ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : ContinuousAdd M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Nontrivial M
inst✝¹ : (𝓝[≠] 0).NeBot
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x : M

⊢ (𝓝[≠] x).NeBot
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : ContinuousAdd M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Nontrivial M
inst✝¹ : (𝓝[≠] 0).NeBot
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
hy : y ≠ 0

⊢ (𝓝[≠] x).NeBot
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : ContinuousAdd M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Nontrivial M
inst✝¹ : (𝓝[≠] 0).NeBot
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
hy : y ≠ 0

⊢ Tendsto (fun c => x + c • y) (𝓝[≠] 0) (𝓝[≠] x)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : ContinuousAdd M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Nontrivial M
inst✝¹ : (𝓝[≠] 0).NeBot
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
hy : y ≠ 0

⊢ Tendsto (fun c => x + c • y) (𝓝 0) (𝓝 x)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/Basic.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : TopologicalSpace R
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : ContinuousAdd M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : ContinuousSMul R M
inst✝² : Nontrivial M
inst✝¹ : (𝓝[≠] 0).NeBot
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
x y : M
hy : y ≠ 0

⊢ ∀ a ∈ {0}ᶜ, x + a • y ∈ {x}ᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : Finite ι'
h : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
C : (i : ι) → Set (Set (α i))
hC : ∀ (i : ι), generateFrom (C i) = h i
h2C : ∀ (i : ι), IsCountablySpanning (C i)

⊢ generateFrom (univ.pi '' univ.pi C) = MeasurableSpace.pi
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Subfield.lean
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
a : ↥(closure s)
x✝ : a ∈ ⊤

⊢ a ∈ Subfield.rangeOfWType s
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Subfield.lean
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
a : ↥(closure s)
x✝ : a ∈ ⊤

⊢ ↑a ∈ Subtype.val '' ↑(Subfield.rangeOfWType s)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Subfield.lean
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
a : ↥(closure s)
x✝ : a ∈ ⊤

⊢ ↑a ∈ map (closure s).subtype (Subfield.rangeOfWType s)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Subfield.lean
α : Type u
s : Set α
inst✝ : DivisionRing α
a✝ : ↥(closure s)
x✝ : a✝ ∈ ⊤
a : α
ha : a ∈ s

⊢ a ∈ ↑(map (closure s).subtype (Subfield.rangeOfWType s))
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Truncated.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
x y : 𝕎 R

⊢ truncateFun n (x * y) = truncateFun n x * truncateFun n y
-- Mathlib/Algebra/Lie/Character.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ derivedSeries R L 1

⊢ χ x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Character.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

⊢ χ x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Character.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

⊢ ∀ x ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}, χ x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Character.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

⊢ χ 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Character.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

⊢ ∀ (x y : L), χ x = 0 → χ y = 0 → χ (x + y) = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Character.lean
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}

⊢ ∀ (a : R) (x : L), χ x = 0 → χ (a • x) = 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z✝ : ι → E
s : Set E
x : E
inst✝ : Fintype ι
w : ι → R
z : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i : ι, w i = 1
hz : ∀ (i : ι), z i ∈ s
hx : ∑ i : ι, w i • z i = x

⊢ x ∈ (convexHull R) s
-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁹ : LinearOrderedField R
inst✝⁸ : LinearOrderedField R'
inst✝⁷ : AddCommGroup E
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝⁴ : Module R E
inst✝³ : Module R F
inst✝² : Module R α
inst✝¹ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w✝ : ι → R
z✝ : ι → E
s : Set E
x : E
inst✝ : Fintype ι
w : ι → R
z : ι → E
hw₀ : ∀ (i : ι), 0 ≤ w i
hw₁ : ∑ i : ι, w i = 1
hz : ∀ (i : ι), z i ∈ s
hx : ∑ i : ι, w i • z i = x

⊢ Finset.univ.centerMass w z ∈ (convexHull R) s
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

⊢ (f.pdiv g) (m * n) = (f.pdiv g) m * (f.pdiv g) n
-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommGroupWithZero R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n

⊢ f m * f n * ((g m)⁻¹ * (g n)⁻¹) = f m * (g m)⁻¹ * (f n * (g n)⁻¹)
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Walk.lean
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v : V
p : G.Walk u v

⊢ p.reverse.edges = p.edges.reverse
-- Mathlib/Algebra/Field/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
q : ℚ≥0

⊢ q • 1 = ↑q
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

⊢ ENNReal.ofReal (⨍ (x : α), f x ∂μ) = (∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ) / μ univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ
hf : Integrable f 0
hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae 0] f

⊢ ENNReal.ofReal (⨍ (x : α), f x ∂0) = (∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂0) / 0 univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
hf₀ : 0 ≤ᶠ[ae μ] f
hμ : μ ≠ 0

⊢ ENNReal.ofReal (⨍ (x : α), f x ∂μ) = (∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ) / μ univ
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E

⊢ L ≤ perfectClosure F E ↔ IsPurelyInseparable F ↥L
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : L ≤ perfectClosure F E
x : ↥L

⊢ ∃ n, x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F ↥L).range
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
L : IntermediateField F E
h : L ≤ perfectClosure F E
x : ↥L
n : ℕ
y : F
hy : (algebraMap F E) y = ↑x ^ ringExpChar F ^ n

⊢ ∃ n, x ^ ringExpChar F ^ n ∈ (algebraMap F ↥L).range
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
c : ℝ
hXm : AEMeasurable X ℙ

⊢ Measure.map (fun ω => c * X ω) ℙ = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
c : ℝ
hXm : AEMeasurable X ℙ

⊢ Measure.map ((fun ω => c * ω) ∘ X) ℙ = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
Ω : Type
inst✝ : MeasureSpace Ω
X : Ω → ℝ
hX : Measure.map X ℙ = gaussianReal μ v
c : ℝ
hXm : AEMeasurable X ℙ

⊢ Measure.map (fun x => c * x) (gaussianReal μ v) = gaussianReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v)
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I.jacobson
y : R
hxy : I ⊔ span {y * x + 1} = ⊤
p : R
hpi : p ∈ I
q : R
hq : q ∈ span {y * x + 1}
hpq : p + q = 1
r : R
hr : r * (y * x + 1) = q

⊢ r * y * x + r - 1 ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ I.jacobson
y : R
hxy : I ⊔ span {y * x + 1} = ⊤
p : R
hpi : p ∈ I
q : R
hq : q ∈ span {y * x + 1}
hpq : p + q = 1
r : R
hr : r * (y * x + 1) = q

⊢ -p ∈ I
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
x : R
hx : ∀ (y : R), ∃ z, z * y * x + z - 1 ∈ I
M : Ideal R
x✝ : M ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal}
him : I ≤ M
hm : M.IsMaximal
hxm : x ∉ M
y i : R
hi : i ∈ M
df : y * x + i = 1
z : R
hz : z * -y * x + z - 1 ∈ I

⊢ z * -y * x + z ∈ M
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
I : Ideal R
x : R
hx : ∀ (y : R), ∃ z, z * y * x + z - 1 ∈ I
M : Ideal R
x✝ : M ∈ {J | I ≤ J ∧ J.IsMaximal}
him : I ≤ M
hm : M.IsMaximal
hxm : x ∉ M
y i : R
hi : i ∈ M
df : y * x + i = 1
z : R
hz : z * -y * x + z - 1 ∈ I

⊢ z * i ∈ M
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞

⊢ eLpNorm f p (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm f p μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞

⊢ eLpNorm' f p.toReal (c • μ) = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm' f p.toReal μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞

⊢ c ^ (1 / p.toReal) * eLpNorm' f p.toReal μ = c ^ (1 / p).toReal • eLpNorm' f p.toReal μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞

⊢ 1 / p.toReal = (1 / p).toReal
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p✝ : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
p : ℝ≥0∞
hp_ne_zero : p ≠ 0
hp_ne_top : p ≠ ⊤
f : α → F
c : ℝ≥0∞

⊢ p.toReal⁻¹ = p⁻¹.toReal
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.IsThreeCycle

⊢ Perm.sign σ = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ : Perm α
h : σ.IsThreeCycle

⊢ (-1) ^ ({3}.sum + card {3}) = 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0

⊢ o.oangle (x - r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) x = ↑(Real.arctan r)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))

⊢ o.oangle (x - r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) x = ↑(Real.arctan r)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))

⊢ o.oangle (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) + x) x = ↑(Real.arctan r)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))

⊢ o.oangle (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) + r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))) (r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))) = ↑(Real.arctan r)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
h : x ≠ 0
r : ℝ
hr : ¬r = 0
hx : x = r⁻¹ • (o.rotation ↑(π / 2)) (-(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x))

⊢ -(r • (o.rotation ↑(π / 2)) x) ≠ 0
-- Mathlib/Data/DFinsupp/WellFounded.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = ((fun x => x.2.1.piecewise x.2.2 x.1) (p, x₁, x₂)) j
hs : s i (x i) (((fun x => x.2.1.piecewise x.2.2 x.1) (p, x₁, x₂)) i)

⊢ ∃ a', InvImage (GameAdd (DFinsupp.Lex r s) (DFinsupp.Lex r s)) snd a' (p, x₁, x₂) ∧ (fun x => x.2.1.piecewise x.2.2 x.1) a' = x
-- Mathlib/Data/DFinsupp/WellFounded.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hs : s i (x i) (if i ∈ p then x₁ i else x₂ i)

⊢ ∃ a', InvImage (GameAdd (DFinsupp.Lex r s) (DFinsupp.Lex r s)) snd a' (p, x₁, x₂) ∧ (fun x => x.2.1.piecewise x.2.2 x.1) a' = x
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Symmetric.lean
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : Quiver U
inst✝³ : Quiver V
inst✝² : Quiver W
V' : Type u_4
inst✝¹ : Quiver V'
inst✝ : HasReverse V'
φ : V ⥤q V'

⊢ of ⋙q lift φ = φ
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Symmetric.lean
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : Quiver U
inst✝³ : Quiver V
inst✝² : Quiver W
V' : Type u_4
inst✝¹ : Quiver V'
inst✝ : HasReverse V'
φ : V ⥤q V'

⊢ ∀ (X : V), (of ⋙q lift φ).obj X = φ.obj X
-- Mathlib/Combinatorics/Quiver/Symmetric.lean
U : Type u_1
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁴ : Quiver U
inst✝³ : Quiver V
inst✝² : Quiver W
V' : Type u_4
inst✝¹ : Quiver V'
inst✝ : HasReverse V'
φ : V ⥤q V'

⊢ ∀ (X Y : V) (f : X ⟶ Y), (of ⋙q lift φ).map f = Eq.recOn ⋯ (Eq.recOn ⋯ (φ.map f))
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NormTrace.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S

⊢ (trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) a)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NormTrace.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Subsingleton R

⊢ (trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) a)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NormTrace.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Nontrivial R

⊢ (trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) a)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NormTrace.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S
this : DecidableEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) := Classical.decEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S)

⊢ (trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) a)
-- Mathlib/RingTheory/Localization/NormTrace.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S
this : DecidableEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) := Classical.decEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S)

⊢ ((algebraMap R Rₘ).mapMatrix ((leftMulMatrix b) a)).trace = (algebraMap R Rₘ) ((leftMulMatrix b) a).trace
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0

⊢ Integrable (NNReal.toReal ∘ ⇑f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0

⊢ HasFiniteIntegral (NNReal.toReal ∘ ⇑f) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/BoundedContinuousFunction.lean
X : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace X
μ : Measure X
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : X →ᵇ ℝ≥0

⊢ ∫⁻ (a : X), ↑(f a) ∂μ < ⊤
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : AddMonoid A
x y : A

⊢ y ∈ closure {x} ↔ ∃ n, n • x = y
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : AddMonoid A
x y : A

⊢ (∃ x_1, ((multiplesHom A) x) x_1 = y) ↔ ∃ n, n • x = y
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω

⊢ μ.toFiniteMeasure ≠ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/ProbabilityMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace Ω
μ : ProbabilityMeasure Ω

⊢ 1 ≠ 0
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ i ∈ b, IsOpen (c i)
hc₂ : s ⊆ ⋃ i ∈ b, c i

⊢ ∃ b' ⊆ b, b'.Finite ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ b', c i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ (x : { a // a ∈ b }), IsOpen (c ↑x)
hc₂ : s ⊆ ⋃ x, c ↑x

⊢ ∃ b' ⊆ b, b'.Finite ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ b', c i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ (x : { a // a ∈ b }), IsOpen (c ↑x)
hc₂ : s ⊆ ⋃ x, c ↑x
d : Finset ↑b
hd : s ⊆ ⋃ i ∈ d, c ↑i

⊢ ∃ b' ⊆ b, b'.Finite ∧ s ⊆ ⋃ i ∈ b', c i
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ (x : { a // a ∈ b }), IsOpen (c ↑x)
hc₂ : s ⊆ ⋃ x, c ↑x
d : Finset ↑b
hd : s ⊆ ⋃ i ∈ d, c ↑i

⊢ Subtype.val '' ↑d ⊆ b
-- Mathlib/Topology/Compactness/Compact.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
b : Set ι
c : ι → Set X
hs : IsCompact s
hc₁ : ∀ (x : { a // a ∈ b }), IsOpen (c ↑x)
hc₂ : s ⊆ ⋃ x, c ↑x
d : Finset ↑b
hd : s ⊆ ⋃ i ∈ d, c ↑i

⊢ s ⊆ ⋃ i ∈ Subtype.val '' ↑d, c i
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R

⊢ (s.prod f).totalDegree ≤ ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R

⊢ (Multiset.map totalDegree (Multiset.map f s.val)).sum ≤ ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R

⊢ (Multiset.map (totalDegree ∘ f) s.val).sum ≤ ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M

⊢ Module.rank R M = 0 ↔ ∀ (x : M), x = 0
-- Mathlib/Order/SymmDiff.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α

⊢ (a ⊓ b) ∆ (a ∆ b) = a ⊔ b