ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Prod.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P✝ : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (Mᵢ i)
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommMonoid (Nᵢ i)
inst✝⁶ : AddCommMonoid P✝
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (Mᵢ i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (Nᵢ i)
inst✝³ : Module R P✝
P : Type u_10
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : OrderedAddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
Q : (i : ι) → QuadraticMap R (Mᵢ i) P

⊢ (∀ (x : (i : ι) → Mᵢ i), 0 ≤ ∑ x_1 : ι, (Q x_1) (x x_1)) ↔ ∀ (i : ι) (x : Mᵢ i), 0 ≤ (Q i) x
-- Mathlib/Algebra/Group/NatPowAssoc.lean
M : Type u_1
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : Pow M ℕ
inst✝ : NatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ

⊢ x ^ (m * n) = (x ^ n) ^ m
-- Mathlib/Algebra/Group/NatPowAssoc.lean
M : Type u_1
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : Pow M ℕ
inst✝ : NatPowAssoc M
x : M
m n : ℕ

⊢ x ^ (n * m) = (x ^ n) ^ m
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
minAx : MinimalAxioms α
s : Set α
a✝ b : α
f : (i : ι) → κ i → α
a : α

⊢ a ⊓ ⨆ i, ⨆ j, f i j = ⨆ i, ⨆ j, a ⊓ f i j
-- Mathlib/Topology/Algebra/Ring/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : CommRing R
N : Ideal R
inst✝ : TopologicalRing R
s : Set R
s_op : IsOpen s

⊢ IsOpen (⇑(mk N) ⁻¹' (⇑(mk N) '' s))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Ring/Ideal.lean
R : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace R
inst✝¹ : CommRing R
N : Ideal R
inst✝ : TopologicalRing R
s : Set R
s_op : IsOpen s

⊢ IsOpen (⋃ x, (fun y => ↑x + y) '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
d : ℝ
hd : 0 ≤ d

⊢ μH[d] s ≤ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hs : ∅.Subsingleton

⊢ μH[d] ∅ ≤ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
s : Set X
hs : s.Subsingleton
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
x : X
hx : x ∈ s

⊢ μH[d] s ≤ 1
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Set α → Filter β
m : β → γ
hg : Monotone g
this : Monotone (map m ∘ g)
s : Set γ

⊢ s ∈ map m (f.lift g) ↔ s ∈ f.lift (map m ∘ g)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntervalIntegral.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F' x t‖ ≤ bound t
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → ∀ x ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x => F x t) (F' x t) x

⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntervalIntegral.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1

⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntervalIntegral.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ

⊢ HasFDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' x₀ t ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ParametricIntervalIntegral.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : H → ℝ → E
F' : H → ℝ → H →L[𝕜] E
x₀ : H
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable (F' x₀) (μ.restrict (Ι a b))
h_bound : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, ‖F' x_1 x‖ ≤ bound x
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), ∀ x_1 ∈ ball x₀ ε, HasFDerivAt (fun x_2 => F x_2 x) (F' x_1 x) x_1
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ

⊢ HasFDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ) ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' x₀ t ∂μ) x₀
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : IsBigOWith c l f g

⊢ IsBigOWith (Nat.casesOn 0 ‖1‖ fun n => c ^ (n + 1)) l (fun x => f x ^ 0) fun x => g x ^ 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f✝ : α → E
g✝ : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f : α → R
g : α → 𝕜
h : IsBigOWith c l f g
n : ℕ

⊢ IsBigOWith (Nat.casesOn (n + 2) ‖1‖ fun n => c ^ (n + 1)) l (fun x => f x ^ (n + 2)) fun x => g x ^ (n + 2)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
p : ℝ≥0∞
G : Type u_5
F' : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
y : F

⊢ integral μ (const α y) = (μ Set.univ).toReal • y
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d : D

⊢ 𝟙 d ∈ (map φ hφ S).arrows d d
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C

⊢ 𝟙 (φ.obj c) ∈ (map φ hφ S).arrows (φ.obj c) (φ.obj c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C

⊢ Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c) (φ.obj c) (𝟙 (φ.obj c))
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C

⊢ Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c) (φ.obj c) (φ.map (𝟙 c))
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C

⊢ 𝟙 c ∈ S.arrows c c
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d d' : D
g : d ⟶ d'
δ : d ⟶ d
hδ : δ ∈ (map φ hφ S).arrows d d

⊢ Groupoid.inv g ≫ δ ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d d' : D
g : d ⟶ d'
δ : d ⟶ d
hδ : ∃ a b g, ∃ (ha : φ.obj a = d) (hb : φ.obj b = d) (_ : g ∈ S.arrows a b), δ = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g ≫ eqToHom hb

⊢ Groupoid.inv g ≫ δ ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c

⊢ Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
this : d' ∈ (im φ hφ).objs

⊢ Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
d' : D
c : C
g : φ.obj c ⟶ d'
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
this : ∃ c, φ.obj c = d'

⊢ Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows d' d'
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
g : φ.obj c ⟶ φ.obj c'
this : g ∈ (im φ hφ).arrows (φ.obj c) (φ.obj c')

⊢ Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows (φ.obj c') (φ.obj c')
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
g : φ.obj c ⟶ φ.obj c'
this : ∃ a b g_1, ∃ (ha : φ.obj a = φ.obj c) (hb : φ.obj b = φ.obj c'), g = eqToHom ⋯ ≫ φ.map g_1 ≫ eqToHom hb

⊢ Groupoid.inv g ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ g ∈ (map φ hφ S).arrows (φ.obj c') (φ.obj c')
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
hb : φ.obj c = φ.obj c
hb' : φ.obj c' = φ.obj c'
f : c ⟶ c'

⊢ Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c') (φ.obj c') (Groupoid.inv (eqToHom ⋯ ≫ φ.map f ≫ eqToHom hb') ≫ (eqToHom ⋯ ≫ φ.map γ ≫ eqToHom cd') ≫ eqToHom ⋯ ≫ φ.map f ≫ eqToHom hb')
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
hb : φ.obj c = φ.obj c
hb' : φ.obj c' = φ.obj c'
f : c ⟶ c'

⊢ Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c') (φ.obj c') (inv (φ.map f) ≫ φ.map γ ≫ φ.map f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
hb : φ.obj c = φ.obj c
hb' : φ.obj c' = φ.obj c'
f : c ⟶ c'

⊢ Map.Arrows φ hφ S (φ.obj c') (φ.obj c') (φ.map (Groupoid.inv f ≫ γ ≫ f))
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝¹ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
D : Type u_1
inst✝ : Groupoid D
φ : C ⥤ D
hφ : Function.Injective φ.obj
hφ' : im φ hφ = ⊤
Sn : S.IsNormal
c : C
γ : c ⟶ c
γS : γ ∈ S.arrows c c
cd' : φ.obj c = φ.obj c
c' : C
hb : φ.obj c = φ.obj c
hb' : φ.obj c' = φ.obj c'
f : c ⟶ c'

⊢ Groupoid.inv f ≫ γ ≫ f ∈ S.arrows c' c'
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean

⊢ Gammaℝ 1 = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Deligne.lean

⊢ ↑π ^ (-1 / 2) * ↑π ^ (1 / 2) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i j : n
hij : i ≠ j

⊢ (A.updateRow i (A i + A j)).det = A.det
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
x x' : (Quotient.out o).α

⊢ typein (fun x x_1 => x < x_1) x ≤ typein (fun x x_1 => x < x_1) x' ↔ x ≤ x'
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
x x' : (Quotient.out o).α

⊢ ¬x' < x ↔ x ≤ x'
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
α : Type u_1
p q : ℚ≥0
h : q ≤ p

⊢ ↑q ≤ ↑p - 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hb : 1 < b
hx : 0 < x

⊢ logb b x ≤ y ↔ x ≤ b ^ y
-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : DecidableEq L
inst✝¹⁰ : Algebra R K
inst✝⁹ : IsFractionRing R K
inst✝⁸ : Algebra K L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : IsScalarTower R K L
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K' : Type u_4
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R K'
inst✝ : IsFractionRing R K'
I : ↥(Ideal R)⁰

⊢ (canonicalEquiv R⁰ K K') ↑((mk0 K) I) = ↑((mk0 K') I)
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s : Set α
hf : StrictMonoOn f s
a b : α
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s

⊢ f a < f b ↔ a < b
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
H : I.IsMaximal
x y : α
hxy : x * y ∈ I
hx : x ∉ I
J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)

⊢ y ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
H : I.IsMaximal
x y : α
hxy : x * y ∈ I
hx : x ∉ I
J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)
IJ : I ≤ J

⊢ y ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
H : I.IsMaximal
x y : α
hxy : x * y ∈ I
hx : x ∉ I
J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)
IJ : I ≤ J
xJ : x ∈ J

⊢ y ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
H : I.IsMaximal
x y : α
hxy : x * y ∈ I
hx : x ∉ I
J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)
IJ : I ≤ J
xJ : x ∈ J
left✝ : 1 ∉ I
oJ : ∀ (J : Ideal α) (x : α), I ≤ J → x ∉ I → x ∈ J → 1 ∈ J

⊢ y ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a b : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
H : I.IsMaximal
x y : α
hxy : x * y ∈ I
hx : x ∉ I
J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)
IJ : I ≤ J
xJ : x ∈ J
left✝ : 1 ∉ I
oJ : 1 ∈ J

⊢ y ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a✝ b✝ : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
H : I.IsMaximal
x y : α
hxy : x * y ∈ I
hx : x ∉ I
J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)
IJ : I ≤ J
xJ : x ∈ J
left✝ : 1 ∉ I
oJ : 1 ∈ J
a b : α
h : b ∈ Submodule.span α ↑I
oe : 1 = a • x + b

⊢ y ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a✝ b✝ : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
H : I.IsMaximal
x y : α
hxy : x * y ∈ I
hx : x ∉ I
J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)
IJ : I ≤ J
xJ : x ∈ J
left✝ : 1 ∉ I
oJ : 1 ∈ J
a b : α
h : b ∈ Submodule.span α ↑I
oe : 1 = a • x + b
F : y * 1 = y * (a • x + b)

⊢ y ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a✝ b✝ : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
H : I.IsMaximal
x y : α
hxy : x * y ∈ I
hx : x ∉ I
J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)
IJ : I ≤ J
xJ : x ∈ J
left✝ : 1 ∉ I
oJ : 1 ∈ J
a b : α
h : b ∈ Submodule.span α ↑I
oe : 1 = a • x + b
F : y * 1 = y * (a • x + b)

⊢ a * (x * y) + y * b ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
a✝ b✝ : α
inst✝ : CommSemiring α
I✝ I : Ideal α
H : I.IsMaximal
x y : α
hxy : x * y ∈ I
hx : x ∉ I
J : Ideal α := Submodule.span α (insert x ↑I)
IJ : I ≤ J
xJ : x ∈ J
left✝ : 1 ∉ I
oJ : 1 ∈ J
a b : α
h : b ∈ Submodule.span α ↑I
oe : 1 = a • x + b
F : y * 1 = y * (a • x + b)

⊢ b ∈ I
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/AbsConvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s : Set E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E

⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 s ∧ Convex ℝ s) id
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/AbsConvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s✝ : Set E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0 ∧ Convex ℝ s

⊢ ∃ i', (i' ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i' ∧ Convex ℝ i') ∧ id i' ⊆ id s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/AbsConvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s✝ : Set E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0 ∧ Convex ℝ s

⊢ (convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s) ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 ((convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s)) ∧ Convex ℝ ((convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s))
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/AbsConvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s✝ : Set E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0 ∧ Convex ℝ s

⊢ Balanced 𝕜 ((convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s)) ∧ Convex ℝ ((convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s))
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/AbsConvex.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
s✝ : Set E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module 𝕜 E
inst✝⁴ : Module ℝ E
inst✝³ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : LocallyConvexSpace ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 0 ∧ Convex ℝ s

⊢ Convex ℝ ((convexHull ℝ) (balancedCore 𝕜 s))
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
I : Box ι
π : Prepartition I
s : Finset (ι × ℝ)

⊢ π ⊓ splitMany I s = π.biUnion fun J => splitMany J s
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
I : Box ι
π : Prepartition I

⊢ π ⊓ splitMany I ∅ = π.biUnion fun J => splitMany J ∅
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I✝ J : Box ι
i : ι
x : ℝ
I : Box ι
π : Prepartition I
p : ι × ℝ
s : Finset (ι × ℝ)
a✝ : p ∉ s
ihp : π ⊓ splitMany I s = π.biUnion fun J => splitMany J s

⊢ π ⊓ splitMany I (insert p s) = π.biUnion fun J => splitMany J (insert p s)
-- Mathlib/Data/List/Cycle.lean
α : Type u_1
r : ℕ → ℕ → Prop
n : ℕ

⊢ Chain r ↑(range n.succ) ↔ r n 0 ∧ ∀ m < n, r m m.succ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n✝ : ℕ∞
n : ℕ

⊢ ContMDiffAt I I' (↑n) f x ↔ ∃ u ∈ 𝓝 x, ContMDiffOn I I' (↑n) f u
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : F ≃L[𝕜] G

⊢ ContDiffOn 𝕜 n (⇑e ∘ f) s ↔ ContDiffOn 𝕜 n f s