ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f✝ f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
f : ι → Filter α
g : Set α → Set β
hg : ∀ {s t : Set α}, g (s ∩ t) = g s ∩ g t
hg' : g univ = univ

⊢ (𝓟 ∘ g) univ = ⊤
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂

⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ

⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ

⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty

⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne

⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
this✝ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
this : 0 ≤ ε₂

⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
this✝² : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
this✝¹ : 0 ≤ ε₂
this✝ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)
this : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝
Fl : X → X ⊕ Y := inl
Fr : Y → X ⊕ Y := inr
Il : Isometry Fl
Ir : Isometry Fr

⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
this✝³ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
this✝² : 0 ≤ ε₂
this✝¹ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)
this✝ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝¹
Fl : X → X ⊕ Y := inl
Fr : Y → X ⊕ Y := inr
Il : Isometry Fl
Ir : Isometry Fr
this : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)

⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
this✝⁴ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
this✝³ : 0 ≤ ε₂
this✝² : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)
this✝¹ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝²
Fl : X → X ⊕ Y := inl
Fr : Y → X ⊕ Y := inr
Il : Isometry Fl
Ir : Isometry Fr
this✝ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)
this : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr)

⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
this✝⁵ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
this✝⁴ : 0 ≤ ε₂
this✝³ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)
this✝² : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝³
Fl : X → X ⊕ Y := inl
Fr : Y → X ⊕ Y := inr
Il : Isometry Fl
Ir : Isometry Fr
this✝¹ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)
this✝ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr)
this : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr)

⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
this✝⁶ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
this✝⁵ : 0 ≤ ε₂
this✝⁴ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)
this✝³ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝⁴
Fl : X → X ⊕ Y := inl
Fr : Y → X ⊕ Y := inr
Il : Isometry Fl
Ir : Isometry Fr
this✝² : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)
this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr)
this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr)
this : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁

⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
this✝⁷ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
this✝⁶ : 0 ≤ ε₂
this✝⁵ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)
this✝⁴ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝⁵
Fl : X → X ⊕ Y := inl
Fr : Y → X ⊕ Y := inr
Il : Isometry Fl
Ir : Isometry Fr
this✝³ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)
this✝² : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr)
this✝¹ : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr)
this✝ : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁
this : hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ

⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorff.lean
X : Type u
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
Y : Type v
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
s : Set X
Φ : ↑s → Y
ε₁ ε₂ ε₃ : ℝ
hs : ∀ (x : X), ∃ y ∈ s, dist x y ≤ ε₁
hs' : ∀ (x : Y), ∃ y, dist x (Φ y) ≤ ε₃
H : ∀ (x y : ↑s), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε₂
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
xX : X
h✝ : xX ∈ univ
xs : X
hxs : xs ∈ s
Dxs : dist xX xs ≤ ε₁
sne : s.Nonempty
this✝⁸ : Nonempty ↑s := Nonempty.to_subtype sne
this✝⁷ : 0 ≤ ε₂
this✝⁶ : ∀ (p q : ↑s), |dist p q - dist (Φ p) (Φ q)| ≤ 2 * (ε₂ / 2 + δ)
this✝⁵ : MetricSpace (X ⊕ Y) := glueMetricApprox (fun x => ↑x) (fun x => Φ x) (ε₂ / 2 + δ) ⋯ this✝⁶
Fl : X → X ⊕ Y := inl
Fr : Y → X ⊕ Y := inr
Il : Isometry Fl
Ir : Isometry Fr
this✝⁴ : ghDist X Y ≤ hausdorffDist (range Fl) (range Fr)
this✝³ : hausdorffDist (range Fl) (range Fr) ≤ hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) + hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr)
this✝² : hausdorffDist (Fl '' s) (range Fr) ≤ hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) + hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr)
this✝¹ : hausdorffDist (range Fl) (Fl '' s) ≤ ε₁
this✝ : hausdorffDist (Fl '' s) (Fr '' range Φ) ≤ ε₂ / 2 + δ
this : hausdorffDist (Fr '' range Φ) (range Fr) ≤ ε₃

⊢ ghDist X Y ≤ ε₁ + ε₂ / 2 + ε₃ + δ
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.84737, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n m mn : ℤ
hmn : m + n = mn
a a' a'' : ℤ
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
K : CochainComplex C ℤ

⊢ mn + a = a''
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
n m mn : ℤ
hmn : m + n = mn
a a' a'' : ℤ
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''
K : CochainComplex C ℤ

⊢ (shiftShortComplexFunctorIso C mn a a'' ⋯).hom.app K = (shortComplexFunctor C (up ℤ) a).map ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) m n mn hmn).hom.app K) ≫ (shiftShortComplexFunctorIso C n a a' ha').hom.app ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) m).obj K) ≫ (shiftShortComplexFunctorIso C m a' a'' ha'').hom.app K
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P✝ : Ideal R[X]
hP✝ : P✝.IsMaximal
P : Ideal R[X]
hP this : P.IsMaximal

⊢ (comap C P).IsMaximal
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderClosedTopology α
f g : β → α
inst✝ : TopologicalSpace β
hf : Continuous f
hg : Continuous g

⊢ frontier {b | f b < g b} ⊆ {b | f b = g b}
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι✝ : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
l : Filter ι
p : ι → Prop
inst✝ : l.IsCountablyGenerated

⊢ (∀ᶠ (n : ι) in l, p n) ↔ ∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, p (x n)
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderBot α
s t : Set ι
f g✝ : ι → α
g : ↑s → ι
hg : ∀ (i : ↑s), f (g i) ≤ f ↑i
ht : s.PairwiseDisjoint f
x y : ↑s
hxy : g x ≠ g y

⊢ (Disjoint on f) (g x) (g y)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
c : Char
it : Iterator
h : ValidFor l r it

⊢ ValidFor l (List.modifyHead (fun x => c) r) (it.setCurr c)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
c : Char
h : ValidFor l r { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }

⊢ ValidFor l (List.modifyHead (fun x => c) r) ({ s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }.setCurr c)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
c : Char
h : ValidFor l r { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }

⊢ ValidFor l (List.modifyHead (fun x => c) r) { s := { data := l.reverse ++ r }.set { byteIdx := utf8Len l } c, i := { byteIdx := utf8Len l } }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
c : Char
h : ValidFor l r { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }

⊢ { s := { data := l.reverse ++ r }.set { byteIdx := utf8Len l } c, i := { byteIdx := utf8Len l } }.s.data = l.reverseAux (List.modifyHead (fun x => c) r)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
c : Char
h : ValidFor l r { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }
this : { data := l.reverse ++ r }.set { byteIdx := utf8Len l.reverse } c = { data := l.reverse ++ List.modifyHead (fun x => c) r }

⊢ { s := { data := l.reverse ++ r }.set { byteIdx := utf8Len l } c, i := { byteIdx := utf8Len l } }.s.data = l.reverseAux (List.modifyHead (fun x => c) r)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l r : List Char
c : Char
h : ValidFor l r { s := { data := l.reverse ++ r }, i := { byteIdx := utf8Len l.reverse } }
this : { data := l.reverse ++ r }.set { byteIdx := utf8Len l } c = { data := l.reverse ++ List.modifyHead (fun x => c) r }

⊢ { s := { data := l.reverse ++ r }.set { byteIdx := utf8Len l } c, i := { byteIdx := utf8Len l } }.s.data = l.reverseAux (List.modifyHead (fun x => c) r)
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
f : α → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ (b : β), ∃ c, Tendsto f (comap i (𝓝 b)) (𝓝 c)
a : α
b : γ
hb : Tendsto f (comap i (𝓝 (i a))) (𝓝 b)

⊢ di.extend f (i a) = f a
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ : DenseInducing i
inst✝² : TopologicalSpace δ
f✝ : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : T2Space γ
f : α → γ
di : DenseInducing i
hf : ∀ (b : β), ∃ c, Tendsto f (comap i (𝓝 b)) (𝓝 c)
a : α
b : γ
hb : Tendsto f (comap i (𝓝 (i a))) (𝓝 b)

⊢ Tendsto f (𝓝 a) (𝓝 b)
-- Mathlib/Order/Disjoint.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
a b c : α

⊢ Disjoint (a ⊔ b) c ↔ Disjoint a c ∧ Disjoint b c
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z w : ℂ

⊢ normSq (z - w) = normSq z + normSq w - 2 * (z * (starRingEnd ℂ) w).re
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z w : ℂ

⊢ normSq z + normSq (-w) + 2 * (z * (starRingEnd ℂ) (-w)).re = normSq z + normSq w - 2 * (z * (starRingEnd ℂ) w).re
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z w : ℂ

⊢ normSq z + normSq w + -(2 * (z * (starRingEnd ℂ) w).re) = normSq z + normSq w - 2 * (z * (starRingEnd ℂ) w).re
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y

⊢ localizationToStalk R y ≫ (structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h = CommRingCat.ofHom (PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h) ≫ localizationToStalk R x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y

⊢ RingHom.comp (localizationToStalk R y ≫ (structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h) (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal)) = RingHom.comp (CommRingCat.ofHom (PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h) ≫ localizationToStalk R x) (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y

⊢ RingHom.comp ((structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h) (RingHom.comp (localizationToStalk R y) (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal))) = RingHom.comp (CommRingCat.ofHom (PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h) ≫ localizationToStalk R x) (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y

⊢ RingHom.comp ((structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h) (RingHom.comp (localizationToStalk R y) (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal))) = RingHom.comp (localizationToStalk R x) (RingHom.comp (CommRingCat.ofHom (PrimeSpectrum.localizationMapOfSpecializes h)) (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal)))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y

⊢ RingHom.comp ((structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h) ((IsLocalization.lift ⋯).comp (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal))) = (IsLocalization.lift ⋯).comp ((IsLocalization.lift ⋯).comp (algebraMap R (Localization.AtPrime y.asIdeal)))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R✝ : Type u
inst✝¹ : CommRing R✝
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : PrimeSpectrum R
h : x ⤳ y

⊢ RingHom.comp ((structureSheaf R).presheaf.stalkSpecializes h) (toStalk R y) = toStalk R x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.58695, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)
inst✝ : S.HasHomology

⊢ S.Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.58695, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)
inst✝ : S.HasHomology

⊢ Epi S.toCycles
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.58695, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsLimit (KernelFork.ofι S.f ⋯)
inst✝ : S.HasHomology
this : IsSplitEpi S.toCycles

⊢ Epi S.toCycles
-- Mathlib/Analysis/Complex/TaylorSeries.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf✝ : DifferentiableOn ℂ f✝ (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
f : ℂ → ℂ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)

⊢ ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = f z
-- Mathlib/Analysis/Complex/TaylorSeries.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ → E
c : ℂ
r : ℝ
hf✝ : DifferentiableOn ℂ f✝ (Metric.ball c r)
z : ℂ
hz : z ∈ Metric.ball c r
f : ℂ → ℂ
hf : DifferentiableOn ℂ f (Metric.ball c r)
n : ℕ

⊢ (↑n !)⁻¹ * iteratedDeriv n f c * (z - c) ^ n = (↑n !)⁻¹ • (z - c) ^ n • iteratedDeriv n f c
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

⊢ ∀ (x : E), ‖0 x‖ ≤ 0 * ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
r : ℝ≥0
i : Set α
hi : MeasurableSet i

⊢ ↑(r • μ).toSignedMeasure i = ↑(r • μ.toSignedMeasure) i
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
i j : ℕ

⊢ (i + j).choose j * i ! * j ! = (i + j)!
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finsubgraph.lean
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
F : SimpleGraph W
inst✝ : Finite V
ι : Sort u_1
f : ι → G.Finsubgraph

⊢ ↑(⨅ i, f i) = ⨅ i, ↑(f i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : IsPullback fst snd f g
inst✝ : HasPullback f g

⊢ h.isoPullback.inv ≫ snd = pullback.snd f g
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
p q : K[X]

⊢ RatFunc.mk p q = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

⊢ z.im ≤ w.im * rexp (dist z w)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z✝ w✝ : ℍ
r R : ℝ
z w : ℍ

⊢ log z.im - log w.im ≤ dist z w
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a

⊢ spectralRadius ℂ a = ↑‖a‖₊
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a

⊢ spectralRadius ℂ a ^ 2 = ↑‖a‖₊ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
heq : (fun n => ↑‖(a⋆ * a) ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) = (fun x => x ^ 2) ∘ fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)

⊢ spectralRadius ℂ a ^ 2 = ↑‖a‖₊ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
heq : (fun n => ↑‖(a⋆ * a) ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) = (fun x => x ^ 2) ∘ fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)
h₂ : Tendsto ((fun a => a ^ 2) ∘ fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop (𝓝 (spectralRadius ℂ a ^ 2))

⊢ spectralRadius ℂ a ^ 2 = ↑‖a‖₊ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
heq : (fun n => ↑‖(a⋆ * a) ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) = (fun x => x ^ 2) ∘ fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)
h₂ : Tendsto (fun n => ↑‖(a⋆ * a) ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop (𝓝 (spectralRadius ℂ a ^ 2))

⊢ spectralRadius ℂ a ^ 2 = ↑‖a‖₊ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Spectrum.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : CompleteSpace A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : CstarRing A
a : A
inst✝ : IsStarNormal a
heq : (fun n => ↑‖(a⋆ * a) ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) = (fun x => x ^ 2) ∘ fun n => ↑‖a ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)
h₂ : Tendsto (fun n => ↑‖(a⋆ * a) ^ n‖₊ ^ (1 / ↑n)) atTop (𝓝 (spectralRadius ℂ a ^ 2))

⊢ ↑‖a‖₊ ^ 2 = spectralRadius ℂ (a⋆ * a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
f : α → β
hf : Continuous f

⊢ (map f μ).InnerRegularWRT IsCompact fun s => MeasurableSet s ∧ (map f μ) s ≠ ⊤