ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a b : UnitAddCircle

⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven a s - completedHurwitzZetaEven b s) 1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a b : UnitAddCircle
this : ∀ (s : ℂ), completedHurwitzZetaEven a s - completedHurwitzZetaEven b s = completedHurwitzZetaEven₀ a s - completedHurwitzZetaEven₀ b s - ((if a = 0 then 1 else 0) - if b = 0 then 1 else 0) / s

⊢ DifferentiableAt ℂ (fun s => completedHurwitzZetaEven a s - completedHurwitzZetaEven b s) 1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a b : UnitAddCircle
this : ∀ (s : ℂ), completedHurwitzZetaEven a s - completedHurwitzZetaEven b s = completedHurwitzZetaEven₀ a s - completedHurwitzZetaEven₀ b s - ((if a = 0 then 1 else 0) - if b = 0 then 1 else 0) / s

⊢ DifferentiableAt ℂ (fun x => completedHurwitzZetaEven₀ a x - completedHurwitzZetaEven₀ b x - ((if a = 0 then 1 else 0) - if b = 0 then 1 else 0) / x) 1
-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/HurwitzZetaEven.lean
a b : UnitAddCircle
this : ∀ (s : ℂ), completedHurwitzZetaEven a s - completedHurwitzZetaEven b s = completedHurwitzZetaEven₀ a s - completedHurwitzZetaEven₀ b s - ((if a = 0 then 1 else 0) - if b = 0 then 1 else 0) / s

⊢ DifferentiableAt ℂ (fun x => completedHurwitzZetaEven₀ a x - completedHurwitzZetaEven₀ b x) 1
-- Mathlib/Data/Fintype/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3

⊢ Infinite (α × β) ↔ Infinite α ∧ Nonempty β ∨ Nonempty α ∧ Infinite β
-- Mathlib/Data/Fintype/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
H : Infinite (α × β)

⊢ Infinite α ∧ Nonempty β ∨ Nonempty α ∧ Infinite β
-- Mathlib/Data/Fintype/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
H : Infinite (α × β)

⊢ Nonempty β ∧ Infinite α ∨ Nonempty α ∧ Infinite β
-- Mathlib/Data/Fintype/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
H : (Nonempty β → ¬Infinite α) ∧ (Nonempty α → ¬Infinite β)

⊢ ¬Infinite (α × β)
-- Mathlib/Data/Fintype/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
H : (Nonempty β → ¬Infinite α) ∧ (Nonempty α → ¬Infinite β)
H' : Infinite (α × β)

⊢ False
-- Mathlib/Data/Fintype/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
H : (Nonempty β → ¬Infinite α) ∧ (Nonempty α → ¬Infinite β)
H' : Infinite (α × β)
a : α
b : β

⊢ False
-- Mathlib/Data/Fintype/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
H : (Nonempty β → ¬Infinite α) ∧ (Nonempty α → ¬Infinite β)
H' : Infinite (α × β)
a : α
b : β
this : Fintype α

⊢ False
-- Mathlib/Data/Fintype/Prod.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
H : (Nonempty β → ¬Infinite α) ∧ (Nonempty α → ¬Infinite β)
H' : Infinite (α × β)
a : α
b : β
this✝ : Fintype α
this : Fintype β

⊢ False
-- Mathlib/LinearAlgebra/Prod.lean
R : Type u
K : Type u'
M : Type v
V : Type v'
M₂ : Type w
V₂ : Type w'
M₃ : Type y
V₃ : Type y'
M₄ : Type z
ι : Type x
M₅ : Type u_1
M₆ : Type u_2
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁵ : AddCommGroup M₃
inst✝⁴ : AddCommGroup M₄
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₃
inst✝ : Module R M₄
f : M →ₗ[R] M₂
g : M₃ →ₗ[R] M₄
x : M × M₂

⊢ x ∈ f.graph ↔ x ∈ range (id.prod f)
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Frobenius.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ

⊢ (MvPolynomial.map (Int.castRingHom (ZMod p))) (frobeniusPoly p n) = X n ^ p
-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Frobenius.lean
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℕ

⊢ X n ^ p + C ((Int.castRingHom (ZMod p)) ↑p) * (MvPolynomial.map (Int.castRingHom (ZMod p))) (frobeniusPolyAux p n) = X n ^ p
-- .lake/packages/batteries/Batteries/Data/List/Perm.lean
α : Type u_1
β : List α → Sort u_2
f : (a : α) → (l : List α) → β l → β (a :: l)
b : β []
l l' : List α
hl : l ~ l'
f_congr : ∀ {a : α} {l l' : List α} {b : β l} {b' : β l'}, l ~ l' → HEq b b' → HEq (f a l b) (f a l' b')
f_swap : ∀ {a a' : α} {l : List α} {b : β l}, HEq (f a (a' :: l) (f a' l b)) (f a' (a :: l) (f a l b))

⊢ HEq (List.rec b f l) (List.rec b f l')
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
x y : M
h : b.toDual x = b.toDual y
i : ι

⊢ (b.repr x) i = (b.repr y) i
-- Mathlib/LinearAlgebra/Dual.lean
R : Type uR
M : Type uM
K : Type uK
V : Type uV
ι : Type uι
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : DecidableEq ι
b : Basis ι R M
x y : M
h : b.toDual x = b.toDual y
i : ι

⊢ (b.toDual x) (b i) = (b.toDual y) (b i)
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.27008, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A' A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
hk : k ≫ K.d i j = 0
α : A' ⟶ A

⊢ (α ≫ k) ≫ K.d i j = 0
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/HomologicalComplex.lean
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A' A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
hk : k ≫ K.d i j = 0
α : A' ⟶ A

⊢ α ≫ K.liftCycles k j hj hk = K.liftCycles (α ≫ k) j hj ⋯
-- Mathlib/Algebra/Module/CharacterModule.lean
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
h : ∀ (c : CharacterModule A), c a = 0

⊢ a = 0
-- Mathlib/Algebra/Module/CharacterModule.lean
R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
h : a ≠ 0

⊢ ∃ c, c a ≠ 0
-- Mathlib/NumberTheory/Padics/PadicNumbers.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
q r : ℚ_[p]
h : ¬↑(padicNormE q) = ↑(padicNormE r)
this : padicNormE q ≠ padicNormE r

⊢ ↑(padicNormE (q + r)) = max ↑(padicNormE q) ↑(padicNormE r)
-- Mathlib/Data/Bool/Count.lean
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool

⊢ 2 * count b l ≤ l.length + 1
-- Mathlib/Data/Bool/Count.lean
l : List Bool
hl : Chain' (fun x x_1 => x ≠ x_1) l
b : Bool

⊢ (if Even l.length then l.length else if (some b == l.head?) = true then l.length + 1 else l.length - 1) ≤ l.length + 1
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : RCLike 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x y : G

⊢ (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ (x + y))) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) = (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ x)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) + (compLpL 2 μ (toSpanSingleton ℝ y)) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ cosh (x + y) = cosh x * cosh y + sinh x * sinh y
-- Mathlib/Data/Complex/Exponential.lean
x y : ℂ

⊢ (cexp x + cexp (-x)) * (cexp y + cexp (-y)) + (cexp x - cexp (-x)) * (cexp y - cexp (-y)) = 2 * (cexp x * cexp y + cexp (-x) * cexp (-y))
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
r : 𝕜
hx : x ≠ 0
hr : r ≠ 0
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hr' : ‖r‖ ≠ 0

⊢ ‖⟪x, r • x⟫_𝕜‖ / (‖x‖ * ‖r • x‖) = 1
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
r : 𝕜
hx : x ≠ 0
hr : r ≠ 0
hx' : ‖x‖ ≠ 0
hr' : ‖r‖ ≠ 0

⊢ ‖r‖ * (‖x‖ * ‖x‖) / (‖x‖ * (‖r‖ * ‖x‖)) = 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : Module R E
F : Type u_10
inst✝² : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
a : ι → M
b : ι₂ → M

⊢ PiTensorProduct.tmul (((tprod R) fun i => a i) ⊗ₜ[R] (tprod R) fun i => b i) = (tprod R) fun i => Sum.elim a b i
-- Mathlib/LinearAlgebra/PiTensorProduct.lean
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁸ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁷ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : Module R M
E : Type u_9
inst✝⁴ : AddCommMonoid E
inst✝³ : Module R E
F : Type u_10
inst✝² : AddCommMonoid F
t : ι → Type u_11
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (t i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (t i)
a : ι → M
b : ι₂ → M

⊢ ((((currySumEquiv R ι (⨂[R] (i : ι ⊕ ι₂), M) M ι₂) (tprod R)) fun i => a i) fun i => b i) = (tprod R) fun i => Sum.elim a b i
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : Unique α
f : α → E
x : α

⊢ x = default
-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
ν : Measure α
inst✝ : Unique α
f : α → E

⊢ ∫ (x : α), f default ∂μ = (μ univ).toReal • f default
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : NormalSpace α
inst✝⁷ : R1Space α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : ↥(Lp E p μ)

⊢ f ∈ closure ↑(boundedContinuousFunction E p μ)
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : NormalSpace α
inst✝⁷ : R1Space α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : ↥(Lp E p μ)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε

⊢ ∃ y ∈ ↑(boundedContinuousFunction E p μ), y ∈ EMetric.closedBall f ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : NormalSpace α
inst✝⁷ : R1Space α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : ↥(Lp E p μ)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
g : α →ᵇ E
hg : eLpNorm (↑↑f - ⇑g) p μ ≤ ε
g_mem : Memℒp (⇑g) p μ

⊢ ∃ y ∈ ↑(boundedContinuousFunction E p μ), y ∈ EMetric.closedBall f ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
α : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace α
inst✝⁸ : NormalSpace α
inst✝⁷ : R1Space α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝¹ : Fact (1 ≤ p)
hp : p ≠ ⊤
inst✝ : μ.WeaklyRegular
f : ↥(Lp E p μ)
ε : ℝ≥0∞
hε : 0 < ε
g : α →ᵇ E
hg : eLpNorm (↑↑f - ⇑g) p μ ≤ ε
g_mem : Memℒp (⇑g) p μ

⊢ Memℒp.toLp (⇑g) g_mem ∈ EMetric.closedBall f ε
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f✝ g : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : ℕ → α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β

⊢ ∃ f_lim, StronglyMeasurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : ℕ → α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
g : α → β
left✝ : Measurable g
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))

⊢ ∃ f_lim, StronglyMeasurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : ℕ → α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
g : α → β
left✝ : Measurable g
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
Hg : AEStronglyMeasurable g μ

⊢ ∃ f_lim, StronglyMeasurable f_lim ∧ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (f_lim x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : ℕ → α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
g : α → β
left✝ : Measurable g
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
Hg : AEStronglyMeasurable g μ

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g Hg x))
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/StronglyMeasurable/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f✝ g✝ : α → β
inst✝ : PseudoMetrizableSpace β
f : ℕ → α → β
hf : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable (f n) μ
h_ae_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ l, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 l)
this✝¹ : MeasurableSpace β := borel β
this✝ : BorelSpace β
g : α → β
left✝ : Measurable g
hg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
Hg : AEStronglyMeasurable g μ
x : α
hx : Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
h'x : g x = AEStronglyMeasurable.mk g Hg x

⊢ Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (AEStronglyMeasurable.mk g Hg x))
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C

⊢ ((biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) = 𝟙 M
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C

⊢ (∑ j : M.ι, (fun j_1 k => if h : j_1 = j then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) = 𝟙 M
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι

⊢ (∑ j : M.ι, (fun j_1 k => if h : j_1 = j then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) i j = 𝟙 M i j
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι

⊢ (∑ j : M.ι, (fun j_1 k => if h : j_1 = j then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) i j = if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι

⊢ ((fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) i j = if h : i = j then eqToHom ⋯ else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι

⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ i → ((fun j k => if h : j = b then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j k => if h : b = k then eqToHom ⋯ else 0) i j = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι

⊢ i ∉ Finset.univ → ((fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) i j = 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C

⊢ ((biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = 𝟙 (⨁ fun i => (embedding C).obj (M.X i))
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C

⊢ ∀ (j : M.ι), ((biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j = 𝟙 (⨁ fun i => (embedding C).obj (M.X i)) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i : M.ι

⊢ ((biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i = 𝟙 (⨁ fun i => (embedding C).obj (M.X i)) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i : M.ι

⊢ ∀ (j : M.ι), biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j ≫ ((biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i = biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j ≫ 𝟙 (⨁ fun i => (embedding C).obj (M.X i)) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι

⊢ biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j ≫ ((biproduct.desc fun i j k => if h : i = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.lift fun i j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i = biproduct.ι (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) j ≫ 𝟙 (⨁ fun i => (embedding C).obj (M.X i)) ≫ biproduct.π (fun i => (embedding C).obj (M.X i)) i
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι

⊢ ((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι

⊢ ((fun j_1 k => if h : j = k then eqToHom ⋯ else 0) ≫ fun j k => if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) PUnit.unit PUnit.unit = (if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) PUnit.unit PUnit.unit
-- Mathlib/CategoryTheory/Preadditive/Mat.lean
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : Preadditive C
M : Mat_ C
i j : M.ι

⊢ (if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) = (if h : j = i then eqToHom ⋯ else 0) PUnit.unit PUnit.unit
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G

⊢ 0 < (haarContent K₀).outerMeasure ↑K₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G

⊢ 1 ≤ (haarContent K₀).outerMeasure ↑K₀
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G

⊢ 1 ≤ ⨅ U, ⨅ (hU : IsOpen U), ⨅ (_ : ↑K₀ ⊆ U), (haarContent K₀).innerContent { carrier := U, is_open' := hU }
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : IsOpen U
hK₀ : ↑K₀ ⊆ U

⊢ 1 ≤ (fun s => ↑((haarContent K₀).toFun s)) K₀.toCompacts
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s₁ s₂ : Finset ι
S₁ : Set ((i : { x // x ∈ s₁ }) → α ↑i)
S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s₂ }) → α ↑i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i

⊢ f ∈ cylinder s₁ S₁ ∩ cylinder s₂ S₂ ↔ f ∈ cylinder (s₁ ∪ s₂) ((fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₁ ∩ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₂)
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/Cylinders.lean
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s₁ s₂ : Finset ι
S₁ : Set ((i : { x // x ∈ s₁ }) → α ↑i)
S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s₂ }) → α ↑i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i

⊢ (fun i => f ↑i) ∈ S₁ ∧ (fun i => f ↑i) ∈ S₂ ↔ (fun i => f ↑i) ∈ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₁ ∧ (fun i => f ↑i) ∈ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₂
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Finset α
h : s.Nonempty

⊢ sSup ↑s ∈ s
-- Mathlib/Order/ConditionallyCompleteLattice/Finset.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
s✝ t : Set α
a b : α
s : Finset α
h : s.Nonempty

⊢ s.max' h ∈ s
-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/AbsoluteValue.lean
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Nontrivial R
inst✝² : LinearOrderedCommRing S
n : Type u_3
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
ι : Type u_4
s : Finset ι
c : ι → R
A : ι → Matrix n n R
abv : AbsoluteValue R S
x : S
hx : ∀ (k : ι) (i j : n), abv (A k i j) ≤ x
y : S
hy : ∀ (k : ι), abv (c k) ≤ y

⊢ abv (∑ k ∈ s, c k • A k).det ≤ (Fintype.card n).factorial • (s.card • y * x) ^ Fintype.card n
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
h : ¬p ∣ n

⊢ n.factorization p = 0
-- Mathlib/Data/Finsupp/Indicator.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : Zero α
s : Finset ι
f : (i : ι) → i ∈ s → α
i : ι
b : α

⊢ single i b = indicator {i} fun x x => b
-- Mathlib/CategoryTheory/Comma/Arrow.lean
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
X Y : T
i : X ≅ Y
p : Arrow T
sq : mk i.hom ⟶ p

⊢ i.inv ≫ sq.left ≫ p.hom = sq.right