ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
k : Set X
hk : IsCompact k
k_mem : k ∈ 𝓝 x
f : C(X, ℝ)
fk : EqOn (⇑f) 1 k
f_comp : HasCompactSupport ⇑f
hf : ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1

⊢ ∃ f, HasCompactSupport ⇑f ∧ 0 ≤ ⇑f ∧ f x ≠ 0
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
k : Set X
hk : IsCompact k
k_mem : k ∈ 𝓝 x
f : C(X, ℝ)
fk : EqOn (⇑f) 1 k
f_comp : HasCompactSupport ⇑f
hf : ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1

⊢ f x ≠ 0
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
k : Set X
hk : IsCompact k
k_mem : k ∈ 𝓝 x
f : C(X, ℝ)
fk : EqOn (⇑f) 1 k
f_comp : HasCompactSupport ⇑f
hf : ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
this : f x = 1 x

⊢ f x ≠ 0
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : RegularSpace X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
x : X
k : Set X
hk : IsCompact k
k_mem : k ∈ 𝓝 x
f : C(X, ℝ)
fk : EqOn (⇑f) 1 k
f_comp : HasCompactSupport ⇑f
hf : ∀ (x : X), f x ∈ Icc 0 1
this : f x = 1

⊢ f x ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ

⊢ 1 ≤ ⌈a⌉₊ ↔ 0 < a
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
G H : PGame
inst✝¹ : G.Impartial
inst✝ : H.Impartial
n m : ℕ
hG : G.grundyValue = ↑n
hH : H.grundyValue = ↑m

⊢ (G + H).grundyValue = ↑(n ^^^ m)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
G H : PGame
inst✝¹ : G.Impartial
inst✝ : H.Impartial
n m : ℕ
hG : G.grundyValue = ↑n
hH : H.grundyValue = ↑m

⊢ G + H ≈ nim ↑(n ^^^ m)
-- Mathlib/SetTheory/Game/Nim.lean
G H : PGame
inst✝¹ : G.Impartial
inst✝ : H.Impartial
n m : ℕ
hG : G.grundyValue = ↑n
hH : H.grundyValue = ↑m

⊢ G + H ≈ nim ↑n + nim ↑m
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b : M
a : α
b₁ b₂ : M
eq : single a b₁ = single a b₂
this : (single a b₁) a = (single a b₂) a

⊢ b₁ = b₂
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
hb : 0 < b

⊢ a ≤ b * a
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
hb : 0 < b

⊢ a = 1 * a
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α

⊢ normalize (s.lcm f) = s.lcm f
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
s : List α
IH : (List.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s

⊢ (List.map f (a :: s)).prod = ∏ m ∈ (a :: s).toFinset, f m ^ count m (a :: s)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
s : List α
IH : (List.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s

⊢ f a * ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s = ∏ x ∈ insert a s.toFinset, f x ^ count x (a :: s)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
s : List α
IH : (List.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s
has : a ∉ s.toFinset

⊢ f a * ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s = ∏ x ∈ insert a s.toFinset, f x ^ count x (a :: s)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
s : List α
IH : (List.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s
has : a ∉ s.toFinset

⊢ f a * ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s = f a * ∏ x ∈ s.toFinset, f x ^ count x (a :: s)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
s : List α
IH : (List.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s
has : a ∉ s.toFinset

⊢ ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s = ∏ x ∈ s.toFinset, f x ^ count x (a :: s)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
s : List α
IH : (List.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s
has : a ∉ s.toFinset
x : α
hx : x ∈ s.toFinset

⊢ f x ^ count x s = f x ^ count x (a :: s)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
s : List α
IH : (List.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ count m s
has : a ∉ s.toFinset
x : α
hx : x ∈ s.toFinset

⊢ x ≠ a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn f (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f 0 (Ici x) x

⊢ ∀ x ∈ Icc a b, f x = f a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
hcont : ContinuousOn f (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt f 0 (Ici x) x
this : ∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ 0 * (x - a)

⊢ ∀ x ∈ Icc a b, f x = f a
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/ETransform.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α

⊢ e • (x.2 ∩ e⁻¹ • x.1) ⊆ x.1 ∪ e • x.2
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/ETransform.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommGroup α
e : α
x : Finset α × Finset α

⊢ x.1 ∩ e • x.2 ⊆ x.1 ∪ e • x.2
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
hne : i ≠ j

⊢ {i, j}.centerMass w z = (w i / (w i + w j)) • z i + (w j / (w i + w j)) • z j
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L fun n => χ ↑n) s / L (fun n => χ ↑n) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
s : ℂ
hs : 1 < s.re
χ : DirichletCharacter ℂ 0

⊢ L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L fun n => χ ↑n) s / L (fun n => χ ↑n) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hN : N ≠ 0

⊢ L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L fun n => χ ↑n) s / L (fun n => χ ↑n) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hN : N ≠ 0
hχ : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s

⊢ L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L fun n => χ ↑n) s / L (fun n => χ ↑n) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hN : N ≠ 0
hχ : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s
hs' : (abscissaOfAbsConv fun n => χ ↑n) < ↑s.re

⊢ L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L fun n => χ ↑n) s / L (fun n => χ ↑n) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hN : N ≠ 0
hχ : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s
hs' : (abscissaOfAbsConv fun n => χ ↑n) < ↑s.re
hΛ : LSeriesSummable ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s

⊢ L ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s = -deriv (L fun n => χ ↑n) s / L (fun n => χ ↑n) s
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
s : ℂ
hs : 1 < s.re
hN : N ≠ 0
hχ : LSeriesSummable (fun n => χ ↑n) s
hs' : (abscissaOfAbsConv fun n => χ ↑n) < ↑s.re
hΛ : LSeriesSummable ((fun n => χ ↑n) * fun n => ↑(Λ n)) s

⊢ L ((fun n => χ ↑n) * fun n => Complex.log ↑n) s = L (logMul fun n => χ ↑n) s
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝ : Preorder α
f : ℤ → α
hf : Antitone f
n a : ℤ
h1 : f (n + 1) < f a
h2 : f a < f n

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ

⊢ x ^ y = rexp (log x * y) * cos (y * π)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ

⊢ (Complex.exp (Complex.log ↑x * ↑y)).re = rexp (log x * y) * cos (y * π)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝ z x : ℝ
hx : x < 0
y : ℝ

⊢ ¬↑x = 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
x : E

⊢ HasFDerivWithinAt f 0 {x} x
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ

⊢ jacobiTheta₂ (z + 1) τ = jacobiTheta₂ z τ
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/TwoVariable.lean
z τ : ℂ
n : ℤ

⊢ jacobiTheta₂_term n (z + 1) τ = jacobiTheta₂_term n z τ
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
hf : Function.Injective f

⊢ ((rename f) φ).IsHomogeneous n ↔ φ.IsHomogeneous n
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
f : σ → τ
hf : Function.Injective f
h : ((rename f) φ).IsHomogeneous n
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0

⊢ (weight 1) d = n
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F

⊢ ⟪0, 0⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : ℝ
h0 : 0 ≤ θ
hpi : θ ≤ π

⊢ 0 ≤ (↑θ).sign
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : ℝ
h0 : 0 ≤ θ
hpi : θ ≤ π

⊢ 0 ≤ (↑θ).sin
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : Cofix F α

⊢ mk x.dest = x
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : Cofix F α

⊢ ∀ (x y : Cofix F α), (fun x y => x = mk y.dest) x y → (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> x.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest

⊢ (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> (mk y.dest).dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest

⊢ (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> (TypeVec.id ::: corec fun x => (TypeVec.id ::: fun i => i.dest) <$$> x) <$$> (TypeVec.id ::: fun i => i.dest) <$$> y.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest

⊢ (TypeVec.id ::: (Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ corec fun x => (TypeVec.id ::: fun i => i.dest) <$$> x) <$$> (TypeVec.id ::: fun i => i.dest) <$$> y.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest

⊢ (TypeVec.id ::: ((Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ mk) ∘ fun i => i.dest) <$$> y.dest = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) <$$> y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest

⊢ (TypeVec.id ::: ((Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ mk) ∘ fun i => i.dest) = (TypeVec.id ::: Quot.mk fun x y => x = mk y.dest)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝ x y : Cofix F α
h : x = mk y.dest

⊢ (((Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ mk) ∘ fun i => i.dest) = Quot.mk fun x y => x = mk y.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x✝¹ x✝ y : Cofix F α
h : x✝ = mk y.dest
x : Cofix F α

⊢ (((Quot.mk fun x y => x = mk y.dest) ∘ mk) ∘ fun i => i.dest) x = Quot.mk (fun x y => x = mk y.dest) x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i✝ j i : ι

⊢ Lagrange.basis {i} v i = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Algebra.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : OrderedCommSemiring α
inst✝³ : StrictOrderedSemiring β
inst✝² : Algebra α β
inst✝¹ : SMulPosMono α β
inst✝ : SMulPosReflectLE α β
a₁ a₂ : α

⊢ (algebraMap α β) a₁ ≤ (algebraMap α β) a₂ ↔ a₁ ≤ a₂
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a : α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, c ≤ b → b ∈ t

⊢ s.sdiff t ⊔ lowerClosure t = s
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : LowerSet α
t : Set α
a✝ : α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, c ≤ b → b ∈ t
a : α
ha : a ∈ ↑s

⊢ a ∈ ↑(s.sdiff t ⊔ lowerClosure t)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι

⊢ nodalWeight s v i = (eval (v i) (nodal (s.erase i) v))⁻¹
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝¹ : X → ↑F X
xs : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a
f✝ : F.B a → F.M
hp : IsPath xs (f✝ i)
h : M.mk ⟨a, f⟩ = M.mk ⟨a, f✝⟩

⊢ IsPath xs (f i)
-- Mathlib/Data/PFunctor/Univariate/M.lean
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
xs : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a
hp : IsPath xs (f i)
h : M.mk ⟨a, f⟩ = M.mk ⟨a, f⟩

⊢ IsPath xs (f i)
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : CommSemiring R₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : Module R₁ M₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
x : M₂

⊢ (B 0) x = 0
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
hp : Prime p
hn : n ≠ 0
h : p ∣ n

⊢ 0 < n.factorization p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Int.lean
α : Type u_1
n : ℤ

⊢ ↑↑n.natAbs = ↑↑n.natAbs
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Int.lean
α : Type u_1
n : ℤ

⊢ ↑↑n.natAbs = |↑n|
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1

⊢ (∑' (i : ℕ), x ^ i) * (1 - x) = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this : HasSum (fun i => x ^ i * (1 - x)) ((∑' (b : ℕ), x ^ b) * (1 - x))

⊢ (∑' (i : ℕ), x ^ i) * (1 - x) = 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this : HasSum (fun i => x ^ i * (1 - x)) ((∑' (b : ℕ), x ^ b) * (1 - x))

⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * (1 - x)) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this✝ : HasSum (fun i => x ^ i * (1 - x)) ((∑' (b : ℕ), x ^ b) * (1 - x))
this : Tendsto (fun n => 1 - x ^ n) atTop (𝓝 1)

⊢ Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, x ^ i * (1 - x)) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
x : R
h : ‖x‖ < 1
this✝ : HasSum (fun i => x ^ i * (1 - x)) ((∑' (b : ℕ), x ^ b) * (1 - x))
this : Tendsto (fun n => 1 - x ^ n) atTop (𝓝 1)
x✝ : ℕ

⊢ 1 - x ^ x✝ = ∑ i ∈ Finset.range x✝, x ^ i * (1 - x)
-- Mathlib/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a x : α

⊢ x ∈ Ioi a ↔ a < x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
h : a ∈ ball b r

⊢ a ^ n ∈ ball (b ^ n) (n • r)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ‖a / b‖ < r

⊢ ‖(a / b) ^ n‖ < n • r
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
hn : 0 < n
h : ‖a / b‖ < r

⊢ ↑n * ‖a / b‖ < n • r
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : ‖a / b‖ < r
hn : 0 < ↑n

⊢ ↑n * ‖a / b‖ < n • r
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
n : ℕ
h : ‖a / b‖ < r
hn : 0 < ↑n

⊢ ↑n * ‖a / b‖ < ↑n * r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]

⊢ t.prod.leadingCoeff = (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]

⊢ (Multiset.map (⇑leadingCoeffHom) t).prod = (Multiset.map (fun f => f.leadingCoeff) t).prod
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₁ d₂ d₃ : ManyOneDegree

⊢ d₁ ≤ d₂ → d₂ ≤ d₃ → d₁ ≤ d₃
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₂ d₃ : ManyOneDegree
p✝ : Set ℕ

⊢ of p✝ ≤ d₂ → d₂ ≤ d₃ → of p✝ ≤ d₃
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
d₃ : ManyOneDegree
p✝¹ p✝ : Set ℕ

⊢ of p✝¹ ≤ of p✝ → of p✝ ≤ d₃ → of p✝¹ ≤ d₃
-- Mathlib/Computability/Reduce.lean
α : Type u
inst✝⁵ : Primcodable α
inst✝⁴ : Inhabited α
β : Type v
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Inhabited β
γ : Type w
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Inhabited γ
p✝² p✝¹ p✝ : Set ℕ

⊢ of p✝² ≤ of p✝¹ → of p✝¹ ≤ of p✝ → of p✝² ≤ of p✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x✝ y x : ℝ

⊢ log x ≠ 0 ↔ x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 ∧ x ≠ -1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y : S

⊢ eval (1 + y) ((monomial d) (↑d + 1)) - eval y ((monomial d) (↑d + 1)) = ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * y ^ (x_1 - 1))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y : S
cast_succ : ↑d + 1 = ↑d.succ

⊢ eval (1 + y) ((monomial d) (↑d + 1)) - eval y ((monomial d) (↑d + 1)) = ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * y ^ (x_1 - 1))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y : S
cast_succ : ↑d + 1 = ↑d.succ

⊢ ↑d.succ * ∑ m ∈ range (d + 1), y ^ m * 1 ^ (d - m) * ↑(d.choose m) - ↑d.succ * y ^ d = ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * y ^ (x_1 - 1))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y : S
cast_succ : ↑d + 1 = ↑d.succ

⊢ ↑d.succ * ∑ x ∈ range (d + 1), ↑(d.choose x) * y ^ x - ↑d.succ * y ^ d = ∑ x_1 ∈ range (d + 1), ↑((d + 1).choose x_1) * (↑x_1 * y ^ (x_1 - 1))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y : S
cast_succ : ↑d + 1 = ↑d.succ

⊢ ∑ i ∈ range d, ↑d.succ * (↑(d.choose i) * y ^ i) = ∑ k ∈ range d, ↑((d + 1).choose (k + 1)) * (↑(k + 1) * y ^ (k + 1 - 1))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
inst✝ : CommRing S
d : ℕ
y✝ : S
cast_succ : ↑d + 1 = ↑d.succ
y : ℕ
_hy : y ∈ range d

⊢ ↑d.succ * (↑(d.choose y) * y✝ ^ y) = ↑((d + 1).choose (y + 1)) * (↑(y + 1) * y✝ ^ (y + 1 - 1))
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
x : A

⊢ IsAlgebraic K x ↔ IsIntegral K x
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
x : A

⊢ IsAlgebraic K x → IsIntegral K x
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
x : A
p : K[X]
hp : p ≠ 0
hpx : (aeval x) p = 0

⊢ IsIntegral K x
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
x : A
p : K[X]
hp : p ≠ 0
hpx : (aeval x) p = 0

⊢ eval₂ (algebraMap K A) x (p * C p.leadingCoeff⁻¹) = 0
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Catalan.lean
n : ℕ

⊢ (treesOfNumNodesEq n).card = catalan n
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Catalan.lean

⊢ (treesOfNumNodesEq 0).card = catalan 0