ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Product.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N

⊢ (↑(extChartAt J p.2) ∘ Prod.snd ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm) (↑(extChartAt (I.prod J) p) p) = (↑(extChartAt (I.prod J) p) p).2
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : ℕ → Set (β × γ)
hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf_disj : Pairwise (Disjoint on f)

⊢ κ.compProdFun η a (⋃ i, f i) = ∑' (i : ℕ), κ.compProdFun η a (f i)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : ℕ → Set (β × γ)
hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf_disj : Pairwise (Disjoint on f)
h_Union : (fun b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ ⋃ i, f i}) = fun b => (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i})

⊢ κ.compProdFun η a (⋃ i, f i) = ∑' (i : ℕ), κ.compProdFun η a (f i)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : ℕ → Set (β × γ)
hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf_disj : Pairwise (Disjoint on f)
h_Union : (fun b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ ⋃ i, f i}) = fun b => (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i})
h_tsum : (fun b => (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i})) = fun b => ∑' (i : ℕ), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ f i}

⊢ ∫⁻ (b : β), (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i}) ∂κ a = ∑' (i : ℕ), κ.compProdFun η a (f i)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : ℕ → Set (β × γ)
hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf_disj : Pairwise (Disjoint on f)
h_Union : (fun b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ ⋃ i, f i}) = fun b => (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i})
h_tsum : (fun b => (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i})) = fun b => ∑' (i : ℕ), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ f i}

⊢ ∑' (i : ℕ), ∫⁻ (a_1 : β), (η (a, a_1)) {c | (a_1, c) ∈ f i} ∂κ a = ∑' (i : ℕ), κ.compProdFun η a (f i)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
f : ℕ → Set (β × γ)
hf_meas : ∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)
hf_disj : Pairwise (Disjoint on f)
h_Union : (fun b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ ⋃ i, f i}) = fun b => (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i})
h_tsum : (fun b => (η (a, b)) (⋃ i, {c | (b, c) ∈ f i})) = fun b => ∑' (i : ℕ), (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ f i}

⊢ ∀ (i : ℕ), AEMeasurable (fun b => (η (a, b)) {c | (b, c) ∈ f i}) (κ a)
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
hx : (minpoly A x).degree = 1

⊢ x ∈ (algebraMap A B).range
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
hx : (minpoly A x).degree = 1
h : IsIntegral A x

⊢ x ∈ (algebraMap A B).range
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
hx : (minpoly A x).degree = 1
h : IsIntegral A x
key : (Polynomial.aeval x) (minpoly A x) = 0

⊢ x ∈ (algebraMap A B).range
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Ring B'
inst✝¹ : Algebra A B
inst✝ : Algebra A B'
x : B
hx : (minpoly A x).degree = 1
h : IsIntegral A x
key : x = (algebraMap A B) (-(minpoly A x).coeff 0)

⊢ x ∈ (algebraMap A B).range
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z✝ : ℤ
a : α
z : ℤ

⊢ z ≤ ⌊-a⌋ ↔ z ≤ -⌈a⌉
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U

⊢ ∃ F, (∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)) ∧ (∀ (n : ℕ), F n ⊆ U) ∧ ⋃ n, F n = U ∧ Monotone F
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U
a : ℝ≥0∞
a_pos : 0 < a
a_lt_one : a < 1

⊢ ∃ F, (∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)) ∧ (∀ (n : ℕ), F n ⊆ U) ∧ ⋃ n, F n = U ∧ Monotone F
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U
a : ℝ≥0∞
a_pos : 0 < a
a_lt_one : a < 1
F : ℕ → Set α := fun n => (fun x => infEdist x Uᶜ) ⁻¹' Ici (a ^ n)

⊢ ∃ F, (∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)) ∧ (∀ (n : ℕ), F n ⊆ U) ∧ ⋃ n, F n = U ∧ Monotone F
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U
a : ℝ≥0∞
a_pos : 0 < a
a_lt_one : a < 1
F : ℕ → Set α := fun n => (fun x => infEdist x Uᶜ) ⁻¹' Ici (a ^ n)
F_subset : ∀ (n : ℕ), F n ⊆ U

⊢ ∃ F, (∀ (n : ℕ), IsClosed (F n)) ∧ (∀ (n : ℕ), F n ⊆ U) ∧ ⋃ n, F n = U ∧ Monotone F
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U
a : ℝ≥0∞
a_pos : 0 < a
a_lt_one : a < 1
F : ℕ → Set α := fun n => (fun x => infEdist x Uᶜ) ⁻¹' Ici (a ^ n)
F_subset : ∀ (n : ℕ), F n ⊆ U

⊢ ⋃ n, F n = U
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U
a : ℝ≥0∞
a_pos : 0 < a
a_lt_one : a < 1
F : ℕ → Set α := fun n => (fun x => infEdist x Uᶜ) ⁻¹' Ici (a ^ n)
F_subset : ∀ (n : ℕ), F n ⊆ U

⊢ Monotone F
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U
a : ℝ≥0∞
a_pos : 0 < a
a_lt_one : a < 1
F : ℕ → Set α := fun n => (fun x => infEdist x Uᶜ) ⁻¹' Ici (a ^ n)
F_subset : ∀ (n : ℕ), F n ⊆ U
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
x : α
hx : x ∈ F m

⊢ x ∈ F n
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x✝ y : α
s t : Set α
Φ : α → β
U : Set α
hU : IsOpen U
a : ℝ≥0∞
a_pos : 0 < a
a_lt_one : a < 1
F : ℕ → Set α := fun n => (fun x => infEdist x Uᶜ) ⁻¹' Ici (a ^ n)
F_subset : ∀ (n : ℕ), F n ⊆ U
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
x : α
hx : a ^ m ≤ infEdist x Uᶜ

⊢ a ^ n ≤ infEdist x Uᶜ
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/FunctionsBoundedAtInfty.lean
f : ℍ → ℂ

⊢ (∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ im ⁻¹' Set.Ici ia, f x ∈ Metric.closedBall 0 ib) ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ A, ∀ (z : ℍ), A ≤ z.im → Complex.abs (f z) ≤ ε
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/FunctionsBoundedAtInfty.lean
f : ℍ → ℂ

⊢ (∀ (ib : ℝ), 0 < ib → ∃ ia, ∀ x ∈ im ⁻¹' Set.Ici ia, ‖f x‖ ≤ ib) ↔ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ A, ∀ (z : ℍ), A ≤ z.im → Complex.abs (f z) ≤ ε
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ n)
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ n)
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n

⊢ ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ m)
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
l : ℕ

⊢ ker (f ^ l) ≤ ker (f ^ m)
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
l : ℕ
h : m ≤ l

⊢ ker (f ^ l) ≤ ker (f ^ m)
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
l : ℕ
h : l < m

⊢ ker (f ^ l) ≤ ker (f ^ m)
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(b - a) j
εc : α
εc0 : εc > 0
ic : ℕ
hc : ∀ j ≥ ic, εc ≤ ↑(c - a) j

⊢ a < b ⊓ c
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(b - a) j
εc : α
εc0 : εc > 0
ic : ℕ
hc : ∀ j ≥ ic, εc ≤ ↑(c - a) j
i : ℕ
hi : i ≥ ib ⊔ ic

⊢ εb ⊓ εc ≤ ↑(b ⊓ c - a) i
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c : CauSeq α abs
εb : α
εb0 : εb > 0
ib : ℕ
hb : ∀ j ≥ ib, εb ≤ ↑(b - a) j
εc : α
εc0 : εc > 0
ic : ℕ
hc : ∀ j ≥ ic, εc ≤ ↑(c - a) j
i : ℕ
hi : i ≥ ib ⊔ ic
this : min εb εc ≤ min (↑(b - a) i) (↑(c - a) i)

⊢ εb ⊓ εc ≤ ↑(b ⊓ c - a) i
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : S

⊢ (x𝖣1) = 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜✝ : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E✝
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜✝
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α✝ → E✝
g : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
E : Type u_18
𝕜 : Type u_19
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedField 𝕜
u : α → E
v : α → 𝕜
l : Filter α
y : 𝕜
huv : u =o[l] v
hv : Tendsto v l (𝓝 y)

⊢ Tendsto u l (𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜✝ : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E✝
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜✝
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α✝ → E✝
g : α✝ → F
k : α✝ → G
f' : α✝ → E'
g' : α✝ → F'
k' : α✝ → G'
f'' : α✝ → E''
g'' : α✝ → F''
k'' : α✝ → G''
l✝ l' : Filter α✝
α : Type u_17
E : Type u_18
𝕜 : Type u_19
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedField 𝕜
u : α → E
v : α → 𝕜
l : Filter α
y : 𝕜
huv : u =o[l] v
hv : Tendsto v l (𝓝 y)

⊢ u =o[l] fun _x => 1
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i j k : ℤ

⊢ (i * j).gcd (i * k) = i.natAbs * j.gcd k
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
i j k : ℤ

⊢ (i.natAbs * j.natAbs).gcd (i.natAbs * k.natAbs) = i.natAbs * j.natAbs.gcd k.natAbs
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E✝ : Type u_1
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E✝
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace E✝
inst✝⁹ : BorelSpace E✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E✝
μ✝ : Measure E✝
inst✝⁷ : μ✝.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
s : Set E✝
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
x : E
r : ℝ
this : closedBall 0 r = (fun x_1 => x + x_1) ⁻¹' closedBall x r

⊢ μ (closedBall x r) = μ (closedBall 0 r)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f : Perm α
n : ℕ
x : α

⊢ f ((f ^ n) x) = (f ^ n) x ↔ f x = x
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
m n : ℕ

⊢ (fib m).gcd (fib (n + m)) = (fib m).gcd (fib n)
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
m : ℕ

⊢ (fib m).gcd (fib (0 + m)) = (fib m).gcd (fib 0)
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
m n : ℕ
h : n > 0

⊢ (fib m).gcd (fib (n + m)) = (fib m).gcd (fib n)
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
m n : ℕ
h : n.pred.succ = n

⊢ (fib m).gcd (fib (n + m)) = (fib m).gcd (fib n)
-- Mathlib/Data/Nat/Fib/Basic.lean
m n : ℕ
h : n.pred.succ = n

⊢ (fib m).gcd (fib (n.pred + 1 + m)) = (fib m).gcd (fib (n.pred + 1))
-- Mathlib/Order/Monotone/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
h₁ : MonotoneOn f (Iic a)
h₂ : MonotoneOn f (Ici a)

⊢ Monotone f
-- Mathlib/Order/Monotone/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
a : α
f : α → β
h₁ : MonotoneOn f (Iic a)
h₂ : MonotoneOn f (Ici a)

⊢ MonotoneOn f (Iic a ∪ Ici a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃

⊢ comp (Q₁.tmul (Q₂.tmul Q₃)) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃) = (Q₁.tmul Q₂).tmul Q₃
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃

⊢ (associatedHom R) (comp (Q₁.tmul (Q₂.tmul Q₃)) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃)) = (associatedHom R) ((Q₁.tmul Q₂).tmul Q₃)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₃
m₂' : M₁
m₁'' : M₂
m₂'' : M₃

⊢ (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) (comp (Q₁.tmul (Q₂.tmul Q₃)) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃))))) m₁) m₂) m₁'))) m₂') m₁'') m₂'' = (((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry ((associatedHom R) ((Q₁.tmul Q₂).tmul Q₃)))) m₁) m₂) m₁'))) m₂') m₁'') m₂''
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₃
m₂' : M₁
m₁'' : M₂
m₂'' : M₃

⊢ (((associatedHom R) (comp (Q₁.tmul (Q₂.tmul Q₃)) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃))) ((m₁ ⊗ₜ[R] m₂) ⊗ₜ[R] m₁')) ((m₂' ⊗ₜ[R] m₁'') ⊗ₜ[R] m₂'') = (((associatedHom R) ((Q₁.tmul Q₂).tmul Q₃)) ((m₁ ⊗ₜ[R] m₂) ⊗ₜ[R] m₁')) ((m₂' ⊗ₜ[R] m₁'') ⊗ₜ[R] m₂'')
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/TensorProduct/Isometries.lean
R : Type uR
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
M₃ : Type uM₃
M₄ : Type uM₄
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : AddCommGroup M₄
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : Module R M₄
inst✝ : Invertible 2
Q₁ : QuadraticForm R M₁
Q₂ : QuadraticForm R M₂
Q₃ : QuadraticForm R M₃
m₁ : M₁
m₂ : M₂
m₁' : M₃
m₂' : M₁
m₁'' : M₂
m₂'' : M₃

⊢ ((LinearMap.compl₁₂ ((associated Q₁).tmul ((associated Q₂).tmul (associated Q₃))) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃) ↑(TensorProduct.assoc R M₁ M₂ M₃)) ((m₁ ⊗ₜ[R] m₂) ⊗ₜ[R] m₁')) ((m₂' ⊗ₜ[R] m₁'') ⊗ₜ[R] m₂'') = ((((associated Q₁).tmul (associated Q₂)).tmul (associated Q₃)) ((m₁ ⊗ₜ[R] m₂) ⊗ₜ[R] m₁')) ((m₂' ⊗ₜ[R] m₁'') ⊗ₜ[R] m₂'')
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.53320, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.53324, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
e : F ≅ G
n : A

⊢ e.inv.hom n ≫ e.hom.hom n = 𝟙 (G.functor n)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n✝¹ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
n✝ : ℕ+
hi : n✝ ∈ {n}

⊢ ∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑n✝
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n✝¹ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
n✝ : ℕ+
hi : n✝ = n

⊢ ∃ r, IsPrimitiveRoot r ↑n✝
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n✝¹ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
n✝ : ℕ+
hi : n✝ = n

⊢ IsPrimitiveRoot ⟨ζ, ⋯⟩ ↑n✝
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : ↥(adjoin A {ζ})

⊢ x ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : ↥(adjoin A {ζ})
b : B
hb : b ∈ {ζ}

⊢ ⟨b, ⋯⟩ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x : ↥(adjoin A {ζ})
a : A

⊢ (algebraMap A ↥(adjoin A {ζ})) a ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x b₁ b₂ : ↥(adjoin A {ζ})
hb₁ : b₁ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
hb₂ : b₂ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}

⊢ b₁ + b₂ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Basic.lean
n✝ : ℕ+
S T : Set ℕ+
A : Type u
B : Type v
K : Type w
L : Type z
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
ζ : B
n : ℕ+
h : IsPrimitiveRoot ζ ↑n
x b₁ b₂ : ↥(adjoin A {ζ})
hb₁ : b₁ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}
hb₂ : b₂ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}

⊢ b₁ * b₂ ∈ adjoin A {b | ∃ n_1 ∈ {n}, b ^ ↑n_1 = 1}