ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
hn : 1 < n

⊢ Irreducible (X ^ n - X - 1)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
hn : 1 < n
h : Irreducible (map (Int.castRingHom ℚ) (X ^ n - X - 1))

⊢ Irreducible (X ^ n - X - 1)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Selmer.lean
n : ℕ
hn1 : n ≠ 1
hn0 : ¬n = 0
hp : X ^ n - X - 1 = trinomial 0 1 n (-1) (-1) 1
hn : 1 < n

⊢ (X ^ n - X - 1).IsPrimitive
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
i : S.Arrow

⊢ lift hF hR s ≫ R.map i.f.op = s.ι i
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
i : S.Arrow

⊢ ∀ (j : StructuredArrow (op i.Y) G.op), (lift hF hR s ≫ R.map i.f.op) ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op i.Y)).π.app j = s.ι i ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op i.Y)).π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
i : S.Arrow
j : StructuredArrow (op i.Y) G.op

⊢ (lift hF hR s ≫ R.map i.f.op) ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op i.Y)).π.app j = s.ι i ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op i.Y)).π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
i : S.Arrow
j : StructuredArrow (op i.Y) G.op
eq : lift hF hR s ≫ R.map (StructuredArrow.mk (i.f.op ≫ j.hom)).hom ≫ α.app (StructuredArrow.mk (i.f.op ≫ j.hom)).right = liftAux hF α s (StructuredArrow.mk (i.f.op ≫ j.hom)).hom.unop

⊢ (lift hF hR s ≫ R.map i.f.op) ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op i.Y)).π.app j = s.ι i ≫ ((Functor.RightExtension.mk R α).coneAt (op i.Y)).π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
i : S.Arrow
j : StructuredArrow (op i.Y) G.op
eq : lift hF hR s ≫ R.map (i.f.op ≫ j.hom) ≫ α.app j.right = liftAux hF α s (j.hom.unop ≫ i.f)

⊢ (lift hF hR s ≫ R.map i.f.op) ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right = s.ι i ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
i : S.Arrow
j : StructuredArrow (op i.Y) G.op
eq : lift hF hR s ≫ R.map i.f.op ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right = liftAux hF α s (j.hom.unop ≫ i.f)

⊢ (lift hF hR s ≫ R.map i.f.op) ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right = s.ι i ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
i : S.Arrow
j : StructuredArrow (op i.Y) G.op
eq : lift hF hR s ≫ R.map i.f.op ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right = liftAux hF α s (j.hom.unop ≫ i.f)

⊢ liftAux hF α s (j.hom.unop ≫ i.f) = s.ι i ≫ R.map j.hom ≫ α.app j.right
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

⊢ (fun x => x - a) '' Ici b = Ici (b - a)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_1
F : α → ℚ
t : ℚ
s : Finset α
hF : ∀ i ∈ s, padicNorm p (F i) ≤ t
ht : 0 ≤ t

⊢ padicNorm p (∑ i ∈ s, F i) ≤ t
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_1
F : α → ℚ
t : ℚ
ht : 0 ≤ t
hF : ∀ i ∈ ∅, padicNorm p (F i) ≤ t

⊢ padicNorm p (∑ i ∈ ∅, F i) ≤ t
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
α : Type u_1
F : α → ℚ
t : ℚ
s : Finset α
hF : ∀ i ∈ s, padicNorm p (F i) ≤ t
ht : 0 ≤ t
hs : s.Nonempty

⊢ padicNorm p (∑ i ∈ s, F i) ≤ t
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s

⊢ s.WOppSide x y ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s

⊢ (y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)) ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)
-- Mathlib/Data/Finset/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder β
s t : Finset α
f : Finset α → β
inst✝ : DecidableEq α

⊢ Monotone f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄, a ∉ s → f s ≤ f (insert a s)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : UniformCauchySeqOnFilter f' l l'

⊢ UniformCauchySeqOnFilter (fun n z => ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n z)) l l'
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε

⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) < ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0

⊢ ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) < ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : q < ε

⊢ ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) < ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : q < ε

⊢ ∀ (x : (ι × ι) × 𝕜), dist (0 x.2) (f' x.1.1 x.2 - f' x.1.2 x.2) < q → dist (0 x.2) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' x.1.1 x.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' x.1.2 x.2)) < ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : q < ε
n : (ι × ι) × 𝕜
hn : dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < q

⊢ dist (0 n.2) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) < ε
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : q < ε
n : (ι × ι) × 𝕜
hn : dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < q

⊢ dist (0 n.2) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) ≤ q
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : q < ε
n : (ι × ι) × 𝕜
hn : ‖f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2‖ < q

⊢ ‖ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)‖ ≤ q
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : q < ε
n : (ι × ι) × 𝕜
hn : ‖f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2‖ < q

⊢ ∀ (x : 𝕜), ‖(ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) x‖ ≤ q * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : q < ε
n : (ι × ι) × 𝕜
hn : ‖f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2‖ < q
z : 𝕜

⊢ ‖(ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.1 n.2) - ContinuousLinearMap.smulRight 1 (f' n.1.2 n.2)) z‖ ≤ q * ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : q < ε
n : (ι × ι) × 𝕜
hn : ‖f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2‖ < q
z : 𝕜

⊢ ‖z • f' n.1.1 n.2 - z • f' n.1.2 n.2‖ ≤ q * ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
ι : Type u_1
l : Filter ι
𝕜 : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
G : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → 𝕜 → G
g : 𝕜 → G
f' : ι → 𝕜 → G
g' : 𝕜 → G
x : 𝕜
l' : Filter 𝕜
hf' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × 𝕜) in (l ×ˢ l) ×ˢ l', dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℝ
hq : 0 < q
hq' : q < ε
n : (ι × ι) × 𝕜
hn : ‖f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2‖ < q
z : 𝕜

⊢ ‖f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2‖ * ‖z‖ ≤ q * ‖z‖
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : Preorder β
l : Filter α
f₁ f₂ : α → β
h : f₁ ≤ᶠ[l] f₂
h₁ : Tendsto f₁ l atTop
b : β

⊢ ∀ᶠ (a : α) in l, b ≤ f₂ a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C

⊢ (F.obj n).map (F.ε.app X) ≫ (F.μ (𝟙_ M) n).app X ≫ (F.map (λ_ n).hom).app X = 𝟙 ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
this : (λ_ (F.obj n)).hom.app X = (F.ε ▷ F.obj n ≫ F.μ (𝟙_ M) n ≫ F.map (λ_ n).hom).app X

⊢ (F.obj n).map (F.ε.app X) ≫ (F.μ (𝟙_ M) n).app X ≫ (F.map (λ_ n).hom).app X = 𝟙 ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
n : M
X : C
this : 𝟙 ((F.obj n).obj X) = (F.obj n).map (F.ε.app X) ≫ (F.μ (𝟙_ M) n).app X ≫ (F.map (λ_ n).hom).app X

⊢ (F.obj n).map (F.ε.app X) ≫ (F.μ (𝟙_ M) n).app X ≫ (F.map (λ_ n).hom).app X = 𝟙 ((F.obj n).obj ((𝟙_ (C ⥤ C)).obj X))
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
n : ℕ

⊢ image castSucc univ = {last n}ᶜ
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
x : FamilyOfElements P (singleton (𝟙 X))
a✝ : x.Compatible

⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
x : FamilyOfElements P (singleton (𝟙 X))
a✝ : x.Compatible

⊢ (fun t => x.IsAmalgamation t) (x (𝟙 X) ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P✝ Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P : Cᵒᵖ ⥤ Type w
x : FamilyOfElements P (singleton (𝟙 X))
a✝ : x.Compatible

⊢ ∀ (y : P.obj (op X)), (fun t => x.IsAmalgamation t) y → y = x (𝟙 X) ⋯
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
q : ℚ_[p]
ε : ℚ
hε : 0 < ε
q' : CauSeq ℚ (padicNorm p)
this : ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, padicNorm p (↑q' m - ↑q' n) < ε
N : ℕ
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, padicNorm p (↑q' m - ↑q' n) < ε

⊢ (q' - const (padicNorm p) (↑q' N)).norm < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
q : ℚ_[p]
ε : ℚ
hε : 0 < ε
q' : CauSeq ℚ (padicNorm p)
this : ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, padicNorm p (↑q' m - ↑q' n) < ε
N : ℕ
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, padicNorm p (↑q' m - ↑q' n) < ε
heq : q' - const (padicNorm p) (↑q' N) ≈ 0

⊢ (q' - const (padicNorm p) (↑q' N)).norm < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
q : ℚ_[p]
ε : ℚ
hε : 0 < ε
q' : CauSeq ℚ (padicNorm p)
this : ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, padicNorm p (↑q' m - ↑q' n) < ε
N : ℕ
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, padicNorm p (↑q' m - ↑q' n) < ε
hne' : ¬q' - const (padicNorm p) (↑q' N) ≈ 0

⊢ (q' - const (padicNorm p) (↑q' N)).norm < ε
-- Mathlib/Order/Fin/Tuple.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x✝ : α 0
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p✝ : (i : Fin n) → α i.succ
i✝ : Fin n
y : α i✝.succ
z : α 0
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
i : Fin (n + 1)
x : α i
q₁ q₂ : (j : Fin (n + 1)) → α j
hx : x ∉ Icc (q₁ i) (q₂ i)
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)

⊢ p ∈ i.insertNth x ⁻¹' Icc q₁ q₂ ↔ p ∈ ∅
-- Mathlib/Data/Fintype/BigOperators.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
α : ι → Type u_6
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq κ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
s : (i : ι) → Finset (α i)

⊢ (piFinset s).card = ∏ i : ι, (s i).card
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
h : σ.Disjoint τ

⊢ (σ * τ).cycleType = σ.cycleType + τ.cycleType
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ τ : Perm α
h : σ.Disjoint τ

⊢ σ.cycleFactorsFinset.val.Disjoint τ.cycleFactorsFinset.val
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k n M N : ℕ

⊢ rothNumberNat (M + N) ≤ rothNumberNat M + rothNumberNat N
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k n M N : ℕ

⊢ addRothNumber (range (M + N)) ≤ addRothNumber (range M) + addRothNumber (range N)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
s : Finset ℕ
k n M N : ℕ

⊢ addRothNumber (range M ∪ map (addLeftEmbedding M) (range N)) ≤ addRothNumber (range M) + addRothNumber (map (addLeftEmbedding M) (range N))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
g : Perm α
hn2 : Fintype.card α < n + 2
hng : n ∈ g.cycleType

⊢ g.cycleType = {n}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm α
hd : c.Disjoint g'
hc : c.IsCycle
hn2 : Fintype.card α < c.support.card + 2
hng : c.support.card ∈ (c * g').cycleType

⊢ (c * g').cycleType = {c.support.card}
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm α
hd : c.Disjoint g'
hc : c.IsCycle
hn2 : Fintype.card α < c.support.card + 2
hng : c.support.card ∈ (c * g').cycleType

⊢ g' = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm α
hd : c.Disjoint g'
hc : c.IsCycle
hng : c.support.card ∈ (c * g').cycleType
g'1 : g' ≠ 1

⊢ c.support.card + 2 ≤ Fintype.card α
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm α
hd : c.Disjoint g'
hc : c.IsCycle
hng : c.support.card ∈ (c * g').cycleType
g'1 : g' ≠ 1

⊢ c.support.card + 2 ≤ (c * g').support.card
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
c g' : Perm α
hd : c.Disjoint g'
hc : c.IsCycle
hng : c.support.card ∈ (c * g').cycleType
g'1 : g' ≠ 1

⊢ c.support.card + 2 ≤ c.support.card + g'.support.card
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p✝ q✝ p q : R[X]
x : R
hpq : p * q ≠ 0

⊢ rootMultiplicity x (p * q) = rootMultiplicity x p + rootMultiplicity x q
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Free R M'
ι : Type v

⊢ Module.rank R (ι →₀ M) = #ι * Module.rank R M
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z : ℂ
x : ℝ

⊢ (z / ↑x).re = z.re / x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
n : ℕ

⊢ n ∈ (derivative p).support ↔ n + 1 ∈ p.support
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
n : ℕ

⊢ ¬p.coeff (n + 1) * ↑(n + 1) = 0 ↔ p.coeff (n + 1) ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ R
p : R[X]
n : ℕ

⊢ ¬(n + 1 = 0 ∨ p.coeff (n + 1) = 0) ↔ p.coeff (n + 1) ≠ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Enriched/Basic.lean
V : Type v
inst✝² : Category.{w, v} V
inst✝¹ : MonoidalCategory V
C : Type u₁
inst✝ : EnrichedCategory V C
W X Y Z : C

⊢ (α_ (EnrichedCategory.Hom W X) (EnrichedCategory.Hom X Y) (EnrichedCategory.Hom Y Z)).hom ≫ EnrichedCategory.Hom W X ◁ eComp V X Y Z ≫ eComp V W X Z = eComp V W X Y ▷ EnrichedCategory.Hom Y Z ≫ eComp V W Y Z
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r

⊢ Prime (C r)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
this : r ≠ 0

⊢ Prime (C r)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : (Ideal.span {r}).IsPrime
this : r ≠ 0

⊢ (Ideal.span {C r}).IsPrime
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : (Ideal.span {r}).IsPrime
this : r ≠ 0

⊢ C r ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r : R
hr : Prime r
this : r ≠ 0

⊢ r ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
h : a • b₁ < a • b₂
ha : a ≤ 0

⊢ b₂ < b₁
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
h : -a • b₂ < -a • b₁
ha : a ≤ 0

⊢ b₂ < b₁
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s1 s2 : AffineSubspace k P
h1 : (↑s1).Nonempty
h2 : (↑s2).Nonempty
hd : IsCompl s1.direction s2.direction

⊢ ∃ p, ↑s1 ∩ ↑s2 = {p}