ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
H : f x = g x

⊢ f^[n] x < g^[n] x ↔ f x < g x
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : Monotone f
hg : StrictMono g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n
H : g x < f x

⊢ f^[n] x < g^[n] x ↔ f x < g x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ ↑(sin x - sin y) = ↑(2 * sin ((x - y) / 2) * cos ((x + y) / 2))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x : PiLp 2 β

⊢ ‖x‖ ^ 2 = ∑ i : ι, ‖x i‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β✝ : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
β : ι → Type u_5
inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
x : PiLp 2 β

⊢ ‖x‖₊ ^ 2 = ∑ i : ι, ‖x i‖₊ ^ 2
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
ha : a ∈ S
hb : enumOrd S b < a

⊢ enumOrd S (succ b) ≤ a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
S : Set Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u}
hS : Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) S
ha : a ∈ S
hb : enumOrd S b < a

⊢ sInf (S ∩ {b_1 | ∀ c < succ b, enumOrd S c < b_1}) ≤ a
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
hX : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
hY : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ

⊢ mgf (X + Y) μ t = mgf X μ t * mgf Y μ t
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X✝ : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
X Y : Ω → ℝ
h_indep : IndepFun X Y μ
hX : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ
hY : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ

⊢ ∫ (x : Ω), rexp (t * X x) * rexp (t * Y x) ∂μ = (∫ (x : Ω), rexp (t * X x) ∂μ) * ∫ (x : Ω), rexp (t * Y x) ∂μ
-- Mathlib/Topology/Sets/Opens.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
U : Opens α

⊢ ¬(↑U).Nonempty ↔ U = ⊥
-- Mathlib/Data/Set/Subsingleton.lean
α : Type u
a : α
s✝ t s : Set α

⊢ Nontrivial ↑s ↔ s.Nontrivial
-- Mathlib/Topology/IsLocalHomeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : g ∘ ↑f = ↑gf

⊢ ∃ e, ↑f x ∈ e.source ∧ Set.EqOn g (↑e) e.source
-- Mathlib/Topology/IsLocalHomeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : g ∘ ↑f = ↑gf

⊢ ↑f x ∈ ↑f.symm.symm.symm ⁻¹' gf.source
-- Mathlib/Topology/IsLocalHomeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
s : Set X
t : Set Y
x : X
hx : x ∈ s
f : PartialHomeomorph X Y
hxf : x ∈ f.source
hgf✝ : IsLocalHomeomorphOn (g ∘ ↑f) s
hf : IsLocalHomeomorphOn (↑f) s
gf : PartialHomeomorph X Z
hgf : x ∈ gf.source
he : g ∘ ↑f = ↑gf
y : Y
hy : y ∈ (f.symm.trans gf).source

⊢ g y = ↑(f.symm.trans gf) y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens

⊢ Scheme.Γ.map (f ∣_ U).op = Y.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ Scheme.Hom.app f U ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Y.Opens

⊢ Scheme.Hom.app f (U.ι ''ᵁ ⊤) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op = Scheme.Hom.app f (⋯.functor.obj ⊤) ≫ X.presheaf.map (((Opens.map f.val.base).map (eqToHom ⋯).op.unop).op ≫ (eqToHom ⋯).op)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
a b : 𝕜
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hfx : f x ≤ f (a • x + b • y)

⊢ f (a • x + b • y) ≤ f y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y : E
a b : 𝕜
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
ha : 0 ≤ a
hb : 0 < b
hab : b + a = 1
hfx : f x ≤ f (b • y + a • x)

⊢ f (b • y + a • x) ≤ f y
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M

⊢ ⨆ k, LieSubmodule.ucs k ⊥ ≤ weightSpace M 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁷ : CommRing T
p : T[X]
S : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra T S
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : IsDomain S'
inst✝¹ : Algebra T S'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S'
f : S →ₐ[T] S'

⊢ Set.MapsTo (⇑f) (p.rootSet S) (p.rootSet S')
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝⁷ : CommRing T
p : T[X]
S : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra T S
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : IsDomain S'
inst✝¹ : Algebra T S'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S'
f : S →ₐ[T] S'
h₀ : map (algebraMap T S') p = 0

⊢ map (algebraMap T S) p = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝⁷ : CommRing T
S : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra T S
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : IsDomain S'
inst✝¹ : Algebra T S'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors T S'
f : S →ₐ[T] S'
h₀ : map (algebraMap T S') 0 = 0

⊢ map (algebraMap T S) 0 = 0
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y
hU : ↑U ⊆ Set.range ⇑f.base

⊢ IsIso (f.c.app (op U))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
U : Opens ↑↑Y
hU : ↑U ⊆ Set.range ⇑f.base
this : U = ⋯.functor.obj ((Opens.map f.base).obj U)

⊢ IsIso (f.c.app (op U))
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t : Set α
a : α
s : Set α

⊢ s.ncard ≤ (insert a s).ncard
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n k : ℕ

⊢ m.Coprime (n + m * k) ↔ m.Coprime n
-- Mathlib/Data/Finsupp/Weight.lean
σ : Type u_1
M : Type u_2
w : σ → M
d : σ →₀ ℕ

⊢ d.degree = (weight 1) d
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]

⊢ (p + q).natDegree ≤ max p.natDegree q.natDegree
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h' : ∀ (x : Cofix F), r x x
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
x✝ : Cofix F
x : (P F).M
y✝ : Cofix F
y : (P F).M
rxy : r (Quot.mk Mcongr x) (Quot.mk Mcongr y)
r' : (P F).M → (P F).M → Prop := fun x y => r (Quot.mk Mcongr x) (Quot.mk Mcongr y)

⊢ Mcongr x y
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h' : ∀ (x : Cofix F), r x x
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
x✝ : Cofix F
x : (P F).M
y✝ : Cofix F
y : (P F).M
rxy : r (Quot.mk Mcongr x) (Quot.mk Mcongr y)
r' : (P F).M → (P F).M → Prop := fun x y => r (Quot.mk Mcongr x) (Quot.mk Mcongr y)
this : IsPrecongr r'

⊢ Mcongr x y
-- Mathlib/Data/Matroid/Sum.lean
α : Type u_1
M N : Matroid α
h : Disjoint M.E N.E
B : Set α

⊢ (M.disjointSum N h).Base B ↔ M.Base (B ∩ M.E) ∧ N.Base (B ∩ N.E) ∧ B ⊆ M.E ∪ N.E
-- Mathlib/Topology/Order/DenselyOrdered.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a✝ b : α
s : Set α
a : α
ha : (Iio a).Nonempty

⊢ interior (Ici a) = Ioi a
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasLeftHomology
A : C
f₁ f₂ : S.leftHomology ⟶ A

⊢ f₁ = f₂ ↔ S.leftHomologyπ ≫ f₁ = S.leftHomologyπ ≫ f₂
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : Nat.Prime (orderOf σ)

⊢ ∃ n, σ.cycleType = Multiset.replicate (n + 1) (orderOf σ)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : Nat.Prime (orderOf σ)

⊢ card σ.cycleType = card σ.cycleType - 1 + 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
hσ : Nat.Prime (orderOf σ)
n : ℕ
hn : n ∈ σ.cycleType

⊢ n = orderOf σ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u_2}
H : c.IsRegular

⊢ 0 < c.ord
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
c : Cardinal.{u_2}
H : c.IsRegular

⊢ 0 < c
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

⊢ toIocMod hp (a - m • p) b = toIocMod hp a b - m • p
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : ComplementedLattice α
h : IsCoatomic α

⊢ IsStronglyAtomic α
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : Lattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsModularLattice α
inst✝ : ComplementedLattice α
h : IsAtomic α

⊢ IsStronglyAtomic α
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : IsPeriodicPt f (n + m) x
hm : IsPeriodicPt f m x

⊢ IsPeriodicPt f n x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hn : IsFixedPt (f^[n] ∘ f^[m]) x
hm : IsPeriodicPt f m x

⊢ IsPeriodicPt f n x
-- Mathlib/Data/Finsupp/NeLocus.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq N
inst✝ : Zero N
f g : α →₀ N
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ ↑(f.neLocus g) ↔ x✝ ∈ {x | f x ≠ g x}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/CompareExp.lean
l : Filter ℂ
hl : IsExpCmpFilter l
a z : ℂ
hz : z ≠ 0

⊢ (fun z => abs z ^ a.re) z = (fun z => Real.exp (a.re * Real.log (abs z))) z
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Bound.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
hP : P.IsEquipartition
hu : u ∈ P.parts

⊢ 4 ^ P.parts.card * m ≤ u.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Bound.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
u : Finset α
ε : ℝ
hP : P.IsEquipartition
hu : u ∈ P.parts

⊢ 4 ^ P.parts.card * (Fintype.card α / P.parts.card / 4 ^ P.parts.card) ≤ u.card
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
h : x + ↑m ≤ f x
n : ℕ

⊢ x + ↑n * ↑m ≤ (⇑f)^[n] x
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a✝ b✝ c p q : ℚ
a b : ℤ
ha : 0 ≤ a
hb✝ : 0 ≤ b
hb : 0 < b

⊢ 0 ≤ a /. b
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R

⊢ 3 * (eval P) W.polynomial = P 0 * (eval P) W.polynomialX + P 1 * (eval P) W.polynomialY + P 2 * (eval P) W.polynomialZ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R

⊢ 3 * (P 1 ^ 2 * P 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 * P 2 + W.a₃ * P 1 * P 2 ^ 2 - (P 0 ^ 3 + W.a₂ * P 0 ^ 2 * P 2 + W.a₄ * P 0 * P 2 ^ 2 + W.a₆ * P 2 ^ 3)) = P 0 * (W.a₁ * P 1 * P 2 - (3 * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₂ * P 0 * P 2 + W.a₄ * P 2 ^ 2)) + P 1 * (2 * P 1 * P 2 + W.a₁ * P 0 * P 2 + W.a₃ * P 2 ^ 2) + P 2 * (P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 - (W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
inst✝ : DecidableEq V
v : V
e : Sym2 V
h : e ∈ G.incidenceSet v

⊢ e ∈ G.incidenceSet (G.otherVertexOfIncident h)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
inst✝ : DecidableEq V
v : V
e : Sym2 V
h : e ∈ G.incidenceSet v

⊢ G.otherVertexOfIncident h ∈ e
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
h : I ≤ J

⊢ Tendsto (⇑(embedBox I J h)) (l.toFilteriUnion I ⊤) (l.toFilteriUnion J (Prepartition.single J I h))
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
h : I ≤ J

⊢ ∀ (i : ℝ≥0), Tendsto (⇑(embedBox I J h)) (l.toFilterDistortioniUnion I i ⊤) (⨆ c, l.toFilterDistortioniUnion J c (Prepartition.single J I h))
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
h : I ≤ J
c : ℝ≥0
π₀ : Prepartition J := Prepartition.single J I h

⊢ Tendsto (⇑(embedBox I J h)) (l.toFilterDistortioniUnion I c ⊤) (⨆ c, l.toFilterDistortioniUnion J c π₀)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
r r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
h : I ≤ J
c : ℝ≥0
π₀ : Prepartition J := Prepartition.single J I h

⊢ Filter.map (⇑(embedBox I J h)) (l.toFilterDistortioniUnion I c ⊤) ≤ l.toFilterDistortioniUnion J (max c π₀.compl.distortion) π₀
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
h : I ≤ J
c : ℝ≥0
π₀ : Prepartition J := Prepartition.single J I h
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hr : l.RCond r

⊢ ∃ ia, l.RCond ia ∧ ∀ x ∈ {π | l.MemBaseSet I c ia π ∧ π.iUnion = ⊤.iUnion}, (embedBox I J h) x ∈ {π | l.MemBaseSet J (max c π₀.compl.distortion) r π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
h : I ≤ J
c : ℝ≥0
π₀ : Prepartition J := Prepartition.single J I h
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hr : l.RCond r
π : TaggedPrepartition I
hπ : π ∈ {π | l.MemBaseSet I c r π ∧ π.iUnion = ⊤.iUnion}

⊢ (embedBox I J h) π ∈ {π | l.MemBaseSet J (max c π₀.compl.distortion) r π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
h : I ≤ J
c : ℝ≥0
π₀ : Prepartition J := Prepartition.single J I h
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hr : l.RCond r
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c r π ∧ π.iUnion = ↑I

⊢ (embedBox I J h) π ∈ {π | l.MemBaseSet J (max c π₀.compl.distortion) r π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
h : I ≤ J
c : ℝ≥0
π₀ : Prepartition J := Prepartition.single J I h
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hr : l.RCond r
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c r π ∧ π.iUnion = ↑I
x✝ : l.bDistortion = true

⊢ ∃ π', π'.iUnion = ↑J \ ((embedBox I J h) π).iUnion ∧ π'.distortion ≤ max c π₀.compl.distortion
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Filter.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I J : Box ι
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
r✝ r₁ r₂ : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π✝ π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
l✝ l₁ l₂ l : IntegrationParams
h : I ≤ J
c : ℝ≥0
π₀ : Prepartition J := Prepartition.single J I h
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hr : l.RCond r
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c r π ∧ π.iUnion = ↑I

⊢ ((embedBox I J h) π).iUnion = π₀.iUnion
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Product.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N

⊢ ContMDiffWithinAt (I.prod J) J n Prod.snd s p
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Product.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N

⊢ ContinuousWithinAt Prod.snd s p ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt J p.2) ∘ Prod.snd ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm) ((extChartAt (I.prod J) p).target ∩ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm ⁻¹' (s ∩ Prod.snd ⁻¹' (extChartAt J p.2).source)) (↑(extChartAt (I.prod J) p) p)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Product.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N
y : E × F
hy : y ∈ (extChartAt (I.prod J) p).target ∩ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm ⁻¹' (s ∩ Prod.snd ⁻¹' (extChartAt J p.2).source)

⊢ (↑(extChartAt J p.2) ∘ Prod.snd ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm) y = y.2