ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
l : List α
f : α → List β

⊢ (l.bind f).length = (map (length ∘ f) l).sum
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Limits.lean
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F G : J ⥤ C
j j' : J
f : j ⟶ j'

⊢ 𝟙 (limit F ⊗ limit G) ≫ (limit.π F j' ⊗ limit.π G j') = (limit.π F j ⊗ limit.π G j) ≫ (F.map f ⊗ G.map f)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
inst✝⁵ : Fintype α
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableRel G.Adj
n : ℕ
a b c : α
s : Finset α
inst✝² : DecidableRel H.Adj
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : DecidableEq β
f : α ↪ β
hn : n ≠ 1

⊢ ↑((SimpleGraph.map f G).cliqueFinset n) = ↑(map { toFun := map f, inj' := ⋯ } (G.cliqueFinset n))
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
IF : PrimePair P

⊢ IF.I.IsProper
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
IF : PrimePair P
w : P
h : w ∈ ↑IF.F

⊢ IF.I.IsProper
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝ : Preorder P
IF : PrimePair P
w : P
h : w ∈ ↑IF.F

⊢ w ∉ IF.I
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G

⊢ x ^ orderOf x = (fun x_1 => x * x_1)^[minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1] 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G

⊢ x ^ minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1 = (fun x_1 => x ^ minimalPeriod (fun x_2 => x * x_2) 1 * x_1) 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G

⊢ x ^ minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1 = x ^ minimalPeriod (fun x_1 => x * x_1) 1 * 1
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R

⊢ support R M = ∅ ↔ Subsingleton M
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p : PrimeSpectrum R

⊢ (∀ (m : M), ∃ r ∈ Submonoid.powers 1, r • m = 0) ↔ ∀ (y : M), y = 0
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
h : Injective f
x : G
hx : x ∈ ker f

⊢ f x = f 1
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
h : Injective f
x : G
hx : x ∈ ker f

⊢ f x = 1
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
h : Injective f
x : G

⊢ x ∈ IsSubgroup.trivial G → x ∈ ker f
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ

⊢ l.rotate (l.length * n) = l
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Tripartite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝⁶ : DecidableEq α
inst✝⁵ : DecidableEq β
inst✝⁴ : DecidableEq γ
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : Fintype γ
inst✝ : NoAccidental t

⊢ (graph t).cliqueFinset 3 = map toTriangle t
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
𝔗 : Set (Set γ)
f : γ → α
hf : MapsTo (fun x => f '' x) 𝔗 𝔖

⊢ UniformContinuous fun g => (ofFun 𝔗) ((toFun 𝔖) g ∘ f)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
𝔗 : Set (Set γ)
f : γ → α
hf : MapsTo (fun x => f '' x) 𝔗 𝔖

⊢ ∀ i ∈ 𝔗, ∀ i_2 ∈ 𝓤 β, Tendsto (fun x => ((ofFun 𝔗) ((toFun 𝔖) x.1 ∘ f), (ofFun 𝔗) ((toFun 𝔖) x.2 ∘ f))) (⨅ s ∈ 𝔖, ⨅ V ∈ 𝓤 β, 𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔖 s V)) (𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔗 i i_2))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
𝔗 : Set (Set γ)
f : γ → α
hf : MapsTo (fun x => f '' x) 𝔗 𝔖
t : Set γ
ht : t ∈ 𝔗
V : Set (β × β)
hV : V ∈ 𝓤 β

⊢ Tendsto (fun x => ((ofFun 𝔗) ((toFun 𝔖) x.1 ∘ f), (ofFun 𝔗) ((toFun 𝔖) x.2 ∘ f))) (𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔖 (f '' t) V)) (𝓟 (UniformOnFun.gen 𝔗 t V))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
β : Type u_3
α : ι → Type u
U : (i : ι) → UniformSpace (α i)
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : Nonempty ι
l : Filter ((i : ι) → α i)

⊢ Cauchy l ↔ ∀ (i : ι), Cauchy (map (eval i) l)
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
κ : Type u_1
inst✝ : (i : ι) → Zero (β i)
h : κ → ι
h' : ι → κ
hh' : Function.LeftInverse h' h
i✝ : κ

⊢ (comapDomain' h hh' 0) i✝ = 0 i✝
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
r : R
f g : R[X]
h : (taylor (-r)) ((taylor r) f) = (taylor (-r)) ((taylor r) g)

⊢ f = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Finite m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
G : Type u_7
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G M₂
inst✝ : SMulCommClass G R M₂
g : G
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i✝ : m
j✝ : n

⊢ (toMatrix v₁ (g • v₂)) f i✝ j✝ = (toMatrix v₁ v₂) (DistribMulAction.toLinearMap R M₂ g⁻¹ ∘ₗ f) i✝ j✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁹ : Fintype n
inst✝⁸ : Finite m
inst✝⁷ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
G : Type u_7
inst✝² : Group G
inst✝¹ : DistribMulAction G M₂
inst✝ : SMulCommClass G R M₂
g : G
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i✝ : m
j✝ : n

⊢ ((g • v₂).repr (f (v₁ j✝))) i✝ = (v₂.repr ((DistribMulAction.toLinearMap R M₂ g⁻¹ ∘ₗ f) (v₁ j✝))) i✝
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω✝ : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Submartingale f ℱ μ
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) 1 μ ≤ ↑R
ω : Ω
h₁ : ∀ (a b : ℚ), a < b → upcrossings (↑a) (↑b) f ω < ⊤
h₂ : liminf (fun n => ↑‖f n ω‖₊) atTop < ⊤

⊢ ∃ c, Tendsto (fun n => f n ω) atTop (𝓝 c)
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDomain S
b : Basis ι R S
x : S

⊢ (norm R) x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDomain S
b : Basis ι R S
x : S
this : Module.Free R S

⊢ (norm R) x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Ring S
inst✝⁸ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K F
ι : Type w
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDomain S
b : Basis ι R S
x : S
this✝ : Module.Free R S
this : Module.Finite R S

⊢ (norm R) x = 0 ↔ x = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : 0 < d
a : Solution₁ d

⊢ ∃ b, 0 < b.x ∧ 0 ≤ b.y ∧ a ∈ {b, b⁻¹, -b, -b⁻¹}
-- Mathlib/GroupTheory/FreeGroup/Basic.lean
α : Type u
L✝ L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
f : α → β
x y : FreeGroup α
g : FreeGroup α →* FreeGroup β
hg : ∀ (x : α), g (FreeGroup.of x) = FreeGroup.of (f x)
x✝ : FreeGroup α
L : List (α × Bool)

⊢ g (Quot.mk Red.Step L) = (map f) (Quot.mk Red.Step L)
-- Mathlib/Algebra/Free.lean
α : Type u
x y : FreeSemigroup α

⊢ (x * y).length = x.length + y.length
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : Group α
inst✝¹ : LE α
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : α

⊢ a ≤ 1 * b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
c : R
f : Π₀ (i : ι), M i

⊢ (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) (c • f) = c • (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) f
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
c : R
f : Π₀ (i : ι), M i

⊢ (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) (c • 0) = c • (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
c : R
f : Π₀ (i : ι), M i

⊢ ∀ (i : ι) (b : M i) (f : Π₀ (i : ι), M i), f i = 0 → b ≠ 0 → (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) (c • f) = c • (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) f → (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) (c • (single i b + f)) = c • (sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom) (single i b + f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F : (Π₀ (i : ι), M i) →ₗ[R] N

⊢ { toFun := fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun F i => F ∘ₗ lsingle i) F) = F
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F : (Π₀ (i : ι), M i) →ₗ[R] N
i : ι

⊢ { toFun := fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun ((fun F i => F ∘ₗ lsingle i) F) ∘ₗ lsingle i = F ∘ₗ lsingle i
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F G : (i : ι) → M i →ₗ[R] N

⊢ (fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (F + G) = (fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) F + (fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) G
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
F G : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
i : ι

⊢ (fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (F + G) ∘ₗ lsingle i = ((fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) F + (fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) G) ∘ₗ lsingle i
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
c : S
F : (i : ι) → M i →ₗ[R] N

⊢ { toFun := fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (c • F) = (RingHom.id S) c • { toFun := fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun F
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (M i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝⁵ : AddCommMonoid N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : SMulCommClass R S N
c : S
F : (i : ι) → M i →ₗ[R] N
i : ι

⊢ { toFun := fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (c • F) ∘ₗ lsingle i = ((RingHom.id S) c • { toFun := fun F => { toFun := ⇑(sumAddHom fun i => (F i).toAddMonoidHom), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun F) ∘ₗ lsingle i
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineEquiv.lean
k : Type u_1
P₁ : Type u_2
P₂ : Type u_3
P₃ : Type u_4
P₄ : Type u_5
V₁ : Type u_6
V₂ : Type u_7
V₃ : Type u_8
V₄ : Type u_9
inst✝¹³ : Ring k
inst✝¹² : AddCommGroup V₁
inst✝¹¹ : Module k V₁
inst✝¹⁰ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁹ : AddCommGroup V₂
inst✝⁸ : Module k V₂
inst✝⁷ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝⁶ : AddCommGroup V₃
inst✝⁵ : Module k V₃
inst✝⁴ : AffineSpace V₃ P₃
inst✝³ : AddCommGroup V₄
inst✝² : Module k V₄
inst✝¹ : AffineSpace V₄ P₄
inst✝ : Invertible 2
x y : V₁
h : 2 • x = 2 • y

⊢ x = y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
x : E
hf✝ : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
hf : IsLinearMap 𝕜 f
M : ℝ
left✝ : 0 < M
hM : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖
e : E

⊢ ‖f e - f x‖ = ‖(IsLinearMap.mk' f hf) (e - x)‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
x : E
hf✝ : IsBoundedLinearMap 𝕜 f
hf : IsLinearMap 𝕜 f
M : ℝ
left✝ : 0 < M
hM : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ M * ‖x‖
e : E

⊢ ‖f e - f x‖ = ‖(IsLinearMap.mk' f hf) e - (IsLinearMap.mk' f hf) x‖
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α

⊢ l.revzip.reverse = l.reverse.revzip
-- Mathlib/Data/List/Zip.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
ε : Type u_4
l : List α

⊢ l.revzip.reverse.unzip.1.zip l.revzip.reverse.unzip.2 = l.reverse.revzip
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ

⊢ image₂ f s t ⊆ u ↔ ∀ b ∈ t, image (fun a => f a b) s ⊆ u
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
h3 : ∀ (H : Subgroup G), ¬N.IsComplement' H
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤

⊢ K = ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
h3 : K ≠ ⊤

⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
h3 : K ≠ ⊤
h4 : (comap K.subtype N).index = N.index

⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
h3 : K ≠ ⊤
h4 : (comap K.subtype N).index = N.index
h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G

⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
h3 : K ≠ ⊤
h4 : (comap K.subtype N).index = N.index
h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G
h6 : (Nat.card ↥(comap K.subtype N)).Coprime (comap K.subtype N).index

⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
h3 : K ≠ ⊤
h4 : (comap K.subtype N).index = N.index
h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G
h6 : (Nat.card ↥(comap K.subtype N)).Coprime (comap K.subtype N).index
H : Subgroup ↥K
hH : (comap K.subtype N).IsComplement' H

⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
h3 : K ≠ ⊤
h4 : (comap K.subtype N).index = N.index
h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G
h6 : (Nat.card ↥(comap K.subtype N)).Coprime (comap K.subtype N).index
H : Subgroup ↥K
hH : Nat.card ↥(map K.subtype H) = N.index

⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
h3 : K ≠ ⊤
h4 : (comap K.subtype N).index = N.index
h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G
h6 : (Nat.card ↥(comap K.subtype N)).Coprime (comap K.subtype N).index
H : Subgroup ↥K
hH : Nat.card ↥(map K.subtype H) = N.index
h7 : Nat.card ↥N * Nat.card ↥(map K.subtype H) = Nat.card G

⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
-- Mathlib/GroupTheory/SchurZassenhaus.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Finite G
N : Subgroup G
inst✝ : N.Normal
h1 : (Nat.card ↥N).Coprime N.index
h2 : ∀ (G' : Type u) [inst : Group G'] [inst_1 : Finite G'], Nat.card G' < Nat.card G → ∀ {N' : Subgroup G'} [inst_2 : N'.Normal], (Nat.card ↥N').Coprime N'.index → ∃ H', N'.IsComplement' H'
K : Subgroup G
hK : K ⊔ N = ⊤
h3 : K ≠ ⊤
h4 : (comap K.subtype N).index = N.index
h5 : Nat.card ↥K < Nat.card G
h6 : (Nat.card ↥(comap K.subtype N)).Coprime (comap K.subtype N).index
H : Subgroup ↥K
hH : Nat.card ↥(map K.subtype H) = N.index
h7 : Nat.card ↥N * Nat.card ↥(map K.subtype H) = Nat.card G
h8 : (Nat.card ↥N).Coprime (Nat.card ↥(map K.subtype H))

⊢ ∃ H, N.IsComplement' H
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : (i : η) → AddCommGroup (φ i)
inst✝² : (i : η) → Module R (φ i)
inst✝¹ : ∀ (i : η), Module.Free R (φ i)
inst✝ : Fintype η

⊢ Module.rank R (η → R) = ↑(Fintype.card η)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
m : OuterMeasure α

⊢ m ≤ μ.toOuterMeasure ↔ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → m s ≤ μ s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℕ

⊢ W.Ψ ↑n = C (W.preΨ' n) * if Even n then W.ψ₂ else 1
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k✝ : Type u
inst✝³ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : Field k
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Field K
f : K →+* k
p : K[X]

⊢ Splits f p
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k✝ : Type u
inst✝³ : Field k✝
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝² : Field k
inst✝¹ : IsAlgClosed k
inst✝ : Field K
f : K →+* k
p : K[X]

⊢ Splits f p ↔ Splits (RingHom.id k) (map f p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α

⊢ s ∪ t =ᶠ[ae μ] t ↔ s ≤ᶠ[ae μ] t
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₁ ∈ Icc a₂ b₂
hb : b₁ ∈ Icc a₂ b₂

⊢ [[a₁, b₁]] ⊆ Icc a₂ b₂
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁ ∧ a₁ ≤ b₂
hb : a₂ ≤ b₁ ∧ b₁ ≤ b₂

⊢ [[a₁, b₁]] ⊆ Icc a₂ b₂