ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁸ : Fintype n
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
inst✝ : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
x : R
i✝ j✝ : n

⊢ (toMatrix v₁ v₁) (DistribMulAction.toLinearMap R M₁ x) i✝ j✝ = Matrix.diagonal (fun x_1 => x) i✝ j✝
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Series.lean
z : ℂ

⊢ HasSum (fun n => z ^ (2 * n + 1) / ↑(2 * n + 1)!) (sinh z)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/AssociatedPrime.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
J : Ideal R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
M' : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
x : M
hI : (Submodule.span R {x}).annihilator.IsPrime

⊢ ⊤.annihilator ≤ (Submodule.span R {x}).annihilator
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : HasAntidiagonal A
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : A → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
h : Summable fun x => f x.1 * g x.2

⊢ Summable fun n => ∑ kl ∈ antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : HasAntidiagonal A
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : A → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
h : Summable fun x => f (↑x.snd).1 * g (↑x.snd).2

⊢ Summable fun n => ∑ kl ∈ antidiagonal n, f kl.1 * g kl.2
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : AddCommMonoid A
inst✝⁴ : HasAntidiagonal A
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring α
f g : A → α
inst✝¹ : T3Space α
inst✝ : TopologicalSemiring α
h : Summable fun x => f (↑x.snd).1 * g (↑x.snd).2

⊢ Summable fun x => ∑' (b : ↑↑(antidiagonal x)), f (↑b).1 * g (↑b).2
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s t✝ : Set α
a : α
hs : s.Finite
ht : t✝.Finite
t : Finset α

⊢ hs.toFinset ⊂ t ↔ s ⊂ ↑t
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
i✝ : Fin (0 + 1)

⊢ (s.face ⋯).points i✝ = (mkOfPoint k (s.points i)).points i✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
i : Fin (n + 1)
i✝ : Fin (0 + 1)

⊢ s.points (({i}.orderEmbOfFin ⋯) i✝) = s.points i
-- Mathlib/Algebra/Group/Int.lean
u v m n : ℤ

⊢ Even (n + 1) ↔ ¬Even n
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x : ℝ
h1 : 0 < x
h2 : x < 1
H : 0 < 1 - (1 + x + x ^ 2) * (1 - x)

⊢ rexp x < 1 / (1 - x)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
hι : Cardinal.lift.{v, u} #ι < (lsub f).cof
hf : ∀ (i : ι), f i < lsub f

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
f g : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
hg : Memℒp (↑g) p μ

⊢ toLp (f - g) ⋯ = toLp f hf - toLp g hg
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/ZeroMorphisms.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
i : X ≅ 0
Z : C
g h : Z ⟶ X
x✝ : g ≫ f = h ≫ f

⊢ g = h
-- Mathlib/GroupTheory/Subgroup/Saturated.lean
A₁ : Type u_1
A₂ : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup A₁
inst✝¹ : AddCommGroup A₂
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℕ A₂
f : A₁ →+ A₂
n : ℕ
g : A₁
hg : n • g ∈ f.ker

⊢ n = 0 ∨ g ∈ f.ker
-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : CauSeq β abv
hf : f ≈ g

⊢ -f ≈ -g
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E

⊢ IntegrableAtFilter f (map e l) (Measure.map e μ) ↔ IntegrableAtFilter (f ∘ e) l μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegrableOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f✝ g : α → E
s t : Set α
μ ν : Measure α
l l' : Filter α
inst✝ : MeasurableSpace β
e : α → β
he : MeasurableEmbedding e
f : β → E

⊢ (∃ s ∈ map e l, IntegrableOn (f ∘ e) (e ⁻¹' s) μ) ↔ ∃ s ∈ l, IntegrableOn (f ∘ e) s μ
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ

⊢ m.Coprime n ↔ IsRelPrime m n
-- Mathlib/Data/Nat/GCD/Basic.lean
m n : ℕ

⊢ m.gcd n = 1 ↔ ∀ ⦃d : ℕ⦄, d ∣ m.gcd n → d ∣ 1
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/BigOperators.lean
R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommSemiring R
f : ι → R[X]
t : Multiset R[X]

⊢ (∏ i ∈ s, f i).natDegree ≤ ∑ i ∈ s, (f i).natDegree
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁸ : CompleteSpace A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a b : A
hb : autoParam (IsSelfAdjoint b) _auto✝

⊢ star a * b * a ≤ ‖b‖ • (star a * a)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁸ : CompleteSpace A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a b : A
hb : autoParam (IsSelfAdjoint b) _auto✝

⊢ ∀ (a b : Unitization ℂ A), IsSelfAdjoint b → star a * b * a ≤ ‖b‖ • (star a * a)
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Order.lean
A : Type u_1
inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁸ : CompleteSpace A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a✝ b✝ : A
hb✝ : autoParam (IsSelfAdjoint b✝) _auto✝
a b : Unitization ℂ A
hb : IsSelfAdjoint b

⊢ star a * b * a ≤ ‖b‖ • (star a * a)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : R
hx : x ≠ 0

⊢ v.intValuationDef x ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x : R
hx : x ≠ 0

⊢ ↑(ofAdd (-↑((Associates.mk v.asIdeal).count (Associates.mk (Ideal.span {x})).factors))) ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝ : α → β
f : Bool → Measure α

⊢ sum f = f true + f false
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
hs : IsOpen s₂

⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ f₂ s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (deriv f₂) s₂
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
hs : IsOpen s₂

⊢ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (derivWithin f₂ s₂) s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (deriv f₂) s₂
-- Mathlib/Order/Monotone/Basic.lean
ι✝ : Type u_1
α✝ : Type u
β✝ : Type v
γ : Type w
δ : Type u_2
π : ι✝ → Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
ι : Type u_4
α : Type u_5
β : ι → Type u_6
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (β i)
inst✝ : Preorder α
f : α → (i : ι) → β i

⊢ Antitone f ↔ ∀ (i : ι), Antitone fun x => f x i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype n
inst✝⁹ : Fintype m
inst✝⁸ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : Module R M₁
inst✝⁴ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
M₃ : Type u_7
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
v₃ : Basis l R M₃
inst✝¹ : Finite l
inst✝ : DecidableEq m
f : M₂ →ₗ[R] M₃
g : M₁ →ₗ[R] M₂

⊢ (toMatrix v₁ v₃) (f ∘ₗ g) = (toMatrix v₂ v₃) f * (toMatrix v₁ v₂) g
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Arg.lean
a x z✝ z : ℂ

⊢ z.arg = 0 ↔ 0 ≤ z
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
n : ℕ

⊢ hurwitzZetaEven a (-2 * (↑n + 1)) = 0
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle
n : ℕ
this : -2 * (↑n + 1) ≠ 0

⊢ hurwitzZetaEven a (-2 * (↑n + 1)) = 0
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Tendsto u atTop (𝓝 l)

⊢ Tendsto (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 l)
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Tendsto u atTop (𝓝 l)

⊢ (fun x => (↑x)⁻¹ • ∑ i ∈ range x, u i - l) =o[atTop] fun _x => 1
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Tendsto u atTop (𝓝 l)
this : (fun n => ∑ i ∈ range n, (u i - l)) =o[atTop] fun n => ↑n

⊢ (fun x => (↑x)⁻¹ • ∑ i ∈ range x, u i - l) =o[atTop] fun _x => 1
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Tendsto u atTop (𝓝 l)
this : (fun n => ∑ i ∈ range n, (u i - l)) =o[atTop] fun n => ↑n

⊢ (fun x => (↑x)⁻¹ • ∑ i ∈ range x, (u i - l)) =ᶠ[atTop] fun x => (↑x)⁻¹ • ∑ i ∈ range x, u i - l
-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/SpecificAsymptotics.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
u : ℕ → E
l : E
h : Tendsto u atTop (𝓝 l)
this : (fun n => ∑ i ∈ range n, (u i - l)) =o[atTop] fun n => ↑n

⊢ (fun x => (↑x)⁻¹ • ↑x) =ᶠ[atTop] fun _x => 1
-- Mathlib/Data/Int/Order/Units.lean
u : ℤˣ

⊢ u * u = 1
-- Mathlib/Data/Finset/Union.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s₁ s₂ : Finset α
t t₁ t₂ : α → Finset β
inst✝ : DecidableEq β
b : β

⊢ b ∈ s.biUnion t ↔ ∃ a ∈ s, b ∈ t a
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁✝ l₂✝ : List α
a b : α
l₁ l₂ l₃ : List α
h₁ : Chain' R (l₁ ++ l₂)
h₂ : Chain' R (l₂ ++ l₃)
hn : l₂ ≠ []

⊢ ∀ (x : α), x ∈ (l₁ ++ l₂).getLast? → ∀ (y : α), y ∈ l₃.head? → R x y
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a : Associates α
x : Associates α
ndvd : ¬a * x ∣ a

⊢ ¬IsUnit x
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
a : Associates α
x : Associates α
ndvd : IsUnit x

⊢ a * x ∣ a
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Preserves/Shapes/Pullbacks.lean
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
h : W ⟶ X
k : W ⟶ Y
comm : h ≫ f = k ≫ g
inst✝² : PreservesLimit (cospan f g) G
inst✝¹ : HasPullback f g
inst✝ : HasPullback (G.map f) (G.map g)

⊢ (iso G f g).inv ≫ G.map (pullback.snd f g) = pullback.snd (G.map f) (G.map g)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : Valued K Γ₀

⊢ Continuous ⇑v
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : Valued K Γ₀

⊢ ∀ (x : K), ContinuousAt (⇑v) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : Valued K Γ₀
x : K

⊢ ContinuousAt (⇑v) x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : Valued K Γ₀

⊢ ContinuousAt (⇑v) 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuedField.lean
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : Valued K Γ₀
x : K
h : x ≠ 0

⊢ ContinuousAt (⇑v) x
-- Mathlib/NumberTheory/Multiplicity.lean
R : Type u_1
n✝ : ℕ
inst✝² : CommRing R
a b x✝ y✝ : R
p✝ : ℕ
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
p : R
hp : Prime p
x y : R
hxy : p ∣ x - y
hx : ¬p ∣ x
n : ℕ
hn : ¬p ∣ ↑n

⊢ multiplicity p (x ^ n - y ^ n) = multiplicity p (x - y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
f : α → β

⊢ UniformEmbedding f ↔ Function.Injective f ∧ UniformContinuous f ∧ ∀ δ > 0, ∃ ε > 0, ∀ {a b : α}, dist (f a) (f b) < ε → dist a b < δ
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/NonUnital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝¹² : CommSemiring R
inst✝¹¹ : Nontrivial R
inst✝¹⁰ : StarRing R
inst✝⁹ : MetricSpace R
inst✝⁸ : TopologicalSemiring R
inst✝⁷ : ContinuousStar R
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Module R A
inst✝² : IsScalarTower R A A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝
hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝
hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ σₙ R (cfcₙ f a) = f '' σₙ R a
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
m n : PosNum

⊢ n.cmp m = Ordering.lt ↔ m.cmp n = Ordering.gt
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
m n : PosNum

⊢ (m.cmp n).swap = Ordering.lt ↔ m.cmp n = Ordering.gt
-- Mathlib/Analysis/SumOverResidueClass.lean
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
k : ZMod m

⊢ Summable ({n | ↑n = k}.indicator f) ↔ Summable f
-- Mathlib/Analysis/SumOverResidueClass.lean
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
k : ZMod m
H : Summable ({n | ↑n = k}.indicator f)

⊢ Summable f
-- Mathlib/Analysis/SumOverResidueClass.lean
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
k : ZMod m
H : Summable ({n | ↑n = k}.indicator f)

⊢ Summable (∑ a : ZMod m, {n | ↑n = a}.indicator f)
-- Mathlib/Analysis/SumOverResidueClass.lean
m : ℕ
inst✝ : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
k : ZMod m
H : Summable ({n | ↑n = k}.indicator f)
x✝ : ℕ

⊢ (∑ a : ZMod m, {n | ↑n = a}.indicator f) x✝ = ∑ i : ZMod m, {n | ↑n = i}.indicator f x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
M : (Matrix n n R)[X]
r : R

⊢ (matPolyEquiv.symm M).map (eval r) = eval ((scalar n) r) M
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Charpoly/Coeff.lean
R : Type u
inst✝³ : CommRing R
n G : Type v
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
α β : Type v
inst✝ : DecidableEq α
M✝ : Matrix n n R
M : (Matrix n n R)[X]
r : R

⊢ (aeval r).mapMatrix.comp ↑matPolyEquiv.symm = eval₂AlgHom' (AlgHom.id R (Matrix n n R)) ((scalar n) r) ⋯
-- Mathlib/Data/Finset/Sups.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α

⊢ s ○ (t₁ ∩ t₂) ⊆ s ○ t₁ ∩ s ○ t₂
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝¹ : DecidableRel Disjoint
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a✝ b✝ a b : α

⊢ compress (a \ b) (b \ a) b = a
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝¹ : DecidableRel Disjoint
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a✝ b✝ a b : α

⊢ (b ⊔ a \ b) \ (b \ a) = a
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝² : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝¹ : DecidableRel Disjoint
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a✝ b✝ a b : α

⊢ b \ (b \ a) ≤ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ
hg : Continuous g
f : α →ₘ[μ] β

⊢ ↑(comp g hg f) =ᶠ[ae μ] g ∘ ↑f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEEqFun.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
g : β → γ
hg : Continuous g
f : α →ₘ[μ] β

⊢ ↑(mk (g ∘ ↑f) ⋯) =ᶠ[ae μ] g ∘ ↑f
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
hH : Group.IsNilpotent G
inst✝ : Nontrivial G

⊢ Group.nilpotencyClass G = Group.nilpotencyClass (G ⧸ center G) + 1
-- Mathlib/GroupTheory/Nilpotent.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
H : Subgroup G
inst✝¹ : H.Normal
hH : Group.IsNilpotent G
inst✝ : Nontrivial G

⊢ Group.nilpotencyClass G = Group.nilpotencyClass G - 1 + 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h₁ : IsIso (cyclesMap φ)
h₂ : Epi φ.τ₁

⊢ IsIso (homologyMap φ)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Homology.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h₁ : IsIso (cyclesMap φ)
h₂ : Epi φ.τ₁
h : S₂.toCycles ≫ inv (cyclesMap φ) ≫ S₁.homologyπ = 0

⊢ IsIso (homologyMap φ)
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hJ : M.Basis J X

⊢ ∃ I', M.Basis I' X ∧ I ⊆ I' ∧ I' ⊆ I ∪ J
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hJ : M.Basis J X
I' : Set α
hI' : (M ↾ X).Base I'
hII' : I ⊆ I'
hI'IJ : I' ⊆ I ∪ J

⊢ ∃ I', M.Basis I' X ∧ I ⊆ I' ∧ I' ⊆ I ∪ J
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J✝ X Y B J : Set α
e : α
hI : M.Indep I
hIX : I ⊆ X
hJ : M.Basis J X
I' : Set α
hI' : M.Basis I' X
hII' : I ⊆ I'
hI'IJ : I' ⊆ I ∪ J

⊢ ∃ I', M.Basis I' X ∧ I ⊆ I' ∧ I' ⊆ I ∪ J
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q✝ q : ℚ≥0

⊢ q.num.Coprime q.den
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : DecidableEq P
p : ι → P
s : Finset ι
n : ℕ
hc : s.card = n + 1

⊢ finrank k ↥(vectorSpan k ↑(Finset.image p s)) ≤ n
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x

⊢ sinh (3 * x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x

⊢ sinh x * cosh (2 * x) + cosh x * sinh (2 * x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x

⊢ sinh x * (cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2) + cosh x * (2 * sinh x * cosh x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
h2 : cosh x * (2 * sinh x * cosh x) = 2 * sinh x * cosh x ^ 2

⊢ sinh x * (cosh x ^ 2 + sinh x ^ 2) + cosh x * (2 * sinh x * cosh x) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ
h1 : x + 2 * x = 3 * x
h2 : cosh x * (2 * sinh x * cosh x) = 2 * sinh x * cosh x ^ 2

⊢ sinh x * (sinh x ^ 2 + 1 + sinh x ^ 2) + 2 * sinh x * (sinh x ^ 2 + 1) = 4 * sinh x ^ 3 + 3 * sinh x
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E

⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∃ r, ∀ x ∈ s, ‖x‖ ≤ r
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
c₁ c₂ r x y z : R
a b c : ℍ[R,c₁,c₂]

⊢ x • ↑y = ↑(x * y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s

⊢ liminf (fun n => (preimage f)^[n] s) atTop =ᵐ[μ] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' s =ᵐ[μ] s

⊢ limsup (compl ∘ fun n => (preimage f)^[n] s) atTop =ᵐ[μ] sᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' sᶜ =ᵐ[μ] sᶜ

⊢ limsup (compl ∘ fun n => (preimage f)^[n] s) atTop =ᵐ[μ] sᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' sᶜ =ᵐ[μ] sᶜ
x✝ : ℕ

⊢ (compl ∘ fun n => (preimage f)^[n] s) x✝ = (preimage f)^[x✝] sᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f✝¹ : α → β
μa μa' : Measure α
μb μb' : Measure β
μc : Measure γ
f✝ : α → β
f : α → α
hf : QuasiMeasurePreserving f μ μ
hs : f ⁻¹' sᶜ =ᵐ[μ] sᶜ
x✝ : ℕ
n : α

⊢ n ∈ (compl ∘ fun n => (preimage f)^[n] s) x✝ ↔ n ∈ (preimage f)^[x✝] sᶜ