ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ
ha' : [[a, x]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ
hb' : [[b, x]] ⊆ (t.ordSeparatingSet s).ordConnectedSectionᶜ

⊢ x ∈ ⊥
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ
ha' : [[a, x]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ
hb' : [[b, x]] ⊆ (t.ordSeparatingSet s).ordConnectedSectionᶜ
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ

⊢ x ∈ ⊥
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ

⊢ x ∈ ⊥
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
hxa : x ≤ a

⊢ x ∈ ⊥
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
hax : a ≤ x

⊢ x ∈ ⊥
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
hax : a ≤ x
hbx : b ≤ x

⊢ x ∈ ⊥
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
hax : a ≤ x
hxb : x ≤ b

⊢ x ∈ ⊥
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
x a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
ha : [[a, x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, x]] ⊆ sᶜ
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
hax : a ≤ x
hxb : x ≤ b
h' : x ∈ s.ordSeparatingSet t

⊢ x ∈ ⊥
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }
ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ
hax : a ≤ ↑x
hxb : ↑x ≤ b

⊢ ↑x ∈ ⊥
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }
ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ
hax : a ≤ ↑x
hxb : ↑x ≤ b

⊢ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedComponent ↑x ⊆ [[a, b]]
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }
ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ
hax : a ≤ ↑x
hxb : ↑x ≤ b
y : α
hy : y ∈ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedComponent ↑x

⊢ y ∈ [[a, b]]
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }
ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ
hax : a ≤ ↑x
hxb : ↑x ≤ b
y : α
hy : y ∈ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedComponent ↑x

⊢ ¬y < a ∧ ¬b < y
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }
ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ
hax : a ≤ ↑x
hxb : ↑x ≤ b
y : α
hy : y ∈ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedComponent ↑x
sol1 : y < a → False

⊢ ¬y < a ∧ ¬b < y
-- Mathlib/Order/Interval/Set/OrdConnectedComponent.lean
α✝ : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α✝
s✝ t✝ : Set α✝
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Set α
a : α
has : a ∈ s
b : α
hbt : b ∈ t
hab : a ≤ b
hsub : [[a, b]] ⊆ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedSectionᶜ
x : { x // x ∈ s.ordSeparatingSet t }
ha : [[a, ↑x]] ⊆ tᶜ
hb : [[b, ↑x]] ⊆ sᶜ
hax : a ≤ ↑x
hxb : ↑x ≤ b
y : α
hy : y ∈ (s.ordSeparatingSet t).ordConnectedComponent ↑x
sol1 : y < a → False
sol2 : b < y → False

⊢ ¬y < a ∧ ¬b < y
-- Mathlib/Data/NNRat/Defs.lean
p q : ℚ

⊢ q.toNNRat < p.toNNRat ↔ q < p ∧ 0 < p
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Order.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝⁹ : TopologicalSpace α✝
inst✝⁸ : MeasurableSpace α✝
inst✝⁷ : OpensMeasurableSpace α✝
inst✝⁶ : MeasurableSpace δ
inst✝⁵ : LinearOrder α✝
inst✝⁴ : OrderClosedTopology α✝
a b x : α✝
α : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : OrderTopology α

⊢ borel α = MeasurableSpace.generateFrom {S | ∃ l u, l < u ∧ Ioc l u = S}
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
hx : ‖x‖ = 1
hy : ‖y‖ = 1

⊢ ⟪x, y⟫_𝕜 = 1 ↔ x = y
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Interval.lean
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α

⊢ (fun x => a + x) ⁻¹' Ioc b c = Ioc (b - a) (c - a)
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a✝ b a : ℤ

⊢ ↑a = 0 ↔ ↑p ∣ a
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a✝ b a : ℤ
h : a < 0

⊢ ↑a = 0 ↔ ↑p ∣ a
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a b : ℤ

⊢ ↑0 = 0 ↔ ↑p ∣ 0
-- Mathlib/Algebra/CharP/Defs.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
p : ℕ
inst✝ : CharP R p
a✝ b a : ℤ
h : 0 < a

⊢ ↑a = 0 ↔ ↑p ∣ a
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/PiNat.lean
E : ℕ → Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Encodable ι
F : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (F i)
x y : (i : ι) → F i
i : ι
h : dist x y < (1 / 2) ^ encode i

⊢ dist (x i) (y i) ≤ dist x y
-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Analytic.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
k l : ℕ
h : k + l ≠ Fintype.card ι
x✝¹ : { s // s.card = l }
x✝ : x✝¹ ∈ Finset.univ

⊢ f.toFormalMultilinearSeries.changeOriginSeriesTerm k l ↑x✝¹ ⋯ = 0
-- Mathlib/Data/List/TFAE.lean
l : List Prop

⊢ (map Not l).TFAE ↔ l.TFAE
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α

⊢ ↑(lowerClosure s) ⊆ closure s
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α

⊢ ↑(lowerClosure s) = closure s
-- Mathlib/Topology/Order/ScottTopology.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsScott α
s : Set α
a : α

⊢ inst✝¹ = scott α
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype ι'
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝⁸ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁵ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁴ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
z : G

⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiRing 𝕜 ι z‖ = ‖z‖
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra L A
inst✝¹ : Algebra K A
inst✝ : IsScalarTower K L A
L_alg : Algebra.IsAlgebraic K L
A_alg : Algebra.IsAlgebraic L A

⊢ Algebra.IsAlgebraic K A
-- Mathlib/RingTheory/Algebraic.lean
K : Type u_1
L : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra L A
inst✝¹ : Algebra K A
inst✝ : IsScalarTower K L A
L_alg : Algebra.IsIntegral K L
A_alg : Algebra.IsIntegral L A

⊢ Algebra.IsIntegral K A
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, |↑(⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩ - CauSeq.const _root_.abs (CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩)) j| < ε / 2 ∧ |↑(⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩ - CauSeq.const _root_.abs (CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩)) j| < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
H₁ : |↑(⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩ - CauSeq.const _root_.abs (CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩)) j| < ε / 2
H₂ : |↑(⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩ - CauSeq.const _root_.abs (CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩)) j| < ε / 2

⊢ abs' (↑(f - CauSeq.const (⇑abs') (limAux f)) j) < ε
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, |↑(⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩ - CauSeq.const _root_.abs (CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩)) j| < ε / 2 ∧ |↑(⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩ - CauSeq.const _root_.abs (CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩)) j| < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
H₁ : |↑(⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩ - CauSeq.const _root_.abs (CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩)) j| < ε / 2
H₂ : |↑(⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩ - CauSeq.const _root_.abs (CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩)) j| < ε / 2

⊢ |(↑(f - CauSeq.const (⇑abs') (limAux f)) j).re| + |(↑(f - CauSeq.const (⇑abs') (limAux f)) j).im| < ε
-- Mathlib/Data/Complex/Abs.lean
f : CauSeq ℂ ⇑abs'
ε : ℝ
ε0 : ε > 0
i : ℕ
H : ∀ j ≥ i, |(↑f j).re - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩| < ε / 2 ∧ |(↑f j).im - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩| < ε / 2
j : ℕ
ij : j ≥ i
H₁ : |(↑f j).re - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩| < ε / 2
H₂ : |(↑f j).im - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩| < ε / 2
this : |(↑f j).re - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).re, ⋯⟩| + |(↑f j).im - CauSeq.lim ⟨fun n => (↑f n).im, ⋯⟩| < ε / 2 + ε / 2

⊢ |(↑f j).re - (cauSeqRe f).lim| + |(↑f j).im - (cauSeqIm f).lim| < ε
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
p : PosNum

⊢ ↑p + 1 + ↑p + 1 = ↑p + ↑p + 1 + 1
-- Mathlib/Data/ENNReal/Operations.lean
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
α : Type u_1
s : Finset α
hs : s.Nonempty
f g : α → ℝ≥0∞
Hlt : ∀ i ∈ s, f i < g i

⊢ ∑ i ∈ s, f i < ∑ i ∈ s, g i
-- Mathlib/Order/Part.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
f : β → γ
g : α → Part β
hg : Antitone g

⊢ Antitone fun x => map f (g x)
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p

⊢ Bornology.IsVonNBounded 𝕜 s ↔ ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p

⊢ (∀ (I : Finset ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r) ↔ ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hi : ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
I : Finset ι
hI : ¬I.Nonempty

⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (I.sup p) x < r
-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕝 : Type u_3
𝕝₂ : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Nonempty ι
p : SeminormFamily 𝕜 E ι
inst✝ : TopologicalSpace E
s : Set E
hp : WithSeminorms p
hi : ∀ (i : ι), ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, (p i) x < r
I : Finset ι
hI : ¬I.Nonempty

⊢ ∃ r > 0, ∀ x ∈ s, 0 < r
-- Mathlib/Data/NNReal/Basic.lean
r p : ℝ≥0
h : 1 ≤ r * p

⊢ r⁻¹ ≤ p
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

⊢ IsIso f ↔ IsIso f.val.base ∧ ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), IsIso (Scheme.Hom.stalkMap f x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

⊢ ((Epi f.val.base ∧ OpenEmbedding ⇑f.val.base) ∧ ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), IsIso (Scheme.Hom.stalkMap f x)) ↔ IsIso f.val.base ∧ ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), IsIso (Scheme.Hom.stalkMap f x)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

⊢ Epi f.val.base ∧ OpenEmbedding ⇑f.val.base → IsIso f.val.base
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/OpenImmersion.lean
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Z
g : Y✝ ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f✝
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

⊢ IsIso f.val.base → Epi f.val.base ∧ OpenEmbedding ⇑f.val.base
-- Mathlib/Data/Matroid/Restrict.lean
α : Type u_1
M : Matroid α
R✝ I J X Y R : Set α

⊢ M ↾ (M ↾ R).E = M ↾ R
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ProperSpace/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α
inst✝³ : ProperSpace α
x : α
r✝ : ℝ
s : Set α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a z : α
r : ℝ
hf : ContinuousOn f (closedBall a r)
hz : z ∈ closedBall a r
hf1 : ∀ z' ∈ sphere a r, f z < f z'

⊢ ∃ z ∈ ball a r, IsLocalMin f z
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/ProperSpace/Lemmas.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α
inst✝³ : ProperSpace α
x : α
r✝ : ℝ
s : Set α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrder β
inst✝ : OrderTopology β
f : α → β
a z : α
r : ℝ
hf : ContinuousOn f (closedBall a r)
hz : z ∈ closedBall a r
hf1 : ∀ z' ∈ closedBall a r \ ball a r, f z < f z'

⊢ ∃ z ∈ ball a r, IsLocalMin f z
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Fintype α
s t : Finset α

⊢ s = univ ↔ ∀ (x : α), x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝² : Fintype ι'
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
ν : (i : ι) → Measure (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)
hf : ∀ (i : ι), MeasurePreserving (f i) (μ i) (ν i)

⊢ Measure.map (fun a i => f i (a i)) (Measure.pi μ) = Measure.pi ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝² : Fintype ι'
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
ν : (i : ι) → Measure (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)
hf : ∀ (i : ι), MeasurePreserving (f i) (μ i) (ν i)
this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)

⊢ Measure.map (fun a i => f i (a i)) (Measure.pi μ) = Measure.pi ν
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝² : Fintype ι'
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
ν : (i : ι) → Measure (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)
hf : ∀ (i : ι), MeasurePreserving (f i) (μ i) (ν i)
this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (β i)
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

⊢ (Measure.map (fun a i => f i (a i)) (Measure.pi μ)) (univ.pi s) = ∏ i : ι, (ν i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝² : Fintype ι'
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
ν : (i : ι) → Measure (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)
hf : ∀ (i : ι), MeasurePreserving (f i) (μ i) (ν i)
this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (β i)
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

⊢ ∏ i : ι, (μ i) (f i ⁻¹' s i) = ∏ i : ι, (ν i) (s i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝² : Fintype ι'
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
ν : (i : ι) → Measure (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)
hf : ∀ (i : ι), MeasurePreserving (f i) (μ i) (ν i)
this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (β i)
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

⊢ Measurable fun a i => f i (a i)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Pi.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝⁴ : Fintype ι
m✝ : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
m : (i : ι) → MeasurableSpace (α i)
μ : (i : ι) → Measure (α i)
inst✝³ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
inst✝² : Fintype ι'
β : ι → Type u_4
inst✝¹ : (i : ι) → MeasurableSpace (β i)
ν : (i : ι) → Measure (β i)
f : (i : ι) → α i → β i
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (ν i)
hf : ∀ (i : ι), MeasurePreserving (f i) (μ i) (ν i)
this : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
s : (i : ι) → Set (β i)
hs : ∀ (i : ι), MeasurableSet (s i)

⊢ MeasurableSet (univ.pi s)
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hu : ∀ (n : ι), Integrable (u n) μ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s

⊢ Integrable (stoppedValue u τ) μ
-- Mathlib/Probability/Process/Stopping.lean
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : PartialOrder ι
ℱ : Filtration ι m
inst✝ : NormedAddCommGroup E
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
s : Finset ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω ∈ s
hu : ∀ (n : ι), Memℒp (u n) 1 μ

⊢ Memℒp (stoppedValue u τ) 1 μ
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace K F
f : E ≃ₗ[K] F
x : F

⊢ x ∈ ⇑f '' fundamentalDomain b ↔ x ∈ fundamentalDomain (b.map f)
-- Mathlib/Algebra/Module/Zlattice/Basic.lean
E : Type u_1
ι : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField K
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace K E
b : Basis ι K E
F : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace K F
f : E ≃ₗ[K] F
x : F

⊢ x ∈ ⇑f '' fundamentalDomain b ↔ x ∈ ⇑f.toEquiv '' fundamentalDomain b
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ : Multiset α
a : α
s : Multiset α

⊢ 0 < count a s ↔ a ∈ s
-- Mathlib/Data/PNat/Defs.lean
m k : ℕ+

⊢ ↑(k.modDivAux (↑m % ↑k) (↑m / ↑k)).1 = if ↑m % ↑k = 0 then ↑k else ↑m % ↑k
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a : Ordinal.{u_1}

⊢ nfp (fun x => a + x) 0 = a * ω
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a : Ordinal.{u_1}

⊢ (sup fun n => (fun x => a + x)^[n] 0) = sup fun n => a * ↑n
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a : Ordinal.{u_1}

⊢ (fun n => (fun x => a + x)^[n] 0) = fun n => a * ↑n
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/FixedPoint.lean
a : Ordinal.{u_1}
n : ℕ

⊢ (fun x => a + x)^[n] 0 = a * ↑n
-- Mathlib/Algebra/CharP/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R

⊢ ↑(Submodule.toAddSubgroup I).index = 0
-- Mathlib/Algebra/CharP/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R

⊢ ↑(if h : Finite (R ⧸ Submodule.toAddSubgroup I) then Fintype.card (R ⧸ Submodule.toAddSubgroup I) else 0) = 0
-- Mathlib/Algebra/CharP/Quotient.lean
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
hq : Finite (R ⧸ Submodule.toAddSubgroup I)
this : Fintype (R ⧸ I) := Fintype.ofFinite (R ⧸ I)

⊢ ↑(Fintype.card (R ⧸ Submodule.toAddSubgroup I)) = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/GaloisObjects.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝⁴ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝³ : FiberFunctor F
X Y Z : C
inst✝² : IsConnected X
inst✝¹ : IsGalois Y
inst✝ : IsGalois Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z

⊢ autMap (f ≫ g) = autMap g ∘ autMap f
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/GaloisObjects.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝⁴ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝³ : FiberFunctor F
X Y Z : C
inst✝² : IsConnected X
inst✝¹ : IsGalois Y
inst✝ : IsGalois Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
σ : Aut X

⊢ (f ≫ g) ≫ ((autMap g ∘ autMap f) σ).hom = σ.hom ≫ f ≫ g
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/GaloisObjects.lean
C : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝⁴ : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝³ : FiberFunctor F
X Y Z : C
inst✝² : IsConnected X
inst✝¹ : IsGalois Y
inst✝ : IsGalois Z
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
σ : Aut X

⊢ (f ≫ (autMap f σ).hom) ≫ g = σ.hom ≫ f ≫ g
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
A : ι → Submodule R M
inst✝ : DecidableEq M
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

⊢ (coeLinearMap A) x = DFinsupp.sum x fun i x => ↑x
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
A : ι → Submodule R M
inst✝ : DecidableEq M
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

⊢ (DFinsupp.sumAddHom fun i => (A i).subtype.toAddMonoidHom) x = DFinsupp.sum x fun i x => ↑x
-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Module.lean
R : Type u
inst✝³ : Semiring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
A : ι → Submodule R M
inst✝ : DecidableEq M
x : ⨁ (i : ι), ↥(A i)

⊢ (DFinsupp.sum x fun x => ⇑(A x).subtype.toAddMonoidHom) = DFinsupp.sum x fun i x => ↑x