ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/LinearAlgebra/Reflection.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx

⊢ x = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Reflection.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx
hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ

⊢ x = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Reflection.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx
hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ
hsxy : ∀ (n : ℕ), (⇑sxy)^[n] y = y + (2 * ↑n) • (x - y)

⊢ x = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Reflection.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx
hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ
hsxy : ∀ (n : ℕ), (⇑sxy)^[n] y = y + (2 * ↑n) • (x - y)
f' : ℕ → ↑Φ := fun n => ⟨(⇑sxy)^[n] y, ⋯⟩

⊢ x = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Reflection.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx
hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ
hsxy : ∀ (n : ℕ), (⇑sxy)^[n] y = y + (2 * ↑n) • (x - y)
f' : ℕ → ↑Φ := fun n => ⟨(⇑sxy)^[n] y, ⋯⟩
this : ¬Injective f'

⊢ x = y
-- Mathlib/LinearAlgebra/Reflection.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx
hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ
hsxy : ∀ (n : ℕ), (⇑sxy)^[n] y = y + (2 * ↑n) • (x - y)
f' : ℕ → ↑Φ := fun n => ⟨(⇑sxy)^[n] y, ⋯⟩
this : x ≠ y

⊢ Injective f'
-- Mathlib/LinearAlgebra/Reflection.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx
hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ
hsxy : ∀ (n : ℕ), (⇑sxy)^[n] y = y + (2 * ↑n) • (x - y)
f' : ℕ → ↑Φ := fun n => ⟨(⇑sxy)^[n] y, ⋯⟩
this : x ≠ y
n m : ℕ
hnm : f' n = f' m

⊢ n = m
-- Mathlib/LinearAlgebra/Reflection.lean
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
x : M
f : Dual R M
y : M
g : Dual R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors ℤ M
Φ : Set M
hΦ : _root_.Finite ↑Φ
hfx : f x = 2
hgy : g y = 2
hgx : g x = 2
hfy : f y = 2
hxfΦ : MapsTo (⇑(preReflection x f)) Φ Φ
hygΦ : MapsTo (⇑(preReflection y g)) Φ Φ
hyΦ : y ∈ Φ
sxy : M ≃ₗ[R] M := reflection hgy ≪≫ₗ reflection hfx
hb : BijOn (⇑sxy) Φ Φ
hsxy : ∀ (n : ℕ), (⇑sxy)^[n] y = y + (2 * ↑n) • (x - y)
f' : ℕ → ↑Φ := fun n => ⟨(⇑sxy)^[n] y, ⋯⟩
this : x ≠ y
n m : ℕ
hnm : 2 * ↑n = 2 * ↑m ∨ x = y

⊢ n = m
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSpace/DomAct/Basic.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
α : Type u_3
E : Type u_4
inst✝⁶ : MeasurableSpace M
inst✝⁵ : MeasurableSpace N
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝² : SMul M α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure M α μ
inst✝ : MeasurableSMul M α
c : M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
b : E

⊢ μ ((fun x => c • x) ⁻¹' s) ≠ ⊤
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/NaturalOps.lean
a b c : Ordinal.{u}

⊢ a ♯ succ b = succ (a ♯ b)
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Typeclasses.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ✝ ν ν₁✝ ν₂✝ : Measure α
s t : Set α
μ ν₁ ν₂ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ

⊢ ν₁ + μ = ν₂ + μ ↔ ν₁ = ν₂
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Derivative.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p : R[X]
x : R

⊢ eval x (derivative p) = p.sum fun n a => a * ↑n * x ^ (n - 1)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
p i : Fin (n + 1)
h : i < p
hp : optParam (p ≠ 0) ⋯
hi : optParam (i ≠ last n) ⋯

⊢ (p.pred hp).predAbove i = i.castPred hi
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m : Multiset α
a : α
r : α → α → Prop
n : ℕ
h : Rel r (replicate n a) m
x : α
hx : x ∈ m

⊢ r a x
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r✝ : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
m : Multiset α
a : α
r : α → α → Prop
n : ℕ
h : Rel r (replicate n a) m
x : α
hx : x ∈ m
b : α
hb1 : b ∈ replicate n a
hb2 : flip r x b

⊢ r a x
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)

⊢ (N.comap f).Indep I ↔ N.Indep (f '' I)
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)

⊢ N.Indep (f '' I) → InjOn f I
-- Mathlib/Data/Matroid/Map.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
hf : InjOn f (f ⁻¹' N.E)
hi : N.Indep (f '' I)

⊢ I ⊆ f ⁻¹' (f '' I)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
hA : IsLeftRegular A.det
hB : IsLeftRegular B.det

⊢ (A * B).adjugate = B.adjugate * A.adjugate
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
hA : IsLeftRegular A.det
hB : IsLeftRegular B.det
hAB : IsLeftRegular (A * B).det

⊢ (A * B).adjugate = B.adjugate * A.adjugate
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
hA : IsLeftRegular A.det
hB : IsLeftRegular B.det
hAB : IsLeftRegular (A * B).det

⊢ (fun x => A * B * x) (A * B).adjugate = (fun x => A * B * x) (B.adjugate * A.adjugate)
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Adjugate.lean
m : Type u
n : Type v
α : Type w
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
hA : IsLeftRegular A.det
hB : IsLeftRegular B.det
hAB : IsLeftRegular (A * B).det

⊢ A * B * (A * B).adjugate = A * B * (B.adjugate * A.adjugate)
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℝ

⊢ ρ.IicSnd r ≤ ρ.fst
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℝ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ (ρ.IicSnd r) s ≤ ρ.fst s
-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CondCdf.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)
r : ℝ
s : Set α
hs : MeasurableSet s

⊢ ρ (s ×ˢ Iic r) ≤ ρ (Prod.fst ⁻¹' s)
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Zero α
inst✝² : One α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : One β
f : α → β
h₀ : f 0 = 0
h₁ : f 1 = 1
i✝ j✝ : n

⊢ map 1 f i✝ j✝ = 1 i✝ j✝
-- Mathlib/Data/Matrix/Basic.lean
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Zero α
inst✝² : One α
inst✝¹ : Zero β
inst✝ : One β
f : α → β
h₀ : f 0 = 0
h₁ : f 1 = 1
i✝ j✝ : n

⊢ f (if i✝ = j✝ then 1 else 0) = if i✝ = j✝ then 1 else 0
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
δ K ε a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), f' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, (z - x)⁻¹ * (f z - f x) < r
ha : f a ≤ δ
bound : ∀ x ∈ Ico a b, f' x ≤ K * f x + ε
H : ∀ x ∈ Icc a b, ∀ ε' ∈ Ioi ε, f x ≤ gronwallBound δ K ε' (x - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b

⊢ f x ≤ (fun ε' => gronwallBound δ K ε' (x - a)) ε
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
δ K ε a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), f' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, (z - x)⁻¹ * (f z - f x) < r
ha : f a ≤ δ
bound : ∀ x ∈ Ico a b, f' x ≤ K * f x + ε
H : ∀ x ∈ Icc a b, ∀ ε' ∈ Ioi ε, f x ≤ gronwallBound δ K ε' (x - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b

⊢ ε ∈ closure (Ioi ε)
-- Mathlib/Analysis/ODE/Gronwall.lean
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f f' : ℝ → ℝ
δ K ε a b : ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc a b)
hf' : ∀ x ∈ Ico a b, ∀ (r : ℝ), f' x < r → ∃ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[>] x, (z - x)⁻¹ * (f z - f x) < r
ha : f a ≤ δ
bound : ∀ x ∈ Ico a b, f' x ≤ K * f x + ε
H : ∀ x ∈ Icc a b, ∀ ε' ∈ Ioi ε, f x ≤ gronwallBound δ K ε' (x - a)
x : ℝ
hx : x ∈ Icc a b

⊢ ContinuousWithinAt (fun y => gronwallBound δ K y (x - a)) (Ioi ε) ε
-- Mathlib/Algebra/Order/Module/Defs.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : SMulZeroClass α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : PosSMulReflectLT α β
h : 0 < a • b
ha : 0 ≤ a

⊢ a • 0 < a • b
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius

⊢ 0 ≤ ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₂ s.center ≤ s.radius
h : 0 < ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ

⊢ 0 ≤ ⟪p₁ -ᵥ p₂, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Basic.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Sphere P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : dist p₁ s.center ≤ s.radius

⊢ 0 ≤ ⟪p₁ -ᵥ p₁, p₁ -ᵥ s.center⟫_ℝ
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/GaussSum.lean
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Fintype F
inst✝³ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
F' : Type u_2
inst✝² : Field F'
inst✝¹ : Fintype F'
inst✝ : DecidableEq F'
hF' : ringChar F' ≠ 2
h : ringChar F' ≠ ringChar F
χ : MulChar F F' := (quadraticChar F).ringHomComp (algebraMap ℤ F')

⊢ (quadraticChar F) ↑(Fintype.card F') = (quadraticChar F') (↑((quadraticChar F) (-1)) * ↑(Fintype.card F))
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/GaussSum.lean
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Fintype F
inst✝³ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
F' : Type u_2
inst✝² : Field F'
inst✝¹ : Fintype F'
inst✝ : DecidableEq F'
hF' : ringChar F' ≠ 2
h : ringChar F' ≠ ringChar F
χ : MulChar F F' := (quadraticChar F).ringHomComp (algebraMap ℤ F')
hχ₁ : χ ≠ 1

⊢ (quadraticChar F) ↑(Fintype.card F') = (quadraticChar F') (↑((quadraticChar F) (-1)) * ↑(Fintype.card F))
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/GaussSum.lean
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Fintype F
inst✝³ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
F' : Type u_2
inst✝² : Field F'
inst✝¹ : Fintype F'
inst✝ : DecidableEq F'
hF' : ringChar F' ≠ 2
h✝ : ringChar F' ≠ ringChar F
χ : MulChar F F' := (quadraticChar F).ringHomComp (algebraMap ℤ F')
hχ₁ : χ ≠ 1
h : (χ (-1) * ↑(Fintype.card F)) ^ (Fintype.card F' / 2) = χ ↑(Fintype.card F')

⊢ (quadraticChar F) ↑(Fintype.card F') = (quadraticChar F') (↑((quadraticChar F) (-1)) * ↑(Fintype.card F))
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/QuadraticChar/GaussSum.lean
F : Type u_1
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Fintype F
inst✝³ : DecidableEq F
hF : ringChar F ≠ 2
F' : Type u_2
inst✝² : Field F'
inst✝¹ : Fintype F'
inst✝ : DecidableEq F'
hF' : ringChar F' ≠ 2
h✝ : ringChar F' ≠ ringChar F
χ : MulChar F F' := (quadraticChar F).ringHomComp (algebraMap ℤ F')
hχ₁ : χ ≠ 1
h : ↑((quadraticChar F') (χ (-1) * ↑(Fintype.card F))) = χ ↑(Fintype.card F')

⊢ (quadraticChar F) ↑(Fintype.card F') = (quadraticChar F') (↑((quadraticChar F) (-1)) * ↑(Fintype.card F))
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f

⊢ y ∈ periodicOrbit f x ↔ ∃ n, f^[n] x = y
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f

⊢ (∃ a < minimalPeriod f x, f^[a] x = y) ↔ ∃ n, f^[n] x = y
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f

⊢ (∃ n, f^[n] x = y) → ∃ a < minimalPeriod f x, f^[a] x = y
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x : α
m n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n : ℕ

⊢ ∃ a < minimalPeriod f x, f^[a] x = f^[n] x
-- Mathlib/Dynamics/PeriodicPts.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x : α
m n✝ : ℕ
hx : x ∈ periodicPts f
n : ℕ

⊢ f^[n % minimalPeriod f x] x = f^[n] x
-- Mathlib/Data/Nat/PrimeFin.lean
a b k m n✝ p n : ℕ

⊢ n.primeFactors.Nonempty ↔ 1 < n
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.83140, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.s = s'.s

⊢ s = s'
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.83140, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.s = s'.s
this : Mono S.f

⊢ s = s'
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.83140, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.s = s'.s
this : Mono S.f
eq : s.r ≫ S.f + S.g ≫ s.s = 𝟙 S.X₂

⊢ s = s'
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/Exact.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.83140, u_2} D
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Preadditive D
S : ShortComplex C
s s' : S.Splitting
h : s.s = s'.s
this : Mono S.f
eq : s.r = s'.r

⊢ s = s'
-- Mathlib/Data/Real/Basic.lean
x y : ℝ

⊢ Real.zero.cauchy = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
s s' : Finset α
t t' : Finset β
a : α
b✝ b : β
x : α
y : β

⊢ (x, y) ∈ s ×ˢ {b} ↔ (x, y) ∈ map { toFun := fun i => (i, b), inj' := ⋯ } s
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
h : TendstoUniformlyOn F f p s
g : γ → α

⊢ TendstoUniformlyOn (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p (g ⁻¹' s)
-- Mathlib/Topology/UniformSpace/UniformConvergence.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g✝ : ι → α
h : TendstoUniformlyOnFilter F f p (𝓟 s)
g : γ → α

⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n => F n ∘ g) (f ∘ g) p (𝓟 (g ⁻¹' s))
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X : C
inst✝ : IsGalois X
x y : ↑(F.obj X)

⊢ ∃ g, g • x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X : C
inst✝ : IsGalois X
x y : ↑(F.obj X)
φ : Aut X
h : φ • x = y

⊢ ∃ g, g • x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X : C
inst✝ : IsGalois X
x y : ↑(F.obj X)
φ : Aut X
h : φ • x = y
a : AutGalois F
ha : (AutGalois.π F { obj := X, pt := x, isGalois := ⋯ }) a = φ

⊢ ∃ g, g • x = y
-- Mathlib/CategoryTheory/Galois/Prorepresentability.lean
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
X : C
inst✝ : IsGalois X
x y : ↑(F.obj X)
φ : Aut X
h : φ • x = y
a : AutGalois F
ha : (AutGalois.π F { obj := X, pt := x, isGalois := ⋯ }) a = φ

⊢ (autMulEquivAutGalois F).symm { unop' := a } • x = y
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p x y : α
h : Prime p
i : ℕ
hxy : p ^ (i + 1) ∣ x * y

⊢ p ^ (i + 1) ∣ x ∨ p ∣ y
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p x y : α
h : Prime p
i : ℕ
hxy : p ^ (i + 1) ∣ x * y

⊢ ¬p ∣ y → p ^ (i + 1) ∣ x
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p y : α
h : Prime p
hy : ¬p ∣ y
i : ℕ
ih : ∀ {x : α}, p ^ (i + 1) ∣ x * y → p ^ (i + 1) ∣ x
x : α
hxy : p ^ (i + 1 + 1) ∣ x * y

⊢ p ^ (i + 1 + 1) ∣ x
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p y : α
h : Prime p
hy : ¬p ∣ y
i : ℕ
ih : ∀ {x : α}, p ^ (i + 1) ∣ x * y → p ^ (i + 1) ∣ x
x : α
hxy : p * p ^ (i + 1) ∣ x * y

⊢ p * p ^ (i + 1) ∣ x
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p y : α
h : Prime p
hy : ¬p ∣ y
i : ℕ
ih : ∀ {x : α}, p ^ (i + 1) ∣ x * y → p ^ (i + 1) ∣ x
x' : α
hxy : p * p ^ (i + 1) ∣ p * x' * y

⊢ p * p ^ (i + 1) ∣ p * x'
-- Mathlib/Algebra/Associated/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
α : Type u_5
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p y : α
h : Prime p
hy : ¬p ∣ y
i : ℕ
ih : ∀ {x : α}, p ^ (i + 1) ∣ x * y → p ^ (i + 1) ∣ x
x' : α
hxy : p * p ^ (i + 1) ∣ p * (x' * y)

⊢ p * p ^ (i + 1) ∣ p * x'
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalDiffeomorph.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f

⊢ IsLocalHomeomorph f
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalDiffeomorph.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
hf : IsLocalDiffeomorph I J n f

⊢ IsLocalHomeomorphOn f univ
-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalDiffeomorph.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
H : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
G : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace G
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
M : Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
N : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
n : ℕ∞
f : M → N
s : Set M
x : M
hf : IsLocalDiffeomorphOn I J n f univ

⊢ IsLocalHomeomorphOn f univ
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : PartialOrder α
inst✝² : PartialOrder β
inst✝¹ : BoundedOrder α
inst✝ : BoundedOrder β
f : α ≃o β

⊢ IsSimpleOrder α ↔ IsSimpleOrder β
-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Basic.lean
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : Algebra R S₁
inst✝ : CommSemiring S₂
f : σ → S₁
s : Set S₁

⊢ Algebra.adjoin R s = (aeval Subtype.val).range
-- Mathlib/Data/List/Sym.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α

⊢ xs.sym2.length = (xs.length + 1).choose 2
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup β
hp_top : p ≠ ⊤
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0

⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ⊤ ∧ eLpNorm (sᶜ.indicator f) p μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f : α → β
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_top : 0 ≠ ⊤
hf : Memℒp f 0 μ

⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ⊤ ∧ eLpNorm (sᶜ.indicator f) 0 μ < ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/Basic.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup β
hp_top : p ≠ ⊤
f : α → β
hf : Memℒp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp₀ : p ≠ 0

⊢ ∃ s, MeasurableSet s ∧ μ s < ⊤ ∧ eLpNorm (sᶜ.indicator f) p μ < ε
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/IsometricSMul.lean
M : Type u
G : Type v
X : Type w
inst✝³ : PseudoMetricSpace X
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G X
inst✝ : IsometricSMul G X
c : G
x : X
r : ℝ

⊢ (fun x => c • x) ⁻¹' ball x r = ball (c⁻¹ • x) r
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α

⊢ univ.inf' ⋯ f = ⨅ i, f i
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/ConeCategory.lean
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
X✝ Y✝ : StructuredArrow F (const J)
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J

⊢ ((fun c => { pt := c.right, ι := c.hom }) X✝).ι.app j ≫ f.right = ((fun c => { pt := c.right, ι := c.hom }) Y✝).ι.app j