ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Algebra S R
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower S R M
inst✝¹ : Module S N
inst✝ : IsScalarTower S R N
a : S
x y : M

⊢ polar (⇑Q) x (a • y) = a • polar (⇑Q) x y
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
F : (i : α) → i ∈ s → β

⊢ {y | ∃ x, ∃ (hx : x ∈ s), F x hx = y}.Finite
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
hs : s.Finite
F : (i : α) → i ∈ s → β
this : Finite ↑s

⊢ {y | ∃ x, ∃ (hx : x ∈ s), F x hx = y}.Finite
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Slope.lean
k : Type u_1
E : Type u_2
PE : Type u_3
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module k E
inst✝ : AddTorsor E PE
f : k → PE
a b : k
h : slope f a b = 0

⊢ f a = f b
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K

⊢ x ∈ ⨅ v, Localization.subalgebra.ofField K v.asIdeal.primeCompl ⋯ ↔ x ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K

⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) ↔ x ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
hR : ¬IsField R

⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → x ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K

⊢ x ∈ ⊥ → ∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K
hR : ¬IsField R

⊢ (∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → ∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
v : HeightOneSpectrum R
inst✝ : Algebra R K
hK : IsFractionRing R K
x : K

⊢ (∀ (i : MaximalSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯) → ∀ (i : HeightOneSpectrum R), x ∈ Localization.subalgebra.ofField K i.asIdeal.primeCompl ⋯
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
x : (b : β) → π b
r : ℝ
h : 0 < r ∨ Nonempty β

⊢ sphere x r = (⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) r) ∩ closedBall x r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
x : (b : β) → π b
r : ℝ
h : 0 < r ∨ Nonempty β
hr : r < 0

⊢ sphere x r = (⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) r) ∩ closedBall x r
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
x : (b : β) → π b
h : 0 < 0 ∨ Nonempty β

⊢ sphere x 0 = (⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) 0) ∩ closedBall x 0
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
x : (b : β) → π b
r : ℝ
h : 0 < r ∨ Nonempty β
hr : 0 < r

⊢ sphere x r = (⋃ i, Function.eval i ⁻¹' sphere (x i) r) ∩ closedBall x r
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
c d : ℝ≥0∞
r p q a b : ℝ≥0

⊢ (↑a).toReal ≤ (↑b).toReal ↔ ↑a ≤ ↑b
-- Mathlib/Data/Matrix/Kronecker.lean
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : AddCommMonoid α
inst✝⁴ : AddCommMonoid β
inst✝³ : AddCommMonoid γ
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : Module R β
inst✝ : Module R γ
f : α →ₗ[R] β →ₗ[R] γ
A : Matrix m m α
B : Matrix n n β

⊢ (((kroneckerMapBilinear f) A) B).trace = (f A.trace) B.trace
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/IsInvertedBy.lean
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_1} C₁
inst✝¹ : Category.{u_5, u_2} C₂
inst✝ : Category.{u_6, u_3} C₃
W : MorphismProperty C₁
F : C₁ ⥤ C₂
G : C₂ ⥤ C₃

⊢ (W.map F).IsInvertedBy G ↔ W.IsInvertedBy (F ⋙ G)
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
U : Set α

⊢ U ∈ ⨅ i, s i ↔ ∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ι), V i ∈ s i) ∧ (∀ i ∉ I, V i = univ) ∧ U = ⋂ i ∈ I, V i ∧ U = ⋂ i, V i
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι✝ : Sort x
f g : Filter α
s✝ t : Set α
ι : Type u_2
s : ι → Filter α
U : Set α

⊢ (∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ↑I), V i ∈ s ↑i) ∧ U = ⋂ i, V i) ↔ ∃ I, I.Finite ∧ ∃ V, (∀ (i : ι), V i ∈ s i) ∧ (∀ i ∉ I, V i = univ) ∧ U = ⋂ x, V ↑x ∧ U = ⋂ i, V i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq M
bi : M
hbi : bi ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ

⊢ b.reindexFinsetRange ⟨bi, hbi⟩ = ↑⟨bi, hbi⟩
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
e : ι ≃ ι'
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq M
i : ι
hbi : b i ∈ Finset.image (⇑b) Finset.univ

⊢ b.reindexFinsetRange ⟨b i, hbi⟩ = ↑⟨b i, hbi⟩
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ f.source

⊢ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝 (↑(f.extend I) x)] (f.extend I).target ∩ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' s
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ f.source

⊢ ↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝 (↑(f.extend I) x)] ↑I.symm ⁻¹' f.target ∩ (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ f.source

⊢ univ ∩ (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) =ᶠ[𝓝 (↑(f.extend I) x)] ↑I.symm ⁻¹' f.target ∩ (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ f.source

⊢ ↑I.symm ⁻¹' f.target ∈ 𝓝 (↑(f.extend I) x)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t s : Set M
x : M
hx : x ∈ f.source

⊢ ↑I.symm (↑(f.extend I) x) ∈ f.target
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
hα : TopologicalSpace α
h'α : OrderTopology α
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a : α
y : β
h : 𝓝[<] a ≠ ⊥
h' : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 y)
h'' : ∃ y, Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 y)

⊢ leftLim f a = y
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
hα : TopologicalSpace α
h'α : OrderTopology α
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a : α
y : β
h : 𝓝[<] a ≠ ⊥
h' : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 y)
h'' : ∃ y, Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 y)

⊢ limUnder (𝓝[<] a) f = y
-- Mathlib/Topology/Order/LeftRightLim.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
hα : TopologicalSpace α
h'α : OrderTopology α
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a : α
y : β
h : 𝓝[<] a ≠ ⊥
h' : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 y)
h'' : ∃ y, Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 y)
this : (𝓝[<] a).NeBot

⊢ limUnder (𝓝[<] a) f = y
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
ρ : Measure (α × β)
inst✝ : IsProbabilityMeasure ν
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (μ.prod ν).fst s = μ s
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ

⊢ minpoly K σ.toLinearMap = X ^ orderOf σ - C 1
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ

⊢ (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) (X ^ orderOf σ - C 1) = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/Field.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : CommRing L
inst✝¹ : IsDomain L
inst✝ : Algebra K L
σ : L ≃ₐ[K] L
hσ : IsOfFinOrder σ

⊢ ∀ (q : K[X]), q.Monic → (Polynomial.aeval σ.toLinearMap) q = 0 → (X ^ orderOf σ - C 1).degree ≤ q.degree
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Bilinear.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : NonUnitalSemiring A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : SMulCommClass R A A
inst✝ : IsScalarTower R A A
a b x✝ : A

⊢ (mulRight R (a * b)) x✝ = (mulRight R b ∘ₗ mulRight R a) x✝
-- Mathlib/Topology/Constructions.lean
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace W
f : X ⊕ Y → Z

⊢ IsOpenMap f ↔ (IsOpenMap fun a => f (inl a)) ∧ IsOpenMap fun b => f (inr b)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
h : LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) 1

⊢ False
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
h : LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) 1

⊢ Summable fun b => -↑({p | Nat.Prime p}.indicator (fun n => 1 / ↑n) b)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
h : LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) 1

⊢ Summable (-fun i => ↑({p | Nat.Prime p}.indicator (fun n => 1 / ↑n) i))
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/Dirichlet.lean
h : LSeriesSummable (fun n => ↑(μ n)) 1
n : ℕ

⊢ {n | Nat.Prime n}.indicator (term (fun n => ↑(μ n)) 1) n = (-fun i => ↑({p | Nat.Prime p}.indicator (fun n => 1 / ↑n) i)) n
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ

⊢ ∫ (x : β), ↑f x ∂μ = ∫ (x : β), ↑f x ∂μ.trim hm
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ
hf : StronglyMeasurable ↑f

⊢ ∫ (x : β), ↑f x ∂μ = ∫ (x : β), ↑f x ∂μ.trim hm
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ
hf : StronglyMeasurable ↑f
hf_int_m : Integrable (↑f) (μ.trim hm)

⊢ ∫ (x : β), ↑f x ∂μ = ∫ (x : β), ↑f x ∂μ.trim hm
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ
hf : StronglyMeasurable ↑f
hf_int_m : Integrable (↑f) (μ.trim hm)

⊢ ∑ x ∈ f.range, (μ (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x = ∑ x ∈ f.range, ((μ.trim hm) (↑f ⁻¹' {x})).toReal • x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
H : Type u_6
β : Type u_7
γ : Type u_8
inst✝ : NormedAddCommGroup H
m m0 : MeasurableSpace β
μ : Measure β
hm : m ≤ m0
f : β →ₛ F
hf_int : Integrable (↑f) μ
hf : StronglyMeasurable ↑f
hf_int_m : Integrable (↑f) (μ.trim hm)
x : F

⊢ μ (↑f ⁻¹' {x}) = (μ.trim hm) (↑f ⁻¹' {x})
-- Mathlib/Data/List/Pairwise.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
R S T : α → α → Prop
a : α
l✝ : List α
f : β → α
b : β
l : List β

⊢ Pairwise R (map f (b :: l)) ↔ Pairwise (fun a b => R (f a) (f b)) (b :: l)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
r n : ℕ

⊢ n.choose r ≤ n.choose (n / 2)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
r n : ℕ
b : r ≤ n

⊢ n.choose r ≤ n.choose (n / 2)
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Basic.lean
r n : ℕ
b : r > n

⊢ n.choose r ≤ n.choose (n / 2)
-- Mathlib/Data/Set/Finite.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s✝ t✝ s t : Set α

⊢ (s ∪ t).Infinite ↔ s.Infinite ∨ t.Infinite
-- Mathlib/CategoryTheory/Adhesive.lean
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : Adhesive D
H₁ : ∀ {X Y S : C} (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S) [inst : Mono f], HasPullback f g
H₂ : ∀ {X Y S : C} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
inst✝³ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape WalkingSpan F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape WalkingSpan F
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hf : Mono f
H : IsPushout f g h i

⊢ H.IsVanKampen
-- Mathlib/CategoryTheory/Adhesive.lean
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : Adhesive D
H₁ : ∀ {X Y S : C} (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S) [inst : Mono f], HasPullback f g
H₂ : ∀ {X Y S : C} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
inst✝³ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape WalkingSpan F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape WalkingSpan F
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hf : Mono f
H : IsPushout f g h i

⊢ IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adhesive.lean
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : Adhesive D
H₁ : ∀ {X Y S : C} (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S) [inst : Mono f], HasPullback f g
H₂ : ∀ {X Y S : C} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
inst✝³ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape WalkingSpan F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape WalkingSpan F
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hf : Mono f
H : IsPushout f g h i

⊢ IsVanKampenColimit (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adhesive.lean
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : Adhesive D
H₁ : ∀ {X Y S : C} (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S) [inst : Mono f], HasPullback f g
H₂ : ∀ {X Y S : C} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
inst✝³ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape WalkingSpan F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape WalkingSpan F
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hf : Mono f
H : IsPushout f g h i

⊢ IsVanKampenColimit ((Cocones.precompose (diagramIsoSpan (span f g ⋙ F)).inv).obj (F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯)))
-- Mathlib/CategoryTheory/Adhesive.lean
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : Adhesive D
H₁ : ∀ {X Y S : C} (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S) [inst : Mono f], HasPullback f g
H₂ : ∀ {X Y S : C} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
inst✝³ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape WalkingSpan F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape WalkingSpan F
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hf : Mono f
H : IsPushout f g h i

⊢ IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk ((F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯)).ι.app WalkingSpan.left) ((F.mapCocone (PushoutCocone.mk h i ⋯)).ι.app WalkingSpan.right) ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/Adhesive.lean
J : Type v'
inst✝⁷ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
W✝ X✝ Y✝ Z✝ : C
f✝ : W✝ ⟶ X✝
g✝ : W✝ ⟶ Y✝
h✝ : X✝ ⟶ Z✝
i✝ : Y✝ ⟶ Z✝
D : Type u''
inst✝⁵ : Category.{v'', u''} D
F : C ⥤ D
inst✝⁴ : Adhesive D
H₁ : ∀ {X Y S : C} (f : X ⟶ S) (g : Y ⟶ S) [inst : Mono f], HasPullback f g
H₂ : ∀ {X Y S : C} (f : S ⟶ X) (g : S ⟶ Y) [inst : Mono f], HasPushout f g
inst✝³ : PreservesLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝² : ReflectsLimitsOfShape WalkingCospan F
inst✝¹ : PreservesColimitsOfShape WalkingSpan F
inst✝ : ReflectsColimitsOfShape WalkingSpan F
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
hf : Mono f
H : IsPushout f g h i

⊢ ⋯.IsVanKampen
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n✝ : ℕ
c : Composition n✝
n i : ℕ

⊢ (ones n).sizeUpTo i = min i n
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : Countable E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g

⊢ MeasurableSet {x | f x = g x}
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : Countable E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
this : {x | f x = g x} = ⋃ j, {x | f x = j} ∩ {x | g x = j}

⊢ MeasurableSet {x | f x = g x}
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : Countable E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
this : {x | f x = g x} = ⋃ j, {x | f x = j} ∩ {x | g x = j}

⊢ MeasurableSet (⋃ j, {x | f x = j} ∩ {x | g x = j})
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : Div G
m✝ : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
m : MeasurableSpace α
E : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : Countable E
f g : α → E
hf : Measurable f
hg : Measurable g
this : {x | f x = g x} = ⋃ j, {x | f x = j} ∩ {x | g x = j}
j : E

⊢ MeasurableSet {x | f x = j}