ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this✝ : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
ha : Continuous (f a)
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)

⊢ ∀ a ∈ u ×ˢ ball x (t - t'), ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y a.2 < r' → ∀ (z : E), dist z a.2 < r' → ‖f a.1 z - f a.1 y - (L z - L y)‖ < s * r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this✝ : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
ha : Continuous (f a)
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : (a', x') ∈ u ×ˢ ball x (t - t')

⊢ ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y (a', x').2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a', x').2 < r' → ‖f (a', x').1 z - f (a', x').1 y - (L z - L y)‖ < s * r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this✝ : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
ha : Continuous (f a)
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'

⊢ ∃ r', (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧ ∀ (y : E), dist y (a', x').2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a', x').2 < r' → ‖f (a', x').1 z - f (a', x').1 y - (L z - L y)‖ < s * r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this✝ : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
ha : Continuous (f a)
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'

⊢ ‖f (a', x').1 z - f (a', x').1 y - (L z - L y)‖ < s * r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this✝ : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
ha : Continuous (f a)
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t

⊢ ‖f (a', x').1 z - f (a', x').1 y - (L z - L y)‖ < s * r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
f : α → E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
r s : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this✝ : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr : ∀ (y : E), dist y (a, x).2 < r' → ∀ (z : E), dist z (a, x).2 < r' → ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y - (L z - L y)‖ < s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
ha : Continuous (f a)
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb : ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t, ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
dyx : dist y x ≤ t
dzx : dist z x ≤ t

⊢ ‖f (a', x').1 z - f (a', x').1 y - (L z - L y)‖ < s * r
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α✝
a✝ b✝ c : α✝
α : Type u_3
inst✝ : LinearOrder α
a b : α

⊢ (Icc a b).Subsingleton ↔ b ≤ a
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α✝
a✝ b✝ c : α✝
α : Type u_3
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : (Icc a b).Subsingleton

⊢ b ≤ a
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α✝
a✝ b✝ c : α✝
α : Type u_3
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a < b

⊢ ¬(Icc a b).Subsingleton
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α✝
a✝ b✝ c : α✝
α : Type u_3
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a < b

⊢ (Icc a b).Nontrivial
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype (Sym2 V)
inst✝ : DecidableEq V
v : V
d : G.Dart

⊢ d ∈ filter (fun d => d.toProd.1 = v) univ ↔ d ∈ image (G.dartOfNeighborSet v) univ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/DegreeSum.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : Fintype (Sym2 V)
inst✝ : DecidableEq V
v : V
d : G.Dart

⊢ d.toProd.1 = v ↔ ∃ x, ∃ (h : x ∈ G.neighborSet v), G.dartOfNeighborSet v ⟨x, h⟩ = d
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
l : List α
this : DecidableEq α

⊢ (powersetAux l).revzip ~ (powersetAux' l).revzip
-- Mathlib/Data/Multiset/Powerset.lean
α : Type u_1
l : List α
this : DecidableEq α

⊢ List.map (fun x => (x, ↑l - x)) (powersetAux l) ~ List.map (fun x => (x, ↑l - x)) (powersetAux' l)
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
a s : ℝ

⊢ (Summable fun n => 1 / |↑n + a| ^ s) ↔ 1 < s
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
a s : ℝ

⊢ ∀ (b c : ℝ), (Summable fun n => 1 / |↑n + b| ^ s) → Summable fun n => 1 / |↑n + c| ^ s
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
a s b c : ℝ
h : Summable fun n => 1 / |↑n + b| ^ s

⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 1 / |↑x + b| ^ s = 0 → 1 / |↑x + c| ^ s = 0
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
a s b c : ℝ
h : Summable fun n => 1 / |↑n + b| ^ s

⊢ Tendsto ((fun n => 1 / |↑n + c| ^ s) / fun n => 1 / |↑n + b| ^ s) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hm : m ≠ 0

⊢ LiouvilleWith p (x * ↑m) ↔ LiouvilleWith p x
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b c : α

⊢ gcd (b * a) (c * a) = gcd b c * normalize a
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype o
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : StrongRankCondition R
A : Matrix m n R
this✝ : Module.Finite R (n → R)
this : Module.Free R (n → R)

⊢ A.rank ≤ Fintype.card n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
inst✝⁴ : Fintype ι
M : ι → Type u_7
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
H : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
c : E → ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H
c' : E →L[𝕜] ContinuousMultilinearMap 𝕜 M H
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hc : DifferentiableWithinAt 𝕜 c s x
u : (i : ι) → M i
m : E

⊢ (fderivWithin 𝕜 (fun y => (c y) u) s x) m = ((fderivWithin 𝕜 c s x) m) u
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
u : ℕ → E
hu : Bornology.IsBounded (range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : MeasurableSet s

⊢ μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
u : ℕ → E
hu : Bornology.IsBounded (range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : MeasurableSet s

⊢ ∀ (R : ℝ), μ (s ∩ closedBall 0 R) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
u : ℕ → E
hu : Bornology.IsBounded (range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : MeasurableSet s
R : ℝ

⊢ μ (s ∩ closedBall 0 R) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
u : ℕ → E
hu : Bornology.IsBounded (range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : MeasurableSet s
R : ℝ

⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s ∩ closedBall 0 R)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Set E
u : ℕ → E
hu : Bornology.IsBounded (range u)
hs : Pairwise (Disjoint on fun n => {u n} + s)
h's : MeasurableSet s
R : ℝ
n : ℕ

⊢ {u n} + s ∩ closedBall 0 R ≤ {u n} + s
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
c : ℂ
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)

⊢ fourierCoeffOn hab (c • f) n = c • fourierCoeffOn hab f n
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrongEpi.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongMono f

⊢ Mono g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrongEpi.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongMono f

⊢ Mono (e.inv.left ≫ f ≫ e.hom.right)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrongEpi.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongMono f
this : Mono (f ≫ e.hom.right)

⊢ Mono (e.inv.left ≫ f ≫ e.hom.right)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/StrongEpi.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P Q R : C
f✝ : P ⟶ Q
g✝ : Q ⟶ R
A B A' B' : C
f : A ⟶ B
g : A' ⟶ B'
e : Arrow.mk f ≅ Arrow.mk g
h : StrongMono f
X Y : C
z : X ⟶ Y
inst✝ : Epi z

⊢ HasLiftingProperty z g
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
hs : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s

⊢ IsNormal (enumOrd s) ↔ IsClosed s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
hs : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s
Hs : StrictMono (enumOrd s)

⊢ IsNormal (enumOrd s) ↔ IsClosed s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
hs : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s
Hs : StrictMono (enumOrd s)
h : IsNormal (enumOrd s)
ι : Type u
hι : Nonempty ι
f : ι → Ordinal.{u}
hf : ∀ (i : ι), f i ∈ s

⊢ sup f ∈ s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Topology.lean
s : Set Ordinal.{u}
a✝ : Ordinal.{u}
hs : Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) s
Hs : StrictMono (enumOrd s)
h : IsClosed s
a : Ordinal.{u}
ha : a.IsLimit
o : Ordinal.{u}
H : ∀ b < a, enumOrd s b ≤ o

⊢ enumOrd s a ≤ o
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
i : ι
a : G i
f : ↥(lp G 2)

⊢ ⟪lp.single 2 i a, f⟫_𝕜 = ⟪a, ↑f i⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
i : ι
a : G i
f : ↥(lp G 2)

⊢ HasSum (fun i_1 => ⟪↑(lp.single 2 i a) i_1, ↑f i_1⟫_𝕜) ⟪a, ↑f i⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
i : ι
a : G i
f : ↥(lp G 2)

⊢ (fun i_1 => ⟪↑(lp.single 2 i a) i_1, ↑f i_1⟫_𝕜) = fun b' => if b' = i then ⟪a, ↑f i⟫_𝕜 else 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
i : ι
a : G i
f : ↥(lp G 2)
j : ι

⊢ ⟪↑(lp.single 2 i a) j, ↑f j⟫_𝕜 = if j = i then ⟪a, ↑f i⟫_𝕜 else 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
i : ι
a : G i
f : ↥(lp G 2)
j : ι

⊢ ⟪if h : j = i then ⋯ ▸ a else 0, ↑f j⟫_𝕜 = if j = i then ⟪a, ↑f i⟫_𝕜 else 0
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod (2 * n)

⊢ orderOf (xa i) = 2 ^ 2
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod (2 * n)
this : Fact (Nat.Prime 2)

⊢ orderOf (xa i) = 2 ^ 2
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod (2 * n)
this : Fact (Nat.Prime 2)

⊢ ¬xa i ^ 2 ^ 1 = 1
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Quaternion.lean
n : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : ZMod (2 * n)
this : Fact (Nat.Prime 2)

⊢ xa i ^ 2 ^ (1 + 1) = 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
v w : F

⊢ ((innerₗ F).flip v) w = ((innerₗ F) v) w
-- Mathlib/Order/Disjoint.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderTop α
a b c : α

⊢ Codisjoint (a ⊓ b) c ↔ Codisjoint a c ∧ Codisjoint b c
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Biproducts.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Preadditive C
X Y : C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y
T : C
f : T ⟶ X
g : T ⟶ Y

⊢ lift f g = f ≫ inl + g ≫ inr
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/OrderedSMul.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝⁵ : DivisionSemiring α
inst✝⁴ : NeZero 2
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : AddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : β

⊢ x ⊓ y = 2⁻¹ • (x + y - |y - x|)
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/OrderedSMul.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝⁵ : DivisionSemiring α
inst✝⁴ : NeZero 2
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : AddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : β
this : Invertible 2 := invertibleOfNonzero ⋯

⊢ x ⊓ y = 2⁻¹ • (x + y - |y - x|)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/GaussianInt.lean
x : ℤ[i]

⊢ toComplex x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Fintype α
inst : optParam (Fintype (Sym2 α)) Sym2.instFintype
a✝ : Sym2 α

⊢ a✝ ∈ univ.sym2 ↔ a✝ ∈ univ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
i : (x : α) → f x ≠ x → β
h : ∀ (x : α) (hx : f x ≠ x) (hx' : f (f x) ≠ f x), i (f x) hx' = g (i x hx)
hi : ∀ (x₁ x₂ : α) (hx₁ : f x₁ ≠ x₁) (hx₂ : f x₂ ≠ x₂), i x₁ hx₁ = i x₂ hx₂ → x₁ = x₂
hg : ∀ (y : β), g y ≠ y → ∃ x, ∃ (hx : f x ≠ x), i x hx = y
x : { x // f x ≠ x }

⊢ g (i ↑x ⋯) ≠ i ↑x ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
i : (x : α) → f x ≠ x → β
h : ∀ (x : α) (hx : f x ≠ x) (hx' : f (f x) ≠ f x), i (f x) hx' = g (i x hx)
hi : ∀ (x₁ x₂ : α) (hx₁ : f x₁ ≠ x₁) (hx₂ : f x₂ ≠ x₂), i x₁ hx₁ = i x₂ hx₂ → x₁ = x₂
hg : ∀ (y : β), g y ≠ y → ∃ x, ∃ (hx : f x ≠ x), i x hx = y
x : { x // f x ≠ x }
this : f (f ↑x) ≠ f ↑x

⊢ g (i ↑x ⋯) ≠ i ↑x ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
i : (x : α) → f x ≠ x → β
h : ∀ (x : α) (hx : f x ≠ x) (hx' : f (f x) ≠ f x), i (f x) hx' = g (i x hx)
hi : ∀ (x₁ x₂ : α) (hx₁ : f x₁ ≠ x₁) (hx₂ : f x₂ ≠ x₂), i x₁ hx₁ = i x₂ hx₂ → x₁ = x₂
hg : ∀ (y : β), g y ≠ y → ∃ x, ∃ (hx : f x ≠ x), i x hx = y
x : { x // f x ≠ x }
this : f (f ↑x) ≠ f ↑x

⊢ i (f ↑x) this ≠ i ↑x ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → Option β
s' s t : Finset α
f_inj : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'
h : s ⊆ t

⊢ filterMap f s f_inj ⊆ filterMap f t f_inj
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → Option β
s' s t : Finset α
f_inj : ∀ (a a' : α), ∀ b ∈ f a, b ∈ f a' → a = a'
h : s.val ≤ t.val

⊢ (filterMap f s f_inj).val ≤ (filterMap f t f_inj).val
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
hs : IsOpen s

⊢ s ∩ frontier s = ∅
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Countable α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ μ.toPMF.toMeasure s = μ s
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Countable α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ∑' (x : α), s.indicator (⇑μ.toPMF) x = ∑' (x : α), s.indicator (fun x => μ {x}) x
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S✝ : Subsemigroup M
ι : Sort u_4
S : ι → Subsemigroup M
x : M

⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/EqualizerSheafCondition.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
fg : ((Y : C) × { f // R f }) × (Z : C) × { g // R g }
a✝ : P.obj (op X)

⊢ (((Pi.lift fun f => P.map (↑f.snd).op) ≫ Pi.lift fun fg => Pi.π (fun f => P.obj (op f.fst)) fg.1 ≫ P.map (pullback.fst ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) ≫ Pi.π (fun fg => P.obj (op (Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd))) fg) a✝ = (((Pi.lift fun f => P.map (↑f.snd).op) ≫ Pi.lift fun fg => Pi.π (fun f => P.obj (op f.fst)) fg.2 ≫ P.map (pullback.snd ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) ≫ Pi.π (fun fg => P.obj (op (Limits.pullback ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd))) fg) a✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/EqualizerSheafCondition.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
R : Presieve X
S : Sieve X
inst✝ : R.hasPullbacks
fg : ((Y : C) × { f // R f }) × (Z : C) × { g // R g }
a✝ : P.obj (op X)

⊢ (P.map (↑fg.1.snd).op ≫ P.map (pullback.fst ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) a✝ = (P.map (↑fg.2.snd).op ≫ P.map (pullback.snd ↑fg.1.snd ↑fg.2.snd).op) a✝