ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
f : X → ℝ
s✝ s : Set X
hs : MeasurableSet s
hf : StronglyMeasurable f
hfi : Integrable f μ

⊢ ∫ (x : X), {a | f a ≤ 0}.indicator f x ∂μ ≤ ∫ (x : X), s.indicator f x ∂μ
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, Disjoint (ker (f ^ n)) (range (f ^ n))
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)

⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, Disjoint (ker (f ^ n)) (range (f ^ n))
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n

⊢ ker (f ^ m) ⊓ range (f ^ m) = ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n

⊢ ∀ x ∈ ker (f ^ n) ⊓ range (f ^ m), x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
x : M
hx : (f ^ m) x ∈ ↑(ker (f ^ n))

⊢ (f ^ m) x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
x : M
hx : (f ^ m) x ∈ ↑(ker (f ^ n))

⊢ (f ^ n) x = 0
-- Mathlib/RingTheory/Noetherian.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
x : M
hx : x ∈ ker (f ^ (n + m))

⊢ (f ^ n) x = 0
-- Mathlib/RingTheory/TensorProduct/Basic.lean
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
C : Type uC
D : Type uD
E : Type uE
F : Type uF
M : Type uM
ι : Type uι
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
b : Basis ι R M
a : A
x✝ : A ⊗[R] M
x : A
y : M

⊢ (basisAux A b) (a • x ⊗ₜ[R] y) = a • (basisAux A b) (x ⊗ₜ[R] y)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)

⊢ Continuous fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, f p.1 t ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a b b₀ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)

⊢ ∀ (x : X × ℝ), ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, f p.1 t ∂μ) x
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a b b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ : ℝ

⊢ ContinuousAt (fun p => ∫ (t : ℝ) in a₀..p.2, f p.1 t ∂μ) (q, b₀)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a b b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0

⊢ ∀ᶠ (x : X × ℝ) in 𝓝 (q, b₀), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..x.2, f x.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..(q, b₀).2, f (q, b₀).1 t ∂μ) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < min a₀ b₀

⊢ ∀ᶠ (x : X × ℝ) in 𝓝 (q, b₀), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..x.2, f x.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..(q, b₀).2, f (q, b₀).1 t ∂μ) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < min a₀ b₀
b : ℝ
lt_b : max a₀ b₀ < b

⊢ ∀ᶠ (x : X × ℝ) in 𝓝 (q, b₀), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..x.2, f x.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..(q, b₀).2, f (q, b₀).1 t ∂μ) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : max a₀ b₀ < b

⊢ ∀ᶠ (x : X × ℝ) in 𝓝 (q, b₀), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..x.2, f x.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..(q, b₀).2, f (q, b₀).1 t ∂μ) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b

⊢ ∀ᶠ (x : X × ℝ) in 𝓝 (q, b₀), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..x.2, f x.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..(q, b₀).2, f (q, b₀).1 t ∂μ) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)

⊢ ∀ᶠ (x : X × ℝ) in 𝓝 (q, b₀), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..x.2, f x.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..(q, b₀).2, f (q, b₀).1 t ∂μ) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)

⊢ ∀ᶠ (x : X × ℝ) in 𝓝 (q, b₀), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..x.2, f x.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..(q, b₀).2, f (q, b₀).1 t ∂μ) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * (μ (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ))).toReal + δ * (μ (Icc a b)).toReal < ε

⊢ ∀ᶠ (x : X × ℝ) in 𝓝 (q, b₀), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..x.2, f x.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..(q, b₀).2, f (q, b₀).1 t ∂μ) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * (μ (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ))).toReal + δ * (μ (Icc a b)).toReal < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, dist (f p x) (f q x) < δ

⊢ ∀ᶠ (x : X × ℝ) in 𝓝 (q, b₀), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..x.2, f x.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..(q, b₀).2, f (q, b₀).1 t ∂μ) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * (μ (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ))).toReal + δ * (μ (Icc a b)).toReal < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, dist (f p x) (f q x) < δ
this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)

⊢ ∀ᶠ (x : X × ℝ) in 𝓝 (q, b₀), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..x.2, f x.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..(q, b₀).2, f (q, b₀).1 t ∂μ) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * (μ (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ))).toReal + δ * (μ (Icc a b)).toReal < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, dist (f p x) (f q x) < δ
this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)

⊢ ∀ a ∈ v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ), dist (∫ (t : ℝ) in a₀..a.2, f a.1 t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a₀..b₀, f q t ∂μ) < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * (μ (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ))).toReal + δ * (μ (Icc a b)).toReal < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)
p : X
s : ℝ
hp : p ∈ v
hs : s ∈ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ)
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f p x - f q x‖ < δ

⊢ ‖∫ (t : ℝ) in a₀..s, f p t ∂μ - ∫ (t : ℝ) in a₀..b₀, f q t ∂μ‖ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
E : Type u_1
X : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace X
a✝ b✝ b₀✝ b₁ b₂ : ℝ
μ : Measure ℝ
f✝ : ℝ → E
inst✝¹ : NoAtoms μ
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : X → ℝ → E
a₀ : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
q : X
b₀ ε : ℝ
εpos : ε > 0
a : ℝ
a_lt : a < a₀ ∧ a < b₀
b : ℝ
lt_b : a₀ < b ∧ b₀ < b
this✝ : IsCompact ({q} ×ˢ Icc a b)
M : ℝ
hM : M ∈ upperBounds ((fun x => ‖Function.uncurry f x‖) '' {q} ×ˢ Icc a b)
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : δ < 1
h'δ : Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ) ⊆ Icc a b
h''δ : (M + 1) * (μ (Icc (b₀ - δ) (b₀ + δ))).toReal + δ * (μ (Icc a b)).toReal < ε
v : Set X
v_mem : v ∈ 𝓝[univ] q
this : v ×ˢ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ) ∈ 𝓝 (q, b₀)
p : X
s : ℝ
hp : p ∈ v
hs : s ∈ Ioo (b₀ - δ) (b₀ + δ)
hv : ∀ p ∈ v, ∀ x ∈ Icc a b, ‖f p x - f q x‖ < δ
J : ∀ (r : X) (u v : ℝ), IntervalIntegrable (f r) μ u v

⊢ ‖∫ (t : ℝ) in a₀..s, f p t ∂μ - ∫ (t : ℝ) in a₀..b₀, f q t ∂μ‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/Analytic/Linear.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : E →L[𝕜] F
x y✝ : E
x✝ : y✝ ∈ EMetric.ball 0 ⊤

⊢ HasSum (fun n => (f.fpowerSeries x (n + 2)) fun x => y✝) (f (x + y✝) - ∑ i ∈ Finset.range 2, (f.fpowerSeries x i) fun x => y✝)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Trim.lean
α : Type u_1
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)

⊢ (μ.trim hm).FiniteSpanningSetsIn Set.univ
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Trim.lean
α : Type u_1
m✝ m0✝ : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
s : Set α
m m₂ m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
hm₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
i : ℕ

⊢ (μ.trim hm) (spanningSets (μ.trim ⋯) i) < ⊤
-- Mathlib/Data/Finset/Sort.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a : α
i : Fin 1

⊢ ({a}.orderEmbOfFin ⋯) i = a
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/BigOperators.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝³ : FunLike F α β
inst✝² : CommMonoid α
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : MonoidHomClass F α β
l : Finset ι
S : ι → Set α
x✝ : α

⊢ x✝ ∈ (fun f => ∏ i ∈ l, f i) '' (↑l).pi S ↔ x✝ ∈ ∏ i ∈ l, S i
-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Add.lean
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F

⊢ derivWithin (fun y => f y + c) s x = derivWithin f s x
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne α
n : ZNum

⊢ ↑(ofZNum n) = ↑(↑n).toNat
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/SMul.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : MulAction α β
s t A B : Set β
a : α
x : β

⊢ x ∈ a⁻¹ • A ↔ a • x ∈ A
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀

⊢ IsOpen ↑v.integer
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀

⊢ ∀ x ∈ ↑v.integer, ↑v.integer ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
x : R
hx : x ∈ ↑v.integer

⊢ ↑v.integer ∈ 𝓝 x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Valued/ValuationTopology.lean
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
_i : Valued R Γ₀
x : R
hx : x ∈ ↑v.integer

⊢ ∃ γ, {y | v (y - x) < ↑γ} ⊆ ↑v.integer
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : CharZero 𝕜
inst✝² : Algebra ℝ 𝕜
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ 𝕜
inst✝ : TopologicalDivisionRing 𝕜
x : 𝕜

⊢ Tendsto (fun n => ↑n / (↑n + x)) atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : CharZero 𝕜
inst✝² : Algebra ℝ 𝕜
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ 𝕜
inst✝ : TopologicalDivisionRing 𝕜
x : 𝕜

⊢ ℕ → 𝕜
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : CharZero 𝕜
inst✝² : Algebra ℝ 𝕜
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ 𝕜
inst✝ : TopologicalDivisionRing 𝕜
x : 𝕜
n : ℕ
hn : n ≠ 0

⊢ ?convert_2 n = ↑n / (↑n + x)
-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁵ : DivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝³ : CharZero 𝕜
inst✝² : Algebra ℝ 𝕜
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ 𝕜
inst✝ : TopologicalDivisionRing 𝕜
x : 𝕜

⊢ Tendsto ?convert_2 atTop (𝓝 1)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
u : Set ↑s
hu : MeasurableSet u

⊢ MeasurableSet (s.restrict f '' u)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
u : Set ↑s
hu : MeasurableSet u
A : MeasurableSet (Subtype.val '' u)

⊢ MeasurableSet (s.restrict f '' u)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Polish/Basic.lean
α✝ : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
tβ : TopologicalSpace β
inst✝⁷ : T2Space β
inst✝⁶ : MeasurableSpace β
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
s : Set γ
f : γ → β
inst✝⁴ : BorelSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : PolishSpace γ
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : BorelSpace γ
hs : MeasurableSet s
f_cont : ContinuousOn f s
f_inj : InjOn f s
u : Set ↑s
hu : MeasurableSet u
A : MeasurableSet (Subtype.val '' u)
B : MeasurableSet (f '' (Subtype.val '' u))

⊢ MeasurableSet (s.restrict f '' u)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
e : ι₂ ↪ ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P

⊢ ((map e s₂).weightedVSubOfPoint p b) w = (s₂.weightedVSubOfPoint (p ∘ ⇑e) b) (w ∘ ⇑e)
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
e : ι₂ ↪ ι
w : ι → k
p : ι → P
b : P

⊢ ∑ i ∈ map e s₂, w i • (p i -ᵥ b) = ∑ i ∈ s₂, (w ∘ ⇑e) i • ((p ∘ ⇑e) i -ᵥ b)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁷ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra S L
inst✝¹¹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : IsScalarTower R K V
inst✝⁶ : AddCommGroup V'
inst✝⁵ : Module R V'
inst✝⁴ : Module S V'
inst✝³ : IsScalarTower R S V'
inst✝² : AddCommGroup V''
inst✝¹ : Module R V''
inst✝ : IsDedekindDomain R
hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤
f : V'' →ₗ[R] V
hf : Function.Injective ⇑f
f' : V'' →ₗ[R] V'
ι : Type u_6
b : ι → V''
hb' : LinearIndependent S (⇑f' ∘ b)

⊢ LinearIndependent K (⇑f ∘ b)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁷ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra S L
inst✝¹¹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : IsScalarTower R K V
inst✝⁶ : AddCommGroup V'
inst✝⁵ : Module R V'
inst✝⁴ : Module S V'
inst✝³ : IsScalarTower R S V'
inst✝² : AddCommGroup V''
inst✝¹ : Module R V''
inst✝ : IsDedekindDomain R
hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤
f : V'' →ₗ[R] V
hf : Function.Injective ⇑f
f' : V'' →ₗ[R] V'
ι : Type u_6
b : ι → V''
hb : ¬LinearIndependent K (⇑f ∘ b)

⊢ ¬LinearIndependent S (⇑f' ∘ b)
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁷ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra S L
inst✝¹¹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : IsScalarTower R K V
inst✝⁶ : AddCommGroup V'
inst✝⁵ : Module R V'
inst✝⁴ : Module S V'
inst✝³ : IsScalarTower R S V'
inst✝² : AddCommGroup V''
inst✝¹ : Module R V''
inst✝ : IsDedekindDomain R
hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤
f : V'' →ₗ[R] V
hf : Function.Injective ⇑f
f' : V'' →ₗ[R] V'
ι : Type u_6
b : ι → V''
hb : ∃ x x_1, ∃ (_ : ∑ i ∈ x, x_1 i • (⇑f ∘ b) i = 0), ∃ x_2, ∃ (_ : x_2 ∈ x), ¬x_1 x_2 = 0

⊢ ∃ x x_1, ∃ (_ : ∑ i ∈ x, x_1 i • (⇑f' ∘ b) i = 0), ∃ x_2, ∃ (_ : x_2 ∈ x), ¬x_1 x_2 = 0
-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia.lean
R : Type u
inst✝¹⁸ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁷ : CommRing S
f✝ : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Algebra R K
hRK : IsFractionRing R K
L : Type u_2
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra S L
inst✝¹¹ : IsFractionRing S L
V : Type u_3
V' : Type u_4
V'' : Type u_5
inst✝¹⁰ : AddCommGroup V
inst✝⁹ : Module R V
inst✝⁸ : Module K V
inst✝⁷ : IsScalarTower R K V
inst✝⁶ : AddCommGroup V'
inst✝⁵ : Module R V'
inst✝⁴ : Module S V'
inst✝³ : IsScalarTower R S V'
inst✝² : AddCommGroup V''
inst✝¹ : Module R V''
inst✝ : IsDedekindDomain R
hRS : RingHom.ker (algebraMap R S) ≠ ⊤
f : V'' →ₗ[R] V
hf : Function.Injective ⇑f
f' : V'' →ₗ[R] V'
ι : Type u_6
b : ι → V''
s : Finset ι
g : ι → K
eq : ∑ i ∈ s, g i • (⇑f ∘ b) i = 0
j' : ι
hj's : j' ∈ s
hj'g : ¬g j' = 0

⊢ ∃ x x_1, ∃ (_ : ∑ i ∈ x, x_1 i • (⇑f' ∘ b) i = 0), ∃ x_2, ∃ (_ : x_2 ∈ x), ¬x_1 x_2 = 0