ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : IsDomain R✝
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R

⊢ cyclotomic' 1 R = X - 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FinallySmall.lean
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
inst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J
s : Set J
inst✝ : Small.{v, u} ↑s
hs : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)

⊢ (fullSubcategoryInclusion fun x => x ∈ s).Initial
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FinallySmall.lean
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
inst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J
s : Set J
inst✝ : Small.{v, u} ↑s
hs : ∀ (i : J), ∃ j ∈ s, Nonempty (j ⟶ i)
i : J

⊢ ∃ c, Nonempty ((fullSubcategoryInclusion fun x => x ∈ s).obj c ⟶ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

⊢ Measurable fun x => ∑' (i : ι), f i x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Real.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Sort y
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → ℝ≥0
h : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

⊢ Measurable fun x => (∑' (b : ι), ↑(f b x)).toNNReal
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
η₁ η₂ : R
hη₁ : η₁ ∈ nthRootsFinset n R
hη₂ : η₂ ∈ nthRootsFinset n R

⊢ η₁ * η₂ ∈ nthRootsFinset n R
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.91408, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
n₁ n₂ : ℤ

⊢ (inr φ).f n₁ ≫ (mappingCone φ).d n₁ n₂ = G.d n₁ n₂ ≫ (inr φ).f n₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Cartesian.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
A B X✝ X' Y Y' Z : C
inst✝² : HasFiniteProducts C
inst✝¹ : Exponentiable A
f : B ⟶ A
inst✝ : Exponentiable B
X : C

⊢ uncurry ((pre f).app X) = prod.map f (𝟙 (A ⟹ X)) ≫ (exp.ev A).app X
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
s t : Set X

⊢ dimH (s ∪ t) = max (dimH s) (dimH t)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
hh : HasStrictFDerivAt h₂ (smulRight 1 h₂') (f x)
hf : HasStrictFDerivAt f f' x

⊢ HasStrictFDerivAt (h₂ ∘ f) (h₂' • f') x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x : E
hh : HasStrictFDerivAt h₂ (smulRight 1 h₂') (f x)
hf : HasStrictFDerivAt f f' x

⊢ HSMul.hSMul h₂' = (ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 (smulRight 1 h₂')).comp
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x✝² : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
f : E → 𝕜'
f' : E →L[𝕜] 𝕜'
x✝¹ : E
hh : HasStrictFDerivAt h₂ (smulRight 1 h₂') (f x✝¹)
hf : HasStrictFDerivAt f f' x✝¹
x : E →L[𝕜] 𝕜'
x✝ : E

⊢ (h₂' • x) x✝ = ((ContinuousLinearMap.restrictScalars 𝕜 (smulRight 1 h₂')).comp x) x✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
h : 0 < x

⊢ sin x < x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
h : 0 < x
h' : 1 < x

⊢ sin x < x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1

⊢ sin x < x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x

⊢ sin x < x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : sin x - (x - x ^ 3 / 6) ≤ |x| ^ 4 * (5 / 96)

⊢ sin x < x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : sin x ≤ x - x ^ 3 / 6 + x ^ 4 * (5 / 96)

⊢ sin x < x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : sin x ≤ x - x ^ 3 / 6 + x ^ 4 * (5 / 96)

⊢ x - x ^ 3 / 6 + x ^ 4 * (5 / 96) < x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : sin x ≤ x - x ^ 3 / 6 + x ^ 4 * (5 / 96)

⊢ x ^ 4 * (5 / 96) < x ^ 3 * 6⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : sin x ≤ x - x ^ 3 / 6 + x ^ 4 * (5 / 96)

⊢ x ^ 4 ≤ x ^ 3
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
h : 0 < x
h' : x ≤ 1
hx : |x| = x
this : sin x ≤ x - x ^ 3 / 6 + x ^ 4 * (5 / 96)

⊢ 3 ≤ 4
-- Mathlib/Order/Interval/Set/UnorderedInterval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : Lattice β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : b ≤ a

⊢ [[a, b]] = Icc b a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i j : n

⊢ (A * A.adjugate) i j = (A.det • 1) i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
i j : n

⊢ ∑ j_1 : n, A i j_1 * A.adjugate j_1 j = if i = j then A.det else 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : E → F
s : Set E
x v : E
f' : F
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
h : HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (c • f') s x (c • v)

⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f f' s x v
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

⊢ derivFamily f = enumOrd (⋂ i, fixedPoints (f i))
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

⊢ StrictMono (derivFamily f) ∧ Set.range (derivFamily f) = ⋂ i, fixedPoints (f i)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

⊢ Set.range (derivFamily f) = ⋂ i, fixedPoints (f i)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)

⊢ (∀ (a : Ordinal.{max u v}), derivFamily f a ∈ ⋂ i, fixedPoints (f i)) ∧ ∀ b ∈ ⋂ i, fixedPoints (f i), ∃ a, derivFamily f a = b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
ha : a ∈ ⋂ i, fixedPoints (f i)

⊢ ∃ a_1, derivFamily f a_1 = a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
ha : ∀ (i : ι), a ∈ fixedPoints (f i)

⊢ ∃ a_1, derivFamily f a_1 = a
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Degree.lean
K : Type u
inst✝ : Field K

⊢ X.intDegree = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : E → F
f'✝ : E →L[𝕜] F
s✝ t : Set E
c✝ c' : ℝ≥0
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0

⊢ ApproximatesLinearOn f f' s c ↔ LipschitzOnWith c (f - ⇑f') s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : E → F
f'✝ : E →L[𝕜] F
s✝ t : Set E
c✝ c' : ℝ≥0
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
s : Set E
c : ℝ≥0
this : ∀ (x y : E), f x - f y - f' (x - y) = (f - ⇑f') x - (f - ⇑f') y

⊢ ApproximatesLinearOn f f' s c ↔ LipschitzOnWith c (f - ⇑f') s
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S p₁ p₂ : Submonoid M

⊢ Disjoint p₁ p₂ ↔ ∀ {x : M}, x ∈ p₁ → x ∈ p₂ → x = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
n : ℕ

⊢ Real.log (stirlingSeq (n + 1)) - Real.log (stirlingSeq (n + 2)) ≤ (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2 / (1 - (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
n : ℕ
h_nonneg : 0 ≤ (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2

⊢ Real.log (stirlingSeq (n + 1)) - Real.log (stirlingSeq (n + 2)) ≤ (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2 / (1 - (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
n : ℕ
h_nonneg : 0 ≤ (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2
g : HasSum (fun k => ((1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2) ^ (k + 1)) ((1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2 / (1 - (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2))

⊢ Real.log (stirlingSeq (n + 1)) - Real.log (stirlingSeq (n + 2)) ≤ (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2 / (1 - (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
n : ℕ
h_nonneg : 0 ≤ (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2
g : HasSum (fun k => ((1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2) ^ (k + 1)) ((1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2 / (1 - (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2))
hab : ∀ (k : ℕ), 1 / (2 * ↑(k + 1) + 1) * ((1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2) ^ (k + 1) ≤ ((1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2) ^ (k + 1)

⊢ Real.log (stirlingSeq (n + 1)) - Real.log (stirlingSeq (n + 2)) ≤ (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2 / (1 - (1 / (2 * ↑(n + 1) + 1)) ^ 2)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/AE.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
inst✝ : Countable α
p : α → Prop

⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x) ↔ ∀ (x : α), μ {x} ≠ 0 → p x
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/AE.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
inst✝ : Countable α
p : α → Prop

⊢ (∀ x ∈ {a | ¬p a}, μ {x} = 0) ↔ ∀ (x : α), μ {x} ≠ 0 → p x
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/AE.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝¹ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s t : Set α
inst✝ : Countable α
p : α → Prop

⊢ {a | ¬p a}.Countable
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t✝ : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : ∀ x ∈ s, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ DifferentiableOn 𝕜 f (s ∩ u)
x : E
xs : x ∈ s
t : Set E
t_open : IsOpen t
xt : x ∈ t
ht : DifferentiableOn 𝕜 f (s ∩ t)

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 f s x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ

⊢ s.GammaIntegral = mellin (fun x => ↑(rexp (-x))) s
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
hr : Reflexive r

⊢ ReflTransGen r = TransGen r
-- Mathlib/Data/ENat/Basic.lean
m✝ n✝ m : ℕ∞
n : ℕ
h : m ≤ ↑n

⊢ m.toNat ≤ n
-- Mathlib/Data/ENat/Basic.lean
m✝ n✝ : ℕ∞
n m : ℕ
h : ↑m ≤ ↑n

⊢ (↑m).toNat ≤ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : ¬r = 0

⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ = r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : ¬r = 0

⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : ¬r = 0
rinv : r * r⁻¹ = 1

⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : ¬r = 0
rinv : r * r⁻¹ = 1
rinv' : r⁻¹ * r = 1

⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : ¬r = 0
rinv : r * r⁻¹ = 1
rinv' : r⁻¹ * r = 1
this : r⁻¹ * ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), r⁻¹ * (r * f a) ∂μ

⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hr : r ≠ ⊤
h : ¬r = 0
rinv : r * r⁻¹ = 1
rinv' : r⁻¹ * r = 1
this : r⁻¹ * ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ

⊢ ∫⁻ (a : α), r * f a ∂μ ≤ r * ∫⁻ (a : α), f a ∂μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Submodule.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S

⊢ Function.Surjective ⇑(M.mulMap' N)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : Preorder ι
φ : ι → Set α
hφ : AECover μ atTop φ
x : α
h : ∀ᶠ (i : ι) in atTop, x ∈ φ i

⊢ ∀ᶠ (i : ι) in atTop, x ∈ ⋂ k ∈ Ici i, φ k
-- Mathlib/Algebra/Ring/Basic.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : NonAssocRing α
inst✝ : Nontrivial α
a : α
h : a - 1 = a

⊢ a + -1 = a + -0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedSemiring α✝
inst✝² : FloorSemiring α✝
a✝ : α✝
n : ℕ
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorSemiring α
z : ℤ
a : ℕ

⊢ ⌈↑z⌉₊ ≤ a ↔ z.toNat ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedSemiring α✝
inst✝² : FloorSemiring α✝
a✝ : α✝
n : ℕ
α : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorSemiring α
z : ℤ
a : ℕ

⊢ ↑z ≤ ↑a ↔ z ≤ ↑a
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝³ : LinearOrder I
inst✝² : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J K : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝¹ : (j : I) → Decidable (J j)
inst✝ : (j : I) → Decidable (K j)
hJK : ∀ (i : I), J i → K i

⊢ ⇑(eval (π C J) l) ∘ ProjRestricts C hJK = ⇑(eval (π C K) l)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝³ : LinearOrder I
inst✝² : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
l : Products I
J K : I → Prop
h : ∀ a ∈ ↑l, J a
inst✝¹ : (j : I) → Decidable (J j)
inst✝ : (j : I) → Decidable (K j)
hJK : ∀ (i : I), J i → K i
this : ⇑(eval (π C J) l) ∘ ⇑(Homeomorph.setCongr ⋯) = ⇑(eval (π (π C K) J) l)

⊢ ⇑(eval (π C J) l) ∘ ProjRestricts C hJK = ⇑(eval (π C K) l)
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Group.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedRing α
a : α

⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => Ico (a + ↑n) (a + ↑n + 1))
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ sinh (x - y) = sinh x * cosh y - cosh x * sinh y
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A

⊢ 1 ≤ 1ᵛ
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A

⊢ map (↑A (Algebra.trace K L)) (restrictScalars A 1) ≤ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B

⊢ (↑A (Algebra.trace K L)) ((Algebra.linearMap B L) x) ∈ 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B

⊢ IsIntegral A ((↑A (Algebra.trace K L)) ((Algebra.linearMap B L) x))
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B

⊢ IsIntegral A ((Algebra.linearMap B L) x)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsDomain B
inst✝ : IsIntegrallyClosed A
x : B

⊢ ∃ y, (algebraMap B L) y = (Algebra.linearMap B L) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
B : M →ₗ[R] M' →ₗ[R] R
x : M'

⊢ x ∈ (range B).dualCoannihilator ↔ x ∈ ker B.flip
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
h : numeratorHom r₁ = numeratorHom r₂

⊢ r₁ = r₂
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
h : ∃ u v, u • r₂ = v • r₁ ∧ ↑u * ↑1 = v * ↑1

⊢ r₁ = r₂
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
u : ↥S
v : R
h₁ : u • r₂ = v • r₁
h₂ : ↑u * ↑1 = v * ↑1

⊢ r₁ = r₂
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
u : ↥S
v : R
h₁ : ↑u * r₂ = v * r₁
h₂ : ↑u = v

⊢ r₁ = r₂
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X
hS : S ≤ nonZeroDivisorsRight R
r₁ r₂ : R
u : ↥S
v : R
h₁ : ↑u * (r₂ - r₁) = 0
h₂ : ↑u = v

⊢ r₁ = r₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
i : n

⊢ ((toLin v₁ v₂) M) (v₁ i) = ∑ j : m, M j i • v₂ j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
i : n
j : m
_hj : j ∈ Finset.univ

⊢ (M *ᵥ ⇑(v₁.repr (v₁ i))) j • v₂ j = M j i • v₂ j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
i : n
j : m
_hj : j ∈ Finset.univ

⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → M j b * (Finsupp.single i 1) b = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M : Matrix m n R
i : n
j : m
_hj : j ∈ Finset.univ

⊢ i ∉ Finset.univ → M j i * (Finsupp.single i 1) i = 0
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i : ι
b✝ : B
a : F
b : B

⊢ b ∈ (Z.localTrivAt b).baseSet