ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ

⊢ IsAlgebraic R (?m.42391 ↑n)
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
n : ℕ

⊢ R →+* A
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/FloorPow.lean
c : ℝ
hc : 1 < c
i : ℕ

⊢ (1 - c⁻¹) * c ^ i ≤ ↑⌊c ^ i⌋₊
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/FloorPow.lean
c : ℝ
hc : 1 < c
i : ℕ
cpos : 0 < c

⊢ (1 - c⁻¹) * c ^ i ≤ ↑⌊c ^ i⌋₊
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/FloorPow.lean
c : ℝ
hc : 1 < c
cpos : 0 < c

⊢ (1 - c⁻¹) * c ^ 0 ≤ ↑⌊c ^ 0⌋₊
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/FloorPow.lean
c : ℝ
hc : 1 < c
i : ℕ
cpos : 0 < c
hi : i ≠ 0

⊢ (1 - c⁻¹) * c ^ i ≤ ↑⌊c ^ i⌋₊
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E
Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F
Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G
isoE : Eu ≃L[𝕜] E
isoF : Fu ≃L[𝕜] F
isoG : Gu ≃L[𝕜] G
fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE

⊢ ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E
Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F
Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G
isoE : Eu ≃L[𝕜] E
isoF : Fu ≃L[𝕜] F
isoG : Gu ≃L[𝕜] G
fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE
fu_diff : ContDiffOn 𝕜 n fu (⇑isoE ⁻¹' s)

⊢ ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E
Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F
Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G
isoE : Eu ≃L[𝕜] E
isoF : Fu ≃L[𝕜] F
isoG : Gu ≃L[𝕜] G
fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE
fu_diff : ContDiffOn 𝕜 n fu (⇑isoE ⁻¹' s)
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm ∘ g) ∘ ⇑isoF

⊢ ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E
Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F
Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G
isoE : Eu ≃L[𝕜] E
isoF : Fu ≃L[𝕜] F
isoG : Gu ≃L[𝕜] G
fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE
fu_diff : ContDiffOn 𝕜 n fu (⇑isoE ⁻¹' s)
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm ∘ g) ∘ ⇑isoF
gu_diff : ContDiffOn 𝕜 n gu (⇑isoF ⁻¹' t)

⊢ ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E
Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F
Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G
isoE : Eu ≃L[𝕜] E
isoF : Fu ≃L[𝕜] F
isoG : Gu ≃L[𝕜] G
fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE
fu_diff : ContDiffOn 𝕜 n fu (⇑isoE ⁻¹' s)
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm ∘ g) ∘ ⇑isoF
gu_diff : ContDiffOn 𝕜 n gu (⇑isoF ⁻¹' t)
main : ContDiffOn 𝕜 n (gu ∘ fu) (⇑isoE ⁻¹' s)

⊢ ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s✝ s₁ t✝ u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g✝ : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g t
hf : ContDiffOn 𝕜 n f s
st : s ⊆ f ⁻¹' t
Eu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uF uG, uE} E
Fu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uG, uF} F
Gu : Type (max uE uF uG) := ULift.{max uE uF, uG} G
isoE : Eu ≃L[𝕜] E
isoF : Fu ≃L[𝕜] F
isoG : Gu ≃L[𝕜] G
fu : Eu → Fu := (⇑isoF.symm ∘ f) ∘ ⇑isoE
fu_diff : ContDiffOn 𝕜 n fu (⇑isoE ⁻¹' s)
gu : Fu → Gu := (⇑isoG.symm ∘ g) ∘ ⇑isoF
gu_diff : ContDiffOn 𝕜 n gu (⇑isoF ⁻¹' t)
main : ContDiffOn 𝕜 n (gu ∘ fu) (⇑isoE ⁻¹' s)
this : gu ∘ fu = (⇑isoG.symm ∘ g ∘ f) ∘ ⇑isoE

⊢ ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) s
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α

⊢ ↑s = Set.univ ↔ s = univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p✝ : α → Prop
f : β → α
p : ℝ≥0∞
hμs : p < μ s
s_mble : MeasurableSet s

⊢ μ sᶜ < 1 - p
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p✝ : α → Prop
f : β → α
p : ℝ≥0∞
hμs : p < μ s
s_mble : MeasurableSet s

⊢ 1 - μ s < 1 - p
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p✝ : α → Prop
f : β → α
p : ℝ≥0∞
hμs : p < μ s
s_mble : MeasurableSet s

⊢ 1 - (1 - p) < μ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p✝ : α → Prop
f : β → α
p : ℝ≥0∞
hμs : p < μ s
s_mble : MeasurableSet s

⊢ 1 - (1 - p) = p
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
r : ℝ
z : K

⊢ im (r • z) = r * im z
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : CommRing K
x✝¹ x✝ : RatFunc K
toFractionRing✝¹ toFractionRing✝ : FractionRing K[X]

⊢ { toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ({ toFractionRing := toFractionRing✝¹ } + { toFractionRing := toFractionRing✝ }) = { toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun { toFractionRing := toFractionRing✝¹ } + { toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun { toFractionRing := toFractionRing✝ }
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝ : CommRing K
x✝¹ x✝ : RatFunc K
toFractionRing✝¹ toFractionRing✝ : FractionRing K[X]

⊢ { toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun ({ toFractionRing := toFractionRing✝¹ } * { toFractionRing := toFractionRing✝ }) = { toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun { toFractionRing := toFractionRing✝¹ } * { toFun := toFractionRing, invFun := ofFractionRing, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun { toFractionRing := toFractionRing✝ }
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module A V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module K W
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0

⊢ Surjective ⇑(↑K f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module A V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module K W
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0
v : V
n : f v ≠ 0 v

⊢ Surjective ⇑(↑K f)
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module A V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module K W
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0
v : V
n : f v ≠ 0 v
z : W

⊢ ∃ a, (↑K f) a = z
-- Mathlib/LinearAlgebra/FiniteDimensional/Defs.lean
K : Type u
V : Type v
inst✝⁸ : DivisionRing K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
W : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Module A V
inst✝³ : AddCommGroup W
inst✝² : Module K W
inst✝¹ : Module A W
inst✝ : LinearMap.CompatibleSMul V W K A
h : finrank K W = 1
f : V →ₗ[A] W
w : f ≠ 0
v : V
n : f v ≠ 0 v
c : K

⊢ ∃ a, (↑K f) a = c • f v
-- Mathlib/Analysis/Complex/RealDeriv.lean
e : ℂ → ℂ
e' : ℂ
z : ℝ
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f' x : ℂ
h : HasDerivWithinAt f f' s x

⊢ HasFDerivWithinAt f (f' • 1) s x
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
inst✝ : DivInvMonoid G
a✝ b a : G
n : ℕ

⊢ a ^ Int.negSucc n = (a ^ (n + 1))⁻¹
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
inst✝ : DivInvMonoid G
a✝ b a : G
n : ℕ

⊢ a ^ Int.negSucc n = (a ^ ↑(n + 1))⁻¹
-- Mathlib/Data/List/Iterate.lean
α : Type u_1
n : ℕ
f : α → α
a : α

⊢ map (fun x => f^[x] a) (range n) = iterate f a n
-- Mathlib/NumberTheory/SmoothNumbers.lean

⊢ smoothNumbers 0 = {1}
-- Mathlib/RingTheory/Trace/Defs.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra R T
ι κ : Type w
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι R S
h : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R S)
s : S

⊢ (trace R S) s = 0 s
-- Mathlib/Order/Disjointed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
n✝ : ℕ

⊢ disjointed f (n✝ + 1) = f (n✝ + 1) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i < n✝ + 1), (f i)ᶜ
-- Mathlib/Order/Disjointed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
n✝ : ℕ

⊢ f (n✝ + 1) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i ≤ n✝), (f i)ᶜ = f (n✝ + 1) ⊓ ⨅ i, ⨅ (_ : i < n✝ + 1), (f i)ᶜ
-- Mathlib/Order/Disjointed.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CompleteBooleanAlgebra α
f : ℕ → α
n✝ i : ℕ

⊢ ⨅ (_ : i ≤ n✝), (f i)ᶜ = ⨅ (_ : i < n✝ + 1), (f i)ᶜ
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : Function.Injective (pseudoApply f)
a : Pseudoelement P
ha : pseudoApply f a = 0

⊢ a = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/Pseudoelements.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Abelian C
P Q : C
f : P ⟶ Q
h : Function.Injective (pseudoApply f)
a : Pseudoelement P
ha : pseudoApply f a = pseudoApply f 0

⊢ a = 0
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1

⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, IsClosed V ∧ V⁻¹ = V ∧ V * V ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : Set G
V_open : IsOpen V
V_mem : 1 ∈ V
hV : V * V ⊆ U

⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, IsClosed V ∧ V⁻¹ = V ∧ V * V ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : Set G
V_open : IsOpen V
V_mem : 1 ∈ V
hV : V * V ⊆ U
W : Set G
W_mem : W ∈ 𝓝 1
W_closed : IsClosed W
hW : W ⊆ V

⊢ ∃ V ∈ 𝓝 1, IsClosed V ∧ V⁻¹ = V ∧ V * V ⊆ U
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
U : Set G
hU : U ∈ 𝓝 1
V : Set G
V_open : IsOpen V
V_mem : 1 ∈ V
hV : V * V ⊆ U
W : Set G
W_mem : W ∈ 𝓝 1
W_closed : IsClosed W
hW : W ⊆ V

⊢ W ∩ W⁻¹ * (W ∩ W⁻¹) ⊆ U
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R

⊢ Mᵀ.det = M.det
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R

⊢ ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, Mᵀ (σ i) i = ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R

⊢ ∀ (x : Perm n), ↑↑(sign x) * ∏ i : n, Mᵀ (x i) i = ↑↑(sign x⁻¹) * ∏ i : n, M (x⁻¹ i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
σ : Perm n

⊢ ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, Mᵀ (σ i) i = ↑↑(sign σ⁻¹) * ∏ i : n, M (σ⁻¹ i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
σ : Perm n

⊢ ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, Mᵀ (σ i) i = ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M (σ⁻¹ i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
σ : Perm n

⊢ ∏ i : n, Mᵀ (σ i) i = ∏ i : n, M (σ⁻¹ i) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
m : Type u_1
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
R : Type v
inst✝ : CommRing R
M : Matrix n n R
σ : Perm n

⊢ ∀ (x : n), Mᵀ (σ x) x = M (σ⁻¹ (σ x)) (σ x)
-- Mathlib/Topology/Separation.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : T1Space X
inst✝¹ : DecidableEq X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : X → Y
x x' : X
y : Y
hne : x' ≠ x

⊢ ContinuousAt (update f x y) x' ↔ ContinuousAt f x'
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α
h : xs.Nodup

⊢ xs.sym2.Nodup
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ f : Perm α

⊢ f⁻¹.IsThreeCycle → f.IsThreeCycle
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ f : Perm α

⊢ f⁻¹⁻¹⁻¹.IsThreeCycle → f⁻¹⁻¹.IsThreeCycle
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
v : 𝕜
q : E
hf : StrictConcaveOn 𝕜 s f
h₀ : ∀ i ∈ t, 0 < w i
h₁ : ∑ i ∈ t, w i = 1
hmem : ∀ i ∈ t, p i ∈ s

⊢ f (∑ i ∈ t, w i • p i) = ∑ i ∈ t, w i • f (p i) ↔ ∀ j ∈ t, p j = ∑ i ∈ t, w i • p i
-- Mathlib/Algebra/Order/Rearrangement.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Antivary f g

⊢ ∑ i : ι, f i • g (σ i) = ∑ i : ι, f i • g i ↔ Antivary f (g ∘ ⇑σ)
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b b' : β a
s : AList β

⊢ (insert a b' (insert a b s)).entries = (insert a b' s).entries
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c : α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α

⊢ (Icc a b).erase a = Ioc a b
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F : C ⥤ Karoubi D
P : Karoubi C

⊢ (({ obj := FunctorExtension₁.obj, map := fun {X Y} => FunctorExtension₁.map }.map (𝟙 F)).app P).f = ((𝟙 ({ obj := FunctorExtension₁.obj, map := fun {X Y} => FunctorExtension₁.map }.obj F)).app P).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F G H : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
φ' : G ⟶ H
P : Karoubi C

⊢ (({ obj := FunctorExtension₁.obj, map := fun {X Y} => FunctorExtension₁.map }.map (φ ≫ φ')).app P).f = (({ obj := FunctorExtension₁.obj, map := fun {X Y} => FunctorExtension₁.map }.map φ ≫ { obj := FunctorExtension₁.obj, map := fun {X Y} => FunctorExtension₁.map }.map φ').app P).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F G H : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
φ' : G ⟶ H
P : Karoubi C

⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (φ'.app P.X).f = (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f ≫ (φ'.app P.X).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F G H : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
φ' : G ⟶ H
P : Karoubi C
h : F.map P.p ≫ φ.app P.X = φ.app P.X ≫ G.map P.p

⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (φ'.app P.X).f = (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f ≫ (φ'.app P.X).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F G H : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
φ' : G ⟶ H
P : Karoubi C
h : F.map P.p ≫ φ.app P.X = φ.app P.X ≫ G.map P.p
h' : F.map (P.p ≫ P.p) = F.map P.p

⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (φ'.app P.X).f = (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f ≫ (φ'.app P.X).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F G H : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
φ' : G ⟶ H
P : Karoubi C
h : (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f
h' : (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f

⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (φ'.app P.X).f = (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f ≫ (φ'.app P.X).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F G H : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
φ' : G ⟶ H
P : Karoubi C
h : (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f
h' : (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f

⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (φ'.app P.X).f = (F.map P.p).f ≫ ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ (φ'.app P.X).f
-- Mathlib/CategoryTheory/Idempotents/FunctorExtension.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20465, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20469, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20473, u_3} E
F G H : C ⥤ Karoubi D
φ : F ⟶ G
φ' : G ⟶ H
P : Karoubi C
h : (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f = (φ.app P.X).f ≫ (G.map P.p).f
h' : (F.map P.p).f ≫ (F.map P.p).f = (F.map P.p).f

⊢ (F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f ≫ (φ'.app P.X).f = ((F.map P.p).f ≫ (φ.app P.X).f) ≫ (φ'.app P.X).f
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Lipschitz.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoMetricSpace β
inst✝ : PseudoMetricSpace γ
K✝ : ℝ≥0
s : Set α
f : α → β
K : ℝ
h : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, dist (f x) (f y) ≤ K * dist x y
x : α
hx : x ∈ s
y : α
hy : y ∈ s

⊢ K ≤ ↑K.toNNReal
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
s : ℝ
hs : s ∈ Ioi 0

⊢ (log ∘ doublingGamma) s = (fun s => log (Gamma (s / 2)) + log (Gamma (s / 2 + 1 / 2)) + s * log 2 - log (2 * √π)) s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
s : ℝ
hs : s ∈ Ioi 0
h1 : √π ≠ 0

⊢ (log ∘ doublingGamma) s = (fun s => log (Gamma (s / 2)) + log (Gamma (s / 2 + 1 / 2)) + s * log 2 - log (2 * √π)) s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
s : ℝ
hs : s ∈ Ioi 0
h1 : √π ≠ 0
h2 : Gamma (s / 2) ≠ 0

⊢ (log ∘ doublingGamma) s = (fun s => log (Gamma (s / 2)) + log (Gamma (s / 2 + 1 / 2)) + s * log 2 - log (2 * √π)) s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
s : ℝ
hs : s ∈ Ioi 0
h1 : √π ≠ 0
h2 : Gamma (s / 2) ≠ 0
h3 : Gamma (s / 2 + 1 / 2) ≠ 0

⊢ (log ∘ doublingGamma) s = (fun s => log (Gamma (s / 2)) + log (Gamma (s / 2 + 1 / 2)) + s * log 2 - log (2 * √π)) s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
s : ℝ
hs : s ∈ Ioi 0
h1 : √π ≠ 0
h2 : Gamma (s / 2) ≠ 0
h3 : Gamma (s / 2 + 1 / 2) ≠ 0
h4 : 2 ^ (s - 1) ≠ 0

⊢ (log ∘ doublingGamma) s = (fun s => log (Gamma (s / 2)) + log (Gamma (s / 2 + 1 / 2)) + s * log 2 - log (2 * √π)) s
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gamma/BohrMollerup.lean
s : ℝ
hs : s ∈ Ioi 0
h1 : √π ≠ 0
h2 : Gamma (s / 2) ≠ 0
h3 : Gamma (s / 2 + 1 / 2) ≠ 0
h4 : 2 ^ (s - 1) ≠ 0

⊢ log (Gamma (s / 2)) + log (Gamma (s / 2 + 1 / 2)) + (s - 1) * log 2 - log √π = (fun s => log (Gamma (s / 2)) + log (Gamma (s / 2 + 1 / 2)) + s * log 2 - (log 2 + log √π)) s
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : 1 < s.ncard
a : α

⊢ ∃ b ∈ s, b ≠ a
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
f : α → β
hs : 1 < s.ncard
a : α
hsf : s.Finite

⊢ ∃ b ∈ s, b ≠ a