ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
hf : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }) 1 (closure s)
f_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }
t : Set G := f ⁻¹' {1}
t_closed : IsClosed t
t_comp : IsCompact t
st : s ⊆ t
A : ν (t \ s) ≤ μ' (t \ s)
B : μ' t = ν t

⊢ μ' s ≤ ν s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
hf : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }) 1 (closure s)
f_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }
t : Set G := f ⁻¹' {1}
t_closed : IsClosed t
t_comp : IsCompact t
st : s ⊆ t
A : μ' t - ν s ≤ μ' t - μ' s
B : μ' t = ν t

⊢ μ' s ≤ μ' t
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
hf : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }) 1 (closure s)
f_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }
t : Set G := f ⁻¹' {1}
t_closed : IsClosed t
t_comp : IsCompact t
st : s ⊆ t
A : μ' t - ν s ≤ μ' t - μ' s
B : μ' t = ν t

⊢ μ' t ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
hf : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }) 1 (closure s)
f_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }
t : Set G := f ⁻¹' {1}
t_closed : IsClosed t
t_comp : IsCompact t
st : s ⊆ t
A : ν t - ν s ≤ μ' (t \ s)
B : μ' t = ν t

⊢ μ' s ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Unique.lean
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : μ.IsHaarMeasure
inst✝² : IsFiniteMeasureOnCompacts μ'
inst✝¹ : μ'.IsMulLeftInvariant
inst✝ : μ.InnerRegularCompactLTTop
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : IsCompact (closure s)
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
f : G → ℝ
f_cont : Continuous f
hf : EqOn (⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }) 1 (closure s)
f_comp : HasCompactSupport ⇑{ toFun := f, continuous_toFun := f_cont }
t : Set G := f ⁻¹' {1}
t_closed : IsClosed t
t_comp : IsCompact t
st : s ⊆ t
A : ν (t \ s) ≤ μ' (t \ s)
B : μ' t = ν t

⊢ ν s ≠ ⊤
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
inst✝¹ : f.IsCountablyGenerated
inst✝ : f.NeBot

⊢ ∃ x, Tendsto x atTop f
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
inst✝¹ : f.IsCountablyGenerated
inst✝ : f.NeBot
B : ℕ → Set α
h : f.HasAntitoneBasis B

⊢ ∃ x, Tendsto x atTop f
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f : Filter α
inst✝¹ : f.IsCountablyGenerated
inst✝ : f.NeBot
B : ℕ → Set α
h : f.HasAntitoneBasis B
x : ℕ → α
hx : ∀ (n : ℕ), x n ∈ B n

⊢ ∃ x, Tendsto x atTop f
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal

⊢ Memℓp f p
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Summable fun i => ‖f i‖ ^ ENNReal.toReal 0

⊢ Memℓp f 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Summable fun i => ‖f i‖ ^ ⊤.toReal

⊢ Memℓp f ⊤
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Summable fun i => ‖f i‖ ^ p.toReal
hp : 0 < p.toReal

⊢ Memℓp f p
-- Mathlib/Data/Nat/Cast/Order/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : AddMonoidWithOne α
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : ZeroLEOneClass α
inst✝ : CharZero α
m n : ℕ

⊢ ↑n ≤ 1 ↔ n ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α

⊢ Irreducible (↑a * b) ↔ Irreducible b
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : Monoid α
a : αˣ
b : α

⊢ ¬IsUnit b → ((∀ (a_2 b_1 : α), ↑a * b = a_2 * b_1 → IsUnit a_2 ∨ IsUnit b_1) ↔ ∀ (a b_1 : α), b = a * b_1 → IsUnit a ∨ IsUnit b_1)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.42681, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
e f : ℤ
hf : -1 + e = f
γ : Cochain G K e
he : 0 + e = e

⊢ (inl φ).comp ((snd φ).comp γ he) hf = 0
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.212142}
n : ℕ

⊢ #α = ↑n ↔ ∃ h, Fintype.card α = n
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
c : Cardinal.{?u.212142}
n : ℕ

⊢ (∃ t, ↑t = univ ∧ t.card = n) ↔ ∃ h, Fintype.card α = n
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char
it₁ it₂ : Iterator
h₁ : ValidFor l (m ++ r) it₁
h₂ : ValidFor (m.reverse ++ l) r it₂

⊢ it₁.extract it₂ = { data := m }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char
it₂ : Iterator
h₂ : ValidFor (m.reverse ++ l) r it₂
h₁ : ValidFor l (m ++ r) { s := { data := l.reverseAux (m ++ r) }, i := { byteIdx := utf8Len l } }

⊢ { s := { data := l.reverseAux (m ++ r) }, i := { byteIdx := utf8Len l } }.extract it₂ = { data := m }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char
h₁ : ValidFor l (m ++ r) { s := { data := l.reverseAux (m ++ r) }, i := { byteIdx := utf8Len l } }
h₂ : ValidFor (m.reverse ++ l) r { s := { data := (m.reverse ++ l).reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len (m.reverse ++ l) } }

⊢ { s := { data := l.reverseAux (m ++ r) }, i := { byteIdx := utf8Len l } }.extract { s := { data := (m.reverse ++ l).reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len (m.reverse ++ l) } } = { data := m }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
l m r : List Char
h₁ : ValidFor l (m ++ r) { s := { data := l.reverseAux (m ++ r) }, i := { byteIdx := utf8Len l } }
h₂ : ValidFor (m.reverse ++ l) r { s := { data := (m.reverse ++ l).reverseAux r }, i := { byteIdx := utf8Len (m.reverse ++ l) } }

⊢ { data := l.reverse ++ (m ++ r) }.extract { byteIdx := utf8Len l } { byteIdx := utf8Len m + utf8Len l } = { data := m }
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/CommShift.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁹ : Category.{u_7, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_6, u_2} D
inst✝⁷ : Category.{?u.20890, u_3} E
F : C ⥤ D
G : D ⥤ E
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁶ : AddMonoid A
inst✝⁵ : AddCommMonoid B
inst✝⁴ : HasShift C A
inst✝³ : HasShift D A
inst✝² : HasShift E A
inst✝¹ : HasShift C B
inst✝ : HasShift D B
a b : A
e₁ : shiftFunctor C a ⋙ F ≅ F ⋙ shiftFunctor D a
e₂ : shiftFunctor C b ⋙ F ≅ F ⋙ shiftFunctor D b
X : C

⊢ (isoAdd e₁ e₂).hom.app X = F.map ((shiftFunctorAdd C a b).hom.app X) ≫ e₂.hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ (shiftFunctor D b).map (e₁.hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd D a b).inv.app (F.obj X)
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
x : R

⊢ star x < 1 ↔ x < 1
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c x✝¹ x✝ : ℍ[R,c₁,c₂]

⊢ { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x✝¹ * x✝) = { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x✝¹ * { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x✝
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c x✝¹ x✝ : ℍ[R,c₁,c₂]

⊢ { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun (x✝¹ + x✝) = { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x✝¹ + { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x✝
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]
x✝ : R

⊢ { toFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, invFun := fun t => { re := t.re, imI := t.imJ, imJ := t.imI, imK := -t.imK }, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ((algebraMap R ℍ[R,c₁,c₂]) x✝) = (algebraMap R ℍ[R,c₂,c₁]) x✝
-- Mathlib/GroupTheory/FiniteAbelian.lean
M : Type u
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module ℤ M
inst✝ : Finite ℤ M
hM : IsTorsion ℤ M

⊢ _root_.Finite M
-- Mathlib/GroupTheory/FiniteAbelian.lean
M : Type u
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module ℤ M
inst✝ : Finite ℤ M
hM : IsTorsion ℤ M
ι : Type
w✝ : Fintype ι
p : ι → ℤ
h : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
e : ι → ℕ
l : M ≃ₗ[ℤ] ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}

⊢ _root_.Finite M
-- Mathlib/GroupTheory/FiniteAbelian.lean
M : Type u
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module ℤ M
inst✝ : Finite ℤ M
hM : IsTorsion ℤ M
ι : Type
w✝ : Fintype ι
p : ι → ℤ
h : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
e : ι → ℕ
l : M ≃ₗ[ℤ] ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}
this : ∀ (i : ι), NeZero (p i ^ e i).natAbs

⊢ _root_.Finite M
-- Mathlib/GroupTheory/FiniteAbelian.lean
M : Type u
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module ℤ M
inst✝ : Finite ℤ M
hM : IsTorsion ℤ M
ι : Type
w✝ : Fintype ι
p : ι → ℤ
h : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
e : ι → ℕ
l : M ≃ₗ[ℤ] ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}
this✝ : ∀ (i : ι), NeZero (p i ^ e i).natAbs
this : ∀ (i : ι), _root_.Finite (ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i})

⊢ _root_.Finite M
-- Mathlib/GroupTheory/FiniteAbelian.lean
M : Type u
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module ℤ M
inst✝ : Finite ℤ M
hM : IsTorsion ℤ M
ι : Type
w✝ : Fintype ι
p : ι → ℤ
h : ∀ (i : ι), Irreducible (p i)
e : ι → ℕ
l : M ≃ₗ[ℤ] ⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i}
this✝¹ : ∀ (i : ι), NeZero (p i ^ e i).natAbs
this✝ : ∀ (i : ι), _root_.Finite (ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i})
this : _root_.Finite (⨁ (i : ι), ℤ ⧸ Submodule.span ℤ {p i ^ e i})

⊢ _root_.Finite M
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'

⊢ f ∈ map (mapRange.addEquiv e).toEmbedding (s.finsuppAntidiag n) → f ∈ s.finsuppAntidiag (e n)
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f✝ : ι →₀ μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'

⊢ (∃ a, ((a.sum fun x x => x) = n ∧ a.support ⊆ s) ∧ (mapRange.addEquiv e).toEmbedding a = f) → (f.sum fun x x => x) = e n ∧ f.support ⊆ s
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f : ι →₀ μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
g : ι →₀ μ
hsum : (g.sum fun x x => x) = n
hsupp : g.support ⊆ s

⊢ (((mapRange.addEquiv e).toEmbedding g).sum fun x x => x) = e n ∧ ((mapRange.addEquiv e).toEmbedding g).support ⊆ s
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
s✝ : Finset ι
n✝ : μ
f : ι →₀ μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
g : ι →₀ μ
hsum : (g.sum fun x x => x) = n
hsupp : g.support ⊆ s

⊢ ((mapRange ⇑e ⋯ g).sum fun x x => x) = e n ∧ (mapRange ⇑e ⋯ g).support ⊆ s
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ x y : List α

⊢ x ++ y = y ↔ x = []
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : Semiring R₂
inst✝⁸ : Semiring R₃
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R₂ M₂
inst✝² : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂

⊢ Surjective ⇑f.rangeRestrict
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k

⊢ (k • p).degree = p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k

⊢ (k • p).degree ≤ p.degree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Monic.lean
R : Type u
S✝ : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝² : Semiring R
p✝ : R[X]
S : Type u_1
inst✝¹ : Monoid S
inst✝ : DistribMulAction S R
k : S
p : R[X]
h : IsSMulRegular R k

⊢ p.degree ≤ (k • p).degree
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
c : ℤ_[p]
hc : c ≠ 0

⊢ (↑p ^ n * c).valuation = ↑n + c.valuation
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
c : ℤ_[p]
hc : c ≠ 0
this : ‖↑p ^ n * c‖ = ‖↑p ^ n‖ * ‖c‖

⊢ (↑p ^ n * c).valuation = ↑n + c.valuation
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
c : ℤ_[p]
hc : c ≠ 0
this : ‖↑p ^ n * c‖ = ‖↑p ^ n‖ * ‖c‖
aux : ↑p ^ n * c ≠ 0

⊢ (↑p ^ n * c).valuation = ↑n + c.valuation
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
c : ℤ_[p]
hc : c ≠ 0
this : ↑p ^ (-(↑p ^ n * c).valuation) = ↑p ^ (-(↑n + c.valuation))
aux : ↑p ^ n * c ≠ 0

⊢ 0 < ↑p
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
c : ℤ_[p]
hc : c ≠ 0
this : ↑p ^ (-(↑p ^ n * c).valuation) = ↑p ^ (-(↑n + c.valuation))
aux : ↑p ^ n * c ≠ 0

⊢ ↑p ≠ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
c : ℤ_[p]
hc : c ≠ 0
this : ↑p ^ (-(↑p ^ n * c).valuation) = ↑p ^ (-↑n) * ↑p ^ (-c.valuation)
aux : ↑p ^ n * c ≠ 0

⊢ ↑p ≠ 0
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s✝ t s : Set α
h : s.Infinite
this : Infinite ↑s

⊢ s.encard = ⊤
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ θ.cos < 0 ↔ π / 2 < |θ.toReal|
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Int.lean
α : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup α
n : ℤ
a : α

⊢ ‖a ^ n‖₊ ≤ ‖n‖₊ * ‖a‖₊
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Basic.lean
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ

⊢ (W.baseChange B).φ n = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) ((W.baseChange A).φ n)
-- Mathlib/Topology/Bornology/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s : Set α
B : Set (Set α)
empty_mem : ∅ ∈ B
subset_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ⊆ s₁, s₂ ∈ B
union_mem : ∀ s₁ ∈ B, ∀ s₂ ∈ B, s₁ ∪ s₂ ∈ B
sUnion_univ : ∀ (x : α), {x} ∈ B

⊢ IsBounded s ↔ s ∈ B
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ P.f_modif (1 / x) = (P.ε * ↑(x ^ P.k)) • P.g_modif x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : 1 < x

⊢ P.f_modif (1 / x) = (P.ε * ↑(x ^ P.k)) • P.g_modif x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
hx : 0 < 1

⊢ P.f_modif (1 / 1) = (P.ε * ↑(1 ^ P.k)) • P.g_modif 1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : x < 1

⊢ P.f_modif (1 / x) = (P.ε * ↑(x ^ P.k)) • P.g_modif x
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α

⊢ ∂ b ≤ ∂ (a ⊔ b) ⊔ ∂ (a ⊓ b)
-- Mathlib/Order/Heyting/Boundary.lean
α : Type u_1
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b : α

⊢ ∂ b ≤ ∂ (b ⊔ a) ⊔ ∂ (b ⊓ a)
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype o
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Field R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : StarRing R
inst✝ : StarOrderedRing R
A : Matrix m n R

⊢ (A * Aᴴ).rank = A.rank
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν✝ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
μ ν : Measure α

⊢ eLpNorm f 1 (μ + ν) = eLpNorm f 1 μ + eLpNorm f 1 ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ✝ ν✝ : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → F
μ ν : Measure α

⊢ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂(μ + ν) = ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ + ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂ν
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Product.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N

⊢ ContMDiffWithinAt (I.prod J) I n Prod.fst s p
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Product.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s✝ s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
s : Set (M × N)
p : M × N

⊢ ContinuousWithinAt Prod.fst s p ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n (↑(extChartAt I p.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm) ((extChartAt (I.prod J) p).target ∩ ↑(extChartAt (I.prod J) p).symm ⁻¹' (s ∩ Prod.fst ⁻¹' (extChartAt I p.1).source)) (↑(extChartAt (I.prod J) p) p)