ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
p : ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), (↑(x * (x - 1)) + (1 - ↑(2 * n) * X) * ↑x + ↑(n ^ 2) * X ^ 2) * bernsteinPolynomial R n x = ↑(n * (n - 1)) * X ^ 2 + (1 - (2 * n) • X) * n • X + n ^ 2 • X ^ 2 * 1
k : ℕ
m : k ∈ Finset.range (n + 1)

⊢ (n • X - ↑k) ^ 2 * bernsteinPolynomial R n k = (↑(k * (k - 1)) + (1 - ↑(2 * n) * X) * ↑k + ↑(n ^ 2) * X ^ 2) * bernsteinPolynomial R n k
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Bernstein.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
p : ∑ x ∈ Finset.range (n + 1), (↑(x * (x - 1)) + (1 - ↑(2 * n) * X) * ↑x + ↑(n ^ 2) * X ^ 2) * bernsteinPolynomial R n x = ↑(n * (n - 1)) * X ^ 2 + (1 - (2 * n) • X) * n • X + n ^ 2 • X ^ 2 * 1

⊢ ↑(n * (n - 1)) * X ^ 2 + (1 - (2 * n) • X) * n • X + n ^ 2 • X ^ 2 * 1 = n • X * (1 - X)
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Finset.lean
n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u_1
x : (i : Fin n) → α i.castSucc
xₙ : α (last n)
s : (i : Fin n) → Finset (α i.castSucc)
sₙ : Finset (α (last n))

⊢ snoc x xₙ ∈ piFinset (snoc s sₙ) ↔ x ∈ piFinset s ∧ xₙ ∈ sₙ
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V : Set (α × α)
h : V ∈ 𝓤 α

⊢ symmetrizeRel V ∈ 𝓤 α
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V : Set (α × α)
h : V ∈ 𝓤 α

⊢ Prod.swap ⁻¹' V ∈ (𝓤 α).sets
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/Basic.lean
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
V : Set (α × α)
h : V ∈ 𝓤 α

⊢ Prod.swap '' V ∈ (Prod.swap <$> 𝓤 α).sets
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
h : s ∈ 𝔖

⊢ map (fun x => ((⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.2)) (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)) ≤ 𝓤 (↑s →ᵤ β)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergenceTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
h : s ∈ 𝔖

⊢ ⨅ i ∈ 𝔖, 𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β) ≤ comap (fun x => ((⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ s.restrict ∘ ⇑(toFun 𝔖)) x.2)) (𝓤 (↑s →ᵤ β))
-- Mathlib/Order/Filter/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l✝ : Filter α
inst✝ : PartialOrder β
l : Filter α
f g : α → β

⊢ f =ᶠ[l] g ↔ f ≤ᶠ[l] g ∧ g ≤ᶠ[l] f
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e : β → α
h_e : UniformInducing e
h_dense : DenseRange e
f : β → γ
h_f : UniformContinuous f
inst✝ : CompleteSpace γ
d : Set (γ × γ)
hd : d ∈ 𝓤 γ
s : Set (γ × γ)
hs : s ∈ 𝓤 γ
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d
h_pnt : ∀ {a : α} {m : Set α}, m ∈ 𝓝 a → ∃ c ∈ f '' (e ⁻¹' m), (c, ⋯.extend f a) ∈ s ∧ (⋯.extend f a, c) ∈ s
this : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ 𝓤 β

⊢ Prod.map f f ⁻¹' s ∈ comap (Prod.map e e) (𝓤 α)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e : β → α
h_e : UniformInducing e
h_dense : DenseRange e
f : β → γ
h_f : UniformContinuous f
inst✝ : CompleteSpace γ
d : Set (γ × γ)
hd : d ∈ 𝓤 γ
s : Set (γ × γ)
hs : s ∈ 𝓤 γ
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d
h_pnt : ∀ {a : α} {m : Set α}, m ∈ 𝓝 a → ∃ c ∈ f '' (e ⁻¹' m), (c, ⋯.extend f a) ∈ s ∧ (⋯.extend f a, c) ∈ s
this✝ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ 𝓤 β
this : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ comap (Prod.map e e) (𝓤 α)
t : Set (α × α)
ht : t ∈ 𝓤 α
ts : Prod.map e e ⁻¹' t ⊆ Prod.map f f ⁻¹' s
x✝ : α × α
x₁ x₂ : α
hx_t : (x₁, x₂) ∈ interior t

⊢ (x₁, x₂) ∈ Prod.map (⋯.extend f) (⋯.extend f) ⁻¹' d
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e : β → α
h_e : UniformInducing e
h_dense : DenseRange e
f : β → γ
h_f : UniformContinuous f
inst✝ : CompleteSpace γ
d : Set (γ × γ)
hd : d ∈ 𝓤 γ
s : Set (γ × γ)
hs : s ∈ 𝓤 γ
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d
h_pnt : ∀ {a : α} {m : Set α}, m ∈ 𝓝 a → ∃ c ∈ f '' (e ⁻¹' m), (c, ⋯.extend f a) ∈ s ∧ (⋯.extend f a, c) ∈ s
this✝¹ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ 𝓤 β
this✝ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ comap (Prod.map e e) (𝓤 α)
t : Set (α × α)
ht : t ∈ 𝓤 α
ts : Prod.map e e ⁻¹' t ⊆ Prod.map f f ⁻¹' s
x✝ : α × α
x₁ x₂ : α
hx_t : (x₁, x₂) ∈ interior t
this : interior t ∈ 𝓝 (x₁, x₂)

⊢ (x₁, x₂) ∈ Prod.map (⋯.extend f) (⋯.extend f) ⁻¹' d
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e : β → α
h_e : UniformInducing e
h_dense : DenseRange e
f : β → γ
h_f : UniformContinuous f
inst✝ : CompleteSpace γ
d : Set (γ × γ)
hd : d ∈ 𝓤 γ
s : Set (γ × γ)
hs : s ∈ 𝓤 γ
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d
h_pnt : ∀ {a : α} {m : Set α}, m ∈ 𝓝 a → ∃ c ∈ f '' (e ⁻¹' m), (c, ⋯.extend f a) ∈ s ∧ (⋯.extend f a, c) ∈ s
this✝¹ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ 𝓤 β
this✝ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ comap (Prod.map e e) (𝓤 α)
t : Set (α × α)
ht : t ∈ 𝓤 α
ts : Prod.map e e ⁻¹' t ⊆ Prod.map f f ⁻¹' s
x✝ : α × α
x₁ x₂ : α
hx_t : (x₁, x₂) ∈ interior t
this : interior t ∈ 𝓝 (x₁, x₂)
m₁ : Set α
hm₁ : m₁ ∈ 𝓝 x₁
m₂ : Set α
hm₂ : m₂ ∈ 𝓝 x₂
hm : m₁ ×ˢ m₂ ⊆ interior t

⊢ (x₁, x₂) ∈ Prod.map (⋯.extend f) (⋯.extend f) ⁻¹' d
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e : β → α
h_e : UniformInducing e
h_dense : DenseRange e
f : β → γ
h_f : UniformContinuous f
inst✝ : CompleteSpace γ
d : Set (γ × γ)
hd : d ∈ 𝓤 γ
s : Set (γ × γ)
hs : s ∈ 𝓤 γ
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d
h_pnt : ∀ {a : α} {m : Set α}, m ∈ 𝓝 a → ∃ c ∈ f '' (e ⁻¹' m), (c, ⋯.extend f a) ∈ s ∧ (⋯.extend f a, c) ∈ s
this✝¹ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ 𝓤 β
this✝ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ comap (Prod.map e e) (𝓤 α)
t : Set (α × α)
ht : t ∈ 𝓤 α
ts : Prod.map e e ⁻¹' t ⊆ Prod.map f f ⁻¹' s
x✝ : α × α
x₁ x₂ : α
hx_t : (x₁, x₂) ∈ interior t
this : interior t ∈ 𝓝 (x₁, x₂)
m₁ : Set α
hm₁ : m₁ ∈ 𝓝 x₁
m₂ : Set α
hm₂ : m₂ ∈ 𝓝 x₂
hm : m₁ ×ˢ m₂ ⊆ interior t
a : β
ha₁ : a ∈ e ⁻¹' m₁
left✝ : (f a, ⋯.extend f x₁) ∈ s
ha₂ : (⋯.extend f x₁, f a) ∈ s
b : β
hb₁ : b ∈ e ⁻¹' m₂
hb₂ : (f b, ⋯.extend f x₂) ∈ s
right✝ : (⋯.extend f x₂, f b) ∈ s

⊢ (x₁, x₂) ∈ Prod.map (⋯.extend f) (⋯.extend f) ⁻¹' d
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformEmbedding.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
inst✝¹ : UniformSpace γ
e : β → α
h_e : UniformInducing e
h_dense : DenseRange e
f : β → γ
h_f : UniformContinuous f
inst✝ : CompleteSpace γ
d : Set (γ × γ)
hd : d ∈ 𝓤 γ
s : Set (γ × γ)
hs : s ∈ 𝓤 γ
hs_comp : s ○ (s ○ s) ⊆ d
h_pnt : ∀ {a : α} {m : Set α}, m ∈ 𝓝 a → ∃ c ∈ f '' (e ⁻¹' m), (c, ⋯.extend f a) ∈ s ∧ (⋯.extend f a, c) ∈ s
this✝² : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ 𝓤 β
this✝¹ : Prod.map f f ⁻¹' s ∈ comap (Prod.map e e) (𝓤 α)
t : Set (α × α)
ht : t ∈ 𝓤 α
ts : Prod.map e e ⁻¹' t ⊆ Prod.map f f ⁻¹' s
x✝ : α × α
x₁ x₂ : α
hx_t : (x₁, x₂) ∈ interior t
this✝ : interior t ∈ 𝓝 (x₁, x₂)
m₁ : Set α
hm₁ : m₁ ∈ 𝓝 x₁
m₂ : Set α
hm₂ : m₂ ∈ 𝓝 x₂
hm : m₁ ×ˢ m₂ ⊆ interior t
a : β
ha₁ : a ∈ e ⁻¹' m₁
left✝ : (f a, ⋯.extend f x₁) ∈ s
ha₂ : (⋯.extend f x₁, f a) ∈ s
b : β
hb₁ : b ∈ e ⁻¹' m₂
hb₂ : (f b, ⋯.extend f x₂) ∈ s
right✝ : (⋯.extend f x₂, f b) ∈ s
this : Prod.map f f (a, b) ∈ s

⊢ (x₁, x₂) ∈ Prod.map (⋯.extend f) (⋯.extend f) ⁻¹' d
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Floor.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedRing R
inst✝⁴ : FloorRing R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : BorelSpace R
s : Set R
hs : MeasurableSet s

⊢ MeasurableSet (Int.fract '' s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Floor.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : LinearOrderedRing R
inst✝⁴ : FloorRing R
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : OrderTopology R
inst✝¹ : MeasurableSpace R
inst✝ : BorelSpace R
s : Set R
hs : MeasurableSet s

⊢ MeasurableSet (⋃ m, (fun x => x + ↑m) ⁻¹' s ∩ Ico 0 1)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0

⊢ closure (ball x r) = closedBall x r
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
y : E
hy : y ∈ closedBall x r

⊢ y ∈ closure (ball x r)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
y : E
hy : y ∈ closedBall x r
this : ContinuousWithinAt (fun c => c • (y - x) + x) (Ico 0 1) 1

⊢ y ∈ closure (ball x r)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
y : E
hy : y ∈ closedBall x r
this : ContinuousWithinAt (fun c => c • (y - x) + x) (Ico 0 1) 1

⊢ y = 1 • (y - x) + x
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
y : E
hy : y ∈ closedBall x r
this : ContinuousWithinAt (fun c => c • (y - x) + x) (Ico 0 1) 1

⊢ 1 ∈ closure (Ico 0 1)
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x : E
r : ℝ
hr : r ≠ 0
y : E
hy : y ∈ closedBall x r
this : ContinuousWithinAt (fun c => c • (y - x) + x) (Ico 0 1) 1

⊢ MapsTo (fun c => c • (y - x) + x) (Ico 0 1) (ball x r)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Commute.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommRing R
a b : R

⊢ (a - b) ^ 2 = a ^ 2 - 2 * a * b + b ^ 2
-- Mathlib/RingTheory/GradedAlgebra/Basic.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : CanonicallyOrderedAddCommMonoid ι
inst✝² : SetLike σ A
inst✝¹ : AddSubmonoidClass σ A
𝒜 : ι → σ
inst✝ : GradedRing 𝒜
b : A
n i : ι
h : ¬i ≤ n
a : ↥(𝒜 i)

⊢ ↑(((decompose 𝒜) (↑a * b)) n) = 0
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
N : ℕ
inst✝ : NeZero N
j : ZMod N

⊢ toAddCircle j = ↑(↑j.val / ↑N)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Z : C
inst✝ : HasLeftDual Z
f : Y ⟶ ᘁZ

⊢ (λ_ Y).inv ≫ η_ (ᘁZ) Z ▷ Y ≫ (α_ (ᘁZ) Z Y).hom ≫ ᘁZ ◁ (Z ◁ f ≫ ε_ (ᘁZ) Z) = 𝟙 Y ⊗≫ (η_ (ᘁZ) Z ▷ Y ≫ (ᘁZ ⊗ Z) ◁ f) ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Z : C
inst✝ : HasLeftDual Z
f : Y ⟶ ᘁZ

⊢ 𝟙 Y ⊗≫ (η_ (ᘁZ) Z ▷ Y ≫ (ᘁZ ⊗ Z) ◁ f) ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z = f ⊗≫ η_ (ᘁZ) Z ▷ ᘁZ ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Z : C
inst✝ : HasLeftDual Z
f : Y ⟶ ᘁZ

⊢ 𝟙 Y ⊗≫ (𝟙_ C ◁ f ≫ η_ (ᘁZ) Z ▷ ᘁZ) ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z = f ⊗≫ η_ (ᘁZ) Z ▷ ᘁZ ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Z : C
inst✝ : HasLeftDual Z
f : Y ⟶ ᘁZ

⊢ f ⊗≫ η_ (ᘁZ) Z ▷ ᘁZ ⊗≫ ᘁZ ◁ ε_ (ᘁZ) Z = f ≫ (ρ_ ᘁZ).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Rigid/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
Y Z : C
inst✝ : HasLeftDual Z
f : Y ⟶ ᘁZ

⊢ f ⊗≫ ⊗𝟙 = f ≫ (ρ_ ᘁZ).inv
-- Mathlib/Order/Heyting/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a✝ b✝ c a b : α

⊢ a ⇨ bᶜ = b ⇨ aᶜ
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/FiniteLimits.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J✝ : Type v
inst✝ : HasFiniteLimits C
J : Type
x✝ : Finite J

⊢ HasLimitsOfShape (WidePullbackShape J) C
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/FiniteLimits.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J✝ : Type v
inst✝ : HasFiniteLimits C
J : Type
x✝ : Finite J
val✝ : Fintype J

⊢ HasLimitsOfShape (WidePullbackShape J) C
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)

⊢ o.volumeForm.measure = volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
A : o.volumeForm.measure ↑(stdOrthonormalBasis ℝ F).toBasis.parallelepiped = 1

⊢ o.volumeForm.measure = volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/InnerProductSpace.lean
ι : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : FiniteDimensional ℝ F
inst✝¹ : MeasurableSpace F
inst✝ : BorelSpace F
m n : ℕ
_i : Fact (finrank ℝ F = n)
o : Orientation ℝ F (Fin n)
A : o.volumeForm.measure ↑(stdOrthonormalBasis ℝ F).toBasis.parallelepiped = 1

⊢ addHaarMeasure (stdOrthonormalBasis ℝ F).toBasis.parallelepiped = volume
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b ∪ Ioc b a))] f
hfi : IntervalIntegrable f μ a b

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b ∪ Ioc b a))] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hab : a ≤ b
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] f

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc a b))] 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ → ℝ
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
hfi : IntervalIntegrable f μ a b
hab : b ≤ a
hf : 0 ≤ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc b a))] f

⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f x ∂μ = 0 ↔ f =ᶠ[ae (μ.restrict (Ioc b a))] 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s

⊢ eval (v i) (Lagrange.basis s v i) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s

⊢ ∏ j ∈ s.erase i, eval (v i) (basisDivisor (v i) (v j)) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
H : j ∈ s.erase i

⊢ eval (v i) (basisDivisor (v i) (v j)) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
H : j ∈ s.erase i

⊢ v i ≠ v j
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
v : ι → F
i j✝ : ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
hi : i ∈ s
j : ι
H : j ∈ s.erase i
hij : j ≠ i
hj : j ∈ s

⊢ v i ≠ v j
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Pseudo/Constructions.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PseudoMetricSpace α
π : β → Type u_3
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)
x : (b : β) → π b
r : ℝ
hr : 0 < r
p : (b : β) → π b

⊢ p ∈ ball x r ↔ p ∈ Set.univ.pi fun b => ball (x b) r
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ dist z w = r ↔ dist ↑z ↑w ^ 2 / (4 * z.im * w.im) = sinh (r / 2) ^ 2
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ dist ↑z ↑w ^ 2 / (2 ^ 2 * (z.im * w.im)) = sinh (r / 2) ^ 2 ↔ dist ↑z ↑w ^ 2 / (4 * (z.im * w.im)) = sinh (r / 2) ^ 2
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ 0 ≤ z.im * w.im
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ 0 ≤ dist ↑z ↑w / (2 * √(z.im * w.im))
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Metric.lean
z w : ℍ
r R : ℝ
hr : 0 ≤ r

⊢ 0 ≤ sinh (r / 2)
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : Multiset ℕ+
h : ∀ p ∈ v, p.Prime

⊢ Multiset.map Coe.coe (Multiset.pmap (fun p hp => ⟨↑p, hp⟩) v h) = v
-- Mathlib/Data/PNat/Factors.lean
v : Multiset ℕ+
h : ∀ p ∈ v, p.Prime
this : (fun p h => Coe.coe ⟨↑p, h⟩) = fun p x => id p

⊢ Multiset.map Coe.coe (Multiset.pmap (fun p hp => ⟨↑p, hp⟩) v h) = v
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α

⊢ dite P (fun x => a) B ≠ a ↔ ∃ h, a ≠ B h
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
σ : α → Sort u_2
P Q R : Prop
inst✝¹ : Decidable P
inst✝ : Decidable Q
a b c : α
A : P → α
B : ¬P → α

⊢ (∃ x, ¬B x = a) ↔ ∃ h, a ≠ B h
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
inst✝ : PartialOrder 𝕜

⊢ HasDerivWithinAt f f' (Iio x) x ↔ HasDerivWithinAt f f' (Iic x) x
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : ↑n ≠ 0

⊢ ↑(φ n) = ↑n * ∏ p ∈ n.primeFactors, (1 - (↑p)⁻¹)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : ↑n ≠ 0
hpQ : ∏ p ∈ n.primeFactors, ↑p ≠ 0

⊢ ↑(φ n) = ↑n * ∏ p ∈ n.primeFactors, (1 - (↑p)⁻¹)
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : ↑n ≠ 0
hpQ : ∏ p ∈ n.primeFactors, ↑p ≠ 0

⊢ ∏ i ∈ n.primeFactors, ↑(i - 1) = ∏ x ∈ n.primeFactors, (1 - (↑x)⁻¹) * ↑x
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : ↑n ≠ 0
hpQ : ∏ p ∈ n.primeFactors, ↑p ≠ 0
p : ℕ
hp : p ∈ n.primeFactors

⊢ ↑(p - 1) = (1 - (↑p)⁻¹) * ↑p
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : ↑n ≠ 0
hpQ : ∏ p ∈ n.primeFactors, ↑p ≠ 0
p : ℕ
hp✝ : p ∈ n.primeFactors
hp : 0 < p

⊢ ↑(p - 1) = (1 - (↑p)⁻¹) * ↑p
-- Mathlib/Data/Nat/Totient.lean
n : ℕ
hn : ¬n = 0
hn' : ↑n ≠ 0
hpQ : ∏ p ∈ n.primeFactors, ↑p ≠ 0
p : ℕ
hp✝ : p ∈ n.primeFactors
hp : 0 < p
hp' : ↑p ≠ 0

⊢ ↑(p - 1) = (1 - (↑p)⁻¹) * ↑p
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι✝ : Type u
s✝ : Finset ι✝
ι : Type u_1
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i

⊢ (∏ i ∈ s, z i ^ w i) ^ (∑ i ∈ s, w i)⁻¹ ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i) / ∑ i ∈ s, w i
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι✝ : Type u
s✝ : Finset ι✝
ι : Type u_1
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i

⊢ (∏ i ∈ s, z i ^ w i) ^ (∑ i ∈ s, w i)⁻¹ = ∏ i ∈ s, z i ^ (w i / ∑ i ∈ s, w i)
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι✝ : Type u
s✝ : Finset ι✝
ι : Type u_1
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i

⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) / ∑ i ∈ s, w i = ∑ i ∈ s, (w i / ∑ i ∈ s, w i) * z i
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι✝ : Type u
s✝ : Finset ι✝
ι : Type u_1
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i

⊢ ∀ i ∈ s, 0 ≤ (fun i => w i / ∑ i ∈ s, w i) i
-- Mathlib/Analysis/MeanInequalities.lean
ι✝ : Type u
s✝ : Finset ι✝
ι : Type u_1
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : 0 < ∑ i ∈ s, w i
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i

⊢ ∑ i ∈ s, (fun i => w i / ∑ i ∈ s, w i) i = 1
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : AList β
h : s₁.Disjoint s₂
x✝ : α
y✝ : β x✝

⊢ y✝ ∈ dlookup x✝ (s₁ ∪ s₂).entries ↔ y✝ ∈ dlookup x✝ (s₂ ∪ s₁).entries
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : AList β
h : s₁.Disjoint s₂
x✝ : α
y✝ : β x✝

⊢ dlookup x✝ s₁.entries = some y✝ ∨ x✝ ∉ s₁.entries.keys ∧ dlookup x✝ s₂.entries = some y✝ ↔ dlookup x✝ s₂.entries = some y✝ ∨ x✝ ∉ s₂.entries.keys ∧ dlookup x✝ s₁.entries = some y✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ

⊢ f.measure (Ico a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - leftLim (↑f) a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : b ≤ a

⊢ f.measure (Ico a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - leftLim (↑f) a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
hab : a < b

⊢ f.measure (Ico a b) = ofReal (leftLim (↑f) b - leftLim (↑f) a)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s

⊢ MeasurableSet {p | p.1 ∈ s ∧ p.2 ∈ Ico (f p.1) (g p.1)}
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
α : Type u_1
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f g : α → ℝ
s : Set α
hf : Measurable f
hg : Measurable g
hs : MeasurableSet s

⊢ MeasurableSet ({a | a.1 ∈ s} ∩ {a | a.2 ∈ {a_1 | f a.1 ≤ a_1} ∩ {a_1 | a_1 < g a.1}})
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedCommRing 𝕜
inst✝² : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x, y]
s t : 𝕜
hs : s ≠ t
c : E

⊢ [c + x-[𝕜]c + t • y] ∩ [c + x-[𝕜]c + s • y] = {c + x}
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedCommRing 𝕜
inst✝² : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x, y]
s t : 𝕜
hs : s ≠ t
c : E

⊢ LinearIndependent 𝕜 ![c + t • y - (c + x), c + s • y - (c + x)]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedCommRing 𝕜
inst✝² : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x, y]
s t : 𝕜
hs : s ≠ t
c : E

⊢ LinearIndependent 𝕜 ![t • y - x, s • y - x]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedCommRing 𝕜
inst✝² : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x, y]
s t : 𝕜
hs : s ≠ t
c : E

⊢ LinearIndependent 𝕜 ![-1 • x + t • y, -1 • x + s • y]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedCommRing 𝕜
inst✝² : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x, y]
s t : 𝕜
hs : s ≠ t
c : E

⊢ -1 * s - t * -1 ≠ 0
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedCommRing 𝕜
inst✝² : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x, y]
s t : 𝕜
c : E
hs : -1 * s - t * -1 = 0

⊢ s = t
-- Mathlib/Analysis/Convex/Segment.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : OrderedCommRing 𝕜
inst✝² : NoZeroDivisors 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x, y]
s t : 𝕜
c : E
hs : -1 * s - t * -1 = 0

⊢ t = s
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : CompleteLattice α
s : Finset α

⊢ s.sup id = sSup ↑s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Operations.lean
V : Type u_1
inst✝ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
s t : V
h : s ≠ t

⊢ (edge s t).edgeSet = {s(s, t)}
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Int.lean
a : ℤ

⊢ ↑a.natAbs ≤ a ^ 2
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Int.lean
a : ℤ

⊢ ↑a.natAbs ≤ ↑a.natAbs * ↑a.natAbs
-- Mathlib/Algebra/Order/Group/Int.lean
a : ℤ

⊢ a.natAbs ≤ a.natAbs * a.natAbs