ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
κ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝¹ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : Finset β
a : α
b : β
δ : 𝕜
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
P : Finpartition t

⊢ (interedges r s t).card = ∑ b ∈ P.parts, (interedges r s b).card
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace α
S : Set ι

⊢ generateFrom (piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) S) = ⨆ i ∈ S, m i
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace α
S : Set ι

⊢ generateFrom (piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) S) ≤ ⨆ i ∈ S, m i
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
m : ι → MeasurableSpace α
S : Set ι

⊢ ⨆ i ∈ S, m i ≤ generateFrom (piiUnionInter (fun n => {s | MeasurableSet s}) S)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
φ : X → E
φ_int : Integrable φ μ

⊢ ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
φ : X → E
φ_int : Integrable φ μ

⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set X⦄, MeasurableSet s → μ s < ⊤ → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) (s.indicator fun x => c)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
φ : X → E
φ_int : Integrable φ μ

⊢ ∀ ⦃f g : X → E⦄, Disjoint (support f) (support g) → Integrable f μ → Integrable g μ → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) f → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) g → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) (f + g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
φ : X → E
φ_int : Integrable φ μ

⊢ IsClosed {f | (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) ↑↑f}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : CompleteSpace F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
L : E →L[𝕜] F
φ : X → E
φ_int : Integrable φ μ

⊢ ∀ ⦃f g : X → E⦄, f =ᶠ[ae μ] g → Integrable f μ → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) f → (fun φ => ∫ (x : X), L (φ x) ∂μ = L (∫ (x : X), φ x ∂μ)) g
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
r : R
hri : r ∈ I
s : R
hsj : s ∈ J

⊢ f (r * s) ∈ map f I * map f J
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
r : R
hri : r ∈ I
s : R
hsj : s ∈ J

⊢ f r * f s ∈ map f I * map f J
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
i : S
x✝¹ : i ∈ ⇑f '' ↑I
r : R
hri : r ∈ ↑I
hfri : f r = i
j : S
x✝ : j ∈ ⇑f '' ↑J
s : R
hsj : s ∈ ↑J
hfsj : f s = j

⊢ f r * f s ∈ ↑(map f (I * J))
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u
S : Type v
F : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
f : F
I J : Ideal R
K L : Ideal S
i : S
x✝¹ : i ∈ ⇑f '' ↑I
r : R
hri : r ∈ ↑I
hfri : f r = i
j : S
x✝ : j ∈ ⇑f '' ↑J
s : R
hsj : s ∈ ↑J
hfsj : f s = j

⊢ f (r * s) ∈ ↑(map f (I * J))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Dickson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
k : ℕ
a : R
inst✝ : Invertible 2

⊢ 2 * C ⅟2 = 1
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : Zero X
r : ℝ≥0
f : C(X, ℝ)₀

⊢ (-(r • f)).toNNReal = r • (-f).toNNReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α

⊢ ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ ‖f‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α

⊢ ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
this : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal

⊢ ∑ i ∈ s, ‖↑f i‖ ^ p.toReal ≤ ∑' (i : α), ‖↑f i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
hp : 0 < p.toReal
f : ↥(lp E p)
s : Finset α
this : ∀ (i : α), 0 ≤ ‖↑f i‖ ^ p.toReal

⊢ Summable fun i => ‖↑f i‖ ^ p.toReal
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g : α → ℝ≥0∞
R : Type u_4
inst✝¹ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
a : R

⊢ ∑' (i : α), a • f i = a • ∑' (i : α), f i
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/QuasiIso.lean
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₃ ⟶ S₄
e : Arrow.mk φ ≅ Arrow.mk φ'
hφ : QuasiIso φ
α : S₃ ⟶ S₁ := e.inv.left
β : S₂ ⟶ S₄ := e.hom.right

⊢ φ' = α ≫ φ ≫ β
-- Mathlib/RingTheory/EssentialFiniteness.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T

⊢ EssFiniteType R S ↔ ∃ σ, ∀ (s : S), ∃ t ∈ adjoin R ↑σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ adjoin R ↑σ
-- Mathlib/RingTheory/EssentialFiniteness.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T

⊢ EssFiniteType R S ↔ ∃ σ, IsLocalization (Submonoid.comap (algebraMap (↥(adjoin R ↑σ)) S) (IsUnit.submonoid S)) S
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite

⊢ ∃ M', Module.Finite R ↥M' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor N M'.subtype))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
M' : Submodule R M
w✝ : Submodule R N
hfin : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥w✝
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' w✝))

⊢ ∃ M', Module.Finite R ↥M' ∧ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor N M'.subtype))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
M' : Submodule R M
w✝ : Submodule R N
hfin : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥w✝
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (mapIncl M' w✝))

⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor N M'.subtype))
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
M₁ M₂ : Submodule R M
N₁ N₂ : Submodule R N
s : Set (M ⊗[R] N)
hs : s.Finite
M' : Submodule R M
w✝ : Submodule R N
hfin : Module.Finite R ↥M'
left✝ : Module.Finite R ↥w✝
h : s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor N M'.subtype ∘ₗ LinearMap.lTensor (↥M') w✝.subtype))

⊢ s ⊆ ↑(LinearMap.range (LinearMap.rTensor N M'.subtype))
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α

⊢ Ico a c ⊆ Ico a b ∪ Ico b c
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ a b c : α

⊢ Set.Ico a c ⊆ Set.Ico a b ∪ Set.Ico b c
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Evaluation.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : ∀ (a b : C), HasProductsOfShape (a ⟶ b) D
c : C
F : C ⥤ D
d : D
f : F ⟶ (evaluationRightAdjoint D c).obj d
x : C
g : x ⟶ c

⊢ (Pi.lift fun g => F.map g ≫ f.app c ≫ Pi.π (fun x => d) (𝟙 c)) ≫ Pi.π (fun x => d) g = f.app x ≫ Pi.π (fun x => d) g
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict s u ≤ VectorMeasure.restrict 0 u
hsv : VectorMeasure.restrict s v ≤ VectorMeasure.restrict 0 v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0

⊢ ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u
hsv : VectorMeasure.restrict s v ≤ VectorMeasure.restrict 0 v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0

⊢ ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ (-s).restrict v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0

⊢ ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ (-s).restrict v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
this : ↑(-s) (u ∆ v) = 0 → ↑(-s) (w ∩ u) = ↑(-s) (w ∩ v)

⊢ ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
μ ν : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
u v w : Set α
hu : MeasurableSet u
hv : MeasurableSet v
hw : MeasurableSet w
hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ (-s).restrict u
hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ (-s).restrict v
hs : ↑s (u ∆ v) = 0
this : ↑s (u ∆ v) = 0 → ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)

⊢ ↑s (w ∩ u) = ↑s (w ∩ v)
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
hB' : B.SeparatingLeft

⊢ B.SeparatingRight
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M₁
inst✝ : Module R M₁
I I' : R →+* R
B : M →ₗ[R] M →ₗ[R] M₁
hB : B.IsRefl
hB' : B.SeparatingLeft

⊢ ker B = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
α χ : ↥H → R
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
m : M
hm : m ∈ ↑(weightSpace M χ)
x' : ↥(rootSpace H α) := ⟨x, hx⟩
m' : ↥(weightSpace M χ) := ⟨m, hm⟩

⊢ ((toEnd R L M) x) m ∈ ↑(weightSpace M (α + χ))
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β

⊢ map m f = ⊥ → f = ⊥
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β

⊢ ∅ ∈ map m f → ∅ ∈ f
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β
h : f = ⊥

⊢ map m f = ⊥
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n k : ℕ
h : k ≤ n
i j : ℕ

⊢ i + j = n ∧ k ≤ i ↔ ∃ a, a + j = n - k ∧ a + k = i
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n k : ℕ
h : k ≤ n
i j : ℕ
hi : i + j = n ∧ k ≤ i

⊢ i - k + j = n - k
-- Mathlib/Data/Finset/NatAntidiagonal.lean
n k : ℕ
h : k ≤ n
i j : ℕ

⊢ (∃ a, a + j = n - k ∧ a + k = i) → i + j = n ∧ k ≤ i
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁵ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
M : Type u_5
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ContinuousMul M
l✝ : Multiset (α → M)
l : List (α → M)
hl : ∀ f ∈ Quot.mk Setoid.r l, AEStronglyMeasurable f μ

⊢ AEStronglyMeasurable (Multiset.prod (Quot.mk Setoid.r l)) μ
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
h : a₂ ≠ 0
H : HasSum (fun i => a₂ * f i) (a₂ * a₁)

⊢ HasSum f a₁
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b✝ : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
v : V
b : AffineBasis ι k P
p : P

⊢ ((v +ᵥ b).coord i) p = ((b.coord i).comp ↑(AffineEquiv.constVAdd k P v).symm) p
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b✝ : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
v : V
b : AffineBasis ι k P
p : P

⊢ (((b.basisOf i).repr (p -ᵥ (v +ᵥ b i))).sum fun x => id) = ((b.basisOf i).repr (-v +ᵥ p -ᵥ b i)).sum fun x => id
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AffineSpace V P
inst✝¹ : Ring k
inst✝ : Module k V
b✝ : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
v : V
b : AffineBasis ι k P
p : P

⊢ (b.basisOf i).repr (p -ᵥ (v +ᵥ b i)) = (b.basisOf i).repr (-v +ᵥ p -ᵥ b i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : Nontrivial R

⊢ W'.Nonsingular ![1, 1, 0]
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : Nontrivial R

⊢ ¬(3 * 1 ^ 2 = 0 ∧ 2 * 1 = 0 ∧ W'.a₁ * 1 * 1 = 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
p p' : Submodule R M
R₂ : Type u_3
M₂ : Type u_4
inst✝² : Ring R₂
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂

⊢ map p.mkQ p = ⊥
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hp : p.NeBot
hf : UniformCauchySeqOn F p s
hx : x ∈ s

⊢ Cauchy (map (fun i => F i x) p)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hp : p.NeBot
hf : UniformCauchySeqOn F p s
hx : x ∈ s

⊢ Tendsto (fun p => (F p.1 x, F p.2 x)) (p ×ˢ p) (𝓤 β)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hp : p.NeBot
hf : UniformCauchySeqOn F p s
hx : x ∈ s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β

⊢ u ∈ map (fun p => (F p.1 x, F p.2 x)) (p ×ˢ p)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
hp : p.NeBot
hf : UniformCauchySeqOn F p s
hx : x ∈ s
u : Set (β × β)
hu : u ∈ 𝓤 β

⊢ (fun p => (F p.1 x, F p.2 x)) ⁻¹' u ∈ p ×ˢ p
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β

⊢ map (⇑e) atTop = atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
μ : Measure α
a b : α
inst✝ : NoAtoms μ

⊢ IntegrableOn f (Icc a b) μ ↔ IntegrableOn f (Ioo a b) μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a b : E
r r' : k
h : r < 1

⊢ (lineMap a b) r ≤ b ↔ (lineMap a b) r ≤ (lineMap a b) 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → E
g : ℝ → F
a b : ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : [[a, b]] ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g

⊢ ¬IntervalIntegrable g volume a b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
f : ℝ → E
g : ℝ → F
a b : ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : [[a, b]] ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g

⊢ ¬IntegrableOn g [[a, b]] volume
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i

⊢ a * b = b * a
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i

⊢ mulHom A = (mulHom A).flip
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i

⊢ ∀ (i : ι) (y : A i), (mulHom A) ((of A i) y) = (mulHom A).flip ((of A i) y)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai

⊢ (mulHom A) ((of A ai) ax) = (mulHom A).flip ((of A ai) ax)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai

⊢ ∀ (i : ι) (y : A i), ((mulHom A) ((of A ai) ax)) ((of A i) y) = ((mulHom A).flip ((of A ai) ax)) ((of A i) y)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
bi : ι
bx : A bi

⊢ ((mulHom A) ((of A ai) ax)) ((of A bi) bx) = ((mulHom A).flip ((of A ai) ax)) ((of A bi) bx)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
bi : ι
bx : A bi

⊢ (of A (ai + bi)) (GradedMonoid.GMul.mul ax bx) = (of A (bi + ai)) (GradedMonoid.GMul.mul bx ax)
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n

⊢ ↑ifp_succ_n.b ≤ ifp_n.fr⁻¹
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/Approximations.lean
K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair K
nth_stream_eq : IntFractPair.stream v n = some ifp_n
succ_nth_stream_eq : IntFractPair.stream v (n + 1) = some ifp_succ_n

⊢ ↑⌊ifp_n.fr⁻¹⌋ ≤ ifp_n.fr⁻¹
-- Mathlib/Data/Finset/Grade.lean
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ s ⋖ t ↔ ∃ a ∈ t, t.erase a = s
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Int.lean
a : ℤ

⊢ a.sign * |a| = a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FormalMultilinearSeries.lean
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁵ : Ring 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : 0 < n

⊢ p.removeZero n = p n