ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : Zero R
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
a : Γ'
s : Set Γ
hs : s.IsPWO
hxs : x.support ⊆ s
b : Γ × Γ'
hb : (b.1 ∈ s ∧ ((of R).symm y).coeff b.2 ≠ 0 ∧ b.1 +ᵥ b.2 = a) ∧ (((of R).symm y).coeff b.2 ≠ 0 ∧ b.1 +ᵥ b.2 = a → x.coeff b.1 = 0)

⊢ x.coeff b.1 • ((of R).symm y).coeff b.2 = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cocone F.leftOp
hc : IsColimit c
s : Cone F
j : J

⊢ ((fun s => (hc.desc (coconeLeftOpOfCone s)).op) s ≫ (coneOfCoconeLeftOp c).π.app j).unop = (s.π.app j).unop
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cocone F.leftOp
hc : IsColimit c
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (coneOfCoconeLeftOp c).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (coneOfCoconeLeftOp c).π.app j = s.π.app j

⊢ m = (fun s => (hc.desc (coconeLeftOpOfCone s)).op) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ Cᵒᵖ
c : Cocone F.leftOp
hc : IsColimit c
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (coneOfCoconeLeftOp c).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (coneOfCoconeLeftOp c).π.app j = s.π.app j
j : Jᵒᵖ

⊢ (c.ι.app j ≫ m.unop).op = (c.ι.app j ≫ ((fun s => (hc.desc (coconeLeftOpOfCone s)).op) s).unop).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/EpiMono.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : PreservesColimit (span f f) F
inst✝ : Epi f
this : IsColimit (PushoutCocone.mk (F.map (𝟙 Y)) (F.map (𝟙 Y)) ⋯)

⊢ Epi (F.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Constructions/EpiMono.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : PreservesColimit (span f f) F
inst✝ : Epi f
this : IsColimit (PushoutCocone.mk (𝟙 (F.obj Y)) (𝟙 (F.obj Y)) ⋯)

⊢ Epi (F.map f)
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i
i : ι
a b : π i

⊢ update x i a < x ↔ a < x i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hfd : ∀ x ∈ S, DifferentiableAt ℝ f x

⊢ AntitoneOn (deriv f) S
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c✝ : α
n : ℤ
a b c : α

⊢ toIocMod hp a (b + c) = toIocMod hp (a - c) b + c
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Finite α
this : Fintype α

⊢ Nat.card α ≤ 1 ↔ Subsingleton α
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : Cone F.unop
hc : IsLimit c
s : Cocone F
m : (coconeOfConeUnop c).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : Jᵒᵖ), (coconeOfConeUnop c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j

⊢ m = (fun s => (hc.lift (coneUnopOfCocone s)).op) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : Cone F.unop
hc : IsLimit c
s : Cocone F
m : (coconeOfConeUnop c).pt ⟶ s.pt
w : ∀ (j : Jᵒᵖ), (coconeOfConeUnop c).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
j : J

⊢ (m.unop ≫ c.π.app j).op = (((fun s => (hc.lift (coneUnopOfCocone s)).op) s).unop ≫ c.π.app j).op
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H K : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
hK : IsPGroup p ↥K
inst✝ : K.Normal

⊢ IsPGroup p ↥(H ⊔ K)
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H K : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
hK : IsPGroup p ↥K
inst✝ : K.Normal

⊢ IsPGroup p ↥(Subgroup.comap (QuotientGroup.mk' K) (Subgroup.map (QuotientGroup.mk' K) H))
-- Mathlib/GroupTheory/PGroup.lean
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H K : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
hK : IsPGroup p ↥K
inst✝ : K.Normal

⊢ IsPGroup p ↥(QuotientGroup.mk' K).ker
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ (κ.fst a) s = (κ a) {p | p.1 ∈ s}
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
δ : Type u_4
mδ : MeasurableSpace δ
γ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α (β × γ)
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ (κ a) (Prod.fst ⁻¹' s) = (κ a) {p | p.1 ∈ s}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ : Set α
s t : α → Prop
hst : s =ᶠ[ae μ] t
p : α → Prop

⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, p x) → ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict t, p x
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
n k : ℕ
h : n ∈ k.smoothNumbers

⊢ ∃ s ∈ k.primesBelow.powerset, ∃ m, n = m ^ 2 * s.prod id
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
n k : ℕ
h : n ∈ k.smoothNumbers
l m : ℕ
H₁ : m ^ 2 * l = n
H₂ : Squarefree l

⊢ ∃ s ∈ k.primesBelow.powerset, ∃ m, n = m ^ 2 * s.prod id
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
n k : ℕ
h : n ∈ k.smoothNumbers
l m : ℕ
H₁ : m ^ 2 * l = n
H₂ : Squarefree l
hl : l ∈ k.smoothNumbers

⊢ ∃ s ∈ k.primesBelow.powerset, ∃ m, n = m ^ 2 * s.prod id
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
n k : ℕ
h : n ∈ k.smoothNumbers
l m : ℕ
H₁ : m ^ 2 * l = n
H₂ : Squarefree l
hl : l ∈ k.smoothNumbers

⊢ l = l.primeFactorsList.toFinset.prod id
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean
n k : ℕ
h : n ∈ k.smoothNumbers
l m : ℕ
H₁ : m ^ 2 * l = n
H₂ : Squarefree l
hl : l ∈ k.smoothNumbers

⊢ l = l.primeFactors.prod id
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝² : (i : ι) → Zero (β₁ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β₂ i)
x y : Π₀ (i : ι), β i
s : Set ι
inst✝ : (i : ι) → Decidable (i ∈ s)
x✝ : ι

⊢ (x.piecewise y s) x✝ = s.piecewise (⇑x) (⇑y) x✝
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hsc : SupClosed s
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : sSup s = t.sup id

⊢ sSup s ∈ s
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hsc : SupClosed s
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : sSup s = t.sup id
h : t = ∅

⊢ sSup s ∈ s
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝ : CompleteLattice α
f : ι → α
s : Set α
hne : s.Nonempty
hsc : SupClosed s
t : Finset α
ht₁ : ↑t ⊆ s
ht₂ : sSup s = t.sup id
h : t.Nonempty

⊢ sSup s ∈ s
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/CocompactMap.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : CocompactMap α β
s : Set β
hs : IsCompact s
h's : IsClosed s

⊢ IsCompact (⇑f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/CocompactMap.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : CocompactMap α β
s : Set β
hs : IsCompact s
h's : IsClosed s
t : Set α
ht : IsCompact t
hts : (⇑f ⁻¹' s)ᶜᶜ ⊆ t

⊢ IsCompact (⇑f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E

⊢ openSegment 𝕜 x y = ⇑(AffineMap.lineMap x y) '' Ioo 0 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y : E
a✝¹ : 𝕜
a✝ : a✝¹ ∈ Ioo 0 1

⊢ (AffineMap.lineMap x y) a✝¹ = (1 - a✝¹) • x + a✝¹ • y
-- Mathlib/Data/Multiset/Dedup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α

⊢ s ≤ s.dedup ↔ s.Nodup
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : OrderedRing α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l atTop

⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : OrderedRing α
l : Filter β
f g : β → α
hf : Tendsto f l atBot
hg : Tendsto g l atTop
this : Tendsto (fun x => -f x * g x) l atTop

⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
v : ι → E
hv : Orthonormal 𝕜 v
l₁ l₂ : ι →₀ 𝕜

⊢ ⟪(Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₁, (Finsupp.total ι E 𝕜 v) l₂⟫_𝕜 = l₁.sum fun i y => (starRingEnd 𝕜) y * l₂ i
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K

⊢ re z⁻¹ = re z / normSq z
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid A
inst✝⁶ : AddCommMonoid B
inst✝⁵ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N✝ : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝⁴ : Zero M
inst✝³ : Zero M'
inst✝² : CommMonoid N✝
inst✝¹ : DecidableEq α
N : Type u_16
inst✝ : AddCommMonoid N
f : α →₀ N
a : α

⊢ (f.sum fun x v => if a = x then v else 0) = f a
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
hf : (mulSupport f).Finite

⊢ ∏' (b : β), f b = ∏ᶠ (b : β), f b
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : OrderBot α
s t : Finset ι
f✝ : ι → α
i : ι
f : Bool → α

⊢ true ≠ false
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : Zero γ
c : α
hc : c ≠ 0
f : β → γ
x : β

⊢ (x ∈ support fun x => f (c⁻¹ • x)) ↔ x ∈ c • support f
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
u : ℝ → E
v : ℝ → F
u' : ℝ → E
v' : ℝ → F
m n : G
hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x
huv' : Integrable (fun x => (L (u x)) (v' x)) volume
hu'v : Integrable (fun x => (L (u' x)) (v x)) volume
huv : Integrable (fun x => (L (u x)) (v x)) volume
hG : CompleteSpace G

⊢ ∫ (x : ℝ), (L (u x)) (v' x) = -∫ (x : ℝ), (L (u' x)) (v x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
u : ℝ → E
v : ℝ → F
u' : ℝ → E
v' : ℝ → F
m n : G
hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x
huv' : Integrable (fun x => (L (u x)) (v' x)) volume
hu'v : Integrable (fun x => (L (u' x)) (v x)) volume
huv : Integrable (fun x => (L (u x)) (v x)) volume
hG : CompleteSpace G
I : Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) atBot (𝓝 0)

⊢ ∫ (x : ℝ), (L (u x)) (v' x) = -∫ (x : ℝ), (L (u' x)) (v x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
L : E →L[ℝ] F →L[ℝ] G
u : ℝ → E
v : ℝ → F
u' : ℝ → E
v' : ℝ → F
m n : G
hu : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt v (v' x) x
huv' : Integrable (fun x => (L (u x)) (v' x)) volume
hu'v : Integrable (fun x => (L (u' x)) (v x)) volume
huv : Integrable (fun x => (L (u x)) (v x)) volume
hG : CompleteSpace G
I : Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) atBot (𝓝 0)
J : Tendsto (fun x => (L (u x)) (v x)) atTop (𝓝 0)

⊢ ∫ (x : ℝ), (L (u x)) (v' x) = -∫ (x : ℝ), (L (u' x)) (v x)
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves

⊢ ⟦x.mulOption y i k⟧ < -⟦x.mulOption (-y) j l⟧
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
h : x.moveLeft i < x.moveLeft j

⊢ ⟦x.mulOption y i k⟧ < -⟦x.mulOption (-y) j l⟧
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
h : x.moveLeft i ≈ x.moveLeft j

⊢ ⟦x.mulOption y i k⟧ < -⟦x.mulOption (-y) j l⟧
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
hx : x.Numeric
hy : y.Numeric
ihxy : IH1 x y
ihyx : IH1 y x
i j : x.LeftMoves
k : y.LeftMoves
l : (-y).LeftMoves
h : x.moveLeft j < x.moveLeft i

⊢ ⟦x.mulOption y i k⟧ < -⟦x.mulOption (-y) j l⟧
-- Mathlib/Data/Finsupp/ToDFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : (m : M) → Decidable (m ≠ 0)
i : ι
m : M
a✝ : ι

⊢ (single i m).toFinsupp a✝ = (Finsupp.single i m) a✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
W : C
g : W ⟶ X
hg : Epi g
h : W ⟶ Y
hh : h = g ≫ f
s : CokernelCofork h

⊢ f ≫ Cofork.π s = 0 ≫ Cofork.π s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Kernels.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
c : CokernelCofork f
i : IsColimit c
W : C
g : W ⟶ X
hg : Epi g
h : W ⟶ Y
hh : h = g ≫ f
s : CokernelCofork h

⊢ h ≫ Cofork.π s = g ≫ 0 ≫ Cofork.π s
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ

⊢ (1 • b) x = b x
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ

⊢ ∑ x ∈ x.divisorsAntidiagonal, 1 x.1 • b x.2 = b x
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ
x0 : ¬x = 0
h : {(1, x)} ⊆ x.divisorsAntidiagonal

⊢ ∑ x ∈ x.divisorsAntidiagonal, 1 x.1 • b x.2 = b x
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ
x0 : ¬x = 0
h : {(1, x)} ⊆ x.divisorsAntidiagonal

⊢ ∑ x ∈ {(1, x)}, 1 x.1 • b x.2 = b x
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ
x0 : ¬x = 0
h : {(1, x)} ⊆ x.divisorsAntidiagonal

⊢ ∀ x_1 ∈ x.divisorsAntidiagonal, x_1 ∉ {(1, x)} → 1 x_1.1 • b x_1.2 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ
x0 : ¬x = 0
h : {(1, x)} ⊆ x.divisorsAntidiagonal
y : ℕ × ℕ
ymem : y ∈ x.divisorsAntidiagonal
ynmem : y ∉ {(1, x)}

⊢ 1 y.1 • b y.2 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : ArithmeticFunction M
x : ℕ
x0 : ¬x = 0
h : {(1, x)} ⊆ x.divisorsAntidiagonal
y : ℕ × ℕ
ymem : y ∈ x.divisorsAntidiagonal
ynmem : y ∉ {(1, x)}
y1ne : y.1 ≠ 1

⊢ 1 y.1 • b y.2 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)

⊢ chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) ≤ chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval

⊢ chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂) ≤ chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval

⊢ 0 ≤ chaar K₀ K₁ + chaar K₀ K₂ - chaar K₀ (K₁ ⊔ K₂)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval

⊢ chaar K₀ ∈ eval ⁻¹' Ici 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval

⊢ clPrehaar ↑K₀ ⊤ ⊆ eval ⁻¹' Ici 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval

⊢ closure (prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U}) ⊆ eval ⁻¹' Ici 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval

⊢ prehaar ↑K₀ '' {U | U ⊆ ↑⊤.toOpens ∧ IsOpen U ∧ 1 ∈ U} ⊆ eval ⁻¹' Ici 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
K₁ K₂ : Compacts G
eval : (Compacts G → ℝ) → ℝ := fun f => f K₁ + f K₂ - f (K₁ ⊔ K₂)
this : Continuous eval

⊢ IsClosed (eval ⁻¹' Ici 0)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M

⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (extChartAt I x).target
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M

⊢ UniqueDiffOn 𝕜 (↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∩ range ↑I)
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderBot α
b x : α

⊢ x ∈ Iio b ↔ x < b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X

⊢ Tendsto (fun r => (pre m r) s) (𝓝[>] 0) (𝓝 ((mkMetric' m) s))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X

⊢ Tendsto ((fun r => (pre m r) s) ∘ Subtype.val) atBot (𝓝 ((mkMetric' m) s))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m✝ : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s✝ : Set X
m : Set X → ℝ≥0∞
s : Set X

⊢ Tendsto ((fun r => (pre m r) s) ∘ Subtype.val) atBot (𝓝 (⨆ i, (pre m ↑i) s))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E

⊢ 0 < ∫ (x : E), u x ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E

⊢ Integrable u μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E

⊢ 0 < μ (support u)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
t : α → β

⊢ ⨆ x ∈ insert a s, t x = t a ⊔ ⨆ x ∈ s, t x
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
t : α → β

⊢ ⨆ x ∈ {a} ∪ s, t x = t a ⊔ ⨆ x ∈ s, t x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
l l₁ : List α✝
a : α✝
l₂ : List α✝
h : l <+ l₁ ++ a :: l₂

⊢ l <+ l₁ ++ l₂ ∨ a ∈ l
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
i : α

⊢ ∑' (x : α), f x = f i + ∑' (x : α), if x = i then 0 else f x
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
i i' : α

⊢ update f i 0 i' ≤ f i'
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → ℝ≥0
hf : Summable f
i i' : α

⊢ (if i' = i then 0 else f i') ≤ f i'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F f : J → C
t : Bicone f
ht : IsColimit t.toCocone
j : J
j' : Discrete J

⊢ t.toCocone.ι.app j' ≫ t.π j = t.toCocone.ι.app j' ≫ ht.desc (Cofan.mk (f j) fun j' => if h : j' = j then eqToHom ⋯ else 0)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type uC
inst✝³ : Category.{uC', uC} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝¹ : Category.{uD', uD} D
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F f : J → C
t : Bicone f
ht : IsColimit t.toCocone
j : J
j' : Discrete J

⊢ t.toCocone.ι.app j' ≫ t.π j = (Cofan.mk (f j) fun j' => if h : j' = j then eqToHom ⋯ else 0).ι.app j'
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
F : Set X
inst✝ : PathConnectedSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f

⊢ IsPathConnected (range f)