ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯

⊢ (∃ xs, Realize φ (fun x => Sum.elim (fun x => v x) (fun x => xs (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x))) (f x)) fun x => xs (natAdd (Classical.choose ⋯) x)) ↔ ∃ i, φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯

⊢ (∀ (x : Fin (Classical.choose ⋯) → M), ¬Realize φ (fun x_1 => Sum.elim (fun x => v x) (fun x_2 => x (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x_2))) (f x_1)) fun x_1 => x (natAdd (Classical.choose ⋯) x_1)) ↔ ∀ (x : γ → M), ¬φ.Realize fun a => Sum.elim v x (f a)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
e : γ ≃ Fin (Classical.choose ⋯) := Classical.choice ⋯

⊢ ∀ (a : Fin (Classical.choose ⋯) → M), (¬Realize φ (fun x => Sum.elim (fun x => v x) (fun x => a (Fin.cast ⋯ ((Classical.choice ⋯) x))) (f x)) fun x => a (natAdd (Classical.choose ⋯) x)) ↔ ¬φ.Realize fun a_1 => Sum.elim v (?refine_1 a) (f a_1)
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : d < 0
a : Solution₁ d

⊢ a.x = 0 ∨ a.y = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : d < 0
a : Solution₁ d
h : a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 = 1

⊢ a.x = 0 ∨ a.y = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : d < 0
a : Solution₁ d
h : a.x ≠ 0 ∧ a.y ≠ 0

⊢ a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 ≠ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : d < 0
a : Solution₁ d
h : a.x ≠ 0 ∧ a.y ≠ 0
h1 : 0 < a.x ^ 2

⊢ a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 ≠ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Pell.lean
d : ℤ
h₀ : d < 0
a : Solution₁ d
h : a.x ≠ 0 ∧ a.y ≠ 0
h1 : 0 < a.x ^ 2
h2 : 0 < a.y ^ 2

⊢ a.x ^ 2 - d * a.y ^ 2 ≠ 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C

⊢ W ◁ (α_ X Y Z).hom ≫ (α_ W X (Y ⊗ Z)).inv ≫ (α_ (W ⊗ X) Y Z).inv = (α_ W (X ⊗ Y) Z).inv ≫ (α_ W X Y).inv ▷ Z
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X → E
s t : Set X
μ ν : Measure X
l l' : Filter X
C : ℝ
hs : μ s < ⊤
hsm : MeasurableSet s
hC : ∀ᵐ (x : X) ∂μ, x ∈ s → ‖f x‖ ≤ C

⊢ ∀ᵐ (x : X) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ C
-- Mathlib/Order/Circular.lean
α : Type u_1
inst✝ : CircularOrder α
a b c : α

⊢ sbtw a b c ↔ ¬btw c b a
-- Mathlib/Order/Circular.lean
α : Type u_1
inst✝ : CircularOrder α
a b c : α

⊢ btw a b c ∧ ¬btw c b a ↔ ¬btw c b a
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/KleinFour.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : IsKleinFour G
x y z : G
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
hxy : x ≠ y
hz : z ≠ 1
hzx : z ≠ x
hzy : z ≠ y

⊢ z = x * y
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a b : EReal
h : ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (a, b)

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (b, a)
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a b : EReal
h : ContinuousAt (fun p => p.1 * p.2) (a, b)
x✝ : EReal × EReal

⊢ x✝.1 * x✝.2 = ((fun p => p.1 * p.2) ∘ Prod.swap) x✝
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b✝ c : Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u_1}

⊢ a ♯ b = b ♯ a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a✝ b✝ c : Ordinal.{u}
a b : Ordinal.{u_1}

⊢ max (b.blsub fun b' x => a ♯ b') (a.blsub fun a' x => a' ♯ b) = max (b.blsub fun a' x => a' ♯ a) (a.blsub fun b' x => b ♯ b')
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/ToNat.lean
α : Type u
c d : Cardinal.{u}

⊢ toNat c ≠ 0 ↔ c ≠ 0 ∧ c < ℵ₀
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)

⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : (exponent G).factorization p = 0

⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : (exponent G).factorization p ≠ 0

⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : (exponent G).factorization p ≠ 0
he : 0 < exponent G

⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∈ (exponent G).factorization.support
he : 0 < exponent G

⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∈ (exponent G).factorization.support
he : 0 < exponent G
g : G
hg : g ^ (exponent G / p) ≠ 1

⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∈ (exponent G).factorization.support
he : 0 < exponent G
g : G
hg : g ^ (exponent G / p) ≠ 1
k : ℕ
hk : exponent G = p ^ (exponent G).factorization p * k

⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∈ (exponent G).factorization.support
he : 0 < exponent G
g : G
hg : g ^ (exponent G / p) ≠ 1
k : ℕ
hk : exponent G = p ^ (exponent G).factorization p * k
t : ℕ
ht : (exponent G).factorization p = t.succ

⊢ ∃ g, orderOf g = p ^ (exponent G).factorization p
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∈ (exponent G).factorization.support
he : 0 < exponent G
g : G
hg : g ^ (exponent G / p) ≠ 1
k : ℕ
hk : exponent G = p ^ (exponent G).factorization p * k
t : ℕ
ht : (exponent G).factorization p = t.succ

⊢ orderOf (g ^ k) = p ^ t.succ
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∈ (exponent G).factorization.support
he : 0 < exponent G
g : G
hg : g ^ (exponent G / p) ≠ 1
k : ℕ
hk : exponent G = p ^ (exponent G).factorization p * k
t : ℕ
ht : (exponent G).factorization p = t.succ

⊢ ¬(g ^ k) ^ p ^ t = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
this : Fact (Nat.Prime p)
h : p ∈ (exponent G).factorization.support
he : 0 < exponent G
g : G
hg : g ^ (exponent G / p) ≠ 1
k : ℕ
hk : exponent G = p ^ (exponent G).factorization p * k
t : ℕ
ht : (exponent G).factorization p = t.succ

⊢ (g ^ k) ^ p ^ (t + 1) = 1
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop
x✝ : S

⊢ (↑↑__src✝).toFun ((algebraMap S A) x✝) = (algebraMap S (RingQuot s)) x✝
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop
x✝ : S

⊢ { toQuot := Quot.mk (Rel s) ((algebraMap S A) x✝) } = (algebraMap S (RingQuot s)) x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → β
φ : α → 𝕜
hf : Integrable f μ
hφ : Memℒp φ ⊤ μ

⊢ Integrable (φ • f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace δ
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup β
inst✝³ : NormedAddCommGroup γ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : NormedRing 𝕜
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 β
f : α → β
φ : α → 𝕜
hf : Memℒp f 1 μ
hφ : Memℒp φ ⊤ μ

⊢ Memℒp (φ • f) 1 μ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x y z : α
s : Set α
hf : Isometry f

⊢ EMetric.diam (range f) = EMetric.diam univ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f : α → β
x y z : α
s : Set α
hf : Isometry f

⊢ EMetric.diam (f '' univ) = EMetric.diam univ
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
i j : A

⊢ (shiftComm X i j).symm.hom = (shiftComm X j i).hom
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : p ∣ x + y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n

⊢ multiplicity p (x ^ n + y ^ n) = multiplicity p (x + y) + multiplicity p n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : p ∣ x + y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : Odd n

⊢ multiplicity ↑p ↑(x ^ n + y ^ n) = multiplicity ↑p ↑(x + y) + multiplicity p n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hxy : ↑p ∣ ↑(x + y)
hx : ¬↑p ∣ ↑x
n : ℕ
hn : Odd n

⊢ multiplicity ↑p ↑(x ^ n + y ^ n) = multiplicity ↑p ↑(x + y) + multiplicity p n
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝ : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : Odd p
x y : ℕ
hx : ¬↑p ∣ ↑x
n : ℕ
hn : Odd n
hxy : ↑p ∣ ↑x + ↑y

⊢ multiplicity (↑p) (↑x ^ n + ↑y ^ n) = multiplicity (↑p) (↑x + ↑y) + multiplicity p n
-- Mathlib/Algebra/Divisibility/Units.lean
α : Type u_1
inst✝ : Monoid α
a b : α
u : αˣ
h : a ∣ b

⊢ a * ↑u * ↑u⁻¹ = a
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 0 r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r

⊢ f y = 0
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m : ℕ
hf : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f pf x 0 r
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball x r

⊢ (∑ k ∈ Finset.range 0, (pf k) fun x_1 => y - x) = 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁸ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁷ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : MetricSpace Q
inst✝⁴ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : Invertible 2
p₁ p₂ : P

⊢ dist (midpoint 𝕜 p₁ p₂) p₁ = ‖2‖⁻¹ * dist p₁ p₂
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α

⊢ (f '' s).encard ≤ s.encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α
h : IsEmpty α

⊢ (f '' s).encard ≤ s.encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α
h : Nonempty α

⊢ (f '' s).encard ≤ s.encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α
h : Nonempty α

⊢ (Function.invFunOn f s '' (f '' s)).encard ≤ s.encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝¹ t✝ s✝ : Set α
t : Set β
f✝ f : α → β
s : Set α
h : Nonempty α

⊢ Function.invFunOn f s '' (f '' s) ⊆ s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).sin = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₃ p₁ p₂).sign = 1

⊢ (∡ p₃ p₁ p₂).sin = dist p₃ p₂ / dist p₁ p₃
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
t' : k
a : MonoidAlgebra k G

⊢ (sum (t' • a) fun m t => t • f m) = (MonoidHom.id k) t' • sum a fun m t => t • f m
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
t' : k
a : MonoidAlgebra k G

⊢ (sum a fun i c => (t' • c) • f i) = sum a fun a b => (MonoidHom.id k) t' • b • f a
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
t' : k
a : MonoidAlgebra k G

⊢ ∀ (i : G), 0 • f i = 0
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m

⊢ { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (a₁ * a₂) = { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₁ * { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₂
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0

⊢ { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (a₁ * a₂) = { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₁ * { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₂
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂

⊢ { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun (a₁ * a₂) = { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₁ * { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }.toFun a₂
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂

⊢ (sum (sum a₁ fun a₁ b₁ => sum a₂ fun a₂ b₂ => single (a₁ * a₂) (b₁ * b₂)) fun m t => t • f m) = sum a₁ fun x' v' => sum a₂ fun x v => (v' * v) • f (x' * x)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂

⊢ (sum a₁ fun a b => sum (sum a₂ fun a₂ b₂ => single (a * a₂) (b * b₂)) g) = sum a₁ fun x' v' => sum a₂ fun x v => (v' * v) • f (x' * x)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂
x✝¹ : G
x✝ : k

⊢ sum (sum a₂ fun a₂ b₂ => single (x✝¹ * a₂) (x✝ * b₂)) g = sum a₂ fun x v => (x✝ * v) • f (x✝¹ * x)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂
x✝¹ : G
x✝ : k

⊢ (sum a₂ fun a b => sum (single (x✝¹ * a) (x✝ * b)) g) = sum a₂ fun x v => (x✝ * v) • f (x✝¹ * x)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
a₁ a₂ : MonoidAlgebra k G
g : G → k → A := fun m t => t • f m
h₁ : ∀ (m : G), g m 0 = 0
h₂ : ∀ (m : G) (t₁ t₂ : k), g m (t₁ + t₂) = g m t₁ + g m t₂
x✝³ : G
x✝² : k
x✝¹ : G
x✝ : k

⊢ sum (single (x✝³ * x✝¹) (x✝² * x✝)) g = (x✝² * x✝) • f (x✝³ * x✝¹)
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
f : G →ₙ* A
m : G

⊢ ((fun F => F.toMulHom.comp (ofMagma k G)) ((fun f => let __src := liftAddHom fun x => (smulAddHom k A).flip (f x); { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }) f)) m = f m
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
F : MonoidAlgebra k G →ₙₐ[k] A

⊢ (fun f => let __src := liftAddHom fun x => (smulAddHom k A).flip (f x); { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }) ((fun F => F.toMulHom.comp (ofMagma k G)) F) = F
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Basic.lean
k : Type u₁
G : Type u₂
H : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : Semiring k
inst✝⁵ : DistribSMul R k
inst✝⁴ : Mul G
A : Type u₃
inst✝³ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝² : Module k A
inst✝¹ : IsScalarTower k A A
inst✝ : SMulCommClass k A A
F : MonoidAlgebra k G →ₙₐ[k] A
m : G

⊢ (((fun f => let __src := liftAddHom fun x => (smulAddHom k A).flip (f x); { toFun := fun a => sum a fun m t => t • f m, map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯ }) ((fun F => F.toMulHom.comp (ofMagma k G)) F)).toMulHom.comp (ofMagma k G)) m = (F.toMulHom.comp (ofMagma k G)) m
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)

⊢ b ^^^ c < a ∨ a ^^^ c < b ∨ a ^^^ b < c
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v

⊢ b ^^^ c < a ∨ a ^^^ c < b ∨ a ^^^ b < c
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v

⊢ b ^^^ c < a ∨ a ^^^ c < b ∨ a ^^^ b < c
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v

⊢ b ^^^ c < a ∨ a ^^^ c < b ∨ a ^^^ b < c
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v
i : ℕ
hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true
hi' : ∀ (j : ℕ), i < j → (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit j = false

⊢ b ^^^ c < a ∨ a ^^^ c < b ∨ a ^^^ b < c
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v
i : ℕ
hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true
hi' : ∀ (j : ℕ), i < j → (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit j = false
this : a.testBit i = true ∨ b.testBit i = true ∨ c.testBit i = true

⊢ b ^^^ c < a ∨ a ^^^ c < b ∨ a ^^^ b < c
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h✝ : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v
i : ℕ
hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true
hi' : ∀ (j : ℕ), i < j → (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit j = false
h : a.testBit i = true

⊢ a ^^^ v < a
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h✝ : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v
i : ℕ
hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true
hi' : ∀ (j : ℕ), i < j → (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit j = false
h : b.testBit i = true

⊢ b ^^^ v < b
-- Mathlib/Data/Nat/Bitwise.lean
a b c : ℕ
h✝ : a ≠ b ^^^ c
v : ℕ := a ^^^ (b ^^^ c)
hv : v = a ^^^ (b ^^^ c)
hab : a ^^^ b = c ^^^ v
hac : a ^^^ c = b ^^^ v
hbc : b ^^^ c = a ^^^ v
i : ℕ
hi : (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit i = true
hi' : ∀ (j : ℕ), i < j → (a ^^^ (b ^^^ c)).testBit j = false
h : c.testBit i = true

⊢ c ^^^ v < c
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℕ → ℝ
C : ℝ
H : ∀ (n : ℕ), dist ((f ^ n) 0) (x n) ≤ C

⊢ Tendsto (fun n => x (2 ^ n) / 2 ^ n) atTop (𝓝 (τ f))
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℕ → ℝ
C : ℝ
H : ∀ (n : ℕ), dist ((f ^ n) 0) (x n) ≤ C

⊢ ℕ → ℝ
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℕ → ℝ
C : ℝ
H : ∀ (n : ℕ), dist ((f ^ n) 0) (x n) ≤ C

⊢ ∀ (t : ℕ), dist (f.transnumAuxSeq t) (x (2 ^ t) / 2 ^ t) ≤ ?m.120971 t