ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s : Finset α
h : a ≠ b
x : α

⊢ x ∈ (insert a s).erase b ↔ x ∈ insert a (s.erase b)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b✝ a b : α
s : Finset α
h : a ≠ b
x : α
this : x ≠ b ∧ x = a ↔ x = a

⊢ x ∈ (insert a s).erase b ↔ x ∈ insert a (s.erase b)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p q : Submodule R M
x : M
xm : x ∈ ⊥
y : M
ym : y ∈ ⊥

⊢ x = y
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p q : Submodule R M
x : M
xm : x ∈ ⊥
y : M
ym : y ∈ ⊥

⊢ 0 = y
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i

⊢ 1 * x = x
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i

⊢ (mulHom A) One.one = AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i

⊢ ∀ (i : ι) (y : A i), ((mulHom A) One.one) ((of A i) y) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) y)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
i : ι
xi : A i

⊢ ((mulHom A) ((of A 0) GradedMonoid.GOne.one)) ((of A i) xi) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) xi)
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GSemiring A
x : ⨁ (i : ι), A i
i : ι
xi : A i

⊢ (of A (0 + i)) (GradedMonoid.GMul.mul GradedMonoid.GOne.one xi) = (AddMonoidHom.id (⨁ (i : ι), A i)) ((of A i) xi)
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s

⊢ n ≤ hitting u s n m ω
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s

⊢ n ≤ m
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
h_exists : ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s
h : ¬n ≤ m

⊢ False
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
h_exists : ∃ j ∈ ∅, u j ω ∈ s
h : ¬n ≤ m

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring ι
inst✝⁸ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝¹ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝ : GradedAlgebra ℬ
j₁ : ι
a₁ : A
b₁ : ↥(ℬ j₁)
b₂ : B

⊢ a₁ = a₁ * ↑GradedMonoid.GOne.one
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
hs : 1 < s.card
a : α

⊢ ∃ b ∈ s, b ≠ a
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
hs : 1 < s.card
a x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y

⊢ ∃ b ∈ s, b ≠ a
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0

⊢ (↑a)⁻¹.toNNReal = (↑a).toNNReal⁻¹
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

⊢ (↑0)⁻¹.toNNReal = (↑0).toNNReal⁻¹
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a : ℝ≥0
ha : a ≠ 0

⊢ (↑a)⁻¹.toNNReal = (↑a).toNNReal⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ

⊢ ∫⁻ (x : α), 0 ∂μ ≠ ⊤
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n

⊢ ((rename f) φ).IsHomogeneous n
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n

⊢ (∑ x ∈ φ.support, (rename f) ((monomial x) (coeff x φ))).IsHomogeneous n
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n

⊢ (∑ x ∈ φ.support, (monomial (mapDomain f x)) (coeff x φ)).IsHomogeneous n
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n

⊢ ∀ d ∈ φ.support, (mapDomain f d).degree = n
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support

⊢ (mapDomain f d).degree = n
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support

⊢ (d.sum fun a m => (AddMonoidHom.id ℕ) m) = n
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
h : φ.IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : d ∈ φ.support

⊢ (d.sum fun a m => (AddMonoidHom.id ℕ) m) = (weight 1) d
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.197151, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.197155, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cocycle K F m
β : Cochain K G n
h : n + 1 = m
eq : δ n m β + (↑α).comp (Cochain.ofHom φ) ⋯ = 0

⊢ δ n m (liftCochain φ (↑α) β h) = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
X✝ Y✝ : C ⥤ D
η : X✝ ⟶ Y✝
A : Augmented C
n : SimplexCategoryᵒᵖ

⊢ η.app (A.left.obj n) ≫ Y✝.map (A.hom.app n) ≫ 𝟙 (Y✝.obj A.right) = (X✝.map (A.hom.app n) ≫ 𝟙 (X✝.obj A.right)) ≫ η.app A.right
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2

⊢ ∃ a, (quadraticChar F) ↑a = -1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
x✝ : ∃ a, (quadraticChar F) a = -1
a : F
ha : (quadraticChar F) a = -1

⊢ IsUnit a
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
x✝ : ∃ a, (quadraticChar F) a = -1
a : F
ha : ¬IsUnit a

⊢ ¬(quadraticChar F) a = -1
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Fin.lean
n : ℕ
a b : Fin n

⊢ map valEmbedding (Ioo a b) = Ioo ↑a ↑b
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
s : Finset ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P
v : V

⊢ (s.weightedVSubOfPoint (v +ᵥ p) b) w = (s.weightedVSubOfPoint p (-v +ᵥ b)) w
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
f g : C ⟶ D
h : Homotopy f g
i j : ι
w : ¬c.Rel j i

⊢ (-h.hom) i j = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g✝ : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
f g : C ⟶ D
h : Homotopy f g
i : ι

⊢ g.f i = (dNext i) (-h.hom) + (prevD i) (-h.hom) + f.f i
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
n m : ℕ
neq : q ≠ p

⊢ padicValNat q (p ^ n * q ^ m) = m
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p q : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hq : Fact (Nat.Prime q)
n m : ℕ
neq : q ≠ p

⊢ padicValNat q (q ^ m * p ^ n) = m
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E₁ G
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E₁ i
m : (i : ι) → E i

⊢ ‖g‖ * ∏ i : ι, ‖f i‖ * ‖m i‖ = (‖g‖ * ∏ i : ι, ‖f i‖) * ∏ i : ι, ‖m i‖
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Shift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
a b c : ℤ
h : a + b = c
x✝ : CochainComplex C ℤ
i✝ : ℤ

⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) a b c h).hom.app x✝).f i✝ = ((shiftFunctorAdd' C a b c h).hom.app x✝).f i✝
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x y : R
h : IsCoprime x y
z : R

⊢ IsCoprime (x + z * y) y
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → StieltjesFunction
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel ν
hf : IsCondKernelCDF f κ ν
a : α
s : Set (β × ℝ)
hs : MeasurableSet s

⊢ ((ν ⊗ₖ IsCondKernelCDF.toKernel f hf) a) s = (κ a) s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
s : Set α
h : ∀ V ∈ 𝓤 α, SymmetricRel V → ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, ball y V
V : Set (α × α)
hV : V ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel V

⊢ ∃ t, t.Finite ∧ s ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ id V}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y✝ z : ℝ
n✝ : ℕ
hx : 0 ≤ x
y : ℝ
n : ℤ

⊢ x ^ (y * ↑n) = (x ^ y) ^ n
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Nat/Gcd.lean
k n m : Nat
H : k.Coprime n

⊢ ((k * m).gcd n).Coprime k
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hi : ↑i < x.orderTop

⊢ x.coeff i = 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
i : Γ
hi : ↑i < orderTop 0

⊢ coeff 0 i = 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hi : ↑i < x.orderTop
hx : x ≠ 0

⊢ x.coeff i = 0
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hx : x ≠ 0
hi : x.coeff i ≠ 0

⊢ ¬↑i < x.orderTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hx : x ≠ 0
hi : i ∈ x.support

⊢ ¬↑i < x.orderTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : Zero R
a b : Γ
r : R
x : HahnSeries Γ R
i : Γ
hx : x ≠ 0
hi : i ∈ x.support

⊢ ¬i < ⋯.min ⋯
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℝ

⊢ Gamma s * Gamma (s + 1 / 2) = Gamma (2 * s) * 2 ^ (1 - 2 * s) * √π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Beta.lean
s : ℝ

⊢ ↑(Gamma s * Gamma (s + 1 / 2)) = ↑(Gamma (2 * s) * 2 ^ (1 - 2 * s) * √π)
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K✝ : Type u
V : Type v
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F K
x : K
H : x ≠ 0

⊢ ∃ y, x * y = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K✝ : Type u
V : Type v
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Ring K
inst✝² : IsDomain K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : FiniteDimensional F K
x : K
H : x ≠ 0
this : Surjective ⇑(LinearMap.mulLeft F x)

⊢ ∃ y, x * y = 1
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
s t✝ : Set β
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β → E
a : α
hs : MeasurableSet s
t : Set β

⊢ ∫ (x : β) in t, f x ∂(κ.restrict hs) a = ∫ (x : β) in t ∩ s, f x ∂κ a
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : SuccOrder β
inst✝¹ : IsSuccArchimedean β
inst✝ : Nonempty β
s : β → Set α
H : ∀ (n : β), IsConnected (s n)
K : ∀ (n : β), (s n ∩ s (succ n)).Nonempty
i✝ j i : β
x✝ : i ∈ Ico j i✝

⊢ (s (succ i) ∩ s i).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝³ : LinearOrder β
inst✝² : SuccOrder β
inst✝¹ : IsSuccArchimedean β
inst✝ : Nonempty β
s : β → Set α
H : ∀ (n : β), IsConnected (s n)
K : ∀ (n : β), (s n ∩ s (succ n)).Nonempty
i✝ j i : β
x✝ : i ∈ Ico j i✝

⊢ (s i ∩ s (succ i)).Nonempty
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
ℙ : Measure Ω
μ : Measure E
X : Ω → E
inst✝ : HasPDF X ℙ μ

⊢ ∫⁻ (x : E), pdf X ℙ μ x ∂μ = ℙ Set.univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

⊢ IsTopologicalBasis {s | ∃ x n, s = cylinder x n}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

⊢ ∀ u ∈ {s | ∃ x n, s = cylinder x n}, IsOpen u
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : (n : ℕ) → TopologicalSpace (E n)
inst✝ : ∀ (n : ℕ), DiscreteTopology (E n)

⊢ ∀ (a : (n : ℕ) → E n) (u : Set ((n : ℕ) → E n)), a ∈ u → IsOpen u → ∃ v ∈ {s | ∃ x n, s = cylinder x n}, a ∈ v ∧ v ⊆ u
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : NonAssocSemiring R
d n : ℕ

⊢ ∑ ij ∈ antidiagonal n, (d + ij.2).choose d = (d + n).choose d + (d + n).choose d.succ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
x y : M

⊢ SameRay R (-x) y ↔ SameRay R x (-y)
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Polynomial.lean
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Finite σ
p : MvPolynomial σ K
h : ∀ (v : σ → K), (eval v) p = 0
hp : p ∈ restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1)
p' : R σ K := ⟨p, hp⟩
this : p' ∈ ker (evalᵢ σ K)

⊢ p' = 0
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
h : (node s l x r).Sized

⊢ node s l x r = l.node' x r
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z

⊢ Mem.other h = Mem.other' h
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
f : α → Computation β

⊢ (pure a).bind f = f a
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
f : α → Computation β

⊢ IsBisimulation fun c₁ c₂ => c₁ = (pure a).bind f ∧ c₂ = f a ∨ c₁ = corec (Bind.f f) (Sum.inr c₂)
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
f : α → Computation β

⊢ (pure a).bind f = (pure a).bind f ∧ f a = f a ∨ (pure a).bind f = corec (Bind.f f) (Sum.inr (f a))
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a : ℤ
ha0 : 0 < a

⊢ (↑a)⁻¹.num = 1
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a : ℤ
ha0 : 0 < a

⊢ (↑1 / ↑a).num = 1
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a : ℤ
ha0 : 0 < a

⊢ (Int.natAbs 1).Coprime a.natAbs
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
a : ℤ
ha0 : 0 < a

⊢ Nat.Coprime 1 a.natAbs
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogBounds.lean
n : ℕ

⊢ logTaylor n 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a✝ : α
n : ℕ
a : α

⊢ a < ↑⌊a⌋₊ + 1
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
a : Fin (n + 1) → ℕ

⊢ (map d) a = a 0 + (∑ x : Fin n, a x.succ * d ^ ↑x) * d
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α

⊢ countP p l ≤ l.length
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
p q : α → Bool
l : List α

⊢ (filter p l).length ≤ l.length
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z T : C
n m : ℕ
β : Ext Y Z m
p : ℕ
h : n + m = p
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C

⊢ (comp 0 β h).hom = hom 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Quotient.lean
C : Type u_3
inst✝¹ : Category.{u_1, u_3} C
r : HomRel C
D : Type u_4
inst✝ : Category.{u_2, u_4} D
F✝ : C ⥤ D
H : ∀ (x y : C) (f₁ f₂ : x ⟶ y), r f₁ f₂ → F✝.map f₁ = F✝.map f₂
F G : Quotient r ⥤ D
τ₁ τ₂ : F ⟶ G
h : whiskerLeft (functor r) τ₁ = whiskerLeft (functor r) τ₂
X : C

⊢ τ₁.app { as := X } = τ₂.app { as := X }
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

⊢ l.sublists.length = 2 ^ l.length
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (weightSpace (↥↑N) 0) (posFittingComp R L ↥↑N)
M₀ : LieSubmodule R L M := weightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M

⊢ IsCompl M₀ M₁
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h✝ : ∀ N < ⊤, IsCompl (weightSpace (↥↑N) 0) (posFittingComp R L ↥↑N)
M₀ : LieSubmodule R L M := weightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
h : ∀ (a : L), weightSpaceOf M 0 a = ⊤

⊢ IsCompl M₀ M₁
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (weightSpace (↥↑N) 0) (posFittingComp R L ↥↑N)
M₀ : LieSubmodule R L M := weightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
hx : weightSpaceOf M 0 x ≠ ⊤

⊢ IsCompl M₀ M₁
-- Mathlib/Analysis/Subadditive.lean
u : ℕ → ℝ
h : Subadditive u
hbdd : BddBelow (range fun n => u n / ↑n)
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ sInf ((fun n => u n / ↑n) '' Ici 1) ≤ u n / ↑n
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ₁ σ₂ : Type u_1
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
H : Respects f₁ f₂ fun a b => tr a = b
a₁ : σ₁
b₂ : σ₂
h : b₂ ∈ tr <$> eval f₁ a₁

⊢ b₂ ∈ eval f₂ (tr a₁)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ₁ σ₂ : Type u_1
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
H : Respects f₁ f₂ fun a b => tr a = b
a₁ : σ₁
b₂ : σ₂
h : b₂ ∈ tr <$> eval f₁ a₁
b₁ : σ₁
ab : b₁ ∈ eval f₁ a₁
bb : tr b₁ = b₂

⊢ b₂ ∈ eval f₂ (tr a₁)
-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
σ₁ σ₂ : Type u_1
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂
H : Respects f₁ f₂ fun a b => tr a = b
a₁ : σ₁
b₂ : σ₂
h✝ : b₂ ∈ tr <$> eval f₁ a₁
b₁ : σ₁
ab : b₁ ∈ eval f₁ a₁
bb : tr b₁ = b₂
h : tr b₁ ∈ eval f₂ (tr a₁)

⊢ b₂ ∈ eval f₂ (tr a₁)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝ n a : ℕ
h : a < n

⊢ (↑a).val = a
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0

⊢ IsPrimePow (n ^ k) ↔ IsPrimePow n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0

⊢ (∃! p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n ^ k) ↔ ∃! p, Nat.Prime p ∧ p ∣ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0

⊢ ∀ (a : ℕ), Nat.Prime a ∧ a ∣ n ^ k ↔ Nat.Prime a ∧ a ∣ n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0

⊢ ∀ (a : ℕ), Nat.Prime a → (a ∣ n ^ k ↔ a ∣ n)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k✝ n k : ℕ
hk : k ≠ 0
p : ℕ
hp : Nat.Prime p

⊢ p ∣ n ^ k ↔ p ∣ n
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ

⊢ Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ

⊢ ∀ (x : α →ᵇ β), 𝓝 x = comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe) x))
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
f : α →ᵇ β
l : Filter (α →ᵇ β)

⊢ l ≤ 𝓝 f ↔ l ≤ comap (⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe) (𝓝 ((⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe) f))
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Bounded.lean
F : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
f✝ g : α →ᵇ β
x : α
C : ℝ
f : α →ᵇ β
l : Filter (α →ᵇ β)

⊢ TendstoUniformly (fun i => ⇑(id i)) (⇑f) l ↔ TendstoUniformly (⇑UniformFun.toFun ∘ ⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe) (UniformFun.toFun ((⇑UniformFun.ofFun ∘ DFunLike.coe) f)) l
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝² : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : Fintype ι'
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
e : ((i : Subtype p) → α ↑i) × ((i : { i // ¬p i }) → α ↑i) ≃ᵐ ((i : ι) → α i) := (MeasurableEquiv.piEquivPiSubtypeProd α p).symm

⊢ MeasurePreserving (⇑(MeasurableEquiv.piEquivPiSubtypeProd α p)) (Measure.pi μ) ((Measure.pi fun i => μ ↑i).prod (Measure.pi fun i => μ ↑i))