ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hpi : Function.Injective p
t : Triangle ℝ P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hst : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)
c : P
left✝ : c ∈ affineSpan ℝ (Set.range t.points)
hc : ∀ p₁ ∈ Set.range p, dist p₁ c = Simplex.circumradius t

⊢ AffineIndependent ℝ p
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/ENorm.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x y : V

⊢ ↑e (x - y) = ↑e (x + -y)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/ENorm.lean
𝕜 : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module 𝕜 V
e : ENorm 𝕜 V
x y : V

⊢ ↑e x + ↑e (-y) = ↑e x + ↑e y
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
r : R

⊢ (C r).Separable ↔ IsUnit r
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hc : IsColimit c
f' : Fan Z

⊢ (opProductIsoCoproduct' hf hc).inv ≫ (hf.lift f').op = hc.desc f'.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hc : IsColimit c
f' : Fan Z
x✝ : Discrete α
j : α

⊢ ((hf.lift f').op.unop ≫ f.π.app { as := j }).op = (((opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ hc.desc f'.op).unop ≫ f.π.app { as := j }).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hc : IsColimit c
f' : Fan Z
x✝ : Discrete α
j : α

⊢ (f'.π.app { as := j }).op = (f.π.app { as := j }).op ≫ (opProductIsoCoproduct' hf hc).hom ≫ hc.desc (Cofan.mk (op f'.pt) fun a => (f'.proj a).op)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} J
X : Type v₂
α : Type u_1
Z : α → C
f : Fan Z
c : Cofan fun x => op (Z x)
hf : IsLimit f
hc : IsColimit c
f' : Fan Z
x✝ : Discrete α
j : α

⊢ (f'.π.app { as := j }).op = (Cofan.mk (op f'.pt) fun a => (f'.proj a).op).ι.app { as := j }
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
D : Set β

⊢ (M.map f hf).Dep D ↔ ∃ D₀, M.Dep D₀ ∧ D = f '' D₀
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
D : Set β

⊢ ((∀ (x : Set α), M.Indep x → ¬D = f '' x) ∧ ∃ u ⊆ M.E, f '' u = D) ↔ ∃ D₀, (¬M.Indep D₀ ∧ D₀ ⊆ M.E) ∧ D = f '' D₀
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
D₀ : Set α
hD₀ : ¬M.Indep D₀
hD₀E : D₀ ⊆ M.E
I : Set α
hI : M.Indep I
h_eq : f '' D₀ = f '' I

⊢ False
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I✝ s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f M.E
D₀ : Set α
hD₀ : ¬M.Indep D₀
hD₀E : D₀ ⊆ M.E
I : Set α
hI : M.Indep I
h_eq : D₀ = I

⊢ False
-- Mathlib/Data/Multiset/Sum.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β

⊢ card (s.disjSum t) = card s + card t
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Fin.lean
n n✝ : ℕ
hi : n✝ + 1 < n + 1
h0 : ⟨n✝ + 1, hi⟩ ≠ 0

⊢ ⟨n✝ + 1, hi⟩.cycleRange.IsCycle
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ

⊢ ⌊1⌋₊ = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/IsConnected.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ Type w
c d : (j : C) × F.obj j
h : EqvGen (Quot.Rel F) c d

⊢ Zigzag c.fst d.fst
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
inst✝ : Nontrivial R
h : IsCoprime (0 0) (0 1)

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/End.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M

⊢ f.smulRight x = 0 ↔ f = 0 ∨ x = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/End.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M

⊢ f.smulRight 0 = 0 ↔ f = 0 ∨ 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/End.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
hx : x ≠ 0

⊢ f.smulRight x = 0 ↔ f = 0 ∨ x = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/End.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
hx : x ≠ 0
h : f.smulRight x = 0

⊢ f = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/End.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
hx : x ≠ 0
h : f.smulRight x = 0
v : M₁

⊢ f v = 0 v
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/End.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
hx : x ≠ 0
v : M₁
h : f v • x = 0

⊢ f v = 0 v
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/End.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
S : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
N : Type u_9
N₁ : Type u_10
N₂ : Type u_11
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Semiring S
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : IsScalarTower R S M
f : M₁ →ₗ[R] S
x : M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors S M
hx : x ≠ 0
v : M₁
h : f v = 0 ∨ x = 0

⊢ f v = 0 v
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : IsOpenMap g
hf : IsOpenMap f
s : Set X
hs : IsOpen s

⊢ IsOpen (g ∘ f '' s)
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : IsOpenMap g
hf : IsOpenMap f
s : Set X
hs : IsOpen s

⊢ IsOpen (g '' (f '' s))
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.50949, u_3} E
inst✝⁴ : Category.{?u.50953, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : HasShift D A
inst✝¹ : HasShift E A
inst✝ : HasShift E' A
F G H : SingleFunctors C D A
e : F ≅ G
n : A

⊢ e.hom.hom n ≫ e.inv.hom n = 𝟙 (F.functor n)
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : ℕ → Submodule R M
h : ∀ (n : ℕ), Disjoint ((partialSups (⇑OrderDual.toDual ∘ f)) n) (OrderDual.toDual (f (n + 1)))

⊢ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → OrderDual.toDual f (m + 1) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : ℕ → Submodule R M
h : ∀ (n : ℕ), Disjoint ((partialSups (⇑OrderDual.toDual ∘ f)) n) (OrderDual.toDual (f (n + 1)))
n : ℕ
w : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → (partialSups (⇑OrderDual.toDual ∘ f)) n = (partialSups (⇑OrderDual.toDual ∘ f)) m

⊢ ∃ n, ∀ (m : ℕ), n ≤ m → OrderDual.toDual f (m + 1) = ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Artinian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsArtinian R M
f : ℕ → Submodule R M
h : ∀ (n : ℕ), Disjoint ((partialSups (⇑OrderDual.toDual ∘ f)) n) (OrderDual.toDual (f (n + 1)))
n : ℕ
w : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → (partialSups (⇑OrderDual.toDual ∘ f)) n = (partialSups (⇑OrderDual.toDual ∘ f)) m
m : ℕ
p : n ≤ m

⊢ OrderDual.toDual f (m + 1) = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/MinMax.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c : α

⊢ max (a / c) (b / c) = max a b / c
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
K x : ℝ

⊢ gronwallBound 0 K 0 x = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hab : b₁ < b₂
hcd : a < d

⊢ b₁ • d + b₂ • a < b₁ • a + b₂ • d
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ : α
a d : β
hcd : a < d
b₂ : α
hab : b₁ < b₁ + b₂

⊢ b₁ • d + (b₁ + b₂) • a < b₁ • a + (b₁ + b₂) • d
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ : α
a : β
b₂ : α
hab : b₁ < b₁ + b₂
d : β
hcd : a < a + d

⊢ b₁ • (a + d) + (b₁ + b₂) • a < b₁ • a + (b₁ + b₂) • (a + d)
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ : α
a : β
b₂ : α
hab : b₁ < b₁ + b₂
d : β
hcd : a < a + d

⊢ b₁ • a + (b₁ + b₂) • a + b₁ • d < b₁ • a + (b₁ + b₂) • a + (b₁ • d + b₂ • d)
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulStrictMono α β
b₁ : α
a : β
b₂ : α
hab : 0 < b₂
d : β
hcd : 0 < d

⊢ b₁ • a + (b₁ + b₂) • a + b₁ • d < b₁ • a + (b₁ + b₂) • a + (b₁ • d + b₂ • d)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a✝ b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
a : R
a0 : a ≠ 0

⊢ (p * C a).degree = p.degree
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
h_meas_f : AEMeasurable f μ
h_meas_g : AEMeasurable g μ
h_indep_fun : IndepFun f g μ

⊢ ∫⁻ (ω : Ω), (f * g) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
h_meas_f : AEMeasurable f μ
h_meas_g : AEMeasurable g μ
h_indep_fun : IndepFun f g μ
fg_ae : f * g =ᶠ[ae μ] AEMeasurable.mk f h_meas_f * AEMeasurable.mk g h_meas_g

⊢ ∫⁻ (ω : Ω), (f * g) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
h_meas_f : AEMeasurable f μ
h_meas_g : AEMeasurable g μ
h_indep_fun : IndepFun f g μ
fg_ae : f * g =ᶠ[ae μ] AEMeasurable.mk f h_meas_f * AEMeasurable.mk g h_meas_g

⊢ ∫⁻ (a : Ω), (AEMeasurable.mk f h_meas_f * AEMeasurable.mk g h_meas_g) a ∂μ = (∫⁻ (a : Ω), AEMeasurable.mk f h_meas_f a ∂μ) * ∫⁻ (a : Ω), AEMeasurable.mk g h_meas_g a ∂μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
h_meas_f : AEMeasurable f μ
h_meas_g : AEMeasurable g μ
h_indep_fun : IndepFun f g μ
fg_ae : f * g =ᶠ[ae μ] AEMeasurable.mk f h_meas_f * AEMeasurable.mk g h_meas_g

⊢ IndepFun (AEMeasurable.mk f h_meas_f) (AEMeasurable.mk g h_meas_g) μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/TensorProduct.lean
R : Type u
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
S : Type ?u.153874
inst✝¹³ : Semiring S
inst✝¹² : Algebra R S
ι₁ : Type v₁
ι₂ : Type v₂
inst✝¹¹ : DecidableEq ι₁
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι₂
M₁ : ι₁ → Type w₁
M₁' : Type w₁'
M₂ : ι₂ → Type w₂
M₂' : Type w₂'
inst✝⁹ : (i₁ : ι₁) → AddCommMonoid (M₁ i₁)
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : (i₂ : ι₂) → AddCommMonoid (M₂ i₂)
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂'
inst✝⁵ : (i₁ : ι₁) → Module R (M₁ i₁)
inst✝⁴ : Module R M₁'
inst✝³ : (i₂ : ι₂) → Module R (M₂ i₂)
inst✝² : Module R M₂'
inst✝¹ : (i₁ : ι₁) → Module S (M₁ i₁)
inst✝ : ∀ (i₁ : ι₁), IsScalarTower R S (M₁ i₁)
x : M₁'
i : ι₂
y : M₂ i

⊢ (directSumRight R M₁' M₂).symm ((lof R ι₂ (fun i => M₁' ⊗[R] M₂ i) i) (x ⊗ₜ[R] y)) = x ⊗ₜ[R] (lof R ι₂ M₂ i) y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/IsometricSMul.lean
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : PseudoEMetricSpace X
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ≥0∞

⊢ (fun x => c • x) ⁻¹' closedBall x r = closedBall (c⁻¹ • x) r
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
x : 𝕜
hx : 0 < x

⊢ comap (fun x_1 => x * x_1) (𝓝[>] 0) = 𝓝[>] 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
x : 𝕜
hx : 0 < x

⊢ comap (fun x_1 => x * x_1) (𝓝 0) ⊓ 𝓟 (Ioi 0) = 𝓝 0 ⊓ 𝓟 (Ioi 0)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
x : 𝕜
hx : 0 < x

⊢ comap (fun x_1 => x * x_1) (𝓝 0) = 𝓝 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
x : 𝕜
hx : 0 < x

⊢ 𝓝 ((Homeomorph.mulLeft₀ x ⋯).symm 0) = 𝓝 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : x ∈ ball 0 (1 + D)

⊢ 0 < y D x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : ‖x‖ < 1 + D

⊢ 0 < y D x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : ‖x‖ < 1 + D

⊢ Integrable (fun i => w D i * φ (x - i)) μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
x : E
Dpos : 0 < D
D_lt_one : D < 1
hx : ‖x‖ < 1 + D

⊢ 0 < μ (support fun i => w D i * φ (x - i))
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F

⊢ AnalyticWithinOn 𝕜 f univ ↔ AnalyticOn 𝕜 f univ
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝² : CommRing R
c₁✝ c₂✝ r x y z : R
a✝ b c : ℍ[R,c₁✝,c₂✝]
inst✝¹ : NoZeroDivisors R
inst✝ : CharZero R
c₁ c₂ : R
a : ℍ[R,c₁,c₂]

⊢ star a = -a ↔ a.re = 0
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁴ : OrderedCommRing R
inst✝¹³ : StarRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type ?u.846623) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ cfc f a ≤ cfc g a ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≤ g x
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹⁴ : OrderedCommRing R
inst✝¹³ : StarRing R
inst✝¹² : MetricSpace R
inst✝¹¹ : TopologicalRing R
inst✝¹⁰ : ContinuousStar R
inst✝⁹ : ∀ (α : Type u_1) [inst : TopologicalSpace α], StarOrderedRing C(α, R)
inst✝⁸ : TopologicalSpace A
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : PartialOrder A
inst✝⁴ : StarOrderedRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p
inst✝ : NonnegSpectrumClass R A
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ (∀ (a_1 : ↑(spectrum R a)), { toFun := (spectrum R a).restrict f, continuous_toFun := ⋯ } a_1 ≤ { toFun := (spectrum R a).restrict g, continuous_toFun := ⋯ } a_1) ↔ ∀ x ∈ spectrum R a, f x ≤ g x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Pointwise.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A

⊢ toSubmodule S * toSubmodule T = toSubmodule (S ⊔ T)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Pointwise.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A

⊢ toSubmodule (S ⊔ T) ≤ toSubmodule S * toSubmodule T
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Pointwise.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
x : A
hx : x ∈ Algebra.adjoin R (↑S ∪ ↑T)

⊢ x ∈ toSubmodule S * toSubmodule T
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Pointwise.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
x✝ : A
hx✝ : x✝ ∈ Algebra.adjoin R (↑S ∪ ↑T)
x : A
hx : x ∈ ↑S ∪ ↑T

⊢ x ∈ toSubmodule S * toSubmodule T
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Pointwise.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
x : A
hx : x ∈ Algebra.adjoin R (↑S ∪ ↑T)
r : R

⊢ (algebraMap R A) r ∈ toSubmodule S * toSubmodule T
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Pointwise.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
x✝ : A
hx✝ : x✝ ∈ Algebra.adjoin R (↑S ∪ ↑T)
x y : A
hx : x ∈ toSubmodule S * toSubmodule T
hy : y ∈ toSubmodule S * toSubmodule T

⊢ x * y ∈ toSubmodule S * toSubmodule T
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Pointwise.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R✝
inst✝⁴ : Semiring A✝
inst✝³ : Algebra R✝ A✝
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Subalgebra R A
x✝ : A
hx✝ : x✝ ∈ Algebra.adjoin R (↑S ∪ ↑T)
x y : A
hx : x ∈ toSubmodule S * toSubmodule T
hy : y ∈ toSubmodule S * toSubmodule T
this : x * y ∈ toSubmodule S * toSubmodule T * (toSubmodule S * toSubmodule T)

⊢ x * y ∈ toSubmodule S * toSubmodule T
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R

⊢ (W.variableChange C).b₆ = ↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.b₆ + 2 * C.r * W.b₄ + C.r ^ 2 * W.b₂ + 4 * C.r ^ 3)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Weierstrass.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
C : VariableChange R

⊢ (↑C.u⁻¹ ^ 3 * (W.a₃ + C.r * W.a₁ + 2 * C.t)) ^ 2 + 4 * (↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₆ + C.r * W.a₄ + C.r ^ 2 * W.a₂ + C.r ^ 3 - C.t * W.a₃ - C.t ^ 2 - C.r * C.t * W.a₁)) = ↑C.u⁻¹ ^ 6 * (W.a₃ ^ 2 + 4 * W.a₆ + 2 * C.r * (2 * W.a₄ + W.a₁ * W.a₃) + C.r ^ 2 * (W.a₁ ^ 2 + 4 * W.a₂) + 4 * C.r ^ 3)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SFinite μ
f : X → ℝ≥0
s : Set X
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
g : X → E

⊢ (∫ (x : X) in s, g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X) in s, f x • g x ∂μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C

⊢ (β_ (𝟙_ C) X).hom ≫ (ρ_ X).hom = (λ_ X).hom
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Exponential.lean
𝕂 : Type u_1
𝕊 : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝⁸ : CharZero 𝕂
inst✝⁷ : NormedCommRing 𝕊
inst✝⁶ : NormedRing 𝔸
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕂 𝕊
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝³ : Algebra 𝕊 𝔸
inst✝² : ContinuousSMul 𝕊 𝔸
inst✝¹ : IsScalarTower 𝕂 𝕊 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
x : 𝔸
t : 𝕂
htx : t • x ∈ EMetric.ball 0 (expSeries 𝕂 𝔸).radius

⊢ HasStrictDerivAt (fun u => exp 𝕂 (u • x)) (exp 𝕂 (t • x) * x) t
-- Mathlib/RingTheory/Presentation.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
inst✝ : P.IsFinite

⊢ P.ker.FG
-- Mathlib/RingTheory/Presentation.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
inst✝ : P.IsFinite

⊢ Ideal.span ↑⋯.toFinset = P.ker
-- Mathlib/RepresentationTheory/Action/Monoidal.lean
V : Type (u + 1)
inst✝¹ : LargeCategory V
G : MonCat
inst✝ : MonoidalCategory V

⊢ (Monoidal.fromTransported (functorCategoryEquivalence V G).symm).ε.app PUnit.unit = 𝟙 ((𝟙_ (SingleObj ↑G ⥤ V)).obj PUnit.unit)