ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)

⊢ ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' \ I ∪ B

⊢ ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ

⊢ ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E

⊢ ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E
e : α
heI : e ∉ I
heB'' : e ∉ B''
heE : e ∈ M.E

⊢ ∃ x ∈ X \ I, (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert x I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E
e : α
heI : e ∉ I
heB'' : e ∉ B''
heE : e ∈ M.E

⊢ e ∈ X \ I ∧ (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (insert e I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E
e : α
heI : e ∉ I
heB'' : e ∉ B''
heE : e ∈ M.E

⊢ e ∈ X ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint (insert e I) B
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E
e : α
heI : e ∉ I
heB'' : e ∉ B''
heE : e ∈ M.E

⊢ Disjoint (insert e I) B''
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
I X : Set α
hIE : I ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : Disjoint I B
hI_not_max : I ∉ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hX_max : X ∈ maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {I | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I}
hXE : X ⊆ M.E
B' : Set α := M.E \ X
hB' : M.Base B'
hX : B' = M.E \ X
hI : ¬M.Base (M.E \ I)
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hB''₁ : B' \ I ⊆ B''
hB''₂ : B'' ⊆ B' ∪ B ∧ I ⊆ B''ᶜ
hssu : I ⊂ B''ᶜ ∩ M.E
e : α
heI : e ∉ I
heB'' : e ∉ B''
heE : e ∈ M.E

⊢ Disjoint I B''
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α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X

⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) Y ∧ I' ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
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α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)

⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) Y ∧ I' ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B

⊢ (maximals (fun x x_1 => x ⊆ x_1) {Y | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) Y ∧ I' ⊆ Y ∧ Y ⊆ X}).Nonempty
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B

⊢ (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) (X \ B' ∩ M.E)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B

⊢ I' ⊆ X ∧ Disjoint I' B'
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B

⊢ ∀ ⦃b : Set α⦄, b ∈ {Y | (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) Y ∧ I' ⊆ Y ∧ Y ⊆ X} → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (X \ B' ∩ M.E) b → (fun x x_1 => x ⊆ x_1) b (X \ B' ∩ M.E)
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B

⊢ ∀ ⦃b : Set α⦄, b ⊆ M.E → ∀ (x : Set α), M.Base x → Disjoint b x → I' ⊆ b → b ⊆ X → X \ B' ∩ M.E ⊆ b → b ⊆ X \ B' ∧ b ⊆ M.E
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X \ B' ∩ M.E ⊆ J

⊢ J ⊆ X \ B' ∧ J ⊆ M.E
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X \ B' ∩ M.E ⊆ J

⊢ J ⊆ X \ B'
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B' ∪ J

⊢ J ⊆ X \ B'
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B' ∪ J
hI' : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B'

⊢ J ⊆ X \ B'
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B' ∪ J
hI' : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B'
B₁ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∩ X ∪ B' \ X ∪ B''

⊢ J ⊆ X \ B'
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B' ∪ J
hI' : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B'
B₁ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∪ B' \ X

⊢ J ⊆ X \ B'
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
B' : Set α
hB' : M.Base B'
hIB' : I ⊆ B'
hB'IB : B' ⊆ I ∪ B
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B' ∪ J
hI' : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B'
B₁ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B' \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∪ B' \ X
this : B₁ = B'

⊢ J ⊆ X \ B'
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
B₁ : Set α
hB₁ hB' : M.Base B₁
hIB' : I ⊆ B₁
hB'IB : B₁ ⊆ I ∪ B
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B₁ ∪ J
hI' hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B₁ \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∪ B₁ \ X

⊢ J ⊆ X \ B₁
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
B₁ : Set α
hB₁ hB' : M.Base B₁
hIB' : I ⊆ B₁
hB'IB : B₁ ⊆ I ∪ B
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B₁ ∪ J
hI' hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B₁ \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∪ B₁ \ X
hne : ¬Disjoint J B₁

⊢ False
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I✝ B✝ X✝ : Set α
M : Matroid α
X I' : Set α
hI'E : I' ⊆ M.E
B : Set α
hB : M.Base B
hI'B : Disjoint I' B
hI'X : I' ⊆ X
I : Set α
hI : M.Basis I (M.E \ X)
J : Set α
hJE : J ⊆ M.E
B'' : Set α
hB'' : M.Base B''
hdj : Disjoint J B''
a✝ : I' ⊆ J
hJX : J ⊆ X
B₁ : Set α
hB₁ hB' : M.Base B₁
hIB' : I ⊆ B₁
hB'IB : B₁ ⊆ I ∪ B
hssJ : X ∩ M.E ⊆ B₁ ∪ J
hI' hI'B₁ : B'' ∩ X ∪ B₁ \ X ⊆ B₁
hB₁I : B₁ ⊆ B'' ∪ B₁ \ X
hne : ¬Disjoint J B₁
e : α
heJ : e ∈ J
heB' : e ∈ B₁

⊢ False
-- Mathlib/Data/Matroid/Dual.lean
α : Type u_1
M✝ : Matroid α
I B X : Set α
M : Matroid α

⊢ ∀ (I : Set α), (fun I => I ⊆ M.E ∧ ∃ B, M.Base B ∧ Disjoint I B) I → I ⊆ M.E
-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
D : Set ℝ
hD : Convex ℝ D
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f D
hf'' : ∀ x ∈ interior D, deriv^[2] f x < 0

⊢ ∀ x ∈ interior (interior D), deriv (deriv f) x < 0
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M k) = lowerCentralSeries R L M₂ k
-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
f : M →ₗ⁅R,L⁆ M₂
hf : Function.Surjective ⇑f

⊢ lowerCentralSeries R L M₂ k ≤ LieSubmodule.map f (lowerCentralSeries R L M k)
-- Mathlib/Control/LawfulFix.lean
α : Type u_1
β : α → Type u_2
f : ((a : α) → Part (β a)) →o (a : α) → Part (β a)
i : ℕ

⊢ (approxChain f) i ≤ f ((approxChain f) i)
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
a : Cardinal.{u}

⊢ a ≤ o.cof ↔ ∀ {ι : Type u} (f : ι → Ordinal.{u}), lsub f = o → a ≤ #ι
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Cofinality.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
o : Ordinal.{u}
a : Cardinal.{u}

⊢ a ≤ sInf {a | ∃ ι f, lsub f = o ∧ #ι = a} ↔ ∀ {ι : Type u} (f : ι → Ordinal.{u}), lsub f = o → a ≤ #ι
-- Mathlib/FieldTheory/SeparableClosure.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsSeparable F E

⊢ sepDegree F E = Module.rank F E
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁰ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace 𝕜
inst✝⁸ : OrderTopology 𝕜
inst✝⁷ : ProperSpace 𝕜
inst✝⁶ : CompactIccSpace 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : ContinuousAdd E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
x y : E

⊢ closure (openSegment 𝕜 x y) = [x-[𝕜]y]
-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹¹ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝¹⁰ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝⁹ : PseudoMetricSpace 𝕜
inst✝⁸ : OrderTopology 𝕜
inst✝⁷ : ProperSpace 𝕜
inst✝⁶ : CompactIccSpace 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : T2Space E
inst✝² : ContinuousAdd E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜 E
x y : E

⊢ closure ((fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' Ioo 0 1) = (fun θ => (1 - θ) • x + θ • y) '' closure (Ioo 0 1)
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂

⊢ dist t.orthocenter ((EuclideanGeometry.reflection (affineSpan ℝ (t.points '' {i₁, i₂}))) (circumcenter t)) = circumradius t
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂

⊢ (-∑ i₁_1 : PointsWithCircumcenterIndex 2, ∑ i₂_1 : PointsWithCircumcenterIndex 2, (mongePointWeightsWithCircumcenter 0 - reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂) i₁_1 * (mongePointWeightsWithCircumcenter 0 - reflectionCircumcenterWeightsWithCircumcenter i₁ i₂) i₂_1 * (dist (pointsWithCircumcenter t i₁_1) (pointsWithCircumcenter t i₂_1) * dist (pointsWithCircumcenter t i₁_1) (pointsWithCircumcenter t i₂_1))) / 2 = circumradius t * circumradius t
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂

⊢ -(∑ x : Fin (0 + 2 + 1), (∑ x_1 : Fin (0 + 2 + 1), ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x_1 = i₁ ∨ x_1 = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1)) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1))) + ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex))) + (∑ x : Fin (0 + 2 + 1), (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x))) + (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex)))) / 2 = circumradius t * circumradius t
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂
hu : {i₁, i₂} ⊆ univ

⊢ -(∑ x : Fin (0 + 2 + 1), (∑ x_1 : Fin (0 + 2 + 1), ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x_1 = i₁ ∨ x_1 = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1)) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1))) + ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex))) + (∑ x : Fin (0 + 2 + 1), (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x))) + (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex)))) / 2 = circumradius t * circumradius t
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h : i₁ ≠ i₂
hu : {i₁, i₂} ⊆ univ
i₃ : Fin 3
hi₃ : univ \ {i₁, i₂} = {i₃}
hi₃₁ : i₃ ≠ i₁
hi₃₂ : i₃ ≠ i₂

⊢ -(∑ x : Fin (0 + 2 + 1), (∑ x_1 : Fin (0 + 2 + 1), ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x_1 = i₁ ∨ x_1 = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1)) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x_1))) + ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex))) + (∑ x : Fin (0 + 2 + 1), (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * ((↑(0 + 1))⁻¹ - if x = i₁ ∨ x = i₂ then 1 else 0) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x)) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t (PointsWithCircumcenterIndex.pointIndex x))) + (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (-2 / ↑(0 + 1) - -1) * (dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) * dist (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex) (pointsWithCircumcenter t PointsWithCircumcenterIndex.circumcenterIndex)))) / 2 = circumradius t * circumradius t
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
t : Triangle ℝ P
i₁ i₂ : Fin 3
h✝ : i₁ ≠ i₂
hu : {i₁, i₂} ⊆ univ
i₃ : Fin 3
hi₃ : univ \ {i₁, i₂} = {i₃}
hi₃₁ : i₃ ≠ i₁
hi₃₂ : i₃ ≠ i₂
h : ¬(i₃ = i₁ ∨ i₃ = i₂)

⊢ -((-2 + 1) * (circumradius t * circumradius t)) = circumradius t * circumradius t
-- Mathlib/Algebra/Lie/OfAssociative.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x y : L
m : M

⊢ ((fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) (x + y)) m = ((fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) x + (fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }) y) m
-- Mathlib/Algebra/Lie/OfAssociative.lean
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
t : R
x : L
m : M

⊢ ({ toFun := fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun (t • x)) m = ((RingHom.id R) t • { toFun := fun x => { toFun := fun m => ⁅x, m⁆, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }, map_add' := ⋯ }.toFun x) m