ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
h : s ×ˢ t = ∅

⊢ s = s₁ ∧ t = t₁ ∨ (s = ∅ ∨ t = ∅) ∧ (s₁ = ∅ ∨ t₁ = ∅) ↔ s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t₁
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
h : (s ×ˢ t).Nonempty

⊢ s = s₁ ∧ t = t₁ ∨ (s = ∅ ∨ t = ∅) ∧ (s₁ = ∅ ∨ t₁ = ∅) ↔ s ×ˢ t = s₁ ×ˢ t₁
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
h : (s ×ˢ t).Nonempty

⊢ s = s₁ ∧ t = t₁ ∨ (s = ∅ ∨ t = ∅) ∧ (s₁ = ∅ ∨ t₁ = ∅) ↔ s = s₁ ∧ t = t₁
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
h : ¬(s = ∅ ∨ t = ∅)

⊢ s = s₁ ∧ t = t₁ ∨ (s = ∅ ∨ t = ∅) ∧ (s₁ = ∅ ∨ t₁ = ∅) ↔ s = s₁ ∧ t = t₁
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁸ : Ring R✝
inst✝¹⁷ : Ring R'✝
inst✝¹⁶ : AddCommGroup M
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M'
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R✝ M
inst✝¹² : Module R✝ M'
inst✝¹¹ : Module R✝ M₁
inst✝¹⁰ : Module R'✝ M'
inst✝⁹ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
R' : Type w'
S'✝ : Type v'
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : Ring S'✝
inst✝³ : Algebra R' S'✝
S' : Type v
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R ≃+* R'
j : S ≃+* S'
hc : (algebraMap R' S').comp i.toRingHom = j.toRingHom.comp (algebraMap R S)

⊢ Module.rank R S = Module.rank R' S'
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝¹ : SemilatticeSup F
inst✝ : Nonempty F
hp : WithSeminorms p
u : F → E
y₀ : E

⊢ Tendsto u atTop (𝓝 y₀) ↔ ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x₀, ∀ (x : F), x₀ ≤ x → (p i) (u x - y₀) < ε
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : Nonempty ι
inst✝² : TopologicalSpace E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝¹ : SemilatticeSup F
inst✝ : Nonempty F
hp : WithSeminorms p
u : F → E
y₀ : E

⊢ (∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (x : F) in atTop, (p i) (u x - y₀) < ε) ↔ ∀ (i : ι) (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x₀, ∀ (x : F), x₀ ≤ x → (p i) (u x - y₀) < ε
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0

⊢ t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff t).prod
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : (Multiset.map leadingCoeff 0).prod ≠ 0

⊢ (prod 0).leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff 0).prod
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t✝ : Multiset R[X]
a : R[X]
t : Multiset R[X]
ih : (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0 → t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff t).prod
h : (Multiset.map leadingCoeff (a ::ₘ t)).prod ≠ 0

⊢ (a ::ₘ t).prod.leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff (a ::ₘ t)).prod
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t✝ : Multiset R[X]
a : R[X]
t : Multiset R[X]
ih : (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0 → t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff t).prod
h : a.leadingCoeff * (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0

⊢ (a * t.prod).leadingCoeff = a.leadingCoeff * (Multiset.map leadingCoeff t).prod
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t✝ : Multiset R[X]
a : R[X]
t : Multiset R[X]
ih : (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0 → t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff t).prod
h : a.leadingCoeff * (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0

⊢ a.leadingCoeff * t.prod.leadingCoeff = a.leadingCoeff * (Multiset.map leadingCoeff t).prod
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t✝ : Multiset R[X]
a : R[X]
t : Multiset R[X]
ih : (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0 → t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map leadingCoeff t).prod
h : a.leadingCoeff * (Multiset.map leadingCoeff t).prod ≠ 0

⊢ a.leadingCoeff * t.prod.leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
l : List I
a : I
hla : List.Chain' (fun x x_1 => x > x_1) (a :: l)

⊢ eval C ⟨a :: l, hla⟩ = e C a * eval C ⟨l, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f g : α → M
x✝ : mulSupport f = mulSupport g ∧ ∀ x ∈ mulSupport f, f x = g x
h₁ : mulSupport f = mulSupport g
h₂ : ∀ x ∈ mulSupport f, f x = g x
x : α

⊢ f x = g x
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α

⊢ a * b⁻¹ < c * d⁻¹ ↔ a * d < c * b
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
f : α → β
hf : f 0 = 0
i✝ : (i : o) × m' i
j✝ : (i : o) × n' i

⊢ (blockDiagonal' M).map f i✝ j✝ = blockDiagonal' (fun k => (M k).map f) i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/Block.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
p : Type u_5
q : Type u_6
m' : o → Type u_7
n' : o → Type u_8
p' : o → Type u_9
R : Type u_10
S : Type u_11
α : Type u_12
β : Type u_13
inst✝² : DecidableEq o
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Zero β
M : (i : o) → Matrix (m' i) (n' i) α
f : α → β
hf : f 0 = 0
i✝ : (i : o) × m' i
j✝ : (i : o) × n' i

⊢ f (if h : i✝.fst = j✝.fst then M i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd) else 0) = if h : i✝.fst = j✝.fst then f (M i✝.fst i✝.snd (cast ⋯ j✝.snd)) else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
inst✝ : BraidedCategory C
A B : Comon_ C

⊢ (A ⊗ B).comul = (A.comul ⊗ B.comul) ≫ tensor_μ C (A.X, A.X) (B.X, B.X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
inst✝ : BraidedCategory C
A B : Comon_ C

⊢ (A.comul ⊗ B.comul) ≫ (tensor_μ Cᵒᵖ (op A.X, op B.X) (op A.X, op B.X)).unop = (A.comul ⊗ B.comul) ≫ tensor_μ C (A.X, A.X) (B.X, B.X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
inst✝ : BraidedCategory C
A B : Comon_ C

⊢ tensor_μ Cᵒᵖ (op A.X, op B.X) (op A.X, op B.X) = op ((α_ (A.X, A.X).1 (A.X, A.X).2 ((B.X, B.X).1 ⊗ (B.X, B.X).2)).hom ≫ (A.X, A.X).1 ◁ (α_ (A.X, A.X).2 (B.X, B.X).1 (B.X, B.X).2).inv ≫ (A.X, A.X).1 ◁ (β_ (A.X, A.X).2 (B.X, B.X).1).hom ▷ (B.X, B.X).2 ≫ (A.X, A.X).1 ◁ (α_ (B.X, B.X).1 (A.X, A.X).2 (B.X, B.X).2).hom ≫ (α_ (A.X, A.X).1 (B.X, B.X).1 ((A.X, A.X).2 ⊗ (B.X, B.X).2)).inv)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
inst✝ : BraidedCategory C
A B : Comon_ C

⊢ (α_ (op A.X) (op B.X) (op A.X ⊗ op B.X)).hom ≫ op A.X ◁ (α_ (op B.X) (op A.X) (op B.X)).inv ≫ op A.X ◁ (β_ (op B.X) (op A.X)).hom ▷ op B.X ≫ op A.X ◁ (α_ (op A.X) (op B.X) (op B.X)).hom ≫ (α_ (op A.X) (op A.X) (op B.X ⊗ op B.X)).inv = op ((α_ A.X A.X (B.X ⊗ B.X)).hom ≫ A.X ◁ (α_ A.X B.X B.X).inv ≫ A.X ◁ (β_ A.X B.X).hom ▷ B.X ≫ A.X ◁ (α_ B.X A.X B.X).hom ≫ (α_ A.X B.X (A.X ⊗ B.X)).inv)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
inst✝ : BraidedCategory C
A B : Comon_ C

⊢ ((α_ (op A.X) (op B.X) (op A.X ⊗ op B.X)).hom ≫ op A.X ◁ (α_ (op B.X) (op A.X) (op B.X)).inv ≫ op A.X ◁ (β_ (op B.X) (op A.X)).hom ▷ op B.X ≫ op A.X ◁ (α_ (op A.X) (op B.X) (op B.X)).hom ≫ (α_ (op A.X) (op A.X) (op B.X ⊗ op B.X)).inv).unop = Quiver.Hom.unop (op ((α_ A.X A.X (B.X ⊗ B.X)).hom ≫ A.X ◁ (α_ A.X B.X B.X).inv ≫ A.X ◁ (β_ A.X B.X).hom ▷ B.X ≫ A.X ◁ (α_ B.X A.X B.X).hom ≫ (α_ A.X B.X (A.X ⊗ B.X)).inv))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
inst✝ : BraidedCategory C
A B : Comon_ C

⊢ ((((α_ A.X A.X (B.X ⊗ B.X)).hom ≫ A.X ◁ (α_ A.X B.X B.X).inv) ≫ A.X ◁ (β_ A.X B.X).hom ▷ B.X) ≫ A.X ◁ (α_ B.X A.X B.X).hom) ≫ (α_ A.X B.X (A.X ⊗ B.X)).inv = (α_ A.X A.X (B.X ⊗ B.X)).hom ≫ A.X ◁ (α_ A.X B.X B.X).inv ≫ A.X ◁ (β_ A.X B.X).hom ▷ B.X ≫ A.X ◁ (α_ B.X A.X B.X).hom ≫ (α_ A.X B.X (A.X ⊗ B.X)).inv
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α

⊢ ¬Monotone f ∧ ¬Antitone f ↔ ∃ a b c, a < b ∧ b < c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α

⊢ (∃ a b c, (a ≤ b ∧ b ≤ c) ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)) ↔ ∃ a b c, (a < b ∧ b < c) ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hz : P z = Q z
mem : Q z ∈ nonZeroDivisors R

⊢ P ≈ Q ↔ P = Q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hz : P z = Q z
mem : Q z ∈ nonZeroDivisors R

⊢ P ≈ Q → P = Q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
mem : Q z ∈ nonZeroDivisors R
u : Rˣ
hz : (fun m => m • Q) u z = Q z

⊢ (fun m => m • Q) u = Q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
mem : Q z ∈ nonZeroDivisors R
u : Rˣ
hz : (fun m => m • Q) u z = 1 * Q z

⊢ (fun m => m • Q) u = Q
-- Mathlib/Data/Set/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SemilatticeSup α
s t : Set α
a : α

⊢ a ∈ ↑(upperClosure (s ⊻ t)) ↔ a ∈ ↑(upperClosure s ⊔ upperClosure t)
-- Mathlib/Data/Set/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SemilatticeSup α
s t : Set α
a : α

⊢ (∃ a_1, (∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, a ⊔ b = a_1) ∧ a_1 ≤ a) ↔ (∃ a_1 ∈ s, a_1 ≤ a) ∧ ∃ a_1 ∈ t, a_1 ≤ a
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Tagged.lean
ι : Type u_1
I J : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
h : π.IsHenstock
x : ι → ℝ

⊢ (Finset.filter (fun J => π.tag J = x) π.boxes).card ≤ (Finset.filter (fun J => x ∈ Box.Icc J) π.boxes).card
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Tagged.lean
ι : Type u_1
I J✝ : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
h : π.IsHenstock
x : ι → ℝ
J : Box ι
hJ : J ∈ Finset.filter (fun J => π.tag J = x) π.boxes

⊢ J ∈ Finset.filter (fun J => x ∈ Box.Icc J) π.boxes
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Tagged.lean
ι : Type u_1
I J✝ : Box ι
π π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
x✝ : ι → ℝ
inst✝ : Fintype ι
h : π.IsHenstock
x : ι → ℝ
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes ∧ π.tag J = x

⊢ J ∈ π.boxes ∧ x ∈ Box.Icc J
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ

⊢ image₂ f s t ⊆ u ↔ ∀ a ∈ s, image (fun b => f a b) t ⊆ u
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : Nontrivial E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → F

⊢ ∫ (x : E), f ‖x‖ ∂μ = ∫ (x : ↑{0}ᶜ), f ‖↑x‖ ∂Measure.comap Subtype.val μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : Nontrivial E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → F

⊢ ((μ.toSphere univ).toReal • ∫ (x : ↑(Ioi 0)), f ↑x ∂(Measure.comap Subtype.val volume).withDensity fun r => ↑(↑r ^ (dim E - 1)).toNNReal) = dim E • (μ (ball 0 1)).toReal • ∫ (y : ℝ) in Ioi 0, y ^ (dim E - 1) • f y
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : Nontrivial E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → F
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

⊢ (x ^ (dim E - 1)).toNNReal • f x = x ^ (dim E - 1) • f x
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/HaarToSphere.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : Nontrivial E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f : ℝ → F

⊢ Measurable fun r => (↑r ^ (dim E - 1)).toNNReal
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 : WSeq α
s2 : WSeq β
h✝ : LiftRel R s1 s2
s : WSeq β
t : WSeq α
h : LiftRel R t s

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO (swap R) (swap (LiftRel R))) s.destruct t.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s1 : WSeq α
s2 : WSeq β
h✝ : LiftRel R s1 s2
s : WSeq β
t : WSeq α
h : LiftRel R t s

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) t.destruct s.destruct
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : Mul α
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R α
inst✝ : IsScalarTower R α α
a : R
M : Matrix m n α
N : Matrix n l α
i✝ : m
j✝ : l

⊢ (a • M * N) i✝ j✝ = (a • (M * N)) i✝ j✝
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ

⊢ (σ 1) n = ∑ d ∈ n.divisors, d
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : eLpNorm f p μ < ⊤

⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (↑(approxOn f fmeas (Set.range f ∪ {0}) 0 ⋯ n) - f) p μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : eLpNorm f p μ < ⊤

⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure (Set.range f ∪ {0})
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
q : ℝ
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : BorelSpace E
f : β → E
hp_ne_top : p ≠ ⊤
μ : Measure β
fmeas : Measurable f
inst✝ : SeparableSpace ↑(Set.range f ∪ {0})
hf : eLpNorm f p μ < ⊤

⊢ eLpNorm (fun x => f x - 0) p μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
ι : Type u_5
m : MeasurableSpace α
f : α → β
μ : ι → Measure α
s : Finset ι

⊢ Integrable f (∑ i ∈ s, μ i) ↔ ∀ i ∈ s, Integrable f (μ i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ

⊢ (W.ΨSq n).coeff (n.natAbs ^ 2 - 1) = ↑n ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x✝ y z : ℝ
l : Filter α
n : ℕ
x : ℝ

⊢ ((fun r => r⁻¹) ∘ fun x => rexp x / x ^ n) x = x ^ n * rexp (-x)
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Lemmas.lean
K : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring K
q : ℚ≥0
n : ℕ

⊢ ↑(q ^ n) = ↑q ^ n
-- Mathlib/Data/Rat/Cast/Defs.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionRing α
p q : ℚ
n : ℤ

⊢ ↑n / ↑1 = ↑n
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
s : Set α

⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ m t = m.trim s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ m : OuterMeasure α
s : Set α

⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ m t = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), m t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
r : R

⊢ trunc (C r * T n) = if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
r : R

⊢ (toFinsuppIso R) (trunc (C r * T n)) = (toFinsuppIso R) (if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
r : R

⊢ (toFinsuppIso R) ((toFinsuppIso R).symm.toAddMonoidHom ((comapDomain.addMonoidHom ⋯) (Finsupp.single n r))) = (toFinsuppIso R) (if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
r : R

⊢ comapDomain Int.ofNat (Finsupp.single n r) ⋯ = (toFinsuppIso R) (if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℤ
r : R

⊢ comapDomain Int.ofNat (Finsupp.single n r) ⋯ = (if 0 ≤ n then (monomial n.toNat) r else 0).toFinsupp
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝ : Decidable (a = a')

⊢ (single a b) a' = if a = a' then b else 0
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
N : ℕ
hN : ¬Prime N
m : ℕ

⊢ m ∈ factoredNumbers (insert N s) ↔ m ∈ factoredNumbers s
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
s : Finset ℕ
N : ℕ
hN : ¬Prime N
m : ℕ
hm : m ∈ factoredNumbers (insert N s)
p : ℕ
hp : p ∈ m.primeFactorsList

⊢ p ∈ s
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (UpperSet α)
s t : UpperSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → UpperSet α

⊢ ↑(⨅ i, ⨅ j, f i j) = ⋃ i, ⋃ j, ↑(f i j)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/IsometricSMul.lean
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ

⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' ball b r = ball (b / a) r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/IsometricSMul.lean
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace X
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G X
inst✝² : IsometricSMul G X
inst✝¹ : PseudoMetricSpace G
inst✝ : IsometricSMul Gᵐᵒᵖ G
a b : G
r : ℝ

⊢ (fun x => x * a) ⁻¹' ball b r = ball (b * a⁻¹) r
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Strict.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c

⊢ f ◁ eqToHom ⋯ = eqToHom ⋯
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : p = C (p.coeff 0)

⊢ p.natDegree = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F

⊢ Continuous (uncurry inner)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
inner' : E →+ E →+ 𝕜 := { toFun := fun x => ((innerₛₗ 𝕜) x).toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }

⊢ Continuous (uncurry inner)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
inner' : E →+ E →+ 𝕜 := { toFun := fun x => ((innerₛₗ 𝕜) x).toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
this : Continuous fun p => (inner' p.1) p.2

⊢ Continuous (uncurry inner)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
inner' : E →+ E →+ 𝕜 := { toFun := fun x => ((innerₛₗ 𝕜) x).toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
this : Continuous fun p => (inner' p.1) p.2

⊢ Continuous (⋯.extend (uncurry inner))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
inner' : E →+ E →+ 𝕜 := { toFun := fun x => ((innerₛₗ 𝕜) x).toAddMonoidHom, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
this : Continuous fun p => (inner' p.1) p.2

⊢ Continuous (⋯.extend fun p => (inner' p.1) p.2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
θ : ℂ

⊢ tan θ = 0 ↔ ∃ k, ↑k * ↑π / 2 = θ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
θ : ℂ

⊢ (∃ k, 2 * θ = ↑k * ↑π) ↔ ∃ k, ↑k * ↑π / 2 = θ
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
a : α
b : β
h1 : s ~> a
h2 : f a ~> b
b' : β
bB : b' ∈ s.bind f

⊢ b = b'
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Computation α
f : α → Computation β
a : α
b : β
h1 : s ~> a
h2 : f a ~> b
b' : β
bB : b' ∈ s.bind f
a' : α
a's : a' ∈ s
ba' : b' ∈ f a'

⊢ b = b'
-- Mathlib/Algebra/Star/Pointwise.lean
α : Type u_1
s✝ t✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : Mul α
inst✝ : StarMul α
s t : Set α

⊢ (s * t)⋆ = t⋆ * s⋆
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
s t : Set α

⊢ val ⁻¹' (s ∩ t) = val ⁻¹' t
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
n k : ℕ

⊢ (ascPochhammer ℕ k).smeval ↑n = ↑((ascPochhammer ℕ k).smeval n)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α β : TypeVec.{u} n
g : α ::: P.M α ⟹ β ::: P.M β
x : P.M α
h : ∀ (x : P.M α), lastFun g x = dropFun g <$$> x

⊢ g <$$> dest P x = dest P (dropFun g <$$> x)