ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖s.indicator f x‖₊ ^ p.toReal ∂μ = ∫⁻ (a : α), s.indicator (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal) a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ (fun x => ↑‖s.indicator f x‖₊ ^ p.toReal) = fun a => s.indicator (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤

⊢ (fun x => s.indicator (fun x => ↑‖f x‖₊) x ^ p.toReal) = fun a => s.indicator (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c : E
f✝ : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f✝ μ
s : Set α
f : α → F
hs : MeasurableSet s
hp_zero : ¬p = 0
hp_top : ¬p = ⊤
h_zero : (fun x => x ^ p.toReal) 0 = 0

⊢ (fun x => s.indicator (fun x => ↑‖f x‖₊) x ^ p.toReal) = fun a => s.indicator (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal) a
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
f : ℕ → ℝ
h_bdd : BddBelow (range f)
h_ant : Antitone f

⊢ ∃ r, Tendsto f atTop (𝓝 r)
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
f : ℕ → ℝ
h_bdd : BddBelow (range f)
h_ant : Antitone f
B : ℝ
hB : IsGLB (range f) B

⊢ ∃ r, Tendsto f atTop (𝓝 r)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)
r : 𝕜

⊢ ⟪r • f, g⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) r * ⟪f, g⟫_𝕜
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)
r : 𝕜

⊢ ∫ (a : α), ⟪↑↑(r • f) a, ↑↑g a⟫_𝕜 ∂μ = ∫ (a : α), (starRingEnd 𝕜) r • ⟪↑↑f a, ↑↑g a⟫_𝕜 ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)
r : 𝕜
x : α
hx : ↑↑(r • f) x = (r • ↑↑f) x

⊢ (fun a => ⟪↑↑(r • f) a, ↑↑g a⟫_𝕜) x = (fun a => (starRingEnd 𝕜) r • ⟪↑↑f a, ↑↑g a⟫_𝕜) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : ↥(Lp E 2 μ)
r : 𝕜
x : α
hx : ↑↑(r • f) x = (r • ↑↑f) x

⊢ ⟪↑↑(r • f) x, ↑↑g x⟫_𝕜 = (starRingEnd 𝕜) r • ⟪↑↑f x, ↑↑g x⟫_𝕜
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Group α
g : GroupTopology α
this✝ : TopologicalSpace α := g.toTopologicalSpace
this : TopologicalGroup α

⊢ Continuous fun p => p.1 * p.2
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ x \ y = x ↔ x \ y = x \ ⊥
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ x ⊓ y = x ⊓ ⊥ ↔ Disjoint y x
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
f✝ : α → β
l✝ : List α
o : Option α
a✝ m : α
f : α → β
a : α
l hd : List α
tl : α
ih : argmax f (a :: hd) = Option.casesOn (argmax f hd) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a

⊢ argmax f (a :: (hd ++ [tl])) = Option.casesOn (argmax f (hd ++ [tl])) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
f✝ : α → β
l✝ : List α
o : Option α
a✝ m : α
f : α → β
a : α
l hd : List α
tl : α
ih : argmax f (a :: hd) = Option.casesOn (argmax f hd) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a

⊢ (Option.casesOn (Option.casesOn (argmax f hd) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a) (some tl) fun c => if f c < f tl then some tl else some c) = Option.casesOn (Option.casesOn (argmax f hd) (some tl) fun c => if f c < f tl then some tl else some c) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
f✝ : α → β
l✝ : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
f : α → β
a : α
l hd : List α
tl : α
ih : argmax f (a :: hd) = Option.casesOn (argmax f hd) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a
m : α
h : argmax f hd = some m

⊢ Option.rec (some tl) (fun val => if f val < f tl then some tl else some val) (if f a < f m then some m else some a) = Option.rec (some a) (fun val => if f a < f val then some val else some a) (if f m < f tl then some tl else some m)
-- Mathlib/Data/List/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder β
f✝ : α → β
l✝ : List α
o : Option α
a✝ m✝ : α
f : α → β
a : α
l hd : List α
tl : α
ih : argmax f (a :: hd) = Option.casesOn (argmax f hd) (some a) fun c => if f a < f c then some c else some a
m : α
h : argmax f hd = some m

⊢ Option.rec (some tl) (fun val => if f val < f tl then some tl else some val) (some (if f a < f m then m else a)) = Option.rec (some a) (fun val => if f a < f val then some val else some a) (some (if f m < f tl then tl else m))
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M
p : (m : M) → m ∈ closure s → Prop
one : p 1 ⋯
mul_left : ∀ (x : M) (hx : x ∈ s) (y : M) (hy : y ∈ closure s), p y hy → p (x * y) ⋯
x : M
h : x ∈ closure s

⊢ p x h
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M
p : (m : M) → m ∈ closure s → Prop
one : p 1 ⋯
mul_left : ∀ (x : M) (hx : x ∈ s) (y : M) (hy : y ∈ closure s), p y hy → p (x * y) ⋯
x : M
h✝ : x ∈ closure s
h : x ∈ mrange (FreeMonoid.lift Subtype.val)

⊢ p x h✝
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic

⊢ Irreducible p ↔ p ≠ 1 ∧ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → g.natDegree ∉ Ioc 0 (p.natDegree / 2)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic

⊢ (p ≠ 1 ∧ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f.natDegree = 0 ∨ g.natDegree = 0) ↔ p ≠ 1 ∧ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → ¬(0 < g.natDegree ∧ g.natDegree + g.natDegree ≤ p.natDegree)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic

⊢ (∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f.natDegree = 0 ∨ g.natDegree = 0) ↔ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → ¬(0 < g.natDegree ∧ g.natDegree + g.natDegree ≤ p.natDegree)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : Ring R
a b : R
n : ℕ

⊢ (-1) ^ n * a = 0 ↔ a = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α

⊢ #(β' → α) ≤ #(β' ↪ α)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α

⊢ #(β' → α) ≤ #(β' ↪ α × α)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v
inst✝ : Infinite α
lle : lift.{u, v} #β' ≤ lift.{v, u} #α
e : β' ↪ α

⊢ #(β' → α) ≤ #(β' ↪ α × α)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G

⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) ⊥ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Content.lean
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
this : Disjoint ↑⊥ ↑⊥ → IsClosed ↑⊥ → IsClosed ↑⊥ → μ.toFun (⊥ ⊔ ⊥) = μ.toFun ⊥ + μ.toFun ⊥

⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) ⊥ = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : 1 - z ∈ slitPlane

⊢ log (1 - z)⁻¹ = z * ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, (1 - t • z)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : 1 + -z ∈ slitPlane

⊢ log (1 + -z)⁻¹ = z * ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, (1 - t • z)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : 1 + -z ∈ slitPlane

⊢ log (1 + -z) = -z * ∫ (t : ℝ) in 0 ..1, (1 - t • z)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
z : ℂ
hz : 1 + -z ∈ slitPlane
x✝ : ℝ

⊢ 1 - x✝ • z = 1 + x✝ • -z
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
i : ℕ
a : α
b : β a
hh : b ∈ approx (⇑f) i a

⊢ b ∈ Part.fix (⇑f) a
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
i : ℕ
a : α
b : β a
hh : b ∈ approx (⇑f) i a

⊢ ∃ i, b ∈ approx (⇑f) i a
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l : Filter α
a : α
s : Set α

⊢ s ∈ 𝓟 {a} ↔ s ∈ pure a
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Monoidal.lean
V : Type (u + 1)
inst✝³ : LargeCategory V
G✝ : MonCat
W : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory W
inst✝¹ : MonoidalCategory V
inst✝ : MonoidalCategory W
F : MonoidalFunctor V W
G : MonCat
X Y : Action V G

⊢ (inv ((F.mapAction G).μ X Y)).hom = inv (F.μ X.V Y.V)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : Ring R'
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R' M'
inst✝¹ : Module R' M₁
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type v
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v

⊢ #ι ≤ Module.rank R M
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
h : G.Adj u v
p : G.Walk v w

⊢ (cons h p).IsTrail ↔ p.IsTrail ∧ s(u, v) ∉ p.edges
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℂ

⊢ sin (x + ↑π / 2) = cos x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w✝ : V
e : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)
v w : V

⊢ (fromEdgeSet Set.univ).Adj v w ↔ ⊤.Adj v w
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h : HasFDerivWithinAt f f' s x
hs : s ∈ 𝓝 x

⊢ HasFDerivAt f f' x
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : (i : ι) → κ i → Set α

⊢ (⋃ i, ⋃ j, s i j)ᶜ = ⋂ i, ⋂ j, (s i j)ᶜ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hL : L ≤ 𝓝 x
h : HasFDerivAtFilter f f' x L

⊢ Tendsto f L (𝓝 (f x))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hL : L ≤ 𝓝 x
h : HasFDerivAtFilter f f' x L
this : Tendsto (fun x' => f x' - f x) L (𝓝 0)

⊢ Tendsto f L (𝓝 (f x))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hL : L ≤ 𝓝 x
h : HasFDerivAtFilter f f' x L
this✝ : Tendsto (fun x' => f x' - f x) L (𝓝 0)
this : Tendsto (fun x_1 => f x_1 - f x + f x) L (𝓝 (0 + f x))

⊢ Tendsto f L (𝓝 (f x))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hL : L ≤ 𝓝 x
h : HasFDerivAtFilter f f' x L
this✝ : Tendsto (fun x' => f x' - f x) L (𝓝 0)
this : Tendsto (fun x_1 => f x_1 - f x + f x) L (𝓝 (f x))

⊢ Tendsto f L (𝓝 (f x))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s t : Set α

⊢ TotallyBounded (s ∪ t) ↔ TotallyBounded s ∧ TotallyBounded t
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s t : Set α

⊢ (∀ (i : Bool), TotallyBounded (bif i then s else t)) ↔ TotallyBounded s ∧ TotallyBounded t
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : DivInvMonoid M
inst✝ : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
x : M
hx : x ∈ K
n : ℕ

⊢ x ^ ↑n ∈ K
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : DivInvMonoid M
inst✝ : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
x : M
hx : x ∈ K
n : ℕ

⊢ x ^ n ∈ K
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : DivInvMonoid M
inst✝ : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
x : M
hx : x ∈ K
n : ℕ

⊢ x ^ -[n+1] ∈ K
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
M : Type u_5
S : Type u_6
inst✝¹ : DivInvMonoid M
inst✝ : SetLike S M
hSM : SubgroupClass S M
H K : S
x : M
hx : x ∈ K
n : ℕ

⊢ (x ^ (n + 1))⁻¹ ∈ K
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R

⊢ IsAlgebraic R 1
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R

⊢ IsAlgebraic R ((algebraMap R A) 1)
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ b = a ↔ a ∆ b = a ∆ ⊥
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ b = a ∆ ⊥ ↔ b = ⊥
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G✝ H : SimpleGraph α
n✝ : ℕ
a b c : α
s : Finset α
G : SimpleGraph α
e : α ≃ β
n : ℕ

⊢ (SimpleGraph.map e.toEmbedding G).cliqueSet n = map e.toEmbedding '' G.cliqueSet n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G✝ H : SimpleGraph α
n : ℕ
a b c : α
s : Finset α
G : SimpleGraph α
e : α ≃ β

⊢ (SimpleGraph.map e.toEmbedding G).cliqueSet 1 = map e.toEmbedding '' G.cliqueSet 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G✝ H : SimpleGraph α
n✝ : ℕ
a b c : α
s : Finset α
G : SimpleGraph α
e : α ≃ β
n : ℕ
hn : n ≠ 1

⊢ (SimpleGraph.map e.toEmbedding G).cliqueSet n = map e.toEmbedding '' G.cliqueSet n
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : ∀ (p : ℕ), n.factorization p ≤ 1

⊢ Squarefree n
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : ∀ (p : ℕ), n.factorization p ≤ 1

⊢ ∀ (a : ℕ), List.count a n.primeFactorsList ≤ 1
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : ∀ (p : ℕ), n.factorization p ≤ 1
a : ℕ

⊢ List.count a n.primeFactorsList ≤ 1
-- Mathlib/Data/Nat/Squarefree.lean
s : Finset ℕ
m n✝ p n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : ∀ (p : ℕ), n.factorization p ≤ 1
a : ℕ

⊢ n.factorization a ≤ 1
-- Mathlib/Data/Finset/MulAntidiagonal.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a✝ : α
u : Set α
hu : u.IsPWO
x : α × α
a : α
x✝ : a ∈ {a | (mulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}
b : α × α
hb : b ∈ mulAntidiagonal hs ht a

⊢ a ∈ s * t
-- Mathlib/Data/Finset/MulAntidiagonal.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a✝ : α
u : Set α
hu : u.IsPWO
x : α × α
a : α
x✝ : a ∈ {a | (mulAntidiagonal hs ht a).Nonempty}
b : α × α
hb : b.1 ∈ s ∧ b.2 ∈ t ∧ b.1 * b.2 = a

⊢ a ∈ s * t
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring β
inst✝³ : FloorSemiring α
inst✝² : FloorSemiring β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
n : ℕ

⊢ f a ≤ ↑n ↔ a ≤ ↑n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V

⊢ G.maxDegree < Fintype.card V
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
v : V
hv : G.maxDegree = G.degree v

⊢ G.maxDegree < Fintype.card V
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
v : V
hv : G.maxDegree = G.degree v

⊢ G.degree v < Fintype.card V
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
G_obj : D → C
e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)
he : ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y), (e X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (e X Y) g
X X' : C
Y : D
f : X ⟶ X'
g : X' ⟶ (rightAdjointOfEquiv e he).obj Y

⊢ (e X Y).symm (f ≫ g) = F.map f ≫ (e X' Y).symm g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
G_obj : D → C
e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)
he : ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y), (e X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (e X Y) g
X X' : C
Y : D
f : X ⟶ X'
g : X' ⟶ (rightAdjointOfEquiv e he).obj Y

⊢ f ≫ g = (e X Y) (F.map f ≫ (e X' Y).symm g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
G_obj : D → C
e : (X : C) → (Y : D) → (F.obj X ⟶ Y) ≃ (X ⟶ G_obj Y)
he : ∀ (X' X : C) (Y : D) (f : X' ⟶ X) (g : F.obj X ⟶ Y), (e X' Y) (F.map f ≫ g) = f ≫ (e X Y) g
X : C
Y Y' : D
g : F.obj X ⟶ Y
h : Y ⟶ Y'

⊢ (e X Y') (g ≫ h) = (e X Y) g ≫ (rightAdjointOfEquiv e he).map h
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ

⊢ (fun a => ↑(condCDF ρ a) ↑r) =ᶠ[ae ρ.fst] fun a => (preCDF ρ r a).toReal
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ

⊢ (fun a => ↑(stieltjesOfMeasurableRat (fun p r => (preCDF ρ r p.2).toReal) ⋯ ((), a)) ↑r) =ᶠ[ae ρ.fst] fun a => (preCDF ρ r a).toReal
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/NaturalTransformation.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F G : LaxMonoidalFunctor C D
H K : LaxMonoidalFunctor D E
α : MonoidalNatTrans F G
β : MonoidalNatTrans H K

⊢ K.ε ≫ K.map F.ε ≫ K.map (α.app (𝟙_ C)) = K.ε ≫ K.map G.ε
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/NaturalTransformation.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F G : LaxMonoidalFunctor C D
H K : LaxMonoidalFunctor D E
α : MonoidalNatTrans F G
β : MonoidalNatTrans H K
X Y : C

⊢ (β.app (F.obj X) ⊗ β.app (F.obj Y)) ≫ K.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ K.map (F.μ X Y) ≫ K.map (α.app (X ⊗ Y)) = (β.app (F.obj X) ⊗ β.app (F.obj Y)) ≫ K.μ (F.obj X) (F.obj Y) ≫ K.map (α.app X ⊗ α.app Y) ≫ K.map (G.μ X Y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s : Set E
x : E
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ μ (closedBall x r) = ENNReal.ofReal (r ^ finrank ℝ E) * μ (ball 0 1)
-- Mathlib/Order/PartialSups.lean
α : Type u_1
inst✝ : SemilatticeSup α
f : ℕ → α
a : α

⊢ a ∈ upperBounds (Set.range ⇑(partialSups f)) ↔ a ∈ upperBounds (Set.range f)
-- Mathlib/Order/PartialSups.lean
α : Type u_1
inst✝ : SemilatticeSup α
f : ℕ → α
a : α

⊢ (∀ (i k : ℕ), k ≤ i → f k ≤ a) ↔ ∀ (i : ℕ), f i ≤ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s

⊢ ((κ ⊗ₖ η) a) s = κ.compProdFun η a s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s

⊢ ({ toFun := fun a => Measure.ofMeasurable (fun s x => κ.compProdFun η a s) ⋯ ⋯, measurable' := ⋯ } a) s = κ.compProdFun η a s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
hs : MeasurableSet s

⊢ IsSFiniteKernel κ ∧ IsSFiniteKernel η