ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
𝕜 : Type u_5
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
K : Type u_6
inst✝ : RCLike K
f : α → K
hre : Memℒp (fun x => RCLike.re (f x)) p μ
him : Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) p μ
x : α

⊢ f x = ((fun x => ↑(RCLike.re (f x))) + fun x => RCLike.I * ↑(RCLike.im (f x))) x
-- Mathlib/Order/Filter/CountableInter.lean
ι✝ : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
ι : Type u_4
S : Set ι
hS : S.Countable
p : α → (i : ι) → i ∈ S → Prop

⊢ (∀ᶠ (x : α) in l, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), p x i hi) ↔ ∀ (i : ι) (hi : i ∈ S), ∀ᶠ (x : α) in l, p x i hi
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : ContinuousOn f F
x : X
x_in : x ∈ F
hx : ∀ {y : X}, y ∈ F → JoinedIn F x y

⊢ IsPathConnected (f '' F)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : ContinuousOn f F
x : X
x_in : x ∈ F
hx : ∀ {y : X}, y ∈ F → JoinedIn F x y

⊢ ∀ {y : Y}, y ∈ f '' F → JoinedIn (f '' F) (f x) y
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : ContinuousOn f F
x : X
x_in : x ∈ F
hx : ∀ {y : X}, y ∈ F → JoinedIn F x y
y : X
y_in : y ∈ F

⊢ JoinedIn (f '' F) (f x) (f y)
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x✝ y✝ z : X
ι : Type u_3
F : Set X
f : X → Y
hf : ContinuousOn f F
x : X
x_in : x ∈ F
hx : ∀ {y : X}, y ∈ F → JoinedIn F x y
y : X
y_in : y ∈ F

⊢ ContinuousOn f (range ⇑⋯.somePath)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

⊢ eLpNorm f_lim p μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm (f n) p μ) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

⊢ eLpNorm f_lim 0 μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm (f n) 0 μ) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
hp0 : p ≠ 0

⊢ eLpNorm f_lim p μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm (f n) p μ) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ eLpNorm f_lim p μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm (f n) p μ) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ eLpNorm' f_lim p.toReal μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p.toReal μ) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E✝ : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
E : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℕ → α → E
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
f_lim : α → E
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
hp0 : p ≠ 0
hp_top : ¬p = ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal

⊢ eLpNorm' f_lim p.toReal μ ≤ liminf (fun n => eLpNorm' (f n) p.toReal μ) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c d✝ : ℝ
f : ℝ → E
d : ℝ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x) = ∫ (x : ℝ) in d - b..d - a, f x
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s
hn : m ≤ n

⊢ s ^ m ⊆ s ^ n
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s

⊢ s ^ m ⊆ s ^ m
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
s t : Set α
a : α
m n : ℕ
hs : 1 ∈ s
n✝ : ℕ
hmn✝ : m ≤ n✝
ih : s ^ m ⊆ s ^ n✝

⊢ s ^ m ⊆ s ^ (n✝ + 1)
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : DecompositionMonoid R
x : R
hx : Squarefree x
y : R
hy : x ∣ y ^ 2

⊢ x ∣ y
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : DecompositionMonoid R
y a b : R
ha : a ∣ y
hb : b ∣ y
hx : Squarefree (a * b)
hy : a * b ∣ y ^ 2

⊢ a * b ∣ y
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a b : A

⊢ σ (a * b) \ {0} = σ (b * a) \ {0}
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a b : A

⊢ ∀ (x y : A), σ (x * y) \ {0} ⊆ σ (y * x) \ {0}
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
a b x✝ y✝ : A
k : 𝕜
k_neq : k ∉ {0}
k_mem : ↑(Units.mk0 k k_neq) ∈ σ (x✝ * y✝)

⊢ k ∈ σ (y✝ * x✝) \ {0}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
j : Set α
hj : MeasurableSet j

⊢ ↑(v.restrict i) j = ↑v (j ∩ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
M : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
v : VectorMeasure α M
i : Set α
hi : MeasurableSet i
j : Set α
hj : MeasurableSet j

⊢ ↑{ measureOf' := fun s => if MeasurableSet s then ↑v (s ∩ i) else 0, empty' := ⋯, not_measurable' := ⋯, m_iUnion' := ⋯ } j = ↑v (j ∩ i)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M

⊢ ‖0‖ = 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M

⊢ 0 ∈ closure ↑S
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃

⊢ (sc • (sa • r₁ + ra • r₂) + rc • r₃) /ₒ (sc * (sa * s₁)) = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃

⊢ (sc • sa • r₁ + (sc • ra • r₂ + rc • r₃)) /ₒ (sc * (sa * s₁)) = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃

⊢ r₁ /ₒ s₁ + (ra • r₂ /ₒ (sa * s₁) + rc • r₃ /ₒ (sc * (sa * s₁))) = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f μ
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤

⊢ Integrable f (c • μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Memℒp f 1 μ
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤

⊢ Memℒp f 1 (c • μ)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : R0Space X
x y : X

⊢ IsCompact (closure {x})
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : R0Space X
x y : X
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hxU : closure {x} ⊆ ⋃ i, U i

⊢ ∃ t, closure {x} ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : R0Space X
x y : X
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hxU : closure {x} ⊆ ⋃ i, U i
i : ι✝
hi : x ∈ U i

⊢ ∃ t, closure {x} ⊆ ⋃ i ∈ t, U i
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : R0Space X
x y✝ : X
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hxU : closure {x} ⊆ ⋃ i, U i
i : ι✝
hi : x ∈ U i
y : X
hy : y ∈ closure {x}

⊢ y ∈ ⋃ i_1 ∈ {i}, U i_1
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : R0Space X
x y✝ : X
ι✝ : Type u_1
U : ι✝ → Set X
hUo : ∀ (i : ι✝), IsOpen (U i)
hxU : closure {x} ⊆ ⋃ i, U i
i : ι✝
hi : x ∈ U i
y : X
hy : y ⤳ x

⊢ y ∈ ⋃ i_1 ∈ {i}, U i_1
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a✝ n a : ℕ
L : List ℕ
hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (a :: L)

⊢ (map (fun i => 2 ^ i) (a :: L)).sum.bitIndices = a :: L
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a✝ n a : ℕ
L : List ℕ
hL✝ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (a :: L)
haL : ∀ b ∈ L, a < b
hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L

⊢ (map (fun i => 2 ^ i) (a :: L)).sum.bitIndices = a :: L
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a✝ n a : ℕ
L : List ℕ
hL✝ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (a :: L)
hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L
haL : ∀ b ∈ L, a + 1 ≤ b

⊢ (map (fun i => 2 ^ i) (a :: L)).sum.bitIndices = a :: L
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a✝ n a : ℕ
L₀ : List ℕ
hL₀ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L₀
hL✝ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀)
hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (map (fun x => x + a + 1) L₀)
haL : ∀ b ∈ map (fun x => x + a + 1) L₀, a + 1 ≤ b
x✝ : L₀.length < (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀).length
hrw : ((fun x => 2 ^ x) ∘ fun x => x + a + 1) = fun i => 2 ^ a * (2 * 2 ^ i)

⊢ (map (fun i => 2 ^ i) (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀)).sum.bitIndices = a :: map (fun x => x + a + 1) L₀
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a✝ n a : ℕ
L₀ : List ℕ
hL₀ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L₀
hL✝ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀)
hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (map (fun x => x + a + 1) L₀)
haL : ∀ b ∈ map (fun x => x + a + 1) L₀, a + 1 ≤ b
x✝ : L₀.length < (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀).length
hrw : ((fun x => 2 ^ x) ∘ fun x => x + a + 1) = fun i => 2 ^ a * (2 * 2 ^ i)

⊢ (2 ^ a + 2 ^ a * (2 * (map (HPow.hPow 2) L₀).sum)).bitIndices = a :: map (fun x => x + a + 1) L₀
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a✝ n a : ℕ
L₀ : List ℕ
hL₀ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L₀
hL✝ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀)
hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (map (fun x => x + a + 1) L₀)
haL : ∀ b ∈ map (fun x => x + a + 1) L₀, a + 1 ≤ b
x✝ : L₀.length < (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀).length
hrw : ((fun x => 2 ^ x) ∘ fun x => x + a + 1) = fun i => 2 ^ a * (2 * 2 ^ i)

⊢ (2 ^ a * 1 + 2 ^ a * (2 * (map (HPow.hPow 2) L₀).sum)).bitIndices = a :: map (fun x => x + a + 1) L₀
-- Mathlib/Data/Nat/BitIndices.lean
a✝ n a : ℕ
L₀ : List ℕ
hL₀ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) L₀
hL✝ : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀)
hL : Sorted (fun x x_1 => x < x_1) (map (fun x => x + a + 1) L₀)
haL : ∀ b ∈ map (fun x => x + a + 1) L₀, a + 1 ≤ b
x✝ : L₀.length < (a :: map (fun x => x + a + 1) L₀).length
hrw : ((fun x => 2 ^ x) ∘ fun x => x + a + 1) = fun i => 2 ^ a * (2 * 2 ^ i)

⊢ map (fun x => x + a) (0 :: map (fun x => x + 1) L₀) = a :: map (fun x => x + a + 1) L₀
-- Mathlib/Order/Radical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : IsCoatomic α
a : α
h : a ⊔ radical α = ⊤

⊢ a = ⊤
-- Mathlib/Order/Radical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : IsCoatomic α
h : ⊤ ⊔ radical α = ⊤

⊢ ⊤ = ⊤
-- Mathlib/Order/Radical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CompleteLattice α
β : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : IsCoatomic α
a : α
h : a ⊔ radical α = ⊤
w : ∃ a_1, IsCoatom a_1 ∧ a ≤ a_1

⊢ a = ⊤
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set γ
f : γ → α
hf : BddAbove (f '' s)
hne : s.Nonempty

⊢ l (⨆ i, f ↑i) = ⨆ i, l (f ↑i)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set γ
f : γ → α
hf : BddAbove (f '' s)
hne : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s

⊢ l (⨆ i, f ↑i) = ⨆ i, l (f ↑i)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set γ
f : γ → α
hf : BddAbove (range fun x => f ↑x)
hne : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s

⊢ l (⨆ i, f ↑i) = ⨆ i, l (f ↑i)
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
h₁ : LiftRel r s x y
h₂ : x.isRight = true

⊢ ∃ b d, s b d ∧ x = inr b ∧ y = inr d
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
w✝ : β
h₁ : LiftRel r s (inr w✝) y
h₂ : (inr w✝).isRight = true

⊢ ∃ b d, s b d ∧ inr w✝ = inr b ∧ y = inr d
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
w✝ : β
h₂ : (inr w✝).isRight = true
h₁ : ∃ b d, s b d ∧ inr w✝ = inr b ∧ y = inr d

⊢ ∃ b d, s b d ∧ inr w✝ = inr b ∧ y = inr d
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/BinomialHeap/Basic.lean
α : Type u_1
le : α → α → Bool
s : Heap α

⊢ ((tail? le s).getD nil).realSize = s.realSize - 1
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
inst✝ : CompleteLattice β
f : α ≃o β
x✝ : ι → α
x : α

⊢ f (⨆ i, x✝ i) ≤ f x ↔ ⨆ i, f (x✝ i) ≤ f x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
p : ℕ
inst✝¹ : CharP K p
inst✝ : CharP L p
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L

⊢ Nonempty (K ≃+* L)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
p : ℕ
inst✝¹ : CharP K p
inst✝ : CharP L p
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
hp : Nat.Prime p

⊢ Nonempty (K ≃+* L)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Classification.lean
K L : Type
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : IsAlgClosed K
inst✝² : IsAlgClosed L
p : ℕ
inst✝¹ : CharP K p
inst✝ : CharP L p
hK : ℵ₀ < #K
hKL : #K = #L
hp : p = 0

⊢ Nonempty (K ≃+* L)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex V c
p₁ p₂ p₃ : ι
h₂₁ : p₂ = p₁
h₃₂ : p₃ = p₂

⊢ eqToHom ⋯ ≫ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
c : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → β

⊢ map f (c • μ) = c • map f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
μ : Measure α
f : α → β

⊢ map f (0 • μ) = 0 • map f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
c : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f : α → β
hc : c ≠ 0

⊢ map f (c • μ) = c • map f μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V₂

⊢ finrank K ↥(range f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁵ : DivisionRing K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
V₂ : Type v'
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module K V₂
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V₂

⊢ finrank K (V ⧸ ker f) + finrank K ↥(ker f) = finrank K V
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m p q : ℤ
hpq : p + 2 = q

⊢ (δ 1 2 (Cochain.diff K)).v p q hpq = Cochain.v 0 p q hpq
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ

⊢ sin (π / 3) = √3 / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ

⊢ cos (π / 2 - π / 3) = cos (π / 6)
-- Mathlib/Algebra/Module/Torsion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set R
a : R

⊢ IsTorsionBySet R M s ↔ IsTorsionBySet R M ↑(Ideal.span s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ

⊢ NullMeasurableSet {a | f a ≤ g a} μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ

⊢ {a | AEStronglyMeasurable.mk f hf a ≤ AEStronglyMeasurable.mk g hg a} =ᶠ[ae μ] {a | f a ≤ g a}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝² : Preorder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
x : α
hfx : f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x
hgx : g x = AEStronglyMeasurable.mk g hg x

⊢ {a | AEStronglyMeasurable.mk f hf a ≤ AEStronglyMeasurable.mk g hg a} x = {a | f a ≤ g a} x
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
b : Bool
n : ℕ

⊢ (bit b ↑n).testBit 0 = b
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
b : Bool
n : ℕ

⊢ (↑(Nat.bit b n)).testBit 0 = b
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
b : Bool
n : ℕ

⊢ (bit b -[n+1]).testBit 0 = b
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
b : Bool
n : ℕ

⊢ -[Nat.bit (!b) n+1].testBit 0 = b
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
b : Bool
n : ℕ

⊢ (!(Nat.bit (!b) n).testBit 0) = b
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
b : Bool
n : ℕ

⊢ (!!b) = b
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A

⊢ ∀ᶠ (z : 𝕜) in cobounded 𝕜, IsUnit (resolvent a z)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : CompleteSpace A
a : A

⊢ ∃ i, True ∧ ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ norm ⁻¹' Set.Ioi i → IsUnit (resolvent a x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A

⊢ ∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a = ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑q)).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A

⊢ ∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a ≤ ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑q)).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
A : Set β
hA : MeasurableSet A

⊢ ((κ a) (A ×ˢ Iic ↑q)).toReal ≤ ∫ (t : β) in A, ⨅ r, f (a, t) ↑r ∂ν a
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : AddCommGroup N'
inst✝⁴ : Module R N'
inst✝³ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝² : IsCentralScalar R M
inst✝¹ : Module Rᵐᵒᵖ N
inst✝ : IsCentralScalar R N
f : M →ₗ[R] N

⊢ toTrivSqZeroExt.comp (map f) = (TrivSqZeroExt.map f).comp toTrivSqZeroExt