ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
inst✝¹ : Preorder E
inst✝ : CovariantClass E E (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
hf : Supermartingale f ℱ μ
i j : ι
hij : i ≤ j
a✝¹ : Ω
a✝ : (μ[f j|↑ℱ i]) a✝¹ ≤ f i a✝¹

⊢ (-f) i a✝¹ ≤ (-μ[f j|↑ℱ i]) a✝¹
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : upcrossings a b f ω ≠ ⊤

⊢ ¬((∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ω < a) ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, b < f n ω)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω ≤ k

⊢ ¬((∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ω < a) ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, b < f n ω)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω < k

⊢ ¬((∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ω < a) ∧ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, b < f n ω)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω < k
h₁ : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, f n ω < a
h₂ : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, b < f n ω

⊢ False
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω < k
h₁ : ∀ (a_1 : ℕ), ∃ b ≥ a_1, f b ω < a
h₂ : ∀ (a : ℕ), ∃ b_1 ≥ a, b < f b_1 ω

⊢ False
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
hab : a < b
hω : ∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω < k
h₁ : ∀ (a_1 : ℕ), ∃ b ≥ a_1, f b ω < a
h₂ : ∀ (a : ℕ), ∃ b_1 ≥ a, b < f b_1 ω

⊢ ¬∃ k, ∀ (N : ℕ), upcrossingsBefore a b f N ω < k
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Monoidal.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝ : Closed A

⊢ uncurry (𝟙 ((ihom A).obj X)) = (ihom.ev A).app X
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ ↑⁅I, N⁆ = Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ ↑⁅I, N⁆ ≤ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⊢ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ≤ ↑⁅I, N⁆
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrder R
a b c : R
ha : a ≠ c
hb : b ≠ c

⊢ max a b ≠ c
-- Mathlib/Tactic/Positivity/Basic.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrder R
a b c : R
ha : a ≠ c
hb : b ≠ c

⊢ (if a ≤ b then b else a) ≠ c
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G

⊢ (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ V, clPrehaar (↑K₀) V).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)

⊢ (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ V, clPrehaar (↑K₀) V).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
t : Finset (OpenNhdsOf 1)

⊢ (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ i ∈ t, clPrehaar (↑K₀) i).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
t : Finset (OpenNhdsOf 1)
V₀ : Set G := ⋂ V ∈ t, V.carrier

⊢ (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ i ∈ t, clPrehaar (↑K₀) i).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
t : Finset (OpenNhdsOf 1)
V₀ : Set G := ⋂ V ∈ t, V.carrier
h1V₀ : IsOpen V₀

⊢ (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ i ∈ t, clPrehaar (↑K₀) i).Nonempty
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
this : IsCompact (haarProduct ↑K₀)
t : Finset (OpenNhdsOf 1)
V₀ : Set G := ⋂ V ∈ t, V.carrier
h1V₀ : IsOpen V₀
h2V₀ : 1 ∈ V₀

⊢ (haarProduct ↑K₀ ∩ ⋂ i ∈ t, clPrehaar (↑K₀) i).Nonempty
-- Mathlib/NumberTheory/WellApproximable.lean
A : Type u_1
inst✝ : SeminormedGroup A
n : ℕ
δ : ℝ
a : A

⊢ a ∈ approxOrderOf A n δ ↔ ∃ b, orderOf b = n ∧ a ∈ ball b δ
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange P
hP' : RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : R ⟶ T
H : P g
this✝ : Algebra ↑R ↑S := toAlgebra f
this : Algebra ↑R ↑T := toAlgebra g

⊢ P (pushout.inl f g)
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange P
hP' : RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : R ⟶ T
H : P g
this✝ : Algebra ↑R ↑S := toAlgebra f
this : Algebra ↑R ↑T := toAlgebra g

⊢ P ({ cocone := CommRingCat.pushoutCocone ↑R ↑S ↑T, isColimit := CommRingCat.pushoutCoconeIsColimit ↑R ↑S ↑T }.cocone.ι.app WalkingSpan.left)
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
hP : StableUnderBaseChange P
hP' : RespectsIso P
R S T : CommRingCat
f : R ⟶ S
g : R ⟶ T
H : P g
this✝ : Algebra ↑R ↑S := toAlgebra f
this : Algebra ↑R ↑T := toAlgebra g

⊢ P Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X

⊢ IsSheafFor P R ↔ IsSheafFor P (generate R).arrows
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X

⊢ (IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ IsSheafFor P (generate R).arrows
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X

⊢ (IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ IsSeparatedFor P (generate R).arrows ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P (generate R).arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X

⊢ (IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ IsSeparatedFor P R ∧ ∀ (x : FamilyOfElements P (generate R).arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R✝ R : Presieve X

⊢ (∀ (x : FamilyOfElements P R), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∀ (x : FamilyOfElements P (generate R).arrows), x.Compatible → ∃ t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/Order/Filter/Archimedean.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
l : Filter α
f✝ : α → R
r : R
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup R
inst✝ : Archimedean R
f : α → ℤ
hr : r < 0
hf : Tendsto f l atBot

⊢ Tendsto (fun x => f x • r) l atTop
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
t : Set γ
ht : MeasurableSet t

⊢ κ ⊗ₖ η.restrict ht = (κ ⊗ₖ η).restrict ⋯
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
t : Set γ
ht : MeasurableSet t

⊢ κ ⊗ₖ η.restrict ht = κ.restrict ?hs ⊗ₖ η.restrict ?ht
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
t : Set γ
ht : MeasurableSet t

⊢ MeasurableSet Set.univ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s : Set (β × γ)
κ : Kernel α β
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
t : Set γ
ht : MeasurableSet t

⊢ MeasurableSet t
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A : Rep k G✝
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Group G
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : MulAction G M
f : G → M
hf : IsMulOneCocycle f
g : G

⊢ g • f g⁻¹ = (f g)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

⊢ toIcoDiv hp a (m • p + b) = m + toIcoDiv hp a b
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : (↑η - 1) * λ ∣ (↑η - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.z S

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
h : λ ^ 2 ∣ S.a + ↑η ^ 2 * S.b

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Ring/Rat.lean
x : ℤ
hx : x ≠ 0
n d : ℤ

⊢ n /. x / (d /. x) = n /. d
-- Mathlib/Analysis/Convex/EGauge.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NNNorm 𝕜
inst✝² : Nonempty 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : SMulZeroClass 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞

⊢ egauge 𝕜 0 x = ⊤ ↔ x ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Inversion.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
a b : M
inst✝¹ : Invertible ((ι Q) a)
inst✝ : Invertible (Q a)

⊢ (ι Q) a * (ι Q) b * ⅟((ι Q) a) = (ι Q) ((⅟(Q a) * QuadraticMap.polar (⇑Q) a b) • a - b)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
R : Type u_3
inst✝⁵ : NormedRing R
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 R
𝕜' : Type u_4
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜'
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
f g : E → 𝕜
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g s x
hx : g x ≠ 0

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x / g x) s x
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Defs.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : One N
inst✝² : FunLike F M N
inst✝¹ : Subsingleton M
inst✝ : OneHomClass F M N
f g : F
x : M

⊢ f x = g x
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p d n : ℕ
h : d ∣ n

⊢ (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p n : ℕ
h : 0 ∣ n

⊢ (n / 0).factorization = n.factorization - factorization 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p d n : ℕ
h : d ∣ n
hd : d ≠ 0

⊢ (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n p d : ℕ
hd : d ≠ 0
h : d ∣ 0

⊢ (0 / d).factorization = factorization 0 - d.factorization
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p d n : ℕ
h : d ∣ n
hd : d ≠ 0
hn : n ≠ 0

⊢ (n / d).factorization = n.factorization - d.factorization
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p d n : ℕ
h : d ∣ n
hd : d ≠ 0
hn : n ≠ 0

⊢ (fun x => x + d.factorization) (n / d).factorization = (fun x => x + d.factorization) (n.factorization - d.factorization)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a b m n✝ p d n : ℕ
h : d ∣ n
hd : d ≠ 0
hn : n ≠ 0

⊢ (n / d).factorization + d.factorization = n.factorization - d.factorization + d.factorization
-- Mathlib/Data/Quot.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
α : Sort u_3
r : α → α → Prop
iseqv✝¹ : Equivalence r
p : α → α → Prop
iseqv✝ : Equivalence p
Eq : ∀ (a b : α), Setoid.r a b ↔ Setoid.r a b

⊢ { r := r, iseqv := iseqv✝¹ } = { r := p, iseqv := iseqv✝ }
-- Mathlib/Data/Quot.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
α : Sort u_3
r : α → α → Prop
iseqv✝¹ : Equivalence r
p : α → α → Prop
iseqv✝ : Equivalence p
Eq : ∀ (a b : α), Setoid.r a b ↔ Setoid.r a b
this : r = p

⊢ { r := r, iseqv := iseqv✝¹ } = { r := p, iseqv := iseqv✝ }
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝¹ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set α → Prop
s : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hne : s.Nonempty
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l

⊢ ∃ a ∈ s, {a} ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝¹ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set α → Prop
s : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hne : s.Nonempty
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : t.Subsingleton
htl : t ∈ l

⊢ ∃ a ∈ s, {a} ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝¹ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set α → Prop
s : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hne : s.Nonempty
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
hts : ∅ ⊆ s
ht : ∅.Subsingleton
htl : ∅ ∈ l

⊢ ∃ a ∈ s, {a} ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
inst✝¹ : CountableInterFilter l
f g : α → β
p : Set α → Prop
s : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p s
hs : s ∈ l
hne : s.Nonempty
hl : ∀ (U : Set α), p U → U ∈ l ∨ Uᶜ ∈ l
x : α
hts : {x} ⊆ s
ht : {x}.Subsingleton
htl : {x} ∈ l

⊢ ∃ a ∈ s, {a} ∈ l
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Category.lean
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X✝ Y✝ Z✝ X Y Z X' : C
f : X ⟶ X'

⊢ (f ⊗ 𝟙 (Y ⊗ Z)) ≫ (α_ X' Y Z).inv = (α_ X Y Z).inv ≫ ((f ⊗ 𝟙 Y) ⊗ 𝟙 Z)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r

⊢ Absorbent 𝕜 (Metric.ball 0 r)
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
r : ℝ
x : E
hr : 0 < r

⊢ Absorbent 𝕜 ((normSeminorm 𝕜 E).ball 0 r)
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂

⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
he : B₂ \ B₁ = ∅

⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
hinf : (B₂ \ B₁).encard = ⊤

⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard

⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
f : α
hf : f ∈ B₁ \ B₂
hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))

⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
f : α
hf : f ∈ B₁ \ B₂
hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))
this : (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard < (B₂ \ B₁).encard

⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
f : α
hf : f ∈ B₁ \ B₂
hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))
this : (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard < (B₂ \ B₁).encard
hencard : (B₁ \ insert f (B₂ \ {e})).encard ≤ (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard

⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
f : α
hf : f ∈ B₁ \ B₂
hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))
this : (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard < (B₂ \ B₁).encard
hencard : ((B₁ \ B₂) \ {f}).encard ≤ ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard

⊢ (B₁ \ B₂).encard ≤ (B₂ \ B₁).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Basic.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
Base : Set α → Prop
exch✝ : ExchangeProperty Base
B B' B₁ B₂ : Set α
exch : ExchangeProperty Base
hB₁ : Base B₁
hB₂ : Base B₂
e : α
he : e ∈ B₂ \ B₁
hcard : ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard < (B₂ \ B₁).encard
f : α
hf : f ∈ B₁ \ B₂
hB' : Base (insert f (B₂ \ {e}))
this : (insert f (B₂ \ {e}) \ B₁).encard < (B₂ \ B₁).encard
hencard : ((B₁ \ B₂) \ {f}).encard ≤ ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard

⊢ ((B₁ \ B₂) \ {f}).encard + 1 ≤ ((B₂ \ B₁) \ {e}).encard + 1
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NumDen.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing P
A : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
K : Type u_5
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
x : K
h : num A x = 0

⊢ 0 * (algebraMap ?m.26953 K) ↑(den ?m.26953 x) = (algebraMap ?m.26953 K) (num ?m.26953 x)
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
S✝ : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Ring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Ring S✝
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Surjective ⇑f
S : Submodule R N
hI : (comap f S).IsPrincipal

⊢ S = span R {f (generator (comap f S))}
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/NaturalTransformation/Strong.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : StrongOplaxNatTrans F G
θ : StrongOplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a' ⟶ G.obj a
g : a ⟶ b
h : b ⟶ c

⊢ f ◁ (θ.naturality (g ≫ h)).hom ≫ f ◁ θ.app a ◁ H.mapComp g h = f ◁ G.mapComp g h ▷ θ.app c ≫ f ◁ (α_ (G.map g) (G.map h) (θ.app c)).hom ≫ f ◁ G.map g ◁ (θ.naturality h).hom ≫ f ◁ (α_ (G.map g) (θ.app b) (H.map h)).inv ≫ f ◁ (θ.naturality g).hom ▷ H.map h ≫ f ◁ (α_ (θ.app a) (H.map g) (H.map h)).hom
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝² : T2Space α
α' : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α'
inst✝ : TopologicalSpace α'
e : α' → α
hes : Surjective e
h1 : e 1 = 1
f : β → α
g : γ → α'
h : ∀ {a : α'}, HasProd f (e a) ↔ HasProd g a
hg : ¬Multipliable g

⊢ ∏' (b : β), f b = e (∏' (c : γ), g c)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : CommMonoid α
inst✝³ : TopologicalSpace α
f✝ g✝ : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝² : T2Space α
α' : Type u_5
inst✝¹ : CommMonoid α'
inst✝ : TopologicalSpace α'
e : α' → α
hes : Surjective e
h1 : e 1 = 1
f : β → α
g : γ → α'
h : ∀ {a : α'}, HasProd f (e a) ↔ HasProd g a
hg : ¬Multipliable g
hf : ¬Multipliable f

⊢ ∏' (b : β), f b = e (∏' (c : γ), g c)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Skyscraper.lean
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} C
inst✝ : HasTerminal C
A a : C
U : Opens ↑X

⊢ (map' p₀ (𝟙 a)).app (op U) = (𝟙 (skyscraperPresheaf p₀ a)).app (op U)
-- Mathlib/Topology/Sheaves/Skyscraper.lean
X : TopCat
p₀ : ↑X
inst✝² : (U : Opens ↑X) → Decidable (p₀ ∈ U)
C : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} C
inst✝ : HasTerminal C
A a : C
U : Opens ↑X

⊢ (if h : p₀ ∈ U then eqToHom ⋯ ≫ 𝟙 a ≫ eqToHom ⋯ else (⋯ ▸ terminalIsTerminal).from ((skyscraperPresheaf p₀ a).obj (op U))) = (𝟙 (skyscraperPresheaf p₀ a)).app (op U)