ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x✝ y z x : α

⊢ toDual x ∈ (⇑ofDual ⁻¹' s).ordConnectedComponent (toDual x✝) ↔ toDual x ∈ ⇑ofDual ⁻¹' s.ordConnectedComponent x✝
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x✝ y z x : α

⊢ ⇑ofDual ⁻¹' [[x✝, x]] ⊆ ⇑ofDual ⁻¹' s ↔ toDual x ∈ ⇑ofDual ⁻¹' s.ordConnectedComponent x✝
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u

⊢ (1 - 2 * ε) * ε ^ 3 * ↑s.card * ↑t.card * ↑u.card ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u

⊢ ↑(filter (fun x => match x with | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c) (s ×ˢ t ×ˢ u)).card ≤ ↑(G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u

⊢ (filter (fun x => match x with | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c) (s ×ˢ t ×ˢ u)).card ≤ (G.cliqueFinset 3).card
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u

⊢ ∀ a ∈ filter (fun x => match x with | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c) (s ×ˢ t ×ˢ u), (fun x => match x with | (x, y, z) => {x, y, z}) a ∈ G.cliqueFinset 3
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t)
ust : G.IsUniform ε s t
hst : Disjoint s t
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t u)
utu : G.IsUniform ε t u
htu : Disjoint t u

⊢ Set.InjOn (fun x => match x with | (x, y, z) => {x, y, z}) ↑(filter (fun x => match x with | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c) (s ×ˢ t ×ˢ u))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t✝ u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t✝)
ust : G.IsUniform ε s t✝
hst : Disjoint s t✝
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t✝ u)
utu : G.IsUniform ε t✝ u
htu : Disjoint t✝ u
x₁ y₁ z₁ : α
h₁ : (x₁, y₁, z₁) ∈ ↑(filter (fun x => match x with | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c) (s ×ˢ t✝ ×ˢ u))
x₂ y₂ z₂ : α
h₂ : (x₂, y₂, z₂) ∈ ↑(filter (fun x => match x with | (a, b, c) => G.Adj a b ∧ G.Adj a c ∧ G.Adj b c) (s ×ˢ t✝ ×ˢ u))
t : (fun x => match x with | (x, y, z) => {x, y, z}) (x₁, y₁, z₁) = (fun x => match x with | (x, y, z) => {x, y, z}) (x₂, y₂, z₂)

⊢ (x₁, y₁, z₁) = (x₂, y₂, z₂)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Counting.lean
α : Type u_1
G G' : SimpleGraph α
inst✝² : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s t✝ u : Finset α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
P : Finpartition univ
dst : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s t✝)
ust : G.IsUniform ε s t✝
hst : Disjoint s t✝
dsu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity s u)
usu : G.IsUniform ε s u
hsu : Disjoint s u
dtu : 2 * ε ≤ ↑(G.edgeDensity t✝ u)
utu : G.IsUniform ε t✝ u
htu : Disjoint t✝ u
x₁ y₁ z₁ x₂ y₂ z₂ : α
t : (fun x => match x with | (x, y, z) => {x, y, z}) (x₁, y₁, z₁) = (fun x => match x with | (x, y, z) => {x, y, z}) (x₂, y₂, z₂)
h₁ : (x₁ ∈ s ∧ y₁ ∈ t✝ ∧ z₁ ∈ u) ∧ G.Adj x₁ y₁ ∧ G.Adj x₁ z₁ ∧ G.Adj y₁ z₁
h₂ : (x₂ ∈ s ∧ y₂ ∈ t✝ ∧ z₂ ∈ u) ∧ G.Adj x₂ y₂ ∧ G.Adj x₂ z₂ ∧ G.Adj y₂ z₂

⊢ (x₁, y₁, z₁) = (x₂, y₂, z₂)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommRing R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalRing R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type ?u.1282777) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ cfcₙ f a ≤ cfcₙ g a ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, f x ≤ g x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁸ : OrderedCommRing R
inst✝¹⁷ : Nontrivial R
inst✝¹⁶ : StarRing R
inst✝¹⁵ : StarOrderedRing R
inst✝¹⁴ : MetricSpace R
inst✝¹³ : TopologicalRing R
inst✝¹² : ContinuousStar R
inst✝¹¹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : Zero α] [inst_1 : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)₀
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace A
inst✝⁹ : NonUnitalRing A
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarOrderedRing A
inst✝⁵ : Module R A
inst✝⁴ : IsScalarTower R A A
inst✝³ : SMulCommClass R A A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ (∀ (x : ↑(σₙ R a)), { toFun := (σₙ R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } x ≤ { toFun := (σₙ R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯, map_zero' := ⋯ } x) ↔ ∀ x ∈ σₙ R a, f x ≤ g x
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
s t : Set ι
f : ι → Set α
h : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f

⊢ (⋃ i ∈ s, f i) \ ⋃ i ∈ t, f i = ⋃ i ∈ s \ t, f i
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
s t : Set ι
f : ι → Set α
h : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ s \ t
a : α
ha : a ∈ f i

⊢ a ∉ ⋃ x ∈ t, f x
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
s t : Set ι
f : ι → Set α
h : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ s \ t
a : α
ha : a ∈ f i

⊢ ¬∃ i, ∃ (_ : i ∈ t), a ∈ f i
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
s t : Set ι
f : ι → Set α
h : (s ∪ t).PairwiseDisjoint f
i : ι
hi : i ∈ s \ t
a : α
ha : a ∈ f i
j : ι
hj : j ∈ t
haj : a ∈ f j

⊢ False
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β

⊢ StrictMono f ↔ ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a < f b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a < f b
a b : α
hab : a < b

⊢ f a < f b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a < f b
a b : α
hab : a < b
this : TransGen CovBy a b → TransGen LT.lt (f a) (f b)

⊢ f a < f b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
h : ∀ (a b : α), a ⋖ b → f a < f b
a b : α
hab : a < b
this : a < b → f a < f b

⊢ f a < f b
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖

⊢ ‖lineDeriv 𝕜 f x₀ v‖ ≤ C * ‖v‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖

⊢ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + x • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖x - 0‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A : Continuous fun t => x₀ + t • v
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖

⊢ ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 0, ‖f (x₀ + x • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖x - 0‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t✝ : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A : Continuous fun t => x₀ + t • v
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
t : 𝕜
ht : t ∈ (fun t => x₀ + t • v) ⁻¹' {x | ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖}

⊢ ‖f (x₀ + t • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖t - 0‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t✝ : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
x₀ : E
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
hlip : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
A : Continuous fun t => x₀ + t • v
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 (x₀ + 0 • v), ‖f x - f x₀‖ ≤ C * ‖x - x₀‖
t : 𝕜
ht : ‖f (x₀ + t • v) - f x₀‖ ≤ C * (‖v‖ * ‖t‖)

⊢ ‖f (x₀ + t • v) - f (x₀ + 0 • v)‖ ≤ C * ‖v‖ * ‖t - 0‖
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
ht : t₀ ∈ Ioo a b
hf : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t
hg : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
t' : ℝ
ht' : t' ∈ Ioo a b

⊢ f t' = g t'
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
ht : t₀ ∈ Ioo a b
hf : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t
hg : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
t' : ℝ
ht' : t' ∈ Ioo a b
h : t' < t₀

⊢ f t' = g t'
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
v : ℝ → E → E
s : ℝ → Set E
K : ℝ≥0
f g f' g' : ℝ → E
a b t₀ εf εg δ : ℝ
hv : ∀ (t : ℝ), LipschitzOnWith K (v t) (s t)
ht : t₀ ∈ Ioo a b
hf : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (v t (f t)) t ∧ f t ∈ s t
hg : ∀ t ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (v t (g t)) t ∧ g t ∈ s t
heq : f t₀ = g t₀
t' : ℝ
ht' : t' ∈ Ioo a b
h : t₀ ≤ t'

⊢ f t' = g t'
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
Z₁ Z₂ X₁ X₂ Y₁ Y₂ : C
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
f₂ : X₂ ⟶ Y₂

⊢ (Z₁ ⊗ Z₂) ◁ (f₁ ⊗ f₂) ≫ tensor_μ C (Z₁, Z₂) (Y₁, Y₂) = tensor_μ C (Z₁, Z₂) (X₁, X₂) ≫ (Z₁ ◁ f₁ ⊗ Z₂ ◁ f₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : Field 𝕜
inst✝⁵ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝⁴ : Linear 𝕜 C
inst✝³ : HasKernels C
X Y : C
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y

⊢ finrank 𝕜 (X ⟶ Y) ≤ 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : Field 𝕜
inst✝⁵ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝⁴ : Linear 𝕜 C
inst✝³ : HasKernels C
X Y : C
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : Subsingleton (X ⟶ Y)

⊢ finrank 𝕜 (X ⟶ Y) ≤ 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Schur.lean
C : Type u_1
inst✝⁸ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁷ : Preadditive C
𝕜 : Type u_2
inst✝⁶ : Field 𝕜
inst✝⁵ : IsAlgClosed 𝕜
inst✝⁴ : Linear 𝕜 C
inst✝³ : HasKernels C
X Y : C
inst✝² : FiniteDimensional 𝕜 (X ⟶ X)
inst✝¹ : Simple X
inst✝ : Simple Y
h : Nontrivial (X ⟶ Y)

⊢ finrank 𝕜 (X ⟶ Y) ≤ 1
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n : ℕ
t : ℝ
ht' : t ≤ ↑n

⊢ (1 - t / ↑n) ^ n ≤ rexp (-t)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
t : ℝ
ht' : t ≤ ↑0

⊢ (1 - t / ↑0) ^ 0 ≤ rexp (-t)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n : ℕ
t : ℝ
ht' : t ≤ ↑n
hn : n ≠ 0

⊢ (1 - t / ↑n) ^ n ≤ rexp (-t)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n : ℕ
t : ℝ
ht' : t ≤ ↑n
hn : n ≠ 0

⊢ rexp (-t) = rexp (-(t / ↑n)) ^ n
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
n : ℕ
t : ℝ
ht' : t ≤ ↑n
hn : n ≠ 0

⊢ 0 ≤ 1 - t / ↑n
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/EvenEquiv.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
x : CliffordAlgebra Q

⊢ ↑((toEven Q) (reverse (involute x))) = reverse ↑((toEven Q) x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f✝ g✝ f g : α → ℝ≥0∞
h : f =ᶠ[ae μ] g

⊢ ⨍⁻ (x : α), f x ∂μ = ⨍⁻ (x : α), g x ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.HomologyData
h₂ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData

⊢ (S.leftHomologyπ ≫ S.leftHomologyIso.hom) ≫ (S.leftHomologyIso.symm ≪≫ h.leftHomologyIso).hom = h.cyclesIso.hom ≫ h.π
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Subgraph.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
v w : V
hvw : G.Adj v w

⊢ G.subgraphOfAdj ⋯ = G.subgraphOfAdj hvw
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : Nonempty (α ≃ β)

⊢ ∃ g, ∀ (x : ↑s), g ↑x = f x
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : Nonempty (α ≃ β)

⊢ Nonempty (↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : Nonempty (α ≃ β)
g : α ≃ β

⊢ Nonempty (↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : lift.{max u v, u} #α = lift.{max u v, v} #β
g : α ≃ β

⊢ Nonempty (↑sᶜ ≃ ↑(range ⇑f)ᶜ)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : lift.{max u v, u} #α = lift.{max u v, v} #β
g : α ≃ β

⊢ lift.{max u v, u} #↑s = lift.{max u v, v} #↑(range ⇑f)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
f : ↑s ↪ β
h : lift.{max u v, u} #α = lift.{max u v, v} #β
g : α ≃ β

⊢ Injective ⇑f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean

⊢ @zipWithLeft' = @zipWithLeft'TR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β

⊢ zipWithLeft' f as bs = zipWithLeft'TR f as bs
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_3
β : Type u_2
γ : Type u_1
f : α → Option β → γ
as : List α
bs : List β
acc : Array γ
head✝ : α
tail✝ : List α

⊢ zipWithLeft'TR.go f (head✝ :: tail✝) [] acc = match zipWithLeft' f (head✝ :: tail✝) [] with | (l, r) => (acc.toList ++ l, r)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c d a b : G

⊢ a * (b / a) = b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y

⊢ μH[1] = volume
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h : Perm α
x : α
hfx : f x = x
n : ℕ

⊢ (f ^ Int.negSucc n) x = x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
hf : ContDiff 𝕜 n f
hmn : m + 1 ≤ n

⊢ ContDiff 𝕜 m fun p => (fderiv 𝕜 f p.1) p.2
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f univ
hmn : m + 1 ≤ n

⊢ ContDiffOn 𝕜 m (fun p => (fderiv 𝕜 f p.1) p.2) univ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f univ
hmn : m + 1 ≤ n

⊢ ContDiffOn 𝕜 m (fun p => (fderivWithin 𝕜 f univ p.1) p.2) (univ ×ˢ univ)
-- Mathlib/Data/String/Lemmas.lean
n : ℕ
c : Char
l : List Char

⊢ { data := l }.IsSuffix (leftpad n c { data := l })
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/DilationEquiv.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace X
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace Y
inst✝ : PseudoEMetricSpace Z
e : X ≃ᵢ Y

⊢ ratio e.toDilationEquiv = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/ZModChar.lean
n : ℕ

⊢ χ₈ ↑n = χ₈ ↑(n % 8)
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
P : ι → α → Prop
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ ⋂ i, {x | P i x} ↔ x✝ ∈ {x | ∀ (i : ι), P i x}
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p : α → Prop
q : Prop

⊢ (∀ᶠ (x : α) in f, p x → q) ↔ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) → q
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Basic.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ X Y Z : C
sXY : BinaryFan X Y
P : IsLimit sXY
sYZ : BinaryFan Y Z
Q : IsLimit sYZ
s : BinaryFan sXY.pt Z
R : IsLimit s
t : Cone (pair X sYZ.pt)

⊢ R.lift (BinaryFan.assocInv P t) ≫ Q.lift (BinaryFan.mk (s.fst ≫ sXY.snd) s.snd) = BinaryFan.snd t
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Basic.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ X Y Z : C
sXY : BinaryFan X Y
P : IsLimit sXY
sYZ : BinaryFan Y Z
Q : IsLimit sYZ
s : BinaryFan sXY.pt Z
R : IsLimit s
t : Cone (pair X sYZ.pt)

⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), (R.lift (BinaryFan.assocInv P t) ≫ Q.lift (BinaryFan.mk (s.fst ≫ sXY.snd) s.snd)) ≫ sYZ.π.app j = BinaryFan.snd t ≫ sYZ.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Basic.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ X Y Z : C
sXY : BinaryFan X Y
P : IsLimit sXY
sYZ : BinaryFan Y Z
Q : IsLimit sYZ
s : BinaryFan sXY.pt Z
R : IsLimit s
t : Cone (pair X sYZ.pt)
m : t.pt ⟶ (BinaryFan.assoc Q s).pt
w : ∀ (j : Discrete WalkingPair), m ≫ (BinaryFan.assoc Q s).π.app j = t.π.app j

⊢ m = (fun t => R.lift (BinaryFan.assocInv P t)) t
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Basic.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ X Y Z : C
sXY : BinaryFan X Y
P : IsLimit sXY
sYZ : BinaryFan Y Z
Q : IsLimit sYZ
s : BinaryFan sXY.pt Z
R : IsLimit s
t : Cone (pair X sYZ.pt)
m : t.pt ⟶ (BinaryFan.assoc Q s).pt
w : ∀ (j : Discrete WalkingPair), m ≫ (BinaryFan.assoc Q s).π.app j = t.π.app j
h : (∀ (j : Discrete WalkingPair), m ≫ s.π.app j = (BinaryFan.assocInv P t).π.app j) → m = R.lift (BinaryFan.assocInv P t)

⊢ m = (fun t => R.lift (BinaryFan.assocInv P t)) t
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ∣ Nat.card G
this : Fintype G

⊢ ∃ x, orderOf x = p
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
G✝ : Type u_2
inst✝² : Group G✝
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
this : Fintype G
hdvd : p ∣ Fintype.card G

⊢ ∃ x, orderOf x = p
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B✝ B : ℝ
hB : B ≤ 0

⊢ volume (convexBodySum K B) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B✝ B : ℝ
hB✝ : B ≤ 0
hB : B < 0

⊢ volume (convexBodySum K B) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B✝ B : ℝ
hB✝ : B ≤ 0
hB : B = 0

⊢ volume (convexBodySum K B) = 0