ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
hom : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : TopologicalGroup α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group β
inst✝¹ : FunLike hom β α
inst✝ : MonoidHomClass hom β α
e : hom
de : DenseInducing ⇑e
x₀ : α
comm : ((fun x => x.2 / x.1) ∘ fun t => (e t.1, e t.2)) = ⇑e ∘ fun t => t.2 / t.1

⊢ Tendsto (fun t => t.2 / t.1) (comap (fun p => (e p.1, e p.2)) (𝓝 (x₀, x₀))) (𝓝 1)
-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
hom : Type u_3
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : Group α
inst✝⁴ : TopologicalGroup α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group β
inst✝¹ : FunLike hom β α
inst✝ : MonoidHomClass hom β α
e : hom
de : DenseInducing ⇑e
x₀ : α
comm : ((fun x => x.2 / x.1) ∘ fun t => (e t.1, e t.2)) = ⇑e ∘ fun t => t.2 / t.1
lim : Tendsto (fun x => x.2 / x.1) (𝓝 (x₀, x₀)) (𝓝 (e 1))

⊢ Tendsto (fun t => t.2 / t.1) (comap (fun p => (e p.1, e p.2)) (𝓝 (x₀, x₀))) (𝓝 1)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
R✝ : Type u_1
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : IsDomain R✝
n : ℕ
R : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R

⊢ (∏ μ ∈ primitiveRoots n R, (X - C μ)).roots = (primitiveRoots n R).val
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean

⊢ ∃ a, 0 < a ∧ ∀ (n : ℕ), a ≤ stirlingSeq (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
c : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), c ≤ Real.log (stirlingSeq (n + 1))

⊢ ∃ a, 0 < a ∧ ∀ (n : ℕ), a ≤ stirlingSeq (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
c : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), c ≤ Real.log (stirlingSeq (n + 1))
n : ℕ

⊢ rexp c ≤ stirlingSeq (n + 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
c : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), c ≤ Real.log (stirlingSeq (n + 1))
n : ℕ

⊢ c ≤ Real.log (stirlingSeq (n + 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
y : E
hy_ne : y ≠ 0

⊢ μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < p.toReal

⊢ μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < p.toReal
hf_eLpNorm : eLpNorm (↑f) p μ < ⊤

⊢ μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < p.toReal
hf_eLpNorm : ∀ a ∈ f.range, ↑‖a‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {a}) < ⊤

⊢ μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < p.toReal
hyf : y ∈ f.range
hf_eLpNorm : ↑‖y‖₊ ^ p.toReal * μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤

⊢ μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
𝕜 : Type u_6
inst✝² : MeasurableSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedAddCommGroup F
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp_pos : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α →ₛ E
hf : Memℒp (↑f) p μ
y : E
hy_ne : y ≠ 0
hp_pos_real : 0 < p.toReal
hyf : y ∈ f.range
hf_eLpNorm : ↑‖y‖₊ ^ p.toReal < ⊤ ∧ μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤ ∨ ↑‖y‖₊ ^ p.toReal = 0 ∨ μ (↑f ⁻¹' {y}) = 0

⊢ μ (↑f ⁻¹' {y}) < ⊤
-- Mathlib/LinearAlgebra/DirectSum/Finsupp.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
M : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
N : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid N
inst✝⁵ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DecidableEq ι
S : Type u_5
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
i : ι
n : N

⊢ (finsuppScalarLeft R N ι).symm (Finsupp.single i n) = Finsupp.single i 1 ⊗ₜ[R] n
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (z : ℂ) in 𝓝[≠] c, DifferentiableAt ℂ f z
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹

⊢ Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 (limUnder (𝓝[≠] c) f))
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, x ∈ {c}ᶜ → DifferentiableAt ℂ f x
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹

⊢ Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 (limUnder (𝓝[≠] c) f))
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, x ∈ {c}ᶜ → DifferentiableAt ℂ f x
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹
this : DifferentiableOn ℂ f ({z | z ≠ c → DifferentiableAt ℂ f z} \ {c})

⊢ Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 (limUnder (𝓝[≠] c) f))
-- Mathlib/Analysis/Complex/RemovableSingularity.lean
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℂ → E
c : ℂ
hd : ∀ᶠ (x : ℂ) in 𝓝 c, x ∈ {c}ᶜ → DifferentiableAt ℂ f x
ho : (fun z => f z - f c) =o[𝓝[≠] c] fun z => (z - c)⁻¹
this : DifferentiableOn ℂ f ({z | z ≠ c → DifferentiableAt ℂ f z} \ {c})
H : DifferentiableOn ℂ (update f c (limUnder (𝓝[≠] c) f)) {x | (fun x => x ∈ {c}ᶜ → DifferentiableAt ℂ f x) x}

⊢ Tendsto f (𝓝[≠] c) (𝓝 (limUnder (𝓝[≠] c) f))
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ

⊢ ¬p ∣ (↑z).den
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝² : AddMonoid α
inst✝¹ : Group γ
inst✝ : DistribMulAction γ α
h : Periodic f c
a : γ
x : α

⊢ (fun x => f (a • x)) (x + a⁻¹ • c) = (fun x => f (a • x)) x
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
S : Multiset α
g1 g2 : α → β
h : ∀ a ∈ S, g1 a ∣ g2 a

⊢ (map g1 S).prod ∣ (map g2 S).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
S : Multiset α
g1 g2 : α → β
h : ∀ a ∈ S, g1 a ∣ g2 a

⊢ (map g1 0).prod ∣ (map g2 0).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
S : Multiset α
g1 g2 : α → β
h : ∀ a ∈ S, g1 a ∣ g2 a

⊢ ∀ {a : α} {s : Multiset α}, a ∈ S → s ⊆ S → (map g1 s).prod ∣ (map g2 s).prod → (map g1 (insert a s)).prod ∣ (map g2 (insert a s)).prod
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Multiset.lean
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : CommMonoid β
S : Multiset α
g1 g2 : α → β
h : ∀ a ∈ S, g1 a ∣ g2 a
a : α
T : Multiset α
haS : a ∈ S
a✝ : T ⊆ S
IH : (map g1 T).prod ∣ (map g2 T).prod

⊢ (map g1 (insert a T)).prod ∣ (map g2 (insert a T)).prod
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f : MonoidAlgebra R M

⊢ ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = f
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
m : M

⊢ ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = (of R M) m
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
f g : MonoidAlgebra R M
ihf : ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = f
ihg : ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = g

⊢ ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = f + g
-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommSemiring R
S : Set M
hS : closure S = ⊤
r : R
f : MonoidAlgebra R M
ih : ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = f

⊢ ∃ a, (MvPolynomial.aeval fun s => (of R M) ↑s) a = r • f
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
s : Set α
h : Ici a ⊆ s

⊢ map Subtype.val atTop = atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
s : Set α
h : Ici a ⊆ s
this : Nonempty ↑s

⊢ map Subtype.val atTop = atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
s : Set α
h : Ici a ⊆ s
this✝ : Nonempty ↑s
this : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun x => 𝓟 (Ici x)

⊢ map Subtype.val atTop = atTop
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
s : Set α
h : Ici a ⊆ s
this✝ : Nonempty ↑s
this : Directed (fun x x_1 => x ≥ x_1) fun x => 𝓟 (Ici x)

⊢ (∀ (i : α), Ici i ∈ ⨅ i, 𝓟 (Subtype.val '' Ici i)) ∧ ∀ (i : ↑s), Subtype.val '' Ici i ∈ ⨅ a, 𝓟 (Ici a)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/RationalRoot.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0

⊢ ↑(den A r) ∣ p.leadingCoeff
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/RationalRoot.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0

⊢ ↑(den A r) ∣ p.leadingCoeff * num A r ^ p.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/RationalRoot.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0

⊢ ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ?s).coeff p.natDegree * num A r ^ p.natDegree
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/RationalRoot.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0

⊢ A
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/RationalRoot.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0

⊢ ∀ (j : ℕ), j ≠ p.natDegree → ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/RationalRoot.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ p.natDegree
h : ¬j < p.natDegree

⊢ ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/RationalRoot.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ (p.scaleRoots ↑(den A r)).natDegree
h : ¬j < (p.scaleRoots ↑(den A r)).natDegree

⊢ ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/RationalRoot.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ (p.scaleRoots ↑(den A r)).natDegree
h : ¬j < (p.scaleRoots ↑(den A r)).natDegree

⊢ ↑(den A r) ∣ 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero

⊢ α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)) ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)) = 0

⊢ ¬α.IsNonZero
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)) = 0

⊢ (cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α) ∈ Weight.ker ⊓ (lieIdealSubalgebra K (↥H) (corootSpace ⇑α)).toSubmodule
-- Mathlib/Order/Filter/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n✝ n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ ⊥ ^ n = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R' →+* R
j : S →+* S'
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : (j.comp (algebraMap R S)).comp i = algebraMap R' S'

⊢ lift.{v', v} (Module.rank R S) ≤ lift.{v, v'} (Module.rank R' S')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R' →+* R
j : S →+* S'
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : (j.comp (algebraMap R S)).comp i = algebraMap R' S'
r : R'
x✝ : S

⊢ ↑j (i r • x✝) = r • ↑j x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R' →+* R
j : S →+* S'
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : (j.comp (algebraMap R S)).comp i = algebraMap R' S'
r : R'
x✝ : S
this : ((j.comp (algebraMap R S)).comp i) r = (algebraMap R' S') r

⊢ ↑j (i r • x✝) = r • ↑j x✝
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Basic.lean
R✝ : Type u
R'✝ : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝¹⁵ : Ring R✝
inst✝¹⁴ : Ring R'✝
inst✝¹³ : AddCommGroup M
inst✝¹² : AddCommGroup M'
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R✝ M
inst✝⁹ : Module R✝ M'
inst✝⁸ : Module R✝ M₁
inst✝⁷ : Module R'✝ M'
inst✝⁶ : Module R'✝ M₁
R : Type w
S : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Ring S
inst✝³ : Algebra R S
R' : Type w'
S' : Type v'
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : Ring S'
inst✝ : Algebra R' S'
i : R' →+* R
j : S →+* S'
hi : Injective ⇑i
hj : Injective ⇑j
hc : (j.comp (algebraMap R S)).comp i = algebraMap R' S'
r : R'
x✝ : S
this : j ((algebraMap R S) (i r)) = (algebraMap R' S') r

⊢ ↑j (i r • x✝) = r • ↑j x✝
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/UnitTrinomial.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
k m n : ℕ
u v w : R
hkm : k < m
hmn : m < n
hu : u ≠ 0

⊢ (trinomial k m n u v w).trailingCoeff = u
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes

⊢ ∃ p', p'.IsPrime ∧ I ≤ p' ∧ comap f p' = p
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
this : p.IsPrime

⊢ ∃ p', p'.IsPrime ∧ I ≤ p' ∧ comap f p' = p
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
this : p.IsPrime
f' : R →+* S ⧸ I := (Quotient.mk I).comp f

⊢ ∃ p', p'.IsPrime ∧ I ≤ p' ∧ comap f p' = p
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
this : p.IsPrime
f' : R →+* S ⧸ I := (Quotient.mk I).comp f
e : RingHom.ker f' = comap f I

⊢ ∃ p', p'.IsPrime ∧ I ≤ p' ∧ comap f p' = p
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
this✝ : p.IsPrime
f' : R →+* S ⧸ I := (Quotient.mk I).comp f
e : RingHom.ker f' = comap f I
this : RingHom.ker (Quotient.mk (RingHom.ker f')) ≤ p

⊢ ∃ p', p'.IsPrime ∧ I ≤ p' ∧ comap f p' = p
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
this✝ : p.IsPrime
f' : R →+* S ⧸ I := (Quotient.mk I).comp f
e : RingHom.ker f' = comap f I
this : RingHom.ker (Quotient.mk (RingHom.ker f')) ≤ p

⊢ map (Quotient.mk (RingHom.ker f')) p ∈ minimalPrimes (R ⧸ RingHom.ker f')
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
this✝ : p.IsPrime
f' : R →+* S ⧸ I := (Quotient.mk I).comp f
e : RingHom.ker f' = comap f I
this : RingHom.ker (Quotient.mk (RingHom.ker f')) ≤ p

⊢ (map (Quotient.mk (RingHom.ker f')) p).IsPrime
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/MinimalPrime.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I✝ J : Ideal R
I : Ideal S
f : R →+* S
p : Ideal R
H : p ∈ (comap f I).minimalPrimes
this✝ : p.IsPrime
f' : R →+* S ⧸ I := (Quotient.mk I).comp f
e : RingHom.ker f' = comap f I
this : RingHom.ker (Quotient.mk (RingHom.ker f')) ≤ p

⊢ ∀ ⦃b : Ideal (R ⧸ RingHom.ker f')⦄, b ∈ {p | p.IsPrime ∧ ⊥ ≤ p} → (fun x x_1 => x ≤ x_1) b (map (Quotient.mk (RingHom.ker f')) p) → (fun x x_1 => x ≤ x_1) (map (Quotient.mk (RingHom.ker f')) p) b
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β

⊢ p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep

⊢ p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep

⊢ False
-- Mathlib/Data/List/InsertNth.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
x : α
n k : ℕ
hk' : n + k < l.length

⊢ n + k + 1 < (insertNth n x l).length
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Ring.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
R : Type u_3
α : Type u_4
inst✝³ : DivisionSemiring α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSemiring α
f g : ι → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : T2Space α
hf : ¬Summable f
ha : ¬a = 0

⊢ ∑' (x : ι), f x * a = (∑' (x : ι), f x) * a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : CompleteSpace E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
inst✝¹ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t N : Set α
f : α → ℝ
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hμ : μ ≠ 0
hf : Integrable f μ

⊢ 0 < μ {x | f x ≤ ⨍ (a : α), f a ∂μ}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0

⊢ ofReal |(Matrix.diagonal D).det| • Measure.map (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D))) volume = volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

⊢ (ofReal |(Matrix.diagonal D).det| • Measure.map (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D))) volume) (univ.pi s) = ∏ i : ι, volume (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

⊢ ofReal |∏ i : ι, D i| * (Measure.map (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D))) volume) (univ.pi s) = ∏ x : ι, volume (s x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

⊢ ofReal |∏ i : ι, D i| * volume (⇑(toLin' (Matrix.diagonal D)) ⁻¹' univ.pi s) = ∏ x : ι, volume (s x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
ι : Type u_1
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
D : ι → ℝ
h : (Matrix.diagonal D).det ≠ 0
s : ι → Set ℝ
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

⊢ Measurable ⇑(toLin' (Matrix.diagonal D))