ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))

⊢ ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))

⊢ ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable

⊢ ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable
aux : volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}) = volume (Ioo a b)

⊢ ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable
aux : volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}) = volume (Ioo a b)
len_pos : 0 < ENNReal.ofReal (b - a)

⊢ ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable
aux : volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}) = volume (Ioo a b)
len_pos : 0 < volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))})

⊢ ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable
aux : volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}) = volume (Ioo a b)
len_pos : 0 < volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))})
r : ℝ
r_in_Ioo : r ∈ Ioo a b
hr : r ∉ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}

⊢ ∃ r ∈ Ioo a b, μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Portmanteau.lean
Ω : Type u_1
inst✝³ : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝² : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : SFinite μ
s : Set Ω
a b : ℝ
hab : a < b
mbles : ∀ (r : ℝ), MeasurableSet (frontier (Metric.thickening r s))
disjs : Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (Metric.thickening r s))
key : {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}.Countable
aux : volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}) = volume (Ioo a b)
len_pos : 0 < volume (Ioo a b \ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))})
r : ℝ
r_in_Ioo : r ∈ Ioo a b
hr : r ∉ {i | 0 < μ (frontier (Metric.thickening i s))}

⊢ μ (frontier (Metric.thickening r s)) = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ nodal (s.erase i) v = nodal s v / (X - C (v i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ X - C (v i) ≠ 0
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f✝² : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
α : Type u_4
ι : Type u_5
f✝¹ : α → X
g✝ : X → Y
f✝ : α → X
s : Set X
g : Y → Z
f : α → Y
hg : DenseRange g
hf : DenseRange f
cg : Continuous g

⊢ DenseRange (g ∘ f)
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f✝² : X → Y
s✝ : Set X
x : X
y : Y
α : Type u_4
ι : Type u_5
f✝¹ : α → X
g✝ : X → Y
f✝ : α → X
s : Set X
g : Y → Z
f : α → Y
hg : DenseRange g
hf : DenseRange f
cg : Continuous g

⊢ Dense (g '' range f)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : NonarchimedeanGroup G
H : Type u_2
inst✝⁵ : Group H
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
inst✝³ : TopologicalGroup H
K : Type u_3
inst✝² : Group K
inst✝¹ : TopologicalSpace K
inst✝ : NonarchimedeanGroup K
U : Set (G × G)
hU : U ∈ 𝓝 1
V W : OpenSubgroup G
h : ↑V ×ˢ ↑W ⊆ U

⊢ ↑(V ⊓ W) ×ˢ ↑(V ⊓ W) ⊆ U
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
t : M ⊗[R] N

⊢ t ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} ↔ t ∈ ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
t : M ⊗[R] N

⊢ t ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
t : M ⊗[R] N

⊢ 0 ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
t : M ⊗[R] N

⊢ ∀ (x : M) (y : N), x ⊗ₜ[R] y ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁷ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁶ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid N
inst✝¹³ : AddCommMonoid P
inst✝¹² : AddCommMonoid Q
inst✝¹¹ : AddCommMonoid S
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid T
inst✝⁹ : Module R M
inst✝⁸ : Module R N
inst✝⁷ : Module R P
inst✝⁶ : Module R Q
inst✝⁵ : Module R S
inst✝⁴ : Module R T
inst✝³ : DistribMulAction R' M
inst✝² : Module R'' M
inst✝¹ : SMulCommClass R R' M
inst✝ : SMulCommClass R R'' M
t : M ⊗[R] N

⊢ ∀ (x y : M ⊗[R] N), x ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} → y ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t} → x + y ∈ Submodule.span R {t | ∃ m n, m ⊗ₜ[R] n = t}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hxz' : 0 < z - x

⊢ (f y - f x) / (y - x) ≤ (f z - f x) / (z - x)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxy' : 0 < y - x
hxz' : 0 < z - x

⊢ (f y - f x) * (z - x) ≤ (f z - f x) * (y - x)
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : Ring R

⊢ ↑ζ * ↑μ = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α

⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Subsingleton L

⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L

⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
H : β (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))

⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
H : (k • ⇑α) (coroot α) = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))

⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
H : k • 2 = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))

⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
H : k • 2 = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
n : ℕ
hn : chainLength α β = n + n

⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H✝ : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H✝.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H✝) L
α β : Weight K (↥H✝) L
hα : α.IsNonZero
k : K
h : ⇑β = k • ⇑α
h✝ : Nontrivial L
H : k • 2 = ↑(↑(chainLength α β) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) β))
n : ℕ
hn : chainLength α β = 2 * n + 1

⊢ k = -1 ∨ k = 0 ∨ k = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f g : CauSeq α abs
h✝ : (g - f).LimZero ∨ (-(g - f)).Pos
h : (-(g - f)).Pos

⊢ g < f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Linear.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
x : E

⊢ 0 = e x - e x✝ - e (x - x✝)
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g s t : ι → α
a b : α
ι₁ : Sort u_9
ι₂ : Sort u_10
κ₁ : ι₁ → Sort u_11
κ₂ : ι₂ → Sort u_12
f : (i₁ : ι₁) → κ₁ i₁ → (i₂ : ι₂) → κ₂ i₂ → α

⊢ ⨅ i₁, ⨅ j₁, ⨅ i₂, ⨅ j₂, f i₁ j₁ i₂ j₂ = ⨅ i₂, ⨅ j₂, ⨅ i₁, ⨅ j₁, f i₁ j₁ i₂ j₂
-- Mathlib/Topology/Semicontinuous.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β

⊢ UpperSemicontinuousOn f univ ↔ UpperSemicontinuous f
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ ψ : Angle
h : 2 • θ + 2 • ψ = ↑π

⊢ ψ.tan = θ.tan⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
ψ : Angle
x✝ : ℝ
h : 2 • ↑x✝ + 2 • ψ = ↑π

⊢ ψ.tan = (↑x✝).tan⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝¹ x✝ : ℝ
h : 2 • ↑x✝¹ + 2 • ↑x✝ = ↑π

⊢ (↑x✝).tan = (↑x✝¹).tan⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝¹ x✝ : ℝ
h : ∃ k, 2 * (x✝¹ + x✝) - π = 2 * π * ↑k

⊢ (↑x✝).tan = (↑x✝¹).tan⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝¹ x✝ : ℝ
k : ℤ
h : 2 * (x✝¹ + x✝) - π = 2 * π * ↑k

⊢ (↑x✝).tan = (↑x✝¹).tan⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝¹ x✝ : ℝ
k : ℤ
h : x✝ = ↑k * π + π / 2 - x✝¹

⊢ (↑x✝).tan = (↑x✝¹).tan⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
x✝¹ x✝ : ℝ
k : ℤ
h : x✝ = ↑k * π + π / 2 - x✝¹

⊢ Real.tan (π / 2 - x✝¹ + ↑k * π) = Real.tan (π / 2 - x✝¹)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
n : v ≠ 0
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w

⊢ Module.rank R M = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
n : v ≠ 0
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
this : Nontrivial R

⊢ Module.rank R M = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : StrongRankCondition R
v : M
n : v ≠ 0
h : ∀ (w : M), ∃ c, c • v = w
this : Nontrivial R
b : Basis PUnit.{u + 1} R M

⊢ Module.rank R M = 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
h : 2 ≠ 0

⊢ W.preΨ₄.coeff 6 ≠ 0
-- Mathlib/Data/W/Basic.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
a b : α
ha : Nonempty (β a)
he : IsEmpty (β b)
hf : Finite (WType β)

⊢ False
-- Mathlib/Data/W/Basic.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
a b : α
ha : Nonempty (β a)
he : IsEmpty (β b)
hf : Finite (WType β)
hba : b ≠ a

⊢ False
-- Mathlib/Data/W/Basic.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
a b : α
ha : Nonempty (β a)
he : IsEmpty (β b)
hf : Finite (WType β)
hba : b ≠ a

⊢ Function.Injective fun n => let_fun this := Nat.recOn n (mk b he.elim') fun x ih => mk a fun x => ih; this
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u
one₁ : M
mul₁ : M → M → M
one_mul₁ : ∀ (a : M), 1 * a = a
mul_one₁ : ∀ (a : M), a * 1 = a
one₂ : M
one_mul₂ : ∀ (a : M), 1 * a = a
mul_one₂ : ∀ (a : M), a * 1 = a

⊢ one₁ = one₂
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n✝ n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
inst✝ : CharZero K

⊢ cyclotomic n ℚ = minpoly ℚ μ
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
n✝ n : ℕ
K : Type u_2
inst✝¹ : Field K
μ : K
h : IsPrimitiveRoot μ n
hpos : 0 < n
inst✝ : CharZero K

⊢ map (Int.castRingHom ℚ) (minpoly ℤ μ) = minpoly ℚ μ
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i k₀ : ι
hk₀ : ∀ (l : ι), ¬c.Rel k₀ l
hk₀' : ∀ (l : ι), ¬c.Rel l k₀
h : (i j : ι) → c.Rel j i → (C.X i ⟶ D.X j)

⊢ (nullHomotopicMap fun i j => dite (c.Rel j i) (h i j) fun x => 0).f k₀ = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n

⊢ Irreducible (cyclotomic n ℚ)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Roots.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n✝ n : ℕ
hpos : 0 < n

⊢ Irreducible (map (Int.castRingHom ℚ) (cyclotomic n ℤ))
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop

⊢ ↑(mkAlgHom S s) = mkRingHom s
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
s : A → A → Prop

⊢ ↑{ toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ } = { toFun := fun x => { toQuot := Quot.mk (Rel s) x }, map_one' := ⋯, map_mul' := ⋯, map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α →ₛ E
hfi : Integrable (↑f) μ

⊢ ∫ (x : α), ↑f x ∂μ = ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α →ₛ E
hfi : Integrable (↑f) μ

⊢ setToSimpleFunc (weightedSMul μ) f = integral μ f
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G✝ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Inv G✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace G✝
inst✝³ : MeasurableInv G✝
m : MeasurableSpace α
f✝ : α → G✝
μ : Measure α
G : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : MeasurableInv G
f : α → G
h : Measurable fun x => (f x)⁻¹

⊢ Measurable f
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ 1 - ↑p ^ (-s) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
H : 1 = ↑p ^ (-s)

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
H : 1 = ↑p ^ (-s)
this : ‖↑↑⟨p, hp⟩ ^ (-s)‖ ≤ 1 / 2

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
H : 1 = ↑p ^ (-s)
this : ‖↑p ^ (-s)‖ ≤ 1 / 2

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
s : ℂ
hs : 1 < s.re
H : 1 = ↑p ^ (-s)
this : 1 ≤ 1 / 2

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D

⊢ ∫ (x : E), w D x ∂μ = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D

⊢ ((∫ (x : E), u x ∂μ) * |D| ^ finrank ℝ E)⁻¹ • ∫ (a : E), u (D⁻¹ • a) ∂μ = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/BumpFunction/FiniteDimension.lean
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : BorelSpace E
D : ℝ
Dpos : 0 < D

⊢ (D ^ finrank ℝ E * ∫ (x : E), u x ∂μ)⁻¹ • D ^ finrank ℝ E • ∫ (x : E), u x ∂μ = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/PartialFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ : Type ?u.20146
f : X✝ ⟶ Y✝
a✝ : ((typeToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).obj X✝).X
a : typeToPartialFun.obj X✝

⊢ ((typeToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).map f ≫ ((fun X => { hom := { toFun := id, map_point := ⋯ }, inv := { toFun := id, map_point := ⋯ }, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }) Y✝).hom).toFun (some a) = (((fun X => { hom := { toFun := id, map_point := ⋯ }, inv := { toFun := id, map_point := ⋯ }, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }) X✝).hom ≫ typeToPointed.map f).toFun (some a)
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/PartialFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
X✝ Y✝ : Type ?u.20146
f : X✝ ⟶ Y✝
a✝ : ((typeToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).obj X✝).X
a : typeToPartialFun.obj X✝

⊢ ((typeToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).map f ≫ ((fun X => { hom := { toFun := id, map_point := ⋯ }, inv := { toFun := id, map_point := ⋯ }, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }) Y✝).hom).toFun (some a) = (Part.some (f a)).toOption