ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i k : Fin 2
hjk : 1 ≤ k
hij : 1 ≤ 1

⊢ map f 1 k ⋯ = map f 1 1 hij ≫ map f 1 k hjk
-- Mathlib/CategoryTheory/ComposableArrows.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
n m : ℕ
F G : ComposableArrows C n
X₀ X₁ : C
f : X₀ ⟶ X₁
i : Fin 2
hij hjk : 1 ≤ 1

⊢ map f 1 1 ⋯ = map f 1 1 hij ≫ map f 1 1 hjk
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Monoidal.lean
I : Type u
inst✝³ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ : GradedObject I C
inst✝ : X₁.HasTensor X₂
A : C
k : I
f : (i₁ i₂ : I) → i₁ + i₂ = k → (X₁ i₁ ⊗ X₂ i₂ ⟶ A)
i₁ i₂ : I
hi : i₁ + i₂ = k

⊢ ιTensorObj X₁ X₂ i₁ i₂ k hi ≫ tensorObjDesc f = f i₁ i₂ hi
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
Y : ℝ
hY : 0 ≤ Y
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))

⊢ IntervalIntegrable (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) volume 0 Y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
Y : ℝ
hY : 0 ≤ Y
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))

⊢ IntegrableOn (fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))) (Ioc 0 Y) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
Y : ℝ
hY : 0 ≤ Y
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))

⊢ HasFiniteIntegral (fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))) (volume.restrict (Ioc 0 Y))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
Y : ℝ
hY : 0 ≤ Y
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))

⊢ HasFiniteIntegral (fun a => ‖s * (↑(rexp (-a)) * ↑a ^ (s - 1))‖) (volume.restrict (Ioc 0 Y))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
Y : ℝ
hY : 0 ≤ Y
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))

⊢ HasFiniteIntegral (fun a => abs s * (abs ↑(rexp (-a)) * abs (↑a ^ (s - 1)))) (volume.restrict (Ioc 0 Y))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
Y : ℝ
hY : 0 ≤ Y
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))

⊢ (fun x => rexp (-x) * x ^ (s.re - 1)) =ᶠ[ae (volume.restrict (Ioc 0 Y))] fun a => abs ↑(rexp (-a)) * abs (↑a ^ (s - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
Y : ℝ
hY : 0 ≤ Y
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ioc 0 Y → rexp (-x) * x ^ (s.re - 1) = abs ↑(rexp (-x)) * abs (↑x ^ (s - 1))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
s : ℂ
hs : 0 < s.re
Y : ℝ
hY : 0 ≤ Y
this : (fun x => ↑(rexp (-x)) * (s * ↑x ^ (s - 1))) = fun x => s * (↑(rexp (-x)) * ↑x ^ (s - 1))

⊢ MeasurableSet (Ioc 0 Y)
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y z : ZFSet
hy : y ∈ ⋂₀ x
hz : z ∈ x

⊢ y ∈ z
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
y z : ZFSet
hy : y ∈ ⋂₀ ∅
hz : z ∈ ∅

⊢ y ∈ z
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Basic.lean
x y z : ZFSet
hy : y ∈ ⋂₀ x
hz : z ∈ x
hx : x.Nonempty

⊢ y ∈ z
-- Mathlib/Data/Set/Countable.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
s : Set (Set α)
hs : s.Countable

⊢ (⋃₀ s).Countable ↔ ∀ a ∈ s, a.Countable
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing T
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra L F
inst✝² : Algebra R F
inst✝¹ : IsScalarTower R L F
inst✝ : FiniteDimensional L F
x : F
hx : IsIntegral R x

⊢ IsIntegral R ((trace L F) x)
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing T
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra L F
inst✝² : Algebra R F
inst✝¹ : IsScalarTower R L F
inst✝ : FiniteDimensional L F
x : F
hx : IsIntegral R x
hx' : IsIntegral L x

⊢ IsIntegral R ((trace L F) x)
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing T
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra L F
inst✝² : Algebra R F
inst✝¹ : IsScalarTower R L F
inst✝ : FiniteDimensional L F
x : F
hx : IsIntegral R x
hx' : IsIntegral L x

⊢ IsIntegral R (finrank (↥L⟮x⟯) F • ((minpoly L x).aroots (AlgebraicClosure F)).sum)
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : CommRing T
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝⁶ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : Algebra L F
inst✝² : Algebra R F
inst✝¹ : IsScalarTower R L F
inst✝ : FiniteDimensional L F
x : F
hx : IsIntegral R x
hx' : IsIntegral L x

⊢ Splits (algebraMap L (AlgebraicClosure F)) (minpoly L x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M✝ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M✝
inst✝⁶ : Module R M✝
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M✝
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M✝
M : ι → ι → R

⊢ (basisFun R ι).det M = detRowAlternating M
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]

⊢ (-p).leadingCoeff = -p.leadingCoeff
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
habk : k ∣ p.count (a * b).factors
ha : ¬a = 0

⊢ k ∣ p.count a.factors
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
habk : k ∣ p.count (a * b).factors
ha : ¬a = 0
hz : p.count a.factors = 0

⊢ k ∣ p.count a.factors
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : DecidableEq (Associates α)
a b : Associates α
hb : b ≠ 0
p : Associates α
hp : Irreducible p
hab : ∀ (d : Associates α), d ∣ a → d ∣ b → ¬Prime d
k : ℕ
habk : k ∣ p.count (a * b).factors
ha : ¬a = 0
h : p.count b.factors = 0

⊢ k ∣ p.count a.factors
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q

⊢ LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.ker ((aeval f) q) = LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q

⊢ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q)) ≤ LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.ker ((aeval f) q)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))

⊢ v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p) ⊔ LinearMap.ker ((aeval f) q)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
hpq : IsCoprime p q
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))

⊢ ∃ y ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p), ∃ z ∈ LinearMap.ker ((aeval f) q), y + z = v
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1

⊢ ∃ y ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p), ∃ z ∈ LinearMap.ker ((aeval f) q), y + z = v
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
h_eval₂_qpp' : ((aeval f) (q * (p * p'))) v = 0

⊢ ∃ y ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p), ∃ z ∈ LinearMap.ker ((aeval f) q), y + z = v
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
h_eval₂_qpp' : ((aeval f) (q * (p * p'))) v = 0
h_eval₂_pqq' : ((aeval f) (p * (q * q'))) v = 0

⊢ ∃ y ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p), ∃ z ∈ LinearMap.ker ((aeval f) q), y + z = v
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
h_eval₂_qpp' : ((aeval f) q * (aeval f) (p * p')) v = 0
h_eval₂_pqq' : ((aeval f) p * (aeval f) (q * q')) v = 0

⊢ ∃ y ∈ LinearMap.ker ((aeval f) p), ∃ z ∈ LinearMap.ker ((aeval f) q), y + z = v
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
h_eval₂_qpp' : ((aeval f) q * (aeval f) (p * p')) v = 0
h_eval₂_pqq' : ((aeval f) p * (aeval f) (q * q')) v = 0

⊢ ((aeval f) (q * q')) v + ((aeval f) (p * p')) v = v
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
σ : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : M →ₗ[R] M
p q : R[X]
v : M
hv : v ∈ LinearMap.ker ((aeval f) (p * q))
p' q' : R[X]
hpq' : p' * p + q' * q = 1
h_eval₂_qpp' : ((aeval f) q * (aeval f) (p * p')) v = 0
h_eval₂_pqq' : ((aeval f) p * (aeval f) (q * q')) v = 0

⊢ ((aeval f) (p' * p)) v + ((aeval f) (q' * q)) v = v
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α

⊢ count a (l.erase a) = count a l - 1
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ a ∆ b = (a ⊔ b) \ (a ⊓ b)
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
a : ↥circle

⊢ (↑a).re ^ 2 + (↑a).im ^ 2 ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
a : ↥circle
i j : Fin 2

⊢ (LinearMap.toMatrix basisOneI basisOneI) (↑(rotation a).toLinearEquiv) i j = ↑(Matrix.planeConformalMatrix (↑a).re (↑a).im ⋯) i j
-- Mathlib/Analysis/Complex/Isometry.lean
a : ↥circle
i j : Fin 2

⊢ ![(↑a).re * (![1, I] j).re - (↑a).im * (![1, I] j).im, (↑a).re * (![1, I] j).im + (↑a).im * (![1, I] j).re] i = Matrix.vecCons (![(↑a).re, -(↑a).im] j) (fun i => ![(↑a).im, (↑a).re] j) i
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equiv.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
δ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : UniformSpace δ
h : α ≃ᵤ β

⊢ UniformInducing (⇑h.symm ∘ ⇑h)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C

⊢ F.map ((((((η.hom.app X ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj X))) ≫ G.map (ε.inv.app (F.obj X))) ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj (G.obj (F.obj X))))) ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj (G.obj (F.obj X))))) ≫ G.map (F.map (η.inv.app X))) ≫ 𝟙 (G.obj (F.obj X))) ≫ ε.hom.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C

⊢ F.map (η.hom.app X) ≫ F.map (G.map (ε.inv.app (F.obj X))) ≫ F.map (G.map (F.map (η.inv.app X))) ≫ ε.hom.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C
this : (G ⋙ F).map (F.map (η.inv.app X)) ≫ ε.hom.app (F.obj ((𝟭 C).obj X)) = ε.hom.app (F.obj ((F ⋙ G).obj X)) ≫ (𝟭 D).map (F.map (η.inv.app X))

⊢ F.map (η.hom.app X) ≫ F.map (G.map (ε.inv.app (F.obj X))) ≫ F.map (G.map (F.map (η.inv.app X))) ≫ ε.hom.app (F.obj X) = 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C

⊢ F.map (η.hom.app X) ≫ F.map (G.map (ε.inv.app (F.obj X))) ≫ ε.hom.app (F.obj (G.obj (F.obj X))) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C

⊢ F.map (η.hom.app X) ≫ (F.map (G.map (ε.inv.app (F.obj X))) ≫ ε.hom.app (F.obj (G.obj (F.obj X)))) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C
this : (G ⋙ F).map (ε.inv.app (F.obj X)) ≫ ε.hom.app ((G ⋙ F).obj (F.obj X)) = ε.hom.app ((𝟭 D).obj (F.obj X)) ≫ (𝟭 D).map (ε.inv.app (F.obj X))

⊢ F.map (η.hom.app X) ≫ (F.map (G.map (ε.inv.app (F.obj X))) ≫ ε.hom.app (F.obj (G.obj (F.obj X)))) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C

⊢ F.map (η.hom.app X) ≫ (ε.hom.app (F.obj X) ≫ ε.inv.app (F.obj X)) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C
this : (ε.app (F.obj X)).hom ≫ (ε.app (F.obj X)).inv = 𝟙 ((G ⋙ F).obj (F.obj X))

⊢ F.map (η.hom.app X) ≫ (ε.hom.app (F.obj X) ≫ ε.inv.app (F.obj X)) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C

⊢ F.map (η.hom.app X) ≫ 𝟙 (F.obj (G.obj (F.obj X))) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C

⊢ F.map (η.hom.app X) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
η : 𝟭 C ≅ F ⋙ G
ε : G ⋙ F ≅ 𝟭 D
X : C
this : (F.mapIso (η.app X)).hom ≫ (F.mapIso (η.app X)).inv = 𝟙 (F.obj ((𝟭 C).obj X))

⊢ F.map (η.hom.app X) ≫ F.map (η.inv.app X) = 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
s : Set α
ha : 0 ≤ a
hs : IsLUB s b

⊢ IsLUB ((fun b => a * b) '' s) (a * b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
s : Set α
ha✝ : 0 ≤ a
hs : IsLUB s b
ha : 0 < a

⊢ IsLUB ((fun b => a * b) '' s) (a * b)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
b c d : α
n : ℤ
s : Set α
hs : IsLUB s b
ha : 0 ≤ 0

⊢ IsLUB ((fun b => 0 * b) '' s) (0 * b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝² : LinearOrder E
inst✝¹ : Zero E
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α →ₛ ℝ

⊢ map norm (-f).posPart = (-f).posPart
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x y : ProjectiveSpectrum 𝒜

⊢ x ≤ y ↔ y ∈ closure {x}
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Topology.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
x y : ProjectiveSpectrum 𝒜

⊢ x.asHomogeneousIdeal ≤ y.asHomogeneousIdeal ↔ ↑x.asHomogeneousIdeal ⊆ ↑y.asHomogeneousIdeal
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s

⊢ IsClosed (Prod.snd '' s)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s

⊢ ∀ x ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ, (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ

⊢ (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ 𝓝 y
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs✝ : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
U : Set X
V : Set Y
hVo : IsOpen V
hU : univ ⊆ U
hV : {y} ⊆ V
hs : U ×ˢ V ⊆ sᶜ

⊢ (Prod.snd '' s)ᶜ ∈ 𝓝 y
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs✝ : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
U : Set X
V : Set Y
hVo : IsOpen V
hU : univ ⊆ U
hV : {y} ⊆ V
hs : U ×ˢ V ⊆ sᶜ

⊢ V ⊆ (Prod.snd '' s)ᶜ
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
inst✝ : CompactSpace X
s : Set (X × Y)
hs✝ : IsClosed s
y : Y
hy : y ∈ (Prod.snd '' s)ᶜ
this : univ ×ˢ {y} ⊆ sᶜ
U : Set X
V : Set Y
hVo : IsOpen V
hU : univ ⊆ U
hV : {y} ⊆ V
hs : U ×ˢ V ⊆ sᶜ
z : X × Y
hzs : z ∈ s
hzV : z.2 ∈ V

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : R[X]

⊢ (lift i x hx h) (h.map z) = eval₂ i x z
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : R[X]

⊢ { toFun := fun z => eval₂ i x (h.repr z), map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯ } (h.map z) = eval₂ i x z
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
T : Type u_1
inst✝ : CommRing T
i : R →+* T
x : T
hx : eval₂ i x f = 0
h : IsAdjoinRoot S f
z : R[X]

⊢ eval₂ i x (h.repr (h.map z)) = eval₂ i x z
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤

⊢ μ (liminf s atTop) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤

⊢ μ (liminf s atTop) ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
s : ℕ → Set α
h : ∑' (i : ℕ), μ (s i) ≠ ⊤
this : liminf s atTop ≤ limsup s atTop

⊢ μ (liminf s atTop) ≤ 0
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α

⊢ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace M✝
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : ContinuousMul M✝
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : ι → X → M
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
x₀ : X
U : Set X
hxU : U ∈ 𝓝 x₀
hUf : {i | ((fun i => mulSupport (f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite

⊢ ∃ I, ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x₀, (mulSupport fun i => f i x) ⊆ ↑I
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace M✝
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : ContinuousMul M✝
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : ι → X → M
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
x₀ : X
U : Set X
hxU : U ∈ 𝓝 x₀
hUf : {i | ((fun i => mulSupport (f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
y : X
hy : y ∈ U
i : ι
hi : i ∈ mulSupport fun i => f i y

⊢ i ∈ ↑hUf.toFinset
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M✝ : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace M✝
inst✝² : CommMonoid M✝
inst✝¹ : ContinuousMul M✝
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : ι → X → M
hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)
x₀ : X
U : Set X
hxU : U ∈ 𝓝 x₀
hUf : {i | ((fun i => mulSupport (f i)) i ∩ U).Nonempty}.Finite
y : X
hy : y ∈ U
i : ι
hi : i ∈ mulSupport fun i => f i y

⊢ i ∈ {i | ((fun i => mulSupport (f i)) i ∩ U).Nonempty}
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α β : Type u
β' : Type v

⊢ #(α ↪ β) = 0 ↔ #β < #α
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Isometry.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h✝ h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ

⊢ ⇑h '' Metric.sphere x r = Metric.sphere (h x) r
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
x✝ : α

⊢ x✝ ≠ a ∧ x✝ ∈ s ↔ x✝ ∈ ↑s \ {a}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K✝ : Type uK
inst✝⁷ : Field K✝
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝⁶ : AddCommGroup V₁
inst✝⁵ : Module K✝ V₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₂
inst✝³ : Module K✝ V₂
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
W : Submodule K (Dual K V)
x✝ : FiniteDimensional K ↥W

⊢ FiniteDimensional K (V ⧸ W.dualCoannihilator)
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α

⊢ s.append nil = s
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : Seq α

⊢ ∀ (s : Seq α), BisimO (fun s1 s2 => ∃ s, s1 = s.append nil ∧ s2 = s) (s.append nil).destruct s.destruct
-- Mathlib/NumberTheory/Primorial.lean
n : ℕ

⊢ n# ≤ 4 ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/Primorial.lean
n : ℕ
ihn : ∀ m < n, m# ≤ 4 ^ m

⊢ n# ≤ 4 ^ n