ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIicTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α

⊢ BddAbove (closure s) ↔ BddAbove s
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)

⊢ Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
h : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 l)
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l

⊢ Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : Tendsto (ofReal' ∘ fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop (𝓝 ↑l)

⊢ Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : Tendsto (fun x => ↑(∑ i ∈ range x, f i)) atTop (𝓝 ↑l)

⊢ Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : Tendsto (fun x => ∑ i ∈ range x, ↑(f i)) atTop (𝓝 ↑l)

⊢ Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : Tendsto (fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) (Filter.map ofReal' (𝓝[<] 1)) (𝓝 ↑l)

⊢ Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : Tendsto ((fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) ∘ ofReal') (𝓝[<] 1) (𝓝 ↑l)

⊢ Tendsto (fun x => ∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) (𝓝[<] 1) (𝓝 l)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℝ}, x ∈ Set.Iio 1 → dist x 1 < δ → dist (((fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) ∘ ofReal') x) ↑l < ε

⊢ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℝ}, x ∈ Set.Iio 1 → dist x 1 < δ → dist (∑' (n : ℕ), f n * x ^ n) l < ε
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℝ}, x ∈ Set.Iio 1 → dist x 1 < δ → dist (((fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) ∘ ofReal') x) ↑l < ε
a✝⁴ : ℝ
a✝³ : a✝⁴ > 0
x✝ a✝² : ℝ
a✝¹ : a✝² ∈ Set.Iio 1
a✝ : dist a✝² 1 < x✝

⊢ dist (∑' (n : ℕ), f n * a✝² ^ n) l = dist (((fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) ∘ ofReal') a✝²) ↑l
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℝ}, x ∈ Set.Iio 1 → dist x 1 < δ → dist (((fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) ∘ ofReal') x) ↑l < ε
a✝⁴ : ℝ
a✝³ : a✝⁴ > 0
x✝ a✝² : ℝ
a✝¹ : a✝² ∈ Set.Iio 1
a✝ : dist a✝² 1 < x✝

⊢ ‖∑' (n : ℕ), f n * a✝² ^ n - l‖ = ‖∑' (n : ℕ), ↑(f n) * ↑a✝² ^ n - ↑l‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
m : Filter.map ofReal' (𝓝 l) ≤ 𝓝 ↑l
h : ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ {x : ℝ}, x ∈ Set.Iio 1 → dist x 1 < δ → dist (((fun z => ∑' (n : ℕ), ↑(f n) * z ^ n) ∘ ofReal') x) ↑l < ε
a✝⁴ : ℝ
a✝³ : a✝⁴ > 0
x✝ a✝² : ℝ
a✝¹ : a✝² ∈ Set.Iio 1
a✝ : dist a✝² 1 < x✝

⊢ ‖∑' (n : ℕ), f n * a✝² ^ n - l‖ = ‖↑(∑' (n : ℕ), f n * a✝² ^ n - l)‖
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M

⊢ ↑(closure s) = List.prod '' {l | ∀ x ∈ l, x ∈ s}
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M

⊢ Set.range ⇑(FreeMonoid.lift Subtype.val) = Set.range (List.prod ∘ List.map Subtype.val)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
a : α
x : β
ht : t ∈ 𝓝 x

⊢ a • t ∈ 𝓝 (a • x)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
a : α
x : β
ht : t ∈ 𝓝 x
u : Set β
ut : u ⊆ t
u_open : IsOpen u
hu : x ∈ u

⊢ a • t ∈ 𝓝 (a • x)
-- Mathlib/Algebra/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ : P
h : p₁ -ᵥ p₂ = 0

⊢ p₁ = p₂
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y

⊢ IsSigmaCompact (⇑h ⁻¹' s) ↔ IsSigmaCompact s
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
s : Set Y
h : X ≃ₜ Y

⊢ IsSigmaCompact (⇑h.symm '' s) ↔ IsSigmaCompact s
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r : X
s s' : ↥S

⊢ ↑(s' * s) ∈ S
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : I.Boundaryless
x : M

⊢ (extChartAt I x).target ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : TopologicalSpace H
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : ChartedSpace H' M'
inst✝ : I.Boundaryless
x : M

⊢ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x) = 𝓝[range ↑I] ↑(extChartAt I x) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y z✝ : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
z : E
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
y' : E
hy' : y' ∈ s

⊢ (fun x => x + z) (a • x + b • y') = a • (x + z) + b • (fun x => x + z) y'
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I✝ I : Ideal R
r : R
h : r - 1 ∈ I.jacobson

⊢ ∃ s, s * r - 1 ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I✝ I : Ideal R
r : R
h : r - 1 ∈ I.jacobson
s : R
hs : s * 1 * (r - 1) + s - 1 ∈ I

⊢ ∃ s, s * r - 1 ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I✝ I : Ideal R
r : R
h : r - 1 ∈ I.jacobson
s : R
hs : s * 1 * (r - 1) + s - 1 ∈ I

⊢ s * r - 1 ∈ I
-- Mathlib/Data/Nat/Size.lean
n : ℕ

⊢ n.size = 0 ↔ n = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
m e : Nat

⊢ (if true = true then normalize (↑m) (10 ^ e) ⋯ else ↑(m * 10 ^ e)) = mkRat (↑m) (10 ^ e)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Rat/Lemmas.lean
m e : Nat

⊢ (if true = true then mkRat (↑m) (10 ^ e) else ↑(m * 10 ^ e)) = mkRat (↑m) (10 ^ e)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

⊢ (fun x => x - a) '' Ico b c = Ico (b - a) (c - a)
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
ht : t.Finite
hsub : s ⊂ t
this : Fintype ↑t

⊢ Nat.card ↑s < Nat.card ↑t
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
ht : t.Finite
hsub : s ⊂ t
this✝ : Fintype ↑t
this : Fintype ↑s

⊢ Nat.card ↑s < Nat.card ↑t
-- Mathlib/Data/Finite/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Set α
ht : t.Finite
hsub : s ⊂ t
this✝ : Fintype ↑t
this : Fintype ↑s

⊢ Fintype.card ↑s < Fintype.card ↑t
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : NeZero 1
n : ℕ

⊢ 0 < ↑n + 1
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : NeZero 1
n : ℕ

⊢ 1 ≤ ↑n + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, f y ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a

⊢ Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, f y ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 (f x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a

⊢ Tendsto (fun e => ‖⨍ (y : α) in e, f y ∂μ - f x‖) (v.filterAt x) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a

⊢ ∀ᶠ (t : Set α) in v.filterAt x, ‖⨍ (y : α) in t, f y ∂μ - f x‖ ≤ ⨍ (y : α) in t, ‖f y - f x‖ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
a : Set α
ha : 0 < μ a
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ

⊢ ‖⨍ (y : α) in a, f y ∂μ - f x‖ ≤ ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
a : Set α
ha : 0 < μ a
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ

⊢ ‖⨍ (y : α) in a, f y ∂μ - ⨍ (x_1 : α) in a, f x ∂μ‖ ≤ ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
a : Set α
ha : 0 < μ a
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ

⊢ ‖∫ (y : α), f y ∂(μ a)⁻¹ • μ.restrict a - ∫ (x_1 : α), f x ∂(μ a)⁻¹ • μ.restrict a‖ ≤ ∫ (y : α), ‖f y - f x‖ ∂(μ a)⁻¹ • μ.restrict a
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
a : Set α
ha : 0 < μ a
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ

⊢ ‖∫ (a : α), f a - f x ∂(μ a)⁻¹ • μ.restrict a‖ ≤ ∫ (y : α), ‖f y - f x‖ ∂(μ a)⁻¹ • μ.restrict a
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
a : Set α
ha : 0 < μ a
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ

⊢ Integrable f ((μ a)⁻¹ • μ.restrict a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁷ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SecondCountableTopology α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝² : IsLocallyFiniteMeasure ρ
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)
h'x : ∀ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, 0 < μ a
a : Set α
ha : 0 < μ a
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ

⊢ Integrable (fun x_1 => f x) ((μ a)⁻¹ • μ.restrict a)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v

⊢ List.map (fun x => x.toProd.1) p.darts = p.support.dropLast
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n

⊢ j % (4 * n) = j' % (4 * n)
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j✝ n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j✝ ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j✝ % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j✝ ≡ j' [MOD 4 * n]
j q : ℕ
IH : xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]

⊢ xn a1 (j + 4 * n * (q + 1)) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j✝ n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j✝ ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j✝ % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j✝ ≡ j' [MOD 4 * n]
j q : ℕ
IH : xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]

⊢ xn a1 (4 * n + (j + 4 * n * q)) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j ≡ j' [MOD 4 * n]
this : ∀ (j q : ℕ), xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ji : j' + i = 4 * n

⊢ 4 * n ≡ 0 [MOD 4 * n]
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j ≡ j' [MOD 4 * n]
this : ∀ (j q : ℕ), xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]

⊢ xn a1 j ≡ xn a1 j' [MOD xn a1 n]
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j ≡ j' [MOD 4 * n]
this : ∀ (j q : ℕ), xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]

⊢ xn a1 (j % (4 * n) + 4 * n * (j / (4 * n))) ≡ xn a1 j' [MOD xn a1 n]
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α

⊢ (dite P A fun x => b) ≠ b ↔ ∃ h, A h ≠ b
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b✝ c : α
n : ℤ
b : α

⊢ toIcoMod hp 0 b ∈ Set.Ico 0 p
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b✝ c : α
n : ℤ
b : α

⊢ p = 0 + p
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v₁
hF : F.Representable
X : Cᵒᵖ
f : unop X ⟶ F.reprX

⊢ (F.reprW.app X).hom f = F.map f.op F.reprx
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Instances.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
t : β
ht : t ∈ Ioo 0 1

⊢ 1 - t ∈ Ioo 0 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Instances.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
t : β
ht : 0 < t ∧ t < 1

⊢ 0 < 1 - t ∧ 1 - t < 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Instances.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : StrictOrderedSemiring α
β : Type u_2
inst✝ : OrderedRing β
t : β
ht : 0 < t ∧ t < 1

⊢ 1 - t < 1
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
i : m

⊢ v ⬝ᵥ diagonal w i = v i * w i
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * diagonal w i j = 0

⊢ v ⬝ᵥ diagonal w i = v i * w i
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommGroup β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
h : a ∈ s

⊢ ∏ x ∈ s.erase a, f x = (∏ x ∈ s, f x) / f a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
inst✝ : Fintype η
n : ℕ

⊢ Module.rank R (Fin n → R) = ↑n
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : Monoid M
a : M
s : Set M
p : M → Prop
hs : closure s = ⊤
x : M
one : p 1
mul : ∀ x ∈ s, ∀ (y : M), p y → p (x * y)
this : x ∈ closure s

⊢ p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

⊢ edist (Memℒp.toLp (s.indicator fun x => c) ⋯) (Memℒp.toLp (t.indicator fun x => c) ⋯) = ↑‖Memℒp.toLp ((s ∆ t).indicator fun x => c) ⋯‖₊
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : MulActionWithZero α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
ha' : 0 < a
x : E

⊢ gauge (a • s) x = (a⁻¹ • gauge s) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : MulActionWithZero α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
ha' : 0 < a
x : E

⊢ sInf {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ a • s} = sInf (a⁻¹ • {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s})
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : MulActionWithZero α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
ha' : 0 < a
x : E
r : ℝ

⊢ r ∈ {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ a • s} ↔ r ∈ a⁻¹ • {r | r ∈ Ioi 0 ∧ r⁻¹ • x ∈ s}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module ℝ E
s✝ t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
α : Type u_4
inst✝⁶ : LinearOrderedField α
inst✝⁵ : MulActionWithZero α ℝ
inst✝⁴ : OrderedSMul α ℝ
inst✝³ : MulActionWithZero α E
inst✝² : SMulCommClass α ℝ ℝ
inst✝¹ : IsScalarTower α ℝ ℝ
inst✝ : IsScalarTower α ℝ E
s : Set E
a : α
ha : 0 ≤ a
ha' : 0 < a
x : E
r : ℝ

⊢ (r ∈ Ioi 0 ∧ ∃ y ∈ s, a • y = r⁻¹ • x) ↔ ∃ y, (y ∈ Ioi 0 ∧ y⁻¹ • x ∈ s) ∧ a⁻¹ • y = r
-- Mathlib/Order/RelClasses.lean
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : r a b
h₂ : ¬r c b

⊢ r a c
-- Mathlib/Order/RelClasses.lean
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : r a b
h₂ : ¬r c b
h₃ : r b c

⊢ r a c
-- Mathlib/Order/RelClasses.lean
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b : α
h₁ : r a b
h₂ : ¬r b b

⊢ r a b
-- Mathlib/Order/RelClasses.lean
α : Type u
β : Type v
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsTrans α r
inst✝ : IsTrichotomous α r
a b c : α
h₁ : r a b
h₂ : ¬r c b
h₃ : r c b

⊢ r a c
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ cexp (x - y) = cexp x / cexp y
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
i : Fin p.length

⊢ (p.smash q h).toFun (Fin.castAdd q.length i).succ = p.toFun i.succ
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
h : p.last = q.head
i : Fin p.length

⊢ (if H : ↑(Fin.castAdd q.length i).succ < p.length then p.toFun ⟨↑(Fin.castAdd q.length i).succ, ⋯⟩ else q.toFun ⟨↑(Fin.castAdd q.length i).succ - p.length, ⋯⟩) = p.toFun i.succ