ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
hf : f.Monic

⊢ (AdjoinRoot.isAdjoinRootMonic f hf).root = root f
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/HashMap/WF.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
m : Imp α β
h : m.WF

⊢ m.size = m.buckets.size ∧ m.buckets.WF
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
i : QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ
t : Set α
fund_dom_t : IsFundamentalDomain G t ν
U : Set (Quotient α_mod_G)
meas_U : MeasurableSet U

⊢ μ U = ν (Quotient.mk α_mod_G ⁻¹' U ∩ t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Pseudofunctor.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ F : Pseudofunctor B C
a b : B
f : a ⟶ b

⊢ F.map f ◁ (F.mapId b).hom = (F.mapComp f (𝟙 b)).inv ≫ F.map₂ (ρ_ f).hom ≫ (ρ_ (F.map f)).inv
-- Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
i j : ι
hij : p i = p j

⊢ p i ∈ (convexHull 𝕜) (p '' {j})
-- Mathlib/Analysis/Convex/Independent.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
s t : Set E
p : ι → E
hc : ConvexIndependent 𝕜 p
i j : ι
hij : p i = p j

⊢ p j ∈ {p j}
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)

⊢ norm 1 = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h1 : ¬1 ≈ 0

⊢ norm 1 = 1
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/Nat/Gcd.lean
m k n : Nat
H1 : m.Coprime k

⊢ (m ^ n).Coprime k
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R

⊢ ↑μ * ↑ζ = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyBijective.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} A
inst✝¹ : ConcreteCategory A
inst✝ : J.WEqualsLocallyBijective A
X Y : Cᵒᵖ ⥤ A
f : X ⟶ Y

⊢ J.W f ↔ Presheaf.IsLocallyInjective J f ∧ Presheaf.IsLocallySurjective J f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → δ
hf : MeasurableEmbedding f
g : δ → β

⊢ Integrable g (Measure.map f μ) ↔ Integrable (g ∘ f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/L1Space.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → δ
hf : MeasurableEmbedding f
g : δ → β

⊢ Memℒp g 1 (Measure.map f μ) ↔ Memℒp (g ∘ f) 1 μ
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I J K L : Ideal R✝
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x y : R

⊢ span {x} ⊔ span {y} = ⊤ ↔ IsCoprime x y
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R✝ : Type u
ι : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R✝
I J K L : Ideal R✝
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x y : R

⊢ (∃ y_1 ∈ span {x}, ∃ z ∈ span {y}, y_1 + z = 1) ↔ IsCoprime x y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Complex.lean
x : ℂ
n : ℤ

⊢ x ^ ↑n = x ^ n
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)

⊢ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k

⊢ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p

⊢ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p

⊢ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
a b c d : ℕ
hmin : ∀ m < 1, ¬(m < p ∧ 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p)
hmp : 1 < p
hm₀ : 0 < 1
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 * p

⊢ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
hm₁ : 1 < m

⊢ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = p
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Prime p
this : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
hm₁ : 1 < m

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
p : ℕ
hp : Prime p
this✝ : Fact (Prime p)
natAbs_iff : ∀ {a b c d : ℤ} {k : ℕ}, a.natAbs ^ 2 + b.natAbs ^ 2 + c.natAbs ^ 2 + d.natAbs ^ 2 = k ↔ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = ↑k
hm : ∃ m < p, 0 < m ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
m : ℕ
hmin : ∀ m_1 < m, ¬(m_1 < p ∧ 0 < m_1 ∧ ∃ a b c d, a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m_1 * p)
hmp : m < p
hm₀ : 0 < m
a b c d : ℕ
habcd : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = m * p
hm₁ : 1 < m
this : NeZero m

⊢ False
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
s : Finset α
hf : ∀ (a : α), Injective (f a)
a : α
ha : a ∈ s

⊢ t.card ≤ (image₂ f s t).card
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a✝ a' : α
b b' : β
c : γ
s : Finset α
hf : ∀ (a : α), Injective (f a)
a : α
ha : a ∈ s

⊢ (image₂ f {a} t).card ≤ (image₂ f s t).card
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
hs : s.Finite

⊢ IsClosed s
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : T1Space X
s : Set X
hs : s.Finite

⊢ IsClosed (⋃ x ∈ s, {x})
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂

⊢ f₁ =o[l] g₁ ↔ f₂ =o[l] g₂
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Asymptotics.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
f₁ f₂ : α → E
g₁ g₂ : α → F
hf : f₁ =ᶠ[l] f₂
hg : g₁ =ᶠ[l] g₂

⊢ (∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₁ g₁) ↔ ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → IsBigOWith c l f₂ g₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
n : Type u_2
inst✝¹ : Fintype n
A : Matrix n n 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
hA : A.IsHermitian
j : n

⊢ star ↑hA.eigenvectorUnitary *ᵥ (WithLp.equiv 2 ((i : n) → (fun x => 𝕜) i)) (hA.eigenvectorBasis j) = Pi.single j 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x✝ x : α
xs : List α

⊢ (x :: xs).formPerm ((x :: xs).nthLe xs.length ⋯) = x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : Nonempty Ω
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : FiniteMeasure Ω
nonzero : μ ≠ 0
s : Set Ω

⊢ μ.normalize s = μ.mass⁻¹ * μ s
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b c n : ℕ
hc : 1 < c
hb : c ≤ b

⊢ clog b n ≤ clog c n
-- Mathlib/Data/Nat/Log.lean
b c n : ℕ
hc : 1 < c
hb : c ≤ b

⊢ n ≤ b ^ clog c n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
r : R
n k : ℕ

⊢ ((X + C r) ^ n).coeff k = r ^ (n - k) * ↑(n.choose k)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
r : R
n k : ℕ

⊢ ∑ x ∈ range (n + 1), (lcoeff R k) (X ^ x * C r ^ (n - x) * ↑(n.choose x)) = r ^ (n - k) * ↑(n.choose k)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
r : R
n k : ℕ

⊢ ∑ x ∈ range (n + 1), (X ^ x).coeff k * r ^ (n - x) * ↑(n.choose x) = r ^ (n - k) * ↑(n.choose k)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
r : R
n k : ℕ

⊢ ∀ b ∈ range (n + 1), b ≠ k → (X ^ b).coeff k * r ^ (n - b) * ↑(n.choose b) = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
r : R
n k : ℕ

⊢ k ∉ range (n + 1) → (X ^ k).coeff k * r ^ (n - k) * ↑(n.choose k) = 0
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c

⊢ a ≡ b [MOD m / m.gcd c]
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m

⊢ a ≡ b [MOD m / m.gcd c]
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c

⊢ a ≡ b [MOD m / m.gcd c]
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c

⊢ ↑(m / m.gcd c) ∣ ↑b - ↑a
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c

⊢ ↑m / ↑d ∣ ↑c / ↑d * (↑b - ↑a)
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m n a b c d✝ : ℕ
hm : 0 < m
h : c * a ≡ c * b [MOD m]
d : ℕ := m.gcd c
hmd : m.gcd c ∣ m
hcd : m.gcd c ∣ c

⊢ (↑m / ↑d).gcd (↑c / ↑d) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
K : Type u_1
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : NumberField K
b : Basis ι ℚ K
b' : Basis ι' ℚ K
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), IsIntegral ℤ (b.toMatrix (⇑b') i j)
h' : ∀ (i : ι') (j : ι), IsIntegral ℤ (b'.toMatrix (⇑b) i j)

⊢ discr ℚ ⇑b = discr ℚ ⇑b'
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/Discriminant.lean
ι : Type u_2
ι' : Type u_3
K : Type u_1
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype ι'
inst✝ : NumberField K
b : Basis ι ℚ K
b' : Basis ι' ℚ K
h : ∀ (i : ι) (j : ι'), IsIntegral ℤ (b.toMatrix (⇑b') i j)
h' : ∀ (i j : ι'), IsIntegral ℤ (b'.toMatrix (⇑(b.reindex (b.indexEquiv b'))) i j)

⊢ discr ℚ ⇑b = discr ℚ ⇑b'
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
s✝ t : Multiset α
a : α
m : Multiset ι
f✝ g✝ : ι → α
inst✝ : CommMonoid β
s : Multiset ι
r : α → β → Prop
f : ι → α
g : ι → β
h₁ : r 1 1
h₂ : ∀ ⦃a : ι⦄ ⦃b : α⦄ ⦃c : β⦄, r b c → r (f a * b) (g a * c)
l : List ι

⊢ r (map f ⟦l⟧).prod (map g ⟦l⟧).prod
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty

⊢ (⋂₀ ↑F).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty

⊢ ∀ G ⊆ F, G.card ≤ finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1

⊢ (⋂₀ ↑I).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Finset (Set E)
left✝ : I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1

⊢ (⋂₀ ↑I).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Finset (Set E)
left✝ : I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1
this : ⋂₀ ↑J ⊆ ⋂₀ ↑I

⊢ (⋂₀ ↑I).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
F : Finset (Set E)
h_card : finrank 𝕜 E + 1 ≤ F.card
h_convex : ∀ X ∈ F, Convex 𝕜 X
h_inter : ∀ G ⊆ F, G.card = finrank 𝕜 E + 1 → (⋂₀ ↑G).Nonempty
I : Finset (Set E)
hI_ss : I ⊆ F
hI_card : I.card ≤ finrank 𝕜 E + 1
J : Finset (Set E)
left✝ : I ⊆ J
hJ_ss : J ⊆ F
hJ_card : J.card = finrank 𝕜 E + 1
this : ⋂₀ ↑J ⊆ ⋂₀ ↑I

⊢ (⋂₀ ↑J).Nonempty
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : Group G'
inst✝⁴ : Group G''
A : Type u_4
inst✝³ : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝² : Group N
inst✝¹ : Group P
K : Subgroup G
M : Type u_7
inst✝ : MulOneClass M
f : G →* M
h : f.ker = ⊥
x y : G
hxy : f x = f y

⊢ x = y
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroupFinsupp.lean
X : Type u_1
k : ℕ
h : k ≠ 0
a : FreeAbelianGroup X

⊢ (k • a).support = a.support
-- Mathlib/GroupTheory/FreeAbelianGroupFinsupp.lean
X : Type u_1
k : ℕ
h : k ≠ 0
a : FreeAbelianGroup X

⊢ ↑k ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝³ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝² : GradedAlgebra ℬ
C : Type ?u.815509
inst✝¹ : Ring C
inst✝ : Algebra R C
i j : ι
a : ↥(𝒜 i)
b : ↥(ℬ j)

⊢ (auxEquiv R ℬ 𝒜) ((comm 𝒜 ℬ) (↑a ᵍ⊗ₜ[R] ↑b)) = (auxEquiv R ℬ 𝒜) ((-1) ^ (j * i) • ↑b ᵍ⊗ₜ[R] ↑a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝³ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝² : GradedAlgebra ℬ
C : Type ?u.815509
inst✝¹ : Ring C
inst✝ : Algebra R C
i j : ι
a : ↥(𝒜 i)
b : ↥(ℬ j)

⊢ ↑↑((-1) ^ (j * i)) • (lof R ι (fun x => ↥(ℬ x)) j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι (fun x => ↥(𝒜 x)) i) a = (auxEquiv R ℬ 𝒜) (↑↑((-1) ^ (j * i)) • ↑b ᵍ⊗ₜ[R] ↑a)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/Internal.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring A
inst✝⁶ : Ring B
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
𝒜 : ι → Submodule R A
ℬ : ι → Submodule R B
inst✝³ : GradedAlgebra 𝒜
inst✝² : GradedAlgebra ℬ
C : Type ?u.815509
inst✝¹ : Ring C
inst✝ : Algebra R C
i j : ι
a : ↥(𝒜 i)
b : ↥(ℬ j)

⊢ ↑↑((-1) ^ (j * i)) • (lof R ι (fun x => ↥(ℬ x)) j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι (fun x => ↥(𝒜 x)) i) a = ↑↑((-1) ^ (j * i)) • (decompose ℬ) ↑b ⊗ₜ[R] (decompose 𝒜) ↑a
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D
F : C ⥤ D
ι : Type u_3
c : ComplexShape ι
inst✝¹⁰ : Preadditive C
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : CategoryWithHomology C
inst✝⁷ : CategoryWithHomology D
inst✝⁶ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝⁵ : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization
inst✝⁴ : F.Additive
inst✝³ : F.PreservesHomology
inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C
inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D
inst✝ : (HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)
K : HomologicalComplex C c

⊢ (Localization.liftNatTrans (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomotopyCategory.quotient C c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh ⋙ F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c) (HomotopyCategory.quotient C c ⋙ F.mapHomotopyCategory c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh) (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh ⋙ F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c) (F.mapHomotopyCategory c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh) (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom).app ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K) = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map ((HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso C c).hom.app K) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso D c).inv.app ((F.mapHomologicalComplex c).obj K) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map ((F.mapHomotopyCategoryFactors c).inv.app K)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D
F : C ⥤ D
ι : Type u_3
c : ComplexShape ι
inst✝¹⁰ : Preadditive C
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : CategoryWithHomology C
inst✝⁷ : CategoryWithHomology D
inst✝⁶ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝⁵ : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization
inst✝⁴ : F.Additive
inst✝³ : F.PreservesHomology
inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C
inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D
inst✝ : (HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)
K : HomologicalComplex C c

⊢ (Localization.Lifting.iso (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomotopyCategory.quotient C c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh ⋙ F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c) (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh ⋙ F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c)).hom.app K ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (Localization.Lifting.iso (HomotopyCategory.quotient C c) (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c) (HomotopyCategory.quotient C c ⋙ F.mapHomotopyCategory c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh) (F.mapHomotopyCategory c ⋙ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh)).inv.app K = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map ((HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso C c).hom.app K) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso D c).inv.app ((F.mapHomologicalComplex c).obj K) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map ((F.mapHomotopyCategoryFactors c).inv.app K)
-- Mathlib/Algebra/Homology/Localization.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹² : Category.{u_4, u_1} C
inst✝¹¹ : Category.{u_6, u_2} D
F : C ⥤ D
ι : Type u_3
c : ComplexShape ι
inst✝¹⁰ : Preadditive C
inst✝⁹ : Preadditive D
inst✝⁸ : CategoryWithHomology C
inst✝⁷ : CategoryWithHomology D
inst✝⁶ : (HomologicalComplex.quasiIso C c).HasLocalization
inst✝⁵ : (HomologicalComplex.quasiIso D c).HasLocalization
inst✝⁴ : F.Additive
inst✝³ : F.PreservesHomology
inst✝² : c.QFactorsThroughHomotopy C
inst✝¹ : c.QFactorsThroughHomotopy D
inst✝ : (HomotopyCategory.quotient C c).IsLocalization (HomologicalComplex.homotopyEquivalences C c)
K : HomologicalComplex C c

⊢ 𝟙 ((F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).obj (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K))) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ 𝟙 (HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.obj ((HomotopyCategory.quotient D c).obj ((F.mapHomologicalComplex c).obj ((HomotopyCategory.quotient C c).obj K).as))) = (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIso c).map ((HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso C c).hom.app K) ≫ (F.mapHomologicalComplexUpToQuasiIsoFactors c).hom.app K ≫ (HomologicalComplexUpToQuasiIso.quotientCompQhIso D c).inv.app ((F.mapHomologicalComplex c).obj K) ≫ HomologicalComplexUpToQuasiIso.Qh.map ((F.mapHomotopyCategoryFactors c).inv.app K)