ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : Ring R
M : Type u_2
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
M₂ : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : TopologicalAddGroup M
inst✝ : T1Space M
p : Submodule R M
f : M →L[R] ↥p
hf : ∀ (x : ↥p), f ↑x = x
this : LinearMap.ker (ContinuousLinearMap.id R M - p.subtypeL.comp f) = p

⊢ IsClosed ↑p
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MatrixExponential.lean
𝕂 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
p : Type u_4
n' : m → Type u_5
𝔸 : Type u_6
inst✝⁹ : RCLike 𝕂
inst✝⁸ : Fintype m
inst✝⁷ : DecidableEq m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : DecidableEq n
inst✝⁴ : (i : m) → Fintype (n' i)
inst✝³ : (i : m) → DecidableEq (n' i)
inst✝² : NormedCommRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
U A : Matrix m m 𝔸
hy : IsUnit U
u : (Matrix m m 𝔸)ˣ
hu : ↑u = U

⊢ exp 𝕂 (↑u * A * (↑u)⁻¹) = ↑u * exp 𝕂 A * (↑u)⁻¹
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
f : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x.asHomogeneousIdeal.toIdeal.primeCompl

⊢ x ∈ ProjectiveSpectrum.basicOpen 𝒜 ↑f.den
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/StructureSheaf.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x : ↑(ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
f : HomogeneousLocalization.NumDenSameDeg 𝒜 x.asHomogeneousIdeal.toIdeal.primeCompl

⊢ ↑f.den ∉ x.asHomogeneousIdeal
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α

⊢ s.sup' H f ≤ a ↔ sSup (f '' ↑s) ≤ a
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Quotient.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
a b : R
S : Type v
x✝ y✝ x y : R

⊢ (mk I) x = (mk I) y ↔ x - y ∈ I
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Gradient/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : F → 𝕜
f' x : F
s : Set F
L : Filter F
f₀ f₁ : F → 𝕜
f₀' f₁' x₀ x₁ : F
s₀ s₁ t : Set F
L₀ L₁ : Filter F
h : HasGradientWithinAt f f' s x
hs : ∀ x ∈ s, f₁ x = f x
hx : f₁ x = f x

⊢ s ⊆ s
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/End.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
h : Surjective ⇑f'
n : ℕ

⊢ Surjective ⇑(f' ^ (n + 1))
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/End.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f' : M →ₗ[R] M
h : Surjective ⇑f'
n : ℕ

⊢ Surjective ⇑((f' ^ n) ∘ₗ f')
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeSup α
inst✝² : SemilatticeSup β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a✝ : α
inst✝¹ : FunLike F β α
inst✝ : SupHomClass F β α
hs : SupClosed s
f : F
a : β
ha : a ∈ ⇑f ⁻¹' s
b : β
hb : b ∈ ⇑f ⁻¹' s

⊢ a ⊔ b ∈ ⇑f ⁻¹' s
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
P : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
prime : ∀ i ∈ s, Prime (P i)
coprime : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → P i ≠ P j
x : (i : { x // x ∈ s }) → R ⧸ P ↑i ^ e ↑i
f : R ⧸ ∏ i ∈ s, P i ^ e i ≃+* ((i : { x // x ∈ s }) → R ⧸ P ↑i ^ e ↑i) := quotientEquivPiOfFinsetProdEq (∏ i ∈ s, P i ^ e i) P e prime coprime ⋯

⊢ ∃ y, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (Ideal.Quotient.mk (P i ^ e i)) y = x ⟨i, hi⟩
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
P : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
prime : ∀ i ∈ s, Prime (P i)
coprime : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → P i ≠ P j
f : R ⧸ ∏ i ∈ s, P i ^ e i ≃+* ((i : { x // x ∈ s }) → R ⧸ P ↑i ^ e ↑i) := quotientEquivPiOfFinsetProdEq (∏ i ∈ s, P i ^ e i) P e prime coprime ⋯
y : R ⧸ ∏ i ∈ s, P i ^ e i

⊢ ∃ y_1, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (Ideal.Quotient.mk (P i ^ e i)) y_1 = f y ⟨i, hi⟩
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Field K
inst✝ : IsDedekindDomain R
ι : Type u_4
s : Finset ι
P : ι → Ideal R
e : ι → ℕ
prime : ∀ i ∈ s, Prime (P i)
coprime : ∀ i ∈ s, ∀ j ∈ s, i ≠ j → P i ≠ P j
f : R ⧸ ∏ i ∈ s, P i ^ e i ≃+* ((i : { x // x ∈ s }) → R ⧸ P ↑i ^ e ↑i) := quotientEquivPiOfFinsetProdEq (∏ i ∈ s, P i ^ e i) P e prime coprime ⋯
z : R

⊢ ∃ y, ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (Ideal.Quotient.mk (P i ^ e i)) y = f ((Ideal.Quotient.mk (∏ i ∈ s, P i ^ e i)) z) ⟨i, hi⟩
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1

⊢ ‖∑' (n : ℕ), x ^ n‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖x‖)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1

⊢ ‖x ^ 0 + ∑' (b : ℕ), x ^ (b + 1)‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖x‖)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1

⊢ ‖1 + ∑' (b : ℕ), x ^ (b + 1)‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖x‖)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1

⊢ ‖1‖ + ‖∑' (b : ℕ), x ^ (b + 1)‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖x‖)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this : ‖∑' (b : ℕ), (fun n => x ^ (n + 1)) b‖ ≤ (1 - ‖x‖)⁻¹ - 1

⊢ ‖1‖ + ‖∑' (b : ℕ), x ^ (b + 1)‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖x‖)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/OfAlternating.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin n → M

⊢ (liftAlternating f) ((ιMulti R n) v) = (f n) v
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/OfAlternating.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
N' : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : AddCommGroup N'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
f : (i : ℕ) → M [⋀^Fin i]→ₗ[R] N
v : Fin n → M

⊢ (liftAlternating f) (List.ofFn fun i => (ι R) (v i)).prod = (f n) v
-- Mathlib/Data/Int/SuccPred.lean
a : ℤ
n : ℕ

⊢ pred^[n + 1] a = a - ↑(n + 1)
-- Mathlib/Data/Int/SuccPred.lean
a : ℤ
n : ℕ

⊢ (pred ∘ pred^[n]) a = a - ↑n - 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/Semigroup.lean
M : Type u_1
inst✝² : Semigroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r
s : Set M
snemp : s.Nonempty
s_compact : IsCompact s
s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s
M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }

⊢ ∃ m ∈ s, m * m = m
-- Mathlib/Topology/Algebra/Semigroup.lean
M : Type u_1
inst✝² : Semigroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r
s : Set M
snemp : s.Nonempty
s_compact : IsCompact s
s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s
M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }
this : Semigroup M' := Semigroup.mk ⋯

⊢ ∃ m ∈ s, m * m = m
-- Mathlib/Topology/Algebra/Semigroup.lean
M : Type u_1
inst✝² : Semigroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r
s : Set M
snemp : s.Nonempty
s_compact : IsCompact s
s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s
M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }
this✝ : Semigroup M' := Semigroup.mk ⋯
this : CompactSpace M'

⊢ ∃ m ∈ s, m * m = m
-- Mathlib/Topology/Algebra/Semigroup.lean
M : Type u_1
inst✝² : Semigroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r
s : Set M
snemp : s.Nonempty
s_compact : IsCompact s
s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s
M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }
this✝¹ : Semigroup M' := Semigroup.mk ⋯
this✝ : CompactSpace M'
this : Nonempty M'

⊢ ∃ m ∈ s, m * m = m
-- Mathlib/Topology/Algebra/Semigroup.lean
M : Type u_1
inst✝² : Semigroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r
s : Set M
snemp : s.Nonempty
s_compact : IsCompact s
s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s
M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }
this✝² : Semigroup M' := Semigroup.mk ⋯
this✝¹ : CompactSpace M'
this✝ : Nonempty M'
this : ∀ (p : M'), Continuous fun x => x * p

⊢ ∃ m ∈ s, m * m = m
-- Mathlib/Topology/Algebra/Semigroup.lean
M : Type u_1
inst✝² : Semigroup M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : T2Space M
continuous_mul_left : ∀ (r : M), Continuous fun x => x * r
s : Set M
snemp : s.Nonempty
s_compact : IsCompact s
s_add : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x * y ∈ s
M' : Type u_1 := { m // m ∈ s }
this✝² : Semigroup M' := Semigroup.mk ⋯
this✝¹ : CompactSpace M'
this✝ : Nonempty M'
this : ∀ (p : M'), Continuous fun x => x * p
m : M
hm : m ∈ s
idem : ⟨m, hm⟩ * ⟨m, hm⟩ = ⟨m, hm⟩

⊢ ∃ m ∈ s, m * m = m
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero α
a✝ b : α
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
a : α

⊢ (a ^ m ∈ Set.range fun x => x ^ n) ↔ a ∈ Set.range fun x => x ^ n
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero α
a✝ b : α
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
a : α

⊢ (∃ y c, y = c ^ m ∧ a = c ^ n) ↔ ∃ y, y ^ n = a
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive

⊢ gaussSum χ ψ ^ 2 = χ (-1) * ↑(Fintype.card R)
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive

⊢ gaussSum χ ψ * gaussSum χ ψ = gaussSum χ ψ * (gaussSum χ ψ⁻¹ * χ (-1))
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive

⊢ gaussSum χ ψ = gaussSum χ ψ⁻¹ * χ (-1)
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ₁ : χ ≠ 1
hχ₂ : χ.IsQuadratic
ψ : AddChar R R'
hψ : ψ.IsPrimitive

⊢ χ ↑(-1) * gaussSum χ (ψ.mulShift ↑(-1)) = χ (-1) * gaussSum χ (ψ.mulShift (-1))
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)

⊢ Homotopic p q → Path.Homotopic (toLoop i p) (toLoop i q)
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t : ↑I × ↑I

⊢ (homotopyTo i H) t ∈ Ω^ { j // j ≠ i } X x
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)

⊢ Continuous fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)

⊢ ∀ (x_1 : ↑I), { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2 }.toFun (0, x_1) = (toLoop i p).toContinuousMap x_1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)

⊢ ∀ (x_1 : ↑I), { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2 }.toFun (1, x_1) = (toLoop i q).toContinuousMap x_1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)

⊢ ∀ (t x_1 : ↑I), x_1 ∈ {0, 1} → { toFun := fun x_2 => { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ?refine_2, map_zero_left := ?refine_3, map_one_left := ?refine_4 }.toFun (t, x_2), continuous_toFun := ⋯ } x_1 = (toLoop i p).toContinuousMap x_1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)

⊢ ∀ (x_1 : ↑I), { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }.toFun (0, x_1) = (toLoop i p).toContinuousMap x_1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)

⊢ ∀ (x_1 : ↑I), { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯ }.toFun (1, x_1) = (toLoop i q).toContinuousMap x_1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)

⊢ ∀ (t x_1 : ↑I), x_1 ∈ {0, 1} → { toFun := fun x_2 => { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ?refine_3, map_one_left := ?refine_4 }.toFun (t, x_2), continuous_toFun := ⋯ } x_1 = (toLoop i p).toContinuousMap x_1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
x✝ : ↑I
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I

⊢ H ((0, x✝).1, (Cube.insertAt i) ((0, x✝).2, y✝)) = p ((Cube.insertAt i) (x✝, y✝))
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
x✝ : ↑I
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I

⊢ H ((1, x✝).1, (Cube.insertAt i) ((1, x✝).2, y✝)) = q ((Cube.insertAt i) (x✝, y✝))
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)

⊢ ∀ (t x_1 : ↑I), x_1 ∈ {0, 1} → { toFun := fun x_2 => { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ⋯, map_one_left := ⋯ }.toFun (t, x_2), continuous_toFun := ⋯ } x_1 = (toLoop i p).toContinuousMap x_1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t y : ↑I
yH : y ∈ {0, 1}
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I

⊢ ({ toFun := fun x_1 => { toFun := fun t => ⟨(homotopyTo i H) t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ⋯, map_one_left := ⋯ }.toFun (t, x_1), continuous_toFun := ⋯ } y) y✝ = ((toLoop i p).toContinuousMap y) y✝
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t y : ↑I
yH : y ∈ {0, 1}
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I

⊢ H ((t, y).1, (Cube.insertAt i) ((t, y).2, y✝)) = ((toLoop i p).toContinuousMap y) y✝
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t y : ↑I
yH : y ∈ {0, 1}
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I

⊢ (Cube.insertAt i) ((t, y).2, y✝) ∈ Cube.boundary N
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t y : ↑I
yH : y ∈ {0, 1}
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I

⊢ (Cube.insertAt i) ((t, y).2, y✝) i = 0 ∨ (Cube.insertAt i) ((t, y).2, y✝) i = 1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p q : ↑(Ω^ N X x)
H : (↑p).HomotopyRel (↑q) (Cube.boundary N)
t y : ↑I
yH : y ∈ {0, 1}
y✝ : { j // j ≠ i } → ↑I

⊢ ((t, y).2, y✝).1 = 0 ∨ ((t, y).2, y✝).1 = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : Countable ι
f✝ g✝ : α → β
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f g : α → β
hf : StronglyMeasurable f
hg : StronglyMeasurable g
this✝¹ : MeasurableSpace (β × β) := borel (β × β)
this✝ : BorelSpace (β × β)

⊢ MeasurableSet {a | f a < g a}
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
a b c : EReal

⊢ a * (b * c⁻¹) = a * b * c⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
a x y : G

⊢ SemiconjBy a x⁻¹ y⁻¹ ↔ SemiconjBy a x y
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y : ↥S
z : N
H : f ↑y * z = 1

⊢ ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) h) y)⁻¹ = z
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
h : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y : ↥S
z : N
H : f ↑y * z = 1

⊢ ↑1 = f ↑y * z
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
γ : Type u_2
s : TopologicalSpace β
B₁ : Set (Set α)
B₂ : Set (Set β)
h₁ : IsTopologicalBasis B₁
h₂ : IsTopologicalBasis B₂
f₁ : γ → α
f₂ : γ → β

⊢ IsTopologicalBasis (image2 (fun x x_1 => f₁ ⁻¹' x ∩ f₂ ⁻¹' x_1) B₁ B₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : Cᵒᵖ ≌ Dᵒᵖ
X : C

⊢ e.functor.unop.map ((NatIso.unop e.unitIso).symm.hom.app X) ≫ (NatIso.unop e.counitIso).symm.hom.app (e.functor.unop.obj X) = 𝟙 (e.functor.unop.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
e : Cᵒᵖ ≌ Dᵒᵖ
X : C

⊢ (e.functor.unop.map ((NatIso.unop e.unitIso).symm.hom.app X) ≫ (NatIso.unop e.counitIso).symm.hom.app (e.functor.unop.obj X)).op = (𝟙 (e.functor.unop.obj X)).op
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ (b ∆ c) = a ⊓ (b ⊓ c ⊔ bᶜ ⊓ cᶜ) ⊔ (b ⊓ cᶜ ⊔ c ⊓ bᶜ) ⊓ aᶜ
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ⊓ (b ⊓ c ⊔ bᶜ ⊓ cᶜ) ⊔ (b ⊓ cᶜ ⊔ c ⊓ bᶜ) ⊓ aᶜ = a ⊓ b ⊓ c ⊔ a ⊓ bᶜ ⊓ cᶜ ⊔ b ⊓ cᶜ ⊓ aᶜ ⊔ c ⊓ bᶜ ⊓ aᶜ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ

⊢ ↑n.succ = succ ↑n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ

⊢ ↑n + 1 = succ ↑n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ

⊢ ↑n < ↑n + 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ

⊢ ↑n < ↑n.succ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ENat.lean
n : ℕ∞

⊢ 1 ≤ ↑n ↔ 1 ≤ n
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Basic.lean
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
h : Commute b a

⊢ ⅟b * a = ⅟b * (a * b * ⅟b)
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Basic.lean
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
h : Commute b a

⊢ ⅟b * (a * b * ⅟b) = ⅟b * (b * a * ⅟b)
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Basic.lean
α : Type u
inst✝¹ : Monoid α
a b : α
inst✝ : Invertible b
h : Commute b a

⊢ ⅟b * (b * a * ⅟b) = a * ⅟b
-- Mathlib/Order/Iterate.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f g : α → α
h : Commute f g
hf : StrictMono f
hg : Monotone g
x : α
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ f^[n] x ≤ g^[n] x ↔ f x ≤ g x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s t : Set α
hst : s ⊆ t

⊢ comap (fun x => (inclusion hst x.1, inclusion hst x.2)) (𝓤 ↑t) = 𝓤 ↑s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
s t : Set α
hst : s ⊆ t

⊢ comap ((fun q => (↑q.1, ↑q.2)) ∘ fun x => (inclusion hst x.1, inclusion hst x.2)) (𝓤 α) = comap (fun q => (↑q.1, ↑q.2)) (𝓤 α)
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a b c : α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
n : ℕ
h𝒜 : Set.Sized n ↑𝒜
s : Finset α
hs : s ∈ 𝒜

⊢ sᶜ.card = Fintype.card α - n
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
f : α → β

⊢ (bind 0 fun x => {f x}) = map f 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
s t : Multiset α
f✝ g : α → Multiset β
f : α → β

⊢ ∀ (a : α) (s : Multiset α), (s.bind fun x => {f x}) = map f s → ((a ::ₘ s).bind fun x => {f x}) = map f (a ::ₘ s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X✝ : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
E : Aᵒᵖ
π : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj E
X Y : C
f : X ⟶ X✝
g : Y ⟶ X
hf : S.arrows f

⊢ (fun Y f h => π.app (op { obj := Over.mk f, property := h })) Y (g ≫ f) ⋯ = (P ⋙ coyoneda.obj E).map g.op ((fun Y f h => π.app (op { obj := Over.mk f, property := h })) X f hf)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X✝ : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
E : Aᵒᵖ
π : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj E
X Y : C
f : X ⟶ X✝
g : Y ⟶ X
hf : S.arrows f

⊢ 𝟙 ((unop ((Functor.const S.arrows.categoryᵒᵖ).op.obj E)).obj (op { obj := Over.mk (g ≫ f), property := ⋯ })) ≫ (fun Y f h => π.app (op { obj := Over.mk f, property := h })) Y (g ≫ f) ⋯ = (P ⋙ coyoneda.obj E).map g.op ((fun Y f h => π.app (op { obj := Over.mk f, property := h })) X f hf)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X✝ : C
S : Sieve X✝
R : Presieve X✝
E : Aᵒᵖ
π : (S.arrows.diagram.op ⋙ P).cones.obj E
X Y : C
f : X ⟶ X✝
g : Y ⟶ X
hf : S.arrows f

⊢ 𝟙 (unop E) ≫ π.app (op { obj := Over.mk (g ≫ f), property := ⋯ }) = π.app (op { obj := Over.mk f, property := hf }) ≫ P.map g.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : { x // x.SieveCompatible }
f f' : S.arrows.categoryᵒᵖ
g : f ⟶ f'

⊢ (unop ((Functor.const S.arrows.categoryᵒᵖ).op.obj E)).map g ≫ (fun f => ↑x (unop f).obj.hom ⋯) f' = (fun f => ↑x (unop f).obj.hom ⋯) f ≫ (S.arrows.diagram.op ⋙ P).map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
A : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} A
J : GrothendieckTopology C
P : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
S : Sieve X
R : Presieve X
E : Aᵒᵖ
x : { x // x.SieveCompatible }
f f' : S.arrows.categoryᵒᵖ
g : f ⟶ f'

⊢ (unop ((Functor.const S.arrows.categoryᵒᵖ).op.obj E)).map g ≫ (fun f => ↑x (unop f).obj.hom ⋯) f' = ↑x (g.unop.left ≫ (unop f).obj.hom) ⋯