ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/RingHomProperties.lean
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
h₁ : RespectsIso P
h₂ : ∀ ⦃R S T : Type u⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], P (algebraMap R T) → P Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom
R S R' S' : Type u
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : CommRing R'
inst✝⁷ : CommRing S'
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra R S'
inst✝³ : Algebra S S'
inst✝² : Algebra R' S'
inst✝¹ : IsScalarTower R S S'
inst✝ : IsScalarTower R R' S'
h : Algebra.IsPushout R S R' S'
H : P (algebraMap R S)
e : TensorProduct R R' S ≃ₛₗ[id R'] S' := ⋯.equiv
f' : TensorProduct R R' S →ₐ[R] S' := Algebra.TensorProduct.productMap (IsScalarTower.toAlgHom R R' S') (IsScalarTower.toAlgHom R S S')
this : ∀ (x : TensorProduct R R' S), e x = f' x

⊢ TensorProduct R R' S ≃+* S'
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Composition.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
F₁ F₂ : C ⥤ D
app : (X : C) → F₁.obj X ⟶ F₂.obj X
X Y : C
e : X ≅ Y
he : F₁.map e.hom ≫ app Y = app X ≫ F₂.map e.hom

⊢ F₁.map e.inv ≫ app X = app Y ≫ F₂.map e.inv
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Composition.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
F₁ F₂ : C ⥤ D
app : (X : C) → F₁.obj X ⟶ F₂.obj X
X Y : C
e : X ≅ Y
he : F₁.map e.hom ≫ app Y = app X ≫ F₂.map e.hom

⊢ F₁.map e.hom ≫ F₁.map e.inv ≫ app X = F₁.map e.hom ≫ app Y ≫ F₂.map e.inv
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Composition.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} D
F₁ F₂ : C ⥤ D
app : (X : C) → F₁.obj X ⟶ F₂.obj X
X Y : C
e : X ≅ Y
he : F₁.map e.hom ≫ app Y = app X ≫ F₂.map e.hom

⊢ F₁.map e.hom ≫ F₁.map e.inv ≫ app X = (app X ≫ F₂.map e.hom) ≫ F₂.map e.inv
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
ht₁ : ∀ i ∉ s₁, t₁ i = univ
ht₂ : ∀ i ∉ s₂, t₂ i = univ
x : (i : ι) → α i

⊢ (x ∈ (s₁ ∪ s₂).pi fun i => t₁ i ∩ t₂ i) ↔ x ∈ s₁.pi t₁ ∩ s₂.pi t₂
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
ht₁ : ∀ i ∉ s₁, t₁ i = univ
ht₂ : ∀ i ∉ s₂, t₂ i = univ
x : (i : ι) → α i

⊢ (∀ (i : ι), i ∈ s₁ ∨ i ∈ s₂ → x i ∈ t₁ i ∧ x i ∈ t₂ i) ↔ (∀ i ∈ s₁, x i ∈ t₁ i) ∧ ∀ i ∈ s₂, x i ∈ t₂ i
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i✝ : ι
ht₁ : ∀ i ∉ s₁, t₁ i = univ
ht₂ : ∀ i ∉ s₂, t₂ i = univ
x : (i : ι) → α i
h : (∀ i ∈ s₁, x i ∈ t₁ i) ∧ ∀ i ∈ s₂, x i ∈ t₂ i
i : ι
hi : i ∈ s₁ ∨ i ∈ s₂

⊢ x i ∈ t₁ i ∧ x i ∈ t₂ i
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}

⊢ o.cof ≤ o.card
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u_2}

⊢ sInf {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a} ≤ o.card
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Lemmas.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
M : Type v
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
p : Submodule R M
hp : p ≤ Submodule.comap f p
k : ℕ
hk : f ^ k = 0

⊢ IsNilpotent (p.mapQ p f hp)
-- Mathlib/RingTheory/Nilpotent/Lemmas.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
x y : R
M : Type v
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f : End R M
p : Submodule R M
hp : p ≤ Submodule.comap f p
k : ℕ
hk : f ^ k = 0

⊢ p.mapQ p f hp ^ k = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G

⊢ s * closure t = s * t
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G
a : G
ha : a ∈ s
b : G
hb : b ∈ closure t

⊢ a * b ∈ s * t
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G
a : G
ha : a ∈ s
b : G
hb : ∀ (o : Set G), IsOpen o → b ∈ o → (o ∩ t).Nonempty

⊢ a * b ∈ s * t
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G
a : G
ha : a ∈ s
b : G
hb : ∀ (o : Set G), IsOpen o → b ∈ o → (o ∩ t).Nonempty
hbU : b ∈ s⁻¹ * {a * b}

⊢ a * b ∈ s * t
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s t✝ : Set G
hs : IsOpen s
t : Set G
a : G
ha : a ∈ s
b : G
hb : ∀ (o : Set G), IsOpen o → b ∈ o → (o ∩ t).Nonempty
hbU : b ∈ s⁻¹ * {a * b}
c : G
hc : c ∈ s⁻¹
hcs : (fun x x_1 => x * x_1) c (a * b) ∈ t

⊢ a * b ∈ s * t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
i : P ≅ P'
h : IsSheafFor P R
x : FamilyOfElements P' R
hx : x.Compatible
x' : FamilyOfElements P R := FamilyOfElements.compPresheafMap i.inv x

⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
i : P ≅ P'
h : IsSheafFor P R
x : FamilyOfElements P' R
hx : x.Compatible
x' : FamilyOfElements P R := FamilyOfElements.compPresheafMap i.inv x
this : x'.Compatible

⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
i : P ≅ P'
h : IsSheafFor P R
x : FamilyOfElements P' R
hx : x.Compatible
x' : FamilyOfElements P R := FamilyOfElements.compPresheafMap i.inv x
this : x'.Compatible
t : P.obj (op X)
ht1 : x'.IsAmalgamation t
ht2 : ∀ (y : P.obj (op X)), (fun t => x'.IsAmalgamation t) y → y = t

⊢ ∃! t, x.IsAmalgamation t
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/IsSheafFor.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P Q U : Cᵒᵖ ⥤ Type w
X Y : C
S : Sieve X
R : Presieve X
P' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
i : P ≅ P'
h : IsSheafFor P R
x : FamilyOfElements P' R
hx : x.Compatible
x' : FamilyOfElements P R := FamilyOfElements.compPresheafMap i.inv x
this : x'.Compatible
t : P.obj (op X)
ht1 : x'.IsAmalgamation t
ht2 : ∀ (y : P.obj (op X)), (fun t => x'.IsAmalgamation t) y → y = t

⊢ (fun t => x.IsAmalgamation t) (i.hom.app (op X) t) ∧ ∀ (y : P'.obj (op X)), (fun t => x.IsAmalgamation t) y → y = i.hom.app (op X) t
-- Mathlib/Tactic/Abel.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddCommGroup α
x a : α

⊢ termg 0 x a = a
-- Mathlib/Order/Interval/Set/ProjIcc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a b : α
h✝ : a ≤ b
x : α
h : a < b

⊢ projIcc a b ⋯ x = ⟨b, ⋯⟩ ↔ b ≤ x
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : Nontrivial α

⊢ factors 1 = 0
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : Nontrivial α

⊢ (factors 1).prod = FactorSet.prod 0
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid α
inst✝² : DecidableEq (Associates α)
inst✝¹ : (p : Associates α) → Decidable (Irreducible p)
inst✝ : Nontrivial α

⊢ 1 = FactorSet.prod 0
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b c : α
ha : a ∈ normalizedFactors c
hb : b ∈ normalizedFactors c
h : a ~ᵤ b

⊢ a = b
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizationMonoid α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
a b c : α
ha : a ∈ normalizedFactors c
hb : b ∈ normalizedFactors c
h : a ~ᵤ b

⊢ a ∣ b ∧ b ∣ a
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁴ : Fintype ι
inst✝¹³ : Fintype ι'
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁷ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁶ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f✝ g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m✝ : (i : ι) → E i
n : ℕ
Ei : Fin n → Type u_1
inst✝¹ : (i : Fin n) → SeminormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝ : (i : Fin n) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G
m : (i : Fin n) → Ei i
b : ℝ
hm : ‖m‖ ≤ b

⊢ ‖f m‖ ≤ ‖f‖ * b ^ n
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y

⊢ orderOf (x * y) = orderOf y
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
hoy : 0 < orderOf y

⊢ orderOf (x * y) = orderOf y
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
hoy : 0 < orderOf y
hxy : orderOf x ∣ orderOf y

⊢ orderOf (x * y) = orderOf y
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
hoy : 0 < orderOf y
hxy : orderOf x ∣ orderOf y

⊢ orderOf (x * y) ∣ orderOf y
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
hoy : 0 < orderOf y
hxy : orderOf x ∣ orderOf y

⊢ ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf y → ¬orderOf (x * y) ∣ orderOf y / p
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
hoy : 0 < orderOf y
hxy : orderOf x ∣ orderOf y
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : p ∣ orderOf y
hd : orderOf (x * y) ∣ orderOf y / p

⊢ p = 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
hoy : 0 < orderOf y
hxy : orderOf x ∣ orderOf y
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : p ∣ orderOf y
hd : orderOf (x * y) ∣ orderOf y / p

⊢ orderOf y ∣ orderOf y / p
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
hoy : 0 < orderOf y
hxy : orderOf x ∣ orderOf y
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : p ∣ orderOf y
hd : orderOf (x * y) ∣ orderOf y / p

⊢ p * orderOf x ∣ orderOf y
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h✝ : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
hoy : 0 < orderOf y
hxy : orderOf x ∣ orderOf y
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : p ∣ orderOf y
hd : orderOf (x * y) ∣ orderOf y / p
h : p ∣ orderOf x

⊢ p * orderOf x ∣ orderOf y
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n m : ℕ
h✝ : Commute x y
hy : IsOfFinOrder y
hdvd : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ orderOf x → p * orderOf x ∣ orderOf y
hoy : 0 < orderOf y
hxy : orderOf x ∣ orderOf y
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hpy : p ∣ orderOf y
hd : orderOf (x * y) ∣ orderOf y / p
h : ¬p ∣ orderOf x

⊢ p * orderOf x ∣ orderOf y
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
M : ℝ
hM : 1 < M

⊢ Filter.map ofReal' (𝓝[<] 1) ≤ 𝓝[stolzSet M] 1
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
M : ℝ
hM : 1 < M

⊢ Tendsto id (Filter.map ofReal' (𝓝[<] 1)) (𝓝[stolzSet M] 1)
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
M : ℝ
hM : 1 < M

⊢ ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] 1, ↑x ∈ stolzSet M
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
M : ℝ
hM : 1 < M

⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ 1 ∈ u ∧ u ∩ Set.Iio 1 ⊆ {x | ↑x ∈ stolzSet M}
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
M : ℝ
hM : 1 < M
x : ℝ
hx : x ∈ Set.Ioo 0 2 ∩ Set.Iio 1

⊢ x ∈ {x | ↑x ∈ stolzSet M}
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
M : ℝ
hM : 1 < M
x : ℝ
hx : (0 < x ∧ x < 2) ∧ x < 1

⊢ x ∈ {x | ↑x ∈ stolzSet M}
-- Mathlib/Analysis/Complex/AbelLimit.lean
M : ℝ
hM : 1 < M
x : ℝ
hx : (0 < x ∧ x < 2) ∧ x < 1

⊢ x < 1 ∧ 1 - x < M * (1 - x)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p * q ≠ 0

⊢ p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree ≤ (p * q).natTrailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p * q ≠ 0
hp : p ≠ 0

⊢ p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree ≤ (p * q).natTrailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p * q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0

⊢ p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree ≤ (p * q).natTrailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p * q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
this : ∀ (p : R[X]), ↑p.natTrailingDegree = ↑p.natTrailingDegree

⊢ p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree ≤ (p * q).natTrailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p * q ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
this : ∀ (p : R[X]), ↑p.natTrailingDegree = ↑p.natTrailingDegree

⊢ p.trailingDegree + q.trailingDegree ≤ (p * q).trailingDegree
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : ContinuousMul G
h : IsOpen {1}

⊢ DiscreteTopology G
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : ContinuousMul G
h : IsOpen {1}

⊢ ∀ (a : G), IsOpen {a}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : ContinuousMul G
h : IsOpen {1}
g : G

⊢ {g} = (fun x => g⁻¹ * x) ⁻¹' {1}
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α

⊢ ball x 0 = ∅
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0

⊢ weightSpace M (α + ⇑(chainTop α β)) = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Basic.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
X₁ X₂ : Type v
M✝ N✝ M N : ModuleCat R
f : M ⟶ N
r : R
x : ↑((forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).obj M)

⊢ ((forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).map f ≫ N.smul r) x = (M.smul r ≫ (forget₂ (ModuleCat R) AddCommGrp).map f) x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : OrderedRing 𝕜
f : ↑(stdSimplex 𝕜 (Fin 2))

⊢ 1 - ↑f 0 = ↑f 0 + ↑f 1 - ↑f 0
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Limits.lean
ι : Type u
f : ι → Scheme
i : ι

⊢ Sigma.ι f i ≫ (sigmaIsoGlued f).hom = (disjointGlueData f).ι i
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ
a : α
l : List α

⊢ sublistsLen (n + 1) (a :: l) = sublistsLen (n + 1) l ++ map (cons a) (sublistsLen n l)
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
n : ℕ
a : α
l : List α

⊢ sublistsLen (n + 1) l ++ map (id ∘ cons a) (sublistsLen n l) = sublistsLen (n + 1) l ++ map (cons a) (sublistsLen n l)
-- Mathlib/Data/Num/Prime.lean
n : PosNum
fuel : ℕ
ih : ∀ {k : PosNum}, (↑n).sqrt < fuel + ↑k.bit1 → ↑(n.minFacAux fuel k) = (↑n).minFacAux ↑k.bit1
k : PosNum
h : (↑n).sqrt < fuel + 1 + ↑k.bit1

⊢ ↑(if n < k.bit1 * k.bit1 then n else if k.bit1 ∣ n then k.bit1 else n.minFacAux fuel k.succ) = if ↑n < ↑k.bit1 * ↑k.bit1 then ↑n else if ↑k.bit1 ∣ ↑n then ↑k.bit1 else (↑n).minFacAux (↑k.bit1 + 2)
-- Mathlib/Data/Num/Prime.lean
n : PosNum
fuel : ℕ
ih : ∀ {k : PosNum}, (↑n).sqrt < fuel + ↑k.bit1 → ↑(n.minFacAux fuel k) = (↑n).minFacAux ↑k.bit1
k : PosNum
h : (↑n).sqrt < fuel + 1 + ↑k.bit1

⊢ ↑(if n < k.bit1 * k.bit1 then n else if k.bit1 ∣ n then k.bit1 else n.minFacAux fuel k.succ) = if ↑n < ↑(k.bit1 * k.bit1) then ↑n else if ↑k.bit1 ∣ ↑n then ↑k.bit1 else (↑n).minFacAux (↑k.bit1 + 2)
-- Mathlib/Data/Num/Prime.lean
n : PosNum
fuel : ℕ
ih : ∀ {k : PosNum}, (↑n).sqrt < fuel + ↑k.bit1 → ↑(n.minFacAux fuel k) = (↑n).minFacAux ↑k.bit1
k : PosNum
h : (↑n).sqrt < fuel + 1 + ↑k.bit1

⊢ ↑(if n < k.bit1 * k.bit1 then n else if k.bit1 ∣ n then k.bit1 else n.minFacAux fuel k.succ) = if n < k.bit1 * k.bit1 then ↑n else if k.bit1 ∣ n then ↑k.bit1 else (↑n).minFacAux (↑k.bit1 + 2)
-- Mathlib/Data/Num/Prime.lean
n : PosNum
fuel : ℕ
ih : ∀ {k : PosNum}, (↑n).sqrt < fuel + ↑k.bit1 → ↑(n.minFacAux fuel k) = (↑n).minFacAux ↑k.bit1
k : PosNum
h : (↑n).sqrt < fuel + 1 + ↑k.bit1
h✝¹ : ¬n < k.bit1 * k.bit1
h✝ : ¬k.bit1 ∣ n

⊢ ↑(n.minFacAux fuel k.succ) = (↑n).minFacAux (↑k.bit1 + 2)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y

⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤

⊢ ↑d ≤ dimH s / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : μH[↑d] (f '' s) ≤ ↑C ^ ↑d * μH[↑r * ↑d] s

⊢ ↑d ≤ dimH s / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : ↑(C ^ ↑d) * μH[↑r * ↑d] s = ⊤

⊢ ↑d ≤ dimH s / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : ↑(C ^ ↑d) * μH[↑r * ↑d] s = ⊤
Hrd : μH[↑(r * d)] s = ⊤

⊢ ↑d ≤ dimH s / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : ↑(C ^ ↑d) * μH[↑r * ↑d] s = ⊤
Hrd : μH[↑(r * d)] s = ⊤

⊢ ↑(r * d) ≤ dimH s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : ↑(C ^ ↑d) * μH[↑r * ↑d] s = ⊤
Hrd : μH[↑(r * d)] s = ⊤

⊢ ↑r ≠ 0 ∨ dimH s ≠ 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝¹ : EMetricSpace X
inst✝ : EMetricSpace Y
C K r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
this✝³ : MeasurableSpace X := borel X
this✝² : BorelSpace X
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y
d : ℝ≥0
hd : μH[↑d] (f '' s) = ⊤
this : ↑(C ^ ↑d) * μH[↑r * ↑d] s = ⊤
Hrd : μH[↑(r * d)] s = ⊤

⊢ ↑r ≠ ⊤ ∨ dimH s ≠ ⊤
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0

⊢ orderOf (x ^ (orderOf x / (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)) * y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y))) = (orderOf x).lcm (orderOf y)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0

⊢ orderOf (x ^ (orderOf x / (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y))) * orderOf (y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y))) = (orderOf x).lcm (orderOf y)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0

⊢ (orderOf (x ^ (orderOf x / (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)))).Coprime (orderOf (y ^ (orderOf y / (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y))))
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0

⊢ (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) * (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y) = (orderOf x).lcm (orderOf y)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0

⊢ orderOf y ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0

⊢ (orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y) ∣ orderOf y
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0

⊢ orderOf x ≠ 0
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0

⊢ (orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y) ∣ orderOf x
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
x y : G
h : Commute x y
hx : orderOf x ≠ 0
hy : orderOf y ≠ 0

⊢ ((orderOf x).factorizationLCMLeft (orderOf y)).gcd ((orderOf x).factorizationLCMRight (orderOf y)) = 1