ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J

⊢ limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ (preservesLimitIso (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) (F ⋙ evaluation R Y)).inv ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (limit.π (F ⋙ evaluation R Y) j ≫ restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
X Y Z : Cᵒᵖ
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
j : J

⊢ limit.π (F ⋙ evaluation R X) j ≫ restrictionApp f (F.obj j) ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv = limMap (whiskerLeft F (restriction R f)) ≫ limit.π ((F ⋙ evaluation R Y) ⋙ ModuleCat.restrictScalars (R.map f)) j ≫ (ModuleCat.restrictScalars (R.map f)).map (restrictionApp g (F.obj j)) ≫ (ModuleCat.restrictScalarsComp'App (R.map f) (R.map g) (R.map (f ≫ g)) ⋯ ((F.obj j).obj Z)).inv
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : Function.Injective ⇑((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)

⊢ Independent p
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : Function.Injective ⇑((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)

⊢ ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : Function.Injective ⇑((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
i : ι
x : ↥(p i)
v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)
hv : ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x

⊢ x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : Function.Injective ⇑((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
i : ι
x : ↥(p i)
v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)
hv : ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (single i x)

⊢ x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : Function.Injective ⇑((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
i : ι
x : ↥(p i)
v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)
hv : ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (single i x)
this : (erase i v) i = (single i x) i

⊢ x = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i j : ι
r : c.Rel i j

⊢ C.dFrom i = C.d i j ≫ (C.xNextIso r).inv
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
i : ι
r : c.Rel i (c.next i)

⊢ C.dFrom i = C.d i (c.next i) ≫ (C.xNextIso r).inv
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f : ι → α

⊢ ⋂ i, Iic (f i) = ∅ ↔ ¬BddBelow (range f)
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0
hc : 1 < ‖c‖
h₀ : r ≠ 0 ∨ x ≠ 0

⊢ egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) x ≤ ↑‖c‖₊ * ↑‖x‖₊ / ↑r
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
hc : 1 < ‖c‖
h₀ : 0 ≠ 0 ∨ x ≠ 0

⊢ egauge 𝕜 (ball 0 ↑0) x ≤ ↑‖c‖₊ * ↑‖x‖₊ / ↑0
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0
hc : 1 < ‖c‖
h₀ : r ≠ 0 ∨ x ≠ 0
hr : 0 < r

⊢ egauge 𝕜 (ball 0 ↑r) x ≤ ↑‖c‖₊ * ↑‖x‖₊ / ↑r
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/ETransform.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α

⊢ x.1.card + (op e • x.1).card = 2 * x.1.card
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

⊢ limsup s cofinite = {x | {n | x ∈ s n}.Infinite}
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ (coeff A (n + 1)) (bernoulli'PowerSeries A * (exp A - 1)) = (coeff A (n + 1)) (X * exp A)
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ (coeff A (n + 1, 0).1) (PowerSeries.mk fun n => (algebraMap ℚ A) (bernoulli' n / ↑n !)) * (coeff A (n + 1, 0).2) (exp A - 1) + ∑ p ∈ antidiagonal n, (coeff A (p.1, p.2 + 1).1) (PowerSeries.mk fun n => (algebraMap ℚ A) (bernoulli' n / ↑n !)) * (coeff A (p.1, p.2 + 1).2) (exp A - 1) = (coeff A (n + 1)) (exp A * X)
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ ∑ p ∈ antidiagonal n, bernoulli' p.1 / ↑p.1! * ((↑p.2 + 1) * ↑p.2!)⁻¹ = (↑n !)⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ (∑ p ∈ antidiagonal n, bernoulli' p.1 / ↑p.1! * ((↑p.2 + 1) * ↑p.2!)⁻¹) * ↑n ! = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ ∑ i ∈ antidiagonal n, bernoulli' i.1 / ↑i.1! * ((↑i.2 + 1) * ↑i.2!)⁻¹ * ↑n ! = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ ∑ i ∈ antidiagonal n, bernoulli' i.1 / ↑i.1! * ((↑i.2 + 1) * ↑i.2!)⁻¹ * ↑n ! = ∑ k ∈ antidiagonal n, ↑((k.1 + k.2).choose k.2) / (↑k.2 + 1) * bernoulli' k.1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ ∀ x ∈ antidiagonal n, bernoulli' x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹ * ↑n ! = ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ ∀ (x : ℕ × ℕ), x.1 + x.2 = n → bernoulli' x.1 / ↑x.1! * ((↑x.2 + 1) * ↑x.2!)⁻¹ * ↑n ! = ↑((x.1 + x.2).choose x.2) / (↑x.2 + 1) * bernoulli' x.1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
i j : ℕ

⊢ bernoulli' (i, j).1 / ↑(i, j).1! * ((↑(i, j).2 + 1) * ↑(i, j).2!)⁻¹ * ↑((i, j).1 + (i, j).2)! = ↑(((i, j).1 + (i, j).2).choose (i, j).2) / (↑(i, j).2 + 1) * bernoulli' (i, j).1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
i j : ℕ
this : i ! * j ! ∣ (i + j)!

⊢ bernoulli' (i, j).1 / ↑(i, j).1! * ((↑(i, j).2 + 1) * ↑(i, j).2!)⁻¹ * ↑((i, j).1 + (i, j).2)! = ↑(((i, j).1 + (i, j).2).choose (i, j).2) / (↑(i, j).2 + 1) * bernoulli' (i, j).1
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
i j : ℕ
this : i ! * j ! ∣ (i + j)!

⊢ ((↑j ! * (↑j + 1) = (↑j + 1) * ↑j ! ∨ i ! = 0) ∨ (i + j)! = 0) ∨ bernoulli' i = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
i j : ℕ
this : i ! * j ! ∣ (i + j)!

⊢ ((j ! * (j + 1) = (j + 1) * j ! ∨ i ! = 0) ∨ (i + j)! = 0) ∨ bernoulli' i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R✝
n✝ : ℕ
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
μ : R
n : ℕ
inst✝¹ : Algebra K R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
h : Irreducible (cyclotomic n K)
inst✝ : NeZero ↑n

⊢ cyclotomic n K = minpoly K μ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R✝
n✝ : ℕ
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
μ : R
n : ℕ
inst✝¹ : Algebra K R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
h : Irreducible (cyclotomic n K)
inst✝ : NeZero ↑n
this : NeZero ↑n

⊢ cyclotomic n K = minpoly K μ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R✝
n✝ : ℕ
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field K
R : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
μ : R
n : ℕ
inst✝¹ : Algebra K R
hμ : IsPrimitiveRoot μ n
h : Irreducible (cyclotomic n K)
inst✝ : NeZero ↑n
this : NeZero ↑n

⊢ (aeval μ) (cyclotomic n K) = 0
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ b = b ∆ a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F
hf : range f = ⊤
p : Submodule R M

⊢ map f p = ⊤ ↔ p ⊔ ker f = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v w : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
h : v.restrict i ≤ w.restrict i
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j

⊢ ↑((-w).restrict i) j ≤ ↑((-v).restrict i) j
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v w : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
h : v.restrict i ≤ w.restrict i
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j

⊢ -↑w (j ∩ i) ≤ -↑v (j ∩ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v w : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
h : v.restrict i ≤ w.restrict i
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j

⊢ ↑v (j ∩ i) ≤ ↑w (j ∩ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup M
inst✝ : TopologicalAddGroup M
v w : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
h : v.restrict i ≤ w.restrict i
j : Set α
hj₁ : MeasurableSet j

⊢ ↑(v.restrict i) j ≤ ↑(w.restrict i) j
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → α
a : α
hf : ∀ (b : β), f a b = a
b : β
l : List β

⊢ foldl f a (b :: l) = a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
x✝ : E

⊢ x✝ ∈ a • closedBall b r ↔ x✝ ∈ closedBall (a • b) r
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Limits.lean
α : Type w
inst✝ : Finite α
X : α → Profinite
a : α
x y : (forget Profinite).obj (X a)
hxy : (ι X a) x = (ι X a) y

⊢ x = y
-- Mathlib/Data/DFinsupp/WellFounded.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
hbot : ∀ ⦃i : ι⦄ ⦃a : α i⦄, ¬s i a 0
hs : ∀ (i : ι), WellFounded (s i)
hr : WellFounded (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1)
x : Π₀ (i : ι), α i

⊢ Acc (DFinsupp.Lex r s) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : Cᵒᵖ

⊢ colimMap (J.diagramNatTrans (𝟙 P) (unop x✝)) = (𝟙 { obj := fun X => colimit (J.diagram P (unop X)), map := fun {X Y} f => colimMap (J.diagramPullback P f.unop) ≫ colimit.pre (J.diagram P (unop Y)) (J.pullback f.unop).op, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }).app x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P : Cᵒᵖ ⥤ D
x✝ : Cᵒᵖ

⊢ colimMap (𝟙 (J.diagram P (unop x✝))) = 𝟙 ({ obj := fun X => colimit (J.diagram P (unop X)), map := fun {X Y} f => colimMap (J.diagramPullback P f.unop) ≫ colimit.pre (J.diagram P (unop Y)) (J.pullback f.unop).op, map_id := ⋯, map_comp := ⋯ }.obj x✝)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤

⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ Icc (a - ib) (a + ib)) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ∈ Icc (a - ε) (a + ε)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
f : β → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤

⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, ∀ x ∈ Ici ia, f x ∈ Icc (a - ib) (a + ib)) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, f n ∈ Icc (a - ε) (a + ε)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
x : ℕ

⊢ x ≤ ⌊max 0 (↑x + 1)⌋₊
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0

⊢ ↑(p * q) = ↑p * ↑q
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0

⊢ ↑(p.num * q.num) / ↑(p.den * q.den) = ↑p.num * ↑q.num / (↑p.den * ↑q.den)
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
hp : ↑p.den ≠ 0
hq : ↑q.den ≠ 0

⊢ ↑(p.den * q.den) ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
a : α
b : ↥(zpowers a)

⊢ ↑b ^ orderOf a = 1
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a✝ : α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hn : ∀ (n : ℕ), 0 < n → (filter (fun a => a ^ n = 1) univ).card ≤ n
a : α
b : ↥(zpowers a)
i : ℤ
hi : (fun x => a ^ x) i = ↑b

⊢ ↑b ^ orderOf a = 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/GroupRingAction.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : MulSemiringAction M S
m : M
f : S[X]
x r : S

⊢ eval (m • x) (m • C r) = m • eval x (C r)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/GroupRingAction.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : MulSemiringAction M S
m : M
f✝ : S[X]
x : S
f g : S[X]
ihf : eval (m • x) (m • f) = m • eval x f
ihg : eval (m • x) (m • g) = m • eval x g

⊢ eval (m • x) (m • (f + g)) = m • eval x (f + g)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/GroupRingAction.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Monoid M
R : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : MulSemiringAction M R
S : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : MulSemiringAction M S
m : M
f : S[X]
x : S
n : ℕ
r : S
x✝ : eval (m • x) (m • (C r * X ^ n)) = m • eval x (C r * X ^ n)

⊢ eval (m • x) (m • (C r * X ^ (n + 1))) = m • eval x (C r * X ^ (n + 1))
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g μ
hf : f =ᶠ[ae μ] f'
hg : g =ᶠ[ae μ] g'

⊢ IndepFun f' g' μ
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g μ
hf : f =ᶠ[ae μ] f'
hg : g =ᶠ[ae μ] g'

⊢ f =ᶠ[ae μ] f'
-- Mathlib/Probability/Independence/Basic.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ✝ : Type u_4
κ : ι → Type u_5
β : Type u_6
β' : Type u_7
γ : Type u_8
γ' : Type u_9
_mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → β
g : Ω → β'
mβ : MeasurableSpace β
mβ' : MeasurableSpace β'
f' : Ω → β
g' : Ω → β'
hfg : IndepFun f g μ
hf : f =ᶠ[ae μ] f'
hg : g =ᶠ[ae μ] g'

⊢ g =ᶠ[ae μ] g'
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B✝ B' I✝ J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α
I B : Set α
hI : M.Indep I
hInotmax : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}
hB : B ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | M.Indep I}

⊢ ∃ x ∈ B \ I, M.Indep (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B✝ B' I✝ J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α
I B : Set α
hI : M.Indep I
hB : M.Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → B ⊆ y → B = y
hInotmax : ∃ x, M.Indep x ∧ I ⊆ x ∧ ¬I = x

⊢ ∃ x ∈ B \ I, M.Indep (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B✝ B' I✝ J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α
I B : Set α
hI : M.Indep I
hB : M.Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → B ⊆ y → B = y
hInotmax : ∃ x, M.Indep x ∧ I ⊆ x ∧ ¬I = x
hIb : M.Base I

⊢ False
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
B✝ B' I✝ J D X : Set α
e f : α
M : Matroid α
I B : Set α
hI : M.Indep I
hB : M.Indep B ∧ ∀ ⦃y : Set α⦄, M.Indep y → B ⊆ y → B = y
hInotmax : ∃ x, M.Indep x ∧ I ⊆ x ∧ ¬I = x

⊢ M.Base B
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M

⊢ (map R' f) (p • q) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) q
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M

⊢ (map R' f) (p • 0) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M

⊢ ∀ (f_1 g : PolynomialModule R M), (map R' f) (p • f_1) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) f_1 → (map R' f) (p • g) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) g → (map R' f) (p • (f_1 + g)) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) (f_1 + g)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M

⊢ ∀ (a : ℕ) (b : M), (map R' f) (p • (single R a) b) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) ((single R a) b)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
p : R[X]
q : PolynomialModule R M
i : ℕ
m : M

⊢ (map R' f) (p • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') p • (map R' f) ((single R i) m)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
i : ℕ
m : M
p✝ q✝ : R[X]
e₁ : (map R' f) (p✝ • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') p✝ • (map R' f) ((single R i) m)
e₂ : (map R' f) (q✝ • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') q✝ • (map R' f) ((single R i) m)

⊢ (map R' f) ((p✝ + q✝) • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') (p✝ + q✝) • (map R' f) ((single R i) m)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
I : Ideal R
S : Type u_3
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra S R
inst✝⁷ : Module S M
inst✝⁶ : IsScalarTower S R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : Module R' M'
inst✝² : Algebra R R'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
q : PolynomialModule R M
i : ℕ
m : M
n✝ : ℕ
a✝ : R

⊢ (map R' f) ((monomial n✝) a✝ • (single R i) m) = Polynomial.map (algebraMap R R') ((monomial n✝) a✝) • (map R' f) ((single R i) m)
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∉ s

⊢ (insert a s).card = s.card + 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ

⊢ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) = fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
h1 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) univ

⊢ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) = fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℂ
h1 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) univ
h2 : AnalyticOn ℂ (fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π) univ
h3 : Tendsto ofReal' (𝓝[≠] 1) (𝓝[≠] 1)

⊢ (fun z => (Gamma z)⁻¹ * (Gamma (z + 1 / 2))⁻¹) = fun z => (Gamma (2 * z))⁻¹ * 2 ^ (2 * z - 1) / ↑√π