ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnected.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ↪o β
he : (range ⇑e).OrdConnected
x y : α

⊢ ⇑e '' Ico x y = Ico (e x) (e y)
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
a b x : α

⊢ x * ↑(sign x) = |x|
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, f' x ≤ 0
x : ℝ
hx : x ∈ interior D

⊢ deriv f x ≤ 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f f' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : ∀ x ∈ interior D, HasDerivWithinAt f (f' x) (interior D) x
hf'₀ : ∀ x ∈ interior D, f' x ≤ 0
x : ℝ
hx : x ∈ interior D

⊢ f' x ≤ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hR : 0 ≤ R
hf : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C

⊢ ‖(2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z‖ ≤ R * C
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hR : 0 ≤ R
hf : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
this : ‖(2 * ↑π * I)⁻¹‖ = (2 * π)⁻¹

⊢ ‖(2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z‖ ≤ R * C
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
R C : ℝ
hR : 0 ≤ R
hf : ∀ z ∈ sphere c R, ‖f z‖ ≤ C
this : ‖(2 * ↑π * I)⁻¹‖ = (2 * π)⁻¹

⊢ ‖∮ (z : ℂ) in C(c, R), f z‖ ≤ 2 * π * R * C
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x : M
y : ↥S

⊢ f.toMap ↑y * f.mk' x y = f.toMap x
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α
r : ℝ≥0

⊢ (r • s).singularPart μ = r • s.singularPart μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedLebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
s✝ t s : SignedMeasure α
μ : Measure α
r : ℝ≥0

⊢ ((r • s).toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure - ((r • s).toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure = (r • s.toJordanDecomposition.posPart.singularPart μ).toSignedMeasure - (r • s.toJordanDecomposition.negPart.singularPart μ).toSignedMeasure
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f g : Filter β
p q : β → Prop
u v : β → α
h : ∀ (x : β), p x → q x
a : α
ha : a ∈ {a | ∀ᶠ (x : β) in f, q x → a ≤ u x}

⊢ ∀ (x : β), (q x → a ≤ u x) → p x → a ≤ u x
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
h : I ≤ J
i : ι
x : ℝ

⊢ (split J i x).restrict I = split I i x
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
h : I ≤ J
i : ι
x : ℝ

⊢ ((split J i x).restrict I).boxes ⊆ (split I i x).boxes
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
h : I ≤ J
i : ι
x : ℝ

⊢ ∀ ⦃x_1 : Box ι⦄, (∃ J', (↑J' = ↑J ∩ {y | y i ≤ x} ∨ ↑J' = ↑J ∩ {y | x < y i}) ∧ ↑x_1 = ↑I ∩ ↑J') → ↑x_1 = ↑I ∩ {y | y i ≤ x} ∨ ↑x_1 = ↑I ∩ {y | x < y i}
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Split.lean
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
h : I ≤ J
i : ι
x : ℝ
this : ∀ (s : Set (ι → ℝ)), ↑I ∩ s ⊆ ↑J

⊢ ∀ ⦃x_1 : Box ι⦄, (∃ J', (↑J' = ↑J ∩ {y | y i ≤ x} ∨ ↑J' = ↑J ∩ {y | x < y i}) ∧ ↑x_1 = ↑I ∩ ↑J') → ↑x_1 = ↑I ∩ {y | y i ≤ x} ∨ ↑x_1 = ↑I ∩ {y | x < y i}
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
b₁ b₂ : ℕ
hb₁ : b₁ ≠ 0
hb₂ : b₂ ≠ 0

⊢ J(a | b₁ * b₂) = J(a | b₁) * J(a | b₂)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
b₁ b₂ : ℕ
hb₁ : b₁ ≠ 0
hb₂ : b₂ ≠ 0

⊢ (List.pmap (fun p pp => legendreSym p a) b₁.primeFactorsList ⋯).prod * (List.pmap (fun p pp => legendreSym p a) b₂.primeFactorsList ⋯).prod = J(a | b₁) * J(a | b₂)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a : ℤ
b₁ b₂ : ℕ
hb₁ : b₁ ≠ 0
hb₂ : b₂ ≠ 0

⊢ ∀ a ∈ b₁.primeFactorsList ++ b₂.primeFactorsList, Nat.Prime a
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Dihedral.lean
n : ℕ

⊢ Monoid.exponent (DihedralGroup n) = lcm n 2
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Dihedral.lean

⊢ Monoid.exponent (DihedralGroup 0) = lcm 0 2
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Dihedral.lean
n : ℕ
hn : NeZero n

⊢ Monoid.exponent (DihedralGroup n) = lcm n 2
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Dihedral.lean
n : ℕ
hn : NeZero n

⊢ Monoid.exponent (DihedralGroup n) ∣ lcm n 2
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Dihedral.lean
n : ℕ
hn : NeZero n

⊢ lcm n 2 ∣ Monoid.exponent (DihedralGroup n)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
a : ℕ
h : a ∈ f.eraseLead.support

⊢ a < f.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
a : ℕ
h : a ≠ f.natDegree ∧ a ∈ f.support

⊢ a < f.natDegree
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
E : Set α

⊢ thickenedIndicatorAux δ (closure E) = thickenedIndicatorAux δ E
-- Mathlib/Topology/LocallyClosed.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f✝ : X → Y
s : Set X
f : X → Y
hf : Embedding f

⊢ IsLocallyClosed s ↔ ∃ s', IsLocallyClosed s' ∧ s' ∩ range f = f '' s
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
hR : IsField R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsMaximal
x : R
hx : C x ∈ I

⊢ x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
hR : IsField R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsMaximal
x : R
hx : C x ∈ I
hx0 : ¬x = 0

⊢ 1 ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
hR : IsField R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsMaximal
x : R
hx : C x ∈ I
hx0 : ¬x = 0
y : R
hy : x * y = 1

⊢ 1 ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Ring R
hR : IsField R
I : Ideal R[X]
hI : I.IsMaximal
x : R
hx : C x ∈ I
hx0 : ¬x = 0
y : R
hy : x * y = 1

⊢ 1 = C y * C x
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.64946, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0

⊢ Mono S.g
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.64946, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
this : S.HasHomology

⊢ Mono S.g
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.64946, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
this✝ : S.HasHomology
this : Epi S.toCycles

⊢ Mono S.g
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.64946, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
this✝¹ : S.HasHomology
this✝ : Epi S.toCycles
this : S.iCycles = 0

⊢ Mono S.g
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.64946, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
this✝¹ : S.HasHomology
this✝ : Epi S.toCycles
this : S.iCycles = 0

⊢ ∀ {P : C} (g : P ⟶ S.X₂), g ≫ S.g = 0 → g = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.64946, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
hf : S.f = 0
this✝¹ : S.HasHomology
this✝ : Epi S.toCycles
this : S.iCycles = 0
A : C
x₂ : A ⟶ S.X₂
hx₂ : x₂ ≫ S.g = 0

⊢ x₂ = 0
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
x y : ℤ
n : ℕ
hxy : 4 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x

⊢ multiplicity 2 (x ^ 2 ^ n - y ^ 2 ^ n) = multiplicity 2 (x - y) + ↑n
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Basic.lean
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
M : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
A : ι → AddSubmonoid M
h : IsInternal A

⊢ iSup A = ⊤
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Basic.lean
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
M : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : AddCommMonoid M
A : ι → AddSubmonoid M
h : IsInternal A

⊢ Surjective ⇑(DFinsupp.sumAddHom fun i => (A i).subtype)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens

⊢ Nonempty ↑↑(↑U).toPresheafedSpace ↔ (↑U).Nonempty
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens

⊢ (∃ x, x ∈ U) ↔ (↑U).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K

⊢ Kᗮ = ⊥ ↔ K = ⊤
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K

⊢ Kᗮ = ⊥ → K = ⊤
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
h : Kᗮ = ⊥

⊢ K = ⊤
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : HasOrthogonalProjection K
h : Kᗮ = ⊥
this : K ⊔ Kᗮ = ⊤

⊢ K = ⊤
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a b c : Ordinal.{u_1}
ab : a < b

⊢ a ^ succ c < b ^ succ c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a b c : Ordinal.{u_1}
ab : a < b

⊢ a ^ c * a < b ^ c * b
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L

⊢ ∃ k, ↑(weightSpace M χ) ≤ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ k)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L

⊢ ↑(weightSpace M χ) ≤ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ ((toEnd R L M) x).maxGenEigenspaceIndex (χ x))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
m : M
hm : m ∈ ↑(weightSpace M χ)

⊢ m ∈ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ ((toEnd R L M) x).maxGenEigenspaceIndex (χ x))
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : LieRingModule L M
inst✝¹ : LieModule R L M
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : L → R
x : L
m : M
hm : m ∈ ((toEnd R L M) x).maxGenEigenspace (χ x)

⊢ m ∈ LinearMap.ker (((toEnd R L M) x - (algebraMap R (Module.End R M)) (χ x)) ^ ((toEnd R L M) x).maxGenEigenspaceIndex (χ x))
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ b ∈ Ico a b ↔ False
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
c : ChartedSpaceCore H M
e : PartialEquiv M H
he : e ∈ c.atlas

⊢ e.source ∈ ⋃ e ∈ c.atlas, ⋃ s, ⋃ (_ : IsOpen s), {↑e ⁻¹' s ∩ e.source}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
c : ChartedSpaceCore H M
e : PartialEquiv M H
he : e ∈ c.atlas

⊢ ∃ i ∈ c.atlas, ∃ i_1, IsOpen i_1 ∧ e.source = ↑i ⁻¹' i_1 ∩ i.source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
c : ChartedSpaceCore H M
e : PartialEquiv M H
he : e ∈ c.atlas

⊢ e.source = ↑e ⁻¹' univ ∩ e.source
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ

⊢ centralMoment X 2 μ = variance X μ
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hX : Memℒp X 2 μ

⊢ centralMoment X 2 μ = ∫ (x : Ω), ((X - fun x => ∫ (x : Ω), X x ∂μ) ^ 2) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Operations.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
s t : Set α
h : s ⊆ t
m m' : OuterMeasure α
hm : m ≤ m'
u : Set α

⊢ ((restrict s) m) u ≤ ((restrict t) m') u
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Operations.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : OuterMeasure α
s t : Set α
h : s ⊆ t
m m' : OuterMeasure α
hm : m ≤ m'
u : Set α

⊢ m (u ∩ s) ≤ m' (u ∩ t)
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝² : Field F
K : Type v
inst✝¹ : Field K
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
f : ι → F

⊢ (∀ x ∈ univ, ∀ y ∈ univ, f x = f y → x = y) ↔ Function.Injective f
-- Mathlib/Data/Matrix/Invertible.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
A : Matrix m n α
B : Matrix n n α
inst✝ : Invertible B

⊢ A * ⅟B * B = A
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α

⊢ TendstoUniformlyOn F f p {x} ↔ Tendsto (fun n => F n x) p (𝓝 (f x))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α

⊢ (∀ s ∈ 𝓤 β, (fun q => (f q.2, F q.1 q.2)) ⁻¹' s ∈ p ×ˢ 𝓟 {x}) ↔ ∀ s ∈ 𝓤 β, (fun x_1 => (f x, F x_1 x)) ⁻¹' s ∈ p
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hn : 2 ≤ n
h : n ≤ b

⊢ clog b n = 1
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b n : ℕ
hn : 2 ≤ n
h : n ≤ b

⊢ (n + b - 1) / b ≤ 1
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set α
f : α → Set X
hs : s.Finite
h : ∀ i ∈ s, IsClosed (f i)

⊢ IsClosed (⋃ i ∈ s, f i)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s✝ s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
s : Set α
f : α → Set X
hs : s.Finite
h : ∀ i ∈ s, IsOpen (f i)ᶜ

⊢ IsOpen (⋂ i ∈ s, (f i)ᶜ)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Presheaf/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
J : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J
F : J ⥤ PresheafOfModules R
inst✝ : ∀ (X : Cᵒᵖ), Small.{v, max u₂ v} ↑((F ⋙ evaluation R X) ⋙ forget (ModuleCat ↑(R.obj X))).sections
i j : J
f : i ⟶ j
X : Cᵒᵖ

⊢ Hom.app (limitConeπApp F i ≫ F.map f) X = Hom.app (limitConeπApp F j) X
-- Mathlib/Algebra/Ring/Basic.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Ring α

⊢ NoZeroDivisors α ↔ IsDomain α ∨ Subsingleton α
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulStrictMono α
H : 0 < a

⊢ 0 < a ^ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring α
inst✝³ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
H : 0 < a
inst✝ : Nontrivial α

⊢ 0 < a ^ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝⁴ : Semiring α
inst✝³ : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝² : ZeroLEOneClass α
inst✝¹ : PosMulStrictMono α
H : 0 < a
inst✝ : Nontrivial α

⊢ 0 < 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulStrictMono α
H : 0 < a
n : ℕ

⊢ 0 < a ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝³ : Semiring α
inst✝² : PartialOrder α
a b c d : α
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : PosMulStrictMono α
H : 0 < a
n : ℕ

⊢ 0 < a ^ n * a
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : DecidableEq β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : NoZeroSMulDivisors α β
ha : a ≠ 0

⊢ 0 ∈ a • t ↔ 0 ∈ t
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Multiset α
a b : α
h : s ≤ t

⊢ s ∪ t = t
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
b c : α
h : b = c
a : α

⊢ a = b ↔ a = c
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L

⊢ N = ⊥ ↔ ∀ m ∈ N, m = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L

⊢ N ≤ ⊥ ↔ ∀ m ∈ N, m = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WideEqualizers.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
j₁ j₂ : J
t : Cotrident f

⊢ f j₁ ≫ t.π = f j₂ ≫ t.π
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃

⊢ IsIso φ.τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this : Mono S₁.f

⊢ IsIso φ.τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this✝ : Mono S₁.f
this : Mono S₂.f

⊢ IsIso φ.τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this✝¹ : Mono S₁.f
this✝ : Mono S₂.f
this : Epi S₁.g

⊢ IsIso φ.τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this✝² : Mono S₁.f
this✝¹ : Mono S₂.f
this✝ : Epi S₁.g
this : Epi S₂.g

⊢ IsIso φ.τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this✝³ : Mono S₁.f
this✝² : Mono S₂.f
this✝¹ : Epi S₁.g
this✝ : Epi S₂.g
this : Mono φ.τ₂

⊢ IsIso φ.τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ShortExact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁴ : Category.{?u.12624, u_2} D
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : Balanced C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.ShortExact
h₂ : S₂.ShortExact
inst✝¹ : IsIso φ.τ₁
inst✝ : IsIso φ.τ₃
this✝⁴ : Mono S₁.f
this✝³ : Mono S₂.f
this✝² : Epi S₁.g
this✝¹ : Epi S₂.g
this✝ : Mono φ.τ₂
this : Epi φ.τ₂

⊢ IsIso φ.τ₂
-- Mathlib/RingTheory/Finiteness.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
P : Type u_3
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
sb : Submodule R M
sc : Submodule R P
hsb : sb.FG
hsc : sc.FG
tb : Set M
htb : tb.Finite ∧ span R tb = sb
tc : Set P
htc : tc.Finite ∧ span R tc = sc

⊢ span R (⇑(LinearMap.inl R M P) '' tb ∪ ⇑(LinearMap.inr R M P) '' tc) = sb.prod sc
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
d : ℝ := ∑' (k : ℕ), 1 / ↑(k + 1) ^ 2

⊢ ∃ c, ∀ (n : ℕ), Real.log (stirlingSeq 1) - Real.log (stirlingSeq (n + 1)) ≤ c
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
d : ℝ := ∑' (k : ℕ), 1 / ↑(k + 1) ^ 2

⊢ ∀ (n : ℕ), Real.log (stirlingSeq 1) - Real.log (stirlingSeq (n + 1)) ≤ 1 / 4 * d
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
d : ℝ := ∑' (k : ℕ), 1 / ↑(k + 1) ^ 2
log_stirlingSeq' : ℕ → ℝ := fun k => Real.log (stirlingSeq (k + 1))
n : ℕ

⊢ Real.log (stirlingSeq 1) - Real.log (stirlingSeq (n + 1)) ≤ 1 / 4 * d
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
d : ℝ := ∑' (k : ℕ), 1 / ↑(k + 1) ^ 2
log_stirlingSeq' : ℕ → ℝ := fun k => Real.log (stirlingSeq (k + 1))
n : ℕ
h₁ : ∀ (k : ℕ), log_stirlingSeq' k - log_stirlingSeq' (k + 1) ≤ 1 / 4 * (1 / ↑(k + 1) ^ 2)

⊢ Real.log (stirlingSeq 1) - Real.log (stirlingSeq (n + 1)) ≤ 1 / 4 * d
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
d : ℝ := ∑' (k : ℕ), 1 / ↑(k + 1) ^ 2
log_stirlingSeq' : ℕ → ℝ := fun k => Real.log (stirlingSeq (k + 1))
n : ℕ
h₁ : ∀ (k : ℕ), log_stirlingSeq' k - log_stirlingSeq' (k + 1) ≤ 1 / 4 * (1 / ↑(k + 1) ^ 2)
h₂ : ∑ k ∈ range n, 1 / ↑(k + 1) ^ 2 ≤ d

⊢ Real.log (stirlingSeq 1) - Real.log (stirlingSeq (n + 1)) ≤ 1 / 4 * d
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
p : Fin 3 → P
hpi : Function.Injective p
t : Triangle ℝ P
hps : Set.range p ⊆ insert t.orthocenter (Set.range t.points)
hto : t.orthocenter ∉ Set.range t.points
hst : s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)

⊢ AffineIndependent ℝ p