ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0 : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
h : ⇑f = (σₙ R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g)

⊢ (cfcₙHom ha) f = cfcₙ (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0 : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
h : ⇑f = (σₙ R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g)
hg : ContinuousOn (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) (σₙ R a)

⊢ (cfcₙHom ha) f = cfcₙ (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
h : ⇑f = (σₙ R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g)
hg : ContinuousOn (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) (σₙ R a)
hg0 : Function.extend Subtype.val (⇑f) g 0 = 0

⊢ (cfcₙHom ha) f = cfcₙ (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f✝ g✝ : R → R
a✝ : A
hf : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝
hg✝ : autoParam (ContinuousOn g✝ (σₙ R a✝)) _auto✝
hg0✝ : autoParam (g✝ 0 = 0) _auto✝
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
a : A
g : R → R
ha : p a
f : C(↑(σₙ R a), R)₀
h : ⇑f = (σₙ R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g)
hg : ContinuousOn (Function.extend Subtype.val (⇑f) g) (σₙ R a)
hg0 : Function.extend Subtype.val (⇑f) g 0 = 0

⊢ (cfcₙHom ha) f = (cfcₙHom ha) { toFun := (σₙ R a).restrict (Function.extend Subtype.val (⇑f) g), continuous_toFun := ⋯, map_zero' := hg0 }
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/NormedSpace.lean
E : Type u_1
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : MeasurableSpace E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
g : ℝ → F
a : ℝ

⊢ ∫ (x : ℝ), g (x * a) = |a⁻¹| • ∫ (y : ℝ), g y
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s t : Set α
f✝ g : α → G
a : α
h : s ⊆ t
f : α → G

⊢ (t \ s).mulIndicator f * s.mulIndicator f = t.mulIndicator f
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s t : Set α
f✝ g : α → G
a : α
h : s ⊆ t
f : α → G

⊢ Disjoint (t \ s) s
-- Mathlib/Order/WellFoundedSet.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
s t : Set α
a : α

⊢ (insert a s).IsPWO ↔ s.IsPWO
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
hf : Integrable f μ

⊢ Tendsto (fun A => ∫ (x : α), truncation f A x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
hf : Integrable f μ

⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (truncation f n) μ
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
hf : Integrable f μ

⊢ ∀ᶠ (n : ℝ) in atTop, ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖truncation f n a‖ ≤ (fun x => |f x|) a
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
hf : Integrable f μ

⊢ Integrable (fun x => |f x|) μ
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
hf : Integrable f μ

⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => truncation f n a) atTop (𝓝 (f a))
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i

⊢ C x₁ hx₁
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i

⊢ ∃ (x : x₁ ∈ ⨆ i, S i), C x₁ x
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
i : ι
x₂ : M
hx₂ : x₂ ∈ S i

⊢ (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') x₂
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
ι : Sort u_1
M : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
x₃ y : M

⊢ (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') x₃ → (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') y → (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') (x₃ * y)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I : Ideal α
m n : ℕ
ha : a ^ m ∈ I
hb : b ^ n ∈ I

⊢ m + n ≤ m + n - 1 + 1
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/NatAntidiagonal.lean
k : ℕ
ih : ∀ (n : ℕ), (antidiagonalTuple k n).Nodup
n : ℕ

⊢ (antidiagonalTuple (k + 1) n).Nodup
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/NatAntidiagonal.lean
k : ℕ
ih : ∀ (n : ℕ), (antidiagonalTuple k n).Nodup
n : ℕ

⊢ (∀ x ∈ antidiagonal n, (map (fun x_1 => Fin.cons x.1 x_1) (antidiagonalTuple k x.2)).Nodup) ∧ Pairwise (fun a b => (map (fun x => Fin.cons a.1 x) (antidiagonalTuple k a.2)).Disjoint (map (fun x => Fin.cons b.1 x) (antidiagonalTuple k b.2))) (antidiagonal n)
-- Mathlib/Topology/Algebra/MulAction.lean
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α✝ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : TopologicalSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace Y
inst✝¹⁰ : SMul M X
inst✝⁹ : ContinuousSMul M X
R : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁸ : FunLike F α β
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : AddCommMonoid β
inst✝⁴ : Module R α
inst✝³ : Module R β
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : LinearMapClass F R α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousSMul R β
f : F
tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ

⊢ ContinuousSMul R α
-- Mathlib/Topology/Algebra/MulAction.lean
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α✝ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : TopologicalSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace Y
inst✝¹⁰ : SMul M X
inst✝⁹ : ContinuousSMul M X
R : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁸ : FunLike F α β
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : AddCommMonoid β
inst✝⁴ : Module R α
inst✝³ : Module R β
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : LinearMapClass F R α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousSMul R β
f : F
tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ

⊢ Continuous (⇑f ∘ fun p => p.1 • p.2)
-- Mathlib/Topology/Algebra/MulAction.lean
M : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α✝ : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : TopologicalSpace X
inst✝¹¹ : TopologicalSpace Y
inst✝¹⁰ : SMul M X
inst✝⁹ : ContinuousSMul M X
R : Type u_5
α : Type u_6
β : Type u_7
F : Type u_8
inst✝⁸ : FunLike F α β
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : AddCommMonoid β
inst✝⁴ : Module R α
inst✝³ : Module R β
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : LinearMapClass F R α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousSMul R β
f : F
tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ

⊢ Continuous fun x => x.1 • f x.2
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y

⊢ x ⤳ y ∧ y ⤳ x ↔ x ∈ closure {y} ∧ y ∈ closure {x}
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
s : Set M
inst✝ : Add A
t : Set A
S✝ : Subsemigroup M
ι : Sort u_4
S : ι → Subsemigroup M

⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
-- Mathlib/Data/List/OfFn.lean
α : Type u
R : α → α → Prop
n : ℕ
f : Fin n → α

⊢ Pairwise R (ofFn f) ↔ ∀ ⦃i j : Fin n⦄, i < j → R (f i) (f j)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α

⊢ (s.singularPart μ).totalVariation = s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ + s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s : SignedMeasure α
μ : Measure α
this : (s.singularPart μ).toJordanDecomposition = JordanDecomposition.mk (s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ) (s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ) ⋯

⊢ (s.singularPart μ).totalVariation = s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ + s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ
-- Mathlib/Analysis/Calculus/IteratedDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
n : ℕ
f : 𝕜 → F
s : Set 𝕜
x : 𝕜

⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f s = ⇑(ContinuousMultilinearMap.piFieldEquiv 𝕜 (Fin n) F) ∘ iteratedDerivWithin n f s
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
ls : ℕ
ll : Ordnode α
lx : α
lr : Ordnode α
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr t : Ordnode α
hl : Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂
hr : Valid' o₁ (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
h : delta * ls < rs
v : Valid' o₁ t ↑rx
e : t.size = ls + rl.size

⊢ Valid' o₁ (t.balanceL rx rr) o₂ ∧ (t.balanceL rx rr).size = ls + rs
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
ls : ℕ
ll : Ordnode α
lx : α
lr : Ordnode α
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr t : Ordnode α
hl : Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂
hr : Valid' o₁ (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
h : delta * ls < rs
v : Valid' o₁ t ↑rx
e : t.size = ll.size + lr.size + 1 + rl.size

⊢ Valid' o₁ (t.balanceL rx rr) o₂ ∧ (t.balanceL rx rr).size = ls + rs
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
ls : ℕ
ll : Ordnode α
lx : α
lr : Ordnode α
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr t : Ordnode α
hl : Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂
hr : Valid' o₁ (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
h : 3 * (ll.size + lr.size + 1) < rl.size + rr.size + 1
v : Valid' o₁ t ↑rx
e : t.size = ll.size + lr.size + 1 + rl.size

⊢ Valid' o₁ (t.balanceL rx rr) o₂ ∧ (t.balanceL rx rr).size = ls + rs
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
ls : ℕ
ll : Ordnode α
lx : α
lr : Ordnode α
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr t : Ordnode α
hl : Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂
hr : Valid' o₁ (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
h : 3 * (ll.size + lr.size + 1) < rl.size + rr.size + 1
v : Valid' o₁ t ↑rx
e : t.size = ll.size + lr.size + 1 + rl.size
H : rl.size + rr.size ≤ 1

⊢ Valid' o₁ (t.balanceL rx rr) o₂ ∧ (t.balanceL rx rr).size = ls + rs
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
ls : ℕ
ll : Ordnode α
lx : α
lr : Ordnode α
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr t : Ordnode α
hl : Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂
hr : Valid' o₁ (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
h : 3 * (ll.size + lr.size + 1) < rl.size + rr.size + 1
v : Valid' o₁ t ↑rx
e : t.size = ll.size + lr.size + 1 + rl.size
hr₁ : rl.size ≤ delta * rr.size
hr₂ : rr.size ≤ delta * rl.size

⊢ Valid' o₁ (t.balanceL rx rr) o₂ ∧ (t.balanceL rx rr).size = ls + rs
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
Y Z : C
g : Y ⟶ Z

⊢ ∃ X f h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
Y Z : C
g : Y ⟶ Z
X' : C
f' : Z ⟶ X'
g' : X' ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Y
mem : Triangle.mk g f' g' ∈ distinguishedTriangles

⊢ ∃ X f h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
hb₁ : IsSelfAdjoint b
ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
hb₂ : SpectrumRestricts b ⇑ContinuousMap.realToNNReal

⊢ SpectrumRestricts (a + b) ⇑ContinuousMap.realToNNReal
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
hb₁ : IsSelfAdjoint b
ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
hb₂ : SpectrumRestricts b ⇑ContinuousMap.realToNNReal

⊢ ‖(algebraMap ℝ A) ↑‖a‖₊ - a + ((algebraMap ℝ A) ↑‖b‖₊ - b)‖₊ ≤ ‖a‖₊ + ‖b‖₊
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
hb₁ : IsSelfAdjoint b
ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
hb₂ : SpectrumRestricts b ⇑ContinuousMap.realToNNReal

⊢ ‖(algebraMap ℝ A) ↑‖a‖₊ - a‖₊ + ‖(algebraMap ℝ A) ↑‖b‖₊ - b‖₊ ≤ ‖a‖₊ + ‖b‖₊
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
hb₁ : IsSelfAdjoint b
ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
hb₂ : SpectrumRestricts b ⇑ContinuousMap.realToNNReal

⊢ ‖(algebraMap ℝ A) ↑‖a‖₊ - a‖₊ ≤ ‖a‖₊
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Instances.lean
A : Type u_1
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : CstarRing A
inst✝² : CompleteSpace A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝ : StarModule ℂ A
a b : A
ha₁ : IsSelfAdjoint a
hb₁ : IsSelfAdjoint b
ha₂ : SpectrumRestricts a ⇑ContinuousMap.realToNNReal
hb₂ : SpectrumRestricts b ⇑ContinuousMap.realToNNReal

⊢ ‖(algebraMap ℝ A) ↑‖b‖₊ - b‖₊ ≤ ‖b‖₊
-- Mathlib/Data/Complex/Module.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra ℝ A
F : ℂ →ₐ[ℝ] A

⊢ F I * F I = -1
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
v : Fin n → α
x✝ : Fin n

⊢ vecAppend ⋯ ![] v x✝ = v x✝
-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/Group/Multiset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid α
m : Multiset α
a : α
l : List α

⊢ prod ⟦l⟧ = 1 ↔ ∀ x ∈ ⟦l⟧, x = 1
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
f : Filtration ℕ m
u : ℕ → Ω → β
τ π : Ω → ℕ
inst✝ : AddCommMonoid β
n : ℕ
this : {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) = {a | n + 1 ≤ τ a}.indicator (u n) + {a | τ a = n}.indicator (u n)

⊢ stoppedProcess u τ n = {a | n + 1 ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), {a | τ a = i}.indicator (u i)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1

⊢ ⟪x, y⟫_ℝ < 1 ↔ x ≠ y
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s✝ t : Set α
a : α
s : LowerSet α

⊢ Set.Iic 1 * ↑s ⊆ ↑s
-- Mathlib/Algebra/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s✝ t : Set α
a : α
s : LowerSet α

⊢ ⋃ a ∈ Set.Iic 1, a • ↑s ⊆ ↑s
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n m : A
h : n + m = 0
X : C

⊢ m + n = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddGroup A
inst✝ : HasShift C A
X✝ Y : C
f : X✝ ⟶ Y
n m : A
h : n + m = 0
X : C

⊢ (shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorAdd' C n m 0 h).inv.app X ≫ (shiftFunctorZero C A).hom.app X) = (shiftFunctorAdd' C m n 0 ⋯).inv.app ((shiftFunctor C n).obj X) ≫ (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X)
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ

⊢ (∀ (n : ℕ), f ↑n = g ↑n) ↔ f = g
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
h : ∀ (n : ℕ), f ↑n = g ↑n

⊢ f = g
-- Mathlib/NumberTheory/Ostrowski.lean
f g : MulRingNorm ℚ
h : ∀ (n : ℕ), f ↑n = g ↑n
z : ℚ

⊢ f z = g z
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G

⊢ g ∈ closure (Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G

⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ

⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}

⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})

⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g

⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
G : Type u_7
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup G
hp : Fact (1 ≤ p)
hp_ne_top : p ≠ ⊤
g : { g // 0 ≤ g }
this✝¹ : MeasurableSpace G := borel G
this✝ : BorelSpace G
hg_memℒp : Memℒp (↑↑↑g) p μ
zero_mem : 0 ∈ (Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}
this : SeparableSpace ↑((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y})
g_meas : Measurable ↑↑↑g
x : ℕ → α →ₛ G := fun n => SimpleFunc.approxOn (↑↑↑g) g_meas ((Set.range ↑↑↑g ∪ {0}) ∩ {y | 0 ≤ y}) 0 zero_mem n

⊢ ∃ x, (∀ (n : ℕ), x n ∈ Set.range (coeSimpleFuncNonnegToLpNonneg p μ G)) ∧ Tendsto x atTop (𝓝 g)