ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → ℝ
s : Set α
h : BoundedVariationOn f s
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s

⊢ f x - f y ≤ (eVariationOn f s).toReal
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → ℝ
s : Set α
h : BoundedVariationOn f s
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s

⊢ |f x - f y| ≤ (eVariationOn f s).toReal
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → ℝ
s : Set α
h : BoundedVariationOn f s
x y : α
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s

⊢ dist (f x) (f y) ≤ (eVariationOn f s).toReal
-- Mathlib/Data/Nat/Defs.lean
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : c < b

⊢ (a * b + c) % b = c
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
ι : Type u_2
s : Finset ι
v✝ v : ι → R
i : ι
hi : i ∈ s

⊢ nodal s v = (X - C (v i)) * ?m.116050
-- Mathlib/Topology/LocallyClosed.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f✝ : X → Y
s : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f

⊢ IsLocallyClosed s ↔ ∃ s', IsLocallyClosed s' ∧ f ⁻¹' s' = s
-- Mathlib/Topology/LocallyClosed.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s✝ t : Set X
f✝ : X → Y
s : Set X
f : X → Y
hf : Inducing f

⊢ (∃ U Z, (∃ t, IsOpen t ∧ f ⁻¹' t = U) ∧ (∃ t, IsClosed t ∧ f ⁻¹' t = Z) ∧ s = U ∩ Z) ↔ ∃ s', (∃ U Z, IsOpen U ∧ IsClosed Z ∧ s' = U ∩ Z) ∧ f ⁻¹' s' = s
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π

⊢ dist p1 p3 = dist p1 p2 + dist p3 p2
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π

⊢ ‖p1 -ᵥ ?p₃ - (p3 -ᵥ ?p₃)‖ = ‖p1 -ᵥ p2‖ + ‖p3 -ᵥ p2‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
h : ∠ p1 p2 p3 = π

⊢ P
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : SemilatticeSup α
s✝ : Finset β
H : s✝.Nonempty
f : β → α
inst✝ : DecidableEq β
s : Finset γ
Hs : s.Nonempty
t : γ → Finset β
Ht : ∀ (b : γ), (t b).Nonempty
c : α

⊢ (s.biUnion t).sup' ⋯ f ≤ c ↔ (s.sup' Hs fun b => (t b).sup' ⋯ f) ≤ c
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
R' : Type v
inst✝ : CommRing R'
p : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
χ : MulChar R R'
ψ : AddChar R R'

⊢ gaussSum χ ψ ^ p = gaussSum (χ ^ p) (ψ ^ p)
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
R' : Type v
inst✝ : CommRing R'
p : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
χ : MulChar R R'
ψ : AddChar R R'

⊢ ∑ x : R, (frobenius R' p) (χ x * ψ x) = ∑ a : R, (χ ^ p) a * (ψ ^ p) a
-- Mathlib/NumberTheory/GaussSum.lean
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype R
R' : Type v
inst✝ : CommRing R'
p : ℕ
fp : Fact (Nat.Prime p)
hch : CharP R' p
χ : MulChar R R'
ψ : AddChar R R'

⊢ ∑ x : R, χ x ^ p * ψ x ^ p = ∑ x : R, χ x ^ p * (ψ ^ p) x
-- Mathlib/Control/Functor.lean
F : Type u → Type w
G : Type v → Type u
inst✝³ : Functor F
inst✝² : Functor G
inst✝¹ : LawfulFunctor F
inst✝ : LawfulFunctor G
α β γ : Type v
g' : α → β
h : β → γ
x : F (G α)

⊢ Comp.map (h ∘ g') (mk x) = Comp.map h (Comp.map g' (mk x))
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R

⊢ eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = (p.comp (X + C t)).trailingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
t : R

⊢ eval t (0 /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t 0) = (comp 0 (X + C t)).trailingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hp : p ≠ 0

⊢ eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = (p.comp (X + C t)).trailingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hp : p ≠ 0
mul_eq : (X - C t) ^ rootMultiplicity t p * (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = p

⊢ eval t (p /ₘ (X - C t) ^ rootMultiplicity t p) = (p.comp (X + C t)).trailingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hp : p ≠ 0
m : ℕ := rootMultiplicity t p
g : R[X] := p /ₘ (X - C t) ^ m
mul_eq : (X - C t) ^ m * g = p

⊢ eval t g = (p.comp (X + C t)).trailingCoeff
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/RingDivision.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
t : R
hp : p ≠ 0
m : ℕ := rootMultiplicity t p
g : R[X] := p /ₘ (X - C t) ^ m
mul_eq : (X - C t) ^ m * g = p
this : (g.comp (X + C t)).coeff 0 = eval t g

⊢ eval t g = (p.comp (X + C t)).trailingCoeff
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : β → σ
m : β → ℕ
l : β → List β
g : β → List σ → Option σ
hm : Primrec m
hl : Primrec l
hg : Primrec₂ g
Ord : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b
H : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)
this : DecidableEq β
mapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList
bindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n
graph : β → ℕ → List (β × σ) := fun b i => Nat.rec [] (fun i ih => List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i))) i

⊢ Primrec f
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : β → σ
m : β → ℕ
l : β → List β
g : β → List σ → Option σ
hm : Primrec m
hl : Primrec l
hg : Primrec₂ g
Ord : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b
H : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)
this : DecidableEq β
mapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList
bindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n
graph : β → ℕ → List (β × σ) := fun b i => Nat.rec [] (fun i ih => List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i))) i
mapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph

⊢ Primrec f
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : β → σ
m : β → ℕ
l : β → List β
g : β → List σ → Option σ
hm : Primrec m
hl : Primrec l
hg : Primrec₂ g
Ord : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b
H : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)
this : DecidableEq β
mapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList
bindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n
graph : β → ℕ → List (β × σ) := fun b i => Nat.rec [] (fun i ih => List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i))) i
mapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph
bindList_primrec : Primrec₂ bindList

⊢ Primrec f
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : β → σ
m : β → ℕ
l : β → List β
g : β → List σ → Option σ
hm : Primrec m
hl : Primrec l
hg : Primrec₂ g
Ord : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b
H : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)
this : DecidableEq β
mapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList
bindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n
graph : β → ℕ → List (β × σ) := fun b i => Nat.rec [] (fun i ih => List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i))) i
mapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph
bindList_primrec : Primrec₂ bindList
graph_primrec : Primrec₂ graph

⊢ Primrec f
-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : β → σ
m : β → ℕ
l : β → List β
g : β → List σ → Option σ
hm : Primrec m
hl : Primrec l
hg : Primrec₂ g
Ord : ∀ (b b' : β), b' ∈ l b → m b' < m b
H : ∀ (b : β), g b (List.map f (l b)) = some (f b)
this✝ : DecidableEq β
mapGraph : List (β × σ) → List β → List σ := fun M bs => bs.bind fun x => (List.lookup x M).toList
bindList : β → ℕ → List β := fun b n => Nat.rec [b] (fun x bs => bs.bind l) n
graph : β → ℕ → List (β × σ) := fun b i => Nat.rec [] (fun i ih => List.filterMap (fun b' => Option.map (fun x => (b', x)) (g b' (mapGraph ih (l b')))) (bindList b (m b - i))) i
mapGraph_primrec : Primrec₂ mapGraph
bindList_primrec : Primrec₂ bindList
graph_primrec : Primrec₂ graph
this : Primrec fun b => Option.map Prod.snd ((graph b (m b + 1)).get? 0)

⊢ Primrec f
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Degrees.lean
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s : σ →₀ ℕ
a : R
ha : a ≠ 0

⊢ ((monomial s) a).degrees = toMultiset s
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
U : WSeq α → WSeq β → Prop
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
HU : ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β), (∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) → U s1 s2
a : Option (α × WSeq α)
ma : a ∈ S.join.destruct

⊢ ∃ b, b ∈ T.join.destruct ∧ LiftRelO R U a b
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
U : WSeq α → WSeq β → Prop
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
HU : ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β), (∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) → U s1 s2
a : Option (α × WSeq α)
ma : a ∈ S.join.destruct
n : ℕ
h : S.join.destruct.Results a n

⊢ ∃ b, b ∈ T.join.destruct ∧ LiftRelO R U a b
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU : ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β), (∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) → U s1 s2
n : ℕ
IH : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)}, LiftRel (LiftRel R) S T → ∀ {a : Option (α × WSeq α)}, S.join.destruct.Results a m → ∃ b, b ∈ T.join.destruct ∧ LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a : Option (α × WSeq α)
ra : S.join.destruct.Results a n

⊢ ∃ b, b ∈ T.join.destruct ∧ LiftRelO R U a b
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : α → β → Prop
U : WSeq α → WSeq β → Prop
HU : ∀ (s1 : WSeq α) (s2 : WSeq β), (∃ s t S T, s1 = s.append S.join ∧ s2 = t.append T.join ∧ LiftRel R s t ∧ LiftRel (LiftRel R) S T) → U s1 s2
n : ℕ
IH : ∀ (m : ℕ), m < n → ∀ {S : WSeq (WSeq α)} {T : WSeq (WSeq β)}, LiftRel (LiftRel R) S T → ∀ {a : Option (α × WSeq α)}, S.join.destruct.Results a m → ∃ b, b ∈ T.join.destruct ∧ LiftRelO R U a b
S : WSeq (WSeq α)
T : WSeq (WSeq β)
ST : LiftRel (LiftRel R) S T
a : Option (α × WSeq α)
ra : (S.destruct.bind destruct_join.aux).Results a n

⊢ ∃ b, b ∈ T.join.destruct ∧ LiftRelO R U a b
-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticMap R M N
x : M

⊢ Q.IsOrtho 0 x
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ

⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (n + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Integrals.lean
a b : ℝ
n : ℕ
H : ∀ x ∈ Set.Icc 0 π, sin x ^ (n + 1) ≤ sin x ^ n := fun x h => pow_le_pow_of_le_one (sin_nonneg_of_mem_Icc h) (sin_le_one x) (Nat.le_add_right n 1)

⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ (n + 1) ≤ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q : R[X]
a b : R
p : R[X]

⊢ a - b ∣ eval a p - eval b p
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Div.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
a✝ b✝ : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p✝ q : R[X]
a b : R
p : R[X]

⊢ X - C b ∣ p - C (eval b p)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/RightHomology.lean
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{?u.199564, u_1} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝³ : HasKernels C
inst✝² : HasCokernels C
inst✝¹ : HasKernels Cᵒᵖ
inst✝ : HasCokernels Cᵒᵖ

⊢ ∀ {X Y : (ShortComplex C)ᵒᵖ} (f : X ⟶ Y), (rightHomologyFunctor C).op.map f ≫ ((fun S => (Opposite.unop S).leftHomologyOpIso.symm) Y).hom = ((fun S => (Opposite.unop S).leftHomologyOpIso.symm) X).hom ≫ (opFunctor C ⋙ leftHomologyFunctor Cᵒᵖ).map f
-- Mathlib/Probability/Kernel/Composition.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
δ : Type u_5
mγ : MeasurableSpace γ
mδ : MeasurableSpace δ
f : β → γ
g : γ → α
κ : Kernel α β
hf : Measurable f
a : α
g' : γ → ℝ≥0∞
hg : Measurable g'

⊢ ∫⁻ (b : γ), g' b ∂(κ.map f hf) a = ∫⁻ (a : β), g' (f a) ∂κ a
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/NaturalTransformation/Oplax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : G.obj c ⟶ a'

⊢ η.naturality (f ≫ g) ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map (f ≫ g)) h).hom ≫ η.app a ◁ G.mapComp f g ▷ h = F.mapComp f g ▷ η.app c ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (η.app c)).hom ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g ≫ η.app c) h).hom ≫ F.map f ◁ η.naturality g ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (η.app b ≫ G.map g) h).inv ≫ (α_ (F.map f) (η.app b) (G.map g)).inv ▷ h ≫ η.naturality f ▷ G.map g ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (G.map g)).hom ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f ≫ G.map g) h).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/NaturalTransformation/Oplax.lean
B : Type u₁
inst✝¹ : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝ : Bicategory C
F G H : OplaxFunctor B C
η : OplaxNatTrans F G
θ : OplaxNatTrans G H
a b c : B
a' : C
f : a ⟶ b
g : b ⟶ c
h : G.obj c ⟶ a'

⊢ (F.mapComp f g ▷ η.app c ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (η.app c)).hom ≫ F.map f ◁ η.naturality g ≫ (α_ (F.map f) (η.app b) (G.map g)).inv ≫ η.naturality f ▷ G.map g ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (G.map g)).hom) ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f ≫ G.map g) h).hom = F.mapComp f g ▷ η.app c ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (η.app c)).hom ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g ≫ η.app c) h).hom ≫ F.map f ◁ η.naturality g ▷ h ≫ (α_ (F.map f) (η.app b ≫ G.map g) h).inv ≫ (α_ (F.map f) (η.app b) (G.map g)).inv ▷ h ≫ η.naturality f ▷ G.map g ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f) (G.map g)).hom ▷ h ≫ (α_ (η.app a) (G.map f ≫ G.map g) h).hom
-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Submodule.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Algebra R S
M N : Submodule R S
m : ↥M

⊢ M.rTensorOne' (m ⊗ₜ[R] 1) = m
-- Mathlib/Order/Atoms/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsSimpleOrder α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ Finset.map { toFun := ⇑IsSimpleOrder.equivBool.symm, inj' := ⋯ } Finset.univ = {⊤, ⊥}
-- Mathlib/Order/Atoms/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsSimpleOrder α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ Finset.map { toFun := ⇑IsSimpleOrder.equivBool.symm, inj' := ⋯ } {true, false} = {⊤, ⊥}
-- Mathlib/Order/Atoms/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : IsSimpleOrder α
inst✝ : DecidableEq α

⊢ {IsSimpleOrder.equivBool.symm true, IsSimpleOrder.equivBool.symm false} = {⊤, ⊥}
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ cos (x + y) = cos x * cos y - sin x * sin y
-- Mathlib/Order/Interval/Set/UnorderedInterval.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d x : α

⊢ Ι a b = Ioc a b ∪ Ioc b a
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S T : Subgroupoid C

⊢ S ≤ T ↔ ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ T.arrows c d
-- Mathlib/CategoryTheory/Groupoid/Subgroupoid.lean
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S✝ S T : Subgroupoid C

⊢ (∀ (a : C) (b : (d : C) × (a ⟶ d)), ⟨a, b⟩ ∈ S → ⟨a, b⟩ ∈ T) ↔ ∀ {c d : C}, S.arrows c d ⊆ T.arrows c d
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
a b c d x y z w : ℕ

⊢ (↑a * ↑x - ↑b * ↑y - ↑c * ↑z - ↑d * ↑w).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑y + ↑b * ↑x + ↑c * ↑w - ↑d * ↑z).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑z - ↑b * ↑w + ↑c * ↑x + ↑d * ↑y).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑w + ↑b * ↑z - ↑c * ↑y + ↑d * ↑x).natAbs ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2) * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2)
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
a b c d x y z w : ℕ

⊢ ↑((↑a * ↑x - ↑b * ↑y - ↑c * ↑z - ↑d * ↑w).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑y + ↑b * ↑x + ↑c * ↑w - ↑d * ↑z).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑z - ↑b * ↑w + ↑c * ↑x + ↑d * ↑y).natAbs ^ 2 + (↑a * ↑w + ↑b * ↑z - ↑c * ↑y + ↑d * ↑x).natAbs ^ 2) = ↑((a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2) * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2))
-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
a b c d x y z w : ℕ

⊢ |↑a * ↑x - ↑b * ↑y - ↑c * ↑z - ↑d * ↑w| ^ 2 + |↑a * ↑y + ↑b * ↑x + ↑c * ↑w - ↑d * ↑z| ^ 2 + |↑a * ↑z - ↑b * ↑w + ↑c * ↑x + ↑d * ↑y| ^ 2 + |↑a * ↑w + ↑b * ↑z - ↑c * ↑y + ↑d * ↑x| ^ 2 = (↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + ↑c ^ 2 + ↑d ^ 2) * (↑x ^ 2 + ↑y ^ 2 + ↑z ^ 2 + ↑w ^ 2)
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
hI : I ≤ 1

⊢ I * I ≤ I
-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
hI : I ≤ 1

⊢ I = (fun x => I * x) 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : J.plusObj P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : J.toPlus P ≫ η = J.toPlus P ≫ γ

⊢ η = γ
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : J.plusObj P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : J.toPlus P ≫ η = J.toPlus P ≫ γ
this : γ = J.plusLift (J.toPlus P ≫ γ) hQ

⊢ η = γ
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : J.plusObj P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : J.toPlus P ≫ η = J.toPlus P ≫ γ
this : γ = J.plusLift (J.toPlus P ≫ γ) hQ

⊢ η = J.plusLift (J.toPlus P ≫ γ) hQ
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Plus.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P✝ : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
P Q : Cᵒᵖ ⥤ D
η γ : J.plusObj P ⟶ Q
hQ : Presheaf.IsSheaf J Q
h : J.toPlus P ≫ η = J.toPlus P ≫ γ
this : γ = J.plusLift (J.toPlus P ≫ γ) hQ

⊢ J.toPlus P ≫ η = J.toPlus P ≫ γ
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Lemmas.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
χ : MulChar F R

⊢ orderOf χ ∣ Fintype.card F - 1
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J I : Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : Prepartition I

⊢ ∃ π', π'.toPrepartition ≤ π ∧ π'.IsHenstock ∧ π'.IsSubordinate r ∧ π'.distortion = π.distortion ∧ π'.iUnion = π.iUnion
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J I : Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : Prepartition I
this : ∀ (J : Box ι), ∃ π, π.IsPartition ∧ π.IsHenstock ∧ π.IsSubordinate r ∧ (∀ J_1 ∈ π, ∃ m, ∀ (i : ι), J_1.upper i - J_1.lower i = (J.upper i - J.lower i) / 2 ^ m) ∧ π.distortion = J.distortion

⊢ ∃ π', π'.toPrepartition ≤ π ∧ π'.IsHenstock ∧ π'.IsSubordinate r ∧ π'.distortion = π.distortion ∧ π'.iUnion = π.iUnion
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J I : Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
πip : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsPartition
πiH : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsHenstock
πir : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsSubordinate r
h✝ : ∀ (J J_1 : Box ι), J_1 ∈ πi J → ∃ m, ∀ (i : ι), J_1.upper i - J_1.lower i = (J.upper i - J.lower i) / 2 ^ m
πid : ∀ (J : Box ι), (πi J).distortion = J.distortion

⊢ ∃ π', π'.toPrepartition ≤ π ∧ π'.IsHenstock ∧ π'.IsSubordinate r ∧ π'.distortion = π.distortion ∧ π'.iUnion = π.iUnion
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J I : Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
πip : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsPartition
πiH : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsHenstock
πir : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsSubordinate r
h✝ : ∀ (J J_1 : Box ι), J_1 ∈ πi J → ∃ m, ∀ (i : ι), J_1.upper i - J_1.lower i = (J.upper i - J.lower i) / 2 ^ m
πid : ∀ (J : Box ι), (πi J).distortion = J.distortion

⊢ (π.biUnionTagged πi).distortion = π.distortion
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Partition/SubboxInduction.lean
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
I✝ J I : Box ι
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
πip : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsPartition
πiH : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsHenstock
πir : ∀ (J : Box ι), (πi J).IsSubordinate r
h✝ : ∀ (J J_1 : Box ι), J_1 ∈ πi J → ∃ m, ∀ (i : ι), J_1.upper i - J_1.lower i = (J.upper i - J.lower i) / 2 ^ m
πid : ∀ (J : Box ι), (πi J).distortion = J.distortion

⊢ (π.boxes.sup fun J => (πi J).distortion) = π.distortion
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : MetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K

⊢ ∃ δ, (∀ (x : X), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : MetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
δ : C(X, ℝ≥0)
hδ0 : ∀ (x : X), 0 < δ x
hδ : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, EMetric.closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i

⊢ ∃ δ, (∀ (x : X), 0 < δ x) ∧ ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PartitionOfUnity.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝ : MetricSpace X
K U : ι → Set X
hK : ∀ (i : ι), IsClosed (K i)
hU : ∀ (i : ι), IsOpen (U i)
hKU : ∀ (i : ι), K i ⊆ U i
hfin : LocallyFinite K
δ : C(X, ℝ≥0)
hδ0 : ∀ (x : X), 0 < δ x
hδ : ∀ (i : ι), ∀ x ∈ K i, EMetric.closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i
i : ι
x : X
hx : x ∈ K i

⊢ closedBall x ↑(δ x) ⊆ U i