ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : Y ⟶ (coextendScalars f).obj X
r : R
y : ↑Y

⊢ (f r • g y) 1 = (g y) (↑f.toMonoidWithZeroHom r)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : Y ⟶ (coextendScalars f).obj X
r : R
y : ↑Y

⊢ (f r • g y).toFun 1 = (g y) (↑f.toMonoidWithZeroHom r)
-- Mathlib/Algebra/Category/ModuleCat/ChangeOfRings.lean
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : Y ⟶ (coextendScalars f).obj X
r : R
y : ↑Y

⊢ (g y).toFun (f r) = (g y) (↑f.toMonoidWithZeroHom r)
-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : CommGroup α
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformGroup α
f g : β → α
a a₁ a₂ : α
inst✝ : CompleteSpace α

⊢ Multipliable f ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), Disjoint t s → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
-- Mathlib/InformationTheory/Hamming.lean
α : Type u_1
ι : Type u_2
β : ι → Type u_3
inst✝⁶ : Fintype ι
inst✝⁵ : (i : ι) → DecidableEq (β i)
γ : ι → Type u_4
inst✝⁴ : (i : ι) → DecidableEq (γ i)
inst✝³ : (i : ι) → Zero (β i)
inst✝² : (i : ι) → Zero (γ i)
inst✝¹ : Zero α
inst✝ : (i : ι) → SMulWithZero α (β i)
k : α
x : (i : ι) → β i
i : ι

⊢ (fun i c => k • c) i 0 = 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
x y z a b : M

⊢ (a * b) ^ 0 = a ^ 0 * b ^ 0
-- Mathlib/Algebra/Group/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommMonoid M
x y z a b : M
n : ℕ

⊢ (a * b) ^ (n + 1) = a ^ (n + 1) * b ^ (n + 1)
-- Mathlib/Algebra/Order/Interval/Set/Instances.lean
α : Type u_1
inst✝¹ : OrderedSemiring α
inst✝ : Nontrivial α
x : ↑(Ico 0 1)

⊢ x = 0 ↔ ↑x = 0
-- Mathlib/Data/Finset/Pointwise.lean
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s✝ t s : Set α

⊢ Nat.card ↑s⁻¹ = Nat.card ↑s
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α

⊢ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x < x_1) s
-- Mathlib/Order/Bounded.lean
α : Type u_1
r : α → α → Prop
s t : Set α
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : NoMaxOrder α
a : α

⊢ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) (s ∩ {b | a < b}) ↔ Bounded (fun x x_1 => x ≤ x_1) s
-- Mathlib/MeasureTheory/Group/Action.lean
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s t : Set α

⊢ c • s =ᶠ[ae μ] c • t ↔ s =ᶠ[ae μ] t
-- Mathlib/Data/Fintype/Card.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Fintype α
s : Set α
inst✝¹ : Fintype ↑s
inst✝ : Fintype ↑sᶜ

⊢ card ↑sᶜ = card α - card ↑s
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Thickening.lean
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ✝ : ℝ
s : Set α
x : α
δ : ℝ

⊢ thickening δ ∅ = ∅
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E

⊢ x ∈ extremePoints 𝕜 A ↔ x ∈ A ∧ ∀ x₁ ∈ A, ∀ x₂ ∈ A, x ∈ segment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∨ x₂ = x
-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁴ : LinearOrderedRing 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : DenselyOrdered 𝕜
inst✝ : NoZeroSMulDivisors 𝕜 E
A B : Set E
x : E
hxA : x ∈ A
x₁ : E
h₁ : x₁ ∈ A
x₂ : E
h₂ : x₂ ∈ A

⊢ x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x ↔ x ∈ segment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∨ x₂ = x
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Pseudofunctor.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : OplaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g h : b✝ ⟶ c✝
η : g ⟶ h

⊢ F.map₂ (f ◁ η) = (F'.mapCompIso f g).hom ≫ F.map f ◁ F.map₂ η ≫ (F'.mapCompIso f h).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Pseudofunctor.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : OplaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ : B
f✝ g✝ : a✝ ⟶ b✝
η : f✝ ⟶ g✝
h : b✝ ⟶ c✝

⊢ F.map₂ (η ▷ h) = (F'.mapCompIso f✝ h).hom ≫ F.map₂ η ▷ F.map h ≫ (F'.mapCompIso g✝ h).inv
-- Mathlib/CategoryTheory/Bicategory/Functor/Pseudofunctor.lean
B : Type u₁
inst✝² : Bicategory B
C : Type u₂
inst✝¹ : Bicategory C
D : Type u₃
inst✝ : Bicategory D
F✝ : Pseudofunctor B C
F : OplaxFunctor B C
F' : F.PseudoCore
a✝ b✝ c✝ d✝ : B
f : a✝ ⟶ b✝
g : b✝ ⟶ c✝
h : c✝ ⟶ d✝

⊢ F.map₂ (α_ f g h).hom = (F'.mapCompIso (f ≫ g) h).hom ≫ (F'.mapCompIso f g).hom ▷ F.map h ≫ (α_ (F.map f) (F.map g) (F.map h)).hom ≫ F.map f ◁ (F'.mapCompIso g h).inv ≫ (F'.mapCompIso f (g ≫ h)).inv
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set α
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_univ : ⋃ n, u n = univ
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set α
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_univ : ⋃ n, u n = univ
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)

⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set α
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_univ : ⋃ n, u n = univ
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u i).indicator f y - (u i).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)

⊢ Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set α
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_univ : ⋃ n, u n = univ
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u i).indicator f y - (u i).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
n : ℕ
hn : x ∈ u n

⊢ Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set α
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_univ : ⋃ n, u n = univ
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u i).indicator f y - (u i).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
n : ℕ
hn : x ∈ u n

⊢ (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) =ᶠ[v.filterAt x] fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set α
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_univ : ⋃ n, u n = univ
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u i).indicator f y - (u i).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
n : ℕ
hn : x ∈ u n
a : Set α
ha : a ⊆ u n
h'a : MeasurableSet a

⊢ (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a = (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ) / μ a
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set α
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_univ : ⋃ n, u n = univ
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u i).indicator f y - (u i).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
n : ℕ
hn : x ∈ u n
a : Set α
ha : a ⊆ u n
h'a : MeasurableSet a

⊢ ∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ = ∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ
-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
u : ℕ → Set α
u_open : ∀ (n : ℕ), IsOpen (u n)
u_univ : ⋃ n, u n = univ
hu : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn f (u n) μ
this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
x : α
hx : ∀ (i : ℕ), Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖(u i).indicator f y - (u i).indicator f x‖₊ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
n : ℕ
hn : x ∈ u n
a : Set α
ha : a ⊆ u n
h'a : MeasurableSet a
y : α
hy : y ∈ a

⊢ ↑‖(u n).indicator f y - (u n).indicator f x‖₊ = ↑‖f y - f x‖₊
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ

⊢ Nat.card { u // addOrderOf u = n } = n.totient
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)

⊢ Nat.card { u // addOrderOf u = 0 } = Nat.totient 0
-- Mathlib/Topology/Instances/AddCircle.lean
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p q : 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
hn : n > 0

⊢ Nat.card { u // addOrderOf u = n } = n.totient
-- Mathlib/SetTheory/Ordinal/Arithmetic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}

⊢ a - 0 = a
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M
x : E
hx : x ∈ ((f'.extend I).symm ≫ f.extend I).source

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(f.extend I) ∘ ↑(f'.extend I).symm) (range ↑I) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M
x : E
hx : x ∈ ((f'.extend I).symm ≫ f.extend I).source

⊢ ((f'.extend I).symm ≫ f.extend I).source ∈ 𝓝[range ↑I] x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M
x : E
hx : x ∈ ↑I '' (f'.symm ≫ₕ f).source

⊢ ↑I '' (f'.symm ≫ₕ f).source ∈ 𝓝[range ↑I] x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/SmoothManifoldWithCorners.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M
z : H
hz : z ∈ (f'.symm ≫ₕ f).source

⊢ ↑I '' (f'.symm ≫ₕ f).source ∈ 𝓝[range ↑I] ↑I z
-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFunc.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁸ : MeasurableSpace α
K : Type u_5
inst✝⁷ : SemilatticeSup β
inst✝⁶ : OrderBot β
inst✝⁵ : Zero β
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : OrderClosedTopology β
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : OpensMeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
i : ℕ → β
f : γ → β
g : α → γ
n : ℕ
a : α
hf : Measurable f
hg : Measurable g

⊢ ↑(approx i (f ∘ g) n) a = ↑(approx i f n) (g a)
-- Mathlib/Topology/Order/ExtendFrom.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a b : α
lb : β
hab : a < b
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)

⊢ extendFrom (Ioo a b) f b = lb
-- Mathlib/Topology/Order/ExtendFrom.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a b : α
lb : β
hab : a < b
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)

⊢ b ∈ closure (Ioo a b)
-- Mathlib/Topology/Order/ExtendFrom.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : DenselyOrdered α
inst✝² : OrderTopology α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : T2Space β
f : α → β
a b : α
lb : β
hab : a < b
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 lb)

⊢ Tendsto f (𝓝[Ioo a b] b) (𝓝 lb)
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K H : Subgroup G

⊢ H.subtype.range = H
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
N : Type u_5
P : Type u_6
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
K H : Subgroup G

⊢ Subtype.val '' ↑⊤ = ↑H
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
hap : a ≠ 0

⊢ Multiset.map (fun x => (a * ↑x).valMinAbs.natAbs) (Ico 1 (p / 2).succ).val = Multiset.map (fun a => a) (Ico 1 (p / 2).succ).val
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
hap : a ≠ 0
he : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x ≠ 0 ∧ x ≤ p / 2

⊢ Multiset.map (fun x => (a * ↑x).valMinAbs.natAbs) (Ico 1 (p / 2).succ).val = Multiset.map (fun a => a) (Ico 1 (p / 2).succ).val
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
hap : a ≠ 0
he : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x ≠ 0 ∧ x ≤ p / 2
hep : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x < p

⊢ Multiset.map (fun x => (a * ↑x).valMinAbs.natAbs) (Ico 1 (p / 2).succ).val = Multiset.map (fun a => a) (Ico 1 (p / 2).succ).val
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
hap : a ≠ 0
he : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x ≠ 0 ∧ x ≤ p / 2
hep : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x < p
hpe : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → ¬p ∣ x

⊢ Multiset.map (fun x => (a * ↑x).valMinAbs.natAbs) (Ico 1 (p / 2).succ).val = Multiset.map (fun a => a) (Ico 1 (p / 2).succ).val
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
hap : a ≠ 0
he : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x ≠ 0 ∧ x ≤ p / 2
hep : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x < p
hpe : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → ¬p ∣ x
hmem : ∀ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * ↑x).valMinAbs.natAbs ∈ Ico 1 (p / 2).succ

⊢ Multiset.map (fun x => (a * ↑x).valMinAbs.natAbs) (Ico 1 (p / 2).succ).val = Multiset.map (fun a => a) (Ico 1 (p / 2).succ).val
-- Mathlib/NumberTheory/LegendreSymbol/GaussEisensteinLemmas.lean
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
a : ZMod p
hap : a ≠ 0
he : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x ≠ 0 ∧ x ≤ p / 2
hep : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → x < p
hpe : ∀ {x : ℕ}, x ∈ Ico 1 (p / 2).succ → ¬p ∣ x
hmem : ∀ x ∈ Ico 1 (p / 2).succ, (a * ↑x).valMinAbs.natAbs ∈ Ico 1 (p / 2).succ
hsurj : ∀ b ∈ Ico 1 (p / 2).succ, ∃ x, ∃ (_ : x ∈ Ico 1 (p / 2).succ), (a * ↑x).valMinAbs.natAbs = b

⊢ Multiset.map (fun x => (a * ↑x).valMinAbs.natAbs) (Ico 1 (p / 2).succ).val = Multiset.map (fun a => a) (Ico 1 (p / 2).succ).val
-- Mathlib/Order/Birkhoff.lean
α : Type u_1
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidablePred SupIrred
a b : α

⊢ (if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) (a ⊔ b) = (if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) a ∪ (if h : IsEmpty α then ofIsEmpty else let_fun this := Fintype.toOrderBot α; RelEmbedding.trans OrderIso.lowerSetSupIrred.toOrderEmbedding { toFun := SetLike.coe, inj' := ⋯, map_rel_iff' := ⋯ }) b
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
r p q : α → Prop
P Q : (x : α) → p x → Prop
b : Prop

⊢ (∃ x x_1, r x) ↔ (∃ x x_1, r x) ∨ ∃ x x_1, r x
-- Mathlib/Logic/Basic.lean
α : Sort u_1
r p q : α → Prop
P Q : (x : α) → p x → Prop
b : Prop

⊢ (∃ x, (p x ∨ q x) ∧ r x) ↔ (∃ x, p x ∧ r x) ∨ ∃ x, q x ∧ r x
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V

⊢ ∃ v, G.maxDegree = G.degree v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
t : ℕ
ht : (image (fun v => G.degree v) univ).max = ↑t

⊢ ∃ v, G.maxDegree = G.degree v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
t : ℕ
ht : (image (fun v => G.degree v) univ).max = ↑t
ht₂ : t ∈ image (fun v => G.degree v) univ

⊢ ∃ v, G.maxDegree = G.degree v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : Nonempty V
t : ℕ
ht : (image (fun v => G.degree v) univ).max = ↑t
ht₂ : ∃ a, True ∧ G.degree a = t

⊢ ∃ v, G.maxDegree = G.degree v
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
a : ℤ

⊢ (fun p => p.1 * ↑n + ↑↑p.2) ((fun a => (a / ↑n, ↑(a.natMod ↑n))) a) = a
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x✝ : ℤ × Fin n
q : ℤ
r : ℕ
hrn : r < n

⊢ (fun a => (a / ↑n, ↑(a.natMod ↑n))) ((fun p => p.1 * ↑n + ↑↑p.2) (q, ⟨r, hrn⟩)) = (q, ⟨r, hrn⟩)
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x✝ : ℤ × Fin n
q : ℤ
r : ℕ
hrn : r < n

⊢ (q * ↑n + ↑r) / ↑n = q ∧ ↑↑((q * ↑n + ↑r).natMod ↑n) = r
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x✝ : ℤ × Fin n
q : ℤ
r : ℕ
hrn : r < n
h1 : 0 ≤ ↑r
h2 : ↑r < ↑n

⊢ (q * ↑n + ↑r) / ↑n = q ∧ ↑↑((q * ↑n + ↑r).natMod ↑n) = r
-- Mathlib/Logic/Equiv/Fin.lean
m n✝ n : ℕ
inst✝ : NeZero n
x✝ : ℤ × Fin n
q : ℤ
r : ℕ
hrn : r < n
h1 : 0 ≤ ↑r
h2 : ↑r < ↑n

⊢ 0 + q = q ∧ ↑↑r = r
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t : Set α
i : ι✝
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
I : Type u_7
inst✝ : Finite I
l : I → Filter α
ι : I → Sort u_6
p : (i : I) → ι i → Prop
s : (i : I) → ι i → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on l)
h : ∀ (i : I), (l i).HasBasis (p i) (s i)

⊢ ∃ ind, (∀ (i : I), p i (ind i)) ∧ Pairwise (Disjoint on fun i => s i (ind i))
-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι✝ : Sort u_4
ι' : Sort u_5
l✝ l' : Filter α
p✝ : ι✝ → Prop
s✝ : ι✝ → Set α
t✝ : Set α
i : ι✝
p' : ι' → Prop
s' : ι' → Set α
i' : ι'
I : Type u_7
inst✝ : Finite I
l : I → Filter α
ι : I → Sort u_6
p : (i : I) → ι i → Prop
s : (i : I) → ι i → Set α
hd✝ : Pairwise (Disjoint on l)
h : ∀ (i : I), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : I → Set α
htl : ∀ (i : I), t i ∈ l i
hd : Pairwise (Disjoint on t)

⊢ ∃ ind, (∀ (i : I), p i (ind i)) ∧ Pairwise (Disjoint on fun i => s i (ind i))