ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
h : (node s l x r).Sized

⊢ 0 < s
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
s : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
h : (node s l x r).Sized

⊢ 0 < l.size + r.size + 1
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ

⊢ dist z ((starRingEnd ℂ) z) = 2 * |z.im|
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
h : s =ᶠ[𝓝 x] t

⊢ lineDerivWithin 𝕜 f s x v = lineDerivWithin 𝕜 f t x v
-- Mathlib/InformationTheory/Hamming.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
x y : (i : ι) → β i

⊢ hammingDist x y = hammingNorm (x - y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝ : α → β
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
hs : NullMeasurableSet s (comap f μ)

⊢ (comap f μ) s = μ (f '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝ : α → β
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → β
μ : Measure β
hfi : Injective f
hf : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → NullMeasurableSet (f '' s) μ
hs : NullMeasurableSet s (((OuterMeasure.comap f) μ.toOuterMeasure).toMeasure ⋯)

⊢ (((OuterMeasure.comap f) μ.toOuterMeasure).toMeasure ⋯) s = μ (f '' s)
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Subcategory.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
inst✝³ : HasShift C ℤ
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
S : Subcategory C
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ S.W f ↔ ∃ Z g h, ∃ (_ : Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles), S.P Z
-- Mathlib/Data/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : SDiff α
a b : α

⊢ some a \ some b = some (a \ b)
-- Mathlib/Data/Sign.lean
α✝ : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedRing α
inst✝¹ : Nontrivial α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
n : ℤ

⊢ sign ↑n = sign n
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁹ : SecondCountableTopology α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁶ : HasBesicovitchCovering α
inst✝⁵ : MetricSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering β
μ : Measure β
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂μ, Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (s.indicator 1 x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁹ : SecondCountableTopology α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁶ : HasBesicovitchCovering α
inst✝⁵ : MetricSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering β
μ : Measure β
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

⊢ ∀ (a : β), Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt a) (𝓝 (s.indicator 1 a)) → Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall a r) / μ (closedBall a r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (s.indicator 1 a))
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹⁰ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝⁹ : SecondCountableTopology α
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁶ : HasBesicovitchCovering α
inst✝⁵ : MetricSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : BorelSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering β
μ : Measure β
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
x : β
hx : Tendsto (fun a => μ (s ∩ a) / μ a) ((Besicovitch.vitaliFamily μ).filterAt x) (𝓝 (s.indicator 1 x))

⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (s.indicator 1 x))
-- Mathlib/RingTheory/Presentation.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
P : Presentation R S
r : R
inst✝ : IsLocalization.Away r S

⊢ (localizationAway r).dimension = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c

⊢ c + 1 = c
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
c : Cardinal.{u_1}
h : ℵ₀ ≤ c

⊢ ω ≤ c.ord
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Construction.lean
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ (W.Q ⋙ lift G hG).map f = eqToHom ⋯ ≫ G.map f ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Construction.lean
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ (lift G hG).map (W.Q.map f) = G.map f
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Construction.lean
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
X Y : C
f : X ⟶ Y

⊢ composePath (G.map f).toPath = G.map f
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a✝ : α
b✝ : β
s : Multiset α
t : Multiset β
a : α
b : β

⊢ (a, b) ∈ s.product t ↔ (a, b).1 ∈ s ∧ (a, b).2 ∈ t
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n✝ : ℕ
α : Type u_1
n : ℕ
f : Fin n.succ → α

⊢ (ofFn f).head = f 0
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
v : ℝ → E → E
tMin t₀ tMax : ℝ
x₀ : E
C R : ℝ
L : ℝ≥0
hpl : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R C

⊢ ∃ f, f t₀ = x₀ ∧ ∀ t ∈ Icc tMin tMax, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Icc tMin tMax) t
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
v : ℝ → E → E
tMin t₀ tMax : ℝ
x₀ : E
R : ℝ
L C : ℝ≥0
hpl : IsPicardLindelof v tMin t₀ tMax x₀ L R ↑C

⊢ ∃ f, f t₀ = x₀ ∧ ∀ t ∈ Icc tMin tMax, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Icc tMin tMax) t
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
v : ℝ → E → E
tMin tMax : ℝ
x₀ : E
R : ℝ
L C : ℝ≥0
t₀ : { x // x ∈ Icc tMin tMax }
hpl : IsPicardLindelof v tMin (↑t₀) tMax x₀ L R ↑C

⊢ ∃ f, f ↑t₀ = x₀ ∧ ∀ t ∈ Icc tMin tMax, HasDerivWithinAt f (v t (f t)) (Icc tMin tMax) t
-- Mathlib/Analysis/ODE/PicardLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
v : PicardLindelof E
f : v.FunSpace
t : ↑(Icc v.tMin v.tMax)

⊢ dist (f.toFun t) v.x₀ = dist (f.toFun t) (f.toFun v.t₀)
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base

⊢ lift f g H' ≫ f = g
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base

⊢ inv (pullback.snd f g) ≫ pullback.fst f g ≫ f = g
-- Mathlib/Geometry/RingedSpace/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
H' : Set.range ⇑g.val.base ⊆ Set.range ⇑f.val.base

⊢ pullback.fst f g ≫ f = pullback.snd f g ≫ g
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (β → γ)
t : Set (α → β)
u : Set α

⊢ s.seq (t.seq u) = (((fun x x_1 => x ∘ x_1) '' s).seq t).seq u
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set (β → γ)
t : Set (α → β)
u : Set α

⊢ image2 (fun f a => f a) s (image2 (fun f a => f a) t u) = image2 (fun f a => f a) (image2 (fun x x_1 => x ∘ x_1) s t) u
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
this : 1 ≤ a * a

⊢ ↑(Pell.d a1) = az a * az a - 1
-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
a : ℕ
a1 : 1 < a
this : 1 ≤ a * a

⊢ ↑(a * a) - ↑1 = az a * az a - 1
-- Mathlib/Algebra/Star/Module.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : StarMul R
inst✝⁵ : TrivialStar R
inst✝⁴ : AddCommGroup A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : StarModule R A
inst✝ : Invertible 2
x : A
hx : IsSelfAdjoint x

⊢ ↑((selfAdjointPart R) x) = x
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Covolume.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L
inst✝³ : IsZlattice ℝ L
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝² : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ ↥L
b₀ : Basis ι ℝ E

⊢ covolume L μ = |b₀.det (Subtype.val ∘ ⇑b)| * (μ (Zspan.fundamentalDomain b₀)).toReal
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Covolume.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L
inst✝³ : IsZlattice ℝ L
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝² : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ ↥L
b₀ : Basis ι ℝ E

⊢ |b₀.det ⇑(Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b)| * (μ (parallelepiped ⇑b₀)).toReal = |b₀.det (Subtype.val ∘ ⇑b)| * (μ (parallelepiped ⇑b₀)).toReal
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Covolume.lean
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁷ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝⁴ : DiscreteTopology ↥L
inst✝³ : IsZlattice ℝ L
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝² : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι ℤ ↥L
b₀ : Basis ι ℝ E
x✝ : ι

⊢ (Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b) x✝ = (Subtype.val ∘ ⇑b) x✝
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
s✝ t : Finset α
x : α × α
a : α
ι : Type u_4
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableRel LE.le
inst✝ : DecidableRel LT.lt
s : Finset ι

⊢ filter (fun i => i.1 < i.2) s.offDiag = filter (fun i => i.1 ≤ i.2) s.offDiag
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
s✝ t : Finset α
x : α × α
a : α
ι : Type u_4
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableRel LE.le
inst✝ : DecidableRel LT.lt
s : Finset ι

⊢ ∀ ⦃a : ι × ι⦄, a ∈ s.offDiag → (a.1 < a.2 ↔ a.1 ≤ a.2)
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
s✝ t : Finset α
x : α × α
a : α
ι : Type u_4
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableRel LE.le
inst✝ : DecidableRel LT.lt
s : Finset ι
i j : ι

⊢ (i, j) ∈ s.offDiag → ((i, j).1 < (i, j).2 ↔ (i, j).1 ≤ (i, j).2)
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
s✝ t : Finset α
x : α × α
a : α
ι : Type u_4
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableRel LE.le
inst✝ : DecidableRel LT.lt
s : Finset ι
i j : ι

⊢ i ∈ s → j ∈ s → i ≠ j → (i < j ↔ i ≤ j)
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
s✝ t : Finset α
x : α × α
a : α
ι : Type u_4
inst✝³ : PartialOrder ι
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : DecidableRel LE.le
inst✝ : DecidableRel LT.lt
s : Finset ι
i j : ι
a✝¹ : i ∈ s
a✝ : j ∈ s
h : i ≠ j

⊢ i < j ↔ i ≤ j
-- Mathlib/Data/Bool/Basic.lean

⊢ bne = xor
-- Mathlib/Data/Bool/Basic.lean
a b : Bool

⊢ (a != b) = xor a b
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ

⊢ (whiskerLeft G.op (sheafHom α)).app X = α.app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ

⊢ yoneda.map ((whiskerLeft G.op (sheafHom α)).app X) = yoneda.map (α.app X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U

⊢ (yoneda.map ((whiskerLeft G.op (sheafHom α)).app X)).app U a✝ = (yoneda.map (α.app X)).app U a✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U

⊢ ((sheafYonedaHom α).app (G.op.obj X)).app U a✝ = (yoneda.map (α.app X)).app U a✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U

⊢ (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this) = ((sheafYonedaHom α).app (G.op.obj X)).app U a✝
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U

⊢ (pushforwardFamily (homOver α (unop U)) a✝).Compatible
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U

⊢ (pushforwardFamily (homOver α (unop U)) a✝).IsAmalgamation (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
Y : D
f : Y ⟶ G.obj (unop X)
hf : (Sieve.coverByImage G (G.obj (unop X))).arrows f

⊢ (ℱ'.val ⋙ coyoneda.obj (op (unop U))).map f.op (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this) = pushforwardFamily (homOver α (unop U)) a✝ f hf
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
Y : D
f : Y ⟶ G.obj (unop X)
hf : (Sieve.coverByImage G (G.obj (unop X))).arrows f

⊢ (ℱ'.val ⋙ coyoneda.obj (op (unop U))).map ((Nonempty.some hf).lift ≫ (Nonempty.some hf).map).op (let_fun this := (yoneda.map (α.app X)).app U a✝; this) = pushforwardFamily (homOver α (unop U)) a✝ f hf
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
Y : D
f : Y ⟶ G.obj (unop X)
hf : (Sieve.coverByImage G (G.obj (unop X))).arrows f

⊢ ((a✝ ≫ α.app X) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).map.op) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).lift.op = (sheafOver ℱ' (unop U)).val.map (Nonempty.some hf).lift.op ((a✝ ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf).map.op) ≫ α.app (op (Nonempty.some hf).1))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
Y : D
f : Y ⟶ G.obj (unop X)
hf : (Sieve.coverByImage G (G.obj (unop X))).arrows f

⊢ (a✝ ≫ α.app X) ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).map.op = (a✝ ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf).map.op) ≫ α.app (op (Nonempty.some hf).1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
Y : D
f : Y ⟶ G.obj (unop X)
hf : (Sieve.coverByImage G (G.obj (unop X))).arrows f

⊢ a✝ ≫ α.app X ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).map.op = a✝ ≫ ℱ.map (Nonempty.some hf).map.op ≫ α.app (op (Nonempty.some hf).1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
Y : D
f : Y ⟶ G.obj (unop X)
hf : (Sieve.coverByImage G (G.obj (unop X))).arrows f

⊢ α.app X ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).map.op = ℱ.map (Nonempty.some hf).map.op ≫ α.app (op (Nonempty.some hf).1)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/DenseSubsite.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_6, u_1} C
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_7, u_2} D
E : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.106010, u_3} E
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
L : GrothendieckTopology E
A : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_4} A
G : C ⥤ D
inst✝¹ : G.IsCoverDense K
inst✝ : G.IsLocallyFull K
ℱ : Dᵒᵖ ⥤ A
ℱ' : Sheaf K A
α : G.op ⋙ ℱ ⟶ G.op ⋙ ℱ'.val
X : Cᵒᵖ
U : Aᵒᵖ
a✝ : (yoneda.obj ((G.op ⋙ ℱ).obj X)).obj U
Y : D
f : Y ⟶ G.obj (unop X)
hf : (Sieve.coverByImage G (G.obj (unop X))).arrows f
this : { val := ℱ'.val ⋙ coyoneda.obj (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X)), cond := ⋯ }.val.map (Nonempty.some hf).map.op ((whiskerRight α (coyoneda.obj (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X)))).app (op (unop X)) (𝟙 (unop (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X))))) = (whiskerRight α (coyoneda.obj (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X)))).app (op (Nonempty.some hf).obj) ((ℱ ⋙ coyoneda.obj (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X))).map (Nonempty.some hf).map.op (𝟙 (unop (op ((G.op ⋙ ℱ).obj X)))))

⊢ α.app X ≫ ℱ'.val.map (Nonempty.some hf).map.op = ℱ.map (Nonempty.some hf).map.op ≫ α.app (op (Nonempty.some hf).1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : p₁ ∈ affineSpan k {p₂, p₃}

⊢ Collinear k {p₁, p₂, p₃}
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : p₁ ∈ affineSpan k {p₂, p₃}

⊢ Collinear k {p₂, p₃}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs : Convex ℝ s
absorbs : Absorbent ℝ s
x y : E

⊢ gauge s (x + y) ≤ gauge s x + gauge s y
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a : ℝ
hs : Convex ℝ s
absorbs : Absorbent ℝ s
x y : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε

⊢ gauge s (x + y) < gauge s x + gauge s y + ε
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
hs : Convex ℝ s
absorbs : Absorbent ℝ s
y : E
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a : ℝ
ha : 0 < a
x : E
hx : x ∈ s
ha' : a < gauge s ((fun x => a • x) x) + ε / 2

⊢ gauge s ((fun x => a • x) x + y) < gauge s ((fun x => a • x) x) + gauge s y + ε
-- Mathlib/Analysis/Convex/Gauge.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s t : Set E
x✝ : E
a✝ : ℝ
hs : Convex ℝ s
absorbs : Absorbent ℝ s
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a : ℝ
ha : 0 < a
x : E
hx : x ∈ s
ha' : a < gauge s ((fun x => a • x) x) + ε / 2
b : ℝ
hb : 0 < b
y : E
hy : y ∈ s
hb' : b < gauge s ((fun x => b • x) y) + ε / 2

⊢ gauge s ((fun x => a • x) x + (fun x => b • x) y) < gauge s ((fun x => a • x) x) + gauge s ((fun x => b • x) y) + ε
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ
hs : s.Nonempty

⊢ ofDual (s.min' hs) = (image (⇑ofDual) s).max' ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
s : Finset αᵒᵈ
hs : s.Nonempty

⊢ ↑(ofDual (s.min' hs)) = ↑((image (⇑ofDual) s).max' ⋯)