ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree
hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

⊢ Multiset.card (x ::ₘ t) = Add.add (↑(Multiset.card t)) 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree
hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

⊢ ↑(Multiset.card t) + 1 ≤ p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree
hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0

⊢ 1 + ↑(Multiset.card t) ≤ 1 + (p /ₘ (X - C x)).degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree
hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
a : R

⊢ count a (x ::ₘ t) = rootMultiplicity a p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree
hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
a : R

⊢ count a (x ::ₘ t) = rootMultiplicity a ((X - C x) * (p /ₘ (X - C x)))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree
t : Multiset R
htd : ↑(Multiset.card t) ≤ (p /ₘ (X - C x)).degree
htr : ∀ (a : R), count a t = rootMultiplicity a (p /ₘ (X - C x))
hdeg : (X - C x).degree ≤ p.degree
hdiv0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
a : R

⊢ count a (x ::ₘ t) = (if a = x then 1 else 0) + count a t
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b : R
n : ℕ
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝ : DecidableEq R
p : R[X]
hp : p ≠ 0
this : Decidable (∃ x, p.IsRoot x)
h : ¬∃ x, p.IsRoot x
a : R

⊢ count a 0 = rootMultiplicity a p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x✝² : (p : R[X]) ×' p ≠ 0
a✝¹ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y x✝² → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
p✝ : R[X]
x✝¹ : p✝ ≠ 0
a✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p✝, x✝¹⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
p : R[X]
hp : p ≠ 0
x✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p, hp⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree

⊢ (p /ₘ (X - C x)).natDegree < p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x✝² : (p : R[X]) ×' p ≠ 0
a✝¹ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y x✝² → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
p✝ : R[X]
x✝¹ : p✝ ≠ 0
a✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p✝, x✝¹⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
p : R[X]
hp : p ≠ 0
x✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p, hp⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : (p /ₘ (X - C x)).degree < p.degree

⊢ ↑(p /ₘ (X - C x)).natDegree < ↑p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x✝² : (p : R[X]) ×' p ≠ 0
a✝¹ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y x✝² → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
p✝ : R[X]
x✝¹ : p✝ ≠ 0
a✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p✝, x✝¹⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
p : R[X]
hp : p ≠ 0
x✝ : ∀ (y : (p : R[X]) ×' p ≠ 0), (invImage (fun x => PSigma.casesOn x fun p x => p.natDegree) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y ⟨p, hp⟩ → ∃ s, ↑(Multiset.card s) ≤ y.1.degree ∧ ∀ (a : R), count a s = rootMultiplicity a y.1
h : ∃ x, p.IsRoot x
x : R
hx : p.IsRoot x
hpd : 0 < p.degree
hd0 : p /ₘ (X - C x) ≠ 0
wf : ↑(p /ₘ (X - C x)).natDegree < ↑p.natDegree

⊢ ↑(p /ₘ (X - C x)).natDegree < ↑p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ

⊢ Option.map (Pair.map Rat.cast) ((of q).s.get? n) = (of v).s.get? n
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ

⊢ Option.map (Pair.map Rat.cast) (Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (Stream'.Seq.get? ⟨IntFractPair.stream q, ⋯⟩ (n + 1))) = Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (Stream'.Seq.get? ⟨IntFractPair.stream v, ⋯⟩ (n + 1))
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ

⊢ Option.map (Pair.map Rat.cast) (Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (IntFractPair.stream q (n + 1))) = Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (IntFractPair.stream v (n + 1))
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ

⊢ Option.map (Pair.map Rat.cast) (Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (IntFractPair.stream q (n + 1))) = Option.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) (Stream'.map (Option.map (IntFractPair.mapFr Rat.cast)) (IntFractPair.stream q) (n + 1))
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f : Perm α

⊢ cycleFactorsFinset 1 = ∅
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : ((fun b => image (fun a => f a b) s) '' ↑t).PairwiseDisjoint id

⊢ s.card ∣ (image₂ f s t).card
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : ((fun b => image (fun a => f a b) s) '' ↑t).PairwiseDisjoint id

⊢ s.card ∣ (image₂ (fun b a => f a b) t s).card
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K

⊢ 1 ≤ ↑w.mult
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Embeddings.lean
k : Type u_1
inst✝² : Field k
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
F : Type u_3
inst✝ : Field F
w : InfinitePlace K

⊢ 1 ≤ w.mult
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i : ℕ

⊢ ∃ j, (i, j) ∉ μ
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
hj : j ∉ μ.cells.preimage (Prod.mk i) ⋯

⊢ ∃ j, (i, j) ∉ μ
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ : YoungDiagram
i j : ℕ
hj : (i, j) ∉ μ.cells

⊢ ∃ j, (i, j) ∉ μ
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
x y : ℤ

⊢ x.gcd y = x.natAbs.gcd y.natAbs
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Finset ι
f : ι → Set α
hd : (↑s).Pairwise (AEDisjoint μ on f)
hm : ∀ b ∈ s, NullMeasurableSet (f b) μ

⊢ μ (⋃ b ∈ s, f b) = ∑ p ∈ s, μ (f p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : Finset ι
f : ι → Set α
hd : (↑s).Pairwise (AEDisjoint μ on f)
hm : ∀ b ∈ s, NullMeasurableSet (f b) μ

⊢ μ (⋃ b ∈ s, f b) = ∑' (b : { x // x ∈ s }), μ (f ↑b)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/CommRing.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ

⊢ (p - q).vars ⊆ p.vars ∪ q.vars
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : NonAssocSemiring α
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix m n α
i✝ : m
j✝ : n

⊢ (M * 1) i✝ j✝ = M i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.ncard ≠ 0

⊢ s.Nonempty
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hs : s.ncard ≠ 0

⊢ s ≠ ∅
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
x : ↥L
i : ι

⊢ ((ofZlatticeBasis K L b).repr ↑x) i = ↑((b.repr x) i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
x : ↥L
i : ι

⊢ ↑ℤ ↑(ofZlatticeBasis K L b).repr ∘ₗ L.subtype.toIntLinearMap = Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap ℤ K) ∘ₗ ↑b.repr
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
ι : Type u_3
hs : IsZlattice K L
b : Basis ι ℤ ↥L
x : ↥L
i✝ i : ι

⊢ (↑ℤ ↑(ofZlatticeBasis K L b).repr ∘ₗ L.subtype.toIntLinearMap) (b i) = (Finsupp.mapRange.linearMap (Algebra.linearMap ℤ K) ∘ₗ ↑b.repr) (b i)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
n : ℕ

⊢ s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ

⊢ Multiset.sum 0 ^ (Multiset.card 0 * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) 0).toFinset
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a✝ b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
hs : s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset

⊢ (a ::ₘ s).sum ^ (Multiset.card (a ::ₘ s) * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) (a ::ₘ s)).toFinset
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a✝ b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
hs : s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset

⊢ ∑ m ∈ Finset.range ((Multiset.card s + 1) * n + 1 + 1), a ^ m * s.sum ^ ((Multiset.card s + 1) * n + 1 - m) * ↑(((Multiset.card s + 1) * n + 1).choose m) ∈ span (insert (a ^ (n + 1)) ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a✝ b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
hs : s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset

⊢ ∀ c ∈ Finset.range ((Multiset.card s + 1) * n + 1 + 1), a ^ c * s.sum ^ ((Multiset.card s + 1) * n + 1 - c) * ↑(((Multiset.card s + 1) * n + 1).choose c) ∈ span (insert (a ^ (n + 1)) ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a✝ b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
hs : s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset
c : ℕ
_hc : c ∈ Finset.range ((Multiset.card s + 1) * n + 1 + 1)

⊢ a ^ c * s.sum ^ ((Multiset.card s + 1) * n + 1 - c) * ↑(((Multiset.card s + 1) * n + 1).choose c) ∈ span (insert (a ^ (n + 1)) ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a✝ b : α
inst✝¹ : CommSemiring α
I : Ideal α
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
a : α
s : Multiset α
hs : s.sum ^ (Multiset.card s * n + 1) ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset
c : ℕ
_hc : c ∈ Finset.range ((Multiset.card s + 1) * n + 1 + 1)

⊢ ∃ a_1, ∃ z ∈ span ↑(Multiset.map (fun x => x ^ (n + 1)) s).toFinset, a ^ c * s.sum ^ ((Multiset.card s + 1) * n + 1 - c) * ↑(((Multiset.card s + 1) * n + 1).choose c) = a_1 * a ^ (n + 1) + z
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)

⊢ TendstoUniformlyOn (Complex.cderiv δ ∘ F) (Complex.cderiv δ f) φ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hδ : 0 < δ
hF : TendstoUniformlyOn F f ⊥ (cthickening δ K)
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in ⊥, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)

⊢ TendstoUniformlyOn (cderiv δ ∘ F) (cderiv δ f) ⊥ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot

⊢ TendstoUniformlyOn (Complex.cderiv δ ∘ F) (Complex.cderiv δ f) φ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)

⊢ TendstoUniformlyOn (Complex.cderiv δ ∘ F) (Complex.cderiv δ f) φ K
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)

⊢ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ K, dist (Complex.cderiv δ f x) ((Complex.cderiv δ ∘ F) n x) < ε
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
ε : ℝ
hε : ε > 0

⊢ ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ K, dist (Complex.cderiv δ f x) ((Complex.cderiv δ ∘ F) n x) < ε
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z✝ : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ι
h : ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε * δ
h' : ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
z : ℂ
hz : z ∈ K

⊢ dist (Complex.cderiv δ f z) ((Complex.cderiv δ ∘ F) n z) < ε
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z✝ : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ι
h' : ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
z : ℂ
hz : z ∈ K
h : ∀ x ∈ cthickening δ K, ‖f x - F n x‖ < ε * δ

⊢ ‖Complex.cderiv δ f z - (Complex.cderiv δ ∘ F) n z‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z✝ : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ι
h' : ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
z : ℂ
hz : z ∈ K
h : ∀ x ∈ cthickening δ K, ‖f x - F n x‖ < ε * δ
e2 : ∀ w ∈ sphere z δ, ‖f w - F n w‖ < ε * δ

⊢ ‖Complex.cderiv δ f z - (Complex.cderiv δ ∘ F) n z‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z✝ : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ι
h' : ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
z : ℂ
hz : z ∈ K
h : ∀ x ∈ cthickening δ K, ‖f x - F n x‖ < ε * δ
e2 : ∀ w ∈ sphere z δ, ‖f w - F n w‖ < ε * δ
e3 : sphere z δ ⊆ cthickening δ K

⊢ ‖Complex.cderiv δ f z - (Complex.cderiv δ ∘ F) n z‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
U K : Set ℂ
z✝ : ℂ
M r δ : ℝ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f g : ℂ → E
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in φ, ∀ x ∈ cthickening δ K, dist (f x) (F n x) < ε
hδ : 0 < δ
hFn : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
hne : φ.NeBot
e1 : ContinuousOn f (cthickening δ K)
ε : ℝ
hε : ε > 0
n : ι
h' : ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)
z : ℂ
hz : z ∈ K
h : ∀ x ∈ cthickening δ K, ‖f x - F n x‖ < ε * δ
e2 : ∀ w ∈ sphere z δ, ‖f w - F n w‖ < ε * δ
e3 : sphere z δ ⊆ cthickening δ K
hf : ContinuousOn f (sphere z δ)

⊢ ‖Complex.cderiv δ f z - (Complex.cderiv δ ∘ F) n z‖ < ε
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : BijOn f ∅ t

⊢ t = ∅
-- Mathlib/Data/Set/Function.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β

⊢ BijOn f ∅ ∅
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)

⊢ 0 ≤ Real.log e
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
e : ℝ
d n : ℕ
h : NormNum.IsInt e (Int.negOfNat n)

⊢ 0 ≤ Real.log (-↑n)
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝³ : CommSemiring R
S : Type u_1
inst✝² : CommSemiring S
f : R →* S
g : R →+* S
p m n : ℕ
inst✝¹ : ExpChar R p
inst✝ : ExpChar S p
x y : R

⊢ (iterateFrobenius R p 1) x = x ^ p
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
g : β → γ
hg : UniformEmbedding g
f : α → β

⊢ UniformEmbedding (g ∘ f) ↔ UniformEmbedding f
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
m n : ℕ
hmn : m.Coprime n

⊢ ∑ d ∈ (m * n).divisors, d = (∑ d ∈ m.divisors, d) * ∑ d ∈ n.divisors, d
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
k m n : ℕ
hm : m ≠ 0
hkmn : m * k ≤ n

⊢ MapsTo val (Iic ↑k) (Iic k)
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/FreimanHom.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
k m n : ℕ
hm : m ≠ 0
hkmn : m * k ≤ n
x : ℕ
hx : x ≤ k

⊢ ↑x ∈ Iic ↑k ∧ ↑↑x = x