ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
d : n → R

⊢ (∀ (i : n), 0 ≤ d i) → (diagonal d).PosSemidef
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
d : n → R
hd : ∀ (i : n), 0 ≤ d i

⊢ ∀ (x : n → R), 0 ≤ star x ⬝ᵥ diagonal d *ᵥ x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/PosDef.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
d : n → R
hd : ∀ (i : n), 0 ≤ d i
x : n → R
i : n
x✝ : i ∈ Finset.univ

⊢ 0 ≤ star x i * (diagonal d *ᵥ x) i
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m : M
x : MvPolynomial σ R

⊢ x ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w m ↔ x ∈ supported R R {d | (weight w) d = m}
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m : M
x : MvPolynomial σ R

⊢ x ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w m ↔ ∀ x_1 ∈ ↑x.support, x_1 ∈ {d | (weight w) d = m}
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/WeightedHomogeneous.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommSemiring R
σ : Type u_3
inst✝ : AddCommMonoid M
w : σ → M
m : M
x : MvPolynomial σ R

⊢ x ∈ weightedHomogeneousSubmodule R w m ↔ ∀ (x_1 : σ →₀ ℕ), x x_1 ≠ 0 → x_1 ∈ {d | (weight w) d = m}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
hm : μ.IsMetric

⊢ inst✝¹ ≤ μ.caratheodory
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
μ : OuterMeasure X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
hm : μ.IsMetric

⊢ borel X ≤ μ.caratheodory
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
m n : ℕ

⊢ m / n ≤ m
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m✝ n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
m : ℕ

⊢ m / 0 ≤ m
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m✝ n✝ k : ℕ
p q : ℕ → Prop
m n : ℕ
hn : n > 0

⊢ m / n ≤ m
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ

⊢ ringChar (ZMod n) = n
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n : ℕ

⊢ CharP (ZMod n) n
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hA : Convex 𝕜 A

⊢ x ∈ extremePoints 𝕜 A ↔ x ∈ A \ (convexHull 𝕜) (A \ {x})
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
n : ℕ
hn : Squarefree n
help : ∀ (a b : ZMod 4), a ≠ 3 → b ≠ 3 → a * b ≠ 3

⊢ IsSquare (-1) ↔ ∀ {q : ℕ}, q ∣ n → q % 4 ≠ 3
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
n : ℕ
hn : Squarefree n
help : ∀ (a b : ZMod 4), a ≠ 3 → b ≠ 3 → a * b ≠ 3

⊢ (∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3) ↔ ∀ {q : ℕ}, q ∣ n → q % 4 ≠ 3
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
n : ℕ
hn : Squarefree n
help : ∀ (a b : ZMod 4), a ≠ 3 → b ≠ 3 → a * b ≠ 3
H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3

⊢ ∀ {q : ℕ}, q ∣ n → q % 4 ≠ 3
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
n : ℕ
hn : Squarefree n
help : ∀ (a b : ZMod 4), a ≠ 3 → b ≠ 3 → a * b ≠ 3
H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3

⊢ 0 ∣ n → 0 % 4 ≠ 3
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
n : ℕ
hn : Squarefree n
help : ∀ (a b : ZMod 4), a ≠ 3 → b ≠ 3 → a * b ≠ 3
H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3

⊢ 1 ∣ n → 1 % 4 ≠ 3
-- Mathlib/NumberTheory/SumTwoSquares.lean
n : ℕ
hn : Squarefree n
help : ∀ (a b : ZMod 4), a ≠ 3 → b ≠ 3 → a * b ≠ 3
H : ∀ {q : ℕ}, Nat.Prime q → q ∣ n → q % 4 ≠ 3
p q : ℕ
hp : Nat.Prime p
hq : q ∣ n → q % 4 ≠ 3
hpq : p * q ∣ n

⊢ p * q % 4 ≠ 3
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing α
a✝ b✝ c d a b : α

⊢ |a - b| * |a - b| = a * a + b * b - (1 + 1) * a * b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedCommRing α
a✝ b✝ c d a b : α

⊢ (a - b) * (a - b) = a * a + b * b - (1 + 1) * a * b
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology

⊢ (K.homologyIsoSc' i j k hi hk).hom ≫ (K.sc' i j k).homologyι = K.homologyι j ≫ (K.opcyclesIsoSc' i j k hi hk).hom
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
r : R

⊢ (expand R 1) (C r) = C r
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f✝ f g : R[X]
ihf : (expand R 1) f = f
ihg : (expand R 1) g = g

⊢ (expand R 1) (f + g) = f + g
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Expand.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
p q : ℕ
f : R[X]
n : ℕ
r : R
x✝ : (expand R 1) (C r * X ^ n) = C r * X ^ n

⊢ (expand R 1) (C r * X ^ (n + 1)) = C r * X ^ (n + 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/NullMeasurable.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
ht : NullMeasurableSet t μ
hd : AEDisjoint μ s t

⊢ μ (s ∪ t) = μ s + μ t
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
hf : IsNormal f
a : Ordinal.{u_2}

⊢ a.cof ≤ (f a).cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
hf : IsNormal f

⊢ cof 0 ≤ (f 0).cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
hf : IsNormal f
b : Ordinal.{u_2}

⊢ (succ b).cof ≤ (f (succ b)).cof
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
f : Ordinal.{u_2} → Ordinal.{u_2}
hf : IsNormal f
a : Ordinal.{u_2}
ha : a.IsLimit

⊢ a.cof ≤ (f a).cof
-- Mathlib/Data/Set/Prod.lean
α : Type u_1
s✝ t : Set α
s : Set (α × α)

⊢ diagonal α ⊆ s ↔ ∀ (x : α), (x, x) ∈ s
-- Mathlib/FieldTheory/AxGrothendieck.lean
ι : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Finite K
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : Algebra K R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic K R
ps : ι → MvPolynomial ι R
hinj : Injective fun v i => (MvPolynomial.eval v) (ps i)

⊢ Surjective fun v i => (MvPolynomial.eval v) (ps i)
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n m : ℕ

⊢ n ∈ m.divisors ↔ n ∣ m ∧ m ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ

⊢ n ∈ divisors 0 ↔ n ∣ 0 ∧ 0 ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n m : ℕ
hm : m ≠ 0

⊢ n ∈ m.divisors ↔ n ∣ m ∧ m ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n m : ℕ
hm : m ≠ 0

⊢ n ∣ m → n ≤ m
-- Mathlib/Tactic/NormNum/Result.lean
α✝ : Type u
u : Level
α : Type u_1
inst✝ : DivisionRing α
n d : ℕ
inv✝ : Invertible ↑d

⊢ ↑(Int.negOfNat n) * ⅟↑d = -(↑n / ↑d)
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ : List α
a : α
l₂ : List α
hl₁ : l₁.Nodup

⊢ l₁.diff (a :: l₂) = List.filter (fun x => decide (x ∉ a :: l₂)) l₁
-- Mathlib/Data/List/Nodup.lean
α : Type u
β : Type v
l l₁✝ l₂✝ : List α
r : α → α → Prop
a✝ b : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ : List α
a : α
l₂ : List α
hl₁ : l₁.Nodup

⊢ List.filter (fun a_1 => decide (decide (a_1 ∉ l₂) = true ∧ decide (a_1 ≠ a) = true)) l₁ = List.filter (fun x => decide (x ∉ a :: l₂)) l₁
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

⊢ ContDiff 𝕜 ⊤ f ↔ ∀ (n : ℕ), ContDiff 𝕜 (↑n) f
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R✝ : Sheaf J RingCat
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N

⊢ ∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.obj X)) (x : ↑(M₂.presheaf.obj X)), (((Localization.LeftBousfield.W.homEquiv ⋯ N.presheaf hN).symm ψ.hom).app X) (r • x) = r • (((Localization.LeftBousfield.W.homEquiv ⋯ N.presheaf hN).symm ψ.hom).app X) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R✝ : Sheaf J RingCat
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N
φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf
hφ : (Localization.LeftBousfield.W.homEquiv ⋯ N.presheaf hN) φ = ψ.hom

⊢ ∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.obj X)) (x : ↑(M₂.presheaf.obj X)), (((Localization.LeftBousfield.W.homEquiv ⋯ N.presheaf hN).symm ψ.hom).app X) (r • x) = r • (((Localization.LeftBousfield.W.homEquiv ⋯ N.presheaf hN).symm ψ.hom).app X) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R✝ : Sheaf J RingCat
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N
φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf
hφ : (Localization.LeftBousfield.W.homEquiv ⋯ N.presheaf hN) φ = ψ.hom

⊢ ∀ (X : Cᵒᵖ) (r : ↑(R.obj X)) (x : ↑(M₂.presheaf.obj X)), (φ.app X) (r • x) = r • (φ.app X) x
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R✝ : Sheaf J RingCat
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N
φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf
hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom
X : Cᵒᵖ
r : ↑(R.obj X)
y : ↑(M₂.presheaf.obj X)

⊢ (φ.app X) (r • y) = r • (φ.app X) y
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R✝ : Sheaf J RingCat
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N
φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf
hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom
X : Cᵒᵖ
r : ↑(R.obj X)
y : ↑(M₂.presheaf.obj X)

⊢ ∀ (Y : C) (f_1 : Y ⟶ Opposite.unop X), (Presheaf.imageSieve f.hom y).arrows f_1 → (N.presheaf.map f_1.op) ((φ.app X) (r • y)) = (N.presheaf.map f_1.op) (r • (φ.app X) y)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R✝ : Sheaf J RingCat
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N
φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf
hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom
X : Cᵒᵖ
r : ↑(R.obj X)
y : ↑(M₂.presheaf.obj X)
Y : C
p : Y ⟶ Opposite.unop X
x : (forget AddCommGrp).obj (M₁.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hx : (f.hom.app (Opposite.op Y)) x = (M₂.presheaf.map p.op) y

⊢ (N.presheaf.map p.op) ((φ.app X) (r • y)) = (N.presheaf.map p.op) (r • (φ.app X) y)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R✝ : Sheaf J RingCat
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N
φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf
hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom
X : Cᵒᵖ
r : ↑(R.obj X)
y : ↑(M₂.presheaf.obj X)
Y : C
p : Y ⟶ Opposite.unop X
x : (forget AddCommGrp).obj (M₁.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hx : (f.hom.app (Opposite.op Y)) x = (M₂.presheaf.map p.op) y
eq : (ψ.hom.app (Opposite.op Y)) ((R.map p.op) r • x) = (R.map p.op) r • (ψ.hom.app (Opposite.op Y)) x

⊢ (N.presheaf.map p.op) ((φ.app X) (r • y)) = (N.presheaf.map p.op) (r • (φ.app X) y)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R✝ : Sheaf J RingCat
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N
φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf
hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom
X : Cᵒᵖ
r : ↑(R.obj X)
y : ↑(M₂.presheaf.obj X)
Y : C
p : Y ⟶ Opposite.unop X
x : (forget AddCommGrp).obj (M₁.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hx : (f.hom.app (Opposite.op Y)) x = (M₂.presheaf.map p.op) y
eq : (φ.app (Opposite.op Y)) ((f.hom.app (Opposite.op Y)) ((R.map p.op) r • x)) = (R.map p.op) r • (φ.app (Opposite.op Y)) ((f.hom.app (Opposite.op Y)) x)

⊢ (N.presheaf.map p.op) ((φ.app X) (r • y)) = (N.presheaf.map p.op) (r • (φ.app X) y)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/Sheaf.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R✝ : Sheaf J RingCat
R : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
M₁ M₂ : PresheafOfModules R
f : M₁ ⟶ M₂
N : PresheafOfModules R
hN : Presheaf.IsSheaf J N.presheaf
inst✝² : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallySurjective J f.hom
inst✝ : Presheaf.IsLocallyInjective J f.hom
ψ : M₁ ⟶ N
φ : M₂.presheaf ⟶ N.presheaf
hφ : f.hom ≫ φ = ψ.hom
X : Cᵒᵖ
r : ↑(R.obj X)
y : ↑(M₂.presheaf.obj X)
Y : C
p : Y ⟶ Opposite.unop X
x : (forget AddCommGrp).obj (M₁.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hx : (f.hom.app (Opposite.op Y)) x = (M₂.presheaf.map p.op) y
eq : (φ.app (Opposite.op Y)) ((f.hom.app (Opposite.op Y)) ((R.map p.op) r • x)) = (R.map p.op) r • (φ.app (Opposite.op Y)) ((f.hom.app (Opposite.op Y)) x)

⊢ (φ.app (Opposite.op Y)) ((R.map p.op) r • (f.hom.app (Opposite.op Y)) x) = (φ.app (Opposite.op Y)) ((R.map p.op) r • (f.hom.app (Opposite.op Y)) x)
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup P
inst✝² : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : μ.IsNegInvariant
n : ℕ∞
hcf : HasCompactSupport f
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : LocallyIntegrable g μ

⊢ ContDiff 𝕜 n (f ⋆[L, μ] g)
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
inst✝⁷ : MeasurableSpace G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup P
inst✝² : NormedSpace 𝕜 P
μ : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : μ.IsNegInvariant
n : ℕ∞
hcf : HasCompactSupport f
hf : ContDiff 𝕜 n f
hg : LocallyIntegrable g μ

⊢ ContDiff 𝕜 n (g ⋆[L.flip, μ] f)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Angle.lean
θ : Angle

⊢ 2 • θ = 0 ↔ θ = 0 ∨ θ = ↑π
-- Mathlib/Order/Hom/Lattice.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Sup α
inst✝² : Sup β
inst✝¹ : Sup γ
inst✝ : Sup δ
g : SupHom β γ
f₁ f₂ : SupHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α

⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
x : W.CoordinateRing

⊢ ((Algebra.norm R[X]) x).degree ≠ 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]

⊢ ((Algebra.norm R[X]) (p • 1 + q • (mk W) Y)).degree ≠ 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]

⊢ max (2 • p.degree) (2 • q.degree + 3) ≠ 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Group.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
inst✝ : IsDomain R
p q : R[X]
n✝ a✝ : ℕ

⊢ max (2 • some (n✝ + 1 + 1)) (2 • ↑a✝ + 3) ≠ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
S₁ : Type u_3
R₂ : Type u_4
S₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₁' : Type u_9
M₂' : Type u_10
N₂ : Type u_11
n : Type u_12
m : Type u_13
n' : Type u_14
m' : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : Module R M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁴ : Module R N₂
inst✝³ : DecidableEq n
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq m
inst✝ : Fintype m
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] N₂
i : n
j : m

⊢ (toMatrix₂Aux R ⇑b₁ ⇑b₂) B i j = (toMatrix₂ b₁ b₂) B i j
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
χ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (χ i)
as bs cs : (i : ι) → χ i
γ₀ : (i : ι) → Path (as i) (bs i)
γ₁ : (i : ι) → Path (bs i) (cs i)
t : ↑I
i : ι

⊢ { toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then (Path.pi γ₀).extend (2 * t) else (Path.pi γ₁).extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } t i = (Path.pi fun i => { toFun := (fun t => if t ≤ 1 / 2 then (γ₀ i).extend (2 * t) else (γ₁ i).extend (2 * t - 1)) ∘ Subtype.val, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ }) t i
-- Mathlib/Topology/Connected/PathConnected.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
x y z : X
ι : Type u_3
γ : Path x y
χ : ι → Type u_4
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (χ i)
as bs cs : (i : ι) → χ i
γ₀ : (i : ι) → Path (as i) (bs i)
γ₁ : (i : ι) → Path (bs i) (cs i)
t : ↑I
i : ι

⊢ (if ↑t ≤ 1 / 2 then (Path.pi γ₀).extend (2 * ↑t) else (Path.pi γ₁).extend (2 * ↑t - 1)) i = if ↑t ≤ 1 / 2 then (γ₀ i).extend (2 * ↑t) else (γ₁ i).extend (2 * ↑t - 1)
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
_l : List α

⊢ countP p (Quot.mk Setoid.r _l) = card (Quot.mk Setoid.r _l) ↔ ∀ a ∈ Quot.mk Setoid.r _l, p a
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n

⊢ ¬IsOfFinOrder x
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n

⊢ ∀ (x_1 : ℕ), 0 < x_1 → ¬x ^ x_1 = 1
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
n : ℕ
hn_pos : 0 < n
hnx : x ^ n = 1

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
n : ℕ
hn_pos : 0 < n
hnx : x ^ n = x ^ 0

⊢ False
-- Mathlib/GroupTheory/OrderOfElement.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝ : Monoid G
a b x✝ y : G
n✝ m : ℕ
x : G
h : Injective fun n => x ^ n
n : ℕ
hn_pos : 0 < 0
hnx : x ^ n = x ^ 0

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Basic.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c : G₀
h : a ≠ 0
i : ℤ

⊢ a ^ (1 + i) = a * a ^ i
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q p : R[X]
x : R

⊢ rootMultiplicity x p = 0 ↔ p.IsRoot x → p = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
s✝ : Set α
hs✝ : MeasurableSet s✝
hμs : μ s✝ ≠ ⊤
c✝ : E
s t : Set α
hs : MeasurableSet s
hsμ : μ s ≠ ⊤
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t ≠ ⊤
c : E
hc : c ≠ 0

⊢ indicatorConstLp p hs hsμ c = indicatorConstLp p ht htμ c ↔ s =ᶠ[ae μ] t
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
x y : β
hx : x ∈ t
hy : y ∈ t

⊢ eVariationOn (f ∘ φ) (t ∩ Icc x y) = eVariationOn f (φ '' t ∩ Icc (φ x) (φ y))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
x y : β
hx : x ∈ t
hy : y ∈ t
h : x ≤ y

⊢ eVariationOn (f ∘ φ) (t ∩ Icc x y) = eVariationOn f (φ '' t ∩ Icc (φ x) (φ y))
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : MonotoneOn φ t
x y : β
hx : x ∈ t
hy : y ∈ t
h : y ≤ x

⊢ eVariationOn (f ∘ φ) (t ∩ Icc x y) = eVariationOn f (φ '' t ∩ Icc (φ x) (φ y))
-- Mathlib/Data/Vector/Snoc.lean
α : Type u_1
n : ℕ
x : α
val✝ : List α
property✝ : val✝.length = n

⊢ (snoc ⟨val✝, property✝⟩ x).reverse = x ::ᵥ reverse ⟨val✝, property✝⟩
-- Mathlib/Data/Vector/Snoc.lean
α : Type u_1
n : ℕ
x : α
val✝ : List α
property✝ : val✝.length = n

⊢ ⟨(append ⟨val✝, property✝⟩ ⟨[x], ⋯⟩).toList.reverse, ⋯⟩ = ⟨x :: val✝.reverse, ⋯⟩
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a b : ℕ
ha : a % 4 = 3
hb : b % 4 = 3

⊢ J(↑a | b) = -J(↑b | a)
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
a b : ℕ
ha : a % 4 = 3
hb : b % 4 = 3
nop : ∀ {n : ℕ}, n % 4 = 3 → (-1) ^ (n / 2) = -1 := @neg_one_pow_div_two_of_three_mod_four

⊢ J(↑a | b) = -J(↑b | a)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
θ₁ θ₂ : Angle

⊢ (θ₁ + θ₂).expMapCircle = θ₁.expMapCircle * θ₂.expMapCircle
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
θ₂ : Angle
x✝ : ℝ

⊢ (↑x✝ + θ₂).expMapCircle = (↑x✝).expMapCircle * θ₂.expMapCircle
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Complex/Circle.lean
x✝¹ x✝ : ℝ

⊢ (↑x✝¹ + ↑x✝).expMapCircle = (↑x✝¹).expMapCircle * (↑x✝).expMapCircle