ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α

⊢ ∃ i, b ∈ Ico (a + i • p) (a + (i + 1) • p)
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p

⊢ ∃ i, b ∈ Ico (a + i • p) (a + (i + 1) • p)
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p

⊢ b < a + (toIcoDiv hp a b + 1) • p
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p

⊢ b < a + toIcoDiv hp a b • p + p
-- Mathlib/Algebra/Order/ToIntervalMod.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b : α
hl : a ≤ b - toIcoDiv hp a b • p
hr : b - toIcoDiv hp a b • p < a + p

⊢ a + toIcoDiv hp a b • p + p = a + p + toIcoDiv hp a b • p
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u}

⊢ lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u}
this : lift.{max (u + 1) v, u + 1} (lift.{u + 1, u} c) < lift.{max (u + 1) v, u + 1} univ.{u, u + 1}

⊢ lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u}
this : lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}

⊢ lift.{max (u + 1) v, u} c < univ.{u, v}
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
a b : R

⊢ ∑ s : Finset (Fin n), a ^ s.card * b ^ (n - s.card) = (a + b) ^ n
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : AddMonoid A

⊢ closure {0} = ⊥
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
s✝ t : Set α
a b x y : α
s : Finset α
hf : f.IsCycleOn ↑s
ha : a ∈ s
hb : b ∈ s

⊢ ∃ n < s.card, (f ^ n) a = b
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → β → α
S : Set β

⊢ UniformEquicontinuousOn F S ↔ ∀ (i : ι), UniformContinuousOn (F i) S
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
inst✝ : Finite ι
F : ι → β → α
S : Set β

⊢ (∀ (y : ι), ∀ x ∈ 𝓤 α, ∀ᶠ (x_2 : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), (F y x_2.1, F y x_2.2) ∈ x) ↔ ∀ (i : ι), UniformContinuousOn (F i) S
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f g : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : IsNormal f
hg : IsNormal g
x✝ : f 0 = g 0 ∧ ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)
h₁ : f 0 = g 0
h₂ : ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)

⊢ f 0 = g 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f g : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : IsNormal f
hg : IsNormal g
x✝ : f 0 = g 0 ∧ ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)
h₁ : f 0 = g 0
h₂ : ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)
o✝ : Ordinal.{u}
a✝ : f o✝ = g o✝

⊢ f (succ o✝) = g (succ o✝)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f g : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : IsNormal f
hg : IsNormal g
x✝ : f 0 = g 0 ∧ ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)
h₁ : f 0 = g 0
h₂ : ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)
o✝ : Ordinal.{u}
ho : o✝.IsLimit
H : ∀ o' < o✝, f o' = g o'

⊢ f o✝ = g o✝
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
f g : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
hf : IsNormal f
hg : IsNormal g
x✝ : f 0 = g 0 ∧ ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)
h₁ : f 0 = g 0
h₂ : ∀ (a : Ordinal.{u}), f a = g a → f (succ a) = g (succ a)
o✝ : Ordinal.{u}
ho : o✝.IsLimit
H : ∀ o' < o✝, f o' = g o'

⊢ (o✝.bsup fun x x_1 => f x) = o✝.bsup fun x x_1 => g x
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁴ : SMul M α
inst✝³ : SMul N α
inst✝² : SMul M β
inst✝¹ : SMul N β
inst✝ : SMulCommClass M N α
f : α → β
hf : Surjective f
h₁ : ∀ (c : M) (x : α), f (c • x) = c • f x
h₂ : ∀ (c : N) (x : α), f (c • x) = c • f x
c₁ : M
c₂ : N
x : α

⊢ c₁ • c₂ • f x = c₂ • c₁ • f x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
h : Surjective ⇑f

⊢ lift.{v, v'} (Module.rank R M') ≤ lift.{v', v} (Module.rank R M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M'
h : Surjective ⇑f

⊢ lift.{v, v'} (Module.rank R ↥(range f)) ≤ lift.{v', v} (Module.rank R M)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
u v : UniformSpace α

⊢ u ≤ v ↔ UniformContinuous id
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁹ : StrictConvexSpace ℝ V
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝³ : MetricSpace PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor E PE
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
r : ℝ
f : PF → PE
x y z : PE
hx : dist x y = dist x z / 2
hy : dist y z = dist x z / 2

⊢ y = midpoint ℝ x z
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁹ : StrictConvexSpace ℝ V
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝³ : MetricSpace PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor E PE
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
r : ℝ
f : PF → PE
x y z : PE
hx : dist x y = dist x z / 2
hy : dist y z = dist x z / 2

⊢ dist x y = ⅟2 * dist x z
-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexBetween.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁹ : StrictConvexSpace ℝ V
E : Type u_3
F : Type u_4
PE : Type u_5
PF : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : StrictConvexSpace ℝ E
inst✝³ : MetricSpace PE
inst✝² : MetricSpace PF
inst✝¹ : NormedAddTorsor E PE
inst✝ : NormedAddTorsor F PF
r : ℝ
f : PF → PE
x y z : PE
hx : dist x y = dist x z / 2
hy : dist y z = dist x z / 2

⊢ dist y z = (1 - ⅟2) * dist x z
-- Mathlib/Logic/Nontrivial/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2

⊢ ¬Nontrivial α ↔ Subsingleton α
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y : α

⊢ dist x y = (edist x y).toReal
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
g : G
a b : α
h : g⁻¹ • a = b

⊢ a = g • b
-- Mathlib/Algebra/Group/Action/Defs.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
g : G
a b : α
h : a = g • b

⊢ g⁻¹ • a = b
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Center.lean
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : MulZeroClass M₀
s : Set M₀
x✝ : M₀

⊢ 0 * x✝ = x✝ * 0
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Center.lean
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : MulZeroClass M₀
s : Set M₀
x✝¹ x✝ : M₀

⊢ 0 * (x✝¹ * x✝) = 0 * x✝¹ * x✝
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Center.lean
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : MulZeroClass M₀
s : Set M₀
x✝¹ x✝ : M₀

⊢ x✝¹ * 0 * x✝ = x✝¹ * (0 * x✝)
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Center.lean
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : MulZeroClass M₀
s : Set M₀
x✝¹ x✝ : M₀

⊢ x✝¹ * x✝ * 0 = x✝¹ * (x✝ * 0)
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : Module R Q
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hg : Function.Surjective ⇑g
z : Q ⊗[R] P

⊢ ∃ a, (lTensor Q g) a = z
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Basic.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono (f ≫ g)

⊢ Mono f
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
ha : a₂ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₂

⊢ Ioo a₁ b₁ ⊆ Ioo a₂ b₂
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Symmetric.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →L[𝕜] E
hT : (↑T).IsSymmetric
x : E

⊢ ∃ r, ⟪T x, x⟫_𝕜 = ↑r
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Symmetric.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝⁸ : RCLike 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E'
T : E →L[𝕜] E
hT : (↑T).IsSymmetric
x : E

⊢ (starRingEnd 𝕜) ⟪T x, x⟫_𝕜 = ⟪T x, x⟫_𝕜
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/Bounds.lean
y : ℝ
hy : 1 ≤ y

⊢ ↑(harmonic ⌊y⌋₊) ≤ 1 + Real.log y
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/Bounds.lean
y : ℝ
hy : 1 ≤ y

⊢ 1 + Real.log ↑⌊y⌋₊ ≤ 1 + Real.log y
-- Mathlib/CategoryTheory/Products/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
fst✝⁴ : C
snd✝⁴ : C ⥤ D
fst✝³ : C
snd✝³ : C ⥤ D
fst✝² : (fst✝³, snd✝³).1 ⟶ (fst✝⁴, snd✝⁴).1
snd✝² : (fst✝³, snd✝³).2 ⟶ (fst✝⁴, snd✝⁴).2
fst✝¹ : C
snd✝¹ : C ⥤ D
fst✝ : (fst✝¹, snd✝¹).1 ⟶ (fst✝³, snd✝³).1
snd✝ : (fst✝¹, snd✝¹).2 ⟶ (fst✝³, snd✝³).2

⊢ { obj := fun p => p.2.obj p.1, map := fun {x y} f => x.2.map f.1 ≫ f.2.app y.1 }.map ((fst✝, snd✝) ≫ (fst✝², snd✝²)) = { obj := fun p => p.2.obj p.1, map := fun {x y} f => x.2.map f.1 ≫ f.2.app y.1 }.map (fst✝, snd✝) ≫ { obj := fun p => p.2.obj p.1, map := fun {x y} f => x.2.map f.1 ≫ f.2.app y.1 }.map (fst✝², snd✝²)
-- Mathlib/CategoryTheory/Products/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
fst✝⁴ : C
snd✝⁴ : C ⥤ D
fst✝³ : C
snd✝³ : C ⥤ D
fst✝² : (fst✝³, snd✝³).1 ⟶ (fst✝⁴, snd✝⁴).1
snd✝² : (fst✝³, snd✝³).2 ⟶ (fst✝⁴, snd✝⁴).2
fst✝¹ : C
snd✝¹ : C ⥤ D
fst✝ : (fst✝¹, snd✝¹).1 ⟶ (fst✝³, snd✝³).1
snd✝ : (fst✝¹, snd✝¹).2 ⟶ (fst✝³, snd✝³).2

⊢ snd✝¹.map fst✝ ≫ snd✝¹.map fst✝² ≫ snd✝.app fst✝⁴ ≫ snd✝².app fst✝⁴ = snd✝¹.map fst✝ ≫ snd✝.app fst✝³ ≫ snd✝³.map fst✝² ≫ snd✝².app fst✝⁴
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m✝ n✝ a✝ b✝ c d a b m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
h : a ≡ b [MOD m] ∧ a ≡ b [MOD n]

⊢ a ≡ b [MOD m * n]
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m✝ n✝ a✝ b✝ c d a b m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
h : m ∣ (↑b - ↑a).natAbs ∧ n ∣ (↑b - ↑a).natAbs

⊢ a ≡ b [MOD m * n]
-- Mathlib/Data/Nat/ModEq.lean
m✝ n✝ a✝ b✝ c d a b m n : ℕ
hmn : m.Coprime n
h : m ∣ (↑b - ↑a).natAbs ∧ n ∣ (↑b - ↑a).natAbs

⊢ m * n ∣ (↑b - ↑a).natAbs
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m✝ n✝ : ℤ
a1 : 1 ≤ a
m n : ℕ
mn : m ≤ n

⊢ (a ^ n)⁻¹ ≤ (a ^ m)⁻¹
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
u : F (α ::: β) → β
x y : (P F).W α

⊢ WEquiv x y → recF u x = recF u y
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
u : F (α ::: β) → β
x y : (P F).W α

⊢ ∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), WEquiv ((P F).wMk a f' f) y → recF u ((P F).wMk a f' f) = recF u y
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
u : F (α ::: β) → β
x y : (P F).W α
a₀ : (P F).A
f'₀ : (P F).drop.B a₀ ⟹ α
f₀ : (P F).last.B a₀ → (P F).W α

⊢ WEquiv ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) y → recF u ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) = recF u y
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Fix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
u : F (α ::: β) → β
x y : (P F).W α
a₀ : (P F).A
f'₀ : (P F).drop.B a₀ ⟹ α
f₀ : (P F).last.B a₀ → (P F).W α

⊢ ∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), WEquiv ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) ((P F).wMk a f' f) → recF u ((P F).wMk a₀ f'₀ f₀) = recF u ((P F).wMk a f' f)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
h : s ∈ 𝓝 x

⊢ derivWithin f s x = deriv f x
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoversTop.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
I : Type u_1
Y : I → C
hY : J.CoversTop Y
F : Sheaf J A
c : Cone F.val
hc : IsLimit c
X : A
f g : X ⟶ c.pt
h : ∀ (i : I), f ≫ c.π.app (Opposite.op (Y i)) = g ≫ c.π.app (Opposite.op (Y i))

⊢ f = g
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoversTop.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
I : Type u_1
Y : I → C
hY : J.CoversTop Y
F : Sheaf J A
c : Cone F.val
hc : IsLimit c
X : A
f g : X ⟶ c.pt
h : ∀ (i : I), f ≫ c.π.app (Opposite.op (Y i)) = g ≫ c.π.app (Opposite.op (Y i))
Z : Cᵒᵖ

⊢ ∀ (I_1 : (hY.cover (Opposite.unop Z)).Arrow), (f ≫ c.π.app Z) ≫ F.val.map I_1.f.op = (g ≫ c.π.app Z) ≫ F.val.map I_1.f.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoversTop.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
I : Type u_1
Y : I → C
hY : J.CoversTop Y
F : Sheaf J A
c : Cone F.val
hc : IsLimit c
X : A
f g : X ⟶ c.pt
h : ∀ (i : I), f ≫ c.π.app (Opposite.op (Y i)) = g ≫ c.π.app (Opposite.op (Y i))
Z : Cᵒᵖ
W : C
a : W ⟶ Opposite.unop Z
i : I
b : W ⟶ Y i

⊢ (f ≫ c.π.app Z) ≫ F.val.map { Y := W, f := a, hf := ⋯ }.f.op = (g ≫ c.π.app Z) ≫ F.val.map { Y := W, f := a, hf := ⋯ }.f.op
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Semisimple.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
hf : f.IsSemisimple
μ : R

⊢ f.maxGenEigenspace μ = f.eigenspace μ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s

⊢ ∃ f, f.IsSubordinate fun x => (chartAt H ↑x).source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/PartitionOfUnity.lean
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : T2Space M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
s : Set M
hs : IsClosed s
x : M
hx : x ∈ s

⊢ x ∈ ⋃ i, (chartAt H ↑i).source
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
g : Filter β

⊢ limsup u (f ⊔ g) = limsup u f ⊔ limsup u g
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
g : Filter β

⊢ limsup u (f ⊔ g) ≤ limsup u f ⊔ limsup u g
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
g : Filter β

⊢ ∀ (i : α), (∀ᶠ (n : β) in f, u n ≤ i) → ∀ (i_1 : α), (∀ᶠ (n : β) in g, u n ≤ i_1) → sInf {a | ∀ᶠ (n : β) in f ⊔ g, u n ≤ a} ≤ i ⊔ i_1
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteDistribLattice α
f : Filter β
p q : β → Prop
u : β → α
g : Filter β
a : α
ha : ∀ᶠ (n : β) in f, u n ≤ a
b : α
hb : ∀ᶠ (n : β) in g, u n ≤ b

⊢ sInf {a | ∀ᶠ (n : β) in f ⊔ g, u n ≤ a} ≤ a ⊔ b
-- Mathlib/Order/UpperLower/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α

⊢ Disjoint ↑s ↑t ↔ Disjoint s t
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : SuccOrder α
a b : α
hb : ¬IsMax b

⊢ Ico a (succ b) = Icc a b
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]

⊢ (map f p).degree = p.degree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p = 0

⊢ (map f p).degree = p.degree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0

⊢ (map f p).degree = p.degree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0 ∨ p = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0

⊢ (map f p).degree = p.degree ↔ f p.leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
h2 : (map f p).degree = p.degree

⊢ f p.leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
h2 : (map f p).degree = p.degree
h3 : (map f p).natDegree = p.natDegree

⊢ f p.leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
p : R[X]
h : p ≠ 0
h2 : (map f p).degree = p.degree
h3 : (map f p).natDegree = p.natDegree
h4 : map f p ≠ 0

⊢ f p.leadingCoeff ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor/Div.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : PosSMulReflectLE α β
inst✝¹ : FloorDiv α β
inst✝ : CeilDiv α β
a : α
b c : β

⊢ b ⌊/⌋ a ≤ b ⌈/⌉ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor/Div.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : PosSMulReflectLE α β
inst✝¹ : FloorDiv α β
inst✝ : CeilDiv α β
a : α
b c : β
ha : a ≤ 0

⊢ b ⌊/⌋ a ≤ b ⌈/⌉ a
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor/Div.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : PosSMulReflectLE α β
inst✝¹ : FloorDiv α β
inst✝ : CeilDiv α β
a : α
b c : β
ha : 0 < a

⊢ b ⌊/⌋ a ≤ b ⌈/⌉ a
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝² : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hs : μ s ≠ 0

⊢ ∃ x ∈ s, ∀ t ∈ 𝓝[s] x, 0 < μ t
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝² : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, μ t ≤ 0

⊢ μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝² : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t : Set α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
s : Set α
hs : ∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, μ t = 0

⊢ μ s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Trim.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
m₁ m₂ : MeasurableSpace α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m0

⊢ (μ.trim hm₂).trim hm₁₂ = μ.trim ⋯
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Trim.lean
α : Type u_1
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
m₁ m₂ : MeasurableSpace α
hm₁₂ : m₁ ≤ m₂
hm₂ : m₂ ≤ m0
t : Set α
ht : MeasurableSet t

⊢ ((μ.trim hm₂).trim hm₁₂) t = (μ.trim ⋯) t
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s

⊢ (∀ {i : ι}, p i → (s i).Nonempty) ↔ ¬∃ i, p i ∧ s i = ∅
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/PiTensorProduct/InjectiveSeminorm.lean
ι : Type uι
inst✝¹⁰ : Fintype ι
𝕜 : Type u𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : ι → Type uE
inst✝⁸ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
F : Type uF
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
E' : ι → Type u_1
E'' : ι → Type u_2
inst✝⁴ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)
g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i
f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
u v : E i →L[𝕜] E' i
x : ⨂[𝕜] (i : ι), E i

⊢ (mapL (update f i (u + v))) x = (mapL (update f i u) + mapL (update f i v)) x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
l₁ l₂ l₃ : List α
h₁ : l₁ <+ l₂
h₂ : l₂ <+ l₃

⊢ l₁ <+ l₃