ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
δ : Type u_5
mδ : MeasurableSpace δ
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
f : δ → γ
hf : MeasurableEmbedding f
a : α
t : Set (β × δ)
ht : MeasurableSet t
b : β
x : γ

⊢ (∃ a b_1, (a, b_1) ∈ t ∧ a = b ∧ f b_1 = x) ↔ ∃ x_1, (b, x_1) ∈ t ∧ f x_1 = x
-- Mathlib/Algebra/Lie/CartanSubalgebra.lean
R✝ : Type u
L✝ : Type v
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : LieRing L✝
inst✝³ : LieAlgebra R✝ L✝
H : LieSubalgebra R✝ L✝
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
x : L

⊢ x ∈ (lieIdealSubalgebra R L I).normalizer ↔ x ∈ ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
R : Type u_1
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hn : ¬p ∣ n
this : Algebra (ZMod p) R := ZMod.algebra R p

⊢ cyclotomic (n * p) R = cyclotomic n R ^ (p - 1)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
R : Type u_1
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hn : ¬p ∣ n
this : Algebra (ZMod p) R := ZMod.algebra R p

⊢ cyclotomic (n * p) (ZMod p) = cyclotomic n (ZMod p) ^ (p - 1)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
R : Type u_1
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hn : ¬p ∣ n
this : Algebra (ZMod p) R := ZMod.algebra R p

⊢ (fun x => cyclotomic n (ZMod p) * x) (cyclotomic (n * p) (ZMod p)) = (fun x => cyclotomic n (ZMod p) * x) (cyclotomic n (ZMod p) ^ (p - 1))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
R : Type u_1
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hn : ¬p ∣ n
this : Algebra (ZMod p) R := ZMod.algebra R p

⊢ cyclotomic n (ZMod p) * cyclotomic (n * p) (ZMod p) = cyclotomic n (ZMod p) * cyclotomic n (ZMod p) ^ (p - 1)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
R : Type u_1
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hn : ¬p ∣ n
this : Algebra (ZMod p) R := ZMod.algebra R p

⊢ cyclotomic (n * p) (ZMod p) * cyclotomic n (ZMod p) = (expand (ZMod p) p) (cyclotomic n (ZMod p))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
R : Type u_1
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R p
hn : ¬p ∣ n
this : Algebra (ZMod p) R := ZMod.algebra R p

⊢ cyclotomic (n * p) (ZMod p) * cyclotomic n (ZMod p) = (expand (ZMod p) p) (map (Int.castRingHom (ZMod p)) (cyclotomic n ℤ))
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹³ : Category.{?u.377006, u_1} C
inst✝¹² : Category.{?u.377010, u_2} D
inst✝¹¹ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
inst✝⁹ : HasZeroObject C
inst✝⁸ : HasZeroObject D
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : Pretriangulated C
inst✝² : Pretriangulated D
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
h : Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated

⊢ F.map u₁₂ ≫ F.map u₂₃ = F.map u₁₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹³ : Category.{?u.377006, u_1} C
inst✝¹² : Category.{?u.377010, u_2} D
inst✝¹¹ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
inst✝⁹ : HasZeroObject C
inst✝⁸ : HasZeroObject D
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : Pretriangulated C
inst✝² : Pretriangulated D
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
h : Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated

⊢ F.map (Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂).mor₂ ≫ F.map h.m₁ = F.map (Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃).mor₁ ≫ F.map (Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃).mor₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹³ : Category.{?u.377006, u_1} C
inst✝¹² : Category.{?u.377010, u_2} D
inst✝¹¹ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
inst✝⁹ : HasZeroObject C
inst✝⁸ : HasZeroObject D
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : Pretriangulated C
inst✝² : Pretriangulated D
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
h : Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated

⊢ F.map h.m₁ ≫ F.map (Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃).mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app (Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃).obj₁ = F.map (Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂).mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app (Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂).obj₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹³ : Category.{?u.377006, u_1} C
inst✝¹² : Category.{?u.377010, u_2} D
inst✝¹¹ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
inst✝⁹ : HasZeroObject C
inst✝⁸ : HasZeroObject D
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : Pretriangulated C
inst✝² : Pretriangulated D
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
h : Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated

⊢ F.map (Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃).mor₂ ≫ F.map h.m₃ = F.map (Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃).mor₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Functor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹³ : Category.{?u.377006, u_1} C
inst✝¹² : Category.{?u.377010, u_2} D
inst✝¹¹ : HasShift C ℤ
inst✝¹⁰ : HasShift D ℤ
inst✝⁹ : HasZeroObject C
inst✝⁸ : HasZeroObject D
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁴ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝³ : Pretriangulated C
inst✝² : Pretriangulated D
X₁ X₂ X₃ Z₁₂ Z₂₃ Z₁₃ : C
u₁₂ : X₁ ⟶ X₂
u₂₃ : X₂ ⟶ X₃
u₁₃ : X₁ ⟶ X₃
comm : u₁₂ ≫ u₂₃ = u₁₃
v₁₂ : X₂ ⟶ Z₁₂
w₁₂ : Z₁₂ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₂ : Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂ ∈ distinguishedTriangles
v₂₃ : X₃ ⟶ Z₂₃
w₂₃ : Z₂₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₂
h₂₃ : Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃ ∈ distinguishedTriangles
v₁₃ : X₃ ⟶ Z₁₃
w₁₃ : Z₁₃ ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X₁
h₁₃ : Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃ ∈ distinguishedTriangles
h : Octahedron comm h₁₂ h₂₃ h₁₃
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated

⊢ (F.map (Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃).mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app (Triangle.mk u₁₃ v₁₃ w₁₃).obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (F.map (Triangle.mk u₁₂ v₁₂ w₁₂).mor₁) = F.map h.m₃ ≫ F.map (Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃).mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app (Triangle.mk u₂₃ v₂₃ w₂₃).obj₁
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝¹ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b c a : α

⊢ (mabs a)⁻¹ ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝¹ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b c a : α
h : 1 ≤ a

⊢ (mabs a)⁻¹ ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LinearOrder α
a✝¹ b✝ : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b c a : α
h : a ≤ 1

⊢ (mabs a)⁻¹ ≤ a
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
h : G.chromaticNumber ≠ ⊤

⊢ G.Colorable G.chromaticNumber.toNat
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
h : ∃ n, G.Colorable n

⊢ G.Colorable G.chromaticNumber.toNat
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
hn : G.Colorable n

⊢ G.Colorable G.chromaticNumber.toNat
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l✝ : List α
a✝ m a : α
l : List α

⊢ (l ++ [a]).maximum = max l.maximum ↑a
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
l✝ : List α
a✝ m a : α
l : List α

⊢ Option.rec (some a) (fun val => if val < a then some a else some val) (argmax id l) = max (argmax id l) ↑a
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
a : A
n i : ι
h : ¬i ≤ n
b : ↥(𝒜 i)

⊢ ↑(((decompose 𝒜) (a * ↑b)) n) = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x y : ℝ
hx₁ : -(π / 2) ≤ x
hy₂ : y ≤ π / 2
hxy : x < y

⊢ sin x < sin y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x y : ℝ
hx₁ : -(π / 2) ≤ x
hy₂ : y ≤ π / 2
hxy : x < y

⊢ 0 < 2 * sin ((y - x) / 2) * cos ((y + x) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x y : ℝ
hx₁ : -(π / 2) ≤ x
hy₂ : y ≤ π / 2
hxy : x < y
this : 0 < sin ((y - x) / 2)

⊢ 0 < 2 * sin ((y - x) / 2) * cos ((y + x) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x y : ℝ
hx₁ : -(π / 2) ≤ x
hy₂ : y ≤ π / 2
hxy : x < y
this✝ : 0 < sin ((y - x) / 2)
this : 0 < cos ((y + x) / 2)

⊢ 0 < 2 * sin ((y - x) / 2) * cos ((y + x) / 2)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
hs : i ∈ s
ht : t i = ∅
f : (i : ι) → α i

⊢ f ∈ s.pi t ↔ f ∈ ∅
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
hs : i ∈ s
ht : t i = ∅
f : (i : ι) → α i

⊢ ∃ x, ∃ (_ : x ∈ s), f x ∉ t x
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionMonoid α
b c : α
u : αˣ

⊢ (↑u)⁻¹ * ↑u = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
k : Type u_2
l : Type u_3
m : Type u_4
n : Type u_5
inst✝ : Fintype n
M : Matrix m n R

⊢ ker M.mulVecLin = ⊥ ↔ ∀ (v : n → R), M *ᵥ v = 0 → v = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
s : Fork f g

⊢ s.π.app one = s.ι ≫ g
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a b c : α
h : 0 < c

⊢ (fun x => x * c) ⁻¹' Ico a b = Ico (a / c) (b / c)
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c : Con M
ι : Sort u_4
f : ι → Con M

⊢ ⇑(iInf f) = ⨅ i, ⇑(f i)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
θ : Real.Angle
f : V ≃ₗᵢ[ℝ] V'
x : V'

⊢ (((map (Fin 2) f.toLinearEquiv) o).rotation θ) x = f ((o.rotation θ) (f.symm x))
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
h_range : N.E ⊆ range f
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)

⊢ (N.comap f).map f hf = N
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
h_range : N.E ⊆ range f
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)

⊢ ∀ I ⊆ ((N.comap f).map f hf).E, ((N.comap f).map f hf).Indep I ↔ N.Indep I
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
h_range : N.E ⊆ range f
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)

⊢ ∀ t ⊆ f ⁻¹' N.E, (∃ I₀, (N.Indep (f '' I₀) ∧ InjOn f I₀) ∧ f '' t = f '' I₀) ↔ N.Indep (f '' t)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
h_range : N.E ⊆ range f
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)
I : Set α
hI : I ⊆ f ⁻¹' N.E
x✝ : ∃ I₀, (N.Indep (f '' I₀) ∧ InjOn f I₀) ∧ f '' I = f '' I₀
I₀ : Set α
hI₀ : N.Indep (f '' I₀)
right✝ : InjOn f I₀
hII₀ : f '' I = f '' I₀

⊢ N.Indep (f '' I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α → β
h_range : N.E ⊆ range f
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)
I : Set α
hI : I ⊆ f ⁻¹' N.E
x✝ : ∃ I₀, (N.Indep (f '' I₀) ∧ InjOn f I₀) ∧ f '' I = f '' I₀
I₀ : Set α
hI₀ : N.Indep (f '' I₀)
right✝ : InjOn f I₀
hII₀ : f '' I = f '' I₀

⊢ I₀ ⊆ f ⁻¹' N.E
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)

⊢ s.card ≤ t.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑∅ ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)

⊢ ∅.card ≤ t.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty

⊢ s.card ≤ t.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hs' : s.Nonempty
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑∅)

⊢ s.card ≤ ∅.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty

⊢ s.card ≤ t.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this : Nonempty { x // x ∈ s }

⊢ s.card ≤ t.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t

⊢ s.card ≤ t.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
direction_le : (affineSpan k ↑s).direction ≤ (affineSpan k ↑(affineSpan k ↑t)).direction

⊢ s.card ≤ t.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
direction_le : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) ≤ vectorSpan k (Set.range Subtype.val)

⊢ s.card ≤ t.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
direction_le : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) ≤ vectorSpan k (Set.range Subtype.val)
finrank_le : finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1 ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1

⊢ s.card ≤ t.card
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s t : Finset V
hs : AffineIndependent k Subtype.val
hst : ↑s ⊆ ↑(affineSpan k ↑t)
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty
this✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
this : Nonempty ↑↑t
direction_le : vectorSpan k (Set.range Subtype.val) ≤ vectorSpan k (Set.range Subtype.val)
finrank_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range Subtype.val)) + 1

⊢ s.card ≤ t.card
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ

⊢ ContinuousAt inverse ↑x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
h_is_o : (fun t => inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹) =o[𝓝 0] fun x => 1

⊢ ContinuousAt inverse ↑x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
h_is_o : (fun t => inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹) =o[𝓝 0] fun x => 1
h_lim : Tendsto (fun y => y - ↑x) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)

⊢ ContinuousAt inverse ↑x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
h_is_o : (fun t => inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹) =o[𝓝 0] fun x => 1
h_lim : Tendsto (fun y => y - ↑x) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun e => ‖inverse e - ↑x⁻¹‖) (𝓝 ↑x) (𝓝 0)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m a b : ℕ
han : a ≤ n
hbn : b ≤ n

⊢ ↑a < ↑b ↔ a < b
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m a b : ℕ
han : a < n.succ
hbn : b < n.succ

⊢ ↑a < ↑b ↔ a < b
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
Z : Set (ProjectiveSpectrum 𝒜)

⊢ IsClosed Z ↔ ∃ s, Z = zeroLocus 𝒜 s
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t

⊢ Measurable fun a => (κ a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t

⊢ Measurable fun a => ((Kernel.sum κ.seq) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
this : ∀ (a : α), ((Kernel.sum κ.seq) a) (Prod.mk a ⁻¹' t) = ∑' (n : ℕ), ((κ.seq n) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)

⊢ Measurable fun a => ((Kernel.sum κ.seq) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
this : ∀ (a : α), ((Kernel.sum κ.seq) a) (Prod.mk a ⁻¹' t) = ∑' (n : ℕ), ((κ.seq n) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)

⊢ Measurable fun a => ∑' (n : ℕ), ((κ.seq n) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
-- Mathlib/Probability/Kernel/MeasurableIntegral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
this : ∀ (a : α), ((Kernel.sum κ.seq) a) (Prod.mk a ⁻¹' t) = ∑' (n : ℕ), ((κ.seq n) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
n : ℕ

⊢ Measurable fun a => ((κ.seq n) a) (Prod.mk a ⁻¹' t)
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
a : α
b₁ b₂ : β
inst✝ : PosSMulMono α β
h : a < 0

⊢ b₁ ≤ a⁻¹ • b₂ ↔ b₂ ≤ a • b₁
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p

⊢ hζ.integralPowerBasis'.dim = φ ↑p
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝² : L.IsLocalization W
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L'.IsLocalization W
G : D ⥤ D'
e : L ⋙ G ≅ L'
X Y : C
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Y
f : L.obj X ⟶ L.obj Y

⊢ (homEquiv W W.Q L') ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)).symm ((equivShrink (W.Q.obj X ⟶ W.Q.obj Y)) ((homEquiv W L W.Q) f))) = e.inv.app X ≫ G.map f ≫ e.hom.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝² : L.IsLocalization W
L' : C ⥤ D'
inst✝¹ : L'.IsLocalization W
G : D ⥤ D'
e : L ⋙ G ≅ L'
X Y : C
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W X Y
f : L.obj X ⟶ L.obj Y

⊢ (homEquiv W L L') f = e.inv.app X ≫ G.map f ≫ e.hom.app Y
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]

⊢ z ∈ nonunits ℤ_[p] ↔ ‖z‖ < 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ_[p]

⊢ z ∈ nonunits ℤ_[p] ↔ ‖z‖ ≤ 1 ∧ ‖z‖ ≠ 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme

⊢ QuasiSeparatedSpace ↑↑X.toPresheafedSpace ↔ ∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/QuasiSeparated.lean
X✝ Y : Scheme
f : X✝ ⟶ Y
X : Scheme

⊢ (∀ (U V : Set ↑↑X.toPresheafedSpace), IsOpen U → IsCompact U → IsOpen V → IsCompact V → IsCompact (U ∩ V)) ↔ ∀ (U V : ↑X.affineOpens), IsCompact (↑↑U ∩ ↑↑V)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c : Ordinal.{u}

⊢ a ♯ 1 = succ a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b c a : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < a, k ♯ 1 = succ k

⊢ a ♯ 1 = succ a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b c a : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < a, k ♯ 1 = succ k

⊢ ∀ i < a, i ♯ 1 < succ a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b c a : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < a, k ♯ 1 = succ k
i : Ordinal.{u}
hi : i < a

⊢ i ♯ 1 < succ a