ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FormalMultilinearSeries.lean
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝¹⁵ : Ring 𝕜
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module 𝕜 G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : TopologicalAddGroup G
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : 0 < n

⊢ p.removeZero n.pred.succ = p n.pred.succ
-- Mathlib/Data/Finset/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α

⊢ (Iic s).card = 2 ^ s.card
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C

⊢ IsInitial X → False ↔ Nonempty ↑(F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C

⊢ IsInitial X → False ↔ ¬IsEmpty ↑(F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{u₂, u₁} C
inst✝¹ : PreGaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝ : FiberFunctor F
X : C
h : IsInitial X → False
he : IsEmpty ↑(F.obj X)

⊢ False
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s✝ : Multiset α
a✝ a : α
s t : Multiset α

⊢ a ::ₘ s ⊆ t ↔ a ∈ t ∧ s ⊆ t
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid α
g : γ → β
hg : Injective g
f : β → α
hf : ∀ x ∉ Set.range g, f x = 1
this : DecidableEq β

⊢ Filter.map (fun s => ∏ i ∈ s, f (g i)) atTop = Filter.map (fun s => ∏ i ∈ s, f i) atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid α
g : γ → β
hg : Injective g
f : β → α
hf : ∀ x ∉ Set.range g, f x = 1
this : DecidableEq β
s : Finset β

⊢ ∃ v, ∀ (v' : Finset γ), v ⊆ v' → ∃ u', s ⊆ u' ∧ ∏ x ∈ u', f x = ∏ b ∈ v', f (g b)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid α
g : γ → β
hg : Injective g
f : β → α
hf : ∀ x ∉ Set.range g, f x = 1
this : DecidableEq β
s : Finset γ

⊢ ∃ v, ∀ (v' : Finset β), v ⊆ v' → ∃ u', s ⊆ u' ∧ ∏ x ∈ u', f (g x) = ∏ b ∈ v', f b
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
x : R
hx : x ≠ 0

⊢ ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ x ∧ x ∣ y ^ n
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
hx : 0 ≠ 0

⊢ ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ 0 ∧ 0 ∣ y ^ n
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
u : R
hu : IsUnit u
hx : u ≠ 0

⊢ ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ u ∧ u ∣ y ^ n
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
z p : R
hz : z ≠ 0
hp : Irreducible p
ih : z ≠ 0 → ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ z ∧ z ∣ y ^ n
hx : p * z ≠ 0

⊢ ∃ y n, Squarefree y ∧ y ∣ p * z ∧ p * z ∣ y ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝³ : SMul R ℝ≥0
inst✝² : SMul R ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
μ : FiniteMeasure Ω
A s : Set Ω
s_mble : MeasurableSet s

⊢ ↑(μ.restrict A) s = ↑μ (s ∩ A)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
x : α
l₁ l₂ : List α

⊢ x ∈ l₁ ∩ l₂ ↔ x ∈ l₁ ∧ x ∈ l₂
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : DecidableEq L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : IsFractionRing R K
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)

⊢ Fintype.card (ClassGroup R) = 1 → IsPrincipalIdealRing R
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : DecidableEq L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : IsFractionRing R K
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)

⊢ (∃ x, ∀ (y : ClassGroup R), y = x) → IsPrincipalIdealRing R
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : DecidableEq L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : IsFractionRing R K
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I : ClassGroup R
hI : ∀ (y : ClassGroup R), y = I

⊢ IsPrincipalIdealRing R
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : Field K
inst✝¹⁰ : Field L
inst✝⁹ : DecidableEq L
inst✝⁸ : Algebra R K
inst✝⁷ : IsFractionRing R K
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : FiniteDimensional K L
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I : ClassGroup R
hI : ∀ (y : ClassGroup R), y = I
eq_one : ∀ (J : ClassGroup R), J = 1

⊢ IsPrincipalIdealRing R
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x : ι → 𝔸'

⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => ∏ i ∈ u, x i) (∑ i ∈ u, (∏ j ∈ u.erase i, x j) • proj i) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
x : ι → 𝔸'

⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (Multiset.map x u.val).prod) (Multiset.map (fun x_1 => (Multiset.map x (u.erase x_1).val).prod • proj x_1) u.val).sum x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
h : IsNilpotent a

⊢ IsNilpotent ((LieAlgebra.ad R A) a)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
h : IsNilpotent a

⊢ IsNilpotent ((LinearMap.mulLeft R - LinearMap.mulRight R) a)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
h : IsNilpotent a
hl : IsNilpotent (LinearMap.mulLeft R a)

⊢ IsNilpotent ((LinearMap.mulLeft R - LinearMap.mulRight R) a)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
h : IsNilpotent a
hl : IsNilpotent (LinearMap.mulLeft R a)
hr : IsNilpotent (LinearMap.mulRight R a)

⊢ IsNilpotent ((LinearMap.mulLeft R - LinearMap.mulRight R) a)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
h : IsNilpotent a
hl : IsNilpotent (LinearMap.mulLeft R a)
hr : IsNilpotent (LinearMap.mulRight R a)
this : Commute (LinearMap.mulLeft R a) (LinearMap.mulRight R a)

⊢ IsNilpotent ((LinearMap.mulLeft R - LinearMap.mulRight R) a)
-- Mathlib/GroupTheory/Transfer.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
A : Type u_2
inst✝¹ : CommGroup A
ϕ : ↥H →* A
T : ↑(leftTransversals ↑H)
inst✝ : (center G).FiniteIndex
g : G
k : ℕ
x✝ : G
hk : x✝⁻¹ * g ^ k * x✝ ∈ center G

⊢ x✝⁻¹ * g ^ k * x✝ = g ^ k
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Restrict.lean
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
hφ : Function.Injective ⇑φ
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
hEF : AffineSubspace.map φ E ≤ F
x y : ↥E
h : (φ.restrict hEF) x = (φ.restrict hEF) y

⊢ x = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Restrict.lean
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁸ : Ring k
inst✝⁷ : AddCommGroup V₁
inst✝⁶ : AddCommGroup V₂
inst✝⁵ : Module k V₁
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AddTorsor V₁ P₁
inst✝² : AddTorsor V₂ P₂
φ : P₁ →ᵃ[k] P₂
hφ : Function.Injective ⇑φ
E : AffineSubspace k P₁
F : AffineSubspace k P₂
inst✝¹ : Nonempty ↥E
inst✝ : Nonempty ↥F
hEF : AffineSubspace.map φ E ≤ F
x y : ↥E
h : φ ↑x = φ ↑y

⊢ ↑x = ↑y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
f : E → F
x : E
c : R
hf : ContDiffAt 𝕜 n f x

⊢ ContDiffAt 𝕜 n (fun y => c • f y) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 R F
inst✝ : ContinuousConstSMul R F
f : E → F
x : E
c : R
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f univ x

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun y => c • f y) univ x
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X✝ : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X✝
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f✝ : X✝ → (i : ι) → π i
X : Type u_8
f : X → (i : ι) → π i

⊢ induced f Pi.topologicalSpace = ⨅ i, induced (fun x => f x i) inferInstance
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
H : Subgroup G
inst✝³ : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝² : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)

⊢ Group.nilpotencyClass ((i : η) → Gs i) = Finset.univ.sup fun i => Group.nilpotencyClass (Gs i)
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
H : Subgroup G
inst✝³ : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝² : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)

⊢ ∀ (c : ℕ), Group.nilpotencyClass ((i : η) → Gs i) ≤ c ↔ (Finset.univ.sup fun i => Group.nilpotencyClass (Gs i)) ≤ c
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
H : Subgroup G
inst✝³ : H.Normal
η : Type u_2
Gs : η → Type u_3
inst✝² : (i : η) → Group (Gs i)
inst✝¹ : Fintype η
inst✝ : ∀ (i : η), Group.IsNilpotent (Gs i)
k : ℕ

⊢ Group.nilpotencyClass ((i : η) → Gs i) ≤ k ↔ (Finset.univ.sup fun i => Group.nilpotencyClass (Gs i)) ≤ k
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E

⊢ re ⟪0, x⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
e : E
f : E → F
g : E → G
s : Set E
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E G
w✝¹ : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s e w✝¹
w✝ : ℝ≥0∞
hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q s e w✝

⊢ HasFPowerSeriesWithinAt (fun x => (f x, g x)) (p.prod q) s e
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
q : ℚ
h✝ : q < 0

⊢ 0 ≤ 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
q : ℚ
h✝ : ¬q < 0

⊢ 0 ≤ 1
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
h₂ : PrimrecRel fun a b => f a = b
g : α → ℕ
pg : Primrec g
hg : ∀ (x : α), f x ≤ g x

⊢ Primrec f
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
f : α → ℕ
h₂ : PrimrecRel fun a b => f a = b
g : α → ℕ
pg : Primrec g
hg : ∀ (x : α), f x ≤ g x
n : α

⊢ Nat.findGreatest (fun b => f n = b) (g n) = f n
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
I J : WithBot (Box ι)

⊢ ↑I = ↑J ↔ I = J
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) ≠ 0

⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)

⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
h_dvd : v.maxPowDividing I ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I

⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
h_dvd : v.maxPowDividing I ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I
h_not_dvd : ¬v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1) ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I

⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
h_dvd : v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
h_not_dvd : ¬v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1) ∣ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors

⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
h_dvd : Associates.mk (v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ∣ Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)
h_not_dvd : ¬Associates.mk (v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1)) ∣ Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)

⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
h_dvd : Associates.mk (v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ≤ Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)
h_not_dvd : ¬Associates.mk (v.asIdeal ^ ((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1)) ≤ Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)

⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
h_dvd : (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors ≤ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)).factors
h_not_dvd : ¬(Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1 ≤ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)).factors

⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
h_ne_zero : Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ≠ 0
hv : Irreducible (Associates.mk v.asIdeal)
h_dvd : (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors ≤ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)).factors
h_not_dvd : (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.asIdeal ^ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors)).factors < (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors + 1

⊢ (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk I).factors
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
β : Type v
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
f : Fin n → α

⊢ cons a f ∘ rev = snoc (f ∘ rev) a
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
β : Type v
α : Type u_1
n : ℕ
a : α
f : Fin n → α
i : Fin (n + 1)

⊢ (cons a f ∘ rev) i = snoc (f ∘ rev) a i
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι✝ : Sort u_1
ι : Sort u_2
u : ι → UniformSpace α
a : α

⊢ 𝓝 a = 𝓝 a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : s.Finite

⊢ IsCompact ((convexHull ℝ) s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : s.Finite

⊢ IsCompact (⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x) '' stdSimplex ℝ ↑s)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : s.Finite

⊢ Continuous ⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : s.Finite
this : Fintype ↑s

⊢ Continuous ⇑(∑ x : ↑s, (LinearMap.proj x).smulRight ↑x)