ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
inst✝² : HasLimit F
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimit (F ⋙ G)
E : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} E
H : D ⥤ E
h : HasLimit ((F ⋙ G) ⋙ H)
this : HasLimit (F ⋙ G ⋙ H)
j✝ : J

⊢ (H.map (post F G) ≫ post (F ⋙ G) H) ≫ π ((F ⋙ G) ⋙ H) j✝ = post F (G ⋙ H) ≫ π ((F ⋙ G) ⋙ H) j✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
F : J ⥤ C
inst✝² : HasLimit F
G : C ⥤ D
inst✝¹ : HasLimit (F ⋙ G)
E : Type u''
inst✝ : Category.{v'', u''} E
H : D ⥤ E
h : HasLimit ((F ⋙ G) ⋙ H)
this : HasLimit (F ⋙ G ⋙ H)
j✝ : J

⊢ H.map (G.map (π F j✝)) = (G ⋙ H).map (π F j✝)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hq : q.Monic
hpq : (p * q).Monic

⊢ p.Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hq : q.Monic
hpq : ¬p.Monic

⊢ ¬(p * q).Monic
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hq : q.Monic
hpq : ¬p.leadingCoeff = 1

⊢ ¬(p * q).leadingCoeff = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ
h : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

⊢ HasFiniteIntegral f μ ↔ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ < ⊤
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

⊢ ‖f m‖ ≤ ‖f‖ * ∏ x : ι, ‖m x‖
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C

⊢ (HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C

⊢ Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomotopyCategory C c)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
C : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C

⊢ Localization.StrictUniversalPropertyFixedTarget (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c).Localization
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
n : ℕ
hc : G.Colorable n

⊢ s.card ≤ n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
s : Finset V
h : G.IsClique ↑s
n : ℕ
hc : G.Colorable n

⊢ n = card (Fin n)
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ✝ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
m : ℕ

⊢ ((autEquivZmod H L hζ).symm (Multiplicative.ofAdd ↑m)) α = ζ ^ m • α
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
b c : Ordinal.{u_4}
h : c ≠ 0

⊢ 0 < b / c ↔ c ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Tropical/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
a b : Tropical (WithTop R)

⊢ a + b = 0 ↔ a = 0 ∧ b = 0
-- Mathlib/Algebra/Tropical/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : LinearOrder R
a b : Tropical (WithTop R)

⊢ a = 0 ∧ a ≤ b ∨ b = 0 ∧ b ≤ a ↔ a = 0 ∧ b = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t

⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu

⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu

⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x

⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s

⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu

⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖

⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ ≤ D ^ i

⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ ≤ D ^ i
Ngu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖

⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ ≤ D ^ i
Ngu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ ≤ C

⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ ≤ D ^ i
Ngu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ ≤ C
Nfgu : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (gu ∘ fu) s x‖

⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D✝ : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D✝
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D✝
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s✝ s₁ t✝ u : Set E
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ ≤ D ^ i
Ngu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ ≤ C
Nfgu : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (gu ∘ fu) s x‖

⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (gu ∘ fu) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
P : R[X]
hmo : P.Monic
hP : (Polynomial.aeval s) P = 0
Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree
hs : IsIntegral R s

⊢ minpoly R s = P
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
P : R[X]
hmo : P.Monic
hP : (Polynomial.aeval s) P = 0
Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree
hs : IsIntegral R s

⊢ minpoly R s - P = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
P : R[X]
hmo : P.Monic
hP : (Polynomial.aeval s) P = 0
Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree
hs : IsIntegral R s
hnz : ¬minpoly R s - P = 0

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
P : R[X]
hmo : P.Monic
hP : (Polynomial.aeval s) P = 0
Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree
hs : IsIntegral R s
hnz : ¬minpoly R s - P = 0

⊢ (minpoly R s - P).degree < (minpoly R s).degree
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
P : R[X]
hmo : P.Monic
hP : (Polynomial.aeval s) P = 0
Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree
hs : IsIntegral R s
hnz : ¬minpoly R s - P = 0

⊢ (minpoly R s).degree = P.degree
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/IsIntegrallyClosed.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsDomain S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
s : S
P : R[X]
hmo : P.Monic
hP : (Polynomial.aeval s) P = 0
Pmin : ∀ (Q : R[X]), Q.Monic → (Polynomial.aeval s) Q = 0 → P.degree ≤ Q.degree
hs : IsIntegral R s
hnz : ¬minpoly R s - P = 0

⊢ (minpoly R s).leadingCoeff = P.leadingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulWithZero α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosReflectLT α β
h : a • b < 0
hb : 0 ≤ b

⊢ a • b < 0 • b
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
f : α → α → α
a b : α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
hf : f = HSub.hSub
ra : IsRat a na da
rb : IsRat b nb db
h₁ : (na.mul ↑db).sub (nb.mul ↑da) = (↑k).mul nc
h₂ : da.mul db = k.mul dc

⊢ IsRat (f a b) nc dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
f : α → α → α
a b : α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
hf : f = HSub.hSub
ra : IsRat a na da
rb : IsRat b nb db
h₁ : (na.mul ↑db).sub (nb.mul ↑da) = (↑k).mul nc
h₂ : da.mul db = k.mul dc

⊢ IsRat (a + -b) nc dc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
f : α → α → α
a b : α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
hf : f = HSub.hSub
ra : IsRat a na da
rb : IsRat b nb db
h₁ : (na.mul ↑db).sub (nb.mul ↑da) = (↑k).mul nc
h₂ : da.mul db = k.mul dc

⊢ (na.mul ↑db).add ((-nb).mul ↑da) = (↑k).mul nc
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : Ring α
f : α → α → α
a b : α
na nb nc : ℤ
da db dc k : ℕ
hf : f = HSub.hSub
ra : IsRat a na da
rb : IsRat b nb db
h₁ : (na.mul ↑db).sub (nb.mul ↑da) = (↑k).mul nc
h₂ : da.mul db = k.mul dc

⊢ (na.mul ↑db).add (-(nb * ↑da)) = (↑k).mul nc
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f μ
y : ℝ

⊢ HasSum (fun n => ∫ (x : ℝ) in y + ↑n..y + ↑n + 1, f x ∂μ) (∫ (x : ℝ), f x ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f μ
y : ℝ

⊢ HasSum (fun n => ∫ (x : ℝ) in Ioc (y + ↑n) (y + ↑n + 1), f x ∂μ) (∫ (x : ℝ), f x ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f μ
y : ℝ

⊢ HasSum (fun n => ∫ (x : ℝ) in Ioc (y + ↑n) (y + ↑n + 1), f x ∂μ) (∫ (x : ℝ) in ⋃ n, Ioc (y + ↑n) (y + ↑n + 1), f x ∂μ)