ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l l' : Filter α
p : ι → Prop
s : ι → Set α
t : Set α
i : ι
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
hl : l.HasBasis p s
hl' : l'.HasBasis p' s'

⊢ (∀ {i : PProd ι ι'}, p i.fst ∧ p' i.snd → (s i.fst ∩ s' i.snd).Nonempty) ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, p i → ∀ ⦃i' : ι'⦄, p' i' → (s i ∩ s' i').Nonempty
-- Mathlib/Algebra/CubicDiscriminant.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0

⊢ P.toPoly = C P.b * X ^ 2 + C P.c * X + C P.d
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (p.length + 1)

⊢ { length := p.length + q.length + 1, toFun := Fin.append p.toFun q.toFun ∘ Fin.cast ⋯, step := ⋯ }.toFun (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd (q.length + 1) i)) = p.toFun i
-- Mathlib/Order/RelSeries.lean
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p q : RelSeries r
connect : r p.last q.head
i : Fin (p.length + 1)

⊢ Fin.append p.toFun q.toFun (Fin.cast ⋯ (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd (q.length + 1) i))) = p.toFun i
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
a b : M
d : ↥S

⊢ f.mk' a d = f.mk' b d ↔ ∃ c, ↑c * a = ↑c * b
-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
a b : M
d : ↥S

⊢ f.toMap a * f.toMap ↑d = f.toMap b * f.toMap ↑d ↔ f.toMap a = f.toMap b
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
f : ι → Ordinal.{max u v}
i : ι

⊢ f i ≤ (iSup (succ ∘ card ∘ f)).ord
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
m n✝ : ℕ
s : Finset ℕ
hm : 2 ≤ m
n : ℕ

⊢ ∑ k ∈ range n, m ^ k = (m ^ n - 1) / (m - 1)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α : Type u
β : Type u_1
m n✝ : ℕ
s : Finset ℕ
hm : 2 ≤ m
n : ℕ

⊢ m ^ n = (∑ k ∈ range n, m ^ k) * (m - 1) + 1
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∠ p₁ p₂ p₃ = π / 2
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂

⊢ dist p₃ p₂ / Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₁ = p₂ ∨ p₃ ≠ p₂

⊢ dist p₃ p₂ / Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : ⟪p₂ -ᵥ p₃, p₁ -ᵥ p₂⟫_ℝ = 0
h0 : p₂ -ᵥ p₃ ≠ 0 ∨ p₁ -ᵥ p₂ = 0

⊢ dist p₃ p₂ / Real.cos (∠ p₂ p₃ p₁) = dist p₁ p₃
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : NoAtoms ν
hf : IntegrableOn f (Ioi 0) ν
hg : IntegrableOn g (Ioi 0) μ
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F

⊢ Integrable (posConvolution f g L ν) μ
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : NoAtoms ν
hf : Integrable ((Ioi 0).indicator f) ν
hg : Integrable ((Ioi 0).indicator g) μ
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F

⊢ Integrable (posConvolution f g L ν) μ
-- Mathlib/Analysis/Convolution.lean
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f✝ f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : CompleteSpace F
f : ℝ → E
g : ℝ → E'
μ ν : Measure ℝ
inst✝³ : SFinite μ
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : μ.IsAddRightInvariant
inst✝ : NoAtoms ν
hf : Integrable ((Ioi 0).indicator f) ν
hg : Integrable ((Ioi 0).indicator g) μ
L : E →L[ℝ] E' →L[ℝ] F

⊢ Integrable ((Ioi 0).indicator f ⋆[L, ν] (Ioi 0).indicator g) μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
μ : Measure X
E : Set X
E_mble : MeasurableSet E
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ

⊢ μ E ≤ ∫⁻ (x : X), ↑((thickenedIndicator δ_pos E) x) ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
μ : Measure X
E : Set X
E_mble : MeasurableSet E
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
x✝ : X

⊢ ↑((thickenedIndicator δ_pos E) x✝) = thickenedIndicatorAux δ E x✝
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetIntegral.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
E✝ : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : PseudoEMetricSpace X
μ : Measure X
E : Set X
E_mble : MeasurableSet E
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
x✝ : X

⊢ ↑(thickenedIndicatorAux δ E x✝).toNNReal = thickenedIndicatorAux δ E x✝
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ

⊢ gaussianPDFReal μ v (c⁻¹ * x) = |c| * gaussianPDFReal (c * μ) (⟨c ^ 2, ⋯⟩ * v) x
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ

⊢ (√↑v)⁻¹ * (√(2 * π))⁻¹ * rexp (-(c⁻¹ * x - μ) ^ 2 / (2 * ↑v)) = |c| * ((√(2 * π * (c ^ 2 * ↑v)))⁻¹ * rexp (-(x - c * μ) ^ 2 / (2 * (c ^ 2 * ↑v))))
-- Mathlib/Probability/Distributions/Gaussian.lean
μ : ℝ
v : ℝ≥0
c : ℝ
hc : c ≠ 0
x : ℝ

⊢ (√↑v)⁻¹ * (√(2 * π))⁻¹ * rexp (-(c⁻¹ * x - μ) ^ 2 / (2 * ↑v)) = |c| * (√(2 * π * (c ^ 2 * ↑v)))⁻¹ * rexp (-(x - c * μ) ^ 2 / (2 * (c ^ 2 * ↑v)))
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : AddMonoid A
x : A

⊢ ↑(Submonoid.powers (Multiplicative.ofAdd x)) = ⇑Multiplicative.ofAdd '' ↑(AddSubmonoid.multiples x)
-- Mathlib/Algebra/Group/Submonoid/Membership.lean
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : AddMonoid A
x : A

⊢ ⇑Multiplicative.ofAdd.symm '' ↑(Submonoid.powers (Multiplicative.ofAdd x)) = ↑(AddSubmonoid.multiples x)
-- Mathlib/Data/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : Nonempty β
f : α → γ
g : β → δ

⊢ Bijective (map f g) ↔ Bijective f ∧ Bijective g
-- Mathlib/Data/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : Nonempty β
f : α → γ
g : β → δ
this : Nonempty γ

⊢ Bijective (map f g) ↔ Bijective f ∧ Bijective g
-- Mathlib/Data/Prod/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : Nonempty β
f : α → γ
g : β → δ
this✝ : Nonempty γ
this : Nonempty δ

⊢ Bijective (map f g) ↔ Bijective f ∧ Bijective g
-- Mathlib/Order/SuccPred/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
a : α
inst✝ : NoMaxOrder α

⊢ a ⋖ succ a
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Int.lean
α : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup α
n : ℤ
a : α

⊢ ‖a ^ n‖ ≤ ‖n‖ * ‖a‖
-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
r : ℝ

⊢ (o.oangle x (y - r • x)).sign = (o.oangle x y).sign
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ m₃ : M
X : C

⊢ (F.obj m₃).map ((F.μ m₁ m₂).app X) ≫ (F.μ (m₁ ⊗ m₂) m₃).app X ≫ (F.map (α_ m₁ m₂ m₃).hom).app X = (F.μ m₂ m₃).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.μ m₁ (m₂ ⊗ m₃)).app X
-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/End.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m₁ m₂ m₃ : M
X : C
this : (F.μ m₁ m₂ ▷ F.obj m₃ ≫ F.μ (m₁ ⊗ m₂) m₃ ≫ F.map (α_ m₁ m₂ m₃).hom).app X = ((α_ (F.obj m₁) (F.obj m₂) (F.obj m₃)).hom ≫ F.obj m₁ ◁ F.μ m₂ m₃ ≫ F.μ m₁ (m₂ ⊗ m₃)).app X

⊢ (F.obj m₃).map ((F.μ m₁ m₂).app X) ≫ (F.μ (m₁ ⊗ m₂) m₃).app X ≫ (F.map (α_ m₁ m₂ m₃).hom).app X = (F.μ m₂ m₃).app ((F.obj m₁).obj X) ≫ (F.μ m₁ (m₂ ⊗ m₃)).app X
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d

⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑C ^ d * μH[↑r * d] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
h : HolderOnWith 0 r f s

⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑0 ^ d * μH[↑r * d] s
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s t : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C

⊢ μH[d] (f '' s) ≤ ↑C ^ d * μH[↑r * d] s
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
i : DecidableRel fun x x_1 => x ⊆ x_1 := fun x x_1 => Classical.dec ((fun x x_2 => x ⊆ x_2) x x_1)
s : Finset α
hs : s ∈ ∂ 𝒜

⊢ (bipartiteAbove (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝒜 s).card ≤ Fintype.card α - r + 1
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
i : DecidableRel fun x x_1 => x ⊆ x_1 := fun x x_1 => Classical.dec ((fun x x_2 => x ⊆ x_2) x x_1)
s : Finset α
hs : s ∈ ∂ 𝒜

⊢ (bipartiteAbove (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝒜 s).card ≤ Fintype.card α - (r - 1)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
i : DecidableRel fun x x_1 => x ⊆ x_1 := fun x x_1 => Classical.dec ((fun x x_2 => x ⊆ x_2) x x_1)
s : Finset α
hs : s ∈ ∂ 𝒜

⊢ (bipartiteAbove (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝒜 s).card ≤ (image (fun a => insert a s) sᶜ).card
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
i : DecidableRel fun x x_1 => x ⊆ x_1 := fun x x_1 => Classical.dec ((fun x x_2 => x ⊆ x_2) x x_1)
s : Finset α
hs : s ∈ ∂ 𝒜
t : Finset α
ht : t ∈ bipartiteAbove (fun x x_1 => x ⊆ x_1) 𝒜 s

⊢ t ∈ image (fun a => insert a s) sᶜ
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
i : DecidableRel fun x x_1 => x ⊆ x_1 := fun x x_1 => Classical.dec ((fun x x_2 => x ⊆ x_2) x x_1)
s : Finset α
hs : s ∈ ∂ 𝒜
t : Finset α
ht : t ∈ 𝒜 ∧ s ⊆ t

⊢ t ∈ image (fun a => insert a s) sᶜ
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
i : DecidableRel fun x x_1 => x ⊆ x_1 := fun x x_1 => Classical.dec ((fun x x_2 => x ⊆ x_2) x x_1)
s : Finset α
hs : s ∈ ∂ 𝒜
t : Finset α
ht : t ∈ 𝒜 ∧ s ⊆ t
this : ∅ ∉ 𝒜

⊢ t ∈ image (fun a => insert a s) sᶜ
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
i : DecidableRel fun x x_1 => x ⊆ x_1 := fun x x_1 => Classical.dec ((fun x x_2 => x ⊆ x_2) x x_1)
s : Finset α
hs : s ∈ ∂ 𝒜
t : Finset α
ht : t ∈ 𝒜 ∧ s ⊆ t
this : ∅ ∉ 𝒜
h : ∃ a ∉ s, insert a s = t

⊢ t ∈ image (fun a => insert a s) sᶜ
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/LYM.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
𝒜 : Finset (Finset α)
r : ℕ
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
i : DecidableRel fun x x_1 => x ⊆ x_1 := fun x x_1 => Classical.dec ((fun x x_2 => x ⊆ x_2) x x_1)
s : Finset α
hs : s ∈ ∂ 𝒜
this : ∅ ∉ 𝒜
a : α
ha : a ∉ s
ht : insert a s ∈ 𝒜 ∧ s ⊆ insert a s

⊢ insert a s ∈ image (fun a => insert a s) sᶜ
-- Mathlib/Data/Multiset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
t u : Multiset α
a b : α

⊢ ∀ {s : Multiset α}, s - t ≤ u ↔ s ≤ u + t
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/EraseIdx.lean
α : Type u
β : Type v
l : List α
k : Nat
hk : k < l.length
l' : List α

⊢ (l ++ l').eraseIdx k = l.eraseIdx k ++ l'
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/EraseIdx.lean
α : Type u
β : Type v
l : List α
k : Nat
hk : k < l.length
l' : List α

⊢ k + 1 ≤ l.length
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/EraseIdx.lean
α : Type u
β : Type v
l : List α
k : Nat
hk : k < l.length
l' : List α

⊢ k ≤ l.length
-- Mathlib/Algebra/Periodic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝ : AddGroup α
h : Periodic f c

⊢ Periodic f (-c)
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J

⊢ D.t' i j i = pullback.fst (D.f i j) (D.f i i) ≫ D.t i j ≫ inv (pullback.snd (D.f j i) (D.f j i))
-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v, u₁} C
C' : Type u₂
inst✝ : Category.{v, u₂} C'
D : GlueData C
i j : D.J

⊢ D.t' i j i = (D.t' i j i ≫ pullback.snd (D.f j i) (D.f j i)) ≫ inv (pullback.snd (D.f j i) (D.f j i))
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z w : K
x : ℝ

⊢ 0 ≤ ↑x ↔ 0 ≤ x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : AntivaryOn f g s

⊢ ConcaveOn 𝕜 s (f • g)
-- Mathlib/Analysis/Convex/Mul.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrderedCommRing 𝕜
inst✝⁹ : LinearOrderedCommRing E
inst✝⁸ : LinearOrderedAddCommGroup F
inst✝⁷ : Module 𝕜 E
inst✝⁶ : Module 𝕜 F
inst✝⁵ : Module E F
inst✝⁴ : IsScalarTower 𝕜 E F
inst✝³ : SMulCommClass 𝕜 E F
inst✝² : OrderedSMul 𝕜 E
inst✝¹ : OrderedSMul 𝕜 F
inst✝ : OrderedSMul E F
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → E
g : 𝕜 → F
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → f x ≤ 0
hg₀ : ∀ ⦃x : 𝕜⦄, x ∈ s → g x ≤ 0
hfg : AntivaryOn f g s

⊢ ConcaveOn 𝕜 s (-f • -g)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
f g : α → β
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : Zero β
m0 : MeasurableSpace α
hf : StronglyMeasurable f
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ

⊢ SigmaFinite (μ.restrict univ)
-- Mathlib/Algebra/Order/Floor/Div.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : OrderedAddCommMonoid α
inst✝² : OrderedAddCommMonoid β
inst✝¹ : SMulZeroClass α β
inst✝ : FloorDiv α β
f : ι →₀ β
a : α

⊢ (f ⌊/⌋ a).support ⊆ f.support
-- Mathlib/Data/Finset/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u v : Finset α
a✝ b a : α
s : Finset α
h : a ∉ s

⊢ s ∩ {a} = ∅
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IsIntegral/Basic.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f✝ : R →+* S
x : B
f : R[X]
hfm : f.Monic
hfx : eval₂ (algebraMap R B) x f = 0

⊢ span R ↑(Finset.image (fun x_1 => x ^ x_1) (Finset.range f.natDegree)) = Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x})
-- Mathlib/Analysis/Seminorm.lean
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : SeminormedRing 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : SMul 𝕜 E
p✝ : Seminorm 𝕜 E
x✝¹ y : E
r✝ : ℝ
p : Seminorm 𝕜 E
c : ℝ≥0
hc : 0 < c
r : ℝ
x x✝ : E

⊢ x✝ ∈ (c • p).ball x r ↔ x✝ ∈ p.ball x (r / ↑c)
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Epi f
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Epi g
Z : C
a b : Z✝ ⟶ Z
w : (f ≫ g) ≫ a = (f ≫ g) ≫ b

⊢ a = b
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Epi f
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Epi g
Z : C
a b : Z✝ ⟶ Z
w : (f ≫ g) ≫ a = (f ≫ g) ≫ b

⊢ g ≫ a = g ≫ b
-- Mathlib/CategoryTheory/Category/Basic.lean
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝¹ X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
inst✝¹ : Epi f
g : Y ⟶ Z✝
inst✝ : Epi g
Z : C
a b : Z✝ ⟶ Z
w : (f ≫ g) ≫ a = (f ≫ g) ≫ b

⊢ f ≫ g ≫ a = f ≫ g ≫ b
-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b : α
hr : Symmetric r

⊢ (insert a s).Pairwise r ↔ s.Pairwise r ∧ ∀ b ∈ s, a ≠ b → r a b
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s

⊢ ∃ x, (∀ (i : ℕ), p (x i)) ∧ f.HasAntitoneBasis fun i => s (x i)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
x' : ℕ → Set α
hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)

⊢ ∃ x, (∀ (i : ℕ), p (x i)) ∧ f.HasAntitoneBasis fun i => s (x i)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
x' : ℕ → Set α
hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)
this : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f

⊢ ∃ x, (∀ (i : ℕ), p (x i)) ∧ f.HasAntitoneBasis fun i => s (x i)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
x' : ℕ → Set α
hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)
this : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f
x : ℕ → { i // p i } := fun n => Nat.recOn n (hs.index (x' 0) ⋯) fun n xn => hs.index (x' (n + 1) ∩ s ↑xn) ⋯

⊢ ∃ x, (∀ (i : ℕ), p (x i)) ∧ f.HasAntitoneBasis fun i => s (x i)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
x' : ℕ → Set α
hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)
this : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f
x : ℕ → { i // p i } := fun n => Nat.recOn n (hs.index (x' 0) ⋯) fun n xn => hs.index (x' (n + 1) ∩ s ↑xn) ⋯
x_anti : Antitone fun i => s ↑(x i)

⊢ ∃ x, (∀ (i : ℕ), p (x i)) ∧ f.HasAntitoneBasis fun i => s (x i)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
x' : ℕ → Set α
hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)
this : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f
x : ℕ → { i // p i } := fun n => Nat.recOn n (hs.index (x' 0) ⋯) fun n xn => hs.index (x' (n + 1) ∩ s ↑xn) ⋯
x_anti : Antitone fun i => s ↑(x i)
x_subset : ∀ (i : ℕ), s ↑(x i) ⊆ x' i

⊢ ∃ x, (∀ (i : ℕ), p (x i)) ∧ f.HasAntitoneBasis fun i => s (x i)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
x' : ℕ → Set α
hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)
this : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f
x : ℕ → { i // p i } := fun n => Nat.recOn n (hs.index (x' 0) ⋯) fun n xn => hs.index (x' (n + 1) ∩ s ↑xn) ⋯
x_anti : Antitone fun i => s ↑(x i)
x_subset : ∀ (i : ℕ), s ↑(x i) ⊆ x' i

⊢ f.HasAntitoneBasis fun i => s ((fun i => ↑(x i)) i)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
x' : ℕ → Set α
hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)
this✝ : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f
x : ℕ → { i // p i } := fun n => Nat.recOn n (hs.index (x' 0) ⋯) fun n xn => hs.index (x' (n + 1) ∩ s ↑xn) ⋯
x_anti : Antitone fun i => s ↑(x i)
x_subset : ∀ (i : ℕ), s ↑(x i) ⊆ x' i
this : (⨅ i, 𝓟 (s ↑(x i))).HasAntitoneBasis fun i => s ↑(x i)

⊢ f.HasAntitoneBasis fun i => s ((fun i => ↑(x i)) i)
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Sort u_5
f : Filter α
h : f.IsCountablyGenerated
p : ι' → Prop
s : ι' → Set α
hs : f.HasBasis p s
x' : ℕ → Set α
hx' : f = ⨅ i, 𝓟 (x' i)
this✝ : ∀ (i : ℕ), x' i ∈ f
x : ℕ → { i // p i } := fun n => Nat.recOn n (hs.index (x' 0) ⋯) fun n xn => hs.index (x' (n + 1) ∩ s ↑xn) ⋯
x_anti : Antitone fun i => s ↑(x i)
x_subset : ∀ (i : ℕ), s ↑(x i) ⊆ x' i
this : (⨅ i, 𝓟 (s ↑(x i))).HasAntitoneBasis fun i => s ↑(x i)

⊢ f = ⨅ i, 𝓟 (s ↑(x i))
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ Multiset.Rel Associated (factors (x * y)) (factors x + factors y)
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ x * y ~ᵤ (factors x + factors y).prod
-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid α
x y : α
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0

⊢ x * y ~ᵤ (factors x).prod * (factors y).prod
-- Mathlib/Order/Filter/Cofinite.lean
ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α✝
α : ι → Type u_4
inst✝ : Finite ι
s : Set ((i : ι) → α i)

⊢ (sᶜ ∈ Filter.coprodᵢ fun i => cofinite) ↔ sᶜ ∈ cofinite
-- Mathlib/Data/Nat/Factorial/Basic.lean
m n i : ℕ
hi : 2 ≤ i
m✝ : ℕ
a✝ : Nat.le 1 m✝

⊢ i + m✝.succ ! < (i + m✝.succ)!
-- Mathlib/Logic/Function/CompTypeclasses.lean
M : Type u_1
N : Type u_2
φ : M → N
ψ : N → M
h : Function.RightInverse φ ψ
χ : M → M
inst✝ : IsId χ

⊢ ψ ∘ φ = χ
-- Mathlib/Data/Fin/Tuple/Basic.lean
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
β : Type v
inst✝ : (i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)
i : Fin (n + 1)
x : α i
p : (j : Fin n) → α (i.succAbove j)
q : (j : Fin (n + 1)) → α j

⊢ q ≤ i.insertNth x p ↔ q i ≤ x ∧ (fun j => q (i.succAbove j)) ≤ p
-- Mathlib/Topology/Maps/Basic.lean
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
ι : Type u_4
f : X → Y
g : Y → Z
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
hg : _root_.Embedding g

⊢ _root_.Embedding (g ∘ f) ↔ _root_.Embedding f