ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0
t : ℕ
ht : ∃ a < padicValNat p n, p ^ (a + 1) = t

⊢ t ∈ n.divisors.erase 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0
k : ℕ
hk : k < padicValNat p n

⊢ p ^ (k + 1) ∈ n.divisors.erase 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0
k : ℕ
hk : k < padicValNat p n

⊢ p ^ (k + 1) ≠ 1 ∧ p ^ (k + 1) ∣ n ∧ n ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hn : n ≠ 0
k : ℕ
hk : k < padicValNat p n

⊢ p ^ (k + 1) ≠ 1
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
inst✝ : SemilatticeSup β
l : Filter α
f g h : α → β
hf : f ≤ᶠ[l] h
hg : g ≤ᶠ[l] h

⊢ f ⊔ g ≤ᶠ[l] h
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s t : Set α
x : α
inst✝ : Bornology β
f : α → β

⊢ comap f (cobounded β) ≤ cobounded α ↔ ∀ ⦃s : Set α⦄, IsBounded s → IsBounded (f '' s)
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s✝ t : Set α
x : α
inst✝ : Bornology β
f : α → β
h : comap f (cobounded β) ≤ cobounded α
s : Set α
hs : IsBounded s

⊢ IsBounded (f '' s)
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s✝ t✝ : Set α
x : α
inst✝ : Bornology β
f : α → β
h : comap f (cobounded β) ≤ cobounded α
s : Set α
hs : IsBounded s
t : Set β
ht : t ∈ cobounded β
hts : f ⁻¹' t ⊆ sᶜ

⊢ IsBounded (f '' s)
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
x✝ : Bornology α
s✝ t✝ : Set α
x : α
inst✝ : Bornology β
f : α → β
h : comap f (cobounded β) ≤ cobounded α
s : Set α
hs : IsBounded s
t : Set β
ht : t ∈ cobounded β
hts : s ⊆ f ⁻¹' tᶜ

⊢ IsBounded (f '' s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1

⊢ x + t • (y - x) ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1

⊢ x + t • (y - x) ∈ [x-[𝕜]y]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
s t✝ : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
hy : y ∈ s
t : 𝕜
ht₀ : 0 ≤ t
ht₁ : t ≤ 1

⊢ x + t • (y - x) ∈ (fun θ => x + θ • (y - x)) '' Icc 0 1
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ √(x * x) = |x|
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h₂ : ∀ (z : ℂ), (f z).re = z.re
z : ℂ

⊢ (f z).im = z.im ∨ (f z).im = -z.im
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h₂ : ∀ (z : ℂ), (f z).re = z.re
z : ℂ
h₁ : ‖f z‖ = ‖z‖

⊢ (f z).im = z.im ∨ (f z).im = -z.im
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h₂ : ∀ (z : ℂ), (f z).re = z.re
z : ℂ
h₁ : √(normSq (f z)) = √(normSq z)

⊢ (f z).im = z.im ∨ (f z).im = -z.im
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroupWithOne α
inst✝ : CharZero α
a b n : ℕ

⊢ ↑a ≡ ↑b [PMOD ↑n] ↔ a ≡ b [MOD n]
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ

⊢ -deriv arcsin x = -(1 / √(1 - x ^ 2))
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l₁ : List α
f : α → List β

⊢ (l₁.bind f).Nodup ↔ (∀ x ∈ l₁, (f x).Nodup) ∧ Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) l₁
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
l₁ : List α
f : α → List β

⊢ (Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) l₁ ∧ ∀ (l : List β) (x : α), f x = l → x ∈ l₁ → l.Nodup) ↔ Pairwise (fun a b => (f a).Disjoint (f b)) l₁ ∧ ∀ x ∈ l₁, (f x).Nodup
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q

⊢ p / q = p - 1
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ≥0
h : p.IsConjExponent q

⊢ p = (p - 1) * q
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a b : F
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0

⊢ quadraticCharFun F (a * b) = quadraticCharFun F a * quadraticCharFun F b
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
a b : F
ha : ¬a = 0
hb : ¬b = 0
hab : a * b ≠ 0

⊢ quadraticCharFun F (a * b) = quadraticCharFun F a * quadraticCharFun F b
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedSpace ℝ F
L : E →L[𝕜] F

⊢ Continuous fun φ => ∫ (x : X), L (↑↑φ x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedSpace ℝ F
L : E →L[𝕜] F

⊢ Continuous fun x => ∫ (x_1 : X), ↑↑(L.compLp x) x_1 ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁵ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : TopologicalSpace F
inst✝² : AddCancelCommMonoid E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z : E

⊢ StrictConvex 𝕜 ((fun x => x + z) ⁻¹' s)
-- Mathlib/Data/List/Enum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
i : ℕ
h : i < l.enum.length

⊢ i < l.length
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
f : α → β
u₁ : UniformSpace α
u₂ : ι → UniformSpace β

⊢ Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β) ↔ ∀ (i : ι), Tendsto (fun x => (f x.1, f x.2)) (𝓤 α) (𝓤 β)
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : AddCommGroup M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Finite ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f g : M₁ →ₗ[R] M₂

⊢ (fun i => ((toMatrix b₁ b₂) (f + g)).toMvPolynomial i) = (fun i => ((toMatrix b₁ b₂) f).toMvPolynomial i) + fun i => ((toMatrix b₁ b₂) g).toMvPolynomial i
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι

⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = i}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | τ ω = i} = {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≥ i}

⊢ MeasurableSet {ω | τ ω = i}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | τ ω = i} = {ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≥ i}

⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ i} ∩ {ω | τ ω ≥ i})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Integral.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
f_int : IntegrableOn f s μ
g_int : IntegrableOn g s μ
hs : MeasurableSet s
hfg : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] g

⊢ (μ.prod volume) (regionBetween f g s) = ENNReal.ofReal (∫ (y : α) in s, (g - f) y ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Integral.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
f_int : IntegrableOn f s μ
g_int : IntegrableOn g s μ
hs : MeasurableSet s
hfg : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] g
h : g - f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑(g x - f x).toNNReal

⊢ (μ.prod volume) (regionBetween f g s) = ENNReal.ofReal (∫ (y : α) in s, (g - f) y ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Integral.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
inst✝ : SigmaFinite μ
f_int : IntegrableOn f s μ
g_int : IntegrableOn g s μ
hs : MeasurableSet s
hfg : f ≤ᶠ[ae (μ.restrict s)] g
h : g - f =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun x => ↑(g x - f x).toNNReal

⊢ (fun y => ENNReal.ofReal ((g - f) y)) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] fun a => ↑(g a - f a).toNNReal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0

⊢ W.negAddY P Q = ((P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) * (W.addX P Q * (P z * Q z) ^ 2 - P x * Q z ^ 2 * addZ P Q ^ 2) + P y * Q z ^ 3 * addZ P Q ^ 3) / (P z * Q z) ^ 3
-- Mathlib/Data/Int/Interval.lean
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a

⊢ image (fun x => x % a) (Ico n (n + a)) = Ico 0 a
-- Mathlib/Data/Int/Interval.lean
a b n : ℤ
h : 0 ≤ 0

⊢ image (fun x => x % 0) (Ico n (n + 0)) = Ico 0 0
-- Mathlib/Data/Int/Interval.lean
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a

⊢ image (fun x => x % a) (Ico n (n + a)) = Ico 0 a
-- Mathlib/Data/Int/Interval.lean
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ

⊢ i ∈ image (fun x => x % a) (Ico n (n + a)) ↔ i ∈ Ico 0 a
-- Mathlib/Data/Int/Interval.lean
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ

⊢ (∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i) ↔ 0 ≤ i ∧ i < a
-- Mathlib/Data/Int/Interval.lean
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ
hia : 0 ≤ i ∧ i < a

⊢ ∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i
-- Mathlib/Data/Int/Interval.lean
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ
hia : 0 ≤ i ∧ i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n

⊢ ∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i
-- Mathlib/Data/Int/Interval.lean
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ
hia : 0 ≤ i ∧ i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n
hi : i < n % a

⊢ ∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i
-- Mathlib/Data/Int/Interval.lean
a✝ b n a : ℤ
h : 0 ≤ a
ha : 0 < a
i : ℤ
hia : 0 ≤ i ∧ i < a
hn : n % a + a * (n / a) = n
hi : n % a ≤ i

⊢ ∃ a_1, (n ≤ a_1 ∧ a_1 < n + a) ∧ a_1 % a = i
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c : Chain (α →𝒄 β)
c' : Chain α

⊢ (ωSup (c.map toMono)) (ωSup c') = ωSup (c'.map (ωSup (c.map toMono)))
-- Mathlib/Order/OmegaCompletePartialOrder.lean
α : Type u
α' : Type u_1
β : Type v
β' : Type u_2
γ : Type u_3
φ : Type u_4
inst✝⁵ : OmegaCompletePartialOrder α
inst✝⁴ : OmegaCompletePartialOrder β
inst✝³ : OmegaCompletePartialOrder γ
inst✝² : OmegaCompletePartialOrder φ
inst✝¹ : OmegaCompletePartialOrder α'
inst✝ : OmegaCompletePartialOrder β'
c : Chain (α →𝒄 β)
c' : Chain α

⊢ ∀ (c_1 : β), (ωSup (c.map toMono)) (ωSup c') ≤ c_1 ↔ ωSup (c'.map (ωSup (c.map toMono))) ≤ c_1
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g✝ : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
g : D ⟶ E
n : ι

⊢ (nullHomotopicMap hom ≫ g).f n = (nullHomotopicMap fun i j => hom i j ≫ g.f j).f n
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g✝ : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
hom : (i j : ι) → C.X i ⟶ D.X j
g : D ⟶ E
n : ι

⊢ (C.dFrom n ≫ hom (c.next n) n + hom n (c.prev n) ≫ D.dTo n) ≫ g.f n = C.dFrom n ≫ hom (c.next n) n ≫ g.f n + (hom n (c.prev n) ≫ g.f (c.prev n)) ≫ E.dTo n
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
ts : List α

⊢ map (map f) ts.permutations = (map f ts).permutations
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H

⊢ Subsingleton (Quot Setoid.r)
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H

⊢ Subsingleton (Quot fun x y => x⁻¹ * y ∈ ⊤)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)

⊢ δ i ≫ δ i.castSucc = δ i ≫ δ i.succ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E

⊢ ‖x * x⋆‖ = ‖x‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
α : Type u_3
inst✝² : NonUnitalNormedRing E
inst✝¹ : StarRing E
inst✝ : CstarRing E
x : E

⊢ ‖x⋆⋆ * x⋆‖ = ‖x‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀ : Type u_1
inst✝⁸ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁷ : MonoidWithZero M
inst✝⁶ : MonoidWithZero M'
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero M₁
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : FunLike F M M'
inst✝¹ : NoZeroDivisors M'
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F M M'
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S : Submonoid M
hS : S ≤ M⁰

⊢ Submonoid.map f S ≤ M'⁰
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀ : Type u_1
inst✝⁸ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁷ : MonoidWithZero M
inst✝⁶ : MonoidWithZero M'
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero M₁
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : FunLike F M M'
inst✝¹ : NoZeroDivisors M'
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F M M'
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S : Submonoid M
hS : S ≤ M⁰
h✝ : Subsingleton M

⊢ Submonoid.map f S ≤ M'⁰
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/NonZeroDivisors.lean
M₀ : Type u_1
inst✝⁸ : MonoidWithZero M₀
M : Type u_2
M' : Type u_3
M₁ : Type u_4
R : Type u_5
R' : Type u_6
F : Type u_7
inst✝⁷ : MonoidWithZero M
inst✝⁶ : MonoidWithZero M'
inst✝⁵ : CommMonoidWithZero M₁
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : CommRing R'
inst✝² : FunLike F M M'
inst✝¹ : NoZeroDivisors M'
inst✝ : MonoidWithZeroHomClass F M M'
f : F
hf : Function.Injective ⇑f
S : Submonoid M
hS : S ≤ M⁰
h✝ : Nontrivial M

⊢ Submonoid.map f S ≤ M'⁰
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n

⊢ (rightShiftAddEquiv K L n a n' hn') 0 = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/PreservesSheafification.lean
C : Type u
inst✝¹⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹⁷ : Category.{?u.73757, u_1} A
inst✝¹⁶ : Category.{?u.73761, u_2} B
F✝ : A ⥤ B
D : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹⁵ : Category.{max v u, u_3} D
inst✝¹⁴ : Category.{max v u, u_4} E
F : D ⥤ E
inst✝¹³ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝¹² : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝¹¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹⁰ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝⁹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝⁸ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
inst✝⁷ : ConcreteCategory D
inst✝⁶ : ConcreteCategory E
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget E)
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : PreservesLimits (forget E)
inst✝¹ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
inst✝ : (forget E).ReflectsIsomorphisms
P : Cᵒᵖ ⥤ D

⊢ (sheafComposeNatTrans J F (plusPlusAdjunction J D) (plusPlusAdjunction J E)).app P = { val := (J.sheafifyCompIso F P).inv }
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/PreservesSheafification.lean
C : Type u
inst✝¹⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹⁷ : Category.{?u.73757, u_1} A
inst✝¹⁶ : Category.{?u.73761, u_2} B
F✝ : A ⥤ B
D : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹⁵ : Category.{max v u, u_3} D
inst✝¹⁴ : Category.{max v u, u_4} E
F : D ⥤ E
inst✝¹³ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝¹² : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝¹¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹⁰ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝⁹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝⁸ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
inst✝⁷ : ConcreteCategory D
inst✝⁶ : ConcreteCategory E
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget E)
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : PreservesLimits (forget E)
inst✝¹ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
inst✝ : (forget E).ReflectsIsomorphisms
P : Cᵒᵖ ⥤ D

⊢ ((plusPlusAdjunction J E).homEquiv (((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).obj P) ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P)) ((sheafComposeNatTrans J F (plusPlusAdjunction J D) (plusPlusAdjunction J E)).app P) = ((plusPlusAdjunction J E).homEquiv (((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).obj P) ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P)) { val := (J.sheafifyCompIso F P).inv }
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/PreservesSheafification.lean
C : Type u
inst✝¹⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹⁷ : Category.{?u.73757, u_1} A
inst✝¹⁶ : Category.{?u.73761, u_2} B
F✝ : A ⥤ B
D : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹⁵ : Category.{max v u, u_3} D
inst✝¹⁴ : Category.{max v u, u_4} E
F : D ⥤ E
inst✝¹³ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝¹² : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝¹¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹⁰ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝⁹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝⁸ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
inst✝⁷ : ConcreteCategory D
inst✝⁶ : ConcreteCategory E
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget E)
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : PreservesLimits (forget E)
inst✝¹ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
inst✝ : (forget E).ReflectsIsomorphisms
P : Cᵒᵖ ⥤ D
e_1✝ : (((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).obj P ⟶ (sheafToPresheaf J E).obj ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P)) = ((𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ E)).obj (P ⋙ F) ⟶ (sheafToPresheaf J E).obj ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P))

⊢ ((plusPlusAdjunction J E).homEquiv (((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).obj P) ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P)) ((sheafComposeNatTrans J F (plusPlusAdjunction J D) (plusPlusAdjunction J E)).app P) = (plusPlusAdjunction J E).unit.app (P ⋙ F) ≫ (sheafToPresheaf J E).map ((sheafComposeNatTrans J F (plusPlusAdjunction J D) (plusPlusAdjunction J E)).app P)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/PreservesSheafification.lean
C : Type u
inst✝¹⁸ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹⁷ : Category.{?u.73757, u_1} A
inst✝¹⁶ : Category.{?u.73761, u_2} B
F✝ : A ⥤ B
D : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹⁵ : Category.{max v u, u_3} D
inst✝¹⁴ : Category.{max v u, u_4} E
F : D ⥤ E
inst✝¹³ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D
inst✝¹² : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E
inst✝¹¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹⁰ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E
inst✝⁹ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F
inst✝⁸ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F
inst✝⁷ : ConcreteCategory D
inst✝⁶ : ConcreteCategory E
inst✝⁵ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
inst✝⁴ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget E)
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : PreservesLimits (forget E)
inst✝¹ : (forget D).ReflectsIsomorphisms
inst✝ : (forget E).ReflectsIsomorphisms
P : Cᵒᵖ ⥤ D
e_1✝ : (((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).obj P ⟶ (sheafToPresheaf J E).obj ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P)) = ((𝟭 (Cᵒᵖ ⥤ E)).obj (P ⋙ F) ⟶ (sheafToPresheaf J E).obj ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P))

⊢ ((plusPlusAdjunction J E).homEquiv (((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).obj P) ((plusPlusSheaf J D ⋙ sheafCompose J F).obj P)) { val := (J.sheafifyCompIso F P).inv } = whiskerRight ((plusPlusAdjunction J D).unit.app P) F
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
hx : -(π / 2) ≤ x
hx₀ : x ≤ 0

⊢ sin x ≤ 2 / π * x
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : MonotoneOn u (Iic n)
us : ∀ i ≤ n, u i ∈ s

⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ eVariationOn f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ContDiff.lean
𝕂 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n

⊢ ContDiffAt 𝕂 n (hf.localInverse hf' hn) (f a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ContDiff.lean
𝕂 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n
this : hf.localInverse hf' hn (f a) = a

⊢ ContDiffAt 𝕂 n (hf.localInverse hf' hn) (f a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ContDiff.lean
𝕂 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n
this : hf.localInverse hf' hn (f a) = a

⊢ HasFDerivAt (↑(toPartialHomeomorph f hf hf' hn)) (↑?m.32659) (↑(toPartialHomeomorph f hf hf' hn).symm (f a))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ContDiff.lean
𝕂 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n
this : hf.localInverse hf' hn (f a) = a

⊢ ContDiffAt 𝕂 n (↑(toPartialHomeomorph f hf hf' hn)) (↑(toPartialHomeomorph f hf hf' hn).symm (f a))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ContDiff.lean
𝕂 : Type u_1
inst✝⁵ : RCLike 𝕂
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕂 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕂 F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
f' : E ≃L[𝕂] F
a : E
n : ℕ∞
hf : ContDiffAt 𝕂 n f a
hf' : HasFDerivAt f (↑f') a
hn : 1 ≤ n
this : hf.localInverse hf' hn (f a) = a

⊢ E ≃L[𝕂] F
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
inst✝ : Nonempty ι
a : ℝ≥0
g : ι → ℝ≥0
h : ℝ≥0
H : ∀ (i : ι), a ≤ g i * h

⊢ a ≤ iInf g * h
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
inst✝ : Nonempty ι
a : ℝ≥0
g : ι → ℝ≥0
h : ℝ≥0
H : ∀ (i : ι), a ≤ g i * h

⊢ a ≤ ⨅ i, g i * h
-- Mathlib/SetTheory/Lists.lean
α : Type u_1
b : Bool
a : Lists' α b
l : Lists' α true

⊢ sizeOf ⟨b, a⟩ < sizeOf (a.cons' l)