ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x

⊢ ∃ i, V i ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U

⊢ ∃ i, V i ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U

⊢ ∃ i, V i ⊆ W
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U
H : ∀ (i : ι), ¬V i ⊆ W

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U
H : ∀ (i : ι), (V i ∩ Wᶜ).Nonempty

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U
H : ∀ (i : ι), (V i ∩ Wᶜ).Nonempty
this : (⋂ i, V i ∩ Wᶜ).Nonempty

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : Nonempty ι
V : ι → Set X
hV : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) V
hV_cpct : ∀ (i : ι), IsCompact (V i)
hV_closed : ∀ (i : ι), IsClosed (V i)
U : Set X
hU : ∀ x ∈ ⋂ i, V i, U ∈ 𝓝 x
W : Set X
hsubW : ⋂ i, V i ⊆ W
W_op : IsOpen W
hWU : W ⊆ U
H : ∀ (i : ι), (V i ∩ Wᶜ).Nonempty
this✝ : (⋂ i, V i ∩ Wᶜ).Nonempty
this : ¬⋂ i, V i ⊆ W

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : IsBigOWith c l f g
h₀ : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → g x = 0

⊢ IsBigOWith c l (fun x => (g x)⁻¹) fun x => (f x)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : IsBigOWith c l f g
h₀✝ : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → g x = 0
x : α
h₀ : f x = 0 → g x = 0
hle : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖

⊢ ‖(g x)⁻¹‖ ≤ c * ‖(f x)⁻¹‖
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : IsBigOWith c l f g
h₀✝ : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → g x = 0
x : α
h₀ : f x = 0 → g x = 0
hle : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hx : f x = 0

⊢ ‖(g x)⁻¹‖ ≤ c * ‖(f x)⁻¹‖
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → 𝕜
g : α → 𝕜'
h : IsBigOWith c l f g
h₀✝ : ∀ᶠ (x : α) in l, f x = 0 → g x = 0
x : α
h₀ : f x = 0 → g x = 0
hle : ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
hx : f x ≠ 0

⊢ ‖(g x)⁻¹‖ ≤ c * ‖(f x)⁻¹‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > (map (⇑f) μ) A

⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ (map (⇑f) μ) U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > μ (⇑f.symm '' A)

⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ (map (⇑f) μ) U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > μ (⇑f.symm '' A)
U : Set α
hAU : U ⊇ ⇑f.symm '' A
hUo : IsOpen U
hU : μ U < r

⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ (map (⇑f) μ) U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > μ (⇑f.symm '' A)
U : Set α
hAU : U ⊇ ⇑f.symm '' A
hUo : IsOpen U
hU : μ U < r
this : IsOpen (⇑f.symm ⁻¹' U)

⊢ ∃ U ⊇ A, IsOpen U ∧ (map (⇑f) μ) U < r
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
f : α ≃ₜ β
μ : Measure α
inst✝ : μ.OuterRegular
A : Set β
hA : MeasurableSet A
r : ℝ≥0∞
hr : r > μ (⇑f.symm '' A)
U : Set α
hAU : U ⊇ ⇑f.symm '' A
hUo : IsOpen U
hU : μ U < r
this : IsOpen (⇑f.symm ⁻¹' U)

⊢ (map (⇑f) μ) (⇑f.symm ⁻¹' U) < r
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S

⊢ M.LinearDisjoint 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S

⊢ Function.Injective ⇑(M.subtype ∘ₗ ↑M.rTensorOne)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 < b

⊢ Tendsto (fun x => (b * rexp x + c) / x ^ n) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
hb : 0 < b

⊢ Tendsto (fun x => (b * rexp x + c) / x ^ 0) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 < b
hn : n ≠ 0

⊢ Tendsto (fun x => (b * rexp x + c) / x ^ n) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
b c : ℝ
n : ℕ
hb : 0 < b
hn : n ≠ 0

⊢ Tendsto (fun x => b * (rexp x / x ^ n) + c / x ^ n) atTop atTop
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char
f : Char → Bool

⊢ { str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.any f = m.any f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/WF.lean
α : Type u_1
c : RBColor
n : Nat
cmp : α → α → Ordering
v : α
t : RBNode α
h : t.Balanced c n

⊢ ∃ c' n', (match t.isRed with | red => (ins cmp v t).setBlack | black => ins cmp v t).Balanced c' n'
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g f : NormedAddGroupHom V₁ V₂
K : ℝ≥0
hf : LipschitzWith K ⇑f
x : V₁

⊢ ‖f x‖ ≤ ↑K * ‖x‖
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (β_ X (𝟙_ C)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).inv ≫ (λ_ X).hom ▷ 𝟙_ C = (λ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ X (𝟙_ C)).inv
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ Tendsto (fun r => (ρ.IicSnd ↑r) s) atTop (𝓝 (ρ.fst s))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑r)) atTop (𝓝 (ρ (s ×ˢ univ)))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ Tendsto (fun r => ρ (s ×ˢ Iic ↑r)) atTop (𝓝 (ρ (⋃ i, s ×ˢ Iic ↑i)))
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r q : ℚ
hr_le_q : r ≤ q
x : α × ℝ

⊢ x ∈ s ×ˢ Iic ↑r → x ∈ s ×ˢ Iic ↑q
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
r q : ℚ
hr_le_q : r ≤ q
x : α × ℝ

⊢ x.1 ∈ s → x.2 ≤ ↑r → x.1 ∈ s ∧ x.2 ≤ ↑q
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t.Finite

⊢ hs.toFinset ⊆ ht.toFinset ↔ s ⊆ t
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c✝ d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b c : ℕ

⊢ a * (b % c) % c = a * b % c
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i j k : ℤ
H1 : k ∣ i
H2 : k ∣ j

⊢ (i / k).gcd (j / k) = i.gcd j / k.natAbs
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i j k : ℤ
H1 : k ∣ i
H2 : k ∣ j

⊢ (i.natAbs / k.natAbs).gcd (j.natAbs / k.natAbs) = i.gcd j / k.natAbs
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : ℝ

⊢ Icc x y = closedBall ((x + y) / 2) ((y - x) / 2)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
b : ℕ
inst✝ : NeZero b

⊢ 0 ∈ List.pmap (fun p pp => legendreSym p a) b.primeFactorsList ⋯ ↔ a.gcd ↑b ≠ 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
b : ℕ
inst✝ : NeZero b

⊢ (∃ a_1, ∃ (h : a_1 ∈ b.primeFactorsList), legendreSym a_1 a = 0) ↔ ∃ p, Nat.Prime p ∧ p ∣ a.natAbs ∧ p ∣ (↑b).natAbs
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
ℱ : Presheaf C X
x : ↑X
U✝ : Opens ↑X
hxU✝ : (𝟙 X) x ∈ U✝

⊢ ((pushforward C (𝟙 X)).obj ℱ).germ ⟨(𝟙 X) x, hxU✝⟩ ≫ stalkPushforward C (𝟙 X) ℱ x = ((pushforward C (𝟙 X)).obj ℱ).germ ⟨(𝟙 X) x, hxU✝⟩ ≫ (stalkFunctor C x).map (Pushforward.id ℱ).hom
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
ℱ : Presheaf C X
x : ↑X
U✝ : Opens ↑X
hxU✝ : (𝟙 X) x ∈ U✝

⊢ ℱ.map ((NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso (𝟙 X) x).inv).app (op { obj := U✝, property := ⋯ })) ≫ colimit.ι ((OpenNhds.map (𝟙 X) x).op ⋙ ((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj ℱ) (op { obj := U✝, property := ⋯ }) ≫ colimit.pre (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj ℱ) (OpenNhds.map (𝟙 X) x).op = colimit.ι ((OpenNhds.inclusion ((𝟙 X) x)).op ⋙ (pushforward C (𝟙 X)).obj ℱ) (op { obj := U✝, property := ⋯ }) ≫ (stalkFunctor C x).map (Pushforward.id ℱ).hom
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y Z : TopCat
ℱ : Presheaf C X
x : ↑X
U✝ : Opens ↑X
hxU✝ : (𝟙 X) x ∈ U✝

⊢ 𝟙 (ℱ.obj ((OpenNhds.inclusion ((𝟙 X) x) ⋙ Opens.map (𝟙 X)).op.obj (op { obj := U✝, property := ⋯ }))) ≫ colimit.ι ((OpenNhds.map (𝟙 X) x).op ⋙ ((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj ℱ) (op { obj := U✝, property := ⋯ }) ≫ colimit.pre (((whiskeringLeft (OpenNhds x)ᵒᵖ (Opens ↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion x).op).obj ℱ) (OpenNhds.map (𝟙 X) x).op = colimit.ι ((OpenNhds.inclusion ((𝟙 X) x)).op ⋙ (pushforward C (𝟙 X)).obj ℱ) (op { obj := U✝, property := ⋯ }) ≫ (stalkFunctor C x).map (Pushforward.id ℱ).hom
-- Mathlib/Algebra/Ring/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
R' : Type u_4
S✝ : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
R : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain (R × S)
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Nontrivial S

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Ring/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
R' : Type u_4
S✝ : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
R : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain (R × S)
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Nontrivial S
this : (0, 1) = 0 ∨ (1, 0) = 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Ring/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
R' : Type u_4
S✝ : Type u_5
S' : Type u_6
T : Type u_7
T' : Type u_8
R : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
inst✝² : IsDomain (R × S)
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : Nontrivial S
this : 0 = 0 ∧ 1 = 0 ∨ 1 = 0 ∧ 0 = 0

⊢ False
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
inst✝ : EnoughProjectives C
X Y : C
f : X ⟶ Y
α : ShortComplex.mk (d f) f ⋯ ⟶ ShortComplex.mk (kernel.ι f) f ⋯ := { τ₁ := π (kernel f), τ₂ := 𝟙 (ShortComplex.mk (d f) f ⋯).X₂, τ₃ := 𝟙 (ShortComplex.mk (d f) f ⋯).X₃, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
this✝¹ : Epi α.τ₁
this✝ : IsIso α.τ₂
this : Mono α.τ₃

⊢ (ShortComplex.mk (d f) f ⋯).Exact
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
inst✝ : EnoughProjectives C
X Y : C
f : X ⟶ Y
α : ShortComplex.mk (d f) f ⋯ ⟶ ShortComplex.mk (kernel.ι f) f ⋯ := { τ₁ := π (kernel f), τ₂ := 𝟙 (ShortComplex.mk (d f) f ⋯).X₂, τ₃ := 𝟙 (ShortComplex.mk (d f) f ⋯).X₃, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
this✝¹ : Epi α.τ₁
this✝ : IsIso α.τ₂
this : Mono α.τ₃

⊢ (ShortComplex.mk (kernel.ι f) f ⋯).Exact
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/ProjectiveResolution.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasProjectiveResolutions C
inst✝ : EnoughProjectives C
X Y : C
f : X ⟶ Y
α : ShortComplex.mk (d f) f ⋯ ⟶ ShortComplex.mk (kernel.ι f) f ⋯ := { τ₁ := π (kernel f), τ₂ := 𝟙 (ShortComplex.mk (d f) f ⋯).X₂, τ₃ := 𝟙 (ShortComplex.mk (d f) f ⋯).X₃, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }
this✝¹ : Epi α.τ₁
this✝ : IsIso α.τ₂
this : Mono α.τ₃

⊢ IsLimit (KernelFork.ofι (ShortComplex.mk (kernel.ι f) f ⋯).f ⋯)
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ Ioo a b ⊆ Ico a b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ Set.Ioo a b ⊆ Set.Ico a b
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
H : Subgroup G
h : f.ker ≤ H

⊢ comap f (map f H) = H
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

⊢ ∡ p₃ p₁ p₂ = ↑(Real.arccos (dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1

⊢ ∡ p₃ p₁ p₂ = ↑(Real.arccos (dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃))
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Group G
f g : MonoidAlgebra k G
x : G

⊢ (f * g) x = sum f fun a b => (single a b * g) x
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : Group G
f g : MonoidAlgebra k G
x : G

⊢ (sum f fun a b => (single a b * g) x) = sum f fun a b => b * g (a⁻¹ * x)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : HomogeneousLocalization 𝒜 x

⊢ f.den • f.val = (algebraMap A (at x)) f.num
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousLocalization.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : Submonoid A
f : HomogeneousLocalization 𝒜 x

⊢ IsLocalization.mk' (at x) (f.den * f.num) ⟨f.den, ⋯⟩ = (algebraMap A (at x)) f.num
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
f : ℂ → ℝ → ℂ := fun c x => cexp (-c * ↑x ^ 2)

⊢ ContinuousAt (fun c => ∫ (x : ℝ), cexp (-c * ↑x ^ 2)) b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
f : ℂ → ℝ → ℂ := fun c x => cexp (-c * ↑x ^ 2)
d : ℝ
hd : 0 < d
hd' : d < b.re

⊢ ContinuousAt (fun c => ∫ (x : ℝ), cexp (-c * ↑x ^ 2)) b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
f : ℂ → ℝ → ℂ := fun c x => cexp (-c * ↑x ^ 2)
d : ℝ
hd : 0 < d
hd' : d < b.re
f_meas : ∀ (c : ℂ), AEStronglyMeasurable (f c) volume

⊢ ContinuousAt (fun c => ∫ (x : ℝ), cexp (-c * ↑x ^ 2)) b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
f : ℂ → ℝ → ℂ := fun c x => cexp (-c * ↑x ^ 2)
d : ℝ
hd : 0 < d
hd' : d < b.re
f_meas : ∀ (c : ℂ), AEStronglyMeasurable (f c) volume
f_cts : ∀ (x : ℝ), ContinuousAt (fun c => f c x) b

⊢ ContinuousAt (fun c => ∫ (x : ℝ), cexp (-c * ↑x ^ 2)) b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
f : ℂ → ℝ → ℂ := fun c x => cexp (-c * ↑x ^ 2)
d : ℝ
hd : 0 < d
hd' : d < b.re
f_meas : ∀ (c : ℂ), AEStronglyMeasurable (f c) volume
f_cts : ∀ (x : ℝ), ContinuousAt (fun c => f c x) b
f_le_bd : ∀ᶠ (c : ℂ) in 𝓝 b, ∀ᵐ (x : ℝ), ‖f c x‖ ≤ rexp (-d * x ^ 2)

⊢ ContinuousAt (fun c => ∫ (x : ℝ), cexp (-c * ↑x ^ 2)) b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ℕ → Measure Ω
inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop

⊢ ∫ (x : Ω), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂μs i) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ℕ → Measure Ω
inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
same : ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μs i) atTop

⊢ ∫ (x : Ω), f x ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂μs i) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ℕ → Measure Ω
inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
same : ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μs i) atTop

⊢ (∫⁻ (a : Ω), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ).toReal ≤ liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂μs i) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ℕ → Measure Ω
inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
same : ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μs i) atTop

⊢ liminf (fun i => ∫ (x : Ω), f x ∂μs i) atTop = (liminf (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μs i) atTop).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : TopologicalSpace Ω
inst✝² : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ
μs : ℕ → Measure Ω
inst✝ : ∀ (i : ℕ), IsProbabilityMeasure (μs i)
f : Ω →ᵇ ℝ
f_nn : 0 ≤ f
h_opens : ∀ (G : Set Ω), IsOpen G → μ G ≤ liminf (fun i => (μs i) G) atTop
same : ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ liminf (fun i => ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μs i) atTop

⊢ ∫⁻ (x : Ω), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≠ ⊤