ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X

⊢ Sieve.pullback iYX S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X

⊢ ∀ ⦃Y_1 : D⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ G.obj Y⦄, (Sieve.functorPushforward G (Sieve.functorPullback G ↑⟨Sieve.pullback (G.map iYX) (Sieve.functorPushforward G S), ⋯⟩)).arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S)) ∈ K.sieves Y_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
Z : D
U : C
iUY : U ⟶ Y
iZU : Z ⟶ G.obj U
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX

⊢ Sieve.pullback (iZU ≫ G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S)) ∈ K.sieves Z
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
Z : D
U : C
iUY : U ⟶ Y
iZU : Z ⟶ G.obj U
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX

⊢ Sieve.pullback iZU (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S))) ∈ K.sieves Z
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
Z : D
U : C
iUY : U ⟶ Y
iZU : Z ⟶ G.obj U
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX

⊢ Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S)) ∈ K.sieves (G.obj U)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
U : C
iUY : U ⟶ Y
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX

⊢ Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S)) ∈ K.sieves (G.obj U)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
U : C
iUY : U ⟶ Y
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX

⊢ ∀ ⦃Y_1 : D⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ G.obj U⦄, (Sieve.functorPushforward G (G.imageSieve iUW)).arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S))) ∈ K.sieves Y_1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
U : C
iUY : U ⟶ Y
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX
Z : D
U₁ : C
iU₁U : U₁ ⟶ U
iZU₁ : Z ⟶ G.obj U₁
iU₁W : U₁ ⟶ W
e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW

⊢ Sieve.pullback (iZU₁ ≫ G.map iU₁U) (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S))) ∈ K.sieves Z
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
U : C
iUY : U ⟶ Y
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX
Z : D
U₁ : C
iU₁U : U₁ ⟶ U
iZU₁ : Z ⟶ G.obj U₁
iU₁W : U₁ ⟶ W
e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW

⊢ Sieve.pullback iZU₁ (Sieve.pullback (G.map iU₁U) (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S)))) ∈ K.sieves Z
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
U : C
iUY : U ⟶ Y
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX
Z : D
U₁ : C
iU₁U : U₁ ⟶ U
iZU₁ : Z ⟶ G.obj U₁
iU₁W : U₁ ⟶ W
e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW

⊢ Sieve.pullback (G.map iU₁U) (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S))) ∈ K.sieves (G.obj U₁)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
U : C
iUY : U ⟶ Y
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX
U₁ : C
iU₁U : U₁ ⟶ U
iU₁W : U₁ ⟶ W
e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW

⊢ Sieve.pullback (G.map iU₁U) (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S))) ∈ K.sieves (G.obj U₁)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
U : C
iUY : U ⟶ Y
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX
U₁ : C
iU₁U : U₁ ⟶ U
iU₁W : U₁ ⟶ W
e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW

⊢ Sieve.functorPushforward G (Sieve.equalizer (iU₁U ≫ iUY ≫ iYX) (iU₁W ≫ iWX)) ≤ Sieve.pullback (G.map iU₁U) (Sieve.pullback (G.map iUY) (Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback iYX S)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X Y : C
S : Sieve X
iYX : Y ⟶ X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
U : C
iUY : U ⟶ Y
W : C
iWX : W ⟶ X
iUW : G.obj U ⟶ G.obj W
hiWX : S.arrows iWX
e₁ : G.map iUY ≫ G.map iYX = iUW ≫ G.map iWX
U₁ : C
iU₁U : U₁ ⟶ U
iU₁W : U₁ ⟶ W
e₂ : G.map iU₁W = G.map iU₁U ≫ iUW
Z : D
U₂ : C
iU₂U₁ : U₂ ⟶ U₁
iZU₂ : Z ⟶ G.obj U₂
e₃ : iU₂U₁ ≫ iU₁U ≫ iUY ≫ iYX = iU₂U₁ ≫ iU₁W ≫ iWX

⊢ (Sieve.pullback iYX S).arrows (iU₂U₁ ≫ iU₁U ≫ iUY)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
S' : Sieve X
H' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y

⊢ S' ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
S' : Sieve X
H' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y

⊢ ∀ ⦃Y : D⦄ ⦃f : Y ⟶ G.obj X⦄, (Sieve.functorPushforward G S).arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.functorPushforward G S') ∈ K.sieves Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
S' : Sieve X
H' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y
Y : D
Z : C
g : Z ⟶ X
i : Y ⟶ G.obj Z
hg : S.arrows g

⊢ Sieve.pullback (i ≫ G.map g) (Sieve.functorPushforward G S') ∈ K.sieves Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
S' : Sieve X
H' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y
Y : D
Z : C
g : Z ⟶ X
i : Y ⟶ G.obj Z
hg : S.arrows g

⊢ Sieve.pullback i (Sieve.pullback (G.map g) (Sieve.functorPushforward G S')) ∈ K.sieves Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
S' : Sieve X
H' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y
Y : D
Z : C
g : Z ⟶ X
i : Y ⟶ G.obj Z
hg : S.arrows g

⊢ Sieve.pullback (G.map g) (Sieve.functorPushforward G S') ∈ K.sieves (G.obj Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/InducedTopology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.2513, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.2520, u_2} D
G : C ⥤ D
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
A : Type v
inst✝³ : Category.{u, v} A
inst✝² : G.LocallyCoverDense K
inst✝¹ : G.IsLocallyFull K
inst✝ : G.IsLocallyFaithful K
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) X
S' : Sieve X
H' : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f S' ∈ (fun X S => K.sieves (G.obj X) (Sieve.functorPushforward G S)) Y
Y : D
Z : C
g : Z ⟶ X
i : Y ⟶ G.obj Z
hg : S.arrows g

⊢ Sieve.functorPushforward G (Sieve.pullback g S') ≤ Sieve.pullback (G.map g) (Sieve.functorPushforward G S')
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝⁷ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x✝ : α
s t : Set α
y✝ z : β
γ : Type u_3
inst✝⁶ : LinearOrder γ
inst✝⁵ : TopologicalSpace γ
inst✝⁴ : OrderTopology γ
δ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrder δ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : OrderTopology δ
ι : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace ι
f : α → β
g : ι → α
y : α
x : ι
hf : LowerSemicontinuousAt f (g x)
hg : ContinuousAt g x
hy : g x = y

⊢ LowerSemicontinuousAt (fun x => f (g x)) x
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ¬f = 0
hg : ¬g = 0
hfg : ¬f + g = 0

⊢ valAux K v O hv p (f + g) ≤ max (valAux K v O hv p f) (valAux K v O hv p g)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hg : ¬g = 0
hfg : ¬f + g = 0
hf : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0

⊢ valAux K v O hv p (f + g) ≤ max (valAux K v O hv p f) (valAux K v O hv p g)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hfg : ¬f + g = 0
hf : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
hg : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) g ≠ 0

⊢ valAux K v O hv p (f + g) ≤ max (valAux K v O hv p f) (valAux K v O hv p g)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
hf : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) f ≠ 0
hg : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) g ≠ 0
hfg : ∃ n, (coeff (ModP K v O hv p) p n) (f + g) ≠ 0

⊢ valAux K v O hv p (f + g) ≤ max (valAux K v O hv p f) (valAux K v O hv p g)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
m : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p m) f ≠ 0
n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) g ≠ 0
k : ℕ
hk : (coeff (ModP K v O hv p) p k) (f + g) ≠ 0

⊢ valAux K v O hv p (f + g) ≤ max (valAux K v O hv p f) (valAux K v O hv p g)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
m n : ℕ
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p n) g ≠ 0
k : ℕ
hk : (coeff (ModP K v O hv p) p k) (f + g) ≠ 0
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f ≠ 0

⊢ valAux K v O hv p (f + g) ≤ max (valAux K v O hv p f) (valAux K v O hv p g)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
m n k : ℕ
hk : (coeff (ModP K v O hv p) p k) (f + g) ≠ 0
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f ≠ 0
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g ≠ 0

⊢ valAux K v O hv p (f + g) ≤ max (valAux K v O hv p f) (valAux K v O hv p g)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
m n k : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f ≠ 0
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g ≠ 0
hk : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) (f + g) ≠ 0

⊢ valAux K v O hv p (f + g) ≤ max (valAux K v O hv p f) (valAux K v O hv p g)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
m n k : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f ≠ 0
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g ≠ 0
hk : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) (f + g) ≠ 0

⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f + (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ^ p ^ max (max m n) k ≤ max (ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f) ^ p ^ max (max m n) k) (ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ^ p ^ max (max m n) k)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
m n k : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f ≠ 0
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g ≠ 0
hk : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) (f + g) ≠ 0
h : ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f + (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ≤ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f)

⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f + (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ^ p ^ max (max m n) k ≤ max (ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f) ^ p ^ max (max m n) k) (ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ^ p ^ max (max m n) k)
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
K : Type u₁
inst✝² : Field K
v : Valuation K ℝ≥0
O : Type u₂
inst✝¹ : CommRing O
inst✝ : Algebra O K
hv : v.Integers O
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hvp : Fact (v ↑p ≠ 1)
f g : PreTilt K v O hv p
m n k : ℕ
hm : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f ≠ 0
hn : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g ≠ 0
hk : (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) (f + g) ≠ 0
h : ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f + (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ≤ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g)

⊢ ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f + (coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ^ p ^ max (max m n) k ≤ max (ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) f) ^ p ^ max (max m n) k) (ModP.preVal K v O hv p ((coeff (ModP K v O hv p) p (max (max m n) k)) g) ^ p ^ max (max m n) k)
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s

⊢ { ofColex := cons a s ha } ≤ { ofColex := cons b s hb } ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a : α
ha hb : a ∉ s

⊢ { ofColex := cons a s ha } ≤ { ofColex := cons a s hb } ↔ a ≤ a
-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
f : α → β
𝒜 𝒜₁ 𝒜₂ : Finset (Finset α)
s t u : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s
hb : b ∉ s
hab : a ≠ b

⊢ { ofColex := cons a s ha } ≤ { ofColex := cons b s hb } ↔ a ≤ b
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i0 : ι

⊢ vectorSpan k (range p) = Submodule.span k (range fun i => p i -ᵥ p i0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i0 : ι

⊢ Submodule.span k (range ((fun x => x -ᵥ p i0) ∘ p)) = Submodule.span k (range fun i => p i -ᵥ p i0)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : LieModule K L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : IsTriangularizable K L M

⊢ ⨆ χ, weightSpace M ⇑χ = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : LieModule K L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
this : ⨆ χ, weightSpace M χ = ⊤

⊢ ⨆ χ, weightSpace M ⇑χ = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
inst✝¹¹ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : LieRingModule L M
inst✝⁷ : LieModule R L M
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : Module K M
inst✝³ : LieModule K L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent K L
inst✝¹ : FiniteDimensional K M
inst✝ : IsTriangularizable K L M
this : ⨆ x, weightSpace M ↑((Weight.equivSetOf K L M) x) = ⊤

⊢ ⨆ χ, weightSpace M ⇑χ = ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
F_obj : C → D
e : (X : C) → (Y : D) → (F_obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G.obj Y)
he : ∀ (X : C) (Y Y' : D) (g : Y ⟶ Y') (h : F_obj X ⟶ Y), (e X Y') (h ≫ g) = (e X Y) h ≫ G.map g
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
f' : Y✝ ⟶ Z✝

⊢ { obj := F_obj, map := fun {X X'} f => (e X (F_obj X')).symm (f ≫ (e X' (F_obj X')) (𝟙 (F_obj X'))) }.map (f ≫ f') = { obj := F_obj, map := fun {X X'} f => (e X (F_obj X')).symm (f ≫ (e X' (F_obj X')) (𝟙 (F_obj X'))) }.map f ≫ { obj := F_obj, map := fun {X X'} f => (e X (F_obj X')).symm (f ≫ (e X' (F_obj X')) (𝟙 (F_obj X'))) }.map f'