ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/IntegrationByParts.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : SigmaFinite μ
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (μ.prod volume)
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (μ.prod volume)
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) (μ.prod volume)
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)

⊢ ∫ (x : E), ∫ (t : ℝ), (B (f (x, t))) (g' (x, t)) ∂μ = ∫ (x : E), -∫ (t : ℝ), (B (f' (x, t))) (g (x, t)) ∂μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/IntegrationByParts.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : SigmaFinite μ
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (μ.prod volume)
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (μ.prod volume)
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) (μ.prod volume)
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)

⊢ (fun a => ∫ (t : ℝ), (B (f (a, t))) (g' (a, t))) =ᶠ[ae μ] fun a => -∫ (t : ℝ), (B (f' (a, t))) (g (a, t))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/IntegrationByParts.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : SigmaFinite μ
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (μ.prod volume)
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (μ.prod volume)
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) (μ.prod volume)
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
x : E
hf'gx : Integrable (fun y => (B (f' (x, y))) (g (x, y))) volume
hfg'x : Integrable (fun y => (B (f (x, y))) (g' (x, y))) volume
hfgx : Integrable (fun y => (B (f (x, y))) (g (x, y))) volume

⊢ ∫ (t : ℝ), (B (f (x, t))) (g' (x, t)) = -∫ (t : ℝ), (B (f' (x, t))) (g (x, t))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/IntegrationByParts.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : SigmaFinite μ
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (μ.prod volume)
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (μ.prod volume)
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) (μ.prod volume)
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
x : E
hf'gx : Integrable (fun y => (B (f' (x, y))) (g (x, y))) volume
hfg'x : Integrable (fun y => (B (f (x, y))) (g' (x, y))) volume
hfgx : Integrable (fun y => (B (f (x, y))) (g (x, y))) volume

⊢ ∀ (x_1 : ℝ), HasDerivAt (fun x_2 => f (x, x_2)) (f' (x, x_1)) x_1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/IntegrationByParts.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : SigmaFinite μ
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (μ.prod volume)
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (μ.prod volume)
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) (μ.prod volume)
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)
x : E
hf'gx : Integrable (fun y => (B (f' (x, y))) (g (x, y))) volume
hfg'x : Integrable (fun y => (B (f (x, y))) (g' (x, y))) volume
hfgx : Integrable (fun y => (B (f (x, y))) (g (x, y))) volume

⊢ ∀ (x_1 : ℝ), HasDerivAt (fun x_2 => g (x, x_2)) (g' (x, x_1)) x_1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/IntegrationByParts.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : SigmaFinite μ
f f' : E × ℝ → F
g g' : E × ℝ → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) (μ.prod volume)
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) (μ.prod volume)
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) (μ.prod volume)
hf : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x (0, 1)
hg : ∀ (x : E × ℝ), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x (0, 1)

⊢ ∫ (x : E), -∫ (t : ℝ), (B (f' (x, t))) (g (x, t)) ∂μ = -∫ (x : E × ℝ), (B (f' x)) (g x) ∂μ.prod volume
-- Mathlib/FieldTheory/Laurent.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
hdomain : IsDomain R
r s : R
p q : R[X]
f : RatFunc R
x : R

⊢ (laurent r) (C x) = C x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Module.Free R M
h : ∀ (s : Set M), Basis (↑s) R M → ¬s.Finite

⊢ finrank R M = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Module.Free R M
h : ∀ (s : Set M), Basis (↑s) R M → ¬s.Finite
h✝ : Subsingleton R

⊢ finrank R M = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Module.Free R M
h : ∀ (s : Set M), Basis (↑s) R M → ¬s.Finite
h✝ : Nontrivial R

⊢ finrank R M = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Module.Free R M
h : ∀ (s : Set M), Basis (↑s) R M → ¬s.Finite
h✝ : Nontrivial R
w✝ : Set M
b : Basis (↑w✝) R M

⊢ finrank R M = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : Module.Free R M
h : ∀ (s : Set M), Basis (↑s) R M → ¬s.Finite
h✝ : Nontrivial R
w✝ : Set M
b : Basis (↑w✝) R M
this : Infinite ↑w✝

⊢ finrank R M = 0
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h₁ : IsClosed s₁
h₂ : IsClosed s₂

⊢ IsClosed (s₁ ∩ s₂)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h₁ : IsOpen s₁ᶜ
h₂ : IsOpen s₂ᶜ

⊢ IsOpen (s₁ ∩ s₂)ᶜ
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
h₁ : IsOpen s₁ᶜ
h₂ : IsOpen s₂ᶜ

⊢ IsOpen (s₁ᶜ ∪ s₂ᶜ)
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
obj : Fin (n + 1) → C
mapSucc : (i : Fin n) → obj i.castSucc ⟶ obj i.succ
i : ℕ
hi : autoParam (i < n) _auto✝

⊢ ((mkOfObjOfMapSucc obj mapSucc).arrow i hi).hom = eqToHom ⋯ ≫ (mk₁ (mapSucc ⟨i, hi⟩)).hom ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b✝ : M
a x : α
b : M

⊢ (single a b) x = 0 ↔ x = a → b = 0
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
hp : p ≠ 0

⊢ centralMoment 0 p μ = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean

⊢ StrictMono eulerMascheroniSeq
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
n : ℕ

⊢ eulerMascheroniSeq n < eulerMascheroniSeq (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
n : ℕ

⊢ log (1 + (↑n + 1)⁻¹) < (↑n + 1)⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
n : ℕ

⊢ 0 < 1 + (↑n + 1)⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
n : ℕ

⊢ 0 < (↑n + 1)⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/EulerMascheroni.lean
n : ℕ

⊢ 1 + (↑n + 1)⁻¹ - 1 = (↑n + 1)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
S : AddSubgroup M
x : M ⧸ S

⊢ ‖x‖ = infDist 0 {m | ↑m = x}
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
f g : ℕ → R
hf : ∀ (n : ℕ), 0 < n → f n ≠ 0
hg : ∀ (n : ℕ), 0 < n → g n ≠ 0

⊢ (∀ n > 0, ∏ i ∈ n.divisors, f i = g n) ↔ ∀ n > 0, ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, g x.2 ^ μ x.1 = f n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
f g : ℕ → R
hf : ∀ (n : ℕ), 0 < n → f n ≠ 0
hg : ∀ (n : ℕ), 0 < n → g n ≠ 0
n : ℕ
hn : n > 0

⊢ ∏ i ∈ n.divisors, f i = g n ↔ (∏ i ∈ n.divisors, if h : 0 < i then Units.mk0 (f i) ⋯ else 1) = if h : 0 < n then Units.mk0 (g n) ⋯ else 1
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
f g : ℕ → R
hf : ∀ (n : ℕ), 0 < n → f n ≠ 0
hg : ∀ (n : ℕ), 0 < n → g n ≠ 0
n : ℕ
hn : n > 0

⊢ (∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, (if h : 0 < x.2 then Units.mk0 (g x.2) ⋯ else 1) ^ μ x.1 = if h : 0 < n then Units.mk0 (f n) ⋯ else 1) ↔ ∏ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, g x.2 ^ μ x.1 = f n
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n

⊢ n * (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3) ≤ 4 ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n

⊢ ↑(n * (2 * n) ^ (2 * n).sqrt * 4 ^ (2 * n / 3)) ≤ ↑(4 ^ n)
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n

⊢ ↑n * (↑2 * ↑n) ^ ↑(2 * n).sqrt * ↑4 ^ ↑(2 * n / 3) ≤ ↑4 ^ ↑n
-- Mathlib/NumberTheory/Bertrand.lean
n : ℕ
n_large : 512 ≤ n

⊢ ↑n * (↑2 * ↑n) ^ ↑(2 * n).sqrt * ↑4 ^ ↑(2 * n / 3) ≤ ↑n * (2 * ↑n) ^ √(2 * ↑n) * 4 ^ (2 * ↑n / 3)
-- Mathlib/RingTheory/Regular/RegularSequence.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
a b : R
h1 : IsWeaklyRegular M [a, b]
h2 : torsionBy R M b = a • torsionBy R M b → torsionBy R M b = ⊥

⊢ IsWeaklyRegular M [b, a]
-- Mathlib/RingTheory/Regular/RegularSequence.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
a b : R
h1 : IsSMulRegular M a ∧ IsSMulRegular (QuotSMulTop a M) b
h2 : torsionBy R M b = a • torsionBy R M b → torsionBy R M b = ⊥

⊢ IsSMulRegular M b ∧ IsSMulRegular (QuotSMulTop b M) a
-- Mathlib/RingTheory/Regular/RegularSequence.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
a b : R
h2 : torsionBy R M b = a • torsionBy R M b → torsionBy R M b = ⊥
ha : IsSMulRegular M a
hb : IsSMulRegular (QuotSMulTop a M) b

⊢ IsSMulRegular M b ∧ IsSMulRegular (QuotSMulTop b M) a
-- Mathlib/RingTheory/Regular/RegularSequence.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
a b : R
h2 : torsionBy R M b = a • torsionBy R M b → IsSMulRegular M b
ha : IsSMulRegular M a
hb : IsSMulRegular (QuotSMulTop a M) b

⊢ IsSMulRegular M b ∧ IsSMulRegular (QuotSMulTop b M) a
-- Mathlib/RingTheory/Regular/RegularSequence.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
a b : R
h2 : torsionBy R M b = a • torsionBy R M b → IsSMulRegular M b
ha : IsSMulRegular M a
hb : IsSMulRegular (QuotSMulTop a M) b

⊢ torsionBy R M b ≤ a • torsionBy R M b
-- Mathlib/RingTheory/Regular/RegularSequence.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
M₂ : Type u_4
M₃ : Type u_5
M₄ : Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
a b : R
ha : IsSMulRegular M a
hb : IsSMulRegular (QuotSMulTop a M) b
h2 : IsSMulRegular M b

⊢ IsSMulRegular M b ∧ IsSMulRegular (QuotSMulTop b M) a
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
n : ℕ

⊢ 2 ^ (n + 1) = 2 ^ n + 2 ^ n
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0

⊢ ∃ P, IsAssociatedPrime P M ∧ (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
this : (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊤

⊢ ∃ P, IsAssociatedPrime P M ∧ (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
this : (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊤
y : M
h₃ : ∀ I ∈ {P | (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P ∧ P ≠ ⊤ ∧ ∃ y, P = (Submodule.span R {y}).annihilator}, ¬(Submodule.span R {y}).annihilator < I
l : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ (Submodule.span R {y}).annihilator
h₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≠ ⊤

⊢ ∃ P, IsAssociatedPrime P M ∧ (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
this : (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊤
y : M
h₃ : ∀ I ∈ {P | (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P ∧ P ≠ ⊤ ∧ ∃ y, P = (Submodule.span R {y}).annihilator}, ¬(Submodule.span R {y}).annihilator < I
l : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ (Submodule.span R {y}).annihilator
h₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≠ ⊤
a b : R
hab : a * b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator

⊢ a ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator ∨ b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
this : (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊤
y : M
h₃ : ∀ I ∈ {P | (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P ∧ P ≠ ⊤ ∧ ∃ y, P = (Submodule.span R {y}).annihilator}, ¬(Submodule.span R {y}).annihilator < I
l : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ (Submodule.span R {y}).annihilator
h₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≠ ⊤
a b : R
hab : a * b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator

⊢ a ∉ (Submodule.span R {y}).annihilator → b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
this : (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊤
y : M
h₃ : ∀ I ∈ {P | (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P ∧ P ≠ ⊤ ∧ ∃ y, P = (Submodule.span R {y}).annihilator}, ¬(Submodule.span R {y}).annihilator < I
l : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ (Submodule.span R {y}).annihilator
h₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≠ ⊤
a b : R
hab : a * b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator
ha : a ∉ (Submodule.span R {y}).annihilator

⊢ b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
this : (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊤
y : M
h₃ : ∀ I ∈ {P | (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P ∧ P ≠ ⊤ ∧ ∃ y, P = (Submodule.span R {y}).annihilator}, ¬(Submodule.span R {y}).annihilator < I
l : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ (Submodule.span R {y}).annihilator
h₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≠ ⊤
a b : R
hab : (a * b) • y = 0
ha : ¬a • y = 0

⊢ b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
this : (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊤
y : M
h₃ : ∀ I ∈ {P | (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P ∧ P ≠ ⊤ ∧ ∃ y, P = (Submodule.span R {y}).annihilator}, ¬(Submodule.span R {y}).annihilator < I
l : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ (Submodule.span R {y}).annihilator
h₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≠ ⊤
a b : R
hab : (a * b) • y = 0
ha : ¬a • y = 0
H₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≤ (Submodule.span R {a • y}).annihilator

⊢ b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
I J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
H : IsNoetherianRing R
x : M
hx : x ≠ 0
this : (Submodule.span R {x}).annihilator ≠ ⊤
y : M
h₃ : ∀ I ∈ {P | (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ P ∧ P ≠ ⊤ ∧ ∃ y, P = (Submodule.span R {y}).annihilator}, ¬(Submodule.span R {y}).annihilator < I
l : (Submodule.span R {x}).annihilator ≤ (Submodule.span R {y}).annihilator
h₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≠ ⊤
a b : R
hab : (a * b) • y = 0
ha : ¬a • y = 0
H₁ : (Submodule.span R {y}).annihilator ≤ (Submodule.span R {a • y}).annihilator
H₂ : (Submodule.span R {a • y}).annihilator ≠ ⊤

⊢ b ∈ (Submodule.span R {y}).annihilator
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R

⊢ IsJacobson S
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R

⊢ ∀ (P : Ideal S), P.IsPrime → P.jacobson = P
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP' : P'.IsPrime

⊢ P'.jacobson ≤ P'
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')

⊢ P'.jacobson ≤ P'
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'

⊢ P'.jacobson ≤ P'
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'

⊢ comap (algebraMap R S) P'.jacobson ≤ comap (algebraMap R S) P'
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'
this : sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ comap (algebraMap R S) P'

⊢ comap (algebraMap R S) P'.jacobson ≤ comap (algebraMap R S) P'
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'
this : sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ comap (algebraMap R S) P'

⊢ comap (algebraMap R S) P'.jacobson ≤ sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}
-- Mathlib/RingTheory/Jacobson.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
I : Ideal R
y : R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Away y S
H : IsJacobson R
P' : Ideal S
hP'✝ : P'.IsPrime
hP' : (comap (algebraMap R S) P').IsPrime
hPM : Disjoint ↑(powers y) ↑(comap (algebraMap R S) P')
hP : (comap (algebraMap R S) P').jacobson = comap (algebraMap R S) P'
this : sInf {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I} ≤ comap (algebraMap R S) P'

⊢ ⨅ I ∈ comap (algebraMap R S) '' {J | P' ≤ J ∧ J.IsMaximal}, I ≤ ⨅ a ∈ {I | comap (algebraMap R S) P' ≤ I ∧ I.IsMaximal ∧ y ∉ I}, a