ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v

⊢ LinearIndependent Rₛ (⇑f ∘ v)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0

⊢ ∀ (s : Finset ι) (g : ι → Rₛ), ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ v) i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
t : Finset ι
g : ι → Rₛ
hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0
i : ι
hi : i ∈ t

⊢ g i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
t : Finset ι
g : ι → Rₛ
hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0
i : ι
hi : i ∈ t
a : ↥S
g' : ι → R
hg' : ∀ i ∈ t, (algebraMap R Rₛ) (g' i) = ↑a • g i

⊢ g i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
t : Finset ι
g : ι → Rₛ
hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0
i : ι
hi : i ∈ t
a : ↥S
g' : ι → R
hg' : ∀ i ∈ t, (algebraMap R Rₛ) (g' i) = ↑a • g i
h0 : f (∑ i ∈ t, g' i • v i) = 0

⊢ g i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
t : Finset ι
g : ι → Rₛ
hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0
i : ι
hi : i ∈ t
a : ↥S
g' : ι → R
hg' : ∀ i ∈ t, (algebraMap R Rₛ) (g' i) = ↑a • g i
h0 : f (∑ i ∈ t, g' i • v i) = 0
s : ↥S
hs : s • ∑ i ∈ t, g' i • v i = 0

⊢ g i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
hv : ∀ (s : Finset ι) (g : ι → R), ∑ i ∈ s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0
t : Finset ι
g : ι → Rₛ
hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0
i : ι
hi : i ∈ t
a : ↥S
g' : ι → R
hg' : ∀ i ∈ t, (algebraMap R Rₛ) (g' i) = ↑a • g i
h0 : f (∑ i ∈ t, g' i • v i) = 0
s : ↥S
hs : ∑ x ∈ t, (↑s * g' x) • v x = 0

⊢ g i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
t : Finset ι
g : ι → Rₛ
hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0
i : ι
hi : i ∈ t
a : ↥S
g' : ι → R
hg' : ∀ i ∈ t, (algebraMap R Rₛ) (g' i) = ↑a • g i
h0 : f (∑ i ∈ t, g' i • v i) = 0
s : ↥S
hs : ∑ x ∈ t, (↑s * g' x) • v x = 0
hv : ↑s * g' i = 0

⊢ g i = 0
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Module.lean
R : Type u_1
Rₛ : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
inst✝¹⁰ : CommSemiring Rₛ
inst✝⁹ : Algebra R Rₛ
hT : IsLocalization S Rₛ
M : Type u_3
M' : Type u_4
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module Rₛ M
inst✝⁵ : IsScalarTower R Rₛ M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module Rₛ M'
inst✝¹ : IsScalarTower R Rₛ M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
ι : Type u_5
v : ι → M
t : Finset ι
g : ι → Rₛ
hg : ∑ i ∈ t, g i • (⇑f ∘ v) i = 0
i : ι
hi : i ∈ t
a : ↥S
g' : ι → R
hg' : ∀ i ∈ t, (algebraMap R Rₛ) (g' i) = ↑a • g i
h0 : f (∑ i ∈ t, g' i • v i) = 0
s : ↥S
hs : ∑ x ∈ t, (↑s * g' x) • v x = 0
hv : ↑s * g' i = 0

⊢ (algebraMap R Rₛ) (g' i) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : OpensMeasurableSpace E
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
C : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≠ ⊤ → ∫⁻ (x : α) in s, f x ∂μ ≤ C

⊢ SigmaFinite (μ.trim ?m.540668)
-- Mathlib/Algebra/Regular/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semigroup R
a b : R
ab : IsRightRegular (b * a)
x y : R
xy : (fun x => x * b) x = (fun x => x * b) y

⊢ x * (b * a) = y * (b * a)
-- Mathlib/Algebra/Regular/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semigroup R
a b : R
ab : IsRightRegular (b * a)
x y : R
xy : (fun x => x * b) x = (fun x => x * b) y

⊢ x * b * a = y * b * a
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Interval.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
s : Finset ι
f : Π₀ (i : ι), α i
t✝ : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
t : Π₀ (i : ι), Finset (α i)
ht : t.support ⊆ s

⊢ f ∈ s.dfinsupp ⇑t ↔ ∀ (i : ι), f i ∈ t i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Interval.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
s : Finset ι
f : Π₀ (i : ι), α i
t✝ : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
t : Π₀ (i : ι), Finset (α i)
ht : t.support ⊆ s
i : ι
h : (i ∈ f.support → i ∈ s) ∧ (i ∈ s → f i ∈ t i)

⊢ f i ∈ t i
-- Mathlib/Data/DFinsupp/Interval.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
s : Finset ι
f : Π₀ (i : ι), α i
t✝ : (i : ι) → Finset (α i)
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i)
t : Π₀ (i : ι), Finset (α i)
ht : t.support ⊆ s
i : ι
h : f i ∈ t i
hi : i ∈ f.support
H : t i = 0

⊢ f i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
a : M
b : CliffordAlgebra Q

⊢ (contractLeft d) ((ι Q) a * b) = d a • b - (ι Q) a * (contractLeft d) b
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Contraction.lean
R : Type u1
inst✝² : CommRing R
M : Type u2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
Q : QuadraticForm R M
d d' : Module.Dual R M
a : M
b : CliffordAlgebra Q

⊢ ∀ (m : M) (x fx : CliffordAlgebra Q), ((contractLeftAux Q d) m) ((ι Q) m * x, ((contractLeftAux Q d) m) (x, fx)) = Q m • fx
-- Mathlib/Data/Sym/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
n✝ n' m : ℕ
s✝ : Sym α✝ n✝
a b : α✝
α : Type u_3
n : ℕ
s : Sym α n

⊢ ↑(map id s) = ↑s
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
hi : AffineIndependent k p
s : Finset ι
n : ℕ
hc : s.card = n + 1

⊢ finrank k ↥(vectorSpan k ↑(Finset.image p s)) = n
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V

⊢ midpoint R x y = ⅟2 • (x + y)
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a a✝ : α

⊢ a✝ ∈ (s.erase a)ᶜ ↔ a✝ ∈ insert a sᶜ
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a ∣ m
bn : b ∣ n

⊢ a = m.gcd (b * a)
-- Mathlib/Data/PNat/Prime.lean
a b m n : ℕ+
cop : m.Coprime n
am : a ∣ m
bn : b ∣ n

⊢ a = (b * a).gcd m
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ha : a ≠ 0

⊢ ((monomial n) a).natTrailingDegree = n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
ha : a ≠ 0

⊢ (↑n).toNat = n
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
ι₁ : Type u_4
s₁ : Finset ι₁
w₁ : ι₁ → ℝ
v₁ : ι₁ → F
h₁ : ∑ i ∈ s₁, w₁ i = 0
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
w₂ : ι₂ → ℝ
v₂ : ι₂ → F
h₂ : ∑ i ∈ s₂, w₂ i = 0

⊢ ⟪∑ i₁ ∈ s₁, w₁ i₁ • v₁ i₁, ∑ i₂ ∈ s₂, w₂ i₂ • v₂ i₂⟫_ℝ = (-∑ i₁ ∈ s₁, ∑ i₂ ∈ s₂, w₁ i₁ * w₂ i₂ * (‖v₁ i₁ - v₂ i₂‖ * ‖v₁ i₁ - v₂ i₂‖)) / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x y : ℝ
hp : 0 < y

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (x, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
x y : ℝ
hp : 0 < y
hx : x ≠ 0

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (x, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
y : ℝ
hp : 0 < y

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (0, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
y : ℝ
hp : 0 < y
A : Tendsto (fun p => rexp (log p.1 * p.2)) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (0, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
y : ℝ
hp : 0 < y
A : Tendsto (fun p => rexp (log p.1 * p.2)) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun p => p.1 ^ p.2) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (0, y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Continuity.lean
y : ℝ
hp : 0 < y
A : Tendsto (fun p => rexp (log p.1 * p.2)) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun p => p.1 ^ p.2) (𝓝[≠] 0 ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 0)
C : Tendsto (fun p => p.1 ^ p.2) (𝓝[{0}] 0 ×ˢ 𝓝 y) (pure 0)

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 ^ p.2) (0, y)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
a : M
h : m ≤ n

⊢ a ^ (n - m) * a ^ m = a ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

⊢ b + m • p - (toIcoDiv hp a b + m) • p ∈ Set.Ico a (a + p)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (sFiniteSeq 0 n) s = 0 s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : ∑' (n : ℕ), (sFiniteSeq 0 n) s = 0

⊢ (sFiniteSeq 0 n) s = 0 s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t : Set α
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
h : ∀ (i : ℕ), (sFiniteSeq 0 i) s = 0

⊢ (sFiniteSeq 0 n) s = 0 s
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq

⊢ map id ⟨s, al⟩ = ⟨s, al⟩
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq

⊢ ↑(map id ⟨s, al⟩) = ↑⟨s, al⟩
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Stream' (Option α)
al : s.IsSeq

⊢ Stream'.map (Option.map id) s = s
-- Mathlib/Algebra/Star/SelfAdjoint.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Mul R
inst✝ : StarMul R
x : R

⊢ IsSelfAdjoint (star x * x)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ

⊢ generateFrom (memPartition t n) ≤ generateFrom (range t)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
t : ℕ → Set α
n : ℕ

⊢ generateFrom (memPartition t n) ≤ generateFrom (⋃ n, memPartition t n)
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
g✝ : G
a✝ b : α
g : G
a : α

⊢ g⁻¹ • g • a = a
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℤ
n : ℕ
this : ‖↑k‖ ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ ↑p ^ n ∣ k

⊢ ‖↑k‖ ≤ ↑p ^ (-↑n) ↔ ↑p ^ n ∣ k
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f

⊢ Function.Injective ⇑(map I f)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)

⊢ Function.Injective ⇑(map I f)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)

⊢ ∀ (m : AdicCompletion I M), (map I f) m = 0 → m = 0
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCompletion I M

⊢ (map I f) x = 0 → x = 0
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCompletion I M
a : AdicCauchySequence I M

⊢ (map I f) ((mk I M) a) = 0 → (mk I M) a = 0
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCompletion I M
a : AdicCauchySequence I M
hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0

⊢ (mk I M) a = 0
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCompletion I M
a : AdicCauchySequence I M
hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0
n : ℕ
x✝ : n ≥ 42

⊢ ↑a (n + k) ∈ I ^ n • ⊤
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCompletion I M
a : AdicCauchySequence I M
hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0
n : ℕ
x✝ : n ≥ 42

⊢ ↑a (n + k) ∈ Submodule.comap f (I ^ n • range f)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCompletion I M
a : AdicCauchySequence I M
hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0
n : ℕ
x✝ : n ≥ 42

⊢ f (↑a (n + k)) ∈ I ^ n • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
hf : Function.Injective ⇑f
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
x : AdicCompletion I M
a : AdicCauchySequence I M
hx : (map I f) ((mk I M) a) = 0
n : ℕ
x✝ : n ≥ 42

⊢ f (↑a (n + k)) ∈ I ^ (n + k) • ⊤ ⊓ range f
-- Mathlib/Data/Finsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ : ι →₀ α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
f g : ι →₀ α
i : ι
a b : α
j : ι

⊢ (single i (a - b)) j = (single i a - single i b) j
-- Mathlib/Data/Finsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ : ι →₀ α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
f g : ι →₀ α
i : ι
a b : α

⊢ (single i (a - b)) i = (single i a - single i b) i
-- Mathlib/Data/Finsupp/Order.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
f✝ g✝ : ι →₀ α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
f g : ι →₀ α
i : ι
a b : α
j : ι
h : i ≠ j

⊢ (single i (a - b)) j = (single i a - single i b) j
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
𝕜 : Type u_5
inst✝ : SeminormedCommRing 𝕜
b : Basis ι 𝕜 (PiLp p fun x => 𝕜)
A : Matrix ι ι 𝕜

⊢ b.toMatrix ⇑(basisFun p 𝕜 ι) * A = of fun i j => (b.repr ((WithLp.equiv p ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i)).symm (Aᵀ j))) i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
𝕜 : Type u_5
inst✝ : SeminormedCommRing 𝕜
b : Basis ι 𝕜 (PiLp p fun x => 𝕜)
A : Matrix ι ι 𝕜
this : (b.map (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i))).toMatrix ⇑(Pi.basisFun 𝕜 ι) * A = of fun i j => ((b.map (WithLp.linearEquiv p 𝕜 ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i))).repr (Aᵀ j)) i

⊢ b.toMatrix ⇑(basisFun p 𝕜 ι) * A = of fun i j => (b.repr ((WithLp.equiv p ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i)).symm (Aᵀ j))) i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/PiLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜✝ : Type u_1
ι : Type u_2
α : ι → Type u_3
β : ι → Type u_4
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : Fintype ι
𝕜 : Type u_5
inst✝ : SeminormedCommRing 𝕜
b : Basis ι 𝕜 (PiLp p fun x => 𝕜)
A : Matrix ι ι 𝕜
this : (b.toMatrix fun x => (basisFun p 𝕜 ι) x) * A = of fun i j => (b.repr ((WithLp.equiv p (ι → 𝕜)).symm (Aᵀ j))) i

⊢ b.toMatrix ⇑(basisFun p 𝕜 ι) * A = of fun i j => (b.repr ((WithLp.equiv p ((i : ι) → (fun x => 𝕜) i)).symm (Aᵀ j))) i
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s a b : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
hg : LSeriesHasSum g s b

⊢ LSeriesHasSum (f ⍟ g) s (a * b)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s a b : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
hg : LSeriesHasSum g s b

⊢ HasSum (fun n => ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {n})), term f s (↑b).1 * term g s (↑b).2) (a * b)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Convolution.lean
f g : ℕ → ℂ
s a b : ℂ
hf : LSeriesHasSum f s a
hg : LSeriesHasSum g s b
hsum : Summable fun x => term f s x.1 * term g s x.2

⊢ HasSum (fun n => ∑' (b : ↑((fun p => p.1 * p.2) ⁻¹' {n})), term f s (↑b).1 * term g s (↑b).2) (a * b)
-- Mathlib/Data/List/FinRange.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α

⊢ ofFn f = pmap (fun i hi => f ⟨i, hi⟩) (range n) ⋯
-- Mathlib/Data/List/FinRange.lean
α : Type u
n : ℕ
f : Fin n → α

⊢ ofFn f = map (fun x => f ⟨↑x, ⋯⟩) (range n).attach
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/ResidueField/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
a : R
ha : IsUnit ((residue R) a)

⊢ IsUnit a
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/ResidueField/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
a : R
ha : IsUnit ((residue R) a)
h : ¬IsUnit a

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/LocalRing/ResidueField/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LocalRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : LocalRing S
inst✝¹ : CommRing T
inst✝ : LocalRing T
a : R
ha : IsUnit 0
h : ¬IsUnit a

⊢ False
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
C : α → Sort u_7
f : α →. β ⊕ α
b : β
a a' : α
h : b ∈ f.fix a
h' : b ∈ f.fix a'
fa : Sum.inr a' ∈ f a
hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final
hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀

⊢ (fixInduction h fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → C a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯) = hind a a' h' fa (fixInduction h' fun a' h ih => Sum.casesOn (motive := fun x => (f a').get ⋯ = x → (fun x => C x) a') ((f a').get ⋯) (fun b' e => let_fun e := ⋯; hbase a' ⋯) (fun a'' e => let_fun e := ⋯; hind a' a'' ⋯ e (ih a'' e)) ⋯)