ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/ContinuousMonoidHom.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
W : Set Y
hWo : W ∈ nhds 1
hWV : W ⊆ V
hWc : IsCompact W
S1 : Set (X →* Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S2 : Set (ContinuousMonoidHom X Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S3 : Set C(X, Y) := _root_.toContinuousMap '' S2
S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3
hS4 : S4 = DFunLike.coe '' S1
h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x

⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ContinuousMonoidHom.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
W : Set Y
hWo : W ∈ nhds 1
hWV : W ⊆ V
hWc : IsCompact W
S1 : Set (X →* Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S2 : Set (ContinuousMonoidHom X Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S3 : Set C(X, Y) := _root_.toContinuousMap '' S2
S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3
h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
hS4 : S4 = (U.pi fun x => W) ∩ Set.range DFunLike.coe

⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ContinuousMonoidHom.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
W : Set Y
hWo : W ∈ nhds 1
hWV : W ⊆ V
hWc : IsCompact W
S1 : Set (X →* Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S2 : Set (ContinuousMonoidHom X Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S3 : Set C(X, Y) := _root_.toContinuousMap '' S2
S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3
h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
hS4 : IsClosed S4

⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ContinuousMonoidHom.lean
F : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
C : Type u_4
D : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁸ : Monoid A
inst✝¹⁷ : Monoid B
inst✝¹⁶ : Monoid C
inst✝¹⁵ : Monoid D
inst✝¹⁴ : CommGroup E
inst✝¹³ : TopologicalSpace A
inst✝¹² : TopologicalSpace B
inst✝¹¹ : TopologicalSpace C
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace D
inst✝⁹ : TopologicalSpace E
inst✝⁸ : TopologicalGroup E
X : Type u_7
Y : Type u_8
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : Group X
inst✝⁵ : TopologicalGroup X
inst✝⁴ : UniformSpace Y
inst✝³ : CommGroup Y
inst✝² : UniformGroup Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : CompactSpace Y
U : Set X
V : Set Y
hU : IsCompact U
hV : V ∈ nhds 1
W : Set Y
hWo : W ∈ nhds 1
hWV : W ⊆ V
hWc : IsCompact W
S1 : Set (X →* Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S2 : Set (ContinuousMonoidHom X Y) := {f | Set.MapsTo (⇑f) U W}
S3 : Set C(X, Y) := _root_.toContinuousMap '' S2
S4 : Set (X → Y) := DFunLike.coe '' S3
h : Equicontinuous fun x => ⇑↑x
hS4 : IsClosed S4
hS2 : (interior S2).Nonempty

⊢ LocallyCompactSpace (ContinuousMonoidHom X Y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
γ : Type w
inst✝ : MetricSpace γ
x y : γ

⊢ nndist x y = 0 → x = y
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
b : Prop
h₂ : ∃! x, ∃! h, q x h
h₁ : ∀ (x : α) (h : p x), q x h → (∀ (y : α) (hy : p y), q y hy → y = x) → b

⊢ b
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
b : Prop
h₁ : ∀ (x : α) (h : p x), q x h → (∀ (y : α) (hy : p y), q y hy → y = x) → b
h₂ : ∃! x, ∃ h, q x h

⊢ b
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
b : Prop
h₁ : ∀ (x : α) (h : p x), q x h → (∀ (y : α) (hy : p y), q y hy → y = x) → b
h₂ : ∃! x, ∃ h, q x h

⊢ ∀ (x : α), (∃ h, q x h) → (∀ (y : α), (∃ h, q y h) → y = x) → b
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
x : E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
hx : ¬x = 0
this✝ : ‖c‖ ≠ 0
this : ‖x‖ ≠ 0

⊢ T.rayleighQuotient (c • x) = T.rayleighQuotient x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →L[𝕜] E
x : E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
hx : ¬x = 0
this✝ : ‖c‖ ≠ 0
this : ‖x‖ ≠ 0

⊢ ‖c‖ ^ 2 * T.reApplyInnerSelf x * ‖x‖ ^ 2 = T.reApplyInnerSelf x * (‖c‖ * ‖x‖) ^ 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

⊢ (μ.prod ν) s = ∫⁻ (y : β), μ ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s) ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (x : β), μ (Prod.mk x ⁻¹' (Prod.swap ⁻¹' s)) ∂ν = ∫⁻ (y : β), μ ((fun x => (x, y)) ⁻¹' s) ∂ν
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/FreeGroupoid.lean
V : Type u
inst✝² : Quiver V
V' : Type u'
inst✝¹ : Quiver V'
V'' : Type u''
inst✝ : Quiver V''

⊢ 𝟭 (FreeGroupoid V) = lift (𝟭q V ⋙q of V)
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/FreeGroupoid.lean
V : Type u
inst✝² : Quiver V
V' : Type u'
inst✝¹ : Quiver V'
V'' : Type u''
inst✝ : Quiver V''

⊢ of V ⋙q (𝟭 (FreeGroupoid V)).toPrefunctor = 𝟭q V ⋙q of V
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)

⊢ QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)

⊢ ∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
U V : ↑X.affineOpens

⊢ IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
U V : ↑X.affineOpens
s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)
hs' : ↑s' ⊆ s
e : Ideal.span ↑s' = ⊤

⊢ IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
U V : ↑X.affineOpens
s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)
hs' : ↑s' ⊆ s
e : Ideal.span ↑s' = ⊤

⊢ IsCompact (⋃ i, ↑↑U ∩ ↑↑V ∩ ↑(X.basicOpen ↑i))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
U V : ↑X.affineOpens
s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)
hs' : ↑s' ⊆ s
e : Ideal.span ↑s' = ⊤

⊢ ∀ (i : ↑↑s'), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V ∩ ↑(X.basicOpen ↑i))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
U V : ↑X.affineOpens
s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)
hs' : ↑s' ⊆ s
e : Ideal.span ↑s' = ⊤
i : ↑↑s'

⊢ IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V ∩ ↑(X.basicOpen ↑i))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
U V : ↑X.affineOpens
s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)
hs' : ↑s' ⊆ s
e : Ideal.span ↑s' = ⊤
i : ↑↑s'

⊢ IsCompact (↑↑U ∩ ↑(X.basicOpen ↑i) ∩ (↑↑V ∩ ↑(X.basicOpen ↑i)))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
U V : ↑X.affineOpens
s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)
hs' : ↑s' ⊆ s
e : Ideal.span ↑s' = ⊤
i : ↑↑s'

⊢ IsCompact (↑↑U ∩ ↑(X.basicOpen ↑i))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Affine.lean
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
s : Set ↑Γ(X, ⊤)
hs : Ideal.span s = ⊤
hs₂ : ∀ i ∈ s, IsAffineOpen (X.basicOpen i)
U V : ↑X.affineOpens
s' : Finset ↑Γ(X, ⊤)
hs' : ↑s' ⊆ s
e : Ideal.span ↑s' = ⊤
i : ↑↑s'

⊢ IsCompact (↑↑V ∩ ↑(X.basicOpen ↑i))
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X
f g : C(X, ℝ)₀
this : SemilinearMapClass (C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] C(X, ℝ≥0)) (RingHom.id ℝ≥0) C(X, ℝ≥0)₀ C(X, ℝ≥0)

⊢ (f * g).toNNReal + (-f).toNNReal * g.toNNReal + f.toNNReal * (-g).toNNReal = (-(f * g)).toNNReal + f.toNNReal * g.toNNReal + (-f).toNNReal * (-g).toNNReal
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X
f g : C(X, ℝ)₀
this : SemilinearMapClass (C(X, ℝ≥0)₀ →⋆ₙₐ[ℝ≥0] C(X, ℝ≥0)) (RingHom.id ℝ≥0) C(X, ℝ≥0)₀ C(X, ℝ≥0)

⊢ ↑((f * g).toNNReal + (-f).toNNReal * g.toNNReal + f.toNNReal * (-g).toNNReal) = ↑((-(f * g)).toNNReal + f.toNNReal * g.toNNReal + (-f).toNNReal * (-g).toNNReal)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
g : M ⊗[R] N →ₗ[R] P
H : ∀ (x : M) (y : N), g (x ⊗ₜ[R] y) = (f x) y
m : M
n : N

⊢ g (m ⊗ₜ[R] n) = (lift f) (m ⊗ₜ[R] n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹⁰ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁹ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
r : R
φ : ⨂[R] (i : ι), s i →ₗ[R] t i →ₗ[R] t' i
x✝¹ : (i : ι) → s i
x✝ : (i : ι) → t i

⊢ ((((lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) (r • φ)))).compMultilinearMap (tprod R)) x✝¹).compMultilinearMap (tprod R)) x✝ = ((((r • lift (piTensorHomMap.compMultilinearMap ((lift (piLinearMap (tprod R))) φ))).compMultilinearMap (tprod R)) x✝¹).compMultilinearMap (tprod R)) x✝
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/Extend.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
a b : ι

⊢ K.d a b = 𝟙 (X K (some a)) ≫ K.d a b ≫ 𝟙 (X K (some b))
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(GoodProducts (π C fun x => ord I x < o))
x✝ : ↑C

⊢ (Products.eval C ↑l) x✝ = (eval (π C fun x => ord I x < o) l) (ProjRestrict C (fun x => ord I x < o) x✝)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : ↑(GoodProducts (π C fun x => ord I x < o))
x✝ : ↑C

⊢ ((πs C o) (Products.eval (π C fun x => ord I x < o) ↑l)) x✝ = (eval (π C fun x => ord I x < o) l) (ProjRestrict C (fun x => ord I x < o) x✝)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α

⊢ ∃ f, f.IsCycleOn ↑s ∧ f.support ⊆ s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α

⊢ s.toList.formPerm.IsCycleOn ↑s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α

⊢ ↑s = {a | a ∈ s.toList}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω

⊢ Tendsto μs F (𝓝 μ) ↔ ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω

⊢ Tendsto μs F (𝓝 μ) → ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω

⊢ (∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))) → ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), f x ∂↑μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f.nnrealPart x) ∂↑(μs i) - ∫ (x : Ω), ↑((-f).nnrealPart x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f.nnrealPart x) ∂↑μ - ∫ (x : Ω), ↑((-f).nnrealPart x) ∂↑μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ
f_pos : Ω →ᵇ ℝ≥0 := f.nnrealPart
_def_f_pos : f_pos = f.nnrealPart
f_neg : Ω →ᵇ ℝ≥0 := (-f).nnrealPart
_def_f_neg : f_neg = (-f).nnrealPart

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i) - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ
f_pos : Ω →ᵇ ℝ≥0 := f.nnrealPart
_def_f_pos : f_pos = f.nnrealPart
f_neg : Ω →ᵇ ℝ≥0 := (-f).nnrealPart
_def_f_neg : f_neg = (-f).nnrealPart
tends_pos : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ).toReal)

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i) - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ
f_pos : Ω →ᵇ ℝ≥0 := f.nnrealPart
_def_f_pos : f_pos = f.nnrealPart
f_neg : Ω →ᵇ ℝ≥0 := (-f).nnrealPart
_def_f_neg : f_neg = (-f).nnrealPart
tends_pos : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ).toReal)
tends_neg : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ).toReal)

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i) - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ
f_pos : Ω →ᵇ ℝ≥0 := f.nnrealPart
_def_f_pos : f_pos = f.nnrealPart
f_neg : Ω →ᵇ ℝ≥0 := (-f).nnrealPart
_def_f_neg : f_neg = (-f).nnrealPart
tends_pos : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ).toReal)
tends_neg : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ).toReal)
aux : ∀ (g : Ω →ᵇ ℝ≥0), (ENNReal.toReal ∘ fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(g x) ∂↑(μs i)) = fun i => (∫⁻ (x : Ω), ↑(g x) ∂↑(μs i)).toReal

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i) - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : TopologicalSpace Ω
inst✝ : OpensMeasurableSpace Ω
γ : Type u_2
F : Filter γ
μs : γ → FiniteMeasure Ω
μ : FiniteMeasure Ω
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ≥0), Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫⁻ (x : Ω), ↑(f x) ∂↑μ))
f : Ω →ᵇ ℝ
f_pos : Ω →ᵇ ℝ≥0 := f.nnrealPart
_def_f_pos : f_pos = f.nnrealPart
f_neg : Ω →ᵇ ℝ≥0 := (-f).nnrealPart
_def_f_neg : f_neg = (-f).nnrealPart
aux : ∀ (g : Ω →ᵇ ℝ≥0), (ENNReal.toReal ∘ fun i => ∫⁻ (x : Ω), ↑(g x) ∂↑(μs i)) = fun i => (∫⁻ (x : Ω), ↑(g x) ∂↑(μs i)).toReal
tends_pos : Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ))
tends_neg : Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ))

⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑(μs i) - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑(μs i)) F (𝓝 (∫ (x : Ω), ↑(f_pos x) ∂↑μ - ∫ (x : Ω), ↑(f_neg x) ∂↑μ))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x✝ : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α), Differentiable 𝕜 (f n)
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖fderiv 𝕜 (f n) x‖ ≤ u n
hf0 : Summable fun n => f n x₀
x : E

⊢ fderiv 𝕜 (fun y => ∑' (n : α), f n y) x = ∑' (n : α), fderiv 𝕜 (f n) x
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/NatCast.lean
α : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ 0 ≤ 3
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/NatCast.lean
α : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ 0 ≤ 2 + 1
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (algebraMap F K) f

⊢ Fintype.card ↑(f.rootSet K) = f.natDegree ↔ f.Separable
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
f₁ : ι → κ
f₂ : (i : ι) → σ i → τ (f₁ i)
h : Injective f₁

⊢ _root_.Embedding (Sigma.map f₁ f₂) ↔ ∀ (i : ι), _root_.Embedding (f₂ i)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f

⊢ IsCompact (range f)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f

⊢ IsCompact (f '' univ)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
x : X
hx : x ∈ e.source

⊢ 𝓝 (↑e.symm (↑e x)) = 𝓝 x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0

⊢ (trinomial k m n u v w).natTrailingDegree = k
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0
i : ℕ
h : i ∈ (trinomial k m n u v w).support

⊢ ↑k ≤ ↑i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0
i : ℕ
h : i ∈ {k, m, n}

⊢ ↑k ≤ ↑i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0
i : ℕ
h : i = k ∨ i = m ∨ i = n

⊢ ↑k ≤ ↑i
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/QuotientOperations.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type w
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Semiring S
ι : Type u_1
I : ι → Ideal R

⊢ Injective ⇑(quotientInfToPiQuotient I)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
k m : ℕ
h : k ≠ m
x y : R
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m).support.card = 2
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i✝ j i : Fin n

⊢ succAbove 0 i = i.succ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
h_mono : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f n a ≤ f n.succ a

⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ n, f n a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ