ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p δ : ℝ≥0∞
hδ : δ ≠ 0
this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)

⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f g : α → E
p δ : ℝ≥0∞
hδ : δ ≠ 0
this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
η : ℝ≥0∞
hη : LpAddConst p * (η + η) < δ
ηpos : 0 < η

⊢ ∃ η, 0 < η ∧ ∀ (f g : α → E), AEStronglyMeasurable f μ → AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/TriangleInequality.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ : Measure α
f✝ g✝ : α → E
p δ : ℝ≥0∞
hδ : δ ≠ 0
this : Tendsto (fun η => LpAddConst p * (η + η)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
η : ℝ≥0∞
hη : LpAddConst p * (η + η) < δ
ηpos : 0 < η
f g : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
Hf : eLpNorm f p μ ≤ η
Hg : eLpNorm g p μ ≤ η

⊢ eLpNorm (f + g) p μ < δ
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝¹ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
F✝ G✝ : MvPolynomial σ R
n✝ : ℕ
inst✝ : Infinite R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hG : G.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = (eval r) G

⊢ F = G
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ✝ : Type u_1
τ : Type u_2
R✝ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ inst✝⁴ : CommSemiring R✝
inst✝³ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ✝ R✝
m n✝¹ : ℕ
R : Type u_5
σ : Type u_6
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
F✝ G✝ : MvPolynomial σ R
n✝ : ℕ
inst✝ : Infinite R
F G : MvPolynomial σ R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hG : G.IsHomogeneous n
h : ∀ (r : σ → R), (eval r) F = (eval r) G

⊢ ↑n ≤ #R
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
this : Fact (0 < 2 * π)

⊢ IsLocalHomeomorph ⇑expMapCircle
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j
hj : j = 0

⊢ False
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j

⊢ δ i ≫ δ j = δ (j.pred ⋯) ≫ δ i.castSucc
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j

⊢ δ i ≫ δ j = δ i ≫ δ (j.pred ⋯).succ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 3)
H : i.castSucc < j

⊢ i ≤ j.pred ⋯
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsOpenImmersion f
H : P g

⊢ P (f ≫ g)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsOpenImmersion f
H : ∀ (U : ↑Z.affineOpens) (V : ↑Y.affineOpens) (e : ↑V ≤ g ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE g (↑U) (↑V) e)

⊢ ∀ (U : ↑Z.affineOpens) (V : ↑X.affineOpens) (e : ↑V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE (f ≫ g) (↑U) (↑V) e)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsOpenImmersion f
H : ∀ (U : ↑Z.affineOpens) (V : ↑Y.affineOpens) (e : ↑V ≤ g ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE g (↑U) (↑V) e)
U : ↑Z.affineOpens
V : ↑X.affineOpens
e : ↑V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ ↑U

⊢ Q (Scheme.Hom.appLE (f ≫ g) (↑U) (↑V) e)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsOpenImmersion f
H : ∀ (U : ↑Z.affineOpens) (V : ↑Y.affineOpens) (e : ↑V ≤ g ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE g (↑U) (↑V) e)
U : ↑Z.affineOpens
V : ↑X.affineOpens
e : ↑V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ ↑U
this : IsIso (Scheme.Hom.appLE f (f ''ᵁ ↑V) ↑V ⋯)

⊢ Q (Scheme.Hom.appLE (f ≫ g) (↑U) (↑V) e)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : IsOpenImmersion f
H : ∀ (U : ↑Z.affineOpens) (V : ↑Y.affineOpens) (e : ↑V ≤ g ⁻¹ᵁ ↑U), Q (Scheme.Hom.appLE g (↑U) (↑V) e)
U : ↑Z.affineOpens
V : ↑X.affineOpens
e : ↑V ≤ (f ≫ g) ⁻¹ᵁ ↑U
this : IsIso (Scheme.Hom.appLE f (f ''ᵁ ↑V) ↑V ⋯)

⊢ Q (Scheme.Hom.appLE g (↑U) (f ''ᵁ ↑V) ⋯)
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
s : Cycle α
x y : α
hxy : x ≠ y
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s

⊢ 2 ≤ s.length
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
x y : α
hxy : x ≠ y
l : List α
hx : x ∈ Quot.mk Setoid.r l
hy : y ∈ Quot.mk Setoid.r l

⊢ 2 ≤ length (Quot.mk Setoid.r l)
-- Mathlib/Topology/NhdsSet.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X

⊢ 𝓝ˢ univ = ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E

⊢ 1 + ‖x‖ ≤ √2 * √(1 + ‖x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E

⊢ 1 + ‖x‖ ≤ √(2 * (1 + ‖x‖ ^ 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E
this : 0 ≤ (‖x‖ - 1) ^ 2

⊢ 1 + ‖x‖ ≤ √(2 * (1 + ‖x‖ ^ 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/JapaneseBracket.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
x : E
this : 0 ≤ (‖x‖ - 1) ^ 2

⊢ (1 + ‖x‖) ^ 2 ≤ 2 * (1 + ‖x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

⊢ exp 𝕂 (x + y) = exp 𝕂 x * exp 𝕂 y
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

⊢ (fun x => ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • x ^ n) (x + y) = ∑' (n : ℕ), ∑ kl ∈ Finset.antidiagonal n, (↑kl.1!)⁻¹ • x ^ kl.1 * (↑kl.2!)⁻¹ • y ^ kl.2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

⊢ ∑' (n : ℕ), (↑n !)⁻¹ • (x + y) ^ n = ∑' (n : ℕ), ∑ kl ∈ Finset.antidiagonal n, (↑kl.1!)⁻¹ • x ^ kl.1 * (↑kl.2!)⁻¹ • y ^ kl.2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

⊢ ∑' (x_1 : ℕ), ∑ x_2 ∈ Finset.antidiagonal x_1, (↑x_1 !)⁻¹ • x_1.choose x_2.1 • (x ^ x_2.1 * y ^ x_2.2) = ∑' (n : ℕ), ∑ kl ∈ Finset.antidiagonal n, (↑kl.1!)⁻¹ • x ^ kl.1 * (↑kl.2!)⁻¹ • y ^ kl.2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
n : ℕ
kl : ℕ × ℕ
hkl : kl ∈ Finset.antidiagonal n

⊢ (↑n !)⁻¹ • n.choose kl.1 • (x ^ kl.1 * y ^ kl.2) = (↑kl.1!)⁻¹ • x ^ kl.1 * (↑kl.2!)⁻¹ • y ^ kl.2
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
n : ℕ
kl : ℕ × ℕ
hkl : kl ∈ Finset.antidiagonal n

⊢ ((↑n !)⁻¹ * (↑n ! / (↑kl.1! * ↑kl.2!))) • (x ^ kl.1 * y ^ kl.2) = ((↑kl.1!)⁻¹ * (↑kl.2!)⁻¹) • (x ^ kl.1 * y ^ kl.2)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
n : ℕ
kl : ℕ × ℕ
hkl : kl ∈ Finset.antidiagonal n

⊢ (↑n !)⁻¹ * (↑n ! / (↑kl.1! * ↑kl.2!)) = (↑kl.1!)⁻¹ * (↑kl.2!)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝² : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝¹ : CompleteSpace 𝔸
inst✝ : CharZero 𝕂
x y : 𝔸
hxy : Commute x y
hx : x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
n : ℕ
kl : ℕ × ℕ
hkl : kl ∈ Finset.antidiagonal n
this : ↑n ! ≠ 0

⊢ (↑n !)⁻¹ * (↑n ! / (↑kl.1! * ↑kl.2!)) = (↑kl.1!)⁻¹ * (↑kl.2!)⁻¹
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : CompleteBooleanAlgebra α
f : Filter β
u : β → α
inst✝ : f.NeBot
a : α

⊢ liminf u f \ a = liminf (fun b => u b \ a) f
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty

⊢ IsCyclotomicExtension S A B ↔ IsCyclotomicExtension (S ∪ {n}) A B
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty
H : IsCyclotomicExtension (S ∪ {n}) A B
s : ℕ+
hs : s ∈ S

⊢ ∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑s
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
h : ∀ s ∈ S, n ∣ s
hS : S.Nonempty
H : IsCyclotomicExtension (S ∪ {n}) A B

⊢ adjoin A {b | ∃ n ∈ S, b ^ ↑n = 1} = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
k : ℕ

⊢ p.toList ((p ^ k) x) = (p.toList x).rotate k
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
k : ℕ

⊢ (p.toList ((p ^ k) x)).length = ((p.toList x).rotate k).length
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p✝ : Perm α
x✝ : α
p : Perm α
x : α
k : ℕ

⊢ ∀ (n : ℕ) (h₁ : n < (p.toList ((p ^ k) x)).length) (h₂ : n < ((p.toList x).rotate k).length), (p.toList ((p ^ k) x)).nthLe n h₁ = ((p.toList x).rotate k).nthLe n h₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G
h : b = c / a

⊢ a * b = c
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
f : X → Y
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith C f s

⊢ dimH (range f) ≤ dimH univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
f : X → Y
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith C f s

⊢ dimH (f '' univ) ≤ dimH univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s t : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
f : X → Y
hf : ∀ (x : X), ∃ C, ∃ s ∈ 𝓝 x, LipschitzOnWith C f s
x : X
x✝ : x ∈ univ

⊢ ∃ C, ∃ t ∈ 𝓝[univ] x, LipschitzOnWith C f t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
x : R

⊢ 0 < rootMultiplicity x p ↔ p ≠ 0 ∧ p.IsRoot x
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ^ n ∣ Nat.card G

⊢ p ^ n ∣ Nat.card ↥↑P
-- Mathlib/GroupTheory/Sylow.lean
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
P : Sylow p G
hdvd : p ^ n ∣ (↑P).index * Nat.card ↥↑P

⊢ p ^ n ∣ Nat.card ↥↑P
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂✝ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P

⊢ (affineCombination k (s \ s₂) p) w -ᵥ (affineCombination k s₂ p) (-w) = (s.weightedVSub p) w
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂✝ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
s₂ : Finset ι
h : s₂ ⊆ s
w : ι → k
p : ι → P

⊢ ((s \ s₂).weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) w - (s₂.weightedVSubOfPoint p (Classical.choice ⋯)) (-w) = (s.weightedVSub p) w
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ re (⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪x, y⟫_𝕜 * ⟪y, x⟫_𝕜‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ re (⟪y, x⟫_𝕜 * (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜) = ‖⟪y, x⟫_𝕜 * (starRingEnd 𝕜) ⟪y, x⟫_𝕜‖
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q

⊢ eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n

⊢ eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q

⊢ eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)

⊢ eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n

⊢ eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ < q + 1

⊢ eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ < q + 1
this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

⊢ eval q (cyclotomic n ℝ) < (q + 1) ^ φ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ < q + 1
this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

⊢ Units.mk0 ‖eval (↑q) (cyclotomic n ℂ)‖₊ ⋯ < Units.mk0 (q + 1).toNNReal ⋯ ^ φ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ < q + 1
this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

⊢ ∏ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, Units.mk0 ‖↑q - ↑i‖₊ ⋯ < Units.mk0 (q + 1).toNNReal ⋯ ^ φ n
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ < q + 1
this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

⊢ Units.mk0 (q + 1).toNNReal ⋯ ^ φ n = ∏ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, ?convert_3 i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ < q + 1
this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

⊢ { x // x ∈ primitiveRoots n ℂ } → NNRealˣ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ < q + 1
this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

⊢ ∀ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, Units.mk0 ‖↑q - ↑i‖₊ ⋯ ≤ ?convert_3 i
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Eval.lean
n : ℕ
q : ℝ
hn' : 3 ≤ n
hq' : 1 < q
hn : 0 < n
hq : 0 < q
hfor : ∀ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ ≤ q + 1
ζ : ℂ := Complex.exp (2 * ↑Real.pi * Complex.I / ↑n)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hex : ∃ ζ' ∈ primitiveRoots n ℂ, ‖↑q - ζ'‖ < q + 1
this : ¬eval (↑q) (cyclotomic n ℂ) = 0

⊢ ∃ i ∈ (primitiveRoots n ℂ).attach, Units.mk0 ‖↑q - ↑i‖₊ ⋯ < ?convert_3 i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q ≠ 0

⊢ (p * q).natDegree = p.natDegree + q.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hp : p.Monic
hq : q ≠ 0

⊢ p.leadingCoeff * q.leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
m n✝ : σ →₀ ℕ
φ ψ : MvPowerSeries σ R
n : σ →₀ ℕ

⊢ (coeff R n) (φ * 1) = (coeff R n) φ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝² : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝¹ : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝ : DecidableEq δ
s t : Finset δ
f✝ g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y : (i : δ) → π i
i✝ : δ
f : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
i : δ
hi : i ∈ s
x : (i : δ) → π i

⊢ (∫⋯∫⁻_s, f ∂μ) x = ∫⁻ (xᵢ : π i), (∫⋯∫⁻_s.erase i, f ∂μ) (update x i xᵢ) ∂μ i
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
h : a ≠ 0

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (⊤, ↑a)
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
h : a ≠ 0
a_neg : a < 0

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (⊤, ↑a)
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ
h : a ≠ 0
a_pos : a > 0

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (⊤, ↑a)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f g : Filter α
s✝ t✝ s t : Set α

⊢ 𝓟 s ≤ 𝓟 t ↔ s ⊆ t
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f

⊢ Primrec' fun v => (unpair (f v)).1
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
s : Primrec' fun v => (f v).sqrt

⊢ Primrec' fun v => (unpair (f v)).1
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
s : Primrec' fun v => (f v).sqrt
fss : Primrec' fun v => f v - (f v).sqrt * (f v).sqrt

⊢ Primrec' fun v => (unpair (f v)).1
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
n : ℕ
f : Vector ℕ n → ℕ
hf : Primrec' f
s : Primrec' fun v => (f v).sqrt
fss : Primrec' fun v => f v - (f v).sqrt * (f v).sqrt
v : Vector ℕ n

⊢ (if f v - (f v).sqrt * (f v).sqrt < (f v).sqrt then f v - (f v).sqrt * (f v).sqrt else (f v).sqrt) = (unpair (f v)).1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition

⊢ fp.parts.card = min (Fintype.card V) r
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition

⊢ min univ.card r ≤ fp.parts.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
l : fp.parts.card < min univ.card r

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
l : fp.parts.card < univ.card ∧ fp.parts.card < r

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
l : fp.parts.card < univ.card ∧ fp.parts.card < r
x y : V
hn : x ≠ y
he : fp.part x = fp.part y

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
l : fp.parts.card < univ.card ∧ fp.parts.card < r
x y : V
hn : x ≠ y
he : fp.part x = fp.part y

⊢ ∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
fp : Finpartition univ := h.finpartition
l : fp.parts.card < univ.card ∧ fp.parts.card < r
x y : V
hn : x ≠ y
he : fp.part x = fp.part y
cf : G.CliqueFree r

⊢ ∃ H inst, H.CliqueFree (r + 1) ∧ G.edgeFinset.card < H.edgeFinset.card