ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)

⊢ zeroLocus 𝒜 ↑(vanishingIdeal t) = closure t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)

⊢ zeroLocus 𝒜 ↑(vanishingIdeal t) ⊆ closure t
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
t : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)

⊢ closure t ⊆ zeroLocus 𝒜 ↑(vanishingIdeal t)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
f : α → β
h : Disjoint s t
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u

⊢ Disjoint (f '' s) (f '' t)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
f : α → β
h : s ∩ t = ∅
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u

⊢ f '' s ∩ f '' t = ∅
-- Mathlib/Data/List/ReduceOption.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List (Option α)
x : α

⊢ (l.concat (some x)).reduceOption = l.reduceOption.concat x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Product.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : M → M'
g : M → N'
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hg : ContMDiffWithinAt I J' n g s x

⊢ ContMDiffWithinAt I (I'.prod J') n (fun x => (f x, g x)) s x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Product.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f✝ f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
f : M → M'
g : M → N'
hf : ContinuousWithinAt f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I' (f x)) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
hg : ContinuousWithinAt g s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J' (g x)) ∘ g ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

⊢ ContinuousWithinAt (fun x => (f x, g x)) s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt (I'.prod J') (f x, g x)) ∘ (fun x => (f x, g x)) ∘ ↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ 0 < θ.cos ↔ |θ.toReal| < π / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ |θ.toReal| ≤ π / 2 → (|θ.toReal| ≠ π / 2 ↔ 0 ≠ θ.cos)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ |θ.toReal| ≠ π / 2 ↔ 0 ≠ θ.cos
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.46503, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
W : A
f g : W ⟶ R.obj (op X)
h : ∀ (i : S.Arrow), f ≫ R.map i.f.op = g ≫ R.map i.f.op

⊢ f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.46503, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
W : A
f g : W ⟶ R.obj (op X)
h : ∀ (i : S.Arrow), f ≫ R.map i.f.op = g ≫ R.map i.f.op

⊢ ∀ (j : StructuredArrow (op X) G.op), f ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op X)).π.app j = g ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op X)).π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.46503, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
W : A
f g : W ⟶ R.obj (op X)
h : ∀ (i : S.Arrow), f ≫ R.map i.f.op = g ≫ R.map i.f.op
j : StructuredArrow (op X) G.op

⊢ f ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op X)).π.app j = g ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op X)).π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.46503, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
W : A
f g : W ⟶ R.obj (op X)
h : ∀ (i : S.Arrow), f ≫ R.map i.f.op = g ≫ R.map i.f.op
j : StructuredArrow (op X) G.op

⊢ ∀ (I : GrothendieckTopology.Cover.Arrow ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback j.hom.unop ↑S), ⋯⟩), (f ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op X)).π.app j) ≫ F.map I.f.op = (g ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op X)).π.app j) ≫ F.map I.f.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.46503, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
W✝ : A
f g : W✝ ⟶ R.obj (op X)
h : ∀ (i : S.Arrow), f ≫ R.map i.f.op = g ≫ R.map i.f.op
j : StructuredArrow (op X) G.op
W : C
i : W ⟶ unop j.right
hi : (GrothendieckTopology.Cover.sieve ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback j.hom.unop ↑S), ⋯⟩).arrows i
eq : f ≫ R.map (j.hom ≫ (G.map i).op) = g ≫ R.map (j.hom ≫ (G.map i).op)

⊢ (f ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right) ≫ F.map i.op = (g ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right) ≫ F.map i.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.46503, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
W✝ : A
f g : W✝ ⟶ R.obj (op X)
h : ∀ (i : S.Arrow), f ≫ R.map i.f.op = g ≫ R.map i.f.op
j : StructuredArrow (op X) G.op
W : C
i : W ⟶ unop j.right
hi : (GrothendieckTopology.Cover.sieve ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback j.hom.unop ↑S), ⋯⟩).arrows i
eq : f ≫ R.map (j.hom ≫ (G.map i).op) = g ≫ R.map (j.hom ≫ (G.map i).op)

⊢ f ≫ R.map (j.hom ≫ (G.map i).op) ≫ α.app (op W) = g ≫ R.map (j.hom ≫ (G.map i).op) ≫ α.app (op W)
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIcoMod hp a (-b) = p - toIocMod hp (-a) b
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ -b - -(toIocDiv hp (-a) b • p + 1 • p) = p - (b - toIocDiv hp (-a) b • p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : μ.IsEverywherePos s
h : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, ν u = μ u
x : α
hx : x ∈ s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[s] x
t : Set α
t_mem : t ∈ 𝓝 x
ht : ∀ u ⊆ t, ν u = μ u

⊢ 0 < ν n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : μ.IsEverywherePos s
h : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, ν u = μ u
x : α
hx : x ∈ s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[s] x
t : Set α
t_mem : t ∈ 𝓝 x
ht : ∀ u ⊆ t, ν u = μ u

⊢ 0 < ν (n ∩ t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hs : μ.IsEverywherePos s
h : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ u ⊆ t, ν u = μ u
x : α
hx : x ∈ s
n : Set α
hn : n ∈ 𝓝[s] x
t : Set α
t_mem : t ∈ 𝓝 x
ht : ∀ u ⊆ t, ν u = μ u

⊢ 0 < μ (n ∩ t)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monovary.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield α
inst✝ : LinearOrderedSemifield β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β
hf : ∀ i ∈ s, 0 < f i
hg : ∀ i ∈ s, 0 < g i

⊢ MonovaryOn f⁻¹ g⁻¹ s ↔ MonovaryOn f g s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy : y ∈ p.toList x

⊢ (p.toList x).next y hy = p y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support

⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p ^ k) x = y

⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x).nthLe k ⋯ = y

⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x).nthLe k ⋯ = y

⊢ (p.toList x).next ((p.toList x).nthLe k ⋯) ⋯ = p ((p.toList x).nthLe k ⋯)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x).nthLe k ⋯ = y

⊢ (p.cycleOf x).IsCycle
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithBot α
a✝¹ : α
ha : ¬↑a✝¹ = 0
a✝ : α
hb : ¬↑a✝ = 0

⊢ unbot' 0 (↑a✝¹ * ↑a✝) = unbot' 0 ↑a✝¹ * unbot' 0 ↑a✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
f g : X → Y
h : f =ᶠ[ae (μ.restrict U)] g
hU : IsOpen U
hf : ContinuousOn f U
hg : ContinuousOn g U

⊢ EqOn f g U
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
f g : X → Y
hU : IsOpen U
hf : ContinuousOn f U
hg : ContinuousOn g U
h : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ U → f x = g x

⊢ EqOn f g U
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
f g : X → Y
hU : IsOpen U
hf : ContinuousOn f U
hg : ContinuousOn g U
h : μ {a | a ∈ U ∧ ¬f a = g a} = 0

⊢ EqOn f g U
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
f g : X → Y
hU : IsOpen U
hf : ContinuousOn f U
hg : ContinuousOn g U
h : μ {a | a ∈ U ∧ ¬f a = g a} = 0
this : IsOpen (U ∩ {a | f a ≠ g a})

⊢ EqOn f g U
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝ : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
f g : X → Y
hU : IsOpen U
hf : ContinuousOn f U
hg : ContinuousOn g U
h : μ {a | a ∈ U ∧ ¬f a = g a} = 0
this : U ∩ {a | f a ≠ g a} ≤ ∅

⊢ EqOn f g U
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A B : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
x : ℍ

⊢ (f ∣[k](A * B)) x = ((f ∣[k]A) ∣[k]B) x
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A B : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
x : ℍ

⊢ f ((A * B) • x) * ↑(↑↑(A * B)).det ^ (k - 1) * (denom A (smulAux B x) * denom B x) ^ (-k) = f (A • B • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * denom A (B • x) ^ (-k) * ↑(↑↑B).det ^ (k - 1) * denom B x ^ (-k)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A B : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
x : ℍ
e3 : (A * B) • x = A • B • x

⊢ f ((A * B) • x) * ↑(↑↑(A * B)).det ^ (k - 1) * (denom A (smulAux B x) * denom B x) ^ (-k) = f (A • B • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * denom A (B • x) ^ (-k) * ↑(↑↑B).det ^ (k - 1) * denom B x ^ (-k)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A B : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
x : ℍ
e3 : (A * B) • x = A • B • x

⊢ f (A • B • x) * ↑(↑↑(A * B)).det ^ (k - 1) * (denom A (smulAux B x) * denom B x) ^ (-k) = f (A • B • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * denom A (B • x) ^ (-k) * ↑(↑↑B).det ^ (k - 1) * denom B x ^ (-k)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A B : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
x : ℍ
e3 : (A * B) • x = A • B • x

⊢ f (A • B • x) * (↑(↑↑A).det * ↑(↑↑B).det) ^ (k - 1) * ((↑(↑↑A 1 0) * ((↑(↑↑B 0 0) * ↑x + ↑(↑↑B 0 1)) / (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1))) + ↑(↑↑A 1 1)) * (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1))) ^ (-k) = f (A • B • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * (↑(↑↑A 1 0) * ((↑(↑↑B 0 0) * ↑x + ↑(↑↑B 0 1)) / (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1))) + ↑(↑↑A 1 1)) ^ (-k) * ↑(↑↑B).det ^ (k - 1) * (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1)) ^ (-k)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A B : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
x : ℍ
e3 : (A * B) • x = A • B • x

⊢ f (A • B • x) * (↑(↑↑A).det * ↑(↑↑B).det) ^ (k - 1) / ((↑(↑↑A 1 0) * (↑(↑↑B 0 0) * ↑x + ↑(↑↑B 0 1)) / (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1)) + ↑(↑↑A 1 1)) * (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1))) ^ k = f (A • B • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * ↑(↑↑B).det ^ (k - 1) / ((↑(↑↑A 1 0) * (↑(↑↑B 0 0) * ↑x + ↑(↑↑B 0 1)) / (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1)) + ↑(↑↑A 1 1)) ^ k * (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1)) ^ k)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/SlashActions.lean
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k✝ : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k : ℤ
A B : ↥GL(2, ℝ)⁺
f : ℍ → ℂ
x : ℍ
e3 : (A * B) • x = A • B • x
this : (↑(↑↑A).det * ↑(↑↑B).det) ^ (k - 1) = ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * ↑(↑↑B).det ^ (k - 1)

⊢ f (A • B • x) * (↑(↑↑A).det * ↑(↑↑B).det) ^ (k - 1) / ((↑(↑↑A 1 0) * (↑(↑↑B 0 0) * ↑x + ↑(↑↑B 0 1)) / (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1)) + ↑(↑↑A 1 1)) * (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1))) ^ k = f (A • B • x) * ↑(↑↑A).det ^ (k - 1) * ↑(↑↑B).det ^ (k - 1) / ((↑(↑↑A 1 0) * (↑(↑↑B 0 0) * ↑x + ↑(↑↑B 0 1)) / (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1)) + ↑(↑↑A 1 1)) ^ k * (↑(↑↑B 1 0) * ↑x + ↑(↑↑B 1 1)) ^ k)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Pointwise.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
N : Type u_6
inst✝⁷ : Monoid R
inst✝⁶ : Monoid S
σ : R → S
inst✝⁵ : MulAction R M
inst✝⁴ : MulAction S N
inst✝³ : MulAction R M₁
inst✝² : MulAction R M₂
F : Type u_7
h : F
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulActionSemiHomClass F σ M N
c : R
s : Set M
t : Set N
y : M
hy : y ∈ ⇑h ⁻¹' t

⊢ (fun x => c • x) y ∈ ⇑h ⁻¹' (σ c • t)
-- Mathlib/Data/Seq/Parallel.lean
α : Type u
β : Type v
S : WSeq (Computation α)
h : S.head ~> none
x✝ : (parallel S).Terminates
a : α
m : a ∈ parallel S

⊢ False
-- Mathlib/Data/Seq/Parallel.lean
α : Type u
β : Type v
S : WSeq (Computation α)
h : S.head ~> none
x✝ : (parallel S).Terminates
a : α
m : a ∈ parallel S
c : Computation α
cs : c ∈ S
right✝ : a ∈ c

⊢ False
-- Mathlib/Data/Seq/Parallel.lean
α : Type u
β : Type v
S : WSeq (Computation α)
h : S.head ~> none
x✝ : (parallel S).Terminates
a : α
m : a ∈ parallel S
c : Computation α
cs : c ∈ S
right✝ : a ∈ c
n : ℕ
nm : some c ∈ S.get? n

⊢ False
-- Mathlib/Data/Seq/Parallel.lean
α : Type u
β : Type v
S : WSeq (Computation α)
h : S.head ~> none
x✝ : (parallel S).Terminates
a : α
m : a ∈ parallel S
c : Computation α
cs : c ∈ S
right✝ : a ∈ c
n : ℕ
nm : some c ∈ S.get? n
c' : Computation α
h' : some c' ∈ S.head

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E
f' : E →L[𝕜] G

⊢ HasFDerivAt (f ∘ ⇑iso) f' x ↔ HasFDerivAt f (f'.comp ↑iso.symm) (iso x)
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Defs.lean
n m p : ℕ
pp : 1 < p
h : 1 = 1 ∨ m ≤ minFac 1
d : p ∣ 1

⊢ m ≤ p
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints

⊢ A.topologicalClosure = ⊤
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints

⊢ ↑A.topologicalClosure = ↑⊤
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
L : Subalgebra ℝ C(X, ℝ) := A.topologicalClosure

⊢ ↑A.topologicalClosure = ↑⊤
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
L : Subalgebra ℝ C(X, ℝ) := A.topologicalClosure
n : (↑L).Nonempty

⊢ ↑A.topologicalClosure = ↑⊤
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/StoneWeierstrass.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : CompactSpace X
A : Subalgebra ℝ C(X, ℝ)
w : A.SeparatesPoints
L : Subalgebra ℝ C(X, ℝ) := A.topologicalClosure
n : (↑L).Nonempty

⊢ ↑A.topologicalClosure = closure ↑L
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ c :: m₂

⊢ x✝.get { byteIdx := utf8Len m₁ } = c
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
e : x✝.toString.data = m₁ ++ c :: m₂
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝

⊢ x✝.get { byteIdx := utf8Len m₁ } = c
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
e : m = m₁ ++ c :: m₂

⊢ x✝.get { byteIdx := utf8Len m₁ } = c
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
m₁ : List Char
c : Char
m₂ : List Char
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l r : List Char
h : ValidFor l (m₁ ++ c :: m₂) r x✝

⊢ x✝.get { byteIdx := utf8Len m₁ } = c
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R₁
inst✝¹⁰ : Semiring S₁
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring S₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁶ : Module S₁ N₂
inst✝⁵ : Module S₂ N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
f : Matrix n m N₂
i : n
j : m

⊢ ((toLinearMap₂'Aux σ₁ σ₂ f) ((LinearMap.stdBasis R₁ (fun x => R₁) i) 1)) ((LinearMap.stdBasis R₂ (fun x => R₂) j) 1) = f i j