ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.degree = 1

⊢ C (p.coeff 1) * X + C (p.coeff 0) = C p.leadingCoeff * X + C (p.coeff 0)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.degree = ↑1

⊢ C (p.coeff 1) * X + C (p.coeff 0) = C p.leadingCoeff * X + C (p.coeff 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
e : (Module.Dual R M ⊗[R] M × Module.Dual R N ⊗[R] N) ≃ₗ[R] (M →ₗ[R] M) × (N →ₗ[R] N) := (dualTensorHomEquiv R M M).prod (dualTensorHomEquiv R N N)

⊢ trace R (M × N) ∘ₗ prodMapLinear R M N M N R = id.coprod id ∘ₗ (trace R M).prodMap (trace R N)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
e : (Module.Dual R M ⊗[R] M × Module.Dual R N ⊗[R] N) ≃ₗ[R] (M →ₗ[R] M) × (N →ₗ[R] N) := (dualTensorHomEquiv R M M).prod (dualTensorHomEquiv R N N)
h : Function.Surjective ⇑↑e

⊢ trace R (M × N) ∘ₗ prodMapLinear R M N M N R = id.coprod id ∘ₗ (trace R M).prodMap (trace R N)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Trace.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M
inst✝¹⁰ : Module R M
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup N
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : Module R P
ι : Type u_5
inst✝⁵ : Module.Free R M
inst✝⁴ : Module.Finite R M
inst✝³ : Module.Free R N
inst✝² : Module.Finite R N
inst✝¹ : Module.Free R P
inst✝ : Module.Finite R P
e : (Module.Dual R M ⊗[R] M × Module.Dual R N ⊗[R] N) ≃ₗ[R] (M →ₗ[R] M) × (N →ₗ[R] N) := (dualTensorHomEquiv R M M).prod (dualTensorHomEquiv R N N)
h : Function.Surjective ⇑↑e

⊢ (trace R (M × N) ∘ₗ prodMapLinear R M N M N R) ∘ₗ ↑e = (id.coprod id ∘ₗ (trace R M).prodMap (trace R N)) ∘ₗ ↑e
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/EventuallyMeasurable.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
s t : Set α
hst : s =ᶠ[l] t
t' : Set α
ht' : MeasurableSet t'
htt' : t =ᶠ[l] t'

⊢ EventuallyMeasurableSet m l s
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean

⊢ @inits = @initsTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
l : List α

⊢ l.inits = l.initsTR
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Basic.lean
α : Type u_1
l : List α

⊢ l.inits = (foldr (fun a arrs => (Array.map (fun t => a :: t) arrs).push []) #[[]] l).data.reverse
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Inv.lean
u : Lean.Level
n✝¹ num✝ : ℤ
n✝ denom✝ : ℕ
inv✝ : Invertible ↑denom✝
h : ↑n✝¹ / ↑n✝ = ↑num✝ * ⅟↑denom✝

⊢ IsRat (mkRat ↑n✝¹ ↑n✝) num✝ denom✝
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Inv.lean
u : Lean.Level
n✝¹ num✝ : ℤ
n✝ denom✝ : ℕ
inv✝ : Invertible ↑denom✝
h : ↑n✝¹ / ↑n✝ = ↑num✝ * ⅟↑denom✝

⊢ IsRat (↑↑n✝¹ / ↑↑n✝) num✝ denom✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x y : ℝ≥0∞
z : ℝ
hz : 0 < z

⊢ x ^ z⁻¹ < y ↔ x < y ^ z
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
inst✝² : HasMultiequalizer I
inst✝¹ : HasProduct I.left
inst✝ : HasProduct I.right
a : I.L

⊢ ιPi I ≫ Pi.π I.left a = ι I a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Multiequalizer.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
I : MulticospanIndex C
inst✝² : HasMultiequalizer I
inst✝¹ : HasProduct I.left
inst✝ : HasProduct I.right
a : I.L

⊢ equalizer.ι I.fstPiMap I.sndPiMap ≫ Pi.π I.left a = (limit.isoLimitCone { cone := I.multiforkEquivPiFork.inverse.obj (limit.cone (parallelPair I.fstPiMap I.sndPiMap)), isLimit := IsLimit.ofPreservesConeTerminal I.multiforkEquivPiFork.inverse (limit.isLimit (parallelPair I.fstPiMap I.sndPiMap)) }).inv ≫ ι I a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ m : MeasurableSpace α
v : VectorMeasure α ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ v.ennrealToMeasure s = ↑v s
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

⊢ (K.opcyclesIsoSc' i j k hi hk).inv ≫ K.fromOpcycles j k = (K.sc' i j k).fromOpcycles
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f✝ : α ↪ β
s : Finset α
t : Finset β
f : α ≃ β

⊢ map f.symm.toEmbedding t ⊆ s ↔ t ⊆ map f.toEmbedding s
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V

⊢ midpoint R x y +ᵥ midpoint R x y = midpoint R x y +ᵥ midpoint R y x
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Midpoint.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z : P
x y : V

⊢ midpoint R x y +ᵥ midpoint R y x = x + y
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α

⊢ μ (s ∪ t) < ⊤ ↔ μ s < ⊤ ∧ μ t < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h : μ (s ∪ t) < ⊤

⊢ μ s < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h : μ (s ∪ t) < ⊤

⊢ μ t < ⊤
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame

⊢ 0 ≤ -x + x
-- Mathlib/SetTheory/Game/PGame.lean
xl xr : Type u
x : PGame

⊢ -(-x + x) ≤ 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Biproducts.lean
C : Type u₁
inst✝⁶ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
X Y : C
inst✝¹ : HasBinaryBiproduct X Y
inst✝ : PreservesBinaryBiproduct X Y F
W : C
f : X ⟶ W
g : Y ⟶ W

⊢ (F.mapBiprod X Y).inv ≫ F.map (desc f g) = desc (F.map f) (F.map g)
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z

⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, f x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z

⊢ (Continuous f ∧ ∀ ⦃ℱ : Filter X⦄ ⦃y : Y⦄, MapClusterPt y ℱ f → ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x ℱ) ↔ Continuous f ∧ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, f x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
x✝ : Continuous f

⊢ (∀ ⦃ℱ : Filter X⦄ ⦃y : Y⦄, MapClusterPt y ℱ f → ∃ x, f x = y ∧ ClusterPt x ℱ) ↔ ∀ ⦃𝒰 : Ultrafilter X⦄ ⦃y : Y⦄, Tendsto f (↑𝒰) (𝓝 y) → ∃ x, f x = y ∧ ↑𝒰 ≤ 𝓝 x
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x y : PartENat

⊢ x < y ↔ ∃ (hx : x.Dom), ∀ (hy : y.Dom), x.get hx < y.get hy
-- Mathlib/Data/Nat/PartENat.lean
x y : PartENat

⊢ ((∃ (h : y.Dom → x.Dom), ∀ (hy : y.Dom), x.get ⋯ ≤ y.get hy) ∧ ∀ (x_1 : x.Dom → y.Dom), ¬∀ (hy : x.Dom), y.get ⋯ ≤ x.get hy) ↔ ∃ (hx : x.Dom), ∀ (hy : y.Dom), x.get hx < y.get hy
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
homeo : ↑(pullback f g) ≃ₜ ↑(of { p // f p.1 = g p.2 }) := homeoOfIso (pullbackIsoProdSubtype f g)

⊢ (pullback f g).str = induced (⇑(pullback.fst f g)) X.str ⊓ induced (⇑(pullback.snd f g)) Y.str
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
homeo : ↑(pullback f g) ≃ₜ ↑(of { p // f p.1 = g p.2 }) := homeoOfIso (pullbackIsoProdSubtype f g)

⊢ induced (⇑homeo) (of { p // f p.1 = g p.2 }).topologicalSpace_coe = induced (⇑(pullback.fst f g)) X.str ⊓ induced (⇑(pullback.snd f g)) Y.str
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
homeo : ↑(pullback f g) ≃ₜ ↑(of { p // f p.1 = g p.2 }) := homeoOfIso (pullbackIsoProdSubtype f g)

⊢ induced (⇑homeo) (induced Subtype.val (induced Prod.fst X.str ⊓ induced Prod.snd Y.str)) = induced (⇑(pullback.fst f g)) X.str ⊓ induced (⇑(pullback.snd f g)) Y.str
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Pullbacks.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : TopCat
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
homeo : ↑(pullback f g) ≃ₜ ↑(of { p // f p.1 = g p.2 }) := homeoOfIso (pullbackIsoProdSubtype f g)

⊢ induced ((Prod.fst ∘ Subtype.val) ∘ ⇑homeo) X.str ⊓ induced ((Prod.snd ∘ Subtype.val) ∘ ⇑homeo) Y.str = induced (⇑(pullback.fst f g)) X.str ⊓ induced (⇑(pullback.snd f g)) Y.str
-- Mathlib/Topology/Category/TopCat/Limits/Products.lean
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
ι : Type v
α : ι → TopCat
i : ι
x : ↑(α i)

⊢ (sigmaIsoSigma α).inv ⟨i, x⟩ = (Sigma.ι α i) x
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
a b : Fin (n + 1)
ha : a ≠ 0

⊢ (a.pred ha).castSucc < b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
h : contained C o
this : (∀ (i : I), ∀ x ∈ C, x i ≠ false → ord I i < o) → (π C fun x => ord I x < o) = C

⊢ C = π C fun x => ord I x < o
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/Nobeling.lean
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
h : contained C o
this : (∀ (i : I), ∀ x ∈ C, x i = true → ord I i < o) → (Proj fun x => ord I x < o) '' C = C

⊢ C = π C fun x => ord I x < o
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f✝¹ : ℝ → E
g'✝ g✝ φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ f'✝ : ℝ → E
f f' g g' : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f [[a, b]]
hff' : ∀ x ∈ Ioo (min a b) (max a b), HasDerivWithinAt f (f' x) (Ioi x) x
hf' : ContinuousOn f' [[a, b]]
hg : ContinuousOn g [[f a, f b]]
hgg' : ∀ x ∈ Ioo (min (f a) (f b)) (max (f a) (f b)), HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
hg' : ContinuousOn g' (f '' [[a, b]])

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (g' ∘ f) x * f' x = (g ∘ f) b - (g ∘ f) a
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E

⊢ LocallyIntegrableOn P.f_modif (Ioi 0) volume
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
this : LocallyIntegrableOn (fun x => (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) (Ioi 0) volume

⊢ LocallyIntegrableOn P.f_modif (Ioi 0) volume
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
this : LocallyIntegrableOn (fun x => (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) (Ioi 0) volume
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

⊢ IntegrableAtFilter ((Ioi 1).indicator fun x => P.f x - P.f₀) (𝓝[Ioi 0] x) volume
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
this : LocallyIntegrableOn (fun x => (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) (Ioi 0) volume
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

⊢ IntegrableAtFilter ((Ioo 0 1).indicator fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) (𝓝[Ioi 0] x) volume
-- Mathlib/Algebra/Lie/Quotient.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L

⊢ map (mk' N) N' = ⊥ ↔ N' ≤ N
-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ

⊢ asympBound g a b n = ↑n ^ p a b * (1 + ∑ u ∈ range n, g ↑u / ↑u ^ (p a b + 1))
-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : AddCommMonoid E
inst✝⁵ : AddCommMonoid F
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : SMul 𝕜 α
inst✝ : SMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
g✝ : β → α
g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hfg : EqOn f g s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

⊢ g (a • x + b • y) ≤ a • g x + b • g y
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝³ : Preorder β
f✝ g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β
γ : Type u_3
inst✝² : LinearOrder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderTopology γ
f : α → γ

⊢ Continuous f ↔ LowerSemicontinuous f ∧ UpperSemicontinuous f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
hp0 : p ≠ 0
h0q : 0 < q.degree
hpq : p.degree < q.degree

⊢ (p /ₘ q).degree < p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
hp0 : p ≠ 0
h0q : 0 < q.degree
hpq : p.degree < q.degree
this : Nontrivial R

⊢ (p /ₘ q).degree < p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
hp0 : p ≠ 0
h0q : 0 < q.degree
hpq : p.degree < q.degree
this : Nontrivial R

⊢ degree 0 < ↑p.natDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
hp0 : p ≠ 0
h0q : 0 < q.degree
hpq : ¬p.degree < q.degree

⊢ (p /ₘ q).degree < p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
hp0 : p ≠ 0
h0q : 0 < q.degree
hpq : ¬p.degree < q.degree
this : Nontrivial R

⊢ (p /ₘ q).degree < p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p✝ q✝ p q : R[X]
hq : q.Monic
hp0 : p ≠ 0
h0q : 0 < q.degree
hpq : ¬p.degree < q.degree
this : Nontrivial R

⊢ ↑(p /ₘ q).natDegree < ↑q.natDegree + ↑(p /ₘ q).natDegree
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y z : E

⊢ ⟪x, y - z⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜 - ⟪x, z⟫_𝕜
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : NoMinOrder α
hs : IsLowerSet s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ lowerBounds s

⊢ False
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
s : Set α
p : α → Prop
a✝ : α
inst✝ : NoMinOrder α
hs : IsLowerSet s
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ lowerBounds s
c : α
hc : c < b

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u

⊢ ∃ f, StrictMono f ∧ Summable fun i => dist (u (f (i + 1))) (u (f i))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : ∀ (n m : ℕ), m ≥ f n → dist (u m) (u (f n)) < (1 / 2) ^ n

⊢ ∃ f, StrictMono f ∧ Summable fun i => dist (u (f (i + 1))) (u (f i))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : ∀ (n m : ℕ), m ≥ f n → dist (u m) (u (f n)) < (1 / 2) ^ n

⊢ Summable fun i => dist (u (f (i + 1))) (u (f i))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoMetricSpace α
u : ℕ → α
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : ∀ (n m : ℕ), m ≥ f n → dist (u m) (u (f n)) < (1 / 2) ^ n

⊢ ∀ (b : ℕ), dist (u (f (b + 1))) (u (f b)) ≤ (1 / 2) ^ b
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E
hα : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F ↥F⟮α⟯) (minpoly F α)
this : Fintype (↥F⟮α⟯ →ₐ[F] ↥F⟮α⟯) := IntermediateField.fintypeOfAlgHomAdjoinIntegral F hα

⊢ Fintype.card (↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] ↥F⟮α⟯) = finrank F ↥F⟮α⟯
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E
hα : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F ↥F⟮α⟯) (minpoly F α)
this : Fintype (↥F⟮α⟯ →ₐ[F] ↥F⟮α⟯) := IntermediateField.fintypeOfAlgHomAdjoinIntegral F hα

⊢ Fintype.card (↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] ↥F⟮α⟯) = (minpoly F α).natDegree
-- Mathlib/FieldTheory/Galois.lean
F : Type u_1
inst✝³ : Field F
E : Type u_2
inst✝² : Field E
inst✝¹ : Algebra F E
inst✝ : FiniteDimensional F E
α : E
hα : IsIntegral F α
h_sep : IsSeparable F α
h_splits : Polynomial.Splits (algebraMap F ↥F⟮α⟯) (minpoly F α)
this : Fintype (↥F⟮α⟯ →ₐ[F] ↥F⟮α⟯) := IntermediateField.fintypeOfAlgHomAdjoinIntegral F hα

⊢ Fintype.card (↥F⟮α⟯ ≃ₐ[F] ↥F⟮α⟯) = Fintype.card (↥F⟮α⟯ →ₐ[F] ↥F⟮α⟯)
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq α

⊢ image2 f (insert a ↑s) ↑t = (fun b => f a b) '' ↑t ∪ image2 f ↑s ↑t
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E

⊢ (span 𝕜 (Set.range fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1))).topologicalClosure ≤ (⨆ J, span 𝕜 ↑(Finset.image (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) J)).topologicalClosure
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E

⊢ (span 𝕜 (Set.range fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1))).topologicalClosure ≤ (span 𝕜 (⋃ i, ↑(Finset.image (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i))).topologicalClosure
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : DecidableEq ι
l : ⨁ (i : ι), G i
i : ι
v : G i

⊢ (DFinsupp.sum l fun j w => if i = j then ⟪(V i) v, (V j) w⟫_𝕜 else 0) = ⟪v, l i⟫_𝕜
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝¹ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → G i →ₗᵢ[𝕜] E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
dec_V : (i : ι) → (x : G i) → Decidable (x ≠ 0)
inst✝ : DecidableEq ι
l : ⨁ (i : ι), G i
i : ι
v : G i

⊢ (if l i ≠ 0 then ⟪(V i) v, (V i) (l i)⟫_𝕜 else 0) = ⟪v, l i⟫_𝕜
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ

⊢ m.gcd (m + n) = m.gcd n
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, SetIndependent a

⊢ SetIndependent (⋃₀ s)
-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
inst✝² : CompleteLattice α
f : ι → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
a b : α
s✝ : Set α
s : Set (Set α)
hs : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
h : ∀ a ∈ s, SetIndependent a

⊢ SetIndependent (⋃ i, ↑i)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α✝ β : Type u
α : Type (max u v)
inst✝ : Small.{v, max u v} α

⊢ lift.{u, v} #(Shrink.{v, max u v} α) = #α
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Add.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F

⊢ fderiv 𝕜 (fun y => c - f y) x = -fderiv 𝕜 f x
-- Mathlib/CategoryTheory/Generator.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
G : C

⊢ IsCoseparator (op G) ↔ IsSeparator G
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
f f' : PartialHomeomorph X Y

⊢ (f.subtypeRestr hs).symm.trans (f'.subtypeRestr hs) ≈ (f.symm.trans f').restr (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Opens X
hs : Nonempty ↥s
f f' : PartialHomeomorph X Y

⊢ (f.symm.trans (s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).symm).trans ((s.partialHomeomorphSubtypeCoe hs).trans f') ≈ (f.symm.trans f').restr (f.target ∩ ↑f.symm ⁻¹' ↑s)