ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : b ∈ WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a h₁

⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : b ∈ Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => (fun y p => WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) y ⋯) a' ⋯

⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : ∃ (h : (f a).Dom), b ∈ match e : (f a).get h with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a' ⋯

⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : (f a).Dom
b✝ : β
heq✝ : (f a).get h₂ = Sum.inl b✝
h₃ : b ∈ Part.some b✝

⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : b ∈ f.fix a
h₁ : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a
h₂ : (f a).Dom
a'✝ : α
heq✝ : (f a).get h₂ = Sum.inr a'✝
h₃ : b ∈ WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a'✝ ⋯

⊢ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'

⊢ b ∈ f.fix a
-- Mathlib/Data/PFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f : α →. β ⊕ α
a : α
b : β
h : Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'

⊢ ∃ (h : Acc (fun x y => Sum.inr x ∈ f y) a), b ∈ WellFounded.fixF (fun a IH => Part.assert (f a).Dom fun hf => match e : (f a).get hf with | Sum.inl b => Part.some b | Sum.inr a' => IH a' ⋯) a h
-- Mathlib/Order/WithBot.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : LT α
a b : α

⊢ ↑a < ↑b ↔ a < b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensityVectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ g : α → E
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
i : Set α
hi : MeasurableSet i

⊢ ↑((μ.withDensityᵥ f).trim hm) i = ∫ (x : α) in i, f x ∂μ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Chebyshev.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ

⊢ U R (n + 1) = 2 * X * U R n - U R (n - 1)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hy : y ≠ 0
hxy : (x ^ 2 - ↑a * y ^ 2) * y⁻¹ ^ 2 = 0 * y⁻¹ ^ 2

⊢ legendreSym p a = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hy : y ≠ 0
hxy : (x ^ 2 - ↑a * y ^ 2) * y⁻¹ ^ 2 = 0

⊢ legendreSym p a = 1
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℤ
ha : ↑a ≠ 0
x y : ZMod p
hy : y ≠ 0
hxy : x * y⁻¹ * (x * y⁻¹) = ↑a

⊢ legendreSym p a = 1
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplexCategory.lean
f : [0] ⟶ [0]
x✝ : Fin ([0].len + 1)

⊢ (Hom.toOrderHom f) x✝ = (Hom.toOrderHom (𝟙 [0])) x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module k V
inst✝³ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
V₂ : Type u_5
P₂ : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
s : Set P
e : P ≃ᵃ[k] P₂
this : ⇑e ∘ Subtype.val = Subtype.val ∘ ⇑((↑e).image s)

⊢ AffineIndependent k Subtype.val ↔ AffineIndependent k Subtype.val
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
g : β → α
h : LeftInverse g f
s : Set α

⊢ g '' (f '' s) = s
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝² : Monoid N
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (M i)
inst✝ : DecidableEq ι
C : Word M → Prop
h_empty : C empty
h_smul : ∀ (i : ι) (m : M i) (w : Word M), C w → C (of m • w)
w : Word M

⊢ C w
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α

⊢ (κ.withDensity fun a x => ↑(f a x) * g a x) a = ((κ.withDensity fun a x => ↑(f a x)).withDensity g) a
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α

⊢ ((κ a).withDensity fun x => ↑(f a x) * g a x) = ((κ.withDensity fun a x => ↑(f a x)).withDensity g) a
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α

⊢ Measurable (Function.uncurry fun a x => ↑(f a x) * g a x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α

⊢ (κ a).withDensity ((fun x => ↑(f a x)) * fun x => g a x) = ((κ.withDensity fun a x => ↑(f a x)).withDensity g) a
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α

⊢ (((κ a).withDensity fun x => ↑(f a x)).withDensity fun x => g a x) = ((κ.withDensity fun a x => ↑(f a x)).withDensity g) a
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α

⊢ Measurable fun x => ↑(f a x)
-- Mathlib/Probability/Kernel/WithDensity.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f✝ : α → β → ℝ≥0∞
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
f : α → β → ℝ≥0
g : α → β → ℝ≥0∞
hf : Measurable (Function.uncurry f)
hg : Measurable (Function.uncurry g)
a : α

⊢ Measurable fun x => g a x
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/SingleFunctors.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
inst✝⁹ : Category.{?u.91944, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.91948, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{?u.91952, u_3} E
inst✝⁶ : Category.{?u.91956, u_4} E'
A : Type u_5
inst✝⁵ : AddMonoid A
inst✝⁴ : HasShift D A
inst✝³ : HasShift E A
inst✝² : HasShift E' A
F G✝ H : SingleFunctors C D A
G : D ⥤ E
G' : E ⥤ E'
inst✝¹ : G.CommShift A
inst✝ : G'.CommShift A
n a a' : A
ha' : n + a = a'
X : C

⊢ ((((F.postcomp G).postcomp G').shiftIso n a a' ha').hom ≫ ((fun a => (F.functor a).associator G G') a).hom).app X = (whiskerRight ((fun a => (F.functor a).associator G G') a').hom (shiftFunctor E' n) ≫ ((F.postcomp (G ⋙ G')).shiftIso n a a' ha').hom).app X
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ

⊢ x ^ 2 = x ^ 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z : ℝ
n : ℕ
x : ℝ

⊢ x ^ 2 = x ^ ↑2
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Pretriangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{?u.2006, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.2010, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
p q : ℤ
hpq : p + -1 = q

⊢ p = q + 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Pretriangulated.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.2010, u_2} D
inst✝⁵ : Preadditive C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasBinaryBiproducts C
inst✝² : Preadditive D
inst✝¹ : HasZeroObject D
inst✝ : HasBinaryBiproducts D
K L : CochainComplex C ℤ
φ : K ⟶ L
p q : ℤ
hpq : p + -1 = q

⊢ (inl φ).v p q hpq ≫ (triangle φ).mor₃.f q = -(K.shiftFunctorObjXIso 1 q p ⋯).inv
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/ZPowers.lean
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A✝ : Type u_2
inst✝² : AddGroup A✝
N : Type u_3
inst✝¹ : Group N
A : Type u_4
inst✝ : AddGroupWithOne A
a : A

⊢ a ∈ (castAddHom A).range ↔ a ∈ AddSubgroup.zmultiples 1
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f

⊢ ∑' (i : β), g • f i = g • ∑' (i : β), f i
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f

⊢ ∑' (i : β), g • f i = g • 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f

⊢ ∑' (i : β), g • f i = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f
mul_g : α ≃+ α := DistribMulAction.toAddEquiv α g

⊢ ∑' (i : β), g • f i = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f
mul_g : α ≃+ α := DistribMulAction.toAddEquiv α g

⊢ ¬Summable fun b => g • f b
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f
mul_g : α ≃+ α := DistribMulAction.toAddEquiv α g

⊢ ¬Summable (⇑mul_g ∘ f)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f
mul_g : α ≃+ α := DistribMulAction.toAddEquiv α g

⊢ Continuous ⇑mul_g
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Module.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ✝ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : Monoid γ✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : AddCommMonoid α
inst✝⁵ : DistribMulAction γ✝ α
inst✝⁴ : ContinuousConstSMul γ✝ α
f : β → α
γ : Type u_5
inst✝³ : Group γ
inst✝² : DistribMulAction γ α
inst✝¹ : ContinuousConstSMul γ α
inst✝ : T2Space α
g : γ
hf : ¬Summable f
mul_g : α ≃+ α := DistribMulAction.toAddEquiv α g

⊢ Continuous (EquivLike.inv mul_g)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : EDist α
inst✝ : EDist β
x y : WithLp p (α × β)
x' : α × β
f g : WithLp 0 (α × β)

⊢ edist f g = (if edist f.1 g.1 = 0 then 0 else 1) + if edist f.2 g.2 = 0 then 0 else 1
-- Mathlib/Data/Bool/Count.lean
b x : Bool
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (x :: l)
h2 : Even (x :: l).length

⊢ count (!b) (x :: l) = count b (x :: l)
-- Mathlib/Data/Bool/Count.lean
b x : Bool
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (x :: l)
h2 : l.length % 2 = 1

⊢ count (!b) (x :: l) = count b (x :: l)
-- Mathlib/Data/Bool/Count.lean
b x : Bool
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) (x :: l)
h2 : l.length % 2 = 1

⊢ count (!x) (x :: l) = count x (x :: l)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Fold.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
ι_mul : ∀ (x : CliffordAlgebra Q) (m : M), P x → P ((ι Q) m * x)

⊢ ∀ (x : CliffordAlgebra Q), P x
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Fold.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
ι_mul : ∀ (x : CliffordAlgebra Q) (m : M), P x → P ((ι Q) m * x)

⊢ ∀ (x : CliffordAlgebra Q), P (reverse x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Fold.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
ι_mul : ∀ (x : CliffordAlgebra Q) (m : M), P x → P ((ι Q) m * x)
x : CliffordAlgebra Q

⊢ P (reverse x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Fold.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
ι_mul : ∀ (x : CliffordAlgebra Q) (m : M), P x → P ((ι Q) m * x)
r : R

⊢ P (reverse ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r))
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Fold.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
ι_mul : ∀ (x : CliffordAlgebra Q) (m : M), P x → P ((ι Q) m * x)
x y : CliffordAlgebra Q
hx : P (reverse x)
hy : P (reverse y)

⊢ P (reverse (x + y))
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Fold.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
P : CliffordAlgebra Q → Prop
algebraMap : ∀ (r : R), P ((_root_.algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)
add : ∀ (x y : CliffordAlgebra Q), P x → P y → P (x + y)
ι_mul : ∀ (x : CliffordAlgebra Q) (m : M), P x → P ((ι Q) m * x)
m : M
x : CliffordAlgebra Q
hx : P (reverse x)

⊢ P (reverse (x * (ι Q) m))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F
hf : HasFDerivAt f L x
v : E

⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f (L v) x v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v✝ : E
L : E →L[𝕜] F
hf : HasFDerivAt f L x
v : E

⊢ HasLineDerivWithinAt 𝕜 f (L v) univ x v
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/List.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l l₁ l₂ : List M
a h : M
t : List M
n : ℕ
p : n + 1 < (h :: t).length

⊢ (h :: take (n + 1) t).prod = (h :: take n t).prod * t[n]
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin (n + 1) → M

⊢ (liftAt 1 n φ).Realize v xs ↔ φ.Realize v (xs ∘ castSucc)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin (n + 1) → M

⊢ φ.Realize v (xs ∘ fun i => if ↑i < n then i.castSucc else i.succ) = φ.Realize v (xs ∘ castSucc)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n✝ l : ℕ
φ✝ ψ : L.BoundedFormula α l
θ : L.BoundedFormula α l.succ
v✝ : α → M
xs✝ : Fin l → M
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin (n + 1) → M
i : Fin n

⊢ (if ↑i < n then i.castSucc else i.succ) = i.castSucc
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α'
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace β'
inst✝² : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)

⊢ ρ.fst univ = ρ univ
-- Mathlib/FieldTheory/Finite/Basic.lean
K : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Fintype R
p : R[X]
hp : 0 < p.degree
a : R
x✝ : a ∈ image (fun x => eval x p) univ

⊢ filter (fun x => eval x p = a) univ = (p - C a).roots.toFinset
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁹ : DecidableEq α'
inst✝⁸ : DecidableEq β'
inst✝⁷ : DecidableEq γ
inst✝⁶ : DecidableEq γ'
inst✝⁵ : DecidableEq δ
inst✝⁴ : DecidableEq δ'
inst✝³ : DecidableEq ε
inst✝² : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s✝ s' : Finset α
t✝ t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
f : α → α → β
s t : Finset α
hf : ∀ (a b : α), f a b = f b a

⊢ image2 f (↑s ∩ ↑t) (↑s ∪ ↑t) ⊆ image2 f ↑s ↑t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Grothendieck.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
S✝ R✝ : Sieve X
J : GrothendieckTopology C
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X
hS : J.Covers S f
hR : J.Covers R f

⊢ J.Covers (S ⊓ R) f
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : Filter α
s : Set α
a : α
H : ∀ (g : Ultrafilter α), ↑g ≤ f → s ∈ g
hf : s ∉ f
g : Filter ↑sᶜ := comap Subtype.val f

⊢ False
-- Mathlib/Order/Filter/Ultrafilter.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f : Filter α
s : Set α
a : α
H : ∀ (g : Ultrafilter α), ↑g ≤ f → s ∈ g
hf : s ∉ f
g : Filter ↑sᶜ := comap Subtype.val f
this : g.NeBot

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
B : Set (Set α) := {b | b ∈ countableBasis α ∧ ∃ i, b ⊆ s i}

⊢ ∃ T, T.Countable ∧ ⋃ i ∈ T, s i = ⋃ i, s i
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
B : Set (Set α) := {b | b ∈ countableBasis α ∧ ∃ i, b ⊆ s i}
f : ↑B → ι
hf : ∀ (b : ↑B), ↑b ⊆ s (f b)

⊢ ∃ T, T.Countable ∧ ⋃ i ∈ T, s i = ⋃ i, s i
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
B : Set (Set α) := {b | b ∈ countableBasis α ∧ ∃ i, b ⊆ s i}
f : ↑B → ι
hf : ∀ (b : ↑B), ↑b ⊆ s (f b)
this : Countable ↑B

⊢ ∃ T, T.Countable ∧ ⋃ i ∈ T, s i = ⋃ i, s i
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
B : Set (Set α) := {b | b ∈ countableBasis α ∧ ∃ i, b ⊆ s i}
f : ↑B → ι
hf : ∀ (b : ↑B), ↑b ⊆ s (f b)
this : Countable ↑B

⊢ ∀ t' ∈ range fun i => s i, t' ⊆ ⋃ i ∈ range f, s i
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
B : Set (Set α) := {b | b ∈ countableBasis α ∧ ∃ i, b ⊆ s i}
f : ↑B → ι
hf : ∀ (b : ↑B), ↑b ⊆ s (f b)
this : Countable ↑B
i : ι
x : α
xs : x ∈ (fun i => s i) i

⊢ x ∈ ⋃ i ∈ range f, s i
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
ι : Type u_1
s : ι → Set α
H : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
B : Set (Set α) := {b | b ∈ countableBasis α ∧ ∃ i, b ⊆ s i}
f : ↑B → ι
hf : ∀ (b : ↑B), ↑b ⊆ s (f b)
this : Countable ↑B
i : ι
x : α
xs : x ∈ (fun i => s i) i
b : Set α
hb : b ∈ countableBasis α
xb : x ∈ b
bs : b ⊆ (fun i => s i) i

⊢ x ∈ ⋃ i ∈ range f, s i
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α

⊢ s.Disjoint t ↔ ∀ a ∈ s, ∀ b ∈ t, a ≠ b
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g : R[X]
h : (f * g).Separable

⊢ IsCoprime f g
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g : R[X]
h : (f * g).Separable
this : IsCoprime f (derivative (f * g))

⊢ IsCoprime f g
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g : R[X]
h : (f * g).Separable
this : IsCoprime f (derivative f * g + f * derivative g)

⊢ IsCoprime f g
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0

⊢ 1 / a < b ↔ 1 / b < a