope f ((lineMap b a) (1 - r)) b
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
f : k → E
a b r' : k
h : 0 < r' * (b - a)

⊢ f ((lineMap b a) r') ≤ (lineMap (f b) (f a)) r' ↔ slope f a b ≤ slope f ((lineMap b a) r') b
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
f : k → E
a b r' : k
h : 0 < r' * (b - a)

⊢ f (r' * (a - b) + b) ≤ r' • (f a - f b) + f b ↔ (b - a)⁻¹ • (f b - f a) ≤ (b - (r' * (a - b) + b))⁻¹ • (f b - f (r' * (a - b) + b))
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
f : k → E
a b r' : k
h : 0 < r' * (b - a)

⊢ b - a ≠ 0
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
a : α
z : Sym2 α
ha : a ∈ z
hb : Mem.other ha ∈ z

⊢ Mem.other hb = a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Alternating/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁴ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁰ : Module R N
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommMonoid P
inst✝⁸ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
f : M₂ →ₗ[R] M
hf : Function.Surjective ⇑f
g₁ g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
h : (fun g => g.compLinearMap f) g₁ = (fun g => g.compLinearMap f) g₂
x : ι → M

⊢ g₁ x = g₂ x
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Induced.lean
C : Type u_4
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_4} C
inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D
F : C ⥤ D
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift C A
s : A → D ⥤ D
i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F
inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full
inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful
X : C
this : HasShift D A := HasShift.induced F A s i

⊢ (shiftFunctorZero D A).inv.app (F.obj X) = F.map ((shiftFunctorZero C A).inv.app X) ≫ (i 0).inv.app X
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F

⊢ ringChar F = 2 ↔ Fintype.card F % 2 = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
h : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

⊢ ringChar F = 2 ↔ Fintype.card F % 2 = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : Fintype F
n : ℕ+
hp : Nat.Prime (ringChar F)
h : Fintype.card F = ringChar F ^ ↑n

⊢ ringChar F = 2 ↔ ringChar F = 2 ∧ ↑n ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
a0 : a ≠ 0

⊢ (C a * p).natDegree = p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Ring/NegOnePow.lean
n : ℤ

⊢ (n + 1).negOnePow = -n.negOnePow
-- Mathlib/GroupTheory/Abelianization.lean
G : Type u
inst✝ : Group G

⊢ ⁅centralizer ↑(commutator G), centralizer ↑(commutator G)⁆ ≤ Subgroup.center G
-- Mathlib/GroupTheory/Abelianization.lean
G : Type u
inst✝ : Group G

⊢ ⁅⁅centralizer ↑(commutator G), centralizer ↑(commutator G)⁆, ⊤⁆ = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Abelianization.lean
G : Type u
inst✝ : Group G

⊢ ⁅⁅⊤, centralizer ↑(commutator G)⁆, centralizer ↑(commutator G)⁆ = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Abelianization.lean
G : Type u
inst✝ : Group G

⊢ centralizer ↑(commutator G) ≤ centralizer ↑⁅⊤, centralizer ↑(commutator G)⁆
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S✝
S : Type v
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S

⊢ IsOpen (Set.range ⇑(comap (algebraMap R S)))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : CommSemiring S✝
S : Type v
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S

⊢ IsOpen ↑(basicOpen r)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i : Fin n
y : α i.castSucc
z : α (last n)
j : Fin n

⊢ init (update q (last n) z) j = init q j
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
δ : ℕ → ℝ
x : UnitAddCircle

⊢ x ∈ addWellApproximable UnitAddCircle δ ↔ {n | ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ n}.Infinite
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
δ : ℕ → ℝ
x : UnitAddCircle

⊢ {n | 0 < n ∧ x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n (δ n)}.Infinite ↔ {n | ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ n}.Infinite
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
δ : ℕ → ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : n ∈ {n | 0 < n ∧ x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n (δ n)}

⊢ n ∈ {n | ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ n}
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
δ : ℕ → ℝ
x : UnitAddCircle
n : ℕ
hn : n ∈ {n | ∃ m < n, gcd m n = 1 ∧ ‖x - ↑(↑m / ↑n)‖ < δ n}

⊢ n ∈ {n | 0 < n ∧ x ∈ approxAddOrderOf UnitAddCircle n (δ n)}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
H : ∃ f, LinearIndependent R f

⊢ ↑n ≤ Module.rank R M
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R

⊢ mapFun (⇑f) (x - y) = mapFun (⇑f) x - mapFun (⇑f) y
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
x : L
hx : x ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})

⊢ x ∈ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
x' : L
hx : (algebraMap S L) a * x' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})

⊢ (algebraMap S L) a * x' ∈ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Integral.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing A
inst✝¹³ : IsDomain A
L : Type u_6
inst✝¹² : IsDomain R
inst✝¹¹ : IsDomain S
inst✝¹⁰ : Field K
inst✝⁹ : Field L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : Algebra R L
inst✝⁶ : Algebra S L
inst✝⁵ : IsIntegralClosure S R L
inst✝⁴ : IsFractionRing S L
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : IsScalarTower R S L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
a : S
b : Set S
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
h : ↑(Ideal.span {a}) ⊆ ↑(Submodule.span R b)
y' : S
z' : ↥S⁰
hx : (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Ideal.span {(algebraMap S L) a})

⊢ (algebraMap S L) a * mk' L y' z' ∈ ↑(Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b))