ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Multiplication.lean
x x₁ x₂ x₃ x' y y₁ y₂ y₃ y' : PGame
h₁ : x₁.Numeric
h₂ : x₂.Numeric
h₁₂ : IH24 x₁ x₂ y
h₂₁ : IH24 x₂ x₁ y
he : x₁ ≈ x₂
he' : -x₁ ≈ -x₂

⊢ ∀ (j : (x₂ * y).RightMoves), ⟦x₁ * y⟧ < ⟦(x₂ * y).moveRight j⟧
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
f : ℂ → ℂ
g : ℝ → ℝ
g' s : ℝ
hf : DifferentiableAt ℂ f ↑s
hg : HasDerivAt g g' s
hfg : ∀ (s : ℝ), f ↑s = ↑(g s)

⊢ HasDerivAt f ↑g' ↑s
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
f : ℂ → ℂ
g : ℝ → ℝ
g' s : ℝ
hf : DifferentiableAt ℂ f ↑s
hg : HasDerivAt g g' s
hfg : ∀ (s : ℝ), f ↑s = ↑(g s)

⊢ deriv f ↑s = ↑g'
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
f : ℂ → ℂ
g : ℝ → ℝ
g' s : ℝ
hf : DifferentiableAt ℂ f ↑s
hg : HasDerivAt g g' s
hfg : ∀ (s : ℝ), f ↑s = ↑(g s)

⊢ deriv (fun x => ↑(g x)) s = ↑g'
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s t : Finset α

⊢ powersetCard n s = ∅ ↔ s.card < n
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s t : Finset α

⊢ powersetCard n s = ∅ → s.card < n
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
n : ℕ
s t : Finset α

⊢ n ≤ s.card → powersetCard n s ≠ ∅
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : { f // ∀ (m : M), f m * f m = (algebraMap R A) (Q m) }
x y : TensorAlgebra R M
m✝ : M

⊢ ((TensorAlgebra.lift R) ↑f) ((TensorAlgebra.ι R) m✝ * (TensorAlgebra.ι R) m✝) = ((TensorAlgebra.lift R) ↑f) ((algebraMap R (TensorAlgebra R M)) (Q m✝))
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
F : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
m : M

⊢ (F.toLinearMap ∘ₗ ι Q) m * (F.toLinearMap ∘ₗ ι Q) m = (algebraMap R A) (Q m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : { f // ∀ (m : M), f m * f m = (algebraMap R A) (Q m) }
x : M

⊢ ↑((fun F => ⟨F.toLinearMap ∘ₗ ι Q, ⋯⟩) ((fun f => (RingQuot.liftAlgHom R) ⟨(TensorAlgebra.lift R) ↑f, ⋯⟩) f)) x = ↑f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
F : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A
x : M

⊢ ((((fun f => (RingQuot.liftAlgHom R) ⟨(TensorAlgebra.lift R) ↑f, ⋯⟩) ((fun F => ⟨F.toLinearMap ∘ₗ ι Q, ⋯⟩) F)).comp (RingQuot.mkAlgHom R (Rel Q))).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) x = ((F.comp (RingQuot.mkAlgHom R (Rel Q))).toLinearMap ∘ₗ TensorAlgebra.ι R) x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R✝ : Type u
S : Type v
a b : R✝
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R✝
p q r : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n k : ℕ

⊢ ((X + 1) ^ n).coeff k = ↑(n.choose k)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
β : Type u_6
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure β
C : β → Set α → Prop
s : Set (Set α)
m : MeasurableSpace α
h_eq : m = generateFrom s
h_inter : IsPiSystem s
h_empty : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, C x ∅
h_basic : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ∀ t ∈ s, C x t
h_compl : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → C x t → C x tᶜ
h_union : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ∀ (f : ℕ → Set α), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), C x (f i)) → C x (⋃ i, f i)

⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ, ∀ ⦃t : Set α⦄, MeasurableSet t → C x t
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
a x y : G
h : SemiconjBy a x y

⊢ orderOf x = orderOf y
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
a x y : G
h : SemiconjBy a x y

⊢ ∀ (n : ℕ), x ^ n = 1 ↔ y ^ n = 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Group G
a x y : G
h : SemiconjBy a x y
n : ℕ

⊢ x ^ n = 1 ↔ y ^ n = 1
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
h : a < ω ^ b

⊢ a + ω ^ b = ω ^ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
h : a < ω ^ b

⊢ a + ω ^ b ≤ ω ^ b
-- Mathlib/CategoryTheory/ConcreteCategory/EpiMono.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ IsIso f ↔ Function.Bijective ((forget C).map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/ConcreteCategory/EpiMono.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : ConcreteCategory C
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ IsIso f ↔ IsIso ((forget C).map f)
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
i : Fin g.natDegree

⊢ (powerBasisAux' hg) i = root g ^ ↑i
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
i : Fin g.natDegree

⊢ (mk g) (∑ i_1 : Fin g.natDegree, (monomial ↑i_1) (Function.update 0 i 1 i_1)) = root g ^ ↑i
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
i : Fin g.natDegree

⊢ (mk g) ((monomial ↑i) (Function.update 0 i 1 i)) = root g ^ ↑i
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
i : Fin g.natDegree

⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → (monomial ↑b) (Function.update 0 i 1 b) = 0
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
g : R[X]
hg : g.Monic
i : Fin g.natDegree

⊢ i ∉ Finset.univ → (monomial ↑i) (Function.update 0 i 1 i) = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
l : ι →₀ 𝕜
v : ι → E
x : E

⊢ ⟪x, l.sum fun i a => a • v i⟫_𝕜 = l.sum fun i a => a • ⟪x, v i⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
l : ι →₀ 𝕜
v : ι → E
x : E

⊢ (l.sum fun i a => a • ⟪x, v i⟫_𝕜) = ∑ i ∈ l.support, ⟪x, l i • v i⟫_𝕜
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

⊢ ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] (μ.withDensity f).rnDeriv ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤

⊢ ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f + (μ.singularPart ν).withDensity f).rnDeriv ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
this : SigmaFinite ((μ.singularPart ν).withDensity f)

⊢ ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f + (μ.singularPart ν).withDensity f).rnDeriv ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝¹ ν✝¹ μ✝ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
μ ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hf_ne_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ ⊤
this✝ : SigmaFinite ((μ.singularPart ν).withDensity f)
this : SigmaFinite ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f)

⊢ ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] ((ν.withDensity (μ.rnDeriv ν)).withDensity f + (μ.singularPart ν).withDensity f).rnDeriv ν
-- Mathlib/Data/Matrix/PEquiv.lean
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Semiring α
f : l ≃. m
M : Matrix m n α
i : l
j : n

⊢ (f.toMatrix * M) i j = Option.casesOn (f i) 0 fun fi => M fi j
-- Mathlib/Data/Matrix/PEquiv.lean
k : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type v
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Semiring α
f : l ≃. m
M : Matrix m n α
i : l
j : n

⊢ ∑ j_1 : m, (if j_1 ∈ f i then 1 else 0) * M j_1 j = Option.rec 0 (fun val => M val j) (f i)
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
a : α

⊢ s.lcm f ∣ a ↔ ∀ b ∈ s, f b ∣ a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
a : α

⊢ (∀ b ∈ Multiset.map f s.val, b ∣ a) ↔ ∀ b ∈ s, f b ∣ a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
a : α

⊢ (∀ (b : α), ∀ x ∈ s.val, f x = b → b ∣ a) ↔ ∀ b ∈ s, f b ∣ a
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f

⊢ (map f s).SSameSide (f x) (f y) ↔ s.SSameSide x y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
s : Set (GrothendieckTopology C)

⊢ IsGLB s (sInf s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
s : Set (GrothendieckTopology C)

⊢ ∀ {x y : GrothendieckTopology C}, x.sieves ≤ y.sieves ↔ x ≤ y
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S R : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
s : Set (GrothendieckTopology C)

⊢ IsGLB (sieves '' s) (sInf s).sieves
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β α : Type u
n : ℕ
H : ∀ (s : Finset α), s.card ≤ n

⊢ #α ≤ ↑n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β α : Type u
n : ℕ
H : ↑n < #α

⊢ ∃ s, n < s.card
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β α : Type u
n : ℕ
H : ↑n < #α

⊢ ↑(n + 1) ≤ #α
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G

⊢ f a = f b ↔ a⁻¹ * b ∈ ker f
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G

⊢ f a = f b ↔ f (a⁻¹ * b) = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
hs : NullMeasurableSet s μ
hp : p ≠ 0
hp_top : p ≠ ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal

⊢ (fun x => ↑‖s.indicator (fun x => c) x‖₊ ^ p.toReal) = fun x => s.indicator (fun x => ↑‖c‖₊ ^ p.toReal) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
hs : NullMeasurableSet s μ
hp : p ≠ 0
hp_top : p ≠ ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal

⊢ (fun x => ↑‖x‖₊ ^ p.toReal) 0 = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
hs : NullMeasurableSet s μ
hp : p ≠ 0
hp_top : p ≠ ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal

⊢ (∫⁻ (x : α), s.indicator (fun x => ↑‖c‖₊ ^ p.toReal) x ∂μ) ^ (1 / p.toReal) = ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
c✝ : E
f : α → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
s : Set α
c : G
hs : NullMeasurableSet s μ
hp : p ≠ 0
hp_top : p ≠ ⊤
hp_pos : 0 < p.toReal

⊢ 0 ≤ 1 / p.toReal
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M
inst✝⁹ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup M'
inst✝⁷ : Module R M'
ι✝ : Type u_4
inst✝⁶ : DecidableEq ι✝
inst✝⁵ : Fintype ι✝
e : Basis ι✝ R M
A : Type u_5
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Module A M
κ : Type u_6
inst✝² : Fintype κ
ι : Type u_7
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : (ι → A) →ₗ[A] ι → A

⊢ (toMatrix' f).det = LinearMap.det f
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J

⊢ ⨆ i ∈ I, range (stdBasis R φ i) ≤ ⨅ i ∈ J, ker (proj i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
i : ι
hi : i ∈ I

⊢ comap (stdBasis R φ i) (⨅ i ∈ J, ker (proj i)) = ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
i : ι
hi : i ∈ I

⊢ ∀ ⦃x : φ i⦄, x ∈ ⊤ → ∀ i_1 ∈ J, (proj i_1 ∘ₗ stdBasis R φ i) x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
i : ι
hi : i ∈ I
b : φ i
j : ι
hj : j ∈ J

⊢ (proj j ∘ₗ stdBasis R φ i) b = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
i : ι
hi : i ∈ I
b : φ i
j : ι
hj : j ∈ J

⊢ j ≠ i
-- Mathlib/LinearAlgebra/StdBasis.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
j : ι
hj : j ∈ J
hi : j ∈ I
b : φ j

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w : ι → k
p₂ : ι → P
p₁ : P
h : ∑ i ∈ s, w i = 0

⊢ ∑ i ∈ s, w i • (p₁ -ᵥ p₂ i) = -(s.weightedVSub p₂) w
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
x' : β
hx : x' ∈ ↑t
y' : β
hy : y' ∈ ↑t
hne : x' ≠ y'

⊢ (Disjoint on fun a => filter (fun x => f x = a) s) x' y'
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Finset α
t✝ t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
f : α → β
x' : β
hx : x' ∈ ↑t
y' : β
hy : y' ∈ ↑t
hne : x' ≠ y'

⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s ∧ f a = x' → ¬(a ∈ s ∧ f a = y')
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a✝ b : α
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
a : α

⊢ a ⊔ ⨆ x, f x = ⨆ x, a ⊔ f x
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
p : PMF α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
hp : MeasurableSet p.support

⊢ p.toMeasure (s ∩ p.support) = p.toMeasure s
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : Subfield E
HF : Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑K
HS : S ⊆ ↑K

⊢ (adjoin F S).toSubfield ≤ K
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : Subfield E
HF : Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑K
HS : S ⊆ ↑K

⊢ Set.range ⇑(algebraMap F E) ∪ S ⊆ ↑K
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set E
K : Subfield E
HF : Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑K
HS : S ⊆ ↑K

⊢ Set.range ⇑(algebraMap F E) ⊆ ↑K ∧ S ⊆ ↑K
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m c : ℤ

⊢ (2 * c + 1) / 2 * 2 + 1 = 2 * c + 1
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m c : ℤ

⊢ 1 = (2 * c + 1) % 2
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁴ : MulOneClass M
inst✝³ : MulOneClass N
inst✝² : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝¹ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
F : Type u_5
inst✝ : FunLike F M N
mc : MonoidHomClass F M N
f : F

⊢ ↑(mrange f) = ↑⊤ ↔ Set.range ⇑f = Set.univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ : Measure α
ν : Measure β
e : α ≃ᵐ β

⊢ Measure.map (⇑e.symm) (Measure.map (⇑e) μ) = μ
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α

⊢ sSup {a | IsAtom a} = ⊤
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsAtomistic α
x : α

⊢ x ∈ {a | IsAtom a} ↔ x ∈ {a | IsAtom a ∧ a ≤ ⊤}
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ o.oangle (x + y) y = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖x + y‖))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ (-o).oangle y (x + y) = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖x + y‖))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ (-o).oangle y (y + x) = ↑(Real.arcsin (‖x‖ / ‖y + x‖))
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' n'' : ℤ
hn' : n' + a = n
hn'' : n + a = n''

⊢ (γ.rightShift a n' hn').leftShift a n hn' = a.negOnePow • (γ.leftShift a n'' hn'').rightShift a n hn''
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
b : ℕ
hb2 : b + 2 > 1

⊢ (0 + 1) / (b + 2) = 0 / (b + 2) + if b + 2 ∣ 0 + 1 then 1 else 0
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ

⊢ (a + 1 + 1) / (b + 1) = (a + 1) / (b + 1) + if b + 1 ∣ a + 1 + 1 then 1 else 0
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ

⊢ (if 0 < b + 1 ∧ b + 1 ≤ a + 1 + 1 then (a + 1 + 1 - (b + 1)) / (b + 1) + 1 else 0) = (a + 1) / (b + 1) + if b + 1 ∣ a + 1 + 1 then 1 else 0
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a✝ b✝ c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
a b : ℕ

⊢ (if 0 < b + 1 ∧ b + 1 ≤ a + 1 + 1 then (a + 1 + 1 - (b + 1)) / (b + 1) + 1 else 0) = (if 0 < b + 1 ∧ b + 1 ≤ a + 1 then (a + 1 - (b + 1)) / (b + 1) + 1 else 0) + if b + 1 ∣ a + 1 + 1 then 1 else 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X
y z : Y

⊢ (⨅ p, dist x (Φ p) + dist z (Ψ p)) + ε ≤ (⨅ p, dist x (Φ p) + dist y (Ψ p)) + ε + dist y z
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X
y z : Y

⊢ ⨅ p, dist x (Φ p) + dist z (Ψ p) ≤ (⨅ p, dist x (Φ p) + dist y (Ψ p)) + dist y z
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X
y z : Y
p : Z

⊢ 0 ∈ lowerBounds (range fun p => dist x (Φ p) + dist z (Ψ p))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : X
y z : Y
p : Z

⊢ dist x (Φ p) + dist z (Ψ p) ≤ dist x (Φ p) + dist y (Ψ p) + dist y z
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0

⊢ (p %ₘ q).degree < q.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
hq : q.Monic
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree

⊢ (p %ₘ q).degree < q.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
hq : q.Monic
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree
this : (if hq : q.Monic then ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux hq).2 else p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < q.degree

⊢ (if h : q.Monic then (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).2 else p).degree < q.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Ring R
p✝ q✝ : R[X]
inst✝ : Nontrivial R
p q : R[X]
hq : q.Monic
this✝ : DecidableEq R := Classical.decEq R
h : q.degree ≤ p.degree ∧ p ≠ 0
_wf : (p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).degree < p.degree
this : ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux hq).2.degree < q.degree

⊢ (if q.degree ≤ p.degree ∧ ¬p = 0 then (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree) + ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).1, ((p - q * (C p.leadingCoeff * X ^ (p.natDegree - q.natDegree))).divModByMonicAux ⋯).2) else (0, p)).2.degree < q.degree