ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
this : (μ.toFinite.withDensity fun a => ∑' (n : ℕ), (sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite a) = μ.toFinite.withDensity (∑' (n : ℕ), (sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite)
n : ℕ
s✝ : Set α
a✝ : MeasurableSet s✝

⊢ (μ.toFinite.withDensity ((sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite)) s✝ = (sFiniteSeq μ n) s✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityFinite.lean
α : Type u_1
mα : MeasurableSpace α
μ✝ μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
this : (μ.toFinite.withDensity fun a => ∑' (n : ℕ), (sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite a) = μ.toFinite.withDensity (∑' (n : ℕ), (sFiniteSeq μ n).rnDeriv μ.toFinite)
n : ℕ
s✝ : Set α
a✝ : MeasurableSet s✝

⊢ sFiniteSeq μ n ≪ μ.toFinite
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ Disjoint (a ∆ b) (a ⊓ b)
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ Disjoint ((a ⊔ b) \ (a ⊓ b)) (a ⊓ b)
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
s : Set X

⊢ StableUnderGeneralization s ↔ ∃ S, (∀ s ∈ S, IsOpen s) ∧ ⋂₀ S = s
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
s : Set X

⊢ StableUnderGeneralization s → ∃ S, (∀ s ∈ S, IsOpen s) ∧ ⋂₀ S = s
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
s : Set X

⊢ (∃ S, (∀ s ∈ S, IsClosed s) ∧ ⋃₀ S = sᶜ) → ∃ S, (∀ s ∈ S, IsOpen s) ∧ ⋂₀ S = s
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/WF.lean
α✝ : Type u_1
cmp : α✝ → α✝ → Ordering
t : RBNode α✝
v : α✝
h : Ordered cmp t

⊢ Ordered cmp (match t.isRed with | red => (ins cmp v t).setBlack | black => ins cmp v t)
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
a : α
s : Stream' α
b : α
x✝ : a ∈ s
n : ℕ
h : (fun b => a = b) (s.get n)

⊢ (fun b => a = b) ((b :: s).get n.succ)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f✝ f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f✝ x✝)
g' : TangentSpace I' (f✝ x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f✝ x✝))
f : M → M'
s : Set M
x : M

⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f✝ f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f✝ x✝)
g' : TangentSpace I' (f✝ x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f✝ x✝))
f : M → M'
s : Set M
x : M

⊢ ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x) ↔ ContinuousWithinAt f s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f✝ f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f'✝ f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f✝ x✝)
g' : TangentSpace I' (f✝ x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f✝ x✝))
f : M → M'
s : Set M
x : M
f' : E →L[𝕜] E'

⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x) ↔ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f✝ f₀ f₁ : M → M'
x✝ : M
s✝ t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f'✝ f₀' f₁' : TangentSpace I x✝ →L[𝕜] TangentSpace I' (f✝ x✝)
g' : TangentSpace I' (f✝ x✝) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f✝ x✝))
f : M → M'
s : Set M
x : M
f' : E →L[𝕜] E'

⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' (range ↑I ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x) ↔ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt I I' x f) f' ((extChartAt I x).target ∩ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤

⊢ Integrable (fun x => (ν (Prod.mk x ⁻¹' s)).toReal) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤

⊢ HasFiniteIntegral (fun x => (ν (Prod.mk x ⁻¹' s)).toReal) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤

⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (ν (Prod.mk a ⁻¹' s)).toReal ∂μ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤

⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (ν (Prod.mk a ⁻¹' s)).toReal ∂μ = (μ.prod ν) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤

⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (ν (Prod.mk a ⁻¹' s)).toReal ∂μ = ∫⁻ (x : α), ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤

⊢ (fun a => ENNReal.ofReal (ν (Prod.mk a ⁻¹' s)).toReal) =ᶠ[ae μ] fun a => ν (Prod.mk a ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤
x : α
hx : ν (Prod.mk x ⁻¹' s) < ⊤

⊢ ENNReal.ofReal (ν (Prod.mk x ⁻¹' s)).toReal = ν (Prod.mk x ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s
h2s : (μ.prod ν) s ≠ ⊤
x : α
hx : ν (Prod.mk x ⁻¹' s) ≠ ⊤

⊢ ENNReal.ofReal (ν (Prod.mk x ⁻¹' s)).toReal = ν (Prod.mk x ⁻¹' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝¹³ : AddCommGroup N
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : AddCommGroup P
inst✝¹⁰ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁹ : Module.Free R M
inst✝⁸ : Module.Finite R M
inst✝⁷ : Module.Free R N
inst✝⁶ : Module.Finite R N
inst✝⁵ : Module.Free R P
inst✝⁴ : Module.Finite R P
inst✝³ : Module.Free R M
inst✝² : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
A : Type u_6
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R M) R M := Module.Free.chooseBasis R M
b' : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R M) A (A ⊗[R] M) := Algebra.TensorProduct.basis A b

⊢ (trace A (A ⊗[R] M)) (baseChange A f) = ↑(algebraMap R A) ((trace R M) f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M

⊢ ¬LinearIndependent R v ↔ ∃ s g, ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 ∧ ∃ i ∈ s, g i ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M

⊢ (¬∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0) ↔ ∃ s g, ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 ∧ ∃ i ∈ s, g i ≠ 0
-- Mathlib/Logic/Equiv/PartialEquiv.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e' : PartialEquiv β γ
p : β → Prop

⊢ (∀ y ∈ e.target, p y) ↔ ∀ x ∈ e.source, p (↑e x)
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
r : R
m : M
s : ↥S

⊢ (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk (r • m) s) = r • (fromLocalizedModule S f) (LocalizedModule.mk m s)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
b₁ : Set (Set β)
hb₁c : b₁.Countable
b₂ : Set (Set β)
hb₂c : b₂.Countable

⊢ CountablyGenerated β
-- Mathlib/Order/LatticeIntervals.lean
α : Type u_1
a : α
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : OrderBot α
x y : ↑(Iic a)

⊢ Disjoint x y ↔ Disjoint ↑x ↑y
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.414921, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
f g : ComposableArrows C 5
app₀ : f.obj' 0 ⋯ ⟶ g.obj' 0 ⋯
app₁ : f.obj' 1 ⋯ ⟶ g.obj' 1 ⋯
app₂ : f.obj' 2 ⋯ ⟶ g.obj' 2 ⋯
app₃ : f.obj' 3 ⋯ ⟶ g.obj' 3 ⋯
app₄ : f.obj' 4 ⋯ ⟶ g.obj' 4 ⋯
app₅ : f.obj' 5 ⋯ ⟶ g.obj' 5 ⋯
w₀ : f.map' 0 1 ⋯ ⋯ ≫ app₁ = app₀ ≫ g.map' 0 1 ⋯ ⋯
w₁ : f.map' 1 2 ⋯ ⋯ ≫ app₂ = app₁ ≫ g.map' 1 2 ⋯ ⋯
w₂ : f.map' 2 3 ⋯ ⋯ ≫ app₃ = app₂ ≫ g.map' 2 3 ⋯ ⋯
w₃ : f.map' 3 4 ⋯ ⋯ ≫ app₄ = app₃ ≫ g.map' 3 4 ⋯ ⋯
w₄ : f.map' 4 5 ⋯ ⋯ ≫ app₅ = app₄ ≫ g.map' 4 5 ⋯ ⋯

⊢ 2 < 5 + 1
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
s t : Finset α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : Fintype { a // p a }

⊢ Finset.subtype p s = univ ↔ ∀ ⦃a : α⦄, p a → a ∈ s
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E

⊢ sepDegree F E = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α ↪ β
s : Finset α
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ map (Embedding.refl α) s ↔ x✝ ∈ s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀

⊢ (uniformity R).HasBasis (fun x => True) fun γ => {p | v (p.2 - p.1) < ↑γ}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀

⊢ (Filter.comap (fun x => x.2 - x.1) (𝓝 0)).HasBasis (fun x => True) fun γ => {p | v (p.2 - p.1) < ↑γ}
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v w : F
h : ‖v‖ = ‖w‖
R : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (Submodule.span ℝ {v - w})ᗮ

⊢ R v = w
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v w : F
h : ‖v‖ = ‖w‖
R : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (Submodule.span ℝ {v - w})ᗮ

⊢ R v + R v = w + w
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v w : F
h : ‖v‖ = ‖w‖
R : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (Submodule.span ℝ {v - w})ᗮ
h₁ : R (v - w) = -(v - w)

⊢ R v + R v = w + w
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
v w : F
h : ‖v‖ = ‖w‖
R : F ≃ₗᵢ[ℝ] F := reflection (Submodule.span ℝ {v - w})ᗮ
h₁ : R (v - w) = -(v - w)
h₂ : R (v + w) = v + w

⊢ R v + R v = w + w
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
pr : (i : ι) → ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] F' i := ContinuousLinearMap.proj

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n Φ s x ↔ ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => Φ x i) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
pr : (i : ι) → ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] F' i := ContinuousLinearMap.proj
h : ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => Φ x i) s x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n

⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) Φ p u
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m✝ n : ℕ∞
p✝ : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
ι' : Type u_4
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : Fintype ι'
F' : ι → Type u_5
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (F' i)
inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (F' i)
φ : (i : ι) → E → F' i
p' : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
Φ : E → (i : ι) → F' i
P' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E ((i : ι) → F' i)
pr : (i : ι) → ((i : ι) → F' i) →L[𝕜] F' i := ContinuousLinearMap.proj
h : ∀ (i : ι), ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => Φ x i) s x
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : ι → Set E
hux : ∀ (i : ι), u i ∈ 𝓝[insert x s] x
p : (i : ι) → E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (F' i)
hp : ∀ (i : ι), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) (fun x => Φ x i) (p i) (u i)

⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ p, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) Φ p u
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
n : ℕ
a : Cardinal.{u}

⊢ ↑n < lift.{v, u} a ↔ ↑n < a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝

⊢ x✝.next { byteIdx := x✝.bsize } = { byteIdx := x✝.bsize }
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
inst✝ : μ.Regular
f : α ≃ₜ β

⊢ (map (⇑f) μ).Regular
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
inst✝ : μ.Regular
f : α ≃ₜ β
this : (map (⇑f) μ).OuterRegular

⊢ (map (⇑f) μ).Regular
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝⁴ : BorelSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
inst✝ : μ.Regular
f : α ≃ₜ β
this✝ : (map (⇑f) μ).OuterRegular
this : IsFiniteMeasureOnCompacts (map (⇑f) μ)

⊢ (map (⇑f) μ).Regular
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

⊢ R.one ▷ X P Q ≫ actLeft P Q = (λ_ (X P Q)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

⊢ (tensorLeft (𝟙_ C)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ R.one ▷ X P Q ≫ actLeft P Q = (tensorLeft (𝟙_ C)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (λ_ (X P Q)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

⊢ 𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ R.one ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ actLeft P Q = 𝟙_ C ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫ (λ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom