ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Card.lean
α : Type u
s : Set (Set α)
i✝ i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
IH : ∀ (y : (Quotient.out (aleph 1).ord).α), (Quotient.out (aleph 1).ord).r y i → #↑(generateMeasurableRec s y) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
A : ℵ₀ ≤ aleph 1
B : aleph 1 ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
C : ℵ₀ ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
J : #↑(⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀

⊢ #↑(range fun f => ⋃ n, ↑(f n)) ≤ max (#↑s) 2 ^ ℵ₀
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI✝ : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hI : ¬I = 0

⊢ (dual A K I)⁻¹ ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI✝ : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hI : ¬I = 0

⊢ (dual A K I)⁻¹ = (fun J => J * (dual A K I)⁻¹) ((fun x => I * x) I⁻¹)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI✝ : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
hI : ¬I = 0

⊢ I = (fun J => J * (dual A K I)⁻¹) ((fun x => I * x) (dual A K I))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Infsep.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
d : ℝ
hs : s.Nontrivial

⊢ d ≤ s.infsep ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, x ≠ y → d ≤ dist x y
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ

⊢ ↑n + 1 = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝¹ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
n : ℕ
F : Discrete (Fin n) ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
f : Fin n → C := F.obj ∘ Discrete.mk

⊢ IsUniversalColimit c
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝³ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝¹ : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝ : FinitaryPreExtensive C
n : ℕ
F : Discrete (Fin n) ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
f : Fin n → C := F.obj ∘ Discrete.mk
this : F = Discrete.functor f

⊢ IsUniversalColimit c
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Basic.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y X : C
s : Cone (Functor.empty C)
P : IsLimit s
t : BinaryFan X s.pt
Q : IsLimit t

⊢ t.fst ≫ Q.lift (mk (𝟙 X) (P.lift { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } })) = 𝟙 t.pt
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/OfChosenFiniteProducts/Basic.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y X : C
s : Cone (Functor.empty C)
P : IsLimit s
t : BinaryFan X s.pt
Q : IsLimit t

⊢ ∀ (j : Discrete WalkingPair), (t.fst ≫ Q.lift (mk (𝟙 X) (P.lift { pt := X, π := { app := fun x => x.as.elim, naturality := ⋯ } }))) ≫ t.π.app j = 𝟙 t.pt ≫ t.π.app j
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
H : G.Subgraph
c : H.coe.ConnectedComponent
hw : w ∈ H.verts
hadj : H.Adj v w
w✝ : ↑H.verts
h : w✝ ∈ ↑c ∧ ↑w✝ = v

⊢ w ∈ Subtype.val '' ↑c
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
H : G.Subgraph
c : H.coe.ConnectedComponent
hw : w ∈ H.verts
hadj : H.Adj v w
w✝ : ↑H.verts
h : w✝ ∈ ↑c ∧ ↑w✝ = v

⊢ ⟨w, hw⟩ ∈ ↑c ∧ ↑⟨w, hw⟩ = w
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
v w : V
H : G.Subgraph
c : H.coe.ConnectedComponent
hw : w ∈ H.verts
hadj : H.Adj v w
w✝ : ↑H.verts
h : w✝ ∈ ↑c ∧ ↑w✝ = v

⊢ ⟨w, hw⟩ ∈ ↑(H.coe.connectedComponentMk w✝) ∧ ↑⟨w, hw⟩ = w
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α

⊢ (thickenedIndicator δ_pos E) x ≤ 1
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ThickenedIndicator.lean
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α

⊢ (ENNReal.toNNReal ∘ thickenedIndicatorAux δ E) x ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
hdiff : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, derivWithin f (Icc a b) x = 0

⊢ ∀ x ∈ Icc a b, f x = f a
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → E
a b : ℝ
hdiff : DifferentiableOn ℝ f (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, derivWithin f (Icc a b) x = 0
H : ∀ x ∈ Ico a b, ‖derivWithin f (Icc a b) x‖ ≤ 0

⊢ ∀ x ∈ Icc a b, f x = f a
-- Mathlib/RingTheory/SurjectiveOnStalks.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f

⊢ f.SurjectiveOnStalks ↔ Function.Surjective ⇑f
-- Mathlib/RingTheory/SurjectiveOnStalks.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f
H : f.SurjectiveOnStalks
x : S

⊢ ∃ a, f a = x
-- Mathlib/RingTheory/SurjectiveOnStalks.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f
H : f.SurjectiveOnStalks
x : S
y r : R
c : S
hc : c ∉ LocalRing.maximalIdeal S
hr : f r ∉ LocalRing.maximalIdeal S
e : c * f r * x = c * f y

⊢ ∃ a, f a = x
-- Mathlib/RingTheory/SurjectiveOnStalks.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f
H : f.SurjectiveOnStalks
x : S
y r : R
c : S
e : c * f r * x = c * f y
hc : IsUnit c
hr : IsUnit (f r)

⊢ ∃ a, f a = x
-- Mathlib/RingTheory/SurjectiveOnStalks.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f
H : f.SurjectiveOnStalks
x : S
y r : R
c : S
e : c * f r * x = c * f y
hc : IsUnit c
hr : IsUnit (f r)

⊢ f (↑⋯.unit⁻¹ * y) = x
-- Mathlib/RingTheory/SurjectiveOnStalks.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f
H : f.SurjectiveOnStalks
x : S
y r : R
c : S
e : c * f r * x = c * f y
hc : IsUnit c
hr : IsUnit (f r)

⊢ (fun x => f r * x) (f (↑⋯.unit⁻¹ * y)) = (fun x => f r * x) x
-- Mathlib/RingTheory/SurjectiveOnStalks.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing T
inst✝⁴ : Algebra R T
inst✝³ : Algebra S T
inst✝² : IsScalarTower R S T
g : S →+* T
f : R →+* S
inst✝¹ : LocalRing S
inst✝ : IsLocalRingHom f
H : f.SurjectiveOnStalks
x : S
y r : R
c : S
e : c * f r * x = c * f y
hc : IsUnit c
hr : IsUnit (f r)

⊢ (fun x => c * x) ((fun x => f r * x) (f (↑⋯.unit⁻¹ * y))) = (fun x => c * x) ((fun x => f r * x) x)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b : ℝ
f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)

⊢ f ∈ (polynomialFunctions (Set.Icc a b)).topologicalClosure
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Weierstrass.lean
a b : ℝ
f : C(↑(Set.Icc a b), ℝ)

⊢ f ∈ ⊤
-- Mathlib/Probability/ProbabilityMassFunction/Monad.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
f : α → PMF β
g : β → PMF γ
b : β

⊢ b ∈ (p.bind f).support ↔ ∃ a ∈ p.support, b ∈ (f a).support
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
P : R[X]
r : R

⊢ eval r ((expand R p) P) = eval (r ^ p) P
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p✝ q p : ℕ
P : R[X]
r : R
f g : R[X]
hf : eval r ((expand R p) f) = eval (r ^ p) f
hg : eval r ((expand R p) g) = eval (r ^ p) g

⊢ eval r ((expand R p) (f + g)) = eval (r ^ p) (f + g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
M : Type u_2
β : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁹ : MeasurableSpace M
inst✝⁸ : MeasurableSpace β
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M β
inst✝⁵ : MeasurableSMul M β
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
f : α → β
μ : Measure α
G : Type u_5
inst✝³ : Group G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MulAction G β
inst✝ : MeasurableSMul G β
c : G
h : Measurable fun x => c • f x

⊢ Measurable f
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : I ⊔ J = ⊤

⊢ I * K ⊔ J = K ⊔ J
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : J ⊔ I = ⊤

⊢ I * K ⊔ J = K ⊔ J
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u

⊢ (λ_ ((free R).obj X)).hom = (ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u

⊢ (TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom = (TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u

⊢ ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 = ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)) 1
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u

⊢ ∀ (a : X), ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle a = ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle a
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x : X

⊢ ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x = ((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x : X

⊢ (((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = (((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x : X

⊢ ∀ (a : X), ((((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ (λ_ ((free R).obj X)).hom) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1) a = ((((TensorProduct.mk R ↑(𝟙_ (ModuleCat R)) ↑((free R).obj X)).compr₂ ((ε R ⊗ 𝟙 ((free R).obj X)) ≫ (μ R (𝟙_ (Type u)) X).hom ≫ map (free R).obj (λ_ X).hom)) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1) a
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Adjunctions.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x x' : X
q : X →₀ R := (λ_ (of R (X →₀ R))).hom (1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single x 1)

⊢ q x' = (Finsupp.mapDomain (λ_ X).hom ((finsuppTensorFinsupp' R (𝟙_ (Type u)) X) (Finsupp.single PUnit.unit 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single x 1))) x'
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)

⊢ s.points i = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (pointWeightsWithCircumcenter i)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)

⊢ s.pointsWithCircumcenter (pointIndex i) = (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (pointWeightsWithCircumcenter i)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)

⊢ (affineCombination ℝ univ s.pointsWithCircumcenter) (pointWeightsWithCircumcenter i) = s.pointsWithCircumcenter (pointIndex i)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
i : Fin (n + 1)

⊢ ∀ i2 ∈ univ, i2 ≠ pointIndex i → pointWeightsWithCircumcenter i i2 = 0
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : OpenEmbedding f
l : Filter Z
x : X

⊢ Tendsto (g ∘ f) (𝓝 x) l ↔ Tendsto g (𝓝 (f x)) l
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hf : OpenEmbedding f
l : Filter Z
x : X

⊢ map g (𝓝 (f x)) ≤ l ↔ Tendsto g (𝓝 (f x)) l
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
s : Finset β
H : s.Nonempty
f : β → α

⊢ ↑(s.sup' H f) = s.sup (WithBot.some ∘ f)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/JacobiTheta/Bounds.lean
k : ℕ
a : ℝ
ha : a ≤ 1
t : ℝ
n : ℕ
this : ↑(Int.negSucc n) + a = -(↑n + (1 - a))

⊢ f_int k a t (Int.negSucc n) = f_nat k (1 - a) t n
-- Mathlib/Data/TypeVec.lean
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
α' : TypeVec.{u_2} (n + 1)
f f' : α.drop ⟹ α'.drop
g g' : α.last → α'.last
H : splitFun f g = splitFun f' g'

⊢ f = f' ∧ g = g'
-- Mathlib/Data/TypeVec.lean
n : ℕ
α : TypeVec.{u_1} (n + 1)
α' : TypeVec.{u_2} (n + 1)
f f' : α.drop ⟹ α'.drop
g g' : α.last → α'.last
H : splitFun f g = splitFun f' g'

⊢ dropFun (splitFun f' g') = f' ∧ lastFun (splitFun f' g') = g'
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : X → ℝ≥0
f_meas : Measurable f
g : X → E
s : Set X
hs : MeasurableSet s

⊢ (∫ (x : X) in s, g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X) in s, f x • g x ∂μ
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a ≤ b
hb : 0 ≤ b

⊢ a * b⁻¹ ≤ 1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommSemiring S
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : NonUnitalSemiring A
inst✝¹¹ : Module R A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra S B
inst✝⁶ : Algebra S R
inst✝⁵ : DistribMulAction S A
inst✝⁴ : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : Algebra R C
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F (Unitization R A) B
inst✝ : AlgHomClass F S (Unitization R A) B
φ ψ : F
h : ∀ (a : A), φ ↑a = ψ ↑a
h' : ∀ (r : R), φ ((algebraMap R (Unitization R A)) r) = ψ ((algebraMap R (Unitization R A)) r)

⊢ φ = ψ
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommSemiring S
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : NonUnitalSemiring A
inst✝¹¹ : Module R A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra S B
inst✝⁶ : Algebra S R
inst✝⁵ : DistribMulAction S A
inst✝⁴ : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : Algebra R C
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F (Unitization R A) B
inst✝ : AlgHomClass F S (Unitization R A) B
φ ψ : F
h : ∀ (a : A), φ ↑a = ψ ↑a
h' : ∀ (r : R), φ ((algebraMap R (Unitization R A)) r) = ψ ((algebraMap R (Unitization R A)) r)
x : Unitization R A

⊢ φ x = ψ x
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Unitization.lean
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommSemiring S
inst✝¹³ : CommSemiring R
inst✝¹² : NonUnitalSemiring A
inst✝¹¹ : Module R A
inst✝¹⁰ : SMulCommClass R A A
inst✝⁹ : IsScalarTower R A A
B : Type u_4
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra S B
inst✝⁶ : Algebra S R
inst✝⁵ : DistribMulAction S A
inst✝⁴ : IsScalarTower S R A
C : Type u_5
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : Algebra R C
F : Type u_6
inst✝¹ : FunLike F (Unitization R A) B
inst✝ : AlgHomClass F S (Unitization R A) B
φ ψ : F
h : ∀ (a : A), φ ↑a = ψ ↑a
h' : ∀ (r : R), φ ((algebraMap R (Unitization R A)) r) = ψ ((algebraMap R (Unitization R A)) r)
r✝ : R
a✝ : A

⊢ φ (inl r✝ + ↑a✝) = ψ (inl r✝ + ↑a✝)
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : DecidableEq ι
inst✝⁴ : AddMonoid ι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ι → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
a : ⨁ (i : ι), ↥(𝒜 i)
i : ι

⊢ (proj 𝒜 i) ((decompose 𝒜).symm a) = (decompose 𝒜).symm ((of (fun i => ↥(𝒜 i)) i) (a i))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r

⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r

⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r

⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r

⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
C : {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s \ {x}] x ⊔ 𝓝[{x}] x

⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
C : {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s] x ∧ {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[{x}] x

⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
C : {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s] x ∧ {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[{x}] x

⊢ ∀ (a : ℝ), ‖(a - x)⁻¹ • (f a - f x)‖ ∈ Iio r → ‖a - x‖⁻¹ * ‖f a - f x‖ < r
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
C : {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s] x ∧ {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[{x}] x

⊢ ∀ (a : ℝ), ‖a - x‖⁻¹ * ‖f a - f x‖ < r → ‖a - x‖⁻¹ * ‖f a - f x‖ < r
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
x : Subobject X

⊢ (pullback (𝟙 X)).obj x = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Subobject/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
X Y Z : C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝ : HasPullbacks C
f : MonoOver X

⊢ (pullback (𝟙 X)).obj (Quotient.mk'' f) = Quotient.mk'' f
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
hx : d x ≠ 0

⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y / d y) ((c' * d x - c x * d') / d x ^ 2) s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Inv.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
c d : 𝕜 → 𝕜'
c' d' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' s x
hd : HasDerivWithinAt d d' s x
hx : d x ≠ 0

⊢ (fun y => c y / d y) = fun y => c y * ((fun y => y⁻¹) ∘ d) y