ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a✝ b✝ c d : α
P : {a b : α} → ReflTransGen r a b → Prop
a b : α
h : ReflTransGen r a b
ih₁ : ∀ (a : α), P ⋯
ih₂ : ∀ {a b : α} (h : r a b), P ⋯
ih₃ : ∀ {a b c : α} (h₁ : ReflTransGen r a b) (h₂ : ReflTransGen r b c), P h₁ → P h₂ → P ⋯

⊢ P h
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
h : LiftRel R ca cb
a : α
b : β
ma : a ∈ ca
mb : b ∈ cb

⊢ R a b
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
ca : Computation α
cb : Computation β
h : LiftRel R ca cb
a : α
b : β
ma : a ∈ ca
mb : b ∈ cb
b' : β
mb' : b' ∈ cb
ab : R a b'

⊢ R a b
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : ι → Set X
hs : IsCompact s
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hUf : ∀ (x : X), {i | (f i ∩ U x).Nonempty}.Finite

⊢ {i | (f i ∩ s).Nonempty}.Finite
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : ι → Set X
hs : IsCompact s
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hUf : ∀ (x : X), {i | (f i ∩ U x).Nonempty}.Finite
t : Finset X
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x

⊢ {i | (f i ∩ s).Nonempty}.Finite
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : ι → Set X
hs : IsCompact s
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hUf : ∀ (x : X), {i | (f i ∩ U x).Nonempty}.Finite
t : Finset X
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x

⊢ {i | (f i ∩ s).Nonempty} ⊆ ⋃ i ∈ ↑t, {i_1 | (f i_1 ∩ U i).Nonempty}
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : ι → Set X
hs : IsCompact s
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hUf : ∀ (x : X), {i | (f i ∩ U x).Nonempty}.Finite
t : Finset X
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
i : ι
x : X
hx : x ∈ f i ∩ s

⊢ i ∈ ⋃ i ∈ ↑t, {i_1 | (f i_1 ∩ U i).Nonempty}
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
f : ι → Set X
hs : IsCompact s
U : X → Set X
hxU : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hUf : ∀ (x : X), {i | (f i ∩ U x).Nonempty}.Finite
t : Finset X
hsU : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x
i : ι
x : X
hx : x ∈ f i ∩ s
c : X
hct : c ∈ t
hcx : x ∈ U c

⊢ i ∈ ⋃ i ∈ ↑t, {i_1 | (f i_1 ∩ U i).Nonempty}
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : PartialOrder α
a b : α
hab : a ≤ b

⊢ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) (Icc a b) = {a}
-- Mathlib/Order/Minimal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r r₁ r₂ : α → α → Prop
s t : Set α
a✝ b✝ x : α
inst✝ : PartialOrder α
a b : α
hab : a ≤ b

⊢ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) {x | x ≤ b ∧ a ≤ x} = {a}
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
g : γ → δ
f' : α → β' → δ
g' : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' a (g' b)

⊢ image2 f' ((fun a => a) '' s) (g' '' t) = image2 f' s (g' '' t)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P

⊢ ↑(⊥.prod ⊥) = ↑⊥
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s : Set α
h : ∃ a ∈ s, a ∈ p.support
a : α
ha : a ∉ s

⊢ (p.filter s h) a = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factors.lean
a b : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
h : a.primeFactorsList ~ b.primeFactorsList

⊢ a = b
-- Mathlib/RingTheory/Flat/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type w
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : Small.{v, u} R

⊢ Flat R M ↔ ∀ ⦃N N' : Type v⦄ [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : AddCommGroup N'] [inst_2 : Module R N] [inst_3 : Module R N'] (L : N →ₗ[R] N'), Function.Injective ⇑L → Function.Injective ⇑(rTensor M L)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C

⊢ S.L₀'.Exact
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C

⊢ ∀ ⦃A : C⦄ (x₂ : A ⟶ S.L₀'.X₂), x₂ ≫ S.L₀'.g = 0 → ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀'.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.P
hx₂ : x₂ ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃ = 0

⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀'.f
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
A : C
x₂ : A ⟶ S.P
hx₂ : x₂ ≫ pullback.snd S.L₁.g S.v₀₁.τ₃ = 0
A' : C
π : A' ⟶ A
hπ : Epi π
x₁ : A' ⟶ S.L₁.X₁
fac : π ≫ x₂ ≫ pullback.fst S.L₁.g S.v₀₁.τ₃ = x₁ ≫ S.L₁.f

⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ x₁, π ≫ x₂ = x₁ ≫ S.L₀'.f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
x : E
hx : x ∈ s

⊢ x ∈ 1 • s
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Defs.lean
G₀ : Type u
M₀ : Type u_1
M₀' : Type u_2
G₀' : Type u_3
inst✝² : CommMonoidWithZero M₀
inst✝¹ : Div M₀
inst✝ : MulDivCancelClass M₀
a b✝ b : M₀
ha : a ≠ 0

⊢ a * b / a = b
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
f : β → α
s : Cycle β
a : β
l : List β

⊢ Chain r (map f (Quotient.mk'' (a :: l))) ↔ Chain (fun a b => r (f a) (f b)) (Quotient.mk'' (a :: l))
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
f : β → α
s : Cycle β
a : β
l : List β

⊢ List.Chain r (f a) (List.map f l ++ [f a]) ↔ List.Chain (fun a b => r (f a) (f b)) a (l ++ [a])
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
f : β → α
s : Cycle β
a : β
l : List β

⊢ List.Chain (fun a b => r (f a) (f b)) a (l.concat a) ↔ List.Chain (fun a b => r (f a) (f b)) a (l ++ [a])
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Semifield α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : PosMulReflectLT α
inst✝ : ZeroLEOneClass α
a✝ b a : α
ha : 0 < a

⊢ a * 0 < a * a⁻¹
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P

⊢ W'.addX P (W'.neg P) = W'.dblZ P ^ 2
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P

⊢ P x * P x ^ 2 * P z ^ 2 - 2 * P y * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z * P z + P x ^ 2 * P x * P z ^ 2 - W'.a₁ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 2 * P z - W'.a₁ * P y * P x * P z * P z ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P x * P z ^ 2 * P z ^ 2 - W'.a₃ * (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3) * P z ^ 4 * P z - W'.a₃ * P y * P z * P z ^ 4 + W'.a₄ * P x * P z ^ 4 * P z ^ 2 + W'.a₄ * P x * P z ^ 2 * P z ^ 4 + 2 * W'.a₆ * P z ^ 4 * P z ^ 4 = (P z * (P y - (-P y - W'.a₁ * P x * P z - W'.a₃ * P z ^ 3))) ^ 2
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Hamiltonian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p✝ : G.Walk a b
p : G.Walk a a
hp : p.IsHamiltonianCycle

⊢ List.count a p.support = 2
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
a : R
n : ℕ
h : n ≠ 0

⊢ (coeff R n) ((C R) a) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Bernoulli.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra ℚ A
n : ℕ

⊢ bernoulli' n = (-1) ^ n * bernoulli n
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : PredOrder α
a b : α
ha : ¬IsMin b

⊢ Ioc a (pred b) = Ioo a b
-- Mathlib/Tactic/Ring/Basic.lean
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b b' b₁✝ b₂✝ b₃ c : R
b₁ b₂ : ℕ

⊢ a ^ (b₁ + b₂) = a ^ b₁ * a ^ b₂
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 2 = 0
hc : b / 2 = c
hr : jacobiSymNat a c = r

⊢ jacobiSymNat a b = r
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 2 = 0
hc : b / 2 = c
hr : jacobiSymNat a c = r
ha' : legendreSym 2 ↑a = 1

⊢ jacobiSymNat a b = r
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 2 = 0
ha' : legendreSym 2 ↑a = 1
hc : b / 2 = 0
hr : jacobiSymNat a 0 = r

⊢ jacobiSymNat a b = r
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 1
hb : b % 2 = 0
hc : b / 2 = c
hr : jacobiSymNat a c = r
ha' : legendreSym 2 ↑a = 1
hc' : c ≠ 0

⊢ jacobiSymNat a b = r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Inductions.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp0 : p ≠ 0

⊢ p.divX.degree < p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Inductions.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp0 : p ≠ 0
this : Nontrivial R

⊢ p.divX.degree < p.degree
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v1 v3 : ℕ

⊢ padicNorm p (↑f (stationaryPoint hf)) = padicNorm p (↑f (max v1 (max (stationaryPoint hf) v3)))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v1 v3 : ℕ

⊢ stationaryPoint hf ≤ max v1 (max (stationaryPoint hf) v3)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : PadicSeq p
hf : ¬f ≈ 0
v1 v3 : ℕ

⊢ stationaryPoint hf ≤ stationaryPoint hf
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Spec.lean
X Y : CommRingCat
f : X ⟶ Y

⊢ (𝟭 CommRingCat).map f ≫ ((fun R => asIso (toSpecΓ R)) Y).hom = ((fun R => asIso (toSpecΓ R)) X).hom ≫ (Spec.toLocallyRingedSpace.rightOp ⋙ Γ).map f
-- Mathlib/Data/Finset/Grade.lean
α : Type u_1
s : Finset α
a✝ a : α
ha : a ∉ s

⊢ s ⋖ cons a s ha
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/HasLimits.lean
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
G : J ⥤ C
α✝ : F✝ ⟶ G
inst✝ : HasLimitsOfShape K C
F : J ⥤ C
E₁ E₂ : K ⥤ J
α : E₁ ⟶ E₂
j✝ : K

⊢ pre F E₂ ≫ π (E₂ ⋙ F) j✝ = (pre F E₁ ≫ lim.map (whiskerRight α F)) ≫ π (E₂ ⋙ F) j✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
g : α → γ
hg : HasFiniteIntegral g μ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ ≤ ‖g a‖

⊢ HasFiniteIntegral f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
g : α → γ
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f a‖ ≤ ‖g a‖
hg : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖g a‖ ∂μ < ⊤

⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖f a‖ ∂μ < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Linear.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : Module.Free R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
χ : L → R
hχ : weightSpace M χ ≠ ⊥

⊢ 0 < finrank R ↥↑(weightSpace M χ)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p q : P

⊢ dist ((Equiv.pointReflection p) q) p = dist p q
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h₁ : a₁ ≤ b₁

⊢ Icc a₁ b₁ ⊆ Ico a₂ b₂ ↔ a₂ ≤ a₁ ∧ b₁ < b₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E

⊢ Memℒp f 0 μ ↔ AEStronglyMeasurable f μ
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 (E →WOT[𝕜]F) (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F) := seminormFamily 𝕜 E F

⊢ (𝓝 0).HasBasis (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets id
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 (E →WOT[𝕜]F) (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F) := seminormFamily 𝕜 E F

⊢ (Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun i => 𝓝 ((inducingFn 𝕜 E F) 0 i))).HasBasis (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets id
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 (E →WOT[𝕜]F) (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F) := seminormFamily 𝕜 E F

⊢ (Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun i => 𝓝 0)).HasBasis (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets id
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 (E →WOT[𝕜]F) (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F) := seminormFamily 𝕜 E F
h : (Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun x => 𝓝 0)).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun i => ⇑(inducingFn 𝕜 E F) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)

⊢ (Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun i => 𝓝 0)).HasBasis (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets id
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 (E →WOT[𝕜]F) (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F) := seminormFamily 𝕜 E F
h : (Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun x => 𝓝 0)).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun i => ⇑(inducingFn 𝕜 E F) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)

⊢ ∀ (i : Set (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F) × (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F → ℝ)), (i.1.Finite ∧ ∀ i_1 ∈ i.1, 0 < i.2 i_1) → ∃ i', (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets i' ∧ id i' ⊆ ⇑(inducingFn 𝕜 E F) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/WeakOperatorTopology.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : SeminormFamily 𝕜 (E →WOT[𝕜]F) (E × NormedSpace.Dual 𝕜 F) := seminormFamily 𝕜 E F
h : (Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun x => 𝓝 0)).HasBasis (fun If => If.1.Finite ∧ ∀ i ∈ If.1, 0 < If.2 i) fun i => ⇑(inducingFn 𝕜 E F) ⁻¹' i.1.pi fun i_1 => Metric.ball 0 (i.2 i_1)

⊢ ∀ (i' : Set (E →WOT[𝕜]F)), (seminormFamily 𝕜 E F).basisSets i' → id i' ∈ Filter.comap (⇑(inducingFn 𝕜 E F)) (Filter.pi fun x => 𝓝 0)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
u v : E

⊢ ⟪↑((orthogonalProjection K) u), v⟫_𝕜 = ⟪u, ↑((orthogonalProjection K) v)⟫_𝕜
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hg : UnifIntegrable g p μ
hp : 1 ≤ p
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator ((f + g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hg : UnifIntegrable g p μ
hp : 1 ≤ p
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε2 : 0 < ε / 2

⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator ((f + g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hg : UnifIntegrable g p μ
hp : 1 ≤ p
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε2 : 0 < ε / 2
δ₁ : ℝ
hδ₁_pos : 0 < δ₁
hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
δ₂ : ℝ
hδ₂_pos : 0 < δ₂
hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)

⊢ ∃ δ, ∃ (_ : 0 < δ), ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator ((f + g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hg : UnifIntegrable g p μ
hp : 1 ≤ p
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε2 : 0 < ε / 2
δ₁ : ℝ
hδ₁_pos : 0 < δ₁
hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
δ₂ : ℝ
hδ₂_pos : 0 < δ₂
hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

⊢ eLpNorm (s.indicator ((f + g) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hg : UnifIntegrable g p μ
hp : 1 ≤ p
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε2 : 0 < ε / 2
δ₁ : ℝ
hδ₁_pos : 0 < δ₁
hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
δ₂ : ℝ
hδ₂_pos : 0 < δ₂
hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

⊢ eLpNorm (s.indicator (f i) + s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hg : UnifIntegrable g p μ
hp : 1 ≤ p
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε2 : 0 < ε / 2
δ₁ : ℝ
hδ₁_pos : 0 < δ₁
hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
δ₂ : ℝ
hδ₂_pos : 0 < δ₂
hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)

⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ + eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hg : UnifIntegrable g p μ
hp : 1 ≤ p
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε2 : 0 < ε / 2
δ₁ : ℝ
hδ₁_pos : 0 < δ₁
hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
δ₂ : ℝ
hδ₂_pos : 0 < δ₂
hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
hε_halves : ENNReal.ofReal ε = ENNReal.ofReal (ε / 2) + ENNReal.ofReal (ε / 2)

⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ + eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hg : UnifIntegrable g p μ
hp : 1 ≤ p
hf_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hg_meas : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (g i) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hε2 : 0 < ε / 2
δ₁ : ℝ
hδ₁_pos : 0 < δ₁
hfδ₁ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
δ₂ : ℝ
hδ₂_pos : 0 < δ₂
hgδ₂ : ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (min δ₁ δ₂)
hε_halves : ENNReal.ofReal ε = ENNReal.ofReal (ε / 2) + ENNReal.ofReal (ε / 2)

⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ + eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) + ENNReal.ofReal (ε / 2)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E

⊢ (reflection Kᗮ) v = -(reflection K) v
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
v : E

⊢ 2 • v - 2 • ↑((orthogonalProjection K) v) - v = v - 2 • ↑((orthogonalProjection K) v)
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
k : ℕ

⊢ mersenne k + 1 = 2 ^ k
-- Mathlib/NumberTheory/LucasLehmer.lean
k : ℕ

⊢ 1 ≤ 2 ^ k
-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds.lean
G : Type u_1
inst✝ : Mul G
A B : Finset G
h : 1 < A.card * B.card → ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
hA : A.Nonempty
hB : B.Nonempty
hc : ¬(A.card ≤ 1 ∧ B.card ≤ 1)

⊢ ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B, UniqueMul A B a b