ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α
hs : MeasurableSet sᶜ
f g : α →ₛ β

⊢ ↑(piecewise sᶜ hs f g) = ↑(piecewise s ⋯ g f)
-- Mathlib/InformationTheory/Hamming.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝² : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝ : (i : ι) → Zero (γ i)
x : (i : ι) → β i

⊢ hammingDist 0 x = hammingNorm x
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α

⊢ TendstoLocallyUniformlyOn F f p univ ↔ TendstoLocallyUniformly F f p
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X✝
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X

⊢ T0Space X ↔ Pairwise fun a b => a ∉ closure {b} ∨ b ∉ closure {a}
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
X : Type u
α : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
l₁ l₂ : Filter X
inst✝¹ : l₁.NeBot
inst✝ : l₂.NeBot
hl₁ : l₁ ≤ 𝓟 s
hl₂ : l₂ ≤ 𝓟 s
f g : X → α
hf : ContinuousOn f s
hg : ContinuousOn g s
he₁ : f ≤ᶠ[l₁] g
he₂ : g ≤ᶠ[l₂] f

⊢ ∃ x ∈ s, f x = g x
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
X : Type u
α : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
l₁ l₂ : Filter X
inst✝¹ : l₁.NeBot
inst✝ : l₂.NeBot
hl₁ : l₁ ≤ 𝓟 s
hl₂ : l₂ ≤ 𝓟 s
f g : X → α
hf : Continuous (s.restrict f)
hg : Continuous (s.restrict g)
he₁ : f ≤ᶠ[l₁] g
he₂ : g ≤ᶠ[l₂] f

⊢ ∃ x ∈ s, f x = g x
-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
X : Type u
α : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : OrderClosedTopology α
s : Set X
hs : IsPreconnected s
l₁ l₂ : Filter X
inst✝¹ : l₁.NeBot
inst✝ : l₂.NeBot
hl₁ : l₁ ≤ 𝓟 s
hl₂ : l₂ ≤ 𝓟 s
f g : X → α
hf : Continuous (s.restrict f)
hg : Continuous (s.restrict g)
he₁ : f ≤ᶠ[l₁] g
he₂ : g ≤ᶠ[l₂] f
b : ↑s
h : s.restrict f b = s.restrict g b

⊢ ∃ x ∈ s, f x = g x
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/Basic.lean
α : Type u_1
F : Type u_2
F' : Type u_3
𝕜 : Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : CompleteSpace F'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → F'
s : Set α
mF : MeasurableSpace F
Y : α → F
hY : Measurable Y
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
A : Set α
hA : MeasurableSet A

⊢ ∫ (x : α), (μ[A.indicator fun x => 1|MeasurableSpace.comap Y mF]) x ∂μ = (μ A).toReal
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
x₀ : X

⊢ EquicontinuousAt F x₀ ↔ EquicontinuousAt Subtype.val x₀
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁴ : Module R N₂
inst✝¹³ : Semiring R₁
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹⁰ : Semiring S₁
inst✝⁹ : Semiring S₂
inst✝⁸ : Module S₁ N₂
inst✝⁷ : Module S₂ N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix n m N₂
x : n → R₁
y : m → R₂

⊢ (((toLinearMapₛₗ₂' R σ₁ σ₂) M) x) y = ∑ i : n, ∑ j : m, σ₁ (x i) •> σ₂ (y j) •> M i j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M✝ : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝¹⁴ : Module R N₂
inst✝¹³ : Semiring R₁
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : SMulCommClass R R N₂
inst✝¹⁰ : Semiring S₁
inst✝⁹ : Semiring S₂
inst✝⁸ : Module S₁ N₂
inst✝⁷ : Module S₂ N₂
inst✝⁶ : SMulCommClass S₁ R N₂
inst✝⁵ : SMulCommClass S₂ R N₂
inst✝⁴ : SMulCommClass S₂ S₁ N₂
σ₁ : R₁ →+* S₁
σ₂ : R₂ →+* S₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq m
M : Matrix n m N₂
x : n → R₁
y : m → R₂

⊢ ∑ i : n, ∑ j : m, σ₂ (y j) •> σ₁ (x i) •> M i j = ∑ i : n, ∑ j : m, σ₁ (x i) •> σ₂ (y j) •> M i j
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K K' V : Set G
hK' : IsCompact K'
h : K ⊆ K'
hV : (interior V).Nonempty

⊢ index K V ≤ index K' V
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K K' V : Set G
hK' : IsCompact K'
h : K ⊆ K'
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : K' ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K' V

⊢ index K V ≤ index K' V
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K K' V : Set G
hK' : IsCompact K'
h : K ⊆ K'
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : K' ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K' V

⊢ index K' V ∈ Finset.card '' {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K K' V : Set G
hK' : IsCompact K'
h : K ⊆ K'
hV : (interior V).Nonempty
s : Finset G
h1s : K' ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index K' V

⊢ ∃ x ∈ {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}, x.card = index K' V
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x✝ y✝ : M
f : N →* M
x y : N

⊢ c (f x) (f y) ↔ c.mk' (f x) = c.mk' (f y)
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : MulOneClass P
c : Con M
x✝ y✝ : M
f : N →* M
x y : N

⊢ ↑(f x) = ↑(f y) ↔ c.mk' (f x) = c.mk' (f y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x✝¹ y z : α
δ ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
ε : ℝ
x x✝ : α

⊢ x✝ ∈ UniformSpace.ball x {p | dist p.1 p.2 < ε} ↔ x✝ ∈ ball x ε
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
b₁ : B.IsRefl
W : Submodule K V

⊢ finrank K ↥W + finrank K ↥(B.orthogonal W) = finrank K V + finrank K ↥(W ⊓ B.orthogonal ⊤)
-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/Orthogonal.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
b₁ : B.IsRefl
W : Submodule K V

⊢ finrank K ↥W + finrank K ↥(range (domRestrict B W)).dualCoannihilator = finrank K V + finrank K ↥(ker (domRestrict B W))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
hd : HasFDerivAt d d' x

⊢ HasFDerivAt (fun y => c y * d y) (c x • d' + d x • c') x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
hd : HasFDerivAt d d' x

⊢ d x • c' = c'.smulRight (d x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivAt c c' x
hd : HasFDerivAt d d' x
z : E

⊢ (d x • c') z = (c'.smulRight (d x)) z
-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
ca : Computation α
b : β

⊢ LiftRel R ca (pure b) ↔ ∃ a, a ∈ ca ∧ R a b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Eigs.lean
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
R : Type u_2
inst✝ : Field R
A : Matrix n n R
hAps : Splits (RingHom.id R) A.charpoly

⊢ A.det = A.charpoly.roots.prod
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)

⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, f' c = (f b - f a) / (b - a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
c : ℝ
cmem : c ∈ Ioo a b
hc : (b - a) * f' c = (f b - f a) * 1

⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, f' c = (f b - f a) / (b - a)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
c : ℝ
cmem : c ∈ Ioo a b
hc : (b - a) * f' c = (f b - f a) * 1

⊢ f' c = (f b - f a) / (b - a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁵ : MeasurableSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : MeasurableSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f g : X → E
μ : Measure X
s✝ : Set X
hf : LocallyIntegrable f μ
s : Set X
hs : MeasurableSet s
x : X
U : Set X
hU : U ∈ 𝓝 x
h'U : IntegrableOn f U μ

⊢ IntegrableAtFilter (s.indicator f) (𝓝 x) μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/StandardBorel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω✝ : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : CountablyGenerated γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
Ω : Type u_5
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : StandardBorelSpace Ω
η : Kernel α ℝ
a : α
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s

⊢ ((borelMarkovFromReal Ω η) a) s = if (η a) (range (embeddingReal Ω))ᶜ = 0 then (η a) (embeddingReal Ω '' s) else (embeddingReal Ω '' s).indicator 1 (Exists.choose ⋯)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/StandardBorel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω✝ : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : CountablyGenerated γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
Ω : Type u_5
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : StandardBorelSpace Ω
η : Kernel α ℝ
a : α
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω)

⊢ ((borelMarkovFromReal Ω η) a) s = if (η a) (range (embeddingReal Ω))ᶜ = 0 then (η a) (embeddingReal Ω '' s) else (embeddingReal Ω '' s).indicator 1 (Exists.choose ⋯)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/StandardBorel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω✝ : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁶ : CountablyGenerated γ
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω✝
inst✝³ : Nonempty Ω✝
Ω : Type u_5
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : StandardBorelSpace Ω
η : Kernel α ℝ
a : α
s : Set Ω
hs : MeasurableSet s
he : MeasurableEmbedding (embeddingReal Ω)

⊢ (if (η a) (range (embeddingReal Ω))ᶜ = 0 then Measure.comap (embeddingReal Ω) (η a) else Measure.comap (embeddingReal Ω) (Measure.dirac (Exists.choose ⋯))) s = if (η a) (range (embeddingReal Ω))ᶜ = 0 then (η a) (embeddingReal Ω '' s) else (embeddingReal Ω '' s).indicator 1 (Exists.choose ⋯)
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝ : LinearOrder α
a : α

⊢ Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a ≤ b}) ↔ Unbounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.Adj v w
a✝ : V

⊢ a✝ ∈ ((G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ) \ ({w} ∪ {v}) ↔ a✝ ∈ (G.neighborFinset v)ᶜ ∩ (G.neighborFinset w)ᶜ
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
V : Type u
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
v w : V
h : G.Adj v w
a✝ : V

⊢ ¬G.Adj v a✝ → ¬G.Adj w a✝ → ¬(a✝ = w ∨ a✝ = v)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Types.lean
J : Type v
inst✝ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
c : Cone F

⊢ Nonempty (IsLimit c) ↔ Function.Bijective (sectionOfCone c)
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℕ

⊢ (1 / a) ^ n = 1 / a ^ n
-- Mathlib/RingTheory/PowerSeries/Inverse.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
inst✝ : Field k
hX : (Ideal.span {X}).IsMaximal

⊢ LocalRing.maximalIdeal k⟦X⟧ = Ideal.span {X}
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s t : Multiset α

⊢ s ≤ s + t
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ

⊢ (aeval fun i => (map (Int.castRingHom R)) (wittStructureInt p Φ i)) (W_ ℤ n) = (aeval fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ R n)) Φ
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ

⊢ (fun i => (map (Int.castRingHom R)) (wittStructureInt p Φ i)) = fun i => (map (Int.castRingHom R)) (wittStructureInt p Φ i)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/StructurePolynomial.lean
p : ℕ
R : Type u_1
idx : Type u_2
inst✝ : CommRing R
hp : Fact (Nat.Prime p)
Φ : MvPolynomial idx ℤ
n : ℕ

⊢ (fun i => (rename (Prod.mk i)) (W_ R n)) = fun i => (map (Int.castRingHom R)) ((rename (Prod.mk i)) (W_ ℤ n))
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α

⊢ ¬SupPrime a ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, a ≤ b ⊔ c ∧ ¬a ≤ b ∧ ¬a ≤ c
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α

⊢ (¬¬IsMin a ∨ ¬∀ ⦃b c : α⦄, a ≤ b ⊔ c → a ≤ b ∨ a ≤ c) ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, a ≤ b ⊔ c ∧ ¬a ≤ b ∧ ¬a ≤ c
-- Mathlib/Order/Irreducible.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : SemilatticeSup α
a b c : α

⊢ (IsMin a ∨ ∃ b c, a ≤ b ⊔ c ∧ ¬a ≤ b ∧ ¬a ≤ c) ↔ IsMin a ∨ ∃ b c, a ≤ b ⊔ c ∧ ¬a ≤ b ∧ ¬a ≤ c
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
x : α
y : β
r : ℝ
z : α × β

⊢ z ∈ ball x r ×ˢ ball y r ↔ z ∈ ball (x, y) r
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq β
i : β

⊢ i ∈ image Prod.snd (s ×ˢ t) → i ∈ t
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F✝
inst✝¹⁰ : Field E✝
inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
A : Type u_5
inst✝¹ : Field A
inst✝ : Algebra F A
hA : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F A) (minpoly F x)
α : E
φ : E →ₐ[F] A

⊢ F⟮α⟯ = ⊤ ↔ ∀ (ψ : E →ₐ[F] A), φ α = ψ α → φ = ψ
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F✝
inst✝¹⁰ : Field E✝
inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
A : Type u_5
inst✝¹ : Field A
inst✝ : Algebra F A
hA : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F A) (minpoly F x)
α : E
φ : E →ₐ[F] A
h : ∀ (ψ : E →ₐ[F] A), φ α = ψ α → φ = ψ

⊢ finrank (↥F⟮α⟯) E = finrank (↥⊤) E
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F✝
inst✝¹⁰ : Field E✝
inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
A : Type u_5
inst✝¹ : Field A
inst✝ : Algebra F A
hA : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F A) (minpoly F x)
α : E
φ : E →ₐ[F] A
h : ∀ (ψ : E →ₐ[F] A), φ α = ψ α → φ = ψ
this : Algebra (↥F⟮α⟯) A := (φ.comp F⟮α⟯.val).toAlgebra

⊢ finrank (↥F⟮α⟯) E = finrank (↥⊤) E
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F✝
inst✝¹⁰ : Field E✝
inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
A : Type u_5
inst✝¹ : Field A
inst✝ : Algebra F A
hA : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F A) (minpoly F x)
α : E
φ : E →ₐ[F] A
h : ∀ (ψ : E →ₐ[F] A), φ α = ψ α → φ = ψ
this✝ : Algebra (↥F⟮α⟯) A := (φ.comp F⟮α⟯.val).toAlgebra
this : Algebra.IsSeparable (↥F⟮α⟯) E

⊢ finrank (↥F⟮α⟯) E = finrank (↥⊤) E
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F✝
inst✝¹⁰ : Field E✝
inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
A : Type u_5
inst✝¹ : Field A
inst✝ : Algebra F A
hA : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F A) (minpoly F x)
α : E
φ : E →ₐ[F] A
h : ∀ (ψ : E →ₐ[F] A), φ α = ψ α → φ = ψ
this✝ : Algebra (↥F⟮α⟯) A := (φ.comp F⟮α⟯.val).toAlgebra
this : Algebra.IsSeparable (↥F⟮α⟯) E

⊢ ∃ x, ∀ (y : E →ₐ[↥F⟮α⟯] A), y = x
-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : Field F✝
inst✝¹⁰ : Field E✝
inst✝⁹ : Algebra F✝ E✝
inst✝⁸ : FiniteDimensional F✝ E✝
inst✝⁷ : Algebra.IsSeparable F✝ E✝
F : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra F E
inst✝³ : FiniteDimensional F E
inst✝² : Algebra.IsSeparable F E
A : Type u_5
inst✝¹ : Field A
inst✝ : Algebra F A
hA : ∀ (x : E), Splits (algebraMap F A) (minpoly F x)
α : E
φ : E →ₐ[F] A
h : ∀ (ψ : E →ₐ[F] A), φ α = ψ α → φ = ψ
this✝ : Algebra (↥F⟮α⟯) A := (φ.comp F⟮α⟯.val).toAlgebra
this : Algebra.IsSeparable (↥F⟮α⟯) E

⊢ ∀ (x : E), Splits (algebraMap (↥F⟮α⟯) A) (minpoly (↥F⟮α⟯) x)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1✝ : WSeq α
s2✝ : WSeq β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1✝ s2✝
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
s1 : WSeq γ
s2 : WSeq δ
h✝ : (fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) s1 s2
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO S fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) (map f1 s).destruct (map f2 t).destruct
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1✝ : WSeq α
s2✝ : WSeq β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1✝ s2✝
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
s1 : WSeq γ
s2 : WSeq δ
h✝ : (fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) s1 s2
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t

⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO S fun s1 s2 => ∃ s, s1 = map f1 s ∧ ∃ x, s2 = map f2 x ∧ LiftRel R s x) (Computation.map (Option.map (Prod.map f1 (map f1))) s.destruct) (Computation.map (Option.map (Prod.map f2 (map f2))) t.destruct)
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1✝ : WSeq α
s2✝ : WSeq β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1✝ s2✝
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
s1 : WSeq γ
s2 : WSeq δ
h✝ : (fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) s1 s2
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t

⊢ ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)}, LiftRelO R (LiftRel R) a b → LiftRelO S (fun s1 s2 => ∃ s, s1 = map f1 s ∧ ∃ x, s2 = map f2 x ∧ LiftRel R s x) (Option.map (Prod.map f1 (map f1)) a) (Option.map (Prod.map f2 (map f2)) b)
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α

⊢ ¬Monotone f ∧ ¬Antitone f ↔ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι → Type u_3
r : α → α → Prop
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
x y : α

⊢ ((∃ x x_1 h, f x_1 < f x) ∧ ∃ x x_1 h, f x < f x_1) ↔ ∃ a b c, a ≤ b ∧ b ≤ c ∧ (f a < f b ∧ f c < f b ∨ f b < f a ∧ f b < f c)