ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
f : α → β
hf : Continuous f

⊢ ∀ (U : Set β), MeasurableSet U ∧ (map f μ) U ≠ ⊤ → MeasurableSet (f ⁻¹' U) ∧ μ (f ⁻¹' U) ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Regular.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : BorelSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : BorelSpace β
h : μ.InnerRegularCompactLTTop
f : α → β
hf : Continuous f

⊢ ∀ (U : Set β), MeasurableSet U ∧ (map f μ) U ≠ ⊤ → MeasurableSet U
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g

⊢ (whiskerEquiv e w).inv = lift fun j => π g (e j) ≫ (w j).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Biproducts.lean
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : J → C
g : K → C
e : J ≃ K
w : (j : J) → g (e j) ≅ f j
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g

⊢ (desc fun k => eqToHom ⋯ ≫ (w (e.symm k)).hom ≫ ι f (e.symm k)) = lift fun j => π g (e j) ≫ (w j).hom
-- Mathlib/Data/Fintype/Quotient.lean
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
i : ι
l : List ι
f : (i_1 : ι) → i_1 ∈ i :: l → α i_1

⊢ (finChoiceAux (i :: l) fun i_1 h => ⟦f i_1 h⟧) = ⟦f⟧
-- Mathlib/Data/Fintype/Quotient.lean
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
i : ι
l : List ι
f : (i_1 : ι) → i_1 ∈ i :: l → α i_1

⊢ ⟦fun j h => if h : j = i then cast ⋯ (f i ⋯) else f j ⋯⟧ = ⟦f⟧
-- Mathlib/Data/Fintype/Quotient.lean
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
i : ι
l : List ι
f : (i_1 : ι) → i_1 ∈ i :: l → α i_1
j : ι
h : j ∈ i :: l

⊢ (if h : j = i then cast ⋯ (f i ⋯) else f j ⋯) ≈ f j h
-- Mathlib/Data/Fintype/Quotient.lean
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
i : ι
l : List ι
f : (i_1 : ι) → i_1 ∈ i :: l → α i_1
j : ι
h : j ∈ i :: l
e : j = i

⊢ cast ⋯ (f i ⋯) ≈ f j h
-- Mathlib/Data/Fintype/Quotient.lean
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
α : ι → Type u_2
S : (i : ι) → Setoid (α i)
i : ι
l : List ι
f : (i_1 : ι) → i_1 ∈ i :: l → α i_1
h : i ∈ i :: l

⊢ cast ⋯ (f i ⋯) ≈ f i h
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/GaussianIntegral.lean
b : ℝ
hb : 0 < b
s : ℝ

⊢ (fun x => x ^ s * rexp (-b * x ^ 2)) =o[atTop] fun x => rexp (-(1 / 2) * x)
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/PosPart.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Lattice α
inst✝¹ : Group α
a : α
inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

⊢ a⁻ᵐ = 1 ↔ 1 ≤ a
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)

⊢ ∀ (i : ι), (b.repr ↑(ceil b m)) i = (b.repr m) i
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)

⊢ ∀ (i : ι), ↑⌈(b.repr m) i⌉ = (b.repr m) i
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
i : ι

⊢ ↑⌈(b.repr m) i⌉ = (b.repr m) i
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
i : ι
z : ℤ
hz : (algebraMap ℤ K) z = (b.repr m) i

⊢ ↑⌈(b.repr m) i⌉ = (b.repr m) i
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
inst✝¹ : FloorRing K
inst✝ : Fintype ι
m : E
h : m ∈ span ℤ (Set.range ⇑b)
i : ι
z : ℤ
hz : (algebraMap ℤ K) z = (b.repr m) i

⊢ ↑⌈(algebraMap ℤ K) z⌉ = (algebraMap ℤ K) z
-- Mathlib/Analysis/Complex/ReImTopology.lean
s t : Set ℝ

⊢ closure (s ×ℂ t) = closure s ×ℂ closure t
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s

⊢ PartialHomeomorph.ofSet s hs ∈ contDiffGroupoid n I
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s

⊢ (contDiffPregroupoid n I).property (↑(PartialHomeomorph.ofSet s hs)) (PartialHomeomorph.ofSet s hs).source ∧ (contDiffPregroupoid n I).property (↑(PartialHomeomorph.ofSet s hs).symm) (PartialHomeomorph.ofSet s hs).target
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s

⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
m n : ℕ∞
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace M
s : Set H
hs : IsOpen s
this : ContDiffOn 𝕜 n id univ

⊢ ContDiffOn 𝕜 n (↑I ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝² : LeftCancelMonoid G
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : Nontrivial G

⊢ 1 < exponent G
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝² : LeftCancelMonoid G
inst✝¹ : Finite G
inst✝ : Nontrivial G

⊢ exponent G ≠ 0 ∧ exponent G ≠ 1
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
h : e' ≈ e
he : e ∈ maximalAtlas M G
e'' : PartialHomeomorph M H
he'' : e'' ∈ atlas H M

⊢ e'.symm ≫ₕ e'' ∈ G ∧ e''.symm ≫ₕ e' ∈ G
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ChartedSpace.lean
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
G : StructureGroupoid H
e e' : PartialHomeomorph M H
h : e' ≈ e
he : e ∈ maximalAtlas M G
e'' : PartialHomeomorph M H
he'' : e'' ∈ atlas H M
l : e.symm ≫ₕ e'' ∈ G
r : e''.symm ≫ₕ e ∈ G

⊢ e'.symm ≫ₕ e'' ∈ G ∧ e''.symm ≫ₕ e' ∈ G
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
i : Ordinal.{u}
hi : i < p.lastStep
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)

⊢ p.color i < N
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N
hi : i < p.lastStep

⊢ p.color i < N
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)

⊢ sInf (univ \ A) < N
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A

⊢ sInf (univ \ A) < N
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
this : ∀ k < N, ∃ j < i, (closedBall (p.c (p.index j)) (p.r (p.index j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧ k = p.color j

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : ℕ → Ordinal.{u}
hg : ∀ k < N, g k < i ∧ (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧ k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun n => if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : ℕ → Ordinal.{u}
hg : ∀ k < N, g k < i ∧ (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧ k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun n => if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
fGn : ∀ n ≤ N, p.c (p.index (G n)) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (p.index (G n))

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : MetricSpace α
β : Type u
inst✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ k < i, k < p.lastStep → p.color k < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ := ⋃ j, ⋃ (_ : (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty), {p.color ↑j}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : ℕ → Ordinal.{u}
hg : ∀ k < N, g k < i ∧ (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧ k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun n => if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
fGn : ∀ n ≤ N, p.c (p.index (G n)) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (p.index (G n))
Gab : ∀ (a b : Fin N.succ), G ↑a < G ↑b → p.r (p.index (G ↑a)) ≤ dist (p.c (p.index (G ↑a))) (p.c (p.index (G ↑b))) ∧ p.r (p.index (G ↑b)) ≤ p.τ * p.r (p.index (G ↑a))
sc : SatelliteConfig α N p.τ := { c := fun k => p.c (p.index (G ↑k)), r := fun k => p.r (p.index (G ↑k)), rpos := ⋯, h := ⋯, hlast := ⋯, inter := ⋯ }

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
a : R

⊢ (addVal R) a = ⊤ ↔ a = 0
-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : DiscreteValuationRing R
a : R
hi : Irreducible (Classical.choose ⋯)

⊢ (addVal R) a = ⊤ ↔ a = 0
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i

⊢ ENNReal.ofReal (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, ENNReal.ofReal (f i)
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
f : α → ℝ
hf : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i

⊢ (∑ i ∈ s, f i).toNNReal = ∑ a ∈ s, (f a).toNNReal
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/AffineScheme.lean
X : Scheme
P : ↑X.affineOpens → Prop
ι : Sort u_2
U : ι → ↑X.affineOpens
iSup_U : ⨆ i, ↑(U i) = ⊤
V : ↑X.affineOpens
basicOpen : ∀ (U : ↑X.affineOpens) (f : ↑Γ(X, ↑U)), P U → P (X.affineBasicOpen f)
openCover : ∀ (U : ↑X.affineOpens) (s : Finset ↑Γ(X, ↑U)), Ideal.span ↑s = ⊤ → (∀ (f : { x // x ∈ s }), P (X.affineBasicOpen ↑f)) → P U
hU : ∀ (i : ι), P (U i)

⊢ P V
-- Mathlib/Data/Multiset/Bind.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
σ : α → Type u_4
a✝ : α
s : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (σ a)
a : α
b : σ a

⊢ ⟨a, b⟩ ∈ s.sigma t ↔ ⟨a, b⟩.fst ∈ s ∧ ⟨a, b⟩.snd ∈ t ⟨a, b⟩.fst
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace α
f : α → G
s : Set α
x : α
inst✝² : TopologicalSpace H
inst✝¹ : OrderedCommGroup H
inst✝ : ContinuousInv H
a : H

⊢ Tendsto Inv.inv (𝓝[≤] a⁻¹) (𝓝[≥] a)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P

⊢ ∡ (midpoint ℝ p₂ p₁) p₂ p₃ = ∡ p₁ p₂ p₃
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
ι : Sort u_1
f g : ι → ℝ≥0∞
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
s : Set ℝ≥0∞
hs : ∀ r ∈ s, r ≠ ⊤
hf : ∀ (i : { x // x ∈ s }), ↑i ≠ ⊤

⊢ (sInf s).toNNReal = sInf (ENNReal.toNNReal '' s)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/l2Space.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
cplt : CompleteSpace E
G : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst✝ : (i : ι) → InnerProductSpace 𝕜 (G i)
b : HilbertBasis ι 𝕜 E
x : E

⊢ HasSum (fun i => ↑(b.repr x) i • (fun i => b.repr.symm (lp.single 2 i 1)) i) x
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N : Matroid α
h : N ≤r M

⊢ N = M ∨ N <r M
-- Mathlib/Algebra/Ring/Parity.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n : ℕ

⊢ Even (m + n) ↔ (Odd m ↔ Odd n)
-- Mathlib/FieldTheory/IsSepClosed.lean
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
L : IntermediateField k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k ↥L
x : K
hx : x ∈ L

⊢ x ∈ ⊥
-- Mathlib/FieldTheory/IsSepClosed.lean
k : Type u
inst✝⁴ : Field k
K : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsSepClosed k
inst✝¹ : Algebra k K
L : IntermediateField k K
inst✝ : Algebra.IsSeparable k ↥L
x : K
hx : x ∈ L
y : k
hy : (algebraMap k ↥L) y = ⟨x, hx⟩

⊢ x ∈ ⊥
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₀ : Prepartition I

⊢ Tendsto (integralSum f vol) (l.toFilteriUnion I π₀) (𝓝 (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol))
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₀ : Prepartition I
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε

⊢ ∃ ia, (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (ia c)) ∧ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (ia c) π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}, integralSum f vol x ∈ closedBall (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ε
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₀ : Prepartition I
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε

⊢ ∀ x ∈ {π | ∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π ∧ π.iUnion = π₀.iUnion}, integralSum f vol x ∈ closedBall (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ε
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₀ : Prepartition I
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε

⊢ ∀ (x : TaggedPrepartition I), (∃ c, l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) x ∧ x.iUnion = π₀.iUnion) → integralSum f vol x ∈ closedBall (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ε
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f g : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
y y' : F
c✝ c₁ c₂ : ℝ≥0
ε✝ ε₁ ε₂ : ℝ
π₁ π₂ : TaggedPrepartition I
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
π₀ : Prepartition I
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
π : TaggedPrepartition I
c : ℝ≥0
hc : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
hU : π.iUnion = π₀.iUnion

⊢ integralSum f vol π ∈ closedBall (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ε
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 f

⊢ ∃ I, ((convexHull 𝕜) (f '' I) ∩ (convexHull 𝕜) (f '' Iᶜ)).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
h : ¬∀ (s : Finset ι) (w : ι → 𝕜), s.sum w = 0 → ∑ e ∈ s, w e • f e = 0 → ∀ e ∈ s, w e = 0

⊢ ∃ I, ((convexHull 𝕜) (f '' I) ∩ (convexHull 𝕜) (f '' Iᶜ)).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
s : Finset ι
w : ι → 𝕜
h_wsum : s.sum w = 0
h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0
nonzero_w_index : ι
h1 : nonzero_w_index ∈ s
h2 : w nonzero_w_index ≠ 0
I : Finset ι := filter (fun i => 0 ≤ w i) s
J : Finset ι := filter (fun i => w i < 0) s
p : E := I.centerMass w f

⊢ ∃ I, ((convexHull 𝕜) (f '' I) ∩ (convexHull 𝕜) (f '' Iᶜ)).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
s : Finset ι
w : ι → 𝕜
h_wsum : s.sum w = 0
h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0
nonzero_w_index : ι
h1 : nonzero_w_index ∈ s
h2 : w nonzero_w_index ≠ 0
I : Finset ι := filter (fun i => 0 ≤ w i) s
J : Finset ι := filter (fun i => w i < 0) s
p : E := I.centerMass w f
hJI : ∑ j ∈ J, w j + ∑ i ∈ I, w i = 0

⊢ ∃ I, ((convexHull 𝕜) (f '' I) ∩ (convexHull 𝕜) (f '' Iᶜ)).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
s : Finset ι
w : ι → 𝕜
h_wsum : s.sum w = 0
h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0
nonzero_w_index : ι
h1 : nonzero_w_index ∈ s
h2 : w nonzero_w_index ≠ 0
I : Finset ι := filter (fun i => 0 ≤ w i) s
J : Finset ι := filter (fun i => w i < 0) s
p : E := I.centerMass w f
hJI : ∑ j ∈ J, w j + ∑ i ∈ I, w i = 0
hI : 0 < ∑ i ∈ I, w i

⊢ ∃ I, ((convexHull 𝕜) (f '' I) ∩ (convexHull 𝕜) (f '' Iᶜ)).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
s : Finset ι
w : ι → 𝕜
h_wsum : s.sum w = 0
h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0
nonzero_w_index : ι
h1 : nonzero_w_index ∈ s
h2 : w nonzero_w_index ≠ 0
I : Finset ι := filter (fun i => 0 ≤ w i) s
J : Finset ι := filter (fun i => w i < 0) s
p : E := I.centerMass w f
hJI : ∑ j ∈ J, w j + ∑ i ∈ I, w i = 0
hI : 0 < ∑ i ∈ I, w i
hp : J.centerMass w f = p

⊢ ∃ I, ((convexHull 𝕜) (f '' I) ∩ (convexHull 𝕜) (f '' Iᶜ)).Nonempty
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
s : Finset ι
w : ι → 𝕜
h_wsum : s.sum w = 0
h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0
nonzero_w_index : ι
h1 : nonzero_w_index ∈ s
h2 : w nonzero_w_index ≠ 0
I : Finset ι := filter (fun i => 0 ≤ w i) s
J : Finset ι := filter (fun i => w i < 0) s
p : E := I.centerMass w f
hJI : ∑ j ∈ J, w j + ∑ i ∈ I, w i = 0
hI : 0 < ∑ i ∈ I, w i
hp : J.centerMass w f = p

⊢ J.centerMass w f ∈ (convexHull 𝕜) (f '' (↑I)ᶜ)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
s : Finset ι
w : ι → 𝕜
h_wsum : s.sum w = 0
h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0
nonzero_w_index : ι
h1 : nonzero_w_index ∈ s
h2 : w nonzero_w_index ≠ 0
I : Finset ι := filter (fun i => 0 ≤ w i) s
J : Finset ι := filter (fun i => w i < 0) s
p : E := I.centerMass w f
hJI : ∑ j ∈ J, w j + ∑ i ∈ I, w i = 0
hI : 0 < ∑ i ∈ I, w i
hp : J.centerMass w f = p

⊢ ∑ i ∈ J, w i < 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Radon.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
f : ι → E
s : Finset ι
w : ι → 𝕜
h_wsum : s.sum w = 0
h_vsum : ∑ e ∈ s, w e • f e = 0
nonzero_w_index : ι
h1 : nonzero_w_index ∈ s
h2 : w nonzero_w_index ≠ 0
I : Finset ι := filter (fun i => 0 ≤ w i) s
J : Finset ι := filter (fun i => w i < 0) s
p : E := I.centerMass w f
hJI : ∑ j ∈ J, w j + ∑ i ∈ I, w i = 0
hI : 0 < ∑ i ∈ I, w i
hp : J.centerMass w f = p
_i : ι
hi : _i ∈ J
hi' : _i ∈ ↑I

⊢ False
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/EssSup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁵ : CompleteLattice β
γ : Type u_3
mγ : MeasurableSpace γ
f : α → γ
g : γ → β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : SecondCountableTopology β
inst✝¹ : OrderClosedTopology β
inst✝ : OpensMeasurableSpace β
hg : Measurable g
hf : AEMeasurable f μ

⊢ essSup g (Measure.map f μ) = essSup (g ∘ f) μ