ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
Φ : Subspace K (Module.Dual K V)

⊢ finrank K ↥(comap (↑(Module.evalEquiv K V)) (dualAnnihilator Φ)) = finrank K ↥(dualAnnihilator Φ)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ F.inv.map (F.map f) = F.asEquivalence.unitInv.app X ≫ f ≫ F.asEquivalence.unit.app Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.IsEquivalence
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ F.inv.map (F.map f) = (F.asEquivalence.functor ⋙ F.asEquivalence.inverse).map f
-- Mathlib/Data/Matrix/Notation.lean
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Mul α
a₀ a₁ b₀ b₁ : α

⊢ ![a₀, a₁] ⬝ᵥ ![b₀, b₁] = a₀ * b₀ + a₁ * b₁
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f μ a b
hg : IntervalIntegrable g μ a b

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x - g x ∂μ = ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in a..b, g x ∂μ
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)

⊢ IsOpen s ↔ ∀ f ∈ s, ∃ u, (∀ (a : ι), IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ univ.pi u ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
val✝ : Fintype ι

⊢ IsOpen s ↔ ∀ f ∈ s, ∃ u, (∀ (a : ι), IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ univ.pi u ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
val✝ : Fintype ι

⊢ (∀ x ∈ s, 𝓝 x ≤ 𝓟 s) ↔ ∀ f ∈ s, ∃ u, (∀ (a : ι), IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ univ.pi u ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
val✝ : Fintype ι

⊢ (∀ x ∈ s, ∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ x i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s) ↔ ∀ f ∈ s, ∃ u, (∀ (a : ι), IsOpen (u a) ∧ f a ∈ u a) ∧ univ.pi u ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
val✝ : Fintype ι
a : (a : ι) → π a
x✝ : a ∈ s

⊢ (∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ a i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s) → ∃ u, (∀ (a_2 : ι), IsOpen (u a_2) ∧ a a_2 ∈ u a_2) ∧ univ.pi u ⊆ s
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
inst✝ : Finite ι
s : Set ((a : ι) → π a)
val✝ : Fintype ι
a : (a : ι) → π a
x✝ : a ∈ s

⊢ (∃ u, (∀ (a_1 : ι), IsOpen (u a_1) ∧ a a_1 ∈ u a_1) ∧ univ.pi u ⊆ s) → ∃ I t, (∀ (i : ι), ∃ t_1 ⊆ t i, IsOpen t_1 ∧ a i ∈ t_1) ∧ (↑I).pi t ⊆ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/DotProduct.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
v : n → R

⊢ (Aᴴ * A) *ᵥ v = 0 ↔ A *ᵥ v = 0
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s₁ s₂ : AList β
p : s₁.entries ~ s₂.entries

⊢ (insert a b s₁).entries ~ (insert a b s₂).entries
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
s₁ s₂ : AList β
p : s₁.entries ~ s₂.entries

⊢ ⟨a, b⟩ :: kerase a s₁.entries ~ ⟨a, b⟩ :: kerase a s₂.entries
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
g : α → E'''
h : f =O[l] g

⊢ ∃ c > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, c * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
g : α → E'''
h : ∃ c > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, c * ‖f x‖ ≤ ‖g x‖

⊢ f =O[l] g
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α

⊢ Disjoint s t ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ t → a ∉ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)

⊢ ∑' (i : ι), μ (As i) ≤ μ (⋃ i, As i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)

⊢ ∀ (i : Finset ι), ∑ a ∈ i, μ (As a) ≤ μ (⋃ i, As i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
s : Finset ι

⊢ ∑ a ∈ s, μ (As a) ≤ μ (⋃ i, As i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
s : Finset ι

⊢ μ (⋃ b ∈ s, As b) ≤ μ (⋃ i, As i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
ι : Type u_8
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
As : ι → Set α
As_mble : ∀ (i : ι), NullMeasurableSet (As i) μ
As_disj : Pairwise (AEDisjoint μ on As)
s : Finset ι
i✝ : ι

⊢ ⋃ (_ : i✝ ∈ s), As i✝ ⊆ As i✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exponential.lean
x : ℝ

⊢ rexp x = NormedSpace.exp ℝ x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ

⊢ convexBodySumFactor K ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ

⊢ 2 ^ NrRealPlaces K * (NNReal.pi / 2) ^ NrComplexPlaces K ≠ 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
a : Cardinal.{u_1}
h : ¬ℵ₀ ≤ a

⊢ IsPrimePow a ↔ ℵ₀ ≤ a ∨ ∃ n, a = ↑n ∧ IsPrimePow n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
a : Cardinal.{u_1}
h : ¬ℵ₀ ≤ a

⊢ IsPrimePow a ↔ ∃ n, a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a

⊢ IsPrimePow ↑a ↔ ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a

⊢ (∃ p k, Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = ↑a) ↔ ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a

⊢ (∃ p k, Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = ↑a) → ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
p : Cardinal.{u_1}
k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
hpk : p ^ k = ↑a

⊢ ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
p : Cardinal.{u_1}
k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
hpk : p ^ k = ↑a
key : p ^ 1 ≤ ↑a

⊢ ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
p : Cardinal.{u_1}
k : ℕ
hp : Prime p
hk : 0 < k
hpk : p ^ k = ↑a
key : p ≤ ↑a

⊢ ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Divisibility.lean
a✝ b : Cardinal.{u}
n m a : ℕ
h : ¬ℵ₀ ≤ ↑a
k : ℕ
hk : 0 < k
p : ℕ
hp : Prime ↑p
hpk : ↑p ^ k = ↑a
key : ↑p ≤ ↑a

⊢ ∃ n, ↑a = ↑n ∧ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P

⊢ ⊥ < affineSpan k s ↔ s.Nonempty
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P

⊢ affineSpan k s ≠ ⊥ ↔ s ≠ ∅
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Gradient/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
h : DifferentiableAt 𝕜 f x

⊢ HasGradientAt f (∇ f x) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Gradient/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
h : DifferentiableAt 𝕜 f x

⊢ HasFDerivAt f (fderiv 𝕜 f x) x
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
pb : PowerBasis R S
I : Ideal R
g : R[X]

⊢ (pb.quotientEquivQuotientMinpolyMap I) ((Ideal.Quotient.mk (Ideal.map (algebraMap R S) I)) ((aeval pb.gen) g)) = (Ideal.Quotient.mk (span {Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) (minpoly R pb.gen)})) (Polynomial.map (Ideal.Quotient.mk I) g)
-- Mathlib/Data/Real/Cardinality.lean
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ

⊢ #↑Set.univ = 𝔠
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X X' Y Y' Z Z' : C
inst✝ : ExactPairing Y Y'
f : X ⟶ Z ⊗ Y'
g : X' ⟶ Z'

⊢ (tensorRightHomEquiv (X' ⊗ X) Y Y' (Z' ⊗ Z)).symm ((g ⊗ f) ≫ (α_ Z' Z Y').inv) = (α_ X' X Y).hom ≫ (g ⊗ (tensorRightHomEquiv X Y Y' Z).symm f)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n✝ : ℕ
α✝ : Fin (n✝ + 1) → Type u
x✝ : α✝ 0
q : (i : Fin (n✝ + 1)) → α✝ i
p : (i : Fin n✝) → α✝ i.succ
i : Fin n✝
y : α✝ i.succ
z : α✝ 0
α : Type u_1
n : ℕ
x : α
b : Fin n → α

⊢ Set.range (cons x b) = insert x (Set.range b)
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Filter β

⊢ (⨅ i, f i).prod g = ⨅ i, (f i).prod g
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → Filter α
g : Filter β

⊢ ⨅ x, comap Prod.fst (f x) ⊓ comap Prod.snd g = ⨅ i, (f i).prod g
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
g : β → γ
hg : Inducing g
s : Set α
x : α

⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousWithinAt (g ∘ f) s x
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
g : β → γ
hg : Inducing g
s : Set α
x : α

⊢ Tendsto (g ∘ f) (𝓝[s] x) (𝓝 (g (f x))) ↔ Tendsto (g ∘ f) (𝓝[s] x) (𝓝 ((g ∘ f) x))
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)

⊢ minimalPeriod (f ∘ g) x = minimalPeriod f x * minimalPeriod g x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)

⊢ minimalPeriod f x * minimalPeriod g x ∣ minimalPeriod (f ∘ g) x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)

⊢ ∀ {f g : α → α}, Function.Commute f g → (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x) → minimalPeriod f x ∣ minimalPeriod (f ∘ g) x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g✝ : α → α
h✝ : Function.Commute f✝ g✝
hco✝ : (minimalPeriod f✝ x).Coprime (minimalPeriod g✝ x)
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)

⊢ minimalPeriod f x ∣ minimalPeriod (f ∘ g) x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g✝ : α → α
h✝ : Function.Commute f✝ g✝
hco✝ : (minimalPeriod f✝ x).Coprime (minimalPeriod g✝ x)
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)

⊢ IsPeriodicPt (f ∘ g) (minimalPeriod g x * minimalPeriod (f ∘ g) x) x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
g✝ : α → α
h✝ : Function.Commute f✝ g✝
hco✝ : (minimalPeriod f✝ x).Coprime (minimalPeriod g✝ x)
f g : α → α
h : Function.Commute f g
hco : (minimalPeriod f x).Coprime (minimalPeriod g x)

⊢ IsPeriodicPt g (minimalPeriod g x * minimalPeriod (f ∘ g) x) x
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ (frontier s)ᶜ = interior s ∪ interior sᶜ
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ ((interior s)ᶜ ∩ (interior sᶜ)ᶜ)ᶜ = interior s ∪ interior sᶜ
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Bilinear.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁷ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 Gₗ
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
g : E →SL[σ₁₃] G
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖g x‖
x : E

⊢ ‖g x‖ ≤ ‖g‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α

⊢ (fun x => a + x) '' [[b, c]] = [[a + b, a + c]]
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S✝ : Sieve X
R : Presieve X
S : Sieve X
x : FamilyOfElements P S.arrows
t : x.Compatible
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y

⊢ x (g ≫ f) ⋯ = P.map g.op (x f hf)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R

⊢ cyclotomic 3 R = X ^ 2 + X + 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ
h : x ≠ -1

⊢ HasDerivWithinAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) (Ici x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
h : 1 ≠ -1

⊢ HasDerivWithinAt arcsin (1 / √(1 - 1 ^ 2)) (Ici 1) 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/InverseDeriv.lean
x : ℝ
h : x ≠ -1
h' : x ≠ 1

⊢ HasDerivWithinAt arcsin (1 / √(1 - x ^ 2)) (Ici x) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
x✝ : C

⊢ ((fun β => { app := fun X => (G ⋙ L₂).map (adj₁.unit.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => L₂.map ({ app := fun X => β.app (L₁.obj X), naturality := ⋯ }.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => adj₂.counit.app ((L₁ ⋙ H).obj X), naturality := ⋯ }) ((fun α => { app := fun X => adj₂.unit.app ((R₁ ⋙ G).obj X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => R₂.map ({ app := fun X => α.app (R₁.obj X), naturality := ⋯ }.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => (H ⋙ R₂).map (adj₁.counit.app X), naturality := ⋯ }) α)).app x✝ = α.app x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
x✝ : C

⊢ L₂.map (G.map (adj₁.unit.app x✝)) ≫ α.app (R₁.obj (L₁.obj x✝)) ≫ H.map (adj₁.counit.app (L₁.obj x✝)) = α.app x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
α : G ⋙ L₂ ⟶ L₁ ⋙ H
x✝ : C

⊢ α.app x✝ ≫ 𝟙 (H.obj (L₁.obj x✝)) = α.app x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
β : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
x✝ : D

⊢ ((fun α => { app := fun X => adj₂.unit.app ((R₁ ⋙ G).obj X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => R₂.map ({ app := fun X => α.app (R₁.obj X), naturality := ⋯ }.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => (H ⋙ R₂).map (adj₁.counit.app X), naturality := ⋯ }) ((fun β => { app := fun X => (G ⋙ L₂).map (adj₁.unit.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => L₂.map ({ app := fun X => β.app (L₁.obj X), naturality := ⋯ }.app X), naturality := ⋯ } ≫ { app := fun X => adj₂.counit.app ((L₁ ⋙ H).obj X), naturality := ⋯ }) β)).app x✝ = β.app x✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
E : Type u₃
F : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : Category.{v₄, u₄} F
G : C ⥤ E
H : D ⥤ F
L₁ : C ⥤ D
R₁ : D ⥤ C
L₂ : E ⥤ F
R₂ : F ⥤ E
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂
β : R₁ ⋙ G ⟶ H ⋙ R₂
x✝ : D

⊢ G.map (adj₁.unit.app (R₁.obj x✝)) ≫ β.app (L₁.obj (R₁.obj x✝)) ≫ R₂.map (H.map (adj₁.counit.app x✝)) = β.app x✝
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'
N N₂ : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L M'

⊢ comap N.incl N₂ = ⊤ ↔ N ≤ N₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β

⊢ Measurable dirac
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ Measurable fun b => (dirac b) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/GiryMonad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ Measurable fun b => s.indicator 1 b
-- Mathlib/Tactic/CancelDenoms/Core.lean
α : Type u_1
inst✝ : Field α
n k e : α
h2 : e ≠ 0
h3 : n * e = k

⊢ k * e⁻¹ = n
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
x✝ : α × Vector α n
a : α
l : Vector α n

⊢ ContinuousAt (fun p => Vector.insertNth p.1 i p.2) (a, l)
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
x✝ : α × Vector α n
a : α
l : Vector α n

⊢ Tendsto (fun p => Vector.insertNth p.1 i p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (Vector.insertNth (a, l).1 i (a, l).2))
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a b : Γ

⊢ ((single b) r * x).coeff (a + b) = r * x.coeff a
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹ : OrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
r : R
x : HahnSeries Γ R
a b : Γ

⊢ ((HahnModule.of R).symm ((single b) r • (HahnModule.of R) x)).coeff (b +ᵥ a) = r * x.coeff a
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
s : ι → Set X
x : X
h : (𝓝 x).HasBasis p s

⊢ ⋂ i, ⋂ (_ : p i), s i = {x}
-- Mathlib/Data/Set/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α

⊢ s ⊆ {a, b} ↔ ∀ x ∈ s, x = a ∨ x = b