ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
y : 𝕜
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t

⊢ derivWithin f s x = derivWithin f t x
-- Mathlib/Data/ENNReal/Inv.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

⊢ ⊤ / a = if a = ⊤ then 0 else ⊤
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : α → β
h : Tendsto u atTop atTop
a : α
b : β

⊢ ∃ a' ≥ a, b < u a'
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : α → β
h : Tendsto u atTop atTop
a : α
b b' : β
hb' : b < b'

⊢ ∃ a' ≥ a, b < u a'
-- Mathlib/Order/Filter/AtTopBot.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : NoMaxOrder β
u : α → β
h : Tendsto u atTop atTop
a : α
b b' : β
hb' : b < b'
a' : α
ha' : a' ≥ a
ha'' : b' ≤ u a'

⊢ ∃ a' ≥ a, b < u a'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
x : M × M₂

⊢ x ∈ range (inl R M M₂) ↔ x ∈ ker (snd R M M₂)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
S : Type u_3
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring S
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₅
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₆
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Module R M₃
inst✝² : Module R M₄
inst✝¹ : Module R M₅
inst✝ : Module R M₆
f : M →ₗ[R] M₂
x : M × M₂

⊢ (∃ y, (inl R M M₂) y = x) ↔ (snd R M M₂) x = 0
-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/Basic.lean
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
x y z : α
ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s t : Set α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
u : β → α
a : α

⊢ (∀ (ib : ℝ≥0∞), 0 < ib → ∃ ia, True ∧ ∀ x ∈ Ici ia, u x ∈ ball a ib) ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, edist (u n) a < ε
-- Mathlib/Algebra/Star/Unitary.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : GroupWithZero R
inst✝ : StarMul R
U₁ U₂ : ↥(unitary R)

⊢ ↑(U₁ / U₂) = ↑U₁ / ↑U₂
-- Mathlib/Topology/Sober.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
x y : α
S U Z : Set α
h : IsGenericPoint x S
f : α → β
hf : Continuous f

⊢ IsGenericPoint (f x) (closure (f '' S))
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x✝ : K

⊢ x✝ ∈ A.valuation.valuationSubring ↔ x✝ ∈ A
-- Mathlib/RingTheory/Valuation/ValuationSubring.lean
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
x✝ : K

⊢ x✝ ∈ A.valuation.valuationSubring ↔ A.valuation x✝ ≤ 1
-- Mathlib/Data/List/AList.lean
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : List (Sigma β)

⊢ lookup a s.toAList = dlookup a s
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/AdicValuation.lean
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
K : Type u_2
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
k : K

⊢ Valued.v (↑K k) = v.valuation k
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R I J X Y : Set α
N M' : Matroid α
h : M ≤r M'
h' : M' ≤r M

⊢ M = M'
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R V
h : Homotopy f g
a : R
i j : ι
hij : ¬c.Rel j i

⊢ a • h.hom i j = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R V
h : Homotopy f g
a : R
i : ι

⊢ a • f.f i = (C.dFrom i ≫ (fromNext i) fun i j => a • h.hom i j) + ((toPrev i) fun i j => a • h.hom i j) ≫ D.dTo i + a • g.f i
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R V
h : Homotopy f g
a : R
i : ι

⊢ a • ((dNext i) h.hom + (prevD i) h.hom + g.f i) = (C.dFrom i ≫ (fromNext i) fun i j => a • h.hom i j) + ((toPrev i) fun i j => a • h.hom i j) ≫ D.dTo i + a • g.f i
-- Mathlib/Algebra/Homology/Homotopy.lean
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
R : Type u_2
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Linear R V
h : Homotopy f g
a : R
i : ι

⊢ a • (C.dFrom i ≫ h.hom (c.next i) i + h.hom i (c.prev i) ≫ D.dTo i + g.f i) = C.dFrom i ≫ (a • h.hom (c.next i) i) + (a • h.hom i (c.prev i)) ≫ D.dTo i + a • g.f i
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0

⊢ dual A K I ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)

⊢ dual A K I ≠ 0
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)

⊢ (algebraMap B L) b ∈ dual A K I
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)

⊢ ∀ a ∈ I, ((traceForm K L) ((algebraMap B L) b)) a ∈ (algebraMap A K).range
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)
a : L
ha : a ∈ I

⊢ ((traceForm K L) ((algebraMap B L) b)) a ∈ (algebraMap A K).range
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)
a : L
ha : a ∈ I

⊢ IsIntegral A (((traceForm K L) ((algebraMap B L) b)) a)
-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁸ : CommRing A
inst✝¹⁷ : Field K
inst✝¹⁶ : CommRing B
inst✝¹⁵ : Field L
inst✝¹⁴ : Algebra A K
inst✝¹³ : Algebra B L
inst✝¹² : Algebra A B
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : IsScalarTower A B L
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁴ : IsFractionRing B L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsDedekindDomain B
I J : FractionalIdeal B⁰ L
hI : I ≠ 0
hJ : J ≠ 0
b : B
hb : b ∈ B⁰
hb' : ∀ b_1 ∈ ↑I, IsInteger B (b • b_1)
a : L
ha : a ∈ I

⊢ IsIntegral A (((lmul K L).toLinearMap ((algebraMap B L) b)) a)
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E

⊢ ContDiffOn ℝ ⊤ (stereoToFun v) {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E

⊢ ContDiffOn ℝ ⊤ (fun x => 2 / (1 - ((innerSL ℝ) v) x)) {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E

⊢ ContDiffOn ℝ ⊤ (fun x => 1 - ((innerSL ℝ) v) x) {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}
-- Mathlib/Geometry/Manifold/Instances/Sphere.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v : E

⊢ ∀ x ∈ {x | ((innerSL ℝ) v) x ≠ 1}, 1 - ((innerSL ℝ) v) x ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
m n : ℕ

⊢ |↑m / ↑n - ↑(round (↑m / ↑n))| = ↑(min (m % n) (n - m % n)) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
m : ℕ

⊢ |↑m / ↑0 - ↑(round (↑m / ↑0))| = ↑(min (m % 0) (0 - m % 0)) / ↑0
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
m n : ℕ
hn : n > 0

⊢ |↑m / ↑n - ↑(round (↑m / ↑n))| = ↑(min (m % n) (n - m % n)) / ↑n
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
m n : ℕ
hn : n > 0
hn' : 0 < ↑n

⊢ |↑m / ↑n - ↑(round (↑m / ↑n))| = ↑(min (m % n) (n - m % n)) / ↑n
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
x : F
hx : ¬x = 0

⊢ IsSolvable (X ^ n - C x).Gal
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
x : F
hx : ¬x = 0

⊢ Splits (algebraMap F (X ^ n - C x).SplittingField) (X ^ n - 1)
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
x : F
hx : ¬x = 0

⊢ IsSolvable (X ^ n - 1).Gal
-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
n : ℕ
x : F
hx : ¬x = 0

⊢ IsSolvable (Polynomial.map (algebraMap F (X ^ n - 1).SplittingField) (X ^ n - C x)).Gal
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
f : α → β
s t : Set α
inst✝ : BooleanAlgebra α
S : Set α

⊢ compl '' (compl '' S) = S
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntervalIntegral.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure ℝ
f : ℝ → E
hfi : Integrable f volume

⊢ HasSum (fun n => ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, f (x + ↑n)) (∫ (x : ℝ), f x)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : Independent p

⊢ Function.Injective ⇑((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0

⊢ Function.Injective ⇑((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype)
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0

⊢ LinearMap.ker ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) = ⊥
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0

⊢ ∀ (m : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) m = 0 → m = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0
m : Π₀ (i : ι), ↥(p i)
hm : ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) m = 0
i : ι

⊢ m i = 0 i
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0
m : Π₀ (i : ι), ↥(p i)
hm : ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) m = 0
i : ι

⊢ -m i = 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/DFinsupp.lean
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
M : ι → Type u_4
N : Type u_5
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : ι → Submodule R N
h : ∀ (i : ι) (x : ↥(p i)) (v : Π₀ (i : ι), ↥(p i)), ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i v) = ↑x → x = 0
m : Π₀ (i : ι), ↥(p i)
hm : ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) m = 0
i : ι

⊢ ((lsum ℕ) fun i => (p i).subtype) (erase i m) = ↑(-m i)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝² : HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
inst✝¹ : H.Additive
inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m

⊢ (H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯) ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ + H.map ((snd φ).v n n ⋯) ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n) ≫ ((↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ H.map ((inl φ).v m n ⋯) + (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ H.map ((inr φ).f n)) = 𝟙 (((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).obj (mappingCone φ)).X n)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝² : HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
inst✝¹ : H.Additive
inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m

⊢ H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯ ≫ (inl φ).v m n ⋯ + (snd φ).v n n ⋯ ≫ (inr φ).f n) = 𝟙 (H.obj ((mappingCone φ).X n))
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝² : HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
inst✝¹ : H.Additive
inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m

⊢ H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯ ≫ (inl φ).v m n ⋯ + (snd φ).v n n ⋯ ≫ (inr φ).f n) = H.map (𝟙 ((mappingCone φ).X n))
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝² : HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
inst✝¹ : H.Additive
inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m

⊢ (↑(fst φ)).v n m ⋯ ≫ (inl φ).v m n ⋯ + (snd φ).v n n ⋯ ≫ (inr φ).f n = 𝟙 ((mappingCone φ).X n)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝² : HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
inst✝¹ : H.Additive
inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m

⊢ ((↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ H.map ((inl φ).v m n ⋯) + (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ H.map ((inr φ).f n)) ≫ (H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯) ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ + H.map ((snd φ).v n n ⋯) ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n) = 𝟙 ((mappingCone ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).X n)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/MappingCone.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝² : HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
inst✝¹ : H.Additive
inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m

⊢ (↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ + (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ H.map 0 ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ + ((↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ H.map 0 ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n + (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n) = 𝟙 ((mappingCone ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).X n)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))

⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), F x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
this : Monotone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ

⊢ Tendsto (fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (x : α), F x ∂μ))
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
this : Monotone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ

⊢ ∫⁻ (x : α), F x ∂μ = ⨆ n, ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
this : Monotone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ

⊢ ∫⁻ (x : α), F x ∂μ = ∫⁻ (a : α), ⨆ n, f n a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
F : α → ℝ≥0∞
hf : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Monotone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
this : Monotone fun n => ∫⁻ (x : α), f n x ∂μ

⊢ F =ᶠ[ae μ] fun a => ⨆ n, f n a
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Defs.lean
p : ℕ
R : Type u_1
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CommRing R

⊢ (aeval (Function.uncurry fun i => (![] i).coeff)) (wittOne p 0) = 1
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Basic.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
hs : f₁ =ᶠ[𝓝[s] x] f
hx : f₁ x = f x

⊢ (fderivWithin 𝕜 f₁ s x) 1 = (fderivWithin 𝕜 f s x) 1
-- Mathlib/Algebra/QuadraticDiscriminant.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
a b c x : R
h : a * x * x + b * x + c = 0

⊢ b ^ 2 - 4 * a * c = (2 * a * x + b) ^ 2
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a✝ : α
b✝ : β
a : α
b : β

⊢ {a} ×ˢ {b} = {(a, b)}
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
ι : Type u_4
p : ι → Submodule R M
m : M
hm : m ∈ ⨆ i, p i

⊢ ∃ s, m ∈ ⨆ i ∈ s, p i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Finsupp.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
ι : Type u_4
p : ι → Submodule R M
m : M
hm : m ∈ ⨆ i, p i
this : span R {m} ≤ ⨆ i, p i → ∃ s, span R {m} ≤ ⨆ i ∈ s, p i

⊢ ∃ s, m ∈ ⨆ i ∈ s, p i