ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly✝ : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i
c₁ : ℝ
left✝¹ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
hq_poly : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b' * x) x, (fun x => ‖deriv q x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖deriv q x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖deriv q x‖) x)

⊢ (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) =O[atTop] fun n => deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly✝ : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i
c₁ : ℝ
left✝¹ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
hq_poly : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b' * x) x, (fun x => ‖deriv q x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖deriv q x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖deriv q x‖) x)

⊢ ∃ c, ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖q ↑(r i x) - q (b i * ↑x)‖ ≤ c * ‖deriv q ↑x * (↑(r i x) - b i * ↑x)‖
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly✝ : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i
c₁ : ℝ
left✝¹ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
hq_poly : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b' * x) x, (fun x => ‖deriv q x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖deriv q x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖deriv q x‖) x)

⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖q ↑(r i x) - q (b i * ↑x)‖ ≤ c₂ * ‖deriv q ↑x * (↑(r i x) - b i * ↑x)‖
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly✝ : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i
c₁ : ℝ
left✝¹ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
hq_poly : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b' * x) x, (fun x => ‖deriv q x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖deriv q x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖deriv q x‖) x)
h_tendsto : Tendsto (fun x => b' * x) atTop atTop

⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖q ↑(r i x) - q (b i * ↑x)‖ ≤ c₂ * ‖deriv q ↑x * (↑(r i x) - b i * ↑x)‖
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α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly✝ : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i
c₁ : ℝ
left✝¹ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
hq_poly : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b' * x) x, (fun x => ‖deriv q x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖deriv q x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖deriv q x‖) x)
h_tendsto : Tendsto (fun x => b' * x) atTop atTop
n : ℕ
hn : ∀ u ∈ Set.Icc (b' * ↑n) ↑n, ‖deriv q u‖ ∈ Set.Icc (c₁ * ‖deriv q ↑n‖) (c₂ * ‖deriv q ↑n‖)
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
h_ge_n₀ : R.n₀ ≤ n
h_n_pos : 0 < n
h_bn : 1 < b' * ↑n

⊢ ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖ ≤ c₂ * ‖deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)‖
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly✝ : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i
c₁ : ℝ
left✝¹ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
hq_poly : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b' * x) x, (fun x => ‖deriv q x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖deriv q x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖deriv q x‖) x)
h_tendsto : Tendsto (fun x => b' * x) atTop atTop
n : ℕ
hn : ∀ u ∈ Set.Icc (b' * ↑n) ↑n, ‖deriv q u‖ ∈ Set.Icc (c₁ * ‖deriv q ↑n‖) (c₂ * ‖deriv q ↑n‖)
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
h_ge_n₀ : R.n₀ ≤ n
h_n_pos : 0 < n
h_bn : 1 < b' * ↑n

⊢ ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖ ≤ c₂ * ‖deriv q ↑n‖ * ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly✝ : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i
c₁ : ℝ
left✝¹ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
hq_poly : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b' * x) x, (fun x => ‖deriv q x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖deriv q x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖deriv q x‖) x)
h_tendsto : Tendsto (fun x => b' * x) atTop atTop
n : ℕ
hn : ∀ u ∈ Set.Icc (b' * ↑n) ↑n, ‖deriv q u‖ ∈ Set.Icc (c₁ * ‖deriv q ↑n‖) (c₂ * ‖deriv q ↑n‖)
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
h_ge_n₀ : R.n₀ ≤ n
h_n_pos : 0 < n
h_bn : 1 < b' * ↑n
z : ℝ
hz : z ∈ Set.Icc (b' * ↑n) ↑n

⊢ DifferentiableAt ℝ q z
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
q : ℝ → ℝ
hq_diff : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
hq_poly✝ : GrowsPolynomially fun x => ‖deriv q x‖
i : α
b' : ℝ := b (min_bi b) / 2
hb_pos : 0 < b'
hb_lt_one : b' < 1
hb : b' ∈ Set.Ioo 0 1
hb' : ∀ (i : α), b' ≤ b i
c₁ : ℝ
left✝¹ : c₁ > 0
c₂ : ℝ
left✝ : c₂ > 0
hq_poly : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (b' * x) x, (fun x => ‖deriv q x‖) u ∈ Set.Icc (c₁ * (fun x => ‖deriv q x‖) x) (c₂ * (fun x => ‖deriv q x‖) x)
h_tendsto : Tendsto (fun x => b' * x) atTop atTop
n : ℕ
hn : ∀ u ∈ Set.Icc (b' * ↑n) ↑n, ‖deriv q u‖ ∈ Set.Icc (c₁ * ‖deriv q ↑n‖) (c₂ * ‖deriv q ↑n‖)
h_bi_le_r : ∀ (i : α), b (min_bi b) / 2 * ↑n ≤ ↑(r i n)
h_ge_n₀ : R.n₀ ≤ n
h_n_pos : 0 < n
h_bn : 1 < b' * ↑n

⊢ b i * ↑n ∈ Set.Icc (b' * ↑n) ↑n
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Units.lean
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b : α
u : αˣ

⊢ a ∣ b * ↑u ↔ a ∣ b
-- Mathlib/Data/List/ReduceOption.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
x : α
l : List (Option α)

⊢ (some x :: l).reduceOption = x :: l.reduceOption
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p✝ : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
l : Filter β
b : ι → Set β
hl : l.HasBasis (fun x => True) b
u : β → Set α
p : β → Prop
x : α
hx : x ∈ blimsup u l p

⊢ ∃ f, ∀ (i : ι), x ∈ u (f i) ∧ p (f i) ∧ f i ∈ b i
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p✝ : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α
l : Filter β
b : ι → Set β
hl : l.HasBasis (fun x => True) b
u : β → Set α
p : β → Prop
x : α
hx : x ∈ blimsup u l p
f : ↑{i | True} → β
hf : ∀ (i : ↑{i | True}), x ∈ u (f i) ∧ p (f i) ∧ f i ∈ b ↑i

⊢ ∃ f, ∀ (i : ι), x ∈ u (f i) ∧ p (f i) ∧ f i ∈ b i
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α

⊢ ∀ {S : WSeq (WSeq α)}, a ∈ S.join → ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α

⊢ ∀ (ss : WSeq α), a ∈ ss → ∀ (s : WSeq α) (S : WSeq (WSeq α)), s.append S.join = ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss

⊢ ∀ (s : WSeq α) (S : WSeq (WSeq α)), s.append S.join = ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
ss✝ : WSeq α
h : a ∈ ss✝
b : α
ss : WSeq α
o : a = b ∨ ∀ (s : WSeq α) (S : WSeq (WSeq α)), s.append S.join = ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
s : WSeq α
S : WSeq (WSeq α)

⊢ s.append S.join = cons b ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
ss✝ : WSeq α
h : a ∈ ss✝
ss : WSeq α
IH : ∀ (s : WSeq α) (S : WSeq (WSeq α)), s.append S.join = ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
s : WSeq α
S : WSeq (WSeq α)

⊢ s.append S.join = ss.think → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y : ℝ≥0∞
hp : (x, y) ∈ {p | p ≠ (⊤, ⊤)}

⊢ ContinuousWithinAt (fun p => p.1 - p.2) {p | p ≠ (⊤, ⊤)} (x, y)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y✝ z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
x y : ℝ≥0∞
hp : ¬(x = ⊤ ∧ y = ⊤)

⊢ ContinuousWithinAt (fun p => p.1 - p.2) {p | p ≠ (⊤, ⊤)} (x, y)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
κ : ι → Type u_6
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : ((i : ι) → i ∈ univ → κ i) → β

⊢ ∏ x ∈ univ.pi t, f x = ∏ x ∈ Fintype.piFinset t, f fun a x_1 => x a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Nat.lean
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ

⊢ Even (∑ i ∈ s, f i) ↔ Even (filter (fun x => Odd (f x)) s).card
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Nat.lean
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ

⊢ (Even (∑ x ∈ filter (fun x => Even (f x)) s, f x) ↔ Even (∑ x ∈ filter (fun x => ¬Even (f x)) s, f x)) ↔ Even (filter (fun x => Odd (f x)) s).card
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Nat.lean
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ

⊢ Even (∑ x ∈ filter (fun x => ¬Even (f x)) s, f x) ↔ Even (filter (fun x => Odd (f x)) s).card
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Nat.lean
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ

⊢ (∑ a ∈ s, if ¬Even (f a) then f a % 2 else 0) % 2 = 0 ↔ Even (filter (fun x => Odd (f x)) s).card
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/Nat.lean
ι : Type u_1
s : Finset ι
f : ι → ℕ

⊢ (∑ x ∈ s, if Odd (f x) then 1 else 0) % 2 = 0 ↔ Even (filter (fun x => Odd (f x)) s).card
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsClosed t
f : Filter X
hnf : f.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter f
hstf : f ≤ 𝓟 (s ∩ t)

⊢ ∃ x ∈ s ∩ t, ClusterPt x f
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsClosed t
f : Filter X
hnf : f.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter f
hstf : f ≤ 𝓟 s ∧ f ≤ 𝓟 t

⊢ ∃ x ∈ s ∩ t, ClusterPt x f
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsClosed t
f : Filter X
hnf : f.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter f
hstf : f ≤ 𝓟 s ∧ f ≤ 𝓟 t
x : X
hsx : x ∈ s
hx : ClusterPt x f

⊢ ∃ x ∈ s ∩ t, ClusterPt x f
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
hs : IsLindelof s
ht : IsClosed t
f : Filter X
hnf : f.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter f
hstf : f ≤ 𝓟 s ∧ f ≤ 𝓟 t
x : X
hsx : x ∈ s
hx : ClusterPt x f
hxt : x ∈ t

⊢ ∃ x ∈ s ∩ t, ClusterPt x f
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : ℕ → E''

⊢ (∃ C, ∀ (x : ℕ), ‖f x‖ ≤ C * ‖1‖) ↔ ∃ C, ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ

⊢ log b n ≤ clog b n
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : b ≤ 1

⊢ log b n ≤ clog b n
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hb : 1 < b

⊢ log b n ≤ clog b n
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α

⊢ (uniformOfFintype α).toOuterMeasure s = ↑(Fintype.card ↑s) / ↑(Fintype.card α)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Uniform.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
s : Set α

⊢ ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ s) Finset.univ).card / ↑Finset.univ.card = ↑(Finset.filter (fun x => x ∈ s) Finset.univ).card / ↑(Fintype.card α)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set (Set α)

⊢ ⋃₀ ⋃ i, s i = ⋃ i, ⋃₀ s i
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₁'}
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁'p₂ : p₁' ≠ p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂

⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁' p₂ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₁'}
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁'p₂ : p₁' ≠ p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
hw : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₁'

⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁' p₂ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₁'}
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁'p₂ : p₁' ≠ p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
hw : Wbtw ℝ p₂ p₁' p₁

⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁' p₂ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₁' p₂ p₃ : P
h : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₁'}
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁'p₂ : p₁' ≠ p₂
hp₃p₂ : ¬p₃ = p₂
hw : Wbtw ℝ p₁' p₁ p₂

⊢ 2 • ∡ p₁ p₂ p₃ = 2 • ∡ p₁' p₂ p₃
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ s.ncard ≤ 1 ↔ ∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : autoParam s.Finite _auto✝

⊢ (∀ a ∈ s, ∀ b ∈ s, a = b) ↔ ∀ {a b : α}, a ∈ s → b ∈ s → a = b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
n : Type u_1
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
Q : QuadraticForm ℝ (n → ℝ)
hQ : (toMatrix' Q).PosDef

⊢ PosDef Q
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
n : Type u_1
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
Q : QuadraticForm ℝ (n → ℝ)
hQ : (toMatrix' Q).PosDef

⊢ (LinearMap.BilinMap.toQuadraticMap ((LinearMap.toMatrix₂' ℝ).invFun ((↑(LinearMap.toMatrix₂' ℝ)).toFun ((associatedHom ℝ) Q)))).PosDef
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I I' : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis' I R
hI' : M.Basis' I' R

⊢ ∃ x ∈ I' \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I I' : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
hI' : M.Basis I' (R ∩ M.E)

⊢ ∃ x ∈ I' \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hI' : M.Basis (B' ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)

⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hI' : M.Basis (B' ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'

⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hI' : M✶.Basis (M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E)) (M.E \ (R ∩ M.E))
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'

⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hI' : M✶.Basis (M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E)) (M.E \ (R ∩ M.E))
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'
hss : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) ⊆ M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)

⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hI' : M✶.Basis (M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E)) (M.E \ (R ∩ M.E))
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'
hss : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) ⊆ M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))

⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hI' : M✶.Basis (M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E)) (M.E \ (R ∩ M.E))
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'
hss : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) ⊆ M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))
h_eq : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) = M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)

⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
B : Set α
hI' : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'
hss : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) ⊆ M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))
h_eq : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) = M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)

⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J✝ X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
B : Set α
hI' : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'
hss : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) ⊆ M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))
h_eq : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) = M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
J : Set α
hJ : M.Basis J (B ∩ (R ∩ M.E))
hIJ : I ⊆ J

⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
B : Set α
hI' : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'
hss : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) ⊆ M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))
h_eq : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) = M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
hJ : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (B ∩ (R ∩ M.E))
hIJ : I ⊆ B ∩ (R ∩ M.E)

⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
B : Set α
hI' : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'
hss : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) ⊆ M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))
h_eq : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) = M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
hJ : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (B ∩ (R ∩ M.E))
hIJ : I ⊆ B ∩ (R ∩ M.E)
hIJ' : I ⊂ B ∩ (R ∩ M.E)

⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R I : Set α
hI : M.Indep I
hIY : I ⊆ R
hIn : ¬M.Basis I (R ∩ M.E)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
B : Set α
hI' : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (R ∩ M.E)
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
hBIB' : B ⊆ I ∪ B'
hss : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) ⊆ M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
hi : M✶.Indep (M.E \ (B ∪ R ∩ M.E))
h_eq : M.E \ (B' ∪ R ∩ M.E) = M.E \ (B ∪ R ∩ M.E)
hJ : M.Basis (B ∩ (R ∩ M.E)) (B ∩ (R ∩ M.E))
hIJ : I ⊆ B ∩ (R ∩ M.E)
hIJ' : I ⊂ B ∩ (R ∩ M.E)
e : α
he : e ∈ B ∩ (R ∩ M.E) ∧ e ∉ I

⊢ ∃ x ∈ (B' ∩ (R ∩ M.E)) \ I, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J X Y : Set α
M : Matroid α
R A : Set α
hAX : A ⊆ R
I : Set α
hI : M.Indep I
right✝ : I ⊆ R
hIA : I ⊆ A

⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ A}).Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J✝ X Y : Set α
M : Matroid α
R A : Set α
hAX : A ⊆ R
I : Set α
hI : M.Indep I
right✝ : I ⊆ R
hIA : I ⊆ A
J : Set α
hJ : M.Basis' J A
hIJ : I ⊆ J

⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ A}).Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J✝ X Y : Set α
M : Matroid α
R A : Set α
hAX : A ⊆ R
I : Set α
hI : M.Indep I
right✝ : I ⊆ R
hIA : I ⊆ A
J : Set α
hJ : M.Basis' J A
hIJ : I ⊆ J

⊢ J ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) Y ∧ I ⊆ Y ∧ Y ⊆ A}
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
R✝ I✝ J✝ X Y : Set α
M : Matroid α
R A : Set α
hAX : A ⊆ R
I : Set α
hI : M.Indep I
right✝ : I ⊆ R
hIA : I ⊆ A
J : Set α
hJ : M.Basis' J A
hIJ : I ⊆ J

⊢ ∀ ⦃y : Set α⦄, (fun I => M.Indep I ∧ I ⊆ R) y ∧ I ⊆ y ∧ y ⊆ A → J ⊆ y → J = y
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
ha : autoParam (p a) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝

⊢ cfc f a = (cfcHom ha) { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ }
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ (↑(π / 2) - θ).sin = θ.cos
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝ : ℝ

⊢ (↑(π / 2) - ↑x✝).sin = (↑x✝).cos
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K

⊢ ‖(canonicalEmbedding K) x‖₊ = Finset.univ.sup fun φ => ‖φ x‖₊
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q R : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
γ : Q ⟶ R
hR : Presheaf.IsSheaf J R

⊢ J.plusMap η ≫ J.plusLift γ hR = J.plusLift (η ≫ γ) hR