ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Topology/Algebra/Constructions.lean
M✝ : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Monoid M✝
inst✝² : TopologicalSpace X
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
f : M → M
hc : ContinuousOn f {x | IsUnit x}
hf : ∀ (u : Mˣ), f ↑u = ↑u⁻¹
u : Mˣ
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 ((fun u => ↑u⁻¹) u)

⊢ s ∈ Filter.map (fun u => ↑u⁻¹) (𝓝 u)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Constructions.lean
M✝ : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace M✝
inst✝³ : Monoid M✝
inst✝² : TopologicalSpace X
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : TopologicalSpace M
f : M → M
hc : ContinuousOn f {x | IsUnit x}
hf : ∀ (u : Mˣ), f ↑u = ↑u⁻¹
u : Mˣ
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 (f ↑u)

⊢ (fun u => f ↑u) ⁻¹' s ∈ comap val (𝓝 ↑u)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Semisimple.lean
R✝ : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R✝ M
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Module K M
f g : End K M
inst✝ : FiniteDimensional K M
hf : f.IsSemisimple
p : K[X]
R : Type u_3 := K[X] ⧸ Ideal.span {minpoly K f}
this✝ : Finite K R
this : IsReduced R

⊢ (aeval ((aeval f) p)) (minpoly K ((Ideal.Quotient.mkₐ K (Ideal.span {minpoly K f})) p)) = 0
-- Mathlib/Algebra/Star/Order.lean
R : Type u
inst✝² : NonUnitalRing R
inst✝¹ : PartialOrder R
inst✝ : StarRing R
h_add : ∀ {x y : R}, x ≤ y → ∀ (z : R), z + x ≤ z + y
h_nonneg_iff : ∀ (x : R), 0 ≤ x ↔ ∃ s, x = star s * s
this : CovariantClass R R (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ ∀ (x y : R), x ≤ y ↔ ∃ s, y = x + star s * s
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0

⊢ HasFiniteIntegral Y μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0

⊢ HasFiniteIntegral Y μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖Y a‖₊ ∂μ = ⊤

⊢ False
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖Y a‖₊ ∂μ = ⊤
J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ

⊢ False
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖Y a‖₊ ∂μ = ⊤
J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ
A : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω * Y ω‖₊ ∂μ < ⊤

⊢ False
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖Y a‖₊ ∂μ = ⊤
J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ
A : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ * ↑‖Y ω‖₊ ∂μ < ⊤

⊢ False
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
h'XY : Integrable (X * Y) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ↑‖Y a‖₊ ∂μ = ⊤
J : IndepFun (fun ω => ↑‖X ω‖₊) (fun ω => ↑‖Y ω‖₊) μ
A : (∫⁻ (ω : Ω), ↑‖X ω‖₊ ∂μ) * ⊤ < ⊤

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
t : R
n : ℤ

⊢ (C t) n = if n = 0 then t else 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
t : R
n : ℤ

⊢ (if 0 = n then t else 0) = if n = 0 then t else 0
-- Mathlib/Logic/Relation.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a✝ b✝ c d : α
p : β → β → Prop
a b : α
f : α → β
h : ∀ (a b : α), r a b → TransGen p (f a) (f b)
hab : TransGen r a b

⊢ TransGen p (f a) (f b)
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
a : α
l : List α

⊢ a :: (l ++ []) ~ a :: l
-- Mathlib/Order/CompleteLatticeIntervals.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop

⊢ ↑(⨆ i, f i) = ⨆ i, ↑(f i)
-- Mathlib/Order/CompleteLatticeIntervals.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
s : Set α
inst✝ : CompleteLattice α
a : α
S : Set ↑(Iic a)
f : ι → ↑(Iic a)
p : ι → Prop

⊢ sSup (Subtype.val '' range fun i => f i) = ⨆ i, ↑(f i)
-- Mathlib/Data/Real/Hyperreal.lean
x : ℝ*
r : ℝ
hxr : x.IsSt r

⊢ (x - ↑r).Infinitesimal
-- Mathlib/Algebra/Group/Nat.lean
m n : ℕ

⊢ ¬Even 1
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Nat.lean
a b : ℤ

⊢ Associated a b ↔ a = b ∨ a = -b
-- Mathlib/Algebra/GCDMonoid/Nat.lean
a b : ℤ

⊢ a.natAbs = b.natAbs ↔ a = b ∨ a = -b
-- Mathlib/SetTheory/Game/Ordinal.lean
a b : Ordinal.{u_1}

⊢ a.toPGame ≤ b.toPGame → a ≤ b
-- Mathlib/SetTheory/Game/Ordinal.lean
a b : Ordinal.{u_1}

⊢ ¬a ≤ b → ¬a.toPGame ≤ b.toPGame
-- Mathlib/SetTheory/Game/Ordinal.lean
a b : Ordinal.{u_1}

⊢ b < a → b.toPGame ⧏ a.toPGame
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l r : Ordnode α
H : (∃ l', Raised l.size l' ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r' r.size ∧ BalancedSz l.size r'

⊢ (∃ l', Raised l' r.dual.size ∧ BalancedSz l' l.dual.size) ∨ ∃ r', Raised l.dual.size r' ∧ BalancedSz r.dual.size r'
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l r : Ordnode α
H : (∃ l', Raised l.size l' ∧ BalancedSz l' r.size) ∨ ∃ r', Raised r' r.size ∧ BalancedSz l.size r'

⊢ (∃ l', Raised l' r.size ∧ BalancedSz l' l.size) ∨ ∃ r', Raised l.size r' ∧ BalancedSz r.size r'
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝⁵ : SmallCategory J
inst✝⁴ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝² : HasLimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasLimit G
inst✝ : HasLimit (curry.obj G ⋙ lim)
j : J
k : K

⊢ (limitIsoLimitCurryCompLim G).inv ≫ limit.π G (j, k) = limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝⁵ : SmallCategory J
inst✝⁴ : SmallCategory K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝² : HasLimitsOfShape K C
inst✝¹ : HasLimit G
inst✝ : HasLimit (curry.obj G ⋙ lim)
j : J
k : K

⊢ (limitIsoLimitCurryCompLim G).hom ≫ (limitIsoLimitCurryCompLim G).inv ≫ limit.π G (j, k) = (limitIsoLimitCurryCompLim G).hom ≫ limit.π (curry.obj G ⋙ lim) j ≫ limit.π ((curry.obj G).obj j) k
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ o.oangle (x - y) x = ↑(Real.arcsin (‖y‖ / ‖x - y‖))
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ (-o).oangle x (x - y) = ↑(Real.arcsin (‖y‖ / ‖x - y‖))
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
i : ι
m : M

⊢ (b.toDual (b i)) m = (b.repr m) i
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s ⊆ t

⊢ s.encard ≤ t.encard
-- Mathlib/Data/Set/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s ⊆ t

⊢ s.encard ≤ s.encard + (t \ s).encard
-- Mathlib/Data/Matroid/Constructions.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α

⊢ (freeOn E)✶ = loopyOn E
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ
n : ℕ

⊢ (⇑↑(translate (Multiplicative.ofAdd x)))^[n] = ⇑↑(translate (Multiplicative.ofAdd (↑n * x)))
-- Mathlib/NumberTheory/KummerDedekind.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
x y : S
hy : y ∈ ↑(conductor R x)

⊢ y ∈ ↑(adjoin R {x})
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∉ s

⊢ insert a s \ s = {a}
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
hf_int : Integrable f μ

⊢ Integrable (fun ω => ∫ (y : Ω), ‖f y‖ ∂(condexpKernel μ m) ω) μ
-- Mathlib/Probability/Kernel/Condexp.lean
Ω : Type u_1
F : Type u_2
m mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
inst✝ : NormedAddCommGroup F
f : Ω → F
hf_int : Integrable f μ

⊢ Integrable (fun ω => ∫ (y : Ω), ‖f y‖ ∂((condDistrib id id μ).comap id ⋯) ω) μ
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol

⊢ Tendsto (fun π => (integralSum f vol π.1, integralSum f vol π.2)) (l.toFilter I ×ˢ l.toFilter I ⊓ 𝓟 {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}) (𝓤 F)
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε

⊢ ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π} ×ˢ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π} ∩ {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}, (integralSum f vol x.1, integralSum f vol x.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε / 2

⊢ ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π} ×ˢ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π} ∩ {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}, (integralSum f vol x.1, integralSum f vol x.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε / 2

⊢ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR (ε / 2) c) π} ×ˢ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR (ε / 2) c) π} ∩ {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}, (integralSum f vol x.1, integralSum f vol x.2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε / 2
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
hU : (π₁, π₂) ∈ {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}
h₁ : (π₁, π₂).1 ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR (ε / 2) c) π}
h₂ : (π₁, π₂).2 ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR (ε / 2) c) π}

⊢ (integralSum f vol (π₁, π₂).1, integralSum f vol (π₁, π₂).2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε}
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁✝ π₂✝ : TaggedPrepartition I
h : Integrable I l f vol
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε / 2
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
hU : (π₁, π₂) ∈ {π | π.1.iUnion = π.2.iUnion}
h₁ : (π₁, π₂).1 ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR (ε / 2) c) π}
h₂ : (π₁, π₂).2 ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR (ε / 2) c) π}

⊢ (integralSum f vol (π₁, π₂).1, integralSum f vol (π₁, π₂).2) ∈ {p | dist p.1 p.2 ≤ ε / 2 + ε / 2}
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α✝ : Type u_1
l₁ l₂ l r : List α✝

⊢ l ++ l₁ ++ r = l ++ l₂ ↔ l₁ ++ r = l₂
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Sort u_4
p : ι → Submodule R M
x : M

⊢ x ∈ ⨅ i, p i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ p i
-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Lattice.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Sort u_4
p : ι → Submodule R M
x : M

⊢ (∀ (i : ι), x ∈ ↑(p i)) ↔ ∀ (i : ι), x ∈ p i
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)

⊢ CompleteSpace E
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)

⊢ ∀ (u : ℕ → E), CauchySeq u → ∃ a, Tendsto u atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
u : ℕ → E
hu : CauchySeq u

⊢ ∃ a, Tendsto u atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
u : ℕ → E
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : Summable fun i => dist (u (f (i + 1))) (u (f i))

⊢ ∃ a, Tendsto u atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
u : ℕ → E
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : Summable fun i => ‖u (f (i + 1)) - u (f i)‖
v : ℕ → E := fun n => u (f (n + 1)) - u (f n)

⊢ ∃ a, Tendsto u atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
u : ℕ → E
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : Summable fun i => ‖u (f (i + 1)) - u (f i)‖
v : ℕ → E := fun n => u (f (n + 1)) - u (f n)
hv_sum : (fun n => ∑ i ∈ range n, v i) = fun n => u (f n) - u (f 0)

⊢ ∃ a, Tendsto u atTop (𝓝 a)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
u : ℕ → E
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : Summable fun i => ‖u (f (i + 1)) - u (f i)‖
v : ℕ → E := fun n => u (f (n + 1)) - u (f n)
hv_sum : (fun n => ∑ i ∈ range n, v i) = fun n => u (f n) - u (f 0)
a : E
ha : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, v i) atTop (𝓝 a)

⊢ Tendsto u atTop (𝓝 (a + u (f 0)))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
u : ℕ → E
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : Summable fun i => ‖u (f (i + 1)) - u (f i)‖
v : ℕ → E := fun n => u (f (n + 1)) - u (f n)
hv_sum : (fun n => ∑ i ∈ range n, v i) = fun n => u (f n) - u (f 0)
a : E
ha : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, v i) atTop (𝓝 a)

⊢ Tendsto (u ∘ f) atTop (𝓝 (a + u (f 0)))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
u : ℕ → E
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : Summable fun i => ‖u (f (i + 1)) - u (f i)‖
v : ℕ → E := fun n => u (f (n + 1)) - u (f n)
hv_sum : (fun n => ∑ i ∈ range n, v i) = fun n => u (f n) - u (f 0)
a : E
ha : Tendsto (fun n => u (f n) - u (f 0)) atTop (𝓝 a)

⊢ Tendsto (u ∘ f) atTop (𝓝 (a + u (f 0)))
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Completeness.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
h : ∀ (u : ℕ → E), (Summable fun x => ‖u x‖) → ∃ a, Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, u i) atTop (𝓝 a)
u : ℕ → E
hu : CauchySeq u
f : ℕ → ℕ
hf₁ : StrictMono f
hf₂ : Summable fun i => ‖u (f (i + 1)) - u (f i)‖
v : ℕ → E := fun n => u (f (n + 1)) - u (f n)
hv_sum : (fun n => ∑ i ∈ range n, v i) = fun n => u (f n) - u (f 0)
a : E
ha : Tendsto (fun n => u (f n) - u (f 0)) atTop (𝓝 a)
h₁ : Tendsto (fun n => u (f n) - u (f 0) + u (f 0)) atTop (𝓝 (a + u (f 0)))

⊢ Tendsto (u ∘ f) atTop (𝓝 (a + u (f 0)))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsOpen t

⊢ IsOpen (s • t)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsOpen t

⊢ IsOpen (⋃ a ∈ s, a • t)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
s : Set (α × α)
x y : α

⊢ (x, y) ∈ closure s ↔ (x, y) ∈ ⋂ V ∈ {V | V ∈ 𝓤 α ∧ SymmetricRel V}, V ○ s ○ V
-- Mathlib/NumberTheory/Divisors.lean
n : ℕ
h : n ≠ 0

⊢ insert n n.properDivisors = n.divisors
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Operations.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : MulOneClass P
S : Submonoid M
A : Type u_4
inst✝ : SetLike A M
hA : SubmonoidClass A M
S' : A
s : Submonoid M
t : Submonoid N

⊢ s.prod t = ⊥ ↔ s = ⊥ ∧ t = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
ι₁ : Type u_4
ι₂ : Type u_5
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : Module R M₂
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Finite ι₂
inst✝² : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₂
A : Type u_6
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A

⊢ toMvPolynomial (basis A b₁) (basis A b₂) (baseChange A f) i = (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (toMvPolynomial b₁ b₂ f i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Quotient.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
r : HomRel C
h : Congruence r
x✝³ x✝² : C
x✝¹ x✝ : x✝³ ⟶ x✝²

⊢ CompClosure r x✝¹ x✝ ↔ r x✝¹ x✝
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝ : SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
hne : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty

⊢ Countable ι
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝ : SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
hne : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
u : Set α
u_countable : u.Countable
u_dense : Dense u

⊢ Countable ι
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝ : SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
hne : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
u : Set α
u_countable : u.Countable
u_dense : Dense u
f : ι → α
hfu : ∀ (i : ι), f i ∈ u
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s i

⊢ Countable ι
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝ : SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
hne : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
u : Set α
u_countable : u.Countable
u_dense : Dense u
f : ι → α
hfu : ∀ (i : ι), f i ∈ u
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s i
f_inj : Injective f

⊢ Countable ι
-- Mathlib/Topology/Bases.lean
α : Type u
β : Type u_1
t : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
inst✝ : SeparableSpace α
ι : Type u_2
s : ι → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on s)
ho : ∀ (i : ι), IsOpen (s i)
hne : ∀ (i : ι), (s i).Nonempty
u : Set α
u_countable : u.Countable
u_dense : Dense u
f : ι → α
hfu : ∀ (i : ι), f i ∈ u
hfs : ∀ (i : ι), f i ∈ s i
f_inj : Injective f
this : Countable ↑u

⊢ Countable ι
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
a b z : ℝ
u v ua ub va vb : ι → ℝ
inst✝¹ : FTCFilter a la la'
inst✝ : FTCFilter b lb lb'
hab : IntervalIntegrable f volume a b
hmeas : StronglyMeasurableAtFilter f la' volume
hf : Tendsto f (la' ⊓ ae volume) (𝓝 c)
hu : Tendsto u lt la
hv : Tendsto v lt la

⊢ (fun t => ((∫ (x : ℝ) in v t..b, f x) - ∫ (x : ℝ) in u t..b, f x) + (v t - u t) • c) =o[lt] (v - u)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s) (expZeta (↑a) s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

⊢ (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s) = fun b => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑b)) / ↑b ^ s + I * (↑(Real.sin (2 * π * a * ↑b)) / ↑b ^ s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

⊢ cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s = ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s + I * (↑(Real.sin (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZeta.lean
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
n : ℕ

⊢ (Complex.cos (2 * ↑π * ↑a * ↑n) + Complex.sin (2 * ↑π * ↑a * ↑n) * I) / ↑n ^ s = Complex.cos (2 * ↑π * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s + I * (Complex.sin (2 * ↑π * ↑a * ↑n) / ↑n ^ s)