ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/Zsqrtd/Basic.lean
d : ℤ
n : ℤ√d

⊢ ↑n.norm = n * star n
-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/BoundedLinearMaps.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

⊢ ∀ (x : E), ‖LinearMap.id x‖ ≤ 1 * ‖x‖
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)

⊢ ∃ S₁, S₁.multiplicity < S.multiplicity
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S'✝ : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
S' : Solution hζ
hS' : S'.multiplicity = S.Solution'_descent.multiplicity

⊢ ∃ S₁, S₁.multiplicity < S.multiplicity
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel Dvd.dvd
inst✝ : DecidableEq R
p x : R
hp : Irreducible p
hnorm : normalize p = p
n : ℕ
hle : p ^ n ∣ x
hlt : ¬p ^ (n + 1) ∣ x
this : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1 := fun x x_1 => Classical.propDecidable ((fun x x_2 => x ∣ x_2) x x_1)
hx0 : ¬x = 0

⊢ count p (normalizedFactors x) = n
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel Dvd.dvd
inst✝ : DecidableEq R
p x : R
hp : Irreducible p
hnorm : normalize p = p
n : ℕ
hle : p ^ n ∣ x
hlt : ¬p ^ (n + 1) ∣ x
this : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1 := fun x x_1 => Classical.propDecidable ((fun x x_2 => x ∣ x_2) x x_1)
hx0 : ¬x = 0

⊢ ↑(count p (normalizedFactors x)) = ↑n
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel Dvd.dvd
inst✝ : DecidableEq R
p x : R
hp : Irreducible p
hnorm : normalize p = p
n : ℕ
hle : p ^ n ∣ x
hlt : ¬p ^ (n + 1) ∣ x
this : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1 := fun x x_1 => Classical.propDecidable ((fun x x_2 => x ∣ x_2) x x_1)
hx0 : ¬x = 0

⊢ p = normalize p
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid R
inst✝² : NormalizationMonoid R
inst✝¹ : DecidableRel Dvd.dvd
inst✝ : DecidableEq R
p x : R
hp : Irreducible p
hnorm : normalize p = p
n : ℕ
hle : p ^ n ∣ x
hlt : ¬p ^ (n + 1) ∣ x
this : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1 := fun x x_1 => Classical.propDecidable ((fun x x_2 => x ∣ x_2) x x_1)
hx0 : ¬x = 0

⊢ ↑n = multiplicity p x
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/CharacterSpace.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring 𝕜
inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁶ : ContinuousAdd 𝕜
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : Module 𝕜 A
inst✝¹ : T2Space 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜

⊢ IsClosed (characterSpace 𝕜 A ∪ {0})
-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/CharacterSpace.lean
𝕜 : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring 𝕜
inst✝⁷ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝⁶ : ContinuousAdd 𝕜
inst✝⁵ : ContinuousConstSMul 𝕜 𝕜
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝³ : TopologicalSpace A
inst✝² : Module 𝕜 A
inst✝¹ : T2Space 𝕜
inst✝ : ContinuousMul 𝕜

⊢ IsClosed (⋂ i, ⋂ i_1, {x | x (i * i_1) = x i * x i_1})
-- Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset.lean
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
i : α
h : i ∈ s
f : α → β

⊢ ∏ x ∈ s, f x = (∏ x ∈ s \ {i}, f x) * f i
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ Z₁ Z₂ : C

⊢ tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁, Y₂) ▷ (Z₁ ⊗ Z₂) ≫ tensor_μ C (X₁ ⊗ Y₁, X₂ ⊗ Y₂) (Z₁, Z₂) ≫ ((α_ X₁ Y₁ Z₁).hom ⊗ (α_ X₂ Y₂ Z₂).hom) = (α_ (X₁ ⊗ X₂) (Y₁ ⊗ Y₂) (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ tensor_μ C (Y₁, Y₂) (Z₁, Z₂) ≫ tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁ ⊗ Z₁, Y₂ ⊗ Z₂)
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ Z₁ Z₂ : C

⊢ ((α_ X₁ X₂ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ Y₁ Y₂).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ Y₁).hom ▷ Y₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ X₂ Y₂).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).inv) ▷ (Z₁ ⊗ Z₂) ≫ ((α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ (X₁ ⊗ Y₁) ◁ (α_ (X₂ ⊗ Y₂) Z₁ Z₂).inv ≫ (X₁ ⊗ Y₁) ◁ (β_ (X₂ ⊗ Y₂) Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ (X₁ ⊗ Y₁) ◁ (α_ Z₁ (X₂ ⊗ Y₂) Z₂).hom ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) Z₁ ((X₂ ⊗ Y₂) ⊗ Z₂)).inv) ≫ ((α_ X₁ Y₁ Z₁).hom ⊗ (α_ X₂ Y₂ Z₂).hom) = (α_ (X₁ ⊗ X₂) (Y₁ ⊗ Y₂) (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ (X₁ ⊗ X₂) ◁ ((α_ Y₁ Y₂ (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ Y₁ ◁ (α_ Y₂ Z₁ Z₂).inv ≫ Y₁ ◁ (β_ Y₂ Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ Y₁ ◁ (α_ Z₁ Y₂ Z₂).hom ≫ (α_ Y₁ Z₁ (Y₂ ⊗ Z₂)).inv) ≫ (α_ X₁ X₂ ((Y₁ ⊗ Z₁) ⊗ Y₂ ⊗ Z₂)).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (Y₁ ⊗ Z₁) (Y₂ ⊗ Z₂)).inv ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ (Y₁ ⊗ Z₁)).hom ▷ (Y₂ ⊗ Z₂) ≫ X₁ ◁ (α_ (Y₁ ⊗ Z₁) X₂ (Y₂ ⊗ Z₂)).hom ≫ (α_ X₁ (Y₁ ⊗ Z₁) (X₂ ⊗ Y₂ ⊗ Z₂)).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Basic.lean
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ Y₁ Y₂ Z₁ Z₂ : C

⊢ (α_ ((X₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₁ ⊗ Y₂) Z₁ Z₂).inv ≫ (α_ X₁ X₂ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ▷ Z₁ ▷ Z₂ ≫ (α_ X₁ (X₂ ⊗ Y₁ ⊗ Y₂) Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ (α_ X₁ ((X₂ ⊗ Y₁ ⊗ Y₂) ⊗ Z₁) Z₂).hom ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ Y₁ Y₂).inv ▷ Z₁ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ Y₁).hom ▷ Y₂ ▷ Z₁ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ X₂ Y₂).hom ▷ Z₁ ▷ Z₂ ≫ (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂ ⊗ Y₂) ⊗ Z₁) Z₂).inv ≫ (α_ X₁ (Y₁ ⊗ X₂ ⊗ Y₂) Z₁).inv ▷ Z₂ ≫ (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).inv ▷ Z₁ ▷ Z₂ ≫ (α_ ((X₁ ⊗ Y₁) ⊗ X₂ ⊗ Y₂) Z₁ Z₂).hom ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ ((X₂ ⊗ Y₂) ⊗ Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ (X₂ ⊗ Y₂) Z₁ Z₂).inv ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ X₂ Y₂ Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ X₂ (Y₂ ⊗ Z₁) Z₂).hom ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ X₂ ◁ (β_ Y₂ Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ X₂ (Z₁ ⊗ Y₂) Z₂).inv ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ X₂ Z₁ Y₂).inv ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (β_ X₂ Z₁).hom ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ Z₁ X₂ Y₂).hom ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (α_ Z₁ (X₂ ⊗ Y₂) Z₂).hom ≫ (α_ X₁ Y₁ (Z₁ ⊗ (X₂ ⊗ Y₂) ⊗ Z₂)).inv ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) Z₁ ((X₂ ⊗ Y₂) ⊗ Z₂)).inv ≫ ((α_ X₁ Y₁ Z₁).hom ⊗ (α_ X₂ Y₂ Z₂).hom) = (α_ (X₁ ⊗ X₂) (Y₁ ⊗ Y₂) (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ (α_ X₁ X₂ ((Y₁ ⊗ Y₂) ⊗ Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ X₁ ◁ X₂ ◁ (α_ Y₁ Y₂ (Z₁ ⊗ Z₂)).hom ≫ X₁ ◁ X₂ ◁ Y₁ ◁ (α_ Y₂ Z₁ Z₂).inv ≫ X₁ ◁ X₂ ◁ Y₁ ◁ (β_ Y₂ Z₁).hom ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ X₂ ◁ Y₁ ◁ (α_ Z₁ Y₂ Z₂).hom ≫ X₁ ◁ X₂ ◁ (α_ Y₁ Z₁ (Y₂ ⊗ Z₂)).inv ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ (Y₁ ⊗ Z₁) (Y₂ ⊗ Z₂)).inv ≫ X₁ ◁ (α_ (X₂ ⊗ Y₁ ⊗ Z₁) Y₂ Z₂).inv ≫ X₁ ◁ (α_ X₂ Y₁ Z₁).inv ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (β_ X₂ Y₁).hom ▷ Z₁ ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ X₂ Z₁).hom ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ (X₂ ⊗ Z₁) Y₂).hom ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ ((X₂ ⊗ Z₁) ⊗ Y₂) Z₂).hom ≫ X₁ ◁ Y₁ ◁ (β_ X₂ Z₁).hom ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ ((Z₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) Z₂).inv ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ (Z₁ ⊗ X₂) Y₂).inv ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ Y₁ Z₁ X₂).inv ▷ Y₂ ▷ Z₂ ≫ X₁ ◁ (α_ ((Y₁ ⊗ Z₁) ⊗ X₂) Y₂ Z₂).hom ≫ X₁ ◁ (α_ (Y₁ ⊗ Z₁) X₂ (Y₂ ⊗ Z₂)).hom ≫ (α_ X₁ (Y₁ ⊗ Z₁) (X₂ ⊗ Y₂ ⊗ Z₂)).inv
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
H : (of R ι G f i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.lof R ι G i) x), k ≤ j
hxj : (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) ((DirectSum.lof R ι G i) x) = 0
hx0 : ¬x = 0

⊢ i ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.lof R ι G i) x)
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
H : (of R ι G f i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.lof R ι G i) x), k ≤ j
hxj : (DirectSum.toModule R ι (G j) fun i => totalize G f i j) ((DirectSum.lof R ι G i) x) = 0
hx0 : ¬x = 0
hij : i ≤ j

⊢ (f i j hij) x = 0
-- Mathlib/Algebra/DirectLimit.lean
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
ι : Type v
inst✝⁷ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommGroup (G i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst✝⁴ : DecidableEq ι
P : Type u₁
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
g : (i : ι) → G i →ₗ[R] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
i : ι
x : G i
H : (of R ι G f i) x = 0
this : Nonempty ι
j : ι
hj : ∀ k ∈ DFinsupp.support ((DirectSum.lof R ι G i) x), k ≤ j
hx0 : ¬x = 0
hij : i ≤ j
hxj : (totalize G f i j) x = 0

⊢ (f i j hij) x = 0
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

⊢ (smulAux' g z).im = (↑↑g).det * z.im / Complex.normSq (denom g z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

⊢ (num g z).im * (denom g z).re / Complex.normSq (denom g z) - (num g z).re * (denom g z).im / Complex.normSq (denom g z) = (↑↑g).det * z.im / Complex.normSq (denom g z)
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

⊢ ↑↑g 0 0 * z.im * (↑↑g 1 0 * z.re + ↑↑g 1 1) / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1)) - (↑↑g 0 0 * z.re + ↑↑g 0 1) * (↑↑g 1 0 * z.im) / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1)) = (↑↑g).det * z.im / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1))
-- Mathlib/Analysis/Complex/UpperHalfPlane/Basic.lean
g : ↥GL(2, ℝ)⁺
z : ℍ

⊢ ↑↑g 0 0 * z.im * (↑↑g 1 0 * z.re + ↑↑g 1 1) / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1)) - (↑↑g 0 0 * z.re + ↑↑g 0 1) * (↑↑g 1 0 * z.im) / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1)) = (↑↑g 0 0 * ↑↑g 1 1 - ↑↑g 0 1 * ↑↑g 1 0) * z.im / Complex.normSq (↑(↑↑g 1 0) * ↑z + ↑(↑↑g 1 1))
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : 0 < s.length
x : X

⊢ x ∈ s ↔ x ∈ (eraseLast s).snoc (last s) ⋯
-- Mathlib/Order/JordanHolder.lean
X : Type u
inst✝¹ : Lattice X
inst✝ : JordanHolderLattice X
s : CompositionSeries X
h : 0 < s.length
x : X

⊢ x ∈ s ↔ ¬x = last s ∧ x ∈ s ∨ x = last s
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'

⊢ liftAux hF α s f ≫ F.map a.op = liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'

⊢ ∀ (I : GrothendieckTopology.Cover.Arrow ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩), (liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map I.f.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map I.f.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
T : C
g : T ⟶ W
hg : (GrothendieckTopology.Cover.sieve ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩).arrows g

⊢ (liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map g.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map g.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
T : C
g : T ⟶ W
hg : (GrothendieckTopology.Cover.sieve ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩).arrows g
eq₁ : liftAux hF α s f ≫ F.map (g ≫ a).op = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ R.map (𝟙 (G.obj T)).op ≫ α.app (op T)

⊢ (liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map g.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map g.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
T : C
g : T ⟶ W
hg : (GrothendieckTopology.Cover.sieve ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩).arrows g
eq₁ : liftAux hF α s f ≫ F.map (g ≫ a).op = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ R.map (𝟙 (G.obj T)).op ≫ α.app (op T)
eq₂ : liftAux hF α s f' ≫ F.map (g ≫ b).op = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ R.map (𝟙 (G.obj T)).op ≫ α.app (op T)

⊢ (liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map g.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map g.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
T : C
g : T ⟶ W
hg : (GrothendieckTopology.Cover.sieve ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩).arrows g
eq₁ : liftAux hF α s f ≫ F.map (a.op ≫ g.op) = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ R.map (𝟙 (op (G.obj T))) ≫ α.app (op T)
eq₂ : liftAux hF α s f' ≫ F.map (b.op ≫ g.op) = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ R.map (𝟙 (op (G.obj T))) ≫ α.app (op T)

⊢ (liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map g.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map g.op
-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝² : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K
inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
hR : (Functor.RightExtension.mk R α).IsPointwiseRightKanExtension
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
T : C
g : T ⟶ W
hg : (GrothendieckTopology.Cover.sieve ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩).arrows g
eq₁ : liftAux hF α s f ≫ F.map a.op ≫ F.map g.op = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ α.app (op T)
eq₂ : liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op ≫ F.map g.op = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ α.app (op T)

⊢ (liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map g.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map g.op
-- Mathlib/Order/Filter/Lift.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
f f₁ f₂ : Filter α
h h₁ h₂ : Set α → Set β
hh : Monotone h

⊢ ⊥.lift' h = 𝓟 (h ∅)
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
μ : Measure α

⊢ ∫⁻ (a : α), ↑f a ∂μ = f.lintegral μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
m : MeasurableSpace α
f : α →ₛ ℝ≥0∞
μ : Measure α

⊢ ⨆ g, ⨆ (_ : ↑g ≤ fun a => ↑f a), g.lintegral μ = f.lintegral μ
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FiniteType.lean

⊢ StableUnderBaseChange @FiniteType
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FiniteType.lean

⊢ RespectsIso @FiniteType
-- Mathlib/RingTheory/RingHom/FiniteType.lean

⊢ ∀ ⦃R S T : Type u_1⦄ [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] [inst_3 : Algebra R S] [inst_4 : Algebra R T], (algebraMap R T).FiniteType → Algebra.TensorProduct.includeLeftRingHom.FiniteType
-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/Shapes/Terminal.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
X : J
tX : IsTerminal X
F : J ⥤ C
j j' : J
k : j ⟶ j'

⊢ F.map k ≫ F.map (tX.from j') = F.map (tX.from j) ≫ 𝟙 (F.obj X)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s✝ s : Set G

⊢ closure s⁻¹ = closure s
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ

⊢ AntitoneOn (fun x => x⁻¹) (Set.Ioi 0)
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
x✝ : α

⊢ x✝ = x✝ - 0
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Laurent.lean
R : Type u_1
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : DecidableEq R
a : R

⊢ (C a).degree = if a = 0 then ⊥ else 0
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hb : 1 < b
h : 0 < x

⊢ logb b x < 0 ↔ x < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hb : 1 < b
h : 0 < x

⊢ logb b x < logb ?m.18267 1 ↔ x < 1
-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/Log/Base.lean
b x y : ℝ
hb : 1 < b
h : 0 < x

⊢ ℝ
-- Mathlib/RingTheory/MaximalSpectrum.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x✝¹ x✝ : MaximalSpectrum R
asIdeal✝¹ : Ideal R
IsMaximal✝¹ : asIdeal✝¹.IsMaximal
asIdeal✝ : Ideal R
IsMaximal✝ : asIdeal✝.IsMaximal
h : { asIdeal := asIdeal✝¹, IsMaximal := IsMaximal✝¹ }.toPrimeSpectrum = { asIdeal := asIdeal✝, IsMaximal := IsMaximal✝ }.toPrimeSpectrum

⊢ { asIdeal := asIdeal✝¹, IsMaximal := IsMaximal✝¹ } = { asIdeal := asIdeal✝, IsMaximal := IsMaximal✝ }
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
f : ℂ → ℂ := fun s => 2 * (2 * ↑π) ^ (-s)

⊢ HasDerivAt Gammaℂ (-(↑γ + log (2 * ↑π)) / ↑π) 1
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
f : ℂ → ℂ := fun s => 2 * (2 * ↑π) ^ (-s)
this : HasDerivAt (fun s => 2 * (2 * ↑π) ^ (-s)) (-log (2 * ↑π) / ↑π) 1

⊢ HasDerivAt Gammaℂ (-(↑γ + log (2 * ↑π)) / ↑π) 1
-- Mathlib/NumberTheory/Harmonic/GammaDeriv.lean
f : ℂ → ℂ := fun s => 2 * (2 * ↑π) ^ (-s)
this✝ : HasDerivAt (fun s => 2 * (2 * ↑π) ^ (-s)) (-log (2 * ↑π) / ↑π) 1
this : HasDerivAt (fun y => 2 * (2 * ↑π) ^ (-y) * Gamma y) (-log (2 * ↑π) / ↑π * Gamma 1 + 2 * (2 * ↑π) ^ (-1) * -↑γ) 1

⊢ HasDerivAt Gammaℂ (-(↑γ + log (2 * ↑π)) / ↑π) 1
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
inst✝ : CommMonoid N
s t : Submonoid N

⊢ s ⊔ t = mrange (s.subtype.coprod t.subtype)
-- Mathlib/Topology/Inseparable.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
α : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
x y z : X
s : Set X
f g : X → Y
x₁ x₂ : X
y₁ y₂ : Y

⊢ ((x₁, y₁) ~ᵢ (x₂, y₂)) ↔ (x₁ ~ᵢ x₂) ∧ (y₁ ~ᵢ y₂)
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i : Fin (m * n)

⊢ ↑i.rev.modNat = ↑i.modNat.rev
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i : Fin (m * n)
H₁ : ↑i % n + 1 ≤ n

⊢ ↑i.rev.modNat = ↑i.modNat.rev
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i : Fin (m * n)
H₁ : ↑i % n + 1 ≤ n
H₂ : ↑i / n < m

⊢ ↑i.rev.modNat = ↑i.modNat.rev
-- Mathlib/Data/Fin/Basic.lean
n m : ℕ
i : Fin (m * n)
H₁ : ↑i % n + 1 ≤ n
H₂ : ↑i / n < m

⊢ (m * n - (↑i + 1)) % n = n - (↑i % n + 1)
-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable.lean
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
halg : ¬Algebra.IsAlgebraic F E

⊢ finSepDegree F E * finInsepDegree F E = finrank F E
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
x y : G

⊢ map (fun x_1 => x * x_1) (map (fun x => x * y) (𝓝 1 * 𝓝 1)) = map₂ (fun a b => x * (a * b * y)) (𝓝 1) (𝓝 1)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
x y : G

⊢ map₂ (fun a b => x * (a * b * y)) (𝓝 1) (𝓝 1) = map₂ (fun a b => x * a * (b * y)) (𝓝 1) (𝓝 1)
-- Mathlib/Topology/Algebra/Group/Basic.lean
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
x y : G

⊢ map₂ (fun a b => x * a * (b * y)) (𝓝 1) (𝓝 1) = 𝓝 x * 𝓝 y
-- Mathlib/RingTheory/NonUnitalSubring/Basic.lean
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocRing S
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing T
g : S →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S

⊢ NonUnitalSubring.map g f.range = (g.comp f).range