ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
e : ℕ
he : 2 ≤ e

⊢ I ^ e < I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
e : ℕ
he : 2 ≤ e

⊢ I = (fun x => I ^ x) 1
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hI1 : I ≠ ⊤
e : ℕ
he : 2 ≤ e

⊢ I = I ^ 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor/Prime.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
a c : K

⊢ ∃ p > n, Nat.Prime p ∧ a * c ^ p / ↑(p - 1)! < 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor/Prime.lean
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
n : ℕ
a c : K

⊢ ∃ p > n, Nat.Prime p ∧ a * c ^ p < ↑(p - 1)!
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R

⊢ basicOpen (f * g) ≤ basicOpen g
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/PrimeSpectrum/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R

⊢ basicOpen f ⊓ basicOpen g ≤ basicOpen g
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ

⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (μ[g|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) 1 μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
ht : Tendsto (fun n => eLpNorm (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) 1 μ) atTop (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (μ[g|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) 1 μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
ht : Tendsto (fun n => eLpNorm (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) 1 μ) atTop (𝓝 0)
heq : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x = (μ[g|↑ℱ n]) x

⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (μ[g|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) 1 μ) atTop (𝓝 0)
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
ht : Tendsto (fun n => eLpNorm (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) 1 μ) atTop (𝓝 0)
heq : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x = (μ[g|↑ℱ n]) x
n : ℕ

⊢ μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n] =ᶠ[ae μ] μ[g|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]
-- Mathlib/Probability/Martingale/Convergence.lean
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
ω : Ω
R : ℝ≥0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
g✝ g : Ω → ℝ
ht : Tendsto (fun n => eLpNorm (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) 1 μ) atTop (𝓝 0)
heq : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x = (μ[g|↑ℱ n]) x
n : ℕ
x : Ω
hxeq : (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n]) x = (μ[g|↑ℱ n]) x

⊢ (μ[μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x = (μ[g|↑ℱ n] - μ[g|⨆ n, ↑ℱ n]) x
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasColimits C
j : J
k : K

⊢ colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k ≫ ((colimitIsoColimitCurryCompColim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).hom) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).hom = colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Fubini.lean
J K : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : SmallCategory K
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ K ⥤ C
G : J × K ⥤ C
inst✝ : HasColimits C
j : J
k : K

⊢ ((colimit.ι ((curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G)).obj k) j ≫ colimit.ι (curry.obj (Prod.swap K J ⋙ G) ⋙ colim) k ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim (Prod.swap K J ⋙ G)).inv) ≫ (HasColimit.isoOfEquivalence (Prod.braiding K J) (Iso.refl ((Prod.braiding K J).functor ⋙ G))).hom) ≫ (colimitIsoColimitCurryCompColim G).hom = colimit.ι ((curry.obj G).obj j) k ≫ colimit.ι (curry.obj G ⋙ colim) j
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : PartialOrder α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : IsAtomic α
x y : α
h : ∀ (a : α), IsAtom a → (a ≤ x ↔ a ≤ y)

⊢ x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C

⊢ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one) ⊗ P.one)) ≫ (α_ M.X N.X P.X).hom = (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (N.one ⊗ P.one))
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C

⊢ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one) ⊗ P.one) ≫ (α_ M.X N.X P.X).hom = M.one ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (N.one ⊗ P.one)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C

⊢ (((λ_ (𝟙_ C)).inv ⊗ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ ((M.one ⊗ N.one) ⊗ P.one)) ≫ (α_ M.X N.X P.X).hom = M.one ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (N.one ⊗ P.one)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C

⊢ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ⊗ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one) = M.one ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (N.one ⊗ P.one)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C

⊢ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ⊗ 𝟙 (𝟙_ C)) ≫ (α_ (𝟙_ C) (𝟙_ C) (𝟙_ C)).hom ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one) = (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv) ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C

⊢ (λ_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one) = (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv) ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C

⊢ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (λ_ (𝟙_ C ⊗ 𝟙_ C)).inv ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one) = (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv) ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Mon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M N P : Mon_ C

⊢ ((λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ 𝟙_ C ◁ (λ_ (𝟙_ C)).inv) ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one) = (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (𝟙 (𝟙_ C) ⊗ (λ_ (𝟙_ C)).inv) ≫ (M.one ⊗ N.one ⊗ P.one)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
h : n ≠ 0

⊢ cyclotomic n ℤ = ⋯.choose
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
h : n ≠ 0

⊢ map (Int.castRingHom ℤ) ⋯.choose = ⋯.choose
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Cyclotomic/Basic.lean
n : ℕ
h : n ≠ 0
i : ℕ

⊢ (map (Int.castRingHom ℤ) ⋯.choose).coeff i = ⋯.choose.coeff i
-- Mathlib/RingTheory/Nakayama.lean
R✝ : Type u_1
M✝ : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R✝ M✝
R : Type u_3
M : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' : Submodule R M
hN' : N'.FG
hIJ : I ≤ ⊥.jacobson
hNN : N' ≤ N ⊔ I • N'

⊢ N' ≤ N
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹² : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M'
inst✝⁹ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : Module A M'
inst✝⁵ : IsLocalization S A
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M''
inst✝¹ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s : ↥S

⊢ mk' f (m₁ + m₂) s = mk' f m₁ s + mk' f m₂ s
-- Mathlib/Algebra/Star/Pointwise.lean
α : Type u_1
s✝ t✝ : Set α
a : α
inst✝¹ : AddMonoid α
inst✝ : StarAddMonoid α
s t : Set α

⊢ (s + t)⋆ = s⋆ + t⋆
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set α

⊢ TotallyBounded (⋃ i, s i) ↔ ∀ (i : ι), TotallyBounded (s i)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), TotallyBounded (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α

⊢ ∃ t, t.Finite ∧ ⋃ i, s i ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ U}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), TotallyBounded (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
t : ι → Set α
htf : ∀ (x : ι), (t x).Finite
ht : ∀ (x : ι), s x ⊆ ⋃ y ∈ t x, {x | (x, y) ∈ U}

⊢ ∃ t, t.Finite ∧ ⋃ i, s i ⊆ ⋃ y ∈ t, {x | (x, y) ∈ U}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), TotallyBounded (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
t : ι → Set α
htf : ∀ (x : ι), (t x).Finite
ht : ∀ (x : ι), s x ⊆ ⋃ y ∈ t x, {x | (x, y) ∈ U}

⊢ ⋃ i, s i ⊆ ⋃ y ∈ ⋃ i, t i, {x | (x, y) ∈ U}
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Cauchy.lean
α : Type u
β : Type v
uniformSpace : UniformSpace α
ι : Sort u_1
inst✝ : Finite ι
s : ι → Set α
h : ∀ (i : ι), TotallyBounded (s i)
U : Set (α × α)
hU : U ∈ 𝓤 α
t : ι → Set α
htf : ∀ (x : ι), (t x).Finite
ht : ∀ (x : ι), s x ⊆ ⋃ y ∈ t x, {x | (x, y) ∈ U}

⊢ ⋃ i, s i ⊆ ⋃ i, ⋃ x ∈ t i, {x_1 | (x_1, x) ∈ U}
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α →ₘ[μ] E

⊢ f ∈ Lp E p μ ↔ Memℒp (↑f) p μ
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
v : Vector α (n + 1)
i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 2

⊢ ⟨(List.insertNth j a ↑v).eraseIdx ↑(if ⟨i, ⋯⟩ < ⟨j, hj⟩ then ⟨i, ⋯⟩ else ⟨i + 1, ⋯⟩), ⋯⟩ = ⟨List.insertNth (↑(if h : ⟨i, ⋯⟩ < ⟨j, hj⟩ then ⟨j, hj⟩.pred ⋯ else ⟨j, hj⟩.castPred ⋯)) a ↑(match v with | ⟨l, p⟩ => ⟨l.eraseIdx i, ⋯⟩), ⋯⟩
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
v : Vector α (n + 1)
i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 2

⊢ (List.insertNth j a ↑v).eraseIdx ↑(if ⟨i, ⋯⟩ < ⟨j, hj⟩ then ⟨i, ⋯⟩ else ⟨i + 1, ⋯⟩) = List.insertNth (↑(if h : ⟨i, ⋯⟩ < ⟨j, hj⟩ then ⟨j, hj⟩.pred ⋯ else ⟨j, hj⟩.castPred ⋯)) a ↑(match v with | ⟨l, p⟩ => ⟨l.eraseIdx i, ⋯⟩)
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
v : Vector α (n + 1)
i : ℕ
hi : i < n + 1
j : ℕ
hj : j < n + 2

⊢ (List.insertNth j a ↑v).eraseIdx ↑(if i < j then ⟨i, ⋯⟩ else ⟨i + 1, ⋯⟩) = List.insertNth (↑(if h : i < j then ⟨j, hj⟩.pred ⋯ else ⟨j, hj⟩.castPred ⋯)) a ↑(match v with | ⟨l, p⟩ => ⟨l.eraseIdx i, ⋯⟩)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν

⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), f a ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν
hfi' : Integrable f μ

⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), f a ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν
hfi' : Integrable f μ
hf' : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

⊢ ∫ (a : α), f a ∂μ ≤ ∫ (a : α), f a ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν
hfi' : Integrable f μ
hf' : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ ≤ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν
hfi' : Integrable f μ
hf' : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂μ ≠ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
f : α → ℝ
ν : Measure α
hle : μ ≤ ν
hf : 0 ≤ᶠ[ae ν] f
hfi : Integrable f ν
hfi' : Integrable f μ
hf' : 0 ≤ᶠ[ae μ] f

⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (f a) ∂ν ≠ ⊤
-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : OrderTopology α

⊢ 𝓝 ⊤ = ⨅ l, ⨅ (_ : l < ⊤), 𝓟 (Ioi l)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : eval₂ f s p = 0

⊢ eval₂ f s p.primPart = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : f p.content * eval₂ f s p.primPart = 0

⊢ eval₂ f s p.primPart = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : f p.content * eval₂ f s p.primPart = 0
hcont : p.content ≠ 0

⊢ eval₂ f s p.primPart = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : f p.content * eval₂ f s p.primPart = 0
hcont : f p.content ≠ f 0

⊢ eval₂ f s p.primPart = 0
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : NormalizedGCDMonoid R
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : IsDomain S
f : R →+* S
hinj : Function.Injective ⇑f
p : R[X]
s : S
hpzero : p ≠ 0
hp : f p.content * eval₂ f s p.primPart = 0
hcont : f p.content ≠ 0

⊢ eval₂ f s p.primPart = 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n✝ n : ℕ

⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n = 1 / 2 * ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n✝ n : ℕ

⊢ (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n) + ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n = ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n✝ n : ℕ
L : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume 0 (π / 2)

⊢ (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n) + ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n = ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n✝ n : ℕ
L : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume 0 (π / 2)
R : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume (π / 2) π

⊢ (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n) + ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n = ∫ (x : ℝ) in 0 ..π, sin x ^ n
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/EulerSineProd.lean
z : ℂ
n✝ n : ℕ
L : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume 0 (π / 2)
R : IntervalIntegrable (fun b => sin b ^ n) volume (π / 2) π

⊢ (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n) + ∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n = (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, sin x ^ n) + ∫ (x : ℝ) in π / 2 ..π, sin x ^ n
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Prod.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ antidiagonal n
hq : q ∈ antidiagonal n

⊢ p = q ↔ p.1 = q.1
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Prod.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p ∈ antidiagonal n
hq : q ∈ antidiagonal n
h : p.1 = q.1

⊢ q.1 + p.2 = q.1 + q.2
-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Prod.lean
A : Type u_1
inst✝¹ : AddCancelMonoid A
inst✝ : HasAntidiagonal A
p q : A × A
n : A
hp : p.1 + p.2 = n
hq : q.1 + q.2 = n
h : p.1 = q.1

⊢ q.1 + p.2 = q.1 + q.2
-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Linear.lean
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝ : LinearWeights R L M
χ : L → R
x : L
x✝ : ↥↑(shiftedWeightSpace R L M χ)

⊢ ↑(((toEnd R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M χ)) x) x✝) = ↑(((shift R L M χ).conj ((toEnd R L ↥↑(weightSpace M χ)) x - χ x • LinearMap.id)) x✝)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : LinearOrder α
u : ι → α
h : Monotone u
H : ¬BddAbove (range u)
b : α

⊢ ∃ a, b ≤ u a
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : Preorder ι
inst✝ : LinearOrder α
u : ι → α
h : Monotone u
H : ¬BddAbove (range u)
b : α
N : ι
hN : b < u N

⊢ ∃ a, b ≤ u a
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
a b P Q : Prop

⊢ ¬Xor' P Q ↔ (P ↔ Q)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf

⊢ IsFixedPt f x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x

⊢ IsFixedPt f x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
this : dist (f^[n] x) (f^[n] (f x)) ≤ ↑K * dist x (f x)

⊢ IsFixedPt f x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
this : dist x (f x) ≤ ↑K * dist x (f x)

⊢ IsFixedPt f x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x

⊢ dist x (f x) ≤ ↑K * dist x (f x) → IsFixedPt f x
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x

⊢ ¬IsFixedPt f x → ↑K * dist x (f x) < dist x (f x)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
this : ¬IsFixedPt f x

⊢ ↑K * dist x (f x) < dist x (f x)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Contracting.lean
α : Type u_1
inst✝² : MetricSpace α
K : ℝ≥0
f : α → α
hf✝ : ContractingWith K f
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : CompleteSpace α
n : ℕ
hf : ContractingWith K f^[n]
x : α := fixedPoint f^[n] hf
hx : f^[n] x = x
this✝ : ¬IsFixedPt f x
this : 0 < dist x (f x)

⊢ ↑K * dist x (f x) < dist x (f x)
-- Mathlib/Algebra/CharP/ExpChar.lean
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
q : ℕ
x y : R
hprime : Nat.Prime q
hchar✝ : CharP R q
this : Fact (Nat.Prime q)

⊢ (x + y) ^ q = x ^ q + y ^ q
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
p : PrimeSpectrum R

⊢ p ∈ support R A ↔ p ∈ PrimeSpectrum.zeroLocus ↑(RingHom.ker (algebraMap R A))
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
p : PrimeSpectrum R

⊢ (∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, ¬r • m = 0) ↔ RingHom.ker (algebraMap R A) ≤ p.asIdeal
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
p : PrimeSpectrum R
x✝ : ∃ m, ∀ r ∉ p.asIdeal, ¬r • m = 0
x : R
hx : x ∈ RingHom.ker (algebraMap R A)
m : A
hm : ∀ r ∉ p.asIdeal, ¬r • m = 0
hx' : x ∉ p.asIdeal

⊢ False
-- Mathlib/RingTheory/Support.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
p✝ : PrimeSpectrum R
A : Type u_3
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
p : PrimeSpectrum R
H : RingHom.ker (algebraMap R A) ≤ p.asIdeal
r : R
hr : r ∉ p.asIdeal
e : r • 1 = 0

⊢ False