ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹

⊢ f '' s ∈ 𝓝 (f x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
t : Set E
hts : t ⊆ s
ht : IsOpen t
xt : x ∈ t

⊢ f '' s ∈ 𝓝 (f x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G'
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f : E → F
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
hc : Subsingleton F ∨ c < f'symm.nnnorm⁻¹
t : Set E
hts : t ⊆ s
ht : IsOpen t
xt : x ∈ t
this : f '' t ∈ 𝓝 (f x)

⊢ f '' s ∈ 𝓝 (f x)
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : Nonempty ι
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
s : Set α
hne : s.Nonempty
hbdd : BddAbove s

⊢ l (sSup s) = sSup (l '' s)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f

⊢ Set.range ⇑(comap f) = zeroLocus ↑(ker f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f

⊢ ⇑(comap f) '' Set.univ = zeroLocus ↑(ker f)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
hf : Surjective ⇑f

⊢ Set.univ = zeroLocus ↑⊥
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
A : ℝ
x : α
h : |f x| < A

⊢ truncation f A x = f x
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
A : ℝ
x : α
h : |f x| < A

⊢ f x ∉ Set.Ioc (-A) A → 0 = f x
-- Mathlib/Probability/StrongLaw.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f✝ f : α → ℝ
A : ℝ
x : α
h : |f x| < A
H : f x ∉ Set.Ioc (-A) A

⊢ f x ∈ Set.Ioc (-A) A
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x y : G
n✝ m n : ℕ
h : orderOf x ∣ n

⊢ x ^ n = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p : Submodule K V

⊢ p ⩿ span K {x} ⊔ p
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p q : Submodule K V
hpq : p < q
hqp : q < span K {x} ⊔ p

⊢ span K {x} ⊔ p ≤ q
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p q : Submodule K V
hpq : p < q
hqp : q < span K {x} ⊔ p
y : V
hyq : y ∈ q
hyp : y ∉ p

⊢ span K {x} ⊔ p ≤ q
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p q : Submodule K V
hpq : p < q
hqp : q < span K {x} ⊔ p
c : K
z : V
hz : z ∈ p
hyq : c • x + z ∈ q
hyp : c • x + z ∉ p

⊢ span K {x} ⊔ p ≤ q
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p q : Submodule K V
hpq : p < q
hqp : q < span K {x} ⊔ p
z : V
hz : z ∈ p
hyq : 0 • x + z ∈ q
hyp : 0 • x + z ∉ p

⊢ span K {x} ⊔ p ≤ q
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
x : V
p q : Submodule K V
hpq : p < q
hqp : q < span K {x} ⊔ p
c : K
z : V
hz : z ∈ p
hyq : c • x + z ∈ q
hyp : c • x + z ∉ p
hc : c ≠ 0

⊢ span K {x} ⊔ p ≤ q
-- Mathlib/Order/Birkhoff.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : DistribLattice α
inst✝³ : OrderBot α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidablePred SupIrred
inst✝ : DecidableEq α
a b : α

⊢ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm.toOrderEmbedding (birkhoffSet (a ⊓ b)) = Fintype.finsetOrderIsoSet.symm.toOrderEmbedding (birkhoffSet a) ∩ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm.toOrderEmbedding (birkhoffSet b)
-- Mathlib/Order/Birkhoff.lean
α : Type u_1
inst✝⁴ : DistribLattice α
inst✝³ : OrderBot α
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidablePred SupIrred
inst✝ : DecidableEq α
a b : α

⊢ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet a ∩ birkhoffSet b) = Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet a) ∩ Fintype.finsetOrderIsoSet.symm (birkhoffSet b)
-- Mathlib/Data/Int/Order/Units.lean
u : ℤˣ

⊢ u ^ 2 = 1
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Map.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
inst✝⁵ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
p✝ p' : Submodule R M
q q' : Submodule R₂ M₂
x✝ : M
σ₂₁ : R₂ →+* R
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
inst✝² : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
F : Type u_9
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
f : F
i : Injective ⇑f
p : Submodule R M
x : ↥(map f p)

⊢ f ↑((equivMapOfInjective f i p).symm x) = ↑x
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
i j : ι
a : 𝒜 i
b : ℬ j

⊢ (((TensorProduct.directSum R R 𝒜 ℬ).trans (LinearEquiv.ofLinear (gradedCommAux R 𝒜 ℬ) (gradedCommAux R ℬ 𝒜) ⋯ ⋯)).trans (TensorProduct.directSum R R ℬ 𝒜).symm) ((lof R ι 𝒜 i) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j) b) = (-1) ^ (j * i) • (lof R ι ℬ j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i) a
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
R : Type u_1
ι : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝¹¹ : CommSemiring ι
inst✝¹⁰ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁹ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_5
ℬ : ι → Type u_6
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
inst✝³ : DirectSum.GRing 𝒜
inst✝² : DirectSum.GRing ℬ
inst✝¹ : DirectSum.GAlgebra R 𝒜
inst✝ : DirectSum.GAlgebra R ℬ
i j : ι
a : 𝒜 i
b : ℬ j

⊢ (TensorProduct.directSum R R ℬ 𝒜).symm ((gradedCommAux R 𝒜 ℬ) ((TensorProduct.directSum R R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 i) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ j) b))) = (-1) ^ (j * i) • (lof R ι ℬ j) b ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 i) a
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCofiber.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
α : G ⟶ K
hα : Homotopy (φ ≫ α) 0
j : ι
hj : ¬c.Rel j (c.next j)

⊢ (desc φ α hα).f j = sndX φ j ≫ α.f j
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp' : p ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f g : α → β
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : ∀ x ∈ s, dist (f x) (g x) ≤ c
hp : ¬p = 0
this : ∀ (x : α), ‖s.indicator (f - g) x‖ ≤ ‖s.indicator (fun x => c) x‖

⊢ eLpNorm (s.indicator (f - g)) p μ ≤ ENNReal.ofReal c * μ s ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp' : p ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f g : α → β
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : ∀ x ∈ s, dist (f x) (g x) ≤ c
hp : ¬p = 0
this : ∀ (x : α), ‖s.indicator (f - g) x‖ ≤ ‖s.indicator (fun x => c) x‖

⊢ eLpNorm (s.indicator fun x => c) p μ ≤ ENNReal.ofReal c * μ s ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp' : p ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f g : α → β
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : ∀ x ∈ s, dist (f x) (g x) ≤ c
hp : ¬p = 0
this : ∀ (x : α), ‖s.indicator (f - g) x‖ ≤ ‖s.indicator (fun x => c) x‖

⊢ ↑‖c‖₊ * μ s ^ (1 / p.toReal) ≤ ENNReal.ofReal c * μ s ^ (1 / p.toReal)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p✝ : ℝ≥0∞
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp' : p ≠ ⊤
s : Set α
hs : MeasurableSet s
f g : α → β
c : ℝ
hc : 0 ≤ c
hf : ∀ x ∈ s, dist (f x) (g x) ≤ c
hp : ¬p = 0
this : ∀ (x : α), ‖s.indicator (f - g) x‖ ≤ ‖s.indicator (fun x => c) x‖

⊢ ↑‖c‖₊ = ENNReal.ofReal c
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
cs : List Char
c : Char
cs' : List Char

⊢ (if { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size } = 0 then 0 else utf8PrevAux (cs ++ c :: cs') 0 { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size }) = { byteIdx := utf8Len cs }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
cs : List Char
c : Char
cs' : List Char

⊢ utf8PrevAux (cs ++ c :: cs') 0 { byteIdx := utf8Len cs + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len cs }
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
inst✝ : Subsingleton α
g : α → β
x y : α

⊢ f x = g y ↔ f = g
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
inst✝ : Subsingleton α
g : α → β
x y : α
h : f x = g y
z : α

⊢ f z = g z
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
inst✝ : Subsingleton α
g : α → β
x y : α
h : f = g

⊢ f x = g y
-- Mathlib/Data/Set/Lattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set β
f : α → β

⊢ MapsTo f s (⋂ i, ⋂ j, t i j) ↔ ∀ (i : ι) (j : κ i), MapsTo f s (t i j)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]

⊢ p.IsUnitTrinomial ↔ p.support.card = 3 ∧ ∀ k ∈ p.support, IsUnit (p.coeff k)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
p q : ℤ[X]
hp : p.support.card = 3 ∧ ∀ k ∈ p.support, IsUnit (p.coeff k)

⊢ p.IsUnitTrinomial
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
hp : (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).support.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).support, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)

⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)

⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hy : y ≠ 0
hz : z ≠ 0
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
hx : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k)

⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hz : z ≠ 0
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
hx : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k)
hy : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff m)

⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
hx : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k)
hy : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff m)
hz : IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff n)

⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
hx : IsUnit ((x + y * if k = m then 1 else 0) + z * if k = n then 1 else 0)
hy : IsUnit ((x * if m = k then 1 else 0) + y + z * if m = n then 1 else 0)
hz : IsUnit (((x * if n = k then 1 else 0) + y * if n = m then 1 else 0) + z)

⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
hx : IsUnit (x + y * 0 + z * 0)
hy : IsUnit ((x * if m = k then 1 else 0) + y + z * if m = n then 1 else 0)
hz : IsUnit (((x * if n = k then 1 else 0) + y * if n = m then 1 else 0) + z)

⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
hx : IsUnit (x + y * 0 + z * 0)
hy : IsUnit (x * 0 + y + z * 0)
hz : IsUnit (((x * if n = k then 1 else 0) + y * if n = m then 1 else 0) + z)

⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
hx : IsUnit (x + y * 0 + z * 0)
hy : IsUnit (x * 0 + y + z * 0)
hz : IsUnit (x * 0 + y * 0 + z)

⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
q : ℤ[X]
k m n : ℕ
hkm : k < m
hmn : m < n
x y z : ℤ
hp : {k, m, n}.card = 3 ∧ ∀ k_1 ∈ {k, m, n}, IsUnit ((C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).coeff k_1)
hz : IsUnit z
hx : IsUnit x
hy : IsUnit y

⊢ (C x * X ^ k + C y * X ^ m + C z * X ^ n).IsUnitTrinomial
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Restrict.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s' t✝ s t : Set α

⊢ ae (μ.restrict (s ∪ t)) = ae (μ.restrict s) ⊔ ae (μ.restrict t)
-- Mathlib/RingTheory/Binomial.lean
R : Type u_1
inst✝³ : NonAssocRing R
inst✝² : Pow R ℕ
inst✝¹ : BinomialRing R
inst✝ : NatPowAssoc R
r : R

⊢ choose r 0 = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T T' : Triangle C
φ : T ⟶ T'
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
h₁ : IsIso φ.hom₁
h₃ : IsIso φ.hom₃

⊢ IsIso φ.hom₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T T' : Triangle C
φ : T ⟶ T'
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
h₁ : IsIso φ.hom₁
h₃ : IsIso φ.hom₃
this : Mono φ.hom₂

⊢ IsIso φ.hom₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T T' : Triangle C
φ : T ⟶ T'
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
h₁ : IsIso φ.hom₁
h₃ : IsIso φ.hom₃
this : Mono φ.hom₂
A : C

⊢ Function.Injective fun x => x ≫ φ.hom₂
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Pretriangulated.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
hC : Pretriangulated C
T T' : Triangle C
φ : T ⟶ T'
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
h₁ : IsIso φ.hom₁
h₃ : IsIso φ.hom₃
this : Mono φ.hom₂
A : C

⊢ Function.Surjective fun x => x ≫ φ.hom₂
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x : ℝ
hx : 0 < x
y : ℂ

⊢ abs (↑x ^ y) = x ^ y.re
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f p μ

⊢ Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f p μ
this : ∀ (x : α), ‖RCLike.im (f x)‖ ≤ 1 * ‖f x‖

⊢ Memℒp (fun x => RCLike.im (f x)) p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
𝕜 : Type u_5
inst✝ : RCLike 𝕜
f : α → 𝕜
hf : Memℒp f p μ
this : ∀ (x : α), ‖RCLike.im (f x)‖ ≤ 1 * ‖f x‖

⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => RCLike.im (f x)) μ
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α

⊢ IsOpen s ↔ IsUpperSet s ∧ IsOpen s
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A

⊢ star a * a ≤ (algebraMap ℝ A) (‖a‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁷ : NormedRing A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : CstarRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : PartialOrder A
inst✝ : StarOrderedRing A
a : A
this : star a * a ≤ (algebraMap ℝ A) ‖star a * a‖

⊢ star a * a ≤ (algebraMap ℝ A) (‖a‖ ^ 2)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂

⊢ K = ⊥ ↔ ∀ x ∈ K, x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Subalgebra.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
L₂ : Type w
inst✝¹ : LieRing L₂
inst✝ : LieAlgebra R L₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
K K' : LieSubalgebra R L
K₂ : LieSubalgebra R L₂

⊢ K ≤ ⊥ ↔ ∀ x ∈ K, x = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Lemmas.lean
R : Type u
S : Type v
ι : Type w
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]

⊢ p.natDegree ≤ n ↔ ∀ (N : ℕ), n < N → p.coeff N = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Density.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : s ⊆ t

⊢ (t \ s).dens + s.dens = t.dens
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
p : ℝ
hp : 1 ≤ p

⊢ ConvexOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ p
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
hp : 1 ≤ 1

⊢ ConvexOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Basic.lean
p : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p
hp : 1 < p

⊢ ConvexOn ℝ (Ici 0) fun x => x ^ p
-- Mathlib/Topology/Instances/Nat.lean
x : ℕ
r : ℝ

⊢ closedBall x r = Icc ⌈↑x - r⌉₊ ⌊↑x + r⌋₊
-- Mathlib/Topology/Instances/Nat.lean
x : ℕ
r : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ closedBall x r = Icc ⌈↑x - r⌉₊ ⌊↑x + r⌋₊
-- Mathlib/Topology/Instances/Nat.lean
x : ℕ
r : ℝ
hr : r < 0

⊢ closedBall x r = Icc ⌈↑x - r⌉₊ ⌊↑x + r⌋₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : ℝ
hx : 0 ≤ x

⊢ 0 ≤ (weightedSMul μ s) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
x : ℝ
hx : 0 ≤ x

⊢ 0 ≤ (μ s).toReal * x
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/CyclotomicCharacter.lean
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
g : L ≃+* L

⊢ ∃ m, ∀ (t : ↥(rootsOfUnity n L)), g ↑↑t = ↑(↑t ^ m)
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/CyclotomicCharacter.lean
L : Type u
inst✝¹ : CommRing L
inst✝ : IsDomain L
n : ℕ+
g : L ≃+* L
m : ℤ
hm : ∀ (g_1 : ↥(rootsOfUnity n L)), ((↑g).restrictRootsOfUnity n).toMonoidHom g_1 = g_1 ^ m

⊢ ∃ m, ∀ (t : ↥(rootsOfUnity n L)), g ↑↑t = ↑(↑t ^ m)
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs

⊢ f.Pos ∨ f.LimZero ∨ (-f).Pos
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
h : ¬f.LimZero

⊢ f.Pos ∨ (-f).Pos
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
h : ¬f.LimZero
K : α
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|

⊢ f.Pos ∨ (-f).Pos
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
h : ¬f.LimZero
K : α
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j| ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K

⊢ f.Pos ∨ (-f).Pos
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
h✝ : ¬f.LimZero
K : α
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j| ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K
h : 0 ≤ ↑f i
j : ℕ
ij : j ≥ i
this : K ≤ |↑f j|
h₁ : K ≤ |↑f i|
h₂ : ∀ k ≥ i, |↑f k - ↑f i| < K

⊢ K ≤ ↑f j
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedField α
f : CauSeq α abs
h✝ : ¬f.LimZero
K : α
K0 : K > 0
hK : ∃ i, ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j|
i : ℕ
hi : ∀ j ≥ i, K ≤ |↑f j| ∧ ∀ k ≥ j, |↑f k - ↑f j| < K
h : ↑f i ≤ 0
j : ℕ
ij : j ≥ i
this : K ≤ |↑f j|
h₁ : K ≤ |↑f i|
h₂ : ∀ k ≥ i, |↑f k - ↑f i| < K

⊢ K ≤ ↑(-f) j