ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/JacobiSymbol.lean
m n : ℕ
hm : Odd m
hn : Odd n

⊢ qrSign m n ^ 2 = 1
-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/TrivSqZeroExt.lean
𝕜 : Type u_1
S : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹⁷ : Field 𝕜
inst✝¹⁶ : CharZero 𝕜
inst✝¹⁵ : CommRing R
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M
inst✝¹³ : Algebra 𝕜 R
inst✝¹² : Module 𝕜 M
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝⁹ : IsCentralScalar R M
inst✝⁸ : IsScalarTower 𝕜 R M
inst✝⁷ : TopologicalSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : TopologicalRing R
inst✝⁴ : TopologicalAddGroup M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : ContinuousSMul Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹ : T2Space R
inst✝ : T2Space M
x : tsze R M

⊢ (exp 𝕜 x).fst = exp 𝕜 x.fst
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h1 : 0 < a
h2 : a ≤ 1

⊢ 1 ≤ 1 / a
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d
hmw : w.fstIdx ≠ some i
hgr : g ∉ (φ i).range

⊢ cons g w hmw hgr = (of i) g • w
-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝⁴ : Monoid K
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
i : ι
g : G i
w : NormalWord d
hmw : w.fstIdx ≠ some i
hgr : g ∉ (φ i).range

⊢ CoprodI.of ((φ i) (cons g w hmw hgr).head) • (cons g w hmw hgr).toWord = CoprodI.of ((φ i) ((of i) g • w).head) • ((of i) g • w).toWord
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F

⊢ ∫ (x : E) in f '' s, g x ∂μ = ∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • g (f x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F

⊢ ∫ (x : ↑s), g (s.restrict f x) ∂Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) = ∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • g (f x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F

⊢ ∫ (x : ↑s), (g ∘ f) ↑x ∂Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ↑|(f' x).det|.toNNReal) = ∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • (g ∘ f) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F

⊢ ∫ (x : E) in s, |(f' x).det|.toNNReal • (g ∘ f) x ∂μ = ∫ (x : E) in s, |(f' x).det| • (g ∘ f) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → F
x : E

⊢ |(f' x).det|.toNNReal • (g ∘ f) x = |(f' x).det| • (g ∘ f) x
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsBounded s

⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsBounded s
r : ℝ
hr : s ⊆ Metric.ball 0 r

⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsBounded s
r : ℝ
hr : s ⊆ Metric.ball 0 r

⊢ ∀ (i : ℝ), 0 < i → Absorbs 𝕜 (Metric.ball 0 i) s
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
E' : Type u_4
F : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
s : Set E
h : Bornology.IsBounded s
r : ℝ
hr : s ⊆ (normSeminorm 𝕜 E).ball 0 r

⊢ ∀ (i : ℝ), 0 < i → Absorbs 𝕜 ((normSeminorm 𝕜 E).ball 0 i) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁✝ μ₂✝ μ₃ ν✝ ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
μ₁ μ₂ ν : Measure α

⊢ μ₁ + μ₂ ≪ ν ↔ μ₁ ≪ ν ∧ μ₂ ≪ ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁✝ μ₂✝ μ₃ ν✝ ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
μ₁ μ₂ ν : Measure α
h : μ₁ + μ₂ ≪ ν

⊢ μ₁ ≪ ν ∧ μ₂ ≪ ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁✝ μ₂✝ μ₃ ν✝ ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β
μ₁ μ₂ ν : Measure α
h : μ₁ ≪ ν ∧ μ₂ ≪ ν

⊢ ν + ν ≪ ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ t✝ s : Set α
v : ℕ → Set α
hv : s ⊆ ⋃ n, v n
h'v : ∀ (n : ℕ), μ (s ∩ v n) ≠ ⊤
t : Set α
ht : MeasurableSet t

⊢ (μ.restrict (toMeasurable μ s)) t = (μ.restrict s) t
-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R : Type u_3
s✝ t✝ u : Finset α
f : α → β
n : ℕ
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α

⊢ (s ∪ t).card = s.card + t.card - (s ∩ t).card
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Defs.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
ε : ℝ
h : 0 ≤ ε
y : α

⊢ y ∈ EMetric.closedBall x (ENNReal.ofReal ε) ↔ y ∈ closedBall x ε
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Whiskering.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20707, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20711, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20715, u_3} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
adj : F ⊣ G
x : D ⥤ C
x✝ : E

⊢ (𝟙 (x.obj (G.obj x✝)) ≫ x.map (adj.unit.app (G.obj x✝)) ≫ 𝟙 (x.obj (G.obj (F.obj (G.obj x✝))))) ≫ 𝟙 (x.obj (G.obj (F.obj (G.obj x✝)))) ≫ 𝟙 (x.obj (G.obj (F.obj (G.obj x✝)))) ≫ x.map (G.map (adj.counit.app x✝)) ≫ 𝟙 (x.obj (G.obj x✝)) = 𝟙 (x.obj (G.obj x✝))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adjunction/Whiskering.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20707, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20711, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20715, u_3} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
adj : F ⊣ G
x : E ⥤ C
x✝ : D

⊢ (𝟙 (x.obj (F.obj x✝)) ≫ x.map (F.map (adj.unit.app x✝)) ≫ 𝟙 (x.obj (F.obj (G.obj (F.obj x✝))))) ≫ 𝟙 (x.obj (F.obj (G.obj (F.obj x✝)))) ≫ 𝟙 (x.obj (F.obj (G.obj (F.obj x✝)))) ≫ x.map (adj.counit.app (F.obj x✝)) ≫ 𝟙 (x.obj (F.obj x✝)) = 𝟙 (x.obj (F.obj x✝))
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x y : L
hx : IsAlgebraic K x
h_ev : (Polynomial.aeval y) (minpoly K x) = 0

⊢ minpoly K y = minpoly K x
-- Mathlib/FieldTheory/Adjoin.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
x y : L
hx : IsAlgebraic K x
h_ev : (Polynomial.aeval y) (minpoly K x) = 0
hy : IsAlgebraic K y

⊢ minpoly K y = minpoly K x
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝¹ : NormedGroup E
inst✝ : NormedGroup F
a b : E
h : ‖a / b‖ ≤ 0

⊢ a = b
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α

⊢ thickening δ (thickening δ E)ᶜ ⊆ Eᶜ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x : α
δ : ℝ
E : Set α

⊢ Eᶜᶜ ⊆ (thickening δ (thickening δ E)ᶜ)ᶜ
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤

⊢ hausdorffDist s u ≤ hausdorffDist s t + hausdorffDist t u
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist s t ≠ ⊤
h : ¬hausdorffEdist s u = ⊤

⊢ ¬hausdorffEdist t u = ⊤
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
fin : hausdorffEdist t s ≠ ⊤
h : ¬hausdorffEdist s u = ⊤

⊢ ¬hausdorffEdist t u = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Splits.lean
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
p : K[X]
hsplit : Splits (RingHom.id K) p

⊢ p = C p.leadingCoeff * (Multiset.map (fun a => X - C a) p.roots).prod
-- Mathlib/Algebra/CharZero/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : AddMonoidWithOne R
inst✝ : CharZero R
n : ℕ

⊢ ↑n = 1 ↔ n = 1
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
A : Type u_1
B✝ : Type u_2
inst✝⁴ : Field A
inst✝³ : Ring B✝
inst✝² : Algebra A B✝
x✝ : B✝
B : Type u_3
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : Algebra A B
x : B
hx : IsIntegral A x
a : A

⊢ minpoly A (x - (algebraMap A B) a) = (minpoly A x).comp (X + C a)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C✝ K r✝ : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
s : Set X
C : X → ℝ≥0
t : X → Set X
htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x
hC : ∀ x ∈ s, HolderOnWith (C x) r f (t x)

⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C✝ K r✝ : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
s : Set X
C : X → ℝ≥0
t : X → Set X
htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x
hC : ∀ x ∈ s, HolderOnWith (C x) r f (t x)
u : Set X
hus : u ⊆ s
huc : u.Countable
huU : s ⊆ ⋃ x ∈ u, t x

⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C✝ K r✝ : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
s : Set X
C : X → ℝ≥0
t : X → Set X
htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x
hC : ∀ x ∈ s, HolderOnWith (C x) r f (t x)
u : Set X
hus : u ⊆ s
huc : u.Countable
huU : s ∩ ⋃ x ∈ u, t x = s

⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C✝ K r✝ : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
s : Set X
C : X → ℝ≥0
t : X → Set X
htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x
hC : ∀ x ∈ s, HolderOnWith (C x) r f (t x)
u : Set X
hus : u ⊆ s
huc : u.Countable
huU : ⋃ i ∈ u, s ∩ t i = s

⊢ dimH (f '' s) ≤ dimH s / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C✝ K r✝ : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
s : Set X
C : X → ℝ≥0
t : X → Set X
htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x
hC : ∀ x ∈ s, HolderOnWith (C x) r f (t x)
u : Set X
hus : u ⊆ s
huc : u.Countable
huU : ⋃ i ∈ u, s ∩ t i = s

⊢ ⨆ i ∈ u, dimH (f '' (s ∩ t i)) ≤ (⨆ i ∈ u, dimH (s ∩ t i)) / ↑r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDimension.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝² : EMetricSpace X
inst✝¹ : EMetricSpace Y
C✝ K r✝ : ℝ≥0
f✝ : X → Y
s✝ t✝ : Set X
inst✝ : SecondCountableTopology X
r : ℝ≥0
f : X → Y
hr : 0 < r
s : Set X
C : X → ℝ≥0
t : X → Set X
htn : ∀ x ∈ s, t x ∈ 𝓝[s] x
hC : ∀ x ∈ s, HolderOnWith (C x) r f (t x)
u : Set X
hus : u ⊆ s
huc : u.Countable
huU : ⋃ i ∈ u, s ∩ t i = s

⊢ ⨆ i ∈ u, dimH (f '' (s ∩ t i)) ≤ ⨆ i ∈ u, dimH (s ∩ t i) / ↑r
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hna : IsNonarchimedean ⇑f
x y : R

⊢ seminormFromConst' hf1 hc hpm (x + y) ≤ max (seminormFromConst' hf1 hc hpm x) (seminormFromConst' hf1 hc hpm y)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hna : IsNonarchimedean ⇑f
x y : R

⊢ ∀ (x_1 : ℕ), seminormFromConst_seq c f (x + y) x_1 ≤ max (seminormFromConst_seq c f x x_1) (seminormFromConst_seq c f y x_1)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hna : IsNonarchimedean ⇑f
x y : R
n : ℕ
hmax : f ((x + y) * c ^ n) ≤ max (f (x * c ^ n)) (f (y * c ^ n))

⊢ seminormFromConst_seq c f (x + y) n ≤ max (seminormFromConst_seq c f x n) (seminormFromConst_seq c f y n)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SeminormFromConst.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
hna : IsNonarchimedean ⇑f
x y : R
n : ℕ
hmax : f ((x + y) * c ^ n) ≤ f (x * c ^ n) ∨ f ((x + y) * c ^ n) ≤ f (y * c ^ n)

⊢ seminormFromConst_seq c f (x + y) n ≤ seminormFromConst_seq c f x n ∨ seminormFromConst_seq c f (x + y) n ≤ seminormFromConst_seq c f y n
-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Rat.lean
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
h : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))

⊢ (Algebra.norm ℤ) (hζ✝.toInteger - 1) = ↑↑p
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Range.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
p✝ p'✝ : Submodule R M
q : Submodule R₂ M₂
τ₁₂ : R →+* R₂
F : Type u_11
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
p p' : Submodule R M
h : p ≤ p'

⊢ map p'.subtype (range (inclusion h)) = p
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ μ.withDensity (r • f) = r • μ.withDensity f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (μ.withDensity (r • f)) s = (r • μ.withDensity f) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
r : ℝ≥0∞
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ∫⁻ (a : α) in s, (r • f) a ∂μ = ∫⁻ (a : α) in s, r * f a ∂μ
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cocone (Discrete.functor f)
j : Discrete β

⊢ { pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.ι.app j ≫ (fun s => s.ι.app default) s = s.ι.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cocone (Discrete.functor f)
j : Discrete β
h : j = default

⊢ { pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.ι.app j ≫ (fun s => s.ι.app default) s = s.ι.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cocone (Discrete.functor f)

⊢ { pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.ι.app default ≫ (fun s => s.ι.app default) s = s.ι.app default
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cocone (Discrete.functor f)
m : { pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.pt ⟶ s.pt
w : { pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.ι.app default ≫ m = s.ι.app default

⊢ m = (fun s => s.ι.app default) s
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Products.lean
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Unique β
f : β → C
s : Cocone (Discrete.functor f)
m : { pt := f default, ι := Discrete.natTrans fun x => match x with | { as := j } => eqToHom ⋯ }.pt ⟶ s.pt
w : m = s.ι.app default

⊢ m = (fun s => s.ι.app default) s
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α

⊢ countP (fun a => p ↑a) (attach ⟦l⟧) = countP p ⟦l⟧
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α

⊢ countP (fun a => p ↑a) (↑l).attach = List.countP (fun b => decide (p b)) l
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α

⊢ countP (fun a => p ↑a) ↑l.attach = List.countP (fun b => decide (p b)) l
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α

⊢ List.countP (fun b => decide (p ↑b)) l.attach = List.countP (fun b => decide (p b)) l
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α

⊢ List.countP (fun b => decide (p ↑b)) l.attach = List.countP (fun a => decide (p ↑a)) l.attach
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
n : ℕ

⊢ 4 ^ n = (1 + 1) ^ (2 * n)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
n : ℕ

⊢ (1 + 1) ^ (2 * n) = ∑ m ∈ range (2 * n + 1), (2 * n).choose m
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Sum.lean
R : Type u_1
n i✝ : ℕ
a✝ : i✝ ∈ range (2 * n + 1)

⊢ (2 * n).choose i✝ ≤ (2 * n).choose (2 * n / 2)
-- Mathlib/Order/RelIso/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
u : δ → δ → Prop
f : r ↪r s
a b : α

⊢ r a b ↔ (⇑f ⁻¹'o s) a b
-- Mathlib/Topology/Covering.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMapOn f s

⊢ IsLocalHomeomorphOn f (f ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/Covering.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMapOn f s
x : E
hx : x ∈ f ⁻¹' s

⊢ ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source
-- Mathlib/Topology/Covering.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMapOn f s
x : E
hx : x ∈ f ⁻¹' s
e : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f x})) f := ⋯.toTrivialization

⊢ ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source
-- Mathlib/Topology/Covering.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMapOn f s
x : E
hx : x ∈ f ⁻¹' s
e : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f x})) f := ⋯.toTrivialization
h : f x ∈ ⋯.toTrivialization.baseSet

⊢ ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source
-- Mathlib/Topology/Covering.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : TopologicalSpace X
f : E → X
s : Set X
hf : IsCoveringMapOn f s
x : E
hx : x ∈ f ⁻¹' s
e : Trivialization (↑(f ⁻¹' {f x})) f := ⋯.toTrivialization
h : f x ∈ ⋯.toTrivialization.baseSet
he : x ∈ e.source := (Trivialization.mem_source e).mpr h

⊢ ∃ e, x ∈ e.source ∧ Set.EqOn f (↑e) e.source
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
inst✝ : Subsingleton R

⊢ M.LinearDisjoint N
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
inst✝ : Subsingleton R
this : Subsingleton S

⊢ M.LinearDisjoint N
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
v : E
hv : v ∈ s
w : E
hw : w ∈ t
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
h : (fun x x_1 => x + x_1) v w ≠ (fun x x_1 => x + x_1) x y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • (fun x x_1 => x + x_1) v w + b • (fun x x_1 => x + x_1) x y ∈ interior (s + t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
v : E
hv : v ∈ s
w : E
hw : w ∈ t
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
h : (fun x x_1 => x + x_1) v w ≠ (fun x x_1 => x + x_1) x y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ a • v + b • x + (a • w + b • y) ∈ interior (s + t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
v : E
hv : v ∈ s
w : E
hw : w ∈ t
y : E
hy : y ∈ t
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx : v ∈ s
h : (fun x x_1 => x + x_1) v w ≠ (fun x x_1 => x + x_1) v y

⊢ a • v + b • v + (a • w + b • y) ∈ interior (s + t)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Strict.lean
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁶ : TopologicalSpace E
inst✝⁵ : TopologicalSpace F
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : ContinuousAdd E
s t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
v : E
hv : v ∈ s
w : E
hw : w ∈ t
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ t
h : (fun x x_1 => x + x_1) v w ≠ (fun x x_1 => x + x_1) x y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hvx : v ≠ x

⊢ a • v + b • x + (a • w + b • y) ∈ interior (s + t)