ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ◁ T.mul ≫ actRight P Q = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ ((P.X ⊗ Q.X) ◁ T.mul ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X) ≫ actRight P Q = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ (P.X ⊗ Q.X) ◁ T.mul ≫ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ (((α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ P.X ◁ Q.X ◁ T.mul) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ (α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ (P.X ◁ (α_ Q.X T.X T.X).inv ≫ P.X ◁ Q.actRight ▷ T.X ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ (T.X ⊗ T.X) ≫ (α_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X T.X).inv ≫ actRight P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ (α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ (P.X ◁ (α_ Q.X T.X T.X).inv ≫ P.X ◁ Q.actRight ▷ T.X ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (((α_ (P.X ⊗ Q.X) T.X T.X).inv ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X ▷ T.X) ≫ actRight P Q ▷ T.X) ≫ actRight P Q
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ (α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ (P.X ◁ (α_ Q.X T.X T.X).inv ≫ P.X ◁ Q.actRight ▷ T.X ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ (P.X ⊗ Q.X) T.X T.X).inv ≫ ((α_ P.X Q.X T.X).hom ▷ T.X ≫ (P.X ◁ Q.actRight) ▷ T.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X) ≫ actRight P Q
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ (α_ P.X Q.X (T.X ⊗ T.X)).hom ≫ (P.X ◁ (α_ Q.X T.X T.X).inv ≫ P.X ◁ Q.actRight ▷ T.X ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ (P.X ⊗ Q.X) T.X T.X).inv ≫ (α_ P.X Q.X T.X).hom ▷ T.X ≫ (P.X ◁ Q.actRight) ▷ T.X ≫ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι

⊢ MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω = i} ∪ {ω | i < τ ω}

⊢ MeasurableSet {ω | i ≤ τ ω}
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : LinearOrder ι
f : Filtration ι m
τ π : Ω → ι
inst✝² : TopologicalSpace ι
inst✝¹ : OrderTopology ι
inst✝ : FirstCountableTopology ι
hτ : IsStoppingTime f τ
i : ι
this : {ω | i ≤ τ ω} = {ω | τ ω = i} ∪ {ω | i < τ ω}

⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω = i} ∪ {ω | i < τ ω})
-- Mathlib/Algebra/Order/CompleteField.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q : ℚ
b : β

⊢ inducedMap γ β (inducedMap β γ b) = b
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ A, P x ↑f
h : ∀ᶠ (z : X) in 𝓝ˢ A, g z = f z

⊢ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ A, P x ↑g
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y

⊢ ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑g
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
x : X
hx : x ∈ A

⊢ ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑g
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
x : X
hx : x ∈ A

⊢ ∀ (x : X), (P x ↑f ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 x, g x = f x) → P x ↑g
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
x : X
hx : x ∈ A
y : X
hy : P y ↑f ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 y, g x = f x

⊢ P y ↑g
-- Mathlib/Topology/Germ.lean
F : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
inst✝ : TopologicalSpace X
f g : X → Y
A : Set X
x✝ : X
P : (x : X) → (𝓝 x).Germ Y → Prop
hf : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, P y ↑f
h : ∀ x ∈ A, ∀ᶠ (y : X) in 𝓝 x, g y = f y
x : X
hx : x ∈ A
y : X
hy : P y ↑f ∧ ∀ᶠ (x : X) in 𝓝 y, g x = f x

⊢ ↑g = ↑f
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P

⊢ dist a c * dist b d ≤ dist a b * dist c d + dist b c * dist a d
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
b c d : P

⊢ dist b c * dist b d ≤ dist b b * dist c d + dist b c * dist b d
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P
hb : b ≠ a

⊢ dist a c * dist b d ≤ dist a b * dist c d + dist b c * dist a d
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
b c d : P
hb : b ≠ c

⊢ dist c c * dist b d ≤ dist c b * dist c d + dist b c * dist c d
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P
hb : b ≠ a
hc : c ≠ a

⊢ dist a c * dist b d ≤ dist a b * dist c d + dist b c * dist a d
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
b c d : P
hb : b ≠ d
hc : c ≠ d

⊢ dist d c * dist b d ≤ dist d b * dist c d + dist b c * dist d d
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P
hb : b ≠ a
hc : c ≠ a
hd : d ≠ a

⊢ dist a c * dist b d ≤ dist a b * dist c d + dist b c * dist a d
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P
hb : b ≠ a
hc : c ≠ a
hd : d ≠ a
H : dist (inversion a 1 b) (inversion a 1 d) ≤ dist (inversion a 1 b) (inversion a 1 c) + dist (inversion a 1 c) (inversion a 1 d)

⊢ dist a c * dist b d ≤ dist a b * dist c d + dist b c * dist a d
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P
hb : b ≠ a
hc : c ≠ a
hd : d ≠ a
H : 1 / (dist b a * dist d a) * dist b d ≤ 1 / (dist b a * dist c a) * dist b c + 1 / (dist c a * dist d a) * dist c d

⊢ dist a c * dist b d ≤ dist a b * dist c d + dist b c * dist a d
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P
hb : 0 < dist b a
hc : 0 < dist c a
hd : 0 < dist d a
H : 1 / (dist b a * dist d a) * dist b d ≤ 1 / (dist b a * dist c a) * dist b c + 1 / (dist c a * dist d a) * dist c d

⊢ dist a c * dist b d ≤ dist a b * dist c d + dist b c * dist a d
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a✝ b✝ c✝ d✝ x y z : P
r R : ℝ
a b c d : P
hb : 0 < dist b a
hc : 0 < dist c a
hd : 0 < dist d a
H : 1 / (dist b a * dist d a) * dist b d ≤ 1 / (dist b a * dist c a) * dist b c + 1 / (dist c a * dist d a) * dist c d

⊢ dist a c * dist b d / (dist b a * (dist c a * dist d a)) ≤ (dist a b * dist c d + dist b c * dist a d) / (dist b a * (dist c a * dist d a))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ

⊢ volume (Metric.closedBall x r) = ENNReal.ofReal r ^ finrank ℝ E * ENNReal.ofReal (√π ^ finrank ℝ E / Gamma (↑(finrank ℝ E) / 2 + 1))
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
u : α → β
hu : UniformInducing u
x : X

⊢ EquicontinuousAt F x ↔ EquicontinuousAt ((fun x => u ∘ x) ∘ F) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : Real.Angle

⊢ ↑(↑r * (↑θ.cos + ↑θ.sin * I)).arg = θ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ

⊢ ↑(↑r * (↑(↑θ).cos + ↑(↑θ).sin * I)).arg = ↑θ
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ

⊢ ∃ k, (↑r * (↑(Real.cos θ) + ↑(Real.sin θ) * I)).arg - θ = 2 * π * ↑k
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z : ℂ
r : ℝ
hr : 0 < r
θ : ℝ

⊢ (↑r * (↑(Real.cos θ) + ↑(Real.sin θ) * I)).arg - θ = 2 * π * ↑⌊(π - θ) / (2 * π)⌋
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
a b : G

⊢ a⁻¹ * b * a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
inst✝¹ : IsIso a
inst✝ : Mono f

⊢ IsPullback a a f f
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
inst✝¹ : IsIso a
inst✝ : Mono f

⊢ a = a ≫ 𝟙 X
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/KernelPair.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
inst✝¹ : IsIso a
inst✝ : Mono f

⊢ f = 𝟙 X ≫ f
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
m : ℤ
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ x + ↑n * ↑m ≤ (⇑f)^[n] x ↔ x + ↑m ≤ f x
-- Mathlib/Data/Nat/Prime/Basic.lean
n✝ p : ℕ
hp : Prime p
h2 : p ≠ 2
n : ℕ
hn : p = 2 * n + 1

⊢ p - 1 = n + n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r✝ : R[X]
hp : p.Monic
r : R[X]
h0 : p * r ≠ 0
hl : (p * r).natDegree < p.natDegree

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
p r✝ : R[X]
hp : p.Monic
r : R[X]
h0 : p * r ≠ 0
hl : p.natDegree + r.natDegree < p.natDegree

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ

⊢ lcs k N₁ ≤ N₂ ↔ N₁ ≤ ucs k N₂
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ

⊢ k = 0 + k
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
hQz : Q z ≠ 0

⊢ W'.add P Q = (P x * Q z) • Q
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : FaithfulSMul G α
inst✝ : FaithfulSMul M α
g h : G
ne_one : g ≠ 1
disjoint : Disjoint (fixedBy α g)ᶜ (h • (fixedBy α g)ᶜ)

⊢ ¬Commute g h
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : FaithfulSMul G α
inst✝ : FaithfulSMul M α
g h : G
disjoint : Disjoint (fixedBy α g)ᶜ (h • (fixedBy α g)ᶜ)
comm : Commute g h

⊢ g = 1
-- Mathlib/Data/Int/Lemmas.lean
a✝ b✝ : ℤ
n : ℕ
a b : ℤ
ha : 0 ≤ a
hb : b ≤ 0

⊢ a.natAbs = b.natAbs ↔ a = -b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hlead : f.eraseLead ≠ 0
hnext : f.nextCoeff = 0

⊢ 2 ≤ f.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hnext : f.nextCoeff = 0
hlead : f.natDegree < 2

⊢ f.eraseLead = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
hnext : f.nextCoeff = 0
hlead : (∃ x, C x = f) ∨ ∃ a, a ≠ 0 ∧ ∃ b, C a * X + C b = f

⊢ f.eraseLead = 0
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
r' : Cofix F → Cofix F → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F
rxy : r x y

⊢ x = y
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
r' : Cofix F → Cofix F → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F
rxy : r x y

⊢ ∀ (x : Cofix F), r' x x
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
r' : Cofix F → Cofix F → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F
rxy : r x y

⊢ ∀ (x y : Cofix F), r' x y → Quot.mk r' <$> x.dest = Quot.mk r' <$> y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Univariate/Basic.lean
F : Type u → Type u
q : QPF F
r : Cofix F → Cofix F → Prop
h : ∀ (x y : Cofix F), r x y → Quot.mk r <$> x.dest = Quot.mk r <$> y.dest
r' : Cofix F → Cofix F → Prop := fun x y => x = y ∨ r x y
x y : Cofix F
rxy : r x y

⊢ r' x y
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ

⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ

⊢ μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ ⋃ b, spanningSets μ b) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ

⊢ ∀ (i : ℕ), μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ spanningSets μ i) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
n : ℕ

⊢ μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ spanningSets μ n) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
n : ℕ
h_meas_n : MeasurableSet (S n)

⊢ μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ spanningSets μ n) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
n : ℕ
h_meas_n : MeasurableSet (S n)
hμn : μ (S n) < ⊤

⊢ μ ({a | ¬f a = 0 a} ∩ spanningSets μ n) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → E
hf_int_finite : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn f s μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
S : ℕ → Set α := spanningSets μ
n : ℕ
h_meas_n : MeasurableSet (S n)
hμn : μ (S n) < ⊤

⊢ (μ.restrict (S n)) {a | ¬f a = 0 a} = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℕ
ha : IsUnit A.det
h : n ≤ m

⊢ A ^ (m - n) = A ^ m * (A ^ n)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
m n : ℕ
ha : IsUnit A.det
h : n ≤ m

⊢ IsUnit (A ^ n).det
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
ht : μ tᶜ = 0

⊢ μ (s ∩ t) = μ s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ Real.sin (angle x y + angle x (x - y) + angle y (y - x)) = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ Real.sin (angle x y) * -Real.cos (angle x y) + Real.cos (angle x y) * Real.sin (angle x y) = 0
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)

⊢ ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval C)) ↔ ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C))