ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this✝¹ : SeparableSpace ↑s
this✝ : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k => Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i => ↑(φ k) ∘ X i
A : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (fun ω => ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) a))
ω : Ω
hω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
h'ω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) a‖))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ + δ + δ < ε
k : ℕ
hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ < δ
this : ‖(∫ (a : Ω), Y k 0 a) - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < δ

⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, ‖(↑b)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range b, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < ε
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this✝¹ : SeparableSpace ↑s
this✝ : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k => Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i => ↑(φ k) ∘ X i
A : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (fun ω => ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) a))
ω : Ω
hω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
h'ω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) a‖))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ + δ + δ < ε
k : ℕ
hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ < δ
this : ‖(∫ (a : Ω), Y k 0 a) - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < δ
I : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ

⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, ‖(↑b)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range b, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < ε
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this✝¹ : SeparableSpace ↑s
this✝ : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k => Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i => ↑(φ k) ∘ X i
A : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (fun ω => ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) a))
ω : Ω
hω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
h'ω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) a‖))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ + δ + δ < ε
k : ℕ
hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ < δ
this : ‖(∫ (a : Ω), Y k 0 a) - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < δ
I : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ
J : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - ∫ (a : Ω), Y k 0 a‖ < δ

⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, ‖(↑b)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range b, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < ε
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁶ : MeasureSpace Ω
inst✝⁵ : IsProbabilityMeasure ℙ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
X : ℕ → Ω → E
hint : Integrable (X 0) ℙ
h' : StronglyMeasurable (X 0)
hindep : Pairwise fun i j => IndepFun (X i) (X j) ℙ
hident : ∀ (i : ℕ), IdentDistrib (X i) (X 0) ℙ ℙ
s : Set E := Set.range (X 0) ∪ {0}
zero_s : 0 ∈ s
this✝¹ : SeparableSpace ↑s
this✝ : Nonempty ↑s
φ : ℕ → SimpleFunc E E := SimpleFunc.nearestPt fun k => Nat.casesOn k 0 (Subtype.val ∘ denseSeq ↑s)
Y : ℕ → ℕ → Ω → E := fun k i => ↑(φ k) ∘ X i
A : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
B : ∀ᵐ (ω : Ω), ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), (fun ω => ‖(X 0 - Y k 0) ω‖) a))
ω : Ω
hω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), Y k 0 a))
h'ω : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun n => (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n) atTop (𝓝 (∫ (a : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) a‖))
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ + δ + δ < ε
k : ℕ
hk : ∫ (ω : Ω), ‖(X 0 - Y k 0) ω‖ < δ
this : ‖(∫ (a : Ω), Y k 0 a) - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < δ
I : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ
J : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - ∫ (a : Ω), Y k 0 a‖ < δ
n : ℕ
hn : (∑ i ∈ Finset.range n, ‖(X i - Y k i) ω‖) / ↑n < δ
h'n : ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, Y k i ω - ∫ (a : Ω), Y k 0 a‖ < δ

⊢ ‖(↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, X i ω - ∫ (a : Ω), X 0 a‖ < ε
-- Mathlib/Data/Int/Lemmas.lean
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
ha : a ≤ 0
hb : b ≤ 0

⊢ a.natAbs = b.natAbs ↔ a = b
-- Mathlib/Algebra/Ring/Idempotents.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
S : Type u_3
M₀ : Type u_4
M₁ : Type u_5
R : Type u_6
G : Type u_7
G₀ : Type u_8
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : Monoid N
inst✝⁵ : Semigroup S
inst✝⁴ : MulZeroClass M₀
inst✝³ : MulOneClass M₁
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : CancelMonoidWithZero G₀
p : N
n✝ : ℕ
h : IsIdempotentElem p
n : ℕ
ih : p ^ (n + 1) = p

⊢ p ^ (n.succ + 1) = p
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)

⊢ dist f g = (∫⁻ (a : α), edist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)

⊢ (if 1 = ⊤ then eLpNormEssSup (↑↑f - ↑↑g) μ else ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a - ↑↑g a‖₊ ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α), edist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ).toReal
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h2 : p2 ≠ p1
h3 : p3 ≠ p1

⊢ ∠ p1 p2 p3 + ∠ p2 p3 p1 + ∠ p3 p1 p2 = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h2 : p2 ≠ p1
h3 : p3 ≠ p1

⊢ ∠ p3 p1 p2 + ∠ p1 p3 p2 + ∠ p1 p2 p3 = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h2 : p2 ≠ p1
h3 : p3 ≠ p1

⊢ InnerProductGeometry.angle (p3 -ᵥ p1) (p2 -ᵥ p1) + InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p3) (p2 -ᵥ p3) + InnerProductGeometry.angle (p1 -ᵥ p2) (p3 -ᵥ p2) = π
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P
h2 : p2 ≠ p1
h3 : p3 ≠ p1

⊢ InnerProductGeometry.angle (p3 -ᵥ p1) (p2 -ᵥ p1) + InnerProductGeometry.angle (p3 -ᵥ p1) (p3 -ᵥ p1 - (p2 -ᵥ p1)) + InnerProductGeometry.angle (p2 -ᵥ p1) (p2 -ᵥ p1 - (p3 -ᵥ p1)) = π
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
h₁ : ℵ₀ ≤ #β
h₂ : #α < (#β).ord.cof

⊢ ∃ a, #↑(f ⁻¹' {a}) = #β
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
h₁ : ℵ₀ ≤ #β
h₂ : #α < (#β).ord.cof
this : ∃ a, #β ≤ #↑(f ⁻¹' {a})

⊢ ∃ a, #↑(f ⁻¹' {a}) = #β
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
h₁ : ℵ₀ ≤ #β
h₂ : #α < (#β).ord.cof
x : α
h : #β ≤ #↑(f ⁻¹' {x})

⊢ #↑(f ⁻¹' {x}) ≤ #β
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α✝ : Type u_1
r : α✝ → α✝ → Prop
β α : Type u
f : β → α
h₁ : ℵ₀ ≤ #β
h₂ : #α < (#β).ord.cof
x : α
h : #β ≤ #↑(f ⁻¹' {x})

⊢ ∃ p, #↑p = #↑(f ⁻¹' {x})
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B

⊢ Submodule.restrictScalars R (map includeRight I) = LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B

⊢ (Submodule.restrictScalars R (map includeRight I)).carrier = (LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B

⊢ (Submodule.restrictScalars R (map includeRight I)).carrier ≤ (LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
I : Ideal B

⊢ (LinearMap.range (LinearMap.lTensor A (Submodule.restrictScalars R I).subtype)).carrier ≤ (Submodule.restrictScalars R (map includeRight I)).carrier
-- Mathlib/Data/PEquiv.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq γ
a₁ a₂ : α
b₁ b₂ : β

⊢ (b₁ ∈ if a₁ = a₂ then some b₂ else none) ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
m : ℕ∞
n : ℕ

⊢ ↑m < ↑n ↔ m < ↑n
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
i : ℕ

⊢ f (i + 1) ((ComplexShape.up ℕ).prev (i + 1)) ≫ Q.d ((ComplexShape.up ℕ).prev (i + 1)) (i + 1) = f (i + 1) i ≫ Q.d i (i + 1)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i✝ : ι
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j
i : ℕ
this : (ComplexShape.up ℕ).prev (i + 1) = i

⊢ f (i + 1) ((ComplexShape.up ℕ).prev (i + 1)) ≫ Q.d ((ComplexShape.up ℕ).prev (i + 1)) (i + 1) = f (i + 1) i ≫ Q.d i (i + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Lucas.lean
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

⊢ ↑(n.choose k) ≡ ↑((n % p).choose (k % p)) * ↑((n / p).choose (k / p)) [ZMOD ↑p]
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Lucas.lean
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
decompose : (X + 1) ^ n = (X + 1) ^ (n % p) * (X ^ p + 1) ^ (n / p)

⊢ ↑(n.choose k) ≡ ↑((n % p).choose (k % p)) * ↑((n / p).choose (k / p)) [ZMOD ↑p]
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Lucas.lean
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
decompose : (X + 1) ^ n = (X + 1) ^ (n % p) * (X ^ p + 1) ^ (n / p)

⊢ ((X + 1) ^ (n % p) * (X ^ p + 1) ^ (n / p)).coeff k = (Int.castRingHom (ZMod p)) (↑((n % p).choose (k % p)) * ↑((n / p).choose (k / p)))
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Lucas.lean
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
decompose : (X + 1) ^ n = (X + 1) ^ (n % p) * (X ^ p + 1) ^ (n / p)

⊢ (∑ i ∈ range (n % p + 1), ∑ j ∈ range (n / p + 1), X ^ i * ↑((n % p).choose i) * (X ^ (p * j) * ↑((n / p).choose j))).coeff k = (Int.castRingHom (ZMod p)) (↑((n % p).choose (k % p)) * ↑((n / p).choose (k / p)))
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Lucas.lean
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
decompose : (X + 1) ^ n = (X + 1) ^ (n % p) * (X ^ p + 1) ^ (n / p)

⊢ (∑ k ∈ range (n % p + 1), ∑ k' ∈ range (n / p + 1), X ^ (k + p * k') * ↑((n % p).choose k * (n / p).choose k')).coeff k = (Int.castRingHom (ZMod p)) (↑((n % p).choose (k % p)) * ↑((n / p).choose (k / p)))
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Lucas.lean
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
decompose : (X + 1) ^ n = (X + 1) ^ (n % p) * (X ^ p + 1) ^ (n / p)
h_iff : ∀ x ∈ range (n % p + 1) ×ˢ range (n / p + 1), k = x.1 + p * x.2 ↔ (k % p, k / p) = x

⊢ (∑ k ∈ range (n % p + 1), ∑ k' ∈ range (n / p + 1), X ^ (k + p * k') * ↑((n % p).choose k * (n / p).choose k')).coeff k = (Int.castRingHom (ZMod p)) (↑((n % p).choose (k % p)) * ↑((n / p).choose (k / p)))
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Lucas.lean
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
decompose : (X + 1) ^ n = (X + 1) ^ (n % p) * (X ^ p + 1) ^ (n / p)
h_iff : ∀ x ∈ range (n % p + 1) ×ˢ range (n / p + 1), k = x.1 + p * x.2 ↔ (k % p, k / p) = x

⊢ (∑ x ∈ range (n % p + 1), ∑ x_1 ∈ range (n / p + 1), if k = x + p * x_1 then 1 * ↑((n % p).choose x * (n / p).choose x_1) else 0) = (Int.castRingHom (ZMod p)) ↑((n % p).choose (k % p) * (n / p).choose (k / p))
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Lucas.lean
n k p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
decompose : (X + 1) ^ n = (X + 1) ^ (n % p) * (X ^ p + 1) ^ (n / p)
h_iff : ∀ x ∈ range (n % p + 1) ×ˢ range (n / p + 1), k = x.1 + p * x.2 ↔ (k % p, k / p) = x

⊢ (if (k % p, k / p) ∈ range (n % p + 1) ×ˢ range (n / p + 1) then 1 * ↑((n % p).choose (k % p, k / p).1 * (n / p).choose (k % p, k / p).2) else 0) = (Int.castRingHom (ZMod p)) ↑((n % p).choose (k % p) * (n / p).choose (k / p))
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Rat.lean
q : ℚ≥0
hq : q ≠ 0

⊢ q⁻¹.den = q.num
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Rat.lean
q : ℚ≥0
hq : q ≠ 0

⊢ (↑q.den).natAbs.Coprime q.num
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμν : μ univ = ν univ
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)

⊢ μ = ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμν : μ univ = ν univ
h : ∀ ⦃a b : α⦄, a < b → μ (Ico a b) = ν (Ico a b)

⊢ ∀ s ∈ {S | ∃ l u, l < u ∧ Ico l u = S}, μ s = ν s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero

⊢ rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, weightSpace_ne_bot' := h }

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, weightSpace_ne_bot' := h }
hW : 2 • ⇑W = ⇑α

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, weightSpace_ne_bot' := h }
hW : 2 • ⇑W = ⇑α

⊢ weightSpace L ⇑α = ⊥
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Metric.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V

⊢ G.edist u v ≠ ⊤ ↔ G.Reachable u v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Metric.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Reachable u v

⊢ G.edist u v ≠ ⊤
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Metric.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Reachable u v
hx : G.edist u v = ⊤

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Metric.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
u v w : V
h : G.Reachable u v
hx : G.Walk u v → False

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel j i
A : C
f g : X φ j ⟶ A
h₁ : inlX φ i j hij ≫ f = inlX φ i j hij ≫ g
h₂ : inrX φ j ≫ f = inrX φ j ≫ g

⊢ f = g
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel j i
A : C
f g : X φ j ⟶ A
h₁ : inlX φ i j hij ≫ f = inlX φ i j hij ≫ g
h₂ : inrX φ j ≫ f = inrX φ j ≫ g
this : HasBinaryBiproduct (F.X i) (G.X j)

⊢ f = g
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel j i
A : C
f g : X φ j ⟶ A
h₁ : inlX φ i j hij ≫ f = inlX φ i j hij ≫ g
h₂ : inrX φ j ≫ f = inrX φ j ≫ g
this : HasBinaryBiproduct (F.X i) (G.X j)

⊢ (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ f = (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ g
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel j i
A : C
f g : X φ j ⟶ A
h₁ : inlX φ i j hij ≫ f = inlX φ i j hij ≫ g
h₂ : inrX φ j ≫ f = inrX φ j ≫ g
this : HasBinaryBiproduct (F.X i) (G.X j)

⊢ biprod.inl ≫ (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ f = biprod.inl ≫ (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ g
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel j i
A : C
f g : X φ j ⟶ A
h₁ : inlX φ i j hij ≫ f = inlX φ i j hij ≫ g
h₂ : inrX φ j ≫ f = inrX φ j ≫ g
this : HasBinaryBiproduct (F.X i) (G.X j)

⊢ biprod.inr ≫ (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ f = biprod.inr ≫ (XIsoBiprod φ j i hij).inv ≫ g
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Construction.lean
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G

⊢ 𝟭 (W.Localization ⥤ D) = functor W D ⋙ inverse W D
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Construction.lean
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G✝ : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G✝
G : W.Localization ⥤ D

⊢ (𝟭 (W.Localization ⥤ D)).obj G = (functor W D ⋙ inverse W D).obj G
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Construction.lean
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
G₁ G₂ : W.Localization ⥤ D
τ : G₁ ⟶ G₂

⊢ (𝟭 (W.Localization ⥤ D)).map τ = eqToHom ⋯ ≫ (functor W D ⋙ inverse W D).map τ ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v w : V
hvw : G.Adj v w

⊢ (G.subgraphOfAdj hvw).neighborSet w = {v}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v w : V
hvw : G.Adj v w

⊢ (G.subgraphOfAdj ⋯).neighborSet w = {v}
-- Mathlib/CategoryTheory/EffectiveEpi/Coproduct.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝³ : HasCoproduct X
inst✝² : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X) (a : α), HasPullback g (Sigma.ι X a)
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), HasCoproduct fun a => pullback g (Sigma.ι X a)
inst✝ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), Epi (Sigma.desc fun a => pullback.fst g (Sigma.ι X a))
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂ → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b
hg : g₁ ≫ Sigma.desc π = g₂ ≫ Sigma.desc π
a : α

⊢ Sigma.ι (fun a => pullback g₁ (Sigma.ι X a)) a ≫ (fun x => (Sigma.desc fun a => pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ x) (g₁ ≫ Sigma.desc e) = Sigma.ι (fun a => pullback g₁ (Sigma.ι X a)) a ≫ (fun x => (Sigma.desc fun a => pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a)) ≫ x) (g₂ ≫ Sigma.desc e)
-- Mathlib/CategoryTheory/EffectiveEpi/Coproduct.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
B : C
α : Type u_2
X : α → C
π : (a : α) → X a ⟶ B
inst✝³ : HasCoproduct X
inst✝² : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X) (a : α), HasPullback g (Sigma.ι X a)
inst✝¹ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), HasCoproduct fun a => pullback g (Sigma.ι X a)
inst✝ : ∀ {Z : C} (g : Z ⟶ ∐ X), Epi (Sigma.desc fun a => pullback.fst g (Sigma.ι X a))
W : C
e : (a : α) → X a ⟶ W
h : ∀ {Z : C} (a₁ a₂ : α) (g₁ : Z ⟶ X a₁) (g₂ : Z ⟶ X a₂), g₁ ≫ π a₁ = g₂ ≫ π a₂ → g₁ ≫ e a₁ = g₂ ≫ e a₂
Z : C
g₁ g₂ : Z ⟶ ∐ fun b => X b
hg : g₁ ≫ Sigma.desc π = g₂ ≫ Sigma.desc π
a : α

⊢ pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₁ ≫ Sigma.desc e = pullback.fst g₁ (Sigma.ι X a) ≫ g₂ ≫ Sigma.desc e