ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁷ : Norm E
inst✝¹⁶ : Norm F
inst✝¹⁵ : Norm G
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁸ : SeminormedRing R
inst✝⁷ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁶ : SeminormedRing R'
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : NormedDivisionRing 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝³ : Module R E'
inst✝² : BoundedSMul R E'
inst✝¹ : Module 𝕜 E'
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0

⊢ (f =o[l] fun x => ‖c‖ * ‖f' x‖) ↔ f =o[l] f'
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
h₁ : s ⊆ t
h₂ : IsOpen t

⊢ exterior s ⊆ t
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
h₁ : s ⊆ t
h₂ : IsOpen t

⊢ ⋂₀ {t | IsOpen t ∧ s ⊆ t} ⊆ t
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
g : M →* N
h₀ : (s ∩ mulSupport f).Finite

⊢ g (∏ᶠ (j : α) (_ : j ∈ s), f j) = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g (f i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
g : M →* N
h₀ : (s ∩ mulSupport f).Finite

⊢ ∏ᶠ (i : α), g (∏ᶠ (_ : i ∈ s), f i) = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), g (f i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finprod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
g : M →* N
h₀ : (s ∩ mulSupport f).Finite

⊢ (mulSupport fun j => ∏ᶠ (_ : j ∈ s), f j).Finite
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U✝ V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
ι : Sort u_1
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)

⊢ P f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U✝ V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
ι : Sort u_1
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)
i : ((Y.openCoverOfISupEqTop Subtype.val ⋯).pullbackCover f).J

⊢ P ((Y.openCoverOfISupEqTop Subtype.val ⋯).pullbackHom f i)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U✝ V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
ι : Sort u_1
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)
i : ι

⊢ P ((Y.openCoverOfISupEqTop Subtype.val ⋯).pullbackHom f ⟨U i, ⋯⟩)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U✝ V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
ι : Sort u_1
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)
i : ι

⊢ P (f ∣_ Scheme.Hom.opensRange ((Y.openCoverOfISupEqTop Subtype.val ⋯).map ⟨U i, ⋯⟩))
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U✝ V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
ι : Sort u_1
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)
i : ι

⊢ P (f ∣_ Scheme.Hom.opensRange (U i).ι)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/Basic.lean
P : MorphismProperty Scheme
hP : IsLocalAtTarget P
X Y U✝ V : Scheme
f : X ⟶ Y
g : U✝ ⟶ Y
inst✝ : IsOpenImmersion g
𝒰 : Y.OpenCover
ι : Sort u_1
U : ι → Y.Opens
hU : iSup U = ⊤
H : ∀ (i : ι), P (f ∣_ U i)
i : ι

⊢ P (f ∣_ U i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : List α
s : Finset α
hs : m.toFinset ⊆ s

⊢ m.prod = ∏ i ∈ s, i ^ count i m
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : List α
s : Finset α
hs : m.toFinset ⊆ s

⊢ ∏ m_1 ∈ m.toFinset, m_1 ^ count m_1 m = ∏ i ∈ s, i ^ count i m
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : List α
s : Finset α
hs : m.toFinset ⊆ s
x : α
x✝ : x ∈ s
hx : x ∉ m.toFinset

⊢ x ^ count x m = 1
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid α
m : List α
s : Finset α
hs : m.toFinset ⊆ s
x : α
x✝ : x ∈ s
hx : x ∉ m

⊢ x ^ count x m = 1
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : CommMonoid α
f : α →₀ ℕ

⊢ (toMultiset f).prod = f.prod fun a n => a ^ n
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : CommMonoid α
f : α →₀ ℕ

⊢ (toMultiset 0).prod = prod 0 fun a n => a ^ n
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : CommMonoid α
f : α →₀ ℕ

⊢ ∀ (a : α) (b : ℕ) (f : α →₀ ℕ), a ∉ f.support → b ≠ 0 → ((toMultiset f).prod = f.prod fun a n => a ^ n) → (toMultiset (single a b + f)).prod = (single a b + f).prod fun a n => a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : 0 < p.degree
hmp : p.Monic
hq : q ≠ 0
zn0 : 0 ≠ 1
x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q
r : R[X]
hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r
hp0 : p ≠ 0
hr0 : r ≠ 0
hpn1 : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) = 1

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : 0 < p.degree
hmp : p.Monic
hq : q ≠ 0
zn0 : 0 ≠ 1
x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q
r : R[X]
hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r
hp0 : p ≠ 0
hr0 : r ≠ 0
hpn1 : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) = 1
hpn0' : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : 0 < p.degree
hmp : p.Monic
hq : q ≠ 0
zn0 : 0 ≠ 1
x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q
r : R[X]
hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r
hp0 : p ≠ 0
hr0 : r ≠ 0
hpn1 : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) = 1
hpn0' : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) ≠ 0
hpnr0 : (p ^ (q.natDegree + 1)).leadingCoeff * r.leadingCoeff ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : 0 < p.degree
hmp : p.Monic
hq : q ≠ 0
zn0 : 0 ≠ 1
x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q
r : R[X]
hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r
hp0 : p ≠ 0
hr0 : r ≠ 0
hpn1 : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) = 1
hpn0' : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) ≠ 0
hpnr0 : (p ^ (q.natDegree + 1)).leadingCoeff * r.leadingCoeff ≠ 0
hnp : 0 < p.natDegree

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : 0 < p.degree
hmp : p.Monic
hq : q ≠ 0
zn0 : 0 ≠ 1
x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q
r : R[X]
hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r
hp0 : p ≠ 0
hr0 : r ≠ 0
hpn1 : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) = 1
hpn0' : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) ≠ 0
hpnr0 : (p ^ (q.natDegree + 1)).leadingCoeff * r.leadingCoeff ≠ 0
hnp : 0 < p.natDegree
this : q.natDegree = (p ^ (q.natDegree + 1) * r).natDegree

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
hp : 0 < p.degree
hmp : p.Monic
hq : q ≠ 0
zn0 : 0 ≠ 1
x✝ : p ^ (q.natDegree + 1) ∣ q
r : R[X]
hr : q = p ^ (q.natDegree + 1) * r
hp0 : p ≠ 0
hr0 : r ≠ 0
hpn1 : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) = 1
hpn0' : p.leadingCoeff ^ (q.natDegree + 1) ≠ 0
hpnr0 : (p ^ (q.natDegree + 1)).leadingCoeff * r.leadingCoeff ≠ 0
hnp : 0 < p.natDegree
this : q.natDegree = q.natDegree * p.natDegree + (1 * p.natDegree + r.natDegree)

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ ∃ k, ↑p ^ (-↑k) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : ℕ
hk : ε⁻¹ < ↑k

⊢ ∃ k, ↑p ^ (-↑k) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : ℕ
hk : ε⁻¹ < ↑k

⊢ ↑p ^ (-↑k) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : ℕ
hk : ε⁻¹ < ↑k

⊢ ε⁻¹ < (↑p ^ (-↑k))⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
k : ℕ
hk : ε⁻¹ < ↑k

⊢ 0 < ↑p
-- Mathlib/Algebra/Ring/Int.lean
m n : ℤ

⊢ Odd (m - n) ↔ (Odd m ↔ Even n)
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
s : Stream' α

⊢ (take n s).length = n
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝² : Fintype α
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : Fintype { a // p a }

⊢ map (Embedding.subtype p) univ = filter p univ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
n : ℕ

⊢ (p * (X + ↑n)).comp q = p.comp q * (q + ↑n)
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g : G
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ fixedBy α g⁻¹ ↔ x✝ ∈ fixedBy α g
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeInf ι
inst✝¹ : NoMinOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s μ
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t

⊢ μ t = 0 ∨ μ t = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/BinaryProducts.lean
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
X Y : C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{w, u₂} D
F : C ⥤ D
A A' B B' : C
inst✝⁴ : HasBinaryCoproduct A B
inst✝³ : HasBinaryCoproduct A' B'
inst✝² : HasBinaryCoproduct (F.obj A) (F.obj B)
inst✝¹ : HasBinaryCoproduct (F.obj A') (F.obj B')
inst✝ : IsIso (coprodComparison F A B)

⊢ F.map coprod.inr ≫ inv (coprodComparison F A B) = coprod.inr
-- Mathlib/Order/OrderIsoNat.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r

⊢ ¬WellFounded r
-- Mathlib/Order/OrderIsoNat.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝ : IsStrictOrder α r
f : (fun x x_1 => x > x_1) ↪r r

⊢ Nonempty ((fun x x_1 => x > x_1) ↪r r)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V

⊢ (o.oangle x (x + y)).sign = (o.oangle x y).sign
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
F' : Type u_4
inst✝² : EquivLike F' R S
inst✝¹ : RingEquivClass F' R S
f : F'
I : Ideal R
inst✝ : I.IsPrime
h : map f I = map (↑↑f) I

⊢ (map f I).IsPrime
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : FunLike F R S
rc : RingHomClass F R S
F' : Type u_4
inst✝² : EquivLike F' R S
inst✝¹ : RingEquivClass F' R S
f : F'
I : Ideal R
inst✝ : I.IsPrime
h : map f I = map (↑↑f) I

⊢ (comap (↑f).symm I).IsPrime
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m n : ZNum

⊢ ↑m ≤ ↑n ↔ m ≤ n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m n : ZNum

⊢ ¬↑n < ↑m ↔ m ≤ n
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type
inst✝ : Ring R
X : Mat_ (SingleObj Rᵐᵒᵖ)
i✝ j✝ : ↑({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj X)

⊢ { obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.map (𝟙 X) i✝ j✝ = 𝟙 ({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj X) i✝ j✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type
inst✝ : Ring R
X : Mat_ (SingleObj Rᵐᵒᵖ)
i✝ j✝ : ↑({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj X)

⊢ MulOpposite.unop (if h : i✝ = j✝ then eqToHom ⋯ else 0) = if i✝ = j✝ then 1 else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type
inst✝ : Ring R
X✝ Y✝ Z✝ : Mat_ (SingleObj Rᵐᵒᵖ)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
i✝ : ↑({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj X✝)
j✝ : ↑({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj Z✝)

⊢ { obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.map (f ≫ g) i✝ j✝ = ({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.map f ≫ { obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.map g) i✝ j✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
R : Type
inst✝ : Ring R
X✝ Y✝ Z✝ : Mat_ (SingleObj Rᵐᵒᵖ)
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Y✝ ⟶ Z✝
i✝ : ↑({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj X✝)
j✝ : ↑({ obj := fun X => FintypeCat.of X.ι, map := fun {X Y} f i j => MulOpposite.unop (f i j) }.obj Z✝)

⊢ MulOpposite.unop (∑ j : Y✝.ι, f i✝ j ≫ g j j✝) = ∑ j : ↑(FintypeCat.of Y✝.ι), MulOpposite.unop (f i✝ j) * MulOpposite.unop (g j j✝)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
h : x ∈ p ⊔ p'

⊢ ∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
h : x ∈ span R (↑p ∪ ↑p')

⊢ ∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
h : x ∈ span R (↑p ∪ ↑p')

⊢ ∀ x ∈ ↑p ∪ ↑p', ∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
h : x ∈ span R (↑p ∪ ↑p')

⊢ ∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
h : x ∈ span R (↑p ∪ ↑p')

⊢ ∀ (x y : M), (∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x) → (∃ y_1 ∈ p, ∃ z ∈ p', y_1 + z = y) → ∃ y_1 ∈ p, ∃ z ∈ p', y_1 + z = x + y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
h : x ∈ span R (↑p ∪ ↑p')

⊢ ∀ (a : R) (x : M), (∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = x) → ∃ y ∈ p, ∃ z ∈ p', y + z = a • x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
p p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ p
z : M
hz : z ∈ p'

⊢ y + z ∈ p ⊔ p'
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : Filter α
g : ι → Filter β

⊢ f.prod (⨅ i, g i) = ⨅ i, f.prod (g i)
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
inst✝ : Nonempty ι
f : Filter α
g : ι → Filter β

⊢ ⨅ x, comap Prod.fst f ⊓ comap Prod.snd (g x) = ⨅ i, f.prod (g i)
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Expand.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : R →+* S
p : ℕ
φ : MvPolynomial σ R

⊢ (map f) ((expand p) φ) = (expand p) ((map f) φ)
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
f : ι →₀ μ

⊢ f ∈ (insert a s).finsuppAntidiag n ↔ ∃ m ∈ antidiagonal n, ∃ g, f = g.update a m.1 ∧ g ∈ s.finsuppAntidiag m.2
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
a : ι
s : Finset ι
h : a ∉ s
n : μ
f : ι →₀ μ

⊢ f a + ∑ x ∈ s, f x = n ∧ f.support ⊆ insert a s ↔ ∃ a_1 b, a_1 + b = n ∧ ∃ g, f = g.update a a_1 ∧ s.sum ⇑g = b ∧ g.support ⊆ s
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ Grp
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
h : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget Grp) x y

⊢ colimitInvAux F x = colimitInvAux F y
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ Grp
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
h : Types.FilteredColimit.Rel (F ⋙ forget Grp) x y

⊢ ∃ k f g, (F.map f) ⟨x.fst, x.snd⁻¹⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, y.snd⁻¹⟩.snd
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ Grp
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
k : J
f : x.fst ⟶ k
g : y.fst ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget Grp).map f x.snd = (F ⋙ forget Grp).map g y.snd

⊢ ∃ k f g, (F.map f) ⟨x.fst, x.snd⁻¹⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, y.snd⁻¹⟩.snd
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ Grp
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
k : J
f : x.fst ⟶ k
g : y.fst ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget Grp).map f x.snd = (F ⋙ forget Grp).map g y.snd

⊢ (F.map f) ⟨x.fst, x.snd⁻¹⟩.snd = (F.map g) ⟨y.fst, y.snd⁻¹⟩.snd
-- Mathlib/Algebra/Category/Grp/FilteredColimits.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsFiltered J
F : J ⥤ Grp
x y : (j : J) × ↑(F.obj j)
k : J
f : x.fst ⟶ k
g : y.fst ⟶ k
hfg : (F ⋙ forget Grp).map f x.snd = (F ⋙ forget Grp).map g y.snd

⊢ (F.map f) x.snd = (F.map g) y.snd
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α
ha : a ∈ s
has : ∀ b ∈ s, a ≤ b → b = a

⊢ s.erase a ⊔ Iic a = s
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Sort.lean
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α

⊢ (graph f).card = n
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Sort.lean
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α

⊢ Finset.univ.card = n
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Sort.lean
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
f : Fin n → α

⊢ Function.Injective fun i => (f i, i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.10116, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex (Karoubi C) c
i j k : ι
x✝¹ : c.Rel i j
x✝ : c.Rel j k

⊢ (fun i j => (K.d i j).f) i j ≫ (fun i j => (K.d i j).f) j k = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
θ : ℂ

⊢ sin θ = 0 ↔ ∃ k, θ = ↑k * ↑π
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Complex.lean
θ : ℂ

⊢ (∃ k, θ - ↑π / 2 = (2 * ↑k + 1) * ↑π / 2) ↔ ∃ k, θ = ↑k * ↑π
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Constructions.lean
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹³ : Ring R
inst✝¹² : CommRing S
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M'
inst✝⁹ : AddCommGroup M₁
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : StrongRankCondition R
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Free R M'
inst✝² : Module.Finite R M
inst✝¹ : Module.Finite R M'
ι : Type v
inst✝ : Fintype ι

⊢ finrank R (ι →₀ M) = card ι * finrank R M
-- Mathlib/CategoryTheory/Subterminal.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
A : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct A A
inst✝ : IsIso (diag A)
Z : C
f g : Z ⟶ A

⊢ f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/Subterminal.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
A : C
inst✝¹ : HasBinaryProduct A A
inst✝ : IsIso (diag A)
Z : C
f g : Z ⟶ A
this : prod.fst = prod.snd

⊢ f = g
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
s : Set ↑(X.presheaf.obj (op U))

⊢ IsClosed (X.zeroLocus s)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
s : Set ↑(X.presheaf.obj (op U))

⊢ ∀ i ∈ s, IsClosed (↑(X.basicOpen i))ᶜ
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
s : Set ↑(X.presheaf.obj (op U))
i : ↑(X.presheaf.obj (op U))
a✝ : i ∈ s

⊢ IsClosed (↑(X.basicOpen i))ᶜ
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/Basic.lean
X : RingedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
s : Set ↑(X.presheaf.obj (op U))
i : ↑(X.presheaf.obj (op U))
a✝ : i ∈ s

⊢ IsOpen ↑(X.basicOpen i)
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d✝ m n : ℤ
hcb : c ∣ b
h : a ∣ b / c
d : ℤ
hd : b / c = a * d

⊢ b = c * a * d
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R

⊢ 1 < star x ↔ 1 < x
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E

⊢ (M.map f hf)✶ = M✶.map f hf
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E

⊢ ∀ ⦃B : Set β⦄, B ⊆ (M.map f hf)✶.E → ((M.map f hf)✶.Base B ↔ (M✶.map f hf).Base B)