ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝² : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (α i)
this : Encodable ι

⊢ (Measure.pi μ) (univ.pi s) = ∏ i : ι, (μ i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
f' : α → ℝ≥0∞
hf'm : Measurable f'
hle : f' ≤ f
hf' : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f' a ∂μ

⊢ ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
f' : α → ℝ≥0∞
hf'm : Measurable f'
hle : f' ≤ f
hf' : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f' a ∂μ

⊢ ∫⁻ (a : α) in s, f' a ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in s, g x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
f' : α → ℝ≥0∞
hf'm : Measurable f'
hle : f' ≤ f
hf' : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f' a ∂μ

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ.restrict s, f' a ≤ g a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
f' : α → ℝ≥0∞
hf'm : Measurable f'
hle : f' ≤ f
hf' : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f' a ∂μ

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f' x ≤ g x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s : Set α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g (μ.restrict s)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → f x ≤ g x
f' : α → ℝ≥0∞
hf'm : Measurable f'
hle : f' ≤ f
hf' : ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f' a ∂μ

⊢ NullMeasurableSet {x | f' x ≤ g x} (μ.restrict s)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommRing R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalRing R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : TopologicalSpace A
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf✝ : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
hf : autoParam (ContinuousOn f ((fun x => -x) '' σₙ R a)) _auto✝
h0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ cfcₙ (fun x => f (-x)) a = cfcₙ f (-a)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : ι → α
g : α → Set β

⊢ ⋂ x, ⋂ y, ⋂ (_ : f y = x), g x = ⋂ y, g (f y)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
ha : a ≠ 0

⊢ (C b * X + C c).degree < (C a * X ^ 2).degree
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : Nontrivial R
s : σ
n : ℕ

⊢ (X s ^ n).totalDegree = n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
R₁ : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁴ : CommRing R₁
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R₁ S
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : S
b : Basis ι R₁ S
w : ι → S
i✝ j✝ : ι

⊢ b.toMatrix (x • w) i✝ j✝ = ((Algebra.leftMulMatrix b) x * b.toMatrix w) i✝ j✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
κ : Type u_3
κ' : Type u_4
R : Type u_5
M : Type u_6
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
R₂ : Type u_7
M₂ : Type u_8
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
e : Basis ι R M
v : ι' → M
i : ι
j : ι'
R₁ : Type u_9
S : Type u_10
inst✝⁴ : CommRing R₁
inst✝³ : Ring S
inst✝² : Algebra R₁ S
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
x : S
b : Basis ι R₁ S
w : ι → S
i✝ j✝ : ι

⊢ ((Algebra.leftMulMatrix b) x *ᵥ ⇑(b.repr (w j✝))) i✝ = ((Algebra.leftMulMatrix b) x * b.toMatrix w) i✝ j✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
h : Commute f g
h' : Disjoint (ker f) (ker g)

⊢ ker (f ∘ₗ g) = ker f ⊔ ker g
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
h : Commute f g
h' : Disjoint (ker f) (ker g)

⊢ ∀ (x : V), f x = 0 → f (g x) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f g : V →ₗ[K] V
h : Commute f g
h' : Disjoint (ker f) (ker g)
x : V
hx : f x = 0

⊢ f (g x) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hg : UnifIntegrable g p μ
hp : 1 ≤ p
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ

⊢ UnifIntegrable (f - g) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hg : UnifIntegrable g p μ
hp : 1 ≤ p
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ

⊢ UnifIntegrable (f + -g) p μ
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ

⊢ I.splitLower i x ≠ I.splitUpper i x
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
h : x ≤ I.lower i

⊢ I.splitLower i x ≠ I.splitUpper i x
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
I : Box ι
i : ι
x : ℝ
h✝ : I.lower i < x

⊢ I.splitLower i x ≠ I.splitUpper i x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W✝ W : Subspace K V
x : Module.Dual K ↥W

⊢ (dualRestrict W ∘ₗ W.dualLift) x = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W✝ W : Subspace K V
x : Module.Dual K ↥W

⊢ 1 x = x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F

⊢ ContDiff 𝕜 n f ↔ ∀ (y : F), ContDiff 𝕜 n fun x => (f x) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
v : n → R

⊢ (∀ i ∈ Finset.univ, v i * star (v i) = 0) ↔ v = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
h : LipschitzWith C f

⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, DifferentiableAt ℝ f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
C D : ℝ≥0
f✝ g : E → ℝ
s : Set E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
f : E → F
h : LipschitzOnWith C f univ

⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ, DifferentiableAt ℝ f x
-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddCommSemigroup G
inst✝¹ : Add H
inst✝ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
x : G

⊢ f (a + x) = f x + b
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ : Finset β
f✝ f g : β → α
hfg : ∀ a ∈ s₁, f a = g a

⊢ s₁.lcm f = s₁.lcm g
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

⊢ W.φ 3 = C X * C W.Ψ₃ ^ 2 - C W.preΨ₄ * W.ψ₂ ^ 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
val✝¹ : α →ₘ[μ] E
property✝¹ : val✝¹ ∈ Lp E p μ
val✝ : α →ₘ[μ] E
property✝ : val✝ ∈ Lp E p μ
h : ↑↑⟨val✝¹, property✝¹⟩ =ᶠ[ae μ] ↑↑⟨val✝, property✝⟩

⊢ ⟨val✝¹, property✝¹⟩ = ⟨val✝, property✝⟩
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
val✝¹ : α →ₘ[μ] E
property✝¹ : val✝¹ ∈ Lp E p μ
val✝ : α →ₘ[μ] E
property✝ : val✝ ∈ Lp E p μ
h : ↑↑⟨val✝¹, property✝¹⟩ =ᶠ[ae μ] ↑↑⟨val✝, property✝⟩

⊢ val✝¹ = val✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nonempty n
M : Matrix n n R

⊢ M.trace = -M.charpoly.coeff (Fintype.card n - 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
inst✝ : Nonempty n
M : Matrix n n R

⊢ ∑ i : n, M.diag i = ∑ i : n, M i i
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : c < 0

⊢ (fun x => c * x) ⁻¹' Ioc a b = Ico (b / c) (a / c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Limits.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝³ : HasImage f✝
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
inst✝² : HasImage f
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasImage g
sq : Arrow.mk f ⟶ Arrow.mk g
inst✝ : HasImageMap sq

⊢ (imageSubobjectIso (Arrow.mk f).hom).hom ≫ image.map sq = imageSubobjectMap sq ≫ (imageSubobjectIso g).hom
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Mul α
a b : α

⊢ some a * some b = some (a * b)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/PartENat.lean
α : Type u
n : ℕ

⊢ toPartENat ↑n = ↑n
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
θ : Real.Angle

⊢ (o.kahler ((o.rotation θ) x)) y = ↑(-θ).expMapCircle * (o.kahler x) y
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
p_large : n < p ^ 2

⊢ (n.choose k).factorization p ≤ 1
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
p_large : n < p ^ 2

⊢ log p n ≤ 1
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p k : ℕ
p_large : 0 < p ^ 2

⊢ log p 0 ≤ 1
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n k : ℕ
p_large : n < p ^ 2
hn0 : n ≠ 0

⊢ log p n ≤ 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
A : Type u₃
inst✝⁸ : Category.{v₃, u₃} A
inst✝⁷ : EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} C
B : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.110647, u_1} B
F : A ⥤ B
inst✝⁵ : HasSheafify ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J) A
inst✝⁴ : ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J).HasSheafCompose F
inst✝³ : G.IsCoverDense J
inst✝² : G.IsContinuous K J
inst✝¹ : G.Full
inst✝ : (G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj
P Q : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P ⟶ Q

⊢ K.W (whiskerLeft G.op f) ↔ J.W f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹⁰ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝⁹ : Category.{v₂, u₂} D
K : GrothendieckTopology D
e : C ≌ D
G : D ⥤ C
A : Type u₃
inst✝⁸ : Category.{v₃, u₃} A
inst✝⁷ : EssentiallySmall.{w, v₁, u₁} C
B : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.110647, u_1} B
F : A ⥤ B
inst✝⁵ : HasSheafify ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J) A
inst✝⁴ : ((equivSmallModel C).inverse.inducedTopology J).HasSheafCompose F
inst✝³ : G.IsCoverDense J
inst✝² : G.IsContinuous K J
inst✝¹ : G.Full
inst✝ : (G.sheafPushforwardContinuous A K J).EssSurj
P Q : Cᵒᵖ ⥤ A
f : P ⟶ Q

⊢ K.W (whiskerLeft G.op f) ↔ K.W.inverseImage ((whiskeringLeft Dᵒᵖ Cᵒᵖ A).obj G.op) f
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r✝ : α → β → Prop
p : β → γ → Prop
q : γ → δ → Prop
r : α → Prop → Prop
this : (fun x x_1 => x ↔ x_1) = fun x x_1 => x = x_1

⊢ (r ∘r fun x x_1 => x ↔ x_1) = r
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄

⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
s : Sphere P
hs : {p₁, p₂, p₃, p₄} ⊆ Metric.sphere s.center s.radius

⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
hp₂p₄ : p₂ ≠ p₄
hp₃p₁ : p₃ ≠ p₁
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
s : Sphere P
hs : p₁ ∈ s ∧ p₂ ∈ s ∧ p₃ ∈ s ∧ p₄ ∈ s

⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R✝ : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
R : Type u_7
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
s : ℕ → Set α

⊢ limsup s atTop = {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R✝ : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
R : Type u_7
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
s : ℕ → Set α

⊢ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop} = {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R✝ : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
R : Type u_7
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
s : ℕ → Set α
ω : α

⊢ ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop} ↔ ω ∈ {ω | Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/LiminfLimsup.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R✝ : Type u_4
S : Type u_5
π : ι → Type u_6
R : Type u_7
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring R
inst✝ : Archimedean R
s : ℕ → Set α
ω : α

⊢ Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop ↔ Tendsto (fun n => ∑ k ∈ Finset.range n, (s (k + 1)).indicator 1 ω) atTop atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X

⊢ μH[d] {x} = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X

⊢ ⨆ r, ⨆ (_ : 0 < r), ⨅ t, ⨅ (_ : {x} ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < ε

⊢ {x} ⊆ ⋃ n, (fun x_1 => {x}) n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝¹ : 0 < ε
x✝ : ℕ

⊢ diam ((fun x_1 => {x}) x✝) ≤ ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 < d
x : X
ε : ℝ≥0∞
x✝ : 0 < ε

⊢ ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : ((fun x_1 => {x}) n).Nonempty), diam ((fun x_2 => {x}) n) ^ d ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z✝ : ι → E
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → R
z : ι → E
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
a b : R
hab : a + b = 1

⊢ a • s.centerMass w₁ z + b • s.centerMass w₂ z = s.centerMass (fun i => a * w₁ i + b * w₂ i) z
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z✝ : ι → E
s : Finset ι
w₁ w₂ : ι → R
z : ι → E
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
a b : R
hab : a + b = 1
hw : ∑ i ∈ s, (a * w₁ i + b * w₂ i) = 1

⊢ a • s.centerMass w₁ z + b • s.centerMass w₂ z = s.centerMass (fun i => a * w₁ i + b * w₂ i) z
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

⊢ toIocDiv hp a b = -⌊(a + p - b) / p⌋
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

⊢ b - -⌊(a + p - b) / p⌋ • p ∈ Set.Ioc a (a + p)
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

⊢ a < b + ↑⌊(a + p - b) / p⌋ * p ∧ 0 ≤ a + p - b - ↑⌊(a + p - b) / p⌋ * p
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

⊢ a < b + ↑⌊(a + p - b) / p⌋ * p
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

⊢ a + p - b - ↑⌊(a + p - b) / p⌋ * p < p
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
i : ι

⊢ v i ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
i : ι
this : ‖v i‖ ≠ 0

⊢ v i ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
h : a ≤ c

⊢ b ≤ c - a ↔ b + a ≤ c
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
h : a ≤ c

⊢ b ≤ c - a ↔ a + b ≤ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}

⊢ (⨆ i, f i) * c = ⨆ i, f i * c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : IsEmpty ι

⊢ (⨆ i, f i) * c = ⨆ i, f i * c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι

⊢ (⨆ i, f i) * c = ⨆ i, f i * c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι

⊢ (⨆ i, f i) * 0 = ⨆ i, f i * 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0

⊢ (⨆ i, f i) * c = ⨆ i, f i * c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0
hf : BddAbove (range f)

⊢ (⨆ i, f i) * c = ⨆ i, f i * c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0
hf : BddAbove (range f)
this : ∀ (i : ι), f i * c ≤ (⨆ i, f i) * c

⊢ (⨆ i, f i) * c = ⨆ i, f i * c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0
hf : BddAbove (range f)
this : ∀ (i : ι), f i * c ≤ (⨆ i, f i) * c

⊢ (⨆ i, f i) * c ≤ ⨆ i, f i * c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
c : Cardinal.{v}
h✝ : Nonempty ι
h0 : c ≠ 0
hf : BddAbove (range f)
this : ∀ (i : ι), f i * c ≤ (⨆ i, f i) * c
bdd : BddAbove (range fun x => f x * c)

⊢ (⨆ i, f i) * c ≤ ⨆ i, f i * c