ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → γ
k : γ → β
h : ∀ x ∈ s, ¬p x

⊢ ∏ x ∈ s, k (if p x then f x else g x) = ∏ x ∈ s, k (g x)
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : CommMonoid β
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
f g : α → γ
k : γ → β
h : ∀ x ∈ s, ¬p x

⊢ (∏ x ∈ s, if p x then k (f x) else k (g x)) = ∏ x ∈ s, k (g x)
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplexLimits.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.43710, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.43714, u_3} J
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (n : ι), HasColimit (F ⋙ eval C c n)
n m : ι
h : ¬c.Rel n m
j : J

⊢ colimit.ι (F ⋙ eval C c n) j ≫ (fun n m => colimMap { app := fun j => (F.obj j).d n m, naturality := ⋯ }) n m = colimit.ι (F ⋙ eval C c n) j ≫ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplexLimits.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.43710, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.43714, u_3} J
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (n : ι), HasColimit (F ⋙ eval C c n)
n m : ι
h : ¬c.Rel n m
j : J

⊢ { app := fun j => (F.obj j).d n m, naturality := ⋯ }.app j ≫ colimit.ι (F ⋙ eval C c m) j = colimit.ι (F ⋙ eval C c n) j ≫ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplexLimits.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.43710, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.43714, u_3} J
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (n : ι), HasColimit (F ⋙ eval C c n)
n m : ι
h : ¬c.Rel n m
j : J

⊢ (F.obj j).d n m ≫ colimit.ι (F ⋙ eval C c m) j = colimit.ι (F ⋙ eval C c n) j ≫ 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologicalComplexLimits.lean
C : Type u_1
ι : Type u_2
J : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.43710, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.43714, u_3} J
c : ComplexShape ι
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
F : J ⥤ HomologicalComplex C c
inst✝ : ∀ (n : ι), HasColimit (F ⋙ eval C c n)
i j : J
φ : i ⟶ j
n : ι

⊢ (F.map φ).f n ≫ colimit.ι (F ⋙ eval C c n) j = colimit.ι (F ⋙ eval C c n) i ≫ 𝟙 (colimit (F ⋙ eval C c n))
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
inst✝⁵ : PolishSpace X
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : BorelSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : T0Space Y
inst✝ : SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Continuous f
hsurj : Surjective f
this✝¹ : MeasurableSpace Y := borel Y
this✝ : BorelSpace Y

⊢ MeasurableSpace.map f inst✝⁴ = borel Y
-- Mathlib/GroupTheory/Index.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
h : H.index = 2
a : G

⊢ a * a ∈ H
-- Mathlib/Data/List/Sublists.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l : List α

⊢ l.sublists = map reverse l.reverse.sublists'
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ

⊢ ⌊↑n / ↑d⌋ = n / ↑d
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ

⊢ (↑n / ↑d).num / ↑(↑n / ↑d).den = n / ↑d
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ

⊢ (↑n / ↑0).num / ↑(↑n / ↑0).den = n / ↑0
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ
hd : 0 < d

⊢ (↑n / ↑d).num / ↑(↑n / ↑d).den = n / ↑d
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ
hd : 0 < d
q : ℚ := ↑n / ↑d
q_eq : q = ↑n / ↑d

⊢ q.num / ↑q.den = n / ↑d
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ
hd : 0 < d
q : ℚ := ↑n / ↑d
q_eq : q = ↑n / ↑d
c : ℤ
n_eq_c_mul_num : n = c * q.num
d_eq_c_mul_denom : ↑d = c * ↑q.den

⊢ q.num / ↑q.den = n / ↑d
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ
hd : 0 < d
q : ℚ := ↑n / ↑d
q_eq : q = ↑n / ↑d
c : ℤ
n_eq_c_mul_num : n = c * q.num
d_eq_c_mul_denom : ↑d = c * ↑q.den

⊢ q.num / ↑q.den = c * q.num / (c * ↑q.den)
-- Mathlib/Data/Rat/Floor.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : FloorRing α
n : ℤ
d : ℕ
hd : 0 < d
q : ℚ := ↑n / ↑d
q_eq : q = ↑n / ↑d
c : ℤ
n_eq_c_mul_num : n = c * q.num
d_eq_c_mul_denom : ↑d = c * ↑q.den

⊢ 0 < c * ↑q.den
-- Mathlib/Data/Finset/Powerset.lean
α : Type u_1
s t✝ : Finset α
n : ℕ
t : Finset α
val✝ : Multiset α
nodup✝ : val✝.Nodup

⊢ { val := val✝, nodup := nodup✝ } ∈ powersetCard n t ↔ { val := val✝, nodup := nodup✝ } ⊆ t ∧ { val := val✝, nodup := nodup✝ }.card = n
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2

⊢ dist p1 p3 = |dist p1 p2 - dist p3 p2| ↔ ∠ p1 p2 p3 = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2

⊢ ‖p1 -ᵥ ?p₃ - (p3 -ᵥ ?p₃)‖ = |‖p1 -ᵥ p2‖ - ‖p3 -ᵥ p2‖| ↔ ∠ p1 p2 p3 = 0
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁ p₂ p1 p2 p3 : P
hp1p2 : p1 ≠ p2
hp3p2 : p3 ≠ p2

⊢ P
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Asymptotics.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝¹ : atTop.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : OrderBot α
hf : LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[atTop] g
hg : IntegrableAtFilter g atTop μ

⊢ Integrable f μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Asymptotics.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
f : α → E
g : α → F
a b : α
μ : Measure α
l : Filter α
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : CompactIccSpace α
g' : α → F
inst✝¹ : atTop.IsMeasurablyGenerated
inst✝ : OrderBot α
hf : LocallyIntegrable f μ
ho : f =O[atTop] g
hg : IntegrableAtFilter g atTop μ

⊢ StronglyMeasurableAtFilter f atTop μ
-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
β✝ : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
f✝ : Ω → β✝
g : Ω → β'
β : ι → Type u_8
m : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
f : (i : ι) → Ω → β i
inst✝ : IsMarkovKernel κ
hf_Indep : iIndepFun m f κ μ
hf_meas : ∀ (i : ι), Measurable (f i)
i j k : ι
hik : i ≠ k
hjk : j ≠ k

⊢ IndepFun (fun a => (f i a, f j a)) (f k) κ μ
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
hm : p.Monic
hnd : p.natDegree = 1

⊢ p = X + C (p.coeff 0)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Semigroup α
inst✝² : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : MulEquivClass F α β
f✝ : F
a b : α
f : α ≃* β := ↑f✝
h : f✝ a ∣ f✝ b

⊢ a ∣ b
-- Mathlib/Algebra/Ring/Divisibility/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Semigroup α
inst✝² : Semigroup β
F : Type u_3
inst✝¹ : EquivLike F α β
inst✝ : MulEquivClass F α β
f✝ : F
a b : α
f : α ≃* β := ↑f✝
h : f✝ a ∣ f✝ b

⊢ f.invFun (f.toFun a) ∣ f.invFun (f.toFun b)
-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
R : Type u_1
inst✝⁶ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module R E
F : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : Module R F
G : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup G
inst✝ : Module R G
f : E →ₗ.[R] F
hf : LinearMap.ker f.toFun = ⊥

⊢ f.inverse.graph = Submodule.map (LinearEquiv.prodComm R E F) f.graph
-- Mathlib/Analysis/Matrix.lean
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α

⊢ ‖(WithLp.equiv 2 (m → WithLp 2 (n → α))).symm fun i => (WithLp.equiv 2 (n → α)).symm fun j => A i j‖₊ = (∑ i : m, ∑ j : n, ‖A i j‖₊ ^ 2) ^ (1 / 2)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Coeff.lean
R : Type u
S : Type v
a✝ b : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q r : R[X]
a : R

⊢ a • p = C a * p
-- Mathlib/Data/Set/Image.lean
α : Type u_1
s t : Set α

⊢ val ⁻¹' t = ∅ ↔ s ∩ t = ∅
-- Mathlib/Data/Sum/Basic.lean
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : DecidableEq (α ⊕ β)
f : α ⊕ β → γ
i j : β
x : γ

⊢ update f (inr i) x (inr j) = update (f ∘ inr) i x j
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Shift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b p : ℤ

⊢ p + b + a = p + a + b
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Shift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b p : ℤ

⊢ ((shiftFunctorComm (CochainComplex C ℤ) a b).hom.app K).f p = (XIsoOfEq K ⋯).hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Shift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b p : ℤ

⊢ (((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) a b (a + b) ⋯).symm ≪≫ CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) b a (a + b) ⋯).hom.app K).f p = (XIsoOfEq K ⋯).hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Shift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b p : ℤ

⊢ ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) a b (a + b) ⋯).inv.app K).f p ≫ ((CategoryTheory.shiftFunctorAdd' (CochainComplex C ℤ) b a (a + b) ⋯).hom.app K).f p = (XIsoOfEq K ⋯).hom
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Shift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} D
inst✝ : Preadditive D
K : CochainComplex C ℤ
a b p : ℤ

⊢ (XIsoOfEq K ⋯).hom ≫ (XIsoOfEq K ⋯).hom = (XIsoOfEq K ⋯).hom
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/SchurComplement.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix l m α
B : Matrix l n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
inst✝ : Invertible D

⊢ (reindex (Equiv.sumComm l n) (Equiv.sumComm m n)) (fromBlocks A B C D) = (reindex (Equiv.sumComm l n) (Equiv.sumComm m n)) (fromBlocks 1 (B * ⅟D) 0 1 * fromBlocks (A - B * ⅟D * C) 0 0 D * fromBlocks 1 0 (⅟D * C) 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ n, f n a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤

⊢ ∫⁻ (a : α), (⨅ i, f i) a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Antitone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Antitone (aeSeq h_meas p)

⊢ ∫⁻ (a : α), (⨅ i, f i) a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Antitone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Antitone (aeSeq h_meas p)

⊢ ∫⁻ (a : α), (⨅ n, aeSeq h_meas p n) a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Antitone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Antitone (aeSeq h_meas p)

⊢ ∫⁻ (a : α), ⨅ i, aeSeq h_meas p i a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Antitone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Antitone (aeSeq h_meas p)

⊢ ⨅ n, ∫⁻ (a : α), aeSeq h_meas p n a ∂μ = ⨅ n, ∫⁻ (a : α), f n a ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : ℕ → α → ℝ≥0∞
h_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (f n) μ
h_anti : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Antitone fun i => f i a
h_fin : ∫⁻ (a : α), f 0 a ∂μ ≠ ⊤
p : α → (ℕ → ℝ≥0∞) → Prop := fun x f' => Antitone f'
hp : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, p x fun i => f i x
h_ae_seq_mono : Antitone (aeSeq h_meas p)

⊢ ∫⁻ (a : α), aeSeq h_meas p 0 a ∂μ ≠ ⊤
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/GaussSum.lean
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1

⊢ χ ↑u * gaussSum χ e = gaussSum χ e
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/GaussSum.lean
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1

⊢ e.mulShift ↑u = e
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/GaussSum.lean
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1

⊢ e.mulShift (↑u - 1) = 1
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/GaussSum.lean
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1

⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/GaussSum.lean
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : ↑(ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = 1

⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1
-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/GaussSum.lean
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : ↑(ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = 1
this : (ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = ↑↑(↑u).val

⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α

⊢ (ret s).join ~ʷ s
-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace M
inst✝¹² : ChartedSpace H M
inst✝¹¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t✝ : Set M
x✝ : M
m n : ℕ∞
t : Set M'
g : M' → M''
x : M
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
st : MapsTo f s t
hg : ContMDiffWithinAt I' I'' n g t (f x)

⊢ ContMDiffWithinAt I I'' n (g ∘ f) s x
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ : Type
s : σ
f : α → σ × σ → (σ × σ) × β
h : ∀ (x : α) (s : σ), (f x (s, s)).1.1 = (f x (s, s)).1.2

⊢ ∃ R, R (s, s) s ∧ ∀ {s : σ × σ} {q : σ} (a : α), R s q → R (f a s).1 ((f a (q, q)).1.1, (f a (q, q)).2).1 ∧ (f a s).2 = ((f a (q, q)).1.1, (f a (q, q)).2).2
-- Mathlib/Data/Vector/MapLemmas.lean
α : Type u_2
n : ℕ
β : Type u_1
xs : Vector α n
ys : Vector β n
σ : Type
s : σ
f : α → σ × σ → (σ × σ) × β
h : ∀ (x : α) (s : σ), (f x (s, s)).1.1 = (f x (s, s)).1.2

⊢ (match (s, s) with | (s₁, s₂) => s₂ = s ∧ s₁ = s) ∧ ∀ {s : σ × σ} {q : σ} (a : α), (match s with | (s₁, s₂) => s₂ = q ∧ s₁ = q) → (match (f a s).1 with | (s₁, s₂) => s₂ = ((f a (q, q)).1.1, (f a (q, q)).2).1 ∧ s₁ = ((f a (q, q)).1.1, (f a (q, q)).2).1) ∧ (f a s).2 = ((f a (q, q)).1.1, (f a (q, q)).2).2
-- Mathlib/LinearAlgebra/Charpoly/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Charpoly/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0
P : R[X]
hP : minpoly R f = X * P

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Charpoly/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0
P : R[X]
hP : minpoly R f = X * P
hdegP : P.degree < (minpoly R f).degree

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Charpoly/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0
P : R[X]
hP : minpoly R f = X * P
hdegP : P.degree < (minpoly R f).degree
hPmonic : P.Monic

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Charpoly/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0
P : R[X]
hP : minpoly R f = X * P
hdegP : P.degree < (minpoly R f).degree
hPmonic : P.Monic
hzero : (aeval f) (minpoly R f) = 0

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Charpoly/Basic.lean
R : Type u
M : Type v
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Nontrivial R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
f : M →ₗ[R] M
hf : Function.Injective ⇑f
h : (minpoly R f).coeff 0 = 0
P : R[X]
hP : minpoly R f = X * P
hdegP : P.degree < (minpoly R f).degree
hPmonic : P.Monic
hzero : ∀ (x : M), ((aeval f) P) x = 0

⊢ False
-- Mathlib/Data/Finset/Lattice.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : BooleanAlgebra α
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
f : ι → α
a : α

⊢ (s.inf fun b => a \ f b) = a \ s.sup f
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s t : Set α
a b : α
f : ι → α

⊢ sSup (⋃ i, Iic (f i)) = ⨆ i, f i
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s t : Set α
a b : α
f : ι → α

⊢ ∀ x ∈ ⋃ i, Iic (f i), ∃ y ∈ range fun i => f i, x ≤ y
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s t : Set α
a b : α
f : ι → α

⊢ ∀ y ∈ range fun i => f i, ∃ x ∈ ⋃ i, Iic (f i), y ≤ x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s ∩ Ioo a b → p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s → p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s ∩ Ioo a b → p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s → p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s ∩ Ioo a b → p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
A : Set (↑s × ↑s)
A_count : A.Countable
hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s → p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s ∩ Ioo a b → p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
A : Set (↑s × ↑s)
A_count : A.Countable
hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i
M : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∉ s \ u

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s → p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s ∩ Ioo a b → p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
A : Set (↑s × ↑s)
A_count : A.Countable
hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i
M : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∉ s \ u
M' : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, ∀ i ∈ A, x ∈ s ∩ T i → p x

⊢ ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s → p x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/Basic.lean
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ
s : Set ℝ
p : ℝ → Prop
h : ∀ (a b : ℝ), a ∈ s → b ∈ s → a < b → ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∈ s ∩ Ioo a b → p x
T : ↑s × ↑s → Set ℝ := fun p => Ioo ↑p.1 ↑p.2
u : Set ℝ := ⋃ i, T i
hfinite : (s \ u).Finite
A : Set (↑s × ↑s)
A_count : A.Countable
hA : ⋃ i ∈ A, T i = ⋃ i, T i
M : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, x ∉ s \ u
M' : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ, ∀ i ∈ A, x ∈ s ∩ T i → p x
x : ℝ
hx : x ∉ s \ u
h'x : ∀ i ∈ A, x ∈ s ∩ T i → p x

⊢ x ∈ s → p x
-- Mathlib/LinearAlgebra/Isomorphisms.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M

⊢ comap p.subtype (p ⊓ p') ≤ ker (subToSupQuotient p p')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Isomorphisms.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module R M₃
f : M →ₗ[R] M₂
p p' : Submodule R M

⊢ comap p.subtype (p ⊓ p') ≤ comap p.subtype ((p ⊔ p') ⊓ p')