ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
he : e ≠ 0
this : NeZero e := { out := he }

⊢ Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ e) = e • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
he : e ≠ 0
this✝ : NeZero e := { out := he }
this : Module.rank (R ⧸ p) ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ 0)) = (e - 0) • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)

⊢ Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ e) = e • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : p.IsMaximal
inst✝ : P.IsPrime
hP0 : P ≠ ⊥
he : e ≠ 0
this✝ : NeZero e := { out := he }
this : Module.rank (R ⧸ p) ↥⊤ = e • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)

⊢ Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P ^ e) = e • Module.rank (R ⧸ p) (S ⧸ P)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℤ
n : ℕ

⊢ fract (↑m / ↑n) = ↑(m % ↑n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℤ

⊢ fract (↑m / ↑0) = ↑(m % ↑0) / ↑0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℤ
n : ℕ
hn : n > 0

⊢ fract (↑m / ↑n) = ↑(m % ↑n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n

⊢ fract (↑m / ↑n) = ↑(m % ↑n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ

⊢ fract (↑↑m₀ / ↑n) = ↑(↑m₀ % ↑n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ

⊢ fract (↑(-↑m₀) / ↑n) = ↑(-↑m₀ % ↑n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ
q : ℤ := ⌈↑m₀ / ↑n⌉
m₁ : ℤ := q * ↑n - ↑m₀

⊢ fract (↑(-↑m₀) / ↑n) = ↑(-↑m₀ % ↑n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ
q : ℤ := ⌈↑m₀ / ↑n⌉
m₁ : ℤ := q * ↑n - ↑m₀
hm₁ : 0 ≤ m₁

⊢ fract (↑(-↑m₀) / ↑n) = ↑(-↑m₀ % ↑n) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ
q : ℤ := ⌈↑m₀ / ↑n⌉
m₁ : ℤ := q * ↑n - ↑m₀
hm₁ : 0 ≤ m₁

⊢ fract (-↑m₀ / ↑n) = fract (↑m₁ / ↑n)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b : k
n : ℕ
hn : 0 < ↑n
this : ∀ {l : ℤ}, 0 ≤ l → fract (↑l / ↑n) = ↑(l % ↑n) / ↑n
m₀ : ℕ
q : ℤ := ⌈↑m₀ / ↑n⌉
m₁ : ℤ := q * ↑n - ↑m₀
hm₁ : 0 ≤ m₁

⊢ ↑(m₁ % ↑n) / ↑n = ↑(-↑m₀ % ↑n) / ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n p : ℕ
pp : Prime p
k x : ℕ

⊢ x ∈ (p ^ k).divisors ↔ ∃ j ≤ k, x = p ^ j
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤

⊢ IsClosedMap f ↔ ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤

⊢ (∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)) → IsClosedMap f
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s

⊢ IsClosed (f '' s)
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s

⊢ ∀ (i : ι), IsClosed (Subtype.val ⁻¹' (f '' s))
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι

⊢ IsClosed (Subtype.val ⁻¹' (f '' s))
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier

⊢ Subtype.val ⁻¹' (f '' s) = (U i).carrier.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' sᶜ)ᶜ
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
x : β
hx : x ∈ U i

⊢ ⟨x, hx⟩ ∈ Subtype.val ⁻¹' (f '' s) ↔ ⟨x, hx⟩ ∈ (U i).carrier.restrictPreimage f '' (Subtype.val ⁻¹' sᶜ)ᶜ
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), IsClosedMap ((U i).carrier.restrictPreimage f)
s : Set α
hs : IsClosed s
i : ι
e_1✝ : ↥(U i) = ↑(U i).carrier
x : β
hx : x ∈ U i

⊢ (∃ y ∈ s, f y = x) ↔ ∃ y ∈ s, f y ∈ U i ∧ f y = x
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Inversion.lean
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
t : W
ht : cs.IsReflection t

⊢ cs.IsReflection t⁻¹
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
v : ι → E
inst✝ : Fintype ι'
b : OrthonormalBasis ι 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
x : E
i' : ι'

⊢ (b.reindex e).repr x i' = b.repr x (e.symm i')
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n

⊢ (rfindOpt f).Dom
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
h' : ∃ n, (f n).isSome = true

⊢ (rfindOpt f).Dom
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
h' : ∃ n, (f n).isSome = true
s : (f (Nat.find h')).isSome = true

⊢ (rfindOpt f).Dom
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
h' : ∃ n, (f n).isSome = true
s : (f (Nat.find h')).isSome = true
fd : (rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).Dom

⊢ (rfindOpt f).Dom
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
h' : ∃ n, (f n).isSome = true
s : (f (Nat.find h')).isSome = true
fd : (rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).Dom

⊢ ((fun b => (fun n => ↑(f n)) ((rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).get b)) fd).Dom
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
f : ℕ → Option α
h : ∃ n a, a ∈ f n
h' : ∃ n, (f n).isSome = true
s : (f (Nat.find h')).isSome = true
fd : (rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).Dom
this : true ∈ ↑(Option.some (f ((rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).get fd)).isSome)

⊢ ((fun b => (fun n => ↑(f n)) ((rfind fun n => ↑(Option.some (f n).isSome)).get b)) fd).Dom
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α
n : ℕ

⊢ ((↑s).drop n).head = Computation.pure (s.get? n)
-- Mathlib/Algebra/Order/Chebyshev.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Perm ι
f g : ι → α
hfg : AntivaryOn f g ↑s

⊢ ↑s.card * ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, g i
-- Mathlib/Algebra/Order/Chebyshev.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
s : Finset ι
σ : Perm ι
f g : ι → α
hfg : AntivaryOn f g ↑s

⊢ s.card • ∑ i ∈ s, f i * g i ≤ (∑ i ∈ s, f i) * ∑ i ∈ s, g i
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A

⊢ σ 0 = {0}
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A

⊢ σ 0 ⊆ {0}
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A

⊢ {0}ᶜ ⊆ resolventSet 𝕜 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
hk : k ∈ {0}ᶜ

⊢ k ∈ resolventSet 𝕜 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
hk : k ≠ 0

⊢ k ∈ resolventSet 𝕜 0
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
this : IsUnit (Units.mk0 k hk • 1)

⊢ k ∈ resolventSet 𝕜 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/Bilinear.lean
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
S : Type u_5
S₂ : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Rₗ : Type u_10
Mₗ : Type u_11
Nₗ : Type u_12
Pₗ : Type u_13
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : Semiring S
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring S₂
inst✝¹⁴ : CommSemiring Rₗ
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝⁹ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : Module R₂ P
inst✝⁴ : Module S₂ P
inst✝³ : Module Rₗ Mₗ
inst✝² : Module Rₗ Nₗ
inst✝¹ : Module Rₗ Pₗ
inst✝ : SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
b₁ : Basis ι₁ R M
b₂ : Basis ι₂ S N
b₁' : Basis ι₁ Rₗ Mₗ
b₂' : Basis ι₂ Rₗ Nₗ
B : Mₗ →ₗ[Rₗ] Nₗ →ₗ[Rₗ] Pₗ
x : Mₗ
y : Nₗ

⊢ ((b₁'.repr x).sum fun i xi => (b₂'.repr y).sum fun j yj => xi • yj • (B (b₁' i)) (b₂' j)) = (B x) y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/Bilinear.lean
ι₁ : Type u_1
ι₂ : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
S : Type u_5
S₂ : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Rₗ : Type u_10
Mₗ : Type u_11
Nₗ : Type u_12
Pₗ : Type u_13
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : Semiring S
inst✝¹⁶ : Semiring R₂
inst✝¹⁵ : Semiring S₂
inst✝¹⁴ : CommSemiring Rₗ
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Mₗ
inst✝⁹ : AddCommMonoid Nₗ
inst✝⁸ : AddCommMonoid Pₗ
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module S N
inst✝⁵ : Module R₂ P
inst✝⁴ : Module S₂ P
inst✝³ : Module Rₗ Mₗ
inst✝² : Module Rₗ Nₗ
inst✝¹ : Module Rₗ Pₗ
inst✝ : SMulCommClass S₂ R₂ P
ρ₁₂ : R →+* R₂
σ₁₂ : S →+* S₂
b₁ : Basis ι₁ R M
b₂ : Basis ι₂ S N
b₁' : Basis ι₁ Rₗ Mₗ
b₂' : Basis ι₂ Rₗ Nₗ
B : Mₗ →ₗ[Rₗ] Nₗ →ₗ[Rₗ] Pₗ
x : Mₗ
y : Nₗ

⊢ ((b₁'.repr x).sum fun i xi => (b₂'.repr y).sum fun j yj => xi • yj • (B (b₁' i)) (b₂' j)) = (B ((Finsupp.total ι₁ Mₗ Rₗ ⇑b₁') (b₁'.repr x))) ((Finsupp.total ι₂ Nₗ Rₗ ⇑b₂') (b₂'.repr y))
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
t : M ⊗[R] (ι →₀ N)
i : ι

⊢ ((finsuppRight R M N ι) t) i = (lTensor M (Finsupp.lapply i)) t
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q : QuadraticMap R M N
x : M

⊢ (((associatedHom S) Q) x) x = Q x
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q : QuadraticMap R M N
x : M

⊢ (⅟2 • 2) • Q x = Q x
-- Mathlib/Probability/Kernel/Invariance.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
μ : Measure α
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ((const α (μ.bind ⇑κ)) a) s = ((κ ∘ₖ const α μ) a) s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M'
hi : Surjective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m

⊢ lift.{v', v} (Module.rank R M) ≤ lift.{v, v'} (Module.rank R' M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M'
hi : Surjective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : Function.RightInverse i' ⇑i

⊢ lift.{v', v} (Module.rank R M) ≤ lift.{v, v'} (Module.rank R' M')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M'
hi : Surjective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : Function.RightInverse i' ⇑i
x✝ : R'
h : i' x✝ = 0

⊢ x✝ = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
i : ZeroHom R R'
j : M →+ M'
hi : Surjective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : Function.RightInverse i' ⇑i
r : R'
m : M

⊢ j (i' r • m) = r • j m
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → ℝ≥0

⊢ HasFiniteIntegral (fun x => ↑(f x)) μ ↔ ∫⁻ (a : α), ↑(f a) ∂μ < ⊤
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedRing A✝
inst✝⁹ : StarRing A✝
inst✝⁸ : CstarRing A✝
inst✝⁷ : CompleteSpace A✝
inst✝⁶ : NormedAlgebra ℂ A✝
inst✝⁵ : StarModule ℂ A✝
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℂ A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus ℂ IsStarNormal
a : A
x : ℝ
ha : autoParam (IsSelfAdjoint a) _auto✝

⊢ ↑x ∈ σ ℂ a ↔ x ∈ σ ℝ a
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val

⊢ (∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)

⊢ (∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)

⊢ (span 𝕜 v)ᗮ = ⊥ ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
this : ProperSpace ↥(span 𝕜 v)

⊢ span 𝕜 v = ⊤ ↔ ∃ b, ⇑b = Subtype.val
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Zero.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
i : F.obj 0 ≅ 0
X Y : C

⊢ F.map 0 = F.map 0 ≫ F.map 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Zero.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
i : F.obj 0 ≅ 0
X Y : C

⊢ F.map 0 ≫ F.map 0 = F.map 0 ≫ (i.hom ≫ i.inv) ≫ F.map 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Zero.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasZeroObject D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
i : F.obj 0 ≅ 0
X Y : C

⊢ F.map 0 ≫ (i.hom ≫ i.inv) ≫ F.map 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MonoidWithZero α
a : α
u : αˣ

⊢ a = 0 ↔ a * ↑u = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MetrizableSpace X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : C(X, E)
s : ι → Compacts X
hf : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal

⊢ IntegrableOn (⇑f) (⋃ i, ↑(s i)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MetrizableSpace X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : C(X, E)
s : ι → Compacts X
hf : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal
i : ι

⊢ ∫ (x : X) in ↑(s i), ‖f x‖ ∂μ ≤ ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace X
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Countable ι
μ : Measure X
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MetrizableSpace X
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : C(X, E)
s : ι → Compacts X
hf : Summable fun i => ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal
i : ι

⊢ ‖∫ (x : X) in ↑(s i), ‖f x‖ ∂μ‖ ≤ ‖ContinuousMap.restrict (↑(s i)) f‖ * (μ ↑(s i)).toReal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

⊢ W'.negAddY P Q * (P z * Q z) ^ 3 = (P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3) ^ 3
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
m n : ℕ
h : m ≤ n
x : Step k m

⊢ AlgebraicClosure.toStepOfLE' k m n.succ ⋯ x = (⇑(toStepSucc k n) ∘ AlgebraicClosure.toStepOfLE' k m n h) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
S✝ S : ConvexCone 𝕜 E
x : E
hx : x ∈ S
left✝ : x ≠ 0
hxneg : -x ∈ S

⊢ S.Pointed
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
S✝ S : ConvexCone 𝕜 E
x : E
hx : x ∈ S
left✝ : x ≠ 0
hxneg : -x ∈ S

⊢ x + -x ∈ S
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p q : F[X]
hpq : Splits (algebraMap F q.SplittingField) p
hp : IsSolvable p.Gal
hq : IsSolvable (Polynomial.map (algebraMap F p.SplittingField) q).Gal
K : Type u_1 := p.SplittingField
L : Type u_1 := q.SplittingField
this : Fact (Splits (algebraMap F L) p)
ϕ : (L ≃ₐ[K] L) ≃* (Polynomial.map (algebraMap F K) q).Gal := (IsSplittingField.algEquiv L (Polynomial.map (algebraMap F K) q)).autCongr

⊢ IsSolvable q.Gal
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p q : F[X]
hpq : Splits (algebraMap F q.SplittingField) p
hp : IsSolvable p.Gal
hq : IsSolvable (Polynomial.map (algebraMap F p.SplittingField) q).Gal
K : Type u_1 := p.SplittingField
L : Type u_1 := q.SplittingField
this : Fact (Splits (algebraMap F L) p)
ϕ : (L ≃ₐ[K] L) ≃* (Polynomial.map (algebraMap F K) q).Gal := (IsSplittingField.algEquiv L (Polynomial.map (algebraMap F K) q)).autCongr
ϕ_inj : Function.Injective ⇑ϕ.toMonoidHom

⊢ IsSolvable q.Gal
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
p q : F[X]
hpq : Splits (algebraMap F q.SplittingField) p
hp : IsSolvable p.Gal
hq : IsSolvable (Polynomial.map (algebraMap F p.SplittingField) q).Gal
K : Type u_1 := p.SplittingField
L : Type u_1 := q.SplittingField
this✝ : Fact (Splits (algebraMap F L) p)
ϕ : (L ≃ₐ[K] L) ≃* (Polynomial.map (algebraMap F K) q).Gal := (IsSplittingField.algEquiv L (Polynomial.map (algebraMap F K) q)).autCongr
ϕ_inj : Function.Injective ⇑ϕ.toMonoidHom
this : IsSolvable (K ≃ₐ[F] K)

⊢ IsSolvable q.Gal