ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Monoidal.lean
I : Type u
inst✝⁵ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ Y₁ Y₂ : GradedObject I C
f : X₁ ⟶ X₂
g : Y₁ ⟶ Y₂
inst✝² : X₁.HasTensor Y₁
inst✝¹ : X₂.HasTensor Y₂
inst✝ : X₂.HasTensor Y₁

⊢ tensorHom f g = whiskerRight f Y₁ ≫ whiskerLeft X₂ g
-- Mathlib/RingTheory/MvPowerSeries/Basic.lean
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : Semiring R
φ : MvPowerSeries σ R
s : σ

⊢ (coeff R 0) (X s * φ) = 0
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
α : Type u_11

⊢ ⋃ x, {x} = univ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R✝ : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R✝
r✝ : R✝
f✝ : R✝[X]
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
f : R[X]
r : R

⊢ (((taylor r) f).sum fun i a => C a * (X - C r) ^ i) = f
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{max u_2 u_3}
f : (a : Ordinal.{max u_2 u_3}) → a < o → Ordinal.{max u_2 u_3}
c : Cardinal.{max u_2 u_3}
hc : c.IsRegular
hι : o.card < c

⊢ o.card < c.ord.cof
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head

⊢ (p.append q connect).toFun (Fin.last (p.append q connect).length) = q.toFun (Fin.last q.length)
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head

⊢ Fin.last (p.append q connect).length = ↑↑(Fin.natAdd p.length (Fin.last q.length)) + 1
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head

⊢ ↑(Fin.last (p.append q connect).length) = (↑(Fin.natAdd p.length (Fin.last q.length)) % ((p.append q connect).length + 1) + 1 % ((p.append q connect).length + 1)) % ((p.append q connect).length + 1)
-- Mathlib/Algebra/Group/Commute/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : DivisionMonoid G
a b c d : G
h : Commute a b
n : ℕ

⊢ (a * b) ^ ↑n = a ^ ↑n * b ^ ↑n
-- Mathlib/Algebra/Group/Commute/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : DivisionMonoid G
a b c d : G
h : Commute a b
n : ℕ

⊢ (a * b) ^ Int.negSucc n = a ^ Int.negSucc n * b ^ Int.negSucc n
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y : ℝ
hy : 0 < y

⊢ ENNReal.ofReal (x / y) = ENNReal.ofReal x / ENNReal.ofReal y
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ g a

⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ g a
t : Set α
hts : {x | (fun a => f a ≤ g a) x}ᶜ ⊆ t
ht : MeasurableSet t
ht0 : μ t = 0

⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ g a
t : Set α
hts : {x | (fun a => f a ≤ g a) x}ᶜ ⊆ t
ht : MeasurableSet t
ht0 : μ t = 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ t

⊢ ∫⁻ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), g a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ g a
t : Set α
hts : {x | (fun a => f a ≤ g a) x}ᶜ ⊆ t
ht : MeasurableSet t
ht0 : μ t = 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ t

⊢ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral μ ≤ ⨆ g_1, ⨆ (_ : ↑g_1 ≤ fun a => g a), g_1.lintegral μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ g a
t : Set α
hts : {x | (fun a => f a ≤ g a) x}ᶜ ⊆ t
ht : MeasurableSet t
ht0 : μ t = 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ t
s : α →ₛ ℝ≥0∞
hfs : ↑s ≤ fun a => f a

⊢ ↑(s.restrict tᶜ) ≤ fun a => g a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
h : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, f a ≤ g a
t : Set α
hts : {x | (fun a => f a ≤ g a) x}ᶜ ⊆ t
ht : MeasurableSet t
ht0 : μ t = 0
this : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∉ t
s : α →ₛ ℝ≥0∞
hfs : ↑s ≤ fun a => f a

⊢ s.lintegral μ ≤ (s.restrict tᶜ).lintegral μ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Univ.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
n : Type u_3
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
f : R →+* S
M : n × n → S
i : ℕ

⊢ (MvPolynomial.eval₂Hom f M) ((univ R n).coeff i) = (of (Function.curry M)).charpoly.coeff i
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
a b : α
s : Set α
f g : ι → α

⊢ (⨆ i, f i) ∆ ⨆ i, g i ≤ ⨆ i, f i ∆ g i
-- Mathlib/Order/CompleteBooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
a b : α
s : Set α
f g : ι → α

⊢ ⨆ i, f i ≤ ⨆ x, g x ⊔ f x ∆ g x ∧ ⨆ i, g i ≤ ⨆ x, f x ⊔ f x ∆ g x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalSpace G
K₀ : Set G
f : Compacts G → ℝ

⊢ f ∈ haarProduct K₀ ↔ ∀ (K : Compacts G), f K ∈ Icc 0 ↑(index (↑K) K₀)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R

⊢ W.Ψ 0 = 0
-- Mathlib/Tactic/Lift.lean
ι : Sort u_1
α : ι → Sort u_2
ne : ∀ (i : ι), Nonempty (α i)
p : ι → Prop
f : (i : Subtype p) → α i.val
this : DecidablePred p

⊢ ∃ g, (fun i => g i.val) = f
-- Mathlib/GroupTheory/QuotientGroup.lean
G : Type u
inst✝⁴ : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝³ : Group H
M : Type x
inst✝² : Monoid M
φ : G →* H
H₁ : Subgroup G
inst✝¹ : H₁.Normal
H₂ : Subgroup (G ⧸ H₁)
inst✝ : H₂.Normal
x : G

⊢ x ∈ Subgroup.comap (mk' H₁) (Subgroup.comap (mk' H₂) (Subgroup.center ((G ⧸ H₁) ⧸ H₂))) ↔ x ∈ Subgroup.comap (mk' (Subgroup.comap (mk' H₁) H₂)) (Subgroup.center (G ⧸ Subgroup.comap (mk' H₁) H₂))
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
s : Multiset ℕ
h : ∀ x ∈ s, Irreducible x

⊢ normalizedFactors s.prod = s
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
s : Multiset ℕ
h : ∀ x ∈ s, Irreducible x

⊢ Multiset.Rel (fun x x_1 => x ~ᵤ x_1) (normalizedFactors s.prod) s
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
s : Multiset ℕ
h : ∀ x ∈ s, Irreducible x

⊢ s.prod ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
s : Multiset ℕ
h : ∀ x ∈ s, Irreducible x

⊢ 0 ∉ s
-- Mathlib/Data/Rat/Star.lean

⊢ closure (range fun x => x * x) = nonneg ℚ
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ x ∈ closure s ↔ ∃ᶠ (x : X) in 𝓝 x, x ∈ s
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero

⊢ finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α) = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero

⊢ ¬1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
F : ↥↑(rootSpace H ⇑α) →ₗ[K] K := (killingForm K L) f ∘ₗ (↑(rootSpace H ⇑α)).subtype

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
F : ↥↑(rootSpace H ⇑α) →ₗ[K] K := (killingForm K L) f ∘ₗ (↑(rootSpace H ⇑α)).subtype
hF : LinearMap.ker F ≠ ⊥

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
F : ↥↑(rootSpace H ⇑α) →ₗ[K] K := (killingForm K L) f ∘ₗ (↑(rootSpace H ⇑α)).subtype
hF : LinearMap.ker F ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ ↑(rootSpace H ⇑α)
hy : ⟨y, hyα⟩ ∈ LinearMap.ker F
hy₀ : ⟨y, hyα⟩ ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
F : ↥↑(rootSpace H ⇑α) →ₗ[K] K := (killingForm K L) f ∘ₗ (↑(rootSpace H ⇑α)).subtype
hF : LinearMap.ker F ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ ↑(rootSpace H ⇑α)
hy₀ : ⟨y, hyα⟩ ≠ 0
hy : ⁅y, f⁆ = 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
F : ↥↑(rootSpace H ⇑α) →ₗ[K] K := (killingForm K L) f ∘ₗ (↑(rootSpace H ⇑α)).subtype
hF : LinearMap.ker F ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ ↑(rootSpace H ⇑α)
hy₀ : ⟨y, hyα⟩ ≠ 0
hy : ⁅y, f⁆ = 0
P : ⋯.HasPrimitiveVectorWith y (-2)

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank K ↥↑(rootSpace H ⇑α)
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H ⇑α
hfα : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
F : ↥↑(rootSpace H ⇑α) →ₗ[K] K := (killingForm K L) f ∘ₗ (↑(rootSpace H ⇑α)).subtype
hF : LinearMap.ker F ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ ↑(rootSpace H ⇑α)
hy₀ : ⟨y, hyα⟩ ≠ 0
hy : ⁅y, f⁆ = 0
P : ⋯.HasPrimitiveVectorWith y (-2)
n : ℕ
hn : -2 = ↑n

⊢ False
-- Mathlib/Topology/LocallyClosed.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
f : X → Y

⊢ coborder s = (frontier s)ᶜ ↔ IsOpen s
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : OpensMeasurableSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : ℝ≥0∞
h0 : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤

⊢ eLpNorm f p μ = eLpNorm g p ν
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : OpensMeasurableSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : ℝ≥0∞
h0 : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤

⊢ (∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ = (∫⁻ (a : β), ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal ∂ν) ^ p.toReal⁻¹
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : OpensMeasurableSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : ℝ≥0∞
h0 : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤

⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ = ∫⁻ (a : β), ↑‖g a‖₊ ^ p.toReal ∂ν
-- Mathlib/Probability/IdentDistrib.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
inst✝² : MeasurableSpace δ
μ : Measure α
ν : Measure β
f : α → γ
g : β → γ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup γ
inst✝ : OpensMeasurableSpace γ
h : IdentDistrib f g μ ν
p : ℝ≥0∞
h0 : ¬p = 0
h_top : ¬p = ⊤

⊢ IdentDistrib (fun x => ↑‖f x‖₊ ^ p.toReal) (fun x => ↑‖g x‖₊ ^ p.toReal) μ ν
-- Mathlib/Data/List/Forall2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
l : List α
l₁ l₂ : List β
h : Forall₂ R l (l₁ ++ l₂)

⊢ Forall₂ R (take l₁.length l) l₁
-- Mathlib/Data/List/Forall2.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R S : α → β → Prop
P : γ → δ → Prop
Rₐ : α → α → Prop
l : List α
l₁ l₂ : List β
h : Forall₂ R l (l₁ ++ l₂)
h' : Forall₂ R (take l₁.length l) (take l₁.length (l₁ ++ l₂))

⊢ Forall₂ R (take l₁.length l) l₁
-- Mathlib/Data/List/ToFinsupp.lean
M : Type u_1
inst✝⁴ : Zero M
l : List M
inst✝³ : DecidablePred fun x => l.getD x 0 ≠ 0
n : ℕ
R : Type u_2
inst✝² : AddZeroClass R
x : R
xs : List R
inst✝¹ : DecidablePred fun i => (xs ++ [x]).getD i 0 ≠ 0
inst✝ : DecidablePred fun i => xs.getD i 0 ≠ 0

⊢ (xs ++ [x]).toFinsupp = xs.toFinsupp + Finsupp.single xs.length x
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
b : P
hb : b ∈ I * J

⊢ IsInteger R ((aI * aJ) • b)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
b : P
hb : b ∈ I * J

⊢ ∀ m ∈ I, ∀ n ∈ J, IsInteger R ((aI * aJ) • (m * n))
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I J : Submodule R P
aI : R
haI : aI ∈ S
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R (aI • b)
aJ : R
haJ : aJ ∈ S
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R (aJ • b)
b : P
hb : b ∈ I * J

⊢ ∀ (x y : P), IsInteger R ((aI * aJ) • x) → IsInteger R ((aI * aJ) • y) → IsInteger R ((aI * aJ) • (x + y))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re

⊢ ∫ (r : ℝ) in Ioi 0, ↑r * cexp (-b * ↑r ^ 2) = (2 * b)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
hb' : b ≠ 0

⊢ ∫ (r : ℝ) in Ioi 0, ↑r * cexp (-b * ↑r ^ 2) = (2 * b)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
hb' : b ≠ 0
A : ∀ (x : ℂ), HasDerivAt (fun x => -(2 * b)⁻¹ * cexp (-b * x ^ 2)) (x * cexp (-b * x ^ 2)) x

⊢ ∫ (r : ℝ) in Ioi 0, ↑r * cexp (-b * ↑r ^ 2) = (2 * b)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
hb' : b ≠ 0
A : ∀ (x : ℂ), HasDerivAt (fun x => -(2 * b)⁻¹ * cexp (-b * x ^ 2)) (x * cexp (-b * x ^ 2)) x
B : Tendsto (fun y => -(2 * b)⁻¹ * cexp (-b * ↑y ^ 2)) atTop (𝓝 (-(2 * b)⁻¹ * 0))

⊢ ∫ (r : ℝ) in Ioi 0, ↑r * cexp (-b * ↑r ^ 2) = (2 * b)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℂ
hb : 0 < b.re
hb' : b ≠ 0
A : ∀ (x : ℂ), HasDerivAt (fun x => -(2 * b)⁻¹ * cexp (-b * x ^ 2)) (x * cexp (-b * x ^ 2)) x
B : Tendsto (fun y => -(2 * b)⁻¹ * cexp (-b * ↑y ^ 2)) atTop (𝓝 (-(2 * b)⁻¹ * 0))

⊢ (2 * b)⁻¹ = -(2 * b)⁻¹ * 0 - -(2 * b)⁻¹ * cexp (-b * ↑0 ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
n : ℕ

⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 n f univ x = iteratedFDeriv 𝕜 n f x
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : ¬p = 1

⊢ Irreducible p ↔ p ≠ 1 ∧ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f.natDegree = 0 ∨ g.natDegree = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : ¬p = 1

⊢ (∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f = 1 ∨ g = 1) ↔ ∀ (f g : R[X]), f.Monic → g.Monic → f * g = p → f.natDegree = 0 ∨ g.natDegree = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hp1 : ¬p = 1
a b : R[X]
ha : a.Monic
hb : b.Monic

⊢ a * b = p → a = 1 ∨ b = 1 ↔ a * b = p → a.natDegree = 0 ∨ b.natDegree = 0
-- Mathlib/Order/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → Preorder (π i)
x y : (i : ι) → π i

⊢ x < y ↔ x ≤ y ∧ ∃ i, x i < y i
-- Mathlib/Algebra/Module/Equiv/Basic.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
K : Type u_6
S : Type u_7
M : Type u_8
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
N₁ : Type u_12
N₂ : Type u_13
N₃ : Type u_14
N₄ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Subsingleton M
inst✝ : Subsingleton M₂
x✝ : M

⊢ (ofSubsingleton M M) x✝ = (refl R M) x✝
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f✝ g : CircleDeg1Lift
f : CircleDeg1Liftˣ
n : ℕ

⊢ τ ↑(f ^ ↑n) = ↑↑n * τ ↑f
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Basic.lean
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
t : ℝ
ht : t ≤ 0
x : X

⊢ (F.extend t) x = f₀ x
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Basic.lean
F✝ : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
f₀ f₁ : C(X, Y)
F : f₀.Homotopy f₁
t : ℝ
ht : t ≤ 0
x : X

⊢ (F.extend t) x = F (0, x)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
N n : ℕ
c : R
n✝ : ℕ

⊢ (reflect N (C c * X ^ n)).coeff n✝ = (C c * X ^ (revAt N) n).coeff n✝
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Reverse.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
N n : ℕ
c : R
n✝ : ℕ

⊢ c * (X ^ n).coeff ((revAt N) n✝) = c * if n✝ = (revAt N) n then 1 else 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : Norm E
a : 𝕜
f : 𝕜 → E
h : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (𝓝[≠] a) (norm ∘ f)

⊢ f =o[𝓝[≠] a] fun x => (x - a)⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : Norm E
a : 𝕜
f : 𝕜 → E
h : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (𝓝[≠] a) (norm ∘ f)

⊢ Tendsto (norm ∘ fun x => (x - a)⁻¹) (𝓝[≠] a) atTop
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : Norm E
a : 𝕜
f : 𝕜 → E
h : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (𝓝[≠] a) (norm ∘ f)

⊢ Tendsto (fun x => ‖x - a‖⁻¹) (𝓝[≠] a) atTop
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Module S N
inst✝⁹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝⁸ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁷ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
M' : Submodule R M
P : Type w
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
Q : Type w'
inst✝⁴ : AddCommGroup Q
inst✝³ : Module R Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
x : N

⊢ x ∈ Submodule.localized' S p f (ker g) ↔ x ∈ ker (extendScalarsOfIsLocalization p S ((IsLocalizedModule.map p f f') g))
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Localization.lean
R : Type u
S : Type u'
M : Type v
N : Type v'
inst✝¹⁷ : CommRing R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M
inst✝¹⁴ : AddCommGroup N
inst✝¹³ : Module R M
inst✝¹² : Module R N
inst✝¹¹ : Algebra R S
inst✝¹⁰ : Module S N
inst✝⁹ : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝⁸ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁷ : IsLocalizedModule p f
hp : p ≤ R⁰
M' : Submodule R M
P : Type w
inst✝⁶ : AddCommGroup P
inst✝⁵ : Module R P
Q : Type w'
inst✝⁴ : AddCommGroup Q
inst✝³ : Module R Q
inst✝² : Module S Q
inst✝¹ : IsScalarTower R S Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
x : N

⊢ (∃ m, g m = 0 ∧ ∃ s, IsLocalizedModule.mk' f m s = x) ↔ ((IsLocalizedModule.map p f f') g) x = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ω
hb : ↑n < ω

⊢ (fun x x_1 => x ^ x_1) ↑m ↑n < ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Principal.lean
a b : Ordinal.{u_1}
m n : ℕ
ha : ↑m < ω
hb : ↑n < ω

⊢ ↑(m ^ n) < ω
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q p : MvPolynomial σ R

⊢ p ≠ 0 ↔ ∃ d, coeff d p ≠ 0