ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
this : (s.piecewise f fun x => f default) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] f

⊢ ∀ (s_1 : Set β), IsOpen s_1 → MeasurableSet ((s.piecewise f fun x => f default) ⁻¹' s_1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
this : (s.piecewise f fun x => f default) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
t : Set β
ht : IsOpen t

⊢ MeasurableSet ((s.piecewise f fun x => f default) ⁻¹' t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
this : (s.piecewise f fun x => f default) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
t : Set β
ht : IsOpen t
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s

⊢ MeasurableSet ((s.piecewise f fun x => f default) ⁻¹' t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : OpensMeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
f : α → β
s : Set α
μ : Measure α
hf : ContinuousOn f s
hs : MeasurableSet s
a✝ : Nontrivial α
inhabited_h : Inhabited α
this : (s.piecewise f fun x => f default) =ᶠ[ae (μ.restrict s)] f
t : Set β
ht : IsOpen t
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : f ⁻¹' t ∩ s = u ∩ s

⊢ MeasurableSet (u ∩ s ∪ (fun x => f default) ⁻¹' t \ s)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f' n x‖ ≤ u n
hx₀ : x₀ ∈ s
hf0 : Summable fun x => f x x₀
hx : x ∈ s
this : DecidableEq α

⊢ Summable fun n => f n x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f' n x‖ ≤ u n
hx₀ : x₀ ∈ s
hf0 : CauchySeq fun s => ∑ b ∈ s, f b x₀
hx : x ∈ s
this : DecidableEq α

⊢ CauchySeq fun s => ∑ b ∈ s, f b x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f' n x‖ ≤ u n
hx₀ : x₀ ∈ s
hf0 : CauchySeq fun s => ∑ b ∈ s, f b x₀
hx : x ∈ s
this : DecidableEq α
A : UniformCauchySeqOn (fun t x => ∑ i ∈ t, f' i x) atTop s

⊢ CauchySeq fun s => ∑ b ∈ s, f b x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t✝ : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y✝ : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hs : IsOpen s
h's : IsPreconnected s
hf : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α), ∀ x ∈ s, ‖f' n x‖ ≤ u n
hx₀ : x₀ ∈ s
hf0 : CauchySeq fun s => ∑ b ∈ s, f b x₀
hx : x ∈ s
this : DecidableEq α
A : UniformCauchySeqOn (fun t x => ∑ i ∈ t, f' i x) atTop s
t : Finset α
y : E
hy : y ∈ s

⊢ HasFDerivAt ((fun t x => ∑ i ∈ t, f i x) t) (∑ i ∈ t, f' i y) y
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
P Q R : Karoubi C
g : Q.Hom R
f : P.Hom Q

⊢ f.f ≫ g.f = P.p ≫ (f.f ≫ g.f) ≫ R.p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Type v
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
ι : Type w
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
κ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq κ
inst✝ : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f g h : M →ₗ[R] M

⊢ (trace R M) (f * (g * h)) = (trace R M) (h * (f * g))
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.8873, u_3} E
X Y : GradedObject J C
e : X ≅ Y
F : C ⥤ D
j : J

⊢ F.map (e.hom j) ≫ F.map (e.inv j) = 𝟙 (F.obj (X j))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
n : ℕ

⊢ (p * X).degree = p.degree + 1
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Ring β
h : Antiperiodic f c
n : ℕ

⊢ f (x + ↑n * c) = (-1) ^ n * f x
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
h : s ⊆ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝

⊢ (t \ s).ncard = t.ncard - s.ncard
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
ha : 0 < a
s : ℝ

⊢ Tendsto (fun x => |x| ^ s * rexp (-a * x ^ 2)) (cocompact ℝ) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
ha : 0 < a
s : ℝ

⊢ Tendsto (fun x => |x| ^ s * rexp (-a * |x| ^ 2)) (cocompact ℝ) (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/PoissonSummation.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a : ℝ
ha : 0 < a
s : ℝ

⊢ Tendsto (fun y => y ^ s * rexp (-a * y ^ 2)) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
R₄ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₄
inst✝² : IsDomain R₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : Module R₄ M₄
G : BilinForm R₄ M₄
x y : M₄
a : R₄
ha : a ≠ 0

⊢ (G (a • x)) y = 0 ↔ (G x) y = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
R₄ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₄
inst✝² : IsDomain R₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : Module R₄ M₄
G : BilinForm R₄ M₄
x y : M₄
a : R₄
ha : a ≠ 0

⊢ (a • G x) y = 0 ↔ (G x) y = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R₁
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
R₄ : Type u_7
M₄ : Type u_8
inst✝³ : CommRing R₄
inst✝² : IsDomain R₄
inst✝¹ : AddCommGroup M₄
inst✝ : Module R₄ M₄
G : BilinForm R₄ M₄
x y : M₄
a : R₄
ha : a ≠ 0

⊢ a = 0 → (G x) y = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/DiagramLemmas/Four.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
R₁ R₂ : ComposableArrows C 2
φ : R₁ ⟶ R₂
hR₁ : R₁.Exact
hR₂ : R₂.Exact
hR₂' : Mono (R₂.map' 0 1 ⋯ ⋯)
h₀ : Epi (app' φ 1 ⋯)
h₁ : Mono (app' φ 2 ⋯)

⊢ R₂.map' 0 2 ⋯ ⋯ = 0
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
f : M →[L] N

⊢ f.range = ⊤ ↔ Function.Surjective ⇑f
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
K : IntermediateField F E
S : Set E
h : K ≤ adjoin F S

⊢ restrictScalars F (extendScalars h) = restrictScalars F (adjoin (↥K) S)
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
K : IntermediateField F E
S : Set E
h : K ≤ adjoin F S

⊢ adjoin F S = adjoin F (↑K ∪ S)
-- Mathlib/Algebra/Module/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : SMulZeroClass R M
f : α → R
g : α → M
x : α
hbf : x ∈ support (f • g)
hf : g x = 0

⊢ (f • g) x = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}

⊢ ℵ₀ ≤ a * b ↔ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ∧ (ℵ₀ ≤ a ∨ ℵ₀ ≤ b)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}
h : ¬a * b < ℵ₀ ↔ ¬(a = 0 ∨ b = 0 ∨ a < ℵ₀ ∧ b < ℵ₀) := Iff.not mul_lt_aleph0_iff

⊢ ℵ₀ ≤ a * b ↔ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ∧ (ℵ₀ ≤ a ∨ ℵ₀ ≤ b)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R → ℤ
h_exps : ∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, exps v = 0

⊢ count K v (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ exps v) = exps v
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R → ℤ
h_exps : ∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, exps v = 0

⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), ↑v.asIdeal ^ exps v = { support := Finite.toFinset h_exps, toFun := exps, mem_support_toFun := ⋯ }.prod fun x x_1 => ↑x.asIdeal ^ x_1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R → ℤ
h_exps : ∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, exps v = 0

⊢ ∏ i ∈ Finite.toFinset h_exps, ↑i.asIdeal ^ exps i = ∏ a ∈ { support := Finite.toFinset h_exps, toFun := exps, mem_support_toFun := ⋯ }.support, ↑a.asIdeal ^ { support := Finite.toFinset h_exps, toFun := exps, mem_support_toFun := ⋯ } a
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
exps : HeightOneSpectrum R → ℤ
h_exps : ∀ᶠ (v : HeightOneSpectrum R) in Filter.cofinite, exps v = 0

⊢ (mulSupport fun v => ↑v.asIdeal ^ exps v) ⊆ ↑(Finite.toFinset h_exps)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ ‖F_nat 1 a t‖ ≤ rexp (-π * (a ^ 2 + 1) * t) / (1 - rexp (-π * t)) ^ 2 + a * rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ HasSum (g_nat 1 a t) (rexp (-π * (a ^ 2 + 1) * t) / (1 - rexp (-π * t)) ^ 2 + a * rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t)))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ HasSum (fun n => (↑n + a) ^ 1 * rexp (-π * (↑n + a ^ 2) * t)) (rexp (-π * (a ^ 2 + 1) * t) / (1 - rexp (-π * t)) ^ 2 + a * rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t)))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ HasSum (fun n => ↑n * rexp (-π * (↑n + a ^ 2) * t) + a * rexp (-π * (↑n + a ^ 2) * t)) (rexp (-π * (a ^ 2 + 1) * t) / (1 - rexp (-π * t)) ^ 2 + a * rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t)))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ HasSum (fun b => ↑b * rexp (-π * (↑b + a ^ 2) * t)) (rexp (-π * (a ^ 2 + 1) * t) / (1 - rexp (-π * t)) ^ 2)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
a : ℝ
ha : 0 ≤ a
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ HasSum (fun b => a * rexp (-π * (↑b + a ^ 2) * t)) (a * rexp (-π * a ^ 2 * t) / (1 - rexp (-π * t)))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z : E
x✝ : z ∈ [x-[𝕜]y]
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
hz : a • x + b • y = z

⊢ (fun θ => (a + b - θ) • x + θ • y) b = a • x + b • y
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
x : α

⊢ x ∈ ↑(insert a s) ↔ x ∈ insert a ↑s
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : Rat

⊢ { num := a.num.div ↑(a.num.natAbs.gcd b.den) * b.num.div ↑(b.num.natAbs.gcd a.den), den := a.den / b.num.natAbs.gcd a.den * (b.den / a.num.natAbs.gcd b.den), den_nz := ⋯, reduced := ⋯ } = normalize (a.num * b.num) (a.den * b.den) ⋯
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : Rat
H1 : a.num.natAbs.gcd b.den ≠ 0

⊢ { num := a.num.div ↑(a.num.natAbs.gcd b.den) * b.num.div ↑(b.num.natAbs.gcd a.den), den := a.den / b.num.natAbs.gcd a.den * (b.den / a.num.natAbs.gcd b.den), den_nz := ⋯, reduced := ⋯ } = normalize (a.num * b.num) (a.den * b.den) ⋯
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : Rat
H1 : a.num.natAbs.gcd b.den ≠ 0
H2 : b.num.natAbs.gcd a.den ≠ 0

⊢ { num := a.num.div ↑(a.num.natAbs.gcd b.den) * b.num.div ↑(b.num.natAbs.gcd a.den), den := a.den / b.num.natAbs.gcd a.den * (b.den / a.num.natAbs.gcd b.den), den_nz := ⋯, reduced := ⋯ } = normalize (a.num * b.num) (a.den * b.den) ⋯
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
a b : Rat
H1 : a.num.natAbs.gcd b.den ≠ 0
H2 : b.num.natAbs.gcd a.den ≠ 0

⊢ normalize (a.num.div ↑(a.num.natAbs.gcd b.den) * b.num.div ↑(b.num.natAbs.gcd a.den) * ↑(a.num.natAbs.gcd b.den * b.num.natAbs.gcd a.den)) (a.den / b.num.natAbs.gcd a.den * (b.den / a.num.natAbs.gcd b.den) * (a.num.natAbs.gcd b.den * b.num.natAbs.gcd a.den)) ⋯ = normalize (a.num * b.num) (a.den * b.den) ⋯
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : ↑n < Module.rank R M

⊢ ∃ x, LinearIndependent R (Fin.snoc v x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : ↑n < Module.rank R M

⊢ ∃ x, LinearIndependent R fun i => Fin.cons x v ((finRotate (n + 1)) i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/RankNullity.lean
R : Type u_1
M M₁ M₂ M₃ : Type u
M' : Type v
inst✝¹² : Ring R
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : HasRankNullity.{u, u_1} R
inst✝ : StrongRankCondition R
n : ℕ
v : Fin n → M
hv : LinearIndependent R v
h : ↑n < Module.rank R M
x : M
hx : LinearIndependent R (Fin.cons x v)

⊢ ∃ x, LinearIndependent R fun i => Fin.cons x v ((finRotate (n + 1)) i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix l m α
D : Matrix l n α
inst✝ : Invertible A

⊢ fromBlocks A B C D = fromBlocks 1 0 (C * ⅟A) 1 * fromBlocks A 0 0 (D - C * ⅟A * B) * fromBlocks 1 (⅟A * B) 0 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/AssocList.lean
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
δ : Type u_1
inst✝ : Monad m
f : α × β → δ → m (ForInStep δ)
key✝ : α
value✝ : β
tail✝ : AssocList α β
tail_ih✝ : ∀ (init : δ), tail✝.forIn init f = List.forIn.loop f tail✝.toList init
init : δ

⊢ (fun __do_lift => match __do_lift with | ForInStep.done d => pure d | ForInStep.yield d => tail✝.forIn d f) = fun __do_lift => match __do_lift with | ForInStep.done d => pure d | ForInStep.yield b => List.forIn.loop f tail✝.toList b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/AssocList.lean
m : Type u_1 → Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
δ : Type u_1
inst✝ : Monad m
f : α × β → δ → m (ForInStep δ)
key✝ : α
value✝ : β
tail✝ : AssocList α β
tail_ih✝ : ∀ (init : δ), tail✝.forIn init f = List.forIn.loop f tail✝.toList init
init : δ
a : ForInStep δ

⊢ (match a with | ForInStep.done d => pure d | ForInStep.yield d => tail✝.forIn d f) = match a with | ForInStep.done d => pure d | ForInStep.yield b => List.forIn.loop f tail✝.toList b
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a h : M
t : List M
u : ∀ m ∈ h :: t, IsUnit m

⊢ IsUnit (h :: t).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a h : M
t : List M
u : ∀ m ∈ h :: t, IsUnit m

⊢ IsUnit (h * t.prod)
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
c : α

⊢ (ofFn fun x => c) = replicate 0 c
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
r : R

⊢ span R (r • s) ≤ span R s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
r : R

⊢ r • s ⊆ ↑(span R s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s✝ t s : Set M
r : R
x : M
hx : x ∈ s

⊢ (fun x => r • x) x ∈ ↑(span R s)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Comap.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R

⊢ comap (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) = id
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Comap.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
υ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : CommSemiring R
x : σ → R

⊢ comap (AlgHom.id R (MvPolynomial σ R)) x = id x
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x y : ℝ*
r s : ℝ
hxr : x.IsSt r
hys : y.IsSt s
f : ℝ → ℝ → ℝ
hf : ContinuousAt (Function.uncurry f) (r, s)

⊢ IsSt (Germ.map₂ f x y) (f r s)
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
y : ℝ*
r s : ℝ
hys : y.IsSt s
f : ℝ → ℝ → ℝ
hf : ContinuousAt (Function.uncurry f) (r, s)
x : ℕ → ℝ
hxr : (ofSeq x).IsSt r

⊢ IsSt (Germ.map₂ f (ofSeq x) y) (f r s)
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
r s : ℝ
f : ℝ → ℝ → ℝ
hf : ContinuousAt (Function.uncurry f) (r, s)
x : ℕ → ℝ
hxr : (ofSeq x).IsSt r
y : ℕ → ℝ
hys : (ofSeq y).IsSt s

⊢ IsSt (Germ.map₂ f (ofSeq x) (ofSeq y)) (f r s)
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
r s : ℝ
f : ℝ → ℝ → ℝ
hf : ContinuousAt (Function.uncurry f) (r, s)
x : ℕ → ℝ
hxr : Tendsto x (↑(hyperfilter ℕ)) (𝓝 r)
y : ℕ → ℝ
hys : Tendsto y (↑(hyperfilter ℕ)) (𝓝 s)

⊢ IsSt (Germ.map₂ f (ofSeq x) (ofSeq y)) (f r s)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
h1 : a < 0
h2 : -1 ≤ a
this : 1 / a ≤ 1 / -1

⊢ 1 / a ≤ -1
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddZeroClass M
f : α → β
v₁ v₂ : β →₀ M
hv₁ : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑v₁.support)
hv₂ : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑v₂.support)
hv₁₂ : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑(v₁ + v₂).support)
a✝ : α

⊢ (comapDomain f (v₁ + v₂) hv₁₂) a✝ = (comapDomain f v₁ hv₁ + comapDomain f v₂ hv₂) a✝
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
L R : List Γ

⊢ map f (mk₂ L R) = mk₂ (List.map f.f L) (List.map f.f R)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
a b c : ℕ
hab : a = b
hbc : b = c
x : ZMod a

⊢ (ringEquivCongr hbc) ((ringEquivCongr hab) x) = (ringEquivCongr ⋯) x
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : CharP R n
a b c : ℕ
hab : a = b
hbc : b = c
x : ZMod a

⊢ (ringEquivCongr hbc) ((ringEquivCongr hab) x) = ((ringEquivCongr hab).trans (ringEquivCongr hbc)) x
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m : M
s : ↥S

⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (s • m) s) = f m
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝¹ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : g ⟶ h
inst✝ : IsIso η

⊢ inv (f ◁ η) = f ◁ inv η
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝¹ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g h : b ⟶ c
η : g ⟶ h
inst✝ : IsIso η

⊢ f ◁ η ≫ f ◁ inv η = 𝟙 (f ≫ g)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
inst✝¹ : DecidableEq F.A
inst✝ : Inhabited F.M
ps : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a

⊢ iselect (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) = iselect ps (f i)