ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/Modular.lean
g✝ : SL(2, ℤ)
z✝ z : ℍ
g₀ : SL(2, ℤ)
hg₀ : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), (g' • z).im ≤ (g₀ • z).im
g : SL(2, ℤ)
hg : ↑g 1 = ↑g₀ 1
hg' : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), ↑g 1 = ↑g' 1 → |(g • z).re| ≤ |(g' • z).re|
hg₀' : ∀ (g' : SL(2, ℤ)), (g' • z).im ≤ (g • z).im

⊢ g • z ∈ 𝒟
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β
g : α → α
a : α

⊢ corec f g a = f a :: corec f g (g a)
-- Mathlib/Data/Stream/Init.lean
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
f : α → β
g : α → α
a : α

⊢ f a :: map f (iterate g (g a)) = f a :: corec f g (g a)
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ

⊢ l.rotate' (n % l.length) = (l.rotate' (n % l.length)).rotate' ((l.rotate' (n % l.length)).length * (n / l.length))
-- Mathlib/Data/List/Rotate.lean
α : Type u
l : List α
n : ℕ

⊢ (l.rotate' (n % l.length)).rotate' ((l.rotate' (n % l.length)).length * (n / l.length)) = l.rotate' n
-- Mathlib/Logic/Function/Iterate.lean
α : Type u
β : Type v
f : α → α
m n : ℕ
a : α
hf : Injective f

⊢ f^[m + n] a = f^[n] a ↔ f^[n] (f^[m] a) = f^[n] a
-- Mathlib/Algebra/Group/Units.lean
α : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝ : DivisionCommMonoid α
a b c d : α
hb : IsUnit b
hd : IsUnit d

⊢ a / b = c / d ↔ a * d = c * b
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α✝ : Sort u_1
β✝ : Sort u_2
γ : Sort u_3
f✝ : α✝ → β✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : BEq α
inst✝² : LawfulBEq α
inst✝¹ : BEq β
inst✝ : LawfulBEq β
f : α → β
I : Injective f
a b : α

⊢ (f a == f b) = (a == b)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
f : SimpleFunc (ι → ℝ) E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false

⊢ HasIntegral I l (↑f) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) f)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
y : E
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s

⊢ HasIntegral I l (↑(piecewise s hs (const (ι → ℝ) y) (const (ι → ℝ) 0))) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) (piecewise s hs (const (ι → ℝ) y) (const (ι → ℝ) 0)))
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
f g : SimpleFunc (ι → ℝ) E
a✝ : Disjoint (Function.support ↑f) (Function.support ↑g)
hfi : HasIntegral I l (↑f) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) f)
hgi : HasIntegral I l (↑g) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) g)

⊢ HasIntegral I l (↑(f + g)) μ.toBoxAdditive.toSMul (integral (μ.restrict ↑I) (f + g))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.3839, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ

⊢ A.EqId ↔ (unop A.fst).len = (unop Δ).len
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.3839, u_1} C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ

⊢ A.fst = Δ ↔ (unop A.fst).len = (unop Δ).len
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Equalizers.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
t : Cofork f g

⊢ f ≫ t.π = g ≫ t.π
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ 𝓒 u v s
ha : a ∉ s

⊢ u ≤ a
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
h : a ∈ s ∧ compress u v a ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a
ha : a ∉ s

⊢ u ≤ a
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
v : E
μ : Eigenvalues T

⊢ hT.diagonalization (T v) μ = ↑T μ • hT.diagonalization v μ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
v : E
μ : Eigenvalues T

⊢ ∀ (w : PiLp 2 fun μ => ↥(eigenspace T (↑T μ))), T (hT.diagonalization.symm w) = hT.diagonalization.symm fun μ => ↑T μ • w μ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
v : E
μ : Eigenvalues T
w : PiLp 2 fun μ => ↥(eigenspace T (↑T μ))

⊢ T (hT.diagonalization.symm w) = hT.diagonalization.symm fun μ => ↑T μ • w μ
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Spectrum.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
v : E
μ : Eigenvalues T
w : PiLp 2 fun μ => ↥(eigenspace T (↑T μ))
hwT : ∀ (μ : Eigenvalues T), T ↑(w μ) = ↑T μ • ↑(w μ)

⊢ T (hT.diagonalization.symm w) = hT.diagonalization.symm fun μ => ↑T μ • w μ
-- Mathlib/Topology/UrysohnsLemma.lean
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : CU P
x : X
h : x ∈ c.C

⊢ c.lim x = 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N✝ N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N : Submodule R M
h : ∀ {x : L} {m : M}, m ∈ N.carrier → ⁅x, m⁆ ∈ N.carrier

⊢ { toSubmodule := N, lie_mem := h } = ⊥ ↔ N = ⊥
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f₁ i).NeBot
h : pi f₁ = pi f₂

⊢ f₁ = f₂
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f₁ i).NeBot
h : pi f₁ = pi f₂
hle : f₁ ≤ f₂

⊢ f₁ = f₂
-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f₁ i).NeBot
h : pi f₁ = pi f₂
hle : f₁ ≤ f₂
this : ∀ (i : ι), (f₂ i).NeBot

⊢ f₁ = f₂
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
S X X' Y Y' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S
g' : Y' ⟶ S
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
h₁ : P i₁
h₂ : P i₂
e₁ : f = i₁ ≫ f'
e₂ : g = i₂ ≫ g'

⊢ P (pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
S X X' Y Y' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S
g' : Y' ⟶ S
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
h₁ : P i₁
h₂ : P i₂
e₁ : f = i₁ ≫ f'
e₂ : g = i₂ ≫ g'
this : P.RespectsIso

⊢ P (pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
S X X' Y Y' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S
g' : Y' ⟶ S
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
h₁ : P i₁
h₂ : P i₂
e₁ : f = i₁ ≫ f'
e₂ : g = i₂ ≫ g'
this✝ : P.RespectsIso
this : pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯ = ((pullbackSymmetry (Over.mk f).hom (Over.mk g).hom).hom ≫ ((Over.pullback (Over.mk f).hom).map (Over.homMk i₂ ⋯)).left) ≫ (pullbackSymmetry (Over.mk g').hom (Over.mk f).hom).hom ≫ ((Over.pullback g').map (Over.homMk i₁ ⋯)).left

⊢ P (pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯)
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
S X X' Y Y' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S
g' : Y' ⟶ S
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
h₁ : P i₁
h₂ : P i₂
e₁ : f = i₁ ≫ f'
e₂ : g = i₂ ≫ g'
this✝ : P.RespectsIso
this : pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯ = ((pullbackSymmetry (Over.mk f).hom (Over.mk g).hom).hom ≫ ((Over.pullback (Over.mk f).hom).map (Over.homMk i₂ ⋯)).left) ≫ (pullbackSymmetry (Over.mk g').hom (Over.mk f).hom).hom ≫ ((Over.pullback g').map (Over.homMk i₁ ⋯)).left

⊢ P (((pullbackSymmetry (Over.mk f).hom (Over.mk g).hom).hom ≫ ((Over.pullback (Over.mk f).hom).map (Over.homMk i₂ ⋯)).left) ≫ (pullbackSymmetry (Over.mk g').hom (Over.mk f).hom).hom ≫ ((Over.pullback g').map (Over.homMk i₁ ⋯)).left)
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
S X X' Y Y' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S
g' : Y' ⟶ S
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
h₁ : P i₁
h₂ : P i₂
e₁ : f = i₁ ≫ f'
e₂ : g = i₂ ≫ g'
this✝ : P.RespectsIso
this : pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯ = ((pullbackSymmetry (Over.mk f).hom (Over.mk g).hom).hom ≫ ((Over.pullback (Over.mk f).hom).map (Over.homMk i₂ ⋯)).left) ≫ (pullbackSymmetry (Over.mk g').hom (Over.mk f).hom).hom ≫ ((Over.pullback g').map (Over.homMk i₁ ⋯)).left

⊢ P ((Over.pullback (Over.mk f).hom).map (Over.homMk i₂ ⋯)).left
-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
hP : P.StableUnderBaseChange
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
S X X' Y Y' : C
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
f' : X' ⟶ S
g' : Y' ⟶ S
i₁ : X ⟶ X'
i₂ : Y ⟶ Y'
h₁ : P i₁
h₂ : P i₂
e₁ : f = i₁ ≫ f'
e₂ : g = i₂ ≫ g'
this✝ : P.RespectsIso
this : pullback.map f g f' g' i₁ i₂ (𝟙 S) ⋯ ⋯ = ((pullbackSymmetry (Over.mk f).hom (Over.mk g).hom).hom ≫ ((Over.pullback (Over.mk f).hom).map (Over.homMk i₂ ⋯)).left) ≫ (pullbackSymmetry (Over.mk g').hom (Over.mk f).hom).hom ≫ ((Over.pullback g').map (Over.homMk i₁ ⋯)).left

⊢ P ((Over.pullback g').map (Over.homMk i₁ ⋯)).left
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c : Ordinal.{u}

⊢ 1 ♯ a = succ a
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
t : f.NeBot
p : Prop

⊢ (∀ᶠ (x : α) in f, p) ↔ p
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'

⊢ f.IsIdealMorphism ↔ ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z
-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'

⊢ (∀ (x m : L') (x_1 : L), f x_1 = m → ∃ y, f y = ⁅x, m⁆) ↔ ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ 2 - sin x ^ 2 = sin b * cos b - sin a * cos a
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : CommSemiring S
inst✝³ : Algebra S R
inst✝² : Module S N
inst✝¹ : IsScalarTower S R N
inst✝ : Invertible 2
B₁ : BilinMap R M R
Q✝ : QuadraticMap R M N
Q : QuadraticMap R M R
x y : M

⊢ (RingHom.id R) ((((associatedHom S) Q) x) y) = (((associatedHom S) Q) y) x
-- Mathlib/RingTheory/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
R' : Type u_2
R : Type u_3
A : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : (i : ι) → NonUnitalNonAssocSemiring (A i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (A i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), SMulCommClass R (A i) (A i)
inst✝ : ∀ (i : ι), IsScalarTower R (A i) (A i)
a₁ a₂ a₃ : (i : ι) → A i
ha : SemiconjBy a₁ a₂ a₃

⊢ SemiconjBy ((PiTensorProduct.tprod R) a₁) ((PiTensorProduct.tprod R) a₂) ((PiTensorProduct.tprod R) a₃)
-- Mathlib/Combinatorics/Young/SemistandardTableau.lean
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i1 i2 j : ℕ
hi : i1 ≤ i2
cell : (i2, j) ∈ μ

⊢ T i1 j ≤ T i2 j
-- Mathlib/Combinatorics/Young/SemistandardTableau.lean
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i1 i2 j : ℕ
hi : i1 ≤ i2
cell : (i2, j) ∈ μ
h : i1 = i2

⊢ T i1 j ≤ T i2 j
-- Mathlib/Combinatorics/Young/SemistandardTableau.lean
μ : YoungDiagram
T : SemistandardYoungTableau μ
i1 i2 j : ℕ
hi : i1 ≤ i2
cell : (i2, j) ∈ μ
h : i1 < i2

⊢ T i1 j ≤ T i2 j
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
X : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace X
hX : Pairwise fun x y => ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
S : Set X
hS : IsPreconnected S

⊢ ∀ ⦃x : X⦄, x ∈ S → ∀ ⦃y : X⦄, y ∈ S → x = y
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
X : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace X
hX : Pairwise fun x y => ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
S : Set X
hS : IsPreconnected S
h_contra : ∃ x ∈ S, ∃ y ∈ S, x ≠ y

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
X : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace X
hX : Pairwise fun x y => ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
S : Set X
hS : IsPreconnected S
x : X
hx : x ∈ S
y : X
hy : y ∈ S
hxy : x ≠ y
U : Set X
hU : IsClopen U
hxU : x ∈ U
hyU : y ∉ U

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
X : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace X
hX : Pairwise fun x y => ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
S : Set X
x : X
hx : x ∈ S
y : X
hy : y ∈ S
hxy : x ≠ y
U : Set X
hU : IsClopen U
hxU : x ∈ U
hyU : y ∉ U
hS : (S ∩ (U ∩ Uᶜ)).Nonempty

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Connected/TotallyDisconnected.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s t u v : Set α
X : Type u_3
inst✝ : TopologicalSpace X
hX : Pairwise fun x y => ∃ U, IsClopen U ∧ x ∈ U ∧ y ∉ U
S : Set X
x : X
hx : x ∈ S
y : X
hy : y ∈ S
hxy : x ≠ y
U : Set X
hU : IsClopen U
hxU : x ∈ U
hyU : y ∉ U
hS : ∅.Nonempty

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
n : ℕ

⊢ ∑ i ∈ range n, op y ^ (n - 1 - i) * op x ^ i = ∑ i ∈ range n, op y ^ i * op x ^ (n - 1 - i)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
n : ℕ

⊢ ∑ j ∈ range n, op y ^ (n - 1 - (n - 1 - j)) * op x ^ (n - 1 - j) = ∑ i ∈ range n, op y ^ i * op x ^ (n - 1 - i)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
n j : ℕ
j_in : j ∈ range n

⊢ op y ^ (n - 1 - (n - 1 - j)) * op x ^ (n - 1 - j) = op y ^ j * op x ^ (n - 1 - j)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
n j : ℕ
j_in : j + 1 ≤ n

⊢ op y ^ (n - 1 - (n - 1 - j)) * op x ^ (n - 1 - j) = op y ^ j * op x ^ (n - 1 - j)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
n j : ℕ
j_in : j + 1 ≤ n

⊢ n - 1 - (n - 1 - j) = j
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
n j : ℕ
j_in : j + 1 ≤ n

⊢ j ≤ n - 1
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/Basic.lean
ι : Type u_1
I J J₁ J₂ : Box ι
π π₁ π₂ : Prepartition I
x : ι → ℝ
πi πi₁ πi₂ : (J : Box ι) → Prepartition J
h : π.IsPartition
hJ : J ≤ I

⊢ (π.restrict J).iUnion = ↑J
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq α
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : DivisionMonoid α
s t : Finset α
inst✝ : Fintype α

⊢ univ / univ = univ
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
j : J

⊢ (lambda c t ≫ T.ε.app c.pt) ≫ c.π.app j = 𝟙 c.pt ≫ c.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
j : J

⊢ c.π.app j ≫ (D.obj j).a ≫ T.ε.app (T.forget.obj (D.obj j)) = 𝟙 c.pt ≫ c.π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor

⊢ lambda c t ≫ T.δ.app c.pt = lambda c t ≫ T.map (lambda c t)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
j : J

⊢ (lambda c t ≫ T.δ.app c.pt) ≫ (T.mapCone (T.mapCone c)).π.app j = (lambda c t ≫ T.map (lambda c t)) ≫ (T.mapCone (T.mapCone c)).π.app j
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
j : J

⊢ (c.π.app j ≫ (D.obj j).a) ≫ T.δ.app ((D ⋙ T.forget).obj j) = lambda c t ≫ T.map (c.π.app j) ≫ T.map (D.obj j).a
-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Limits.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} C
D✝ : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} D✝
J : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} J
T : Comonad C
D : J ⥤ T.Coalgebra
c : Cone (D ⋙ T.forget)
t : IsLimit c
inst✝² : PreservesLimit (D ⋙ T.forget) T.toFunctor
inst✝¹ : PreservesLimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
inst✝ : PreservesColimit ((D ⋙ T.forget) ⋙ T.toFunctor) T.toFunctor
j : J

⊢ c.π.app j ≫ (D.obj j).a ≫ T.δ.app (D.obj j).A = lambda c t ≫ T.map (c.π.app j) ≫ T.map (D.obj j).a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : N

⊢ ∃ m, f m = n ∧ ‖m‖ < ‖n‖ + ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
ε : ℝ
hε : 0 < ε
m : M

⊢ ∃ m_1, f m_1 = f m ∧ ‖m_1‖ < ‖f m‖ + ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
ε : ℝ
hε : 0 < ε
m : M
nonemp : ((fun m' => ‖m + m'‖) '' ↑f.ker).Nonempty

⊢ ∃ m_1, f m_1 = f m ∧ ‖m_1‖ < ‖f m‖ + ε
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Quotient.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup M
inst✝ : SeminormedAddCommGroup N
f : NormedAddGroupHom M N
hquot : f.IsQuotient
ε : ℝ
hε : 0 < ε
m : M
nonemp : ((fun m' => ‖m + m'‖) '' ↑f.ker).Nonempty
x : M
hx : x ∈ ↑f.ker
H : ‖m + x‖ < sInf ((fun m' => ‖m + m'‖) '' ↑f.ker) + ε

⊢ ∃ m_1, f m_1 = f m ∧ ‖m_1‖ < ‖f m‖ + ε
-- Mathlib/Data/Finset/NAry.lean
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ

⊢ c ∈ image₂ f s t ↔ ∃ a ∈ s, ∃ b ∈ t, f a b = c
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ : X.Opens
U V : X.Opensᵒᵖ
i : U ⟶ V

⊢ (X.restrictFunctor.op ⋙ (Over.forget X).op ⋙ Γ).map i ≫ ((fun U => Functor.mapIso X.presheaf (eqToIso ⋯).symm.op) V).hom = ((fun U => Functor.mapIso X.presheaf (eqToIso ⋯).symm.op) U).hom ≫ X.presheaf.map i
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ : X.Opens
U V : X.Opensᵒᵖ
i : U ⟶ V

⊢ Hom.app (X.restrictFunctor.map i.unop).left ⊤ ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op = X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op ≫ X.presheaf.map i
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Restrict.lean
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U✝ : X.Opens
U V : X.Opensᵒᵖ
i : U ⟶ V

⊢ X.presheaf.map ((homOfLE ⋯).op ≫ (eqToHom ⋯).op) = X.presheaf.map ((eqToHom ⋯).op ≫ i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
c : ℝ≥0∞
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (μ.withDensity fun x => c) s = (c • μ) s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β

⊢ infEdist x (closure s) = infEdist x s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β

⊢ infEdist x s ≤ infEdist x (closure s)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x (closure s) < ⊤

⊢ infEdist x s ≤ infEdist x (closure s) + ↑ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x (closure s) < ⊤
ε0 : 0 < ↑ε / 2

⊢ infEdist x s ≤ infEdist x (closure s) + ↑ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y : α
s t : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x (closure s) < ⊤
ε0 : 0 < ↑ε / 2
this : infEdist x (closure s) < infEdist x (closure s) + ↑ε / 2

⊢ infEdist x s ≤ infEdist x (closure s) + ↑ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/HausdorffDistance.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
x y✝ : α
s t : Set α
Φ : α → β
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : infEdist x (closure s) < ⊤
ε0 : 0 < ↑ε / 2
this : infEdist x (closure s) < infEdist x (closure s) + ↑ε / 2
y : α
ycs : y ∈ closure s
hy : edist x y < infEdist x (closure s) + ↑ε / 2

⊢ infEdist x s ≤ infEdist x (closure s) + ↑ε