ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
n : ι
h : ⨆ i, ⨆ (_ : n ∈ ns i), s n = ⨆ (_ : ∃ i, n ∈ ns i), s n

⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : n ∈ ns i), s n = s n
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α✝ : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α✝
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α✝ Ω
μα : Measure α✝
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsMarkovKernel κ
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
α : Type u_4
p : Set ι → Prop
f : Filter ι
ns : α → Set ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s κ μα
hf : ∀ (t : Set ι), p t → tᶜ ∈ f
hns : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) ns
hnsp : ∀ (a : α), p (ns a)
hns_univ : ∀ (n : ι), ∃ a, n ∈ ns a
n : ι
h : ⨆ i, ⨆ (_ : n ∈ ns i), s n = ⨆ (_ : ∃ i, n ∈ ns i), s n
this : Nonempty (∃ i, n ∈ ns i)

⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : n ∈ ns i), s n = s n
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra F L
S : Set K
splits : ∀ x ∈ S, IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
x : K
hx : x ∈ adjoin F S
E : IntermediateField F L := ⨆ x, adjoin F ((minpoly F ↑x).rootSet L)

⊢ Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra F L
S : Set K
splits : ∀ x ∈ S, IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
x : K
hx : x ∈ adjoin F S
E : IntermediateField F L := ⨆ x, adjoin F ((minpoly F ↑x).rootSet L)
normal : Normal F ↥E

⊢ Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra F L
S : Set K
splits : ∀ x ∈ S, IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
x : K
hx : x ∈ adjoin F S
E : IntermediateField F L := ⨆ x, adjoin F ((minpoly F ↑x).rootSet L)
normal : Normal F ↥E
this : ∀ x ∈ S, Splits (algebraMap F ↥E) (minpoly F x)

⊢ Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra F L
S : Set K
splits : ∀ x ∈ S, IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
x : K
hx : x ∈ adjoin F S
E : IntermediateField F L := ⨆ x, adjoin F ((minpoly F ↑x).rootSet L)
normal : Normal F ↥E
this : ∀ x ∈ S, Splits (algebraMap F ↥E) (minpoly F x)
φ : ↥(adjoin F S) →ₐ[F] ↥E

⊢ Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
-- Mathlib/FieldTheory/Normal.lean
F : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F K
L : Type u_3
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra F L
S : Set K
splits : ∀ x ∈ S, IsIntegral F x ∧ Splits (algebraMap F L) (minpoly F x)
x : K
hx : x ∈ adjoin F S
E : IntermediateField F L := ⨆ x, adjoin F ((minpoly F ↑x).rootSet L)
normal : Normal F ↥E
this : ∀ x ∈ S, Splits (algebraMap F ↥E) (minpoly F x)
φ : ↥(adjoin F S) →ₐ[F] ↥E

⊢ minpoly F x = minpoly F (φ ⟨x, hx⟩)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
h : SigmaFinite (Measure.map f μ)
n : ℕ

⊢ μ ((fun n => f ⁻¹' spanningSets (Measure.map f μ) n) n) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
μ : Measure α
f : α → β
hf : AEMeasurable f μ
h : SigmaFinite (Measure.map f μ)

⊢ ⋃ i, (fun n => f ⁻¹' spanningSets (Measure.map f μ) n) i = univ
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) t

⊢ (iSup t).toSubalgebra = ⨆ i, (t i).toSubalgebra
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
h✝ : IsEmpty ι

⊢ (iSup t).toSubalgebra = ⨆ i, (t i).toSubalgebra
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
S : Set E
α : E
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
E1 E2 : IntermediateField K L
ι : Type u_5
t : ι → IntermediateField K L
dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) t
h✝ : Nonempty ι

⊢ (iSup t).toSubalgebra = ⨆ i, (t i).toSubalgebra
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g✝ : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
g : α → β
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hg : Memℒp g p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
hε_top : ¬↑ε = ⊤

⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator ((fun x => g) i)) p μ ≤ ↑ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g✝ : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
g : α → β
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hg : Memℒp g p μ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
hε_top : ¬↑ε = ⊤
s : Set α
left✝ : MeasurableSet s
hμs : μ s < ⊤
hgε : eLpNorm (sᶜ.indicator g) p μ < ↑ε

⊢ ∃ s, μ s ≠ ⊤ ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm (sᶜ.indicator ((fun x => g) i)) p μ ≤ ↑ε
-- Mathlib/Order/Category/BddDistLat.lean
α β : BddDistLat
e : ↑α.toDistLat ≃o ↑β.toDistLat
x✝ : (forget BddDistLat).obj α

⊢ ((let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
-- Mathlib/Order/Category/BddDistLat.lean
α β : BddDistLat
e : ↑α.toDistLat ≃o ↑β.toDistLat
x✝ : (forget BddDistLat).obj β

⊢ ((let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
m₁ m₁' : M₁

⊢ (Q₁.prod Q₂).IsOrtho (m₁, 0) (m₁', 0) ↔ Q₁.IsOrtho m₁ m₁'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : support f ⊆ Ioc a b

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : support f ⊆ Ioc a b
hab : a ≤ b

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ c d : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ
h : support f ⊆ Ioc a b
hab : b ≤ a

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = ∫ (x : ℝ), f x ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ

⊢ a ^ n = b ^ n ↔ n = 0 ∨ a = b ∨ a = -b ∧ Even n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
o : Ordinal.{u_1}

⊢ aleph (succ o) = succ (aleph o)
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G
h1 : 1 ∈ T
hg : g ∈ S
this : hST.equiv.symm (⟨g, hg⟩, ⟨1, h1⟩) = g

⊢ (hST.equiv g).1 = ⟨g, hg⟩
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
z : ℂ

⊢ (isometryOfOrthonormal v) z = z.re • v 0 + z.im • v 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/PiL2.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : Fintype ι
v : OrthonormalBasis (Fin 2) ℝ F
z : ℂ

⊢ v.repr.symm (orthonormalBasisOneI.repr z) = z.re • v 0 + z.im • v 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : M →ₗ[R] A
cond : ∀ (m : M), f m * f m = (algebraMap R A) (Q m)

⊢ Submodule.map ((lift Q) ⟨f, cond⟩).toLinearMap (LinearMap.range (ι Q)) = LinearMap.range f
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DecidableEq α
f : α → β
x : α
y : β

⊢ ContinuousAt (update f x y) x ↔ Tendsto f (𝓝[≠] x) (𝓝 y)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a✝ b : WithTop α
a : α
ha : a ≠ 0

⊢ ↑a * ⊤ = Option.bind ⊤ fun b => Option.some (a * b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a✝ b : WithTop α
a : α
ha : a ≠ 0

⊢ ⊤ = Option.bind ⊤ fun b => Option.some (a * b)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r

⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (f y)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r
this : y - x ∈ EMetric.ball 0 r

⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (f y)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Seq α → Seq α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Seq α
r : R s₁ s₂

⊢ s₁ = s₂
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Seq α → Seq α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Seq α
r : R s₁ s₂

⊢ ↑s₁ = ↑s₂
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Seq α → Seq α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Seq α
r : R s₁ s₂

⊢ Stream'.IsBisimulation fun x y => ∃ s s', ↑s = x ∧ ↑s' = y ∧ R s s'
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Seq α → Seq α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Seq α
r : R s₁ s₂

⊢ ∃ s s', ↑s = ↑s₁ ∧ ↑s' = ↑s₂ ∧ R s s'
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
x : X

⊢ IsOpenMap fun g => g • x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
x : X

⊢ ∀ (x_1 : G), ∀ s ∈ 𝓝 x_1, (fun g => g • x) '' s ∈ 𝓝 (x_1 • x)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
x : X
g : G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 g
this : (fun x_1 => x_1 • x) = (fun x_1 => x_1 • g • x) ∘ fun x => x * g⁻¹

⊢ (fun g => g • x) '' U ∈ 𝓝 (g • x)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
x : X
g : G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 g
this : (fun x_1 => x_1 • x) = (fun x_1 => x_1 • g • x) ∘ fun x => x * g⁻¹

⊢ (fun x => x * g⁻¹) '' U • {g • x} ∈ 𝓝 (g • x)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/OpenMapping.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalGroup G
inst✝⁵ : MulAction G X
inst✝⁴ : SigmaCompactSpace G
inst✝³ : BaireSpace X
inst✝² : T2Space X
inst✝¹ : ContinuousSMul G X
inst✝ : IsPretransitive G X
x : X
g : G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 g
this : (fun x_1 => x_1 • x) = (fun x_1 => x_1 • g • x) ∘ fun x => x * g⁻¹

⊢ (fun x => x * g⁻¹) '' U ∈ 𝓝 1
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
p : PMF α
s✝ t✝ s t : Set α
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
h : s ∩ p.support ⊆ t

⊢ p.toMeasure s ≤ p.toMeasure t
-- Mathlib/Algebra/ModEq.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
p a a₁ a₂ b b₁ b₂ c : α
n : ℕ
z : ℤ
x✝ : a ≡ b [PMOD z • p]
m : ℤ
hm : b - a = m • z • p

⊢ b - a = (m * z) • p
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Arrow.lean
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
e : f ≅ g

⊢ g.hom = e.inv.left ≫ f.hom ≫ e.hom.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Arrow.lean
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
e : f ≅ g
eq : (e.inv ≫ e.hom).right = (𝟙 g).right

⊢ g.hom = e.inv.left ≫ f.hom ≫ e.hom.right
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Arrow.lean
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
e : f ≅ g
eq : e.inv.right ≫ e.hom.right = 𝟙 g.right

⊢ g.hom = e.inv.left ≫ f.hom ≫ e.hom.right
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_2
inst✝ : Nonempty ι
X : ι → Set α
hI : ∀ (i : ι), M.Basis I (X i)

⊢ M.Basis I (⋃ i, X i)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X✝ Y : Set α
e : α
ι : Type u_2
inst✝ : Nonempty ι
X : ι → Set α
hI : ∀ (i : ι), M.Basis I (X i)

⊢ M.Indep I
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K

⊢ IsUnit ↑(den A 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A B C : Matrix n n α
h : B * A = 1
g : C * A = 1

⊢ B = C
-- Mathlib/Order/Filter/ZeroAndBoundedAtFilter.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NormedAddCommGroup β
l : Filter α
f : α → β
hf : l.ZeroAtFilter f

⊢ l.BoundedAtFilter f
-- Mathlib/Order/Filter/ZeroAndBoundedAtFilter.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : NormedAddCommGroup β
l : Filter α
f : α → β
hf : f =o[l] fun _x => 1

⊢ l.BoundedAtFilter f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommMonoid E
inst✝ : SMul 𝕜 E
s : Set E
x✝ y✝ x y : E

⊢ [x-[𝕜]y] = (fun p => p.1 • x + p.2 • y) '' {p | 0 ≤ p.1 ∧ 0 ≤ p.2 ∧ p.1 + p.2 = 1}
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x✝ y : 𝕎 R
m : ℕ
x : 𝕎 R

⊢ WittVector.ghostFun (m • x) = m • WittVector.ghostFun x
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * λ ∣ λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.x S

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ * λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) ∣ S.a + S.b

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ * λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * λ * λ ∣ (S.a + S.b) * (S.a + ↑η * S.b) * (S.a + ↑η ^ 2 * S.b)

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ * λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) * λ * λ ∣ (λ ^ S.multiplicity * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S) ^ 3

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ (3 * S.multiplicity - 2 + 1 + 1) * λ ∣ (λ ^ S.multiplicity * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S) ^ 3

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ (3 * S.multiplicity - 2 + 1 + 1) * λ ∣ (λ ^ S.multiplicity * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S) ^ 3
this : 2 ≤ S.multiplicity

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3
this : 2 ≤ S.multiplicity

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ (3 * S.multiplicity) * λ ∣ λ ^ (3 * S.multiplicity) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.w S ^ 3
this : 2 ≤ S.multiplicity

⊢ λ ^ (3 * S.multiplicity) ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b : α

⊢ Associates.mk a ∣ Associates.mk b ↔ a ∣ b
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
a b : α

⊢ (∃ x, a * x ~ᵤ b) ↔ ∃ c, b = a * c
-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : AddCommGroup M''
inst✝ : Module R M''
N : Submodule R M
r : R

⊢ (∀ (a : M) (b : a ∈ N), r • ⟨a, b⟩ = 0 → ⟨a, b⟩ = 0) ↔ ∀ x ∈ N, r • x = 0 → x = 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Monoidal.lean
V : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝¹ : MonoidalCategory V
H : Grp
X : Action V ((forget₂ Grp MonCat).obj H)
inst✝ : LeftRigidCategory V
h : ↑H

⊢ (ᘁX).ρ h = ᘁX.ρ h⁻¹
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Monoidal.lean
V : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝¹ : MonoidalCategory V
H : Grp
X : Action V ((forget₂ Grp MonCat).obj H)
inst✝ : LeftRigidCategory V
h : ↑H

⊢ (ᘁX).ρ h = ᘁX.ρ (inv h)
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Monoidal.lean
V : Type (u + 1)
inst✝² : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝¹ : MonoidalCategory V
H : Grp
X : Action V ((forget₂ Grp MonCat).obj H)
inst✝ : LeftRigidCategory V
h : ↑H

⊢ SingleObj H.1
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a b : ℝ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ ∈ {∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ, -∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
a b : ℝ

⊢ (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ ∈ {∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ, -∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ}
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
y : M

⊢ y ∈ f.frange ↔ y ≠ 0 ∧ ∃ x, f x = y
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M
y : M

⊢ (∃ a ∈ f.support, f a = y) ↔ y ≠ 0 ∧ ∃ x, f x = y
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₃' : P
h : Wbtw ℝ p₂ p₃ p₃'
hp₃p₂ : p₃ ≠ p₂

⊢ ∡ p₁ p₂ p₃ = ∡ p₁ p₂ p₃'
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A✝ : Type u_3
B : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : AddMonoidWithOne B
inst✝⁴ : FunLike F ℕ A✝
inst✝³ : AddMonoidWithOne A✝
A : Type u_6
inst✝² : AddMonoidWithOne A
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : AddMonoidHomClass F A B
f : F
h : f 1 = 1

⊢ f ↑0 = ↑0