ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Order/IsLUB.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : LinearOrder α
inst✝⁴ : LinearOrder β
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : OrderTopology β
inst✝¹ : DenselyOrdered α
inst✝ : FirstCountableTopology α
x y : α
hy : x < y

⊢ ∃ u, StrictAnti u ∧ (∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo x y) ∧ Tendsto u atTop (𝓝 x)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝⁹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝³ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι' : Type u_5
inst✝² : Fintype ι'
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
z : PiLp p fun x => E

⊢ (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft p 𝕜 E e).symm z = (LinearIsometryEquiv.piLpCongrLeft p 𝕜 E e.symm) z
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝⁹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝³ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι' : Type u_5
inst✝² : Fintype ι'
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
z : PiLp p fun x => E

⊢ (LinearEquiv.piCongrLeft' 𝕜 (fun x => E) e).symm z = (LinearEquiv.piCongrLeft' 𝕜 (fun x => E) e.symm) z
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝⁹ : Fact (1 ≤ p)
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : Semiring 𝕜
inst✝⁶ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (α i)
inst✝⁵ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module 𝕜 (α i)
inst✝³ : (i : ι) → Module 𝕜 (β i)
c : 𝕜
ι' : Type u_5
inst✝² : Fintype ι'
E : Type u_6
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
e : ι ≃ ι'
z : PiLp p fun x => E
x✝ : ι

⊢ (LinearEquiv.piCongrLeft' 𝕜 (fun x => E) e).symm z x✝ = (LinearEquiv.piCongrLeft' 𝕜 (fun x => E) e.symm) z x✝
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R✝ : Type u
inst✝³ : CommRing R✝
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
he : ¬e.IsPrimitive

⊢ ∃ d, d ∣ N ∧ d < N ∧ e.mulShift ↑d = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R✝ : Type u
inst✝³ : CommRing R✝
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
he : ∃ x, ∃ (_ : x ≠ 0), e.mulShift x = 1

⊢ ∃ d, d ∣ N ∧ d < N ∧ e.mulShift ↑d = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R✝ : Type u
inst✝³ : CommRing R✝
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
b : ZMod N
hb_ne : b ≠ 0
hb : e.mulShift b = 1

⊢ ∃ d, d ∣ N ∧ d < N ∧ e.mulShift ↑d = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R✝ : Type u
inst✝³ : CommRing R✝
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
d : ℕ
hd : d ∣ N
u : ZMod N
hu : IsUnit u
hb_ne : u * ↑d ≠ 0
hb : e.mulShift (u * ↑d) = 1

⊢ ∃ d, d ∣ N ∧ d < N ∧ e.mulShift ↑d = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R✝ : Type u
inst✝³ : CommRing R✝
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
d : ℕ
hd : d ∣ N
u : ZMod N
hu : IsUnit u
hb_ne : u * ↑d ≠ 0
hb : e.mulShift (u * ↑d) = 1

⊢ d ≠ N
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/AddCharacter.lean
R✝ : Type u
inst✝³ : CommRing R✝
R' : Type v
inst✝² : CommMonoid R'
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
d : ℕ
hd : d ∣ N
u : ZMod N
hu : IsUnit u
hb_ne : u * ↑d ≠ 0
hb : e.mulShift (u * ↑d) = 1

⊢ e.mulShift ↑d = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a b c p q : ℚ

⊢ p < q ↔ p.num * ↑q.den < q.num * ↑p.den
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a b c p q : ℚ

⊢ p.num * ↑q.den ≤ q.num * ↑p.den ∧ p ≠ q ↔ p.num * ↑q.den < q.num * ↑p.den
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a b c p q : ℚ

⊢ p ≠ q ↔ p.num * ↑q.den ≠ q.num * ↑p.den
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
n : ℕ
hn : 2 ≤ n

⊢ fib n < fib (n + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
n : ℕ
hn : 2 ≤ 2 + n

⊢ fib (2 + n) < fib (2 + n + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
n : ℕ
hn : 2 ≤ 2 + n

⊢ 0 < n + 1
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)

⊢ UniformContinuous ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)

⊢ ∀ (i : ↑(⋃₀ 𝔖)), UniformContinuous fun x => ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x i
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
x : α
hx : x ∈ ⋃₀ 𝔖

⊢ UniformContinuous fun x_1 => ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x_1 ⟨x, hx⟩
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x✝ : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
x : α
hx : x ∈ ⋃₀ 𝔖
s : Set α
hs : s ∈ 𝔖
hxs : x ∈ s

⊢ UniformContinuous fun x_1 => ((⋃₀ 𝔖).restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x_1 ⟨x, hx⟩
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/Surjective.lean

⊢ StableUnderBaseChange fun {X Y} [CommRing X] [CommRing Y] f => Function.Surjective ⇑f
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/Surjective.lean

⊢ ∀ ⦃R S T : Type u_1⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], Function.Surjective ⇑(algebraMap R T) → Function.Surjective ⇑includeLeftRingHom
-- Mathlib/Data/Multiset/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α

⊢ (Finset.Icc s t).card = ∏ i ∈ s.toFinset ∪ t.toFinset, (count i t + 1 - count i s)
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
s : Submonoid G
hs : (↑s).Finite
hx : x ∈ s

⊢ orderOf x ≤ Nat.card ↥s
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Fintype G
x : G
n : ℕ
s : Submonoid G
hs : (↑s).Finite
hx : x ∈ s

⊢ Nat.card ↥(powers x) ≤ Nat.card ↥s
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
I : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ I, IsOpen (s i)

⊢ ∃ T ⊆ I, T.Countable ∧ ⋃ i ∈ T, s i = ⋃ i ∈ I, s i
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
I : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ I, IsOpen (s i)

⊢ ∃ s_1, (Subtype.val '' s_1).Countable ∧ ⋃ y ∈ s_1, s ↑y = ⋃ i ∈ I, s i
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
I : Set ι
s : ι → Set α
H : ∀ i ∈ I, IsOpen (s i)
T : Set ↑I
hTc : T.Countable
hU : ⋃ i ∈ T, s ↑i = ⋃ i, s ↑i

⊢ ∃ s_1, (Subtype.val '' s_1).Countable ∧ ⋃ y ∈ s_1, s ↑y = ⋃ i ∈ I, s i
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU' : U ∈ p.basisSets

⊢ ∃ V ∈ p.basisSets, V ⊆ (fun x => -x) ⁻¹' U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU' : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
left✝ : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r

⊢ ∃ V ∈ p.basisSets, V ⊆ (fun x => -x) ⁻¹' U
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
U : Set E
hU' : U ∈ p.basisSets
s : Finset ι
r : ℝ
left✝ : 0 < r
hU : U = (s.sup p).ball 0 r

⊢ ∃ V ∈ p.basisSets, V ⊆ (s.sup p).ball 0 r
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
x✝ : C

⊢ (eqToHom ⋯).app x✝ ≫ (shiftFunctorAdd C a 0).hom.app x✝ = 𝟙 (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a }).obj x✝) ≫ (shiftMonoidalFunctor C A).ε.app (((shiftMonoidalFunctor C A).obj { as := a }).obj x✝)
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
x✝ : C

⊢ eqToHom ⋯ ≫ (shiftFunctorAdd C a 0).hom.app x✝ = eqToHom ⋯ ≫ ((shiftMonoidalFunctor C A).μIso { as := a } (𝟙_ (Discrete A))).inv.app x✝
-- Mathlib/Topology/Instances/NNReal.lean
α : Type u_1

⊢ Filter.map Real.toNNReal atTop = atTop
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))

⊢ (-o).volumeForm = -o.volumeForm
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o

⊢ (-o).volumeForm = -o.volumeForm
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o
h₁ : e.toBasis.orientation = o

⊢ (-o).volumeForm = -o.volumeForm
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orientation.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
o : Orientation ℝ E (Fin (n + 1))
e : OrthonormalBasis (Fin n.succ) ℝ E := Orientation.finOrthonormalBasis ⋯ ⋯ o
h₁ : e.toBasis.orientation = o
h₂ : e.toBasis.orientation ≠ -o

⊢ (-o).volumeForm = -o.volumeForm
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²³ : CommSemiring A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Module A M'
inst✝²⁰ : IsLocalization S A
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module R M'
inst✝¹⁷ : Module R M''
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝¹ : M →ₗ[R] M''
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type ?u.1089083
N' : Type ?u.1089086
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup N'
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Module R N'
g✝ : N →ₗ[R] N'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝
M₀ : Type u_6
M₀' : Type ?u.1091157
inst✝⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝⁷ : Module R M₀
inst✝⁶ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type ?u.1093228
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
m : M₀
s : ↥S

⊢ ((map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m s) = LocalizedModule.mk (g m) s
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²³ : CommSemiring A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Module A M'
inst✝²⁰ : IsLocalization S A
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module R M'
inst✝¹⁷ : Module R M''
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝¹ : M →ₗ[R] M''
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type ?u.1089083
N' : Type ?u.1089086
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup N'
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Module R N'
g✝ : N →ₗ[R] N'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝
M₀ : Type u_6
M₀' : Type ?u.1091157
inst✝⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝⁷ : Module R M₀
inst✝⁶ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type ?u.1093228
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
m : M₀
s : ↥S
this : ↑⋯.unit⁻¹ ((mkLinearMap S M₁) (g m)) = (iso S (mkLinearMap S M₁)) (LocalizedModule.mk (g m) s)

⊢ ((map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m s) = LocalizedModule.mk (g m) s
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝²⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝²⁶ : AddCommMonoid M
inst✝²⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝²⁴ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝²³ : CommSemiring A
inst✝²² : Algebra R A
inst✝²¹ : Module A M'
inst✝²⁰ : IsLocalization S A
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module R M'
inst✝¹⁷ : Module R M''
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝¹ : M →ₗ[R] M''
inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S f
N : Type ?u.1089083
N' : Type ?u.1089086
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : AddCommGroup N'
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Module R N'
g✝ : N →ₗ[R] N'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S g✝
M₀ : Type u_6
M₀' : Type ?u.1091157
inst✝⁹ : AddCommGroup M₀
inst✝⁸ : AddCommGroup M₀'
inst✝⁷ : Module R M₀
inst✝⁶ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type ?u.1093228
inst✝⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₁
g : M₀ →ₗ[R] M₁
m : M₀
s : ↥S
this : ↑⋯.unit⁻¹ ((mkLinearMap S M₁) (g m)) = LocalizedModule.mk (g m) s

⊢ ((map S (mkLinearMap S M₀) (mkLinearMap S M₁)) g) (LocalizedModule.mk m s) = LocalizedModule.mk (g m) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ HasSum (fun n => (1 / (↑n + ↑a) ^ s - 1 / (↑n + 1 - ↑a) ^ s) / 2) (hurwitzZetaOdd (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

⊢ (1 / (↑n + ↑a) ^ s - 1 / (↑n + 1 - ↑a) ^ s) / 2 = (↑(SignType.sign (↑n + a)) / ↑|↑n + a| ^ s - ↑(SignType.sign (↑n + 1 - a)) / ↑|↑n + 1 - a| ^ s) / 2
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

⊢ ∀ (b : ℝ), 0 ≤ b → ↑(SignType.sign (↑n + b)) / ↑|↑n + b| ^ s = 1 / (↑n + ↑b) ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
b : ℝ
hb : 0 ≤ b

⊢ ↑(SignType.sign (↑n + b)) / ↑|↑n + b| ^ s = 1 / (↑n + ↑b) ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
b : ℝ
hb : 0 ≤ b

⊢ ↑(SignType.sign (↑n + b)) / ↑(↑n + b) ^ s = 1 / ↑(↑n + b) ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
b : ℝ
hb✝ : 0 ≤ b
hb : 0 < ↑n + b

⊢ ↑(SignType.sign (↑n + b)) / ↑(↑n + b) ^ s = 1 / ↑(↑n + b) ^ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : ℝ
ha : a ∈ Icc 0 1
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ
b : ℝ
hb✝ : 0 ≤ b
hb : 0 = ↑n + b

⊢ ↑(SignType.sign (↑n + b)) / ↑(↑n + b) ^ s = 1 / ↑(↑n + b) ^ s
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Symmetric.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : ModuleCat R
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂

⊢ (f ⊗ g) ≫ (Y₁.braiding Y₂).hom = (X₁.braiding X₂).hom ≫ (g ⊗ f)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Monoidal/Symmetric.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : ModuleCat R
f : X₁ ⟶ Y₁
g : X₂ ⟶ Y₂

⊢ ∀ (x : ↑X₁) (y : ↑X₂), ((f ⊗ g) ≫ (Y₁.braiding Y₂).hom) (x ⊗ₜ[R] y) = ((X₁.braiding X₂).hom ≫ (g ⊗ f)) (x ⊗ₜ[R] y)
-- Mathlib/ModelTheory/Graph.lean
L : Language
α : Type w
V : Type w'
n : ℕ
S : Language.graph.Structure V
inst✝ : V ⊨ Theory.simpleGraph
x✝² : ℕ
x✝¹ : Language.graph.Functions x✝²
x✝ : Fin x✝² → V

⊢ funMap x✝¹ x✝ = funMap x✝¹ x✝
-- Mathlib/ModelTheory/Graph.lean
L : Language
α : Type w
V : Type w'
n : ℕ
S : Language.graph.Structure V
inst✝ : V ⊨ Theory.simpleGraph
x✝² : ℕ
x✝¹ : Language.graph.Relations x✝²
x✝ : Fin x✝² → V

⊢ RelMap x✝¹ x✝ ↔ RelMap x✝¹ x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤

⊢ QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤

⊢ μ = map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G)) (ν.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U

⊢ μ U = (map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G)) (ν.restrict s)) U
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk

⊢ μ U = (map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G)) (ν.restrict s)) U
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
μ' : Measure (G ⧸ Γ) := map QuotientGroup.mk (ν.restrict s)
has_fund : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν

⊢ μ U = (map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G)) (ν.restrict s)) U
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
μ' : Measure (G ⧸ Γ) := map QuotientGroup.mk (ν.restrict s)
has_fund : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'

⊢ μ U = (map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G)) (ν.restrict s)) U
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
μ' : Measure (G ⧸ Γ) := map QuotientGroup.mk (ν.restrict s)
has_fund : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'
this : μ'.IsMulLeftInvariant

⊢ μ U = (map (Quotient.mk (MulAction.orbitRel (↥Γ.op) G)) (ν.restrict s)) U
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Quotient.lean
G : Type u_1
inst✝¹⁴ : Group G
inst✝¹³ : MeasurableSpace G
inst✝¹² : TopologicalSpace G
inst✝¹¹ : TopologicalGroup G
inst✝¹⁰ : BorelSpace G
inst✝⁹ : PolishSpace G
Γ : Subgroup G
inst✝⁸ : Countable ↥Γ
inst✝⁷ : Γ.Normal
inst✝⁶ : T2Space (G ⧸ Γ)
inst✝⁵ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)
μ : Measure (G ⧸ Γ)
ν : Measure G
inst✝⁴ : ν.IsMulLeftInvariant
inst✝³ : ν.IsMulRightInvariant
inst✝² : SigmaFinite ν
inst✝¹ : μ.IsMulLeftInvariant
inst✝ : SigmaFinite μ
s : Set G
fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν
V : Set (G ⧸ Γ)
meas_V : MeasurableSet V
neZeroV : μ V ≠ 0
hV : μ V = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' V ∩ s)
neTopV : μ V ≠ ⊤
U : Set (G ⧸ Γ)
a✝ : MeasurableSet U
meas_π : Measurable QuotientGroup.mk
μ' : Measure (G ⧸ Γ) := map QuotientGroup.mk (ν.restrict s)
has_fund : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν
i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ'
this : μ'.IsMulLeftInvariant

⊢ μ = μ'