ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1

⊢ (o.oangle y (y - x)).sin = ‖x‖ / ‖y - x‖
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E

⊢ closure (thickening δ s) = cthickening δ s
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i j : ι
p : B × F

⊢ p ∈ (Z.trivChange i j).source ↔ p.1 ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j
-- Mathlib/Topology/FiberBundle/Basic.lean
ι : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
X : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace B
inst✝ : TopologicalSpace F
Z : FiberBundleCore ι B F
i j : ι
p : B × F

⊢ p.1 ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j ∧ p.2 ∈ univ ↔ p.1 ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M

⊢ MDifferentiableAt I I' f x ↔ ContinuousAt f x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M

⊢ ContinuousAt f x ∧ DifferentiableWithinAtProp I I' (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousAt f x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M

⊢ DifferentiableWithinAtProp I I' (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) univ (↑(chartAt H x) x) ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Defs.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M

⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I' ∘ (↑(chartAt H' (f x)) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x)) ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑I' ∘ ↑(chartAt H' (f x))) ∘ f ∘ ↑(chartAt H x).symm ∘ ↑I.symm) (range ↑I) (↑I (↑(chartAt H x) x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
c : ℂ
R θ : ℝ

⊢ circleMap c R θ ∉ ball c R
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A

⊢ ∀ {x : A}, x ∈ S → x ∈ S ⊔ T
-- Mathlib/Algebra/Star/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type v'
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
inst✝¹⁵ : StarRing R
inst✝¹⁴ : NonUnitalSemiring A
inst✝¹³ : StarRing A
inst✝¹² : Module R A
inst✝¹¹ : IsScalarTower R A A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : StarModule R A
inst✝⁸ : NonUnitalSemiring B
inst✝⁷ : StarRing B
inst✝⁶ : Module R B
inst✝⁵ : IsScalarTower R B B
inst✝⁴ : SMulCommClass R B B
inst✝³ : StarModule R B
inst✝² : FunLike F A B
inst✝¹ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
inst✝ : NonUnitalStarAlgHomClass F R A B
S T : NonUnitalStarSubalgebra R A

⊢ S ≤ S ⊔ T
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s

⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) l ↔ ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l

⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x ∧ IsOpen (U x)
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l

⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)

⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
t : Finset X
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x

⊢ Disjoint (𝓝ˢ s) l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
t : Finset X
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x

⊢ (⋃ x ∈ t, U x)ᶜ ∈ l
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
l : Filter X
hs : IsCompact s
H : ∀ x ∈ s, Disjoint (𝓝 x) l
U : X → Set X
hUl : ∀ x ∈ s, (U x)ᶜ ∈ l
hxU : ∀ x ∈ s, x ∈ U x
hUo : ∀ x ∈ s, IsOpen (U x)
t : Finset X
hts : ∀ x ∈ t, x ∈ s
hst : s ⊆ ⋃ x ∈ t, U x

⊢ ∀ i ∈ t, (U i)ᶜ ∈ l
-- Mathlib/Computability/Language.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l m : Language α
a b x : List α

⊢ a.reverse ∈ l.reverse ↔ a ∈ l
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ

⊢ (fun m => m • Q) u y * Q z ^ 3 = Q y * (fun m => m • Q) u z ^ 3
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ

⊢ ↑u ^ 3 * Q y * Q z ^ 3 = Q y * (↑u * Q z) ^ 3
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
motive : List α → Sort u_2
nil : motive []
singleton : (a : α) → motive [a]
cons_append : (a : α) → (l : List α) → (b : α) → motive l → motive (a :: (l ++ [b]))
a : α
l : List α
b : α

⊢ (match a :: (l ++ [b]) with | [] => nil | [a] => singleton a | a :: b :: l => let l' := (b :: l).dropLast; let b' := (b :: l).getLast ⋯; cast ⋯ (cons_append a l' b' (bidirectionalRec nil singleton cons_append l'))) = cons_append a l b (bidirectionalRec nil singleton cons_append l)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/Basic.lean
n : ℕ

⊢ Gamma (↑n + 1) = ↑n !
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : DecidableEq ι
m : M
p : ι →₀ N
i : ι

⊢ ((finsuppRight R M N ι) (m ⊗ₜ[R] p)) i = m ⊗ₜ[R] p i
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
g : E ≃ₜ E := Homeomorph.addLeft x
t : Set E := ⇑g ⁻¹' s

⊢ #↑s = #E
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
g : E ≃ₜ E := Homeomorph.addLeft x
t : Set E := ⇑g ⁻¹' s
this : t ∈ 𝓝 0

⊢ #↑s = #E
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
g : E ≃ₜ E := Homeomorph.addLeft x
t : Set E := ⇑g ⁻¹' s
this : t ∈ 𝓝 0
A : #↑t = #E

⊢ #↑s = #E
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Cardinality.lean
E : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
s : Set E
x : E
hs : s ∈ 𝓝 x
g : E ≃ₜ E := Homeomorph.addLeft x
t : Set E := ⇑g ⁻¹' s
this : t ∈ 𝓝 0
A : #↑t = #E
B : #↑t = #↑s

⊢ #↑s = #E
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Examples.lean
G : Type u
inst✝¹ : Group G
X : Action FintypeCat (MonCat.of G)
inst✝ : IsConnected X
x y : ↑X.V
T : Set ↑X.V := MulAction.orbit G x
this✝ : Fintype ↑T
this : MulAction G ↑(FintypeCat.of ↑T) := inferInstanceAs (MulAction G ↑(MulAction.orbit G x))
T' : Action FintypeCat (MonCat.of G) := Action.FintypeCat.ofMulAction G (FintypeCat.of ↑T)
i : T' ⟶ X := { hom := Subtype.val, comm := ⋯ }

⊢ ∃ g, g • x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Examples.lean
G : Type u
inst✝¹ : Group G
X : Action FintypeCat (MonCat.of G)
inst✝ : IsConnected X
x y : ↑X.V
T : Set ↑X.V := MulAction.orbit G x
this✝¹ : Fintype ↑T
this✝ : MulAction G ↑(FintypeCat.of ↑T) := inferInstanceAs (MulAction G ↑(MulAction.orbit G x))
T' : Action FintypeCat (MonCat.of G) := Action.FintypeCat.ofMulAction G (FintypeCat.of ↑T)
i : T' ⟶ X := { hom := Subtype.val, comm := ⋯ }
this : Mono i

⊢ ∃ g, g • x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Examples.lean
G : Type u
inst✝¹ : Group G
X : Action FintypeCat (MonCat.of G)
inst✝ : IsConnected X
x y : ↑X.V
T : Set ↑X.V := MulAction.orbit G x
this✝² : Fintype ↑T
this✝¹ : MulAction G ↑(FintypeCat.of ↑T) := inferInstanceAs (MulAction G ↑(MulAction.orbit G x))
T' : Action FintypeCat (MonCat.of G) := Action.FintypeCat.ofMulAction G (FintypeCat.of ↑T)
i : T' ⟶ X := { hom := Subtype.val, comm := ⋯ }
this✝ : Mono i
this : IsIso i

⊢ ∃ g, g • x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Examples.lean
G : Type u
inst✝¹ : Group G
X : Action FintypeCat (MonCat.of G)
inst✝ : IsConnected X
x y : ↑X.V
T : Set ↑X.V := MulAction.orbit G x
this✝² : Fintype ↑T
this✝¹ : MulAction G ↑(FintypeCat.of ↑T) := inferInstanceAs (MulAction G ↑(MulAction.orbit G x))
T' : Action FintypeCat (MonCat.of G) := Action.FintypeCat.ofMulAction G (FintypeCat.of ↑T)
i : T' ⟶ X := { hom := Subtype.val, comm := ⋯ }
this✝ : Mono i
this : IsIso i
hb : Function.Bijective i.hom

⊢ ∃ g, g • x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Examples.lean
G : Type u
inst✝¹ : Group G
X : Action FintypeCat (MonCat.of G)
inst✝ : IsConnected X
x y : ↑X.V
T : Set ↑X.V := MulAction.orbit G x
this✝² : Fintype ↑T
this✝¹ : MulAction G ↑(FintypeCat.of ↑T) := inferInstanceAs (MulAction G ↑(MulAction.orbit G x))
T' : Action FintypeCat (MonCat.of G) := Action.FintypeCat.ofMulAction G (FintypeCat.of ↑T)
i : T' ⟶ X := { hom := Subtype.val, comm := ⋯ }
this✝ : Mono i
this : IsIso i
hb : Function.Bijective i.hom
y' : ↑X.V
g : G
hg : g • x = y'
hy' : y' = y

⊢ ∃ g, g • x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Examples.lean
G : Type u
inst✝¹ : Group G
X : Action FintypeCat (MonCat.of G)
inst✝ : IsConnected X
x y : ↑X.V
T : Set ↑X.V := MulAction.orbit G x
this✝² : Fintype ↑T
this✝¹ : MulAction G ↑(FintypeCat.of ↑T) := inferInstanceAs (MulAction G ↑(MulAction.orbit G x))
T' : Action FintypeCat (MonCat.of G) := Action.FintypeCat.ofMulAction G (FintypeCat.of ↑T)
i : T' ⟶ X := { hom := Subtype.val, comm := ⋯ }
this✝ : Mono i
this : IsIso i
hb : Function.Bijective i.hom
y' : ↑X.V
g : G
hg : g • x = y'
hy' : y' = y

⊢ g • x = y
-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/FixedPoints.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
g h : G
comm : Commute g h

⊢ (fixedBy α g)ᶜ ∈ fixedBy (Set α) h
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E

⊢ fderiv 𝕜 (f ∘ ⇑iso) x = (fderiv 𝕜 f (iso x)).comp ↑iso
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Equiv.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : F → G
x : E

⊢ UniqueDiffWithinAt 𝕜 (⇑iso ⁻¹' univ) x
-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α

⊢ M.E ⊆ M.closure X ↔ M.closure X = M.E
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C

⊢ (MonoidalCategory.leftUnitor (__src✝.obj { as := n })).hom.app X = (MonoidalCategory.whiskerRight h.zero.inv (__src✝.obj { as := n }) ≫ (fun m n => (h.add m.as n.as).inv) (𝟙_ (Discrete A)) { as := n } ≫ __src✝.map (MonoidalCategory.leftUnitor { as := n }).hom).app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
n : A
X : C

⊢ (MonoidalCategory.rightUnitor (__src✝.obj { as := n })).hom.app X = (MonoidalCategory.whiskerLeft (__src✝.obj { as := n }) h.zero.inv ≫ (fun m n => (h.add m.as n.as).inv) { as := n } (𝟙_ (Discrete A)) ≫ __src✝.map (MonoidalCategory.rightUnitor { as := n }).hom).app X
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E

⊢ Orthonormal 𝕜 fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E

⊢ ∀ (i j : ι), ⟪b.repr.symm (lp.single 2 i 1), b.repr.symm (lp.single 2 j 1)⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
i j : ι

⊢ ⟪b.repr.symm (lp.single 2 i 1), b.repr.symm (lp.single 2 j 1)⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
i j : ι

⊢ ⟪1, if h : i = j then ⋯ ▸ 1 else 0⟫_𝕜 = if i = j then 1 else 0
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R

⊢ (fun t => inverse (1 - t)) =O[𝓝 0] fun _t => 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R

⊢ ∃ c, ∃ ε > 0, ∀ ⦃y : R⦄, dist y 0 < ε → ‖inverse (1 - y)‖ ≤ c * ‖1‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
ht : dist t 0 < 2⁻¹

⊢ ‖inverse (1 - t)‖ ≤ (‖1‖ + 1) * ‖1‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
ht : ‖t‖ < 2⁻¹

⊢ ‖inverse (1 - t)‖ ≤ (‖1‖ + 1) * ‖1‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
ht : ‖t‖ < 2⁻¹
ht' : ‖t‖ < 1

⊢ ‖inverse (1 - t)‖ ≤ (‖1‖ + 1) * ‖1‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
ht : ‖t‖ < 2⁻¹
ht' : ‖t‖ < 1

⊢ ‖↑(Units.oneSub t ht')⁻¹‖ ≤ ‖1‖ + 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
ht : ‖t‖ < 2⁻¹
ht' : ‖t‖ < 1

⊢ ‖∑' (n : ℕ), t ^ n‖ ≤ ‖1‖ + 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
ht : ‖t‖ < 2⁻¹
ht' : ‖t‖ < 1
this : ‖∑' (n : ℕ), t ^ n‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖t‖)⁻¹

⊢ ‖∑' (n : ℕ), t ^ n‖ ≤ ‖1‖ + 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/Units.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing R
inst✝ : CompleteSpace R
t : R
ht : ‖t‖ < 2⁻¹
ht' : ‖t‖ < 1
this✝ : ‖∑' (n : ℕ), t ^ n‖ ≤ ‖1‖ - 1 + (1 - ‖t‖)⁻¹
this : (1 - ‖t‖)⁻¹ ≤ 2

⊢ ‖∑' (n : ℕ), t ^ n‖ ≤ ‖1‖ + 1
-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/TerminatedStable.lean
K : Type u_1
g : GenContFract K
n m : ℕ
inst✝ : DivisionRing K
n_le_m : n ≤ m
terminatedAt_n : g.TerminatedAt n

⊢ g.conts m = g.conts n
-- Mathlib/CategoryTheory/DifferentialObject.lean
S : Type u_1
inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasShift C S
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : HasShift D S
F : C ⥤ D
η : shiftFunctor C 1 ⋙ F ⟶ F ⋙ shiftFunctor D 1
hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0
X : DifferentialObject S C

⊢ (F.map X.d ≫ η.app X.obj) ≫ (shiftFunctor D 1).map (F.map X.d ≫ η.app X.obj) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/DifferentialObject.lean
S : Type u_1
inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasShift C S
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : HasShift D S
F : C ⥤ D
η : shiftFunctor C 1 ⋙ F ⟶ F ⋙ shiftFunctor D 1
hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0
X : DifferentialObject S C

⊢ (F.map X.d ≫ η.app X.obj) ≫ (F ⋙ shiftFunctor D 1).map X.d ≫ (shiftFunctor D 1).map (η.app X.obj) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/DifferentialObject.lean
S : Type u_1
inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasShift C S
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : HasShift D S
F : C ⥤ D
η : shiftFunctor C 1 ⋙ F ⟶ F ⋙ shiftFunctor D 1
hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0
X : DifferentialObject S C

⊢ F.map X.d ≫ ((shiftFunctor C 1 ⋙ F).map X.d ≫ η.app ((shiftFunctor C 1).obj X.obj)) ≫ (shiftFunctor D 1).map (η.app X.obj) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/DifferentialObject.lean
S : Type u_1
inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasShift C S
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : HasShift D S
F : C ⥤ D
η : shiftFunctor C 1 ⋙ F ⟶ F ⋙ shiftFunctor D 1
hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0
X : DifferentialObject S C

⊢ F.map X.d ≫ (F.map ((shiftFunctor C 1).map X.d) ≫ η.app ((shiftFunctor C 1).obj X.obj)) ≫ (shiftFunctor D 1).map (η.app X.obj) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/DifferentialObject.lean
S : Type u_1
inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasShift C S
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : HasShift D S
F : C ⥤ D
η : shiftFunctor C 1 ⋙ F ⟶ F ⋙ shiftFunctor D 1
hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0
X : DifferentialObject S C

⊢ (0 ≫ η.app ((shiftFunctor C 1).obj X.obj)) ≫ (shiftFunctor D 1).map (η.app X.obj) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/DifferentialObject.lean
S : Type u_1
inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasShift C S
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : HasShift D S
F : C ⥤ D
η : shiftFunctor C 1 ⋙ F ⟶ F ⋙ shiftFunctor D 1
hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0
X✝ Y✝ : DifferentialObject S C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (F.map X✝.d ≫ η.app X✝.obj) ≫ (shiftFunctor D 1).map (F.map f.f) = F.map f.f ≫ F.map Y✝.d ≫ η.app Y✝.obj
-- Mathlib/CategoryTheory/DifferentialObject.lean
S : Type u_1
inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasShift C S
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : HasShift D S
F : C ⥤ D
η : shiftFunctor C 1 ⋙ F ⟶ F ⋙ shiftFunctor D 1
hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0
X✝ Y✝ : DifferentialObject S C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ F.map X✝.d ≫ (shiftFunctor C 1 ⋙ F).map f.f ≫ η.app Y✝.obj = F.map f.f ≫ F.map Y✝.d ≫ η.app Y✝.obj
-- Mathlib/CategoryTheory/DifferentialObject.lean
S : Type u_1
inst✝⁶ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasShift C S
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
inst✝ : HasShift D S
F : C ⥤ D
η : shiftFunctor C 1 ⋙ F ⟶ F ⋙ shiftFunctor D 1
hF : ∀ (c c' : C), F.map 0 = 0
X✝ Y✝ : DifferentialObject S C
f : X✝ ⟶ Y✝

⊢ (F.map f.f ≫ F.map Y✝.d) ≫ η.app Y✝.obj = F.map f.f ≫ F.map Y✝.d ≫ η.app Y✝.obj
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
m : M

⊢ ‖f m‖ ≤ ‖m‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
m : M

⊢ sInf ((fun m_1 => ‖m + m_1‖) '' ↑f.ker) ≤ ‖m‖
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
m : M

⊢ BddBelow ((fun m_1 => ‖m + m_1‖) '' ↑f.ker)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
m : M

⊢ ‖m‖ ∈ (fun m_1 => ‖m + m_1‖) '' ↑f.ker