ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Comp.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hh₂ : DifferentiableWithinAt 𝕜' h₂ s' (h x)
hh : DifferentiableWithinAt 𝕜 h s x
hs : MapsTo h s s'
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
hy : y = h x

⊢ derivWithin (h₂ ∘ h) s x = derivWithin h₂ s' (h x) * derivWithin h s x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M

⊢ A ^ (-1) = A⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M

⊢ A = DivInvMonoid.zpow (↑(Nat.succ 0)) A
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
s : Set ι
x : ι
h : x ∉ s

⊢ v x ∉ span R (v '' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
s : Set ι
x : ι
h : x ∉ s
h' : v x ∈ span R (v '' {x})

⊢ v x ∉ span R (v '' s)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
s : Set ι
x : ι
h : x ∉ s
h' : v x ∈ span R (v '' {x})
w : v x ∈ span R (v '' s)

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
s : Set ι
x : ι
h : x ∉ s
h' : v x ∈ span R (v '' {x})
w : v x ∈ span R (v '' s)

⊢ v x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
s : Set ι
x : ι
h : x ∉ s
h' : v x ∈ span R (v '' {x})
w : v x ∈ span R (v '' s)

⊢ Disjoint {x} s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f

⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)

⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x => ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)

⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x => ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
vf_cont : ∀ (n : ℕ), Continuous (v n ∘ f)

⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x => ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
vf_cont : ∀ (n : ℕ), Continuous (v n ∘ f)
I : ∀ (ν : Measure G), IsFiniteMeasureOnCompacts ν → Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂ν) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂ν))
M : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
I1 : Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'))

⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x => ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
vf_cont : ∀ (n : ℕ), Continuous (v n ∘ f)
I : ∀ (ν : Measure G), IsFiniteMeasureOnCompacts ν → Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂ν) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂ν))
M : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
I1 : Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'))
J1 : ∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ

⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x => ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
vf_cont : ∀ (n : ℕ), Continuous (v n ∘ f)
I : ∀ (ν : Measure G), IsFiniteMeasureOnCompacts ν → Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂ν) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂ν))
M : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
I1 : Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'))
J1 : ∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
J2 : (μ' (f ⁻¹' {1})).toReal = ((μ'.haarScalarFactor μ • μ) (f ⁻¹' {1})).toReal

⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x => ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
vf_cont : ∀ (n : ℕ), Continuous (v n ∘ f)
I : ∀ (ν : Measure G), IsFiniteMeasureOnCompacts ν → Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂ν) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂ν))
M : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
I1 : Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'))
J1 : ∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
J2 : (μ' (f ⁻¹' {1})).toReal = ((μ'.haarScalarFactor μ • μ) (f ⁻¹' {1})).toReal
C : IsCompact (f ⁻¹' {1})

⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝² : μ.IsHaarMeasure
inst✝¹ : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝ : μ'.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ
hf : Continuous f
h'f : HasCompactSupport f
u : ℕ → ℝ
u_mem : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 1
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → ℝ → ℝ := fun n x => ↑((thickenedIndicator ⋯ {1}) x)
vf_cont : ∀ (n : ℕ), Continuous (v n ∘ f)
I : ∀ (ν : Measure G), IsFiniteMeasureOnCompacts ν → Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂ν) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂ν))
M : ∀ (n : ℕ), ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
I1 : Tendsto (fun n => ∫ (x : G), v n (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ) atTop (𝓝 (∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'))
J1 : ∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ' = ∫ (x : G), {1}.indicator (fun x => 1) (f x) ∂μ'.haarScalarFactor μ • μ
J2 : μ' (f ⁻¹' {1}) = (μ'.haarScalarFactor μ • μ) (f ⁻¹' {1})
C : IsCompact (f ⁻¹' {1})

⊢ μ' (f ⁻¹' {1}) = μ'.haarScalarFactor μ • μ (f ⁻¹' {1})
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Defs.lean
α✝ α : Type u
inst✝² : Monoid α
a b : α
inst✝¹ : Invertible a
inst✝ : Invertible b
h : a = b

⊢ ⅟a = ⅟b
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Defs.lean
α✝ α : Type u
inst✝² : Monoid α
a b : α
inst✝¹ : Invertible a
inst✝ : Invertible b
h : a = b

⊢ a * ⅟b = 1
-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
f : ℕ → ℚ
H : IsCauSeq abs f
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
δ : ℚ
δ0 : 0 < δ
δε : ↑δ < ε
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, |f j - f i| < δ
j : ℕ
ij : j ≥ i

⊢ |↑(f j) - ↑(f i)| < ε
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
Q : Type u_1
inst✝ : Quandle Q
x : Q

⊢ x ◃⁻¹ x = x
-- Mathlib/Algebra/Quandle.lean
Q : Type u_1
inst✝ : Quandle Q
x : Q

⊢ x ◃ x ◃⁻¹ x = x ◃ x
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S✝
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ f : R →+* S✝
S T : Subalgebra R A

⊢ Algebra.IsIntegral R ↥(S ⊔ T) ↔ Algebra.IsIntegral R ↥S ∧ Algebra.IsIntegral R ↥T
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
a : Multiset α
i : Multiset (Multiset α)
l : List (Multiset α)

⊢ (sum ⟦l⟧).Disjoint a ↔ ∀ b ∈ ⟦l⟧, b.Disjoint a
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f g : α → β
a : Multiset α
i : Multiset (Multiset α)
l : List (Multiset α)

⊢ l.sum.Disjoint a ↔ ∀ b ∈ ↑l, b.Disjoint a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
W : Submodule R (Dual R M)

⊢ W.quotDualCoannihilatorToDual.Nondegenerate
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
W : Submodule R (Dual R M)

⊢ ker W.quotDualCoannihilatorToDual = ⊥ ∧ ker W.quotDualCoannihilatorToDual.flip = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
W : Submodule R (Dual R M)
this : AddCommGroup ↥W := inferInstance

⊢ ker W.quotDualCoannihilatorToDual = ⊥ ∧ ker W.quotDualCoannihilatorToDual.flip = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
W : Submodule R (Dual R M)
this : AddCommGroup ↥W := inferInstance

⊢ Function.Injective ⇑W.quotDualCoannihilatorToDual ∧ Function.Injective ⇑W.quotDualCoannihilatorToDual.flip
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/NormedValued.lean
K : Type u_1
hK : NormedField K
h : IsNonarchimedean (sorryAx (K → ℝ) true)
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
Γ₀ : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
val : Valued L Γ₀
hv : v.RankOne
x y : L

⊢ norm (x + y) ≤ max (norm x) (norm y)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/NormedValued.lean
K : Type u_1
hK : NormedField K
h : IsNonarchimedean (sorryAx (K → ℝ) true)
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
Γ₀ : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
val : Valued L Γ₀
hv : v.RankOne
x y : L

⊢ v (x + y) ≤ v x ∨ v (x + y) ≤ v y
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
n : Nat
a : α
l : List α

⊢ l ~ replicate n a ↔ l = replicate n a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
n : Nat
a : α
l : List α
p : l ~ replicate n a

⊢ l.length = n ∧ ∀ (b : α), b ∈ l → b = a
-- Mathlib/Data/NNRat/BigOperators.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℚ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a

⊢ (∑ a ∈ s, f a).toNNRat = ∑ a ∈ s, (f a).toNNRat
-- Mathlib/Data/NNRat/BigOperators.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
s : Finset α
f : α → ℚ
hf : ∀ a ∈ s, 0 ≤ f a

⊢ ∑ i ∈ s, f i = ∑ a ∈ s, ↑(f a).toNNRat
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R
n : ℤ
m : ℕ

⊢ ↑(n ^ m) = ↑n ^ m
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α

⊢ (cmp a b).Compares a b
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/MvPolynomial.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommSemiring N
inst✝² : Algebra R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
p : MvPolynomial σ R

⊢ (algebraTensorAlgEquiv R A) (a ⊗ₜ[R] p) = a • (map (algebraMap R A)) p
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/MvPolynomial.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁶ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : CommSemiring N
inst✝² : Algebra R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
p : MvPolynomial σ R

⊢ (Algebra.ofId A (MvPolynomial σ A)) a * eval₂ (C.comp ↑(Algebra.ofId R A)) X p = C a * (map (algebraMap R A)) p
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0

⊢ frontier (ball x r) = sphere x r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : EDist α
x y : α
s : Set α

⊢ 0 < s.infsep ↔ 0 < s.einfsep ∧ s.einfsep < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
F : Type u_17
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module S M₃
σ : R →+* S
f : F
inst✝² : FunLike F M M₃
inst✝¹ : SemilinearMapClass F σ M M₃
σ' : S →+* R
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
c : S
x : M

⊢ c • f x = f (σ' c • x)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Prod.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J✝ J' : Ideal S
I : Ideal R
J : Ideal S
x : R

⊢ x ∈ map (RingHom.fst R S) (I.prod J) ↔ x ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Prod.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
I✝ I' : Ideal R
J✝ J' : Ideal S
I : Ideal R
J : Ideal S
x : R

⊢ (∃ x_1 ∈ I.prod J, (RingHom.fst R S) x_1 = x) ↔ x ∈ I
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Tripartite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : LinearOrderedField 𝕜
t : Finset (α × β × γ)
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
x : α × β × γ
ε : 𝕜
inst✝⁶ : DecidableEq α
inst✝⁵ : DecidableEq β
inst✝⁴ : DecidableEq γ
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : Fintype γ
inst✝ : NoAccidental t

⊢ ((graph t).cliqueFinset 3).card = t.card
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

⊢ Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

⊢ (fun s => Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ t ∈ image2 (fun x x_1 => x ×ˢ x_1) {s | MeasurableSet s} {t | MeasurableSet t}, (fun s => Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) t
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ (t : Set (α × β)), MeasurableSet t → (fun s => Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) t → (fun s => Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) tᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : IsFiniteMeasure ν
s : Set (α × β)
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ (f : ℕ → Set (α × β)), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), (fun s => Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) (f i)) → (fun s => Measurable fun x => ν (Prod.mk x ⁻¹' s)) (⋃ i, f i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < r i

⊢ blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p =ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < r i

⊢ blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p ≤ᶠ[ae μ] blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
inst✝ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
p : ℕ → Prop
s : ℕ → Set α
r : ℕ → ℝ
hr : Tendsto r atTop (𝓝 0)
hr' : ∀ᶠ (i : ℕ) in atTop, p i → 0 < r i

⊢ blimsup (fun i => thickening (r i) (s i)) atTop p ≤ blimsup (fun i => cthickening (r i) (s i)) atTop p
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
p : ℝ

⊢ (Summable fun n => ↑n ^ p) ↔ p < -1
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
p : ℝ

⊢ (Summable fun n => ↑n ^ (-p)) ↔ -p < -1
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
i j : ι
hij : v i = v j
l : ι →₀ R := Finsupp.single i 1 - Finsupp.single j 1

⊢ i = j
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
i j : ι
hij : v i = v j
l : ι →₀ R := Finsupp.single i 1 - Finsupp.single j 1
h_total : (Finsupp.total ι M R v) l = 0

⊢ i = j
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
hv : LinearIndependent R v
i j : ι
hij : v i = v j
l : ι →₀ R := Finsupp.single i 1 - Finsupp.single j 1
h_total : (Finsupp.total ι M R v) l = 0
h_single_eq : Finsupp.single i 1 = Finsupp.single j 1

⊢ i = j