ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
i : (Quotient.out o).α

⊢ typein (fun x x_1 => x < x_1) i < type fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s t : Set α
a b x y : α

⊢ IsCycleOn 1 s ↔ s.Subsingleton
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d x y : ℤ

⊢ { re := x, im := y } * star { re := x, im := y } = ↑x * ↑x - ↑d * ↑y * ↑y
-- Mathlib/Data/Multiset/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β

⊢ inr b ∈ s.disjSum t ↔ b ∈ t
-- Mathlib/Data/Multiset/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β

⊢ (∃ b_1 ∈ t, inr b_1 = inr b) ↔ b ∈ t
-- Mathlib/Data/Multiset/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β

⊢ ¬∃ a ∈ s, inl a = inr b
-- Mathlib/Data/Multiset/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a✝ : α
b : β
x : α ⊕ β
a : α
left✝ : a ∈ s
ha : inl a = inr b

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : Ring A
inst✝¹⁰ : PartialOrder A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : StarOrderedRing A
inst✝⁷ : Algebra ℝ A
inst✝⁶ : TopologicalRing A
inst✝⁵ : ContinuousStar A
inst✝⁴ : StarModule ℝ A
inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ≥0 fun x => 0 ≤ x
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
inst✝ : NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
ha : 0 ≤ a

⊢ cfcHom ha = SpectrumRestricts.starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : Ring A
inst✝¹⁰ : PartialOrder A
inst✝⁹ : StarRing A
inst✝⁸ : StarOrderedRing A
inst✝⁷ : Algebra ℝ A
inst✝⁶ : TopologicalRing A
inst✝⁵ : ContinuousStar A
inst✝⁴ : StarModule ℝ A
inst✝³ : ContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝² : ContinuousFunctionalCalculus ℝ≥0 fun x => 0 ≤ x
inst✝¹ : UniqueContinuousFunctionalCalculus ℝ A
inst✝ : NonnegSpectrumClass ℝ A
a : A
ha : 0 ≤ a
this : CompactSpace ↑(σ ℝ a)

⊢ cfcHom ha = SpectrumRestricts.starAlgHom (cfcHom ⋯) ⋯
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
x : α

⊢ (∀ t ∈ l, x ∈ t) ↔ ∀ (i : ι), p i → x ∈ s i
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
h : l.HasBasis p s
x : α

⊢ (∀ (t : Set α) (x_1 : ι), p x_1 → s x_1 ⊆ t → x ∈ t) ↔ ∀ (i : ι), p i → x ∈ s i
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.26109, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.26113, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
a : A
X : C

⊢ (F.shiftIso 0 a a ⋯).hom.app X = (shiftFunctorZero D A).hom.app ((F.functor a).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.26109, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.26113, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
a : A
X : C

⊢ (isoWhiskerLeft (F.functor a) (shiftFunctorZero D A)).hom.app X = (shiftFunctorZero D A).hom.app ((F.functor a).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/NonabelianCohomology/H1.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
G : Cᵒᵖ ⥤ Grp
X : C
I : Type w'
U : I → C
γ₁ γ₂ γ₃ : OneCochain G U
α β : ZeroCochain G U
h₁₂ : OneCohomologyRelation γ₁ γ₂ α
h₂₃ : OneCohomologyRelation γ₂ γ₃ β
i j : I
T : C
a : T ⟶ U i
b : T ⟶ U j

⊢ (G.map a.op) (β i * α i) * γ₁.ev i j a b = γ₃.ev i j a b * (G.map b.op) (β j * α j)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 < 1 + ε ↑n
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ε =o[atTop] fun x => 1

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 < 1 + ε ↑n
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖ε x‖ ≤ c * ‖1‖

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, 0 < 1 + ε ↑n
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖ε x‖ ≤ c * ‖1‖

⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, (fun n => 0 < 1 + ε n) x
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖ε x‖ ≤ c * ‖1‖
x : ℝ
a✝ : ‖ε x‖ ≤ 1 / 2 * ‖1‖
hx' : 1 < x

⊢ 0 < 1 + ε x
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
h₁ : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖ε x‖ ≤ c * ‖1‖
x : ℝ
a✝ : ‖ε x‖ ≤ 1 / 2 * ‖1‖
hx' : 1 < x
this : 0 < log x

⊢ 0 < 1 + ε x
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Nat.lean
Mathlib/Algebra/Order/Ring/Int.lean

⊢ IsCompl {n | Even n} {n | Odd n}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β ι : Type u
f : ι → Cardinal.{max u v}
i : ι

⊢ f i ≤ sum f
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v

⊢ #(α ≃ β') = 0 ↔ lift.{v, u} #α ≠ lift.{u, v} #β'
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Linear.lean
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
a : R
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂

⊢ cyclesMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • cyclesMap' φ h₁ h₂
-- Mathlib/Data/Nat/WithBot.lean
a✝¹ a✝ : ℕ

⊢ ↑a✝¹ + ↑a✝ = 1 ↔ ↑a✝¹ = 0 ∧ ↑a✝ = 1 ∨ ↑a✝¹ = 1 ∧ ↑a✝ = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Conformal/InnerProduct.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
f : E → F
x : E
f' : E →L[ℝ] F
h : HasFDerivAt f f' x

⊢ ConformalAt f x ↔ ∃ c, 0 < c ∧ ∀ (u v : E), ⟪f' u, f' v⟫_ℝ = c * ⟪u, v⟫_ℝ
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero

⊢ f.lim ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero

⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g

⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g

⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g

⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g
h₅ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f * f.inv hf)

⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g
h₅ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f * f.inv hf)
h₆ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f.inv hf * f)

⊢ (g - f * f.inv hf * g).LimZero
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f✝ : CauSeq β abv
hf✝ : ¬f✝.LimZero
hl : f✝.lim ≠ 0
g f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
h₂ : g - f * f.inv hf * g = 1 * g - f * f.inv hf * g
h₃ : f * f.inv hf * g = f * f.inv hf * g
h₄ : g - f * f.inv hf * g = (1 - f * f.inv hf) * g
h₅ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f * f.inv hf)
h₆ : g - f * f.inv hf * g = g * (1 - f.inv hf * f)

⊢ (g * (1 - f.inv hf * f)).LimZero
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
hl : f.lim ≠ 0
h₁ : ∀ (g f : CauSeq β abv) (hf : ¬f.LimZero), (g - f * f.inv hf * g).LimZero

⊢ (f.inv hf - const abv f.lim⁻¹ - (const abv f.lim - f) * (f.inv hf * const abv f.lim⁻¹)).LimZero
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Completion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedField α
β : Type u_2
inst✝² : Field β
abv : β → α
inst✝¹ : IsAbsoluteValue abv
inst✝ : IsComplete β abv
f : CauSeq β abv
hf : ¬f.LimZero
hl : f.lim ≠ 0
h₁ : ∀ (g f : CauSeq β abv) (hf : ¬f.LimZero), (g - f * f.inv hf * g).LimZero

⊢ (f.inv hf - const abv f.lim * (f.inv hf * const abv f.lim⁻¹) - (const abv f.lim⁻¹ - f * (f.inv hf * const abv f.lim⁻¹))).LimZero
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂

⊢ comap f ⊤ = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂

⊢ ↑(comap f ⊤) = ↑⊤
-- Mathlib/Order/SemiconjSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α → β
g : β → α
h : IsOrderRightAdjoint f g
e : β ≃o γ
y : γ

⊢ IsLUB {x | (⇑e ∘ f) x ≤ y} ((g ∘ ⇑e.symm) y)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/ExtraDegeneracy.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
f : Arrow C
inst✝ : ∀ (n : ℕ), HasWidePullback f.right (fun x => f.left) fun x => f.hom
S : SplitEpi f.hom
n : ℕ

⊢ (s f S n ≫ WidePullback.base fun x => f.hom) = WidePullback.base fun x => f.hom
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
aux : ∀ (a b c d : ℂ), a * b * (c * d) = a * c * (b * d)

⊢ z.GammaSeq n * (1 - z).GammaSeq n = ↑n / (↑n + 1 - z) * (1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
aux : ∀ (a b c d : ℂ), a * b * (c * d) = a * c * (b * d)

⊢ ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) * ↑n ! ^ 2 / ((∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (z + ↑j)) * ∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (1 - z + ↑j)) = ↑n / (↑n + 1 - z) * (1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
aux : ∀ (a b c d : ℂ), a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
this : ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) = ↑n

⊢ ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) * ↑n ! ^ 2 / ((∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (z + ↑j)) * ∏ j ∈ Finset.range (n + 1), (1 - z + ↑j)) = ↑n / (↑n + 1 - z) * (1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
aux : ∀ (a b c d : ℂ), a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
this : ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) = ↑n

⊢ ↑n * ↑n ! ^ 2 / ((∏ x ∈ Finset.range n, (z + ↑(x + 1)) * (1 - z + ↑x)) * (z * (↑n + 1 - z))) = ↑n / (↑n + 1 - z) * (1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
aux : ∀ (a b c d : ℂ), a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
this✝ : ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) = ↑n
this : ∀ (j : ℕ), (z + ↑(j + 1)) * (1 - z + ↑j) = ↑((j + 1) ^ 2) * (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)

⊢ ↑n * ↑n ! ^ 2 / ((∏ x ∈ Finset.range n, (z + ↑(x + 1)) * (1 - z + ↑x)) * (z * (↑n + 1 - z))) = ↑n / (↑n + 1 - z) * (1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
aux : ∀ (a b c d : ℂ), a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
this✝ : ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) = ↑n
this : ∀ (j : ℕ), (z + ↑(j + 1)) * (1 - z + ↑j) = ↑((j + 1) ^ 2) * (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)

⊢ ↑n * ↑n ! ^ 2 / ((∏ x ∈ Finset.range n, ↑((x + 1) ^ 2) * (1 - z ^ 2 / (↑x + 1) ^ 2)) * (z * (↑n + 1 - z))) = ↑n / (↑n + 1 - z) * (1 / (z * ∏ j ∈ Finset.range n, (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
z : ℂ
n : ℕ
hn : n ≠ 0
aux : ∀ (a b c d : ℂ), a * b * (c * d) = a * c * (b * d)
this✝ : ↑n ^ z * ↑n ^ (1 - z) = ↑n
this : ∀ (j : ℕ), (z + ↑(j + 1)) * (1 - z + ↑j) = ↑((j + 1) ^ 2) * (1 - z ^ 2 / (↑j + 1) ^ 2)

⊢ ↑n ! ^ 2 ≠ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y ⟶ Z

⊢ (η_ Y Y' ≫ f ▷ Y') ▷ Y ≫ (α_ Z Y' Y).hom ≫ Z ◁ ε_ Y Y' ≫ (ρ_ Z).hom = η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ (f ▷ (Y' ⊗ Y) ≫ Z ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ 𝟙 Z
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y ⟶ Z

⊢ η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ (f ▷ (Y' ⊗ Y) ≫ Z ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ 𝟙 Z = (η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ Y ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y ⟶ Z

⊢ η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ (Y ◁ ε_ Y Y' ≫ f ▷ 𝟙_ C) ⊗≫ 𝟙 Z = (η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ Y ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y ⟶ Z

⊢ (η_ Y Y' ▷ Y ⊗≫ Y ◁ ε_ Y Y') ⊗≫ f = (λ_ Y).hom ≫ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Y' Z : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : Y ⟶ Z

⊢ ⊗𝟙 ⊗≫ f = (λ_ Y).hom ≫ f
-- Mathlib/Algebra/Order/Nonneg/Field.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a : α
q : ℚ≥0
ha : 0 ≤ a

⊢ 0 ≤ q • a
-- Mathlib/Algebra/Order/Nonneg/Field.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a : α
q : ℚ≥0
ha : 0 ≤ a

⊢ 0 ≤ ↑q * a
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
α : Sort u_2

⊢ ⨅ x, 0 = 0
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
ι : Sort u_1
f : ι → ℝ≥0
α : Sort u_2

⊢ ⨅ i, ↑0 = ↑0
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
K : Subgroup N
x✝ : N

⊢ x✝ ∈ comap (MonoidHom.id N) K ↔ x✝ ∈ K
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/Alter.lean
α : Type u_1
c₀ : RBColor
n₀ : Nat
c : RBColor
n : Nat
t : RBNode α
path : Path α
hp : Path.Balanced c₀ n₀ path c n
ht : RedRed (c = red) t n

⊢ ∃ n, (path.ins t).Balanced black n
-- Mathlib/Data/Multiset/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

⊢ (Finset.Ioo s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, (count i t + 1 - count i s) - 2
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
M✝ : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M✝
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
M N : AddSubmonoid R

⊢ M * N = closure (↑M * ↑N)
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/Finite.lean

⊢ RespectsIso @Finite
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/Finite.lean

⊢ ∀ {R S : Type u_1} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] (e : R ≃+* S), e.toRingHom.Finite
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/Finite.lean
R✝ S✝ : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R✝
inst✝ : CommRing S✝
e✝ : R✝ ≃+* S✝

⊢ e✝.toRingHom.Finite
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/CompareExp.lean
l : Filter ℂ
b₁ b₂ : ℝ
hl : IsExpCmpFilter l
hb : b₁ < b₂
m n : ℤ

⊢ (fun z => z ^ m * cexp (↑b₁ * z)) =o[l] fun z => z ^ n * cexp (↑b₂ * z)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : α → E

⊢ Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(f x)) ↔ Integrable g (μ.withDensity fun x => ↑(AEMeasurable.mk f hf x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : α → E

⊢ (fun x => ↑(f x)) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑(AEMeasurable.mk f hf x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : α → E
x : α
hx : f x = AEMeasurable.mk f hf x

⊢ ↑(f x) = ↑(AEMeasurable.mk f hf x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : α → E

⊢ Integrable (fun x => ↑(AEMeasurable.mk f hf x) • g x) μ ↔ Integrable (fun x => ↑(f x) • g x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : α → E

⊢ (fun x => ↑(AEMeasurable.mk f hf x) • g x) =ᶠ[ae μ] fun x => ↑(f x) • g x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
inst✝³ : NormedAddCommGroup β
inst✝² : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : α → ℝ≥0
hf : AEMeasurable f μ
g : α → E
x : α
hx : f x = AEMeasurable.mk f hf x

⊢ ↑(AEMeasurable.mk f hf x) • g x = ↑(f x) • g x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β

⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique t ↔ t.Subsingleton ∨ ∃ s, G.IsClique s ∧ ⇑f '' s = t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Subsingleton

⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique t ↔ t.Subsingleton ∨ ∃ s, G.IsClique s ∧ ⇑f '' s = t
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s t✝ : Set α
a b : α
f : α ↪ β
t : Set β
ht : t.Nontrivial

⊢ (SimpleGraph.map f G).IsClique t ↔ t.Subsingleton ∨ ∃ s, G.IsClique s ∧ ⇑f '' s = t
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P

⊢ intrinsicInterior 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicInterior 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q

⊢ intrinsicInterior 𝕜 (⇑φ '' ∅) = ⇑φ '' intrinsicInterior 𝕜 ∅
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty

⊢ intrinsicInterior 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicInterior 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s

⊢ intrinsicInterior 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicInterior 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Intrinsic.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
Q : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁸ : NormedField 𝕜
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : PseudoMetricSpace Q
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
φ : P →ᵃⁱ[𝕜] Q
s : Set P
hs : s.Nonempty
this : Nonempty ↑s
f : ↥(affineSpan 𝕜 s) ≃ₜ ↥(map φ.toAffineMap (affineSpan 𝕜 s)) := (isometryEquivMap φ (affineSpan 𝕜 s)).toHomeomorph

⊢ intrinsicInterior 𝕜 (⇑φ '' s) = ⇑φ '' intrinsicInterior 𝕜 s