ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R

⊢ divided_by_X_pow_order ⋯ = 1
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Order.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R

⊢ X * divided_by_X_pow_order ⋯ = X
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : SetLike σ A
inst✝³ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : GradedRing 𝒜
I✝ I : Ideal A
hI : IsHomogeneous 𝒜 I
x : A

⊢ x ∈ I ↔ ∀ (i : ι), ↑(((decompose 𝒜) x) i) ∈ I
-- Mathlib/Data/PNat/Xgcd.lean
u : XgcdType

⊢ u.zp + u.wp + u.zp * u.wp = u.y * u.x ↔ u.wp + u.zp + u.wp * u.zp = u.x * u.y
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesAt f pf x
hg : HasFPowerSeriesAt g pg x

⊢ HasFPowerSeriesAt (f + g) (pf + pg) x
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r✝ r' : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesAt f pf x
hg : HasFPowerSeriesAt g pg x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesOnBall f pf x r ∧ HasFPowerSeriesOnBall g pg x r

⊢ HasFPowerSeriesAt (f + g) (pf + pg) x
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
s : ℕ → Set α
hs : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (s n)

⊢ MeasurableSet (liminf s atTop)
-- Mathlib/Probability/ConditionalProbability.lean
Ω : Type u_1
Ω' : Type u_2
α : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
m' : MeasurableSpace Ω'
μ : Measure Ω
s t : Set Ω
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

⊢ μ[|univ] = μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b : ℝ

⊢ ∫ (x : ℝ) in b..a, f x ∂μ = -∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
n' a : ℤ
γ : Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'
n : ℤ
hn : n + a = n'

⊢ (leftShiftAddEquiv K L n a n' hn).symm (-γ) = -γ.leftUnshift n hn
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y : V

⊢ affineSegment R x y = segment R x y
-- Mathlib/Data/Fintype/CardEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Fintype β
emb : Fintype (α ↪ β)

⊢ ‖α ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖α‖
-- Mathlib/Data/Fintype/CardEmbedding.lean
β : Type u_2
inst✝ : Fintype β
α₁ α₂ : Type u_1
h₂ : Fintype α₂
e : α₁ ≃ α₂
ih : (fun t [Fintype t] => ‖t ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖t‖) α₁

⊢ ‖α₂ ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖α₂‖
-- Mathlib/Data/Fintype/CardEmbedding.lean
β : Type u_2
inst✝ : Fintype β

⊢ ‖PEmpty.{u_1 + 1} ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖PEmpty.{u_1 + 1}‖
-- Mathlib/Data/Fintype/CardEmbedding.lean
β : Type u_2
inst✝ : Fintype β
γ : Type u_1
h : Fintype γ
ih : (fun t [Fintype t] => ‖t ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖t‖) γ

⊢ ‖Option γ ↪ β‖ = ‖β‖.descFactorial ‖Option γ‖
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α

⊢ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s ↔ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α
h : Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s

⊢ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
ha : ∀ b ∈ s, (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a

⊢ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α
ha : ∀ b ∈ s, (fun x x_1 => x ≤ x_1) b a
b : α
hb : a < b

⊢ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K

⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
w✝ : K
h_mem : w✝ ∈ ↑1
h_nz : w✝ ≠ 0
h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) w✝| ≤ ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑1) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|

⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
a : 𝓞 K
h_mem : (algebraMap (𝓞 K) K) a ∈ ↑1
h_nz : (algebraMap (𝓞 K) K) a ≠ 0
h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) a)| ≤ ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑1) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|

⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
a : 𝓞 K
h_mem : (algebraMap (𝓞 K) K) a ∈ ↑1
h_nz : (algebraMap (𝓞 K) K) a ≠ 0
h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) a)| ≤ ↑(FractionalIdeal.absNorm ↑1) * (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|

⊢ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
a : 𝓞 K
h_mem : (algebraMap (𝓞 K) K) a ∈ ↑1
h_nz : (algebraMap (𝓞 K) K) a ≠ 0
h_nm : ↑|(Algebra.norm ℚ) ((algebraMap (𝓞 K) K) a)| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|

⊢ ↑|(Algebra.norm ℚ) ↑a| ≤ (4 / π) ^ NrComplexPlaces K * ↑(finrank ℚ K).factorial / ↑(finrank ℚ K) ^ finrank ℚ K * √|↑(discr K)|
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/RBMap/WF.lean
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
v : α
t : RBNode α

⊢ (match t.isRed with | red => (ins cmp v t).setBlack | black => ins cmp v t).setBlack = (ins cmp v t).setBlack
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Basic.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y x : V
hx : x ≠ 0

⊢ arccos (⟪x, x⟫_ℝ / (‖x‖ * ‖x‖)) = 0
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
h : s.Finite
val✝ : Fintype ↑s

⊢ ∃ s', ∀ (a : α), a ∈ s' ↔ a ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M

⊢ ↑(⨆ i, p i) = ⨆ i, ↑(p i)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M

⊢ sSup {x | ∃ s ∈ range fun i => p i, ↑s = x} = ⨆ i, ↑(p i)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
x✝ : M

⊢ x✝ ∈ sSup {x | ∃ s ∈ range fun i => p i, ↑s = x} ↔ x✝ ∈ ⨆ i, ↑(p i)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p i : Fin n
h : p ≤ i

⊢ p.predAbove i.succ = i
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x

⊢ (f z - f x) / (z - x) < (f z - f y) / (z - y)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hyz' : 0 < z - y
hxz' : 0 < z - x

⊢ (f z - f x) * (z - y) < (f z - f y) * (z - x)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.13014, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData

⊢ S.Exact ↔ h.left.i ≫ h.right.p = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.13014, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
this : S.HasHomology

⊢ S.Exact ↔ h.left.i ≫ h.right.p = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.13014, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
h : S.HomologyData
this : S.HasHomology

⊢ IsZero h.left.H ↔ h.left.π ≫ h.iso.hom ≫ h.right.ι = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ

⊢ |z.arg| < π / 2 ↔ 0 < z.re ∨ z = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ

⊢ 0 < z.re ∨ 0 ≤ z.im ∧ (z.im < 0 ∨ z = 0) ↔ 0 < z.re ∨ z = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hz : z = 0

⊢ 0 < z.re ∨ 0 ≤ z.im ∧ (z.im < 0 ∨ z = 0) ↔ 0 < z.re ∨ z = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ
hz : z ≠ 0

⊢ 0 < z.re ∨ 0 ≤ z.im ∧ (z.im < 0 ∨ z = 0) ↔ 0 < z.re ∨ z = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤

⊢ 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict t)] f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : μ (s ∩ t) < ⊤

⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
x✝ : μ (s ∩ t) < ⊤

⊢ μ (s ∩ t) < ⊤
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Composition.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
E : Type u₄
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝² : Category.{v₄, u₄} E
L₁ : C₁ ⥤ C₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : L₂.IsLocalization W₂
W₃ : MorphismProperty C₁
hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁
E₂ : C₂ ≌ W₁.Localization := uniq L₁ W₁.Q W₁
W₂' : MorphismProperty W₁.Localization := W₂.map E₂.functor

⊢ (L₁ ⋙ L₂).IsLocalization W₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Composition.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
E : Type u₄
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝² : Category.{v₄, u₄} E
L₁ : C₁ ⥤ C₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : L₂.IsLocalization W₂
W₃ : MorphismProperty C₁
hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁
E₂ : C₂ ≌ W₁.Localization := uniq L₁ W₁.Q W₁
W₂' : MorphismProperty W₁.Localization := W₂.map E₂.functor
Φ : LocalizerMorphism W₂ W₂' := { functor := E₂.functor, map := ⋯ }

⊢ (L₁ ⋙ L₂).IsLocalization W₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Composition.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
E : Type u₄
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝² : Category.{v₄, u₄} E
L₁ : C₁ ⥤ C₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : L₂.IsLocalization W₂
W₃ : MorphismProperty C₁
hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁
E₂ : C₂ ≌ W₁.Localization := uniq L₁ W₁.Q W₁
W₂' : MorphismProperty W₁.Localization := W₂.map E₂.functor
Φ : LocalizerMorphism W₂ W₂' := { functor := E₂.functor, map := ⋯ }
this : Φ.IsLocalizedEquivalence

⊢ (L₁ ⋙ L₂).IsLocalization W₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Composition.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
E : Type u₄
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝² : Category.{v₄, u₄} E
L₁ : C₁ ⥤ C₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : L₂.IsLocalization W₂
W₃ : MorphismProperty C₁
hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁
E₂ : C₂ ≌ W₁.Localization := uniq L₁ W₁.Q W₁
W₂' : MorphismProperty W₁.Localization := W₂.map E₂.functor
Φ : LocalizerMorphism W₂ W₂' := { functor := E₂.functor, map := ⋯ }
this : Φ.IsLocalizedEquivalence
E₃ : C₃ ≌ W₂'.Localization := (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q).asEquivalence
iso : (W₁.Q ⋙ W₂'.Q) ⋙ E₃.inverse ≅ L₁ ⋙ L₂ := Trans.trans (Trans.trans (W₁.Q.associator W₂'.Q E₃.inverse ≪≫ isoWhiskerRight (compUniqFunctor L₁ W₁.Q W₁).symm (W₂'.Q ⋙ E₃.inverse) ≪≫ L₁.associator (uniq L₁ W₁.Q W₁).functor (W₂'.Q ⋙ E₃.inverse)) (isoWhiskerLeft L₁ ((E₂.functor.associator W₂'.Q E₃.inverse).symm ≪≫ isoWhiskerRight (CatCommSq.iso Φ.functor L₂ W₂'.Q (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q)) E₃.inverse ≪≫ L₂.associator (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q) E₃.inverse))) (isoWhiskerLeft L₁ (isoWhiskerLeft L₂ E₃.unitIso.symm ≪≫ L₂.rightUnitor))

⊢ (L₁ ⋙ L₂).IsLocalization W₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Composition.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
E : Type u₄
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝² : Category.{v₄, u₄} E
L₁ : C₁ ⥤ C₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : L₂.IsLocalization W₂
W₃ : MorphismProperty C₁
hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁
E₂ : C₂ ≌ W₁.Localization := uniq L₁ W₁.Q W₁
W₂' : MorphismProperty W₁.Localization := W₂.map E₂.functor
Φ : LocalizerMorphism W₂ W₂' := { functor := E₂.functor, map := ⋯ }
this : Φ.IsLocalizedEquivalence
E₃ : C₃ ≌ W₂'.Localization := (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q).asEquivalence
iso : (W₁.Q ⋙ W₂'.Q) ⋙ E₃.inverse ≅ L₁ ⋙ L₂ := Trans.trans (Trans.trans (W₁.Q.associator W₂'.Q E₃.inverse ≪≫ isoWhiskerRight (compUniqFunctor L₁ W₁.Q W₁).symm (W₂'.Q ⋙ E₃.inverse) ≪≫ L₁.associator (uniq L₁ W₁.Q W₁).functor (W₂'.Q ⋙ E₃.inverse)) (isoWhiskerLeft L₁ ((E₂.functor.associator W₂'.Q E₃.inverse).symm ≪≫ isoWhiskerRight (CatCommSq.iso Φ.functor L₂ W₂'.Q (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q)) E₃.inverse ≪≫ L₂.associator (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q) E₃.inverse))) (isoWhiskerLeft L₁ (isoWhiskerLeft L₂ E₃.unitIso.symm ≪≫ L₂.rightUnitor))
hW₃' : W₃.IsInvertedBy (W₁.Q ⋙ W₂'.Q)

⊢ (L₁ ⋙ L₂).IsLocalization W₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Composition.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
E : Type u₄
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝² : Category.{v₄, u₄} E
L₁ : C₁ ⥤ C₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : L₂.IsLocalization W₂
W₃ : MorphismProperty C₁
hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁
E₂ : C₂ ≌ W₁.Localization := uniq L₁ W₁.Q W₁
W₂' : MorphismProperty W₁.Localization := W₂.map E₂.functor
Φ : LocalizerMorphism W₂ W₂' := { functor := E₂.functor, map := ⋯ }
this : Φ.IsLocalizedEquivalence
E₃ : C₃ ≌ W₂'.Localization := (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q).asEquivalence
iso : (W₁.Q ⋙ W₂'.Q) ⋙ E₃.inverse ≅ L₁ ⋙ L₂ := Trans.trans (Trans.trans (W₁.Q.associator W₂'.Q E₃.inverse ≪≫ isoWhiskerRight (compUniqFunctor L₁ W₁.Q W₁).symm (W₂'.Q ⋙ E₃.inverse) ≪≫ L₁.associator (uniq L₁ W₁.Q W₁).functor (W₂'.Q ⋙ E₃.inverse)) (isoWhiskerLeft L₁ ((E₂.functor.associator W₂'.Q E₃.inverse).symm ≪≫ isoWhiskerRight (CatCommSq.iso Φ.functor L₂ W₂'.Q (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q)) E₃.inverse ≪≫ L₂.associator (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q) E₃.inverse))) (isoWhiskerLeft L₁ (isoWhiskerLeft L₂ E₃.unitIso.symm ≪≫ L₂.rightUnitor))
hW₃' : W₃.IsInvertedBy (W₁.Q ⋙ W₂'.Q)
hW₂₃' : W₂' ≤ W₃.map W₁.Q

⊢ (L₁ ⋙ L₂).IsLocalization W₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Composition.lean
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
E : Type u₄
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝² : Category.{v₄, u₄} E
L₁ : C₁ ⥤ C₂
L₂ : C₂ ⥤ C₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
inst✝¹ : L₁.IsLocalization W₁
inst✝ : L₂.IsLocalization W₂
W₃ : MorphismProperty C₁
hW₃ : W₃.IsInvertedBy (L₁ ⋙ L₂)
hW₁₃ : W₁ ≤ W₃
hW₂₃ : W₂ ≤ W₃.map L₁
E₂ : C₂ ≌ W₁.Localization := uniq L₁ W₁.Q W₁
W₂' : MorphismProperty W₁.Localization := W₂.map E₂.functor
Φ : LocalizerMorphism W₂ W₂' := { functor := E₂.functor, map := ⋯ }
this✝ : Φ.IsLocalizedEquivalence
E₃ : C₃ ≌ W₂'.Localization := (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q).asEquivalence
iso : (W₁.Q ⋙ W₂'.Q) ⋙ E₃.inverse ≅ L₁ ⋙ L₂ := Trans.trans (Trans.trans (W₁.Q.associator W₂'.Q E₃.inverse ≪≫ isoWhiskerRight (compUniqFunctor L₁ W₁.Q W₁).symm (W₂'.Q ⋙ E₃.inverse) ≪≫ L₁.associator (uniq L₁ W₁.Q W₁).functor (W₂'.Q ⋙ E₃.inverse)) (isoWhiskerLeft L₁ ((E₂.functor.associator W₂'.Q E₃.inverse).symm ≪≫ isoWhiskerRight (CatCommSq.iso Φ.functor L₂ W₂'.Q (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q)) E₃.inverse ≪≫ L₂.associator (Φ.localizedFunctor L₂ W₂'.Q) E₃.inverse))) (isoWhiskerLeft L₁ (isoWhiskerLeft L₂ E₃.unitIso.symm ≪≫ L₂.rightUnitor))
hW₃' : W₃.IsInvertedBy (W₁.Q ⋙ W₂'.Q)
hW₂₃' : W₂' ≤ W₃.map W₁.Q
this : (W₁.Q ⋙ W₂'.Q).IsLocalization W₃

⊢ (L₁ ⋙ L₂).IsLocalization W₃
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

⊢ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom = 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).inv ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

⊢ 𝟙_ C ◁ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom ▷ 𝟙_ C ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

⊢ ((((α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv) ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C) ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom) ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ (α_ X (𝟙_ C) (𝟙_ C)).inv ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv ▷ 𝟙_ C ≫ (α_ (𝟙_ C) X (𝟙_ C)).hom ≫ 𝟙_ C ◁ (ρ_ X).hom = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ X ◁ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (β_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C) X).hom ≫ X ◁ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ ((ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom) ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X ≫ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (β_ (𝟙_ C) X).inv = (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

⊢ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) X).inv ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ▷ X = 𝟙_ C ◁ (λ_ X).hom
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
hst : Disjoint s t

⊢ SeparatedNhds s t
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : FirstCountableTopology X
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : T2Space X
s t : Set X
hs : IsCompact s
ht : IsCompact t
hst : s ×ˢ t ⊆ (diagonal X)ᶜ

⊢ ∃ U V, IsOpen U ∧ IsOpen V ∧ s ⊆ U ∧ t ⊆ V ∧ U ×ˢ V ⊆ (diagonal X)ᶜ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : β → ℝ≥0∞
g : α → β
a : α
hg : Measurable g
inst✝ : MeasurableSingletonClass β

⊢ ∫⁻ (x : β), f x ∂(deterministic g hg) a = f (g a)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
x : CofiniteTopology X
s : Set (CofiniteTopology X)

⊢ s ∈ 𝓝 x ↔ x ∈ s ∧ sᶜ.Finite
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
a✝ : Nontrivial R

⊢ (trinomial k m n u v 1).Monic
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j k : ι
hij : c.Rel i j
hjk : c.Rel j k

⊢ d φ i j ≫ fstX φ j k hjk = -fstX φ i j hij ≫ F.d j k
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
hjk : c.Rel j (c.next j)

⊢ d φ i j ≫ fstX φ j (c.next j) hjk = -fstX φ i j hij ≫ F.d j (c.next j)