ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
U : TopCat
X : PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
x : ↑U
V : OpenNhds (f x)
i : (⋯.functorNhds x).obj ((OpenNhds.map f x).obj V) ⟶ V := homOfLE ⋯

⊢ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) (op V) = (((whiskeringLeft (OpenNhds ((X.ofRestrict h).base x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion ((X.ofRestrict h).base x)).op).map (X.ofRestrict h).c).app (op V) ≫ (whiskerRight (NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso (X.ofRestrict h).base x).inv) (X.restrict h).presheaf).app (op V) ≫ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion (f x)).op ⋙ X.presheaf) ((⋯.functorNhds x).op.obj ((OpenNhds.map (X.ofRestrict h).base x).op.obj (op V)))
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Stalks.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
U : TopCat
X : PresheafedSpace C
f : U ⟶ ↑X
h : OpenEmbedding ⇑f
x : ↑U
V : OpenNhds (f x)
i : (⋯.functorNhds x).obj ((OpenNhds.map f x).obj V) ⟶ V := homOfLE ⋯

⊢ colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f x))ᵒᵖ (Opens ↑↑X)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f x)).op).obj X.presheaf) (op V) = X.presheaf.map ((⋯.adjunction.counit.app (unop ((OpenNhds.inclusion ((X.ofRestrict h).base x)).op.obj (op V)))).op ≫ ⋯.functor.op.map ((NatTrans.op (OpenNhds.inclusionMapIso (X.ofRestrict h).base x).inv).app (op V))) ≫ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion (f x)).op ⋙ X.presheaf) ((⋯.functorNhds x).op.obj ((OpenNhds.map (X.ofRestrict h).base x).op.obj (op V)))
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
ha : a ∉ upperClosure ↑s ⊔ upperClosure ↑t

⊢ a ∉ upperClosure ↑(s ⊻ t)
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq β
H : (image f s).card = s.card

⊢ Set.InjOn f ↑s
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq β
H : Multiset.card { val := (Multiset.map f s.val).dedup, nodup := ⋯ }.val = Multiset.card s.val

⊢ Set.InjOn f ↑s
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq β
H : Multiset.card (Multiset.map f s.val).dedup = Multiset.card s.val

⊢ Set.InjOn f ↑s
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq β
H : Multiset.card (Multiset.map f s.val).dedup = Multiset.card s.val
this : (Multiset.map f s.val).dedup = Multiset.map f s.val

⊢ Set.InjOn f ↑s
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq β
H : Multiset.card (Multiset.map f s.val).dedup = Multiset.card s.val
this : (Multiset.map f s.val).Nodup

⊢ Set.InjOn f ↑s
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R

⊢ (esymm σ R n).support = image (fun t => ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) (powersetCard n univ)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Symmetric.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Fintype σ
inst✝² : Fintype τ
n : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq σ
inst✝ : Nontrivial R

⊢ ((powersetCard n univ).biUnion fun t => {∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1}) = image (fun t => ∑ i ∈ t, Finsupp.single i 1) (powersetCard n univ)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
hb' : b ≠ ⊤

⊢ c / b = d / a ↔ a * c = b * d
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
hb' : b ≠ ⊤

⊢ a * (c / b) = d ↔ a * c = b * d
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ 0
ha' : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
hb' : b ≠ ⊤

⊢ a * (c / b) = d ↔ b * d = a * c
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
ih : indexOf a l ≤ l.length

⊢ indexOf a (b :: l) ≤ (b :: l).length
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
ih : indexOf a l ≤ l.length

⊢ (if b = a then 0 else indexOf a l + 1) ≤ l.length + 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]
n : ℕ
a : R
ha : a ≠ 0

⊢ (p.update n a).support = insert n p.support
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
H : ¬1 = 0

⊢ X.support = {1}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv' : IntegrableOn (u * v') (Ioi a) volume
hu'v : IntegrableOn (u' * v) (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[>] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u x * v' x = b' - a' - ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv' : IntegrableOn (fun i => u i * v' i) (Ioi a) volume
hu'v : IntegrableOn (fun i => u' i * v i) (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[>] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u x * v' x = b' - a' - ∫ (x : ℝ) in Ioi a, u' x * v x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a b : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Ioi a, HasDerivAt v (v' x) x
huv' : IntegrableOn (fun i => u i * v' i) (Ioi a) volume
hu'v : IntegrableOn (fun i => u' i * v i) (Ioi a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[>] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atTop (𝓝 b')

⊢ ∫ (a : ℝ) in Ioi a, u a * v' a + u' a * v a ∂volume = b' - a'
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
U V : Cᵒᵖ
i : U ⟶ V
x : F'.obj U

⊢ f.app U x ∈ F.map i ⁻¹' (fun U => Set.range (f.app U)) V
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Subsheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
f : F' ⟶ F
U V : Cᵒᵖ
i : U ⟶ V
x : F'.obj U
this : ∀ ⦃X Y : Cᵒᵖ⦄ (f_1 : X ⟶ Y) (x : F'.obj X), f.app Y (F'.map f_1 x) = F.map f_1 (f.app X x)

⊢ f.app U x ∈ F.map i ⁻¹' (fun U => Set.range (f.app U)) V
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Period.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
m : M
a : α

⊢ period m a ∣ orderOf m
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Over.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X : C
Y : Over X
S : Sieve Y.left
hS : S ∈ J.sieves Y.left

⊢ (Sieve.overEquiv Y).symm S ∈ (J.over X).sieves Y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂

⊢ W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.negY (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) (W.addY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) = ((y₂ - W.negY x₂ y₂) * (x₁ - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) - (y₁ - W.negY x₁ y₁) * (x₂ - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))) / (x₂ - x₁)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ ≠ x₂

⊢ (-W.negAddY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.a₁ * W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.a₃ - (-(-W.negAddY x₁ x₂ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.a₁ * W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.a₃) - W.a₁ * W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) - W.a₃)) * (x₂ - x₁) = (y₂ - (-y₂ - W.a₁ * x₂ - W.a₃)) * (x₁ - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) - (y₁ - (-y₁ - W.a₁ * x₁ - W.a₃)) * (x₂ - W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
c : ℝ

⊢ cgf (fun x => c) μ t = t * c
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
J : Type u_4
i : J ≃ I

⊢ OrthogonalIdempotents (e ∘ ⇑i) ↔ OrthogonalIdempotents e
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Pow.lean
a✝ b✝ c : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
a : α
b : ℤ
nb : ℕ
num : ℤ
den : ℕ
pb : IsInt b (Int.negOfNat nb)
pe' : IsRat (a ^ nb)⁻¹ num den

⊢ IsRat (a ^ b) num den
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
X₁₁ X₁₂ X₂₁ X₂₂ X₃₁ X₃₂ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₃₁ : X₃₁ ⟶ X₃₂
v₃₁ : X₁₁ ⟶ X₃₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₂₁ : X₂₁ ⟶ X₃₁
v₂₂ : X₂₂ ⟶ X₃₂
s : IsPullback h₁₁ v₃₁ (v₁₂ ≫ v₂₂) h₃₁
t : IsPullback h₂₁ v₂₁ v₂₂ h₃₁

⊢ (h₁₁ ≫ v₁₂) ≫ v₂₂ = v₃₁ ≫ h₃₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
X₁₁ X₁₂ X₂₁ X₂₂ X₃₁ X₃₂ : C
h₁₁ : X₁₁ ⟶ X₁₂
h₂₁ : X₂₁ ⟶ X₂₂
h₃₁ : X₃₁ ⟶ X₃₂
v₃₁ : X₁₁ ⟶ X₃₁
v₁₂ : X₁₂ ⟶ X₂₂
v₂₁ : X₂₁ ⟶ X₃₁
v₂₂ : X₂₂ ⟶ X₃₂
s : IsPullback h₁₁ v₃₁ (v₁₂ ≫ v₂₂) h₃₁
t : IsPullback h₂₁ v₂₁ v₂₂ h₃₁

⊢ h₁₁ ≫ v₁₂ = t.lift (h₁₁ ≫ v₁₂) v₃₁ ⋯ ≫ h₂₁
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
hl : l.reverse ≠ []

⊢ 0 < l.length
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
hl : l.length ≤ 0

⊢ l.reverse = []
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
hl : l.reverse ≠ []
hl' : optParam (0 < l.length) ⋯

⊢ l.reverse.getLast hl = l.get ⟨0, hl'⟩
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
hl : l.reverse ≠ []
hl' : optParam (0 < l.length) ⋯

⊢ l.get ⟨l.length - 1 - ↑⟨l.reverse.length - 1, ⋯⟩, ?hn'⟩ = l.get ⟨0, hl'⟩
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ l : List α
hl : l.reverse ≠ []
hl' : optParam (0 < l.length) ⋯

⊢ l.length - 1 - ↑⟨l.reverse.length - 1, ⋯⟩ < l.length
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
z : ℂ

⊢ sin z = 0 ↔ cos z = 1 ∨ cos z = -1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
z : ℂ

⊢ sin z = 0 ↔ 0 = sin z * sin z
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
h : ∀ᵐ (x : α) (y : α) ∂μ, f x = f y

⊢ AEMeasurable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
ν : Measure α
h : ∀ᵐ (x : α) (y : α) ∂0, f x = f y

⊢ AEMeasurable f 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
R : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
f g : α → β
μ ν : Measure α
h : ∀ᵐ (x : α) (y : α) ∂μ, f x = f y
hμ : μ ≠ 0

⊢ AEMeasurable f μ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β

⊢ hausdorffDist ∅ s = 0
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a : α
n : ℕ

⊢ Associates.mk (a ^ n) = Associates.mk a ^ n
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
S : Set (Set α)
p : α → Prop

⊢ (∃ x ∈ ⋃₀ S, p x) ↔ ∃ s ∈ S, ∃ x ∈ s, p x
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R

⊢ (x * y).support ⊆ x.support + y.support
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R

⊢ ((HahnModule.of R).symm (x • (HahnModule.of R) y)).support ⊆ x.support +ᵥ y.support
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_left : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (cs.simple i * w)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w

⊢ p w
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_left : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (cs.simple i * w)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)

⊢ p w
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_left : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (cs.simple i * w)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)

⊢ p' 1 ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_left : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (cs.simple i * w)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)

⊢ ∀ (x : W) (hx : x ∈ Set.range cs.simple) (y : W) (hy : y ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)), p' y hy → p' (x * y) ⋯
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
p : W → Prop
w : W
one : p 1
mul_simple_left : ∀ (w : W) (i : B), p w → p (cs.simple i * w)
p' : (w : W) → w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple) → Prop := fun w x => p w
this : w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)

⊢ w ∈ Submonoid.closure (Set.range cs.simple)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β → β
b : β
hf : ∀ (a : α), f a b = b
a : α
l : List α

⊢ foldr f b (a :: l) = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β✝ : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
β : Type w
f : β → C
inst✝ : HasProduct f
P : C
p : (b : β) → P ⟶ f b
b : β

⊢ lift p ≫ π f b = p b
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x y : EReal

⊢ (∀ (z : ℝ), ↑z < y → ↑z ≤ x) ↔ y ≤ x
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
x y : EReal
h : ∀ (z : ℝ), ↑z < y → ↑z ≤ x

⊢ y ≤ x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convergence.lean
f : ℕ → ℂ
h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C

⊢ abscissaOfAbsConv f ≤ 1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convergence.lean
f : ℕ → ℂ
h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C

⊢ 1 = ↑0 + 1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convergence.lean
f : ℕ → ℂ
h : ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C

⊢ ∃ C, ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖f n‖ ≤ C * ↑n ^ 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hg : HasStrictFDerivAt g g' x
y : E × E

⊢ f y.1 - f y.2 - f' (y.1 - y.2) + (g y.1 - g y.2 - g' (y.1 - y.2)) = (fun y => f y + g y) y.1 - (fun y => f y + g y) y.2 - (f' + g') (y.1 - y.2)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hf : HasStrictFDerivAt f f' x
hg : HasStrictFDerivAt g g' x
y : E × E

⊢ f y.1 - f y.2 - (f' y.1 - f' y.2) + (g y.1 - g y.2 - (g' y.1 - g' y.2)) = f y.1 + g y.1 - (f y.2 + g y.2) - (f' y.1 + g' y.1 - (f' y.2 + g' y.2))
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
a : α

⊢ Measurable ((fun p => κ.rnDeriv η p.1 p.2) ∘ fun x => (a, x))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
n : ℕ

⊢ (f ^ n).support = f.support ↔ ¬orderOf f ∣ n
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y : α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
hf : f.IsCycle
n : ℕ

⊢ (f ^ n).support = f.support ↔ ¬f ^ n = 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat

⊢ r ∉ (X.toΓSpecFun x).asIdeal ↔ IsUnit ((X.presheaf.Γgerm x) r)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Rep.lean
k G✝ : Type u
inst✝² : CommRing k
inst✝¹ : Monoid G✝
G : Type u
inst✝ : Group G
A : Rep k G
g : G
x : CoeSort.coe A

⊢ (A.ρ g⁻¹ * A.ρ g) x = x
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι✝¹ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι✝ : Sort u_3
I✝ J B : Set α
f x y : α
ι : Type u_4
A : Set ι
hA : A.Nonempty
I : ι → Set α
h : M.Indep (⋃ i ∈ A, I i)
this : Nonempty ↑A

⊢ M.closure (⋂ i ∈ A, I i) = ⋂ i ∈ A, M.closure (I i)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a x : ℝ

⊢ ↑(⋯.lift ↑a) = jacobiTheta₂ (↑a) (I * ↑x)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s✝ t : Set α
a b : α
inst✝ : Unique ι
s : ι → α

⊢ ⨆ i, s i = s default
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
s✝ t : Set α
a b : α
inst✝ : Unique ι
s : ι → α
this : ∀ (i : ι), s i = s default

⊢ ⨆ i, s i = s default
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α

⊢ image (fun x => x + c) (Ioo a b) = Ioo (a + c) (b + c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z X Y : C

⊢ (λ_ X).hom ▷ Y = (α_ (𝟙_ C) X Y).hom ≫ (λ_ (X ⊗ Y)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/FactorThru.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y Z : C
P : Subobject Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P.Factors g

⊢ f ≫ P.factorThru g h = P.factorThru (f ≫ g) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/FactorThru.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z✝ : C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y Z : C
P : Subobject Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P.Factors g

⊢ (f ≫ P.factorThru g h) ≫ P.arrow = P.factorThru (f ≫ g) ⋯ ≫ P.arrow
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h : HasDerivAt f f' x

⊢ HasFDerivAt f (f' • 1) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Monotone.lean
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict s, DifferentiableWithinAt ℝ f s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Monotone.lean
f : ℝ → ℝ
s : Set ℝ
hf : MonotoneOn f s
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x
-- Mathlib/Topology/Instances/Irrational.lean
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ

⊢ ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝 0, ∀ (m : ℤ), ε ≤ dist x (↑m / ↑n)
-- Mathlib/Topology/Instances/Irrational.lean
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ
A : IsClosed (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)

⊢ ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝 0, ∀ (m : ℤ), ε ≤ dist x (↑m / ↑n)
-- Mathlib/Topology/Instances/Irrational.lean
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ
A : IsClosed (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)
B : x ∉ range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m

⊢ ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝 0, ∀ (m : ℤ), ε ≤ dist x (↑m / ↑n)
-- Mathlib/Topology/Instances/Irrational.lean
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ
A : IsClosed (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)
B : x ∉ range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)ᶜ

⊢ ∀ᶠ (ε : ℝ) in 𝓝 0, ∀ (m : ℤ), ε ≤ dist x (↑m / ↑n)
-- Mathlib/Topology/Instances/Irrational.lean
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ
A : IsClosed (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)
B : x ∉ range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)ᶜ
δ : ℝ
hδ : δ ≤ ε
m : ℤ
hlt : dist x (↑m / ↑n) < δ

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Instances/Irrational.lean
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ
A : IsClosed (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)
B : x ∉ range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)ᶜ
δ : ℝ
hδ : δ ≤ ε
m : ℤ
hlt : dist (↑m / ↑n) x < δ

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Instances/Irrational.lean
x : ℝ
hx : Irrational x
n : ℕ
A : IsClosed (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)
B : x ∉ range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ (range fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m)ᶜ
δ : ℝ
hδ : δ ≤ ε
m : ℤ
hlt : dist (↑m / ↑n) x < δ

⊢ (fun m => (↑n)⁻¹ * ↑m) m = ↑m / ↑n
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n✝ : ℕ
b : Bool
n : ℕ
h : n = 0 → b = true
a✝ : n.bodd = n.bits.headI

⊢ (bit b n).bodd = (bit b n).bits.headI
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Nontrivial R
V : ι → Submodule R M
hV : Independent V
I : Type w := { i // V i ≠ ⊥ }

⊢ lift.{v, w} #I ≤ lift.{w, v} (Module.rank R M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M'
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : StrongRankCondition R
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Nontrivial R
V : ι → Submodule R M
hV : Independent V
I : Type w := { i // V i ≠ ⊥ }
hI : ∀ (i : I), ∃ v ∈ V ↑i, v ≠ 0

⊢ lift.{v, w} #I ≤ lift.{w, v} (Module.rank R M)