ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeas E' 𝕜 m p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑↑f) s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑↑f x ∂μ = 0
g : α → E'
hg_sm : FinStronglyMeasurable g (μ.trim hm)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ↑↑↑f x = g x

⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn g s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Unique.lean
α : Type u_1
E' : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝⁵ : CompleteSpace E'
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E'
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
hm : m ≤ m0
f : ↥(lpMeas E' 𝕜 m p μ)
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑↑f) s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑↑f x ∂μ = 0
g : α → E'
hg_sm : FinStronglyMeasurable g (μ.trim hm)
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ↑↑↑f x = g x

⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, g x ∂μ = 0
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
σ : α → Type u_4
a : α
s : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (σ a)
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (σ a)

⊢ ((↑l₁).sigma fun a => ↑(l₂ a)) = ↑(l₁.sigma l₂)
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
σ : α → Type u_4
a : α
s : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (σ a)
l₁ : List α
l₂ : (a : α) → List (σ a)

⊢ ((↑l₁).bind fun a => map (Sigma.mk a) ↑(l₂ a)) = (↑l₁).bind fun a => ↑(List.map (Sigma.mk a) (l₂ a))
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f' : Y → X
h : Continuous f'
l_inv : LeftInverse f f'
r_inv : Function.RightInverse f f'
s : Set X
hs : IsClosed s

⊢ IsClosed (f '' s)
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f' : Y → X
h : Continuous f'
l_inv : LeftInverse f f'
r_inv : Function.RightInverse f f'
s : Set X
hs : IsClosed s

⊢ IsClosed (f' ⁻¹' s)
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r✝ r₁ r₂ : α → α → Prop
s✝ t : Set α
a b x✝ : α
f✝ : α → β
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
f : r ↪r s
x : Set α
y : Set β

⊢ ∀ ⦃a a' : α⦄, a ∈ x → a' ∈ x → (r a a' ↔ s (f a) (f a'))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Tilted.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
hf : Integrable (fun x => rexp (f x)) μ

⊢ (fun x => log ((μ.tilted f).rnDeriv μ x).toReal) =ᶠ[ae μ] fun x => f x - log (∫ (x : α), rexp (f x) ∂μ)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : PointClass F
a✝¹ : Fin 3 → F
hP : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝¹)
a✝ : Fin 3 → F
hQ : W.NonsingularLift (Quot.mk Setoid.r a✝)

⊢ W.NonsingularLift (W.addMap (Quot.mk Setoid.r a✝¹) (Quot.mk Setoid.r a✝))
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
l : List α
pa : ¬p a = true

⊢ a ∈ eraseP p l ↔ a ∈ l
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
a : α
l : List α
pa : ¬p a = true
al : a ∈ l

⊢ a ∈ eraseP p l
-- Mathlib/FieldTheory/Laurent.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R

⊢ R[X]⁰ ≤ Submonoid.comap { toFun := ⇑(taylor r), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } R[X]⁰
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring α
inst✝⁴ : LinearOrder α
a✝ b✝ c d : α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : MulPosStrictMono α
inst✝¹ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α

⊢ 2 * a * b ≤ a ^ 2 + b ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Basic.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
D₁ D₂ : LieDerivation R L L
y : L

⊢ ⁅x, ⁅D₁, D₂⁆⁆ y = (⁅⁅x, D₁⁆, D₂⁆ + ⁅D₁, ⁅x, D₂⁆⁆) y
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Intervals.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a : α
g f✝ : α → M
δ : Type u_3
inst✝ : CommGroup δ
f : ℕ → δ
m n : ℕ
h : m ≤ n

⊢ (∏ k ∈ Ico m n, f k) * ∏ k ∈ range m, f k = ∏ k ∈ range n, f k
-- Mathlib/Data/String/Lemmas.lean
n : ℕ
c : Char

⊢ (replicate n c).length = n
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
P X✝ Y Z : C
fst : P ⟶ X✝
snd : P ⟶ Y
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
s : Cone (cospan (𝟙 X) 0)

⊢ ∀ (j : WalkingCospan), (fun s => 0) s ≫ (PullbackCone.mk 0 0 ⋯).π.app j = s.π.app j
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d a b : ℤ

⊢ ↑a ∣ ↑b ↔ a ∣ b
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d a b : ℤ

⊢ a ∣ (↑b).re ∧ a ∣ (↑b).im ↔ a ∣ b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z

⊢ x ^ z⁻¹ ≤ y ↔ x ≤ y ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z

⊢ x ^ z⁻¹ ≤ y ^ 1 ↔ x ≤ y ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z

⊢ x ^ z⁻¹ ≤ y ^ (z * z⁻¹) ↔ x ≤ y ^ z
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Projections.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q n : ℕ

⊢ (P q ≫ P q).f n = (P q).f n
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b n : α
a_nonneg : 0 ≤ a
a_lt_n : a < n
b_nonneg : 0 ≤ b
b_lt_n : b < n

⊢ |a - b| < n
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b n : α
a_nonneg : 0 ≤ a
a_lt_n : a < n
b_nonneg : 0 ≤ b
b_lt_n : b < n

⊢ a < n + b ∧ b < n + a
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
p : Fin (n + 1)
a : α p
f : (i : Fin n) → α (p.succAbove i)
g : (j : Fin (n + 1)) → α j

⊢ g = p.insertNth a f ↔ g p = a ∧ p.removeNth g = f
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
a b : 𝒳
f : p.obj a ⟶ p.obj b
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ

⊢ f = p.map φ
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring S
f : R[X]
inst✝² : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝¹ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
inst✝ : Algebra R T
hx' : (aeval x) f = 0
h : IsAdjoinRoot S f

⊢ (liftHom x hx' h) h.root = x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasDerivAt (g n) (g' n y) y
hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n

⊢ Differentiable 𝕜 fun z => ∑' (n : α), g n z
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n
hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)) y

⊢ Differentiable 𝕜 fun z => ∑' (n : α), g n z
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n
hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasFDerivAt (g n) (ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n y)) y

⊢ ∀ (n : α) (x : 𝕜), ‖ContinuousLinearMap.smulRight 1 (g' n x)‖ ≤ u n
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y

⊢ map (⇑h) (cocompact X) = cocompact Y
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

⊢ toIocDiv hp a (p + b) = toIocDiv hp a b + 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Yoneda.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
F : C ⥤ Type v₁
hF : F.Corepresentable
X : C
f : F.coreprX ⟶ X

⊢ (F.coreprW.app X).hom f = F.map f F.coreprx
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s✝ t : Set α
s : Finset α

⊢ p.toOuterMeasure ↑s = ∑ x ∈ s, p x
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s✝ t : Set α
s : Finset α

⊢ ∀ b ∉ s, (↑s).indicator (⇑p) b = 0
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s✝ t : Set α
s : Finset α

⊢ ∑ b ∈ s, (↑s).indicator (⇑p) b = ∑ x ∈ s, p x
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I

⊢ Pairwise (IsCoprime on fun i => s ↑i) ↔ ∀ i ∈ t, IsCoprime (s i) (∏ j ∈ t \ {i}, s j)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
hp : Pairwise (IsCoprime on fun i => s ↑i)
i : I
hi : i ∈ t
j : I
hj : j ∈ t \ {i}

⊢ IsCoprime (s i) (s j)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
R : Type u
I : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
hp : ∀ i ∈ t, IsCoprime (s i) (∏ j ∈ t \ {i}, s j)

⊢ Pairwise (IsCoprime on fun i => s ↑i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ

⊢ volume (Ici a) = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a : ℝ

⊢ volume (Ioi a) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I

⊢ Pairwise (IsRelPrime on fun i => s ↑i) ↔ ∀ i ∈ t, IsRelPrime (s i) (∏ j ∈ t \ {i}, s j)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
hp : Pairwise (IsRelPrime on fun i => s ↑i)
i : I
hi : i ∈ t
j : I
hj : j ∈ t \ {i}

⊢ IsRelPrime (s i) (s j)
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Lemmas.lean
α : Type u_2
I : Type u_1
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : DecompositionMonoid α
x y z : α
s : I → α
t : Finset I
inst✝ : DecidableEq I
hp : ∀ i ∈ t, IsRelPrime (s i) (∏ j ∈ t \ {i}, s j)

⊢ Pairwise (IsRelPrime on fun i => s ↑i)
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
hg : MeromorphicAt g x

⊢ MeromorphicAt (f - g) x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
hg : MeromorphicAt g x

⊢ f - g = f + -g
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Meromorphic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
x : 𝕜
hf : MeromorphicAt f x
hg : MeromorphicAt g x
z : 𝕜

⊢ (f - g) z = (f + -g) z
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
h : P.toPoly = Q.toPoly

⊢ P.d = Q.d
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

⊢ HasFDerivAt (fun u => exp 𝕂 (u • x)) ((ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (exp 𝕂 (t • x))) t
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

⊢ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 x).smulRight (exp 𝕂 (t • x)) = exp 𝕂 (t • x) • ContinuousLinearMap.smulRight 1 x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕊
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius
t' : 𝕊

⊢ Commute (t' • x) (exp 𝕂 (t • x))
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : MulOneClass M
l : List M
a : M

⊢ (1 :: l).prod = l.prod
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α

⊢ ‖A‖₊ = ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ }‖₊
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
N : ℝ≥0
hN : ∀ (x : n → α), ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ } x‖₊ ≤ N * ‖x‖₊

⊢ ‖A‖₊ ≤ N
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
N : ℝ≥0
hN : ∀ (x : n → α), ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ } x‖₊ ≤ N * ‖x‖₊

⊢ (Finset.univ.sup fun i => ∑ j : n, ‖A i j‖₊) ≤ N
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
N : ℝ≥0
hN : ∀ (x : n → α), ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ } x‖₊ ≤ N * ‖x‖₊
i : m
x✝ : i ∈ Finset.univ

⊢ ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ≤ N
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
N : ℝ≥0
hN : ∀ (x : n → α), ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ } x‖₊ ≤ N * ‖x‖₊
i : m
x✝ : i ∈ Finset.univ
h✝ : IsEmpty n

⊢ ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ≤ N
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : NontriviallyNormedField α
inst✝ : NormedAlgebra ℝ α
A : Matrix m n α
N : ℝ≥0
hN : ∀ (x : n → α), ‖{ toLinearMap := A.mulVecLin, cont := ⋯ } x‖₊ ≤ N * ‖x‖₊
i : m
x✝ : i ∈ Finset.univ
h✝ : Nonempty n

⊢ ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ≤ N
-- Mathlib/Logic/Function/Conjugate.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
ga : α → α → α
gb : β → β → β
inst✝ : Std.Associative ga
h : Semiconj₂ f ga gb
h_surj : Surjective f
x₁ x₂ x₃ : α

⊢ gb (gb (f x₁) (f x₂)) (f x₃) = gb (f x₁) (gb (f x₂) (f x₃))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₂
g : M₃ →ₗ[R] M₄
x : M₃ × M₄

⊢ x.2 = g x.1 ↔ -g x.1 + x.2 = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α

⊢ a₁ * b₁ ≤ a₂ * b₂ → a₁ ≤ a₂ ∨ b₁ < b₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/MinMax.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α

⊢ a₂ < a₁ ∧ b₂ ≤ b₁ → a₂ * b₂ < a₁ * b₁
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ
h : ↑n ≠ 0

⊢ (W.preΨ' n).leadingCoeff = ↑(if Even n then n / 2 else n)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ z \ (x \ y ⊔ y \ x) = (z \ x ⊔ z ⊓ x ⊓ y) ⊓ (z \ y ⊔ z ⊓ y ⊓ x)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ (z \ x ⊔ z ⊓ x ⊓ y) ⊓ (z \ y ⊔ z ⊓ y ⊓ x) = z ⊓ (z \ x ⊔ y) ⊓ (z \ y ⊔ z ⊓ y ⊓ x)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ z ⊓ (z \ x ⊔ y) ⊓ (z \ y ⊔ z ⊓ y ⊓ x) = z ⊓ (z \ x ⊔ y) ⊓ (z ⊓ (z \ y ⊔ x))
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ z ⊓ z ⊓ (z \ x ⊔ y) ⊓ (z \ y ⊔ x) = z ⊓ (z \ x ⊔ y) ⊓ (z \ y ⊔ x)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
M' : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'

⊢ map f N ≤ f.range
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
M' : Type u_1
inst✝² : AddCommGroup M'
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : LieRingModule L M'
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M'

⊢ map f N ≤ map f ⊤
-- Mathlib/Data/Fintype/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
x✝ : Fin n.succ

⊢ x✝ ∈ ↑(Ioi 0) ↔ x✝ ∈ ↑(map (succEmb n) univ)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a : α
h : 0 < a
b c d : α

⊢ (fun x => x + b) '' ((fun x => a * x) '' Icc c d) = Icc (a * c + b) (a * d + b)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

⊢ W.slope x₁ x₂ y₁ y₂ = -evalEval x₁ y₁ W.polynomialX / evalEval x₁ y₁ W.polynomialY
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

⊢ (3 * x₁ ^ 2 + 2 * W.a₂ * x₁ + W.a₄ - W.a₁ * y₁) / (y₁ - W.negY x₁ y₁) = (3 * x₁ ^ 2 + 2 * W.a₂ * x₁ + W.a₄ - W.a₁ * y₁) / evalEval x₁ y₁ W.polynomialY
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

⊢ y₁ - W.negY x₁ y₁ = evalEval x₁ y₁ W.polynomialY
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W✝ : Affine R
F : Type u
inst✝ : Field F
W : Affine F
x₁ x₂ y₁ y₂ : F
hx : x₁ = x₂
hy : y₁ ≠ W.negY x₂ y₂

⊢ y₁ - (-y₁ - W.a₁ * x₁ - W.a₃) = 2 * y₁ + W.a₁ * x₁ + W.a₃
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
p : Char → Bool
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
w✝² w✝¹ w✝ : List Char
h : ValidFor w✝² w✝¹ w✝ x✝

⊢ (x✝.takeWhile p).toString.data = List.takeWhile p x✝.toString.data
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
hf : Injective f
s t : Set α
h : f '' s = f '' t

⊢ s = t
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ
x : α

⊢ l.rotate n = [x] ↔ l = [x]
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : Disjoint a b

⊢ (a ⊔ b) \ b = a
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
m : Set α → ℝ≥0∞
s : Set α
m_empty : m ∅ = 0
m_mono : ∀ ⦃t : Set α⦄, s ⊆ t → m s ≤ m t
m_subadd : ∀ (s : ℕ → Set α), m (⋃ i, s i) ≤ ∑' (i : ℕ), m (s i)

⊢ (boundedBy m) s = m s
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing R

⊢ ringChar R = 0 ↔ CharZero R
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
u v : ℤˣ

⊢ u ≠ v ↔ u = -v
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B✝ : Set (Set α)
s : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
B : Set (Set α)
hB : IsTopologicalBasis B
f : α → β

⊢ IsOpenMap f ↔ ∀ s ∈ B, IsOpen (f '' s)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B✝ : Set (Set α)
s : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
B : Set (Set α)
hB : IsTopologicalBasis B
f : α → β
hf : ∀ s ∈ B, IsOpen (f '' s)
o : Set α
ho : IsOpen o

⊢ IsOpen (f '' o)
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β✝ : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B✝ : Set (Set α)
s : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
B : Set (Set α)
hB : IsTopologicalBasis B
f : α → β
hf : ∀ s ∈ B, IsOpen (f '' s)
o : Set α
ho : IsOpen o

⊢ IsOpen (⋃ i, f '' ↑i)
-- Mathlib/Probability/Density.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : Measure Ω
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
hX : HasPDF X ℙ μ
s : Set E
hs : MeasurableSet s

⊢ (map X ℙ) s = ∫⁻ (x : E) in s, pdf X ℙ μ x ∂μ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Dilation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : PseudoEMetricSpace α
inst✝² : PseudoEMetricSpace β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : DilationClass F α β
f : F
h✝ : ¬∀ (x y : α), edist x y = 0 ∨ edist x y = ⊤

⊢ ⋯.choose ≠ 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Partition.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
α : Type v
C : G.Coloring α
c : V

⊢ IsAntichain G.Adj {x | (Setoid.ker ⇑C).Rel x c}
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α

⊢ p.toOuterMeasure.caratheodory = ⊤