ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
M : Matrix p p 𝕜
e : p ≃ n
L₀ L₀' : List (TransvectionStruct n 𝕜)
D₀ : n → 𝕜
h₀ : (List.map toMatrix L₀).prod * (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀
this : M = (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e.symm) ((reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M)

⊢ (List.map toMatrix (List.map (reindexEquiv e.symm) L₀)).prod * M * (List.map toMatrix (List.map (reindexEquiv e.symm) L₀')).prod = diagonal (D₀ ∘ ⇑e)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
M : Matrix p p 𝕜
e : p ≃ n
L₀ L₀' : List (TransvectionStruct n 𝕜)
D₀ : n → 𝕜
h₀ : (List.map toMatrix L₀).prod * (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀
this : M = (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e.symm) ((reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M)

⊢ (List.map toMatrix (List.map (reindexEquiv e.symm) L₀)).prod * (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e.symm) ((reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M) * (List.map toMatrix (List.map (reindexEquiv e.symm) L₀')).prod = diagonal (D₀ ∘ ⇑e)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
M : Matrix p p 𝕜
e : p ≃ n
L₀ L₀' : List (TransvectionStruct n 𝕜)
D₀ : n → 𝕜
h₀ : (List.map toMatrix L₀).prod * (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀
this : M = (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e.symm) ((reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M)

⊢ (reindex e.symm e.symm) (List.map toMatrix L₀).prod * (reindex e.symm e.symm) ((reindex e e) M) * (reindex e.symm e.symm) (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal (D₀ ∘ ⇑e)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : Field 𝕜
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : DecidableEq p
inst✝² : CommRing R
r : ℕ
M✝ : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : Fintype p
M : Matrix p p 𝕜
e : p ≃ n
L₀ L₀' : List (TransvectionStruct n 𝕜)
D₀ : n → 𝕜
h₀ : (List.map toMatrix L₀).prod * (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M * (List.map toMatrix L₀').prod = diagonal D₀
this : M = (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e.symm) ((reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M)

⊢ (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e.symm) (diagonal D₀) = diagonal (D₀ ∘ ⇑e)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Support.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝¹ : Semiring k
inst✝ : MulOneClass G
f : MonoidAlgebra k G

⊢ f ∈ Submodule.span k (⇑(of k G) '' ↑f.support)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/MonoCoprod.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
h : ∀ (A B : C), ∃ c x, Mono c.inl
A B : C
c' : BinaryCofan A B
hc' : IsColimit c'
c : BinaryCofan A B
hc₁ : IsColimit c
hc₂ : Mono c.inl

⊢ Mono c'.inl
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ T₃ A B : Triangle C
e : A ≅ B

⊢ e.inv.hom₃ ≫ e.hom.hom₃ = 𝟙 B.obj₃
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x : ℝ

⊢ sign ↑x = sign x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Images.lean
A : Type u₁
B : Type u₂
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} A
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} B
inst✝⁵ : HasEqualizers A
inst✝⁴ : HasImages A
inst✝³ : StrongEpiCategory B
inst✝² : HasImages B
L : A ⥤ B
inst✝¹ : {X Y Z : A} → (f : X ⟶ Z) → (g : Y ⟶ Z) → PreservesLimit (cospan f g) L
inst✝ : {X Y Z : A} → (f : X ⟶ Y) → (g : X ⟶ Z) → PreservesColimit (span f g) L
X Y : A
f : X ⟶ Y

⊢ (iso L f).hom ≫ L.map (image.ι f) = image.ι (L.map f)
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
hψ : ψ.Odd

⊢ (toUnitHom ψ) (-1) = -1
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
S : Type
inst✝ : CommRing S
m : ℕ
ψ : DirichletCharacter S m
hψ : ψ.Odd

⊢ ψ ↑(-1) = ↑(-1)
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a✝ b✝ c✝ d a b c : ℕ
hca : c ∣ b

⊢ (a + b) / c = a / c + b / c
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ α : E
q : F[X]
q_irred : Irreducible q
q_aeval : (aeval α) q = 0
hα : IsSolvableByRad F α

⊢ IsSolvable q.Gal
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ α : E
q : F[X]
q_irred : Irreducible q
q_aeval : (aeval α) q = 0
hα : IsSolvableByRad F α
this : IsSolvable (q * C q.leadingCoeff⁻¹).Gal

⊢ IsSolvable q.Gal
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ α : E
q : F[X]
q_irred : Irreducible q
q_aeval : (aeval α) q = 0
hα : IsSolvableByRad F α
this : IsSolvable (q * C q.leadingCoeff⁻¹).Gal

⊢ q * C q.leadingCoeff⁻¹ ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α✝ α : E
q : F[X]
q_irred : Irreducible q
q_aeval : (aeval α) q = 0
hα : IsSolvableByRad F α
this : IsSolvable (q * C q.leadingCoeff⁻¹).Gal

⊢ ¬q = 0 ∧ ¬q.leadingCoeff = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R✝ : Type u_1
R₂✝ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹³ : Semiring R✝
inst✝¹² : Semiring R₂✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R₂✝ M₂
τ₁₂✝ : R✝ →+* R₂✝
inst✝⁷ : RingHomSurjective τ₁₂✝
F : Type u_8
inst✝⁶ : FunLike F M M₂
inst✝⁵ : SemilinearMapClass F τ₁₂✝ M M₂
R : Type u_9
R₂ : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring R₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R₂ M₂
ι : Type u_11
s : Set ι
hs : s.Nonempty
p : ι → Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : LinearMap.range f = ⨆ i ∈ s, p i

⊢ ⨆ i ∈ s, comap f (p i) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R✝ : Type u_1
R₂✝ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝¹³ : Semiring R✝
inst✝¹² : Semiring R₂✝
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Module R₂✝ M₂
τ₁₂✝ : R✝ →+* R₂✝
inst✝⁷ : RingHomSurjective τ₁₂✝
F : Type u_8
inst✝⁶ : FunLike F M M₂
inst✝⁵ : SemilinearMapClass F τ₁₂✝ M M₂
R : Type u_9
R₂ : Type u_10
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring R₂
τ₁₂ : R →+* R₂
inst✝² : RingHomSurjective τ₁₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R₂ M₂
ι : Type u_11
s : Set ι
hs : s.Nonempty
p : ι → Submodule R₂ M₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
hf : LinearMap.range f = ⨆ i ∈ s, p i

⊢ ⨆ i ∈ s, comap (LinearMap.range f).subtype (p i) = ⊤
-- Mathlib/Data/Finsupp/Weight.lean
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
s : σ
f : σ →₀ ℕ

⊢ f s ≤ f.degree
-- Mathlib/Data/Finsupp/Weight.lean
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
s : σ
f : σ →₀ ℕ

⊢ f s ≤ (weight 1) f
-- Mathlib/Data/Finsupp/Weight.lean
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
s : σ
f : σ →₀ ℕ

⊢ 1 s ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x✝ x y : α
l : List α
a b : α

⊢ (x :: y :: l ++ [a, b]).formPerm = (x :: y :: l ++ [a]).formPerm * swap a b
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}

⊢ LinearIndependent ℤ (eval (π C fun x => ord I x < o)) ↔ LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(smaller C o)) => ↑p
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}

⊢ LinearIndependent (ι := ↑(range (π C fun x => ord I x < o))) ℤ ((fun p => ↑p) ∘ (range_equiv_smaller C o).toFun) ↔ LinearIndependent ℤ fun (p : ↑(smaller C o)) => ↑p
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type u_2
n : ℕ
xs : Vector α n
σ₁ : Type
β : Type u_1
σ₂ : Type
f₁ : α → σ₁ → σ₁ × β
f₂ : α → σ₂ → σ₂ × β
s₁ : σ₁
s₂ : σ₂
R : σ₁ → σ₂ → Prop
h₀ : R s₁ s₂
hR : ∀ {s : σ₁} {q : σ₂} (a : α), R s q → R (f₁ a s).1 (f₂ a q).1 ∧ (f₁ a s).2 = (f₂ a q).2

⊢ (mapAccumr f₁ xs s₁).2 = (mapAccumr f₂ xs s₂).2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ ∃ y, dist x y = b * dist x z ∧ dist y z = a * dist x z
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ dist x (a • x + b • z) = b * dist x z ∧ dist (a • x + b • z) z = a * dist x z
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ dist (1 • x) (a • x + b • z) = b * dist x z ∧ dist (a • x + b • z) z = a * dist x z
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
x z : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ dist (1 • x) (a • x + b • z) = b * dist x z ∧ dist (a • x + b • z) (1 • z) = a * dist x z
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
m : ℕ

⊢ (2 * m + 1).choose (m + 1) = (2 * m + 1).choose m
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
m : ℕ

⊢ 2 * m + 1 = m + 1 + m
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
r : α → α → Prop
S : Set (Set α)
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
h : ∀ x ∈ S, DirectedOn r x

⊢ DirectedOn r (⋃₀ S)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
r : α → α → Prop
S : Set (Set α)
hd : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
h : ∀ x ∈ S, DirectedOn r x

⊢ DirectedOn r (⋃ i, ↑i)
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs ys : List α
h : xs <+ ys

⊢ xs.sym2 <+ ys.sym2
-- Mathlib/Algebra/Module/DedekindDomain.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M

⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))
-- Mathlib/Algebra/Module/DedekindDomain.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator

⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))
-- Mathlib/Algebra/Module/DedekindDomain.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
hI : ↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R) ≠ ∅

⊢ DirectSum.IsInternal fun p => torsionBySet R M ↑(↑p ^ Multiset.count (↑p) (factors ⊤.annihilator))
-- Mathlib/Algebra/Module/DedekindDomain.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
hI : ↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R) ≠ ∅

⊢ ⊤.annihilator ≠ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Module/DedekindDomain.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
hI : (↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R)).Nonempty

⊢ ⊤.annihilator ≠ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Module/DedekindDomain.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
hI : (↑⊤.annihilator ∩ ↑(nonZeroDivisors R)).Nonempty

⊢ ∃ x ∈ ⊤.annihilator, x ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Module/DedekindDomain.lean
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Module.Finite R M
hM : Module.IsTorsion R M
hM' : Module.IsTorsionBySet R M ↑⊤.annihilator
x : R
H : x ∈ ↑⊤.annihilator
hx : x ∈ ↑(nonZeroDivisors R)

⊢ ∃ x ∈ ⊤.annihilator, x ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : CommGroupWithZero G₀
a b c d : G₀
h : b = 0 → a = 0

⊢ b * (a / b) = a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Exposed.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderedRing 𝕜
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : Module 𝕜 E
l : E →L[𝕜] 𝕜
A C : Set E
X : Finset E
x✝ x : E
w✝ : E →L[𝕜] 𝕜
hAB : IsExposed 𝕜 A {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, w✝ y ≤ w✝ x}
hx : x ∈ {x | x ∈ A ∧ ∀ y ∈ A, w✝ y ≤ w✝ x}

⊢ x ∈ A
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i j : Discrete ι
h : i ≠ j
U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj j)

⊢ x ∈ ↑((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forgetToPresheafedSpace) j).base).obj ((Opens.map (preservesColimitIso forgetToPresheafedSpace F).inv.base).obj (⋯.functor.obj U))) ↔ x ∈ ↑⊥
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i j : Discrete ι
h : i ≠ j
U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj j)

⊢ x ∉ ↑((Opens.map (colimit.ι (F ⋙ forgetToPresheafedSpace) j).base).obj ((Opens.map (preservesColimitIso forgetToPresheafedSpace F).inv.base).obj (⋯.functor.obj U)))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i j : Discrete ι
h : i ≠ j
U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj j)
y : ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
hy : y ∈ ↑U
eq : (colimit.ι F i).base y = (preservesColimitIso forgetToPresheafedSpace F).inv.base ((colimit.ι (F ⋙ forgetToPresheafedSpace) j).base x)

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i j : Discrete ι
h : i ≠ j
U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj j)
y : ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
hy : y ∈ ↑U
eq : (preservesColimitIso (forget C) F ≪≫ HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor ≪≫ TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom ((colimit.ι F i).base y) = (preservesColimitIso (forget C) F ≪≫ HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor ≪≫ TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom ((preservesColimitIso forgetToPresheafedSpace F).inv.base ((colimit.ι (F ⋙ forgetToPresheafedSpace) j).base x))

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i j : Discrete ι
h : i ≠ j
U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj j)
y : ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
hy : y ∈ ↑U
eq : ((preservesColimitIso (forget C) F).hom ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom) ((colimit.ι F i).base y) = ((preservesColimitIso (forget C) F).hom ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom) ((colimit.ι (F ⋙ forgetToPresheafedSpace) j ≫ (preservesColimitIso forgetToPresheafedSpace F).inv).base x)

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
i j : Discrete ι
h : i ≠ j
U : Opens ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj j)
y : ↑↑(F.obj i).toPresheafedSpace
hy : y ∈ ↑U
eq : ((preservesColimitIso (forget C) F).hom ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom) ((colimit.ι F i).base y) = ((preservesColimitIso (forget C) F).hom ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom) ((forgetToPresheafedSpace.map (colimit.ι F j)).base x)

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
as✝¹ : ι
U : Opens ↑↑(F.obj { as := as✝¹ }).toPresheafedSpace
y : ↑↑(F.obj { as := as✝¹ }).toPresheafedSpace
hy : y ∈ ↑U
as✝ : ι
x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj { as := as✝ })
h : { as := as✝¹ } ≠ { as := as✝ }
eq : ((forget C).map (colimit.ι F { as := as✝¹ }) ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).hom ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom) y = ((forget C).map (colimit.ι F { as := as✝ }) ≫ (preservesColimitIso (forget C) F).hom ≫ (HasColimit.isoOfNatIso Discrete.natIsoFunctor).hom ≫ (TopCat.sigmaIsoSigma ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk)).hom) x

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
ι : Type v
F : Discrete ι ⥤ SheafedSpace C
inst✝ : HasColimit F
as✝¹ : ι
U : Opens ↑↑(F.obj { as := as✝¹ }).toPresheafedSpace
y : ↑↑(F.obj { as := as✝¹ }).toPresheafedSpace
hy : y ∈ ↑U
as✝ : ι
x : ↑↑((F ⋙ forgetToPresheafedSpace).obj { as := as✝ })
h : { as := as✝¹ } ≠ { as := as✝ }
eq : (Discrete.natIsoFunctor.hom.app { as := as✝¹ } ≫ TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) as✝¹) y = (Discrete.natIsoFunctor.hom.app { as := as✝ } ≫ TopCat.sigmaι ((F ⋙ forget C).obj ∘ Discrete.mk) as✝) x

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : TangentBundle I H

⊢ ↑(chartAt (ModelProd H E) p).symm = ⇑(TotalSpace.toProd H E).symm
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : TangentBundle I H

⊢ ↑(TotalSpace.toProd H E).toPartialEquiv.symm = ⇑(TotalSpace.toProd H E).symm
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
m : List I
hm : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) m
h : ⟨m, hm⟩ ∈ {m | m < nil}

⊢ ⟨m, hm⟩ ∈ ∅
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : Cospherical ps

⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc : Cospherical ps
r : ℝ
hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r

⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = c
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
ps : Set P
h : ps ⊆ ↑s
inst✝¹ : Nonempty ↥s
n : ℕ
inst✝ : FiniteDimensional ℝ ↥s.direction
hd : finrank ℝ ↥s.direction = n
hc✝ : Cospherical ps
r : ℝ
hr : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumradius = r
c : P
hc : ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumcenter = c

⊢ ∃ c, ∀ (sx : Simplex ℝ P n), Set.range sx.points ⊆ ps → sx.circumsphere = c
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x

⊢ HasStrictDerivAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
G✝ : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup G✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G✝
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
G : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
c : 𝕜 → F →L[𝕜] G
c' : F →L[𝕜] G
d : 𝕜 → E →L[𝕜] F
d' : E →L[𝕜] F
u : 𝕜 → F
u' : F
hc : HasStrictDerivAt c c' x
hd : HasStrictDerivAt d d' x
this : HasStrictDerivAt (fun y => (c y).comp (d y)) ((((compL 𝕜 E F G) (c x)).comp (smulRight 1 d') + ((compL 𝕜 E F G).flip (d x)).comp (smulRight 1 c')) 1) x

⊢ HasStrictDerivAt (fun y => (c y).comp (d y)) (c'.comp (d x) + (c x).comp d') x
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hb : AddLECancellable b
h : b ≤ a

⊢ a - b = c ↔ a = c + b
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : Weight R L M

⊢ ∃ x ∈ weightSpace M ⇑χ, x ≠ 0