ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ

⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ

⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ

⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ

⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ

⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ
hl6 : Integrable (Xp * Ym - Xm * Ym) μ

⊢ integral μ (X * Y) = integral μ X * integral μ Y
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ
hl6 : Integrable (Xp * Ym - Xm * Ym) μ

⊢ integral μ (Xp * Yp - Xm * Yp - (Xp * Ym - Xm * Ym)) = integral μ (Xp - Xm) * integral μ (Yp - Ym)
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
pos : ℝ → ℝ := fun x => max x 0
neg : ℝ → ℝ := fun x => max (-x) 0
posm : Measurable pos
negm : Measurable neg
Xp : Ω → ℝ := pos ∘ X
Xm : Ω → ℝ := neg ∘ X
Yp : Ω → ℝ := pos ∘ Y
Ym : Ω → ℝ := neg ∘ Y
hXpm : X = Xp - Xm
hYpm : Y = Yp - Ym
hp1 : 0 ≤ Xm
hp2 : 0 ≤ Xp
hp3 : 0 ≤ Ym
hp4 : 0 ≤ Yp
hm1 : AEMeasurable Xm μ
hm2 : AEMeasurable Xp μ
hm3 : AEMeasurable Ym μ
hm4 : AEMeasurable Yp μ
hv1 : Integrable Xm μ
hv2 : Integrable Xp μ
hv3 : Integrable Ym μ
hv4 : Integrable Yp μ
hi1 : IndepFun Xm Ym μ
hi2 : IndepFun Xp Ym μ
hi3 : IndepFun Xm Yp μ
hi4 : IndepFun Xp Yp μ
hl1 : Integrable (Xm * Ym) μ
hl2 : Integrable (Xp * Ym) μ
hl3 : Integrable (Xm * Yp) μ
hl4 : Integrable (Xp * Yp) μ
hl5 : Integrable (Xp * Yp - Xm * Yp) μ
hl6 : Integrable (Xp * Ym - Xm * Ym) μ

⊢ integral μ Xp * integral μ Yp - integral μ Xm * integral μ Yp - (integral μ Xp * integral μ Ym - integral μ Xm * integral μ Ym) = (∫ (a : Ω), Xp a ∂μ - ∫ (a : Ω), Xm a ∂μ) * (∫ (a : Ω), Yp a ∂μ - ∫ (a : Ω), Ym a ∂μ)
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
x✝ : NormalWord d

⊢ unitsSMul φ (-1) (unitsSMul φ 1 x✝) = x✝
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
w : NormalWord d

⊢ unitsSMul φ 1 (unitsSMul φ (-1) w) = w
-- Mathlib/GroupTheory/HNNExtension.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
w : NormalWord d

⊢ 1 = - -1
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ sin (3 * x) = 3 * sin x - 4 * sin x ^ 3
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ ↑(sin (3 * x)) = ↑(3 * sin x - 4 * sin x ^ 3)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
f g : (b : β) → π b
b : β

⊢ dist (f b) (g b) ≤ dist f g
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LogLikelihoodRatio.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν

⊢ (fun x => rexp (-llr μ ν x)) =ᶠ[ae μ] fun x => (ν.rnDeriv μ x).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LogLikelihoodRatio.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
x : α
hx : (-llr μ ν) x = llr ν μ x
hx_exp_log : rexp (llr ν μ x) = (ν.rnDeriv μ x).toReal

⊢ rexp (-llr μ ν x) = (ν.rnDeriv μ x).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LogLikelihoodRatio.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
x : α
hx : -llr μ ν x = llr ν μ x
hx_exp_log : rexp (llr ν μ x) = (ν.rnDeriv μ x).toReal

⊢ rexp (-llr μ ν x) = (ν.rnDeriv μ x).toReal
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ q p : MvPolynomial σ R
n : ℕ

⊢ (p ^ n).degrees ≤ n • p.degrees
-- Mathlib/Condensed/TopComparison.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X : Type w'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : (Z B : C) → (π : Z ⟶ B) → [inst : EffectiveEpi π] → PreservesLimit (cospan π π) G
hq : ∀ (Z B : C) (π : Z ⟶ B) [inst : EffectiveEpi π], QuotientMap ⇑(G.map π)

⊢ EqualizerCondition (yonedaPresheaf G X)
-- Mathlib/Condensed/TopComparison.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X : Type w'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : (Z B : C) → (π : Z ⟶ B) → [inst : EffectiveEpi π] → PreservesLimit (cospan π π) G
hq : ∀ (Z B : C) (π : Z ⟶ B) [inst : EffectiveEpi π], QuotientMap ⇑(G.map π)

⊢ ∀ (X_1 B : C) (π : X_1 ⟶ B) [inst : EffectiveEpi π] [inst : HasPullback π π], Function.Bijective (MapToEqualizer (yonedaPresheaf G X) π (pullback.fst π π) (pullback.snd π π) ⋯)
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : Ring S
inst✝¹³ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra K E
A₁ : Type u_8
B₁ : Type u_9
A₂ : Type u_10
B₂ : Type u_11
inst✝⁵ : CommRing A₁
inst✝⁴ : Ring B₁
inst✝³ : CommRing A₂
inst✝² : Ring B₂
inst✝¹ : Algebra A₁ B₁
inst✝ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
x✝ : B₁
c : A₁
x : B₂

⊢ ((↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)) c * x = x * ((↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)) c
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : Ring S
inst✝¹³ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra K L
inst✝⁸ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra K E
A₁ : Type u_8
B₁ : Type u_9
A₂ : Type u_10
B₂ : Type u_11
inst✝⁵ : CommRing A₁
inst✝⁴ : Ring B₁
inst✝³ : CommRing A₂
inst✝² : Ring B₂
inst✝¹ : Algebra A₁ B₁
inst✝ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
x✝ : B₁
c : A₁
x : B₂

⊢ e₂.symm (((↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)) c * x) = e₂.symm (x * ((↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)) c)
-- Mathlib/Data/Fintype/Order.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝² : IsTrans α r
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Nonempty γ
f : γ → α
inst✝ : Finite β
D : Directed r f
g : β → γ

⊢ ∃ z, ∀ (i : β), r (f (g i)) (f z)
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)

⊢ IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, f n
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1

⊢ IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, f n
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1
m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m

⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1
m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m
hr : 0 < r
k : ℕ
hk : m - n.succ = k

⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : Ring β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
f✝ g : ℕ → β
a : ℕ → α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → β
n : ℕ
r : α
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r < 1
h : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → abv (f m.succ) ≤ r * abv (f m)
har1 : |r| < 1
m : ℕ
hmn : n.succ ≤ m
hr : 0 < r
k : ℕ
hk : m = k + n.succ

⊢ abv (f m) ≤ abv (f n.succ) * r⁻¹ ^ n.succ * r ^ m
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
newHead : α
rel : r newHead p.head

⊢ ((singleton r newHead).append p rel).last = p.last
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p✝ : Seminorm 𝕜 E
p : ι → Seminorm 𝕜 E
s : Finset ι
x : E
r : ℝ≥0
hr : 0 < ↑r

⊢ (s.sup p).ball x ↑r = ⋂ i ∈ s, (p i).ball x ↑r
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/LinearPMap.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
hT : Dense ↑T.domain
inst✝ : CompleteSpace E
h : T.IsFormalAdjoint S
x✝² : ↥S.domain
x✝¹ : ↥T†.domain
hxy : ↑x✝² = ↑x✝¹
x✝ : ↥T.domain

⊢ ⟪↑S x✝², ↑x✝⟫_𝕜 = ⟪↑x✝¹, ↑T x✝⟫_𝕜
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
m : Multiset ((a : α) × β a)
l : List ((a : α) × β a)

⊢ (keys (Quot.mk Setoid.r l)).Nodup ↔ NodupKeys (Quot.mk Setoid.r l)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : β → α
s : Multiset β
l : List β

⊢ filter p (map f (Quot.mk Setoid.r l)) = map f (filter (p ∘ f) (Quot.mk Setoid.r l))
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : β → α
s : Multiset β
l : List β

⊢ List.map f (List.filter ((fun b => decide (p b)) ∘ f) l) ~ List.map f (List.filter (fun b => decide (p (f b))) l)
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
t' : ι → Type u_12
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝³ : (i : ι) → Module R (t i)
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (t' i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (t' i)
g : (i : ι) → t i →ₗ[R] t' i
f : (i : ι) → s i →ₗ[R] t i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x : (i : ι) → s i
u : s i →ₗ[R] t i
j : ι

⊢ (update f i u j) (x j) = update (fun j => (f j) (x j)) i (u (x i)) j
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x✝ : α
r : Ordnode α
b : BalancedSz l.size r.size
bl : l.Balanced
br : r.Balanced

⊢ BalancedSz r.dual.size l.dual.size
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x✝ : α
r : Ordnode α
b : BalancedSz l.size r.size
bl : l.Balanced
br : r.Balanced

⊢ BalancedSz r.size l.size
-- Mathlib/Data/Quot.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s : Setoid α
x : α
y : Quotient s

⊢ ⟦x⟧ = y ↔ x ≈ y.out
-- Mathlib/Data/Quot.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
s : Setoid α
x : α
y : Quotient s

⊢ ⟦x⟧ = y ↔ ⟦x⟧ = ⟦y.out⟧
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p b < multiplicity p a

⊢ multiplicity p (a + b) = multiplicity p b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p b < multiplicity p a

⊢ multiplicity p (a + b) ≤ multiplicity p b
-- Mathlib/RingTheory/Multiplicity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p a b : α
h : multiplicity p b < multiplicity p a

⊢ multiplicity p b ≤ multiplicity p (a + b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁹ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁸ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝¹³ : AddCommMonoid S
inst✝¹² : AddCommMonoid T
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module R P
inst✝⁸ : Module R Q
inst✝⁷ : Module R S
inst✝⁶ : Module R T
inst✝⁵ : DistribMulAction R' M
inst✝⁴ : Module R'' M
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
r : R
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
x✝¹ : M
x✝ : N

⊢ (((mk R M N).compr₂ (map (r • f) g)) x✝¹) x✝ = (((mk R M N).compr₂ (r • map f g)) x✝¹) x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m : OuterMeasure α
s : Set α

⊢ m.trim s = ⨅ t, m ↑t
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a n : ℕ
ha : a ∈ n.bitIndices

⊢ 2 ^ a ≤ n
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a n : ℕ
ha : a ∈ n.bitIndices

⊢ 2 ^ a ≤ (map (fun i => 2 ^ i) n.bitIndices).sum
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
x y : L
m : M
k : ℕ
ih : (⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M (2 * k)
hk : 2 * k.succ = 2 * k + 1 + 1

⊢ (⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[k + 1] m ∈ lowerCentralSeries R L M (2 * (k + 1))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
x y : L
m : M
k : ℕ
ih : (⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M (2 * k)
hk : 2 * k.succ = 2 * k + 1 + 1

⊢ ⁅x, ⁅y, (⇑((toEnd R L M) x) ∘ ⇑((toEnd R L M) y))^[k] m⁆⁆ ∈ ⁅⊤, ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M (2 * k)⁆⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
x y : L
m : M
k : ℕ
ih : (⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M (2 * k)
hk : 2 * k.succ = 2 * k + 1 + 1

⊢ ⁅y, (⇑((toEnd R L M) x) ∘ ⇑((toEnd R L M) y))^[k] m⁆ ∈ ⁅⊤, lowerCentralSeries R L M (2 * k)⁆
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u_5
α' : Type u_6
ι : Type u_7
f : α → α'
l : Line α ι
x : α

⊢ (fun x i => ((map f l).idxFun i).getD x) (f x) = f ∘ (fun x i => (l.idxFun i).getD x) x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
I : Ideal R
x : R
hxI : x ∈ I
hx : ‖1 - x‖ < 1
u : Rˣ := Units.oneSub (1 - x) hx

⊢ 1 ∈ I
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 1 ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ)
p_roots2 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 3

⊢ Function.Bijective ⇑(galActionHom p ℂ)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 1 ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ)
p_roots2 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 3

⊢ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 2
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 1 ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ)
p_roots2 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 3
n : ℕ := ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card

⊢ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 2
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 1 ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ)
p_roots2 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 3
n : ℕ := ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
hn : 2 ∣ n

⊢ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 2
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 1 ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ)
p_roots2 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 3
n : ℕ := ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
hn : 2 ∣ n
key : (p.rootSet ℂ).toFinset.card = (p.rootSet ℝ).toFinset.card + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card

⊢ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 2
-- Mathlib/Analysis/Complex/Polynomial/Basic.lean
p : ℚ[X]
p_irr : Irreducible p
p_deg : Nat.Prime p.natDegree
p_roots1 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 1 ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ)
p_roots2 : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) ≤ Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 3
n : ℕ := ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card
hn : 2 ∣ n
key : Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + ((galActionHom p ℂ) ((restrict p ℂ) (AlgEquiv.restrictScalars ℚ conjAe))).support.card

⊢ Fintype.card ↑(p.rootSet ℂ) = Fintype.card ↑(p.rootSet ℝ) + 2