ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
A : μ tᶜ = 0

⊢ ρ s ≤ ↑p * μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
A : μ tᶜ = 0

⊢ ρ (s ∩ t) ≤ (p • μ) (s ∩ t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
A : μ tᶜ = 0
x : α
hx : x ∈ s ∩ t

⊢ ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ (p • μ) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
A : μ tᶜ = 0
x : α
hx : x ∈ s ∩ t
I : ∀ᶠ (b : Set α) in v.filterAt x, ρ b / μ b < ↑p

⊢ ∃ᶠ (a : Set α) in v.filterAt x, ρ a ≤ (p • μ) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
A : μ tᶜ = 0
x : α
hx : x ∈ s ∩ t
I : ∀ᶠ (b : Set α) in v.filterAt x, ρ b / μ b < ↑p
a : Set α
ha : ρ a / μ a < ↑p

⊢ ρ a ≤ (p • μ) a
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
A : μ tᶜ = 0
x : α
hx : x ∈ s ∩ t
I : ∀ᶠ (b : Set α) in v.filterAt x, ρ b / μ b < ↑p
a : Set α
ha : ρ a / μ a < ↑p

⊢ ρ a ≤ ↑p * μ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
p : ℝ≥0
s : Set α
h : s ⊆ {x | v.limRatioMeas hρ x < ↑p}
t : Set α := {x | Tendsto (fun a => ρ a / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 (v.limRatioMeas hρ x))}
A : μ tᶜ = 0
x : α
hx : x ∈ s ∩ t
I : ∀ᶠ (b : Set α) in v.filterAt x, ρ b / μ b < ↑p
a : Set α
ha : ρ a / μ a < ↑p

⊢ μ a ≠ 0 ∨ ↑p ≠ ⊤
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀✝ x₁✝ x₀ x₁ x₂ x₃ : X
p : Path x₀ x₁
q : Path x₁ x₂
r : Path x₂ x₃
x : ↑I

⊢ ((p.trans q).trans r) x = ((p.trans (q.trans r)).reparam (fun t => ⟨transAssocReparamAux t, ⋯⟩) ⋯ ⋯ ⋯) x
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
x₀✝ x₁✝ x₀ x₁ x₂ x₃ : X
p : Path x₀ x₁
q : Path x₁ x₂
r : Path x₂ x₃
x : ↑I

⊢ (if h : ↑x ≤ 1 / 2 then if h_1 : 2 * ↑x ≤ 1 / 2 then p ⟨2 * (2 * ↑x), ⋯⟩ else q ⟨2 * (2 * ↑x) - 1, ⋯⟩ else r ⟨2 * ↑x - 1, ⋯⟩) = if h : (if ↑x ≤ 1 / 4 then 2 * ↑x else if ↑x ≤ 1 / 2 then ↑x + 1 / 4 else 1 / 2 * (↑x + 1)) ≤ 1 / 2 then p ⟨if ↑x ≤ 1 / 4 then 2 * (2 * ↑x) else if ↑x ≤ 1 / 2 then 2 * (↑x + 1 / 4) else 2 * (1 / 2 * (↑x + 1)), ⋯⟩ else if h_1 : (if ↑x ≤ 1 / 4 then 2 * (2 * ↑x) else if ↑x ≤ 1 / 2 then 2 * (↑x + 1 / 4) else 2 * (1 / 2 * (↑x + 1))) - 1 ≤ 1 / 2 then q ⟨2 * ((if ↑x ≤ 1 / 4 then 2 * (2 * ↑x) else if ↑x ≤ 1 / 2 then 2 * (↑x + 1 / 4) else 2 * (1 / 2 * (↑x + 1))) - 1), ⋯⟩ else r ⟨2 * ((if ↑x ≤ 1 / 4 then 2 * (2 * ↑x) else if ↑x ≤ 1 / 2 then 2 * (↑x + 1 / 4) else 2 * (1 / 2 * (↑x + 1))) - 1) - 1, ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : Subsingleton α
x : α
hx : x ∈ s

⊢ s = univ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/IncMatrix.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
G : SimpleGraph α
inst✝² : Fintype (Sym2 α)
inst✝¹ : NonAssocSemiring R
a b : α
e : Sym2 α
inst✝ : Fintype α

⊢ e ∈ G.edgeSet → ∑ a : α, incMatrix R G a e = 2
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
hm : m ≠ 0

⊢ LiouvilleWith p (↑m * x) ↔ LiouvilleWith p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t : Set α
f✝ f : α → β
h : μ ≤ ν
hf : Measurable f
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ (map f μ) s ≤ (map f ν) s
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
iVU : V ⟶ U
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
p : ↥(unop (op V))

⊢ ↑((comap (RingHom.id R) U V ⋯) s) p = ↑(((structureSheaf R).val.map iVU.op) s) p
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
iVU : V ⟶ U
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
p : ↥(unop (op V))

⊢ (Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p).asIdeal (↑p).asIdeal (RingHom.id R) ⋯) (↑s ⟨(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p, ⋯⟩) = ↑(((structureSheaf R).val.map iVU.op) s) p
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
iVU : V ⟶ U
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
p : ↥(unop (op V))
W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hpW : ↑((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) p) ∈ W
iWU : W ⟶ unop (op U)
h : (isFractionPrelocal R).pred fun x => ↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)

⊢ (Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p).asIdeal (↑p).asIdeal (RingHom.id R) ⋯) (↑s ⟨(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p, ⋯⟩) = ↑(((structureSheaf R).val.map iVU.op) s) p
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
iVU : V ⟶ U
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
p : ↥(unop (op V))
W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hpW : ↑((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) p) ∈ W
iWU : W ⟶ unop (op U)
h : (isFractionPrelocal R).pred fun x => ↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)
a b : R
h' : ∀ (x : ↥W), ∃ (hs : b ∉ (↑x).asIdeal), ↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x) = IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime (↑x).asIdeal) a ⟨b, hs⟩

⊢ (Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p).asIdeal (↑p).asIdeal (RingHom.id R) ⋯) (↑s ⟨(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p, ⋯⟩) = ↑(((structureSheaf R).val.map iVU.op) s) p
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
iVU : V ⟶ U
s : ↑((structureSheaf R).val.obj (op U))
p : ↥(unop (op V))
W : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hpW : ↑((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) p) ∈ W
iWU : W ⟶ unop (op U)
h : (isFractionPrelocal R).pred fun x => ↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x)
a b : R
h' : ∀ (x : ↥W), ∃ (hs : b ∉ (↑x).asIdeal), ↑s ((fun x => ⟨↑x, ⋯⟩) x) = IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime (↑x).asIdeal) a ⟨b, hs⟩
hb₁ : b ∉ (↑⟨↑p, hpW⟩).asIdeal
s_eq₁ : ↑s ⟨↑p, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime (↑p).asIdeal) a ⟨b, hb₁⟩
hb₂ : b ∉ (↑⟨(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p, hpW⟩).asIdeal
s_eq₂ : ↑s ⟨(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p, ⋯⟩ = IsLocalization.mk' (Localization.AtPrime ((PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p).asIdeal) a ⟨b, hb₂⟩

⊢ (Localization.localRingHom ((PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p).asIdeal (↑p).asIdeal (RingHom.id R) ⋯) (↑s ⟨(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ↑p, ⋯⟩) = ↑(((structureSheaf R).val.map iVU.op) s) p
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β α : Type u
n : ℕ

⊢ #α = ↑n ↔ Nonempty (α ≃ Fin n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f μ

⊢ Integrable f ((μ univ)⁻¹ • μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f 0

⊢ Integrable f ((0 univ)⁻¹ • 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
h : Integrable f μ
hne : μ ≠ 0

⊢ Integrable f ((μ univ)⁻¹ • μ)
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
v : m → α

⊢ ‖col ι v‖₊ = ‖v‖₊
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
S : Set (Set α)

⊢ ⋂₀ S = (⋃₀ (compl '' S))ᶜ
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
a✝ b✝ : α
inst✝ : LE α
a : WithBot α
h : a ≠ ⊥
b : α

⊢ a.unbot h ≤ b ↔ a ≤ ↑b
-- Mathlib/Analysis/MellinInversion.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ

⊢ mellin f s = ∫ (u : ℝ), cexp (-s * ↑u) • f (rexp (-u))
-- Mathlib/Analysis/MellinInversion.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ

⊢ ∫ (x : ℝ) in univ, |(-rexp (-x))| • ↑((rexp ∘ Neg.neg) x) ^ (s - 1) • f ((rexp ∘ Neg.neg) x) = ∫ (u : ℝ), cexp (-s * ↑u) • f (rexp (-u))
-- Mathlib/Analysis/MellinInversion.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
u : ℝ

⊢ -↑s.im * ↑u = ↑(-2 * π * (u * (s.im / (2 * π))))
-- Mathlib/Analysis/MellinInversion.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
u : ℝ

⊢ ↑u * -↑s.im = ↑(u * (s.im / (2 * π)) * (-2 * π))
-- Mathlib/Analysis/MellinInversion.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ
u : ℝ
this : 2 * ↑π ≠ 0

⊢ ↑u * -↑s.im = ↑(u * (s.im / (2 * π)) * (-2 * π))
-- Mathlib/Analysis/MellinInversion.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → E
s : ℂ

⊢ ∫ (u : ℝ), cexp (↑(-2 * π * (u * (s.im / (2 * π)))) * I) • rexp (-s.re * u) • f (rexp (-u)) = 𝓕 (fun u => rexp (-s.re * u) • f (rexp (-u))) (s.im / (2 * π))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0

⊢ W.neg P = P z • ![P x / P z ^ 2, W.toAffine.negY (P x / P z ^ 2) (P y / P z ^ 3), 1]
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : V
inst✝¹ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)
inst✝ : Fintype ↑(G'.spanningCoe.neighborSet v)

⊢ G'.spanningCoe.degree v = G'.degree v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁ G₂ : G.Subgraph
a b : V
G' : G.Subgraph
v : V
inst✝¹ : Fintype ↑(G'.neighborSet v)
inst✝ : Fintype ↑(G'.spanningCoe.neighborSet v)

⊢ Fintype.card ↑(G'.spanningCoe.neighborSet v) = Fintype.card ↑(G'.neighborSet v)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z

⊢ x ≤ y ^ (1 / z) ↔ x ^ z ≤ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z

⊢ x ^ 1 ≤ y ^ (1 / z) ↔ x ^ z ≤ y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z

⊢ x ^ (z * z⁻¹) ≤ y ^ (1 / z) ↔ x ^ z ≤ y
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a✝ : α
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
hr : RightUnique r
a : List α
b : List β
h₁ : Forall₂ r a b
c : List α
d : List β
h₂ : Forall₂ r c d
h : a ~ c
this : (flip (Forall₂ r) ∘r Perm ∘r Forall₂ r) b d

⊢ ((flip (Forall₂ r) ∘r Forall₂ r) ∘r Perm) b d
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
a b : WithTop α
mono_iff : ∀ {a b : α}, f a ≤ f b ↔ a ≤ b

⊢ map f a ≤ map f b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
a b : WithTop α
mono_iff : ∀ {a b : α}, f a ≤ f b ↔ a ≤ b

⊢ ∀ {a b : αᵒᵈ}, (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) a ≤ (⇑OrderDual.toDual ∘ f ∘ ⇑OrderDual.ofDual) b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : p.last = q.head
i : Fin (p.length + q.length + 1)
H : ¬↑i < p.length

⊢ p.length ≤ ↑i
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : p.last = q.head
i : Fin (p.length + q.length + 1)
H : ¬↑i < p.length

⊢ ↑i < p.length + (q.length + 1)
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : p.last = q.head
i : Fin (p.length + q.length + 1)
H : ¬↑i < p.length

⊢ ↑i < p.length + q.length + 1
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
x✝ : ∃ n y, (Polynomial.aeval x) (X ^ q ^ n - C y) = 0
n : ℕ
y : F
h : (Polynomial.aeval x) (X ^ q ^ n - C y) = 0

⊢ (minpoly F x).natSepDegree = 1
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
x✝ : ∃ n y, (Polynomial.aeval x) (X ^ q ^ n - C y) = 0
n : ℕ
y : F
h : (Polynomial.aeval x) (X ^ q ^ n - C y) = 0
hnezero : X ^ q ^ n - C y ≠ 0

⊢ (minpoly F x).natSepDegree = 1
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
x✝ : ∃ n y, (Polynomial.aeval x) (X ^ q ^ n - C y) = 0
n : ℕ
y : F
h : (Polynomial.aeval x) (X ^ q ^ n - C y) = 0
hnezero : X ^ q ^ n - C y ≠ 0

⊢ 1 ≤ (minpoly F x).natSepDegree
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
x : E
x✝ : ∃ n y, (Polynomial.aeval x) (X ^ q ^ n - C y) = 0
n : ℕ
y : F
h : (Polynomial.aeval x) (X ^ q ^ n - C y) = 0
hnezero : X ^ q ^ n - C y ≠ 0

⊢ 1 ≤ (minpoly F x).natDegree
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝³ : Category.{uD', uD} D
inst✝² : HasZeroMorphisms D
P Q W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct W X
inst✝ : HasBinaryBiproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z

⊢ inl ≫ map f g = f ≫ inl
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝³ : Category.{uD', uD} D
inst✝² : HasZeroMorphisms D
P Q W X Y Z : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct W X
inst✝ : HasBinaryBiproduct Y Z
f : W ⟶ Y
g : X ⟶ Z

⊢ inl ≫ map' f g = f ≫ inl
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

⊢ (K.homologyIsoSc' i j k hi hk).inv ≫ K.homologyι j = (K.sc' i j k).homologyι ≫ (K.opcyclesIsoSc' i j k hi hk).inv
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]

⊢ a + -a ≡ b + -b [ZMOD n]
-- Mathlib/Data/Int/ModEq.lean
m n a b c d : ℤ
h : a ≡ b [ZMOD n]

⊢ 0 ≡ 0 [ZMOD n]
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Mod α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b

⊢ ma % mb ∈ a % b
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Mod α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b

⊢ ∃ a_1 ∈ a, ∃ a ∈ b, a_1 % a = ma % mb
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.Regular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤

⊢ (μ.restrict A).Regular
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.Regular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
this : (μ.restrict A).WeaklyRegular

⊢ (μ.restrict A).Regular
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.Regular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
this : (μ.restrict A).WeaklyRegular
V : Set α
hV : IsOpen V
r : ℝ≥0∞
hr : r < (μ.restrict A) V

⊢ ∃ K ⊆ V, IsCompact K ∧ r < (μ.restrict A) K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝² : R1Space α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : μ.Regular
A : Set α
h'A : μ A ≠ ⊤
this : (μ.restrict A).WeaklyRegular
V : Set α
hV : IsOpen V
r : ℝ≥0∞
hr : r < (μ.restrict A) V
R : (μ.restrict A) V ≠ ⊤

⊢ ∃ K ⊆ V, IsCompact K ∧ r < (μ.restrict A) K
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WeakDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : NormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
f : E →ₗ[𝕜] 𝕜
r : ℝ

⊢ f.toSeminorm.ball 0 r = {x | ‖f x‖ < r}
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
x : E
s : Set E
x✝ : ℝ

⊢ logDeriv rexp x✝ = 1 x✝
-- Mathlib/Data/Matroid/Sum.lean
α : Type u
β : Type v
M✝ N✝ M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set (α ⊕ β)

⊢ (M.sum N).Base B ↔ M.Base (Sum.inl ⁻¹' B) ∧ N.Base (Sum.inr ⁻¹' B)
-- Mathlib/Data/Matroid/Sum.lean
α : Type u
β : Type v
M✝ N✝ M : Matroid α
N : Matroid β
B : Set (α ⊕ β)

⊢ M.Base ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk false ⁻¹' ((fun a => (Equiv.sumEquivSigmaBool (ULift.{v, u} α) (ULift.{u, v} β)) a) '' ((fun a => Sum.map (⇑Equiv.ulift.symm) (⇑Equiv.ulift.symm) a) '' B)))) ∧ N.Base ((fun a => a.down) '' (Sigma.mk true ⁻¹' ((fun a => (Equiv.sumEquivSigmaBool (ULift.{v, u} α) (ULift.{u, v} β)) a) '' ((fun a => Sum.map (⇑Equiv.ulift.symm) (⇑Equiv.ulift.symm) a) '' B)))) ↔ M.Base (Sum.inl ⁻¹' B) ∧ N.Base (Sum.inr ⁻¹' B)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hMin : I ∈ minimalPrimes R
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsLocalization.AtPrime S I
J K : Ideal S
inst✝¹ : J.IsPrime
inst✝ : K.IsPrime
i₁ i₂ : { i // i.IsPrime ∧ i ≤ I }

⊢ ↑i₁ = ↑i₂
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
hMin : I ∈ minimals (fun x x_1 => x ≤ x_1) (setOf Ideal.IsPrime)
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : IsLocalization.AtPrime S I
J K : Ideal S
inst✝¹ : J.IsPrime
inst✝ : K.IsPrime
i₁ i₂ : { i // i.IsPrime ∧ i ≤ I }

⊢ ↑i₁ = ↑i₂
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Ring/List.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
M : Type u_3
M₀ : Type u_4
R : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : HasDistribNeg M
l : List M

⊢ (map Neg.neg l).prod = (-1) ^ l.length * l.prod
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι✝ : Sort u_6
s✝ t u : Set α
ι : Sort u_7
m : ι → MeasurableSpace α
s : Set α

⊢ MeasurableSet s ↔ GenerateMeasurable {s | ∃ i, MeasurableSet s} s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ ∫ (v : V), rexp (-b * ‖v‖ ^ 2) = (π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ ↑(∫ (v : V), rexp (-b * ‖v‖ ^ 2)) = ↑((π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ ↑(∫ (v : V), rexp (-b * ‖v‖ ^ 2)) = ∫ (v : V), cexp (-↑b * ↑‖v‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
b : ℝ
hb : 0 < b

⊢ ↑((π / b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2)) = (↑π / ↑b) ^ (↑(FiniteDimensional.finrank ℝ V) / 2)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

⊢ {x | ↑x.asIdeal ^ ↑((Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk I).factors) ≠ 1}.Finite
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I : Ideal R
hI : I ≠ 0

⊢ {x | ¬x.asIdeal ^ (Associates.mk x.asIdeal).count (Associates.mk I).factors = 1}.Finite
-- Mathlib/Condensed/TopCatAdjunction.lean
X : CondensedSet
S : CompHaus
x : X.val.obj (Opposite.op S)

⊢ ∀ (i : (T : CompHaus) × X.val.obj (Opposite.op T)), Continuous fun a => CondensedSet.coinducingCoprod X ⟨i, a⟩
-- Mathlib/Condensed/TopCatAdjunction.lean
X : CondensedSet
S : CompHaus
x : X.val.obj (Opposite.op S)

⊢ Continuous (CondensedSet.coinducingCoprod X)
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
S : Set ℝ
hne : S.Nonempty
hbdd : BddBelow S

⊢ ∃ x, IsGLB S x