ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
s : Set ι
l : ι →₀ R
hl : l ∈ Finsupp.supported R R s
hm : (Finsupp.total ι M R ⇑b) l ∈ span R (⇑b '' s)

⊢ ↑(b.repr ((Finsupp.total ι M R ⇑b) l)).support ⊆ s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
p : A[X]
f : A →+* B
hf : Function.Injective ⇑f
hp0 : ¬p = 0

⊢ Multiset.card p.roots ≤ Multiset.card (map f p).roots
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
hp : p ≠ 0
H : ↑n ≤ p.trailingDegree

⊢ n ≤ p.natTrailingDegree
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E

⊢ ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n TotalSpace.proj x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E
this : ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) n id x

⊢ ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n TotalSpace.proj x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
F : Type u_4
M : Type u_5
E : B → Type u_6
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝¹² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
EB : Type u_7
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup EB
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 EB
HB : Type u_8
inst✝⁹ : TopologicalSpace HB
IB : ModelWithCorners 𝕜 EB HB
E' : B → Type u_9
inst✝⁸ : (x : B) → Zero (E' x)
EM : Type u_10
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup EM
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_11
inst✝⁵ : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace HM M
Is : SmoothManifoldWithCorners IM M
n : ℕ∞
inst✝² : TopologicalSpace B
inst✝¹ : ChartedSpace HB B
inst✝ : FiberBundle F E
x : TotalSpace F E
this : ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n (fun x => (id x).proj) x ∧ ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) 𝓘(𝕜, F) n (fun x_1 => (↑(trivializationAt F E (id x).proj) (id x_1)).2) x

⊢ ContMDiffAt (IB.prod 𝓘(𝕜, F)) IB n TotalSpace.proj x
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
s t : Multiset α
h : s < t

⊢ map f s < map f t
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
s t : Multiset α
h : s < t
H : map f t ≤ map f s

⊢ card t ≤ card s
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
f : α → β
s t : Multiset α
h : s < t
H : map f t ≤ map f s

⊢ card (map f t) ≤ card (map f s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : α × β → E
s : Set α
t : Set β
hf : IntegrableOn f (s ×ˢ t) (μ.prod ν)

⊢ ∫ (z : α × β) in s ×ˢ t, f z ∂μ.prod ν = ∫ (x : α) in s, ∫ (y : β) in t, f (x, y) ∂ν ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α'
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β'
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : SFinite ν
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SFinite μ
E' : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f : α × β → E
s : Set α
t : Set β
hf : Integrable f ((μ.restrict s).prod (ν.restrict t))

⊢ ∫ (z : α × β), f z ∂(μ.restrict s).prod (ν.restrict t) = ∫ (x : α) in s, ∫ (y : β) in t, f (x, y) ∂ν ∂μ
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
hb : b ≠ 0

⊢ a * b = b ↔ a = 1
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRight.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ∀ (x : α), (𝓝[<] x).NeBot
s : Set α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

⊢ interior s = ∅
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRight.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ∀ (x : α), (𝓝[<] x).NeBot
s : Set α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : α
hx : x ∈ interior s

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRight.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ∀ (x : α), (𝓝[<] x).NeBot
s : Set α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : α
hx : x ∈ interior s
this : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ∈ s

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRight.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ∀ (x : α), (𝓝[<] x).NeBot
s : Set α
hs : IsAntichain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
x : α
hx : x ∈ interior s
this : ∀ᶠ (y : α) in 𝓝 x, y ∈ s
y : α
hyx : y < x
hys : y ∈ s

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
e : ι₂ ↪ ι
p : ι → P

⊢ centroid k (map e s₂) p = centroid k s₂ (p ∘ ⇑e)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq γ
f : γ → β
g : α → γ

⊢ ∏ a ∈ s, f (g a) = ∏ b ∈ image g s, f b ^ (filter (fun a => g a = b) s).card
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
hne : s.Nonempty
x : α

⊢ ∃ y ∈ s, infEdist x s = edist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
hne : s.Nonempty
x : α
A : Continuous fun y => edist x y

⊢ ∃ y ∈ s, infEdist x s = edist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y✝ : α
s t : Set α
Φ : α → β
hs : IsCompact s
hne : s.Nonempty
x : α
A : Continuous fun y => edist x y
y : α
ys : y ∈ s
hy : IsMinOn (fun y => edist x y) s y

⊢ ∃ y ∈ s, infEdist x s = edist x y
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ

⊢ (cs.leftInvSeq ω).getD j 1 * (cs.leftInvSeq ω).getD j 1 = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
j : ℕ

⊢ cs.wordProd (take j ω) * ((Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * ((cs.wordProd (take j ω))⁻¹ * (cs.wordProd (take j ω) * ((Option.map cs.simple (ω.get? j)).getD 1 * (cs.wordProd (take j ω))⁻¹)))) = 1
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a b : K
h : D b = 0

⊢ D (a / b) = b⁻¹ • D a
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a b : K
h : D b = 0

⊢ ((b ^ 2)⁻¹ * b) • D a = b⁻¹ • D a
-- Mathlib/RingTheory/Derivation/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
A : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module A M
inst✝³ : Module R M
D✝ D1 D2 : Derivation R A M
r : R
a✝ b✝ : A
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
inst✝ : Algebra R K
D : Derivation R K M
a b : K
h : D b = 0

⊢ ((b ^ 2)⁻¹ * b) • D a = (b⁻¹ * b⁻¹ * b) • D a
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated
inst✝ : atTop.NeBot
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝² : Preorder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝¹ : atTop.IsCountablyGenerated
inst✝ : atTop.NeBot
hτ : IsStoppingTime f τ
s : Set Ω
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s ∩ {ω | τ ω ≤ i})
seq : ℕ → ι
h_seq_tendsto : Tendsto seq atTop atTop

⊢ MeasurableSet s
-- Mathlib/FieldTheory/Laurent.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R

⊢ (laurent r) X = X + C r
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
l : List ℕ+
h : ∀ p ∈ l, p.Prime

⊢ (ofPNatList l h).prod = l.prod
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
l : List ℕ+
h : ∀ p ∈ l, p.Prime
this : (ofPNatMultiset (↑l) h).prod = (↑l).prod

⊢ (ofPNatList l h).prod = l.prod
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
l : List ℕ+
h : ∀ p ∈ l, p.Prime
this : (ofPNatMultiset (↑l) h).prod = l.prod

⊢ (ofPNatList l h).prod = l.prod
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Operations.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m m₁ m₂ : OuterMeasure α
s : Set α

⊢ (m₁ ⊔ m₂) s = m₁ s ⊔ m₂ s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Operations.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m m₁ m₂ : OuterMeasure α
s : Set α
this : (⨆ i, bif i then m₁ else m₂) s = ⨆ i, (bif i then m₁ else m₂) s

⊢ (m₁ ⊔ m₂) s = m₁ s ⊔ m₂ s
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : a * c ≤ b * c
hc : 0 < c

⊢ c * a ≤ c * b
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
S : Ideal R
hpi : S.IsPrime
hS : S ≠ ⊥
T : Ideal R
x : R
hST : S ≤ T
hxS : x ∉ S
hxT : x ∈ T

⊢ 1 ∈ T
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsPrincipalIdealRing R
S : Ideal R
hpi : S.IsPrime
hS : S ≠ ⊥
T : Ideal R
x : R
hST : S ≤ T
hxS : x ∉ S
hxT : x ∈ T
z : R
hz : generator S = generator T * z

⊢ 1 ∈ T
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x✝ y✝ : L

⊢ ((traceForm K L M) x✝) y✝ = ((∑ χ : Weight K L M, finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (Weight.toLinear K L M χ).smulRight (Weight.toLinear K L M χ)) x✝) y✝
-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁸ : CommRing R
inst✝¹⁷ : LieRing L
inst✝¹⁶ : LieAlgebra R L
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
inst✝¹³ : LieRingModule L M
inst✝¹² : LieModule R L M
inst✝¹¹ : Module.Free R M
inst✝¹⁰ : Module.Finite R M
inst✝⁹ : Module.Free R L
inst✝⁸ : Module.Finite R L
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : LieAlgebra K L
inst✝⁵ : Module K M
inst✝⁴ : LieModule K L M
inst✝³ : FiniteDimensional K M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : LinearWeights K L M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
x✝ y✝ : L

⊢ ∑ x ∈ Finset.univ.attach, finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑↑x) • (↑x x✝ * ↑x y✝) = ((∑ χ : Weight K L M, finrank K ↥↑(weightSpace M ⇑χ) • (Weight.toLinear K L M χ).smulRight (Weight.toLinear K L M χ)) x✝) y✝
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a x y : M

⊢ y ∈ closure {x} ↔ ∃ n, x ^ n = y
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a x y : M

⊢ (∃ x_1, ((powersHom M) x) x_1 = y) ↔ ∃ n, x ^ n = y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
h₁ : 0 ≤ z.im
h₂ : z ≠ 0

⊢ z.arg = Real.arccos (z.re / abs z)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
b o : Ordinal.{u_1}
hb : 1 < b
ho : o ≠ 0
hbo : b ≤ o

⊢ 0 < log b o
-- Mathlib/Algebra/Bounds.lean
ι : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice G
inst✝¹ : CovariantClass G G (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → G
hf : BddAbove (range f)
a : G

⊢ (⨆ i, f i) / a = ⨆ i, f i / a
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁴ : Countable G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
hasFun : HasFundamentalDomain G α ν
h : covolume G α ν ≠ ⊤

⊢ IsFiniteMeasure μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁴ : Countable G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
hasFun : HasFundamentalDomain G α ν
h : covolume G α ν ≠ ⊤
𝓕 : Set α
h𝓕 : IsFundamentalDomain G 𝓕 ν

⊢ IsFiniteMeasure μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁴ : Countable G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
hasFun : HasFundamentalDomain G α ν
h : covolume G α ν ≠ ⊤
𝓕 : Set α
h𝓕 : IsFundamentalDomain G 𝓕 ν

⊢ IsFiniteMeasure (Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict 𝓕))
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁴ : Countable G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
hasFun : HasFundamentalDomain G α ν
h : covolume G α ν ≠ ⊤
𝓕 : Set α
h𝓕 : IsFundamentalDomain G 𝓕 ν
this : Fact (ν 𝓕 < ⊤)

⊢ IsFiniteMeasure (Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict 𝓕))
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s

⊢ IsUpperSet (s / t)
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s

⊢ IsUpperSet (s * t⁻¹)
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Cast.lean
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
e : u ⟶ v
e' : u' ⟶ v'

⊢ e' = cast hu hv e ↔ HEq e' e
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Cast.lean
U : Type u_1
inst✝ : Quiver U
u v u' v' : U
hu : u = u'
hv : v = v'
e : u ⟶ v
e' : u' ⟶ v'

⊢ HEq e e' ↔ HEq e' e
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
inst✝ : LindelofSpace X
hf : Continuous f
hsur : Function.Surjective f

⊢ IsLindelof univ
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y
inst✝ : LindelofSpace X
hf : Continuous f
hsur : Function.Surjective f

⊢ IsLindelof (f '' univ)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X

⊢ dimH s = ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
s : Set X
inst✝ : BorelSpace X
this✝ : MeasurableSpace X := borel X

⊢ dimH s = ⨆ d, ⨆ (_ : μH[↑d] s = ⊤), ↑d
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n k : ℕ

⊢ m.Coprime (n + k * m) ↔ m.Coprime n
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Div α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b

⊢ ma / mb ∈ a / b
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Div α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b

⊢ ∃ a_1 ∈ a, ∃ a ∈ b, a_1 / a = ma / mb
-- Mathlib/NumberTheory/EllipticDivisibilitySequence.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : ℤ → R
f : R →+* S
b c d : R
n : ℤ

⊢ preNormEDS b c d (-n) = -preNormEDS b c d n
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
w₀ : { w // w.IsComplex }

⊢ Convex ℝ (convexBodyLT' K f w₀)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
f : InfinitePlace K → ℝ≥0
w₀ x✝¹ : { w // w.IsComplex }
x✝ : x✝¹ ∈ Set.univ

⊢ Convex ℝ (if x✝¹ = w₀ then {x | |x.re| < 1 ∧ |x.im| < ↑(f ↑x✝¹) ^ 2} else ball 0 ↑(f ↑x✝¹))
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f

⊢ (map f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty) = OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f ⁻¹' s)) m_empty
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s : Set β

⊢ (OuterMeasure.ofFunction (fun s => m (f ⁻¹' s)) m_empty) s ≤ ((map f) (OuterMeasure.ofFunction m m_empty)) s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s : Set β

⊢ ∀ (i : ℕ → Set α), f ⁻¹' s ⊆ iUnion i → ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' t n) ≤ ∑' (n : ℕ), m (i n)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s : Set β
t : ℕ → Set α
ht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t

⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' t n) ≤ ∑' (n : ℕ), m (t n)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s : Set β
t : ℕ → Set α
ht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t

⊢ s ⊆ ⋃ n, (range f)ᶜ ∪ f '' t n
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
m_empty : m ∅ = 0
β : Type u_2
f : α → β
hf : Injective f
s : Set β
t : ℕ → Set α
ht : f ⁻¹' s ⊆ iUnion t

⊢ ∑' (n : ℕ), m (f ⁻¹' (fun n => (range f)ᶜ ∪ f '' t n) n) ≤ ∑' (n : ℕ), m (t n)
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
f g : α → M
h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)

⊢ (mulSupport f).mulIndicator (f * g) = f
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
f g : α → M
h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)
x : α
hx : x ∈ mulSupport f

⊢ (f * g) x = f x
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝ : MulOneClass M
s t : Set α
f✝ g✝ : α → M
a : α
f g : α → M
h : Disjoint (mulSupport f) (mulSupport g)
x : α
hx : x ∈ mulSupport f
this : g x = 1

⊢ (f * g) x = f x
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module Rᵐᵒᵖ M
m₁ m₂ : M

⊢ 0 •> m₂ + m₁ <• 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
s : ↥S

⊢ mk' f 0 s = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
f : α → β
inst✝ : DecidablePred fun x => f x ≤ 0
s : Finset α
h0 : Even (filter (fun x => f x ≤ 0) s).card
x : α
x✝ : x ∈ s
hx : ¬f x ≤ 0

⊢ 0 ≤ 1 * f x
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
f : α → β
inst✝ : DecidablePred fun x => f x ≤ 0
s : Finset α
h0 : Even (filter (fun x => f x ≤ 0) s).card
x : α
x✝ : x ∈ s
hx : 0 < f x

⊢ 0 ≤ f x
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Deriv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing β
f : α → β
inst✝ : DecidablePred fun x => f x ≤ 0
s : Finset α
h0 : Even (filter (fun x => f x ≤ 0) s).card

⊢ ∏ x ∈ s, (if f x ≤ 0 then -1 else 1) * f x = ∏ x ∈ s, f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n

⊢ Module.rank R M ≤ ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M'
inst✝³ : AddCommGroup M₁
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M₁
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset M), (LinearIndependent R fun i => ↑i) → s.card ≤ n

⊢ ⨆ ι, #↑↑ι ≤ ↑n