ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ interior sᶜ = (closure s)ᶜ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α

⊢ (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C).det.coeff (Fintype.card n) = A.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α

⊢ ∑ b : Equiv.Perm n, (sign b • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (b i) i).coeff (Fintype.card n) = ∑ σ : Equiv.Perm n, sign σ • ∏ i : n, A (σ i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α

⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, (sign x • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (x i) i).coeff (Fintype.card n) = sign x • ∏ i : n, A (x i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α

⊢ ∀ (x : Equiv.Perm n), (sign x • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (x i) i).coeff (Fintype.card n) = sign x • ∏ i : n, A (x i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n

⊢ (sign g • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff (Fintype.card n) = sign g • ∏ i : n, A (g i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n

⊢ ∏ i : n, A (g i) i = (∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff (Fintype.card n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n

⊢ ∏ i : n, A (g i) i = (∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).coeff (Fintype.card n * 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
x✝ : n
a✝ : x✝ ∈ Finset.univ

⊢ A (g x✝) x✝ = ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g x✝) x✝).coeff 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Polynomial.lean
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n

⊢ ∀ p ∈ Finset.univ, ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g p) p).natDegree ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : IsScalarTower R A A
inst✝⁵ : SMulCommClass R A A
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝³ : Module R B
inst✝² : IsScalarTower R B B
inst✝¹ : SMulCommClass R B B
S : NonUnitalSubalgebra R A
ι : Type u_1
inst✝ : Nonempty ι
K : ι → NonUnitalSubalgebra R A
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B
hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)
T : NonUnitalSubalgebra R A
hT : T = iSup K
i : ι
h : K i ≤ T
x✝ : ↥(K i)

⊢ ((iSupLift K dir f hf T hT).comp (inclusion h)) x✝ = (f i) x✝
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
f : F

⊢ {x | x ∈ map (⇑f) s}.Pairwise Commute
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
f : F

⊢ {x | ∃ a ∈ s, f a = x}.Pairwise Commute
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
s : Multiset α
comm : {x | x ∈ s}.Pairwise Commute
f : F
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
a✝ : f x ≠ f y

⊢ Commute (f x) (f y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
s : A' ⥤ Type (max v₁ u₁)
inst✝² : HasLimits A'
inst✝¹ : PreservesLimits s
inst✝ : s.ReflectsIsomorphisms

⊢ IsSheaf J P' ↔ IsSheaf J (P' ⋙ s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
s : A' ⥤ Type (max v₁ u₁)
inst✝² : HasLimits A'
inst✝¹ : PreservesLimits s
inst✝ : s.ReflectsIsomorphisms
this : HasLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, max u₁ v₁, u₂} A'

⊢ IsSheaf J P' ↔ IsSheaf J (P' ⋙ s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} A
A' : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
B : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} B
J : GrothendieckTopology C
U : C
R : Presieve U
P : Cᵒᵖ ⥤ A
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
s : A' ⥤ Type (max v₁ u₁)
inst✝² : HasLimits A'
inst✝¹ : PreservesLimits s
inst✝ : s.ReflectsIsomorphisms
this✝ : HasLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, max u₁ v₁, u₂} A'
this : PreservesLimitsOfSize.{v₁, max v₁ u₁, max u₁ v₁, max u₁ v₁, u₂, max (u₁ + 1) (v₁ + 1)} s

⊢ IsSheaf J P' ↔ IsSheaf J (P' ⋙ s)
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
ι : Sort u_3
S : ι → L.Substructure M

⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Diagonal.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.843926, u_1} C
X✝ Y✝ Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
inst✝ : Mono i₃

⊢ (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) ≫ f = (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ≫ g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Diagonal.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.843926, u_1} C
X✝ Y✝ Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
inst✝ : Mono i₃

⊢ lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯ ≫ fst (fst f' g') i₁ = lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯ ≫ fst (snd f' g') i₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Diagonal.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.843926, u_1} C
X✝ Y✝ Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
inst✝ : Mono i₃

⊢ lift (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ⋯ ≫ lift (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯) (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯) ⋯ = 𝟙 (pullback (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Diagonal.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.843926, u_1} C
X✝ Y✝ Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
inst✝ : Mono i₃

⊢ (lift (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ⋯ ≫ lift (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯) (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯) ⋯) ≫ fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) = 𝟙 (pullback (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂)) ≫ fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Diagonal.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.843926, u_1} C
X✝ Y✝ Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
inst✝ : Mono i₃

⊢ (lift (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ⋯ ≫ lift (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯) (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯) ⋯) ≫ snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) = 𝟙 (pullback (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂)) ≫ snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Diagonal.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.843926, u_1} C
X✝ Y✝ Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
inst✝ : Mono i₃

⊢ lift (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯) (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯) ⋯ ≫ lift (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ⋯ = 𝟙 (pullback f g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Diagonal.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.843926, u_1} C
X✝ Y✝ Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
inst✝ : Mono i₃

⊢ (lift (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯) (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯) ⋯ ≫ lift (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ⋯) ≫ fst f g = 𝟙 (pullback f g) ≫ fst f g
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Diagonal.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.843926, u_1} C
X✝ Y✝ Z : C
inst✝¹ : HasPullbacks C
X Y S X' Y' S' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S'
g' : Y' ⟶ S'
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
i₃ : S ⟶ S'
e₁ : f ≫ i₃ = i₁ ≫ f'
e₂ : g ≫ i₃ = i₂ ≫ g'
inst✝ : Mono i₃

⊢ (lift (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (fst f g) ⋯) (lift (map f g f' g' i₁ i₂ i₃ e₁ e₂) (snd f g) ⋯) ⋯ ≫ lift (fst (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (fst f' g') i₁) (snd (fst (fst f' g') i₁) (fst (snd f' g') i₂) ≫ snd (snd f' g') i₂) ⋯) ≫ snd f g = 𝟙 (pullback f g) ≫ snd f g
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.90051, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ : (Triangle C)ᵒᵖ
φ : T₁ ⟶ T₂

⊢ ((opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op (Opposite.unop T₁).obj₁) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map (Opposite.unop T₁).mor₃.op) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map φ.unop.hom₃.op = φ.unop.hom₁.op ≫ (opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op (Opposite.unop T₂).obj₁) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map (Opposite.unop T₂).mor₃.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.90051, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
T₁ T₂ : (Triangle C)ᵒᵖ
φ : T₁ ⟶ T₂

⊢ (opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op (Opposite.unop T₁).obj₁) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map ((shiftFunctor C 1).map φ.unop.hom₁).op ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map (Opposite.unop T₂).mor₃.op = (opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op (Opposite.unop T₁).obj₁) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map ((shiftFunctor C 1).map φ.unop.hom₁.op.unop).op ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map (Opposite.unop T₂).mor₃.op
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'

⊢ μ[f|⊥] =ᶠ[ae μ] fun x => (μ Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'

⊢ 0[f|⊥] =ᶠ[ae 0] fun x => (0 Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ g : α → F'
s : Set α
f : α → F'
hμ : NeZero μ

⊢ μ[f|⊥] =ᶠ[ae μ] fun x => (μ Set.univ).toReal⁻¹ • ∫ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a : α
ha : 0 < a

⊢ (Ioi a)⁻¹ = Ioo 0 a⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
i j k : ι
inst✝ : K.HasHomology i

⊢ K.ExactAt i ↔ IsZero (K.sc i).homology
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Category.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ G H I : C ⥤ D
X Y : C
e : X ≅ Y
F : C ⥤ D ⥤ E
Z : D

⊢ (F.map e.inv).app Z ≫ (F.map e.hom).app Z = 𝟙 ((F.obj Y).obj Z)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ

⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(latticeBasis K)) ↔ x ∈ ((canonicalEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)).range
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ

⊢ x ∈ Submodule.span ℤ (⇑(canonicalEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap '' Set.range ⇑(integralBasis K)) ↔ x ∈ ((canonicalEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)).range
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ

⊢ x ∈ ⇑(canonicalEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap '' ↑(Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(integralBasis K))) ↔ x ∈ ((canonicalEmbedding K).comp (algebraMap (𝓞 K) K)).range
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ

⊢ (∃ x_1 ∈ ↑(Submodule.span ℤ (Set.range ⇑(integralBasis K))), (canonicalEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap x_1 = x) ↔ ∃ x_1 ∈ (algebraMap (𝓞 K) K).range, (canonicalEmbedding K) x_1 = x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : (K →+* ℂ) → ℂ

⊢ (∃ x_1 ∈ (algebraMap (𝓞 K) K).range, (canonicalEmbedding K).toIntAlgHom.toLinearMap x_1 = x) ↔ ∃ x_1 ∈ (algebraMap (𝓞 K) K).range, (canonicalEmbedding K) x_1 = x
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
a b : α
h : normalize b = b

⊢ gcd a b = b ↔ b ∣ a
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S
p : R[X]

⊢ eval₂ f x p = eval₂ (f.comp (Subring.closure ↑p.coeffs).subtype) x p.restriction
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i ≤ n
hpi : ↑p ^ i = 0

⊢ i = n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i ≤ n
hpi : i ≠ n

⊢ ↑p ^ i ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hpi : i ≠ n
hin : i < n

⊢ ↑p ^ i ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i < n

⊢ ↑p ^ i ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i < n
this : ↑p ^ i = (WittVector.truncate n) (↑p ^ i)

⊢ ↑p ^ i ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i < n
this : ↑p ^ i = (WittVector.truncate n) (↑p ^ i)

⊢ ∃ x, ¬coeff x ((WittVector.truncate n) (↑p ^ i)) = coeff x 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i < n

⊢ ∃ x, ¬coeff x ((WittVector.truncate n) (↑p ^ i)) = coeff x 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i < n

⊢ ¬coeff ⟨i, hin⟩ ((WittVector.truncate n) (↑p ^ i)) = coeff ⟨i, hin⟩ 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i < n

⊢ ¬1 = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Compare.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CharP R p
i : ℕ
hin : i < n
this : Nontrivial R

⊢ ¬1 = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f✝ : β → α
t : Finset γ
h : (s ×ˢ t).Nonempty
f : β × γ → α

⊢ (s ×ˢ t).sup' h f = t.sup' ⋯ fun i' => s.sup' ⋯ fun i => f (i, i')
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
n : ℕ

⊢ Function.Commute ⇑f fun x => x + ↑-[n+1]
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p✝ : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝³ : Fact (1 ≤ p✝)
inst✝² : Fintype ι
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
β : ι → Type u_5
hp : p ≠ ⊤
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
f : PiLp p β

⊢ ↑‖f‖₊ = ↑((∑ i : ι, ‖f i‖₊ ^ p.toReal) ^ (1 / p.toReal))
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s s₁✝ s₂✝ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b : α
s₁ s₂ : Finset α
a : α
h : a ∉ s₂
x : α
this : ¬(x = a ∧ x ∈ s₂)

⊢ x ∈ insert a s₁ ∩ s₂ ↔ x ∈ s₁ ∩ s₂
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : LinearOrder α
a b c d : α

⊢ a ≤ b ⊔ c ↔ a ≤ b ∨ a ≤ c
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : G.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernel (G.map f)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = 0

⊢ G.map h ≫ G.map f = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
G : C ⥤ D
inst✝² : G.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasKernel (G.map f)
Z : C
h : Z ⟶ X
w : h ≫ f = 0

⊢ (G.map (kernel.lift f h w) ≫ kernelComparison f G) ≫ equalizer.ι (G.map f) 0 = kernel.lift (G.map f) (G.map h) ⋯ ≫ equalizer.ι (G.map f) 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
A : Type u₃
inst✝⁸ : Category.{v₃, u₃} A
inst✝⁷ : EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} C
B : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.102181, u_1} B
F : A ⥤ B
inst✝⁵ : HasSheafify ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J) A
inst✝⁴ : ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J).HasSheafCompose F
inst✝³ : G.IsCoverDense J
inst✝² : G.IsContinuous K J
inst✝¹ : G.Full
inst✝ : (G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj
P Q : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P ⟶ Q
h₁ : K.W = LeftBousfield.W fun x => x ∈ Set.range (sheafToPresheaf J A ⋙ (whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op).obj

⊢ K.W.inverseImage ((whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op) f ↔ J.W f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
A : Type u₃
inst✝⁸ : Category.{v₃, u₃} A
inst✝⁷ : EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} C
B : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.102181, u_1} B
F : A ⥤ B
inst✝⁵ : HasSheafify ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J) A
inst✝⁴ : ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J).HasSheafCompose F
inst✝³ : G.IsCoverDense J
inst✝² : G.IsContinuous K J
inst✝¹ : G.Full
inst✝ : (G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj
P Q : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P ⟶ Q
h₁ : K.W = LeftBousfield.W fun x => x ∈ Set.range (sheafToPresheaf J A ⋙ (whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op).obj
h₂ : ∀ (R : Sheaf J A), (Function.Bijective fun g => whiskerLeft G.op f ≫ g) ↔ Function.Bijective fun g => f ≫ g

⊢ K.W.inverseImage ((whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op) f ↔ J.W f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
A : Type u₃
inst✝⁸ : Category.{v₃, u₃} A
inst✝⁷ : EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} C
B : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.102181, u_1} B
F : A ⥤ B
inst✝⁵ : HasSheafify ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J) A
inst✝⁴ : ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J).HasSheafCompose F
inst✝³ : G.IsCoverDense J
inst✝² : G.IsContinuous K J
inst✝¹ : G.Full
inst✝ : (G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj
P Q : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P ⟶ Q
h₁ : K.W = LeftBousfield.W fun x => x ∈ Set.range (sheafToPresheaf J A ⋙ (whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op).obj
h₂ : ∀ (R : Sheaf J A), (Function.Bijective fun g => whiskerLeft G.op f ≫ g) ↔ Function.Bijective fun g => f ≫ g

⊢ LeftBousfield.W (fun x => x ∈ Set.range (sheafToPresheaf J A ⋙ (whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op).obj) (((whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op).map f) ↔ LeftBousfield.W (fun x => x ∈ Set.range (sheafToPresheaf J A).obj) f
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf1 : (LinearMap.ker f).FG
hf2 : (LinearMap.ker g).FG
hsur : Surjective ⇑f

⊢ (LinearMap.ker (g ∘ₗ f)).FG
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf1 : (LinearMap.ker f).FG
hf2 : (LinearMap.ker g).FG
hsur : Surjective ⇑f

⊢ (comap f (LinearMap.ker g)).FG
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Semiring R✝
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁹ : Module R✝ M✝
P✝ : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁷ : Module R✝ P✝
f✝ : M✝ →ₗ[R✝] P✝
R : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf1 : (LinearMap.ker f).FG
hf2 : (LinearMap.ker g).FG
hsur : Surjective ⇑f

⊢ (map f (comap f (LinearMap.ker g))).FG