ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp0_lt : 0 < p
hpq : p < q
hpqr : 1 / p = 1 / q + 1 / r

⊢ (∫⁻ (a : α), (↑‖f a‖₊ * ↑‖g a‖₊) ^ p ∂μ) ^ (1 / p) ≤ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ q ∂μ) ^ (1 / q) * (∫⁻ (a : α), ↑‖g a‖₊ ^ r ∂μ) ^ (1 / r)
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : DecidableEq L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsFractionRing R K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x : Kˣ

⊢ spanSingleton R⁰ ↑x * spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹ = 1
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : DecidableEq L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsFractionRing R K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x : Kˣ

⊢ spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹ * spanSingleton R⁰ ↑x = 1
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : DecidableEq L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsFractionRing R K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L
x y : Kˣ

⊢ ↑({ toFun := fun x => { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun (x * y)) = ↑({ toFun := fun x => { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x => { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }, map_one' := ⋯ }.toFun y)
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : DecidableEq L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsFractionRing R K
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
inst✝¹ : Algebra R L
inst✝ : IsScalarTower R K L

⊢ ↑((fun x => { val := spanSingleton R⁰ ↑x, inv := spanSingleton R⁰ (↑x)⁻¹, val_inv := ⋯, inv_val := ⋯ }) 1) = ↑1
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x y : PartENat
hx : Decidable x.Dom
hy : Decidable y.Dom

⊢ x.toWithTop ≤ y.toWithTop ↔ x ≤ y
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x : PartENat
hx : Decidable x.Dom
hy : Decidable ⊤.Dom

⊢ x.toWithTop ≤ ⊤.toWithTop ↔ x ≤ ⊤
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x : PartENat
hx : Decidable x.Dom
n✝ : ℕ
hy : Decidable (↑n✝).Dom

⊢ x.toWithTop ≤ (↑n✝).toWithTop ↔ x ≤ ↑n✝
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
n✝ : ℕ
hy : Decidable (↑n✝).Dom
hx : Decidable ⊤.Dom

⊢ ⊤.toWithTop ≤ (↑n✝).toWithTop ↔ ⊤ ≤ ↑n✝
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
n✝¹ : ℕ
hy : Decidable (↑n✝¹).Dom
n✝ : ℕ
hx : Decidable (↑n✝).Dom

⊢ (↑n✝).toWithTop ≤ (↑n✝¹).toWithTop ↔ ↑n✝ ≤ ↑n✝¹
-- Mathlib/SetTheory/Game/Birthday.lean
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
i : (mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves

⊢ ((mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight i).birthday < max (lsub fun i => (a✝¹ i).birthday) (lsub fun i => (a✝ i).birthday)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

⊢ ∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I = I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

⊢ Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) = Associates.mk I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

⊢ Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I) ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

⊢ Associates.mk I ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

⊢ ∀ (p : Associates (Ideal R)), Irreducible p → p.count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = p.count (Associates.mk I).factors
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
v : Associates (Ideal R)
hv : Irreducible v

⊢ v.count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = v.count (Associates.mk I).factors
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
v : Associates (Ideal R)
hv : Irreducible v
J : Ideal R
hJv : Associates.mk J = v

⊢ v.count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = v.count (Associates.mk I).factors
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
v : Associates (Ideal R)
J : Ideal R
hv : Irreducible J
hJv : Associates.mk J = v

⊢ v.count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = v.count (Associates.mk I).factors
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v✝ : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0
v : Associates (Ideal R)
J : Ideal R
hv : Irreducible J
hJv : Associates.mk J = v

⊢ (Associates.mk J).count (Associates.mk (∏ᶠ (v : HeightOneSpectrum R), v.maxPowDividing I)).factors = (Associates.mk J).count (Associates.mk I).factors
-- Mathlib/RingTheory/FinitePresentation.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
f : A →+* B
hf : Surjective ⇑f
hker : (ker f).FG

⊢ f.FinitePresentation
-- Mathlib/RingTheory/FinitePresentation.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
f : A →+* B
hf : Surjective ⇑f
hker : (ker f).FG

⊢ (f.comp (RingHom.id A)).FinitePresentation
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X Y : C
g : X ⟶ Y

⊢ F'.map g ≫ (fun X => F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X)) Y = (fun X => F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X)) X ≫ F.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X Y : C
g : X ⟶ Y

⊢ F'.map (g ≫ (adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app Y) ≫ adj2.counit.app (F.obj Y) = (F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X)) ≫ F.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X Y : C
g : X ⟶ Y

⊢ F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X ≫ (F ⋙ G').map g) ≫ adj2.counit.app (F.obj Y) = (F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X)) ≫ F.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : F' ⟶ F
X Y : D
g : X ⟶ Y

⊢ adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (F'.map (G.map g)) ≫ G'.map (f.app (G.obj Y) ≫ adj1.counit.app Y) = (fun X => adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (f.app (G.obj X) ≫ adj1.counit.app X)) X ≫ G'.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : F' ⟶ F
X Y : D
g : X ⟶ Y

⊢ adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (F'.map (G.map g) ≫ f.app (G.obj Y) ≫ adj1.counit.app Y) = (adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (f.app (G.obj X) ≫ adj1.counit.app X)) ≫ G'.map g
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X : D

⊢ ((fun f => { app := fun X => adj2.unit.app (G.obj X) ≫ G'.map (f.app (G.obj X) ≫ adj1.counit.app X), naturality := ⋯ }) ((fun f => { app := fun X => F'.map ((adj1.unit ≫ whiskerLeft F f).app X) ≫ adj2.counit.app (F.obj X), naturality := ⋯ }) f)).app X = f.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X : D

⊢ adj1.unit.app (G.obj X) ≫ f.app (F.obj (G.obj X)) ≫ G'.map (adj1.counit.app X) = f.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Unique.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.23, u_1} C
inst✝ : Category.{?u.27, u_2} D
F F' : C ⥤ D
G G' : D ⥤ C
adj1 : F ⊣ G
adj2 : F' ⊣ G'
f : G ⟶ G'
X : D

⊢ (adj1.unit.app (G.obj X) ≫ G.map (adj1.counit.app X)) ≫ f.app ((𝟭 D).obj X) = f.app X
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M

⊢ LieModule.IsNilpotent R L ↥↑N ↔ ∃ k, N ≤ ucs k ⊥
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
hn : n ≠ 0

⊢ ¬p ∣ n / p ^ n.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
hn : n ≠ 0

⊢ ¬1 ≤ (n / p ^ n.factorization p).factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
hn : n ≠ 0

⊢ ¬1 ≤ (n.factorization - (p ^ n.factorization p).factorization) p
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
K : Set (Subgroup G)
Kne : K.Nonempty
hK : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G

⊢ x ∈ sSup K ↔ ∃ s ∈ K, x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝³ : Group G
inst✝² : Group G'
inst✝¹ : Group G''
A : Type u_4
inst✝ : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
K : Set (Subgroup G)
Kne : K.Nonempty
hK : DirectedOn (fun x x_1 => x ≤ x_1) K
x : G
this : Nonempty ↑K

⊢ x ∈ sSup K ↔ ∃ s ∈ K, x ∈ s
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : SemilatticeSup M
inst✝ : OrderBot M
w : σ → M

⊢ weightedTotalDegree w 0 = ⊥
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
h : 0 ≤ θ.sign

⊢ ↑|θ.toReal| = θ
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : ∀ (x : X), (𝓝[≠] x).NeBot
s : Set X
hs : Dense s
t : Finset X

⊢ Dense (s \ ↑t)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
o : Ordinal.{u_1}

⊢ let_fun this := ⋯; HEq (nim o).moveLeft fun i => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
o : Ordinal.{u_1}

⊢ let_fun this := ⋯; HEq (mk (Quotient.out o).α (Quotient.out o).α (fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)) fun o₂ => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) o₂)).moveLeft fun i => nim (typein (fun x x_1 => x < x_1) i)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ZNum

⊢ -n.pred = (-n).succ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥W

⊢ Module.rank K ↥W ≤ 1 ↔ W.IsPrincipal
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/FreeAndStrongRankCondition.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁴ : Ring K
inst✝³ : StrongRankCondition K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W : Submodule K V
inst✝ : Module.Free K ↥W

⊢ (∃ v₀, ∀ (v : ↥W), ∃ r, r • v₀ = v) ↔ ∃ a, (∀ v ∈ W, ∃ r, r • a = v) ∧ a ∈ W
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.14791, u_1} C
P : Karoubi C

⊢ P.p = P.p ≫ P.p ≫ P.p
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
mb : MeasurableSpace β
ν : Measure β
g : α → β
hg : MeasurePreserving g μ ν
f : β → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ ∫⁻ (a : α), f (g a) ∂μ = ∫⁻ (b : β), f b ∂ν
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s

⊢ p ⟨b, hb⟩
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s

⊢ ∃ (x : b ∈ adjoin R s), p ⟨b, x⟩
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s

⊢ ∀ x ∈ s, ∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s

⊢ ∀ (r : R), ∃ (x : (_root_.algebraMap R A) r ∈ adjoin R s), p ⟨(_root_.algebraMap R A) r, x⟩
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s

⊢ ∀ (x y : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → (∃ (x : y ∈ adjoin R s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x + y ∈ adjoin R s), p ⟨x + y, x_1⟩
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s

⊢ ∀ (x y : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → (∃ (x : y ∈ adjoin R s), p ⟨y, x⟩) → ∃ (x_1 : x * y ∈ adjoin R s), p ⟨x * y, x_1⟩
-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s

⊢ ∀ (x : A), (∃ (x_1 : x ∈ adjoin R s), p ⟨x, x_1⟩) → ∃ (x_1 : Star.star x ∈ adjoin R s), p ⟨Star.star x, x_1⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝ : Bicategory B
a b c d e : B
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c

⊢ f ◁ (ρ_ g).hom = (α_ f g (𝟙 c)).inv ≫ (ρ_ (f ≫ g)).hom
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G

⊢ RightCosetEquivalence (↑H) g ↑(hHT.equiv g).2
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g : G

⊢ (↑(hHT.equiv g).1)⁻¹ * g * g⁻¹ ∈ H
-- Mathlib/Algebra/Regular/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : MulZeroClass R
a b : R

⊢ ¬IsRightRegular 0 ↔ Nontrivial R
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0

⊢ r z * ‖x‖ ≤ Complex.abs (↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0
hn0 : ‖x‖ ≠ 0

⊢ r z * ‖x‖ ≤ Complex.abs (↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0
hn0 : ‖x‖ ≠ 0
h11 : ↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1) = (↑(x 0) / ↑‖x‖ * ↑z + ↑(x 1) / ↑‖x‖) * ↑‖x‖

⊢ r z * ‖x‖ ≤ Complex.abs (↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
x : Fin 2 → ℤ
hx : x ≠ 0
hn0 : ‖x‖ ≠ 0
h11 : ↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1) = (↑(x 0) / ↑‖x‖ * ↑z + ↑(x 1) / ↑‖x‖) * ↑‖x‖

⊢ r z * ↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs) ≤ Complex.abs (↑(x 0) / ↑↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs) * ↑z + ↑(x 1) / ↑↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs)) * ↑(max (x 0).natAbs (x 1).natAbs)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Multilinear/Basic.lean
R : Type u
ι : Type v
n : ℕ
M✝ : Fin n.succ → Type w
M₁ : ι → Type w₁
M₁' : ι → Type w₁'
M₂ : Type w₂
M₃ : Type w₃
M₄ : Type w₄
M : Type u_1
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ContinuousMul R
inst✝ : ContinuousSMul R M
z : M

⊢ ContinuousMultilinearMap.mkPiRing R ι z = 0 ↔ z = 0
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R

⊢ CharZero R ↔ ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ↑p ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
h : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ↑p ≠ 0

⊢ CharZero R
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : Nontrivial R
h : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → ↑p ≠ 0
p : ℕ := ringChar R

⊢ CharZero R
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ

⊢ Supermartingale f 𝒢 μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ

⊢ Supermartingale (- -f) 𝒢 μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, f (i + 1) ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, f i ω ∂μ

⊢ ∀ (i : ℕ) (s : Set Ω), MeasurableSet s → ∫ (ω : Ω) in s, (-f) i ω ∂μ ≤ ∫ (ω : Ω) in s, (-f) (i + 1) ω ∂μ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a b : Cardinal.{u_1}

⊢ ℵ₀ ≤ a + b ↔ ℵ₀ ≤ a ∨ ℵ₀ ≤ b
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0

⊢ x.num * q = p * x.denom ↔ x = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0

⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * q) = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (p * x.denom) ↔ x * (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0

⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (x.num * q) = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (p * x.denom) ↔ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.num / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom * (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q = (algebraMap K[X] (RatFunc K)) p
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
p q : K[X]
hq : q ≠ 0

⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) x.denom ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Measure.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I : Box ι

⊢ (volume ↑I).toReal = ∏ i : ι, (I.upper i - I.lower i)