ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.288379, u_1} K
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.288386, u_2} D
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → C
c₁ : Cofan fun i => f i.succ
c₂ : BinaryCofan (f 0) c₁.pt
t₁ : IsUniversalColimit c₁
t₂ : IsUniversalColimit c₂
inst✝ : ∀ {Z : C} (i : Z ⟶ c₂.pt), HasPullback c₂.inr i
F' : Fin (n + 1) → C
c : Cocone (Discrete.functor F')
α : Discrete.functor F' ⟶ Discrete.functor f
i : c.pt ⟶ (extendCofan c₁ c₂).pt
e : α ≫ (extendCofan c₁ c₂).ι = c.ι ≫ (Functor.const (Discrete (Fin (n + 1)))).map i
hα : NatTrans.Equifibered α
H : ∀ (j : Discrete (Fin (n + 1))), IsPullback (c.ι.app j) (α.app j) i ((extendCofan c₁ c₂).ι.app j)
H₁ : IsColimit (Cofan.mk (pullback c₂.inr i) fun j => pullback.lift (α.app { as := j.succ } ≫ c₁.inj j) (c.ι.app { as := j.succ }) ⋯)
H₂ : IsColimit (BinaryCofan.mk (c.ι.app { as := 0 }) (pullback.snd c₂.inr i))
j : Fin (n + 1)

⊢ Fin.cases (c.ι.app { as := 0 }) (fun i => c.ι.app { as := i.succ }) j = c.ι.app { as := j }
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Bilinear.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroDivisors A
x : A
hx : x ≠ 0
this : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro x (Exists.intro 0 hx) }

⊢ Function.Injective ⇑((mul R A) x)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Bilinear.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : NoZeroDivisors A
x : A
hx : x ≠ 0
this✝ : Nontrivial A := { exists_pair_ne := Exists.intro x (Exists.intro 0 hx) }
this : IsDomain A := NoZeroDivisors.to_isDomain A

⊢ Function.Injective ⇑((mul R A) x)
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ α
hn : n ≠ 0
m : ℤ

⊢ n • b - n • a = m • n • p ↔ b - a = m • p
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
x : CliffordAlgebra Q

⊢ (changeForm h') ((changeForm h) x) = (changeForm ⋯) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
r : R

⊢ (changeForm h') ((changeForm h) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)) = (changeForm ⋯) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
x y : CliffordAlgebra Q
hx : (changeForm h') ((changeForm h) x) = (changeForm ⋯) x
hy : (changeForm h') ((changeForm h) y) = (changeForm ⋯) y

⊢ (changeForm h') ((changeForm h) (x + y)) = (changeForm ⋯) (x + y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q Q' Q'' : QuadraticForm R M
B B' : BilinForm R M
h : BilinMap.toQuadraticMap B = Q' - Q
h' : BilinMap.toQuadraticMap B' = Q'' - Q'
m : CliffordAlgebra Q
x : M
hx : (changeForm h') ((changeForm h) m) = (changeForm ⋯) m

⊢ (changeForm h') ((changeForm h) ((ι Q) x * m)) = (changeForm ⋯) ((ι Q) x * m)
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
p : Γ' → Bool
k₁ k₂ : K'
q : Λ'
s : Option Γ'
L₁ : List Γ'
o : Option Γ'
L₂ : List Γ'
S : K' → List Γ'
h₁ : k₁ ≠ rev ∧ k₂ ≠ rev ∧ k₁ ≠ k₂
h₂ : S rev = []
e : splitAtPred p (S k₁) = (L₁, o, L₂)

⊢ Reaches₁ (TM2.step tr) { l := some (move₂ p k₁ k₂ q), var := s, stk := S } { l := some q, var := none, stk := update (update S k₁ (o.elim id List.cons L₂)) k₂ (L₁ ++ S k₂) }
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
p : Γ' → Bool
k₁ k₂ : K'
q : Λ'
s : Option Γ'
L₁ : List Γ'
o : Option Γ'
L₂ : List Γ'
S : K' → List Γ'
h₁ : k₁ ≠ rev ∧ k₂ ≠ rev ∧ k₁ ≠ k₂
h₂ : S rev = []
e : splitAtPred p (S k₁) = (L₁, o, L₂)

⊢ TransGen (fun a b => b ∈ TM2.step tr a) (TM2.stepAux (tr (Λ'.push k₁ id (Λ'.move (fun x => false) rev k₂ q))) o (update (update S k₁ L₂) rev (L₁.reverseAux (S rev)))) { l := some q, var := none, stk := update (update S k₁ (o.elim id List.cons L₂)) k₂ (L₁ ++ S k₂) }
-- Mathlib/Computability/TMToPartrec.lean
p : Γ' → Bool
k₁ k₂ : K'
q : Λ'
s : Option Γ'
L₁ : List Γ'
o : Option Γ'
L₂ : List Γ'
S : K' → List Γ'
h₁ : k₁ ≠ rev ∧ k₂ ≠ rev ∧ k₁ ≠ k₂
h₂ : S rev = []
e : splitAtPred p (S k₁) = (L₁, o, L₂)

⊢ TransGen (fun a b => (match a with | { l := none, var := var, stk := stk } => none | { l := some l, var := v, stk := S } => some (TM2.stepAux (tr l) v S)) = some b) (bif o.isSome then { l := some (Λ'.move (fun x => false) rev k₂ q), var := o, stk := update (update (update S k₁ L₂) rev (L₁.reverseAux (S rev))) k₁ (o.iget :: update (update S k₁ L₂) rev (L₁.reverseAux (S rev)) k₁) } else { l := some (Λ'.move (fun x => false) rev k₂ q), var := o, stk := update (update S k₁ L₂) rev (L₁.reverseAux (S rev)) }) { l := some q, var := none, stk := update (update S k₁ ((match (motive := Option Γ' → (List Γ' → List Γ') → (Γ' → List Γ' → List Γ') → List Γ' → List Γ') o, id, List.cons with | some x, x_1, f => f x | none, y, x => y) L₂)) k₂ (L₁ ++ S k₂) }
-- Mathlib/RingTheory/MatrixAlgebra.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommSemiring R
A : Type v
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
a : A
M : Matrix n n A

⊢ invFun R A n (a • M) = a ⊗ₜ[R] 1 * invFun R A n M
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableOn 𝕜 g s

⊢ DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y + g y) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
hg : DifferentiableOn 𝕜 g s
h : DifferentiableOn 𝕜 (fun y => f y + g y) s

⊢ DifferentiableOn 𝕜 f s
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M

⊢ finsuppTensorFinsuppRid R R ι κ = finsuppTensorFinsupp' R ι κ
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α

⊢ toIocMod hp a a = a + p
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b c : α
n : ℤ
a : α

⊢ a < a + p ∧ ∃ z, a = a + p + z • p
-- Mathlib/Order/MinMax.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a b c d : α
hf : MonotoneOn f s
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s

⊢ f (max a b) = max (f a) (f b)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
sz : Nat
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
buckets : Buckets α β
H : buckets.WF
x✝³ : AssocList α β
x✝² : x✝³ ∈ (Buckets.mk (buckets.val.size * 2) ⋯).val.data
x✝¹ : α × β
x✝ : x✝¹ ∈ x✝³.toList

⊢ (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat < 0) x✝¹.fst x✝¹.snd
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
p : ℝ × ℝ
hp_fst : 0 < p.1

⊢ (fun x => x.1 ^ x.2) =ᶠ[𝓝 p] fun x => rexp (log x.1 * x.2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
p : ℝ × ℝ
hp_fst : 0 < p.1

⊢ ∀ᶠ (x : ℝ × ℝ) in 𝓝 p, 0 < x.1
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α

⊢ map reverse l.inits = l.reverse.tails.reverse
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α

⊢ map reverse (map reverse l.reverse.tails).reverse = l.reverse.tails.reverse
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ n.choose (k + 1) * (k + 1) = n.choose k * (n - k)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
n k : ℕ
e : (n + 1) * n.choose k = n.choose (k + 1) * (k + 1) + n.choose k * (k + 1)

⊢ n.choose (k + 1) * (k + 1) = n.choose k * (n - k)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnected.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s : Set α
x : α
h : ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ s
y : α
hy : y ∈ s
z : α
hz : z ∈ s

⊢ [[y, x]] ∪ [[x, z]] = [[x, y]] ∪ [[x, z]]
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
o : Ordinal.{u_1}

⊢ -nim o = nim o
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, -nim k = nim k

⊢ -nim o = nim o
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, -nim k = nim k

⊢ (-mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) = mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, -nim k = nim k

⊢ (mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun j => -nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) j)) fun i => -nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)) = mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l

⊢ J l R * J l R = -1
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l

⊢ fromBlocks (0 * 0 + -1 * 1) (0 * -1 + -1 * 0) (1 * 0 + 0 * 1) (1 * -1 + 0 * 0) = -1
-- Mathlib/LinearAlgebra/SymplecticGroup.lean
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Fintype l

⊢ fromBlocks (-1) 0 0 (-1) = -1
-- Mathlib/Algebra/Order/Hom/Basic.lean
ι : Type u_1
F : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Group α
inst✝² : CommSemigroup β
inst✝¹ : LE β
inst✝ : SubmultiplicativeHomClass F α β
f : F
a b : α

⊢ f a ≤ f b * f (a / b)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
x : K
h : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B
i : ℕ

⊢ ‖(minpoly ℚ x).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
x : K
h : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B
i : ℕ
hx : IsIntegral ℚ x

⊢ ‖(minpoly ℚ x).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
x : K
h : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B
i : ℕ
hx : IsIntegral ℚ x

⊢ ‖(map (algebraMap ℚ A) (minpoly ℚ x)).coeff i‖ ≤ max B 1 ^ finrank ℚ K * ↑((finrank ℚ K).choose (finrank ℚ K / 2))
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
A : Type u_2
inst✝² : NormedField A
inst✝¹ : IsAlgClosed A
inst✝ : NormedAlgebra ℚ A
B : ℝ
x : K
h : ∀ (φ : K →+* A), ‖φ x‖ ≤ B
i : ℕ
hx : IsIntegral ℚ x
z : A
hz : z ∈ (map (algebraMap ℚ A) (minpoly ℚ x)).roots

⊢ ‖z‖ ≤ B
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ (o.oangle (x + y) y).cos = ‖y‖ / ‖x + y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ ((-o).oangle y (x + y)).cos = ‖y‖ / ‖x + y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ ((-o).oangle y (y + x)).cos = ‖y‖ / ‖y + x‖
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a b : Solution₁ d
hax : 0 < a.x
hay : 0 < a.y
hbx : 0 < b.x
hby : 0 < b.y

⊢ 0 < (a * b).y
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
a b : Solution₁ d
hax : 0 < a.x
hay : 0 < a.y
hbx : 0 < b.x
hby : 0 < b.y

⊢ 0 < a.x * b.y + a.y * b.x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
A B C : Set E
x : E
hAB : IsExtreme 𝕜 A B
x✝ : E

⊢ x✝ ∈ extremePoints 𝕜 B → x✝ ∈ extremePoints 𝕜 A
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Ring.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Ring R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup X
inst✝ : Module R X

⊢ Nontrivial (OreLocalization S R) ↔ 0 ∉ S
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
hr : Symmetric r

⊢ {a, b}.Pairwise r ↔ a ≠ b → r a b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
m n : Nat

⊢ m ∈ iota n ↔ 1 ≤ m ∧ m ≤ n
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.Finite
this : Fintype ↑s

⊢ s.encard = ↑h.toFinset.card
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f g : A

⊢ ↑(basicOpen 𝒜 (f * g)) = ↑(basicOpen 𝒜 f ⊓ basicOpen 𝒜 g)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Zero α
d₁ d₂ : n → α
h : ∀ (i : n), d₁ i = d₂ i

⊢ diagonal d₁ = diagonal d₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hq0 : 0 ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : eLpNorm' f q μ = 0

⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hq0 : 0 ≤ q
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = 0 ∧ 0 < 1 / q ∨ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ = ⊤ ∧ 1 / q < 0

⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : IsKernelPair f a b
inst✝ : IsIso a

⊢ Mono f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : IsKernelPair f a b
inst✝ : IsIso a
l : X ⟶ (IsPullback.cone h).pt
h₁ : l ≫ (IsPullback.cone h).fst = 𝟙 X
h₂ : l ≫ (IsPullback.cone h).snd = 𝟙 X

⊢ Mono f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : IsKernelPair f a b
inst✝ : IsIso a
l : X ⟶ (IsPullback.cone h).pt
h₁ : l = inv a
h₂ : l ≫ (IsPullback.cone h).snd = 𝟙 X

⊢ Mono f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : IsKernelPair f a b
inst✝ : IsIso a
l : X ⟶ (IsPullback.cone h).pt
h₁ : l = inv a
h₂ : (IsPullback.cone h).snd = a

⊢ Mono f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
h : IsKernelPair f a b
inst✝ : IsIso a
l : X ⟶ (IsPullback.cone h).pt
h₁ : l = inv a
h₂ : (IsPullback.cone h).snd = a
Z : C
l' : Z ⟶ (IsPullback.cone h).pt
e : (l' ≫ (IsPullback.cone h).fst) ≫ f = (l' ≫ (IsPullback.cone h).snd) ≫ f

⊢ l' ≫ (IsPullback.cone h).fst = l' ≫ (IsPullback.cone h).snd
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0

⊢ (∀ (p : ℕ), p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p) ↔ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
h : ∀ (p : ℕ), p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p

⊢ a ∣ b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
h : ∀ (p : ℕ), p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p

⊢ a.factorization ≤ b.factorization
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
h : ∀ (p : ℕ), p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p
q : ℕ

⊢ a.factorization q ≤ b.factorization q
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
h : ∀ (p : ℕ), p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p
q : ℕ
hq_le : q ≤ 1

⊢ a.factorization q ≤ b.factorization q
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
ha0 : a ≠ 0
hb0 : b ≠ 0
h : ∀ (p : ℕ), p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p
q : ℕ
hq1 : 1 < q

⊢ a.factorization q ≤ b.factorization q
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : DivisionSemiring α
h : Periodic f c
a : α

⊢ Periodic (fun x => f (x / a)) (c * a)
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n k : ℕ

⊢ (pow (k + 1)) n = if k + 1 = 0 ∧ n = 0 then 0 else n ^ (k + 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Finset β
f : α → β
hf : ∀ y ∈ s, MeasurableSet (f ⁻¹' {y})

⊢ ∑ b ∈ s, μ (f ⁻¹' {b}) = μ (f ⁻¹' ↑s)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hn : 2 ≤ l.length
x : { x // x ∈ l }

⊢ 2 ≤ l.attach.length
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hn✝ : 2 ≤ l.length
x : { x // x ∈ l }
hn : 2 ≤ l.attach.length

⊢ l.attach.Nodup
-- Mathlib/Algebra/Group/Pi/Lemmas.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
I : Type u
f✝ : I → Type v
x y : (i : I) → f✝ i
i j : I
η : Type v
R : Type w
s : ι → η
inst✝ : MulOneClass R
f g : ι → R

⊢ { toFun := fun f => extend s f 1, map_one' := ⋯ }.toFun (f * g) = { toFun := fun f => extend s f 1, map_one' := ⋯ }.toFun f * { toFun := fun f => extend s f 1, map_one' := ⋯ }.toFun g
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R

⊢ Y - (C (C 2) * Y + C (C W.a₁ * X + C W.a₃)) = -Y - C (C W.a₁ * X + C W.a₃)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R

⊢ Y - (2 * Y + (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃))) = -Y - (C (C W.a₁) * C X + C (C W.a₃))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f a p : K[X]
ha0 : a ≠ 0
hp : Prime p
ih : Splits (RingHom.id K) a → Splits i a
hfi : Splits (RingHom.id K) (p * a)

⊢ p ∣ map (RingHom.id K) p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : E → F
x : E
y : F

⊢ Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 y) ↔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ (x' : E), ‖x' / x‖ < δ → ‖f x' / y‖ < ε
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
s t : Finset α

⊢ s \\ tᶜˢ = s ⊼ t
-- Mathlib/Topology/NhdsSet.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X

⊢ s ∈ 𝓝ˢ t ↔ ∀ x ∈ t, s ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/RepresentationTheory/Basic.lean
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring k
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommMonoid V
inst✝ : Module k V
ρ : Representation k G V
g : G

⊢ ρ.asAlgebraHom ((of k G) g) = ρ g
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : V → E
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) volume
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N

⊢ 𝓕 (iteratedFDeriv ℝ n f) = fun w => fourierPowSMulRight (-innerSL ℝ) (𝓕 f) w n
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : V → E
N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n f) volume
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N

⊢ 𝓕 (iteratedFDeriv ℝ n f) = fun w => fourierPowSMulRight (-(innerSL ℝ).flip) (𝓕 f) w n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
s t : Set V
sconn : (induce s G).Connected
tconn : (induce t G).Connected
sintert : (s ∩ t).Nonempty

⊢ (induce (s ∪ t) G).Connected
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
s t : Set V
sconn : (⊤.induce s).Connected
tconn : (⊤.induce t).Connected
sintert : (s ∩ t).Nonempty

⊢ (⊤.induce (s ∪ t)).Connected
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

⊢ (∀ᶠ (c : ℝ) in atTop, IsBigOWith c l f g') ↔ ∀ᶠ (c : ℝ) in atTop, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g' x‖
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Defs.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
𝕜 : Type u_4
E : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoid α
s : Set α
a✝ : α
hs : ThreeGPFree s
a : α
ha : a ∈ s
c : α
hc : c ∈ s
hb : a ∈ s
habc : a * c = a * a

⊢ a = c
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : StrongRankCondition R
ι : Type u_1
v : ι → M
i : LinearIndependent R v
w : Finset M
s : span R ↑w = ⊤

⊢ #ι ≤ ↑w.card