ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Support.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0
x : G
lx : IsLeftRegular x

⊢ (single x r * f).support = image (fun x_1 => x * x_1) f.support
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Support.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0
x : G
lx : IsLeftRegular x
y : G
hy : y ∈ image (fun x_1 => x * x_1) f.support

⊢ y ∈ (single x r * f).support
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Support.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
inst✝² : Semiring k
inst✝¹ : DecidableEq G
inst✝ : Mul G
f : MonoidAlgebra k G
r : k
hr : ∀ (y : k), r * y = 0 ↔ y = 0
x : G
lx : IsLeftRegular x
y : G
yf : y ∈ f.support
hy : x * y ∈ image (fun x_1 => x * x_1) f.support

⊢ x * y ∈ (single x r * f).support
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char
c : Char
x✝ : Substring
h : ValidFor l m r x✝

⊢ x✝.contains c = true ↔ c ∈ m
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
𝔹 : Type u_3
inst✝⁷ : RCLike 𝕂
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝⁴ : NormedRing 𝔹
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕂 𝔹
inst✝² : CompleteSpace 𝔸
inst✝¹ : StarRing 𝔸
inst✝ : ContinuousStar 𝔸
x : 𝔸
h : x ∈ skewAdjoint 𝔸

⊢ exp 𝕂 x ∈ unitary 𝔸
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x : Z

⊢ ↑e.symm ⁻¹' (proj ⁻¹' e.baseSet) ∩ e.target = e.target
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
x : B × F
hx : x ∈ e.target

⊢ x ∈ ↑e.symm ⁻¹' (proj ⁻¹' e.baseSet)
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Trivialization.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
Z : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
proj : Z → B
e : Pretrivialization F proj
x✝ : Z
x : B × F
hx : x ∈ e.target

⊢ x.1 ∈ e.baseSet
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ y₁ L : A

⊢ (baseChange W B).toAffine.addY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = f ((baseChange W A).toAffine.addY x₁ x₂ y₁ L)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R✝ : Type u
inst✝¹¹ : CommRing R✝
W✝ : Affine R✝
R : Type r
inst✝¹⁰ : CommRing R
W : Affine R
S : Type s
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
x₁ x₂ y₁ L : A

⊢ (baseChange W B).toAffine.addY (f x₁) (f x₂) (f y₁) (f L) = (baseChange W B).toAffine.addY (f.toRingHom x₁) (f.toRingHom x₂) (f.toRingHom y₁) (f.toRingHom L)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Finite ι
q₁ q₂ : P
h : ∀ (i : ι), (b.coord i) q₁ = (b.coord i) q₂

⊢ q₁ = q₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Finite ι
q₁ q₂ : P
h : ∀ (i : ι), (b.coord i) q₁ = (b.coord i) q₂
val✝ : Fintype ι

⊢ q₁ = q₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
k : Type u_3
V : Type u_4
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : AffineSpace V P
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
s : Finset ι
i j : ι
e : ι ≃ ι'
inst✝ : Finite ι
q₁ q₂ : P
h : ∀ (i : ι), (b.coord i) q₁ = (b.coord i) q₂
val✝ : Fintype ι

⊢ ((Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) q₁) = (Finset.affineCombination k Finset.univ ⇑b) fun i => (b.coord i) q₂
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
t : ι → Set α
inst✝ : Countable ι
ht : ∀ (i : ι), (t i).Countable
this : ∀ (i : ι), Countable ↑(t i)

⊢ (⋃ i, t i).Countable
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
t : ι → Set α
inst✝ : Countable ι
ht : ∀ (i : ι), (t i).Countable
this : ∀ (i : ι), Countable ↑(t i)

⊢ (range fun a => ↑a.snd).Countable
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2

⊢ Nat.card α = 0 ↔ IsEmpty α ∨ Infinite α
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
a : α
ha : a ∈ s
b : α

⊢ b ∈ op a • ↑s ↔ b ∈ ↑s
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬p = 0

⊢ p = C p.content * p.primPart
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ x₁ x₂ y₁ y₂ : α
h : Disjoint (Ico x₁ x₂) (Ico y₁ y₂)
hx : x₁ < x₂
h2 : x₂ ∈ Ico y₁ y₂

⊢ y₁ = x₂
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ x₁ x₂ y₁ y₂ : α
h : x₂ ≤ x₁ ∨ x₂ ≤ y₁
hx : x₁ < x₂
h2 : x₂ ∈ Ico y₁ y₂

⊢ y₁ = x₂
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Disjoint.lean
ι : Sort u
α : Type v
β : Type w
inst✝ : LinearOrder α
a₁ a₂ b₁ b₂ x₁ x₂ y₁ y₂ : α
h : x₂ ≤ x₁ ∨ x₂ ≤ y₁
hx : x₁ < x₂
h2 : x₂ ∈ Ico y₁ y₂

⊢ x₂ ≤ y₁
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R

⊢ -1 = 1 ↔ ringChar R = 2
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
h : -1 = 1

⊢ ringChar R = 2
-- Mathlib/Algebra/CharP/Two.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Nontrivial R
h : ↑(1 + 1) = 0

⊢ ringChar R = 2
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
t : R
ht : t ∈ Set.Icc 0 1
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z

⊢ (lineMap x z) t ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
ht : 0 ∈ Set.Icc 0 1
hyx : (lineMap x z) 0 ≠ x
hyz : (lineMap x z) 0 ≠ z

⊢ (lineMap x z) 0 ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
ht : 1 ∈ Set.Icc 0 1
hyx : (lineMap x z) 1 ≠ x
hyz : (lineMap x z) 1 ≠ z

⊢ (lineMap x z) 1 ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x z : P
t : R
ht : t ∈ Set.Icc 0 1
hyx : (lineMap x z) t ≠ x
hyz : (lineMap x z) t ≠ z
ho : t ∈ Set.Ioo 0 1

⊢ (lineMap x z) t ∈ ⇑(lineMap x z) '' Set.Ioo 0 1
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
φ : M →[L] N
S : L.Substructure M
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → N
hx : ∀ (i : Fin n), x i ∈ ⇑φ '' ↑S

⊢ φ (funMap f fun i => Classical.choose ⋯) = funMap f x
-- Mathlib/ModelTheory/Substructures.lean
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S✝ : L.Substructure M
s : Set M
φ : M →[L] N
S : L.Substructure M
n : ℕ
f : L.Functions n
x : Fin n → N
hx : ∀ (i : Fin n), x i ∈ ⇑φ '' ↑S

⊢ funMap f (⇑φ ∘ fun i => Classical.choose ⋯) = funMap f x
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : DiscreteTopology α
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α → β
h : ∀ (b : β), IsOpen (f ⁻¹' {b})
s : Set β
x✝ : IsOpen s

⊢ IsOpen (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/Order.lean
α : Type u_1
t t₁ t₂ : TopologicalSpace α
s✝ : Set α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : DiscreteTopology α
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : DiscreteTopology β
f : α → β
h : ∀ (b : β), IsOpen (f ⁻¹' {b})
s : Set β
x✝ : IsOpen s

⊢ IsOpen (⋃ i ∈ s, f ⁻¹' {i})
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
b0 : 0 < b
c0 : 0 < c
h : a * c = b * d

⊢ a = b ∧ c = d
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd : c ≤ d
b0 : 0 < b
c0 : 0 < c
h : a * c = b * d

⊢ ¬a < b ∧ ¬c < d
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab✝ : a ≤ b
hcd : c ≤ d
b0 : 0 < b
c0 : 0 < c
h : a * c = b * d
hab : a < b

⊢ a * c < b * d
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
inst✝ : MulPosStrictMono α
hab : a ≤ b
hcd✝ : c ≤ d
b0 : 0 < b
c0 : 0 < c
h : a * c = b * d
hcd : c < d

⊢ a * c < b * d
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R

⊢ (s.sum f).totalDegree ≤ s.sup fun i => (f i).totalDegree
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
f : ι → MvPolynomial σ R

⊢ (∅.sum f).totalDegree ≤ ∅.sup fun i => (f i).totalDegree
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
f : ι → MvPolynomial σ R
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
hind : (s.sum f).totalDegree ≤ s.sup fun i => (f i).totalDegree

⊢ ((Finset.cons a s has).sum f).totalDegree ≤ (Finset.cons a s has).sup fun i => (f i).totalDegree
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : StrongRankCondition R
pb : PowerBasis R S

⊢ FiniteDimensional.finrank R S = pb.dim
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M

⊢ b.repr.symm (Finsupp.single i c) = b.repr.symm (c • Finsupp.single i 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M

⊢ b.repr.symm (c • Finsupp.single i 1) = c • b i
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α

⊢ p.toOuterMeasure s = 0 ↔ Disjoint p.support s
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α

⊢ (∀ (i : α), s.indicator (⇑p) i = 0) ↔ Disjoint p.support s
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a b : α
a' b' : β
h : ∀ {o : Ordering}, o.Compares a b → o.Compares a' b'
o : Ordering
ho : o.Compares a' b'

⊢ o.Compares a b
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a b : α
a' b' : β
h : ∀ {o : Ordering}, o.Compares a b → o.Compares a' b'
o : Ordering
ho : o.Compares a' b'
hab : a < b

⊢ o.Compares a b
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a b : α
a' b' : β
h : ∀ {o : Ordering}, o.Compares a b → o.Compares a' b'
o : Ordering
ho : o.Compares a' b'
hab : a = b ∨ b < a

⊢ o.Compares a b
-- Mathlib/Analysis/Convex/Star.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
x y✝ z : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 x s
f : E →ₗ[𝕜] F
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ a • f x + b • f y ∈ ⇑f '' s
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Interval.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (α i)
inst✝¹ : (i : ι) → CanonicallyOrderedAddCommMonoid (α i)
inst✝ : (i : ι) → LocallyFiniteOrder (α i)
f : Π₀ (i : ι), α i

⊢ (Iio f).card = ∏ i ∈ f.support, (Iic (f i)).card - 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Field R
p✝ q p : R[X]
hq : q.Monic

⊢ p /ₘ q = C q.leadingCoeff⁻¹ * (p /ₘ (q * C q.leadingCoeff⁻¹))
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W Y Y
α : SmallHom W X Y

⊢ (equiv W W.Q) (α.comp (mk W (𝟙 Y))) = (equiv W W.Q) α
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNorm.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m : ℕ

⊢ padicNorm p ↑m = 1 ↔ ¬p ∣ m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
s : Submodule R M
h : 0 < Module.rank R ↥s
eq : s = ⊥

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
s : Submodule R M
h : 0 < 0
eq : s = ⊥

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
N n : ℕ

⊢ reflect N (X ^ n) = X ^ (revAt N) n
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
a b✝ c✝ : M
inst✝ : Mul M
h : IsMulCentral a
b c : M

⊢ a * (b * c) = b * (a * c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Nonneg/Field.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a : α
q : ℚ≥0

⊢ 0 ≤ ↑q
-- Mathlib/Algebra/Order/Nonneg/Field.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a : α
q : ℚ≥0

⊢ 0 ≤ ↑q.num / ↑q.den
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β α : Type u

⊢ #(Option α) = #α + 1
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
l₁ l₂ : List α

⊢ ⟦l₁⟧ - ⟦l₂⟧ = foldl erase ⋯ ⟦l₁⟧ ⟦l₂⟧
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
l₁ l₂ : List α

⊢ ↑(l₁.diff l₂) = foldl erase ⋯ ↑l₁ ↑l₂
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
l₁ l₂ : List α

⊢ ↑(List.foldl List.erase l₁ l₂) = foldl erase ⋯ ↑l₁ ↑l₂
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t✝ u : Multiset α
a b : α
s t : Multiset α
l₁ l₂ : List α

⊢ foldl erase ⋯ ↑l₁ ↑l₂ = ↑(List.foldl List.erase l₁ l₂)
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : Inducing f
s : Set X

⊢ 𝓝ˢ s = comap f (𝓝ˢ (f '' s))
-- Mathlib/Data/Nat/Digits.lean
n m d b : ℕ
hd : d ∈ (b + 1 + 1).digits m

⊢ d < b + 1 + 1
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))

⊢ Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ✝.toInteger - 1})
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s✝ t✝ : Set α
hf : Injective f
s t : Set α

⊢ f '' s ∆ t = (f '' s) ∆ (f '' t)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : P.k < s.re

⊢ mellin (fun x => P.f_modif x - P.f x + P.f₀) s = (1 / s) • P.f₀ + (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
s : ℂ
hs : P.k < s.re
h_re1 : -1 < (s - 1).re

⊢ mellin (fun x => P.f_modif x - P.f x + P.f₀) s = (1 / s) • P.f₀ + (P.ε / (↑P.k - s)) • P.g₀
-- Mathlib/Algebra/DualNumber.lean
R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }
a : A
ad : A[ε]

⊢ (lift fe) (MulOpposite.op a • ad) = (lift fe) ad * (↑fe).1 a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
v v' : V
p p' : P

⊢ dist (v +ᵥ p) (v' +ᵥ p') ≤ dist v v' + dist p p'
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t v w : V

⊢ (edge s t).Adj v w ↔ (v = s ∧ w = t ∨ v = t ∧ w = s) ∧ v ≠ w
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
a b c✝ : α
h : a ∣ b
c : α

⊢ a ∣ c * b
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
a b c✝ : α
h : a ∣ b
c : α

⊢ a ∣ b * c
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ

⊢ (↑P.parts.offDiag.attach).PairwiseDisjoint (SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ

⊢ (↑P.parts.offDiag.attach).Pairwise fun x y => ∀ ⦃a : Finset α × Finset α⦄, a.1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ a.2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts → ¬(a.1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ a.2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs✝ : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
hs : (s₁, s₂).1 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).2 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).1 ≠ (s₁, s₂).2
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht✝ : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
ht : (t₁, t₂).1 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).2 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).1 ≠ (t₁, t₂).2
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs✝ : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
hs : (s₁, s₂).1 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).2 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).1 ≠ (s₁, s₂).2
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht✝ : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
ht : (t₁, t₂).1 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).2 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).1 ≠ (t₁, t₂).2
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
a : α
ha : a ∈ (u, v).1

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs✝ : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
hs : (s₁, s₂).1 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).2 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).1 ≠ (s₁, s₂).2
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht✝ : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
ht : (t₁, t₂).1 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).2 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).1 ≠ (t₁, t₂).2
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
a : α
ha : a ∈ (u, v).1
b : α
hb : b ∈ (u, v).2

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : WfDvdMonoid R
x : R
hx₀ : x ≠ 0

⊢ Squarefree x ↔ ∀ (p : R), Irreducible p → ¬p * p ∣ x
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : WfDvdMonoid R
x : R
hx₀ : x ≠ 0
h : ∀ (p : R), Irreducible p → ¬p * p ∣ x
d : R
hd : d * d ∣ x
hdu : ¬IsUnit d

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : WfDvdMonoid R
x : R
hx₀ : x ≠ 0
h : ∀ (p : R), Irreducible p → ¬p * p ∣ x
d : R
hd : d * d ∣ x
hdu : ¬IsUnit d
hd₀ : d ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Squarefree/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommMonoidWithZero R
inst✝ : WfDvdMonoid R
x : R
hx₀ : x ≠ 0
h : ∀ (p : R), Irreducible p → ¬p * p ∣ x
d : R
hd : d * d ∣ x
hdu : ¬IsUnit d
hd₀ : d ≠ 0
p : R
irr : Irreducible p
dvd : p ∣ d

⊢ False