ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : SecondCountableTopology G
μ : Measure G
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
K : Set G
hK : IsCompact K
h2K : (interior K).Nonempty
hμK : μ K ≠ ⊤

⊢ (μ ↑{ carrier := K, isCompact' := hK, interior_nonempty' := h2K } • haarMeasure { carrier := K, isCompact' := hK, interior_nonempty' := h2K }).Regular
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : Mul α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝¹ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c d : α

⊢ ↑(Ioc a b * Ico c d) ⊆ ↑(Ioo (a * c) (b * d))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p ≠ 0

⊢ p.natTrailingDegree = p.support.min' ⋯
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n x : ℤ

⊢ ↑x.natAbs ^ 2 = x ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Homology/QuasiIso.lean
ι : Type u_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K L M K' L' : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
φ' : K' ⟶ L'
e : Arrow.mk φ ≅ Arrow.mk φ'
inst✝³ : ∀ (i : ι), K.HasHomology i
inst✝² : ∀ (i : ι), L.HasHomology i
inst✝¹ : ∀ (i : ι), K'.HasHomology i
inst✝ : ∀ (i : ι), L'.HasHomology i
hφ : QuasiIso φ

⊢ QuasiIso φ'
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p : ℕ
hp : 0 < p

⊢ φ p = p - 1 ↔ Prime p
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p : ℕ
hp : 0 < p
h : φ p = p - 1

⊢ Prime p
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p : ℕ
h : φ p = p - 1
hp : 1 < p

⊢ Prime p
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p : ℕ
h : (filter p.Coprime (Ico (succ 0) p)).card = (Ico 1 p).card
hp : 1 < p

⊢ Prime p
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
p : ℕ
h : (filter p.Coprime (Ico (succ 0) p)).card = (Ico 1 p).card
hp : 1 < p
n : ℕ
hn : n < p
hnz : n ≠ 0

⊢ succ 0 ≤ n
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : MulPosMono α
inst✝ : MulPosReflectLE α
b0 : 0 < b

⊢ a * b ≤ b ↔ a * b ≤ 1 * b
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y z✝ : ℝ
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : x ≤ 1
h_one_le : 1 ≤ z

⊢ x ^ z ≤ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x y z✝ z : ℝ
h_one_le : 1 ≤ z
hx : ⊥ ≤ 1

⊢ ⊥ ^ z ≤ ⊥
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y z✝ : ℝ
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : x ≤ 1
h_one_le : 1 ≤ z
h : 0 < x

⊢ x ^ z ≤ x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
w x✝ y z✝ : ℝ
x : ℝ≥0
z : ℝ
hx : x ≤ 1
h_one_le : 1 ≤ z
h : 0 < x

⊢ x ^ z ≤ x ^ 1
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

⊢ l.sublists'.Nodup ↔ l.Nodup
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m => z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < n, a k = 0

⊢ ∃ t, z ^ n • t = s ∧ HasSum (fun m => z ^ m • a (m + n)) t
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
z z₀ : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m => z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < 0, a k = 0

⊢ ∃ t, z ^ 0 • t = s ∧ HasSum (fun m => z ^ m • a (m + 0)) t
-- Mathlib/Analysis/Analytic/IsolatedZeros.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : E
p q : FormalMultilinearSeries 𝕜 𝕜 E
f g : 𝕜 → E
n : ℕ
z z₀ : 𝕜
a : ℕ → E
hs : HasSum (fun m => z ^ m • a m) s
ha : ∀ k < n, a k = 0
hn : n > 0

⊢ ∃ t, z ^ n • t = s ∧ HasSum (fun m => z ^ m • a (m + n)) t
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : AddCommGroup L
inst✝¹² : Module R L
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁹ : Fintype ι
inst✝⁸ : Fintype ι'
inst✝⁷ : Fintype ιM
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : DecidableEq ι'
inst✝⁴ : Module.Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
b✝ : Basis ι R L
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Module.Free R L
inst✝ : Nontrivial R
b : Basis ι R L

⊢ φ.nilRank = (φ.polyCharpoly b).natTrailingDegree
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ wittOne p n = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ (map (Int.castRingHom ℚ)) (wittOne p n) = (map (Int.castRingHom ℚ)) 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n

⊢ (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ n) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n

⊢ (bind₁ fun k => 1) ((X n - ∑ i ∈ Finset.range n, C (↑p ^ i) * xInTermsOfW p ℚ i ^ p ^ (n - i)) * C (⅟↑p ^ n)) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n

⊢ (1 - ∑ x ∈ Finset.range n, C ↑p ^ x * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x)) * C ⅟↑p ^ n = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n

⊢ C ⅟↑p ^ n - (∑ x ∈ Finset.range n, C ↑p ^ x * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ x) ^ p ^ (n - x)) * C ⅟↑p ^ n = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n

⊢ C ⅟↑p ^ n - C ↑p ^ 0 * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ 0) ^ p ^ (n - 0) * C ⅟↑p ^ n = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n

⊢ ∀ b ∈ Finset.range n, b ≠ 0 → C ↑p ^ b * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ b) ^ p ^ (n - b) = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
IH : ∀ m < n, 0 < m → (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ m) = 0
hn : 0 < n

⊢ 0 ∉ Finset.range n → C ↑p ^ 0 * (bind₁ fun k => 1) (xInTermsOfW p ℚ 0) ^ p ^ (n - 0) = 0
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)

⊢ Subsingleton (Ω[S⁄R])
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)

⊢ ⊤ ≤ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
h : Function.Surjective ⇑(algebraMap R S)

⊢ Set.range ⇑(D R S) ⊆ ↑⊥
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ

⊢ Continuous convexBodySumFun
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
w : InfinitePlace K

⊢ w ∈ Finset.univ → Continuous fun a => ↑w.mult * (normAtPlace w) a
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
w : InfinitePlace K
hw : w.IsReal

⊢ w ∈ Finset.univ → Continuous fun a => ↑w.mult * (normAtPlace w) a
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/ConvexBody.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
w : InfinitePlace K
hw : w.IsComplex

⊢ w ∈ Finset.univ → Continuous fun a => ↑w.mult * (normAtPlace w) a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unique.lean
X : Type u_1
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
A : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra ℝ A
inst✝ : TopologicalRing A
φ ψ : C(X, ℝ≥0) →⋆ₐ[ℝ≥0] A
h : φ.realContinuousMapOfNNReal = ψ.realContinuousMapOfNNReal
f : C(X, ℝ≥0)

⊢ φ f = ψ f
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Cast.lean
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b : ℕ

⊢ ↑(a.descFactorial b) = Polynomial.eval (↑(a - (b - 1))) (ascPochhammer S b)
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Cast.lean
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
a b : ℕ

⊢ ↑(a.descFactorial b) = ↑((a - (b - 1) + b - 1).descFactorial b)
-- Mathlib/CategoryTheory/DifferentialObject.lean
S : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasShift C S
inst✝ : (shiftFunctor C 1).PreservesZeroMorphisms
X Y : DifferentialObject S C
f : X ≅ Y

⊢ f.hom.f ≫ f.inv.f = 𝟙 X.obj
-- Mathlib/CategoryTheory/DifferentialObject.lean
S : Type u_1
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasShift C S
inst✝ : (shiftFunctor C 1).PreservesZeroMorphisms
X Y : DifferentialObject S C
f : X ≅ Y

⊢ f.inv.f ≫ f.hom.f = 𝟙 Y.obj
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι'✝ : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι'✝ → Prop
s' : ι'✝ → Set α
i' : ι'✝
ι : Sort u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : Set α

⊢ t ∈ ⨆ i, l i ↔ ∃ i, (∀ (i_1 : ι), p i_1 (i i_1)) ∧ ⋃ i_1, s i_1 (i i_1) ⊆ t
-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Mul N
f : M →ₙ* N
S : Subsemigroup N
h : S ≤ f.srange

⊢ map f (comap f S) = S
-- Mathlib/Algebra/Group/Opposite.lean
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝¹ : Mul M
inst✝ : Mul N
f : M →ₙ* N
hf : ∀ (x y : M), Commute (f x) (f y)
x y : M

⊢ (op ∘ ⇑f) (x * y) = (op ∘ ⇑f) x * (op ∘ ⇑f) y
-- Mathlib/Analysis/Normed/Order/UpperLower.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
s t : Set (ι → ℝ)
a₁ a₂ b₁ b₂ x y : ι → ℝ
δ : ℝ

⊢ AntitoneOn (dist x) (Iic x)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
ha : ∀ (i : ι), f i a ≤ a

⊢ ∃ o, derivFamily f o = a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
H : ∀ (i : ι), IsNormal (f i)
a : Ordinal.{max u v}
ha : ∀ (i : ι), f i a ≤ a

⊢ ∀ (o : Ordinal.{max u v}), a ≤ derivFamily f o → ∃ o, derivFamily f o = a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y✝ : 𝕜
N : ℕ∞
hu : Summable u
hg : ∀ (n : α) (y : 𝕜), HasDerivAt (g n) (g' n y) y
hg' : ∀ (n : α) (y : 𝕜), ‖g' n y‖ ≤ u n
hg0 : Summable fun n => g n y₀
y : 𝕜

⊢ HasDerivAt (fun z => ∑' (n : α), g n z) (∑' (n : α), g' n y) y
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplex.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} V
inst✝³ : HasZeroMorphisms V
α : Type u_2
inst✝² : AddRightCancelSemigroup α
inst✝¹ : One α
inst✝ : DecidableEq α
X : α → V
d : (n : α) → X n ⟶ X (n + 1)
sq : ∀ (n : α), d n ≫ d (n + 1) = 0
j : α

⊢ (if j + 1 = j + 1 then d j ≫ 𝟙 (X (j + 1)) else 0) = d j
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F

⊢ adjoint (id 𝕜 E) = id 𝕜 E
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F

⊢ id 𝕜 E = adjoint (id 𝕜 E)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : CompleteSpace G
inst✝ : CompleteSpace F

⊢ ∀ (x y : E), ⟪(id 𝕜 E) x, y⟫_𝕜 = ⟪x, (id 𝕜 E) y⟫_𝕜
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x x' : PGame

⊢ x ≤ x.insertLeft x'
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x x' : PGame

⊢ (∀ (i : x.LeftMoves), (∃ i', x.moveLeft i ≤ (x.insertLeft x').moveLeft i') ∨ ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ x.insertLeft x') ∧ ∀ (j : (x.insertLeft x').RightMoves), (∃ i, x ≤ ((x.insertLeft x').moveRight j).moveLeft i) ∨ ∃ j', x.moveRight j' ≤ (x.insertLeft x').moveRight j
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
n : ℤ

⊢ n.sign = ↑(SignType.sign n)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x : M
p : TangentBundle I M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

⊢ { proj := p.proj, snd := (mfderivWithin I I id s p.proj) p.snd } = p
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x : M
p : TangentBundle I M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

⊢ { proj := p.proj, snd := (ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace I p.proj)) p.snd } = p
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝³ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace M''
inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
s : Set M
x : M
p : TangentBundle I M
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj

⊢ UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
h : c < ℵ₀

⊢ ∃ n, c = ↑n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{0}
h' : c < #ℕ
h : lift.{u_1, 0} c < ℵ₀

⊢ ∃ n, lift.{u_1, 0} c = ↑n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
S : Set ℕ
h' : #↑S < #ℕ
h : lift.{u_1, 0} #↑S < ℵ₀

⊢ ∃ n, lift.{u_1, 0} #↑S = ↑n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
S : Set ℕ
h' : #↑S < #ℕ
h : lift.{u_1, 0} #↑S < ℵ₀

⊢ S.Finite
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
S : Set ℕ
h : lift.{u_1, 0} #↑S < ℵ₀
h' : ¬S.Finite

⊢ #ℕ ≤ #↑S
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f' : α → γ → δ'
g' : δ' → β → ε
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f' a c) b

⊢ image2 f (image2 g s t) u = image2 g' (image2 f' s u) t
-- Mathlib/Data/Set/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
f✝ f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Set α
t t' : Set β
u u' : Set γ
v : Set δ
a a' : α
b b' : β
c c' : γ
d d' : δ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f' : α → γ → δ'
g' : δ' → β → ε
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f' a c) b

⊢ image2 f (image2 (fun a b => g b a) t s) u = image2 (fun a b => g' b a) t (image2 f' s u)
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
s : β → β → Prop
a : α
h : ¬r a a

⊢ ∀ {a_1 b : β}, Prod.Lex r s ({ toFun := Prod.mk a, inj' := ⋯ } a_1) ({ toFun := Prod.mk a, inj' := ⋯ } b) ↔ s a_1 b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : Fintype ι
e : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Module A M
κ : Type u_6
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : DecidableEq M
s : Finset M
b : Basis { x // x ∈ s } A M
f : M →ₗ[A] M
this : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } A M)

⊢ LinearMap.det f = ((toMatrix b b) f).det
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r : α → α → Prop
f g : Filter α
s : Set α

⊢ IsBounded r (𝓟 s) ↔ ∃ t, ∀ x ∈ s, r x t
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₁ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₁
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)

⊢ (nullHomotopicMap fun i j => dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0).f k₁ = C.d k₁ k₀ ≫ h k₀ k₁ r₁₀
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i k₁ k₀ : ι
r₁₀ : c.Rel k₁ k₀
hk₁ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₁
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)

⊢ (C.d k₁ k₀ ≫ dite (c.Rel k₁ k₀) (h k₀ k₁) fun x => 0) = C.d k₁ k₀ ≫ h k₀ k₁ r₁₀
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ a₁ a₂ : α
b : β
inst✝ : DecidablePred fun x => x = b
a : α

⊢ (∏' (b' : β), if b' = b then a else 1) = a
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ a₁ a₂ : α
b : β
inst✝ : DecidablePred fun x => x = b
a : α

⊢ (if b = b then a else 1) = a
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a✝ a₁ a₂ : α
b : β
inst✝ : DecidablePred fun x => x = b
a : α

⊢ ∀ (b' : β), b' ≠ b → (if b' = b then a else 1) = 1
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{max u v} → Ordinal.{max u v}
c : Cardinal.{max u v}
hc : c.IsRegular
hι : lift.{v, u} o.card < c
hc' : c ≠ ℵ₀
hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c.ord, f i hi b < c.ord
a : Ordinal.{max u v}

⊢ lift.{v, u} #(Quotient.out o).α < c
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
motive : (u v : V) → G.Walk u v → Sort u_1
Hnil : {u : V} → motive u u nil
Hconcat : {u v w : V} → (p : G.Walk u v) → (h : G.Adj v w) → motive u v p → motive u w (p.concat h)
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w

⊢ ⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat (p.concat h).reverse = Hconcat p h (⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat p.reverse)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
motive : (u v : V) → G.Walk u v → Sort u_1
Hnil : {u : V} → motive u u nil
Hconcat : {u v w : V} → (p : G.Walk u v) → (h : G.Adj v w) → motive u v p → motive u w (p.concat h)
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w

⊢ HEq (⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat (p.concat h).reverse) (Hconcat p h (⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat p.reverse))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
motive : (u v : V) → G.Walk u v → Sort u_1
Hnil : {u : V} → motive u u nil
Hconcat : {u v w : V} → (p : G.Walk u v) → (h : G.Adj v w) → motive u v p → motive u w (p.concat h)
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w

⊢ HEq (concatRecAux Hnil Hconcat (p.concat h).reverse) (Hconcat p h (⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat p.reverse))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
motive : (u v : V) → G.Walk u v → Sort u_1
Hnil : {u : V} → motive u u nil
Hconcat : {u v w : V} → (p : G.Walk u v) → (h : G.Adj v w) → motive u v p → motive u w (p.concat h)
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w

⊢ HEq (concatRecAux Hnil Hconcat (p.concat h).reverse) (concatRecAux Hnil Hconcat (cons ⋯ p.reverse))
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
motive : (u v : V) → G.Walk u v → Sort u_1
Hnil : {u : V} → motive u u nil
Hconcat : {u v w : V} → (p : G.Walk u v) → (h : G.Adj v w) → motive u v p → motive u w (p.concat h)
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w

⊢ HEq (concatRecAux Hnil Hconcat (cons ⋯ p.reverse)) (Hconcat p h (⋯ ▸ concatRecAux Hnil Hconcat p.reverse))