ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁸ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁴ : G.IsContinuous J K
inst✝³ : HasWeakSheafify J A
inst✝² : HasWeakSheafify K A
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Dᵒᵖ ⥤ A
adj₁ : (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op ⊣ G.op.ran := G.op.ranAdjunction A
adj₂ : presheafToSheaf J A ⊣ sheafToPresheaf J A := sheafificationAdjunction J A
adj₃ : presheafToSheaf K A ⊣ sheafToPresheaf K A := sheafificationAdjunction K A
adj₄ : G.sheafPushforwardContinuous A J K ⊣ G.sheafPushforwardCocontinuous A J K := G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K
eq : adj₁.unit.app F ≫ G.op.ran.map (adj₂.unit.app (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F)) ≫ G.op.ran.map ((sheafToPresheaf J A).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F)) = adj₃.unit.app F ≫ (sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F))

⊢ ((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F) ≫ ((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map ((sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F))) ≫ adj₁.counit.app ((G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj ((presheafToSheaf K A).obj F)).val = ((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₃.unit.app F) ≫ ((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).map (adj₁.unit.app ((presheafToSheaf K A ⋙ sheafToPresheaf K A).obj F)) ≫ adj₁.counit.app ((G.sheafPushforwardContinuous A J K).obj ((presheafToSheaf K A).obj F)).val
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁹ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝⁸ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝⁷ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁶ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
inst✝⁵ : G.IsCocontinuous J K
inst✝⁴ : G.IsContinuous J K
inst✝³ : HasWeakSheafify J A
inst✝² : HasWeakSheafify K A
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : G.IsContinuous J K
F : Dᵒᵖ ⥤ A
adj₁ : (whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op ⊣ G.op.ran := G.op.ranAdjunction A
adj₂ : presheafToSheaf J A ⊣ sheafToPresheaf J A := sheafificationAdjunction J A
adj₃ : presheafToSheaf K A ⊣ sheafToPresheaf K A := sheafificationAdjunction K A
adj₄ : G.sheafPushforwardContinuous A J K ⊣ G.sheafPushforwardCocontinuous A J K := G.sheafAdjunctionCocontinuous A J K
eq : adj₁.unit.app F ≫ G.op.ran.map (adj₂.unit.app (((whiskeringLeft Cᵒᵖ Dᵒᵖ A).obj G.op).obj F)) ≫ G.op.ran.map ((sheafToPresheaf J A).map (((adj₁.comp adj₂).leftAdjointUniq (adj₃.comp adj₄)).hom.app F)) = adj₃.unit.app F ≫ (sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F))

⊢ (sheafToPresheaf K A).map (adj₄.unit.app ((presheafToSheaf K A).obj F)) = adj₁.unit.app ((presheafToSheaf K A ⋙ sheafToPresheaf K A).obj F)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
s : Set α
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : Integrable f μ

⊢ ↑↑(condexpL1 hm μ f) =ᶠ[ae μ] f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
s : Set α
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : Integrable f μ

⊢ ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Integrable.toL1 f hfi)) =ᶠ[ae μ] f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
s : Set α
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : Integrable f μ

⊢ ↑↑((condexpL1CLM F' hm μ) (Integrable.toL1 f hfi)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(Integrable.toL1 f hfi)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹¹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁵ : CompleteSpace F'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace ℝ G'
inst✝¹ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f g : α → F'
s : Set α
hfm : AEStronglyMeasurable' m f μ
hfi : Integrable f μ

⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(Integrable.toL1 f hfi)) μ
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ

⊢ exponent G ∣ n ↔ ∀ (g : G), g ^ n = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G

⊢ exponent G ∣ 0 ↔ ∀ (g : G), g ^ 0 = 1
-- Mathlib/GroupTheory/Exponent.lean
G : Type u
inst✝ : Monoid G
n : ℕ
hpos : n > 0

⊢ exponent G ∣ n ↔ ∀ (g : G), g ^ n = 1
-- Mathlib/RingTheory/HahnSeries/Addition.lean
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : (HahnSeries Γ R)ᵃᵒᵖ

⊢ (addOppositeEquiv.symm x).support = (AddOpposite.unop x).support
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/ZPowers.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_3
inst✝ : Group N
z : ℤ

⊢ z ∈ AddSubgroup.zmultiples 1 ↔ z ∈ ⊤
-- Mathlib/MeasureTheory/MeasurableSpace/Card.lean
α : Type u
s : Set (Set α)
i : (Quotient.out (aleph 1).ord).α
f : ℕ → Set α
hf : ∀ (n : ℕ), ∃ j < i, f n ∈ generateMeasurableRec s j

⊢ ⋃ n, f n ∈ let i := i; let S := ⋃ j, generateMeasurableRec s ↑j; s ∪ {∅} ∪ compl '' S ∪ range fun f => ⋃ n, ↑(f n)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s✝ : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w : ι → 𝕜
p : ι → E
x y z : E
s : Finset E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) ↑s) f
hx : x ∈ (convexHull 𝕜) ↑s

⊢ f x ≤ s.sup' ⋯ f
-- Mathlib/Analysis/Convex/Jensen.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
β : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s✝ : Set E
f : E → β
t : Finset ι
w✝ : ι → 𝕜
p : ι → E
y z : E
s : Finset E
hf : ConvexOn 𝕜 ((convexHull 𝕜) ↑s) f
w : E → 𝕜
hw₀ : ∀ y ∈ s, 0 ≤ w y
hw₁ : ∑ y ∈ s, w y = 1
hx : s.centerMass w _root_.id ∈ (convexHull 𝕜) ↑s

⊢ f (s.centerMass w _root_.id) ≤ s.sup' ⋯ f
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/MeasurableStieltjes.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
hf : Measurable f
a : α

⊢ IsRatStieltjesPoint (toRatCDF f) a
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : o.oangle x y = ↑(π / 2)

⊢ (o.oangle (x - y) x).tan * ‖x‖ = ‖y‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
h : (-o).oangle y x = ↑(π / 2)

⊢ ((-o).oangle x (x - y)).tan * ‖x‖ = ‖y‖
-- Mathlib/Computability/DFA.lean
α : Type u
σ : Type v
M : DFA α σ
s : σ
x : List α
a : α

⊢ M.evalFrom s (x ++ [a]) = M.step (M.evalFrom s x) a
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x : M

⊢ (lift S g h) (mk x 1) = g x
-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule.lean
R : Type u_1
inst✝¹¹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝⁷ : CommSemiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Module A M'
inst✝⁴ : IsLocalization S A
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module R M''
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g✝ g : M →ₗ[R] M''
h : ∀ (x : ↥S), IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M'')) ↑x)
x : M

⊢ ↑⋯.unit⁻¹ (g x) = g x
-- Mathlib/Data/Matrix/Notation.lean
α : Type u
o n m : ℕ
m' : Type uₘ
n' : Type uₙ
o' : Type uₒ
a b : ℕ
inst✝¹ : AddCommMonoid α
inst✝ : Mul α
a₀ a₁ a₂ b₀ b₁ b₂ : α

⊢ ![a₀, a₁, a₂] ⬝ᵥ ![b₀, b₁, b₂] = a₀ * b₀ + a₁ * b₁ + a₂ * b₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : q.degree < p.degree

⊢ (p + q).coeff p.natDegree ≠ 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Degree/Definitions.lean
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ p q : R[X]
ι : Type u_1
h : q.degree < p.degree

⊢ p.coeff p.natDegree ≠ 0
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (n : ℕ), s.φ f n = s.φ g n
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ

⊢ f.app Δ = g.app Δ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (n : ℕ), s.φ f n = s.φ g n
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ

⊢ ∀ (A : IndexSet Δ), (s.cofan Δ).inj A ≫ f.app Δ = (s.cofan Δ).inj A ≫ g.app Δ
-- Mathlib/AlgebraicTopology/SplitSimplicialObject.lean
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X Y : SimplicialObject C
s : Splitting X
f g : X ⟶ Y
h : ∀ (n : ℕ), s.φ f n = s.φ g n
n : ℕ
A : IndexSet (op [n])

⊢ (s.cofan (op [n])).inj A ≫ f.app (op [n]) = (s.cofan (op [n])).inj A ≫ g.app (op [n])
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hm : φ.IsHomogeneous m
hn : φ.IsHomogeneous n
hφ : φ ≠ 0

⊢ m = n
-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
φ ψ : MvPolynomial σ R
m n : ℕ
hm : φ.IsHomogeneous m
hn : φ.IsHomogeneous n
hφ : φ ≠ 0
d : σ →₀ ℕ
hd : coeff d φ ≠ 0

⊢ m = n
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLinearEquiv.lean
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
R : Type u_2
M✝ : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
M : Matrix n n A

⊢ M.Nondegenerate ↔ M.det ≠ 0
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLinearEquiv.lean
n : Type u_1
inst✝⁶ : Fintype n
R : Type u_2
M✝ : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M✝
inst✝³ : Module R M✝
A : Type u_4
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : IsDomain A
M : Matrix n n A

⊢ M.Nondegenerate ↔ ¬∃ v, v ≠ 0 ∧ v ᵥ* M = 0
-- Mathlib/Data/Int/AbsoluteValue.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : LinearOrderedCommRing S
inst✝ : Nontrivial R
abv : AbsoluteValue R S
x : ℤˣ

⊢ abv ↑↑x = 1
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (C ⥤ D)ᵒᵖ
f : F ⟶ G

⊢ f ≫ (NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop G).obj X)) ⋯).hom.op = (NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop F).obj X)) ⋯).hom.op ≫ Quiver.Hom.op { app := fun X => f.unop.app X, naturality := ⋯ }
-- Mathlib/CategoryTheory/Opposites.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (C ⥤ D)ᵒᵖ
f : F ⟶ G

⊢ ((NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop G).obj X)) ⋯).hom ≫ f.unop).op = ({ app := fun X => f.unop.op.unop.app X, naturality := ⋯ } ≫ (NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop F).obj X)) ⋯).hom).op
-- Mathlib/Topology/Basic.lean
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)

⊢ interior (⋂₀ S) = interior (⋂ s ∈ S, s)
-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : MulOneClass α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b : α

⊢ a * b < a ↔ a * b < a * 1
-- Mathlib/Algebra/Order/Chebyshev.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedRing α
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
inst✝ : Fintype ι
hfg : Antivary f g

⊢ Fintype.card ι • ∑ i : ι, f i • g i ≤ (∑ i : ι, f i) • ∑ i : ι, g i
-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
p q : ℤ
hpq : p + n' = q

⊢ ((γ₁ + γ₂).leftShift a n' hn').v p q hpq = (γ₁.leftShift a n' hn').v p q hpq + (γ₂.leftShift a n' hn').v p q hpq
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Sphere.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
t₁ t₂ : Triangle ℝ P
i₁ i₂ i₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁ : t₁.points i₁ = t₂.points i₁
h₃ : t₁.points i₃ = t₂.points i₃
h₂ : 2 • ∡ (t₁.points i₁) (t₁.points i₂) (t₁.points i₃) = 2 • ∡ (t₂.points i₁) (t₂.points i₂) (t₂.points i₃)

⊢ Simplex.circumsphere t₁ = Simplex.circumsphere t₂
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : ∀ (f : α → Bool), ContinuousOn f s → ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y

⊢ ∀ (u v : Set α), IsOpen u → IsOpen v → s ⊆ u ∪ v → (s ∩ u).Nonempty → (s ∩ v).Nonempty → (s ∩ (u ∩ v)).Nonempty
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u v s : Set α
hs : ∀ (f : α → Bool), ContinuousOn f s → ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y
this : ∃ u v, IsOpen u ∧ IsOpen v ∧ s ⊆ u ∪ v ∧ (s ∩ u).Nonempty ∧ (s ∩ v).Nonempty ∧ s ∩ (u ∩ v) = ∅

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ s : Set α
hs : ∀ (f : α → Bool), ContinuousOn f s → ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y
u v : Set α
u_op : IsOpen u
v_op : IsOpen v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
x : α
x_in_s : x ∈ s
x_in_u : x ∈ u
H : s ∩ (u ∩ v) = ∅
y : α
y_in_s : y ∈ s
y_in_v : y ∈ v

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ s : Set α
hs : ∀ (f : α → Bool), ContinuousOn f s → ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y
u v : Set α
u_op : IsOpen u
v_op : IsOpen v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
x : α
x_in_s : x ∈ s
x_in_u : x ∈ u
H : s ∩ (u ∩ v) = ∅
y : α
y_in_s : y ∈ s
y_in_v : y ∈ v
hy : y ∉ u

⊢ False
-- Mathlib/Topology/Connected/Clopen.lean
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v✝ s : Set α
hs : ∀ (f : α → Bool), ContinuousOn f s → ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, f x = f y
u v : Set α
u_op : IsOpen u
v_op : IsOpen v
hsuv : s ⊆ u ∪ v
x : α
x_in_s : x ∈ s
x_in_u : x ∈ u
H : s ∩ (u ∩ v) = ∅
y : α
y_in_s : y ∈ s
y_in_v : y ∈ v
hy : y ∉ u
this : ContinuousOn u.boolIndicator s

⊢ False
-- Mathlib/Algebra/Ring/CentroidHom.lean
F : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
g f₁ f₂ : CentroidHom α
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α

⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Type.lean
α : Type u_1
inst✝ : Fintype α
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hα : ¬p ∣ Fintype.card α
σ : Perm α
hσ : σ ^ p ^ n = 1

⊢ ∃ a, σ a = a
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
hst : t ⊆ s

⊢ eVariationOn f t ≤ eVariationOn f s
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
hst : t ⊆ s

⊢ ∀ (i : ℕ × { u // Monotone u ∧ ∀ (i : ℕ), u i ∈ t }), ∑ i_1 ∈ Finset.range i.1, edist (f (↑i.2 (i_1 + 1))) (f (↑i.2 i_1)) ≤ eVariationOn f s
-- Mathlib/Analysis/BoundedVariation.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s t : Set α
hst : t ⊆ s
n : ℕ
u : ℕ → α
hu : Monotone u
ut : ∀ (i : ℕ), u i ∈ t

⊢ ∑ i ∈ Finset.range (n, ⟨u, ⋯⟩).1, edist (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 (i + 1))) (f (↑(n, ⟨u, ⋯⟩).2 i)) ≤ eVariationOn f s
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
F : ℕ → R := fun n => ∑' (e : ℕ), f (n ^ e)

⊢ HasProd (F ∘ Subtype.val) (∑' (n : ℕ), f n)
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
F : ℕ → R := fun n => ∑' (e : ℕ), f (n ^ e)

⊢ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (∏ b ∈ n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F b) (∑' (n : ℕ), f n) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
F : ℕ → R := fun n => ∑' (e : ℕ), f (n ^ e)
ε : ℝ
hε : ε > 0

⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (∏ b ∈ n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F b) (∑' (n : ℕ), f n) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
F : ℕ → R := fun n => ∑' (e : ℕ), f (n ^ e)
ε : ℝ
hε : ε > 0
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ (s : Finset ℕ), N₀.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε

⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, dist (∏ b ∈ n, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F b) (∑' (n : ℕ), f n) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
F : ℕ → R := fun n => ∑' (e : ℕ), f (n ^ e)
ε : ℝ
hε : ε > 0
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ (s : Finset ℕ), N₀.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε
s : Finset ℕ
hs : s ≥ range N₀

⊢ dist (∏ b ∈ s, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F b) (∑' (n : ℕ), f n) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
F : ℕ → R := fun n => ∑' (e : ℕ), f (n ^ e)
ε : ℝ
hε : ε > 0
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ (s : Finset ℕ), N₀.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε
s : Finset ℕ
hs : s ≥ range N₀
this : ∏ p ∈ s, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F p = ∏ p ∈ filter Nat.Prime s, F p

⊢ dist (∏ b ∈ s, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F b) (∑' (n : ℕ), f n) < ε
-- Mathlib/NumberTheory/EulerProduct/Basic.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : NormedCommRing R
inst✝ : CompleteSpace R
f : ℕ → R
hf₁ : f 1 = 1
hmul : ∀ {m n : ℕ}, m.Coprime n → f (m * n) = f m * f n
hsum : Summable fun x => ‖f x‖
hf₀ : f 0 = 0
F : ℕ → R := fun n => ∑' (e : ℕ), f (n ^ e)
ε : ℝ
hε : ε > 0
N₀ : ℕ
hN₀ : ∀ (s : Finset ℕ), N₀.primesBelow ≤ s → ‖∑' (m : ℕ), f m - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε
s : Finset ℕ
hs : s ≥ range N₀
this : ∏ p ∈ s, {p | Nat.Prime p}.mulIndicator F p = ∏ p ∈ filter Nat.Prime s, F p

⊢ ‖∑' (n : ℕ), f n - ∑' (m : ↑(factoredNumbers s)), f ↑m‖ < ε
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Multilinear/Basic.lean
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁵ : Fintype ι
inst✝¹⁴ : Fintype ι'
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹² : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁸ : (i : ι') → SeminormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁷ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁶ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
c : 𝕜
f g : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E G
m : (i : ι) → E i
𝕜' : Type u_1
inst✝² : NormedField 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' G
inst✝ : SMulCommClass 𝕜 𝕜' G

⊢ IsLeast {C | ∀ (m : (i : ι) → E i), ‖f m‖₊ ≤ C * ∏ i : ι, ‖m i‖₊} ‖f‖₊
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι
f✝ g : α → β
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
inst✝ : One β
f : α → β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : mulSupport f ⊆ k
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β

⊢ StronglyMeasurable f
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁸ : Countable ι
f✝ g : α → β
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : OpensMeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : PseudoMetrizableSpace β
inst✝¹ : BorelSpace β
inst✝ : One β
f : α → β
hf : Continuous f
k : Set α
hk : IsCompact k
h'f : mulSupport f ⊆ k
this : PseudoMetricSpace β := pseudoMetrizableSpacePseudoMetric β

⊢ Measurable f ∧ IsSeparable (range f)
-- Mathlib/Topology/Order/NhdsSet.lean
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : OrderClosedTopology α
a b c d : α
h : a < b

⊢ 𝓝ˢ (Ico a b) = 𝓝 a ⊔ 𝓟 (Ioo a b)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/LeftHomology.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.LeftHomologyData
inst✝ : S.HasLeftHomology

⊢ cyclesMap' (𝟙 S) S.leftHomologyData h ≫ h.i = S.leftHomologyData.i
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : MulAction G α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
ν : Measure α
inst✝³ : Countable G
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α ν
inst✝ : MeasurableSMul G α
μ : Measure (Quotient α_mod_G)
s : Set α
fund_dom_s : IsFundamentalDomain G s ν
h : μ = Measure.map (Quotient.mk α_mod_G) (ν.restrict s)

⊢ QuotientMeasureEqMeasurePreimage ν μ