ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
t : Set R
ht : ∃ s', ↑s' ⊆ t ∧ Ideal.span ↑s' = ⊤
Mₚ : ↑t → Type u_1
inst✝⁵ : (g : ↑t) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : ↑t → Type u
inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)
inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)
h₁ : ∀ (g : ↑t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝¹ : (g : ↑t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝ : ∀ (g : ↑t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g
h₂ : ∀ (g : ↑t), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)

⊢ Finite R M
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
t : Set R
Mₚ : ↑t → Type u_1
inst✝⁵ : (g : ↑t) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : ↑t → Type u
inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)
inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)
h₁ : ∀ (g : ↑t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝¹ : (g : ↑t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝ : ∀ (g : ↑t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g
h₂ : ∀ (g : ↑t), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
t' : Finset R
hc : ↑t' ⊆ t
ht' : Ideal.span ↑t' = ⊤

⊢ Finite R M
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
t : Set R
Mₚ : ↑t → Type u_1
inst✝⁵ : (g : ↑t) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : ↑t → Type u
inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)
inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)
h₁ : ∀ (g : ↑t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝¹ : (g : ↑t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝ : ∀ (g : ↑t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g
h₂ : ∀ (g : ↑t), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
t' : Finset R
hc : ↑t' ⊆ t
ht' : Ideal.span ↑t' = ⊤
this : ∀ (g : { x // x ∈ t' }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ ⟨↑g, ⋯⟩)

⊢ Finite R M
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
t : Set R
Mₚ : ↑t → Type u_1
inst✝⁵ : (g : ↑t) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : ↑t → Type u
inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)
inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)
h₁ : ∀ (g : ↑t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝¹ : (g : ↑t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝ : ∀ (g : ↑t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g
h₂ : ∀ (g : ↑t), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)
t' : Finset R
hc : ↑t' ⊆ t
ht' : Ideal.span ↑t' = ⊤
this✝ : ∀ (g : { x // x ∈ t' }), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ ⟨↑g, ⋯⟩)
this : ∀ (g : { x // x ∈ t' }), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) ((fun g => f ⟨↑g, ⋯⟩) g)

⊢ Finite R M
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : Num

⊢ ↑↑n = ↑n
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin 0 → α

⊢ Set.range (vecCons x u) = {x}
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Prod.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ antidiagonal n
hq : q ∈ antidiagonal n

⊢ p = q ↔ p.2 = q.2
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Prod.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelCommMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ antidiagonal n
hq : q ∈ antidiagonal n

⊢ p.swap = q.swap ↔ p.2 = q.2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ G.IsNClique 3 {a, b, c} ↔ G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ (((↑{c}).Pairwise G.Adj ∧ ∀ b_1 ∈ ↑{c}, b ≠ b_1 → G.Adj b b_1) ∧ ∀ b_1 ∈ insert b ↑{c}, a ≠ b_1 → G.Adj a b_1) ∧ {a, b, c}.card = 3 ↔ G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
p : Homotopic.Quotient (a₁, b₁) (a₂, b₂)

⊢ prod (projLeft p) (projRight p) = p
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
a✝ : Path (a₁, b₁) (a₂, b₂)

⊢ prod (projLeft ⟦a✝⟧) (projRight ⟦a✝⟧) = ⟦a✝⟧
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a₁ a₂ a₃ : α
b₁ b₂ b₃ : β
p₁ p₁' : Path a₁ a₂
p₂ p₂' : Path b₁ b₂
q₁ : Homotopic.Quotient a₁ a₂
q₂ : Homotopic.Quotient b₁ b₂
r₁ : Homotopic.Quotient a₂ a₃
r₂ : Homotopic.Quotient b₂ b₃
c₁ c₂ : α × β
a✝ : Path (a₁, b₁) (a₂, b₂)

⊢ prod ⟦a✝.map ⋯⟧ ⟦a✝.map ⋯⟧ = ⟦a✝⟧
-- Mathlib/Algebra/Module/Defs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
r✝ s : R
x✝ y✝ : M
x y : R
r : M

⊢ (x + y) • r = x • r + y • r
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S R✝ : Sieve X
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
G : D ⥤ E
R : Sieve ((F ⋙ G).obj X)
Y✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X

⊢ (functorPullback (F ⋙ G) R).arrows f✝ ↔ (functorPullback F (functorPullback G R)).arrows f✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : C
p : X ⟶ X
hp : p ≫ p = p

⊢ (𝟙 X - p) ≫ (𝟙 X - p) = 𝟙 X - p
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α

⊢ l.rotate l.length = l
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
s : Set α
t : Set β
x : β
y : α

⊢ (x, y) ∈ Prod.swap ⁻¹' s ×ˢ t ↔ (x, y) ∈ t ×ˢ s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)

⊢ ConcaveOn 𝕜 s f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)

⊢ ConvexOn 𝕜 s (-f)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝

⊢ ((-f) y✝ - (-f) x✝) / (y✝ - x✝) ≤ ((-f) z✝ - (-f) y✝) / (z✝ - y✝)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝

⊢ -(((-f) z✝ - (-f) y✝) / (z✝ - y✝)) ≤ -(((-f) y✝ - (-f) x✝) / (y✝ - x✝))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hs : Convex 𝕜 s
hf : ∀ {x y z : 𝕜}, x ∈ s → z ∈ s → x < y → y < z → (f z - f y) / (z - y) ≤ (f y - f x) / (y - x)
x✝ y✝ z✝ : 𝕜
hx : x✝ ∈ s
hz : z✝ ∈ s
hxy : x✝ < y✝
hyz : y✝ < z✝

⊢ (f z✝ - f y✝) / (z✝ - y✝) ≤ (f y✝ - f x✝) / (y✝ - x✝)
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
x : P.Cotangent

⊢ ((map (g.comp f)) x).val = ((↑S (map g) ∘ₗ map f) x).val
-- Mathlib/RingTheory/Generators.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u_1
S' : Type u_2
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u_4
S'' : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
f : P.Hom P'
g : P'.Hom P''
x : ↥P.ker

⊢ ((map (g.comp f)) (mk x)).val = ((↑S (map g) ∘ₗ map f) (mk x)).val
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup α
r C : ℝ
f u : ℕ → α
n : ℕ

⊢ dist (∑ k ∈ Finset.range (n + 1), u k) (∑ k ∈ Finset.range n, u k) = ‖u n‖
-- Mathlib/Logic/Nontrivial/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2

⊢ ¬Subsingleton α ↔ Nontrivial α
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Pochhammer.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
r : R
n : ℕ

⊢ eval r (descPochhammer R n) = eval (r - ↑n + 1) (ascPochhammer R n)
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S

⊢ sSup (T₁ ∩ T₂) = sSup T₁ ⊓ sSup T₂
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S

⊢ sSup (T₁ ∩ T₂) ≤ sSup T₁ ⊓ sSup T₂
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S

⊢ sSup T₁ ⊓ sSup T₂ ≤ sSup (T₁ ∩ T₂)
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X

⊢ sSup T₁ ⊓ sSup T₂ ≤ sSup (T₁ ∩ T₂)
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X

⊢ sSup X ≤ sSup (T₁ ∩ T₂)
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X

⊢ ∀ b ∈ X, b ≤ sSup (T₁ ∩ T₂)
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X
I : α
hI : I ∈ X

⊢ I ≤ sSup (T₁ ∩ T₂)
-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
S : Set α
hS : BooleanGenerators S
T₁ T₂ : Set α
hT₁ : T₁ ⊆ S
hT₂ : T₂ ⊆ S
X : Set α
hX : X ⊆ S
hX' : sSup T₁ ⊓ sSup T₂ = sSup X
I : α
hI : I ∈ X

⊢ I ∈ T₁ ∩ T₂
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
h : ∀ (a : α) (f : β → ℝ≥0∞), Measurable f → ∫⁻ (b : β), f b ∂κ a = ∫⁻ (b : β), f b ∂η a
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ (κ a) s = (η a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h : ∫⁻ (b : β), s.indicator (fun x => 1) b ∂κ a = ∫⁻ (b : β), s.indicator (fun x => 1) b ∂η a

⊢ (κ a) s = (η a) s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ η : Kernel α β
a : α
s : Set β
hs : MeasurableSet s
h : (κ a) s = (η a) s

⊢ (κ a) s = (η a) s
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3

⊢ HasSum (fun n => (1 / 2) ^ n) 2
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (n + 0).descFactorial 0 = (n + 1).ascFactorial 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ (n + k.succ).descFactorial k.succ = (n + 1).ascFactorial k.succ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A : Matrix n n α
b : n → α
i : n

⊢ Aᵀ.cramer b i = (A.updateRow i b).det
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
z : E

⊢ StrictConvex 𝕜 ((fun x => x + z) '' s)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X

⊢ Equicontinuous (S.restrict ∘ F) ↔ EquicontinuousOn F S
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
κ : Type u_6
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : DecidableEq M
x✝ : M →ₗ[A] M

⊢ LinearMap.det x✝ = (if H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A M) then detAux (Trunc.mk ⋯.some) else 1) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
κ : Type u_6
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : DecidableEq M
x✝ : M →ₗ[A] M

⊢ (if H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A M) then detAux (Trunc.mk ⋯.some) else 1) x✝ = (if H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A M) then detAux (Trunc.mk ⋯.some) else 1) x✝
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ Y₁ Z₁ : ModuleCat R
X₂ Y₂ Z₂ : ModuleCat R
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z₁
g₂ : Y₂ ⟶ Z₂

⊢ tensorHom (f₁ ≫ g₁) (f₂ ≫ g₂) = tensorHom f₁ f₂ ≫ tensorHom g₁ g₂
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ Y₁ Z₁ : ModuleCat R
X₂ Y₂ Z₂ : ModuleCat R
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ Z₁
g₂ : Y₂ ⟶ Z₂

⊢ (TensorProduct.mk R ↑X₁ ↑X₂).compr₂ (tensorHom (f₁ ≫ g₁) (f₂ ≫ g₂)) = (TensorProduct.mk R ↑X₁ ↑X₂).compr₂ (tensorHom f₁ f₂ ≫ tensorHom g₁ g₂)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
M✝ : ModuleCat R
M M' : ModuleCat R
g : M ⟶ M'
s : S
h : ↑(obj' f M)
t : S

⊢ g ((s • h) t) = (s • g ∘ₗ h) t
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
M✝ : ModuleCat R
M M' : ModuleCat R
g : M ⟶ M'
s : S
h : ↑(obj' f M)
t : S

⊢ g (h (t * s)) = (g ∘ₗ h) (t * s)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C

⊢ Γ₂N₁.natTrans.app X = (Γ₂N₂ToKaroubiIso.app X).inv ≫ Γ₂N₂.natTrans.app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C

⊢ Γ₂N₁.natTrans.app X = (Γ₂N₂ToKaroubiIso.app X).inv ≫ (N₂ ⋙ Γ₂).map ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).decompId_i ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom ≫ Γ₂N₁.natTrans).app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X ≫ ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).decompId_p
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C

⊢ Γ₂N₁.natTrans.app X = (Γ₂N₂ToKaroubiIso.app X).inv ≫ Γ₂.map (N₂.map (𝟙 ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X))) ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom.app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X ≫ Γ₂N₁.natTrans.app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X) ≫ 𝟙 { X := ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X, p := 𝟙 ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X, idem := ⋯ }
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C

⊢ Γ₂N₁.natTrans.app X = Γ₂N₂ToKaroubiIso.inv.app X ≫ 𝟙 (Γ₂.obj (N₂.obj ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X))) ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom.app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X ≫ Γ₂N₁.natTrans.app ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X) ≫ 𝟙 { X := ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X, p := 𝟙 ((toKaroubi (SimplicialObject C)).obj X).X, idem := ⋯ }
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C

⊢ Γ₂N₁.natTrans.app X = Γ₂N₂ToKaroubiIso.inv.app X ≫ 𝟙 (Γ₂.obj (N₂.obj { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ })) ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom.app X ≫ Γ₂N₁.natTrans.app X) ≫ 𝟙 { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ }
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/NCompGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
X : SimplicialObject C

⊢ Γ₂N₁.natTrans.app X = Γ₂N₂ToKaroubiIso.inv.app X ≫ (Γ₂N₂ToKaroubiIso.hom.app X ≫ Γ₂N₁.natTrans.app X) ≫ 𝟙 { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ }
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
SS : WSeq (WSeq (WSeq α))
s1 s2 : WSeq α
h : ∃ s S SS, s1 = s.append (S.append SS.join).join ∧ s2 = s.append (S.join.append (map join SS).join)

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => ∃ s S SS, s1 = s.append (S.append SS.join).join ∧ s2 = s.append (S.join.append (map join SS).join)) s1.destruct s2.destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
SS : WSeq (WSeq (WSeq α))
s1 s2 : WSeq α
h : ∃ s S SS, s1 = s.append (S.append SS.join).join ∧ s2 = s.append (S.join.append (map join SS).join)

⊢ ∀ {ca cb : Computation (Option (α × WSeq α))}, (fun c1 c2 => ∃ s S SS, c1 = (s.append (S.append SS.join).join).destruct ∧ c2 = (s.append (S.join.append (map join SS).join)).destruct) ca cb → LiftRelAux (LiftRelO (fun x x_1 => x = x_1) fun s1 s2 => ∃ s S SS, s1 = s.append (S.append SS.join).join ∧ s2 = s.append (S.join.append (map join SS).join)) (fun c1 c2 => ∃ s S SS, c1 = (s.append (S.append SS.join).join).destruct ∧ c2 = (s.append (S.join.append (map join SS).join)).destruct) ca.destruct cb.destruct
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
x : ℝ

⊢ evenKernel 0 x = cosKernel 0 x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p q : R[X]
x : A

⊢ Algebra.adjoin R {X} = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
p : R[X]
_hp : p ∈ ⊤

⊢ p ∈ Algebra.adjoin R {X}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
p : R[X]
_hp : p ∈ ⊤
S : Subalgebra R R[X] := Algebra.adjoin R {X}

⊢ p ∈ S
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
p : R[X]
_hp : p ∈ ⊤
S : Subalgebra R R[X] := Algebra.adjoin R {X}

⊢ (p.sum fun n a => (monomial n) a) ∈ S
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/AlgebraMap.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : CommSemiring A'
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R B
p✝ q : R[X]
x : A
p : R[X]
_hp : p ∈ ⊤
S : Subalgebra R R[X] := Algebra.adjoin R {X}

⊢ (p.sum fun n a => a • X ^ n) ∈ S
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s✝ t✝ : Set α
a✝ b a : α
s t : Set α

⊢ IsLeast (s ∪ t) a ↔ IsLeast s a ∧ a ∈ lowerBounds t ∨ a ∈ lowerBounds s ∧ IsLeast t a
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
u : Rˣ
hn : IsUnit ↑n
a✝ : Nontrivial R

⊢ (X ^ n - C ↑u).Separable
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
u : Rˣ
a✝ : Nontrivial R
hn : IsUnit ↑0

⊢ (X ^ 0 - C ↑u).Separable
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
u : Rˣ
hn : IsUnit ↑n
a✝ : Nontrivial R
hpos : n > 0

⊢ (X ^ n - C ↑u).Separable
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
u : Rˣ
hn : IsUnit ↑n
a✝ : Nontrivial R
hpos : n > 0

⊢ ∃ a b, a * (X ^ n - C ↑u) + b * derivative (X ^ n - C ↑u) = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
u : Rˣ
hn : IsUnit ↑n
a✝ : Nontrivial R
hpos : n > 0
n' : R
hn' : n' * ↑n = 1

⊢ ∃ a b, a * (X ^ n - C ↑u) + b * derivative (X ^ n - C ↑u) = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
u : Rˣ
hn : IsUnit ↑n
a✝ : Nontrivial R
hpos : n > 0
n' : R
hn' : n' * ↑n = 1

⊢ -C ↑u⁻¹ * (X ^ n - C ↑u) + C ↑u⁻¹ * C n' * X * derivative (X ^ n - C ↑u) = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
u : Rˣ
hn : IsUnit ↑n
a✝ : Nontrivial R
hpos : n > 0
n' : R
hn' : n' * ↑n = 1

⊢ -C ↑u⁻¹ * (X ^ n - C ↑u) + C ↑u⁻¹ * C n' * X * (C ↑n * X ^ (n - 1)) = 1