ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b✝ b₁ b₂ : β
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
a : α
b : β
this✝ : a ≤ 0 ∨ 0 ≤ a
this : b ≤ 0 ∨ 0 ≤ b

⊢ 0 ≤ a ∧ 0 ≤ b ∨ a ≤ 0 ∧ b ≤ 0 ↔ (a ≤ 0 ∨ 0 ≤ b) ∧ (b ≤ 0 ∨ 0 ≤ a)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J J' : FractionalIdeal S P
h : J ≤ J'

⊢ (fun J => J * I) J ≤ (fun J => J * I) J'
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J J' : FractionalIdeal S P
h : J ≤ J'

⊢ ⟨↑J * ↑I, ⋯⟩ ≤ ⟨↑J' * ↑I, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/DFinsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → Zero (N a)
f g : Π₀ (a : α), N a

⊢ f.neLocus g = g.neLocus f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
a : R
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R

⊢ (p /ₘ (X - C a)).coeff n = p.coeff (n + 1) + a * (p /ₘ (X - C a)).coeff (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q p : R[X]
a : R
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
this : (X - C a).Monic

⊢ (p /ₘ (X - C a)).coeff n = p.coeff (n + 1) + a * (p /ₘ (X - C a)).coeff (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p : R[X]
a : R
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
this : (X - C a).Monic
q : R[X] := p /ₘ (X - C a)

⊢ q.coeff n = p.coeff (n + 1) + a * q.coeff (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p : R[X]
a : R
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
this : (X - C a).Monic
q : R[X] := p /ₘ (X - C a)

⊢ q.coeff n = (p %ₘ (X - C a) + (X - C a) * (p /ₘ (X - C a))).coeff (n + 1) + a * q.coeff (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝¹ b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p : R[X]
a : R
n : ℕ
a✝ : Nontrivial R
this✝ : (X - C a).Monic
q : R[X] := p /ₘ (X - C a)
this : (p %ₘ (X - C a)).degree < ↑(n + 1)

⊢ q.coeff n = (p %ₘ (X - C a) + (X - C a) * (p /ₘ (X - C a))).coeff (n + 1) + a * q.coeff (n + 1)
-- Mathlib/Topology/QuasiSeparated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
hs : IsOpen s

⊢ IsQuasiSeparated s ↔ QuasiSeparatedSpace ↑s
-- Mathlib/Topology/QuasiSeparated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
hs : IsOpen s

⊢ IsQuasiSeparated s ↔ IsQuasiSeparated Set.univ
-- Mathlib/Topology/QuasiSeparated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set α
hs : IsOpen s

⊢ s = Subtype.val '' Set.univ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Deriv.lean
x✝ x : ℝ
hx : x = 0

⊢ deriv log x = x⁻¹
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/HasPullback.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z X' Y' Z' X'' Y'' Z'' : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
f'' : X'' ⟶ Z''
g'' : Y'' ⟶ Z''
i₁ : X ⟶ X'
j₁ : X' ⟶ X''
i₂ : Y ⟶ Y'
j₂ : Y' ⟶ Y''
i₃ : Z ⟶ Z'
j₃ : Z' ⟶ Z''
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback f' g'
inst✝ : HasPullback f'' g''
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
e₃ : f' ≫ j₃ = j₁ ≫ f''
e₄ : g' ≫ j₃ = j₂ ≫ g''

⊢ f ≫ i₃ ≫ j₃ = (i₁ ≫ j₁) ≫ f''
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/HasPullback.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z X' Y' Z' X'' Y'' Z'' : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
f' : X' ⟶ Z'
g' : Y' ⟶ Z'
f'' : X'' ⟶ Z''
g'' : Y'' ⟶ Z''
i₁ : X ⟶ X'
j₁ : X' ⟶ X''
i₂ : Y ⟶ Y'
j₂ : Y' ⟶ Y''
i₃ : Z ⟶ Z'
j₃ : Z' ⟶ Z''
inst✝² : HasPullback f g
inst✝¹ : HasPullback f' g'
inst✝ : HasPullback f'' g''
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
e₃ : f' ≫ j₃ = j₁ ≫ f''
e₄ : g' ≫ j₃ = j₂ ≫ g''

⊢ g ≫ i₃ ≫ j₃ = (i₂ ≫ j₂) ≫ g''
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
n : ℕ

⊢ (p ^ (n + 1)).Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n✝ : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
n : ℕ

⊢ (p ^ n * p).Monic
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : K
k : ℕ
hk : 2 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k

⊢ NumberField.InfinitePlace.NrRealPlaces K = 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : K
k : ℕ
hk : 2 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
x✝ : { w // w.IsReal }
w : NumberField.InfinitePlace K
hwreal : w.IsReal

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : K
k : ℕ
hk : 2 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
x✝ : { w // w.IsReal }
w : NumberField.InfinitePlace K
hwreal : NumberField.ComplexEmbedding.IsReal w.embedding

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : K
k : ℕ
hk : 2 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
x✝ : { w // w.IsReal }
w : NumberField.InfinitePlace K
hwreal : NumberField.ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
f : K →+* ℂ := w.embedding

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : K
k : ℕ
hk : 2 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
x✝ : { w // w.IsReal }
w : NumberField.InfinitePlace K
hwreal : NumberField.ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
f : K →+* ℂ := w.embedding
hζ' : IsPrimitiveRoot (f ζ) k

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : K
k : ℕ
hk : 2 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
x✝ : { w // w.IsReal }
w : NumberField.InfinitePlace K
hwreal : NumberField.ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
f : K →+* ℂ := w.embedding
hζ' : IsPrimitiveRoot (f ζ) k
him : (f ζ).im = 0

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
ζ : K
k : ℕ
hk : 2 < k
hζ : IsPrimitiveRoot ζ k
x✝ : { w // w.IsReal }
w : NumberField.InfinitePlace K
hwreal : NumberField.ComplexEmbedding.IsReal w.embedding
f : K →+* ℂ := w.embedding
hζ' : IsPrimitiveRoot (f ζ) k
him : (f ζ).im = 0
hre : (f ζ).re = 1 ∨ (f ζ).re = -1

⊢ False
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.36857, u_1} D
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ isomorphisms C f ↔ IsIso f
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M

⊢ x ∈ I • span R (Set.range f) → ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)

⊢ ∀ x ∈ ⋃ a ∈ I, ⋃ b ∈ Set.range f, {a • b}, ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)

⊢ ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)

⊢ ∀ (x y : M), (∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x) → (∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = y) → ∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x + y
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M'✝ : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'✝
inst✝² : Module R M'✝
I J : Ideal R
N P : Submodule R M
S : Set R
T : Set M
M' : Type w
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
ι : Type u_4
f : ι → M
x : M
hx : x ∈ I • span R (Set.range f)

⊢ ∀ (a : R) (x : M), (∃ a, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a i ∈ I), (a.sum fun i c => c • f i) = x) → ∃ a_2, ∃ (_ : ∀ (i : ι), a_2 i ∈ I), (a_2.sum fun i c => c • f i) = a • x
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
n✝ : ?m.31133
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
u : Finset α
n : ℕ
hn : n < u.card

⊢ (powersetCard n.succ u).sup id = u
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
n✝ : ?m.31133
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
u : Finset α
n : ℕ
hn : n < u.card

⊢ (powersetCard n.succ u).sup id ≤ u
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
n✝ : ?m.31133
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
u : Finset α
n : ℕ
hn : n < u.card

⊢ u ≤ (powersetCard n.succ u).sup id
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
K : Type ?u.600034
L : Type ?u.600037
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
h_eq : p = q

⊢ (aeval (root q)) p = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E

⊢ closedBall x δ * {y} = closedBall (x * y) δ
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Polynomial.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
g : R[X]
f : C(α, R)
x : α

⊢ ((aeval f) g) x = eval (f x) g
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Polynomial.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
g : R[X]
f : C(α, R)
x : α

⊢ ∀ (p q : R[X]), ((aeval f) p) x = eval (f x) p → ((aeval f) q) x = eval (f x) q → ((aeval f) (p + q)) x = eval (f x) (p + q)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Polynomial.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
g : R[X]
f : C(α, R)
x : α

⊢ ∀ (n : ℕ) (a : R), ((aeval f) ((monomial n) a)) x = eval (f x) ((monomial n) a)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : InfinitePlace K
hw₀ : w₀.IsReal
B : ℝ≥0
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B

⊢ ∃ a, ℚ⟮↑a⟯ = ⊤ ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(max B 1)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : InfinitePlace K
hw₀ : w₀.IsReal
B : ℝ≥0
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
this : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT K fun w => if w = w₀ then B else 1)

⊢ ∃ a, ℚ⟮↑a⟯ = ⊤ ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(max B 1)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : InfinitePlace K
hw₀ : w₀.IsReal
B : ℝ≥0
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
this : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT K fun w => if w = w₀ then B else 1)
a : 𝓞 K
h_nz : a ≠ 0
h_le : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(if w = w₀ then B else 1)

⊢ ∃ a, ℚ⟮↑a⟯ = ⊤ ∧ ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(max B 1)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : InfinitePlace K
hw₀ : w₀.IsReal
B : ℝ≥0
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
this : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT K fun w => if w = w₀ then B else 1)
a : 𝓞 K
h_nz : a ≠ 0
h_le : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(if w = w₀ then B else 1)

⊢ ℚ⟮↑a⟯ = ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
I✝ : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
I : (FractionalIdeal (𝓞 K)⁰ K)ˣ
w₀ : InfinitePlace K
hw₀ : w₀.IsReal
B : ℝ≥0
hB : minkowskiBound K 1 < ↑(convexBodyLTFactor K) * ↑B
this : minkowskiBound K 1 < volume (convexBodyLT K fun w => if w = w₀ then B else 1)
a : 𝓞 K
h_nz : a ≠ 0
h_le : ∀ (w : InfinitePlace K), w ↑a < ↑(if w = w₀ then B else 1)
w : InfinitePlace K

⊢ ↑(if w = w₀ then B else 1) ≤ ↑(max B 1)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : Mul α
inst✝² : AddCommMonoid α
inst✝¹ : DistribMulAction R α
inst✝ : SMulCommClass R α α
x : R
v w : m → α

⊢ v ⬝ᵥ x • w = x • (v ⬝ᵥ w)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/AEMeasurable.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
𝕜 : Type u_5
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : RCLike 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(Lp F p μ)

⊢ f ∈ lpMeas F 𝕜 m p μ ↔ AEStronglyMeasurable' m (↑↑f) μ
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ

⊢ ∅.card ≤ 1 ↔ ∀ a ∈ ∅, ∀ b ∈ ∅, a = b
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s

⊢ s.card ≤ 1 ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s

⊢ (∃ a, s = {a}) → ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ s

⊢ (∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b) → ∃ a, s = {a}
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
a : α
x : γ

⊢ κ.rnDeriv η a x = ⊤ ↔ (a, x) ∈ κ.mutuallySingularSet η
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
a : α
x : γ

⊢ 1 ≤ κ.rnDerivAux (κ + η) a x → 0 < κ.rnDerivAux (κ + η) a x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x✝ y : ℂ
x : ℝ

⊢ (starRingEnd ℂ) (tanh ↑x) = tanh ↑x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
f : Multiset (α →₀ M)
h : α → M → N
h₀ : ∀ (a : α), h a 0 = 0
h₁ : ∀ (a : α) (b₁ b₂ : M), h a (b₁ + b₂) = h a b₁ + h a b₂
a : α →₀ M
s : Multiset (α →₀ M)
ih : s.sum.sum h = (Multiset.map (fun g => g.sum h) s).sum

⊢ (a ::ₘ s).sum.sum h = (Multiset.map (fun g => g.sum h) (a ::ₘ s)).sum
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
s : Seq α

⊢ (cons a s).head = some a
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
r : ℝ≥0
hr : 0 < ↑r

⊢ dist f g = ↑r ↔ (∃ i, dist (f i) (g i) = ↑r) ∧ ∀ (b : β), dist (f b) (g b) ≤ ↑r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ p₃ p₄ : P

⊢ dist (midpoint 𝕜 p₁ p₂) (midpoint 𝕜 p₃ p₄) ≤ (dist p₁ p₃ + dist p₂ p₄) / ‖2‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ p₃ p₄ : P

⊢ ‖midpoint 𝕜 (p₁ -ᵥ p₃) (p₂ -ᵥ p₄)‖ ≤ (‖p₁ -ᵥ p₃‖ + ‖p₂ -ᵥ p₄‖) / ‖2‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ p₃ p₄ : P

⊢ ‖p₁ -ᵥ p₃ + (p₂ -ᵥ p₄)‖ / ‖2‖ ≤ (‖p₁ -ᵥ p₃‖ + ‖p₂ -ᵥ p₄‖) / ‖2‖
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
s : Set β
l : Filter α
t : Set β

⊢ t ∈ map f (l ⊓ 𝓟 (f ⁻¹' s)) ↔ t ∈ map f l ⊓ 𝓟 s
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Norm.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι

⊢ FiniteDimensional.finrank F (S ⧸ span {f}) = ((Algebra.norm F[X]) f).natDegree
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Norm.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι
h : ¬span {f} = ⊥

⊢ FiniteDimensional.finrank F (S ⧸ span {f}) = ((Algebra.norm F[X]) f).natDegree
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Norm.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι
h : ¬span {f} = ⊥

⊢ FiniteDimensional.finrank F (S ⧸ span {f}) = (∏ i : ι, smithCoeffs b (span {f}) ⋯ i).natDegree
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Norm.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι
h : ¬span {f} = ⊥

⊢ ∑ i : ι, FiniteDimensional.finrank F (F[X] ⧸ span {smithCoeffs b (span {f}) h i}) = ∑ i : ι, (smithCoeffs b (span {f}) h i).natDegree
-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Norm.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : IsDomain R
inst✝⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : IsDomain S
inst✝⁵ : Algebra R S
F : Type u_4
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra F[X] S
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra F S
inst✝ : IsScalarTower F F[X] S
b : Basis ι F[X] S
f : S
hf : f ≠ 0
this : Fintype ι
h : ¬span {f} = ⊥
i : ι

⊢ FiniteDimensional.finrank F (F[X] ⧸ span {smithCoeffs b (span {f}) h i}) = (smithCoeffs b (span {f}) h i).natDegree
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : V
hx : ‖x‖ ≠ 0

⊢ 1 ≤ ‖id V‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : ∃ x, ‖x‖ ≠ 0
x : V
hx : ‖x‖ ≠ 0
this : ‖(id V) x‖ / ‖x‖ ≤ ‖id V‖

⊢ 1 ≤ ‖id V‖
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
hI : I.IsRadical

⊢ IsIrreducible (zeroLocus ↑I) ↔ I.IsPrime
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
hI : I.IsRadical

⊢ (zeroLocus ↑I).Nonempty ∧ IsPreirreducible (zeroLocus ↑I) ↔ I ≠ ⊤ ∧ ∀ {x y : R}, x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
hI : I.IsRadical

⊢ (zeroLocus ↑I).Nonempty ↔ I ≠ ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
I : Ideal R
hI : I.IsRadical

⊢ IsPreirreducible (zeroLocus ↑I) ↔ ∀ {x y : R}, x * y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
s s' : σ
n n' : ℕ

⊢ coeff (Finsupp.single s' n') (X s ^ n) = if s = s' ∧ n = n' ∨ n = 0 ∧ n' = 0 then 1 else 0
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝⁹ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
inst✝⁸ : IsWellOrder ι fun x x_1 => x < x_1
inst✝⁷ : Countable ι
inst✝⁶ : TopologicalSpace ι
inst✝⁵ : OrderTopology ι
inst✝⁴ : FirstCountableTopology ι
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : Filtration ι m
u : ι → Ω → β
τ : Ω → ι
hτ : IsStoppingTime f τ
N : ι
hτbdd : ∀ (x : Ω), τ x ≤ N
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hf : Adapted f u
n : ι

⊢ MeasurableSet {ω | (fun x => hitting u s (τ x) N x) ω ≤ n}