ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
hx : d x ≠ 0

⊢ (c' * d x - c x * d') / d x ^ 2 = c' * ((fun y => y⁻¹) ∘ d) x + c x * (-(d x ^ 2)⁻¹ * d')
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
t : Set α
h : ∀ (n : ℕ), s n =ᶠ[ae μ] t

⊢ limsup s atTop =ᶠ[ae μ] t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
s : ℕ → Set α
t : Set α
h : ∀ (n : ℕ), μ (s n \ t) = 0 ∧ μ (t \ s n) = 0

⊢ μ (limsup s atTop \ t) = 0 ∧ μ (t \ limsup s atTop) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n✝ n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
inst✝ : CharZero K

⊢ cyclotomic n ℤ = minpoly ℤ μ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n✝ n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
inst✝ : CharZero K

⊢ (cyclotomic n ℤ).natDegree ≤ (minpoly ℤ μ).natDegree
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
h : c ≤ b

⊢ a - c ≤ b - c ↔ a ≤ b
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/FunctorGamma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
K K' : ChainComplex C ℕ
f : K ⟶ K'
Δ Δ' Δ'' : SimplexCategory

⊢ (if h : Δ = Δ then eqToHom ⋯ else if h : Isδ₀ (𝟙 Δ) then K.d Δ.len Δ.len else 0) = 𝟙 (K.X Δ.len)
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝ : Field k
σ : Type u_2
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
p : MvPolynomial σ k
hp : p ∈ I.radical
x : σ → k
hx : x ∈ zeroLocus I

⊢ (eval x) p = 0
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝ : Field k
σ : Type u_2
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
p : MvPolynomial σ k
hp : p ∈ I.radical
x : σ → k
hx : x ∈ zeroLocus I

⊢ p ∈ vanishingIdeal {x}
-- Mathlib/RingTheory/Nullstellensatz.lean
k : Type u_1
inst✝ : Field k
σ : Type u_2
I : Ideal (MvPolynomial σ k)
p : MvPolynomial σ k
hp : p ∈ sInf {J | I ≤ J ∧ J.IsPrime}
x : σ → k
hx : x ∈ zeroLocus I

⊢ p ∈ vanishingIdeal {x}
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y a b c : ℝ

⊢ c + a < c + b ↔ a < b
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y b c : ℝ
y✝ : CauSeq ℚ abs

⊢ c + mk y✝ < c + b ↔ mk y✝ < b
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y c : ℝ
y✝¹ y✝ : CauSeq ℚ abs

⊢ c + mk y✝¹ < c + mk y✝ ↔ mk y✝¹ < mk y✝
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
y✝² y✝¹ y✝ : CauSeq ℚ abs

⊢ mk y✝ + mk y✝² < mk y✝ + mk y✝¹ ↔ mk y✝² < mk y✝¹
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
y✝² y✝¹ y✝ : CauSeq ℚ abs

⊢ y✝ + y✝² < y✝ + y✝¹ ↔ y✝² < y✝¹
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ
y✝² y✝¹ y✝ : CauSeq ℚ abs

⊢ (y✝ + y✝¹ - (y✝ + y✝²)).Pos ↔ (y✝¹ - y✝²).Pos
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S S' : C ⥤ D
f : CostructuredArrow S T

⊢ (map (𝟙 T)).obj f = f
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S S' : C ⥤ D
f : CostructuredArrow S T

⊢ (map (𝟙 T)).obj (mk f.hom) = mk f.hom
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x : ℂ

⊢ HasStrictDerivAt sin (cos x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x : ℂ

⊢ HasStrictDerivAt sin ((cexp (x * I) + cexp (-x * I)) * 2⁻¹) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x : ℂ

⊢ (cexp (x * I) + cexp (-x * I)) * 2⁻¹ = (cexp (-id x * I) * (-1 * I) - cexp (id x * I) * (1 * I)) * I * 2⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Deriv.lean
x : ℂ

⊢ (cexp (x * I) + cexp (-x * I)) * 2⁻¹ = (cexp (-x * I) * (-1 * I) - cexp (x * I) * (1 * I)) * I * 2⁻¹
-- Mathlib/GroupTheory/CosetCover.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
D H : Subgroup G
inst✝ : D.FiniteIndex
hD_le_H : D ≤ H

⊢ ∃ t, ↑t ∈ leftTransversals ↑(D.subgroupOf H) ∧ ⋃ g ∈ t, ↑g • ↑D = ↑H
-- Mathlib/GroupTheory/CosetCover.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
D H : Subgroup G
inst✝ : D.FiniteIndex
hD_le_H : D ≤ H
t : Set ↥H
ht : t ∈ leftTransversals ↑(D.subgroupOf H) ∧ 1 ∈ t

⊢ ∃ t, ↑t ∈ leftTransversals ↑(D.subgroupOf H) ∧ ⋃ g ∈ t, ↑g • ↑D = ↑H
-- Mathlib/GroupTheory/CosetCover.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
D H : Subgroup G
inst✝ : D.FiniteIndex
hD_le_H : D ≤ H
t : Set ↥H
ht : t ∈ leftTransversals ↑(D.subgroupOf H) ∧ 1 ∈ t
hf : t.Finite

⊢ ∃ t, ↑t ∈ leftTransversals ↑(D.subgroupOf H) ∧ ⋃ g ∈ t, ↑g • ↑D = ↑H
-- Mathlib/GroupTheory/CosetCover.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
D H : Subgroup G
inst✝ : D.FiniteIndex
hD_le_H : D ≤ H
t : Set ↥H
ht : t ∈ leftTransversals ↑(D.subgroupOf H) ∧ 1 ∈ t
hf : t.Finite

⊢ ⋃ g ∈ hf.toFinset, ↑g • ↑D = ↑H
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
σ : ι → Type u_7
τ : κ → Type u_8
inst✝² : (i : ι) → TopologicalSpace (σ i)
inst✝¹ : (k : κ) → TopologicalSpace (τ k)
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set (Sigma σ)

⊢ IsClosed s ↔ ∀ (i : ι), IsClosed (Sigma.mk i ⁻¹' s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
v v' : V
p p' : P

⊢ edist (v +ᵥ p) (v' +ᵥ p') ≤ edist v v' + edist p p'
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
v v' : V
p p' : P

⊢ ↑(nndist (v +ᵥ p) (v' +ᵥ p')) ≤ ↑(nndist v v') + ↑(nndist p p')
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
v v' : V
p p' : P

⊢ nndist (v +ᵥ p) (v' +ᵥ p') ≤ nndist v v' + nndist p p'
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Quotient.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a b : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R

⊢ Subsingleton (R ⧸ I) ↔ I = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ

⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (x / c + d) = ∫ (x : ℝ) in a / c + d..b / c + d, f x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι

⊢ stdSimplex 𝕜 (Fin 2) = [Pi.single 0 1-[𝕜]Pi.single 1 1]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι

⊢ stdSimplex 𝕜 (Fin 2) ⊆ [Pi.single 0 1-[𝕜]Pi.single 1 1]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : Fin 2 → 𝕜
hf₀ : ∀ (x : Fin 2), 0 ≤ f x
hf₁ : ∑ x : Fin 2, f x = 1

⊢ f ∈ [Pi.single 0 1-[𝕜]Pi.single 1 1]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : Fin 2 → 𝕜
hf₀ : ∀ (x : Fin 2), 0 ≤ f x
hf₁ : f 0 + f 1 = 1

⊢ f ∈ [Pi.single 0 1-[𝕜]Pi.single 1 1]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
f : Fin 2 → 𝕜
hf₀ : ∀ (x : Fin 2), 0 ≤ f x
hf₁ : f 0 + f 1 = 1

⊢ (f 0 • Pi.single 0 1 + f 1 • Pi.single 1 1) 0 = f 0 ∧ (f 0 • Pi.single 0 1 + f 1 • Pi.single 1 1) 1 = f 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R

⊢ Wbtw R 0 x 1 ↔ x ∈ Set.Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R

⊢ (∃ x_1 ∈ Set.Icc 0 1, (lineMap 0 1) x_1 = x) ↔ x ∈ Set.Icc 0 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x : R

⊢ (∃ x_1 ∈ Set.Icc 0 1, (1 - x_1) * 0 + x_1 * 1 = x) ↔ x ∈ Set.Icc 0 1
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Ring α
inst✝ : StarRing α
d : ℤ

⊢ (↑d)ᴴ = ↑d
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
e : α ↪o β
he : IsUpperSet (range ⇑e)
a : α

⊢ ⇑e '' Ioi a = Ioi (e a)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
inst✝ : SMulZeroClass S R
r : S
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]

⊢ (r • { toFinsupp := toFinsupp✝ }).coeff n = r • { toFinsupp := toFinsupp✝ }.coeff n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
inst✝ : SMulZeroClass S R
r : S
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]

⊢ (r • toFinsupp✝) n = r • toFinsupp✝ n
-- Mathlib/Order/Max.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
α : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : NoTopOrder α
a : α

⊢ ∃ b, a < b
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 4
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E

⊢ re ⟪x, y⟫_𝕜 = (‖x‖ * ‖x‖ + 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ * ‖y‖ - (‖x‖ * ‖x‖ - 2 * re ⟪x, y⟫_𝕜 + ‖y‖ * ‖y‖)) / 4
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q

⊢ range (map f g) = Submodule.span R {t | ∃ m n, f m ⊗ₜ[R] g n = t}
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q

⊢ Submodule.span R (⇑(map f g) '' {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}) = Submodule.span R {t | ∃ m n, f m ⊗ₜ[R] g n = t}
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ

⊢ m.Coprime (m + n) ↔ m.Coprime n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
hs : IsCompact s
hδ : 0 ≤ δ

⊢ s / closedBall 1 δ = cthickening δ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/TensorProduct.lean
ι : Type uι
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₁
inst✝³ : Module.Finite R M₁
inst✝² : Module.Free R M₂
inst✝¹ : Module.Finite R M₂
inst✝ : Nontrivial R
B₁ : BilinForm R M₁
B₂ : BilinForm R M₂
x✝³ : M₁
x✝² : M₂
x✝¹ : M₁
x✝ : M₂

⊢ ((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry ↑(tensorDistribEquiv R)) B₁) B₂)) x✝³) x✝²)) x✝¹) x✝ = ((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (((AlgebraTensorModule.curry (tensorDistrib R R)) B₁) B₂)) x✝³) x✝²)) x✝¹) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedCommRing R
M : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
v : M
hv : v ≠ 0
r : R
hr : r ≠ 0

⊢ SameRay R v (r • v) ↔ 0 < r
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
E' : IntermediateField F E := adjoin F (Set.range v)

⊢ LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
E' : IntermediateField F E := adjoin F (Set.range v)
this : Algebra.IsSeparable F ↥E'

⊢ LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
E' : IntermediateField F E := adjoin F (Set.range v)
this : Algebra.IsSeparable F ↥E'
v' : ι → ↥E' := fun i => ⟨v i, ⋯⟩

⊢ LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q n : ℕ
hF : ExpChar F q
ι : Type u_1
v : ι → E
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
E' : IntermediateField F E := adjoin F (Set.range v)
this : Algebra.IsSeparable F ↥E'
v' : ι → ↥E' := fun i => ⟨v i, ⋯⟩
h' : LinearIndependent F v'

⊢ LinearIndependent F fun x => v x ^ q ^ n
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra A B
x : B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
hx : IsIntegral A x

⊢ Irreducible (minpoly A x)
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra A B
x : B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
hx : IsIntegral A x
f g : A[X]
hf : f.Monic
hg : g.Monic
he : f * g = minpoly A x

⊢ f = 1 ∨ g = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra A B
x : B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
hx : IsIntegral A x
f g : A[X]
hf : f.Monic
hg : g.Monic
he : f * g = minpoly A x

⊢ IsUnit f ∨ IsUnit g
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra A B
x : B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
hx : IsIntegral A x
f g : A[X]
hf : f.Monic
hg : g.Monic
he : f * g = minpoly A x
h : ¬IsUnit f ∧ ¬IsUnit g

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra A B
x : B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
hx : IsIntegral A x
f g : A[X]
hf : f.Monic
hg : g.Monic
he : f * g = minpoly A x
h : ¬IsUnit f ∧ ¬IsUnit g
heval : (Polynomial.aeval x) (f * g) = (Polynomial.aeval x) (minpoly A x)

⊢ False
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Basic.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
B' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : Algebra A B
x : B
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsDomain B
hx : IsIntegral A x
f g : A[X]
hf : f.Monic
hg : g.Monic
he : f * g = minpoly A x
h : ¬IsUnit f ∧ ¬IsUnit g
heval : (Polynomial.aeval x) f = 0 ∨ (Polynomial.aeval x) g = 0

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ

⊢ (∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z) = ∫ (θ : ℝ) in Icc 0 (2 * π), deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

⊢ ShortComplex.cyclesMap ((natIsoSc' C c i j k hi hk).hom.app K) ≫ (K.sc' i j k).iCycles = K.iCycles j
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

⊢ (K.sc j).iCycles = K.iCycles j
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝⁴ : LinearOrder I
inst✝³ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
J K L : I → Prop
inst✝² : (i : I) → Decidable (J i)
inst✝¹ : (i : I) → Decidable (K i)
inst✝ : (i : I) → Decidable (L i)
y : I → Bool
hy : y ∈ C
i : I

⊢ ↑(ProjRestricts C ⋯ ⟨Proj J y, ⋯⟩) i = ↑(id ⟨Proj J y, ⋯⟩) i
-- Mathlib/Algebra/GroupPower/IterateHom.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝ : Monoid G
a : G
n : ℕ

⊢ (fun x => x * a)^[n] 1 = a ^ n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
x : α
r : ι → ℝ
hr : Tendsto r l atTop

⊢ ∀ᵐ (x_1 : α) ∂μ, ∀ᶠ (i : ι) in l, x_1 ∈ Metric.ball x (r i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace α
μ : Measure α
l : Filter ι
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
x : α
r : ι → ℝ
hr : Tendsto r l atTop
y : α

⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, y ∈ Metric.ball x (r i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : FinitaryExtensive D
inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C
inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C
inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c

⊢ IsVanKampenColimit c
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : FinitaryExtensive D
inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C
inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C
inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c

⊢ IsVanKampenColimit (BinaryCofan.mk coprod.inl coprod.inr)
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝⁷ : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
F : C ⥤ D
inst✝⁶ : FinitaryExtensive D
inst✝⁵ : HasFiniteCoproducts C
inst✝⁴ : HasPullbacksOfInclusions C
inst✝³ : PreservesPullbacksOfInclusions F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape (Discrete WalkingPair) F
X Y : C
c : BinaryCofan X Y
hc : IsColimit c
this : (i : Discrete WalkingPair) → (Z : C) → (f : Z ⟶ X ⨿ Y) → PreservesLimit (cospan f ((BinaryCofan.mk coprod.inl coprod.inr).ι.app i)) F

⊢ IsVanKampenColimit (BinaryCofan.mk coprod.inl coprod.inr)
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
κ : Kernel α β
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
hfg : ∀ (a : α), f a =ᶠ[ae (κ a)] g a
a : α
s✝ : Set β
a✝ : MeasurableSet s✝

⊢ ((κ.withDensity f) a) s✝ = ((κ.withDensity g) a) s✝
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hIY : I ⊂ Y
hYX : Y ⊆ X

⊢ M.Dep Y
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hIY : I ⊂ Y
hYX : Y ⊆ X
this : X ⊆ M.E

⊢ M.Dep Y
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I J X Y : Set α
e : α
hI : M.Basis I X
hIY : I ⊂ Y
hYX : Y ⊆ X
this : X ⊆ M.E

⊢ ¬M.Indep Y
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Root.lean
a✝ b n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : ℕ

⊢ n.floorRoot (a ^ n) = a
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Map.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
e : M ≃ₛₗ[τ₁₂] M₂
x : M₂

⊢ x ∈ map (↑e) p ↔ e.symm x ∈ p
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Map.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝¹ : RingHomInvPair τ₁₂ τ₂₁
inst✝ : RingHomInvPair τ₂₁ τ₁₂
p : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
e : M ≃ₛₗ[τ₁₂] M₂
x : M₂

⊢ (∃ y ∈ p, ↑e y = x) ↔ e.symm x ∈ p