ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfi : IntegrableOn f s μ
hg : StronglyMeasurable g
hgi : IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤

⊢ ∫ (x : α) in s, ‖g x‖ ∂μ ≤ ∫ (x : α) in s, ‖f x‖ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfi : IntegrableOn f s μ
hg : StronglyMeasurable g
hgi : IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤

⊢ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ g x}, g x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | g x ≤ 0}, g x ∂μ.restrict s ≤ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ.restrict s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfi : IntegrableOn f s μ
hg : StronglyMeasurable g
hgi : IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h_meas_nonneg_g : MeasurableSet {x | 0 ≤ g x}

⊢ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ g x}, g x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | g x ≤ 0}, g x ∂μ.restrict s ≤ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ.restrict s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfi : IntegrableOn f s μ
hg : StronglyMeasurable g
hgi : IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h_meas_nonneg_g : MeasurableSet {x | 0 ≤ g x}
h_meas_nonneg_f : MeasurableSet {x | 0 ≤ f x}

⊢ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ g x}, g x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | g x ≤ 0}, g x ∂μ.restrict s ≤ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ.restrict s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfi : IntegrableOn f s μ
hg : StronglyMeasurable g
hgi : IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h_meas_nonneg_g : MeasurableSet {x | 0 ≤ g x}
h_meas_nonneg_f : MeasurableSet {x | 0 ≤ f x}
h_meas_nonpos_g : MeasurableSet {x | g x ≤ 0}

⊢ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ g x}, g x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | g x ≤ 0}, g x ∂μ.restrict s ≤ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ.restrict s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfi : IntegrableOn f s μ
hg : StronglyMeasurable g
hgi : IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h_meas_nonneg_g : MeasurableSet {x | 0 ≤ g x}
h_meas_nonneg_f : MeasurableSet {x | 0 ≤ f x}
h_meas_nonpos_g : MeasurableSet {x | g x ≤ 0}
h_meas_nonpos_f : MeasurableSet {x | f x ≤ 0}

⊢ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ g x}, g x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | g x ≤ 0}, g x ∂μ.restrict s ≤ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ.restrict s - ∫ (x : α) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ.restrict s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfi : IntegrableOn f s μ
hg : StronglyMeasurable g
hgi : IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h_meas_nonneg_g : MeasurableSet {x | 0 ≤ g x}
h_meas_nonneg_f : MeasurableSet {x | 0 ≤ f x}
h_meas_nonpos_g : MeasurableSet {x | g x ≤ 0}
h_meas_nonpos_f : MeasurableSet {x | f x ≤ 0}

⊢ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ g x}, g x ∂μ.restrict s ≤ ∫ (x : α) in {x | 0 ≤ f x}, f x ∂μ.restrict s
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
s : Set α
hm : m ≤ m0
f g : α → ℝ
hf : StronglyMeasurable f
hfi : IntegrableOn f s μ
hg : StronglyMeasurable g
hgi : IntegrableOn g s μ
hgf : ∀ (t : Set α), MeasurableSet t → μ t < ⊤ → ∫ (x : α) in t, g x ∂μ = ∫ (x : α) in t, f x ∂μ
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
h_meas_nonneg_g : MeasurableSet {x | 0 ≤ g x}
h_meas_nonneg_f : MeasurableSet {x | 0 ≤ f x}
h_meas_nonpos_g : MeasurableSet {x | g x ≤ 0}
h_meas_nonpos_f : MeasurableSet {x | f x ≤ 0}

⊢ ∫ (x : α) in {x | f x ≤ 0}, f x ∂μ.restrict s ≤ ∫ (x : α) in {x | g x ≤ 0}, g x ∂μ.restrict s
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E ⊤)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
a : α

⊢ ‖f a‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E ⊤)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
a : α
this : Tendsto (fun k => ‖↑(F k) a‖) l (𝓝 ‖f a‖)

⊢ ‖f a‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E ⊤)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
a : α
this : Tendsto (fun k => ‖↑(F k) a‖) l (𝓝 ‖f a‖)

⊢ ∀ (x : ι), ‖F x‖ ≤ C → ‖↑(F x) a‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
ι : Type u_3
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
C : ℝ
F : ι → ↥(lp E ⊤)
hCF : ∀ᶠ (k : ι) in l, ‖F k‖ ≤ C
f : (a : α) → E a
hf : Tendsto (id fun i => ↑(F i)) l (𝓝 f)
a : α
this : Tendsto (fun k => ‖↑(F k) a‖) l (𝓝 ‖f a‖)
k : ι
hCFk : ‖F k‖ ≤ C

⊢ ‖↑(F k) a‖ ≤ C
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n : ℕ

⊢ n * n.succ.ascFactorial 0 = (n + 0) * n.ascFactorial 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
n k : ℕ

⊢ n * n.succ.ascFactorial (k + 1) = (n + (k + 1)) * n.ascFactorial (k + 1)
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable

⊢ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)) = F.submodule.toAddSubmonoid
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable

⊢ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)) ≤ F.submodule.toAddSubmonoid
-- Mathlib/RingTheory/Filtration.lean
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable

⊢ F.submodule.toAddSubmonoid ≤ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ⇑(single R i) '' ↑(F.N i))
-- Mathlib/Algebra/Exact.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁸ : AddGroup M
inst✝⁷ : AddGroup N
inst✝⁶ : AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂
inst✝³ : AddCommMonoid X₃
inst✝² : AddCommMonoid Y₁
inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂
inst✝ : AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃

⊢ Exact ⇑g₁₂ ⇑g₂₃
-- Mathlib/Algebra/Exact.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁸ : AddGroup M
inst✝⁷ : AddGroup N
inst✝⁶ : AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂
inst✝³ : AddCommMonoid X₃
inst✝² : AddCommMonoid Y₁
inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂
inst✝ : AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃
h₁₂ : ∀ (x : X₁), (g₁₂.comp ↑e₁) x = ((↑e₂).comp f₁₂) x

⊢ Exact ⇑g₁₂ ⇑g₂₃
-- Mathlib/Algebra/Exact.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁸ : AddGroup M
inst✝⁷ : AddGroup N
inst✝⁶ : AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂
inst✝³ : AddCommMonoid X₃
inst✝² : AddCommMonoid Y₁
inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂
inst✝ : AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃
h₁₂ : ∀ (x : X₁), (g₁₂.comp ↑e₁) x = ((↑e₂).comp f₁₂) x
h₂₃ : ∀ (x : X₂), (g₂₃.comp ↑e₂) x = ((↑e₃).comp f₂₃) x

⊢ Exact ⇑g₁₂ ⇑g₂₃
-- Mathlib/Algebra/Exact.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁸ : AddGroup M
inst✝⁷ : AddGroup N
inst✝⁶ : AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂
inst✝³ : AddCommMonoid X₃
inst✝² : AddCommMonoid Y₁
inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂
inst✝ : AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃
h₁₂ : ∀ (x : X₁), g₁₂ (e₁ x) = e₂ (f₁₂ x)
h₂₃ : ∀ (x : X₂), g₂₃ (e₂ x) = e₃ (f₂₃ x)

⊢ Exact ⇑g₁₂ ⇑g₂₃
-- Mathlib/Algebra/Exact.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁸ : AddGroup M
inst✝⁷ : AddGroup N
inst✝⁶ : AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂
inst✝³ : AddCommMonoid X₃
inst✝² : AddCommMonoid Y₁
inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂
inst✝ : AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃
h₁₂ : ∀ (x : X₁), g₁₂ (e₁ x) = e₂ (f₁₂ x)
h₂₃ : ∀ (x : X₂), g₂₃ (e₂ x) = e₃ (f₂₃ x)

⊢ ⇑g₂₃ ∘ ⇑g₁₂ = 0
-- Mathlib/Algebra/Exact.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
N : Type u_4
N' : Type u_5
P : Type u_6
P' : Type u_7
inst✝⁸ : AddGroup M
inst✝⁷ : AddGroup N
inst✝⁶ : AddGroup P
f : M →+ N
g : N →+ P
X₁ : Type u_8
X₂ : Type u_9
X₃ : Type u_10
Y₁ : Type u_11
Y₂ : Type u_12
Y₃ : Type u_13
inst✝⁵ : AddCommMonoid X₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid X₂
inst✝³ : AddCommMonoid X₃
inst✝² : AddCommMonoid Y₁
inst✝¹ : AddCommMonoid Y₂
inst✝ : AddCommMonoid Y₃
e₁ : X₁ ≃+ Y₁
e₂ : X₂ ≃+ Y₂
e₃ : X₃ ≃+ Y₃
f₁₂ : X₁ →+ X₂
f₂₃ : X₂ →+ X₃
g₁₂ : Y₁ →+ Y₂
g₂₃ : Y₂ →+ Y₃
comm₁₂ : g₁₂.comp ↑e₁ = (↑e₂).comp f₁₂
comm₂₃ : g₂₃.comp ↑e₂ = (↑e₃).comp f₂₃
H : Exact ⇑f₁₂ ⇑f₂₃
h₁₂ : ∀ (x : X₁), g₁₂ (e₁ x) = e₂ (f₁₂ x)
h₂₃ : ∀ (x : X₂), g₂₃ (e₂ x) = e₃ (f₂₃ x)

⊢ ∀ (y : Y₂), g₂₃ y = 0 → y ∈ Set.range ⇑g₁₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(Lp E 2 μ)
hg : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ

⊢ ⟪f, g⟫_𝕜 = ⟪↑((condexpL2 E 𝕜 hm) f), g⟫_𝕜
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : CompleteSpace E'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G'
inst✝ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
hm : m ≤ m0
f g : ↥(Lp E 2 μ)
hg : AEStronglyMeasurable' m (↑↑g) μ

⊢ ⟪f - ↑((orthogonalProjection (lpMeas E 𝕜 m 2 μ)) f), g⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f✝ : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y✝ z✝ : E
f : 𝕜 → β
x y z : 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 (Set.Icc x y) f
hz : z ∈ Set.Icc x y

⊢ f z ≤ max (f x) (f y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f✝ : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x✝ y✝ z✝ : E
f : 𝕜 → β
x y z : 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 [x-[𝕜]y] f
hz : z ∈ [x-[𝕜]y]

⊢ f z ≤ max (f x) (f y)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s s₁ s₂ : Set α
t : Finset α
a b : α
m n : ℕ

⊢ G.CliqueFreeOn ∅ n ↔ n ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ ‖f‖ = SimpleFunc.integral μ (SimpleFunc.map norm (toSimpleFunc f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal * ‖x‖ = ∑ x ∈ (toSimpleFunc f).range, (μ (↑(toSimpleFunc f) ⁻¹' {x})).toReal • ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ

⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : ‖f z - 1‖ = ‖z - 1‖

⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : ‖f z - 1‖ ^ 2 = ‖z - 1‖ ^ 2

⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : normSq (f z - 1) = normSq (z - 1)

⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : (f z - 1) * (starRingEnd ℂ) (f z - 1) = (z - 1) * (starRingEnd ℂ) (z - 1)

⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : (f z - 1) * ((starRingEnd ℂ) (f z) - (starRingEnd ℂ) 1) = (z - 1) * ((starRingEnd ℂ) z - (starRingEnd ℂ) 1)

⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : f z * (starRingEnd ℂ) (f z) - (starRingEnd ℂ) (f z) - (f z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1) = z * (starRingEnd ℂ) z - (starRingEnd ℂ) z - (z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1)

⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : ↑(‖z‖ ^ 2) - (starRingEnd ℂ) (f z) - (f z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1) = z * (starRingEnd ℂ) z - (starRingEnd ℂ) z - (z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1)

⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : ↑(‖z‖ ^ 2) - (starRingEnd ℂ) (f z) - (f z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1) = ↑(‖z‖ ^ 2) - (starRingEnd ℂ) z - (z * (starRingEnd ℂ) 1 - (starRingEnd ℂ) 1)

⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : (starRingEnd ℂ) (f z) + (f z - 1) = (starRingEnd ℂ) z + (z - 1)

⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
f : ℂ →ₗᵢ[ℝ] ℂ
h : f 1 = 1
z : ℂ
this : (starRingEnd ℂ) (f z) + f z = (starRingEnd ℂ) z + z

⊢ z + (starRingEnd ℂ) z = f z + (starRingEnd ℂ) (f z)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), s.indicator f a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ⨆ x, ((↑x).restrict s).lintegral μ ≤ ⨆ x, (↑x).lintegral μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
φ : α →ₛ ℝ≥0∞
hφ : ↑φ ≤ fun a => f a

⊢ ∃ i', ((↑⟨φ, hφ⟩).restrict s).lintegral μ ≤ (↑i').lintegral μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s
φ : α →ₛ ℝ≥0∞
hφ : ↑φ ≤ fun a => f a
x : α

⊢ ↑(φ.restrict s) x ≤ (fun a => s.indicator f a) x
-- Mathlib/Algebra/Homology/DerivedCategory/Ext.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasExt C
X Y Z T : C
n : ℕ
α : Ext X Y n
m : ℕ
β₁ β₂ : Ext Y Z m
p : ℕ
h : n + m = p
this : HasDerivedCategory C := HasDerivedCategory.standard C

⊢ (α.comp (β₁ + β₂) h).hom = (α.comp β₁ h + α.comp β₂ h).hom
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
j : α
hij : j ≠ i

⊢ ↑(lp.single p i a) j = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s✝ t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
inst✝ : Fintype δ
s : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ

⊢ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ ≤ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂Measure.pi μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s✝ t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x y : (i : δ) → π i
i : δ
inst✝ : Fintype δ
s : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ
h : IsEmpty ((i : δ) → π i)

⊢ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ ≤ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂Measure.pi μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Marginal.lean
δ : Type u_1
δ' : Type u_2
π : δ → Type u_3
inst✝³ : (x : δ) → MeasurableSpace (π x)
μ : (i : δ) → Measure (π i)
inst✝² : ∀ (i : δ), SigmaFinite (μ i)
inst✝¹ : DecidableEq δ
s✝ t : Finset δ
f✝ g✝ : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
x✝ y : (i : δ) → π i
i : δ
inst✝ : Fintype δ
s : Finset δ
f g : ((i : δ) → π i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hfg : ∫⋯∫⁻_s, f ∂μ ≤ ∫⋯∫⁻_s, g ∂μ
x : (i : δ) → π i

⊢ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), f x ∂Measure.pi μ ≤ ∫⁻ (x : (i : δ) → π i), g x ∂Measure.pi μ
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Group G✝
inst✝³ : TopologicalGroup G✝
inst✝² : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hconj : ∀ (x₀ : G), Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)

⊢ ContinuousInv G
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁴ : Group G✝
inst✝³ : TopologicalGroup G✝
inst✝² : TopologicalSpace α
f : α → G✝
s : Set α
x : α
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
hinv : Tendsto (fun x => x⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
hleft : ∀ (x₀ : G), 𝓝 x₀ = map (fun x => x₀ * x) (𝓝 1)
hconj : ∀ (x₀ : G), Tendsto (fun x => x₀ * x * x₀⁻¹) (𝓝 1) (𝓝 1)
x₀ : G

⊢ ContinuousAt (fun a => a⁻¹) x₀