ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsReal}
this : 1 ≤ convexBodyLTFactor ↥K

⊢ minkowskiBound (↥K) 1 < ↑(convexBodyLTFactor ↥K) * ↑B
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
K✝ : Type u_1
inst✝³ : Field K✝
inst✝² : NumberField K✝
A : Type u_2
inst✝¹ : Field A
inst✝ : CharZero A
N : ℕ
hK : |discr K✝| ≤ ↑N
D : ℕ := rankOfDiscrBdd N
B : ℝ≥0 := boundOfDiscBdd N
C : ℕ := ⌈max B 1 ^ D * ↑(D.choose (D / 2))⌉₊
x✝¹ : { F // FiniteDimensional ℚ ↥F }
K : IntermediateField ℚ A
hK₀ : FiniteDimensional ℚ ↥K
x✝ : ⟨K, hK₀⟩ ∈ {K | {w | w.IsReal}.Nonempty ∧ |discr ↥↑K| ≤ ↑N}
hK₂ : |discr ↥↑⟨K, hK₀⟩| ≤ ↑N
this✝ : NumberField ↥K
w₀ : InfinitePlace ↥↑⟨K, hK₀⟩
hw₀ : w₀ ∈ {w | w.IsReal}
this : 1 ≤ convexBodyLTFactor ↥K

⊢ minkowskiBound (↥K) 1 = (fun x => x * minkowskiBound (↥↑⟨K, hK₀⟩) 1) ↑1
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h1 : f ∣ g
h2 : g ≠ 0

⊢ f.natSepDegree ≤ g.natSepDegree
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f g : F[X]
h1 : f ∣ g
h2 : g ≠ 0

⊢ (f.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card ≤ (g.aroots (AlgebraicClosure F)).toFinset.card
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens

⊢ Scheme.Hom.app f U ≫ (ΓIso f U).hom = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion f
U : Y.Opens

⊢ (Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op ≫ (ΓIso f U).inv) ≫ (ΓIso f U).hom = Y.presheaf.map (homOfLE ⋯).op
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ

⊢ (↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I)).arg = toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
hi : toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ ∈ Ioc (-π) π

⊢ (↑r * (cos ↑θ + sin ↑θ * I)).arg = toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ
hi : toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ ∈ Ioc (-π) π

⊢ cos ↑θ + sin ↑θ * I = cos ↑(toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ) + sin ↑(toIocMod Real.two_pi_pos (-π) θ) * I
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b c : α

⊢ ￢⊤ = ⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))

⊢ Tendsto (fun n => setToFun μ T hT (fs n)) l (𝓝 (setToFun μ T hT f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))

⊢ ∀ (x : ℕ → ι), Tendsto x atTop l → Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l

⊢ Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s

⊢ Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
h : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l

⊢ Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}

⊢ Tendsto ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}

⊢ Tendsto (fun n => ((fun n => setToFun μ T hT (fs n)) ∘ x) (n + k)) atTop (𝓝 (setToFun μ T hT f))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}

⊢ ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (fs (x (n + k))) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}

⊢ ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs (x (n + k)) a‖ ≤ bound a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace ℝ F'
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
l : Filter ι
inst✝ : l.IsCountablyGenerated
fs : ι → α → E
f : α → E
bound : α → ℝ
hfs_meas : ∀ᶠ (n : ι) in l, AEStronglyMeasurable (fs n) μ
h_bound : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a
bound_integrable : Integrable bound μ
h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs n a) l (𝓝 (f a))
x : ℕ → ι
xl : Tendsto x atTop l
hxl : ∀ s ∈ l, ∃ a, ∀ b ≥ a, x b ∈ s
h✝ : {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x} ∈ l
k : ℕ
h : ∀ b ≥ k, x b ∈ {x | (fun n => AEStronglyMeasurable (fs n) μ) x} ∩ {x | (fun n => ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖fs n a‖ ≤ bound a) x}

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => fs (x (n + k)) a) atTop (𝓝 (f a))
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℤ

⊢ ↑x = mk K p (0, ↑x)
-- Mathlib/FieldTheory/PerfectClosure.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
a✝ : ℕ

⊢ -mk K p (0, ↑(a✝ + 1)) = mk K p (0, -↑(a✝ + 1))
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n x y p : ℕ
hp : Prime p
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1

⊢ x * y = p ^ 2 ↔ x = p ∧ y = p
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n x y p : ℕ
hp : Prime p
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2

⊢ x = p ∧ y = p
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n x y p : ℕ
hp : Prime p
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
pdvdxy : p ∣ x * y

⊢ x = p ∧ y = p
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n x y p : ℕ
hp : Prime p
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
pdvdxy : p ∣ x * y

⊢ ∀ (x' y' : ℕ), x' ≠ 1 → y' ≠ 1 → x' * y' = p ^ 2 → p ∣ x' → x' = p ∧ y' = p
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n x✝ y✝ p : ℕ
hp : Prime p
hx✝ : x✝ ≠ 1
hy✝ : y✝ ≠ 1
h✝ : x✝ * y✝ = p ^ 2
pdvdxy : p ∣ x✝ * y✝
x y : ℕ
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
a : ℕ
ha : x = p * a

⊢ x = p ∧ y = p
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n x✝ y✝ p : ℕ
hp : Prime p
hx✝ : x✝ ≠ 1
hy✝ : y✝ ≠ 1
h✝ : x✝ * y✝ = p ^ 2
pdvdxy : p ∣ x✝ * y✝
x y : ℕ
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
a : ℕ
ha : x = p * a
this : a ∣ p

⊢ x = p ∧ y = p
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n x✝ y✝ p : ℕ
hp : Prime p
hx✝ : x✝ ≠ 1
hy✝ : y✝ ≠ 1
h✝ : x✝ * y✝ = p ^ 2
pdvdxy : p ∣ x✝ * y✝
x y : ℕ
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
a : ℕ
ha : x = p * a
this : a ∣ p
ha1 : a = 1

⊢ x = p ∧ y = p
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n x✝ y✝ p : ℕ
hp : Prime p
hx✝ : x✝ ≠ 1
hy✝ : y✝ ≠ 1
h✝ : x✝ * y✝ = p ^ 2
pdvdxy : p ∣ x✝ * y✝
x y : ℕ
hx : x ≠ 1
hy : y ≠ 1
h : x * y = p ^ 2
a : ℕ
ha : x = p * a
this : a ∣ p
hap : a = p

⊢ x = p ∧ y = p
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
y : R
hy : y ∈ ↑N

⊢ IsUnit ((algebraMap S T) ↑⟨(algebraMap R S) y, ⋯⟩)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
y : R
hy : y ∈ ↑N

⊢ (algebraMap S T) ↑⟨(algebraMap R S) y, ⋯⟩ = (algebraMap R T) ↑⟨y, hy⟩
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
y : T

⊢ ∃ x, y * (algebraMap S T) ↑x.2 = (algebraMap S T) x.1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
y : T
x : R
s : ↥N
e : y * (algebraMap R T) ↑(x, s).2 = (algebraMap R T) (x, s).1

⊢ ∃ x, y * (algebraMap S T) ↑x.2 = (algebraMap S T) x.1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
y : T
x : R
s : ↥N
e : y * (algebraMap R T) ↑(x, s).2 = (algebraMap R T) (x, s).1

⊢ y * (algebraMap S T) ↑((algebraMap R S) x, ⟨(algebraMap R S) ↑s, ⋯⟩).2 = (algebraMap S T) ((algebraMap R S) x, ⟨(algebraMap R S) ↑s, ⋯⟩).1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x₁ x₂ : S

⊢ (algebraMap S T) x₁ = (algebraMap S T) x₂ → ∃ c, ↑c * x₁ = ↑c * x₂
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x₁ x₂ : S
y₁ : R
s₁ : ↥M
e₁ : x₁ * (algebraMap R S) ↑(y₁, s₁).2 = (algebraMap R S) (y₁, s₁).1

⊢ (algebraMap S T) x₁ = (algebraMap S T) x₂ → ∃ c, ↑c * x₁ = ↑c * x₂
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x₁ x₂ : S
y₁ : R
s₁ : ↥M
e₁ : x₁ * (algebraMap R S) ↑(y₁, s₁).2 = (algebraMap R S) (y₁, s₁).1
y₂ : R
s₂ : ↥M
e₂ : x₂ * (algebraMap R S) ↑(y₂, s₂).2 = (algebraMap R S) (y₂, s₂).1

⊢ (algebraMap S T) x₁ = (algebraMap S T) x₂ → ∃ c, ↑c * x₁ = ↑c * x₂
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x₁ x₂ : S
y₁ : R
s₁ : ↥M
e₁ : x₁ * (algebraMap R S) ↑(y₁, s₁).2 = (algebraMap R S) (y₁, s₁).1
y₂ : R
s₂ : ↥M
e₂ : x₂ * (algebraMap R S) ↑(y₂, s₂).2 = (algebraMap R S) (y₂, s₂).1

⊢ (algebraMap S T) x₁ = (algebraMap S T) x₂ → ∃ a, (algebraMap R S) ↑a * x₁ = (algebraMap R S) ↑a * x₂
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x₁ x₂ : S
y₁ : R
s₁ : ↥M
e₁ : x₁ * (algebraMap R S) ↑s₁ = (algebraMap R S) y₁
y₂ : R
s₂ : ↥M
e₂ : x₂ * (algebraMap R S) ↑s₂ = (algebraMap R S) y₂

⊢ (algebraMap S T) x₁ = (algebraMap S T) x₂ → ∃ a, (algebraMap R S) ↑a * x₁ = (algebraMap R S) ↑a * x₂
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x₁ x₂ : S
y₁ : R
s₁ : ↥M
e₁ : x₁ * (algebraMap R S) ↑s₁ = (algebraMap R S) y₁
y₂ : R
s₂ : ↥M
e₂ : x₂ * (algebraMap R S) ↑s₂ = (algebraMap R S) y₂

⊢ (algebraMap R T) (y₁ * ↑s₂) = (algebraMap R T) (y₂ * ↑s₁) → ∃ a, (algebraMap R S) (↑a * (y₁ * ↑s₂)) = (algebraMap R S) (↑a * (y₂ * ↑s₁))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/LocalizationLocalization.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M✝ : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring P
N✝ : Submonoid S
T : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring T
inst✝⁴ : Algebra R T
M N : Submonoid R
h : M ≤ N
inst✝³ : IsLocalization M S
inst✝² : IsLocalization N T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
x₁ x₂ : S
y₁ : R
s₁ : ↥M
e₁ : x₁ * (algebraMap R S) ↑s₁ = (algebraMap R S) y₁
y₂ : R
s₂ : ↥M
e₂ : x₂ * (algebraMap R S) ↑s₂ = (algebraMap R S) y₂

⊢ (∃ c, ↑c * (y₁ * ↑s₂) = ↑c * (y₂ * ↑s₁)) → ∃ a c, ↑c * (↑a * (y₁ * ↑s₂)) = ↑c * (↑a * (y₂ * ↑s₁))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)

⊢ (LinearMap.inr 𝕜 E F) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
this : ∀ (n : ℕ), ∃ d', x + d' ∈ s ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n

⊢ (LinearMap.inr 𝕜 E F) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₂ : List α
h : ¬a ∈ l₂
l₁ : List α

⊢ (a :: l₁).diff l₂ = a :: l₁.diff l₂