ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/GroupTheory/Congruence/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
c✝ : Con M
r : M → M → Prop
c : Con M
h : ∀ (x y : M), r x y → c x y

⊢ sInf {s | ∀ (x y : M), r x y → s x y} ≤ c
-- Mathlib/Topology/PartialHomeomorph.lean
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
eX eX' : PartialHomeomorph X X'
eY eY' : PartialHomeomorph Y Y'
h : (eX'.prod eY').source.Nonempty

⊢ eX.prod eY = eX'.prod eY' ↔ eX = eX' ∧ eY = eY'
-- Mathlib/Data/Finset/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq β
f g✝ : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β
inst✝ : DecidableEq γ
g : β → γ

⊢ (image g (image f s)).val = (image (g ∘ f) s).val
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≃r s
o : Ordinal.{u}
hr : o < type r

⊢ type s = type r
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Basic.lean
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
α β : Type u
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
inst✝¹ : IsWellOrder α r
inst✝ : IsWellOrder β s
f : r ≃r s
o : Ordinal.{u}
hr : o < type r

⊢ { α := β, r := s, wo := inst✝ } ≈ { α := α, r := r, wo := inst✝¹ }
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset γ
t : γ → Finset α
hs : (↑s).PairwiseDisjoint t

⊢ ∏ x ∈ s.biUnion t, f x = ∏ x ∈ s, ∏ i ∈ t x, f i
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S

⊢ IsField R
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
this : Nontrivial S

⊢ IsField R
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
this✝ : Nontrivial S
this : Nontrivial R

⊢ IsField R
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
this✝ : Nontrivial S
this : Nontrivial R
a : R
ha : a ≠ 0

⊢ ∃ b, a * b = 1
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
this✝ : Nontrivial S
this : Nontrivial R
a : R
ha : a ≠ 0
a_inv : S
ha_inv : (algebraMap R S) a * a_inv = 1

⊢ ∃ b, a * b = 1
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
this✝¹ : Nontrivial S
this✝ : Nontrivial R
a : R
ha : a ≠ 0
a_inv : S
ha_inv : (algebraMap R S) a * a_inv = 1
this : Invertible a_inv := (Units.mkOfMulEqOne a_inv ((algebraMap R S) a) ⋯).invertible

⊢ ∃ b, a * b = 1
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
this✝¹ : Nontrivial S
this✝ : Nontrivial R
a : R
ha : a ≠ 0
a_inv : S
ha_inv : (algebraMap R S) a * a_inv = 1
this : Invertible a_inv := (Units.mkOfMulEqOne a_inv ((algebraMap R S) a) ⋯).invertible
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R S) a_inv p = 0

⊢ ∃ b, a * b = 1
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
this✝¹ : Nontrivial S
this✝ : Nontrivial R
a : R
ha : a ≠ 0
a_inv : S
ha_inv : (algebraMap R S) a * a_inv = 1
this : Invertible a_inv := (Units.mkOfMulEqOne a_inv ((algebraMap R S) a) ⋯).invertible
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R S) a_inv p = 0

⊢ a * -eval a p.reverse.divX = 1
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegralClosure/Basic.lean
R✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S✝ : Type u_4
T : Type u_5
inst✝¹² : CommRing R✝
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : Ring B
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : CommRing T
inst✝⁷ : Algebra A B
inst✝⁶ : Algebra R✝ B
f : R✝ →+* S✝
g : S✝ →+* T
inst✝⁵ : Algebra R✝ A
inst✝⁴ : IsScalarTower R✝ A B
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra.IsIntegral R S
hRS : Function.Injective ⇑(algebraMap R S)
hS : IsField S
this✝¹ : Nontrivial S
this✝ : Nontrivial R
a : R
ha : a ≠ 0
a_inv : S
ha_inv : (algebraMap R S) a * a_inv = 1
this : Invertible a_inv := (Units.mkOfMulEqOne a_inv ((algebraMap R S) a) ⋯).invertible
p : R[X]
p_monic : p.Monic
hp : eval₂ (algebraMap R S) a_inv p = 0

⊢ (aeval ((algebraMap R S) a)) p.reverse = 0
-- Mathlib/Algebra/Field/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α

⊢ (a + b) / c = a / c + b / c
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Resolution.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D₂
inst✝² : Category.{?u.51659, u_4} H
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
inst✝ : Φ.HasRightResolutions
X₂ : D₂

⊢ X₂ ∈ (Φ.functor ⋙ L₂).essImage
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Resolution.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D₂
inst✝² : Category.{?u.51659, u_4} H
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
inst✝ : Φ.HasRightResolutions
X₂ : D₂
this : L₂.EssSurj

⊢ X₂ ∈ (Φ.functor ⋙ L₂).essImage
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Resolution.lean
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
D₂ : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_5, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_7, u_3} D₂
inst✝² : Category.{?u.51659, u_4} H
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
inst✝ : Φ.HasRightResolutions
X₂ : D₂
this : L₂.EssSurj
R : Φ.RightResolution (L₂.objPreimage X₂)

⊢ X₂ ∈ (Φ.functor ⋙ L₂).essImage
-- Mathlib/Data/Finset/Slice.lean
α : Type u_1
ι : Sort u_2
κ : ι → Sort u_3
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
r : ℕ
A : Finset α

⊢ A ∈ 𝒜 → A ∈ powersetCard r univ ↔ A ∈ ↑𝒜 → A.card = r
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
cs₁ cs₂ : List Char

⊢ utf8Len (cs₁.reverseAux cs₂) = utf8Len cs₁ + utf8Len cs₂
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s t

⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u < f b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
t : Set E
x y : E
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
hs₁ : Convex ℝ ∅
hs₂ : IsOpen ∅
disj : Disjoint ∅ t

⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ ∅, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u < f b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s

⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u < f b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
ht₁ : Convex ℝ ∅
ht₃ : IsOpen ∅
disj : Disjoint s ∅

⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ ∅, u < f b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsOpen s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t

⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u < f b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsOpen s✝
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s✝ t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s✝
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
f : E →L[ℝ] ℝ
s : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ s✝, f a < s
hf₂ : ∀ b ∈ t, s ≤ f b

⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s✝, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u < f b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsOpen s✝
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s✝ t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s✝
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
f : E →L[ℝ] ℝ
s : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ s✝, f a < s
hf₂ : ∀ b ∈ t, s ≤ f b
hf : IsOpenMap ⇑f

⊢ ∃ f u, (∀ a ∈ s✝, f a < u) ∧ ∀ b ∈ t, u < f b
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsOpen s✝
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s✝ t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s✝
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
f : E →L[ℝ] ℝ
s : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ s✝, f a < s
hf₂ : ∀ b ∈ t, s ≤ f b
hf : IsOpenMap ⇑f

⊢ ⇑f '' t ⊆ Ioi s
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsOpen s✝
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s✝ t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s✝
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
f : E →L[ℝ] ℝ
s : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ s✝, f a < s
hf₂ : ∀ b ∈ t, s ≤ f b
hf : IsOpenMap ⇑f

⊢ ⇑f '' t ⊆ interior (Ici s)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsOpen s✝
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s✝ t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s✝
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
f : E →L[ℝ] ℝ
s : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ s✝, f a < s
hf₂ : ∀ b ∈ t, s ≤ f b
hf : IsOpenMap ⇑f

⊢ f ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsOpen s✝
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s✝ t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s✝
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
s : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ s✝, 0 a < s
hf₂ : ∀ b ∈ t, s ≤ 0 b
hf : IsOpenMap ⇑0

⊢ False
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : TopologicalAddGroup E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ t : Set E
x y : E
hs₁ : Convex ℝ s✝
hs₂ : IsOpen s✝
ht₁ : Convex ℝ t
ht₃ : IsOpen t
disj : Disjoint s✝ t
a₀ : E
ha₀ : a₀ ∈ s✝
b₀ : E
hb₀ : b₀ ∈ t
s : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ s✝, 0 < s
hf₂ : ∀ b ∈ t, s ≤ 0
hf : IsOpenMap ⇑0

⊢ False
-- Mathlib/Data/List/FinRange.lean
α : Type u
n : ℕ

⊢ finRange n.succ = 0 :: map Fin.succ (finRange n)
-- Mathlib/Data/List/FinRange.lean
α : Type u
n : ℕ

⊢ map Fin.val (finRange n.succ) = map Fin.val (0 :: map Fin.succ (finRange n))
-- Mathlib/Data/List/FinRange.lean
α : Type u
n : ℕ

⊢ 0 :: map (Nat.succ ∘ Fin.val) (finRange n) = 0 :: map (Fin.val ∘ Fin.succ) (finRange n)
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝¹ : NormalizedGCDMonoid α
s s₁ s₂ : Finset β
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
h : b ∉ s

⊢ (insert b s).gcd f = GCDMonoid.gcd (f b) (s.gcd f)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

⊢ (∑ i ∈ Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y) = x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

⊢ MulOpposite.op ((∑ i ∈ Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y)) = MulOpposite.op (x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

⊢ (MulOpposite.op x - MulOpposite.op y) * ∑ x_1 ∈ Ico m n, MulOpposite.op y ^ (n - 1 - x_1) * MulOpposite.op x ^ x_1 = MulOpposite.op x ^ n - MulOpposite.op x ^ m * MulOpposite.op y ^ (n - m)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
this : ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) * MulOpposite.op x ^ k = ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k)

⊢ (MulOpposite.op x - MulOpposite.op y) * ∑ x_1 ∈ Ico m n, MulOpposite.op y ^ (n - 1 - x_1) * MulOpposite.op x ^ x_1 = MulOpposite.op x ^ n - MulOpposite.op x ^ m * MulOpposite.op y ^ (n - m)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
this : ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) * MulOpposite.op x ^ k = ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k)

⊢ (MulOpposite.op x - MulOpposite.op y) * ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) = MulOpposite.op x ^ n - MulOpposite.op x ^ m * MulOpposite.op y ^ (n - m)
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubsemiring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝² : NonUnitalNonAssocSemiring R
M : Subsemigroup R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring S
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring T
s : Set R

⊢ ↑(closure s) = ↑(AddSubmonoid.closure ↑(Subsemigroup.closure s))
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Ab.lean
S : ShortComplex Ab

⊢ S.Exact ↔ Function.Surjective ⇑S.abToCycles
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Ab.lean
S : ShortComplex Ab

⊢ Function.Surjective ⇑S.abToCycles ↔ Function.Surjective ⇑S.abToCycles
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : ¬x * y = 0

⊢ x.orderTop + y.orderTop ≤ (x * y).orderTop
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Multiplication.lean
Γ✝ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid Γ✝
Γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCancelAddCommMonoid Γ
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring R
x y : HahnSeries Γ R
hx : ¬x = 0
hy : ¬y = 0
hxy : ¬x * y = 0

⊢ ⋯.min ⋯ ≤ ⋯.min ⋯
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f

⊢ ∃ a, (∀ i ∈ s, IsLocalization.IsInteger A (a * f i)) ∧ ∃ i ∈ s, a * f i ∉ ↑J
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0

⊢ ∃ a, (∀ i ∈ s, IsLocalization.IsInteger A (a * f i)) ∧ ∃ i ∈ s, a * f i ∉ ↑J
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0

⊢ ↑J / I < I⁻¹
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0

⊢ ↑J < 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0

⊢ ↑J < ↑⊤
-- Mathlib/Algebra/AddTorsor.lean
G : Type u_1
P : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
T : AddTorsor G P
p₁ p₂ p : P
h : p₁ -ᵥ p = p₂ -ᵥ p

⊢ p₁ = p₂
-- Mathlib/Algebra/Order/Invertible.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
a : α
inst✝ : Invertible a

⊢ 0 < a * ⅟a
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p

⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ i : ι, ‖x i‖ ^ (ENNReal.ofReal p).toReal) ^ (1 / (ENNReal.ofReal p).toReal)

⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)

⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)

⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0

⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0

⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
p✝ : ℝ
hp✝ : 1 ≤ p✝
inst✝ : Nonempty ι
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
r : ℝ
h₁ : 0 < p
eq_norm : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = (∑ x_1 : ι, |x x_1| ^ p) ^ (1 / p)
this : Fact (1 ≤ ENNReal.ofReal p)
nm_zero : ‖0‖ = 0
eq_zero : ∀ (x : ι → ℝ), ‖x‖ = 0 ↔ x = 0
nm_neg : ∀ (x : ι → ℝ), ‖-x‖ = ‖x‖

⊢ volume {x | (∑ i : ι, |x i| ^ p) ^ (1 / p) ≤ r} = ENNReal.ofReal r ^ card ι * ENNReal.ofReal ((2 * Gamma (1 / p + 1)) ^ card ι / Gamma (↑(card ι) / p + 1))