ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Compatibility.lean
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_6, u_1} A
inst✝² : Category.{u_5, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_8, u_3} B
inst✝ : Category.{u_7, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
η : G ⋙ F ≅ eB.functor
ε : eA.functor ≅ F ⋙ e'.inverse
hε : υ hF = ε
X : A

⊢ (equivalence₂ eB hF).unitIso.hom.app X ≫ eA.inverse.map (hG.hom.app (eB.inverse.obj (F.obj X))) ≫ eA.unitIso.inv.app (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X))) = eA.unitIso.hom.app X ≫ eA.inverse.map (ε.hom.app X) ≫ eA.inverse.map (e'.inverse.map (eB.counitIso.inv.app (F.obj X))) ≫ eA.inverse.map (hG.hom.app (eB.inverse.obj (F.obj X))) ≫ eA.unitIso.inv.app (G.obj (eB.inverse.obj (F.obj X)))
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
z : S
i : ℕ
hi : i < f.natDegree

⊢ h.coeff z i = (h.basis.repr z) ⟨i, hi⟩
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
z : S
i : ℕ
hi : i < f.natDegree

⊢ { toFun := Polynomial.coeff, map_add' := ⋯ } (h.modByMonicHom z) i = (h.modByMonicHom z).coeff i
-- Mathlib/Algebra/Group/Pi/Basic.lean
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : I → Type v₁
g✝ : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝¹ : One β
inst✝ : One γ
f : α → β
g : β → γ
hg : Injective g
hg0 : g 1 = 1

⊢ g ∘ f = 1 ↔ f = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SizeOf α
x : α
val✝ : Multiset α
nodup✝ : val✝.Nodup
hx : x ∈ { val := val✝, nodup := nodup✝ }

⊢ sizeOf x < 1 + Quot.liftOn val✝ (fun m => m._sizeOf_1) ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SizeOf α
x : α
val✝ : Multiset α
nodup✝ : val✝.Nodup
hx : x ∈ { val := val✝, nodup := nodup✝ }

⊢ sizeOf x < Quot.liftOn val✝ (fun m => m._sizeOf_1) ⋯ + 1
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SizeOf α
x : α
val✝ : Multiset α
nodup✝ : val✝.Nodup
hx : x ∈ { val := val✝, nodup := nodup✝ }

⊢ sizeOf x < Quot.liftOn val✝ (fun m => m._sizeOf_1) ⋯
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : AffineTargetMorphismProperty
inst✝² : P.toProperty.RespectsIso
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : IsIso f
inst✝ : IsAffine Z

⊢ P (f ≫ g) ↔ P g
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ n a : ℕ

⊢ a ≤ ⌊↑n⌋₊ ↔ a ≤ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n✝ n a : ℕ

⊢ 0 ≤ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
hp : p ≠ 0
n✝ : ℕ

⊢ (contract p ((expand R p) f)).coeff n✝ = f.coeff n✝
-- Mathlib/Geometry/Manifold/InteriorBoundary.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M

⊢ Disjoint (I.interior M) (I.boundary M)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/InteriorBoundary.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
h : ¬Disjoint (I.interior M) (I.boundary M)

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/InteriorBoundary.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
h : ¬Disjoint (I.interior M) (I.boundary M)
x : M
h1 : x ∈ I.interior M
h2 : x ∈ I.boundary M

⊢ False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/InteriorBoundary.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
h : ¬Disjoint (I.interior M) (I.boundary M)
x : M
h1 : x ∈ I.interior M
h2 : x ∈ I.boundary M

⊢ ↑(extChartAt I x) x ∈ interior (range ↑I) ∧ ↑(extChartAt I x) x ∈ frontier (range ↑I)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
h_anti : StrictAntiOn (deriv f) (interior D)

⊢ StrictMonoOn (deriv (-f)) (interior D)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h : b ≤ a
hb : b ≤ 0

⊢ a / b ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
hb : b < b'
hr : 0 < r

⊢ (lineMap a b) r < (lineMap a b') r
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
hb : b < b'
hr : 0 < r

⊢ (1 - r) • a + r • b < (1 - r) • a + r • b'
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ unop U
f₂ : Y₂ ⟶ unop U
h₁ : (G.sieveOfSection s).arrows f₁
h₂ : (G.sieveOfSection s).arrows f₂
e : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

⊢ G.toPresheaf.map g₁.op (G.familyOfElementsOfSection s f₁ h₁) = G.toPresheaf.map g₂.op (G.familyOfElementsOfSection s f₂ h₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ unop U
f₂ : Y₂ ⟶ unop U
h₁ : (G.sieveOfSection s).arrows f₁
h₂ : (G.sieveOfSection s).arrows f₂
e : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

⊢ ↑(G.toPresheaf.map g₁.op (G.familyOfElementsOfSection s f₁ h₁)) = ↑(G.toPresheaf.map g₂.op (G.familyOfElementsOfSection s f₂ h₂))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
Y₁ Y₂ Z : C
g₁ : Z ⟶ Y₁
g₂ : Z ⟶ Y₂
f₁ : Y₁ ⟶ unop U
f₂ : Y₂ ⟶ unop U
h₁ : (G.sieveOfSection s).arrows f₁
h₂ : (G.sieveOfSection s).arrows f₂
e : g₁ ≫ f₁ = g₂ ≫ f₂

⊢ F.map g₁.op (F.map f₁.op s) = F.map g₂.op (F.map f₂.op s)
-- Mathlib/Data/Finset/Option.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
p : Option α → Prop

⊢ (∀ a ∈ insertNone s, p a) ↔ p none ∧ ∀ a ∈ s, p (some a)
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂

⊢ clog b r₁ ≤ clog b r₂
-- Mathlib/Data/Int/Log.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ
r₁ r₂ : R
h₀ : 0 < r₁
h : r₁ ≤ r₂

⊢ log b r₂⁻¹ ≤ log b r₁⁻¹
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Fintype G

⊢ Finset.univ.lcm orderOf ∣ exponent G
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Fintype G

⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, orderOf b ∣ exponent G
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝¹ : Monoid G
inst✝ : Fintype G
g : G
a✝ : g ∈ Finset.univ

⊢ orderOf g ∣ exponent G
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
h : Acc r a

⊢ h.rank = sup fun b => succ ⋯.rank
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
h : Acc r a

⊢ ⋯.rank = sup fun b => succ ⋯.rank
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}

⊢ EqOn (norm ∘ f) (const M ‖f c‖) U
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}

⊢ U ⊆ V
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ

⊢ U ⊆ V
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
hWo : IsOpen W

⊢ U ⊆ V
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
hWo : IsOpen W
hdVW : Disjoint V W

⊢ U ⊆ V
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝⁴ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : CompactSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
f : M → F
U : Set M
c : M
hd : MDifferentiableOn I 𝓘(ℂ, F) f U
hc : IsPreconnected U
ho : IsOpen U
hcU : c ∈ U
hm : IsMaxOn (norm ∘ f) U c
V : Set M := {z | z ∈ U ∧ ‖f z‖ = ‖f c‖}
hVo : IsOpen V
hVne : (U ∩ V).Nonempty
W : Set M := U ∩ {z | ‖f z‖ = ‖f c‖}ᶜ
hWo : IsOpen W
hdVW : Disjoint V W
hUVW : U ⊆ V ∪ W

⊢ U ⊆ V
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α

⊢ IsConnected s ↔ ∀ (U : Finset (Set α)), (∀ (u v : Set α), u ∈ U → v ∈ U → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty → u = v) → (∀ u ∈ U, IsOpen u) → s ⊆ ⋃₀ ↑U → ∃ u ∈ U, s ⊆ u
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α

⊢ (s.Nonempty ∧ ∀ (u v : Set α), IsOpen u → IsOpen v → s ⊆ u ∪ v → s ∩ (u ∩ v) = ∅ → s ⊆ u ∨ s ⊆ v) ↔ ∀ (U : Finset (Set α)), (∀ (u v : Set α), u ∈ U → v ∈ U → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty → u = v) → (∀ u ∈ U, IsOpen u) → s ⊆ ⋃₀ ↑U → ∃ u ∈ U, s ⊆ u
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length

⊢ modifyNth f n l = take n l ++ f l[n] :: drop (n + 1) l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
f : α → α
n : Nat
l : List α
h : n < l.length

⊢ take n l ++ modifyHead f (l[n] :: drop (n + 1) l) = take n l ++ f l[n] :: drop (n + 1) l
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
x : Cardinal.{u_1}
n : ℕ

⊢ x.toENatAux = ↑n ↔ x = ↑n
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ

⊢ dist z w ≤ r ↔ dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im)) ≤ sinh (r / 2)
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
f : ι' ≃ ι
t : (i : ι) → Set (α i)

⊢ ⇑(piCongrLeft α f) ⁻¹' univ.pi t = univ.pi fun i => t (f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)

⊢ ENNReal.ofReal ‖f - g‖ = ∫⁻ (x : α), ↑‖↑↑f x - ↑↑g x‖₊ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)

⊢ ∫⁻ (x : α), edist (↑↑(f - g) x) 0 ∂μ = ∫⁻ (x : α), edist (↑↑f x - ↑↑g x) 0 ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)

⊢ (fun a => edist (↑↑(f - g) a) 0) =ᶠ[ae μ] fun a => edist (↑↑f a - ↑↑g a) 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : ↥(Lp β 1 μ)
a✝ : α
ha : ↑↑(f - g) a✝ = (↑↑f - ↑↑g) a✝

⊢ edist (↑↑(f - g) a✝) 0 = edist (↑↑f a✝ - ↑↑g a✝) 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
r : R

⊢ (contractRight ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) d = 0
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝ : AddGroup A
f✝ f : { f // f ↑n = 0 }

⊢ Injective ⇑((lift n) f) ↔ ∀ (m : ℤ), ↑f m = 0 → ↑m = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
E : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
n : ℕ

⊢ dimH univ = ↑n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromBounded.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_nonneg : 0 ≤ f
f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y
x : R

⊢ x ∈ seminormFromBounded' f ⁻¹' {0} ↔ x ∈ f ⁻¹' {0}
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M'
a : M
b : ↥S
eq1 : b • m = f a

⊢ ∃ u, u • b • ⋯.choose.1 = u • ⋯.choose.2 • a
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b✝ c✝ d : G
n : ℤ
a b c : G

⊢ a / c / (b / c) = a / b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x✝ z x : ℂ

⊢ (x ∈ range fun x => cexp (↑x * I)) ↔ x ∈ sphere 0 1
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/AsPolynomial.lean
K✝ : Type u
K : Type u_1
inst✝ : Field K

⊢ (idealX K).valuation RatFunc.X = ↑(Multiplicative.ofAdd (-1))
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/AsPolynomial.lean
K✝ : Type u
K : Type u_1
inst✝ : Field K

⊢ X ≠ 0
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/AsPolynomial.lean
K✝ : Type u
K : Type u_1
inst✝ : Field K

⊢ (idealX K).asIdeal = Ideal.span {X}
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : One M
inst✝² : One N
s✝ t : Set α
f g : α → M
a✝ : α
U : Set α
s : Set M
a : M
inst✝¹ : Decidable (a ∈ s)
inst✝ : Decidable (1 ∈ s)

⊢ (U.mulIndicator fun x => a) ⁻¹' s = (if a ∈ s then U else ∅) ∪ if 1 ∈ s then Uᶜ else ∅
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : One M
inst✝² : One N
s✝ t : Set α
f g : α → M
a✝ : α
U : Set α
s : Set M
a : M
inst✝¹ : Decidable (a ∈ s)
inst✝ : Decidable (1 ∈ s)

⊢ U.ite (if a ∈ s then univ else ∅) (if 1 ∈ s then univ else ∅) = (if a ∈ s then U else ∅) ∪ if 1 ∈ s then Uᶜ else ∅
-- Mathlib/LinearAlgebra/SModEq.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R✝
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
U U₁ U₂ : Submodule R✝ M
x✝ x₁ x₂ y✝ y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R✝ N
V V₁ V₂ : Submodule R✝ N
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x y : R
h : x ≡ y [SMOD I]
f : R[X]

⊢ Polynomial.eval x f ≡ Polynomial.eval y f [SMOD I]
-- Mathlib/LinearAlgebra/SModEq.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R✝
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
U U₁ U₂ : Submodule R✝ M
x✝ x₁ x₂ y✝ y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R✝ N
V V₁ V₂ : Submodule R✝ N
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x y : R
h : Submodule.Quotient.mk x = Submodule.Quotient.mk y
f : R[X]

⊢ Submodule.Quotient.mk (Polynomial.eval x f) = Submodule.Quotient.mk (Polynomial.eval y f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/SModEq.lean
R✝ : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R✝
A : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
U U₁ U₂ : Submodule R✝ M
x✝ x₁ x₂ y✝ y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R✝ N
V V₁ V₂ : Submodule R✝ N
R : Type u_5
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x y : R
f : R[X]
h : (Ideal.Quotient.mk I) x = (Ideal.Quotient.mk I) y

⊢ (Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval x f) = (Ideal.Quotient.mk I) (Polynomial.eval y f)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
a : α

⊢ s.sup' H f ≤ a ↔ ∀ b ∈ s, f b ≤ a
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α
a : α

⊢ (∀ b ∈ s, (WithBot.some ∘ f) b ≤ ↑a) ↔ ∀ b ∈ s, ↑(f b) ≤ ↑a
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h₁ : ⟦x₁ * y₂⟧ + ⟦x₂ * y₁⟧ < ⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧
h₂ : ⟦x₂ * y₂⟧ + ⟦x₃ * y₁⟧ < ⟦x₂ * y₁⟧ + ⟦x₃ * y₂⟧

⊢ P3 x₁ x₃ y₁ y₂
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h₁ : ⟦x₁ * y₂⟧ + ⟦x₂ * y₁⟧ < ⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧
h₂ : ⟦x₂ * y₂⟧ + ⟦x₃ * y₁⟧ < ⟦x₂ * y₁⟧ + ⟦x₃ * y₂⟧

⊢ ⟦x₂ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ + (⟦x₁ * y₂⟧ + ⟦x₃ * y₁⟧) < ⟦x₂ * y₁⟧ + ⟦x₂ * y₂⟧ + (⟦x₁ * y₁⟧ + ⟦x₃ * y₂⟧)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
h : a ∉ s
p : α → Prop

⊢ (∀ x ∈ cons a s h, p x) ↔ p a ∧ ∀ x ∈ s, p x
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
Y : C

⊢ f ⊗ 𝟙 Y = f ▷ Y
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ : ℕ
C : ℕ → Sort u
H : (b : Bool) → (n : ℕ) → C (bit b n)
b : Bool
n : ℕ

⊢ HEq (H (bit b n).bodd (bit b n).div2) (H b n)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.231592}
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ f '' s

⊢ #↑t ≤ #↑{x | x ∈ s ∧ f x ∈ t}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.231592}
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ range fun x => f ↑x

⊢ #↑t ≤ #↑{x | x ∈ s ∧ f x ∈ t}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.231592}
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ range fun x => f ↑x

⊢ #↑{x | x ∈ s ∧ f x ∈ t} = #↑((fun x => f ↑x) ⁻¹' t)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.231592}
f : α → β
s : Set α
t : Set β
h : t ⊆ range fun x => f ↑x

⊢ #↑{x | f ↑x ∈ t} = #↑((fun x => f ↑x) ⁻¹' t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive (⊤ • μ) T C
f : α → E

⊢ setToFun (⊤ • μ) T hT f = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive (⊤ • μ) T C
f : α → E
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : (⊤ • μ) s < ⊤

⊢ (⊤ • μ) s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive (⊤ • μ) T C
f : α → E
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : (⊤ • μ) s ≠ ⊤

⊢ (⊤ • μ) s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive (⊤ • μ) T C
f : α → E
s : Set α
x✝ : MeasurableSet s
hμs : ¬μ s = ⊤ ∧ μ s = 0

⊢ (⊤ • μ) s = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/PInfty.lean
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
X✝ : SimplicialObject C
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive D
G : C ⥤ D
inst✝ : G.Additive
X : SimplicialObject C
n : ℕ

⊢ PInfty.f n = G.map (PInfty.f n)
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Type u_3
s : Finset ι
N : ι → Submodule R M
h : ∀ i ∈ s, (N i).FG

⊢ (⨆ i ∈ s, N i).FG
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
IF : PrimePair P

⊢ IsPFilter (↑IF.I)ᶜ
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
IF : PrimePair P

⊢ IsPFilter ↑IF.F
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ

⊢ μ.toFiniteAux Set.univ ≤ 1