ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

⊢ (R.one ▷ (P.X ⊗ Q.X) ≫ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ actLeft P Q = 𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (λ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

⊢ R.one ▷ (P.X ⊗ Q.X) ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ P.actLeft ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = 𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (λ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

⊢ (((α_ (𝟙_ C) P.X Q.X).inv ≫ R.one ▷ P.X ▷ Q.X) ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = 𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (λ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

⊢ (α_ (𝟙_ C) P.X Q.X).inv ≫ (λ_ P.X).hom ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = 𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (λ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

⊢ (α_ (𝟙_ C) P.X Q.X).inv ≫ (λ_ P.X).hom ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (λ_ (P.X ⊗ Q.X)).hom ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
H : i ≤ j.castSucc

⊢ X.map (SimplexCategory.σ j.succ).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc).op = X.map (SimplexCategory.δ i).op ≫ X.map (SimplexCategory.σ j).op
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq α
d : α → Matrix m m R
i : m
i' : α
j : m
j' : α
h : (j, j').2 < (i, i').2

⊢ blockDiagonal d (i, i') (j, j') = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq α
d : α → Matrix m m R
i : m
i' : α
j : m
j' : α
h : (j, j').2 < (i, i').2

⊢ ⟨j', j⟩.fst < ⟨i', i⟩.fst
-- Mathlib/GroupTheory/Finiteness.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : AddMonoid N
M' : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M'
inst✝ : FG M
f : M →* M'
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ FG M'
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a✝ b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
a : α

⊢ f a * ∏ x ∈ Iio a, f x = ∏ x ∈ Iic a, f x
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a b c d : α
h : Codisjoint a b

⊢ b ⇨ a ⊓ b = a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

⊢ Integrable (fun x => cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

⊢ HasFiniteIntegral (fun x => cexp (-b * (↑x + ↑c * I) ^ 2)) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

⊢ HasFiniteIntegral (fun a => ‖cexp (-b * (↑a + ↑c * I) ^ 2)‖) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

⊢ HasFiniteIntegral (fun a => rexp (c ^ 2 * (b.im ^ 2 / b.re + b.re)) * rexp (-(b.re * (a - b.im * c / b.re) ^ 2))) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

⊢ Integrable (fun x => rexp (-(b.re * x ^ 2))) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
c : ℝ

⊢ Integrable (fun x => rexp (-b.re * x ^ 2)) volume
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : PreconnectedSpace α
s : Set α

⊢ (frontier s).Nonempty ↔ s.Nonempty ∧ s ≠ univ
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Center.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : Center C

⊢ (ρ_ X).inv.f = (ρ_ X.fst).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Center.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : Center C

⊢ (ρ_ X.fst).hom ≫ (ρ_ X).inv.f = 𝟙 (X ⊗ 𝟙_ (Center C)).fst
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Center.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X : Center C

⊢ (𝟙 (X ⊗ 𝟙_ (Center C))).f = 𝟙 (X ⊗ 𝟙_ (Center C)).fst
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹³ : Ring k
inst✝¹² : AddCommGroup V1
inst✝¹¹ : Module k V1
inst✝¹⁰ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁹ : AddCommGroup V2
inst✝⁸ : Module k V2
inst✝⁷ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁶ : AddCommGroup V3
inst✝⁵ : Module k V3
inst✝⁴ : AffineSpace V3 P3
inst✝³ : AddCommGroup V4
inst✝² : Module k V4
inst✝¹ : AffineSpace V4 P4
inst✝ : NoZeroSMulDivisors k V1
p₀ p₁ : P1
c₁ c₂ : k

⊢ (lineMap p₀ p₁) c₁ = (lineMap p₀ p₁) c₂ ↔ p₀ = p₁ ∨ c₁ = c₂
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i ≃ₗᵢ[𝕜] E₁ i

⊢ ‖g.compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }‖ = ‖g‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i ≃ₗᵢ[𝕜] E₁ i

⊢ ‖g‖ ≤ ‖g.compContinuousLinearMap fun i => (f i).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i ≃ₗᵢ[𝕜] E₁ i
this : g = (g.compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }

⊢ ‖g‖ ≤ ‖g.compContinuousLinearMap fun i => (f i).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i ≃ₗᵢ[𝕜] E₁ i
this : g = (g.compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }

⊢ ‖(g.compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }).compContinuousLinearMap fun i => ↑{ toLinearEquiv := (f i).symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯, continuous_invFun := ⋯ }‖ ≤ ‖g.compContinuousLinearMap fun i => (f i).toLinearIsometry.toContinuousLinearMap‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
m1 : MeasurableSpace β
f : α → β
hf : MeasurableEmbedding f
μ : Measure β
s : Set β

⊢ (Measure.comap f μ) (f ⁻¹' s) = μ (s ∩ range f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i✝ j✝ : Set α
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : MeasurableSet i
hj : MeasurableSet j
hi' : restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ restrict s iᶜ ≤ restrict 0 iᶜ
hj' : restrict 0 j ≤ restrict s j ∧ restrict s jᶜ ≤ restrict 0 jᶜ

⊢ ↑s (i ∆ j) = 0 ∧ ↑s (iᶜ ∆ jᶜ) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i✝ j✝ : Set α
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : MeasurableSet i
hj : MeasurableSet j
hi' : (∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ i → ↑0 j ≤ ↑s j) ∧ ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ iᶜ → ↑s j ≤ ↑0 j
hj' : (∀ ⦃j_1 : Set α⦄, MeasurableSet j_1 → j_1 ⊆ j → ↑0 j_1 ≤ ↑s j_1) ∧ ∀ ⦃j_1 : Set α⦄, MeasurableSet j_1 → j_1 ⊆ jᶜ → ↑s j_1 ≤ ↑0 j_1

⊢ ↑s (i ∆ j) = 0 ∧ ↑s (iᶜ ∆ jᶜ) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i✝ j✝ : Set α
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : MeasurableSet i
hj : MeasurableSet j
hi' : (∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ i → ↑0 j ≤ ↑s j) ∧ ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ iᶜ → ↑s j ≤ ↑0 j
hj' : restrict 0 j ≤ restrict s j ∧ ∀ ⦃j_1 : Set α⦄, MeasurableSet j_1 → j_1 ⊆ jᶜ → ↑s j_1 ≤ ↑0 j_1

⊢ MeasurableSet j
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i✝ j✝ : Set α
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : MeasurableSet i
hj : MeasurableSet j
hi' : restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ iᶜ → ↑s j ≤ ↑0 j
hj' : restrict 0 j ≤ restrict s j ∧ ∀ ⦃j_1 : Set α⦄, MeasurableSet j_1 → j_1 ⊆ jᶜ → ↑s j_1 ≤ ↑0 j_1

⊢ MeasurableSet i
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i✝ j✝ : Set α
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : MeasurableSet i
hj : MeasurableSet j
hi' : restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ iᶜ → ↑s j ≤ ↑0 j
hj' : restrict 0 j ≤ restrict s j ∧ restrict s jᶜ ≤ restrict 0 jᶜ

⊢ MeasurableSet jᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s✝ : SignedMeasure α
i✝ j✝ : Set α
s : SignedMeasure α
i j : Set α
hi : MeasurableSet i
hj : MeasurableSet j
hi' : restrict 0 i ≤ restrict s i ∧ restrict s iᶜ ≤ restrict 0 iᶜ
hj' : restrict 0 j ≤ restrict s j ∧ restrict s jᶜ ≤ restrict 0 jᶜ

⊢ MeasurableSet iᶜ
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
x : ↑C

⊢ (eval (π C J) l) (Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) = (eval C l) x
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
x : ↑C

⊢ (if ∀ i ∈ ↑l, ↑(Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) i = true then 1 else 0) = if ∀ i ∈ ↑l, ↑x i = true then 1 else 0
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
x : ↑C

⊢ (∀ i ∈ ↑l, ↑(Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) i = true) = ∀ i ∈ ↑l, ↑x i = true
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
x : ↑C

⊢ ∀ (a : I), (a ∈ ↑l → ↑(Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) a = true) = (a ∈ ↑l → ↑x a = true)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
x : ↑C
i : I

⊢ (i ∈ ↑l → ↑(Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) i = true) = (i ∈ ↑l → ↑x i = true)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝ : (j : I) → Decidable (J j)
x : ↑C
i : I

⊢ i ∈ ↑l → (↑(Set.MapsTo.restrict (Proj J) C (π C J) ⋯ x) i = true) = (↑x i = true)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
h : K₁ ≤ K₂
inst✝ : HasOrthogonalProjection K₁
x : E

⊢ x ∈ K₁ ⊔ K₁ᗮ ⊓ K₂ ↔ x ∈ K₂
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
h : K₁ ≤ K₂
inst✝ : HasOrthogonalProjection K₁
x : E

⊢ (∃ y ∈ K₁, ∃ z ∈ K₁ᗮ ⊓ K₂, y + z = x) ↔ x ∈ K₂
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
h : K₁ ≤ K₂
inst✝ : HasOrthogonalProjection K₁
x : E
v : ↥K₁ := (orthogonalProjection K₁) x

⊢ (∃ y ∈ K₁, ∃ z ∈ K₁ᗮ ⊓ K₂, y + z = x) ↔ x ∈ K₂
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K K₁ K₂ : Submodule 𝕜 E
h : K₁ ≤ K₂
inst✝ : HasOrthogonalProjection K₁
x : E
v : ↥K₁ := (orthogonalProjection K₁) x
hvm : x - ↑v ∈ K₁ᗮ

⊢ (∃ y ∈ K₁, ∃ z ∈ K₁ᗮ ⊓ K₂, y + z = x) ↔ x ∈ K₂
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≤ a

⊢ b + (a - b) ≤ a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≤ a
e : a - b = 0

⊢ b + (a - b) ≤ a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≤ a
c : Ordinal.{u_4}
e : a - b = succ c

⊢ b + (a - b) ≤ a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
h : b ≤ a
l : (a - b).IsLimit

⊢ b + (a - b) ≤ a
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
fst✝ snd✝ : α

⊢ Sym2.mk (fst✝, snd✝).swap = s(fst✝, snd✝)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic

⊢ p = X ^ p.natDegree + ∑ i ∈ range p.natDegree, C (p.coeff i) * X ^ i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic

⊢ C (p.coeff p.natDegree) * X ^ p.natDegree + ∑ x ∈ range p.natDegree, C (p.coeff x) * X ^ x = X ^ p.natDegree + ∑ i ∈ range p.natDegree, C (p.coeff i) * X ^ i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic

⊢ C (p.coeff p.natDegree) = 1
-- Mathlib/Data/Finsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : AddGroup N
f f₁ f₂ g g₁ g₂ : α →₀ N

⊢ f.neLocus (f + g) = g.support
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ : Finset α
a✝ b : α
s : Finset α
a : α

⊢ s ⊂ {a} ↔ s = ∅
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ

⊢ p ^ n ∣ a ↔ a = 0 ∨ n ≤ padicValNat p a
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ p ^ n ∣ 0 ↔ 0 = 0 ∨ n ≤ padicValNat p 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ
ha : a ≠ 0

⊢ p ^ n ∣ a ↔ a = 0 ∨ n ≤ padicValNat p a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
h1 : (f ^ n).IsCycle
h2 : f.support ⊆ (f ^ n).support

⊢ f.IsCycle
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
h1 : (f ^ n).IsCycle
h2 : f.support ⊆ (f ^ n).support
key : ∀ (x : α), (f ^ n) x ≠ x ↔ f x ≠ x

⊢ f.IsCycle
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x✝ y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
h2 : f.support ⊆ (f ^ n).support
key : ∀ (x : α), (f ^ n) x ≠ x ↔ f x ≠ x
x : α
hx1 : (f ^ n) x ≠ x
hx2 : ∀ ⦃y : α⦄, (f ^ n) y ≠ y → (f ^ n).SameCycle x y

⊢ f.IsCycle
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
h2 : f.support ⊆ (f ^ n).support
key : ∀ (x : α), (f ^ n) x ≠ x ↔ f x ≠ x
x : α
hx1 : (f ^ n) x ≠ x
hx2 : ∀ ⦃y : α⦄, (f ^ n) y ≠ y → (f ^ n).SameCycle x y
y : α
hy : f y ≠ y

⊢ f.SameCycle x y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x✝ y✝ : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
n : ℕ
h2 : f.support ⊆ (f ^ n).support
key : ∀ (x : α), (f ^ n) x ≠ x ↔ f x ≠ x
x : α
hx1 : (f ^ n) x ≠ x
hx2 : ∀ ⦃y : α⦄, (f ^ n) y ≠ y → (f ^ n).SameCycle x y
y : α
hy : f y ≠ y
i : ℤ
h✝ : ((f ^ n) ^ i) x = y

⊢ f.SameCycle x y
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hb : 0 < b
h : a < 1

⊢ a * b < b
-- Mathlib/Algebra/Regular/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Monoid R
b : R
a : Rˣ

⊢ IsRegular ↑a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Extend.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f g : ℝ → E
x : ℝ
f_diff : ∀ (y : ℝ), y ≠ x → HasDerivAt f (g y) y
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
y : ℝ

⊢ HasDerivAt f (g y) y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Extend.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f g : ℝ → E
y : ℝ
f_diff : ∀ (y_1 : ℝ), y_1 ≠ y → HasDerivAt f (g y_1) y_1
hf : ContinuousAt f y
hg : ContinuousAt g y

⊢ HasDerivAt f (g y) y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Extend.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f g : ℝ → E
x : ℝ
f_diff : ∀ (y : ℝ), y ≠ x → HasDerivAt f (g y) y
hf : ContinuousAt f x
hg : ContinuousAt g x
y : ℝ
hne : y ≠ x

⊢ HasDerivAt f (g y) y
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
IH : s.dedup.gcd = s.gcd
h : a ∈ s

⊢ fold GCDMonoid.gcd 0 s = GCDMonoid.gcd a (fold GCDMonoid.gcd 0 s)
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α
IH : s.dedup.gcd = s.gcd
h : a ∈ s

⊢ GCDMonoid.gcd a (fold GCDMonoid.gcd 0 (s.erase a)) = GCDMonoid.gcd (normalize a) (fold GCDMonoid.gcd 0 (s.erase a))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l mr lm r : List Char
e : lm ++ r = { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l }, stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }.str.data
h : { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l }, stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }.startPos ≤ { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l }, stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }.stopPos

⊢ ∃ l_1 m r, ValidFor l_1 m r { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l }, stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }