ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K F
ι : Type w
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L

⊢ (norm K) x = (norm K) (AdjoinSimple.gen K x) ^ finrank (↥K⟮x⟯) L
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K F
ι : Type w
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L
this : Algebra.IsSeparable (↥K⟮x⟯) L := isSeparable_tower_top_of_isSeparable K (↥K⟮x⟯) L

⊢ (norm K) x = (norm K) (AdjoinSimple.gen K x) ^ finrank (↥K⟮x⟯) L
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K F
ι : Type w
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L
this : Algebra.IsSeparable (↥K⟮x⟯) L := isSeparable_tower_top_of_isSeparable K (↥K⟮x⟯) L
pbL : PowerBasis (↥K⟮x⟯) L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable (↥K⟮x⟯) L

⊢ (norm K) x = (norm K) (AdjoinSimple.gen K x) ^ finrank (↥K⟮x⟯) L
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K F
ι : Type w
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L
this : Algebra.IsSeparable (↥K⟮x⟯) L := isSeparable_tower_top_of_isSeparable K (↥K⟮x⟯) L
pbL : PowerBasis (↥K⟮x⟯) L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable (↥K⟮x⟯) L
pbx : PowerBasis K ↥K⟮x⟯ := adjoin.powerBasis ⋯

⊢ (norm K) x = (norm K) (AdjoinSimple.gen K x) ^ finrank (↥K⟮x⟯) L
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K F
ι : Type w
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L
this : Algebra.IsSeparable (↥K⟮x⟯) L := isSeparable_tower_top_of_isSeparable K (↥K⟮x⟯) L
pbL : PowerBasis (↥K⟮x⟯) L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable (↥K⟮x⟯) L
pbx : PowerBasis K ↥K⟮x⟯ := adjoin.powerBasis ⋯

⊢ ∏ k : Fin pbL.dim, ((leftMulMatrix pbx.basis) (AdjoinSimple.gen K x)).det = ((leftMulMatrix pbx.basis) (AdjoinSimple.gen K ((algebraMap (↥K⟮x⟯) L) (AdjoinSimple.gen K x)))).det ^ finrank (↥K⟮(algebraMap (↥K⟮x⟯) L) (AdjoinSimple.gen K x)⟯) L
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K F
ι : Type w
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L
this : Algebra.IsSeparable (↥K⟮x⟯) L := isSeparable_tower_top_of_isSeparable K (↥K⟮x⟯) L
pbL : PowerBasis (↥K⟮x⟯) L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable (↥K⟮x⟯) L
pbx : PowerBasis K ↥K⟮x⟯ := adjoin.powerBasis ⋯

⊢ ((leftMulMatrix pbx.basis) (AdjoinSimple.gen K x)).det ^ pbL.dim = ((leftMulMatrix pbx.basis) (AdjoinSimple.gen K ((algebraMap (↥K⟮x⟯) L) (AdjoinSimple.gen K x)))).det ^ finrank (↥K⟮(algebraMap (↥K⟮x⟯) L) (AdjoinSimple.gen K x)⟯) L
-- Mathlib/RingTheory/Norm/Basic.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : Ring S
inst✝⁷ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field L
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Algebra K L
inst✝² : Algebra K F
ι : Type w
inst✝¹ : FiniteDimensional K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
x : L
this : Algebra.IsSeparable (↥K⟮x⟯) L := isSeparable_tower_top_of_isSeparable K (↥K⟮x⟯) L
pbL : PowerBasis (↥K⟮x⟯) L := Field.powerBasisOfFiniteOfSeparable (↥K⟮x⟯) L
pbx : PowerBasis K ↥K⟮x⟯ := adjoin.powerBasis ⋯

⊢ pbL.dim = finrank (↥K⟮(algebraMap (↥K⟮x⟯) L) (AdjoinSimple.gen K x)⟯) L
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
x y : E

⊢ ((-o).kahler x) y = (starRingEnd ℂ) ((o.kahler x) y)
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b : α
u : ℕ → α
n : ℕ

⊢ ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), u i = ⨆ i, u (i + n)
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b : α
u : ℕ → α
n : ℕ

⊢ ∀ i ≥ n, u i ≤ ⨆ i, u (i + n)
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f g s t : ι → α
a b : α
u : ℕ → α
n : ℕ

⊢ ∀ (i : ℕ), u (i + n) ≤ ⨆ i, ⨆ (_ : i ≥ n), u i
-- Mathlib/Algebra/Free.lean
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Mul β
f g : FreeMagma α →ₙ* β
h : ⇑f ∘ of = ⇑g ∘ of
x x✝ y✝ : FreeMagma α
a✝¹ : f x✝ = g x✝
a✝ : f y✝ = g y✝

⊢ f (x✝ * y✝) = g (x✝ * y✝)
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Trigonometric/Basic.lean

⊢ Function.Antiperiodic sin ↑π
-- Mathlib/Algebra/Group/Prod.lean
A : Type u_1
B : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : MulOneClass N
inst✝ : CommMonoid P
f : M →* P
g : N →* P
x : N

⊢ ((f.coprod g).comp (inr M N)) x = g x
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
b : β

⊢ f ×ˢ pure b = map (fun a => (a, b)) f
-- Mathlib/Order/Filter/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
b : β

⊢ map ((fun g => g b) ∘ Prod.mk) f = map (fun a => (a, b)) f
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/WithTop.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithBot α
h : a ≠ 0

⊢ a * ⊥ = ⊥
-- Mathlib/Data/Fintype/BigOperators.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a b : α
h₁ : a ≠ b
h₂ : ∀ (x : α), x ≠ a ∧ x ≠ b → f x = 1

⊢ ∏ x : α, f x = f a * f b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
h_deg_le : f.degree ≤ ↑s.card
h_deg_eq : f.degree = g.degree
hlc : f.leadingCoeff = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g

⊢ f = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
h_deg_le : degree 0 ≤ ↑s.card
h_deg_eq : degree 0 = g.degree
hlc : leadingCoeff 0 = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ i ∈ s, eval (v i) 0 = eval (v i) g

⊢ 0 = g
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
f g : R[X]
ι : Type u_2
v : ι → R
s : Finset ι
hvs : Set.InjOn v ↑s
h_deg_le : f.degree ≤ ↑s.card
h_deg_eq : f.degree = g.degree
hlc : f.leadingCoeff = g.leadingCoeff
h_eval : ∀ i ∈ s, eval (v i) f = eval (v i) g
hf : f ≠ 0

⊢ f = g
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u_1
inst✝ : Infinite α
s : Finset α

⊢ #↑(↑s)ᶜ = #α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Ordinal.lean
α : Type u_1
inst✝ : Infinite α
s : Finset α

⊢ #↑↑s < #α
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z = 0

⊢ addU P Q = 0
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/DiscreteValuationRing.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_1
inst✝¹ : Field k
inst✝ : CharP k p
x : 𝕎 k
hx : x.coeff 0 ≠ 0
y : kˣ := Units.mk0 (x.coeff 0) hx
hy : x.coeff 0 = ↑y

⊢ IsUnit x
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f

⊢ (μ.withDensity f).trim hm = (μ.trim hm).withDensity f
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/WithDensity.lean
α : Type u_1
m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
f : α → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ((μ.withDensity f).trim hm) s = ((μ.trim hm).withDensity f) s
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
l : List α

⊢ l.Disjoint []
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Lemmas.lean
α : Type u_1
l : List α

⊢ [].Disjoint l
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}

⊢ Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}

⊢ Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}
t₁ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₂, p₄], independent := ⋯ }

⊢ Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}
t₁ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₂, p₄], independent := ⋯ }
t₂ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₃, p₄], independent := ⋯ }

⊢ Cospherical {p₁, p₂, p₃, p₄}
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}
t₁ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₂, p₄], independent := ⋯ }
t₂ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₃, p₄], independent := ⋯ }

⊢ ∃ s, {p₁, p₂, p₃, p₄} ⊆ Metric.sphere s.center s.radius
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}
t₁ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₂, p₄], independent := ⋯ }
t₂ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₃, p₄], independent := ⋯ }

⊢ {p₁, p₂, p₃, p₄} ⊆ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}
t₁ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₂, p₄], independent := ⋯ }
t₂ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₃, p₄], independent := ⋯ }

⊢ p₁ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius ∧ p₂ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius ∧ p₃ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius ∧ p₄ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}
t₁ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₂, p₄], independent := ⋯ }
t₂ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₃, p₄], independent := ⋯ }

⊢ p₂ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₂).center (Affine.Simplex.circumsphere t₂).radius
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ : P
h : 2 • ∡ p₁ p₂ p₄ = 2 • ∡ p₁ p₃ p₄
hn : ¬Collinear ℝ {p₁, p₂, p₄}
hn' : ¬Collinear ℝ {p₁, p₃, p₄}
t₁ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₂, p₄], independent := ⋯ }
t₂ : Affine.Triangle ℝ P := { points := ![p₁, p₃, p₄], independent := ⋯ }

⊢ p₂ ∈ Metric.sphere (Affine.Simplex.circumsphere t₁).center (Affine.Simplex.circumsphere t₁).radius
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure ν₁
inst✝³ : IsFiniteMeasure ν₂
inst✝² : ν₁.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝¹ : ν₂.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : (ν₁ + ν₂).HaveLebesgueDecomposition μ

⊢ (ν₁ + ν₂).rnDeriv μ =ᶠ[ae μ] ν₁.rnDeriv μ + ν₂.rnDeriv μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure ν₁
inst✝³ : IsFiniteMeasure ν₂
inst✝² : ν₁.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝¹ : ν₂.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : (ν₁ + ν₂).HaveLebesgueDecomposition μ

⊢ μ.withDensity ((ν₁ + ν₂).rnDeriv μ) = μ.withDensity (ν₁.rnDeriv μ + ν₂.rnDeriv μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure ν₁
inst✝³ : IsFiniteMeasure ν₂
inst✝² : ν₁.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝¹ : ν₂.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : (ν₁ + ν₂).HaveLebesgueDecomposition μ

⊢ AEMeasurable ((ν₁ + ν₂).rnDeriv μ) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure ν₁
inst✝³ : IsFiniteMeasure ν₂
inst✝² : ν₁.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝¹ : ν₂.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : (ν₁ + ν₂).HaveLebesgueDecomposition μ

⊢ AEMeasurable (ν₁.rnDeriv μ + ν₂.rnDeriv μ) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Decomposition/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν ν₁ ν₂ μ : Measure α
inst✝⁴ : IsFiniteMeasure ν₁
inst✝³ : IsFiniteMeasure ν₂
inst✝² : ν₁.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝¹ : ν₂.HaveLebesgueDecomposition μ
inst✝ : (ν₁ + ν₂).HaveLebesgueDecomposition μ

⊢ ∫⁻ (x : α), (ν₁ + ν₂).rnDeriv μ x ∂μ ≠ ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/Sub/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : AddCommSemigroup α
inst✝¹ : Sub α
inst✝ : OrderedSub α
a b c d : α
ha : AddLECancellable a
h : a + c < b

⊢ c + a < b
-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/InnerDual.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : InnerProductSpace ℝ H
s t : Set H

⊢ ↑s.innerDualCone = ⋂ i, ↑{↑i}.innerDualCone
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x✝ : α
ι : Sort u_1
p : ι → Prop
s : ι → Set G
hb : (𝓝 1).HasBasis p s
x : G

⊢ (𝓝 x).HasBasis p fun i => {y | y / x ∈ s i}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x✝ : α
ι : Sort u_1
p : ι → Prop
s : ι → Set G
hb : (𝓝 1).HasBasis p s
x : G

⊢ (Filter.comap (fun x_1 => x_1 * x⁻¹) (𝓝 1)).HasBasis p fun i => {y | y / x ∈ s i}
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → G
s✝ : Set α
x✝ : α
ι : Sort u_1
p : ι → Prop
s : ι → Set G
hb : (𝓝 1).HasBasis p s
x : G

⊢ (Filter.comap (fun x_1 => x_1 * x⁻¹) (𝓝 1)).HasBasis p fun i => {y | y * x⁻¹ ∈ s i}
-- Mathlib/Topology/ContinuousOn.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
x : α

⊢ ContinuousWithinAt f univ x ↔ ContinuousAt f x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y z : P
h : Wbtw R x y z

⊢ Wbtw R z x y ↔ x = y
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : StarRing α
M : Matrix n n α

⊢ M = 1ᴴ ↔ M = 1
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
v' : Fin 0 → M

⊢ Realize (Formula.iAlls f φ) v v' ↔ ∀ (i : γ → M), φ.Realize fun a => Sum.elim v i (f a)
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
inst✝¹ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
T : L.Theory
inst✝ : Finite γ
f : α → β ⊕ γ
φ : L.Formula α
v : β → M
v' : Fin 0 → M

⊢ Realize (Formula.iAlls f φ) v v' = (Formula.iAlls f φ).Realize v
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ X P Q ◁ T.one ≫ actRight P Q = (ρ_ (X P Q)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ (tensorRight (𝟙_ C)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ X P Q ◁ T.one ≫ actRight P Q = (tensorRight (𝟙_ C)).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (ρ_ (X P Q)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ◁ T.one ≫ actRight P Q = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ ((P.X ⊗ Q.X) ◁ T.one ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X) ≫ actRight P Q = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ (P.X ⊗ Q.X) ◁ T.one ≫ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ (((α_ P.X Q.X (𝟙_ C)).hom ≫ P.X ◁ Q.X ◁ T.one) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝¹ : HasCoequalizers C
R S T : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

⊢ (α_ P.X Q.X (𝟙_ C)).hom ≫ P.X ◁ (ρ_ Q.X).hom ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ 𝟙_ C ≫ (ρ_ (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
n : ℕ

⊢ ↑(Nat.fib (n + 2)) = ∑ x : Fin 2, ![1, 1] x * ↑(Nat.fib (n + ↑x))
-- Mathlib/Data/Real/GoldenRatio.lean
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
n : ℕ

⊢ ↑(Nat.fib (n + 1) + Nat.fib n) = ∑ x : Fin 2, ![1, 1] x * ↑(Nat.fib (n + ↑x))
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s : Multiset α
b : α

⊢ filter (Eq b) s = replicate (count b s) b
-- Mathlib/Data/List/Dedup.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∉ l.dedup

⊢ ∀ b ∈ pwFilter (fun x x_1 => x ≠ x_1) l, a ≠ b
-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x : M
s : Set ι
m : M
hm : m ∈ span R (⇑b '' s)

⊢ ↑(b.repr m).support ⊆ s