ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0

⊢ (o.oangle x (-y)).sign = -(o.oangle x y).sign
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean

⊢ Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 √π)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
a : ℝ
hapos : 0 < a
halimit : Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)

⊢ Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 √π)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
a : ℝ
hapos : 0 < a
halimit : Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 a)
hπ : π / 2 = a ^ 2 / 2

⊢ Tendsto stirlingSeq atTop (𝓝 √π)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜

⊢ iteratedDeriv (n + 1) f x = deriv (iteratedDeriv n f) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x✝ x : 𝕜

⊢ iteratedDerivWithin (n + 1) f univ x = derivWithin (iteratedDerivWithin n f univ) univ x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Over.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
U : Over X
S : Sieve U
hS : S ∈ (J.over X).sieves U

⊢ Sieve.functorPushforward (Over.map f) S ∈ (J.over Y).sieves ((Over.map f).obj U)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Over.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
U : Over X
S : Sieve U.left
hS : (Sieve.overEquiv U).symm S ∈ (J.over X).sieves U

⊢ Sieve.functorPushforward (Over.map f) ((Sieve.overEquiv U).symm S) ∈ (J.over Y).sieves ((Over.map f).obj U)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Over.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
U : Over X
S : Sieve U.left
hS : (Sieve.overEquiv U).symm S ∈ (J.over X).sieves U

⊢ (Sieve.overEquiv ((Over.map f).obj U)).symm S ∈ (J.over Y).sieves ((Over.map f).obj U)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Over.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
X Y : C
f : X ⟶ Y
U : Over X
S : Sieve U.left
hS : (Sieve.overEquiv U).symm S ∈ (J.over X).sieves U

⊢ S ∈ J.sieves ((Over.map f).obj U).left
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝ : Fintype κ
f : Matrix ι ι R

⊢ LinearMap.det (toLin' f) = f.det
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

⊢ eLpNorm f_lim ⊤ μ = essSup (fun x => liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

⊢ essSup (fun x => ↑‖f_lim x‖₊) μ = essSup (fun x => liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
x : α
hx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

⊢ (fun x => ↑‖f_lim x‖₊) x = (fun x => liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
x : α
hx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

⊢ ↑‖f_lim x‖₊ = liminf (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
x : α
hx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

⊢ Tendsto (fun m => ↑‖f m x‖₊) atTop (𝓝 ↑‖f_lim x‖₊)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
ι : Type u_5
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : LinearOrder ι
f : ι → α → G
f_lim : α → G
h_lim : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
x : α
hx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))

⊢ Tendsto (fun m => ‖f m x‖₊) atTop (𝓝 ‖f_lim x‖₊)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g

⊢ Integrable (f + g) μ ↔ Integrable f μ ∧ Integrable g μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
hfg : Integrable (f + g) μ

⊢ Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f✝ g✝ : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
hfg : Integrable (f + g) μ

⊢ Integrable g μ
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0

⊢ 1 / a ≤ 1 / b ↔ b ≤ a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Nonempty α
f : ↥(lp E ⊤)
C : ℝ
hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C

⊢ ‖f‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝ : Nonempty α
f : ↥(lp E ⊤)
C : ℝ
hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C

⊢ C ∈ upperBounds (Set.range fun i => ‖↑f i‖)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
U : Opens ↑X
R : Presieve U
hR : Sieve.generate R ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U

⊢ iSup (coveringOfPresieve U R) = U
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
U : Opens ↑X
R : Presieve U
hR : Sieve.generate R ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U

⊢ iSup (coveringOfPresieve U R) ≤ U
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
U : Opens ↑X
R : Presieve U
hR : Sieve.generate R ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U

⊢ U ≤ iSup (coveringOfPresieve U R)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
U : Opens ↑X
R : Presieve U
hR : Sieve.generate R ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U
x : ↑X
hxU : x ∈ ↑U

⊢ x ∈ ↑(iSup (coveringOfPresieve U R))
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/Sites.lean
X : TopCat
U : Opens ↑X
R : Presieve U
hR : Sieve.generate R ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves U
x : ↑X
hxU : x ∈ ↑U

⊢ ∃ i, x ∈ ↑(coveringOfPresieve U R i)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ Ioc a b = ∅ ↔ ¬a < b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]
h : ∏ i ∈ s, (f i).leadingCoeff ≠ 0

⊢ (∏ i ∈ s, f i).natDegree = ∑ i ∈ s, (f i).natDegree
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x y z : α

⊢ y ∈ s.ordConnectedComponent x ↔ x ∈ s.ordConnectedComponent y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X X' Y Y' Z Z' : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : X ⟶ Y ⊗ Z
g : X' ⟶ Z'

⊢ (tensorLeftHomEquiv (X ⊗ X') Y Y' (Z ⊗ Z')).symm ((f ⊗ g) ≫ (α_ Y Z Z').hom) = (α_ Y' X X').inv ≫ ((tensorLeftHomEquiv X Y Y' Z).symm f ⊗ g)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
e : ONote
n : ℕ+
a : ONote
h : (e.oadd n a).NF

⊢ ω ∣ (e.oadd n a).repr → e.repr ≠ 0 ∧ ω ∣ a.repr
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsLocalAtSource P
X Y U✝ V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : X.OpenCover
ι : Sort u_1
U : ι → X.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P ((U i).ι ≫ f)

⊢ P f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
inst✝¹ : IsLocalAtSource P
X Y U✝ V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : X.OpenCover
ι : Sort u_1
U : ι → X.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P ((U i).ι ≫ f)
i : (X.openCoverOfISupEqTop Subtype.val ⋯).J

⊢ P ((X.openCoverOfISupEqTop Subtype.val ⋯).map i ≫ f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
R : D ⥤ C
inst✝¹ : Reflective R
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
F : J ⥤ D
c : Cocone ((F ⋙ R) ⋙ monadicLeftAdjoint R) := (monadicLeftAdjoint R).mapCocone (colimit.cocone (F ⋙ R))
this : PreservesColimitsOfShape J (monadicLeftAdjoint R) := PreservesColimitsOfSize.preservesColimitsOfShape
t : IsColimit c := isColimitOfPreserves (monadicLeftAdjoint R) (colimit.isColimit (F ⋙ R))

⊢ HasColimit F
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
J : Type u
inst✝² : Category.{v, u} J
R : D ⥤ C
inst✝¹ : Reflective R
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
F : J ⥤ D
c : Cocone ((F ⋙ R) ⋙ monadicLeftAdjoint R) := (monadicLeftAdjoint R).mapCocone (colimit.cocone (F ⋙ R))
this : PreservesColimitsOfShape J (monadicLeftAdjoint R) := PreservesColimitsOfSize.preservesColimitsOfShape
t : IsColimit c := isColimitOfPreserves (monadicLeftAdjoint R) (colimit.isColimit (F ⋙ R))

⊢ (F ⋙ R) ⋙ monadicLeftAdjoint R ≅ F
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
M M' : G.Subgraph
v w : V
inst✝ : Fintype ↑M.verts
h : M.IsMatching

⊢ Even M.verts.toFinset.card
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : ↑(MaxProducts C ho)

⊢ (↑↑l).head! = term I ho
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : ↑(MaxProducts C ho)

⊢ ord I (↑↑l).head! = o
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : ↑(MaxProducts C ho)
hm : term I ho ∈ ↑↑l

⊢ ord I (↑↑l).head! = o
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : ↑(MaxProducts C ho)
hm : term I ho ∈ ↑↑l
this : ord I (↑↑l).head! < Order.succ o

⊢ ord I (↑↑l).head! = o
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : ↑(MaxProducts C ho)
hm : term I ho ∈ ↑↑l
this : ord I (↑↑l).head! ≤ o

⊢ ord I (↑↑l).head! = o
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : ↑(MaxProducts C ho)
hm : term I ho ∈ ↑↑l
this : ord I (↑↑l).head! ≤ o

⊢ o ≤ ord I (↑↑l).head!
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝² : LinearOrder I
inst✝¹ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : Inhabited I
l : ↑(MaxProducts C ho)
hm : term I ho ∈ ↑↑l
this : ord I (↑↑l).head! ≤ o
h : ord I (term I ho) ≤ ord I (↑↑l).head!

⊢ o ≤ ord I (↑↑l).head!
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
k : ℕ
x : α

⊢ x ≤ succ^[k] x
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
k : ℕ
x : α

⊢ id^[k] x ≤ succ^[k] x
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
h₁ : x ≤ y
h₂ : y ≤ x

⊢ x < y ∨ x ≈ y ∨ y < x ∨ x ‖ y
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
h₁ : x ≤ y
h₂ : x ⧏ y

⊢ x < y ∨ x ≈ y ∨ y < x ∨ x ‖ y
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
h₁ : y ⧏ x
h₂ : y ≤ x

⊢ x < y ∨ x ≈ y ∨ y < x ∨ x ‖ y
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
h₁ : y ⧏ x
h₂ : x ⧏ y

⊢ x < y ∨ x ≈ y ∨ y < x ∨ x ‖ y
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
hx : x ∈ rootSpace H χ₁
hm : m ∈ weightSpace M χ₂
n : ℕ

⊢ ((toEnd R L M) x ^ n) m ∈ weightSpace M (n • χ₁ + χ₂)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n : ℕ
a b : ZMod n
h : a.val + b.val < n
this : NeZero n

⊢ (a + b).val = a.val + b.val
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n : ℕ

⊢ (ascPochhammer ℕ (n + 0 + 1)).smeval (-↑n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Pow R ℕ
inst✝ : BinomialRing R
n k : ℕ

⊢ (ascPochhammer ℕ (n + (k + 1) + 1)).smeval (-↑n) = 0
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t✝ : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p s
t : Set α

⊢ t ∈ l ↔ t ∈ l'
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i

⊢ ∃ s, x ∈ ⨆ i ∈ s, f i
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
this : F⟮x⟯ ≤ ⨆ i, f i → ∃ s, F⟮x⟯ ≤ ⨆ i ∈ s, f i

⊢ ∃ s, x ∈ ⨆ i ∈ s, f i
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
α : E
ι : Type u_3
f : ι → IntermediateField F E
x : E
hx : x ∈ ⨆ i, f i
this : x ∈ ⨆ i, f i → ∃ s, x ∈ ⨆ i ∈ s, f i

⊢ ∃ s, x ∈ ⨆ i ∈ s, f i
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ

⊢ ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (f ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = f i ⊗ₜ[R] g k
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ

⊢ ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (0 ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = 0 i ⊗ₜ[R] g k
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ

⊢ ∀ (f g_1 : ι →₀ M), ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (f ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = f i ⊗ₜ[R] g k → ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (g_1 ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = g_1 i ⊗ₜ[R] g k → ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) ((f + g_1) ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = (f + g_1) i ⊗ₜ[R] g k
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ

⊢ ∀ (a : ι) (b : M), ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single a b ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = (Finsupp.single a b) i ⊗ₜ[R] g k
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ
i' : ι
m : M

⊢ ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] g k
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ
i' : ι
m : M

⊢ ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] 0)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] 0 k
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ
i' : ι
m : M

⊢ ∀ (f g : κ →₀ N), ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] f)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] f k → ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] g)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] g k → ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] (f + g))) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] (f + g) k
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ
i' : ι
m : M

⊢ ∀ (a : κ) (b : N), ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] Finsupp.single a b)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] (Finsupp.single a b) k
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f : ι →₀ M
g : κ →₀ N
i : ι
k : κ
i' : ι
m : M
k' : κ
n : N

⊢ ((finsuppTensorFinsupp R S M N ι κ) (Finsupp.single i' m ⊗ₜ[R] Finsupp.single k' n)) (i, k) = (Finsupp.single i' m) i ⊗ₜ[R] (Finsupp.single k' n) k
-- Mathlib/Order/Interval/Set/ProjIcc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h : a ≤ b
x val✝ : α
property✝ : val✝ ∈ Icc a b

⊢ projIcc a b h ↑⟨val✝, property✝⟩ = ⟨val✝, property✝⟩
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a b : Fin m

⊢ castAdd n a = castAdd n b ↔ a = b
-- Mathlib/Data/Pi/Interval.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
a b : (i : ι) → α i

⊢ (Ioc a b).card = ∏ i : ι, (Icc (a i) (b i)).card - 1
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F K
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra K E
inst✝³ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝² : Field E'
inst✝¹ : Algebra F E'
f : E →ₐ[F] E'
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E'
this : Algebra E E' := f.toAlgebra

⊢ Algebra.IsSeparable F E
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Field F
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field E
inst✝⁶ : Algebra F K
inst✝⁵ : Algebra F E
inst✝⁴ : Algebra K E
inst✝³ : IsScalarTower F K E
E' : Type u_4
inst✝² : Field E'
inst✝¹ : Algebra F E'
f : E →ₐ[F] E'
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E'
this✝ : Algebra E E' := f.toAlgebra
this : IsScalarTower F E E'

⊢ Algebra.IsSeparable F E
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α

⊢ (a ⇨ b) ⊓ (b ⇨ c) ≤ a ⇨ c
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α

⊢ (a ⇨ b) ⊓ a ≤ (b ⇨ c) ⇨ c
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
comm : a ≫ f₁ = b ≫ f₁
big_k : IsKernelPair (f₁ ≫ f₂) a b
s : PullbackCone f₁ f₁
s' : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂) := PullbackCone.mk s.fst s.snd ⋯

⊢ { l // l ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).fst = s.fst ∧ l ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).snd = s.snd ∧ ∀ {m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt}, m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).fst = s.fst → m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).snd = s.snd → m = l }