ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
u : ℕ → E
hu : Summable fun x => ‖u x‖

⊢ Summable fun n => dist (∑ i ∈ range n, u i) (∑ i ∈ range n.succ, u i)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/InvSubmonoid.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : IsLocalization M S
a : R
ha : a ∈ ↑M

⊢ (algebraMap R S) a ∈ IsUnit.submonoid S
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty

⊢ edgeDensity r s₂ t₂ - edgeDensity r s₁ t₁ ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty

⊢ edgeDensity r s₂ t₂ - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) * edgeDensity r s₂ t₂ ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty

⊢ edgeDensity r s₂ t₂ - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card) * edgeDensity r s₂ t₂ ≤ (1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)) * edgeDensity r s₂ t₂
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty

⊢ 0 ≤ 1 - ↑s₂.card / ↑s₁.card * (↑t₂.card / ↑t₁.card)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty

⊢ ↑s₂.card / ↑s₁.card ≤ 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty

⊢ 0 ≤ ↑t₂.card / ↑t₁.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hs₂ : s₂.Nonempty
ht₂ : t₂.Nonempty

⊢ ↑t₂.card / ↑t₁.card ≤ 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallySurjective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ Type w
f : F ⟶ G

⊢ IsLocallySurjective J f ↔ Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf f) = ⊤
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1

⊢ ∀ (a b : ZNum), a * b = b * a
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ

⊢ Periodic f ((2 * n) • c)
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ

⊢ Periodic f (n • 2 • c)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b x y : α

⊢ span {x, y} = span {y, x}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
hf : CircleIntegrable f c R
hg : CircleIntegrable g c R

⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z - g z) = (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z) - ∮ (z : ℂ) in C(c, R), g z
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Bases.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B

⊢ RingSubgroupsBasis fun i => (B i).toAddSubgroup
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Bases.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B

⊢ ∀ (x : A) (i : ι), ∃ j, ↑(B j).toAddSubgroup ⊆ (fun y => x * y) ⁻¹' ↑(B i).toAddSubgroup
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Bases.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
a : A
i : ι

⊢ ∃ j, ↑(B j).toAddSubgroup ⊆ (fun y => a * y) ⁻¹' ↑(B i).toAddSubgroup
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Bases.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
a : A
i j : ι
hj : a • B j ≤ B i

⊢ ∃ j, ↑(B j).toAddSubgroup ⊆ (fun y => a * y) ⁻¹' ↑(B i).toAddSubgroup
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Bases.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
B : ι → Submodule R A
hB✝ hB : SubmodulesRingBasis B
a : A
i j : ι
hj : a • B j ≤ B i

⊢ ↑(B j).toAddSubgroup ⊆ (fun y => a * y) ⁻¹' ↑(B i).toAddSubgroup
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
W : α → Sort w
Z : β → Sort z
h₁ : α ≃ β
h₂ : (b : β) → W (h₁.symm b) ≃ Z b
f : (b : β) → Z b
b : β

⊢ (h₁.piCongr' h₂).symm f (h₁.symm b) = (h₂ b).symm (f b)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
X₁ : Type u_1
X₂ : Type u_2
X₃ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid X₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid X₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid X₃
inst✝⁸ : Module R X₁
inst✝⁷ : Module R X₂
inst✝⁶ : Module R X₃
Y₁ : Type u_4
Y₂ : Type u_5
Y₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid Y₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid Y₂
inst✝³ : AddCommMonoid Y₃
inst✝² : Module R Y₁
inst✝¹ : Module R Y₂
inst✝ : Module R Y₃
f₁ : X₁ →ₗ[R] Y₁
f₂ : X₂ →ₗ[R] Y₂
f₃ : X₃ →ₗ[R] Y₃

⊢ ↑(assoc R Y₁ Y₂ Y₃) ∘ₗ map (map f₁ f₂) f₃ = map f₁ (map f₂ f₃) ∘ₗ ↑(assoc R X₁ X₂ X₃)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹² : CommRing R
X₁ : Type u_1
X₂ : Type u_2
X₃ : Type u_3
inst✝¹¹ : AddCommMonoid X₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid X₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid X₃
inst✝⁸ : Module R X₁
inst✝⁷ : Module R X₂
inst✝⁶ : Module R X₃
Y₁ : Type u_4
Y₂ : Type u_5
Y₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid Y₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid Y₂
inst✝³ : AddCommMonoid Y₃
inst✝² : Module R Y₁
inst✝¹ : Module R Y₂
inst✝ : Module R Y₃
f₁ : X₁ →ₗ[R] Y₁
f₂ : X₂ →ₗ[R] Y₂
f₃ : X₃ →ₗ[R] Y₃

⊢ ∀ (x : X₁) (y : X₂) (z : X₃), (↑(assoc R Y₁ Y₂ Y₃) ∘ₗ map (map f₁ f₂) f₃) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z) = (map f₁ (map f₂ f₃) ∘ₗ ↑(assoc R X₁ X₂ X₃)) ((x ⊗ₜ[R] y) ⊗ₜ[R] z)
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b d : ℕ
hdb : d ∣ b
h : a < b

⊢ a / d < b / d
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d✝ m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b d : ℕ
hdb : d ∣ b
h : a < b

⊢ d * (a / d) < b
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c d : α

⊢ b ≤ c / a ↔ a * b ≤ c
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v m✝ n : ℤ
x✝ : Even n
m : ℤ
hm : n = m + m

⊢ n % 2 = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v m n : ℤ
h : n % 2 = 0

⊢ n % 2 + 2 * (n / 2) = n / 2 + n / 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in b..c, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in c..a, f x ∂μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in b..c, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in c..a, f x ∂μ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ioc b c, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ioc c a, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in Ioc b a, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ioc c b, f x ∂μ + ∫ (x : ℝ) in Ioc a c, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a b ∪ Ioc b c ∪ Ioc c a, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in Ioc b a ∪ Ioc c b ∪ Ioc a c, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ Disjoint (Ioc b a ∪ Ioc c b) (Ioc a c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ MeasurableSet (Ioc a c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ IntegrableOn f (Ioc b a ∪ Ioc c b) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ IntegrableOn f (Ioc a c) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ Disjoint (Ioc b a) (Ioc c b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ MeasurableSet (Ioc c b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ IntegrableOn f (Ioc b a) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ IntegrableOn f (Ioc c b) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ Disjoint (Ioc a b ∪ Ioc b c) (Ioc c a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ MeasurableSet (Ioc c a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ IntegrableOn f (Ioc a b ∪ Ioc b c) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ IntegrableOn f (Ioc c a) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ Disjoint (Ioc a b) (Ioc b c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ MeasurableSet (Ioc b c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ IntegrableOn f (Ioc a b) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hbc : IntervalIntegrable f μ b c
hac : IntervalIntegrable f μ a c

⊢ IntegrableOn f (Ioc b c) μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α

⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, κ.density κ.fst a x univ = 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
h : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, κ.densityProcess κ.fst n a x univ = 1

⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, κ.density κ.fst a x univ = 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
h : ∀ᵐ (a_1 : γ) ∂κ.fst a, ∀ (i : ℕ), κ.densityProcess κ.fst i a a_1 univ = 1

⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂κ.fst a, κ.density κ.fst a x univ = 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Density.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ✝ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
κ : Kernel α (γ × β)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
a : α
h : ∀ᵐ (a_1 : γ) ∂κ.fst a, ∀ (i : ℕ), κ.densityProcess κ.fst i a a_1 univ = 1
x : γ
hx : ∀ (i : ℕ), κ.densityProcess κ.fst i a x univ = 1

⊢ κ.density κ.fst a x univ = 1
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α

⊢ (blimsup u f fun x => p x ∨ q x) = blimsup u f p ⊔ blimsup u f q
-- Mathlib/Order/CompleteSublattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
f : CompleteLatticeHom α β
L : CompleteSublattice α
a b : ↥L

⊢ Codisjoint a b ↔ Codisjoint ↑a ↑b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
v : V
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
h : v ∈ e
e' : Sym2 V

⊢ e' ∈ G.incidenceSet v ∩ G.incidenceSet (Sym2.Mem.other h) ↔ e' ∈ {e}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
v : V
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
h : v ∈ e
e' : Sym2 V

⊢ (e' ∈ G.edgeSet ∧ v ∈ e') ∧ e' ∈ G.edgeSet ∧ Sym2.Mem.other h ∈ e' ↔ e' = e
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f✝ f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m✝ : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
f : Filter β
m : α → β

⊢ (comap m f).NeBot ↔ ∃ᶠ (y : β) in f, y ∈ range m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : Z.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z

⊢ (pullback f g).OpenCover
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : Z.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z

⊢ ∀ (i : 𝒰.J), pullback.map (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd g (𝒰.map i)) f g (pullback.fst f (𝒰.map i)) (pullback.fst g (𝒰.map i)) (𝒰.map i) ⋯ ⋯ = (Iso.refl ((fun i => pullback (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd g (𝒰.map i))) i)).hom ≫ (openCoverOfBase' 𝒰 f g).map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Pullbacks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰✝ : X.OpenCover
f✝ : X ⟶ Z
g✝ : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝
s : PullbackCone f✝ g✝
𝒰 : Z.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
i : 𝒰.J

⊢ pullback.map (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd g (𝒰.map i)) f g (pullback.fst f (𝒰.map i)) (pullback.fst g (𝒰.map i)) (𝒰.map i) ⋯ ⋯ = (Iso.refl ((fun i => pullback (pullback.snd f (𝒰.map i)) (pullback.snd g (𝒰.map i))) i)).hom ≫ (openCoverOfBase' 𝒰 f g).map (((Equiv.prodPUnit 𝒰.J).symm.trans (Equiv.sigmaEquivProd 𝒰.J PUnit.{u + 1}).symm) i)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
l : F → E
l' : F →L[𝕜] E
y : F
hl : HasStrictFDerivAt l l' (f x)
hf : HasStrictDerivAt f f' x
hy : y = f x

⊢ HasStrictDerivAt (l ∘ f) (l' f') x
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ

⊢ IsOpen {p | Disjoint (𝓝 p.1) (𝓝 p.2)}
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ

⊢ ∀ (a b : X), Disjoint (𝓝 a) (𝓝 b) → {p | Disjoint (𝓝 p.1) (𝓝 p.2)} ∈ 𝓝 (a, b)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x y : X
h : Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)

⊢ {p | Disjoint (𝓝 p.1) (𝓝 p.2)} ∈ 𝓝 (x, y)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x y : X
h : Disjoint (𝓝 x) (𝓝 y)
U : Set X
hU : x ∈ U ∧ IsOpen U
V : Set X
hV : y ∈ V ∧ IsOpen V
hd : Disjoint U V

⊢ {p | Disjoint (𝓝 p.1) (𝓝 p.2)} ∈ 𝓝 (x, y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ
f : α → ℝ
K : ℝ≥0
h : ∀ (x y : α), f x ≤ f y + ↑K * dist x y

⊢ LipschitzWith K f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
B : C
ι : Type w
inst✝² : Nonempty ι
X : ι → C
f : (j : ι) → X j ⟶ B
inst✝¹ : HasWidePullback B X f
inst✝ : PreservesLimit (wideCospan B X f) (forget C)
x y : (forget C).obj (widePullback B X f)
h : ∀ (j : ι), (π f j) x = (π f j) y

⊢ x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
B : C
ι : Type w
inst✝² : Nonempty ι
X : ι → C
f : (j : ι) → X j ⟶ B
inst✝¹ : HasWidePullback B X f
inst✝ : PreservesLimit (wideCospan B X f) (forget C)
x y : (forget C).obj (widePullback B X f)
h : ∀ (j : ι), (π f j) x = (π f j) y

⊢ (base f) x = (base f) y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : ConcreteCategory C
B : C
ι : Type w
inst✝² : Nonempty ι
X : ι → C
f : (j : ι) → X j ⟶ B
inst✝¹ : HasWidePullback B X f
inst✝ : PreservesLimit (wideCospan B X f) (forget C)
x y : (forget C).obj (widePullback B X f)
h : ∀ (j : ι), (π f j) x = (π f j) y
inhabited_h : Inhabited ι

⊢ (base f) x = (base f) y
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : IsDomain K
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F K[X] R[X]
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F K[X] R[X]
φ : F
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰
p q : K[X]

⊢ (map φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ p) / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ q)
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝⁵ : CommRing K
inst✝⁴ : IsDomain K
R : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : FunLike F K[X] R[X]
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F K[X] R[X]
φ : F
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ R[X]⁰
p : K[X]

⊢ (map φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) 0) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ p) / (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (φ 0)