ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/ShrinkingLemma.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)

⊢ ∃ v', v < v'
-- Mathlib/Topology/ShrinkingLemma.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
v : PartialRefinement u s
hs : IsClosed s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
I : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ v.toFun i
C : IsClosed (s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ)
vi : Set X
ovi : IsOpen vi
hvi : s ∩ ⋂ j, ⋂ (_ : j ≠ i), (v.toFun j)ᶜ ⊆ vi
cvi : closure vi ⊆ v.toFun i

⊢ ∃ v', v < v'
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ

⊢ Irrational √↑q ↔ Rat.sqrt q * Rat.sqrt q ≠ q ∧ 0 ≤ q
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
q : ℚ

⊢ ¬IsSquare q ∧ 0 ≤ q ↔ (¬∃ q_1, q_1 * q_1 = q) ∧ 0 ≤ q
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : LinearOrder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ x ^ n = 1 ↔ x = 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Pow.lean
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : LinearOrder M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ x ^ n ≤ 1 ∧ 1 ≤ x ^ n ↔ x ≤ 1 ∧ 1 ≤ x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : MulZeroOneClass α
inst✝ : Nontrivial α
x✝¹ x✝ : V

⊢ ⋯.toGraph.Adj x✝¹ x✝ ↔ G.Adj x✝¹ x✝
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/AdjMatrix.lean
V : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
inst✝¹ : MulZeroOneClass α
inst✝ : Nontrivial α
x✝¹ x✝ : V

⊢ ¬G.Adj x✝¹ x✝ → False ↔ G.Adj x✝¹ x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
htm : NullMeasurableSet t μ
ht : μ s < μ t

⊢ ∃ x ∈ t, ∃ y ∈ t, ∃ g, g ≠ 1 ∧ g • x = y
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
htm : NullMeasurableSet t μ
ht : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, ∀ (g : G), g ≠ 1 → g • x ≠ y

⊢ μ t ≤ μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
htm : NullMeasurableSet t μ
ht : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, ∀ (g : G), g ≠ 1 → g • x ≠ y
g₁ g₂ : G
hne : g₁ ≠ g₂

⊢ (Disjoint on fun g => g • t ∩ s) g₁ g₂
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
htm : NullMeasurableSet t μ
ht : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, ∀ (g : G), g ≠ 1 → g • x ≠ y
g₁ g₂ : G
hne : g₁ ≠ g₂

⊢ Disjoint (g₁ • t ∩ s) (g₂ • t ∩ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
htm : NullMeasurableSet t μ
ht : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, ∀ (g : G), g ≠ 1 → g • x ≠ y
g₁ g₂ : G
hne : g₁ ≠ g₂

⊢ Disjoint (g₁ • t) (g₂ • t)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
htm : NullMeasurableSet t μ
ht : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, ∀ (g : G), g ≠ 1 → g • x ≠ y
g₁ g₂ : G
hne : g₁ ≠ g₂

⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ g₁ • t → a ∉ g₂ • t
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
htm : NullMeasurableSet t μ
ht : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, ∀ (g : G), g ≠ 1 → g • x ≠ y
g₁ g₂ : G
hne : g₁ ≠ g₂
x : α
hx : x ∈ t
y : α
hy : y ∈ t
hxy : g₂ • y = g₁ • x

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹² : Group G
inst✝¹¹ : Group H
inst✝¹⁰ : MulAction G α
inst✝⁹ : MeasurableSpace α
inst✝⁸ : MulAction H β
inst✝⁷ : MeasurableSpace β
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : MeasurableSMul G α
inst✝³ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝² : Countable G
ν : Measure α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
hs : IsFundamentalDomain G s μ
htm : NullMeasurableSet t μ
ht : ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, ∀ (g : G), g ≠ 1 → g • x ≠ y
g₁ g₂ : G
hne : g₁ ≠ g₂
x : α
hx : x ∈ t
y : α
hy : y ∈ t
hxy : g₂ • y = g₁ • x

⊢ (g₂⁻¹ * g₁) • x = y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ 2 / 2 ≤ π / 2
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ 1 ≤ π / 2
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0

⊢ count K v J ≤ count K v I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
this : J⁻¹ * I ≤ J⁻¹ * J

⊢ count K v J ≤ count K v I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
this : ∃ I_1, ↑I_1 = J⁻¹ * I

⊢ count K v J ≤ count K v I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
J' : Ideal R
hJ' : ↑J' = J⁻¹ * I

⊢ count K v J ≤ count K v I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
J' : Ideal R
hJ' : ↑J' = J⁻¹ * I

⊢ 0 ≤ count K v ↑J'
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Factorization.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
I J : FractionalIdeal R⁰ K
hI : I ≠ 0
h : I ≤ J
hJ : ¬J = 0
J' : Ideal R
hJ' : ↑J' = J⁻¹ * I

⊢ ↑J' ≠ 0
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : Countable α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSingletonClass α
p : PMF α
μ✝ : Measure α
inst✝¹ : IsProbabilityMeasure μ✝
μ : Measure α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ

⊢ μ.toPMF = p ↔ μ = p.toMeasure
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
p : PMF α
b : β
s : Set β
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
hf : Measurable f
hs : MeasurableSet s

⊢ (map f p).toMeasure s = p.toMeasure (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
p : PMF α
b : β
s : Set β
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
hf : Measurable f
hs : MeasurableSet s

⊢ (map f p).toOuterMeasure s = p.toOuterMeasure (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : OrderBot α
s s₁ : Finset β
f✝ g✝ : β → α
a : α
f g : β → α
hfg : ∀ a ∈ s₁, f a = g a

⊢ s₁.sup f = s₁.sup g
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R

⊢ (coeff R 1) X = 1
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂

⊢ map f ⁅I, N⁆ = ⁅I, map f N⁆
-- Mathlib/Algebra/Lie/IdealOperations.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂

⊢ Submodule.span R (⇑↑f '' {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}) = Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Covolume.lean
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
inst✝⁷ : BorelSpace E
L✝ : AddSubgroup E
inst✝⁶ : DiscreteTopology ↥L✝
inst✝⁵ : IsZlattice ℝ L✝
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝⁴ : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
L : AddSubgroup (ι → ℝ)
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZlattice ℝ L
b : Basis ι ℤ ↥L

⊢ covolume L volume = |(Matrix.of (Subtype.val ∘ ⇑b)).det|
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Covolume.lean
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
inst✝⁷ : BorelSpace E
L✝ : AddSubgroup E
inst✝⁶ : DiscreteTopology ↥L✝
inst✝⁵ : IsZlattice ℝ L✝
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝⁴ : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
L : AddSubgroup (ι → ℝ)
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZlattice ℝ L
b : Basis ι ℤ ↥L

⊢ |(Matrix.of ⇑(Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b)).det| = |(Matrix.of (Subtype.val ∘ ⇑b)).det|
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Covolume.lean
E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
inst✝⁷ : BorelSpace E
L✝ : AddSubgroup E
inst✝⁶ : DiscreteTopology ↥L✝
inst✝⁵ : IsZlattice ℝ L✝
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝⁴ : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
L : AddSubgroup (ι → ℝ)
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZlattice ℝ L
b : Basis ι ℤ ↥L
x✝ : ι

⊢ (Basis.ofZlatticeBasis ℝ L b) x✝ = (Subtype.val ∘ ⇑b) x✝
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing R
p q : R[X]
hp0 : p ≠ 0
hp : ¬IsUnit p
h : 0 ≥ p.degree

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : DivisionRing R
p q : R[X]
hp0 : C (p.coeff 0) ≠ 0
hp : ¬IsUnit (C (p.coeff 0))
h : 0 ≥ p.degree

⊢ False
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean

⊢ range ⇑abs ⊆ Ici 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
s : Set Ordinal.{u}
hs : Small.{u, u + 1} ↑s
a : Ordinal.{u}
ha : a ∈ s

⊢ a ≤ sup fun x => ↑((equivShrink ↑s).symm x)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
s : Set Ordinal.{u}
hs : Small.{u, u + 1} ↑s
a : Ordinal.{u}
ha : a ∈ s

⊢ a = ↑((equivShrink ↑s).symm ((equivShrink ↑s) ⟨a, ha⟩))
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
f : M →ₗ[R] N
m : Fin n → M

⊢ (map f) ((ιMulti R n) m) = (ιMulti R n) (⇑f ∘ m)
-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
R : Type u1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
A : Type u_1
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
N : Type u4
N' : Type u5
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommGroup N'
inst✝ : Module R N'
n : ℕ
f : M →ₗ[R] N
m : Fin n → M

⊢ (List.map (⇑(map f)) (List.ofFn fun i => (ι R) (m i))).prod = (List.ofFn fun i => (ι R) ((⇑f ∘ m) i)).prod
-- Mathlib/Control/Basic.lean
α✝ β✝ γ✝ : Type u
m✝ : ?m.14964
m : Type u → Type v
h : Applicative m
inst✝ : CommApplicative m
α β γ : Type u
a : m α
b : m β
f : α → β → γ

⊢ (Seq.seq (f <$> a) fun x => b) = (fun p => f p.fst p.snd) <$> Seq.seq (Prod.mk <$> a) fun x => b
-- Mathlib/Control/Basic.lean
α✝ β✝ γ✝ : Type u
m✝ : ?m.14964
m : Type u → Type v
h : Applicative m
inst✝ : CommApplicative m
α β γ : Type u
a : m α
b : m β
f : α → β → γ

⊢ ((fun p => f p.fst p.snd) <$> Seq.seq (Prod.mk <$> a) fun x => b) = Seq.seq ((fun b a => f a b) <$> b) fun x => a
-- Mathlib/Control/Basic.lean
α✝ β✝ γ✝ : Type u
m✝ : ?m.14964
m : Type u → Type v
h : Applicative m
inst✝ : CommApplicative m
α β γ : Type u
a : m α
b : m β
f : α → β → γ

⊢ ((fun p => f p.fst p.snd) <$> Seq.seq ((fun b a => (a, b)) <$> b) fun x => a) = Seq.seq ((fun b a => f a b) <$> b) fun x => a
-- Mathlib/Data/Finsupp/Multiset.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
f : α →₀ ℕ
i : α

⊢ i ∈ toMultiset f ↔ i ∈ f.support
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂

⊢ MeasurableSet (s₁ ⇨ s₂)
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort u_6
s t u : Set α
m : MeasurableSpace α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : MeasurableSet s₁
h₂ : MeasurableSet s₂

⊢ MeasurableSet (s₂ ⊔ s₁ᶜ)
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
x y : M × ↥S

⊢ (r S) x y ↔ ∃ c, ↑c * (↑y.2 * x.1) = ↑c * (↑x.2 * y.1)
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
x y : M × ↥S

⊢ (r' S) x y ↔ ∃ c, ↑c * (↑y.2 * x.1) = ↑c * (↑x.2 * y.1)
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f

⊢ f ζ ^ k = 1
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f

⊢ ∀ (l : ℕ), f ζ ^ l = 1 → k ∣ l
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f

⊢ ∀ (l : ℕ), f ζ ^ l = 1 → orderOf ζ ∣ l
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f
l : ℕ
hl : f ζ ^ l = 1

⊢ orderOf ζ ∣ l
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : CommMonoid M
inst✝³ : CommMonoid N
inst✝² : DivisionCommMonoid G
k l✝ : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ : IsPrimitiveRoot ζ k
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MonoidHomClass F M N
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hf : Injective ⇑f
l : ℕ
hl : f (ζ ^ l) = f 1

⊢ orderOf ζ ∣ l
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M

⊢ dist (↑(extChartAt I c) c) (↑(extChartAt I c) c) < f.rIn
-- Mathlib/Geometry/Manifold/BumpFunction.lean
E : Type uE
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
c : M
f : SmoothBumpFunction I c
x : M

⊢ 0 < f.rIn
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F

⊢ IsLeast {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖} ‖f‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F

⊢ IsClosed {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖}
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁶ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : SeminormedAddCommGroup Eₗ
inst✝¹⁴ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : SeminormedAddCommGroup Fₗ
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup Gₗ
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 Eₗ
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
inst✝³ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝¹ : FunLike 𝓕 E F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F

⊢ IsClosed ({a | 0 ≤ a} ∩ ⋂ i, {x | ‖f i‖ ≤ x * ‖i‖})
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a b c d : α

⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' [[b, c]] = [[b + a, c + a]]
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁' l₂' : List α
h : (a :: l).split = (l₁', l₂')
l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)

⊢ l₁'.length ≤ (a :: l).length ∧ l₂'.length ≤ (a :: l).length
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁' l₂' : List α
h : (a :: l).split = (l₁', l₂')
l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
fst_eq✝ : a :: l₂ = l₁'
snd_eq✝ : l₁ = l₂'

⊢ l₁'.length ≤ (a :: l).length ∧ l₂'.length ≤ (a :: l).length
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
inst✝ : DecidableRel r
a : α
l l₁ l₂ : List α
e : l.split = (l₁, l₂)
h : (a :: l).split = (a :: l₂, l₁)
h₁ : l₁.length ≤ l.length
h₂ : l₂.length ≤ l.length

⊢ (a :: l₂).length ≤ (a :: l).length ∧ l₁.length ≤ (a :: l).length
-- Mathlib/Algebra/Group/Semiconj/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝ : DivisionMonoid G
a x y : G

⊢ SemiconjBy a⁻¹ x⁻¹ y⁻¹ ↔ SemiconjBy a y x
-- Mathlib/Data/Finset/Interval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
s t : Finset α
f : Finset α → β

⊢ Monotone f ↔ ∀ (s : Finset α) ⦃a : α⦄ (ha : a ∉ s), f s ≤ f (cons a s ha)
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝³ : AddCommMonoid α
inst✝² : Neg β
inst✝¹ : DivisionSemiring γ
inst✝ : Module γ α
h : Antiperiodic f c
a : γ
ha : a ≠ 0

⊢ Antiperiodic (fun x => f (a⁻¹ • x)) (a • c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.17320, u_1} C
X : C

⊢ 𝟙 X ≫ 𝟙 X = 𝟙 X
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/Karoubi.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.17320, u_1} C
X✝ Y✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ f = ((fun X => { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ }) X✝).p ≫ f ≫ ((fun X => { X := X, p := 𝟙 X, idem := ⋯ }) Y✝).p