ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ι m0
inst✝¹ : OrderBot ι
ℱ : Filtration ι m0
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hfint : Integrable f μ

⊢ Martingale (fun x => f) ℱ μ
-- Mathlib/Probability/Martingale/Basic.lean
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁵ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ✝ : Measure Ω
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ✝ : Filtration ι m0
inst✝¹ : OrderBot ι
ℱ : Filtration ι m0
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hfint : Integrable f μ
i j : ι
x✝ : i ≤ j

⊢ μ[(fun x => f) j|↑ℱ i] =ᶠ[ae μ] (fun x => f) i
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊
nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊

⊢ Integrable (X * Y) μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊
nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊
hXY' : IndepFun (fun a => ‖X a‖₊) (fun a => ‖Y a‖₊) μ

⊢ Integrable (X * Y) μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊
nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊
hXY' : IndepFun (fun a => ‖X a‖₊) (fun a => ‖Y a‖₊) μ
hXY'' : IndepFun nX nY μ

⊢ Integrable (X * Y) μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊
nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊
hXY' : IndepFun (fun a => ‖X a‖₊) (fun a => ‖Y a‖₊) μ
hXY'' : IndepFun nX nY μ
hnX : AEMeasurable nX μ

⊢ Integrable (X * Y) μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊
nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊
hXY' : IndepFun (fun a => ‖X a‖₊) (fun a => ‖Y a‖₊) μ
hXY'' : IndepFun nX nY μ
hnX : AEMeasurable nX μ
hnY : AEMeasurable nY μ

⊢ Integrable (X * Y) μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊
nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊
hXY' : IndepFun (fun a => ‖X a‖₊) (fun a => ‖Y a‖₊) μ
hXY'' : IndepFun nX nY μ
hnX : AEMeasurable nX μ
hnY : AEMeasurable nY μ
hmul : ∫⁻ (a : Ω), nX a * nY a ∂μ = (∫⁻ (a : Ω), nX a ∂μ) * ∫⁻ (a : Ω), nY a ∂μ

⊢ Integrable (X * Y) μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊
nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊
hXY' : IndepFun (fun a => ‖X a‖₊) (fun a => ‖Y a‖₊) μ
hXY'' : IndepFun nX nY μ
hnX : AEMeasurable nX μ
hnY : AEMeasurable nY μ
hmul : ∫⁻ (a : Ω), nX a * nY a ∂μ = (∫⁻ (a : Ω), nX a ∂μ) * ∫⁻ (a : Ω), nY a ∂μ

⊢ HasFiniteIntegral (X * Y) μ
-- Mathlib/Probability/Integration.lean
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f g : Ω → ℝ≥0∞
X✝ Y✝ : Ω → ℝ
β : Type u_2
inst✝² : MeasurableSpace β
X Y : Ω → β
inst✝¹ : NormedDivisionRing β
inst✝ : BorelSpace β
hXY : IndepFun X Y μ
hX : Integrable X μ
hY : Integrable Y μ
nX : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖X a‖₊
nY : Ω → ℝ≥0∞ := fun a => ↑‖Y a‖₊
hXY' : IndepFun (fun a => ‖X a‖₊) (fun a => ‖Y a‖₊) μ
hXY'' : IndepFun nX nY μ
hnX : AEMeasurable nX μ
hnY : AEMeasurable nY μ
hmul : ∫⁻ (a : Ω), nX a * nY a ∂μ = (∫⁻ (a : Ω), nX a ∂μ) * ∫⁻ (a : Ω), nY a ∂μ

⊢ (∫⁻ (a : Ω), nX a ∂μ) * ∫⁻ (a : Ω), nY a ∂μ < ⊤
-- Mathlib/Topology/DiscreteQuotient.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
x : X

⊢ IsClopen (setOf (S.Rel x))
-- Mathlib/Topology/DiscreteQuotient.lean
α : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
S : DiscreteQuotient X
x : X

⊢ IsClopen (S.proj ⁻¹' {S.proj x})
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
inst✝ : Nonempty γ
hf : FactorsThrough g f
x : α

⊢ g x = (extend f g (const β (Classical.arbitrary γ)) ∘ f) x
-- Mathlib/Logic/Function/Basic.lean
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
inst✝ : Nonempty γ
h : ∃ e, g = e ∘ f
x✝¹ x✝ : α
hf : f x✝¹ = f x✝

⊢ g x✝¹ = g x✝
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ x ⊓ y \ x = (x ⊓ y ⊔ x \ y) ⊓ y \ x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ (x ⊓ y ⊔ x \ y) ⊓ y \ x = x ⊓ y ⊓ y \ x ⊔ x \ y ⊓ y \ x
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ x ⊓ y ⊓ y \ x ⊔ x \ y ⊓ y \ x = ⊥
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
h : a < b

⊢ 1 / b < 1 / a
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y✝ : α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel g.SameCycle
hf : f.IsCycle
hx : f x ≠ x
y : α
h : f.SameCycle x y

⊢ (f.cycleOf x) y = f y
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
x y✝ : α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel g.SameCycle
hf : f.IsCycle
hx : f x ≠ x
y : α
h : ¬f.SameCycle x y

⊢ (f.cycleOf x) y = f y
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y

⊢ IsCompact (GromovHausdorff.candidatesB X Y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y

⊢ ∀ (f : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y) →ᵇ ℝ) (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), f ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y → f x ∈ Icc 0 ↑(GromovHausdorff.maxVar X Y)
-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y

⊢ Equicontinuous fun x => ⇑↑x
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
d : Dioph S
f : (α → ℕ) →. ℕ
df : DiophPFun f
v : α → ℕ
x✝ : v ∈ {v | ∃ x, x ::ₒ v ∈ S ∩ {v | f.graph (v ∘ some, v none)}}
x : ℕ
hS : x ::ₒ v ∈ S
h : ∃ (h : (f ((x ::ₒ v) ∘ some, (x ::ₒ v) none).1).Dom), (f ((x ::ₒ v) ∘ some, (x ::ₒ v) none).1).get h = ((x ::ₒ v) ∘ some, (x ::ₒ v) none).2

⊢ v ∈ {v | ∃ (h : f.Dom v), f.fn v h ::ₒ v ∈ S}
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
d : Dioph S
f : (α → ℕ) →. ℕ
df : DiophPFun f
v : α → ℕ
x✝ : v ∈ {v | ∃ x, x ::ₒ v ∈ S ∩ {v | f.graph (v ∘ some, v none)}}
x : ℕ
hS : x ::ₒ v ∈ S
h : ∃ (h : (f (v, (x ::ₒ v) none).1).Dom), (f (v, (x ::ₒ v) none).1).get h = (v, (x ::ₒ v) none).2

⊢ v ∈ {v | ∃ (h : f.Dom v), f.fn v h ::ₒ v ∈ S}
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
d : Dioph S
f : (α → ℕ) →. ℕ
df : DiophPFun f
v : α → ℕ
x✝ : v ∈ {v | ∃ (h : f.Dom v), f.fn v h ::ₒ v ∈ S}
x : f.Dom v
hS : f.fn v x ::ₒ v ∈ S

⊢ ∃ (h : (f ((f.fn v x ::ₒ v) ∘ some, (f.fn v x ::ₒ v) none).1).Dom), (f ((f.fn v x ::ₒ v) ∘ some, (f.fn v x ::ₒ v) none).1).get h = ((f.fn v x ::ₒ v) ∘ some, (f.fn v x ::ₒ v) none).2
-- Mathlib/NumberTheory/Dioph.lean
α β γ : Type u
S✝ S' : Set (α → ℕ)
S : Set (Option α → ℕ)
d : Dioph S
f : (α → ℕ) →. ℕ
df : DiophPFun f
v : α → ℕ
x✝ : v ∈ {v | ∃ (h : f.Dom v), f.fn v h ::ₒ v ∈ S}
x : f.Dom v
hS : f.fn v x ::ₒ v ∈ S

⊢ ∃ (h : (f (v, (f.fn v x ::ₒ v) none).1).Dom), (f (v, (f.fn v x ::ₒ v) none).1).get h = (v, (f.fn v x ::ₒ v) none).2
-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Four.lean
a b c : ℤ
h2 : ∀ (a1 b1 c1 : ℤ), Fermat42 a1 b1 c1 → c.natAbs ≤ c1.natAbs
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
heq : a ^ 4 + b ^ 4 = c ^ 2

⊢ ∀ (a1 b1 c1 : ℤ), Fermat42 a1 b1 c1 → (-c).natAbs ≤ c1.natAbs
-- Mathlib/Data/ENNReal/Real.lean
a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞

⊢ a⁻¹.toReal = a.toReal⁻¹
-- Mathlib/Data/List/Sort.lean
α : Type u
r : α → α → Prop
a : α
l : List α
inst✝ : IsAntisymm α r
l₁ l₂ : List α
hp : l₁ <+~ l₂
hs₁ : Sorted r l₁
hs₂ : Sorted r l₂
w✝ : List α
h : w✝ ~ l₁
h' : w✝ <+ l₂

⊢ l₁ <+ l₂
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)

⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I)) (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
h : (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ⊆ range ↑I

⊢ ContDiffOn 𝕜 ⊤ (fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I)) (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
h : (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ⊆ range ↑I
x : E
hx : x ∈ (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (fderivWithin 𝕜 (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I)) (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
h : (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ⊆ range ↑I
x : E
hx : x ∈ (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source

⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑((↑j).extend I) ∘ ↑((↑i).extend I).symm) (range ↑I) x
-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorBundle/Tangent.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_5
inst✝⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace M
inst✝⁶ : ChartedSpace H M
inst✝⁵ : SmoothManifoldWithCorners I M
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I' M'
F : Type u_8
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i j : ↑(atlas H M)
h : (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ⊆ range ↑I
x : E
hx : x ∈ (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source

⊢ (((↑i).extend I).symm ≫ (↑j).extend I).source ∈ 𝓝[range ↑I] x
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
b0 : 0 < b
d0 : 0 < d

⊢ a / b < c / d ↔ a * d < c * b
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α✝ α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
h : Commute x y
n✝ : ℕ

⊢ ∑ i ∈ range (n✝ + 1), x ^ i * y ^ (n✝ + 1 - 1 - i) = ∑ i ∈ range (n✝ + 1), y ^ i * x ^ (n✝ + 1 - 1 - i)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α✝ α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
h : Commute x y
n✝ : ℕ

⊢ ∑ x_1 ∈ range (n✝ + 1), x ^ x_1 * y ^ (n✝ - x_1) = ∑ x_1 ∈ range (n✝ + 1), y ^ x_1 * x ^ (n✝ - x_1)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α✝ α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
h : Commute x y
n✝ : ℕ

⊢ ∑ r ∈ range (n✝ + 1), x ^ (n✝ - r) * y ^ (n✝ - (n✝ - r)) = ∑ x_1 ∈ range (n✝ + 1), y ^ x_1 * x ^ (n✝ - x_1)
-- Mathlib/Algebra/GeomSum.lean
α✝ α : Type u
inst✝ : Semiring α
x y : α
h : Commute x y
n✝ i : ℕ
hi : i ∈ range (n✝ + 1)

⊢ x ^ (n✝ - i) * y ^ (n✝ - (n✝ - i)) = y ^ i * x ^ (n✝ - i)
-- Mathlib/Order/BooleanAlgebra.lean
α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α

⊢ x \ y = x ↔ Disjoint x y
-- Mathlib/Data/Fintype/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Fintype α
s t : Finset α
inst✝² : Fintype α
f : α → β
p : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : Fintype { a // p a }

⊢ Multiset.map (Subtype.restrict p f) univ.val = Multiset.map f (filter p univ).val
-- Mathlib/Algebra/Order/Field/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a ≤ b
hb : 0 ≤ b

⊢ b⁻¹ * a ≤ 1
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s₁ s₂ : Simplex k P n
h : Set.range s₁.points = Set.range s₂.points

⊢ centroid k univ s₁.points = centroid k univ s₂.points
-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s₁ s₂ : Simplex k P n
h : s₁.points '' ↑univ = s₂.points '' ↑univ

⊢ centroid k univ s₁.points = centroid k univ s₂.points
-- Mathlib/Analysis/CstarAlgebra/ContinuousFunctionalCalculus/Unital.lean
R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalRing R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a : A
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a)) _auto✝
ha : autoParam (p a) _auto✝

⊢ cfc (fun x => -x) a = -a
-- Mathlib/Probability/Kernel/Basic.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α β
s t : Set β
κ : Kernel α β
hs : MeasurableSet s
a : α
f : β → ℝ≥0∞

⊢ ∫⁻ (b : β), f b ∂(κ.restrict hs) a = ∫⁻ (b : β) in s, f b ∂κ a
-- Mathlib/RingTheory/JacobsonIdeal.lean
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
x : R
hx : x ∈ ⊥.jacobson
y z : R
hz : z * y * x + z - 1 ∈ ⊥

⊢ (x * y + 1) * z = 1
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Clique.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
n : ℕ
s : Finset α
a b c : α

⊢ G.IsNClique n {a} ↔ n = 1
-- Mathlib/Analysis/RCLike/Basic.lean
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z✝ z : K

⊢ √(normSq z) = ‖z‖
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t

⊢ (condCount s) u * (condCount (s ∪ t)) s + (condCount t) u * (condCount (s ∪ t)) t = (condCount (s ∪ t)) u
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
u : Set Ω
hs ht : ∅.Finite
hst : Disjoint ∅ ∅

⊢ (condCount ∅) u * (condCount (∅ ∪ ∅)) ∅ + (condCount ∅) u * (condCount (∅ ∪ ∅)) ∅ = (condCount (∅ ∪ ∅)) u
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
t u : Set Ω
ht : t.Finite
hs : ∅.Finite
hst : Disjoint ∅ t
ht' : t.Nonempty

⊢ (condCount ∅) u * (condCount (∅ ∪ t)) ∅ + (condCount t) u * (condCount (∅ ∪ t)) t = (condCount (∅ ∪ t)) u
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s u : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
ht : ∅.Finite
hst : Disjoint s ∅

⊢ (condCount s) u * (condCount (s ∪ ∅)) s + (condCount ∅) u * (condCount (s ∪ ∅)) ∅ = (condCount (s ∪ ∅)) u
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty

⊢ (condCount s) u * (condCount (s ∪ t)) s + (condCount t) u * (condCount (s ∪ t)) t = (condCount (s ∪ t)) u
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty

⊢ (Measure.count s)⁻¹ * Measure.count (s ∩ u) * ((Measure.count (s ∪ t))⁻¹ * Measure.count ((s ∪ t) ∩ s)) + (Measure.count t)⁻¹ * Measure.count (t ∩ u) * ((Measure.count (s ∪ t))⁻¹ * Measure.count ((s ∪ t) ∩ t)) = (Measure.count (s ∪ t))⁻¹ * Measure.count ((s ∪ t) ∩ u)
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty

⊢ Measure.count s * (Measure.count s)⁻¹ * Measure.count (s ∩ u) * (Measure.count (s ∪ t))⁻¹ + Measure.count t * (Measure.count t)⁻¹ * Measure.count (t ∩ u) * (Measure.count (s ∪ t))⁻¹ = (Measure.count (s ∪ t))⁻¹ * Measure.count ((s ∪ t) ∩ u)
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty

⊢ Disjoint (s ∩ u) (t ∩ u)
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty

⊢ MeasurableSet (t ∩ u)
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty

⊢ Measure.count t ≠ 0
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty

⊢ Measure.count t ≠ ⊤
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty

⊢ Measure.count s ≠ 0
-- Mathlib/Probability/CondCount.lean
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
ht : t.Finite
hst : Disjoint s t
hs' : s.Nonempty
ht' : t.Nonempty

⊢ Measure.count s ≠ ⊤
-- Mathlib/Analysis/Convex/Between.lean
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
x : P
v : V
r₁ r₂ : R
hr₁ : r₁ ≤ 0
hr₂ : 0 ≤ r₂

⊢ Wbtw R (r₁ • v +ᵥ x) x (r₂ • v +ᵥ x)
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
s : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F

⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s ↔ ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
s : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s

⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
s : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s
d : ℕ := finrank 𝕜 F

⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s
-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/FiniteDimension.lean
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
n : ℕ∞
f : E → F →L[𝕜] G
s : Set E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 F
h : ∀ (y : F), ContDiffOn 𝕜 n (fun x => (f x) y) s
d : ℕ := finrank 𝕜 F
hd : d = finrank 𝕜 (Fin d → 𝕜)

⊢ ContDiffOn 𝕜 n f s