ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
f f' : ↥(Lp E p μ)
a : α
ha1 : ↑↑(hg.compLp g0 f) a = (g ∘ ↑↑f) a
ha2 : ↑↑(hg.compLp g0 f') a = (g ∘ ↑↑f') a
ha3 : ↑↑(hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f') a = (↑↑(hg.compLp g0 f) - ↑↑(hg.compLp g0 f')) a
ha4 : ↑↑(f - f') a = (↑↑f - ↑↑f') a

⊢ ‖↑↑(hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f') a‖ ≤ ↑c * ‖↑↑(f - f') a‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
g : E → F
c : ℝ≥0
hg : LipschitzWith c g
g0 : g 0 = 0
f f' : ↥(Lp E p μ)
a : α
ha1 : ↑↑(hg.compLp g0 f) a = (g ∘ ↑↑f) a
ha2 : ↑↑(hg.compLp g0 f') a = (g ∘ ↑↑f') a
ha3 : ↑↑(hg.compLp g0 f - hg.compLp g0 f') a = (↑↑(hg.compLp g0 f) - ↑↑(hg.compLp g0 f')) a
ha4 : ↑↑(f - f') a = (↑↑f - ↑↑f') a

⊢ dist (g (↑↑f a)) (g (↑↑f' a)) ≤ ↑c * dist (↑↑f a) (↑↑f' a)
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε : α
ε0 : 0 < ε
a₁ a₂ b₁ b₂ : β
h₁ : abv (a₁ - b₁) < ε / 2
h₂ : abv (a₂ - b₂) < ε / 2

⊢ abv (a₁ + a₂ - (b₁ + b₂)) < ε
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ

⊢ HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x

⊢ HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x
b : HasDerivAt (fun y => Complex.cos (y * (2 * z))) (-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z)) ↑x

⊢ HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x
b : HasDerivAt (fun y => Complex.cos (y * (2 * z))) (-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z)) ↑x
c : HasDerivAt (fun x => -(Complex.cos (↑x * (2 * z)) / (2 * z))) (-(-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z) / (2 * z))) x

⊢ HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x
b : HasDerivAt (fun y => Complex.cos (y * (2 * z))) (-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z)) ↑x
c : HasDerivAt (fun x => -Complex.cos (↑x * (2 * z)) / (2 * z)) (Complex.sin (↑x * (2 * z))) x

⊢ HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n : ℕ
hz : z ≠ 0
x : ℝ
a : HasDerivAt (fun y => y * (2 * z)) (2 * z) ↑x
b : HasDerivAt (fun y => Complex.cos (y * (2 * z))) (-Complex.sin (↑x * (2 * z)) * (2 * z)) ↑x
c : HasDerivAt (fun x => -Complex.cos (2 * z * ↑x) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x

⊢ HasDerivAt (fun y => -Complex.cos (2 * z * ↑y) / (2 * z)) (Complex.sin (2 * z * ↑x)) x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l

⊢ (l.erase a).length = l.length.pred
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l

⊢ (eraseP (fun x => a == x) l).length = l.length.pred
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv

⊢ Measure.map (fun x => c * x) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x

⊢ Measure.map (fun x => c * x) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x

⊢ Measure.map (⇑e.symm) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'

⊢ (Measure.map (⇑e.symm) (gaussianReal μ v)) s' = (gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)) s'
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'

⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', |c⁻¹| * gaussianPDFReal μ v (e x)) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', gaussianPDFReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v) x)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'

⊢ ⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v ≠ 0
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'

⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', |c⁻¹| * (|c| * gaussianPDFReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v) x)) = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s', gaussianPDFReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v) x)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'
x : ℝ

⊢ |c⁻¹| * (|c| * gaussianPDFReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v) x) = gaussianPDFReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v) x
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'
x : ℝ

⊢ |c⁻¹| * |c| = 1
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hv : ¬v = 0
hc : ¬c = 0
e : ℝ ≃ᵐ ℝ := (Homeomorph.mulLeft₀ c hc).symm.toMeasurableEquiv
he' : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (⇑e) ((fun x => c⁻¹) x) x
s' : Set ℝ
hs' : MeasurableSet s'
x : ℝ

⊢ |c| ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p

⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ (ENNReal.ofReal p).toReal) ^ (1 / (ENNReal.ofReal p).toReal)

⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)

⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0

⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0

⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), ‖-x‖ = ‖x‖

⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), ‖-x‖ = ‖x‖
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖

⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)

⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), ‖r • x‖ ≤ ‖r‖ * ‖x‖

⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℂ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
eq_zero : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0 ↔ x = 0
nm_zero : (∑ x : ι, ‖0 x‖ ^ p) ^ (1 / p) = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(-x) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) = (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_add : ∀ (x y : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, ‖(x + y) x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ (∑ x_1 : ι, ‖x x_1‖ ^ p) ^ (1 / p) + (∑ x : ι, ‖y x‖ ^ p) ^ (1 / p)
nm_smul : ∀ (r : ℝ) (x : ι → ℂ), (∑ x_1 : ι, abs ((r • x) x_1) ^ p) ^ (1 / p) ≤ ‖r‖ * (∑ x_1 : ι, abs (x x_1) ^ p) ^ (1 / p)

⊢ volume {x | (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ (2 * card ι) * ENNReal.ofReal ((π * Real.Gamma (2 / p + 1)) ^ card ι / Real.Gamma (2 * ↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ

⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n = 2 * a * xn a1 (n + 1) ∧ yn a1 (n + 2) + yn a1 n = 2 * a * yn a1 (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
this : pellZd a1 (n + 2) + pellZd a1 n = ↑(2 * a) * pellZd a1 (n + 1)

⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n = 2 * a * xn a1 (n + 1) ∧ yn a1 (n + 2) + yn a1 n = 2 * a * yn a1 (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
this : { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) } + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) } = ↑(2 * a) * { re := ↑(xn a1 (n + 1)), im := ↑(yn a1 (n + 1)) }

⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n = 2 * a * xn a1 (n + 1) ∧ yn a1 (n + 2) + yn a1 n = 2 * a * yn a1 (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
this : { re := ↑(xn a1 (n + 2)), im := ↑(yn a1 (n + 2)) } + { re := ↑(xn a1 n), im := ↑(yn a1 n) } = { re := ↑(2 * a) * ↑(xn a1 (n + 1)), im := ↑(2 * a) * ↑(yn a1 (n + 1)) }

⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n = 2 * a * xn a1 (n + 1) ∧ yn a1 (n + 2) + yn a1 n = 2 * a * yn a1 (n + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Find.lean
a b c d m✝ n✝¹ k✝ : ℕ
p q P✝ Q : ℕ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred P✝
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
m n k : ℕ
hmk : m.le k
ih : findGreatest P m ≤ findGreatest P k

⊢ findGreatest P m ≤ findGreatest P k.succ
-- Mathlib/Data/Nat/Find.lean
a b c d m✝ n✝¹ k✝ : ℕ
p q P✝ Q : ℕ → Prop
inst✝¹ : DecidablePred P✝
n✝ : ℕ
P : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred P
m n k : ℕ
hmk : m.le k
ih : findGreatest P m ≤ findGreatest P k

⊢ findGreatest P m ≤ if P (k + 1) then k + 1 else findGreatest P k
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K : Multifork I
b : I.R

⊢ K.π.app (WalkingMulticospan.right b) = K.ι (I.sndTo b) ≫ I.snd b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
K : Multifork I
b : I.R

⊢ K.π.app (WalkingMulticospan.left (I.sndTo b)) ≫ I.multicospan.map (WalkingMulticospan.Hom.snd b) = K.ι (I.sndTo b) ≫ I.snd b
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
f : G → ℝ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hf : support f ⊆ ball 0 R
hnf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hintf : ∫ (x : G), f x ∂μ = 1
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε

⊢ dist ((f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x₀) z₀ ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
f : G → ℝ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hf : support f ⊆ ball 0 R
hnf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hintf : ∫ (x : G), f x ∂μ = 1
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hif : Integrable f μ

⊢ dist ((f ⋆[lsmul ℝ ℝ, μ] g) x₀) z₀ ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
f : G → ℝ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hf : support f ⊆ ball 0 R
hnf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hintf : ∫ (x : G), f x ∂μ = 1
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hif : Integrable f μ

⊢ z₀ = ∫ (t : G), ((lsmul ℝ ℝ) (f t)) z₀ ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁹ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : BorelSpace G
inst✝⁵ : SecondCountableTopology G
inst✝⁴ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝ : CompleteSpace E'
f : G → ℝ
x₀ : G
R ε : ℝ
z₀ : E'
hε : 0 ≤ ε
hf : support f ⊆ ball 0 R
hnf : ∀ (x : G), 0 ≤ f x
hintf : ∫ (x : G), f x ∂μ = 1
hmg : AEStronglyMeasurable g μ
hg : ∀ x ∈ ball x₀ R, dist (g x) z₀ ≤ ε
hif : Integrable f μ

⊢ (‖lsmul ℝ ℝ‖ * ∫ (x : G), ‖f x‖ ∂μ) * ε ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y : P
hne : y ≠ x
h : Wbtw R x y x

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y : P
hne : y ≠ x
h : y = x

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hf : Injective ⇑f
p : R[X]
hp : (map f p).Monic

⊢ f p.leadingCoeff = f 1
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
f : α → β
inst✝ : WellFoundedLT β
hf : StrictMono f
s : Set α
hne : s.Nonempty

⊢ ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬x < m
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
f : α → β
inst✝ : WellFoundedLT β
hf : StrictMono f
s : Set α
hne : s.Nonempty
hs' : (f '' s).Nonempty

⊢ ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬x < m
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
f : α → β
inst✝ : WellFoundedLT β
hf : StrictMono f
s : Set α
hne : s.Nonempty
hs' : (f '' s).Nonempty
x : α
hx : x ∈ s
hex : f x = ⋯.min (f '' s) hs'

⊢ ∃ m ∈ s, ∀ x ∈ s, ¬x < m
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
f : α → β
inst✝ : WellFoundedLT β
hf : StrictMono f
s : Set α
hne : s.Nonempty
hs' : (f '' s).Nonempty
x : α
hx : x ∈ s
hex : f x = ⋯.min (f '' s) hs'
y : α
hy : y ∈ s
hlt : y < x

⊢ False
-- Mathlib/Order/WellFounded.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
f : α → β
inst✝ : WellFoundedLT β
hf : StrictMono f
s : Set α
hne : s.Nonempty
hs' : (f '' s).Nonempty
x : α
hx : x ∈ s
hex : f x = ⋯.min (f '' s) hs'
y : α
hy : y ∈ s
hlt : y < x

⊢ f y < ⋯.min (f '' s) hs'
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β
a : α
s : Stream' α
x✝ : a ∈ s
n : ℕ
h : (fun b => a = b) (s.get n)

⊢ (fun b => f a = b) ((map f s).get n)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
n : ℤ

⊢ a ^ (n - 1) * a * a⁻¹ = a ^ n * a⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : MulPosMono α
hb : 0 ≤ b
h : a ≤ 1

⊢ a * b ≤ b
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SuperpolynomialDecay.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : CommSemiring β
inst✝ : ContinuousMul β
hf : SuperpolynomialDecay l k f
c : β
z : ℕ

⊢ Tendsto (fun a => k a ^ z * (fun n => f n * c) a) l (𝓝 0)
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α

⊢ ((∃ h, a = c) ∨ ∃ h, b = c) ↔ P ∧ a = c ∨ ¬P ∧ b = c
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
s : Finset ι
hp : ↑s.card * p ≤ 1
i : ι
hi : i ∉ s
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
x : (i : ι) → A i

⊢ ∫⁻ (t : A i), f (update x i t) ^ (1 - ↑s.card * p) * ∏ j ∈ insert i s, (∫⋯∫⁻_{j}, f ∂μ) (update x i t) ^ p ∂μ i ≤ ((∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ) ^ (1 - (↑s.card - 1) * p) * ∏ i_1 ∈ s, (∫⋯∫⁻_{i_1}, ∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ ∂μ) ^ p) x
-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : Fintype ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq ι
p : ℝ
hp₀ : 0 ≤ p
s : Finset ι
hp : ↑s.card * p ≤ 1
i : ι
hi : i ∉ s
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
x : (i : ι) → A i

⊢ ∫⁻ (t : A i), f (update x i t) ^ (1 - ↑s.card * p) * ∏ j ∈ insert i s, (∫⋯∫⁻_{j}, f ∂μ) (update x i t) ^ p ∂μ i ≤ (∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ) x ^ (1 - (↑s.card - 1) * p) * ∏ x_1 ∈ s, (∫⋯∫⁻_{x_1}, ∫⋯∫⁻_{i}, f ∂μ ∂μ) x ^ p