ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/WidePullbacks.lean
J : Type w
C✝ : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
B : C
objs : J → C
arrows : (j : J) → B ⟶ objs j
inst✝ : HasWidePushout B objs arrows
X : C
f : B ⟶ X
fs : (j : J) → objs j ⟶ X
w : ∀ (j : J), arrows j ≫ fs j = f
j : J

⊢ ι arrows j ≫ desc f fs w = fs j
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
R : ℝ
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hy' : ‖y‖ ≠ 0

⊢ dist ((R / ‖x‖) ^ 2 • x) ((R / ‖y‖) ^ 2 • y) = √(‖(R / ‖x‖) ^ 2 • x - (R / ‖y‖) ^ 2 • y‖ ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
R : ℝ
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hy' : ‖y‖ ≠ 0

⊢ ‖(R / ‖x‖) ^ 2 • x - (R / ‖y‖) ^ 2 • y‖ ^ 2 = (R ^ 2 / (‖x‖ * ‖y‖)) ^ 2 * ‖x - y‖ ^ 2
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
R : ℝ
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hy' : ‖y‖ ≠ 0

⊢ ((R * R * ‖x‖ * (R * R * ‖x‖) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖x‖)) - ‖x‖ * ‖x‖ * (‖x‖ * ‖x‖) * (2 * (R * R * (R * R * ⟪x, y⟫_ℝ)))) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖y‖ * ‖y‖)) + R * R * ‖y‖ * (R * R * ‖y‖) * (‖x‖ * ‖x‖ * (‖x‖ * ‖x‖) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖x‖)))) * (‖x‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖y‖)) = R * R * (R * R) * (‖x‖ * ‖x‖ - 2 * ⟪x, y⟫_ℝ + ‖y‖ * ‖y‖) * (‖x‖ * ‖x‖ * (‖x‖ * ‖x‖) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖x‖ * ‖x‖)) * (‖y‖ * ‖y‖ * (‖y‖ * ‖y‖)))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : F
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
R : ℝ
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hy' : ‖y‖ ≠ 0

⊢ √((R ^ 2 / (‖x‖ * ‖y‖)) ^ 2 * ‖x - y‖ ^ 2) = R ^ 2 / (‖x‖ * ‖y‖) * dist x y
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ (o.oangle y (y - x)).cos * ‖y - x‖ = ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)
hs : (o.oangle y (y - x)).sign = 1

⊢ (o.oangle y (y - x)).cos * ‖y - x‖ = ‖y‖
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n m : ℕ
h : n < m

⊢ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n ∩ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i m = ∅
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/SignedHahn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace α
M : Type u_3
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : OrderedAddCommMonoid M
s : SignedMeasure α
i j : Set α
n m : ℕ
h : n < m

⊢ ∀ (x : α), x ∉ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i n ∩ MeasureTheory.SignedMeasure.restrictNonposSeq s i m
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s

⊢ vectorSpan k s = Submodule.span k ((fun x => p -ᵥ x) '' (s \ {p}))
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Set P
p : P
hp : p ∈ s

⊢ Submodule.span k (insert (p -ᵥ p) ((fun x => p -ᵥ x) '' (s \ {p}))) = Submodule.span k ((fun x => p -ᵥ x) '' (s \ {p}))
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Complex.lean
ζ : ℂˣ
n : ℕ+
hζ : ζ ∈ rootsOfUnity n ℂ

⊢ ‖↑ζ‖ = 1
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Complex.lean
ζ : ℂˣ
n : ℕ+
hζ : ζ ∈ rootsOfUnity n ℂ

⊢ ↑ζ ^ ↑n = 1
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Complex.lean
ζ : ℂˣ
n : ℕ+
hζ : ζ ∈ rootsOfUnity n ℂ

⊢ ↑(ζ ^ ↑n) = 1
-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/Complex.lean
ζ : ℂˣ
n : ℕ+
hζ : ζ ^ ↑n = 1

⊢ ↑(ζ ^ ↑n) = 1
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0∞
hf : ∑' (x : α), f x ≠ ⊤

⊢ Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // x ∉ s }), f ↑b) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0
hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤

⊢ Tendsto (fun s => ∑' (b : { x // x ∉ s }), (fun i => ↑(f i)) ↑b) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0
hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤
x✝ : Finset α

⊢ ∑' (b : { x // x ∉ x✝ }), (fun i => ↑(f i)) ↑b = ↑(∑' (b : { x // x ∉ x✝ }), f ↑b)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g : α✝ → ℝ≥0∞
α : Type u_4
f : α → ℝ≥0
hf : ∑' (x : α), (fun i => ↑(f i)) x ≠ ⊤
x✝ : Finset α

⊢ Summable fun b => f ↑b
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_2
β : Sort u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
f : (a : α) → P a
b : β
x : P (e.symm b)
b' : β

⊢ (Equiv.piCongrLeft' P e) (update f (e.symm b) x) b' = update ((Equiv.piCongrLeft' P e) f) b x b'
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_2
β : Sort u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
f : (a : α) → P a
b' : β
x : P (e.symm b')

⊢ (Equiv.piCongrLeft' P e) (update f (e.symm b') x) b' = update ((Equiv.piCongrLeft' P e) f) b' x b'
-- Mathlib/Logic/Equiv/Basic.lean
α : Sort u_2
β : Sort u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
P : α → Sort u_1
e : α ≃ β
f : (a : α) → P a
b : β
x : P (e.symm b)
b' : β
h : b' ≠ b

⊢ (Equiv.piCongrLeft' P e) (update f (e.symm b) x) b' = update ((Equiv.piCongrLeft' P e) f) b x b'
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
y : ℝ

⊢ Real.toEReal ⁻¹' Ioc ⊥ ↑y = Iic y
-- Mathlib/Data/Real/EReal.lean
y : ℝ

⊢ Real.toEReal ⁻¹' (Ioi ⊥ ∩ Iic ↑y) = Iic y
-- Mathlib/MeasureTheory/OuterMeasure/Operations.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : OuterMeasure α
f : α → β
hf : Surjective f

⊢ (map f) ⊤ = ⊤
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β
s t : List α
hf : Injective f
h : s.Disjoint t

⊢ (map f s).Disjoint (map f t)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → β
s t : List α
hf : Injective f
h : s.Disjoint t

⊢ (pmap (fun a x => f a) s ⋯).Disjoint (pmap (fun a x => f a) t ⋯)
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℚ_[p]
property✝ : ‖k‖ ≤ 1
h : ‖⟨k, property✝⟩‖ = 1

⊢ ⟨k, property✝⟩ * inv ⟨k, property✝⟩ = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℚ_[p]
property✝ : ‖k‖ ≤ 1
h : ‖⟨k, property✝⟩‖ = 1
hk : k ≠ 0

⊢ ⟨k, property✝⟩ * inv ⟨k, property✝⟩ = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℚ_[p]
property✝ : ‖k‖ ≤ 1
h : ‖⟨k, property✝⟩‖ = 1
hk : k ≠ 0

⊢ (⟨k, property✝⟩ * match ⟨k, property✝⟩ with | ⟨k, property⟩ => if h : ‖k‖ = 1 then ⟨k⁻¹, ⋯⟩ else 0) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℚ_[p]
property✝ : ‖k‖ ≤ 1
h : ‖k‖ = 1
hk : k ≠ 0

⊢ (⟨k, property✝⟩ * match ⟨k, property✝⟩ with | ⟨k, property⟩ => if h : ‖k‖ = 1 then ⟨k⁻¹, ⋯⟩ else 0) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℚ_[p]
property✝ : ‖k‖ ≤ 1
h : ‖k‖ = 1
hk : k ≠ 0

⊢ (⟨k, property✝⟩ * if h : ‖k‖ = 1 then ⟨k⁻¹, ⋯⟩ else 0) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℚ_[p]
property✝ : ‖k‖ ≤ 1
h : ‖k‖ = 1
hk : k ≠ 0

⊢ ⟨k, property✝⟩ * ⟨k⁻¹, ⋯⟩ = 1
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicIntegers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : ℚ_[p]
property✝ : ‖k‖ ≤ 1
h : ‖k‖ = 1
hk : k ≠ 0

⊢ ↑(⟨k, property✝⟩ * ⟨k⁻¹, ⋯⟩) = ↑1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸'

⊢ HasFDerivWithinAt (fun y => c y * d) (d • c') s x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸'

⊢ d • c' = c'.smulRight d
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
𝔸 : Type u_6
𝔸' : Type u_7
inst✝³ : NormedRing 𝔸
inst✝² : NormedCommRing 𝔸'
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
a b : E → 𝔸
a' b' : E →L[𝕜] 𝔸
c d✝ : E → 𝔸'
c' d' : E →L[𝕜] 𝔸'
hc : HasFDerivWithinAt c c' s x
d : 𝔸'
z : E

⊢ (d • c') z = (c'.smulRight d) z
-- Mathlib/Data/Option/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
f : γ → α → β
x : α → β
i : Option γ
y : α

⊢ i.elim x f y = i.elim (x y) fun j => f j y
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/CountableCover.lean
α : Type u
ι : Type v
a : Cardinal.{u}
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
ht : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a

⊢ #α ≤ a
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/CountableCover.lean
α : Type u
ι : Type v
a : Cardinal.{u}
inst✝¹ : Countable ι
f : ι → Set α
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
ht : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in l, x ∈ f i
h'f : ∀ (i : ι), #↑(f i) ≤ a

⊢ #↑Set.univ ≤ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f g : ↥(Lp E p μ)

⊢ edist f g = ENNReal.ofReal (dist f g)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallySurjective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G

⊢ IsLocallySurjective J f ↔ IsLocallySurjective J (whiskerRight f (forget A))
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallySurjective.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G

⊢ Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf (whiskerRight f (forget A))) = ⊤ ↔ Subpresheaf.sheafify J (imagePresheaf (whiskerRight (whiskerRight f (forget A)) (forget (Type w')))) = ⊤
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
u : Set ℝ≥0∞
h : t.OrdConnected

⊢ (ofNNReal '' t).OrdConnected
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
u : Set ℝ≥0∞
h : t.OrdConnected
x : ℝ≥0
hx : x ∈ t
y : ℝ≥0
hy : y ∈ t
z : ℝ≥0∞
hz : z ∈ Icc ↑x ↑y

⊢ z ∈ ofNNReal '' t
-- Mathlib/Data/ENNReal/Basic.lean
α : Type u_1
s : Set ℝ
t : Set ℝ≥0
u : Set ℝ≥0∞
h : t.OrdConnected
x : ℝ≥0
hx : x ∈ t
y : ℝ≥0
hy : y ∈ t
z : ℝ≥0
hz : ↑z ∈ Icc ↑x ↑y

⊢ ↑z ∈ ofNNReal '' t
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
hn : n ≠ 1

⊢ IsPrimePow n ↔ ∃ p, Nat.Prime p ∧ n / p ^ n.factorization p = 1
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n : ℕ
hn : n ≠ 1
h : ∃ p, Nat.Prime p ∧ n / p ^ n.factorization p = 1

⊢ IsPrimePow n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n : ℕ
hn : n ≠ 1
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1

⊢ IsPrimePow n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n : ℕ
hn : n ≠ 1
p : ℕ
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1

⊢ ∃ p k, Nat.Prime p ∧ 0 < k ∧ p ^ k = n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
hn : p ^ n.factorization p ≠ 1
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1

⊢ ∃ p_1 k, Nat.Prime p_1 ∧ 0 < k ∧ p_1 ^ k = p ^ n.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
hn : p ^ n.factorization p ≠ 1
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1

⊢ 0 < n.factorization p
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/PrimePow.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p✝ : R
k n p : ℕ
pp : Nat.Prime p
h : n / p ^ n.factorization p = 1
hn : n.factorization p ≤ 0

⊢ p ^ n.factorization p = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Coxeter/Basic.lean
B : Type u_1
B' : Type u_2
e : B ≃ B'
W : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹ : Group W
inst✝ : Group H
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W
i : B

⊢ cs.simple i * (cs.simple i * w) = w
-- Mathlib/Topology/Order/MonotoneConvergence.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝³ : Preorder ι
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝ : InfConvergenceClass α
f : ι → α
a : α
h_mono : Monotone f
hbdd : BddBelow (range f)

⊢ Tendsto f atBot (𝓝 (⨅ i, f i))
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
head✝ : Sigma β
l₁ : List (Sigma β)
l₂ : List (Sigma β)
h : a ∉ (head✝ :: l₁).keys

⊢ kerase a (head✝ :: l₁ ++ l₂) = head✝ :: l₁ ++ kerase a l₂
-- Mathlib/Data/List/Sigma.lean
α : Type u
β : α → Type v
l l₁✝ l₂✝ : List (Sigma β)
inst✝ : DecidableEq α
a : α
head✝ : Sigma β
l₁ : List (Sigma β)
l₂ : List (Sigma β)
h : ¬a = head✝.fst ∧ a ∉ l₁.keys

⊢ kerase a (head✝ :: l₁ ++ l₂) = head✝ :: l₁ ++ kerase a l₂
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf : AEStronglyMeasurable f μ

⊢ AEStronglyMeasurable' m (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂(condexpKernel μ m) ω) μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf : AEStronglyMeasurable f μ

⊢ AEStronglyMeasurable' m (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω) μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : AEStronglyMeasurable' (MeasurableSpace.comap id (m ⊓ mΩ)) (fun a => ∫ (y : Ω), f (id a, y).2 ∂(condDistrib id id μ) (id a)) μ

⊢ AEStronglyMeasurable' m (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω) μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝² : IsFiniteMeasure μ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
hf : AEStronglyMeasurable f μ
h : AEStronglyMeasurable' (m ⊓ mΩ) (fun a => ∫ (y : Ω), f (id a, y).2 ∂(condDistrib id id μ) (id a)) μ

⊢ AEStronglyMeasurable' m (fun ω => ∫ (y : Ω), f y ∂((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω) μ
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
o : Ordinal.{u_1}

⊢ o.toPGame.Numeric
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, k.toPGame.Numeric

⊢ o.toPGame.Numeric
-- Mathlib/SetTheory/Surreal/Basic.lean
o : Ordinal.{u_1}
IH : ∀ k < o, k.toPGame.Numeric

⊢ ∀ (i : o.toPGame.LeftMoves), (o.toPGame.moveLeft i).Numeric
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty

⊢ σ (k • a) = k • σ a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : (σ a).Nonempty

⊢ σ (0 • a) = 0 • σ a
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Spectrum.lean
𝕜 : Type u
A : Type v
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : Ring A
inst✝¹ : Algebra 𝕜 A
inst✝ : Nontrivial A
k : 𝕜
a : A
ha : (σ a).Nonempty
h : k ≠ 0

⊢ σ (k • a) = k • σ a
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Ker.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹² : Semiring R
inst✝¹¹ : Semiring R₂
inst✝¹⁰ : Semiring R₃
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁶ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f : F

⊢ ker f = ⊥ ↔ ∀ (m : M), f m = 0 → m = 0
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p q : K[X]

⊢ (liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = φ p / φ q
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p : K[X]

⊢ (liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) 0) = φ p / φ 0
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : IsDomain K
L : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero L
φ : K[X] →*₀ L
hφ : K[X]⁰ ≤ Submonoid.comap φ L⁰
p q : K[X]
hq : q ≠ 0

⊢ (liftMonoidWithZeroHom φ hφ) ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q) = φ p / φ q
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/VolumeOfBalls.lean
a : ℂ
r : ℝ

⊢ volume (Metric.ball a r) = ENNReal.ofReal r ^ 2 * ↑NNReal.pi
-- Mathlib/Data/Finset/Fold.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
op : β → β → β
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
f : α → β
b : β
s✝ : Finset α
a : α
g : γ ↪ α
s : Finset γ

⊢ fold op b f (map g s) = fold op b (f ∘ ⇑g) s
-- Mathlib/Algebra/Tropical/BigOperators.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder R
inst✝ : Fintype S
f : S → WithTop R

⊢ trop (⨅ i, f i) = ∑ i : S, trop (f i)
-- Mathlib/Topology/Order/Category/FrameAdjunction.lean
L : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice L
a b : L

⊢ (fun u => {x | x u}) (a ⊓ b) = (fun u => {x | x u}) a ⊓ (fun u => {x | x u}) b
-- Mathlib/Topology/Order/Category/FrameAdjunction.lean
L : Type u_1
inst✝ : CompleteLattice L
S : Set L
x✝ : PT L

⊢ x✝ ∈ { toFun := fun u => {x | x u}, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }.toFun (sSup S) ↔ x✝ ∈ sSup ({ toFun := fun u => {x | x u}, map_inf' := ⋯, map_top' := ⋯ }.toFun '' S)
-- Mathlib/Data/Real/ConjExponents.lean
a b p q : ℝ≥0
h✝ : p.IsConjExponent q
h : 1 < p

⊢ p.IsConjExponent q ↔ q = p / (p - 1)
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁✝ l₂✝ l₁ l₂ : List α
n : ℕ
a : α
h : l₁.length = n

⊢ takeD l₁.length (l₁ ++ l₂) a = l₁
-- Mathlib/CategoryTheory/CommSq.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
D : Type u_2
inst✝ : Category.{u_4, u_2} D
F : C ⥤ D
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
s : CommSq f g h i

⊢ F.map f ≫ F.map h = F.map g ≫ F.map i
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
x : ↑X

⊢ ⟦H.evalAt x⟧ = eqToHom ⋯ ≫ (π.map H.uliftMap).map ((prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} ↑I)) X).map (⟦unitInterval.upath01⟧, 𝟙 (fromTop x))) ≫ eqToHom ⋯
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
x : ↑X

⊢ HEq ⟦H.evalAt x⟧ ((π.map H.uliftMap).map ((prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} ↑I)) X).map (⟦unitInterval.upath01⟧, 𝟙 (fromTop x))))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
x : ↑X

⊢ HEq ⟦H.evalAt x⟧ (Path.Homotopic.Quotient.mapFn ((prodToProdTop (TopCat.of (ULift.{u, 0} ↑I)) X).map (⟦unitInterval.upath01⟧, 𝟙 (fromTop x))) H.uliftMap)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/FundamentalGroupoid/InducedMaps.lean
X Y : TopCat
f g : C(↑X, ↑Y)
H : f.Homotopy g
x₀ x₁ : ↑X
p : fromTop x₀ ⟶ fromTop x₁
x : ↑X

⊢ ∀ (t : ↑I), (H.evalAt x) t = ((fun q => q.map ⋯) (unitInterval.upath01.prod (Path.refl (fromTop x).as))) t
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
i : m

⊢ (v ⬝ᵥ fun j => diagonal w j i) = v i * w i
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝³ : Fintype m
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
i : m
this : ∀ (j : m), j ≠ i → v j * diagonal w j i = 0

⊢ (v ⬝ᵥ fun j => diagonal w j i) = v i * w i
-- Mathlib/RingTheory/Localization/Finiteness.lean
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
S : Submonoid R
M : Type w
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
t : Set R
ht : Ideal.span t = ⊤
Mₚ : ↑t → Type u_1
inst✝⁵ : (g : ↑t) → AddCommMonoid (Mₚ g)
inst✝⁴ : (g : ↑t) → Module R (Mₚ g)
Rₚ : ↑t → Type u
inst✝³ : (g : ↑t) → CommRing (Rₚ g)
inst✝² : (g : ↑t) → Algebra R (Rₚ g)
h₁ : ∀ (g : ↑t), IsLocalization.Away (↑g) (Rₚ g)
inst✝¹ : (g : ↑t) → Module (Rₚ g) (Mₚ g)
inst✝ : ∀ (g : ↑t), IsScalarTower R (Rₚ g) (Mₚ g)
f : (g : ↑t) → M →ₗ[R] Mₚ g
h₂ : ∀ (g : ↑t), IsLocalizedModule (Submonoid.powers ↑g) (f g)
H : ∀ (g : ↑t), Finite (Rₚ g) (Mₚ g)

⊢ Finite R M