ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
f : RatFunc K

⊢ (liftMonoidWithZeroHom φ hφ) f = φ f.num / φ f.denom
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
u : H →L[𝕜] K

⊢ (∀ (x y : H), ⟪u x, u y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜) ↔ (adjoint u).comp u = 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
u : H →L[𝕜] K
h : ∀ (x y : H), ⟪u x, u y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
x : H

⊢ ((adjoint u).comp u) x = 1 x
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Adjoint.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝¹² : RCLike 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 G
H : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 H
inst✝³ : CompleteSpace H
K : Type u_6
inst✝² : NormedAddCommGroup K
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 K
inst✝ : CompleteSpace K
u : H →L[𝕜] K
h : (adjoint u).comp u = 1

⊢ ∀ (x y : H), ⟪u x, u y⟫_𝕜 = ⟪x, y⟫_𝕜
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/MvPolynomial.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
p : MvPolynomial σ S
n : N
d : σ →₀ ℕ

⊢ coeff d (rTensorAlgHom (p ⊗ₜ[R] n)) = coeff d p ⊗ₜ[R] n
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/MvPolynomial.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
p : MvPolynomial σ S
n : N
d : σ →₀ ℕ

⊢ coeff d ((mapAlgHom Algebra.TensorProduct.includeLeft) p * ((IsScalarTower.toAlgHom R (S ⊗[R] N) (MvPolynomial σ (S ⊗[R] N))).comp Algebra.TensorProduct.includeRight) n) = coeff d p ⊗ₜ[R] n
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/MvPolynomial.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
p : MvPolynomial σ S
n : N
d : σ →₀ ℕ

⊢ coeff d ((mapAlgHom Algebra.TensorProduct.includeLeft) p * (algebraMap (S ⊗[R] N) (MvPolynomial σ (S ⊗[R] N))) (1 ⊗ₜ[R] n)) = coeff d p ⊗ₜ[R] n
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/MvPolynomial.lean
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
σ : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq σ
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : CommSemiring N
inst✝ : Algebra R N
p : MvPolynomial σ S
n : N
d : σ →₀ ℕ

⊢ 1 ⊗ₜ[R] n * coeff d ((mapAlgHom Algebra.TensorProduct.includeLeft) p) = coeff d p ⊗ₜ[R] n
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Truncated.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : Semiring S
f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R
f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁
g : S →+* 𝕎 R
k₁✝ k₂✝ : ℕ
h : k₁✝ ≤ k₂✝

⊢ (TruncatedWittVector.truncate h).comp ((fun k => (truncate k).comp g) k₂✝) = (fun k => (truncate k).comp g) k₁✝
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Truncated.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝ : Semiring S
f✝ : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R
f_compat : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f✝ k₂) = f✝ k₁
f : (k : ℕ) → S →+* TruncatedWittVector p k R
hf : ∀ (k₁ k₂ : ℕ) (hk : k₁ ≤ k₂), (TruncatedWittVector.truncate hk).comp (f k₂) = f k₁

⊢ (fun g => ⟨fun k => (truncate k).comp g, ⋯⟩) ((fun f => lift ↑f ⋯) ⟨f, hf⟩) = ⟨f, hf⟩
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
inst✝ : Nontrivial R
h : IsCoprime x y

⊢ x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
x y z : R
inst✝ : Nontrivial R
h : IsCoprime x y

⊢ x = 0 → y ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/Coprime/Basic.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
z : R
inst✝ : Nontrivial R
h : IsCoprime 0 0

⊢ False
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X : OppositeShift C A

⊢ (shiftFunctorZero (OppositeShift C A) A).hom.app X = ((shiftFunctorZero C A).inv.app (Opposite.unop X)).op
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Opposite.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X : OppositeShift C A

⊢ 𝟙 ((shiftFunctor (OppositeShift C A) 0).obj X) = 𝟙 (Opposite.op ((shiftFunctor C 0).obj (Opposite.unop X)))
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ

⊢ frontier (closedBall x r) = sphere x r
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β

⊢ RTendsto r l₁ l₂ ↔ l₁ ≤ rcomap r l₂
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β

⊢ (∀ s ∈ l₂, r.core s ∈ l₁) ↔ l₁ ≤ rcomap r l₂
-- Mathlib/Order/Filter/Partial.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
r : Rel α β
l₁ : Filter α
l₂ : Filter β

⊢ (∀ s ∈ l₂.sets, r.core s ∈ l₁) ↔ l₁ ≤ rcomap r l₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' S : Submodule R M

⊢ Nat.card M = Nat.card ↥S * Nat.card (M ⧸ S)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Quotient.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
r : R
x y : M
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
p p' S : Submodule R M

⊢ Nat.card M = Nat.card ((M ⧸ S) × ↥S)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
m n : ZNum

⊢ m ∣ n ↔ n % m = 0
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
m n : ZNum

⊢ ↑n % ↑m = 0 ↔ ↑n % ↑m = ↑0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
R : Type u_6
inst✝² : NormedDivisionRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
s : Set R
x : R
hx : x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

⊢ fderivWithin 𝕜 (fun x => x⁻¹) s x = -((mulLeftRight 𝕜 R) x⁻¹) x⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
R : Type u_6
inst✝² : NormedDivisionRing R
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R
inst✝ : CompleteSpace R
s : Set R
x : R
hx : x ≠ 0
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x

⊢ fderiv 𝕜 Inv.inv x = -((mulLeftRight 𝕜 R) x⁻¹) x⁻¹
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableRel r
inst✝ : DecidableEq α
x : α
xs : List α
hx : x ∉ xs

⊢ (orderedInsert r x xs).erase x = xs
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableRel r
inst✝ : DecidableEq α
x : α
xs : List α
hx : x ∉ xs

⊢ x ∉ takeWhile (fun b => decide ¬r x b) xs
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : LinearOrderedRing α
hn : n ≠ 0

⊢ ∑ i ∈ range n, x ^ i < 0 ↔ Even n ∧ x + 1 < 0
-- Mathlib/Data/Finset/Density.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s t : Finset α
a b : α
inst✝ : Nonempty α

⊢ univ.dens = 1
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ✝ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ✝
inst✝¹ : AddMonoid R
Γ : Type u_3
inst✝ : LinearOrder Γ
x y : HahnSeries Γ R
hxy : y.orderTop < x.orderTop

⊢ (x + y).leadingCoeff = y.leadingCoeff
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
x : α
s : Set α

⊢ ContinuousWithinAt f (insert x s) x ↔ ContinuousWithinAt f s x
-- Mathlib/Algebra/LinearRecurrence.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
E : LinearRecurrence α
q : α

⊢ (E.IsSolution fun n => q ^ n) ↔ E.charPoly.IsRoot q
-- Mathlib/Algebra/LinearRecurrence.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
E : LinearRecurrence α
q : α

⊢ (E.IsSolution fun n => q ^ n) ↔ eval₂ (RingHom.id α) q ((monomial E.order) 1 - ∑ i : Fin E.order, (monomial ↑i) (E.coeffs i)) = 0
-- Mathlib/Algebra/LinearRecurrence.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
E : LinearRecurrence α
q : α

⊢ (E.IsSolution fun n => q ^ n) ↔ q ^ E.order - ∑ x : Fin E.order, E.coeffs x * q ^ ↑x = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Pi.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_3
f : (i : ι) → E i → 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → MeasureSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite volume
hf : ∀ (i : ι), Integrable (f i) volume
e : Fin (card ι) ≃ ι := (equivFin ι).symm

⊢ Integrable (fun x => ∏ i : ι, f i (x i)) volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Pi.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
ι : Type u_2
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_3
f : (i : ι) → E i → 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → MeasureSpace (E i)
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite volume
hf : ∀ (i : ι), Integrable (f i) volume
e : Fin (card ι) ≃ ι := (equivFin ι).symm

⊢ Integrable (fun x => ∏ x_1 : Fin (card ι), f (e x_1) (x x_1)) volume
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ≥0
h✝ h : p.IsConjExponent q

⊢ 1 < q
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ≥0
h✝ h : p.IsConjExponent q

⊢ 1 < p / (p - 1)
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ≥0
h✝ h : p.IsConjExponent q

⊢ q⁻¹ + p⁻¹ = 1
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

⊢ (μ {ω | ε ≤ X ω}).toReal ≤ rexp (-t * ε + cgf X μ t)
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

⊢ rexp (-t * ε) * mgf X μ t ≤ rexp (-t * ε + cgf X μ t)
-- Mathlib/Probability/Moments.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ht : 0 ≤ t
h_int : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

⊢ rexp (-t * ε) * mgf X μ t ≤ rexp (-t * ε) * rexp (cgf X μ t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.113036, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n : M
h₁ : m ⊗ n ≅ 𝟙_ M
h₂ : n ⊗ m ≅ 𝟙_ M
H : h₁.hom ▷ m ≫ (λ_ m).hom = (α_ m n m).hom ≫ m ◁ h₂.hom ≫ (ρ_ m).hom
X : C

⊢ (F.obj m).map ((unitOfTensorIsoUnit F m n h₁).inv.app X) ≫ (F.μ n m).app ((F.obj m).obj X) ≫ (F.map h₂.hom).app ((F.obj m).obj X) ≫ F.εIso.inv.app ((F.obj m).obj X) = 𝟙 ((F.obj m).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.113036, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n : M
h₁ : m ⊗ n ≅ 𝟙_ M
h₂ : n ⊗ m ≅ 𝟙_ M
H : h₁.hom ▷ m ≫ (λ_ m).hom = (α_ m n m).hom ≫ m ◁ h₂.hom ≫ (ρ_ m).hom
X : C

⊢ (F.map (λ_ m).inv).app X ≫ (F.map (h₁.inv ▷ m)).app X ≫ (F.map (α_ m n m).hom).app X ≫ (F.map (m ◁ h₂.hom)).app X ≫ (F.map (ρ_ m).hom).app X = 𝟙 ((F.obj m).obj X)
-- Mathlib/Topology/Instances/Int.lean
x : ℤ
r : ℝ

⊢ closedBall x r = Icc ⌈↑x - r⌉ ⌊↑x + r⌋
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/Surjective.lean
R S T : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
f : R →+* S
g : S →+* T
hf : Function.Surjective ⇑f
hg : Function.Surjective ⇑g

⊢ Function.Surjective ⇑(g.comp f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace E
f : β → E
hf : Measurable f
s : Set E
y₀ : E
h₀ : y₀ ∈ s
inst✝ : SeparableSpace ↑s
μ : Measure β
hμ : ∀ᵐ (x : β) ∂μ, f x ∈ closure s
hi : HasFiniteIntegral (fun x => f x - y₀) μ

⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : β), ↑‖↑(approxOn f hf s y₀ h₀ n) x - f x‖₊ ∂μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : Filter α
v : α → β
l : β → γ
u : γ → β
gc : GaloisConnection l u
hlv : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => l (v x)) _auto✝
hv_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝

⊢ l (limsup v f) ≤ limsup (fun x => l (v x)) f
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : Filter α
v : α → β
l : β → γ
u : γ → β
gc : GaloisConnection l u
hlv : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => l (v x)) _auto✝
hv_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝
c : γ
hc : ∀ᶠ (n : γ) in map (fun x => l (v x)) f, n ≤ c

⊢ l (limsup v f) ≤ c
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : Filter α
v : α → β
l : β → γ
u : γ → β
gc : GaloisConnection l u
hlv : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => l (v x)) _auto✝
hv_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝
c : γ
hc : ∀ᶠ (a : α) in f, l (v a) ≤ c

⊢ l (limsup v f) ≤ c
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice β
inst✝ : ConditionallyCompleteLattice γ
f : Filter α
v : α → β
l : β → γ
u : γ → β
gc : GaloisConnection l u
hlv : autoParam (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun x => l (v x)) _auto✝
hv_co : autoParam (IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f v) _auto✝
c : γ
hc : ∀ᶠ (a : α) in f, v a ≤ u c

⊢ limsup v f ≤ u c
-- Mathlib/Order/GaloisConnection.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι✝ : Sort x
κ : ι✝ → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
l : α → β
u : β → α
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
gi : GaloisInsertion l u
ι : Sort x
p : ι → Prop
f : (i : ι) → p i → β

⊢ l (⨆ i, ⨆ (hi : p i), u (f i hi)) = ⨆ i, ⨆ (hi : p i), f i hi
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G

⊢ (haarMeasure K₀) ↑K₀ = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
this : LocallyCompactSpace G

⊢ (haarMeasure K₀) ↑K₀ = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
this : LocallyCompactSpace G

⊢ ((haarContent K₀).measure ↑K₀)⁻¹ * (haarContent K₀).measure ↑K₀ = 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
this : LocallyCompactSpace G

⊢ (haarContent K₀).outerMeasure (closure ↑K₀) ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace G
inst✝ : BorelSpace G
K₀ : PositiveCompacts G
this : LocallyCompactSpace G

⊢ (haarContent K₀).outerMeasure (closure ↑K₀) ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpOrder.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f : ↥(Lp E p μ)

⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f ↔ 0 ≤ f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpOrder.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f : ↥(Lp E p μ)

⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f ↔ ↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpOrder.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f : ↥(Lp E p μ)
h0 : ↑↑0 =ᶠ[ae μ] 0

⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f ↔ ↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpOrder.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f : ↥(Lp E p μ)
h0 : ↑↑0 =ᶠ[ae μ] 0
h : 0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f
a✝¹ : α
a✝ : 0 a✝¹ ≤ ↑↑f a✝¹
h2 : ↑↑0 a✝¹ = 0 a✝¹

⊢ ↑↑0 a✝¹ ≤ ↑↑f a✝¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpOrder.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝ : NormedLatticeAddCommGroup E
f : ↥(Lp E p μ)
h0 : ↑↑0 =ᶠ[ae μ] 0
h : ↑↑0 ≤ᶠ[ae μ] ↑↑f
a✝¹ : α
a✝ : ↑↑0 a✝¹ ≤ ↑↑f a✝¹
h2 : ↑↑0 a✝¹ = 0 a✝¹

⊢ 0 a✝¹ ≤ ↑↑f a✝¹
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i j : Fin (n + 2)
H : i ≤ j

⊢ X.map (SimplexCategory.δ j.succ).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i).op = X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ j).op
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (RingHom.id F) f

⊢ f.roots.Nodup ↔ f.Separable
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (RingHom.id F) f
hnsep : ¬f.Separable

⊢ ¬f.roots.Nodup
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (RingHom.id F) f
hnsep : ¬(GCDMonoid.gcd f (derivative f)).degree = 0

⊢ ¬f.roots.Nodup
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (RingHom.id F) f
hnsep : ¬(GCDMonoid.gcd f (derivative f)).degree = 0
x : F
hx : eval₂ (RingHom.id F) x (GCDMonoid.gcd f (derivative f)) = 0

⊢ ¬f.roots.Nodup
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F : Type u
inst✝¹ : Field F
K : Type v
inst✝ : Field K
f : F[X]
hf : f ≠ 0
h : Splits (RingHom.id F) f
hnsep : ¬(GCDMonoid.gcd f (derivative f)).degree = 0
x : F
hx : eval₂ (RingHom.id F) x (GCDMonoid.gcd f (derivative f)) = 0

⊢ ∃ x, 1 < Multiset.count x f.roots
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (a : α), μ (Iic a) = ν (Iic a)

⊢ μ = ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (a : α), μ (Iic a) = ν (Iic a)

⊢ μ univ = ν univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b✝ x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (a : α), μ (Iic a) = ν (Iic a)
a b : α
hlt : a < b

⊢ μ (Ioc a b) = ν (Ioc a b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b✝ x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (a : α), μ (Iic a) = ν (Iic a)
a b : α
hlt : a < b

⊢ ν (Iic a) ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹¹ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁹ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace δ
inst✝⁷ : LinearOrder α✝
inst✝⁶ : OrderClosedTopology α✝
a✝ b✝ x : α✝
α : Type u_5
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
m : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
μ ν : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
h : ∀ (a : α), μ (Iic a) = ν (Iic a)
a b : α
hlt : a < b

⊢ μ (Iic a) ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0

⊢ p.radius - ↑‖x‖₊ ≤ (p.changeOrigin x).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑r < p.radius - ↑‖x‖₊

⊢ ↑r ≤ (p.changeOrigin x).radius
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r✝ R r : ℝ≥0
_h0 : 0 < r
hr : ↑‖x‖₊ + ↑r < p.radius

⊢ ↑r ≤ (p.changeOrigin x).radius