ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Seq/Seq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α
s : Stream' α

⊢ ↑(l ++ₛ s) = (↑l).append ↑s
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} D
L✝ : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝ : L✝.IsLocalization W
X Y : C
φ : W.LeftFraction X Y
L : C ⥤ D
hL : W.IsInvertedBy L

⊢ (inv (L.map φ.s)).op ≫ (L.map φ.f).op = inv (L.map φ.s).op ≫ (L.map φ.f).op
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R✝ : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R✝
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
R : Type uR
inst✝ : Ring R
r : R → R → Prop
a b : R
h : Rel r a b

⊢ Rel r (-a) (-b)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α

⊢ IsBigOWith c ⊤ f g ↔ ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
w₁ : Word G
h₁ : H
hw₁ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₁.toList → g ∈ d.set i
w₂ : Word G
h₂ : H
hw₂ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₂.toList → g ∈ d.set i
h : CoprodI.of ((φ i) h₁) • w₁ = CoprodI.of ((φ i) h₂) • w₂

⊢ { toWord := w₁, head := h₁, normalized := hw₁ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
w₁ : Word G
h₁ : H
hw₁ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₁.toList → g ∈ d.set i
w₂ : Word G
h₂ : H
hw₂ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₂.toList → g ∈ d.set i
h : w₁ = ((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂

⊢ { toWord := w₁, head := h₁, normalized := hw₁ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
h₁ : H
w₂ : Word G
h₂ : H
hw₂ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₂.toList → g ∈ d.set i
hw₁ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1

⊢ { toWord := ((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂, head := h₁, normalized := hw₁ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
h₁ : H
w₂ : Word G
h₂ : H
hw₂ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₂.toList → g ∈ d.set i
hw₁✝ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1
hw₁ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) (h₁⁻¹ * h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1

⊢ { toWord := ((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂, head := h₁, normalized := hw₁✝ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
h₁ : H
w₂ : Word G
h₂ : H
hw₂ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₂.toList → g ∈ d.set i
hw₁✝ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1
hw₁ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) (h₁⁻¹ * h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1
this : h₁⁻¹ * h₂ = 1

⊢ { toWord := ((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂, head := h₁, normalized := hw₁✝ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
h₁ : H
w₂ : Word G
h₂ : H
hw₂ : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w₂.toList → g ∈ d.set i
hw₁✝ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1
hw₁ : ∀ (i_1 : ι) (g : G i_1), ⟨i_1, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) (h₁⁻¹ * h₂)) • w₂).toList → g ∈ d.set i_1
this : h₁ = h₂

⊢ { toWord := ((CoprodI.of ((φ i) h₁))⁻¹ * CoprodI.of ((φ i) h₂)) • w₂, head := h₁, normalized := hw₁✝ } = { toWord := w₂, head := h₂, normalized := hw₂ }
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

⊢ bliminf s cofinite p = {x | {n | p n ∧ x ∉ s n}.Finite}
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

⊢ (bliminf s cofinite p)ᶜ = {x | {n | p n ∧ x ∉ s n}.Finite}ᶜ
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
p : ι → Prop
s : ι → Set α
𝓕 : Filter ι
a : α

⊢ {x | {n | p n ∧ x ∈ (s n)ᶜ}.Infinite} = {x | {n | p n ∧ x ∉ s n}.Finite}ᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁹ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
s : Set E
ι : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
b : Basis ι ℝ G
v : ι → G

⊢ b.addHaar (parallelepiped v) = ENNReal.ofReal |b.det v|
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁹ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
s : Set E
ι : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
b : Basis ι ℝ G
v : ι → G
this : FiniteDimensional ℝ G

⊢ b.addHaar (parallelepiped v) = ENNReal.ofReal |b.det v|
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E
inst✝¹² : MeasurableSpace E
inst✝¹¹ : BorelSpace E
inst✝¹⁰ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝⁹ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : CompleteSpace F
s : Set E
ι : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
b : Basis ι ℝ G
v : ι → G
this : FiniteDimensional ℝ G
A : parallelepiped v = ⇑((b.constr ℕ) v) '' parallelepiped ⇑b

⊢ b.addHaar (parallelepiped v) = ENNReal.ofReal |b.det v|
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : DivisionSemiring R
f : ArithmeticFunction R
n : ℕ

⊢ (f.pdiv ↑ζ) n = f n
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R : Sheaf J RingCat
inst✝ : J.HasSheafCompose (forget₂ RingCat AddCommGrp)
M N : SheafOfModules R
s : M.sections
p : M ⟶ N

⊢ N.unitHomEquiv (M.unitHomEquiv.symm s ≫ p) = N.unitHomEquiv (N.unitHomEquiv.symm (sectionsMap p s))
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
a : α
n k : ℕ

⊢ ((replicate n a).rotate k).length = n
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ : Type
f : α → σ → σ × β
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α), ∀ s ∈ S, (f a s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a s).2 = (f a s').2

⊢ (mapAccumr f xs s₀).2 = map (fun x => (f x s₀).2) xs
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ : Type
f : α → σ → σ × β
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α), ∀ s ∈ S, (f a s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a s).2 = (f a s').2

⊢ (mapAccumr f xs s₀).2 = (mapAccumr (fun x x_1 => ((), (f x s₀).2)) xs ()).2
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ : Type
f : α → σ → σ × β
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α), ∀ s ∈ S, (f a s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a s).2 = (f a s').2

⊢ ∃ R, R s₀ () ∧ ∀ {s : σ} {q : Unit} (a : α), R s q → R (f a s).1 ((), (f a s₀).2).1 ∧ (f a s).2 = ((), (f a s₀).2).2
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ : Type
f : α → σ → σ × β
s₀ : σ
S : Set σ
h₀ : s₀ ∈ S
closure : ∀ (a : α), ∀ s ∈ S, (f a s).1 ∈ S
out : ∀ (a : α) (s s' : σ), s ∈ S → s' ∈ S → (f a s).2 = (f a s').2

⊢ ∀ {s : σ} {q : Unit} (a : α), s ∈ S → (f a s).1 ∈ S ∧ (f a s).2 = ((), (f a s₀).2).2
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Restrict.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²² : Semifield R
inst✝²¹ : StarRing R
inst✝²⁰ : MetricSpace R
inst✝¹⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁸ : ContinuousStar R
inst✝¹⁷ : Field S
inst✝¹⁶ : StarRing S
inst✝¹⁵ : MetricSpace S
inst✝¹⁴ : TopologicalRing S
inst✝¹³ : ContinuousStar S
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module S A
inst✝⁸ : IsScalarTower S A A
inst✝⁷ : SMulCommClass S A A
inst✝⁶ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
a : A
φ : C(↑(σₙ S a), S)₀ →⋆ₙₐ[S] A
hφ : ClosedEmbedding ⇑φ
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h_cpct : CompactSpace ↑(σₙ S a)

⊢ ClosedEmbedding ⇑(nonUnitalStarAlgHom φ h)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Restrict.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²² : Semifield R
inst✝²¹ : StarRing R
inst✝²⁰ : MetricSpace R
inst✝¹⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁸ : ContinuousStar R
inst✝¹⁷ : Field S
inst✝¹⁶ : StarRing S
inst✝¹⁵ : MetricSpace S
inst✝¹⁴ : TopologicalRing S
inst✝¹³ : ContinuousStar S
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module S A
inst✝⁸ : IsScalarTower S A A
inst✝⁷ : SMulCommClass S A A
inst✝⁶ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
a : A
φ : C(↑(σₙ S a), S)₀ →⋆ₙₐ[S] A
hφ : ClosedEmbedding ⇑φ
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h_cpct : CompactSpace ↑(σₙ S a)
this : CompactSpace ↑(σₙ R a)

⊢ ClosedEmbedding ⇑(nonUnitalStarAlgHom φ h)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Restrict.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
p q : A → Prop
inst✝²² : Semifield R
inst✝²¹ : StarRing R
inst✝²⁰ : MetricSpace R
inst✝¹⁹ : TopologicalSemiring R
inst✝¹⁸ : ContinuousStar R
inst✝¹⁷ : Field S
inst✝¹⁶ : StarRing S
inst✝¹⁵ : MetricSpace S
inst✝¹⁴ : TopologicalRing S
inst✝¹³ : ContinuousStar S
inst✝¹² : TopologicalSpace A
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : StarRing A
inst✝⁹ : Module S A
inst✝⁸ : IsScalarTower S A A
inst✝⁷ : SMulCommClass S A A
inst✝⁶ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus S q
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R A
inst✝³ : IsScalarTower R S A
inst✝² : StarModule R S
inst✝¹ : ContinuousSMul R S
inst✝ : CompleteSpace R
a : A
φ : C(↑(σₙ S a), S)₀ →⋆ₙₐ[S] A
hφ : ClosedEmbedding ⇑φ
f : C(S, R)
h : QuasispectrumRestricts a ⇑f
halg : UniformEmbedding ⇑(algebraMap R S)
h_cpct : CompactSpace ↑(σₙ S a)
this✝ : CompactSpace ↑(σₙ R a)
this : h.homeomorph.symm 0 = 0

⊢ ClosedEmbedding ⇑(nonUnitalStarAlgHom φ h)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : α → Prop

⊢ (∃ x ∈ ∅, p x) ↔ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Minpoly.lean
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
p : K[X]
μ : K
x : V
h : f.HasEigenvector μ x

⊢ ((aeval f) p) x = eval μ p • x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Minpoly.lean
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
p : K[X]
μ : K
x : V
h : f.HasEigenvector μ x

⊢ ∀ (a : K), ((aeval f) (C a)) x = eval μ (C a) • x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Minpoly.lean
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
p : K[X]
μ : K
x : V
h : f.HasEigenvector μ x

⊢ ∀ (p q : K[X]), ((aeval f) p) x = eval μ p • x → ((aeval f) q) x = eval μ q • x → ((aeval f) (p + q)) x = eval μ (p + q) • x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Minpoly.lean
K : Type v
V : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
p : K[X]
μ : K
x : V
h : f.HasEigenvector μ x

⊢ ∀ (n : ℕ) (a : K), ((aeval f) (C a * X ^ n)) x = eval μ (C a * X ^ n) • x → ((aeval f) (C a * X ^ (n + 1))) x = eval μ (C a * X ^ (n + 1)) • x
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

⊢ (f.pmul g) (m * n) = (f.pmul g) m * (f.pmul g) n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

⊢ f m * f n * (g m * g n) = f m * g m * (f n * g n)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
h : f.SameCycle x y
hx : x ∈ f.support

⊢ ∃ i < (f.cycleOf x).support.card, (f ^ i) x = y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f✝ g : Perm α
x y : α
inst✝³ : DecidableRel f✝.SameCycle
inst✝² : DecidableRel g.SameCycle
f : Perm α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
h : f.SameCycle x y
hx : f x ≠ x

⊢ ∃ i < (f.cycleOf x).support.card, (f ^ i) x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y : C
f : X ⟶ Y
X' : C

⊢ (fun X Y => G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) X X' ≫ __src✝.map f ▷ __src✝.obj X' = __src✝.map (f ▷ X') ≫ (fun X Y => G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) Y X'
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y f : C
X' : X ⟶ Y

⊢ (fun X Y => G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) f X ≫ __src✝.obj f ◁ __src✝.map X' = __src✝.map (f ◁ X') ≫ (fun X Y => G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) f Y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C

⊢ (G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.δ (F.obj (X ⊗ Y)) (F.obj Z)) ≫ (G.map (F.δ X Y) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y)) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom = G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) ≫ (G.map (F.δ X (Y ⊗ Z)) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj (Y ⊗ Z))) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ (G.map (F.δ Y Z) ≫ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C

⊢ G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.δ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.δ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom = G.map (F.map (α_ X Y Z).hom) ≫ G.map (F.δ X (Y ⊗ Z)) ≫ G.map (F.obj X ◁ F.δ Y Z) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C

⊢ G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.δ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.δ (F.obj X ⊗ F.obj Y) (F.obj Z) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y) ▷ G.obj (F.obj Z) ≫ (α_ (G.obj (F.obj X)) (G.obj (F.obj Y)) (G.obj (F.obj Z))).hom = (G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z ≫ F.δ X Y ▷ F.obj Z ≫ (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z)) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Functor.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁴ : MonoidalCategory C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝² : MonoidalCategory D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
inst✝ : MonoidalCategory E
F : OplaxMonoidalFunctor C D
G : OplaxMonoidalFunctor D E
X Y Z : C

⊢ G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z) ≫ G.map (F.δ X Y ▷ F.obj Z) ≫ G.map (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z) = (G.map (F.δ (X ⊗ Y) Z ≫ F.δ X Y ▷ F.obj Z ≫ (α_ (F.obj X) (F.obj Y) (F.obj Z)).hom) ≫ G.δ (F.obj X) (F.obj Y ⊗ F.obj Z)) ≫ G.obj (F.obj X) ◁ G.δ (F.obj Y) (F.obj Z)
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
i j : ι
w : NeWord M i j

⊢ w.toList.getLast? = some ⟨j, w.last⟩
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N
i j : ι
w : NeWord M i j

⊢ ⟨j, w.last⟩ ∈ w.toList.getLast?
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : LinearOrder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass M M (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b c : M
h : a ^ 2 < b * c

⊢ a < max b c
-- Mathlib/Order/Bounds/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s✝ t : Set α
a✝ b : α
inst✝ : IsDirected α fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Set α
a : α

⊢ BddAbove (insert a s) ↔ BddAbove s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Analytic.lean
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E

⊢ AnalyticOn ℂ cexp univ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Analytic.lean
E : Type
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f g : E → ℂ
z : ℂ
x : E
s : Set E

⊢ Differentiable ℂ cexp
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂

⊢ range f.rangeRestrict = ⊤
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
k : ℕ
hk : range (k + 1) \ {0} = image Nat.succ (range k)

⊢ range (k + 1 + 1) \ {0} = image Nat.succ (range (k + 1))
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
k : ℕ
hk : range (k + 1) \ {0} = image Nat.succ (range k)

⊢ range (k + 1 + 1) \ {0} = image Nat.succ (insert k (range k))
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
k : ℕ
hk : range (k + 1) \ {0} = image Nat.succ (range k)

⊢ k + 1 ∉ {0}
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/StructuredArrow.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
T T' T'' : D
Y Y' Y'' : C
S✝ S' : C ⥤ D
A : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} A
B : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} B
F : B ⥤ C
G : C ⥤ D
S : C
X✝ Y✝ : CostructuredArrow F S
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (F ⋙ G).map f.left ≫ ((fun X => mk (G.map X.hom)) Y✝).hom = ((fun X => mk (G.map X.hom)) X✝).hom
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K

⊢ root (X ^ n - C a) ^ n = (of (X ^ n - C a)) a
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : Group G
inst✝² : AddGroup A
s : Set G
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulDistribMulAction α G
H : Subgroup G
h : G
hh : h ∈ H
this : {x | x ∈ H} = ↑H

⊢ ↑H * {h} = ↑H
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ : OuterMeasure α
ι : Type u_2
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α

⊢ (sum fun i => (m i).trim) s ≤ (sum m).trim s
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Induced.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
m✝ : OuterMeasure α
ι : Type u_2
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α

⊢ ∀ (i : Set α), s ⊆ i → MeasurableSet i → ∑' (i : ι), ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ t), ⨅ (_ : MeasurableSet t), (m i) t ≤ ∑' (i_3 : ι), (m i_3) i
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F

⊢ o.volumeForm.measure (parallelepiped ⇑b) = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e : ι ≃ Fin n

⊢ o.volumeForm.measure (parallelepiped ⇑b) = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
b : OrthonormalBasis ι ℝ F
e : ι ≃ Fin n
A : ⇑b = ⇑(b.reindex e) ∘ ⇑e

⊢ o.volumeForm.measure (parallelepiped ⇑b) = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Torsion.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : Monoid G

⊢ ¬IsTorsion G ↔ ∃ g, ¬IsOfFinOrder g