ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
j : Fin (Composition.single n hn).length
i : ℕ
hi1 : i < (Composition.single n hn).blocksFun j
hi2 : i < n

⊢ ((Composition.single n hn).embedding j) ⟨i, hi1⟩ = ((Composition.single n hn).embedding 0) ⟨i, hi2⟩
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
i : ℕ
hi2 : i < n
j_val : ℕ
j_property : j_val < (Composition.single n hn).length
hi1 : i < (Composition.single n hn).blocksFun ⟨j_val, j_property⟩

⊢ ((Composition.single n hn).embedding ⟨j_val, j_property⟩) ⟨i, hi1⟩ = ((Composition.single n hn).embedding 0) ⟨i, hi2⟩
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹⁵ : CommRing 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : AddCommGroup F
inst✝¹² : AddCommGroup G
inst✝¹¹ : Module 𝕜 E
inst✝¹⁰ : Module 𝕜 F
inst✝⁹ : Module 𝕜 G
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalAddGroup E
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝³ : TopologicalAddGroup F
inst✝² : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : 0 < n
v : Fin n → E
i : ℕ
hi2 : i < n
j_val : ℕ
j_property : j_val < (Composition.single n hn).length
hi1 : i < (Composition.single n hn).blocksFun ⟨j_val, j_property⟩
this : j_val = 0

⊢ ((Composition.single n hn).embedding ⟨j_val, j_property⟩) ⟨i, hi1⟩ = ((Composition.single n hn).embedding 0) ⟨i, hi2⟩
-- Mathlib/Control/Lawful.lean
α β : Type u
m : Type u → Type v
x : OptionT m α
inst✝¹ : Monad m
f : α → β
inst✝ : LawfulMonad m

⊢ (f <$> x).run = Option.map f <$> x.run
-- Mathlib/Control/Lawful.lean
α β : Type u
m : Type u → Type v
x : OptionT m α
inst✝¹ : Monad m
f : α → β
inst✝ : LawfulMonad m

⊢ (f <$> x).run = do let a ← x.run pure (Option.map f a)
-- Mathlib/Control/Lawful.lean
α β : Type u
m : Type u → Type v
x : OptionT m α
inst✝¹ : Monad m
f : α → β
inst✝ : LawfulMonad m

⊢ (do let x ← x.run match x with | some a => (pure (f a)).run | none => pure none) = do let a ← x.run pure (Option.map f a)
-- Mathlib/Control/Lawful.lean
α β : Type u
m : Type u → Type v
x : OptionT m α
inst✝¹ : Monad m
f : α → β
inst✝ : LawfulMonad m

⊢ ∀ (a : Option α), (match a with | some a => (pure (f a)).run | none => pure none) = pure (Option.map f a)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m✝ n✝ m n : ℕ
hn : Odd n
hm : Even m

⊢ m % 2 + (m + n) % 2 = 1
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m✝ n✝ m n : ℕ
hn : Odd n
hm : Odd m

⊢ m % 2 + (m + n) % 2 = 1
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α

⊢ l.Nodup ↔ Injective l.get
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l✝ l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l : List α

⊢ (Injective fun i => l[↑i]) ↔ Injective l.get
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x

⊢ 0 < d
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x

⊢ 0 < d * a.y ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a : Solution₁ d
ha : 1 < a.x

⊢ 1 < a.x ^ 2
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
e : ι → β
he : Injective e
f : ι → α

⊢ ⨆ j, extend e f ⊥ j = ⨆ i, f i
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
e : ι → β
he : Injective e
f : ι → α

⊢ (⨆ i, ⨆ (_ : ∃ i_1, e i_1 = i), extend e f ⊥ i) ⊔ ⨆ i, ⨆ (_ : ¬∃ i_1, e i_1 = i), extend e f ⊥ i = ⨆ i, f i
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
Kf Kg : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
a : ℝ

⊢ LipschitzWith Kf fun x => max (f x) a
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2

⊢ Prime (hζ.toInteger - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K

⊢ Prime (hζ.toInteger - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K
h : hζ.toInteger - 1 = 0

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K

⊢ Irreducible (Ideal.absNorm (Ideal.span {hζ.toInteger - 1}))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K

⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1))
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K

⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1) = ↑↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K

⊢ (algebraMap ℤ ℚ) ((Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) ↑↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K

⊢ (Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger - 1)) = (algebraMap ℤ ℚ) ↑↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hodd : p ≠ 2
this : NumberField K := numberField {p ^ (k + 1)} ℚ K

⊢ (Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) (hζ.toInteger - 1)) = ↑↑p
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y : ZFSet
h : x.Nonempty

⊢ y ∈ ⋂₀ x ↔ ∀ z ∈ x, y ∈ z
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y : ZFSet
h : x.Nonempty

⊢ y ∈ ZFSet.sep (fun y => ∀ z ∈ x, y ∈ z) (Set.Nonempty.some h) ↔ ∀ z ∈ x, y ∈ z
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y : ZFSet
h : x.Nonempty

⊢ (∀ z ∈ x, y ∈ z) → y ∈ Set.Nonempty.some h
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α

⊢ Tendsto F p (𝓝 f) ↔ TendstoLocallyUniformly (fun i a => (F i) a) (⇑f) p
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V✝ : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
h : Tendsto F p (𝓝 f)
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
x : α

⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, (fun i a => (F i) a) n y) ∈ V
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V✝ : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
h : ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
x : α

⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, (fun i a => (F i) a) n y) ∈ V
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/CompactConvergence.lean
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
K : Set α
V✝ : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u₃
p : Filter ι
F : ι → C(α, β)
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace α
h : ∀ (K : Set α), IsCompact K → TendstoUniformlyOn (fun i a => (F i) a) (⇑f) p K
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β
x : α
n : Set α
hn₁ : IsCompact n
hn₂ : n ∈ 𝓝 x

⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, (fun i a => (F i) a) n y) ∈ V
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
B : Set ↑X

⊢ (M.restrictSubtype X).Base B ↔ M.Basis' (↑B) X
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
B : Set ↑X

⊢ (M ↾ X).Basis ↑B ↑(X ↓∩ (M ↾ X).E) ∧ InjOn Subtype.val B ∧ B ⊆ X ↓∩ (M ↾ X).E ↔ M.Basis' (↑B) X
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : SeparableSpace α

⊢ SecondCountableTopology α
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hc : s.Countable
hd : Dense s

⊢ SecondCountableTopology α
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : SeparableSpace α
s : Set α
hc : s.Countable
hd : Dense s

⊢ (Ioi '' s ∪ Iio '' s).Countable
-- Mathlib/Data/List/Palindrome.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l : List α

⊢ (l ++ l.reverse).Palindrome
-- Mathlib/Data/List/Palindrome.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l : List α

⊢ (l ++ l.reverse).reverse = l ++ l.reverse
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
hci : μ (s ∩ t) ≠ 0

⊢ 0 < μ[|s] t
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
hci : μ (s ∩ t) ≠ 0

⊢ 0 < (μ s)⁻¹ * μ (s ∩ t)
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hms : MeasurableSet s
hci : μ (s ∩ t) ≠ 0

⊢ (μ s)⁻¹ ≠ 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/Invariants.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
g : G

⊢ average k G * Finsupp.single g 1 = average k G
-- Mathlib/RepresentationTheory/Invariants.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
g : G

⊢ ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, single (x * g) 1 = ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, single x 1
-- Mathlib/RepresentationTheory/Invariants.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Fintype G
inst✝ : Invertible ↑(Fintype.card G)
g : G
f : G → MonoidAlgebra k G := fun x => Finsupp.single x 1

⊢ ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, f (x * g) = ⅟↑(Fintype.card G) • ∑ x : G, f x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : x i₀ ≤ m

⊢ (univ.pi fun i => Ioc (update x i₀ m i) (y i)) = {z | m < z i₀} ∩ univ.pi fun i => Ioc (x i) (y i)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : x i₀ ≤ m
this : Ioc m (y i₀) = Ioi m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀)

⊢ (univ.pi fun i => Ioc (update x i₀ m i) (y i)) = {z | m < z i₀} ∩ univ.pi fun i => Ioc (x i) (y i)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : x i₀ ≤ m
this : Ioc m (y i₀) = Ioi m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀)

⊢ ({x_1 | x_1 i₀ ∈ Ioi m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀)} ∩ {i₀}ᶜ.pi fun j => Ioc (x j) (y j)) = {z | m < z i₀} ∩ {x_1 | x_1 i₀ ∈ Ioc (x i₀) (y i₀)} ∩ {i₀}ᶜ.pi fun j => Ioc (x j) (y j)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x y z : ℝ

⊢ StrictMono fun x => sinh x - x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x y z : ℝ

⊢ StrictMonoOn (fun x => sinh x - x) (Ici 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x y z : ℝ

⊢ ContinuousOn (fun x => sinh x - x) (Ici 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x✝ y z x : ℝ
hx : x ∈ interior (Ici 0)

⊢ 0 < deriv (fun x => sinh x - x) x
-- Mathlib/Data/Rat/Defs.lean
q a b c : ℚ

⊢ 1 /. 1 = 1
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p q P : α → Prop

⊢ (∀ (a : α), P a) ∨ ∃ a, ¬P a
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
p q P : α → Prop

⊢ (∀ (a : α), P a) ∨ ¬∀ (x : α), P x
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y x✝ s✝ t✝ s'✝ t'✝ : R

⊢ (xgcdAux 0 s✝ t✝ x✝ s'✝ t'✝).1 = gcd 0 x✝
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x✝ y✝ x y : R
h : x ≠ 0
IH : ∀ (s t s' t' : R), (xgcdAux (y % x) s t x s' t').1 = gcd (y % x) x
s t s' t' : R

⊢ (xgcdAux x s t y s' t').1 = gcd x y
-- Mathlib/Algebra/EuclideanDomain/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x✝ y✝ x y : R
h : x ≠ 0
IH : ∀ (s t s' t' : R), (xgcdAux (y % x) s t x s' t').1 = gcd (y % x) x
s t s' t' : R

⊢ gcd (y % x) x = gcd x y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ G.obj U

⊢ G.sieveOfSection s ∈ J.sieves (unop U)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ G.obj U

⊢ G.sieveOfSection s = ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ G.obj U

⊢ ⊤ ≤ G.sieveOfSection s
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ G.obj U
V : C
i : V ⟶ unop U

⊢ (G.sieveOfSection s).arrows i
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
hf : Surjective f
s : Set β

⊢ (f ⁻¹' s).Nonempty ↔ s.Nonempty
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/SecondInter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center < s.radius

⊢ Sbtw ℝ p p' (s.secondInter p (p' -ᵥ p))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/SecondInter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center < s.radius

⊢ p' ≠ p
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/SecondInter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p p' : P
hp : p ∈ s
hp' : dist p' s.center < s.radius

⊢ p' ≠ s.secondInter p (p' -ᵥ p)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/SuperFactorial.lean
n✝ n : ℕ

⊢ ∏ x ∈ range (n + 1 + 1), x ! = sf n + 1
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0
hd : P.d = 0

⊢ P.toPoly = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ

⊢ n + 1 ≤ ⌈a⌉₊ ↔ ↑n < a
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
α : Type u_12
s : Set ι
hs : s.Nonempty
f : ι → Set α
t : Set α

⊢ ⋂ i ∈ s, f i ∩ t = (⋂ i ∈ s, f i) ∩ t
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι✝ → Sort u_7
κ₁ : ι✝ → Sort u_8
κ₂ : ι✝ → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
ι : Type u_11
α : Type u_12
s : Set ι
hs : s.Nonempty
f : ι → Set α
t : Set α
this : Nonempty ↑s

⊢ ⋂ i ∈ s, f i ∩ t = (⋂ i ∈ s, f i) ∩ t
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsCompact s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x

⊢ ∃ t, ⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯ ∈ 𝓝ˢ s
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
t : Finset ↑s
hst : s ⊆ ⋃ i ∈ t, interior (U ↑i ⋯)

⊢ ∃ t, ⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯ ∈ 𝓝ˢ s
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
t : Finset ↑s
hst : s ⊆ ⋃ i ∈ t, interior (U ↑i ⋯)
x : X
hx : x ∈ s

⊢ ⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯ ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
t : Finset ↑s
hst : s ⊆ ⋃ i ∈ t, interior (U ↑i ⋯)
x : X
hx : x ∈ s
y : ↑s
hyt : y ∈ t
hy : x ∈ interior (U ↑y ⋯)

⊢ ⋃ x ∈ t, U ↑x ⋯ ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
hs : IsCompact s
U : (x : X) → x ∈ s → Set X
hU : ∀ (x : X) (hx : x ∈ s), U x hx ∈ 𝓝 x
t : Finset ↑s
hst : s ⊆ ⋃ i ∈ t, interior (U ↑i ⋯)
x : X
hx : x ∈ s
y : ↑s
hyt : y ∈ t
hy : x ∈ interior (U ↑y ⋯)

⊢ U ↑y ⋯ ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
t : α → Multiset β
x : β

⊢ x ∈ (s.bind t).toFinset ↔ x ∈ s.toFinset.biUnion fun a => (t a).toFinset
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/MonoCoprod.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : MonoCoprod C
I : Type u_2
J : Type u_3
X : I → C
ι : J → I
hι : Function.Injective ι
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ ι)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
inst✝² : HasCoproduct (X ∘ ι)
inst✝¹ : HasCoproduct X
inst✝ : HasCoproduct fun k => X ↑k

⊢ Mono (Sigma.map' ι fun j => 𝟙 ((X ∘ ι) j))
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/MonoCoprod.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : MonoCoprod C
I : Type u_2
J : Type u_3
X : I → C
ι : J → I
hι : Function.Injective ι
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ ι)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
inst✝² : HasCoproduct (X ∘ ι)
inst✝¹ : HasCoproduct X
inst✝ : HasCoproduct fun k => X ↑k

⊢ (Sigma.map' ι fun j => 𝟙 ((X ∘ ι) j)) = Sigma.desc fun j => Sigma.ι X (ι j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/MonoCoprod.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : MonoCoprod C
I : Type u_2
J : Type u_3
X : I → C
ι : J → I
hι : Function.Injective ι
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ ι)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
inst✝² : HasCoproduct (X ∘ ι)
inst✝¹ : HasCoproduct X
inst✝ : HasCoproduct fun k => X ↑k

⊢ ∀ (b : J), (Sigma.ι (X ∘ ι) b ≫ Sigma.map' ι fun j => 𝟙 ((X ∘ ι) j)) = Sigma.ι (X ∘ ι) b ≫ Sigma.desc fun j => Sigma.ι X (ι j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/MonoCoprod.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : MonoCoprod C
I : Type u_2
J : Type u_3
X : I → C
ι : J → I
hι : Function.Injective ι
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ ι)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
inst✝² : HasCoproduct (X ∘ ι)
inst✝¹ : HasCoproduct X
inst✝ : HasCoproduct fun k => X ↑k
j : J

⊢ (Sigma.ι (X ∘ ι) j ≫ Sigma.map' ι fun j => 𝟙 ((X ∘ ι) j)) = Sigma.ι (X ∘ ι) j ≫ Sigma.desc fun j => Sigma.ι X (ι j)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/MonoCoprod.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : MonoCoprod C
I : Type u_2
J : Type u_3
X : I → C
ι : J → I
hι : Function.Injective ι
c : Cofan X
c₁ : Cofan (X ∘ ι)
hc : IsColimit c
hc₁ : IsColimit c₁
inst✝² : HasCoproduct (X ∘ ι)
inst✝¹ : HasCoproduct X
inst✝ : HasCoproduct fun k => X ↑k
j : J

⊢ Sigma.ι X (ι j) = (Cofan.mk (∐ X) fun j => Sigma.ι X (ι j)).ι.app { as := j }
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1

⊢ ∀ (m n : Num), ↑(m ^^^ n) = ↑m ^^^ ↑n
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : ∑' (n : ℕ), f n = ⊤
hf0 : f 0 ≠ ⊤

⊢ ∑' (n : ℕ), f (n + 1) = ⊤
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α → ℝ≥0∞
f : ℕ → ℝ≥0∞
hf : f 0 = ⊤ ∨ ∑' (b : ℕ), f (b + 1) = ⊤
hf0 : f 0 ≠ ⊤

⊢ ∑' (n : ℕ), f (n + 1) = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : Preorder α
a b c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosMono α
inst✝¹ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (swap fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hb : b ≤ 0
h : 1 ≤ a

⊢ a * b ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hc : 0 < c

⊢ a / b < a / c ↔ c < b
-- Mathlib/GroupTheory/EckmannHilton.lean
X : Type u
m₁ m₂ : X → X → X
e₁ e₂ : X
h₁ : IsUnital m₁ e₁
h₂ : IsUnital m₂ e₂
distrib : ∀ (a b c d : X), m₁ (m₂ a b) (m₂ c d) = m₂ (m₁ a c) (m₁ b d)
a b : X

⊢ m₂ a b = m₂ b a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R✝ : Type u
a✝ b✝ : R✝
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q : R✝[X]
R : Type u
inst✝ : Ring R
a b : R[X]

⊢ (a - b).toFinsupp = a.toFinsupp - b.toFinsupp