ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x

⊢ (Ioi 1).indicator (fun x => P.f x - P.f₀) x + (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) x - P.f x + P.f₀ = (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f₀ - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) x + {1}.indicator (fun x => P.f₀ - P.f 1) x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : x < 1

⊢ (Ioi 1).indicator (fun x => P.f x - P.f₀) x + (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) x - P.f x + P.f₀ = (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f₀ - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) x + {1}.indicator (fun x => P.f₀ - P.f 1) x
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
hx : 0 < 1

⊢ (Ioi 1).indicator (fun x => P.f x - P.f₀) 1 + (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) 1 - P.f 1 + P.f₀ = (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f₀ - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) 1 + {1}.indicator (fun x => P.f₀ - P.f 1) 1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/AbstractFuncEq.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
x : ℝ
hx : 0 < x
hx' : 1 < x

⊢ (Ioi 1).indicator (fun x => P.f x - P.f₀) x + (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) x - P.f x + P.f₀ = (Ioo 0 1).indicator (fun x => P.f₀ - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀) x + {1}.indicator (fun x => P.f₀ - P.f 1) x
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L

⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M k = ⊥

⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M (2 * k) = ⊥

⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y)
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M (2 * k) = ⊥

⊢ ((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y) ^ k = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M (2 * k) = ⊥
m : M

⊢ (((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y) ^ k) m = 0 m
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : LieRingModule L M₂
inst✝¹ : LieModule R L M₂
inst✝ : IsNilpotent R L M
x y : L
k : ℕ
hM : lowerCentralSeries R L M (2 * k) = ⊥
m : M

⊢ (⇑((toEnd R L M) x ∘ₗ (toEnd R L M) y))^[k] m ∈ lowerCentralSeries R L M (2 * k)
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

⊢ (fun x => x - a) ⁻¹' Iio b = Iio (b + a)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree

⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ (A i₁ - A i₀).degree < ↑(b.natDegree - d)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0

⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ (A i₁ - A i₀).degree < ↑(b.natDegree - d)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)

⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ (A i₁ - A i₀).degree < ↑(b.natDegree - d)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)

⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ (A i₁ - A i₀).degree < ↑(b.natDegree - d)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁

⊢ ∃ i₀ i₁, i₀ ≠ i₁ ∧ (A i₁ - A i₀).degree < ↑(b.natDegree - d)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁

⊢ (A i₁ - A i₀).degree < ↑(b.natDegree - d)
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
j : ℕ
hj : b.natDegree - d ≤ j

⊢ (A i₁ - A i₀).coeff j = 0
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
j : ℕ
hj : b.natDegree - d ≤ j
hbj : ¬b.degree ≤ ↑j

⊢ (A i₁ - A i₀).coeff j = 0
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
j : ℕ
hj : b.natDegree - d ≤ j
hbj : ¬b.degree ≤ ↑j

⊢ (A i₁).coeff j = (A i₀).coeff j
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
j : ℕ
hj : b.natDegree - d ≤ j
hbj : ↑j < ↑b.natDegree

⊢ (A i₁).coeff j = (A i₀).coeff j
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
j : ℕ
hj : b.natDegree - d ≤ j
hbj✝ : ↑j < ↑b.natDegree
hbj : j < b.natDegree

⊢ (A i₁).coeff j = (A i₀).coeff j
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
j : ℕ
hj✝ : b.natDegree - d ≤ j
hbj✝ : ↑j < ↑b.natDegree
hbj : j < b.natDegree
hj : b.natDegree - j.succ < d

⊢ (A i₁).coeff j = (A i₀).coeff j
-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Ring Fq
d m : ℕ
hm : Fintype.card Fq ^ d ≤ m
b : Fq[X]
A : Fin m.succ → Fq[X]
hA : ∀ (i : Fin m.succ), (A i).degree < b.degree
hb : b ≠ 0
f : Fin m.succ → Fin d → Fq := fun i j => (A i).coeff (b.natDegree - ↑j.succ)
this✝ : Fintype.card (Fin d → Fq) < Fintype.card (Fin m.succ)
i₀ i₁ : Fin m.succ
i_ne : i₀ ≠ i₁
i_eq : f i₀ = f i₁
j : ℕ
hj✝ : b.natDegree - d ≤ j
hbj✝ : ↑j < ↑b.natDegree
hbj : j < b.natDegree
hj : b.natDegree - j.succ < d
this : j = b.natDegree - (b.natDegree - j.succ).succ

⊢ (A i₁).coeff j = (A i₀).coeff j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ

⊢ A ^ (↑n + 1) = A ^ ↑n * A
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ

⊢ A ^ (-(↑n + 1) + 1) = (A ^ n)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ

⊢ (A ^ n)⁻¹ = (A * A ^ n)⁻¹ * A
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ZPow.lean
n' : Type u_1
inst✝² : DecidableEq n'
inst✝¹ : Fintype n'
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
A : M
h : IsUnit A.det
n : ℕ

⊢ (A * A ^ n)⁻¹ * A = A ^ (-(↑n + 1)) * A
-- Mathlib/Probability/Kernel/Invariance.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α α
μ : Measure α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : κ.Invariant μ
hη : η.Invariant μ

⊢ (κ ∘ₖ η).Invariant μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Invariance.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α α
μ : Measure α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : κ.Invariant μ
hη : η.Invariant μ
h✝ : IsEmpty α

⊢ (κ ∘ₖ η).Invariant μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Invariance.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ η : Kernel α α
μ : Measure α
inst✝ : IsSFiniteKernel κ
hκ : κ.Invariant μ
hη : η.Invariant μ
hα : Nonempty α

⊢ (κ ∘ₖ η).Invariant μ
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x✝ : ↑X.toTopCat

⊢ x✝ ∈ X.toΓSpecFun ⁻¹' (basicOpen r).carrier ↔ x✝ ∈ (X.toRingedSpace.basicOpen r).carrier
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x✝ : ↑X.toTopCat

⊢ x✝ ∈ X.toΓSpecFun ⁻¹' (basicOpen r).carrier ↔ IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ ⟨x✝, ⋯⟩) r)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean

⊢ ConvexOn ℝ (Ioi 0) (log ∘ Gamma)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioi 0
a b : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1

⊢ (log ∘ Gamma) (a • x + b • y) ≤ a • (log ∘ Gamma) x + b • (log ∘ Gamma) y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioi 0
a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1

⊢ (log ∘ Gamma) (a • x + (1 - a) • y) ≤ a • (log ∘ Gamma) x + (1 - a) • (log ∘ Gamma) y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
y : ℝ
hy : y ∈ Ioi 0
a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1

⊢ log (Gamma (a * x + (1 - a) * y)) ≤ a * log (Gamma x) + (1 - a) * log (Gamma y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
x y a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y

⊢ log (Gamma (a * x + (1 - a) * y)) ≤ a * log (Gamma x) + (1 - a) * log (Gamma y)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
x y a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y

⊢ log (Gamma (a * x + (1 - a) * y)) ≤ log (Gamma x ^ a * Gamma y ^ (1 - a))
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
x y a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y

⊢ Gamma x ^ a ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
x y a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y

⊢ Gamma y ^ (1 - a) ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
x y a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y

⊢ 0 < Gamma y
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
x y a : ℝ
ha : 0 < a
hb : 0 < 1 - a
hab : a + (1 - a) = 1
hx : 0 < x
hy : 0 < y

⊢ 0 < Gamma x
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : c ≤ max a b

⊢ Ico a b ∪ Ici c = Ici (min a c)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : a ≤ b
h : c ≤ b

⊢ Ico a b ∪ Ici c = Ici (min a c)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hab : b ≤ a
h : c ≤ a

⊢ Ico a b ∪ Ici c = Ici (min a c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/PreservesSheafification.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} A
inst✝¹ : Category.{u_4, u_2} B
F : A ⥤ B
G₁ : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj₁ : G₁ ⊣ sheafToPresheaf J A
G₂ : (Cᵒᵖ ⥤ B) ⥤ Sheaf J B
adj₂ : G₂ ⊣ sheafToPresheaf J B
inst✝ : J.HasSheafCompose F
P : Cᵒᵖ ⥤ A

⊢ adj₂.unit.app (P ⋙ F) ≫ (sheafToPresheaf J B).map ((adj₂.homEquiv (((whiskeringRight Cᵒᵖ A B).obj F).obj P) ((G₁ ⋙ sheafCompose J F).obj P)).symm (whiskerRight (adj₁.unit.app P) F)) = whiskerRight (adj₁.unit.app P) F
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝¹ : CompleteLattice β
m : MeasurableSpace α
γ : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice γ
f : α → β
μ : Measure α
g : β ≃o γ

⊢ g (essSup f μ) = essSup (fun x => g (f x)) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝¹ : CompleteLattice β
m : MeasurableSpace α
γ : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice γ
f : α → β
μ : Measure α
g : β ≃o γ

⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝¹ : CompleteLattice β
m : MeasurableSpace α
γ : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice γ
f : α → β
μ : Measure α
g : β ≃o γ

⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝¹ : CompleteLattice β
m : MeasurableSpace α
γ : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice γ
f : α → β
μ : Measure α
g : β ≃o γ

⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) fun x => g (f x)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
inst✝¹ : CompleteLattice β
m : MeasurableSpace α
γ : Type u_3
inst✝ : CompleteLattice γ
f : α → β
μ : Measure α
g : β ≃o γ

⊢ IsCoboundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) (ae μ) fun x => g (f x)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a b c : Cardinal.{u_1}

⊢ a ^ (b * c) = (a ^ b) ^ c
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Basic.lean
α β : Type u
a b c : Cardinal.{u_1}

⊢ a ^ (c * b) = (a ^ b) ^ c
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
h : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ a * b ^ n

⊢ a = 0 ∨ 0 < a ∧ 0 ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
h : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ a * b ^ n
this : 0 ≤ a

⊢ a = 0 ∨ 0 < a ∧ 0 ≤ b
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Unbundled/Basic.lean
α : Type u
β : Type u_1
inst✝² : Semiring α
inst✝¹ : LinearOrder α
a b c d : α
inst✝ : PosMulStrictMono α
h : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ a * b ^ n
this : 0 ≤ a
ha : 0 < a

⊢ 0 ≤ a * b
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Compact.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : LocallyCompactSpace X
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
F : ι → C(X, E)
hF : ∀ (K : Compacts X), Summable fun i => ‖restrict (↑K) (F i)‖

⊢ Summable F
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Compact.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : LocallyCompactSpace X
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
F : ι → C(X, E)
hF : ∀ (K : Compacts X), Summable fun i => ‖restrict (↑K) (F i)‖
K : Set X
hK : IsCompact K

⊢ ∃ f, Tendsto (fun i => restrict K (∑ b ∈ i, F b)) atTop (𝓝 f)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Compact.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : LocallyCompactSpace X
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
F : ι → C(X, E)
hF : ∀ (K : Compacts X), Summable fun i => ‖restrict (↑K) (F i)‖
K : Compacts X

⊢ ∃ f, Tendsto (fun i => restrict (↑K) (∑ b ∈ i, F b)) atTop (𝓝 f)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Compact.lean
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : LocallyCompactSpace X
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
F : ι → C(X, E)
hF : ∀ (K : Compacts X), Summable fun i => ‖restrict (↑K) (F i)‖
K : Compacts X
A : ∀ (s : Finset ι), restrict (↑K) (∑ i ∈ s, F i) = ∑ i ∈ s, restrict (↑K) (F i)

⊢ ∃ f, Tendsto (fun i => restrict (↑K) (∑ b ∈ i, F b)) atTop (𝓝 f)
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ abs (cexp x) = abs (cexp y) ↔ x.re = y.re
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
h : ∀ (x : M₁), B x = 0 → x = 0
x : M₁
hB : ∀ (y : M₂), (B x) y = 0

⊢ x = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁸ : CommSemiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₁
inst✝³ : Module R₁ M₁
inst✝² : CommSemiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
I₁ : R₁ →+* R
I₂ : R₂ →+* R
I₁' : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₂ →ₛₗ[I₂] M
h : ∀ (x : M₁), B x = 0 → x = 0
x : M₁
hB : ∀ (y : M₂), (B x) y = 0
h' : B x = 0

⊢ x = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → Submodule R M
x : M

⊢ x ∈ s.inf p ↔ ∀ i ∈ s, x ∈ p i
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Inversion/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c✝ d x✝ y z : P
r R✝ : ℝ
c x : P
R : ℝ

⊢ dist c (inversion c R x) = R ^ 2 / dist c x
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Roth.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : A ⊆ range n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree ↑A

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Roth.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree ↑A

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Roth.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree ↑A
this : ↑A = Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A)

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Roth.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree (Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A))
this : ↑A = Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A)

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Roth.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree (Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A))
this✝ : ↑A = Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A)
this : IsAddFreimanIso 2 (Set.Iio ↑n) (Set.Iio n) Fin.val

⊢ False
-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Roth.lean
G : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Fintype G
A✝ B : Finset (G × G)
a b c d x y : G
n : ℕ
ε✝ ε : ℝ
hε : 0 < ε
hG : cornersTheoremBound (ε / 3) ≤ n
A : Finset ℕ
hAn : ↑A ⊆ Set.Iio n
hAε : ε * ↑n ≤ ↑A.card
hA : ThreeAPFree (Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A))
this✝¹ : ↑A = Fin.val '' (Nat.cast '' ↑A)
this✝ : IsAddFreimanIso 2 (Set.Iio ↑n) (Set.Iio n) Fin.val
this : ThreeAPFree ((fun x => ↑x) '' ↑A)

⊢ False