ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.90392, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁

⊢ ShortComplex.mk ((F.shift n₁).map T.invRotate.mor₁) ((F.shift n₁).map T.invRotate.mor₂) ⋯ ≅ ShortComplex.mk (F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h) ((F.shift n₁).map T.mor₁) ⋯
-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/HomologicalFunctor.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹⁶ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹⁵ : HasZeroObject C
inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ
inst✝¹³ : Preadditive C
inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝¹¹ : Pretriangulated C
inst✝¹⁰ : Category.{?u.90392, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroObject D
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : Preadditive D
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated D
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_3} A
inst✝³ : Abelian A
F : C ⥤ A
inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological
inst✝ : F.ShiftSequence ℤ
T T' : Triangle C
hT : T ∈ distinguishedTriangles
hT' : T' ∈ distinguishedTriangles
φ : T ⟶ T'
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁

⊢ (-(F.shiftIso (-1) n₁ n₀ ⋯).hom.app T.obj₃) ≫ F.homologySequenceδ T n₀ n₁ h = (F.shift n₁).map (-(shiftFunctor C (-1)).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorCompIsoId C 1 (-1) ⋯).hom.app T.obj₁) ≫ 𝟙 ((F.shift n₁).obj T.obj₁)
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive

⊢ (x ∪ y).IsTransitive
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive

⊢ (⋃₀ {x, y}).IsTransitive
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive

⊢ ∀ z ∈ {x, y}, z.IsTransitive
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
z✝ : ZFSet

⊢ z✝ ∈ {x, y} → z✝.IsTransitive
-- Mathlib/SetTheory/ZFC/Ordinal.lean
x y z : ZFSet
hx : x.IsTransitive
hy : y.IsTransitive
z✝ : ZFSet

⊢ z✝ = x ∨ z✝ = y → z✝.IsTransitive
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j

⊢ ((s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ PInfty.f i) ≫ K[X].d i j = ((s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j]))) ≫ (s.cofan (op [j])).inj (IndexSet.id (op [j])) ≫ PInfty.f j
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ

⊢ (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n = 𝟙 (s.N n) ≫ ((s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n) ≫ PInfty.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j

⊢ s.πSummand (IndexSet.id (op [i])) ≫ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j]))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j

⊢ s.πSummand (IndexSet.id (op [i])) ≫ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = (𝟙 (K[X].X i) ≫ K[X].d i j) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j]))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j

⊢ s.πSummand (IndexSet.id (op [i])) ≫ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i])) ≫ K[X].d i j ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = ((∑ A : IndexSet (op [i]), s.πSummand A ≫ (s.cofan (op [i])).inj A) ≫ K[X].d i j) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j]))
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j

⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ IndexSet.id (op [i]) → ((s.πSummand b ≫ (s.cofan (op [i])).inj b) ≫ K[X].d i j) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
i j : ℕ
x✝ : (ComplexShape.down ℕ).Rel i j

⊢ IndexSet.id (op [i]) ∉ Finset.univ → ((s.πSummand (IndexSet.id (op [i])) ≫ (s.cofan (op [i])).inj (IndexSet.id (op [i]))) ≫ K[X].d i j) ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [j])) = 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ

⊢ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) = PInfty.f n ≫ s.πSummand (IndexSet.id (op [n])) ≫ 𝟙 (s.N n)
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ

⊢ ({ f := { f := fun n => (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n, comm' := ⋯ }, comm := ⋯ } ≫ { f := { f := fun n => s.πSummand (IndexSet.id (op [n])), comm' := ⋯ }, comm := ⋯ }).f.f n = (𝟙 ((toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).obj s.nondegComplex)).f.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ

⊢ 𝟙 (summand s.N (op [n]) (IndexSet.id (op [n]))) = (𝟙 ((toKaroubi (ChainComplex C ℕ)).obj s.nondegComplex)).f.f n
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.75295, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
n : ℕ

⊢ ({ f := { f := fun n => s.πSummand (IndexSet.id (op [n])), comm' := ⋯ }, comm := ⋯ } ≫ { f := { f := fun n => (s.cofan (op [n])).inj (IndexSet.id (op [n])) ≫ PInfty.f n, comm' := ⋯ }, comm := ⋯ }).f.f n = (𝟙 (N₁.obj X)).f.f n
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/NewtonIdentities.lean
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R

⊢ ∑ t ∈ filter (fun t => t.1.card = a.1) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k), f t = ∑ A ∈ powersetCard a.1 univ, ∑ j : σ, f (A, j)
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/NewtonIdentities.lean
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R

⊢ ∀ (p : Finset σ × σ), p ∈ filter (fun t => t.1.card = a.1) (MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k) ↔ p.1 ∈ powersetCard a.1 univ ∧ p.2 ∈ univ
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/NewtonIdentities.lean
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R

⊢ ∀ (p : Finset σ × σ), p.1.card = a.1 → p ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/NewtonIdentities.lean
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R
p : Finset σ × σ
hp : p.1.card = a.1

⊢ p ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/NewtonIdentities.lean
σ : Type u_1
inst✝² : Fintype σ
inst✝¹ : DecidableEq σ
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
k : ℕ
a : ℕ × ℕ
ha : a ∈ filter (fun a => a.1 < k) (antidiagonal k)
f : Finset σ × σ → MvPolynomial σ R
p : Finset σ × σ
hp : p.1.card = a.1
this : p.1.card ≤ k

⊢ p ∈ MvPolynomial.NewtonIdentities.pairs σ k
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
inst✝ : Countable ι'
x : ι' → Set α

⊢ (⨅ i, 𝓟 (x i)).IsCountablyGenerated
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
inst✝ : Countable ι'
x : ι' → Set α

⊢ ⨅ i, 𝓟 (x i) = generate (range x)
-- Mathlib/Topology/Instances/ENNReal.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
a b : ℝ
h : a ≤ b

⊢ Metric.diam (Ico a b) = b - a
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ ≠ p₂

⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₁ ≠ p₂ ∨ p₃ ≠ p₂

⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ ≠ 0

⊢ Real.sin (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₂ / dist p₁ p₃
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Inverse.lean
x✝ y x : ℝ
hx₁ : -1 ≤ x
hx₂ : x ≤ 1

⊢ sin (arccos x) = √(1 - x ^ 2)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
p : α × β → Prop
hp : ∀ᶠ (x : α × β) in atTop, p x

⊢ ∀ᶠ (k : α) in atTop, ∀ᶠ (l : β) in atTop, p (k, l)
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
p : α × β → Prop
hp : ∀ᶠ (x : α × β) in atTop ×ˢ atTop, p x

⊢ ∀ᶠ (k : α) in atTop, ∀ᶠ (l : β) in atTop, p (k, l)
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
I : Ideal R
f : R →ₗ[R] M
y : R
hy : y ∈ ↑I

⊢ f y ∈ I • ⊤
-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
R : Type u
M : Type v
M' : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
I✝ J : Ideal R
N P : Submodule R M
I : Ideal R
f : R →ₗ[R] M
y : R
hy : y ∈ ↑I

⊢ y • f 1 ∈ I • ⊤
-- Mathlib/RingTheory/FreeCommRing.lean
α : Type u
R : Type v
inst✝ : CommRing R
f✝ : α → R
f : FreeCommRing α →+* R
x : FreeCommRing α

⊢ (lift (⇑f ∘ of)) (-1) = f (-1)
-- Mathlib/RingTheory/FreeCommRing.lean
α : Type u
R : Type v
inst✝ : CommRing R
f✝ : α → R
f : FreeCommRing α →+* R
x✝ x y : FreeCommRing α
ihx : (lift (⇑f ∘ of)) x = f x
ihy : (lift (⇑f ∘ of)) y = f y

⊢ (lift (⇑f ∘ of)) (x + y) = f (x + y)
-- Mathlib/RingTheory/FreeCommRing.lean
α : Type u
R : Type v
inst✝ : CommRing R
f✝ : α → R
f : FreeCommRing α →+* R
x✝ x y : FreeCommRing α
ihx : (lift (⇑f ∘ of)) x = f x
ihy : (lift (⇑f ∘ of)) y = f y

⊢ (lift (⇑f ∘ of)) (x * y) = f (x * y)
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
a : Set α
h : d.Has aᶜ

⊢ d.Has a
-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
K : Type u_4
A : Type u_5
A' : Type u_6
A'' : Type u_7
V : Type u
V' : Type u_8
x : ι → A
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing A'
inst✝³ : CommRing A''
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra R A'
inst✝ : Algebra R A''
a b : R
t s : Set A
h : t ⊆ s
hx : AlgebraicIndependent R Subtype.val

⊢ AlgebraicIndependent R Subtype.val
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace α
f g : α →ₛ β

⊢ ↑(piecewise ∅ ⋯ f g) = ↑g
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
i : D.J
U : Opens ↑(D.U i)

⊢ IsOpen (⇑(D.ι i) '' ↑U)
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
i : D.J
U : Opens ↑(D.U i)

⊢ ∀ (i_1 : D.J), IsOpen (⇑(D.ι i_1) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' ↑U))
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
i : D.J
U : Opens ↑(D.U i)
j : D.J

⊢ IsOpen (⇑(D.ι j) ⁻¹' (⇑(D.ι i) '' ↑U))
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
i : D.J
U : Opens ↑(D.U i)
j : D.J

⊢ IsOpen (⇑(D.f j i) '' (⇑(D.t j i ≫ D.f i j) ⁻¹' ↑U))
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
i : D.J
U : Opens ↑(D.U i)
j : D.J

⊢ IsOpen (⇑(D.t j i ≫ D.f i j) ⁻¹' ↑U)
-- Mathlib/Topology/Gluing.lean
D : GlueData
i : D.J
U : Opens ↑(D.U i)
j : D.J

⊢ IsOpen ↑U
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
I J : WithBot (Box ι)

⊢ Disjoint ↑I ↑J ↔ Disjoint I J
-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Box/Basic.lean
ι : Type u_1
I✝ J✝ : Box ι
x y : ι → ℝ
I J : WithBot (Box ι)

⊢ ↑I ⊓ ↑J ≤ ⊥ ↔ ↑I ∩ ↑J ⊆ ↑⊥
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/MeasureSpaceDef.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t : Set α
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ₁ s = μ₂ s

⊢ μ₁.toOuterMeasure = μ₂.toOuterMeasure
-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/Basic.lean
K : Type u
inst✝⁴ : CommRing K
inst✝³ : IsDomain K
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
inst✝¹ : DistribMulAction R K[X]
inst✝ : IsScalarTower R K[X] K[X]
c : R
p q : K[X]

⊢ (algebraMap K[X] (RatFunc K)) (c • p) / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q = c • ((algebraMap K[X] (RatFunc K)) p / (algebraMap K[X] (RatFunc K)) q)
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝¹ : Field K
A✝ A : ValuationSubring K
P : Ideal ↥A
inst✝ : P.IsPrime

⊢ A.idealOfLE (A.ofPrime P) ⋯ = P
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝¹ : Field K
A✝ A : ValuationSubring K
P : Ideal ↥A
inst✝ : P.IsPrime
x : ↥A

⊢ x ∈ A.idealOfLE (A.ofPrime P) ⋯ ↔ x ∈ P
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝¹ : Field K
A✝ A : ValuationSubring K
P : Ideal ↥A
inst✝ : P.IsPrime
x : ↥A

⊢ optParam (LocalRing ↥(A.ofPrime P)) ⋯
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a✝ b✝ c a b : ℍ[R]

⊢ normSq (a + b) = normSq a + (a * star b).re + ((b * star a).re + normSq b)
-- Mathlib/Algebra/Quaternion.lean
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a✝ b✝ c a b : ℍ[R]

⊢ normSq a + normSq b + ((a * star b).re + (b * star a).re) = normSq a + normSq b + 2 * (a * star b).re
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s

⊢ (fun h => f (x + h • v + h • w) - f (x + h • v) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w) =o[𝓝[>] 0] fun h => h ^ 2
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε

⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] 0, ‖f (x + x_1 • v + x_1 • w) - f (x + x_1 • v) - x_1 • (f' x) w - x_1 ^ 2 • (f'' v) w - (x_1 ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * x_1 ^ 2‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε

⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] 0, ‖f (x + x_1 • v + x_1 • w) - f (x + x_1 • v) - x_1 • (f' x) w - x_1 ^ 2 • (f'' v) w - (x_1 ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * x_1 ^ 2‖
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}

⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] 0, ‖f (x + x_1 • v + x_1 • w) - f (x + x_1 • v) - x_1 • (f' x) w - x_1 ^ 2 • (f'' v) w - (x_1 ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * x_1 ^ 2‖
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E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
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s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ

⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] 0, ‖f (x + x_1 • v + x_1 • w) - f (x + x_1 • v) - x_1 • (f' x) w - x_1 ^ 2 • (f'' v) w - (x_1 ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * x_1 ^ 2‖
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E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
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s : Set E
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f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
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hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1

⊢ ∀ᶠ (x_1 : ℝ) in 𝓝[>] 0, ‖f (x + x_1 • v + x_1 • w) - f (x + x_1 • v) - x_1 • (f' x) w - x_1 ^ 2 • (f'' v) w - (x_1 ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * x_1 ^ 2‖
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E : Type u_1
F : Type u_2
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f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
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hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : h ∈ Ioi 0

⊢ ‖f (x + h • v + h • w) - f (x + h • v) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * h ^ 2‖
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E : Type u_1
F : Type u_2
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s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
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hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h

⊢ ‖f (x + h • v + h • w) - f (x + h • v) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * h ^ 2‖
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E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x_1 : E) in 𝓝[interior s] x, ‖f' x_1 - f' x - f'' (x_1 - x)‖ ≤ c * ‖x_1 - x‖
v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ t ∈ Icc 0 1, x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s

⊢ ‖f (x + h • v + h • w) - f (x + h • v) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * h ^ 2‖
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E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
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v w : E
hv : x + v ∈ interior s
hw : x + v + w ∈ interior s
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : δ > 0
sδ : Metric.ball x δ ∩ interior s ⊆ {x_1 | (fun x_2 => ‖f' x_2 - f' x - f'' (x_2 - x)‖ ≤ ε * ‖x_2 - x‖) x_1}
E1 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
E2 : ∀ᶠ (h : ℝ) in 𝓝[>] 0, h < 1
h : ℝ
hδ : h * (‖v‖ + ‖w‖) < δ
h_lt_1 : h < 1
hpos : 0 < h
xt_mem : ∀ t ∈ Icc 0 1, x + h • v + (t * h) • w ∈ interior s
g : ℝ → F := fun t => f (x + h • v + (t * h) • w) - (t * h) • (f' x) w - (t * h ^ 2) • (f'' v) w - ((t * h) ^ 2 / 2) • (f'' w) w
g' : ℝ → F := fun t => (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w
hg' : g' = fun t => (f' (x + h • v + (t * h) • w)) (h • w) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (t * h ^ 2) • (f'' w) w
g_deriv : ∀ t ∈ Icc 0 1, HasDerivWithinAt g (g' t) (Icc 0 1) t

⊢ ‖f (x + h • v + h • w) - f (x + h • v) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' v) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w‖ ≤ ε * ‖(‖v‖ + ‖w‖) * ‖w‖ * h ^ 2‖