ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g✝ : α → β
x : α
s t : Set α
y✝ z : β
ι : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedAddCommMonoid γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f g : α → γ
hf : LowerSemicontinuousWithinAt f s x
hg : LowerSemicontinuousWithinAt g s x
hcont : ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (f x, g x)
y : γ
hy : y < (fun z => f z + g z) x
u v : Set γ
u_open : IsOpen u
xu : f x ∈ u
v_open : IsOpen v
xv : g x ∈ v
h : u ×ˢ v ⊆ {p | y < p.1 + p.2}

⊢ ∀ᶠ (x' : α) in 𝓝[s] x, y < (fun z => f z + g z) x'
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/FDeriv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
f : E → E'
s : Set E
x : E

⊢ MDifferentiable 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E') f ↔ Differentiable 𝕜 f
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n : A
X : C

⊢ (shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorCompIsoId C n (-n) ⋯).hom.app X) = (shiftFunctorCompIsoId C (-n) n ⋯).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
p : TangentBundle I M
st : s ⊆ t
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
h : MDifferentiableWithinAt I I' f t p.proj

⊢ (mfderivWithin I I' f s p.proj) p.snd = (mfderivWithin I I' f t p.proj) p.snd
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f : Filter α
m : α → ℝ≥0∞
a b : ℝ≥0∞
hm : Tendsto m f (𝓝 a)
ha : a ≠ 0 ∨ b ≠ ⊤

⊢ Tendsto (fun x => m x * b) f (𝓝 (a * b))
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : (S.map F).HasHomology

⊢ (S.map F).Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.Exact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : (S.map F).HasHomology
this : S.HasHomology

⊢ (S.map F).Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S
inst✝ : (S.map F).HasHomology
this : S.HasHomology
h : 𝟙 S.leftHomologyData.H = 0

⊢ (S.map F).Exact
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
n d : Int

⊢ (n /. d).inv = d /. n
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
u : Set τ
hu : u ∈ f

⊢ ω f ϕ s ⊆ closure (image2 ϕ u s)
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
u : Set τ
hu : u ∈ f

⊢ ⋂ u, closure (image2 ϕ (↑u) s) ⊆ closure (image2 ϕ u s)
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
u : Set τ
hu : u ∈ f
a✝ : β
hx : a✝ ∈ ⋂ u, closure (image2 ϕ (↑u) s)

⊢ a✝ ∈ closure (image2 ϕ u s)
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
u : Set τ
hu : u ∈ f
a✝ : β
hx : ∀ (i : ↑f.sets), a✝ ∈ closure (image2 ϕ (↑i) s)

⊢ a✝ ∈ closure (image2 ϕ u s)
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
f : AdjoinRoot g

⊢ (mk g) ((modByMonicHom hg) f) = f
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
p✝ : R[X]

⊢ (mk g) ((modByMonicHom hg) ((mk g) p✝)) = (mk g) p✝
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
p✝ : R[X]

⊢ g ∣ g * (p✝ /ₘ g)
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
x : ℕ

⊢ (f * ↑ζ) x = ∑ i ∈ x.divisors, f i
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : ArithmeticFunction R
x : ℕ

⊢ ∑ x ∈ x.divisorsAntidiagonal, f x.1 * ↑ζ x.2 = ∑ i ∈ x.divisors, f i
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p n : ℕ
f : ℕ →₀ ℕ
hn : n ≠ 0
hf : ∀ p ∈ f.support, Prime p
h : f = n.factorization

⊢ (f.prod fun x x_1 => x ^ x_1) = n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p n : ℕ
f : ℕ →₀ ℕ
hn : n ≠ 0
hf : ∀ p ∈ f.support, Prime p
h : (f.prod fun x x_1 => x ^ x_1) = n

⊢ f = n.factorization
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ

⊢ μ.withDensityᵥ f = (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)).toSignedMeasure - (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).toSignedMeasure
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))

⊢ μ.withDensityᵥ f = (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)).toSignedMeasure - (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).toSignedMeasure
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
this✝ : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal ((-f) x))

⊢ μ.withDensityᵥ f = (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)).toSignedMeasure - (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).toSignedMeasure
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ
hfi : Integrable f μ
this✝ : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x))
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal ((-f) x))
i : Set α
hi : MeasurableSet i

⊢ ↑(μ.withDensityᵥ f) i = ↑((μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (f x)).toSignedMeasure - (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal (-f x)).toSignedMeasure) i
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β✝
inst✝ : UniformSpace γ✝
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
uas : Set (UniformSpace α)
ubs : Set (UniformSpace β)
ua : UniformSpace α
ub : UniformSpace β
uc : UniformSpace γ
ha : ua ∈ uas
hb : ub ∈ ubs
hf : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
x✝ : UniformSpace (α × β) := instUniformSpaceProd

⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β✝
inst✝ : UniformSpace γ✝
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
uas : Set (UniformSpace α)
ubs : Set (UniformSpace β)
ua : UniformSpace α
ub : UniformSpace β
uc : UniformSpace γ
ha✝ : ua ∈ uas
hb : ub ∈ ubs
hf : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
x✝ : UniformSpace (α × β) := instUniformSpaceProd
ha : UniformContinuous id

⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β✝
inst✝ : UniformSpace γ✝
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
uas : Set (UniformSpace α)
ubs : Set (UniformSpace β)
ua : UniformSpace α
ub : UniformSpace β
uc : UniformSpace γ
ha✝ : ua ∈ uas
hb✝ : ub ∈ ubs
hf : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
x✝ : UniformSpace (α × β) := instUniformSpaceProd
ha : UniformContinuous id
hb : UniformContinuous id

⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α✝ : Type ua
β✝ : Type ub
γ✝ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝² : UniformSpace α✝
inst✝¹ : UniformSpace β✝
inst✝ : UniformSpace γ✝
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
f : α → β → γ
uas : Set (UniformSpace α)
ubs : Set (UniformSpace β)
ua : UniformSpace α
ub : UniformSpace β
uc : UniformSpace γ
ha✝ : ua ∈ uas
hb✝ : ub ∈ ubs
hf : UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
x✝ : UniformSpace (α × β) := instUniformSpaceProd
ha : UniformContinuous id
hb : UniformContinuous id
h_unif_cont_id : UniformContinuous (Prod.map id id)

⊢ UniformContinuous fun p => f p.1 p.2
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
K : Type ?u.611342
L : Type ?u.611345
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
p q : K[X]
hp : p ≠ 0
hpq : Associated p q

⊢ (aeval (root q)) p = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c

⊢ b ≤ max |a| |c|
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c

⊢ -b ≤ max |a| |c|
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
X : { p // p ∣ J }

⊢ (idealFactorsFunOfQuotHom ⋯) X = OrderHom.id X
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α

⊢ ⌊1⌋ = 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
S : Type u_1
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R

⊢ dblXYZ (map W' f) (⇑f ∘ P) = ⇑f ∘ W'.dblXYZ P
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : A

⊢ ↑((skewAdjoint.negISMul ∘ₗ skewAdjointPart ℝ) a) = -I • 2⁻¹ • (a - star a)
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Module R M
S : Ideal R
inst✝ : IsPrincipal S
is_prime : S.IsPrime
ne_bot : S ≠ ⊥
x✝¹ x✝ : R

⊢ generator S ∣ x✝¹ * x✝ → generator S ∣ x✝¹ ∨ generator S ∣ x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.42576, u_1} C
n m : ℕ
F✝ G✝ F G : ComposableArrows C n
app : (i : Fin (n + 1)) → F.obj i ≅ G.obj i
w : ∀ (i : ℕ) (hi : i < n), F.map' i (i + 1) ⋯ hi ≫ (app ⟨i + 1, ⋯⟩).hom = (app ⟨i, ⋯⟩).hom ≫ G.map' i (i + 1) ⋯ hi
i : ℕ
hi : i < n

⊢ G.map' i (i + 1) ⋯ hi ≫ (app ⟨i + 1, ⋯⟩).inv = (app ⟨i, ⋯⟩).inv ≫ F.map' i (i + 1) ⋯ hi
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.206122, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
k : A ⟶ S.X₂
hk : k ≫ S.g = 0
inst✝ : S.HasLeftHomology
x : A ⟶ S.X₁
hx : k = x ≫ S.f

⊢ k ≫ S.g = 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : ↑(MonCat.of G)

⊢ ((ofMulAction k G G).ρ g ≫ (Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) = ((Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) ≫ A.ρ g
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : ↑(MonCat.of G)
y : G

⊢ (((ofMulAction k G G).ρ g ≫ (Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1 = ((((Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) ≫ A.ρ g) ∘ₗ Finsupp.lsingle y) 1
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : ↑(MonCat.of G)
y : G

⊢ ((Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) (((ofMulAction k G G).ρ g) (Finsupp.single y 1)) = (A.ρ g) (((Finsupp.lift (↑A.V) k G) fun g => (A.ρ g) x) (Finsupp.single y 1))
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : ↑(MonCat.of G)
y : G

⊢ ((Finsupp.single (g • y) 1).sum fun x_1 r => r • (A.ρ x_1) x) = (A.ρ g) ((Finsupp.single y 1).sum fun x_1 r => r • (A.ρ x_1) x)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Monoid G
X Y : Action (Type u) (MonCat.of G)
f : X ⟶ Y
A : Rep k G
x : CoeSort.coe A
g : ↑(MonCat.of G)
y : G

⊢ (A.ρ g * A.ρ y) x = (A.ρ g) ((A.ρ y) x)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List ℤ
n : ℤ

⊢ l.prod % n = (map (fun x => x % n) l).prod % n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Triangularizable.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsAlgClosed K
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V

⊢ ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Triangularizable.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : Field K
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : IsAlgClosed K
n : ℕ
ih : ∀ m < n, ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] (f : End K V), finrank K V = m → ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
h_dim : finrank K V = n

⊢ ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⊤
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E

⊢ Integrable f✝ ((κ ⊗ₖ η) a) → ∫ (z : β × γ), f✝ z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f✝ (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E

⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set (β × γ)⦄, MeasurableSet s → ((κ ⊗ₖ η) a) s < ⊤ → ∫ (z : β × γ), s.indicator (fun x => c) z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), s.indicator (fun x => c) (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E

⊢ ∀ ⦃f g : β × γ → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a) → Integrable g ((κ ⊗ₖ η) a) → ∫ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a → ∫ (z : β × γ), g z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a → ∫ (z : β × γ), (f + g) z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), (f + g) (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E

⊢ IsClosed {f | ∫ (z : β × γ), ↑↑f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), ↑↑f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a}
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝⁵ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝⁴ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
E' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹ : CompleteSpace E'
inst✝ : NormedSpace ℝ E'
f✝ : β × γ → E
hE : CompleteSpace E

⊢ ∀ ⦃f g : β × γ → E⦄, f =ᶠ[ae ((κ ⊗ₖ η) a)] g → Integrable f ((κ ⊗ₖ η) a) → ∫ (z : β × γ), f z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a → ∫ (z : β × γ), g z ∂(κ ⊗ₖ η) a = ∫ (x : β), ∫ (y : γ), g (x, y) ∂η (a, x) ∂κ a
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
x₁ x₂ y₁ L : R

⊢ (map W f).toAffine.addY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = f ((toAffine W).addY x₁ x₂ y₁ L)
-- Mathlib/Data/List/Intervals.lean
n : ℕ

⊢ range' n (n + 1 - n) = [n]
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.leadingCoeff * a ≠ 0

⊢ (p * C a).natDegree = p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.leadingCoeff * a ≠ 0

⊢ p.natDegree ∈ (p * C a).support
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.leadingCoeff * a ≠ 0

⊢ (p * C a).coeff p.natDegree ≠ 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s : Set (β × β)
hs : s ∈ 𝓤 β
x : β × β
h : x ∈ Prod.map Sum.inr Sum.inr ⁻¹' (range (Prod.map Sum.inl Sum.inl) ∪ Prod.map Sum.inr Sum.inr '' s)

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝² : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
T : Submonoid P
hy : ∀ (y : ↥S), g ↑y ∈ T
Q : Type u_4
inst✝ : CommMonoid Q
k : T.LocalizationMap Q
z : N

⊢ k.toMap (g ↑(f.sec z).2) * (f.map hy k) z = k.toMap (g (f.sec z).1)
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
eif : ∀ (a : α), a ≠ 0 → ∃ f, (∀ b ∈ f, Irreducible b) ∧ f.prod ~ᵤ a
uif : ∀ (f g : Multiset α), (∀ x ∈ f, Irreducible x) → (∀ x ∈ g, Irreducible x) → f.prod ~ᵤ g.prod → Multiset.Rel Associated f g
a✝³ : α
a✝² : a✝³ ≠ 0
x✝ : Multiset α
a✝¹ : α
a✝ : a✝¹ ∈ x✝

⊢ Prime a✝¹ ↔ Irreducible a✝¹
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Colon.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N✝ N₁ N₂ P P₁ P₂ N : Submodule R M
x : M
r : R

⊢ r ∈ N.colon (span R {x}) ↔ ∀ (a : R), r • a • x ∈ N
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Colon.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N✝ N₁ N₂ P P₁ P₂ N : Submodule R M
x : M
r : R

⊢ (∀ (a : R), r • a • x ∈ N) ↔ r • x ∈ N
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Colon.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
N✝ N₁ N₂ P P₁ P₂ N : Submodule R M
x : M
r : R

⊢ (∀ (a : R), a • r • x ∈ N) ↔ r • x ∈ N
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r : R[X]
hp : p ≠ 0
hq : Monic 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r : R[X]
hp : p ≠ 0
hq : 0 = 1

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r : R[X]
hp : 0 ≠ 0
hq : 0 = 1

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
n : ℤ

⊢ (C a * T n).support ⊆ {n}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
n : ℤ

⊢ (Finsupp.single n a).support ⊆ {n}
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Polynomial.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
σ : Type u_1
i : σ

⊢ (mvPolynomialBasis R σ).repr ((D R (MvPolynomial σ R)) (MvPolynomial.X i)) = Finsupp.single i 1
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/DoubleFactorial.lean
n : ℕ

⊢ (2 * (n + 1))‼ = 2 ^ (n + 1) * (n + 1)!
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/DoubleFactorial.lean
n : ℕ

⊢ (2 * n + 2) * (2 ^ n * n !) = 2 ^ n * 2 * ((n + 1) * n !)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
A : ∫⁻ (y : α), AEMeasurable.mk f hf y ∂μ ≠ ⊤

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ
h'f : ∫⁻ (y : α), f y ∂μ ≠ ⊤
A : ∫⁻ (y : α), AEMeasurable.mk f hf y ∂μ ≠ ⊤
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, AEMeasurable.mk f hf y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (AEMeasurable.mk f hf x))
h'x : f x = AEMeasurable.mk f hf x

⊢ Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, f y ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))