ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : ι → Submodule R M
hp : Independent p

⊢ lift.{v, w} #{ i // p i ≠ ⊥ } ≤ lift.{v, w} ↑(finrank R M)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p₁ p₂ : P
v : V

⊢ v ∈ vectorSpan k {p₁, p₂} ↔ ∃ r, r • (p₂ -ᵥ p₁) = v
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
X✝ Y✝ : Augmented C
η : X✝ ⟶ Y✝

⊢ η.left ≫ Y✝.hom.app [0] = X✝.hom.app [0] ≫ η.right.app [0]
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
X✝ Y✝ : Augmented C
η : X✝ ⟶ Y✝

⊢ η.left ≫ Y✝.hom.app [0] = (X✝.hom ≫ η.right).app [0]
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SimplicialObject.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
X✝ Y✝ : Augmented C
η : X✝ ⟶ Y✝

⊢ η.left ≫ Y✝.hom.app [0] = ((const C).map η.left ≫ Y✝.hom).app [0]
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : MulOneClass α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α
h : a < a * b

⊢ a * 1 < a * b
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

⊢ (∀ (m : ℕ), m < n + 1 → p m) ↔ (∀ (m : ℕ), m < n → p m) ∧ p n
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
h₁ : autoParam (∀ i ∈ s, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
h₂ : autoParam (∀ i ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝

⊢ limsup (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f = s.sup' hs fun i => limsup (F i) f
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
h₁ : autoParam (∀ i ∈ s, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
h₂ : autoParam (∀ i ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
bddsup : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup' hs fun i => F i a

⊢ limsup (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f = s.sup' hs fun i => limsup (F i) f
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
h₁ : autoParam (∀ i ∈ s, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
h₂ : autoParam (∀ i ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
bddsup : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup' hs fun i => F i a

⊢ limsup (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f ≤ s.sup' hs fun i => limsup (F i) f
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
f : Filter α
F : ι → α → β
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
h₁ : autoParam (∀ i ∈ s, IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
h₂ : autoParam (∀ i ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (F i)) _auto✝
bddsup : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f fun a => s.sup' hs fun i => F i a

⊢ (s.sup' hs fun i => limsup (F i) f) ≤ limsup (fun a => s.sup' hs fun i => F i a) f
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
compactlyGenerated : ∀ (s : Set Y), IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set Y⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)

⊢ IsProperMap f ↔ Continuous f ∧ Tendsto f (cocompact X) (cocompact Y)
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
compactlyGenerated : ∀ (s : Set Y), IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set Y⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)

⊢ (Continuous f ∧ ∀ ⦃K : Set Y⦄, IsCompact K → IsCompact (f ⁻¹' K)) ↔ Continuous f ∧ ∀ (i : Set Y), IsCompact i → (f ⁻¹' i)ᶜ ∈ cocompact X
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
compactlyGenerated : ∀ (s : Set Y), IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set Y⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
f_cont : Continuous f
H : ∀ (i : Set Y), IsCompact i → (f ⁻¹' i)ᶜ ∈ cocompact X
K : Set Y
hK : IsCompact K

⊢ IsCompact (f ⁻¹' K)
-- Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
W : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
inst✝¹ : TopologicalSpace W
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝ : T2Space Y
compactlyGenerated : ∀ (s : Set Y), IsClosed s ↔ ∀ ⦃K : Set Y⦄, IsCompact K → IsClosed (s ∩ K)
f_cont : Continuous f
H : ∀ (i : Set Y), IsCompact i → (f ⁻¹' i)ᶜ ∈ cocompact X
K : Set Y
hK : IsCompact K
K' : Set X
hK' : IsCompact K'
hK'y : K'ᶜ ⊆ (f ⁻¹' K)ᶜ

⊢ IsCompact (f ⁻¹' K)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Geometric.lean
p : ℝ
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1

⊢ 0 ≤ (1 - p) ^ n * p
-- Mathlib/Probability/Distributions/Geometric.lean
p : ℝ
n : ℕ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1
this : 0 ≤ 1 - p

⊢ 0 ≤ (1 - p) ^ n * p
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x✝ y z : X
s✝ : Set X
f g : X → Y
t s : Set (SeparationQuotient X)
x : X

⊢ Filter.map mk (𝓝[mk ⁻¹' s] x) = 𝓝[s] mk x
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
z : ℤ

⊢ ¬z * z % ↑4 = 2 % ↑4
-- Mathlib/NumberTheory/PythagoreanTriples.lean
z : ℤ

⊢ ¬↑(z * z) = ↑2
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ s'✝ : Cycle α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
hs : s.Nodup
hs' : s'.Nodup

⊢ s.formPerm hs = s'.formPerm hs' ↔ s = s' ∨ s.Subsingleton ∧ s'.Subsingleton
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ s'✝ : Cycle α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
hs : s.Nodup
hs' : s'.Nodup

⊢ s.formPerm hs = s'.formPerm hs' ↔ s = s' ∨ s.length ≤ 1 ∧ s'.length ≤ 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ s'✝ : Cycle α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α

⊢ ∀ {hs : s.Nodup} {hs' : s'.Nodup}, s.formPerm hs = s'.formPerm hs' ↔ s = s' ∨ s.length ≤ 1 ∧ s'.length ≤ 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ s'✝ : Cycle α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α

⊢ ∀ (a₁ a₂ : List α) {hs : Nodup (Quotient.mk'' a₁)} {hs' : Nodup (Quotient.mk'' a₂)}, formPerm (Quotient.mk'' a₁) hs = formPerm (Quotient.mk'' a₂) hs' ↔ Quotient.mk'' a₁ = Quotient.mk'' a₂ ∨ length (Quotient.mk'' a₁) ≤ 1 ∧ length (Quotient.mk'' a₂) ≤ 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ s'✝ : Cycle α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
l l' : List α

⊢ ∀ {hs : Nodup (Quotient.mk'' l)} {hs' : Nodup (Quotient.mk'' l')}, formPerm (Quotient.mk'' l) hs = formPerm (Quotient.mk'' l') hs' ↔ Quotient.mk'' l = Quotient.mk'' l' ∨ length (Quotient.mk'' l) ≤ 1 ∧ length (Quotient.mk'' l') ≤ 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ s'✝ : Cycle α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
l l' : List α

⊢ ∀ {hs : l.Nodup} {hs' : l'.Nodup}, l.formPerm = l'.formPerm ↔ l ~r l' ∨ l.length ≤ 1 ∧ l'.length ≤ 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ s'✝ : Cycle α✝
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s s' : Cycle α
l l' : List α
hs : l.Nodup
hs' : l'.Nodup

⊢ l.formPerm = l'.formPerm ↔ l ~r l' ∨ l.length ≤ 1 ∧ l'.length ≤ 1
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : Odd n
a : K
ha : ∀ (p : ℕ), Nat.Prime p → p ∣ n → ∀ (b : K), b ^ p ≠ a

⊢ Irreducible (X ^ n - C a)
-- Mathlib/CategoryTheory/EpiMono.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
X Y : C
f : X ⟶ Y
sm : SplitMono f
F : C ⥤ D

⊢ F.map f ≫ F.map sm.retraction = 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝ : Set X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
hs : IsCompact s
t : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t i)
hst : s ∩ ⋂ i, t i = ∅
hdt : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t

⊢ s ⊆ ⋃ i, (compl ∘ t) i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t✝¹ : Set X
ι : Type v
hι : Nonempty ι
hs : IsCompact s
t✝ : ι → Set X
htc : ∀ (i : ι), IsClosed (t✝ i)
hst : s ∩ ⋂ i, t✝ i = ∅
hdt : Directed (fun x x_1 => x ⊇ x_1) t✝
t : ι
ht : s ⊆ (compl ∘ t✝) t

⊢ s ∩ t✝ t = ∅
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝ : CompleteLattice α
f : Filter β
u : β → α

⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) f u
-- Mathlib/Order/LiminfLimsup.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
α : Type u_6
f : Filter α
inst✝⁴ : f.NeBot
R : Type u_7
inst✝³ : Preorder R
κ : Type u_8
inst✝² : AddCommMonoid R
inst✝¹ : CovariantClass R R (fun a b => a + b) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass R R (fun a b => b + a) fun x x_1 => x ≤ x_1
u : κ → α → R
s : Finset κ

⊢ (∀ k ∈ s, IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (u k)) → IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) f (∑ k ∈ s, u k)
-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Functoriality.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u_4
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
T : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup T
inst✝ : Module (AdicCompletion I R) T
f g : AdicCompletion I M →ₗ[AdicCompletion I R] T
h : ∀ (a : AdicCauchySequence I M), f ((mk I M) a) = g ((mk I M) a)
x : AdicCompletion I M

⊢ f x = g x
-- Mathlib/NumberTheory/PrimeCounting.lean
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

⊢ π' (k + n) ≤ (filter Prime (range k)).card + (filter Prime (Ico k (k + n))).card
-- Mathlib/NumberTheory/PrimeCounting.lean
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

⊢ (filter Prime (Ico 0 k) ∪ filter Prime (Ico k (k + n))).card ≤ (filter Prime (Ico 0 k)).card + (filter Prime (Ico k (k + n))).card
-- Mathlib/NumberTheory/PrimeCounting.lean
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

⊢ (filter Prime (range k)).card + (filter Prime (Ico k (k + n))).card ≤ π' k + (filter Prime (Ico k (k + n))).card
-- Mathlib/NumberTheory/PrimeCounting.lean
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

⊢ π' k + (filter Prime (Ico k (k + n))).card ≤ π' k + (filter a.Coprime (Ico k (k + n))).card
-- Mathlib/NumberTheory/PrimeCounting.lean
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

⊢ filter Prime (Ico k (k + n)) ⊆ filter a.Coprime (Ico k (k + n))
-- Mathlib/NumberTheory/PrimeCounting.lean
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

⊢ ∀ ⦃x : ℕ⦄, k ≤ x → x < k + n → Prime x → (k ≤ x ∧ x < k + n) ∧ a.Coprime x
-- Mathlib/NumberTheory/PrimeCounting.lean
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

⊢ π' k + (filter a.Coprime (Ico k (k + n))).card ≤ π' k + φ a * (n / a + 1)
-- Mathlib/NumberTheory/PrimeCounting.lean
a k : ℕ
h0 : 0 < a
h1 : a < k
n : ℕ

⊢ (filter a.Coprime (Ico k (k + n))).card ≤ φ a * (n / a + 1)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P

⊢ orthogonalProjectionFn s p ∈ mk' p s.directionᗮ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p : P

⊢ ↑s ∩ ↑(mk' p s.directionᗮ) ⊆ ↑(mk' p s.directionᗮ)
-- Mathlib/Data/Nat/Periodic.lean
n a : ℕ
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
pp : Periodic p a

⊢ card (filter p (Ico n (n + a))) = count p a
-- Mathlib/Data/Nat/Periodic.lean
n a : ℕ
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
pp : Periodic p a

⊢ Multiset.count True (map p (Ico n (n + a))) = Multiset.count True (map (p ∘ fun x => x % a) (Ico n (n + a)))
-- Mathlib/Data/Nat/Periodic.lean
n a : ℕ
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
pp : Periodic p a

⊢ p = p ∘ fun x => x % a
-- Mathlib/Data/Nat/Periodic.lean
n✝ a : ℕ
p : ℕ → Prop
inst✝ : DecidablePred p
pp : Periodic p a
n : ℕ

⊢ p n = (p ∘ fun x => x % a) n
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
α✝ β✝ : Type u_1
a✝¹ : α✝ → PGame
a✝ : β✝ → PGame
o : (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).Numeric
j : (PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).RightMoves

⊢ ((PGame.mk α✝ β✝ a✝¹ a✝).moveRight j).Numeric
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Taylor.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
r : R
f : R[X]

⊢ (taylor r) X = X + C r
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type v
G : Type u
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
n : ℕ
m : M
a : α

⊢ m ^ (n + period m a) • a = m ^ n • a
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s t u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
hns : n ≤ s.card

⊢ ∃ t ⊆ s, t.card = n
-- Mathlib/Data/Matrix/Basis.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
i j : n
c : α
i' j' : n
inst✝ : Fintype n
a : n
M : Matrix n n α

⊢ (M * stdBasisMatrix i j c) a j = M a i * c
-- Mathlib/Algebra/Group/Center.lean
M : Type u_1
S T : Set M
a✝ b✝ c : M
inst✝ : Mul M
h : IsMulCentral c
a b : M

⊢ a * b * c = a * c * b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
t : R[T;T⁻¹] := T 1
t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)
p : R[T;T⁻¹] := ((scalar n) t - M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
q : R[T;T⁻¹] := (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det

⊢ M.charpoly.reverse = M.charpolyRev
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
t : R[T;T⁻¹] := T 1
t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)
p : R[T;T⁻¹] := ((scalar n) t - M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
q : R[T;T⁻¹] := (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
ht : t_inv * t = 1

⊢ M.charpoly.reverse = M.charpolyRev
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
t : R[T;T⁻¹] := T 1
t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)
p : R[T;T⁻¹] := ((scalar n) t - M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
q : R[T;T⁻¹] := (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
ht : t_inv * t = 1
hp : toLaurentAlg M.charpoly = p

⊢ M.charpoly.reverse = M.charpolyRev
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
t : R[T;T⁻¹] := T 1
t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)
p : R[T;T⁻¹] := ((scalar n) t - M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
q : R[T;T⁻¹] := (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
ht : t_inv * t = 1
hp : toLaurentAlg M.charpoly = p
hq : toLaurentAlg M.charpolyRev = q

⊢ M.charpoly.reverse = M.charpolyRev
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
t : R[T;T⁻¹] := T 1
t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)
p : R[T;T⁻¹] := ((scalar n) t - M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
q : R[T;T⁻¹] := (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
ht : t_inv * t = 1
hp : toLaurentAlg M.charpoly = p
hq : toLaurentAlg M.charpolyRev = q

⊢ t_inv ^ Fintype.card n * p = invert q
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
n G : Type v
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
α β : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
p✝ : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p✝)
M : Matrix n n R
a✝ : Nontrivial R
t : R[T;T⁻¹] := T 1
t_inv : R[T;T⁻¹] := T (-1)
p : R[T;T⁻¹] := ((scalar n) t - M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
q : R[T;T⁻¹] := (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det
ht : t_inv * t = 1
hp : toLaurentAlg M.charpoly = p
hq : toLaurentAlg M.charpolyRev = q

⊢ (1 - t_inv • M.map ⇑LaurentPolynomial.C).det = (invert.mapMatrix (1 - (scalar n) t * M.map ⇑LaurentPolynomial.C)).det
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)

⊢ fourierCoeffOn hab f n = (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)

⊢ (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x = (1 / (b - a)) • ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x = ∫ (x : ℝ) in a..b, (fourier (-n)) ↑x • f x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)

⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x ∂volume = ∫ (x : ℝ) in Ioc a b, (fourier (-n)) ↑x • f x ∂volume
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc a b

⊢ (fourier (-n)) ↑x • liftIoc (b - a) a f ↑x = (fourier (-n)) ↑x • f x
-- Mathlib/Analysis/Fourier/AddCircle.lean
T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
a b : ℝ
f : ℝ → E
n : ℤ
hab : a < b
this : Fact (0 < b - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Ioc a b

⊢ x ∈ Ioc a (a + (b - a))
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : CoheytingAlgebra α
a b c : α

⊢ ￢a ≤ b ↔ Codisjoint a b
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
h : r < infEdist x s

⊢ Disjoint (closedBall x r) s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
h : r < infEdist x s

⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ closedBall x r → a ∉ s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y✝ : α
s t : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
h : r < infEdist x s
y : α
hy : y ∈ closedBall x r
h'y : y ∈ s

⊢ False
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y✝ : α
s t : Set α
Φ : α → β
r : ℝ≥0∞
h : r < infEdist x s
y : α
hy : y ∈ closedBall x r
h'y : y ∈ s

⊢ infEdist x s < infEdist x s
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Eval.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x : S

⊢ eval₂ f 0 p = f (p.coeff 0)
-- Mathlib/Data/Option/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
p : Option α → Prop

⊢ (∃ x, x ≠ none ∧ p x) ↔ ∃ x, p (some x)
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝³ : DecidableEq I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : K.HasTotal c₁₂
inst✝ : L.HasTotal c₁₂

⊢ map (𝟙 K) c₁₂ = 𝟙 (K.total c₁₂)
-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝³ : DecidableEq I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : K.HasTotal c₁₂
inst✝ : L.HasTotal c₁₂

⊢ (HomologicalComplex.forget C c₁₂).map (map (𝟙 K) c₁₂) = (HomologicalComplex.forget C c₁₂).map (𝟙 (K.total c₁₂))
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ x : ℝ

⊢ taylorWithinEval f (n + 1) s x₀ x = taylorWithinEval f n s x₀ x + (((↑n + 1) * ↑n !)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ x : ℝ

⊢ (PolynomialModule.eval x) (taylorWithin f n s x₀) + (PolynomialModule.eval (Polynomial.eval x (Polynomial.X - Polynomial.C x₀))) ((PolynomialModule.single ℝ (n + 1)) (taylorCoeffWithin f (n + 1) s x₀)) = (PolynomialModule.eval x) (taylorWithin f n s x₀) + (((↑n + 1) * ↑n !)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ x : ℝ

⊢ (PolynomialModule.eval (Polynomial.eval x (Polynomial.X - Polynomial.C x₀))) ((PolynomialModule.single ℝ (n + 1)) (taylorCoeffWithin f (n + 1) s x₀)) = (((↑n + 1) * ↑n !)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ x : ℝ

⊢ (x - x₀) ^ (n + 1) • taylorCoeffWithin f (n + 1) s x₀ = ((↑n !)⁻¹ * (↑n + 1)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Taylor.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
n : ℕ
s : Set ℝ
x₀ x : ℝ

⊢ (x - x₀) ^ (n + 1) • (↑(n + 1)!)⁻¹ • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀ = ((↑n !)⁻¹ * (↑n + 1)⁻¹ * (x - x₀) ^ (n + 1)) • iteratedDerivWithin (n + 1) f s x₀
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Bounded.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddGroup α
f : α → E
inst✝ : One E
hf : HasCompactMulSupport f

⊢ ∃ R, 0 < R ∧ ∀ (x : α), R ≤ ‖x‖ → f x = 1