ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : Countable E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
this : {x | f x = g x} = ⋃ j, {x | f x = j} ∩ {x | g x = j}
j : E

⊢ MeasurableSet {x | g x = j}
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A✝ : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Semiring A✝
inst✝⁹ : Algebra R A✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
b✝ : Basis ι R M
inst✝⁶ : Fintype ι
ι' : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ι'
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R N
ij : ι × ι'

⊢ baseChange A ((b'.linearMap b) ij) = ((basis A b').linearMap (basis A b)) ij
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A✝ : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Semiring A✝
inst✝⁹ : Algebra R A✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
b✝ : Basis ι R M
inst✝⁶ : Fintype ι
ι' : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ι'
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R N
ij : ι × ι'

⊢ ∀ (i : ι'), (baseChange A ((b'.linearMap b) ij)) ((basis A b') i) = (((basis A b').linearMap (basis A b)) ij) ((basis A b') i)
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A✝ : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Semiring A✝
inst✝⁹ : Algebra R A✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
b✝ : Basis ι R M
inst✝⁶ : Fintype ι
ι' : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ι'
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R N
ij : ι × ι'
k : ι'

⊢ (baseChange A ((b'.linearMap b) ij)) ((basis A b') k) = (((basis A b').linearMap (basis A b)) ij) ((basis A b') k)
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A✝ : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Semiring A✝
inst✝⁹ : Algebra R A✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
b✝ : Basis ι R M
inst✝⁶ : Fintype ι
ι' : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ι'
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R N
ij : ι × ι'
k : ι'

⊢ 1 ⊗ₜ[R] ((b'.linearMap b) ij) (b' k) = (((basis A b').linearMap (basis A b)) ij) ((basis A b') k)
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A✝ : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : Semiring A✝
inst✝⁹ : Algebra R A✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
b✝ : Basis ι R M
inst✝⁶ : Fintype ι
ι' : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : Fintype ι'
inst✝⁴ : DecidableEq ι'
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
A : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
b : Basis ι R M
b' : Basis ι' R N
ij : ι × ι'
k : ι'

⊢ (1 ⊗ₜ[R] if ij.2 = k then b ij.1 else 0) = if ij.2 = k then 1 ⊗ₜ[R] b ij.1 else 0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : (pos a * b).natSize ≤ n.succ

⊢ ↑(gcdAux n.succ (pos a) b) = (↑(pos a)).gcd ↑b
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : (pos a * b).natSize ≤ n.succ

⊢ ↑(gcdAux n (b % pos a) (pos a)) = (↑a).gcd ↑b
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : (pos a * b).natSize ≤ n.succ

⊢ (↑b % ↑(pos a)).gcd ↑(pos a) = (↑b % ↑a).gcd ↑a
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : (pos a * b).natSize ≤ n.succ

⊢ b % pos a ≤ pos a
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : (pos a * b).natSize ≤ n.succ

⊢ (b % pos a * pos a).natSize ≤ n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * ↑b < 2 ^ n.succ

⊢ ↑(b % pos a) * ↑(pos a) < 2 ^ n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * ↑b < 2 ^ n.succ

⊢ ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a)) < 2 ^ n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a) + ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a))) < 2 ^ n * 2

⊢ ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a)) < 2 ^ n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a) + ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a))) < 2 ^ n * 2

⊢ ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a)) * 2 ≤ ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a) + ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a)))
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a) + ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a))) < 2 ^ n * 2

⊢ ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a)) + ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a)) ≤ ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a)) + ↑(pos a) * (↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a)))
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a) + ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a))) < 2 ^ n * 2

⊢ ↑a ≤ ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a))
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a) + ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a))) < 2 ^ n * 2

⊢ 1 ≤ ↑b / ↑a
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
n : ℕ
a : PosNum
b : Num
ab : pos a ≤ b
h : ↑(pos a) * (↑b % ↑(pos a) + ↑(pos a) * (↑b / ↑(pos a))) < 2 ^ n * 2

⊢ ↑a ≤ ↑b
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''

⊢ CotangentSpace.map (Hom.id P) = LinearMap.id
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''

⊢ ∀ (i : P.vars), (CotangentSpace.map (Hom.id P)) (P.cotangentSpaceBasis i) = LinearMap.id (P.cotangentSpaceBasis i)
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
i : P.vars

⊢ (CotangentSpace.map (Hom.id P)) (P.cotangentSpaceBasis i) = LinearMap.id (P.cotangentSpaceBasis i)
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/CotangentComplex.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
P : Generators R S
R' : Type u'
S' : Type v'
inst✝²² : CommRing R'
inst✝²¹ : CommRing S'
inst✝²⁰ : Algebra R' S'
P' : Generators R' S'
inst✝¹⁹ : Algebra R R'
inst✝¹⁸ : Algebra S S'
inst✝¹⁷ : Algebra R S'
inst✝¹⁶ : IsScalarTower R R' S'
inst✝¹⁵ : IsScalarTower R S S'
R'' : Type u''
S'' : Type v''
inst✝¹⁴ : CommRing R''
inst✝¹³ : CommRing S''
inst✝¹² : Algebra R'' S''
P'' : Generators R'' S''
inst✝¹¹ : Algebra R R''
inst✝¹⁰ : Algebra S S''
inst✝⁹ : Algebra R S''
inst✝⁸ : IsScalarTower R R'' S''
inst✝⁷ : IsScalarTower R S S''
inst✝⁶ : Algebra R' R''
inst✝⁵ : Algebra S' S''
inst✝⁴ : Algebra R' S''
inst✝³ : IsScalarTower R' R'' S''
inst✝² : IsScalarTower R' S' S''
inst✝¹ : IsScalarTower R R' R''
inst✝ : IsScalarTower S S' S''
i : P.vars

⊢ 1 ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) ((Hom.id P).val i) = LinearMap.id (1 ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) (X i))
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
s : Set α
M : Type w'
inst✝² : Nonempty M
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : M ⊨ T
h : lift.{w', w} #↑s ≤ lift.{w, w'} #M
this : Inhabited M

⊢ ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory s).IsSatisfiable
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
s : Set α
M : Type w'
inst✝² : Nonempty M
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : M ⊨ T
h : Nonempty (↑s ↪ M)
this : Inhabited M

⊢ ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory s).IsSatisfiable
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
s : Set α
M : Type w'
inst✝² : Nonempty M
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : M ⊨ T
h : Nonempty (↑s ↪ M)
this✝ : Inhabited M
this : (constantsOn α).Structure M := constantsOn.structure (Function.extend Subtype.val (⇑h.some) default)

⊢ ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory s).IsSatisfiable
-- Mathlib/ModelTheory/Satisfiability.lean
L : Language
T✝ : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' T : L.Theory
s : Set α
M : Type w'
inst✝² : Nonempty M
inst✝¹ : L.Structure M
inst✝ : M ⊨ T
h : Nonempty (↑s ↪ M)
this✝¹ : Inhabited M
this✝ : (constantsOn α).Structure M := constantsOn.structure (Function.extend Subtype.val (⇑h.some) default)
this : M ⊨ (L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory s

⊢ ((L.lhomWithConstants α).onTheory T ∪ L.distinctConstantsTheory s).IsSatisfiable
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s μ

⊢ ∫⁻ (a : α), s.indicator f a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
f g h : Perm α
x : α
hfx : f x = x
n : ℕ

⊢ (f ^ (n + 1)) x = x
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
L : x.LeftMoves ≃ y.LeftMoves
R : x.RightMoves ≃ y.RightMoves
hl : ∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ≈ y.moveLeft (L i)
hr : ∀ (j : x.RightMoves), x.moveRight j ≈ y.moveRight (R j)

⊢ x ≈ y
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
L : x.LeftMoves ≃ y.LeftMoves
R : x.RightMoves ≃ y.RightMoves
hl : ∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ≈ y.moveLeft (L i)
hr : ∀ (j : x.RightMoves), x.moveRight j ≈ y.moveRight (R j)

⊢ (∀ (i : x.LeftMoves), (∃ i', x.moveLeft i ≤ y.moveLeft i') ∨ ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ y) ∧ ∀ (j : y.RightMoves), (∃ i, x ≤ (y.moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', x.moveRight j' ≤ y.moveRight j
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x y : PGame
L : x.LeftMoves ≃ y.LeftMoves
R : x.RightMoves ≃ y.RightMoves
hl : ∀ (i : x.LeftMoves), x.moveLeft i ≈ y.moveLeft (L i)
hr : ∀ (j : x.RightMoves), x.moveRight j ≈ y.moveRight (R j)

⊢ (∀ (i : y.LeftMoves), (∃ i', y.moveLeft i ≤ x.moveLeft i') ∨ ∃ j, (y.moveLeft i).moveRight j ≤ x) ∧ ∀ (j : x.RightMoves), (∃ i, y ≤ (x.moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', y.moveRight j' ≤ x.moveRight j
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI✝ : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hI : ¬I = 0

⊢ I ≤ dual A K J ↔ I * J ≤ dual A K 1
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Derivation.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : Module (MvPolynomial σ R) A
D : Derivation R (MvPolynomial σ R) A
a : R
f : MvPolynomial σ R
this : C a • D f = D (C a * f)

⊢ C a • D f = a • D f
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ici x)

⊢ Measurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ici x)

⊢ ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Iio x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : BorelSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace δ
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
f : δ → α
hf : ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ici x)

⊢ ∀ (x : α), MeasurableSet (f ⁻¹' Ici x)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ f : Perm α

⊢ f.cycleFactorsFinset = {f} ↔ f.IsCycle
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α
c : ℝ≥0

⊢ edist x y ≤ ↑c ↔ nndist x y ≤ c
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/TStructure/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
A : C
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁

⊢ ∃ X Y, ∃ (_ : t.LE n₀ X) (_ : t.GE n₁ Y), ∃ f g h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/TStructure/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
A : C
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
hX : t.LE 0 X
hY : t.GE 1 Y
f : X ⟶ (shiftFunctor C n₀).obj A
g : (shiftFunctor C n₀).obj A ⟶ Y
h : Y ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
mem : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles

⊢ ∃ X Y, ∃ (_ : t.LE n₀ X) (_ : t.GE n₁ Y), ∃ f g h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/TStructure/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
A : C
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
hX : t.LE 0 X
hY : t.GE 1 Y
f : X ⟶ (shiftFunctor C n₀).obj A
g : (shiftFunctor C n₀).obj A ⟶ Y
h : Y ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
mem : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
T : Triangle C := (Triangle.shiftFunctor C (-n₀)).obj (Triangle.mk f g h)
e : ((shiftEquiv C n₀).functor ⋙ (shiftEquiv C n₀).inverse).obj A ≅ (𝟭 C).obj A := (shiftEquiv C n₀).unitIso.symm.app A

⊢ ∃ X Y, ∃ (_ : t.LE n₀ X) (_ : t.GE n₁ Y), ∃ f g h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/TStructure/Basic.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
t : TStructure C
A : C
n₀ n₁ : ℤ
h✝ : n₀ + 1 = n₁
X Y : C
hX : t.LE 0 X
hY : t.GE 1 Y
f : X ⟶ (shiftFunctor C n₀).obj A
g : (shiftFunctor C n₀).obj A ⟶ Y
h : Y ⟶ (shiftFunctor C 1).obj X
mem : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
T : Triangle C := (Triangle.shiftFunctor C (-n₀)).obj (Triangle.mk f g h)
e : ((shiftEquiv C n₀).functor ⋙ (shiftEquiv C n₀).inverse).obj A ≅ (𝟭 C).obj A := (shiftEquiv C n₀).unitIso.symm.app A
hT' : Triangle.mk (T.mor₁ ≫ e.hom) (e.inv ≫ T.mor₂) T.mor₃ ∈ distinguishedTriangles

⊢ ∃ X Y, ∃ (_ : t.LE n₀ X) (_ : t.GE n₁ Y), ∃ f g h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
hs : s.Finite

⊢ span R ↑hs.toFinset = span R s
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : Filter X

⊢ Disjoint f (cocompact X) ↔ ∃ K ∈ f, IsCompact K
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean

⊢ (fun n => ↑(Nat.fib n)) = fun n => (φ ^ n - ψ ^ n) / √5
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean

⊢ Set.EqOn (fun n => ↑(Nat.fib n)) (fun n => (φ ^ n - ψ ^ n) / √5) ↑(Finset.range fibRec.order)
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean

⊢ fibRec.IsSolution fun n => ↑(Nat.fib n)
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean

⊢ fibRec.IsSolution fun n => (φ ^ n - ψ ^ n) / √5
-- Mathlib/Order/Category/BoolAlg.lean
α β : BoolAlg
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget BoolAlg).obj α

⊢ ((let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝
-- Mathlib/Order/Category/BoolAlg.lean
α β : BoolAlg
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget BoolAlg).obj β

⊢ ((let __src := { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) ≫ let __src := { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }; { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯, map_bot' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
F_inf : IsEmpty (Fintype F)

⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : FiniteDimensional F E
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E
F_finite : Fintype F

⊢ ∃ α, F⟮α⟯ = ⊤
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/OpensLeCover.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U

⊢ F.IsSheaf ↔ F.IsSheafOpensLeCover
-- Mathlib/Topology/Sheaves/SheafCondition/OpensLeCover.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : TopCat
F : Presheaf C X
ι : Type w
U : ι → Opens ↑X
Y : Opens ↑X
hY : Y = iSup U

⊢ (∀ ⦃X_1 : Opens ↑X⦄, ∀ S ∈ (Opens.grothendieckTopology ↑X).sieves X_1, Nonempty (IsLimit (Functor.mapCone F S.arrows.cocone.op))) ↔ F.IsSheafOpensLeCover
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R✝ r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
R : α → α → Prop
a b : α
t : List α

⊢ Chain' R (a :: b :: t) ↔ ∀ (i : ℕ) (h : i < (a :: b :: t).length - 1), R ((a :: b :: t).get ⟨i, ⋯⟩) ((a :: b :: t).get ⟨i + 1, ⋯⟩)
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R✝ r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
R : α → α → Prop
a b : α
t : List α

⊢ (R a b ∧ ∀ (i : ℕ) (h : i < (b :: t).length - 1), R ((b :: t).get ⟨i, ⋯⟩) ((b :: t).get ⟨i + 1, ⋯⟩)) ↔ (∀ (h : 0 < (a :: b :: t).length - 1), R ((a :: b :: t).get ⟨0, ⋯⟩) ((a :: b :: t).get ⟨0 + 1, ⋯⟩)) ∧ ∀ (n : ℕ) (h : n + 1 < (a :: b :: t).length - 1), R ((a :: b :: t).get ⟨n + 1, ⋯⟩) ((a :: b :: t).get ⟨n + 1 + 1, ⋯⟩)
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R✝ r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
R : α → α → Prop
a b : α
t : List α

⊢ R a b → ((∀ (i : ℕ) (h : i < t.length), R ((b :: t).get ⟨i, ⋯⟩) (t.get ⟨i, ⋯⟩)) ↔ ∀ (n : ℕ) (h : n + 1 < t.length + 1), R ((b :: t).get ⟨n, ⋯⟩) (t.get ⟨n, ⋯⟩))
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R✝ r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
R : α → α → Prop
a b : α
t : List α

⊢ R a b → ((∀ (i : ℕ) (h : i < t.length), R (b :: t)[i] t[i]) ↔ ∀ (n : ℕ) (h : n + 1 < t.length + 1), R (b :: t)[n] t[n])
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α✝ : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α✝
B : Set (Set α✝)
s✝ : Set α✝
ι : Type u_2
inst✝¹ : Countable ι
α : ι → Type u_3
s : (i : ι) → Set (α i)
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (α i)
h : ∀ (i : ι), IsSeparable (s i)

⊢ IsSeparable {f | ∀ (i : ι), f i ∈ s i}
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s✝ : Set α
inst✝¹ : Bornology α
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set α

⊢ IsBounded (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), IsBounded (s i)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
k : ℕ
IH : multichoose 2 k = k + 1

⊢ multichoose 1 (k + 1) + (k + 1) = k + 1 + 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝² : DivisionSemiring α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
h : a₂ ≠ 0
H : HasSum (fun i => f i * a₂) (a₁ * a₂)

⊢ HasSum f a₁
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
V₃ : Type u_6
P₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Ring k
inst✝⁸ : AddCommGroup V₁
inst✝⁷ : Module k V₁
inst✝⁶ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝⁵ : AddCommGroup V₂
inst✝⁴ : Module k V₂
inst✝³ : AffineSpace V₂ P₂
inst✝² : AddCommGroup V₃
inst✝¹ : Module k V₃
inst✝ : AffineSpace V₃ P₃
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁

⊢ Submodule.map f.linear (vectorSpan k s) = vectorSpan k (⇑f '' s)
-- Mathlib/Computability/EpsilonNFA.lean
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S : Set σ
x : List α
s : σ
a : α
M : NFA α σ
start : Set σ

⊢ M.toεNFA.evalFrom start = M.evalFrom start
-- Mathlib/Computability/EpsilonNFA.lean
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S : Set σ
x : List α
s : σ
a : α
M : NFA α σ
start : Set σ

⊢ List.foldl M.toεNFA.stepSet start = List.foldl M.stepSet start
-- Mathlib/Computability/EpsilonNFA.lean
α : Type u
σ σ' : Type v
M✝ : εNFA α σ
S✝ : Set σ
x : List α
s✝ : σ
a : α
M : NFA α σ
start S : Set σ
s : α
x✝ : σ

⊢ x✝ ∈ M.toεNFA.stepSet S s ↔ x✝ ∈ M.stepSet S s