ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Heyting/Hom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CoheytingAlgebra α
inst✝¹ : CoheytingAlgebra β
inst✝ : CoheytingHomClass F α β
f : F
a b : α

⊢ f (a ∆ b) = f a ∆ f b
-- Mathlib/Algebra/Homology/Augment.lean
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
C : ChainComplex V ℕ
i : ℕ

⊢ C.d (i + 2) 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Augment.lean
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
C : ChainComplex V ℕ
i : ℕ

⊢ ¬(ComplexShape.down ℕ).Rel (i + 2) 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Hom/Monoid.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁶ : FunLike F α β
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : OrderHomClass F α β
inst✝ : ZeroHomClass F α β
f : F
a : α
ha : 0 ≤ a

⊢ 0 ≤ f a
-- Mathlib/Algebra/Order/Hom/Monoid.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁶ : FunLike F α β
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Zero α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : Zero β
inst✝¹ : OrderHomClass F α β
inst✝ : ZeroHomClass F α β
f : F
a : α
ha : 0 ≤ a

⊢ f 0 ≤ f a
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α

⊢ ⨅ l, ⨅ (_ : l < ⊤), 𝓟 (Ioi l) = ⨅ a, ⨅ (_ : a ≠ ⊤), 𝓟 (Ioi a)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
m : ℕ
φ : L.BoundedFormula α m
v : α → M
h' : m ≤ m
xs : Fin m → M

⊢ (castLE h' φ).Realize v xs ↔ φ.Realize v (xs ∘ Fin.cast ⋯)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁴ : Countable G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
i : SigmaFinite ν
i' : HasFundamentalDomain G α ν
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ

⊢ SigmaFinite μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁴ : Countable G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
i : SigmaFinite ν
i' : HasFundamentalDomain G α ν
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ

⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn univ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁴ : Countable G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
i : SigmaFinite ν
i' : HasFundamentalDomain G α ν
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
A : ℕ → Set α
hA_meas : ∀ (i : ℕ), A i ∈ {s | MeasurableSet s}
hA : ∀ (i : ℕ), ν (A i) < ⊤
hA' : ⋃ i, A i = univ

⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn univ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝⁴ : Countable G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
i : SigmaFinite ν
i' : HasFundamentalDomain G α ν
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
inst✝ : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
A : ℕ → Set α
hA_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (A i)
hA : ∀ (i : ℕ), ν (A i) < ⊤
hA' : ⋃ i, A i = univ

⊢ Nonempty (μ.FiniteSpanningSetsIn univ)
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame

⊢ (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).Numeric ↔ (∀ (i : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves) (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i < (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight j) ∧ (∀ (i : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).LeftMoves), ((mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveLeft i).Numeric) ∧ ∀ (j : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves), ((mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight j).Numeric
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
e : α ↪o β
he : IsUpperSet (range ⇑e)
a : α

⊢ ⇑e '' Ici a = Ici (e a)
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Prime.lean
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk : (n % k).beq 0 = false
h : MinFacHelper n k

⊢ MinFacHelper n k'
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Prime.lean
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk : (n % k).beq 0 = false
h : MinFacHelper n k
h2 : n.minFac = k

⊢ False
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Prime.lean
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk✝ : (n % k).beq 0 = false
h : MinFacHelper n k
h2 : n.minFac = k
nk : ¬n % k = 0

⊢ False
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Prime.lean
n k k' : ℕ
e : k + 2 = k'
nk✝ : (n % k).beq 0 = false
h : MinFacHelper n k
h2 : n.minFac = k
nk : ¬n.minFac ∣ n

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
x : β
f : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : FirstCountableTopology β
inst✝ : OrderTopology β
hf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) (ae μ) f) _auto✝

⊢ μ {y | f y < essInf f μ} = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
x : β
f : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : FirstCountableTopology β
inst✝ : OrderTopology β
hf : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) (ae μ) f) _auto✝

⊢ μ {y | ¬essInf f μ ≤ f y} = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x ≤ y

⊢ derivWithin f S x ≤ derivWithin f S y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx hy : x ∈ S
hxy : x ≤ x

⊢ derivWithin f S x ≤ derivWithin f S x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x✝ y✝ f' : ℝ
hfc : ConvexOn ℝ S f
hfd : DifferentiableOn ℝ f S
x : ℝ
hx : x ∈ S
y : ℝ
hy : y ∈ S
hxy : x ≤ y
hxy' : x < y

⊢ derivWithin f S x ≤ derivWithin f S y
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : b ≤ a

⊢ a ∆ b = a \ b
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology

⊢ homologyMap φ ≫ h₂.homologyIso.hom = h₁.homologyIso.hom ≫ γ.φH
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n a✝ : ℕ

⊢ a✝ ∈ image Prod.fst n.divisorsAntidiagonal ↔ a✝ ∈ n.divisors
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h✝ : ContfracLegendre.Ass ξ u v
q : ℚ
h : |ξ - ↑q| < 1 / (2 * ↑q.den ^ 2)

⊢ ∃ n, (GenContFract.of ξ).convs n = ↑q
-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation.lean
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h✝ : ContfracLegendre.Ass ξ u v
q : ℚ
h : |ξ - ↑q| < 1 / (2 * ↑q.den ^ 2)
n : ℕ
hn : q = ξ.convergent n

⊢ ∃ n, (GenContFract.of ξ).convs n = ↑q
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y

⊢ Continuous f.f
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y

⊢ ∀ (x : X.A) (g : Ultrafilter X.A), ↑g ≤ 𝓝 x → Tendsto f.f (↑g) (𝓝 (f.f x))
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y
x : X.A
g : Ultrafilter X.A
h : ↑g ≤ 𝓝 x

⊢ Tendsto f.f (↑g) (𝓝 (f.f x))
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y
x : X.A
g : Ultrafilter X.A
h : ↑g ≤ 𝓝 x

⊢ ↑(Ultrafilter.map f.f g) ≤ 𝓝 (f.f x)
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y
x : X.A
g : Ultrafilter X.A
h : ↑g ≤ 𝓝 x

⊢ Y.str (Ultrafilter.map f.f g) = f.f x
-- Mathlib/Topology/Category/Compactum.lean
X Y : Compactum
f : X ⟶ Y
x : X.A
g : Ultrafilter X.A
h : ↑g ≤ 𝓝 x

⊢ ↑g ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f
Z : C

⊢ inv f ▷ Z ≫ f ▷ Z = 𝟙 (Y ⊗ Z)
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean

⊢ ∀ (n : ℕ), ↑(Nat.fib n) = (φ ^ n - ψ ^ n) / √5
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ HasSum (fun n => (1 / (↑n + ↑a) ^ s + 1 / (↑n + 1 - ↑a) ^ s) / 2) (hurwitzZetaEven (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

⊢ (1 / (↑n + ↑a) ^ s + 1 / (↑n + 1 - ↑a) ^ s) / 2 = (1 / ↑|↑n + a| ^ s + 1 / ↑|↑n + 1 - a| ^ s) / 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)

⊢ IsNoetherianRing R
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)

⊢ ∀ (f : ℕ →o Submodule R R), ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → f n = f m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)

⊢ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → I n = I m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s

⊢ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → I n = I m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN

⊢ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → I n = I m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN

⊢ ∀ (m : ℕ), N ≤ m → I N = I m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN✝ : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ≤ N

⊢ ∀ (m : ℕ), N ≤ m → I N = I m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN✝ : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ≤ N
n : ℕ
hn : N ≤ n

⊢ I N = I n
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN✝ : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ≤ N
n : ℕ
hn : N ≤ n

⊢ ⨅ x, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (I N)) = ⨅ x, Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑x)) (I n))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN✝ : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ≤ N
n : ℕ
hn : N ≤ n

⊢ ∀ (i : { f // f ∈ S }), Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑i)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑i)) (I N)) = Ideal.comap (algebraMap R (Localization.Away ↑i)) (Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑i)) (I n))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Noetherian.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
S : Finset R
hS : Ideal.span ↑S = ⊤
hN✝ : ∀ (s : { x // x ∈ S }), IsNoetherianRing (Localization.Away ↑s)
I : ℕ →o Submodule R R
floc : (s : R) → R →+* Localization.Away s := fun s => algebraMap R (Localization.Away s)
suitableN : R → Set ℕ := fun s => {n | ∀ (m : ℕ), n ≤ m → Ideal.map (floc s) (I n) = Ideal.map (floc s) (I m)}
minN : R → ℕ := fun s => sInf (suitableN s)
hSuit : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ∈ suitableN ↑s
N : ℕ := S.sup minN
hN : ∀ (s : { x // x ∈ S }), minN ↑s ≤ N
n : ℕ
hn : N ≤ n
s : { f // f ∈ S }

⊢ Ideal.map (floc ↑s) (I (minN ↑s)) = Ideal.map (algebraMap R (Localization.Away ↑s)) (I n)
-- Mathlib/Order/Filter/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ

⊢ (map₂ m f g).NeBot ↔ f.NeBot ∧ g.NeBot
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
κ : ι → Type u_2
t : (i : ι) → Set (κ i)
ht : ∀ (i : ι), (t i).Finite

⊢ {f | ∀ (i : ι), f i ∈ t i}.Finite
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M

⊢ LieModule.IsNilpotent R L M ↔ ∃ k, ucs k ⊥ = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M

⊢ (∃ k, LieModule.lowerCentralSeries R L M k = ⊥) ↔ ∃ k, ucs k ⊥ = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
s : Set (Ideal α)
hs : s.Nonempty
hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime
x✝ y✝ : α
e : x✝ * y✝ ∈ sInf s
hx : x✝ ∉ sInf s

⊢ y✝ ∈ sInf s
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
s : Set (Ideal α)
hs : s.Nonempty
hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime
x✝ y✝ : α
e : ∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → x✝ * y✝ ∈ I
hx : ¬∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → x✝ ∈ I

⊢ ∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → y✝ ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
s : Set (Ideal α)
hs : s.Nonempty
hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime
x✝ y✝ : α
e : ∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → x✝ * y✝ ∈ I
I : Ideal α
hI : I ∈ s
hI' : x✝ ∉ I
J : Ideal α
hJ : J ∈ s

⊢ y✝ ∈ J
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
s : Set (Ideal α)
hs : s.Nonempty
hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime
x✝ y✝ : α
e : ∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → x✝ * y✝ ∈ I
I : Ideal α
hI : I ∈ s
hI' : x✝ ∉ I
J : Ideal α
hJ : J ∈ s
h : I ≤ J

⊢ y✝ ∈ J
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I✝ : Ideal α
a b : α
s : Set (Ideal α)
hs : s.Nonempty
hs' : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
H : ∀ p ∈ s, p.IsPrime
x✝ y✝ : α
e : ∀ ⦃I : Ideal α⦄, I ∈ s → x✝ * y✝ ∈ I
I : Ideal α
hI : I ∈ s
hI' : x✝ ∉ I
J : Ideal α
hJ : J ∈ s
h : J ≤ I

⊢ y✝ ∈ J
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Lemmas.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : Finite Rˣ
χ : MulChar R ℂ
a : R

⊢ star (χ a) = χ⁻¹ a
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Matroid α
F X✝ Y✝ : Set α
e : α
M : Matroid α
X Y : Set α

⊢ M.closure (X ∪ M.closure Y) = M.closure (X ∪ Y)
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R

⊢ star x ≤ star y ↔ x ≤ y
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x y : R

⊢ ∀ (x y : R), x ≤ y → star x ≤ star y
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y✝ x y : R
h : x ≤ y

⊢ star x ≤ star y
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y✝ x y : R
h : ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), y = x + p

⊢ ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), star y = star x + p
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y x d : R
hd : d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)

⊢ ∃ p ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s), star (x + d) = star x + p
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y x d : R
hd : d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)

⊢ starAddEquiv d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : NonUnitalSemiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x✝ y x d : R
hd : d ∈ AddSubmonoid.closure (range fun s => star s * s)

⊢ (range fun s => star s * s) ⊆ ⇑starAddEquiv ⁻¹' range fun s => star s * s
-- Mathlib/Dynamics/FixedPoints/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
f fa g : α → α
x y : α
fb : β → β
m n k : ℕ
e : Perm α
h : Function.Commute f g

⊢ Set.BijOn f (fixedPoints (f ∘ g)) (fixedPoints (f ∘ g))
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ

⊢ (n + 1).descFactorial (0 + 1) = (n + 1) * n.descFactorial 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ (n + 1).descFactorial (k.succ + 1) = (n + 1) * n.descFactorial k.succ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R : CommRingCat
U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))

⊢ ((structureSheaf ↑R).val.map (𝟙 (op ((TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 (topObj R))).obj U✝)))) ((comap (𝟙 R) U✝ ((TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 (topObj R))).obj U✝) ⋯) x✝) = (𝟙 ((structureSheaf ↑R).val.obj (op U✝))) x✝
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
R : CommRingCat
U✝ : TopologicalSpace.Opens ↑↑(sheafedSpaceObj R).toPresheafedSpace
x✝ : (forget CommRingCat).obj ((sheafedSpaceObj R).presheaf.obj (op U✝))

⊢ ((structureSheaf ↑R).val.map (𝟙 (op ((TopologicalSpace.Opens.map (𝟙 (topObj R))).obj U✝)))) ((eqToHom ⋯) x✝) = (𝟙 ((structureSheaf ↑R).val.obj (op U✝))) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r

⊢ ((listTransvecCol M).prod * M * (listTransvecRow M).prod) (inr ()) (inl i) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
this : listTransvecRow M = listTransvecRow ((listTransvecCol M).prod * M)

⊢ ((listTransvecCol M).prod * M * (listTransvecRow M).prod) (inr ()) (inl i) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
this : listTransvecRow M = listTransvecRow ((listTransvecCol M).prod * M)

⊢ ((listTransvecCol M).prod * M * (listTransvecRow ((listTransvecCol M).prod * M)).prod) (inr ()) (inl i) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
i : Fin r
this : listTransvecRow M = listTransvecRow ((listTransvecCol M).prod * M)

⊢ ((listTransvecCol M).prod * M) (inr ()) (inr ()) ≠ 0
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t s : Set α
σ : Equiv.Perm α
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ s
i : α

⊢ i ∈ ⇑σ '' s ↔ i ∈ s
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t s : Set α
σ : Equiv.Perm α
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ s
i : α
hi : σ i = i

⊢ i ∈ ⇑σ '' s ↔ i ∈ s
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t s : Set α
σ : Equiv.Perm α
hs : {a | σ a ≠ a} ⊆ s
i : α
hi : σ i ≠ i

⊢ i ∈ ⇑σ '' s ↔ i ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ai : R
au : ai * a = 1

⊢ p.natDegree = (1 * p).natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ai : R
au : ai * a = 1

⊢ (1 * p).natDegree = (C ai * (C a * p)).natDegree
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
x✝³ : α
x✝² : x✝³ ∈ s
x✝¹ : Set (β × β)
x✝ : x✝¹ ∈ 𝓤 β

⊢ (∃ t ∈ 𝓝[s] x✝³, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ x✝¹) ↔ x✝¹ ∈ map (fun y => (f y.2, F y.1 y.2)) (p ×ˢ 𝓝[s] x✝³)