ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x

⊢ ∃ n, Associated x (ϖ ^ n)
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x

⊢ Associated x (ϖ ^ Multiset.card fx)
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associated fx.prod x

⊢ Associated x (ϖ ^ Multiset.card fx)
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x

⊢ Associates.mk x = Associates.mk (ϖ ^ Multiset.card fx)
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x

⊢ (Multiset.map Associates.mk fx).prod = (Multiset.replicate (Multiset.card fx) (Associates.mk ϖ)).prod
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x

⊢ Multiset.map Associates.mk fx = Multiset.replicate (Multiset.card fx) (Associates.mk ϖ)
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x

⊢ Multiset.card (Multiset.map Associates.mk fx) = Multiset.card fx ∧ ∀ b ∈ Multiset.map Associates.mk fx, b = Associates.mk ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x

⊢ ∀ (b : Associates R), ∀ x ∈ fx, Associates.mk x = b → b = Associates.mk ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
x✝ : R
a✝ : x✝ ∈ fx

⊢ Associates.mk x✝ = Associates.mk ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
x✝ : R
a✝ : x✝ ∈ fx

⊢ Associated x✝ ϖ
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
x✝ : R
a✝ : x✝ ∈ fx

⊢ Irreducible x✝
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
x : R
hx : x ≠ 0
ϖ : R
hirr : Irreducible ϖ
this : WfDvdMonoid R
fx : Multiset R
hfx : (∀ b ∈ fx, Irreducible b) ∧ Associated fx.prod x
H : Associates.mk fx.prod = Associates.mk x
x✝ : R
a✝ : x✝ ∈ fx

⊢ x✝ ∈ fx
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
a b x : α

⊢ ↑(sign x) * |x| = x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hd : Disjoint x z
hz : z ≤ y
hs : y ≤ x ⊔ z

⊢ y ⊓ x ⊔ z = y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hd : Disjoint x z
hz : z ≤ y
hs : (x ⊔ z) ⊓ y = y

⊢ y ⊓ x ⊔ z = y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hd : Disjoint x z
hz : z ≤ y
hs : y ≤ x ⊔ z

⊢ y ⊓ x ⊓ z = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/FG.lean
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Semiring B
inst✝ : Algebra R B
S : Subalgebra R A
f : A →ₐ[R] B
hs✝ : S.FG
s : Finset A
hs : Algebra.adjoin R ↑s = S

⊢ Algebra.adjoin R ↑(Finset.image (⇑f) s) = Subalgebra.map f S
-- Mathlib/Order/Compare.lean
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
x y : α
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
x' y' : β
h : cmp x y = cmp x' y'

⊢ x = y ↔ x' = y'
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
h : n < m

⊢ a ^ (m - n) = a ^ m * (a ^ n)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m n : ℕ
h : n < m

⊢ 0 ^ (m - n) = 0 ^ m * (0 ^ n)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Units/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c d : G₀
m n : ℕ
a : G₀
h : n < m
ha : a ≠ 0

⊢ a ^ (m - n) = a ^ m * (a ^ n)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exp.lean
α : Type u_1
x y z : ℝ
l : Filter α
f : α → ℝ

⊢ Tendsto (fun x => rexp (f x)) l (𝓝 0) ↔ Tendsto f l atBot
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
S : Set (LieSubmodule R L M)

⊢ ↑(sInf S) = ⨅ N ∈ S, ↑N
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → Submodule R M
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

⊢ ↑(s.inf p) = ⋂ i ∈ s, ↑(p i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → Submodule R M
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

⊢ ↑(∅.inf p) = ⋂ i ∈ ∅, ↑(p i)
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Type u_4
s✝ : Finset ι
p : ι → Submodule R M
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
s : Finset ι
x✝ : i ∉ s
ih : ↑(s.inf p) = ⋂ i ∈ s, ↑(p i)

⊢ ↑((insert i s).inf p) = ⋂ i_1 ∈ insert i s, ↑(p i_1)
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S✝ T : Set M
inst✝ : Mul M
S : Set M

⊢ S.centralizer.centralizer.centralizer = S.centralizer
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S✝ T : Set M
inst✝ : Mul M
S : Set M

⊢ S.centralizer.centralizer.centralizer ⊆ S.centralizer
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S✝ T : Set M
inst✝ : Mul M
S : Set M
x : M
hx : x ∈ S.centralizer.centralizer.centralizer

⊢ x ∈ S.centralizer
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S✝ T : Set M
inst✝ : Mul M
S : Set M
x : M
hx : x ∈ S.centralizer.centralizer.centralizer

⊢ ∀ m ∈ S, m * x = x * m
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S✝ T : Set M
inst✝ : Mul M
S : Set M
x : M
hx : x ∈ S.centralizer.centralizer.centralizer
y : M
hy : y ∈ S

⊢ y * x = x * y
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S✝ T : Set M
inst✝ : Mul M
S : Set M
x : M
hx : ∀ m ∈ S.centralizer.centralizer, m * x = x * m
y : M
hy : y ∈ S

⊢ y * x = x * y
-- Mathlib/Probability/Martingale/BorelCantelli.lean
Ω : Type u_1
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
r : ℝ
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Martingale f ℱ μ
hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ¬Tendsto (fun n => f n ω) atTop atTop
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ

⊢ (f =o[l] fun x => ‖g' x‖) ↔ f =o[l] g'
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
u v : α → ℝ

⊢ (∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f fun x => ‖g' x‖) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f g'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A✝ : Matrix n n α
b✝ : n → α
A : Matrix m m α
e : n ≃ m
b : n → α
i : n

⊢ (A.submatrix ⇑e ⇑e).cramer b i = (A.cramer (b ∘ ⇑e.symm) ∘ ⇑e) i
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → α
hf : LipschitzWith K f

⊢ LipschitzWith (K ^ 0) f^[0]
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → α
hf : LipschitzWith K f
n : ℕ

⊢ LipschitzWith (K ^ (n + 1)) f^[n + 1]
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → α
hf : LipschitzWith K f
n : ℕ

⊢ LipschitzWith (K ^ n * K) f^[n + 1]
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}

⊢ c + ⨆ i, f i = ⨆ i, c + f i
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
ι : Type u
ι' : Type w
f : ι → Cardinal.{v}
inst✝¹ : Nonempty ι
inst✝ : Nonempty ι'
hf : BddAbove (range f)
c : Cardinal.{v}

⊢ ⨆ i, f i + c = ⨆ i, c + f i
-- Mathlib/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n : ℕ
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd

⊢ (x ^ n).snd = n •> (x.snd <• x.fst ^ n.pred)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Roots.lean
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝⁴ : CommRing R✝
inst✝³ : IsDomain R✝
p✝ q : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
p : R[X]
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
f : ι → R
hf : Function.Injective f
heval : ∀ (i : ι), eval (f i) p = 0
hcard : p.natDegree < Fintype.card ι

⊢ p = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : ¬p = 0

⊢ rootMultiplicity 0 p = p.natTrailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : ¬p = 0

⊢ rootMultiplicity 0 p ≤ p.natTrailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
h : ¬p = 0

⊢ p.natTrailingDegree ≤ rootMultiplicity 0 p
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝⁶ : SeminormedRing 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : SeminormedRing 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup E₂
inst✝¹ : Module 𝕜₂ E₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : Seminorm 𝕜 E
r : ℝ

⊢ p.ball 0 r = ⇑p ⁻¹' Metric.ball 0 r
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
h : ∀ a ∈ s, t₁ a ⊆ t₂ a

⊢ s.biUnion t₁ ⊆ s.biUnion t₂
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
h : ∀ a ∈ s, t₁ a ⊆ t₂ a
this : ∀ (b : β), ∀ a ∈ s, b ∈ t₁ a → ∃ a ∈ s, b ∈ t₂ a

⊢ s.biUnion t₁ ⊆ s.biUnion t₂
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p q : Multiset (Associates α)
hp : ∀ a ∈ p, Irreducible a
hq : ∀ a ∈ q, Irreducible a

⊢ p.prod ≤ q.prod ↔ p ≤ q
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p q : Multiset (Associates α)
hp : ∀ a ∈ p, Irreducible a
hq : ∀ a ∈ q, Irreducible a

⊢ p.prod ≤ q.prod → p ≤ q
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p q : Multiset (Associates α)
hp : ∀ a ∈ p, Irreducible a
hq : ∀ a ∈ q, Irreducible a
c : Associates α
eqc : q.prod = p.prod * c

⊢ p ≤ q
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p q : Multiset (Associates α)
hp : ∀ a ∈ p, Irreducible a
hq : ∀ a ∈ q, Irreducible a
c : Associates α
eqc : q.prod = p.prod * c
x : Associates α
hx : x ∈ p + factors c

⊢ Irreducible x
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝ : Nontrivial α
p q : Multiset (Associates α)
hp : ∀ a ∈ p, Irreducible a
hq : ∀ a ∈ q, Irreducible a
c : Associates α
eqc : q.prod = p.prod * c

⊢ q.prod = (p + factors c).prod
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
x : ℤ_[p]
n : ℕ
hx : ¬x = 0

⊢ ‖x‖ ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ x ∈ Ideal.span {↑p ^ n}
-- Mathlib/Algebra/Group/Support.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : α → M
g : α → N
x : α

⊢ (x ∈ mulSupport fun x => (f x, g x)) ↔ x ∈ mulSupport f ∪ mulSupport g
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A

⊢ (W.map φ).Δ = φ W.Δ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
A : Type v
inst✝ : CommRing A
φ : R →+* A

⊢ -φ W.b₂ ^ 2 * φ W.b₈ - 8 * φ W.b₄ ^ 3 - 27 * φ W.b₆ ^ 2 + 9 * φ W.b₂ * φ W.b₄ * φ W.b₆ = φ (-W.b₂ ^ 2 * W.b₈ - 8 * W.b₄ ^ 3 - 27 * W.b₆ ^ 2 + 9 * W.b₂ * W.b₄ * W.b₆)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf : DifferentiableOn ℝ f (Iio a)
hg' : ∀ x ∈ Iio a, deriv g x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atBot l

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf✝ : DifferentiableOn ℝ f (Iio a)
hg' : ∀ x ∈ Iio a, deriv g x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atBot l
hdf : ∀ x ∈ Iio a, DifferentiableAt ℝ f x

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LHopital.lean
a b : ℝ
hab : a < b
l : Filter ℝ
f f' g g' : ℝ → ℝ
hdf✝ : DifferentiableOn ℝ f (Iio a)
hg' : ∀ x ∈ Iio a, deriv g x ≠ 0
hfbot : Tendsto f atBot (𝓝 0)
hgbot : Tendsto g atBot (𝓝 0)
hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) atBot l
hdf : ∀ x ∈ Iio a, DifferentiableAt ℝ f x
hdg : ∀ x ∈ Iio a, DifferentiableAt ℝ g x

⊢ Tendsto (fun x => f x / g x) atBot l
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Presheaf.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v
X : C
s : yoneda.obj X ⟶ A
x : F.obj (op (CostructuredArrow.mk s))

⊢ op (CostructuredArrow.mk s) = op (CostructuredArrow.mk (mk s x).fst)
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
t : Set γ
x : α

⊢ x ∈ (r • s).core t ↔ x ∈ r.core (s.core t)
-- Mathlib/Data/Rel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
s : Rel β γ
t : Set γ
x : α

⊢ (∀ (y : γ) (x_1 : β), r x x_1 → s x_1 y → y ∈ t) ↔ ∀ (y : β), r x y → ∀ (y_1 : γ), s y y_1 → y_1 ∈ t
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α

⊢ M = loopyOn E ↔ M.E = E ∧ ∀ X ⊆ M.E, M.Indep X → X = ∅
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α

⊢ M.E = E → ((∀ I ⊆ M.E, M.Indep I ↔ I = ∅) ↔ ∀ X ⊆ M.E, M.Indep X → X = ∅)
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
B I X R J : Set α

⊢ (∀ I ⊆ M.E, M.Indep I ↔ I = ∅) ↔ ∀ X ⊆ M.E, M.Indep X → X = ∅
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : M

⊢ (contractLeft d) ((ι Q) x) = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) (d x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
x : M

⊢ ∀ (m : M) (x fx : CliffordAlgebra Q), ((contractLeftAux Q d) m) ((ι Q) m * x, ((contractLeftAux Q d) m) (x, fx)) = Q m • fx
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f✝ : ↑Γ(X, U)
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
this : IsAffine ↑U

⊢ IsAffineOpen (f ''ᵁ U)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f✝ : ↑Γ(X, U)
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
this : IsAffine ↑U

⊢ f ''ᵁ U = Scheme.Hom.opensRange (U.ι ≫ f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f✝ : ↑Γ(X, U)
f : X ⟶ Y
H : IsOpenImmersion f
this : IsAffine ↑U

⊢ ↑(f ''ᵁ U) = ↑(Scheme.Hom.opensRange (U.ι ≫ f))
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
x : M
h : x ∈ f.source
ht : t ∈ 𝓝[s] x

⊢ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' t ∈ 𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.119255, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'.val
X : Dᵒᵖ

⊢ (sheafHom (whiskerLeft G.op α)).app X = α.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.119255, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'.val
X : Dᵒᵖ

⊢ yoneda.map ((sheafHom (whiskerLeft G.op α)).app X) = yoneda.map (α.app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.119255, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'.val
X : Dᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj (ℱ.obj X)).obj U

⊢ (yoneda.map ((sheafHom (whiskerLeft G.op α)).app X)).app U a✝ = (yoneda.map (α.app X)).app U a✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.119255, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'.val
X : Dᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj (ℱ.obj X)).obj U

⊢ ((sheafYonedaHom (whiskerLeft G.op α)).app X).app U a✝ = (yoneda.map (α.app X)).app U a✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_7, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.119255, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : ℱ ⟶ ℱ'.val
X : Dᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj (ℱ.obj X)).obj U

⊢ (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this) = ((sheafYonedaHom (whiskerLeft G.op α)).app X).app U a✝