ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice α
s✝ t : Set α
a b : α
f : β → α
s : Set β
H : BddAbove (f '' s)
Hne : s.Nonempty

⊢ IsLUB (f '' s) (sSup (f '' s))
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
αs : ι → Type u_13
inst✝¹ : Zero M
l : (i : ι) × αs i →₀ M
inst✝ : AddCommMonoid N
f : (i : ι) × αs i → M → N

⊢ l.sum f = ∑ i ∈ l.splitSupport, (l.split i).sum fun a b => f ⟨i, a⟩ b
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ sin (x * I) = sinh x * I
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h : I * sin (x * I) = -sinh x

⊢ sin (x * I) = sinh x * I
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h : I * sin (x * I) = -sinh x

⊢ sin (x * I) = -(I * sin (x * I)) * I
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasDerivAt d d' x

⊢ HasDerivAt (fun y => c * d y) (c * d') x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c✝ d : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
c : 𝔸
hd : HasDerivWithinAt d d' univ x

⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c * d y) (c * d') univ x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ a ∈ Ico a b ↔ a < b
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α

⊢ (bliminf u f fun x => False) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x y : ↥M

⊢ mk' S (↑x) y * mk' S (↑y) x = 1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
x y : ↥M

⊢ mk' S (↑y * ↑x) (y * x) = 1
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
j : ι

⊢ (filter p (single i x)) j = (if p i then single i x else 0) j
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
j : ι
this : (if p i then single i x else 0) j = if p i then (single i x) j else 0 j

⊢ (filter p (single i x)) j = (if p i then single i x else 0) j
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
j : ι
this : (if p i then single i x else 0) j = if p i then (single i x) j else 0

⊢ (filter p (single i x)) j = (if p i then single i x else 0) j
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
j : ι
this : (if p i then single i x else 0) j = if p i then (single i x) j else 0

⊢ (if p j then (single i x) j else 0) = if p i then (single i x) j else 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
this : (if p i then single i x else 0) i = if p i then (single i x) i else 0

⊢ (if p i then (single i x) i else 0) = if p i then (single i x) i else 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Basic.lean
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
s : Finset ι
x✝ : (i : ↑↑s) → β ↑i
i✝ : ι
p : ι → Prop
inst✝ : DecidablePred p
i : ι
x : β i
j : ι
this : (if p i then single i x else 0) j = if p i then (single i x) j else 0
hij : i ≠ j

⊢ (if p j then (single i x) j else 0) = if p i then (single i x) j else 0
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
a : PresentedGroup M.relationsSet

⊢ cs.mulEquiv (cs.mulEquiv.symm a) = a
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α

⊢ _root_.Disjoint (insert a t) s ↔ a ∉ s ∧ _root_.Disjoint s t
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
h : b = 0 → a = 0

⊢ a * b / b = a
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
a b : ℤ√↑d

⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℕ
a b : ℤ√↑d
t : (b - a).Nonneg ∨ (-(b - a)).Nonneg

⊢ a ≤ b ∨ b ≤ a
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Inverse.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
k : Type u_3
inst✝ : Field k
φ : MvPowerSeries σ k

⊢ (constantCoeff σ k) φ⁻¹ = ((constantCoeff σ k) φ)⁻¹
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
n : ℕ

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) (s.drop (n + 1)).destruct (t.drop (n + 1)).destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
n : ℕ

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) ((s.drop n).destruct >>= tail.aux) ((t.drop n).destruct >>= tail.aux)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
n : ℕ

⊢ Computation.LiftRel ?R (s.drop n).destruct (t.drop n).destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
n : ℕ

⊢ ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, ?R a b → Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) (tail.aux a) (tail.aux b)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
n : ℕ

⊢ Option (α × WSeq α) → Option (β × WSeq β) → Prop
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
s : WSeq α
t : WSeq β
H : LiftRel R s t
n : ℕ

⊢ ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → Computation.LiftRel (LiftRelO R (LiftRel R)) (tail.aux a) (tail.aux b)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)

⊢ vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)) ⟂ (s.altitude i).direction
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
i : Fin (n + 2)

⊢ vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)) ⟂ (vectorSpan ℝ (s.points '' ↑(univ.erase i)))ᗮ ⊓ vectorSpan ℝ (Set.range s.points)
-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : α
ts : List α
r : List β
ys : List α
f : List α → β

⊢ (permutationsAux2 t ts r ys f).2 = map (fun x => f (x ++ ts)) (permutationsAux2 t [] [] ys id).2 ++ r
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i

⊢ eval x ((interpolate s v) r) = (∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i) / ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v r : ι → F
i : ι
x : F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hs : s.Nonempty
hx : ∀ i ∈ s, x ≠ v i

⊢ (eval x (nodal s v) * ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i) / (eval x (nodal s v) * ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * 1 i) = (∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹ * r i) / ∑ i ∈ s, nodalWeight s v i * (x - v i)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommSemigroup α
a c✝ c : α

⊢ a ∣ c * a
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y✝ : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X'
inst✝² : TopologicalSpace Y'
ι : Type u_6
p : ι → Prop
Y : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
inst✝ : DecidablePred p

⊢ Continuous (Equiv.piEquivPiSubtypeProd p Y).toFun
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y✝ : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X'
inst✝² : TopologicalSpace Y'
ι : Type u_6
p : ι → Prop
Y : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
inst✝ : DecidablePred p
j : ι
h✝ : p j

⊢ Continuous fun a => a.1 ⟨j, h✝⟩
-- Mathlib/Topology/Homeomorph.lean
X : Type u_1
Y✝ : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X'
inst✝² : TopologicalSpace Y'
ι : Type u_6
p : ι → Prop
Y : ι → Type u_7
inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (Y i)
inst✝ : DecidablePred p
j : ι
h✝ : ¬p j

⊢ Continuous fun a => a.2 ⟨j, h✝⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq m
i j : m
hij : b i ≤ b j
c : R
r s : m
hrs : b s < b r

⊢ stdBasisMatrix i j c r s = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq m
i j : m
hij : b i ≤ b j
c : R
r s : m
hrs : b s < b r

⊢ ¬(i = r ∧ j = s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Block.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
o : Type u_5
m' : α → Type u_6
n' : α → Type u_7
R : Type v
inst✝² : CommRing R
M N : Matrix m m R
b : m → α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableEq m
i j : m
hij : b i ≤ b j
c : R
hrs : b j < b i

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
ι : Type u
s : ι → K[X]
t : Finset ι

⊢ (∀ j ∈ t, Splits i (s j)) → Splits i (∏ x ∈ t, s x)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : IsClosed ↑I

⊢ I.IsMaximal ↔ ∃ x, idealOfSet 𝕜 {x}ᶜ = I
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : IsClosed ↑I

⊢ I.IsMaximal → ∃ x, idealOfSet 𝕜 {x}ᶜ = I
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : IsClosed ↑I
hI' : I.IsMaximal

⊢ ∃ x, idealOfSet 𝕜 {x}ᶜ = I
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Ideals.lean
X : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : CompactSpace X
inst✝ : T2Space X
I : Ideal C(X, 𝕜)
hI : IsClosed ↑I
hI' : I.IsMaximal
x : X
hx : setOfIdeal I = {x}ᶜ

⊢ ∃ x, idealOfSet 𝕜 {x}ᶜ = I
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 = ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₅ S) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ ↑(η ^ 2 * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S)⁻¹) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ (↑(η ^ 2 * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S)⁻¹) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3) * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) = 0 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ ↑(η ^ 2 * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S)⁻¹) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ ↑(η ^ 2 * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S * (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S)⁻¹) * (λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S) ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) + ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₄ S) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 * (λ * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * ↑η) = FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₁ S) * λ ^ (3 * S.multiplicity - 2) + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₂ S) * λ * ↑η + FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S ^ 3 * ↑(FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.u₃ S) * λ * ↑η ^ 2
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
a s n step : Nat

⊢ map (fun x => a + x) (range' s (n + 1) step) = range' (a + s) (n + 1) step
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : Finite ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M

⊢ (Orientation.map ι f) x = (LinearEquiv.det f)⁻¹ • x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : Finite ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
val✝ : Fintype ι

⊢ (Orientation.map ι f) x = (LinearEquiv.det f)⁻¹ • x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : Finite ι
e : Basis ι R M
x : Orientation R M ι
f : M ≃ₗ[R] M
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

⊢ (Orientation.map ι f) x = (LinearEquiv.det f)⁻¹ • x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Orientation.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : StrictOrderedCommRing R
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : Finite ι
e : Basis ι R M
f : M ≃ₗ[R] M
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
g : M [⋀^ι]→ₗ[R] R
hg : g ≠ 0

⊢ (Orientation.map ι f) (rayOfNeZero R g hg) = (LinearEquiv.det f)⁻¹ • rayOfNeZero R g hg
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
hf : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y z : ↥S
h : ((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) y)⁻¹ = ((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) z)⁻¹

⊢ f ↑y = f ↑z
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* N
hf : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)
y z : ↥S
h : ((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) y)⁻¹ = ((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) z)⁻¹

⊢ f ↑z * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) z)⁻¹ = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z

⊢ x < y ^ (1 / z) ↔ x ^ z < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z

⊢ x ^ 1 < y ^ (1 / z) ↔ x ^ z < y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z

⊢ x ^ (z * z⁻¹) < y ^ (1 / z) ↔ x ^ z < y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
c : ℝ

⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (x - c)) volume (a + c) (b + c)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : Surjective fa

⊢ SurjOn fb (range f) (range f)
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
fa : α → α
fb : β → β
f : α → β
g : β → γ
s t : Set α
h : Semiconj f fa fb
ha : Surjective fa

⊢ SurjOn fb (f '' univ) (f '' univ)
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s : Set α
h : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) f

⊢ (⨆ i, f i) ⊓ a = ⨆ i, f i ⊓ a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ

⊢ ⨅ r, ρ (s ×ˢ Iic ↑↑r) = ρ (s ×ˢ Iic ↑t)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ

⊢ ρ (⋂ i, s ×ˢ Iic ↑↑i) = ρ (s ×ˢ Iic ↑t)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ

⊢ ∀ (i : { r' // t < r' }), MeasurableSet (s ×ˢ Iic ↑↑i)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ

⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) fun r => s ×ˢ Iic ↑↑r
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
ρ : Measure (α × ℝ)
inst✝ : IsFiniteMeasure ρ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
t : ℚ

⊢ ∃ i, ρ (s ×ˢ Iic ↑↑i) ≠ ⊤
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
S' : Type u_7
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : Algebra A S
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
e : S ≃ₐ[A] S'
h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A (pb.map e).gen) = 0
h₂ : (aeval (pb.map e).gen) (minpoly A pb.gen) = 0
x : S

⊢ (pb.equivOfRoot (pb.map e) h₁ h₂) x = e x
-- Mathlib/RingTheory/PowerBasis.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : CommRing B
inst✝⁶ : IsDomain B
inst✝⁵ : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
S' : Type u_7
inst✝³ : CommRing S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : Algebra A S
inst✝ : Algebra A S'
pb : PowerBasis A S
e : S ≃ₐ[A] S'
h₁ : (aeval pb.gen) (minpoly A (pb.map e).gen) = 0
h₂ : (aeval (pb.map e).gen) (minpoly A pb.gen) = 0
f : A[X]

⊢ (pb.equivOfRoot (pb.map e) h₁ h₂) ((aeval pb.gen) f) = e ((aeval pb.gen) f)
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
i : E →ₐ[F] K
x : E

⊢ i x ∈ separableClosure F K ↔ x ∈ separableClosure F E
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s t : Finset α
a b : α
m : Multiset α
hm : m.Nodup

⊢ { val := m, nodup := hm }.Nonempty ↔ m ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
z : N

⊢ g ↑(f.sec z).2 * (f.lift hg) z = g (f.sec z).1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
ι' : Type x'
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
I : Set ι
p q : (i : ι) → Submodule R (φ i)
x : (i : ι) → φ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι

⊢ ⨆ i, map (single i) (p i) = pi Set.univ p