ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s✝ t✝ : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f✝ : α → ℝ
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → 0 ≤ ∫ (x : α) in s, f x ∂μ
t : Set α
t_meas : MeasurableSet t
t_lt_top : μ t < ⊤
s : Set α
s_meas : MeasurableSet s
a✝ : μ (s ∩ t) < ⊤

⊢ 0 ≤ ∫ (x : α) in s ∩ t, f x ∂μ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ : P
v v₁ v₂ v₃ : V

⊢ ∠ (v - v₁) (v - v₂) (v - v₃) = ∠ v₁ v₂ v₃
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/Basic.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
inst✝ : DecidableEq F

⊢ (quadraticChar F) 0 = 0
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α

⊢ l.rotate' l.length = l
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α

⊢ drop l.length l ++ take l.length l = l
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/RelCat.lean
X Y Z : RelCat
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
x : X
z : Z

⊢ (f ≫ g) x z ↔ ∃ y, f x y ∧ g y z
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Algebra.lean
ι : Type uι
R : Type uR
A : ι → Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝⁴ : AddMonoid ι
inst✝³ : GSemiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : GAlgebra R A
inst✝ : Algebra R B
i j : ι
a : A i
r : R
x : A j

⊢ { toFun := fun b => GradedMonoid.GMul.mul a b, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x) = (RingHom.id R) r • { toFun := fun b => GradedMonoid.GMul.mul a b, map_add' := ⋯ }.toFun x
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Algebra.lean
ι : Type uι
R : Type uR
A : ι → Type uA
B : Type uB
inst✝⁸ : DecidableEq ι
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝⁴ : AddMonoid ι
inst✝³ : GSemiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : GAlgebra R A
inst✝ : Algebra R B
i j : ι
r : R
x : A i
y : A j

⊢ ({ toFun := fun a => { toFun := fun b => GradedMonoid.GMul.mul a b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (r • x)) y = ((RingHom.id R) r • { toFun := fun a => { toFun := fun b => GradedMonoid.GMul.mul a b, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun x) y
-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddCommMonoid M✝
v v₁ v₂ : α →₀ M✝
M : Type u_13
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α ≃ β
l : α →₀ M
x : β

⊢ (equivMapDomain f l) x = (mapDomain (⇑f) l) x
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_2} D
F : C ⥤ D
ι : Type u_3
c : ComplexShape ι
inst✝⁷ : Preadditive C
inst✝⁶ : Preadditive D
inst✝⁵ : CategoryWithHomology C
inst✝⁴ : CategoryWithHomology D
inst✝³ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝² : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization
inst✝¹ : F.Additive
inst✝ : F.PreservesHomology

⊢ (HomologicalComplex.quasiIso C c).IsInvertedBy (F.mapHomologicalComplex c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Q)
-- Mathlib/Data/Multiset/Nodup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
x✝ : s.Nodup ∧ t.Nodup
h₁ : s.Nodup
h₂ : t.Nodup
a : α

⊢ count a (s ∪ t) ≤ 1
-- Mathlib/Data/Multiset/Nodup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t✝ : Multiset α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Multiset α
x✝ : s.Nodup ∧ t.Nodup
h₁ : s.Nodup
h₂ : t.Nodup
a : α

⊢ max (count a s) (count a t) ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z x : ℝ
n : ℕ

⊢ x ^ ↑n = x ^ n
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/SnakeLemma.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.41028, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C

⊢ S.v₁₂.τ₃ ≫ S.v₂₃.τ₃ = 0
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
h : G.CliqueFree n
v w : α

⊢ (G ⊔ edge v w).CliqueFree (n + 1)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
v w : α
h : ¬(G ⊔ edge v w).CliqueFree (n + 1)

⊢ ¬G.CliqueFree n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
v w : α
h : ¬(G ⊔ edge v w).CliqueFree (n + 1)
f : Fin (n + 1) ↪ α
ha : ∀ {a b : Fin (n + 1)}, (G ⊔ edge v w).Adj (f a) (f b) ↔ ⊤.Adj a b

⊢ ¬G.CliqueFree n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
v w : α
h : ¬(G ⊔ edge v w).CliqueFree (n + 1)
f : Fin (n + 1) ↪ α
ha : ∀ {a b : Fin (n + 1)}, (G ⊔ edge v w).Adj (f a) (f b) ↔ ¬a = b

⊢ ¬G.CliqueFree n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
v w : α
h : ¬(G ⊔ edge v w).CliqueFree (n + 1)
f : Fin (n + 1) ↪ α
ha : ∀ {a b : Fin (n + 1)}, (G ⊔ edge v w).Adj (f a) (f b) ↔ ¬a = b

⊢ Nonempty (⊤ ↪g G)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i : ι
hi : ¬c.Rel i (c.next i)

⊢ ((if hi : c.Rel i (c.next i) then (XIsoBiprod φ i (c.next i) hi).hom ≫ biprod.snd else (XIso φ i hi).hom) ≫ if hi : c.Rel i (c.next i) then biprod.inr ≫ (XIsoBiprod φ i (c.next i) hi).inv else (XIso φ i hi).inv) = 𝟙 (X φ i)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a n : ℕ

⊢ (filter a.Coprime (Ico n (n + a))).card = φ a
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
a n : ℕ

⊢ Function.Periodic a.Coprime a
-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeInf T
inst✝¹ : Add T
inst✝ : OrderTop T
D : A → T
s : R[A]
hs : s.support.Nonempty

⊢ s.support.inf (WithTop.some ∘ D) = ↑(s.support.inf D)
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a b : ℤ

⊢ ↑a = ↑b ↔ a ≡ b [ZMOD ↑p]
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝³ : Mul α
inst✝² : IsSymmOp α α fun x x_1 => x * x_1
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : Preorder α

⊢ PosMulReflectLT α ↔ MulPosReflectLT α
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivInvMonoid G
a b c x : G

⊢ x⁻¹ = 1 / x
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ (b ∆ c) = b ∆ (a ∆ c)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Embedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
e : α ≃ᵐ β

⊢ MeasurableSet (⇑e '' s) ↔ MeasurableSet s
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type u_2
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g : Perm α

⊢ (g.extendDomain f).cycleType = g.cycleType
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E
γ : Type u_7
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α × β → γ
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, AEStronglyMeasurable (fun y => f (x, y)) ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Integral.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ✝
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ✝
inst✝² : NormedAddCommGroup E
γ : Type u_7
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : TopologicalSpace γ
f : α × β → γ
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.prod ν)
x : α
hx : ∀ᵐ (y : β) ∂ν, f (x, y) = AEStronglyMeasurable.mk f hf (x, y)

⊢ AEStronglyMeasurable (fun y => f (x, y)) ν
-- Mathlib/Topology/Order/ExtendFrom.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)

⊢ extendFrom (Ioo a b) f a = la
-- Mathlib/Topology/Order/ExtendFrom.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)

⊢ a ∈ closure (Ioo a b)
-- Mathlib/Topology/Order/ExtendFrom.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a b : α
la : β
hab : a < b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 la)

⊢ Tendsto f (𝓝[Ioo a b] a) (𝓝 la)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/PartENat.lean
α : Type u
c : Cardinal.{v}

⊢ toPartENat (lift.{u, v} c) = toPartENat c
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/QuasiIso.lean
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ : QuasiIso φ
hφφ' : QuasiIso (φ ≫ φ')

⊢ QuasiIso φ'
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/QuasiIso.lean
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ : IsIso (homologyMap φ)
hφφ' : IsIso (homologyMap (φ ≫ φ'))

⊢ IsIso (homologyMap φ')
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/QuasiIso.lean
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
φ' : S₂ ⟶ S₃
hφ : IsIso (homologyMap φ)
hφφ' : IsIso (homologyMap φ ≫ homologyMap φ')

⊢ IsIso (homologyMap φ')
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g✝ : Filter β
f₁ f₂ : Filter α
g : Filter β

⊢ (f₁ ⊔ f₂).prod g = f₁.prod g ⊔ f₂.prod g
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/HomCompletion.lean
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C

⊢ ↑f.completion.ker = closure ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/HomCompletion.lean
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C

⊢ ↑f.completion.ker ≤ closure ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/HomCompletion.lean
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0

⊢ hatg ∈ closure ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/HomCompletion.lean
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0

⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/HomCompletion.lean
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε

⊢ ∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/HomCompletion.lean
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'

⊢ ∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/HomCompletion.lean
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε

⊢ ∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/HomCompletion.lean
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑G g‖ < δ

⊢ ∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/HomCompletion.lean
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑G g‖ < δ
g' : G
hgg' : f g' = f g
hfg : ‖g'‖ ≤ C' * ‖f g‖

⊢ ∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/HomCompletion.lean
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑G g‖ < δ
g' : G
hgg' : f g' = f g
hfg : ‖g'‖ ≤ C' * ‖f g‖
mem_ker : g - g' ∈ f.ker

⊢ ∃ b ∈ ↑(toCompl.comp (incl f.ker)).range, ‖hatg - b‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/HomCompletion.lean
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑G g‖ < δ
g' : G
hgg' : f g' = f g
hfg : ‖g'‖ ≤ C' * ‖f g‖
mem_ker : g - g' ∈ f.ker

⊢ ‖hatg - (toCompl.comp (incl f.ker)).toAddMonoidHom ⟨g - g', mem_ker⟩‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/HomCompletion.lean
G : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup G
H : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup H
K : Type u_3
inst✝ : SeminormedAddCommGroup K
f : NormedAddGroupHom G H
C : ℝ
h : f.SurjectiveOnWith f.range C
hatg : Completion G
hatg_in : f.completion hatg = 0
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
C' : ℝ
C'_pos : C' > 0
hC' : f.SurjectiveOnWith f.range C'
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
hδ : (1 + C' * ‖f‖) * δ < ε
g : G
hg : ‖hatg - ↑G g‖ < δ
g' : G
hgg' : f g' = f g
hfg : ‖g'‖ ≤ C' * ‖f g‖
mem_ker : g - g' ∈ f.ker
this : ‖f g‖ ≤ ‖f‖ * δ

⊢ ‖hatg - (toCompl.comp (incl f.ker)).toAddMonoidHom ⟨g - g', mem_ker⟩‖ < ε
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α

⊢ s ×ˢ s \ s.diag = s.offDiag
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ di : DenseInducing i
s : Set α

⊢ Dense (i '' s) ↔ Dense s
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ di : DenseInducing i
s : Set α
H : Dense (i '' s)
x : α

⊢ x ∈ closure s
-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
i : α → β
di✝ di : DenseInducing i
s : Set α
H : Dense (i '' s)
x : α

⊢ x ∈ univ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

⊢ 1 ^ ↑n = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ

⊢ 1 ^ -[n+1] = 1
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
inst✝ : RegularSpace X✝
x : X✝
s : Set X✝
X : Type u_3
t₁ t₂ : TopologicalSpace X
h₁ : RegularSpace X
h₂ : RegularSpace X

⊢ RegularSpace X
-- Mathlib/Computability/RegularExpressions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a✝ b : α
f : α → β
a : α

⊢ (map f (char a)).matches' = (Language.map f) (char a).matches'
-- Mathlib/Computability/RegularExpressions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a✝ b : α
f : α → β
a : α

⊢ (Language.map f) (char a).matches' = (map f (char a)).matches'
-- Mathlib/Computability/RegularExpressions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
f : α → β
R S : RegularExpression α

⊢ (map f (R + S)).matches' = (Language.map f) (R + S).matches'
-- Mathlib/Computability/RegularExpressions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
f : α → β
R S : RegularExpression α

⊢ (Language.map f) R.matches' + (Language.map f) S.matches' = (Language.map f) (R.matches' + S.matches')
-- Mathlib/Computability/RegularExpressions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
f : α → β
R S : RegularExpression α

⊢ (map f (R.comp S)).matches' = (Language.map f) (R.comp S).matches'
-- Mathlib/Computability/RegularExpressions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
f : α → β
R S : RegularExpression α

⊢ (Language.map f) R.matches' * (Language.map f) S.matches' = (Language.map f) (R.comp S).matches'
-- Mathlib/Computability/RegularExpressions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
f : α → β
R : RegularExpression α

⊢ ((Language.map f) R.matches')∗ = (Language.map f) R.matches'∗
-- Mathlib/Computability/RegularExpressions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
f : α → β
R : RegularExpression α

⊢ ⨆ i, (Language.map f) R.matches' ^ i = (Language.map f) (⨆ i, R.matches' ^ i)
-- Mathlib/Computability/RegularExpressions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
dec : DecidableEq α
a b : α
f : α → β
R : RegularExpression α

⊢ ⨆ i, (Language.map f) (R.matches' ^ i) = (Language.map f) (⨆ i, R.matches' ^ i)
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t✝ u t : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty

⊢ (condCount s) t + (condCount s) tᶜ = 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/WithZeroTopology.lean
α : Type u_1
Γ₀ : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
γ γ₁ γ₂ : Γ₀
l : Filter α
f : α → Γ₀

⊢ Tendsto f l (𝓝 0) ↔ ∀ (γ₀ : Γ₀), γ₀ ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, f x < γ₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/AEDisjoint.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ u v : Set α
inst✝ : Countable ι
t : ι → Set α

⊢ AEDisjoint μ s (⋃ i, t i) ↔ ∀ (i : ι), AEDisjoint μ s (t i)
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
n : ℕ
x : PartENat

⊢ ↑n ≤ x ↔ ∀ (h : x.Dom), n ≤ x.get h
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
n : ℕ
x : PartENat

⊢ (∀ (hy : x.Dom), (↑n).get ⋯ ≤ x.get hy) ↔ ∀ (h : x.Dom), n ≤ x.get h
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R

⊢ W'.negAddY (u • P) (v • Q) = ((u * v) ^ 2) ^ 3 * W'.negAddY P Q
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
u v : R

⊢ -(u ^ 3 * P y) * (v ^ 2 * Q x) ^ 3 * (u * P z) ^ 3 + 2 * (u ^ 3 * P y) * (v ^ 3 * Q y) ^ 2 * (u * P z) ^ 3 - 3 * (u ^ 2 * P x) ^ 2 * (v ^ 2 * Q x) * (v ^ 3 * Q y) * (u * P z) ^ 2 * (v * Q z) + 3 * (u ^ 2 * P x) * (u ^ 3 * P y) * (v ^ 2 * Q x) ^ 2 * (u * P z) * (v * Q z) ^ 2 + (u ^ 2 * P x) ^ 3 * (v ^ 3 * Q y) * (v * Q z) ^ 3 - 2 * (u ^ 3 * P y) ^ 2 * (v ^ 3 * Q y) * (v * Q z) ^ 3 + W'.a₁ * (u ^ 2 * P x) * (v ^ 3 * Q y) ^ 2 * (u * P z) ^ 4 + W'.a₁ * (u ^ 3 * P y) * (v ^ 2 * Q x) * (v ^ 3 * Q y) * (u * P z) ^ 3 * (v * Q z) - W'.a₁ * (u ^ 2 * P x) * (u ^ 3 * P y) * (v ^ 3 * Q y) * (u * P z) * (v * Q z) ^ 3 - W'.a₁ * (u ^ 3 * P y) ^ 2 * (v ^ 2 * Q x) * (v * Q z) ^ 4 - 2 * W'.a₂ * (u ^ 2 * P x) * (v ^ 2 * Q x) * (v ^ 3 * Q y) * (u * P z) ^ 4 * (v * Q z) + 2 * W'.a₂ * (u ^ 2 * P x) * (u ^ 3 * P y) * (v ^ 2 * Q x) * (u * P z) * (v * Q z) ^ 4 + W'.a₃ * (v ^ 3 * Q y) ^ 2 * (u * P z) ^ 6 - W'.a₃ * (u ^ 3 * P y) ^ 2 * (v * Q z) ^ 6 - W'.a₄ * (v ^ 2 * Q x) * (v ^ 3 * Q y) * (u * P z) ^ 6 * (v * Q z) - W'.a₄ * (u ^ 2 * P x) * (v ^ 3 * Q y) * (u * P z) ^ 4 * (v * Q z) ^ 3 + W'.a₄ * (u ^ 3 * P y) * (v ^ 2 * Q x) * (u * P z) ^ 3 * (v * Q z) ^ 4 + W'.a₄ * (u ^ 2 * P x) * (u ^ 3 * P y) * (u * P z) * (v * Q z) ^ 6 - 2 * W'.a₆ * (v ^ 3 * Q y) * (u * P z) ^ 6 * (v * Q z) ^ 3 + 2 * W'.a₆ * (u ^ 3 * P y) * (u * P z) ^ 3 * (v * Q z) ^ 6 = ((u * v) ^ 2) ^ 3 * (-P y * Q x ^ 3 * P z ^ 3 + 2 * P y * Q y ^ 2 * P z ^ 3 - 3 * P x ^ 2 * Q x * Q y * P z ^ 2 * Q z + 3 * P x * P y * Q x ^ 2 * P z * Q z ^ 2 + P x ^ 3 * Q y * Q z ^ 3 - 2 * P y ^ 2 * Q y * Q z ^ 3 + W'.a₁ * P x * Q y ^ 2 * P z ^ 4 + W'.a₁ * P y * Q x * Q y * P z ^ 3 * Q z - W'.a₁ * P x * P y * Q y * P z * Q z ^ 3 - W'.a₁ * P y ^ 2 * Q x * Q z ^ 4 - 2 * W'.a₂ * P x * Q x * Q y * P z ^ 4 * Q z + 2 * W'.a₂ * P x * P y * Q x * P z * Q z ^ 4 + W'.a₃ * Q y ^ 2 * P z ^ 6 - W'.a₃ * P y ^ 2 * Q z ^ 6 - W'.a₄ * Q x * Q y * P z ^ 6 * Q z - W'.a₄ * P x * Q y * P z ^ 4 * Q z ^ 3 + W'.a₄ * P y * Q x * P z ^ 3 * Q z ^ 4 + W'.a₄ * P x * P y * P z * Q z ^ 6 - 2 * W'.a₆ * Q y * P z ^ 6 * Q z ^ 3 + 2 * W'.a₆ * P y * P z ^ 3 * Q z ^ 6)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/TensorProduct.lean
R : Type u_1
ι₁ : Type u_2
ι₂ : Type u_3
ι₃ : Type u_4
ι₄ : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring R
N₁ : Type u_6
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁵ : Module R N₁
N₂ : Type u_7
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : Module R N₂
N : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
a : MultilinearMap R (fun x => N) N₁
b : MultilinearMap R (fun x => N) N₂
inst✝ : DecidableEq (ι₁ ⊕ ι₂)
x✝ : ι₁ ⊕ ι₂ → N
i : ι₁ ⊕ ι₂
p q : N

⊢ (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i (p + q)) = (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i p) + (fun v => (a fun i => v (Sum.inl i)) ⊗ₜ[R] b fun i => v (Sum.inr i)) (Function.update x✝ i q)