ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/DivisionPolynomial/Degree.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
dp : ∀ {m n : ℕ} {p : R[X]}, p.natDegree ≤ m → (p ^ n).natDegree ≤ n * m := fun {m n} {p} => natDegree_pow_le_of_le n
h : ∀ {n : ℕ}, (W.preΨ' n).natDegree ≤ WeierstrassCurve.expDegree n ∧ (W.preΨ' n).coeff (WeierstrassCurve.expDegree n) = ↑(WeierstrassCurve.expCoeff n) := fun {n} => WeierstrassCurve.natDegree_coeff_preΨ' W n
n : ℕ
hd : (n + 1) ^ 2 - 1 = 2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 1) + if Even (n + 1) then 3 else 0
hc : (↑n + 1) ^ 2 = WeierstrassCurve.expCoeff (n + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then 4 else 1

⊢ ((W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then W.Ψ₂Sq else 1).natDegree ≤ 2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 1) + if Even (n + 1) then 3 else 0) ∧ (W.preΨ' (n + 1) ^ 2 * if Even (n + 1) then W.Ψ₂Sq else 1).coeff (2 * WeierstrassCurve.expDegree (n + 1) + if Even (n + 1) then 3 else 0) = ↑(↑(n + 1) ^ 2)
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ

⊢ Nat.rec [] (fun n IH => IH ++ [n]) n = List.range n
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α✝ : Type u
β✝ : Type v
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Inv G
inst✝⁵ : ContinuousInv G
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Group α
inst✝² : Group β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousInv β
f : F
_tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ

⊢ ContinuousInv α
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α✝ : Type u
β✝ : Type v
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Inv G
inst✝⁵ : ContinuousInv G
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Group α
inst✝² : Group β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousInv β
f : F
_tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ

⊢ Continuous (⇑f ∘ fun a => a⁻¹)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α✝ : Type u
β✝ : Type v
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Inv G
inst✝⁵ : ContinuousInv G
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : Group α
inst✝² : Group β
inst✝¹ : MonoidHomClass F α β
tβ : TopologicalSpace β
inst✝ : ContinuousInv β
f : F
_tα : TopologicalSpace α := TopologicalSpace.induced (⇑f) tβ

⊢ Continuous fun x => (f x)⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Order/Invertible.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
a : α
inst✝ : Invertible a

⊢ ⅟a < 0 ↔ a < 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
f : E → F
s : Set E
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s

⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f s ↔ DifferentiableOn 𝕜 f s ∧ ∀ (y : E), ContDiffOn 𝕜 (↑n) (fun x => (fderivWithin 𝕜 f s x) y) s
-- Mathlib/LinearAlgebra/UnitaryGroup.lean
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
α : Type v
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
β : Type v
inst✝ : CommRing β
A : Matrix n n β

⊢ A ∈ orthogonalGroup n β ↔ A * star A = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/UnitaryGroup.lean
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
α : Type v
inst✝² : CommRing α
inst✝¹ : StarRing α
A✝ : Matrix n n α
β : Type v
inst✝ : CommRing β
A : Matrix n n β
hA : A * star A = 1

⊢ star A * A = 1
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x y z : P

⊢ Sbtw R x y z ↔ z ≠ y ∧ x ∈ ⇑(lineMap z y) '' Set.Ioi 1
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Basic.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
inst✝ : Zero Γ
x : HahnSeries Γ R
hx : x ≠ 0

⊢ ↑x.order = x.orderTop
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
c : F
hf : HasStrictDerivAt f f' x

⊢ HasStrictDerivAt (fun x => c - f x) (-f') x
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ n₂ : ℕ
hn : n₁ ≤ n₂

⊢ ∀ (g₁ : F[X]), g₁.Separable → (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f → ∀ (g₂ : F[X]), g₂.Separable → (expand F (p ^ n₂)) g₂ = f → n₁ = n₂ ∧ g₁ = g₂
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ n₂ : ℕ
hn : n₁ ≤ n₂
hf0 : f ≠ 0

⊢ ∀ (g₁ : F[X]), g₁.Separable → (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f → ∀ (g₂ : F[X]), g₂.Separable → (expand F (p ^ n₂)) g₂ = f → n₁ = n₂ ∧ g₁ = g₂
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ n₂ : ℕ
hn : n₁ ≤ n₂
hf0 : f ≠ 0
g₁ : F[X]
hg₁ : g₁.Separable
hgf₁ : (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
hgf₂ : (expand F (p ^ n₂)) g₂ = f

⊢ n₁ = n₂ ∧ g₁ = g₂
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ n₂ : ℕ
hn : ∃ c, n₂ = n₁ + c
hf0 : f ≠ 0
g₁ : F[X]
hg₁ : g₁.Separable
hgf₁ : (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
hgf₂ : (expand F (p ^ n₂)) g₂ = f

⊢ n₁ = n₂ ∧ g₁ = g₂
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ : ℕ
hf0 : f ≠ 0
g₁ : F[X]
hg₁ : g₁.Separable
hgf₁ : (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
k : ℕ
hgf₂ : (expand F (p ^ (n₁ + k))) g₂ = f

⊢ n₁ = n₁ + k ∧ g₁ = g₂
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
f : F[X]
hf : Irreducible f
hp : 0 < p
n₁ : ℕ
hf0 : f ≠ 0
g₁ : F[X]
hg₁ : g₁.Separable
hgf₁ : (expand F (p ^ n₁)) g₁ = f
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
k : ℕ
hgf₂ : (expand F (p ^ k)) g₂ = g₁

⊢ n₁ = n₁ + k ∧ g₁ = g₂
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
hp : 0 < p
n₁ : ℕ
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
k : ℕ
hg₁ : ((expand F (p ^ k)) g₂).Separable
hf : Irreducible ((expand F (p ^ n₁)) ((expand F (p ^ k)) g₂))
hf0 : (expand F (p ^ n₁)) ((expand F (p ^ k)) g₂) ≠ 0

⊢ n₁ = n₁ + k ∧ (expand F (p ^ k)) g₂ = g₂
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
hp : 0 < p
n₁ : ℕ
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
k : ℕ
hg₁ : ((expand F (p ^ k)) g₂).Separable
hf : Irreducible ((expand F (p ^ n₁)) ((expand F (p ^ k)) g₂))
hf0 : (expand F (p ^ n₁)) ((expand F (p ^ k)) g₂) ≠ 0
h : IsUnit g₂

⊢ n₁ = n₁ + k ∧ (expand F (p ^ k)) g₂ = g₂
-- Mathlib/FieldTheory/Separable.lean
F✝ : Type u
inst✝¹ : Field F✝
p✝ : ℕ
F : Type u
inst✝ : Field F
p : ℕ
HF : CharP F p
hp : 0 < p
n₁ : ℕ
g₂ : F[X]
hg₂ : g₂.Separable
hg₁ : ((expand F (p ^ 0)) g₂).Separable
hf : Irreducible ((expand F (p ^ n₁)) ((expand F (p ^ 0)) g₂))
hf0 : (expand F (p ^ n₁)) ((expand F (p ^ 0)) g₂) ≠ 0

⊢ n₁ = n₁ + 0 ∧ (expand F (p ^ 0)) g₂ = g₂
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x < 0

⊢ b ^ logb b x = -x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
b_pos : 0 < b
b_ne_one : b ≠ 1
hx : x < 0

⊢ |x| = -x
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
s : Multiset ι
f : ι → Ideal R
P : Ideal R
hp : P.IsPrime

⊢ (Multiset.map f s).prod ≤ P ↔ ∃ i ∈ s, f i ≤ P
-- Mathlib/LinearAlgebra/Ray.lean
R : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
x y v₁ v₂ : M
h✝ : SameRay R x y
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h : r₁ • x = r₂ • y

⊢ (r₂⁻¹ * r₁) • x = y
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
x✝ : ι

⊢ (b.repr (fract b (fract b m))) x✝ = (b.repr (fract b m)) x✝
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
u v : ↑(sphere 0 1)

⊢ u = v ↔ ⟪↑u, ↑v⟫_ℝ = 1
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : a ≤ b

⊢ a ∆ b = b \ a
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁸ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
S : Type u_9
inst✝³ : Monoid S
inst✝² : SMul S R
inst✝¹ : MulAction S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
r : S
x : M

⊢ span R {r • x} ≤ span R {x}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Span.lean
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M₂ : Type u_5
V : Type u_6
S✝ : Type u_7
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
x✝ : M
p p' : Submodule R M
inst✝⁸ : Semiring R₂
σ₁₂ : R →+* R₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : Module R₂ M₂
F : Type u_8
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : SemilinearMapClass F σ₁₂ M M₂
s t : Set M
S : Type u_9
inst✝³ : Monoid S
inst✝² : SMul S R
inst✝¹ : MulAction S M
inst✝ : IsScalarTower S R M
r : S
x : M

⊢ r • x ∈ span R {x}
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hf : liminf (fun i => ↑(Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤
hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun i => |x i|

⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x✝ y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
ι : Type u_4
l : Filter ι
x : ι → ℝ
hf : liminf (fun i => ↑(Real.nnabs (x i))) l ≠ ⊤
hbdd : ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l x ∨ ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≥ x_1) l x

⊢ ∃ a b, a < b ∧ (∃ᶠ (i : ι) in l, x i < ↑a) ∧ ∃ᶠ (i : ι) in l, ↑b < x i
-- Mathlib/Algebra/Module/CharacterModule.lean
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
x : ℤ

⊢ x ∈ LinearMap.ker (LinearMap.toSpanSingleton ℤ A a) ↔ x ∈ Ideal.span {↑(addOrderOf a)}
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/LeftDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive

⊢ ((F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.down ℕ)).inv.app P.complex ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map P.iso.inv) ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map ((projectiveResolutions C).map f) = (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.down ℕ)).inv.app Q.complex ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map Q.iso.inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/LeftDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
φ : P.complex ⟶ Q.complex
comm : φ.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive

⊢ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.down ℕ)).inv.app P.complex ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map ((HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.down ℕ)).map φ) ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map Q.iso.inv = (HomotopyCategory.quotient D (ComplexShape.down ℕ)).map ((F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map φ) ≫ (F.mapHomotopyCategoryFactors (ComplexShape.down ℕ)).inv.app Q.complex ≫ (F.mapHomotopyCategory (ComplexShape.down ℕ)).map Q.iso.inv
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
p : α → Prop
hp : ComputablePred p

⊢ ComputablePred fun a => ¬p a
-- Mathlib/Computability/Halting.lean
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
f : α → Bool
hf : Computable f
hp : ComputablePred fun a => f a = true

⊢ ComputablePred fun a => ¬(fun a => f a = true) a
-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/SmallHom.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
W : MorphismProperty C
D : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D
D' : Type u₃
inst✝³ : Category.{v₃, u₃} D'
X Y Z T : C
inst✝² : HasSmallLocalizedHom W X X
inst✝¹ : HasSmallLocalizedHom W X Y
inst✝ : HasSmallLocalizedHom W Y X
f : Y ⟶ X
hf : W f

⊢ (equiv W W.Q) ((mkInv f hf).comp (mk W f)) = (equiv W W.Q) (mk W (𝟙 X))
-- Mathlib/Tactic/Ring/Basic.lean
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b' b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ : R
k : ℕ

⊢ a ^ (Nat.mul 2 k).add 1 = a ^ k * a ^ k * a
-- Mathlib/Data/Finmap.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
x y z : Finmap β

⊢ (x ∪ y).Disjoint z ↔ x.Disjoint z ∧ y.Disjoint z
-- Mathlib/Data/ZMod/Basic.lean
n✝ : ℕ
inst✝ : NeZero (n✝ + 1)
a : ZMod (n✝ + 1)

⊢ a.val < n✝ + 1
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin 0 → α

⊢ ∀ (i : Fin 1), vecCons x u i = x
-- Mathlib/Data/Fin/VecNotation.lean
α : Type u
m n o : ℕ
m' : Type u_1
n' : Type u_2
o' : Type u_3
x : α
u : Fin 0 → α

⊢ vecCons x u 0 = x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝¹ : IsKilling K L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L

⊢ corootSpace ⇑α = ⊥ ↔ α.IsZero
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E →ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 F
h : U ⟂ V

⊢ Submodule.comap f U ⟂ Submodule.comap f V
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E →ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 F
h : ∀ u ∈ U, ∀ v ∈ V, ⟪u, v⟫_𝕜 = 0

⊢ ∀ u ∈ Submodule.comap f U, ∀ v ∈ Submodule.comap f V, ⟪u, v⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E →ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 F
h : ∀ u ∈ U, ∀ v ∈ V, ⟪u, v⟫_𝕜 = 0

⊢ ∀ (u : E), f u ∈ U → ∀ (v : E), f v ∈ V → ⟪f u, f v⟫_𝕜 = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean

⊢ Tendsto (fun n => ↑n / (2 * ↑n + 1)) atTop (𝓝 (2 + 0)⁻¹)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Stirling.lean
n : ℕ
hn : n ≥ 1

⊢ (2 + 1 / ↑n)⁻¹ = (fun n => ↑n / (2 * ↑n + 1)) n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → ℝ
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K

⊢ Integrable (fun x => g x • f x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → ℝ
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K
this : (K.indicator fun x => g x • f x) = fun x => g x • f x

⊢ Integrable (fun x => g x • f x) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → ℝ
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K
this : (K.indicator fun x => g x • f x) = fun x => g x • f x

⊢ Integrable (fun a => g a • K.indicator f a) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → ℝ
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K
this : (K.indicator fun x => g x • f x) = fun x => g x • f x

⊢ Integrable (K.indicator f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LocallyIntegrable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace X
inst✝⁶ : MeasurableSpace Y
inst✝⁵ : TopologicalSpace Y
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
f g✝ : X → E
μ : Measure X
s : Set X
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
inst✝ : T2Space X
hf : LocallyIntegrable f μ
g : X → ℝ
hg : Continuous g
h'g : HasCompactSupport g
K : Set X := tsupport g
hK : IsCompact K
this : (K.indicator fun x => g x • f x) = fun x => g x • f x

⊢ Memℒp g ⊤ μ
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : SMul R S
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : R
h : IsUnit ((algebraMap R (End S M)) x)
m m' : M
H : m = x • m'

⊢ ↑h.unit⁻¹ (x • m') = m'
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : SMul R S
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : R
h : IsUnit ((algebraMap R (End S M)) x)
m m' : M
H : m = x • m'

⊢ ↑h.unit (↑h.unit⁻¹ (x • m')) = ↑h.unit m'
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
M : Type w
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : SMulCommClass S R M
inst✝¹ : SMul R S
inst✝ : IsScalarTower R S M
x : R
h : IsUnit ((algebraMap R (End S M)) x)
m m' : M
H : m = x • m'

⊢ x • m' = ↑h.unit m'
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
m n✝ : ℕ
inst✝ : NeZero (n✝ + 1 + 1)
k : Fin (n✝ + 1 + 1)

⊢ k * 1 = k
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
n j : ℕ
hn : 0 < n

⊢ ∑ m ∈ range (j - n), 1 / ↑(m + n).factorial ≤ ∑ m ∈ range (j - n), (↑n.factorial * ↑n.succ ^ m)⁻¹
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
n j : ℕ
hn : 0 < n

⊢ ∑ x ∈ range (j - n), (↑(x + n).factorial)⁻¹ ≤ ∑ m ∈ range (j - n), (↑n.factorial * ↑n.succ ^ m)⁻¹
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
n j : ℕ
hn : 0 < n
i✝ : ℕ
a✝ : i✝ ∈ range (j - n)

⊢ ↑n.factorial * ↑n.succ ^ i✝ ≤ ↑(i✝ + n).factorial
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
n j : ℕ
hn : 0 < n
i✝ : ℕ
a✝ : i✝ ∈ range (j - n)

⊢ n.factorial * n.succ ^ i✝ ≤ (n + i✝).factorial
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
n j : ℕ
hn : 0 < n

⊢ ∑ m ∈ range (j - n), (↑n.factorial * ↑n.succ ^ m)⁻¹ = (↑n.factorial)⁻¹ * ∑ m ∈ range (j - n), (↑n.succ)⁻¹ ^ m
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
n j : ℕ
hn : 0 < n

⊢ (↑n.factorial)⁻¹ * ∑ m ∈ range (j - n), (↑n.succ)⁻¹ ^ m = (↑n.succ - ↑n.succ * (↑n.succ)⁻¹ ^ (j - n)) / (↑n.factorial * ↑n)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
n j : ℕ
hn : 0 < n
h₁ : ↑n.succ ≠ 1

⊢ (↑n.factorial)⁻¹ * ∑ m ∈ range (j - n), (↑n.succ)⁻¹ ^ m = (↑n.succ - ↑n.succ * (↑n.succ)⁻¹ ^ (j - n)) / (↑n.factorial * ↑n)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
n j : ℕ
hn : 0 < n
h₁ : ↑n.succ ≠ 1
h₂ : ↑n.succ ≠ 0
h₃ : ↑n.factorial * ↑n ≠ 0
h₄ : ↑n.succ - 1 = ↑n

⊢ (↑n.factorial)⁻¹ * ∑ m ∈ range (j - n), (↑n.succ)⁻¹ ^ m = (↑n.succ - ↑n.succ * (↑n.succ)⁻¹ ^ (j - n)) / (↑n.factorial * ↑n)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
X Y : Type u
x₀ : X
f : X → Y
g : Y → F (α ::: X)

⊢ Cofix.corec (g ∘ f) x₀ = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x₀)
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
X Y : Type u
x₀ : X
f : X → Y
g : Y → F (α ::: X)
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun a b => ∃ x, a = Cofix.corec (g ∘ f) x ∧ b = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x)
a b : Cofix F α
x : X
Ha : a = Cofix.corec (g ∘ f) x
Hb : b = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x)

⊢ LiftR' (α.RelLast' R) a.dest b.dest
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
X Y : Type u
x₀ : X
f : X → Y
g : Y → F (α ::: X)
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun a b => ∃ x, a = Cofix.corec (g ∘ f) x ∧ b = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x)
a b : Cofix F α
x : X
Ha : a = Cofix.corec (g ∘ f) x
Hb : b = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x)

⊢ LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: Cofix.corec (g ∘ f)) <$$> g (f x)) ((TypeVec.id ::: Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g)) <$$> (TypeVec.id ::: f) <$$> g (f x))
-- Mathlib/Data/QPF/Multivariate/Constructions/Cofix.lean
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
X Y : Type u
x₀ : X
f : X → Y
g : Y → F (α ::: X)
R : Cofix F α → Cofix F α → Prop := fun a b => ∃ x, a = Cofix.corec (g ∘ f) x ∧ b = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x)
a b : Cofix F α
x : X
Ha : a = Cofix.corec (g ∘ f) x
Hb : b = Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) (f x)

⊢ LiftR' (α.RelLast' R) ((TypeVec.id ::: Cofix.corec (g ∘ f)) <$$> g (f x)) ((TypeVec.id ::: Cofix.corec (MvFunctor.map (TypeVec.id ::: f) ∘ g) ∘ f) <$$> g (f x))