ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : IsDedekindDomain A
I : Ideal R
J : Ideal A
B : Type u_4
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDedekindDomain B
L✝ : Ideal B
inst✝² : IsDedekindDomain R
f : R ⧸ I ≃+* A ⧸ J
inst✝¹ : DecidableEq (Ideal R)
inst✝ : DecidableEq (Ideal A)
hJ : J ≠ ⊥
L : Ideal R
hL : L ∈ normalizedFactors I
hI : I ≠ ⊥
l : Ideal R
hl : l ∣ I
l' : Ideal R
hl' : l' ∣ I

⊢ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv ⟨l, hl⟩) ∣ ↑((idealFactorsEquivOfQuotEquiv f).toEquiv ⟨l', hl'⟩) ↔ ↑⟨l, hl⟩ ∣ ↑⟨l', hl'⟩
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean

⊢ ConvexOn ℝ (Ioi 0) (log ∘ doublingGamma)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean

⊢ ConvexOn ℝ (Ioi 0) fun s => log (Gamma (s / 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean

⊢ ConvexOn ℝ (Ioi 0) fun s => log (Gamma (s / 2 + 1 / 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean

⊢ ConvexOn ℝ (Ioi 0) fun s => s * log 2
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter β
inst✝ : g.NeBot
s : Set α

⊢ s ∈ map Prod.fst (f ×ˢ g) ↔ s ∈ f
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν k : ℕ
w : k < n - ν

⊢ eval 1 ((⇑derivative)^[k] (bernsteinPolynomial R n ν)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν k : ℕ
w : k < n - ν

⊢ eval 1 ((⇑derivative)^[k] ((bernsteinPolynomial R n (n - ν)).comp (1 - X))) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X : C
f : J → C
j : J

⊢ biproduct.ι (fun j => X ⊗ f j) j ≫ (leftDistributor X f).inv = X ◁ biproduct.ι f j
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
n i : ℕ

⊢ 2 ^ i &&& n = 2 ^ i * (n.testBit i).toNat
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α

⊢ dite P A B = c ↔ (∃ h, A h = c) ∨ ∃ h, B h = c
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝² : Countable G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α ν
s : Set α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν

⊢ (if funDom : HasFundamentalDomain G α ν then ν ⋯.choose else 0) = ν s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝² : Countable G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α ν
s : Set α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν

⊢ ν ⋯.choose = ν s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝² : Countable G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α ν
s : Set α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν

⊢ IsFundamentalDomain G ⋯.choose ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u
n : ℕ := addOrderOf u
B : Set (AddCircle T) := ball x (T / (2 * ↑n))
hI : I =ᶠ[ae volume] B

⊢ IsAddFundamentalDomain (↥G) I volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u
n : ℕ := addOrderOf u
B : Set (AddCircle T) := ball x (T / (2 * ↑n))
hI : I =ᶠ[ae volume] B
hn : 1 ≤ ↑n

⊢ IsAddFundamentalDomain (↥G) I volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u
n : ℕ := addOrderOf u
B : Set (AddCircle T) := ball x (T / (2 * ↑n))
hI : I =ᶠ[ae volume] B
hn : 1 ≤ ↑n

⊢ NullMeasurableSet I volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u
n : ℕ := addOrderOf u
B : Set (AddCircle T) := ball x (T / (2 * ↑n))
hI : I =ᶠ[ae volume] B
hn : 1 ≤ ↑n

⊢ ∀ (g : ↥G), g ≠ 0 → AEDisjoint volume (g +ᵥ I) I
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u
n : ℕ := addOrderOf u
B : Set (AddCircle T) := ball x (T / (2 * ↑n))
hI : I =ᶠ[ae volume] B
hn : 1 ≤ ↑n

⊢ ∀ (g : ↥G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g +ᵥ x) volume volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
I : Set (AddCircle T)
u x : AddCircle T
hu : IsOfFinAddOrder u
G : AddSubgroup (AddCircle T) := AddSubgroup.zmultiples u
n : ℕ := addOrderOf u
B : Set (AddCircle T) := ball x (T / (2 * ↑n))
hI : I =ᶠ[ae volume] B
hn : 1 ≤ ↑n

⊢ volume univ ≤ ∑' (g : ↥G), volume (g +ᵥ I)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology

⊢ cyclesMap φ ≫ h₂.cyclesIso.hom = h₁.cyclesIso.hom ≫ γ.φK
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
l : Filter β
f : β → α
r c : α
n : ℕ
hr : 0 < r
hf : Tendsto f l atTop

⊢ Tendsto (fun x => f x / r) l atTop
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

⊢ ‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ = (‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖) / 2 - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E

⊢ ‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ = 2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/OfNorm.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ : ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ + ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ = 2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)

⊢ ‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ = 2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Trifunctor.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
C₁₂ : Type u_5
C₂₃ : Type u_6
inst✝⁷ : Category.{?u.127948, u_1} C₁
inst✝⁶ : Category.{?u.127952, u_2} C₂
inst✝⁵ : Category.{?u.127956, u_3} C₃
inst✝⁴ : Category.{?u.127960, u_4} C₄
inst✝³ : Category.{?u.127964, u_5} C₁₂
inst✝² : Category.{?u.127968, u_6} C₂₃
F F' : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
r : I₁ × I₂ × I₃ → J
ρ₁₂ : BifunctorComp₁₂IndexData r
X₁ : GradedObject I₁ C₁
X₂ : GradedObject I₂ C₂
X₃ : GradedObject I₃ C₃
inst✝¹ : (((mapBifunctor F₁₂ I₁ I₂).obj X₁).obj X₂).HasMap ρ₁₂.p
inst✝ : (((mapBifunctor G ρ₁₂.I₁₂ I₃).obj (mapBifunctorMapObj F₁₂ ρ₁₂.p X₁ X₂)).obj X₃).HasMap ρ₁₂.q
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : r (i₁, i₂, i₃) = j
i₁₂ : ρ₁₂.I₁₂
h₁₂ : ρ₁₂.p (i₁, i₂) = i₁₂

⊢ ρ₁₂.q (i₁₂, i₃) = j
-- Mathlib/Order/ModularLattice.lean
α : Type u_1
a b c : α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : IsModularLattice α
h : Disjoint b c
hsup : Disjoint a (b ⊔ c)

⊢ Disjoint (a ⊔ b) c
-- Mathlib/Order/ModularLattice.lean
α : Type u_1
a b c : α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : IsModularLattice α
h : Disjoint b c
hsup : Disjoint a (b ⊔ c)

⊢ Disjoint c (b ⊔ a)
-- Mathlib/Order/ModularLattice.lean
α : Type u_1
a b c : α
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : IsModularLattice α
h : Disjoint b c
hsup : Disjoint a (b ⊔ c)

⊢ Disjoint (c ⊔ b) a
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y x' y' : ℝ
hx : x ∈ Icc x' y'
hy : y ∈ Icc x' y'

⊢ dist x y ≤ y' - x'
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : Gᶜ.Adj v w

⊢ Fintype.card ↑(Gᶜ.commonNeighbors v w) = n - (2 * k - μ) - 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : Gᶜ.Adj v w

⊢ ((G.neighborFinset v)ᶜ \ {v} ∩ ((G.neighborFinset w)ᶜ \ {w})).card = n - (2 * k - μ) - 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : Gᶜ.Adj v w

⊢ (((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v})).card = n - (2 * k - μ) - 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : Gᶜ.Adj v w
hne : v ≠ w

⊢ (((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v})).card = n - (2 * k - μ) - 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w
hne : v ≠ w

⊢ (((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v})).card = n - (2 * k - μ) - 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w
hne : v ≠ w

⊢ (G.neighborFinset v ∪ G.neighborFinset w)ᶜ.card - (1 + 1) = n - (2 * k - μ) - 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w
hne : v ≠ w

⊢ w ∉ {v}
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
ha : v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w
hne : v ≠ w

⊢ {w} ∪ {v} ⊆ (G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ a b c : α
l : List α
ih : (permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b) ~ (permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a)

⊢ (permutations'Aux a (c :: l)).bind (permutations'Aux b) ~ (permutations'Aux b (c :: l)).bind (permutations'Aux a)
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ a b c : α
l : List α
ih : (permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b) ~ (permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a)

⊢ (b :: a :: c :: l) :: (a :: b :: c :: l) :: (map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ (map (cons c) (permutations'Aux a l)).bind (permutations'Aux b)) ~ (a :: b :: c :: l) :: (b :: a :: c :: l) :: (map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ (map (cons c) (permutations'Aux b l)).bind (permutations'Aux a))
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ a b c : α
l : List α
ih : (permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b) ~ (permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a)

⊢ map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ (map (cons c) (permutations'Aux a l)).bind (permutations'Aux b) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ (map (cons c) (permutations'Aux b l)).bind (permutations'Aux a)
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ a b c : α
l : List α
ih : (permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b) ~ (permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a)
this : ∀ (a b : α), (map (cons c) (permutations'Aux a l)).bind (permutations'Aux b) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b))

⊢ map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ (map (cons c) (permutations'Aux a l)).bind (permutations'Aux b) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ (map (cons c) (permutations'Aux b l)).bind (permutations'Aux a)
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ a b c : α
l : List α
ih : (permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b) ~ (permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a)
this : ∀ (a b : α), (map (cons c) (permutations'Aux a l)).bind (permutations'Aux b) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b))

⊢ map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ (map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b))) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ (map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a)))
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ : List α
a✝ a b c : α
l : List α
ih : (permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b) ~ (permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a)
this : ∀ (a b : α), (map (cons c) (permutations'Aux a l)).bind (permutations'Aux b) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b))

⊢ map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux a l).bind (permutations'Aux b)) ~ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ map (cons c) ((permutations'Aux b l).bind (permutations'Aux a))
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α

⊢ #(Perm α) = 2 ^ #α
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F = 2
a : F
ha : a ≠ 0

⊢ quadraticCharFun F a = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F = 2
a : F
ha : a ≠ 0

⊢ ¬IsSquare a → False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s✝ : Set M
x✝ : M
s : Set (M × M')
x : M × M'
hxs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s x

⊢ mfderivWithin (I.prod I') I Prod.fst s x = ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s✝ : Set M
x✝ : M
s : Set (M × M')
x : M × M'
hxs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s x

⊢ mfderiv (I.prod I') I Prod.fst x = ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}
i : Ordinal.{u}
hi : i < o

⊢ i = typein (fun x x_1 => x < x_1) (enum (fun x x_1 => x < x_1) i ⋯)
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Group M
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
c : Con M
n : ℕ
w x : M
h : c w x

⊢ c (w ^ Int.ofNat n) (x ^ Int.ofNat n)
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Group M
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
c : Con M
n : ℕ
w x : M
h : c w x

⊢ c (w ^ Int.negSucc n) (x ^ Int.negSucc n)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : LinearOrder α
s : Set α
a : α
f✝ : ι → α
R : Type u_1
inst✝ : CompleteLinearOrder R
f : ι → R
has_least_elem : ⨅ i, f i ∈ range f

⊢ ⋃ i, Ici (f i) = Ici (⨅ i, f i)
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)

⊢ s ∈ f ×ˢ g ↔ ∃ t ∈ f, ∀ᶠ (y : β) in g, ∀ x ∈ t, (x, y) ∈ s
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)

⊢ (∃ t₁ ∈ f, ∃ t₂ ∈ g, ∀ x ∈ t₁, ∀ y ∈ t₂, (x, y) ∈ s) ↔ ∃ t ∈ f, ∀ᶠ (y : β) in g, ∀ x ∈ t, (x, y) ∈ s
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s✝ : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
s : Set (α × β)
x✝ : Set α

⊢ (∃ t₂ ∈ g, ∀ x ∈ x✝, ∀ y ∈ t₂, (x, y) ∈ s) ↔ ∃ t ∈ g, t ⊆ {x | (fun y => ∀ x ∈ x✝, (x, y) ∈ s) x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)

⊢ StrictConcaveOn 𝕜 s f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)

⊢ StrictConvexOn 𝕜 s (-f)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝

⊢ ((-f) y✝ - (-f) x✝) / (y✝ - x✝) < ((-f) z✝ - (-f) y✝) / (z✝ - y✝)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝

⊢ -(((-f) z✝ - (-f) y✝) / (z✝ - y✝)) < -(((-f) y✝ - (-f) x✝) / (y✝ - x✝))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) < (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝

⊢ (f z✝ - f y✝) / (z✝ - y✝) < (f y✝ - f x✝) / (y✝ - x✝)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ SurjOn cos (Icc 0 π) (Icc (-1) 1)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/FunctionSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β → F
hf : ∀ (i : α), Continuous (f i)
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n

⊢ Continuous fun x => ∑' (n : α), f n x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/FunctionSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β → F
hu : Summable u
hfu : ∀ (n : α) (x : β), ‖f n x‖ ≤ u n
hf : ∀ (i : α), ContinuousOn (f i) univ

⊢ ContinuousOn (fun x => ∑' (n : α), f n x) univ
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a
h : a ≤ b

⊢ b⁻¹ ≤ a⁻¹
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.55818, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : ReflectsFiniteLimits s
hF : IsSheaf (coherentTopology C) (F ⋙ s)

⊢ IsSheaf (coherentTopology C) F
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.55818, u_2} D
F✝ : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : ReflectsFiniteLimits s
hF : Nonempty (PreservesFiniteProducts (F ⋙ s)) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ s)

⊢ Nonempty (PreservesFiniteProducts F) ∧ EqualizerCondition F
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E

⊢ (M.map f hf).Basis (f '' I) (f '' X)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E

⊢ ∀ e ∈ f '' X \ f '' I, (M.map f hf).Dep (insert e (f '' I))
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I

⊢ (M.map f hf).Dep (insert (f e) (f '' I))
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E

⊢ (M.map f hf).Dep (insert (f e) (f '' I))
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E

⊢ ¬(M.map f hf).Indep (insert (f e) (f '' I))
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
X : Set α
hIX : M.Basis I X
f : α → β
hf : InjOn f M.E
e : α
he : e ∈ X
he' : f e ∉ f '' I
hss : insert e I ⊆ M.E

⊢ ∀ (x : Set α), M.Indep x → ¬insert (f e) (f '' I) = f '' x