ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : IsHomogeneous 𝒜 I

⊢ (homogeneousHull 𝒜 I).toIdeal = I
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : IsHomogeneous 𝒜 I

⊢ (homogeneousHull 𝒜 I).toIdeal ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : IsHomogeneous 𝒜 I

⊢ {r | ∃ i x, ↑(((decompose 𝒜) ↑x) i) = r} ⊆ ↑I
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/HomogeneousIdeal.lean
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : AddMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
I : Ideal A
h : IsHomogeneous 𝒜 I
i : ι
x : ↥I

⊢ ↑(((decompose 𝒜) ↑x) i) ∈ ↑I
-- Mathlib/Data/Finsupp/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M
a a' : α
b : M
inst✝ : Nonempty α
f : α →₀ M

⊢ f.support.card ≤ 1 ↔ ∃ a, f = single a (f a)
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
α : Type u_4
x✝³ : α → α → Prop
x✝² : IsWellOrder α x✝³
β : Type u_4
x✝¹ : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β x✝¹

⊢ type x✝³ * type x✝¹ = 0 ↔ type x✝³ = 0 ∨ type x✝¹ = 0
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
α : Type u_4
x✝³ : α → α → Prop
x✝² : IsWellOrder α x✝³
β : Type u_4
x✝¹ : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β x✝¹

⊢ IsEmpty (β × α) ↔ IsEmpty α ∨ IsEmpty β
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
r : α✝ → α✝ → Prop
s : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
α : Type u_4
x✝³ : α → α → Prop
x✝² : IsWellOrder α x✝³
β : Type u_4
x✝¹ : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β x✝¹

⊢ IsEmpty (β × α) ↔ IsEmpty β ∨ IsEmpty α
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁵ : Ring k
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1
inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1
inst✝¹² : AddCommGroup V2
inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3
inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁸ : Module k V1
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι), f.comp (LinearMap.single i).toAffineMap = g.comp (LinearMap.single i).toAffineMap

⊢ f = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
R : Type u_1
k : Type u_2
V1 : Type u_3
P1 : Type u_4
V2 : Type u_5
P2 : Type u_6
V3 : Type u_7
P3 : Type u_8
inst✝¹⁵ : Ring k
inst✝¹⁴ : AddCommGroup V1
inst✝¹³ : AffineSpace V1 P1
inst✝¹² : AddCommGroup V2
inst✝¹¹ : AffineSpace V2 P2
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V3
inst✝⁹ : AffineSpace V3 P3
inst✝⁸ : Module k V1
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : Module k V3
ι : Type u_9
φv : ι → Type u_10
φp : ι → Type u_11
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommGroup (φv i)
inst✝⁴ : (i : ι) → Module k (φv i)
inst✝³ : (i : ι) → AffineSpace (φv i) (φp i)
fp : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φp i
fv : (i : ι) → P1 →ᵃ[k] φv i
f' : ι → P1 →ᵃ[k] P2
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
f g : ((i : ι) → φv i) →ᵃ[k] P2
inst✝ : Nonempty ι
h : ∀ (i : ι), f.comp (LinearMap.single i).toAffineMap = g.comp (LinearMap.single i).toAffineMap
i : ι
x : φv i

⊢ f (Pi.single i x) = g (Pi.single i x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c : F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
m : Fin (n + 1) → E

⊢ (iteratedFDerivWithin 𝕜 (n + 1) (fun x => c) s x) m = 0 m
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c : F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
m : Fin (n + 1) → E

⊢ ((iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => fderivWithin 𝕜 (fun x => c) s y) s x) (init m)) (m (last n)) = 0 m
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c : F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
m : Fin (n + 1) → E

⊢ ((iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => 0) s x) (init m)) (m (last n)) = 0 m
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m✝ n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
c : F
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
m : Fin (n + 1) → E

⊢ (0 (init m)) (m (last n)) = 0 m
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h : affineSpan k s = ⊤

⊢ vectorSpan k s = ⊤
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
g✝ : C(X, Z)
h✝ : FactorsThrough ⇑g✝ ⇑f
g : C(Y, Z)
x✝¹ x✝ : X
h : f x✝¹ = f x✝

⊢ (g.comp f) x✝¹ = (g.comp f) x✝
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
g✝ : C(X, Z)
h✝ : FactorsThrough ⇑g✝ ⇑f
g : C(Y, Z)
x✝¹ x✝ : X
h : f x✝¹ = f x✝

⊢ g (f x✝¹) = g (f x✝)
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
f : C(X, Y)
hf : QuotientMap ⇑f
g✝ : C(X, Z)
h : FactorsThrough ⇑g✝ ⇑f
g : C(Y, Z)
a : Y

⊢ ((fun g => hf.lift ↑g ⋯) ((fun g => ⟨g.comp f, ⋯⟩) g)) a = g a
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Pow/Real.lean
x✝ y z x : ℝ

⊢ x ^ 0 = 1
-- Mathlib/Dynamics/Circle/RotationNumber/TranslationNumber.lean
f g : CircleDeg1Lift
x : ℝ

⊢ Tendsto (fun n => (⇑↑(translate (Multiplicative.ofAdd x)))^[n + 1] 0 / (↑n + 1)) atTop (𝓝 x)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/AddTorsor.lean
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : PseudoMetricSpace P
inst✝⁶ : NormedAddTorsor V P
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : MetricSpace Q
inst✝³ : NormedAddTorsor W Q
𝕜 : Type u_6
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 V
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W
p q : P

⊢ dist ((Equiv.pointReflection p) q) q = ‖2‖ * dist p q
-- Mathlib/Data/Int/GCD.lean
x y r r' : ℕ

⊢ ∀ {s t s' t' : ℤ}, Nat.P x y (r, s, t) → Nat.P x y (r', s', t') → Nat.P x y (r.xgcdAux s t r' s' t')
-- Mathlib/Data/List/Indexes.lean
α : Type u
β✝ : Type v
m : Type u → Type v
inst✝¹ : Monad m
inst✝ : LawfulMonad m
β : Type u
f : ℕ → β → α → m β
b : β
as : List α

⊢ foldlIdxM f b as = List.foldlM (fun b p => f p.1 b p.2) b as.enum
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

⊢ (ae μ)⁻¹ = ae μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

⊢ ae μ ≤ (ae μ)⁻¹
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Prod.lean
G : Type u_1
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝³ : SFinite ν
inst✝² : SFinite μ
s : Set G
inst✝¹ : MeasurableInv G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant

⊢ (ae μ)⁻¹⁻¹ ≤ (ae μ)⁻¹
-- Mathlib/ModelTheory/ElementaryMaps.lean
L : Language
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
Q : Type u_4
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
inst✝ : L.Structure Q
f : M ↪ₑ[L] N
α : Type u_5
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → M
xs : Fin n → M

⊢ φ.Realize (⇑f ∘ v) (⇑f ∘ xs) ↔ φ.Realize v xs
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
x y : α
h : x ≠ y

⊢ {x, y} = [x, y]
-- Mathlib/Data/List/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
x y : α
h : x ≠ y

⊢ ¬x ∈ {y}
-- Mathlib/Data/Real/Sqrt.lean
x y : ℝ≥0

⊢ sqrt x ≤ 1 ↔ x ≤ 1
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean

⊢ γ = -deriv Gamma 1
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean

⊢ γ = -(↑0! * (-γ + ↑(harmonic 0)))
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring R
A✝ : Type v
inst✝⁸ : Semiring A✝
inst✝⁷ : Algebra R A✝
S T : Set A✝
M N P Q : Submodule R A✝
m n : A✝
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : Algebra B C
inst✝ : IsScalarTower A B C
I J : Submodule B C

⊢ restrictScalars A (I * J) = restrictScalars A I * restrictScalars A J
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring R
A✝ : Type v
inst✝⁸ : Semiring A✝
inst✝⁷ : Algebra R A✝
S T : Set A✝
M N P Q : Submodule R A✝
m n : A✝
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : Algebra B C
inst✝ : IsScalarTower A B C
I J : Submodule B C

⊢ restrictScalars A (I * J) ≤ restrictScalars A I * restrictScalars A J
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Operations.lean
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring R
A✝ : Type v
inst✝⁸ : Semiring A✝
inst✝⁷ : Algebra R A✝
S T : Set A✝
M N P Q : Submodule R A✝
m n : A✝
A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra A C
inst✝¹ : Algebra B C
inst✝ : IsScalarTower A B C
I J : Submodule B C

⊢ restrictScalars A I * restrictScalars A J ≤ restrictScalars A (I * J)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a : UnitAddCircle

⊢ ContinuousOn (evenKernel a) (Ioi 0)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a' : ℝ

⊢ ContinuousOn (evenKernel ↑a') (Ioi 0)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a' : ℝ

⊢ ContinuousOn (fun x => ↑(evenKernel (↑a') x)) (Ioi 0)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a' : ℝ

⊢ ContinuousOn (fun x => cexp (-↑π * ↑a' ^ 2 * ↑x) * jacobiTheta₂ (↑a' * I * ↑x) (I * ↑x)) (Ioi 0)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a' x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

⊢ Continuous fun x => cexp (-↑π * ↑a' ^ 2 * ↑x)
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a' x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

⊢ ContinuousAt (fun x => jacobiTheta₂ (↑a' * I * ↑x) (I * ↑x)) x
-- Mathlib/Algebra/Order/GroupWithZero/Unbundled.lean
α : Type u_1
a b c d : α
inst✝⁴ : MulOneClass α
inst✝³ : Zero α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : PosMulMono α
inst✝ : PosMulReflectLE α
a0 : 0 < a

⊢ a ≤ a * b ↔ a * 1 ≤ a * b
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/BigOperators.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
t : Multiset ι
f : ι → Set α
g : ι → α
hg : ∀ i ∈ t, g i ∈ f i

⊢ (Multiset.map g t).prod ∈ (Multiset.map f t).prod
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/BigOperators.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : ι → Set α
g : ι → α
a✝ : List ι
hg : ∀ i ∈ ⟦a✝⟧, g i ∈ f i

⊢ (Multiset.map g ⟦a✝⟧).prod ∈ (Multiset.map f ⟦a✝⟧).prod
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/BigOperators.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
f : ι → Set α
g : ι → α
a✝ : List ι
hg : ∀ i ∈ ⟦a✝⟧, g i ∈ f i

⊢ (List.map g a✝).prod ∈ (List.map f a✝).prod
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter β
inst✝ : f.NeBot

⊢ map Prod.snd (f ×ˢ g) = g
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f✝ : Filter α
g✝ : Filter β
f : Filter α
g : Filter β
inst✝ : f.NeBot

⊢ map (Prod.snd ∘ fun p => (p.2, p.1)) (g ×ˢ f) = g
-- Mathlib/Order/Ideal.lean
P : Type u_1
inst✝ : DistribLattice P
I J : Ideal P
x i j : P
hi : i ∈ I
hj : j ∈ J
hx : x ≤ i ⊔ j

⊢ ∃ i' ∈ I, ∃ j' ∈ J, x = i' ⊔ j'
-- Mathlib/Order/Ideal.lean
P : Type u_1
inst✝ : DistribLattice P
I J : Ideal P
x i j : P
hi : i ∈ I
hj : j ∈ J
hx : x ≤ i ⊔ j

⊢ x = x ⊓ i ⊔ x ⊓ j
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x

⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ n, f n a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x

⊢ ∫⁻ (a : α), (⨆ i, f i) a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Monotone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Monotone (aeSeq hf p)

⊢ ∫⁻ (a : α), (⨆ i, f i) a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Monotone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Monotone (aeSeq hf p)

⊢ ∫⁻ (a : α), (⨆ n, aeSeq hf p n) a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Monotone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Monotone (aeSeq hf p)

⊢ ∫⁻ (a : α), ⨆ i, aeSeq hf p i a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Monotone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Monotone (aeSeq hf p)

⊢ ⨆ n, ∫⁻ (a : α), aeSeq hf p n a ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Monotone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Monotone (aeSeq hf p)
n : ℕ

⊢ ∫⁻ (a : α), aeSeq hf p n a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
-- Mathlib/Data/Matrix/Rank.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : CommRing R
A : Matrix m n R

⊢ A.rank = finrank R ↥(Submodule.span R (Set.range Aᵀ))
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalRing R
J : Ideal R
h : IsAdic J
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ IsAdic (J ^ n)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Nonarchimedean/AdicTopology.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalRing R
J : Ideal R
h : (∀ (n : ℕ), IsOpen ↑(J ^ n)) ∧ ∀ s ∈ 𝓝 0, ∃ n, ↑(J ^ n) ⊆ s
n : ℕ
hn : 0 < n

⊢ (∀ (n_1 : ℕ), IsOpen ↑((J ^ n) ^ n_1)) ∧ ∀ s ∈ 𝓝 0, ∃ n_1, ↑((J ^ n) ^ n_1) ⊆ s
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
f : R →+* S₁
g : σ → S₁
a : R

⊢ eval₂ f g (C a) = f a
-- Mathlib/Logic/Function/Conjugate.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f fab : α → β
fbc : β → γ
ga ga' : α → α
gb gb' : β → β
gc gc' : γ → γ
h : Semiconj f ga gb
h' : Semiconj f ga' gb'
x : α

⊢ f ((ga ∘ ga') x) = (gb ∘ gb') (f x)
-- Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c✝ : G₀
s : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E
c : G₀

⊢ IsClosedMap fun x => c • x
-- Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c : G₀
s : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E

⊢ IsClosedMap fun x => 0 • x
-- Mathlib/Topology/Algebra/ConstMulAction.lean
M : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
G₀ : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : GroupWithZero G₀
inst✝⁷ : MulAction G₀ α
inst✝⁶ : ContinuousConstSMul G₀ α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
f : β → α
b : β
c✝ : G₀
s : Set β
E : Type u_5
inst✝⁴ : Zero E
inst✝³ : MulActionWithZero G₀ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : T1Space E
inst✝ : ContinuousConstSMul G₀ E
c : G₀
hne : c ≠ 0

⊢ IsClosedMap fun x => c • x
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0

⊢ p₃ ≠ p₂
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ ≠ 0

⊢ p₃ -ᵥ p₂ ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
n : Type u_1
p : Type u_2
R : Type u₂
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : Field 𝕜
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : DecidableEq p
inst✝ : CommRing R
r : ℕ
M : Matrix (Fin r ⊕ Unit) (Fin r ⊕ Unit) 𝕜
hM : M (inr ()) (inr ()) ≠ 0
L : List (TransvectionStruct (Fin r ⊕ Unit) 𝕜) := List.ofFn fun i => { i := inl i, j := inr (), hij := ⋯, c := -M (inl i) (inr ()) / M (inr ()) (inr ()) }
L' : List (TransvectionStruct (Fin r ⊕ Unit) 𝕜) := List.ofFn fun i => { i := inr (), j := inl i, hij := ⋯, c := -M (inr ()) (inl i) / M (inr ()) (inr ()) }
A : List.map toMatrix L = listTransvecCol M
B : List.map toMatrix L' = listTransvecRow M

⊢ ((listTransvecCol M).prod * M * (listTransvecRow M).prod).IsTwoBlockDiagonal
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a

⊢ rootOfSplitsXPowSubC hn a L ^ n = (algebraMap K L) a
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
this : ∀ (hfd : (X ^ n - C a).degree ≠ 0), eval₂ (algebraMap K L) (rootOfSplits (algebraMap K L) ⋯ hfd) (X ^ n - C a) = 0

⊢ rootOfSplitsXPowSubC hn a L ^ n = (algebraMap K L) a
-- Mathlib/FieldTheory/KummerExtension.lean
K : Type u
inst✝³ : Field K
n : ℕ
hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty
hn : 0 < n
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
L : Type u_1
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsSplittingField K L (X ^ n - C a)
α : L
hα : α ^ n = (algebraMap K L) a
this : ∀ (hfd : (X ^ n - C a).degree ≠ 0), rootOfSplits (algebraMap K L) ⋯ hfd ^ n = (algebraMap K L) a

⊢ rootOfSplitsXPowSubC hn a L ^ n = (algebraMap K L) a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
l : List α

⊢ [].diff l = []
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞

⊢ Tendsto (fun n => r ^ n) atTop (𝓝 0) ↔ r < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0∞
h : Tendsto (fun n => r ^ n) atTop (𝓝 0)

⊢ r < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
h : Tendsto (fun n => ↑r ^ n) atTop (𝓝 0)

⊢ ↑r < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
h : Tendsto (fun n => ↑r ^ n) atTop (𝓝 ↑0)

⊢ ↑r < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
r : ℝ≥0
h : Tendsto (HPow.hPow r) atTop (𝓝 0)

⊢ r < 1