ruc-ai4math/mathlib_handler_benchmark_410 huggingface dataset:
-- Mathlib/Data/Num/Lemmas.lean
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
m n : Num

⊢ ↑(m + n) = ↑m + ↑n
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³² : CommRing A
inst✝³¹ : CommRing B
inst✝³⁰ : Algebra A B
inst✝²⁹ : Field K
inst✝²⁸ : Field L
inst✝²⁷ : Algebra A K
inst✝²⁶ : IsFractionRing A K
inst✝²⁵ : Algebra B L
inst✝²⁴ : Algebra K L
inst✝²³ : Algebra A L
inst✝²² : IsScalarTower A B L
inst✝²¹ : IsScalarTower A K L
inst✝²⁰ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁹ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.571927
Bₘ : Type ?u.571930
inst✝¹⁸ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁷ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁴ : Algebra B Bₘ
inst✝¹³ : Algebra A Bₘ
inst✝¹² : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁰ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed B
inst✝³ : Module.Finite A B
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝ : Module.Free A B
x : B
this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

⊢ (intNorm A B) x = (norm A) x
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³² : CommRing A
inst✝³¹ : CommRing B
inst✝³⁰ : Algebra A B
inst✝²⁹ : Field K
inst✝²⁸ : Field L
inst✝²⁷ : Algebra A K
inst✝²⁶ : IsFractionRing A K
inst✝²⁵ : Algebra B L
inst✝²⁴ : Algebra K L
inst✝²³ : Algebra A L
inst✝²² : IsScalarTower A B L
inst✝²¹ : IsScalarTower A K L
inst✝²⁰ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁹ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.571927
Bₘ : Type ?u.571930
inst✝¹⁸ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁷ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁴ : Algebra B Bₘ
inst✝¹³ : Algebra A Bₘ
inst✝¹² : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁰ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed B
inst✝³ : Module.Finite A B
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝ : Module.Free A B
x : B
this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)

⊢ (intNorm A B) x = (norm A) x
-- Mathlib/RingTheory/IntegralClosure/IntegralRestrict.lean
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
B : Type u_4
inst✝³² : CommRing A
inst✝³¹ : CommRing B
inst✝³⁰ : Algebra A B
inst✝²⁹ : Field K
inst✝²⁸ : Field L
inst✝²⁷ : Algebra A K
inst✝²⁶ : IsFractionRing A K
inst✝²⁵ : Algebra B L
inst✝²⁴ : Algebra K L
inst✝²³ : Algebra A L
inst✝²² : IsScalarTower A B L
inst✝²¹ : IsScalarTower A K L
inst✝²⁰ : IsIntegralClosure B A L
inst✝¹⁹ : FiniteDimensional K L
Aₘ : Type ?u.571927
Bₘ : Type ?u.571930
inst✝¹⁸ : CommRing Aₘ
inst✝¹⁷ : CommRing Bₘ
inst✝¹⁶ : Algebra Aₘ Bₘ
inst✝¹⁵ : Algebra A Aₘ
inst✝¹⁴ : Algebra B Bₘ
inst✝¹³ : Algebra A Bₘ
inst✝¹² : IsScalarTower A Aₘ Bₘ
inst✝¹¹ : IsScalarTower A B Bₘ
M : Submonoid A
inst✝¹⁰ : IsLocalization M Aₘ
inst✝⁹ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B M) Bₘ
inst✝⁸ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁷ : IsDomain A
inst✝⁶ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁵ : IsDomain B
inst✝⁴ : IsIntegrallyClosed B
inst✝³ : Module.Finite A B
inst✝² : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝ : Module.Free A B
x : B
this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this : IsLocalization (algebraMapSubmonoid B A⁰) (FractionRing B)

⊢ (algebraMap A (FractionRing A)) ((intNorm A B) x) = (algebraMap A (FractionRing A)) ((norm A) x)
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 F
h : Submodule.comap f U ⟂ Submodule.comap f V

⊢ U ⟂ V
-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Orthogonal.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E ≃ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 F
h : Submodule.comap f U ⟂ Submodule.comap f V
hf : ∀ (p : Submodule 𝕜 F), Submodule.map f.toLinearIsometry (Submodule.comap f p) = p

⊢ U ⟂ V
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Nat.lean
a b c x : ℕ

⊢ x ∈ Ico a.succ b ↔ x ∈ (Ico a b).erase a
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : PartialOrder α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : IsAtomic α
x y : α
h : ∀ (a : α), IsAtom a → a ≤ x → a ≤ y

⊢ x ≤ y
-- Mathlib/Order/Atoms.lean
ι : Sort u_1
α✝ : Type u_2
β : Type u_3
inst✝² : PartialOrder α✝
α : Type u_4
inst✝¹ : BooleanAlgebra α
inst✝ : IsAtomic α
x y : α
h : ∀ (a : α), IsAtom a → a ≤ x → a ≤ y
this : x ⊓ yᶜ = ⊥

⊢ x ≤ y
-- Mathlib/Data/Vector/Basic.lean
n : ℕ
α : Type u_1
a : α
v : Vector α n

⊢ (a ::ᵥ v).get 0 = a
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j // j ≠ i } X x)) const

⊢ toLoop i (fromLoop i p) = p
-- Mathlib/Topology/Homotopy/HomotopyGroup.lean
N : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
x : X
inst✝ : DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j // j ≠ i } X x)) const

⊢ { toFun := fun t => ⟨({ toFun := Subtype.val, continuous_toFun := ⋯ }.comp p.toContinuousMap).uncurry.curry t, ⋯⟩, continuous_toFun := ⋯, source' := ⋯, target' := ⋯ } = p
-- Mathlib/Order/CompleteLattice.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝¹ : SupSet α
inst✝ : SupSet β
f : ι → α × β

⊢ (iSup f).swap = ⨆ i, (f i).swap
-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
i j : ι
v r r' : ι → F
hvs : Set.InjOn v ↑s
hrr' : (interpolate s v) r = (interpolate s v) r'
x✝ : ι
hi : x✝ ∈ s

⊢ r x✝ = r' x✝
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)

⊢ Disjoint G (fromEdgeSet s) ↔ Disjoint G.edgeSet s
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)

⊢ Disjoint G (fromEdgeSet s) ↔ Disjoint G.edgeSet (s \ {e | e.IsDiag} ∪ s ∩ {e | e.IsDiag})
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Basic.lean
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
s : Set (Sym2 V)

⊢ Disjoint G.edgeSet (s ∩ {e | e.IsDiag})
-- Mathlib/Topology/Algebra/Order/Field.lean
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
l : Filter α
f g : α → 𝕜
C : 𝕜
hC : 0 < C
hf : Tendsto f l (𝓝 C)
hg : Tendsto g l atBot

⊢ Tendsto (fun x => f x * g x) l atBot
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup G

⊢ comap f (map f H) = H ⊔ f.ker
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup G

⊢ comap f (map f H) ≤ H ⊔ f.ker
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
x : G
hx : x ∈ comap f (map f H)

⊢ x ∈ H ⊔ f.ker
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
x : G
hx : ∃ x_1 ∈ H, f x_1 = f x

⊢ x ∈ H ⊔ f.ker
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
x y : G
hy : y ∈ H
hy' : f y = f x

⊢ x ∈ H ⊔ f.ker
-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Basic.lean
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f : G →* N
H : Subgroup G
x y : G
hy : y ∈ H
hy' : f y = f x

⊢ y * (y⁻¹ * x) ∈ H ⊔ f.ker
-- Mathlib/RingTheory/AdjoinRoot.lean
R : Type u
S : Type v
K : Type w
inst✝ : CommRing R
f g : R[X]

⊢ f ∣ g - 0 ↔ f ∣ g
-- Mathlib/GroupTheory/Perm/List.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l✝ : List α
x a b : α
l : List α

⊢ (a :: b :: l).reverse.formPerm = (a :: b :: l).formPerm⁻¹
-- Mathlib/Analysis/Complex/Basic.lean
z✝ : ℂ
E : Type u_1
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
z : ℂ

⊢ ↑(nndist ((starRingEnd ℂ) z) z) = ↑(2 * Real.nnabs z.im)
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
hs : a ∈ upperClosure ↑s
ht : a ∈ upperClosure ↑t

⊢ (s ⊻ t).truncatedInf a = s.truncatedInf a ⊔ t.truncatedInf a
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
hs : a ∈ upperClosure ↑s
ht : a ∈ upperClosure ↑t

⊢ ((filter (fun x => x ≤ a) s ⊻ filter (fun x => x ≤ a) t).inf' ⋯ fun x => id x) = (filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t).inf' ⋯ fun i => id i.1 ⊔ id i.2
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
hs : a ∈ upperClosure ↑s
ht : a ∈ upperClosure ↑t

⊢ ((image (Function.uncurry fun x x_1 => x ⊔ x_1) (filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t)).inf' ⋯ fun x => id x) = (filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t).inf' ⋯ fun i => id i.1 ⊔ id i.2
-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/AhlswedeZhang.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
hs : a ∈ upperClosure ↑s
ht : a ∈ upperClosure ↑t

⊢ (filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t).inf' ⋯ ((fun x => id x) ∘ Function.uncurry fun x x_1 => x ⊔ x_1) = (filter (fun x => x ≤ a) s ×ˢ filter (fun x => x ≤ a) t).inf' ⋯ fun i => id i.1 ⊔ id i.2
-- Mathlib/Analysis/PSeries.lean
p : ℕ

⊢ (Summable fun n => (↑n ^ p)⁻¹) ↔ 1 < p
-- Mathlib/Order/Interval/Finset/Basic.lean
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α

⊢ a ∈ Icc a b ↔ a ≤ b
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Defs.lean
a b m n✝ p✝ n p : ℕ
pp : Prime p
hn : n ≠ 0

⊢ multiplicity p n = ↑(n.factorization p)
-- Mathlib/Order/Filter/SmallSets.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β

⊢ ⊥.smallSets = pure ∅
-- Mathlib/Order/Filter/SmallSets.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l l' la : Filter α
lb : Filter β

⊢ Monotone powerset
-- Mathlib/Algebra/Polynomial/Smeval.lean
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S

⊢ (C r).smeval x = r • x ^ 0
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹² : MeasurableSpace α✝
inst✝¹¹ : BorelSpace α✝
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁹ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁸ : BorelSpace β✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace γ
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : TopologicalSpace β
hβ : BorelSpace β
e : α → β
h'e : MeasurableEmbedding e
h''e : Inducing e

⊢ inst✝³ = borel α
-- Mathlib/MeasureTheory/Constructions/BorelSpace/Basic.lean
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
γ₂ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort y
s t u : Set α✝
inst✝¹³ : TopologicalSpace α✝
inst✝¹² : MeasurableSpace α✝
inst✝¹¹ : BorelSpace α✝
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace β✝
inst✝⁹ : MeasurableSpace β✝
inst✝⁸ : BorelSpace β✝
inst✝⁷ : TopologicalSpace γ
inst✝⁶ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : BorelSpace γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace δ
α : Type u_6
β : Type u_7
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : TopologicalSpace β
hβ : BorelSpace β
e : α → β
h'e : MeasurableEmbedding e
h''e : Inducing e
this : MeasurableSpace.comap e (borel β) = inst✝³

⊢ inst✝³ = borel α
-- Mathlib/SetTheory/Cardinal/Finite.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Finite β
this✝ : Fintype α
this : Fintype β

⊢ Nat.card (α ⊕ β) = Nat.card α + Nat.card β
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : CompositionAsSet n

⊢ c.length < c.boundaries.card
-- Mathlib/Combinatorics/Enumerative/Composition.lean
n : ℕ
c : CompositionAsSet n

⊢ c.length < c.length + 1
-- Mathlib/AlgebraicGeometry/StructureSheaf.lean
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
f : R
s : ↥x.asIdeal.primeCompl

⊢ (toStalk R x) f = (toStalk R x) ↑s * ((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩) (const R f (↑s) (PrimeSpectrum.basicOpen ↑s) ⋯)
-- Mathlib/GroupTheory/Abelianization.lean
G : Type u
inst✝ : Group G

⊢ commutator G = Subgroup.normalClosure (commutatorSet G)
-- Mathlib/Algebra/Ring/Rat.lean
q : ℚ

⊢ q * ↑q.den = ↑q.num
-- Mathlib/Algebra/Ring/Rat.lean
q : ℚ

⊢ q.num /. ↑q.den * (↑q.den /. 1) = q.num /. 1
-- Mathlib/Algebra/Ring/Rat.lean
q : ℚ
this : ↑q.den ≠ 0

⊢ q.num /. ↑q.den * (↑q.den /. 1) = q.num /. 1
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
s : Set A

⊢ (adjoin R s).toSubmodule = span R ↑(Subsemigroup.closure s)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
s : Set A

⊢ (adjoin R s).toSubmodule ≤ span R ↑(Subsemigroup.closure s)
-- Mathlib/Algebra/Algebra/NonUnitalSubalgebra.lean
F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
s : Set A

⊢ span R ↑(Subsemigroup.closure s) ≤ (adjoin R s).toSubmodule
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V

⊢ G.minDegree ≤ G.degree v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
t : ℕ
ht : (image (fun v => G.degree v) univ).min = ↑t

⊢ G.minDegree ≤ G.degree v
-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Finite.lean
V : Type u_1
G : SimpleGraph V
e : Sym2 V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
v : V
t : ℕ
ht : (image (fun v => G.degree v) univ).min = ↑t
this : t ≤ G.degree v

⊢ G.minDegree ≤ G.degree v
-- Mathlib/Data/Nat/Factorization/Basic.lean
a✝ b✝ m n p✝ a b p : ℕ
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0

⊢ p ^ (a * b).factorization p = p ^ a.factorization p * p ^ b.factorization p
-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/VectorMeasure.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
s : SignedMeasure α
i✝ j : Set α
hs : VectorMeasure.restrict 0 univ ≤ VectorMeasure.restrict s univ
i : Set α
hi : MeasurableSet i

⊢ ↑(s.toMeasureOfZeroLE univ ⋯ hs).toSignedMeasure i = ↑s i
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ModuleCat.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)

⊢ S.Exact ↔ Function.Exact ⇑S.f ⇑S.g
-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ModuleCat.lean
R : Type u
inst✝ : Ring R
S : ShortComplex (ModuleCat R)

⊢ LinearMap.range S.f = LinearMap.ker S.g ↔ LinearMap.ker S.g = LinearMap.range S.f
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Projections.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q : ℕ

⊢ Q (q + 1) = Q q - P q ≫ Hσ q
-- Mathlib/AlgebraicTopology/DoldKan/Projections.lean
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
q : ℕ

⊢ 𝟙 K[X] - (P q + P q ≫ Hσ q) = 𝟙 K[X] - P q - P q ≫ Hσ q
-- Mathlib/Analysis/MellinTransform.lean
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
f : ℝ → ℂ
s a : ℂ

⊢ mellin (fun t => f t / a) s = mellin f s / a
-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

⊢ (l.balanceR x r).dual = r.dual.balanceL x l.dual
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : WSeq α

⊢ (map (ret ∘ f) s).join ~ʷ map f s
-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
f : α → β
s : WSeq α

⊢ (map ret (map f s)).join ~ʷ map f s
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : IsClosedMap f
s : Set β
t : Set ↑(f ⁻¹' s)

⊢ IsClosed t → IsClosed (s.restrictPreimage f '' t)
-- Mathlib/Topology/LocalAtTarget.lean
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s✝ : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
H : IsClosedMap f
s : Set β
t : Set ↑(f ⁻¹' s)

⊢ ∀ (u : Set α), IsClosed u → Subtype.val ⁻¹' u = t → ∃ v, IsClosed v ∧ Subtype.val ⁻¹' v = s.restrictPreimage f '' t
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k n : ℕ

⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/Distribution/SchwartzSpace.lean
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : 𝓢(E, F)
k n : ℕ
C : ℝ
hC : ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f.toFun x‖ ≤ C

⊢ ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (x : E), ‖x‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n (⇑f) x‖ ≤ C
-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
x y z : E
δ ε : ℝ
hε : 0 ≤ ε
hδ : 0 < δ
a b : E

⊢ Metric.closedBall a ε - Metric.ball b δ = Metric.ball (a - b) (ε + δ)
-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/Basic.lean
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a : E

⊢ dist 1 a = ‖a‖
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U

⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
hB : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}

⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U

⊢ ∀ (j : J), TopologicalSpace.IsTopologicalBasis ((fun j => {W | IsClopen W}) j)
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U

⊢ ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j), ∀ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, ⇑((F ⋙ toTopCat).map f) ⁻¹' V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) i
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
hB : TopologicalSpace.IsTopologicalBasis {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S

⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S

⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯

⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯
V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose

⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯
V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose
hV : ∀ (s : ↑S), IsClopen (V s) ∧ ↑s = ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s

⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V
-- Mathlib/Topology/Category/Profinite/CofilteredLimit.lean
J : Type v
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
U : Set ↑C.pt.toTop
hC : IsLimit C
hU : IsClopen U
S : Set (Set ↑(toTopCat.mapCone C).pt)
hS : S ⊆ {U | ∃ j, ∃ V ∈ (fun j => {W | IsClopen W}) j, U = ⇑((toTopCat.mapCone C).π.app j) ⁻¹' V}
h : U = ⋃₀ S
j : ↑S → J := fun s => Exists.choose ⋯
V : (s : ↑S) → Set ↑(F.obj (j s)).toTop := fun s => ⋯.choose
hV : ∀ (s : ↑S), IsClopen (V s) ∧ ↑s = ⇑(C.π.app (j s)) ⁻¹' V s
hUo : ∀ (i : ↑S), IsOpen ((fun s => (forget Profinite).map (C.π.app (j s)) ⁻¹' V s) i)

⊢ ∃ j V, IsClopen V ∧ U = ⇑(C.π.app j) ⁻¹' V