ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean

⊢ Ici 2 = Ioi 0 ∩ Ici 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean

⊢ Ioi 0 ∩ Ici 2 = Ici 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean

⊢ Ici 2 ⊆ Ioi 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
M₁ : Type u_4
M₂ : Type u_5
M₃ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
x : CliffordAlgebra Q₁

⊢ (equivOfIsometry (QuadraticMap.IsometryEquiv.refl Q₁)) x = AlgEquiv.refl x
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : SurjOn fa s t
x : α
hxs : x ∈ s
hxt : fa x ∈ t

⊢ fb (f x) ∈ fb '' (f '' s)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
h : Sbtw ℝ p₁ p₂ p₃

⊢ ∠ p₃ p₂ p₁ = π
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
m : E
f : 𝓢(E, F)
x : E

⊢ ((pderivCLM 𝕜 m) f) x = lineDeriv ℝ (⇑f) x m
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K

⊢ Function.Injective ⇑(mixedEmbedding K)
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
l✝ : Line α✝ ι✝
i : ι✝
a x✝ : α✝
α : Type u
inst✝¹ : Finite α
κ : Type v
inst✝ : Finite κ
ι : Type
ιfin : Fintype ι
hι : ∀ (C : (ι → α) → ULift.{u, v} κ), ∃ l, IsMono C l
C : (ι → α) → κ
l : Line α ι
c : ULift.{u, v} κ
hc : ∀ (x : α), (ULift.up ∘ C) ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) = c
x : α

⊢ C ((fun x i => (l.idxFun i).getD x) x) = c.down
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
h✝ : l.Nodup
l₁ l₂ : List α
h : Lex (fun x x_1 => x ≠ x_1) l₁.reverse l₂.reverse

⊢ l₁ ≠ l₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ n ≤ ⌊a⌋₊ ↔ ↑n ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : a ≤ 0

⊢ n ≤ ⌊a⌋₊ ↔ ↑n ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
hn : n ≠ 0
ha : 0 ≤ a

⊢ n ≤ ⌊a⌋₊ ↔ ↑n ≤ a
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
z : N
H : z = f.mk' x y

⊢ z * f.toMap ↑y = f.toMap x
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S
z : N
H : z * f.toMap ↑y = f.toMap x

⊢ z = f.mk' x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LogLikelihoodRatio.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ

⊢ (fun x => rexp (llr μ ν x)) =ᶠ[ae ν] fun x => if μ.rnDeriv ν x = 0 then 1 else (μ.rnDeriv ν x).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/LogLikelihoodRatio.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ
μ ν : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
x : α
hx : μ.rnDeriv ν x < ⊤

⊢ rexp (llr μ ν x) = if μ.rnDeriv ν x = 0 then 1 else (μ.rnDeriv ν x).toReal
-- Mathlib/Order/Lattice.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c d : α

⊢ a ⊔ b ≤ b ∧ b ≤ a ⊔ b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/OpenPos.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
m : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : T2Space Y
μ ν : Measure X
inst✝² : μ.IsOpenPosMeasure
s U F : Set X
x : X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
hF : IsClosed F

⊢ μ F = 1 ↔ F = univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : ↥(Lp H 1 μ)

⊢ ‖f‖ = ∫ (a : α), ‖↑↑f a‖ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : ↥(Lp H 1 μ)

⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ∂μ).toReal = ∫ (a : α), ‖↑↑f a‖ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : ↥(Lp H 1 μ)

⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ∂μ).toReal = (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖↑↑f a‖ ∂μ).toReal
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
q : ℕ+

⊢ Fintype.card (ZMod ↑q × ZMod ↑q) = ↑q ^ 2
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)

⊢ (pushforwardFamily α x).Compatible
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)

⊢ ∀ {Z : D} {W₁ W₂ : C} (iWX₁ : G.obj W₁ ⟶ X) (iWX₂ : G.obj W₂ ⟶ X) (iZW₁ : Z ⟶ G.obj W₁) (iZW₂ : Z ⟶ G.obj W₂), iZW₁ ≫ iWX₁ = iZW₂ ≫ iWX₂ → ℱ'.val.map iZW₁.op (α.app (op W₁) (ℱ.map iWX₁.op x)) = ℱ'.val.map iZW₂.op (α.app (op W₂) (ℱ.map iWX₂.op x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Z : D
W₁ W₂ : C
iWX₁ : G.obj W₁ ⟶ X
iWX₂ : G.obj W₂ ⟶ X
iZW₁ : Z ⟶ G.obj W₁
iZW₂ : Z ⟶ G.obj W₂
e : iZW₁ ≫ iWX₁ = iZW₂ ≫ iWX₂

⊢ ℱ'.val.map iZW₁.op (α.app (op W₁) (ℱ.map iWX₁.op x)) = ℱ'.val.map iZW₂.op (α.app (op W₂) (ℱ.map iWX₂.op x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.39294, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{?u.39346, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ Type v
ℱ' : SheafOfTypes K
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : D
x : ℱ.obj (op X)
Z : D
W₁ W₂ : C
iWX₁ : G.obj W₁ ⟶ X
iWX₂ : G.obj W₂ ⟶ X
iZW₁ : Z ⟶ G.obj W₁
iZW₂ : Z ⟶ G.obj W₂
e : iZW₁ ≫ iWX₁ = iZW₂ ≫ iWX₂
V : C
iVZ : G.obj V ⟶ Z

⊢ ℱ'.val.map iVZ.op (ℱ'.val.map iZW₁.op (α.app (op W₁) (ℱ.map iWX₁.op x))) = ℱ'.val.map iVZ.op (ℱ'.val.map iZW₂.op (α.app (op W₂) (ℱ.map iWX₂.op x)))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hp : I.IsPrime
hd : Disjoint ↑M ↑I

⊢ (Ideal.map (algebraMap R S) I).IsPrime
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
I : Ideal R
hp : I.IsPrime
hd : Disjoint ↑M ↑I

⊢ I.IsPrime ∧ Disjoint ↑M ↑I
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
fs : Code
k : Cont'

⊢ contSupp (Cont'.cons₁ fs k) = trStmts₁ (move₂ (fun x => false) main aux (move₂ (fun s => decide (s = Γ'.consₗ)) stack main (move₂ (fun x => false) aux stack (trNormal fs k.cons₂)))) ∪ codeSupp fs k.cons₂
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ k n : ℕ
h✝ : k = n + 1
x : ZMod (namedPattern k (n + 1) h✝)

⊢ ↑x.valMinAbs = x
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ k n : ℕ
h✝ : k = n + 1
x : ZMod (namedPattern k (n + 1) h✝)

⊢ ↑(if x.val ≤ namedPattern k (n + 1) h✝ / 2 then ↑x.val else ↑x.val - ↑(namedPattern k (n + 1) h✝)) = x
-- Mathlib/Topology/Category/CompHausLike/Basic.lean
P : TopCat → Prop
X✝ : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X✝
inst✝² : CompactSpace X✝
inst✝¹ : T2Space X✝
inst✝ : HasProp P X✝
X Y : CompHausLike P
f : X ⟶ Y
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ Epi f
-- Mathlib/Topology/Category/CompHausLike/Basic.lean
P : TopCat → Prop
X✝ : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace X✝
inst✝² : CompactSpace X✝
inst✝¹ : T2Space X✝
inst✝ : HasProp P X✝
X Y : CompHausLike P
f : X ⟶ Y
hf : Epi ⇑f

⊢ Epi f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
n : ℕ

⊢ derivative (X ^ n) = C ↑n * X ^ (n - 1)
-- Mathlib/Data/FP/Basic.lean
C : FloatCfg

⊢ emin ≤ emin + ↑prec - 1
-- Mathlib/Data/FP/Basic.lean
C : FloatCfg

⊢ emin ≤ emin + (↑prec - 1)
-- Mathlib/Data/FP/Basic.lean
C : FloatCfg

⊢ 0 ≤ ↑prec - 1
-- Mathlib/Data/FP/Basic.lean
C : FloatCfg

⊢ 1 ≤ prec
-- Mathlib/Data/FP/Basic.lean
C : FloatCfg
this : prec ≤ 2 * emax

⊢ emin + ↑prec - 1 ≤ ↑emax
-- Mathlib/Data/FP/Basic.lean
C : FloatCfg
this : ↑prec ≤ ↑(2 * emax)

⊢ emin + ↑prec - 1 ≤ ↑emax
-- Mathlib/Data/FP/Basic.lean
C : FloatCfg
this : 0 ≤ ↑(2 * emax) - ↑prec

⊢ 0 ≤ ↑emax - (emin + ↑prec - 1)
-- Mathlib/Data/FP/Basic.lean
C : FloatCfg
this : 0 ≤ ↑(2 * FloatCfg.emax) - ↑prec

⊢ 0 ≤ ↑FloatCfg.emax * 2 - ↑prec
-- Mathlib/Data/FP/Basic.lean
C : FloatCfg
this : 0 ≤ ↑(2 * FloatCfg.emax) - ↑prec

⊢ 0 ≤ 2 * ↑FloatCfg.emax - ↑prec
-- Mathlib/Data/FP/Basic.lean
C : FloatCfg

⊢ emin = max (emin + ↑(Nat.size 0) - ↑prec) emin
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
x : ℝ

⊢ Irrational (x / ↑m) ↔ m ≠ 0 ∧ Irrational x
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R M✝
M : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoidWithOne M
inst✝¹ : CharZero M
inst✝ : Module R M

⊢ CharZero R
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M✝ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M✝
inst✝³ : Module R M✝
M : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoidWithOne M
inst✝¹ : CharZero M
inst✝ : Module R M
m n : ℕ
h : ↑m = ↑n

⊢ ↑m = ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : P →ₗ[R] Q →ₗ[R] M
p : Submodule R P
q : Submodule R Q

⊢ Submodule.map₂ f p q = range (lift f ∘ₗ mapIncl p q)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Basic.lean
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : MulOneClass M
s : Set M
inst✝ : AddZeroClass A
t : Set A
S N N' : Submonoid M

⊢ N ⊔ N' = closure (↑N ∪ ↑N')
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
a t : ℝ
ht : t ∈ {t | t * a ∈ s}

⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (γ ∘ fun x => x * a) t (ContinuousLinearMap.smulRight 1 ((a • v) ((γ ∘ fun x => x * a) t)))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
a t : ℝ
ht : t ∈ {t | t * a ∈ s}

⊢ HasMFDerivAt 𝓘(ℝ, ℝ) I (γ ∘ fun x => x * a) t ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 (v (γ (t * a)))).comp (ContinuousLinearMap.smulRight 1 a))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
a t : ℝ
ht : t ∈ {t | t * a ∈ s}

⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, ℝ) t fun x => x * a) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 a) (range ↑𝓘(ℝ, ℝ)) (↑(extChartAt 𝓘(ℝ, ℝ) t) t)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
H : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
s s' : Set ℝ
t₀ : ℝ
hγ : IsIntegralCurveOn γ v s
a t : ℝ
ht : t ∈ {t | t * a ∈ s}

⊢ HasFDerivAt (fun x => x * a) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 a) t
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : DecidableEq ι
z : R
f : (i : ι) → s i
i : ι
r : R₁
inst✝³ : SMul R₁ R
inst✝² : IsScalarTower R₁ R R
inst✝¹ : SMul R₁ (s i)
inst✝ : IsScalarTower R₁ R (s i)

⊢ tprodCoeff R z (update f i (r • f i)) = tprodCoeff R (r • z) f
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : DecidableEq ι
z : R
f : (i : ι) → s i
i : ι
r : R₁
inst✝³ : SMul R₁ R
inst✝² : IsScalarTower R₁ R R
inst✝¹ : SMul R₁ (s i)
inst✝ : IsScalarTower R₁ R (s i)
h₁ : r • z = r • 1 * z

⊢ tprodCoeff R z (update f i (r • f i)) = tprodCoeff R (r • z) f
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : DecidableEq ι
z : R
f : (i : ι) → s i
i : ι
r : R₁
inst✝³ : SMul R₁ R
inst✝² : IsScalarTower R₁ R R
inst✝¹ : SMul R₁ (s i)
inst✝ : IsScalarTower R₁ R (s i)
h₁ : r • z = r • 1 * z
h₂ : r • f i = (r • 1) • f i

⊢ tprodCoeff R z (update f i (r • f i)) = tprodCoeff R (r • z) f
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹² : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝¹¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁷ : AddCommMonoid E
inst✝⁶ : Module R E
F : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : DecidableEq ι
z : R
f : (i : ι) → s i
i : ι
r : R₁
inst✝³ : SMul R₁ R
inst✝² : IsScalarTower R₁ R R
inst✝¹ : SMul R₁ (s i)
inst✝ : IsScalarTower R₁ R (s i)
h₁ : r • z = r • 1 * z
h₂ : r • f i = (r • 1) • f i

⊢ tprodCoeff R z (update f i ((r • 1) • f i)) = tprodCoeff R (r • 1 * z) f
-- Mathlib/Algebra/Lie/Basic.lean
R : Type u
L₁ : Type v
L₂ : Type w
L₃ : Type w₁
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L₁
inst✝⁴ : LieRing L₂
inst✝³ : LieRing L₃
inst✝² : LieAlgebra R L₁
inst✝¹ : LieAlgebra R L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₃
f : L₁ →ₗ⁅R⁆ L₂
h : Bijective ⇑f
x y : L₁

⊢ { toFun := ⇑f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ⁅x, y⁆ = ⁅{ toFun := ⇑f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun x, { toFun := ⇑f, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun y⁆
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame

⊢ (mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).birthday = (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame

⊢ max (lsub fun i => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveLeft i).birthday) (lsub fun i => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveRight i).birthday) = max ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b')
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame

⊢ max (max (lsub fun a => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveLeft (Sum.inl a)).birthday) (lsub fun b => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveLeft (Sum.inr b)).birthday)) (max (lsub fun a => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveRight (Sum.inl a)).birthday) (lsub fun b => ((mk xl xr xL xR + mk yl yr yL yR).moveRight (Sum.inr b)).birthday)) = max ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b')
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame

⊢ max (max (lsub fun a => (xL a + mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR + yL b).birthday)) (max (lsub fun a => (xR a + mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR + yR b).birthday)) = max ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b')
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame

⊢ max (max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yL b).birthday)) (max (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yR b).birthday)) = max ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b')
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame

⊢ max (max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday)) (max (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yL b).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yR b).birthday)) = max ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b')
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame

⊢ max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ≤ (mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame

⊢ ((mk xl xr xL xR).birthday.blsub fun a' x => a' ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) ≤ max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame

⊢ max (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yL b).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yR b).birthday) ≤ (mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b'
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame

⊢ ((mk yl yr yL yR).birthday.blsub fun b' x => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ b') ≤ max (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yL b).birthday) (lsub fun b => (mk xl xr xL xR).birthday ♯ (yR b).birthday)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
i : Ordinal.{u}
hi : i < (mk xl xr xL xR).birthday
j : (mk xl xr xL xR).LeftMoves
hj : i ≤ ((mk xl xr xL xR).moveLeft j).birthday

⊢ i ♯ (mk yl yr yL yR).birthday < max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
a b x : PGame
xl xr : Type u
xL : xl → PGame
xR : xr → PGame
yl yr : Type u
yL : yl → PGame
yR : yr → PGame
i : Ordinal.{u}
hi : i < (mk xl xr xL xR).birthday
j : (mk xl xr xL xR).RightMoves
hj : i ≤ ((mk xl xr xL xR).moveRight j).birthday

⊢ i ♯ (mk yl yr yL yR).birthday < max (lsub fun a => (xL a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday) (lsub fun a => (xR a).birthday ♯ (mk yl yr yL yR).birthday)