ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
B : ∀ z ∈ closedBall b ε, g z ∈ closedBall b ε → dist (f (g z)) y ≤ ↑c * ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
C : ∀ (n : ℕ) (w : E), dist w b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y → w ∈ closedBall b ε
D : ∀ (n : ℕ), dist (f (u n)) y ≤ (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n * dist (f b) y ∧ dist (u n) b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y
this : CauchySeq u
x : E
hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)
xmem : x ∈ closedBall b ε
hx' : Tendsto u atTop (𝓝[closedBall b ε] x)

⊢ f x = y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
B : ∀ z ∈ closedBall b ε, g z ∈ closedBall b ε → dist (f (g z)) y ≤ ↑c * ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
C : ∀ (n : ℕ) (w : E), dist w b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y → w ∈ closedBall b ε
D : ∀ (n : ℕ), dist (f (u n)) y ≤ (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n * dist (f b) y ∧ dist (u n) b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y
this : CauchySeq u
x : E
hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)
xmem : x ∈ closedBall b ε
hx' : Tendsto u atTop (𝓝[closedBall b ε] x)
T1 : Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 (f x))

⊢ f x = y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε✝ : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
B : ∀ z ∈ closedBall b ε, g z ∈ closedBall b ε → dist (f (g z)) y ≤ ↑c * ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
C : ∀ (n : ℕ) (w : E), dist w b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y → w ∈ closedBall b ε
D : ∀ (n : ℕ), dist (f (u n)) y ≤ (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n * dist (f b) y ∧ dist (u n) b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y
this : CauchySeq u
x : E
hx : Tendsto u atTop (𝓝 x)
xmem : x ∈ closedBall b ε
hx' : Tendsto u atTop (𝓝[closedBall b ε] x)
T1 : Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 (f x))
T2 : Tendsto (f ∘ u) atTop (𝓝 y)

⊢ f x = y
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a : α

⊢ ⋃ n, Icc (n • p) ((n + 1) • p) = univ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
hx : x ∈ Icc (-(π / 2)) (π / 2)

⊢ sin (arcsin (sin x)) = sin x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
hp0 : p ≠ 0

⊢ ↑(Multiset.card p.roots) ≤ p.degree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n m : ℕ
hmn : m ≤ n
h : Irreducible (cyclotomic (p ^ n) R)

⊢ Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
h : Irreducible (cyclotomic (p ^ n) R)
hmn : 0 ≤ n

⊢ Irreducible (cyclotomic (p ^ 0) R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n m : ℕ
hmn : m ≤ n
h : Irreducible (cyclotomic (p ^ n) R)
hm : m > 0

⊢ Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m : ℕ
hm : m > 0
k : ℕ
hmn : m ≤ m + k
h : Irreducible (cyclotomic (p ^ (m + k)) R)

⊢ Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m : ℕ
hm : m > 0
k : ℕ
hk : m ≤ m + k → Irreducible (cyclotomic (p ^ (m + k)) R) → Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)
hmn : m ≤ m + (k + 1)
h : Irreducible (cyclotomic (p ^ (m + (k + 1))) R)

⊢ Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m : ℕ
hm : m > 0
k : ℕ
hk : m ≤ m + k → Irreducible (cyclotomic (p ^ (m + k)) R) → Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)
hmn : m ≤ m + (k + 1)
h : Irreducible (cyclotomic (p ^ (m + (k + 1))) R)
this : m + k ≠ 0

⊢ Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Expand.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
m : ℕ
hm : m > 0
k : ℕ
hk : m ≤ m + k → Irreducible (cyclotomic (p ^ (m + k)) R) → Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)
hmn : m ≤ m + (k + 1)
h : Irreducible ((expand R p) (cyclotomic (p ^ (m + k)) R))
this : m + k ≠ 0

⊢ Irreducible (cyclotomic (p ^ m) R)
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
F : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace F
f : E → F
C : ℝ≥0
t : Set E
h : LipschitzOnWith C f t
g : α → E
s : Set α
hg : MapsTo g s t

⊢ eVariationOn (f ∘ g) s ≤ ↑C * eVariationOn g s
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
F : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace F
f : E → F
C : ℝ≥0
t : Set E
h : LipschitzOnWith C f t
g : α → E
s : Set α
hg : MapsTo g s t

⊢ ∀ (i : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ s }), ∑ i_1 ∈ Finset.range i.1, edist ((f ∘ g) (↑i.2 (i_1 + 1))) ((f ∘ g) (↑i.2 i_1)) ≤ ↑C * eVariationOn g s
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
F : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace F
f : E → F
C : ℝ≥0
t : Set E
h : LipschitzOnWith C f t
g : α → E
s : Set α
hg : MapsTo g s t
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s

⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist ((f ∘ g) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 (i + 1))) ((f ∘ g) (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 i)) ≤ ↑C * eVariationOn g s
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Prod.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
n : A
x✝ : A × A
a b : A

⊢ (a, b) ∈ map (Equiv.prodComm A A).toEmbedding (antidiagonal n) ↔ (a, b) ∈ antidiagonal n
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P✝ : Finpartition a
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i

⊢ (P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts).SupIndep id
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P✝ : Finpartition a
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i

⊢ (↑(P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts)).PairwiseDisjoint id
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a✝ b✝ c : α
P✝ : Finpartition a✝
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a✝
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
a : α
ha : a ∈ ↑(P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts)
b : α
hb : b ∈ ↑(P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts)
h : a ≠ b

⊢ (Disjoint on id) a b
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a✝ b✝ c : α
P✝ : Finpartition a✝
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a✝
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
a : α
ha : ∃ a_1 ∈ P.parts.attach, a ∈ (Q ↑a_1 ⋯).parts
b : α
hb : ∃ a ∈ P.parts.attach, b ∈ (Q ↑a ⋯).parts
h : a ≠ b

⊢ (Disjoint on id) a b
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a✝ b✝ c : α
P✝ : Finpartition a✝
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a✝
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
a b : α
h : a ≠ b
A : α
hA : A ∈ P.parts
ha : a ∈ (Q ↑⟨A, hA⟩ ⋯).parts
B : α
hB : B ∈ P.parts
hb : b ∈ (Q ↑⟨B, hB⟩ ⋯).parts

⊢ (Disjoint on id) a b
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a✝ b✝ c : α
P✝ : Finpartition a✝
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a✝
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
a b : α
h : a ≠ b
A : α
hA : A ∈ P.parts
ha : a ∈ (Q ↑⟨A, hA⟩ ⋯).parts
hB : A ∈ P.parts
hb : b ∈ (Q ↑⟨A, hB⟩ ⋯).parts

⊢ (Disjoint on id) a b
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a✝ b✝ c : α
P✝ : Finpartition a✝
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a✝
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
a b : α
h : a ≠ b
A : α
hA : A ∈ P.parts
ha : a ∈ (Q ↑⟨A, hA⟩ ⋯).parts
B : α
hB : B ∈ P.parts
hb : b ∈ (Q ↑⟨B, hB⟩ ⋯).parts
hAB : A ≠ B

⊢ (Disjoint on id) a b
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P✝ : Finpartition a
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i

⊢ (P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts).sup id = a
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P✝ : Finpartition a
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i

⊢ (P.parts.attach.sup fun x => (Q ↑x ⋯).parts.sup id) = a
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P✝ : Finpartition a
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
h : ⊥ ∈ P.parts.attach.biUnion fun i => (Q ↑i ⋯).parts

⊢ False
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P✝ : Finpartition a
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
h : ∃ a_1 ∈ P.parts.attach, ⊥ ∈ (Q ↑a_1 ⋯).parts

⊢ False
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P✝ : Finpartition a
Q✝ : (i : α) → i ∈ P✝.parts → Finpartition i
P : Finpartition a
Q : (i : α) → i ∈ P.parts → Finpartition i
A : α
hA : A ∈ P.parts
h : ⊥ ∈ (Q ↑⟨A, hA⟩ ⋯).parts

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ t s : Subgroup α

⊢ Nat.card α = Nat.card (α ⧸ s) * Nat.card ↥s
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s✝ t s : Subgroup α

⊢ Nat.card α = Nat.card ((α ⧸ s) × ↥s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
h : affineSpan k (range p) = ⊤

⊢ 0 < Fintype.card ι
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
h : affineSpan k (range p) = ⊤
i : ι

⊢ 0 < Fintype.card ι
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → ℝ
h_meas : AEStronglyMeasurable f μ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
h_int : Integrable (f + g) μ

⊢ Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → ℝ
h_meas : AEStronglyMeasurable f μ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
h_int : Integrable (f + g) μ

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ ≤ (f + g) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f g : α → ℝ
h_meas : AEStronglyMeasurable f μ
hf : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hg : 0 ≤ᶠ[ae μ] g
h_int : Integrable (f + g) μ
a : α
haf : 0 a ≤ f a
hag : 0 a ≤ g a

⊢ ‖f a‖ ≤ (f + g) a
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α

⊢ (insert x s).einfsep = (⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y) ⊓ s.einfsep
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α

⊢ (⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y) ⊓ s.einfsep ≤ (insert x s).einfsep
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α

⊢ ∀ (x_1 : α), x_1 = x ∨ x_1 ∈ s → ∀ (y : α), y = x ∨ y ∈ s → x_1 ≠ y → ⨅ y ∈ s, ⨅ (_ : x ≠ y), edist x y ≤ edist x_1 y ∨ s.einfsep ≤ edist x_1 y
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
m n : ℕ

⊢ ↑(m ^ (n + 1)) = ↑m ^ ↑(n + 1)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Tagged.lean
ι : Type u_1
I J : Box ι
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
hJ : J ∈ π
J' : Box ι
hJ' : J' ∈ πi J

⊢ (π.biUnionTagged πi).tag J' = (πi J).tag J'
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Tagged.lean
ι : Type u_1
I J : Box ι
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
hJ : J ∈ π
J' : Box ι
hJ' : J' ∈ πi J

⊢ (π.biUnionTagged πi).tag J' = (πi (π.biUnionIndex (fun J => (πi J).toPrepartition) J')).tag J'
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
p n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
f : R[X]
inst✝ : PerfectRing R p

⊢ Multiset.map (⇑(iterateFrobenius R p n)) ((expand R (p ^ n)) f).roots = p ^ n • f.roots
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Norm.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsDomain S
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : IsDedekindDomain S
inst✝¹ : Module.Finite R S
inst✝ : Module.Free R S

⊢ (relNorm R) ⊥ = ⊥
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x ε : ℝ
s : Set ℝ
hs : s ⊆ closedBall x (|p| / 2)

⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε ∩ s = if ε < |p| / 2 then closedBall x ε ∩ s else s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x ε : ℝ
s : Set ℝ
hs : s ⊆ closedBall x (|p| / 2)
hε : |p| / 2 ≤ ε

⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε ∩ s = if ε < |p| / 2 then closedBall x ε ∩ s else s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddCircle.lean
p x ε : ℝ
s : Set ℝ
hs : s ⊆ closedBall x (|p| / 2)
hε : ε < |p| / 2

⊢ QuotientAddGroup.mk ⁻¹' closedBall (↑x) ε ∩ s = if ε < |p| / 2 then closedBall x ε ∩ s else s
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E

⊢ ‖A x‖ ^ 2 = re ⟪((adjoint A).comp A) x, x⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E
h : ⟪((adjoint A).comp A) x, x⟫_𝕜 = ⟪A x, A x⟫_𝕜

⊢ ‖A x‖ ^ 2 = re ⟪((adjoint A).comp A) x, x⟫_𝕜
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
n : Num

⊢ ↑n.bit1 = 2 * ↑n + 1
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
n : Num

⊢ 2 * ↑n + ↑1 = 2 * ↑n + 1
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
h : optParam (¬last (n + 1) = 0) ⋯

⊢ (last (n + 1)).pred h = last n
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E

⊢ x ∈ thickening (ε + δ) s → x ∈ thickening ε (thickening δ s)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E

⊢ (∃ z ∈ s, dist x z < ε + δ) → ∃ z, (∃ z_1 ∈ s, dist z z_1 < δ) ∧ dist x z < ε
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
x z : E
hz : z ∈ s
hxz : dist x z < ε + δ

⊢ ∃ z, (∃ z_1 ∈ s, dist z z_1 < δ) ∧ dist x z < ε
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y z✝ : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
x z : E
hz : z ∈ s
hxz : dist x z < δ + ε

⊢ ∃ z, (∃ z_1 ∈ s, dist z z_1 < δ) ∧ dist x z < ε
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x✝ y✝ z✝ : E
δ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hδ : 0 < δ
s : Set E
x z : E
hz : z ∈ s
hxz : dist x z < δ + ε
y : E
hxy : dist x y < ε
hyz : dist y z < δ

⊢ ∃ z, (∃ z_1 ∈ s, dist z z_1 < δ) ∧ dist x z < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : q ≠ 0

⊢ padicNorm p q ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : q ≠ 0

⊢ ↑p ^ (-padicValRat p q) ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q : ℚ
hq : q ≠ 0

⊢ ↑p ≠ 0
-- Mathlib/Topology/Bornology/Absorbs.lean
M : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Bornology M
inst✝¹ : AddZeroClass E
inst✝ : DistribSMul M E
s₁ s₂ t : Set E
x : E
h₁ : Absorbent M s₁
h₂ : Absorbs M s₂ t

⊢ Absorbs M (s₁ + s₂) (x +ᵥ t)
-- Mathlib/Topology/Bornology/Absorbs.lean
M : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Bornology M
inst✝¹ : AddZeroClass E
inst✝ : DistribSMul M E
s₁ s₂ t : Set E
x : E
h₁ : Absorbent M s₁
h₂ : Absorbs M s₂ t

⊢ Absorbs M (s₁ + s₂) ({x} +ᵥ t)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ

⊢ (W.ΨSq ↑n).natDegree ≤ n ^ 2 - 1 ∧ (W.ΨSq ↑n).coeff (n ^ 2 - 1) = ↑(↑n ^ 2)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n

⊢ (W.ΨSq ↑n).natDegree ≤ n ^ 2 - 1 ∧ (W.ΨSq ↑n).coeff (n ^ 2 - 1) = ↑(↑n ^ 2)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
h : ∀ {n : ℕ}, (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) := fun {n} => WeierstrassCurve.natDegree_coeff_preΨ' W n

⊢ (W.ΨSq ↑n).natDegree ≤ n ^ 2 - 1 ∧ (W.ΨSq ↑n).coeff (n ^ 2 - 1) = ↑(↑n ^ 2)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
h : ∀ {n : ℕ}, (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) := fun {n} => WeierstrassCurve.natDegree_coeff_preΨ' W n
n : ℕ

⊢ (W.ΨSq ↑(n + 1)).natDegree ≤ (n + 1) ^ 2 - 1 ∧ (W.ΨSq ↑(n + 1)).coeff ((n + 1) ^ 2 - 1) = ↑(↑(n + 1) ^ 2)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
h : ∀ {n : ℕ}, (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) := fun {n} => WeierstrassCurve.natDegree_coeff_preΨ' W n
n : ℕ
hd : (n + 1) ^ 2 - 1 = 2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 1) + if Even (n + 1) then 3 else 0

⊢ (W.ΨSq ↑(n + 1)).natDegree ≤ (n + 1) ^ 2 - 1 ∧ (W.ΨSq ↑(n + 1)).coeff ((n + 1) ^ 2 - 1) = ↑(↑(n + 1) ^ 2)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
h : ∀ {n : ℕ}, (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) := fun {n} => WeierstrassCurve.natDegree_coeff_preΨ' W n
n : ℕ
hd : (n + 1) ^ 2 - 1 = 2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 1) + if Even (n + 1) then 3 else 0
hc : (↑n + 1) ^ 2 = WeierstrassCurve.expCoeff (n + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then 4 else 1

⊢ (W.ΨSq ↑(n + 1)).natDegree ≤ (n + 1) ^ 2 - 1 ∧ (W.ΨSq ↑(n + 1)).coeff ((n + 1) ^ 2 - 1) = ↑(↑(n + 1) ^ 2)