ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp₁ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_5
l : Filter β
t : β → Set α
ht : ∀ (b : β), MeasurableSet (t b)
hμt : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤
hp : p ≠ ⊤
h : Tendsto (fun b => μ (t b ∆ s)) l (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun b => dist (indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c) (indicatorConstLp p hs hμs c)) l (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp₁ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_5
l : Filter β
t : β → Set α
ht : ∀ (b : β), MeasurableSet (t b)
hμt : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤
hp : p ≠ ⊤
h : Tendsto (fun b => μ (t b ∆ s)) l (𝓝 0)
hp₀ : p ≠ 0

⊢ Tendsto (fun b => dist (indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c) (indicatorConstLp p hs hμs c)) l (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp₁ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_5
l : Filter β
t : β → Set α
ht : ∀ (b : β), MeasurableSet (t b)
hμt : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤
hp : p ≠ ⊤
h : Tendsto (fun b => μ (t b ∆ s)) l (𝓝 0)
hp₀ : p ≠ 0

⊢ Tendsto (fun b => ‖c‖ * (μ (t b ∆ s)).toReal ^ (1 / p.toReal)) l (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp₁ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_5
l : Filter β
t : β → Set α
ht : ∀ (b : β), MeasurableSet (t b)
hμt : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤
hp : p ≠ ⊤
h : Tendsto (fun b => μ (t b ∆ s)) l (𝓝 0)
hp₀ : p ≠ 0

⊢ 0 = ‖c‖ * ENNReal.toReal 0 ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : E
hp₁ : Fact (1 ≤ p)
β : Type u_5
l : Filter β
t : β → Set α
ht : ∀ (b : β), MeasurableSet (t b)
hμt : ∀ (b : β), μ (t b) ≠ ⊤
hp : p ≠ ⊤
h : Tendsto (fun b => μ (t b ∆ s)) l (𝓝 0)
hp₀ : p ≠ 0

⊢ ENNReal.toReal 0 ≠ 0 ∨ 0 ≤ 1 / p.toReal
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ

⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (⊤, ↑a)
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a : ℝ

⊢ ∀ (x : ℝ), ∀ᶠ (a : EReal × EReal) in 𝓝 (⊤, ↑a), ↑x < a.1 + a.2
-- Mathlib/Topology/Instances/EReal.lean
α : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α
a r : ℝ
x✝ : EReal × EReal
h : ↑(r - (a - 1)) < x✝.1 ∧ ↑(a - 1) < x✝.2

⊢ ↑r < x✝.1 + x✝.2
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
q : ℚ

⊢ ennrealRatEmbed (Encodable.encode q) = ↑(↑q).toNNReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
q : ℚ

⊢ ENNReal.ofReal ↑((some q).getD 0) = ↑(↑q).toNNReal
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Partition.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v : V

⊢ P.partOfVertex v ∈ P.parts
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Partition.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
P : G.Partition
v : V
h : Exists.choose ⋯ ∈ P.parts

⊢ P.partOfVertex v ∈ P.parts
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/HomEquiv.lean
C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_9, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.42595, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.42599, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.42603, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{?u.42611, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.42615, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y

⊢ (homEquiv W L₁ L₁) f = f
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n

⊢ ∃ P, map (Int.castRingHom K) P = cyclotomic' n K ∧ P.degree = (cyclotomic' n K).degree ∧ P.Monic
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
n : ℕ
h : IsPrimitiveRoot ζ n

⊢ cyclotomic' n K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k

⊢ cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
ζ : K
ihk : ∀ m < 0, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
h : IsPrimitiveRoot ζ 0

⊢ cyclotomic' 0 K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0

⊢ cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K

⊢ cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic

⊢ cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
Bint : B ∈ lifts (Int.castRingHom K)

⊢ cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
Bint : ∃ q, map (Int.castRingHom K) q = B ∧ q.degree = B.degree ∧ q.Monic

⊢ cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
B₁ : ℤ[X]
hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B
left✝ : B₁.degree = B.degree
hB₁mo : B₁.Monic
Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁
huniq : 0 + B * cyclotomic' k K = X ^ k - 1 ∧ degree 0 < B.degree

⊢ cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
B₁ : ℤ[X]
hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B
left✝ : B₁.degree = B.degree
hB₁mo : B₁.Monic
Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁
huniq : (X ^ k - 1) /ₘ B = cyclotomic' k K ∧ (X ^ k - 1) %ₘ B = 0

⊢ cyclotomic' k K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
B₁ : ℤ[X]
hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B
left✝ : B₁.degree = B.degree
hB₁mo : B₁.Monic
Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁
huniq : (X ^ k - 1) /ₘ B = cyclotomic' k K ∧ (X ^ k - 1) %ₘ B = 0

⊢ ∃ x, (mapRingHom (Int.castRingHom K)) x = cyclotomic' k K
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
B₁ : ℤ[X]
hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B
left✝ : B₁.degree = B.degree
hB₁mo : B₁.Monic
Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁
huniq : (X ^ k - 1) /ₘ B = cyclotomic' k K ∧ (X ^ k - 1) %ₘ B = 0

⊢ (mapRingHom (Int.castRingHom K)) Q₁ = cyclotomic' k K
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
K✝ : Type u_1
inst✝² : Field K✝
K : Type u_2
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
k : ℕ
ihk : ∀ m < k, ∀ {ζ : K}, IsPrimitiveRoot ζ m → cyclotomic' m K ∈ lifts (Int.castRingHom K)
ζ : K
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hpos : k > 0
B : K[X] := ∏ i ∈ k.properDivisors, cyclotomic' i K
Bmo : B.Monic
B₁ : ℤ[X]
hB₁ : map (Int.castRingHom K) B₁ = B
left✝ : B₁.degree = B.degree
hB₁mo : B₁.Monic
Q₁ : ℤ[X] := (X ^ k - 1) /ₘ B₁
huniq : (X ^ k - 1) /ₘ B = cyclotomic' k K ∧ (X ^ k - 1) %ₘ B = 0

⊢ map (Int.castRingHom K) (X ^ k - 1) /ₘ B = (X ^ k - 1) /ₘ B
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α

⊢ x ∈ Iic b ∪ Ioc c d ↔ x ∈ Iic (max b d)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c < b
x : α

⊢ x ≤ b ∨ c < x ∧ x ≤ d ↔ x ≤ b ∨ x ≤ d
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R

⊢ (2 * X ^ 6 + C W.b₂ * X ^ 5 + 5 * C W.b₄ * X ^ 4 + 10 * C W.b₆ * X ^ 3 + 10 * C W.b₈ * X ^ 2 + C (W.b₂ * W.b₈ - W.b₄ * W.b₆) * X + C (W.b₄ * W.b₈ - W.b₆ ^ 2)).coeff 6 = 2
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Shadow.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
s t : Finset α
a : α
k✝ r k : ℕ

⊢ ∂ ^[k] ∅ = ∅
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicVal.lean
p a b n : ℕ
ha : Nat.Prime a
hb : b ≠ 0

⊢ n ≤ padicValNat a b ↔ replicate n a <+~ b.primeFactorsList
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r r' : ι → ι → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder ι r
inst✝ : IsWellOrder ι r'
f : ι → Ordinal.{max u v}

⊢ (type r).blsub (bfamilyOfFamily' r f) = (type r').blsub (bfamilyOfFamily' r' f)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
f g : E → F
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
hg : ContDiffOn 𝕜 n g s

⊢ ContDiffOn 𝕜 n (fun x => f x - g x) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s

⊢ MeasurableSet (μ.everywherePosSubset s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : μ.everywherePosSubset s = s \ u

⊢ MeasurableSet (μ.everywherePosSubset s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/EverywherePos.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
inst✝ : OpensMeasurableSpace α
hs : MeasurableSet s
u : Set α
u_open : IsOpen u
hu : μ.everywherePosSubset s = s \ u

⊢ MeasurableSet (s \ u)
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a✝ b✝ a b : α

⊢ pred a ≤ b ∧ b ≤ a ↔ b = a ∨ b = pred a
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder α
inst✝ : PredOrder α
a✝ b✝ a b : α

⊢ b = a ∨ b = pred a → pred a ≤ b ∧ b ≤ a
-- Mathlib/RingTheory/SimpleModule.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : Ring S
M : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
m : Submodule R M
N✝ : Type u_5
inst✝² : AddCommGroup N✝
inst✝¹ : Module R N✝
inst✝ : IsSemisimpleModule R M
N : Submodule R M

⊢ N = ⊥ ∨ ∃ m ≤ N, IsSimpleModule R ↥m
-- Mathlib/CategoryTheory/Equivalence.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
e : C ≌ D
X Y : C
f f' : X ⟶ e.inverse.obj (e.functor.obj Y)

⊢ f ≫ e.unitInv.app Y = f' ≫ e.unitInv.app Y ↔ f = f'
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 ≤ x
h : y + 1 ≠ 0

⊢ x ^ (y + 1) = x ^ y * x
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α

⊢ a - b + b = max a b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
h : a ≤ b

⊢ a - b + b = max a b
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
h : b ≤ a

⊢ a - b + b = max a b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
m n : ℕ

⊢ ↑m < ↑n ↔ m < n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
m n : ℕ

⊢ ↑m ≤ ↑n ∧ ¬↑n ≤ ↑m ↔ ¬n ≤ m
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
m n : ℕ

⊢ m < n → m ≤ n
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
b : β a
b' : β a'
s : AList β
h : a ≠ a'

⊢ (insert a' b' (insert a b s)).entries ~ (insert a b (insert a' b' s)).entries
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a a' : α
b : β a
b' : β a'
s : AList β
h : a ≠ a'

⊢ ⟨a', b'⟩ :: kerase a' (⟨a, b⟩ :: kerase a s.entries) ~ ⟨a, b⟩ :: kerase a (⟨a', b'⟩ :: kerase a' s.entries)
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Pi.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : AddCommMonoid μ
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ
inst✝ : DecidableEq μ
n✝ : μ
s : Finset ι
n : μ
f : ι → μ
hn : n ≠ 0

⊢ ∀ (x : ι → μ), x ∉ ∅.piAntidiag n
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α

⊢ a < s.sup' H f ↔ ∃ b ∈ s, a < f b
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α

⊢ (∃ b ∈ s, ↑a < (WithBot.some ∘ f) b) ↔ ∃ b ∈ s, a < f b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
H : μ.restrict s = ν.restrict s
t : Set α
hts : t ⊆ s
ht : MeasurableSet t

⊢ μ t = ν t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t✝ : Set α
hs : MeasurableSet s
H : ∀ t ⊆ s, MeasurableSet t → μ t = ν t
t : Set α
ht : MeasurableSet t

⊢ (μ.restrict s) t = (ν.restrict s) t
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
h : ∃! x, ∃! hx, q x hx
y₁ y₂ : α
hpy₁ : p y₁
hqy₁ : q y₁ hpy₁
hpy₂ : p y₂
hqy₂ : q y₂ hpy₂

⊢ y₁ = y₂
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β : Sort u_2
p✝ q✝ : α✝ → Prop
α : Sort u_3
p : α → Sort u_4
inst✝ : ∀ (x : α), Subsingleton (p x)
q : (x : α) → p x → Prop
y₁ y₂ : α
hpy₁ : p y₁
hqy₁ : q y₁ hpy₁
hpy₂ : p y₂
hqy₂ : q y₂ hpy₂
h : ∃! x, ∃ hx, q x hx

⊢ y₁ = y₂
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop

⊢ (pi f).NeBot ↔ ∀ (i : ι), (f i).NeBot
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
p : Submodule R M
hp : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hf : f.IsSemisimple

⊢ IsSemisimple (LinearMap.restrict f hp)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
p : Submodule R M
hp : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hf : ∀ p ≤ Submodule.comap f p, ∃ q ≤ Submodule.comap f q, IsCompl p q

⊢ ∀ p_1 ≤ Submodule.comap (LinearMap.restrict f hp) p_1, ∃ q ≤ Submodule.comap (LinearMap.restrict f hp) q, IsCompl p_1 q
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
p : Submodule R M
hp : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hf : ∀ p ≤ Submodule.comap f p, ∃ q ≤ Submodule.comap f q, IsCompl p q
q : Submodule R ↥p
hq : MapsTo ⇑f ↑(Submodule.map p.subtype q) ↑(Submodule.map p.subtype q)
r : Submodule R M
hr₁ : r ≤ Submodule.comap f r
hr₂ : IsCompl (Submodule.map p.subtype q) r

⊢ IsCompl q (Submodule.comap p.subtype r)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
p : Submodule R M
hp : MapsTo ⇑f ↑p ↑p
hf : ∀ p ≤ Submodule.comap f p, ∃ q ≤ Submodule.comap f q, IsCompl p q
q : Submodule R ↥p
hq : MapsTo ⇑f ↑(Submodule.map p.subtype q) ↑(Submodule.map p.subtype q)
r : Submodule R M
hr₁ : r ≤ Submodule.comap f r
hr₂ : IsCompl (Submodule.map p.subtype q) r

⊢ IsCompl (Submodule.comap p.subtype (Submodule.map p.subtype q)) (Submodule.comap p.subtype r)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)

⊢ s = t
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)
f : ↑t ↪ ↑s := { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, inj' := ⋯ }

⊢ s = t
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)
f : ↑t ↪ ↑s := { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
h_surj : Surjective ⇑f

⊢ s = t
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x y : M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)
f : ↑t ↪ ↑s := { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
h_surj : Surjective ⇑f

⊢ s ⊆ t
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ : M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)
f : ↑t ↪ ↑s := { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
h_surj : Surjective ⇑f
x : M
hx : x ∈ s
y : ↑t
hy : f y = ⟨x, hx⟩

⊢ x ∈ t
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
a b : R
x✝ y✝ : M
inst✝ : Nontrivial R
s t : Set M
hs : LinearIndependent R fun (x : ↑s) => ↑x
h : t ⊆ s
hst : s ⊆ ↑(span R t)
f : ↑t ↪ ↑s := { toFun := fun x => ⟨↑x, ⋯⟩, inj' := ⋯ }
h_surj : Surjective ⇑f
x : M
hx : x ∈ s
y : ↑t
hy : f y = ⟨x, hx⟩

⊢ x = ↑y
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.20097, u_1} D
P : MorphismProperty C
inst✝ : P.RespectsIso

⊢ P.isoClosure = P
-- Mathlib/Order/Sublattice.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M✝ : Sublattice α
f : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
M : Sublattice β
e : β ≃o α

⊢ map { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } L = M ↔ L = map { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } M
-- Mathlib/Order/Sublattice.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Lattice β
inst✝ : Lattice γ
L M✝ : Sublattice α
f : LatticeHom α β
s t : Set α
a : α
M : Sublattice β
e : β ≃o α

⊢ ↑(map { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } L) = ↑M ↔ ↑L = ↑(map { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } M)
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ : C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ≅ Y

⊢ f.hom.unop ≫ f.inv.unop = 𝟙 (Opposite.unop Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X✝ Y✝ : C
X Y : Cᵒᵖ
f : X ≅ Y

⊢ f.inv.unop ≫ f.hom.unop = 𝟙 (Opposite.unop X)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x y z : ℂ
h₁ : -π < (log x * y).im
h₂ : (log x * y).im ≤ π

⊢ x ^ (y * z) = (x ^ y) ^ z