ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
K : Type uK
V : Type uV
inst✝⁹ : CommRing K
inst✝⁸ : AddCommGroup V
inst✝⁷ : Module K V
inst✝⁶ : Free K V
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsReflexive R M
e : M ≃ₗ[R] N
ed : Dual R (Dual R N) ≃ₗ[R] Dual R (Dual R M) := e.symm.dualMap.dualMap
this : Dual.eval R N = ↑ed.symm ∘ₗ Dual.eval R M ∘ₗ ↑e.symm

⊢ Bijective (⇑(Dual.eval R M) ∘ ⇑e.symm)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l l' : List α
x : α

⊢ [x] ~r l ↔ [x] = l
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/Subgraph.lean
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
s : Set V

⊢ (induce s G).Connected ↔ (⊤.induce s).Connected
-- Mathlib/Algebra/Group/Commute/Hom.lean
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝³ : Mul M
inst✝² : Mul N
a x y : M
inst✝¹ : FunLike F M N
inst✝ : MulHomClass F M N
h : SemiconjBy a x y
f : F

⊢ SemiconjBy (f a) (f x) (f y)
-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type ?u.101505
inst✝ : MulAction R X
r : R
s t : ↥S

⊢ 1 /ₒ t * (r /ₒ s) = r /ₒ (s * t)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H

⊢ ↑I '' s = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H

⊢ s ⊆ I.source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
s : Set H

⊢ I.target ∩ ↑I.symm ⁻¹' s = ↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B✝ A B : Matrix n n α
h : IsUnit A ↔ IsUnit B

⊢ A⁻¹ + B⁻¹ = A⁻¹ * (A + B) * B⁻¹
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]

⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f ((swap i 0) 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f ((swap i 0) 2)) ^ 2 + ↑(f ((swap i 0) 3)) ^ 2 = 0

⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
σ : Perm (Fin 4) := swap i 0
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0

⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
σ : Perm (Fin 4) := swap i 0
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0
x : ℤ
hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x

⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
σ : Perm (Fin 4) := swap i 0
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0
x : ℤ
hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x
y : ℤ
hy : f (σ 2) ^ 2 + f (σ 3) ^ 2 = 2 * y

⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
σ : Perm (Fin 4) := swap i 0
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0
x : ℤ
hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x
y : ℤ
hy : f (σ 2) ^ 2 + f (σ 3) ^ 2 = 2 * y

⊢ ((f (σ 0) - f (σ 1)) / 2) ^ 2 + ((f (σ 0) + f (σ 1)) / 2) ^ 2 + ((f (σ 2) - f (σ 3)) / 2) ^ 2 + ((f (σ 2) + f (σ 3)) / 2) ^ 2 = m
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
σ : Perm (Fin 4) := swap i 0
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0
x : ℤ
hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x
y : ℤ
hy : f (σ 2) ^ 2 + f (σ 3) ^ 2 = 2 * y

⊢ 2 * x + 2 * y = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this✝ : ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2), f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
σ : Perm (Fin 4) := swap i 0
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0
x : ℤ
hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x
y : ℤ
hy : f (σ 2) ^ 2 + f (σ 3) ^ 2 = 2 * y
this : ∑ x : Fin 4, f (σ x) ^ 2 = ∑ x : Fin 4, f x ^ 2

⊢ 2 * x + 2 * y = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
T : s.tail.head.Terminates

⊢ s.destruct.Terminates
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
T : s.tail.head.Terminates
a : Option (α × WSeq α)
h : a ∈ s.tail.destruct

⊢ s.destruct.Terminates
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
T : s.tail.head.Terminates
a : Option (α × WSeq α)
h : a ∈ (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) <$> s.destruct >>= destruct

⊢ s.destruct.Terminates
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
T : s.tail.head.Terminates
a : Option (α × WSeq α)
h : a ∈ (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) <$> s.destruct >>= destruct
s' : WSeq α
h1 : s' ∈ (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) <$> s.destruct
right✝ : a ∈ s'.destruct

⊢ s.destruct.Terminates
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
T : s.tail.head.Terminates
a : Option (α × WSeq α)
h : a ∈ (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) <$> s.destruct >>= destruct
s' : WSeq α
h1 : s' ∈ Applicative.toFunctor.1 (fun o => Option.rec nil Prod.snd o) s.destruct
right✝ : a ∈ s'.destruct

⊢ s.destruct.Terminates
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZlattice K L

⊢ L.FG
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZlattice K L

⊢ (AddSubgroup.toIntSubmodule L).FG
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZlattice K L
s : Set E
h_incl : s ⊆ ↑L
h_span : span K s = span K ↑L
h_lind : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val

⊢ (AddSubgroup.toIntSubmodule L).FG
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZlattice K L
s : Set E
h_incl : s ⊆ ↑L
h_span : span K s = span K ↑L
h_lind : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val

⊢ (map (span ℤ s).mkQ (AddSubgroup.toIntSubmodule L)).FG
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝⁷ : NormedLinearOrderedField K
inst✝⁶ : HasSolidNorm K
inst✝⁵ : FloorRing K
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace K E
inst✝² : FiniteDimensional K E
inst✝¹ : ProperSpace E
L : AddSubgroup E
inst✝ : DiscreteTopology ↥L
hs : IsZlattice K L
s : Set E
h_incl : s ⊆ ↑L
h_span : span K s = span K ↑L
h_lind : LinearIndependent (ι := { x // x ∈ s }) K Subtype.val

⊢ (AddSubgroup.toIntSubmodule L ⊓ LinearMap.ker (span ℤ s).mkQ).FG
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α

⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α, SymmetricRel t ∧ t ○ t ○ t ⊆ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
left✝ : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ s

⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α, SymmetricRel t ∧ t ○ t ○ t ⊆ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
left✝ : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ s
t : Set (α × α)
t_in : t ∈ 𝓤 α
t_symm : SymmetricRel t
t_sub : t ○ t ⊆ w

⊢ ∃ t ∈ 𝓤 α, SymmetricRel t ∧ t ○ t ○ t ⊆ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
left✝ : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ s
t : Set (α × α)
t_in : t ∈ 𝓤 α
t_symm : SymmetricRel t
t_sub : t ○ t ⊆ w

⊢ t ○ t ○ t ⊆ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
left✝ : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ s
t : Set (α × α)
t_in : t ∈ 𝓤 α
t_symm : SymmetricRel t
t_sub : t ○ t ⊆ w
this : t ⊆ t ○ t

⊢ t ○ t ○ t ⊆ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
left✝ : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ s
t : Set (α × α)
t_in : t ∈ 𝓤 α
t_symm : SymmetricRel t
t_sub : t ○ t ⊆ w
this : t ⊆ t ○ t
ht : t ⊆ t

⊢ t ○ t ○ t ⊆ s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
hs : s ∈ 𝓤 α
w : Set (α × α)
w_in : w ∈ 𝓤 α
left✝ : SymmetricRel w
w_sub : w ○ w ⊆ s
t : Set (α × α)
t_in : t ∈ 𝓤 α
t_symm : SymmetricRel t
t_sub : t ○ t ⊆ w
this : t ⊆ t ○ t
ht : t ⊆ t
hw : w ⊆ w

⊢ t ○ t ○ t ⊆ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ

⊢ ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ‖ ≤ |∫ (x : ℝ) in a..b, ‖f x‖ ∂μ|
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
f g : ℝ → E
μ : Measure ℝ

⊢ ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂μ‖ ≤ ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, ‖f x‖ ∂μ‖
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H.toLieSubmodule

⊢ x ∈ rootSpace H 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H

⊢ x ∈ rootSpace H 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H

⊢ ∀ (x_1 : ↥H), ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) x_1 ^ k) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥

⊢ ∃ k, ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥

⊢ ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y

⊢ ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f

⊢ ((toEnd R (↥H) L) y ^ k) x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f

⊢ ((g ^ k) ∘ₗ H.subtype) ⟨x, hx⟩ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f

⊢ (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ ∈ lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k

⊢ (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ = 0

⊢ (H.subtype ∘ₗ f ^ k) ⟨x, hx⟩ = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Cartan.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁴ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k = ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h : (⇑((toEnd R ↥H ↥H) y))^[k] ⟨x, hx⟩ = 0

⊢ (⇑f)^[k] ⟨x, hx⟩ = 0
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ a ∈ [[b, c]] → b ∈ [[a, c]] → a = b
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ b ⊓ c ≤ a ∧ a ≤ b ⊔ c → a ⊓ c ≤ b ∧ b ≤ a ⊔ c → a = b
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
m : Num
n : ℕ

⊢ ↑(m >>> n) = ↑m >>> n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ

⊢ ↑0 = ↑zero >>> n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
m : PosNum

⊢ ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
IH : ∀ (m : PosNum), ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n
m : PosNum

⊢ ↑(m >>> (n + 1)) = ↑(pos m) >>> (n + 1)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
IH : ∀ (m : PosNum), ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n
m : PosNum
hdiv2 : ∀ (m : ℕ), (m + m).div2 = m

⊢ ↑(m >>> (n + 1)) = ↑(pos m) >>> (n + 1)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
IH : ∀ (m : PosNum), ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n
hdiv2 : ∀ (m : ℕ), (m + m).div2 = m

⊢ ↑0 = ↑(pos one) >>> (n + 1)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
IH : ∀ (m : PosNum), ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n
hdiv2 : ∀ (m : ℕ), (m + m).div2 = m
m : PosNum

⊢ ↑(m.shiftr n) = ↑(pos m.bit1) >>> (n + 1)
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
n : ℕ
IH : ∀ (m : PosNum), ↑(m >>> n) = ↑(pos m) >>> n
hdiv2 : ∀ (m : ℕ), (m + m).div2 = m
m : PosNum

⊢ ↑(m.shiftr n) = ↑(pos m.bit0) >>> (n + 1)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y < z \ x
hxz : x ≤ z

⊢ x ⊔ y < z
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y < z \ x
hxz : x ≤ z

⊢ x ⊔ y < x ⊔ z \ x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y < z \ x
hxz : x ≤ z
h' : x ⊔ z \ x ≤ x ⊔ y

⊢ z \ x ≤ y
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
h : y < z \ x
hxz : x ≤ z
h' : x ⊔ z \ x ≤ x ⊔ y

⊢ (z \ x) \ x ≤ y
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : LT α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α

⊢ a / b < c ↔ a < b * c
-- Mathlib/Algebra/Ring/Rat.lean
x : ℤ
hx : x ≠ 0
n d : ℤ

⊢ x /. n / (x /. d) = d /. n
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ

⊢ 2 / (1 - 2 / rexp 1) ≤ 8
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ

⊢ 8 * 2 ≤ (8 - 2) * rexp 1
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/AP/Three/Behrend.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ

⊢ 0 < 1 - 2 / rexp 1
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : X → Y
s : Set X
x : X
y : Y

⊢ (∀ (x : Set Y), IsOpen xᶜ → IsOpen (f ⁻¹' xᶜ)) ↔ ∀ (s : Set Y), IsClosed s → IsClosed (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Rat.lean
q : ℚ≥0
hq : q ≠ 0

⊢ q⁻¹.num = q.den
-- Mathlib/Condensed/TopComparison.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X✝ : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace X✝
X : TopCat

⊢ EqualizerCondition (yonedaPresheaf compHausToTop ↑X)
-- Mathlib/Condensed/TopComparison.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X✝ : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace X✝
X : TopCat

⊢ ∀ (Z B : CompHaus) (π : Z ⟶ B) [inst : EffectiveEpi π], QuotientMap ⇑(compHausToTop.map π)
-- Mathlib/Condensed/TopComparison.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X✝ : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace X✝
X : TopCat
Z B : CompHaus
π : Z ⟶ B
he : EffectiveEpi π

⊢ QuotientMap ⇑(compHausToTop.map π)
-- Mathlib/Condensed/TopComparison.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
G : C ⥤ TopCat
X✝ : Type w'
inst✝ : TopologicalSpace X✝
X : TopCat
Z B : CompHaus
π : Z ⟶ B
he : Function.Surjective ⇑π

⊢ QuotientMap ⇑(compHausToTop.map π)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean

⊢ fastGrowing 2 = fun n => 2 ^ n * n
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean

⊢ (fun i => (fastGrowing 1)^[i] i) = fun n => 2 ^ n * n
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
i : ℕ

⊢ (fastGrowing 1)^[i] i = 2 ^ i * i
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
i : ℕ

⊢ (fun n => 2 * n)^[i] i = 2 ^ i * i
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Notation.lean
i a b : ℕ

⊢ (fun n => 2 * n)^[a] b = 2 ^ a * b
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ : Finmap β
h : s₁.Disjoint s₃
h' : s₂.Disjoint s₃
h'' : s₁ ∪ s₃ = s₂ ∪ s₃

⊢ s₁ = s₂
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ s₃ : Finmap β
h : s₁.Disjoint s₃
h' : s₂.Disjoint s₃
h'' : s₁ ∪ s₃ = s₂ ∪ s₃

⊢ ∀ (x : α), lookup x s₁ = lookup x s₂
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

⊢ ∃ C, ∃ (_ : 0 < C), ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < max C 1 / ↑n ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m : ℤ
n : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

⊢ ∀ (x_1 : ℕ), (1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) → 1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < max C 1 / ↑x_1 ^ p
-- Mathlib/NumberTheory/Liouville/LiouvilleWith.lean
p q x y : ℝ
r : ℚ
m✝ : ℤ
n✝ : ℕ
C : ℝ
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
n : ℕ
hle : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p

⊢ C ≤ max C 1
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α✝ α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ

⊢ ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i * y ^ (n - i) = x ^ n + y * ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)