ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
this : Fact (m ≤ m0)

⊢ ↑((orthogonalProjection (lpMeas E 𝕜 m 2 μ)) (indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c)) = indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
this : Fact (m ≤ m0)
h_mem : indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c ∈ lpMeas E 𝕜 m 2 μ

⊢ ↑((orthogonalProjection (lpMeas E 𝕜 m 2 μ)) (indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c)) = indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
this : Fact (m ≤ m0)
h_mem : indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c ∈ lpMeas E 𝕜 m 2 μ
ind : ↥(lpMeas E 𝕜 m 2 μ) := ⟨indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c, h_mem⟩
h_coe_ind : ↑ind = indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c

⊢ ↑((orthogonalProjection (lpMeas E 𝕜 m 2 μ)) (indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c)) = indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
this : Fact (m ≤ m0)
h_mem : indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c ∈ lpMeas E 𝕜 m 2 μ
ind : ↥(lpMeas E 𝕜 m 2 μ) := ⟨indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c, h_mem⟩
h_coe_ind : ↑ind = indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c
h_orth_mem : (orthogonalProjection (lpMeas E 𝕜 m 2 μ)) ↑ind = ind

⊢ ↑((orthogonalProjection (lpMeas E 𝕜 m 2 μ)) (indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c)) = indicatorConstLp 2 ⋯ hμs c
-- Mathlib/Data/Multiset/Dedup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → β
hf : Function.Injective f
s : Multiset α
l : List α

⊢ (map f (Quot.mk Setoid.r l)).dedup = map f (dedup (Quot.mk Setoid.r l))
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hb0 : b ≠ 0 ∨ c ≠ ⊤
hbt : b ≠ ⊤ ∨ c ≠ 0

⊢ a / b ≤ c ↔ a ≤ c * b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hb0 : b ≠ 0 ∨ c ≠ ⊤
hbt : b ≠ ⊤ ∨ c ≠ 0

⊢ a * b⁻¹ ≤ c ↔ a ≤ c / b⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℤ

⊢ padicNorm p ↑m < 1 ↔ ↑p ∣ m
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℤ

⊢ ¬padicNorm p ↑m < 1 ↔ padicNorm p ↑m ≤ 1 ∧ ¬padicNorm p ↑m < 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Units.lean
M : Type u_1
inst✝¹ : Monoid M
G : Type u_2
inst✝ : Group G
H : Subgroup Gˣ
x : G

⊢ x ∈ H.ofUnits ↔ toUnits x ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
a : R

⊢ eval₂ (C.comp f) X ((monomial n) a) = (monomial n) (f a)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
a : R

⊢ (C.comp f) a * X ^ n = C (f a) * X ^ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
F : Type u_2
inst✝ : Field F
f : F[X]
hu : ¬IsUnit f
hf : ¬f = 0

⊢ ∃ g, g.Monic ∧ Irreducible g ∧ g ∣ f
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
F : Type u_2
inst✝ : Field F
f : F[X]
hu : ¬IsUnit f
hf✝ : ¬f = 0
g : F[X]
hi : Irreducible g
hf : g ∣ f

⊢ ∃ g, g.Monic ∧ Irreducible g ∧ g ∣ f
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
F : Type u_2
inst✝ : Field F
f : F[X]
hu : ¬IsUnit f
hf✝ : ¬f = 0
g : F[X]
hi : Irreducible g
hf : g ∣ f
ha : Associated g (g * C g.leadingCoeff⁻¹)

⊢ ∃ g, g.Monic ∧ Irreducible g ∧ g ∣ f
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
p : LTSeries β
f : α → β
comap : ∀ ⦃x y : α⦄, f x < f y → x < y
surjective : Function.Surjective f
i j : Fin (p.length + 1)
h : i < j

⊢ f ((fun i => ⋯.choose) i) < f ((fun i => ⋯.choose) j)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : TangentBundle I H

⊢ ↑(chartAt (ModelProd H E) p) = ⇑(TotalSpace.toProd H E)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : TangentBundle I H

⊢ ↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv = ⇑(TotalSpace.toProd H E)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
H : G.Subgraph
u v : V
h : H.Adj u v

⊢ G'.Adj (f u) (f v)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
H : G.Subgraph
u v : V
h : H.Adj u v

⊢ f u ∈ ⇑f '' H.verts
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : SimpleGraph W
f : G →g G'
H : G.Subgraph
u v : V
h : H.Adj u v

⊢ Relation.Map H.Adj (⇑f) (⇑f) (f v) (f u)
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α × β → E
hf : StronglyMeasurable f

⊢ StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f (x, y) ∂κ x
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
E : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : α × β → E
hf : StronglyMeasurable (uncurry (Function.curry f))

⊢ StronglyMeasurable fun x => ∫ (y : β), f (x, y) ∂κ x
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x

⊢ map (Embedding.subtype p) (Ioc a b) = Ioc ↑a ↑b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x

⊢ map (Embedding.subtype p) (Finset.subtype p (Ioc ↑a ↑b)) = Ioc ↑a ↑b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
x : α
hx : x ∈ Ioc ↑a ↑b

⊢ p x
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b : Subtype p
hp : ∀ ⦃a b x : α⦄, a ≤ x → x ≤ b → p a → p b → p x
x : α
hx : ↑a < x ∧ x ≤ ↑b

⊢ p x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s

⊢ ∃ f, f x₀ = 1 ∧ ∀ x ∈ s, f x < 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯

⊢ ∃ f, f x₀ = 1 ∧ ∀ x ∈ s, f x < 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯
this : ∃ g, (∀ (x : ↥f.domain), g ↑x = ↑f x) ∧ ∀ (x : E), g x ≤ gauge s x

⊢ ∃ f, f x₀ = 1 ∧ ∀ x ∈ s, f x < 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯

⊢ ∀ (x : ↥f.domain), ↑f x ≤ gauge s ↑x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯
x : E
hx : x ∈ f.domain

⊢ ↑f ⟨x, hx⟩ ≤ gauge s ↑⟨x, hx⟩
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯
y : ℝ
hx : y • x₀ ∈ f.domain

⊢ ↑f ⟨y • x₀, hx⟩ ≤ gauge s ↑⟨y • x₀, hx⟩
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯
y : ℝ
hx : y • x₀ ∈ f.domain

⊢ y • 1 ≤ gauge s ↑⟨y • x₀, hx⟩
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯
y : ℝ
hx : y • x₀ ∈ f.domain

⊢ y ≤ gauge s (y • x₀)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯
y : ℝ
hx : y • x₀ ∈ f.domain
h : y ≤ 0

⊢ y ≤ gauge s (y • x₀)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs₀ : 0 ∈ s
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
x₀ : E
hx₀ : x₀ ∉ s
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ := LinearPMap.mkSpanSingleton x₀ 1 ⋯
y : ℝ
hx : y • x₀ ∈ f.domain
h : 0 < y

⊢ y ≤ gauge s (y • x₀)
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
H : 1 < sumInv {p, q, r}
h3 : 0 < 3

⊢ p < 3
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
h3 : 0 < 3
H : 3 ≤ p

⊢ sumInv {p, q, r} ≤ 1
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
h3 : 0 < 3
H : 3 ≤ p

⊢ (↑↑p)⁻¹ + (↑↑q)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹ ≤ 1
-- Mathlib/NumberTheory/ADEInequality.lean
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
h3 : 0 < 3
H : 3 ≤ p
h3q : 3 ≤ q
h3r : 3 ≤ r
hp : (↑↑p)⁻¹ ≤ 3⁻¹
hq : (↑↑q)⁻¹ ≤ 3⁻¹
hr : (↑↑r)⁻¹ ≤ 3⁻¹

⊢ (↑↑p)⁻¹ + (↑↑q)⁻¹ + (↑↑r)⁻¹ ≤ 1
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/InitTail.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
m : ℕ
x : 𝕎 R
n : ℕ

⊢ init n (m • x) = init n (m • init n x)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
f : R →+* S
s : Subring R

⊢ comap f (map f s) = s ⊔ closure (⇑f ⁻¹' {0})
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
f : R →+* S
s : Subring R

⊢ comap f (map f s) ≤ s ⊔ closure (⇑f ⁻¹' {0})
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
inst✝ : Ring T
f : R →+* S
s : Subring R

⊢ s ⊔ closure (⇑f ⁻¹' {0}) ≤ comap f (map f s)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : GroupWithZero α
s t : Set α
hs : s.Nonempty

⊢ 0 ⊆ s / 0
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/PresheafedSpace/HasColimits.lean
J : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} J
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ PresheafedSpace C
j₁ j₂ j₃ : J
f : j₁ ⟶ j₂
g : j₂ ⟶ j₃
U : (Opens ↑↑(F.obj j₃))ᵒᵖ

⊢ (F.map (f ≫ g)).c.app U = (F.map g).c.app U ≫ ((pushforward C (F.map g).base).map (F.map f).c).app U ≫ (pushforwardEq ⋯ (F.obj j₁).presheaf).hom.app U
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f g : ↥A

⊢ ↑f ⊔ ↑g ∈ A.topologicalClosure
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f g : ↥A

⊢ 2⁻¹ • (↑f + ↑g + |↑g - ↑f|) ∈ A.topologicalClosure
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
f g : ↥A

⊢ |↑g - ↑f| ∈ A.topologicalClosure
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Add α
inst✝² : Add α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : AddHomClass F α α₂
f : F
x y : β[α]

⊢ mapDomain (⇑f) (x * y) = mapDomain (⇑f) x * mapDomain (⇑f) y
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Add α
inst✝² : Add α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : AddHomClass F α α₂
f : F
x y : β[α]

⊢ (sum x fun a b => sum y fun a_1 b_1 => single (f a + f a_1) (b * b_1)) = sum (mapDomain (⇑f) x) fun a₁ b₁ => sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (a₁ + a₂) (b₁ * b₂)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Add α
inst✝² : Add α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : AddHomClass F α α₂
f : F
x y : β[α]

⊢ (sum x fun a b => sum y fun a_1 b_1 => single (f a + f a_1) (b * b_1)) = sum x fun a m => sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (f a + a₂) (m * b₂)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Add α
inst✝² : Add α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : AddHomClass F α α₂
f : F
x y : β[α]

⊢ ∀ (b : α₂), (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b + a₂) (0 * b₂)) = 0
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring k
α : Type u_3
β : Type u_4
α₂ : Type u_5
inst✝⁴ : Semiring β
inst✝³ : Add α
inst✝² : Add α₂
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F α α₂
inst✝ : AddHomClass F α α₂
f : F
x y : β[α]

⊢ ∀ (b : α₂) (m₁ m₂ : β), (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b + a₂) ((m₁ + m₂) * b₂)) = (sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b + a₂) (m₁ * b₂)) + sum (mapDomain (⇑f) y) fun a₂ b₂ => single (b + a₂) (m₂ * b₂)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/UInt.lean

⊢ 2 ^ 32 ≤ size
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/UInt.lean

⊢ 2 ^ 32 ≤ 2 ^ System.Platform.numBits
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/UInt.lean

⊢ 32 ≤ System.Platform.numBits
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0

⊢ (o.oangle (-x) y).sign = -(o.oangle x y).sign
-- Mathlib/Algebra/Homology/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k

⊢ ((forget₂ C Ab).map (S.X₁.d j k)) x₁ = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k
this : Mono S.f

⊢ ((forget₂ C Ab).map (S.X₁.d j k)) x₁ = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k
this : Mono S.f

⊢ ((forget₂ C Ab).map (S.f.f k)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₁.d j k)) x₁) = ((forget₂ C Ab).map (S.f.f k)) 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k

⊢ ((forget₂ C Ab).map (hS.δ i j hij)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₃.homologyπ i)) (S.X₃.cyclesMk x₃ j ⋯ hx₃)) = ((forget₂ C Ab).map (S.X₁.homologyπ j)) (S.X₁.cyclesMk x₁ k hk ⋯)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k

⊢ ((forget₂ C Ab).map (HomologicalComplex.opcyclesMap S.g i)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₂.pOpcycles i)) x₂) = ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.homologyι i)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₃.homologyπ i)) (S.X₃.cyclesMk x₃ j ⋯ hx₃))
-- Mathlib/Algebra/Homology/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k

⊢ ((forget₂ C Ab).map (HomologicalComplex.cyclesMap S.f j)) (S.X₁.cyclesMk x₁ k hk ⋯) = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.opcyclesToCycles i j)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₂.pOpcycles i)) x₂)