ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝³ : Field R
inst✝² : Fintype R
R' : Type v
inst✝¹ : CommRing R'
inst✝ : IsDomain R'
χ : MulChar R R'
hχ : χ ≠ 1
ψ : AddChar R R'
b : R
hb : b ≠ 0

⊢ ∑ a : R, χ (a * b⁻¹) * ψ (a - b) = ∑ c : R, χ c * ψ (b * (c - 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b c✝ d✝ : ℝ
f : ℝ → E
c d : ℝ

⊢ c⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in a..b, f (d - x / c) = ∫ (x : ℝ) in d - b / c..d - a / c, f x
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
hc : c ≠ 0

⊢ a / c + b = (a + b * c) / c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
H : IsNormal f

⊢ Set.Unbounded (fun x x_1 => x < x_1) (fixedPoints f)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
H : IsNormal f

⊢ fixedPoints f = ⋂ i, fixedPoints f
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Operations.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
β : Type u_3
f : α → β
hf : Surjective f
m : OuterMeasure β
s : Set β

⊢ ((map f) ((comap f) m)) s = m s
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
a0 : a = 0

⊢ a * (b - c) = a * b - a * c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
a0 : ¬a = 0
d : Ordinal.{u_4}

⊢ a * (b - c) ≤ d ↔ a * b - a * c ≤ d
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝
s s₁ s₂ t : Set α✝
α : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Set α

⊢ Tendsto (fun i => μ (Accumulate f i)) atTop (𝓝 (μ (⋃ i, f i)))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α✝
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α✝
s s₁ s₂ t : Set α✝
α : Type u_8
ι : Type u_9
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝² : Countable ι
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
f : ι → Set α

⊢ Tendsto (fun i => μ (Accumulate f i)) atTop (𝓝 (⨆ i, μ (Accumulate f i)))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric

⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this : ProperSpace E

⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint

⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
x : E
hx : x ≠ 0

⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
x : E
hx : x ≠ 0
H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)

⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
x : E
hx : x ≠ 0
H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)
H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty

⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
x : E
hx : x ≠ 0
H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)
H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty
x₀ : E
hx₀' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x‖
hTx₀ : IsMaxOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x‖) x₀

⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this✝ : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
x : E
hx : x ≠ 0
H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)
H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty
x₀ : E
hx₀' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x‖
hTx₀ : IsMaxOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x‖) x₀
hx₀ : ‖x₀‖ = ‖x‖
this : IsMaxOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀

⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this✝ : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
x : E
hx : x ≠ 0
H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)
H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty
x₀ : E
hx₀' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x‖
hTx₀ : IsMaxOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x‖) x₀
hx₀ : ‖x₀‖ = ‖x‖
this : IsMaxOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀_ne : x₀ ≠ 0

⊢ HasEigenvalue T ↑(⨆ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁✝ G₂✝ : G.Subgraph
a b : V
G₁ G₂ : G.Subgraph
h : (fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₁ = (fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₂

⊢ G₁ = G₂
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G₁✝ G₂✝ : G.Subgraph
a b : V
G₁ G₂ : G.Subgraph
h : ((fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₁).1 = ((fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₂).1 ∧ ((fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₁).2 = ((fun G' => (G'.verts, G'.spanningCoe)) G₂).2

⊢ G₁ = G₂
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
ho : o ≠ 0
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
b : Ordinal.{max u v}

⊢ (∃ i, ∃ (hi : i < o), o.nfpBFamily f a ≤ f i hi b) ↔ o.nfpBFamily f a ≤ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
ho : o ≠ 0
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
b : Ordinal.{max u v}

⊢ (¬∃ i, ∃ (hi : i < o), o.nfpBFamily f a ≤ f i hi b) ↔ ¬o.nfpBFamily f a ≤ b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
o : Ordinal.{u}
f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
ho : o ≠ 0
H : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), IsNormal (f i hi)
a : Ordinal.{max v u}
b : Ordinal.{max u v}

⊢ (∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), f i hi b < o.nfpBFamily f a) ↔ b < o.nfpBFamily f a
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → LinearOrder (α i)
x y z a : (i : ι) → α i
hay : a ∉ univ.pi fun i => Ioc (y i) (z i)
hax : x ≤ a
haz : a ≤ z

⊢ a ∈ ⋃ i, Icc x (update z i (y i))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{max v u, w} D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : C
W : (J.Cover X)ᵒᵖ
i : ((unop W).index Q).R

⊢ (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) (((unop W).index Q).fstTo i) ≫ η.app (op (((unop W).index Q).fstTo i).Y)) ≫ ((unop W).index Q).fst i = (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) (((unop W).index Q).sndTo i) ≫ η.app (op (((unop W).index Q).sndTo i).Y)) ≫ ((unop W).index Q).snd i
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝¹ : Category.{max v u, w} D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η : P ⟶ Q
X : C
W : (J.Cover X)ᵒᵖ
i : ((unop W).index Q).R

⊢ Multiequalizer.ι ((unop W).index P) (((unop W).index P).sndTo i) ≫ ((unop W).index P).snd i ≫ η.app (op i.r.Z) = Multiequalizer.ι ((unop W).index P) (((unop W).index Q).sndTo i) ≫ P.map i.r.g₂.op ≫ η.app (op i.r.Z)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S

⊢ C (C 2) * Y + C (C (map W f).toAffine.a₁ * X + C (map W f).toAffine.a₃) = Polynomial.map (mapRingHom f) (C (C 2) * Y + C (C W.a₁ * X + C W.a₃))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
s : Opens M
hs : Nonempty ↥s
G : StructureGroupoid H
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
e' : PartialHomeomorph (↥s) H
he' : e' ∈ atlas H ↥s

⊢ (e.subtypeRestr hs).symm ≫ₕ e' ∈ G ∧ e'.symm ≫ₕ e.subtypeRestr hs ∈ G
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
s : Opens M
hs : Nonempty ↥s
G : StructureGroupoid H
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
e' : PartialHomeomorph (↥s) H
he' : e' ∈ atlas H ↥s
x : ↥s
this : e' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr hs

⊢ (e.subtypeRestr hs).symm ≫ₕ e' ∈ G ∧ e'.symm ≫ₕ e.subtypeRestr hs ∈ G
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
e : PartialHomeomorph M H
he : e ∈ atlas H M
s : Opens M
hs : Nonempty ↥s
G : StructureGroupoid H
inst✝¹ : HasGroupoid M G
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
e' : PartialHomeomorph (↥s) H
he' : e' ∈ atlas H ↥s
x : ↥s
this : e' = (chartAt H ↑x).subtypeRestr hs

⊢ (e.subtypeRestr hs).symm ≫ₕ (chartAt H ↑x).subtypeRestr hs ∈ G ∧ ((chartAt H ↑x).subtypeRestr hs).symm ≫ₕ e.subtypeRestr hs ∈ G
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Affine.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : Affine R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S

⊢ C (C (map W f).toAffine.a₁) * Y - C (C 3 * X ^ 2 + C (2 * (map W f).toAffine.a₂) * X + C (map W f).toAffine.a₄) = Polynomial.map (mapRingHom f) (C (C W.a₁) * Y - C (C 3 * X ^ 2 + C (2 * W.a₂) * X + C W.a₄))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : 0 < a + b

⊢ f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → a + b = 1 → f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : 0 < a + b

⊢ a / (a + b) + b / (a + b) = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁴ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → x ≠ y → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 < a → 0 < b → f ((a / (a + b)) • x + (b / (a + b)) • y) < (a / (a + b)) • f x + (b / (a + b)) • f y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
x : α
hx : x ∉ closure s

⊢ ContinuousWithinAt f s x
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
x : α
hx : 𝓝[s] x = ⊥

⊢ ContinuousWithinAt f s x
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
x : α
hx : 𝓝[s] x = ⊥

⊢ Tendsto f ⊥ (𝓝 (f x))
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℝ

⊢ ↑(rexp (-x)) = ↑(rexp x)⁻¹
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ℕ → α
k : ℕ

⊢ ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f (i + k) = ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f i
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ℕ → α
k : ℕ
hf : Monotone fun n => ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f i

⊢ ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f (i + k) = ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f i
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
f : ℕ → α
k : ℕ
hf : Monotone fun n => ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f i

⊢ ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n), f (i + k) = ⨆ n, ⨅ i, ⨅ (_ : i ≥ n + k), f i
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AtPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
hze : 0 = 1

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AtPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
hze : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) 1

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AtPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
hze : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) 1
t : ↥P.primeCompl
ht : ↑t * 0 = ↑t * 1

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AtPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P✝ : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P✝
P : Ideal R
hp : P.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S P
hze : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) 1
t : ↥P.primeCompl
ht : ↑t * 0 = ↑t * 1
htz : ↑t = 0

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
s : Multiset α
hs : ∀ a ∈ s, Irreducible a

⊢ normalizedFactors s.prod = Multiset.map (⇑normalize) s
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
hs : ∀ a ∈ 0, Irreducible a

⊢ normalizedFactors (Multiset.prod 0) = Multiset.map (⇑normalize) 0
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a : α
s : Multiset α
ih : (∀ a ∈ s, Irreducible a) → normalizedFactors s.prod = Multiset.map (⇑normalize) s
hs : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, Irreducible a_1

⊢ normalizedFactors (a ::ₘ s).prod = Multiset.map (⇑normalize) (a ::ₘ s)
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝² : Group W
inst✝¹ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
G : Type u_5
inst✝ : Group G
f : B → G
hf : M.IsLiftable f
i i' : B

⊢ (FreeGroup.lift f) (uncurry M.relation (i, i')) = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝² : Group W
inst✝¹ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
G : Type u_5
inst✝ : Group G
f : B → G
hf : M.IsLiftable f
i i' : B

⊢ (f (i, i').1 * f (i, i').2) ^ M.M (i, i').1 (i, i').2 = 1
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ

⊢ Ω n = 1 ↔ Nat.Prime n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ
h : Ω n = 1

⊢ Nat.Prime n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ
h : Ω (n + 1) = 1

⊢ Nat.Prime (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ
h : Ω (n + 1) = 1
x : ℕ
hx : (n + 1).primeFactorsList = [x]

⊢ Nat.Prime (n + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ
h : Ω (n + 1) = 1
x : ℕ
hx : (n + 1).primeFactorsList = [x]

⊢ Nat.Prime x
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ
h : Ω (n + 1) = 1
x : ℕ
hx : (n + 1).primeFactorsList = [x]

⊢ x ∈ ?succ.intro.n.primeFactorsList
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
n : ℕ
h : Ω (n + 1) = 1
x : ℕ
hx : (n + 1).primeFactorsList = [x]

⊢ ℕ
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
inst✝¹ : Algebra R Q
inst✝ : IsLocalization M Q
f : S →+* Q
hf : f.comp (algebraMap R S) = algebraMap R Q

⊢ f = ↑(algEquiv M S Q)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁶ : CommSemiring S
inst✝⁵ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring P
inst✝³ : IsLocalization M S
g : R →+* P
hg : ∀ (y : ↥M), IsUnit (g ↑y)
Q : Type u_4
inst✝² : CommSemiring Q
inst✝¹ : Algebra R Q
inst✝ : IsLocalization M Q
f : S →+* Q
hf : f.comp (algebraMap R S) = algebraMap R Q

⊢ f.comp (algebraMap R S) = (↑(algEquiv M S Q)).comp (algebraMap R S)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ tan ((starRingEnd ℂ) x) = (starRingEnd ℂ) (tan x)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
h : Fix F α → β
hyp : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), h (mk x) = g ((TypeVec.id ::: h) <$$> x)
x : Fix F α

⊢ rec g x = h x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
h : Fix F α → β
hyp : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), h (mk x) = g ((TypeVec.id ::: h) <$$> x)
x : Fix F α

⊢ ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), (TypeVec.id ::: rec g) <$$> x = (TypeVec.id ::: h) <$$> x → rec g (mk x) = h (mk x)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
h : Fix F α → β
hyp : ∀ (x : F (α ::: Fix F α)), h (mk x) = g ((TypeVec.id ::: h) <$$> x)
x✝ : Fix F α
x : F (α ::: Fix F α)
hyp' : (TypeVec.id ::: rec g) <$$> x = (TypeVec.id ::: h) <$$> x

⊢ rec g (mk x) = h (mk x)
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b = 0
hc : P.c = 0

⊢ P.toPoly.leadingCoeff = P.d
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Bounds.lean
x : ℝ
hx : x ≤ 0

⊢ x ≤ sin x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Chebyshev.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
x : R
n : ℤ

⊢ (algebraMap R A) (eval x (U R n)) = eval ((algebraMap R A) x) (U A n)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_3}

⊢ a ≤ b + a
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen s

⊢ ∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen s
h's : IsOpen (↑I.symm ⁻¹' s)

⊢ ∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SigmaCompactSpace M
inst✝ : T2Space M
t : M → Set F
n : ℕ∞
s : Set H
hs : IsOpen s
h's : IsOpen (↑I.symm ⁻¹' s)
f : E → ℝ
f_supp : support f = ↑I.symm ⁻¹' s
f_diff : ContDiff ℝ ⊤ f
f_range : range f ⊆ Icc 0 1

⊢ ∃ f, support f = s ∧ Smooth I 𝓘(ℝ, ℝ) f ∧ range f ⊆ Icc 0 1
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
f g : (i : ι) → α i

⊢ (g ∈ univ.pi fun i => {f i}) ↔ g ∈ {f}
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α

⊢ s ∪ ⋂ i, ⋂ j, t i j = ⋂ i, ⋂ j, s ∪ t i j
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Archimedean.lean
G : Type u_1
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : OrderTopology G
inst✝ : Archimedean G
S : AddSubgroup G

⊢ Dense ↑S ∨ ∃ a, S = closure {a}