ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t t' : Set (PrimeSpectrum R)
r : R

⊢ r ∈ vanishingIdeal t ⊔ vanishingIdeal t' → r ∈ vanishingIdeal (t ∩ t')
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t t' : Set (PrimeSpectrum R)
r : R

⊢ (∃ y ∈ vanishingIdeal t, ∃ z ∈ vanishingIdeal t', y + z = r) → ∀ x ∈ t ∩ t', r ∈ x.asIdeal
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t t' : Set (PrimeSpectrum R)
f : R
hf : f ∈ vanishingIdeal t
g : R
hg : g ∈ vanishingIdeal t'
x : PrimeSpectrum R
hxt : x ∈ t
hxt' : x ∈ t'

⊢ f + g ∈ x.asIdeal
-- Mathlib/RingTheory/PrimeSpectrum.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
t t' : Set (PrimeSpectrum R)
f : R
hf : ∀ x ∈ t, f ∈ x.asIdeal
g : R
hg : ∀ x ∈ t', g ∈ x.asIdeal
x : PrimeSpectrum R
hxt : x ∈ t
hxt' : x ∈ t'

⊢ f + g ∈ x.asIdeal
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
V : ι → Submodule 𝕜 E
hV : IsInternal V
hV' : OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ
w : PiLp 2 fun i => ↥(V i)

⊢ (hV.isometryL2OfOrthogonalFamily hV').symm w = ∑ i : ι, ↑(w i)
-- Mathlib/Order/SupIndep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝ : CompleteLattice α
s : Finset ι
f : ι → α

⊢ Independent (f ∘ Subtype.val) ↔ s.SupIndep f
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
L : List α
i : Fin L.length

⊢ drop (↑i) (take (↑i + 1) L) = [L.get i]
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Dihedral.lean
n : ℕ
i : ZMod n

⊢ sr i * sr i = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
m : Set X → ℝ≥0∞
r : ℝ≥0∞
μ : OuterMeasure X
s : Set X

⊢ μ ≤ pre m r ↔ ∀ (s : Set X), diam s ≤ r → μ s ≤ m s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ
y : ℂ
h : 0 < y.re ∨ x ≠ 0

⊢ ContinuousAt (fun p => ↑p.1 ^ p.2) (x, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ
y : ℂ
h : 0 < y.re ∨ x ≠ 0
hx : 0 < x

⊢ ContinuousAt (fun p => ↑p.1 ^ p.2) (x, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
y : ℂ
h : 0 < y.re ∨ 0 ≠ 0

⊢ ContinuousAt (fun p => ↑p.1 ^ p.2) (0, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x : ℝ
y : ℂ
h : 0 < y.re ∨ x ≠ 0
hx : x < 0

⊢ ContinuousAt (fun p => ↑p.1 ^ p.2) (x, y)
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

⊢ FiniteDimensional.finrank K L = n
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
this : FiniteDimensional K L

⊢ FiniteDimensional.finrank K L = n
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsGalois K L

⊢ FiniteDimensional.finrank K L = n
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn✝ : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsGalois K L
hn : 0 < n

⊢ FiniteDimensional.finrank K L = n
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn✝ : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
this✝¹ : FiniteDimensional K L
this✝ : IsGalois K L
hn : 0 < n
this : NeZero n

⊢ FiniteDimensional.finrank K L = n
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/IterateMapComap.lean
R : Type u_1
N : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
f i : N →ₗ[R] M
K : Submodule R N
m : ℕ
heq : f.iterateMapComap i m K = f.iterateMapComap i (m + 1) K
hf : Surjective ⇑f
hi : Injective ⇑i
n : ℕ

⊢ f.iterateMapComap i n K = f.iterateMapComap i (n + 1) K
-- Mathlib/Algebra/Lie/OfAssociative.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
x : L
m : M
hm : m ∈ ↑↑N

⊢ ((toEnd R L M) x) m ∈ ↑N
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Inductions.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q p : R[X]

⊢ ∀ (n : ℕ), (X * p.divX + C (p.coeff 0)).coeff n = p.coeff n
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1
f : α → ℝ≥0
hf : ¬Summable f

⊢ ↑(∑' (a : α), f a) = ∑' (a : α), ↑(f a)
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M

⊢ of' R M m ∈ span R (of' R M '' S) ↔ m ∈ S
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : of' R M m ∈ span R (of' R M '' S)

⊢ m ∈ S
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddMonoid M
inst✝ : Nontrivial R
m : M
S : Set M
h : ↑{m} ⊆ S

⊢ m ∈ S
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Set α
t✝ t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : α → α → β
s t : Set α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a

⊢ image2 f (t ∩ s) (s ∪ t) ⊆ image2 f s t
-- Mathlib/Data/Nat/Multiplicity.lean
p n r b : ℕ
hp : Prime p
hbn : log p n < b

⊢ p ^ r ∣ n ! ↔ r ≤ ∑ i ∈ Ico 1 b, n / p ^ i
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p : Fin (n + 1)
i : Fin n

⊢ i.succ ≤ p ∨ p ≤ i.castSucc
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
n₁ n₂ d₁ d₂ : Int
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0

⊢ n₁ /. d₁ + n₂ /. d₂ = (n₁ * d₂ + n₂ * d₁) /. (d₁ * d₂)
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q : Λ'
c : List Γ'
x : Γ'
b : List Γ'
IH : ∀ (s : Option Γ') (a d : List Γ'), Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.copy, var := s, stk := elim a b c d } { l := some q, var := none, stk := elim (b.reverseAux a) [] c (b.reverseAux d) }
s : Option Γ'
a d : List Γ'

⊢ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.copy, var := s, stk := elim a (x :: b) c d } { l := some q, var := none, stk := elim ((x :: b).reverseAux a) [] c ((x :: b).reverseAux d) }
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q : Λ'
c : List Γ'
x : Γ'
b : List Γ'
IH : ∀ (s : Option Γ') (a d : List Γ'), Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.copy, var := s, stk := elim a b c d } { l := some q, var := none, stk := elim (b.reverseAux a) [] c (b.reverseAux d) }
s : Option Γ'
a d : List Γ'

⊢ TransGen (fun a b => b ∈ TM2.step tr a) (TM2.stepAux (tr q.copy) s (elim a (x :: b) c d)) { l := some q, var := none, stk := elim ((x :: b).reverseAux a) [] c ((x :: b).reverseAux d) }
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
q : Λ'
c : List Γ'
x : Γ'
b : List Γ'
IH : ∀ (s : Option Γ') (a d : List Γ'), Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some q.copy, var := s, stk := elim a b c d } { l := some q, var := none, stk := elim (b.reverseAux a) [] c (b.reverseAux d) }
s : Option Γ'
a d : List Γ'

⊢ TransGen (fun a b => (match a with | { l := none, var := var, stk := stk } => none | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) = some b) { l := some q.copy, var := some x, stk := elim ((some x).iget :: a) b c ((some x).iget :: d) } { l := some q, var := none, stk := elim (b.reverseAux (x :: a)) [] c (b.reverseAux (x :: d)) }
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℤ
hn : n % 4 = 1

⊢ χ₄ ↑n = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℤ
hn : n % 4 = 1

⊢ χ₄ ↑1 = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d

⊢ SqLe z c w d
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d

⊢ ¬c * z * z > d * w * w
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
l : c * z * z > d * w * w

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
l : c * z * z > d * w * w

⊢ c * (x + z) * (x + z) > d * (y + w) * (y + w)
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
l : c * z * z > d * w * w

⊢ d * (y * y) + (d * (y * w) + (d * (y * w) + d * (w * w))) < c * (x * x) + (c * (x * z) + (c * (x * z) + c * (z * z)))
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
zw : SqLe y d x c
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
l : c * z * z > d * w * w
hm : d * (y * w) ≤ c * (x * z)

⊢ d * (y * y) + (d * (y * w) + (d * (y * w) + d * (w * w))) < c * (x * x) + (c * (x * z) + (c * (x * z) + c * (z * z)))
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d✝ : ℤ
c d x y z w : ℕ
h : SqLe (x + z) c (y + w) d
hm : d * (y * w) ≤ c * (x * z)
l : d * (w * w) < c * (z * z)
zw : d * (y * y) ≤ c * (x * x)

⊢ d * (y * y) + (d * (y * w) + (d * (y * w) + d * (w * w))) < c * (x * x) + (c * (x * z) + (c * (x * z) + c * (z * z)))
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α
x✝ : ℕ

⊢ x✝ ∈ Nat.cast ⁻¹' Ici a ↔ x✝ ∈ Ici ⌈a⌉₊
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
B : C
ι : Type w
X : ι → C
f : (j : ι) → X j ⟶ B
inst✝¹ : HasWidePullback B X f
inst✝ : PreservesLimit (wideCospan B X f) (forget C)
x y : (forget C).obj (widePullback B X f)
h₀ : (base f) x = (base f) y
h : ∀ (j : ι), (π f j) x = (π f j) y

⊢ x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ConcreteCategory.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : ConcreteCategory C
B : C
ι : Type w
X : ι → C
f : (j : ι) → X j ⟶ B
inst✝¹ : HasWidePullback B X f
inst✝ : PreservesLimit (wideCospan B X f) (forget C)
x y : (forget C).obj (widePullback B X f)
h₀ : (base f) x = (base f) y
h : ∀ (j : ι), (π f j) x = (π f j) y

⊢ ∀ (j : WidePullbackShape ι), (limit.π (wideCospan B X f) j) x = (limit.π (wideCospan B X f) j) y
-- Mathlib/Algebra/Group/Pi/Basic.lean
I : Type u
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : I → Type v₁
g : I → Type v₂
h : I → Type v₃
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝ : One γ
f : α → β
x✝ : β

⊢ extend f 1 1 x✝ = 1 x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Pseudofunctor.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : Pseudofunctor B C
a✝ b✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝

⊢ F.map₂ (λ_ f).inv = (λ_ (F.map f)).inv ≫ (fun a => (F.mapId a).inv) a✝ ▷ F.map f ≫ (fun {a b c} f g => (F.mapComp f g).inv) (𝟙 a✝) f
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Pseudofunctor.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : Pseudofunctor B C
a✝ b✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝

⊢ (λ_ (F.map f)).hom = ((fun a => (F.mapId a).inv) a✝ ▷ F.map f ≫ (fun {a b c} f g => (F.mapComp f g).inv) (𝟙 a✝) f) ≫ (F.map₂Iso (λ_ f)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Pseudofunctor.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : Pseudofunctor B C
a✝ b✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝

⊢ F.map₂ (ρ_ f).inv = (ρ_ (F.map f)).inv ≫ F.map f ◁ (fun a => (F.mapId a).inv) b✝ ≫ (fun {a b c} f g => (F.mapComp f g).inv) f (𝟙 b✝)
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Pseudofunctor.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F : Pseudofunctor B C
a✝ b✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝

⊢ (ρ_ (F.map f)).hom = (F.map f ◁ (fun a => (F.mapId a).inv) b✝ ≫ (fun {a b c} f g => (F.mapComp f g).inv) f (𝟙 b✝)) ≫ (F.map₂Iso (ρ_ f)).hom
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

⊢ W.addPolynomial x₁ y₁ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) = -((X - C x₁) * (X - C x₂) * (X - C (W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂))))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
h₁ : W.Equation x₁ y₁
h₂ : W.Equation x₂ y₂
hxy : x₁ = x₂ → y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

⊢ { a := 1, b := -W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ ^ 2 - W.a₁ * W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ + W.a₂, c := 2 * x₁ * W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ ^ 2 + (W.a₁ * x₁ - 2 * y₁ - W.a₃) * W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ + (-W.a₁ * y₁ + W.a₄), d := -x₁ ^ 2 * W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ ^ 2 + (2 * x₁ * y₁ + W.a₃ * x₁) * W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ - (y₁ ^ 2 + W.a₃ * y₁ - W.a₆) } = { a := 1, b := -(x₁ + x₂ + W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)), c := x₁ * x₂ + x₁ * W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂) + x₂ * W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂), d := -(x₁ * x₂ * W.addX x₁ x₂ (W.slope x₁ x₂ y₁ y₂)) }
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f'✝ f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
f : 𝕜 → F
f' : F
x₀ : 𝕜
hf : HasDerivAt f f' x₀
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖

⊢ ‖f'‖ ≤ C
-- Mathlib/Order/Interval/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
κ : ι → Sort u_6
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PartialOrder β
s t : Interval α
a b : α

⊢ b ∈ pure a ↔ b = a
-- Mathlib/Data/Finset/NoncommProd.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝² : Monoid β
inst✝¹ : Monoid γ
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
a : α
f : α → β
comm : (↑(insert a s)).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)
ha : a ∉ s

⊢ (insert a s).noncommProd f comm = f a * s.noncommProd f ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasureProd.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β

⊢ (μ.prod ν).map ⋯ = ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasureProd.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : ProbabilityMeasure α
ν : ProbabilityMeasure β

⊢ ↑((μ.prod ν).map ⋯) = ↑ν
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FiniteType.lean

⊢ OfLocalizationSpanTarget @FiniteType
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FiniteType.lean

⊢ OfLocalizationFiniteSpanTarget @FiniteType
-- Mathlib/Topology/Instances/Rat.lean
a b : ℚ

⊢ TotallyBounded (Icc a b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
g h : M ⊗[R] N →ₗ[R] P
H : ∀ (x : M) (y : N), g (x ⊗ₜ[R] y) = h (x ⊗ₜ[R] y)
z : M ⊗[R] N

⊢ g 0 = h 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
g h : M ⊗[R] N →ₗ[R] P
H : ∀ (x : M) (y : N), g (x ⊗ₜ[R] y) = h (x ⊗ₜ[R] y)
z x y : M ⊗[R] N
ihx : g x = h x
ihy : g y = h y

⊢ g (x + y) = h (x + y)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplex.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
ψ : (p : ℤ) → F.X p ⟶ G.X p
p : ℤ

⊢ (ofHoms ψ).v p p ⋯ = ψ p
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
han : (orderOf a).Coprime n

⊢ a • approxOrderOf A n δ ⊆ approxOrderOf A (orderOf a * n) δ
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
han : (orderOf a).Coprime n

⊢ ⋃ i, ⋃ (_ : orderOf i = n), ball (a * i) δ ⊆ ⋃ x, ⋃ (_ : orderOf x = orderOf a * n), ball x δ
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
han : (orderOf a).Coprime n
b : A
hb : orderOf b = n
c : A
hc : c ∈ ball (a * b) δ

⊢ c ∈ ⋃ x, ⋃ (_ : orderOf x = orderOf a * n), ball x δ
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
han : (orderOf a).Coprime n
b : A
hb : orderOf b = n
c : A
hc : c ∈ ball (a * b) δ

⊢ ∃ i, orderOf i = orderOf a * n ∧ c ∈ ball i δ
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup A
a : A
m n : ℕ
δ : ℝ
b : A
han : (orderOf a).Coprime (orderOf b)
hb : orderOf b = n
c : A
hc : c ∈ ball (a * b) δ

⊢ orderOf (a * b) = orderOf a * orderOf b
-- Mathlib/Topology/UnitInterval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α
h : a ≤ b
δ : α

⊢ ↑(addNSMul h δ 0) = a
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ p k n : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0

⊢ p ^ k ∣ n ↔ k ≤ n.factorization p
-- Mathlib/Order/GameAdd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
a : α
b : β
fst✝¹ snd✝¹ fst✝ snd✝ : α

⊢ GameAdd rα s(fst✝¹, snd✝¹) s(fst✝, snd✝) ↔ Prod.GameAdd rα rα (fst✝¹, snd✝¹) (fst✝, snd✝) ∨ Prod.GameAdd rα rα (fst✝¹, snd✝¹).swap (fst✝, snd✝)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), 0 < asympBound g a b (r i n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < asympBound g a b (r i x)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜

⊢ HasFPowerSeriesAt f p z₀ ↔ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, HasSum (fun n => (z - z₀) ^ n • p.coeff n) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜

⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => z ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + z))) ↔ ∀ᶠ (a : 𝕜) in 𝓝 0, HasSum (fun n => (z₀ + a - z₀) ^ n • p.coeff n) (f (z₀ + a))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : DecidableEq n
R : Type u_2
K : Type u_3
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Fintype m
A : Matrix m m R

⊢ Function.Surjective A.mulVec ↔ IsUnit A
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.25254, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
c : KernelFork S.g
hc : IsLimit c

⊢ ((hc.lift (KernelFork.ofι S.f ⋯) ≫ 𝟙 c.pt) ≫ 𝟙 c.pt) ≫ Fork.ι c = 0 ≫ Fork.ι c
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.25254, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
c : KernelFork S.g
hc : IsLimit c

⊢ (hc.lift (KernelFork.ofι S.f ⋯) ≫ 𝟙 c.pt) ≫ Fork.ι c = 0 ≫ Fork.ι c
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid M'
inst✝¹ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
j : ι
inst✝ : Decidable (i = j)

⊢ (b.repr (b i)) j = if i = j then 1 else 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, HasDerivAt g (g' x) x
hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[>] a, g' x ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hff' : ∃ v ∈ 𝓝[>] a, ∀ y ∈ v, HasDerivAt f (f' y) y
hgg' : ∃ v ∈ 𝓝[>] a, ∀ y ∈ v, HasDerivAt g (g' y) y
hg' : ∃ v ∈ 𝓝[>] a, ∀ y ∈ v, g' y ≠ 0
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
hs : s ∈ 𝓝[>] a

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => f' x / g' x) (𝓝[>] a) l
s₁ : Set ℝ
hs₁ : s₁ ∈ 𝓝[>] a
hff' : ∀ y ∈ s₁, HasDerivAt f (f' y) y
s₂ : Set ℝ
hs₂ : s₂ ∈ 𝓝[>] a
hgg' : ∀ y ∈ s₂, HasDerivAt g (g' y) y
s₃ : Set ℝ
hs₃ : s₃ ∈ 𝓝[>] a
hg' : ∀ y ∈ s₃, g' y ≠ 0
s : Set ℝ := s₁ ∩ s₂ ∩ s₃
hs : ∃ u ∈ Ioi a, Ioo a u ⊆ s

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) (𝓝[>] a) l