ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableDegree.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
f : F[X]
hf : f ≠ 0

⊢ f.natSepDegree = f.natDegree ↔ (f.aroots f.SplittingField).toFinset.card = f.natDegree
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
ha : IsUnit A.det
m n : ℤ

⊢ A ^ (m + n) = A ^ m * A ^ n
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
x : α ⊕ β
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
h₁ : LiftRel r s x y
h₂ : x.isLeft = true

⊢ ∃ a c, r a c ∧ x = inl a ∧ y = inl c
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
w✝ : α
h₁ : LiftRel r s (inl w✝) y
h₂ : (inl w✝).isLeft = true

⊢ ∃ a c, r a c ∧ inl w✝ = inl a ∧ y = inl c
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
r : α → γ → Prop
s : β → δ → Prop
y : γ ⊕ δ
a : α
b : β
c : γ
d : δ
w✝ : α
h₂ : (inl w✝).isLeft = true
h₁ : ∃ a c, r a c ∧ inl w✝ = inl a ∧ y = inl c

⊢ ∃ a c, r a c ∧ inl w✝ = inl a ∧ y = inl c
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Separation.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
inst✝ : T0Space β
f : α → β
h : UniformContinuous f
a : α

⊢ lift' f (mk a) = f a
-- Mathlib/Topology/Order/OrderClosed.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : ClosedIciTopology α
inst✝ : TopologicalSpace β
a b c : α
f : α → β
h : a < b

⊢ ContinuousWithinAt f (Ico a b) a ↔ ContinuousWithinAt f (Ici a) a
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
z : ℂ
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hz_re : z.re ≤ 0
hz_im : 0 ≤ z.im

⊢ ‖f z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : (z * I).re ≤ 0
hz_im : 0 ≤ (z * I).im

⊢ ‖f (z * I)‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.im
hz_im : 0 ≤ z.re

⊢ ‖f (z * I)‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.im
hz_im : 0 ≤ z.re
H : MapsTo (fun x => x * I) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
c : ℝ
hc : c < 2
B : ℝ
hO : f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

⊢ ‖(f ∘ fun x => x * I) z‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.im
hz_im : 0 ≤ z.re
H : MapsTo (fun x => x * I) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
c : ℝ
hc : c < 2
B : ℝ
hO : f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)

⊢ (f ∘ fun x => x * I) =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
a b C : ℝ
f g : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
hre : ∀ x ≤ 0, ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
z : ℂ
hz_re : 0 ≤ z.im
hz_im : 0 ≤ z.re
H : MapsTo (fun x => x * I) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)
c : ℝ
hc : c < 2
B : ℝ
hO : f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Iio 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * Complex.abs z ^ c)
x : ℝ
hx : 0 ≤ x

⊢ ‖(f ∘ fun x => x * I) (↑x * I)‖ ≤ C
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} E
X Y✝ : GradedObject J C
e : X ≅ Y✝
F : C ⥤ D ⥤ E
j : J
Y : D

⊢ (F.map (e.inv j)).app Y ≫ (F.map (e.hom j)).app Y = 𝟙 ((F.obj (Y✝ j)).obj Y)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLinearEquiv.lean
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (i : n), 0 < ∑ j : n, A i j

⊢ A.det ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLinearEquiv.lean
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (i : n), 0 < ∑ j : n, A i j

⊢ Aᵀ.det ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLinearEquiv.lean
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (i : n), 0 < ∑ j : n, A i j

⊢ Pairwise fun i j => Aᵀ i j < 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLinearEquiv.lean
n : Type u_1
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
S : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedCommRing S
A : Matrix n n S
h1 : Pairwise fun i j => A i j < 0
h2 : ∀ (i : n), 0 < ∑ j : n, A i j

⊢ ∀ (j : n), 0 < ∑ i : n, Aᵀ i j
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0

⊢ (p * q).trailingDegree = p.trailingDegree + q.trailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0

⊢ (p * q).trailingDegree = p.trailingDegree + q.trailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0

⊢ (p * q).trailingDegree = p.trailingDegree + q.trailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0

⊢ (p * q).trailingDegree ≤ p.trailingDegree + q.trailingDegree
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0

⊢ (p * q).trailingDegree ≤ ↑(p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/TrailingDegree.lean
R : Type u
S : Type v
a b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
h : p.trailingCoeff * q.trailingCoeff ≠ 0
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0

⊢ (p * q).coeff (p.natTrailingDegree + q.natTrailingDegree) ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M

⊢ (⨆ i, p i).toAddSubmonoid = ⨆ i, (p i).toAddSubmonoid
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x : M

⊢ x ∈ (⨆ i, p i).toAddSubmonoid → x ∈ ⨆ i, (p i).toAddSubmonoid
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x : M

⊢ x ∈ span R (⋃ i, ↑(p i)) → x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x : M
hx : x ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))

⊢ x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝¹ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
x : M
hx : x ∈ ⋃ i, ↑(p i)

⊢ x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x : M
hx : x ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))

⊢ 0 ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝¹ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
x y : M
hx : x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
hy : y ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))

⊢ x + y ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S : Type u_7
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
x✝¹ : M
p✝ p' : Submodule R M
inst✝⁴ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
r : R
x : M
hx : x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))

⊢ r • x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
f : α → β
l : Filter β
p : α → Prop
s : Set α

⊢ (∃ᶠ (a : α) in comap f l, p a) ↔ ∃ᶠ (b : β) in l, ∃ a, f a = b ∧ p a
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α

⊢ ⊥ᶜ = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp' : ¬p = ⊤

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp' : ¬p = ⊤
x : α
hx : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop < ⊤

⊢ liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp' : ¬p = ⊤
x : α
hx : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop < ⊤
hppos : 0 < p.toReal

⊢ liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp' : ¬p = ⊤
x : α
hx : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop < ⊤
hppos : 0 < p.toReal
this : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop = liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal

⊢ liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp' : ¬p = ⊤
x : α
hx : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal < ⊤
hppos : 0 < p.toReal
this : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop = liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal

⊢ liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : MeasurableSpace E
inst✝ : OpensMeasurableSpace E
R : ℝ≥0
p : ℝ≥0∞
hp : p ≠ 0
f : ℕ → α → E
hfmeas : ∀ (n : ℕ), Measurable (f n)
hbdd : ∀ (n : ℕ), eLpNorm (f n) p μ ≤ ↑R
hp' : ¬p = ⊤
x : α
hx : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal < ⊤
hppos : 0 < p.toReal
this : liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊ ^ p.toReal) atTop = liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal

⊢ (liminf (fun n => ↑‖f n x‖₊) atTop ^ p.toReal) ^ p.toReal⁻¹ < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ s → Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
n : ℕ

⊢ μ (s ∩ ⋂ j, notConvergentSeq f g n j) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0

⊢ μ (s ∩ ⋂ j, notConvergentSeq f g n j) = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0

⊢ μ (s ∩ ⋂ j, notConvergentSeq f g n j) ≤ μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0
x : α

⊢ x ∈ s ∩ ⋂ j, notConvergentSeq f g n j → x ∈ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0
x : α

⊢ (x ∈ s ∧ ∀ (i : ι), ∃ k ≥ i, 1 / (↑n + 1) < dist (f k x) (g x)) → x ∈ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0
x : α
hmem : x ∈ s
hx : ∀ (i : ι), ∃ k ≥ i, 1 / (↑n + 1) < dist (f k x) (g x)

⊢ x ∈ {a | a ∈ s ∧ ∃ ε > 0, ∀ (N : ι), ∃ n ≥ N, ε ≤ dist (f n a) (g a)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Egorov.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
inst✝² : MetricSpace β
μ : Measure α
n✝ : ℕ
i j : ι
s : Set α
ε : ℝ
f : ι → α → β
g : α → β
inst✝¹ : SemilatticeSup ι
inst✝ : Nonempty ι
n : ℕ
hfg : μ {a | ¬(a ∈ s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (f n a) (g a) < ε)} = 0
x : α
hmem : x ∈ s
hx : ∀ (i : ι), ∃ k ≥ i, 1 / (↑n + 1) < dist (f k x) (g x)
N : ι

⊢ ∃ n_1 ≥ N, 1 / (↑n + 1) ≤ dist (f n_1 x) (g x)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝¹ n✝ a✝ n : ℕ
a b : ZMod (n + 1)

⊢ (a + b).valMinAbs.natAbs ≤ (a.valMinAbs + b.valMinAbs).natAbs
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝¹ n✝ a✝ n : ℕ
a b : ZMod (n + 1)

⊢ ↑(a + b).valMinAbs = ↑(a.valMinAbs + b.valMinAbs)
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
m n✝¹ n✝ a✝ n : ℕ
a b : ZMod (n + 1)

⊢ (a + b).valMinAbs.natAbs ≤ n.succ / 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
x : α

⊢ Pairwise (Disjoint on fun g => g • fundamentalInterior G s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
x : α
a b : G
hab : a ≠ b

⊢ ∀ ⦃a_1 : α⦄, a_1 ∈ (fun g => g • fundamentalInterior G s) a → a_1 ∉ (fun g => g • fundamentalInterior G s) b
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
x✝ : α
a b : G
hab : a ≠ b
x : α
hx : x ∈ fundamentalInterior G s
y : α
hy : y ∈ fundamentalInterior G s
hxy : (fun x => b • x) y = (fun x => a • x) x

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
x✝ : α
a b : G
hab : a ≠ b
x : α
hx : x ∈ s ∧ ∀ (g : G), g ≠ 1 → x ∉ g • s
y : α
hy : y ∈ s ∧ ∀ (g : G), g ≠ 1 → y ∉ g • s
hxy : (fun x => b • x) y = (fun x => a • x) x

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
x✝ : α
a b : G
hab : a ≠ b
x : α
hx : x ∈ s ∧ ∀ (g : G), g ≠ 1 → x ∉ g • s
y : α
hy : y ∈ s ∧ ∀ (g : G), g ≠ 1 → y ∉ g • s
hxy : (fun x => b • x) y = (fun x => a • x) x

⊢ a⁻¹ * b ≠ 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝¹ : Group G
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
x✝ : α
a b : G
hab : a ≠ b
x : α
hx : x ∈ s ∧ ∀ (g : G), g ≠ 1 → x ∉ g • s
y : α
hy : y ∈ s ∧ ∀ (g : G), g ≠ 1 → y ∉ g • s
hxy : (fun x => b • x) y = (fun x => a • x) x

⊢ x ∈ (a⁻¹ * b) • s
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/DirichletLSeries.lean
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re

⊢ HasProd (fun p => (1 - χ ↑↑p * ↑↑p ^ (-s))⁻¹) (L (fun n => χ ↑n) s)
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/DirichletLSeries.lean
s : ℂ
N : ℕ
χ : DirichletCharacter ℂ N
hs : 1 < s.re

⊢ HasProd (fun p => (1 - χ ↑↑p * ↑↑p ^ (-s))⁻¹) (∑' (n : ℕ), (dirichletSummandHom χ ⋯) n)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝⁴ : CommRing α
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
A : Matrix m m α
inst✝ : Invertible A
h : A⁻¹.IsHermitian

⊢ A.IsHermitian
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Hermitian.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
A✝ : Matrix n n α
inst✝⁴ : CommRing α
inst✝³ : StarRing α
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : DecidableEq m
A : Matrix m m α
inst✝ : Invertible A
h : A⁻¹.IsHermitian

⊢ A⁻¹⁻¹.IsHermitian
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

⊢ Ioc a₁ b₁ ∩ Ioc a₂ b₂ = Ioc (a₁ ⊔ a₂) (b₁ ⊓ b₂)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α

⊢ Ioi a₁ ∩ Iic b₁ ∩ (Ioi a₂ ∩ Iic b₂) = Ioi a₁ ∩ Ioi a₂ ∩ (Iic b₁ ∩ Iic b₂)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommSemiring α
a✝ b✝ c a b : α

⊢ (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 * a * b + b ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Semiring R
p✝ : R[X]
r : R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝⁵ : NonAssocSemiring S
inst✝⁴ : Module R S
inst✝³ : IsScalarTower R S S
inst✝² : SMulCommClass R S S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : NatPowAssoc S
x : S

⊢ (p * X).smeval x = p.smeval x * x
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
h : a ≠ b

⊢ {a, b}.ncard = 2
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
a b : α
h : a ≠ b

⊢ a ∉ {b}
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
hIX : I ⊆ X

⊢ (M.restrictSubtype X).Indep (X ↓∩ I) ↔ M.Indep I
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E✝ I✝ s : Set α
M✝ : Matroid α
N : Matroid β
E X I : Set α
M : Matroid α
hIX : I ⊆ X

⊢ I ⊆ range Subtype.val
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
C : ℝ≥0∞
hC : C ≠ ⊤
f : ℕ → α
hu : ∀ (n : ℕ), edist (f n) (f (n + 1)) ≤ C / 2 ^ n
a : α
ha : Tendsto f atTop (𝓝 a)

⊢ edist (f 0) a ≤ 2 * C
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α

⊢ IsUnit s ↔ ∃ a, s = {a}
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
f g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
inst✝ : ContinuousMul α
s t : Set β
hs : Disjoint s t
ha : HasProd (f ∘ Subtype.val) a
hb : HasProd (f ∘ Subtype.val) b

⊢ HasProd (f ∘ Subtype.val) (a * b)