ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G

⊢ c * b = d * a ↔ a * d = c * b
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Factorization.lean
p n✝ k n : ℕ
hn : n < p → n !.factorization p = 0
h : n + 1 < p

⊢ (n + 1)!.factorization p = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : a = b⁻¹

⊢ a * b = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Path.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
hp : nil.IsCycle

⊢ G ≠ ⊥
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g a : α → ℝ≥0∞
tsum_ne_top : ∑' (i : α), a i ≠ ⊤
j : α

⊢ a j < ⊤
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f g a : α → ℝ≥0∞
j : α
h : ⊤ ≤ a j

⊢ ∑' (i : α), a i = ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α

⊢ CountablySeparated ↑s ↔ HasCountableSeparatingOn α MeasurableSet s
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/CountablyGenerated.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
s : Set α

⊢ HasCountableSeparatingOn (↑s) MeasurableSet univ ↔ HasCountableSeparatingOn α MeasurableSet s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α

⊢ Pairwise (Disjoint on fun r => frontier (thickening r A))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂

⊢ Disjoint (frontier (thickening r₁ A)) (frontier (thickening r₂ A))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : r₁ ≤ 0

⊢ Disjoint (frontier (thickening r₁ A)) (frontier (thickening r₂ A))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : 0 ≤ r₁

⊢ Disjoint (frontier (thickening r₁ A)) (frontier (thickening r₂ A))
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : 0 ≤ r₁
h : ENNReal.ofReal r₁ = ENNReal.ofReal r₂

⊢ r₁ = r₂
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
s : Set α
x : α
A : Set α
r₁ r₂ : ℝ
hr : r₁ < r₂
h₁ : 0 ≤ r₁
h : (ENNReal.ofReal r₁).toReal = (ENNReal.ofReal r₂).toReal

⊢ r₁ = r₂
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M

⊢ ∏ i : Fin (a + b), f i = (∏ i : Fin a, f (castAdd b i)) * ∏ i : Fin b, f (natAdd a i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M

⊢ ∏ x : Fin a ⊕ Fin b, f (finSumFinEquiv.toFun x) = (∏ i : Fin a, f (castAdd b i)) * ∏ i : Fin b, f (natAdd a i)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Fin.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
a b : ℕ
f : Fin (a + b) → M

⊢ ∀ (x : Fin (a + b)), f x = f (finSumFinEquiv.toFun (finSumFinEquiv.symm x))
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2

⊢ r z ≤ Complex.abs (↑c * ↑z + ↑d)
-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
H1 : √(r1 z) ≤ √((c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2)

⊢ r z ≤ Complex.abs (↑c * ↑z + ↑d)
-- Mathlib/Algebra/Module/PointwisePi.lean
K : Type u_1
ι : Type u_2
R : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SMul K (R i)
r : K
s : Set ι
t : (i : ι) → Set (R i)
y : (i : ι) → R i
h : y ∈ s.pi t
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ (fun x => r • x) y i ∈ (r • t) i
-- Mathlib/NumberTheory/NumberField/CanonicalEmbedding/Basic.lean
K : Type u_1
inst✝ : Field K
w : InfinitePlace K
hw : w.IsComplex
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)

⊢ (normAtPlace w) x = ‖x.2 ⟨w, hw⟩‖
-- Mathlib/Algebra/Group/Hom/Defs.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝² : One M
inst✝¹ : One N
inst✝ : One P
f : OneHom N P
x✝ : M

⊢ (f.comp 1) x✝ = 1 x✝
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S

⊢ f.toMap (x₁ * x₂) = f.toMap ↑(y₁ * y₂) * (f.toMap x₁ * ↑((IsUnit.liftRight (f.toMap.restrict S) ⋯) y₁)⁻¹ * (f.toMap x₂ * ↑((IsUnit.liftRight (f.toMap.restrict S) ⋯) y₂)⁻¹))
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
x₁ x₂ : M
y₁ y₂ : ↥S

⊢ f.toMap x₁ * f.toMap x₂ * f.toMap ↑y₂ * f.toMap ↑y₁ = f.toMap ↑y₁ * f.toMap ↑y₂ * f.toMap x₁ * f.toMap x₂
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
e : M ≃ₗ[R] M
f f' : M →ₗ[R] M
h : ∀ (x : M), f x = f' (e x)

⊢ Associated (LinearMap.det (f' ∘ₗ ↑e)) (LinearMap.det f')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
e : M ≃ₗ[R] M
f f' : M →ₗ[R] M
h : ∀ (x : M), f x = f' (e x)

⊢ Associated (LinearMap.det f' * LinearMap.det ↑e) (LinearMap.det f' * 1)
-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
Q : QuadraticForm R M
n : ℕ
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
g : CliffordAlgebra Q →ₐ[R] A

⊢ (lift Q) ⟨g.toLinearMap ∘ₗ ι Q, ⋯⟩ = g
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalBicomplex.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i₁ i₁' : I₁
h : ¬c₁.Rel i₁ i₁'
i₂ : I₂

⊢ (K.d i₁ i₁').f i₂ = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x

⊢ ⨆ n, aeSeq hf p n =ᶠ[ae μ] ⨆ n, f n
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x

⊢ μ {a | ¬⨆ i, aeSeq hf p i a = ⨆ i, f i a} = 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/AEMeasurableSequence.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
f : ι → α → β
μ : Measure α
p : α → (ι → β) → Prop
inst✝¹ : CompleteLattice β
inst✝ : Countable ι
hf : ∀ (i : ι), AEMeasurable (f i) μ
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun n => f n x
h_ss : aeSeqSet hf p ⊆ {a | ⨆ i, aeSeq hf p i a = ⨆ i, f i a}

⊢ μ {a | ¬⨆ i, aeSeq hf p i a = ⨆ i, f i a} = 0
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m✝ m : M
p : Polynomial ↥(subfield M F)
x : ↥(subfield M F)

⊢ m • Polynomial.C x = Polynomial.C x
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m✝ m : M
p✝ p q : Polynomial ↥(subfield M F)
ihp : m • p = p
ihq : m • q = q

⊢ m • (p + q) = p + q
-- Mathlib/FieldTheory/Fixed.lean
M : Type u
inst✝⁴ : Monoid M
G : Type u
inst✝³ : Group G
F : Type v
inst✝² : Field F
inst✝¹ : MulSemiringAction M F
inst✝ : MulSemiringAction G F
m✝ m : M
p : Polynomial ↥(subfield M F)
n : ℕ
x : ↥(subfield M F)
x✝ : m • (Polynomial.C x * Polynomial.X ^ n) = Polynomial.C x * Polynomial.X ^ n

⊢ m • (Polynomial.C x * Polynomial.X ^ (n + 1)) = Polynomial.C x * Polynomial.X ^ (n + 1)
-- Mathlib/Data/Int/Bitwise.lean
a : Bool
m : ℤ
b : Bool
n : ℤ

⊢ (bit a m).land (bit b n) = bit (a && b) (m.land n)
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
x : ℝ
n : ℕ
m : ℤ
hm : m ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hxr : x ^ n = ↑m
hv : (multiplicity (↑p) m).get ⋯ % n ≠ 0

⊢ Irrational x
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
x : ℝ
m : ℤ
hm : m ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hxr : x ^ 0 = ↑m
hv : (multiplicity (↑p) m).get ⋯ % 0 ≠ 0

⊢ Irrational x
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
x : ℝ
n : ℕ
m : ℤ
hm : m ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hxr : x ^ n = ↑m
hv : (multiplicity (↑p) m).get ⋯ % n ≠ 0
hnpos : n > 0

⊢ Irrational x
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
x : ℝ
n : ℕ
m : ℤ
hm : m ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hxr : x ^ n = ↑m
hv : (multiplicity (↑p) m).get ⋯ % n ≠ 0
hnpos : n > 0

⊢ ¬∃ y, x = ↑y
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
n : ℕ
m : ℤ
hm : m ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hv : (multiplicity (↑p) m).get ⋯ % n ≠ 0
hnpos : n > 0
y : ℤ
hxr : ↑y ^ n = ↑m

⊢ False
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
n : ℕ
m : ℤ
hm : m ≠ 0
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hv : (multiplicity (↑p) m).get ⋯ % n ≠ 0
hnpos : n > 0
y : ℤ
hxr : y ^ n = m

⊢ False
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
n p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hnpos : n > 0
y : ℤ
hm : y ^ n ≠ 0
hv : (multiplicity (↑p) (y ^ n)).get ⋯ % n ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
n p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hnpos : n > 0
y : ℤ
hm : y ^ n ≠ 0
hv : (multiplicity (↑p) (y ^ n)).get ⋯ % n ≠ 0
this : y ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
n p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hnpos : n > 0
y : ℤ
hm : y ^ n ≠ 0
this : y ≠ 0
hv : 0 ≠ 0

⊢ False
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a b : α

⊢ b ∈ {a} ↔ b = a
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Matrix.lean
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜

⊢ ‖U‖ ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Matrix.lean
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜

⊢ ∀ (i i_1 : n), ‖U i i_1‖ ≤ 1
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/Matrix.lean
𝕜 : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
l : Type u_4
E : Type u_5
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
U : Matrix n n 𝕜
hU : U ∈ Matrix.unitaryGroup n 𝕜
i✝¹ i✝ : n

⊢ ‖U i✝¹ i✝‖ ≤ 1
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
hb : b ≠ ⊥
hab : Disjoint a b
hc : a ⊔ b = c

⊢ (insert b P.parts).SupIndep id
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
hb : b ≠ ⊥
hab : Disjoint a b
hc : a ⊔ b = c

⊢ (insert b ↑P.parts).PairwiseDisjoint id
-- Mathlib/Order/Partition/Finpartition.lean
α : Type u_1
inst✝² : DistribLattice α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
P : Finpartition a
hb : b ≠ ⊥
hab : Disjoint a b
hc : a ⊔ b = c

⊢ (insert b P.parts).sup id = c
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x y : WithLp 2 (α × β)

⊢ dist x y = √(dist x.1 y.1 ^ 2 + dist x.2 y.2 ^ 2)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/ProdLp.lean
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
x y : WithLp 2 (α × β)

⊢ √(‖(x - y).1‖ ^ 2 + ‖(x - y).2‖ ^ 2) = √(‖x.1 - y.1‖ ^ 2 + ‖x.2 - y.2‖ ^ 2)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Subspace.lean
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
S : Set (ℙ K V)
W : Subspace K V

⊢ W ⊔ span S = span (↑W ∪ S)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2

⊢ W.addY P Q / addZ P Q ^ 3 = W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))
-- Mathlib/Topology/Algebra/ProperAction.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X

⊢ T2Space (Quotient (MulAction.orbitRel G X))
-- Mathlib/Topology/Algebra/ProperAction.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X

⊢ IsClosed (diagonal (Quotient (MulAction.orbitRel G X)))
-- Mathlib/Topology/Algebra/ProperAction.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'

⊢ IsClosed (diagonal (Quotient R))
-- Mathlib/Topology/Algebra/ProperAction.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)

⊢ IsClosed (diagonal (Quotient R))
-- Mathlib/Topology/Algebra/ProperAction.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)

⊢ IsClosed (Prod.map π π ⁻¹' diagonal (Quotient R))
-- Mathlib/Topology/Algebra/ProperAction.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)

⊢ Prod.map π π ⁻¹' diagonal (Quotient R) = range fun gx => (gx.1 • gx.2, gx.2)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ProperAction.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)

⊢ Type ?u.23430
-- Mathlib/Topology/Algebra/ProperAction.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)

⊢ TopologicalSpace ?convert_1
-- Mathlib/Topology/Algebra/ProperAction.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)

⊢ Group ?convert_1
-- Mathlib/Topology/Algebra/ProperAction.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)

⊢ MulAction ?convert_1 X
-- Mathlib/Topology/Algebra/ProperAction.lean
G : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G X
inst✝⁵ : MulAction G Y
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : ProperSMul G X
R : Setoid X := MulAction.orbitRel G X
π : X → Quotient R := Quotient.mk'
this : QuotientMap (Prod.map π π)

⊢ ProperSMul ?convert_1 X
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
f : ι → M

⊢ (Matrix.det fun i j => ((e.unitsSMul w).repr (f j)) i) = ↑(∏ i : ι, w i)⁻¹ • Matrix.det fun i j => (e.repr (f j)) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
f : ι → M

⊢ (Matrix.det fun i j => (w i)⁻¹ • (e.repr (f j)) i) = ↑(∏ i : ι, w i)⁻¹ • Matrix.det fun i j => (e.repr (f j)) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
f : ι → M

⊢ ↑(∏ i : ι, w i)⁻¹ = ∏ i : ι, ↑(w i)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Determinant.lean
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e✝ : Basis ι R M
A : Type u_5
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Module A M
e : Basis ι R M
w : ι → Rˣ
f : ι → M

⊢ ↑(∏ x : ι, (w x)⁻¹) = ∏ i : ι, ↑(w i)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent.lean
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
v : ι → M
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝³ : AddCommMonoid M''
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
a b : R
x y : M

⊢ LinearIndependent R v ↔ ∀ (l : ι →₀ R), (Finsupp.total ι M R v) l = 0 → l = 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ a
h2 : a < b

⊢ a - c < b - c
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Canonical.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : AddCommSemigroup α
inst✝⁴ : PartialOrder α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
hc : AddLECancellable c
h : c ≤ a
h2 : a < b

⊢ c + (a - c) < b
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α

⊢ cthickening δ E = ⋂ ε ∈ s, cthickening ε E
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α

⊢ cthickening δ E ⊆ ⋂ ε ∈ s, cthickening ε E
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ ε : ℝ
s✝ t : Set α
x : α
δ : ℝ
s : Set ℝ
hsδ : s ⊆ Ioi δ
hs : ∀ (ε : ℝ), δ < ε → (s ∩ Ioc δ ε).Nonempty
E : Set α

⊢ ⋂ ε ∈ s, cthickening ε E ⊆ cthickening δ E
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a b : UnitAddCircle
z : ℂ

⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => hurwitzZetaEven a s - hurwitzZetaEven b s) z
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a b : UnitAddCircle
z : ℂ
hz : z ≠ 1

⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => hurwitzZetaEven a s - hurwitzZetaEven b s) z
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a b : UnitAddCircle

⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => hurwitzZetaEven a s - hurwitzZetaEven b s) 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ : S₁ ⟶ S₂
φ₂ : S₂ ⟶ S₃
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
h₃ : S₃.LeftHomologyData
γ₁ : LeftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂ := leftHomologyMapData φ₁ h₁ h₂
γ₂ : LeftHomologyMapData φ₂ h₂ h₃ := leftHomologyMapData φ₂ h₂ h₃

⊢ leftHomologyMap' (φ₁ ≫ φ₂) h₁ h₃ = leftHomologyMap' φ₁ h₁ h₂ ≫ leftHomologyMap' φ₂ h₂ h₃
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/TruncGE.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝³ : e.IsTruncGE
inst✝² : ∀ (i' : ι'), K.HasHomology i'
inst✝¹ : ∀ (i' : ι'), L.HasHomology i'
inst✝ : ∀ (i' : ι'), M.HasHomology i'
i j : ι
hij : c.Rel i j
i' j' : ι'
hi' : e.f i = i'
hj' : e.f j = j'
hi : ¬e.BoundaryGE i

⊢ (if hij : c.Rel i j then if hi : e.BoundaryGE i then (truncGE'.XIsoOpcycles K e hi).hom ≫ K.fromOpcycles (e.f i) (e.f j) ≫ (truncGE'.XIso K e ⋯).inv else (truncGE'.XIso K e hi).hom ≫ K.d (e.f i) (e.f j) ≫ (truncGE'.XIso K e ⋯).inv else 0) = (K.truncGE'XIso e hi' hi).hom ≫ K.d i' j' ≫ (K.truncGE'XIso e hj' ⋯).inv
-- Mathlib/Algebra/Homology/Embedding/TruncGE.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_3} C
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁴ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝³ : e.IsTruncGE
inst✝² : ∀ (i' : ι'), K.HasHomology i'
inst✝¹ : ∀ (i' : ι'), L.HasHomology i'
inst✝ : ∀ (i' : ι'), M.HasHomology i'
i j : ι
hij : c.Rel i j
i' j' : ι'
hi' : e.f i = i'
hj' : e.f j = j'
hi : ¬e.BoundaryGE i

⊢ (truncGE'.XIso K e hi).hom ≫ K.d (e.f i) (e.f j) ≫ (truncGE'.XIso K e ⋯).inv = (K.truncGE'XIso e hi' hi).hom ≫ K.d i' j' ≫ (K.truncGE'XIso e hj' ⋯).inv