ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
cramer : (traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ (traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)

⊢ ∀ (i : Fin B.dim), ((traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z) i ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
cramer : (traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ (traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
i : Fin B.dim

⊢ ((traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z) i ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
cramer : (traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ (traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ (traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z
i : Fin B.dim

⊢ ((traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z) i ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
i : Fin B.dim
cramer : ((traceMatrix K ⇑B.basis)⁻¹ *ᵥ traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ (traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = (traceMatrix K ⇑B.basis)⁻¹ *ᵥ traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ (traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z

⊢ ((traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z) i ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
i : Fin B.dim
cramer : ((traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z

⊢ ((traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z) i ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
i : Fin B.dim
cramer : ((traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z

⊢ ∑ σ : Equiv.Perm (Fin B.dim), Equiv.Perm.sign σ • ∏ i_1 : Fin B.dim, (traceMatrix K ⇑B.basis).updateColumn i (fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) (σ i_1) i_1 ∈ ⊥
-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
A : Type u
B✝ : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : CommRing A
inst✝²⁰ : CommRing B✝
inst✝¹⁹ : Algebra A B✝
inst✝¹⁸ : CommRing C
inst✝¹⁷ : Algebra A C
ι' : Type u_1
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι'
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Field L
inst✝¹¹ : Field E
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra K E
inst✝⁸ : Module.Finite K L
inst✝⁷ : IsAlgClosed E
b : ι → L
pb : PowerBasis K L
R : Type z
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R K L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed R
inst✝ : IsFractionRing R K
B : PowerBasis K L
hint : IsIntegral R B.gen
z : L
hz : IsIntegral R z
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑B.basis).det
H : (traceMatrix K ⇑B.basis).det • traceMatrix K ⇑B.basis *ᵥ B.basis.equivFun z = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • fun i => (trace K L) (z * B.basis i)
i : Fin B.dim
cramer : ((traceMatrix K ⇑B.basis).cramer fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) = (traceMatrix K ⇑B.basis).det • B.basis.equivFun z
σ : Equiv.Perm (Fin B.dim)
x✝¹ : σ ∈ univ
j : Fin B.dim
x✝ : j ∈ univ

⊢ (traceMatrix K ⇑B.basis).updateColumn i (fun i => (trace K L) (z * B.basis i)) (σ j) j ∈ ⊥
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R

⊢ ((monomial n) a).support ⊆ {n}
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Basic.lean
R : Type u
a✝ b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
a : R

⊢ (match { toFinsupp := Finsupp.single n a } with | { toFinsupp := p } => p.support) ⊆ {n}
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term α

⊢ (R.formula₂ t₁ t₂).Realize v ↔ RelMap R ![Term.realize v t₁, Term.realize v t₂]
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term α

⊢ (RelMap R fun i => Term.realize v (![t₁, t₂] i)) = RelMap R ![Term.realize v t₁, Term.realize v t₂]
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term α

⊢ Term.realize v (![t₁, t₂] 0) = ![Term.realize v t₁, Term.realize v t₂] 0
-- Mathlib/ModelTheory/Semantics.lean
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
γ : Type u_3
n : ℕ
φ ψ : L.Formula α
v : α → M
R : L.Relations 2
t₁ t₂ : L.Term α

⊢ ∀ (i : Fin 1), Term.realize v (![t₁, t₂] i.succ) = ![Term.realize v t₁, Term.realize v t₂] i.succ
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : min c d ≤ b

⊢ Iic b ∪ Icc c d = Iic (max b d)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : c ≤ d
h : c ≤ b

⊢ Iic b ∪ Icc c d = Iic (max b d)
-- Mathlib/Order/Interval/Set/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
hcd : d < c
h : c ≤ b ∨ d ≤ b

⊢ Iic b ∪ Icc c d = Iic (max b d)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (x : E) in f '' s, g x ∂μ = ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| * g (f x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (a : ↑s), g (s.restrict f a) ∂Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) = ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| * g (f x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (a : ↑s), (g ∘ f) ↑a ∂Measure.comap Subtype.val (μ.withDensity fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) = ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| * (g ∘ f) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (a : E) in s, ((fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) * g ∘ f) a ∂μ = ∫⁻ (x : E) in s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| * (g ∘ f) x ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → ℝ≥0∞

⊢ ∀ᵐ (x : E) ∂μ.restrict s, ENNReal.ofReal |(f' x).det| < ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/Jacobian.lean
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
f : E → E
f' : E → E →L[ℝ] E
inst✝² : MeasurableSpace E
inst✝¹ : BorelSpace E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hs : MeasurableSet s
hf' : ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf : InjOn f s
g : E → ℝ≥0∞

⊢ AEMeasurable (fun x => ENNReal.ofReal |(f' x).det|) (μ.restrict s)
-- Mathlib/Probability/Kernel/IntegralCompProd.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
E : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
κ : Kernel α β
inst✝² : IsSFiniteKernel κ
η : Kernel (α × β) γ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel η
a : α
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : β × γ → E
hf : AEStronglyMeasurable f ((κ ⊗ₖ η) a)

⊢ (fun x => ∫ (y : γ), f (x, y) ∂η (a, x)) =ᶠ[ae (κ a)] fun x => ∫ (y : γ), AEStronglyMeasurable.mk f hf (x, y) ∂η (a, x)
-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Opposites.lean
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
r : R

⊢ (opRingEquiv R) (op ((monomial n) r)) = (monomial n) (op r)
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat

⊢ toStalk (↑(unop (op (Γ.obj (op X))))) (X.toΓSpecSheafedSpace.base x) ≫ (stalkFunctor CommRingCat (X.toΓSpecSheafedSpace.base x)).map X.toΓSpecSheafedSpace.c ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = X.presheaf.Γgerm x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat

⊢ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩) ≫ (stalkFunctor CommRingCat (X.toΓSpecSheafedSpace.base x)).map X.toΓSpecSheafedSpace.c ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = X.presheaf.Γgerm x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat

⊢ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ (structureSheaf ↑(Γ.obj (op X))).presheaf.germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩ ≫ (stalkFunctor CommRingCat (X.toΓSpecSheafedSpace.base x)).map X.toΓSpecSheafedSpace.c) ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = X.presheaf.Γgerm x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat

⊢ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) (basicOpen 1) ≫ X.toΓSpecSheafedSpace.c.app (op (basicOpen 1)) ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩) ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = X.presheaf.Γgerm x
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat

⊢ (X.toToΓSpecMapBasicOpen 1 ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩) ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = X.presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat

⊢ (X.toToΓSpecMapBasicOpen 1 ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩) ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base X.presheaf x = ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecBase ↑⟨x, ⋯⟩, ⋯⟩ ≫ stalkPushforward CommRingCat X.toΓSpecBase X.presheaf ↑⟨x, ⋯⟩
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat

⊢ X.toToΓSpecMapBasicOpen 1 ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩ = ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecBase ↑⟨x, ⋯⟩, ⋯⟩
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/GammaSpecAdjunction.lean
X : LocallyRingedSpace
r : ↑(Γ.obj (op X))
x : ↑X.toTopCat

⊢ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.presheaf).map ⋯.hom.op ≫ ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecSheafedSpace.base).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecFun x, ⋯⟩ = ((pushforward CommRingCat X.toΓSpecBase).obj X.presheaf).germ ⟨X.toΓSpecBase ↑⟨x, ⋯⟩, ⋯⟩
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
ι₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Fintype ι₂
inst✝² : Finite ι₃
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
b₃ : Basis ι₃ R M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₃

⊢ toMvPolynomial b₁ b₃ (g ∘ₗ f) i = (bind₁ (toMvPolynomial b₁ b₂ f)) (toMvPolynomial b₂ b₃ g i)
-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
R : Type u_1
M₁ : Type u_2
M₂ : Type u_3
M₃ : Type u_4
ι₁ : Type u_5
ι₂ : Type u_6
ι₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : AddCommGroup M₃
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module R M₃
inst✝⁴ : Fintype ι₁
inst✝³ : Fintype ι₂
inst✝² : Finite ι₃
inst✝¹ : DecidableEq ι₁
inst✝ : DecidableEq ι₂
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
b₃ : Basis ι₃ R M₃
g : M₂ →ₗ[R] M₃
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : ι₃

⊢ (bind₁ ((toMatrix b₁ b₂) f).toMvPolynomial) (((toMatrix b₂ b₃) g).toMvPolynomial i) = (bind₁ (toMvPolynomial b₁ b₂ f)) (((toMatrix b₂ b₃) g).toMvPolynomial i)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/SheafHom.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X : C
φ : { obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.obj (op X)
Y : Over (unop (op X))

⊢ ({ obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.map (𝟙 (op X)) φ).app (op Y) = (𝟙 ({ obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.obj (op X)) φ).app (op Y)
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/SheafHom.lean
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝ : Category.{v', u'} A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ Y
φ : { obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.obj (op X)
W : Over (unop (op Z))

⊢ ({ obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.map (op f ≫ op g) φ).app (op W) = (({ obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.map (op f) ≫ { obj := fun X => (Over.forget (unop X)).op ⋙ F ⟶ (Over.forget (unop X)).op ⋙ G, map := fun {X Y} f => whiskerLeft (Over.map f.unop).op }.map (op g)) φ).app (op W)
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℤ

⊢ (T n).degree = ↑n
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℤ

⊢ (C 1 * T n).degree = ↑n
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α

⊢ (op a • s)⁻¹ = a⁻¹ • s⁻¹
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α

⊢ (op 0 • s)⁻¹ = 0⁻¹ • s⁻¹
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : GroupWithZero α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
ha : a ≠ 0

⊢ (op a • s)⁻¹ = a⁻¹ • s⁻¹
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx : 0 < x

⊢ log x = expOrderIso.symm ⟨x, hx⟩
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Basic.lean
x y : ℝ
hx : 0 < x

⊢ expOrderIso.symm ⟨|x|, ⋯⟩ = expOrderIso.symm ⟨x, hx⟩
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/LeftDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
g : P.complex ⟶ Q.complex
w : g ≫ Q.π = P.π ≫ (ChainComplex.single₀ C).map f

⊢ (F.leftDerived n).map f = (P.isoLeftDerivedObj F n).hom ≫ (F.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ) ⋙ HomologicalComplex.homologyFunctor D (ComplexShape.down ℕ) n).map g ≫ (Q.isoLeftDerivedObj F n).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/LeftDerived.lean
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
D : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} D
inst✝³ : Abelian C
inst✝² : HasProjectiveResolutions C
inst✝¹ : Abelian D
F : C ⥤ D
inst✝ : F.Additive
n : ℕ
X Y : C
f : X ⟶ Y
P : ProjectiveResolution X
Q : ProjectiveResolution Y
g : P.complex ⟶ Q.complex
w : g ≫ Q.π = P.π ≫ (ChainComplex.single₀ C).map f

⊢ g.f 0 ≫ Q.π.f 0 = P.π.f 0 ≫ f
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : d.Has s₁
h₂ : d.Has s₂
h : s₂ ⊆ s₁

⊢ d.Has (s₁ \ s₂)
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : d.Has s₁
h₂ : d.Has s₂
h : s₂ ⊆ s₁

⊢ d.Has (s₁ \ s₂)ᶜ
-- Mathlib/MeasureTheory/PiSystem.lean
α : Type u_1
d : DynkinSystem α
s₁ s₂ : Set α
h₁ : d.Has s₁
h₂ : d.Has s₂
h : s₂ ⊆ s₁

⊢ d.Has (s₁ᶜ ∪ s₂)
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
p : Set α → Prop
s₀ : Set α
hp : p s₀
t : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p t

⊢ ∃ S, (∀ (n : ℕ), p (S n)) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ (n : ℕ), x ∈ S n ↔ y ∈ S n) → x = y
-- Mathlib/Order/Filter/CountableSeparatingOn.lean
α : Type u_1
p : Set α → Prop
s₀ : Set α
hp : p s₀
t : Set α
inst✝ : HasCountableSeparatingOn α p t
S : Set (Set α)
hSne : S.Nonempty
hSc : S.Countable
hS : (∀ s ∈ S, p s) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ s ∈ S, x ∈ s ↔ y ∈ s) → x = y

⊢ ∃ S, (∀ (n : ℕ), p (S n)) ∧ ∀ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (∀ (n : ℕ), x ∈ S n ↔ y ∈ S n) → x = y