ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
val✝ : Fintype α
ι : α → α → Fin 2 := fun x y => if x = y then 0 else 1
ff : α → LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2) := (LocallyConstant.map ι f).flip
j : α → J
g : (a : α) → LocallyConstant (↑(F.obj (j a)).toTop) (Fin 2)
h : ∀ (a : α), ff a = LocallyConstant.comap (C.π.app (j a)) (g a)
G : Finset J := Finset.image j Finset.univ
j0 : J
hj0 : ∀ {X : J}, X ∈ G → Nonempty (j0 ⟶ X)
hj : ∀ (a : α), j a ∈ Finset.image j Finset.univ

⊢ ∃ j g, LocallyConstant.map (fun a b => if a = b then 0 else 1) f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
val✝ : Fintype α
ι : α → α → Fin 2 := fun x y => if x = y then 0 else 1
ff : α → LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2) := (LocallyConstant.map ι f).flip
j : α → J
g : (a : α) → LocallyConstant (↑(F.obj (j a)).toTop) (Fin 2)
h : ∀ (a : α), ff a = LocallyConstant.comap (C.π.app (j a)) (g a)
G : Finset J := Finset.image j Finset.univ
j0 : J
hj0 : ∀ {X : J}, X ∈ G → Nonempty (j0 ⟶ X)
hj : ∀ (a : α), j a ∈ Finset.image j Finset.univ
fs : (a : α) → j0 ⟶ j a := fun a => ⋯.some
gg : α → LocallyConstant (↑(F.obj j0).toTop) (Fin 2) := fun a => LocallyConstant.comap (F.map (fs a)) (g a)
ggg : LocallyConstant (↑(F.obj j0).toTop) (α → Fin 2) := LocallyConstant.unflip gg
a : α
x : ↑C.pt.toTop

⊢ (LocallyConstant.comap (C.π.app (j a)) (g a)) x = (g a) ((C.π.app j0 ≫ F.map (fs a)) x)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝² : SmallCategory J
inst✝¹ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝ : Finite α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
val✝ : Fintype α
ι : α → α → Fin 2 := fun x y => if x = y then 0 else 1
ff : α → LocallyConstant (↑C.pt.toTop) (Fin 2) := (LocallyConstant.map ι f).flip
j : α → J
g : (a : α) → LocallyConstant (↑(F.obj (j a)).toTop) (Fin 2)
h : ∀ (a : α), ff a = LocallyConstant.comap (C.π.app (j a)) (g a)
G : Finset J := Finset.image j Finset.univ
j0 : J
hj0 : ∀ {X : J}, X ∈ G → Nonempty (j0 ⟶ X)
hj : ∀ (a : α), j a ∈ Finset.image j Finset.univ
fs : (a : α) → j0 ⟶ j a := fun a => ⋯.some
gg : α → LocallyConstant (↑(F.obj j0).toTop) (Fin 2) := fun a => LocallyConstant.comap (F.map (fs a)) (g a)
ggg : LocallyConstant (↑(F.obj j0).toTop) (α → Fin 2) := LocallyConstant.unflip gg
a : α
x : ↑C.pt.toTop

⊢ (LocallyConstant.comap (C.π.app (j a)) (g a)) x = (g a) ((C.π.app (j a)) x)
-- Mathlib/Topology/Category/CompHaus/Limits.lean
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : CompHaus
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget CompHaus).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z

⊢ a z = b z
-- Mathlib/Topology/Category/CompHaus/Limits.lean
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : CompHaus
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget CompHaus).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z

⊢ ↑(a z) = ↑(b z)
-- Mathlib/Topology/Category/CompHaus/Limits.lean
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : CompHaus
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget CompHaus).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z

⊢ (↑(a z)).1 = (↑(b z)).1
-- Mathlib/Topology/Category/CompHaus/Limits.lean
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B
Z : CompHaus
a b : Z ⟶ pullback f g
z : (forget CompHaus).obj Z
hfst : (a ≫ fst f g) z = (b ≫ fst f g) z
hsnd : (a ≫ snd f g) z = (b ≫ snd f g) z

⊢ (↑(a z)).2 = (↑(b z)).2
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α

⊢ Nat.Prime (Fintype.card α)
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α
h0 : 0 < Fintype.card α

⊢ Nat.Prime (Fintype.card α)
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α
h0 : 0 < Fintype.card α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g

⊢ Nat.Prime (Fintype.card α)
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α
h0 : 0 < Fintype.card α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g

⊢ 2 ≤ Fintype.card α ∧ ∀ (m : ℕ), m ∣ Fintype.card α → m = 1 ∨ m = Fintype.card α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α
h0 : 0 < Fintype.card α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
n : ℕ
hn : n ∣ Fintype.card α

⊢ n = 1 ∨ n = Fintype.card α
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α
h0 : 0 < Fintype.card α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
n : ℕ
hn : n ∣ Fintype.card α

⊢ Subgroup.zpowers (g ^ n) = ⊤ → n = 1
-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
α : Type u
a : α
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : IsSimpleGroup α
inst✝ : Fintype α
h0 : 0 < Fintype.card α
g : α
hg : ∀ (x : α), x ∈ Subgroup.zpowers g
n : ℕ
hn : n ∣ Fintype.card α

⊢ Subgroup.zpowers (g ^ n) = ⊥ → n = Fintype.card α
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
b : Bicone f
hb : b.IsBilimit

⊢ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (isLimit f)).inv = desc b.ι
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
D : Type uD
inst✝² : Category.{uD', uD} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
f : J → C
inst✝ : HasBiproduct f
b : Bicone f
hb : b.IsBilimit
j : J
j' : Discrete J

⊢ (ι f j ≫ (hb.isLimit.conePointUniqueUpToIso (isLimit f)).inv) ≫ b.toCone.π.app j' = (ι f j ≫ desc b.ι) ≫ b.toCone.π.app j'
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
h' : a ≠ 0
h : ℵ₀ ≤ b

⊢ a * b = max a b
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
a b : Cardinal.{u_1}
h' : a ≠ 0
h : ℵ₀ ≤ b

⊢ b * a = max b a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
t_bound : t ⊆ closedBall 0 1

⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
t_bound : t ⊆ closedBall 0 1
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
t_bound : t ⊆ closedBall 0 1
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closedBall x 1) / μ ({x} + u)))

⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
t_bound : t ⊆ closedBall 0 1
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closedBall x 1) / μ ({x} + u)))
C : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r) * (μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u))) (𝓝[>] 0) (𝓝 (0 * (μ (closedBall x 1) / μ ({x} + u))))

⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
t_bound : t ⊆ closedBall 0 1
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closedBall x 1) / μ ({x} + u)))
C : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r) * (μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u))) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
t_bound : t ⊆ closedBall 0 1
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closedBall x 1) / μ ({x} + u)))
C : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r) * (μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u))) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)

⊢ (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r) * (μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u))) =ᶠ[𝓝[>] 0] fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
t_bound : t ⊆ closedBall 0 1
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closedBall x 1) / μ ({x} + u)))
C : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r) * (μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u))) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)

⊢ ∀ a ∈ Ioi 0, μ (s ∩ ({x} + a • t)) / μ (closedBall x a) * (μ (closedBall x a) / μ ({x} + a • u)) = μ (s ∩ ({x} + a • t)) / μ ({x} + a • u)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
s✝ s : Set E
x : E
h : Tendsto (fun r => μ (s ∩ closedBall x r) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
t u : Set E
h'u : μ u ≠ 0
t_bound : t ⊆ closedBall 0 1
A : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r)) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
B : Tendsto (fun r => μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (μ (closedBall x 1) / μ ({x} + u)))
C : Tendsto (fun r => μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r) * (μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u))) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)
r : ℝ
rpos : 0 < r

⊢ μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ (closedBall x r) * (μ (closedBall x r) / μ ({x} + r • u)) = μ (s ∩ ({x} + r • t)) / μ ({x} + r • u)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/VectorSpace.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
K : Type u_3
V : Type u_4
V' : Type u_5
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V
p : Submodule K V
f : ↥p →ₗ[K] V'
g : V →ₗ[K] ↥p
hg : g ∘ₗ p.subtype = id

⊢ (f ∘ₗ g) ∘ₗ p.subtype = f
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
x✝ : S
f : R →+* S
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : S

⊢ eval₂ f x p = ∑ i ∈ range n, f (p.coeff i) * x ^ i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
x✝ : S
f : R →+* S
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : S

⊢ ∀ (n : ℕ), f 0 * x ^ n = 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f✝ : R →+* S
x✝ : S
f : R →+* S
p : R[X]
n : ℕ
hn : p.natDegree < n
x : S
i : ℕ

⊢ f 0 * x ^ i = 0
-- Mathlib/RepresentationTheory/GroupCohomology/LowDegree.lean
k G✝ : Type u
inst✝⁴ : CommRing k
inst✝³ : Group G✝
A✝ : Rep k G✝
G : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : Monoid G
inst✝¹ : AddCommGroup A
inst✝ : MulAction G A
f : G × G → A
hf : IsTwoCocycle f
g : G

⊢ f (g, 1) = g • f (1, 1)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
h : s₁ = s₂

⊢ (∀ x ∈ s₂, f x = g x) → s₂.prod f = s₂.prod g
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Hom.lean
V : Type u_1
V₁ : Type u_2
V₂ : Type u_3
V₃ : Type u_4
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V₁
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup V₂
inst✝ : SeminormedAddCommGroup V₃
f✝ g✝ f g : NormedAddGroupHom V₁ V₂
h : f.toAddMonoidHom = g.toAddMonoidHom

⊢ ⇑f = ⇑g
-- Mathlib/Topology/CompactOpen.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
T : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace T
K : Set X
U : Set Y
g : C(Y, Z)
hg : Inducing ⇑g

⊢ compactOpen = induced g.comp compactOpen
-- Mathlib/Logic/Equiv/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
m : ℕ
l : List ℕ
n : ℕ

⊢ lower (raise (m :: l) n) n = m :: l
-- Mathlib/LinearAlgebra/Contraction.lean
ι : Type w
R : Type u
M : Type v₁
N : Type v₂
P : Type v₃
Q : Type v₄
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : AddCommMonoid P
inst✝⁶ : AddCommMonoid Q
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : Module R P
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : Dual R M
p : P

⊢ ((dualTensorHom R M P) (f ⊗ₜ[R] p)).prodMap 0 = (dualTensorHom R (M × N) (P × Q)) ((f ∘ₗ fst R M N) ⊗ₜ[R] (inl R P Q) p)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_gt : ∀ x ∈ interior D, C < deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x < y

⊢ C * (y - x) < f y - f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_gt : ∀ x ∈ interior D, C < deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x < y
hxyD : Icc x y ⊆ D

⊢ C * (y - x) < f y - f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_gt : ∀ x ∈ interior D, C < deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x < y
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D

⊢ C * (y - x) < f y - f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_gt : ∀ x ∈ interior D, C < deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x < y
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
a : ℝ
a_mem : a ∈ Ioo x y
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)

⊢ C * (y - x) < f y - f x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf' : DifferentiableOn ℝ f (interior D)
C : ℝ
hf'_gt : ∀ x ∈ interior D, C < deriv f x
x : ℝ
hx : x ∈ D
y : ℝ
hy : y ∈ D
hxy : x < y
hxyD : Icc x y ⊆ D
hxyD' : Ioo x y ⊆ interior D
a : ℝ
a_mem : a ∈ Ioo x y
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
this : C < (f y - f x) / (y - x)

⊢ C * (y - x) < f y - f x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/TypesFiltered.lean
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
x y : (j : J) × F.obj j
x✝ : Quot.Rel F x y
f : x.fst ⟶ y.fst
h : y.snd = F.map f x.snd

⊢ F.map f x.snd = F.map (𝟙 y.fst) y.snd
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h1 : Disjoint H K
h2 : ↑H * ↑K = univ

⊢ H.IsComplement' K
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h1 : Disjoint H K
h2 : ↑H * ↑K = univ
g : G

⊢ ∃ a, (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) a = g
-- Mathlib/GroupTheory/Complement.lean
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h1 : Disjoint H K
h2 : ↑H * ↑K = univ
g h : G
hh : h ∈ ↑H
k : G
hk : k ∈ ↑K
hg : (fun x x_1 => x * x_1) h k = g

⊢ ∃ a, (fun x => ↑x.1 * ↑x.2) a = g
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

⊢ map (fun x => x + c) (Ico a b) = Ico (a + c) (b + c)
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Multiset.lean
α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α

⊢ map (fun x => c + x) (Ico a b) = Ico (c + a) (c + b)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.111346, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : Homotopy φ₂ φ₃

⊢ φ₁.τ₁ = S₁.f ≫ (h₁₂.h₁ + h₂₃.h₁) + (h₁₂.h₀ + h₂₃.h₀) + φ₃.τ₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.111346, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : Homotopy φ₂ φ₃

⊢ S₁.f ≫ h₁₂.h₁ + h₁₂.h₀ + (S₁.f ≫ h₂₃.h₁ + h₂₃.h₀ + φ₃.τ₁) = S₁.f ≫ h₁₂.h₁ + S₁.f ≫ h₂₃.h₁ + (h₁₂.h₀ + h₂₃.h₀) + φ₃.τ₁
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.111346, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : Homotopy φ₂ φ₃

⊢ φ₁.τ₂ = S₁.g ≫ (h₁₂.h₂ + h₂₃.h₂) + (h₁₂.h₁ + h₂₃.h₁) ≫ S₂.f + φ₃.τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.111346, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : Homotopy φ₂ φ₃

⊢ S₁.g ≫ h₁₂.h₂ + h₁₂.h₁ ≫ S₂.f + (S₁.g ≫ h₂₃.h₂ + h₂₃.h₁ ≫ S₂.f + φ₃.τ₂) = S₁.g ≫ h₁₂.h₂ + S₁.g ≫ h₂₃.h₂ + (h₁₂.h₁ ≫ S₂.f + h₂₃.h₁ ≫ S₂.f) + φ₃.τ₂
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.111346, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : Homotopy φ₂ φ₃

⊢ φ₁.τ₃ = h₁₂.h₃ + h₂₃.h₃ + (h₁₂.h₂ + h₂₃.h₂) ≫ S₂.g + φ₃.τ₃
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Preadditive.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.111346, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : Homotopy φ₂ φ₃

⊢ h₁₂.h₃ + h₁₂.h₂ ≫ S₂.g + (h₂₃.h₃ + h₂₃.h₂ ≫ S₂.g + φ₃.τ₃) = h₁₂.h₃ + h₂₃.h₃ + (h₁₂.h₂ ≫ S₂.g + h₂₃.h₂ ≫ S₂.g) + φ₃.τ₃
-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomain.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsBezout R
inst✝ : GCDMonoid R
a b : R

⊢ ∃ x y, gcd a b = a * x + b * y
-- Mathlib/Order/Chain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
inst✝¹ : IsRefl α r
hchain : IsChain r s
inst✝ : IsTrans α r
a b c : α
mem1 : a ∈ s
mem2 : b ∈ s
mem3 : c ∈ s

⊢ ∃ z, ∃ (_ : z ∈ s), r a z ∧ r b z ∧ r c z
-- Mathlib/Order/Chain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
inst✝¹ : IsRefl α r
hchain : IsChain r s
inst✝ : IsTrans α r
a b c : α
mem1 : a ∈ s
mem2 : b ∈ s
mem3 : c ∈ s
z : α
mem4 : z ∈ s
H1 : r a z
H2 : r b z

⊢ ∃ z, ∃ (_ : z ∈ s), r a z ∧ r b z ∧ r c z
-- Mathlib/Order/Chain.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
r : α → α → Prop
c✝ c₁ c₂ c₃ s t : Set α
a✝ b✝ x y : α
inst✝¹ : IsRefl α r
hchain : IsChain r s
inst✝ : IsTrans α r
a b c : α
mem1 : a ∈ s
mem2 : b ∈ s
mem3 : c ∈ s
z : α
mem4 : z ∈ s
H1 : r a z
H2 : r b z
z' : α
mem5 : z' ∈ s
H3 : r z z'
H4 : r c z'

⊢ ∃ z, ∃ (_ : z ∈ s), r a z ∧ r b z ∧ r c z
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E

⊢ K.topologicalClosure = ⊤ ↔ Kᗮ = ⊥
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F
K : Submodule 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E

⊢ Kᗮᗮ = ⊤ ↔ Kᗮ = ⊥
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1

⊢ HasSum (fun n => ↑n * r ^ n) (r / (1 - r) ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n

⊢ HasSum (fun n => ↑n * r ^ n) (r / (1 - r) ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n
B : HasSum (fun x => r ^ x) (1 - r)⁻¹

⊢ HasSum (fun n => ↑n * r ^ n) (r / (1 - r) ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Normed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : CompleteSpace 𝕜
r : 𝕜
hr : ‖r‖ < 1
A : Summable fun n => ↑n * r ^ n
B : HasSum (fun x => r ^ x) (1 - r)⁻¹

⊢ ∑' (b : ℕ), ↑b * r ^ b = r / (1 - r) ^ 2