ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/ShiftSequence.lean
C : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_2} A
F : C ⥤ A
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddMonoid M
inst✝³ : HasShift C M
G : Type u_4
inst✝² : AddGroup G
inst✝¹ : HasShift C G
inst✝ : F.ShiftSequence M
n m a a' a'' : M
ha' : n + a = a'
ha'' : m + a' = a''

⊢ F.shiftIso (m + n) a a'' ⋯ = isoWhiskerRight (shiftFunctorAdd' C m n (m + n) ⋯) (F.shift a) ≪≫ (shiftFunctor C m).associator (shiftFunctor C n) (F.shift a) ≪≫ isoWhiskerLeft (shiftFunctor C m) (F.shiftIso n a a' ha') ≪≫ F.shiftIso m a' a'' ha''
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : (P F).W α
h : WEquiv x y

⊢ WEquiv y x
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
i j : α

⊢ (i, j) ∈ (s ∪ t).diag ↔ (i, j) ∈ s.diag ∪ t.diag
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x : ℂ
hx : ¬x = 0

⊢ log x⁻¹ = if x.arg = π then -(starRingEnd ℂ) (log x) else -log x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x : ℂ
hx : ¬x = 0

⊢ (if x.arg = π then log x else (starRingEnd ℂ) (log x)) - ↑(Real.log (normSq x)) = if x.arg = π then -(starRingEnd ℂ) (log x) else -log x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x : ℂ
hx : ¬x = 0

⊢ 0 < (normSq x)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Log.lean
x : ℂ
hx : ¬x = 0

⊢ (starRingEnd ℂ) x ≠ 0
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
s t : Set α
l : Filter α

⊢ t ∈ l ⊓ 𝓟 s ↔ l ⊓ 𝓟 s ≤ l ⊓ 𝓟 t
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
B A : C
X : Subobject B
f : A ⟶ B
inst✝ : Mono f
Y : Subobject B
h₁ : X ≤ mk f
h₂ : mk f ≤ Y

⊢ X.ofLEMk f h₁ ≫ ofMkLE f Y h₂ = X.ofLE Y ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
B A : C
X : Subobject B
f : A ⟶ B
inst✝ : Mono f
Y : Subobject B
h₁ : X ≤ mk f
h₂ : mk f ≤ Y

⊢ underlying.map (h₁.hom ≫ h₂.hom) = underlying.map ⋯.hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝¹ : Bicategory B
a b c d e : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
h : b ⟶ c
inst✝ : IsIso η

⊢ inv (η ▷ h) = inv η ▷ h
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Basic.lean
B : Type u
inst✝¹ : Bicategory B
a b c d e : B
f g : a ⟶ b
η : f ⟶ g
h : b ⟶ c
inst✝ : IsIso η

⊢ η ▷ h ≫ inv η ▷ h = 𝟙 (f ≫ h)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (f + g)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f) + SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
T : Set α → E →L[ℝ] F
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s = 0 → T s = 0
h_add : FinMeasAdditive μ T
f g : ↥(simpleFunc E 1 μ)

⊢ SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc (f + g)) = SimpleFunc.setToSimpleFunc T (toSimpleFunc f + toSimpleFunc g)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝⁴ : Field 𝕜
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : DecidableEq p
inst✝¹ : CommRing R
i j : n
inst✝ : Fintype n
h : i ≠ j
c d : R

⊢ transvection i j c * transvection i j d = transvection i j (c + d)
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
h : c = 0 → s.Nonempty
x : E

⊢ egauge 𝕜 s (c • x) = ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
h : c = 0 → s.Nonempty
x : E

⊢ egauge 𝕜 s (c • x) ≤ ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
x : E
h : 0 = 0 → s.Nonempty

⊢ egauge 𝕜 s (0 • x) ≤ ↑‖0‖₊ * egauge 𝕜 s x
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x✝ y : E
r : ℝ≥0∞
h : c = 0 → s.Nonempty
x : E
hc : c ≠ 0

⊢ egauge 𝕜 s (c • x) ≤ ↑‖c‖₊ * egauge 𝕜 s x
-- Mathlib/Topology/NhdsSet.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
hU : IsOpen s

⊢ s ∈ 𝓝ˢ t ↔ t ⊆ s
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : f + g ≈ 0

⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : f + g ≈ 0
this : 0 ≤ max f.norm g.norm

⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
hfg' : f + g ≈ g

⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
hfg' : f + g ≈ g
hcfg : (f + g).norm = g.norm

⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
hfg' : f + g ≈ g
hcfg : (f + g).norm = g.norm
hcl : f.norm = 0

⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : f ≈ 0
hfg' : f + g ≈ g
hcfg : (f + g).norm = g.norm
hcl : f.norm = 0
this : max f.norm g.norm = g.norm

⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
hfg' : f + g ≈ f

⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
hfg' : f + g ≈ f
hcfg : (f + g).norm = f.norm

⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
hfg' : f + g ≈ f
hcfg : (f + g).norm = f.norm
hcl : g.norm = 0

⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
f g : PadicSeq p
hfg : ¬f + g ≈ 0
hf : ¬f ≈ 0
hg : g ≈ 0
hfg' : f + g ≈ f
hcfg : (f + g).norm = f.norm
hcl : g.norm = 0
this : max f.norm g.norm = f.norm

⊢ (f + g).norm ≤ max f.norm g.norm
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L

⊢ (killingForm R (LieDerivation R L L)).restrict (ad R L).range.toSubmodule = killingForm R ↥(ad R L).range
-- Mathlib/Algebra/Lie/Derivation/Killing.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : Module.Finite R L

⊢ killingForm R ↥↑(ad R L).idealRange = killingForm R ↥(lieIdealSubalgebra R (LieDerivation R L L) (ad R L).idealRange)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Schwarz.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
R R₁ R₂ : ℝ
f : ℂ → E
c z z₀ : ℂ
hd : DifferentiableOn ℂ f (ball c R₁)
h_maps : MapsTo f (ball c R₁) (ball (f c) R₂)
h₀ : 0 < R₁

⊢ ‖deriv f c‖ ≤ R₂ / R₁
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SOppSide x y

⊢ ∃ p ∈ s, Sbtw R x p y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : LinearOrderedField R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
h : s.SOppSide x y
p : P
hp : p ∈ s
hw : Wbtw R x p y

⊢ ∃ p ∈ s, Sbtw R x p y
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

⊢ hU.fromSpec ''ᵁ PrimeSpectrum.basicOpen f = X.basicOpen f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

⊢ hU.fromSpec ''ᵁ hU.fromSpec ⁻¹ᵁ X.basicOpen f = X.basicOpen f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

⊢ ⇑hU.fromSpec.val.base '' (⇑hU.fromSpec.val.base ⁻¹' ↑(X.basicOpen f)) = ↑(X.basicOpen f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)

⊢ ↑(X.basicOpen f) ⊆ ↑U
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ ν : Measure α✝
α : Type u_5
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : IsEmpty α
μ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
this : Subsingleton (Measure α)

⊢ ∫⁻ (x : α), f x ∂μ = 0
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝² : LindelofSpace X
f : Filter X
inst✝¹ : f.NeBot
inst✝ : CountableInterFilter f

⊢ ∃ x, ClusterPt x f
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝¹⁵ : Field k
K : Type u
inst✝¹⁴ : Field K
L : Type v
M : Type w
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Field M
inst✝¹⁰ : Algebra K M
inst✝⁹ : IsAlgClosed M
inst✝⁸ : Algebra.IsAlgebraic K L
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R S

⊢ S →ₐ[R] M
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝¹⁵ : Field k
K : Type u
inst✝¹⁴ : Field K
L : Type v
M : Type w
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
inst✝¹¹ : Field M
inst✝¹⁰ : Algebra K M
inst✝⁹ : IsAlgClosed M
inst✝⁸ : Algebra.IsAlgebraic K L
R : Type u
inst✝⁷ : CommRing R
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : IsDomain S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Algebra R M
inst✝² : NoZeroSMulDivisors R S
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R S
this : IsDomain R := Function.Injective.isDomain (algebraMap R S) (NoZeroSMulDivisors.algebraMap_injective R S)

⊢ S →ₐ[R] M
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ t
f : γ → α

⊢ (fun a => (f a, b)) ⁻¹' s ×ˢ t = if b ∈ t then f ⁻¹' s else ∅
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
I : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
J : Ideal R
H : J ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) I
hI : (Ideal.comap (algebraMap R S) I).IsMaximal
s : S ⧸ I

⊢ ∃ a, (Ideal.quotientMap I (algebraMap R S) H) a = s
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
I : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
J : Ideal R
H : J ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) I
hI : (Ideal.comap (algebraMap R S) I).IsMaximal
s : S

⊢ ∃ a, (Ideal.quotientMap I (algebraMap R S) H) a = (Ideal.Quotient.mk I) s
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : IsLocalization M S
I : Ideal S
inst✝ : I.IsPrime
J : Ideal R
H : J ≤ Ideal.comap (algebraMap R S) I
hI : (Ideal.comap (algebraMap R S) I).IsMaximal
r m : R
hm : m ∈ M

⊢ ∃ a, (Ideal.quotientMap I (algebraMap R S) H) a = (Ideal.Quotient.mk I) (mk' S r ⟨m, hm⟩)
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
f : α → β
l : Filter β

⊢ Tendsto f (𝓝[s] a) l ↔ Tendsto (s.restrict f) (𝓝 ⟨a, h⟩) l
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
s : Set α
a : α
h : a ∈ s
f : α → β
l : Filter β

⊢ Tendsto (f ∘ Subtype.val) (𝓝 ⟨a, h⟩) l ↔ Tendsto (s.restrict f) (𝓝 ⟨a, h⟩) l
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι : Type u_3
κ✝ : Type u_4
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Finite η

⊢ ∃ n, ∀ (C : (Fin n → α) → κ), ∃ l, IsMono C l
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Finite η
ι : Type
ιfin : Fintype ι
hι : ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l

⊢ ∃ n, ∀ (C : (Fin n → α) → κ), ∃ l, IsMono C l
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Finite η
ι : Type
ιfin : Fintype ι
hι : ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l
C : (Fin (Fintype.card ι) → α) → κ
l : Subspace η α ι
c : κ
cl : ∀ (x : η → α), (fun v => C (v ∘ ⇑(Fintype.equivFin ι).symm)) (↑l x) = c
e : η

⊢ ∃ i, (l.idxFun ∘ ⇑(Fintype.equivFin ι).symm) i = Sum.inr e
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Finite η
ι : Type
ιfin : Fintype ι
hι : ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l
C : (Fin (Fintype.card ι) → α) → κ
l : Subspace η α ι
c : κ
cl : ∀ (x : η → α), (fun v => C (v ∘ ⇑(Fintype.equivFin ι).symm)) (↑l x) = c
e : η
i : ι
hi : l.idxFun i = Sum.inr e

⊢ ∃ i, (l.idxFun ∘ ⇑(Fintype.equivFin ι).symm) i = Sum.inr e
-- Mathlib/Combinatorics/HalesJewett.lean
η✝ : Type u_1
α✝ : Type u_2
ι✝ : Type u_3
κ✝ : Type u_4
α : Type u_5
κ : Type u_6
η : Type u_7
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Finite κ
inst✝ : Finite η
ι : Type
ιfin : Fintype ι
hι : ∀ (C : (ι → α) → κ), ∃ l, IsMono C l
C : (Fin (Fintype.card ι) → α) → κ
l : Subspace η α ι
c : κ
cl : ∀ (x : η → α), (fun v => C (v ∘ ⇑(Fintype.equivFin ι).symm)) (↑l x) = c
e : η
i : ι
hi : l.idxFun i = Sum.inr e

⊢ (l.idxFun ∘ ⇑(Fintype.equivFin ι).symm) ((Fintype.equivFin ι) i) = Sum.inr e
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
s : Set β

⊢ l (sInf (u '' s)) = sInf s
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type v
a b : α✝
inst✝² : CommSemiring α✝
I : Ideal α✝
α : Type u
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : IsDomain α
x y : α

⊢ span {x} = span {y} ↔ Associated x y
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α✝ : Type u
β : Type v
a b : α✝
inst✝² : CommSemiring α✝
I : Ideal α✝
α : Type u
inst✝¹ : CommRing α
inst✝ : IsDomain α
x y : α

⊢ span {y} ≤ span {x} ∧ span {x} ≤ span {y} ↔ x ∣ y ∧ y ∣ x
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean

⊢ volume (⋃ p, ⋃ (_ : 2 < p), {x | LiouvilleWith p x}) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean

⊢ volume {x | ∃ i, 2 < i ∧ LiouvilleWith i x} = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean

⊢ volume (⋃ m, (fun x => x + ↑m) ⁻¹' ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean

⊢ ∀ (i : ℤ), volume ((fun x => x + ↑i) ⁻¹' ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean
m : ℤ

⊢ volume ((fun x => x + ↑m) ⁻¹' ⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean
m : ℤ

⊢ volume (⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean

⊢ volume (⋃ n, ⋃ (_ : n > 0), {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)}) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean
n : ℕ
hn : 1 ≤ n

⊢ volume {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ (2 + 1 / ↑n)} = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
r : ℝ
hr : 2 + 1 / ↑n = r

⊢ volume {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ r} = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
r : ℝ
hr : 2 < r

⊢ volume {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ r} = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean
r : ℝ
hr : 2 < r

⊢ volume {x | ∃ᶠ (b : ℕ) in atTop, ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, |x - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ r} = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean
r : ℝ
hr : 2 < r

⊢ ∑' (i : ℕ), volume {x | ∃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑i, |x - ↑a / ↑i| < 1 / ↑i ^ r} ≠ ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean
r : ℝ
hr : 2 < r

⊢ ∑' (i : ℕ), volume (⋃ i_1 ∈ Finset.Icc 0 ↑i, ball (↑i_1 / ↑i) (1 / ↑i ^ r)) ≠ ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean
r : ℝ
hr : 2 < r
B : ℤ → ℕ → Set ℝ := fun a b => ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ r)

⊢ ∑' (i : ℕ), volume (⋃ i_1 ∈ Finset.Icc 0 ↑i, ball (↑i_1 / ↑i) (1 / ↑i ^ r)) ≠ ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean
r : ℝ
hr : 2 < r
B : ℤ → ℕ → Set ℝ := fun a b => ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ r)
hB : ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), volume (B a b) = ↑(2 / ↑b ^ r)

⊢ ∑' (i : ℕ), volume (⋃ i_1 ∈ Finset.Icc 0 ↑i, ball (↑i_1 / ↑i) (1 / ↑i ^ r)) ≠ ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean
r : ℝ
hr : 2 < r
B : ℤ → ℕ → Set ℝ := fun a b => ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ r)
hB : ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), volume (B a b) = ↑(2 / ↑b ^ r)
this : ∀ (b : ℕ), volume (⋃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, B a b) ≤ ↑(2 * (↑b ^ (1 - r) + ↑b ^ (-r)))

⊢ ∑' (i : ℕ), volume (⋃ i_1 ∈ Finset.Icc 0 ↑i, ball (↑i_1 / ↑i) (1 / ↑i ^ r)) ≠ ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/Measure.lean
r : ℝ
hr : 2 < r
B : ℤ → ℕ → Set ℝ := fun a b => ball (↑a / ↑b) (1 / ↑b ^ r)
hB : ∀ (a : ℤ) (b : ℕ), volume (B a b) = ↑(2 / ↑b ^ r)
this : ∀ (b : ℕ), volume (⋃ a ∈ Finset.Icc 0 ↑b, B a b) ≤ ↑(2 * (↑b ^ (1 - r) + ↑b ^ (-r)))

⊢ Summable fun a => 2 * (↑a ^ (1 - r) + ↑a ^ (-r))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
p q r : R[X]
n : ℕ

⊢ (p * (X - ↑n)).comp q = p.comp q * (q - ↑n)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, f' x < 0
x : ℝ
hx : x ∈ interior D

⊢ deriv f x < 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, f' x < 0
x : ℝ
hx : x ∈ interior D

⊢ f' x < 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t

⊢ IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Ioi t) volume ↔ s.re < -1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Ioi t) volume

⊢ s.re < -1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ImproperIntegrals.lean
s : ℂ
t : ℝ
ht : 0 < t
h : IntegrableOn (fun x => ↑x ^ s) (Ioi t) volume
B : IntegrableOn (fun a => a ^ s.re) (Ioi t) volume

⊢ s.re < -1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : LocalRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : LocalRing S
f : R →+* S

⊢ IsLocalRingHom f ↔ (PrimeSpectrum.comap f) (closedPoint S) = closedPoint R
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : LocalRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : LocalRing S
f : R →+* S
this : IsLocalRingHom f ↔ Ideal.comap f (maximalIdeal S) = maximalIdeal R

⊢ IsLocalRingHom f ↔ (PrimeSpectrum.comap f) (closedPoint S) = closedPoint R
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : LocalRing R
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : LocalRing S
f : R →+* S
this : IsLocalRingHom f ↔ Ideal.comap f (maximalIdeal S) = maximalIdeal R

⊢ Ideal.comap f (maximalIdeal S) = maximalIdeal R ↔ ((PrimeSpectrum.comap f) (closedPoint S)).asIdeal = (closedPoint R).asIdeal
-- Mathlib/CategoryTheory/FiberedCategory/HomLift.lean
𝒮 : Type u₁
𝒳 : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₂} 𝒳
inst✝¹ : Category.{v₂, u₁} 𝒮
p : 𝒳 ⥤ 𝒮
R S : 𝒮
a b : 𝒳
f : R ⟶ S
φ : a ⟶ b
inst✝ : p.IsHomLift f φ

⊢ p.map φ = eqToHom ⋯ ≫ f ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
hb : b ≠ 0

⊢ a * b = b ↔ a = 1
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Topology.IsUpperSet α
inst✝ : IsUpper β
f : α → β
hf : Monotone f

⊢ Continuous f
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Topology.IsUpperSet α
inst✝ : IsUpper β
f : α → β
hf : Monotone f

⊢ ∀ (s : Set β), IsOpen s → IsUpperSet (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/Order/UpperLowerSetTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder α
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Topology.IsUpperSet α
inst✝ : IsUpper β
f : α → β
hf : Monotone f
s : Set β
hs : IsOpen s

⊢ IsUpperSet (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

⊢ K.toCycles i j ≫ (K.cyclesIsoSc' i j k hi hk).hom = (K.sc' i j k).toCycles
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ

⊢ ofInt' ↑(n + 1) = -ofInt' -[n+1]
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1

⊢ (Num.ofNat' 0).toZNum = -(Num.ofNat' 0).toZNum
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1

⊢ Num.toZNum 0 = -Num.toZNum 0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ

⊢ (Num.ofNat' (n + 1)).toZNumNeg = -(Num.ofNat' (n + 1)).toZNum
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
A : Matrix V V α
inst✝¹ : MulZeroOneClass α
inst✝ : Nontrivial α
h : A.IsAdjMatrix
i j : V

⊢ ¬A i j = 0 ↔ A i j = 1
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α

⊢ M.Basis' I X ↔ M.Basis I (X ∩ M.E)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α

⊢ I ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X} ↔ I ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {A | M.Indep A ∧ A ⊆ X ∩ M.E}