ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ
s : Set M
hxs : x ∈ s
h : ContMDiffWithinAt I I' (↑n) f s x
v : Set E
hmem : v ∈ 𝓝[(extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)] ↑(extChartAt I x) x
hsub : v ⊆ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)
hv : ContDiffOn 𝕜 (↑n) (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) v
hxs' : ↑(extChartAt I x) x ∈ (extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source)

⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝² : Field R
p q : R[X]
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : IsDomain k
f : R →+* k
x : k
hp : p ≠ 0

⊢ x ∈ (map f p).roots ↔ eval₂ f x p = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/NaturalTransformation/Oplax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : G.obj a ⟶ a'

⊢ η.naturality (𝟙 a) ▷ f ≫ (α_ (η.app a) (G.map (𝟙 a)) f).hom ≫ η.app a ◁ G.mapId a ▷ f = F.mapId a ▷ η.app a ▷ f ≫ (λ_ (η.app a)).hom ▷ f ≫ (ρ_ (η.app a)).inv ▷ f ≫ (α_ (η.app a) (𝟙 (G.obj a)) f).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/NaturalTransformation/Oplax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : G.obj a ⟶ a'

⊢ (F.mapId a ▷ η.app a ≫ (λ_ (η.app a)).hom ≫ (ρ_ (η.app a)).inv) ▷ f ≫ (α_ (η.app a) (𝟙 (G.obj a)) f).hom = F.mapId a ▷ η.app a ▷ f ≫ (λ_ (η.app a)).hom ▷ f ≫ (ρ_ (η.app a)).inv ▷ f ≫ (α_ (η.app a) (𝟙 (G.obj a)) f).hom
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRoot S f

⊢ h.repr 0 ∈ Ideal.span {f}
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x a : M
H : 1 ≤ a
k : ℕ

⊢ 1 ≤ a ^ (k + 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Preorder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x a : M
H : 1 ≤ a
k : ℕ

⊢ 1 ≤ a ^ k * a
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t✝ : ι✝ → α
ht✝ : Independent t✝
ι : Sort u_5
a : α
t : ι → ↑(Iic a)
i : ι
x : ↑(Iic a)
ht : Disjoint ((Subtype.val ∘ t) i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), (Subtype.val ∘ t) j)

⊢ x ≤ t i → x ≤ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t j → x ≤ ⊥
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι✝ : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set α
hs : SetIndependent s
t✝ : ι✝ → α
ht✝ : Independent t✝
ι : Sort u_5
a : α
t : ι → ↑(Iic a)
i : ι
x : ↑(Iic a)
ht : Disjoint ↑(t i) ↑(⨆ i_1, ⨆ (_ : i_1 ≠ i), t i_1)

⊢ x ≤ t i → x ≤ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), t j → x ≤ ⊥
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x y : E
hy : y ∈ p.ball 0 r
hx : (fun x => a • x) y = x

⊢ x ∈ p.ball 0 r
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x y : E
hy : y ∈ p.ball 0 r
hx : (fun x => a • x) y = x

⊢ ‖a‖ * p y < r
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
h : (↑s).PairwiseDisjoint t

⊢ ↑(s.disjiUnion t h) = ⋃ x ∈ ↑s, ↑(t x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hP : ¬P = 0
hQ : ¬Q = 0

⊢ (fun x => eval x P / eval x Q) ~[atTop] fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Polynomials.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hP : ¬P = 0
hQ : ¬Q = 0
x : 𝕜
hx : 0 < x

⊢ (fun x => P.leadingCoeff * x ^ P.natDegree / (Q.leadingCoeff * x ^ Q.natDegree)) x = (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial E

⊢ ‖fst 𝕜 E F‖ = 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial E

⊢ 1 ≤ ‖fst 𝕜 E F‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial E
e : E
he : e ≠ 0

⊢ 1 ≤ ‖fst 𝕜 E F‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial E
e : E
he : e ≠ 0
this : ‖e‖ ≤ ‖fst 𝕜 E F‖ * max ‖e‖ ‖0‖

⊢ 1 ≤ ‖fst 𝕜 E F‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Prod.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : Nontrivial E
e : E
he : e ≠ 0
this : ‖e‖ ≤ ‖fst 𝕜 E F‖ * ‖e‖

⊢ 1 ≤ ‖fst 𝕜 E F‖
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁴ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝³ : G.IsCocontinuous J K
inst✝² : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Sheaf K A
H : Sheaf J A
f : (G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj F ⟶ H

⊢ (G.op.ranAdjunction A).unit.app F.val ≫ G.op.ran.map ((G.sheafPushforwardContinuousCompSheafToPresheafIso A J K).inv.app F) ≫ G.op.ran.map f.val ≫ 𝟙 ((G.sheafPushforwardCocontinuous A J K).obj H).val = ((G.op.ranAdjunction A).homEquiv F.val H.val) f.val
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n✝ : ℕ
δ : ℝ
n : ℕ
hm : 0 < m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ

⊢ (fun y => y ^ m) a ∈ approxOrderOf A n (↑m * δ)
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n✝ : ℕ
δ : ℝ
n : ℕ
hm : 0 < m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ
b : A
hb : orderOf b = n * m
hab : a ∈ ball b δ

⊢ (fun y => y ^ m) a ∈ approxOrderOf A n (↑m * δ)
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n✝ : ℕ
δ : ℝ
n : ℕ
hm : 0 < m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ
b : A
hab : a ∈ ball b δ
hb : b ^ m ∈ {y | orderOf y = n}

⊢ (fun y => y ^ m) a ∈ approxOrderOf A n (↑m * δ)
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n✝ : ℕ
δ : ℝ
n : ℕ
hm : 0 < m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ
b : A
hab : a ∈ ball b δ
hb : b ^ m ∈ {y | orderOf y = n}

⊢ (fun y => y ^ m) a ∈ ball (b ^ m) (↑m * δ)
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a✝ : A
m n✝ : ℕ
δ : ℝ
n : ℕ
hm : 0 < m
a : A
ha : a ∈ approxOrderOf A (n * m) δ
b : A
hab : a ∈ ball b δ
hb : b ^ m ∈ {y | orderOf y = n}

⊢ ball (b ^ m) (↑m * δ) = ball (b ^ m) (m • δ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hμ : IntegrableOn f s μ
hν : IntegrableOn f s ν

⊢ Integrable f ((μ + ν).restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hμ : IntegrableOn f s μ
hν : IntegrableOn f s ν

⊢ Integrable f (μ.restrict s + ν.restrict s)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α

⊢ TypeVec.id <$$> x = x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Basic.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} n → Type u_1
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : F α

⊢ abs (TypeVec.id <$$> repr x) = abs (repr x)
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S

⊢ f.mk' (x * ↑y) y = f.toMap x
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq α
x : α

⊢ x ∈ s.biUnion singleton ↔ x ∈ s
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p

⊢ p ^ 1 = p
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p

⊢ IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ 1)
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n

⊢ χ.conductor = 0 ↔ n = 0
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n

⊢ n = 0 → χ.conductor = 0
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
χ : DirichletCharacter R 0

⊢ χ.conductor = 0
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
v : n → α

⊢ ‖col ι v‖ = ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v‖
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
v : n → α

⊢ (∑ x : n, ‖col ι v x default‖ ^ 2) ^ (1 / 2) = (∑ i : n, ‖(WithLp.equiv 2 (n → α)).symm v i‖ ^ 2) ^ (1 / 2)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p q : R[X]
x : A

⊢ (aeval x) p ∈ Algebra.adjoin R {x}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/LapMatrix.lean
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
x : V → ℝ

⊢ (toLin' (lapMatrix ℝ G)) x = 0 ↔ ∀ (i j : V), G.Reachable i j → x i = x j
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x

⊢ f' ≤ slope f x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x

⊢ ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] x, slope f x c ≤ slope f x y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x

⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 x, x_1 ∈ Ioi x → (f x_1 - f x) / (x_1 - x) ≤ (f y - f x) / (y - x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
t : ℝ
ht : t < y
ht' : x < t

⊢ (f t - f x) / (t - x) ≤ (f y - f x) / (y - x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Ioi x) x
t : ℝ
ht : t < y
ht' : x < t

⊢ t ∈ S
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
s t : Set β
κ : Kernel α β
hs : MeasurableSet s
a : α
ht : MeasurableSet t

⊢ ((κ.restrict hs) a) t = (κ a) (t ∩ s)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
t : ℕ
ht : t ∈ Finset.image (fun x => p ^ x) (Finset.range (padicValNat p n + 1))

⊢ t ∈ n.divisors
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
t : ℕ
ht : ∃ a < padicValNat p n + 1, p ^ a = t

⊢ t ∈ n.divisors
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
k : ℕ
hk : k < padicValNat p n + 1

⊢ p ^ k ∈ n.divisors
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hn : n ≠ 0
k : ℕ
hk : k < padicValNat p n + 1

⊢ p ^ k ∣ n ∧ n ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Units/Hom.lean
α : Type u_1
M : Type u
N : Type v
P : Type w
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
f : M →* N
g : M → Nˣ
h : ∀ (x : M), ↑(g x) = f x
x : M

⊢ ↑((liftRight f g h) x)⁻¹ * f x = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0

⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = -1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
k : ℤ
w : ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * ↑(mersenne (p' + 2)) * ω ^ 2 ^ p' - 1

⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = -1
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
p' : ℕ
h : lucasLehmerResidue (p' + 2) = 0
k : ℤ
w : ω ^ 2 ^ (p' + 1) = ↑k * 0 * ω ^ 2 ^ p' - 1

⊢ ω ^ 2 ^ (p' + 1) = -1
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝¹ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b c a : α

⊢ (mabs a)⁻¹ ≤ a⁻¹
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n : ℕ
a : ℤ
b : ℕ

⊢ ↑(a % ↑b) = ↑a
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n : ℕ
a : ℤ
b : ℕ

⊢ a % ↑b ≡ a [ZMOD ↑b]
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Group α
a b : α
n : ℕ
x✝ : α

⊢ (Equiv.mulRight a ^ n) x✝ = (Equiv.mulRight (a ^ n)) x✝
-- Mathlib/Algebra/Star/StarAlgHom.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Star A
inst✝⁵ : Semiring B
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : Star B
inst✝² : Semiring C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : Star C
f : A →⋆ₐ[R] B
g : A →⋆ₐ[R] C
x : A

⊢ (↑↑__src✝.toRingHom).toFun (star x) = star ((↑↑__src✝.toRingHom).toFun x)
-- Mathlib/CategoryTheory/SmallObject/Construction.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X Y Z : C
πX : X ⟶ S
πY : Y ⟶ S
φ : X ⟶ Y
inst✝¹ : HasColimitsOfShape (Discrete (FunctorObjIndex f πX)) C
inst✝ : HasColimitsOfShape (Discrete (FunctorObjIndex f πY)) C
hφ : φ ≫ πY = πX
i : I
t : A i ⟶ X
b : B i ⟶ S
w : t ≫ πX = f i ≫ b
t' : A i ⟶ Y
fac : t ≫ φ = t'

⊢ t' ≫ πY = f i ≫ b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
b : ℝ≥0
h : a ≤ ↑b

⊢ a.toReal ≤ ↑b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b a : ℝ≥0
h : ↑a ≤ ↑b

⊢ (↑a).toReal ≤ ↑b
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N

⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0

⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4

⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : 1 < finrank ℚ K

⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N
h_nz : N ≠ 0
h₂ : 1 < 3 * π / 4
h : finrank ℚ K ≤ 1

⊢ finrank ℚ K ≤ rankOfDiscrBdd N
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
x y : α
hx : Irreducible x

⊢ gcd x y = 1 ↔ ¬x ∣ y
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
h : succ (sup (typein fun x x_1 => x < x_1)) = lsub (typein fun x x_1 => x < x_1)

⊢ sup (typein fun x x_1 => x < x_1) = o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
h : succ (sup (typein fun x x_1 => x < x_1)) = lsub (typein fun x x_1 => x < x_1)

⊢ lsub (typein fun x x_1 => x < x_1) = succ o
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁸ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁵ : L.NeBot
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
G : Set Ω
G_open : IsOpen G

⊢ μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) L
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁸ : PseudoEMetricSpace Ω✝
inst✝⁷ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁶ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
L : Filter ι
inst✝⁵ : L.NeBot
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ι → Measure Ω
inst✝ : ∀ (i : ι), IsProbabilityMeasure (μs i)
h : ∀ {E : Set Ω}, MeasurableSet E → μ (frontier E) = 0 → Tendsto (fun i => (μs i) E) L (𝓝 (μ E))
G : Set Ω
G_open : IsOpen G

⊢ limsup (fun i => (μs i) Gᶜ) L ≤ μ Gᶜ
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

⊢ toIocDiv hp (a - m • p) b = toIocDiv hp a b + m
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t

⊢ s ∈ minimals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {t | P t} ↔ P s ∧ ∀ x ∈ s, ¬P (s \ {x})
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t

⊢ P s → ((∀ ⦃y : Set α⦄, P y → y ⊆ s → s = y) ↔ ∀ x ∈ s, ¬P (s \ {x}))
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a b x✝¹ : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t
x✝ : P s
h : ∀ ⦃y : Set α⦄, P y → y ⊆ s → s = y
x : α
hx : x ∈ s
hxs : P (s \ {x})

⊢ False
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t✝ : Set α
a b x✝¹ : α
P : Set α → Prop
hP : ∀ ⦃s t : Set α⦄, P s → s ⊆ t → P t
x✝ : P s
h : ∀ x ∈ s, ¬P (s \ {x})
t : Set α
ht : P t
hst : t ⊆ s
x : α
hxs : x ∈ s

⊢ x ∈ t
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : NegZeroClass β
h : Antiperiodic f c
hi : f 0 = 0

⊢ f (↑0 * c) = 0
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y : Set α
e✝ : α
M : Matroid α
e : α
X : Set α

⊢ M.closure (insert e (M.closure X)) = M.closure (insert e X)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
u v : n → R

⊢ (M.updateColumn j (u + v)).det = (M.updateColumn j u).det + (M.updateColumn j v).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
j : n
u v : n → R

⊢ (Mᵀ.updateRow j u).det + (Mᵀ.updateRow j v).det = (M.updateColumn j u).det + (M.updateColumn j v).det
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
h : f.toLinearMap ∘ₗ ι Q = g.toLinearMap ∘ₗ ι Q

⊢ f = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
h : f.toLinearMap ∘ₗ ι Q = g.toLinearMap ∘ₗ ι Q

⊢ (lift Q).symm f = (lift Q).symm g
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A✝ : Type u_3
inst✝³ : Semiring A✝
inst✝² : Algebra R A✝
A : Type u_4
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
h : f.toLinearMap ∘ₗ ι Q = g.toLinearMap ∘ₗ ι Q

⊢ ⟨f.toLinearMap ∘ₗ ι Q, ⋯⟩ = ⟨g.toLinearMap ∘ₗ ι Q, ⋯⟩