ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
y : α
hl : l.Nodup
h✝ : (y :: l).getLast ⋯ ∈ l
h : (y :: l).getLast ⋯ ∈ y :: l
hy : (y :: l).getLast ⋯ ≠ y
H : (y :: l).getLast ⋯ ∈ (y :: l).dropLast
hk : 0 < (y :: l).dropLast.length
hk' : (y :: l).dropLast.get ⟨0, hk⟩ = (y :: l).getLast ⋯

⊢ False
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
y : α
hl : l.Nodup
h✝ : (y :: l).getLast ⋯ ∈ l
h : (y :: l).getLast ⋯ ∈ y :: l
hy : (y :: l).getLast ⋯ ≠ y
H : (y :: l).getLast ⋯ ∈ (y :: l).dropLast
k : ℕ
hk : k + 1 < (y :: l).dropLast.length
hk' : (y :: l).dropLast.get ⟨k + 1, hk⟩ = (y :: l).getLast ⋯

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ IsCoprime (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Y S) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.Z S)
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

⊢ IsCoprime (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.y S) (FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
f : ι → E → F
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, ContDiff 𝕜 n fun x => f i x

⊢ ContDiff 𝕜 n fun x => ∑ i ∈ s, f i x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
f : ι → E → F
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, ContDiffOn 𝕜 n (fun x => f i x) univ

⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => ∑ i ∈ s, f i x) univ
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
o₁ o₂ : Ordinal.{u_1}

⊢ aleph o₁ * aleph o₂ = aleph (max o₁ o₂)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]

⊢ I.polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial (Polynomial.map (Quotient.mk I) f) = (Quotient.mk (map C I)) f
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
f : R[X]

⊢ I.polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial.symm (I.polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial (Polynomial.map (Quotient.mk I) f)) = I.polynomialQuotientEquivQuotientPolynomial.symm ((Quotient.mk (map C I)) f)
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs' : p ^ s ≤ m
hs : ¬s = 0

⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ^ s ≤ n
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs' : p ^ s ≤ m
hs : ¬s = 0

⊢ ↑(d ⟨p, ⋯⟩) ^ s = ↑(d ⟨p ^ s, hs'⟩)
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i

⊢ ↑(d ⟨c₁ 1, ⋯⟩) ^ s = ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t => ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)

⊢ ↑(d ⟨c₁ 1, ⋯⟩) ^ s = ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t => ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)

⊢ c₂ 1 ^ s = ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t => ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
t u : Fin (s + 1)
h : t < u

⊢ c₂ t < c₂ u
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t => ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
r : Associates N
hr : r ≤ ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)

⊢ ∃ i, r = c₂ i
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t => ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
r : Associates N

⊢ (∃ i, r = c₂ i) → r ≤ ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩)
-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
M : Type u_1
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝¹ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
m : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
s : ℕ
hs : ¬s = 0
c₁ : Fin (s + 1) → Associates M
hp : c₁ 1 ∈ normalizedFactors m
hs' : c₁ 1 ^ s ≤ m
hc₁' : StrictMono c₁
hc₁'' : ∀ {r : Associates M}, r ≤ c₁ 1 ^ s ↔ ∃ i, r = c₁ i
c₂ : Fin (s + 1) → Associates N := fun t => ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)
c₂_def : ∀ (t : Fin (s + 1)), c₂ t = ↑(d ⟨c₁ t, ⋯⟩)

⊢ ↑(d ⟨c₁ 1 ^ s, hs'⟩) ≠ 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
f : α →₀ M

⊢ ⇑f = 0 ↔ f = 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
h : 0 ≤ ε

⊢ x ∈ closedBall x ε
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n✝ : ℕ
ha : Even a
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0

⊢ Even (a ^ (n + 1))
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
a b : α
m n✝ : ℕ
ha : Even a
n : ℕ
x✝ : n + 1 ≠ 0

⊢ Even (a ^ n * a)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

⊢ (o.blsub f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} o.card
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v}

⊢ (o.blsub f).cof ≤ Cardinal.lift.{v, u} #(Quotient.out o).α
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
S : Set (Set α)

⊢ generateFrom (insert ∅ S) = generateFrom S
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)

⊢ A.Definable L s ↔ ∃ φ, s = {v | φ.Realize (Sum.elim Subtype.val v)}
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)

⊢ (∃ b, s = setOf (Formula.Realize (BoundedFormula.constantsVarsEquiv.symm b))) ↔ ∃ φ, s = {v | φ.Realize (Sum.elim Subtype.val v)}
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
φ : L.BoundedFormula (↑A ⊕ α) 0
x✝ : α → M

⊢ x✝ ∈ setOf (Formula.Realize (BoundedFormula.constantsVarsEquiv.symm φ)) ↔ x✝ ∈ {v | Formula.Realize φ (Sum.elim Subtype.val v)}
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
φ : L.BoundedFormula (↑A ⊕ α) 0
x✝ : α → M

⊢ (BoundedFormula.mapTermRel (fun n => ⇑Term.constantsVarsEquivLeft.symm) (fun n => ⇑(Equiv.sumEmpty (L.Relations n) (Sequence₂ PEmpty.{1} PEmpty.{1} PEmpty.{1} n)).symm) (fun x => id) φ).Realize x✝ default ↔ φ.Realize (Sum.elim Subtype.val x✝) default
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
φ : L.BoundedFormula (↑A ⊕ α) 0
x✝ : α → M

⊢ ∀ (n : ℕ) (t : L.Term ((↑A ⊕ α) ⊕ Fin n)) (xs : Fin n → M), Term.realize (Sum.elim x✝ xs) (Term.constantsVarsEquivLeft.symm t) = Term.realize (Sum.elim (Sum.elim Subtype.val x✝) xs) t
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
φ : L.BoundedFormula (↑A ⊕ α) 0
x✝ : α → M
n✝ : ℕ
t✝ : L.Term ((↑A ⊕ α) ⊕ Fin n✝)
xs✝ : Fin n✝ → M

⊢ Term.realize (Sum.elim x✝ xs✝) (Term.constantsVarsEquivLeft.symm t✝) = Term.realize (Sum.elim (Sum.elim Subtype.val x✝) xs✝) t✝
-- Mathlib/ModelTheory/Definability.lean
M : Type w
A : Set M
L : Language
inst✝ : L.Structure M
α : Type u₁
β : Type u_1
B : Set M
s : Set (α → M)
φ : L.BoundedFormula (↑A ⊕ α) 0
x✝ : α → M
n✝ : ℕ
t✝ : L.Term ((↑A ⊕ α) ⊕ Fin n✝)
xs✝ : Fin n✝ → M

⊢ Term.realize (Sum.elim (fun a => ↑a) (Sum.elim x✝ xs✝) ∘ ⇑(Equiv.sumAssoc (↑A) α (Fin n✝))) t✝ = Term.realize (Sum.elim (Sum.elim Subtype.val x✝) xs✝) t✝
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
hx : x ∉ s
p : P
hp : p ∈ ↑s
this : Nonempty ↥s

⊢ IsConnected {y | s.SOppSide x y}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
x : P
hx : x ∉ s
p : P
hp : p ∈ ↑s
this : Nonempty ↥s

⊢ IsConnected ((fun x_1 => x_1.1 • (x -ᵥ p) +ᵥ x_1.2) '' Set.Iio 0 ×ˢ ↑s)
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject.lean
I : Type u_1
J : Type u_2
K : Type u_3
C : Type u_4
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_4} C
X Y Z : GradedObject I C
φ : X ⟶ Y
e : X ≅ Y
ψ : Y ⟶ Z
p : I → J
j : J
inst✝³ : X.HasMap p
inst✝² : Y.HasMap p
inst✝¹ : Z.HasMap p
c : X.CofanMapObjFun p j
hc : IsColimit c
inst✝ : X.HasMap p
i : I
hi : p i = j

⊢ X.ιMapObj p i j hi ≫ (iso hc).inv = Cofan.inj c ⟨i, hi⟩
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
x✝¹ : Fin 0 → α → σ
x✝ : ∀ (i : Fin 0), Computable (x✝¹ i)

⊢ Computable fun a => List.ofFn fun i => x✝¹ i a
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
x✝¹ : Fin 0 → α → σ
x✝ : ∀ (i : Fin 0), Computable (x✝¹ i)

⊢ Computable fun a => []
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α → σ
hf : ∀ (i : Fin (n + 1)), Computable (f i)

⊢ Computable fun a => List.ofFn fun i => f i a
-- Mathlib/Computability/Partrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : Fin (n + 1) → α → σ
hf : ∀ (i : Fin (n + 1)), Computable (f i)

⊢ Computable fun a => f 0 a :: List.ofFn fun i => f i.succ a
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ
ha : a ≠ 0

⊢ ((monomial n) a).degree = ↑n
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
n m : Nat
l : List α
h : m < n
i : Nat

⊢ (take m (l.set n a))[i]? = (take m l)[i]?
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
a : α
n m : Nat
l : List α
h : m < n
i : Nat

⊢ (if i < m then (l.set n a)[i]? else none) = if i < m then l[i]? else none
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f₂
small_k : IsKernelPair f₁ a b

⊢ IsLimit (PullbackCone.mk a b ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f₂
small_k : IsKernelPair f₁ a b

⊢ ∀ (s : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂)) (m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt), (∀ (j : WalkingCospan), m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).π.app j = s.π.app j) → m = (fun s => small_k.lift s.fst s.snd ⋯) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f₂
small_k : IsKernelPair f₁ a b
s : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂)
m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt
hm : ∀ (j : WalkingCospan), m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).π.app j = s.π.app j

⊢ m = (fun s => small_k.lift s.fst s.snd ⋯) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f₂
small_k : IsKernelPair f₁ a b
s : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂)
m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt
hm : ∀ (j : WalkingCospan), m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).π.app j = s.π.app j

⊢ ∀ (j : WalkingCospan), m ≫ (IsPullback.cone small_k).π.app j = (fun s => small_k.lift s.fst s.snd ⋯) s ≫ (IsPullback.cone small_k).π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f₂
small_k : IsKernelPair f₁ a b
s : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂)
m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt
hm : ∀ (j : WalkingCospan), m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).π.app j = s.π.app j

⊢ m ≫ (IsPullback.cone small_k).fst = (fun s => small_k.lift s.fst s.snd ⋯) s ≫ (IsPullback.cone small_k).fst
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f₂
small_k : IsKernelPair f₁ a b
s : PullbackCone (f₁ ≫ f₂) (f₁ ≫ f₂)
m : s.pt ⟶ (PullbackCone.mk a b ⋯).pt
hm : ∀ (j : WalkingCospan), m ≫ (PullbackCone.mk a b ⋯).π.app j = s.π.app j

⊢ m ≫ (IsPullback.cone small_k).snd = (fun s => small_k.lift s.fst s.snd ⋯) s ≫ (IsPullback.cone small_k).snd
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a b c : Ordinal.{u_1}
a0 : a ≠ 0
h : b.IsLimit

⊢ a ^ b ≤ c ↔ ∀ b' < b, a ^ b' ≤ c
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ

⊢ (gaussianReal μ v) s = ENNReal.ofReal (∫ (x : ℝ) in s, gaussianPDFReal μ v x)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ

⊢ ∫⁻ (x : ℝ) in s, gaussianPDF μ v x = ∫⁻ (x : ℝ) in s, ENNReal.ofReal (gaussianPDFReal μ v x)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ

⊢ Integrable (gaussianPDFReal μ v) (ℙ.restrict s)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
hv : v ≠ 0
s : Set ℝ

⊢ 0 ≤ᶠ[ae (ℙ.restrict s)] gaussianPDFReal μ v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)

⊢ (LinearMap.inl 𝕜 E F) v ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
x y✝ : E
s t✝ : Set E
t : Set F
y : F
ht : y ∈ closure t
v : E
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → E
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, x + d n ∈ s
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 v)
this : ∀ (n : ℕ), ∃ d', y + d' ∈ t ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n

⊢ (LinearMap.inl 𝕜 E F) v ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/BalancedCoreHull.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s✝ t s : Set E
x : E
hx : x ∈ balancedCoreAux 𝕜 s

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaOdd.lean
a : UnitAddCircle
n : ℕ

⊢ sinZeta a (-2 * ↑n - 1) = 0
-- Mathlib/Data/List/ProdSigma.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
head✝ : α
l : List α

⊢ (head✝ :: l) ×ˢ [] = []
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∃ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)

⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x = 0
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)

⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, f x = 0
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ (y : ℝ), x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * y) y, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f y) (c₂ * f y)
hx_pos : 0 < x

⊢ f x = 0
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ (y : ℝ), x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * y) y, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f y) (c₂ * f y)
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ max x 1
hx₀ : f x₀ = 0

⊢ f x = 0
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ (y : ℝ), x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * y) y, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f y) (c₂ * f y)
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ max x 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀

⊢ f x = 0
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ (y : ℝ), x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * y) y, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f y) (c₂ * f y)
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ max x 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
hmain : ∀ (m : ℕ) (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-↑m - 1) * x₀) (2 ^ (-↑m) * x₀) → f z = 0

⊢ f x = 0
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ (y : ℝ), x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * y) y, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f y) (c₂ * f y)
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ max x 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
hmain : ∀ (m : ℕ) (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-↑m - 1) * x₀) (2 ^ (-↑m) * x₀) → f z = 0

⊢ 2 ^ (-↑⌊-logb 2 (x / x₀)⌋₊ - 1) * x₀ ≤ x
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ (y : ℝ), x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * y) y, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f y) (c₂ * f y)
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ max x 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
hmain : ∀ (m : ℕ) (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-↑m - 1) * x₀) (2 ^ (-↑m) * x₀) → f z = 0

⊢ x ≤ 2 ^ (-↑⌊-logb 2 (x / x₀)⌋₊) * x₀
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

⊢ Continuous p.sum
-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomial.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g : E → F
p✝ pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n✝ m : ℕ
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → p m = 0

⊢ ContinuousOn p.sum (EMetric.ball ?m.404882 ⊤)