ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
μ : Measure ℝ
l : Filter ι
inst✝² : l.NeBot
inst✝¹ : l.IsCountablyGenerated
inst✝ : NormedAddCommGroup E
a b✝ : ι → ℝ
f : ℝ → E
I b : ℝ
hfi✝ : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioc (a i) b) μ
ha : Tendsto a l atBot
h : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (x : ℝ) in a i..b, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
hφ : AECover (μ.restrict (Iic b)) l fun i => Ioi (a i)
hfi : ∀ (i : ι), IntegrableOn f (Ioi (a i)) (μ.restrict (Iic b))
i : ι
hai : a i ≤ b

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc (a i) b, ‖f x‖ ∂μ ≤ I → ∫ (x : ℝ) in Ioi (a i) ∩ Iic b, ‖f x‖ ∂μ ≤ I
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a b : R[ℕ]

⊢ { toFinsupp := a * b } = Polynomial.mul { toFinsupp := a } { toFinsupp := b }
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
x : H

⊢ map (↑I.symm) (𝓝[range ↑I] ↑I x) = 𝓝 x
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
h_inf : s.Infinite
h_fin : (f '' s).Finite

⊢ ¬InjOn f s
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
h_inf : s.Infinite
h_fin : (f '' s).Finite
this : Finite ↑(f '' s)

⊢ ¬InjOn f s
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
h_inf : s.Infinite
h_fin : (f '' s).Finite
this✝ : Finite ↑(f '' s)
this : Infinite ↑s

⊢ ¬InjOn f s
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
h_inf : s.Infinite
h_fin : (f '' s).Finite
this✝ : Finite ↑(f '' s)
this : Infinite ↑s
h : ¬Injective (codRestrict (s.restrict f) (f '' s) ⋯)

⊢ ¬InjOn f s
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t : Set α
f : α → β
s : Set α
h_inf : s.Infinite
h_fin : (f '' s).Finite
this✝ : Finite ↑(f '' s)
this : Infinite ↑s
h : InjOn f s

⊢ Injective (codRestrict (s.restrict f) (f '' s) ⋯)
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
h : f x = x + ↑m
n : ℕ

⊢ (⇑f)^[n] x = x + ↑n * ↑m
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Prod.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I I' : Ideal R
J J' : Ideal S

⊢ map (↑RingEquiv.prodComm) (I.prod J) = J.prod I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Prod.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I I' : Ideal R
J J' : Ideal S

⊢ (map (RingHom.fst S R) (map (↑RingEquiv.prodComm) (I.prod J))).prod (map (RingHom.snd S R) (map (↑RingEquiv.prodComm) (I.prod J))) = J.prod I
-- Mathlib/Topology/Category/CompHaus/Limits.lean
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B

⊢ pullback.snd f g = ((pullback.isLimit f g).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (cospan f g))).hom ≫ Limits.pullback.snd f g
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝.Hom Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U V : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U

⊢ V ≤ U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝.Hom Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U V : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U

⊢ (appIso f U).inv ≫ appLE f (f ''ᵁ U) V e = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝.Hom Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U V : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U

⊢ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) ≫ X.presheaf.map (homOfLE e).op = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝.Hom Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U V : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ f ''ᵁ U

⊢ X.presheaf.map (eqToHom ⋯ ≫ (homOfLE e).op) = X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K

⊢ |im z| ≤ ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K

⊢ im z * im z ≤ normSq z
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : IsInitial X
f : Y ⟶ X

⊢ Epi f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
t : IsInitial X
f : Y ⟶ X
this : IsSplitEpi f

⊢ Epi f
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
a b : R
n : ℕ

⊢ (coeff R n) ((rescale b) ((rescale a) f)) = (coeff R n) ((rescale (a * b)) f)
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R⟦X⟧
a b : R
n : ℕ

⊢ b ^ n * (a ^ n * (coeff R n) f) = (a * b) ^ n * (coeff R n) f
-- Mathlib/Dynamics/BirkhoffSum/Basic.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → α
x : α
h : IsFixedPt f x
g : α → M
n : ℕ

⊢ birkhoffSum f g n x = n • g x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R

⊢ (W.variableChange C).c₄ = ↑C.u⁻¹ ^ 4 * W.c₄
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R

⊢ (↑C.u⁻¹ ^ 2 * (W.b₂ + 12 * C.r)) ^ 2 - 24 * (↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.b₄ + C.r * W.b₂ + 6 * C.r ^ 2)) = ↑C.u⁻¹ ^ 4 * (W.b₂ ^ 2 - 24 * W.b₄)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : CommMonoid β
s t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f g : ι → α

⊢ (map (fun x => 1) m).prod = 1
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/Regulator.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
e : { w // w ≠ w₀ } ≃ Fin (rank K)

⊢ regulator K = |(Matrix.of fun i => (logEmbedding K) (fundSystem K (e i))).det|
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Units/Regulator.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
e : { w // w ≠ w₀ } ≃ Fin (rank K)

⊢ |(Matrix.of fun x => ↑((logEmbeddingEquiv K) (Additive.ofMul ⟦fundSystem K (e x)⟧))).det| = |(Matrix.of fun i => (logEmbedding K) (fundSystem K (e i))).det|
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : NeZero μ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ

⊢ (μ.tilted f) Set.univ = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : NeZero μ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ

⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (rexp (f a)) * (ENNReal.ofReal (∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ))⁻¹ ∂μ = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : NeZero μ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ

⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : NeZero μ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ

⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ) ≠ ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Presheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v
X Y : C
f : X ⟶ Y
p : YonedaCollection F Y

⊢ op (CostructuredArrow.mk (yoneda.map f ≫ p.fst)) = op (CostructuredArrow.mk (map₂ F f p).fst)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2

⊢ ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α

⊢ ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
e : α ≃o β

⊢ Continuous ⇑e
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneContinuity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : PartialOrder α
inst✝⁴ : PartialOrder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : OrderTopology β
e : α ≃o β

⊢ ∀ s ∈ {s | ∃ a, s = Ioi a ∨ s = Iio a}, IsOpen (⇑e ⁻¹' s)
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
h : a ∉ l
h' : l.Nodup

⊢ (l.concat a).Nodup
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l l₁ l₂ : List α
r : α → α → Prop
a b : α
h : a ∉ l
h' : l.Nodup

⊢ (l ++ [a]).Nodup
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y

⊢ slope f x y < f'
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y

⊢ S ∈ 𝓝[<] y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : StrictConvexOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' S y

⊢ ∃ l ∈ Iio y, Ico l y ⊆ S
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M

⊢ support ↑f = (chartAt H c).source ∩ ↑(extChartAt I c) ⁻¹' ball (↑(extChartAt I c) c) f.rOut
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/UniversallyClosed.lean
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

⊢ UniversallyClosed f ↔ (topologically @IsClosedMap).universally f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
β : Type u_3
p : β → Prop
f : β → ℝ
hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x
hf : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x, p x ∧ f x ≤ ε

⊢ (𝓤 α).HasBasis p fun x => {p | dist p.1 p.2 ≤ f x}
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β✝ : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s✝ : Set α
β : Type u_3
p : β → Prop
f : β → ℝ
hf₀ : ∀ (x : β), p x → 0 < f x
hf : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ x, p x ∧ f x ≤ ε
s : Set (α × α)

⊢ (∃ i, 0 < i ∧ {p | dist p.1 p.2 < i} ⊆ s) ↔ ∃ i, p i ∧ {p | dist p.1 p.2 ≤ f i} ⊆ s
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
w : Word G
hw : Reduced φ w
h : ofCoprodI w.prod ∈ (base φ).range

⊢ w = Word.empty
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
w : Word G
hw : Reduced φ w
h : ofCoprodI w.prod ∈ (base φ).range
d : Transversal φ

⊢ w = Word.empty
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
w : Word G
hw : Reduced φ w
h : ofCoprodI w.prod ∈ (base φ).range
d : Transversal φ
w' : NormalWord d
hw'prod : w'.prod = ofCoprodI w.prod
hw'map : List.map Sigma.fst w'.toList = List.map Sigma.fst w.toList

⊢ w = Word.empty
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
w : Word G
hw : Reduced φ w
d : Transversal φ
w' : NormalWord d
hw'prod : w'.prod = ofCoprodI w.prod
hw'map : List.map Sigma.fst w'.toList = List.map Sigma.fst w.toList
h : H
heq : { toWord := Word.empty, head := h, normalized := ⋯ }.prod = w'.prod
this : { toWord := Word.empty, head := h, normalized := ⋯ }.prod = (base φ) h

⊢ w = Word.empty
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝ : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
hφ : ∀ (i : ι), Injective ⇑(φ i)
w : Word G
hw : Reduced φ w
d : Transversal φ
w' : NormalWord d
hw'prod : w'.prod = ofCoprodI w.prod
hw'map : List.map Sigma.fst w'.toList = List.map Sigma.fst w.toList
h : H
heq : { toWord := Word.empty, head := h, normalized := ⋯ }.prod = w'.prod
this : { toWord := Word.empty, head := h, normalized := ⋯ }.prod = (base φ) h

⊢ w'.toWord = Word.empty
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
hp : Prime p
n : ℕ
h : ¬p ∣ b
h' : p ^ n ∣ a * b

⊢ p ^ n ∣ a
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p a b : α
hp : Prime p
n : ℕ
h : ¬p ∣ b
h' : p ^ n ∣ b * a

⊢ p ^ n ∣ a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.29963}

⊢ o < type fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.29963}

⊢ o < succ o
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
f : ι → M
e : M ≃SL[σ] M₂
y : M₂
h : HasSum (fun b => e (f b)) y

⊢ HasSum f (e.symm y)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
R : Type u_7
R₂ : Type u_8
M : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : TopologicalSpace M₂
σ : R →+* R₂
σ' : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝ : RingHomInvPair σ' σ
f : ι → M
e : M ≃SL[σ] M₂
y : M₂
h : HasSum f (e.symm y)

⊢ HasSum (fun b => e (f b)) y
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c

⊢ c ^< ℵ₀ = c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c

⊢ c ^< ℵ₀ ≤ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c

⊢ c ≤ c ^< ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c

⊢ c = c ^ 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S : AddSubmonoid R
m : R
hm : m ∈ ⊥
n : R
hn : n ∈ S

⊢ m * n ∈ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
S : AddSubmonoid R
m : R
hm : m = 0
n : R
hn : n ∈ S

⊢ m * n = 0
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
s : List α

⊢ s ∈ [].tails ↔ s <:+ []
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
s : List α
a : α
t : List α

⊢ s ∈ (a :: t).tails ↔ s <:+ a :: t
-- Mathlib/Data/List/Infix.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a✝ b : α
m n : ℕ
s : List α
a : α
t : List α

⊢ s = a :: t ∨ s <:+ t ↔ s <:+ a :: t
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubring/Basic.lean
F : Type w
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
g : S✝ →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S✝
ι : Sort u_2
S : ι → NonUnitalSubring R
x : R

⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
s : Set E
r✝ : ℝ
x✝ : E
r : ℝ≥0
hc : Convex ℝ s
hr : 0 < r
hs : ball 0 ↑r ⊆ s
this : Absorbent ℝ (ball 0 ↑r)
x y : E

⊢ gauge s y + ‖x - y‖ / ↑r = gauge s y + ↑r⁻¹ * dist x y
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ

⊢ log 2 * 2 ≤ √(log 8)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 8 = 2 ^ ↑3

⊢ log 2 * 2 ≤ √(log 8)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 8 = 2 ^ ↑3

⊢ log 2 * 2 ≤ √(↑3 * log 2)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 8 = 2 ^ ↑3

⊢ (log 2 * 2) ^ 2 ≤ ↑3 * log 2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 8 = 2 ^ ↑3

⊢ log 2 * 2 ^ 2 * log 2 ≤ ↑3 * log 2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 8 = 2 ^ ↑3

⊢ log 2 * 2 ^ 2 ≤ ↑3
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 8 = 2 ^ ↑3

⊢ log 2 ≤ ↑3 / 2 ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 8 = 2 ^ ↑3

⊢ 0 < 2 ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
this : 8 = 2 ^ ↑3

⊢ 0.6931471808 ≤ ↑3 / 2 ^ 2
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hfg : g =o[atTop] f
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1

⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => f x + g x) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => f x + g x) x) (c₂ * (fun x => f x + g x) x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hfg : g =o[atTop] f
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_ub : b < 1

⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => f x + g x) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => f x + g x) x) (c₂ * (fun x => f x + g x) x)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f✝ f g : ℝ → ℝ
hf : GrowsPolynomially f
hfg : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ‖g x‖ ≤ c * ‖f x‖
b : ℝ
hb : b ∈ Set.Ioo 0 1
hb_ub : b < 1

⊢ ∃ c₁ > 0, ∃ c₂ > 0, ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b * x) x, (fun x => f x + g x) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => f x + g x) x) (c₂ * (fun x => f x + g x) x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
hfg : Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) l (𝓝 0)
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ Tendsto (fun i => μ {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)}) l (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfg : Tendsto (fun b => ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f b - g) p μ ^ p.toReal) l (𝓝 (ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * 0 ^ p.toReal))

⊢ Tendsto (fun i => μ {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)}) l (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfg : Tendsto (fun b => ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f b - g) p μ ^ p.toReal) l (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun i => μ {x | ε ≤ dist (f i x) (g x)}) l (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1

⊢ ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, μ {x_1 | ε ≤ dist (f x x_1) (g x_1)} ≤ ε_1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0

⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, μ {x_1 | ε ≤ dist (f x x_1) (g x_1)} ≤ δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0
n : ι
hn : ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≤ δ

⊢ μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ δ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0
n : ι
hn : ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≤ δ

⊢ μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConvergenceInMeasure.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → E
g : α → E
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf : ∀ (n : ι), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
l : Filter ι
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfg : ∀ ε_1 > 0, ∀ᶠ (x : ι) in l, ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f x - g) p μ ^ p.toReal ≤ ε_1
δ : ℝ≥0∞
hδ : δ > 0
n : ι
hn : ENNReal.ofReal (1 / ε ^ p.toReal) * eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal ≤ δ

⊢ ENNReal.ofReal (ε ^ p.toReal) * μ {x | ε ≤ dist (f n x) (g x)} ≤ eLpNorm (f n - g) p μ ^ p.toReal