ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/Integral.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁵ : StandardBorelSpace Ω
inst✝⁴ : Nonempty Ω
inst✝³ : CountableOrCountablyGenerated α β
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝² : IsFiniteKernel κ
E : Type u_4
f : β × Ω → E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a : α
hf : AEStronglyMeasurable f ((κ.fst ⊗ₖ κ.condKernel) a)

⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => ∫ (y : Ω), f (x, y) ∂κ.condKernel (a, x)) (κ.fst a)
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime

⊢ x ∈ I ∨ xᶜ ∈ I
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime

⊢ x ⊓ xᶜ ∈ I
-- Mathlib/Order/PrimeIdeal.lean
P : Type u_1
inst✝ : BooleanAlgebra P
x : P
I : Ideal P
hI : I.IsPrime

⊢ ⊥ ∈ I
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s t : Set X
hu : t ⊆ insert y s

⊢ insert x s ∈ 𝓝[t] x
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x : X
s t : Set X
hu : t ⊆ insert x s

⊢ insert x s ∈ 𝓝[t] x
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s t : Set X
hu : t ⊆ insert y s
h : x ≠ y

⊢ insert x s ∈ 𝓝[t] x
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s t : Set X
hu : t ⊆ insert y s
h : x ≠ y

⊢ insert x s ∈ 𝓝[insert y s] x
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
x y : X
s t : Set X
hu : t ⊆ insert y s
h : x ≠ y

⊢ insert x s ∈ 𝓝[s] x
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
p : Prop
α : Sort u_1
inst✝ : Nonempty α
P : α → Prop
f : p → α
a : p
h : P (f a)

⊢ P (sometimes f)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LindelofSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f

⊢ IsLindelof (range f)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Lindelof.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LindelofSpace X
f : X → Y
hf : Continuous f

⊢ IsLindelof (f '' univ)
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
P : α → Prop
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

⊢ All P (if l.size + r.size ≤ 1 then l.node' x r else if r.size > delta * l.size then l.rotateL x r else if l.size > delta * r.size then l.rotateR x r else l.node' x r) ↔ All P l ∧ P x ∧ All P r
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/SubMulAction.lean
S : Type u'
T : Type u''
R : Type u
M : Type v
inst✝¹ : Monoid R
inst✝ : MulAction R M
p : SubMulAction R M
m : ↥p
x✝ : R

⊢ x✝ ∈ MulAction.stabilizerSubmonoid R m ↔ x✝ ∈ MulAction.stabilizerSubmonoid R ↑m
-- Mathlib/Data/Nat/Dist.lean
n m : ℕ

⊢ n.dist m = m.dist n
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
x : E

⊢ ‖A x‖ = √(re ⟪((adjoint A).comp A) x, x⟫_𝕜)
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
inst✝¹ : One M
inst✝ : One N
s✝ t : Set α
f✝ g : α → M
a : α
r : M
s : Set α
f : α → M

⊢ r ∈ range (s.mulIndicator f) ↔ r = 1 ∧ s ≠ univ ∨ r ∈ f '' s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S

⊢ eval₂ f x 0 = 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R

⊢ W'.neg (u • P) = u • W'.neg P
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
u : R

⊢ ![(u • P) x, u ^ 3 * W'.negY P, (u • P) z] = u • W'.neg P
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.87350, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
hg : S.g = 0

⊢ S.opcycles ≅ S.rightHomology
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.87350, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasRightHomology
hg : S.g = 0
this : IsIso S.rightHomologyι

⊢ S.opcycles ≅ S.rightHomology
-- Mathlib/Data/Complex/Basic.lean
z : ℂ

⊢ z⁻¹.re = z.re / normSq z
-- Mathlib/Topology/Filter.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
l l' : Filter α

⊢ l' ∈ closure {l} ↔ l' ∈ Ici l
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α ≃o β
s t : UpperSet α
a : α
b : β

⊢ b ∈ (map f) s ↔ f.symm b ∈ s
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : Preorder γ
f : α ≃o β
s t : UpperSet α
a : α
b : β

⊢ b ∈ (map f.symm).symm s ↔ f.symm b ∈ s
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N

⊢ {K | |discr ↥↑K| ≤ ↑N}.Finite
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K| ≤ ↑N

⊢ {K | |discr ↥↑K| ≤ ↑N} ⊆ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N} ∪ {K | {w | w.IsComplex}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : Cocone F.unop
hc : IsColimit c
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (coneOfCoconeUnop c).pt
w : ∀ (j : Jᵒᵖ), m ≫ (coneOfCoconeUnop c).π.app j = s.π.app j

⊢ m = (fun s => (hc.desc (coconeUnopOfCone s)).op) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
F : Jᵒᵖ ⥤ Cᵒᵖ
c : Cocone F.unop
hc : IsColimit c
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (coneOfCoconeUnop c).pt
w : ∀ (j : Jᵒᵖ), m ≫ (coneOfCoconeUnop c).π.app j = s.π.app j
j : J

⊢ (c.ι.app j ≫ m.unop).op = (c.ι.app j ≫ ((fun s => (hc.desc (coconeUnopOfCone s)).op) s).unop).op
-- Mathlib/Order/Ideal.lean
P : Type u_1
inst✝¹ : Preorder P
p : P
ι : Type u_2
inst✝ : Encodable ι
𝒟 : ι → Cofinal P

⊢ Monotone (sequenceOfCofinals p 𝒟)
-- Mathlib/Order/Ideal.lean
P : Type u_1
inst✝¹ : Preorder P
p : P
ι : Type u_2
inst✝ : Encodable ι
𝒟 : ι → Cofinal P

⊢ ∀ (n : ℕ), sequenceOfCofinals p 𝒟 n ≤ sequenceOfCofinals p 𝒟 (n + 1)
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
x n m : ℕ

⊢ x ∣ x.gcd n * x.gcd m ↔ x ∣ n * m
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
E : EllipticCurve R
F : Type u
inst✝¹ : Field F
j : F
inst✝ : DecidableEq F
h3 : NeZero 3

⊢ ofJ 0 = ofJ0 F
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a'✝ : α
b✝ : M
a a' : α
b : M

⊢ a ∈ (single a' b).support ↔ a = a' ∧ b ≠ 0
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CdfToKernel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α

⊢ ∀ᵐ (b : β) ∂ν a, ∀ (q : ℚ), ⨅ r, f (a, b) ↑r = f (a, b) q
-- Mathlib/Dynamics/Ergodic/MeasurePreserving.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa✝ : Measure α
μb✝ : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
e : α ≃ᵐ β
μa : Measure α
μb : Measure β
h : MeasurePreserving (⇑e) μa μb

⊢ map (⇑e.symm) μb = μa
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
n : ℕ+
hn : n ≠ 1

⊢ ∃ p, p.Prime ∧ p ∣ n
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
n : ℕ+
hn : n ≠ 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p ∧ p ∣ ↑n

⊢ ∃ p, p.Prime ∧ p ∣ n
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
n : ℕ+
hn : n ≠ 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p ∧ p ∣ ↑n

⊢ Prime ⟨p, ⋯⟩ ∧ ⟨p, ⋯⟩ ∣ n
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
n : ℕ+
hn : n ≠ 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p ∧ p ∣ ↑n

⊢ Prime ⟨p, ⋯⟩ ∧ ↑⟨p, ⋯⟩ ∣ ↑n
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η

⊢ ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) = η
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h_le : κ ≤ κ + η

⊢ ((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) = η
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h_le : κ ≤ κ + η

⊢ (((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) + (κ + η).withDensity fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) = κ + η
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h_le : κ ≤ κ + η
this : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ (((κ + η).withDensity fun a x => ↑(1 - κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) + (κ + η).withDensity fun a x => ↑(κ.rnDerivAux (κ + η) a x).toNNReal) = κ + η
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h_le : κ ≤ κ + η
this : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ (((κ + η).withDensity fun a x => 1 - ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x)) + (κ + η).withDensity fun a x => ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x)) = κ + η
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h_le : κ ≤ κ + η
this : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ ((κ + η).withDensity fun a x => 1) = κ + η
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h_le : κ ≤ κ + η
this : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => 1)
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h_le : κ ≤ κ + η
this : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x))
-- Mathlib/Probability/Kernel/RadonNikodym.lean
α : Type u_1
γ : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mγ : MeasurableSpace γ
κ✝ η✝ : Kernel α γ
hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ
κ η : Kernel α γ
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel η
h_le : κ ≤ κ + η
this : ∀ (b : ℝ), ↑b.toNNReal = ENNReal.ofReal b

⊢ ∀ (a : α), (fun x => ENNReal.ofReal (κ.rnDerivAux (κ + η) a x)) ≤ᶠ[ae ((κ + η) a)] fun x => 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasProduct fun x => G

⊢ IsCoseparator G ↔ ∀ (A : C), Mono (Pi.lift fun f => f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
G : C
inst✝ : ∀ (A : C), HasProduct fun x => G

⊢ (∀ ⦃X Y : C⦄ (f g : X ⟶ Y), (∀ (h : Y ⟶ G), f ≫ h = g ≫ h) → f = g) ↔ ∀ (A : C), Mono (Pi.lift fun f => f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
m₂ m₂' : M₂

⊢ (Q₁.prod Q₂).IsOrtho (0, m₂) (0, m₂') ↔ Q₂.IsOrtho m₂ m₂'
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Completion.lean
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f g : CauchyFilter α
a b : α
ha : ↑f ≤ 𝓝 a
hb : ↑g ≤ 𝓝 b

⊢ Inseparable a b ↔ Inseparable f g
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Completion.lean
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f g : CauchyFilter α
a b : α
ha : Tendsto id (↑f) (𝓝 a)
hb : Tendsto id (↑g) (𝓝 b)

⊢ Inseparable a b ↔ Inseparable f g
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Completion.lean
α : Type u
inst✝² : UniformSpace α
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : UniformSpace β
inst✝ : UniformSpace γ
f g : CauchyFilter α
a b : α
ha : Tendsto id (↑f) (𝓝 a)
hb : Tendsto id (↑g) (𝓝 b)

⊢ Tendsto (fun x => ((id ∘ Prod.fst) x, (id ∘ Prod.snd) x)) (↑f ×ˢ ↑g) (𝓤 α) ↔ ↑f ×ˢ ↑g ≤ 𝓤 α
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
a : α
s : Set α
inst✝ : Decidable (a ∈ s)

⊢ ∫ (x : α) in s, f x ∂Measure.dirac a = if a ∈ s then f a else 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹⁰ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass α
f : α → E
a : α
s : Set α
inst✝ : Decidable (a ∈ s)

⊢ (∫ (x : α), f x ∂if a ∈ s then Measure.dirac a else 0) = if a ∈ s then f a else 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/QuasiIso.lean
C : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝⁴ : S₁.HasHomology
inst✝³ : S₂.HasHomology
inst✝² : S₃.HasHomology
inst✝¹ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝ : QuasiIso φ

⊢ QuasiIso (opMap φ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/QuasiIso.lean
C : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝⁴ : S₁.HasHomology
inst✝³ : S₂.HasHomology
inst✝² : S₃.HasHomology
inst✝¹ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝ : QuasiIso φ

⊢ QuasiIso φ
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι
h : i ≠ j

⊢ 𝟙 M i j = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → E
v : 𝕜 → F
u' : E
v' : F
hu : HasDerivAt u u' x
hv : HasDerivAt v v' x

⊢ HasDerivAt (fun x => (B (u x)) (v x)) ((B (u x)) v' + (B u') (v x)) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/NonPreadditive.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z

⊢ (f + g) ≫ h = f ≫ h + g ≫ h
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ rtakeWhile p l

⊢ p x = true
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
x : α
hx : x ∈ takeWhile p l.reverse

⊢ p x = true
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
hl : -(2 * π) ≤ x
hr : x ≤ 0

⊢ sin (x / 2) = -√((1 - cos x) / 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean
x : ℝ
hl : -(2 * π) ≤ x
hr : x ≤ 0

⊢ sin (x / 2) ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLogExp.lean
x : ℝ≥0∞
hx_top : ¬x = ⊤
hx_zero : ¬x = 0

⊢ x.log.exp = x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/ENNRealLogExp.lean
x : ℝ≥0∞
hx_top : ¬x = ⊤
hx_zero : ¬x = 0
hx_pos : 0 < x.toReal

⊢ x.log.exp = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x m : M

⊢ b.repr m ∈ Finsupp.supported R R ↑(b.repr m).support ∧ (Finsupp.total ι M R ⇑b) (b.repr m) = m
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s

⊢ IsClosed ↑(upperClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s
val✝ : Fintype ι

⊢ IsClosed ↑(upperClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), f n ∈ ↑(upperClosure s)
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)

⊢ x ∈ ↑(upperClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n

⊢ x ∈ ↑(upperClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n
a : ι → ℝ
ha : a ∈ upperBounds (range f)

⊢ x ∈ ↑(upperClosure s)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Finite ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x✝ y : ι → ℝ
δ : ℝ
hs : IsClosed s
hs' : BddBelow s
val✝ : Fintype ι
f : ℕ → ι → ℝ
x : ι → ℝ
hx : Filter.Tendsto f Filter.atTop (nhds x)
g : ℕ → ι → ℝ
hg : ∀ (n : ℕ), g n ∈ s
hgf : ∀ (n : ℕ), g n ≤ f n
a : ι → ℝ
ha : a ∈ upperBounds (range f)
b : ι → ℝ
hb : b ∈ closure (s ∩ Iic a)
φ : ℕ → ℕ
hφ : StrictMono φ
hbf : Filter.Tendsto (g ∘ φ) Filter.atTop (nhds b)

⊢ x ∈ ↑(upperClosure s)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b n : α
a_nonneg : 0 ≤ a
a_le_n : a ≤ n
b_nonneg : 0 ≤ b
b_le_n : b ≤ n

⊢ |a - b| ≤ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c d a b n : α
a_nonneg : 0 ≤ a
a_le_n : a ≤ n
b_nonneg : 0 ≤ b
b_le_n : b ≤ n

⊢ a ≤ n + b ∧ b ≤ n + a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
f' : C(↑(σₙ R a), ↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)))₀
hff' : ∀ (x : ↑(σₙ R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀
ψ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] C(↑(σₙ R a), R)₀ := { toFun := fun x => x.comp f', map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_star' := ⋯ }
φ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] A := (cfcₙHom ha).comp ψ

⊢ (cfcₙHom ha) (g.comp f') = (cfcₙHom ⋯) g
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
f' : C(↑(σₙ R a), ↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)))₀
hff' : ∀ (x : ↑(σₙ R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀
ψ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] C(↑(σₙ R a), R)₀ := { toFun := fun x => x.comp f', map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_star' := ⋯ }
φ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] A := (cfcₙHom ha).comp ψ

⊢ cfcₙHom ⋯ = φ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : Nontrivial R
inst✝¹¹ : StarRing R
inst✝¹⁰ : MetricSpace R
inst✝⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝⁸ : ContinuousStar R
inst✝⁷ : NonUnitalRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R A A
inst✝² : SMulCommClass R A A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
a : A
ha : p a
inst✝ : UniqueNonUnitalContinuousFunctionalCalculus R A
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
f' : C(↑(σₙ R a), ↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)))₀
hff' : ∀ (x : ↑(σₙ R a)), f x = ↑(f' x)
g : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀
ψ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] C(↑(σₙ R a), R)₀ := { toFun := fun x => x.comp f', map_smul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_star' := ⋯ }
φ : C(↑(σₙ R ((cfcₙHom ha) f)), R)₀ →⋆ₙₐ[R] A := (cfcₙHom ha).comp ψ

⊢ Continuous ⇑φ