ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g u (f x) g'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hst : s ⊆ f ⁻¹' u

⊢ HasMFDerivWithinAt I I'' (g ∘ f) s x (g'.comp f')
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g u (f x) g'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hst : s ⊆ f ⁻¹' u

⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f)) (g'.comp f') (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g u (f x) g'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hst : s ⊆ f ⁻¹' u
A : HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) (g'.comp f') (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f)) (g'.comp f') (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hg : HasMFDerivWithinAt I' I'' g u (f x) g'
hf : HasMFDerivWithinAt I I' f s x f'
hst : s ⊆ f ⁻¹' u
A : HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) (g'.comp f') (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)

⊢ writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f) (↑(extChartAt I x) x) = (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Degree.lean
K : Type u
inst✝ : Field K

⊢ intDegree 0 = 0
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s✝ s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
s : Set ι

⊢ s.pi t ∩ sᶜ.pi t = univ.pi t
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : MulZeroClass α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : MulPosStrictMono α
inst✝ : MulPosReflectLT α
h : 0 < b

⊢ 0 < a * b ↔ 0 < a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C

⊢ (β_ X (Y ⊗ Z)).hom = (α_ X Y Z).inv ≫ (β_ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ≫ (α_ Y Z X).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C

⊢ (α_ X Y Z).hom ≫ (β_ X (Y ⊗ Z)).hom = (α_ X Y Z).hom ≫ (α_ X Y Z).inv ≫ (β_ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ≫ (α_ Y Z X).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : C

⊢ ((α_ X Y Z).hom ≫ (β_ X (Y ⊗ Z)).hom) ≫ (α_ Y Z X).hom = ((α_ X Y Z).hom ≫ (α_ X Y Z).inv ≫ (β_ X Y).hom ▷ Z ≫ (α_ Y X Z).hom ≫ Y ◁ (β_ X Z).hom ≫ (α_ Y Z X).inv) ≫ (α_ Y Z X).hom
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤

⊢ (μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal) = (μ.withDensity f).toSignedMeasure
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hfi : Integrable (fun x => (f x).toReal) μ

⊢ (μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal) = (μ.withDensity f).toSignedMeasure
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hfi : Integrable (fun x => (f x).toReal) μ
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity f)

⊢ (μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal) = (μ.withDensity f).toSignedMeasure
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hfi : Integrable (fun x => (f x).toReal) μ
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity f)
i : Set α
hi : MeasurableSet i

⊢ ↑(μ.withDensityᵥ fun x => (f x).toReal) i = ↑(μ.withDensity f).toSignedMeasure i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hfi : Integrable (fun x => (f x).toReal) μ
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity f)
i : Set α
hi : MeasurableSet i

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict i, f x < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hfi : Integrable (fun x => (f x).toReal) μ
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity f)
i : Set α
hi : MeasurableSet i

⊢ ∫⁻ (x : α) in i, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
f : α → ℝ≥0∞
hfm : AEMeasurable f μ
hf : ∫⁻ (x : α), f x ∂μ ≠ ⊤
hfi : Integrable (fun x => (f x).toReal) μ
this : IsFiniteMeasure (μ.withDensity f)
i : Set α
hi : MeasurableSet i

⊢ ∫⁻ (x : α) in i, f x ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α) in Set.univ, f x ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MonoidWithZero α

⊢ Quot.out 0 = 0
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : LocalRing R
h : I ≠ ⊤

⊢ ⨅ i, I ^ i = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : LocalRing R
h : I ≠ ⊤
x✝ : ℕ

⊢ I ^ x✝ = I ^ x✝ • ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : LocalRing R
h : I ≠ ⊤
x✝ : ℕ
i : R

⊢ i ∈ I ^ x✝ ↔ i ∈ I ^ x✝ • ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b✝ b : ℂ
c T : ℝ

⊢ ‖cexp (-b * (↑T + ↑c * I) ^ 2)‖ = rexp (-(b.re * T ^ 2 - 2 * b.im * c * T - b.re * c ^ 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b✝ b : ℂ
c T : ℝ

⊢ rexp (-((↑b.re + ↑b.im * I) * (↑T + ↑c * I) ^ 2).re) = rexp (-((↑b.re + ↑b.im * I).re * T ^ 2 - 2 * (↑b.re + ↑b.im * I).im * c * T - (↑b.re + ↑b.im * I).re * c ^ 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b✝ b : ℂ
c T : ℝ

⊢ rexp (-(b.re * ((T + (c * 0 - 0 * 1)) * (T + (c * 0 - 0 * 1)) - (0 + (c * 1 + 0 * 0)) * (0 + (c * 1 + 0 * 0))) - b.im * ((T + (c * 0 - 0 * 1)) * (0 + (c * 1 + 0 * 0)) + (0 + (c * 1 + 0 * 0)) * (T + (c * 0 - 0 * 1))))) = rexp (-(b.re * (T * T) - 2 * b.im * c * T - b.re * (c * c)))
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/SuperFactorial.lean
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

⊢ sf 4 * n = (∏ i ∈ range (2 * n), (2 * i + 1)!) ^ 2 * 2 ^ (2 * n) * (2 * n)!
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/SuperFactorial.lean
n✝ : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

⊢ (∏ i ∈ range (2 * n), (2 * i + 1)!) ^ 2 * 2 ^ (2 * n) * (2 * n)! = ((∏ i ∈ range (2 * n), (2 * i + 1)!) * 2 ^ n) ^ 2 * (2 * n)!
-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
R : Type u
inst✝⁶ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup Q
inst✝⁴ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
c : Set (ExtensionOf i f)
hchain : IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c
a : ExtensionOf i f
a_mem : a ∈ c
b : ExtensionOf i f
b_mem : b ∈ c
neq : (fun x => x.toLinearPMap) a ≠ (fun x => x.toLinearPMap) b

⊢ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun x => x.toLinearPMap) a) ((fun x => x.toLinearPMap) b) ∨ (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((fun x => x.toLinearPMap) b) ((fun x => x.toLinearPMap) a)
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s✝ s : Set α
t : Set β

⊢ latticeClosure (s ×ˢ t) = latticeClosure s ×ˢ latticeClosure t
-- Mathlib/Order/SupClosed.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : DistribLattice β
s✝ s : Set α
t : Set β

⊢ supClosure (infClosure (s ×ˢ t)) = supClosure (infClosure s) ×ˢ supClosure (infClosure t)
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
h : ∀ (x : α), ↑e x = ↑e' x
hsymm : ∀ (x : β), ↑e.symm x = ↑e'.symm x
hs : e.source = e'.source
A : ↑e = ↑e'
B : ↑e.symm = ↑e'.symm

⊢ e = e'
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
h : ∀ (x : α), ↑e x = ↑e' x
hsymm : ∀ (x : β), ↑e.symm x = ↑e'.symm x
hs : e.source = e'.source
A : ↑e = ↑e'
B : ↑e.symm = ↑e'.symm
I : ↑e '' e.source = e.target

⊢ e = e'
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e✝ : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
e e' : PartialEquiv α β
h : ∀ (x : α), ↑e x = ↑e' x
hsymm : ∀ (x : β), ↑e.symm x = ↑e'.symm x
hs : e.source = e'.source
A : ↑e = ↑e'
B : ↑e.symm = ↑e'.symm
I : ↑e '' e.source = e.target
I' : ↑e' '' e'.source = e'.target

⊢ e = e'
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
l m : List α
a : α
_H : ∀ (hl : m ≠ []), Chain r ↑m ↔ List.Chain r (m.getLast hl) m
hl✝ : m ++ [a] ≠ []

⊢ Chain r ↑(m ++ [a]) ↔ List.Chain r ((m ++ [a]).getLast hl✝) (m ++ [a])
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ ‖y‖ / (o.oangle x (x + y)).sin = ‖x + y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle x (x + y)).sign = 1

⊢ ‖y‖ / (o.oangle x (x + y)).sin = ‖x + y‖
-- Mathlib/LinearAlgebra/Isomorphisms.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
S✝ T✝ : Submodule R M
h : S✝ ≤ T✝
S T : Submodule R M
hST : T ≤ S

⊢ Nat.card ↥(map T.mkQ S) * Nat.card (M ⧸ S) = Nat.card (M ⧸ T)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
u : Set α := {x | x ∈ s ∧ f x ≠ 0}

⊢ IntegrableOn f t μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
u : Set α := {x | x ∈ s ∧ f x ≠ 0}
hu : IntegrableOn f u μ

⊢ IntegrableOn f t μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
u : Set α := {x | x ∈ s ∧ f x ≠ 0}
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := toMeasurable μ u
A : IntegrableOn f v μ
B : IntegrableOn f (t \ v) μ

⊢ IntegrableOn f t μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
u : Set α := {x | x ∈ s ∧ f x ≠ 0}
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := toMeasurable μ u
A : IntegrableOn f v μ
B : IntegrableOn f (t \ v) μ

⊢ t ⊆ v ∪ t \ v
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
hf : IntegrableOn f s μ
ht : NullMeasurableSet t μ
h't : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ t \ s → f x = 0
u : Set α := {x | x ∈ s ∧ f x ≠ 0}
hu : IntegrableOn f u μ
v : Set α := toMeasurable μ u
A : IntegrableOn f v μ
B : IntegrableOn f (t \ v) μ

⊢ t ⊆ v ∪ t
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIicTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b

⊢ ContinuousWithinAt f (Ioo a b) b ↔ ContinuousWithinAt f (Iio b) b
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
hx : x ∈ rootSpace H χ₁
hm : m ∈ weightSpace M χ₂

⊢ ⁅x, m⁆ ∈ weightSpace M (χ₁ + χ₂)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
hx : x ∈ rootSpace H χ₁
hm : m ∈ weightSpace M χ₂

⊢ ∀ (i : ↥H), ⁅x, m⁆ ∈ weightSpaceOf M ((χ₁ + χ₂) i) i
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
hx : x ∈ rootSpace H χ₁
hm : m ∈ weightSpace M χ₂
y : ↥H

⊢ ⁅x, m⁆ ∈ weightSpaceOf M ((χ₁ + χ₂) y) y
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
hm : m ∈ weightSpace M χ₂
y : ↥H
hx : x ∈ weightSpaceOf L (χ₁ y) y

⊢ ⁅x, m⁆ ∈ weightSpaceOf M ((χ₁ + χ₂) y) y
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ₁ χ₂ : ↥H → R
x : L
m : M
y : ↥H
hx : x ∈ weightSpaceOf L (χ₁ y) y
hm : m ∈ weightSpaceOf M (χ₂ y) y

⊢ ⁅x, m⁆ ∈ weightSpaceOf M ((χ₁ + χ₂) y) y
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u : XgcdType
hr : u.r ≠ 0

⊢ u.step.v = u.v.swap
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u : XgcdType
hr : u.r ≠ 0
ha : u.r + ↑u.b * u.q = ↑u.a := rq_eq u

⊢ u.step.v = u.v.swap
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u : XgcdType
hr✝ : u.r ≠ 0
ha : u.r + ↑u.b * u.q = ↑u.a := rq_eq u
hr : u.r - 1 + 1 = u.r := Eq.trans (add_comm (u.r - 1) 1) (add_tsub_cancel_of_le (Nat.pos_of_ne_zero hr✝))

⊢ u.step.v = u.v.swap
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α

⊢ univ.encard = s.encard
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : DecidableEq ι
a x : ι → ℝ

⊢ (x ∈ parallelepiped fun i => Pi.single i (a i)) ↔ x ∈ uIcc 0 a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/OfBasis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module ℝ F
inst✝ : DecidableEq ι
a x : ι → ℝ

⊢ (∃ t, (∀ (x : ι), 0 ≤ t x ∧ t x ≤ 1) ∧ x = t • a) ↔ ∀ (x_1 : ι), 0 ⊓ a x_1 ≤ x x_1 ∧ x x_1 ≤ 0 ⊔ a x_1
-- Mathlib/Data/Int/Lemmas.lean
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
ha : a ≤ 0
hb : 0 ≤ b

⊢ a.natAbs = b.natAbs ↔ -a = b
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hl' : l'.Nodup
hn : 2 ≤ l.length
hn' : 2 ≤ l'.length

⊢ l.formPerm.Disjoint l'.formPerm ↔ l.Disjoint l'
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
hl' : l'.Nodup
hn : 2 ≤ l.length
hn' : 2 ≤ l'.length

⊢ (∀ (x : α), l.formPerm x = x ∨ l'.formPerm x = x) ↔ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ l → a ∈ l' → False
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
a_ne_top : a ≠ ⊤

⊢ Continuous (uncurry Sub.sub ∘ fun x => (a, x))
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
a_ne_top : a ≠ ⊤
x : ℝ≥0∞

⊢ (a, x) ∈ {p | p ≠ (⊤, ⊤)}
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.104963}
a : (Quotient.out (succ o)).α

⊢ o < type fun x x_1 => x < x_1
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{?u.104963}
a : (Quotient.out (succ o)).α

⊢ o < succ o
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
a : (Quotient.out (succ o)).α

⊢ typein (fun x x_1 => x < x_1) a < succ o
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α

⊢ (∃ a, ↑a * y = x) ↔ ∃ a, y * x⁻¹ = ↑a⁻¹
-- Mathlib/GroupTheory/Coset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α

⊢ (∃ a, y * x⁻¹ = ↑a⁻¹) ↔ y * x⁻¹ ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Bounded.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : Tendsto f l (𝓝 1)
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : ℝ) in map (Norm.norm ∘ g) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x C

⊢ Tendsto (fun x => op (f x) (g x)) l (𝓝 1)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Bounded.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : Tendsto f l (𝓝 1)
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((Norm.norm ∘ g) a) C

⊢ Tendsto (fun x => op (f x) (g x)) l (𝓝 1)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Bounded.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
hf : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ < ε
op : E → F → G
A : ℝ
h_op : ∀ (x : E) (y : F), ‖op x y‖ ≤ A * ‖x‖ * ‖y‖
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((Norm.norm ∘ g) a) C

⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖op (f x) (g x)‖ < ε