ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
f : F

⊢ HasDerivAt (fun y => c y • f) (c' • f) x
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Mul.lean
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f✝ f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
c : 𝕜 → 𝕜'
c' : 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
f : F

⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y • f) (c' • f) univ x
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]

⊢ q.lift (x * y) = q.lift x * q.lift y
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]

⊢ (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re • 1 + x.imI • q.i + x.imJ • q.j + x.imK • q.k) * (y.re • 1 + y.imI • q.i + y.imJ • q.j + y.imK • q.k)
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]

⊢ (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + ((x.imI * y.re) • q.i + (x.imI * y.imI) • (q.i * q.i) + (x.imI * y.imJ) • (q.i * q.j) + (x.imI * y.imK) • (q.i * q.k)) + ((x.imJ * y.re) • q.j + (x.imJ * y.imI) • (q.j * q.i) + (x.imJ * y.imJ) • (q.j * q.j) + (x.imJ * y.imK) • (q.j * q.k)) + ((x.imK * y.re) • q.k + (x.imK * y.imI) • (q.k * q.i) + (x.imK * y.imJ) • (q.k * q.j) + (x.imK * y.imK) • (q.k * q.k))
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]

⊢ (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + ((x.imI * y.re) • q.i + (x.imI * y.imI) • c₁ • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (x.imI * y.imK) • c₁ • q.j) + ((x.imJ * y.re) • q.j + (x.imJ * y.imI) • -q.k + (x.imJ * y.imJ) • c₂ • 1 + (x.imJ * y.imK) • -c₂ • q.i) + ((x.imK * y.re) • q.k + (x.imK * y.imI) • -c₁ • q.j + (x.imK * y.imJ) • c₂ • q.i + (x.imK * y.imK) • -((c₁ * c₂) • 1))
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]

⊢ (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (x.imI * y.imI * c₁) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (x.imI * y.imK * c₁) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (x.imJ * y.imJ * c₂) • 1 + -((x.imJ * y.imK * c₂) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((x.imK * y.imI * c₁) • q.j) + (x.imK * y.imJ * c₂) • q.i + -((x.imK * y.imK * (c₁ * c₂)) • 1)
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]

⊢ (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (x.imI * y.imI * c₁) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (x.imI * y.imK * c₁) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (x.imJ * y.imJ * c₂) • 1 + -((x.imJ * y.imK * c₂) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((x.imK * y.imI * c₁) • q.j) + (x.imK * y.imJ * c₂) • q.i + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1)
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]

⊢ (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (c₁ * (x.imI * y.imI)) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (c₁ * (x.imI * y.imK)) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (x.imJ * y.imJ * c₂) • 1 + -((x.imJ * y.imK * c₂) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((c₁ * (x.imK * y.imI)) • q.j) + (x.imK * y.imJ * c₂) • q.i + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1)
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]

⊢ (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (c₁ * (x.imI * y.imI)) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (c₁ * (x.imI * y.imK)) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (c₂ * (x.imJ * y.imJ)) • 1 + -((c₂ * (x.imJ * y.imK)) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((c₁ * (x.imK * y.imI)) • q.j) + (c₂ * (x.imK * y.imJ)) • q.i + -((c₂ * c₁ * x.imK * y.imK) • 1)
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]

⊢ (x * y).re • 1 + (x * y).imI • q.i + (x * y).imJ • q.j + (x * y).imK • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (c₁ * x.imI * y.imI) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (c₁ * x.imI * y.imK) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (c₂ * x.imJ * y.imJ) • 1 + -((c₂ * x.imJ * y.imK) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((c₁ * x.imK * y.imI) • q.j) + (c₂ * x.imK * y.imJ) • q.i + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1)
-- Mathlib/Algebra/QuaternionBasis.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Ring A
inst✝² : Ring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
c₁ c₂ : R
q : Basis A c₁ c₂
x y : ℍ[R,c₁,c₂]

⊢ (x.re * y.re) • 1 + (c₁ * x.imI * y.imI) • 1 + (c₂ * x.imJ * y.imJ) • 1 + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1) + (x.re * y.imI) • q.i + (x.imI * y.re) • q.i + -((c₂ * x.imJ * y.imK) • q.i) + (c₂ * x.imK * y.imJ) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (c₁ * x.imI * y.imK) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((c₁ * x.imK * y.imI) • q.j) + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.imJ) • q.k + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (x.imK * y.re) • q.k = (x.re * y.re) • 1 + (x.re * y.imI) • q.i + (x.re * y.imJ) • q.j + (x.re * y.imK) • q.k + (x.imI * y.re) • q.i + (c₁ * x.imI * y.imI) • 1 + (x.imI * y.imJ) • q.k + (c₁ * x.imI * y.imK) • q.j + (x.imJ * y.re) • q.j + -((x.imJ * y.imI) • q.k) + (c₂ * x.imJ * y.imJ) • 1 + -((c₂ * x.imJ * y.imK) • q.i) + (x.imK * y.re) • q.k + -((c₁ * x.imK * y.imI) • q.j) + (c₂ * x.imK * y.imJ) • q.i + -((c₁ * c₂ * x.imK * y.imK) • 1)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/WithBotTop.lean
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
a b : α

⊢ some '' Iio a = Ioo ⊥ ↑a
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

⊢ addZ P Q = 0
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α

⊢ (a ⊓ b)ᶜᶜ = aᶜᶜ ⊓ bᶜᶜ
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α

⊢ aᶜᶜ ⊓ bᶜᶜ ≤ (a ⊓ b)ᶜᶜ
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α

⊢ Disjoint (a ⊓ b) (a ⊓ b)ᶜ
-- Mathlib/Data/Int/Defs.lean
a b c d m n i : ℤ
h : 0 < i

⊢ ↑(i.toNat - 1) = i - 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x

⊢ lineDerivWithin 𝕜 f₁ s x v = lineDerivWithin 𝕜 f s x v
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x

⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0] fun t => f (x + t • v)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ : E → F
f' : F
s t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x
A : Continuous fun t => x + t • v

⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝[(fun t => x + t • v) ⁻¹' s] 0] fun t => f (x + t • v)
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y

⊢ ¬(x ~ᵢ y) ↔ ∃ s, IsOpen s ∧ Xor' (x ∈ s) (y ∈ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
𝕜 : Type u_3
inst✝ : NormedField 𝕜
v : 𝕜

⊢ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 v).det = v
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
𝕜 : Type u_3
inst✝ : NormedField 𝕜
v : 𝕜
this : ContinuousLinearMap.smulRight 1 v = v • 1

⊢ (ContinuousLinearMap.smulRight 1 v).det = v
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/FiniteMeasure.lean
Ω : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
R : Type u_2
inst✝⁴ : SMul R ℝ≥0
inst✝³ : SMul R ℝ≥0∞
inst✝² : IsScalarTower R ℝ≥0 ℝ≥0∞
inst✝¹ : IsScalarTower R ℝ≥0∞ ℝ≥0∞
inst✝ : TopologicalSpace Ω
f : Ω →ᵇ ℝ≥0

⊢ testAgainstNN 0 f = 0
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Equicontinuity.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
S : Set X
x₀ : ↑S

⊢ EquicontinuousAt (S.restrict ∘ F) x₀ ↔ EquicontinuousWithinAt F S ↑x₀
-- Mathlib/Data/Real/Irrational.lean
z : ℤ
hz : 0 ≤ z

⊢ Irrational √↑z ↔ ¬IsSquare z
-- Mathlib/Tactic/NormNum/LegendreSymbol.lean
a b : ℕ
r : ℤ
ha : a % 4 = 1
hb : b % 2 = 1
hr : jacobiSymNat b a = r

⊢ jacobiSymNat a b = r
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/ZPowers.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
x : A

⊢ ↑(Subgroup.zpowers (Multiplicative.ofAdd x)) = ⇑Multiplicative.ofAdd '' ↑(AddSubgroup.zmultiples x)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/ZPowers.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
x : A

⊢ ⇑Multiplicative.ofAdd.symm '' ↑(Subgroup.zpowers (Multiplicative.ofAdd x)) = ↑(AddSubgroup.zmultiples x)
-- Mathlib/Data/List/DropRight.lean
α : Type u_1
p : α → Bool
l : List α
n : ℕ
l₁ l₂ : List α
k : ℕ

⊢ (l₁ ++ l₂).rdrop (l₂.length + k) = l₁.rdrop k
-- Mathlib/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ : List α
a : α
s : List α
x : α
n : ℕ
hn : n < (permutations'Aux x s).length

⊢ (permutations'Aux x s).get ⟨n, hn⟩ = insertNth n x s
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.6272
L : Type ?u.6275
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
i : ℕ

⊢ (minpolyDiv R x).coeff i = (algebraMap R S) ((minpoly R x).coeff (i + 1)) + (minpolyDiv R x).coeff (i + 1) * x
-- Mathlib/FieldTheory/Minpoly/MinpolyDiv.lean
R : Type u_2
K : Type ?u.6272
L : Type ?u.6275
S : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : Algebra K L
x : S
i : ℕ

⊢ (minpolyDiv R x).coeff i = (minpolyDiv R x * (X - C x)).coeff (i + 1) + (minpolyDiv R x).coeff (i + 1) * x
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
r : ℝ
v : V
p₁ p₂ : P

⊢ dist (r • v +ᵥ p₁) p₂ * dist (r • v +ᵥ p₁) p₂ = ⟪v, v⟫_ℝ * r * r + 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ * r + ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
r : ℝ
v : V
p₁ p₂ : P

⊢ r * (r * ⟪v, v⟫_ℝ) + 2 * (r * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ) + ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = ⟪v, v⟫_ℝ * r * r + 2 * ⟪v, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ * r + ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/NonsingularInverse.lean
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B✝ A B : Matrix n n α
h : A * B = 1
this✝ : Invertible B.det := B.detInvertibleOfLeftInverse A h
this : Invertible B := B.invertibleOfDetInvertible

⊢ B * A = 1
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ inst✝ : Semiring R
x : α → R
s : Finset α
hc : (↑s).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)

⊢ ∀ (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ inst✝ : Semiring R
x : α → R
hc : (↑∅).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)

⊢ ∀ (n : ℕ), ∅.sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ ∅.sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ inst✝ : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
ih : ∀ (hc : (↑s).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)) (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
hc : (↑(insert a s)).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)

⊢ ∀ (n : ℕ), (insert a s).sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ (insert a s).sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ inst✝ : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
ih : ∀ (hc : (↑s).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)) (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
hc : (↑(insert a s)).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)
n : ℕ

⊢ (insert a s).sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ (insert a s).sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ inst✝ : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hc : (↑(insert a s)).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)
n : ℕ
ih : ∀ (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯

⊢ (insert a s).sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ (insert a s).sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ inst✝ : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hc : (↑(insert a s)).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)
n : ℕ
ih : ∀ (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯

⊢ ∑ i : Fin (n + 1), x a ^ ↑i * (∑ i ∈ s, x i) ^ (n - ↑i) * ↑(n.choose ↑i) = ∑ k : { x // x ∈ (insert a s).sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯
-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ inst✝ : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hc : (↑(insert a s)).Pairwise fun i j => Commute (x i) (x j)
n : ℕ
ih : ∀ (n : ℕ), s.sum x ^ n = ∑ k : { x // x ∈ s.sym n }, ↑(↑↑k).multinomial * (Multiset.map x ↑↑k).noncommProd ⋯

⊢ ∀ i ∈ s, Commute (x a) (x i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Pullback/CommSq.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝² : HasBinaryProduct X Y
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C

⊢ IsPullback prod.fst prod.snd 0 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpace.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
f : α → β

⊢ sᶜ ∈ μ.cofinite ↔ μ s < ⊤
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Basic.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x y : 𝕎 R

⊢ mapFun (⇑f) 1 = 1
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a p q : ℤ
hpq : p + n = q

⊢ ((γ₁ + γ₂).shift a).v p q hpq = (γ₁.shift a + γ₂.shift a).v p q hpq
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ

⊢ legendreSym p ↑a = -1 ↔ ¬IsSquare ↑a
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/Basic.lean
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
a : ℕ

⊢ ¬IsSquare ↑↑a ↔ ¬IsSquare ↑a
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Algebra.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
𝕜 : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring 𝕜
A : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : TopologicalSemiring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : ContinuousStar A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
f : X ≃ₜ Y
g : C(Y, A)

⊢ (ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A f.symm.toContinuousMap) ((ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A f.toContinuousMap) g) = g
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Algebra.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝⁸ : TopologicalSpace X
inst✝⁷ : TopologicalSpace Y
𝕜 : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring 𝕜
A : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace A
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : TopologicalSemiring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : ContinuousStar A
inst✝ : Algebra 𝕜 A
f : X ≃ₜ Y
g : C(X, A)

⊢ (ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A f.toContinuousMap) ((ContinuousMap.compStarAlgHom' 𝕜 A f.symm.toContinuousMap) g) = g
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
L : Type u_6
inst✝ : RCLike L
r : L
f : α → L

⊢ ∫ (a : α), f a / r ∂μ = (∫ (a : α), f a ∂μ) / r
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
R : ℝ
z w : ℂ
hw : w ∈ ball z R

⊢ Continuous fun θ => (circleMap z R θ - w)⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/CircleIntegral.lean
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
R : ℝ
z w : ℂ
hw : w ∈ ball z R
this : ∀ (θ : ℝ), circleMap z R θ - w ≠ 0

⊢ Continuous fun θ => (circleMap z R θ - w)⁻¹
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁹ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁸ : AddCommGroup E
inst✝⁷ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommGroup F
inst✝⁵ : Module R F
G : Type u_4
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : Module R G
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
y : M
f g : E →ₗ.[R] F
h : f.graph = g.graph
x : E

⊢ x ∈ f.domain ↔ x ∈ g.domain
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Canonical/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝² : CanonicallyLinearOrderedSemifield α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c : α

⊢ (a - b) / c = a / c - b / c
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrderIso.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
b : β
x : α

⊢ x ∈ ⇑e ⁻¹' Ici b ↔ x ∈ Ici (e.symm b)
-- Mathlib/Data/List/Chain.lean
α : Type u
β : Type v
R r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ a b : α

⊢ Chain R a [b] ↔ R a b
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/HasOuterApproxClosed.lean
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace Ω✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
δs : ℕ → ℝ
δs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δs n
δs_lim : Tendsto δs atTop (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (ω : Ω), ↑((thickenedIndicator ⋯ F) ω) ∂μ) atTop (𝓝 (μ F))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/HasOuterApproxClosed.lean
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace Ω✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
δs : ℕ → ℝ
δs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δs n
δs_lim : Tendsto δs atTop (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun n ω => (thickenedIndicator ⋯ F) ω) atTop (𝓝 (F.indicator fun x => 1))
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/HasOuterApproxClosed.lean
Ω✝ : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace Ω✝
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω✝
inst✝⁴ : OpensMeasurableSpace Ω✝
Ω : Type u_2
inst✝³ : MeasurableSpace Ω
inst✝² : PseudoEMetricSpace Ω
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
F : Set Ω
F_closed : IsClosed F
δs : ℕ → ℝ
δs_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < δs n
δs_lim : Tendsto δs atTop (𝓝 0)
key : Tendsto (fun n => ⇑(thickenedIndicator ⋯ F)) atTop (𝓝 ((closure F).indicator fun x => 1))

⊢ Tendsto (fun n ω => (thickenedIndicator ⋯ F) ω) atTop (𝓝 (F.indicator fun x => 1))
-- Mathlib/Data/Rat/Sqrt.lean
Mathlib/Data/Int/Sqrt.lean
n : ℕ

⊢ sqrt ↑n = ↑n.sqrt
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q₁ q₂ : ℚ

⊢ (q₁ + q₂).den ∣ q₁.den * q₂.den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q₁ q₂ : ℚ

⊢ { num := (q₁.num * ↑q₂.den + q₂.num * ↑q₁.den) / ↑((q₁.num * ↑q₂.den + q₂.num * ↑q₁.den).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den)), den := q₁.den * q₂.den / (q₁.num * ↑q₂.den + q₂.num * ↑q₁.den).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den), den_nz := ⋯, reduced := ⋯ }.den ∣ q₁.den * q₂.den
-- Mathlib/Data/Rat/Lemmas.lean
q₁ q₂ : ℚ

⊢ (q₁.num * ↑q₂.den + q₂.num * ↑q₁.den).natAbs.gcd (q₁.den * q₂.den) ∣ q₁.den * q₂.den