ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : MeasurableAdd₂ G
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s μ
hmg : AEStronglyMeasurable g μ

⊢ BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => -t + x₀) ⁻¹' s))
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : MeasurableAdd₂ G
inst✝ : SFinite μ
x₀ : G
s : Set G
hbg : BddAbove ((fun i => ‖g i‖) '' ((fun t => x₀ - t) ⁻¹' s))
hs : MeasurableSet s
h2s : (support fun t => (L (f t)) (g (x₀ - t))) ⊆ s
hf : IntegrableOn f s μ
hmg : AEStronglyMeasurable g μ

⊢ AEStronglyMeasurable g (Measure.map (fun t => x₀ - t) (μ.restrict s))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β
hf : Isometry f
s : Set α

⊢ Metric.diam (f '' s) = Metric.diam s
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂

⊢ AffineIndependent k ![p₁, p₂]
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂

⊢ LinearIndependent k fun i => ![p₁, p₂] ↑i -ᵥ ![p₁, p₂] 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
h : p₁ ≠ p₂
i₁ : { x // x ≠ 0 } := ⟨1, ⋯⟩
he' : ∀ (i : { x // x ≠ 0 }), i = i₁
this : Unique { x // x ≠ 0 }

⊢ ![p₁, p₂] ↑i₁ -ᵥ ![p₁, p₂] 0 ≠ 0
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x : PartENat

⊢ x ≠ ⊤ ↔ ∃ n, x = ↑n
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
inst✝ : IsDomain R
x : R
hx : x ≠ 0

⊢ I * span {x} = J * span {x} ↔ I = J
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y L : R

⊢ C (eval (C L * (X - C x) + C y) (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))) = (Y - C (C L * (X - C x) + C y)) * (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃) - C (C L * (X - C x) + C y)) + (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y L : R

⊢ C ((C L * (X - C x) + C y) ^ 2 + (C W.a₁ * X + C W.a₃) * (C L * (X - C x) + C y) - (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆)) = (Y - C (C L * (X - C x) + C y)) * (-Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃) - C (C L * (X - C x) + C y)) + (Y ^ 2 + C (C W.a₁ * X + C W.a₃) * Y - C (X ^ 3 + C W.a₂ * X ^ 2 + C W.a₄ * X + C W.a₆))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y L : R

⊢ (C (C L) * (C X - C (C x)) + C (C y)) ^ 2 + (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃)) * (C (C L) * (C X - C (C x)) + C (C y)) - (C X ^ 3 + C (C W.a₂) * C X ^ 2 + C (C W.a₄) * C X + C (C W.a₆)) = (Y - (C (C L) * (C X - C (C x)) + C (C y))) * (-Y - (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃)) - (C (C L) * (C X - C (C x)) + C (C y))) + (Y ^ 2 + (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃)) * Y - (C X ^ 3 + C (C W.a₂) * C X ^ 2 + C (C W.a₄) * C X + C (C W.a₆)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{u_1, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{u_2, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
W : D
h : F.obj Z ⟶ W

⊢ F.map (f ≫ g) ≫ h = F.map f ≫ F.map g ≫ h
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CauSeqFilter.lean
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : CauSeq β norm

⊢ CauchySeq ↑f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CauSeqFilter.lean
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : CauSeq β norm
s : Set (β × β)
hs : s ∈ uniformity β

⊢ ∃ t ∈ map (↑f) atTop, t ×ˢ t ⊆ s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CauSeqFilter.lean
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : CauSeq β norm
s : Set (β × β)
hs : s ∈ uniformity β
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεs : ∀ {a b : β}, dist a b < ε → (a, b) ∈ s

⊢ ∃ t ∈ map (↑f) atTop, t ×ˢ t ⊆ s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CauSeqFilter.lean
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : CauSeq β norm
s : Set (β × β)
hs : s ∈ uniformity β
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεs : ∀ {a b : β}, dist a b < ε → (a, b) ∈ s
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, ‖↑f j - ↑f k‖ < ε

⊢ ∃ t ∈ map (↑f) atTop, t ×ˢ t ⊆ s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CauSeqFilter.lean
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : CauSeq β norm
s : Set (β × β)
hs : s ∈ uniformity β
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεs : ∀ {a b : β}, dist a b < ε → (a, b) ∈ s
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, ‖↑f j - ↑f k‖ < ε

⊢ ↑f '' {n | n ≥ N} ∈ map (↑f) atTop ∧ (↑f '' {n | n ≥ N}) ×ˢ (↑f '' {n | n ≥ N}) ⊆ s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/CauSeqFilter.lean
β : Type v
inst✝ : NormedField β
f : CauSeq β norm
s : Set (β × β)
hs : s ∈ uniformity β
ε : ℝ
hε : ε > 0
hεs : ∀ {a b : β}, dist a b < ε → (a, b) ∈ s
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, ‖↑f j - ↑f k‖ < ε

⊢ (∃ a, ∀ b ≥ a, b ∈ ↑f ⁻¹' (↑f '' {n | n ≥ N})) ∧ (↑f '' {n | n ≥ N}) ×ˢ (↑f '' {n | n ≥ N}) ⊆ s
-- Mathlib/Analysis/Normed/MulAction.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing α
inst✝² : SeminormedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : BoundedSMul α β
s : α
x y : β

⊢ dist (s • x) (s • y) = ‖s‖ * dist x y
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
inst✝⁴ : Fintype K
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Fintype V
b : Basis { x // x ∈ IsNoetherian.finsetBasisIndex K V } K V := IsNoetherian.finsetBasis K V

⊢ Fintype.card V = q ^ FiniteDimensional.finrank K V
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

⊢ toIocDiv hp a (m • p + b) = m + toIocDiv hp a b
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α

⊢ some '' Ioc a b = Ioc ↑a ↑b
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
y z : ℤ
h : PythagoreanTriple 0 y z
hc : Nat.gcd 0 y.natAbs = 1

⊢ h.IsPrimitiveClassified
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
y z : ℤ
h : PythagoreanTriple 0 y z
hc : y.natAbs = 1

⊢ h.IsPrimitiveClassified
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
y z : ℤ
h : PythagoreanTriple 0 y z
hc : y.natAbs = 1
hy : y = ↑y.natAbs

⊢ h.IsPrimitiveClassified
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
y z : ℤ
h : PythagoreanTriple 0 y z
hc : y.natAbs = 1
hy : y = -↑y.natAbs

⊢ h.IsPrimitiveClassified
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hn : n ≠ 0
h : m % n = m

⊢ m % n < n
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Ring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra S A
inst✝² : IsScalarTower R S A
B : Type u_2
inst✝¹ : Ring B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
a : A
h : IsAlgebraic R a
p : R[X]
hp : p ≠ 0
ha : (aeval a) p = 0

⊢ (aeval (f a)) p = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
h : (pi Q).Anisotropic

⊢ ∀ (i : ι), (Q i).Anisotropic
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Fintype ι
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P
h : ∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), ∑ i : ι, (Q i) (x i) = 0 → ∀ (a : ι), x a = 0

⊢ ∀ (i : ι), (Q i).Anisotropic
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞

⊢ ContMDiff I I' n f ↔ Continuous f ∧ ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞

⊢ (ContinuousOn f univ ∧ ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (univ ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) ↔ Continuous f ∧ ∀ (y : M'), ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (↑(extChartAt I' y) ∘ f) (f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
p : α → Prop

⊢ (∀ x ∈ insert a s, p x) ↔ p a ∧ ∀ x ∈ s, p x
-- Mathlib/Order/ZornAtoms.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderTop α
h : ∀ (c : Set α), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ⊤ ∉ c → ∃ x, x ≠ ⊤ ∧ x ∈ upperBounds c

⊢ IsCoatomic α
-- Mathlib/Order/ZornAtoms.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderTop α
h : ∀ (c : Set α), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ⊤ ∉ c → ∃ x, x ≠ ⊤ ∧ x ∈ upperBounds c
x : α
hx : x < ⊤

⊢ ∃ a, IsCoatom a ∧ x ≤ a
-- Mathlib/Order/ZornAtoms.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderTop α
h : ∀ (c : Set α), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ⊤ ∉ c → ∃ x, x ≠ ⊤ ∧ x ∈ upperBounds c
x : α
hx : x < ⊤
this : ∃ y ∈ Ico x ⊤, x ≤ y ∧ ∀ z ∈ Ico x ⊤, y ≤ z → z = y

⊢ ∃ a, IsCoatom a ∧ x ≤ a
-- Mathlib/Order/ZornAtoms.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderTop α
h : ∀ (c : Set α), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ⊤ ∉ c → ∃ x, x ≠ ⊤ ∧ x ∈ upperBounds c
x : α
hx : x < ⊤
y : α
hxy : x ≤ y
hy : y < ⊤
hy' : ∀ z ∈ Ico x ⊤, y ≤ z → z = y

⊢ ∃ a, IsCoatom a ∧ x ≤ a
-- Mathlib/Order/ZornAtoms.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : OrderTop α
h : ∀ (c : Set α), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ⊤ ∉ c → ∃ x, x ≠ ⊤ ∧ x ∈ upperBounds c
x : α
hx : x < ⊤
y : α
hxy : x ≤ y
hy : y < ⊤
hy' : ∀ z ∈ Ico x ⊤, y ≤ z → z = y
z : α
hyz : y < z
hz : z < ⊤

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
n : ℕ
h : n ∈ σ.cycleType

⊢ n ∣ orderOf σ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
n : ℕ
h : n ∈ σ.cycleType

⊢ n ∣ σ.cycleType.lcm
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* MvPolynomial σ S
g : S →+* T
φ : MvPolynomial σ R

⊢ (map g) ((bind₂ f) φ) = (bind₂ ((map g).comp f)) φ
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* MvPolynomial σ S
g : S →+* T
φ : MvPolynomial σ R

⊢ eval₂ ((map g).comp f) (⇑(map g) ∘ X) φ = eval₂ ((map g).comp f) X φ
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ : σ → MvPolynomial τ R
f : R →+* MvPolynomial σ S
g : S →+* T
φ : MvPolynomial σ R
x✝ : σ

⊢ (⇑(map g) ∘ X) x✝ = X x✝
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
a : Cardinal.{u}
b : Cardinal.{max u v}
α : Type u
β : Type (max u v)

⊢ #β ≤ lift.{v, u} #α → ∃ a', lift.{v, u} a' = #β
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u
a : Cardinal.{u}
b : Cardinal.{max u v}
α : Type u
β : Type (max u v)

⊢ Nonempty (β ↪ α) → ∃ a', lift.{max u v, u} a' = lift.{max u v, max u v} #β
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Preorder M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Sub M
inst✝⁴ : OrderedSub M
inst✝³ : PartialOrder N
inst✝² : Add N
inst✝¹ : Sub N
inst✝ : OrderedSub N
e : M ≃o N
h_add : ∀ (a b : M), e (a + b) = e a + e b
a b : M
e_add : M ≃+ N := { toEquiv := e.toEquiv, map_add' := h_add }

⊢ e (a - b) = e a - e b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Preorder M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Sub M
inst✝⁴ : OrderedSub M
inst✝³ : PartialOrder N
inst✝² : Add N
inst✝¹ : Sub N
inst✝ : OrderedSub N
e : M ≃o N
h_add : ∀ (a b : M), e (a + b) = e a + e b
a b : M
e_add : M ≃+ N := { toEquiv := e.toEquiv, map_add' := h_add }

⊢ e (a - b) ≤ e a - e b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : Preorder M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Sub M
inst✝⁴ : OrderedSub M
inst✝³ : PartialOrder N
inst✝² : Add N
inst✝¹ : Sub N
inst✝ : OrderedSub N
e : M ≃o N
h_add : ∀ (a b : M), e (a + b) = e a + e b
a b : M
e_add : M ≃+ N := { toEquiv := e.toEquiv, map_add' := h_add }

⊢ e (e.symm (e a) - e.symm (e b)) ≤ e (e.symm (e a - e b))
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
a₁ : P.mp.A
f₁ : P.mp.B a₁ ⟹ α
a' : P.A
f' : (P.B a').drop ⟹ α
f₁' : (P.B a').last → P.M α
ff : P.B a' ⟹ α ::: P.M α
ef : splitFun f' f₁' = ff
e₁ : dest P ⟨a₁, f₁⟩ = ⟨a', ff⟩
he₁' : ↑P.last P.last.M := PFunctor.M.dest a₁
a₁' : P.last.A
g₁' : P.last.B a₁' → P.last.M
e₁' : he₁' = ⟨a₁', g₁'⟩

⊢ ∃ g₁', ∃ (e₁' : PFunctor.M.dest a₁ = ⟨a', g₁'⟩), f' = pathDestLeft P e₁' f₁ ∧ f₁' = fun x => ⟨g₁' x, pathDestRight P e₁' f₁ x⟩
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
a₁ : P.mp.A
f₁ : P.mp.B a₁ ⟹ α
a' : P.A
f' : (P.B a').drop ⟹ α
f₁' : (P.B a').last → P.M α
ff : P.B a' ⟹ α ::: P.M α
ef : splitFun f' f₁' = ff
he₁' : ↑P.last P.last.M := PFunctor.M.dest a₁
a₁' : P.last.A
g₁' : P.last.B a₁' → P.last.M
e₁' : he₁' = ⟨a₁', g₁'⟩
e₁ : dest' P e₁' f₁ = ⟨a', ff⟩

⊢ ∃ g₁', ∃ (e₁' : PFunctor.M.dest a₁ = ⟨a', g₁'⟩), f' = pathDestLeft P e₁' f₁ ∧ f₁' = fun x => ⟨g₁' x, pathDestRight P e₁' f₁ x⟩
-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/M.lean
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
a₁ : P.mp.A
f₁ : P.mp.B a₁ ⟹ α
a' : P.A
f' : (P.B a').drop ⟹ α
f₁' : (P.B a').last → P.M α
he₁' : ↑P.last P.last.M := PFunctor.M.dest a₁
g₁' : P.last.B a' → P.last.M
e₁' : he₁' = ⟨a', g₁'⟩
ef : splitFun f' f₁' = splitFun (pathDestLeft P e₁' f₁) fun x => ⟨g₁' x, pathDestRight P e₁' f₁ x⟩

⊢ ∃ g₁', ∃ (e₁' : PFunctor.M.dest a₁ = ⟨a', g₁'⟩), f' = pathDestLeft P e₁' f₁ ∧ f₁' = fun x => ⟨g₁' x, pathDestRight P e₁' f₁ x⟩
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
l₃ : ListBlank Γ

⊢ append (l₁ ++ l₂) l₃ = append l₁ (append l₂ l₃)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
l₃ : ListBlank Γ
l : List Γ

⊢ append (l₁ ++ l₂) ⟦l⟧ = append l₁ (append l₂ ⟦l⟧)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
Γ : Type u_1
inst✝ : Inhabited Γ
l₁ l₂ : List Γ
l₃ : ListBlank Γ
l : List Γ

⊢ append (l₁ ++ l₂) (mk l) = append l₁ (append l₂ (mk l))
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
i : α

⊢ i ∈ image Prod.fst (s ×ˢ t) → i ∈ s
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J
hJ : J ∈ π

⊢ (π.biUnion πi).restrict J = πi J
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁✝ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J
hJ : J ∈ π
J₁ : Box ι
h₁ : J₁ ∈ (πi J).boxes

⊢ J₁ ∈ ((π.biUnion πi).restrict J).boxes
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi✝ πi₁ πi₂ πi : (J : Box ι) → Prepartition J
hJ : J ∈ π

⊢ ((π.biUnion πi).restrict J).iUnion ⊆ (πi J).iUnion
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
g : γ → β
s : Finset γ

⊢ (image g s).lcm f = s.lcm (f ∘ g)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ModuleCat.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)

⊢ S.toCycles ≫ S.moduleCatCyclesIso.hom = S.moduleCatToCycles
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ModuleCat.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)

⊢ S.f = S.moduleCatToCycles ≫ (LinearMap.ker S.g).subtype
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
α : Type u_4
l : Filter α
x : ℝ≥0
f : ℝ≥0∞ → α

⊢ Tendsto f (𝓝 ↑x) l ↔ Tendsto (f ∘ ofNNReal) (𝓝 x) l
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r : R[X]
hp : p.Monic
u : R[X]ˣ
hq : (p * ↑u).Monic

⊢ p = p * ↑u
-- Mathlib/Data/List/Destutter.lean
α : Type u_1
l : List α
R : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel R
a✝ b a : α
h : destutter' R a l = a :: l

⊢ Chain' R (destutter' R a l)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
f : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter f
hf : ∀ x ∈ s, sᶜ ∈ 𝓝 x ⊓ f

⊢ sᶜ ∈ f
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
f : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter f
hf : sᶜ ∉ f

⊢ ∃ x ∈ s, sᶜ ∉ 𝓝 x ⊓ f
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
f : Filter X
inst✝ : CountableInterFilter f
hf : (f ⊓ 𝓟 s).NeBot

⊢ ∃ x ∈ s, (𝓝 x ⊓ (f ⊓ 𝓟 s)).NeBot
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
v : n → α

⊢ (diagonal v)ᴴ = diagonal (star v)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
v : n → α

⊢ (diagonal fun m => star (v m)) = diagonal (star v)
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ≤ b ⊔ (a \ c ⊔ c \ b)
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝¹ : Field K
A✝ A : ValuationSubring K
P : Ideal ↥A
inst✝ : P.IsPrime
x : ↥A

⊢ (A.ofPrime P).valuation ↑x = 1 ↔ x ∈ P.primeCompl
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝¹ : Field K
A✝ A : ValuationSubring K
P : Ideal ↥A
inst✝ : P.IsPrime
x : ↥A

⊢ (A.ofPrime P).valuation ↑x = 1 ↔ (A.ofPrime P).valuation ↑((algebraMap ↥A ↥(A.ofPrime P)) x) = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ⟦f⟧ ≠ 0

⊢ (⟦f⟧)⁻¹ * ⟦f⟧ = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero

⊢ (⟦f⟧)⁻¹ * ⟦f⟧ = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
x : Cauchy abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero

⊢ mk (f.inv ⋯ * f) = 1