ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Set/Subset.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A

⊢ A ↓∩ ⋂₀ S = ⋂₀ {x | ∃ B ∈ S, A ↓∩ B = x}
-- Mathlib/Data/Set/Subset.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
A B C : Set α
D E : Set ↑A
S : Set (Set α)
T : Set (Set ↑A)
s : ι → Set α
t : ι → Set ↑A

⊢ A ↓∩ ⋂₀ S = ⋂ x ∈ S, A ↓∩ x
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
n : ℕ

⊢ 0 < a ^ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
n : ℕ

⊢ 0 < a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
n : ℕ

⊢ 0 < a ^ (-↑(n + 1))
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Semifield α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : PosMulReflectLT α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
a b : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
ha : 0 < a
n : ℕ

⊢ 0 < a ^ (n + 1)
-- Mathlib/Data/Option/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
p✝ : α✝ → Prop
f✝ : (a : α✝) → p✝ a → β✝
x✝ : Option α✝
α : Type u_5
β γ : Type u_6
p : α → Prop
f : (a : α) → p a → β
x : Option α
g : β → Option γ
H : ∀ (a : α), a ∈ x → p a

⊢ pmap f x H >>= g = x.pbind fun a h => g (f a ⋯)
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
hf : Formula.not φ ∈ p
ht : φ ∈ p

⊢ False
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
hf : Formula.not φ ∈ p
ht : φ ∈ p
h : ¬{φ, Formula.not φ}.IsSatisfiable

⊢ False
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
hf : Formula.not φ ∈ p
ht : φ ∈ p
h : ¬{φ, Formula.not φ}.IsSatisfiable

⊢ {φ, Formula.not φ} ⊆ ↑p
-- Mathlib/ModelTheory/Types.lean
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
p : T.CompleteType α
φ : L[[α]].Sentence
hf : Formula.not φ ∈ p
ht : φ ∈ p
h : ¬{φ, Formula.not φ}.IsSatisfiable

⊢ φ ∈ ↑p ∧ Formula.not φ ∈ ↑p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/PartialFractions.lean
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1

⊢ ∃ q r₁ r₂, r₁.degree < g₁.degree ∧ r₂.degree < g₂.degree ∧ ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑q + ↑r₁ / ↑g₁ + ↑r₂ / ↑g₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/PartialFractions.lean
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1

⊢ ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑(f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) + ↑(f * d %ₘ g₁) / ↑g₁ + ↑(f * c %ₘ g₂) / ↑g₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/PartialFractions.lean
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0

⊢ ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑(f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) + ↑(f * d %ₘ g₁) / ↑g₁ + ↑(f * c %ₘ g₂) / ↑g₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/PartialFractions.lean
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0
hg₂' : ↑g₂ ≠ 0

⊢ ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑(f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) + ↑(f * d %ₘ g₁) / ↑g₁ + ↑(f * c %ₘ g₂) / ↑g₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/PartialFractions.lean
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0
hg₂' : ↑g₂ ≠ 0
hfc : f * c %ₘ g₂ + g₂ * (f * c /ₘ g₂) = f * c

⊢ ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑(f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) + ↑(f * d %ₘ g₁) / ↑g₁ + ↑(f * c %ₘ g₂) / ↑g₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/PartialFractions.lean
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0
hg₂' : ↑g₂ ≠ 0
hfc : f * c %ₘ g₂ + g₂ * (f * c /ₘ g₂) = f * c
hfd : f * d %ₘ g₁ + g₁ * (f * d /ₘ g₁) = f * d

⊢ ↑f / (↑g₁ * ↑g₂) = ↑(f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) + ↑(f * d %ₘ g₁) / ↑g₁ + ↑(f * c %ₘ g₂) / ↑g₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/PartialFractions.lean
R : Type
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
K : Type
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R[X] K
inst✝ : IsFractionRing R[X] K
f g₁ g₂ : R[X]
hg₁ : g₁.Monic
hg₂ : g₂.Monic
c d : R[X]
hcd : c * g₁ + d * g₂ = 1
hg₁' : ↑g₁ ≠ 0
hg₂' : ↑g₂ ≠ 0
hfc : f * c %ₘ g₂ + g₂ * (f * c /ₘ g₂) = f * c
hfd : f * d %ₘ g₁ + g₁ * (f * d /ₘ g₁) = f * d

⊢ f = ((f * d /ₘ g₁ + f * c /ₘ g₂) * g₁ + f * d %ₘ g₁) * g₂ + f * c %ₘ g₂ * g₁
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ f : Perm α
h : f.IsThreeCycle

⊢ f⁻¹.IsThreeCycle
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f✝ g f g₁ g₂ : CircleDeg1Lift
h : Semiconj ⇑f ⇑g₁ ⇑g₂

⊢ dist (g₁ 0) (f (g₁ 0) - f 0) + dist (f (g₁ 0) - f 0) (g₂ 0) = dist (f 0 + g₁ 0) (f (g₁ 0)) + dist (g₂ 0 + f 0) (g₂ (f 0))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
hb : 0 < b.re

⊢ ∫ (v : V), cexp (-b * ↑‖v‖ ^ 2) = (↑π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrderBot α
f : ι → α

⊢ ⨅ i, ↑(f i) < ⊤ ↔ Nonempty ι
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : BooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ⇔ b = ⊥ ↔ IsCompl a b
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t

⊢ ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ

⊢ ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ
P : Set X → Prop := IsCompact

⊢ ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsClosed t
hd : Disjoint s t
k : Set X
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
sk : s ⊆ interior k
kt : k ⊆ tᶜ
P : Set X → Prop := IsCompact
c : Urysohns.CU P := { C := k, U := tᶜ, P_C := k_comp, closed_C := k_closed, open_U := ⋯, subset := kt, hP := ⋯ }

⊢ ∃ f, EqOn (⇑f) 0 s ∧ EqOn (⇑f) 1 t ∧ ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S✝ : Set E
K : IntermediateField F E
S : Set E

⊢ restrictScalars F (adjoin (↥K) S) = adjoin F (↑K ∪ S)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
m : ℕ
f : α → ℕ
h₁ : ∀ x ∈ s, f x = m

⊢ ∑ x ∈ s, f x = s.card * m
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
m : ℕ
f : α → ℕ
h₁ : ∀ x ∈ s, f x = m

⊢ ∑ x ∈ s, f x = ∑ _x ∈ s, m
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β

⊢ s ×ˢ t = ⋃ a ∈ s, (fun b => (a, b)) '' t
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean

⊢ #Cardinal.{u} = univ.{u, u + 1}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q

⊢ P.StableUnderBaseChange
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q

⊢ (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).StableUnderBaseChange
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
this : (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).IsLocal := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty P

⊢ (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).StableUnderBaseChange
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
this : (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).IsLocal := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty P

⊢ ∀ ⦃X Y S : Scheme⦄ [inst : IsAffine S] [inst_1 : IsAffine X] (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S), sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q) g → sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q) (pullback.fst f g)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
this : (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).IsLocal := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty P
X Y S : Scheme
inst✝¹ : IsAffine S
inst✝ : IsAffine X
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q) g

⊢ sourceAffineLocally (fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q) (pullback.fst f g)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
this : (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).IsLocal := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty P
X Y S : Scheme
inst✝¹ : IsAffine S
inst✝ : IsAffine X
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
H : P g

⊢ P (pullback.fst f g)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
this : (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).IsLocal := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty P
X S : Scheme
inst✝¹ : IsAffine S
inst✝ : IsAffine X
f : X ⟶ S
Y : Scheme
g : Y ⟶ S
H : P g
hX : IsAffine Y

⊢ P (pullback.fst f g)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝² : HasRingHomProperty P Q
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z
hP : RingHom.StableUnderBaseChange fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
this : (sourceAffineLocally fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q).IsLocal := HasAffineProperty.isLocal_affineProperty P
X S : Scheme
inst✝¹ : IsAffine S
inst✝ : IsAffine X
f : X ⟶ S
Y : Scheme
g : Y ⟶ S
H : Q (Scheme.Hom.app g ⊤)
hX : IsAffine Y

⊢ Q (Scheme.Hom.app (pullback.fst f g) ⊤)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞

⊢ (⊤ * a).toReal = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Ordered.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : OrderedRing k
inst✝² : OrderedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : OrderedSMul k E
a a' b b' : E
r r' : k
ha : a < a'
hb : b < b'
h₀✝ : 0 ≤ r
h₁ : r ≤ 1
h₀ : 0 < r

⊢ (lineMap a b) r < (lineMap a' b') r
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
E' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'

⊢ ‖(toSesqForm f) v‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
E' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
x : E

⊢ ‖((toSesqForm f) v) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
E' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
x : E
h₁ : ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖

⊢ ‖((toSesqForm f) v) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
E' : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E'
f : E →L[𝕜] E'
v : E'
x : E
h₁ : ‖f x‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖
h₂ : ‖⟪v, f x⟫_𝕜‖ ≤ ‖v‖ * ‖f x‖

⊢ ‖((toSesqForm f) v) x‖ ≤ ‖f‖ * ‖v‖ * ‖x‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : LinearOrder R
g : α → R
F : R → ℝ≥0∞ := fun t => μ {a | t ≤ g a}

⊢ {t | μ {a | t ≤ g a} ≠ μ {a | t < g a}}.Countable
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : LinearOrder R
g : α → R
F : R → ℝ≥0∞ := fun t => μ {a | t ≤ g a}

⊢ {t | μ {a | t ≤ g a} ≠ μ {a | t < g a}} ⊆ {x | ∃ z < F x, ∀ (y : R), x < y → F y ≤ z}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : LinearOrder R
g : α → R
F : R → ℝ≥0∞ := fun t => μ {a | t ≤ g a}
t : R
ht : t ∈ {t | μ {a | t ≤ g a} ≠ μ {a | t < g a}}

⊢ t ∈ {x | ∃ z < F x, ∀ (y : R), x < y → F y ≤ z}
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Layercake.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : LinearOrder R
g : α → R
F : R → ℝ≥0∞ := fun t => μ {a | t ≤ g a}
t : R
ht : t ∈ {t | μ {a | t ≤ g a} ≠ μ {a | t < g a}}
this : μ {a | t < g a} < μ {a | t ≤ g a}

⊢ t ∈ {x | ∃ z < F x, ∀ (y : R), x < y → F y ≤ z}
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing S
inst✝¹⁰ : CommRing T
inst✝⁹ : Algebra R S
inst✝⁸ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁴ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝³ : Field F
inst✝² : Algebra K S
inst✝¹ : Algebra K F
inst✝ : Nontrivial S
pb : PowerBasis K S
hf : Splits (algebraMap K F) (minpoly K pb.gen)

⊢ (algebraMap K F) ((Algebra.trace K S) pb.gen) = ((minpoly K pb.gen).aroots F).sum
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
R : Type u₁
inst✝¹ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ

⊢ (coeff R p (n + 1)) (f ^ p) = (coeff R p n) f
-- Mathlib/RingTheory/Perfection.lean
R : Type u₁
inst✝¹ : CommSemiring R
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP R p
f : Ring.Perfection R p
n : ℕ

⊢ (coeff R p (n + 1)) f ^ p = (coeff R p n) f
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : α → Fin n

⊢ (Primrec fun a => ↑(f a)) ↔ Primrec f
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : α → Fin n
this : Primcodable { a // id a < n } := Primcodable.subtype ⋯

⊢ (Primrec fun a => ↑(f a)) ↔ Primrec f
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
N₁ N₂ : ℕ
hN₁ : N ≤ N₁
hN₁' : f N₁ ω < a
hN₂ : N₁ ≤ N₂
hN₂' : b < f N₂ ω

⊢ upcrossingsBefore a b f N ω < upcrossingsBefore a b f (N₂ + 1) ω
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
N₁ N₂ : ℕ
hN₁ : N ≤ N₁
hN₁' : f N₁ ω < a
hN₂ : N₁ ≤ N₂
hN₂' : b < f N₂ ω

⊢ (upcrossingsBefore a b f N ω).succ ∈ {n | upperCrossingTime a b f (N₂ + 1) n ω < N₂ + 1}
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
N₁ N₂ : ℕ
hN₁ : N ≤ N₁
hN₁' : f N₁ ω < a
hN₂ : N₁ ≤ N₂
hN₂' : b < f N₂ ω

⊢ ∃ j ∈ Set.Ico (lowerCrossingTime a b f (N₂ + 1) (upcrossingsBefore a b f N ω) ω) (N₂ + 1), f j ω ∈ Set.Ici b
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
N₁ N₂ : ℕ
hN₁ : N ≤ N₁
hN₁' : f N₁ ω < a
hN₂ : N₁ ≤ N₂
hN₂' : b < f N₂ ω

⊢ lowerCrossingTime a b f (N₂ + 1) (upcrossingsBefore a b f N ω) ω ≤ N₂
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
N₁ N₂ : ℕ
hN₁ : N ≤ N₁
hN₁' : f N₁ ω < a
hN₂ : N₁ ≤ N₂
hN₂' : b < f N₂ ω

⊢ ∃ j ∈ Set.Icc (upperCrossingTime a b f (N₂ + 1) (upcrossingsBefore a b f N ω) ω) N₂, f j ω ∈ Set.Iic a
-- Mathlib/Probability/Martingale/Upcrossing.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
N₁ N₂ : ℕ
hN₁ : N ≤ N₁
hN₁' : f N₁ ω < a
hN₂ : N₁ ≤ N₂
hN₂' : b < f N₂ ω

⊢ upperCrossingTime a b f (N₂ + 1) (upcrossingsBefore a b f N ω) ω ≤ N
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Grading.lean
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
f : M → ι
i : ι
a : R[M]

⊢ a ∈ gradeBy R f i ↔ ↑a.support ⊆ f ⁻¹' {i}
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
x✝ : 𝕜

⊢ (fderivWithin 𝕜 f univ x✝) 1 = (fderiv 𝕜 f x✝) 1
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/Module.lean
R : Type u_1
S : Type ?u.132402
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.132867
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.134007
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f✝ ⇑g
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type u_3
f : ι → M
b : Basis ι k (k ⊗[R] M)
hb : ∀ (i : ι), 1 ⊗ₜ[R] f i = b i

⊢ Submodule.span R (Set.range f) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/Module.lean
R : Type u_1
S : Type ?u.132402
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : Algebra R S
inst✝⁷ : LocalRing R
M : Type u_2
N : Type ?u.132867
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
P : Type ?u.134007
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
f✝ : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Surjective ⇑g
h : Exact ⇑f✝ ⇑g
inst✝ : Module.Finite R M
ι : Type u_3
f : ι → M
b : Basis ι k (k ⊗[R] M)
hb : ∀ (i : ι), 1 ⊗ₜ[R] f i = b i

⊢ Submodule.span k (Set.range (⇑((mk R k M) 1) ∘ f)) = Submodule.span k (Set.range ⇑b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Jordan.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
r : ℝ≥0
i : Set α
hi : MeasurableSet i

⊢ ↑(r • j).toSignedMeasure i = ↑(r • j.toSignedMeasure) i
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hf₀ : ¬∫⁻ (a : α), f a ∂μ = 0

⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ⊤ ∧ ∫⁻ (a : α) in sᶜ, f a ∂μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hf₀ : ¬∫⁻ (a : α), f a ∂μ = 0
g : α → ℝ≥0∞
hgf : g ≤ f
hg_meas : Measurable g
hgsupp : μ (support g) < ⊤
hgε : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ - ε < ∫⁻ (a : α), g a ∂μ

⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ⊤ ∧ ∫⁻ (a : α) in sᶜ, f a ∂μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hf₀ : ¬∫⁻ (a : α), f a ∂μ = 0
g : α → ℝ≥0∞
hgf : g ≤ f
hg_meas : Measurable g
hgsupp : μ (support g) < ⊤
hgε : ∫⁻ (a : α), f a ∂μ - ε < ∫⁻ (a : α), g a ∂μ

⊢ ∫⁻ (a : α) in (support g)ᶜ, f a ∂μ < ε
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝.Hom Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
V : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U

⊢ appLE f U V e ≫ (appIso f V).inv = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝.Hom Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
V : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U

⊢ Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : Scheme
f✝ : X✝.Hom Y✝
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens
V : X.Opens
e : V ≤ f ⁻¹ᵁ U

⊢ Y.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (homOfLE ⋯).op) = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
a : α

⊢ (η.withDensity (κ.rnDeriv η)) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)ᶜ = 0