ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
J : Type v'
inst✝⁹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁸ : Category.{v, u} C
K : Type u_1
inst✝⁷ : Category.{?u.207926, u_1} K
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁵ : HasColimitsOfShape J C
Gl : C ⥤ D
Gr : D ⥤ C
adj : Gl ⊣ Gr
inst✝⁴ : Gr.Full
inst✝³ : Gr.Faithful
F : J ⥤ D
c : Cocone (F ⋙ Gr)
H : IsVanKampenColimit c
inst✝² : ∀ (X : D) (f : X ⟶ Gl.obj c.pt), HasPullback (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)
inst✝¹ : (X : D) → (f : X ⟶ Gl.obj c.pt) → PreservesLimit (cospan (Gr.map f) (adj.unit.app c.pt)) Gl
inst✝ : (X : C) → (i : J) → (f : X ⟶ c.pt) → PreservesLimit (cospan f (c.ι.app i)) Gl
this✝² : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, u_3, v, u_2, u} Gr
this✝¹ : PreservesColimitsOfSize.{u', v', v, u_3, u, u_2} Gl
F' : J ⥤ D
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ (F ⋙ Gr) ⋙ Gl
f : c'.pt ⟶ (Gl.mapCocone c).pt
h : α ≫ (Gl.mapCocone c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α
hc' : IsColimit c'
j : J
α' : F' ⟶ F := α ≫ (F.associator Gr Gl).hom ≫ whiskerLeft F adj.counit ≫ F.rightUnitor.hom
hα' : NatTrans.Equifibered α'
hα'' : ∀ (j : J), Gl.map (Gr.map (α'.app j)) = adj.counit.app (F'.toPrefunctor.1 j) ≫ α.app j
β : F' ⋙ Gr ⋙ Gl ≅ F' := isoWhiskerLeft F' (asIso adj.counit) ≪≫ F'.rightUnitor
hl : IsColimit ((Cocones.precompose β.hom).obj c') := (IsColimit.precomposeHomEquiv β c').symm hc'
hr : IsColimit (Gl.mapCocone (colimit.cocone (F' ⋙ Gr))) := isColimitOfPreserves Gl (colimit.isColimit (F' ⋙ Gr))
this✝ : α.app j = β.inv.app j ≫ Gl.map (Gr.map (α'.app j))
this : f = (hl.coconePointUniqueUpToIso hr).hom ≫ Gl.map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })

⊢ whiskerRight α' Gr ≫ c.ι = (colimit.cocone (F' ⋙ Gr)).ι ≫ (Functor.const J).map (colimit.desc (F' ⋙ Gr) { pt := c.pt, ι := whiskerRight α' Gr ≫ c.ι })
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : Set ι
hs : s.Finite
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (t i hi).Finite

⊢ (⋃ i, ⋃ (h : i ∈ s), t i h).Finite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : Set ι
hs : s.Finite
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (t i hi).Finite
this : Finite ↑s

⊢ (⋃ i, ⋃ (h : i ∈ s), t i h).Finite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι✝ : Sort w
γ : Type x
ι : Type u_1
s : Set ι
hs : s.Finite
t : (i : ι) → i ∈ s → Set α
ht : ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s), (t i hi).Finite
this : Finite ↑s

⊢ (⋃ x, t ↑x ⋯).Finite
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsCycle
h : u ∈ c.support

⊢ (c.rotate h).IsCycle
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsCycle
h : u ∈ c.support

⊢ (c.rotate h).support.tail.Nodup
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w : V
inst✝ : DecidableEq V
u v : V
c : G.Walk v v
hc : c.IsCycle
h : u ∈ c.support

⊢ c.support.tail.Nodup
-- Mathlib/Topology/Algebra/Monoid.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : ContinuousMul M
f : ι → X → M
s : Multiset ι
l : List ι

⊢ (∀ i ∈ Quot.mk Setoid.r l, Continuous (f i)) → Continuous fun a => (Multiset.map (fun i => f i a) (Quot.mk Setoid.r l)).prod
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/StandardBorel.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁴ : CountablyGenerated γ
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : StandardBorelSpace Ω
inst✝¹ : Nonempty Ω
κ : Kernel α (γ × ℝ)
inst✝ : IsFiniteKernel κ

⊢ κ.fst ⊗ₖ κ.condKernelReal = κ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.57464, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
hij : ¬(ComplexShape.down ℕ).Rel i j

⊢ s.d i j = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.57464, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j k : ℕ
x✝¹ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel j k

⊢ s.d i j ≫ s.d j k = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.57464, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j k : ℕ
x✝¹ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel j k

⊢ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) ≫ (s.cofan (op [j])).inj (IndexSet.id (op [j])) ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.57464, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j k : ℕ
x✝¹ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel j k
eq : K[X].d i j ≫ 𝟙 (X _[j]) ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0

⊢ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) ≫ (s.cofan (op [j])).inj (IndexSet.id (op [j])) ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.57464, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j k : ℕ
x✝¹ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel j k
eq : K[X].d i j ≫ (∑ A : IndexSet (op [j]), s.πSummand A ≫ (s.cofan (op [j])).inj A) ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0

⊢ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) ≫ (s.cofan (op [j])).inj (IndexSet.id (op [j])) ≫ K[X].d j k ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [k])) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/SingleObj.lean
M G✝ : Type v
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Group G✝
G : Type v
inst✝ : Group G
J : SingleObj G ⥤ Type u
x y : J.obj (SingleObj.star G)

⊢ Types.Quot.Rel J ⟨SingleObj.star G, x⟩ ⟨SingleObj.star G, y⟩ ↔ (MulAction.orbitRel G (J.obj (SingleObj.star G))).Rel x y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/SingleObj.lean
M G✝ : Type v
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Group G✝
G : Type v
inst✝ : Group G
J : SingleObj G ⥤ Type u
x y : J.obj (SingleObj.star G)
h : ∀ (g : G), y = g • x ↔ g • x = y

⊢ Types.Quot.Rel J ⟨SingleObj.star G, x⟩ ⟨SingleObj.star G, y⟩ ↔ (MulAction.orbitRel G (J.obj (SingleObj.star G))).Rel x y
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/SingleObj.lean
M G✝ : Type v
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Group G✝
G : Type v
inst✝ : Group G
J : SingleObj G ⥤ Type u
x y : J.obj (SingleObj.star G)
h : ∀ (g : G), y = g • x ↔ g • x = y

⊢ Types.Quot.Rel J ⟨SingleObj.star G, x⟩ ⟨SingleObj.star G, y⟩ ↔ (MulAction.orbitRel G (J.obj (SingleObj.star G))).Rel y x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/SingleObj.lean
M G✝ : Type v
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Group G✝
G : Type v
inst✝ : Group G
J : SingleObj G ⥤ Type u
x y : J.obj (SingleObj.star G)
h : ∀ (g : G), y = g • x ↔ g • x = y

⊢ (∃ g, y = g • x) ↔ ∃ g, g • x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂

⊢ (conjugateEquiv adj₁ adj₁).symm (𝟙 R₁) = 𝟙 L₁
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Mates.lean
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L₁ L₂ : C ⥤ D
R₁ R₂ : D ⥤ C
adj₁ : L₁ ⊣ R₁
adj₂ : L₂ ⊣ R₂

⊢ 𝟙 R₁ = (conjugateEquiv adj₁ adj₁) (𝟙 L₁)
-- Mathlib/RingTheory/Nakayama.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N N' : Submodule R M
hN' : N'.FG
hIJ : I ≤ J.jacobson
hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'

⊢ N ⊔ N' = N ⊔ J • N'
-- Mathlib/RingTheory/Nakayama.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N N' : Submodule R M
hN' : N'.FG
hIJ : I ≤ J.jacobson
hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'
hNN' : N ⊔ N' = N ⊔ I • N'

⊢ N ⊔ N' = N ⊔ J • N'
-- Mathlib/RingTheory/Nakayama.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N N' : Submodule R M
hN' : N'.FG
hIJ : I ≤ J.jacobson
hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'
hNN' : N ⊔ N' = N ⊔ I • N'
h_comap : Function.Injective (comap N.mkQ)

⊢ N ⊔ N' = N ⊔ J • N'
-- Mathlib/RingTheory/Nakayama.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N N' : Submodule R M
hN' : N'.FG
hIJ : I ≤ J.jacobson
hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'
hNN' : N ⊔ N' = N ⊔ I • N'
h_comap : Function.Injective (comap N.mkQ)
this : map N.mkQ (I • N') = map N.mkQ N'

⊢ N ⊔ N' = N ⊔ J • N'
-- Mathlib/RingTheory/Nakayama.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N N' : Submodule R M
hN' : N'.FG
hIJ : I ≤ J.jacobson
hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'
hNN' : N ⊔ N' = N ⊔ I • N'
h_comap : Function.Injective (comap N.mkQ)
this✝ : map N.mkQ (I • N') = map N.mkQ N'
this : map N.mkQ N' = J • map N.mkQ N'

⊢ N ⊔ N' = N ⊔ J • N'
-- Mathlib/CategoryTheory/Shift/Basic.lean
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a : A
X : C

⊢ (shiftFunctorAdd' C a 0 a ⋯).inv.app X = (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X)
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Examples.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
X : FintypeCat
inst✝¹ : MulAction G ↑X
inst✝ : MulAction.IsPretransitive G ↑X
h : Nonempty ↑X
Y : Action FintypeCat (MonCat.of G)
i : Y ⟶ Action.FintypeCat.ofMulAction G X
hm : Mono i
hni : IsInitial Y → False

⊢ IsIso i
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Examples.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
X : FintypeCat
inst✝¹ : MulAction G ↑X
inst✝ : MulAction.IsPretransitive G ↑X
h : Nonempty ↑X
Y : Action FintypeCat (MonCat.of G)
i : Y ⟶ Action.FintypeCat.ofMulAction G X
hm : Mono i
hni : IsInitial Y → False
y : ↑Y.V

⊢ IsIso i
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Examples.lean
G : Type u
inst✝² : Group G
X : FintypeCat
inst✝¹ : MulAction G ↑X
inst✝ : MulAction.IsPretransitive G ↑X
h : Nonempty ↑X
Y : Action FintypeCat (MonCat.of G)
i : Y ⟶ Action.FintypeCat.ofMulAction G X
hm : Mono i
hni : IsInitial Y → False
y : ↑Y.V
this : IsIso i.hom

⊢ IsIso i
-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝ : Monoid N

⊢ Submonoid.closure (⋃ i, range ⇑of) = ⊤
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
a b : Prop

⊢ Xor' a b ↔ (a ↔ ¬b)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι

⊢ ‖(ofSubsingleton 𝕜 G G i) (ContinuousLinearMap.id 𝕜 G)‖ ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedSpace 𝕜' G
inst✝¹ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G
inst✝ : Subsingleton ι
i : ι

⊢ ‖ContinuousLinearMap.id 𝕜 G‖ ≤ 1
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α✝ : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝³ : Primcodable α✝
inst✝² : Primcodable σ
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
n : ℕ

⊢ Nat.unpaired (fun z n => Nat.casesOn n 0 fun y => Nat.unpaired (fun z n => Nat.casesOn n 0 fun y => (Nat.unpair (Nat.pair z y)).1.succ) (Nat.pair (Nat.unpair (Nat.pair z y)).2 (encode (decode (Nat.unpair (Nat.pair z y)).1)))) (Nat.pair (Nat.unpair n).2 (encode (decode (Nat.unpair n).1))) = encode (Option.map Prod.fst (decode n))
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α✝ : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝³ : Primcodable α✝
inst✝² : Primcodable σ
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable β
n : ℕ

⊢ Nat.rec 0 (fun n_1 n_ih => Nat.rec 0 (fun n n_ih => n_1.succ) (encode (decode (Nat.unpair n).2))) (encode (decode (Nat.unpair n).1)) = encode (Option.map Prod.fst ((decode (Nat.unpair n).1).bind fun a => Option.map (Prod.mk a) (decode (Nat.unpair n).2)))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Pointwise.lean
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E

⊢ s * ball x δ = x • thickening δ s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
x : ℝ≥0∞
z : ℝ
hx1 : 0 < x
hx2 : x < 1
hz : z < 0

⊢ 1 < x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
z : ℝ
hz : z < 0
x : ℝ≥0
hx1 : 0 < ↑x
hx2 : ↑x < 1

⊢ 1 < ↑x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/NNReal.lean
z : ℝ
hz : z < 0
x : ℝ≥0
hx1 : 0 < x
hx2 : x < 1

⊢ 1 < ↑x ^ z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y✝¹ z✝¹ w x y✝ z✝ : ℝ
hx : 0 < x
y z : ℝ

⊢ x ^ (y + z) = x ^ y * x ^ z
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t s : Set M
x : M
hs : s ⊆ f.source
hx : x ∈ f.source

⊢ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝 (↑(f.extend I) x)] ↑(f.extend I) '' s
-- Mathlib/Tactic/NormNum/IsCoprime.lean
x y : ℤ
d : ℕ
hd : x.gcd y = d
h : d.beq 1 = false

⊢ ¬IsCoprime x y
-- Mathlib/Tactic/NormNum/IsCoprime.lean
x y : ℤ
d : ℕ
hd : x.gcd y = d
h : d.beq 1 = false

⊢ ¬d = 1
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
I : Type u_1
A : Type u_2
X : I → Type u_3
inst✝¹ : (i : I) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : TopologicalSpace A
f g : (i : I) → C(A, X i)
S : Set A
homotopies : (i : I) → (f i).HomotopyRel (g i) S
t : ↑unitInterval
x : A
hx : x ∈ S

⊢ { toFun := fun x => __src✝.toFun (t, x), continuous_toFun := ⋯ } x = (ContinuousMap.pi f) x
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
I : Type u_1
A : Type u_2
X : I → Type u_3
inst✝¹ : (i : I) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : TopologicalSpace A
f g : (i : I) → C(A, X i)
S : Set A
homotopies : (i : I) → (f i).HomotopyRel (g i) S
t : ↑unitInterval
x : A
hx : x ∈ S

⊢ (Homotopy.pi fun i => (homotopies i).toHomotopy).toContinuousMap (t, x) = fun i => (f i) x
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
I : Type u_1
A : Type u_2
X : I → Type u_3
inst✝¹ : (i : I) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : TopologicalSpace A
f g : (i : I) → C(A, X i)
S : Set A
homotopies : (i : I) → (f i).HomotopyRel (g i) S
t : ↑unitInterval
x : A
hx : x ∈ S

⊢ ∀ (a : I), (Homotopy.pi fun i => (homotopies i).toHomotopy).toContinuousMap (t, x) a = (f a) x
-- Mathlib/Topology/Homotopy/Product.lean
I : Type u_1
A : Type u_2
X : I → Type u_3
inst✝¹ : (i : I) → TopologicalSpace (X i)
inst✝ : TopologicalSpace A
f g : (i : I) → C(A, X i)
S : Set A
homotopies : (i : I) → (f i).HomotopyRel (g i) S
t : ↑unitInterval
x : A
hx : x ∈ S
i : I

⊢ (Homotopy.pi fun i => (homotopies i).toHomotopy).toContinuousMap (t, x) i = (f i) x
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
f : Char → Char
l : List Char
c : Char
r : List Char

⊢ (if h : { data := l ++ c :: r }.atEnd { byteIdx := utf8Len l } = true then { data := l ++ c :: r } else let c_1 := f ({ data := l ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l }); let_fun this := ⋯; let s := { data := l ++ c :: r }.set { byteIdx := utf8Len l } c_1; mapAux f (s.next { byteIdx := utf8Len l }) s) = { data := l ++ List.map f (c :: r) }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
f : Char → Char
l : List Char
c : Char
r : List Char

⊢ (let c_1 := f ({ data := l ++ c :: r }.get { byteIdx := utf8Len l }); let_fun this := ⋯; let s := { data := l ++ c :: r }.set { byteIdx := utf8Len l } c_1; mapAux f (s.next { byteIdx := utf8Len l }) s) = { data := l ++ List.map f (c :: r) }
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
f : Char → Char
l : List Char
c : Char
r : List Char

⊢ mapAux f { byteIdx := utf8Len l + (f c).utf8Size } { data := l ++ f c :: r } = { data := l ++ f c :: List.map f r }
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
f : RingQuot r →+* T

⊢ f = lift ⟨f.comp (mkRingHom r), ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
f : RingQuot r →+* T

⊢ lift (lift.symm f) = lift ⟨f.comp (mkRingHom r), ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/RingQuot.lean
R : Type uR
inst✝⁴ : Semiring R
S : Type uS
inst✝³ : CommSemiring S
T : Type uT
A : Type uA
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra S A
r✝ : R → R → Prop
inst✝ : Semiring T
r : R → R → Prop
f : RingQuot r →+* T

⊢ { toFun := fun f => preLift ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (mkRingHom r), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ({ toFun := fun f => preLift ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (mkRingHom r), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.symm f) = { toFun := fun f => preLift ⋯, invFun := fun F => ⟨F.comp (mkRingHom r), ⋯⟩, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } ⟨f.comp (mkRingHom r), ⋯⟩
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
hU : q U

⊢ μ U = ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ U), ⨆ (_ : p K), μ K
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p q : Set α → Prop
U : Set α
ε : ℝ≥0∞
H : μ.InnerRegularWRT p q
hU : q U
r : ℝ≥0∞
hr : r < μ U

⊢ r < ⨆ K, ⨆ (_ : K ⊆ U), ⨆ (_ : p K), μ K
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogDeriv.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h₁ : HasStrictDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ slitPlane

⊢ HasStrictDerivAt (fun t => log (f t)) (f' / f x) x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/LogDeriv.lean
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
f' x : ℂ
h₁ : HasStrictDerivAt f f' x
h₂ : f x ∈ slitPlane

⊢ HasStrictDerivAt (fun t => log (f t)) ((f x)⁻¹ * f') x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ✝ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝³ : CommMonoid β
γ : Type u_6
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : OrderedCommMonoid γ
inst✝ : CovariantClass γ γ (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
s : Finset α
d : α
hd : d ∈ s
f : α → γ
hdf : 1 < f d

⊢ ∏ m ∈ s.erase d, f m < ∏ m ∈ s, f m
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ✝ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝³ : CommMonoid β
γ : Type u_6
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : OrderedCommMonoid γ
inst✝ : CovariantClass γ γ (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
s : Finset α
d : α
hd : d ∈ s
f : α → γ
hdf : 1 < f d

⊢ ∏ m ∈ s.erase d, f m < ∏ m ∈ insert d (s.erase d), f m
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ✝ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝³ : CommMonoid β
γ : Type u_6
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : OrderedCommMonoid γ
inst✝ : CovariantClass γ γ (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
s : Finset α
d : α
hd : d ∈ s
f : α → γ
hdf : 1 < f d

⊢ ∏ m ∈ s.erase d, f m < f d * ∏ x ∈ s.erase d, f x
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β

⊢ IsOpen (exterior s)
-- Mathlib/Topology/AlexandrovDiscrete.lean
ι : Sort u_1
κ : ι → Sort u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : TopologicalSpace β
s t : Set α
a x y : α
inst✝¹ : AlexandrovDiscrete α
inst✝ : AlexandrovDiscrete β

⊢ IsOpen (⋂₀ {t | IsOpen t ∧ s ⊆ t})
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k[X]

⊢ p.roots = 0 ↔ p = C (p.coeff 0)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k[X]
h : p.roots = 0

⊢ p = C (p.coeff 0)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k[X]
h : p.roots = 0
hd : p.degree ≤ 0

⊢ p = C (p.coeff 0)
-- Mathlib/FieldTheory/IsAlgClosed/Basic.lean
k : Type u
inst✝¹ : Field k
inst✝ : IsAlgClosed k
p : k[X]
h : p.roots = 0
hd : 0 < p.degree

⊢ p = C (p.coeff 0)
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t

⊢ eVariationOn (f ∘ φ) t = eVariationOn f (φ '' t)
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t

⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : IsEmpty β

⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : Nonempty β

⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t

⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)

⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)
ψts : MapsTo ψ (φ '' t) t

⊢ eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t