ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ReflectsPrecoherent.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Precoherent D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
B₁ B₂ : C
f : B₂ ⟶ B₁
α : Type
x✝¹ : Finite α
X₁ : α → C
π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁
x✝ : EffectiveEpiFamily X₁ π₁
β : Type
w✝ : Finite β
Y₂ : β → D
τ₂ : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj B₂
H : EffectiveEpiFamily Y₂ τ₂
i : β → α
ι : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj (X₁ (i b))
hh : ∀ (b : β), ι b ≫ F.map (π₁ (i b)) = τ₂ b ≫ F.map f

⊢ ∃ β, ∃ (_ : Finite β), ∃ X₂ π₂, EffectiveEpiFamily X₂ π₂ ∧ ∃ i ι, ∀ (b : β), ι b ≫ π₁ (i b) = π₂ b ≫ f
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ReflectsPrecoherent.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Precoherent D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
B₁ B₂ : C
f : B₂ ⟶ B₁
α : Type
x✝¹ : Finite α
X₁ : α → C
π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁
x✝ : EffectiveEpiFamily X₁ π₁
β : Type
w✝ : Finite β
Y₂ : β → D
τ₂ : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj B₂
H : EffectiveEpiFamily Y₂ τ₂
i : β → α
ι : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj (X₁ (i b))
hh : ∀ (b : β), ι b ≫ F.map (π₁ (i b)) = τ₂ b ≫ F.map f

⊢ EffectiveEpiFamily (fun a => F.obj ⋯.some.p) fun a => F.map (F.preimage (F.effectiveEpiOver (Y₂ a) ≫ τ₂ a))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ReflectsPrecoherent.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.230, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝⁴ : F.ReflectsFiniteEffectiveEpiFamilies
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Precoherent D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
B₁ B₂ : C
f : B₂ ⟶ B₁
α : Type
x✝¹ : Finite α
X₁ : α → C
π₁ : (a : α) → X₁ a ⟶ B₁
x✝ : EffectiveEpiFamily X₁ π₁
β : Type
w✝ : Finite β
Y₂ : β → D
τ₂ : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj B₂
H : EffectiveEpiFamily Y₂ τ₂
i : β → α
ι : (b : β) → Y₂ b ⟶ F.obj (X₁ (i b))
hh : ∀ (b : β), ι b ≫ F.map (π₁ (i b)) = τ₂ b ≫ F.map f

⊢ ∀ (b : β), (fun b => F.preimage (F.effectiveEpiOver (Y₂ b) ≫ ι b)) b ≫ π₁ (i b) = (fun b => F.preimage (F.effectiveEpiOver (Y₂ b) ≫ τ₂ b)) b ≫ f
-- Mathlib/Algebra/Group/Indicator.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
inst✝ : Group G
s t : Set α
f✝ g : α → G
a : α
h : s ⊆ t
f : α → G

⊢ (t \ s).mulIndicator f = t.mulIndicator f / s.mulIndicator f
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h : l.formPerm x ≠ x

⊢ x ∈ l
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'

⊢ ¬Disjoint l l' ↔ ¬∃ i, p i ∧ ∃ i', p' i' ∧ Disjoint (s i) (s' i')
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r

⊢ Nonempty (G ≃g turanGraph (Fintype.card V) r)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card

⊢ Nonempty (G ≃g turanGraph (Fintype.card V) r)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card

⊢ ∀ {a b : V}, (turanGraph (Fintype.card V) r).Adj (((Equiv.subtypeUnivEquiv ⋯).symm.trans zm) a) (((Equiv.subtypeUnivEquiv ⋯).symm.trans zm) b) ↔ G.Adj a b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V

⊢ (turanGraph (Fintype.card V) r).Adj (((Equiv.subtypeUnivEquiv ⋯).symm.trans zm) a) (((Equiv.subtypeUnivEquiv ⋯).symm.trans zm) b) ↔ G.Adj a b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V

⊢ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % r ≠ ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % r ↔ G.Adj a b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V
this : h.finpartition.part ↑⟨a, ⋯⟩ = h.finpartition.part ↑⟨b, ⋯⟩ ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card

⊢ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % r ≠ ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % r ↔ G.Adj a b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V
this : ¬G.Adj ↑⟨a, ⋯⟩ ↑⟨b, ⋯⟩ ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card

⊢ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % r ≠ ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % r ↔ G.Adj a b
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V
this : ¬G.Adj ↑⟨a, ⋯⟩ ↑⟨b, ⋯⟩ ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card

⊢ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % r = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % r ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % min (Fintype.card V) r = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % min (Fintype.card V) r
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V
this : ¬G.Adj ↑⟨a, ⋯⟩ ↑⟨b, ⋯⟩ ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card
c : r ≤ Fintype.card V

⊢ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % r = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % r ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % min (Fintype.card V) r = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % min (Fintype.card V) r
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Turan.lean
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h✝ h : G.IsTuranMaximal r
zm : { x // x ∈ univ } ≃ Fin univ.card
zp : ∀ (a b : { x // x ∈ univ }), h.finpartition.part ↑a = h.finpartition.part ↑b ↔ ↑(zm a) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm b) % h.finpartition.parts.card
a b : V
this : ¬G.Adj ↑⟨a, ⋯⟩ ↑⟨b, ⋯⟩ ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % h.finpartition.parts.card
c : Fintype.card V < r

⊢ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % r = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % r ↔ ↑(zm ⟨a, ⋯⟩) % min (Fintype.card V) r = ↑(zm ⟨b, ⋯⟩) % min (Fintype.card V) r
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ

⊢ LiouvilleWith p (↑r + x) ↔ LiouvilleWith p x
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
x y a✝ : α

⊢ a✝ ∈ f.support \ {x, y} → a✝ ∈ (swap x y * f).support
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
x y a✝ : α

⊢ ¬f a✝ = a✝ → ¬(a✝ = x ∨ a✝ = y) → ¬(swap x y) (f a✝) = a✝
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
x y a✝ : α
ha : f a✝ ≠ a✝
hx : a✝ ≠ x
hy : a✝ ≠ y
H : (swap x y) (f a✝) = a✝

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Support.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
f✝ g f : Perm α
x y a✝ : α
ha : f a✝ ≠ a✝
hx : a✝ ≠ x
hy : a✝ ≠ y
H : f a✝ = a✝

⊢ False
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
b : β
v✝ : Vector α n
v : Vector α 1

⊢ scanl f b v = b ::ᵥ f b v.head ::ᵥ nil
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
f : β → α → β
b : β
v✝ : Vector α n
v : Vector α 1

⊢ scanl f b (v.head ::ᵥ v.tail) = b ::ᵥ f b (v.head ::ᵥ v.tail).head ::ᵥ nil
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
f : R[X]
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Nontrivial S
h : IsAdjoinRootMonic S f

⊢ h.coeff 1 = Pi.single 0 1
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I B✝ X : Set α
M : Matroid α
B : Set α
h : B ⊆ M.E

⊢ M✶✶.Base B ↔ M.Base B
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z : P
v : V

⊢ Sbtw R (v +ᵥ x) (v +ᵥ y) (v +ᵥ z) ↔ Sbtw R x y z
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyOrderedAddCommMonoid α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α

⊢ a - b = 0 ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
p q : Submodule R Aᵐᵒᵖ

⊢ { toFun := fun p => op (comap (↑(opLinearEquiv R)) p), invFun := fun p => comap (↑(opLinearEquiv R).symm) (unop p), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (p + q) = { toFun := fun p => op (comap (↑(opLinearEquiv R)) p), invFun := fun p => comap (↑(opLinearEquiv R).symm) (unop p), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun p + { toFun := fun p => op (comap (↑(opLinearEquiv R)) p), invFun := fun p => comap (↑(opLinearEquiv R).symm) (unop p), left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun q
-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S
f : R →+* S
I : Type u_3
e : I → R
he : OrthogonalIdempotents e
inst✝ : Fintype I

⊢ IsIdempotentElem (∑ i : I, e i)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α

⊢ f.SameCycle x y → (g * f * g⁻¹).SameCycle (g x) (g y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0

⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ

⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
f_Lp : ↥(Lp E 1 μ) := Memℒp.toLp f hf_Lp

⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
f_Lp : ↥(Lp E 1 μ) := Memℒp.toLp f hf_Lp
hf_f_Lp : f =ᶠ[ae μ] ↑↑f_Lp

⊢ f =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
f_Lp : ↥(Lp E 1 μ) := Memℒp.toLp f hf_Lp
hf_f_Lp : f =ᶠ[ae μ] ↑↑f_Lp

⊢ ↑↑f_Lp =ᶠ[ae μ] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
f_Lp : ↥(Lp E 1 μ) := Memℒp.toLp f hf_Lp
hf_f_Lp : f =ᶠ[ae μ] ↑↑f_Lp

⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → IntegrableOn (↑↑f_Lp) s μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqOfIntegral.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
p : ℝ≥0∞
f : α → E
hf : Integrable f μ
hf_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, f x ∂μ = 0
hf_Lp : Memℒp f 1 μ
f_Lp : ↥(Lp E 1 μ) := Memℒp.toLp f hf_Lp
hf_f_Lp : f =ᶠ[ae μ] ↑↑f_Lp

⊢ ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∫ (x : α) in s, ↑↑f_Lp x ∂μ = 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a✝ b c a : G₀
h : a ≠ 0

⊢ 1 / a ≠ 0
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁✝ a₂✝ b c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set G
hs : IsSubgroup s
a₁ a₂ : H
x✝¹ : a₁ ∈ f '' s
x✝ : a₂ ∈ f '' s
b₁ : G
hb₁ : b₁ ∈ s
eq₁ : f b₁ = a₁
b₂ : G
hb₂ : b₂ ∈ s
eq₂ : f b₂ = a₂

⊢ f (b₁ * b₂) = a₁ * a₂
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set G
hs : IsSubgroup s
a : H
x✝ : a ∈ f '' s
b : G
hb : b ∈ s
Eq : f b = a

⊢ f b⁻¹ = a⁻¹
-- Mathlib/Deprecated/Subgroup.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
s : Set G
hs : IsSubgroup s
a : H
x✝ : a ∈ f '' s
b : G
hb : b ∈ s
Eq : f b = a

⊢ (f b)⁻¹ = a⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b_pos : 0 < b
d_pos : 0 < d

⊢ ↑a / ↑b < ↑c / ↑d ↔ a * d < c * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b_pos : 0 < b
d_pos : 0 < d

⊢ ↑a / ↑b ≤ ↑c / ↑d ∧ ¬↑c / ↑d ≤ ↑a / ↑b ↔ a * d ≤ c * b ∧ ¬c * b ≤ a * d
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b_pos : 0 < b
d_pos : 0 < d

⊢ ↑a / ↑b ≤ ↑c / ↑d ↔ a * d ≤ c * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Rat.lean
a✝ b✝ c✝ p q : ℚ
a b c d : ℤ
b_pos : 0 < b
d_pos : 0 < d

⊢ ¬↑c / ↑d ≤ ↑a / ↑b ↔ ¬c * b ≤ a * d
-- Mathlib/Algebra/Ring/Subring/Basic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : Ring S✝
inst✝ : Ring T
ι : Sort u_1
S : ι → Subring R

⊢ ↑(⨅ i, S i) = ⋂ i, ↑(S i)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : F

⊢ ⟪x, x⟫_ℝ = ‖x‖ ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

⊢ legendreSym p 0 = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
f✝ : E → F
K : Set (E →L[𝕜] F)
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace E
inst✝⁴ : CompleteSpace F
inst✝³ : MeasurableSpace 𝕜
inst✝² : OpensMeasurableSpace 𝕜
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
f : 𝕜 → F

⊢ Measurable (deriv f)
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Cartesian.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
f : A ⟶ I

⊢ IsIso f
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Cartesian.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
f : A ⟶ I
this : Mono (prod.lift (𝟙 A) f ≫ (zeroMul t).hom)

⊢ IsIso f
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Cartesian.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
f : A ⟶ I
this : Mono f

⊢ IsIso f
-- Mathlib/CategoryTheory/Closed/Cartesian.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
A B X X' Y Y' Z : C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : Exponentiable A
I : C
t : IsInitial I
f : A ⟶ I
this✝ : Mono f
this : IsSplitEpi f

⊢ IsIso f
-- Mathlib/RingTheory/Localization/AtPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring P
A : Type u_4
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
I : Ideal R
hI : I.IsPrime
inst✝ : IsLocalization.AtPrime S I
x : R
h : optParam (LocalRing S) ⋯

⊢ (algebraMap R S) x ∉ LocalRing.maximalIdeal S ↔ x ∉ I
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

⊢ (A / C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

⊢ (A / C).card * B.card ≤ ((A / B) ×ˢ (B / C)).card * 1
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
x : α
hx : x ∈ A / C

⊢ B.card ≤ (bipartiteAbove (fun b ac => ac.1 * ac.2 = b) ((A / B) ×ˢ (B / C)) x).card
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/PluenneckeRuzsa.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
x : α × α
x✝ : x ∈ (A / B) ×ˢ (B / C)
a✝ b✝ : α
hu : a✝ ∈ bipartiteBelow (fun b ac => ac.1 * ac.2 = b) (A / C) x
hv : b✝ ∈ bipartiteBelow (fun b ac => ac.1 * ac.2 = b) (A / C) x

⊢ x.1 * x.2 = b✝
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set X
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
hX : (𝓝[S] x₀).HasBasis p s

⊢ EquicontinuousWithinAt F S x₀ ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ x ∈ s k, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ U
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set X
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : X
hX : (𝓝[S] x₀).HasBasis p s

⊢ (∀ ib ∈ 𝓤 α, ∃ ia, p ia ∧ ∀ x ∈ s ia, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x ∈ {g | ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x₀, g) ∈ UniformFun.gen ι α ib}) ↔ ∀ U ∈ 𝓤 α, ∃ k, p k ∧ ∀ x ∈ s k, ∀ (i : ι), (F i x₀, F i x) ∈ U
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
h : f.Dom ∈ l₁

⊢ PTendsto f l₁ l₂ → PTendsto' f l₁ l₂
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
h : f.Dom ∈ l₁

⊢ (∀ s ∈ l₂, f.core s ∈ l₁) → ∀ s ∈ l₂, f.preimage s ∈ l₁
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
h : f.Dom ∈ l₁
h' : ∀ s ∈ l₂, f.core s ∈ l₁
s : Set β
sl₂ : s ∈ l₂

⊢ f.preimage s ∈ l₁
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α →. β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β
h : f.Dom ∈ l₁
h' : ∀ s ∈ l₂, f.core s ∈ l₁
s : Set β
sl₂ : s ∈ l₂

⊢ f.core s ∩ f.Dom ∈ l₁
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ✝
r : R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.coeff g ≠ 0

⊢ x.orderTop ≤ ↑g
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ✝
r : R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x : HahnSeries Γ R
g : Γ
h : x.coeff g ≠ 0

⊢ ⋯.min ⋯ ≤ g
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s

⊢ BijOn (⇑(swap a b)) s (insert b (s \ {a}))
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
x : α
hx : x ∈ s

⊢ (swap a b) x ∈ insert b (s \ {a})
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
x : α
hx : x ∈ insert b (s \ {a})

⊢ x ∈ ⇑(swap a b) '' s
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Set α
ha : a ∈ s
x : α
hb : x ∉ s
hx : x ∈ insert x (s \ {a})

⊢ x ∈ ⇑(swap a x) '' s
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
x : α
hx : x ∈ insert b (s \ {a})
hxb : x ≠ b

⊢ x ∈ ⇑(swap a b) '' s
-- Mathlib/Logic/Equiv/Set.lean
α✝ : Sort u
β : Sort v
γ : Sort w
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
s : Set α
ha : a ∈ s
hb : b ∉ s
x : α
hxb : x ≠ b
hx : x ∈ s ∧ ¬x = a

⊢ x ∈ ⇑(swap a b) '' s
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b

⊢ ∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ b
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
a' : α
ha'b : a' ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨a', ha'b⟩

⊢ ∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ b
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
ha'b : ⊥ ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨⊥, ha'b⟩

⊢ ∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ b
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
a' : α
ha'b : a' ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨a', ha'b⟩
d : α
hd : IsAtom d ∧ d ≤ a'

⊢ ∃ x, a ⋖ x ∧ x ≤ b
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : Lattice α
inst✝³ : BoundedOrder α
inst✝² : IsModularLattice α
inst✝¹ : ComplementedLattice α
inst✝ : IsAtomic α
a b : α
hab : a < b
a' : α
ha'b : a' ≤ b
ha' : IsCompl ⟨a, ⋯⟩ ⟨a', ha'b⟩
d : α
hd : IsAtom d ∧ d ≤ a'

⊢ d ⊓ a ⋖ d