ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
inst✝¹ : f₁.NeBot
inst✝ : g₁.NeBot

⊢ f₁ ×ˢ g₁ = f₂ ×ˢ g₂ ↔ f₁ = f₂ ∧ g₁ = g₂
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
inst✝¹ : f₁.NeBot
inst✝ : g₁.NeBot
h : f₁ ×ˢ g₁ = f₂ ×ˢ g₂

⊢ f₁ = f₂ ∧ g₁ = g₂
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
inst✝¹ : f₁.NeBot
inst✝ : g₁.NeBot
h : f₁ ×ˢ g₁ = f₂ ×ˢ g₂
hle : f₁ ≤ f₂ ∧ g₁ ≤ g₂

⊢ f₁ = f₂ ∧ g₁ = g₂
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
inst✝¹ : f₁.NeBot
inst✝ : g₁.NeBot
h : f₁ ×ˢ g₁ = f₂ ×ˢ g₂
hle : f₁ ≤ f₂ ∧ g₁ ≤ g₂
this : f₂.NeBot

⊢ f₁ = f₂ ∧ g₁ = g₂
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g₁ g₂ : Filter β
inst✝¹ : f₁.NeBot
inst✝ : g₁.NeBot
h : f₁ ×ˢ g₁ = f₂ ×ˢ g₂
hle : f₁ ≤ f₂ ∧ g₁ ≤ g₂
this✝ : f₂.NeBot
this : g₂.NeBot

⊢ f₁ = f₂ ∧ g₁ = g₂
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0

⊢ ∃ n > 0, (↑n)⁻¹ * a < b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
n : ℕ
npos : n > 0
hn : a < ↑n * b

⊢ ∃ n > 0, (↑n)⁻¹ * a < b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
n : ℕ
npos : n > 0
hn : a < ↑n * b

⊢ (↑n)⁻¹ * a < b
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
n : ℕ
npos : n > 0
hn : a < ↑n * b

⊢ a / ↑n < b
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
o : α → Option β
f : α → σ
g : α → β → σ
ho : Computable o
hf : Computable f
hg : Computable₂ g
a : α

⊢ (Nat.casesOn (encode (o a)) (Option.some (f a)) fun n => Option.map (g a) (decode n)) = Option.some (Option.casesOn (o a) (f a) (g a))
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
s : Set (α × β)
x : α × β

⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x_1, x.2)) {a | (a, x.2) ∈ s} x.1
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
s : Set (α × β)
x : α × β

⊢ ContinuousWithinAt f s (x.1, x.2) ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x_1, (x.1, x.2).2)) {a | (a, (x.1, x.2).2) ∈ s} (x.1, x.2).1
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α × β → γ
s : Set (α × β)
x : α × β

⊢ Tendsto f (map (fun a => (a, x.2)) (𝓝 x.1 ⊓ 𝓟 ((fun a => (a, x.2)) ⁻¹' s))) (𝓝 (f (x.1, x.2))) ↔ Tendsto (fun x_1 => f (x_1, x.2)) (𝓝 x.1 ⊓ 𝓟 {a | (a, x.2) ∈ s}) (𝓝 (f (x.1, x.2)))
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n : ℕ
h : n ≠ 0

⊢ n.div2 < n
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n : ℕ
h : n ≠ 0

⊢ n / 2 < n
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n : ℕ
h : n ≠ 0

⊢ n < n * succ 1
-- Mathlib/Data/Nat/Bits.lean
m n : ℕ
h : n ≠ 0
this : n * 1 < n * succ 1

⊢ n < n * succ 1
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.14973
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y

⊢ IsLocallyInjective f ↔ IsOpen (Function.pullbackDiagonal f)
-- Mathlib/Topology/SeparatedMap.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
A : Type ?u.14973
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace A
f : X → Y

⊢ (∀ (x : X), ∃ U ∈ 𝓝 x, Set.InjOn f U) ↔ ∀ (a b : X) (b_1 : f a = f b), ⟨(a, b), b_1⟩ ∈ Function.pullbackDiagonal f → ∃ t ∈ 𝓝 a ×ˢ 𝓝 b, Subtype.val ⁻¹' t ⊆ Function.pullbackDiagonal f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
x : E

⊢ x ∈ toCone s hs ↔ ∃ c, 0 < c ∧ ∃ y ∈ s, c • y = x
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : QuasiErgodic f μ
hsm : NullMeasurableSet s μ
hs : f ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] s

⊢ s =ᶠ[ae μ] univ → ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/Ergodic.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
f : α → α
s : Set α
μ : Measure α
hf : QuasiErgodic f μ
hsm : NullMeasurableSet s μ
hs : f ⁻¹' s =ᶠ[ae μ] s

⊢ s =ᶠ[ae μ] ∅ → ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ s
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Monad.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
T : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : CommSemiring T
f✝ f : σ → MvPolynomial τ R
d : σ →₀ ℕ
r : R

⊢ (bind₁ f) ((monomial d) r) = C r * ∏ i ∈ d.support, f i ^ d i
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace τ
inst✝² : AddMonoid τ
inst✝¹ : ContinuousAdd τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : Filter τ
ϕ : Flow τ α
s : Set α
hf : ∀ (t : τ), Tendsto (fun x => t + x) f f

⊢ IsInvariant ϕ.toFun (ω f ϕ.toFun s)
-- Mathlib/Dynamics/OmegaLimit.lean
τ : Type u_1
inst✝³ : TopologicalSpace τ
inst✝² : AddMonoid τ
inst✝¹ : ContinuousAdd τ
α : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
f : Filter τ
ϕ : Flow τ α
s : Set α
hf : ∀ (t : τ), Tendsto (fun x => t + x) f f
t : τ

⊢ MapsTo (ϕ.toFun t) (ω f ϕ.toFun s) (ω f (fun t_1 x => ϕ.toFun (t + t_1) x) s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s✝ : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
s t : Set α
f : α → E
x : α

⊢ edist (s.mulIndicator f x) (t.mulIndicator f x) = ↑‖(s ∆ t).mulIndicator f x‖₊
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/FunctorGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'

⊢ ((splitting K).cofan Δ).inj A ≫ (obj K).map θ = Termwise.mapMono K (image.ι (θ.unop ≫ A.e)) ≫ ((splitting K).cofan Δ').inj (A.pull θ)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/FunctorGamma.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ✝ Δ'✝ Δ'' : SimplexCategory
inst✝ : HasFiniteCoproducts C
Δ Δ' : SimplexCategoryᵒᵖ
A : Splitting.IndexSet Δ
θ : Δ ⟶ Δ'

⊢ factorThruImage (θ.unop ≫ A.e) ≫ image.ι (θ.unop ≫ A.e) = θ.unop ≫ A.e
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

⊢ W.φ 1 = C X
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a x✝ : ℝ≥0
h : ↑a < ↑x✝

⊢ (↑x✝)⁻¹ < (↑a)⁻¹
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a x✝ : ℝ≥0
h : a < x✝

⊢ (↑x✝)⁻¹ < (↑a)⁻¹
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q x✝ : ℝ≥0
h : 0 < x✝

⊢ (↑x✝)⁻¹ < (↑0)⁻¹
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a x✝ : ℝ≥0
h : a < x✝
ha : a ≠ 0

⊢ (↑x✝)⁻¹ < (↑a)⁻¹
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q a x✝ : ℝ≥0
h : a < x✝
ha : a ≠ 0

⊢ x✝⁻¹ < a⁻¹
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
p m : ℕ+
pp : p.Prime

⊢ m ∣ p ↔ m = 1 ∨ m = p
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
p m : ℕ+
pp : p.Prime

⊢ ↑m ∣ ↑p ↔ m = 1 ∨ m = p
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
p m : ℕ+
pp : p.Prime

⊢ ↑m = 1 ∨ ↑m = ↑p ↔ m = 1 ∨ m = p
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝ : Semiring R
q : ℕ
x y : R
h : Commute x y
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)

⊢ (x + y) ^ q = x ^ q + y ^ q
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W
X Y Z : C

⊢ HasSmallLocalizedHom W X Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} D'
L : C ⥤ D
inst✝ : L.IsLocalization W
X Y Z : C

⊢ Small.{v₂, v₂} (L.obj X ⟶ L.obj Y)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a b c : Ordinal.{u_1}
b0 : b ≠ 0
h : c.IsLimit

⊢ a < b ^ c ↔ ∃ c' < c, a < b ^ c'
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a b c : Ordinal.{u_1}
b0 : b ≠ 0
h : c.IsLimit

⊢ ¬a < b ^ c ↔ ∀ (x : Ordinal.{u_1}), ¬(x < c ∧ a < b ^ x)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
hS : S.Nonempty
t : Set β

⊢ ⋂₀ S ×ˢ t = ⋂ s ∈ S, s ×ˢ t
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)
hS : S.Nonempty
t : Set β

⊢ ⋂ r ∈ S ×ˢ {t}, r.1 ×ˢ r.2 = ⋂ s ∈ S, s ×ˢ t
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n m : ℕ
x : ℝ
e₁ : n + 1 = m
h : |x| ≤ 1

⊢ |rexp x - expNear m x 0| ≤ |x| ^ m / ↑m.factorial * ((↑m + 1) / ↑m)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n m : ℕ
x : ℝ
e₁ : n + 1 = m
h : |x| ≤ 1

⊢ |rexp x - ∑ m ∈ range m, x ^ m / ↑m.factorial| ≤ |x| ^ m / ↑m.factorial * ((↑m + 1) / ↑m)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n m : ℕ
x : ℝ
e₁ : n + 1 = m
h : |x| ≤ 1

⊢ |x| ^ m / ↑m.factorial * ((↑m + 1) / ↑m) = |x| ^ m * (↑m.succ / (↑m.factorial * ↑m))
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n m : ℕ
x : ℝ
e₁ : n + 1 = m
h : |x| ≤ 1

⊢ 0 < m
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
f : α → β
inst✝¹ : CompleteSpace β
inst✝ : T0Space β
hf : UniformContinuous f
g : pkg.space → β
hg : UniformContinuous g
h : ∀ (a : α), f a = g (pkg.coe a)

⊢ pkg.extend f = g
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/AbstractCompletion.lean
α : Type u_1
inst✝³ : UniformSpace α
pkg : AbstractCompletion α
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace β
f : α → β
inst✝¹ : CompleteSpace β
inst✝ : T0Space β
hf : UniformContinuous f
g : pkg.space → β
hg : UniformContinuous g
h : ∀ (a : α), f a = g (pkg.coe a)

⊢ ∀ (a : α), pkg.extend f (pkg.coe a) = g (pkg.coe a)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NormTrace.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S

⊢ (norm Rₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((norm R) a)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NormTrace.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Subsingleton R

⊢ (norm Rₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((norm R) a)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NormTrace.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Nontrivial R

⊢ (norm Rₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((norm R) a)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NormTrace.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S
this : DecidableEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) := Classical.decEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S)

⊢ (norm Rₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((norm R) a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
hs : (affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k {(affineCombination k s p) w₁, (affineCombination k s p) w₂}
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hi0 : w₁ i = 0
hj0 : w₁ j = 0
hij : SignType.sign (w₂ i) = SignType.sign (w₂ j)

⊢ SignType.sign (w i) = SignType.sign (w j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
hs : ∃ r, ∀ i ∈ s, w i = r * (w₂ i - w₁ i) + w₁ i
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hi0 : w₁ i = 0
hj0 : w₁ j = 0
hij : SignType.sign (w₂ i) = SignType.sign (w₂ j)

⊢ SignType.sign (w i) = SignType.sign (w j)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
h : AffineIndependent k p
w w₁ w₂ : ι → k
s : Finset ι
hw : ∑ i ∈ s, w i = 1
hw₁ : ∑ i ∈ s, w₁ i = 1
hw₂ : ∑ i ∈ s, w₂ i = 1
i j : ι
hi : i ∈ s
hj : j ∈ s
hi0 : w₁ i = 0
hj0 : w₁ j = 0
hij : SignType.sign (w₂ i) = SignType.sign (w₂ j)
r : k
hr : ∀ i ∈ s, w i = r * (w₂ i - w₁ i) + w₁ i

⊢ SignType.sign (w i) = SignType.sign (w j)
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
N : s.Normal
g a : α

⊢ a ∈ g • ↑s ↔ a ∈ op g • ↑s
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x : α
i : m

⊢ Pi.single i x ⬝ᵥ v = x * v i
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x : α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → Pi.single i x j * v j = 0

⊢ Pi.single i x ⬝ᵥ v = x * v i
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v✝ w : V
e✝ : Sym2 V
inst✝ : DecidableEq V
v : V
e : Sym2 V
he : e ∈ G.edgeSet
hv : v ∈ e

⊢ G.otherVertexOfIncident ⋯ ∈ G.neighborSet v
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ

⊢ (fun a => ENNReal.ofReal (↑(condCDF ρ a) ↑r)) =ᶠ[ae ρ.fst] preCDF ρ r
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ
a : α
ha : ↑(condCDF ρ a) ↑r = (preCDF ρ r a).toReal
ha_le_one : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1

⊢ ENNReal.ofReal (↑(condCDF ρ a) ↑r) = preCDF ρ r a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
r : ℚ
a : α
ha : ↑(condCDF ρ a) ↑r = (preCDF ρ r a).toReal
ha_le_one : ∀ (r : ℚ), preCDF ρ r a ≤ 1

⊢ preCDF ρ r a ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E

⊢ Memℒp (f + g) p μ ↔ Memℒp f p μ ∧ Memℒp g p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
hfg : Memℒp (f + g) p μ

⊢ Memℒp f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
f g : α → E
h : Disjoint (support f) (support g)
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
this✝¹ : MeasurableSpace E := borel E
this✝ : BorelSpace E
hfg : Memℒp (f + g) p μ

⊢ Memℒp g p μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : F.IsEquivalence
inst✝¹ : SplitEpiCategory C
X Y : D
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f

⊢ IsSplitEpi f
-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} E
F : C ⥤ D
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
inst✝² : F.IsEquivalence
inst✝¹ : SplitEpiCategory C
X Y : D
f : X ⟶ Y
inst✝ : Epi f

⊢ IsSplitEpi (F.inv.map f)
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
ha : 0 < a
hb : b < 0

⊢ a • b < 0
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a✝ : 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
hx : x ≠ ↑a✝
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥(zmultiples p)
inst✝ : DenselyOrdered 𝕜
a : 𝕜

⊢ ∃ e, a ∈ e.source ∧ QuotientAddGroup.mk = ↑e
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a✝ : 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
x : AddCircle p
hx : x ≠ ↑a✝
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥(zmultiples p)
inst✝ : DenselyOrdered 𝕜
a b : 𝕜
hb1 : a - p < b
hb2 : b < a

⊢ ∃ e, a ∈ e.source ∧ QuotientAddGroup.mk = ↑e
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.11266
L : Type ?u.11269
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
e : minpolyDiv R x = 0

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.11266
L : Type ?u.11269
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
e : minpolyDiv R x = 0
this : minpolyDiv R x * (X - C x) = map (algebraMap R S) (minpoly R x)

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.11266
L : Type ?u.11269
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : Nontrivial S
e : minpolyDiv R x = 0
this : 0 = map (algebraMap R S) (minpoly R x)

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G

⊢ index ((fun h => g * h) '' K) V ≤ index K V
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
s : Finset G
h1s : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K V

⊢ index ((fun h => g * h) '' K) V ≤ index K V
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
s : Finset G
h1s : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K V

⊢ index ((fun h => g * h) '' K) V ≤ s.card
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
s : Finset G
h1s : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K V

⊢ s.card ∈ Finset.card '' {t | (fun h => g * h) '' K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
s : Finset G
h1s : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K V

⊢ ∃ x ∈ {t | (fun h => g * h) '' K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}, x.card = s.card
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
s : Finset G
h1s : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K V

⊢ Finset.map (Equiv.toEmbedding (Equiv.mulRight g⁻¹)) s ∈ {t | (fun h => g * h) '' K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
s : Finset G
h1s : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K V

⊢ (fun h => g * h) '' K ⊆ ⋃ g_1 ∈ Finset.map (Equiv.toEmbedding (Equiv.mulRight g⁻¹)) s, (fun h => g_1 * h) ⁻¹' V
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K : Set G
hK : IsCompact K
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
g : G
s : Finset G
h1s : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K V

⊢ (fun h => g * h) '' ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V ⊆ ⋃ g_1 ∈ Finset.map (Equiv.toEmbedding (Equiv.mulRight g⁻¹)) s, (fun h => g_1 * h) ⁻¹' V