ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹⁵ : Category.{u_6, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} A
inst✝¹³ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹² : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝¹¹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_5, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁹ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁸ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full
inst✝⁵ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J B).Full
inst✝³ : J.PreservesSheafification U
inst✝² : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
inst✝¹ : (sheafCompose J U).ReflectsIsomorphisms
inst✝ : IsDiscrete J ht ((sheafCompose J U).obj F)
f : (sheafCompose J U).obj (((sheafSections J A).obj (op t) ⋙ constantSheaf J A).obj F) ⟶ (sheafCompose J U).obj ((𝟭 (Sheaf J A)).obj F) := (sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)
this : IsIso ((sheafToPresheaf J B).map f)

⊢ IsDiscrete J ht F
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Discrete.lean
C : Type u_1
inst✝¹⁵ : Category.{u_6, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} A
inst✝¹³ : HasWeakSheafify J A
inst✝¹² : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝¹¹ : (constantSheaf J A).Full
t : C
ht : IsTerminal t
B : Type u_3
inst✝¹⁰ : Category.{u_5, u_3} B
U : A ⥤ B
inst✝⁹ : HasWeakSheafify J A
inst✝⁸ : HasWeakSheafify J B
inst✝⁷ : (constantSheaf J A).Faithful
inst✝⁶ : (constantSheaf J A).Full
inst✝⁵ : (constantSheaf J B).Faithful
inst✝⁴ : (constantSheaf J B).Full
inst✝³ : J.PreservesSheafification U
inst✝² : J.HasSheafCompose U
F : Sheaf J A
inst✝¹ : (sheafCompose J U).ReflectsIsomorphisms
inst✝ : IsDiscrete J ht ((sheafCompose J U).obj F)
f : (sheafCompose J U).obj (((sheafSections J A).obj (op t) ⋙ constantSheaf J A).obj F) ⟶ (sheafCompose J U).obj ((𝟭 (Sheaf J A)).obj F) := (sheafCompose J U).map ((constantSheafAdj J A ht).counit.app F)
this✝ : IsIso ((sheafToPresheaf J B).map f)
this : IsIso f

⊢ IsDiscrete J ht F
-- Mathlib/Data/Set/Pointwise/Basic.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : Group α
s t : Set α
a b : α

⊢ (fun x => x * b) ⁻¹' 1 = {b⁻¹}
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝ : DecidableEq α
a a✝ : α

⊢ a✝ ∈ insert a (Ioi a) ↔ a✝ ∈ Ici a
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α

⊢ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a), g.lintegral μ ≤ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a

⊢ g.lintegral μ ≤ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f

⊢ g.lintegral μ ≤ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => f a), g.lintegral (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f

⊢ g.lintegral μ = g.lintegral (μ.restrict s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f

⊢ ∑ x ∈ g.range, x * μ (↑g ⁻¹' {x}) = ∑ y ∈ g.range, y * μ (↑g ⁻¹' {y} ∩ s)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
t : ℝ≥0∞
H : ¬t = 0
x : α

⊢ x ∈ ↑g ⁻¹' {t} ↔ x ∈ ↑g ⁻¹' {t} ∩ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
t : ℝ≥0∞
H : ¬t = 0
x : α

⊢ ↑g x = t → x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
x : α
H : ¬↑g x = 0

⊢ x ∈ s
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
g : α →ₛ ℝ≥0∞
hg : ↑g ≤ fun a => s.indicator f a
this : ↑g ≤ f
x : α
H : x ∉ s

⊢ ↑g x = 0
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α

⊢ count a l = l.length ↔ ∀ (b : α), b ∈ l → a = b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α

⊢ (∀ (a_1 : α), a_1 ∈ l → (a_1 == a) = true) ↔ ∀ (b : α), b ∈ l → a = b
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : ∀ (a_1 : α), a_1 ∈ l → (a_1 == a) = true
b : α
hb : b ∈ l

⊢ b = a
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Count.lean
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : ∀ (b : α), b ∈ l → a = b
b : α
hb : b ∈ l

⊢ (b == a) = true
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : FiniteDimensional k V
n : ℕ
T : Simplex k V n
hrank : finrank k V = n

⊢ affineSpan k (Set.range T.points) = ⊤
-- Mathlib/Algebra/Order/Ring/Abs.lean
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a✝ b c a : α

⊢ 1 < a ^ 2 ↔ 1 < |a|
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ

⊢ Integrable (fun v => cexp (-∑ i : ι, b i * ↑(v i) ^ 2 + ∑ i : ι, c i * ↑(v i))) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ

⊢ Integrable (fun v => ∏ x : ι, cexp (-b x * ↑(v x) ^ 2 + c x * ↑(v x))) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ
i : ι

⊢ Integrable ((fun i v => cexp (-b i * ↑v ^ 2 + c i * ↑v)) i) volume
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Gaussian/FourierTransform.lean
b✝ : ℂ
V : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
ι : Type u_2
inst✝ : Fintype ι
b : ι → ℂ
hb : ∀ (i : ι), 0 < (b i).re
c : ι → ℂ
i : ι
x : ℝ

⊢ -b i * ↑x ^ 2 + c i * ↑x = -b i * ↑x ^ 2 + c i * ↑x + 0
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
lfa lga lfb lgb : ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)
h : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f x - (lfb - lfa) * g x

⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, (lgb - lga) * f' c = (lfb - lfa) * g' c
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
lfa lga lfb lgb : ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)
h : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f x - (lfb - lfa) * g x
hha : Tendsto h (𝓝[>] a) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))

⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, (lgb - lga) * f' c = (lfb - lfa) * g' c
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
lfa lga lfb lgb : ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)
h : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f x - (lfb - lfa) * g x
hha : Tendsto h (𝓝[>] a) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))
hhb : Tendsto h (𝓝[<] b) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))

⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, (lgb - lga) * f' c = (lfb - lfa) * g' c
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
lfa lga lfb lgb : ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)
h : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f x - (lfb - lfa) * g x
hha : Tendsto h (𝓝[>] a) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))
hhb : Tendsto h (𝓝[<] b) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))
h' : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f' x - (lfb - lfa) * g' x

⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, (lgb - lga) * f' c = (lfb - lfa) * g' c
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
lfa lga lfb lgb : ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)
h : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f x - (lfb - lfa) * g x
hha : Tendsto h (𝓝[>] a) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))
hhb : Tendsto h (𝓝[<] b) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))
h' : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f' x - (lfb - lfa) * g' x
hhh' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt h (h' x) x

⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, (lgb - lga) * f' c = (lfb - lfa) * g' c
-- Mathlib/Analysis/Calculus/MeanValue.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a < b
hfc : ContinuousOn f (Icc a b)
hff'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hfd : DifferentiableOn ℝ f (Ioo a b)
g g' : ℝ → ℝ
hgc : ContinuousOn g (Icc a b)
hgg'✝ : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hgd : DifferentiableOn ℝ g (Ioo a b)
lfa lga lfb lgb : ℝ
hff' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hgg' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt g (g' x) x
hfa : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 lfa)
hga : Tendsto g (𝓝[>] a) (𝓝 lga)
hfb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lfb)
hgb : Tendsto g (𝓝[<] b) (𝓝 lgb)
h : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f x - (lfb - lfa) * g x
hha : Tendsto h (𝓝[>] a) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))
hhb : Tendsto h (𝓝[<] b) (𝓝 (lgb * lfa - lfb * lga))
h' : ℝ → ℝ := fun x => (lgb - lga) * f' x - (lfb - lfa) * g' x
hhh' : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt h (h' x) x
c : ℝ
cmem : c ∈ Ioo a b
hc : h' c = 0

⊢ ∃ c ∈ Ioo a b, (lgb - lga) * f' c = (lfb - lfa) * g' c
-- Mathlib/Algebra/Group/Defs.lean
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m✝ n✝ : ℕ
a : M
m n : ℕ

⊢ (a ^ m) ^ n = (a ^ n) ^ m
-- Mathlib/Algebra/Algebra/Quasispectrum.lean
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
S : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R

⊢ (algebraMap R S) r ∈ quasispectrum S a ↔ r ∈ quasispectrum R a
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Real.lean
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : Nontrivial E
x : E
r : ℝ

⊢ interior (sphere x r) = ∅
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Polynomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set R

⊢ polynomialFunctions s = Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Polynomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set R

⊢ polynomialFunctions s ≤ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Polynomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set R
p : R[X]

⊢ ↑(toContinuousMapOnAlgHom s) p ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Polynomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set R
p : R[X]

⊢ (toContinuousMapOnAlgHom s) p ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Polynomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set R
p : R[X]
r : R

⊢ (toContinuousMapOnAlgHom s) (Polynomial.C r) ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Polynomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set R
p f g : R[X]
hf : (toContinuousMapOnAlgHom s) f ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
hg : (toContinuousMapOnAlgHom s) g ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}

⊢ (toContinuousMapOnAlgHom s) (f + g) ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
-- Mathlib/Topology/ContinuousFunction/Polynomial.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : TopologicalSpace R
inst✝ : TopologicalSemiring R
s : Set R
p : R[X]
n : ℕ
r : R
hn : (toContinuousMapOnAlgHom s) (Polynomial.C r * X ^ n) ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}

⊢ (toContinuousMapOnAlgHom s) (Polynomial.C r * X ^ (n + 1)) ∈ Algebra.adjoin R {(toContinuousMapOnAlgHom s) X}
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
hf : Function.Injective ⇑f
a : Rˣ
ha : χ ↑a ≠ 1

⊢ (χ.ringHomComp f).IsNontrivial
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
hf : Function.Injective ⇑f
a : Rˣ
ha : χ ↑a ≠ 1

⊢ (χ.ringHomComp f) ↑a ≠ 1
-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
hf : Function.Injective ⇑f
a : Rˣ
ha : χ ↑a ≠ 1

⊢ f (χ ↑a) ≠ f 1
-- Mathlib/Topology/LocallyFinite.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ g : ι → Set X
π : X → Sort u_6
f : ℕ → (x : X) → π x
U : X → Set X
hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | ((fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}) i ∩ U x).Nonempty}.Finite

⊢ ∃ F, ∀ (x : X), ∀ᶠ (p : ℕ × X) in atTop ×ˢ 𝓝 x, f p.1 p.2 = F p.2
-- Mathlib/Topology/LocallyFinite.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ g : ι → Set X
π : X → Sort u_6
f : ℕ → (x : X) → π x
U : X → Set X
hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | ((fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}) i ∩ U x).Nonempty}.Finite
N : X → ℕ
hN : ∀ (x : X), N x ∈ upperBounds {i | ((fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}) i ∩ U x).Nonempty}

⊢ ∃ F, ∀ (x : X), ∀ᶠ (p : ℕ × X) in atTop ×ˢ 𝓝 x, f p.1 p.2 = F p.2
-- Mathlib/Topology/LocallyFinite.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ g : ι → Set X
π : X → Sort u_6
f : ℕ → (x : X) → π x
U : X → Set X
hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | ((fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}) i ∩ U x).Nonempty}.Finite
N : X → ℕ
hN : ∀ (x : X), ∀ n > N x, ∀ y ∈ U x, f (n + 1) y = f n y

⊢ ∃ F, ∀ (x : X), ∀ᶠ (p : ℕ × X) in atTop ×ˢ 𝓝 x, f p.1 p.2 = F p.2
-- Mathlib/Topology/LocallyFinite.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ g : ι → Set X
π : X → Sort u_6
f : ℕ → (x : X) → π x
U : X → Set X
hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | ((fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}) i ∩ U x).Nonempty}.Finite
N : X → ℕ
hN : ∀ (x : X), ∀ n ≥ N x + 1, ∀ y ∈ U x, f n y = f (N x + 1) y

⊢ ∃ F, ∀ (x : X), ∀ᶠ (p : ℕ × X) in atTop ×ˢ 𝓝 x, f p.1 p.2 = F p.2
-- Mathlib/Topology/LocallyFinite.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ g : ι → Set X
π : X → Sort u_6
f : ℕ → (x : X) → π x
U : X → Set X
hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | ((fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}) i ∩ U x).Nonempty}.Finite
N : X → ℕ
hN : ∀ (x : X), ∀ n ≥ N x + 1, ∀ y ∈ U x, f n y = f (N x + 1) y
x : X

⊢ ∀ᶠ (p : ℕ × X) in atTop ×ˢ 𝓝 x, f p.1 p.2 = (fun x => f (N x + 1) x) p.2
-- Mathlib/Topology/LocallyFinite.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ g : ι → Set X
π : X → Sort u_6
f : ℕ → (x : X) → π x
U : X → Set X
hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | ((fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}) i ∩ U x).Nonempty}.Finite
N : X → ℕ
hN : ∀ (x : X), ∀ n ≥ N x + 1, ∀ y ∈ U x, f n y = f (N x + 1) y
x : X

⊢ ∀ a ∈ {x_1 | N x < x_1} ×ˢ U x, f a.1 a.2 = f (N a.2 + 1) a.2
-- Mathlib/Topology/LocallyFinite.lean
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f✝ g : ι → Set X
π : X → Sort u_6
f : ℕ → (x : X) → π x
U : X → Set X
hUx : ∀ (x : X), U x ∈ 𝓝 x
hU : ∀ (x : X), {i | ((fun n => {x | f (n + 1) x ≠ f n x}) i ∩ U x).Nonempty}.Finite
N : X → ℕ
hN : ∀ (x : X), ∀ n ≥ N x + 1, ∀ y ∈ U x, f n y = f (N x + 1) y
x : X
n : ℕ
y : X
hn : N x < n
hy : y ∈ U x

⊢ f (n, y).1 (n, y).2 = f (N (n, y).2 + 1) (n, y).2
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c

⊢ IsUniversalColimit c
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n

⊢ IsUniversalColimit c
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n

⊢ IsUniversalColimit (Cocone.whisker (Discrete.equivalence e).symm.functor c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Extensive.lean
J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X Y : C
inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
F : Discrete ι ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
n : ℕ
e : ι ≃ Fin n

⊢ IsColimit (Cocone.whisker (Discrete.equivalence e).symm.functor c)
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
h : a ∈ s

⊢ s ∩ {a} = {a}
-- Mathlib/Algebra/GroupWithZero/Semiconj.lean
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MulZeroClass G₀
x y : G₀

⊢ SemiconjBy 0 x y
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M A : Comon_ C

⊢ A.counit.op ▷ op A.X ≫ A.comul.op = (λ_ (op A.X)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M A : Comon_ C

⊢ (λ_ A.X).inv.op = (λ_ (op A.X)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M A : Comon_ C

⊢ op A.X ◁ A.counit.op ≫ A.comul.op = (ρ_ (op A.X)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M A : Comon_ C

⊢ (ρ_ A.X).inv.op = (ρ_ (op A.X)).hom
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M A : Comon_ C

⊢ A.comul.op ▷ op A.X ≫ A.comul.op = (α_ (op A.X) (op A.X) (op A.X)).hom ≫ op A.X ◁ A.comul.op ≫ A.comul.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Comon_.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M A : Comon_ C

⊢ (α_ A.X A.X A.X).inv.op ≫ (A.X ◁ A.comul).op ≫ A.comul.op = (α_ A.X A.X A.X).inv.op ≫ (A.comul ≫ A.X ◁ A.comul).op
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/ClosedImmersion.lean
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y

⊢ IsClosedImmersion f ↔ IsPreimmersion f ∧ IsClosed (Set.range ⇑f.val.base)
-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransform.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : CommRing 𝕜
V : Type u_2
inst✝¹² : AddCommGroup V
inst✝¹¹ : Module 𝕜 V
inst✝¹⁰ : MeasurableSpace V
W : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup W
inst✝⁸ : Module 𝕜 W
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℂ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℂ G
inst✝¹ : MeasurableAdd V
e : AddChar 𝕜 ↥𝕊
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddRightInvariant
L : V →ₗ[𝕜] W →ₗ[𝕜] 𝕜
f : V → E
v₀ : V
w : W

⊢ fourierIntegral e μ L (f ∘ fun v => v + v₀) w = e ((L v₀) w) • fourierIntegral e μ L f w