ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hy : y ∈ nonZeroDivisorsLeft R
k : ℕ
hk : (x * y) ^ k = 0

⊢ IsNilpotent x
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
inst✝ : Semiring R
h_comm : Commute x y
hy : y ∈ nonZeroDivisorsLeft R
k : ℕ
hk : x ^ k * y ^ k = 0

⊢ IsNilpotent x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
h : 0 ≤ n
x : Step k 0

⊢ (toStepOfLE k 0 (n + 1) ⋯) x = ((toStepSucc k n).comp (toStepOfLE k 0 n h)) x
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
h : 0 ≤ n
x : Step k 0

⊢ (toStepOfLE k 0 (n + 1) ⋯) x = (toStepSucc k n) ((toStepOfLE k 0 n h) x)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
h : 0 ≤ n
x : Step k 0

⊢ AlgebraicClosure.toStepOfLE' k 0 (n + 1) ⋯ x = (toStepSucc k n) (AlgebraicClosure.toStepOfLE' k 0 n h x)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/AlgebraicClosure.lean
k : Type u
inst✝ : Field k
n : ℕ
h : 0 ≤ n
x : Step k 0

⊢ AlgebraicClosure.toStepOfLE' k 0 (n + 1) ⋯ x = (⇑(toStepSucc k n) ∘ AlgebraicClosure.toStepOfLE' k 0 n h) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
F : J ⥤ Type u
t : Cocone F
h : IsColimit t
x : t.pt

⊢ ∃ j y, t.ι.app j y = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
F : J ⥤ Type u
t : Cocone F
h : IsColimit t
x : t.pt
hx : ¬∃ j y, t.ι.app j y = x

⊢ False
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F✝ : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F✝
F : J ⥤ Type u
t : Cocone F
h : IsColimit t
x : t.pt
hx : ∀ (x_1 : J) (x_2 : F.obj x_1), ¬t.ι.app x_1 x_2 = x

⊢ False
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
c : ℝ≥0∞
T : Set Ω
h_meas_T : MeasurableSet T
h_ind : IndepSets {s | MeasurableSet s} {T} μ

⊢ ∀ {f : Ω → ℝ≥0∞}, Measurable f → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
c : ℝ≥0∞
T : Set Ω
h_meas_T : MeasurableSet T
h_ind : IndepSets {s | MeasurableSet s} {T} μ
h_mul_indicator : ∀ (g : Ω → ℝ≥0∞), Measurable g → Measurable fun a => g a * T.indicator (fun x => c) a

⊢ ∀ {f : Ω → ℝ≥0∞}, Measurable f → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
c : ℝ≥0∞
T : Set Ω
h_meas_T : MeasurableSet T
h_ind : IndepSets {s | MeasurableSet s} {T} μ
h_mul_indicator : ∀ (g : Ω → ℝ≥0∞), Measurable g → Measurable fun a => g a * T.indicator (fun x => c) a

⊢ ∀ (c_1 : ℝ≥0∞) ⦃s : Set Ω⦄, MeasurableSet s → ∫⁻ (ω : Ω), s.indicator (fun x => c_1) ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), s.indicator (fun x => c_1) ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
c : ℝ≥0∞
T : Set Ω
h_meas_T : MeasurableSet T
h_ind : IndepSets {s | MeasurableSet s} {T} μ
h_mul_indicator : ∀ (g : Ω → ℝ≥0∞), Measurable g → Measurable fun a => g a * T.indicator (fun x => c) a

⊢ ∀ ⦃f g : Ω → ℝ≥0∞⦄, Disjoint (Function.support f) (Function.support g) → Measurable f → Measurable g → ∫⁻ (ω : Ω), f ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ → ∫⁻ (ω : Ω), g ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), g ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ → ∫⁻ (ω : Ω), (f + g) ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), (f + g) ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ✝ : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
g : Ω → ℝ≥0∞
X Y : Ω → ℝ
Mf mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
hMf : Mf ≤ mΩ
c : ℝ≥0∞
T : Set Ω
h_meas_T : MeasurableSet T
h_ind : IndepSets {s | MeasurableSet s} {T} μ
h_mul_indicator : ∀ (g : Ω → ℝ≥0∞), Measurable g → Measurable fun a => g a * T.indicator (fun x => c) a

⊢ ∀ ⦃f : ℕ → Ω → ℝ≥0∞⦄, (∀ (n : ℕ), Measurable (f n)) → Monotone f → (∀ (n : ℕ), ∫⁻ (ω : Ω), f n ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), f n ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ) → ∫⁻ (ω : Ω), (fun x => ⨆ n, f n x) ω * T.indicator (fun x => c) ω ∂μ = (∫⁻ (ω : Ω), (fun x => ⨆ n, f n x) ω ∂μ) * ∫⁻ (ω : Ω), T.indicator (fun x => c) ω ∂μ
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Fintype α
i : α
m : M

⊢ ∑ j : α, (single j m) i = m
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Finsupp.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Fintype α
i : α
m : M

⊢ ∑ x : α, Pi.single x m i = m
-- Mathlib/Probability/Independence/ZeroOne.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
s : ι → MeasurableSpace Ω
m m0 : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μα : Measure α
μ : Measure Ω
inst✝⁴ : IsMarkovKernel κ
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : SemilatticeSup ι
inst✝¹ : NoMaxOrder ι
inst✝ : Nonempty ι
h_le : ∀ (n : ι), s n ≤ m0
h_indep : iIndep s μ
t : Set Ω
ht_tail : MeasurableSet t

⊢ μ t = 0 ∨ μ t = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
t : R
h : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹

⊢ ‖-(↑x⁻¹ * t)‖ < 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
t : R
h : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
a✝ : Nontrivial R

⊢ ‖-(↑x⁻¹ * t)‖ < 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : Rˣ
t : R
h : ‖t‖ < ‖↑x⁻¹‖⁻¹
a✝ : Nontrivial R
hpos : 0 < ‖↑x⁻¹‖

⊢ ‖-(↑x⁻¹ * t)‖ < 1
-- Mathlib/Data/Sym/Sym2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α

⊢ e = s((Quot.out e).1, (Quot.out e).2)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0

⊢ dual A K 0 = 0
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : β → α → β
b : β
x : α
xs : List α

⊢ foldl f b (xs ++ [x]) = f (foldl f b xs) x
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/CommRing.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
hpq : Disjoint p.vars q.vars

⊢ (p - q).vars = p.vars ∪ q.vars
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/CommRing.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommRing R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
hpq : Disjoint p.vars (-q).vars

⊢ (p - q).vars = p.vars ∪ q.vars
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : Module R S
inst✝¹ : IsScalarTower R S S
inst✝ : SMulCommClass R S S
x y : S
hc : Commute x y

⊢ Commute (p.smeval x) y
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
n : ℕ
a' : α
l : List α
this : 𝓝 a ×ˢ 𝓝 (a' :: l) = Filter.map (fun p => (p.1, p.2.1 :: p.2.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 a' ×ˢ 𝓝 l)

⊢ Tendsto (fun p => insertNth (n + 1) p.1 p.2) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 (a' :: l)) (𝓝 (insertNth (n + 1) a (a' :: l)))
-- Mathlib/Topology/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
a : α
n : ℕ
a' : α
l : List α
this : 𝓝 a ×ˢ 𝓝 (a' :: l) = Filter.map (fun p => (p.1, p.2.1 :: p.2.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 a' ×ˢ 𝓝 l)

⊢ Tendsto ((fun p => insertNth (n + 1) p.1 p.2) ∘ fun p => (p.1, p.2.1 :: p.2.2)) (𝓝 a ×ˢ 𝓝 a' ×ˢ 𝓝 l) (𝓝 (insertNth (n + 1) a (a' :: l)))
-- Mathlib/Algebra/Order/AbsoluteValue.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : OrderedCommRing S
inst✝¹ : Ring R
abv : AbsoluteValue R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
a : R
ha : ¬a = 0

⊢ abv (-a) = abv a
-- Mathlib/Algebra/Order/AbsoluteValue.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : OrderedCommRing S
inst✝¹ : Ring R
abv : AbsoluteValue R S
inst✝ : NoZeroDivisors S
a : R
ha : ¬a = 0

⊢ ¬abv (-a) = -abv a
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ

⊢ G.chromaticNumber ≤ ↑n ↔ G.Colorable n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : G.chromaticNumber ≤ ↑n

⊢ G.Colorable n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : G.chromaticNumber ≤ ↑n
this : G.chromaticNumber ≠ ⊤

⊢ G.Colorable n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : G.chromaticNumber ≤ ↑n
this : ∃ n, G.Colorable n

⊢ G.Colorable n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : G.chromaticNumber ≤ ↑n
m : ℕ
hm : G.Colorable m

⊢ G.Colorable n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : sInf {n' | G.Colorable n'} ≤ n
m : ℕ
hm : G.Colorable m

⊢ G.Colorable n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : sInf {n' | G.Colorable n'} ≤ n
m : ℕ
hm : G.Colorable m
this : sInf {n' | G.Colorable n'} ∈ {n' | G.Colorable n'}

⊢ G.Colorable n
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Coloring.lean
V : Type u
G : SimpleGraph V
n✝ : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
C : G.Coloring α
n : ℕ
h : sInf {n' | G.Colorable n'} ≤ n
m : ℕ
hm : G.Colorable m
this : G.Colorable (sInf {n' | G.Colorable n'})

⊢ G.Colorable n
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
inst✝ : Nonempty ι
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α

⊢ (⨅ i, m i) s = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (t n)
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/OfFunction.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
inst✝ : Nonempty ι
m : ι → OuterMeasure α
s : Set α

⊢ ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ μ ∈ range m, μ (t n) = ⨅ t, ⨅ (_ : s ⊆ iUnion t), ∑' (n : ℕ), ⨅ i, (m i) (t n)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
lt_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x < C
x✝ : ℝ
hx✝ : x✝ ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x✝ < y
x : ℝ
hx : x ∈ interior D

⊢ -C < deriv (fun y => -f y) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
lt_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x < C
x✝ : ℝ
hx✝ : x✝ ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x✝ < y
x : ℝ
hx : x ∈ interior D

⊢ deriv f x < C
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
lt_hf' : ∀ x ∈ interior D, deriv f x < C
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x < y
hf'_gt : ∀ x ∈ interior D, -C < deriv (fun y => -f y) x

⊢ f y - f x < C * (y - x)
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
x : X
y : Y
s : Set (X × Y)

⊢ s ∈ 𝓝 (x, y) ↔ ∃ u ∈ 𝓝 x, ∃ v ∈ 𝓝 y, u ×ˢ v ⊆ s
-- Mathlib/Data/Sum/Interval.lean
α₁ : Type u_1
α₂ : Type u_2
β₁ : Type u_3
β₂ : Type u_4
γ₁ : Type u_5
γ₂ : Type u_6
f₁ f₁' : α₁ → β₁ → Finset γ₁
f₂ f₂' : α₂ → β₂ → Finset γ₂
g₁ g₁' : α₁ → β₂ → Finset γ₁
g₂ g₂' : α₁ → β₂ → Finset γ₂
a : α₁ ⊕ α₂
b : β₁ ⊕ β₂
c : γ₁ ⊕ γ₂

⊢ (sumLexLift f₁ f₂ g₁ g₂ a b).Nonempty ↔ (∃ a₁ b₁, a = inl a₁ ∧ b = inl b₁ ∧ (f₁ a₁ b₁).Nonempty) ∨ (∃ a₁ b₂, a = inl a₁ ∧ b = inr b₂ ∧ ((g₁ a₁ b₂).Nonempty ∨ (g₂ a₁ b₂).Nonempty)) ∨ ∃ a₂ b₂, a = inr a₂ ∧ b = inr b₂ ∧ (f₂ a₂ b₂).Nonempty
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : StarRing R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
inst✝ : StarMemClass S A
s : S

⊢ (unitization s).range = StarAlgebra.adjoin R ↑s
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : StarRing R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
inst✝ : StarMemClass S A
s : S

⊢ StarAlgebra.adjoin R ↑(NonUnitalStarAlgHom.range (NonUnitalStarSubalgebraClass.subtype s)) = StarAlgebra.adjoin R ↑s
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Subalgebra/Unitization.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : StarRing R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : StarRing A
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : StarModule R A
inst✝¹ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
inst✝ : StarMemClass S A
s : S

⊢ StarAlgebra.adjoin R {x | x ∈ s} = StarAlgebra.adjoin R ↑s
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R✝ : Type u_1
p✝ m n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : ExpChar R✝ p✝
inst✝⁴ : PerfectRing R✝ p✝
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : PerfectRing R p
f : R[X]

⊢ ¬Irreducible ((expand R p) f)
-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
R✝ : Type u_1
p✝ m n : ℕ
inst✝⁶ : CommSemiring R✝
inst✝⁵ : ExpChar R✝ p✝
inst✝⁴ : PerfectRing R✝ p✝
R : Type u_2
p : ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CharP R p
inst✝ : PerfectRing R p
f : R[X]

⊢ ¬Irreducible (map (↑(frobeniusEquiv R p).symm) f ^ p)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s

⊢ y ∈ posTangentConeAt s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s

⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + x_1 • y ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s

⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝 0, x_1 ∈ Ioi 0 → x + x_1 • y ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s
t : ℝ
ht₁ : t ≤ 1
ht₀ : t ∈ Ioi 0

⊢ x + t • y ∈ s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s
t : ℝ
ht₁ : t ≤ 1
ht₀ : t ∈ Ioi 0

⊢ x + t • y ∈ [x-[ℝ]x + y]
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LocalExtr/Basic.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : E → ℝ
f' : E →L[ℝ] ℝ
s : Set E
a x y : E
h : [x-[ℝ]x + y] ⊆ s
t : ℝ
ht₁ : t ≤ 1
ht₀ : t ∈ Ioi 0

⊢ x + t • y ∈ (fun θ => x + θ • y) '' Icc 0 1
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ ν : YoungDiagram
h : μ.transpose ≤ ν.transpose

⊢ μ ≤ ν
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ ν : YoungDiagram
h : μ.transpose ≤ ν.transpose

⊢ ν = ν.transpose.transpose
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ ν : YoungDiagram
h : μ ≤ ν

⊢ μ.transpose ≤ ν.transpose
-- Mathlib/Combinatorics/Young/YoungDiagram.lean
μ ν : YoungDiagram
h : μ.transpose.transpose ≤ ν

⊢ μ.transpose ≤ ν.transpose
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n

⊢ 0 ≤ dist x y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x : (n : ℕ) → E n

⊢ 0 ≤ dist x x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
x y : (n : ℕ) → E n
h : x ≠ y

⊢ 0 ≤ dist x y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ θ.toReal < 0 ↔ θ.sign = -1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ θ.toReal < 0 ↔ Real.sin θ.toReal < 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
h : θ.toReal < 0

⊢ θ.toReal < 0 ↔ Real.sin θ.toReal < 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
h : θ.toReal = 0

⊢ θ.toReal < 0 ↔ Real.sin θ.toReal < 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle
h : 0 < θ.toReal

⊢ θ.toReal < 0 ↔ Real.sin θ.toReal < 0
-- Mathlib/Order/Heyting/Regular.lean
α : Type u_1
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b : α
ha : IsRegular a
hb : IsRegular b

⊢ IsRegular (a ⇨ b)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)

⊢ U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f ↔ Ideal.span s = ⊤
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)

⊢ U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f ↔ U = ⨆ f, X.basicOpen ↑f
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)
h : U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f

⊢ ⨆ f, X.basicOpen ↑f ≤ U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)
h : U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f

⊢ ∀ x ∈ s, X.basicOpen x ≤ U
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
s : Set ↑Γ(X, U)
h : U ≤ ⨆ f, X.basicOpen ↑f
x : ↑Γ(X, U)
h✝ : x ∈ s

⊢ X.basicOpen x ≤ U
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Tower.lean
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u₁
M : Type v₁
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : Algebra S B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
r : R

⊢ f ((algebraMap R A) r) = (algebraMap R B) r
-- Mathlib/Algebra/Group/Invertible/Defs.lean
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a b : α
x✝ : Invertible a

⊢ ⅟a * (a * b) = b
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d : ℕ
x y a b : ℤ
h₁ : ↑d ∣ x
h₂ : ↑d ∣ y
h₃ : x * a + y * b = ↑d

⊢ x.gcd y = d
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d : ℕ
x y a b : ℤ
h₁ : ↑d ∣ x
h₂ : ↑d ∣ y
h₃ : x * a + y * b = ↑d

⊢ x.gcd y ∣ d
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d : ℕ
x y a b : ℤ
h₁ : ↑d ∣ x
h₂ : ↑d ∣ y
h₃ : x * a + y * b = ↑d

⊢ ↑(x.gcd y) ∣ x * a + y * b
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d : ℕ
x y a b : ℤ
h₁ : ↑d ∣ x
h₂ : ↑d ∣ y
h₃ : x * a + y * b = ↑d

⊢ ↑(x.gcd y) ∣ x * a
-- Mathlib/Tactic/NormNum/GCD.lean
d : ℕ
x y a b : ℤ
h₁ : ↑d ∣ x
h₂ : ↑d ∣ y
h₃ : x * a + y * b = ↑d

⊢ ↑(x.gcd y) ∣ y * b
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Yoneda/Injective.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
J : C

⊢ Injective J ↔ (preadditiveYoneda.obj J).PreservesEpimorphisms
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Yoneda/Injective.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
J : C

⊢ (yoneda.obj J).PreservesEpimorphisms ↔ (preadditiveYoneda.obj J).PreservesEpimorphisms
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
a b c : PartENat
hc : c ≠ ⊤

⊢ a + c = b + c ↔ a = b
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
a b : PartENat
c : ℕ
hc : ↑c ≠ ⊤

⊢ a + ↑c = b + ↑c ↔ a = b
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
a b : PartENat
c : ℕ
hc : ↑c ≠ ⊤

⊢ ∀ (n n_1 : ℕ), ↑n_1 + ↑c = ↑n + ↑c ↔ n_1 = n
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
z : F

⊢ ↑e.symm (b, z) = { proj := b, snd := (continuousLinearEquivAt R e b hb).symm z }
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
z : F
h : (b, z) ∈ e.target

⊢ ↑e.symm (b, z) = { proj := b, snd := (continuousLinearEquivAt R e b hb).symm z }
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
z : F
h : (b, z) ∈ e.target

⊢ { proj := b, snd := (continuousLinearEquivAt R e b hb).symm z } ∈ e.source
-- Mathlib/Topology/VectorBundle/Basic.lean
R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField R
inst✝⁸ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝⁷ : (x : B) → Module R (E x)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace R F
inst✝⁴ : TopologicalSpace B
inst✝³ : TopologicalSpace (TotalSpace F E)
inst✝² : (x : B) → TopologicalSpace (E x)
inst✝¹ : FiberBundle F E
e : Trivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Trivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
z : F
h : (b, z) ∈ e.target

⊢ ↑e.toPartialHomeomorph (↑e.symm (b, z)) = ↑e.toPartialHomeomorph { proj := b, snd := (continuousLinearEquivAt R e b hb).symm z }