ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
G' : Type u_7
G'' : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup G''
inst✝² : NormedSpace ℝ G''
inst✝¹ : NormedLatticeAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace ℝ G'
T T' : Set α → E →L[ℝ] G''
hTT' : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : E), (T s) x ≤ (T' s) x
f : α →ₛ E
hf : Integrable (↑f) μ
i : E
x✝ : i ∈ f.range

⊢ (T (↑f ⁻¹' {i})) i ≤ (T' (↑f ⁻¹' {i})) i
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β : Type v
f : ℕ → α → β → β
b : β
as : List α

⊢ foldrIdx f b as = foldr (uncurry f) b as.enum
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
i j : Fin f.natDegree

⊢ (Finsupp.comapDomain Fin.val (h.modByMonicHom (h.root ^ ↑i)).toFinsupp ⋯) j = (Finsupp.single i 1) j
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
i j : Fin f.natDegree

⊢ (X ^ ↑i).toFinsupp ↑j = (Finsupp.single i 1) j
-- Mathlib/RingTheory/IsAdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Ring S
f : R[X]
inst✝ : Algebra R S
h : IsAdjoinRootMonic S f
i j : Fin f.natDegree

⊢ ↑i < f.natDegree
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Exponential.lean
a : Ordinal.{u_1}

⊢ 0 ^ a = 1 - a
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

⊢ ⟪x, y⟫_ℝ * ⟪x, y⟫_ℝ ≤ ‖⟪x, y⟫_ℝ‖ * ‖⟪y, x⟫_ℝ‖
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F

⊢ ⟪y, x⟫_ℝ * ⟪y, x⟫_ℝ ≤ ‖⟪y, x⟫_ℝ * ⟪y, x⟫_ℝ‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N✝ : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N✝
inst✝³ : TopologicalSpace N✝
v✝ : VectorMeasure α M
w✝ : VectorMeasure α N✝
N : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : TopologicalAddGroup N
v : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
h : v ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑(-w) s = 0

⊢ ↑v s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
L : Type u_3
M : Type u_4
N✝ : Type u_5
inst✝⁸ : AddCommMonoid L
inst✝⁷ : TopologicalSpace L
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
inst✝⁴ : AddCommMonoid N✝
inst✝³ : TopologicalSpace N✝
v✝ : VectorMeasure α M
w✝ : VectorMeasure α N✝
N : Type u_6
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : TopologicalAddGroup N
v : VectorMeasure α M
w : VectorMeasure α N
h : v ≪ᵥ w
s : Set α
hs : ↑w s = 0

⊢ ↑v s = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : α → Prop
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ

⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ.withDensity f, p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict {x | f x ≠ 0}, p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : α → Prop
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ

⊢ (∀ᵐ (x : α) ∂μ, f x ≠ 0 → p x) ↔ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ {x | f x ≠ 0} → p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : α → Prop
f : α → ℝ≥0∞
hf : AEMeasurable f μ

⊢ NullMeasurableSet {x | f x ≠ 0} μ
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f✝ : β → α
t : Finset γ
hs : s.Nonempty
ht : t.Nonempty
f : β → γ → α
a : α

⊢ (s.sup' hs fun b => t.sup' ht (f b)) ≤ a ↔ (t.sup' ht fun c => s.sup' hs fun b => f b c) ≤ a
-- Mathlib/Computability/NFA.lean
α : Type u
σ σ' : Type v
M : NFA α σ
x : List α

⊢ x ∈ M.accepts ↔ ∃ S ∈ M.accept, S ∈ M.evalFrom M.start x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f

⊢ HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g) = g
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f

⊢ ∀ (x : ↑((extendScalars f).obj X)), (HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) x = g x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
z : ↑((extendScalars f).obj X)

⊢ (HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) z = g z
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f

⊢ (HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) 0 = g 0
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))
s : ↑X

⊢ (HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) (x ⊗ₜ[R] s) = g (x ⊗ₜ[R] s)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : (extendScalars f).obj X ⟶ Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
z1 z2 : ↑((restrictScalars f).obj (mk S)) ⊗[R] ↑X
ih1 : (HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) z1 = g z1
ih2 : (HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) z2 = g z2

⊢ (HomEquiv.fromExtendScalars f (HomEquiv.toRestrictScalars f g)) (z1 + z2) = g (z1 + z2)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f

⊢ HomEquiv.toRestrictScalars f (HomEquiv.fromExtendScalars f g) = g
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f

⊢ ∀ (x : ↑X), (HomEquiv.toRestrictScalars f (HomEquiv.fromExtendScalars f g)) x = g x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x : ↑X

⊢ (HomEquiv.toRestrictScalars f (HomEquiv.fromExtendScalars f g)) x = g x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x : ↑X

⊢ ({ toFun := fun s => HomEquiv.evalAt f s g, map_add' := ⋯ } 1).toAddHom x = g x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R ↑Y := Module.compHom (↑Y) f
x : ↑X

⊢ 1 • g x = g x
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

⊢ ((latticeBasis K).repr ((mixedEmbedding K) x)) i = ↑(((integralBasis K).repr x) i)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

⊢ ((Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ⟨(mixedEmbedding K) x, ⋯⟩) i = ((integralBasis K).repr x) i
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
f : K →ₗ[ℚ] ↥(Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) := LinearMap.codRestrict (Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) (mixedEmbedding K).toRatAlgHom.toLinearMap ⋯

⊢ ((Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ⟨(mixedEmbedding K) x, ⋯⟩) i = ((integralBasis K).repr x) i
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
f : K →ₗ[ℚ] ↥(Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) := LinearMap.codRestrict (Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) (mixedEmbedding K).toRatAlgHom.toLinearMap ⋯

⊢ ↑(Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ∘ₗ f = ↑(integralBasis K).repr
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i✝ : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
f : K →ₗ[ℚ] ↥(Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) := LinearMap.codRestrict (Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) (mixedEmbedding K).toRatAlgHom.toLinearMap ⋯
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

⊢ (↑(Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ∘ₗ f) ((integralBasis K) i) = ↑(integralBasis K).repr ((integralBasis K) i)
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
x : K
i✝ : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
f : K →ₗ[ℚ] ↥(Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) := LinearMap.codRestrict (Submodule.span ℚ (Set.range ⇑(latticeBasis K))) (mixedEmbedding K).toRatAlgHom.toLinearMap ⋯
i : ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)
this : f ((integralBasis K) i) = (Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)) i

⊢ (↑(Basis.restrictScalars ℚ (latticeBasis K)).repr ∘ₗ f) ((integralBasis K) i) = ↑(integralBasis K).repr ((integralBasis K) i)
-- Mathlib/Data/Set/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l : List α
f : α → β

⊢ range (map f) = {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f}
-- Mathlib/Data/Set/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ : List α
f : α → β
l : List β
hl : l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f}

⊢ l ∈ range (map f)
-- Mathlib/Data/Set/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ : List α
f : α → β
a : β
l : List β
ihl : l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f} → l ∈ range (map f)
hl : a :: l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f}

⊢ a :: l ∈ range (map f)
-- Mathlib/Data/Set/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ : List α
f : α → β
a : β
l : List α
ihl : map f l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f} → map f l ∈ range (map f)
hl : a :: map f l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f}

⊢ a :: map f l ∈ range (map f)
-- Mathlib/Data/Set/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ : List α
f : α → β
l : List α
ihl : map f l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f} → map f l ∈ range (map f)
a : α
hl : f a :: map f l ∈ {l | ∀ x ∈ l, x ∈ range f}

⊢ f a :: map f l ∈ range (map f)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)

⊢ Measurable (uncurry u)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))

⊢ Measurable (uncurry u)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2

⊢ Measurable (uncurry u)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)

⊢ Measurable (uncurry u)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ

⊢ Measurable (U n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ
h_meas : Measurable fun p => u (↑p.1) p.2

⊢ Measurable (U n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ
h_meas : Measurable fun p => u (↑p.1) p.2
this : (fun p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2)

⊢ Measurable (U n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ
h_meas : Measurable fun p => u (↑p.1) p.2
this : (fun p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2)

⊢ Measurable ((fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι✝
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : MetrizableSpace ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : SecondCountableTopology ι
inst✝³ : OpensMeasurableSpace ι
mβ : MeasurableSpace β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : PseudoMetrizableSpace β
inst✝ : BorelSpace β
m : MeasurableSpace α
u : ι → α → β
hu_cont : ∀ (x : α), Continuous fun i => u i x
h : ∀ (i : ι), Measurable (u i)
t_sf : ℕ → ι →ₛ ι
ht_sf : ∀ (j : ι) (x : α), Tendsto (fun n => u (↑(t_sf n) j) x) atTop (𝓝 (u j x))
U : ℕ → ι × α → β := fun n p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2
h_tendsto : Tendsto U atTop (𝓝 fun p => u p.1 p.2)
n : ℕ
h_meas : Measurable fun p => u (↑p.1) p.2
this : (fun p => u (↑(t_sf n) p.1) p.2) = (fun p => u (↑p.1) p.2) ∘ fun p => (⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩, p.2)

⊢ Measurable fun p => ⟨↑(t_sf n) p.1, ⋯⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SpecialLinearGroup.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
v : Fin 2 → R
hab : IsCoprime (v 0) (v 1)
A : SL(2, R)

⊢ IsCoprime ((↑A *ᵥ v) 0) ((↑A *ᵥ v) 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Triangularizable.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

⊢ p ⊓ ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⨆ μ, ⨆ k, p ⊓ (f.genEigenspace μ) k
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Triangularizable.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

⊢ p ⊓ ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k = ⨆ μ, p ⊓ ⨆ i, (f.genEigenspace μ) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Triangularizable.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module K V
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
m : V
hm : m ∈ p ⊓ ⨆ μ, ⨆ k, (f.genEigenspace μ) k

⊢ m ∈ ⨆ μ, p ⊓ ⨆ i, (f.genEigenspace μ) i
-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Monoidal.lean
I : Type u
inst✝²⁵ : AddMonoid I
C : Type u_1
inst✝²⁴ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝²³ : MonoidalCategory C
X₁ X₂ X₃ X₄ : GradedObject I C
inst✝²² : X₁.HasTensor X₂
inst✝²¹ : X₂.HasTensor X₃
inst✝²⁰ : X₃.HasTensor X₄
inst✝¹⁹ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor X₃
inst✝¹⁸ : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ X₃)
inst✝¹⁷ : (tensorObj X₂ X₃).HasTensor X₄
inst✝¹⁶ : X₂.HasTensor (tensorObj X₃ X₄)
inst✝¹⁵ : (tensorObj (tensorObj X₁ X₂) X₃).HasTensor X₄
inst✝¹⁴ : (tensorObj X₁ (tensorObj X₂ X₃)).HasTensor X₄
inst✝¹³ : X₁.HasTensor (tensorObj (tensorObj X₂ X₃) X₄)
inst✝¹² : X₁.HasTensor (tensorObj X₂ (tensorObj X₃ X₄))
inst✝¹¹ : (tensorObj X₁ X₂).HasTensor (tensorObj X₃ X₄)
inst✝¹⁰ : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ X₃
inst✝⁹ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ X₃
inst✝⁸ : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor (tensorObj X₂ X₃) X₄
inst✝⁷ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ (tensorObj X₂ X₃) X₄
inst✝⁶ : X₂.HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄
inst✝⁵ : X₂.HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄
inst✝⁴ : (tensorObj X₁ X₂).HasGoodTensor₁₂Tensor X₃ X₄
inst✝³ : (tensorObj X₁ X₂).HasGoodTensorTensor₂₃ X₃ X₄
inst✝² : X₁.HasGoodTensor₁₂Tensor X₂ (tensorObj X₃ X₄)
inst✝¹ : X₁.HasGoodTensorTensor₂₃ X₂ (tensorObj X₃ X₄)
inst✝ : X₁.HasTensor₄ObjExt X₂ X₃ X₄

⊢ tensorHom (associator X₁ X₂ X₃).hom (𝟙 X₄) ≫ (associator X₁ (tensorObj X₂ X₃) X₄).hom ≫ tensorHom (𝟙 X₁) (associator X₂ X₃ X₄).hom = (associator (tensorObj X₁ X₂) X₃ X₄).hom ≫ (associator X₁ X₂ (tensorObj X₃ X₄)).hom
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K

⊢ |re z| ≤ ‖z‖
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K

⊢ re z * re z ≤ normSq z
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/FieldDivision.lean
R : Type u
S : Type v
k : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Field R
p q : R[X]
inst✝ : Field k
f : R →+* k

⊢ IsUnit (map f p) ↔ IsUnit p
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (n + 1)
hj₁ : n + 1 ≤ ↑j + (q + 1)

⊢ (φ ≫ (𝟙 (X _[n + 1]) + (Hσ q).f (n + 1))) ≫ X.δ j.succ = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (n + 1)
hj₁ : n + 1 ≤ ↑j + (q + 1)

⊢ φ ≫ X.δ j.succ + (φ ≫ (Hσ q).f (n + 1)) ≫ X.δ j.succ = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Faces.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
Y : C
n q : ℕ
φ : Y ⟶ X _[n + 1]
v : HigherFacesVanish q φ
j : Fin (n + 1)
hj₁ : n + 1 ≤ ↑j + (q + 1)
hqn : ¬n < q

⊢ φ ≫ X.δ j.succ + (φ ≫ (Hσ q).f (n + 1)) ≫ X.δ j.succ = 0