ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
h : m < n
h_not : ¬∃ j, ∃ (_ : j ∈ Set.Icc n m), u j ω ∈ s

⊢ (if ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s then sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) else m) = m
-- Mathlib/Probability/Process/HittingTime.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m✝ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder ι
u : ι → Ω → β
s : Set β
n i : ι
ω : Ω
m : ι
h : m < n
h_not : ¬∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s

⊢ (if ∃ j ∈ Set.Icc n m, u j ω ∈ s then sInf (Set.Icc n m ∩ {i | u i ω ∈ s}) else m) = m
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
f : α → β
l : Filter β

⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto f atTop l
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
Z X Y P : C
f : Z ⟶ X
g : Z ⟶ Y
inl : X ⟶ P
inr : Y ⟶ P
P' : C
inl' : X ⟶ P'
inr' : Y ⟶ P'
h : IsPushout f g inl inr
h' : IsPushout f g inl' inr'

⊢ inr' ≫ (isoIsPushout X Y h h').inv = inr
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
c : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α

⊢ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂c • μ = c * ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f

⊢ Memℒp f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν : Measure α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : MeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ
inst✝ : OpensMeasurableSpace X
f : X → E
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
this : Memℒp f ⊤ μ

⊢ Memℒp f p μ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ : Split C
F₁ : S₁.X ⟶ S₂.X
f₁ : (n : ℕ) → S₁.s.N n ⟶ S₂.s.N n
c₁ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₁.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n
F₂ : S₁.X ⟶ S₂.X
c₂ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₂.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n
h : ∀ (n : ℕ), { F := F₁, f := f₁, comm := c₁ }.f n = { F := F₂, f := f₁, comm := c₂ }.f n

⊢ { F := F₁, f := f₁, comm := c₁ } = { F := F₂, f := f₁, comm := c₂ }
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ : Split C
F₁ : S₁.X ⟶ S₂.X
f₁ : (n : ℕ) → S₁.s.N n ⟶ S₂.s.N n
c₁ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₁.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n
F₂ : S₁.X ⟶ S₂.X
c₂ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₂.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n
h : ∀ (n : ℕ), { F := F₁, f := f₁, comm := c₁ }.f n = { F := F₂, f := f₁, comm := c₂ }.f n

⊢ F₁ = F₂
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
S₁ S₂ : Split C
F₁ : S₁.X ⟶ S₂.X
f₁ : (n : ℕ) → S₁.s.N n ⟶ S₂.s.N n
c₁ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₁.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n
F₂ : S₁.X ⟶ S₂.X
c₂ : ∀ (n : ℕ), S₁.s.ι n ≫ F₂.app (op [n]) = f₁ n ≫ S₂.s.ι n
h : ∀ (n : ℕ), { F := F₁, f := f₁, comm := c₁ }.f n = { F := F₂, f := f₁, comm := c₂ }.f n

⊢ ∀ (n : ℕ), S₁.s.φ F₁ n = S₁.s.φ F₂ n
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U

⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ closure V ⊆ U ∧ IsCompact (closure V)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
L : Set X
L_compact : IsCompact L
L_closed : IsClosed L
KL : K ⊆ interior L
LU : L ⊆ U

⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ closure V ⊆ U ∧ IsCompact (closure V)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
L : Set X
L_compact : IsCompact L
L_closed : IsClosed L
KL : K ⊆ interior L
LU : L ⊆ U
A : closure (interior L) ⊆ L

⊢ ∃ V, IsOpen V ∧ K ⊆ V ∧ closure V ⊆ U ∧ IsCompact (closure V)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : LocallyCompactSpace X
inst✝ : RegularSpace X
K U : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U
L : Set X
L_compact : IsCompact L
L_closed : IsClosed L
KL : K ⊆ interior L
LU : L ⊆ U
A : closure (interior L) ⊆ L

⊢ IsCompact (closure (interior L))
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/DirichletLSeries.lean
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re

⊢ Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - χ ↑p * ↑p ^ (-s))⁻¹) atTop (𝓝 (L (fun n => χ ↑n) s))
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/DirichletLSeries.lean
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re

⊢ Tendsto (fun n => ∏ p ∈ n.primesBelow, (1 - χ ↑p * ↑p ^ (-s))⁻¹) atTop (𝓝 (∑' (n : ℕ), (dirichletSummandHom χ ⋯) n))
-- Mathlib/CategoryTheory/SmallObject/Construction.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
I : Type w
A B : I → C
f : (i : I) → A i ⟶ B i
S X Y Z : C
πX : X ⟶ S
πY : Y ⟶ S
φ : X ⟶ Y
inst✝² : HasColimitsOfShape (Discrete (FunctorObjIndex f πX)) C
inst✝¹ : HasColimitsOfShape (Discrete (FunctorObjIndex f πY)) C
inst✝ : HasPushout (functorObjTop f πX) (functorObjLeft f πX)
x : FunctorObjIndex f πX

⊢ f x.i ≫ Sigma.ι (functorObjTgtFamily f πX) x ≫ ρFunctorObj f πX = x.t ≫ ιFunctorObj f πX
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}

⊢ a + b ≤ max (max a b) ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
ha : ℵ₀ ≤ a

⊢ a + b ≤ max (max a b) ℵ₀
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
ha : a < ℵ₀

⊢ a + b ≤ max (max a b) ℵ₀
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Sort u_4
f : ι → ℝ≥0∞
a : ℝ≥0∞
h : a = ⊤ → ⨅ i, f i = 0 → ∃ i, f i = 0
h0 : a = 0 → Nonempty ι

⊢ ⨅ i, f i * a = (⨅ i, f i) * a
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
p : ℕ
inst✝⁶ : Fact (Nat.Prime p)
R : Type u₁
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : CharP R p
P : Type u₃
inst✝³ : CommSemiring P
inst✝² : CharP P p
inst✝¹ : PerfectRing P p
inst✝ : PerfectRing R p
f : ℕ → R
hf : ∀ (n : ℕ), f (n + 1) ^ p = f n
n✝ n : ℕ
ih : (⇑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n] (f 0) = f n

⊢ (⇑(frobeniusEquiv R p).symm)^[n.succ] (f 0) ^ p = f n.succ ^ p
-- Mathlib/Data/Matroid/IndepAxioms.lean
α : Type u_1
I✝ B X : Set α
inst✝ : DecidableEq α
E : Set α
Indep : Finset α → Prop
indep_empty : Indep ∅
indep_subset : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep J → I ⊆ J → Indep I
indep_aug : ∀ ⦃I J : Finset α⦄, Indep I → Indep J → I.card < J.card → ∃ e ∈ J, e ∉ I ∧ Indep (insert e I)
subset_ground : ∀ ⦃I : Finset α⦄, Indep I → ↑I ⊆ E
I : Set α

⊢ (IndepMatroid.ofFinset E Indep indep_empty indep_subset indep_aug subset_ground).Indep I ↔ ∀ (J : Finset α), ↑J ⊆ I → Indep J
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁴ : AddCommGroup F'
inst✝³ : Module 𝕜 F'
inst✝² : TopologicalSpace F'
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F'
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F'
l : E →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
hs₁ : IsOpen s
hs₂ : s.Nonempty
hs₃ : ∀ x ∈ s, l x ≠ 0

⊢ Continuous ⇑l
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁴ : AddCommGroup F'
inst✝³ : Module 𝕜 F'
inst✝² : TopologicalSpace F'
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F'
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F'
l : E →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
hs₁ : IsOpen s
hs₂ : s.Nonempty
hs₃ : ∀ x ∈ s, l x ≠ 0
hl : Dense ↑(ker l)

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁴ : AddCommGroup F'
inst✝³ : Module 𝕜 F'
inst✝² : TopologicalSpace F'
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F'
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F'
l : E →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
hs₁ : IsOpen s
hs₃ : ∀ x ∈ s, l x ≠ 0
hl : Dense ↑(ker l)
x : E
hx : x ∈ s

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u
hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁴ : AddCommGroup E
inst✝¹³ : Module 𝕜 E
inst✝¹² : TopologicalSpace E
inst✝¹¹ : TopologicalAddGroup E
inst✝¹⁰ : ContinuousSMul 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁹ : AddCommGroup F
inst✝⁸ : Module 𝕜 F
inst✝⁷ : TopologicalSpace F
inst✝⁶ : TopologicalAddGroup F
inst✝⁵ : ContinuousSMul 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁴ : AddCommGroup F'
inst✝³ : Module 𝕜 F'
inst✝² : TopologicalSpace F'
inst✝¹ : TopologicalAddGroup F'
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 F'
l : E →ₗ[𝕜] 𝕜
s : Set E
hs₁ : IsOpen s
hs₃ : ∀ x ∈ s, l x ≠ 0
hl : Dense ↑(ker l)
x : E
hx : x ∈ s
this : x ∈ interior (↑(ker l))ᶜ

⊢ False
-- Mathlib/Data/PEquiv.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β

⊢ f.trans f.symm = PEquiv.refl α ↔ ∀ (a : α), (f a).isSome = true
-- Mathlib/Data/PEquiv.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type x
f : α ≃. β

⊢ (∀ (x : α), x ∈ {a | (f a).isSome = true}) ↔ ∀ (a : α), (f a).isSome = true
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
h : ¬q = 0

⊢ (p * q).natDegree = (q * p).natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p q✝ r : R[X]
hp : p.Monic
q : R[X]
h : ¬q = 0

⊢ q.leadingCoeff * p.leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
a : α
h : a ∈ s

⊢ ∃ b, s.min = ↑b
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
a : α
h✝ : a ∈ s
b : α
h : s.inf WithTop.some = ↑b
right✝ : b ≤ a

⊢ ∃ b, s.min = ↑b
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j

⊢ f 0 ((ComplexShape.up ℕ).prev 0) ≫ Q.d ((ComplexShape.up ℕ).prev 0) 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j

⊢ ¬(ComplexShape.up ℕ).Rel ((ComplexShape.up ℕ).prev 0) 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f✝ g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
P Q : CochainComplex V ℕ
f : (i j : ℕ) → P.X i ⟶ Q.X j

⊢ ¬(ComplexShape.up ℕ).Rel 0 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
inst✝ : Module.Finite R M
v : ι → M
h : LinearIndependent R v

⊢ #ι < ℵ₀
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
inst✝ : Module.Finite R M
v : ι → M
h : LinearIndependent R v

⊢ lift.{?u.168006, w} #ι < lift.{?u.168006, w} ℵ₀
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
inst✝ : Module.Finite R M
v : ι → M
h : LinearIndependent R v

⊢ lift.{?u.168006, w} #ι ≤ ?b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
inst✝ : Module.Finite R M
v : ι → M
h : LinearIndependent R v

⊢ ?b < lift.{?u.168006, w} ℵ₀
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι✝ : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : StrongRankCondition R
ι : Type w
inst✝ : Module.Finite R M
v : ι → M
h : LinearIndependent R v

⊢ Cardinal.{max w ?u.168006}
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R

⊢ 1 ≤ star x ↔ 1 ≤ x
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology α
f : α × β → γ
x : α × β

⊢ ContinuousAt f x ↔ ContinuousAt (fun x_1 => f (x.1, x_1)) x.2
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁴ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : DiscreteTopology α
f : α × β → γ
x : α × β

⊢ ContinuousWithinAt f univ x ↔ ContinuousWithinAt (fun x_1 => f (x.1, x_1)) univ x.2
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g
ℱ : Filter X
z : Z
h : MapClusterPt z ℱ (g ∘ f)

⊢ ∃ x, (g ∘ f) x = z ∧ ClusterPt x ℱ
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g
ℱ : Filter X
z : Z
h : MapClusterPt z (map f ℱ) g

⊢ ∃ x, (g ∘ f) x = z ∧ ClusterPt x ℱ
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g
ℱ : Filter X
y : Y
hy : ClusterPt y (map f ℱ)
h : MapClusterPt (g y) (map f ℱ) g

⊢ ∃ x, (g ∘ f) x = g y ∧ ClusterPt x ℱ
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
hf : IsProperMap f
hg : IsProperMap g
ℱ : Filter X
x : X
hx : ClusterPt x ℱ
hy : ClusterPt (f x) (map f ℱ)
h : MapClusterPt (g (f x)) (map f ℱ) g

⊢ ∃ x_1, (g ∘ f) x_1 = g (f x) ∧ ClusterPt x_1 ℱ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
f : F[X]
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
eval_f : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = r i

⊢ f = (interpolate s v) r
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
f : F[X]
hvs : Set.InjOn v ↑s
degree_f_lt : f.degree < ↑s.card
eval_f : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = r i

⊢ ((interpolate s v) fun i => eval (v i) f) = (interpolate s v) r
-- Mathlib/Data/List/Join.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → List β

⊢ (∀ (l_1 : List β), l_1 ∈ map f l → l_1 = []) ↔ ∀ (x : α), x ∈ l → f x = []
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞

⊢ ⇑(mkMetric m) = ⇑(Measure.mkMetric m)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
adj : G ⊣ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ E
f : P ⟶ Q
hf : J.W f

⊢ J.W.inverseImage ((whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G) f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
adj : G ⊣ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ E
f : P ⟶ Q
hf : J.W f
this : F.IsRightAdjoint

⊢ J.W.inverseImage ((whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G) f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
adj : G ⊣ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ E
f : P ⟶ Q
hf : J.W f
this : F.IsRightAdjoint

⊢ J.W (((whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G).map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
adj : G ⊣ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ E
f : P ⟶ Q
hf : J.W f
this : F.IsRightAdjoint
R : Cᵒᵖ ⥤ D
hR : Presheaf.IsSheaf J R

⊢ Function.Bijective fun g => whiskerRight f G ≫ g
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
adj : G ⊣ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ E
f : P ⟶ Q
hf : J.W f
this : F.IsRightAdjoint
R : Cᵒᵖ ⥤ D
hR : Presheaf.IsSheaf J R

⊢ Function.Bijective (⇑((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv P R) ∘ fun g => whiskerRight f G ≫ g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Adjunction.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
inst✝ : HasWeakSheafify J D
adj : G ⊣ F
P Q : Cᵒᵖ ⥤ E
f : P ⟶ Q
hf : J.W f
this : F.IsRightAdjoint
R : Cᵒᵖ ⥤ D
hR : Presheaf.IsSheaf J R
e_1✝ : (Q ⋙ G ⟶ R) = (((whiskeringRight Cᵒᵖ E D).obj G).obj Q ⟶ R)
e_2✝ : (P ⟶ ((whiskeringRight Cᵒᵖ D E).obj F).obj R) = (P ⟶ R ⋙ F)

⊢ (⇑((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv P R) ∘ fun g => whiskerRight f G ≫ g) = ⇑(((Adjunction.whiskerRight Cᵒᵖ adj).homEquiv Q R).trans (Localization.LeftBousfield.W.homEquiv hf (R ⋙ F) ⋯))
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Hom.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
M : Submonoid R
B : Type w
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B

⊢ algebraMapSubmonoid A M ≤ Submonoid.comap f.toRingHom (algebraMapSubmonoid B M)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Hom.lean
R : Type u
A : Type v
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
M : Submonoid R
B : Type w
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B

⊢ algebraMapSubmonoid A M ≤ Submonoid.comap f.toRingHom (Submonoid.map f (algebraMapSubmonoid A M))
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
H✝ K H : Subgroup G
inst✝ : Nontrivial ↥H

⊢ ∃ x ∈ H, x ≠ 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_C : ∀ (a : R), M (C a)
h_add : ∀ {p q : R[T;T⁻¹]}, M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T ↑n) → M (C a * T (↑n + 1))
h_C_mul_T_Z : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T (-↑n)) → M (C a * T (-↑n - 1))
A : ∀ {n : ℤ} {a : R}, M (C a * T n)
B : ∀ (s : Finset ℤ), M (∑ n ∈ s, C (p.toFun n) * T n)
a : ℤ

⊢ p a = (∑ n ∈ p.support, C (p.toFun n) * T n) a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_C : ∀ (a : R), M (C a)
h_add : ∀ {p q : R[T;T⁻¹]}, M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T ↑n) → M (C a * T (↑n + 1))
h_C_mul_T_Z : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T (-↑n)) → M (C a * T (-↑n - 1))
A : ∀ {n : ℤ} {a : R}, M (C a * T n)
B : ∀ (s : Finset ℤ), M (∑ n ∈ s, C (p.toFun n) * T n)
a : ℤ

⊢ p a = (∑ x ∈ p.support, Finsupp.single x (p.toFun x)) a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_C : ∀ (a : R), M (C a)
h_add : ∀ {p q : R[T;T⁻¹]}, M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T ↑n) → M (C a * T (↑n + 1))
h_C_mul_T_Z : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T (-↑n)) → M (C a * T (-↑n - 1))
A : ∀ {n : ℤ} {a : R}, M (C a * T n)
B : ∀ (s : Finset ℤ), M (∑ n ∈ s, C (p.toFun n) * T n)
a : ℤ

⊢ p a = ∑ k ∈ p.support, (Finsupp.single k (p.toFun k)) a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
M : R[T;T⁻¹] → Prop
p : R[T;T⁻¹]
h_C : ∀ (a : R), M (C a)
h_add : ∀ {p q : R[T;T⁻¹]}, M p → M q → M (p + q)
h_C_mul_T : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T ↑n) → M (C a * T (↑n + 1))
h_C_mul_T_Z : ∀ (n : ℕ) (a : R), M (C a * T (-↑n)) → M (C a * T (-↑n - 1))
A : ∀ {n : ℤ} {a : R}, M (C a * T n)
B : ∀ (s : Finset ℤ), M (∑ n ∈ s, C (p.toFun n) * T n)
a : ℤ

⊢ p a = if a ∈ p.support then p.toFun a else 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : Integrable f μ
c : E

⊢ Integrable (fun x => ⟪f x, c⟫_𝕜) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L2Space.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
E : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
f : α → E
hf : Memℒp f 1 μ
c : E

⊢ Memℒp (fun x => ⟪f x, c⟫_𝕜) 1 μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S

⊢ ((λ_ P.X).inv ≫ R.one ▷ P.X ≫ coequalizer.π (R.mul ▷ P.X) ((α_ R.X R.X P.X).hom ≫ R.X ◁ P.actLeft)) ≫ coequalizer.desc P.actLeft ⋯ = 𝟙 P.X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝ : HasCoequalizers C
R S : Mon_ C
P : Bimod R S

⊢ (λ_ P.X).inv ≫ R.one ▷ P.X ≫ P.actLeft = 𝟙 P.X
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
_i : Fact (1 ≤ p)
F : ℕ → ↥(lp E p)
hF : CauchySeq F
f : ↥(lp E p)
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) atTop (𝓝 ↑f)

⊢ Tendsto F atTop (𝓝 f)