ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
h_tendsto : ∀ x ∈ sᶜ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))

⊢ StrictMono ns ∧ μ {a | ¬Tendsto (fun i => f (ns i) a) atTop (𝓝 (g a))} = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
h_tendsto : ∀ x ∈ sᶜ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
x : α

⊢ x ∈ {a | ¬Tendsto (fun i => f (ns i) a) atTop (𝓝 (g a))} → x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : MetricSpace E
f : ℕ → α → E
g : α → E
hfg : TendstoInMeasure μ f atTop g
h_lt_ε_real : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ k, 2 * 2⁻¹ ^ k < ε
ns : ℕ → ℕ := ExistsSeqTendstoAe.seqTendstoAeSeq hfg
S : ℕ → Set α := fun k => {x | 2⁻¹ ^ k ≤ dist (f (ns k) x) (g x)}
hμS_le : ∀ (k : ℕ), μ (S k) ≤ 2⁻¹ ^ k
s : Set α := limsup S atTop
hs : s = limsup S atTop
hμs : μ s = 0
h_tendsto : ∀ x ∈ sᶜ, Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
x : α

⊢ x ∉ s → Tendsto (fun i => f (ns i) x) atTop (𝓝 (g x))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (1 + x ^ 2)⁻¹ = arctan b - arctan a
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
a b c d d' : List Γ'

⊢ update (elim a b c d) stack d' = elim a b c d'
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
a b c d d' : List Γ'
x : K'

⊢ update (elim a b c d) stack d' x = elim a b c d' x
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
x : α

⊢ f x = M.corec g x
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
x : α

⊢ ∀ (x : α), (fun x => True) x → ∃ a f_1 f', (f x).dest = ⟨a, f_1⟩ ∧ (M.corec g x).dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), ∃ x', (fun x => True) x' ∧ f_1 i = f x' ∧ f' i = M.corec g x'
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
x : α
a✝ : True
a : P.A
f' : P.B a → α
gxeq : g x = ⟨a, f'⟩

⊢ ∃ a f_1 f', (f x).dest = ⟨a, f_1⟩ ∧ (M.corec g x).dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), ∃ x', (fun x => True) x' ∧ f_1 i = f x' ∧ f' i = M.corec g x'
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
x : α
a✝ : True
a : P.A
f' : P.B a → α
gxeq : g x = ⟨a, f'⟩
h₀ : (f x).dest = ⟨a, f ∘ f'⟩

⊢ ∃ a f_1 f', (f x).dest = ⟨a, f_1⟩ ∧ (M.corec g x).dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), ∃ x', (fun x => True) x' ∧ f_1 i = f x' ∧ f' i = M.corec g x'
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
x : α
a✝ : True
a : P.A
f' : P.B a → α
gxeq : g x = ⟨a, f'⟩
h₀ : (f x).dest = ⟨a, f ∘ f'⟩
h₁ : (M.corec g x).dest = ⟨a, M.corec g ∘ f'⟩

⊢ ∃ a f_1 f', (f x).dest = ⟨a, f_1⟩ ∧ (M.corec g x).dest = ⟨a, f'⟩ ∧ ∀ (i : P.B a), ∃ x', (fun x => True) x' ∧ f_1 i = f x' ∧ f' i = M.corec g x'
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
P : PFunctor.{u}
α : Type u_2
g : α → ↑P α
f : α → P.M
hyp : ∀ (x : α), (f x).dest = P.map f (g x)
x : α
a✝ : True
a : P.A
f' : P.B a → α
gxeq : g x = ⟨a, f'⟩
h₀ : (f x).dest = ⟨a, f ∘ f'⟩
h₁ : (M.corec g x).dest = ⟨a, M.corec g ∘ f'⟩
i : P.B a

⊢ ∃ x', (fun x => True) x' ∧ (f ∘ f') i = f x' ∧ (M.corec g ∘ f') i = M.corec g x'
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y

⊢ add' W (neg' W f) f = L.map 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
α : W.LeftFraction X Y

⊢ add' W (neg' W (α.map L ⋯)) (α.map L ⋯) = L.map 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
α : W.LeftFraction X Y
this : IsIso (L.map α.s)

⊢ add' W (neg' W (α.map L ⋯)) (α.map L ⋯) = L.map 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
α : W.LeftFraction X Y
this : IsIso (L.map α.s)

⊢ (LeftFraction₂.mk (-α.f) α.f α.s ⋯).add.map L ⋯ = L.map 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

⊢ Polynomial.derivative (bernsteinPolynomial R n 0) = -↑n * bernsteinPolynomial R (n - 1) 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulAction G M
f : G × G → M
hf : IsMulTwoCocycle f
g : G

⊢ f (1, g) = f (1, 1)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/AsTensorProduct.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R✝
I✝ : Ideal R✝
M✝ : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M✝
inst✝⁷ : Module R✝ M✝
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R✝ N
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R M
x : M
h : (of I M) x = (ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I M) (1 ⊗ₜ[R] x)

⊢ (ofTensorProductEquivOfFiniteNoetherian I M).symm ((of I M) x) = 1 ⊗ₜ[R] x
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B

⊢ IsBlock H (⇑j '' B)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B

⊢ ∀ (g g' : H), g • ⇑j '' B = g' • ⇑j '' B ∨ Disjoint (g • ⇑j '' B) (g' • ⇑j '' B)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B
g g' : G

⊢ φ g • ⇑j '' B = φ g' • ⇑j '' B ∨ Disjoint (φ g • ⇑j '' B) (φ g' • ⇑j '' B)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B
g g' : G

⊢ ⇑j '' (g • B) = ⇑j '' (g' • B) ∨ Disjoint (⇑j '' (g • B)) (⇑j '' (g' • B))
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B
g g' : G
h : g • B = g' • B

⊢ ⇑j '' (g • B) = ⇑j '' (g' • B) ∨ Disjoint (⇑j '' (g • B)) (⇑j '' (g' • B))
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
X : Type u_2
inst✝² : MulAction G X
H : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝¹ : Group H
inst✝ : MulAction H Y
φ : G →* H
j : X →ₑ[⇑φ] Y
hφ : Function.Surjective ⇑φ
hj : Function.Injective ⇑j
B : Set X
hB : IsBlock G B
g g' : G
h : Disjoint (g • B) (g' • B)

⊢ ⇑j '' (g • B) = ⇑j '' (g' • B) ∨ Disjoint (⇑j '' (g • B)) (⇑j '' (g' • B))
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a✝ b x✝ : α
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
a : α
ha : a ∈ minimals r x
a' : α
h' : a' ∈ x

⊢ s (f a') (f a) → s (f a) (f a')
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a✝ b x✝ : α
f : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
x : Set α
hf : ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
a : α
ha : a ∈ minimals r x
a' : α
h' : a' ∈ x

⊢ r a' a → r a a'
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
this : Fact (finrank ℝ F = finrank ℝ F)
o : Orientation ℝ F (Fin (finrank ℝ F)) := (stdOrthonormalBasis ℝ F).toBasis.orientation

⊢ volume (parallelepiped ⇑b) = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
this : Fact (finrank ℝ F = finrank ℝ F)
o : Orientation ℝ F (Fin (finrank ℝ F)) := (stdOrthonormalBasis ℝ F).toBasis.orientation

⊢ o.volumeForm.measure (parallelepiped ⇑b) = 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/ImageHyperplane.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c

⊢ inversion c R '' ↑(perpBisector c y) = sphere (inversion c R y) (R ^ 2 / dist y c) \ {c}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0✝ : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
m0 : MeasurableSpace α
m : Set (Measure α)
hm : m.Nonempty
ht : MeasurableSet t
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ((sInf m).restrict t) s = (sInf ((fun μ => μ.restrict t) '' m)) s
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Measure.lean
ι : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
I : Box ι
x : E

⊢ (BoxAdditiveMap.volume I) x = (∏ j : ι, (I.upper j - I.lower j)) • x
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Measure.lean
ι : Type u_1
inst✝² : Fintype ι
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
I : Box ι
x : E

⊢ volume.toBoxAdditive I • x = (∏ j : ι, (I.upper j - I.lower j)) • x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ x \ y = y ↔ x = ⊥ ∧ y = ⊥
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ x \ y = ⊥ ∧ y = ⊥ ↔ x = ⊥ ∧ y = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasRightHomology
inst✝ : S₂.HasRightHomology
h₀ : S₁.X₁ ⟶ S₂.X₁
h₀_f : h₀ ≫ S₂.f = 0
h₁ : S₁.X₂ ⟶ S₂.X₁
h₂ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₂
h₃ : S₁.X₃ ⟶ S₂.X₃
g_h₃ : S₁.g ≫ h₃ = 0

⊢ rightHomologyMap (S₁.nullHomotopic S₂ h₀ h₀_f h₁ h₂ h₃ g_h₃) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B✝ : Type u_2
a✝ b : R✝
n : ℕ
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
inst✝⁸ : Semiring A✝
inst✝⁷ : Semiring B✝
inst✝⁶ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ B✝
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
p : R[X]
f : A →ₐ[R] B
a : A

⊢ f (eval₂ (algebraMap R A) a p) = eval₂ (algebraMap R B) (f a) p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
A✝ : Type z
A' : Type u_1
B✝ : Type u_2
a✝ b : R✝
n : ℕ
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
inst✝⁸ : Semiring A✝
inst✝⁷ : Semiring B✝
inst✝⁶ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ B✝
p✝ q r : R✝[X]
R : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
p : R[X]
f : A →ₐ[R] B
a : A

⊢ f (∑ n ∈ p.support, (algebraMap R A) (p.coeff n) * a ^ n) = ∑ n ∈ p.support, (algebraMap R B) (p.coeff n) * f a ^ n
-- Mathlib/RepresentationTheory/FDRep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G
i : V ≅ W
g : G

⊢ W.ρ g = (isoToLinearEquiv i).conj (V.ρ g)
-- Mathlib/RepresentationTheory/FDRep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G
i : V ≅ W
g : G

⊢ W.ρ g = ((Action.forget (FGModuleCat k) (MonCat.of G)).mapIso i).inv ≫ V.ρ g ≫ ((Action.forget (FGModuleCat k) (MonCat.of G)).mapIso i).hom
-- Mathlib/RepresentationTheory/FDRep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : Monoid G
V W : FDRep k G
i : V ≅ W
g : G

⊢ ((Action.forget (FGModuleCat k) (MonCat.of G)).mapIso i).hom ≫ W.ρ g = V.ρ g ≫ ((Action.forget (FGModuleCat k) (MonCat.of G)).mapIso i).hom
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean

⊢ StrictConvexOn ℝ (Set.Ici 0) fun x => x * log x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean

⊢ ∀ x ∈ interior (Set.Ici 0), 0 < deriv^[2] (fun x => x * log x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : x ∈ interior (Set.Ici 0)

⊢ 0 < deriv^[2] (fun x => x * log x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ 0 < deriv^[2] (fun x => x * log x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/NegMulLog.lean
x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ 0 < x⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inverse.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g✝ : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f g : 𝕜 → 𝕜
a : 𝕜
s t : Set 𝕜
ha : a ∈ s
hsu : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s a
hf : HasDerivWithinAt f 0 t (g a)
hst : MapsTo g s t
hfg : f ∘ g =ᶠ[𝓝[s] a] id
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s a

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inverse.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g✝ : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s✝ t✝ : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f g : 𝕜 → 𝕜
a : 𝕜
s t : Set 𝕜
ha : a ∈ s
hsu : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s a
hf : HasDerivWithinAt f 0 t (g a)
hst : MapsTo g s t
hfg : f ∘ g =ᶠ[𝓝[s] a] id
hg : DifferentiableWithinAt 𝕜 g s a
this : HasDerivWithinAt id (0 * derivWithin g s a) s a

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : SMul 𝕜 β
f : F → β
g : E →ᵃ[𝕜] F
s : Set F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x : E
hx : x ∈ ⇑g ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑g ⁻¹' s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ f (g (a • x + b • y)) = f (a • g x + b • g y)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
a b : α

⊢ a ∈ s ∆ t ↔ a ∈ s ∧ a ∉ t ∨ a ∈ t ∧ a ∉ s
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x✝ : Z
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Z
x : X
e : Trivialization F proj
hf_proj : ContinuousAt (proj ∘ f) x
he : proj (f x) ∈ e.baseSet
hf : ContinuousAt (↑e ∘ f) x

⊢ ContinuousAt f x
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x✝ : Z
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Z
x : X
e : Trivialization F proj
hf_proj : ContinuousAt (proj ∘ f) x
he : proj (f x) ∈ e.baseSet
hf : ContinuousAt (↑e ∘ f) x

⊢ ContinuousAt (↑e.toPartialHomeomorph ∘ f) x
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x✝ : Z
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Z
x : X
e : Trivialization F proj
hf_proj : ContinuousAt (proj ∘ f) x
he : proj (f x) ∈ e.baseSet
hf : ContinuousAt (↑e ∘ f) x

⊢ f ⁻¹' e.source ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
e✝ : Trivialization F proj
x✝ : Z
X : Type u_6
inst✝ : TopologicalSpace X
f : X → Z
x : X
e : Trivialization F proj
hf_proj : ContinuousAt (proj ∘ f) x
he : proj (f x) ∈ e.baseSet
hf : ContinuousAt (↑e ∘ f) x

⊢ proj ∘ f ⁻¹' e.baseSet ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ProperSpace/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r

⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ProperSpace/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
hr : 0 < r
hs : IsClosed ∅
h : ∅ ⊆ ball x r

⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, ∅ ⊆ ball x r'
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ProperSpace/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty

⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ProperSpace/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s

⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ProperSpace/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
y : α
hys : y ∈ s
hy : s ⊆ closedBall x (dist y x)

⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ProperSpace/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
y : α
hys : y ∈ s
hy : s ⊆ closedBall x (dist y x)
hyr : dist y x < r

⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ProperSpace/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : ProperSpace α
x : α
r : ℝ
s : Set α
hr : 0 < r
hs : IsClosed s
h : s ⊆ ball x r
hne : s.Nonempty
this : IsCompact s
y : α
hys : y ∈ s
hy : s ⊆ closedBall x (dist y x)
hyr : dist y x < r
r' : ℝ
hyr' : dist y x < r'
hrr' : r' < r

⊢ ∃ r' ∈ Ioo 0 r, s ⊆ ball x r'
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
s : Set β
hs : NullMeasurableSet s μb

⊢ μa (f ⁻¹' s) = μb s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
s : Set β
hs : NullMeasurableSet s (map f μa)

⊢ μa (f ⁻¹' s) = (map f μa) s
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
a b : ZMod n

⊢ (a * b).val ≤ a.val * b.val
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
a b : ZMod n

⊢ a.val * b.val % n ≤ a.val * b.val
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ (𝓝[s] x).NeBot ↔ ∀ ⦃t : Set X⦄, t ∈ 𝓝 x → (t ∩ s).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ (∀ ⦃s_1 : Set X⦄, s_1 ∈ 𝓝 x → ∀ ⦃s' : Set X⦄, s' ∈ 𝓟 s → (s_1 ∩ s').Nonempty) ↔ ∀ ⦃t : Set X⦄, t ∈ 𝓝 x → (t ∩ s).Nonempty
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F✝ G F' G' : C ⥤ D
α : F✝ ⟶ G
β✝ : F' ⟶ G'
F : C ⥤ D
β : F' ⟶ G'
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ (tensorObj F F').map f ≫ (fun X => F.obj X ◁ β.app X) Y = (fun X => F.obj X ◁ β.app X) X ≫ (tensorObj F G').map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/FunctorCategory.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : MonoidalCategory D
F✝ G F' G' : C ⥤ D
α : F✝ ⟶ G
β✝ : F' ⟶ G'
F : C ⥤ D
β : F' ⟶ G'
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ (tensorObj F F').map f ≫ (𝟙 (F.obj Y) ⊗ β.app Y) = (𝟙 (F.obj X) ⊗ β.app X) ≫ (tensorObj F G').map f
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
s : Finset n
hj : j ∉ s
c : n → R
a : R

⊢ (M.updateRow j (a • M j + ∑ k ∈ s, c k • M k)).det = a • M.det
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
m x✝ : ℕ

⊢ Nat.shiftLeft' false m x✝ = m * 2 ^ x✝
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f✝ f : R[X]
r : R
N n✝ : ℕ

⊢ (reflect N (C r * f)).coeff n✝ = (C r * reflect N f).coeff n✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp₁ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_5
l : Filter β
t : β → Set α
ht : ∀ (b : β), MeasurableSet (t b)
hμt : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤
hp : p ≠ ⊤
h : Tendsto (fun b => μ (t b ∆ s)) l (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun b => indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c) l (𝓝 (indicatorConstLp p hs hμs c))